Исчисление событий. Дополнение к элементам теории множеств

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Л.П. Рунова, Л.В.Рунов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Экономический факультет

ИСЧИСЛЕНИЕ СОБЫТИЙ (дополнение к элементам теории множеств)

Ростов-на-Дону 2001г.

Печатается по решению кафедр теории функций и функционального анализа механико-математического факультета и кафедры экономической кибернетики экономического факультета РГУ Протоколы №__________ от ____________ 2001г. Рунова Л.П. , Рунов Л.В. Исчисление событий (дополнение к элементам теории множеств) Учебное экономического

пособие

предназначено

факультета,

для

обучающихся

студентов по

II

курса

специальностям

"Математические методы в экономике" и "Прикладная информатика в экономике". В пособие содержится изложение теории, приводятся примеры. и содержится большое количество задач. Надеемся, что пособие будет полезным и студентам мехмата.

Введение В 1997году авторы издали для студентов экономического факультета, обучающихся по специальности "Математические методы в экономике" и студентам мехмата методические пособия "Элементы теории множеств" (части I, II). С тех пор в процессе обучения многое изменилось. Появились новые

методические

стандарты,

сжались

сроки

изучения

многих

математических дисциплин, спецкурс "Введение в функциональный анализ", где использовались методические указания по теории множеств, перенесли с III года обучения на конец II-го года и т.д. На

наш

взгляд,

возникла

необходимость

проиллюстрировать

абстрактную теорию множеств приложениями не только в анализе, но и приложениями, непосредственно близкими к нему. Алгебра событий – во многих отношениях удобный объект для этой цели. Курс теории вероятностей читается почти параллельно, но он сравнительно мало уделяет внимания этому вопросу. Не хватает времени. В рамках спецкурса время также – дефицит. Поэтому мы предполагаем, что студенты будут самостоятельно изучать содержание методических указаний. По каждому методическому указанию учащиеся обязаны написать реферат и решить цикл задач. Предполагается, что решение задач будет подробным и сопровождаться соответствующим теоретическим материалом. Вместе с уже написанными методическими указаниями (2-мя частями по элементам теории множеств, элементам теории мер, измеримым функциям и предлагаемой вниманию – всего пять) и предполагаемой по теории интеграла Лебега они образуют некий комплекс, который будет охватывать существенную часть классического функционального анализа и будет способствовать лучшему усвоению теории вероятностей и эконометрики.

Алгебра автоматически

событий все

излагается

в

рассматриваемые

дискретном

случае,

подмножества

поэтому

пространства

элементарных событий являются измеримыми по Лебегу. Это упрощает нашу задачу и, в то же время, охватывает большое количество жизненных ситуаций. Свою работу мы посвящаем памяти нашего друга – Макса.

Определение 1. То, что при наличии некоторого комплекса условий S может произойти или не произойти, называется случайным событием. Случайное событие является возможным результатом рассматриваемого опыта или наблюдения. Определение 2. То, что при выполнении комплекса условий S никогда не произойдет, называется невозможным событием. Определение 3. То, что при выполнении комплекса условий S происходит всегда, называется достоверным событием. Предполагается, идеализированного

что опыта

каждый представляется

"неразложимый"

исход

одним

одним

и

только

элементарным событием. Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий, а сами элементарные события – точками этого пространства. Пространство элементарных событий называется дискретным, если оно состоит лишь из конечного числа точек или из счетного множества точек. В этой работе мы будем рассматривать, в основном, только дискретные

пространства

элементарных

событий.

Любое

событие,

связанное с данным идеализированным опытом, может быть описано с помощью множества элементарных событий. Пример 1. Распределение трех шаров по трем ящикам может быть осуществлено способами, которые описаны в нижеследующей таблице: 1 ) (авс,–,–)

2) (–,авс,–)

3) (–,–,авс)

4) (ав,с, –)

5) (ас,в,–)

6) (вс,а,–)

7) (ав,–,с)

8) (ас,–,в)

9) (вс,–,а)

10) (а,вс,–)

11) (в,ас,–)

12) (с,ав,–)

13) (а,–,вс)

14) (в,–,ас)

15) (с,–,ав)

16) (–,ав,с)

17) (–,ас,в)

18) (–,вс,а)

19) (–,а,вс)

20) (–,в,ас)

21) (–,с,ав)

22) (а,в,с)

23) (а,с,в)

24) (в,а,с)

25) (в,с,а)

26) (с,а,в)

27) (с,в,а)

рис. 1 Каждое из этих размещений является элементарным событием, так как представляет неразложимый результат опыта. Любое событие, связанное с данным экспериментом, описывается с помощью этих элементарных событий. Событие А, состоящее в том, что второй ящик не пуст, является множеством элементарных событий 2, 4-6, 10-12, 16-27. Событие В: "существует ящик", содержащий не менее двух шаров, есть множество элементарных событий 1-21. Событие С: "нет пустых ящиков", совпадает с множеством элементарных событий 22-27. Невозможно событие Д: "все ящики пустые". Событие К: "произошло или событие А или событие В", является множеством, содержащим все элементарные события 1-27. К – достоверное событие. Можно рассматривать более общий случай распределения r шаров по n ящикам. Для 3 шаров и 4 ящиков пространство элементарных событий состоит из 34=81 элемента. (Почему?)

При n=r=10 пространство элементарных событий состоит из 1010 (событий) точек. (Почему?). Рассмотренный опыт допускает большое число практически важных интерпретаций. Опишем

несколько

схем,

эквивалентных

абстрактной

схеме

размещения r шаров по n ящикам. 1. Когда сетчатка глаза подвергается воздействию света, кванты света выступают в роли шаров, а ячейки сетчатки глаза соответствуют ящикам. 2. Аналогично при изучении генетического влияния радиоактивного α излучения

хромосомы

играют

роль

ящиков,

а

α-частицам

соответствует роль шаров. 3. Каждый потомок человека (растения или животного) наследует определенные гены. Если некоторый ген может находиться в одной из n форм A1…Аn, то живые организмы можно классифицировать по

генотипам.

В

этом

случае

потомки

особи

можно

интерпретировать как шары, а генотипы A1…Аn – как ящики. 4. Пусть

молекулярные

взаимодействуют

с

цепочки кислородом.

некоторого Каждая

полимера

цепочка

может

прореагировать с 0,1,2,… молекулами кислорода. Реагирующие молекулы кислорода играют роль шаров, а цепочки полимера – роль ящиков, в которых размещаются шары. Строго говоря, понятие элементарного события и пространства элементарных событий является аксиоматическим (первоначальным), неопределенным понятием теории вероятностей.

Событие – это некоторое множество элементарных событий (точек). Термины "событие", "элементарное событие" эквивалентны понятиям множества (точечного множества) и элемента множества (точки). Строго говоря, в науке мы имеем дело не с реальным экспериментом, а с математической формализацией модели случайного эксперимента, которая включает в себя: 1. построение пространства элементарных событий, 2. описание поля событий для данного эксперимента, 3. задание вероятностного распределения на поле событий. Так как понятие пространства элементарных событий строго не определимо, то указанная задача допускает не единственное решение, т.е. построение пространства элементарных событий не однозначно. Поле событий, как правило, бывает борелевским, т.е. замкнутым относительно счетного числа теоретико-множественных операций.

Алгебра событий Так как событие отождествляется с некоторым множеством, то над событиями

можно

совершить

все

операции,

выполняемые

над

множествами. В частности, определены следующие операции и отношения между событиями. Будем писать А=∅ для выражения того факта , что событие

А

невозможно, т.е. того, что событие А не содержит элементарных событий. Событие, состоящее в том, что событие А не произошло, будем обозначать через А . Это событие состоит из всех элементарных событий, не содержащихся в событии А.

Суммой событий А и В называют такое событие С, которое состоится при появлении или события А, или события В, или обоих событий вместе. Событие С, состоит из объединения элементарных событий, входящих в А и в В. Поэтому сумму событий А и В обозначают А∪В (или А+В). Событие, которое произойдет, если событие А произойдет, а событие В не произойдет, называется разностью событий А и В и обозначается символом А-В. Разность событий А и В состоит из всех тех элементарных множеств, которые входят в А и не входят в В. Произведением событий А и В называют событие, которое происходит при одновременном наступлении событий А и В. Такое событие состоит из перечисления элементарных событий А и В обозначают АВ (или А ∩ В). Событие А В означает, что произошло событие В и не произошло событие А. Событие А

В означает, что ни А, ни В не произошло.

Если событие А не может произойти, при условии, что не произошло событие В, т.е. событие А влечет за собой событие В, то пишут А⊂В. В этом случае каждая точка события А содержится в событии В. С другой стороны, говорят, что событие В является следствием события А и пишут В⊃А. Если А⊂В и В⊂А, то события А и В называются равносильными и пишут А=В. События А и В называются несовместными, если АВ=∅. События А и В называются противоположными, если А =В. Очевидно, в этом случае АВ=∅.

А =А – очевидное равенство. Если I – пространство элементарных событий, то

I − A = A,

I – достоверное событие.

Равенство АВ=∅ означает то же самое, что А⊂ В и В⊂ А . Событие А-АВ означает, что произошло событие А, но не произошли одновременно события А и В. Поэтому А-АВ=А В . Пример

2. Страховая компания интересуется распределением

возрастов супружеских пар. Пусть х – возраст мужа, у – возраст жены. Браки можно заключать только после достижения 20-ти летнего возраста. Тогда за пространство элементарных событий примем большую часть первого квадранта, ограниченную прямыми х=20, у=20.

у

пространство элементарных событий

возраст жены

А

АС

С у=40

В АА АВ

х=40

х=20

у=20

возраст мужа

рис.2.

х

Событие А "мужу больше 40 лет " представлено точками лежащими справа от прямой х=40; (у ≥ 20). Событие В "муж старше жены" определяет множество всех точек, для которых х>у, у ≥ 20. Событие С "жене больше 40

лет" характеризуется

частью пространства элементарных событий,

расположенного под прямой у = 40 (См. рис.2). Событие АВ означает, что мужу больше 40 лет и он старше своей жены. Событие А В означает, что мужу больше 40 лет, а жена не моложе своего супруга. Событие АС означает, что обоим супругам больше 40 лет. Событие А∪С означает, что по крайней мере одному из супругов более 40 лет. Событие А∪В означает, что либо мужу больше 40 лет, либо он, по крайней мере, старше своей жены. Соотношение ВС⊂А означает, что если муж старше жены и жене более 40 лет, то и мужу более 40 лет. Событие А-ВС означает, что мужу старше 40 лет, а жена либо моложе 40, либо старше мужа. Так как событие А-АВ означает, что произошло событие А, но не произошло событие А и В. Следовательно, событие В не произошло. Поэтому справедливо равенство А-АВ=А В , т.е. муж старше 40 лет, а жена старше мужа. С помощью алгебры событий можно решать уравнения, где в качестве данных известных элементов уравнения выступают события, а за неизвестное берется событие, которое надо найти. Пример 3. В уравнении Х + А + Х + А = В , найти случайное событие Х. Решение. Уравнение

Х + А + Х + А = В равносильно уравнению

Х + А + Х + А = В . К левой части уравнения применим правило де Моргана: (См. задачу I.1). Д ∪ С = А ∩ С .

Х + А + Х + А = Х + А ∩ Х + А = ( Х + А) ∩ ( Х + А) = Х . При этом воспользовались равенствами:

Д = Д ; ( Д + В) ∩ ( Д + В) = Д , которые уже рассматривались или будут рассматрены в задачах для самостоятельного решения. Таким образом, получили ответ: Х = В . Пример 4. Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат – появление герба (г) или цифры (ц) на верхней стороне монеты. Построить

множества

элементарных

событий

и

подмножества,

соответствующие следующим событиям: А – герб выпал ровно один раз, В – ни разу не выпала цифра, С – выпало больше гербов, чем цифр, Д – герб выпал не менее чем два раза подряд. Этот пример интересен нам в том плане, что в качестве элементарного события мы будем рассматривать трехмерный вектор, координаты которого принимают значения либо "г" либо "ц". Конечно, при необходимости его можно было бы представить как "сумму" трех одномерных векторов из разных пространств, т.е. "упростить", но для нас в этом нет необходимости. И мы будем считать, что это событие неразложимо. Тогда пространство элементарных событий состоит из элементов {(Г,Г,Г), (Ц,Г,Г), (Г,Ц,Г), (Г,Г,Ц), (Г,Ц,Ц), (Ц,Г,Ц), (Ц,Ц,Г), (Ц,Ц,Ц)}. Очевидно, что событие А должно состоять из элементарных событий, для которых "г" употребляется только один раз и "ц" – два раза. Тогда А={(Г,Ц,Ц), (Ц,Г,Ц), (Ц,Ц,Г)}.

Множество В состоит из одного элемента: {(Г,Г,Г)} = В. Множеств С состоит из векторов, где "г" употребляется либо 2 раза, либо все 3: С={(Г,Г,Г); (Ц, Г,Г); (Г,Ц,Г); (Г,Г,Ц)}. Очевидно, Д=={(Г,Г,Г) (Г,Г,Ц)(Ц, Г,Г)}. Пример 5. Монета подбрасывается до первого появления герба. Наблюдаемый результат – общее число подбрасываний. Построить множество элементарных событий и подмножества, соответствующие следующим событиям: А – герб выпал при пятом подбрасывании, В – герб выпал не ранее, чем при третьем подбрасывании. Герб может выпасть первый раз при любом подбрасывании. Поэтому множеству

элементарных

событий

соответствует

множество

всех

натуральных чисел: {n/ n∈N}. Множество элементарных событий есть счетное множество. Если герб выпал при пятом подбрасывании, то это событие состоит из одного элемента – 5, поэтому А={5}. Событие В состоит из того, что герб мог выпасть при третьем подбрасывании, при четвертом, пятом, и т.д. Поэтому В={n/ n ≥ 3. n∈N}. Хотя мы и сказали, что будем рассматривать эксперименты, множество элементарных событий которых счетно, но в реальной жизни могут быть и другие ситуации. Рассмотрим пример эксперимента подобного рода. Пример 6. Производится "стрельба" электронным лучом по плоской прямоугольной пластине размером 4х2. Наблюдаемый результат – точка попадания луча в обрабатываемую поверхность. Непопадание в пластину исключено.

Фокусировка луча такова, что можно считать, что луч попадает в точку. Луч наводится случайным образом. Построить множество элементарных событий и подмножества, соответствующие событиям А,В,С. Сами события А,В,С будут описаны позже. Введем систему координат на плоскости, где лежит пластина таким образом, что пластина образует прямоугольник с координатами -2 ≤ х ≤ 2 , -1 ≤ х ≤ 1 (см. рис.2.) у

1 -2

2

х -1

рис. 3. Множество точек плоскости {(х,у)/ х∈[-2,2], у∈[-1,1]} образует пространство элементарных событий. Пусть событие А состоит в том, что абсцисса

точки

попадания

не

меньше

ординаты.

Тогда

А

есть

подмножество прямоугольника, точки которого удовлетворяют условию х ≥ у. Это множество изображено на рис.4. у 1 -2

-1

2

х -1

рис.4.

Событие В состоит в том, что произведение координат фокуса не положительно, т.е. ху ≤ 0. Следовательно, точки лежат в третьем и четвертом квадранте (см. рис.5). у

1 -2

2

х

-1

рис.5. Будем говорить, что произошло событие С, если сумма абсолютных величин координат точки превышает единицу, т.е. /х/+/у/ ≥ 1. Тогда С есть множество точек, изображенное на рис. 6. у

1 -2

2

х

-1

рис. 6. Все

множества

точек,

рассмотренных

в

примере,

являются

квадрируемыми. Из рисунков 3,4,5 видно, что пересечение множеств

А ∩ В, В ∩ С , А ∩ С не являются пустыми, поэтому и события А и В, В и С, А и С являются совместными. Рассмотрим следующий Пример 7. На отрезке [1,5] наудачу ставятся точки. Пусть х – координата этой точки. На отрезке [1,х] выбирается точка у. Наблюдаемый результат – упорядоченная пара чисел (х,у). События: А – вторая координата ближе к 5, чем к 1; В – расстояние между координатами меньше 2; С – абсцисса ближе к 1, чем к 5; Д – абсцисса ближе к ординате, чем к 5. Построим множество элементарных событий и подмножества, соответствующие указанным событиям. Множество всех элементарных событий есть множество координат точек

плоскости,

удовлетворяющих

следующим

условиям:

1 ≤ х ≤ 5, 1 ≤ у ≤ х ≤ 5, т.е. прямоугольный треугольник ЕFG из рис. 7.

у 5

G х=5

у=х 1

у=1 F

Е 1

5

х

множество элементарных событий рис.7.

Событие А определяется неравенствами 5-у