Физика (квантовая физика): Методические указания для студентов факультета высоких технологий. Часть 1

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к курсу «Физика» (квантовая физика) для студентов факультета высоких технологий часть 1

Ростов-на-Дону 2007

Методические указания разработаны старшим преподавателем кафедры общей физики Ю.А. Игнатовой, старшим преподавателем кафедры общей физики М.А. Сорочинской, к. физ.-мат. н., доц. кафедры общей физики А.Л. Цветянским.

Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета ЮФУ, протокол №23 от 29 мая 2007г.

2

Методические указания предназначены для аудиторной и самостоятельной работы студентов 2 курса факультета высоких технологий. В сборнике приведены основные теоретические положения, знания которых необходимы для решения задач, примеры решения типовых задач, дополнительная литература.

3

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЕГО ОПИСАНИЕ Тепловое

(температурное)

излучение

- свечение

тел, обусловленное

нагреванием. Тепловое излучение равновесно. Если нагретые (излучающие) тела поместить в полость, ограниченную идеально отражающей оболочкой, то через некоторое время (в результате непрерывного обмена энергией между

телами

и

излучением, заполняющим полость) наступит равновесие, т.е. каждое тело в единицу времени будет поглощать столько же энергии, сколько и излучать. Основные характеристики теплового излучения Спектральная

плотность

энергетической

светимости

-

энергия,

излучаемая с единицы площади поверхности тела в единицу времени в интервале частот единичной ширины

Rv ,T =

dWvизл , v + dv dv

( Дж / м 2 ) .

Спектральная поглощательная способность показывает, какая доля приносимой за единицу времени на единицу площади поверхности тела падающими на нее электромагнитными волнами с частотами от ν до ν+dν, поглощается телом Av ,T =

dWvпогл ,v + dv dWv ,v + dv

(безразмерная ) .

Связь между Rv ,T и Rλ ,T Rv ,T = Rλ ,T

dWvизл ,v + dv = Rv ,T dv = Rλ ,T dλ ,

λ2 c

c = λv,

4

; dλ c λ2 = 2 =− dv v c

(знак минус указывает, что λ уменьшается с возрастанием ν ). Энергетическая светимость тела – суммирование производится по всем частотам (длинам волн) ∞

∞

0

0

RT = ∫ Rv ,T dv = ∫ Rλ ,T dλ .

Таблица 1 Черное и серое тела Тело

Спектральная

Определение

поглощающая способность

Тело, способное поглощать полностью при любой Черное

температуре все падающее на него излучение любой

Av ,T ≡ 1

частоты Тело, поглощательная способность которого меньше Серое

единицы, но одинакова для всех частот и зависит только

A v ,Tc = AT = const < 1

от температуры

Модель черного тела Идеальная

модель черного тела – идеальная

полость с небольшим отверстием О, внутренняя поверхность которой зачернена.

Луч

света,

попавший внутрь такой полости, испытывает многократные отражения от стенок, в результате чего

интенсивность

вышедшего

излучения

Рисунок 1

оказывается практически равной нулю. Черное тело — идеализированная модель. Таких тел в природе нет, но, например, сажа, платиновая чернь, черный бархат в определенном интервале частот по своим свойствам близки к черным телам.

5

Закон Кирхгофа Формулировка

закона

Кирхгофа:

отношение спектральной плотности

энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела; оно является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры. Rv ,T

= rv ,T ,

Av ,T

где rv ,T - универсальная функция Кирхгофа (спектральная плотность энергетической светимости черного тела). Объяснение свечения накаленных тел по закону Кирхгофа. Темные

места

разрисованного

Фарфора при накаливании излучают сильнее (рисунок 2). Согласно закону Кирхгофа, тело, сильнее поглощающее, сильнее и излучает, если сравнение

Рисунок 2

происходит при одинаковой температуре (отдельные части фарфора нагреты до одинаковой температуры). Энергетическая светимость тел Энергетическая светимость тела ∞

RT = ∫ Av ,T rv ,T dv . 0

Энергетическая светимость серого тела ∞

RTc = AT ∫ rv ,T dv = AT Re . 0

Энергетическая светимость черного тела

6

∞

∞

0

0

Re = ∫ rv ,T dv = ∫ rλ ,T dλ .

Таблица 2 Законы Стефана—Больцмана и Вина Закон

Формулировка закона

Закон

Энергетическая светимость черного тела

Стефана-

пропорциональна четвертой степени

Больцмана

Формула

Постоянная

σ = 5,67 ⋅ 10 −8 Вт/ (м2 ⋅ К4) Re = σT 4

его термодинамической температуры

(постоянная СтефанаБольцмана)

Длина волны λ max , соответствующая Закон смещения Вина

максимуму

спектральной плотности

энергетической

светимости

черного

тела, обратно пропорциональна его

λ max =

b T

b = 2,9 ⋅ 10 −3 м ⋅ К (постоянная Вина)

термодинамической температуре

Экспериментальные кривые зависимости rv ,T от частоты v и от длины волны λ .

Рисунок 3 Экспериментальные кривые подтверждают выводы закона смещения Вина: происходит смещение максимума rv ,T по мере возрастания температуры в область коротких длин волн (или смещение максимума rv ,T в область больших частот).

7

Таблица 3 Формулы Рэлея—Джинса и Вина Спектральная плотность Формула

Замечания

энергетической светимости черного тела Дает

Формула Рэлея-Джинса

rv ,T

правильное

спектральное

распределение лишь при малых частотах

2πv 2 2πv 2 = 2 < ε >= 2 kT c c

( hv > kT )

В таблице 3 < ε >= kT — средняя энергия осциллятора с собственной частотой v ; h — постоянная Планка; T — термодинамическая температура; с — скорость распространения света в вакууме. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Фотоны Квантовая гипотеза Планка: излучение и поглощение света происходит не непрерывно, а дискретно, т. е. определенными порциями (квантами), энергия которых определяется частотой v: ε =hv. Фотоны - кванты электромагнитного излучения. Фотоны движутся со скоростью света, они не существуют в состоянии покоя, их масса покоя равна нулю. Основные характеристики фотонов. Эти формулы связывают корпускулярные характеристики фотона энергию, импульс - с волновой характеристикой излучения - частотой (длиной волны). Таким образом, свет представляет собой единство противоположных видов движения - корпускулярного (квантового) и волнового

(электромагнитного),

т.

8

е.

необходимо

говорить

о

двойственной

корпускулярно-волновой

природе

света

(о

корпускулярно-волновом дуализме). Энергия:

ε = hv = hc λ ;

p = hv / c = hc / λ ,

импульс:

где h= 6,63 ⋅ 10 −34 Дж·с - постоянная Планка; с = 3 ⋅ 10 8 м/с - скорость распространения света в вакууме; ν- частота излучения; λ - длина волны излучения в вакууме. Фотоэффект Внешний

фотоэффект

-

испускание

электронов

веществом

(металлом,

полупроводником, диэлектриком) под действием электромагнитного излучения. Законы внешнего фотоэффекта Первый закон (Столетова): при фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых пропорционально

интенсивности

из

света

катода

в единицу

(сила

фототока

времени,

насыщения

пропорциональна энергетической освещенности катода). Второй закон - максимальная начальная скорость (максимальная начальная кинетическая энергия) фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой ν. Третий закон - для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, т. е. минимальная частота света (зависящая от химической природы вещества и состояния его поверхности), ниже которой фотоэффект невозможен. Уравнение Эйнштейна Энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода А из металла и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону максимальной кинетической энергии. Уравнение Эйнштейна – закон сохранения энергии при фотоэффекте hv = A + Tmax

или

9

2 mv max hv = A + . 2

ЛИНЕЙЧАТЫЙ СПЕКТР АТОМА ВОДОРОДА Спектры излучения атомов - важнейшие характеристики их оптических свойств - состоят из отдельных спектральных линий или групп близко расположенных линий; их называют линейчатыми спектрами. Каждому элементу присущ свой, характерный только для него, спектр излучения, служащий своего рода «отпечатком пальцев», позволяющим определить элемент, которому он принадлежит. Вид линейчатого спектра не зависит от способа возбуждения атома. Наиболее изученным спектром излучения является спектр излучения атома водорода - простейшего атома, состоящего из массивного ядра (протона) и электрона, движущегося в кулоновском поле ядра. Таблица 4 Экспериментальный спектр излучения атома водорода Область спектра

Название серии

Сериальная формула

Ультрафиолетовая

Серия Лаймана

1 ⎞ ⎛1 v = R⎜ 2 − 2 ⎟ (n = 2,3,4,...) n ⎠ ⎝1

Видимая

Серия Бальмера

1 ⎞ ⎛ 1 v = R⎜ 2 − 2 ⎟ (n = 3,4,5,...) n ⎠ ⎝2

Инфракрасная Серия Пашена

⎛1 1 ⎞ v = R⎜ 2 − 2 ⎟ (n = 4,5,6,...) ⎝3 n ⎠

Серия Брэкета

1 ⎞ ⎛ 1 v = R⎜ 2 − 2 ⎟ (n = 5,6,7...) n ⎠ ⎝4

Серия Пфунда

1 ⎞ ⎛ 1 v = R⎜ 2 − 2 ⎟ ( n = 6,7,8...) n ⎠ ⎝5

Серия Хэмфри

1 ⎞ ⎛ 1 v = R⎜ 2 − 2 ⎟ (n = 7,8,9...) n ⎠ ⎝6

В таблице 4 R = 3,29 ⋅ 1015 c −1 - постоянная Ридберга.

10

Обобщенная формула Бальмера В каждой данной серии т имеет постоянное значение, т=1,2,3,4,5,6 (определяет серию), п принимает целочисленные значения начиная с числа т+1 (определяет отдельные линии данной серии). Спектральную линию с наибольшей длиной волны из всех линий данной серии называют

головной

линией

серии.

Линия,

соответствующая

коротковолновая граница; к ней примыкает непрерывный

п=∞,

-

спектр. Вид

сериальных формул, удивительная повторяемость в них целых чисел, универсальность постоянной Ридберга свидетельствуют о глубоком физическом смысле найденных закономерностей, вскрыть который в рамках классической физики оказалось невозможным. 1 ⎞ ⎛ 1 v = R⎜ 2 − 2 ⎟ . n ⎠ ⎝m

ПОСТУЛАТЫ БОРА БОРОВСКАЯ МОДЕЛЬ АТОМА ВОДОРОДА Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых

он

не

излучает

энергии;

эти

состояния

характеризуются

определенными дискретными значениями энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные (квантованные) значения момента импульса, удовлетворяющие условию

me vn rn = nh

(n = 1,2,3,...).

11

Второй постулат Бора: при переходе атома из одного стационарного состояния в другое излучается (поглощается) фотон с энергией hv = E n − E m ,

равной разности энергий соответствующих стационарных состояний, где me масса электрона; υ n - его скорость на n-й орбите радиуса rn ; h = h /( 2π ) - постоянная Планка; E n и E m - соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения). При ЕmЕn - его поглощение. Набор возможных дискретных частот v = ( E n − E m ) / h квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома. Возможные орбиты в модели атома водорода

Исходные уравнения для вычисления радиусов орбит. Уравнение движения электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода e2

=

4πε 0 rn2

meυ n2 . rn

Электрон, двигаясь по круговой орбите, обладает дискретными квантовыми значениями момента импульса

(n = 1,2,3,...).

me vn rn = nh Радиус n-й стационарной орбиты

h 2 4πε 0 . me e 2

rn = n 2

Радиус ближайшей к ядру орбиты (п=1; первый Боровский радиус) зависит лишь от фундаментальных постоянных - a=52,8 пм. r1 = a =

Здесь

e - элементарный

заряд;

h 2 4πε 0 me e 2

ε 0 - электрическая постоянная;

12

rn -

радиус n-й стационарной орбиты; υ n - скорость электрона на n-ой орбите; me - масса электрона; h=

h 2π

- постоянная Планка; n - квантовое

число; а— первый Боровский радиус.

Рисунок 4 Энергия электрона в атоме водорода

Кинетическая энергия электрона me vn2 1 e 2 = . 2 2 4πε 0 rn

Потенциальная энергия электрона в электростатическом поле ядра En = −

e2 4πε 0 rn

.

Полная энергия электрона в атоме водорода En = −

1 e2 1 m e4 = − 2 e2 2 . 2 4πε 0 rn n 8h ε 0

Полная энергия электрона в атоме водорода в электрон-вольтах En = −

13,6 (эВ). n2

Квантование энергии. Энергии я электрона в атоме водорода может принимать только дискретные значения, т. е. квантуется: энергетические состояния атома водорода

образуют

последовательность

13

Рисунок 5

энергетических уровней, изменяющихся в зависимости от п. Состояние с минимальной энергией, или основное состояние, соответствует п=1, а его энергия E1 =-13,6эВ. Состояния с п>1 являются возбужденными (см. рисунок 5).

Придавая п целочисленные значения, получаем для атома водорода возможные уровни энергии стационарных состояний электрона, схематически изображенные на рисунке 5 в виде горизонтальных прямых. С увеличением n энергетические уровни сближаются и при n → ∞ E n → 0 . Электрон в атоме водорода обладает минимальной энергией Е1=-13,6эВ при п=1 (знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии) и максимальной E∞ = 0 при n = ∞ . Если Е>0, то электрон может иметь любую энергию, так как в данном случае он является свободным. Спектр атома водорода по Бору

Энергия испущенного фотона при переходе атома водорода из состояния n в состояние m с меньшей энергией (см. второй постулат Бора) hv = E n − E m = −

me e 4 8h 2 ε 02

1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ 2 − 2 ⎟. m ⎠ ⎝n

Частота излучения v=

где R =

me e 4 8h 3ε 02

1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 ⎜ 2 − 2 ⎟ = R⎜ 2 − 2 ⎟ , n ⎠ n ⎠ ⎝m ⎝m

me e 4 - постоянная Ридберга, 8h 3ε 02

Рисунок 6

совпадающая со значением в эмпирических формулах для спектра излучения атома водорода.

14

Энергии ионизации, связи и возбуждения

Энергия ионизации - энергия, необходимая для удаления электрона из атома, находящегося в основном состоянии. Для атома водорода E i =13,6эВ. Энергия связи данного состояния - энергия, необходимая для удаления электрона из атома, находящегося в данном возбужденном состоянии. Например, энергия связи первого возбужденного состояния (n=2) равна 3,48 эВ. Энергия возбуждения - энергия, которую надо сообщить атому, чтобы электрон из основного состояния перешел в возбужденное. Например, энергия для первого возбужденного состояния (п=2) Eвозб = −3,48( эВ) − (−13,6( эВ)) ≈ 10,1( эВ) . ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ Универсальность корпускулярно-волнового дуализма

Гипотеза де Бройля: корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер и распространяется не только на фотоны, но и на все частицы материи: частицы вещества (в частности, электроны) обладают наряду с корпускулярными также и волновыми свойствами. Уравнения, связывающие корпускулярные свойства (энергия и импульс) и волновые (частоты (длина волны)) характеристики микрочастиц E = hv = hω ; p=

где k =

2π

λ

- волновое число; h =

h

λ

= hk ,

h - постоянная Планка; ω = 2πv - циклическая 2π

частота.

15

Таблица 5 Длина волны де Бройля Длина волны де Бройля

Формула

Общее выражение

λ=

Релятивистская частица

λ=

λ=

Длина волны связываемая, с

h p

λ=

Нерелятивистская частица

Пояснение

h = mv

частицей h

Учли, что кинетическая

2mT

p2 энергия частицы T = 2m Релятивистский импульс

2 2 h 1− v c mc vc

p=

mv 1− v2 c2

hc hc E = 2 2 4 E −m c mc 2 1− 2 E

Полная энергия частицы

hc

Полная энергия частицы

λ=

(

T T + 2mc

2

)

E 2 = p 2c 2 + m2c 4

E = T + mc 2

СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА

Во многих случаях классические представления (например, в каждый момент времени частица занимает в пространстве строго определенное место и обладает определенным

импульсом)

неприменимы

для

описания

микрообъектов.

Гейзенберг выдвинул идею о принципиальной невозможности измерения определенных пар связанных между собой характеристик так, чтобы они одновременно имели точные значения. Соотношение неопределенностей для координат и импульсов

Микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно точных значений координаты (x,y,z) и соответствующих компонентов импульса

16

(p

x

, p y , pz ),

причем произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h . Физический смысл соотношения: из соотношения неопределенностей следует, что, например, если микрочастица находится в состоянии с точным

значением

соответствующая

координаты

проекция

ее

(∆x = 0) , импульса

то

в

этом

оказывается

состоянии совершенно

неопределенной (∆p x → ∞ ) , и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Соотношение неопределенностей для энергии и времени ∆E∆t ≥ h ,

где ∆Ε - неопределенность энергии некоторого состояния системы; ∆t – промежуток времени, в течение которого оно существует. Физический смысл соотношения: из-за конечности времени жизни атомов в возбужденном состоянии энергия возбужденных состояний атомов не является точно определенной, поэтому частота излученного фотона также должна иметь неопределенность ∆v = ∆E / h . Тогда линии спектра должны иметь частоту v = ± ∆E / h . Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты.

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

В общем случае (произвольное движение частицы в произвольных силовых полях) состояние частицы в квантовой механике задается волновой функцией r

(или пси-функцией) Ψ (r , t ) . зависящей от координат и времени. Она - основной носитель информации о корпускулярных и волновых свойствах микрочастиц. В частном случае свободного движения частицы волновая функция - плоская волна де Бройля.

17

Статическая интерпретация волновой функции

На основании статистической интерпретации вероятность нахождения частицы в момент времени t с координатами x и x+dx, y и y+dy, z и z+dz определяется интенсивностью волновой функции, т.е. квадратом пси-функции. Поскольку в общем случае ψ - комплексная функция, а вероятность должна быть всегда действительной и положительной величиной, то за меру интенсивности принимается квадрат модуля волновой функции. Физический смысл ψ - функции

Вероятность dW нахождения частицы в элементе объема dV в момент времени t 2

dW = ψ dV .

Плотность вероятности, т. е. вероятность нахождения частицы в момент времени t в окрестности данной точки пространства w=

dW 2 =ψ . dV

Плотность вероятности — величина, наблюдаемая на опыте, в то время как сама волновал функция, являясь комплексной, наблюдению недоступна, В этом заключается существенное отличие в описании состояний частиц в квантовой и классической механике (в классической механике величины, описывающие состояние частиц, наблюдаемы). Вероятность найти частицу в момент времени t в некотором объеме V W = ∫ dW = ∫ ψ dV . 2

v

v

Условие нормировки, вероятностей +∞

∫ ψ ( x, y , z , t )

2

dV = 1 .

−∞

2

Т. к. ψ dV определяется как вероятность, то, проинтегрировав это выражение в бесконечных пределах, получим вероятность того, что частица в момент

18

времени t находится где-то в пространстве. Это есть вероятность достоверного события, а ее в теории вероятностей считают равной 1. Волновая функция - объективная характеристика состояния микрочастиц и должна удовлетворять ряду ограничений. Она должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком). Принцип суперпозиции состояний для волновых функции

Если какая-либо система (частица или их совокупность) может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями ψ 1 ,ψ 2 ,...,ψ n ,... , то она может находиться в состоянии ψ, описываемом линейной комбинацией этих функций Ψ = ∑ C n Ψn , n

где C n (n = 1,2,...) — произвольные (в общем случае комплексные) числа, при этом квадрат модуля коэффициента C n , т. е. C n

2

равен вероятности обнаружить, что

система, представленная состоянием ψ, может оказаться в состоянии ψ n . Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей (определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей. ВРЕМЕННОЕ И СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики

Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой 19

функции Ψ ( x, y, z , t ) , т. к. именно она, или, точнее, величина |Ψ|2, определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т.е. в области с координатами х и х+dх, у и у+dy, z и z+dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны. Временное уравнение Шредингера постулируется, а его правильность подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов −

где h =

h 2π

∂Ψ h2 ∆Ψ + U ( x, y, z, t )Ψ = ih , ∂t 2m

- постоянная Планка, m – масса частицы, ∆ − оператор Лапласа

⎛ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ⎞ ⎜⎜ ∆Ψ = + 2 + 2 ⎟⎟ , i – мнимая единица, U(x,y,z,t) – потенциальная функция ∂z ⎠ ∂x 2 ∂y ⎝

частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ(x,y,z,t) – искомая волновая функция частицы. Условия, накладываемые на волновую функцию: 1. Волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной. 2. Производные

∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ , , , должны быть непрерывны. ∂x ∂y ∂z ∂t

2

3. Функция Ψ должна быть интегрируема (это условие сводится к условию нормировки вероятностей). 4. Уравнение

Шредингера

справедливо

для

нерелятивистских

частиц

(скорости v