М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У...
36 downloads
201 Views
292KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т
Л .И .А ве р и на
Р ас пр ос тр ане ни еволн в ди с пе р ги р ую щ и х с р е дах У ч ебное п особи е п ок у рсу «Ф и зи к а волновы х п роцессов» С п еци альность 013800 «Ради офи зи к а и элек трони к а»
В О РО Н Е Ж 2004
2
Рекомендова но на учно-методическим советом физического фа культета 10 февра ля2004г., протокол№ 2. А вторк.ф.-м.н., доц ентА верина Л .И .
У чебноепособиепосвящ ено изучению за кономерностей распростра ненияэлектрома гнитны х волн в диспергирую щ их среда х: диэлектрика х, проводника х и пла зме. О собоевнима ниеуделено вопроса м распространения радиосигна лов в этих среда х. Ра ссма трива ю тся разны евиды волновы х ура внений. П риводится кла ссифика ц ия сред по их электрофизическим па ра метрам. Д а ё тся понятиео плоской волне, её па раметрах и ха рактеристика х. В водитсяопределениеволнового па кета и ра ссма трива етсяего изменениевдиспергирую щ их среда х .
У чебноепособиеподготовлено на ка федреэлектроники физического фа культетеВ оронеж ского госуда рственного университета . Рекомендуется для студентов 3-го курса дневного отделения и 5-го курса вечернего отделения, обуча ю щ ихся по спец иа льности 013800 « Ра диофизика и электроника »и изуча ю щ их дисц иплину « Ф изика волновы х проц ессов».
3
СО Д Е РЖ А Н И Е В В Е Д Е НИ Е
4
1. В О Л Н О В О Е У РА В Н Е Н И Е
5
2. П Л О СК И Е В О Л Н Ы В О Д Н О РО Д Н О Й И ЗО Т РО П Н О Й СРЕ Д Е
7
2.1 П лоскиеволны
7
2.2 У равненияМ а ксвелла вкомплексной форме
8
2.3 П лоскиеэлектрома гнитны еволны
11
2.4 П оляриза ц ияэлектрома гнитны х волн
13
2.5 Ра спростра нениеэлектрома гнитны х волн впоглощ а ю щ их среда х 14 2.6 Э нергияэлектрома гнитного поля 3. РА СП РО СТ РА Н Е Н И Е В О Л Н В Д И СП Е РГИ РУ Ю Щ И Х СРЕ Д А Х 3.1 Д исперсиядиэлектрической прониц а емости
16 17 18
3.2 Связьмеж дудисперсией и поглощ ением. Д исперсионны е соотнош енияК ра мерса – К ронига
20
3.3 Д исперсияпри распространенииэлектрома гнитны х волн вдиэлектрика х
21
3.4 Д иэлектрическа япрониц а емостьи распространениеволн всреда х со свободны миза ряда ми
24
3.5 В олновой па кетвдиспергирую щ ей среде
28
3.6 Ра спростра нениега уссова импульса с ква дратичной модуляц ией фа зы вдиспергирую щ ей среде СП И СО К Л И Т Е РА Т У РЫ
32 34
4
В В ЕДЕНИ Е В окруж а ю щ ем на с мирепроисходит множ ество явлений , проявляю щ их черты колеба тельны х и волновы х проц ессов. Н есмотря на многообразиеситуа ц ий и различиев способа х описа ния, мож но вы делитьмного общ его впротека нии проц ессов различной физической природы . И зучениеименно этих общ их за кономерностей соста вляет предмет курса теория волновы х проц ессов. И та к, ц ель курса состоит в озна комлении с основны ми за кономерностями распространенияэлектрома гнитны х волн всреда х с различны мисвойства ми. К олеба ниями на зы ва ю т ограниченны е (и ча щ е всего повторяю щ иеся) движ ения в окрестности некоторого среднего полож ения (на пример, устойчивого полож енияравновесия). К олеба тельны епроц ессы описы ва ю тсяодним или несколькими обы кновенны ми дифференц иа льны ми ура внениями. В олна – это распростра нениеколеба ний в пространстве, происходящ еес конечной скоростью . В олновой проц есс – болееслож на я модель движ ения реа льны х систем, состояниекоторы х за висит уж енетолько от времени, но и от пространственны х переменны х. П оэтому та киепроц ессы описы ва ю тся уравнениями, содерж а щ ими ча стны епроизводны е. К ритерием перехода от колеба тельного движ ения к волновому мож ет служ ить « условиеква зиста ц иона рности»: если ха рактерны ера змеры системы LcT проц есс нуж но счита ть волновы м, а систему – ра спределё нной. В олны обы чно служ а т на иболеебы стры м меха низмом переноса энергии, позволяю щ им осущ ествить в системепереход от неравновесного состояния к ра вновесному. П ри этом непроисходит сущ ественного перемещ ениявещ ества . В олновой проц есс – это одна из ва ж ней ш их форм движ енияма терии; втой или иной мереволновы едвиж енияприсущ и всем без исклю ченияобъекта м ма териа льного мира. В олновы епроц ессы – нелиней ны еи линей ны е– интенсивно изуча ю тся в ра зличны х обла стях физики: электродина мике, физикепла змы , оптике, радиофизике, а кустике, гидродина микеи т.д. М еха низмы ра спространения возмущ ений, естественно, сильно отлича ю тсядруг отдруга . Н а пример, упругиеволны в ж идкостях и га за х сущ ествую т вследствиетого, что коллективноедвиж ение ча стиц среды созда ё т чередую щ иеся сж а тия и разреж ения, которы евы зы ва ю т движ ениевследую щ ем слоеж идкости (га за ). В озмущ ениепереда ё тсяотслояк слою преимущ ественно в на пра влении, вдоль которого происходят колеба ния ча стиц , т.е. волны в ж идкостях и га за х являю тся продольны ми. Т вё рды етела обла да ю т сдвиговой упругостью , и в них могут распространяться поперечны е волны . Ра спространениеэлектрома гнитны х волн происходит вследствиетого, что появляю щ ееся в ка кой-либо точкепростра нства переменноеэлектрическое полевозбуж да етвсоседних точка х ма гнитноеполеи на оборот.
5
Ра зличиефизических меха низмов, реализую щ их волновой проц есс, приводит к различны м способа м описа ния, основа нны м на сильно отлича ю щ ихся друг от друга система х ура внений. О дна ко для понима нияна иболеефунда мента льны х явлений , свойственны х волна м различной природы – интерференц ии, дифра кц ии, дисперсии, отраж ения и преломления, рассеяния и т.д., ча сто нет необходимости а на лизирова тьисходны еслож ны есистемы ура внений . П росты е эффекты , ка к правило, описы ва ю тся просты ми и поэтому универса льны ми ма тема тическими моделями.
1. В О Л НО В О ЕУР А В НЕНИ Е В теории волн фунда мента льноезна чениеимеет линейноеура внениев ча стны х производны х второго порядка : ∆U −
1 ∂ 2U c 2 ∂t 2
=0
(1.1)
О но на зы ва етсяволновы м у равнени ем . О ператорЛ а пла са ∆ за писы ва ется либо в дека ртовы х , либо в криволиней ны х (ц илиндрических, сферических и др.) координа та х; с – конста нта , ха ра ктеризую щ а ясвойства среды . В присутствии источников или внеш них сил проц есс возбуж дения и распространенияволн описы ва етсянеоднородны м ура внением: ∆U −
1 ∂ 2U c 2 ∂t 2
= f (r , t ) ,
(1.2)
гдеf(r,t) – некоторая функц ия, ха рактеризую щ а я распределё нны евнеш ниевоздействия. В реальной средемогут происходить необратимы е проц ессы переда чи энергии волны ча стиц а м среды (диссипа ц ия); скорость распростра нения волны мож ет ста ть функц ией ча стоты (дисперсия). Э ти явления долж ны учиты ва ться введением в волновоеуравнение(1.1) дополнительны х линей ны х членов L(U), структура которы х мож ет бы ть различной в за висимости от конкретны х физических меха низмоввза имодей ствияволн со средой : ∆U −
1 ∂ 2U c 2 ∂t 2
− L (U ) = 0
(1.3)
У равнения(1.1)-(1.3) могутбы тьза писа ны ка к дляска лярной переменной U, та к и для векторной U (на пример, на пряж ё нностей E и H поля электрома гнитной волны ). Реш ениеволнового уравнения долж но на ходитьсяс учё том на ча льны х и гра ничны х условий, отвеча ю щ их физической поста новкеза да чи.
6
У равнениями (1.1)-(1.3) описы ва ю тся волны в однородны х изотропны х среда х. За да чи, связа нны ес ра спространением волн в линейны х диспергирую щ их и недиспергирую щ их среда х , с определением поля по за да нны м источника м, с отраж ением и преломлением волн на гра ниц а х раздела однородны х сред, с распространением волн в волновода х, длинны х линиях, других на пра вляю щ их система х и т.д., сводятсяк реш ению одного из этих ура внений с соответствую щ ими граничны ми условиями. Е сли среда а низотропна , то проц есс распространения волн мож етописы ва ться гиперболическими ура внениями невторого, а болеевы сокого порядка , которы еприводятся к ура внениям второго порядка только при спец иа льны х предполож ениях о ха рактерепротека ния волнового проц есса в а низотропной среде. Т а кого типа за дачи встреча ю тсяпри исследова нии распростра нения световы х волн в криста лла х, электрома гнитны х волн в пла змеили феррите, на ходящ ихсявма гнитном полеит.д. Е сли среда неоднородна , т.е. её свойства за висятоткоордина т, то в ура внении, описы ва ю щ ем волновой проц есс, с уж ебудетнеконста нтой , а функц ией координа т c(x,y,z). В олновы м уравнением та кого типа описы ва ю тся проц ессы ра спростра ненияэлектрома гнитны х волн втропосфереи ионосфере. П ри возбуж дении в средесильны х полей уравнения, описы ва ю щ иепроц есс ра спространения возмущ ений , уж енельзя свести к линей ны м волновы м ура внениям. С учё том нелиней ны х членовони приобрета ю твид: ∆U −
1 ∂ 2U c
2
∂t
2
= L1 (U ) + L 2 (U 2 ) + L3 (U 3 ) + ... ,
(1.4)
гдеL1 , L2, L3 – некоторы елиней ны еопера торы . Сохранениеэтих членоввура внении позволяетописа тьразличны енелиней ны еэффекты при распространении волн всреде. В нелиней ны х за да ча х на руш а етсяпринц ип суперпозиц ии: возника ет вза имодействие волн различны х ча стот. П ри этом ха ра ктер протека ния волновы х вза имодействий сущ ественно за висит от соотнош ения дисперсионны х и нелиней ны х свойствпроц есса . Больш оезна чениев теории волн имею т га рмоническиеволны . Ф ункц ия U(x,y,z,t), описы ва ю щ а я га рмоническую волну, мож ет бы ть предста влена в виде:
U ( x , y, z , t ) =
[
]
1 & A( x, y , z)e jωt + A* ( x, y, z )e − jωt , 2
(1.5)
гдеА – комплексна явеличина . П одста вляя (1.5) в (1.1), получим дляопределенияфункц ии A(x,y,z): ∆A + k 2 A = 0, где k 2 = ω 2 / c 2
(1.6)
7
k на зы ва ю т волновы м ч и слом . Е сли подста вить (1.5) в (1.3), то опять получим дляА уравнение(1.6), но k2 будетболееслож но за висетьотча стоты и являтьсякомплексной величиной k 2 (ω ) = [k ' (ω ) + jk " (ω ) ]2 . У равнение(1.6) на зы ва етсяу равнени ем Гельм гольца. Е го реш ениеиска ть прощ е, чем (1.1)-(1.3), особенно в том случа е, когда скорость распространения волны v = ω / k за висит от ча стоты (т.е. сущ ественна я дисперсия). П оэтому в диспергирую щ их линей ны х среда х возмущ ения, за висящ иеот времени слож ны м образом, предста вляю тввидесовокупности га рмонических волн. И та к, лю ба я за да ча теории волн сводится к определению поведения в пространствеи времени величин, ха рактеризую щ их волновой проц есс. О на ка к бы делитсяна два эта па . В на ча ленеобходимо воспользова тьсяисходной системой уравнений , описы ва ю щ их волновоеполев среде, а за тем с помощ ью ряда упрощ ений, диктуемы х конкретной поста новкой за да чи, получить волновое ура внениеодного из перечисленны х вы ш етипов, а та кж есформулирова ть на ча льны еи гра ничны еусловия. В торой эта п состоитвреш ении этого уравнения при за да нны х на ча льны х и гра ничны х условиях и в физическом а на лизеполученны х результа тов.
2. ПЛ О С КИ Е ВО Л НЫ В О ДНО Р О ДНО Й И ЗО ТР О ПНО Й С Р ЕДЕ 2.1 Плос ки еволны П ростейш ими реш ениями волновы х ура внений, имею щ ими весьма больш оезна чение, являю тся реш ения ввидеплоских волн. В плоской волневозмущ ение U за висит лиш ь от расстояния, отсчиты ва емого вдоль некоторого фиксирова нного на правленияm, и времени, т.е. U=U(ξ,t), где ξ = (r, m ) = m x x + m y y + m z z Ра ссмотрим плоскиеволны в изотропной однородной среде, неучиты ва я поглощ ение, дисперсию и нелиней ны еэффекты . В та кой средеволновой проц есс описы ва етсяуравнением (1.1), котороеприобрета етвид: ∂ 2U ∂ξ 2
−
1 ∂ 2U c 2 ∂t 2
=0
(2.1)
Е слиотпеременны х ξ и t перейти к переменны м: η =t+ то получим ура внение:
ξ c
и τ =t− ∂ 2U =0 ∂τ∂η
ξ , c (2.2)
8
Е го реш ениеимеетвид: U (ξ , t ) = U1 (τ ) + U 2 (η ) = U1 (t − ξ / c) + U 2 (t + ξ / c ) . Здесь U 1 , U 2 - произвольны ефункц ии. Ра ссмотрим функц ию U1 . В лю бой фиксирова нны й моментвремени она имеет постоянное зна чение в плоскости, определяемой соотнош ением ξ = (r, m ) = Const . Э та плоскость, на которой фа за волны постоянна , на зы ва ется волновы м фронтом . О н перемещ а ется впространствесо скоростью с вдольна пра вления m. Э та скорость на зы ва ется фазовой. О на связа на с волновы м числом следую щ им соотнош ением: ω Re k Т а ким образом, U1 описы ва ет плоскую волну, бегущ ую в на пра влении m. О чевидно, что функц ия U 2 описы ва ет волну, бегущ ую в противополож ном на правлении– m. vф =
П лоскиеволны , описы ва емы епроизвольны ми функц иями U1 , U 2 , ча сто удобно ра ссма трива тька к суперпозиц ию га рмонических волн. Т огда
U1, 2 (ξ , t ) = A1,2 exp(± jkξ − jωt ) Ф а зуга рмонической плоской волны мож но за писа тьввиде: k ( m x x + m y y + m z z ) − ωt = kr − ωt ,
k = km
У равнение kr = Const определяет плоскость ра вной фа зы . Е сли k – действительноечисло, то а мплитуды волн постоянны всю ду, в том числеи в плоскости равной фа зы .
2.2 Ур авне ни я М акс ве лла в компле кс нойфор ме К а к известно, исходной системой уравнений для определения электрома гнитного полявсредеявляю тсяура вненияМ а ксвелла : 1 ∂D 4π + j c ∂t c 1 ∂B rotE = − c ∂t divD = 4πρ
rotH =
(2.3)
divB = 0 Здесьj и ρ - плотности токов и электрических за рядов всреде, появлениекоторы х вы зва но электрома гнитны м полем. E и H – на пряж ё нности электрического
9
и ма гнитного полей, D и B – векторы электрической и ма гнитной индукц ии, 1 с – скоростьсвета вва кууме( с = ). µ 0ε 0 Д ля расчё та электрома гнитны х полей в различны х среда х эту систему ура внений необходимо дополнитьсистемой ма териа льны х ура внений : D = D ( E ), B = B ( H ), j = j( E )
Связьмеж ду D и E, B и H, j и E за висит от ха рактера вза имодействияэлектрома гнитного поля с вещ еством и мож ет иметь очень слож ны й вид. О на мож ет бы ть нелиней ной , нелока льной , учиты ва ть а низотропию и на следственны е свойства среды . П оследнееозна ча ет, вча стности, что зна чения векторовD, B, j вка кой-либо точкепространства и вмомент времени t могутза висетьотзна чений векторовE, H вдругих точка х простра нства и впредш ествую щ иемоменты времени. Т а ка ясвязьмеж ду векторами приводитк появлению ча стотной и пространственной дисперсии, сущ ественно влияю щ ей на проц ессы распространенияволн. В о многих случа ях векторы E и D, B и H па раллельны при лю бой ориента ц ии электрома гнитного поля. Х а рактерэлектрома гнитны х проц ессов вта ких среда х неза висит от на пра вления этих векторов, поэтому эти среды на зы ва ю т и зотроп ны м и . В некоторы х среда х эти векторы непа раллельны , их на зы ва ю т ани зотроп ны м и . Среду на зы ва ю тоднородной, если её па раметры неза висятоткоордина т, и неоднородной, если та ка яза висимостьимеется. В ы деляю т ли нейны е среды , па раметры которы х неза висят от на пряж енностей электрических и ма гнитны х полей , и нели нейны е, в которы х эта за висимость на блю да ется. В линейны х среда х электрома гнитноеполеудовлетворяет принц ипу суперпозиц ии: поле, созда нное несколькими источника ми, ра вно суммеполей, образова нны х ка ж ды м источником вотдельности. В сильны х полях всесреды (и ва куум) ста новятся нелиней ны ми. В сла бы х полях некоторы е вещ ества (сегнетоэлектрики, феррома гнетики) обна руж ива ю тнелиней ность. Сна ча ла будем счита ть, что связь меж ду векторами линей на и определяетсясоотнош ениями:
D = εE , B = µH , j = σE , гдеε - относительна я диэлектрическа я прониц а емость, µ - относительна я ма гнитна я прониц а емость, σ - проводимостьсреды . Э ти па раметры среды на зы ва ю тся электрофизическими. П оэтому среды различа ю т по зна чениям именно этих па раметрови ха рактеру их за висимости отинтенсивности электрома гнитны х проц ессовикоордина тточки на блю дения. ωε В диэлектрика х: > 1, в проводника х – на оборот. Т а ким образом, в за σ висимости от ча стоты изменения поля одно и то ж евещ ество мож етсчита ться
10
диэлектриком, либо проводником. В идеальном диэлектрике σ=00 , в идеальном проводникеσ → ∞ . В систему уравнений М а ксвелла входятча стны епроизводны епо четы рём а ргумента м: x, y, z, t. П роц едура реш енияупростится, если из уравнений уда стся исклю чить t. Э того легко добиться, если рассма трива емы й электрома гнитны й проц есс протека ет во времени по га рмоническому за кону с некоторой постоянной ча стотой ω. Т а киепроц ессы ча сто встреча ю тсяна практике. Т огда векторка кого-либо поля, на примерЕ , в некоторой за да нной точке пространства за писы ва ется:
(
)
E (t ) = E x cos(ωt + ϕ x )i + E y cos ωt + ϕ y j + E z cos(ωt + ϕ z )k E x , E y , E z - а мплитуды отдельны х соста вляю щ их поля; ϕ x , ϕ y , ϕ z - соответствую щ иена ча льны ефа зы . И ли
[(
E (t ) = Re E x e jϕ x i + E y e
jϕ y
) ] [
j + E z e jϕ z k e jωt = Re E& e jωt
]
В екторE& принято на зы ва тькомплексной а мплитудой поляЕ вза да нной точке пространства . К омплексны еа мплитуды легко ввести в уравнения М а ксвелла , пола га я, что величины E& , H& за висят только от пространственны х координа т. В озьмё м, на пример, первоеура внениеи подста вим в него соответствую щ иевекторны е поля, вы раж енны ечерез комплексны еа мплитуды . П олучим:
(
)
(
)
(
1 ∂ 4 πσ jωt jω t jω t rot Re H& e = Re D& e + Re E& e c ∂t c
)
И зменяя порядок следова ния дифференц иа льны х опера ц ий и операц ий взятия действительной ча сти, а за тем сокращ а я на общ ий экспоненц иа льны й множ итель, получим: jω & 4πσ & D+ E rotH& = c c А на логично преобра зова воста льны еуравнения, получим ура вненияМ а ксвелла вкомплексной форме: jωD& 4π & jω j 4πσ & jω & rotH& = + σE rotH& = ε кE ε − E = c c c ω c jωB& jωµH& rotE& = − rotE& = − c c 4πρ divD& = 4πρ или divE& = ε divB& = 0 divH& = 0 D& = εE& B& = µH&
11
2.3 Плос ки еэле ктр омагни тныеволны О дним из ча стны х реш ений уравнений М а ксвелла являю тся однородны е плоскиеволны . Ра ссмотрим бесконечноетрёхмерноепространство с за да нны ми па раметра ми ε, µ, σ, одина ковы ми во всех точка х. П редполож им, что свободны еэлектрические за ряды отсутствую т, т.е. ρ=0. Э лектрома гнитны й проц есс, га рмонически изменяю щ ийся во времени с ча стотой ω, ха рактеризуется комплексны ми а мплитуда ми полей E& , H& , которы еудовлетворяю т системеуравнений М а ксвелла : jω & rotH& = ε кE c divE& = 0
rotE& = −
jωµH& c
divH& = 0
П реобразуем эту систему к волновому ура внению . Д ля этого возьмё м rot от второго уравнения: ω 2 µε к & jωµ & & rot rotE = − rotH = E c c2 С другой стороны , мы зна ем, что rot rotE& = grad divE& − ∆E& = − ∆E& . П олучим: ∆E& +
ω 2 µε к & E=0 c2
ω µε к - волновоечисло. c Реш ение да нной системы относительно трё х неизвестны х функц ий E& x , E& y , E& z , ка ж да я из которы х за висит от трёх координа т x, y, z, описы ва ет в общ ем случа еполес весьма слож ной пространственной конфигурац ией. В ведё м некоторы еупрощ ения. П усть 1) E& x ≠ 0, E& y = E& z = 0 ; 2) отлична я от нуля проекц ия E& x за висит лиш ь от координа ты z, т.е. ∂ = ∂ = 0 . Т огда система ∂x ∂y сводитсяк ура внению : d 2 E& x + k 2 E& x = 0 2 dz О бозна чим: k =
Реш ениеэтого ура вненияимеетвид:
E& x ( z ) = A& e − jkz + B& e jkz ,
12
гдеA& , B& - произвольны епостоянны е. Н а йдя комплексную а мплитуду вектора на пряж ё нности электрического поля, мож но определить комплексную а мплитуду вектора на пряж ё нности ма гнитного поля: i jc jc ∂ H& = rotE& = ωµ ωµ ∂x − jkz A& e + B& e jkz =
(
)
j ∂ ∂y 0
k ∂ = ∂z 0
(
)
ε kc & − jkz & jkz Ae − Be j = к A& e − jkz − B& e jkz j ωµ µ
О тсю да мож но сдела тьвы воды : 1) если вектор E& ориентирова н вдольоси x, то вектор H& на правлен вдоль оси y, т.е. в однородной плоской электрома гнитной волневектора E& , H& перпендикулярны ; 2) оба вектора E& , H& перпендикулярны оси распростра нения z, поэтому однородна яплоска яэлектрома гнитна яволна являетсяпоперечной волной; 3) зна чения комплексны х а мплитуд векторов E& , H& в лю бой точке пространства связа ны некоторы м коэффиц иентом пропорц иона льности µ Z0 = - волновое (харак тери ст и ч еск ое) соп роти влени е и ли и м п еданс εк среды ; ω = Re k ростьсовпа да етсо скоростью света вда нной среде.
4) скорость перемещ ения фронта волны : vф =
с - фа зова я скоµε
В общ ем случа еэлектрома гнитноеполепа да ю щ ей волны содерж ит обе поперечны есоста вляю щ ие, тогда
E& ( z ) = (A& i + C& j )e − jkz 1 & (Aj − C& i )e − jkz H& (z ) = Z0 В ы числив ска лярное и векторное произведения этих величин, мож но убедиться, что при произвольны х A& , C& вектора на пряж ё нностей электрического и ма гнитного полей образую т с на правлением распространения пра вую тройку вза имно перпендикулярны х векторов:
13
1 E& = E& 0 e − jkz , H& = [ k , E& 0 ]e − jkz , Z0
гдеE& 0 = A& i + C& j
(2.4)
2.4 Поляр и зац и я эле ктр омагн и тных волн Т а к ка к электрома гнитна яволна имеет векторны й ха рактер, то необходимо ука зы ва ть её п оляри заци ю , т.е. на пра влениевекторов E , H в пространстве. Н а пра вление ка ж дого из этих векторов мож ет изменяться в пространствеи времени вза висимости отсоотнош ениякомплексны х а мплитуд A& , C& . За пиш ем вы ра ж ениедля мгновенного зна чения на пряж ё нности электрического поля:
E ( z , t ) = Acos(ωt − kz + ϕ A )i + C cos(ωt − kz + ϕ C ) j Н а йдё м длину вектора Е и угол, которы й он образуетс осью x: E ( z, t ) = tgα =
A 2 cos 2 (ωt − kz + ϕ A ) + C 2 cos 2 (ωt − kz + ϕC )
C cos(ωt − kz + ϕC ) A cos(ωt − kz + ϕ A )
О беэти величины естьфункц ии времени и координа ты . За висимость угла α от t, z определяетполяриза ц ию волны . Ра ссмотрим некоторы еслуча и. 1. П усть ϕ A = ϕC , тогда
E ( z, t ) = A2 + C 2 cos(ωt − kz + ϕ A ), α = arctg
C A
В идно, что на правлениевектора Е оста ё тся впространственеизменны м, а длина его меняется по косинусоида льномуза кону. Т а ка яволна на зы ва етсяли нейно п оляри зованной. π 2. П устьA=C, ϕ С = ϕ A − , тогда E ( z, t ) = A, α = ωt − kz + ϕ A . В идно, что длина 2 вектора Е оста ё тсяпостоянной, а угол линей но за виситоткоордина ты и времени. К онец вектора Е описы ва ет в плоскости z=Const окруж ность, а в момент времени t геометрическим местом конц а этого вектора является винтова я линия. П ри увеличении z Е поворачива ется по ча совой стрелке. Т а ка яволна имеет π леву ю к ру гову ю п оляри заци ю . Е сли ϕ С = ϕ A + , то волна будетс п равой к ру го2 войп оляри заци ей.
14
В общ ем случа е а мплитуда и на правление вектора Е не оста ю тся постоянны ми. В олну та кого типа на зы ва ю т элли п ти ч еск и п оляри зованной. Е ё мож но предста витька к суперпозиц ию волн с линей ной и круговой поляриза ц ией . Состояние поляриза ц ии га рмонической волны удобно ха рактеризова ть коэффиц иентом поляриза ц ии: E& A P& = x = e j(ϕ A − ϕ C ) E& y C Е сли P& - комплексноечисло, то волна с эллиптической поляриза ц ией ; если P& действительноечисло, то волна линей ной поляриза ц ии; если P& - мнимое, то волна круговой поляриза ц ии.
2.5 Р ас пр ос тр ане ни еэле ктр омагни тных волн в поглощ аю щ и х с р е дах П ри распростра нении волн вреальны х среда х происходит ча стичноерассеяниеих электрома гнитной энергии, т.е. переход её в другиеформы . В та ких среда х мнимы еча сти в общ ем случа еи диэлектрической, и ма гнитной прониц а емостей отличны отнуля. В олновоечисло тогда тож екомплексно: k=
ω ω µ к ε к = k '− jk " = (n − jχ ) c c
П одста вим k в(2.4) и получим: E& = E& 0 e − k " z e − jk ' z ,
H& = H& 0 e − k " z e − jk ' z ,
т.е. реш ениеполучено в видебегущ ей плоской однородной волны , а мплитуда которой убы ва етпо мерераспростра нения. В еличина χ ха рактеризует скорость убы ва ния а мплитуды волны в на пра влении распростра нения и на зы ва етсяп ок азат елем п оглощ ени я. В еличина n определяетфа зовую скоростьволны всредеи на зы ва етсяп ок азат елем п релом лени я. В ы ясним, ка к за висят эти пока за тели от ча стоты волны и па раметров среды . Д ляэтого введё м величину
4πσ , ωε на зы ва емую т ангенсом у гла п от ерь. П риравнива я действительны еи мнимы е ча сти равенства tgδ =
k = 2
ω2 2
εµ (1 − jtgδ ) =
ω2 2
(n −
c c получим систему уравнений дляна хож денияn иχ :
jχ ) , 2
15
n 2 − χ 2 = µε 2nχ = µε tgδ n= Реш ениеэтой системы : χ=
( 1 + tg δ + 1) µε ( 1 + tg δ − 1) 2
µε 2
2
2
В проводящ ей средеn и χ за висят отча стоты , та к ка к tgδ за висит отча стоты , т.е. проводящ а я среда является диспергирую щ ей. П ри распространении плоской волны произвольной формы происходитиска ж ениееё профиля, поскольку фа зова я скорость и коэффиц иент за туха ния различны х ча стотны х соста вляю щ их неодина ковы . Ра ссмотрим предельны еслуча и ма лы х и больш их потерь. Д ля сла боза туха ю щ ей волны ( tgδ > 1 ), µε µσ tgδ = 2π . 2 ω В еличина потерь и фа зова я скорость в проводящ ей среде определяю тся не только электрофизическими па раметра ми, но и сущ ественны м обра зом за висят отча стоты . Скоростьза туха нияэлектрома гнитного поля по мерераспространения волны вглубь проводника за висит от мнимой ча сти волнового числа . Ра сстояние, на котором а мплитуда волны уменьш а ется ве раз, на зы ва ю тглубиной проникновения(т олщ и ной ск и н-слоя): n≈ χ =
2
1 c λ c = = = k " ωχ 2πχ 2πωµσ В хорош их проводника х χ ≈ n >> 1 и, следова тельно, d > ν , ν >> ω ; проводимость является действительной величиной , неза висящ ей от ча стоты , а диэлектрическа я прониц а емость – мнимой. В этом диа па зонеча стот пока за тель преломления и пока за тель поглощ ения примерно ра вны ω 2p
n≈ χ =
. 2ων П олесущ ествует только в скин-слое, толщ ина которого много меньш едлины волны . К оэффиц иентотраж енияотповерхности мета лла близок к единиц е. П ри болеевы соких ча стота х диэлектрическа я прониц а емость комплексна и сущ ественны м образом за висит от ча стоты . П ри ω 2 > ω 2p мета лл ста новится прозрачны м дляволны . В разреж енной п лазм е (на пример, в ионосфере) эффективна яча стота соуда рений ν ≈ 103 − 10 4 с-1 и для волн с ча стота ми ω > 10 6 c-1 вы полняется условие ω >> ν . В этом случа е мнимой ча стью диэлектрической прониц а емости мож но пренебречьи ε (ω ) = 1 −
ω 2p ω
2
= n2 .
Т огда за кон дисперсии определяетсясоотнош ением (рис.2): 2 ω 2p 2 ω k = 2 1 − 2 или ω 2 = ω 2p + k 2 c 2 c ω Е сли ω > ω p , то пока за тель преломления есть действительное число и волны свободно распространяю тся в среде. Е сли ω = ω p , то n=0. П ри ω < ω p пока за тель преломления ста новится мнимы м, следова тельно, волны долж ны отраж а ться от границ ы пла змы . П оскольку в ионосфере электронна я конц ентрац ия является функц ией вы соты , возраста яотнуляв на ча ле ионосферы до некоторого ма ксима льного зна чения, а за тем, снова убы ва я, имеется ц ела я обла сть ча стотдляволн, отраж а ю щ ихся от ионосферы . Ч а стота f к р , ра вна яма ксима льной пла зменной ча стоте, на зы ва етсякритической :
f к 2р =
e2 N max . πm
27
За метим, что пока за тель преломления мож ет обратиться в нуль или ста ть чисто мнимой величиной только в среде, в которой поглощ ениеэнергии пренебреж имо ма ло. В ионосферной пла змеэти условия реализую тся в ш ироком диа па зонеча стот. Ра ссмотрим теперь поглощ ениеволн в пла зме, обусловленноестолкновениями электроновс молекула ми и иона ми. П ри этом необходимо ра злича тьдва случа я: поглощ ениепри прохож дении волны через слой пла змы ( ω > ω p ) и поглощ ениеприотраж ении волны отслоя ( ω = ω p ). В первом случа е, пола га явформуле(3.5) ω > ω p , ω 2 >> ν 2 , получим:
ε ' ≈ 1, ε " =
ω 2p ν ω ω 2
, tgδ =
ε"