15
М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы...
7 downloads
163 Views
240KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
15
М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т
В Ы США Я М А Т Е М А Т И К А . РЯ Д Ы П о со бие д л я сту д е нто в С спец и ал ь н ост и : 013300- экологи ческая геологи я, 011400- ги др огеол оги я и и н ж ен ер н ая геологи я
В оронеж – 2003
16
У тверждено научно-методическим советом математическог о факультета, п ротокол№ 2 от 2 сентя бря 2003г.
Составители: Ю . Б. Савченко, С.А .Т качева
П особие п одг отовлено накафедре уравнений в частны х п роизводны х и теории вероя тностей математического факультета В оронежского г осударственног о университета. Рекомендуется дл я ст уден т ов 2 кур са дн евн ого от дел ен и я геологи ческого факул ь т ет а, обучающи мся по спец и ал ь н ост и : экол оги ческая геологи я, ги др огеологи я и и н ж ен ер н ая ги др огеол оги я.
17
В В ЕД Е Н И Е Н астоя щ ее п особие п редназначено для студентов геологического факультета и я вля ется п родолжением «М етодических указаний п о вы сш ей математике для ст удентов1 курса д/о г еолог ическог о факультета» . П особие содержит необходимы е теоретические сведения и п одробное реш ение тип ичны х п римеров п о разделу «Ч исловы е ря ды . Ф ункц иональны е ря ды » . 1. Ч И С Л О В Ы Е Р Я Д Ы 1.1. П о нятие число во го ряда
П усть даначисловая п оследовательность a1 , a2 , a3 ,..., an ,... Выр аж ен и е ви да ∞
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ∑ an
(1)
n =1
назы вается чи сл овым р ядом или п росто р ядом. Ч исла a1 , a 2 , a3 ,..., a n ,... назы вают членами ря да, член a n с п роизвольны м номером – общи м чл ен ом р яда. Суммы конечног о числачленов ря да
S1 = a1 ; S 2 = a1 + a 2 ; S 3 = a1 + a 2 + a3 ;...; S n = a1 + a 2 + a3 + ... + a n ;
назы ваются част и чн ыми суммами р яда (1). Т ак как число членов ря да бесконечно, то частичны е суммы образуют бесконечную п оследовательность частичны х сумм: S 1 , S 2 , S 3 ,..., S n ... . (2) Ря д (1) назы вается сходящи мся, если п оследовательность частичны х сумм (2) сходится к какому – нибудь числу S , которое в этом случае назы вается суммой р яда (1)
S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
∞
или
S = ∑ an
(3)
n =1
Е сли же п оследовательность частичны х сумм расходится , то ря д (1) назы вается р асходящи мся. Расходя щ ийся ря д суммы не имеет. ∞
П ример 1. И сследовать насходимость ря д
1
∑ n(n + 1) . n =1
Рассмотрим сумму S n - п ервы х n - членовря да
18
Sn =
1 1 1 + + ... + . 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n(n + 1)
Слагаемы е этой суммы могут бы ть п редставлены ввиде
1 1 1 1 1 1 1 1 = − , = 1− , = − ,… . 1⋅ 2 2 2⋅3 2 3 3⋅4 3 4 1 1 1 = − , ( n = 1, 2 , 3,...) n(n + 1) n n + 1
О чевидно, П оэтому
1 1 1 1 1 1 1 1 =1 − S n = 1 − + − + − + ... + − . n(n + 1) 2 2 3 3 4 n n ( n + 1) 1 1 lim S n = lim − =1. n→∞ n→∞ n n ( n + 1)
П ример 2. У становим, сходится или расходится ря д
1−1+1−1+...+ (−1)
n−1
∞
+ ... = ∑(−1)n−1 n=1
П оследовательность его частичны х сумм имеет вид: S1 = 1, S 2 = 0 , S 3 = 1 , S 4 = 0 , … и, следовательно, не сходится ни ккакомуп ределу, п оэтомуданны й ря д расходится . П ример 3. Рассмотрим ря д, составленны й из членов г еометрической
1, q , q 2 , q 3 ,..., q n −1 ,... :
п рог рессии
∞
1+ q + q + q + ...+ q ... = ∑qn−1 . 2
Е сли
q ≠ 1,
3
n−1
n=1
то, как из вестно,
Sn = 1+ q + q + q + ...+ q 2
3
n−1
qn−1 ⋅ q −1 = , q −1
или
1− qn 1 qn Sn = = − . 1− q 1− q 1− q 1 1. П ри | q |< 1 , Sn = 1− q т.е. ря д сходится и ег о сумма S = 2. П ри
,
1 . 1− q
q = 1 п олучаем ря д 1+1+1+...+1+....
19
lim S n = ∞ ,
Следовательно, Sn = n и 3. П ри
| q |> 1 ,
n→∞
т.е. ря д п ри q = 1 расходится .
1 − qn lim Sn = = ∞ , т. е. ря д расходится . n→∞ 1− q
1.2. С во йства схо дящихся рядо в Е сли в ря де (1) отбросить конечное число п ервы х членов, нап ример mчленов, то п олучим ря д
am+1 + am+2 + am+3 + ...+ am+k + ...,
(3)
которы й назы вается m-м ост ат ком р яда (1). Те о ре ма 1.1. Ряд (3) сходи т ся (и ли р асходи т ся) одн овр емен н о с р ядом (1). Т. е. н а сходи мост ь р яда н евл и яет от бр асыван и е л юбого кон ечн ого чи сл а чл ен ов. О бозначим через rm - m- ы й остатокря да. Те о ре ма 2.1. Пр едел суммы rm m- го ост ат ка сходящегося р яда (1) пр и m → ∞ р авен н ул ю . Те о ре ма 3.1. Есл и р яд (1) сходи т ся и его сумма р авн а S, ∞
т о и р яд
∑ can , гдеc - н екот ор оечи сл о, т акж есходи т ся, и
его сумма р авн а
n =1
cS .
∞
Те о ре ма 4.1. Есл и р яды соот вет ст вен н о р авн ы сумма р авн а S
S
∑ an n =1
∞
и
и σ , т о и р яд
+σ .
∑ bn n =1 ∞
сходят ся и и х суммы
∑ (an + bn ) n =1
сходи т ся и его ∞
Те о ре ма 5.1(не о б хо д им ы й признак схо д им о сти ряд а). Есл и р яд сходи т ся, т о его общи й чл ен ст р еми т ся к н ул ю, т .е.
lim a n = 0 .
n→ ∞
О братное утверждение неверно. П ример 4. Рассмотрим ря д
∞ 1 1 1 1 1 + + + ... + + ... = ∑ . 2 3 n n=1 n
(4)
∑ an n =1
20
Т акой
ря д
назы вается
г армоническим
ря дом.
О чевидно,
что для
г армоническог о ря давы п олнено необходимое условие сходимости, таккак
lim a n = lim
n→ ∞
n→ ∞
1 =0 n
Д окажем расходимость ря да(4). П редп оложим, что ря д сходится и его суммаравна S . Т огда
lim ( S2 n − S n ) =
n →∞
1 1 1 1 + ... + > n⋅ = . n +1 2n n 2
Следовательно, г армонический ря д расходится . Д л я сходи мост и р яда (1) н еобходи мо и дост ат очн о, чт обы дл я всякого пол ож и т ел ь н ого чи сла ε > 0 мож н о был о подобр ат ь т акоеN, чт о пр и n>N и л юбом пол ож и т ел ь н ом p выпол н ял ось н ер авен ст во
| an +1 + an + 2 + ... + an + p |< ε
(крите рий К о ши). 1.3. Р яды с не о трицате льными чле нами ∞
Те о ре ма 6.1. Д л я т ого чт обы р яд
∑ an n =1
с н еот р и ц ат ел ь н ыми чл ен ами
сходи л ся, н еобходи мо и дост ат очн о, чт обы посл едоват ел ь н ост ь част и чн ых сумм эт ого р яда был а огр ан и чен а. Д о стато чные усло вия схо димо стичисло вых рядо в. 0 ≤ an ≤ bn , н ачи н ая с Те о ре ма 7.1(признак срав не ния). Есл и н екот ор ого n = n0 , и р яд ∞
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ... = ∑ bn n =1
(5)
сходи т ся, т о и р яд (1) т ож е сходи т ся. Есл и р яд (1) р асходи т ся, т о р асходи т ся и р яд (2). Те о ре ма 8.1(о б щ ий приз нак срав не ния). Есл и р яд (1) пол ож и т ел ь н ый, а р яд (5) ст р ого полож и т ел ь н ый и сущест вует
lim
n→∞
an = c, bn
21
гдеc=const, c ≠ 0, т о и з сходи мост и р яда (5) сл едует сходи мост ь р яда (1),а и з р асходи мост и р яда (1) сл едует р асходи мост ь р яда (5) . В част н ост и , есл и a n ~ bn , пр и n → ∞ , т о р яды с чл ен ами a n и bn сходят ся и ли р асходят ся одн овр емен н о. ∞
П ример 5. И ссследовать насходимость ря д
1
∑ (n + 1) 2 . n =1
Сравниваем данны й ря д сосходя щ имся ря дом (см. п ример 1). ∞
1
∑ n(n + 1) . n =1
О чевидно,
1 1 < , (n=1,2,3,… ) (n + 1) 2 n(n + 1) О тсюда, сог ласно теореме 7, п олучаем, чтоданны й ря д сходится . П ример 6. Ря д
сходится , т.к. здесь
1 1 1 1 ... + + + + + ... n 1⋅ 2 2 ⋅ 22 3 ⋅ 23 n⋅2 an =
1 1 < n, n n⋅2 2
п ричем ря д, составленны й из элементов г еометрической п рог рессия знаменатель которой q = П ример 7. Ря д
1 , сходится . 2
1 1 1 1 + + + ... + + ... 3 5 2n −1
расходится , т.к.
1 1 1 lim ÷ = ≠ 0 , n→ ∞ 2 n − 1 n 2 аря д с общ им членом a n = П ример 8. Ря д
1 расходится . n
∞
1
∑ 2n , n =1
22
1 1 1 1 + 2 + 3 +...+ n +... 2 −1 2 − 2 2 − 3 2 −n сходится , т. к.
1 1 ÷ n =1≠ 0, lim n n→ ∞ 2 − n 2
т.е.
1 1 1 ~ , а ря д с общ им ч л ено м сходится . 2n − n 2n 2n
∞
Те о ре ма 9.1(признак Дал ам б е ра).
Пуст ь
пол ож и т ел ь н ыми чл ен ами и сущест вует пр едел
б) пр и ρ > 1 р яд р асходи т ся. Пр и ρ = 1 о сходи мост и р яда н и чего сказат ь н ел ь зя.
П ример 9. Ря д
1
∑ n! n =1
сходится , так как
a n+1 n! 1 = lim = lim = 0 < 1. n→ ∞ a n→∞ ( n + 1)! n→∞ n + 1 n lim
П о п ризнакуД аламбера этот ря д сходится .
∞
р яд
∑ an n =1
an +1 = ρ . Тогда n→∞ a n lim
а) пр и ρ < 1 р яд сходи т ся;
∞
дан
nn П ример 10. Ря д ∑ расходится , таккак n =1 n!
с
23
an +1 (n + 1) n +1 n! n + 1 lim = lim = lim = e > 1. n n→∞ a n→∞ ( n + 1)!⋅n n→∞ n n n
∞
Те о ре ма 10.1(признак К о ши).
Есл и р яд
∑ an n =1
пол ож и т ел ен , и
lim n a n = q , т о пр и q < 1 эт от р яд сходи т ся, а пр и q > 1 р асходи т ся.
n→∞
Пр и
q = 1 о сходи мост и р яда н и чего сказат ь н ел ь зя.
∞
Те о ре ма 11.1(инте грал ьны й приз нак К о ши). Пуст ь чл ен ы р яда т аки е, чт о
∑ an n =1
a1 = f (1) , a2 = f (2) ,… , an = f (n ) , где фун кц и я f (x) пр и x ≥ 1 ∞
н епр ер ывн а, пол ож и т ел ь н а и убывает . Тогда р яд
∑ an n =1
и н есобст вен н ый
∞
и н т егр ал
∫ f ( x)dx сходят ся и л и р асходят ся одн овр емен н о. 1
∞
П ример 11. Рассмотрим ря д
Ф ункц ия (6) равны
f ( x) =
1
∑ nα , n =1
( α > 0 ).
(6)
1 , x ≥ 1 , удовлетворя ет условия м теоремы 11. Ч лены ря да xα
значения м этой
функц ии
п ри x=1,2,3,… . К ак известно,
24 ∞
несобственны й интег рал
1 ∫ xα dx пр и α > 1 1
сходи т ся, а пр и α ≤ 1
р асходи т ся. Следовательно, данны й ря д сходится п ри α > 1 и расходится п ри
α ≤ 1. Заметим, что п ри α ≤ 0 такие ря ды также расходя тся , так как их общ ий член не стремится к нулю п ри
n → ∞,
т.е. наруш ается необходимое условие
сходимости ря да(см. теорему5).
1.4. Знако че ре дующие ся ряды
П ерейдем к рассмотрению ря дов, члены которы х имеют чередующ иеся знаки. Будем считать, что п ервы й член таког о ря да п оложителен. Т ог да знакочередующ ийся ря д можно зап исать ввиде
a1 − a 2 + a 3 − a 4 + ... + ( −1) n +1 a n + ... ,
(7)
г де an > 0 . Те о ре ма 12.1(признак Ле йб ница). Есл и абсол ют н ыевел и чи н ы чл ен ов зн акочер едующегося р яда (6) мон от он н о убывают :
a1 > a 2 > a3 > ... > an > ... и общи й чл ен р яда ст р еми т ся к н ул ю: lim a n = 0 , т о р яд сходи т ся. n→ ∞
25
П ример 12. Ря д ∞ 1 1 1 1 n +1 1 1 − + − + ... + ( −1) + ... = ∑ ( −1) n +1 , 2 3 4 n n n =1
сходится , т. к. удовлетворя ет условия м п ризнакаЛ ейбниц а: 1) 1 >
1 1 > > ... > … ; 2 3
2) lim
n→∞
1 = 0. n
Рассмотрим теп ерь ря ды с членами п роизвольны х знаков. Т акие ря ды назы вают знакоп еременны ми ря дами. В озьмем какой-нибудь зн акопер емен н ый ря д ∞
a1 + a 2 + a3 + ... + a n + ... = ∑ a n , n =1
г де числа
a1 , a2 , a3 ,..., an ...
(8)
мог ут бы ть как п оложительны ми, так и
отриц ательны ми, п ричем расп оложение их вря де п роиз вольно. Рассмотрим ря д, составленны й из модулей членовданногоря да(8): ∞
| a1 | + | a2 | + | a3 | +...+ | an | +... = ∑ | an | n =1
(9)
Те о ре ма 13.1(признак схо д им о сти з нако пе ре м е нны х ряд о в ). Есл и сходи т ся р яд (9), т о сходи т ся и р яд (8). Опре д е л е ние 1. Ряд (8) н азывают абсол ют н о сходящи мся, есл и р яд (9) сходи т ся. Есл и ж ер яд (8) сходи т ся, а р яд (9) р асходи т ся, т о р яд (8) н азывают н еабсол ют н о сходящи мся и л и условн о сходящи мся. Д ля исследования на абсолютную сходимость ря да (8) исп ольз уются из вестны е п риз наки сходимости знакоп оложительны х ря дов.
26
В частности, ря д (8) сходится абсолютно, если
lim |
n→∞
a n+1 |< 1 an
lim n | an | < 1 .
или
n→∞
В общ ем случае из расходимости ря да (9) не следует расходимости ря да (8). Н о если
lim |
n→∞
a n+1 |> 1 an
lim n | an | > 1 ,
или
n→∞
то расходится не только ря д(8), но и ря д (9). Д ля остаткаря да r n вэтом случае сп раведливаоц енка| rn
|≤ bn +1 .
П ример 13. И сследовать сходимость ря да
2
3
4
2 3 4 1 − − + + ... + (−1) 3 5 7
n ( n −1) 2
Составим ря д из абсолютны х величин членовря да: 2
3
4
n
2 3 4 n 1 + + + + ... + + ... 3 5 7 2n − 1 Т .к. n
n 1 1 n lim n = lim = , = lim n →∞ 2n − 1 n→∞ 2n − 1 n→∞ 1 2 2− n то данны й ря д сходится абсолютно.
n
n + ... . 2n − 1
27
Ря д, рассмотренны й в п римере 12, сходится условно (неабсолютно), т.к. ря д 1 +
1 1 1 + + ... + + ... - расходится (гармонический ря д). 2 3 n
Ко нтро льные приме ры
Н ап исать п ростейш ую формулуn-г о членаря дап о указанны м членам: 1 1 1 + + + ... 3 5 7
1. 1 +
2.
1 1 1 1 + + + + ... 2 4 6 8
3. 1 +
2 3 4 + + + ... 2 4 8
4. 1 +
1 1 1 + + + ... 4 9 16
5.
3 4 5 6 + + + + ... 4 9 16 25
6.
2 4 6 8 + + + + ... 5 8 11 14
7.
1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + ... 2 6 12 16 20 30 42
8. 1 +
1⋅ 3 1⋅ 3 ⋅ 5 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + + + ... 1 ⋅ 4 1 ⋅ 4 ⋅ 7 1⋅ 4 ⋅ 7 ⋅10
9. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...
28
10. 1 +
1 1 1 + 3 + + 5 + + ... 2 4 6
Н ап исать 4-5 п ервы х членаря дап о из вестномуобщ емучлену a n
3n − 2 11. a n = 2 ; n +1
(−1) n n 12. a n = ; 2n
2 + (−1) n 13. a n = ; n2
nπ 2 + sin cos nπ 1 2 ; 15. a n = 14. a n = . (3 + (−1) n ) n n! И сследовать сходимость ря дов, п рименя я п риз наки сравнения (или необходимы й п риз нак):
16. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... + (−1) n −1 + ... 2 3 n 12 2 12 12 + ... ... + + + + 17. 5 25 3 5 n 5
18.
19.
2 3 4 n +1 + + + ... + + ... 3 5 7 2n + 1 1 10
−
1 3
10
+
1 4
10
− ... +
( −1) n+1 n+1
10
20.
1 1 1 1 + + + ... + + ... 2 4 6 2n
21.
1 1 1 1 + + + ... + + ... 11 21 31 10 n + 1
+ ...
29
22.
1 + 1⋅ 2
1 + 2⋅3
1 + ... + 3⋅4
1 + ... n (n + 1)
2 2 23 2n + + ... + + ... 23. 2 + 2 3 n 24. 1 +
1 1 1 1 + + + ... + + ... 2 3 4 n
3 3 1 3 2 3 3 + + + ... + + ... 25. 2 3 2 4 3 (n + 1) n
И сследовать сходимость знакоп оложительны х ря дов: 26. 1 +
1 1 1 + + ... + + ... 2! 3! n!
27.
1 1 1 1 + + + ... + + ... 3 8 15 ( n + 1) 2 − 1
28.
1 1 1 1 + + + ... + + ... 1 ⋅ 4 4 ⋅ 7 7 ⋅10 (3n − 2) ⋅ (3n + 1)
1 4 9 n2 + + + ... + 2 + ... 29. 3 9 19 2n + 1 30.
1 2 3 n + + + ... + 2 + ... 2 5 10 n +1
31.
3 5 7 2n + 1 + 2 2 + 2 2 + ... + + ... 2 2 ⋅3 3 ⋅4 4 ⋅5 (n + 1) 2 ⋅ (n + 2) 2 2
2
2
3 6 9 3n + + + ... + + ... 32. 4 7 10 (3n + 1)2
30 1
3
n
3 2 5 7 2 2n + 1 2 + ... 33. + + + ... + 7 10 4 3n + 1 1 8 27 n3 + + + ... + + ... 34. e e 2 e3 en 2 4 2 n−1 + ... 35. 1 + 2 + 3 + ... + n 2 3 2 +1 36.
n! 1! 2! 3! + 2 + 3 + ... + n + ... 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1
37. 1 +
38.
2 4 2 n−1 + + ... + + ... 1! 2! (n − 1)!
1 1⋅ 3 1⋅ 3 ⋅ 5 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ ( 2n − 1) + + + ... + + ... 4 4 ⋅ 8 4 ⋅ 8 ⋅12 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅10 ⋅ ... ⋅ 4n
(1!) 2 ( 2! ) 2 (3!) 2 ( n! ) 2 + + + + ... ... 39. (2 n )! 2! 4! 61 1⋅ 4 1⋅ 4 ⋅ 9 1 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ n 2 + + ... + + ... 40. 1 + 1⋅ 3 ⋅ 5 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ ( 4n − 3) 41. 1 +
42.
1 3 5 2n − 1 + ... + + + ... + n 2 2 2 2 2
( )
2 2 ⋅5 2⋅ 5⋅8 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ ... ⋅ (3n − 1) + + + ... + + ... 1 1⋅ 5 1⋅ 5 ⋅ 9 1 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ ( 4n − 3)
2 3 4 n +1 + + + ... + + ... 43. 1 3 5 2n − 1 2
3
3
5
1 2 3 n 44. + + + ... + 2 5 8 3n − 1
n
2n−1
+ ...
31 ∞
1 ; 45. ∑ arcsin n n =1 ∞
1 47. ∑ ln 1 + ; n n =1
∞
46.
n2 + 1 48. ∑ ln 2 ; n =1 n ∞
50.
∞
1 51. ∑ 2 ; n =1 n ⋅ ln n ∞
53.
∑
n =1
1 ; n(n + 1)
∞
π 55. ∑ 1 − cos ; n n =1 ∞
3 n n! 58. ∑ n ; n =1 n
n =1 ∞
∞
1 49. ∑ ; n =1 ln n
1
∑ arcsin n 2 ;
n =1 ∞
51.
1
∑ n2 − n ; n =1 ∞
54.
1
∑ n ⋅ ln n ;
∑ n =1
∞
n! 56. ∑ n ; n =1 n ∞
e n n! 59. ∑ n ; n =1 n
1 n( n + 1)(n + 2 )
; ∞
2 n n! 57. ∑ n ; n =1 n ∞
5 n n! 60. ∑ n n =1 n
И сследовать сходимость следующ их з накоп еременны х ря дов. В случае сходимости исследовать наабсолютную и условную сходимость.
1 1 ( −1) n −1 + ... 61. 1 − + − ... + 3 5 2n − 1 1 1 ( −1) n −1 + + ... + + ... 62. 1 − 2 3 n ( −1) n−1 1 1 + ... 63. 1 − + − ... + 4 9 n2
32
2 3 (−1) n−1 n − ... + + ... 64. 1 − + 7 13 6n − 5 65.
3 5 7 2n + 1 − + − ... + ( −1) n −1 + ... 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3⋅ 4 n ⋅ ( n + 1) 2
n +n 1 2 3 n 2 − − + − ... + ( − 1 ) + ... 66. 2 4 8 2n
3 5 7 n 2n + 1 + ... 67. − + − + ... + (−1) 4 7 10 3n + 1 2
3
n
68.
3 3⋅5 3⋅5 ⋅ 7 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 1) + ... − + − ... + (−1) n −1 2 2⋅ 5 2 ⋅5⋅8 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 5)
69.
1 1⋅ 4 1⋅ 4 ⋅ 7 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ (3n − 2) + ... − + − ... + ( −1) n−1 7 7 ⋅ 9 7 ⋅ 9 ⋅11 7 ⋅ 9 ⋅11 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 5)
70.
sin α sin 2α sin 3α sin nα + + − ... + + ... ln 10 (ln 10 ) 2 (ln 10 )3 (ln 10 ) n
2. Ф ункцио нальные ряды. 2.1. О сно вные о пре де ле ния П ерейдем к рассмотрению ря дов, членами которы х я вля ются не числа, а функц ии: u1 ( x) + u 2 ( x) + u 3 ( x) + ... + u n ( x) + ... (1) Т акие ря ды назы ваются фун кц и он ал ь н ыми . Н ап ример, ря д
1 + x + x 2 + x 3 + ... + x 3 + ... я вля ется функц иональны м. Е сли вря де (1) п ридать x какое-либо значение x0 из области оп ределения
функц ии u n (x) , n = 1, 2,3,... , то п олучим числовой ря д
u1 ( x0 ) + u 2 ( x0 ) + u3 ( x 0 ) + ... + u n ( x0 ) + ...
(2)
Э тот ря д может сходиться или расходиться . Е сли он сходится , то точка x0 назы вается т очкой сходи мост и функц иональног о ря да (1). Е сли ря д (2) расходится , то точка x0 назы вается точкой расходимости функц ионального
33
ря да(1). Д ля одних точек, взя ты х из области оп ределения функц ии u n (x) , ря д (1) может сходи т ь ся, адля других - р асходи т ь ся. Опре д е л е ние 2.1. Совокуп ность всех точек сходимости функц ионального ря даназы вают обл аст ь ю его сходи мост и . Сумма S (x ) функц ионального ря да(1) я вля ется некоторой функц ией от x , оп ределенной вобласти сходимости ря да(1). В этом случае п иш ут
S (x ) = u1 ( x0 ) + u 2 ( x0 ) + u 3 ( x0 ) + ... + u n ( x0 ) + ... Сумму n п ервы х членовря да( n -ю частичную сумму) будем обоз начать через S n (x) , аостатокря да– через rn (x) . Sn (x) = u1 ( x0 ) + u2 ( x0 ) + u3 ( x0 ) + ... + un ( x0 ) + ... rn ( x) = S ( x ) − S n ( x)
И з оп ределения области сходимости функц ионального ря да, следует, что для любой точки x этой области сущ ествует п редел частичной суммы S n (x) п ри n → ∞ . В точках, не п ринадлежащ их области сходимости, частичная сумма S n (x ) не имеет п редела. Е сли ря д сходится , п ри некотором з начении x , то
lim S n ( x ) = S ( x ) , lim rn ( x ) = 0 n →∞
n→ ∞
Д ля оп ределения области сходимости ря да (1) достаточно п рименить к этомуря ду известны е п ризнаки сходимости, считая x фиксированны м. П ример 1. О п ределить область сходимости ря да
x + 1 ( x + 1) 2 ( x + 1)3 ( x + 1) n + ... + + + ... + 1⋅ 2 2 ⋅ 22 3 ⋅ 23 n ⋅ 2n О бозначим через u n (x ) общ ий член ря да, п олучим:
| un +1 ( x) | | x + 1 |n +1 2 n n | x +1| lim = lim n +1 = . n n →∞ 2 n →∞ | u ( x ) | ( n + 1 ) | x + 1 | 2 n Н аосновании п ризнакаД аламбераможно утверждать, что ря д сходится (и п ритом абсолютно), если
| x +1| > 1 , т.е. если 2 г армонический ря д: 1 +
| x +1| < 1, т.е. п ри – 3< x R, ря д расходится . Опр едел ен и е 2.3. Радиусом сходимости степ енного ря да(4) назы вается такое число R , что для всех x, | x |< R , степ енной ря д сходится , адля всех x, | x |> R , расходится . И нтервал ( − R, R) назы вается интервалом сходимости. Д ля степ енны х ря дов вида (3) интервалом сходимости будет интервал ( x0 − R, x0 + R ) .
|a | lim n+1 ≠ 0, т о р ади ус n→∞ | a | n
Те о ре ма 2.2. Есл и сущест вует пр едел сходи мост и ст епен н ого р яда (4) р авен
R= nlim →∞
| an | . | a n +1 |
П ример 2. Н айдем радиус сходимости ря да
35
1+ x + И меем
R= nlim →∞
1 2 1 x + ... + xn + ... 2! n!
| an | ( n + 1)! = lim (n + 1) = ∞ . = lim n→∞ | a n + 1 | n→∞ n!
Следовательно, ря д сходится абсолютно навсей числовой п ря мой. ∞
П ример 3. Ря д точки
∑ n!x n n =1
расходится навсей числовой п ря мой, кроме
x = 0 , таккакегорадиус сходимости
R= nlim →∞
1 | an | n! = 0. = lim = lim | a n +1 | n → ∞ ( n + 1)! n → ∞ ( n + 1) ∞
| xn | . П ример 4. Н айдем радиус сходимости ря да ∑ n =1 n 1 | an | n +1 = lim = lim (1 + ) = 1 . R= nlim →∞ | a n→ ∞ n→∞ n n n+1 | Следовательно, п о теореме 2.2 данны й ря д сходится наинтервале (-1,1). И сследуем п оведение ря данаконц ах интерваласходимости, т.е. вточках ∞
x = −1, x = 1. П ри x = 1 п олучаем гармонический ря д ∞
x = −1, ря д
∑ (−1)n n =1
1
∑ n , ап ри n =1
1 , которы й сходится в силу п ризнакаЛ ейбниц а. Т аким n
образом, данны й ря д сходится влюбой точке п олуинтервала[− 1,1) и расходится вне его. 2.3. С во йства сте пе нных рядо в П усть функц ия f (x ) я вля ется суммой степ енногоря да
f ( x) = a0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + an x n + ..., (5) интервал сходимости которог о (− R, R) . В этом случае г оворя т, что на
интервале ( − R, R ) функц ия f (x ) разлагается в степ енной ря д (или ря д п о степ еня м x). Те о ре ма 2.3. Есл и фун кц и я f (x) н а и н т ер вал е (− R, R ) р азл агает ся в ст епен н ой р яд (5), т о он а ди ффер ен ц и р уема н а эт ом и н т ер вал е и ее
36
пр ои зводн ая р яда (5), т .е.
f ' ( x ) мож ет быт ь н айден а почл ен н ым ди ффер ен ц и р ован и ем
f ' (x) = (a0 + a1x + a2 x2 +...+ an xn + ...)'= a1 + 2a2 x + 3a3x2 +...+ nan xn−1 +..., А налог ично мог ут бы ть вы числены п роиз водны е любог о п оря дкафункц ии f (x) . П ри этом соответствующ ие ря ды имеют тот же интервалсходимости, что и ря д (5). Те о ре ма 2.4. Есл и фун кц и я f (x ) н а и н т ер вал е ( − R, R) р азлагает ся в ст епен н ой р яд (5), т о он а и н т егр и р уема в и н т ер вал е (− R, R ) и и н т егр ал от н ее мож ет быт ь вычи сл ен почл ен н ым и н т егр и р ован и ем р яда (5), т .е., есл и x1 , x2 ∈ (− R, R ) , т о x2
x2
∫ f ( x)dx = ∫ (a0 + a1 x + a2 x
x1
x1
2
x2
x2
x2
x1
x1
x1
+ ... + an x + ...)dx = ∫ a0 dx + ∫ a1 xdx + ... + ∫ an x n dx + ... n
2.4. Р азло ж е ние ф ункций в сте пе нные ряды Те о ре ма 2.5. Есл и фун кц и я f (x) н а и н т ер вал е ( x0 − R, x0 + R ) р азл агает ся в ст епен н ой р яд 2 3 n f (x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 ) + a3 ( x − x 0 ) + ... + a n ( x − x 0 ) + ... , т о эт о р азл ож ен и ееди н ст вен н о. Ря д f ' ( x0 ) f ' ' ( x0 ) f (n) ( x0 ) 2 ( x − x0 ) + ( x − x 0 ) + ... + ( x − x0 ) n + ..., f ( x) = f ( x0 ) + 1! 2! n!
(6)
(7)
о ря да назы вается р ядом Тейл ор а функц ии f (x ) , коэффиц иенты этог
f ' ( x0 ) f ' ' ( x0 ) f ( n) ( x 0 ) a0 = f (x0 ), a1 = , a2 = , … , an = , 1! 2! n! назы вают коэффи ц и ен т ами Тейл ор а фун кц и и f (x) в т очке x . Т аким образом, если функц ия f (x) разлагается в степ енной ря д п о степ еня м x − x0 , то этот ря д обя зательно я вля ется ря дом Т ейлора этой функц ии. Е сли в ря де Т ейлорап оложить x0 = 0, то п олучим частны й случай ря да Т ейлора, которы й назы вают р ядом М акл ор ен а: f '(0) f ' '(0) 2 f ( n ) (0 ) n f ( x ) = f (0 ) + x+ x + ... + x + ... (8) 1! 2! n!
37
Замечан и е. В се рассуждения бы ли сделаны в п редп оложении, что функц ия f ( x) мож ет быт ь р азл ож ен а в ст епен н ой р яд. П усть теп ерь функц ия f (x ) в интервале ( x0 − R, x0 + R) имеет п роизводны е любог о п оря дка. Т огдадля любог о x из этог о интервалаи для любогоn будет сп раведливафор мул а Тейл ор а
f ( x) = f ' ( x0 ) f ' '( x0 ) f (n) ( x0 ) 2 = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) + ...+ ( x − x0 ) n + ...+ rn ( x), 1! 2! n!
(9)
г де
f (n+1) (x0 +θ(x − x0 )) rn (x) = (x − x0 ) (n +1)!
(10)
Ф ор мул а М акл ор ен а для любой бесконечно дифференц ируемой функц ии имеет вид f ' ( 0) f ' ' ( 0) 2 f ( n ) (0 ) n f ( x ) = f ( 0) + x+ x + ... + x + ... + Rn ( x ), (11) 1! 2! n! г де остаточны й член
f ( n+1) (ξ ) n+1 Rn ( x) = x , ξ = θx, 0