Решение задач по механике. Классическая динамика и специальная теория относительности: Учебное пособие

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т

Р Е Ш Е НИ Е З А Д А Ч П О М Е Х А НИ КЕ . КЛ А С С И Ч Е С КА Я Д И НА М И КА И С П Е Ц И А Л Ь НА Я Т Е О Р И Я О Т НО С И Т Е Л Ь НО С Т И

Уче б но е по со б и е по кур су «О б ща я фи зи ка » (ш и фр ЕН.Ф .011)

В о р о не ж 2003

2

Утве р ж де но на учно -ме то ди че ски м со ве то м фи зи че ско го фа культе та 27 ма р та 2003 г. Со ста ви те ли :

Гр и б ко в С.П. Ко стыле в В .И.

Уче б но е по со б и е по дго то вле но на ка фе др е о б ще й фи зи ки фи зи че ско го фа культе та В о р о не ж ско го го суда р стве нно го уни ве р си те та

Ре ко ме ндуе тся для студе нто в спе ци а льно сте й 013800 (р а ди о фи зи ка и эле ктр о ни ка ) 014100 (ми кр о эле ктр о ни ка и по лупр о во дни ко вые пр и б о р ы) 010400 (фи зи ка ) 1 кур са дне вно й фо р мыо б уче ни я и спе ци а льно сти 013800 (р а ди о фи зи ка и эле ктр о ни ка ) 1 кур са ве че р не й фо р мыо б уче ни я

3 В В Е Д Е НИ Е На сто яще е уче б но е по со б и е по свяще но та ко му ва ж но му р а зде лу ме х а ни ки ка к ди на ми ка , в ко то р о м и зуча е тся дви ж е ни е те л по д де йстви е м пр и ло ж е нных к ни м си л. Уме ни е р е ш а ть за да чи по ди на ми ке не о б х о ди мо для и зуче ни я мно ги х по сле дую щи х р а зде ло в о б ще го кур са фи зи ки , та ки х , на пр и ме р , ка к ма гне ти зм, где р а ссма тр и ва ю тся дви ж е ни е пр о во дни ко в с то ко м в ма гни тно м по ле , дви ж е ни е за р ядо в в ма гни тно м по ле и т.д. По это му студе нта м р е ко ме ндуе тся о б р а ти тьо со б о е вни ма ни е на ме то ди ку р е ш е ни я за да ч по ди на ми ке . М ет о д ические реко м енд ац ии Ре ш е ни е фи зи че ско й за да чи пр е дпо ла га е т уста но вле ни е не и зве стных связе й ме ж ду за да нными и и ско мыми фи зи че ски ми ве ли чи на ми и о пр е де ле ни е по сле дни х . Уста но вле ни е ж е не о б х о ди мых связе й ме ж ду ве ли чи на ми пр е дпо ла га е туме ни е а на ли зи р о ва ть фи зи че скую си туа ци ю , и зло ж е нную в усло ви и за да чи . Э то уме ни е пр и о б р е та е тся на о пыте в пр о це ссе р е ш е ни я за да ч. Д ля то го что б ы на учи ться р е ш а ть за да чи , сле дуе т пр и де р ж и ва ться б о ле е и ли ме не е си сте ма ти че ско го по р ядка де йстви й: 1. В на ча ле вни ма те льно пр о чи та йте за да чу и ма те ма ти че ски за пи ш и те усло ви е . 2. О б дума йте усло ви е за да чи . В ыясни те , о ка ки х фи зи че ски х пр о це сса х и явле ни ях в не й и де т р е чь, ка ки м за ко но ме р но стям эти пр о це ссыи явле ни я по дчи няю тся. На ме тьте пр и ме р ный пла н р е ш е ни я. 3. Если по зво ляе т х а р а кте р за да чи , то сде ла йте че р те ж , сх е му и ли р и суно к с о б о зна че ни е м за да нных и и ско мых ве ли чи н. 4. За пи ш и те ур а вне ни е и ли си сте му ур а вне ни й, со де р ж а щи е явно и ско мую и ли и ско мые фи зи че ски е ве ли чи ныи о тве ча ю щи е со де р ж а ни ю ко нкр е тно й за да чи . 5. Ре ш и те за да чу в о б ще м ви де , т.е . по лучи те ма те ма ти че ско е выр а ж е ни е (р а б о чую фо р мулу) в ле во й ча сти ко то р о го на х о ди тся и ско ма я ве ли чи на , а в пр а во й - за да нные в усло ви и за да чи и взятые и з та б ли ц ве ли чи ны. Ре ш е ни е в о б ще м ви де пр и да е т о ко нча те льно му р е зульта ту о со б ую це нно сть, и б о по зво ляе т уста но ви ть о пр е де ле нную за ко но ме р но сть, по ка зыва ю щую , ка к за ви си т и ско ма я ве ли чи на о т за да нных ве ли чи н. 6. Пр о и зве ди те пр о ве р ку р а зме р но сти и ско мо й ве ли чи ны. Если в р е зульта те по луче на ве р на я р а зме р но сть, то это , ко не чно , не га р а нти я ве р но го р е ш е ни я; о дна ко не ве р на я р а зме р но стье стьпр ямо е ука за ни е на до пуще нную о ш и б ку. 7. По дста вьте в р а б о чую фо р мулу чи сло вые зна че ни я за да нных и та б ли чных ве ли чи н и пр о и зве ди те вычи сле ни я. По мни те , что чи сло вые

4 зна че ни я фи зи че ски х ве ли чи н все гда являю тся пр и б ли ж е нными . По это му пр и р а сче та х не за б ыва йте о б о кр угле ни и . 8. По во змо ж но сти о це ни те пр а вдо по до б но сть чи сло во го о тве та . Ино гда та ка я о це нка по мо га е т о б на р уж и ть о ш и б о чно сть по луче нно го р е зульта та . На пр и ме р , че ло ве к не мо ж е т б р о си ть ка ме нь на 100 км, ско р о стьте ла не мо ж е тб ытьб о льш е ско р о сти све та и т.д. С ист ем а о бо значений В е кто р ыо б о зна че ныж и р ным пр ямым ш р и фто м (на пр и ме р , r, g, F); та ж е б уква кур си во м (r, g, F) о зна ча е тмо дульве кто р а . i, j, k – о р ты(е ди ни чные ве кто р ы) де ка р то вых ко о р ди на тных о се й OX, OY, OZ. n и τ – о р тыно р ма ли и ка са те льно й к тр а е кто р и и . Ср е дни е ве ли чи ны за клю ча ю тся в угло вые ско б ки < > , на пр и ме р , . 1. Осно вно е уравнение д инам ики • О сно вно е ур а вне ни е ди на ми ки ма те р и а льно й то чки пр е дста вляе т со б о й не что и но е , ка к ма те ма ти че ско е выр а ж е ни е вто р о го за ко на Нью то на : m

dv = F. dt

(1)

• Ур а вне ни е (1) е сть ди ффе р е нци а льно е ур а вне ни е дви ж е ни я то чки в ве кто р но м ви де . В о змо ж ныдве пр о ти во по ло ж ные по ста но вки за да чи . 1. На йти де йствую щую на то чку си лу F, е сли и зве стны ма сса m то чки и за ви си мо сть о твр е ме ни е е р а ди уса -ве кто р а r(t) и ли ве кто р а ско р о сти v(t). 2. На йти за ко н дви ж е ни я то чки , т.е . за ви си мо сть о т вр е ме ни е е р а ди уса -ве кто р а r(t), е сли и зве стны ма сса m то чки , де йствую ща я на не е си ла F (и ли си лы Fi) и на ча льные усло ви я – ско р о сть v0 и по ло ж е ни е r0 то чки в на ча льный мо ме нтвр е ме ни . В пе р во м случа е за да ча сво ди тся к ди ффе р е нци р о ва ни ю r(t) и ли v(t) по вр е ме ни , во вто р о м – к и нте гр и р о ва ни ю ур а вне ни я (1). В за ви си мо сти о тх а р а кте р а ко нкр е тно й за да чи р е ш е ни е ур а вне ни я (1) пр о во дяти ли в ве кто р но й фо р ме , и ли в ко о р ди на та х , и ли в пр о е кци ях на ка са те льную и но р ма льк тр а е кто р и и в да нно й то чке . За пи сыва я о б е ча сти ур а вне ни я (1) в пр о е кци ях на о си OX, OY, OZ, по лучи м тр и ди ффе р е нци а льных ур а вне ни я:

5 m

dv y dvx dv = Fx , m = Fy , m z = Fz , dt dt dt

(2)

где Fx, Fy и Fz – пр о е кци и ве кто р а F на о си OX, OY и OZ. Не о б х о ди мо по мни ть, что эти пр о е кци и – ве ли чи ны а лге б р а и че ски е : в за ви си мо сти о т о р и е нта ци и ве кто р а F о ни мо гут б ыть ка к по ло ж и те льными , та к и о тр и ца те льными . Зна к пр о е кци и си лы о пр е де ляе т и зна к пр о е кци и ве кто р а уско р е ни я. • За пи сыва я о б е ча сти (1) в пр о е кци ях на по дви ж ные (связа нные с дви ж уще йся то чко й) о р ты но р ма ли n и ка са те льно й τ к тр а е кто р и и , мо ж но по лучи ть m

v2 dv = Fτ , m = Fn , dt R

(3)

где Fτ и Fn – пр о е кци и ве кто р а F на о р ты τ и n, R – р а ди ус кр и ви зны тр а е кто р и и . Ур а вне ни е (3) удо б но и спо льзо ва ть, е сли за р а не е и зве стна тр а е кто р и я ма те р и а льно й то чки . • Ур а вне ни е ди на ми ки то чки в не и не р ци а льно й Σ'-си сте ме о тсче та , ко то р а я вр а ща е тся с по сто янно й угло во й ско р о стью ω во кр уг не по дви ж но й о си : ma' = F + mω2R + 2m[v', ω],

(4)

где R — р а ди ус-ве кто р то чки о тно си те льно о си вр а ще ни я Σ'-си сте мы. ======================================================= П рим еры решения зад ач 1. Не б о льш о й б р усо к ма ссыm ско льзи твни з по на кло нно й пло ско сти , со ста вляю ще й уго л α с го р и зо нто м. Ко эффи ци е нттр е ни я р а ве н k. На йти уско р е ни е б р уска о тно си те льно пло ско сти . Решение. Пр е ж де все го сле дуе т и зо б р а зи ть си лы, де йствую щи е на б р усо к. Э то (см. р и с. 1) си ла тяж е сти mg, но р ма льна я си ла р е а кци и R со сто р о ны пло ско сти и си ла Fтр , на пр а вле нна я в сто р о ну, пр о ти во по ло ж ную дви ж е ни ю б р уска . По сле это го свяж е м с си сте мо й о тсче та "на кло нна я пло ско сть" си сте му ко о р ди на т XOY. В о о б ще го во р я, си сте му ко о р ди на т Ри с. 1 мо ж но о р и е нти р о ва тька к уго дно , о дна ко во мно ги х случа ях выб о р на пр а вле ни я о се й ди ктуе тся х а р а кте р о м дви ж е ни я. Т о гда за да ча све де тся к р е ш е ни ю то лько о дно го и з ур а вне ни й

6 (2). Ита к, выб е р е м о сь OX, ка к по ка за но на р и с. 1, о б яза те льно ука за в стр е лко й е е по ло ж и те льно е на пр а вле ни е . И то лько те пе р ь, о пи р а ясь на (2), пр и ступи м к со ста вле ни ю ур а вне ни й: сле ва – пр о и зве де ни е ма ссы m б р уска на пр о е кци ю е го уско р е ни я ax, а спр а ва – сумма пр о е кци й все х си л на о сьOX. Т о гда max = mgx + Rx + Fтр x. В да нно м случа е gx = g sin α, Rx = 0 и Fтр x = –Fтр , по это му max = mg sin α – Fтр . Т а к ка к б р усо к дви ж е тся то лько вдо ль о си OX, то это о зна ча е т, со гла сно вто р о му за ко ну Нью то на , что сумма пр о е кци й все х си л на лю б о е на пр а вле ни е пе р пе нди куляр но е о си OX р а вна нулю . В зяв в ка че стве та ко го на пр а вле ни я о сьOY (р и с. 1), по лучи м R = mg cos α. А по ско льку Fтр = kR, то в р е зульта те по луча е м: max = mg sin α – kmg cos α , и , о ко нча те льно , ax = g sin α – kg cos α ,

(5)

Если пр а ва я ча сть выр а ж е ни я (5) о ка ж е тся по ло ж и те льно й в р е зульта те ко нкр е тных вычи сле ни й, то это о зна ча е т, что ax > 0, и ве кто р a на пр а вле н вни з по на кло нно й пло ско сти . 2. Не б о льш о е те ло А со ска льзыва е тс ве р ш и ныгла дко й сфе р ыр а ди уса r. На йти ско р о стьте ла в мо ме нто тр ыва о тпо ве р х но сти сфе р ы, е сли е го на ча льна я ско р о стьпр е не б р е ж и мо ма ла . Решение. На те ло де йствую т си ла тяж е сти mg и но р ма льна я си ла р е а кци и о по р ы R. Изо б р а зи м эти си лы (р и с. 2) и на о сно ва ни и (3) за пи ш е м m

dv = mg sin ϑ , dt

v2 Ри с. 2 m = mg cos ϑ − R . r Зде сьи нде кс τ не суще стве не н, по это му мые го о пусти ли . Пр е о б р а зуе м пе р во е и з ур а вне ни й к ви ду, удо б но му для и нте гр и р о ва ни я. В о спо льзо ва вш и сь те м, что dt = dl/v = rdϑ/v , где dl – эле ме нта р ный путьте ла А за пр о ме ж уто к вр е ме ни dt, пе р е пи ш е м пе р во е ур а вне ни е в ви де

7 vdv = gr sinϑ dϑ . Пр о и нте гр и р о ва в ле вую ча стьэто го выр а ж е ни я о т0 до v, а пр а вую о т 0 до ϑ, на йде м v2 = 2gr(1 – cosϑ) . В мо ме нт о тр ыва R = 0, по это му вто р о е пр и ни ма е тви д

и сх о дно е

ур а вне ни е

v2 = gr cosϑ . где v и ϑ со о тве тствую т то чке о тр ыва . Исклю чи в cos ϑ и з по сле дни х двух р а ве нств, по лучи м v = 2 gr / 3 . 3. Б р усо к ма ссы m1 на х о ди тся на до ске ма ссы m2, ко то р а я ле ж и т на гла дко й го р и зо нта льно й пло ско сти (р и с. 3). Ко эффи ци е нттр е ни я ме ж ду б р уско м и до ско й р а ве н k. К до ске пр и ло ж и ли го р и зо нта льную си лу F, мо дуль ко то р о й за ви си т о т вр е ме ни по за ко ну F = αt, где α — по сто янна я. На йти : 1) мо ме нт вр е ме ни t0, ко гда до ска на чне т выска льзыва ть и з-по д б р уска ; 2) уско р е ни я б р уска a1 и до ски a2 в пр о це ссе дви ж е ни я. Р ешение. 1. За пи ш е м о сно вно е ур а вне ни е ди на ми ки для б р уска и до ски , взяв по ло ж и те льно е на пр а вле ни е о си О X, ка к по ка за но на р и с. 3:

Ри с. 3 m1a1 = FТ Р, m2a2 = F – FТ Р . (6) По ме р е во зр а ста ни я си лы F б уде тр а сти и си ла тр е ни я FТ Р (вна ча ле о на являе тся си ло й тр е ни я по ко я). Но FТ Р и ме е тпр е де л FТ Р М А КС = km1g. По ка это т пр е де л не до сти гнут, о б а те ла б удут дви га ться ка к о дно це ло е с о ди на ко выми уско р е ни ями . Ко гда ж е си ла F до сти гне т пр е де ла , до ска на чне твыска льзыва тьи з-по д б р уска , т. е . a2 ≥ a1. По дста ви в сю да выр а ж е ни я для a1 и a2 и з (6) с уче то м то го , что FТ Р = = km1g, по лучи м (αt – km1g)/m2 ≥ kg, где зна к р а ве нства со о тве тствуе тмо ме нту t = t0. О тсю да t0 = (m1 + m2)kg/α. 2. Если t ≤ t0, то a1 = a2 = αt/(m1 + m2); е сли ж е t ≥ t0, то a1 = kg = const, a2 = (αt – km1g)/m2.

8

Ри с. 4

Ри с. 5

Гр а фи ки за ви си мо сте й a1 и a2 о тt по ка за нына р и с. 4. 4. В уста но вке (р и с. 5) на кло нна я пло ско стьсо ста вляе туго л α = 30° с го р и зо нто м. О тно ш е ни е ма сс те л m1/m2 = η = 2/3. Ко эффи ци е нт тр е ни я ме ж ду те ло м m2 и пло ско стью k = 0,10. М а ссы б ло ка и ни ти пр е не б р е ж и мо ма лы. На йти мо дуль и на пр а вле ни е уско р е ни я те ла m1, е сли си сте ма пр и ш ла в дви ж е ни е и з со сто яни я по ко я. Решение. Зде сь ср а зу ж е во зни ка е т во пр о с, связа нный с на пр а вле ни е м си лы тр е ни я, де йствую ще й на те ло m2. Б е з о тве та на это т во пр о с не льзя за пи са ть о сно вно е ур а вне ни е ди на ми ки для те ла m2 в пр о е кци ях и за да ча ста но ви тся не о пр е де ле нно й. Б уде м р а ссуж да ть та к: в о тсутстви е си лы тр е ни я те ло на ча ло б ы ско льзи ть по на кло нно й пло ско сти , до пусти м, вве р х . Я сно , что “вклю че ни е ” си лы тр е ни я не мо ж е ти зме ни ть на пр а вле ни я дви ж е ни я, а то лько уме ньш и туско р е ни е . Т а ки м о б р а зо м, на пр а вле ни е си лы тр е ни я, де йствую ще й на те ло m2, б уде т о пр е де ле но , е сли на йти на пр а вле ни е уско р е ни я это го те ла в о тсутстви е тр е ни я (k = 0). С это го мыи на чне м. За пи ш е м о сно вно е ур а вне ни е ди на ми ки для о б о и х те л в пр о е кци ях , взяв по ло ж и те льные на пр а вле ни я о се й Х 1 и Х 2, ка к по ка за но на р и с. 5: m1 ax = m1 g – Т,

m2 ax = T – m2 g sin α,

где Т – си ла на тяж е ни я ни ти . Сло ж и в по чле нно ле вые и пр а вые ча сти эти х ур а вне ни й, по лучи м ax =

η − sin α g η +1

По дста ви в в это выр а ж е ни е η = 2/3 и α = 30° , на йде м ax > 0, т. е . те ло m2 на чне тдви га ться вве р х по на кло нно й пло ско сти . Сле до ва те льно , си ла тр е ни я, де йствую ща я на это те ло , на пр а вле на в пр о ти во по ло ж ную сто р о ну. С уче то м это го о б сто яте льства сно ва за пи ш е м ур а вне ни я дви ж е ни я: m1 a'x = m1 g – Т', m2 a'x = T ' – km2 g sin α, о ткуда

9 a 'x =

η − sin α − k cos α g = 0, 05 g . η +1

5. Ч е р е з б ло к (р и с. 6) пе р е ки нута не р а стяж и ма я ни ть, на ко нца х ко то р о й ви сятгр узы 1 и 2 ма сса ми m1 и m2 со о тве тстве нно . Б ло к на ча ли по дни ма ть вве р х с уско р е ни е м a0 о тно си те льно по ве р х но сти зе мли . По ла га я, что ни ть ско льзи т по б ло ку б е з тр е ни я, на йти уско р е ни е а 1 гр уза 1 о тно си те льно по ве р х но сти зе мли . Решение. В ыб е р е м по ло ж и те льно е на пр а вле ни е о си Х вве р х и за пи ш е м для о б о и х гр узо в о сно вно е ур а вне ни е ди на ми ки в пр о е кци ях на эту о сь: m1 a1x = T – m1 g, m2 a2x = T – m2 g,

(7)

Э ти ур а вне ни я со де р ж а т тр и не и зве стных : a1x, a2x и Т. Д ля со ста вле ни я тр е тье го ур а вне ни я во спо льзуе мся ки не ма ти че ско й связью ме ж ду уско р е ни ями : a1 = a0 + a', a2 = a0 – a', где а' — уско р е ни е гр уза 1 о тно си те льно б ло ка . Сло ж и в по чле нно ле вые и пр а вые ча сти эти х р а ве нств, по лучи м a1 + a2 = 2a0 , и ли в пр о е кци ях на о сьХ a1x + a2x = 2a0.

(8)

Ри с. 6

Ре ш и в со вме стно ур а вне ни я (7) и (8), на йде м a1x =

2m2 a0 + ( m2 − m1 ) g m1 + m2

О тсю да ви дно , что пр и за да нно м a0 зна к a1x за ви си то тсо о тно ш е ни я ма сс m1 и m2. 6. А вто ма ш и на дви ж е тся с по сто янным та нге нци а льным уско р е ни е м aτ по го р и зо нта льно й по ве р х но сти , о пи сыва я о кр уж но сть р а ди уса R. Ко эффи ци е нттр е ни я ме ж ду ко ле са ми ма ш и ны и по ве р х но стью р а ве н k. Ка ко й путь s пр о йде тма ш и на б е з ско льж е ни я, е сли на ча льна я ско р о сть е е б ыла р а вна нулю ? Р ешение. По ме р е уве ли че ни я ско р о сти б уде тр а сти ка к но р ма льно е , та к и по лно е уско р е ни е ма ш и ны. Д ви ж е ни е б уде т пр о и сх о ди ть б е з ско льж е ни я, по ка не о б х о ди мо е по лно е уско р е ни е б уде то б е спе чи ва ться си ло й тр е ни я. М а кси ма льно во змо ж но е зна че ни е это й си лыFМ А КС = kmg,

10 где m – ма сса ма ш и ны. По это му ма кси ма льно е зна че ни е по лно го уско р е ни я (со гла сно о сно вно му ур а вне ни ю ди на ми ки ma = F) aМ

А КС

= kg.

(9)

С др уго й сто р о ны, aМ

А КС

(

= aτ2 + v 2 R

)

2

,

(10)

где v – ско р о сть ма ш и ны в мо ме нт, ко гда е е уско р е ни е ста не т ма кси ма льно во змо ж ным. Э та ско р о сть и и ско мый путь s связа ны фо р муло й v2 = 2aτ s.

(11)

В ыр а зи в v и з (9) и (10) и по дста ви в в (11), по лучи м 2

R  kg  s=   −1 . 2  aτ  Не тр удно ви де ть, что р е ш е ни е и ме е тсмысл пр и aτ < kg. ======================================================= Зад ачи д ля решения 7. На йти мо дуль и на пр а вле ни е си лы, де йствую ще й на ча сти цу ма ссы т пр и е е дви ж е ни и в пло ско сти х у по за ко ну x = A sin ωt, y = B cos ωt. 8. Ч а сти ца дви ж е тся вдо ль о си Х по за ко ну х = αt2 – βt3, где α и β — по ло ж и те льные по сто янные . В мо ме нт (t = 0 си ла , де йствую ща я на ча сти цу, р а вна F0. На йти зна че ни я Fx си лы в то чка х по во р о та и в мо ме нт, ко гда Ч а сти ца о пятьо ка ж е тся в то чке х = 0. 9. На гла дкую го р и зо нта льную пло ско сть по ме ще ны тр и ма ссы m1, m2 и m3, связа нные ни тями ме ж ду со б о й и с ма ссо й M, пр и вяза нно й к ни ти , пе р е ки нуто й че р е з б ло к (р и с. 7). На йти уско р е ни е а си сте мы и на тяж е ни е все х ни те й. Т р е ни е м те л о пло ско сть и тр е ни е м в б ло ке , а та кж е ма сса ми б ло ка и ни ти пр е не б р е чь.

Ри с. 7

10. По на кло нно й пло ско сти с угло м на кло на α ско льзи т те ло . Си ла тр е ни я ме ж ду те ло м и пло ско стью пр о по р ци о на льна си ле но р ма льно го да вле ни я те ла на пло ско стьи не за ви си то тско р о сти те ла . Ко эффи ци е нт

11 тр е ни я ме ж ду тр ущи ми ся по ве р х но стями те ла и пло ско сти р а ве н k. На йти уско р е ни е a, с ко то р ым ско льзи тте ло . 11. Д ва о ди на ко вых те ла связа ны ни тью и ле ж а тна и де а льно гла дко м го р и зо нта льно м сто ле , та к что ни ть пр е дста вляе т со б о й пр ямую ли ни ю (р и с. 8). Ни ть мо ж е т выде р ж и ва ть Ри с. 8 на тяж е ни е с си ло й не б о ле е 20 Н. Ка кую го р и зо нта льную си лу F сле дуе т пр и ло ж и ть к о дно му и з те л, что б ыни тьо б о р ва ла сь? 12. Изме ни тся ли си ла , не о б х о ди ма я для р а зр ыва ни ти в усло ви ях пр е дыдуще й за да чи , е сли ме ж ду те ла ми и сто ло м е сть тр е ни е и ко эффи ци е нттр е ни я о ди на ко в для о б о и х те л? 13. На го р и зо нта льно й до ске ле ж и тгр уз. Ко эффи ци е нттр е ни я ме ж ду до ско й и гр узо м 0,1. Ка ко е уско р е ни е в го р и зо нта льно м на пр а вле ни и сле дуе тсо о б щи тьдо ске , что б ыгр уз мо г с не е со ско льзнуть? 14. На сто ле ле ж и т до ска ма ссы M = 1 кг, а на до ске – гр уз ма ссы m = 2 кг. Ка кую си лу F нуж но пр и ло ж и ть к до ске , что б ы до ска выско льзнула и з-по д гр уза ? Ко эффи ци е нт тр е ни я ме ж ду гр узо м и до ско й 0,25, а ме ж ду до ско й и сто ло м 0,5. 15. Пр о сте йш ую ма ш и ну А твуда , служ а щую для пр о ве р ки за ко но в р а вно уско р е нно го дви ж е ни я, мо ж но сх е ма ти че ски пр е дста ви ть та к: на ни ти , пе р е ки нуто й че р е з б ло к A, по две ш е ны две не р а вные ма ссы, m1 и т 2 (р и с. 9). На йти уско р е ни е ма сс, на тяж е ни е ни ти Т и си лу f де йствую щую на о сь б ло ка это й ма ш и ны. Б ло к и ни ть счи та ть не ве со мыми , тр е ни я в о си б ло ка не учи тыва ть.

Ри с. 9

Ри с. 10

12 16. В о здуш ный ш а р ма ссы М о пуска е тся с по сто янно й ско р о стью . Ка ко е ко ли че ство б а лла ста ∆M на до выб р о си ть, что б ы ш а р на ча л по дни ма ться с то й ж е ско р о стью ? По дъ е мную си лу Р ш а р а счи та ть по сто янно й. 17. На йти уско р е ни я a1 и a2 ма сс m1 и m2 и на тяж е ни е ни ти T в си сте ме , и зо б р а ж е нно й на р и с. 10. М а ссо й б ло ко в и ни те й пр е не б р е чь. 18. На ве р х не м кр а ю и де а льно гла дко й на кло нно й пло ско сти укр е пле н б ло к, че р е з ко то р ый пе р е ки нута ни ть (р и с. 11). На о дно м е е ко нце пр и вяза н гр уз с ма ссо й m1, ле ж а щи й на на кло нно й пло ско сти . На др уго м ко нце ви си тгр уз с ма ссо й m2. С ка ки м уско р е ни е м а дви ж утся гр узы и ка ко во на тяж е ни е Т ни ти ? На кло нна я пло ско стьо б р а зуе тс го р и зо нто м уго л α.

Ри с. 11

19. На гла дко й го р и зо нта льно й по ве р х но сти на х о дятся два б р уска ма сс т 1 и т 2, ко то р ые со е ди не ны ни тью . К б р уска м в мо ме нт t = 0 пр и ло ж и ли си лы, пр о ти во по ло ж но на пр а вле нные и за ви сящи е о т вр е ме ни ка к F1 = a1t и F2 = a2t. На йти , че р е з ско лько вр е ме ни ни ть по р ве тся, е сли си ла на тяж е ни я на р а зр ыв р а вна Fпр . 20. А эр о ста т ма ссы m = 250 кг на ча л о пуска ться с уско р е ни е м а = 0,20 м/с2. О пр е де ли ть ма ссу б а лла ста , ко то р ый сле дуе т сб р о си ть за б о р т, что б ы а эр о ста т по лучи л та ко е ж е уско р е ни е , но на пр а вле нно е вве р х . 21. В уста но вке (р и с. 12) ма ссы те л р а вны т 0, т 1 и т 2, ма ссы б ло ка и ни те й пр е не б р е ж и мо ма лы и тр е ни я в б ло ке не т. На йти уско р е ни е a, с ко то р ым о пуска е тся те ло т 0, и си лу на тяж е ни я ни ти , связыва ю ще й те ла т 1 и т 2, е сли ко эффи ци е нттр е ни я р а ве н k.

Ри с. 12

Ри с. 13

Ри с. 14

22. На на кло нную пло ско сть, со ста вляю щую уго л α с го р и зо нто м, по ме сти ли два б р уска 1 и 2 (р и с. 13). М а ссы б р уско в m1 и m2, ко эффи ци е нт тр е ни я ме ж ду пло ско стью и эти ми б р уска ми k1 и k2, пр и че м k1 > k2. На йти : а ) си лу вза и мо де йстви я ме ж ду б р уска ми пр и дви ж е ни и ;

13 б ) уго л α, пр и ко то р о м ско льж е ни я не б уде т. 23. Не б о льш о е те ло пусти ли вве р х по на кло нно й пло ско сти , со ста вляю ще й уго л α = 15° с го р и зо нто м. На йти ко эффи ци е нт тр е ни я, е сли вр е мя по дъ е ма те ла о ка за ло сь в η = 2,0 р а за ме ньш е вр е ме ни спуска . 24. Ш а йб у по ме сти ли на на кло нную пло ско сть, со ста вляю щую уго л α = 10° с го р и зо нто м. Если ш а йб е со о б щи ть не ко то р ую на ча льную ско р о стьвве р х по пло ско сти , то о на до о ста но вки пр о х о ди тпутьs1; е сли ж е со о б щи тьту ж е на ча льную ско р о стьвни з, то путьдо о ста но вки р а ве н s2. На йти ко эффи ци е нттр е ни я, зна я, что s2/ s1 = η = 4,0. 25. В уста но вке (р и с. 14) и зве стны уго л α и ко эффи ци е нт тр е ни я k ме ж ду те ло м m1 и на кло нно й пло ско стью . М а ссы б ло ка и ни ти пр е не б р е ж и мо ма лы, тр е ни я в б ло ке не т. В на ча ле о б а те ла не по дви ж ны. На йти о тно ш е ни е ма сс m2/ m1 пр и ко то р о м те ло m2 на чне та ) о пуска ться; б ) по дни ма ться. 26. На кло нна я пло ско сть (см. р и с. 14) со ста вляе т уго л α = 30° с го р и зо нто м. О тно ш е ни е ма сс те л m2/ m1 = η = 2/3. Ко эффи ци е нттр е ни я ме ж ду те ло м m1 и пло ско стью k = 0,10. М а ссы б ло ка и ни ти пр е не б р е ж и мо ма лы. На йти мо дуль и на пр а вле ни е уско р е ни я те ла m2, е сли си сте ма пр и ш ла в дви ж е ни е и з со сто яни я по ко я. 27. На гла дко й го р и зо нта льно й пло ско сти ле ж и тдо ска ма ссы m1 и на не й б р усо к ма ссы m2 К б р уску пр и ло ж и ли го р и зо нта льную си лу, уве ли чи ва ю щую ся со вр е ме не м t по за ко ну F = αt, где α — по сто янна я. На йти за ви си мо сти о т t уско р е ни й до ски a1 и б р уска a2, е сли ко эффи ци е нт тр е ни я ме ж ду до ско й и б р уско м р а ве н k. Изо б р а зи ть пр и ме р ные гр а фи ки эти х за ви си мо сте й. 28. На го р и зо нта льно й пло ско сти на х о дятся два те ла : б р усо к и эле ктр о мо то р с б а та р е йко й на по дста вке . На о сь эле ктр о мо то р а на мо та на ни ть, сво б о дный ко не ц ко то р о й со е ди не н с б р уско м. Ра ссто яни е ме ж ду о б о и ми те ла ми р а вно l, ко эффи ци е нт тр е ни я ме ж ду те ла ми и пло ско стью k. По сле вклю че ни я мо то р а б р усо к, ма сса ко то р о го вдво е б о льш е ма ссы др уго го те ла , на ча л дви га ться с по сто янным уско р е ни е м а . Ч е р е з ско лько вр е ме ни о б а те ла сто лкнутся? 29. Не б о льш о е те ло m на чи на е т ско льзи ть по на кло нно й пло ско сти и з то чки , р а спо ло ж е нно й на д ве р ти ка льным упо р о м А (р и с. 15). Ко эффи ци е нт тр е ни я ме ж ду те ло м и на кло нно й пло ско стью k = 0,140. Пр и ка ко м зна че ни и угла α вр е мя со ска льзыва ни я б уде т на и ме ньш и м?

Ри с. 15

14 30. Ш а йб у по ло ж и ли на на кло нную пло ско сть и со о б щи ли на пр а вле нную вве р х на ча льную ско р о сть v0. Ко эффи ци е нт тр е ни я ме ж ду ш а йб о й и пло ско стью р а ве н k. Пр и ка ко м зна че ни и угла на кло на α ш а йб а пр о йде твве р х по пло ско сти на и ме ньш е е р а ссто яни е ? Ч е му о но р а вно ? 31. Б р усо к ма ссыm тянутза ни тьта к, что о н дви ж е тся с по сто янно й ско р о стью по го р и зо нта льно й пло ско сти с ко эффи ци е нто м тр е ни я k (р и с. 16). На йти уго л α, пр и ко то р о м на тяж е ни е ни ти ми ни ма льно . Ч е му о но р а вно ? Ри с. 16 32. Ни ть пе р е ки нута че р е з ле гки й вр а ща ю щи йся б е з тр е ни я б ло к. На о дно м ко нце ни ти пр и кр е пле н гр уз ма ссы М , а по др уго й сви са ю ще й ча сти ни ти ско льзи т муфто чка ма ссы m с по сто янным уско р е ни е м a' о тно си те льно ни ти . На йти си лу тр е ни я, с ко то р о й ни ть де йствуе т на муфто чку. 33. Ч е р е з б ло к, пр и кр е пле нный к по то лку ка б и ны ли фта , пе р е ки нута ни ть, к ко нца м ко то р о й пр и вяза ны гр узы ма сс m1 и m2. Ка б и на на чи на е т по дни ма ться с уско р е ни е м a0. Пр е не б р е га я ма ссо й б ло ка , на йти : а ) уско р е ни е гр уза m1 о тно си те льно ка б и ны; б ) си лу, с ко то р о й б ло к де йствуе тна по то ло к ка б и ны. 2. Зако ны со хранения им пульса, энергии и м о м ент а им пульса • Ур а вне ни е дви ж е ни я це нтр а ма сс си сте мы: m

dvC = FВ НЕШ , dt

(12)

где FВ НЕШ — р е зульти р ую ща я все х вне ш ни х си л. • Пр и р а ще ни е и мпульса си сте мы: 2

p1 − p 2 = ∫ FВ НЕШ dt ,

(13)

1

• Ур а вне ни е ди на ми ки те ла пе р е ме нно й ма ссы: m

dv dm =F+ u, dt dt

где u — ско р о сть о тде ляе мо го о тно си те льно р а ссма тр и ва е мо го те ла .

(пр и со е ди няе мо го )

(14) ве ще ства

• Ра б о та и мо щно стьси лы: A = ∫ Fdr = ∫ Fs ds , P = Fv ,

(15)

15 где dr — эле ме нта р но е пе р е ме ще ни е т очки п рилож ения си лыF. • Пр и р а ще ни е ки не ти че ско й эне р ги и ча сти цы: K 2 − K1 = A ,

(16)

где А — р а б о та все х си л, де йствую щи х на ча сти цу. • Уб ыльпо те нци а льно й эне р ги и ча сти цыв по ле : U1 − U 2 = A , где А

СП,

(17)

— р а б о та си лыпо ля (сп).

• Связьме ж ду си ло й и по те нци а льно й эне р ги е й ча сти цыв по ле : Fl = −∂U / ∂l , F = −∇U ,

(18)

• Пр и р а ще ни е по лно й ме х а ни че ско й эне р ги и ча сти цыв по ле : E2 − E1 = AСТ О Р ,

(19)

где AСТ О Р — р а б о та р е зульти р ую ще й все х сто р о нни х си л, т.е . си л, не пр и на дле ж а щи х к си ла м да нно го по ля. • Пр и р а ще ни е со б стве нно й ме х а ни че ско й эне р ги и си сте мы: ИС EСОБ 2 − EСО Б 1 = AВ НЕШ + AВД НУТ Р,

(20)

где EСО Б = K + U СО Б , UСО Б — со б стве нна я по те нци а льна я эне р ги я си сте мы; ИС А В НЕШ — р а б о та все х вне ш ни х си л; AВД НУТ Р — р а б о та все х внутр е нни х ди сси па ти вных си л (си л тр е ни я и со пр о ти вле ни я).

• Пр и р а ще ни е по лно й ме х а ни че ско й эне р ги и си сте мыв по ле : ОР ИС E2 − E1 = AВСТНЕШ + AВД НУТ Р,

(21)

где Е = ЕСО Б + UВ НЕШ — по те нци а льна я эне р ги я си сте мы во вне ш не м по ле ; ОР AВСТНЕШ — р а б о та вне ш ни х сто р о нни х си л, т.е . си л, не пр и на дле ж а щи х к си ла м да нно го по ля.

• Ки не ти че ска я эне р ги я си сте мы: K = K% + mvC2 / 2 ,

(22)

где K% — е е ки не ти че ска я эне р ги я в си сте ме це нтр а ма сс. • Пр и р а ще ни е мо ме нта и мпульса си сте мы: 2

M 2 − M1 = ∫ N В НЕШ dt , 1

(23)

16 • М о ме нти мпульса си сте мы: % + [r p ] , M=M C

(24)

% — е е мо ме нт и мпульса в си сте ме це нтр а ма сс (со б стве нный где M мо ме нт и мпульса ), rC — р а ди ус-ве кто р це нтр а ма сс, р — и мпульс си сте мы.

======================================================= П рим еры решения зад ач 34. На по ве р х но сти о зе р а по ко и тся узки й пло тма ссы m1 с че ло ве ко м ма ссы m2. Ч е ло ве к со ве р ш и л пе р е ме ще ни е ∆r' о тно си те льно пло та и за те м о ста но ви лся. Со пр о ти вле ни е во ды пр е не б р е ж и мо ма ло . На йти пе р е ме ще ни е пло та о тно си те льно б е р е га . Решение. В да нно м случа е р е зульти р ую ща я все х вне ш ни х си л, де йствую щи х на си сте му че ло ве к-пло т, р а вна нулю , а по это му и мпульс это й си сте мы ме няться не б уде т, о ста ва ясь р а вным нулю в пр о це ссе дви ж е ни я: m1v1 + m2v2 = 0, где v1 и v2 – ско р о сти пло та и че ло ве ка о тно си те льно б е р е га . Но ско р о сть че ло ве ка о тно си те льно б е р е га мо ж но пр е дста ви ть в ви де v1 = v2 + v', где v' – ско р о сть че ло ве ка о тно си те льно пло та . Исклю чи в v1 и з эти х двух ур а вне ни й, по лучи м v2 = −

m1 v'. m1 + m2

Умно ж и в о б е ча сти на dt, на йде м связь ме ж ду эле ме нта р ными пе р е ме ще ни ями пло та dr2 и че ло ве ка dr' о тно си те льно пло та . Т а ка я ж е связьи ме е тме сто и для ко не чных пе р е ме ще ни й: ∆r2 = −

m1 ∆r ' . m1 + m2

О тсю да ви дно , что пе р е ме ще ни е пло та ∆r2 не за ви си т о т х а р а кте р а дви ж е ни я че ло ве ка , т. е . не за ви си то тза ко на v'(t). Дру гой с п ос об реш ения. За да чу мо ж но та кж е р е ш и ть, во спо льзо ва вш и сь по няти е м це нтр а ма сс. Т а к ка к р е зульти р ую ща я все х вне ш ни х си л р а вна нулю , то по ло ж е ни е це нтр а ма сс си сте мыв пр о це ссе дви ж е ни я че ло ве ка и пло та ме няться не б уде т, т. е . m1r1 + m2r2 = const, где r1 и r2 – р а ди усы-ве кто р ы, х а р а кте р и зую щи е по ло ж е ни я це нтр о в ма сс че ло ве ка и пло та о тно си те льно не ко то р о й то чки б е р е га . Из это го р а ве нства на йде м связьме ж ду пр и р а ще ни ями ве кто р о в ∆r1 и ∆r2 :

17 m1∆r1 + m2∆r2 = 0. Име я в ви ду, что пр и р а ще ни я ∆r1 и ∆r2 пр е дста вляю т со б о й пе р е ме ще ни я че ло ве ка и пло та о тно си те льно б е р е га , пр и че м ∆r1 = ∆r2 + ∆r', на йде м пе р е ме ще ни е пло та : ∆r2 = −

m1 ∆r ' . m1 + m2

35. Д ве те ле ж ки , ка ж да я ма ссы М , дви ж утся др уг за др уго м по и не р ци и (б е з тр е ни я) с о ди на ко во й ско р о стью v0. На за дне й те ле ж ке на х о ди тся че ло ве к ма ссы m. В не ко то р ый мо ме нт че ло ве к пр ыгнул в пе р е дню ю те ле ж ку со ско р о стью u о тно си те льно сво е й те ле ж ки . Ка ко й ста ла ско р о стьпе р е дне й те ле ж ки ? Решение. Импульс все й си сте мы в р е зульта те то го , что че ло ве к пе р е пр ыгнул и з за дне й те ле ж ки 2 в пе р е дню ю 1, не и зме ни тся, по это му (2М + m)v0 = Mv'2 + (М + m)v'1, где v'1 и v'2 — ко не чные ско р о сти те ле ж е к. А на ло ги чно за пи ш е м б а ла нс и мпульсо в для за дне й те ле ж ки с че ло ве ко м (до и по сле пе р е пр ыги ва ни я): (М + m)v0 = Mv'2 + m (v'2 + u), где (v'2 + u) – ско р о сть спр ыгнувш е го че ло ве ка о тно си те льно по ло тна до р о ги . Из эти х двух ур а вне ни й сле дуе т, что v'1 = v 0 +

mM (m + M )2

u.

36. На кр а ю по ко яще йся те ле ж ки ма ссыМ сто ятдва че ло ве ка , ка ж дый ма ссы m. Пр е не б р е га я тр е ни е м, на йти ско р о сть те ле ж ки по сле то го , ка к о б а че ло ве ка спр ыгнут с о дно й и то й ж е го р и зо нта льно й ско р о стью u о тно си те льно те ле ж ки : 1) о дно вр е ме нно ; 2) др уг за др уго м. В ка ко м случа е ско р о стьте ле ж ки б уде тб о льш е и во ско лько р а з? Решение. 1. Со гла сно за ко ну со х р а не ни я и мпульса , Mv' + 2m(v' + u) = 0, где v' – ско р о сть те ле ж ки , (v' + u) – ско р о сть че ло ве ка (о б е ско р о сти о тно си те льно по ло тна до р о ги ). О тсю да v' = −

2m u M + 2m

2. В это м случа е не о б х о ди мо за пи са тьдва ур а вне ни я. Ко гда спр ыгнул о ди н че ло ве к, то

18 (М + m)v' + m (v' + u) = 0, где v' – ско р о сть те ле ж ки с о ста вш и мся вто р ым че ло ве ко м. Ко гда ж е спр ыгнул др уго й че ло ве к, то (М + m)v' = Mv" + m (v" + u), где v" – ско р о стьпусто й те ле ж ки . Исклю чи в и з по сле дни х двух ур а вне ни й v', на йде м v" = −

(2 M + 3m)m u. ( M + m)( M + 2m)

О тно ш е ни е ско р о сти те ле ж ки v" в случа е 2) к ско р о сти v' в случа е 1) р а вно v" m =1+ > 1. 2( M + m) v' 37. На йти по те нци а л и на пр яж е нно сть гр а ви та ци о нно го по ля, со зда нно го о дно р о дным ш а р о м ма ссы М и р а ди уса R, в за ви си мо сти о т р а ссто яни я r до е го це нтр а . Р ешение. Сна ча ла о пр е де ли м по те нци а л по ля, со зда ва е мо го то нки м о дно р о дным сфе р и че ски м сло е м ве ще ства ма ссы m и р а ди уса a. Д ля это го на йде м по те нци а л dϕ в то чке Р (r > a), ко то р ый со зда е т эле ме нта р ный по яс dS да нно го сло я (р и с. 17, а ). Если ма сса это го по яса dm и е го то чки на х о дятся на р а ссто яни и х о т то чки P, то dϕ = –γdm/x. Учи тыва я, что dm = ½ m sinϑ dϑ, по луча е м

Ри с. 17 dϕ = −

γm sin ϑ dϑ . 2x

(25)

Д а ле е , и з те о р е мы ко си нусо в (для ∆О А Р ) сле дуе т, что х 2 = a2 + r2 – 2arcosϑ. В зяв ди ффе р е нци а л это го выр а ж е ни я, на йде м х dx = ar sinϑ dϑ.

(26)

19 Пр е о б р а зуе м (25) с по мо щью (26) к ви ду dϕ = ½ (γm/ar)dx и пр о и нте гр и р уе м это ур а вне ни е по все му сло ю . Т о гда r+a

γm γm . ϕ В НЕ = − dx = − ∫ r 2ar r − a

(27)

Т а ки м о б р а зо м, по те нци а л в то чке Р вне то нко го о дно р о дно го сфе р и че ско го сло я та ко в, ка к е сли б ы вся ма сса это го сло я б ыла со ср е до то че на в е го це нтр е . Если ж е то чка Р на х о ди тся внутр и сло я (r < a), то пр е дыдущи е р а сче ты о ста ю тся в си ле впло ть до и нте гр и р о ва ни я. Т е пе р ьпр е де лыи нте гр и р о ва ни я по х б удуто тa – r до a + r. В р е зульта те ϕВ НУТ РИ = –γm/a,

(28)

т. е . по те нци а л внутр и сло я не за ви си т о т по ло ж е ни я то чки Р , а сле до ва те льно , о н о ди на ко в во все х то чка х внутр и сло я. На пр яж е нно стьпо ля в то чке Р ∂ϕ  −γ m / r 2 , r ≥ R, Gr = − = ∂r  0 , r ≤ R. Гр а фи ки за ви си мо сте й ϕ(r) и G(r) для то нко го сфе р и че ско го сло я по ка за нына р и с. 17, б .

о дно р о дно го

О б о б щи м по луче нные р е зульта ты на о дно р о дный ш а р ма ссы М и р а ди уса R. Если то чка Р на х о ди тся вне ш а р а (r > R), то и з фо р мулы (27) сле дуе т ϕВ НЕ = –γM/r.

(29)

Если то чка Р на х о ди тся внутр и ш а р а (r < R), то по те нци а л в это й то чке ϕВ НУТ РИ = ϕ1 + ϕ2, где ϕ1 – по те нци а л о т ш а р а р а ди уса r, ϕ2 – по те нци а л о т сло я с р а ди уса ми о тr до R. Со гла сно (29), M ( r / R )3 M ϕ1 = −γ = −γ 3 r 2 . r R По те нци а л ϕ2, со зда ва е мый сло е м, о ди на ко в во все х то чка х внутр и это го сло я. Пр о ще все го ϕ2 вычи сли ть для то чки , на х о дяще йся в це нтр е сло я: R

ϕ 2 = −γ ∫ r

dM 3γ M 2 =− R − r2 , 3 r 2R

(

)

20 гдe dM = 3(M/R3)r2dr – ма сса то нко го сло я ме ж ду р а ди уса ми r и r + dr. В р е зульта те ϕВ НУТ РИ = ϕ1 + ϕ2 = –(γM/2R)(3 – r2/R2).

(30)

На пр яж е нно стьпо ля в то чке Р , ка к сле дуе ти з (29) и (30), 2 ∂ϕ −γ M / r , r ≥ R, = Gr = − ∂r −γ Mr / R3 , r ≤ R.

Гр а фи ки за ви си мо сте й ϕ(r) и G(r) для о дно р о дно го ш а р а р а ди уса R по ка за нына р и с. 18. Ри с. 18 38. По ка за ть, что ки не ти че ска я эне р ги я K2, ко то р ую не о б х о ди мо со о б щи ть те лу для уда ле ни я е го за пр е де лы зе мно го тяго те ни я, в два р а за пр е выш а е тки не ти че скую эне р ги ю K1, не о б х о ди мую для выве де ни я это го те ла на кр уго вую о р б и ту и скусстве нно го спутни ка Зе мли (вб ли зи е е по ве р х но сти ). Со пр о ти вле ни е м во здух а и вр а ще ни е м Зе мли пр е не б р е чь. Р ешение. На йде м ско р о сть v1 те ла , дви ж уще го ся по кр уго во й о р б и те . Со гла сно о сно вно му ур а вне ни ю ди на ми ки , mv12/R = mg, где m – ма сса те ла , R – р а ди ус о р б и ты, пр и б ли зи те льно р а вный р а ди усу Зе мли . О тсю да v1 = gR = 7,9 км/с. Э то пе р ва я ко сми че ска я ско р о сть. Д ля то го что б ы те ло мо гло пр е о до ле ть по ле тяго те ни я Зе мли , е му не о б х о ди мо со о б щи ть вто р ую ко сми че скую ско р о сть v2. Ее мо ж но на йти и з за ко на со х р а не ни я эне р ги и : ки не ти че ска я эне р ги я те ла вб ли зи по ве р х но сти Зе мли до лж на б ыть р а вна глуб и не по те нци а льно й ямы в это м ме сте . По сле дняя р а вна пр и р а ще ни ю по те нци а льно й эне р ги и те ла в по ле тяго те ни я Зе мли ме ж ду то чка ми r1 = R и r2 = ∞. Т а ки м о б р а зо м, mv22/2 = γmM/R, где М – ма сса Зе мли . О тсю да v2 = 2γ M / R = 2 gR = 11 км/с. Сле до ва те льно , v2 = v1 2 и K2 = 2K1. =======================================================

21 Зад ачи д ля решения 39. Ч а сти ца со ве р ш и ла пе р е ме ще ни е по не ко то р о й тр а е кто р и и в пло ско сти х у и з то чки 1 с р а ди усо м-ве кто р о м г1 = i + 2j в то чку 2 с р а ди усо м-ве кто р о м r2 = 2i – 3j. Пр и это м на не е де йство ва ли не ко то р ые си лы, о дна и з ко то р ых F = 3i + 4j. На йти р а б о ту, ко то р ую со ве р ш и ла си ла F. Зде сьг1, r2 и F — в СИ. 40. Л о ко мо ти в ма ссы m на чи на е т дви га ться со ста нци и та к, что е го ско р о сть ме няе тся по за ко ну v = α s , где α — по сто янна я, s — пр о йде нный путь. На йти сумма р ную р а б о ту все х си л, де йствую щи х на ло ко мо ти в, за пе р вые t се кунд по сле на ча ла дви ж е ни я. 41. Ки не ти че ска я эне р ги я ча сти цы, дви ж уще йся по о кр уж но сти р а ди уса R, за ви си т о т пр о йде нно го пути s по за ко ну K = αs, где α — по сто янна я. На йти мо дуль си лы, де йствую ще й на ча сти цу, в за ви си мо сти о тs. 42. Ч а сти цы ма ссы m по па да ю т в о б ла сть, где на ни х де йствуе т встр е чна я то р мо зяща я си ла . Глуб и на х пр о ни кно ве ни я ча сти ц в эту о б ла сть за ви си т о т и мпульса р ча сти ц ка к х = αp, где α — за да нна я по сто янна я. На йти за ви си мо стьмо дуля то р мо зяще й си лыо тх . 43. Не б о льш о е те ло ма ссы m ме дле нно вта щи ли на го р ку, де йствуя си ло й F, ко то р а я в ка ж до й то чке на пр а вле на по ка са те льно й к тр а е кто р и и . На йти р а б о ту это й си лы, е сли высо та го р ки h, дли на е е о сно ва ни я l и ко эффи ци е нттр е ни я k. 44. Б р усо к ма ссы m = 2,0 кг ме дле нно по дняли по ш е р о х о ва то й на кло нно й пло ско сти на высо ту h = 51 см пр и по мо щи ни ти , па р а лле льно й это й пло ско сти . Пр и это м со ве р ш и ли р а б о ту А = 16,0 Д ж . На высо те h ни ть о тпусти ли . На йти ско р о сть б р уска , до сти гш е го пе р во на ча льно го по ло ж е ни я. 45. Ш а йб а ма ссы m = 50 г со ска льзыва е тб е з на ча льно й ско р о сти по на кло нно й пло ско сти , со ста вляю ще й уго л α = 30° с го р и зо нто м, и , пр о йдя по го р и зо нта льно й пло ско сти р а ссто яни е l = 50 см, о ста на вли ва е тся. На йти р а б о ту си л тр е ни я на все м пути , счи та я всю ду ко эффи ци е нттр е ни я k = 0,15. 46. К не б о льш о му б р уску ма ссы m = 50 г, ле ж а ще му на го р и зо нта льно й пло ско сти , пр и ло ж и ли по сто янную го р и зо нта льную си лу F = 0,10 H. На йти р а б о ту си л тр е ни я за вр е мя дви ж е ни я б р уска , е сли ко эффи ци е нттр е ни я за ви си то тпр о йде нно го пути х ка к k = γх , где γ — по сто янна я. 47. Д ва б р уска ма сс m1 и m2, со е ди не нные не де фо р ми р о ва нно й пр уж и нко й, ле ж а т на го р и зо нта льно й пло ско сти . Ко эффи ци е нт тр е ни я ме ж ду б р уска ми и пло ско стью р а ве н k. Ка кую ми ни ма льную

22 по сто янную си лу нуж но пр и ло ж и ть в го р и зо нта льно м на пр а вле ни и к б р уску ма ссыm1, что б ыдр уго й б р усо к сдви нулся с ме ста ? 48. Пр яма я це по чка ма ссы m == 50 г и дли ны l = 52 см ле ж и т на гла дко й го р и зо нта льно й по лупло ско сти у е е гр а ни цы с др уго й го р и зо нта льно й по лупло ско стью , где ко эффи ци е нт тр е ни я k = 0,22. Це по чка р а спо ло ж е на пе р пе нди куляр но гр а ни це р а зде ла по лупло ско сте й. Ка кую р а б о ту не о б х о ди мо со ве р ш и ть, что б ы, де йствуя го р и зо нта льно й си ло й на ко не ц це по чки , на х о дящи йся у гр а ни цы р а зде ла , ме дле нно пе р е та щи тьвсю це по чку че р е з эту гр а ни цу? 49. Не б о льш а я ш а йб а А со ска льзыва е т без на ча льно й ско р о сти с ве р ш и ны гла дко й го р ки высо то й H, и ме ю ще й го р и зо нта льный тр а мпли н (р и с. 19). Пр и ка ко й высо те h тр а мпли на ш а йб а пр о ле ти т на и б о льш е е р а ссто яни е s? Ч е му о но р а вно ?

Ри с. 19

50. Не б о льш о е те ло А на чи на е т ско льзи ть с высо ты h по на кло нно му ж е ло б у, пе р е х о дяще му в по луо кр уж но сть р а ди уса h/2 (р и с. 20). Пр е не б р е га я тр е ни е м, на йти ско р о сть те ла в на и высш е й то чке е го тр а е кто р и и (по сле о тр ыва о т ж е ло б а ). Ри с. 20 51. Не б о льш о й ш а р и к на ни ти дви ж е тся по о кр уж но сти в ве р ти ка льно й пло ско сти . На йти ма ссу ш а р и ка , е сли ма кси ма льно е на тяж е ни е ни ти на ∆F = 2,35 Н б о льш е ми ни ма льно го .

Ри с. 21 Ри с. 22 52. Л е те вш а я го р и зо нта льно пуля ма ссы m по па ла в те ло ма ссы М , ко то р о е по две ш е но на двух о ди на ко вых ни тях дли ны l (р и с. 21), и

23 за стр яла в не м. В р е зульта те ни ти о ткло ни ли сьна уго л ϑ. Счи та я m «М , на йти : а ) ско р о стьпули пе р е д по па да ни е м в те ло ; б ) о тно си те льную до лю пе р во на ча льно й ки не ти че ско й эне р ги и пули , ко то р а я пе р е ш ла во внутр е нню ю эне р ги ю . 53. Не б о льш а я ш а йб а ма ссы m б е з на ча льно й ско р о сти со ска льзыва е т с гла дко й го р ки высо ты h и по па да е т на до ску ма ссы М , ле ж а щую у о сно ва ни я го р ки на гла дко й го р и зо нта льно й пло ско сти (р и с. 22). В сле дстви е тр е ни я ме ж ду ш а йб о й и до ско й ш а йб а то р мо зи тся и , на чи на я с не ко то р о го мо ме нта , дви ж е тся вме сте с до ско й ка к е ди но е це ло е . На йти сумма р ную р а б о ту си л тр е ни я в это м пр о це ссе . 54. На встр е чу др уг др угу ле тят два ш а р а с ма сса ми m1 и т 2. М е ж ду ш а р а ми пр о и сх о ди т не упр уги й уда р . Изве стно , что ки не ти че ска я эне р ги я о дно го ш а р а в 20 р а з б о льш е ки не ти че ско й эне р ги и др уго го . Пр и ка ки х усло ви ях ш а р ы по сле уда р а б удут дви га ться в сто р о ну дви ж е ни я ш а р а , о б ла да вш е го ме ньш е й эне р ги е й? 55. Д ви ж уща яся ча сти ца пр е те р пе ва е т упр уго е сто лкно ве ни е с по ко яще йся ча сти це й та ко й ж е ма ссы. Д о ка за ть, что по сле сто лкно ве ни я, е сли о но не б ыло ло б о вым, ча сти цы р а зле тятся по д пр ямым угло м др уг к др угу. Ка к б удут дви га ться ча сти цы по сле ло б о во го сто лкно ве ни я? 56. Пр и б о мб а р ди р о вке ге ли я α-ча сти ца ми с эне р ги е й 1 М эВ на йде но , что на ле та ю ща я ча сти ца о ткло ни ла сь на 60° по о тно ш е ни ю к пе р во на ча льно му на пр а вле ни ю по ле та . Счи та я уда р упр уги м, о пр е де ли тье е эне р ги ю и эне р ги ю ядр а о тда чи . 57. О пр е де ли ть до лю эне р ги и , те р яе мую ча сти це й ма ссы m1 пр и упр уго м сто лкно ве ни и е е с не по дви ж но й ча сти це й ма ссы m2, е сли по сле сто лкно ве ни я ча сти ца пр о до лж а е тдви га ться в пр е ж не м (ко гда т 1 > т 2) и ли пр ямо пр о ти во по ло ж но м (ко гда т 1 < т 2) на пр а вле ни ях . По ка за ть, что до ля те р яе мо й эне р ги и не за ви си то тто го , ка ка я ча сти ца дви ж е тся, а ка ка я по ко и тся. Пр и ка ко м со о тно ш е ни и ма сс т 1/т 2 по те р я эне р ги и ма кси ма льна ? Испо льзуя по луче нные р е зульта ты, о б ъ ясни ть, по че му в яде р ных р е а кто р а х для за ме дле ни я не йтр о но в и спо льзуе тся р а ссе яни е и х на ядр а х ле гки х (де йте р и й, угле р о д), а не тяж е лых а то мо в. 58. Опр е де ли ть до лю эне р ги и α, те р яе мую пр о то но м пр и упр уго м р а ссе яни и по д угло м 180° на пр о то не , де йтр о не , ядр е ге ли я и ядр е угле р о да . 59. Ка ко в ма кси ма льный уго л ϑ р а ссе яни я α-ча сти цы и де йтр о на пр и упр уго м р а ссе яни и на во до р о де ? 60. А льфа -ча сти ца , ле тяща я со ско р о стью v0 и спытыва е т упр уго е сто лкно ве ни е с не по дви ж ным ядр о м и ле ти т по д угло м 90° к

24 пе р во на ча льно му на пр а вле ни ю дви ж е ни я. Пр и ка ко м со о тно ш е ни и ма сс α-ча сти цы т и ядр а М это во змо ж но ? О пр е де ли тьско р о сть α-ча сти цы v и ядр а V по сле сто лкно ве ни я. О пр е де ли ть та кж е уго л ϑ ме ж ду на пр а вле ни е м ско р о сти выле та ю ще го ядр а и пе р во на ча льным на пр а вле ни е м дви ж е ни я α-ча сти цы. 61. Пр о то н, ле тящи й го р и зо нта льно со ско р о стью V, ста лки ва е тся с не во зб уж де нным не по дви ж ным а то мо м ма ссы M, по сле че го о н о тска ки ва е т и ле ти т в пр ямо пр о ти во по ло ж и но м на пр а вле ни и с по ло ви нно й ско р о стью V/2, а а то м пе р е х о ди тв во зб уж де нно е со сто яни е , т. е . в со сто яни е с б о ле е высо ко й внутр е нне й эне р ги е й. О пр е де ли ть ско р о сть а то ма v по сле сто лкно ве ни я и эне р ги ю E, ко то р а я по ш ла на во зб уж де ни е а то ма . Д ля ка ки х не во зб уж де нных а то мо в о пи са нный пр о це сс не во змо ж е н? 62. А то мно е ядр о с ма ссо й т и ки не ти че ско й эне р ги е й Е ста лки ва е тся с др уги м ядр о м, ко то р о е до сто лкно ве ни я по ко и ло сь. Пр о и сх о ди т яде р на я р е а кци я, в р е зульта те ко то р о й о б р а зую тся две ча сти цы с ма сса ми m1 и т 2, пр и че м на р е а кци ю за тр а чи ва е тся эне р ги я Q. Пр и ка ки х усло ви ях ско р о сти о б р а зо ва вш и х ся ча сти ц б удут на пр а вле ны вдо льи ли пр о ти в ско р о сти па да ю ще й ча сти цы? 63. Т е ло ма ссы m1 уда р яе тся не упр уго о те ло ма ссы m2. На йти до лю q по те р янно й пр и это м ки не ти че ско й эне р ги и , е сли те ло m2 б ыло до уда р а в по ко е . 64. Л и фт о пуска е тся с по сто янно й ско р о стью . Ка ко во б уде т на тяж е ни е тр о са , на ко то р о м ви си тка б и на , в мо ме нтвне за пно й по лно й о ста но вки б а р а б а на , с ко то р о го сма тыва е тся тр о с? Ка к б уде ти зме няться на тяж е ни е тр о са по сле пр о и сш е дш е й за де р ж ки ? 65. На ни ти дли но й l по две ш е н гр уз ма ссы m. О пр е де ли ть, на ка кую ми ни ма льную высо ту на до по днять гр уз m, что б ы о н, па да я, р а зо р ва л ни ть, е сли ми ни ма льный по ко ящи йся гр уз М , р а зр ыва ю щи й ни ть, р а стяги ва е те е пе р е д р а зр ыво м на 1 %. Счи та ть, что си ла , с ко то р о й ни ть де йствуе т на гр уз, пр о по р ци о на льна р а стяж е ни ю ни ти впло ть до е е р а зр ыва . 3. Д инам ика т верд о го т ела • Ур а вне ни е ди на ми ки не по дви ж но й о си Z:

тве р до го

те ла ,

I βZ = NZ .

вр а ща ю ще го ся во кр уг (31)

где NZ, — а лге б р а и че ска я сумма мо ме нто в вне ш ни х си л о тно си те льно о си Z. • Т е о р е ма Ш те йне р а :

25 I = I C + ma 2 .

• Ки не ти че ска я эне р ги я тве р до го не по дви ж но й о си :

(32)

те ла , вр а ща ю ще го ся во кр уг

K = Iω 2 / 2 .

(33)

• Ра б о та вне ш ни х си л пр и по во р о те тве р до го те ла во кр уг не по дви ж но й о си : A = ∫ N Z dϕ .

(34)

• Ки не ти че ска я эне р ги я тве р до го те ла пр и пло ско м дви ж е ни и : K = I Cω 2 / 2 + mvC2 / 2 .

(35)

• Связь ме ж ду угло во й ско р о стью ω' пр е це сси и ги р о ско па , е го мо ме нто м и мпульса М , р а вным Iω, и мо ме нто м N вне ш ни х си л: [ω ' M ] = N .

(36)

======================================================= П рим еры решения зад ач 66. Д и ск вр а ща е тся во кр уг ве р ти ка льно й о си с угло во й ско р о стью ω1. На не го па да е т ди ск, вр а ща ю щи йся с угло во й ско р о стью ω2. В сле дстви е тр е ни я ме ж ду ни ми о б а ди ска че р е з не ко то р о е вр е мя на чи на ю твр а ща ться ка к е ди но е це ло е . На йти пр и р а ще ни е ки не ти че ско й эне р ги и вр а ще ни я это й си сте мы, е сли мо ме нты и не р ци и ди ско в о тно си те льно о си вр а ще ни я р а вны, со о тве тстве нно , I1 и I2.

Ри с. 23

Решение. Сна ча ла на йде м уста но ви вш ую ся угло вую вр а ще ни я. Из за ко на со х р а не ни я мо ме нта и мпульса о тно си те льно о си сле дуе т, что

ско р о сть си сте мы

I1ω1 + I2ω2 = (I1 +I2)ω, о ткуда ω = (I1ω1 + I2ω2) / (I1 +I2). Пр и р а ще ни е ки не ти че ско й эне р ги и вр а ще ни я это й си сте мы ∆K = (I1 +I2) ω2/2 – (I1ω12/2 + I2ω22/2). За ме ни в ω е го выр а ж е ни е м (37), по лучи м ∆K = −

I1 I 2 (ω1 − ω 2 )2 2 ( I1 + I 2 )

(37)

26 Зна к ми нус уме ньш а е тся.

по ка зыва е т,

что

ки не ти че ска я

эне р ги я

си сте мы

67. Д о ка за ть, что по лна я ме х а ни че ска я эне р ги я Е пла не ты, дви ж уще йся во кр уг Со лнца по элли псу, за ви си тто лько о те го б о льш о й по луо си a. На йти выр а ж е ни е для Е, е сли и зве стны ма ссы пла не ты и Со лнца (m и М ), а та кж е б о льш а я по луо сьa элли пса . Решение. В о спо льзуе мся за ко на ми со х р а не ни я мо ме нта и мпульса и эне р ги и . Т о чка , о тно си те льно ко то р о й мо ме нт и мпульса пла не ты со х р а няе тся, – это це нтр Со лнца . По это му для по ло ж е ни й 1 и 2 пла не ты (р и с. 24), в ко то р ых ве кто р ско р о сти пе р пе нди куляр е н р а ди усу-ве кто р у, мо ж но за пи са ть mr1v1 = mr2v2. (38) Из за ко на со х р а не ни я по лно й ме х а ни че ско й эне р ги и E сле дуе т, что для те х ж е по ло ж е ни й пла не ты mv12 mM mv22 mM −γ = −γ . 2 r1 2 r2

(39)

Ри с. 24 Ре ш и в со вме стно ур а вне ни я (38) и (39), выр а зи м, на пр и ме р , v1 че р е з r1 и r2: v12 =

2γ M r2 r1 + r2 r1

И на ко не ц, на х о ди м фо р мулу для по лно й эне р ги и Е ка к E = K ( v1 ) + U ( r1 ) = −γ mM /(r1 + r2 ) Учи тыва я, что r1 + r2 = 2a, по лучи м о ко нча те льно E = –γmM/2a. 68. Не б о льш о й ш а р и к по две си ли к то чке О на ле гко й не р а стяж и мо й ни ти дли ны l. За те м ш а р и к о тве ли в сто р о ну та к, что ни ть о ткло ни ла сь на уго л ϑ о т ве р ти ка ли , и со о б щи ли е му на ча льную ско р о сть v0 пе р пе нди куляр но ве р ти ка льно й пло ско сти , в ко то р о й р а спо ло ж е на ни ть. Пр и ка ко м зна че ни и v0 ма кси ма льный уго л о ткло не ни я ни ти о т ве р ти ка ли о ка ж е тся р а вным 90° ? Решение. На ш а р и к в пр о це ссе дви ж е ни я де йствую т две си лы: си ла тяж е сти и си ла на тяж е ни я ни ти . Не тр удно ви де ть, что о тно си те льно ве р ти ка льно й о си Z, пр о х о дяще й че р е з то чку О , мо ме нтэти х си л М z = 0. Сле до ва те льно , о тно си те льно да нно й о си мо ме нт и мпульса ш а р и ка Lz = const, и ли lsinϑmv0 = lmv,

(40)

где m – ма сса ш а р и ка , v – е го ско р о сть в по ло ж е ни и , пр и ко то р о м ни ть со ста вляе тпр ямо й уго л с ве р ти ка лью .

27 Ш а р и к дви ж е тся в по ле тяж е сти Зе мли по д де йстви е м сто р о нне й си лы – си лына тяж е ни я со сто р о ныни ти . Э та си ла все вр е мя пе р пе нди куляр на ве кто р у ско р о сти ш а р и ка и по это му р а б о ты не со ве р ш а е т. О тсю да сле дуе т, что , ме х а ни че ска я эне р ги я ш а р и ка в по ле тяж е сти Зе мли со х р а няе тся: mv02 mv 2 = + mgl cos ϑ , (41) 2 2 где пр а ва я ча сть р а ве нства со о тве тствуе т го р и зо нта льно му по ло ж е ни ю ни ти . Ре ш и в со вме стно ур а вне ни я (40) и (41), по лучи м v0 = 2 gl / cos ϑ . 69. Го р и зо нта льно ле те вш а я пуля А по па ла , за стр яв, в ве р ти ка льный о дно р о дный сте р ж е нь ма ссы m и дли ны l0, ве р х ни й ко не ц ко то р о го укр е пле н в ш а р ни р е О (р и с. 25). Пуля и ме ла и мпульс p и по па ла в сте р ж е нь на р а ссто яни и l о т то чки О . Пр е не б р е га я е е ма ссо й, на йти : 1) пр и р а ще ни е и мпульса си сте мы пуля – сте р ж е ньза вр е мя дви ж е ни я пули в сте р ж не ; 2) угло вую ско р о сть, ко то р ую пр и о б р е те т сте р ж е нь, с уче то м со б стве нно го мо ме нта % и со впа да ю ще го по и мпульса пули , р а вно го M Ри с. 25 на пр а вле ни ю с ве кто р о м p (пуля вр а ща е тся во кр уг на пр а вле ни я е е дви ж е ни я). Решение. 1. Си сте ма пуля – сте р ж е нь не за мкнута я: по ми мо си л, ур а вно ве ш и ва ю щи х др уг др уга , в пр о це ссе дви ж е ни я пули в сте р ж не во зни ка е т го р и зо нта льна я со ста вляю ща я си лы р е а кци и в то чке О со сто р о ны о си . Д е йстви е это й со ста вляю ще й и вызо ве т пр и р а ще ни е и мпульса си сте мы: ∆p = mvC – p, где vC — ско р о стьце нтр а сте р ж ня по сле за стр е ва ни я пули . Т а к ка к все вне ш ни е си лы пр о х о дят че р е з то чку О , то за вр е мя дви ж е ни я пули в сте р ж не мо ме нт и мпульса си сте мы б уде т о ста ва ться по сто янным о тно си те льно лю б о й о си , пр о х о дяще й че р е з эту то чку. В зяв о сьпе р пе нди куляр но й к пло ско сти р и сунка , за пи ш е м lp = Iω, где I – мо ме нт и не р ци и сте р ж ня о тно си те льно выб р а нно й о си , а ω – угло ва я ско р о стьсте р ж ня не по ср е дстве нно по сле о ста но вки пули в не м. Из эти х ур а вне ни й с уче то м то го , что vC = ωr, r – р а ссто яни е о тто чки О до це нтр а сте р ж ня, по лучи м

28 ∆p = (3l/2l0 – 1) p, О тсю да ви дно , что зна к пр и р а ще ни я ∆p за ви си то то тно ш е ни я l/l0. В ча стно сти , пр и l/l0 = 2/3 ве ли чи на ∆p = 0, т. е . и мпульс си сте мы не и зме ни тся за вр е мя дви ж е ни я пули в сте р ж не . Э то зна чи т, что в да нно м случа е го р и зо нта льна я со ста вляю ща я р е а кци и в то чке О о тсутствуе т. 2. В это м случа е мо ме нт и мпульса си сте мы о тно си те льно то чки О та кж е б уде то ста ва ться по сто янным за вр е мя дви ж е ни я пули в сте р ж не , по это му, % + [ lp ] = M . M Сле ва за пи са н мо ме нт и мпульса пули о тно си те льно то чки О , а спр а ва – мо ме нт и мпульса сте р ж ня (с пуле й) не по ср е дстве нно по сле о ста но вки пули в сте р ж не (на р и с. 26 все тр и ве кто р а р а спо ло ж е ны в го р и зо нта льно й пло ско сти ). Ри с. 26 На йде м ве кто р М , ко гда сте р ж е нь (с пуле й) пр и о б р е те тугло вую ско р о стьω. В о зьме м ма лый эле ме нтсте р ж ня ма ссы dm, на х о дящи йся на р а ссто яни и τ о тто чки О . Его мо ме нти мпульса о тно си те льно то чки О р а ве н dM = [r, dmv ] = dmr 2ω = ( mω / l0 ) r 2 dr , где v – ско р о сть да нно го эле ме нта . Пр о и нте гр и р о ва в это выр а ж е ни е по все м эле ме нта м, по лучи м M = ml02ω / 3 .

Т а ки м о б р а зо м, % + [lp] = ml 2ω / 3 . M 0 Из это й фо р мулы, со гла сно р и с. 26, по лучи м ω=

3 M 2 + l 2 p2 ml02

С по мо щью то го ж е р и сунка мо ж но на йти и на пр а вле ни е ве кто р а ω (уго л α).

29 70. Одно р о дный спло ш но й ци ли ндр ма ссы m0 и р а ди уса R мо ж е т б е з тр е ни я вр а ща ться во кр уг не по дви ж но й го р и зо нта льно й о си О (р и с. 27). На ци ли ндр в о ди н р яд пло тно на мо та н то нки й не р а стяж и мый ш нур дли ны l и ма ссы m. На йти угло во е уско р е ни е ци ли ндр а в за ви си мо сти о т дли ны x све ш и ва ю ще йся ча сти ш нур а . Счи та ть, что ско льж е ни я не т и це нтр ма сс на мо та нно й ча сти ш нур а на х о ди тся на о си ци ли ндр а . Решение. В о спо льзуе мся ур а вне ни е м мо ме нто в Ри с. 27 о тно си те льно о си О . Д ля это го на йде м мо ме нт и мпульса си сте мы о тно си те льно да нно й о си М Z, и со о тве тствую щи й мо ме нт си л NZ,. М о ме нти мпульса MZ = IωZ + Rmv = (m0/2 + m)R2ωZ, где учте но , что мо ме нт и не р ци и ци ли ндр а I = m0R2/2 и v = ωZR (о тсутстви е ско льж е ни я ш нур а ). М о ме нт вне ш ни х си л тяж е сти о тно си те льно о си О NZ = Rmgx/l. Пр о ди ффе р е нци р о ва в М Z по вр е ме ни и по дста ви в dMZ/dt и NZ, в ур а вне ни е мо ме нто в, по лучи м βZ =

2mgx . lR(m0 + 2m)

71. На гла дко й го р и зо нта льно й пло ско сти ле ж и т о дно р о дный ди ск р а ди уса r0. На не го о сто р о ж но о пусти ли др уго й та ко й ж е ди ск, пр е два р и те льно со о б щи в е му угло вую ско р о сть ω0. Ч е р е з ско лько вр е ме ни о б а ди ска б удут вр а ща ться с о дно й и то й ж е угло во й ско р о стью , е сли ко эффи ци е нттр е ни я ме ж ду ди ска ми р а ве н k? Решение. Сна ча ла на йде м уста но ви вш ую ся угло вую ско р о сть вр а ще ни я ω. Из за ко на со х р а не ни я мо ме нта и мпульса сле дуе т, что Iω0 = 2 Iω, где I – мо ме нт и не р ци и ка ж до го ди ска о тно си те льно о б ще й о си вр а ще ни я. О тсю да ω= ω0/2. Т е пе р ь р а ссмо тр и м по ве де ни е о дно го и з ди ско в, на пр и ме р ни ж не го . Его угло ва я ско р о сть ме няе тся по д де йстви е м мо ме нта N си л тр е ни я. В ычи сли м N. Д ля это го выде ли м на ве р х не й по ве р х но сти ди ска эле ме нта р но е ко льцо с р а ди уса ми r, r + dr. М о ме нт си л тр е ни я, де йствую щи х на да нно е ко льцо , р а ве н

30 dN = rk(mg/πr02)2πrdr = 2k(mg/r02)r2dr, где m – ма сса ка ж до го ди ска . Пр о и нте гр и р о ва в это выр а ж е ни е по r о т0 до r0, по лучи м N = ⅔ kmgr0. Пр и р а ще ни е угло во й ско р о сти ни ж не го пр о и сх о ди тза вр е мя

ди ска на ве ли чи ну dω

dt = (I/N)dω = (3r0/4kg)dω. Инте гр и р уя это ур а вне ни е по ω о т 0 до ω0/2, на х о ди м, что и ско мо е вр е мя t = 3r0ω0/8kg. 72. О дно р о дный ш а р р а ди уса r на чи на е т ска тыва ться б е з ско льж е ни я с ве р ш и ны сфе р ы р а ди уса R (р и с. 28). На йти угло вую ско р о сть ω ш а р а по сле о тр ыва от по ве р х но сти сфе р ы. Р ешение. Пр е ж де все го за ме ти м, что угло ва я ско р о сть ш а р а по сле о тр ыва о т по ве р х но сти сфе р ы и зме няться не б уде т. По это му за да ча сво ди тся к на х о ж де ни ю е е зна че ни я в мо ме нто тр ыва .

Ри с. 28

За пи ш е м ур а вне ни е дви ж е ни я це нтр а ш а р а в мо ме нто тр ыва : mv2/(R + r) = mg cos ϑ, где v – ско р о стьце нтр а ш а р а в мо ме нто тр ыва , ϑ – со о тве тствую щи й уго л (р и с. 28). Ско р о сть v мо ж но на йти и з за ко на со х р а не ни я эне р ги и : mgh = mv2/2 + Iω2/2, где I – мо ме нт и не р ци и ш а р а о тно си те льно о си , пр о х о дяще й че р е з е го це нтр . Кр о ме то го , v = ωr,

h = (R + r) (1 – cos ϑ).

Из эти х че тыр е х ур а вне ни й по лучи м ω = 10 g ( R + r ) /17 r 2 .

====================================================== Зад ачи д ля решения 73. К то чке с р а ди усо м-ве кто р о м r1 = ai пр и ло ж е на си ла F1 = Aj, а к то чке с r2 = bj — си ла F2 = Bi. Зде сь i и j — о р ты о се й X и Y, A и В —

31 по сто янные . На йти пле чо р а вно де йствую ще й си лы о тно си те льно на ча ла ко о р ди на т. 74. На ступе нча тый б ло к (р и с. 29) на мо та ны в пр о ти во по ло ж ных на пр а вле ни ях две ни ти . На ко не ц о дно й ни ти де йствую т по сто янно й си ло й F, а к ко нцу др уго й ни ти пр и кр е пле н гр уз ма ссо й m. Изве стны р а ди усы R1 и R2 б ло ка и е го мо ме нт и не р ци и I о тно си те льно о си вр а ще ни я. Т р е ни я не т. На йти угло во е уско р е ни е б ло ка .

Ри с. 29

Ри с. 30

Ри с. 31

75. На о дно р о дный спло ш но й ци ли ндр ма ссы М и р а ди уса R пло тно на мо та на ле гка я ни ть, к ко нцу ко то р о й пр и кр е пле н гр уз ма ссы т (р и с. 30). В мо ме нтt = 0 си сте ма пр и ш ла в дви ж е ни е . Пр е не б р е га я тр е ни е м в о си ци ли ндр а , на йти за ви си мо стьо твр е ме ни : а ) мо дуля угло во й ско р о сти ци ли ндр а ; б ) ки не ти че ско й эне р ги и все й си сте мы. 76. В уста но вке (р и с. 1.31) и зве стны ма сса т о дно р о дно го спло ш но го ци ли ндр а , е го р а ди ус R и ма ссы те л т 1 и т 2. Ско льж е ни я ни ти и тр е ни я в о си ци ли ндр а не т. На йти угло во е уско р е ни е ци ли ндр а и о тно ш е ни е си л на тяж е ни я F1/F1 ве р ти ка льных уча стко в ни ти в пр о це ссе дви ж е ни я. Уб е ди ться, что F1 = F2 пр и m → 0. 77. В уста но вке (р и с. 32) и зве стны ма ссы те л m1 и т 2, ко эффи ци е нттр е ни я k ме ж ду те ло м т 1 и го р и зо нта льно й по ве р х но стью , а та кж е ма сса б ло ка т , ко то р ый мо ж но счи та ть о дно р о дным ди ско м. Ско льж е ни я ни ти по б ло ку не т. В мо ме нтt = 0 те ло m2 на чи на е то пуска ться. Пр е не б р е га я тр е ни е м в о си б ло ка , на йти : Ри с. 32 а ) уско р е ни е те ла т 2; б ) р а б о ту си лы тр е ни я, де йствую ще й на те ло т 1, за пе р вые t се кунд по сле на ча ла дви ж е ни я.

32 78. О дно р о дный сте р ж е нь ма ссы т па да е т с пр е не б р е ж и мо ма ло й на ча льно й ско р о стью и з ве р ти ка льно го по ло ж е ни я, по во р а чи ва ясь во кр уг не по дви ж но й о си О , пр о х о дяще й че р е з е го ни ж ни й ко не ц. На йти го р и зо нта льную и ве р ти ка льную со ста вляю щи е си лы, с ко то р о й о сь О де йствуе тна сте р ж е ньв го р и зо нта льно м по ло ж е ни и . Т р е ни я не т. 79. О дно р о дный спло ш но й ци ли ндр р а ди уса R р а скр ути ли во кр уг е го о си до угло во й ско р о сти ω0 и за те м по ме сти ли в уго л (р и с. 33). Ко эффи ци е нт тр е ни я ме ж ду ци ли ндр о м и сте нка ми р а ве н А . Ско лько вр е ме ни ци ли ндр б уде твр а ща ться в это м по ло ж е ни и ?

Ри с. 33

80. Одно р о дный ди ск р а ди уса R р а скр ути ли до угло во й ско р о сти ω и о сто р о ж но по ло ж и ли на го р и зо нта льную по ве р х но сть. Ско лько вр е ме ни ди ск б уде т вр а ща ться на по ве р х но сти , е сли ко эффи ци е нт тр е ни я р а ве н k? 81. Т о нки й стр е ж е нь А В ма ссы т = 50 г ле ж и т на го р и зо нта льно й пло ско сти с ко эффи ци е нто м тр е ни я k = 0,12. Сте р ж е ньмо ж е твр а ща ться во кр уг гла дко й ве р ти ка льно й о си , пр о х о дяще й че р е з е го ко не ц А . По ко нцу В пр о и зве ли кр а тко вр е ме нный уда р в го р и зо нта льно м на пр а вле ни и пе р пе нди куляр но сте р ж ню . Импульс си лы уда р а J = 0,50 Н·с. Ско лько вр е ме ни сте р ж е ньб уде твр а ща ться? 82. М а х о ви к с на ча льно й угло во й ско р о стью ω0 на чи на е тто р мо зи ться си ла ми , мо ме нт ко то р ых о тно си те льно е го о си пр о по р ци о на ле н ква др а тно му ко р ню и з е го угло во й ско р о сти . На йти ср е дню ю угло вую ско р о стьма х о ви ка за все вр е мя то р мо ж е ни я. 83. О дно р о дный ш а р ска тыва е тся б е з ско льж е ни я по на кло нно й пло ско сти , со ста вляю ще й уго л α с го р и зо нто м. На йти уско р е ни е це нтр а ш а р а и зна че ни е ко эффи ци е нта тр е ни я, пр и ко то р о м ско льж е ни я не б уде т. 84. О дно р о дный ш а р ма ссы т = 5,0 кг ска тыва е тся б е з ско льж е ни я по на кло нно й пло ско сти , со ста вляю ще й уго л α = 30° с го р и зо нто м. На йти ки не ти че скую эне р ги ю ш а р а че р е з t = 1,6 с по сле на ча ла дви ж е ни я. 85. Одно р о дный сте р ж е нь дли ны l = 110 см р а спо ло ж е н по д угло м α = 60° к гла дко й го р и зо нта льно й по ве р х но сти , на ко то р ую о н о пи р а е тся сво и м ни ж ни м ко нцо м. Сте р ж е нь б е з то лчка о тпусти ли . На йти ско р о сть ве р х не го ко нца сте р ж ня не по ср е дстве нно пе р е д па де ни е м е го на по ве р х но сть. 86. Ка туш ка , мо ме нт и не р ци и ко то р о й о тно си те льно е е о си р а ве н I, ска тыва е тся б е з ско льж е ни я по на кло нно й пло ско сти . Пр о йдя о тна ча ла

33 дви ж е ни я путьs, о на пр и о б р е ла угло вую ско р о стьω. На йти си лу тр е ни я по ко я, счи та я е е о ди на ко во й на все м пути . 87. На гла дко й го р и зо нта льно й пло ско сти ле ж и тдо ска ма ссы m1 и на не й о дно р о дный ш а р ма ссы т 2. К до ске пр и ло ж и ли по сто янную го р и зо нта льную си лу F. С ка ки ми уско р е ни ями б удутдви га ться до ска и це нтр ш а р а в о тсутстви е ско льж е ни я ме ж ду ни ми ? 88. Спло ш но му о дно р о дно му ци ли ндр у ма ссы т и р а ди уса R со о б щи ли вр а ще ни е во кр уг е го о си с угло во й ско р о стью ω0 за те м е го по ло ж и ли б о ко во й по ве р х но стью на го р и зо нта льную пло ско сть и пр е до ста ви ли са мо му се б е . Ко эффи ци е нттр е ни я р а ве н k. На йти : а ) вр е мя, в те че ни е ко то р о го дви ж е ни е ци ли ндр а б уде т пр о и сх о ди ть со ско льж е ни е м; б ) по лную р а б о ту си лытр е ни я ско льж е ни я. 89. О дно р о дный ш а р р а ди уса r ска тыва е тся б е з ско льж е ни я с ве р ш и ны сфе р ы р а ди уса R. На йти угло вую ско р о сть ш а р а по сле о тр ыва о тсфе р ы. На ча льна я ско р о стьш а р а пр е не б р е ж и мо ма ла . 90. Спло ш но й о дно р о дный ци ли ндр р а ди уса R ка ти тся по го р и зо нта льно й пло ско сти , ко то р а я пе р е х о ди т в на кло нную пло ско сть, со ста вляю щую уго л α с го р и зо нто м (по д укло н). На йти ма кси ма льно е зна че ни е ско р о сти v0 ци ли ндр а , пр и ко то р о м о н пе р е йде тна на кло нную пло ско стье ще б е з ска чка . Ско льж е ни я не т. 91. На йти уско р е ни е гр узо в и на тяж е ни е ни те й на ма ш и не , и зо б р а ж е нно й на р и с. 31, учи тыва я мо ме нт и не р ци и I вр а ща ю ще го ся б ло ка , пр и усло ви и , что ни тьне ско льзи тпо б ло ку. О пр е де ли тьуси ли е в по две ске A, е сли ма сса б ло ка р а вна М . 92. О дно р о дный ци ли ндр ма ссы М и р а ди уса R (р и с. 30) вр а ща е тся б е з тр е ни я во кр уг го р и зо нта льно й о си по д де йстви е м ве са гр уза Р , пр и кр е пле нно го к ле гко й ни ти , на мо та нно й на ци ли ндр . На йти уго л ϕ по во р о та ци ли ндр а в за ви си мо сти о твр е ме ни , е сли пр и t = 0 ϕ = 0. 93. Пр е дста вьте се б е , что гр уз Р (см. пр е дыдущую за да чу) со сто и ти з двух о ди на ко вых ча сте й, связа нных ни тью . О пр е де ли ть на тяж е ни е это й ни ти T. 94. На ступе нча тый ци ли ндр и че ски й б ло к на мо та ны в пр о ти во по ло ж ных на пр а вле ни ях две ле гки е ни ти , на гр уж е нные ма сса ми т 1 и m2 (р и с. Ри с. 34 34). На йти угло во е уско р е ни е б ло ка и на тяж е ни я T1 и T2 ни те й, учи тыва я мо ме нти не р ци и I б ло ка .

34 95. Сх е ма де мо нстр а ци о нно го пр и б о р а (ди ск М а ксве лла ) и зо б р а ж е на на р и с. 35. На ва ли к р а ди усо м r на глух о на са ж е н спло ш но й ди ск р а ди уса R и ма ссы М . В а ли к и ди ск сде ла ны и з о дно го ма те р и а ла , пр и че м выступа ю щи е и з ди ска ча сти о си и ме ю тма ссу m. Ква ли ку пр и кр е пле ны ни ти о ди на ко во й дли ны, пр и по мо щи ко то р ых пр и б о р по две ш и ва е тся к ш та ти ву. На ва ли к си мме тр и чно на ма тыва ю тся ни ти в о ди н р яд, б ла го да р я че му ди ск по дни ма е тся, а за те м пр е до ста вляю т ди ску сво б о дно о пуска ться. На йти уско р е ни е , с ко то р ым о пуска е тся ди ск.

Ри с. 35

Ри с. 36

96. По дсчи та ть уско р е ни е a, с ко то р ым б уде т о пуска ться ди ск, о пи са нный в пр е дыдуще й за да че , е сли к сте р ж ню , сво б о дно (б е з тр е ни я) пр о х о дяще му че р е з о тве р сти е внутр и ва ли ка , на ни тях по две ш е но те ло ма ссы m = 314 г (р и с. 36). Ра зме р ы ди ска ука за ны на р и сунке , ди ск и ва ли к сде ла ны и з ста ли (пло тно сть 8 г/см3). В е со м ни те й и о си пр е не б р е чь. 97. На го р и зо нта льную не по дви ж ную о сь на са ж е н б ло к, пр е дста вляю щи й со б о й спло ш но й ци ли ндр ма ссы М . Ч е р е з не го пе р е ки нута не ве со ма я ве р е вка , на ко нца х ко то р о й ви сят две о б е зьяны ма ссо й т ка ж да я. Пе р ва я о б е зьяна на чи на е тпо дни ма ться с уско р е ни е м а о тно си те льно ве р е вки . О пр е де ли ть, с ка ки м уско р е ни е м о тно си те льно не по дви ж но й си сте мыко о р ди на тб уде тдви га ться вто р а я о б е зьяна . 98. По на кло нно й пло ско сти , о б р а зую ще й уго л α с го р и зо нто м, ска тыва е тся б е з ско льж е ни я спло ш но й о дно р о дный ди ск. На йти ли не йно е уско р е ни е a це нтр а ди ска . 99. На йти уско р е ни е а це нтр а о дно р о дно го ш а р а , ска тыва ю ще го ся б е з ско льж е ни я по на кло нно й пло ско сти , о б р а зую ще й уго л α с го р и зо нто м. Ч е му р а вна си ла тр е ни я сце пле ни я ш а р а и пло ско сти ?

35 100. На йти ки не ти че скую эне р ги ю K ка тяще го ся б е з ско льж е ни я о б р уча ма ссы M, то лщи ну ко то р о го мо ж но счи та ть о че нь ма ло й по ср а вне ни ю с е го р а ди усо м. 101. По на кло нно й пло ско сти , со ста вляю ще й с го р и зо нто м уго л α = 30° , ска тыва е тся б е з ско льж е ни я спло ш но й о дно р о дный ци ли ндр , ма сса ко то р о го р а вна 300 г. На йти ве ли чи ну си лы тр е ни я ци ли ндр а о пло ско сть. 102. Ка ко ва до лж на б ыть ве ли чи на ко эффи ци е нта тр е ни я k, что б ы о дно р о дный ци ли ндр ска тыва лся б е з ско льж е ни я с на кло нно й пло ско сти , о б р а зую ще й уго л α с го р и зо нто м? 103. С о дно го ур о вня на кло нно й пло ско сти о дно вр е ме нно на чи на ю т ска тыва ться спло ш ные ци ли ндр и ш а р о ди на ко вых р а ди усо в. 1) Ка ко е те ло б уде т и ме ть б о льш ую ско р о сть нa да нно м ур о вне ? 2) В о ско лько р а з? 3) В о ско лько р а з ско р о стьо дно го б уде тб о льш е ско р о сти др уго го в да нный мо ме нтвр е ме ни ? 104. О дно р о дна я то нка я ква др а тна я пла сти нка со сто р о но й l и ма ссо й М мо ж е т сво б о дно вр а ща ться во кр уг не по дви ж но й ве р ти ка льно й о си , со впа да ю ще й с о дно й и з е е сто р о н. В це нтр пла сти нки по но р ма ли к не й упр уго уда р яе тся ш а р и к ма ссыт со ско р о стью v. На йти : а ) ско р о стьш а р и ка v' ср а зу по сле уда р а ; б ) го р и зо нта льную со ста вляю щую р е зульти р ую ще й си лы, с ко то р о й о сьде йствуе тна пла сти нку по сле уда р а . 105. В е р ти ка льно р а спо ло ж е нный о дно р о дный сте р ж е нь ма ссы М и дли ны l мо ж е т вр а ща ться во кр уг сво е го ве р х не го ко нца . В ни ж ни й ко не ц сте р ж ня по па ла , за стр яв, го р и зо нта льно ле те вш а я пуля ма ссы т , в р е зульта те че го сте р ж е ньо ткло ни лся на уго л а . Счи та я т «М , на йти : а ) ско р о стьле те вш е й пули ; б ) пр и р а ще ни е и мпульса си сте мы «пуля-сте р ж е нь» за вр е мя уда р а ; ка ко ва пр и чи на и зме не ни я это го и мпульса ; в) на ка ко е р а ссто яни е х о т ве р х не го ко нца сте р ж ня до лж на по па сть пуля, что б ыи мпульс си сте мыне и зме ни лся в пр о це ссе уда р а . 106. Го р и зо нта льно р а спо ло ж е нный о дно р о дный ди ск ма ссы М и р а ди уса R сво б о дно вр а ща е тся во кр уг ве р ти ка льно й о си , пр о х о дяще й че р е з е го це нтр . Д и ск и ме е тр а ди а льную на пр а вляю щую , вдо ль ко то р о й мо ж е тско льзи ть б е з тр е ни я не б о льш о е те ло ма ссы т . К те лу пр и вяза на ни ть, пр о пуще нна я че р е з по лую о сь ди ска вни з. Пе р во на ча льно те ло на х о ди ло сьна кр а ю ди ска и вся си сте ма вр а ща ла сьс угло во й ско р о стью ω0. За те м к ни ж не му ко нцу ни ти пр и ло ж и ли си лу F, с по мо щью ко то р о й те ло ме дле нно по дтянули к о си вр а ще ни я. На йти : а ) угло вую ско р о стьси сте мыв ко не чно м со сто яни и ; б ) р а б о ту, ко то р ую со ве р ш и ла си ла F.

36 107. Ч е ло ве к ма ссы т 1 сто и т на кр а ю го р и зо нта льно го о дно р о дно го ди ска ма ссы т 2 и р а ди уса R, ко то р ый мо ж е тсво б о дно вр а ща ться во кр уг не по дви ж но й ве р ти ка льно й о си , пр о х о дяще й че р е з е го це нтр . В не ко то р ый мо ме нт че ло ве к на ча л дви га ться по кр а ю ди ска , со ве р ш и л пе р е ме ще ни е на уго л ϕ' о тно си те льно ди ска и о ста но ви лся. Пр е не б р е га я р а зме р а ми че ло ве ка , на йти уго л, на ко то р ый по ве р нулся ди ск к мо ме нту о ста но вки че ло ве ка . 108. На йти мо ме нт ко ли че ства дви ж е ни я Зе мли L о тно си те льно е е по ляр но й о си . Счи та ть Зе млю пр а ви льным ш а р о м р а ди уса R = 6000 км, и ме ю щи м пло тно стьd = 5,5 г/см3. 109. Ка ко й мо ме нт си л сле дуе т пр и ло ж и ть к Зе мле , что б ы е е вр а ще ни е о ста но ви ло сь че р е з 100 000 000 ле т (1 го д — 366,25 «зве здных » суто к)? 110. На кр а ю сво б о дно вр а ща ю ще го ся до ста то чно б о льш о го го р и зо нта льно го ди ска , и ме ю ще го р а ди ус R и мо ме нти не р ци и I, сто и т че ло ве к ма ссы т . Д и ск со ве р ш а е т n о б /ми н. Ка к и зме ни тся ско р о сть вр а ще ни я ди ска , е сли че ло ве к пе р е йде т о т кр а я ди ска к це нтр у? Ка к и зме ни тся пр и это м эне р ги я си сте мы? Ра зме р а ми че ло ве ка по ср а вне ни ю с р а ди усо м ди ска мо ж но пр е не б р е чь. 111. На по ко яще мся о дно р о дно м го р и зо нта льно м ди ске ма ссы М и р а ди уса R на х о ди тся че ло ве к ма ссыт . Д и ск мо ж е твр а ща ться б е з тр е ни я во кр уг ве р ти ка льно й о си , пр о х о дяще й че р е з е го це нтр . В не ко то р ый мо ме нт че ло ве к на ча л дви га ться. С ка ко й угло во й ско р о стью ω вр а ща е тся ди ск, ко гда че ло ве к и де т по о кр уж но сти р а ди уса r, ко нце нтр и чно й ди ску, со ско р о стью v о тно си те льно ди ска ? 112. М о не та ма ссы т и р а ди уса r, вр а ща ясь в го р и зо нта льно й пло ско сти во кр уг сво е й ге о ме тр и че ско й о си с угло во й ско р о стью ω, ве р ти ка льно па да е т на го р и зо нта льный ди ск и «пр и ли па е т» к не му. В р е зульта те ди ск пр и х о ди тво вр а ще ни е во кр уг сво е й о си . В о зни ка ю щи й пр и это м мо ме нт си л тр е ни я в о си ди ска по сто яне н и р а ве н М 0. Ч е р е з ка ко е вр е мя вр а ще ни е ди ска пр е кр а ти тся? Ско лько о б о р о то в N сде ла е т ди ск до по лно й о ста но вки ? М о ме нт и не р ци и ди ска о тно си те льна е го ге о ме тр и че ско й о си I0. Ра ссто яни е ме ж ду о сями ди ска и мо не тыр а вно d. 113. Спло ш но й о дно р о дный ко р о тки й ци ли ндр р а ди уса r, вр а ща ю щи йся во кр уг сво е й ге о ме тр и че ско й о си со ско р о стью п о б /с, ста вят в ве р ти ка льно м по ло ж е ни и на го р и зо нта льную по ве р х но сть. Ско лько о б о р о то в N сде ла е т ци ли ндр , пр е ж де че м вр а ще ни е е го по лно стью пр е кр а ти тся? Ко эффи ци е нт тр е ни я ско льж е ни я ме ж ду о сно ва ни е м ци ли ндр а и по ве р х но стью , на ко то р ую о н по ста вле н, не за ви си то тско р о сти вр а ще ни я и р а ве н k.

37 114. На го р и зо нта льный ди ск, вр а ща ю щи йся во кр уг ге о ме тр и че ско й о си с угло во й ско р о стью ω1, па да е тдр уго й ди ск, вр а ща ю щи йся во кр уг то й ж е о си с угло во й ско р о стью ω2. М о ме нты и не р ци и ди ско в о тно си те льно ука за нно й о си р а вны со о тве тстве нно I1 и I2. О б а ди ска пр и уда р е сце пляю тся др уг с др уго м (пр и по мо щи о стр ых ш и по в на и х по ве р х но стях ). На ско лько и зме ни тся о б ща я ки не ти че ска я эне р ги я вр а ще ни я си сте мы по сле па де ни я вто р о го ди ска ? Ч е м о б ъ ясняе тся и зме не ни е эне р ги и ? Ге о ме тр и че ски е о си о б о и х ди ско в являю тся пр о до лж е ни е м о дна др уго й. 115. Сте р ж е ньма ссыМ и дли ны/, ко то р ый мо ж е тсво б о дно вр а ща ться во кр уг не по дви ж но й го р и зо нта льно й о си , пр о х о дяще й че р е з о ди н и з е го ко нцо в, по д де йстви е м си лы тяж е сти пе р е х о ди т и з го р и зо нта льно го по ло ж е ни я в ве р ти ка льно е (р и с. 37). Пр о х о дя че р е з ве р ти ка льно е по ло ж е ни е , ни ж ни й ко не ц сте р ж ня упр уго уда р яе т о ма ло е те ло ма ссы m, ле ж а ще е на гла дко м го р и зо нта льно м сто ле . О пр е де ли ть ско р о стьте ла т по сле уда р а .

Ри с. 37

116. В о спо льзо ва вш и сь усло ви е м за да чи 115, о пр е де ли ть, на ка ко е р а ссто яни е S пе р е ме сти тся те ло т по сле уда р а , е сли ко эффи ци е нт тр е ни я ме ж ду те ло м и сто ло м р а ве н k и не за ви си т о т ско р о сти . Сте р ж е нь по сле уда р а о ста но ви лся. Т е ло ско льзи т по сто лу б е з вр а ще ни я. 117. На гла дко м го р и зо нта льно м сте р ж не , вр а ща ю ще мся во кр уг ве р ти ка льно й о си с по сто янно й угло во й ско р о стью ω = 40π с-1, о ко ло о си на х о ди тся за кр е пле нна я не по дви ж но муфта ма ссы m = 100 г. В не ко то р ый мо ме нт муфту о тпуска ю т, и о на ско льзи т б е з тр е ни я вдо ль сте р ж ня. Ка ко й мо ме нт си л М до лж е н б ыть пр и ло ж е н к сте р ж ню для то го , что б ы о н пр о до лж а л р а вно ме р но е вр а ще ни е ? На йти р а ссто яни е x муфты о т о си в лю б о й мо ме нт вр е ме ни t. В на ча льный мо ме нт це нтр , тяж е сти муфтына х о ди тся на р а ссто яни и a0 = 2 см о то си . 118. В е р ти ка льный сто лб высо то й l по дпи ли ва е тся у о сно ва ни я и па да е тна зе млю , по во р а чи ва ясьво кр уг ни ж не го о сно ва ни я. О пр е де ли ть ли не йную ско р о сть е го ве р х не го ко нца в мо ме нтуда р а о зе млю . Ка ка я то чка сто лб а б уде тв это тмо ме нти ме тьту ж е ско р о сть, ка кую и ме ло б ы те ло , па да я с то й ж е высо ты, ка к и да нна я то чка ?

38 119. Т о нки й сте р ж е нь ма ссы т и дли ны L (р и с. 38) по две ш е н за о ди н ко не ц и мо ж е твр а ща ться б е з тр е ни я во кр уг го р и зо нта льно й о си . К то й ж е о си по две ш е н на ни ти дли ны l ш а р и к та ко й ж е ма ссы т . Ш а р и к о ткло няе тся на не ко то р ый уго л и о тпуска е тся. Пр и ка ко й дли не ни ти ш а р и к по сле уда р а о сте р ж е нь о ста но ви тся? Счи та ть уда р а б со лю тно упр уги м.

Ри с. 38

120. В е р ти ка льно ви сяща я о дно р о дна я до ска дли ны L = l,5 м и ма ссы М = 10 кг мо ж е т вр а ща ться во кр уг го р и зо нта льно й о си , пр о х о дяще й че р е з е е ве р х ни й ко не ц. В ни ж ни й ко не ц до ски уда р яе т пуля, ле тяща я го р и зо нта льно с на ча льно й ско р о стью V0 = 600 м/с. Пуля пр о б и ва е т до ску и ле ти тда ле е со ско р о стью V. О пр е де ли ть ско р о стьV, е сли по сле выстр е ла до ска ста ла ко ле б а ться с угло во й а мпли тудо й α = 0,1 р а д. М а сса пули m = 10 г. 4. Р еля т ивист ская м еханика • Л о р е нце во со кр а ще ни е дли ныи за ме дле ни е х о да дви ж ущи х ся ча со в: ∆t0

l = l0 1 − (V / c)2 , ∆t =

1 − (V / c )

2

,

(42)

где l0 — со б стве нна я дли на , ∆t0 — со б стве нно е вр е мя дви ж ущи х ся ча со в. • Пр е о б р а зо ва ни я Л о р е нца : x' =

x − Vt 1 − (V / c )

2

, y' = y , z' = z , t' =

t − xV / c 2 1 − (V / c)

2

. (43)

• Инте р ва л S12 — и нва р и а нтна я ве ли чи на : 2 2 2 S12 = l12 − c 2t12 = inv ,

(44)

где t12 — пр о ме ж уто к вр е ме ни ме ж ду со б ыти ями 1 и 2, l12 — р а ссто яни е ме ж ду то чка ми , где пр о и зо ш ли эти со б ыти я. • Пр е о б р а зо ва ни е ско р о сти : vx'

=

vx − V 1 − vxV / c 2

,

v 'y

=

v y 1 − (V / c) 2

• Ре ляти ви стски й и мпульс:

1 − vxV / c 2

,

vz'

=

vz 1 − (V / c )2 1 − vxV / c 2

.(45)

39 p = mv =

m0 v 1 − (v / c ) 2

,

(46)

где m — р е ляти ви стска я ма сса , m0 — ма сса по ко я. • Ре ляти ви стско е ур а вне ни е ди на ми ки ча сти цы: dp =F. dt

(47)

где р — р е ляти ви стски й и мпульс ча сти цы. • По лна я и ки не ти че ска я эне р ги и р е ляти ви стско й ча сти цы: E = mc 2 = m0 c 2 + K , K = ( m − m0 ) c 2 .

(48)

• Связьме ж ду эне р ги е й и и мпульсо м р е ляти ви стско й ча сти цы: E 2 − p2c 2 = m2c 4 ,

(

)

p 2 c 2 = K K + 2mc 2 .

(49)

• Пр и р а ссмо тр е ни и сто лкно ве ни я ча сти ц по ле зно и спо льзо ва ть и нва р и а нтную ве ли чи ну: E 2 − p 2c2 = m2c 4 .

(50)

где Е и р — по лна я эне р ги я и и мпульс си сте мыдо сто лкно ве ни я, m — ма сса о б р а зо ва вш е йся ча сти цы(и ли си сте мы). ======================================================= П рим еры решения зад ач 121. В K-си сте ме о тсче та на х о ди тся не по дви ж ный сте р ж е нь дли ны l = 100 см, о р и е нти р о ва нный по д угло м ϑ = 45° к о си О Х (р и с. 39). На йти е го дли ну l' и со о тве тствую щи й уго л ϑ' в K'-си сте ме , дви ж уще йся о тно си те льно K-си сте мы со ско р о стью V = с /2 вдо льо си О X. Ри с. 39 Решение. Д ли на сте р ж ня в K'-си сте ме l'=

( ∆x ')2 + ( ∆y ')2

=

( ∆x )2 (1 − β 2 ) + ( ∆y )2 ,

где β = V/с . Име я в ви ду, что ∆х = l cos ϑ и ∆у = l sin ϑ, по лучи м l' = l 1 − β 2 cos2 ϑ = 94 см. Уго л ϑ' в K'-си сте ме на йде м че р е з та нге нс:

40 tg ϑ ' =

∆y ' ∆y tg ϑ = = = 1,155 . ∆x ' ∆x 1 − β 2 1− β 2

О тсю да ϑ' = 49° . Сле дуе т о б р а ти ть вни ма ни е на то , что по луче нные р е зульта тыне за ви сято тна пр а вле ни я ско р о сти K'-си сте мы: О на мо ж е тдви га ться и ли в по ло ж и те льно м на пр а вле ни и о си х , и ли в пр о ти во по ло ж но м. 122. Сте р ж е нь дви ж е тся вдо ль ли не йки с не ко то р о й по сто янно й ско р о стью . Если за фи кси р о ва ть по ло ж е ни е о б о и х ко нцо в сте р ж ня о дно вр е ме нно в си сте ме о тсче та , связа нно й с ли не йко й, то р а зно сть о тсче то в по ли не йке ∆х 1 = 4,0 м. Если ж е по ло ж е ни е о б о и х ко нцо в за фи кси р о ва тьо дно вр е ме нно в си сте ме о тсче та , связа нно й со сте р ж не м, то р а зно сть о тсче то в по то й ж е ли не йке ∆х 2 = 9,0 м. О пр е де ли ть со б стве нную дли ну l0 сте р ж ня и е го ско р о стьv о тно си те льно ли не йки . Решение. В пе р во м случа е ∆x1 = l0 1 − β 2 ,

где β – ско р о стьсте р ж ня (в е ди ни ца х ско р о сти све та ). В о вто р о м ж е случа е l0 – это и зме р е нна я в си сте ме о тсче та , связа нно й со сте р ж не м, дли на уча стка дви ж уще йся ли не йки , со б стве нный р а зме р ко то р о го (уча стка ) р а ве н ∆х 2. По это му l0 = ∆x2 1 − β 2 .

Из эти х фо р мул ле гко на йти , что l0 = ∆x1∆x2 = 6,0 м,

β = 1 − ∆x1 / ∆x2 = 0,75,

и ли v ≈ 0,75с . 123. Д ве не ста б и льные ча сти цы дви ж утся в K-си сте ме о тсче та по не ко то р о й пр ямо й в о дно м на пр а вле ни и с о ди на ко во й ско р о стью v = 0,990с . Ра ссто яни е ме ж ду ча сти ца ми в это й си сте ме о тсче та l = 12 м. В не ко то р ый мо ме нто б е ча сти цы р а спа ли сь о дно вр е ме нно в K'-си сте ме о тсче та , связа нно й с ни ми . На йти : 1) пр о ме ж уто к вр е ме ни ме ж ду мо ме нта ми р а спа да о б е и х ча сти ц в и сх о дно й K-си сте ме о тсче та ; 2) ка ка я ча сти ца р а спа ла сьпо зж е в K-си сте ме . Решение. 1. Пусть р а спа д ча сти цы, дви га вш е йся впе р е ди , – со б ыти е 1, а р а спа д ча сти цы, дви га вш е йся сза ди , – со б ыти е 2. Т о гда , со гла сно пр е о б р а зо ва ни ям Л о р е нца для вр е ме ни , t1 − t2

x '1 − x '2 ) v / c 2 ( = , 1 − (v / c)

2

41 где учте но , что t'1 = t'2 (по усло ви ю ). Ра зно сть(х '1 – х '2) – это со б стве нно е р а ссто яни е l0 ме ж ду ча сти ца ми . Оно р а вно l0 = l / 1 − ( v / c )2 . По это му t1 − t2 =

lv / c 2 1 − (v / c)

2

= 2,0 мкс.

2. Т а к ка к t1 – t2 > 0, то t1 > t2, др уги ми сло ва ми , ча сти ца , дви га вш а яся впе р е ди , р а спа ла сьпо зж е . 124. На йти р а ссто яни е , ко то р о е пр о ле те ла в K-си сте ме о тсче та не ста б и льна я ча сти ца о тмо ме нта е е р о ж де ни я до р а спа да , е сли е е вр е мя ж и зни в это й си сте ме о тсче та ∆t = 3,0 мкс, а со б стве нно е вр е мя ж и зни ∆t0 = 2,2 мкс. Решение. В о спо льзо ва вш и сь фо р муло й (42), на йде м ско р о сть V ча сти цыи за те м и ско мо е р а ссто яни е ка к l = ∆tV = ∆tc 1 − ( ∆t0 / ∆t )

2

= 0,6 км.

Д р уго й спо со б р е ш е ни я о сно ва н на и спо льзо ва ни и и нва р и а нтно сти и нте р ва ла : c2(∆t0)2 = c2(∆t)2 – l2, где ква др а т и нте р ва ла за пи са н сле ва в си сте ме о тсче та , связа нно й с са мо й ча сти це й, а спр а ва – в K-си сте ме о тсче та . О тсю да по луча е тся то т ж е р е зульта тдля l. 125. Ре ляти ви стски й пр о то н с и мпульсо м р 0 вле те л в мо ме нт t = 0 в о б ла сть, где и ме е тся по пе р е чно е о дно р о дно е эле ктр и че ско е по ле с на пр яж е нно стью Е , пр и че м p0 ⊥ E. На йти за ви си мо сть о твр е ме ни угла ϑ, на ко то р ый пр о то н б уде т о ткло няться о т пе р во на ча льно го на пр а вле ни я дви ж е ни я. Р ешение. В ыб р а в о си ко о р ди на т (X – вдо ль ве кто р а p0, Y – вдо ль ве кто р а E), за пи ш е м ур а вне ни е (47) в пр о е кци ях на эта о си : dpX/dt = 0, `

dpY/dt = eE,

где е– за р яд пр о то на . Из эти х ур а вне ни й сле дуе т, что pX = p0, pY = eEt, и ли m0v X 1 − (v / c)

2

= p0 ,

m0vY 1 − (v / c)

2

= eEt

(51)

В зяв о тно ш е ни е по сле дни х двух р а ве нств, на йде м tg ϑ = vY/vX = eEt/p0. Инте р е сно о тме ти ть, что в о тли чи е о тне р е ляти ви стско го случа я зде сь vX уме ньш а е тся со вр е ме не м. Ч то б ы в это м уб е ди ться, во зве де м о б а

42 р а ве нства (51) в ква др а т и за те м сло ж и м о тде льно и х ле вые и пр а вые ча сти :

(

m02 v 2X + vY2 1 − (v / c ) 2

) = p2 + (eEt)2 . 0

За ме ти в, что v 2X + vY2 = v 2 , по лучи м 2   m02c 2 v    = 1 + 2 c p0 + (eEt )2  

−1

.

По дста ви в это выр а ж е ни е в пе р во е и з (51), на йде м vX =

c 1 + ( m0c / p0 ) + (eEt / p0 )2 2

т. е . де йстви те льно , vX уме ньш а е тся с р о сто м t. 126. Ф о то н с эне р ги е й ε и спыта л р а ссе яни е на по ко и вш е мся сво б о дно м эле ктр о не . На йти эне р ги ю ε' р а ссе янно го фо то на , е сли уго л ме ж ду на пр а вле ни ями дви ж е ни я р а ссе янно го и на ле та ю ще го фо то но в р а ве н ϑ. Решение. В о спо льзуе мся за ко на ми со х р а не ни я эне р ги и и и мпульса . В да нно м пр о це ссе Ke = ε – ε', pe = p – p', где Ke и pe – ки не ти че ска я эне р ги я и и мпульс эле ктр о на о тда чи , p и p' – Ри с. 40 и мпульсы на ле та ю ще го и р а ссе янно го фо то но в. Из тр е уго льни ка и мпульсо в (р и с. 40), со гла сно те о р е ме ко си нусо в, сле дуе т, что pe2 = p 2 + p '2 − 2 pp 'cosϑ .

Т а к ка к p = ε, p' = ε' и pe = K e ( K e + 2me ) = (ε − ε ')(ε − ε '+ 2me ) ,

где me – ма сса эле ктр о на , то по сле не сло ж ных пр е о б р а зо ва ни й по лучи м ε'=

ε 1 + 2(ε / me )sin 2 (ϑ / 2)

.

======================================================= Зад ачи д ля решения

43 127. Сте р ж е нь дви ж е тся в пр о до льно м на пр а вле ни и с по сто янно й ско р о стью v о тно си те льно и не р ци а льно й Σ-си сте мы о тсче та . Пр и ка ко м зна че ни и v дли на сте р ж ня в это й си сте ме о тсче та б уде т на η = 0,50% ме ньш е е го со б стве нно й дли ны? 128. Име е тся пр ямо уго льный тр е уго льни к, у ко то р о го ка те та = 5,00 м и уго л ме ж ду эти м ка те то м и ги по те нузо й α = 30° . На йти в си сте ме о тсче та Σ', дви ж уще йся о тно си те льно это го тр е уго льни ка со ско р о стью v = 0,866с вдо лька те та а : а ) со о тве тствую ще е зна че ни е угла α'; б ) дли ну l' ги по те нузыи е е о тно ш е ни е к со б стве нно й дли не . 129. На йти со б стве нную дли ну сте р ж ня, е сли в Σ'-си сте ме о тсче та е го ско р о сть v = с /2, дли на l = 1,00 м и уго л ме ж ду ни м и на пр а вле ни е м дви ж е ни я υ = 45° . 130. Сте р ж е ньдви ж е тся р а вно ме р но в пр о до льно м на пр а вле ни и ми мо двух ме то к А и В , р а спо ло ж е нных на р а ссто яни и ∆x др уг о т др уга . Сна ча ла в мо ме нт t1 на пр о ти в ме тки А о ка за лся пе р е дни й ко не ц сте р ж ня. За те м на пр о ти в ме тки В в мо ме нты t2 и t3 о ка за ли сь со о тве тстве нно пе р е дни й и за дни й ко нцы сте р ж ня. На йти е го со б стве нную дли ну. 131. С ка ко й ско р о стью дви га ли сь в ∑-си сте ме о тсче та ча сы, е сли за вр е мя t = 5,0 с (в ∑-си сте ме ) о ни о тста ли о т ча со в это й си сте мы на ∆t = 0,10 с? 132. Сте р ж е нь пр о ле та е т с по сто янно й ско р о стью ми мо ме тки , не по дви ж но й в ∑-си сте ме о тсче та . В р е мя пр о ле та ∆t = 20 нс в ∑си сте ме . В си сте ме ж е о тсче та , связа нно й со сте р ж не м, ме тка дви ж е тся вдо льне го в те че ни е ∆t' = 25 нс. На йти со б стве нную дли ну сте р ж ня. 133. Со б стве нно е вр е мя ж и зни не ко то р о й не ста б и льно й ча сти цы ∆t0 = 10 нс. Ка ко й путь пр о ле ти тэта ча сти ца до р а спа да в ла б о р а то р но й си сте ме о тсче та , где е е вр е мя ж и зни ∆t = 20 нc? 134. В ∑-си сте ме о тсче та мю о н, дви ж ущи йся со ско р о стью v = 0,990с , пр о ле те л о тме ста сво е го р о ж де ни я до то чки р а спа да р а ссто яни е l = 3,0 км. О пр е де ли ть: а ) со б стве нно е вр е мя ж и зни это го мю о на ; б ) р а ссто яни е , ко то р о е пр о ле те л мю о н в ∑-си сте ме о тсче та с «е го то чки зр е ни я» . 135. Д ве ча сти цы, дви га вш и е ся в ла б о р а то р но й си сте ме о тсче та по о дно й пр ямо й с о ди на ко во й ско р о стью v = 3c/4, по па ли в не по дви ж ную ми ш е нь с пр о ме ж утко м вр е ме ни ∆t = 50 нc. На йти со б стве нно е р а ссто яни е ме ж ду ча сти ца ми до по па да ни я в ми ш е нь.

44 136. Сте р ж е нь дви ж е тся вдо ль ли не йки с не ко то р о й по сто янно й ско р о стью . Если за фи кси р о ва ть по ло ж е ни е о б о и х ко нцо в да нно го сте р ж ня о дно вр е ме нно в си сте ме о тсче та , связа нно й с ли не йко й, то р а зно сть о тсче то в по ли не йке ∆x1 = 4,0 м. Если ж е по ло ж е ни е о б о и х ко нцо в за фи кси р о ва ть о дно вр е ме нно в си сте ме о тсче та , связа нно й со сте р ж не м, то р а зно сть о тсче то в по это й ж е ли не йке ∆x2 = 9,0 м. На йти со б стве нную дли ну сте р ж ня и е го ско р о стьо тно си те льно ли не йки . 137. Д ва сте р ж ня о ди на ко во й со б стве нно й дли ны l0 дви ж утся на встр е чу др уг др угу па р а лле льно о б ще й го р и зо нта льно й о си . В си сте ме о тсче та , связа нно й с о дни м и з сте р ж не й, пр о ме ж уто к вр е ме ни ме ж ду мо ме нта ми со впа де ни я ле вых и пр а вых ко нцо в сте р ж не й о ка за лся р а вным ∆t. Ка ко ва ско р о стьо дно го сте р ж ня о тно си те льно др уго го ? 138. Д ве не ста б и льные ча сти цы дви ж утся в ∑'-си сте ме о тсче та по не ко то р о й пр ямо й в о дно м на пр а вле ни и со ско р о стью v = 0,990с . Ра ссто яни е ме ж ду ни ми в это й си сте ме о тсче та l = 120 м. В не ко то р ый мо ме нт о б е ча сти цы р а спа ли сь о дно вр е ме нно в си сте ме о тсче та , связа нно й с ни ми . Ка ко й пр о ме ж уто к вр е ме ни ме ж ду мо ме нта ми р а спа да о б е и х ча сти ц на б лю да ли в ∑-си сте ме ? Ка ка я ча сти ца р а спа ла сь по зж е в ∑-си сте ме ? 139. Сте р ж е нь А В, о р и е нти р о ва нный вдо ль о си Х ∑-си сте мы о тсче та , дви ж е тся с по сто янно й ско р о стью v в по ло ж и те льно м на пр а вле ни и о си X. Пе р е дни м ко нцо м сте р ж ня являе тся то чка А , за дни м — то чка В. На йти : а ) со б стве нную дли ну сте р ж ня, е сли в мо ме нтtA ко о р ди на та то чки А р а вна х A, а в мо ме нтtB ко о р ди на та то чки Вр а вна xB; б ) че р е з ка ко й пр о ме ж уто к вр е ме ни на до за фи кси р о ва ть ко о р ди на ты на ча ла и ко нца сте р ж ня в ∑'-си сте ме , что б ы р а зно сть ко о р ди на т о ка за ла сьр а вно й со б стве нно й дли не стр е ж ня. 140. На ди а гр а мме пр о стр а нство -вр е мя (р и с. 41) по ка за ны тр и со б ыти я А , В и С, ко то р ые пр о и зо ш ли на о си Х не ко то р о й и не р ци а льно й си сте мы о тсче та . На йти : а ) пр о ме ж уто к вр е ме ни ме ж ду со б ыти ями А и В в то й си сте ме о тсче та , где оба со б ыти я пр о и зо ш ли в о дно й то чке ; б ) р а ссто яни е ме ж ду то чка ми , где пр о и зо ш ли со б ыти я А и С, в то й си сте ме о тсче та , где о ни

Ри с. 41

45 о дно вр е ме нны. 141. В пло ско сти х y ∑-си сте мы о тсче та дви ж е тся ча сти ца , пр о е кци и ско р о сти ко то р о й р а вны vx и vy. На йти ско р о сть v' это й ча сти цы в ∑'си сте ме , ко то р а я пе р е ме ща е тся со ско р о стью V о тно си те льно ∑-си сте мы в по ло ж и те льно м на пр а вле ни и е е о си X. 142. Ста р то ва вш а я с Зе мли во о б р а ж а е ма я ко сми че ска я р а ке та дви ж е тся с уско р е ни е м а ' = 10g, о ди на ко вым в ка ж до й и не р ци а льно й си сте ме , мгно ве нно со путствую ще й р а ке те . Ра зго н пр о до лж а лся по зе мно му вр е ме ни τ = 1,0 го д. На йти , на ско лько пр о це нто в о тли ча е тся ско р о сть р а ке ты о т ско р о сти све та в ко нце р а зго на . Ка ко в путь, пр о йде нный р а ке то й к это му мо ме нту? 143. В о ско лько р а з р е ляти ви стска я ма сса ча сти цы, ско р о сть ко то р о й о тли ча е тся о тско р о сти све та на η = 0,010%, пр е выш а е те е ма ссу по ко я? 144. Пло тно сть по ко яще го ся те ла р а вна ρ0. На йти ско р о сть си сте мы о тсче та о тно си те льно да нно го те ла , в ко то р о й е го пло тно сть б уде т на η = 25% б о льш е ρ0. 145. Пр о то н дви ж е тся с и мпульсо м р = 10,0 ГэВ /c, где с — ско р о сть све та . На ско лько пр о це нто в о тли ча е тся ско р о сть это го пр о то на о т ско р о сти све та ? 146. На йти ско р о сть, пр и ко то р о й р е ляти ви стски й и мпульс ча сти цы в η = 1,4 р а за пр е выш а е те е нью то но вски й и мпульс. 147. Ка кую р а б о ту на до со ве р ш и ть, что б ы уве ли чи ть ско р о сть ча сти цы с ма ссо й т о т0,60 с до 0,80 с ? Ср а вни тьпо луче нный р е зульта т со зна че ни е м, вычи сле нным по не р е ляти ви стско й фо р муле . 148. Пр и ка ко й ско р о сти ки не ти че ска я эне р ги я ча сти цы р а вна е е эне р ги и по ко я? 149. Пр и ка ки х зна че ни ях о тно ш е ни я ки не ти че ско й эне р ги и ча сти цы к е е эне р ги и по ко я о тно си те льна я по гр е ш но сть пр и р а сче те е е ско р о сти по не р е ляти ви стско й фо р муле не пр е выш а е тη = 0,010? 150. На йти за ви си мо сть и мпульса ча сти цы с ма ссо й т о т е е ки не ти че ско й эне р ги и . В ычи сли ть и мпульс пр о то на с ки не ти че ско й эне р ги е й 500 М эВ . 151. На йти ско р о сть ча сти цы, ки не ти че ска я эне р ги я ко то р о й K = 500 М эВ и и мпульс р = 865 М эВ /с , где с – ско р о стьсве та . 152. Пучо к р е ляти ви стски х ча сти ц с ки не ти че ско й эне р ги е й K па да е т на по гло ща ю щую ми ш е нь. Си ла то ка в пучке р а вна I, за р яд и ма сса ка ж до й ча сти цы р а вны еи т . На йти си лу да вле ни я пучка на ми ш е нь и выде ляю щую ся в не й мо щно сть.

46 153. Ско лько эне р ги и (в р а сче те на е ди ни цу ма ссы) не о б х о ди мо за тр а ти ть, что б ы со о б щи ть пе р во на ча льно по ко и вш е муся ко сми че ско му ко р а б лю ско р о стьv = 0,980 с ? 154. Ч а сти ца ма ссы т в мо ме нт t = 0 на чи на е т дви га ться по д де йстви е м по сто янно й си лы F. На йти ско р о сть ча сти цы и пр о йде нный е ю путьв за ви си мо сти о твр е ме ни t. 155. По ка за ть, что ве ли чи на Е2 — p2c2 е сть и нва р и а нт, т.е . и ме е то дно и то ж е зна че ни е во все х и не р ци а льных си сте ма х о тсче та . Ка ко во зна че ни е это го и нва р и а нта ? 156. Д ве ча сти цы, ка ж да я ма ссы т , ле тят на встр е чу др уг др угу с о ди на ко во й ско р о стью v. На йти v, е сли ма сса о б р а зо ва вш е йся пр и сто лкно ве ни и ча сти цыр а вна М . 157. Не йтр о н с ки не ти че ско й эне р ги е й K = 2т с 2, где т – е го ма сса , на ле та е т на др уго й, по ко ящи йся не йтр о н. На йти в си сте ме и х це нтр а ма сс: а ) сумма р ную ки не ти че скую эне р ги ю K% не йтр о но в; б ) и мпульс p% ка ж до го не йтр о на . 158. Ре ляти ви стска я ча сти ца ма ссы т с ки не ти че ско й эне р ги е й K на ле та е тна по ко ящую ся ча сти цу то й ж е ма ссы. На йти ма ссу и ско р о сть со ста вно й ча сти цы, о б р а зо ва вш е йся в р е зульта те со уда р е ни я. 159. Ка ко ва до лж на б ытьки не ти че ска я эне р ги я пр о то на , на ле та ю ще го на др уго й, по ко ящи йся пр о то н, что б ы и х сумма р на я ки не ти че ска я эне р ги я в си сте ме це нтр а ма сс б ыла та ка я ж е , ка к у двух пр о то но в, дви ж ущи х ся на встр е чу др уг др угу с ки не ти че ски ми эне р ги ями K = 25,0 ГэВ ? 160. Не по дви ж на я ча сти ца ма ссы т р а спа да е тся на тр и ча сти цы ма сс m1, m2, m3. На йти на и б о льш ую по лную эне р ги ю , ко то р ую мо ж е ти ме ть, на пр и ме р , ча сти ца m1. 161. Ре ляти ви стска я р а ке та выб р а сыва е т стр ую га за с не р е ляти ви стско й ско р о стью u, по сто янно й о тно си те льно р а ке ты. На йти за ви си мо стьско р о сти v р а ке ты о те е ма ссы т , е сли в на ча льный мо ме нт ма сса р а ке тыр а вна m0. Л ИТ ЕРА Т УРА 1. Ир о до в И.Е. За да чи по о б ще й фи зи ке / И.Е. Ир о до в.– М .: Л а б о р а то р и я б а зо вых зна ни й, 2001. – 432 с. 2. Ир о до в И.Е. М е х а ни ка . О сно вные за ко ны / И.Е. Ир о до в.– М .: Л а б о р а то р и я б а зо вых зна ни й, 2001. – 320 с.

47 3. Сб о р ни к за да ч по о б ще му кур су фи зи ки . М е х а ни ка / С.П. Стр е лко в, Д .В . Си вух и н, В .А . Уга р о в и др .– М .: На ука , 1977. – 288 с. 4. Гр и б ко в С.П. За да чи по ме х а ни ке и те о р и и о тно си те льно сти / С.П. Гр и б ко в, В .И. Ко стыле в.– В о р о не ж : В ГУ, 1993. – 20 с.

48

Со ста ви те ли :

Гр и б ко в Ста ни сла в Пе тр о ви ч Ко стыле в В ла ди ми р Ива но ви ч

Ре да кто р

Б уни на Т .Д .