Независимые базисы для правил, допустимых в предтабличных логиках

Алгебра и логика,, 39, N 2 (2000), 206-226

УДК 510.64

НЕЗАВИСИМЫЕ БАЗИСЫ Д Л Я ПРАВИЛ, Д О П У С Т И М Ы Х В П Р Е Д Т А Б Л И Ч Н Ы Х ЛОГИКАХ*) В. В. РЫБАКОВ, В. Р. КИЯТКИН, М. ТЕРЗИЛЕР Введение

Исследование независимости для логических аксиоматических си­ стем является одним из актуальных направлений исследований в мате­ матической логике. Под базисом аксиом и правил вывода часто понимают просто совокупность аксиом и правил вывода таких, что все остальные яв­ ляются их следствиями. Однако зачастую определение базиса обязательно предполагает независимость составляющих его элементов. При изучении независимых аксиоматизаций в универсальной алге­ бре и алгебре классических объектов получены очень сильные результа­ ты. С начала 1980-х гг. была установлена обширная область, касающа­ яся различных аспектов независимости. Найдены примеры многообразий групп без независимой аксиоматизации (отрицательное решение проблемы А.Тарского),, развиты инструменты, устанавливающие отсутствие незави­ симой аксиоматизации для многообразий и квазимногообразий, доказа­ ны сильные теоремы, показывающие наличие или отсутствие независимой аксиоматизации для важных многообразий и квазимногообразий класси­ ческих алгебраических систем. Тем не менее, к настоящему времени по­ лучено сравнительно мало результатов по независимой аксиоматизации в ^Исследование поддержано Российским Фондом Фундаментальных Исследований (РФФИ) и Turkish Scientific Technical Research Council (TUBITAK, Ankara) во время пребывания В.В.Рыбакова в 1997/1998 году на математическом отделении научного факультета Ege University, Bornova-Izmir, Turkey.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

Независимые базисы

207

нестандартной логике. Отметим примеры Чагрова и Захарящева [1] мо­ дальных логик без независимого множества аксиом. В данной работе мы исследуем независимость базисов правил выво­ да. Доказывается ряд теорем о независимости базисов допустимых правил вывода в предтабличных модальных и суперинтуиционистских логиках (с алгебраической точки зрения это равносильно независимости базисов ква­ зитождеств соответствующих свободных модальных и псевдобулевых ал­ гебр). Относительно допустимых правил вывода ранее было показано (см. [2—7]), что практически большинство важных логик и целые классы та­ ких логик разрешимы по допустимости. Но при этом многие модальные и суперинтуиционистские логики не имеют конечных базисов допустимых правил вывода [3—5]; подробный обзор результатов такого рода приводит­ ся в [8]. Когда отсутствует конечный базис, резонно возникает вопрос, а существует ли независимый базис. Мы соотносим этот вопрос с предтабличными логиками. Теоремы Максимовой [9], Эсакия—Месхи [10] утвер­ ждают, что имеется в точности пять предтабличных модальных логик над S4, а теорема Максимовой [11] — что в точности три предтабличные су­ перинтуиционистские логики. Известно (см. [8]), что среди предтабличных модальных логик над 54 три имеют конечный базис допустимых правил вывода, а две остальные нет, и только одна предтабличная суперинтуици­ онистская логика обладает конечным базисом допустимых правил вывода. В настоящей статье мы доказываем, что предтабличные модальные и суперинтуиционистские логики всегда имеют независимые базисы допу­ стимых правил вывода.

§ 1. Обозначения* Предварительные результаты В настоящей работе активно используется семантика Крипке для мо­ дальных и суперинтуиционистских модальных логик, поэтому в нашем изложении предполагается знакомство читателя с ее аппаратом, а также знание основных фактов о правилах вывода и их допустимости, ниже мы напомним кратко необходимые факты. Более детальное изложение вопро-

208

В. В. Рыбаков, В. Р. Кияткин, М. Терзилер

сов, связанных с правилами вывода, и вопросов, связанных с модальными логиками, дано в [8] и [12] соответственно. Напомним, что фрейм Крипке, или просто фрейм, — это пара (3*, J?), где 3* — некоторое множество, а й - бинарное отношение на F. Посколь­ ку далее мы будем иметь дело только с модальными логиками, расширя­ ющими 54, то R всегда транзитивно и рефлексивно. Модель Крипке — это фрейм с некоторым означиванием V множества пропозициональных переменных. Истинность формулы а на элементе а модели Крипке при означивании V обозначают a \\-y ot. Определения р-морфизмов, откры­ тых подфреймов, прямого объединения фреймов и другие понятия семан­ тики Крипке содержатся, например, в [8] или [12]. Для всякого фрейма 3* := (F, R) и всякого элемента a € F через С(а) обозначается сгусток, содержащий а. Для любого подмножества X множества F

XR:={a\3beX{bRa)}> т. е. Xя — верхний конус, порожденный X, и ЗСЯ+ := {а | 36 е X(bRa)kVc e X(-*(aRc))}. Напомним, что антицепь сгустков на фрейме 2? := (F, R) — это множество Д-несравнимых сгустков. Для любой антицепи У сгустков из 3* сгусток С является ко-покрытием для У тогда и только тогда, когда

элемент является ко-покрытием, если сгусток, содержащий данный эле­ мент, является ко-покрытием. Будем говорить, что элемент а (или сгусток С) Д-видит элемент 6 (или сгусток Ci), если aRb (CRC\ соответственно). Элемент а (сгусток С) является непосредственным Д-последователем эле­ мента Ъ (сгустка Ci), если aRb (CRC\) и не существует элементов с таких, что aRc, cRb и -y{cRa)) -i(bRc) (CRc, cRC\ и -i(ci?C), -*(C\Rc)). Аналогич­ но определяем понятие непосредственного ^-предшественника. Для пары фреймов 3*i, 3*2 запись 9*1 С 3*2 означает, что фрейм 3*i является открытым подфреймом фрейма 3V Фрейм 3* является А-фреймом для логики А, если

Независимые базисы

209

все теоремы Л истинны на J ; \(3*) обозначает логику, порожденную фрей­ мом 3\ Фрейм У — корневой или острый, если За Е fJ такой, что Vb Е 'J aRb] тогда говорим, что С(а) — корень фрейма У, и обозначаем этот сгу­ сток root (У). Через 5 m ( J ) обозначается множество всех элементов из fJ глубины, не превышающей га, a Slm('J) — множество всех элементов глу­ бины га из У* Напомним, что логика А финитно аппроксимируема, если для любой формулы а $ А существует конечный фрейм У (или, что эк­ вивалентно, конечная алгебра Л) такой, что И 1^ а, но 'J lb /3 для любого /3 Е А (соответственно А \£ а, Л |= /3). Всю предварительную информацию о правилах вывода и их допустимости можно найти в [8]. Пусть o?i,..., а п , /3 — некоторые формулы и ai,...,an является (структурным) правилом вывода, которое выводит s(/3) из s ( a i ) , ... , s(an) для произвольной подстановки s. Говорят, что правило г выводи­ мо в логике А, если существует вывод /3 из множества посылок {a?i,..., a n } в А. Правило г называется допустимым в логике А, если для любой под­ становки s s(/3) Е А всякий раз, как только s(ai) E А,... ,s(a n ) € A. Очевидно, что всякое выводимое правило является допустимым, обратное в общем случае неверно. Непосредственно из определения следует, что мно­ жество всех правил, допустимых в логике А, является наибольшим классом правил вывода, с помощью которых можно расширить аксиоматическую систему логики А, сохраняя теоремы А. Алгебраическое описание допустимых правил идет от традиций поль­ ской логической школы. Правило г является допустимым в логике А тогда и только тогда, когда квазитождество q(r) := OLI = T&...&a n = Т => /3 = Т истинно на свободной алгебре счетного ранга Ул(^) многообразия Var (A) (всех алгебр, на которых все теоремы логики А истинны) (см. [13] или более подробно [8]). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пусть А — пропозициональная логика, правило г := o?i,..., &п/$ будет следствием семейства правил F в X (обозначение

В. В. Рыбаков, J3. Р. Кияткин, М. Терзилер

210

F \-\ г), если существует вывод /3 из a?i,... , a n , как посылок в аксиомати­ ческой системе А, расширенной добавлением семейства F в качестве новых правил. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Множество правил вывода 5 , допустимых в пропозициональной логике А, является базисом для всех правил, допусти­ мых в А, если для любого допустимого правила г имеем S Ид г, т.е. г — следствие 5 в А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Базис S для всех правил, допустимых в А, яв­ ляется независимым, если Уг £ S имеем S — {г} \/\ г. Для любого правила г := а\, ...,a n //3, q(r) := a\ = T&...&a„ = T => =3> /3 = Т — соответствующее ему квазитождество. Л Е М М А 1.1 (см. [8, теор. 1.4.15]). (i) Множество правил выво­ да S является базисом для всех правил вывода, допустимых в логике А, тогда и только тогда, когда множество Sq := {(?(г) | г € S}

является

базисом квазитождеств свободной алгебры 3*\(и>) счетного ранга много­ образия Var (А) := {Л | Va e А (Л |= а ) } . (И) Длл любого правила г, любого семейства S правил и для любой модальной логики А над 54 или любой суперинтуиционистской

логики А

выполняется 5 Ьд г тогда и только тогда, когда q{r) является

семан­

тическим следствием семейства Sq в многообразии Var (A). Л Е М М А 1.2 (см. [8, лемма 4.1.7]). Множество S правил вывода является независимым базисом для всех правил, допустимых в логике X, тогда и только тогда, когда множество квазитоэюдеств Sq := {q(r) \ г G 5 } будет независимым базисом квазитождеств свободной алгебры

Нам понадобится также известное описание допустимых правил вы­ вода с помощью их истинности на специальных

п-характеристических

моделях Крипке. Описание этих моделей СЬд(гг), а также критерии для распознавания допустимости с их помощью приводятся в [8]. Напомним вкратце конструкцию Ch\(n) и семантический критерий для распознава­ ния допустимости. Пусть заданы финитно аппроксимируемая модальная

Независимые базисы

211

логика А, расширяющая А'4, и множество Рп := {pi,...»Pn} пропозицио­ нальных переменных. Первый спой Si(ChA(n)) состоит из множества всех сгустков со всевозможными означиваниями V переменных из Р„, кото­ рые не имеют дублирующих элементов с тем же самым означиванием и не имеют сгустков, которые изоморфны как модели Крипке. Пусть нами уже построен слой 5 т (СЬд(тг)), тогда сгустки слоя Sm+i(Ch\(n))

вводятся

следующим образом. Выбираем любую антицепь У сгустков из 5 т (СЬл(п)), имеющую по крайней мере один сгусток глубины га, и добавляем в Sm+i(Ch\(n))

любой

сгусток С из 5i(Clu(n)), полагая С непосредственным предшественником сгустков из У, но только при условиях, что (i) фрейм CR является А-фреймом, (ii) если У := {Ci}, то С не является подмоделью модели Крипке С\. Продолжая эту процедуру, получаем в итоге модель СЪ.\(п). Для фи­ нитно аппроксимируемых суперинтуиционистских логик построение то же самое, только R должно быть частичным порядком и означивание про­ позициональных переменных на элементах модели — интуиционистским, т.е. стабильным вверх. Говорим, что модель Ж является п-характеристической для логики А, если для любой формулы а, построенной из пе­ ременных множества P n , a £ А тогда и только тогда, когда Ж 1Ь а. Т Е О Р Е М А 1.1 (см., например, [8]). Для любой финитно аппрок­ симируемой модальной логики А, расширяющей КА, или

суперинтуицио­

нистской финитно аппроксимируемой логики А модель СЬд(?г) является п-характеристической

для логики А.

Элемент а модели Крипке Ж называется формульным (определи­ мым) в М, если существует формула а такая, что Уж б Ж[(х 1Ьу а) х = = а]. Означивание V называется формульным в модели JVC, если для любой переменной р из области определения V элемент V(p) формульный. Т Е О Р Е М А 1.2 (см., например, [8]). Для любой финитно аппрокси­ мируемой модальной логики А, расширяющей К4, каждый элемент мо­ дели СЪ\(п) формулен в СЬл(тг). Для любых финитно

аппроксимируемой

212

В. В. Рыбаков, В. Р. Кияткин, М. Терзилер

суперинтуиционистской формулен в

логики А и элемента а модели Ch\(n) конус а~

Ch\(n).

Для данных фрейма Т, означивания V и правила вывода г := :=z оц,... , о?п//3, полагаем, что г истинно на фрейме Э' при означивании V (обозначается J Wy г), если из того, что Ух £ 'SVi(x Iby а^) следует \/х £ З^ж Ihy /3). Правило вывода г истинно на фрейме 3^, если г истинно на У при любом означивании, — в этом случае используется обозначение ЗЧЬг. Т Е О Р Е М А 1.3 (см., например, [8]). Для любых финитно аппрок­ симируемой модальной логики А, расширяющей К4, и финитно аппрокси­ мируемой суперинтуиционистской

логики А правило вывода г допустимо

в А тогда и только тогда, когда г истинно на фрейме Ch\(n) для всех п и формульных

означиваний.

Говорим, что логика А табличная в том и только в том случае, если существует конечный фрейм У, для которого А = A(iF). Логика А называ­ ется предтабличной, если она не является табличной, но все логики, рас­ ширяющие А, — табличные. Таким образом, предтабличные логики — это просто максимальные логики в семействе нетабличных логик.

§ 2. Существование независимого базиса у предтабличных модальных логик В настоящей работе исследуются модальные предтабличные логи­ ки над 54. В статьях Максимовой [9] и Эсакия—Месхи [10] показано, что существует в точности пять предтабличных модальных логик над 54: РТ\ — РТ$. Ниже выражение У G RF обозначает, что фрейм У корневой. РТ\ := A({vF | ||ЗГ|| < и), fJ £ RF, У— линейно упорядоченное множество}); РТ2 := А({Э" | ||wF|| < CJ, 7 6 RF, £F— частично упорядоченное множество, depth (?) ^ 2}); РГз := ^({ЗР | \\'J\\ < w, {J G RF, {J— частично упорядоченное множество,

213

Независимые базисы depth (5) ^ 3, 3m € 3Vx e У (я? < m)}); РГ 4 := A({ J | ЦЗГЦ < a;, 5 € ДР, depth (?) < 2, 3m € JVz € ^[(ж < m ) f c ( m b => ж = m)]}); PT 5 := A({J | НУЦ < и, 7 e ЯР, depth (7) = 1}).

Известно, что PTi, PT\ и Р Г Б имеют конечные базисы правил вывода (см. [8, теор. 4.3.33]) и, значит, независимые базисы. Кстати, РТ\ и РТ± структурно полны, именно по этой причине они имеют конечный базис. Однако у логик РТ? и РТз отсутствуют конечные базисы для допустимых правил вывода (см. следствие из теор. 4.3.33 [8]). Таким образом, вопрос о существовании независимых базисов для них открыт. На этот вопрос мы ответим ниже. Рассмотрим последовательность правил вывода г п (РТз), п е ЛГ, О

3: г„(РГз) := - ^ - , где

А>:= Л ф ( « Л an:=U

Д

Ut->

П

Л Д

^П >

Q-iW|A7n,

7n := 71 ,n V 72,n V 7з,п V 7 4 , m 7i, n := 74,n =

Д

П-ipj, 72,n := V

«Л

Д

D-ip,- 1 , 7з,п := AM

\/ ex, ^ := Д Opi Л Д -»фр,-. xc{i,...,n},i

Д

D-i Pi J .

(2.1)

Тогда элементы Ь, попарно Д-несравнимы. По построению, модель ChpTi(n) содержит элемент с Е 5/з(СЬртз(п)) такой, что

cR-{c}= Если бы посылка правила гп(РТз)

(J (6fu{6,}). оказалась истинной в ChpTs(n)

при

означивании W, то дизъюнктивный член формулы уп был бы истинен при W. Формула 7i,n не может быть истинной, поскольку элементы Ьг, 2 ^ г ^ п, й-видимы из с, и на этих элементах соответствующие перемен­ ные pi истинны при означивании W. Итак, с i/w 7з,п в силу того, что р\ не истинна на элементах b2}..., Ьп и на элементе, Я-видимом из них соглас­ но (2.1). Кроме того, с l)Sv 72,п, поскольку п ^ 3. Имеет место и с l)Sv 74,n согласно выбору множества X в этой формуле. Таким образом, посылка ложна при означивании W, что и доказывает истинность правила г п (РТз) в модели Chpy3(ft) при означивании W. Следовательно, каждое правило гп(РТз) является РГз-ДОпустимым. D Л Е М М А 2.2. Правила гп(РТз)} п Е N, п ^ 3, образуют базис всех правил вывода, допустимых в логике РТ$. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть г — допустимое прави­ ло логики РТз, которое не является следствием гп(РТз),

п Е iV, п ^ 3,

в многообразии Уаг(РТз). По лемме 1.1 соответствующее квазитожде­ ство q(r) не является следствием квазитождеств д(г п )(РГз), п Е iV, п ^ 3. Пусть Л — алгебра из Var (РТ 3 ), отделяющая q(r) от #(г п )(РГз), n G iV, n ) 3. Тогда, очевидно, мы можем предположить, что А конечнопорождена и, значит, конечна, поскольку многообразие Var (РГз) локально

Независимые базисы

215

конечно. Следовательно, Л = JF+ для некоторого конечного частично упо­ рядоченного множества 3*. Соответственно У If- Гп(РТз), п G ЛГ, п ^ 3, и УI/ г.

(2.2)

Эти наблюдения позволяют утверждать, что У должно иметь глуби­ ну, в точности равную 3. Действительно, всякий конечный РТз-фрейм глу­ бины 2 или 1 является р-морфным образом некоторой модели Chpj 3 (тп), а коль скоро г не истинно на У, если depth (T) ^ 2, то г не будет истинно на некоторой Chpx 8 ( m )i

и по

теореме 1.3 г было бы недопустимо в логи­

ке РГз, так как всякая Chpx3 конечна. Более того, можно считать, что J имеет единственный Я-наибальший элемент, поскольку всякий конечный РТз-фрейм является прямым объединением частично упорядоченных мно­ жеств с ^-наибольшим элементом, и любая компонента прямого объеди­ нения представляет собой р-морфный образ всего прямого объединения. Пусть

9:= JZ|ZCSJ2(3), К ||Z||, 3u(Z) € Sh{5) (u(Z)R - {u(Z)} = ( J w \ wez Если для любого подмножества У произвольного Z из S* где 1 < ||У||, У имеет ко-покрытие в У, тогда fJ является р-морфным образом модели СЬрхз(^) Для некоторогога,а в силу (2.2) и теоремы 1.3 правило г было бы недопустимо в РТз. Соответственно найдется нетривиальная антицепь Z из S такая, что существует У С £, 1 < ||%||, где У не имеет ко-покрытий в У. Очевидно, что мы можем выбрать такого рода множества У с наименьшим возможным количеством элементов. Тогда, в частности, VW С У ( ||W|| > 1 =» 3u £ Sl3(T) luR - {u} = ( J mR Теперь можно построить р~морфизм / 6 J следующим образом. Сжи­ маем при помощи / все элементы глубины 2, расположенные вне У, в один единственный элемент е(У). Полученный р-морфный образ 3^ имеет Д-наибольший элемент и в точности ||У || + 1 элементов глубины 2, каждый

216

В. В. Рыбаков, В. Р. Кияткин, М. Терзилер

из которых является Л-видимым из бывшего ко-покрытия для Z. Далее, любое подмножество Q из Shfii)

такое, что 1 < ||Q|| < ||У|| имеет ко-по-

крытие в 3^ согласно выбору у. Таким образом, только антицепи элементов глубины 2 из 3^1, имеющие в точности ||У|| элементов, могут не иметь ко-покрытий в vFi, и по крайней мере, один элемент не имеет. Пусть га := ЦУЦ + 1. Правило гп(РТз)

опровергается на У\ заданием означивания 5 3 следую­

щим образом. Для любой пропозициональной переменной р., 1 ^ г ^ га, полагаем, что р, истинна при 5з только на единственном элементе gi глуби­ ны 2 из ЗГЬ где Sh{3\)

= {#ь - , 9п}- Можно считать, что У := {д2)..., #„}.

Тогда заключение правила г п (РТз) ложно на ко-покрытии 6 для

Sl^^i).

Истинность формул из посылки этого правила легко проверить: например, формула 74,п истинна на элементах глубины 3 из Э^, поскольку {д2,..., дп} не имеет ко-покрытия в 3*. Таким образом, правило гп(РТз) ложно на 3^, вследствие этого гп(РТз) ложно и на У, что противоречит (2.2). П Л Е М М А 2-3. Правила гп(РТ3),

2 < п £ N, независимы в РТ3.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно по лемме 1.2 достаточно показать, что квазитождества q(rn)(PTs)

независимы в многообразии

Var (PT3). Для этого зафиксируем фреймы Q n , га > 2, такие, что частично упорядоченное множество Qn имеет следующее строение: Qn := S/i(Q„) U Sl2(Qn) U 5/ 3 (Q„), где Sh(Qn)

:= W , 5/ 2 (Q„) := {bu..., Ь п }, причем У6,-(6,- < a),

Sh(Qn) := ic% 1 X С {fei,..., 6„}, 1 < ||X||, X ф {bu .-., M } ,


Независимые базисы

217

Л Е М М А 2.5. Любое правило гт(РТз) истинно на Qn, где гп > 2 и тиф п. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть означивание W опровергает заключе­ ние правила г т ( Р Г з ) на элементе и из Q n . Тогда 3UJ 6 Q n , I ^ J ^

m

?

такой, что * < ttj, Vji, j 2 (ji ^

j2

^ ttA ^ Ь л)

и tt

* "~w Л-

Значит, и имеет глубину 3, и по крайней мере га элементов глубины 2 должны быть последователями элемента и. Следовательно, случай m > п невозможен, и п > т. Тогда посылка правила г т ( Р Т з ) не может быть истинна на Q n , поскольку Qn имеет ко-покрытия для всех антицепей эле­ ментов глубины 2, состоящих из га — 1 элемента, в частности, {?i2, •••> ип} имеет ко-покрытие h. С другой стороны, ни один конъюнктивный член из 7 т ~~ формулы из посылки г т (РТз) — не может быть истинным на h. Таким образом, правило г т ( Р Г з ) истинно на Q n . D Объединяя леммы 2.4 и 2.5, а также учитывая, что любое частич­ но упорядоченное множество Qn является РГз-фреймом, мы завершаем доказательство леммы 2.3. О Применением лемм 2.2 и 2.3 непосредственно получается Т Е О Р Е М А 2.1. Правила г п (РГ 3 ), п G N, и > 2, образуют неза­ висимый базис для всех правил, допустимых в предтабличной модальной логике РГз. Таким образом, существование независимого базиса для правил, до­ пустимых в РГз, проверяется непосредственно построением такового бази­ са. Остается рассмотреть вопрос о независимости базиса только для пред­ табличной модальной логики РГ 2 . Мы можем построить независимый ба­ зис допустимых правил для РГ 2 так же, как для логики РГз. Кратко поясним, как преобразовать доказательство для логики РГз в случае логи­ ки РГ 2 . Сущность преобразования очевидна из различия в семантической структуре конечных фреймов для РГ 2 и РГз: необходимо удалить все фор­ мулы, отвечающие за поведение наибольшего элемента РГз-фреймов, и все аргументы в доказательстве, касающиеся этих элементов. Затем определя-

В. В. Рыбаков, В. Р. Кияткин, М. Терзилер

218

ем правила гп(РТ2)) п £ iV, 3 ^ п, точно так же, как правила г п (РТз), уда­ ляя формулы, отвечающие за наибольший элемент. Более точно,

гп(РТ2)

получается из гп(РТз) удалением подформулы 7i,n из подформулы уп в посылке. Л Е М М А 2.6, Любое правило rm(PT2), m > 2, допустимо в логике РТ2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО является упрощенным вариантом доказатель­ ства леммы 2.1 с удалением фрагментов, касающихся наибольших элемен­ тов фреймов. D Л Е М М А 2.7, Правила гп{РТ2), п £ N, п^ 3, образуют базис всех правил вывода, допустимых в РТ2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

является

вариантом доказательства лем­

мы 2.2. • Л Е М М А 2.8- Правила гп(РТ2),

2 < п € N, независимы в РТ2.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится по схеме доказательства лем­ мы 2.3. Рассматриваем частично упорядоченные фреймы W n : = 5 / ! ( W n ) U 5 / 2 ( W n ) , где

SMWn) :={&ь..., М , S/2(W„) := {сХ I X С {Ьи ..., U , 1 < Р И Д ф {Ьъ ..., Ьп}}7

с% ~Ы

= (J Ь~,

Ъех Заметим, что имеют место две следующие леммы. Л Е М М А 2.9. Правило гп(РТ2)

ложно на W„.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО очевидно. D Л Е М М А 2.10. Любое правило vrn{^PT2)) где m ]> 2 и тп ф п} истинно на W n . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО представляет собой упрощенный вариант до­ казательства леммы 2.5. О Из лемм 2.10 и 2.11 (поскольку любое W n является РТг-фреймом) следует утверждение леммы 2.8. •

Независимые базисы

219

Из лемм 2.8 и 2.9 прямо выводится ТЕОРЕМА 2.2. Правила гп(РТ2),

п £ N, п > 2, образуют неза­

висимый базис для всех правил} допустимых в предтабличпой модальной логике РТ2. Суммируя результаты данного раздела, получаем ТЕОРЕМА 2.3. Все предтпабличные модальные логики над 54 име­ ют независимые базисы для допустимых правил вывода.

§ 3. Независимые базисы для предтабличных суперинтуиционистских логик Перед тем, как перейти к рассмотрению предтабличных суперинту­ иционистских логик, заметим, что язык модальных логик, вообще говоря, не транслируется в язык чистого пропозиционального исчисления. Следо­ вательно, используя наши предыдущие результаты, невозможно немедлен­ но ответить на вопросы, касающиеся независимых базисов для допустимых правил предтабличных суперинтуиционистских логик. Однако трансфор­ мировать наши результаты в интуиционистский случай нетрудно, это и делается в настоящем разделе. Что касается предтабличных суперинтуиционистских логик, то, со­ гласно результатам Максимовой [11], существуют в точности три такие логики: LC — логика всех конечных линейно упорядоченных множеств, £>2 -~ логика всех конечных корневых частично упорядоченных множеств глубины 2 и £ з — логика всех конечных корневых частично упорядочен­ ных множеств глубины 3 с наибольшим элементом. Логика LC структурно полна и, следовательно, имеет конечный базис для допустимых правил, а, значит, и независимый базис. Логики Ь2 и £ з не имеют конечных базисов допустимых правил вывода (теор. 4.3.34 из [8]). Таким образом, достаточно рассмотреть логики И2 и £з- Как и в случае с модальными логиками, начнем с £з- Введем правила г п (£з) сле­ дующим образом: г п ( £ з ) '-- "2Г» г Д е Рп

220

В. В. Рыбаков, В. Р. Кияткин, М. Терзилер

Рп'-=Ро-+

V

7i,»»:= Д

р„72,г.:=

7з,п =

[#->

\/

\/

Pj ) , 7i,n)

ex. An •= {1, »., re},

V ХСЛ„,1 7l,n) Л \/(р«-^Т1,п)-> У pj

*€Лп-Х

Для доказательства того, что эти правила образуют базис допустимых правил логики £з> последуем схеме доказательства для логики РТ$ (од­ нако доказательство будет существенно отличаться, поскольку интуицио­ нистская истинность стабильна вверх). Л Е М М А 3.1. Все правила г п (£з)? п > 2, допустимы в &з» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 1.3 достаточно установить, что Ch£8(m)lb5rn(£3) для любых га-характеристической модели Ch£ 3 (ra) и означивания W. Предположим За Е Ch£ 3 ( m ) такой, что

a l)Sv А»

:= Ро -» V

( ^[ "*

V

W

Тогда существуют элементы Ь$ 6 Ch^ 3 (го) такие, что а < 6,- и

В частности, элементы 6,- будут 1 ^ j ^ 3, должна быть истинной на с при означивании W. Но это не 7i,n и не 72,п> поскольку элементы ^2 и Ьз будут то с \fyj 7з,щ поскольку второй конъюнктивный член этой формулы ложен. Если же Зг € ((А п — {1}) — X), то первый конъюнктивный член формулы 7з,п ложен на с при означивании W. Таким образом, (3.1) не имеет места и всякое правило г п (£ 3 ) допустимо в логике £з- О Л Е М М А 3.2. Все правила г п (£з), n G iV, п ^ 3, образуют базис допустимых правил в логике &зДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть г — допустимое правило в &з? которое не является следствием совокупности правил г п (£з), n G iV, n ) 3. Из леммы 1.1 следует, что соответствующее квазитождество q(r) не является следствием совокупности квазитождеств