Элементарная математика с точки зрения высшей. Арифметика. Алгебра. Анализ

Ф.Клейн ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ВЫСШЕЙ. Т. 1. Арифметика. Алгебра. Анализ Книга выдающегося немецкого математика Феликса Клейна занимает особое место в популярной литературе по математике. Она в доходчивой и увлекательной форме рассказывает о тонких математических понятиях, о методике преподавания математики в школе (средней и высшей), об интересных фактах из истории науки, о собственных взглядах автора на математику и ее роль в прикладных вопросах. Первый том посвящен вопросам арифметики, алгебры, анализа. Автор рассматривает понятие числа (целого, рационального, иррационального), особо останавливаясь на тех «мостиках», которыми можно соединить вузовское и школьное преподавание математики. Написанная в форме лекций для учителей, книга и за давностью лет не потеряла своей значимости,, свежести, привлекательности. Для студентов-математиков, преподавателей, научных работников и просто любителей математики. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора 5 Введение 15 АРИФМЕТИКА I. Действия над натуральными числами 20 1. Введение чисел в школе 20 2. Основные законы арифметических действий 23 3. Логические основы теории целых чисел 26 4. Практика счета с целыми числами 35 II. Первое расширение понятия числа 37 1. Отрицательные числа 37 2. Дроби 46 3. Иррациональные числа 49 III. Особые свойства целых чисел 57 1. Роль теории чисел в школьном и университетском преподавании 57 2. Простые числа и разложение на множители 61 3. Обращение простых дробей в десятичные 62 4. Непрерывные дроби 64 5. Пифагоровы числа. Великая теорема Ферма 69 6. Задача о делении окружности на равные части 75 7. Доказательство невозможности построения правильного семиугольника 78 циркулем и линейкой IV. Комплексные числа 85 1. Обыкновенные комплексные числа 85 2. Высшие комплексные числа, в особенности кватернионы 88 3. Умножение кватернионов и преобразование поворотного растяжения в 99 пространстве

4. Комплексные числа в преподавании V. Современное развитие и строение математики вообще 1. Два различных ряда эволюции, по которым параллельно развивался математический анализ 2. Краткий обзор истории математики. АЛГЕБРА Введение I. Уравнения с действительными неизвестными 1. Уравнения, содержащие один параметр 2. Уравнения с двумя параметрами 3. Уравнения с тремя параметрами II. Уравнения в области комплексных чисел А. Основная теорема алгебры В. Уравнение с одним комплексным параметром 1. Двучленное уравнение zn = w 2. Уравнение диэдра 3. Уравнения тетраэдра, октаэдра и икосаэдра 4. Продолжение; вывод уравнений 5. О решении нормальных уравнений 6. Униформизация нормальных уравнений посредством трансцендентных функций 7. Разрешимость в радикалах 8. Сведение общих уравнений к нормальным АНАЛИЗ I. Логарифм и показательная функция 1. Систематика алгебраического анализа 2. Историческое развитие учения о логарифме 3. Некоторые замечания о школьном преподавании 4. Точка зрения современной теории функций II. О тригонометрических функциях 1. Теория тригонометрических функций в связи с учением о логарифме 2. Тригонометрические таблицы 3. Применения тригонометрических функций III. Исчисление бесконечно малых в собственном смысле слова 1. Общие замечания относительно исчисления бесконечно малых 2. Теорема Тейлора 3. Замечания исторического и педагогического характера ПРИЛОЖЕНИЯ I. Трансцендентность чисел e и π 1. Исторические замечания 2. Доказательство трансцендентности числа e 3. Доказательство трансцендентности числа π 4. Трансцендентные и алгебраические числа II. Учение о множествах

112 114 114 118 127 127 127 129 137 147 148 151 159 166 173 178 186 190 197 202 206 206 209 222 224 233 233 243 249 295 295 315 331 334 334 336 343 352 355

1. Мощность множества 355 2. Порядок элементов множества 372 3. Заключительные замечания о значении учения о множествах и о 378 преподавании в школе Примечания 382 Именной указатель 426 Предметный указатель. 429 Именной указатель Виет 41, 385 Абель 124, 198, 221 Виноградов 390 Адамар 8, 405 Влакк 247, 248 Адлер 397 Вольф 307 Александров 397 Вольфскель 74 Аристотель 118 Вороной 391 Архимед 119, 298, 310, 314, 334, 389, Гамильтон 26, 89, 91, 92, 94, 111 417, 419 Ганкель 42, 385 Бардей 113 Гарнак 332 Бауман 312 Гартенштейн 139, 142 Бах 392 Гаусс 60, 64, 76, 77, 86, 88, 113, 124, Башмакова 390 148, 152, 194, 221, 258—260 Безу 149, 403 Гегель 308 Беркли 311 Гёдель 383 Бернулли Даниил 292 Гиббс 283—285, 416 Бернулли Иоганн 286, 292, 307 Гильберт 30—32, 73, 309, 336, 344, Бернштейн 370, 425 333, 421 Бессель 221, 273, 274 Голузин 404 Болл 111 Гордан 205 Болтянский 394, 400, 412, 417, 421 Грассман 13, 28, 88, 96 Боревич 390 Гумбольдт 9 Борель 370 Гурса 332 Бригг 247, 248 Даламбер 302 Будан 137 Дедекинд 29, 52, 53, 383, 389, 390 Буркгардт 46, 47, 221 Декарт 120, 137, 385 Бюрги 211—216, 223, 408 Деламбр 258, 259 Вайнтроб 395 Делоне 391 Вебер 11, 17—19, 29, 45—48, 62, 64, Диофант 17 77, 84, 126, 221, 250, 260, 262, Дирихле 64, 282—284, 288—291, 294, 355 395, 421 Бега 248 Евграфов 404 Вейерштрасс 51—53, 115, 125, 289, Евдокс 310 303, 304. 387 Евклид 5—7, 14, 32, 50, 61, 72, 124, Вельштейн 11, 17—19. 45—48, 62, 125, 310 64, 77, 84, 126, 221, 250, 260, Ефремович 412 262, 355 Жордан 416, 417 Веронезе 309, 376

Зейфарт 14 Золотарев 391 Кавальери 293, 305, 388 Каган 11 Кант 26, 27 Кантор 29, 52, 55, 291, 355—357, 359, 362, 364—366, 371, 375, 378— 380, 386, 387-390, 425 Кардано 85, 119, 120, 193, 194, 210, 245 Касселс 390 Кеплер 297, 298 " Кестнер 36, 112, 113. 302 Кёниг 366 Кимура lit Киселев 384 Клайн 5 Клебш 125 Клейн 5-14, 137, 173, 190, 196, 198, 205, 233, 241, 263, 355, 359. 373, 382, 384, 385, 387, 389—391, 393, 397—399, 401—417, 419, 421, 422, 425 Кобль 205 Колмогоров 394. 423, 425 Колумб 122 Коперник 120, 245, 246 Копне 223 Коркин 391 Коши 116, 124, 221, 289, 300, 302, 311, 321, 326, 332. 409 Крылов 301 Куммер 73, 74 Кымпан 334 Кэли 102, 105, 110, 398 Лаврентьев 404 Лагранж 122-124, 218-220, 286—290, 311—313, 323, 324, 326, 331, 391 Лакруа 331, 332 Ламе 395 Лебег 386, 425 Лейбниц 30, 36, 85, 112, 121, 122,

211, 286, 300, 304-307, 312, 330, 423 Ли 125 Липшиц 418 Линдеман 335, 343-345, 352, 353 Листинг 411 Лиувиль 364 Лобачевский 5—7 Лопиталъ 307 Лоренц 7, 103, 105 Любсен 308 Ляпунов 412 Майкельсен 283—285 Маклорен 302, 330. _ Маркушевич 404 Мемке 35, 138 Меркатор 120, 121, 210, 216, 217, 241 Мёбиус 251, 253, 260, 261, 264—266, 411, 412 Минковский 27, 60, 103, 105. 391, 394, 395 Мольвейде 258, 259 Монж 125 Морделл 395 Муавр 148, 196, 219, 240, 241 Непер 120, 210—214, 216, 223, 247, 248 Новиков 383 Ньютон 5, 115, 121, 189, 216, 217, 241, 300-302, 305, 324, 325, 327—331, 334, 421, 423 Ом 113 Парфентьев 385 Пеано 28, 29, 377, 425 Пейрбах 245 Пикар 125, 230, 243 Питискус 246, 247 Пифагор 49, 69, 354, 397 Платон 118, 172, 173 Пойа 8 Постников 391, 395 Привалов 404 Птолемей 244 Пуанкаре 8, 28

Фомин 394 Пуассон 307 Фробениус 398 Региомонтан (Мюллер) 245 Фурье 11, 13. 137, 287, 288-292, 294, Рассел 383 295, 333 Ретикус 246 Хинчин 391. 395 Риман 7, 116, 124, 125, 154, 157, 159, ал Хорезми 400, 401 171, 199, 242, 243, 289, 379, 380, Цейтен 335 404, 411 Циммерман 77 Робинсон 387, 417, 421 Чермак 62 Рудио 334 Чизхольм 257 Рунге 134 Чини 376 Рыбников 383, 385 Шабат 404 Сервантес 113 Шарп 335 Серре 332 Шатуновский 52 Симон 19, 38, 126, 232 Шафаревич 390 Сосинский 395 Шиммак 16, 17, 316 Стинрод 376 Шлёмильх 332 Стреттон 283, 284 Штифель 209, 210. 245 Таннери 223 Штуди 250, 259. 260, 262 Тейлор 116, 121, 190, 217, 220, 242, Штурм 135, 137 315, 316, 320—323, 328—331, Эйлер 14, 85, 108, 115, 122—124, 155, 333, 408, 411 218, 219, 238, 286-288, 292, 302. Томе 32, 36 331, 334, 391, 395, 396, 410 Тропфке 43, 126 Энрнкес 84 Уайтхед 383 Эратосфен 62 Урысон 425 Эрмит 335, 337, 339, 346, 354 Успенский 421 Юнг (Чизхольм) 257 Федоров 7 Юшкевич 385 Ферма 9, 62, 69, 71-75, 88, 394, 395, Якоби 125, 197 396, 418, 422 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Геометрия аффинная 7 Аксиома Архимеда 389, 419 — Лобачевского 5, 7 — Кантора 55 — неархимедова 310, 419, 421 Алгебра 12, 17, 127, 398 — проективная 7 Алгоритм 118, 400, 401 — эллиптическая 7 Анализ 13, 17, 206 Грассманов принцип определителей — нестандартный 387, 417, 420, 421 13 Арифметика 11, 17, 20, 28, 30—32, Графическое мышление 18, 127, 129, 57, 383 401 Бесконечно малые числа (актуальные Группа преобразований 6, 7 бесконечно малые) 305, 309, — самосовмещений 8, 405 376, 417 Групповой подход к геометрии 6, 8 Бутылка Клейна 8 Движения 13, 400 Вектор 13, 397 Двойственности принцип 132 Выполнимость вычитания 37

Действия арифметические 23 Деления окружности теория 9, 58, 75—78, 396 Делители единицы 390 — нуля 90 Диагональный метод Кантора 362, 371, 372 Дискриминантная кривая 135, 139 — поверхность 143, 147 Дифференциал 304, 306, 307 Диэдр 166, 172, 173, 405 Дроби 45—47, 62, 386 — десятичные 58, 62, 385, 387, 389 — — бесконечные 62, 387 — непрерывные 58, 64, 65, 391, 392 — подходящие 66, 68, 392 Законы сложения 24, 25, 39 — умножения 24, 25, 27, 39 Измерение геометрических величин 13 Инвариантов теория 13 Индукция 27 Интеграл 296, 300, 314, 409—411, 415 — Эрмита 337—342, 346 Интерполяция 11, 322, 323, 327, 328 Интуиция 27, 28, 31, 33 История математических понятий 40—43, 49, 85, 86, 88, 112—126, 209—222, 244—249, 286—295, 297—313, 331, 332, 334, 335, 382—385 Исчисление бесконечно малых 19, 121, 302, 305, 308, 313, 333 — конечных разностей 324—329 Карта мира меркаторская 14 Квадратура 233, 297 — круга 59, 120 Кватернионы 9, 11, 91—111, 398, 399 Логарифм 206—209, 392, 408 — натуральный 208, 209, 224—227, 233, 234, 410 Малые колебания маятника 267, 413, 414 Метаматематика 383—384

Множество 29, 355-381, 383, 425 — всюду плотное 48, 375 — несчетное 357, 361—368 — счетное 357—361, 373 Модель 5, 6, 397 Мощность множества 355, 356, 368, 372, 379 Наглядность 10, 14, 20, 22, 48, 385 Неприводимость 84, 163 Непротиворечивость 5, 30, 391, 397 — действий с комплексными числами 87 Неразрешимость задачи трисекции угла 161—166 — — построения правильного семиугольника 78—80, 84 — кубического уравнения в квадратных радикалах 79—84 Огибающая 132, 133, 140 Однородные переменные 153 Основания геометрии 14 Основная теорема алгебры 9, 148— 150, 403 Оценочные вычисления 26 Площадь 297, 416, 417 Поворотное растяжение 99—102, 105—110 Поле 388, 389, 397, 398 — упорядоченное 389 — — неархимедово 388, 420 Порядковые типы множеств 373, 374, 379 Постулат пятый Евклида 6 Правило знаков 39, 42, 44 Правильные многогранники 172— 178 Предел 230, 300. 302, 311, 417 Преобразования геометрические 13, 14 — Лоренца 7, 103—105 — проективные 13 Преподавание математики 9—11, 14—18, 20, 22, 23, 33, 34, 47, 48, 57—59, 112, 123, 222—224,

227, 232, 268—272, 313—315, 333, 380—385, 388—390, 395, 401, 406, 408—411, 413, 417. 425 Приближенные вычисления 35 Приложения математики 21, 33, 59 Принцип Кавальери 298 — перманентности Ганкеля 42 Произведение векторное (внешнее) 96-98, 398 — скалярное 96, 398, 415 Производная 10, 298, 300, 302, 304, 311, 312, 314 Пространственные представления 18 Пространство 5 —— многомерное 13, 399 Ребро возврата 142, 144 Реформа математического образования 9, 10, 18 Риманова поверхность 8, 11, 153, 154, 156—158, 163, 168, 171, 179— 181, 404, 409 — сфера 152 Ряды Фурье — см. тригонометрические ряды Сечение 67 — дедекиндозо 52, 53, 375, 386 Соприкасающаяся парабола 315— 319 Сходимость ряда 124, 277 Таблица умножения 2! Теорема о среднем 303, 304, 311, 418 — Пикара 230, 243 — Тейлора 116, 121, 217, 242, 315, 316, 319, 322, 328—330 — Ферма великая 9, 69, 71—75, 395 — — малая 62 Топологический предел 416 Топология 380, 403, 412, .425 Точки ветвления 151, 153, 154, 156— 158, 167, 168, 179, 231, 404, 409 Трансцендентность числа e 9, 334, 336—343 — — π 9, 59, 334, 343—352

Тригонометрические ряды 11, 272— 285 — таблицы 243—249 — функции 233, 240, 242, 249 Тригонометрия сферическая 13, 250— 266, 411 Униформизация 190—192. 196, 228, 229 Уравнение алгебраическое 127 — двучленное 12, 159, 188 — диофантово 18 — дифференциальное 117, 122, 267, 405, 410 — диэдра 12, 166, 196, 197, 201, 202 — икосаэдра 173, 176—182, 196, 198— 202 — октаэдра 173, 175, 176, 178—186, 196, 201, 202 — тетраэдра 173—175, 177, 178, 182, 196. 201, 202 — 2-й, 3-й или 4-й степени 12, 128, 130—132, 140, 145, 193—196, 202, 203 — 5-й степени 203, 204 Уравнения Коши — Римана 116 Условия Дирихле 282, 283, 289—291 Фундаментальная последовательность 386, 387 Функции 10, 286—295 — автоморфные 8, 405 —— аналитические 123, 219 — гиперболические 237 Функции комплексной переменной 116, 124, 220, 221 — непрерывные 293, 369, 370 — трансцендентные 13, 225 — тригонометрические 233, 240, 242, 249 Функциональное мышление 13 Цифры арабские 21 Чисел теория 26, 30, 57—62, 64, 71, 390, 391, 395 Числа алгебраические 312, 349, 351, 353—355, 357—360, 423, 424

— гипердействительные 387—389, 421 — иррациональные 49—53, 56, 57, 65,, 67, 68, 389 — комплексные 85-88, 112—114, 397 — — высшие (гиперкомплексные) 88-90 — многозначные 21 — натуральные 20 Числа отрицательные 37, 38, 40, 43. 384 — пифагоровы 9, 69—71, 393 — простые 58, 61, 396

— рациональные 48, 65, 357, 358 — трансцендентные 9, 59, 334, 336— 354 — целые 23, 26, 35, 57 Число измерений континуума 376— 378 Школьное обучение — см. преподавание математики Эйлера формула 115 Элементарная математика 10—12, 17, 29, 43, 84 Эрлангенская программа 6, 13, 14 Явление Гиббса 283—285