Конструирование и расчет элементов тонкостенных сосудов

Министерство образования и науки Российской Федерации Пензенский государственный университет

С. Н. Виноградов, К. В. Таранцев

КОНСТРУИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ТОНКОСТЕННЫХ СОСУДОВ Учебное пособие

Наградной логотип вуза

Издательство Пензенского государственного университета Пенза 2004

УДК 66.021.1:532.5 В49 Р е ц е н з е н т ы: Технический совет НИКТИНиСМ Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Водоснабжение и водоотведение» Пензенского государственного университета архитектуры и строительства Б. М. Гришин

В49

Виноградов С. Н. Конструирование и расчет элементов тонкостенных сосудов: Учеб. пособие / С. Н. Виноградов, К. В. Таранцев. – Пенза: Изд-во Пенз. гос. унта, 2004. – 136 с..: 44 ил., 3 табл., библиогр. 22 назв. Предложены варианты конструктивных решений для основных элементов тонкостенных аппаратов, а также даны методики их расчетов и справочный материал, необходимые при выполнении дипломных проектов по темам, ставящим своей целью модернизацию существующих конструкций аппаратов с перемешивающими устройствами. Учебное пособие подготовлено на кафедре «Химическое машиностроение и электрохимические производства» и предназначено для студентов направления 655400 “Энерго- и ресурсосберегающие процессы в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии», специальности 170500 «Машины и аппараты химических производств».

УДК 66.021.1:532.5

© Издательство Пензенского государственного университета, 2004 © Виноградов С. Н., Таранцев К. В., 2004

2

Введение Курс «Конструирование и расчет элементов оборудования отрасли» является одним из завершающих при подготовке инженеров по специальности 170500 «Машины и аппараты химических производств». Этот курс посвящен вопросам оптимального проектирования, динамики, прочности и устойчивости основных элементов типового оборудования химических производств. При подготовке учебного пособия по данному курсу были отобраны наиболее компактные инженерные методы, требующие минимального времени для изучения, но применимые для решения достаточно сложных задач. При расчете тонкостенных емкостных аппаратов основной для инженера является теория пластин и оболочек. Аппараты рассмотрены как сочетания этих элементов. Для оболочек емкостных аппаратов характерными являются расчеты на устойчивость, особенно актуальные при действии внешнего давления. Основой для этих расчетов послужила теория устойчивости. Расчет аппаратов основан на изучаемых ранее курсах «Сопротивление материалов», «Детали машин», «Теория машин и механизмов». При изучении вибрации элементов аппаратов с перемешивающими устройствами рассмотрены задачи динамики этих элементов и их расчет, основанный на теории колебаний.

3

1. Тонкостенные сосуды, их форма, типы и назначение Емкости разного рода применяются в химической технике для хранения твердых, жидких и газообразных продуктов, а также для технологических целей [9]. Помещение внутрь емкости устройств, необходимых для проведения процесса, например, катализаторных коробок, теплообменников, тарелок, мешалок, существенно не сказывается на конструкции и толщине стенок аппарата. Поэтому конструирование и прочностной расчет стенок емкостных и реакционных аппаратов рассматриваются вместе в одном разделе. Для упрощения и удешевления изготовления составляющим частям емкостных аппаратов придают простейшие геометрические формы − цилиндрическую, сферическую и коническую. Корпуса большинства аппаратов представляют собой комбинацию этих простейших форм. С точки зрения экономии материала и равномерного распределения напряжений, возникающих в материале стенок от нагрузок, наиболее благоприятной формой является сферическая. Сфера обладает наименьшей поверхностью на единицу объема, и при заданном давлении толщина ее стенки оказывается минимальной. Однако изготовление сферических оболочек более сложно и дорого, чем изготовление цилиндрических обечаек. Сфера − весьма неподходящая форма для размещения внутренних рабочих устройств аппарата и для организации тока взаимодействующих агентов. Поэтому сферическую форму придают или большим хранилищам для жидкостей и газов, в которых благодаря этому удается уменьшить вес конструкции (рис. 1), или аппаратам, в которых наименьшее отношение их наружной поверхности к объему существенно важно для хорошей работы, как, например, в танках для жидкого кислорода.

4

Рис. 1. Сферическое хранилище для жидкости

В большинстве аппаратов основной рабочий объем ограничен цилиндрической обечайкой, сделанной из листового материала, или цилиндрическими обечайками с фланцами, т. е. царгами, а крышки делаются сферическими, эллиптическими или коническими. Значительно реже применяются емкостные аппараты, ограниченные не поверхностями вращения, а плоскими стенками. Плоские стенки применяются только в аппаратуре, работающей при небольших перепадах давления. Плоские стенки невыгодны потому, что они плохо сопротивляются действующему на них давлению и расход металла на единицу полезного объема в таких конструкциях бывает более высок. Плоские стенки неудобны и из технологических соображений: их «ведет» и коробит при сварке; отливка аппаратов, ограниченных плоскими стенками, трудна и сопряжена с опасностью брака. Однако во многих случаях невозможно обойтись без применения плоских стенок, и они часто служат основными составными частями аппаратов. Такими частями являются трубные доски теплообменников, тарелки колонных аппаратов, перегородки и т. д. При существовании перепада давлений, действующего на плоские элементы, они усиливаются ребрами, анкерными тягами, трубами и т. д.

5

Сосуд − это изделие (устройство), имеющее внутреннюю полость, предназначенную для проведения химических, тепловых и других технологических процессов, а также для хранения и транспортирования газообразных, жидких и других веществ. Ряд условных (номинальных) давлений в пределах 0,10−100 МПа для сосудов установлен ГОСТ 9493−80. Под условным (номинальным) давлением понимают наибольшее избыточное рабочее давление при расчетной температуре 20°С, при котором обеспечивается длительная работа сосудов и аппаратов, их сборочных единиц и деталей, имеющих определенные размеры, обоснованные расчетом на прочность при выбранных материалах и характеристиках прочности при температуре 20 °С. Аппарат − сосуд, оборудованный внутренними устройствами, предназначенный для проведения химико-технологических процессов. Аппараты в зависимости от технологического процесса и конструкции носят различное название: колонны, камеры, автоклавы и др. Резервуар − емкость для хранения жидкостей и газов. Широко распространены металлические и железобетонные резервуары. В зависимости от назначения и вида хранимого вещества резервуары покрывают слоем тепло- и/или гидроизоляции, а их внутренние стенки облицовывают (например, кислотоупорными материалами). Газгольдер − резервуар для приема, хранения и выдачи газа в установки по его переработке. Ресивер − сосуд для скапливания газа или пара, предназначенный главным образом для сглаживания колебаний давления, обусловленных пульсирующей подачей или прерывистым расходом. Сборник − сосуд для накапливания вещества, образующегося в технологическом процессе.

1.1. Технические требования Технические требования на сосуды и аппараты из углеродистых, легированных и двухслойных сталей, предназначенные для работы в химической и нефтеперерабатывающей отраслях промышленности, установлены ГОСТ 24306–80. Он распространяется на сосуды и аппараты, работающие при температурах не ниже –70 °С без давления 6

или под наливом, под избыточным давлением до 10 МПа и под вакуумом при остаточном давлении не ниже 665 Па. ГОСТ не распространяется на эмалированную аппаратуру, хранилища, изготовляемые на месте монтажа, сосуды для транспортирования жидкостей и газов [12, 23]. Требования к устройству, изготовлению, монтажу, ремонту и эксплуатации сосудов, работающих под давлением свыше 0,07 МПа (без учета гидростатического давления), установлены “Правилами устройства и безопасной эксплуатации сосудов, работающих под давлением», утвержденными Госгортехнадзором РФ. Сосуды, работающие под давлением до 0,07 МПа, для которых в диапазоне давлений от 0,01 до 0,07 МПа произведение давления (в МПа) на объем (в л) не превышает 100, относятся к сосудам, работающим без давления. Конструкция сосуда должна предусматривать возможность его осмотра, очистки, промывки, продувки и ремонта, а также контроля состояния сварных швов. Внутренние устройства, препятствующие проведению этих операций, должны быть разборными. Отверстия для люков, лазов и штуцеров должны быть расположены вне швов. Объемы, диаметры и условные давления для сосудов и аппаратов установлены стандартами. ГОСТ 13372–78 устанавливает ряд номинальных объемов корпусов цилиндрических сосудов и аппаратов, для которых проектный объем определяется технологическим расчетом. Номинальным объемом считается внутренний объем сосуда или аппарата без учета объемов штуцеров, люков, внутренних устройств, включая футеровку. Ниже приведен стандартный ряд номинальных объемов (в м3): 0,010; 0,016; 0,025; 0,04; 0,063; 0,100; 0,125; 0,160; 0,200;0,250; 0,32; 0,40; 0,50; 0,63; 0,80; 1,00; 1,25; 1,60; 2,00; 2,50; 32;4,0; 5,0; 6,3; 8,0; 10,0; 12,5; 16,0; 20,0; 25,0; 32; 40; 50; 63; 80;100; 125; 160; 200; 250; 320; 400; 500. ГОСТ 9617–76 устанавливает ряды внутренних диаметров (в мм) сосудов и аппаратов, изготовленных из стальных листов или поковок: 400, (450), 500, (550), 600, (650), 700, 800, 900, 1000, (1100), 1200, (1300), 1400, (1500), 1600, (1700), 1800, (1900), 2000, 2200, 2400, 2500, 2600, 2800, 3000, 3200, 3400, 3600, 3800, 4000, 4500, 5000, 7

(5500), 5600, (6000), 6300, (6400), 7000, 7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000, 11000, 12000, 14000, 16000, 18000, 20000. Значения, указанные в скобках, применяют только для рубашек сосудов и аппаратов. ГОСТ 9493–80 устанавливает ряд условных (номинальных) давлений, применяемых в расчетах на прочность сосудов и аппаратов, кроме резервуаров и газгольдеров. Условные давления должны быть выбраны из следующего ряда (в МПа): 0,10; 0,16; 0,25; 0,30; 0,4; 0,6; 0,8; 1,00; 1,25; 1,60; 2,00; 2,50; 3,20; 4,00; 5,00; 6,30; 8,00; 10,0; 12,5; 16,0; 20,0; 25,0; 32,0; 40,0; 50,0; 63,0; 80,0; 100. В зависимости от назначения и эксплуатационных параметров соответствующими правилами и инструкциями устанавливаются способы контроля состояния сосудов и их элементов; способы устранения обнаруженных дефектов; нормы гидравлического испытания; необходимость в арматуре, контрольно-измерительных приборах и предохранительных устройствах; порядок технического освидетельствования, содержания и обслуживания.

1.2. Резервуары Резервуары предназначены для хранения жидкостей и газов [18]. В эксплуатации находятся наземные, полуподземные и подземные резервуары различных конструкций (горизонтальные, вертикальные и шаровые). Определяющими факторами при выборе конструкции резервуара являются: внутреннее избыточное давление, свойства и температура находящегося в резервуаре продукта, объем, климатические условия. Кроме того, выбор должен быть обоснован технико-экономическим расчетом, учитывающим стоимость резервуара, эксплуатационные расходы и необходимость максимального снижения потерь. Резервуары должны быть оборудованы сливоналивными, контрольно-измерительными и предохранительными устройствами. Все резервуары должны быть обеспечены системой молниезащиты, которая одновременно является также защитой от статического электричества. На каждый резервуар должен быть составлен паспорт.

8

1.2.1. Резервуары горизонтальные Горизонтальные сварные резервуары имеют объем от 3 до 200 м3 в зависимости от конструкции корпуса, который согласно ГОСТ 9931–79 может быть с эллиптическими, плоскими и коническими днищами. ГОСТ устанавливает основные размеры корпусов (диаметр, длину цилиндрической части, внутреннюю поверхность) в зависимости от объема и конструкции днища. Действительный внутренний объем корпуса не должен отличаться от номинального объема (ГОСТ 13372–78) более чем на +10 % и –5 %. ГОСТ 17032–71 устанавливает типы и основные размеры стальных сварных горизонтальных резервуаров объемом от 5 до 100 м3 и рабочим давлением до 0,07 МПа, предназначенных для наземного и подземного хранения нефтепродуктов. Максимально допустимое заглубление (расстояние от поверхности земли до верха обечайки) при подземном хранении – 1,2 м. Резервуары емкостью до 8 м3 включительно изготовляют с плоскими днищами, более 8м3 – с коническими или плоскими днищами. Листы стенок соединяют встык или внахлестку. Внутренние поверхности резервуаров могут быть оцинкованы или покрыты консервантами; наружные поверхности окрашивают. Резервуары, предназначенные для хранения химически активных веществ, должны быть защищены антикоррозионной облицовкой; в случае необходимости внутренние поверхности футеруют кислотоупорным кирпичом или плитами. Для защиты от атмосферных осадков или от перегрева солнечными лучами над резервуаром следует установить навес. Температуру продукта поддерживают теплоизоляцией, которой покрывают наружную поверхность резервуара. Вакуум в резервуарах не должен превышать 1 кПа, поэтому их испытывают на вакуум 1,5 кПа.

1.2.2. Резервуары вертикальные Резервуары вертикальные стальные являются наиболее распространенными хранилищами для жидкостей [18]. Они по внутреннему давлению подразделяются на резервуары: без давления (с понтоном, плавающей крышей и др.), низкого давления (2 кПа или вакуум 250 Па) и повышенного давления (70 кПа или вакуум до 1 кПа). 9

Схема вертикального цилиндрического резервуара приведена на рис. 2. Резервуар покоится на основании, состоящем из надежно уплотненного грунта и песчаной подушки, поверх которой нанесен слой изоляции для предохранения днища от коррозии. Конусная форма основания предохраняет его от размыва поверхностными водами. Основания резервуаров для хранения токсичных веществ покрывают бетоном. Резервуары могут иметь коническую, сферическую и сфероидальную форму покрытий.

Рис. 2. Схема вертикального цилиндрического резервуара: 1 – световой люк; 2 – вентиляционный патрубок; 3 – огневой предохранитель; 4 – дыхательный клапан; 5 – замерный люк; 6 – указатель уровня; 7 – люк-лаз; 8 – сифонный кран; 9 – подъемная труба; 10 – шарнир подъемной трубы; 11 – приемно-раздаточные патрубки; 12 – перепускное устройство; 13 – хлопушка; 14 – управление хлопушкой; 15 – лебедка

Для того чтобы предотвратить повышение давления или вакуума сверх допустимых значений на крышах резервуаров устанавливают грузовые дыхательные клапаны, предусмотренные ГОСТ 23097–78. Корпус, крышку, седла и тарелки клапана изготовляют из алюминия, уплотнительные и направляющие поверхности – из фторопласта-4. 10

ГОСТ 4630–80 для вертикальных резервуаров предусматривает предохранительные клапаны с разрывной мембраной, предотвращающей повышение давления или вакуума выше допустимых значений при отказе дыхательных клапанов. В комплекте с дыхательными и предохранительными клапанами на резервуарах устанавливают огнепреградители, закрывающие доступ в резервуар извне пламени или искрам. Схема резервуара с открытым металлическим понтоном приведена на рис. 3. Он имеет открытые герметичные отсеки, что позволяет контролировать его техническое состояние. Цилиндрическая часть корпуса должна быть сварена стыковыми швами так, чтобы внутренняя поверхность ее была гладкой.

Рис. 3. Схема резервуара с понтоном: 1 – наружное кольцо жёсткости; 2 – центральное кольцо; 3 – днище понтона; 4 – опорная стойка; 5 – петлевой затвор

11

Важным узлом конструкции понтона и плавающей крыши является затвор-уплотнение кольцевого пространства между стенкой резервуара и покрытием. Применяют затворы петлевые, мягкого типа и жесткого типа. Затворы мягкого типа состоят из тонкой эластичной внутренней оболочки с наполнителем и наружной защитной оболочки из резинотканевого износоустойчивого материала. Наполнителем может быть пенополиуретан. Для хранения жидкостей с высокой упругостью насыщенных паров применяют резервуары со сферическими крышами и днищами, прикрепленными к фундаменту анкерными болтами. Они могут работать при давлении до 25 кПа и вакууме до 980 Па. Они снабжены кольцами жесткости, опоясывающими резервуар на расчетных расстояниях друг от друга.

1.2.3. Шаровые резервуары Значительные давления (в большинстве случаев до 1 МПа) и высокий вакуум выдерживают шаровые резервуары, предназначенные для хранения газов, объемом до 2000 м3. Наибольшее распространение получили резервуары объемом 600 м3, диаметром 10,5 м, рассчитанные на рабочее давление 0,6 МПа. Шаровые резервуары устанавливают на кольцевых опорах или стойках. Пояса резервуара над опорами или стойками должны быть усилены.

1.3. Газгольдеры Выпускают газгольдеры постоянного и переменного объемов. ГОСТ 5172–63 устанавливает параметры и основные размеры стальных цилиндрических газгольдеров постоянного объема, предназначенных для хранения газов, не вызывающих интенсивной коррозии стали, а также сжиженных газов при давлении в газовом пространстве 0,25–2 МПа. ГОСТ предусматривает следующие номинальные объемы таких газгольдеров: 50, 100, 175, 270 м3. Внутренний диаметр всех газгольдеров равен 3200 мм. Газгольдеры объемом до 175 м3 включительно могут быть установлены как горизонтально, так и вертикально. Газгольдеры объемом 270 м3 устанавливают только горизонтально. Конструктивно газгольдеры состоят из цилиндрической части и закрывающих ее двух полусферических днищ. Корпуса газ-

12

гольдеров изготовляют из стали ВСт.3 (при толщине стенки до 12 мм) и из низколегированных сталей (15ХСНД, 09Г2С, 10Г2С1, 16ГС) при толщине стенки более 12 мм. Для хранения больших объемов газа при небольших давлениях (до 4–5 кПа) применяют газгольдеры переменного объема, которые по принципу работы делятся на сухие и мокрые. Сухие газгольдеры представляют собой цилиндрический вертикальный резервуар со сферическим покрытием. Внутри резервуара подвижная перегородка – поршень – перемещается вертикально вверх и вниз в зависимости от объема газа. Наибольшее распространение получили мокрые газгольдеры, типовые конструкции которых рассчитаны на объем до 32000 м3. Принципиальная схема мокрого газгольдера показана на рис. 4. Требуемое давление в газгольдере устанавливается нагружением колокола грузами: по верхней его площадке – бетонными, по нижнему кольцу – чугунными. Плотность в сопряжениях между резервуаром и телескопом, а также между телескопом и колоколом обеспечивается гидравлическим затвором. Температура воды в затворах должна быть не ниже 5°С.

Рис. 4 . Схема мокрого газгольдера: 1 − корпус; 2 − телескоп; 3 − колокол; 4 − направляющие стойки; 5 − ролик; 6 − кронштейн ролика; 7 − направляющие; 8 − упор

13

Все мокрые газгольдеры оборудуются предохранительными устройствами: перепускным устройством на крыше колокола, гидравлическим затвором в камере ввода, сигнализацией предельных положений колокола, системой автоматического отключения подачи газа в газгольдер и др.

1.4. Ресиверы К указанным аппаратам относятся приемники для воздуха и газов. Ресиверы применяют в качестве буферных емкостей для уменьшения колебаний в сети, а также при необходимости предварительной обработки воздуха или газа (например, при очистке от воды и масла).

1.5. Сборники Сборники жидкости предназначены для поддержания постоянства давления в сети, монтежю – для подъема и перемещения предварительно накопленной в них жидкости под действием избыточного давления газов над жидкостью (передавливанием). Ресиверы и монжусы работают под давлением. Они имеют цилиндрическую форму и снабжены эллиптическими днищами. Аппараты монтируют как в горизонтальном, так и в вертикальном положениях.

1.6. Емкостные аппараты Стальные емкостные сварные аппараты представляют собой цилиндрические сосуды с размерами корпусов по ГОСТ 9931–79, с технологическими штуцерами и штуцерами для присоединения контрольно-измерительной аппаратуры. Цельносварные аппараты оборудованы люками для осмотра внутренней поверхности аппарата, его чистки и ремонта. Уплотнительная поверхность фланцевых соединений аппаратов, штуцеров и люков – гладкая [2, 23]. Днища аппаратов: эллиптические – по ГОСТ 6533–78; конические отбортованные – по ГОСТ 12619–78; конические неотбортованные с углом при вершине 90° – по ГОСТ 12620–78; конические неотбортованные с углом при вершине 140° – по ГОСТ 12621–78; плоские неотбортованные – по ГОСТ 12623–78.

14

Толщины днищ аппаратов приняты исходя из расчетов, а также с учетом номенклатуры днищ, выпускаемых предприятиями. Горизонтальные аппараты устанавливают на стальные седловые опоры по ОСТ 26–2091–81 или на бетонные опоры с углом охвата не менее 120°, шириной не менее ширины стальной седловой опоры. Вертикальные аппараты с эллиптическими днищами и вертикальные аппараты с коническими днищами устанавливают на опорылапы или на опоры-стойки по ОСТ 26–665–79. Вертикальные аппараты с плоскими днищами устанавливают на сплошное жесткое основание (например, бетонное). Строповые устройства соответствуют ГОСТ 13716–73. По требованию заказчика аппараты могут быть изготовлены с приваренными деталями для крепления теплоизоляции по ГОСТ 17314–81. На аппаратах предусмотрена установка мерных колонок указателя уровня со стеклянными трубками, присоединенных к аппарату через запорное устройство по ГОСТ 9652–68 типа III, и буйковых уровнемеров типов УБ-ПА, УБ-ПБ и УВ-ПГ, выпускаемых Рязанским заводом "Теплоприбор". Тип указателя уровня выбирает проектная организация, применяющая аппарат в своих разработках. Конструкцией аппаратов предусмотрена возможность заземления их во время эксплуатации, а также возможность приварки ко всем аппаратам наружных лестниц и площадок обслуживания. Конструкцию лестниц и площадок обслуживания определяет проектная организация, применяющая аппарат в своих разработках. Нагрузка на площадки обслуживания – не более 20,0 МПа. По требованию заказчика к вертикальным аппаратам, установленным на опоры-стойки (за исключением аппаратов номинальным объемом 1 м3), и к горизонтальным аппаратам, работающим при давлении более 0,07 МПа, приваривают полосы для приварки лестниц и площадок. В конструкции аппаратов возможны изменения в связи с усовершенствованием самой конструкции аппарата, его стандартных дета-

15

лей, сборочных единиц и покупных изделий. Эксплуатационные характеристики, установочные и присоединительные размеры в таких случаях не меняются.

1.6.1. Классификация емкостных аппаратов Учитывая важнейшие факторы, влияющие на конструирование и прочностной расчет стенок, емкостные и другие аппараты можно классифицировать следующим образом [2, 20]. I. По назначению: 1) емкости; 2) реакционные аппараты. II. По конструктивному материалу: 1) стальные; 2) чугунные; 3) медные; 4) пластмассовые и т. д. III. По способу изготовления: 1) сварные; 2) литые; 3) клепаные; 4) паяные; 5) кованые и т. д. IV. По форме: 1) цилиндрические; 2) сферические; 3) конические; 4) торовые; 5) комбинированные. V. По схеме нагрузки: 1) работающие при атмосферном давлении; 2) нагруженные внутренним давлением:

16

а) симметрично оси; б) асимметрично оси, 3) нагруженные наружным давлением: а) симметрично оси; б) асимметрично оси. VI. По температуре стенки: 1) не обогреваемые; 2) обогреваемые. VII. По условиям коррозионного воздействия: 1) работающие в условиях умеренного разъедания; 2) работающие в условиях интенсивного разъедания. VIII. По положению в пространстве: 1) вертикальные; 2) горизонтальные; 3) наклонные. IX. По способу сборки: 1) разъемные; 2) неразъемные. X. По толщине стенки: 1) тонкостенные; 2) толстостенные: а) с цельной стенкой; б) с многослойной стенкой.

1.6.2. Условные обозначения аппаратов Условное обозначение аппаратов состоит из букв и цифр. Буквенные обозначения соответствуют шифру типа корпуса аппарата, принятому по ГОСТ 9931–79 "Корпуса цилиндрические стальных сварных сосудов и аппаратов". Первые буквы обозначают: Г – горизонтальный или В – вертикальный; вторая и третья буквы обозначают тип днища: Э – эллипти-

17

ческое, К – коническое, П – плоское (вторая буква в обозначении вертикальных аппаратов определяет нижнее днище, а третья – верхнее). Цифры после букв обозначают наличие или отсутствие разъема: 1 – цельносварной (без разъема); 2 – разъемный; цифра после первого тире указывает на наличие внутренних устройств и обогрева: 1 – без рубашки и без внутренних устройств; 2 – с трубным пучком; 3 – с рубашкой; 4 – со змеевиком; 5 – с погружным насосом; число после второго тире – номинальный объем (м3); последнее число – условное давление (МПа) [20, 23]. Например, ГЭЭ 1–2–50–0,6: аппарат горизонтальный, с эллиптическими днищами, цельносварной, с трубным пучком, номинальным объемом 50 м3 на условное давление 0,6 МПа.

1.6.3. Определение возможности применения аппаратов При определении возможности применения аппаратов надо учитывать следующее [23]: • аппараты можно эксплуатировать с рабочей средой, плотность которой не превышает допускаемой; • масса аппарата в рабочем состоянии не должна превышать допускаемой; • значения допускаемых давлений на горизонтальные аппараты снаружи определены при расчетной плотности рабочей среды 1600 кг/м3; при плотности, отличающейся от указанной, значения допускаемых давлений при необходимости должна уточнять проектная организация, применяющая аппараты в своих разработках; • аппараты, за исключением вертикальных аппаратов с плоскими верхними днищами, можно эксплуатировать с любыми рабочими средами; вертикальные аппараты с плоскими днищами можно эксплуатировать с рабочими средами (веществами) с условными обозначениями НГ, ТГ, ГВ, ГЖ (по ГОСТ 12.1.004–76) и 3-го, 4-го классов опасности (по ГОСТ 12.1.007–76); • возможность эксплуатации аппаратов в районах с сейсмичностью 7 и более баллов должна быть подтверждена проектной организацией, применяющей аппарат в своих разработках, расчетом на 18

сейсмичность или обоснованием того, что проведение такого расчета не является необходимым. Расчет на сейсмичность следует производить исходя из конкретных условий эксплуатации аппарата. При этом расчетные усилия от сейсмического воздействия определяют по ГОСТ 24756–81 или СНиП П-7–81; • аппараты с коническими отбортованными днищами можно применять в технически обоснованных случаях (в остальных случаях следует применять аппараты с эллиптическими днищами); • фактическая масса аппаратов может превышать массу, указанную в справочнике, не более чем на 5 %. Возможность применения аппаратов в условиях эксплуатации, отличающихся от расчетных и допускаемых, определяет проектная организация.

19

2. Основные факторы, влияющие на конструкцию химических аппаратов Рассмотрение требований, предъявляемых к химической аппаратуре, дает возможность установить причины, определяющие конструкцию и размеры химической аппаратуры. Этими причинами являются: технологический процесс, проводимый в аппарате; силы, действующие на аппарат; способ изготовления аппарата и эксплуатационные требования [9, 18, 22]. Технологический процесс и требуемая производительность определяют устройство и основные размеры аппарата (длину, диаметр и площадь поперечного сечения). При этом учитываются: характер проводимого процесса – гидравлический, тепловой, диффузионный или химический; скорость протекания процесса; способ проведения процесса (периодический или непрерывный – при непрерывном процессе на число и размеры аппаратов влияет принцип действия аппарата, т. е. принцип полного перемешивания или принцип полного вытеснения); агрегатное состояние обрабатываемых веществ и его изменение во время проведения процесса; термодинамические условия (давление, температура и концентрации обрабатываемых веществ); агрессивность обрабатываемых веществ; чистота получаемого продукта; допустимость образования побочных продуктов и другие технологические ограничения. Силы и другие механические нагрузки, действующие на части аппарата, определяют их прочные размеры. Прочные размеры определяют с учетом механических свойств материалов, характера, интенсивности и степени динамичности нагрузки, формы нагруженных частей, температуры, влияющей на прочность материалов, и изменения толщины стенки в результате коррозии. Технология изготовления сказывается на форме, толщине стенок и стоимости аппаратов. Способ изготовления аппарата зависит от технологических свойств и обрабатываемости конструкционного материала, а также от оснащенности завода и серийности продукции. Обычно изготовление моделей, штампов, приспособлений и специального инструмента оправдывается только при выпуске хотя бы партии или малой серии одинаковых аппаратов. При изготовлении 20

единичных аппаратов им часто приходится придавать иную, худшую форму для того, чтобы применять способ, не требующий специальной оснастки, например, штамповку или литье заменять сваркой. Оснащенность завода может ограничить размеры аппарата или повлиять на конструкцию. Например, производство оплеточных аппаратов высокого давления требует специального оборудования и может быть выполнено не на всяком заводе. Эксплуатационные требования сказываются на конструкции аппаратов, их узлов и устройств (сальники, фланцы, люки, крышки, смотровые стекла, питатели, разгрузчики и т. д.). Влияние на конструкцию перечисленных факторов раскрывается на протяжении всего курса. Касаясь общих тенденций в отношении конструирования химических аппаратов с точки зрения проводимых процессов, можно сделать следующие выводы: 1. Аппараты непрерывного действия более прогрессивны, чем аппараты периодического действия. Они позволяют лучше использовать их объем, получить более однородную продукцию и легко поддаются автоматизации. 2. Аппараты для обработки жидких и газообразных сред более компактны и эффективны, чем аппараты для обработки кусковых материалов. Гораздо легче обеспечить массообмен и теплообмен между жидкостью, паром или газом, чем между ними и кусковыми материалами. 3. Аппараты с подвижным слоем зернистых материалов эффективнее аппаратов с неподвижным или механически перемешиваемым слоем. 4. Аппараты, действующие по принципу полного вытеснения, более прогрессивны, чем аппараты, действующие по принципу полного смешения, потому что перемешивание снижает движущую силу процесса и не может обеспечить оптимальное время пребывания для всех частиц материала. 5. Аппараты, в которых достигаются высокие скорости обрабатываемых веществ и которые работают в предельных гидравлических режимах, более эффективны, чем аппараты, работающие в умеренных режимах.

21

3. Расчет тонкостенных сосудов, работающих под избыточным внутренним газовым давлением С точки зрения расчета на прочность, корпусы резервуаров и аппаратов представляют собой соединенные между собой части оболочек вращения или части оболочек, соединенные с пластинками, нагруженные симметрично относительно оси. Для упрощения расчетов напряженное состояние материала в таких конструкциях считают двухосным, что вполне допустимо в силу малости радиальных напряжений, возникающих в тонкостенных аппаратах. Напряженное состояние материала стенок подобных конструкций складывается из двух слагаемых: 1) напряженного состояния, вызываемого действием сил, непрерывно распределенных по поверхности, возникающих от давления газа, давления жидкости, собственного веса и т. п.; 2) напряженного состояния, возникающего под действием сил и моментов, распределенных по контуру – краевого эффекта. Первое слагаемое определяется в зависимости от обстоятельств или по мембранной (безмоментной) теории, или по более строгой моментной теории оболочек. В большинстве случаев результаты, полученные по мембранной теории, оказываются достаточно точными для инженерного расчета. Поэтому простые уравнения, основанные на мембранной теории, широко применяются для прочностного расчета аппаратов. Определение напряженного состояния от действия сил, непрерывно распределенных по поверхности по моментной теории, обычно не производят, потому что расчетные уравнения моментной теории сложны, расчет по ним трудоемок, а разница в результатах незначительна. Краевые силы и моменты возникают в сечениях, в которых происходит резкое изменение или нагрузки, или толщины стенки, или свойств конструкционного материала, а также возле мест заделок и приложения дополнительных связей. Напряженное состояние, вызываемое краевыми силами и моментами, определяется с помощью уравнений моментной теории. Напряжение и деформации, вызван-

22

ные краевым эффектом, имеют локальный характер и оказывают влияние лишь в зоне материала, расположенной в непосредственной близости к месту приложения краевых сил и моментов. В месте возникновения краевые напряжения могут достигать высоких значений. Поэтому всегда необходимо принимать конструктивные меры для снижения краевых напряжений. Краевые напряжения особенно опасны в аппаратах, изготовленных из хрупких материалов, таких, как термореактивные пластмассы, керамика и подобных, а также в аппаратах, подверженных знакопеременным нагрузкам.

3.1. Приложение безмоментной теории оболочек к расчету сосудов Существуют два принципиально различных подхода к определению механической надежности деталей аппаратов и других сооружений [9]. Согласно теории упругости прочность определяется величиной предельного напряжения, которое может выдержать нагруженная деталь, не разрушаясь. Согласно теории пластичности прочность определяется величиной предельной нагрузки, которую может выдержать деталь, не получая остаточных деформаций. Основанный на первом допущении метод расчета на прочность по предельным напряжениям базируется на предположении, что во всех частях детали или сооружения материал находится в упругом состоянии и нигде напряжение не превышает предела текучести. В случае сложнонапряженного состояния материала с помощью одной из теорий прочности находится приведенное напряжение, которое и сравнивается с предельным. Материал элементов химических аппаратов нагружен неравномерно. Примерами элементов, в которых напряжения распределены неравномерно по сечению, являются фланцы, стенки толстостенных сосудов, крышки, а также места соединения частей разной жесткости, например, обечаек и днищ. Если в основу расчета на прочность по предельным напряжениям взять максимальное напряжение, воз-

23

никающее в наиболее нагруженном месте конструкции и охватывающее весьма незначительный объем материала, то это неминуемо приведет к перерасходу конструкционного материала. Поэтому, рассчитывая конструкции по предельным напряжениям, берут за основу средние напряжения, например, мембранные напряжения в тонкостенных конструкциях, не обращая внимания на существование местных напряжений значительной интенсивности. Существенный недостаток такого подхода к оценке прочности заключается в том, что истинный запас прочности в разных частях конструкции остается невыясненным. В особо интенсивно нагруженных местах конструкций, сделанных из пластических материалов, можно допускать частичный переход материала в упругопластичное состояние, поскольку полное использование прочности материала наступает лишь при таких нагрузках, при которых пластические деформации распространяются на все опасное сечение конструкции. Расчет на прочность, при котором предполагается переход части материала конструкции в пластичное состояние, называется расчетом по предельным нагрузкам. Этот метод расчета позволяет более объективно оценить величину максимальной нагрузки, которую может выдержать конструкция не разрушаясь. Метод расчета на прочность по предельным нагрузкам применим только для расчета аппаратов, изготовленных из пластических материалов. Метод расчета на прочность по предельным напряжениям пригоден для аппаратов, изготовленных как из пластичных, так и хрупких материалов. Следует также учитывать, что в стоимости продукции, выпускаемой химическими заводами, доля амортизационных расходов составляет ничтожную величину, а стоимость самого аппарата в гораздо большей степени определяется стоимостью труда, затраченного на изготовление, чем стоимостью конструкционного материала. Конструктор обязан экономить материал и не допускать его напрасного расходования. Но нужно экономить разумно, так как слишком облегченная конструкция при изменении условий эксплуатации, как часто случается, может разрушиться, что приведет к катастрофическим последствиям.

24

3.1.1. Расчет на изгиб круглых пластин, нагруженных симметрично Пластиной называют плоское тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с размерами самих поверхностей. Срединная поверхность пластины, т. е. поверхность, равноудаленная от наружных поверхностей, представляет собой плоскость. Этим пластины отличаются от оболочек, у которых срединная поверхность не плоская [22]. Многие детали аппаратов и машин имеют форму круглой или кольцевой пластины (рис. 5). В качестве примеров можно назвать плоские днища и крышки резервуаров, фланцы труб, днища роторов центрифуги и т. д.

Рис. 5. Схема круглой пластины

В основу теории изгиба пластин положены следующие два допущения: а) точки, расположенные на некоторой прямой, перпендикулярной к срединной поверхности до деформации, остаются на прямой нормальной к этой поверхности после деформации пластины (гипотеза прямых нормалей Кирхгофа); б) в плоскостях, параллельных срединной плоскости, нормальные напряжения пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями изгиба. При изгибе пластин, наибольший прогиб которых существенно меньше толщины, пренебрегают радиальными перемещениями точек срединной плоскости.

25

Примем систему координат таким образом, чтобы плоскость X 0Y совпадала со срединной плоскостью пластины, начало координат 0 совместим с центром неизогнутой пластины (рис. 6).

Рис. 6. Схема к определению угла поворота к нормали в зависимости от прогиба

Из рис. 6 видно, что tgϕ = ± и малости угла ϕ ,

dω или с учетом направления оси z dr

ϕ=−

dω . dr

(1)

На изогнутой срединной поверхности пластины возьмем произвольную точку A (рис. 7) с координатой r и проведем через нее нормаль к поверхности. Также проведем нормаль и через ближайшую точку A′ , характеризуемую радиус-вектором r + dr . Длина дуги AA′ будет dr , а угол наклона этой нормали будет ϕ + d ϕ . На основании принятого допущения о недеформируемости срединной поверхности (деформации в остальных слоях пластины пропорциональны расстоянию z от срединной поверхности) для двух ближайших точек A и B (рис. 8) на расстоянии z от срединной поверхности и на расстояниях r и dr от оси z относительное удлинение волокна AB в радиальном направлении

εr =

( A′B′ − AB ) = zd ϕ AB

26

dr

.

(2)

б

а в Рис. 7. Схема угловых деформаций в различных сечениях цилиндрической пластины

Рис. 8. К расчету элемента пластины

27

Относительное окружное удлинение в точке B можно определить, сравнивая длину соответствующих окружностей до и после деформации:

εt =

2π ( r + zϕ) − 2πr 2πr

=

zϕ . dr

(3)

Вырежем из пластины бесконечно малый элемент двумя диаметральными (под углом dβ ) и двумя концентрическими сечениями с радиусами r и r + dr (рис. 9).

б

а Рис. 9. Схема действия внутренних силовых факторов на элемент пластин: а − элемент пластины; б − векторный треугольник

Выделенный элемент расположен на расстоянии z от срединной поверхности. Относительным удлинениям ε r и εt соответствуют нормальные напряжения σ r и σt , связь между которыми (деформациями и напряжениями) определяют по обобщенному закону Гука: μσ σ μσ σ ε r = r − t ; εt = t − r , E E E E

28

(4)

где σ r и σ t – напряжения, действующие в радиальном и окружном направлениях; E – модуль продольной упругости; μ – коэффициент Пуассона. При совместном решении уравнений (4) с учетом выражений (2) и (3) получим следующие выражения для напряжений:

⎛ Ez ⎞ ⎛ d ϕ μϕ ⎞ σr = ⎜ + ; ⎜ 1 − μ2 ⎟⎟ ⎜⎝ dr r ⎟⎠ ⎝ ⎠

(5)

⎛ Ez ⎞ ⎛ ϕ μd ϕ ⎞ σt = ⎜ + . ⎜ 1 − μ2 ⎟⎟ ⎜⎝ r dr ⎟⎠ ⎝ ⎠

(6)

Кроме нормальных напряжений на гранях, принадлежащих цилиндрическим сечениям выделенного элемента B1B1 A1 A1 и B2 B2 A2 A2 , в общем случае имеют место и касательные напряжения.

Любое радиальное сечение пластины (например, B1B2 A2 A1 ) является плоскостью симметрии, следовательно, в этих сечениях касательные напряжения отсутствуют. Переходя от нормальных напряжений σ r и σt к изгибающим моментам M r и M t , отнесенным к единице длины соответствующего сечения, получаем: +s

+s

2

2

M r = ∫ σr zdz ;

M t = ∫ σt zdz .

2

2

−s

−s

(7)

Подставляя в эти выражения значения σ r и σ t из уравнений (5) и (6) и интегрируя, имеем: ⎛ d ϕ μϕ ⎞ ; + Mr = D⎜ r ⎟⎠ ⎝ dr

(8)

⎛ ϕ μd ϕ ⎞ , Mt = D ⎜ + dr ⎠⎟ ⎝r

(9)

29

где D =

(

Es3

12 1 − μ 2

)

– цилиндрическая жесткость пластины.

Сравнивая уравнения (8) и (9) и уравнения (5), (6) и подставляя в них значение D , получаем:

σr =

12M r z s

3

σt =

;

12M t z s3

.

(10)

Наибольшие нормальные напряжения будут при z =

( σr )max = ±

6M r s

2

( σt )max = ±

;

6M t s2

s . Поэтому 2

.

(11)

На рис. 10,а приведена схема действия на выделенный элемент внутренних силовых факторов (изгибающих моментов и поперечных сил). Используя условие равновесия этого элемента, составляем уравнение моментов относительно оси y :

( M r + dM r )( r + dr ) d β − M r r ⋅ d β − 2 ⎜⎛ M t drsin ⎝

dβ ⎞ + 2 ⎟⎠

(12) 1 1 + Qr ⋅ d β dr + ( Q + dQ )( r + dr ) d β dr = 0. 2 2 На рис. 10,б показаны векторы моментов M t , которые отложены на перпендикулярных линиях к плоскости их действия. Проектируя векторы по направлению оси y (отрезок bc ), получаем искомый результат. Отбросив в последнем уравнении величины высшего порядка малости, после алгебраических преобразований получаем: Mr +

rdM r − M t + Qr = 0 . dr

30

(13)

а

б Рис. 10. Круглые пластины с различными видами нагрузки: а − сплошная; б − с отверстием

Подставляя значения M r и M t из формул (8) и (9), получим: ⎛ d 2ϕ 1 d ϕ ϕ D⎜ + − ⎜ dr 2 r dr r 2 ⎝

⎞ ⎟ = −Q . ⎟ ⎠

(14)

Используя тождество d 2ϕ dr

и учитывая, что

2

+

1 dϕ ϕ d ⎛ dϕ ϕ ⎞ , − = ⎜ + 2 r dr r dr ⎝ dr r ⎟⎠

(15)

d dϕ ( ϕr ) = r + ϕ , уравнение (14) можно предстаdr dr

вить в виде D

d ⎡1 d ( ϕr )⎥⎤ = −Q . ⎢ dr ⎣ r dr ⎦

31

(16)

Для выяснения смысла выражения в квадратных скобках уравнения (16) сложим почленно уравнения (8) и (9), в результате получим dϕ ϕ⎤ ⎡ + (1 + μ ) ⎥ M r + M t = D ⎢(1 + μ ) dr r⎦ ⎣

или Mr ± Mt 1 d ⎡ dϕ ϕ⎤ = D⎢ + ⎥=D ( ϕr ) . r dr 1+ μ ⎣ dr r ⎦

(17)

3.1.2. Расчет круглых осесимметричных пластин по методу начальных параметров Интегрируя уравнение (16), получаем: D

1 d ( ϕr ) = − ∫ Q ( r ) dr . r dr

(18)

Для получения обобщенного решения этого уравнения воспользуемся методом, предложенным С. Н. Соколовым [22], который является вариантом метода начальных параметров. Пластину, подвергаемую сложному нагружению, разделяют на участки, границы между последними выбирают в тех точках, где приложены силы и моменты или где начинается распределенная нагрузка. Когда последняя изменяется скачкообразно, ее представляют в виде двух нагрузок, действующих до наружного края пластины. Произвольные постоянные интегрирования по участкам сводят к начальным параметрам, количество которых не превышает трех. В качестве этих параметров принимают прогиб ω и изгибающие моменты M r и M t в центре сплошной пластины или на внутреннем контуре кольцевой пластины. Определение постоянных интегрирования возможно при любом числе участков, на которые разбивают пластину. Однако уже при двух-трех силовых участках расчет будет громоздким, так как потребуется составить и решить системы соответственно из шести и девяти уравнений. Рассматриваемый метод расчета, разработанный

32

С. Н. Соколовым, является наиболее экономичным при решении сложных задач и позволяет значительно упростить расчеты. Пусть на круглую пластину действуют следующие силовые факторы: момент m , равномерно распределенный по окружности радиуса a1 (см. рис. 10,а); кольцевая сила P , равномерно распределенная по окружности радиуса a2 ; нагрузка q , равномерно распределенная по кольцу, ограниченному радиусами a3 и a4 , и неравномерно распределенная по кольцу, ограниченному радиусами a4 и a5 , изме-

(

)

няющаяся по закону q0 ρ2 − a42 (здесь q0 – постоянный коэффициент; ρ – текущий радиус ( a5 > ρ > r )). В данном случае пластинка имеет пять участков. Рассмотрим последовательно части пластинки, вырезанные цилиндрическими сечениями. Значения поперечной силы Q ( r ) для пяти участков: I – при

0 ≤ r ≤ a1

Q=0;

II – при

a1 ≤ r ≤ a2

Q=0;

III – при

a2 ≤ r ≤ a3

Q=−

P ; 2 πr

(

)

2 2 ⎤ ⎡ ⎡ P q ⎛ a2 ⎞⎤ P qπ r − a3 ⎥ ⎢ + = −⎢ + ⎜ r − 3 ⎟⎥ ; IV – при a3 ≤ r ≤ a4 Q = − ⎢ 2πr ⎥ 2πr 2 r 2 ⎜⎝ r ⎟⎠⎥ π ⎢⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

V– при a4 ≤ r ≤ R

(

)

⎡ ⎤ qπ r 2 − a32 1 r P 2 2 ⎢ ⎥ Q = −⎢ + + ∫ q0 ρ − a4 ⋅ 2πρd ρ ⎥ = 2πr 2πr 2πr a 4 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ P a2 ⎞ q ⎛ a4 ⎞⎤ q⎛ = −⎢ + ⎜ r − 3 ⎟ + 0 ⎜ r 3 − 2ra42 + 4 ⎟ ⎥ . r ⎟⎠ 4 ⎜⎝ r ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣ 2πr 2 ⎜⎝ ⎦

(

33

)

После интегрирования правых частей этих уравнений получим следующие выражения для пяти участков: I–

∫ Q ( r ) dr = C1 ;

II –

∫ Q ( r ) dr = C1 + C2 ;

P P III – ∫ Q ( r ) dr = C2 + lnr − lna2 + C3 ; 2π 2π 2 2 qa32 P P qr2 qa3 qa3 lnr + lna3 + C4 ; − − IV – ∫ Q( r ) dr = C2 + lnr − lna2 + 2π 2π 4 4 2 2 2 2 qa32 P P qr2 qa3 qa3 − − lnr + lna3 + V – ∫ Q ( r ) dr = C2 + lnr − lna2 + 2π 2π 4 4 2 2

q r 4 q a4 q a2 r 2 q a4 q a4 qa 4 + 0 − 0 4 − 0 4 + 0 4 + 0 4 lnr − 4 lna4 + C5 , 16 16 4 4 4 4 где C1 ...C5 – постоянные интегрирования. При интегрировании введены постоянные члены, содержащие абсциссу граничного сечения ai . Этим достигается равенство значений C1 = C3 = C4 . Из сопоставления уравнений (17) и (18) следует, что M r + Mt = − ∫ Q ( r ) dr1 . (19) 1+ μ Однако для участка I было получено ∫ Q ( r ) dr = C1 , поэтому M rI + M t I = C1 . 1+ μ

(20)

Учитывая равенство (20), напишем выражения для граничного сечения участков II и III: C1 + C2 = C2 −

34

P lna2 + C1 . 2π

Следовательно, C1 = C3 . Аналогично устанавливаем, что C3 = C4 = C5 . При определении величины C1 учитываем условие r = 0 и M r = M t = M 0 . Тогда из уравнения (20) имеем 2M 0 C1 = . 1+ μ

∫ Q ( r ) dr при r ≥ a1 будет равно изгибающему распределенному моменту m . Так как значения выражения ∫ Q ( r ) dr Выражение

для участков I и II отличаются на величину C2 , заключаем, что C2 = m . Таким образом, уравнение для участка IV может быть записано в виде 2 2 2M0 qa32 1d P P qr 2 qa3 qa3 D + m + lnr − lna2 + − − lnr + lna3 . ( ϕr ) = r dr 1+ μ 2π 2π 4 4 2 2

Произведем интегрирование полученных дифференциальных уравнений для каждого участка, предварительно умножив левые и правые части полученных уравнений на r и подставив найденные значения постоянных первого интегрирования C1 . В результате получим для следующих участков:

M 0r2 + C1′ ; 1+ μ

I – при

0 ≤ r ≤ a1 ;

Dϕ I r =

II – при

a1 ≤ r ≤ a2 ;

DϕII r =

III – при

a2 ≤ r ≤ a3

M 0 r 2 mr 2 + + C2′ ; (22) 1+ μ 2

M 0 r 2 mr 2 ⎛ a12 ⎞ P ⋅ r 2 ⎛ a2 ⎞ ⎜1 − ⎟+ ⎜ −1 − ln 2 ⎟ + C3′ ; DϕIII r = + 1+ μ 2 ⎜⎝ r 2 ⎟⎠ 8π ⎜⎝ r 2 ⎟⎠

35

(21)

(23)

a3 ≤ r ≤ a4

IV – при

M 0 r 2 mr 2 ⎛ a12 ⎜1 − + 1+ μ 2 ⎜⎝ r 2 2 3 2 qr 4 ⎛ qa3 r ⎞ a3 ⎟ ln + +⎜ + C4′ ; 16 ⎜⎝ 8 ⎟⎠ r 2

⎞ P ⋅ r 2 ⎛ a2 a2 ⎟+ ⎜ 2 − 1 − ln 2 ⎟ 8π ⎜⎝ r 2 r2 ⎠

⎞ ⎟+ ⎟ ⎠

M 0 r 2 mr 2 ⎛ a12 ⎞ P ⋅ r 2 ⎛ a22 a2 ⎜1 − ⎟+ ⎜ + − 1 − ln 2 1+ μ 2 ⎜⎝ r 2 ⎟⎠ 8π ⎜⎝ r 2 r2 4 2 2 2 qr 4 qa3 ⎛ qa3 r ⎞ a3 ⎟ ln + + +⎜ + 16 16 ⎜⎝ 8 ⎟⎠ r 2 q r 6 ⎧⎪ 3a 2 ⎡ a2 ⎛ a 2 ⎞ ⎤ ⎫⎪ + 0 ⎨1 − 4 ⎢ 2 − 4 ⎜ 1 − 2ln 4 ⎟ ⎥ ⎬ + C5′ . 96 ⎪ r 2 ⎢⎣ r 2 ⎜⎝ r 2 ⎟⎠ ⎥⎦ ⎭⎪ ⎩

⎞ ⎟+ ⎟ ⎠

DϕIV r =

(24)

a4 ≤ r ≤ R

V– при

DϕV r =

(25)

Как при первом интегрировании для выравнивания произвольных постоянных интегрирования, в уравнения для участков III – V введены постоянные члены, содержащие абсциссу граничного сечения. Учитывая, что при r = 0 ϕI = 0 , из уравнения (21) получаем C1 = 0 .

При r = a1 ϕI = ϕII и, следовательно, DϕI a1 = DϕII a1 , откуда

M 0 a12 M 0 a12 ma12 = + + C2′ . 1+ μ 1+ μ 2 Далее, аналогично приравнивая для граничных сечений соответствующих участков углы поворотов ϕi −1 = ϕi и, следовательно, Dϕi −1ai −1 = Dϕi ai , найдем остальные постоянные интегрирования:

C3′ = −

q ⋅ a34 q ⋅ a6 P ⋅ a22 ; C4′ = − ; C5′ = − 0 4 . 8π 16 48

36

Подставляя в уравнения (21)–(25) значения постоянных интегрирования Ci′ и разделив левые и правые части полученных уравнений на r , получим выражение для углов поворота Dϕ . Для участка V уравнение будет наиболее общим, учитывающим все указанные выше нагрузки. Углы поворота любого участка можно найти, не учитывая члены уравнения, содержащие нагрузку, действующую за пределами данного участка. Уравнение для Dϕ будет иметь вид

Dϕ =

M 0r + m ⋅ rψϕm + P ⋅ rψϕP + qr 3 ⋅ rψϕq + q0 r 5 ⋅ rψϕq0 , 1+ μ

(26)

a где ψϕ – функция безразмерного аргумента λ = i . r Подставляя значения ϕ для участка V в формулы (10), (11) с учетом выражений для ψϕ , получаем:

M r = M 0 + m ⋅ ψrm + P ⋅ ψ rp + qr 2 ⋅ ψ rq + q0 r 4 ⋅ ψ rq0 ;

(27)

M t = M 0 + m ⋅ ψtm + P ⋅ ψtp + qr 2 ⋅ ψtq + q0 r 4 ⋅ ψtq0 .

(28)

Подставляя уравнения углов поворота ϕI – ϕV в уравнения прогибов для соответствующих участков, производим интегрирование, а затем выравнивание произвольных постоянных интегрирования Ci′′ по участкам и, выражая их через начальный параметр – прогиб в центре пластины ω0 , получаем для участка V: Dω = Dω0 +

M0 ⋅ r 2 + mr 2 ⋅ ψ ωm + 2 (1 + μ )

+ P ⋅ r 2 ⋅ ψ ωp + qr 4 ⋅ ψ ωq + q0 r 6 ⋅ ψ ωq 0 .

Функции ψ ji , называемые С. Н. Соколовым сопровождающими, легко подсчитывают для любых значений λ и представляют в виде таблиц [2, 12, 19, 22, 23].

37

При расчете кольцевых пластин обобщенные уравнения изменяются за счет начальных параметров, причем члены, учитывающие влияния нагрузок, остаются без изменений.

3.1.3. Расчет круглых пластин, подвергаемых растяжению Круглые пластины, нагруженные распределенными симметричными нагрузками, действующими в плоскостях, параллельных средней плоскости, испытывают растяжение или сжатие. Для определения радиального перемещения точки, отстоящей на расстоянии z от нейтральной поверхности r (рис. 11), имеем sϕ u . = tgϕ ≈ ϕ ; и umax min = 2 z

Рис. 11. Схема к расчету радиальных перемещений пластин

Выделим из пластинки, нагруженной только распределенным моментом m , элементарный нижний слой (см. рис. 11). Нормальные напряжения в этом слое на основании формул (24)

σr = ± σt = ±

6M r

s2 6M t

s2

; .

В пределах малой толщины выделенного слоя эти напряжения можно считать постоянными. На основании формул (26) – (28) получим следующие выражения нормальных напряжений для сплошной пластины 38

σ r = σ0 + σ N ψ rm ;

(29)

σt = σ0 + σ N ψ tm ;

(30)

Eu 1 − μ2

=

σ0 r + σ N rψϕm ; 1− μ

(31)

для кольцевой пластины σ r = σ r 0 ψ rr + σt 0 ψ rt + σ N ψ rm ;

(32)

σt = σ r 0 ψ tr + σt 0 ψ tt + σ N ψ tm ;

(33)

Eu 1 − μ2

= σr 0 r ψϕr + σt 0 rψ ϕt + σ N rψ ϕm ,

(34)

6m где σ N = – нормальное напряжение в элементарном нижнем s2 слое от действия распределенного момента m . Если пластина подвергается осесимметричному растяжению (сжатию), то вычисленные по приведенным формулам напряжения и радиальные перемещения можно распространить на все слои пластины независимо от координаты z . Полученные выше выражения можно использовать для определения напряжений σ r и σt , если диск с отверстием подвергается действию внутреннего давления p (внутренний радиус диска r0 и наружный R ). Для рассмотренного случая уравнения (32), (33) примут вид (35) σ r = σ r 0 ψ rr + σi 0 ψ rt ; σt = σ r 0 ψ tr + σt 0 ψ tt .

(36)

Величина σr 0 известна – это внутреннее давление p . Для нахождения неизвестного значения σ t 0 используем известное условие

( σr )r =b = 0 .

39

Тогда можно записать

⎛r ⎞ ⎛r ⎞ 0 = − pψ rr ⎜ 0 ⎟ + σt 0ψ rt ⎜ 0 ⎟ , ⎝R⎠ ⎝R⎠ откуда ⎛r ⎞ pψ rr ⎜ 0 ⎟ ⎝R⎠ σt 0 =

⎛r ⎞ ψ rt ⎜ 0 ⎟ ⎝R⎠

(37)

.

Подставляя в уравнения (33)–(36) σt 0 и значения сопровождающих функций, получаем: 2 2 2 2 2 r02 ⎛ R ⎞ ⎛ p ⎞ ⎛ r ⎞ p R + r0 ⎛ r0 ⎞ ⎟ ; (38) ⎜1 − ⎜1 − ⎟ = p σr = − ⎜ ⎟ ⎜1 + 0 ⎟ + ⎝ 2 ⎠ ⎜⎝ r 2 ⎟⎠ 2 R 2 − r02 ⎜⎝ r 2 ⎟⎠ R 2 − r02 ⎜⎝ r 2 ⎠⎟

σt = p

⎛ ⎜1 + R 2 − r02 ⎜⎝ r02

R2 ⎞ ⎟. r 2 ⎟⎠

(39)

Найдем напряжения σ r , σ t и перемещение u в общем случае, когда действуют внутреннее сжимающее давление p1 и наружное растягивающее p2 . При ( σr )r =r 0 = − p1 и ( σr )r = R = − p2 уравнение (32) примет вид

⎛r ⎞ ⎛r ⎞ − p2 = − p1ψ rr ⎜ 0 ⎟ + σt 0ψ rt ⎜ 0 ⎟ , ⎝R⎠ ⎝R⎠ откуда ⎛r ⎞ p1ψ rr ⎜ 0 ⎟ − p2 ⎝R⎠ σt 0 =

40

⎛r ⎞ ψ rt ⎜ 0 ⎟ ⎝R⎠

.

(40)

Уравнение для определения перемещений будет иметь вид

Eu 1 − μ2

= σr 0 r ψϕr + σt 0 rψϕt .

(41)

Подставляя в уравнения (32), (33) и (41) σ r 0 = − p1 и полученное значение σt 0 , а также выражения для сопровождающих функций, после преобразований получим:

u=

σr =

2 p r2 ⎛ R ⎞ p1R 2 ⎛ r02 ⎞ ⎟; ⎜1 − ⎟ + 2 0 ⎜1 − R 2 − r02 ⎜⎝ r 2 ⎟⎠ R 2 − r02 ⎜⎝ r 2 ⎟⎠

σt =

p1R 2 ⎛ ⎜1 + R 2 − r02 ⎜⎝

r02 ⎞ p r2 ⎛ ⎟ + 2 0 ⎜1 + R 2 ⎟⎠ R 2 − r02 ⎜⎝

R2 ⎞ ⎟; r 2 ⎟⎠

2 2 1 − μ p1r02 + p2 R02 1 + μ ( p1 + p2 ) R0 r0 1 . r+ E E r R 2 − r02 R 2 − r02

(42)

(43)

(44)

В толстостенном цилиндре, имеющем днища, которые воспринимают внутреннее давление, появляется напряжение σ z . Однако напряжения σ r и σ t в этом случае определяют по формулам, аналогичным формулам для дисков с отверстием. Наличие напряжения σ z незначительно влияет лишь на радиальное перемещение: 2 2 1 − μ p1r02 + p2 R02 1 + μ ( p1 + p2 ) R0 r0 1 μ − σzr . u= r+ r E E E R 2 − r02 R 2 − r02

Для расчета пластин ступенчатого профиля и пластин со сложным нагружением целесообразно применение ЭВМ.

41

3.2. Расчет оболочек, используемых в качестве обечаек сосудов Определение прочных размеров аппаратов с помощью уравнений, основанных на мембранной теории, рекомендуется производить в такой последовательности [9]. 1. Определяются габаритные размеры аппарата и выбирается форма всех его частей. 2. Выбирается конструкционный материал и способ изготовления частей аппарата и их соединения. 3. Определяется величина расчетного давления с учетом гидростатического давления столба воды во время испытания, устанавливаются величины и схемы приложения всех возможных дополнительных нагрузок. 4. Расчетом определяется рабочая температура стенок аппарата. 5. Устанавливаются допускаемые напряжения, причем они для разных мест аппарата, даже изготовленного из одного и того же материала, могут быть различными. 6. Выбираются коэффициенты прочности швов в зависимости от конструкции. 7. Определяется величина прибавки на коррозию. 8. Подсчитываются все вспомогательные величины. 9. Определяется прочная толщина стенок для всех составных частей оболочки аппарата. 10. Проверяется величина максимально допустимого испытательного давления. 11. Для горизонтальных аппаратов при расстоянии между опорами более 8000 мм производится проверка величины изгибных напряжений в стенках аппарата от действия собственного веса и находящейся в аппарате жидкости. До начала расчета обязательно набрасывается эскиз аппарата. В особо ответственных случаях, а также для аппаратов, изготовляемых из хрупких материалов или нагруженных знакопеременной нагрузкой, кроме того, учитывается еще и влияние краевых моментов и сил.

42

Оболочкой называют тело, ограниченное двумя близкими криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с размерами самих поверхностей [22]. Преимущества оболочки как конструктивного элемента реализуются в том случае, когда ее стенка работает на растяжение (сжатие) в условиях безмоментного напряженного состояния или состояния, близкого к безмоментному. Безмоментное состояние оболочки конечной толщины существует при следующих условиях: оболочка имеет плавную форму без разрывного изменения радиусов кривизны; закрепление краев оболочки не приводит к возникновению реактивных сил, имеющих значительные поперечные составляющие, и реактивных моментов; сосредоточенные силы или моменты отсутствуют; нагрузки являются равномерными или плавно изменяющимися. В местах резких переходов, жестких закреплений и контурных нагружений возникают напряжения изгиба, иногда достигающие больших значений, но имеющие явно выраженный локальный характер. Вследствие последнего обстоятельства напряжения изгиба в оболочках часто не учитывают, имея в виду, что местные пластические деформации не снижают ее несущей способности. В зонах оболочки, удаленных от точек приложения сосредоточенных сил и моментов или от мест с нарушенной силовой или геометрической непрерывностью, напряжения точно можно определить по безмоментной теории. По схеме расчета осесимметричной оболочки рассчитывают цилиндрические обечайки, сферические, эллиптические и конические днища емкостных и тепловых аппаратов, обечаек и крышки роторов, центрифуг и т. д. Выделим из рассматриваемой оболочки (рис. 12) элемент поверхности двумя смежными меридиональными сечениями и двумя сечениями, нормальными к меридиану. Обозначим радиусы кривизны дуги меридиана и сечения, перпендикулярного к дуге меридиана, через ρ m и ρt , толщину стенки – через s и размеры элемента в ме-

ридиональном и окружном (кольцевом) направлениях – через dsm и dst . 43

б а

в

Рис. 12. Схема к определению мембранных напряжений в оболочке: а − оболочка; б − элемент стенки; в − часть оболочки

На гранях элемента возникают напряжения σm и σ t . Первое напряжение σm называют меридиональным напряжением. Второе напряжение σt называют окружным напряжением. Напряжения σm и σ t , умноженные на соответствующие площади граней элемента, дадут силы σ m sdst и σt sdsm (рис. 13). Равнодействующая этих сил в направлении, нормальном к поверхности элемента dst . ab = bcd θt = σt dsm s ρt

Рис. 13. Схема действия усилий на элемент оболочки

44

Равнодействующая усилий σ m dst s в направлении, нормальном к ds поверхности элемента, будет σm dst s m . ρm Сумма этих равнодействующих уравновешивает силу, действующую по нормали к поверхности элемента: pdst dsm = σm dst s

откуда

dsm ds + σt dsm s t , ρm ρt

σ m σt p + = . ρ m ρt s

(45)

Полученное уравнение (45) называют уравнением Лапласа. Этого уравнения недостаточно для определения двух функций напряжений σm и σ t . Для получения второго уравнения отсечем коническим нормальным к меридиану сечением часть оболочки (см. рис. 12, в) и отбросим нижнюю часть. Действие отсеченных стенок заменим действующими в меридиональном направлении упругими силами: 2

2

σ m 2πρt s ⋅ ( sinα ) − p π ⋅ ( ρt sinα ) = 0 .

(46)

Из уравнений (45) и (46) находим pρ t ; 2s

(47)

⎛ ρt ⎞ ⎟. ⎜2− ρm ⎠ ⎝

(48)

σm =

σt =

pρt 2s

Для цилиндрического сосуда ρt = r (здесь r − радиус сосуда), ρ m = ∞ . Следовательно, pr ; 2s pr . σt = s

σm =

45

(49) (50)

Для конического сосуда радиус кривизны окружного сечения R ρt = к (здесь Rк − радиус основания конической оболочки; cosα α − половина раствора конуса), следовательно, σm =

pRк ; 2 scosα

(51)

pRк . scosα

(52)

σt =

Сопоставив полученные формулы, легко увидеть, что при одинаковом давлении, диаметрах сосудов и толщине стенок максимальное нормальное напряжение сферической оболочки в 2 раза меньше нормального напряжения цилиндрической, а конической больше 1 . в cosα Определим напряжения в эллиптическом днище. Пусть полуоси D эллипса будут равны и H . Радиусы кривизны эллипсоида в про2 извольной точке характеризуются уравнениями ρm =

R0

(1 + γsin θ) 2

32

;

ρt =

R0

(1 + γsin θ) 2

12

где θ − угол между нормалью и осью вращения; R0 = диус кривизны в вершине (при θ = 0 );

D 1 + γ − ра2

2 D 2) − H 2 ( γ=

H2

,

− параметр,

определяющий форму эллипса. Подставляя значения ρ m и ρt в уравнения (47, 48), получаем:

46

σm =

pD 4s

(1 + γ )1 2

;

(1 + γsin θ) 12 2 pD (1 + γ ) ⋅ (1 − γsin θ ) . σt = 12 4s 2 (1 + γsin θ) 2

12

(53)

(54)

Определим радиальное перемещение образующей цилиндрической оболочки, находящейся под действием внутреннего давления. На основании обобщенного закона Гука относительное удлинение стенки в окружном направлении σ − μσ m . εt = t E Абсолютное удлинение радиуса оболочки σ − μσ m . Δp = r t E Подставляя в эту формулу σm из уравнения (49) и σ t из уравнения (50), получаем для цилиндрической оболочки pr 2 Es

⎛ μ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ . ⎝ ⎠ Используя уравнения (47) и (48) и учитывая формулы (51) и (104), получаем: для сферического сегмента − Δ цp =

Δ cp =

pρ 2 ⎛ μ ⎞ 1 − ⎟ sinα ; 2 Es ⎜⎝ 2⎠

для конической оболочки −

Δ кp =

pRк 2 ⎛ μ ⎞ 1 1− , Es ⎜⎝ 2 ⎟⎠ sinα

где α − половина угла раствора при вершине конической оболочки и конической поверхности, ограничивающей сферический сегмент.

47

Значения углового перемещения краев цилиндрической и сферической оболочек равны нулю. Поворот образующей конической оболочки приведем без вывода:

ϑкp =

(

− pRк cosβ

)

2 ssin 2β E

,

где β − угол между образующей конуса и нормалью к его оси.

3.2.1. Расчет цилиндрических обечаек На обечайку корпуса аппарата при работе могут воздействовать внутреннее и наружное избыточные давления, масса корпуса аппарата и расположенных на нем конструкций, масса рабочей среды в аппарате, ветровая нагрузка и другие силы. Если давление в какой-либо точке на внутренней поверхности сосуда превышает 0,07 МПа без учета гидростатического давления, то при проектировании сосудов необходимо выполнить ряд требований, предусмотренных нормами Госгортехнадзора. Для стандартных конструкций корпусов аппаратов [6] расчеты цилиндрической обечайки на местную устойчивость от ветровой нагрузки и общую продольную устойчивость от сжимающих сил обычно не выполняют ввиду незначительности этих сил. Такие расчеты необходимо производить при конструировании колонных аппаратов H с отношением >5. D Формулы расчета на прочность стенок цилиндрических аппаратов основаны на выводах и уравнениях мембранной теории. Для того чтобы привести уравнения мембранной теории к инженерному виду, необходимо: а) выбрать теорию прочности, наилучшим образом отражающую поведение материала; б) установить величину запаса прочности и допускаемого напряжения; в) учесть ослабление конструкции, вызванное сварными или другими соединениями; г) учесть утоньшение стенок за счет отрицательных допусков на толщину листа и разъедающего действия среды на протяжении всего расчетного срока службы аппарата.

48

Расчет цилиндрических обечаек проводится по ГОСТ 14249−89, СТ СЭВ 597−77. Особенности расчета цилиндрических обечаек по этим нормам состоят в следующем. При составлении расчетных формул за основу взята третья теория прочности − теория наибольших касательных напряжений. Эта теория удовлетворительно описывает поведение большего числа конструкционных материалов, чем энергетическая. Условия прочности по теории наибольших касательных напряжений выражаются следующим образом. Уравнение для определения окружного напряжения σt (Па) по безмоментной теории оболочек имеет вид p r σt = R . s

Меридиональное напряжение σm в данном случае в 2 раза меньше окружного напряжения. Если цилиндрический сосуд опирается нижней частью, то меридиональное напряжение равно нулю. Согласно теории наибольших касательных напряжении эквивалентное напряжение σ экв = σ1 − σ3 .

В

данном

случае

σ1 = σt

и

σ3 = σ m ≈ 0 ,

следовательно,

p r σt = R ≤ [ σ ] , где [ σ ] – допускаемое напряжение. s Для сварных сосудов, используемых наиболее часто, в последнюю формулу вводят коэффициент прочности сварного шва ϕ p и

следующие величины: D − внутренний диаметр сосуда; c – прибавка на коррозию; s и sR − соответственно полная и расчетная толщина стенки. В результате получают выражение для радиуса срединной D + ( s − c) поверхности обечайки: r = , причем исполнительная тол2 щина стенки s = sR + c .

49

Тогда получим формулу для расчетной толщины обечайки sR =

pR ⋅ D . 2 [ σ ] ϕ p − pR

Данная формула применима при следующих условиях: s−c • < 0,1 для обечаек и труб при D ≤ 200 мм; D s−c • < 0, 3 для труб при D < 200 мм. D Толщина стенки определяется по формуле s ≥ sR + c . Допускаемое избыточное давление определяется по формуле

[ p] =

2 [ σ] ϕ p ( s − c ) D + ( s − c)

.

Производить расчет на прочность для условий испытания не требуется, если расчетное давление в условиях испытания будет меньше, чем расчетное давление в рабочих условиях, умноженное [ σ] на 1, 35 20 . [ σ] В зависимости от параметров (расчетного давления и температуры стенки) и характера рабочей среды сосуды подразделяются на группы (ОСТ 26 291−94). Группа сосуда определяется согласно требованиям табл. 1 или рис.14. Группу для сосуда с полостями, имеющими различные параметры и среды, допускается определять для каждой полости отдельно. Сосуды, на которые Правила не распространяются, независимо от расчетного давления следует относить к группе 5а или 5б [14, 15]. Сосуды с параметрами, соответствующими граничным линиям (см. рис. 14), следует относить к группе с менее жесткими требованиями.

50

Таблица 1 Группы сосудов

Группа Расчетное давление, Температура стенки, МПа cосудов °С 1 Выше 0,07 Независимо 2

3

Выше 0,07 до 2,5 Выше 2,5 до 5 Выше 4 до5 Выше 5 Выше 0,07 до 1,0

4 5а

Выше 1,0 до 5 Выше 2,5 до 4 Выше 4 до5 Выше 0,07 до 1,6 До 0,07

5б

До 0,07

Характер рабочей среды Взрывоопасная или пожароопасная или 1-, 2-го классов опасности по ГОСТ 12.1007

Выше +400 Выше +200 Ниже −40 Независимо Любая, за исключением укаНиже −20 Выше +200 до +400 занной: для 1-й группы сосудов До +400 До +200 От –40 до +200 От –20 до +200 Независимо Взрывоопасная или пожароопасная или 1-, 2-, 3-го классов опасности по ГОСТ 12.1007 Независимо Взрывобезопасная, пожаробезопасная, 4-го класса опасности по ГОСТ 12.1007

Рис.14. Деление сосудов на группы в зависимости от расчетного давления (Р) и расчетной температуры (t)

51

Выбор допускаемого напряжения Важнейшим вопросом конструирования является правильный выбор допускаемого напряжения, при котором обеспечивается безопасная работа аппарата и не происходит перерасхода конструкционного материала [4, 9]. Величина допускаемого напряжения зависит от следующих факторов: 1) от механических свойств материала − его прочности и пластичности (или хрупкости); 2) от характера силовой нагрузки и постоянства ее во времени; 3) от температуры, поскольку она влияет на прочность и пластичность материала; 4) от метода расчета, принятой расчетной схемы и верности отражения в ней действительных условий работы и нагружения конструкции. Характерным для химической аппаратуры является статичность механических нагрузок и широчайший диапазон температур стенок аппарата. Последнее обстоятельство приводит к тому, что один и тот же материал, например, углеродистая сталь, может оказаться при температурах глубокого холода недопустимо хрупким, а при высоких температурах − слишком непрочным и подверженным текучести. Основным критерием для установления допускаемых напряжений при расчете стенок аппаратов, работающих в области умеренных σ температур, является предел прочности σ B , этом случае [ σ] = B , nB где nB − запас прочности по пределу прочности. При расчете по предельным напряжениям очевидно, что допускаемое напряжение [ σ ] не должно превышать предела текучести σ T .

Следовательно, должно выполняться неравенство [ σ] < σT , что при использовании σ B в качестве критерия прочности остается неясным. Невыясненным остается также и действительный запас прочности. Повышение температуры по-разному влияет на механические свойства различных материалов. С увеличением температуры у цветных металлов и некоторых пластических масс происходит постепенное и непрерывное снижение как предела прочности σB , так и

предела текучести σ T . Иначе дело обстоит со сплавами на железной 52

основе. Из рис. 15 видно, что с повышением температуры предел прочности σB малоуглеродистой стали сначала увеличивается, доходит при температуре 250−300° С до максимума, а затем быстро падает. Величина же предела текучести при нагревании стали постепенно снижается. Поэтому определение [ σ ] относительно σB может привести к неверному представлению о росте запаса прочности при нагревании малоуглеродистой стали, хотя в действительности происходит как раз обратное.

Рис. 15. Влияние температуры на предел прочности σB и предел текучести σT углеродистой стали 20

Выбор σB в качестве критерия для оценки напряженного состояния может оказаться вынужденным для конструкционных материалов, на диаграммах растяжения которых трудно обнаружить точку перегиба, соответствующую пределу пропорциональности (рис. 16,б). Но для углеродистых сталей и других материалов, на диаграмме растяжения которых (рис. 16,а) отчетливо видны точки перегиба, соответствующие пределу пропорциональности А, пределу текучести В и пределу прочности С, выбор допускаемого напряжения относительно предела прочности σB ничем не оправдан и его можно объяснить только установившейся в машиностроении традицией и силой привычки. Гораздо правильнее для оценки допускаемого напряжения воспользоваться отношением σ (55) [ σ] = nT . T

53

Поскольку при повышении температуры пластичность металлов возрастает и предел текучести σ T непрерывно понижается, можно воспользоваться этим отношением для определения допускаемых напряжений и при повышенных температурах, подставляя в формулу значение предела текучести материала при данной рабочей температуре σtT .

σt

[ σ] = n T . T

Значения σtT , соответствующие разным температурам, экспериментально найдены для большинства ходовых конструкционных материалов. Очевидно, что при одном и том же напряженном состоянии значение запасов прочности будет неодинаковым при определении его по σB и σ T .

а

б

Рис. 16. Диаграммы растяжения: а − стали; б − чугуна

Многие оболочки и части химической аппаратуры во время работы бывают нагреты до высоких температур. При таких температурах необходимо учитывать ползучесть металла, под которой понимают способность металлов под действием нагрузок медленно пластически деформироваться, несмотря на то, что приложенные силы постоянны, а возникающие в металле напряжения не превышают предела текучести. Чем выше температура, тем быстрее происходит удлине-

54

ние нагруженной детали при той же нагрузке, причем деформация является уже не упругой, а остаточной. Предел текучести при высоких температурах перестает быть критерием допустимости напряженного состояния, потому что в результате ползучести материал может разрушиться из-за нарастания деформации в течение длительного времени. Таким образом, если при конструировании аппаратов, работающих в области умеренных температур, в качестве основного требования выдвигается неизменность размеров нагруженных элементов, то при высоких температурах приходится отказываться от этого принципа и стремиться лишь к тому, чтобы скорость приращения размеров за счет текучести не превышала какого-то полученного на практике значения, а конечная величина пластической деформации не превзошла опасного предела. Скорость ползучести обычно принимают такой, чтобы горячие болтовые соединения не приходилось подтягивать чаще одного раза в год, что соответствует скорости примерно 10-7 мм/мм час. Предельно допускаемые остаточные удлинения вследствие текучести для деталей из углеродистой стали считаются равными 1 %, для деталей из легированных теплостойких сталей – 1,5 %. Важной особенностью поведения нагруженного материала, находящегося в условиях ползучести, является релаксация, т. е. снижение напряжений, происходящее с течением времени в результате пластических деформаций. Скорость удлинения в результате ползучести чрезвычайно сильно зависит от двух факторов – температуры и напряжения в металле. На диаграммах рис. 17 показан характер этих зависимостей. В области высоких температур порядка 400–500°С увеличение температуры на 20–30° С может удвоить скорость удлинения деталей из углеродистой стали. Явление ползучести у цветных металлов и некоторых пластических масс начинает сказываться уже при комнатных температурах.

55

Рис. 17. Зависимость скорости ползучести от температуры

Для материалов, работающих в условиях ползучести, допускаемое напряжение определяют относительно предела ползучести при данной рабочей температуре σtП :

σtП σ = [ ] n . П В последнее время считают, что предел ползучести не является достаточной характеристикой и не всегда может служить критерием для расчета на прочность аппаратов, работающих при высоких температурах. Экспериментально полученные значения пределов ползучести определяются в течение слишком малого времени и при незначительных скоростях деформации. Более надежным считают следующий подход к этому вопросу. Испытывая материалы (при температурах, постоянных для данной серии опытов), замеряют время, прошедшее от начала опыта до разрушения образца. Меняя нагрузку, а следовательно, и напряжение в сечении образца, отмечают изменение времени от начала опыта до разрыва образца, причем понятно, что это время с увеличением нагрузки уменьшается. Далее получают экспериментальную зависимость между временем до разрушения и разрушающим напряжением, которая имеет вид

σ=

A

, (56) τn где σ – напряжение; τ – время, прошедшее с начала опыта до разрыва образца; A и n – константы. 56

Эта степенная функция изобразится в логарифмической сетке в виде прямой. Воспользовавшись ею, можно линейной экстраполяцией получить величину напряжения, при которой образец разрушится по истечении требуемого времени работы. Полученная таким образом величина называется пределом длительной прочности σД . Точность значений пределов длительной прочности, как это следует из самого метода определения, невелика. Формула для определения допускаемого напряжения при определении ее по пределу длительной прочности приобретает вид

σtД

[ σ] = n

.

Д

В машинах следует также учитывать усталость металла, появляющуюся при циклических знакопеременных нагрузках, благодаря чему в расчет вводится допускаемое напряжение по пределу усталости. Оболочки аппаратов в большинстве случаев нагружены статически, и такая необходимость обычно не возникает. Допускаемое напряжение [ σ ] при расчете по предельным нагрузкам для конструкционных материалов из сталей определяют в соответствии с ГОСТ 14249–89 (СТ СЭВ 596–86): – для углеродистых и низкоуглеродистых сталей: σ 5 σ ⎧ σТ или σT0, 2 σ Д10 П1, 0 / 105 ; В; ; nT nВ nД nП ⎩⎪

[ σ] = η ⋅ min ⎪⎨

⎫⎪ ⎬; ⎭⎪

(57)

– для аустенитных сталей: ⎧ σT1, 0

[σ] = η ⋅ min ⎪⎨

⎪⎩ nT

;

σВ σД105 σП1, 0 / 105 ; ; nВ nД nП

⎫⎪ ⎬. ⎪⎭

(58)

Для условий испытания аппаратов из углеродистых и низколегированных сталей допускаемые напряжения определяют по формуле

57

[ σ] = η ⋅

σТ20 или σТ200, 2 ; nT

(59)

для аппаратов из аустенитных сталей – 20 20 σТ0 , 2 или σТ1, 0 . [ σ] = η ⋅ nT

(60)

В зависимостях (57)–(60) напряжения при расчетной температуре имеют следующие значения: σ T – минимальное значение предела текучести; σT0, 2 — минимальное значение предела текучести, при котором остаточное удлинение составляют 0,2 %; σT20 – минималь20 20 ное значение предела текучести при температуре 20 °С; σT0 , 2 , σT1,0 – минимальные значения предела текучести и условного предела текучести при температуре 20°С, при которых остаточные удлинения составляют соответственно 0,2 и 1,0 %; σB – минимальное значение

временного сопротивления (предела прочности); σД105 – среднее значение предела длительной прочности за 105 ч; σ 5 – среднее П1, 0 / 10

5

значение 1 %-го предела ползучести за 10 ч. Коэффициенты запаса прочности должны соответствовать значениям, приведенным в табл. 2. Для сосудов и аппаратов групп 3, 4 по «Правилам устройства и безопасной эксплуатации сосудов, работающих под давлением» Госгортехнадзора РФ [4] коэффициент запаса прочности по временному сопротивлению nB допускается принимать равным 2,2. В случае, если допускаемое напряжение для аустенитных сталей определяют по формуле (57), коэффициент запаса 20 прочности nT по условному пределу текучести σT0,2 для рабочих условий принимается равным 1,3.

58

Таблица 2 Коэффициенты запаса прочности

Коэффициент запаса прочности Условие нагружения

nT

nВ

nД

nП

Рабочие условия

1,5

2,4

1,5

1,0

Условия испытания: гидравлические испытания пневматические испытания

1,1 1,2

Условия монтажа

1,1

– – –

– – –

– – –

Для сосудов и аппаратов, работающих в условиях ползучести при расчетном сроке эксплуатации 104 до 2⋅105 ч, коэффициент запаса прочности n равен 1,5. При расчетном сроке эксплуатации 2⋅105 ч допускается коэффициент запаса прочности nД принимать равным 1,25, если выполняется контроль жаропрочности и длительной пластичности материала в эксплуатации, а отклонение в меньшую сторону от среднего значения длительной прочности и ползучести не превышает 20 %. Поправочный коэффициент к допускаемым напряжениям ( η ) должен быть равен единице, за исключением стальных отливок, для которых коэффициент η имеет следующие значения: – 0,8 – для отливок, подвергающихся индивидуальному контролю неразрушающими методами; – 0,7 – для остальных отливок. Для элементов сосудов и аппаратов, работающих в условиях ползучести при разных за весь период эксплуатации расчетных температурах, в качестве допускаемого напряжения разрешается принимать эквивалентное допускаемое напряжение [ σ]экв , рассчитываемое по формуле

59

[σ]экв =

[σ]1 ⎡n ⎢ Ti ⎢i∑ =1 T0 ⎣⎢

1m m⎤

,

⎛ [σ] ⎞ ⎜ 1⎟ ⎥ ⎜ [σ] ⎟ ⎥ ⎝ i ⎠ ⎦⎥

где [ σ]i − допускаемые напряжения при температурах ti ( i = 1, 2, ... ); Ti – длительность этапов эксплуатации элементов с температурой n

стенки соответственно ti ( i = 1, 2, ... ), ч; T0 = ∑ Ti – общий расчетi =1

ный срок эксплуатации, ч; m − показатель степени в уравнениях длительной прочности стали (для легированных жаропрочных сталей рекомендуется принимать m = 8). Этапы эксплуатации при разной температуре стенки рекомендуется принимать по ступеням температуры 5 и 10°С. Коэффициент запаса устойчивости при расчете элементов аппаратов на устойчивость по нижним критическим напряжениям в пределах упругости принимается для рабочих условий ny = 2,4; для условий испытаний и монтажа ny = 1,8. Определение коэффициента прочности шва При расчете на прочность и устойчивость сварных элементов аппаратов в расчетные формулы вводятся коэффициенты прочности сварных швов, значения которых в зависимости от конструкции шва и условий сварки принимаются согласно табл. 3.

60

Таблица 3 Коэффициент прочности φ сварных швов

Значение коэффициентов прочности сварных швов Вид сварного шва

Длина контролируемых Длина контролишвов от общей длины руемых швов от обсоставляет 100 % 1 щей длины составляет от 10 до 50 % 1

Стыковой или тавровый с двусторонним сплошным проваром, выполняемый автоматической и полуавтоматической сваркой

1,0

0,9

Стыковой с подваркой корня шва или тавровый с двусторонним сплошным проваром, выполняемый вручную

1,0

0,9

Стыковой, доступный сварке только с одной стороны и имеющий в процессе сварки металлическую подкладку со стороны корня шва, прилегающую по всей длине шва к основному металлу

0,9

0,8

В тавр, с конструктивным зазором свариваемых деталей

0,8

0,65

Стыковой, выполняемый автоматической и полуавтоматической сваркой с одной стороны с флюсовой или керамической подкладкой

0,9

0,8

Стыковой, выполняемый вручную с одной стороны

0,9

0,65

1 Объем контроля определяется техническими требованиями на изготовление и правилами Госгортехнадзора РФ

Определение конструктивной прибавки Исполнительные или принимаемые при конструировании размеры рассчитываемых элементов, как правило, должны быть больше расчетных на значение прибавки: (61) s ≥ sR + c . 61

Общее значение прибавки c = c1 + c2 + c3 .

(62)

Каждая из составляющих прибавок должна обосновываться в технической документации. Прибавка на коррозию и эрозию с1 при проницаемости П≤0,05 мм/год принимается равной 1 мм. При большей проницаемости, а также при двусторонней коррозии с1 соответственно увеличивается. Для материалов, стойких в заданной среде, при отсутствии данных о проницаемости рекомендуется принимать с1 = 2 мм. Прибавка на минусовое значение предельного отклонения по толщине листа с2 , из которого изготовляется элемент аппарата, принимается по соответствующему стандарту на сортамент. Технологическая прибавка с3 (при вытяжке, штамповке, гибке и т. д.) учитывается в зависимости от принятой технологии изготовления и не включает в себя округление расчетной толщины элемента до номинальной толщины по стандарту. Прибавки с2 и с3 учитываются только в тех случаях, когда сумма их превышает 5 % от расчетной толщины элемента. Типовые конструкции гладких цилиндрических обечаек (корпусов) аппаратов приведены на рис. 18 [12, 23]. В аппаратах, работающих под вакуумом или под наружным давлением, применяются кольца жесткости, которые в зависимости от конструктивных возможностей могут располагаться как внутри, так и снаружи корпуса. Форма поперечного сечения колец может быть произвольной (например, наружные прямоугольного сечения или внутренние таврового сечения (рис. 19)).

62

а

б

в

г

д

е

Рис. 18. Конструкция гладких цилиндрических обечаек (корпусов) аппаратов: а – с фланцем и плоским днищем; б – с жесткими внутренними перегородками; в – с отбортованными эллиптическим и коническим днищами; г – с неотбортованными сферическим и коническим днищами; д – с рубашкой на нижней части аппарата; е – с рубашкой на средней части аппарата

б

а

Рис. 19. Конструкция корпуса аппарата: а – подкрепленного наружными кольцами жесткости; б – подкрепленного внутренними кольцами жесткости

63

Расчет цилиндрических обечаек производится по ГОСТ 1424–80. s−c Формулы расчета применимы при условии ≤ 0,1 для обечаек и D s−c труб при D ≥ 200 мм; ≤ 0, 3 – для труб при D < 200 мм. D На обечайки могут действовать нагрузки от внутреннего или наружного давления и сосредоточенные (боковые, осевые). Для обечаек, нагруженных избыточным внутренним давлением, толщина стенки определяется по следующим формулам: sR =

pR ⋅ D 2 [ σ ] ϕ p − pR

s ≥ sR + c ,

где D – внутренний диаметр обечайки; pR − расчетное давление (максимальное расчетное); sR – расчетная толщина; ϕ – коэффициент прочности сварных швов. Допускаемое внутреннее избыточное давление определяется по формуле

[ p] =

2 [ σ] ϕ p ( s − c ) D + ( s − c)

64

.

4. Приложение моментной теории оболочек к расчету сосудов 4.1. Основные причины возникновения краевых сил и моментов Рассматривая расчет сосудов и корпусов аппаратов, мы до сих пор предполагали, что каждая из оболочек, образующих сосуд или корпус аппарата, работает самостоятельно и независимо от других связанных с ней оболочек или других частей аппарата. Во многих практических случаях так считать допустимо, и получаемые приближения оказываются вполне достаточными для инженерных целей. Однако в некоторых случаях такое упрощение может привести к совершенно неверным результатам [22]. Возьмем в качестве примера сосуд, состоящий из цилиндрического корпуса и конического днища, подверженный изнутри действию газового давления p (рис. 20, а). Мысленно отделим днище от корпуса (рис. 20,б), оставив их под действием приложенных нагрузок (в нашем случае равномерно распределенного давления).

а

б

Рис. 20. Цилиндр с коническим днищем

65

в

Согласно формулам мембранной теории радиальное перемещение края цилиндра будет равно Δ pц =

pr 2 Es

⎛ μ⎞ ⎜ 1 − 2 ⎟ , а поворот его ϑpц = 0 . ⎝ ⎠

Для края конуса, замкнутого у вершины, согласно формулам мембранной теории линейное перемещение края Δ pк и поворот края ϑpк будут соответственно иметь следующие значения:

Δ pк =

pRк 2 ⎛ μ ⎞ 1 1− , Es ⎝⎜ 2 ⎠⎟ sinα

ϑpк =

− pRк cosβ ( 2 ssin 2β) E

(63)

.

Как видно, ни линейные перемещения, ни угловые повороты краев цилиндрической и конической частей не равны между собой. Если бы оболочки были просто приложены краями друг к другу, то в результате деформаций, вызванных воздействием газового давления, между обоими краями образовался бы линейный зазор и зазор, обязанный разности угловых деформаций. Эти зазоры, однако, без разрушения сосуда образоваться не могут, потому что обе оболочки или изготовляются заодно, например, отливаются из чугуна, или неразъемно соединяются между собой, например, сваркой. Благодаря взаимному влиянию оболочек, каждая из которых мешает свободно деформироваться другой, линейные и угловые перемещения обоих краев становятся равными и сосуд принимает новую форму, изображенную на рис. 20,в. Учитывая симметричность деформаций относительно оси, можно заключить, что они вызываются равномерно распределенными по окружностям радиальными краевыми силами и меридиональными краевыми моментами, отнесенными к единице длины окружности и возникающими в сечении стыка оболочек.

66

Любые причины, препятствующие свободной деформации соединенных оболочек, вызывают появление краевых сил и краевых моментов. Такими причинами, оказываются: во-первых, разная жесткость соединяемых частей, заделка края обечайки, например, соединение ее с трубной доской или массивным фланцем, насаживание на обечайку бандажа и т.д. Во-вторых, сопряжение оболочек в стыковом сечении под углом. Величина краевых сил, называемых в этом случае распорными силами, равна проекции меридиональных сил на плоскость, проходящую через стыковое сечение, взятых с обратным знаком. В-третьих, внезапное изменение по меридиану какого-нибудь силового или физического параметра: давления, температуры, прочностных характеристик конструкционною материала, например, в месте соединения обечаек, сделанных из разных материалов.

4.1.1. Результаты возникновения краевых сил и моментов Действие на обособленные, ни с чем не связанные оболочки приложенных к их свободному краю и равномерно по нему распределенных краевых сил Q0 и моментов M 0 вызывает появление в стенках оболочки меридиональных сил U , кольцевых сил T и поперечных (радиальных) сил N , а также появление меридиональных моментов M и кольцевых моментов K , как это показано на рис. 21.

Рис. 21. Силы и моменты, возникающие в элементе оболочки: U − меридиональные силы; Т − кольцевые силы; N − поперечные силы; М − меридиональные моменты; К − кольцевые моменты

67

Особенностью напряженного состояния материала стенок оболочек, вызванного краевыми моментами и силами, является изменение значений вызываемых ими сил, моментов, напряжений и деформаций по мере удаления от края по быстрозатухающей знакопеременной, волнообразной кривой, характеризуемой уравнением вида y = Ae −β x (sinβ x ± cosβ x ) ,

с длиной волны λ =

2π всегда весьма малой по сравнению с радиуβ

сом оболочки. В этом уравнении A – величина, учитывающая нагрузки; β – функция произведения Rs , характеризующая скорость затухания; x – расстояние от края до исследуемого сечения. Из уравнения следует, что изгибные напряжения, вызванные краевыми силами и моментами, имеют местный характер и оказывают влияние только в непосредственной близости от плоскости приложения краевых сил и моментов. Примерный вид эпюры напряжений показан на рис. 22.

Рис. 22. Эпюра напряжений

Уже на небольшом расстоянии от края дополнительные напряжения становятся настолько малыми, что их можно не учитывать. Например, для цилиндрической обечайки влиянием краевых моментов и сил можно пренебрегать и учитывать только мембранное состояние

68

на расстоянии от края: по данным З. Б. Канторовича, x = 2, 5 Rs , по данным В. И. Федосеева, x ≈ 1,1 Rs . Цилиндры и другие оболочки, у которых нагрузка, приложенная к одному краю, практически не влияет на деформации и напряжения у другого края, условно именуются «длинными». В дальнейшем все рассматриваемые оболочки считаются «длинными», что справедливо для большинства оболочек, встречающихся в химической аппаратуре.

4.1.2. Изгиб цилиндрической оболочки при симметричном нагружении (моментная теория) Для понимания характера работы симметричной оболочки вращения под действием симметричных нагрузок нет необходимости рассматривать разные типы оболочек. Достаточно рассмотреть работу длинной круговой цилиндрической оболочки, к краю которой приложены равномерно распределенные изгибающие моменты M 0 и поперечные силы Q0 (рис. 23), приходящиеся на единицу длины окружности срединной поверхности цилиндра [22]. Выделим из цилиндра полоску единичной ширины.

а в

б

г

Рис. 23. Цилиндрическая оболочка, нагруженная распределенным изгибающим моментом и поперечной силой: а – схема нагружения края оболочки; б – полоска, выделенная из цилиндра; в – диаметральное сечение деформированной оболочки; г – схема действия усилий на сечение полоски

69

Обозначая через y радиальное перемещение полоски, найдем относительную деформацию растяжения полоски в окружном направлении: ⎡ 2π ( r + y ) − 2πr ⎤⎦ y ε= ⎣ = . r 2πr Окружное напряжение в срединной поверхности Ey , σ = Eε = r где E – модуль упругости при растяжении материала оболочки, Па. Окружные растягивающие усилия Tϕ , приходящиеся на единицу длины полоски, имеют составляющую Eys , (64) Tϕ′ = r и составляющую, обусловленную наличием растягивающей осевой силы Tx , T ″ = μT . ϕ

x

Равнодействующая этих усилий, направленная по радиусу – R=

2T ϕ ⎛ Eys ⎞ = ϕ⎜ + μTx ⎟ . 2 ⎝ r ⎠

Необходимо отметить, что ϕr = 1 . Из последнего уравнения следует, что равнодействующая противодействует прогибу полоски и пропорциональна этому прогибу. Так как соседние полоски препятствуют деформациям изгиба боковых граней, жесткость каждой полоски при изгибе будет больше жесткости обычной, свободно опертой балки. Относительное удлинение полоски при ее изгибе в направлении оси цилиндра согласно обобщенному закону Гука – ε m0 =

σ m0 − μσt0 E

70

,

в окружном направлении – εt0 =

σt0 − μσm0

= 0. E В этой формуле индекс 0 означает, что рассматриваются напряжения и относительные деформации, обусловленные только изгибом полоски. Удлинение εt должно быть равно нулю, так как переме0

щение в окружном направлении исключено из-за наличия соседних полосок. Тогда (65) σt = μσ m 0 0 и, следовательно, ε m0 =

где E ′ = E

σ m0 E

(1 − μ2 ) =

σ m0 E

(1 − μ2 )

=

σ m0 E′

,

(1 − μ2 ) .

Таким образом, изгиб полоски следует рассматривать как изгиб свободной балки, но E ′ > E . Окружное напряжение на боковых гранях полоски согласно уравнению (65) составляет около 30 % напряжений σ m (для стали) и имеет тот же знак. 0

Из курса сопротивления материалов известно дифференциальное уравнение, связывающее прогиб балки и распределенную нагрузку: EJ

d4y dx 2

= q ( x) .

(66)

Это уравнение можно применить и для изгиба полоски, выделенной из цилиндрической оболочки. Силой, действующей на полоску, будет непрерывно распределенная сила сопротивления R со стороны соседних полосок при давлении внутри оболочки p и усилии

71

pϕr . Подставляя в уравнение (66) вместо q ( x ) значение R и вместо модуля упругости при растяжении E величину E′ , получаем: E ′J

d4y

⎡ Eys μTx ⎤ = −R = − ⎢ + − p⎥ . r dx 4 ⎣ r2 ⎦

Знак минус в правой части равенства указывает на то, что направление силы сопротивления R противоположно направлению прогиба полоски. Подставляя в последнее уравнение значения E′ и R и учитывая, что J =

s3 , получаем: 12 D

где D =

Es 3

12(1 − μ 2 )

d4y dx

4

=−

Eys r

2

−

μTx + p, r

(67)

– цилиндрическая жесткость оболочки при изгибе.

Уравнение (67) можно записать в следующем виде: d4y dx

4

+ 4β4 y = −

β=4

μTx p + , rD D

3(1 − μ 2 ) r 2s2

(68)

.

Перейдем к интегрированию дифференциального уравнения (68). Решение уравнения представим в виде суммы общего решения однородного уравнения d4y 4

+ 4β 4 y = 0

dx и частного решения с правой частью уравнения (68).

Решение однородного уравнения (69) имеет вид y = Ce kx .

72

(69)

Подставляя это выражение в левую часть уравнения (69), найдем характеристическое уравнение: k 4 + 4β 4 = 0 ,

k = 4 −4β4 . Используя правила извлечения корней из отрицательных и мнимых чисел, находим модуль числа k :

k = 4 4β4 . Аргумент числа k будет равен аргументу подкоренного числа, ( π + 2πn ) деленному на показатель корня, т. е. . Таким образом, k 4 является комплексным числом: π + 2πn π + 2πn ⎞ ⎛ . + isin k = 4 4β4 ⎜ cos 4 4 ⎟⎠ ⎝

Заменяя n значениями 0; 1; 2; 3, находим четыре корня характеристического уравнения: k1 = β + β i ; k2 = −β + β i ; k3 = −β − β i ; k4 = β − β i .

Тогда общее решение однородного уравнения (69) примет вид y = C1e(

или

β+β i ) x

+ C 2 e(

−β+β i ) x

(

+ C3e(

)

−β−β i ) x

(

+ C4 e(

β−β i ) x

)

y = e −βx C2 eiβx + C3e−iβx + eβx C1eiβx + C4e−iβ x ,

(70)

где C1 , C2 , C3 , C4 – постоянные интегрирования, являющиеся комплексными величинами. Закон распределения поверхностных нагрузок p и Tx определяет частное решение уравнения (68).

73

В практике поверхностные нагрузки чаще всего постоянны, иногда изменяются по линейному или квадратичному закону. Тогда для y получим следующее выражение:

y=

μTx ⎞ r 2 1 ⎛ μTx p ⎞ ⎛ p − + = − . ⎜ ⎟ ⎜ r ⎟⎠ Es 4β4 ⎝ Dr D ⎠ ⎝

Выражение (70), представляющее собой общее решение уравнения (69), не очень удобно для практического использования. Для определения постоянных интегрирования необходимо использовать граничные условия на краях оболочки. При жестко заделанном крае dy необходимо соблюдать следующие условия: y = 0 и = 0 (рис. 24,а). dx

в

б

а

е

д

г

ж

Рис. 24. Опирание и сопряжение краев оболочек

При шарнирном опирании края оболочки (рис. 24,б) y = 0 и d2y dx 2

= 0 (так как M x = 0 ).

74

Если край оболочки нагружен заданными силой Q0 и моментом M 0 (рис. 24,г), то, исходя из уравнения для балки 2

d y

dx

2

=

M , EJ

3

d y

= Q0 . dx 2 dx3 При сопряжении цилиндрической оболочки с оболочками других типов (рис. 24, д, е, ж) для каждого края сопрягаемых оболочек необходимо выполнить по два условия: равенство радиальных перемещений y или равенство окружных деформаций; равенство углов поворота нормали ϕ ; равенство моментов M m и M 0 ; равенство составляющих внутренних сил

для оболочки напишем D

= M0 ; D

d2y

( −Tmcosθ + Qsinθ)ДН = Q0ц ,

(71)

где Tm – меридиональная сила; Q0ц – краевая сила. При сопряжении цилиндрической оболочки с плоским днищем (рис. 24, ж) граничные условия упрощаются вследствие допущения о нерастяжимости срединной поверхности пластины. Первое условие сопряжения принимает вид y0 = 0 . Рассмотрим расчет длинных цилиндрических оболочек. На основании формул Эйлера показательные функции можно заменить на тригонометрические e 2ϕ = cosϕ + isinϕ ; e −i ϕ = cosϕ − isinϕ .

Тогда выражение (70) можно записать в следующем виде:

y = e−βx ( A1sinβx + A2 cosβx ) + eβx ( A3sinβx + A4 cosβ x ) + y , (72) где A1 , A2 , A3 , A4 – новые постоянные интегрирования, являющиеся действительными величинами. У начала координат вторым слагаемым можно пренебречь, так как постоянные A3 и A4 должны быть очень малы, иначе с увеличе-

75

нием x будут неограниченно возрастать перемещения y . Следовательно,

y = e−βx ( A1sinβx + A2 cosβx ) + y ,

(73)

где A1 и A2 – постоянные интегрирования, определяемые по граничным условиям при x = 0 . Для определения длины l оболочки, при которой ее можно рассматривать как длинную оболочку, примем допустимую погрешность расчета, равную 5 %. Учитывая, что функции типа e −β x sinβ x и e −β x cosβx , а также их производные при βx > 3 принимают значения, меньшие 0,05, приходим к выводу, что оболочку возможно рассматривать в качестве длинной оболочки, если βl ≥ 3 или l ≥ 2, 5 rh .

При проведении расчетов длинных цилиндрических оболочек целесообразно постоянные интегрирования выражать через некоторые начальные параметры. Рассчитаем длинную цилиндрическую оболочку, нагруженную внутренним давлением p , краевыми заданными моментом M 0 и силой Q0 , величина Tx является постоянной величиной и не зависит от x . M0 d 3 y Q0 и . = D D dx 2 dx3 Используя уравнение (73), по граничным условиям определяем постоянные интегрирования:

Граничные условия при x = 0 :

A1 =

−M 0 2 Dβ

2

d2y

; A2 =

=

M0 2 Dβ

2

+

Q0 2 Dβ3

.

Тогда уравнение радиальных перемещений будет иметь вид

y=

M0

2 Dβ

2

e−βx (cosβx − sinβx ) +

76

Q0 3

2 Dβ

e−βx cosβ x + y .

(74)

Используя уравнения (73) и (74), находим угол наклона нормали ϕ и внутренние нагрузки M x , M y и Tt :

ϕ=

M Q dy = − 0 e−βx cosβx − 0 e−βx (cosβ x + sinβ x ) ; dx Dβ 2 Dβ3

Mx = D

d2y

Q = M 0 e−βx (cosβx + sinβx ) + 0 e−βx sinβx ; β dx 2

(75)

M y = μM x ; Q=D Tt =

d3y dx3

= −2M 0βe−βx sinβx + Q0 e−βx (cosβ x − sinβ x ) + D

d3y dx3

;

Q ⎡ ⎤ Esy + μTx = 2rβ 2 ⎢ M 0 e −β x ( cosβ x − sinβ x ) + 0 e −β x cosβ x ⎥ + p1r . r β ⎣ ⎦

Для решения практических задач найдем перемещения края длинной цилиндрической оболочки под действием распределенных единичных сил и моментов. Обозначим через ϑ M и ϑQ углы поворо0

0

та края оболочки от действия единичных изгибающего момента и поперечной силы в направлении действия изгибающего момента; через Δ M и Δ Q – перемещения края оболочки от действия еди0

0

ничных момента и силы в направлении действия поперечной силы.

4.1.3. Применение моментной теории к расчету сферических и конических оболочек Выше было рассмотрено решение краевой задачи для цилиндрической оболочки с постоянной толщиной стенки. Точные решения краевой задачи для оболочек вращения, имеющих другую форму, представляются весьма сложными. Для сферической оболочки задача решается с помощью гипергеометрических рядов, которые крайне медленно сходятся, причем значения первых членов значительно превосходят полное суммарное значение членов всего ряда. Существуют строгие доказательства большого сходства решений краевой задачи любой непологой оболочки вращения (если половина 77

центрального угла конического сечения оболочки лежит в пределах 30–90°) с решениями краевой задачи цилиндрической оболочки. На этом основан приближенный метод решения краевой задачи П. Л. Пастернака для непологих оболочек вращения. Полученные им результаты для непологой сферической оболочки приведены в следующих формулах для единичных перемещений:

b ab 1 a = δ11c ; δ12c = δ21c = δ11c ; δ22c = δ12c , (76) βc 2βc βc Dc 2βc2

δ11c =

где βc = 4

Dc =

3(1 − μ 2 ) Rc2 s 2

Es3

12(1 − μ 2 )

, при μ = 0, 3 βc = 1, 285

, при μ = 0, 3 Dc =

1 Rc s

;

Es 3 , 10, 92

здесь Rc , a , b – радиусы кривизны; s – толщина стенки оболочки. Для пологих сферических оболочек при определении единичных перемещений края оболочки необходимо вводить следующую поправку:

δ δ δ W δ11пc = 11c ; δ12пc = 12c ; δ22пc = 22c 2 , W1 W1 W1 где W1 =

1 1 ( 0, 5 − μ ) ctgϕ ; W2 = 1 − 0, 5 ctgϕ . βρ βρ

В общем случае методы расчета конических оболочек, учитывающие возникающие в их поперечных и продольных сечениях изгибающие моменты, являются сложными и трудоемкими. Для широкого края конической оболочки можно достаточно просто получить перемещения δ11к , δ12к и δ 22к , если приложенную к краю силу H спроектировать на нормаль n − n к образующей конической оболочки (рис. 25). Приняв H = 1Н и используя формулы (76), получаем:

78

δ11к =

1 ; βк Dк

δ 22к =

δ12к = δ 21к =

sin 2 ϕ 2β3к Dк

= δ12к

sinϕ 2βк2 Dк

= δ11к

sinϕ ; 2βк

sinϕ sin 2 ϕ , = δ11к βк 2βк2

где βк − характеристика конической оболочки; βк = 4

Dк =

3(1 − μ 2 ) Rк2 sк2

Esк3 12(1 − μ2 )

,

, при μ = 0, 3

при μ = 0, 3

βк = 1, 285

Dк =

1 Rк sк

Esк3 , 10, 92

;

(77)

(78)

где Dк − цилиндрическая жесткость оболочки.

Рис. 25. Схема конической оболочки

Полученные формулы справедливы для конических оболочек, когда угол ϕ не слишком мал, так как при вычислениях по приведенs ctgϕ по сравR нению с единицей. В тех случаях, когда угол ϕ мал и погрешность выходит за допустимые пределы, необходимо вводить поправку для δ ′ = 11к . оболочек δ11к ν1

ным формулам допускается погрешность порядка

79

Определение напряжений на краю конической оболочки производят несколько иначе, чем для цилиндрической оболочки. Спроектируем силу Н, действующую в направлении радиуса в нормальной к оси оболочки плоскости, на направление образующей конической оболочки (см. рис. 25): Hcosϕ = T1 .

(79)

Полное краевое меридиональное напряжение

M T σ01 = 1 ± 6 0 , s s2 где M 0 – распределенный изгибающий момент, приложенный к краю оболочки. Для определения полных окружных напряжений на краю конических оболочек необходимо определить боковые усилия T2 . Эти усилия приближенно могут быть найдены так же, как и усилия для цилиндрической оболочки. Как следует из уравнения (64), окружное усилие на краю T2 =

Eys . r

(80)

Прогиб на краю оболочки y = δ12 M 0 + δ 22 H . Используя последнее выражение и формулу (80), имеем: Es (81) T2 = ( δ12 M1 + δ22 H ) . r В случае пологих конусов, т. е. когда угол ϕ мал, в это уравнение вводят поправку ν2 :

T2 = где ν 2 = 1 − 0,195

⎞ Es ⎛ 1 ⎜ δ12 M1 + δ22 H ⎟ , r ⎝ ν2 ⎠

s ctgϕ . ρ 80

(82)

Окружной момент M 2 на краю для конических оболочек – M 2 = μM 0 +

0, 34 scosϕ H, ν1

(83)

s где ν 2 = 1 + 0,195 ( 4 − μ ) ctgϕ . ρ

Полное краевое окружное напряжение для конических оболочек –

T M σ02 = 2 ± 6 2 . s s2

(84)

Для усеченного края меньшего основания конической оболочки усилия T1 и T2 определяют по формулам (79) и (81), а момент M 2 по следующему уравнению: M 2 = μM 0 +

где ν3 = 1 − 0,195

0, 272 scosϕ H, ν3

(85)

s (1 − μ ) ctgϕ . ρ

4.2. Основные уравнения совместности деформаций взаимосвязанных оболочек различной формы 4.2.1. Определение силовых факторов Теперь можно рассматривать части, составляющие рассчитываемый сосуд, как обособленные, ни с чем не связанные оболочки, к краям которых приложены найденные значения P0 и M 0 . Далее, пользуясь выводами краевой задачи, определяем все интересующие нас силы, моменты и напряжения на любом расстоянии от края [9]. Подсчитывая силы и деформации, возникающие от краевых сил и моментов, следует учитывать правило знаков, вытекающее из направления деформаций, вызванных этими воздействиями: силы P0 –

81

положительные, если они вызывают увеличение радиуса оболочки и направлены от оси наружу; моменты M 0 – положительные, если они поворачивают край оболочки наружу; линейные радиальные деформации Δ – положительные, если происходит увеличение радиуса, т. е. если они направлены наружу от оси; угловые деформации ϑ – положительные, если край поворачивается наружу. Краевой эффект особенно опасен для хрупких материалов, для которых условие прочности лучше характеризуется третьей теорией прочности. Главная трудность всех расчетов, учитывающих краевые напряжения, заключается в назначении допускаемых напряжений. Краевые воздействия, как видно из выше изложенного, имеют явно выраженный местный характер, и краевые напряжения действуют всегда на очень узкую зону материала. Рассчитывать же всю конструкцию, беря за основу пиковые напряжения, например, фибровые напряжения на внешней или внутренней поверхности сосуда, вызванные действием моментов M и К, принципиально неверно, особенно если материал пластичен. Появление в отдельных местах конструкции краевых напряжений изгиба, иногда превышающих предел текучести, как показывает практика, еще не означает исчерпания несущей способности конструкции. В этих местах образуется шарнир пластичности, приводящий к изменению расчетной схемы и падению напряжений, которые со временем еще более снижаются в результате релаксации. Если материал очень пластичен (резина и такие пластические массы, как полиэтилен, нейлон, фторопласт и им подобные), то при конструировании можно не обращать внимания на изгиб. Такие конструкции не оказывают сопротивления изгибу и работают только на растяжение, т. е. представляют собой мембраны. Таким образом, чем более пластичны и податливы материалы, из которых изготовлены аппараты, тем менее опасны для них краевые напряжения. Углеродистые и аустенитные стали, медь, алюминий являются при комнатных и повышенных температурах достаточно пластичными материалами, что дает возможность при определении их прочных размеров ограничиваться расчетом по уравнениям, основанным на безмоментной теории, и определять только мембранные напряжения. 82

При конструировании аппаратов даже из пластичных материалов необходимо стремиться к исключению всех причин, вызывающих появление краевых сил и моментов. В частности, для того чтобы исключить появление распорных сил, нужно всегда предусматривать плавные переходы между сопрягаемыми частями. В аппаратах, изготовленных из таких хрупких материалов, как, например, кремнистый чугун, фаолит, сталь при пониженных температурах и подобных, пластичный шарнир образоваться не может и чрезмерные краевые напряжения приведут к появлению трещин и разрушению аппарата. Температурные напряжения особенно опасны для аппаратов, сделанных из хрупких материалов. Поэтому, проектируя аппаратуру из хрупких материалов, а также аппараты, испытывающие знакопеременные циклические нагрузки, конструктор обязан проверить расчетом краевые напряжения и принять все возможные конструктивные меры для их снижения, тщательно заглаживая все углы и переходы и придавая аппарату и его частям плавные, округлые очертания.

4.2.2. Сопряжение цилиндрических корпусов аппаратов с днищами Для решения задачи о краевом эффекте могут быть использованы методы строительной механики: метод сил или метод перемещения (деформации) [12, 19, 23]. В местах возникновения краевого эффекта оболочку рассекают плоскостью, нормальной к ее оси, так, что образуемая вследствие этого система представляется состоящей из двух оболочек. К ним прикладывают заданные нагрузки, а в месте сечения – усилия, определяемые по безмоментной теории, а также неизвестные усилия, требующие определения: меридиональные моменты и поперечные силы. Затем составляют обычные канонические уравнения метода сил. Рассмотрим сосуд, состоящий из двух сопряжённых оболочек (рис. 26). Допустим, что обе оболочки, составляющие сосуд, деформируются под действием приложенных к ним внешних сил независимо друг от друга. Обозначим радиальное перемещение края оболочки I через ΔIp и поворот его через ϑIp , а радиальное перемещение

83

и поворот края оболочки II соответственно через ΔIIp и ϑIIp . В связи с тем, что в общем случае радиальное и угловое перемещение края оболочки I не равны соответственным перемещениям края оболочки II и в действительности обе оболочки не могут деформироваться независимо друг от друга, в краевых сечениях появятся обратные по направлению внутренние радиальные, поперечные силы Q0 и Q0′ , а также изгибающие моменты M 0 . Очевидно, что радиальные перемещения и углы поворота сечений в месте сопряжения двух оболочек, образующих сосуд, равных между собой.

а

б

в

Рис. 26. Схемы перемещений краев оболочек I и II под действием силовых факторов: а – внутреннего давления; б – единичных изгибающих моментов; в – единичных поперечных сил

84

На основании этого можно написать систему уравнений в следующей канонической форме: I II Δ IM + Δ Q + Δ Ip = Δ II + ΔQ + Δ IIp ⎫ M0 ⎪ 0 0 0 ⎬, I I I II II II ϑM + ϑQ + ϑ p = ϑM + ϑQ + ϑ p ⎪ 0 0 0 0 ⎭

(86)

I II I II где Δ IM , Δ Q , Δ Ip , Δ II , ΔQ , Δ IIp , ϑIM , ϑQ , ϑIp , ϑII , ϑQ , ϑIIp – раM0 M0 0 0 0 0 0 0 диальные перемещения и углы поворота краев оболочек I и II соответственно под действием нагрузок M 0 , Q0 , p .

Если в результате решения канонических уравнений знак неизвестного усилия получается положительным, то это означает, что действительное направление усилий совпадает с принятым в расчетной схеме. При расчете сосудов сначала необходимо составить выражения для перемещений Δ от внешних сил и углов поворота ϑ , от изгибающих моментов, приложенных к краю оболочки. Затем следует подставить значения этих перемещений в уравнение (86), из которого определяют Q0 и M 0 . После этого можно перейти к определению напряжений, действующих в меридиональном и кольцевом сечениях, приведенными выше способами. Предположим, что имеется симметричная обечайка, нагруженная внутренним давлением, заделанная по контуру. В этом случае канонические уравнения метода сил будут иметь вид I Δ IM + Δ Q + Δ Ip = 0 ⎫ ⎪ 0 0 ⎬. I I I ϑM + ϑQ + ϑ p = 0 ⎪ 0 0 ⎭

Рассмотрим совместную работу цилиндрического сосуда и сферического днища. На рис. 27 представлены схемы заданной и основной систем.

85

а

б

Рис. 27. Схемы к расчету узла сопряжения цилиндрической и сферической оболочек: а − заданная система; б − основная система

На край цилиндрической оболочки действует меридиональное осевое усилие, определяемое по мембранной теории оболочек:

N1ц = σтц s , где σтц – возникающее в цилиндрической оболочке мембранное меридиональное напряжение. Кроме N1ц , к краю цилиндрической оболочки приложены краевой изгибающий момент M 0 и поперечная сила Q0 . На край сферической оболочки действуют также аналогичные краевые: изгибающий момент M 0 и поперечная сила Q0 , но направленные в противоположную сторону. Действующую на краю сферической оболочки меридиональную мембранную силу N1c = σ тc s разложим на две составляющие, направленные вдоль и перпендикулярно оси цилиндрической оболочки. Составляющая сила N1c , на-

86

правленная перпендикулярно оси цилиндрической оболочки, является распорным усилием: H 0 = N1c cosβ = N1ц ctgβ . (87) Для рассматриваемого случая канонические уравнения метода сил будут иметь вид ц с Δ цM + Δ Q + Δ цp = Δ сM − Δ Q + Δ сp ⎫ ⎪ 0 0 0 0 + H0 ⎬. ц ц c c ϑM + ϑQ = −ϑM + ϑQ + H ⎪ 0 0 0 0 0 ⎭

(88)

Из полученных уравнений находим M 0 . При проектировании цилиндрических сосудов, имеющих сферические днища, рекомендуют принимать параметры обоих сопряженных оболочек таким образом, чтобы мембранные окружные напряжения были одинаковыми в обеих оболочках. Это возможно при условии ρ = 2r , sц = sc , ϕ = 30° . Тогда коэффициент затухания для сферической оболочки при μ = 0, 3 1 . (89) β= 1,1 rs Подставляя значения перемещений, после преобразований окончательно имеем: M 0 = 0,139 ps rs ; Q0 = 0, 368 pr .

(90)

Из формулы (65) следует, что σ 2 = μσ1 . Согласно энергетической гипотезе прочности эквивалентное напряжение

σэкв = σ12 − σ1σ2 + σ22 , или σ экв = σ1 1 − μ + μ 2 ,

где μ – коэффициент Пуассона; при μ = 0, 3 σэкв = 0, 896 ⋅ σ1 . 87

(91)

Таким образом, поправка, обусловленная окружным изгибающим моментом, мала, и ею можно пренебречь. Расчетными являются меридиональные напряжения в зоне сопряжения цилиндрической и сферической оболочек:

σ1 =

6 s

2

M0 +

pr . 2s

На основании уравнения (90) получим 3 ⎡ ⎤ r⎞ ⎛ r ⎞ 2 r ⎥ pr ⎛ ⎢ σ1 = p ⎢0, 834 ⎜ ⎟ + ⎥ = ⎜⎜1 + 1, 668 ⎟⎟ . 2s 2s ⎝ s⎠ ⎝s⎠ ⎢⎣ ⎥⎦

(92)

В той же точке в окружном направлении

6M 0 T pr r pr r pr r σ2 = 2 + μ = −0, 46 + 0, 3 ⋅ 0, 84 = −0, 21 , (93) 2 h s s s s s s s где T2 – окружное усилие на краю оболочки. По гипотезе прочности наибольших касательных напряжений σэкв = σmax − σmin = σ1 + σ2 = 1, 05

pr s

r . s

(94)

4.3. Расчет сосудов по моментной теории 4.3.1. Цилиндрический сосуд с выпуклым днищем Как следует из формул (47) и (48), с точки зрения экономии материала наиболее целесообразной формой элементов аппаратов, работающих под давлением, является сферическая форма [22]. Однако исходя из требований технологии соответствующих процессов аппараты выполняются в виде цилиндрических корпусов с днищами и крышками, имеющими сферическую, эллиптическую, плоскую и торосферическую форму (днище состоит из двух частей сферы и тора) (рис. 28).

88

а

в

б

г

Рис. 28. Схемы к расчету перемещений элементов узла: а – основная система; б – реакции от единичного поворота; в – реакции от единичного смещения; г – реакции основной системы нагрузок

В сферическом днище напряжения без учета краевого эффекта σt = σ m =

pR . 2s

(95)

Оптимальное значение отношения высоты днища H к радиусу цилиндрической обечайки должно быть примерно равно 1/2. Тогда эпюры мембранных напряжений будут иметь вид, представленный на рис. 28,а. Мысленно отделив сферическое днище от обечайки, можно определить действие на цилиндр меридиональной силы Tm 0 , радиальная составляющая которой (распорная сила) вызывает изгиб цилиндрической стенки. Для уменьшения этого воздействия необходимо установить на краю цилиндрического корпуса специальное массивное кольцо (рис. 29). Невыполнение этого требования может привести к возникновению опасных напряжений. Для исключения возможности воздействия распорной силы применяют эллиптические и торосферические днища (рис. 28, б,в). Найдя меридиональный момент для сферического днища, легко определить и краевые меридиональные напряжения. При установке кольца жесткости в месте сопряжения цилиндрического корпуса со сферическим днищем возникают локальные напряжения, иногда превышающие мембранные напряжения более чем в четыре раза.

89

а

б

Рис. 29. Кольцевая пластика, подвергающаяся кручению: а − схема действия крутящих моментов; б − схема сечения, повернутого на угол 0°

При конструировании емкостей и тепловой аппаратуры необходимо уделять внимание вопросу уменьшения местных напряжений в местах сопряжения корпуса аппарата с днищем. На рис. 29,б приведены эпюры напряжений в месте сопряжения корпуса с днищем, рассчитанных по мембранной теории оболочек 1 (днище эллиптическое, HD = ; γ = 3 ; R0 = D ). 2 В месте перехода от днища к цилиндру радиальная составляющая меридиональной силы равна нулю. Однако в этом месте окружное pD . Окружные нанапряжение σ t согласно формуле (47) равно − 2s pD пряжения в этом же месте в цилиндрической стенке равны . 2s Следовательно, мембранное окружение усилия в месте сопряжения корпуса с днищем изменяется неразрывно. Это относится к окружной деформации. Так как в действительности такой разрыв деформа-

90

ции не может быть в месте сопряжения оболочек, к безмоментному состоянию добавится изгиб стенки. Торосферическое днище, как и эллиптическое, не передает на цилиндрическую оболочку радиальной нагрузки от возникающей в нем мембранной меридиональной силы. Найдем мембранные напряжения в торосферическом днище. Обозначим радиус кривизны сферической части днища – через R , радиус тороидального закругления – через а , угол наклона нормали на границе между сферической и тороидальной частью днища через – θ0 . Условием плавности перехода от сферической части к тороидальной являются следующие равенства: D ( R − a ) sinθ0 = − a ; 2 ν=

где ν = H

D 2

R − ( R − a )cosθ0 , D 2

.

При заданных величинах а , D и ν определяют R и θ0 . 1 D 3 и а = , то R = D и sinθ0 = 0, 6 . 8 2 4 Радиусы кривизны тороидальной части днища

Например, если ν =

Rm = a ;

D − a(1 − sinθ) . Rt = 2 sinθ

Используя уравнения (47) и (48), получаем выражения для мембранных напряжений: p D (96) σm = − a(1 − sinθ) , 2s 2

D ⎛ ⎞ − a(1 − sinθ) ⎟ ⎜ σt = σm ⎜ 2 − 2 ⎟. asinθ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠

91

(97)

pR Для сферической части Rt = Rm = R , σt = σ m = . 2s

На рис. 30, а–в приведены эпюры Tt и Tm при ν =

б

1 D и a= . 8 2

в

а

г

Рис. 30. Типы выпуклых днищ: а – сферическое; б – эллиптическое; в – торосферическое; г – эпюры изгибающего момента M1 и окружной силы T2 в месте сопряжения днища с корпусом

Как следует из приведенных эпюр мембранных напряжений в переходных точках днища, окружные напряжения имеют разрывы, что обусловливает наличие изгиба стенки и, следовательно, искажение приведенной эпюры напряжений.

92

Используя приведенные выше канонические уравнения метода pr . сил, получаем, что в месте сопряжения M 0 = 0 и Q0 = − 8βρ На основании формулы (75) имеем M1 = −

pr −βx e sinβx . 8βa

На рис. 30,г показаны эпюры краевого момента и усилия T2 в переходной зоне. Из приведенных выше рассуждений следует, что плавный переход значительно снижает местные напряжения. Максимальное напряжение в этом случае 6 M1 s

2

=

6 ⋅ 0, 040 pr 2

β as

2

= 0,145

pr r . s a

Для сферического днища без переходной зоны максимальные наpr r пряжения равны . s a Приведенный выше анализ свидетельствует, что характер перехода от цилиндрического корпуса к днищу, а также форма днища определяют напряженное состояние корпуса и днища в области их сопряжения. Значение и распределение местных напряжений обусловлены изменением кривизны меридионального сечения и значениями переходных радиусов закругления. При конструировании емкостей аппаратуры следует выполнять сварные швы вне зоны действия краевого эффекта. Это необходимо во избежание суммирования краевых напряжений с напряжениями (остаточными), возникающими в сварном шве и в околошовной области. Длину перехода должны назначать исходя из условия исключения наложения напряжений соседних зон с краевыми эффектами. Радиусы сопряжения необходимо выбирать таким образом, чтобы переходы были плавными, обеспечивающими наименьшее значение краевых напряжений. При отношении длины большой полуоси эл-

93

липтического днища к длине малой полуоси больше двух напряжения в цилиндрическом корпусе по значениям близки к мембранным. Наиболее выгодными с точки зрения материалоемкости являются стандартные эллиптические днища с отбортовкой, благодаря форме и геометрическим соотношениям которых краевой момент не передается на цилиндрическую обечайку. Радиус кривизны в вершине эллиптических днищ R равен внутреннему диаметру днища D , и высота выпуклой части днища – H = 0, 25 D . Как следует из формулы (48), максимальными напряжениями явθ = 0. Определяя параметр ляются окружные при

( 0, 5D )2 − ( 0, 25D )2 γ= ( 0, 25D )2

= 3 , подставляя это значение в формулу (54)

и рассматривая радиус кривизны срединной поверхности днища s Rt0 = D + , получаем: 2 p ( D + s 2 ) (1 + 3) pD + ps 2 . σt = = 4s 2s Применяя гипотезу прочности наибольших касательных напряжений и учитывая, что третье главное нормальное напряжение σ r можно принять равным нулю, можно написать

[σ] =

pD + ps 2 , 2s

откуда толщина стенки эллиптического днища s =

pD . 2 [ σ] − 0, 5 p

Эта формула согласно ГОСТ 14249–80 при H = 0, 25 D

s1R =

pR p

2 [ σ] ϕ − 0, 5 p

,

(98)

где R p – радиус кривизны в вершине ( R = D ); ϕ – коэффициент прочности сварного шва. 94

Данная формула применима для расчета полусферических днищ, D нагруженных внутренним давлением при R p = . 2 Исполнительная толщина стенки днища – s1 ≥ s1R + c (здесь c – прибавка к расчетной толщине для компенсации коррозии). Если длина цилиндрической отбортованной части днища (рис. 31,а,б) для эллиптического днища l1 > 0, 8 D ( s1 − c ) , для полусферического днища – l1 > 0, 3 D ( s1 − c ) , то толщина стенки должна быть не меньше толщины цилиндрической обечайки.

а

б

в

Рис. 31. Расчетные модели выпуклых днищ: а − эллиптическое; б − полусферическое; в − торосферическое

Радиус кривизны в вершине днища R =

D2 : 4H

• для эллиптических днищ R = D при H = 0, 25 D ; • для полусферических днищ R = 0, 5 D при H = 0, 5 D .

Для торосферических днищ, нагруженных внутренним давлением, в ГОСТ 14249–80 приведена следующая формула для определения толщины стенки в краевой зоне: pD β s1R = 1 1 ; (99) 2 [ σ] ϕ s1 ≥ s1R + c ,

где D1 – наружный диаметр днища; β – коэффициент, который определяют в зависимости от типа днищ. 95

Для торосферических днищ в зависимости от соотношения параметров R , D1 , r 1 приняты следующие типы днищ: A − R ≈ D1

r1 ≥ 0, 095 D1 ;

В − R ≈ 0, 9 D1

r1 ≥ 0,170 D1 ;

C − R ≈ 0, 8 D1

r1 ≥ 0,150 D1 ,

где A, B, C – соответственно верхняя, средняя и нижняя кривые (рис.32).

Рис. 32. Зависимость коэффициента β от

p [ σ]

Расчетные формулы, рекомендуемые ГОСТ 14249–80, применимы при соблюдении следующих условий: для эллиптических днищ –

( s − c) ≤ 0,1 ; 0, 002 < 1 D

0, 2 ≤

для торосферических днищ –

( s − c) ≤ 0,1 . 0, 002 < 1 D

96

H ≤ 0, 5 ; D

4.3.2. Цилиндрический сосуд с коническим днищем Аппаратуру с коническими днищами применяют для облегчения выгрузки сыпучих продуктов и осадков из аппарата под действием сил тяжести [22]. В качестве примеров можно привести днища различного типа дозаторов, питателей, выпарных аппаратов, кристаллизаторов и т.д. Конические днища применяют преимущественно в цилиндрических аппаратах вертикального исполнения. Конические днища отличаются от других днищ меньшей компактностью. В процесс их изготовления входит вальцовка с последующей отбортовкой большого диаметра конуса под цилиндр. При больших размерах днищ их изготовляют составными (рис. 33).

а

б

в

г

Рис. 33. Соединение обечаек: а − конической и цилиндрической; б − конической и цилиндрической с укрепляющим кольцом; в − конической и цилиндрической с тороидальным переходом; г − конической и цилиндрической по меньшему диаметру

При изменении диаметра трубопровода применяют конические переходы от цилиндрических частей одного диаметра к цилиндрическим частям другого (см. рис. 33). При выполнении днища коническим для облегчения выгрузки осадков угол, дополняющий половину угла раствора конуса, должен быть больше угла естественного откоса осадка, который обычно колеблется в пределах 35–50°.

97

Угол раствора конуса конических днищ в основном принимают равным 60° или 90° и только иногда он составляет 150°. Для обработки вязких жидкостей, суспензий и склонных к налипанию влажных порошкообразных и кусковых материалов рекомендуется угол принимать равным 60°, для не вязких жидкостей и сухих порошкообразных и кусковых материалов рекомендуется угол принимать равным 90°. Высота конических днищ обычно невелика, и давление газа над уровнем жидкости значительно больше гидравлического давления. Поэтому конические днища рассчитывают по наибольшему диаметру на условное давление, принимаемое равным сумме рабочего и гидравлического давлений в нижней части конуса. На основании уравнения (45) для конической обечайки имеем σt =

pρt . s

Напряжение σ t является наибольшим. В данном случае, как и в предыдущем, считают, что имеет место плоское напряженное состояние. Наименьшее главное нормальное напряжение σ3 принимают равным нулю. По теории наибольших касательных напряжений

σэкв = σt − 0 =

pρt ; s

σ экв = [ σ ] .

Радиус кривизны срединной поверхности конической оболочки в D s широкой части ( ρt )cp = + . Подставляя ( ρt )cp в последнее 2cosα 2 уравнение и решая полученное равенство относительно толщины стенки s , а также учитывая коэффициент прочности сварного шва, получаем:

s=

pD 1 ; 2 [ σ] ϕ − p cosα s1 ≥ s + c .

Эта формула рекомендована ГОСТ 14249–80. 98

(100)

Для смягчения воздействия на сопрягаемые элементы распорных сил и снижения краевых напряжений конические днища часто соединяют с цилиндрическим корпусом с помощью усиленной переходной части. Исполнительная толщина переходной части (ГОСТ 14249−80)

s2 R =

pDβ1 ; 2 [ σ] ϕ2 − p

(101)

s2 ≥ s2R + c ,

где β1 – расчетный коэффициент формы,

β1 = max {0, 5, β} ; β1 = 0, 4

D s2 − c

(102)

tgα1 2

− 0, 25 ,

⎛ s −c ⎞ ⎛ s1 − c ⎞ 1+ χ⎜ 1 ⎟ + χ⎜ ⎟ s2 − c ⎠ s2 − c ⎠ ⎝ ⎝ 1+ 2cosα1

здесь χ – отношение допускаемых напряжений первого участка переходной части к напряжениям второго участка. Толщина стенки второго участка переходной части должна соответствовать условию s −c s2 ≥ 1 s2 R + c . s2 − c Расчетные длины переходной части a1 и a2 определяют с учетом протяженности зоны краевого эффекта по формулам

a1 = 0, 7

D ( s1 − c ) cosα1

a1 = 0, 7

;

D ( s2 − c ) cosα 2

.

При соединении конической обечайки с цилиндрической и укрепляющим кольцом при α1 ≤ 60° и ( s1 − c ) > ( s2 − c ) (рис. 33,б) пло99

щадь поперечного сечения кольца должна быть достаточной для восприятия распорной силы и краевых усилий. Для определения площади сечения кольца ГОСТ 19249–80 рекомендует следующую формулу: Ak =

pD 2 tgα ⎛ β A + 0, 25 ⎞ ⎜1 − ⎟, β + 0, 25 ⎠ 8 [ σ]k ϕaR ⎝

где [ σ]k и ϕ aR – соответственно допускаемое напряжение и коэффициент прочности сварного шва для укрепляющего кольца при расчетной температуре; β A и β – коэффициенты формы, ⎛ 2 [ σ ] ϕaR − 1 ⎞ s − c 2 . βA = ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ D p ⎝ ⎠

Если применяется укрепляющее кольцо, необходимо проверить прочность сварного шва по формуле

∑ ti ≥

4 Ak , D

где ∑ ti – суммарная ширина несущих сварных швов между укрепляющим кольцом и обечайкой. Часто принимают соединения конической и цилиндрической обечаек с помощью тороидального перехода, который уменьшает краевые напряжения (рис. 33,в). При работе аппарата в сварных швах не должно возникать дополнительных напряжений от изгиба, в связи с чем не допускается сварка днищ внахлестку; рекомендуется сварка листов стыковыми швами равной толщины. Для доведения толщины цилиндрической отбортовки до толщины обечайки часто производят механическую обработку внутренней стороны с углом скоса 1:3.

100

4.3.3. Цилиндрический сосуд с плоским днищем Плоские днища применяют в аппаратах, работающих под малым или при атмосферном давлении. В аппаратах, работающих под большим давлением, плоские днища получаются массивными. Плоские днища рассчитывают как круглые сплошные пластины, нагруженные равномерно распределенной нагрузкой. Максимальное напряжение пластины, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой и свободно опертой, по периметру при

μ = 0, 3 σmax = 9, 9

pR 2 8s 2

. В то же время для сферической оболочки

pR наибольшее мембранное напряжение σ max = . Следовательно, 2s при одинаковых толщинах сферического и плоского днищ, нагруженных одинаковым давлением p , отношение максимальных наR пряжений составит ≈ 2, 5 . s В месте сопряжения цилиндрического сосуда и плоского днища имеет место большой изгибающий момент. В этом случае, например, R при = 15 , местные напряжения в десять раз превышают значения s мембранных, однако в месте сопряжения сосуда со сферическим днищем это превышение является четырехкратным и может быть снижено благодаря плавному переходу от корпуса к днищу. Типы плоских днищ представлены на рис. 34. Таким образом, плоские днища нецелесообразно применять в аппаратах, работающих под давлением. При необходимости допускается применение плоских неотбортованных круглых днищ при условии, что днище будет приварено внутри сосуда или аппарата. Днище к корпусу приваривают двусторонним швом со скосом его кромок. Допускается также односторонний шов со скосом кромки днища и проваром на всю толщину днища. Плоские круглые днища чаще всего применяют в вертикальных аппаратах, установленных на сплошном основании и работающих без давления или под налив.

101

а

б

е

г

в

ж

з

д

и

Рис. 34. Типы плоских днищ (крышек): а − привариваемое с одной стороны (тип 1); б − кованое днище с цилиндрическим участком (тип 2); в − днище с отбортованными краями (тип 3); г − приварное штампованное (тип 4); д − крышка, присоединенная к обечайке с обеих сторон по всей толщине (тип 5); е − плоское днище, зажатое между фланцами (тип 6); ж − днище, привариваемое к обечайке с обеих сторон по всей толщине (тип 7); з − днище, привариваемое к обечайке с одной стороны (тип 8); и − днище, присоединенное на болтах к фланцу (тип 9)

Используя уравнение (43)–(45) для случая действия на пластину только равномерно распределенной нагрузки, получаем выражение для изгибающих моментов и углов поворота:

M r = M 0 + pr 2ψrq ; M t = M 0 + qr 2ψtq ; Dϕ = M 0

r + qr 3ωϕq . 1+ μ

При свободном опирании пластины по контуру можно использовать краевое условие M r = 0 при r = R и, подставляя в уравнение (44) 0 значение сопровождающей функции ψ rq с учетом λ 3 = = 0 , полуr чаем:

102

0 = M 0 − pR 2

3+μ , 16

откуда M0 =

qR 2 (3 + μ ) . 16

Подставляем в уравнение (44) найденное значение M 0 , а также значения сопровождающих функций ψ rq и ψtq получаем выражения для M r и M t , из анализа которых видно, что изгибающие моменты достигают максимума в центре днища при r = 0 , т. е. M max = M 0 . Максимальное напряжение

(σr )max = (σt )max =

3 pR 2 8s 2

(3 + μ ) .

(103)

При жестком закреплении пластины по контуру можно использовать краевое усилие ϕ = 0 при r = R и аналогичным образом доказать, что наибольшее напряжение будет на краю пластины:

(σr )max =

3 pR 2 4s 2

.

Рассуждая так же, как и при расчете сосудов, и принимая гипотезу прочности наибольших касательных напряжений, эквивалентное напряжение приравниваем к допускаемому. Если для обобщения вместо числового коэффициента, зависящего от способа опирания пластины, в формулу (103) для напряжения ( σ r )max подставим коэффициент K , а вместо R подставим

D , то получим следующее условие 2

прочности:

K1 pD 2 4s 2

≤ [ σ] .

Тогда толщина днища с учетом прибавки к толщине на коррозию

103

s1 = KD

p +c. [ σ]

(104)

В связи с тем, что в реальных конструкциях характер закрепления не может быть точно отнесен к одному из двух крайних рассмотренных случаев, рекомендуется на основании опыта принимать коэффициент K в зависимости от конкретной конструктивной схемы днища. Значения коэффициента K регламентирует ГОСТ 14249–80, который рекомендует для плоских крышек с дополнительным краевым моментом коэффициент K1 определять по следующей формуле:

⎛ D ⎞ 1 + 3ψ ⎜ 3 − 1⎟ ⎝ Dпс ⎠, K1 = 0, 41 D3 Dпс где ψ = 1 +

Rp 2 0, 785 pDпс

, здесь R p – реакция прокладки.

Если днище крышки ослаблено одним или несколькими отверстиями, то коэффициент K должен быть умножен на коэффициент ослабления K о . Коэффициент ослабления для днищ и крышек с одним отверстием 2

d ⎛ d ⎞ Kо = 1 + +⎜ ⎟ . DR ⎝ DR ⎠ Коэффициент ослабления для днищ и крышек с несколькими отверстиями 3

⎛ d ⎞ 1− ∑⎜ i ⎟ ⎝ DR ⎠ , Kо = ⎛ d ⎞ 1− ∑⎜ i ⎟ ⎝ DR ⎠

104

где DR – расчетный диаметр днища; d – диаметр отверстия днища или крышки, мм;

∑ di = max {( d1 + d3 ) ; ( b2 + b3 )} . Величины [ σ ] , ϕ и c принимают в соответствии с ГОСТ 14249–80.

4.4. Схема расчета сосудов по моментной теории Для того чтобы рассчитать сосуды по моментной теории, придерживаются следующей схемы [9]. Набрасывают схему аппарата и рассчитываемого узла, вычерчивают эквивалентную расчетную схему с указанием как нагрузок, так и определяемых сил и моментов. Подсчитывают мембранные силы U и T , а также распорные силы P . Составляют уравнения равенства радиальных и угловых деформаций, происходящих от всех нагрузок: внешних сил и искомых краевых сил P0 и моментов M 0 . Определяют значения Δ и ϑ и подставляют их в уравнения деформаций. Решают полученные уравнения, определяют P0 и M 0 . Воспользовавшись уравнениями для определения U , N , T , M и K , полученными в результате решения краевой задачи для основных форм оболочек, по полученным P0 и M 0 определяют величины всех действующих силовых факторов. По наибольшим значениям U , N , T , M и K определяют суммарные напряжения от действия как мембранных сил, так и краевых сил и моментов. Воспользовавшись одной из теорий прочности, подсчитывают эквивалентное напряжение и в зависимости от пластичности и прочностных свойств материала оценивают его допустимость, в случае не-

105

обходимости меняя как размер стенки, так и форму частей оболочки аппарата.

5. Расчет сосудов, работающих под внешним давлением Элементы тонкостенных конструкций (стержни, пластины, оболочки) могут разрушаться в результате потери устойчивости. Под потерей устойчивости следует понимать резкое качественное изме106

нение характера деформации элемента конструкции, происходящее при определенном значении нагрузки [4, 9]. Обычно упругая система, потерявшая устойчивость, переходит к некоторому новому положению устойчивого равновесия, отличающемуся от первоначального. Этот переход в подавляющем большинстве случаев сопровождается существенными перемещениями, нарушающими возможность нормальной эксплуатации конструкции в связи с возникновением больших пластических деформаций или приводящими к полному разрушению конструкции. При потере тонкостенной конструкцией устойчивости нормальные и касательные напряжения в ее поперечных сечениях могут быть значительно ниже предела текучести. Нагрузку, при которой происходит потеря устойчивости, называют критической. Например, прямолинейная форма равновесия сжатого стержня устойчива только в том случае, если сжимающая стержень сила меньше критической. При силе, большей критической, стержень изгибается, и прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой. Тонкостенная цилиндрическая оболочка, нагруженная внешним давлением, способна потерять устойчивость. При этом круговая форма ее поперечного сечения может перейти, например, в овальную, и оболочка сплющивается, хотя напряжения в стенках оболочки могут быть меньше предела упругости. Резкий «хлопок» в момент потери устойчивости сопровождается возникновением трещин или появлением значительных пластических деформаций. Это вызывает потерю несущей способности оболочки.

107

5.1. Расчет замкнутой круговой цилиндрической оболочки длиной шарнирно опертой по торцам

L,

Пусть оболочка подвергается сжатию вдоль образующей силами N1 , равномерно распределенными по периметру сечения оболочки (рис. 35). Пусть поверхность оболочки остается осесимметричной и после выпучивания, которое имеет волнообразный характер. Тогда радиальные прогибы у оболочки будут зависеть от координаты, совпадающей с осью оболочки, и характеризовать положение данного нормального сечения. Критическое напряжение в стенке оболочки определяют из условия равновесия внутренних усилий оболочки в момент потери устойчивости, когда появляется новая форма равновесия, отличающаяся от первоначальной − прямолинейной.

Рис. 35. Цилиндрическая оболочка, нагруженная в осевом направлении

Напряженное состояние оболочки при потере устойчивости из безмоментного переходит в моментное и, следовательно, претерпевает качественный скачок. Оболочка подвергается изгибу под действием постоянных сил сжатия N1 , а не поперечной нагрузки. 108

При выпучивании появляется нормальная составляющая сил d2y (здесь y − радиальный прогиб оболочки). N1 dx 2 Используя уравнение (67) без членов, учитывающих внутреннее давление, и вводя в качестве дополнительной поперечной нагрузки указанную нормальную составляющую, получаем: D

d4y dx

4

− N1

d2y dx

2

+E

sy r2

= 0.

(105)

Принимаем выражение для прогиба y = fsinm

πx , L

(106)

где m − число полуволн изогнутой поверхности по образующей оболочки; L − длина оболочки. На основании уравнений (105) и (106) получим формулу для верхнего критического напряжения qв =

⎛ m 2 π2 N1 E L = D⎜ + 2 2 2 ⎜ s R D m π2 ⎝ sL

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

Исследуя это выражение на минимум, получаем значение m для соответствующего минимального критического напряжения: m=

L Es 4 . π R2 D

Тогда действительное значение верхнего критического напряжения qв =

1 3(1 − μ 2 )

E

s R

s при μ = 0, 3 − qв = 0, 605 E . R

109

s повышается вероятность начальных R прогибов и снижается среднее значение реальных критических напряжений. Поэтому на основании экспериментальных данных вместо постоянного числового коэффициента в расчетные формулы для s . критического напряжения вводят переменный коэффициент 3, 5 R

С увеличением отношения

Тогда получим уравнение q = 3, 5

s s E . R R

Действующая на оболочку в осевом напряжении критическая сила N = 2πqRs = r πs 2

s . R

(107)

Для очень гибких элементов (например, для длинных тонких стержней) потеря устойчивости начинается с упругой деформации. Для элементов, обладающих большой жесткостью при действии больших нагрузок, характерны только пластические деформации или хрупкое разрушение без явлений потери устойчивости. Между двумя указанными предельными случаями лежит переходная область, важная для практики, но трудно рассчитываемая, когда потеря устойчивости начинается с упругопластической деформации. Существует мнение, что для очень гибких элементов коэффициенты запаса прочности (устойчивости) должны быть больше коэффициентов запаса прочности жестких элементов. Основанием для такого заключения является то, что гибкие элементы по сравнению с жесткими более чувствительны к малым неточностям, связанным с технологией изготовления или нагружением конструкции. Кроме того, для гибких элементов превышение критической нагрузки влечет за собой более значительные деформации, чем для жестких элементов. Для дальнейшего анализа введем следующие обозначения: [ F ] −

допускаемая осевая сжимающая сила данного элемента; [ F ]E , [ F ] p − допускаемые усилия из условий устойчивости в пределах упругости

110

и прочности; λ — гибкость элемента. Критические нагрузки FE и

F p имеют следующие особенности: при λ → 0

Fp > FE . Зависимость критической нагрузки F от гибкости элемента λ для практических случаев показана на рис. 36.

Рис. 36. Зависимость критической нагрузки F от гибкости элемента

λ

Кривая 1 характеризует зависимость разрушающей нагрузки гибкости λ , когда разрушение сжимающего элемента является следствием потери устойчивости. Когда разрушение обусловлено явлением пластичного или хрупкого разрушения, зависимость F = f ( λ ) представляется прямой 2, параллельной оси абсцисс. В данном случае разрушающая нагрузка не зависит от гибкости элемента. Для промежуточной области, когда разрушение является следствием частичной потери устойчивости элемента и накоплением повреждений в материале элемента, зависимость F от λ можно представить в виде кривой 3. Для данного случая рекомендуется следующая зависимость между допускаемой для данного элемента осевой силой F и допускаемыми осевыми усилиями из условий устойчивости в пределах упругости и прочности [49]: 1 . (108) [F ] = 1 1 + 2 F [ ] p [ F ]2E 111

Данное уравнение является простейшей интерполяцией с правильными асимптотами между двумя крайними случаями: потерей устойчивости в пластической или упругой области. При таком подходе в результате получается допускаемое усилие, всегда меньше одного из двух значений: [ F ] p или [ F ]E . Расчет на общую устойчивость элементов, подвергаемых осевому сжатию, можно производить аналогично расчету на прочность с введением коэффициента снижения допускаемых напряжений ϕ . В этом случае (109) [ F ] = ϕ[ F ] p . Откуда с учетом уравнения (108) 1

ϕ=

⎛ [F ] p 1 + ⎜⎜ ⎜ [ F ]E ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

2

.

При расчете на устойчивость цилиндрических обечаек, подвергаемых осевому сжатию, допускаемое осевое сжимающее усилие из условия прочности [ F ] p = π ( D + s − c )( s − c ) [ σ ] . Допускаемое осевое сжимающее усилие в пределах упругости определяют из условия устойчивости

{

[ F ]E = min [ F ]E1 ; [ F ]E2

},

(110)

где [ F ]E и [ F ]E − соответственно допускаемые осевые сжимаю1 2 щие усилия, определяемые из условий местной и общей устойчивости в пределах упругости. Значение [ F ]E получим, разделив силу N из уравнения (107) на 1 запас устойчивости ny :

[ F ]E1

=

7π 2 s s . ny R

112

D и вводя к толщине 2 элементов поправку на коррозию, после преобразований получаем формулу, рекомендуемую ГОСТ 14249−80:

Подставляя в последнее выражение R =

[ F ]E = 1

Значение

[ F ]E2

310 ⋅ 106 E 2 ⎡100( s − c ) ⎤ D ⎢ ⎥ ny D ⎣ ⎦

2

100( s − c ) . D

определяют на основании формулы Эйлера из

теории продольного изгиба. Это условие можно записать в виде

[ F ]E = 2

2

π( D + s − c )( s − c ) E ⎛ π ⎞ ⎜λ⎟ . ny ⎝ ⎠

Гибкость λ определяется из выражения 2, 83lпр λ= , D + ( s − c) где lпр − приведенная длина элемента, которую принимают в зависимости от схемы опирания концов оболочки. Для рабочих условий ny = 2, 4 допускаемая сжимающая сила

[ F ] = π ( D + s − c )( s − c ) [σ ] min {ϕ1; ϕ2 } , где коэффициенты ϕ1 и ϕ2 определяют по рис. 37. Если обечайка нагружена изгибающим моментом, допускаемое значение последнего определяют по формуле того же вида, что и для осевой силы: [M ]p , (111) [M ] = 2 ⎛ [M ] ⎞ p ⎟ 1 + ⎜⎜ ⎟ ⎜ [ M ]E ⎟ ⎝ ⎠

D D причем [ M ] p = [ F ] p ; [ M ]E = [ F ]E1 . 3, 5 4

113

а

б

Рис. 37. К расчету на устойчивость цилиндрических обечаек, нагруженных осевым сжимающим усилием: а − ϕ1 ; б − ϕ2 .

5.2. Расчет на устойчивость кольца, сжатого радиальной распределенной нагрузкой q Когда равномерно распределенная нагрузка достигает некоторого значения, круговая форма кольца становится неустойчивой, кольцо деформируется и принимает неустойчивую форму (рис. 38,а) [9].

а

б

114

Рис. 38. Схема кольца, потерявшего устойчивость: а − схема нагружения; б − схема действия усилий на элемент кольца

Рассмотрим элемент деформируемого кольца длиною ds , выделенный из кольца. Местный радиус кривизны элемента обозначим через ρ . Предположим, что радиус кривизны ρ близок к первоначальному радиусу кольца R . На концах элемента действуют нормальные силы, поперечные силы и изгибающие моменты. Обозначим нормальную силу до потери устойчивости через N 0 , а после потери устойчивости − через N 0 + N (здесь N − сила, появившаяся при изгибе кольца). Поперечные силы – Q и Q + dQ и изгибающие моменты M и M + dM (рис. 38,б). Проектируя равнодействующую распределенной нагрузки qds на биссектрису угла dϕ и нормальные силы N 0 в докритическом состоянии, получаем: N 0 d ϕ − qds = 0 .

Учитывая, что ds = Rd ϕ , из последнего равенства найдем N 0 = qR .

Спроектируем силы, действующие на элемент после потери устойчивости, на биссектрису угла dϕ , в результате получим

qdS + dQ − ( N0 + N )

ds =0. ρ

Подставляя значение N 0 из предыдущего равенства, после преобразований имеем:

1 dQ N ⎛ 1 1 ⎞ 1 dQ N − =0, q⎜ − ⎟ + − = 0 или −qχ + R ds ρR ⎝ R ρ ⎠ R ds ρR где χ =

1 1 − — изменение кривизны кольца при его деформации. ρ R

Уравнение моментов всех сил относительно точки O имеет вид

115

∑ m0 = dM + dNR = 0 .

(112)

Сумма моментов всех сил относительно края участка ds −

∑ m A = dM + Qds = 0 . Моментом равнодействующей распределенной нагрузки пренебрегаем как бесконечно малой величиной второго порядка, тогда dM (113) +Q = 0. ds С учетом уравнения (112) получаем dNR , (114) Q= ds откуда dM = −Qds . На основании уравнений (112)−(114) получаем d χ 1 d 3M 1 dM + + = 0. 3 ds R ds R 3 ds Интегрируя последнее уравнение, находим: q

1 d 2M 1 (115) M =c. + 2 R ds R2 Из курса сопротивления материалов известно изменение изгибающего момента от кривизны: qχ +

⎛1 1⎞ M = EJ ⎜ − ⎟ = EJ χ , ⎝ρ R⎠

(116)

где EJ − жесткость при изгибе. На основании уравнения (116) уравнение (115) можно записать в следующем виде: d 2χ

cR + k 2χ = 1 , EJ ds 2

где

116

(117)

k2 =

1

+

qR . EJ

R2 Решая последнее дифференциальное уравнение, получаем: χ=

c1 R k 2 EJ

(118)

+ c2 sinks + c3cosks .

При увеличении переменной s на величину 2πR функция χ не изменится. При этом ks должна измениться на величину, кратную 2π :

k ( s + 2πR ) − ks = 2πn , где n − целое число. Решая уравнение (118) относительно q и подставляя kR = n , найдем:

(

. ) EJ R3

qкр = n2 − 1

Минимальное значение qкр , отличное от нуля, будет иметь место при n = 2 :

qкр = 3

EJ R3

.

5.3. Расчет цилиндрической оболочки, нагруженной внешним давлением Если рассматривается цилиндрическая оболочка длиною l , подвергаемая внешнему давлению p , то в уравнение нужно подставить

q = pl и вместо EJ − цилиндрическую жесткость

Eh3l 12(1 − μ 2 )

Тогда получим выражение для критического давления

117

.

n 2 − 1) n3 E ( . pкр = 12 (1 − μ 2 ) R 3

Откуда наименьшее значение при n = 2 ⎛s⎞ pкр = 2 ⎜⎝ R ⎟⎠ 4 1− μ

(

E

3

)

или при μ = 0, 3 3

⎛s⎞ pкр = 0, 27 ⎜ ⎟ . ⎝R⎠ Выражая значение R через D и вводя добавку к толщине стенки аппарата на компенсацию коррозии, получаем выражение для допускаемого внешнего давления для длинных оболочек: 3

pдоп =

2, 2 ⋅ 10−6 E ⎡100( s − c ) ⎤ ⎢ ⎥ , ny D ⎣ ⎦

(119)

где E измеряется в МПа. На основании полученной формулы рассчитывают на устойчивость длинные цилиндрические оболочки, для которых не сказывается влияние заделки краев и отношение длины оболочки к диаметру [22]. Коэффициент запаса устойчивости (ГОСТ 14249−80) рекомендуется принимать при расчете сосудов по критическим напряжениям в пределах упругости ny = 2, 4 для рабочих условий; ny = 1, 8 для условий испытаний и монтажа. Из уравнения (119) получим необходимую из условий устойчивости цилиндрической оболочки толщину стенки s=

D p 3 0, 453ny +c, − 100 10 6 E

118

(120)

где p − расчетное давление. Для недлинных оболочек критическое давление зависит не только s L и отношения . от свойств материала, но и от отношения D D Для верхнего критического давления pв при допущении, что прогибы и изгибающие моменты на концах цилиндра отсутствуют, получаем выражение

⎡ ⎤ 2 ⎢ ⎥ 2 2 2 4 5 ⎛ π R ⎞ s ⎢s n 1 π R ⎥ , (121) pв = E ⎜1 + ⎟ + 2 2⎥ 2 ⎢R 2 ⎜ 2 2 ⎟ 4 6 π R 12(1 − μ ) ⎝ R n L ⎠ L sn ⎢ ⎥ 1+ n 2 L2 ⎦⎥ ⎣⎢ где n − число волн, образующихся при потере устойчивости оболочки (рис. 39). 2

а

б

Рис. 39. Схемы смятия кольца: а − с образованием трех волн; б − с образованием четырех волн

Некоторому значению n соответствует наименьшее значение критического давления. πR 2