Теория вероятностей и математическая статистика: Методические указания, расчетно-графические работы для студентов экономических специальностей

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФИЛИАЛ ГУ КузГТУ В Г. ПРОКОПЬЕВСКЕ КАФЕДРА ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Методические указания, расчетно-графические работы для студентов экономических специальностей очной формы обучения

Составители: И. Н. Чайковская Л. И. Мамонова С. В. Микова Утверждены на заседании кафедры Протокол № 9 от 20.06.08 г. Электронная копия находится в библиотеке филиала ГУ КузГТУ в г. Прокопьевске

Прокопьевск 2008

Рецензент: д.т.н., профессор, заведующий кафедрой математики и математического моделирования Новокузнецкого филиала-института ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет» Сергей Павлович Казаков

2

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ...................................................................................................... 4 Варианты расчетно-графических работ ................................................. 26 Список рекомендуемой литературы ....................................................... 55 Приложения .............................................................................................. 56

3

ВВЕДЕНИЕ В данной работе предлагаются методические указания к расчетно-графическим работам для студентов дневного отделения по темам: «Теория вероятностей», «Математическая статистика». Приведены примеры решения типичных задач. Методические указания к расчетно-графическим работам. Для выполнения заданий 1-4 необходимо использовать знания по теории вероятностей. При определении вероятности события по классической формуm ле Р ( А) = ([1] гл. 1; [2] гл. 1) расчет числа исходов испытания (m и n n) часто осуществляется с помощью элементов комбинаторики: перестановок, размещений и сочетаний. Выбор вида соединения удобно проводить по блок-схеме:

Пример 1. Имеется пятитомное собрание сочинений. Сколькими способами можно: 1) расставить книги на полке; 2) выбрать из них любые три тома; 3) выбрать и расставить на полке три тома?

4

Решение. В первом случае имеем дело с упорядоченным множеством из 5 элементов, т.е. в соединение входят все элементы. При этом на первое место можно поставить любой из пяти элементов (книг), на второе – любой из оставшихся четырех элементов, на третье – из трех, на четвертое – из двух, на пятое остается один элемент. Таким образом, число способов расстановки книг на полке равно 5·4·3·2·1=5!=120 – числу перестановок из всех пяти имеющихся элементов (P2=5!). Во втором случае, выбирая три книги из пяти, мы имеем дело с соединениями, отличающимися друг от друга хотя бы одним элементом (порядок не важен) – это сочетания из пяти элементов по три. Их число равно 5! 5 ⋅ 4 ⋅ 3! С53 = = = 10 . 3!⋅2! 3!⋅2!

А в последнем случае при расстановке трех книг на полке внутри каждой тройки книг учитываем все возможные перестановки из трех элементов (P3) и общее число соединений, отличающихся либо элементом, либо их порядком, – то есть размещение из пяти элементов по три, т. е. 5! А53 = = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 . (5 − 3)! Пример 2. Найти вероятности того, что номера трех томов, выбранных поочередно из данных пяти, будут идти в возрастающем порядке.

Решение. Обозначим через А интересующее нас событие. Число (n) всех возможных нумерации трех книг из пяти определяется по формуле для числа размещений: n = А53 = 60 . Число же тех нумераций, которые дают только возрастание томов без учета перестановок внутри каждой тройки, определяется по формуле для числа сочетаний m = С53 = 10 . Отсюда Р( А) =

m 10 1 = = . n 60 6

5

При нахождении вероятностей сложных событий следует пользоваться теоремами сложения, умножения и следствиями из них ([1] гл. 2-4; [2] гл. 2). Пример 3. Два стрелка делают по одному выстрелу. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,8, а вторым – 0,7. Найти вероятности попадания в мишень обоими стрелками и поражения мишени хотя бы одним стрелком.

Решение. Пусть событие А – попадание в мишень первым стрелком, В – вторым. Тогда событие С, заключающееся в одновременном поражении мишени обоими стрелками, является произведением событий А и В (C=A·B). Эти события происходят независимо друг от друга. Поэтому вероятность их произведения определяется по формуле P(A·B)=P(A)·P(B) и равна P(C)=P(A·B)=0,7·0,8=0,56. Рассмотрим теперь событие D – поражение цели хотя бы одним стрелком. Оно заключается в поражении мишени либо первым, либо вторым, либо обоими вместе. Это событие является суммой исходных событий, т. е. D=A+B. События А и В являются совместными, т. к. могут происходить в одном и том же испытании. Поэтому следует воспользоваться формулой P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B). Получим P(D)=P(A+B)=0,7+0,8–0,7·0,8=0,94. Пример 4. Пластмассовые заготовки для деталей поступают с пресса №1, выпускающего 50% всей продукции, с пресса №2, выпускающего 30%, и с пресса №3, дающего 20%. При этом доля нестандартной продукции у первого пресса 0,10, у второго – 0,05, а у третьего – 0,02. Наудачу взятая заготовка оказалась стандартной. Определить вероятность того, что она поступила с первого пресса.

Решение. Событие А – взятая заготовка стандартная. Она могла быть изготовлена прессом №1 (гипотеза H1), прессом №2 (гипотеза H2) или прессом №3 – H1. Вероятности этих гипотез соответственно равны P(H1)=0,5; P(H2)=0,3; P(H3)=0,2. Событие А может произойти с событием H1 с условной вероятностью РН1 ( А) = 1 − 0,1 = 0,9 . Аналогично имеем условные вероятности: РН2 ( А) = 1 − 0,05 = 0,95; 6

РН3 ( А) = 1 − 0,02 = 0,98. Тогда полная вероятность события А, определяемая по формуле 3

Р( А) = ∑Р(Н j ) ⋅ РH j ( А) , j =1

равна P(A)=0,5·0,9+0,3 0,95+0,2·0,98=0,931. Для нахождения вероятности PA(H2) – того, что заготовка изготовлена первым прессом, при условии, что она стандартная, применим формулу Байеса: РА (Н j ) =

P(H j ) ⋅ PH j ( A) P( A)

,

0,5 ⋅ 0,9 ≈ 0,483. 0,931 Аналогично можно найти условные вероятности гипотез H1 и H3. При этом должно выполняться условие РА(Н1) + РА(Н2 ) + РА(Н3) =1. Для решения задач на повторные испытания следует знать условия, к которым применимы формулы Бернулли, Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа ([1], гл. 5, 6 §5; [2], гл. 3, 4 §1).

Получаем РА (Н1) =

Пример 5. Монету подбрасывают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 2 раза. Решение. Число повторных независимых испытаний – подбрасываний монеты n=5 – малó. Вероятность выпадения герба в одном 1 испытании р = , вероятность противоположного события – выпаде2 1 ния цифры: q =1− p = . Тогда вероятность выпадения двух гербов 2 (k=2) следует определять по формуле Бернулли Рn (k ) = Cnk p k q n−k : 2

3

5! 1 4⋅5 5 ⎛1⎞ ⎛1⎞ Р5 (2) = C ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⋅ = = . ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 3!⋅2! 32 2 ⋅ 32 16 2 5

Пример 6. В городе каждая десятая машина – иномарка. За час по центральной улице проезжает 900 машин. Какова вероятность того, что иномарки составляют среди них не более 90 машин. 7

Решение. Число независимых испытаний n=900 – велико, а веро1 ятность появления иномарки р = не близка к нулю. В этих условиях 10 используют приближенные формулы Муавра-Лапласа. Так как нас интересует вероятность появления события не более 90 раз, то применим интегральную формулу Р(k1 , k 2 ) ≈ Ф( х2 ) − Ф( х1 ) , получим P900 (не более 90) = P900 (0,90) = Р900 (0 ≤ k ≤ 90) ≈ Ф ( х2 ) − Ф ( х1 ) , где 1 0 − 900 ⋅ k1 − np 10 = − 90 = −30 , х1 = = 3 npq 1 9 100 ⋅ ⋅ 10 10 k − np = х2 = 2 npq

По

прил.

1

1 10 = 0 = 0 . 1 9 3 100 ⋅ ⋅ 10 10

90 − 900 ⋅

определим

значения

(функция Ф (0) = 0, Ф ( −30) = −Ф (30) = −0,5 Ф(− х) = −Ф( х) и при х > 5 Ф( х) = 0,5 ).

функции Лапласа

Лапласа нечетная

Итак, P900 (не более 90) = 0+0,5=0,5. Пример 7. Учебник издан тиражом 10 000 экземпляров. Вероятность его неправильной брошюровки равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит две бракованные книги.

Решение. Так как число испытаний n=10 000 – великó, а вероятность р=0,0001 близка к нулю, то используем формулу Пуассона. Для этого определим параметр λ = np =1 и вычислим

λk е −λ

12 е −1 1 = ≈ 0,18 . k! 2! 2е Закон распределения дискретных случайных величин, их числовые характеристики рассмотрены в гл. 6-8 [1], гл. 4 [2], гл. 11 [3]. При составлении закона распределения случайной величины для нахождения вероятностей возможных значений можно использовать основные теоремы и формулы теории вероятностей. Р10000 (2) =

=

8

Пример 8. Рабочий обслуживает 2 станка. В течение первой смены первый станок потребует внимания рабочего с вероятностью 0,2, второй – с вероятностью 0,3. Составить закон распределения числа станков, потребовавших внимания рабочего в течение смены. Вычислить его числовые характеристики.

Решение. Дискретная случайная величина Х – число станков, потребовавших внимания рабочего. Обозначим событие Ai – внимание потребовал i-й станок, тогда, А i – i-й станок не потребовал внимания P(A2)=0,2, рабочего. Итак, P(A1)=0,2, Р( A 1) = 1− Р( А1) = 0,8 , Р ( A 2) = 1 − Р ( A 2) = 0,7 . Определим вероятность того, что случайная величина Х примет возможные значения 0, 1, 2: Р( Х = 0) = Р( А1 ⋅ А 2 ) = Р ( А1 ) ⋅ Р( А2 ) = 0,8 ⋅ 0,7 = 0,56; Р( Х = 1) = Р( А1 ⋅ А2 + А1 ⋅ А2 ) = Р( А1 ⋅ А2 ) + Р( А1 ⋅ А2 ) = = Р( А1 ) Р( А2 ) + Р( А1 ) Р( А2 ) = 0,2 ⋅ 0,7 + 0,8 ⋅ 0,3 = 0,14 + 0,24 = 0,38; Р( Х = 2) = Р( А1 ) ⋅ Р( А2 ) = 0,2 ⋅ 0,3 = 0,06. Составим закон распределения:

0 1 2 Х Р 0,56 0,38 0,06 3

Контроль ∑ рi = 0,56+ 0,38+ 0,06 = 1. i =1

Вычислим основные числовые характеристики: ƒ математическое ожидание М(Х), 3

М ( Х ) = ∑хi рi = 0 ⋅ 0,56 + 1⋅ 0,38 + 2 ⋅ 0,06 = 0,5 , i =1

ƒ дисперсию D( X ) = М ( Х 2 ) − (M ( X ))2 . Для этого составим закон распределения квадрата случайной величины Х: 0 1 4 Х2 Р 0,56 0.38 0,06 М ( Х 2 ) = 0 ⋅ 0,56 + 1⋅ 0,38 + 4 ⋅ 0,06 = 0,62 ,

D( X ) = 0,62 − (0,5) = 0,37 . 2

9

Среднее квадратическое отклонение: σ ( Х ) = D( X ) = 0,37 ≈ 0,61. В ряде задач на повторные независимые испытания вычисление вероятностей возможных значений случайной величины и ее числовых характеристик упрощается. Пример 9. Каждый из трех независимо работающих приборов регистрирует уровень шума, превышающий установленную норму с вероятностью 0,9. Составить закон распределения числа приборов, зарегистрировавших шум, превышающий норму. Вычислить его числовые характеристики.

Решение. Случайная величина Х – число приборов, зарегистрировавших превышение уровня шума, может принимать четыре значения (k=0, 1, 2, 3); соответствующие вероятности найдем по формуле Бернулли при n=3; р=0,9; q=1–р=0,1; k=0, 1, 2, 3. Р( Х = 0) = Р3 (0) = С30 р 0 q 3 = 0,001 ,

Р( Х = 1) = Р3 (1) = С31 р1q 2 = 0,027 , Р( Х = 2) = Р3 (2) = С32 р 2 q1 = 0,243 , Р( Х = 3) = Р3 (3) = С33 р 3 q 0 = 0,729 . Запишем закон распределения случайной величины: 0 1 2 3 0,001 0,027 0,243 0,729 3

Контроль:

∑р i =1

i

= 0,01 + 0,027 + 0,243 + 0,729 = 1 .

Закон распределения составлен правильно. Так как случайная величина имеет биномиальный закон распределения, то математическое ожидание М ( Х ) = n ⋅ p = 3⋅ 0,9 = 2,7 . Дисперсия D( Х ) = npq = 4 ⋅ 0,9 ⋅ 0,1 = 0,36 и среднее квадратическое отклонение σ ( Х ) = D( X ) = 0,6 . Особую трудность у студентов вызывает составление закона распределения. Поясним этот процесс еще на одном примере. Пример 10. На пути движения автомобиля 3 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,6 разрешает автомобилю дальнейшее движе10

ние. Найти закон распределения числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Решение. Здесь случайной величиной Х является число светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Пусть событие А – светофор пройден без остановки, А – противоположное событие (остановка). Вычислим вероятность значений случайной величины: Р( Х = 0) = Р( А) = 1 − Р( А) = 0,4 ,

Р( Х = 1) = Р( А ⋅ А) = 0,6 ⋅ 0,4 = 0,24 , Р( Х = 2) = Р( А ⋅ А ⋅ А) = 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 = 0,144 , Р( Х = 3) = Р( А ⋅ А ⋅ А) = 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6 = 0,216 . Контроль:

3

∑р i =1

i

= 0,4 + 0,24 + 0,144 + 0,216 = 1.

При исследовании непрерывных случайных величин используются основные законы распределения: нормальный, показательный и равномерный ([1] гл. 10-13, [2] гл. 6, [3]). Пример 11. Изготавливаемые цехом детали по длине распределяются по нормальному закону со средним значением 20 см и дисперсией равной 0,2 см2. Записать плотность распределения случайной величины Х (длина детали). Определить вероятность того, что длина наудачу взятой детали а) будет заключена в пределах от 19,7 см до 20,3 см; б) превысит 20,3 см.

Решение. Так как случайная величина Х – длина детали распределена по нормальному закону, плотность вероятности которого −( x−a)2

1 2 f (x) = e 2σ , а среднее значение длины а=20 и среднее квадратиσ 2π ческое отклонение σ x = D ( X ) = 0,2 ≈ 0,45 , то искомая плотность −( x − 20) 2

1 e 0, 4 . вероятности имеет вид f ( x) = 0,45 2π Вероятность того, что случайная величина примет значение из (19,7; 20,3), определяется через функцию Лапласа. 11

Ф ( x) =

по формуле

1 2π

х

∫е

t2 2

dt

0

⎛β −а⎞ ⎛α − а ⎞ Р(α ≤ Х ≤ β ) = Ф⎜ ⎟ − Ф⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠

и равна

⎛ 20 ,3 − 20 ⎞ ⎛ 19 ,7 − 20 ⎞ Р (19 ,7 ≤ Х ≤ 20 ,3) = Ф ⎜ ⎟ − Ф⎜ ⎟= ⎝ 0, 45 ⎠ ⎝ 0 , 45 ⎠ = Ф ( 0 ,67 ) − Ф ( − 0 ,67 ) = 2Ф ( 0 ,67 ) = 0 , 4980 . При этом значение функции Лапласа определяются по прил. 1. Аналогично рассматривается вероятность превышения длины 20,3 см. ⎛ ∞ − 20 ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ − Ф ⎜ 19 ,7 − 20 ⎟ = Р ( Х > 20 ,3) = Р ( 20 ,3 ≤ Х < ∞ ) = Ф ⎜⎜ ⎟ ⎜ 0, 2 ⎟⎠ ⎝ 0, 2 ⎠ ⎝ = Ф ( ∞ ) − Ф (0,67 ) = 0,5 − 0, 249 = 0,251 .

Пример 12. Продолжительность текущего ремонта автомобилей есть случайная величина Т с функцией распределения F(t) = 1− e0,17⋅t (t ≥ 0). Найти функцию плотности вероятности, математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что ремонт автомобиля продлится от 5 до 10 дней.

Решение. Для показательного закона распределения плотность вероятности f (t) = F′(t) = (1− e−λt )′ = λe−λt ; (t ≥ 0). Следовательно, плотность вероятностей случайной величины Т – продолжительности текущего ремонта автомобиля – при заданном параметре λ = 0,17 имеет вид f (t ) = 0,17e−0,17⋅t . Числовые характеристики показательного распределения вычис1 1 1 ляются по формулам М (t ) = , D (t ) = 2 , σ (t ) = . λ λ λ

12

Поэтому математическое ожидание М (t ) =

1 = 5,88 , дисперсия 0,17

1 = 34,6 и σ (t ) = 34,6 = 5,88. 0,172 Найдем вероятность того, что ремонт автомобиля продлится от 5 до 10 дней. Она равна: Р(5 ≤ Т ≤ 10) = F (10) − F (5) = (1 − e−0,17⋅10 ) − (1 − е−0,17⋅5 ) D(t ) =

= е−0,85 − е−1,7 = 0,4274− 0,1827 ≈ 0,24. Пример 13. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 1. Показания округляются до ближайшего деления шкалы. Найти функцию плотности вероятностей ошибки округления, ее математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Ошибка округления принимает значения из интервала [0; 0,5] и является случайной величиной, распределенной равномерно, т. к. все возможные значения внутри промежутка имеют равную вероятность. Функция плотности равномерного закона имеет вид ⎧ 1 = 2,0 ≤ х ≤ 0,5; ⎪ f ( x) = ⎨ 0,5 − 0 ⎪0, х < 0; х > 0,5. ⎩ Найдем числовые характеристики: ƒ математическое ожидание ∞

0

0, 5

∞

0, 5

−∞

−∞

0

0, 5

0

М ( х) = ∫ хf ( x)dx = ∫ 0xdx + ∫ x2dx + ∫ x0dx = 2 ∫ xdx = 0,25;

ƒ дисперсия ∞

D( х) =

2 2 ∫ x f ( x)dx − [M ( x)] =

−∞ 0,5

= 2 ∫ x 2 dx − 0,0625 = 0

2 3 ⋅x 3

0, 5 0

0

2 ∫ x 0dx +

−∞

0,5

2 ∫ x 2dx + 0

∞

∫x

2

0dx − 0,252 =

0, 5

2 −0,0625 = 0,53 − 0,0625 = 0,021; 3

ƒ и среднее квадратическое отклонение σ ( х) = D( X ) = 0,021 = 0,14

13

Замечание: Числовые характеристики равномерного распределения проще рассчитать, используя готовые формулы а+b (b − a ) 2 М (х) = , т. е. , D ( x) = 2 12 М (х) =

0 + 0,5 (0,5 − 0) 2 = 0,25, D( x) = = 0,021 , σ ( х) = 0,14 . 2 12

Пример 14. Функция распределения случайной величины имеет вид ⎧ 0 , х ≤ 0; ⎪х ⎪ f ( x ) = ⎨ , 0 < х ≤ 3; ⎪3 ⎩⎪1, х > 3 .

Требуется найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания случайной величины в интервал (2; 4). Решение. Найдем функцию плотности вероятностей по определению f (x) = F′(x) . Для этого продифференцируем функцию F(х), т. е. ⎧0, х ≤ 0; ⎪1 ⎪ f ( x) = ⎨ ,0 < х ≤ 3; ⎪3 ⎪⎩0, х > 3.

Числовые характеристики вычисляем по формулам ∞

∞

−∞

−∞

М (х) = ∫ х ⋅ f (x)dx; D( x) = ∫ ( x − M ( x))2 ⋅ f ( x)dx .

Иногда для определения дисперсии удобно использовать формулу ∞

D( x) =

∫x

2

⋅ f ( x ) dx − ( M ( x )) 2 .

−∞

Так как f(x) задана на разных интервалах различными аналитическими выражениями, то несобственный интеграл при нахождении математического ожидания и дисперсии будет представлен в виде суммы интегралов 0

3

∞

3

1 1 1 x2 М ( х) = ∫ х ⋅ 0 ⋅ dx + ∫ х ⋅ ⋅ dx + ∫ x ⋅ 0 ⋅ dx = ∫ x ⋅ dx = ⋅ 3 30 3 2 −∞ 0 3 14

1 9 3 = ⋅ = . 3 2 2 0 3

Дисперсию вычисляем по второй формуле 0

2

∞

3

3

1 1 9 ⎛3⎞ D( х) = ∫ х ⋅ 0 ⋅ dx + ∫ х ⋅ ⋅ dx + ∫ x 2 ⋅ 0 ⋅ dx − ⎜ ⎟ = ∫ x 2 ⋅ dx − = 3 30 4 ⎝2⎠ 0 3 −∞ 2

1 x3 = ⋅ 3 3

3 0

−

2

9 1 9 1 3 = ⋅9 − = 3− 2 = . 4 3 4 4 4

Найдем вероятность попадания случайной величины в заданный интервал по формуле 2 1 Р(2 < х < 4) = F (4) − F (2) = 1 − = . 3 3 Для выполнения заданий 5 и 6 необходимо использовать знания по математической статистике. Одной из задач математической статистики является установление закономерностей массовых случайных явлений, основанное на изучении результатов наблюдений. Покажем на примере систематизацию опытных данных и вычисление числовых характеристик. Пример 15. На угольных предприятиях определяли производительность труда рабочих при проходке штрека (случайная величина Х) и скорость проходки (случайная величина Y, м/мес). Результаты наблюдений приведены в таблице 1.

Таблица 1 Исходные данные (выборка) х

у

х

у

х

у

х

у

х

у

0,31 0,16 0,27 0,25 0,23 0,17 0,18 0,22 0,29 0,25

136 76 160 170 101 87 72 100 194 190

0.19 0,16 0,14 0,21 0,18 0,24 0,12 0,24 0,21 0,23

110 87 75 120 97 100 123 103 100 103

0,16 0,33 0,23 0,36 0,20 0,17 0,25 0,20 0,18 0,17

70 300 185 311 97 120 201 152 118 158

0,15 0,18 0,21 0,26 0,29 0,22 0,23 0,16 0,18 0,17

118 152 155 151 230 215 202 120 101 100

0,15 0,19 0,31 0,22 0,23 0,36 0,31 0,21 0,16 0,28

100 64 150 150 126 280 154 120 120 125

15

По данным Х (производительность труда рабочего (табл. 1)), необходимо: а) составить вариационный ряд; б) вычислить выборочную среднюю х , выборочную дисперсию Db , выборочное среднее квадратическое отклонение σ x ; в) подобрать теоретический закон распределения; г) проверить по критерию Пирсона правильность выбранной гипотезы при уровне значимости α = 0,05. Решение. а. Систематизация результатов наблюдения. Для построения интервального вариационного ряда определим оптимальную величину интервала (шаг) по формуле Стерджеса: x − x min , h = max 1 + 3,2 lg n где xmax и xmin – соответственно максимальные и минимальные значения Х, n – объем выборки. 0,36 − 0,12 0,24 h= = ≈ 0,04 . 1 + 3,2 lg 50 6,44 Величину интервала определяем с той же точностью, с какой заданы исходные данные. Составим таблицу распределения случайной величины или признака Х, называемую вариационным рядом. Таблица 2 Вариационный ряд производительности труда рабочих Интервалы J

Частота mi

[0,12; 0,16) [0,16; 0,20) [0,20; 0,24) [0,24; 0,28) [0,28; 0,32) [0,32; 0,36]

4 16 14 7 6 3

∑

50 16

Замечания к составлению таблицы 2. 1. Запись интервалов начинается с xmin и продолжается до тех пор, пока не войдет xmax . 2. Просматривая по табл. 1 исходные данные признака Х в порядке записи, проставляют (во втором столбце табл. 2) точки в интервале, которому соответствует данное значение Х. Подсчитав количество проставленных точек, определим частоту, соответствующую данному интервалу. 3. В интервал включаются значения большие или равные нижней границе и меньшие верхней границы интервала. б. Вычисление числовых характеристик Таблица 3 Расчет числовых характеристик xi

mi

xi ⋅ mi

xi − x

( xi − x) 2

( xi − x) 2 ⋅ mi

0,14 0,18 0,22 0,26 0,30 0,34

4 16 14 7 6 3 50

0,56 2,88 3,08 1,82 1,80 1,02 11,16

-0,08 -0,04 0 0,04 0,08 0,12

0,0064 0,0016 0 0,0016 0,0064 0,0144

0,0256 0,0256 0 0,0112 0,0384 0,0432 0,1440

∑

Замечания к таблице 3 1. В первом столбце записаны середины интервалов, например, 0,12+ 0,16 для первого интервала h = = 0,14. 2 2. В третьем столбце – результаты перемножения соответствующих значений первого и второго столбца. Вычисляем выборочную ∑ xi ⋅ mi = 11,16 = 0,2238 ≈ 0,22 . среднюю х = n 50 3. В четвертом столбце – разности между значениями xi и выборочным средним х . 17

4. В пятом столбце записываются квадраты значений четвертого столбца. 5. В шестом столбце записаны результаты перемножения соответствующих значений второго и пятого столбцов. Вычислим выбо-

∑(х − x) ⋅ m = 0,1440≈ 0,0029 и среднее квад= 2

рочную дисперсию Db

i

i

50 n ратическое отклонение σ x = Db = 0,0029 ≈ 0,053.

в. Построим полигоны эмпирических частот производительности труда рабочих 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

mi

xi 0,14

0,18

0,22

0,26

0,3

0,34

Для нормального распределения теоретические частоты m i по формуле

mi = где t i =

xi − x

σx

, ϕ (t ) =

nh

σx

⋅ ϕ (t i ), 2

t − 1 ⋅ e 2 , n – объем выборки, h – шаг 2π

интервала. Составим расчетную таблицу.

18

Таблица 4 Расчет теоретических частот xi

mi

0,14 0,18 0,22 0,26 0,30 0,34

4 16 14 7 6 3 50

∑

ti =

xi − 0,22 0,053

ϕ (t i )

-1,51 -0,75 0 0,75 1,51 2,26

0,1276 0,3011 0,3989 0,3011 0,1276 0,0310

mi =

50 ⋅ 0,04 ⋅ ϕ (t i ) 0,053 5 11 15 11 5 1 48

Замечения к таблице 4 Значения ϕ (t i ) находят по приложению 1 [1, с. 461; 2, с. 324] 2

t − 1 ⋅ e 2 ». При этом учиты«Таблица значений функции ϕ (t ) = 2π вают, что ϕ (− x ) = ϕ ( x ). Для Х > 3,99 ⇒ ϕ ( x ) = 0. Теоретические частоты округляются до целых. Гипотеза – случайная величина Х имеет нормальное распределение.

г. Проверим согласованность теоретического и эмпирического распределения по критерию Пирсона

x = 2 p

r

∑

(m

i =1

19

i

− mi mi

)

2

.

Таблица 5 Расчет величины x

2 p

( mi − m i ) 2

xi

mi

mi

mi − m i

( mi − m i ) 2

0,14 0,18

4 ⎫ ⎬20 16 ⎭ 14 7 6⎫ ⎬9 3⎭

5⎫ ⎬16 11⎭

4

16

1

-1 -4

1 16

0,07 1,45

1

1

0,166

50

48

0,22 0,26 0,30 0,34

∑

15 11 5⎫ ⎬6 1⎭

mi

2,686

Замечания к таблице 5 Если число наблюдений (частота m i ) в интервале меньше 5, то интервал объединяется с соседними и их частоты складываются. В этом случае и соответствующие им теоретические частоты m i также надо сложить. По прил. 5 «Критические точки распределения χ 2 » [1, с. 465; 2,

2 (k , α ), где α = 0,05 – уровень значимости, k – с. 329] находим χ табл число степеней свободы, k = r – 3 = 4 – 3 = 1 (r – число интервалов 2 после объединения), χ табл (1;0 ,05 ) = 3,8 . Т.к. χ p2 = 2,686 меньше

2 (1;0,05) = 3,8 , то различия между теоретическими и эмпирическиχ табл ми частотами незначимы.

Вывод. Производительность труда рабочих при проходке штрека распределяется по нормальному закону и имеет функцию плотности ( х − 0 , 22 ) 2

− 2 1 f ( x) = e 2 ( 0 , 053 ) . 0 ,53 2π

20

Пример 16. Вычислить выборочный коэффициент корреляции между случайными величинами Х (производительность труда) и Y (скорость проходки) по данным, приведенным в табл. 1 (пример 15). Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии σy y x − y = rb ⋅ ⋅ ( x − x ). σx Решение. Определяем величину интервала для интервального вариационного ряда признака Y: hy =

y max − y min 311 − 64 = ≈ 38 . 1 + 3, 2 lg n 6, 44

Составим таблицу для расчета выборочного коэффициента корреляции (табл. 6).

21

0,0784

102

57,12

хi mх

ух

хi m х у х

∑

2

0,56

хi m х

3

293,76

102

0,5184

2,88

16

2

3

2

4

3

4

4

414,48

134,57

0,6776

3,08

14

279,5

153,57

0,4732

1,82

7

1

1

2

4

10

0,24-0,28 (0,26)

2

0,2-0,24 (0,22)

0,16-0,2 (0,18)

0,12-0,16 (0,14)

mх

Y Х 64-102 (83) 102-140 (121) 140-178 (159) 178-216 (197) 216-254 (235) 254-292 (273) 292-330 (311)

22

297,594

165,33

0,54

1,8

6

304,297

298,33

0,3468

1,02

50

2

2 3

1

1

1

1

10

13

17

mу

6

0,32-0,36 (0,34)

1

2

2

0,28-0,32 (0,30)

Расчет коэффициента корреляции

622

273

235

1182

1590

1573

1411

уi m y

6886

193442

74529

55225

232854

252810

190333

117113

2

уi m y

2

1116306

96721

74529

55225

38809

25281

14641

6889

уi

312095

1646,75

955,80

2,6344

11,16

∑

Таблица 6

Замечания к таблице 6 1. В первой строке приведены интервалы для признака Х, полученные в примере 15. В скобках указаны середины интервалов. 2. В первом столбце приведены интервалы для признака Y, полученные в примере 15. В скобках указаны середины интервалов. 3. Просматривая по таблице 1 исходные данные (парами ( xi , yi ) ), проставляем точки в тех клетках табл. 6, которым соответствуют данные значения ( xi , yi ) . Число точек в клетке определяет частоту mij (i – номер строки, j – номер столбца). 4. В столбце m у указана частота по данной строке. 5. В каждой клетке столбца уi m y записаны произведения середины интервала на соответствующую частоту. 2 6. В каждой клетке столбца уi m y записаны произведения уi и уi m y . 2

7. В каждой клетке столбца уi записаны квадраты середин интервалов для признака Y. 2 8. Каждую клетку строк m х , хi mх , хi mх заполняем по аналогии с пунктами 4, 5, 6. 9. В строке у х записываем групповые средние признака Y. Например для столбца с интервалом [0,20; 0,24) и его серединой 0,22 полу83 ⋅ 4 + 121 ⋅ 4 + 159 ⋅ 3 + 197 ⋅ 3 чаем у х = 0 , 22 = = 134 ,57 . 14 10. В строке хi m х у х записываем произведения соответствующих значений строк хi m х и у х . 11. В конце каждой строки и столбца записываем суммы значений данной строки и столбца. Для определения коэффициента корреляции вычисляем значения

23

∑хm

11,16 = 0,22; 50 n ∑ yi mi = 6886 = 137,72; y= 50 n ∑ xi mi y x = 1646,75 = 32,935; xy = 50 n 2 ∑ x i mi = 2,6344 = 0,0527; x2 = n 50 2 y m i i 1116306 y2 = ∑ = = 22326,12; n 50 х=

i

i

=

()

σ x = Db ( x) = x 2 − x = 0,0527 − (0,22)2 = 0,054 ; 2

σy =

Db ( y) =

()

y2 − y

2

=

22326 ,12 − (137 ,72 ) = 57 ,96 . 2

Определяем коэффициент корреляции

rb =

xy − x ⋅ y

σ xσ y

=

32 ,935 − 0 , 22 ⋅ 137 ,72 ≈ 0,7 . 0 ,054 ⋅ 57 ,96

Так как rb = 0,7 , то связь между признаками Х и Y тесная, т.е. скорость проходки зависит от производительности труда. Определим коэффициент регрессии

ρ у х = rb ⋅

σy 57 ,96 = 0 ,7 ⋅ ≈ 751 ,3 . σx 0 ,054

Запишем уравнение прямой регрессии

y x − 137 ,72 = 751 ,3( x − 0 , 22 ) или y x − 751 ,3 x − 17 ,57 . Построим на одном чертеже полученную прямую регрессии и эмпирическую линию регрессии, отложив точки с координатами ( xi , у х ) 24

(xi – середины интервалов, у х – условные средние, вычисленные в таблице 6 в предпоследней строке) и соединив их ломаной. Y 350 300 250 200 150 100 50 0

X 0,14

0,18

0,22

0,26

25

0,3

0,34

ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ Вариант 1

1. Какова вероятность, что в январе наудачу взятого года окажется 4 воскресенья? 2. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает а) все три вопроса; б) только два вопроса. 3. В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый или черный. В урну опускается один белый шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар? 4. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом, без возвращения извлекают 3 шара. Случайная величина Х – число белых шаров в выборке. Составить закон распределения и найти М(х), D(x). 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

2,1 14 3,1 12,63 2,4 14,52

3,2 10,5 2 15,6 2,2 16,3

2,2 15,1 2,5 14,25 1,3 17,49

2,6 13 2,1 17,5 2,5 14,25

2,5 14,25 2,3 14,79 2 13,1

2,4 14,52 2,1 15,33 2 15,6

2,1 17,4 2,4 14,52

2,4 14,52 2 14,5

2,7 13,71 2,5 13,98

1,8 19,5 3 11,4

2,1 15,33 2,3 14,79

2,2 16,8 2 15,6

26

2,2 14 2,6 18

3,1 13,6 2,8 13,44

1,8 16,14 2,3 14,79

2,3 14,79 2,6 14,7

1,8 16,14 2,7 13,71 2,2 15,06

2,7 13,71 2,5 14,25 2,2 15,06

2,3 16,4 2,3 14,79 2,7 13,71

2,6 13,98 2,7 13,71 2,2 15,06

Вариант 2

1. Наудачу взятый телефонный номер состоит из пяти цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры кратны 3? 2. В каждой из двух урн находятся 4 белых и 6 красных шаров. Из первой урны переложили наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется красным. 3. Часы изготавливаются на 3-х заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40% продукции, второй – 45%, третий – 15%. В продукции первого завода спешат 80% часов, второго – 70%, третьего – 90%. Какова вероятность того, что купленные часы спешат? 4. Деталь, изготовленная заводом, считается годной, если отклонение X контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется выборочным средним отклонением. Считая, что для данной технологии σ = 5 и Х – нормально распределена, выяснить, сколько % годных деталей изготавливает завод. 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

5,15 143 5,2 141 5,91 163 4,53 127 5,53 154

7,02 200 5,81 162 5,17 144 5,08 132 5,59 168

5.48 152 6,39 171 4,78 145 4,85 147 5,13 143

5,44 154 5,62 140 5,51 168 6,73 187 5,09 179

4,46 131 6,02 175 5,01 151 4,76 133 6,67 203

27

4,44 120 5,31 148 5,82 162 6,11 182 5,22 146

5,61 156 4,8 120 6,32 184 5,82 156 5,77 161

5,31 148 5 148 4,62 129 5,29 139 5,61 160

5,68 165 5,05 151 4,35 138 6,26 174 5,23 146

5,48 153 5,89 164 5,28 158 4,6 124 6,15 171

Вариант 3

1. На отдельных карточках написаны цифры 1, 2, ..., 9. Все девять карточек перемешаны Наугад берут 4 из них и раскладывают в ряд друг за другом в порядке появления. Какова вероятность получить при этом число 1, 2, 3, 4? 2. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9; вторым – 0,8; третьим – 0,7. Найти вероятность того, что а) только один попал в цель; б) все три попали в цель. 3. Из полного набора костей домино (28 шт.) наугад берут две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой. 4. Сколько раз с вероятностью 0,0484 можно ожидать появления события А в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании равна 0,5? 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

4,88 4,00 3,62 2,10 4,58 2,50 3,61 1,80 4,25 2,75

3,95 2,57 4,22 2,73 3,86 2,52 4,03 2,30 4,08 2,65

3,64 2,38 4,07 2,64 3,55 2,33 3,86 2,52 4,41 2,85

4,16 2,70 3,91 4,20 3,12 2,00 3,79 2,47 4,33 2,80

3,96 3,00 3,75 2,70 3,19 2,11 3,43 2,26 3,93 2,56

28

3,88 2,53 3,25 2,15 3,81 2,48 3,98 2,59 3,58 2,35

3,78 2,47 3,50 2,30 3,92 2,70 4,14 2,68 3,87 2,52

4,28 2,90 3,80 2,48 3,95 2,57 4,16 2,69 3,68 2,60

4,18 2,71 4,71 3,03 3,98 2,90 3,91 2,80 4,23 3,10

4,10 2,66 3,61 2,37 4,28 2,77 3,74 2,45 3,66 2,39

Вариант 4

1. В урне 12 шаров: 5 черных и 7 белых. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар окажется чёрным? 2. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 1200 раз. 3. В спартакиаде участвуют: из первой группы 4 студента, из второй – 6 и из третьей – 5. Студент первой группы попадает в сборную института с вероятностью 0,9, для студента второй группы эта вероятность равна 0,7, а для студента третьей группы – 0,8. Наудачу выбранный студент попал в сборную института. В какой группе, вероятнее всего, учится этот студент? 4. Среднее число дождливых дней в июле 10. Оценить вероятность того, что в июле будет более 20 дождливых дней. 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05 . 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

20 4,3 16 3,7 19 3,6 15 3,55 21 4,45

13 3,25 11 3,4 19 4,15 19 4,15 30 5,6

25 5,05 11 4,1 33 4,1 24 4,9 22 4,6

32 3,5 14 5,2 22 4,6 13 3,25 14 3,4

32 4,8 15 3,55 21 4,45 15 3,9 29 5,65

29

34 3,1 10 2,8 26 4,9 10 2,8 18 4,0

10 3,5 17 3,5 32 5,6 30 5,8 24 4,9

20 4,5 19 3,4 27 5,35 10 3 32 6,1

32 5,8 24 4,1 14 3,4 15 3,55 13 3,25

13 3,25 19 4,15 11 3,6 28 5,5 10 2,8

Вариант 5

1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что произведение выпавших очков окажется равным 5? 2. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,04. Найти вероятность того, что в 1500 испытаниях событие наступит 10 раз. 3. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружено одно попадание. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок. 4. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньше 1 кг. Каков процент коробок, масса которых превышает 940 г.? 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

26 81 32 74,4 40 68 39 65,2 25 80

27 78,4 28 77,6 31 77,2 34 74,6 43 68,6

29 71,2 45 64 28 70,5 30 76 36 71,2

30 76 31 75,2 27 78,4 29 72,1 34 72,8

30 79,3 30 76 50 65.2 29 78,3 30 76

30

28 77,6 32 74,4 28 77,6 27 84,7 33 73,6

29 76,8 38 83,4 29 78,1 29 79,2 35 72

25 84,6 30 79,4 35 72 31 70,7 26 79,2

37 75,4 26 80 33 70,4 41 60,7 34 72,8

36 71,2 36 67,4 33 74,3 28 77,6 35 74,2

Вариант 6

1. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нём все цифры различные? 2. В партии из 1000 изделий 10 дефектных. Найти вероятность того, что из 50 изделий, взятых наудачу из нее, три окажутся дефектными. 3. Студент, разыскивая книгу, решил обратиться в три библиотеки. Для каждой из библиотек одинаково вероятно, есть в её фондах книга или нет. Если она есть, то одинаково вероятно, выдана она или нет. Что вероятнее, достанет студент книгу или нет? 4. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти f(x), M(x), D(x). ⎧0, x ≤ 1 ⎪ 2 ⎪x − x ,1 < x ≤ 2 F ( x) = ⎨ ⎪ 2 ⎪⎩1, x > 2 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

2,7 1,2 1,4 1,3 0,5 2 8,8 3 6,3 3

4 1,9 2,1 1,5 1,5 1,5 1,9 1,8 1,2 0,5

6,5 2,3 6,6 2,5 0,5 0,2 0,5 0,5 15 4,2

11,5 2,4 12 3,9 4,1 1,5 2,5 0,9 6 2,1

0,5 2,5 4,9 2,5 5,6 2,9 2,8 2,1 9,5 4,6

31

0,1 0,1 1,3 0,5 0,5 0,3 14,5 1 2,3 0,8

0,3 0,6 2,1 1,8 4,5 3,2 0,3 0,3 10,2 4,8

10,8 5,1 5,1 2,8 3,1 2 11,5 7 8,2 3,1

8,6 3,8 1,1 0,7 4,3 1 7,1 3,2 4,5 2,2

0,2 0,1 2,5 1,9 4,2 2 13,3 5 1,6 0,9

Вариант 7

1. В книге 500 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер кратный 7? 2. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 120 испытаниях событие наступит не менее 70 и не более 90 раз. 3. По самолету производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем – 0,8. При одном попадании самолет будет сбит с вероятностью 0,3, при двух – с вероятностью – 0,6, при трех – самолет будет сбит наверняка. Какова вероятность того, что самолет будет сбит? 4. Случайная величина Х задана функцией распределения F(х). Найти f(x), M(x), D(x). ⎧0, x ≤ 0 ⎪ 2 ⎪x F ( x ) = ⎨ ,0 < x ≤ 3 ⎪9 ⎪⎩1, x > 3 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

15 1,2 16,8 1,3 2,5 2,8 25,5 3,8 30 3

22 1,9 10,2 1,5 2 1,5 6,8 1,8 7 0,5

33,5 2,3 35 2,5 3,5 0,2 4,8 0,5 45 4,2

25 2,4 49 5,9 18,1 1,5 6,5 0,9 28 2,1

9 2,5 19 2,5 18,9 2,9 18,3 2,1 24 4,6

32

4,2 0,1 18 0,5 2,3 0,3 22,5 1 15 0,8

12,5 0,6 20 1,8 38,2 3,2 0,5 0,3 46,5 4,8

60 5,1 40 2,6 28,7 2 55,5 7 32 3,1

41 3,8 5 0,7 5 1 21,5 3,2 30 2,2

5 0,1 14,2 1 21,5 2 75 5 8,5 0,9

Вариант 8

1. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность, что в нем все цифры нечетные. 2. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготавливаются детали одного наименования. На первом станке 10%, на втором – 30%, на третьем 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на 1 станке; 0,8 – на втором и 0,9 – на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной. 3. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наудачу вынимаются два шара. Найти вероятность того, что будут вынуты шары разного цвета, при условии, что он не синий. 4. Дискретная случайная величина Х принимает два значения Х1 и Х2(Х1 S y F = ⎨ x2 y2 2 2 ⎪⎩ S y S x при S y > S x kx = nx – 1, ky = ny – 1

χ2 = ∑

r

− miT miT i =1 k = к − δ −1 r – число интервалов вариационного ряда, δ – число параметров распределения

(m

Критерий Пирсона

Наблюдаемое значение статистики, число степеней свободы

Ф(x ) =

1 2π

0

∫e

x

−

x2 2

dx »

z набл > z кр zкр из уравнения Ф (z кр ) = (1 − α ) 2 Функция Ф(x) по таблице «Таблица значений функции

Fнабл > Fкр Fкр = F p (k1 , k 2 ) «Квинтили распределения Фишера»

точки распределения χ 2 »

χ кр2 (n, α ) по таблице «Критические

2 χ набл > χ кр2

Критическая область при уровне значимости α=0,05

Приложение 4

4. Исследование грубых ошибок результатов наблюдений

H0: результат x0 принадлежит к остальным наблюдениям H1: x0 не принадлежит к остальным наблюдениям

DX и DY неизвестны, причем гипотеза об их равенстве отклоняется: H0: MX = MY H1: MX ≠ MY

DX и DY неизвестны, но предполагается, что они равны: H0: MX = MY H1: MX ≠ MY

60

2

) (

n x + S y2 n y

)

2

2 x

k = nx − 1

2

)

S2 n nx + y y nx − 1 ny − 1

(S

2 x

Критерий Стьюдента x −x t= 0 , Sx

k=

(S

k = nx + n y − 2

nx + n y − 2

(nx − 1)S x2 + (n y − 1)S y2

t-критерий Стьюдента x−y Т набл = , 2 S x2 S y + nx n y

S p2 =

t-критерий Стьюдента x−y , Т набл = 1 1 Sp + nx n y

,

t набл > t кр t кр (α , k ) по таблице «Критические точки распределения Стьюдента» (односторонняя критическая область)

Tкр (α , k ) по таблице «Критические точки распределения Стьюдента» (двусторонняя критическая область)

Tнабл > Tкр

Tнабл > Tкр Tкр (α , k ) по таблице «Критические точки распределения Стьюдента» (двусторонняя критическая область)

Продолжение приложения 4

Приложение 5

Критические точки распределения Число степеней свободы k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

χ2

Уровень значимости α 0,01

0,025

0,05

0,95

0,975

0,99

6,6 9,2 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2 24,7 26,2 27,7 29,1 30,6 32,0 33,4 34,8 36,2 37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 44,3 45,6 47,0 48,3 49,6 50,9

5,0 7,4 9,4 11,1 12,8 14,4 16,0 17,5 19,0 20,5 21,9 23,3 24,7 26,1 27,5 28,8 30,2 31,5 32,9 34,2 35,5 36,8 38,1 39,4 40.6 41,9 43,2 44,5 45,7 47,0

3,8 6,0 7,8 9,5 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7 21,0 22,4 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 38,9 40,1 41,3 42,6 43,8

0,0039 0,103 0,352 0,711 1,15 1,64 2,17 2,73 3,33 3,94 4,57 5,23 5,89 6,57 7,26 7,96 8,67 9,39 10,1 10,9 11,6 12,3 13,1 13,8 14,6 15,4 16,2 16,9 17,7 18,5

0,00098 0,051 0,216 0,484 0,831 1,24 1,69 2,18 2,70 3,25 3,82 4,40 5,01 5,63 6,26 6,91 7,56 8,23 8,91 9,59 10,3 11,0 11,7 12,4 13,1 13,8 14,6 15,3 16,0 16.8

0,00016 0,029 0,115 0,297 0,554 0,872 1,24 1,65 2,09 2,56 3,05 3,57 4,11 4,66 5,23 5,81 6,41 7,01 7,63 8,26 8,90 9,54 10,2 10,9 11,5 12,2 12,9 13,6 14,3 15,0

61

Составители: Ирина Николаевна ЧАЙКОВСКАЯ Любовь Ивановна МАМОНОВА Светлана Валерьевна МИКОВА Рецензент: Сергей Павлович КАЗАКОВ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Методические указания, расчетно-графические работы для студентов экономических специальностей очной формы обучения

Сверстано и отпечатано в филиале ГУ КузГТУ в г. Прокопьевске. 653033, г. Прокопьевск, ул. Ноградская, 19а. Редактор: Н. П. Романцова Подписано в печать 26.12.08 г. Отпечатано на ризографе. Формат 60×84 1/16. Объем 3,9 п. л. Тираж 100 экз. Заказ 007.

62

63