Группы симметрии и элементарные частицы

В.Д.Ляховскии, А.А.Болохов ГРУППЫ СИММЕТРИИ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ Пособие посвящено основным методам теории групп, применяемым в современной теории элементарных частиц. Изложен теоретико-групповой подход к исследованию элементарных частиц, рассмотрены групповые основы конкретных физических моделей. Книга предназначена для студентов старших курсов физических факультетов университетов. Может быть полезна научным работникам, аспирантам, специализирующимся в области физики элементарных частиц. Содержание Наиболее употребительные обозначения 3 Предисловие 6 Глава 1. Симметрия в классической механике 9 § 1. Частица в ньютоновой механике. Наблюдаемые величины, 9 инерциальные системы отсчета и группа Галилея. Активные и пассивные преобразования, принцип относительности и физическая симметрия. Алгебра наблюдаемых 23 § 2. Отличия механики специальной теории относительности от ньютоновой. Преобразования Лоренца и группа Пуанкаре. Алгебра Ли группы Пуанкаре и реконструкция наблюдаемых § 3. Ковариантность и лагранжев формализм. Теория групп в 31 классической механике Глава 2. Общая алгебра 34 § 1. Понятие группы. Подгруппа. Пространство параметров. Группы 34 движений § 2. Отображения групп. Гомоморфизмы. Факторгруппа, Виды 40 гомоморфизмов. § 3. Прямое произведение групп, прямая сумма абелевых групп. 44 Полупрямое произведение. Двойные классы смежности § 4. Кольца, тела, поля, кватернионы 50 § 5. Модули, их гомоморфизмы и тензорные произведения. Кольцо матриц 54 и. эндоморфизмов модуля. Кватернионные единицы и матрицы Паули § 6. Векторное пространство, дуальное пространство. Билинейное 59 отображение и билинейная форма, полуторалинейная форма. Классические группы. Группы Sp(1), SU(2), SO(3) § 7. Алгебра над полем: ассоциативная, Ли, T(V), S(V), /\(V). Алгебра 70 Клиффорда и спинорная группа. Алгебра Дирака Глава 3. Топологические группы и группы Ли 82 § 1. Свойства групповых операций в топологических группах 82 § 2. Подгруппы, нормальные подгруппы, факторгруппы, естественные 84 отображения, гомоморфизмы топологических групп. Прямые произведения § 3. Многообразия: гладкость, координаты, локальная размерность, карты, 87

атласы. Группы Ли. Параметризация. Общая линейная группа и классические группы как группы Ли § 4. Связные компоненты топологической группы, K(e). Теорема о конечной порожденности. Свойства дискретных нормальных подгрупп. Компоненты группы Лоренца. § 5. Локальная группа, локальные изоморфизмы. Свойства локальных групп § 6. Однопараметрические подгруппы. Единственность однопараметрической подгруппы с заданным направляющим вектором. Канонические координаты I и II рода § 7. Подгруппы и факторгруппы в канонических координатах, группа Лоренца § 8. Накрывающее пространство. Принцип монодромии. Универсальная накрывающая группа Глава 4. Алгебры Ли § 1. Локальные свойства группы Ли и ее алгебра Ли § 2. Гомоморфизмы алгебр Ли § 3. Линейные алгебры Ли. Алгебры дифференцирований. Присоединенное представление § 4. Разрешимые, нильпотентные, простые и полупростые алгебры Ли. Радикал. Теорема Леви — Мальцева § 5. Восстановление группы Ли по алгебре Ли. Ряд Кэмпбелла — Хаусдорфа. Экспоненциальное отображение Глава 5. Простые и полупростые алгебры Ли § 1. Форма Киллинга. Критерии Картана § 2. Комплексификации, овеществления и вещественные формы § 3. Подалгебры Картана. Разложение Картана § 4. Корневые системы. Схемы Дынкина § 5. Корневые системы и простые алгебры Ли. Разложение Картана — Вейля. Базис Вейля, стандартный базис § 6. Классификация и каноническая реализация простых алгебр Ли Глава 6. Элементарная теория представлений § 1. Основные понятия § 2. Общие свойства неприводимых представлений и подпредставлений. Сплетающий оператор. Леммы Шура. Теорема Бернсайда § 3. Прямой интеграл представлений. Инвариантное интегрирование. Мера Хаара. Фактормера и интегрирование на однородном пространстве. Регулярное представление § 4. Унитарные представления компактных групп. Теорема о конечномерности § 5. Инфинитезимальный метод. Унитарный трюк Глава 7. Представления полупростых алгебр Ли § 1. Веса, старшие веса, их свойства. Фундаментальные представления § 2. Конечномерные неприводимые представления алгебр sl(2, С) и sl(3, С)

93 S6 99 103 108 117 117 119 123 128 131 134 — 137 140 145 150 158 162 162 172 176 187 190 195 — 199

Компактные вещественные формы. Фундаментальные представления su (3) § 3. Тензорные произведения представлений d(su(2)) и d(su(3)) и их разложение на неприводимые § 4. Схемы Юнга § 5. Ограничения неприводимых представлений алгебр su(n). Частные случаи § 6. Элементы Казимира. Универсальная обертывающая алгебра. Операторы Казимира и их собственные значения § 7. Коэффициенты Клебша — Гордана. Скалярные факторы § 8. Конечномерные представления алгебры so(3, 1). Связь с представлениями группы Лоренца Глава 8. Симметрия в квантовой физике. Элементарные частицы § 1. Квантовомеханическое описание и преобразования симметрии. Теорема Вигнера и проективность представления группы симметрии. Унитарность. Элементарные частицы и неприводимые представления § 2. Изотопическая симметрия и операторные лучи. Мультипликаторы и коциклы проективного представления. Фазовые расширения. Эквивалентность проективных представлений группы и векторных представлений ее универсальной накрывающей § 3. Изотопические мультиплеты, формула Гелл-Манна — Нишиджимы. Зарядовое сопряжение и G-четность § 4. Унитарная симметрия и унитарные мультиплеты. Эволюция унитарной симметрии § 5. Гипотеза кваркового строения адронов. Массовые формулы и теорема Вигнера — Эккарта Глава 9. Индуцированные представления и релятивистская симметрия § 1. Алгебраическая конструкция индуцированных представлений. Унитарные представления. Простейшие свойства § 2. Метод малой группы. Представления группы E(2). Группа Пуанкаре, ее орбиты. Представления собственной группы Пуанкаре для m ≠ 0 и m = 0. Представления общей группы Пуанкаре § 3. Релятивистские уравнения движения. Волновые функции, неприводимые представления и ковариантные проекторы. Методы построения уравнений движения. Примеры Указатель литературы

209 215 224 232 239 245 255

264

274 279 286 296 296 302 320 333