Глава 7.
НЕЛИНЕЙНЫ Е ВОЛНЫ .
По мере увеличения амплитуды практически всегда поведение и свойства волновых ...
56 downloads
198 Views
280KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Глава 7.
НЕЛИНЕЙНЫ Е ВОЛНЫ .
По мере увеличения амплитуды практически всегда поведение и свойства волновых процессов начинают зависеть от амплитуды, т.е. волна становится нелинейной. (Исключение составляют, повидимому, только электромагнитные поля в вакууме). Одно из основных следствий – нарушение принципа суперпозиции, поля от независимых источников при совместном возбуждении не ведут себя как аддитивные (складывающиеся) независимые величины. Математически это соответствует тому, что движение вещества и поля приходится описывать с помощью нелинейных уравнений. Напомним, что нелинейными называют уравнения, в которые определяемая функция и ее производные (или «первообразные») входят в степени отличной от единицы. Количественной мерой нелинейности волн в большинстве случаев является отношение амплитудных характеристик волнового поля к соответствующим величинам, описывающим состояние невозмущенной среды, соотношения между пространственновременными параметрами волн. Например, для гравитационных волн на воде – это отношение высоты гребня к длине волны, отношение скорости колебаний частиц к скорости волны. При распространении электромагнитных волн в веществе таким параметром может служить отношение амплитуд электрического и магнитного полей волны к внутренним полям, поддерживающим равновесную структуру. «Степень» нелинейности звуковых волн определяют акустическим числом Маха – отношением амплитуды скорости смещения частиц в волне к скорости звука. Таким образом, нелинейные волны – следствие нелинейного отклика среды на созданные в ней возмущения, нелинейности среды. Естественно, что на формирование нелинейного волнового процесса будут оказывать влияние те же факторы, что и для линейных волн: дисперсия, диссипация (затухание, отбор энергии), дифракция. Поскольку в волнах в каждом элементе среды реализуется некоторый колебательный процесс, то ряд общих соображений о явлениях, возникающих в нелинейных волнах, можно сделать на основе результатов теории колебаний (см. разд. Курса «Колебания»). Однако волны являются процессом, характерным для протяженных сред, обладающих огромным (зачастую, приближенно, бесконечным) числом степеней свободы. Это обстоятельство порождает огромное разнообразие новых явлений и приводит по сравнению с анализом колебаний отдельных тел к существенному усложнению их описания. Поэтому наша задача будет состоять лишь в том, чтобы дать первые представления о характерных нелинейных чертах волновых процессов, обладающих той или иной степенью универсальности. 7.1. СЛАБ О НЕЛИНЕЙНЫ Е ВОЛНЫ . В таких волнах нелинейность считают малым возмущением. В линейном приближении поле волны рассматривают как суперпозицию гармонических волн с частотами и волновыми числами, подчиняющимися дисперсионному уравнению w = w ( k ) для данных конкретных условий. Вследствие нелинейности, волны взаимодействуют, обмениваясь энергией и порождая волны на новых частотах. Если в нелинейной среде источник возбуждает гармоническую волну с частотой w , то также как и в нелинейном осцилляторе, распространение волны сопровождается появлением высших гармоник 2w , 3w и т.д. Энергия колебаний как бы «перекачивается» «вверх» по спектру. Таким способом с помощью мощных лазеров создают генераторы когерентного электромагнитного измерения на частотах кратных частоте излучения лазеров. Эффективность генерации гармоник зависит от дисперсионных свойств системы и может быть значительной даже при очень слабой нелинейности. Действительно, для роста амплитуды гармоники по мере распространения волн необходимо, чтобы в каждой точке 84
пространства вынужденные колебания элементов среды, порождаемые основной волной, и возникающие под действием волны гармоники, происходили синхронно. Это означает, что у «затравочной» волны и у гармоники фазовые скорости должны быть одинаковыми. Таким образом, при отсутствии дисперсии взаимодействие волн будет носить резонансный, накапливающийся характер на расстояниях много больших длины волны ( l >> l ), что обеспечит высокую эффективность передачи энергии от первичной волны с частотой w к соответствующей гармонике. Если дисперсия велика, то фазовые скорости гармонических возмущений, имеющих разные частоты, будут существенно разными. Фаза их взаимных воздействий будет быстро осциллировать, что приведет на больших длинах к ничтожному эффекту. 7.2. ВОЛНА РИМАНА И УКРУЧЕНИЕ ВОЛН. Характерные особенности воздействия нелинейности на эволюцию волнового процесса будут видны, если пренебречь дисперсией и диссипацией (затуханием) волны при ее распространении в нелинейной среде. В такой волне все гармонические моды «бегут» с одинаковыми скоростями. Пожалуй, самой простой нелинейной волной будет плоская бегущая волна, описываемая «кинематическим» волновым уравнением (1.28), в котором скорость волны является функцией амплитуды волны Y , (u = u ( Y ) ): ¶Y ¶Y + u ( Y ) = 0 (7.1) ¶t ¶ x К числу таких волн, относятся возмущения в среде, состоящей из невзаимодействующих движущихся вдоль X частиц. Пусть n ( x, t ) плотность частиц в точке x в момент t . Тогда факт отсутствия потерь
частиц определяется условием dn ( x, t ) = 0 dt
(7.2)
¶n ¶n dx + = 0 , ¶t ¶ x a t
(7.3)
Откуда следует
dx где u = – скорость среды, которая в общем случае может являться функцией at координаты и времени. Другой пример уравнение движения несжимаемой среды (жидкости). Плотность потока жидкости при ее движении вдоль оси X Y = nu . В каждом слое количество втекающей и вытекающей жидкости должно оставаться неизменным d Y ¶Y ¶Y = 0 или +u = 0 . И т.к. n = const (жидкость несжимаема), то dt ¶t ¶ x ¶u ¶u +u = 0 (7.4) ¶t ¶ x снова аналог (7.1), но непосредственно для скорости. Уравнение (7.4) для u нелинейно. Простейшая нелинейность в (7.1) и (7.4) возникает, если предположить, что u функция Y , u = u ( Y ) . Общее решение таких уравнений попрежнему (ср. с(1.28)) имеет вид Y ( x, t ) = f0 ( x - u ( Y ) × t ) = f (x (t , x)) , (7.5)
где f0 ( x , 0 ) – начальное распределение возмущений.
85
В этом можно убедиться прямой подстановкой 1) . Выражение (7.5) называют простой волной или волной Римана. При u = const = u0 , начальное условие Y ( x, o ) = f ( x )
(7.6) «выбирает» определенный профиль волны f ( x ) , который движется со
скоростью u 0 вдоль x без искажений (рис. 7.1). В волне Римана (u = u ( Y ) ) каждый элемент волны с фиксированным Рис. 7.1. Волна Римана при отсутствии дисперсии. значением Y движется с постоянной скоростью u ( Y ) (рис. 7.2). Волновой профиль, по мере распространения возмущения, расползается, одни его участки растягиваются другие сокращаются. Крутизна последних (см. рис. 7.2) растет. Процесс укручения происходит вплоть до полного «перехлеста» (7.2 с), в результате которого появляется многопотоковое движение, заканчивающиеся опрокидыванием волны 2) .
Рис. 7.2. Процесс «укручения волны Римана. а) – исходная волна; б) максимальная крутизна фронта; с) – опрокидывание волны.
Наглядный пример опрокидывания – образование барашков на поверхности моря при сильном разгоне волн ветром (рис. 7.3). Из предыдущей ссылки находим, что это имеет место, когда df d u 1+ t ® 0 , т.е. dx df 1 df d u Рис.7.3. Образование барашков на t 0 = 0 , поэтому опрокидывание df
u1 ;
dx
= 0
(7.14)
x ®±¥
При этом для всех u u1 < u