Функциональные последовательности и ряды: Лекции по математическому анализу

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî...

Author: Ковальчук В.Е. | Чалов П.А.

181 downloads 223 Views 483KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿ Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê Êàôåäðà òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà

Â.Å.ÊÎÂÀËÜ×ÓÊ, Ï.À.×ÀËÎÂ

ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ Ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðÿäû

Ðîñòîâ-íà-Äîíó

Îãëàâëåíèå 1

Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1

2

Ïîíÿòèå ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà; ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü . . . . . .

2

1.2

Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè . . 16

1.4

Ñâîéñòâà ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2

Ñòåïåííûå ðÿäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1

Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2

Ôóíêöèîíàëüíûå ñâîéñòâà ñóììû ñòåïåííîãî ðÿäà . 42

2.3

Ñóììèðîâàíèå ÷èñëîâûõ ðÿäîâ . . . . . . . . . . . . 45

2.4

Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû . . . . . . . 50

2.5

Ðàçëîæåíèå íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ðÿä Òåéëîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6

Ýëåìåíòàðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ î ôóíêöèÿõ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.7

Àïïðîêñèìàöèÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé . . . . . . . . 66

2.8

Êîíòðîëüíûå âîïðîñû, çàäà÷è, óïðàæíåíèÿ . . . . . 76

Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðû

1

. . . . . . . . . . . . . . . . 78

2

Îãëàâëåíèå

1 Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

1.1 Ïîíÿòèå ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà; ïîòî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü Ïóñòü X íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ îäíîãî èç ïðîñòðàíñòâ

R, C èëè Rn , à F êàêàÿ-íèáóäü ñîâîêóïíîñòü ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà X è ïðèíèìàþùèõ âåùåñòâåííûå èëè êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ.

Îïðåäåëåíèå 1.1 Ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå N 7→ F , òî åñòü îòîáðàæåíèå, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó îäíó èç ôóíêöèé, ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó F . Ïóñòü fn îáîçíà÷àåò ôóíêöèþ, ñîîòâåòñòâóþùóþ ÷èñëó n ∈ N. Òîãäà

(fn ), ïî àíàëîãèè ñ ÷èñëîâûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè, îáîçíà÷àåò äàííóþ ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Îòäåëüíûå ôóíêöèè fn íàçûâàþò ÷ëåíàìè èëè ýëåìåíòàìè ðàññìàòðèâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à ìíîæåñòâî X îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (un ), îïðåäåëåííóþ íà ìíîæåñòâå X .

Îïðåäåëåíèå 1.2 Ôîðìàëüíóþ ñóììó ∞ X

un (x) = u1 (x) + u2 (x) + . . . + un (x) + . . .

n=1

íàçûâàþò ôóíêöèîíàëüíûì ðÿäîì.

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ

3

Ôóíêöèè un íàçûâàþò ÷ëåíàìè èëè ýëåìåíòàìè ýòîãî ðÿäà, à ìíîæåñòâî X åãî îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ . Êàê è â ñëó÷àå ÷èñëîâîãî ðÿäà, ñóììó Sn ïåðâûõ n ÷ëåíîâ ðÿäà

∞ X

un

n=1

íàçûâàþò n-îé ÷àñòè÷íîé ñóììîé ýòîãî ðÿäà. Î÷åâèäíî, ÷òî èçó÷àÿ ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ìû èçó÷àåì ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû è, íàîáîðîò, èçó÷àÿ ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû, ìû èçó÷àåì ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, êàæäîìó ôóíêöèîíàëüíî∞ X ìó ðÿäó un ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàn=1

òåëüíîñòü (Sn ) åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì, à êàæäîé ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäî∞ X âàòåëüíîñòè (Sn ) ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä un , ÷ëåíû êîn=1

òîðîãî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

u1 = S 1 ,

un = Sn − Sn−1 , n = 2, 3, . . . .

Îïðåäåëåíèå 1.3 Ïóñòü X îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn ). Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 ∈ X , åñëè ñõîäèòñÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn (x0 )).

Îïðåäåëåíèå 1.4 Ïóñòü X îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà

∞ X

un . Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä

n=1

x0 ∈ X , åñëè ñõîäèòñÿ ÷èñëîâàÿ ðÿä

∞ X

∞ X

un ñõîäèòñÿ â òî÷êå

n=1

un (x0 ).

n=1

Ïîíÿòíî, ÷òî â ýòîì îïðåäåëåíèè âìåñòî ÷èñëîâîãî ðÿäà

∞ X

un (x0 )

n=1

ìîæíî ãîâîðèòü î ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (Sn (x0 )), ãäå (Sn ) ïî∞ X ñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà un . n=1

Îïðåäåëåíèå 1.5 Ìíîæåñòâî X0 âñåõ òî÷åê x0 ∈ X , â êîòîðûõ ñõîäèòñÿ äàííàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (èëè ðÿä), íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (èëè ðÿäà).

4

Îãëàâëåíèå Î÷åâèäíî, ÷òî îáëàñòü ñõîäèìîñòè ìîæåò èëè ñîâïàäàòü ñ îáëàñòüþ

îïðåäåëåíèÿ, èëè ñîñòàâëÿòü åå ÷àñòü, èëè áûòü ïóñòûì ìíîæåñòâîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáëàñòü ñõîäèìîñòè X0 ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn ) íå ïóñòà. Ïîñêîëüêó êàæäîå ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå

lim fn (x) âïîëíå îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì x, òî ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïðå-

n→∞

äåëüíûõ çíà÷åíèé, âçÿòûõ äëÿ âñåõ x ∈ X0 , ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáëàñòü çíà÷åíèé íåêîòîðîé ôóíêöèè f , îïðåäåëåííîé íà ìíîæåñòâå X0 . Ýòó ôóíêöèþ íàçûâàþò ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn ). Àíàëîãè÷íî, åñëè ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä

∞ X

un èìååò íåïóñòóþ îá-

n=1

ëàñòü ñõîäèìîñòè X0 , òî íà ìíîæåñòâå X0 îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ S , ÿâëÿþùàÿñÿ ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì ýòîãî ðÿäà è íàçûâàåìàÿ åãî ñóììîé . Ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî íà ìíîæåñòâå X0 ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäî∞ X âàòåëüíîñòü (fn ) ( ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä un ) ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëüíîé n=1

ôóíêöèè f (ê ñóììå S ) ïîòî÷å÷íî .

Ïðèìåð 1.1 Îïðåäåëèòü îáëàñòü ñõîäèìîñòè X0 ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn ), çàäàííîé íà ìíîæåñòâå X , è íàéòè åå ïðåäåëüíóþ ôóíêöèþ, åñëè

a) fn (x) = xn , X = R;    1 − nx, c) fn (x) =

 

0,

b) fn (z) = z n , X = C; 1 , n

åñëè

0≤x≤

åñëè

1 < x ≤ 1, n

n ∈ N,

X = [0, 1].

Ðåøåíèå. a) Åñëè x 6= −1, òî   0,      lim fn (x) = lim xn = 1, n→∞ n→∞       ∞,

åñëè

|x| < 1,

åñëè

x = 1,

åñëè

|x| > 1.


5

Åñëè æå x = −1, òî fn (x) = (−1)n è, êàê èçâåñòíî, ýòà ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñõîäèòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, X0 = (−1, 1] è çíà÷èò íå ñîâïàäàåò ñ X , à ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä

  0, f (x) =  1,

åñëè

− 1 < x < 1,

åñëè

x = 1.

b) Åñëè |z| 6= 1, òî   0, lim fn (z) = lim z n = n→∞ n→∞  ∞,

åñëè

|z| < 1,

åñëè

|z| > 1.

Åñëè z = 1, òî fn (z) = 1. Ïîýòîìó lim fn (z) = lim 1 = 1. n→∞ iϕ

n→∞

Ïóñòü |z| = 1, íî z 6= 1, òî åñòü z = e , ϕ ∈ R è ϕ 6= 2πk , k ∈ Z. Ïîêàæåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå lim fn (z) íå ñóùåñòâóåò. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì n→∞

ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ëþáûìè ñîñåäíèìè ÷ëåíàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ïîìíÿ, ÷òî |z| = 1 è z 6= e2πki ):

¯ ¯ |fn+1 (z) − fn (z)| = ¯z n+1 − z n ¯ = |z n (z − 1)| = |z|n |z − 1| = |z − 1| = q ¯ iϕ ¯ ¯ ¯ (1.1) = e − 1 = |cos ϕ + i sin ϕ − 1| = (cos ϕ − 1)2 + sin2 ϕ = r q ¯ ϕ¯ p ϕ ¯ ¯ = cos2 ϕ − 2 cos ϕ + 1 + sin2 ϕ = 2 (1 − cos ϕ) = 4 sin2 = 2 ¯sin ¯ . 2 2 ϕ ϕ Òàê êàê ϕ 6= 2πk , òî 6= πk , k ∈ Z, è ïîýòîìó sin 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, 2 2 ¯ ϕ¯ ¯ ¯ 2 ¯sin ¯ > 0. 2 Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε íå ïðåâîñõîäÿùåå ÷èñ¯ ϕ¯ ¯ ¯ ëà 2 ¯sin ¯ è ëþáîé íîìåð m. Òîãäà, èç ðàâåíñòâà (1.1) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ 2 ëþáîãî n ≥ m è p = 1 ñïðàâåäëèâà îöåíêà |fn+p (z) − fn (z)| ≥ ε. Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè, lim fn (z) íå ñóùåñòâóåò. n→∞

Ñëåäîâàòåëüíî, X0 = {z ∈ C : |z| < 1} ∪ {1}, òî åñòü X0 íå ñîâïàäàåò ñ

X è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáúåäèíåíèå îòêðûòîãî êðóãà ñ öåíòðîì â òî÷êå

6


y6 1r

A

A A

A

A A

A

A

A

A

O

AAr

-

r

x

1

1 n

Ðèñ. 1: Ãðàôèê ôóíêöèè fn .

0 ∈ C è ðàäèóñà åäèíèöà ñ òî÷êîé 1, à ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé

  0, f (z) =  1,

åñëè

|z| < 1,

åñëè

z = 1.

c) Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x0 ∈ (0, 1]. Î÷åâèäíî (ñì. ðèñ. 1), ÷òî äëÿ x0 íàéäåòñÿ íîìåð m = m(x0 ) òàêîé, ÷òî ïðè âñåõ n ≥ m áóäåò 1 âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî < x0 . Ïîýòîìó fn (x0 ) = 0 ïðè âñåõ n ≥ m. n Ââèäó ýòîãî, ïîëó÷àåì

  1, lim fn (x) = n→∞  0, Ïîýòîìó

X0 = X,

åñëè

x = 0,

åñëè

0 < x ≤ 1.

  1, f (x) =  0,

åñëè

x = 0,

åñëè

0 < x ≤ 1.

Ïðèìåð 1.2 Îïðåäåëèòü îáëàñòü ñõîäèìîñòè X0 ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà

∞ X

un , çàäàííîãî íà ìíîæåñòâå X , è íàéòè åãî ñóììó, åñëè

n=1

a) un (z) = z n , X = C;

b) un (x) =

xn , X = R. n!


Ðåøåíèå. Èçó÷àÿ ÷èñëîâûå ðÿäû, ìû âûÿñíèëè, ÷òî ðÿä

∞ X

7

z n ïðè

n=1

1 |z| < 1 ñõîäèòñÿ ê ñóììå S(z) = , à ïðè |z| ≥ 1 ðàñõîäèòñÿ, à 1−z ∞ X xn ðÿä ñõîäèìîñòü ïðè âñåõ x è èìååò ñóììó S(x), ðàâíóþ ex . n! n=1 Òàêèì îáðàçîì, ïåðâûé ðÿä ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî òîëüêî â îòêðûòîì åäèíè÷íîì êðóãå |z| < 1, à âòîðîé íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ è èõ 1 ñóììû, ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû è ex . 1−z

1.2 Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ). Ïðåäïîëîæèì, îíà èìååò áåñêîíå÷íóþ îáëàñòü ñõîäèìîñòè X0 è f åå ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ. Èç ñàìîãî îïðåäåëåíèÿ îáëàñòè ñõîäèìîñòè, êàê ñîâîêóïíîñòè òî÷åê îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, â êàæäîé èç êîòîðûõ ñõîäèòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 è äëÿ êàæäîãî x ∈ X0 íàéäåòñÿ íîìåð m, çàâèñÿùèé íå òîëüêî îò ε, íî è îò òî÷êè x, òàêîé, ÷òî

|fn (x) − f (x)| < ε äëÿ âñåõ n ≥ m.

(1.2)

Åñëè âçÿòü äðóãîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà x â X0 , òî ïîëó÷èòñÿ äðóãàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, è ïðè òîì æå ε íàéäåííûé íîìåð m ìîæåò îêàçàòüñÿ óæå íåïðèãîäíûì äëÿ âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà (1.2); òîãäà åãî ïðèøëîñü áû çàìåíèòü áîëüøèì íîìåðîì. À òàê êàê ìíîæåñòâî X0 áåñêîíå÷íî, òî áåñêîíå÷íî è ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ñõîäÿùèõñÿ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Âîçíèêàåò âîïðîñ: ñóùåñòâóåò ëè íîìåð

m, êîòîðûé, ïðè ôèêñèðîâàííîì ε, ãîäèëñÿ áû äëÿ âñåõ ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé? Ïîêàæåì íà ïðèìåðàõ, ÷òî â îäíèõ ñëó÷àÿõ òàêîé íîìåð m ñóùåñòâóåò, à â äðóãèõ íåò.

Ïðèìåð 1.3 Ðåøèòü, ïîñòàâëåííûé âîïðîñ äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

8


(fn ), çàäàííîé íà ìíîæåñòâå X = [0, 1], ãäå a) fn (x) =

x ; 1 + n 2 x2

b) fn (x) =

nx . 1 + n 2 x2

Ðåøåíèå. a) Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî x =0 n→∞ 1 + n2 x2

f (x) = lim fn (x) = lim n→∞

äëÿ âñåõ x ∈ X . Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûé íîìåð n. Òàê êàê X ÿâëÿåòñÿ ñåãìåíòîì, à ôóíêöèÿ fn íåïðåðûâíà íà íåì, òî, ñîãëàñíî âòîðîé òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, îíà äîñòèãàåò íà óêàçàííîì ñåãìåíòå ñâîþ òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòà ãðàíü äîñòèãàåòñÿ â ñòàöèîíàðíîé 1 òî÷êå xn = . Ïîýòîìó äëÿ âñåõ x ∈ X n µ ¶ 1 1 0 ≤ fn (x) ≤ fn (xn ) = fn = . n 2n Ïîñêîëüêó, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî âñåõ n ≥ m, ïîëó÷àåì

|fn (x) − f (x)| = |fn (x)| = fn (x) ≤

1 < ε ïðè 2n

1 0 ìîæíî óêàçàòü íîìåð m òàêîé, ÷òî ïðè êàæäîì

n ≥ m è âñåõ x ∈ X ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî (1.3)

|fn (x) − f (x)| < ε.

Ñîãëàñíî ýòîìó îïðåäåëåíèþ, äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç ïðèìåðà 1.3 íàìè ïîëó÷åíî

a) fn (x) =

b) fn (x) =

[0,1] x ⇒ f (x) ≡ 0, 1 + n 2 x2

nx → f (x) ≡ 0 íà [0, 1], 1 + n2 x2

íî

[0,1]

fn 6⇒ f.

Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî èç ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) íà ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè f íå ñëåäóåò åå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íà óêàçàííîì ìíîæåñòâå.

Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä

un ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ñóììå

n=1

S.

Îïðåäåëåíèå 1.7 Ðÿä

∞ X

∞ X

un íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíî-

n=1

æåñòâå X ê ñâîåé ñóììå S , åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Sn ) åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè

S , òî åñòü åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî äëÿ êàæäîì n ≥ m è âñåõ x ∈ X ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

|Sn (x) − S(x)| < ε.

(1.4)

10


Òîò ôàêò, ÷òî ðÿä

∞ X

un ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X ê ñóììå

n=1

S , îáû÷íî, îáîçíà÷àþò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ∞ X

X

un ⇒ S.

n=1

Òåîðåìà 1.1 (Ïåðâûé êðèòåðèé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ñõîäèëàñü ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (αn ), ãäå

αn = sup {|fn (x) − f (x)| : x ∈ X} , áûëà áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.6, ∀ε > 0 ∃m ∈ N ∀n ≥ m ∀x ∈ X =⇒ |fn (x) − f (x)| < ε. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî αn ≤ ε ïðè âñåõ n ≥ m, à ýòà îöåíêà îçíà÷àåò, ÷òî

(αn ) ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.

Äîñòàòî÷íîñòü. Ïî îïðåäåëåíèþ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ∀ε > 0 ∃m ∈ N ∀n ≥ m =⇒ αn = sup {|fn (x) − f (x)| : x ∈ X} < ε. Íî òîãäà äëÿ ëþáîãî x ∈ X è êàæäîãî n ≥ m âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî X

(1.3). Ñëåäîâàòåëüíî, fn ⇒ f .

Ñëåäñòâèå 1.1 (Ïåðâûé êðèòåðèé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà). Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä

∞ X n=1

un ñõîäèòñÿ

íà ìíîæåñòâå X ê ñâîåé ñóììå S ðàâíîìåðíî, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (αn ), ãäå ¯ ) (¯ ∞ ¯ ¯ X ¯ ¯ uk (x)¯ : x ∈ X , αn = sup ¯ ¯ ¯ k=n+1

áûëà áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.


11

Ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò èç òåîðåìû 1.1 íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ 1.7 è ðàâåíñòâà

S(x) − Sn (x) =

∞ X

uk (x).

k=n+1 X

Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ 1.7 âûòåêàåò, ÷òî åñëè fn ⇒ f , à Y Y

ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà X , òî fn ⇒ f . Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.

Ïðèìåð 1.4 Èññëåäîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà ìíîæåñòâå X , åñëè

1. fn (z) = z n , a) X = {z ∈ C : |z| < 1} ∪ {1} ; ãäå

b) X = {z ∈ C : |z| ≤ ε} ,    1 − nx, 2. fn (x) =

 

a) X = [0, 1];

3. fn (x) =

0,

1 , n

åñëè

0≤x≤

åñëè

1 < x ≤ 1, n

b) X = [δ, 1],

2nx , a) X = R; n 2 + x2

0 < ε < 1;

ãäå

0 < δ < 1;

b) X = [a, b] ,

ãäå

a, b ∈ R.

Ðåøåíèå. 1.a) Ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé   0, f (z) =  1,

åñëè

|z| < 1,

åñëè

z=1

(ñì. ïðèìåð 1.1b)). Òîãäà

αn = sup {|fn (z) − f (z)| : z ∈ X} = sup {|z|n : |z| < 1} = 1 6→ 0. Ñîãëàñíî êðèòåðèþ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè (òåîðåìà 1.1), ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) íà ìíîæåñòâå X ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f íåðàâíîìåðíî.

12


y6 1r

A

A A

A

1 2

r

A A

A

A

A

A

O

r

AAr

1 2n

1 n

-

r

x

1

Ðèñ. 2: Çíà÷åíèå ôóíêöèè fn â òî÷êå x =

1 . 2n

1.b) Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (z) = 0 è ïîýòîìó αn = sup {|fn (z) − f (z)| : z ∈ X} = sup {|z|n : |z| < ε} = εn → 0. X

Ïî êðèòåðèþ ïîëó÷àåì fn ⇒ f .

2.a) Êàê ïîêàçàíî â ïðèìåðå 1.1c), ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f èìååò âèä   1, åñëè x = 0, f (x) =  0, åñëè 0 < x ≤ 1. Ïîýòîìó (ñì. ðèñóíîê 2)

µ

αn = sup {|fn (x) − f (x)| : x ∈ X} ≥ fn

1 2n

¶ =

1 6→ 0. 2

Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X íåðàâíîìåðíî.

2.b) Íà ìíîæåñòâå X = [δ, 1] ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f è âñå ôóíêöèè fn ñ 1 íîìåðàìè áîëüøèìè ÷èñëà îáðàùàþòñÿ â íóëü. Ïîýòîìó δ 1 αn = sup {|fn (x) − f (x)| : x ∈ X} = 0 ïðè n > . δ X

Ñëåäîâàòåëüíî, fn ⇒ f .

3.a) Íàõîäèì f (x) = lim fn (x) = 0, n→∞

x ∈ R,


13

αn = sup |fn (x) − f (x)| = sup |fn (x)| ≥ fn (n) = 1 6→ 0. x∈R

x∈R

Ñëåäîâàòåëüíî íà R äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî.

3.b) Åñëè æå X = [a, b], èìååì f (x) = 0 è αn = sup |fn (x) − f (x)| = sup |fn (x)| = f (b) = x∈X

x∈X

2nb → 0. + b2

n2

Òàêèì îáðàçîì, íà ñåãìåíòå [a, b] ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî.

Ïðèìåð 1.5 Èññëåäîâàòü ðÿä

∞ X

un íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà

n=0

ìíîæåñòâå X , åñëè

1. un (z) = z n , a) X = {z ∈ C : |z| < 1} ; b) X = {z ∈ C : |z| ≤ γ} , 2. un (z) =

zn n!

ãäå

0 < γ < 1;

ãäå

0 < R < +∞.

a) X = C; b) X = {z ∈ C : |z| ≤ R} ,

Ðåøåíèå. 1. Ïîñêîëüêó |z| < 1, òî ðÿä

∞ X

|un | ñõîäèòñÿ (ñóììèðóåòñÿ áåñêî-

n=0

íå÷íî óáûâàþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ) è èìååò ñóììó S (z) = 1 , èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X àáñîëþòíî. 1 − |z| Íàõîäèì αn : ¯ ∞ ¯ ¯ ∞ ¯ ¯ n+1 ¯ ¯ X ¯ ¯ X ¯ ¯ ¯z ¯ ¯ ¯ k¯ ¯. αn = sup ¯ uk ¯ = sup ¯ z ¯ = sup ¯¯ ¯ z∈X ¯ ¯ z∈X 1 − z ¯ z∈X ¯ k=n+1

k=n+1

γ n+1 Î÷åâèäíî, ÷òî â ñëó÷àå a) αn = +∞, à â ñëó÷àå b) αn = → 0 1−γ ïðè n → ∞, ïîñêîëüêó 0 < γ < 1. Ñëåäîâàòåëüíî, íà ìíîæåñòâå X = {z ∈ C : |z| < 1} èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî, à íà ìíîæåñòâå X = {z ∈ C : |z| ≤ γ} ðàâíîìåðíî. 2. Òàê êàê äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà a ðÿä S(a) = ea , èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ íà X àáñîëþòíî.

∞ X an n=0

n!

ê ñóììå

14

Îãëàâëåíèå Íàõîäèì αn :

¯ ∞ ¯ ¯ ∞ ¯ ∞ ¯ X ¯ ¯ X zk ¯ X |z|k ¯ ¯ ¯ ¯ αn = sup ¯ uk ¯ = sup ¯ . ¯ = sup ¯ z∈X ¯ k! ¯ z∈X k=n+1 k! z∈X ¯ k=n+1 k=n+1 Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî â ñëó÷àå a) αn = +∞ (n ôèêñèðîâàííûé íîìåð, ∞ X zn ñõîäèòñÿ à |z| ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî). Ïîýòîìó íà C ðÿä n! n=0 ∞ X zn C íåðàâíîìåðíî ( 6⇒). n! n=0 ∞ X Rk Åñëè æå X = {z ∈ C : |z| ≤ R} (ñëó÷àé b)), òî αn = , ãäå R k! k=n+1 ôèêñèðîâàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ñëåäîâàòåëüíî, αn , êàê îñòà∞ X Rn òîê ñõîäÿùåãîñÿ ÷èñëîâîãî ðÿäà , ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. n! n=0 Ïîýòîìó íà ìíîæåñòâå X = {z ∈ C : |z| ≤ R} äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâ∞ X z n |z|≤R íîìåðíî ( ⇒ ). n! n=0

Òåîðåìà 1.2 (Êðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X ñõîäèëàñü ê íåêîòîðîé ïðåäåëüíîé ôóíêöèè, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàøåëñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n ≥ m, âñåõ p ∈ N è âñåõ x ∈ X âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî (1.5)

|fn+p (x) − fn (x)| < ε

(∀ε > 0 ∃m ∈ N ∀n ≥ m ∀p ∈ N ∀x ∈ X =⇒ |fn+p (x) − fn (x)| < ε). X

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü fn ⇒ f . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ 1.6 ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè

ε ∃m ∈ N ∀n ≥ m ∀x ∈ X =⇒ |fn (x) − f (x)| < . 2

(1.6)

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

ε ∀n ≥ m ∀p ∈ N ∀x ∈ X =⇒ |fn+p (x) − f (x)| < . 2

(1.7)


15

Òàê êàê ìîäóëü ñóììû íå ïðåâîñõîäèò ñóììû ìîäóëåé, èñïîëüçóÿ (1.6) è (1.7), âûâîäèì

|fn+p (x) − fn (x)| ≤ |fn+p (x) − f (x)| + |fn (x) − f (x)| < ε äëÿ âñåõ n ≥ m, âñåõ p ∈ N è âñåõ x ∈ X . Íåîáõîäèìîñòü äîêàçàíà.

Äîñòàòî÷íîñòü. Èç íåðàâåíñòâà (1.5) è êðèòåðèÿ Êîøè äëÿ ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûòåêàåò ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn (x)) ïðè êàæäîì x ∈ X . Ñëåäîâàòåëüíî íà ìíîæåñòâå X ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî. Ïóñòü f åå ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ íà X . Òàê êàê íåðàâåíñòâî (1.5) ñïðàâåäëèâî ïðè âñåõ p ∈ N, òî, ïåðåõîäÿ â íåì ê ïðåäåëó ïðè p → ∞, ïîëó÷èì, ÷òî ïðè âñåõ n ≥ m è âñåõ x ∈ X ñïðàâåäëèâà îöåíêà

|fn (x) − f (x)| ≤ ε. Â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε äîñòàòî÷íîñòü äîêàçàíà. Íåïîñðåäñòâåííî èç òåîðåìû 1.2 ñëåäóåò àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ ðÿäîâ.

Ñëåäñòâèå 1.2 (Êðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà). Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä

∞ X

un ðàâíîìåðíî

n=1

íà ìíîæåñòâå X ñõîäèëñÿ ê íåêîòîðîé ñóììå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàøåëñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ

n ≥ m, âñåõ p ∈ N è âñåõ x ∈ X âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî ¯ ¯ n+p ¯ X ¯ ¯ ¯ uk (x)¯ < ε ¯ ¯ ¯

(1.8)

k=n+1

¯ ¯ n+p ¯ ¯ X ¯ ¯ uk (x)¯ < ε). (∀ε > 0 ∃m ∈ N ∀n ≥ m ∀p ∈ N ∀x ∈ X =⇒ ¯ ¯ ¯ k=n+1

Äåéñòâèòåëüíî, ýòî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òåîðåìû 1.2, ïîñêîëüêó â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (1.8) ïîä çíàêîì ìîäóëÿ ñòîèò ðàçíîñòü

Sn+p (x) − Sn (x) ÷àñòè÷íûõ ñóìì Sn+p (x) è Sn (x) èñõîäíîãî ðÿäà.

16


1.3 Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè Ñàìûì ïðîñòûì èç âñåõ ïðèçíàêîâ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé ïðèçíàê.

Òåîðåìà 1.3 (Ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà). Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä ∞ X

un îïðåäåëåí íà ìíîæåñòâå X . Åñëè ñóùåñòâóåò ñõîäÿùèéñÿ ÷è-

n=1

ñëîâîé ðÿä

∞ X

cn òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ X è êàæäîãî íîìåðà n ∈ N

n=1

ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî (1.9)

|un (x)| ≤ cn ,

òî èñõîäíûé ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä íà ìíîæåñòâå X ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî. Ïðè âûïîëíåíèè äëÿ âñåõ x ∈ X è âñåõ n ∈ N íåðàâåíñòâà (1.9) ∞ ∞ ∞ X X X ãîâîðÿò, ÷òî ðÿä un ìàæîðèðóåòñÿ ðÿäîì cn (èëè ðÿä cn ìàn=1

æîðèðóåò ðÿä ∞ X n=1

∞ X

un èëè ðÿä

n=1

∞ X

n=1

n=1

cn ÿâëÿåòñÿ ìàæîðàíòíûì äëÿ ðÿäà

n=1

un ). Ïðèâåäåì êðàòêóþ ôîðìóëèðîâêó ýòîãî óòâåðæäåíèÿ.

Ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà äàííîì ìíîæåñòâå, åñëè åãî ìîæíî ìàæîðèðîâàòü íà ýòîì ìíîæåñòâå ñõîäÿùèìñÿ ÷èñëîâûì ðÿäîì.

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî êðèòåðèþ Êîøè äëÿ ÷èñëîâîãî ðÿäà

∃m ∈ N ∀n ≥ m ∀p ∈ N =⇒

n+p X

ck < ε.

(1.10)

k=n+1

Èñïîëüçóÿ îöåíêè (1.10) è (1.9), âûâîäèì ¯ ¯ n+p n+p n+p ¯ ¯ X X X ¯ ¯ uk (x)¯ ≤ |uk (x)| ≤ ck < ε ¯ ¯ ¯ k=n+1

k=n+1

k=n+1

ïðè âñåõ n ≥ m, p ∈ N è x ∈ X . Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà èñõîäíûé ðÿä íà ìíîæåñòâå X ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî.

1. Îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ ∞ X

17

Çàìåòèì, ÷òî êðîìå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè íà ìíîæåñòâå X ðÿäà

un , ìû äîêàçàëè, ÷òî à) ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â ëþáîé òî÷êå

n=1

x ∈ X ; á) ðÿä

∞ X

|un |, ñîñòàâëåííûé èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí èñõîäíîãî

n=1

ðÿäà, íà óêàçàííîì ìíîæåñòâå X ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî.

Ïðèìåð 1.6 Ðÿä

∞ X sin nx

, ãäå γ > 1, èññëåäîâàòü íà ðàâíîìåðíóþ nγ ñõîäèìîñòü íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè R. n=1

∞ X 1 ìàæîðèðóåò èñõîäíûé ðÿä. Ðåøåíèå. Òàê êàê |sin nx| ≤ 1, ðÿä nγ n=1 1 À ïîñêîëüêó ðÿä ñ îáùèì ÷ëåíîì cn = γ ñõîäèòñÿ, ñîãëàñíî ïðèçíàêó n ∞ X sin nx R Âåéåðøòðàññà ⇒. γ n n=1

Îïðåäåëåíèå 1.8 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé (fn ) íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå X , åñëè ñóùåñòâóåò âåùåñòâåííîå ÷èñëî M òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ X è äëÿ âñåõ íîìåðîâ n ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |fn (x)| ≤ M .

Òåîðåìà 1.4 (Ïðèçíàê Äèðèõëå). Ðÿä

∞ X

un vn , ãäå un : X → C, vn :

n=1

X → R, ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X , åñëè 1) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà

∞ X

un ðàâíîìåðíî îãðà-

n=1

íè÷åíà íà X ;

2) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (vn ) ìîíîòîííà (ïî n) ïðè êàæäîì ôèêñèðîX

âàííîì x ∈ X è vn ⇒ 0. Äîêàçàòåëüñòâà ïðèçíàêà Äèðèõëå è ñëåäóþùåãî ïðèçíàêà Àáåëÿ äîñëîâíî ïîâòîðÿþò äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ ïðèçíàêîâ äëÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ ñ çàìåíîé òåðìèíà ñõîäèìîñòü íà òåðìèí ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü.

Òåîðåìà 1.5 (Ïðèçíàê Àáåëÿ). Ðÿä

∞ X n=1

un vn , ãäå un : X → C, vn : X →

R, ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X , åñëè

18

1)

Îãëàâëåíèå ∞ X

X

un ⇒;

n=1

2) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (vn ) ìîíîòîííà (ïî n) ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x ∈ X è ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà íà X . ∞ X

Íà ïðàêòèêå ÷àñòî ñëó÷àåòñÿ, ÷òî un ∈ C èëè vn ∈ R, òî åñòü ðÿä

un åñòü ïðîñòî ÷èñëîâîé ðÿä èëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (vn ) ÷èñëî-

n=1

âàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. À ïîñêîëüêó ñõîäÿùóþñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èëè ñõîäÿùèéñÿ ðÿä ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèå-

ñÿ (çàâèñèìîñòè îò x íåò), ýòè ñëó÷àè, êîíå÷íî, âõîäÿò êàê ÷àñòíûå â ðàññìîòðåííûå âûøå.


∞ X

an sin nx, ãäå an & 0, èññëåäîâàòü íà ðàâíîìåðíóþ

n=1

ñõîäèìîñòü íà [δ, 2π − δ] (0 < δ < π ).

Ðåøåíèå. Òàê êàê an & 0 ïðè n → ∞ è an íå çàâèñèò îò x, ïîëàãàÿ un (x) = sin nx è vn (x) = an , âèäèì, ÷òî âòîðîå óñëîâèå ïðèçíàêà Äèðèõëå âûïîëíÿåòñÿ. Ïîêàæåì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ è ïåðâîå óñëîâèå ýòîãî æå ïðèçíàêà. Ñ ∞ X ýòîé öåëüþ îöåíèì ìîäóëü n-îé ÷àñòè÷íîé ñóììû ðÿä sin nx: n=1

¯ ¯ n ¯ ¯ n ¯X ¯ x ¯¯ 1 ¯¯X ¯ ¯ sin kx¯ = 2 sin kx sin ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ 2 sin x ¯ 2¯ k=1 k=1 2 ¯ µ ¶ µ ¶ ¶¯¯ n µ 1 ¯¯X 1 1 ¯ = x − cos k + x ¯= cos k − x ¯¯ ¯ 2 2 2 sin k=1 2 ¯µ ¶ µ ¶ 1 ¯¯ x 3x 3x 5x = x ¯ cos 2 − cos 2 + cos 2 − cos 2 + . . . + 2 sin µ 2 µ ¶ µ ¶ ¶¯ ¯ 1 1 + cos n − x − cos n + x ¯¯ = 2 2 ¯ µ ¶ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 1 x 1 ¯ = . x ¯cos 2 − cos n + 2 x¯ ≤ x ≤ δ 2 sin sin sin 2 2 2 Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå 1) ïðèçíàêà Äèðèõëå âûïîëíÿåòñÿ è, ñëåäîâà∞ [δ,2π−δ] X òåëüíî, an sin nx ⇒ . n=1


19

∞ X

x an sin nx cos , ãäå an & 0, èññëåäîâàòü íà ðàâíîn n=1 ìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà [δ, 2π − δ] (0 < δ < π ).


Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ïðèçíàê Àáåëÿ. Ïîëîæèì x un (x) = an sin nx è vn (x) = cos . n Òàê êàê ðÿä

∞ X

un ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [δ, 2π−δ] (ñì. ïðèìåð

n=1

1.7), ïåðâîå óñëîâèå ïðèçíàêà Àáåëÿ âûïîëíÿåòñÿ. Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x ∈ [δ, 2π − δ] ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (vn ) âîçðàñòàåò. À ïîñêîëüêó êîñèíóñ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå ïðåâîñõîäèò åäèíèöû, äëÿ âñåõ è x ∈ [δ, 2π − δ] è âñåõ n ∈ N ñïðàâåäëèâî íåðàâåí¯ x ¯¯ ¯ ñòâî |vn (x)| = ¯cos ¯ < 1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (vn ) n ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà íà [δ, 2π − δ]. Ñëåäîâàòåëüíî âûïîëíÿåòñÿ è âòîðîå óñëîâèå ïðèçíàêà Àáåëÿ, ïî êîòîðîìó èñõîäíûé ðÿä íà [δ, 2π − δ] ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ.

Òåîðåìà 1.6 (Ïðèçíàê Äèíè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé). Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) íåïðåðûâíûõ íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå X ôóíêöèé fn : X −→ R, n ∈ N, ñõîäèòñÿ ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f : X −→ R. Åñëè fn (x) ≥ fn+1 (x) ïðè âñåõ n ∈ N è âñåõ x ∈ X , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè f ðàâíîìåðíî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì rn (x) = fn (x)−f (x). Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî âñå ôóíêöèè rn íåîòðèöàòåëüíû è íåïðåðûâíû íà ìíîæåñòâå X , rn (x) →

0 ïðè n → ∞ â êàæäîì x ∈ X è rn (x) ≥ rn+1 (x) ïðè âñåõ n ∈ N è âñåõ x ∈ X. Î÷åâèäíî, ÷òî X

fn ⇒ f

⇐⇒

X

rn ⇒ 0.

X

Äîêàæåì, ÷òî rn ⇒ 0. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òàê êàê rn ≥ 0 ïðè êàæäîì n ∈ N è

lim rn (x) = 0 ïðè âñåõ

n→∞

x ∈ X,

20


äëÿ êàæäîãî y ∈ X íàéäåòñÿ íîìåð my òàêîé, ÷òî

ε 0 ≤ rmy (y) < . 2

(1.11)

Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ rmy íåïðåðûâíà â òî÷êå y , íàéäåòñÿ ÷èñëî δy > 0 òàêîå, ÷òî

¯ ¯ ¯rmy (x) − rmy (y)¯ < ε 2

ïðè âñåõ

(1.12)

x ∈ B (y, δy ) ,

ãäå B (y, δy ) δy -îêðåñòíîñòü òî÷êè y , òî åñòü

B (y, δy ) = {x ∈ X : ρ(x, y) < δy } . Èç (1.11) è (1.12) âûâîäèì

¯ ¯ 0 ≤ rmy (x) ≤ ¯rmy (x) − rmy (y)¯ + rmy (y) < ε ïðè âñåõ

x ∈ B (y, δy ) .

Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ ìîíîòîííîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (rn ), ïîëó÷àåì

0 ≤ rn (x) < ε ïðè âñåõ x ∈ B (y, δy )

è âñåõ n ≥ my .

(1.13)

Ïîíÿòíî, ÷òî ñîâîêóïíîñòü {B (y, δy )}y∈X îòêðûòûõ ìíîæåñòâ îáðàçóåò îòêðûòîå ïîêðûòèå ìíîæåñòâà X . Ââèäó êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâà X , èç ýòîãî ïîêðûòèÿ ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå ìíîæåñòâà

X . Ïóñòü y1 , y2 , . . . , yl (êîíå÷íûé) íàáîð òî÷åê òàêîé, ÷òî ñèñòåìà {B (yk , δyk )}k=1,2,...,l ïîêðûâàåò ìíîæåñòâî X , òî åñòü

äëÿ ∀x ∈ X

∃k(= 1, 2, . . . , l) :

(1.14)

x ∈ B (yk , δyk ) .

Ïîëîæèì m = max {myk : k = 1, 2, . . . , l}. Òåïåðü èç (1.13) è (1.14) ñëåäóåò, ÷òî X

0 ≤ rn (x) < ε ïðè âñåõ x ∈ X è âñåõ n ≥ m, òî åñòü rn ⇒ 0.

Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå ìîíîòîííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) â òåîðåìå 1.6 ñóùåñòâåííî, èáî íåìîíîòîííàÿ íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå X ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ìîæåò ñõîäèòüñÿ íà X ïîòî÷å÷íî ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, íî íå ñõîäèòüñÿ ê íåé ðàâíîìåðíî.


21

y6 1

r

O

r

r

π 2n

π n

r-

π x

Ðèñ. 3: Ãðàôèê ôóíêöèè fn .

Ïðèìåð 1.9 Ïîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ôóíêöèé (ñì. ðèñóíîê 3)

  sin nx, åñëè 0 ≤ x ≤ π , n fn (x) = π  0, åñëè < x ≤ π, n

n ∈ N,

ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [0, π] ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, íî íåðàâíîìåðíî.

Ðåøåíèå. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn ) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ f (x) ≡ 0 íà ñåãìåíòå [0, π]. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Íî

αn = sup |fn (x) − f (x)| = sup fn (x) ≥ fn x∈[0,π]

x∈[0,π]

³π´ = 1 6→ 0. 2n

Ñîãëàñíî êðèòåðèþ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè (òåîðåìà 1.1), èñõîäíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [0, π] ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè

f (x) ≡ 0 íåðàâíîìåðíî.

Ñëåäñòâèå 1.3 (Ïðèçíàê Äèíè äëÿ ðÿäîâ). Ïóñòü ðÿä

∞ X

un ñîñòàâ-

n=1

ëåí èç íåïðåðûâíûõ, íåîòðèöàòåëüíûõ íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå X ôóíêöèé. Åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê íåïðåðûâíîé ñóììå

S : X −→ R, òî ýòà ñõîäèìîñòü ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíîé.

22


Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Sn ) ÷àñòè÷íûõ ñóìì ∞ X ðÿäà un óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì òåîðåìû 1.6. Ñëåäîâàòåëüíî, n=1 X

Sn ⇒ S . ∞ X

x4 íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü 4 )n (1 + x n=0 íà ñåãìåíòå [a, b], ãäå 0 < a < b < +∞.

Ïðèìåð 1.10 Èññëåäîâàòü ðÿä

Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî âñå ÷ëåíû äàííîãî ðÿäà íåïðåðûâíû è íåîòðèöàòåëüíû íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå [a, b]. Íàéäåì ñóììó S ýòîãî ðÿäà. Ïî ôîðìóëå ñóììû áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîå ïðîãðåññèè ñ 1 ïåðâûì ÷ëåíîì u0 = x4 è çíàìåíàòåëåì q = ïîëó÷àåì 1 + x4

S(x) =

u0 = 1−q

x4 1 1− 1 + x4

= 1 + x4 .

Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ S íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b], ñîãëàñíî ïðèçíàêó Äèíè (ñëåäñòâèå 1.3), äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [a, b] ðàâíîìåðíî.

1.4 Ñâîéñòâà ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ Ïî÷ëåííûé ïåðåõîä ê ïðåäåëó; íåïðåðûâíîñòü ñóììû ðÿäà è ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Òåîðåìà 1.7 Ïóñòü ðÿä

∞ X

un ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X

n=1

ê ñóììå S è a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X . Åñëè äëÿ êàæäîãî

n ∈ N â òî÷êå a ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå (1.15)

lim un (x) = bn ,

x→a

òî ðÿä

∞ X

bn ñõîäèòñÿ, ôóíêöèÿ S èìååò â òî÷êå a ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå

n=1

è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

lim S(x) =

x→a

∞ X n=1

lim un (x) =

x→a

∞ X n=1

bn ,

(1.16)


òî åñòü ñèìâîë ïðåäåëà lim è ñèìâîë ñóììèðîâàíèÿ

P

23

ìîæíî ìåíÿòü

ìåñòàìè, ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî ê ïðåäåëó ïðè x → a ìîæíî ïåðåõîäèòü ïî÷ëåííî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèÿ êðèòåðèè Êîøè, äîêàæåì ñõîäèìîñòü ðÿäà ∞ X n=1 ∞ X

bn . Äëÿ ýòîãî âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïîñêîëüêó èñõîäíûé ðÿä un ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ðàâíîìåðíî, ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè

n=1

ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè, íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî ¯ ¯ n+p ¯ ε ¯ X ¯ ¯ un (x)¯ < . ∀n ≥ m ∀p ∈ N ∀x ∈ X =⇒ ¯ ¯ 2 ¯ k=n+1

Ïåðåõîäÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè x → a, ïîëó÷èì îöåíêó ¯ ¯ n+p ¯ X ¯ ε ¯ ¯ bn ¯ ≤ < ε, ¯ ¯ ¯ 2 k=n+1

êîòîðàÿ âûïîëíÿåòñÿ ïðè âñåõ n ≥ m è âñåõ p ∈ N. Ïî êðèòåðèþ Êîøè ∞ X ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà ðÿä bn ñõîäèòñÿ. Îáîçíà÷èì åãî ñóììó n=1

áóêâîé b.

Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî

|S(x) − b| < ε ïðè âñåõ x ∈ X ∩ B(a, δ),

(1.17)

ãäå B(a, δ) δ -îêðåñòíîñòü òî÷êè a. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ∈ N ñïðàâåäëèâà îöåíêà ¯ ¯ ∞ ∞ ¯X ¯ X ¯ ¯ |S(x) − b| = ¯ uk (x) − bk ¯ ≤ ¯ ¯ k=1 k=1 ¯ ¯ ¯ ¯ ∞ ∞ n ¯ ¯ X ¯ ¯ X X ¯ ¯ ¯ ¯ (1.18) bk ¯ . uk (x)¯ + ¯ ≤ |uk (x) − bk | + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k=1

∞ X

k=n+1

k=n+1

Ñíîâà âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε. Òàê êàê ðÿä

un ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ñóììå S , íàéäåòñÿ íîìåð

n=1

m òàêîé, ÷òî äëÿ êàæäîãî n ≥ m è âñåõ x ∈ X ñïðàâåäëèâà îöåíêà ¯ ¯ ¯ ¯ ∞ n ¯ ε ¯ ¯ ¯ X X ¯ ¯ ¯ ¯ uk (x)¯ < . uk (x)¯ = ¯S(x) − (1.19) ¯ ¯ 3 ¯ ¯ ¯ k=n+1

k=1

24


Àíàëîãè÷íî, ââèäó ñõîäèìîñòè ðÿäà

∞ X

bn , íàéäåòñÿ íîìåð l òàêîé, ÷òî

n=1

äëÿ âñåõ n ≥ l âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ¯ ∞ ¯ ¯ X ¯ ε ¯ ¯ bk ¯ < . ¯ ¯ ¯ 3

(1.20)

k=n+1

Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûé íîìåð n ≥ max {m, l}. Ââèäó (1.15), ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ X ∩ B(a, δ)

|uk (x) − bk |
0. Òàê êàê fn ⇒ f , òî íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n ≥ m è âñåõ x ∈ [a, b] ñïðàâåäëèâà îöåíêà

|f (x) − fn (x)|
0 òàêàÿ, ÷òî

|fn (x)| ≤ M ïðè âñåõ x ∈ [a, b].

(1.26)

Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâà (1.25) è (1.26), âûâîäèì îöåíêó

|f (x)| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x)|
0 íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè T ñåãìåíòà [a, b] òî÷êàìè a = x0 < x1 < x2 < . . .
0 òàêîå, ÷òî ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè T ñåãìåíòà [a, b] òî÷êàìè a = x0 < x1 < x2 < . . . < xl = b íà l ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòîâ [xi−1 , xi ], i = 1, 2, . . . , l, def

ñ ïàðàìåòðîì ðàçáèåíèÿ ∆ = max {∆xi : i = 1, 2, . . . , l} < δ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî l X i=1

ε ωi (fn )∆xi < . 3

(1.27)

Çàôèêñèðóåì ýòî ðàçáèåíèå T è âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé ÷àñòè÷íûé ñåãìåíò [xi−1 , xi ]. Ïîñêîëüêó ìîäóëü ñóììû íå ïðåâîñõîäèò ñóììû ìîäóëåé, äëÿ ëþáûõ x0 è x00 èç ñåãìåíòà [xi−1 , xi ] ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

|f (x0 ) − f (x00 )| ≤ |f (x0 ) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − fn (x00 )| + |fn (x00 ) − f (x00 )| ≤ ≤ |f (x0 ) − fn (x0 )| + ωi (fn ) + |fn (x00 ) − f (x00 )| . Îòñþäà è íåðàâåíñòâà (1.25), âûâîäèì

|f (x0 ) − f (x00 )| < ωi (fn ) +

2ε . 3(b − a)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

½ ¾ 0 00 0 00 ωi (f ) = sup |f (x ) − f (x )| : x , x ∈ [xi−1 , xi ] ,

(1.28)


29

à íåðàâåíñòâî (1.28) ñïðàâåäëèâî ïðè âñåõ x0 , x00 ∈ [xi−1 , xi ], èìååì

ωi (f ) ≤ ωi (fn ) +

2ε . 3(b − a)

Óìíîæàÿ ýòî íåðàâåíñòâî íà ∆xi è ñóììèðóÿ ïî âñåì i îò 1 äî l, ïîëó÷àåì l X

ωi (f )∆xi ≤

i=1

n X i=1

n

l

X 2ε X 2ε ωi (fn )∆xi + ∆xi = ωi (fn )∆xi + . 3(b − a) i=1 3 i=1

Îòñþäà è îöåíêè (1.27) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî l X

ωi (f )∆xi < ε.

i=1

Ïî êðèòåðèþ èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà [a, b]. Òåïåðü, èñïîëüçóÿ îöåíêè èíòåãðàëîâ è íåðàâåíñòâî (1.25), âûâîäèì îöåíêó ¯ b ¯ ¯ b ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯ Zb ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ fn (x) dx − f (x) dx¯ = ¯ (fn (x) − f (x)) dx¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a

a

a

Zb ≤

ε |fn (x) − f (x)| dx ≤ 3(b − a)

Zb dx =

ε < ε, 3

a

a

êîòîðàÿ äîêàçûâàåò ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (1.23). Òåîðåìà äîêàçàíà. Íåïîñðåäñòâåííî èç ýòîé ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü àíàëîãè÷íîãî óòâåðæäåíèÿ äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ.

Òåîðåìà 1.10 Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä

∞ X

un îáðàçîâàí èç ôóíêöèé

n=1

un : [a, b] −→ R, n ∈ N, èíòåãðèðóåìûõ íà ñåãìåíòå [a, b]. Òîãäà åñëè ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ñåãìåíòå [a, b] ê ñóììå S : [a, b] −→

R, òî åãî ìîæíî èíòåãðèðîâàòü ïî÷ëåííî, òî åñòü ∞ Z X n=1 a

b

un (x) dx =

Z b ÃX ∞ a

! un (x)

n=1

Zb dx =

S(x) dx. a

Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü ïðåäûäóùóþ ∞ X òåîðåìó 1.9 ê ÷àñòè÷íûì ñóììàì ðÿäà un . n=1

30


Ïî÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèîíàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ðÿäîâ Ïóñòü çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ôóíêöèé fn : [a, b] −→ R, n ∈ N. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ôóíêöèè fn äèôôåðåíöèðóåìû. Åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ, ìîæíî ëè èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn ) ê ôóíêöèè f ïîëó÷èòü äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f ñ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn0 ) ê f 0 . Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî òàêîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî.

Ïðèìåð 1.12 Ïîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ôóíêöèé fn (x) =

sin n3 x n

ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè R ê íåêîòîðîé ôóíêöèè

f , íî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn0 ) íå ñõîäèòñÿ ê f 0 .

Ðåøåíèå. Íå ñîñòàâëÿåò òðóäà ïðîâåðèòü, ÷òî sin n3 x = 0 ïðè êàæäîì x ∈ R. n→∞ n

f (x) = lim fn (x) = lim n→∞ R

Ïîêàæåì, ÷òî fn ⇒ f . Òàê êàê

¯ ¯ ¯ sin n3 x ¯ 1 ¯ ¯ ≤ → 0, αn = sup |fn (x) − f (x)| = sup |fn (x)| = sup ¯ ¯ n n R R R R

ïî êðèòåðèþ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè fn ⇒ f . Ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé fn è f ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû

fn0 (x) = n2 cos n3 x,

f 0 (x) = 0,

x ∈ R.

Ïîñêîëüêó, íàïðèìåð, fn0 (0) = n2 → +∞, â òî âðåìÿ êàê f 0 (0) = 0, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn0 ) íå ñõîäèòñÿ ê f 0 . Ðàññìîòðåííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî îãðàíè÷èâàþùèå óñëîâèÿ äîëæíû áûòü áîëåå æåñòêèìè è, âåðîÿòíî, êàñàòüñÿ íå òîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íî è åå ïðîèçâîäíûõ.


31

Òåîðåìà 1.11 Ïóñòü (fn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé fn : [a, b] −→ R, n ∈ N. Ïóñòü, äàëåå, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîèçâîäíûõ (fn0 ) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ñåãìåíòå [a, b], à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé (fn ) ñõîäèòñÿ õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå x0 ∈ [a, b]. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [a, b] ê íåêîòîðîé ôóíêöèè f : [a, b] −→ R, ïðè÷åì ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà íà ñåãìåíòå [a, b] è åå ïðîèçâîäíàÿ f 0 ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn0 ), òî åñòü

f 0 (x) = lim fn0 (x), n→∞

(1.29)

x ∈ [a, b].

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε. Òàê êàê ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn (x0 )) ñõîäèòñÿ, à ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîèçâîäíûõ (fn0 ) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ñåãìåíòå

[a, b], ïî êðèòåðèÿì Êîøè íàéäåòñÿ íîìåð m òàêîé, ÷òî ε |fn+p (x0 ) − fn (x0 )| < , 2 ¯ 0 ¯ ∀n ≥ m ∀p ∈ N è ∀x ∈ [a, b] =⇒ ¯fn+p (x) − fn0 (x)¯
|α|, ïðè êîòîðîì ðÿä (2.2) ∞ X ñõîäèòñÿ ïðèâîäèò, ñîãëàñíî òåîðåìå 2.1, ê ñõîäèìîñòè ðÿäà cn αn . n=0

Ïóñòü ñòåïåííîé ðÿä (2.2) ñõîäèòñÿ íå òîëüêî â òî÷êå z = 0, íî è íå íà âñåé ïëîñêîñòè C.

Îïðåäåëåíèå 2.2 ×èñëî R > 0 íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (2.2), åñëè ïðè |z| < R ñòåïåííîé ðÿä (2.2) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, à ïðè |z| > R ðàñõîäèòñÿ. Ïðè ýòîì îòêðûòûé êðóã

B(0, R) = {z ∈ C : |z| < R} íàçûâàåòñÿ êðóãîì ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (2.2).

2. Ñòåïåííûå ðÿäû

37

Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå êîãäà âìåñòî ðÿäà (2.2) ðàññìàòðèâàåòñÿ ñòåïåííîé ðÿä 2

n

a0 + a1 x + a2 x + . . . + an x + . . . =

∞ X

an xn

(2.3)

n=0

ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè a0 , a1 , a2 , . . . , an , . . . è âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé x, åãî êðóã ñõîäèìîñòè B(0, R) èìååò âèä

B(0, R) = (−R, R) è, îáû÷íî, íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè. Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî R = 0, åñëè ñòåïåííîé ðÿä (2.2) ñõîäèòñÿ òîëüêî ïðè z = 0. Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (2.2) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ z , òî åñòü íà C, òî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî R = +∞. Âîïðîñ î ïîâåäåíèè ñòåïåííîãî ðÿäà íà ãðàíèöå êðóãà ñõîäèìîñòè, òî åñòü íà îêðóæíîñòè S(0, R) = {z ∈ C : |z| = R}, íå ïîääàåòñÿ ýëåìåíòàðíîìó îïèñàíèþ. Îòâåò íà íåãî îáû÷íî ñâÿçàí ñ àíàëèçîì èíäèâèäóàëüíûõ ñâîéñòâ êîíêðåòíîãî ðÿäà.

Òåîðåìà 2.2 Âñÿêèé ñòåïåííîé ðÿä (2.2) èìååò ðàäèóñ ñõîäèìîñòè. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A ⊂ C îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.2) Ñëó÷àè êîãäà îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà ñîñòîèò ëèøü èç òî÷êè z =

0 èëè ñîâïàäàåò ñî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ íåèíòåðåñíû, ââèäó ïðåäûäóùåé äîãîâîðåííîñòè. Ïóñòü îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.2) íå âûðîæäàåòñÿ â òî÷êó z = 0 è íå ñîâïàäàåò ñî âñåé ïëîñêîñòüþ C. Ïîëîæèì R = sup {|z| : z ∈ A}. Î÷åâèäíî, ÷òî R > 0. Ïîêàæåì, ÷òî R < +∞. Äåéñòâèòåëüíî, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, òî åñòü ïðè R = +∞, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè, äëÿ ëþáîãî z ∈ C íàéäåòñÿ z0 ∈ A (òî åñòü òî÷êà ñõîäèìîñòè z0 ) òàêàÿ, ÷òî |z0 | > |z|. Òîãäà ïî òåîðåìå 2.1 ðÿä (2.2) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â âûáðàííîé òî÷êå z , à ñëåäîâàòåëüíî, è âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ.

38

Îãëàâëåíèå Â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà R ïðè |z| > R ðÿä (2.2) ðàñõîäèòñÿ. Äî-

êàæåì, ÷òî ïðè |z| < R ýòîò ðÿä àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ. Ïóñòü |z| < R. Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè, íàéäåòñÿ òî÷êà z 0 ∈ A òàêàÿ, ÷òî |z| < |z 0 | ≤ R. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2.1 ðÿä (2.2) â òî÷êå z ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Òàêèì îáðàçîì, åñëè îáëàñòü ñõîäèìîñòè A ðÿäà (2.2) îòëè÷íà îò {0} è îò C, òî ñïðàâåäëèâû âêëþ÷åíèÿ

B(0, R) ⊂ A ⊂ B(0, R), ãäå def

B(0, R) = {z ∈ C : |z| ≤ R} çàìêíóòûé êðóã.

Ïðèìåð 2.1 Îïðåäåëèòü ðàäèóñ è îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà a)

∞ X n=0

n

n!z ,

b)

∞ X zn n=0

n!

,

c)

∞ X

n

z ,

d)

n=0

∞ X zn n=1

n2

.

Ðåøåíèå. a) Ïîñêîëüêó ïðè z 6= 0 lim n!|z|n = +∞,

n→∞

îáùèé ÷ëåí ðÿäà ïðè z 6= 0 íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè

z 6= 0 ðÿä ðàñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà R = 0 è îáëàñòü ñõîäèìîñòè A ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè z = 0. ∞ X zn ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè (ñì. b) Ðÿä n! n=0 ïðèìåð 1.5). Ïîýòîìó ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà R = +∞ è îáëàñòü ñõîäèìîñòè A = C.

c) Èçó÷àÿ ÷èñëîâûå ðÿäû, ìû ïîêàçàëè, ÷òî ðÿä

∞ X

z n ñõîäèòñÿ, åñëè

n=0

|z| < 1, è ðàñõîäèòñÿ, åñëè |z| ≥ 1. Ñëåäîâàòåëüíî, åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R = 1 è îáëàñòü ñõîäèìîñòè A = B(0, 1). d) Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî z 6= 0 ïðèìåíèì ïðèçíàê Êîøè â ïðåäåëüíîé ôîðìå ∞ X |z|n ê ðÿäó . Òàê êàê 2 n n=1 r n √ |z|n n |z| n lim un = lim = lim √ = |z| , n→∞ n→∞ n→∞ n n2 n2

2. Ñòåïåííûå ðÿäû ïðè |z| < 1 ðÿä

39

∞ X |z|n n=1

n2

ñõîäèòñÿ, à ïðè |z| > 1 ðàñõîäèòñÿ. Ëåãêî

óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè |z| > 1 îáùèé ÷ëåí ðÿäà

∞ X |z|n

, à ñëåäîâàòåëüíî, è 2 n n=1 èñõîäíîãî ðÿäà íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàäèóñ ñõîäèìî∞ X |z|n ñòè èñõîäíîãî ðÿäà R = 1. Íî ïðè |z| = 1 îáùèé ÷ëåí ðÿäà ïðèn2 n=1 ∞ X 1 1 íèìàåò âèä 2 , à êàê èçâåñòíî, ðÿä ñõîäèòñÿ, ïîýòîìó èñõîäíûé n n2 n=1 ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â çàìêíóòîì êðóãå B(0, 1), òî åñòü åãî îáëàñòü ñõîäèìîñòè A = B(0, 1). Â ñëåäóþùåé òåîðåìå äàíî ïðàâèëî îïðåäåëåíèÿ ðàäèóñà ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà.

Òåîðåìà 2.3 Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàäèóñà ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.2) ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

R=

lim

n→∞

ãäå

1 p n

|cn |

(2.4)

,

1 1 = 0, = ∞. ∞ 0

Ôîðìóëà (2.4) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Êîøè-Àäàìàðà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì îáîáùåííûé ïðèçíàê Êîøè â ïðåäåëüíîé ôîðìå ê ðÿäó

∞ X

|cn z n | ,

(2.5)

n=0

ñîñòàâëåííîìó èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ÷ëåíîâ ðÿäà (2.2). Ïîëó÷èì

lim

n→∞

p n

|cn z n | = |z| lim

n→∞

p n

|cn | = |z| L,

ãäå L = lim

n→∞

p n

|cn |.

(2.6)

Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè L = 0 ïðîèçâåäåíèå |z| L ðàâíî íóëþ, è ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä (2.5) ñõîäèòñÿ íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R ðÿäà (2.2) ðàâåí +∞. Åñëè æå L = ∞, òî ïðîèçâåäåíèå |z| L ðàâíî íóëþ ïðè z = 0, è +∞ ïðè âñåõ îñòàëüíûõ z . Ïîýòîìó ðÿä (2.5) ñõîäèòñÿ òîëüêî â òî÷êå z = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R = 0.

40

Îãëàâëåíèå Ïóñòü òåïåðü 0 < L < +∞. Èç (2.6) ñëåäóåò, ÷òî åñëè |z| L < 1, òî ðÿä

(2.5) ñõîäèòñÿ, à òîãäà ðÿä (2.2) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ. Åñëè æå |z| L > 1, p òî lim n |cn z n | > 1, è, ñëåäîâàòåëüíî, lim |cn z n | > 1, òî åñòü îáùèé ÷ëåí n→∞ n

n→∞

cn z ðÿäà (2.2) íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Òàêèì îáðàçîì, ïðè |z| > L íå âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà, ïîýòîìó ðÿä (2.2) ðàñõîäèòñÿ. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 2.2 ðàäèóñà ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà, ðà1 äèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.2) ðàâåí ÷èñëó . L Ïðè íàõîæäåíèè ðàäèóñà ñõîäèìîñòè êîíêðåòíîãî ðÿäà ÷àñòî áûâàåò ïîëåçíîé ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà (2.7).

¯ ¯ ¯ cn+1 ¯ ¯ ¯, Ñëåäñòâèå 2.3 Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé ïðåäåë lim ¯ n→∞ cn ¯ òî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.2) ìîæåò áûòü íàéäåí ïî ôîðìóëå ¯ ¯ ¯ cn ¯ ¯ ¯. R = lim ¯ (2.7) n→∞ cn+1 ¯ ¯ ¯ ¯ cn+1 ¯ ¯ ¯. Î÷åâèäíî, ÷òî 0 ≤ q ≤ +∞. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì q = lim ¯ n→∞ cn ¯ Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé 0 < q < +∞. Âîçüìåì ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε, íî ìåíüøåå, ÷åì q . Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ¯ ¯ ¯ cn+1 ¯ ¯ < q + ε. ∃m ∈ N : ∀n ≥ m =⇒ q − ε < ¯¯ cn ¯ Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

(q − ε) |cn | < |cn+1 | < (q + ε) |cn | ,

n ≥ m.

(2.8)

Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâà (2.8), äëÿ êàæäîãî n > m âûâîäèì îöåíêè

|cn | < (q + ε) |cn−1 | < (q + ε)2 |cn−2 | < . . . < (q + ε)n−m |cm |

(2.9)

|cn | > (q − ε) |cn−1 | > (q − ε)2 |cn−2 | > . . . > (q − ε)n−m |cm | .

(2.10)

è

Èç (2.9) è (2.10) ñëåäóåò, ÷òî s s p |c | |cm | m n (q − ε) n |cn | < (q + ε) n , m < (q − ε) (q + ε)m

n > m.

(2.11)


41

s Ïîñêîëüêó

n

s |cm | < (q + ε)m

|cm | , èç (2.11) âûòåêàåò, ÷òî (q − ε)m

n

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p ¯ ¯ ¯ n ¯ ¯ |c | n ¯s − q ¯¯ < ε, ¯ ¯ ¯n |cm | ¯ ¯ m ¯ (q − ε) ¯ À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

lim s

n→∞

n

p n |cn | |cm | (q − ε)m

n > m.

= q.

Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî

s lim

|cm | = 1, (q − ε)m

n

n→∞

ïîëó÷àåì

lim

n→∞

p n

p n

|cn | = lim s n→∞

n

= lim s n→∞

n

s |cn |

|cm | (q − ε)m p n |cn | |cm | (q − ε)m

n

·

|cm | = (q − ε)m s

· lim

n

n→∞

|cm | = q · 1 = q. (q − ε)m

(2.12)

Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå

lim

n→∞

p n

|cn | = lim

¯ ¯ ¯ cn+1 ¯ ¯ ¯. |cn | = q = lim ¯ n→∞ cn ¯

p n

n→∞

Ïðèìåíèì òåïåðü òåîðåìó 2.3 è ïîëó÷èì ôîðìóëó (2.7). Ïóñòü q = 0. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ¯ ¯ ¯ cn+1 ¯ ¯ < ε. ∃m ∈ N : ∀n ≥ m =⇒ ¯¯ cn ¯ Îòñþäà âûâîäèì îöåíêó

r

p n

|cn | < ε

n

|cm | , εm

èç êîòîðîé ñëåäóåò (2.12), à çàòåì è (2.7).

n > m,

42

Îãëàâëåíèå Åñëè q = +∞, òî äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà A íàéäåòñÿ íîìåð

m òàêîé, ÷òî ïðè âñåõ n ≥ m áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî |cn+1 | > A |cn | . Èñïîëüçóÿ åãî, ìû âûâîäèì îöåíêó r p n |cm | n |cn | > A , Am

n > m,

èç êîòîðîé ñíîâà ïîëó÷àåì (2.12) è (2.7).

Ïðèìåð 2.2 Íàéòè ðàäèóñû ñõîäèìîñòè ñëåäóþùèõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ: a)

∞ X

in n

e z ;

n=0

¶n ∞ µ X z b) ; 1−i n=0

∞ ³ X z ń c) . in n=1

Ðåøåíèå. p √ 1 n = lim n |ein | = lim 1 = 1 =⇒ R = 1; n→∞ n→∞ R s¯µ ¶n ¯ √ ¯ ¯ 1 1 n ¯ ¯ = 1 = √1 b) = lim =⇒ R = 2; ¯ ¯ R n→∞ 1−i |1 − i| 2 s¯µ ¶ ¯ ¯ 1 n¯ 1 ¯ = lim 1 = 0 =⇒ R = +∞. c) = lim n ¯¯ R n→∞ in ¯ n→∞ n

a)

2.2 Ôóíêöèîíàëüíûå ñâîéñòâà ñóììû ñòåïåííîãî ðÿäà Â ýòîì ïóíêòå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà R > 0, òî åñòü, ÷òî îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà íå âûðîæäàåòñÿ â òî÷êó z = 0.

Òåîðåìà 2.4 Ïóñòü R ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (2.2). Òîãäà ðÿä (2.2) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî íà êàæäîì êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå K ⊂ B(0, R).


43

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ 2.2 ðàäèóñà ñõîäèìîñòè ñòåïåííîé ðÿä (2.2) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ â êðóãå ñõîäèìîñòè B(0, R). À ïîñêîëüêó

K ⊂ B(0, R), îí àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ è íà ìíîæåñòâå K . Äîêàæåì òåïåðü ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿäà (2.2) íà K , ïðèìåíÿÿ ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà (òåîðåìà 1.3). Ïóñòü r = sup {|z| : z ∈ K}. Èç îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà r ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (zj ) òî÷åê zj ∈ K òàêîé, ÷òî |zj | → r. Òàê êàê ìíîæåñòâî K êîìïàêòíî â C, òî îíî îãðàíè÷åíî, à ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (zj ) îãðàíè÷åíà. Ñëåäîâàòåëüíî, èç íåå ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ â C ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Áåç ïîòåðè îáùíîñòè áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñàìà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (zj ) ñõîäèòñÿ. Ïóñòü

z 0 îáîçíà÷àåò åå ïðåäåë. Î÷åâèäíî, ÷òî z 0 ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà K . Íî ìíîæåñòâî K çàìêíóòî, â ñèëó åãî êîìïàêòíîñòè, ïîýòîìó z 0 ∈ K . È ïîñêîëüêó K ⊂ B(0, R) èìååì z 0 ∈ B(0, R). Èç ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (|zj |) ê r ñëåäóåò, ÷òî |z 0 | = r è r < +∞. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ∞ X n |cn | |z 0 | ñõîäèòñÿ, à ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäèòñÿ è ðÿä 2.2 ÷èñëîâîé ðÿä ∞ X

n=0

|cn | rn , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ìàæîðàíòíûì äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà (2.2) íà

n=0

ìíîæåñòâå K . Ïî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà ðÿä (2.2) íà ìíîæåñòâå K ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî. Èç óòâåðæäåíèÿ ýòîé òåîðåìû è ñëåäñòâèÿ 1.4 âûòåêàåò ñëåäóþùåå

Ñëåäñòâèå 2.4 Åñëè R ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (2.2), òî ñóììà ýòîãî ðÿäà íåïðåðûâíà íà êàæäîì êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå

K ⊂ B(0, R).

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïî òåîðåìå 2.4 ðÿä (2.2) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå K . À ïîñêîëüêó ÷ëåíû ýòîãî ðÿäà ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè íåïðåðûâíûìè íà C, ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 1.4, åãî ñóììà íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå K .

Òåîðåìà 2.5 Ïóñòü R ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (2.2). Òîãäà ñóììà ýòîãî ðÿäà íåïðåðûâíà â êðóãå ñõîäèìîñòè B(0, R).

44


Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü S ñóììà ðÿäà (2.2). Ôèêñèðóåì ëþáóþ òî÷êó z ∈ B(0, R). Ïîñêîëüêó |z| < R, âñåãäà íàéäåòñÿ âåùåñòâåííîå ÷èñëî r òàêîå, ÷òî |z| < r < R. Â ñèëó ñëåäñòâèÿ 2.4 ôóíêöèÿ S íåïðåðûâíà íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå B(0, r) ⊂ B(0, R). Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ S íåïðåðûâíà â òî÷êå z , êîòîðàÿ, ñîãëàñíî âûáîðó ÷èñëà r, ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó B(0, r).

Òåîðåìà 2.6 Åñëè R ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (2.3) è x ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó ñõîäèìîñòè B(0, R) = (−R, R), òî ðÿä (2.3) ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü íà ñåãìåíòå [0, x], òî åñòü ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

Zx X ∞ 0

an tn dt =

n=0

∞ X an xn+1 n=0

n+1

Ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ðÿä æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è èñõîäíûé ðÿä.

(2.13)

. ∞ X an xn+1 n=0

n+1

èìååò òîò

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå 2.4 ðÿä (2.3) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå [0, x]. À ïîñêîëüêó ÷ëåíû ðÿäà (2.3) íåïðåðûâíûå, à çíà÷èò è èíòåãðèðóåìûå ôóíêöèè, òî, ñîãëàñíî òåîðåìå 1.10, åãî ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü íà ñåãìåíòå [0, x]. Â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ∞ X an xn+1 , ðàäèóñ ñõîäèìîñòè êîòîðîãî, ïîëó÷èì íîâûé ñòåïåííîé ðÿä n + 1 n=0 ñîãëàñíî òåîðåìå 2.3, îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì r 1 n |an−1 | = lim . R1 n→∞ n √ À òàê êàê lim n n = 1, òî âåðõíèå ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé n→∞ Ãr ! ³p ´ |a | n n−1 n |an | è n ñîâïàäàþò. Ñëåäîâàòåëüíî, R1 = R.

Òåîðåìà 2.7 Ñòåïåííîé ðÿä (2.3) â åãî èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïî÷ëåííî, òî åñòü ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Ã∞ !0 ∞ ∞ X X X n 0 n = (an x ) = nan xn−1 . an x n=0

n=0

n=1

(2.14)


45

Ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ðÿä

nan xn−1 èìååò

n=1

òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è èñõîäíûé ðÿä.

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

∞ X

³p

´

(n + 1) |an+1 | èìå³p ´ åò òàêîé æå âåðõíèé ïðåäåë, ÷òî è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü n |an | , ðàäèóñ n

ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.14) ðàâåí ðàäèóñó ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.3). Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó òåîðåì 1.11 è 2.4, ðÿä (2.3) äîïóñêàåò ïî÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå.

Ñëåäñòâèå 2.5 Ñòåïåííîé ðÿä (2.3) â åãî èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïî÷ëåííî ñêîëüêî óãîäíî ðàç. Ðÿä, ïîëó÷åííûé nêðàòíûì ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì, èìååò òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è èñõîäíûé ðÿä.

2.3 Ñóììèðîâàíèå ÷èñëîâûõ ðÿäîâ Âûÿñíåíèå ñõîäèìîñòè òîãî èëè èíîãî ðÿäà èìååò äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ â òåîðåòè÷åñêèõ è ïðèêëàäíûõ âîïðîñàõ ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå: òîëüêî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä ìû ìîæåì ïîíèìàòü êàê ¾áåñêîíå÷íóþ ñóììó¿, à èìåííî êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì. Áîëåå òîãî, â íåêîòîðûõ âîïðîñàõ çíà÷åíèå ñóììû ðÿäà âîîáùå íå èãðàåò ðîëè. Îäíàêî èìåþòñÿ âîïðîñû (íàïðèìåð, ñâÿçàííûå ñ âû÷èñëåíèåì çíà÷åíèé ôóíêöèé è êîíñòàíò), â êîòîðûõ âàæíà íå ñàìà êîíñòàòàöèÿ ñõîäèìîñòè ðÿäà, à èìåííî åãî ñóììà. Ðàññìîòðèì îäèí èç ñïîñîáîâ íàõîæäåíèÿ ñóìì ÷èñëîâûõ ðÿäîâ ïðè ïîìîùè ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Åãî îáîñíîâàíèå îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè.

Òåîðåìà 2.8 Ïóñòü R > 0 ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (2.3). Åñëè ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ è ïðè x = R (õîòÿ áû óñëîâíî), òî îí ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ñåãìåíòå [0, R].

46


Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäñòàâèì èñõîäíûé ðÿä â âèäå ∞ X

n

an x =

n=0

Òàê êàê ðÿä

∞ X

∞ X

an R n ·

³ x ń

n=0

R

,

0 ≤ x ≤ R.

n

an R ñõîäèòñÿ, à ìíîæèòåëè

³ x ń

îáðàçóþò ìîíîòîíR íóþ (ïî n) ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x ∈ X è ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åín=0

íóþ íà [0, R] ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

³ x ń ³ x ń+1 ³ x ´2 x ≥ ... ≥ ≥ ≥ . . . ≥ 0, 1≥ ≥ R R R R ïî ïðèçíàêó Àáåëÿ ðÿäà (2.3) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ñåãìåíòå [0, R]. Äîêàçàííàÿ òåîðåìà 2.8 ïîçâîëÿåò äîïîëíèòü òåîðåìó 2.5 î íåïðåðûâíîñòè ñóììû ñòåïåííîãî ðÿäà.

Òåîðåìà 2.9 (Âòîðàÿ òåîðåìà Àáåëÿ). Ïóñòü R > 0 ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (2.3). Åñëè ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ïðè x = R, òî åãî ñóììà íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [0, R]. Â ÷àñòíîñòè, ñóììà ðÿäà (2.3) íåïðåðûâíà ñëåâà â òî÷êå x = R, òî åñòü

lim

x→R−0

∞ X

n

an x =

n=0

∞ X

an Rn .

(2.15)

n=0

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ñåãìåíò [0, R] ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì, ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ âûòåêàåò èç òåîðåìû 2.8 è ñëåäñòâèÿ 1.4. Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåîáõîäèìî íàéòè ñóììó S ñõîäÿùåãîñÿ ∞ X ÷èñëîâîãî ðÿäà an . Ïðè ýòîì èçâåñòíà (èëè ëåãêî íàõîäèòñÿ) ñóììà ñòåïåííîãî ðÿäà

n=0 ∞ X

an xn â åãî èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè (−R, R).

n=0

Ïîñêîëüêó ïðè x = 1 ýòîò ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ, åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R ≥ 1. Ïîýòîìó, ñîãëàñíî âòîðîé òåîðåìå Àáåëÿ (òåîðåìà 2.9), èìååì

S=

∞ X n=0

an = lim

x→1−0

∞ X

a n xn .

n=0

Èçëîæåííûé ìåòîä îáû÷íî íàçûâàþò ìåòîäîì Ïóàññîíà-Àáåëÿ.

(2.16)


47

Ïðèìåð 2.3 Íàéòè ñóììó ðÿäà Ëåéáíèöà

∞ X (−1)n−1 n=1

n

.

Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ñòåïåííîé ðÿä ∞ X (−1)n−1 n=1

Òàê êàê lim

√ n

n→∞

n

xn .

(2.17)

n = 1, åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðàâåí åäèíèöå. Íàéäåì

ñóììó S(x) ðÿäà (2.17) â åãî èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè (−1, 1). Ïî òåîðåìå î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ñòåïåííûõ ðÿäîâ (òåîðåìà 2.7) èìååì Ã∞ !0 ∞ X (−1)n−1 X 0 n S (x) = x = (−1)n−1 xn−1 . (2.18) n n=1 n=1 Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà, ñòîÿùåãî â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (2.18), ðàâåí åäèíèöå, ïîýòîìó ïðè êàæäîì x èç èíòåðâàëà (−1, 1) ÷ëåíû ýòîãî ðÿä îáðàçóþò áåñêîíå÷íî óáûâàþùóþ ïðîãðåññèþ ñî çíàìåíàòåëåì −x. Ñëåäîâàòåëüíî,

S 0 (x) =

1 . 1+x

Èíòåãðèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî íà ñåãìåíòå [0, x], ãäå x ∈ (−1, 1) íàõîäèì

Zx

Zx S(t) dt =

0

èëè

1 dt 1+t

0

¯x ¯ S(x) − S(0) = ln(1 + t)¯¯ = − ln(1 + x). 0

Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî S(0) = 0, ïîëó÷àåì

S(x) = ln(1 + x),

x ∈ (−1, 1) .

Òåïåðü, ñîãëàñíî ôîðìóëå (2.16) èìååì

S=

∞ X (−1)n−1 n=1

n

= lim S(x) = ln 2. x→1−0

∞ X (−1)n Ïðèìåð 2.4 Íàéòè ñóììó ðÿäà Ëåéáíèöà . 2n + 1 n=0

48


Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó íóæíî ¾èçáàâèòüñÿ¿ îò ñîìíîæèòåëÿ

1 , ðàñ2n + 1

ñìîòðèì ñòåïåííîé ðÿä

∞ X (−1)n 2n+1 x . 2n + 1 n=0

Òåïåðü, ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðóÿ, íàéäåì ñóììó S(x) ýòîãî ñòåïåííîãî ðÿäà â åãî èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè (−1, 1): 0

S (x) =

∞ X

(−1)n x2n =

n=0

Zx S(x) = S(0) + 0

1 ; 1 + x2

¯x ¯ 1 ¯ = arctg x. dt = arctg t ¯ 1 + t2 0

Ñîãëàñíî âòîðîé òåîðåìå Àáåëÿ, íàõîäèì ∞ X (−1)n π S= = lim S(x) = arctg1 = . 2n + 1 x→1−0 4 n=1

Ïðèìåð 2.5 Íàéòè ñóììó ðÿäà

∞ X n=2

Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó n2

(−1)n . n2 + n − 2

1 1 ³ 2, +n−2 n

1 íà ïðîn2 + n − 2 ñòåéøèå äðîáè (íàïðèìåð, ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ): èñõîäíûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Ðàçëîæèì äðîáü

1 1 1 = − . n2 + n − 2 3(n − 1) 3(n + 2) Òàê êàê ðÿäû

∞ ∞ X X (−1)n (−1)n è 3(n − 1) n=2 3(n + 2) n=2

ñõîäÿòñÿ (óñëîâíî) ïî ïðèçíàêó Ëåéáíèöà, òî èñõîäíûé ðÿä ïðåäñòàâèì â âèäå ñóììû äâóõ ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ: ∞ X n=2

∞

∞

X (−1)n X (−1)n (−1)n = − . n2 + n − 2 n=2 3(n − 1) n=2 3(n + 2)

(2.19)


49

Äàëåå, ìîæíî ìåòîäîì Ïóàññîíà-Àáåëÿ íàéòè ñóììó êàæäîãî èç ðÿäîâ, ñòîÿùèõ â ïðàâîé ÷àñòè (2.19). Ìû ïîñòóïèì èíà÷å. Ïðåîáðàçóåì ïðàâóþ ÷àñòü (2.19):

Ã∞ ! ∞ ∞ ∞ X X (−1)n (−1)n 1 X (−1)n X (−1)n − = − = 3(n − 1) n=2 3(n + 2) 3 n=2 n − 1 n=2 n + 2 n=2 Ã∞ ! Ã∞ ! ∞ ∞ 1 X (−1)k+1 X (−1)k−2 1 X (−1)k−1 X (−1)k−1 − = + = = 3 k=1 k k 3 k=1 k k k=4 k=4 Ã ∞ ! ∞ X (−1)k−1 2 X (−1)k−1 1 1 1 5 2 = = −1+ − − . 3 k 2 3 3 k=1 k 18 k=1

Îòñþäà è (2.19), ó÷èòûâàÿ, ÷òî

∞ X (−1)k−1

k

k=1

õîäèì

∞ X n=2

= ln 2 (ñì. ïðèìåð 2.3), íà-

n

n2

(−1) 2 5 = ln 2 − . +n−2 3 18

Çàìåòèì, ÷òî ìåòîä Ïóàññîíà-Àáåëÿ ïðèìåíèì ê íàõîæäåíèþ ¾îáîáùåííûõ ñóìì¿ íåêîòîðûõ ðàñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ: ïî äàííîìó ÷èñëîâîìó ∞ ∞ X X an xn ; åñëè ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ â an ñòðîèòñÿ ñòåïåííîé ðÿä ðÿäó n=0

n=0

êàæäîé òî÷êå x ∈ (0, 1) è åãî ñóììà S(x) èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë A ïðè

x → 1 − 0, òî ÷èñëî A è íàçûâàþò ¾îáîáùåííîé (â ñìûñëå Ïóàññîíà) ∞ X ñóììîé¿ ÷èñëîâîãî ðÿäà an . n=0

Ïðèìåð 2.6 Íàéòè ¾îáîáùåííóþ ñóììó¿ (åñëè îíà ñóùåñòâóåò) ðÿäà ∞ X

(−1)n−1 .

n=1

Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ñòåïåííîé ðÿä

∞ X

(−1)n−1 xn . Î÷åâèäíî, ÷òî åãî

n=1

ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðàâåí åäèíèöå, à ñóììà

S(x) =

1 äëÿ âñåõ x ∈ (−1, 1). 1+x

Ïîñêîëüêó

lim S(x) = lim

x→1−0

÷èñëî

x→1−0

1 1 = , 1+x 2

1 ÿâëÿåòñÿ ¾îáîáùåííîé ñóììîé¿ äàííîãî ðÿäà. 2

50


2.4 Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû Âû÷èñëåíèåì ñóìì ÷èñëîâûõ ðÿäîâ íå èñ÷åðïûâàþòñÿ ïðèëîæåíèÿ òåîðèè ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Äàííàÿ òåîðèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì è óäîáíûì àïïàðàòîì ïðè âû÷èñëåíèè ïðåäåëîâ, îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, çíà÷åíèé ôóíêöèé, ïðè èçó÷åíèè ñâîéñòâ ôóíêöèé, ïðè ðåøåíèè äèôôåðåíöèàëüíûõ è èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ïðè ðàññìîòðåíèè ìíîãèõ äðóãèõ âîïðîñîâ ïðèêëàäíîé è òåîðåòè÷åñêîé ìàòåìàòèêè. Ïîýòîìó íóæíî óìåòü ïðåäñòàâëÿòü ôóíêöèè â âèäå ñòåïåííûõ ðÿäîâ.

Îïðåäåëåíèå 2.3 Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f íà èíòåðâàëå (−R, R) (íà ìíîæåñòâå X ) ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â ñòåïåííîé ðÿä, åñëè ñóùåñòâóåò ñòåïåííîé ðÿä, ñõîäÿùèéñÿ ê f íà óêàçàííîì èíòåðâàëå (íà óêàçàííîì ìíîæåñòâå). Íåïîñðåäñòâåííî èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò ñëåäóþùåå

Ïðåäëîæåíèå 2.1 Åñëè ôóíêöèÿ f íà èíòåðâàëå (−R, R) ðàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîé ðÿä, òî ýòà ôóíêöèÿ èìååò íà óêàçàííîì èíòåðâàëå íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèÿ 2.3 ñóùåñòâóåò ñòåïåííîé ðÿä, ñõîäÿùèéñÿ ê f íà èíòåðâàëå (−R, R). À ïîñêîëüêó ñòåïåííîé ðÿä â èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè, à ñëåäîâàòåëüíî, è â èíòåðâàëå

(−R, R), ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü ñêîëüêî óãîäíî ðàç, ïðè÷åì âñå ïîëó÷åííûå ðÿäû ñõîäÿòñÿ â òîì æå èíòåðâàëå è èõ ñóììû ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïðîèçâîäíûìè ôóíêöèè f (òåîðåìà 2.7 è ñëåäñòâèå 2.5). Íî òîãäà ñóììû ðÿäîâ, ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòàòå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, â ñèëó òåîðåìû 2.5, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ôóíêöèè, íåïðåðûâíûå â èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè, à ñëåäîâàòåëüíî, è â èíòåðâàëå (−R, R).


51

Òåîðåìà 2.10 Åñëè ôóíêöèÿ f íà èíòåðâàëå (−R, R) ðàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîé ðÿä

f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn + . . . ,

(2.20)

òî ýòî ðàçëîæåíèå åäèíñòâåííî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî óñëîâèþ ðÿä

∞ X

an xn ñõîäèòñÿ è ôóíêöèÿ f åãî

n=0

ñóììà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 2.7 ðàâåíñòâî (2.20) ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü ëþáîå ÷èñëî ðàç. Äèôôåðåíöèðóÿ, ïîëó÷èì

f 0 (x) =1 · a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 + . . . + nan xn−1 + . . . , f 00 (x) =1 · 2a2 + 2 · 3a3 x + 3 · 4a4 x2 + . . . + (n − 1)nan xn−2 + . . . , f 000 (x) =1 · 2 · 3a3 + 2 · 3 · 4a4 x + . . . + (n − 2)(n − 1)nan xn−2 + . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (n) (x) =1 · 2 . . . · nan + 2 · 3 . . . · n(n + 1)an+1 x + . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïîäñòàâëÿÿ â ýòèõ ðàâåíñòâà è ðàâåíñòâî (2.20) x = 0, íàõîäèì

f (0) = a0 , f 0 (0) = 1 · a1 , f 000 (0) = 3!a3 ,

f 00 (0) = 2!a2 , ... ,

f (n) (0) = n!an , . . . .

Îòñþäà âûâîäèì

a0 = f (0), a1 =

f 0 (0) , 1!

f 000 (0) , a3 = 3!

a2 = ... ,

f 00 (0) , 2! f (n) (0) an = , ... . n!

(2.21)

Èç ýòèõ ðàâåíñòâ ñëåäóåò, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû ðÿäà (2.20) îïðåäåëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì ôîðìóëàìè (2.21), ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó. Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ â ðàâåíñòâî (2.20), ïîëó÷àåì

f (x) = f (0) +

f 00 (0) 2 f 000 (0) 3 f (n) (0) n f 0 (0) x+ x + x + ... + x + ... . 1! 2! 3! n!

52

Îãëàâëåíèå Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ôóíêöèÿ f èìååò íà èíòåðâàëå (−R, R)

íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà.

Îïðåäåëåíèå 2.4 Ñòåïåííîé ðÿä (2.3), êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (2.21), òî åñòü ðÿä

f (0) +

f 0 (0) f 00 (0) 2 f 000 (0) 3 f (n) (0) n x+ x + x + ... + x + ... , 1! 2! 3! n!

(2.22)

íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ôóíêöèè f . Èç òåîðåìû 2.10 âûòåêàåò

Ñëåäñòâèå 2.6 Åñëè ôóíêöèÿ f íà èíòåðâàëå (−R, R) ðàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîé ðÿä, òî ýòîò ðÿä ÿâëÿåòñÿ åå ðÿäîì Òåéëîðà. Î÷åâèäíî, ÷òî êàê âñÿêèé ñòåïåííîé ðÿä, ðÿä (2.22) èìååò èíòåðâàë ñõîäèìîñòè è ñóììó. Âîçíèêàåò âîïðîñ, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ñóììà ðÿäà (2.22) ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé f . Îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ ìîæåò áûòü ïîëó÷åí ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ìàêëîðåíà äëÿ ôóíêöèè f . Íàïîìíèì ýòó ôîðìóëó (íàïðèìåð, ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà). Òàê êàê ôóíêöèÿ f íà èíòåðâàëå (−R, R) íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà, òî äëÿ êàæäîãî n ∈ N è ëþáîãî x ∈ (−R, R) íàéäåòñÿ ÷èñëî 0 < θ < 1 òàêîå, ÷òî

f (x) = f (0) +

f 0 (0) f 00 (0) 2 f 000 (0) 3 f (n) (0) n x+ x + x + ... + x + Rn+1 (x), 1! 2! 3! n!

ãäå

Rn+1 (x) =

f (n+1) (ξ) n+1 x , (n + 1)!

Åñëè ïîëîæèòü

Sn (x) =

n X f (k) (0) k=1

k!

à

ξ = θx.

(2.23)

xk ,

òî ôîðìóëó Ìàêëîðåíà ïðèìåò âèä

f (x) = Sn (x) + Rn+1 (x).

(2.24)


53

Òåîðåìà 2.11 Äëÿ òîãî ÷òîáû ðÿä Òåéëîðà (2.22) ñõîäèëñÿ íà (−R, R) (íà ìíîæåñòâå X ) è èìåë ñâîåé ñóììîé ôóíêöèþ f , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Ìàêëîðåíà (2.23) ñòðåìèëñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞, òî åñòü

lim Rn+1 (x) = 0

n→∞

äëÿ ëþáîãî

x ∈ (−R, R)

(x ∈ X).

(2.25)

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ôóíêöèÿ f åñòü ñóììà ðÿäà Òåéëîðà (2.22) íà (−R, R), òî åñòü

lim Sn (x) = f (x) äëÿ ëþáîãî x ∈ (−R, R) .

n→∞

Òîãäà èç ðàâåíñòâà (2.24) ñëåäóåò (2.25).

Äîñòàòî÷íîñòü. Ââèäó (2.25), èç ðàâåíñòâà (2.24) ïîëó÷àåì lim (f (x) − Sn (x)) = 0,

n→∞

òî åñòü

lim Sn (x) = f (x).

n→∞

Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ðÿä Òåéëîðà (2.22) ñõîäèëñÿ íà (−R, R) è åãî ñóììà ðàâíà f (x) ïðè âñåõ x ∈ (−R, R). Èç ýòîé òåîðåìû âûòåêàåò, ÷òî âîïðîñ î ðàçëîæèìîñòè ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà ñâîäèòñÿ ê èññëåäîâàíèþ ïîâåäåíèÿ îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà Rn+1 ïðè

n → ∞.

2.5 Ðàçëîæåíèå íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ðÿä Òåéëîðà Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (x) = ex . Ïîñêîëüêó ñàìà ôóíêöèÿ ex è âñå åå ïðîèçâîäíûå â òî÷êå x = 0 ðàâíû åäèíèöå, òî ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè ex èìååò âèä

∞ X x x2 xn xn 1+ + + ... + + ... = 1 + . 1! 2! n! n! n=1

Èçó÷àÿ ÷èñëîâûå ðÿäû, ìû ïîêàçàëè, ÷òî ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè è èìååò ñóììó, ðàâíóþ ex . Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå

54


2.11, ïðè ëþáîì x ∈ R èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå ∞ X x x2 xn xn e =1+ + + ... + + ... = 1 + . 1! 2! n! n! n=1 x

(2.26)

Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (x) = cos x. Ïðè âûâîäå ôîðìóëû Ìàêëîðåíà ³ π´ äëÿ ôóíêöèè cos x ìû ïîëó÷èëè f (n) (x) = cos x + n è 2  ³ π´  0 ïðè íå÷åòíîì n f (n) (0) = cos n = n  (−1) 2 2 ïðè ÷åòíîì n. Ïî ôîðìóëå (2.22) äëÿ ôóíêöèè cos x ñîñòàâèì ðÿä Òåéëîðà

1−

x2 x4 x6 x2n + − + . . . + (−1)n + ... . 2! 4! 6! (2n)!

(2.27)

Íàéäåì ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (2.27):

|an | (2n + 2)! = lim = +∞. n→∞ |an+1 | n→∞ (2n)!

R = lim

Ñëåäîâàòåëüíî ðÿä (2.27) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè. Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ñóììà ðÿäà (2.27) ðàâíà cos x. Èçâåñòíî, ÷òî ôîðìóëà Ìàêëîðåíà äëÿ ôóíêöèè cos x èìååò âèä

cos x = 1 −

n n x x2 x4 x6 + − + . . . + (−1) 2 + Rn+2 (x) , 2! 4! 6! (n)!

ãäå n-÷åòíîå ÷èñëî, à îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Ëàãðàíæà ðàâåí

Rn+2 (x) =

³ ´ xn+2 π cos θx + n + π . (n + 2)! 2

Èññëåäóåì ïîâåäåíèå îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà Rn+2 . Òàê êàê

¯ ³ ´¯ π ¯ ¯ ¯cos θx + n + π ¯ ≤ 1, 2 Íî

òî

|x|n+2 |Rn+2 (x)| ≤ . (n + 2)!

|x|n+2 =0 lim n→∞ (n + 2)!

ïðè ëþáîì x ∈ R. Ïîýòîìó

lim Rn+2 (x) = 0

n→∞

(2.28)


55

ïðè êàæäîì x ∈ R. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóììà ðÿäà (2.27) ðàâíà cos x. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè êàæäîì x ∈ R ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå

cos x = 1−

∞ X x2n x2 x4 x6 x2n + − +. . .+(−1)n +. . . = 1+ (−1)n . (2.29) 2! 4! 6! (2n)! (2n)! n=1

Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (x) = sin x. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ìîæíî ïîëó÷èòü ðàçëîæåíèå ôóíêöèè sin x â ðÿä Òåéëîðà, ñïðàâåäëèâîå ïðè ëþáîì x ∈ R. Íî ðàçëîæåíèå ôóíêöèè sin x ïîëó÷àåòñÿ è ïóòåì ïî÷ëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ðÿäà (2.29): µ ¶0 µ 2 ¶0 µ 4 ¶0 µ 6 ¶0 2n x x x 0 0 n x (cos x) = (1) − + − + . . . + (−1) + ... , 2! 4! 6! (2n)! îòêóäà ïîëó÷àåì ðàçëîæåíèå

sin x = x −

x3 x5 x7 x2n−1 + − + . . . +(−1)n−1 + ... = 3! 5! 7! (2n − 1)! ∞ X x2n−1 , = (−1)n−1 (2n − 1)! n=1

(2.30)

ñïðàâåäëèâîå ïðè ëþáîì x ∈ R.

Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (x) = ln (1 + x). Ïîñêîëüêó

f (n) (x) = (−1)n−1

(n − 1)! , (1 + x)n

f (0) = 0,

f (n) (0) = (−1)n−1 (n − 1)!,

ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè ln (1 + x) èìååò âèä

x−

x2 x3 x4 xn + − + . . . + (−1)n−1 + . . . . 2 3 4 n

(2.31)

Îïðåäåëèì åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè:

n+1 |an | = lim = 1. n→∞ n→∞ |an+1 | n

R = lim

Ñëåäîâàòåëüíî ðÿä (2.27) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ íà èíòåðâàëå (−1, 1) è ðàñõîäèòñÿ ïðè |x| > 1. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè x = −1 ðÿä (2.31) ðàñõîäèòñÿ, à ïðè x = 1 - ñõîäèòñÿ óñëîâíî. Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî íà ïîëóñåãìåíòå (−1, 1] ðÿä (2.31) ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè ln (1 + x). Äëÿ ýòîãî ïðèìåíèì òåîðåìó 2.11.

56

Îãëàâëåíèå Ôîðìóëà Ìàêëîðåíà ôóíêöèè f (x) = ln (1 + x) èìååò âèä

ln (1 + x) = x −

x2 x3 x4 xn + − + . . . + (−1)n−1 + Rn+1 (x). 2 3 4 n

Äëÿ îöåíêè îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà Rn+1 äëÿ x ∈ [0, 1], óäîáíî èñïîëüçîâàòü åãî ïðåäñòàâëåíèå â ôîðìå Ëàãðàíæà:

Rn+1 (x) = (−1)n

xn+1 , (n + 1)(1 + θx)n+1

0 < θ < 1,

(2.32)

à äëÿ x ∈ (−1, 0) â ôîðìå Êîøè: n n+1

Rn+1 (x) = (−1) x

(1 − θ)n , (1 + θx)n+1

0 < θ < 1.

(2.33)

Èñõîäÿ èç (2.32) âèäèì, ÷òî ïðè x ∈ [0, 1] ñïðàâåäëèâà îöåíêà

|Rn+1 (x)| ≤

1 . n+1

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Rn+1 (x) → 0 ïðè n → ∞ äëÿ âñåõ x èç ñåãìåíòà

[0, 1]. Ïðè îöåíêå îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà Rn+1 äëÿ îòðèöàòåëüíûõ x, ïåðåïèøåì ïðåäñòàâëåíèå îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà (2.33) â òàêîì âèäå:

µ n

Rn+1 (x) = (−1)

1−θ 1 + θx

¶n

xn+1 . 1 + θx

(2.34)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ çíà÷åíèé x

1−θ < 1, 1 + θx èç (2.34) ïîëó÷àåì

|Rn+1 (x)|
1 ðàñõîäèòñÿ. Ìû íå ðàññìàòðèâàåì âîïðîñ î ñõîäèìîñòè áèíîìèàëüíîãî ðÿäà íà êîíöàõ èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè, à ëèøü ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùóþ òàáëèöó:

x=1

α ≤ −1

ðàñõîäèòñÿ

−1 < α < 0

ñõîäèòñÿ óñëîâíî

α>0

ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî

α0

ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî

x = −1

Òåïåðü, ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 2.11, íàéäåì ñóììà ðÿäà (2.36), íî ëèøü â èíòåðâàëå (−1, 1). Ôîðìóëà Ìàêëîðåíà ôóíêöèè (1 + x)α èìååò âèä

α α(α − 1) 2 x+ x + ...+ 1! 2! α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n + 1) n + x + Rn+1 (x). n!

(1 + x)α =1 +

58


Äëÿ èññëåäîâàíèÿ îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà Rn+1 ïðåäñòàâèì åãî â ôîðìå Êîøè

xn+1 (1 − θ)n n+1 Rn+1 (x) = f (θx) = n! xn+1 (1 − θ)n = α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n)(1 + θx)α−n−1 = n! µ ¶n (α − 1)(α − 2) . . . (α − n) n 1−θ α−1 = x αx(1 + θx) = n! 1 + θx ¶n µ 1−θ (α − 1)(α − 2) . . . (α − 1 − n + 1) n α−1 x αx(1 + θx) = n! 1 + θx Âûðàæåíèå

(2.37)

(α − 1)(α − 2) . . . (α − 1 − n + 1) n x n!

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáùèé ÷ëåí áèíîìèàëüíîãî ðÿäà, íî îòâå÷àþùåãî ïîêàçàòåëþ α − 1, à òàê êàê ïðè |x| < 1 áèíîìèàëüíûé ðÿä ñõîäèòñÿ, êàêîâ áû íè áûë ïîêàçàòåëü, òî ýòî âûðàæåíèå ïðè n → ∞ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. È ïîñêîëüêó

µ ¶ ¯ ¯ α−1 α−1 α−1 ¯αx(1 + θx) ¯ ≤ |α| |x| (1 + |x|) + (1 − |x|) ,

0
0 ïðè ëþáîì x ∈ R, òî èç (2.48) ñëåäóåò, ÷òî ez îòëè÷íî îò íóëÿ ïðè ëþáîì êîìïëåêñíîì z .

Ñëåäñòâèå 2.8 Ôóíêöèÿ ez ÿâëÿåòñÿ 2πi-ïåðèîäè÷åñêîé.

64


Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñàìîì äåëå, ez+2πi = ez · e2πi = ez (cos (2π) + i sin (2π)) = ez .

Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâà (2.45) è òåîðåìó (2.12), ëåãêî ïîëó÷èòü îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî:

µ iz ¶2 µ iz ¶2 e + e−iz e − e−iz cos z + sin z = + = 2 2i ¢ ¡ ¢¢ 1 ¡¡ −2z = e + 2 + e2z − e−2z − 2 + e2z = 1. 4 2

2

Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àþòñÿ è äðóãèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôîðìóëû â ïðîñòðàíñòâå C. Íàïðèìåð, ïðàâèëî äëÿ êîñèíóñà ñóììû ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà

eiz1 + e−iz1 eiz2 + e−iz2 eiz1 − e−iz1 eiz2 − e−iz2 ei(z1 +z2 ) + e−i(z1 +z2 ) · − · = . 2 2 2i 2i 2 Îòñþäà

cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 = cos(z1 + z2 ),

z1 , z2 ∈ C.

Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Âîçüìåì ëþáîå, îòëè÷íîå îò íóëÿ, êîìïëåêñíîå ÷èñëî w è íàéäåì ÷èñëî z , óäîâëåòâîðÿþùåå óðàâíåíèþ:

ez = w

(2.49)

(êàê îòìå÷åíî ðàíüøå, ïðè w = 0 ýòî óðàâíåíèå ðåøåíèé íå èìååò). Òàêîå ÷èñëî z íàçûâàåòñÿ íàòóðàëüíûì ëîãàðèôìîì è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì

z = Ln w.

(2.50)

Ïðåäñòàâèì w â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé, à z â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå, òî åñòü â âèäå

w = r (cos ϕ + i sin ϕ)

è

z = x + iy.


65

Òîãäà, ââèäó (2.48), óðàâíåíèå (2.49) ðàñïàäàåòñÿ íà òàêèå:

ex = r,

cos y = cos ϕ,

sin y = sin ϕ,

îòêóäà íàõîäèì

x = ln r,

y = ϕ + 2πk,

ãäå

k ∈ Z.

Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî ëîãàðèôì ÷èñëà w (ïðè

w 6= 0) ñóùåñòâóåò è îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Ln w = ln |w| + i · arg w + 2πki = ln |w| + i · Argw.

(2.51)

Î÷åâèäíî, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ìíîãîçíà÷íîé . Ïðè

k = 0 ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìîå ãëàâíîå çíà÷åíèå ëîãàðèôìà : (2.52)

ln w = ln |w| + i · arg w,

ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî åãî ìíèìàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ arg w ñîäåðæèòñÿ â ïîëóèíòåðâàëå (−π, π], òî åñòü

−π < arg w ≤ π.

Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ Ïóñòü z è b äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà, ïðè÷åì z 6= 0. Îïðåäåëèì z b ïîëàãàÿ

z b = ebLn z = eb(ln z+2πki) = eb ln z · e2bπki ,

k ∈ Z.

Î÷åâèäíî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ñòåïåíü z b îêàçûâàåòñÿ ìíîãîçíà÷íîé. Ïðè

k = 0 ïîëó÷àåòñÿ òàê íàçûâàåìîå ãëàâíîå çíà÷åíèå ñòåïåíè eb ln z . Èç îïðåäåëåíèÿ ñòåïåíè z b ñëåäóåò, ÷òî åñëè b ∈ Z, òî ìíîæèòåëü

e2bπki ðàâåí åäèíèöå. Â ýòîì ñëó÷àå ñòåïåíü z b áóäåò èìåòü ëèøü îäíî çíà÷åíèå: eb ln z . Êîãäà b åñòü íåñîêðàòèìàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü áóäóò èìåòü ðîâíî q ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé: p

e q ln z+

2kπi q

,

k = 0, 1, . . . , q − 1.

p (q > 1), òî ñòåïåíü q

66

Îãëàâëåíèå 1

Â ÷àñòíîñòè, z 2 =

√

z èìååò äâà ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿ, îòëè÷àþùèåñÿ

äðóã îò äðóãà íà ìíîæèòåëü eπi = −1, òî åñòü îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî çíàêîì. Ïîýòîìó ïðè èçâëå÷åíèè êâàäðàòíîãî êîðíÿ èç √ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íåò íåîáõîäèìîñòè ïèñàòü: ± ïåðåä z (ïîäðîáíåå ýòî áóäåò èçëîæåíî â ðàçäåëå ¾Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî¿. Ïðè âñåõ îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ b ñòåïåíü z b áóäåò èìåòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé.

Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê ðåøåíèþ, îòíîñèòåëüíî z , óðàâíåíèÿ sin z = w, êîòîðîå, ââèäó ôîðìóëû Ýéëåðà(2.45), ïðèíèìàåò âèä

eiz − e−iz =w 2i

èëè

e2iz − 2wieiz − 1 = 0.

Îòñþäà íàõîäèì, ñíà÷àëà ðåøàÿ êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî eiz

eiz = wi +

√

1 − w2 ,

à çàòåì ëîãàðèôìèðóÿ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà

³ ´ √ z = Arcsinw = −iLn wi + 1 − w2 . Ïîñêîëüêó ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìíîãîçíà÷íà, òî è ôóíêöèÿ Arcsinw òàê æå ìíîãîçíà÷íà. Àíàëîãè÷íî, ðåøàÿ óðàâíåíèå cos z = w îòíîñèòåëüíî z , íàõîäèì

³

z = Arccosw = −iLn w +

√

w2

´ −1 .

Ôóíêöèÿ Arccosw òàê æå ÿâëÿåòñÿ ìíîãîçíà÷íîé.

2.7 Àïïðîêñèìàöèÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé Àïïðîêñèìàöèÿ (ëàòèíñêîå approximare - ïðèáëèæàòüñÿ) çàìåíà îäíèõ (ìàòåìàòè÷åñêèõ) îáúåêòîâ äðóãèìè, â òîì èëè èíîì ñìûñëå áëèç-


67

êèìè ê èñõîäíûì. Àïïðîêñèìàöèÿ ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè è êà÷åñòâåííûå ñâîéñòâà îáúåêòà, ñâîäÿ çàäà÷ó ê èçó÷åíèþ áîëåå ïðîñòûõ èëè áîëåå èçâåñòíûõ îáúåêòîâ. Íåêîòîðûå ðàçäåëû ìàòåìàòèêè â ñóùíîñòè öåëèêîì ïîñâÿùåíû àïïðîêñèìàöèè, íàïðèìåð, òåîðèÿ ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé.

Ðàâíîìåðíîå ïðèáëèæåíèå íåïðåðûâíîé ôóíêöèé àëãåáðàè÷åñêèìè ïîëèíîìàìè Êëàññè÷åñêèì ðåçóëüòàòîì ýòîé òåîðèè ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàò Âåéåðøòðàññà, óñòàíîâëåííûé èì â 1885 ãîäó.

Òåîðåìà 2.13 (Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà). Åñëè f ∈ C[a, b], òî ñóùåñòâó[a,b]

åò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîãî÷ëåíîâ (Pn ) òàêàÿ, ÷òî Pn ⇒ f . [a,b]

Èç óòâåðæäåíèÿ Pn ⇒ f ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ ìíîãî÷ëåí Pn ñ êîòîðûì îöåíêà

|Pn (x) − f (x)| < ε âûïîëíÿåòñÿ ñðàçó äëÿ âñåõ x ∈ [a, b]. Ïîýòîìó òåîðåìó Âåéåðøòðàññà ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:

íåïðåðûâíóþ íà ñåãìåíòå ôóíêöèþ f ìîæíî ðàâíîìåðíî íà ýòîì ñåãìåíòå ïðèáëèçèòü ìíîãî÷ëåíîì ñ íàïåðåä çàäàííîé òî÷íîñòüþ ε.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ñåãìåíò [a, b] ëèíåéíîé çàìåíû t =

x−a b−a

ïðå-

îáðàçóåòñÿ â ñåãìåíò [0, 1], òî íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, âìåñòî ñåãìåíòà

[a, b] ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñåãìåíò [0, 1]. Êðîìå ýòîãî, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü òåîðåìó äëÿ ôóíêöèè f íåïðåðûâíîé íà [0, 1] è îáðàùàþùåéñÿ â íóëü íà êîíöàõ ýòîãî ñåãìåíòà, òî åñòü óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì

f (0) = 0,

f (1) = 0.

(2.53)

Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ôóíêöèè f íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (2.53), ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ g : [0, 1] −→ R, ïîëàãàÿ

g(x) = f (x) − f (0) − x (f (1) − f (0)) .

68


Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ g íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [0, 1] è îáðàùàåòñÿ â íóëü íà åãî êîíöàõ. À òàê êàê ôóíêöèè f è g îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà íà ìíîãî÷ëåí ïåðâîé ñòåïåíè f (0) + x (f (1) − f (0)), òî èç ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû äëÿ ôóíêöèè g âûòåêàåò åå ñïðàâåäëèâîñòü è äëÿ ôóíêöèè f . Èòàê, ïóñòü ôóíêöèÿ f ∈ C[0, 1] è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (2.53). Ñîãëàñíî òåîðåìå Êàíòîðà î ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [0, 1]. Ïðîäîëæèì ôóíêöèþ f íà âñþ ÷èñëîâóþ îñü R, ïîëàãàÿ åå ðàâíîé íóëþ âíå ñåãìåíòà [0, 1]. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî òàê ïðîäîëæåííàÿ ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà

R. Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîãî÷ëåíîâ (Qn ), ïîëàãàÿ

¡ ¢n Qn (x) = cn 1 − x2 ,

n ∈ N,

(2.54)

ó êàæäîãî èç ìíîãî÷ëåíîâ Qn êîýôôèöèåíò cn âûáðàí òàê, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

Z1 Qn (x) dx = 1,

(2.55)

n ∈ N.

−1

Çàôèêñèðóåì ëþáîé íîìåð n ∈ N è îöåíèì ñâåðõó êîíñòàíòó cn . Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ïðè ëþáîì x ∈ [0, 1] ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

¡

1 − x2

¢n

≥ 1 − nx2 .

(2.56)

Ýòî ñëåäóåò, íàïðèìåð, èç òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ

¡ ¢n ϕ(x) = 1 − x2 − 1 − nx2 ,

x ∈ [0, 1],

íå óáûâàåò íà ñåãìåíòå [0, 1] è ϕ(0) = 0. Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî (2.56) è √ ó÷èòûâàÿ, ÷òî n ≥ 1, âûâîäèì îöåíêó

Z1

¡

1 − x2

¢n

Z1 dx = 2

−1

√1

¡ ¢n 1 − x2 dx ≥ 2

0 √1 n

Z ≥2 0

¡

1 − nx

2

¢

Zn

¡ ¢n 1 − x2 dx ≥

0

µ

x3 dx = 2 x − n 3

¶ ¯ √1 ¯ n ¯ = 4 √1 > √1 . ¯ 3 n n 0

(2.57)


69

Èç (2.54), (2.55) è (2.57) çàêëþ÷àåì, ÷òî

√

cn
0. Òàê êàê ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà R, íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî

ε ∀x0 , x00 ∈ R : |x0 − x00 | < δ =⇒ |f (x0 ) − f (x00 )| < . 2

(2.64)

Êðîìå ýòîãî, íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f íà ñåãìåíòå [0, 1] âëå÷åò åå îãðàíè÷åííîñòü íà ýòîì ñåãìåíòå, à ñëåäîâàòåëüíî, è íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ M òàêàÿ, ÷òî

|f (x)| ≤ M

äëÿ âñåõ

x ∈ R.

(2.65)

Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà, èç (2.60) ñëåäóåò

∃m : ∀n ≥ m =⇒

¢n √ ¡ ε . n 1 − δ2 < 8M

(2.66)


71

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé íîìåð n ≥ m è ëþáîé x ∈ [0, 1]. Èñïîëüçóÿ (2.55), (2.59), (2.64), (2.65) è (2.66), âûâîäèì îöåíêó ¯ 1 ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ |Pn (x) − f (x)| = ¯¯ f (x + t)Qn (t) dt − f (x)¯¯ = ¯ ¯ −1 ¯ 1 ¯ ¯ 1 ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯ Z1 ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯¯ f (x + t)Qn (t) dt − f (x) Qn (t) dt¯¯ = ¯¯ (f (x + t) − f (x)) Qn (t) dt¯¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ −1

−1

−1

Z−δ

Z1 |f (x + t) − f (x)| Qn (t) dt =

≤

|f (x + t) − f (x)| Qn (t) dt+

−1

−1

Zδ

Z1

+

|f (x + t) − f (x)| Qn (t) dt +

−δ

Z−δ ≤

|f (x + t) − f (x)| Qn (t) dt ≤ δ

ε (|f (x + t)| + |f (x)|) Qn (t) dt + 2

−1

Zδ Qn (t) dt+ −δ

Z1 (|f (x + t)| + |f (x)|) Qn (t) dt ≤

+ δ

Z−δ ≤2M

ε Qn (t) dt + 2

−1

ε = + 4M 2

Z1

Z1 Qn (t) dt =

Qn (t) dt + 2M −1

Z1 Qn (t) dt
0 ìîæíî íàéòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí T òàêîé, ÷òî

|f (x) − T (x)| < ε

ïðè âñåõ

x ∈ [−π, π].

(2.68)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçîáüåì äîêàçàòåëüñòâî íà äâå ÷àñòè. Ñíà÷àëà äîêàæåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû äëÿ ÷åòíîé, à çàòåì äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè.

1◦ . Èòàê ïóñòü ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, òî åñòü f (−x) = f (x) äëÿ ëþáîãî x ∈ [−π, π]. Îïðåäåëèì íà ñåãìåíòå [−1, 1] âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ F ïî ïðàâèëó

F (t) = f (arccos t). Ñîãëàñíî òåîðåìå î íåïðåðûâíîñòè ñëîæíîé ôóíêöèè, ôóíêöèÿ F íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [−1, 1]. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 2.13 äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí P òàêîé, ÷òî

|F (t) − P (t)| = |f (arccos t) − P (t)| < ε äëÿ âñåõ t ∈ [−1, 1].

(2.69)

74


Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ arccos t, ðàññìàòðèâàåìàÿ íà ñåãìåíòå [−1, 1], ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îáðàòíîé ôóíêöèè cos x, ðàññìàòðèâàåìàÿ íà ñåãìåíòå

[0, π], òî ïîëîæèâ â (2.69) t = cos x, ïîëó÷èì (2.70)

|f (x) − P (cos x)| < ε äëÿ âñåõ x ∈ [0, π].

Òàê êàê îáå ôóíêöèè f (x) è P (cos x) ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè, òî íåðàâåíñòâî (2.70) ñïðàâåäëèâî è äëÿ âñåõ x ∈ [−π, 0]. Ñëåäîâàòåëüíî, íåðàâåíñòâî (2.70) âåðíî äëÿ âñåõ x ∈ [−π, π]. Íî ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2.2, ôóíêöèÿ P (cos x) ÿâëÿåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ÷åòíîé ôóíêöèè f òåîðåìà äîêàçàíà. Ïðîäîëæèì òåïåðü ôóíêöèþ f ïåðèîäè÷åñêè ñ ïåðèîäîì 2π íà âñþ âåùåñòâåííóþ îñü R òàê ÷òîáû ïðîäîëæåííàÿ ôóíêöèÿ f áûëà íåïðåðûâíîé íà R (ýòî âîçìîæíî ñäåëàòü ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ òåîðåìû ôóíêöèÿ

f íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [−π, π] è ïðèíèìàåò íà åãî êîíöàõ ðàâíûå çíà÷åíèÿ). Ó÷èòûâàÿ 2π -ïåðèîäè÷íîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ, çàêëþ÷àåì, ÷òî íåðàâåíñòâî (2.70) ñïðàâåäëèâî íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè

R. 2◦ . Ïóñòü òåïåðü f ëþáàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì äîêàçûâàåìîé òåîðåìû. Ýòó ôóíêöèþ ïåðèîäè÷åñêè ñ ïåðèîäîì 2π ïðîäîëæèì íà âñþ âåùåñòâåííóþ îñü è îïðåäåëèì íà R äâå ÷åòíûå ôóíêöèè:

f1 (x) =

f (x) + f (−x) , 2

f2 (x) =

f (x) − f (−x) sin x. 2

(2.71)

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Êàê äîêàçàíî â ïóíêòå 1◦ , íàéäóòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû T1 è T2 òàêèå, ÷òî

ε |f1 (x) − T1 (x)| < , 4

|f2 (x) − T2 (x)|
0. Ïîñêîëüêó Tn ⇒ f , íàéäåòñÿ ìíîãî÷ëåí Tn òàêîé, ÷òî

ε |f (x) − Tn (x)| < , 2

x ∈ [−π, π].

Ïîýòîìó

ε |f (−π) − Tn (−π)| < , 2

ε |f (π) − Tn (π)| < . 2

Òåïåðü, ó÷èòûâàÿ, ÷òî Tn (−π) = Tn (π), âûâîäèì

|f (−π) − f (π)| ≤ |f (−π) − Tn (−π)| + |f (π) − Tn (π)| < ε. Îòñþäà, ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà ÷èñëà ε, ñëåäóåò ðàâåíñòâî f (−π) =

f (π). Êðèòåðèé äîêàçàí.

2.8 Êîíòðîëüíûå âîïðîñû, çàäà÷è, óïðàæíåíèÿ 1. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ðÿä ðÿä

∞ X

∞ X

|fn (x)| ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [a; b], òî

n=1

fn (x) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [a; b].

n=1

2. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ íóþ ïðîèçâîäíóþ â R.

∞ X sin(nx) n=1

n3

íåïðåðûâíà è èìååò íåïðåðûâ-

2. Ñòåïåííûå ðÿäû 3. Ìîæíî ëè ðÿä

77 ∞ X sin(2n πx) n=1

4. Äîêàçàòü, ÷òî ðÿä

äèôôåðåíöèðîâàòü â èíòåðâàëå (−1; 1)?

2n

∞ X sin(n2 x)

ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà R, íî ÷òî n2 åãî íåëüçÿ äèôôåðåíöèðîâàòü íè â êàêîì èíòåðâàëå. n=1

5. Ïóñòü ôóíêöèÿ f èìååò íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ â (a; b) è µ µ ¶ ¶ 1 fn (x) = n f x + − f (x) . n 0

Äîêàçàòü, ÷òî fn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê f (x) íà ëþáîì ñåãìåíòå

[α; β] ⊂ [a; b]. 0

Óêàçàíèå. Íóæíî ïîìíèòü î ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè f íà [α; β] è ïðèìåíèòü òåîðåìó Ëàãðàíæà ê ôóíêöèè f .

Zx 6. Ðàçëîæèòü ïî ñòåïåíÿì x ôóíêöèþ f (x) =

√ 0

ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ïîëó÷åííîãî ðÿäà.

dt è îïðåäåëèòü 1 − t4

1

Z2 7. Ïðåäñòàâèòü èíòåãðàë

ln(1 + x) dx â âèäå ðÿäà. x

1 4

8. Ñëåäóþùèå ôóíêöèè ðàçëîæèòü ïî ñòåïåíÿì óêàçàííûõ âûðàæåíèé:

a)

1 arctg , x

1 ; x

b)

ln x,

1−x ; 1+x

c) f (x) = x, sin x;

d)

ln | sin x|,

9. Íå ïðîèçâîäÿ ðàçëîæåíèÿ ñëåäóþùèõ ôóíêöèé â ðÿä Òåéëîðà ïî ñòåïåíÿì x−a , óêàçàòü èíòåðâàëû ñõîäèìîñòè ýòèõ ðÿäîâ ê äàííûì ôóíêöèÿì:

a)

ln(1 + 8x3 ),

a = 0;

b)

x2

1 , +9

a = 4.

10. Íàéòè çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ñåìüäåñÿò øåñòîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè

f (x) = ln(x2 + 2x + 2) â òî÷êå x = −1.

cos(2x).

78


Ëèòåðàòóðà [1] Í.Í. Âîðîáüåâ, Òåîðèÿ ðÿäîâ, Ì.: Íàóêà, 1979. [2] Â.À. Çîðè÷, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòü I, Ì.: Íàóêà, 1981. [3] Â.À. Çîðè÷, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòü II, Ì.: Íàóêà, 1984. [4] Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòü

I, Ì.: Íàóêà, 1971. [5] Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòü

II, Ì.: Íàóêà, 1973. [6] Â.À. Èëüèí, Â.À. Ñàäîâíè÷èé, Áë.Õ. Ñåíäîâ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíà-

ëèç, Ì.: Íàóêà, 1979. [7] È.È. Ëÿøêî, À.Ê. Áîÿð÷óê, ß.Ã. Ãàé, À.Ô. Êàëàéäà, Ìàòåìàòè÷å-

ñêèé àíàëèç. ×àñòü I, Êèåâ: Âèùà øêîëà, 1983. [8] È.È. Ëÿøêî, À.Ê. Áîÿð÷óê, ß.Ã. Ãàé, À.Ô. Êàëàéäà, Ìàòåìàòè÷å-

ñêèé àíàëèç. ×àñòü II, Êèåâ: Âèùà øêîëà, 1985. [9] Ä.À. Ðàéêîâ, Îäíîìåðíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ì.:Âûñøàÿ øêîëà, 1982. [10] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñ-

ëåíèÿ. Òîì II, Ì.: Íàóêà, 1962. [11] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Òîì I, Ì.: Íàóêà, 1957. 79

80

Ëèòåðàòóðà

[12] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Òîì II, Ì.: Íàóêà, 1968. [13] Â.Ñ. Øèïà÷åâ, Êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè, Ì.: Ïðîñïåêò, 2005. [14] Ï.À.Øìåëåâ, Òåîðèÿ ðÿäîâ â çàäà÷àõ è óïðàæíåíèÿõ, Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1983.

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ôóíêöèîíàëüíî-

îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé

ãî ðÿäà, 3

ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, 2 ñõîäèìîñòè, 3

÷ëåí ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà, 3

îãðàíè÷åííîñòü ðàâíîìåðíàÿ, 17

ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëü-

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ, 2

íîñòè, 2

ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ôóíêöèîíàëü-

ôîðìóëû Ýéëåðà, 61

íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, 4

ôóíêöèÿ

ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, 36

ìíîãîçíà÷íàÿ, 65

ðÿä

ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé

áèíîìèàëüíûé, 57

ïîêàçàòåëüíàÿ, 60

ôóíêöèîíàëüíûé, 2

ãëàâíîå çíà÷åíèå ñòåïåíè, 65

ñòåïåííîé, 35

êîýôôèöèåíòû

ñõîäèìîñòü

áèíîìèàëüíûå, 57

ïîòî÷å÷íàÿ, 4

ñòåïåííîãî ðÿäà, 35

ðàâíîìåðíàÿ

êðóã ñõîäèìîñòè, 36

ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà, 9

ëîãàðèôì íàòóðàëüíûé, 64

ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâà-

ìíîãî÷ëåí òðèãîíîìåòðè÷åñêèé, 72

òåëüíîñòè, 9

ìíîæåñòâî

ñèñòåìà òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ, 72

ïëîòíîå, 71

ñóììà ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà, 4

ïîëíîå, 72

çíà÷åíèå ëîãàðèôìà ãëàâíîå, 65

âñþäó ïëîòíîå, 71 îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà, 3 81

Функциональные последовательности и ряды: Лекции по математическому анализу

Recommend Documents