Алгебра, и логика,, 39, N 3 (2000), 273-279
УДК 512.547
ОДНО СВОЙСТВО ТАБЛИЦЫ ХАРАКТЕРОВ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ*) В. А. БЕЛОН...
7 downloads
160 Views
490KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра, и логика,, 39, N 3 (2000), 273-279
УДК 512.547
ОДНО СВОЙСТВО ТАБЛИЦЫ ХАРАКТЕРОВ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ*) В. А. БЕЛОНОГОВ Введение Пусть G — конечная группа, D — ее нормальное подмножество и Ф С Irr(G). Если X — некоторая таблица характеров группы G, то че рез Х(Ф,1?) обозначим подматрицу из X, которая лежит на пересечении строк, соответствующих характерам из Ф, и столбцов, соответствующих элементам из D. Далее через k(G) обозначается число классов сопряжен ных элементов группы G и через kc{D) — число таких классов, лежащих в D. Таким образом, Х(Ф, D) — это |Ф|х&а(£))-подматрица k(G)xk(G)-Ma>трицы X. Пусть D~ = G \ D и Ф~ = Irr(G) \ Ф. Разобьем (подходящую) таблицу характеров X группы G на части, как показано на рис. 1, и внутри каждой клетки впишем ранг соответствующей матрицы. Очевидно, что П + г 2 ^ | Ф | и rx + r3^kG{D).
(1)
Как показано в [1], эти соотношения превращаются в равенства в точно сти тогда, когда D взаимодействует с Ф (см. ниже лемму 1; вслед за ней напоминается и определение понятия взаимодействия). В настоящей статье изучаются связи между ri, Г2, Гз и г 4 для произ вольных D и Ф. В частности, приводятся некоторые сведения о разностях левых и правых частей неравенств из (1). *'Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 96-01-00488.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
274
В. А. Белоногов
D
D-
f г,
Г2
гз
Г4
1
Рис.1
Ранг и определитель матрицы М будем обозначать через г(М) и det (M) соответственно. Основным результатом статьи является следующая Т Е О Р Е М А . Пусть G — конечная группа, X — ее таблица характе ров, D — нормальное подмножество в G и Ф С Irr(Cr). Тогда существует целое неотрицательное число т {зависящее от G,D и Ф) такое, что г(Х(Ф,£>))
+
г(Х(Ф,1Г))
=
|Ф| + т ,
г(Х(Ф~, D))
+
Г(Х(Ф-,£>-))
=
|*-| + т ,
г(Х(Ф,1>))
+
г(Х(Ф~, £>))
=
* С (Л) + "Ь
г(Х(Ф,1Г))
+
г(Х(ф-,0-))
=
ArG(D-) + m.
Более того, т = 0, если и только если D взаимодействует с Ф. В частности, если для G, X, D и Ф выполняются условия теоремы, то г(Х(Ф, D)) = г(Х(Ф~, D-)) + |Ф| + М # ) - k(G). Из теоремы, в свою очередь, непосредственно вытекает (достаточно рассмотреть разность первого и четвертого равенств этой теоремы) следу ющий результат (см. также [1, теор. 8А8]) о наличии нулевых подматриц (в частности, нулевых элементов) в таблице характеров. С Л Е Д С Т В И Е . Пусть для G, X, D и Ф выполняются условия те оремы. Тогда равносильны следующие условия:
Одно свойство таблицы характеров (l)v(X(*,D))
= \$\ +
275
kG(D)-k(G),
(2)Х(Ф~, D~) = О (нулевая матрица). Отметим: в теореме (и следствии) не предполагается, что множества D, £>"", Ф и Ф~~ не являются пустыми, т.е. некоторые клетки матрицы X на рис. 1 могут быть пустыми матрицами (т. е. матрицами, содержащими О строк или 0 столбцов). Ранг пустой матрицы считается, как обычно, равным нулю. Доказательство теоремы Сначала приведем некоторые вспомогательные утверждения. Л Е М М А 1. Пусть G, X, D и Ф такие, как в теореме. Тогда рав носильны следующие условия: 1) г(Х(Ф,Я))+ г(Х(Ф, £>")) = |Ф|> 2) Г ( Х ( Ф , Д ) ) + Г ( Х ( Ф - , Я ) ) =
М Я ) ,
3) D взаимодействует с Ф. Как видим, это часть теоремы 8А6 из [1]. Напомним определение понятия взаимодействия. Говорят, что D вза имодействует с Ф, если D-срезка