Физика(часть 3.1,3.2) ''Колебания'',''Волновые процессы''. Конспекты лекций

34 

ГЛАВА 3.   УПРУГИЕ ВОЛНЫ  (В ВЕЩЕСТВЕ).  3.1.   ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЧИНЫ  ВОЗНИКНОВЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН.  В  твёрдых  телах  это  –  изменение  относительного  положения  соседних  атомов  (молекул),  находящихся  в  равновесии  в  узлах  кристаллической  решётки.  Образование  твёрдого  тела  –  следствие  действия  молекулярных  (электрических)  сил  притяжения.  В  равновесии  структурные  частицы  не  испытывают  воздействия  со  стороны  ближайших  соседей.    Относительное  смещение  приводит  к  возникновению  между  атомами  квазиупругих  сил,  стремящихся  вернуть  каждую  из  них  в  положение  равновесия.  Это  обстоятельство и приводит к перемещению возмущений по кристаллу (см. также 3.5).  В  газах  и  жидкостях  под  воздействием  источника  изменяется  плотность  в  соответствующих  элементах  среды,  что  приводит  к  увеличению  (или  уменьшению)  локального  давления.  Разность  изменения  давления  в  соседних  слоях  обеспечивает  возвращающую квазиупругую силу и, соответственно, распространение возмущения.  Для упругих волн имеется своя шкала (см. рис. 3.1). 

Рис.3.1. Шкала упругих волн

Весь  спектр  упругих  волн  можно  наблюдать  в  твёрдых  телах.  Они  могут  возбуждаться  искусственно  или  иметь  тепловое  происхождение.  Тепловые  колебания  атомов  или  ионов,  составляющих  кристалл,  часто  рассматривают  как  совокупность  плоских продольных и поперечных  упругих волн, распространяющихся в самых  разных  направлениях. Эти волны называют т епловыми фононами.  3.2.  ВОЛНЫ  В ЦЕПОЧКЕ СВЯЗАННЫ Х АТОМОВ.  Эта  простейшая  модель  твёрдого  тела  даёт  представление  о  характерных  особенностях  упругих  волн.    Первые  представления  о  колебаниях  в  такой  цепочке  приведены  в  (1.3.6).  В  ней  возможны  продольные  (атомы  сближаются  и  расходятся)  и  поперечные  волны,  в  которых  смещение  атомов  происходит  перпендикулярно  цепочке.  (см. рис. 1.8). Волны являются векторными, т.к. смещение – векторная величина.  Рассмотрим  поперечные  волны.  Покажем,    что  если  смещение  атомов  в  начале  цепочки  (начале  координаты  X)    происходит  по  гармоническому  закону,  то  такие  колебания «бегут» от атома к атому, т.е. решение уравнения движения атомов может быть  записано в виде «бегущей» волны. Y ( x, t ) =  Ae j (w t -kx n )  (3.1)  где  Ψ–  смещение  атомов,  расположенных  в  точках  с  координатами  x n  ,  n­номер  атома  в  цепочке.    Пусть  a  –  расстояние  между  атомами  в  положении  равновесия  (рис.3.2),  коэффициент  упругости  для  возникающих  между  атомами  квазиупругих  сил  при  их  относительных поперечных  смещениях ­ K F ^  (коэффициент сдвиговых деформаций);  m­  масса атома. 

35 

Рис. 3.2. Схема колебаний цепочки одинаковых атомов 

Движение  n­го  атома  определяется  силовым  воздействием  ближайших    соседей 

& &  = F m Y n n , n +1 + Fn , n -1 , где  F n , l  ­ сила, действующая на атом n со стороны атома l. Эта сила  определяется разностью смещений атомов. 

Fn,n +1 = - KF ^ (Y n - Y n+1 ) = K F ^ DY n ,n +1  Fn,n -1 = - KF ^ ( Y n - Y n -1 ) = KF ^ DY n ,n -1 

(3.2) 

Подставляя значения сил в исходное уравнение движения, находим  & & = - K (DY m Y  (3.3)  F^ n , n -1 - DY n +1, n ) =  - KF ^ (2 Y n - ( Y n +1 + Y n -1 ))  n Такие  уравнения  можно  составить  для  любого  атома,  в  которых  смещение  искомого  атома  связано  со  смещением  его  соседей.  Движение  (n­1)­го  атома возбуждает  смещение n­го атома, который, в свою очередь, тянет (n+1)­й атом и т.д. Таким образом,  цепочка связанных между собой уравнений  колебаний атомов обеспечивает перемещение  возмущения  по  цепочке.  Если  (3.1)  является  одним  из  решений  системы  (3.2),  то  при  подстановке  все  уравнения  должны  обратиться  в  тождество.  Т.к.  колебания  совершают  атомы, расположенные в определённых местах, то следует принять  x n =  an  и подставить  Ψ(x,t) в виде  Y ( na , t ) =  Ae j (w t - ank )  В результате получим  - mw 2 = K F ^ ( e jka  + e - jka  - 2 )  или  2 K F ^ 4 K F ^ ka  w 2  = ( 1 - cos ka )  = sin 2  (3.4)  m  m  2  Это дисперсионное уравнение, связывающее ω и k, при выполнении которого (3.1)  тождественно удовлетворяет (3.3).  ka w = 2 w 0  sin  (3.5)  2  K F ^ где  w 0 =  .  При  ka   2πa)  w @ w 0 ak = u p ^ k,  K F ^  ­ фазовая скорость ­  m  константа, дисперсия нулевая (отсутствует).  Дисперсионная  кривая  в  общем  случае  описывается  формулой  (3.5)  (см. рис. 3.3).  Дисперсия (нормальная)  имеет место в  области коротких волн.  где  u p ^  =a 

Рис. 3.3. Дисперсионная кривая колебаний  линейной одноатомной цепочки

u p ^ (k ) =

w k

= 2w 0

sin( ka / 2) sin(ka / 2) sin( ka / 2)  = w 0 a  = u p (0)  k ( ka / 2) ( ka / 2) 

(3.6) 

36  Скорость  u p ^ (0)  определяет фазовую скорость поперечного звука. Введём для неё  специальное обозначение ­  Cs ^  (от английского «sound» – звук). 

u p ^ (0) = С S ^  = a 

K F ^  m 

(3.7) 

Зависимость u p ^ (k )  приведена на рисунке 3.4.  Обратим  теперь  внимание  на  то,  что  параметры  волны  привязаны  к  смещениям  атомов, т.е. могут меняться только дискретно. Соответственно, длина волны должна быть  целым, кратным a (см. рис. 3.5). Длина  волны не может быть меньше  l min = 2 a  и  l = lmin l ,  где l=1,2,3…  (3.8) 

K max =

2 p

lmin 

=

p a

w max = 2w 0  = 2 

K F ^ m

(3.9) 

Аналогичные  результаты  можно  получить  для  продольных  смещений  атомов  в  цепочке  (продольная  волна).  Различие  будет  состоять  в  том,  что  в  уравнениях  следует  использовать иной коэффициент  упругости  ( K F P )  (упругого растяжения). 

Рис.3.4. Зависимость фазовой скорости  от волнового числа для линейной  одноатомной цепочки. 

3.3. 

Рис.3.5. Возможные виды  (моды) поперечных  колебаний линейной одноатомной цепочки.

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ НЕПРЕРЫ ВНОЙ СРЕДЫ . 

В твёрдых телах количество атомов в макроскопических объёмах огромно, а  a≈10 ­10 м. Например, в одном кубическом сантиметре число атомов составляет n >10 22 см ­3 .  Поэтому спектр доступных гармонических упругих волн (удовлетворяющих уравнениям  типа (3.2) изменяется практически непрерывно, если λ >> a (l >> 1 в (3.7))1)  , т.е. имеет  макроскопические  размеры.  В  такой  ситуации  разность  смещений  атомов  (3.2)  можно  считать  бесконечно  малыми  приращениями  ­  дифференциалом  Ψ  по  x,  а  их  разность  DY n,n+1 - DY n-1, n = ¶ 2 Y  дифференциалом  дифференциала,  т.е.  дифференциалом  второго  порядка.  Соответственно,  расстояние,  на  котором  происходит  приращение  а,  будем  считать дифференциалом координаты  a = ¶x . (знак ¶  использован, т.к. Y  ­ функция двух  переменных x и t). В результате, умножив и поделив уравнение(3.3) на а 2  , получим  2  ¶ 2 Y KF a 2 ¶ 2 Y 2  ¶ Y = = C  ,  s  ¶t 2 m ¶x2 ¶ x2  1) 

Например, относительное изменение k для двух соседних волн:  2p 2p 2p æ 1 1 ö 2p Dk  1  kl = ;   kl +1  = ;  Dk  = Þ = ç ÷= al a ( l + 1) a è l l + 1 ø  al ( l + 1) kl  l + 1 

(3.10)

37  где все величины уже считаем изменяющимися непрерывно.  Таким  образом,  для  длинных    волн  дискретные  уравнения  (3.3)  переходят  в  обычное  волновое  уравнение  с  постоянной  фазовой  скоростью  Cs(0)  (дисперсия  отсутствует).  В  газах  и  жидкостях,  как  уже  указывалось  в  п.1.2,  возможны  только  продольные  волны  сжатия  и  растяжения  веществ.  Эти  волны  скалярные,  т.к.  описание  сводится  к  анализу изменения плотности и давления в волне.  Разность  изменения  давления  в  соседних  слоях  вещества  на  расстоянии  dx,  это  второй дифференциал  ¶ 2  p( x , t )  по x. Поэтому для волнового уравнения имеем  2  ¶2 p 2  ¶ p  = u p  ¶t 2 ¶ x2 

(3.11) 

В  заключении  ещё  раз  отметим:  упругие  волны  всегда  имеют  минимальную  граничную длину волны λmin  и, соответственно, максимальную частоту ωmax  Их значения  зависят от свойств вещества.  Для твёрдых тел ωmax = 0 . 

Соответственно  интенсивность  волны    окажется  равной  r  2 I~ = < Ex2 + E y 2 > 2  = E x2 + E y 2 = I x  + I y .  Поэтому  при  случайных  поворотах  вектора r  E (t) получаем  I x  =  I y  (4.20),  что  и  указывает  на  отсутствие  квазистационарного  выделенного  направления  поляризации.  Для  определения  характера  поляризации  волн  и  формирования  из  неполяризованного  излучения  волн  с  определенной  поляризацией  используют  специальные  устройства  –  поляризаторы.  На  рис.  4.12  демонстрируется  работа  простейшего  поляризатора  для  поперечной  волны,  возбуждаемой  в  резиновом  контуре  (упругом стержне). 

Рис.4.12. Принцип работы поляризатора

Это  просто  узкая  коробка,  через  которую  волна  может  «пройти»,  если  колебания  параллельны  щели.  Аналог  для  электромагнитных  волн  ­  рамка,  на  которую  натянуты  параллельные  друг  другу  отрезки  тонкого  металлического  провода  (рис.  4.13).  Пусть  на  рамку падает плоская линейно­поляризованная волна. Компонента  E y волны возбуждает 

48  в  проводах  переменный  ток,  который  оказывается  источником  вторичной  волны  с 

¢ E y ;  - E y .  Суперпозиция  E y'  и E y  приводит  к  исчезновению  волны  за  рамкой  и  появлению  перед  рамкой  отраженной  волны.  Составляющая  волны  с E x  = E cos j  проходит  через  рамку  –  поляризатор  без  существенных  изменений.  За  рамкой  будет  существовать линейно­поляризованная по оси X волна с интенсивностью  (закон Малюса) ( n )  I x =  I 0  cos 2  j  (4.21)  Вращая  поляризатор­анализатор  до  ( n )  I x ( j )  = I max  находим  направление  поляризации  падающей волны.  Если  на  поляризатор­анализатор  падает  неполяризованная  волна,  то  интенсивность  I(φ)  прошедшей  волны  не  будет  зависеть  от  угла  поворота  поляризатора.  Т.к.  в  волне  I =  I x  + I y  и  1 I  ,  то  за  анализатором  получится  Рис. 4.13. Прохождение электромагнитной  2  волны через поляризатор 1  линейно­поляризованная волна с  I ( n )  =  I 2  ( n )  ( n )  Наличие  в  зависимости  I(φ)  максимума  и  минимума  I max  и  I min  говорит  о  присутствии  в  волне  выделенного  направления  поляризации.  Соответственно,  такое  волновое поле называют част ично поляризованным. Для количественной характеристики  поляризованности вводят понятие степени поляризации 1)  .  I  - I  p =  max  min  (4.22)  I max  + I min  Некоторые  физические  явления,  на  которых  основывается  работа  целого  ряда  поляризационных  устройств  (поляризаторов,  анализаторов,  деполяризаторов,  поляризационных  призм)  будут  рассмотрены  при  анализе  взаимодействием  электромагнитных волн с веществом.  I x  + I y  =

1) 

Следует  иметь  в  виду,  что  приведенные  рассуждения  не  касаются  волн  с  круговой  и  эллиптической  поляризацией. Очевидно поляризатор для поляризованной по кругу волны дает Р ≡ 0.