2.3. Затухающие колебания. Как отмечалось выше в любых реальных осцилляторах имеют место диссипативные процессы, напр...
22 downloads
138 Views
341KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
2.3. Затухающие колебания. Как отмечалось выше в любых реальных осцилляторах имеют место диссипативные процессы, например, в определенных частях действуют силы трения. Это приводит к тому, что при свободных колебаниях, величины, характеризующие отклонение системы от равновесия (смещения, «колебательная» скорость элементов и т.п.), с течением времени постепенно уменьшаются. Если убыль энергии, запасенной в колебательном процессе не восполняется, то колебания будут «затухать». Иными словами такой осциллятор на самом деле уже не является «свободным» (замкнутой системой). Энергия упорядоченного движения в нем не сохраняется. Силы трения передают ее окружающей среде в виде тепла. Осциллятор следует считать от крыт ой сист емой. Рассмотрим колебания таких диссипативных осцилляторов с одной степенью свободы на примере уже рассмотренных пружинного, физического маятников и колебательного контура.
2.3.1 Механическ ие к олебания. В качестве диссипативных сил выберем силы трения, пропорциональные скорости (силы вязкого трения). Это позволит, как мы увидим, сохранить дифференциальное уравнение колебаний линейным. Используя второй закон Ньютона, составим дифференциальные уравнение движения указанных осцилляторов. Таблица № 2.2. Пружинны й маятник Физический маятник Силу вязкого трения запишем в виде: Момент силы сопротивления примем пропорциональным угловой скорости W : & Fmp = - rV = - rx , где r коэффициент трения; знак "" М сопр = - ra W = - ra a&, r r отражает тот факт, что F mp и V где ra коэффициент сопротивления; направлены в противоположные стороны, a& угловая скорость; вследствие чего их проекции на ось Х Знак "" отражает тот факт, что угловое смещение a и момент силы сопротивления имеют разные знаки. Из второго закона Ньютона находим М сопр направлены вдоль оси вращения в уравнение движения маятника: противоположные стороны. Уравнение основного закона динамики вращательного & & mx = F óï ð + Fò ð или & = M mg + M ñî ï ð или движения имеет вид: Ia& & &= - kx - rx&Þ mx & &+ rx& + kx = 0 mx &= - mgla - ra a&Þ I a& &+ rja& + mgla = 0 . Разделим на m обе части уравнения I a& & x&+
r k x& + x = 0 m m
введем обозначения: w 0 2 =
Введем обозначения: w 0 2 = k r ; 2 b = m m
r mgl ; 2 b = a I I
Разделим на I обе части уравнения: &+ a&
r a mgl a& + a = 0 I I
Оба дифференциальных уравнения приобретают вид: & &+ 2 ba& + w 0 2 a = 0 x&+ 2 b x& + w 0 2 x = 0 a& Где w 0 собственная частота колебаний системы, т.е. та частота. С которой колебалась бы система в отсутствие трения. b коэффициент затухания (смысл этой величины будет пояснен далее).
2.3.2. Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний. Анализ решения. Таким образом, движения маятников описывается одинаковым линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка
с постоянными коэффициентами 1 вида: (2.50) Найдем решение данного уравнения, введя подстановку x = Ce lt (2.51) где l ,С = const. Продифференцировав (2.51) по t и подставив в (2.50), получим характеристическое уравнение: (2.52) Корни характеристического уравнения: Следовательно, решение дифференциального уравнения (2.50) имеет вид:
x = Celt = C1e
- b t ± b 2 -w02t
+ C2 e
- b t -t b 2 -w0 2
,
(2.53)
где С произвольные постоянные Подкоренное выражение может быть ì > 0 ï b 2 - w 0 2 í = 0 , ï< 0 î
(2.54)
Т.е. в отличие от системы без потерь, здесь может быть три вида движения. 2
2
2.3.2.1 Рассмотрим третий случай (малого затухания): b - w 0 0
где i = - 1 (мнимая единица). Корни характеристического уравнения приобретают вид: Обозначим
w 02 - b 2 = w Эту величину называют циклической частотой затухающих колебаний. Тогда l1 = - b + iw ; l2 = -b - iw ; и из (2.53) находим:
(2.55)
(см. п. 2.1.7) Таким образом, (2.56)
1
Неоднородными называют уравнения, в которых правая часть (например в (2.50)) является некоторой функцией
независимой переменной ( P ( t ) ). Так, если в (2.50) правая часть равна А = const ,то это уже не однородное дифференциальное уравнение.
является решением дифференциального уравнения (2.50); j 0 начальная фаза колебаний; х0 = А0 cos j 0 начальное смещение, А 0 начальная амплитуда. Значения А 0 и j 0 определяются начальными условиями движения. На рис. 2.18 приведен график функции (2.55). Штриховыми линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся частицы. Таким образом, затухающие колебания не являются ни гармоническим, ни периодическим процессом. Однако часто, в соответствии с видом функции (2.56), движение рассматривают как гармоническое колебание частоты w с амплитудой, изменяющейся по закону, At = A0 e - b t (2.57) - b t A = A e x 0 x t 0 A 0 и называют условно периодическим. Верхняя из штриховых линий на рис. 2.18 дает график этой функции A( t ) . Условный период затухающих колебаний, если затухание мало ( b = w 0 ) T 2p 2 p T= = (2.58) 2 2 w w - b 0 Рис 2.18
2.3.3. Величины, характеризующие затухание колебаний. 2..2.3.1. Коэффициент зат ухания b определяет быстроту затухания колебаний во времени. b растет с ростом коэффициента сопротивления (силы трения) и уменьшается r ö æ с ростом инертности системы ç b = ÷ . 2 m ø è
A 0 = e b t . За единицу времени, т.е. через t = 1с, амплитуда At b уменьшится в е раз. Коэффициент зат ухания b характ еризует уменьшение Из (2.57) следует:
амплит уды за единицу времени. 2..2.3.2. Пост оянная времени релаксации (время релаксации) t время, за которое амплитуда убывает в е раз. A A At = A0 e - bt ; 0 = e bt ; 0 = e , откуда At At 1
bt = 1 Þ b = (2.59) t Таким образом, коэффициент зат ухания ест ь величина обрат ная времени, в т ечение кот орого амплит уда колебаний уменьшает ся в е раз. 2.3.3.3. Декремент и логарифмический декремент . Последовательные наибольшие отклонения в одну и ту же сторону (последовательные амплитуды А1 , А2 , А 3 и т.д. на рис.2.18 образуют геометрическую прогрессию:
Отношение любых двух последующих амплитуд, т.е. амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, постоянно и равно A t = e b T (2.60) At +T Это отношение называют декремент ом, а его логарифм логарифмическим декремент ом A 1 D = ln t = b T = T (2.61) At +T t За время t , уменьшения амплитуды в е раз, система успевает совершить N e = t T колебаний. Следовательно D = 1 = 1 , т.е. логарифмический декремент обратен числу t / Т Ne колебаний, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Например: D = 0,1. Это значит, что через 10 колебаний амплитуда уменьшится в е раз.
2.3.4. Затухающие элек тромагнитны е к олебания. В п.2.1.6. мы рассмотрели колебания, происходящие в идеальном колебательном контуре, т.е. в контуре, активное сопротивление которого R = 0. Теперь рассмотрим колебания, происходящие в реальном колебательном контуре, содержащем активное сопротивление R (рис. 2.19). Такая система близка к реальной ситуации, хотя бы уже потому, что индуктивность в случае квазистационарных полей (см. 2.1.5). это «катушка» на которую намотано некоторое число витков «провода», обладающую конечным электрическим сопротивлением. Если в цепи другие резисторы отсутствуют, то на рис. 2.19 R = RL . По второму правилу Кирхгофа для данного контура
Рис. 2.19
(2.62) где Uc напряжение на конденсаторе С; UR напряжение на сопротивлении R;
e s
э.д.с. самоиндукции. U =
q dq dI & ; e s = - L = - Lq & & ; U R = IR = R = qR C dt dt
Подставив эти выражения в (2.62), получим:
&+ Rq& Lq& + q = 0 c
(2.63)
или
& q& + R q& + L
R L
Введя обозначения 2 b = ; w 0 2 =
1 q = 0 LC
(2.64)
1 уравнение (2.64) приведем к виду: LC
, (2.65) 1 где w 0 = собственная частота контура, т.е. частота, с которой совершались бы LC колебания при R = 0. Как и следовало ожидать, с математической точки зрения уравнение (2.65) тождественно уравнению (2.50).
Из сопоставления формул:
2 b =
R r 1 k и 2 b = ; w 0 2 = и w 0 2 = L m LC m
для электромагнитных и механических колебаний следует, что сопротивление R играет роль коэффициента трения r ; индуктивность L роль массы; величина, обратная емкости С роль коэффициента квазиупругой силы k, т.е. имеют место следующие аналогии: 1 R « r ; L « m; « k C 2 R 1 В случае, когда, b 2