Минералогия и петрография. В 3 ч. Ч. 1. Основы кристаллографии

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Ухтинский государственный технический университет

МИНЕРАЛОГИЯ И ПЕТРОГРАФИЯ ЧАСТЬ 1. ОСНОВЫ КРИСТАЛЛОГРАФИИ

Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Минералогия и петрография» для студентов очной формы обучения специальностей 130201 – Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых; 130202 – Геофизические методы исследования скважин

УХТА 2009

УДК 548(075.8) Е 80 Ершова, О.В. Минералогия и петрография. В 3 ч. Ч. 1. Основы кристаллографии [Текст] : метод. указания / О.В. Ершова, Л.П. Бакулина. – Ухта: УГТУ, 2009. – 23 с. Методические указания предназначены для оказания практической помощи студентам специальностей 130201 – Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых; 130202 – Геофизические методы исследования скважин при изучении дисциплины «Минералогия и петрография». Методические указания содержат основные положения раздела «Кристаллография» и соответствуют требованиям рабочей учебной программы по дисциплине «Минералогия и петрография». Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой МиГГ, протокол № 9 от 07.04.2009 года. Рецензент: Копейкин В. А., профессор кафедры МиГГ, к.г.-м.н. Редактор: Минова Н. П., доцент кафедры МиГГ, В методических указаниях учтены замечания рецензента и редактора.

План 2009 г., позиция 136 Подписано в печать 18.05.2009 г. Компьютерный набор. Объем 23 с. Тираж 50 экз. Заказ № 231.

© Ухтинский государственный технический университет, 2009 169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Первомайская, 13. Отдел оперативной полиграфии УГТУ. 169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Октябрьская, 13.

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................ 4 Основы Кристаллографии ................................................................................ 5 1. Кристаллическое вещество и его свойства ................................................. 5 2. Элементы симметрии кристаллов................................................................ 7 3. Простые формы кристаллов низшей категории ....................................... 15 4. Простые формы кристаллов средней категории ...................................... 16 5. Простые формы кристаллов кубической сингонии ................................. 17 6. Комбинированные формы .......................................................................... 19 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................... 21 Приложение 1................................................................................................... 22 Приложение 2................................................................................................... 23

3

ВВЕДЕНИЕ Методические указания предназначены для студентов 1 курса геологоразведочного факультета специальностей 130201 «Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых» и 130202 «Геофизические методы исследования скважин», изучающих дисциплину «Минералогия и петрография». Первой частью дисциплины, в соответствии с рабочей программой, является раздел «Основы кристаллографии». Программа курса «Минералогия и петрография» рассчитана на 80 часов, включая 17 часов лекций и 34 часа лабораторных занятий. Методические указания полностью соответствуют рабочей программе дисциплины для студентов этого потока, а также плану проведения лабораторных занятий. Указания содержат необходимые сведения по всем вопросам, которые рассматриваются на лабораторных занятиях. Совместно с лекционным материалом они дают ответ на все вопросы программы. В настоящих указаниях даны основные понятия и определения, используемые при изучении данного раздела: элементы симметрии и их сочетания, сингонии, простые формы кристаллов и их комбинации. Предлагаемые методические указания, а также зарисовки главных простых форм кристаллов всех сингоний и видов симметрии позволят студентам, изучающим курс, лучше подготовиться к регулярным опросам, проводимым на лабораторных занятиях и к написанию контрольных работ после прохождения соответствующих теоретических и практических разделов дисциплины. К настоящим указаниям прилагается таблица 32 существующих формул симметрии (Приложение 1), чтобы облегчить студентам работу с кристаллами на рабочем месте. Также прилагаются тренировочные задания (Приложение 2), которые позволят студентам лучше подготовиться зачету в конце семестра. Методические указания могут быть полезны для самостоятельной работы студентов других специальностей, а также всем, кто интересуется кристаллографией.

4

ОСНОВЫ КРИСТАЛЛОГРАФИИ Кристаллография – наука о кристаллах. Она выявляет признаки единства (законы) в этом многообразии; исследует свойства и строение (структуру) одиночных кристаллов и кристаллических агрегатов. Кристаллография изучает протекающие в кристаллах явления, взаимодействие кристалла со средой, изменения, происходящие в кристаллах под влиянием тех или иных воздействий. Таким образом, кристаллография является наукой, всесторонне изучающей кристаллическое вещество. Современная кристаллография включает следующие основные разделы: морфология кристаллов (геометрическая кристаллография), кристаллохимия (структурная кристаллография), кристаллофизика. 1. Кристаллическое вещество и его свойства Кристаллическими называются твердые вещества, построенные из материальных частиц – ионов, атомов или молекул, геометрически правильно расположенных в пространстве. В отличие от газообразного и жидкого кристаллическое состояние значительно многообразнее. Одни и те же по составу и форме молекулы могут быть упакованы в кристаллах различными способами. Если взять, например, обычную поваренную соль, то легко увидеть даже без микроскопа отдельные кристаллики. Каждый кристаллик и есть вещество NaCl, будь кристалл большим или малым, кубическим или прямоугольно-параллелепипедальным, т.е. по-разному ограненным. От способа упаковки зависят физико-химические свойства вещества, то есть одни и те же по химическому составу вещества часто обладают различными физическими свойствами. Геометрически правильная форма кристаллов обусловливается прежде всего их строго закономерным внутренним строением (решетчатым или ретикулярным – от лат. reticulum – сеточка). При благоприятных условиях они могут самоограняться, образуя правильные геометрические многогранники. Плоскости кристаллической решетки соответствуют граням реального кристалла, места соединения граней называются рёбрами кристаллов, а точки пересечения ребер – вершинами кристаллов или углами. Грани, рёбра и вершины кристаллов связаны следующей зависимостью - число граней + число вершин = число рёбер + 2. В большинстве кристаллические вещества не имеют ясно огранённой формы, хотя и обладают закономерным внутренним строением. Все кристаллы обладают рядом основных специфических свойств, отличающих их от некристаллических аморфных тел: – однородность строения – одинаковость узора взаимного расположения атомов во всех частях объема его кристаллической решетки. 5

способность самоограняться – свойство принимать многогранную форму в результате свободного роста в подходящей среде. Кристаллы какого-либо вещества чаще всего имеют грани определенного вида, что нередко позволяет установить природу минерала по внешнему виду его кристаллов. Хотя, например, у кальцита известно более 200 различных типов граней кристаллов. – анизотропность – различие физических свойств кристаллов (теплопроводность, твердость, упругость и другие) по параллельным и непараллельным направлениям кристаллической решетки. Свойства одинаковы по параллельным направлениям, но неодинаковы по непараллельным направлениям (исключение – оптические свойства кристаллов кубической сингонии и некоторые др.). Анизотропия (рис. 1). хорошо проявляется и во внешней форме многих кристаллов – в их удлиненности или пластинчатости; в механических свойствах, например в спайности – способности некоторых кристаллов легко раскалываться вдоль определенных плоскостей. Деформационные свойства кристаллов также существенно зависят от направления. В противоположность анизотропным, изотропные тела имеют одинаковые свойства во всех направлениях. ♦ симметричность (рис. 2) – это закономерная по- Рис. 1. Анизотропия твердости кристаллов вторяемость в расположении предметов или их частей на плоскианита кости или в пространстве. Симметрия кристаллов соответствует симметрии их пространственных решеток. Каждый кристалл может быть совмещен сам с собой определенными преобразованиями (поворотами или отражениями), которые называются симметрическими. –

Рис. 2. Различные симметричные фигуры

Аморфными называются твердые тела, в которых частицы располагаются в пространстве беспорядочно. Например, стекло, пластмасса, смола и пр. Аморфным минералам свойственна изотропность – тождественность физических свойств в любых направлениях, обусловленная их внутренним строением. Контрольные вопросы 1. Что изучает кристаллография? 2. Какие вещества называются кристаллическими? 6

3. Могут ли одни и те же по химическому составу вещества обладать различными физическими свойствами? От чего это зависит? 4. Что такое грань кристалла? 5. Что называется ребром кристалла? 6. Что такое вершина кристалла? 7. Какой зависимостью связаны грани, ребра и вершины кристаллов? 8. Какими специфическими свойствами обладают кристаллы? 9. Что такое однородность строения кристалла? 10. Обладают ли кристаллы способностью самоограняться? Что это значит? 11. Для каких веществ характерна анизотропия? В чем она проявляется? 12. Какое свойство является противоположным анизотропии? 13. Что такое симметричность кристалла? В чем она проявляется? 14. Какие твердые тела называют аморфными? 2. Элементы симметрии кристаллов Изучение кристаллов начинается с рассмотрения их внешней формы. Внешняя форма хорошо сформированных кристаллических многогранников может быть описана с помощью элементов симметрии. Симметричным считается объект, который может быть совмещен сам с собой определенными преобразованиями: поворотами или (и) отражениями в зеркальной плоскости. Геометрическая симметрия – это закономерная повторяемость равных фигур или равных частей одной и той же фигуры – одинаковых граней, рёбер и углов. Изучение симметрии кристаллов осуществляется следующим образом: 1. отражением части кристалла через его центр; 2. отражением равных частей кристалла через воображаемую плоскость; 3. совмещением равных частей кристалла через вращение вокруг воображаемой оси; 4. отражением части кристалла через его центр с последующим поворотом вокруг воображаемой оси этой части на определённый угол. В соответствии с названными операциями изучения кристаллов различают следующие элементы: центр симметрии, плоскость симметрии, ось симметрии, инверсионная ось симметрии. Элементы симметрии – это вспомогательные геометрические образы (плоскости, прямые линии, точки), с помощью которых обнаруживается симметрия фигур. Рассмотрим элементы симметрии. 7

Центр симметрии (С) (рис. 3) – это особая точка внутри фигуры – любая прямая, проведенная через эту точку, по обе стороны от неё на равных расстояниях встретит аналогичные точки фигуры. Если по одну сторону от центра располагается вершина фигуры, то и по другую сторону на таком же расстоянии будет находиться аналогичная ей вершина; если по одну сторону от центра располагается центр грани, то и по другую сторону на таком же расстоянии должен располагаться центр аналогичной грани. С В

А

Б

Рис. 3. Центр симметрии С – центр симметрии; На прямой АБ, проведенной через центр, по обе стороны от него на одинаковом расстоянии располагаются одинаковые вершины, на прямой ВГ – центры одинаковых граней.

Г

Обязательное условие наличия центра симметрии в кристалле – присутствие в нём попарно параллельных граней (у куба все грани равны и параллельны – центр симметрии есть). Если в кристалле имеется хотя бы одна грань, не имеющая себе равной и параллельной, то в таком кристалле центра симметрии нет. Если каждая грань кристалла имеет себе равную, хотя и обратно расположенную грань, то данный кристалл обладает центром симметрии. Некоторые кристаллы могут не иметь центра симметрии. Плоскость симметрии (Р) (рис. 4) – плоскость, разделяющая кристалл (фигуру) на две зеркально-равные части (одна относительно другой располагается как предмет и его зеркальное отражение). Плоскости симметрии в кристалле (фигуре) могут проходить через рёбра (вдоль или поперёк через середину ребра), через вершины кристалла или через середину граней (перпендикулярно граням): вертикально, горизонтально, наклонно. Если плоскостей симметрии в данном кристалле несколько, то перед обозначением плоскости ставится их число, например 3Р (три плоскости симметрии, например, имеет спичечная коробка). Количество плоскостей симметрии в кристаллах может быть от одной до девяти (рис. 5), кроме восьми. Теоретически можно доказать, что восьми и более девяти плоскостей симметрии в кристаллах быть не может. Многие кристаллы вообще не имеют ни одной плоскости симметрии. Плоскости симметрии присутствуют в кристаллах планального, планаксиального, инверсионно-планального видов симметрии, иногда – в кристаллах с центральным видом симметрии.

8

Рис. 4. Плоскости симметрии а) в равнобедренном треугольнике плоскость симметрии проходит через его вершину и центр противоположной грани б) пример прохождения плоскостей симметрии в квадрате; в) пример прохождения плоскостей симметрии в четырехугольнике; г) пример прохождения плоскостей симметрии в ромбе

Рис. 5. Девять плоскостей 9Р симметрии куба а) три главных; б) шесть диагональных

Ось симметрии (L) (рис. 6) – прямая линия, при повороте вокруг которой фигура занимает то же положение, что и до поворота, т.е. фигура как бы самосовмещается. Оси симметрии проходят через центры граней, середины рёбер или их вершины. Наименьший угол поворота вокруг оси, при котором фигура совмещается сама с собой, называется элементарным углом поворота оси симметрии – a. Величина элементарного угла поворота определяет порядок оси симметрии n, который равен числу самосовмещений при полном повороте фигуры на 360o (n = 360/a). Оси симметрии обозначаются буквой L с цифровым индексом, указывающим на порядок оси - Ln. Доказано, что в кристаллах возможны только оси второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Они обозначаются L2, L3 , L4 , L6. Осей пятого и порядка выше шестого в кристаллах не бывает. Оси третьего L3, четвертого L4 и шестого L6 порядка принято считать осями высшего порядка.

Рис. 6. Оси симметрии 2, 3, 4 и 6-го порядка

9

Оси второго порядка L2 в кристалле проходят там, где сходятся две одинаковые грани, через центр ребра или через центр прямоугольной грани (рис. 7). Рис. 7. Оси второго порядка У обычного кирпича 3 пары попарно равных и параллельных граней. В кристалле подобной формы можно провести через центры граней 3 оси второго порядка - 3L2

Оси третьего порядка L3 проходят через вершину, в которой сходятся три одинаковые грани или через центр треугольной грани (равносторонний треугольник) (рис. 8). Рис. 8. Оси третьего порядка У тригональной пирамиды 4 грани – равносторонние треугольники. В кристалле подобной формы можно провести через центры граней 3 оси и вершины, в которых сходятся 3 одинаковые грани 4 оси третьего порядка - 4L3

Оси четвёртого порядка L4 проходят через вершину, в которой сходятся четыре одинаковые грани или через центр квадратной грани. Оси шестого порядка L6 проходят через вершину, в которой сходятся шесть одинаковых граней или через центр шестиугольной грани (правильный шестиугольник). Наибольшее количество осей симметрии характерно для кристаллов кубической сингонии (рис. 9), здесь количество осей симметрии составляет от 7 до 13, причём эти оси принадлежат разным порядкам: второму и третьему, или второму, третьему и четвёртому.

а) в кубе 6 одинаковых граней в форме квадрата. Через центры попарно параллельных граней можно провести 3L4.

б) у куба 8 вершин. L3 пройдет через две противоположные вершины. Всего в кубе можно провести 4 L3 Рис. 9. Оси симметрии куба

10

в) у куба 6 одинаковых граней, 12 ребер. Через центры попарно параллельных ребер можно провести 6L2

Инверсионная ось симметрии (инверсионно-поворотная, Li) – прямая линия, при повороте вокруг которой на 3600 с соответствующим переносом-отражением (инверсией) части фигуры через центр кристалла происходит его повторениесовмещение целое число раз. В кристаллах существуют инверсионные оси четвёртого и шестого порядков (Li4, Li6). Эти оси соответствуют: оси четвёртого порядка – осям симметрии второго порядка, а инверсионные оси симметрии шестого порядка – осям симметрии третьего порядка. Порядок инверсионной оси симметрии определяется так же, как и порядок обычной оси симметрии, но он суммируется из количества обычных и отражённых совмещений. Для определения инверсионной оси фигура поворачивается вокруг оси на 60 или 900, и все элементы её (рёбра, вершины, грани) проецируются через центр на противоположную сторону, то есть на 1800 в вертикальной плоскости. Если при этом все элементы нижней части фигуры отразятся через центр в её верхней части, в фигуре присутствует инверсионная ось. Оси симметрии отсутствуют только в триклинной сингонии и планальном виде симметрии моноклинной сингонии, то есть только три формулы из 32 существующих не имеют осей симметрии. Необходимо помнить следующее: 1. L6 и Li6 могут присутствовать в кристаллах в единственном числе; 2. L4 и Li4 могут быть или в единственном числе или в количестве трёх; 3. L3 могут быть или в единственном числе или в количестве четырёх; 4. L2 могут быть или в единственном числе или в количестве 2-х, 3-х, 4-х, или 6; Перечень всех элементов симметрии кристалла (рис. 10), записанный в виде их символов, называется формулой симметрии или видом симметрии.

Рис. 10. Повторение грани кристалла элементами симметрии: а – плоскостью (m); б – двойной осью; в – тройной осью; г – четверной осью; д – шестерной осью; е – центром инверсии

Строгий математический анализ (Гессель, 1830, Гадолин, 1867) показал, что существует всего 32 формулы симметрии. Это все возможные для кристаллов комбинации элементов симметрии. 11

В зависимости от наличия тех или иных элементов симметрии или их сочетания выделяются следующие виды симметрии: Примитивный – элементы симметрии в кристалле либо отсутствуют, либо кристалл характеризуется только наличием осей симметрии. Центральный – характеризуется обязательным присутствием центра симметрии и нескольких других элементов симметрии. Аксиальный – характеризуется присутствием только осей симметрии разных порядков. Планальный – характеризуется обязательным присутствием плоскостей симметрии и отсутствием центра симметрии. Планаксиальный – характерно присутстием всех элементов симметрии (оси, плоскости, центр) с максимальным количеством плоскостей и осей симметрии. Инверсионно-примитивный – характеризуется присутствием инверсионноповоротных осей симметрии в единичном количестве и отсутствием других элементов симметрии. Инверсионно-планальный – характеризуется присутствием наряду с инверсионно-поворотными осями симметрии обычных осей симметрии второго порядка и плоскостей симметрии. 32 вида симметрии объединяются в сингонии. Сингония – группа видов симметрии, обладающая сходными элементами симметрии и имеющая одинаковое расположение кристаллографических осей. Название "сингония" происходит от греческого " син" – "сходно" и "гон" – "угол". Всего различают семь сингоний (рис. 11), которые объединены в три категории (табл. 1): 9 Низшая категория объединяет триклинную, моноклинную и ромбическую сингонии. В кристаллах этих сингоний нет осей симметрии выше второго порядка. 9 Средняя категория объединяет тригональную, тетрагональную и гексагональную сингонии. Кристаллы этих сингоний имеют только одну ось симметрии высшего порядка (L3, L4, L6). 9 Высшая категория – кубическая сингония – объединяет кристаллы, которые обязательно имеют 4L3. Все направления симметрично-равные.

а – кубическая, б – тетрагональная, в – гексагональная и тригональная, г – триклинная, д – ромбоэдрическая, е – ромбическая, ж – моноклинная Рис. 11. Формы примитивных ячеек семи сингоний 12

Таблица 1 – Характерные элементы симметрии Категория Сингония Характерные элементы симметрии Низшая Триклинная Элементы симметрии отсутствуют или есть только один центр симметрии Моноклинная Одна ось симметрии второго порядка (L2) и одна плоскость симметрии Ромбическая Число осей симметрии второго порядка (L2) и плоскостей симметрии равно трем Средняя Тригональная Одна ось симметрии третьего порядка (L3) Тетрагональная Одна ось симметрии четвертого порядка (L4) Гексагональная Одна ось симметрии шестого порядка (L6) Высшая Кубическая Четыре оси симметрии третьего порядка (4L3) Необходимо знать следующие правила: 1. В кристаллах низшей категории симметрии нет осей симметрии выше второго порядка L2. Это наименее симметричные кристаллы с ярко выраженной анизотропией свойств. 2. В кристаллах средней категории симметрии появляется одна главная ось, порядок которой выше второго L3, L4, L6. У этих кристаллов анизотропия физических свойств гораздо сильнее, чем у кристаллов высшей категории. 3. Кристаллы высшей категории имеют несколько осей порядка выше, чем 2, в частности четыре оси L3, расположенные как пространственные диагонали куба. Помимо 4L3 в кристаллах кубической сингонии всегда имеются либо 3L4, либо 3L2. Это высокосимметричные кристаллы. Анизотропия свойств в кристаллах высшей категории выражена слабее всего. Совокупность элементов симметрии кристалла образует его кристаллографическую формулу симметрии, в которой на первом месте записываются оси симметрии, затем плоскости и в конце – центр симметрии. Никаких знаков препинания между ними не ставится. Если многогранник не обладает никакими элементами симметрии, то его формула будет L1. Оси симметрии записываются последовательно от осей высшего порядка к осям низшего порядка. Например, куб (гексаэдр) обладает тремя осями 4-го порядка, четырьмя осями 3го порядка, шестью осями 2-го порядка, девятью плоскостями симметрии и центром симметрии, следовательно, его формула симметрии будет записана как 3L44L36L29PC. А формулой симметрии кристалла в виде кирпичика или спичечной коробки будет 3L23PC. Нередко совершенно разные на вид многогранники имеют одинаковые элементы симметрии и, соответственно, одинаковую формулу симметрии. В табл. 2 приводится химический состав и сингонии минералов шкалы твердости Мооса. 13

Таблица 2 – Химический состав и сингонии минералов шкалы твердости Мооса Твердость по шкале Мооса

Формула Минерал

Спайность симметрии; сингония L2PC Mg3[Si4O10](OH)2 1 Тальк в.с. моноклинная Ca[SO4]·2H2O 2 Гипс в.с. моноклинная L33L23PC Ca[CO3] 3 Кальцит с. тригональная 3L44L36L29PC CaF2 с. 4 Флюорит кубическая L6PC Ca5[PO4]3(F, Cl) 5 Апатит н.с. гексагональная L2PC K[Al Si3O8] 6 Ортоклаз в.с. моноклинная Li6C SiO2 7 Кварц в.н.-с. тригональная 3L2; 3L23PC Al2[SiO4](F, OH)2 8 Топаз с. ромбическая L3 Al2O3 9 Корунд тригональная 3L44L36L29PC 10 Алмаз C ср. кубическая Примечание: Буквенные значения видов спайности: в.с. - весьма совершенная; с. -совершенная; ср. - средняя; н.-с. – несовершенная; в.н.-с. – весьма несовершенная; - отсутствие спайности. химическая

Контрольные вопросы 1. Какие преобразования необходимо совершить с кристаллом, чтобы доказать его симметричность? 2. Какие элементы симметрии кристалла вы знаете? 3. Что называется плоскостью симметрии? 4. Каким символом обозначают плоскость симметрии? 5. Какая фигура имеет 9 плоскостей симметрии? 6. Что называется центром симметрии? 7. Какие оси симметрии возможны в кристаллах? Что такое инверсионные оси симметрии? Как определить их порядок? 8. 9. Что называется видом симметрии? Какие виды симметрии вы знаете? 10. Что такое формула симметрии? 11. Сколько существует сингоний и категорий в кристаллографии? 12. Какая сингония относится к высшей категории? 13. Какие виды симметрии содержат центр инверсии? 14. Какие виды симметрии содержат центр инверсии, инверсионные оси, только оси симметрии? 14

3. Простые формы кристаллов низшей категории Изучение кристаллов, их элементов симметрии показывает, что совершенно разные по внешнему облику кристаллы могут иметь одинаковые формулы симметрии. Следовательно, одного определения элементов симметрии недостаточно, чтобы определить и охарактеризовать конкретный кристалл. Объясняется это тем, что каждый кристалл имеет характерную форму, представляющую собой сочетание разных по форме и размеру граней. Простой формой называется сочетание одинаковых по размеру и форме граней, связанных друг с другом элементами симметрии. Каждый кристалл может представлять собой простую форму, если он состоит из одинаковых по форме и размеру граней. Он может быть также комбинацией простых форм, если образован разными по форме и размерам гранями. Следовательно, в кристалле столько простых форм, сколько типов граней он содержит. Для определения простой формы в кристалле надо взять любую грань, сосчитать ее количество и уяснить ее положение. Название простых форм, как правило, происходит от греческих слов: гония – угол; пинакое – доска; эдра – грань; клинос – наклонный; скаленос – косой, неровный; трапезос – четырехугольник; морфо – форма, образ, вид; 1 – моно, 2 – ди, 3 – три, 4 – тетра, 5 – пента, 6 – гекса, 7 – гепта, 8 – окта, 10 – дека, 12 – додека. В связи с особенностями строения кристаллов различных видов симметрии для каждого из них характерны и возможны только определённые простые формы. Число типов простых форм равняется 47: 7 – в низшей, 25 – в средней и 15 в высшей категориях. Названия большей части простых форм низшей и средней категорий содержат два признака: первый указывает на форму основания, второй – на общее название фигуры (призма, пирамида, дипирамида). Основанием таких фигур может служить один из правильных многоугольников, показанных на рис. 12.

а – ромб, б – тригон (равносторонний треугольник), в – дитригон (удвоенный равносторонний треугольник), г – тетрагон (квадрат), д – дитетрагон (удвоенный квадрат), е – гексагон (правильный шестиугольник), ж – дигексагон (удвоенный шестиугольник) Рис. 12. Формы оснований призм, пирамид, дипирамид

Низшую категорию характеризуют следующие простые формы: моноэдр, пинакоид, диэдр, тетраэдр, призма ромбическая, пирамида ромбическая, дипирамида ромбическая (рис. 13).

15

а – моноэдр, б – пинакоид, в – диэдр, г – ромбическая пирамида, д – ромбическая призма, е – ромбический тетраэдр, ж – ромбическая дипирамида Рис. 13. Простые формы низшей категории

Моноэдр – одиночная, неповторяемая грань в кристалле. Моноэдром является, например, основание пирамиды. Пинакоид – простая форма, образованная двумя равными параллельными гранями. Ориентировка и положение граней кроме параллельности не имеют значения. Диэдр – простая форма, образованная двумя равными гранями, расположенными под углом друг к другу. Тетраэдр – простая форма, образованная четырьмя одинаковыми по форме и размерам гранями. Каждая грань имеет форму разностороннего треугольника. Ромбическая призма – простая форма, которая состоит из четырех равных, попарно параллельных граней, которые в сечении образуют ромб. Ромбическая пирамида – простая форма состоит из четырех равных пересекающихся граней; в сечении также – ромб. Ромбический тетраэдр – простая форма, четыре грани которой имеют форму косоугольных треугольников и замыкают пространство. Ромбическая дипирамида – две ромбические пирамиды, сложенные основаниями. Форма имеет восемь равных граней, дающих в поперечном сечении ромб. 4. Простые формы кристаллов средней категории Средняя категория часть простых форм наследует из низшей категории, к которым относятся: моноэдр, пинакоид, тетраэдр (в отличие от ромбического тетраэдра тетрагональный имеет форму грани в виде равнобедренного треугольника), призма, пирамида и дипирамида (рис. 14). Последние три простые формы в соответствии с типом сингонии имеют треугольную, квадратную или шестиугольную форму сечения. В средней категории они могут быть тригональными, тетрагональными и гексагональными. 1 – ромбическая; 2 – тригональная; В средней категории полностью исчезает 3 – тетрагональная; 4 – гексагональная Рис. 14. Внешний вид призм такая простая форма, как диэдр. Из новых форм в средней категории появляются: ромбоэдр, трапецоэдр, скаленоэдр. 16

Ромбоэдр (рис. 15) – простая форма, состоящая из 6 равных граней, три из которых располагаются не строго под (или над) другими тремя, а повёрнуты относительно друг друга на некоторый угол. Форма граней ромбоэдра – ромбическая.

Рис. 15. Ромбоэдры

Трапецоэдр (рис. 16) устроен аналогично ромбоэдру, но форма грани у него представляет собой трапецию. Эти фигуры отличаются от соответствующих дипирамид тем, что нижняя половина их находится не точно под верхней, а Рис. 16. Трапециоиды смещена относительно нее на некоторый угол. Скаленоэдр (рис. 17) – простая форма, представляющая собой тетрагональный тетраэдр с раздвоенной гранью или тригональный ромбоэдр с раздвоенной гранью. Рис. 17. Тетрагональный и гексагональный скаленоэдры

Тетрагональный тетраэдр (рис. 18) представляет собой четыре равные грани в виде равнобедренных треугольников. Рис. 18. Тетрагональный тетраэдр

5. Простые формы кристаллов высшей категории Высшая категория имеет только одну простую форму, сходную с формами низшей и средней категории – тетраэдр. Но при этом тетраэдр кубической сингонии отличается от тетрагонального и ромбического тетраэдра тем, что его грани являются равносторонними треугольниками, тогда как у тетрагонального тетраэдра они являются равнобедренными, а у ромбического – произвольными треугольниками с тремя неравными ребрами. Все остальные простые формы кубической сингонии новые. К ним относятся: гексаэдр, октаэдр, додекаэдр и производные от них формы (рис. 19). Гексаэдр представляет собой правильный шестигранник (куб) с квадратной формой грани. Октаэдр – это простая форма в виде правильного восьмигранника. Додекаэдр – правильный двенадцатигранник. В зависимости от формы грани могут быть следующие простые формы этого типа: ромбододекаэдры – форма грани в виде ромба; пентагондодекаэдры с формой грани в виде пятиугольника. Правильный двадцатичетырёхгранник называется дидодекаэдром. 17

Рис. 19. Простые формы кубической сингонии Куб (гексаэдр) (а), тетрагексаэдр (б), ромбододекаэдр (в), пентагондодекаэдр (г), дидодекаэдр (д)

При четырёх основных простых формах высшей категории (тетраэдр, гексаэдр, октаэдр и додекаэдр) существуют комбинированные простые формы. Названия таких форм кубической сингонии даны по следующему принципу: первая часть слова (тригон, тетрагон, пентагон) характеризует очертание грани данной формы (тригон = три + гон = треугольник), вторая часть слова (тритетраэдр - триоктаэдр) указывает: а) от какой простой формы данная форма является производной; б) сколько граней данной формы расположено на каждой грани простой формы; в) чему равно число граней данной формы. Примеры названий комбинированных простых форм: 1. Кристалл представляет собой тетраэдр, у которого каждая из четырёх граней состоит из трёх маленьких треугольных граней. Такая форма будет иметь название тригон-три-тетраэдр. 2. Кристалл представляет собой октаэдр, каждая из восьми граней которого составлена из трёх малых четырёхугольных граней. Такая форма имеет название тетрагрн-три-октаэдр. Если взять за исходные простые формы тетраэдр и октаэдр, то можно получить ряд производных простых форм (рис. 20).

Октаэдр Тетраэдр

Тригонтритетраэдр

Тетрагонтритетраэдр

Пентагонтритетраэдр

Гексатетраэдр

Тригонтриоктаэдр

Тетрагонтриоктаэдр

Пентагонтриоктаэдр

Гексаоктаэдр

Тетраэдр

Исходная форма

Форма граней

Октаэдр

Рис. 20. Простые формы кубической сингонии, образованные от тетраэдра и октаэдра

В верхней строке показаны формы граней. Первой изображена грань правильного (кубического) тетраэдра – равносторонний треугольник. Если вместо одной 18

грани появляются три, то фигура называется тритетраэдр, если шесть – гексатетраэдр. Так как тритетраэдров может быть несколько, то перед названием указывается форма каждой из получающихся граней. Грани тритетраэдров могут быть треугольные, четырехугольные и пятиугольные, соответственные фигуры, имеющие такие грани, получают название тригон-тритетраэдр, тетрагон-тритетраэдр и пентагонтритетраэдр. Те же самые по форме грани могут быть и у октаэдров (нижняя строка). Их названия получаются таким же образом, как и для тетраэдров. Соответственно получим следующие 5 простых форм кубической сингонии: октаэдр, тригон-триоктаэдр, тетрагон-триоктаэдр, пентагон-триоктаэдр и гексаоктаэдр. Общее число граней у всех простых форм легко может быть высчитано, если учитывать их название. Тетраэдр и октаэдр имеют соответственно 4 и 8 граней. Все тритетраэдры будут иметь по 12 граней, а триоктаэдры – по 24 . Гексатетраэдр также имеет 24 грани, а гексаоктаэдр – 48. Это максимальное число граней, которое может иметь простая форма. Для определения простой формы кристаллов кубической сингонии следует сориентировать кристалл таким образом, чтобы одинаковые группы граней можно было свести к одной из базовых простых форм (тетраэдр, октаэдр, додекаэдр). После этого легко определить название комбинированной формы. 6. Комбинированные формы кристаллов При росте кристаллов чаще образуются не простые формы, а их сочетания, комбинации. Комбинированной формой кристалла называют форму, состоящую из двух или более простых форм, соединенных в единый многогранник посредством элементов симметрии. Однако простые формы кристаллов не могут комбинироваться как угодно. На этот счет имеется жесткое правило: комбинируются между собой простые формы, принадлежащие лишь одной и той же сингонии. Исключением являются простые формы двух родственных сингоний – тригональной и гексагональной, которые могут образовывать совместные комбинации. Примером комбинации может служить шестигранная пирамида. Шесть одинаковых треугольных граней представляют одну простую форму. Все они могут быть получены вращением одной грани вокруг L6. Резко отличается от них грань основания, которая принадлежит другой простой форме. В результате получается комбинация, состоящая из двух простых форм.

19

Комбинаций возможно бесконечное множество, в Приложении 2 указаны некоторые из них. Контрольные вопросы: 1. Что такое простая форма? 3. Какие вам известны призмы, пирамиды, дипирамиды? 4. Какие вы знаете трапецоэдры? Каковы их характерные признаки? 5. Перечислите простые формы, содержащие: а) одну; б) две; в) три; г) четыре; д) шесть граней? 6. Назовите двенадцатигранники высшей категории. 7. Перечислите все простые формы, имеющие а) 12; б) 24; в) 48 граней. 8. Чем отличаются тригональный трапецоэдр, тригональная дипирамида и ромбоэдр? 9. Чем отличаются ромбический, тетрагональный и кубический тетраэдр? 10. Сопоставьте простые формы: а) пентагондодекаэдр и ромбододекаэдр; б) тетрагонтриоктаэдр и дидодекаэдр; в) ромбододекаэдр и ромбоэдр. 11. Что такое комбинация простых форм? 12. Как определить число простых форм, образовавших комбинацию? 13. Перечислите основные правила распределения простых форм по категориям и сингониям. 14. Какое максимальное число граней может иметь простая форма? 15. Сколько всего возможно комбинированных форм?

20

Список использованной литературы 1. Милютин, А.Г. Геология и полезные ископаемые. В 3 ч. Ч. 1. Геология [Текст] : учеб. пособие / А.Г. Милютин. – М.: МГОУ, 2004. – 28 с. 2. Плякин, А.М. Кристаллография [Текст] : метод. указания / А.М. Плякин. – 2-е изд., перераб. и доп. – Ухта: УГТУ, 2009. – 15 с. 3. Попов, Г.М. Кристаллография [Текст] / Г.М. Попов, И.И. Шафрановский. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1972. – 372 с. 4. Савельева, А.Д. Кристаллография и минералогия: В 3 ч. Ч. 1. [Текст] : учеб. пособие / А.Д. Савельева, П.В. Нарциссова. – Владимир : Владим. гос. ун-т., 2003. – 72 с. 5. Успенская, М.Е. Минералогия с основами кристаллографии и петрографии [Текст] / М.Е. Успенская, Т.В. Посухова. – М.:МГУ, 2008. – 137 с.

21

Приложение 1 Класс симметрии Категории

Сингония

Низшая

Триклинная

Примитивный Центральный Планальный Аксиальный Планаксиальный 1

2

С 3

Моноклинная

6

Средняя

9

10

L3 14

L3C

L4 21

L6

4L33L2

4L33L23PC

L33L2

L44P

L6PC

L44L2

L66P

4L33L26P

L33L23PC 18

24

30

3L23PC 13

17

23

29

3L2

L33P

L4PC

L2PC 8

12

16

22

28 Кубическая

7

11

15

5

L2

L22P

Гексагональная Высшая

22

Тетрагональная

4

Р

Ромбическая Тригональная

Инверсионно- Инверсионнопримитивный планальный

19

L44L25PC 25

L66L2

20

Li4 26

L66L27PC

31

32

3L44L36L2

3L44L36L29PC

Li42L22P 27

Li=L3P

Li63L23P= =L33L24P

Приложение 2 Тренировочные задания Для контрольных работ предлагаются примеры комбинаций кристаллических многогранников 1 - 15. Порядок работы и записи: 1. Определить формулу симметрии. 2. Определить сингонию, категорию и класс симметрии. 3. Написать формулу симметрии. 4. Указать наименование простых форм.

23