2- p- 4 . . 519.145
: , .
| q4 2) = F ! = f (uv) v u v f ( v ) 2 GF ( q uq
f (v) = f0 v + f1 vp + : :: + f2r;1 vp2r;1 | & ' F , , q = pr p > 2 |
* . + 4 f (v) = f0 v f (v) = fr vq , 2- 3 2- S A
S = H2 hgihg1i, H2 | 2- H , g, g1 | 2-- . .
Abstract I. V. Busarkina, Some 2-properties of the autotopism group of a p-primitive semield plane, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 8 (2002), no. 3, pp. 637{645.
Let be a semi4eld plane of order q4 with the regular set 2 ! = f (uv) v uq u v f (v) 2 GF (q ) = F
f (v) = f0 v + f1 vp + : : : + f2r;1 vp2r;1 be an additive function on F , normalize the 4eld, q = pr and p > 2 be a prime number. If the plane has rank 4 and f (v) = f0 v or f (v) = fr vq , then the 2-rank of the autotopism group is 3 and some Sylow 2-subgroup S of the group A has the form S = H2 hgihg1i, where H2 is a Sylow 2-subgroup of the group H , and g, g1 are 2-elements of a certain form.
1.
| q4 K = GF (ps) (q = pr , p > 2 | , s 6 r). p- !" , # !"$ % | p- q2 ; 1 (. . j j j (q2 ; 1), j j (pi ; 1), i = 1 : : : 2r ; 1). q4 K , -
, 2002, 8, 5 3, . 637{645. c 2002 , !"
# $% ## &
638
. .
* q = pr , p > 2 | , p-
, p-$ !"$ $. + ! ,1] ! * * . : u v 0 = f (v) uq * u f (v) 2 GF (q2) = F , fvg | . K , jfvgj = q2 . + 1 ! $ * 4 * . u v 2 0 = f (v) uq u v f (v) 2 GF (q ) = F f (v) = f0 v + f1 vp + : : : + f2r;1 vp2 ;1 | # F , . 4! $ . 5 ! : . | q4 0 (q = pr p > 2 | ). 4 f (v) = f0 v f (v) = fr vq , 2- 3 2- S A
S = H2 hgihg1 i, H2 | 2- H , g | 2- 2 3 A1 6 77 A4 g = 64 5 B1 B4 r
Ai Bi 2 F , A4 = Aq1 B4 B1;q , fi A;4 1B1 = fi (A;1 B4 )p . f (v) = f0v, g1 | 2- 2 3 0 A2 66A3 0 77 4 5 B1 B4 Ai Bi 2 F , f0 A3 ;q B4 = A2;1 B1 , (A3 ;1 f0 B1 )q = A2;1 B4 . f (v) = fr vq , g1 | 2- 3 2 A1 0 6 7 g1 = 64 0 A2 0 B 75 2 B3 0 Ai Bi 2 F , fr A1 ;1B2q = A4 ;1 B3 , (A1 ;1 B3 )q = A4;1 B2 fr . i
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639
A | * . 8
* 4, 4 ,2] F 2 2 GF (q), u = uq $!* u 2 F . 9 $1 % . ! F . 1. F q2 ! 2 2 GF (q): u u 1 2 F = u2 u1 + u2 ui 2 GF (q) # # # 2 GF (q). !
= 1 ;01 :
. : . F 2 2 q2 GF (q). ; "* . * !
u u 1 2 u = m1 (u1 u2) m2 (u1 u2) ui 2 GF (q) m1 m2 | #. 8 F , F . . < . . u1 0 u 0 0 1 m1 (u1 0) m2 (u1 0) ; u1 = m1 (u1 0) m2 (u1 0) ; u1 :
. , m1 (u1 0) = 0, m2 (u1 0) = u2. F . $, u1 0 1 0 u1 = u1 m1 (0 1) m2 (0 1) u1m1 (0 1) u1m2 (0 1) . . " . . 9 , m1 (0 u1) = u1m1 (0 1), m2 (0 u1) = u1 m2 (0 u1). * = m1 (0 1), = m2 (0 1), , u u 1 2 F = u2 u1 + u2 ui 2 GF (q) = = 1= 2 GF (q) ( $ . . F ). >
. F . 4 . = aa1 aa2 : 3 4
640
. .
4 ,2]
u = uq : (1) q +1 q ; 1 q u = c. ?* u = cu , * c 2 GF (q). : det(u ) = = (det u)q . ? det u 2 GF (q), det(uq ) = det u. 9 * , det(uq ) = det(cu;1) = det c(det u);1. c 2 GF (q), c = c1 c 1 det c = 21 . @ , c1 = det u uq = cu;1 = u1;+uu2 ;uu2 : 2 1 @ A (1) . u1 u2 a1 a2 = a1 a2 u1 + u2 ;u2 : u2 u1 + u2 a3 a4 a3 a4 ;u2 u1 . u1 = 0, u2 = 1. . $1 " , a3 = a1 ; a2, a4 = ;a1 . > , a1 a2 = 1 0 a1 a2 : a1 ; a2 ;a1 ;1 a2 a1 + a2 @ , . = 1 ;01 :
B . C . * . 2. 0 , $ % (q2 ;1)=2 p , &! f (v)
fi v . ' fi 6= 1.
. ? * * . . ! , u v det f (v) uq 6= 0 $!= u v 2 GF (q2), (u v) 6= (0 0). 8 $, ! . 1 P = PP1 PP2 3 4 u v P1 P2 = uP1 + vP3 f (v)P2 + uq P4 = 1 0 : f (v) uq P3 P4 uP1 + vP3 f (v)P2 + uq P4 0 1 i
p
-
641
@ ,
8 uP + vP = 1 1 3 > > < f (v)P2 + uq P4 = 0 > uP + vP = 0 > : f (v1)P + u3q P = 1: 2 4 + * P3 . P3 = ;u;q f (v)P1 (u ; vu;q f (v))P1 = 1: 4$ , u 6= 0, v 6= 0 det(uq+1 ; vf (v)) 6= 0. 8 f (v) = fi vp , det(uq+1 v;p ;1 ; fi ) 6= 0. * v = 1, , det(c ; fi ) 6= 0 8c 2 GF (q): (2) @ A (2) . ? c 2 GF (q), c 1 c= c1 : + 1 fi fi . $1 ! : f1 f2 f = f1 f2 : fi = f i f1 ; f2 ;f1 2 f1 + f2 c fi (2). c ; f 1 ; f1 2 det(c ; fi ) = ;f1 + f2 c1 + f1 = c21 ; f12 ; f1 f2 + f22 = c21 ; det fi : 2 @ , det fi 6= c21 , fi(q ;1)=2 = 1, * fi = z 2 * z 2 F . +% c1 = det z , * det fi = (det z )2 = c21 | . B . + ! ,2] ! * * . +A =. + * A 1 ! * H : 82 39 A > > 1 4 5> B1 : B4 i
i
* Ai Bi 2 F , A4 = Aq1 B4 B1;q , fi A;4 1 B1 = fi (A;1 B4 )p . D $ H . $ " $ ! * K 8. " 82 0 39 A > > 1 4 5> 0 B1 > > : 0 B4 i
642
. .
* 0 = 0 = 1, Ai Bi 2 F , A4 = Aq1 B4 B1;q , fi 0 A;4 1 B1 = fi (A;1 B4 )p . > K , " * C (K ), . $1
" * : 1) , f (v) = fr vq , 2 0 3 A1 6 77 0 A4 g = 64 0 0B2 5 0B3 0 * ! 0 = 1, ! u 0 = uq $!* u 2 F , Ai Bi 2 F , fr A1;1 B2 q = 0 ; 1 ; 1 ; 1 = A4 B3 , (A1 B3 )q = A4 B2 fr E 2) , f (v) = f0 v, 2 3 0 0 A2 77 60 g = 64 A3 0 0 B 5 1 0 B4 * ! 0 = 1, ! u 0 = uq $!* u 2 F , Ai Bi 2 F , f0 A3 ;q B4 = ; 1 ; 1 0 = A2 B1 , (A3 f0 B1 )q = A2;1 B4 . 9 $1 N (K ). 3.
4 f (v) = f0 v f (v) = fr vq , N (K ) = H hg1 i hg2i, g1 2 C (K ) n H , g2 2 N (K ) n C (K ). 2 3 A1 6 77 A4 g1 = 64 5 B1 B4 Ai Bi 2 F , A4 = Aq1 B4 B1;q , f0q A;4 1 B1 = f0A;1 q B4 . f (v) = f0v, 2 3 0 A2 6 77 g2 = 64A3 0 B 5 1 B4 Ai Bi 2 F , f0 A3 ;q B4 = A2;1 B1 , (A3 ;1 f0 B1 )q = A2;1 B4 . f (v) = fr vq , 2 3 A1 0 6 7 g2 = 64 0 A2 0 B2 75 B3 0 Ai Bi 2 F , fr A1 ;1B2q = A4 ;1 B3 , (A1 ;1 B3 )q = A4;1 B2 fr . i
p
-
643
. . , N (K ) = C (K ) hg2 i. 1. f (v) = f0 v. . g2 2 N (K ) , g2 . $-
1 $1 * 2 3 0 A2 6 77 g2 = 64A3 0 B1 5 B4 * Ai Bi 2 F , f0 A3 ;q B4 = A2;1 B1 , (A3 ;1 f0 B1 )q = A2;1 B4 . > , g3 | $! * " N (K ) n C (K ), g3;1 g2 2 C (K ). @ , N (K ) = C (K ) hg2 i. 2. f (v) = f (v) = fr vq . . g2 2 N (K ) , g2 . $1 $1 * 2 3 A1 0 6 7 g2 = 64 0 A2 0 B 75 2 B3 0 * Ai Bi 2 F , fr A1 ;1B2q = A4 ;1 B3 , (A1 ;1 B3 )q = A4;1 B2 fr . > , g3 | $! * " N (K ) n C (K ), g3;1 g2 2 C (K ). @ , N (K ) = C (K ) hg2 i.
6 ,2], . . 4. 0 , $ % , &! f (v)
f0 v fr vq . ' N (K ) # !%, !% K .
.
1. f (v) = f0 v. ., N (K ) n H $. z 2 C (K ) n H , * 2 3 A1 6 77 A4 z = 64 5 B1 B4 * Ai Bi 2 F , A4 = Aq1 B4 B1;q , f0q A;4 1 B1 = f0 A;1 q B4 .
. A4 , B42 = B1q+1 f0q;1 : (3) 8 z 2 = 1, Aq1+1 = Aq4+1 = B1q+1 = B4q+1 = 1. + (3) 2 (q + 1)=2, , f0(q ;1)=2 = 1.
644
. .
z 2 N (K ) n C (K ), * 2 0 A2 66A3 0 z=4 B1 * Ai Bi 2 F ,
B4
3 77 5
f0 A3;q B4 = A2 ;1 B1 (4) ; 1 ; 1 q (A3 f0 B1 ) = A2 B4 : 8 z 2 = 1, A2 A3 = B12 q=+1 B4q+1 = 1. A3 = A;2 1 A (4), , 2f0A2 B4 = B1 . + " (q + 1)=2, , f0(q ;1)=2 = 1. 2. ? f (v) = fr vq . ., N (K ) n H $. z 2 C (K ) n H , * 2 3 A1 6 77 A4 z = 64 5 B1 B4 * Ai Bi 2 F , A4 = Aq1 B4 B1;q , frq A;4 1 B1 = fr A;1 1 B4q .
. A4 , frq;1 B1q+1 = B4q+1 Aq1;1 : (5) q +1 q +1 q +1 q +1 2 8 z = 1, A1 = A4 = B1 = B4 = 1. G " (5) (q + 1)=2, , fr (q2 ; 1)=2 = 1. z 2 N (K ) n C (K ), * 2 3 A1 0 6 7 z = 64 0 A2 0 B2 75 B3 0 * Ai Bi 2 F , fr A1;1 B2q = A4 ;1B3 (6) ; 1 ; 1 q (A1 B3 ) = A4 B2 fr : 8 z 2 = 1, B2 B3 = A24 q=+1 Aq1+1 = 1. B3 = B2;1 A (6), , f2r B2 A4 = A1 . + " (q2 ; 1)=2, , fr(q ;1)=2 = 1.
2, != = . . : $ 2-* S * N (K ). + 3 S = H2 hg1 i hg2 i, * H2 | 2-* * H , g1 , g2 |
p
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645
2-" . 4 $ S $ * K , N (S ) N (K ). @ , S | 2-* * .
4, .
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1] . ., . .
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511.9
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Abstract O. N. Vasilenko, On the solvability of the discrete logarithm problem in residue classes, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 8 (2002), no. 3, pp. 647{653.
The article is devoted to solvability of the discrete logarithm problem modulo composite number. Two theorems are proved, giving necessary and su5cient conditions for solvability in some cases. Also one method is suggested for proving solvability, analogous to the Pohlig{Hellman algorithm for solving the discrete logarithm problem.
(m n) m n] m n. s 2 , s > 1, s ! " # $ s #
$ qi : k Y s = qiui : (1) N
i=1
$ " # $ qi ; 1 # $ : wi Y qi ; 1 = pijij i = 1 : : : k: (2) j =1
a b 2 , (a s) = (b s) = 1. " " ( ax b (mod s): (3) Z
, 2002, 8, 6 3, . 647{653. c 2002 , !" #$ %
648
. .
'(x) - . / , (x) | - . 1 : (p1 1 : : :pt t ) = '(p1 1 ) : : : '(pt t )], 2 i 2 , pi | ! # . 4$ ( ! 2 r Q(x r) 5 : Q(x r) ((x(r) ; 1)=r) (mod r)6 # # x 2 , (x r) = 1. 1 2, p (m) "$ ( #2 p " $ m $ , ( =m ) | 2## # . m 7 ", ord(n (mod m)) | #( 7 n 2 ( =m ) . , $ " (3). gi | # " # ( qiui 6 $ # , ( (2). ci " "( " ( ci gi (mod qiui ), ci 1 (mod ()qjuj ) # j 6= i. 42 ci (mod s) #( '(qiui ) = Mi ( =s ) = hc1iM1 : : : hck iMk $ 2## ( =s ) " #( # " . a cA1 1 : : : cAk k (mod s) b cB1 1 : : :cBk k (mod s): (4) y 8 Ai " gi a (mod qiui ) (2 Bi ),
" gy h (mod qu) (5) 2 q | # ! , u 2 , g | # " # . qu . : 5] " , y (mod '(qu )) " " Q(g qu;1) y Q(h qu;1) (mod qu;1 ) y log h]1 (mod q ; 1) 2 logh]1 " ( qz h (mod q). 4 , (5), " $ Ai , Bi , " ( 2 -
" . # # . q. ; 7 ( ( . 2,3,6]). :" ! " , 2 q ; 1 " ( # (2 2{= 4]). ># , "! $ " Ai , Bi " (4). 42 (3) , giAi x giBi (mod qiui ), i = 1 : : : k, Ai x Bi (mod '(qiui )) i = 1 : : : k: (6) 8 " (6) , , Di = (Ai '(qiui )) Bi . ? 7 "#( (, (6) , A ;1 B '(qui ) i i x Di (7) Di mod Di i = 1 : : : k: i >( " (7) , # " i 6= j #" i-2 j-2 " " # . ('(qiui )=Di '(qjuj )=Dj ). ; 7 ! (7): u1 uk k ) : (8) x0 mod '(qD1 ) : : : '(q Dk 1 N
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649
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Di u1 uk ) '(q '(q ) 1 k ord(a (mod s)) = D : : : D : 1 k B " , (8) " (3) " , 2 . ; ( " (3) ( "2 ( s "! $ ( , . 4 # " 5]. C (( # . - . C # ( ( 2 # " ". - 5 ( x #" . 4 , " , #" " ( (3) # "( . . / #("( ( #
(6) (7), $ " # -
. D # "# (3). >( " $ ( # " ! " .
#( 7 ". n 2. q | , q ; 1 = Q pj j j =1 q ; 1 , u 2 , a b 2 ( =qu ) , a 6 1 (mod qu), g | qu . n j Q Qn 1. " ord(a (mod qu )) = qu;1;0 pj j ;j , a gq 0 j=1 pj l (mod qu), j =1 # 0 < l < '(qu ). $ u > 1 0 < u ; 1, u = 1, q l% j < j , pj l. 2. & ax b (mod qu ) # #, # ord(b (mod qu)) j ord(a (mod qu )). 3. ' (3) # #, # Ai x Bi (mod qiui ;1) j = 1 : : : wi i = 1 : : : k: (9) Ai x Bi (mod pijij ) N
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Z
-
-
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(mod qi i ) ( i = 1 : : : k. >( 72 , Ai x Bi (mod '(qiui )), i = 1 : : : k, " Ai x Bi (mod qiui ;1) Y i = 1 : : : k: wi ij AxB p : i
i
j =1
ij
650
. .
1. (2) pi1 = 2, i1 = 1, i = 1 : : : k ( qi ). qi pij , j = 2 : : : wi, i = 1 : : : k, . wi a 6 1 (mod qiui ), ord(a (mod qiui )) = qiui;1;i0 Q pijij ;ij , i = 1 : : : k, j =1 i0 < ui ; 1, ui > 1, ij < ij j = 1 : : : wi, i = 1 : : : k. i = 1 : : : k ord(b (mod qiui )) j ord(a (mod qiui )). ' (3) # #, # u ;1 q ;1 bqi i i2 F (mod qiui ) i = 1 : : : k # F = 1 F = ;1. . ? k = 1, " $ "
2. k > 1. : (4)
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j =1
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2 # , wi Q Bi = qii0 pijij Mi .
3 " ! (3) j =1 (9). ? " Ai x Bi (mod qiui ;1 ) 7 , " " . wi wi Y Y pijij Li x qii0 ;i0 pijij Mi (mod qiui ;1;i0 ) (10) j =1
j =1
( ui = 1, 7 " , ui > 1, qi Li ). ?
" " Ai x Bi (mod pijij ) j > 1 (11) $ , pij (Ai ) = ij 6 pij (Bi ). 7
" (10) (11) # " .. B " , #( , " , ( (9)
, (12) Ai x Bi (mod 2) i = 1 : : : k: 4 i1 = 1, i1 = 0 ( i = 1 : : : k, Li ! . F , Ai 1 (mod 2), i = 1 : : : k. B " , (12) 2 -
651
2, 2 Bui ;1 q E;1 (mod 2), i = 1 : : : k, 2 E = 0 E = 1. > , i i u ;1 q ;1 bqi i i2 (giqi 2 )Bi (;1)Bi (mod qiui ). : 72 " $ . . ? s (1) " "( " ( 1 7 a (mod s) #( (s), (3) 2 #" ( ( ( # #2 , $ ( (1) (2) " #( 7 " #7
$ ). / 2 #( $ # . # . 1 2, # # # qi $ , " # $ qi ; 1 # $ , $ " s , 1 # ( #" (3). wi 2. q1 : : : qk | , qi;1 = 2 Q pijij , j =2 i = 1 : : : k, # pij | . pij , j = 2 : : : wi, i = 1 : : : k, , s = q1 : : :qk , (b s) = 1. t 2 , 1 6 t 6 k, a (mod qi) qi ; 1 i = 1 : : : t (qi ; 1)=2 i = t + 1 : : : k. ' (3) # #, # b b b b = : : : = = : : : = q1 qt qt+1 qk = 1 ; # qb | + . . C# "" " H $ $ " 7, 2. 5]. . : (4) " ( , Ai " # '(qi ) = qi ; 1 ( i = 1 : : : t, ( i = t+1 : : : k Ai ! " # (qi ; 1)=2. :
3 # Ai x Bi (mod 2) j = 2 : : : wi i = 1 : : : k: Ai x Bi (mod pijij ) C 2 2, 2 Ai x Bi (mod 2) i = 1 : : : k x Bi (mod 2) i = 1 : : : t Bi 0 (mod 2) i = t + 1 : : : k: ; 7 Bi ! 2 2, 2 qbi = 1. I" $ # " . ; 1 2 " qi ; 1 qj ; 1 # i 6= j ("( ( 2. / #"( # " ( (3). N
652
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(mod qiui )
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(14)
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. >( # a, b (3) "( -
. ? # # a, b, ( (3) , " a, Li = ord(a (mod qiui )), i = 1 2, | ! . > " xi (mod Li ), i = 1 2, ! b (mod s), b axi (mod qiui ), i = 1 2. >( # a, b 2 (3) , # b ax (mod s) , ax axi (mod qiui ) ( i = 1 2, x xi (mod Li ), i = 1 2, " $ " ! Li ! xi. # a, b (3) # "( . #$ # , # # a, b. ? $ ( (1), (2) s a " "(. " ( 1 2
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( (1) (2). - " a b " s)) 6 (s) . . # a, b " (. P = ord(a'(mod (s) '(s)
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Abstract S. G. Vasiltchenko, Instant of disorder of random sequence detection's algorithm, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 8 (2002), no. 3, pp. 655{665.
In this article the problem of search of random sequence's repeated disorders is considered. Here disorder is the instant of an uneven change of the 4rst derivative of mathematical expectation. In this article the distribution-free detection's method, which is founded on univariatestatistic, is proposed. Consistent estimates of number and co-ordinates of change points are obtained. Exponential convergence of errors of 4rst and second kind to zero is proved.
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1] . ., . . . | .: , 1979. 2] Hoehnke H.-J. U% ber das untere und obere Radical einer Halbgruppe // Math. Z. | 1965. | B. 89. | S. 300{311. 3] -. /. . 0 12 34 5 678 888 // 9. . :. . . . 6 . | 1975. | ; 10. | ? . . . 94. | . 1, 2. | .: , 1972. & ' ' 1998 .
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517.55
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Abstract V. P. Gromov, The order and type of operators and entire vector-valued functions, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 8 (2002), no. 3, pp. 689{703.
The concepts of the order and the type of a linear operator and the operator order and the operator type are introduced. The introduced concepts are illustrated by diverse examples. Thereat the theory of vector-valued entire functions is used.
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692
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694
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Abstract
O. V. Emovskaya, Integrable cubic ODEs on free associative algebras, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 8 (2002), no. 3, pp. 705{720.
ODEs with respect to two unknown functions belonging to the free associative algebra are considered. A complete classi6cation of such equations possessing linear 6rst integrals and at least one cubic in6nitesimal symmetry is performed. Equations of arbitrary degree such that a trace of any polynomial is a 6rst integral are investigated.
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714
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1] Olver P. J., Sokolov V. V. Integrable evolution equations on associative algebras // Commun. Math. Phys. | 1998. | Vol. 193, no. 2. | P. 245{268. 2] Mikhailov A. V., Shabat A. B., Sokolov V. V. Symmetry approach to classication of integrable equations // What is Integrability? | New York: Springer-Verlag, 1991. | P. 115{184. 3] Mikhailov A. V., Sokolov V. V. Integrable ODEs on associative algebras // Commun. Math. Phys. | 2000. | Vol. 211, no. 1. | P. 231{251. 4] . !"" # $ %&&'()*+ !(+. | ,.: ,, 1989. ' ( ) 2001 .
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Abstract
A. V. Kelarev, On graded rings and varieties, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 8 (2002), no. 3, pp. 721{727. For any semigroup S , we completely describe all varieties closed for taking S -graded rings. Also, we describe all varieties closed for sums of two rings.
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Abstract
S. N. Mikhalev, Isometric implementations of Bricard's octahedra of type 1 and 2 with given volume, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 8 (2002), no. 3, pp. 755{768.
The aim of this article is to prove that in most cases any positive root of the polynomials for volume of Bricard's octahedra of type 1 and 2 can be implemented as volume of some octahedra in R3, but there are some cases when it is not so.
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Abstract S. A. Pikhtilkov, On locally nilpotent radical of special Lie algebras, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 8 (2002), no. 3, pp. 769{782. The theory of locally nilpotentradical in special Lie algebras is constructedin the paper. For a 4eld of characteristic zero is shown that the special Lie algebra which locally nilpotent radical is zero is a product of semiprime and Abelian algebras.
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Abstract V. E. Plisko, The elements of the constructive model theory, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 8 (2002), no. 3, pp. 783{828.
A generalized predicate is de;ned as a function from the natural numbers N to 2N. The values of a generalized predicate are treated as -the realizations. of sentences. The logical operations on the generalized predicates are based on the ideas of Kleene's recursive realizability. A generalized algebraic system is de;ned on the ground of the concept of a generalized predicate. The notions of constructive truth in an enumerated system and in an arbitrary denumerable system are de;ned. It is shown that the relations of logical consequencecorrespondingto these semantics have not the compactness property and the set of logical tautologies is 311 -complete. The problems of axiomatizing the classes of algebraic systems in the languages with constructive semantics are studied.
1.
1945 . 4] (. 5, x 82]) ! # $ % #& % $ ' () * = %& & ! & ) = ! ' ' %+ ! 40>?@. , 2002, 8, B 3, . 783{828. c 2002 , !" #$ %
784
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1.
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788
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L(y1 : : : yn ) >(y1 : : : yn). 3 $ $ ) 4 -
789
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* 8-$ # % & L(y1 : : : yn ) S(x y1 : : : yn): 3 $ $ ) 4 (n + 1)- /4 % ' g, * $ )/&, * c c1 : : : cn g(c c1 : : : cn) 2 L(c1 : : : cn) S(c c1 : : : cn)]A: Q$ ( f(c1 : : : cn) = JaJxfg(x c1 : : : cn)g(a). 3 (, ', % >(y1 : : : yn ) $ 9xS(x y1 : : : yn) L(y1 : : : yn)
* 9- $ # % & S(x y1 : : : yn) L(y1 : : : yn): 3 $ $ ) 4 (n + 1)- /4 % ' h, * $ )/&, * c c1 : : : cn h(c c1 : : : cn) 2 S(c c1 : : : cn) L(c1 : : : cn)]A : Q$ ( f(c1 : : : cn) = Jafh((a)0 c1 : : : cn)g((a)1 ).
3. ; > L , ; ` >, ; j=I >. . 3 ( ; ` >, ( A | //4 - , ! & &#& # ;. &#& > ( % >(y), $4 ) , *&, y. $ 2 4 $ /4 % ' f, * (8c 2 N)f(c) 2 >(c)]A . - >(c) $ >, * >]A 6= ?. Q /#, &#& > ! //4! - , !
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790
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3.
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$ &#& ) $ Pi (m1 : : : mni ), $ m1 : : : mni 2 M, G #' !H . &#& Pi (c1 : : : cni ), $ c1 : : : cni | * , * cj = mj (j = 1 : : : ni), *, 2), . #' ! # &/ &, c1 : : : cni . m1 : : : mni .
4. #$ A = hP1 : : : Pki | ! , (M ), $ >(y1 : : : yn) | $ L N , , y1 : : : yn . %, c1 : : : cn d1 : : : dn , cj = dj (j = 1 : : : n), >(c1 : : : cn)]A = >(d1 : : : dn)]A . . (# $ ' ! *! $ % & >(y1 : : : yn). @$ ( $#& $ *, $ >(y1 : : : yn) | % , & $ # 2) $ 6. N$ ' &! 2 4 4() $ 1. 7. E $ (, * &#& > #& L ! - (M ), ( (M ) j=con >, ( > )/! //4! - , ! (M ). 1 &#& ! #& L , &, ! / *! (M ), / $ /#*( Thcon(M ) #&( .! ! / *! &.
791
$! ! / *! & | ., #(, $ , # / ! 2 % &, $ . $ (!2 $ ' ! / *! & / $ ( ' ) . - (. 2]), * & / * & (M1 1)
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f g, * (8n 2 N)(1 (n)) = 2 (f(n))K (7) ; 1 (8n 2 N) (2 (n)) = 1 (g(n)): (8)
5. & (M1 1) (M2 2) ' ,
! A, (M1 1),
! B, (M2 2), Th(A) = Th(B).
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, $ )4 (7) (8) . U , *
# ! (7) (8) $ &) $ )4 $ : (8n 2 N)1(g(f(n)) = 1(n) (9) (8n 2 N)2(f(g(n)) = 2(n): (10) 3 ( A = hP1 : : : Pk i | //4 - , ! ! (M1 1). ? $ i = 1 : : : k $ )4 /# $ ni -&! //4&! $ Qi : c1 : : : cni | # (& * , Qi (c1 : : : cni ) = Pi(g(c1 ) : : : g(cni )): (11) ://4 - B = hQ1 : : : Qk i (M2 2). ?! (, # $ //4 $ Qi ,
//4! - & A (M1 1), #% # M1 M2 ! (7), (10) & $ )4 '* . !: Qi (c1 : : : cni ) 6= ? , Pi (g(c1 ) : : : g(cni )) 6= ? , , M1 j= Pi (1(g(c1 )) : : : 1(g(cni ))) , , M2 j= Pi ((1(g(c1 ))) : : : (1(g(cni )))) , , M2 j= Pi (2(f(g(c1 ))) : : : 2(f(g(cni )))) , M2 j= Pi (2(c1 ) : : : 2(cni )):
792
. .
N, & 1) # $ 6. 3 ( * d1 : : : dni &, * 2(cj ) = 2(dj ) (j = 1 : : : ni ). Q$ (8) 1(g(cj )) = = ;1(2(cj )) = ;1 (2(dj )) = 1(g(dj )) (j = 1 : : : ni), //4 - A (M1 1), Pi (g(c1 ) : : : g(cni )) = Pi (g(d1 ) : : : g(dni )): (11) )$ * Qi (c1 : : : cni ) = Qi (d1 : : : dni ): Q /#, 2) # $ 6 & . U , * $ # (&, * c1 : : : cni $ (11) & Pi(c1 : : : cni ) = Qi (f(c1 ) : : :f(cni )): (12) ?! (, (11) Qi(f(c1 ) : : : f(cni )) = Pi(g(f(c1 )) : : : g(f(cni ))): (13) @ $ ! &, (9) 1(g(f(cj ))) = 1(cj ) (j = 1 : : : ni): :)$, # //4! & A ! ! (M1 1) & Pi (g(f(c1 )) : : : g(f(cni ))) = Pi(c1 : : : cni ) * (13) $ (12). 1. #$ >(y1 : : : yn) | L , , y1 : : : yn. ( (n+1)- - " , (8a c1 : : : cn 2 N) (a 2 >(c1 : : : cn)]A ) ) (a c1 : : : cn) 2 >(f(c1 ) : : : f(cn ))]B) (14) B (8a c1 : : : cn 2 N) (a 2 >(c1 : : : cn)] ) (15) ) (a c1 : : : cn) 2 >(g(c1 ) : : : g(cn))]A ) ! " ' >(y1 : : : yn ). . W '
/ $ $ ( $ ' ! ) % & >. 3 ( > | % Pi(v1 : : : vni ), $ v1 : : : vni | & # y1 : : : yn. $ # (11) (12), & /& /& #* c1 : : : cni &, v1 : : : vni , Pi(c1 : : : cni )]A = Pi (c1 : : : cni ) = = Qi (f(c1 ) : : : f(cni )) = Pi(f(c1 ) : : : f(cni ))]B
793
Pi(c1 : : : cni )]B = Qi (c1 : : : cni ) = = Pi (g(c1 ) : : : g(cni )) = Pi(g(c1 ) : : : g(cni ))]A : ; #*, * % '
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. @ 4 , % ' !, * , #*, * & /& /& * c1 : : : cn, L(c1 : : : cn)]A 6= ? , L(f(c1 ) : : : f(cn ))]B 6= ? (16) B A L(c1 : : : cn)] 6= ? , L(g(c1 ) : : : g(cn ))] 6= ?: (17) ? (16). 5 a 2 L(c1 : : : cn)]A , (14) (a c1 : : : cn) 2 L(f(c1 ) : : : f(cn ))]B : @ $ ! &, ( L(f(c1 ) : : : f(cn ))]B 6= ?, , a 2 L(f(c1 ) : : : f(cn ))]B: Q$ (15) (a f(c1 ) : : : f(cn )) 2 L(g(f(c1 )) : : : g(f(cn )))]A , . . L(g(f(c1 )) : : : g(f(cn )))]A 6= ?. - (9) 1(g(f(ci )) = 1 (ci) $ $ i = 1 : : : n, . $ 4 L(c1 : : : cn)]A = L(g(f(c1 )) : : : g(f(cn )))]A 6= ? * / ( $#(. @2 * $#& (17). N# (16), (17) $ 3 $ , * % '
$ ( : (a c1 : : : cn) = (a c1 : : : cn) = 0: 3 ( % >(y1 : : : yn) $ L0 (y1 : : : yn ) & L1 (y1 : : : yn), * $ % L0 (y1 : : : yn) L1 (y1 : : : yn) & % '
i i (i = 0 1), * & & (8a c1 : : : cn 2 N) (a 2 Li (c1 : : : cn)]A ) ) i (a c1 : : : cn) 2 Li (f(c1 ) : : : f(cn ))]B) (18) B (8a c1 : : : cn 2 N) (a 2 Li (c1 : : : cn)] ) ) i (a c1 : : : cn) 2 Li (g(c1 ) : : : g(cn))]A ): (19) 3 (a c1 : : : cn) = 20 ((a)0 c1 :::cn ) 31 ((a)1 c1 :::cn )
(a c1 : : : cn) = 20 ((a)0 c1 :::cn ) 31 ((a)1 c1:::cn ) : 3 , * | & % '
. 3 ( a 2 >(c1 : : : cn)]A . $ 3 . #*, * (a)0 2 L0(c1 : : : cn)]A
794
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(a)1 2 L1 (c1 : : : cn)]A . Q$ (18) 0 ((a)0 c1 : : : cn) 2 L0(f(c1 ) : : : f(cn ))]B 1 ((a)1 c1 : : : cn) 2 L1(f(c1 ) : : : f(cn ))]B: :)$ # $ 3 &, * * 20 ((a)0 c1:::cn ) 31 ((a)1 c1 :::cn ) $ L0(f(c1 ) : : : f(cn )) & L1 (f(c1 ) : : : f(cn ))]B, . . (a c1 : : : cn) 2 >(f(c1 ) : : : f(cn ))]B (14) & . 0 *, (# (19) $ 3, $#&, * &
(15). 3 ( % >(y1 : : : yn ) $ L0 (y1 : : : yn) _ L1 (y1 : : : yn), * $ % L0 (y1 : : : yn) L1 (y1 : : : yn) & % '
i i (i = 0 1), * & & (18) (19). 3 ( 0 ((a)1 c1 :::cn ) 0 (a c1 : : : cn) = 21 31 ((a)1 c1 :::cn ) (a)0 = 0 2 3 * ( 0 ((a)1 c1 :::cn ) 0
(a c1 : : : cn) = 21 31 ((a)1 c1 :::cn ) (a)0 = 0 2 3 *: X & /, (# (18), (19) $ 3, $#&, * $ $ &, % ' ! & & (14) (15). 3 ( % >(y1 : : : yn ) $ L0 (y1 : : : yn) L1 (y1 : : : yn), * $ % L0 (y1 : : : yn) L1 (y1 : : : yn ) & % '
i i (i = 0 1), * & & (18) (19). * (a c1 : : : cn) #( $ ! * *- ! % '
, #$! $ )4 & : (x) ' 1 (fag( 0 (x f(c1 ) : : : f(cn )) c1 : : : cn)): ?, * | % ' , . . & (14). 3 ( a 2 >(c1 : : : cn)]A, . ., $ 3, 8y(y 2 L0(c1 : : : cn)]A ) (!fag(y) & fag(y) 2 L1 (c1 : : : cn)]A )): (20) ?, * (a c1 : : : cn) 2 >(f(c1 ) : : : f(cn ))]B), & ,
x 2 L0 (f(c1 ) : : : f(cn ))]B , !(x)
(x) 2 L1(f(c1 ) : : : f(cn ))]B: (21) N, ( x 2 L0 (f(c1 ) : : : f(cn ))]B . (19)
0 (x f(c1 ) : : : f(cn )) 2 L0(g(f(c1 )) : : : g(f(cn )))]A : - (9) 1(g(f(cj ))) = 1(cj ) (j = 1 : : : n)
795
$ 4 $ L0(g(f(c1 )) : : : g(f(cn )))]A = L0(c1 : : : cn)]A : U* ,
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(a c1 : : : cn) = 2g((a)0 ) 3 ((a)1 (a)0 c1 :::cn ) : 3 , * | & % '
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796
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(x) 2 L(x f(c1) : : : f(cn ))]B : (25) N, ( x | # ( * . (24) #* fag(g(x)) $
fag(g(x)) 2 L(g(x) c1 : : : cn)]A : :)$ # (22) * (fag(g(x)) g(x) c1 : : : cn) 2 L(f(g(x)) f(c1 ) : : : f(cn ))]B: - (10) 2 (f(g(x)) = 2 (x), $ 4 $ L(f(g(x)) f(c1 ) : : : f(cn ))]B = L(x f(c1 ) : : : f(cn ))]B: U* , (fag(g(x)) g(x) c1 : : : cn) 2 L(x f(c1 ) : : : f(cn ))]B . . & (25). @2 *, (# (23), (9) $ 3, $#&, * * (a c1 : : : cn) #( $ ! * *- ! % '
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797
. 3 ( & & (M1 1) (M2 2) . &. ?, * Thcon (M2 2) Thcon (M1 1): 3 ( > 2 Thcon (M2 2). ; #*, * &#& > )/! //4! , ! (M2 2). ?, * )/! //4! , ! (M1 1). 3 ( A | # ( //4 , (M1 1). $ 5 4 //4 B, (M2 2), * Th(A) = Th(B). Q ) > B, . . > 2 Th(B), > A, * / ( $#(. 0 * $#& )* Thcon (M1 1) Thcon (M2 2). 3 ( M | / * * / * , M | . - (. 2]), * ' 1 M '
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798
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799
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800
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. * (30). 5 , , M 6j= >(c1 : : : cn), >(c1 : : : cn)]A = ? >(c1 : : : cn)]B = ?, . * & (30). 3 ( - ' ( % >(y1 : : : yn) $ (L0 (y1 : : : yn)L1 (y1 : : : yn ))
801
$ | $ # * , # &, _, , L0(y1 : : : yn ), L1 (y1 : : : yn ) | - ' (& % &, * L0 (c1 : : : cn)]A = L0(c1 : : : cn)]B (31) A B L1 (c1 : : : cn)] = L1(c1 : : : cn)] (32) & /& /& * c1 : : : cn. *, $ ( &, $ 3 $ $ (31), (32) >(c1 : : : cn)]A = L0(c1 : : : cn) & L1 (c1 : : : cn)]A = = fx j (x)0 2 L0(c1 : : : cn)]A & (x)1 2 L1 (c1 : : : cn)]A g = = fx j (x)0 2 L0(c1 : : : cn)]B & (x)1 2 L1(c1 : : : cn)]Bg = = L0(c1 : : : cn) & L1 (c1 : : : cn)]B = >(c1 : : : cn)]B: @2 * ) * , $ ( _ , *!, $ % >(y1 : : : yn ) $ :L0 (y1 : : : yn), $ L0 (y1 : : : yn) | - ' ( % , $ ! & (31). 3 ( - ' ( % >(y1 : : : yn) $ 9yL(y y1 : : : yn) $ y | , L(y y1 : : : yn ) | - ' ( % , *, & /& /& * c c1 : : : cn, L(c c1 : : : cn)]A = L(c c1 : : : cn)]B : (33) $ 3 $ $ (33) >(c1 : : : cn)]A = 9yL(y c1 : : : cn)]A = = fx j (x)1 2 L((x)0 c1 : : : cn)]A g = fx j (x)1 2 L((x)0 c1 : : : cn)]Bg = = 9yL(y c1 : : : cn)]B = >(c1 : : : cn)]B: @2 * *!, $ >(y1 : : : yn ) $ 8yL(y y1 : : : yn), $ y | , L(y y1 : : : yn ) | - ' ( % , * (33), & /& /& * c c1 : : : cn. N$ &! 2 #2. Q /#, )/ - ' ( &#& , //4&, - , A, &, $! ! - ! (M ), $ A- #' !. W > #& L # - , > / ( $! )/ 8 - ' (! % !. 1 $( $ )4 / % ( $ $ (- ' (&, % : > | /# ( % #& L , > | (- ' ( % K
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. 3 ( (M ) | / * & , A B | & ! //4& - &. (y1 : : : yn). 5 >(y1 : : : yn ) | /# ( % , $ 8 >(c1 : : : cn)]A 6= ? , M j= >(c1 : : : cn) , >(c1 : : : cn)]B 6= ? * $ (34). *, $ >(y1 : : : yn) - ' (! % !, $#& $ $ $ # $ 11. 3 ( (- ' ( % >(y1 : : : yn ) $ (L0 (y1 : : : yn)L1 (y1 : : : yn )) $ | $ # * , # &, _, , L0 (y1 : : : yn) L1 (y1 : : : yn ) | (- ' (& % &, *, & /& /& * c1 : : : cn, L0 (c1 : : : cn)]A 6= ? , L0 (c1 : : : cn)]B 6= ? (35) A B (36) L1 (c1 : : : cn)] 6= ? , L1 (c1 : : : cn)] 6= ?: X *!, $ ( &. (2) $ $ (35), (36) >(c1 : : : cn)]A 6= ? , L0 (c1 : : : cn) & L1 (c1 : : : cn)]A 6= ? , , ( L0 (c1 : : : cn)]A 6= ? L1 (c1 : : : cn)]A 6= ?) , , ( L0 (c1 : : : cn)]B 6= ? L1(c1 : : : cn)]B 6= ?) , , L0 (c1 : : : cn) & L1 (c1 : : : cn)]B 6= ? , >(c1 : : : cn)]B 6= ?:
803
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13. (M ), ! A0, Th(A0 ) 61 Th(A)
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804
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16. ( > ;, ; j=II >, , ; j=I >. . 3 ( = hE P i, $ E | $ &!, P | $&! $ & &. 3 ( /* ; # $ )4 , &#& ! & : 1) 8xE(x x)K 2) 8x8y(E(x y) E(y x))K 3) 8x8y8z(E(x y) (E(y z) E(x z)))K 4) 8x8y(E(x y) _ :E(x y))K 5) 8xP (x)K 61) 8x19y:E(x1 y))K 62) 8x18x2 9y(:E(x1 y) & :E(x2 y))K ::: 6n) 8x1 : : : 8xn 9y(:E(x1 y) & : : : & :E(xn y))K ::: 3 ( - (M ) , * ! & &#& # ;. 3 $ #*, * &#& # ;
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805
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# $ 6. 3 ( (a) = (b). Q$ M j= E((a) (b)), A (M ) E (a b) 6= ?, . . a b. - $, * $, f(a) = f(b) P 0 (a) = P 0 (b), * / ( $#(. 3 ( //4 A0 (M ), ! $ /&( &#& 5). 3 ( a 2 8xP (x)]A . Q$ $ )/ * x fag(x) 2 P 0 (x). 3 ( n | # ( * . N (# ) #2 ( A0 A1 : : :, .%% ! * x, * x 2 An , . . f(x) = n. &* fag(x), * : ( !fng(n) fag(x) = 10
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17. + > L - M $ , (>) M* , > 2 Th(M) , (>) 2 Thcon (M). . 3 ( > | # ( &#& #& L . U , * * &#& (>) * . &#& ) >, *, /& /& - M, M j= > , M j= (>). 3. $* $#(, * M j= (>) $
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807
$ 7 . # #*, * (>) (M ). N, M j= (>), (>) M. :/, ( &#& (>) M. ; #*, * & /& /& ' & M //4 A, ! ! (M ), &#& (>) A, . . (>)]A 6= ?. Q (>) | /# ( &#& , $ 8 )$ * M j= (>). Q /#,
&#& (>) M, & M j= (>). 10. E $ (, * &#& > #& L III- # &#& ! ; #& L (; j=III >),
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18. ; > L , ; j=II >, ; j=III >. . 3 ( ; j=II >, ( M | # ( / * * - , ! & &#& # ;. ?, * M j=con >. 3 ( | # ( ' & M. &#& # ; & ! (M ), ; j=II >, (M ) j=con >. Q /#, &#& > )/! ! $ (M ), . . M j=con >.
19. ; > L , ; ` >, ; j=III >. . 3 ( ; ` >. Q$ $ 15 ; j=II >, $ $ 18 & ; j=III >.
20. ( > ;, ; j=III >, , ; j=II >. . 3 ( = hP Qi, $ P Q | $& $ & &. 3 ( ; # $ )4 , &#& !: 1) 9x(P (x) & Q(x))K 2) 9x(P (x) & :Q(x))K 3) 9x:P (x)K 4) 8x(::P (x) P (x)): 3 ( / * * - M , * ! & &#& 1){4). 3 $ #*, * $ )/! '
& M $ )/! //4! - & A, ! ! ! (M ), &#& 1){4) & A. :)$ # $ 8 &, * M & &#& 1){3), . . M | $ ( ;. N ( M &#& ! 1){3) #*, * / ( $ P $ , /& $ . , $ & M. 3 ( a 2 M | ! . , * M j= P (a).
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833
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874
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875
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e-mail:
[email protected] 517.946
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Abstract
I. A. Rudakov, Nonlinear vibrations of a nonhomogeneous string, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 8 (2002), no. 3, pp. 877{886.
We consider a semilinear equation for the forced vibrations of a 9nite string with x-dependent coe:cients under Dirichlet boundary conditions. The existence of the time-periodic solution in nonresonant case is proved. It isn't require the Lipschitz condition. The proof uses the method of monotonic operators and principe Leray{Schauder of the 9xed point.
x p(x)utt ; (p(x)ux )x + g(u) = f(x t) 0 < x < t 2 R (1) u(0 t) = u( t) = 0 t 2 R (2) u(x t + T ) = u(x t) 0 < x < t 2 R: (3) $ p(x) % &1]: p(x) 2 H 2 (0 )) p(x) > 1 8x 2 &0 ] = ess 0inf] p (x) > 0 (4) 2 p (x) = 12 pp ; 41 pp : (5) 00
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878
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Z kf k2 = p(x)f 2 (x t) d:
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879
p 0 < b0 n1 6 n 6 n2 + 1 ; n < b1 n1
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A A L2 (B) r 1 r2 2 b p 'n (x) T 'n (x) cos a mt T 'n (x) sin ab mt : (10) T mn N : A0 : L2 (B) ! L2 (B), 2 M D(A0 ) = u 2 C (B) N X M X b b u= 'n (x) anm cos a mt + bnm sin a mt ) M N 2 N n=1 m=0 A0 ' = p'tt ; (p'x )x A% ' 2 D(A0 ). H 0 A~0' = p1 A0 ' A% ' 2 D(A0 ). O/ D(A0 ) = D(A~0 ) A L2(B). K (10) %; A~0 % 2 2 b b 2 2 n ; a m = (n + n ) ; a m n 2 N m 2 N f0g. :% % A L2(B), A A~0 . . &1] A A. H 0 T p(x) (4). P ) A /G, % R(A) L2 (B) A 1 2 L(R(A) R(A))) %) N(A) , 1 < a2 + a12 , N(A) = f0g) ; ) 0 d = inf 2n ; ab m 2 : n 6= ab m (d > 0, . &1]). P kA 1f k 6 d1 kf k 8f 2 R(A)) (11) ; ) 0 = inf ab m 2 ; 2n : ab m > n . P (A 1 f f) > ; 1 kf k2 8f 2 R(A) (Ay y) > ; 1 kAyk 8y 2 D(A)) (12) 2
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880
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j
2
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881
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882
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883
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884
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J (8), (9) , % A N2 2n ; n2 = 2nn +n2 > 2b0 > 0 A% n. H (Au2 u2) > 2b0ku2k2 . = 0, ; " p(24) /0
G 0 "ku3 k, 1p g(u) p"ku1 + u2 k. K 0, G C4 > 0, p"ku k 6 C 1 g(u) 6 C p"ku + u k 6 C ku k 6 C : (25) 3 4 1 2 4 2 4 p 4 :A ={I (21). P % , u" (17), 0 "u" + Au" + 1p g(u" ) = 1p f: (26) J (25) p "ku1"k 6 C4 kAu"k 6 C5 p1 g(u" ) 6 C4 (27) u1" = Pu" C5 | /0 . H 0 u2" = P2u" , u3" = P3u". J (27) (11) ku2" + u3"k 6 d1 C5: J (16) , ku"kL1 () 6 C6 C6 > 0 ". P dimN(A) < 1, 0 3 0 u" A ; % N(A). K 0, ku1"k 6 C7 C7 > 0. P % , (28) ku"k 6 d1 C5 + C7: : 0 ; (26) " ! 0. C, 0 0 0A g (14), 1 g(u ) ; 1 g(') u ; ' > 0 (Au ; A' u ; ' ) > 0 8' 2 D(A) " 2" 2 2" 2 p " p '2 = P2', u2" = P2u" .
885
J ; (26) 1 f ; "u ; Au ; A' ; 1 g(') u ; ' > 0: (29) " 3" 2 " p p J (27), (28) /0 0 "n ! 0, u"n ! u % L2 (B) Au3"n ! 2 L2 (B) % L2 (B): P , u3"n ! A 1 0 L2 (B). H A 1 = u3 = Au3 . 9 G (u3"n h) = (u3"n h3) = (u"n h3) ! (u h3) = (u3 h) 8h 2 L2(B): K 0, (Au3"n u"n ) ! (Au3 u). H; (29) "n ! 0, 1 f ; Au ; A' ; 1 g(') u ; ' > 0: 3 2 p p H/ (. &4]) ' = u + t, 2 D(A) t > 0: 1 f ; Au ; 1 g(u + t) ; tA 6 0 8 2 D(A): 2 p p S t ! 0, &4], A (17). P . . %% G &1]. ;
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886
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7] 6)" . 7. 8 ,. /"0 !(. // 9 ! 1!. -". (. 1. 1" %"", % *"". | 1984. | 5 2. | C. 9{13. & ' 2000 .
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Abstract L. M. Samoilov, On the -classical varieties, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 8 (2002), no. 3, pp. 887{910.
We study a -classical varieties of associative algebras with trace. They were introduced by A. R. Kemer. It is proven that in case of characteristic p > 0 there exists only a 4nite number of minimal -classical varieties. The basises of identities of these varieties are described. We also consruct new examples of prime varieties in positive characteristic using a new notion of convolution.
. , ( ) $
- % . - , & '. (. ) . *, - . + , . , % & , . -
.1] .6]. , 2002, 8, 5 3, . 887{910. c 2002 , ! "# $
888
. .
1.
3 ,
.3]. * A | % % F, R | % % , C(A) | % A : R ! C(A) | - F- . * ar = ra = a(r) a 2 A, r 2 R, A R- . * Tr: A ! R | R- Tr(ab) = Tr(ba) a b 2 A. 8 & (A R Tr) . , A, R , Tr. ( (A R Tr) (A R Tr ). * ( ) - F- : A ! A : R ! R - , = Tr = Tr . * X | (, ) F ] hX i | % % , & X. H
% hX i, X, 9 $ , u1 u2 , $ v w 2 hX i, u1 = vw u2 = wv. : u 2 hX i, u = fv 2 hX i : v ug. + T hX i % - F - % , & $ Tr(u), u 2 hX i. ( FehX i; = F ] hX i T hX i. + - F - : TPhX i ! CPFe hX i Tr: FehX i ! T hX i - (t) = 1 t Tr( u t) = Tr(u)t. Tr , Tr(ab) = Tr(ba) 8a b 2 FehX i. 8 & ; e F hX i T hX i Tr , , & X. * F ] hX i 1 F ] hX i X F hX i F ] hX i Fe hX i. ; 1 T hX i T hX i. , $ f 2 Fe hX i f = f(x1 : : : xm ) , Y = fx1 : : : xmg X 9 f 2 FehY i. 0, $ f(a1 : : : am ) 2 A. > , A f = 0, a1 : : : am 2 A f(a1 : : : am) = 0. e T.A] = ff 2 Fe hX i : f = 0 Ag 0
0
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-
889
( ) A. * FehX i, , Te- . > , fgi g ffi g, 9 Te- , ffi g, fgi g. + , F ,
e T- & . 3 , ;e FehX i Te- , f = f(x1 : : : xm ) 2 ;e e g1 : : : gm 2 FehX i f(g1 : : : gm ) 2 ;e Tr(f) 2 ;. ; & , - . ; , g A, Var(A)A
e e e e V T .V ]. ; T - - , . * & . + K % FehX i, & $ Tr(1). :& . * KSm+1 ( K) % f0 1 : : : mg. * f % K u0Tr(u1 ) : : :Tr(un), n > 0 u1 : : : un | hX i. * Pem m, x1 : : : xm . + K- m : Pem ! KSm+1 , m (xi1 : : :xir Tr(xj1 : : :xjs )Tr(xk1 : : :xkt ) : : :) = 2 Sm+1 % : = (0 i1 : : : ir )(j1 : : : js)(k1 : : : kt) : : :: + m - K- . : f 2 Pem , a 2 KSm+1 , fa = m1 (m (f)a) af = m1 (am (f)). B Pem KSm+1 -. * Pem KSm+1 . > , Te- ;e - , e T- ;e1 , ;e2 ;e 1;e2 ;e , ;e1 ;e e e e ;2 ;. ; Ve T-
e e , T.V ] - . + %
. '. (. ) .5] - e ( - T- ), - D. *. ( (. .7]). ;
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890
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Te- ;e - , 2 F, : 1) ;e A e 2) Tr(1) ; ;A 3) m > 0 m (;e \Pem ) KSm+1 A 4) ;e $ x = 0 ($ ). - (. .5] .4]). + , - ( . ) , char F = 0 . 3 $ , . I 2 F
- 9 : ( 4), 2 ZA char F = p > 0, 2 Zp. + I F - K, & $ Tr(1) = . + , K=I = F. $ - : KSm+1 ! F Sm+1 , % $ - K ! F. + F-- m : Pem ! F Sm+1 , m = m. + $ F- $-- % F em . J, em - FSm+1 . 8 Im f0 1 : : : mg.
2. M nk
9 (n ; k)- , Mnk , . * Mn G % F K & % . 8 G0 G1 & & K. * Mn G, % ( CA DB ), A D | % G0 n > 0 k > 0 , B C | % G1 , Mnk (n k ). H Mnk -% Tr: Mnk ! G0 Tr(ab) = Tr(ba), Tr ( AC DB ) = Tr(A) ; Tr(D), Tr(A) Tr(D) | L M % A D G0.
891
-
+ , ( ) Mn Mn0 , 2 m e nk] \ Pem = Te.Mn+k ] \ Pem . T.M 3 Mnk D. *. ( (. .7]). ' .8] $ , , . 0. m
l (T \ Pel ) ' ' KSl+1 , +' " l (hTr(xm+1 ) : : :Tr(xl )), h 2 T \ Pem . B , 0 - fnk . , , 9
M e
FSm+1 - T- ;e 1 e Tr(1) ; $ (fDi ), Di | D $ fDi , $ ( e 1 ). e + ;e 0 - T- , & 1 e Tr(1) ; $ (fDi ), Di . , , ;e 6= ;e 0 , $ ;e n ;e 0
f 9 m. FSm+1 f , g = em (f)
fD D. FSm+1 - M, &
$ g, . f , hdm i g = 0. , 5 , 2Sm+1 e 1 (dm 1 g) ; 1 e e (g) xj =1 , 9 T- ;e 0 . *$ 2 hdm i g m (;e 0 \ Pem ). 3 hdm i g 6= 0,
, & $ , g ( hgi ), , g 2 m (;e 0 \ Pem ) | . F Sm+1 = FSm + hdm i M FSm -. 3 9 , % D , f 2 ;e 0, f. B , ;e ( - ) Tr(1) ; $ e 1(fDi ), Di | . : $ % (n + 1) (k + 1) %, 9 2 5 .8] , ;e Mnk . ;
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4. # $
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- . , 2 Z char F = 0
-
897
2 Zp char F = p > 0. ; , - , Be . 8 t 2 Sm+1 , t % . * cm +1 =
mX +1 t=1
t;1 t
|
$ % FSm+1 . + cm +1 = cm dm = dm cm (3) m +1 . * $ c FSm+1 Cm+1 , Bm+1 = Annr (Cm+1 ). ; , Tr(1) = em1 (Bm+1 ), Be . > ,
. ;
5.
1) Be | - $ . 2) m (Be \ Pem ) = Bm+1 . . , -: f 2 em1 (Bm+1 ), : 1) fTr(xm+1 ) 2 em1+1 (Bm+2 )A 2) f jxm =1 2 em1 1 (Bm )A 3) Tr(f) 2 em1 (Bm+1 ). 1) 3 1. 2) * 3 (3) f jxm =1 Tr(xm ) 2 em1 (;m+1 ). + L M Tr(xm ), 9 4. 3) > , , Tr(f) = em1 ((0 m)(f(0 m)em1 (f)(0 m)gjxm =1 Tr(xm ))(0 m)): B . + , p > 5 Be2 (p ; 2)-$ , X - . , $
$ cm2 +1 m,
, - , fx ; xf = 0, fTr(x) ; Tr(xf) = 0, $ fTr(1) ; Tr(f) = 0. * Tr(1) = 6= 0 Tr(f) = 0 , f = 0, $
, Be2 p > 5 . D. *. ( .7]. ;
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898
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: Ve - , (3) V1 = (1) % 4 , Ve Be . B , , Be - . 39 9 %
$ . , $ . 6. I FSm+1 + " dm Ik+ , 1 6 k 6 m. k2 + k ; (m + 1) F , Ik+ 1 2 I . . I: 0 f0 1 : : : kg+ = (1 + (0 1) + (0 2) + : : : + (0 k))f1 2 : : : kg+ = = ( + (1 0) + (1 2) + : : : + (1 k) + (1 k + 1) + : : : + (1 m))f1 : : : kg+ ( + (2 0) + (2 1) + : : : + (2 k) + (2 k + 1) + : : : + (2 m))f1 : : : kg+ ::: ( + (k 0) + (k 1) + : : : + (k k ; 1) + (k k + 1) + : : : + (k m))f1 : : : kg+ + ;
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(i j) ;
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ij 2f1:::kg
k
; 1 + X(k + 1 j) ; : : : ; 1 + X(m j) + (m ; k) f1 : : : kg+ j =1 j =1 (1 ; k ; k(k ; 1) + (m ; k))f1 : : : kg+ = = ;(k2 + k ; (m + 1))f1 : : : kg+ : > $ f1 : : : kg+ , .
' . 7. I FSm+1 + " dm Ik , 1 6 k 6 m. k2 ; k ; (m + 1) F , Ik 1 2 I . 3. char F = p > 0, 2 f1 2 : : : p ; 1g k = . 1) F Sm+1 , ' " dm , Ik 1, 0 6 k ; 1 6 m,
Ip+ k , 0 6 p ; k 6 m, ' ' F Sm+1 # 2) F Sm+1 , ' " dm , Ik , 0 6 k 6 m,
+ Ip k 1, 0 6 p ; k ; 1 6 m, ' ' FSm+1. . , , I FSm+1 $ dm , Is , 0 6 s 6 m, Ip+ t, 0 6 p ; t 6 m. * , F (s ; t)(s ; t ; k) 6= 0 (4) s t L 9 M, Is 1 2 I, Ip+ t 1 2 I. * $ 9 % (s t) ( ;
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899
-
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(4) $ . * . - fn0, M f0k M f11 . , Be M e B
. 6. char F = p > 0. f10 # 1) Te.Be1 ] = M f01 # 2) Te.Bep 1 ] = M eB e ] = M f0 + M f0p # 3) char F = p > 5 2 f2 3 : : : p ; 2g, T. e e f 4) char F 6= 2, T .B0 ] = M11# 5) char F = 2, Te.Be0] Tr(1) = 0, xy + yx + Tr(x)Tr(y) = 0 xTr(y) + yTr(x) + Tr(xy) = 0. * . - , 1) 2) , 3). -, Be 1), 2) 3) 2. - , xy + yx + Tr(x)Tr(y)
xTr(y)+yTr(x)+Tr(xy) & & L M K {)$ 2. + Be0 char F = 2 f.x y z]gT , Be0 n > 1 .x1 y1] : : :.xn yn], . 3 %,
.4] Be ( ) , char F = p > 5 Te.Be2] () %
Tr(1) ; 2 = 0, 2 = 0, xp = 0 (x ; 12 Tr(x))p 2 = 0. 3 & m+1 , & L M. *
Ink m dm i, I FSm+1 hInk m . X O+1 : : :O+n P1 : : :Pk 2 Ink ;
;
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O+1 : : :O+n P1 : : :Pk dm = ;
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n X j =1
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k X j =1
O+1 : : :O+n P1 : : :(Pj fmg) : : : Pk : ;
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B , I $ m+1 L - M O+1 : : :O+n P1 : : :Pk 2 Ink Oj Pj ;
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900
. .
% . ) & . - Oj Pj L M , $ m+1 I
O+1 : : :O+n P1 : : :Pk 2 Ink %
$ , Oj Pj . m+1 = hI m dm i + I m+1 * Ink nk n 1k m +1 m +1 m m Ink = hInk d i + Ink 1. J, dm , . ;
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6.
3) 3 , Im0+1 \ I0mp+1 Cm+1 (5) . ; < p ; . > > p ; 9 , , $ . , - 2 f2 3 : : : p ; 2g I m+1 = Im0+1 , J m+1 = I0mp+1 , dl:::m = dl dl+1 : : : dm , Am+1 = F Sm+1 . + K i F Sm+1 , K i = (Ai+1 I i di )di+1:::m Am+1 \ J m+1 i 2 f1 2 : : : mg ( , I 1 = FSymf0g). + , dl FS(l 1)+1 , di+1:::m Am+1 = Ai+1 di+1:::m Am+1 . 3 K i Li : m +1 m+1 i 2 f2 3 : : : mg. L = I m+1 \ J m+1 , Li = I i di:::m Am+1 \ J 4 Lm+1 K m Lm K m 1 Lm 1 : : : K 2 L2 K 1 : (6) m +1 m +1 1 m +1 m +1 N , L = (I0 ) \ (I0p ) K = C . *$ , (6) (, , , Li K i ). > Li+1 = K i , i 2 f1 : : : mg. , $ I i+1 di+1:::m Am+1 \ J m+1 (Ai+1 I i di )di+1:::m Am+1 : i 2 . ) * i > maxf ; 1 p ; g = p ; g 2 I i+1 di+1:::m Am+1 \ J m+1 . $ g I i = = (Ai+1 I i di )di+1:::m Am+1 . , $ , 1 di g 2 I i 2 FSi+1. 0. ;e & e e
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7.
1) Ve | ( 1 + 2 )- $ . 2) m (;e \ Pem ) = ;m+1 . , 9& . 8. f 2 Pem . 1) Wm+1 m (f) = 0, Wm+2 m+1 (fTr(xm+1 )) = 0# 2) Wm+1 m (f) 6= 0, Wm+2 m+1 (fTr(xm+1 )) 6= 0. . 1) , , Wm+2 F Sm+2 Wm+1 . * A f0 1 : : : m + 1g, u 2 U A , v 2 V A . : m + 1 2 A, 1 uv 2 U A V A FSym(A)U A m V A FSm+2 Wm+1 . > m+ 1 2 A , & u v. + , Wm+2 $ uv . 2) : Wm+1 m (f) 6= 0, A f0 P 1 : : : mg, u 2 U A , v 2 V A uv m (f) 6= 0. * 4 u( 1 + (m + 1 j)) 2 U A m+1 . nf
g
j 2A
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905
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*$ uv( 1 + (m + 1 j)) 2 Wm+2 , , uv j A P + (m + 1 j) m+1 (fTr(xm+1 )) 6= 0. P
;
2
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j 2A
9. prm (Wm+1 ) dm1 +2 Wm+1 . . * A f0 1 : : : mg, u 2 U A , v 2 V A , 2 Sm+1 . 3
, prm (uv) dm1 +2 2 Wm+1 . : 2 Sm+1 g 2 FSm+1 , prm (g) = prm (g), $ , = e = (m j) j f0 1 : : : m ; 1g. ) , , m 2 A. B = (m j) j 2 A, u = u , u 2 U A A j 2 A, prm (uv) = 0. , = e. P P * u = . * pr(u) = , 2 0
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g
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= pr(u)
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* Wm+1 3, | 4. 7. ) 5, - ( , Tr(1) = 1 + 2 ): f 2 em1 (;m+1 ), : 1) fTr(xm+1 ) 2 em1+1 (;m+2 )A 2) f jxm =1 2 em1 1 (;m )A 3) Tr(f) 2 em1 (;m+1 ). 1) 3 8, 1. 2) * 9 3 f jxm =1 Tr(xm ) 2 em1 (;m+1 ). + L M Tr(xm ), 9 2 9. 3) > , , ; ; Tr(f) = em1 (0 m) (0 m)em1 (f)(0 m) xm =1 Tr(xm ) (0 m) : B . & 7 , % , & - , % . B , R(F) (F | ). 0, . +
p > 3 % . , %
& - . 3 $
9 g M f20 ) . B, , & Var( s p > 3. > Be2 '. (. ) ( ). : & , . 3 - , . , $ , . 8. ni (ki) |
{!" ( $
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Vei . Ve = Ve1 Ve2
{!" n1 + n2 (k1 + k2 ),
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{!" k(p ; 1) + n $
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{!"
/ & ' Mnk . . (7) f10 M f01 , 9 . M ;
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907
-
fp2 \ M fp2 p * p > 2 2 f0 1 : : : p ; 1g. B Te- M - , . , fp2 M fp2 p , Te- M . , $ K {)$ , $ , , p + p2 (p ; 1) > p2 + (p ; )(p ; 1) p2 + (p ; 1) < (p ; ) + p2 (p ; 1): ;
;
B 9 . 3 , n > 1, k > 0 n > 0, k > 1 k(p 1)+n
n(p 1)+k p = 3 9 , nk + n + k,
Tr(1) = n ; k. *$ enk1+n+k (fDn +1k+1 ) = 0 Tr(1) = n ; k. B 3 $ . 9 , n k, 9 p, e eM fnk ] 9 , nk+n+k, T- T. $ , % . Mnk & . , 2 . ;
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6. &' #
* , Te- - Ve ;e $ , e Tr(g) 2 e f(x1 : : : xt) 2 Pet, Tr(g(x1 : : : xs)) 2 Pes f 2= ;, = ;, e 8 - $ f(x1 : : : xt)Tr(g(xt+1 : : : xt+s)) 2= ;. , & . ) , f0 1 : : : mg = A A, A \ A = ?. + V A V A V A V A - FS A 1 ! FSym(A) FS A 1 ! FSym(A). 9 & , ;e - , m, A, A $ a 2 F Sym(A), a 2 F Sym(A) V A a 6= 0, V A a 6= 0 , Vm+1 (aa) 6= 0 ( V A A (aa) 6= 0). P , $ v = 2 F Sm+1 %
Sm+1 P FSym(A) FSym(A): prA (v) = . , - ;e - , m, A, A $ v 2 V A , v 2 V A & $ w 2 V A A = Vm+1 prA (w) = v v. > 9 , - . | . , . 10. 1 + &
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- $ . e f10 M f01 - , * T- M fnk ( 10 (7) Te- M
) n, k. *$ - %
- , char F = 0 - - . $ cm +1 % , Be - . ' , & . + - , . ; , 9
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& , SX = Sym(X). 11. , Ve 1 Ve 2 | $ - $ , $+ Ve 1
- $ , Ve = Ve 1 Ve 2 $ . . * C \ C = ?, W C c 6= 0, W C c 6= 0, B c 6= 0, A B = C, A B = C, A \ B = ?, U AV B c 6= 0, U A VP P A \ B = ?. * c = ci !i , c = cj !j , !i !j | SC SC SA SB SA SB , ci 2 F .SA SB ], cj 2 F .SA SB ]. * $ , k, l , 9u 2 U A A , (U A U A )(V B V B )ck cl 6= 0. , , P P 9v 2 V B B , (uv)ck cl 6= 0. B (uv) cicj !i!j 6= 0. , i1 6= i2 j1 6= j2 u1A A v1B B uA1 uA1 v1B v1B !i1 !j1 = u2A A v2B B uA2 uA2 v2B v2B !i2 !j2 uXi viX U X V X . 3, s > 1, '. (. ) . * $ Te- , . . . 3 $ - , 9 . \ , f20 + M f0p 2 ) M f10 = M f30 + M f1p 2, . (M , 9 2. '. (. ) 9 , , % .
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913
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Abstract A. G. Chentsov, Some questions of the structure of the programmed iterations method, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 8 (2002), no. 3, pp. 921{942.
Two abstract versions of the programmediterations method are considered. This method was used in the theory of di<erential games for constructing the value function and the stable bridges in the sense of N. N. Krasovskii. The connection of the direct version of the programmed iterations method and the known iterated procedure operating in the space of sets is investigated. The direct iterated procedure is realized in the space of set-valued mappings. For the indirect iterated procedure the natural process of the compression of phase constraints is realized= the corresponding goal set is >xed. The duality of two above-mentioned versions of the programmed iterations method is established. )' " 1 (! ?! )7 03 '& * (97-0-1.9-19) ,(3 3#-#! (! 1293). , 2002, 8, @ 3, . 921{942. c 2002 !" #$ , % " &
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Abstract M. B. Banaru, On Hermitian manifolds, satisfying the U -cosymplectic hypersurfaces axiom, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 8 (2002), no. 3, pp. 943{947.
It is proved that if a Hermitian manifold satis.es the U -cosymplectic hypersurfaces axiom, then it is a W4 -manifold.
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