Небесная механика. Общий курс

Часть II. Аппарат специальных функций Решение многих задач, базирующихся на применении современных методов небесной механики, связано с использованием различных специальных функций. Наибольшее распространение получили так называемые цилиндрические, сферические и эллиптические функции. Указанные классы функций представляют собой решения соответствующих дифференциальных уравнений. Знание теории этих функций необходимо для получения и исследования наиболее общих решений практических задач небесной механики. Цилиндрические функции Бесселя в небесной механике впервые появились в связи с проблемой разложения координат “кеплеровского движения” в тригонометрические ряды, а сферические функции были введены А. Лежандром и П. Лапласом при рассмотрении задачи о фигурах Земли и планет. Однопараметрические эллиптические функции Якоби и более общие эллиптические функции второго порядка функции Вейерштрасса нашли широкое применение в задаче двух неподвижных центров и в “резонансной задаче” трех тел. Помимо указанных функций в небесной механике были введены и другие специальные функции. Так, при разложении возмущающей функции в теории движения планет в случае малых эксцентриситетов и взаимных наклонов планетных орбит оказывается целесообразным использование так называемых коэффициентов Лапласа, являющихся решениями соответствующих линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Разложение пертурбационной функции в спутниковом варианте задачи трех тел приводит к полиномам Тиссерана, которые являются частным случаем гипергеометрических полиномов.

Глава 6. Цилиндрические функции 6.1. Дифференциальные уравнения Будем искать в цилиндрической системе координат (r,ϕ,z) решение уравнения *)

1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2 u ∂ 2 u ⎜r ⎟+ + + λu = 0, r ∂ r ⎜⎝ ∂ r ⎟⎠ r 2 ∂ϕ 2 ∂ z 2

(6.1.1)

зависящего от параметра λ. Разделяя переменные u = v(r,ϕ)θ(z), из (6.1.1) получим

∂ 2θ − mθ = 0, ∂ z2

1 ∂ ⎛ ∂v ⎞ 1 ∂ 2 v ⎟⎟ + 2 ⎜⎜ r + λ∗ v = 0, 2 r ∂ r ⎝ ∂ r ⎠ r ∂ϕ

(6.1.2)

где λ*=λ + m, m — некоторая постоянная. Решение первого уравнения (6.1.2) с учетом начальных условий легко может быть найдено в виде **) *)

Данное уравнение Δu + λu = 0, в котором Δ — оператор Лапласа, называется уравнением Гамильтона.

**)

При m < 0 решение θ(z) представляется тригонометрическим рядом.

Глава 6. Цилиндрические функции

157

(

)

(

)

θ ( z) = C1 exp mz + C2 exp − mz . Учитывая периодичность функции v по переменной ϕ, так что v(r,ϕ +2π) = v(r,ϕ), разложим функцию v(r,ϕ) в ряд Фурье v (r ,ϕ ) =

∞

∑v

n = −∞

n

(r ) exp(inϕ ) ,

(6.1.3)

где

1 v n (r ) = 2π

π

∫ v (r,ϕ ) exp(−inϕ )dϕ .

(6.1.4)

−π

Тогда для функции vn(r) легко получить дифференциальное уравнение, если проинтегрировать на отрезке [−π,π] с весовой функцией exp( −inϕ ) второе уравнение (6.1.2) (при этом в слагаемом, содержащем множитель ∂ 2 v ∂ϕ 2 , ввиду периодичности функции v(r,ϕ) по переменной ϕ, при двукратном интегрировании по частям подстановки обращаются в нуль) *) : d 2vn dv r2 + r n + (λ∗ r 2 − n 2 ) v n = 0. (6.1.5) 2 dr dr Полагая y = vn(x), где x = λ∗ r — в общем случае комплексная переменная, вместо (6.1.5) будем иметь ∂y ∂ 2y x2 +x + ( x 2 − ν 2 ) y = 0. (6.1.6) 2 ∂x ∂x Здесь ν = n, а в общем случае ν можно считать параметром, принимающим любые действительные или комплексные значения. Частные решения yν(x) уравнения (6.1.6) принято называть цилиндрическими функциями порядка ν, или функциями Бесселя, а уравнение (6.1.6) часто называют дифференциальным уравнением Бесселя. При помощи замены переменных из уравнения Бесселя можно получить более обширный класс уравнений, приводящихся к уравнению (6.1.6). Введем в уравнение (6.1.6) новую независимую переменную ξ и новую функцию σ(ξ) по формулам y = σ ξα ,

x = βξ γ ,

(6.1.7)

где α, β, γ — постоянные, причем β и γ отличны от нуля. Тогда ⎞ dy d dξ ⎛ − α dσ = = ⎜ξ − αξ −α −1σ ⎟ ξ 1−γ ( βγ ), σξ −α dx dξ dx ⎝ dξ ⎠

(

)

⎤ d 2 y ξ − α − 2γ ⎡ 2 d 2σ dσ ξ = + (1 − 2α − γ )ξ + α (α + γ )σ ⎥. 2 2 ⎢ 2 dξ dx ( βγ ) ⎣ dξ ⎦ *)

Уравнение (6.1.5) можно было получить непосредственно методом разделения по переменным r и ϕ.

158

Часть II. Аппарат специальных функций

Подставляя последние выражения в (6.1.6), получим уравнение для функции σ(ξ) ⎡ 2 d 2σ ⎤ dσ + aξ + b + cξ 2γ σ = 0, ⎥ ⎢ξ 2 dξ ⎣ dξ ⎦

[

]

(6.1.8)

в котором a = 1 − 2α, b = α2 − ν2γ2, c = (γβ)2. Данное уравнение принято именовать уравнением Ломмеля. Решение уравнения (6.1.8), согласно (6.1.6), (6.1.7), выражается через функции Бесселя порядка ν в виде

σ (ξ) = ξ α yν ( βξ γ ). 6.2. Функции Бесселя Если искать частное решение уравнения (6.1.6) в виде 2

v

y = x ( a0 + a1 x + a 2 x +K),

(6.2.1)

то после подстановки (6.2.1) в уравнение (6.1.6) и приравнивая к нулю коэффициентов при соответствующих степенях x, получим x ν [ν (ν − 1) +2 ν − 2ν ]a0 = 0, [(ν + 1) − ν ]a1 = 0, x ν +1 ν +2 2 2 x [(ν + 2) − ν ]a2 + a0 = 0, K K x ν + k [(ν + k ) 2 − ν 2 ]ak + ak 2 = 0, − K K 2

(6.2.2)

Вычисляя последовательно из (6.2.2) коэффициенты a1, a2, ..., при ν не равном целочисленному действительному отрицательному значению, для одного из решений вида (6.2.1) будем иметь ⎡ x2 x4 yν = a0 x ν ⎢1 − + −K+ ν ν ν 2 ( 2 + 2 ) 2 ⋅ 4 ( 2 + 2 )( 4 + 2 ) ⎣ k ⎤ x2 + (−1) k +K⎥. ( 2k )!!( 2 + 2ν )( 4 + 2ν )K( 2k + 2ν ) ⎦

(6.2.3)

Степенной ряд, входящий в решение (6.2.3), является сходящимся при любом конечном значении x, поскольку отношение модулей последующего (k+1) члена ряда к предыдущему (k)-му равно x2 , q= 4( k + 1) k + 1 + ν а поэтому согласно признаку Даламбера при достаточно большом значении k (при k → ∞ ) q < 1 (q → 0). Так как уравнение Бесселя (6.1.6) не меняется при замене ν на (−ν), то при значениях ν, не равных целому положительному числу, аналогично (6.2.3) можно построить второе независимое решение уравнения (6.1.6) формальной заменой в (6.2.3) ν на (−ν):

Глава 6. Цилиндрические функции

y −ν

159

2 2k ⎡ ⎤ x x k = a0 x ⎢1 − +K+ (−1) +K⎥. (6.2.4) (2k )!!(2 − 2ν )(4 − 2ν )K (2k − 2ν ) ⎣ 2(2 − 2ν ) ⎦

−ν

В случае, если ν есть целое положительное число, решение (6.2.4) теряет свою силу, поскольку, начиная с числа k = ν одно из слагаемых (6.2.4) будет содержать множитель со знаменателем, обращающимся в нуль. Решения (6.2.3), (6.2.4) носят название бесселевых функций ν-го порядка, которые обычно обозначают через Jν(x) и J−ν(x), соответственно, и именуют также цилиндрическими функциями первого рода *) . Таким образом, если ν не является целым числом, то общее решение (6.1.6) представимо в виде y = C1 Jν ( x) + C2 J −ν ( x). Предположим теперь, что ν = n является целым положительным числом. В этом случае функция Бесселя Jn(x) определяется выражением (6.2.3), в котором нормировоч1 ный множитель равен a 0 = n , то есть 2 n! 2 ⎤ ( x 2) 4 ( x 2) 6 1 ⎛ x⎞ xn ⎡ − + K⎥, J n ( x) = n ⎢1 − ⎜ ⎟ + 2 n! ⎣⎢ 1 + n ⎝ 2 ⎠ 1 ⋅ 2(1 + n)(2 + n) 1 ⋅ 2 ⋅ 3(1 + n)(2 + n)(3 + n) ⎦⎥

(−1) ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ k = 0 k!( k + n)!⎝ 2 ⎠ ∞

J n ( x) = ∑

k

n+2k

(6.2.5)

.

В частности, 2

4

6

( x 2) ( x 2) ⎛ x⎞ J 0 ( x) = 1 − ⎜ ⎟ + − 2 2 +K , 2 ⎝ 2⎠ 2 2 ⋅3 J1 ( x ) =

x ( x 2) 3 ( x 2) 5 − − −K 2 2! 2 !⋅ 3!

Выражение (6.2.5) свидетельствует о том, что при четном n функция Jn(x) является четной, в то время как при n = 2m +1 (m = 0, 1, 2, ...) функция Jn(x) нечетна: J n ( − x) = ( −1) n J n ( x).

(6.2.6)

При целочисленном положительном индексе ν = n > 0 второе независимое решение уравнения Бесселя (6.1.6) с точностью до постоянного множителя следует искать в виде −n 2 (6.2.7) Yn ( x ) = J n ( x ) ln x + x (b0 + b1 x + b2 x +K). Это решение обращается в бесконечность при x = 0. Общий интеграл уравнения (6.1.6) в данном случае будет иметь вид *)

При этом в решениях (6.2.3) и (6.2.4) предполагается, что a0 = Γ(1+ν) = νΓ(ν), так что Γ(1+n) = n! при ν = n.

1 , где Γ — гамма-функция; 2 Γ(1 + ν ) n

160

Часть II. Аппарат специальных функций

y = C1 J n ( x) + C2 Yn ( x).

(6.2.8)

Для получения решения, конечного в точке x = 0, следует, очевидно, выбрать постоянную C2 равной нулю. Функцию Yn(x) называют функцией Бесселя второго рода. В частности, при n = 0, подставляя (6.2.7) в уравнение d2y dy + x + x 2 y = 0, 2 dx dx

x2

полагая b0 = 0 и последовательно определяя коэффициенты b1, b2, ..., получим для цилиндрической функции нулевого порядка второго рода выражение

x2 x4 ⎛ 1 ⎞ x6 ⎛ 1 1⎞ Y0 ( x) = J 0 ( x) ln x + 2 − 2 2 ⎜1 + ⎟ + 2 2 2 ⎜1 + + ⎟ − K 2 2 ⋅4 ⎝ 2⎠ 2 ⋅4 ⋅6 ⎝ 2 3⎠ 6.3. Интегральные представления ∗

Согласно (6.1.4), при x = r λ функция

y = v n ( x) =

1 2π

π

∫π v ( x,ϕ ) exp(−inϕ )dϕ

(6.3.1)

−

является цилиндрической функцией порядка n, если v(x,ϕ) удовлетворяет второму уравнению (6.1.2). Поскольку непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция v (r λ∗ , ϕ ) = exp(ir λ∗ sin ϕ ), i 2 = −1

(6.3.2)

есть решение второго уравнения (6.1.2), то для функции Бесселя vn(x) = Jn(x) получим следующее интегральное представление

1 J n ( x) = 2π

π

∫ exp(−ix sin ϕ − inϕ )dϕ,

(6.3.3)

−π

то есть функция Jn(x), как следует из (6.1.3), является коэффициентом разложения функции exp(ix sin ϕ ) в ряд Фурье по функциям exp(inϕ ): exp(ix sin ϕ ) =

∞

∑ J ( x) exp(inϕ ). n

(6.3.4)

n =−∞

Так как i sin ϕ =

1 ( s − s −1 ), s = exp(iϕ ), i 2 = −1, 2

то (6.3.4) можно представить также в виде:

Φ( s) =

∞

∑J

n =−∞

где функцию

n

( x) s n ,

(6.3.5)

Глава 6. Цилиндрические функции

161

⎡x ⎤ Φ( s) = exp ⎢ ( s − s −1 ) ⎥ ⎣2 ⎦

(6.3.6)

принято называть производящей для функции Бесселя. Из (6.3.6) следует, что Ф(s) не изменяется при замене s на (−1/s). Поэтому, согласно (6.3.5), имеем n

J − n ( x) = ( −1) J n ( x).

(6.3.7)

Интегральное представление (6.3.3) можно упростить, если учесть, что exp i[ x sin ϕ − nϕ ] = cos[ x sin ϕ − nϕ ] + i sin[ x sin ϕ − nϕ ].

(6.3.8)

Тогда, учитывая четность первого слагаемого (6.3.8) и нечетность функции sin[ x sin ϕ − nϕ ] по переменной ϕ, получим интегральную формулу Бесселя в виде

J n ( x) =

1

π

π

∫ cos[nϕ − x sin ϕ ]dϕ .

(6.3.9)

0

Если перейти в (6.3.4) по формулам Эйлера от экспонент к косинусам и синусам и учесть соотношение (6.3.7), то будем иметь ∞

cos( x sin ϕ ) + i sin( x sin ϕ ) = J 0 ( x) + ∑ J n ( x )[cos(nϕ ) + i sin( nϕ )] + n =1

∞

+ ∑ ( −1) n J n ( x)[cos( nϕ ) − i sin( nϕ )]. n =1

Выделяя действительные и мнимые части, придем к соотношениям, впервые полученным К. Якоби: cos( x sin ϕ ) = J 0 ( x) + 2 J 2 ( x) cos 2ϕ + 2 J 4 ( x) cos 4ϕ +K, sin( x sin ϕ ) = 2 J1 ( x)sin ϕ + 2 J 3 ( x)sin 3ϕ + 2 J 5 ( x)sin 5ϕ +K

(6.3.10)

Получим теперь еще одну интегральную форму для цилиндрической функции Jn(x). Из (6.2.5) с учетом того, что (см. также (6.2.3)) k

имеем

2 ⋅ 4 ⋅ 6⋅K⋅2 k = 2 k ! = ( 2k )!!, ( k + n)!2

J n ( x) = x

n

∞

k

n+ k

= ( 2k + 2 n)!!,

(6.3.11)

2k

( −1) x . ∑ k = 0 ( 2 k )!!( 2 k + 2 n)!!

(6.3.12)

Поскольку

1⋅ 2 ⋅ 3K2k (2k )! , = 1⋅ 3 ⋅ 5K( 2k − 1) (2k − 1)!! то (6.3.12) можно представить также в виде (2k )!! =

∞ x (2n − 1)!!(2 k − 1)!! k 2k ( −1) x . ∑ (2n − 1)!! k = 0 (2 k )!(2 k + 2n)!!

(6.3.13)

n

J n ( x) =

Учитывая далее легко проверяемое соотношение

(6.3.14)

162

Часть II. Аппарат специальных функций

1

π

sin π∫

2n

ϕ cos 2 k ϕ dϕ =

0

(2n − 1)!!(2 k − 1)!! , (2 k + 2n)!!

а также равенство

x 2 k cos2 k ϕ cos( x cos ϕ ) = ∑ ( −1) , (2 k )! k =0 ∞

k

выражающее собой тейлоровское разложение функции косинус, из (6.3.14) получим выражение π 1 xn J n ( x) = sin 2 n ϕ cos( x cosϕ )dϕ , (6.3.15) ∫ π (2n − 1)!! 0 именуемое интегральной формулой Пуассона. Ввиду того, что sin 2 n ϕ cos( x cosϕ ) ≤ 1, выражение (6.3.15) позволяет получить для функции Бесселя n-го порядка довольно надежную оценку вида | x|n J n ( x) ≤ . (6.3.16) (2n − 1)!! И, наконец, заметим, что аналогичное (6.3.3) представление можно получить для цилиндрических функций произвольного порядка ν ≠ n. Для этого следует искать решение уравнения Бесселя (6.1.6) в виде контурного интеграла *) Jν ( x) = ∫ exp(ix sin ϕ − iνϕ ) dϕ

(6.3.17)

L

Интегрируя обе части второго уравнения (6.1.2) по контуру L с весовой функцией exp(−iνϕ) и упрощая слагаемое, содержащее ∂ 2 v ∂ϕ 2 , на основании двукратного интегрирования по частям, при выборе контура L так, чтобы для любого значения ν выполнялось условие exp(ix sin ϕ − iνϕ ) ϕ = 0 1, 2

(ϕ1 и ϕ2 — ограничивающие точки контура L), функция (6.3.17) действительно будет являться решением уравнения Бесселя (6.1.2). 6.4. Рекуррентные соотношения Продифференцируем по переменной s обе части выражения (6.3.5). С учетом (6.3.6), тогда будем иметь ∞ x ⎡x ⎤ (1 + s −2 ) exp ⎢ ( s − s −1 ) ⎥ = ∑ nJ n ( x) sn−1, 2 ⎣2 ⎦ n=−∞

то есть *)

Выражение (6.3.17) именуют представлением Зоммерфельда.

Глава 6. Цилиндрические функции

163

∞ x ∞ n n−2 J n ( x)[s + s ] = ∑ nJ n ( x) s n −1 . ∑ 2 n =−∞ n =−∞

Если приравнять в обеих частях последнего равенства коэффициенты при s n−1 , то получим рекуррентное соотношение, связывающее функции Бесселя последовательных целочисленных порядков *) : x (6.4.1) [ J n−1 ( x) + J n+1 ( x)] = nJ n ( x). 2 Из (6.1.4) следует 2n (6.4.2) J n +1 ( x ) = J n ( x ) − J n −1 ( x ), x так что соотношение (6.4.2) позволяет последовательно вычислять значения функций Бесселя J2(x), J3(x) и т. д., если известны J0(x) и J1(x). Графики функций Бесселя Jn(x) при x ≥ 0 для некоторых целых значений n приведены на рис. 15. 1,0

J0 J1 0,5

J2

0

J16

5

10

15

20

x

-0,5

Рис. 15. Если продифференцировать обе части выражения (6.3.5) по переменной x, то оказывается справедливым следующее соотношение ∞ 1 ∞ n +1 n −1 J ( x )[ s − s ] = J n′ ( x) s n , ∑ ∑ n 2 n =−∞ n =−∞

из которого после приравнивания членов с sn получим выражение, связывающее производную от функции Бесселя через бесселевы функции соседних индексов: J n′ ( x ) = *)

1 [ J n−1 ( x) − J n+1 ( x)]. 2

Соотношение (6.4.1) оказывается справедливым и для произвольных значений ν ≠ n.

(6.4.3)

164

Часть II. Аппарат специальных функций

Заменяя в (6.4.3) последовательно J n−1 ( x) и J n+1 ( x) их выражениями из (6.4.2), получим еще два аналогичных соотношения: n J n ( x) − J n +1 ( x), x n J n′ ( x ) = J n −1 ( x) − J n ( x). x J n′ ( x) =

(6.4.4)

После умножения первого выражения (6.4.4) на x−n, а второго — на xn будем иметь

x − n J n′ ( x) − nx − n −1 J n ( x) = − x − n J n +1 ( x), x n J n′ ( x) + nx n −1 J n ( x) = x n J n−1 ( x).

(6.4.5)

Выражения (6.4.5) можно представить в виде

[

]

1 d −n x J n ( x) = x − ( n+1) J n+1 ( x), x dx 1 d n x J n ( x) = x n−1 J n−1 ( x), x dx

−

[

]

(6.4.6)

а следовательно, для любого целочисленного k ≥ 1 k

⎛ 1 d ⎞ −n − ( n+ k ) J n+ k ( x), ⎜− ⎟ x J n ( x) = x ⎝ x dx ⎠ k

[

]

⎛1 d ⎞ n n− k ⎜ ⎟ x J n ( x) = x J n− k ( x). ⎝ x dx ⎠

[

]

(6.4.7)

Приведенные соотношения (6.4.1) — (6.4.7), как можно показать, справедливы не только для функций Бесселя первого рода Jν(x), но и для бесселевых функций второго рода Yν(x), причем и для любых ν ≠ n. 6.5. Ортогональность функций Бесселя Покажем, что функции Бесселя обладают свойством обобщенной ортогональности, а именно: 1

∫ xJ

n

( k1 x)J n ( k 2 x) dx = 0.

(6.5.1)

0

Здесь k1 ≠ k2 — нули функции Бесселя, то есть Jn(k1) = Jn(k2) = 0, n = ν . Для этого перепишем уравнение Бесселя (6.1.6) в виде

d ⎡ dJ n ( x) ⎤ ⎛ n2 ⎞ x x + − ⎜ ⎟ J n ( x) = 0 dx ⎢⎣ dx ⎥⎦ ⎝ x⎠ и, заменяя в нем последовательно x на k1x и k2x, так что k1x ≠ k2x, получим

(6.5.2)

Глава 6. Цилиндрические функции

165

d ⎡ dJ n ( k1 x) ⎤ ⎛ 2 n2 ⎞ + ⎜ k1 x − ⎟ J n ( k1 x) = 0, x dx ⎢⎣ dx ⎥⎦ ⎝ x⎠

(6.5.3)

d ⎡ dJ n ( k 2 x) ⎤ ⎛ 2 n2 ⎞ + − x k x ⎜ 2 ⎟ J n ( k 2 x) = 0. dx ⎢⎣ dx ⎥⎦ ⎝ x⎠

Умножив первое уравнение (6.5.3) на Jn(k2x), а второе — на Jn(k1x), вычитая одно из другого и интегрируя по x от 0 до 1, будем иметь 1

( k − k ) ∫ xJ n ( k1 x ) J n ( k 2 x ) dx = 2 1

2 2

0

1

⎧ d ⎡ dJ ( k x ) ⎤ d ⎡ dJ ( k x ) ⎤ ⎫ = ∫ ⎨ J n ( k1 x ) ⎢ x n 2 ⎥ − J n ( k 2 x ) ⎢ x n 1 ⎥ ⎬dx. dx ⎣ dx ⎦ dx ⎣ dx ⎦ ⎭ 0 ⎩

(6.5.4)

Подынтегральное выражение правой части (6.5.4) можно представить в виде

dJ ( k x) d ⎧ dJ n ( k 2 x) ⎫ J n ( k1 x ) − x n 1 J n ( k 2 x ) ⎬ ⎨x dx ⎩ dx dx ⎭ и поскольку dJ n ( k 2 x) dJ ( k x) = k 2 n 2 = k 2 J n′ ( k 2 x), dx d ( k 2 x) dJ n ( k1 x) = k1 J n′ ( k1 x), dx то из (6.5.4) получим

(

1

k12 − k 22

)∫ xJ (k x) J ( k x)dx = k J ( k ) J ′ ( k ) − k J ( k ) J ′ ( k ). n

1

n

2

2

n

1

n

2

1

n

2

n

1

(6.5.5)

0

Здесь было учтено, что ввиду конечности J n ( k1,2 x) и J n′ ( k1,2 x) при x = 0 (см. (6.2.5) и (6.4.4)), правая часть (6.5.4) обращается в нуль на нижнем пределе интегрирования (x = 0). Следовательно, если k1 ≠ k2 — нули функции Бесселя, то, с учетом (6.4.4), правая часть (6.5.5) обращается в нуль, а поэтому оказывается справедливым условие ортогональности (6.5.1). Заметим также, что трансцендентное уравнение

J n ( x) = 0

(6.5.6)

имеет бесконечное множество положительных корней (см. следующий раздел), причем это уравнение не содержит комплексных корней. В самом деле, если уравнение (6.5.6) имело бы корень x1∗ = α + iβ (α ≠ 0, β ≠ 0; i 2 = −1), то тогда, поскольку все коэффициенты разложения (6.2.5) для функции Бесселя Jn(x) являются действительными величинами, наряду с корнем x1∗ уравнение (6.5.6) будет иметь и комплексно-сопряженный корень x2∗ = α − iβ . Если положить в (6.5.5) k1 = x1∗ , k 2 = x2∗ и учесть, что k12 − k 22 = i 4αβ ≠ 0, то должно выполняться условие ортогональности (6.5.1). Но значе-

166

Часть II. Аппарат специальных функций

ния функций Jn[(α+iβ)x] и Jn[(α−iβ)x], согласно (6.2.5), являются комплексносопряженными, а их произведение, а следовательно, подынтегральное выражение в (6.5.1) — положительная величина, что противоречит условию ортогональности (6.5.1). Поэтому x1∗ и x2∗ не могут являться корнями уравнения (6.5.6). Уравнение (6.5.6) не может иметь и чисто мнимых корней x1∗,2 = ±iβ (α ≡ 0), поскольку в этом случае, как следует из (6.2.5), функция

β 2k 1 n+2 k k = 0 k !( k + n)! 2 ∞

J n ( ±iβ ) = ( ±iβ ) n ∑

будет состоять из слагаемых только одного знака, вследствие чего она не может обращаться в нуль. Таким образом, все нули функции Бесселя Jn(x) являются действительными величинами. При этом, как очевидно из (6.2.6), наряду со всяким положительным корнем уравнения (6.5.6) будет существовать и отрицательный, равный по абсолютной величине, корень. Важно также отметить, что между любыми двумя последовательными корнями уравнения Jn(x) = 0 всегда располагается один корень уравнения J n+1 ( x) = 0 и наоборот (см. рис. 15). В самом деле, согласно (6.4.6), имеем

[ [

]

d −n x J n ( x) = − x − n J n+1 ( x), dx d n+1 n +1 x J n +1 ( x) = x J n ( x). dx

]

(6.5.7)

Но тогда, на основании теоремы Ролля из первого соотношения (6.5.7) с учетом (6.2.5) следует, что между двумя последовательными корнями уравнения J n+1 ( x) = 0 должен находиться один корень уравнения Jn(x) = 0. Аналогично, применение теоремы Ролля ко второму равенству (6.5.7) позволяет заключить, что между двумя последовательными нулями функции Jn располагается один корень уравнения J n+1 ( x) = 0 , то есть нули функций Jn(x) и J n+1 ( x) чередуются. 6.6. Асимптотические представления

Как непосредственно следует из (6.2.5), при малых значениях аргумента (x → 0) функция Jn(x) определяется приближенным выражением вида xn ~ J n ( x) − , n!2n

(6.6.1)

а в случае нецелочисленного порядка ν ≠ n —

~ Jν ( x ) −

xν . Γ (1 + ν )2 n

(6.6.2)

При этом для функции Yn(x) Бесселя второго рода при x → 0, согласно (6.2.7), будем иметь

Глава 6. Цилиндрические функции

167

b xn ~ Yn ( x) − ln x + 0n . n n !2 x

(6.6.3)

Для нахождения асимптотического представления для функций Бесселя при достаточно больших значениях аргумента x (x → ∞) обратимся к интегральной формуле Пуассона (6.3.15). Если перейти к новой переменной s = x cos2 (ϕ 2), то представление (6.3.15) будет иметь вид *) x

J n = cn x − n exp( −ix) ∫ [s( x − s)]n−1/ 2 exp(2is)ds,

(6.6.4)

0

где cn =

2n

2 , причем когда индекс не является целочисленным (n = ν), согласно π (2n − 1)!!

(6.2.5), cν =

2

ν

π Γ(ν + 1 / 2)

, так что Γ( n + 1 / 2) =

π (2n − 1)!! 22 n

(6.6.5)

.

Аналитически продолжая функцию Бесселя (6.6.4) на комплексную плоскость, то есть переходя от x к переменной z (а в общем случае и к комплексным величинам n = ν), согласно теореме Коши, получим

∫ L

4

f ( s) ds = ∑ I j = 0.

(6.6.6)

j =1

Здесь f ( s) = [ s( z − s)]ν −1/ 2 exp(2is),

Ij =

∫ f ( s)ds,

Lj

замкнутый контур L состоит из четырех контуров L j ( j = 1,4), параметрическое представление трех из которых определим в виде (см. рис. 16) 2 s = izτ 2 s = (1 + τ ) z

( L1: ∞ < τ ≤ 0), ( L2 : − 1 ≤ τ ≤ 1),

(6.6.7)

2 s = (2 + iτ ) z ( L3: 0 ≤ τ < ∞), i 2 = −1. Контур L4 целесообразно замкнуть на бесконечности и тогда, согласно лемме Жордана, из (6.6.6) будем иметь I 2 = − ( I1 + I 3 ).

*)

x

x

0

−x

В (6.6.4) было учтено, что ∫ [ s ( x − s )] n −1 / 2 sin( 2s − x)ds = 2 − 2 n ∫ ( x 2 − t 2 ) n −1 / 2 sin t dt = 0 ввиду нечетности подынтегралной функции.

168

Часть II. Аппарат специальных функций

L4

-L 1

L3 L2 z

0

Рис. 16. Следовательно, полагая |arg[s(z− s)]| < π, для однозначного выбора ветви функции [ s( z − s)]ν −1/ 2 , для (6.6.4) получим следующее представление:

J n ( z) = −cν z −ν exp( −iz)( I1 + I 3 ),

(6.6.8)

в котором ⎡ π⎛ z 2ν iτ ⎤ 1⎞ ⎤ ⎡ exp ⎢i ⎜ ν + ⎟ ⎥ ∫ exp( − zτ ) ⎢τ (1 − ) ⎥ ν +1/ 2 2 ⎠ ⎦ +∞ 2 ⎦ 2 ⎣ ⎣ 2⎝ 0

I1 =

ν −1/ 2

dτ ,

∞

⎡ π⎛ 1⎞ ⎤ z 2ν iτ ⎤ ⎡ I 3 = exp(i2 z) ν +1/ 2 exp ⎢−i ⎜ ν + ⎟ ⎥ ∫ exp( − zτ ) ⎢τ (1 + ) ⎥ 2⎠ ⎦ 0 2 ⎦ 2 ⎣ ⎣ 2⎝

(6.6.9)

ν −1/ 2

dτ .

Если произвести далее в интегралах (6.6.9) замену переменной τ на τ/z, то для функции Бесселя (6.6.8) порядка ν получим Jν ( z) =

[

]

1 (1) Hν + Hν( 2) , 2 ∞

(1)

Hν

⎡ ⎛ iτ ⎞ ⎤ 2 exp[i( z − πν / 2 − π / 4)] τ = exp( − ) ⎢τ ⎜⎝ 1 + 2 z ⎟⎠ ⎥ ∫0 πz Γ(ν + 1 / 2) ⎦ ⎣ ∞

( 2)

Hν

ν −1/ 2

⎡ ⎛ iτ ⎞ ⎤ 2 exp[−i( z − πν / 2 − π / 4)] = − τ exp( ) ⎢τ ⎜⎝ 1 − 2 z ⎟⎠ ⎥ ∫0 Γ(ν + 1 / 2) πz ⎦ ⎣

dτ ,

(6.6.10)

ν −1/ 2

dτ .

Комплексно-сопряженные функции Hν(1) и Hν( 2 ) называются функциями Ханкеля (иногда их называют также функциями Бесселя третьего рода). В то же время функция Im( Hν(1) ( z )), то есть функция вида (6.2.7) Yν ( z ) =

(

)

1 Hν(1) ( z) − Hν( 2 ) ( z ) , 2i

(6.6.11)

именуемая функцией Бесселя второго рода, является вторым (наряду с функцией Бесселя Jν(z)) линейно независимым вещественным решением уравнения Бесселя (6.1.6). При вещественном целочисленном индексе ν = n следует иметь в виду выражение (6.6.5). В случае достаточно больших значений переменной z

Глава 6. Цилиндрические функции iτ ⎞ ⎛ ⎜1 ± ⎟ ⎝ 2z⎠

169

ν −1/ 2

= 1 + O[1 / z],

поэтому, учитывая, что (см. раздел 7.5) ∞

∫ exp(−τ )τ

ν −1/ 2

dτ = Γ(ν + 1 / 2),

0

для функций Ханкеля получим при z → ∞ следующее асимптотическое представление ⎡ ⎛ π π ⎞⎤ 2 (6.6.12) Hν(1,2 ) ( z) = exp ⎢±i⎜ z − ν − ⎟ ⎥(1 + O[1 / z]). πz 2 4⎠⎦ ⎣ ⎝ Таким образом, согласно (6.6.10) и (6.6.11), асимптотическое представление при z = x → ∞ для функций Бесселя имеет вид ~ Jν ( x) −

2 π π⎞ ⎛ ~ 2 sin⎛⎜ x − π ν − π ⎞⎟ . cos⎜ x − ν − ⎟ , Yν ( x) − 2 4⎠ 2 4⎠ πx ⎝ πx ⎝

(6.6.13)

Из (6.6.13) следует, что функции Бесселя Jν(x) и Yν ( x ) имеют бесконечное множество действительных нулей. 6.7. Функции полуцелого порядка Специальный класс цилиндрических функций образуют функции Бесселя полуцелого порядка. В этом случае цилиндрические функции могут быть выражены через элементарные функции. Чтобы показать это, найдем предварительно выражения для функций H1(/12,2 ) ( x) . Согласно (6.6.10), очевидно, имеем *)

H1(/12,2 ) ( x) =

2 exp ±i( x − π / 2) , πx

[

]

откуда, с учетом (6.6.11),

J1/2 ( x) =

2 2 sin x, Y1/2 ( x) = − cos x. πx πx

(6.7.1)

Так как уравнение Бесселя (6.1.6) не меняется при замене ν на (−ν), то кроме функций Hν(1,2 ) ( x), сумма которых, как следует из (6.6.10), равна удвоенной функции (1, 2 )

Бесселя Jν(x), его решениями будут также функции H−ν ( x) . Следовательно, H−(1ν) ( x ) = C1 Hν(1) ( x) + C2 Hν( 2 ) ( x ),

где C1,2 — некоторые постоянные при фиксированном значении ν. Из асимптотических представлений (6.6.12), справедливых для любых конечных ν, непосредственно следует, что C1 = exp(iπν ), C2 = 0, то есть *)

∞

∞

0

0

По определению гамма-функции: Γ( z ) = ∫ exp(− s ) s z −1 ds, так что Γ(1) = ∫ exp(− s )ds = 1.

170

Часть II. Аппарат специальных функций

H−(1ν) ( x) = exp(iπν ) Hν(1) ( x).

(6.7.2)

Аналогично выводится соотношение

H−( 2ν) ( x) = exp( −iπν ) Hν( 2) ( x).

(6.7.3)

Поэтому

2 2 exp(ix), H−( 12/)2 ( x) = exp( −ix), πx πx

H−(11/)2 ( x) =

так что, согласно (6.6.10), (6.6.11),

J −1/2 ( x) =

2 2 cos x, Y−1/2 ( x) = sin x. πx πx

(6.7.4)

На основе рекуррентных соотношений (6.4.2), (6.4.3) и (6.4.7) можно найти выражения для функций Бесселя и ее производных с индексом, равным половине нечетного числа. В частности, J 3/ 2 ( x) =

J −3/ 2 ( x) =

2 ⎛ sin x ⎞ − cos x⎟ , ⎜ ⎠ πx ⎝ x

⎤ 2 ⎡⎛ 3 3 ⎞ ⎜ 2 − 1⎟ sin x − cos x ⎥, ⎢ ⎠ πx ⎣⎝ x x ⎦ sin x 2 cos x − x . J1′/ 2 ( x) = 2πx

J 5/ 2 ( x) =

cos x ⎞ 2 ⎛ ⎟, ⎜ − sin x − πx ⎝ x ⎠

В общем случае J n+1/2 ( x) =

⎤ 2 ⎡ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ Pn ⎜ ⎟ sin x + Qn ⎜ ⎟ cos x ⎥, ⎢ ⎝ x⎠ πx ⎣ ⎝ x ⎠ ⎦

где Pn и Qn — полиномы от 1/x. Причем, как следует из (6.4.7), при n = 1/2 и k = n для любого целого положительного n справедливы равенства J n+1/2 ( x) = ( −1) J1/2− n ( x) =

n

2

π

n

x

n +1/ 2

⎛ 1 d ⎞ ⎡ sin x ⎤ , ⎟ ⎜ ⎝ x dx ⎠ ⎢⎣ x ⎥⎦ n

⎛1 d ⎞ x n−1/2 ⎜ ⎟ [ sin x]. ⎝ x dx ⎠ π 2

(6.7.5)

Поскольку соотношения (6.4.7) справедливы не только для функций Бесселя первого рода, но и для функций Бесселя Yν ( x ) второго рода, то аналогично (6.7.5) будем иметь Yn+1/ 2 ( x) = ( −1)

n +1

2

π

n

x

n +1/ 2

⎛ 1 d ⎞ ⎡ cos x ⎤ , Yn−1/2 ( x) = ( −1) n J1/2− n ( x ). ⎜ ⎟ ⎝ x dx ⎠ ⎢⎣ x ⎥⎦

6.8. Модифицированные функции В ряде практических случаев, наряду с решениями уравнения Бесселя вида (6.1.6)

Глава 6. Цилиндрические функции

171

d2y dy z + z + ( z 2 − ν 2 ) y = 0, 2 dz dz 2

(6.8.1)

представляют интерес также решения уравнения x2

d2y dy + x − (x2 + ν 2 ) y = 0 2 dx dx

(6.8.2)

при вещественных значениях x > 0, которое получается из уравнения (6.8.1) заменой z на ix (i2 = −1). Решения уравнения (6.8.2) принято называть функциями Бесселя мнимого аргумента, или модифицированными функциями Бесселя. При действительных значениях ν линейно независимыми решениями уравнения второго порядка (6.8.2), как следует из (6.2.3), (6.2.8) и (6.6.10), являются вещественные функции *) Iν ( x) = exp[ −iπν 2] Jν (ix),

Hν ( x) = [ +iπ (ν + 1) 2] Hν(1) (ix).

(6.8.3)

В случае целочисленного индекса ν = n для модифицированных функций Бесселя из (6.8.3) получим I n ( x ) = ( −i ) n J n (ix ),

Hn ( x ) = i n +1 Hn(1) (ix ),

(6.8.4)

так что I 4 k ( x ) ≡ J 4 k (ix ), когда n кратно 4k (k = 0, ±1, ±2, ...), а H 4 k −1 ( x) ≡ H 4(1k)−1 (ix) при n = 4k−1 (k = 0, ±1, ±2, ...). На основании определения (6.8.3), с учетом результатов предыдущих разделов, нетрудно установить все основные свойства модифицированных функций Бесселя. а) Разложения в степенные ряды Согласно (6.6.10), Jν ( z ) =

(

)

1 (1) Hν ( z) + Hν( 2 ) ( z) , 2

J −ν ( z ) =

(

)

1 (1) H −ν ( z) + H −( 2ν) ( z) , 2

поэтому с учетом (6.7.2), (6.7.3) при нецелочисленном индексе ν, очевидно, имеем

[

]

Hν(1) ( z) = i Jν ( z) exp( −iπν ) − J −ν ( z) sin(πν ).

(6.8.5)

Следовательно, из (6.2.3), (6.2.5) и (6.8.3) получим разложения в степенные ряды в виде: ∞ (x / 2)ν +2 k , H ( x) = I −ν ( x) − Iν ( x) (ν ≠ n). Iν ( x ) = ∑ (6.8.6) ν sin(πν ) k =0 k!Γ ( k + ν + 1) Из разложения для функции Iν(x) видно, что при x > 0 и ν > 0 функция Бесселя Iν положительна и монотонно растет с увеличением x.

*)

При z = ix подынтегральные выражения в (6.6.10) являются действительными величинами. Экспоненциальные множители в (6.8.3) обеспечивают вещественность модифицированных функций Бесселя.

172

Часть II. Аппарат специальных функций

При целочисленном значении ν = n, как следует из (6.2.5), (6.3.7), (6.8.4) и (6.7.2) *) , ∞

I n ( x) = ∑ k =0

( x / 2 )ν + 2 k ,

k !( n + k )!

I − n ( x ) = I n ( x ),

I n ( − x ) = ( −1) n I n ( x ),

(6.8.7)

H − n ( x ) = Hn ( x ).

б) Интегральные представления Из (6.3.15), (6.6.10) и (6.8.3) следует справедливость интегральных представлений Пуассона для модифицированных функций Бесселя **)

( x / 2)ν

1

(1 − τ π Γ(ν + 1 / 2) ∫

Iν ( x) =

2 ν −1/ 2

)

ch( xτ ) dτ ,

−1 ∞

Hν ( x) =

2 exp( − x) πx

∫ [τ + τ

2

(2 x)

0

]

ν −1/ 2

(6.8.8)

exp( −τ ) dτ

Γ(ν + 1 / 2)

.

В то же время, поскольку exp( x cosϕ ) = cos(ix cosϕ ) − i sin(ix cosϕ ),

а согласно (6.3.10) и (6.8.4) ***) , ∞

cos(ix cosϕ ) = I 0 ( x ) + 2∑ I 2 n ( x ) cos( 2nϕ ), n =1

∞

(6.8.9)

sin(ix cosϕ ) = 2i ∑ I 2 n −1 ( x ) cos(2n − 1)ϕ , n =1

то оказывается справедливым выражение ∞

exp( x cosϕ ) = I 0 ( x ) + 2∑ I n ( x) cos( nϕ ).

(6.8.10)

n =1

Если умножить обе части (6.8.10) на cos(nϕ) и проинтегрировать в пределах от 0 до 2π, то для модифицированной функции Бесселя In(x) (n ≥ 1) получим также интегральное представление вида: 2π

I n ( x) = *)

1 exp( x cosϕ )cos(nϕ )dϕ. 2π ∫0

(6.8.11)

Последнее соотношение (6.8.7) справедливо не только для целочисленных значений индекса (см., например, последнее равенство (6.8.15)). При ν = n для H ν имеет место разложение вида (6.2.7). При целочисленном индексе ν справедливо выражение (6.6.5). Из второго представления (6.8.8) следует, что функция H ν (x) при x > 0 и вещественном значении ν положительна.

**)

Выражения (6.8.9) получены из (6.3.10) заменой ϕ на ϕ + π/2, а x на ix. При этом было учтено также, что J 2 n (ix) = (−1) n I 2 n ( x), J 2 n −1 (ix) = i (−1) n +1 I 2 n −1 ( x).

***)

Глава 6. Цилиндрические функции

173

в) Рекуррентные соотношения Из (6.4.2) и (6.4.3) следует, что J n −1 (ix ) + J n +1 (ix ) =

2n J n (ix ), ix

J n −1 (ix ) − J n +1 (ix ) = 2

dJ n (ix ) . d (ix )

Поэтому, учитывая (6.8.4), получим следующие рекуррентные соотношения для модифицированных функций Бесселя первого рода: I n−1 ( x) − I n+1 ( x) =

2n I n ( x),I n −1 ( x) + I n +1 ( x) = 2 I n′ ( x). x

(6.8.12)

Но, поскольку, как было указано в заключительной части раздела 6.4, выражения (6.4.2), (6.4.3) оказываются справедливыми и для функций Бесселя второго рода, причем и для любых ν ≠ n, то аналогично (6.8.12) получим Hν −1 ( x ) − Hν +1 ( x ) = −

2ν Hν ( x ), x

Hν −1 ( x ) + Hν +1 ( x ) = −2 Hν′ ( x ).

(6.8.13)

В частности, согласно (6.8.7),

H0 ( x ) = − H1 ( x ), I 0′ ( x ) = I1 ( x ). г) Асимптотическое поведение при x → ∞ При больших значениях аргумента x справедливы следующие асимптотические представления для функций Бесселя I ν ( x ) и Hν ( x ) : I ν ( x) =

exp( x) [1 + O(1 / x)], 2πx

Hν ( x) =

2 exp( − x)[1 + O(1 / x)], πx

(6.8.14)

которые непосредственно получаются из (6.6.12), (6.6.10) и (6.8.3). Графики функций I n ( x ) и Hn ( x ) приведены на рис. 17, 18.

30

0,3 I0

H1

I1 I2

H0

10

0,1 I4 0

2

4

6

x

Рис.17. д) Функции полуцелого порядка Из (6.7.1), (6.7.4) и (6.8.3) очевидно, что

0

2

4

Рис. 18.

x

174

Часть II. Аппарат специальных функций

I1/ 2 ( x) =

2 shx, πx

2 chx, πx

I −1/ 2 ( x) =

H1/ 2 ( x) =

2 exp( − x) = H−1/ 2 ( x). πx

В общем случае из (6.7.5) нетрудно получить выражения функций I ν ( x ) и Hν ( x ) полуцелого порядка через элементарные функции *) :

J1/ 2+ n ( x) =

n

⎛ 1 d ⎞ ⎡ shx ⎤ x ⎜ , ⎟ π ⎝ x dx ⎠ ⎢⎣ x ⎥⎦

2x

n

n

2 n⎛ 1 d ⎞ J1/ 2− n ( x) = x ⎜ ⎟ shx, πx ⎝ x dx ⎠

n

2 n⎛ 1 d ⎞ H n−1/ 2 ( x) = x ⎜− ⎟ exp(− x) = H1/ 2− n ( x) ( n = 0, 1, K). πx ⎝ x dx ⎠

(6.8.15)

6.9. Разложение координат кеплеровского движения в тригонометрические ряды В разделах 2.3 и 2.6 было проведено интегрирование задачи двух тел. Полученное решение в прямоугольных координатах представляется в виде (2.3.55). Однако более простые выражения получаются, если орбитальные координаты исследуемого эллиптического кеплеровского (невозмущенного) движения гравитирующей точки P представить в полярных координатах в виде неявных функций времени от истинной аномалии v, связь которой с переменной t определяется уравнениями (2.3.29), (2.3.40) и (2.3.45): 1/2

v ⎛1+ e ⎞ E tg = ⎜ ⎟ tg , 2 ⎝1− e ⎠ 2

l = E − e sin E ,

l = n(t − t 0 ).

(6.9.1)

Здесь E — эксцентрическая аномалия, l и n — средняя аномалия и среднее движение, соответственно, t0 — момент времени, отвечающий прохождению материальной точки P через перицентр орбиты, 0 ≤ e