УДК 65.0. 12.122
Венmцель Е. С. исследова",ие операций. М., .Советское 31 000 экз., и. 1 р. 96 к.
ОГЛАВЛЕНИЕ
радио&, ...
5 downloads
208 Views
79MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
УДК 65.0. 12.122
Венmцель Е. С. исследова",ие операций. М., .Советское 31 000 экз., и. 1 р. 96 к.
ОГЛАВЛЕНИЕ
радио&, 1972, 552 стр., т
-
науки, зани· Излагаются основы исследовання операций мающейся количественным обоснованием решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. В книге рассматриваются основные понятия и методологичес кие принципы исследования операций, математические методы оп· тимизации (линейное, динамическое программирование, теория игр и статистичесIШХ решений). а также методы математического моде лирования операций. Большое внимание уделяется прикладной теории марковских случайных процессов (с приложсниями в облас· ти теории массового обслуживания, теории надежности) и матема· тическому описанию процессов, протекающих в сложных,. много элементных системах (метод дннамики средних). Рассматриваются методы статистического моделирования операцнй на ЭЦВМ и ОСНО' вы метода сетевого планирования. Книга содержит ряд новых ма· териалов, разработанных автором в последние годы и нигде ранее не публиковавшихся. Изложение ведется на сравнительно элементарном уровне, впол не доступном читателю, зиакомому с обычным вузовским курсом математики и с элементами теории вероятностей. Излагаемые мето ды нллюстрируются большнм количеством примеров из разных областей практики. Книга рассчитана на широкий круг читателей - инженеров, экономистов, научных работников и хозяйствеННblХ руководителей, интересуюшихся применением математики к обоснованию опти, мальных решений Рис. 266. табл 119, библ. 29 наим.
!
Предисловие Введени!'
6
1
1. Основные nОНJl7ия исСllедованuя операций
11
1. Операция. Эффективность операции 2. Математическая модель операциИ" .... 3. Общая постановка задачи исследования операций. ДегеРМИIIИрованный случай . . . . . . • . • . • • • . • 4. Общая постановка задачн исследовання операций Опти �Iиза· ция решения в условиях неопределеиности . 5. Оценка операции по нескольким показател ям ...
11 14
2. Лине4Nое nроераммированиг
28
1. 2.
3.
4. 5.
6. 7. 8. 9.
10. 11. 12. 13. 14 .
3.
f
.
.
.
.
Д инамическое
npolpaМACupoBaHuг
•
•
•
2. Задача о наборе высоты и скорости летател ьным аппаратом 3. Общая постановка задачи динамического программироваиия. Интерпретация управления в фазовом пространсгве 4. Задачн распределеиия ресурсов. . . 5. Прныер решения задачи распределения ресурсов 6. Другие задачи распределеиия ресурсов . . . 1 Распределение pecypco� со вложением доходов в производство 8 Решение задачи динамического программирования с учетом предыстории процесса. . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . 9. Задачн динамического программироваJlИЯ, не связаIlные со вре· менем . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . • . • .
.
.
93-72
18 23
Задачи линейного программирования . 28 Основная задача линейного программирования 39 Геометрическая интерпретация основной задачи линейного про· граммирования . . . . . . • . . . . . . . • . . _ . . . . 45 Задача линейного программирования с ограничениями-не ра-_ венствами. Переход от нее к ОЗЛП и обратно.. • • • . . . 55 Симплекс-метод решення задачн лннейного I1рограммирования 59 Табличный алгоритм заыеНhI базисных переменных 63 Отыскание опорного решения основной задачи линейного IIрО' граммирования 71 . . . . . • • . • . . . . . . . . . . Отыскание оптимального решения основной задачи линейного 11 программирования . . . . . . . • • . . . . . • . • Транспортная задача линейного программироваНИ51 8з 81 Нахождение опорного плана. . . . . . . . . . 91 Улучшение плана перевозок. Цикл пересчета Решение транспортной задачи методом потеfщиалов 99 110 Транспортная задача с неправильным балансом . Решение транспортной задачи по критерию вре мени 115
1. Задачи ДI:lнамического ПрОl'Рeкти вности W выража ется в виде с у ные этапы, для н а хожден и я решен и я , тел ей Wt, дост и гнутых за отдел ь эффе ктивнос ть, может быть п р и менен ную ксималь ма ющего обеспеч ива и я (см . гл . 3) . метод Д и н а м и ч е с к о г о п р о г р а м м и р о в а н енци а л ьными диффер и венным обыкно ется а Если операц ия описыв , предста вляет ем времен со я яющеес ие, мен влен упра а ниями, уравне ьного уп собой некотор ую фун кцию x(t) , то для на хождени я оптимал метод танный разрабо ьно специал м полезны ся оказать ра ВJ1ения может Л. С. Понтр я ги на [3J. ном случае Та ким обра зом, в рассмат рива емом детер м и н и р ован математ ической к я сводитс я и решен ьного оптимал я и н ка отыс задача может быть весь задаче отыс к а н и я экстрем ума фун кции W; эта задача в кон це концов, но, х), а ргумент а многих при но (особен ма сл ожной о при нал ичии я вляется вычисли тел ьной зада чей, ко торую, особенн до конца . решить иначе или к та ется уда быстродействующих ЭЦВМ, , а не прин Трудности, возни кающие при этом, явл яются ра счетным и •
ципиал ьными.
4.
В ИЯ О Б ЩАЯ П О С ТА Н О В КА З А Д А Ч И И С СЛ Е Д О А Н Я И Е Ш Н Р Я Е И О П Е РА Ц И Й . О П Т И М И З А Ц В У СЛ О В И Я Х Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О С Т И
, в предыдущем па раграф е мы рассмот рели самый простой пол
услови я операции ностью детерми нирова нный случ а й , когда все Т к впол я 2 известн ы , и любо й выбо Р решени Х) , Х , . ПРИ80ДИ (Х) , а 2 ' . W сти ктивно е эфф я ел показат чению зна у не определенном встре К сожалению, этот простей ший случай не та к уж часто в с е е н когда , случай н типиче более чаетс я на п р а кт�ке. Гора здо известн ы зара , я и операц иться провод будет х которы в я, и в усл о еленности . Напри нее, а некотор ые и з н и х содержат элемент неопред чески х услови й, ологи метеор от ь зависет может мер , успех опер а ции и предложения, которы е зара нее неизвестны, ил и от колеба н и й спроса моды, или ж е ми каприза с х связанны , з а р а н ее трудно предвидимых за ра нее н еиз го которо я действи ника, против ого разумн от поведен ия . .
' "
веатны. не от В подобн ых случая х эффективность операц ии за висит уже двух, а от трех категори й фа кторов: , котор ые известн ы за 2 - услов ия вы п олнен и я операции cx,l ' сх, , ра нее и и зменены быть не могут; неизвестные услови я ил и фа кторы Y1, У 2, ; элементы р ешен ия х1 , Х 2 , . , котор ые нам предстоит выб рать_ • • •
. . .
. .
18
\
=
' П у с т� ЭФФ
ивность операции характеризуется некоторым пока зателем ПJ , зави щим от всех трех груп п фа кторов . Это мы запишем в виде общей фор улы: (4. 1 ) Е сли бы условия У1 , У 2, . . . были известны, мы могли бы за ра н ее по д с ч итать показатель W и выбрать такое решение x1, Х2, . . . , пр и кот о ром он ма ксимизи руется. Б еда в том, что па раметры Y1, Y 2 , . нам не и звестны, а зна чит, неизвестен и за висящи й от н и х пока зател ь эффе К тивности W пр и Лlобом решении . Тем н е мен ее задача выбора решения по-прежнему Стоит перед нами . Е е можно сфо рмул и р овать та к : Пр и зад ан н ых условuях cx,l , сх, 2, . . . , С учетам неuзвесПlJtых фактор ов . н ай ти так ие элемен ты решен ия Xl' Х2 , , котарые no воз У1 • у 2 , МОжност и обраш,али бы в максимум показ атель эффективности W. Это - уже друга я, не чисто математическа я задача (недаром в ее формулиров ке сделана оговорка «по возможности») . Наличие неизвест ных фа кторов У} У 2, переводит нашу задачу в другую катеГОРИ1Q' она п р евращается в задачу о выборе решения в условиях неоnределен насти. дава йте будем честны : неоп ределенность есть неопределенность. Если условия выполнения операции неизвестны, мы не имеем возмож ности та к же успешно организовать ее, как мы это сделал и бы если бы располагаJ1И бол ьшей информацией. Поэтому любое решен и �, П Р ' l Н я тое в услови � х неопределенности, хуже ре шени я , прин ятого во впол fe определеннои ситуаци и. Наше дело - сообщить своем у решен ию в н аи бол ьшей Возможной мере черты разумности . Решение, прин ятое в ус лови я х неоп ределенности , но на основе матема тических ра счетов , бу дет все же л учше решени я , выбра н ного наобум. Неда ром один из вид н ы х з а р убежных специалистов - Т. Л. Саати в книге «Математичес кие методы исследова ния операци й» [41 дает своему предмету следую щее и роническое определение: «Исследование опер а ци й предста вл яет собо й и скусство давать плох ие ответы на те пра ктические вопросы, на которые да ются еще худшие ответы другими методамИ» . Зада чи о выборе решения в условиях неопределенности встр ечают ся нам в жизни на каждом шагу . Пусть, например , мы собрались ехать в отпуск, взяв с собо й чемодан огра ниченного объема, причем вес че мода н а не должен превышать того, при котором мы можем носить его б ез посторонней помощи (условия cx,l ' сх, 2 , . . . ). Погода в р а йонах путе шеств и я зара нее неизвестна (условия У1, У 2, . . ). Спрашиваетс я , ка кие предметы одежды (х}, Х2, ) следует взять с собой ? Эту задачу мы , ра зумеется, реша ем без всякого математического а п па рата , хотя , по-видимому, не без опоры на ка кие-то численные да н ны е ( хотя бы на вероятности морозной или дождливой погоды в р а йо п утешестви я в дан ное время года ) . Одна ко, если н ужно п р и нять алее сер ьез ное и ответствен ное решение (на пример , о хара ктеристи ках праектир уемой п лоти ны в ра йоне вазлюжных паводков , или о вы б о р е ти па поса дочного устройства дл я посадки на пла нету с неизвест. .
. . .
. .
,
. . .
.
. . .
�ax
19
��
/
\
р ужения д ля н ыми свойствами повер хности, или о выборе обра зца ; неизвестны), борьбы с противни ком, хара ктеристики которого за то выбору решения в обязательном порядке должнь� быть предпосла ны математические расчеты, облегчающи е этот выбор и сообща ющие ему , в доступной мере, черты разумности. Применяемые при этом методы существенно зависят от того, ка· кова природа неизвестных фа кторов Yl , У 2 , ' " И ка кими ориенти ро вочными сведения ми о них мы располагаем. На иболее простым и бла гоприятиым для ра счетов явл яется слу ча й, когда неизвестные фа кторы Y l, У 2, предста вл я ют собой с л у ч а й н ы е в е л и ч и н ы (или же случа йные фун кци и), о которых имеются статистические да н ные, ха ра ктеризующие их распределение. Пусть, на пример , мы рассматриваем ра БС>ту железнодо рожной сорти ровочной станции , стремясь оптимизи ровать процесс обсл у ж ива ния пр ибывающи х на эту станцию грузовых поездов . Заранее неиз вест ны н и точные моменты п рибытия поездов, ни количество ва гонов в каж дом поезде, ни адреса , по которым направляются ва гоны. Все эти ха ра ктер истики представляют собой с л У ч а й н ы е в е л и ч и н ы, за кон распределения каждой и� которы х (и их совокупности ) может быть определен по имеющимся данным обычными метода ми математи ческой статистики . Аналоги чно, в каждой воеННQЙ операции присутствуют случа й ные фа кторы, связан ные с ра ссеи ва нием сна р ядов, со сл уча йностью моментов обнаружен ия целей и т. п. В принци пе все эти фа кто ры могут быть изучены методами теории вероятностей , и для них могут быть по лучены за коны распределения (или, по кра йней мере, числовые х а р а к теристи ки) . В случае, когда неизвестные фа кторы, фигурир ующие в опера явл яются обычными сл учайными вели чинами У}, У 2, ции (или случа йными фу н кци ями), распределение которых, хотя бы ор иен ти ров�чно, известно, для оптимизации решен и я может быть применен один из двух приемов: искусственное сведение к детермини рованной схеме; «оптимизация В среднем». Оста новимся более подробно на каждом из эти х приемов. Первый прием сводится к тому, что неопределенная, вероятност на я картина явлени я пр иближенно заменяется детерминирова нной. для этого все участвующие в задаче слу ч а й ные фа ктор ы У 1 , У 2 ' приближен но заменяются не случайными (ка к правило, и х математи ческими ожида ниями). Этот прием примен яется по преимуществу в грубых, ориентиро вочных расчета х , когда диа пазон случа йных изменени й величин Yl, сравнител ьно мал , т. е. они без большой натяжки могут рас У 2' сматриваться как не случа йные. Заметим, что тот же прием замены сл уча йных величи н их математическими ожиданиями может успешно обладают боль п р име н яться и в сл у ч а я х , когда вел и чи ны У 1 , У 2' шим ра зб росом, но показател ь эффективности W зависит от н и х ли нtЙНО (ил и почти линейно) . • • .
-
. • •
-
• . .
• • •
. . .
2Q
\ \
Второй np�M (..
П2 Па
t:
1.
П4
ЗАДА Ч И Л И Н Е й Н О ГО П Р О Г Р АМ М И Р О ВА Н И Я
Во многи х областя х практики возни кают своеобразные задачи оптимизаци и решен и й , для которых ха рактерны следующие черты: - показатель эффекти вности W представляет собой линейную фу н к цию от элементов решения Хl ' Х 2, ; - огр аничительные условия , налагаемые на возможные решения, имеют вид линей ных равенств или неравенств . Та кие задачи прин ято называть задаЧдми линейного nрограмм иро
1.J
Элемент бел к и
I I I \
ан ан а З1 а4]
I I I I I
угл е в оды
а12 а22 а З2 а42
I I I I I
жиры
а1з а2з аза а4з
Очевидно, обща я стоимость ра циона будет
или короче
• • .
вания * ) .
Приведем несколько примеров задач линейного программирова ния из разных областей практики. 1. Задача о пищевом рационе. Имеется четыре вида продуктов пита н и я ; П 1, П 2 , Па, П4•
( 1 . 2)
-
Запишем математически условия (1 . l ) . В одной единице продукта allxl ; в Х2 П1 содержится al1 единиц бел ка , значит, в Xl единицах единица х продукта П 2 содержится а 21Х 2 единиц бел ка и т. д. Общее ко л и чество белков , содержа щееся в рационе, не должно быть меньше b1 ; отсюда получаем первое условие-неравенство: ( 1 .3)
Известна стоимость еди ницы каждого продукта :
)
Из эти х п роду ктов необходимо составить пищевой ра цион, который должен содержать:
- белков не менее b 1 еди ниц , - углеводов не менее Ь2 еди ниц, - жи ров не менее Ь з еди ниц.
28
В
рацион .
Слово «прогр а М r. l и р о в а ние» з а и мств о в а н о из з а р убеж н о й л и те р ат у р ы сл у ч ае оз н ачает не 'по и н ое, к а к «пла н и р ова ние»
д а н ном
Эт и условия представл яют собой о ваемые н а решение . Возникает следующа я задача :
г
)
(1 .4)
р а н и ч е н и я, на клады
Вье6рать такие неотрицаmeльные зн ачения neременных Xl . Х2, Ха,
Х4 , удовлетворяющие линеЙньt..М неравенствам (1 . 4) . при которых ли �
неuн.ая фун.кция этих nеремен.ных
L
=
C1X1 + C�Z
+ СзХ з +
С(Х.
обра щалась бы в минимум.
Хl' Х2, ХЗ, Х4
О)
a1l Х1 + а21 Х2 + а31 хз + а4 1 Х4 � bI , a1 2 Х1 + а 22 Х2 + а З2 Ха + а 42 ;(4 => Ь 2 • а1 з Х1 + а zз Х2 + а зз Хз + а 4з Х4 � Ь З'
(1 . 1 )
Единица проду кта П1 содержит al1 единиц бел ков , a1 2 единиц углеводов, а1 з единиц жиров и т. д. Содержание элементов в единице каждого продукта задано таблицей (табл . 1 . 1 ) . Требуется та к составить пищевой рацион , чтобы обеспечить за да нные условия (1 . 1 ) при мин имал ьной стоимости рациона . За пишем сформулированные словесно условия задачи в виде мате· матически х формул . Обозначим количества продуктов П1 , ПZ• ПЗ , П4• в ходящи х
Записывая аналоги чные условия дл я углеводов и жиров , получ им, Включая ( 1 . 3) , три условия-не равенства :
и в
Поста вленная задача представл яет собой типи чную зада чу ли " неиного программир овани я . Н е останавли ваясь покуда на способа х ее р ешен и я (об этом реч ь будет идти в дал ьней ш ем) , постави м еще не СКО лько подобны х зада ч. 20
ста н
2. З ада ч а о за г рузке станков. Т ка ц ка я фабрика ра сполагает N1 ками ти па 1 и N 2 ста н к а м и ти па 2 . Ста н к и могут производить четы
ре вида тканей:
Каждый ти п станка может произ водить любой ИЗ видов тк а ней, н о в нео ди на ковом количестве. Ста но к ти па 1 производи т в мес яц аll метров ткани Т 1, ан метров ткан и Т 2 , а 1 з метров тка н и Т 3, аа метров т кани Т4 • Соответствующие числ а для станка типа 2 б удут а 21, а2 2, а2 3, а 24 ' Таким образом, производит ел ьности стан ков при произ Бодстве каждого вида ткани з ад а н ы табл . 1 . 2 .
1 2
I I
a1 l
ан
I
I
I
1,
Т,
I
ai 2
а2 2
I
I
а lЗ
а2з
х2 1 , Х2 2 ,
Х
x14; }
2З . Х2 4 •
( 1 .5)
которые мы должны в ы брать та к, ч тобы мес я чная пр ибыл ь была ма к симал ьна . Запи шем формулу для в ы ч ислен и я этой прибыл и . Каждый метр ткани Т1 приносит прибыл ь С1 ; ХН метров тка ни Т1 принесут при был ь С1ХН ; всего тка нь Т1 принесет пр ибыли С1(Хl l + Х 21) и т. д. Общая прибыль будет равна : L
=
С1 (хн + Х2 1) + С2 ( Ха + Х22 ) + с в (Ха + Х2З ) + С4 (Х14 + х24). (1 .6)
Требуется выбрать такие неотри цательные зна чения переменных ( 1 . 5) , чтобы линейна я фун к ция от них ( 1 . 6) обращалась в м а ксимум . При этом должны выполняться следующие ограничительные усло ви я : 30
}
( 1 .7)
+ Х24 � N 2 •
Та ким образом. сформули рована задача :
а2 4
=
х1з ,
+ х22 + х2 з
ан Ха + а2 4 X2t � Ь 4•
[. ан
Каждый метр ткани Т1 приносит фаб р и ке доход С1 . тка н и Т 2 до ход С 2 , ткани т 3 - доход С З и ткани Т4 - доход С4 • Фабри ке пред пис;ан план , со гл а сно которому она обяза н а произвести за месяц: не менее Ь1 метров ткани Т1 • не менее Ь 2 метров ткани Т 2 • н е менее ЬВ метров т к а ни ТВ и не менее Ь 4 метров ткани Т4 , т. е. пла новое з а дание выражаетс я числами Ь1• Ь 2 , Ь в , Ь 4 • Требуется та к распределить загрузку ста н ков производством тка ней различного вида . чтобы план был выпол нен и при этом м еся чна я прибыл ь была м а ксимал ьна _ Запи шем условия задачи математичеСКИ . Обозначим Ха - число стан ков тип а 1 , з а нятых производством тк а н и Т1 • Ха - число ста н ков типа 1 , з а нятых производством ткани Т 2 , и вообще Х о - число станков ти па i, зан ятых прои зводст вом т к а н и Tj• Первы й индекс соответствует ' 1 , 2. 3 , 4) . ти п у ста н ка , в т о р о й - виду ткани (i = 1 , 2, j Т а к им обр а зом возн и кают восемь переменных - элементов реше ния: Хи . Х1 2 ,
+ X1 2 + X1 3 + ХН -< N 1;
ан ХО + а2 1 Х21 � Ь 1 , Gt2 Ха + а22 Х22 � Ь 2, а1 з Х13 + а26 Х2 З � Ь з •
Вид тк а н и / ,
Хн
Х21
2) З ада н и я по ассортим енту должны быть выпол нены ( или пере выполнены) . С учетом данных табл . 1 . 2 эти условия запи шутся в виде неравенств:
.2
Таб л и ц а lип ст а нка
l ) Ресурсы по ста н кам не должны быть превышены, т. е. с ум ма кол и честв ст а н ков ка ждо го т и п а , заняты х п роизводством всех т каней , не дол ж на п р евышат ь н а л и ч ного з а п а са ста н ков ;
I
( 1 .8)
8Ьtбрать такие неотр ицameльные значени я nеременных ХН . Х1 2, " ' , , Х2 4' удовле :;пворяющие линеliным нepaвeHcmвaм (1 . 7) и (1.8) , пр и коmoрых линеиная функция этих nеременных (1.6) обращ алась бы 8 максимум . • • •
3. Задача о распреде лении ресурсов . Имеются какие-то ресурсы (сыр ье, рабоча я сила, оборудова ние) : R1 • Rz •
в
••• ,
Rm
кол и чества х соответственно Ь1 , Ь 2 ,
•••
,
Ьт
единиц. С помощью этих ресурсов могут производ иться това ры : T1, Т2 ,
••• •
Т n•
дл я производства одной единицы това ра Tj н еоб х одимо а j еди р есурса R i (i 1 ,2, . . . . т ; i 1 .2 , n) . Кажда я е�иница р ес у р са R 1 стоит dj рубл ей (i 1 ,2, . . , т) . Кажда я единица тов а р а Т} м ожет быть реал изована по цене С] (j 1 , 2 . . . . , n) . ПО каждому виду товара колич ество произведенных единиц огра Нl!ч ивается спросом : известно, что рынок не может поглотить более Чем kj единиц това р а Tj (j 1 .2 • . . . , n) . Спра ш ивается : ка кое l{Qличество единиц ка кого товара н адо n р о11зп е;т и дл я того . чтобы реализовать м а ксимал ь ную п и р был ь ? З а пишем услови я зада чи . Обозначи м ни ц
=
=
=
•
. . .
.
=
•
=
!(Щ! Ич ества товаров Т1 , Т 2 , . . . . ТП • которые мы за плани руем К п рuИЗ н а л а га ют на эти величины огр а н ичения :
В Одст ву . Усл о ви я с п роса
( 1 .9) 3)
Ресурсов
al1 Xl + a12 X2 + · . . + al n X n � b J ;
а21
Хl
+
а 2 Х2 + . . 2
. . . .
.
. .
.
+ azn хn � Ь2; . . . .
аm1 Х] + аm2 Х2 + . . . +
Эти
же
j
Задач а сводится к следующему: Вы6рать такие неотрицатеЛЬНble значения neременных XI , Х 2 • . . . , которые удовлетворяют линеUнbl..М неравенствам (1.9) , (1 . 1 О) и 06в максимум линейную функцию этих neре.м.енных (1 . 13)
должно хвати т ь, отсюда возни кают ограничен и я :
аmn хn � Ь m·
��'щают 4.
ац
1
,= 1
Х]
:
C 1 , С2 , . . . . Ст и n
услови я мож но кор о че записать в виде: n
З адача о п еревоэ ках . Имеются т складов:
пун ктов потреблен ия: П1 • П2 . . . . . П n
� b1 ,
(
с м . рис. 2. 1).
( 1 . 1 О) Il
l
a mj XI � bm'
=1
в
В ы рази м прибыл ь L
З
ави с имо сти от элеме нтов ре шени я
Себестоимост ь 5} еди нИЦЫ товара Т, рав на или , короче .
5)
S}
=
ао dl + а2} d2 + . . . + a mj d m, т
=
�
i= 1
а ;} di
Вычислив по этой формул е ва ра, пол учим р яд з на чений:
и = 1 , 2, . . . себ естоимость
, 17 )
( 1 . 1 1)
единицы к аждо го то
S j:
(j = I . 2 .
qj = Cj - 5j По
ова ров :
...
' n) .
( 1 . 1 2)
это й формуле пол учаем чи стые п риБЫЛIf на единицу дл я всех
т
ql '
Реч ь идет о составлении плана перевозок со складов C1 , С2, . . . , С т пун кты П1 , П 2 , . . . , Пn некоторого това ра . На с клад ах С1, С2 . . . . , С т имеются запасы това ра в кол ичествах
В
Ч и стая п р и б ыл ь qj, пол у чаемая от реали зации одной един ицы 1"овара Tj, равна разнице между ее продажноиu ценоиu С] и с еб естои мостью
Рис. 2. 1
qz, . . ·
,
qn ·
. ... . ат
a1 • а 2 и ед ниц. Пункты потребления П1, П 2 , . . . , П n подали за явки соответственно на Ь 1 • Ь2 .
= ql Х1
n
или , короче,
32
fl
=
2
1=1
qj Xj.
т
21 ai • '2, bj � i= i= 1
+ Ч � Х2 + . . . + Чn Хn,
L
Ь ,.
еди ни ц това ра. Заявки выполнимы, т. е . сумма всех за явок не превос Хо д и т сум мы всех имеющихс я за пасов:
Общая чиста я прибыль от р еали з а ци и в с ех то варов будет L
..· ,
(1 . 13
С к лады С1 , . . . . С m связаны с пунктам и пот р ебления П1 , . . . , П " ка кой - то сетью дорог с определенными та рифами на перевозки. С и ос то м ть п е р ево з ки одн о й еди ницы това ра со склада C i в пу н кт П J ра вн а С / ] (i 1 , 2 , . . . , т; j 1 , 2 , . . . , n). 2
=
.:JaK
573
=
3з
Т реб у ется соста вить план перевозок, т . е. у ка з ать, с како го скла · да в как и е п у н кты и ка кое количество тов а р а нужно на правл ять та к, чтобы з ая в кИ были выполнены, а общие расходы на все перевозки были ми ним альнЫ ми . количество единии товара , на правляемое со Обозн ачим Х и П (если с этого склада в этот пункт товары j пункт скл ада С; в . 0) = iJ , я вляютс а X пр на е н Р еше ние (пла н перевозок) состоит из mn чисел
или,
корьце ,
т
Ь
-
1= 1
Х21 , Xz2 , . . .
,
=
( 1 . 1 5)
Ь2,
т
�
i= 1
X1Z ' . . . , Хl n ;
Хн,
X i2
xin = Ьn•
Общ а я стоимость перевозок L будет рав на
Х2 n ;
L = С1l Хп +- С12 Х12 + + C1 1l X1 n + + С21 Х21 + С22 Х 22 + + С2n Х2n + + Стn Хтn ' + + Стl Хт1 + Сm2 Хт2 + ' "
. . .
. . .
. . .
образу ющи х прямоу гол ьную таблицу (матрииу) . Сок р а щенно б удем обозн ачать ее (Х н) . Требуется выбрать та кие неотрицател ьные зна· 1 , 2, . . , n) , чтобы были . т; j чения пер еменных Х и (i = l , 2, выполнены сл едующие услови я : 1 . Емкость складов не должна быть превышена , т . е . общее кол и чество товара , взятое с каждого склада, н е должно превышать имею щи хся на нем за пасов : . . .
Х21 + Х22 + . . . + Х2n -< а2 ; . . .
.
.
.
.
.
.
.
Хтl + Хт2 + ' " + Хт n -< ат , НЛИ ,
1
;
11
Xlj � а 1 • � =1
;
"
( 1 . 1 4)
;
j =::2.
2 . З аявки . пода нные п у нктами пот ребления, долж ны быть вы полне н ы :
� � Х22 :- :
84
Xl� + Х2 !I
+-
�
+X 2 .
• • •
.
. . .
+ Хmn - Ь n
.
. .
. .
Снова возни кает задача , аналогична я рассмотренным ра н ее: вы брать неотрицательнь\е значения переменных (Х а) та к, чтобы при вы полнен и и услови й (1 . 1 4) , (1 1 5) линейна я функци я этих переменных ( 1 . 1 6) достигала минимума . Некотора я особенность этой задачи, по сравнению с ранее рас смотрен ными , состоит в том, что не все огра ничения, наложен ные на п еременные, являются линейными н е р а в е н с т в а м и; а именно, условия (1 . 1 5) за писаны в виде линейных р а в е н с т в. В да льнейшем мы будем встреча ться с задачами линейного про граммирова ния , в которых огра н ичитель ные условия имеют как вид линейных неравенств. та к и равенств. и научимся с легкостью пере ходить от одни х к другим и обратно. Заметим, что при некоторой постановке зада чи о перевозках все услови я-огра ничения зада чи становятся равенствами. А именно, есл и су мма всех за явок ра вна сумме всех запасов т
i= J
. + Хтl = Ь 1 ,
(1 . 1 6)
Си X I}'
� Ь} = � i= !
Хт} -< ат· L' =1
. .
l= I /= 1
Требуется та к выбрать план перевозок (X f}) (' 1 , 2 . , т; 1 , 2 , . , n), чтобы стоимость L этих перевозок обратить в минимум.
n
ХН + XZl +
n
� h
=
=
т
Xl
=
.
короче,
"2 Xz} � а2, j= 1
т
L
.
=
Xll + X12 + " , + X ln � al ;
или, гораздо короче,
ai ,
то неизбежно с каждого склада будет вывезено все, что на нем имеет· ся , и неравенства ' ( 1 . 14), та к же ка к (1 . 1 5), превратятся в равенства . Та ка я задача о перевозках называется mрансмрmной зада чей , и ею мы будем специал ьно заниматься в дальнейшем (см. § 9-1 4 дан ной гла вы) . 5. Задача о п роизводстве сложного оборудования . Планируется ПРОи зводс тво сложного оборудования, каждый комплект которого со Стоит и з n элементов: 2*
35
т
ы З а ка зЫ gэ ПР ОИЗ1ЮДСТВО ЭТи Х 9лемен тов могут бы ть разме щен На : х я ияти едпр ы р п ра з н х
Та ким обр азом, при зада нном плаНе распределен и я за казов, т. е. пр и з адан н ы х Х;} (i = I , . . . , т ; j = I , . . . , n) будет прои з ведено:
-N1 экземпл я ров элемент а Э 1 в т ечение зада нного времен и Т н а пр�д п ри ятии П j можно изго , n) . 1, . , т; i 1, ть а u эле м ентов ти па Э/ (i тов и Сдач е подлеж ат тол ько п о л н ы е к о м п л е к т ы обор удова , Э1\ ' ни я , с о стоящ ие из набора всех элементов Э1 , Э 2 , =
=
. .
- N2 экземпл я ров элемента Э2
...
- N 1\
эк земпля ров элеме нта Э1\ '
. . .
Т р е б уется р а с п редел ить за казы по предпри яти я м та к, чтоб ы ч ис Т , было дл я должны мы , я и оборудован р и н а л зводство ьно л прои я у . П ма к с и ма ка ждо ГО пр ед приятия П, у казать, ка к ую часть имеющегося в его рас по р я жен и и времен и оно должно отдать на п роизводство эл ементов
ЛО
пол н ых компл екто� обо р удо ва ни я , из готовленных за время
Эj (i
=
1 , . . . , т; j
==
1,
. . .
, n) .
Обозначим Хо долю времен и Т, котор у ю предПР И flТие П1 будет удел я т ь производств у элеменТа Э j (есл и этот эл емент на данном п ред О). п р и яти и вообще не прои зводитс я , Xij П р и планирова н ии мы должны собл юдать следующие огр а н и ч и т ел ь ны е .у слови я : количество времени , которое каждое п редпр и яти е за т р а ч и в а �т на производство всех элементо в, не должно п р евыш ат ь =
Т (а «дол я » - единицы) :
общего ' запаса времени
Xll + X1 2 + " ' + Xl n � 1 ,
Х2 1 + Х22 + .
.
.
.
"'
.
+ .
Х2 n .
.
� 1, .
.
Хm1 + Хm2 + " ' + Хmn � 1 , и ли 11
Z = min NJ •
(1 . 1 9)
;
miп I
м и н и м а л ь н о е
обозна чается
и
з
ч и с е л,
С Т О Я Щ И Х П о д э т и м з н а к о м, для всех возможных ; С учетом ( 1 . 18) усл ови е (1 . 1 9) можно переписать в виде
.
,
Z
� Хl} � 1 ,
j= 1 ·n
(l . l 7)
;=
плектов . Обозна чим Z - ко.1JИЧество полных комплектов оборудовани я , которое можно собрать при данном план е размещения за казов (X, j) ' Имеем:
где зНа ком
I
�1 Хц � 1 ,
Скол ь ко же полных комплектов обор удования можно собрать И3 зти х элементов? Очевидно столько, ка ково м и н и м а л ь н о е из всех чисел N 1 , N 2 , . . . , N 1\ ' действ ител ьно , есл и , например , элементов типа Э1 произведено 1 00 шт. , а элементов типа Э2 - всего 1 0 шт . , то мы никак не сможем собр ать из эти х элементов более 1 0 полнЫх ком
т
=
miп f
h
;= 1
а о Х о.'
(1 .20)
Та ким обра зом, мы при ходим к следующей математической посга новке зада чи: такие Найти зн,ачен,ия nеремен,н,ых XiJ' н,еотрицаmeльн,ые чтобы выn олн,ялucь н,еравен,ства ( 1 . 17) и при эmo,м обращаласЬ в максимум функц ия Этих nеремен,н,ых т
Z = miп z; а и Ха. J
Определ им кол ичество полных КОМ lIлектов оборудова н и я , кото рое за время Т поставя т все п р едпр и яти я вместе. Общее кол ичество элементов Э}, которое произвед ут все предпр ия ти я вместе, будет равно
NJ
=
а1 } ХН + а2} Х2} +
. . .
Отл и ч и е этой зада ч и от всех ра нее ра ссмотренных состоит в том, что здесь ма ксимизируема я функция Z н е я в л я е т с я л и н е й н о й Ф у н к Ц и е й от переменных Х и и , та ким обра зом, зада ча , соб ственно, не явл я ется зада чей линейного програ мми рования . Одна ко ее л егко свести к зада ч е л и нейного програ ммирова ния следующими
+ аm} Хm}
р ассужден и ями .
или
Так к а к вел и ч и на т
и=1, 36
...
, n).
'=!
( 1 . 1 8)
NJ
=
}'
1- 1
а tJ ХIJt
то
Z является м и н и м а л ь н о й из всех вели чи н
можно н апис а т ь ря д нера венств 37
т
�
1= 1
ai 1 Хi l
� Z;
т
1
1= 1 т
L
/= \
• • •
ai 2 XI2 � Z;
( 1 .2 1 )
е
• • •
,
Z = О ' Хl l + 0 ' X1 2 +
..
+ О ' Хmn + I · Z .
то задача сведена к обычной задаче линейного программирова ния, пу тем введения «лишней» переменной Z, которая в первоначал ьной по ста новке зада чи не фигурировала . Задачи такого типа, где требуется обратить в максимум мини мал ьное значение какой-то величины (или, наоборот, в минимум - ма к симал ьное) , довол ьно часто встречаются на пра кгике и называются «за дачами на мин има кс». С та кими задачами мы еще встрети мся в гл . 1 0. Ита к, мы рассмотрели целый ряд задач исследов ания опер аций из самых разных областей практи к и; эти зада чи характериз уются не которыми о б щ и м и ч е р т а м и . В каждой из них элементы реше ния представл яют собой ряд неотрицательных переменных Xl , Х2 , Требуется та к выбрать значения эти х переменных , чтобы 1 ) выполнялись некоторые огра ничения, имеющие вид линейных ; неравенств или равенств относител ьно переменных X1 , Х2 , 2) некотора я л инейна я функци я L тех же переменных обращалась в ма ксимум (минимум) . Математический аппарат линейного программировани я , к изло жению которого мы и приступаем, предназначен специально для реше н и я та ких зада ч. Может возни кнуть вопрос: а нужен ли та кой специальный аппа рат? Н ел ьзя ли , ка к это принято в математике, просто продифферен цировать L по аргументам Xl' Xz , . , при равнять производные нулю и решить полученную систему уравнений? Н ет, оказывается, сделать этого нельз я ! Та к как фун кци я L л и н е й н а, производные от нее по всем аргументам п о с т о я н н ы и ни Где в нул ь не обращаютс я . Ма ксимум (или минимум) функции L, если он существует, достигается всегда где-то н а г р а н и Ц е обла сти возможных значений Xl , Х2 , . . , т. е. там , где начинают действовать о г р а ничени я . Математический а ппа рат линейного программи рования йшие сроки, обследовать и ПОЗВ оляет нам последовательно, в кратча , • • • •
• • •
.
�
.
,
2. ОС Н О В НАЯ ЗАД А Ч А Л И Н Е й Н О ГО П Р О Г РАММ И РО В А Н И Я
a1 n � i n � Z,
Вe.nичину Z можно рассмотреть как н о в у ю н е о т р и ц а л ь н у ю п е р е м е н н у ю и решить следующую задачу . Найти такие неоmрицательные значения nеременных Хн , X1 2 , • • • • Хт n и Z , чтобы они удовлетворяли линейным неравен.ствам ( 1 . 17) и (1 . 21) и при атом вел и чина Z обр ащалшь в м аксимум . Та к как величина Z есть л и н е й н а я Ф у н к ц и я новых пер е менных X1l' X1 2' Х тn , Z :
т
г рани цы области возможных реш ений и найти на эти х граница х то решение, которое является оптимальным , т. е. та кую совоку пность зна чени й X1, Х2, при которой линейна я фун кция L обраща е гся в ма ксимум или в минимум.
Выше мы ра ;смотрели различные практические задачи, сводящие ся к схеме линеиного программи рова н ия. В одних из этих задач ли ней ные ограничения имели вид неравенства , в других - равенств, . в третьих - тех и других . Здесь мы рассмотрим задачу линейного программи рования с огра ничениями- равенствами - так называ емую основную задачу линей ного nрограммирован.ия (ОЗЛП) . В дальнейшем мы покажем, ка к от задачи с ограничени ями-не равенствами можно перейти к ОЗЛП, и обратно. Основна я задача ли нейного програ ммиро вани я ставится следу ю щим образом. Имеется ряд neременных
Требуется Найти такие неотрицательные зн ачения атих менных, которые удовлетворяли бы системе линейных уравнен ий:
al1 Хl + a 1 2 Xz + а 21 Хl + а22 Х2 +
+ а 1 n Хn
.. .. ..
+ а2n Хn
=
=
и, кроме moгo, 06ращали бы
X
в
Ь2;
'
� �l � �m� � � : � � Х:
a l
Ь1;
am
•
ь'm,
)
neр8-
(2. 1 )
_l1 uниMY.м линейную функцию
L = Сl Х1 + Cz X � +
(2.2) + Сn Хn • Очевидно, сл учай, когда л и нейную функцию н ужно обратить не в мин имум, а в максимум, легко сводится к предыдущему, есл и изме· нить знак функци и и рассмогреть вместо нее функци ю
..
[' = - L = - CI XI - C2 X2 -- " ' - Cn xn.
Условимся называть д о п у с совокупность переменных
т
им
ы
м
(2 .3)
решением ОЗЛП любую
ХN � О, Х1 � О, Х2 � О , удовлетворя ющую уравнени ям (2 . 1 ) . О п т и м а л ь н ы м решением будем называть то и з допустимых решений, при котором линейна я фун кци я (2 . 2) обращается в мини мум . Основна я задача линейного программирования необязательно Должна иметь решение. Может оказаться , что уравнеНJlЯ (2. 1 ) противо-
. ..
39
речат друг другу ; может оказатьс я , что они имеют решение, н о не в об ласти неотрицател ьных значений Хl ' Х2, . . . , Хn ' Т о гда ОЗЛП не имеет до пу сти мых решен и й . На конец, может оказаться , что доп уст и мы е решен и я ОЗЛП существуют, но среди них нет о п т и м а л ьн о г о : фун кц ия L в области допустимых решен и й неограни чена снизу. С примерами та ких особ енносте й ОЗЛП мы поз на комимся в да ль нейшем. Расс мот ри м , прежде всего, вопрос о с уществ о в а н ии Д о п у с т и р е ш е н и й озлп. м ы х При решении этог о вопроса мы можем ис к л ючи ть из рассмотрения линейную функцию L, к ото р у ю требуется м и н и ми з и р ов ат ь - на л и чие Д о п у с т и м ы х решени й опр едел яется тол ько уравнени ями (2 . 1 ). Ита к, пусть имеется систем а уравнений (2. 1 ) . Существ уют ли не отрицател ьные значен и я Хl , Х2, , ХN, удо влет во р я ющие этой систе ме? Этот вопрос ра ссматр иваетс я в спец иал ьн ом разделе математики л и нейной алгебре. Приведем вкратце некоторые положения линейной алгебры, не останавл иваясь на дока зательствах соответствующих теор ем * ) М а т р и Ц е й системы л инейных ура внений • • •
Приме р 1 .
)
Дана система трех у р а в нен и й с четырьм я неизвес тными: 2x1 + X 2 - ХЗ + Х 4 = - I ; ХI -Х2 =
2;
х l - 2хз =
З.
Опр едел ить , явл яется л и эта с и стема совмест ной?
Решение. Матрица систем ы: 2
-1 -1
О
О
О
-2
О
Рас ш и р е нная матр и ца: 2
1
-1
-1
О
О
2
О
-2
О
3
-
1
•
al1 Xl + a1 2 X2 + "
..
аm!
на зыв а О а сторону нее одну от Х по О ви сит от коэффиц иентов у р а внен и я ) . Отмети м шт р и хов ко и ту сто р он у пр ямой Ха О . по котор ую Ха > О. Аналоги чным образом построим и все ос тал � н ы е о г р а н и ч и в а ющи : пр ямые: Х4 = О " . Хn = О И отметим у ка ждо и и з них штр иховкои «допустимую сторону». гд е соотв етствующ а я п е р ем е н н а я бо л ь ш е н ул я =
=
•
=
=
Пример 1 Им еет т
Х2,
Ха.
Х4•
Х5 '
5 у р а в не н и ii - о г р а н и ч е н и й : Хt-Х 2
=
2х1 -
Х&.
+ ХЗ
Х2 - Хз - Х ,
=
=
Xl + XZ -Х5 = Xz + X & 2x.-2xz -x6 + 2x7 = =
Она
=
=
=
З адача л и иеii ного п р о г р а м м и р ов а н и я с семью п е р е м е lf Н Ы М И
XI ,
=
u
46
Рис. 2.5
Н а рис. 2 . 3 показа н та кой пример , когда ОД Р с у ществ у ет , т . е. система уравнен и й ОЗЛП и меет неотр и цател ьные решения . Могут быть и сл уча и, когда неотр ицател ьных р ешений систем ы не существуе т. Пр имер такого случая показан на р ис . 2 . 5 . Действи, тел ьно, не существ ует области , лежащей по одн у и ту же (заштр ихо ва н н у ю ) сто рону о т вс е х пр ямых : X1 О . Х2 О , Хз О . Х4 = О, Хб О; т. е. услови я неот р ицател ьности переменны х противореч ат др уг др у гу и допустимы х решений ОЗЛП не существует.
•
(рис. 2 . 3 ) . Та ким обр азом, м ы по лу ч или n п р я мы х : две оси координа1 (Х2 О . . . . . Хn = О) . К аж да я из них О) и n - 2 п р ям ых (Х а О Х. е оп реде� я т «допустимую полу плос кость» . лежа щу ю по одн у ее сторону . Ч а сть плоскости х1 Ох2• при н а дле жа ща я однов ременн о в се м этим пол уплос костя м. образует о б л а с т ь Д О П у с т и � ы х р е ш е н и й (ОДР ) . Н а рис. 2 . 3 обл асть до п устимых решен ии отм ече н а ред ко й шт ри хо в кой . Н етрудно убедиться . что область допустимы х р еш ени и вс еГДд пр едставл яет со бой в ы п у к л ы й многоу гол ьн и к . Ка к и з в естн о . в ы11 у кл о й q и гу рой ( р в с . 2.4) называется фигура. облада ющая сл еДУЮU: lI 1] =
x,fxz =O)
х,
Х7
4;
-5; -- 4 ,
1
�
5. I
7
(3 . 3)
i
Т р е б у ет ся дат ь ее геометр ичес к у ю и нтер п р ета ци ю " п остр о ит ь ОД Р , если
су ществ у ет.
47
напр имер , Решен не. В ыберем в ка ч естве свободн ых перемени ых, Х выр а з и м через н и х остал ь ные (базисн ые) пе реме нн ые : xs. Х4 ' �6' 6. Х, вого уравнен и я имеем: И
хй
и Х2 З пер -
(3 .4)
ИЗ третьего:
Дадим и этой зада че геометр ическую и нтерпретацию, причем сно для сл уча я , ко гда т n - 2 (т. е. Ч исло свободных перемен ныл равн о 2, а ч исло базисных т) . Пр едположим, что свободными переменными опять явл я ются , Хn , выраженные через свободные фор Xl, Х2, а баз исными Ха, Х,,-, мул ами (3 .2) Подставим выражен ия (3 .2) в формулу (3. 6), пр иведем подобные члены и выр азим линейную фун кцию L всех n переменных ка к линейную функцию только двух свободных пер еменных: X1 и Х2' Получим: ва
=
о • •
о
И З четвертого : Хб
=
-Х2
(3 . 5 )
+ 5.
е и р аз Подставл яя ( 3 . 4) во второе у р ав нение (3. 3) и (3. 5) - в последие реш а я относительн О Х,,- , Х7 . имеем: х,,- = 3Xt - 2х 2 + 1 ; Х7 =
- X l + %х2 + 6 .
�
=О =
где 1'0 - свободный член, которого в первоначальном виде у фун кции L не б ыло ; тепер ь , п р и переходе к пер еменным Xl, Х2 , он мог поя
виться .
Геометри ческая и нтер пр ета ция задачи пр едставлен а на р ис. 2 . 6 (пр ямые О, Х4=О, О - оси коорди нат; остал ь ные огра н и чивающие пр ямые х з Х2 О, Х6 О И Х7 О; кор от ко й штр и х овко й помечены Дспустим ые полу. X плос кост и). й , допусКа к видн о из р асполож еи и я прямых и отмеченн ых пол упл оскосте ОДР, ко тимые решения для р а с
( 3.7 )
=
=
=
=
IZ /Z, =0/
(,
х,
.�
:.rs -O
-�---""""�""�"?77.""'-::1"77>��� Х6 = 0
i. '=о
,
Рис. 2.7
Рис. 2.8
Очевидно, линейная функция (3. 7) достигает минимума при тех же зна чениях Х1, Х2 , ЧТО И фун кци я L ' = Y1 X1 + У 2
r, {Iz = O)
Х2
без свободного члена (линейн ая форма) . действительно, и L -"?о' где 1'0 не зависит от Хl и Х 2 • и, очевидно, минимумы той и другой функ ЦИ Й , отличающиеся на 1'0' достигаются пр и одн их и тех же значеНII ЯХ =
Xl' Х 2 ·
Найдем эти значен ия, пол ьзуясь геометр ической и нтерп р етацией . Пр идадим L' некоторое постоя нное значение С : L ' = '\'1 Х1 + '\'2 Х2 = С;
Рис. 2.6
Та ким образом, мы рассм отрели вопрос о существова нии об ласти доп устимых р ешений ОЗЛП и (для случая т = n - 2) дали ему гсо метрическ ую интерпретацию. Т епер ь возн икает вопрос о нахождении из числа допустимы х о п т и м а л ь н о г о решения , т. е. такого, которое об раща ет в ми н имум линейную фун кцию 48
L
=
C1 Xl
+ С2 X� + . . . + Сn Хn '
(3.&
•
пол учим уравнение прямой н а плоскости X10X 2 (р ис. 2. 7 ) . УГЛОВОl! коэф фициент этой пр ямой равен - 1'1/1' 2, а отрезок, отсекаемый ею на оси ОХ 2 (начальная ордината), равен С/у 2 ' Очевидно, если мы замен им постоя нную С н а некотор у ю другую C1 , угловой коэффици е нт пря мой не изменится; изменится только начальная ордината , и прямая С1 переместится па раллельно самой себе в новое положен ие и (см . рис. 2. 7) . Таким обр азом, различным значениям L! соответствуют разные пр я мые н а плоскости. но все они п ар а ллельны между собой. О чеВlIд" =
49
но, вместо !Зсех этих п р ямы х достаточно изобразить па плоскости одnу О , а затем можно мысленно о с н о в н у Ю п р ям ую , напр имер , L' пер емещать ее па аллел ьно самой себе. Пр и пер емещени и этой пр ямой р в одн у сторону L будет возрастать, в другую - убывать. О на плоскости X1 0X2 ( р и с . 2.8) . Построим основную пр ямую [' Мы знаем, что ее угловой коэффициент ра вен '(./'(2; чтобы построить прямую, проходящую через на чало коорди нат с угловым коэффициен том '(1 /Y2' отложим по оси абсцисс отрезок '( 2, а по оси ординат от резок -Yl , и через точку А с та кими координатами п роведем п р ямую . Это и будет основная пряма я [' = О. Тепер ь остается тол ько выясн ить, в ка кую сторону (па р аллельно са мой себе)надо двигать эту пр ямую, чтобы величина L' убывал а . В сл учае, показанном на р и с . 2 .8 (оба коэффициента Y l и У 2 полож и -
Ха*
=
=
=
-
-
Рис. 2.9
Рис. 2. 10
Рис. 2. 11
тел ьны) на правление убыва н и я [' вниз и налево (это показано стрел ками , направленными от основной пря мой в сторону убы вания L ' ) . П р и д руги х зна к а х коэффициентов '(1, '( 2 направление убыван и я мен я ется . Случаи разл и чных направлен ий убыва ния показаны на рис . 2 .9, 2 . 1 0 и 2 . 1 1 . Та к им образом , и напр авлен ие ОСНОВНОй пр ямой [ ' О. и на пр а вление убыва ния л и н ейной формы L1 определ яются величинами и з на к ами коэ фф ициентов Уl , У 2 п р и свободных пе ременных Х1, Х2 в выражении L'. Дадим тепер ь геометр ическую интерпрета цию нахожден ия о п т и м а л ь н о г о решен ия ОЗЛП среди допустимых . Пусть имеется область допустимы х решен ий ОДР (рис. 2. 1 2) и ос новная п р я м а я [ ' О; известно (ука за но стрелками) напра вление убыва н и я линейной формы [' . П р и перемещении основной пр ямой в направлении , у казанном стр е л ками , линейная форма [' будет у бывать. Очевидно, на имен ьше го значения она дости гнет, когда прямая будет проходить через край h ЮЮ точ ку ОДР. наи более удаленную от начала координат в направ л ени и стр елок (в нашем случае, точку А ) . Координаты этой точ ки Хl * ' х/ и определ яют оптимал ьное решение ОЗЛ П . Зн а я оптимал ьные зна ч е н и я св с бодн ых п е ременных Хl * ' х2* , моЖ но на йти , подст авл я я и х в уравнения (3.2), и оптимальные зна чен и я базисных переменных: -
сх.З1 X 1 * + сх.З2 Х2* + Рз.
Х4* = сх. 41 Х1 * + сх. 42 Х2* + Р4 ' хn * = сх.n1 Х1* + сх. n2 Х2* + Рn ' а та кже оптимальное (минимал ьное) з начение л и н ейной фун кции [ :
L min
=
'\'0 + '\' 1 Х1 * + '\' 2 Х2 * '
Та ким образом , есл и число независимых у р а внений-ограни чен и й , которым должны удов летвор ять переменные Х} , Х 2 , . . . . хn , н а два меньше, чем число переменных n ( т . е. в ОЗЛП фи гур и руют две свободные пере менные и любое ч исло базис ОЗЛП может ных) , решен ие быть получено п ростым геомет р ическим построением. При мер 2. В условиях п р име р а 1 на йти опт и м ал ь ное реше н ие О З Л П , обр а щающее в ми н и му м л и н ей н у ю ф у н кцию семи неи з вест ных: Рис. 2.12
L = ХI -Х2 + 2Х З -Х4 -3Х5 + Х8 - 2х7 У р ав не ния-огр а н и че н и я -
(3 .9)
те
ж е , что и в пр имер е 1 .
Реш е ние. В п р имер е 1 у р ав н е н и я-огр а ничени я (3 . 3 )
были р а з р еш е н ы о т н ос н тел ь но базисн ы х переме н н ых Хз, Х4' ХЬ, ХВ, Х7 ' котор ые б ы л и в ы р а ж е ны ч ерез свободные Xl и Х2:
Х2 +4; х, = 3X I - 2х2 + 1 ; Х 5 = Х! + Х2 +4; ХЗ = -Хl +
=
Х6 =
(3. 10)
-Х 2 + 5,
х, = -x1 + у:!х2 + 6. Подставл я я эт и выр ажен ия в (3.9) и п р иводя по.u.обные чле ны, и меем :
(3. 1 1)
=
60
(3.8)
В осп р о и зве.u. ем о бл а ст ь допу стимых р еш ени й , р анее постр о е н ную на р и с 2 . 6 (см р ис. 2. 1 3) . Отбр асывая своБО)lИЫЙ член в (3. l l ) , и меем: .
L'
=
-5X l - 2x 2 .
Стро и м ос нов ную п рямую L' О . ДЛ Я этого откл ады ваем от резки )' 2 = -2 по о с и абсцисс и -)'1 5 п о оси орди нат, п роводи м через точку В с коорди н а ;гам и (-2, 5) пр яму ю L' о и отмечаем стрел кам и н а п р авление убыв ани я L' . П е р е мещая основ н у ю п р я м у ю п а р аллел ьно само й себе в сто р о н у у быва н и я L' , наименьшее з н аче н и е L мы по л уч им в точке А ( н а и более удал е н но й о т н а ч а =
=
=
51
ла ко орnи нат в напр авлен и и ст р е л о к ) К оор ди наты эт ой т очки Хl * ' Х2 * И д а ют опт и мальное реше н и е ОЗЛП В точке А пересекаются две огра н и чивающие пр я О . П р и р а в н ива я нул ю в ы р а ж е ии я дл я Х6 и Х7 ' пол у чим дв а мые: Хе О и Х, у р авн еии я : .
=
=
-х2 + 5 = О,
- Х 1 + % Х 2 + 6 = 0.
Реша я их совмест н о
,
на йдем Хl *
=
8 , 5; Х2 *
}
=
5.
дости гается не в ОДНОЙ точ ке, а н а в с е й э т о й с т о р о н е. В этом случа е озлп имеет бесч исленное множество оптимал ьных решен ий. 3. озлп может не иметь решен ия даже в случае, когда сущест, вует ОДР (рис. 2 . 1 5) . Это бывает тогда , когда в на правлен ии CTP�OK о ОДР неограниче н а , т . е . в области допустимых р ешении л инеиная фун кция L неограничена снизу . Перемеща я основн у ю пр ямую в на правлен и и стрелок, мы будем получать все меньшие и мен ьшие значе ния [' , а значит, и L. 4. Решение озлп, мин имизирующее функцию L (оптимальное решение), всегда дости гается в одной из вершин многоу гол ьника до пустимых р ешений (если оно достигаетс я на целой стороне, то оно же Хг ! х, =0/
хч = о
Рис. 2.13
П одст а в л яя эт и з н а че н и я в (3 1 1 ). н а йде м оптим ал ьные з наче н и я б а зис ных пер ем е н ных: хз* = О ,5. Xt* = 1 6 5 ; х,* = 1 7 , 5 .
Рис . 2. 14
Рис. 2 15
,
Х7
*
Что к а сается Хе и =
О.
Х7 '
11'0
их о пти мал ь ные зн аче н и я р авны нулю: Хе * = О;
П оnставл я я найденные опти мальные з начени я Xl * iI Х 2 * В л и ней ну ю фуик цию (3. 1 1 ) . иайдем м и н и мал ьное значение (опти мум) л и ней ной фу н к ц и и [: [= - 5 . 8, 5 - 2 . 5 - 1 2 = - 64 ,5.
Таким обр а зом, мы на у чил ись решать озлп в частн ом слу чае т n 2 пр и помощи геометрического построения. Несмотря на то, что это построение относится к частному случаю, из него вытекают некоторые общие сооб ражени я , относ я щиеся вообщ е к свойствам решен ия озлп. Отметим подмеченные нами за кономерности дл я сл учая n - m = 2 . 1 . Решение озлп, ес л и оно существует, не может лежать в н у т р и области доп у стимых р ешен и й , а только на ее г р а н и u е . 2. Решение озлп может быть и не еди н ствен ным (см . рис. 2 . 1 4) . Действительно, есл и основная пр ямая п а ралл ельна той стороне много угол ьни ка допустимых решен ий, где достигается минимум L' , то он =
52
-
достигается и в каждой из вершин, чер ез которые проходит эта сторона) . Р ешен ие, лежащее в одной из вершин ОДР, называется о п о р · н ы м р е ш е н и е м, а сама вершина Q п о р Н О Й т о ч к о й. 5 . Дл я того, чтобы на йти оптимал ьное решение, в прин ципе до статочно перебрать все вершины ОДР (опорные точки) и выбрать из н и х ту , где фу н кция L дости гает минимума . 6. Есл и число свободных пер еменных в озлп ра вно 2, а число базисных т и решение озлп существует, то оно всегда дости га ется в точке, где по крайне й мер е две из переменных Xl ' Х 2, . . , ХN обраща ются в н ул ь . Действител ьно, в любой опор ной точке пер есе ка ются по крайне й мере две из огр аничивающих пр ямых; могут же в н ей пересекаться и более двух (см . рис. 2 . 1 6) . Случа й , когда в оптимальном решении обращаются в нуль н е две, а бол ьше переменных, называется в ы р о ж Д е н н ы м. На рис. 2 . 1 6 покаЗ8 Н вырожденный случа й , когда в точке А , соответствующей оп ти мал ьному р�шению, обр ащаются в нуль три переменные: ХЗ' Х5 и Х6 • Рассмотрев подробно геометр ическую и нтер претацию дл я случая n 2, обратимся к случаю, когда ч исло переменных превышает т н а 3 число независимых уравнен ий-огран ичен ий : т n 3. -
-
.
=
-
=
-
53
•
\
В этом случае свободных переменных о казывается уже не две. а тр и (пусть это будут X1 , Х 2 , Х з) , а остальные т n - 3 б азисн ых =
переменных могут быть выражены через свободные:
:
Х4 = а 41 Х1 + а42 Х2 + а4в Хз + � 4 Х5 = а51 Хl + аЬ2 Х2 + абз хз + �5' . . . . . . . . . . . . . . Хn = an1 Х1 + а n 2 Х2 + а n з х з + � n '
(3. 1 2)
•
Т ребуется найти таки е неотр и цательные значен ия X1, Х2, , Хn, которые, удовлетворяя уравнениям (3. 1 2) , одновременно обращали бы в минимум линейную фун кцию этих переменных: • • •
L
= Cl X 1
+ С2 Х 2 +
• • •
(3. 1 3)
+ Сn Х n'
Х,
Рис. 2.16
собой ту вершину ОДР, котор а я находится дал ьше всего от на чала коорди нат , считая по направлению убывани я L' . Может оказаться , как и п р и n - т = 2, что ОЗЛП имеет бесчисл енное множество реше ний, л ибо заполняющи х целое ребро, л ибо - целую грань многогран н ика допустимых реш ен и й . Оптимальное решение Xl * ' Х 2 * ' Х з * (если оно существует) совпадает с одной из о п о р н ы х т о ч е к, т. е. верши н многогранни ка. в которой по крайней мере тр и переменных X1 , Х 2 Х n обращаются в нул ь. Пол ьзоваться геометрической интер претацией дл я непссредст венного отыс кания решени я даже при n - т 3 затр уднительно; при n - т k > 3 это вообще выведет нас за рамки трехмерного п ространства и геометрическа я интерпретац ия потер яет нагл ядность. Од на ко соответствующая терминология может оказаться удобной : мож но говор ить об области до пустимых решени й, ка к о некотором «свер х многограннике» в п ростр анстве k измерений, ограниченном т « гипер плос костями»; об оптимальном решен ии - ка к об одной из «вершин» этого многогра н н и ка . о каждой «вершине» - ка к об «опорной точке» и т. д . Та кой геометричес кой терминологией мож но, по желанию, пол ь зоваться или не пол ьзоваться . Нам геометр ическа я интерпретация по надобилась для того, чтобы обосновать следующие свойства р ешен ия ОЗЛП при любых значен ия х Ч исла переменн ых n и числа уравне ний т < п: 1 . Опти мал ьное р ешен ие . еС.l1 И оно существует . лежит не вн утри , а н а г р а н и ц е области допустимых решен ий. в одной из о п о р н ы х т о ч е к, в каждой из которых по кра йней мере k из перемен н ых обращаются в нуль. 2 . для того, чтобы найти оптимал ьное решен ие. нужно. пере ходя от одной опорной точки к другой. двигаться в направлен и и умен ьшения линейной фун кци и [ . котор ую требуется l\Iинимизировать . На эти х принципах и будут основаны методы решен ия ОЗЛ П , ко то рые мы изложим в дальнейшем.
Рис. 2. 1 7
Геометр ическую интер претацию этой задачи пр идется строить уже не на плоскости, а в простр анстве (рис. 2. 1 7) . Каждое услов ие Xk О 4, . . , п) геометрически дл я одной из базисных переменных Xk (k изобразится уже не прямой, а п л о с к о с т ь ю. По одну сторону от этой плоскости Xk > О , по другую Xh < О . Координатные плоскости О , Х 2 = О, Х З = О соот X 20x� , х 1 Ох з И ХI 0Х2 и зображают условия Xl ветственно. Область допустимых решении. (есл и она существует) пред ставл яет собой выпу клый многогранник, ограничен ный этими пло· скостями, т. е. часть пространства, для которой выполнены все услови я :
. . . . .
=
=
=
=
.
=
Xl � O,
X2 � O'
Х З � О,
•••
,
Xn
� O.
Роль «основной прямой» в этом сл учае будет играть ;-
О,
Yl
>-
О. . .. .
Ут :>
О,
ства) на одном из н и х . Пусть имеется одно из ура внен и й (7. 1 ) с отрицательным свободным ч л еном . Ищем в этой стр оке отр ицатель н ый элемент а и . Е сли такого элемента н ет (все эл ементы IXi; :> О ), это п р из н а к того, что си стема уравнен и й (7. 1 ) н есовместима с неравенствами (7.3) . Действ ит ел ьно. при отсутствии отр и цател ьных элемен т ов в строке вся п равая часть соответств ующего у р а внен и я может быть тол ько отрицател ьной , а это противор ечит условиям н еотрицатель н ости переменных. Предпол ожим, что отр ицател ьный элемент есть . Тогда выби р а ем столбец, в котором он н а ходится , в качестве разр ешающ его . Теперь надо выбрать в этом столбце сам р а з реш а ющий эл емент. Р ассмотр и м все эл ементы да н ного столбца , и меющие один а ковы зна к й со свободным членом. Из н и х выби р ем в качестве р аз решающего тот,
для которого отн оше ние
к
нему свободн ого члена минимальн о .
Та ким об р а з ом , в ы би р а ется р а з р еш а ющий стол бец, р а з реша ющ и й эл емент в нем и, з н а ч и т, ра з р еша юща я стро ка . У б ед и мс я н а п имере , к а к с о вер ша ется п р и б ли ж ен и е к опор н ому р р ешен ию п р и та ком п р а вил е в ы бор а р а з р еш а юще г о эл еме н т а . П о пут но м ы убеди мс я в разум ности этого п р авил а .
72
Уз =
2 - (Х l + Х2} '
У4 =
1 - ( - Х 2 + ХЗ} '
j
(7 .4)
(здесь не приводится л и ней на я фор ма , которую нужно минимизировать, потому что опор ное решение ищется безотносительно к в иду этой фор мы) . Решен ие. З а писываем условия (7. 4) в виде ста нда ртной таблицы (см. табл_ 7. 1 ). Таблиц а 7. f
С во БОДНЫЙ член
ХЗ
Х2
ХI
1
-1
-2
1
У2
-5
-2
1
-1
Уз
2
1
1
О
1
О
-1
1
У)
(7 .3)
т. е. у нее нет неотр и цател ь н ы х р ешен и й . Очев идно, н ужно так обмен ивать места ми б азисные и свободные перемен ные, чтобы эта п р оцеду ра п р и б л и ж а л а нас к гран ице ОДР , а н е удал яла от н ее, т. е . чтобы число отр ицательных свободных членов с каждым шагом убывало, или , есл и число отр ицательных сво бодных член ов оста ется прежним, то , по крайней мере, убывали их абсолютные вел ичины. Существует р яд способов выбора р азрешающего элемента дл я п р и бл ижен и я к о пор ному р ешению. Остановимся (без стр огого до к азатель
1 - (- Х1 _ 2Х2 + Х З} '
У2 = -5 - (- 2Хl + Х 2 - Х З} ,
У4
-
I
В табл 7_ 1 имеется отр и цател ьный свободный член -5 в строке У2 стuлбца Сог л а сно прав и л у , в ы би р а ем л ю бо й от р и ца т ел ьный элемент этой ст р о к и , н а пр имер - 2 (в табл. 7 _1 он подчер к нут). Этим м ы в ыбр ал и р а з решающи и столбец Xl ' В качестве «к а-ндидатов» на роль р азрешающего элемента р ассмотр им все те элементы этого столбца , котор ые оди наковы по знаку со своим свободным чле ном; это будут - 2 и 1 (нудь в ка честве р а зреш ающего элемента фигур нровать не может). Вычисл яем ДЛ Я каждого И 3 «кандидатов» отношение к нему свободного '1л е н а : Xl '
(-5) 1 (-2)
=
�/2;
2/ 1 = 2 .
Н аименьшее из этих отношений 2; значит, элемент I выби р аем в качестве р азреш ающе го и ме няем местами Хl - У з ( см . т а б л . 7. 2 ) . После выпол нен и я действи й пр и ходи м к табл . 7 . 3. В табл . 7 . 3 по-пр ежнему оди н отр и цател ьный свободн ый член, но по а ссо лютной вел и ч и не он уже меньше, чем в табл. 7 . 1 - значит, мы пр ибл иж а емся к ОДР. Попробуем избав иться и от этого члена. В строке У2 имеется только оди н отр и цательный элеме нт - 1 (подчеркнут). З н а 'lИТ, разрешающим столбцом может быть тол ько столбец Хз . Вычисляем дл я всех элементов этого столбц а , имеющих оди н а ков ый знак со своим своБОДНblМ членом, отношенне свободного члена к эле менту: 3/ 1 = 31
( � 1) / ( - 1 )= 1 ;
1/1 = 1 . 73
Уз -
,
С во бо д н ы й ч л ен 1
У!
Уз
2
У4
1
-1
2
-5
У2
Х!
-2
-2
г7 I
2
-1
О ГО
о
J
1
Хз
С вОбо дны й чл ен
1
I
1
_Г} Q)
4
J
Х2
О
-1
2
0
I
1
о
У!
3
У2
-I J
Х1
2
О
1
О -
,
о
1
У4
1
-1
2
I
1
О
О
-1
J
2 -2
О 2
-1
зJ 1 -1
Таt5Лl1l{а 7. 3
С В О БОДНЫЙ ч л ен
УI ,
I
У2 Х1
3
1
-1
-1
2
3
2
1
I
I
О
I
У4
С вО бо д н ы й
УI
-1
=
Хз
О
Х1
1
-1
У4
От но ш е н и е дост и га ет м и н имума, р а в ного 1 , дл я д в у х элеме нтов; во эьмем каче-стве р аз р е ш а ющего первый из н и х (- 1 ), стоящий в стр оке У2 и стол б це Ха, в сдел ае м замену ХЗ н У. (см. табл 7 . 4 и 7 . 5).
в табл 7. 5
все
Уз "'"
св о б од ные члены неотр и цательны, и опор ное р ешение
Х2
При мер 2. Н а й т и
=
Уз
=
=
2;
ХЗ
=
1;
x1
=
2; flо
=
У2 =
- 4 - ( - х! + 2х2),
- З - (Х t - Х2 + ХЗ) , - 1 0 - (2хt -Х2 + Л З) , У о = � 2 - ( -Хl +Xz).
Уs =
J
3
�
1
У2
2
3
2
I
-
1
-2
-3
-,
2
1
1
О
О
2
2
1
о.
--
Таt5Лl1I./U 7. fj
С вОб одн ый ч л ен
наА-
(есл и о но су ществует) опор ное р е шение си стемы
У1 =
74
О; Yl
О
-1
Х2
и
дено:
-3
'L е 0 [9
Уз
ч лен
1
-
3
Таt5Лliц а 7. 5
ХЗ
Х2
Уз
Хз
Х2
Уз
X1
Х2
Хз
УI
-4
-1
2
О
У2
-3
1
-1
1
Уз
-10
2
-1
1
-2
8
1
О
(7. 5)
У4
75
ТаОЛllца
С в о бодн ы й чле
Х,
н
У]
-4
У2
-3
Уз
-10
У4
-2
-1
:2
1 -2
I
2
2
�
2
О
-1
-1
1
I
-1
г;Е)
-4
ХЗ
Х2
F
I
-1
О
8.
в п р едыдущем па ра графе мы научились отыскивать опорное ре шен и е системы урав н ений ОЗЛП; п р и поиска х этого опорного р еше ния мы вовсе не за нимал ись ми н ими з и р у е мой функцией L. Т еперь мы з айм емся опт и м и за ци ей решени я , т. е . отыскан и ем та кого опорно го решен и я , которое обращает в минимум линейную фу н кцию:
О
Решение. За писываем систему уравнений (7 . 5) в виде ста нда ртной т абли (см. табл_ 7.6). В ыбир аем строку с .отр ицател ь ным свободным членом, напр и мер, первую. В неи. есть отр ицательныи элемент (- 1 ). В ыбираем столбец Xl в качестве р азре шающего. Вычнсляем отношения: цы
(- 4)( - 1 ) = 4;
L
14
(2 У + Х + Х )
= 42З -
-
•
•
=
=
Таt5лц ц а 7 8
С в о бодный ч лен
у,
--
I
1-.
у'} Уз ХI
76
-2 -5 - 14
2
У4 -1
Х2
X�
1
О
О
1
2
I
I
-1
-1
1
-- - -- -- --
О
_
со - (1'1
X1
+ 1'2 Х2 + . . . + Уn Хn) '
Пример 1. Н айти решение зада ч и л и ней ного прогр аммирова н и я с у р авнениями Yt = 2 - ( Х 1 + Х 2 - 2ХВ)'
'
Может л и п р и каких бы то ни было неотр и цательных значениях У Х Х величина Уз быть неотр и цательной? Очевидно неТ' пр и У - Х2 Х З - 40' п2,o.�y-З 4 чим У з - 1 4, а увел ичение У4' Х2• Хз свер х нуля сдел ает Уз еще меньше След о-
=
В § 5 мы уже п родемонстр и ровал и п р и нци п иальну ю сторону м е тоди ки оптими з ации решени я . Здес ь мы на п р имер а х покажем , ка к эта оптимиз аци я может быть п р оведена с помощью табличного алго р итма за мены Х ! +--> У/.
( - 2) ( - 1 ) = 2.
Последнее отношение мин имал ьно; зиачит, в качестве разрешающего бер ем элемент ( - 1 ) в строке у, и производим замену Xl .... У4 (см. та бл . 7 . 7 и 7. 8). Обр атим в нимание на строку уз в табл. 7 8. В ней свободн ый член от р ица телеи, но н е т н и о Д н о г о о т р и Ц а т е л ь н о г о э л е м е н т а (кроме самого свОбодного члена). Соответствующее урав нение имеет в ид: Уз
О Т Ы С КА Н И Е О П Т И МА Л Ь Н О ГО Р Е Ш Е Н И Я З А Д А Ч И Л И Н Е Й Н О ГО П РО Г Р А М М И Р О ВА Н И Я
ОС Н О В НО И
О
01
-1
Т а ким образом. мы видим, что нет необходимости специально исследовать систему усл ови й ОЗЛП на совмест н ост ь в области неот р ицател ьны х решений: это т вопрос выяс н яется авто м ати чес к и , в п ро цессе на хождения опор ного р ешени я .
О
1
2
1
вательно. система (7. 5) несовместима с неравенствами. в ытекающими из неотр и' цатель ности перемен ных, и зада ч а л и неiiного прогр аммирования с условиями· огр аничениями (7 _ 5) д о п у с т и м ы х р е ш е н и й н е и м е е т . О том же св идетельствует и строка У 2 табл . 7. 8. где тоже нет н и одного отр ицател ь ного элемента (кроме самого свободного чле на)
7. 7
,
!
(8. 1 )
L = O - (-Xl + 2х2 + хз) . ·
(8. 2)
У2 = 1 - ( X t -Xz + Хз) , уз = 5 - ( Х2 + Хз) . У4 = 2 - (2ХI - Х 2) .
об ращающее в мин имум линейную функцию Решение. Все свободные члены в (8. 1 ) неотр и цател ьны, значнт, опор ное ре шение нал и цо: Я вл яется ли оно онтимальным? Нет, та к как коэффи циенты при X z и Х з в (8 . 2) полож ител ь ны, значит, увеЛИЧ!1 l3 а я эти переменные, мы уме н ьшаем L . Зап и шем (8 _ 1 ) и (8. 2) в виде ста ндартной табл ицы (табл . 8 . 1 ) . Т а к к а к коэффициенты в первой строке п р и Х 2 и Х а положнтеJIЬНЫ , любую из этих перемен ных мож но вывести из числ а свободных. П усть это будет Х з . Ка кой из элементов стол бца Х а взять р азрешающим? Этот элемент должен быть п о л о ж и т е л ь н ы м_ З начит, у нас есть выбор; 1 в стр оке У2 ил и 1 в строке уз. Выберем тот и х них, дл я которого отношение к нему свободного чле на минималь но (обоснов а ние см. в § 5) . 1 ; 5/ 1 5. М и нимал ьное из них 1 . Значит , в ка От ношен ия равны 1 / 1 честве р азрешающего нужно взять элемент 1 в столбце хз. стр оке Уа' Проиэ веде м замену хз _ У2 (см. табл . 8. 2, 8. 3). =
=
17
1СВОБОДНЫЙ чл н
rаtJЛllqа 8 , , Х1
е
�I
о
�-[J
2
[tE'I о
1
:------i f--2
у,
��
I
2
�СВО БОДНЫЙ i ч пен 71
�: I � �J 2
-
-,
2
1
(2)
1
О
Х2
Х, -1
-1
2
1
� I� 1
-1
2
о
-1
о
-1
о
' г=;
-2
г;
(2)
,
г;-
1 О
Го
Свободный ч л ен
-6
I
хз
i
-2
Уз
�
з
"2
3
, -"2
1
, -2
2
, 2
2
Т2
Х,
4
У]
У4
l
---=LJ
2
2 2
Таt5лццrz 8. �
, - "2 1
- "2
У2
н - , гт гт ® � -l п -1
3
2
-1
1
I
2
О
з
"2 1
-2 _1 2
_1 2 1
- "2
в вер х ней стр оке табл. 8 . 3 есть пол ож ител ь н ы й коэффи ц и е нт пр и Х а . з н а· чи т . Х 2 и адо в ывест и из свободн ых перемен ных . В ыби р аем в к а чест ве р азре ш а ю щего тот поло ж ител ь н ы й эл емент стол бца Х2• дл я ко торого отно шение к иему свобод ного чл е н а м и н имал ь но. Н о 8 сто л бце Ха еди нств е н н ы й пол ож ител ь ны й эл емент 2. е го и в ыб и р аем 8 ка честве р аз р е ш а ющего (см. табл . 8 . 4 и 8 . 5) . О к а з ыв а ется , п р о цеду р а е ще не з а ко нче н а : в пер в о й стр о к е табл . 8. 5 имеет ся пол о ж и тел ьный э л еме нт в стол бце Уа . з н а чит. пер е мен ну ю У2 н ужно в ывести из ч и сл а св ободн ы х . В к а ч естве р а зре ш а ющего берем тот и з пол о ж ител ь н ы х эле ментов столбца Уа . дл я которог о от ношен ие к нему свобод н ого чле н а м и н и мал ь но. Ср а в н и в а я отноше н и я
6 I 3/2 = 4 ,
3 :1/2 = 6,
в ыби р аем в ка честве р а зр е ш а ющего эл емент 3/2 в ст р о ке Уl и столбце У2 и пр одол жаем п р о цеду р у о пт и м и з а ц и и (см. табл . 8. 6 и 8 . 7) . В первой ст р оке табл . 8 . 7 нет н и одного пол ож ител ьного эл емент а ; з н а ч ит, оптимал ь ное р е шение дост и г н у то; оно б у дет:
X1 = Yз = Yt = O ;
Уа = 4 ;
Хз = l ;
Ха = 4 ;
У4 = 6.
•
П р и этих з н а че н и я х перемеН Н bl Х л и н е й н а я ф у нкци я L дост и г ает св оего м и н и м аль ного з н а че н и я , р а в ного
Lm1n = - 9.
ТаОЛllца8. J
,
,
-2
1
со
,
1
1 -1
,
Ха
1
2
О
�
,
-1
-1
L
-2
-1
о
Свободный член
1
1
,
2
У4
ХЗ
2
,
1
У
Т2
-,
УЗ -'
Х2
Х,
У2
L
-1
-2
3
-1
У,
4
3
-1
2
Ха
1
1
-1
,
Уз
4
-1
. У4
2
2
0 -1
-1 О
Возникает вопрос: а что если в столбце, содержащем положитель ный элемент строки L, не на йдется ни одного положительного элемен та , чтобы сделать его разрешающим? Легко убедиться , что в этом слу чае фун кция L не ограничена сн изу и ОЗЛП н е имеет оптимал ьного решени я . Действител ьно, в этом сл учае увеличение переменной, соответст вующей да нному столбцу, умен ьшает линейную фун кцию L и не мо жет сделать ни одной из базисных переменных отри цател ьной, значит, ничто не п р еп ятств ует неограниченному уменьшению функции L. Ита к , сформул и р уем правила на хождени я оптимального решени я ОЗЛП симплекс-методом. 1 . Е сл и все свободные чл ены (не счита я строки L) в симплекс табл и це неотр ицател ьны, а в строке L (не счита я свободного члена) нет н и одного положител ьного элемента , то о п т и м а л ь н о е р е ш е н и е Д о с т и г н у т о. 79
ТаОЛlLЦCZ 8. 8
ТCZ ОЛll Цll 8. 5 С во б о дн ы й ч л ен
6
УI ХЗ Х2
-2
2
! 2
Ф
3
1 2
1
1
2
1
1
1
Х,
Х2
Х4
Хз
О
-2
1
О
О
О
-1
0
О
О
2
О
1
-1
О
1
о
О
-1
-1
--
Уз
1 2
1
з
У2
-2
2 2
"2
У1
2
2
-2
L
2
-2 2
4
У4
1
3
1
-7
L
Сво60Д,:!ЫЙ чле н
У2
Уз
Х,
ТаО.лш(о 8. 9 С в о б од н ы й член
L
-7 6
УI
3
Хз
J
2 4
1
3
-2
2
- .Q. 6
- "2
UJ §� 2
-2
4
У4 -
Уз
1
2
Х2
В1
1
- 2" 3
2
2
3
5
-6 § 6
s
в
1
2 1
2 1
2
У2
I
-6 1
Э I
-6
I
6
,
6"
С в об од н ы й ч ле н
- I ГФ -1 2
-3
О
L
:1
3
1 2
�П -3
I
� О
о
О
1
Уз
1
о
2
У2
-"2 П .-13
-2
о
�I
У!
Х,
о
1 -1
Х2
Хз
1
О
Б
0 lQJ 1
' г=;О ГО
I
о
-"2 ГI
-1
Х4 О О О
-1
О
�J О
О
О
-1 о
о
-
Та5лц{(а 8. 7 С во бод н ы й член
L
У2 Хз
Х2 У4 80
Х1
Уз
УI
-.Q.
4
.Q. 3
1
3
з
I
1
I
I
4 6
-3
3
-
з 2
-з
3
-3
1
2
1
3 1 3
з
3"
2
1 з
3
Свободный чл е н
1
4
-9
ТllОЛUЦ1l 8JО
Х!
У!
Ха
Х4
о
-1
-1
О
О
Х2
О
-1
1
О
О
У2
2
1
-1
-1
О
1--1
-1
L 1--
Уз
1
--
--
.
О
О
I
-
81
2. Если в строке L есть положительный элемент, а в столбце, соответствующем ему, нет ни одного положител ьного элемента , то ли· нейная функция L не ограничена снизу, и о п т и м а л ь н о г о р е ш е н и я н е с у Щ е с т в у е т. 3. Если в этом столбце есть положител ьные эл ементы , то следует произвести замену одной из свободных переменных на одн у из баз ис ных, причем в качестве разрешающего надо взять тот элемент это го столбца, для которого отношение к нему соответствующег