Исследование дисперсии и затухания волн в волноводах: Методические указания к выполнению лабораторной работы

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСПЕРСИИ И ЗАТУХАНИЯ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ Методические указания к выполнению лабораторной работы

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2003

Составители: Л. А. Федорова, Н. А. Гладкий Рецензент канд. техн. наук доц. А. Ю. Гулевитский

В методических указаниях рассмотрены явления дисперсии и затухания электромагнитных волн в волноводе прямоугольного сечения. Приводятся краткие сведения из теории и основные аналитические выражения для расчета дисперсных характеристик волновода. Излагается методика и порядок выполнения экспериментальных исследований на прямоугольном волноводе, дается описание лабораторной установки. Предназначены для студентов дневного, вечернего и заочного факультетов, изучающих курс «Электродинамика и РРВ», «Техническая электродинамика», «Электродинамика и техника СВЧ», «Основы электродинамики и РРВ», «Электромагнитные поля и волны» по специальностям 2007, 2016, 2008, 2013, 2014, 1312 и направлениям 5520 и 5525. Методические указания подготовлены кафедрой антенн и эксплуатации радиоэлектронной аппаратуры и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.

© СПбГУАП, 2003

Подписано к печати 25.03.03. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л.1,65. Уч. -изд. л. 1,75. Тираж 300 экз. Заказ № Редакционно-издательский отдел Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки Отдел оперативной полиграфии СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

2

Цель работы: 1) изучить явление дисперсии и затухания волн в волноводе прямоугольного сечения; 2) изучить методы измерения параметров, характеризующих дисперсию и затухание; 3) исследовать экспериментально закон изменения фазовой и групповой скоростей, а также изменение затухания от частоты генерируемых колебаний; 4) исследовать математические зависимости затухания, фазовой и групповой скоростей от поперечных размеров волновода, диэлектрической проницаемости заполнения и удельной проводимости стенок в заданном частотном диапазоне. 1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Электромагнитные волны, распространяющиеся в линиях передачи, делятся на поперечные волны, электрические и магнитные. Поперечными или Т-волнами называются волны, у которых векторы электрического E и магнитного H полей лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Электрическими или Eволнами называют волны, у которых вектор электрического поля E помимо поперечных составляющих по отношении к направлению распространения имеет продольную составляющую Ez. Продольная же составляющая HZ равна нулю. Волны типа E иногда называют поперечными магнитными волнами ТМ. Магнитными, или Н-волнами называют волны, у которых вектор магнитного поля H помимо поперечных составляющих имеет продольную составляющую Hz, продольная же составляющая электрического поля Еz равна нулю, поэтому Н-волны иногда называют поперечными электрическими волнами или волнами ТЕ. В прямоугольном волноводе в общем случае может существовать бесконечное множество волн типа Emn и Hmn, отличающихся значениями индексов m и n, которые определяют число полуволн поля, укладывающихся по широкой стенке a и узкой стенке b соответственно. Каждая из этих волн существует совершенно независимо друг от друга и имеет свою критическую длину волны λкр, которая связана с поперечными размерами прямоугольного волновода соотношением 3

λ кр =

2 2

m +n      a  b

2

ε aµ a . ε 0µ 0

(1)

Условием распространения волн Emn и Hmn в прямоугольном волноводе с рабочей длиной волны λ является неравенство λ < λкр. Диапазон длин волн, при которых длина волны больше критической длины волны, называют областью отсечки, так как распространения волны не происходит. Волну с наибольшей величиной λкр называют низшей волной. Для волновода прямоугольного сечения такой волной является волна H10. Низший тип волны обеспечивает наименьшие размеры поперечного сечения, следовательно, наименьшие габариты и вес волновода для заданной длины волны λ. Для того чтобы в волноводе распространялась только низшая волна H10, и не распространялись волны высших порядков, необходимо выполнить условия (λкр Н20< λ < λкрН10) и (λкр Н01 < λ). Поскольку λкр Н10 = а, λкр Н01 = 2b прямоугольного волновода с воздушным заполнением, то эти неравенства можно представить

( a < λ < 2a ) ; (2b < λ ). Поясним физический смысл критической длины волны, используя концепцию парциальных волн, распространяющихся по волноводу путем многократных переотражений от боковых стенок волновода. Прямоугольный волновод с волной типа Н10 имеет одну составляющую Еу электрического поля и две составляющие Hx и Hz магнитного поля (рис. 1). Такую волну можно представить в виде двух плоских Т-волн. Одна из них распространяется вдоль оси z волновода и имеет составляющие поля Ey и Нx, связанные с вектором Умова–Пойнтинга соотношением Пz=[Ey × Hx]. Другая Т-волна распространяется в направлении оси X и имеет вектор Умова-Пойнтинга Пх = [Ey × Hz]. В результате сложения двух плоских Т-волн энергия будет переноситься в направлении Ппад, определяемом сложением векторов Пz и Пx. В таком случае естественно предположить, что электромагнитная волна Т распространяется по волноводу путем многократного переотражения от боковых стенок волновода. В этом случае векторы Ey и Hпад волны Т должны находиться в 4

Ey П z H z

y Пz

Hx

H

Λ/2

b E

x

a z Рис. 1

плоскостях, перпендикулярных соответствующим участкам ломаной линии, определяющей направление падения Ппад на стенку под углом θ. Отражается волна в строго определенном направлении Потр в соответствии с законом Снеллиуса угол падения равен углу отражения [1, 2]. Значения электрического и магнитного полей во внутренней полости волновода будут определяться как геометрическая сумма падающих и отраженных волн, образуя максимумы там, где поля складываются в фазе, и минимумы – при противофазном сложении. При этом на проводящей поверхности волновода выполняются граничные условия: касательные составляющие электрического поля и нормальные составляющие магнитного поля равны нулю. Для волн Нmo минимумы напряженности электрического доля E образуются на узких стенках волновода при любом расстоянии a между ними. Для любого заданного размера широкой стенки a всегда выполняется равенство a=m

ΛX

(2) = mλ , 2 2cosθ где λ – длина волны в свободном пространстве; ΛX – длина волны в волноводе по оси X; θ – угол падения волны на боковую проводящую стенку волновода, отсчитываемый от нормали к поверхности; m – число полуволн поля, укладывающихся вдоль размера a (рис. 2). Из выражения (2) можно определить условия распространения волны в волно5

E y+

Λx

П пд

y

Д

A Λ

λ

H x−

2

− П отр H z− E y−

H отр C

θθ

m=2

z

H B' H z+

m=1

x

+

a = mΛX

N

H x+

нт ро ф . L ез Ф

B

M K

Рис. 2

воде при фиксированном размере а широкой стенки волновода. При изменении длина волны λ равенство (2) будет сохраняться за счет соответствующего изменения угла падения θ волны на стенки волновода. Так, при увеличении λ угол падения θ должен соответствующим образом уменьшаться и, наоборот, при уменьшении λ угол θ должен увеличиваться, что ведет к уменьшению cosθ. Наибольшему значению длины волны λ соответствует угол θ = 0°. В этом случае не происходит распространения волны вдоль оси z волновода, а имеются только взаимные переотражения нормально падающих волн от узких стенок волновода. Длина волны, соответствующая предельному случаю, при котором прекращается передача волн по волноводу с воздушным заполнением, называется критической. Для волн Нmo λкр = 2a/m. Тогда из формулы (2) получим cos θ = λ

λ кр

.

(3)

Если волновод заполнен диэлектриком, у которого относительные диэлектрическая ε и магнитная m проницаемости отличны от единицы, то длина волны λ крε , при которой происходит отсечка, увеличивается по сравнению с λкр того же волновода с воздушным заполнением λ крε = λ кр εµ.

Применение диэлектрического заполнения позволяет использовать волновод при неизменных габаритах на более низких частотах. Однако необходимо учесть, что в большинстве своем диэлектрики имеют значительные потери в области сверхвысоких частот и обладают низкой 6

температурной стойкостью, что ограничивает их применение. Относительную магнитную проницаемость диэлектриков можно в практических случаях считать равной единице, исключение составляют ферромагнетики. Важными параметрами, характеризующими распространение волны в волноводе, являются затухание α, а также фазовая Vф и групповая Vгр скорости. Рассмотрим плоскую электромагнитную Т-волну, падающую на боковую стенку волновода под углом θ со скоростью V, которая связана с параметрами среды, заполняющей волновод, следующим соотношением: V=

C . εµ

(4)

При воздушном заполнении ε и m равны единице и скорость распространения в направлении Ппад равна скорости света С =3 · 108 м/с. Распространение электромагнитной волны между двумя проводящими стенками волновода на расстоянии а друг от друга приведено на рис. 2. Фазовый фронт (поверхность равных фаз) такой волны является плоскостью, след которой MN перпендикулярен направлению падения Ппад. Через время t фазовый фронт займет новое положение KL, пройдя путь AB со скоростью света C, если волновод с воздушным заполнением. Но по оси z волновода участки с постоянной фазой за это же время t пройдут путь AC. Скорость распространения фазового фронта волны по оси z волновода называется фазовой скоростью и обозначается Vф. Найдем величину фазовой скорости VФ. Из треугольника АВС следует: AC = AB/sinθ. Разделив обе части этого равенства на время t и учитывая выражение (3), получим VФ =

C = sinθ

С  λ  1−     λ кр 

2

.

(5)

Так как АС больше АВ, а время распространения t одинаково, то фазовая скорость волны в волноводе больше скорости волны в свободном пространстве (больше скорости света). Если принять время t равным периоду Т, то путь АВ равен длине волны λ в свободном пространстве, путь АС равен длине волны Λz по 7

оси z волновода, путь ВВ1 равен длине волны Λx = λ/cosθ по оси x волновода. На практике используют длину волны в волноводе по оси z, обозначая ее просто Λ и представляя в виде Λ = ΛZ =

λ = sinθ

λ  λ  1−   λ кр   

2

.

(6)

С учетом (6) выражение (5) можно переписать VФ = С

Λ . λ

(7)

Групповая скорость Vгр характеризует скорость перемещения высокочастотной энергии вдоль оси волновода z за время t на расстояние АД: Vгр=АД/t=AВsinθ/t. Если t равно Т, то для волновода с воздушным заполнением 2

 λ  λ Vгр = С sin θ = C = C 1 −  .  λ кр  Λ  

(8)

Из равенства (8) видно, что скорость распространения энергии меньше скорости света. Между рассмотренными скоростями существует простая зависимость VфVгр = C2. Фазовая и групповая скорости волны в волноводе являются функциями частоты или длины волны, а также зависят от параметров среды, заполняющей волновод. Причем каждому типу колебаний Нmn или Emn соответствует своя критическая длина волны, а следовательно, и скорость распространения. На рис. 3 показаны теоретические зависимости фазовой и групповой скоростей от частоты f для волновода прямоугольного сечения с воздушным заполнением. При частоте, близкой к критической частоте соответствующего типа колебаний, фазовая скорость стремится к бесконечности, а групповая – к нулю. С увеличением частоты относительно критической фазовая и групповая скорости стремятся к скорости света. Для волновода с диэлектрическим заполнением ε >1 критическая частота уменьшается [1, 2], область отсечки сдвигается влево, график фазовой скорости сместится влево и вниз. Поскольку критические длины воли H20 и H01 меньше критической длины волны 8

Область отсечки H01

10

Область отсечки H20

Область отсечки H10

U фH

U фH U фH

01

20

C = 3·108 м/с

1

U кр H

20

U кр H

10

U кр H

0

f кр H

10

f кр H

20

f кр H

01

f 01

Рис. 3

H10, то фазовые скорости волн высших порядков больше фазовой скорости низшей волны H10. Явление, характеризующее зависимость фазовой и групповой скоростей от частоты, называется дисперсией. Среды, в которых это явление наблюдается, называются дисперсными или дисперсионными. Дисперсия, при которой фазовая скорость больше скорости распространения энергии электромагнитной волны Vгр, называется нормальной. Поскольку в волноводе с волной Н10 фазовая скорость больше групповой, то волновод является средой с нормальной дисперсией. Явление дисперсии приводит к тому, что передаваемый в такой среде сигнал будет искажаться, так как отдельные гармоники, на которые этот сигнал можно разложить, будут распространяться с различными скоростями (рис. 3) и различным затуханием, что будет пояснено в дальнейшем. Рассмотрим простейший случай, когда передаваемый по волноводу сигнал состоит из двух синусоидальных колебаний с равными амплитудами Em, круговыми частотами ω и волновыми числами β = 2π

, Λ отличающимися на малые величины ∆ω → 0 и ∆β → 0 (рис. 4). При 9

E1

E2

Em

z

2Em z

Рис. 4

этом не будем учитывать потери в волноводе, а его стенки считаем идеально проводящим. Итак,

 E = E ei(ωt −βz ) , 1 m  i ω+∆ω )t −i (β+∆β )z .  E2 = Em e ( Суммарная волна, распространяющаяся вдоль оси z волновода, имеет вид i ∆ωt −∆βz )  i (ωt −βz ) . EΣ = Em 1 + e (  e 

Преобразуем это выражение EΣ = E m e

 ∆ω   ∆β   i  ω +  t − β +  z  2   2   

∆ω ∆β    i  ∆ω t − ∆β z  −i  t− z  2 2    e + e 2 2  .    

При условии ∆ω