不変式論 (紀伊國屋数学叢書 11)

紀伊國屋数学叢書 11

編 集委員 伊藤 戸 田

清三 宏  

 (東京大学教授) (京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学教授)

森川 寿

不変 式論 紀伊 國屋書 店

ま

え

が

き

  不 変 式 論 の 話 は,や は り次 の よ く知 ら れ た 言 葉 か ら 始 め る の が よ い."Invar iant

theory

has

the phoenix

already

has

again

been and

pronounced

again

dead

rising

from

  これ は 歴 史 的 事 実 を 述 べ た と い う よ り,何

several

times,

and

like

its ashes."

か 根 元 的 な もの に 触 れ た 感 動 とみ

て よ い で あ ろ う.上 の 言 葉 を 実 感 し 確 か め た い と い う気 持 は こ の 本 のmotiva tionの

一 つ で あ る."古

今 東 西"と

の 運 動 が ひ そ ん で い る.ま

た"な

い う言 葉 に は,時

間 軸 上 の 流 れ と,空 間 上

に び と とい え ど も"と

人 を 任 意 の 他 の 人 に 置 き 換 え る 置 換 を 想 定 し て い る.こ 規 範 と 呼 ば れ る も の は,常 ば 不 変 性),で

定 式 化 さ れ て い る.変

よ うに,不 変 性,共

の 古 さ を 持 っ て い る.し 識 し,明

の よ う に 法 則 とか 社 会

換 の 範 囲 の 拡 大 と 縮 小,固

定 化,変

え

換 と法

頼 と 疑 念,こ

の よ うに 世 の 変 遷 を み る こ と

変 性 の 問 題 は,神

話 的 考 え 方 が 力 を失 って 以来

か し 暗 黙 の 霧 の 中 に 存 在 し続 け る こ と と,は

っ き り意

確 な 概 念 構 成 の 上 に 把 握 さ れ る こ と と の 間 に は 考 え られ な い 位 の 隔 り

が あ る."表

示 に 関 係 し な い 性 質 の 背 後 に は 変 換 群 が あ る"と

群 を 表 面 に 押 出 す に は19世 Lagrange,

こには あ る

に 背 景 に あ る 変 換 に 対 し て 一 定 の 対 応 の 仕 方(例

則 の か か わ り合 い の 保 持 と 改 変,信 も で き る.か

い え ば,そ

Gauss,

解 析 力 学,Cayleyの

Abel,

紀 の 純 粋 数 学 の 到 来 ま で 待 た ねば Galoisの

方 程 式 論,Lagrange,

代 数 的 不 変 式 論,Lieの

る い は 局 所 的 な 変 換 群 の 概 念 を 抽 出 し,数

意 識 し積極 的 に な ら な か っ た.

Hamilton,

Jacobiの

変 換 群 論 等 の 諸 理 論 は 大 局 的,あ 学 の 考 え 方 の 基 本 に 据 え た.幾

何学

や 解 析 学 の 中 心 的 部 分 が 変 換 群 に 関 す る 不 変 性 共 変性 と い う見 地 か ら 把 握 さ れ る こ と に な っ た わ け で あ る.   本 書 の 第1章

で 取 り扱 う代 数 的 不 変 式 論 は 恐 ら く行 列 式 の 導 入 あ た りに 源 が

あ る で あ ろ うが,普

通Booleが1841年

の 論 文 で2元2次

形 式 の 不 変 式 と して

判 別 式 を 取 り扱 った 時 点 を 始 ま り と し て い る.彼 共 変 式 の 明 確 な 定 義 を 与 え,不 た.BooleはBoole代

変 式 論 の 基 本 概 念 と問 題 を し っか り把 握 し て い

数 で 我 々 に よ く 知 られ て い る が,正

て な い 驚 くべ き ア イ デ ィ ア マ ン で あ る.同 Peanoと

は 次 の年 に は 既 に 高 次 形 式 の

と もに 奇 観 で あ る.大

規 の数 学 教 育 を 受 け

じ 様 な 資 質 の 公 理 的 方 法の

先 駆 者

数 学 者 とは こ との端 緒 を みつ け る とい う よ り

は,こ と の 重 要 さ に 明 敏 に 気 づ い て,そ れ を 本 来 あ る べ き 姿 に ま で 大 き く育 成 す る 人 の こ と で あ ろ うか.早

く も1843年

重 大 さ と本 質 を 見 抜 い て,3次,4次

に はCayleyがBooleの

ア イデ ィ アの

形 式 の不 変 式 共 変 式 の 計 算 を 始 め た とい

わ れ る.こ

の 困 難 な 計 算 を 遂 行 す る た めに 生 み 出 さ れ た 彼 の 創 意 と 工 夫 は 莫 大

で あ る.現

代 数 学 で 最 も 秀 れ て い る 部 分 は そ の 記 号 用 法 の 妙 で あ る が,そ

法 の 精 神 はLeibniz, Eulerと 本 書 の 第1章

と も に,よ

り直 接 的 にCayleyに

の 有 限 性 定 理 を 除 い た 全 内 容 は,多

っ て は い る が,本 質 的 に はCayleyの

の用

よ っ て い る.

く の 人 々 の 改 良 と磨 き が か か

寄 与 と 考 え て よ い.こ れ を 列 挙 し て み れ ば

  1)  現 代 数 学 の 記 号 用 法 を 始 め た こ と.   2)  外 か ら 与 え られ た も の に つ い て で は な く,数

学 自 体 の 中 で 概 念構 成 し た

対 象 に つ い て 理 論 を 組 立 て 始 め た こ と.   3)  半 単 純Lie環

の 有 限 次 元 表 現 の 原 型 を 作 った こ と.

な お 行 列 や 固 有 値,固

有 多 項 式 等 の 線 型 代 数 の 内 容 もCayley,

Sylvesterに

よ

っ て い る.   Sylvesterと

と も に 大 陸 の 数 学 者 達Hermite,

の 参 加 を 得 て1860∼70年

頃 に はmodern

の 弟 子Gordanは し た.こ

れ は か つ てCayleyが

Gordan等

of invariantsと

記 号 法 はAronhold,

り一 層 強 力 な 計 算 力 を も つ よ うに な っ た.こ 有 名 な2元

Clebsch,

algebra=theory

う状 態 に な っ た と い わ れ て い る.Cayleyの きに よ り,よ

Aronhold,

Clebschの

目 の 論 文 の 中 で 誤 っ て6次

有 限 生 成 で な い と主 張 し て い た も の で あ る.Gordanの

に証 明

以 上 の場 合 は

証 明 は順 次 に前 の もの

の 多 項 式 と し て 表 わ せ な い 不 変 式 を 記 号 的 表 示 を 使 っ て 構 成 し て 行 き,遂 の 操 作 が 止 ま る こ と を 示 す も の で あ る.こ

磨

れ を 用 い てClebsch

形 式 の 不 変 式 環 の 有 限 生 成 定 理 を1868年 第2番

い

う し た 方 法 を3元,4元,…,n元

にそ と

増 し て行 く こ と は 実 際 上 不 可 能 で あ る,人 転 機 が 訪 れ る.1888年Hibertの not

mathematics,

that

間 の 計 算 力 に は 限 りが あ る.や

有 限 性 定 理 の 証 明 の 出 現 で あ る."That is

is theology"とGordanに

い わ し め る ほ ど斬 新 な 証 明

で あ る.こ

こ に 現 在 に 到 る ま で90年

で あ る.こ

の 活 力 あ る 新 生 児 は 母 体 を 枯 ら し,古

続 を 許 さ な か った.Hilbertに   Uber

die Theorie

  Uber

die vollen

が あ る("あ

der

間 を 支 配 す る数 学 の ス タ イ ルが 生 れ た の

は 不 変 式 論 の2つ algebraischen

Invariantensysteme,

と が き"[4]参

い形 で の代 数 的不 変 式 論 の存 の 大 き な 論 文,

Formen,

(1890),

(1893),

照).

  こ の 中 に 彼 の 不 変 式 論 の 仕 事 の 本 質 の す べ て が 含 まれ て い る が,卓 念 の 把 握 力 と と も に 驚 くべ き 計 算 力 を み る こ と が で き る.本 Hilbertの

新 し い 方 法 は,Dedekindの

イ デ ア ル 論,環

論 と あ い ま っ て,い わ ゆ る 抽 象 代 数 学 を 生 み,Frobenius, 理 論,Kronecker,

Hilbert,

支え ら れ て,1930年

Weber,

有 限 群 の 表 現 論,van

代 か ら1950年

て イ ギ リス,ア

Takagi,

代 末 ま で にArtin,

よ り直 接 的 に はMacaulay, た1930年

der

Noether,

メ リ カ合 衆 国,フ

持 つ こ と が 示 さ れ た.高

Hasse,

書 の 第1章

後 半で

論,Henzelのp進

数

Burnsideの Artinの

Hasse,Brauerの

Krullの

有限群の

代数的整数論に

単 純 環 の 理 論,Schur,

Waerden, Zariskiの

代 数 的 代 数 幾 何 学,

可 換 代 数 の 理 論 に 結 晶 し た.ま

代 に か け て,Poincareに

始 ま る 位相 幾 何 学 は,主

ラ ン ス で 代 数 化 が 進 み,そ

洗 練 さ れ た 強 力 な 計算 法 はcohomology

methodの

のcohomology

名 の も と に,広

不 変 式 論 に 持 っ て い る.代

methodも

とし

の 巧 妙 な 記 号 法, い普遍性を

度 に 整 備 され た 数 学 理 論 に は 常 にcohomology的

を 持 つ と い い う る 程 で あ る.こ Hilbertの

越 した 概

志 操 の い く ら か で も 紹 介 出 来 て い れば 幸 い と 思 う.

  Hilbertの

Brauerの

がて

色彩

そ の 源 泉 の1つ

を

数 的 位 相 幾 何 学 の 精 密 な 計 算 技 術 は,古

典 不 変 式 論 の 計 算 技術 と の 親 近 性 を 感 じ さ せ る.  

第2章

か ら後 の 章 で は 形 式 的 巾 級 数 に 古 典 的 不 変 式 論 の 論 法 を 拡 張 す る と い

う著 者 の 考 え を い ろ い ろ な 対 象 に 適 用 し,い 式 論 の 一 面 を 強 調 す る.少

ま ま で 余 り注 意 さ れ な か っ た 不 変

し 詳 し く説 明 し よ う.不

定 元 を 成 分 と す る ベ ク トル

 

と 標 数 零 の 体Kの

零 で な い 元 を 成 分 とす る ベ ク トルw=(w1,…,wN)を

与 え

る.こ

正 整 数 な ら ば ξjは 長 さwjの

の他

こ でwjが

ベ ク トル で あ る と し,そ

の と き に は ξjは 長 さ無 限 のベ クト ル で あ る も の と す る.多

項 式 環 か ら微 分 多

項 式 環 へ の 同型

を

で 定 義 し,微 分

で 零 化 され るK[ξ1,…,ξN]の

部 分 環〓 を 半 不 変式 環 と呼ぶ こ とにす る.こ の

部 分 環〓 のΘwに よる 像 は,SL(2)ま

た は そ の 離 散 部 分 群 の 作用 に 関 連す る数

学 の い ろい ろの 分 野に 自然 に 表 われ て くる.例 え ば 次 の様 な例 が あ る. (Ⅰ)

と お い た と き,Θw(〓)の f1(a1￨z),…,fN(aj￨z)の

元 に  共 変 式 に ほ か な ら な い.

  (Ⅱ)  Γ を そ のZariski 第1種Fuchs群

closureが

項 式 で で き たΓ

分数 変 換 全 体 と一 致 す る お き,φ1(z),…,φN(z

元 の Γ に 関 す る 保 型 形 式 とす る と きΘw(〓)の

元 にy1=φ1(z),…,yN=φN(z)を

代 入 し て 得 られ た も の は φ1,…,φNの

微分多

に 関 す る 保 型 形 式 に な る も の 全 体 と一 致 す る.

(θ3,θ4,…,θn)を 線 型 微 分 作 用 素

のLaguerre-Forsythの wN=-2nと

単 位 円 板 の1次

と す る.w1=-2k1,…,wN=-2kNと

を そ れ ぞ れ-2k1,…,-2kN次

  (Ⅲ) 

と代 入 し た も の が

基 本 不 変 式 系 と す る.N=n-2,w1=-6,w2=-8,…,

お い た と き,Θw(〓)の

元 にy1=θ3,y2=θ4,…,yN=θNを

し て 得 られ た も の は 線 型 微 分 作 用 素 の 不 変 式 全 体 と一 致 す る.

代入

い ず れ の 場 合 に も代 入 して 零 に な るΘw(〓)の

元 か ら生 成 され る,

の 微 分 イ デ ア ル は 始 め に 与 え た 対 象 に 自 然 に 対 応 す る も の で あ る.w=(w1, …

,wN)を

る.し

定 め る と 自 然 にK[ξ1,…,ξN]にLie環sl(2)が

た が っ て 同 型 を 用 い てsl(2)を

で き る.集

で あ り全 部 は 零 で な い 整 数}が

分 多 項 式 環 はsl(2)の

で あ る こ と とΦw(〓)の

K[ξ1,…,ξN]のsl(2)-認

  第4章 う.第6章

イデアル

め に 与 え る 対 象 の 変 換 に よ る 同 値 類 と多 項 式 環

は こ の 本 の 重 要 な 章 で あ り,保

式 的 巾 級 数 で は な く,収

domainの

作 用 で 半 単 純 に な り,sl(2)-認容

容 イ デ ヤ ル と が 自 然 に 対 応 す る."

程 式 系 を 特 徴 づ け る.こ

を 果 す.こ

零を含 ま

元 で 生 成 さ れ た 微 分 イ デ ヤ ル で あ る こ と が 同 値 に な る.

これ を あ ら っぽ くい え ば,"始

  第3章

微 分 多 項 式 環 に 自然 に 作 用 さ せ る こ と が

合 

な け れ ば,微

微 分 と して 作用 す

型形式の満たす定数係数非線型微分方

の 章 は ほ か の 章 と 違 っ て,本

質 的 に 解 析 的,つ

束 す る 巾 級 数 を 取 扱 う.Schwarz微

の 章 の 結 果 は 多 変 数 の 場 合,行

ま り形

分が大切を役割

列 変 数 の 場合,も

っ と 一 般 にtube

場 合 に 拡 張 で き る. で は 多 変 数 の 場 合,第5章

で は 行 列 変 数 の 場 合 の 形 式 的 部 分 を 取 り扱

で は 古 典 的 な 線 型 微 分 作用 素 の 不 変 式 論 の 結 果 を 半 不 変 式 を 用 い て

明 確 に す る.基 が で き る.ま

本 不 変 式 系 を 用 い て1変

たRiemann面

数 代 数 関 数体 の不 変 量 を 定 義 す る こ と

上 の 線 型 微 分 方 程 式 に 応 用 さ れ る.こ

を 多 変 数 に 拡 張 す る こ と は 非 常 に 望 ま し い.射

の章の結果

影 空間 内 の 解 析 多 様 体 の 微 分 幾

何 学 的 研 究 に 重 要 な 役 割 を 荷 な う こ と に な ろ う.   線 型 常 微 分 作 用 素 の 不 変 式 論 に 関 係 し た 人 々 に つ い て 述 べ てお こ う.こ 論 の 創 始 者 はCockleで 線 型n階

あ る.1862年

に 彼 は2元n次

形 式 の不 変 式 論 を ま ね て

常 微 分 作 用 素 の 不 変 式 論 の 建 設 を 始 め た.1879年Laguerreに

3階 の と き θ3が,つ 出 さ れ た.こ

い でLaguerre-Brioschiに

れ ら を 拡 張 し てForsythは1888年

標 準 型 を 一 般 に 証 明 す る と と も に,基 数Q3,Q4,…,Qnの

の理

よ っ て4階

よ って

の と き θ3,θ4が 見

の 論 文 でLaguerre-Forsythの

本 不 変 式 系(θ3,θ4,…,θn)を

微 分 多 項 式 と し て 具 体 的 に 与 え た.Forsythの

標 準型 の 係 論 文には こ

の 本 の 第6章 で得 られ て い る結 果 が よ く読 む と書 い て あ る.こ れ とは 別 にHa lphenは1878年

頃 平 面 曲線,空 間 曲線 の微 分 不 変式 の 名 の もとにn=3,4の

場

合 に 同 等 の理 論 を構 成 して い る.彼 は射 影 変 換 で不 変 な 曲線 の性 質 を 不 変 式 を 用 い て 表示 す る こ とを 目的 とした.Halphenの

行 った こ とを 高 い 次 元 の 多 様

体 につ い て行 うこ とが 望 まれ る.CockleやForsythの の 立場 に立 って1899年

の論 文 でBoutonは

仕 事 をLieの

変換群

非 常 に わ か りや す くした.

  この 本 で 取 り扱え な か った 重 要 な項 目を あげ て お く と,   A)  Lieの 微 分 不 変 式(differential

invariant),

  B)  古 典 群 の不 変 式 の第1基 本 定 理,第2基

本 定 理 とそ の 応用,

  C)  佐 藤-木 村 の 概 均 質 ベ ク トル空 間,   D)  Hilbertの 第14問 題 に 関 す る永 田の 反 例,   E)  Mumfordの

代 数 幾 何へ の 不 変 式 論 の 応 用,

  F)  物 理 学 へ の 応 用.   A)は 微 分 幾 何 全 域 また が る広 大 な対 象 を含 ん でい て,解 析,幾 何,代 数 い ろ い ろ な方 向か らの 接近 が 行 わ れ る こ とに な ろ う.B)はH. groups"の

内容 で あ る.C)はB)の

大 成 が 発 表 され た.D),E)は

Weylの"Classical

あ る意 味 で の 発 展 で あ り最 近 研 究成 果 の 集

現 在 広 く知 られ て い る こ とで あ る.F)に

ついては

著 者 に 何 の 確 実 な 知 識 もな い.最 後 に この 本 の 原稿 に 目を通 し,校 正 を 手伝 っ て 下 さ った 山 下 純 一,寺 西鎮 男 両君,紀 伊 國屋 書店 出 版 部 の 横 田一 正,水 野 寛 両 氏,お

よび 本 書 の 執 筆 を薦 め て 下 さった 永 田雅 宜,飛

田武 幸 両 教 授 に 感 謝 の

言 葉 を 申 し添 え た い.本 書 は我 が 国 で は最 初 の不 変 式 論 に 関 す る 単行 本 で あ り,な る べ く古 典 色 を 出 し,歴 史 的 な こ とを 多 く書 くよ うに 心 掛 け た が,何 分 に も不勉 強 の た め不 十 分 な と ころ も少 な くない と思 わ れ る.百 年 以上 も前 の 古 い不 変 式論 が 意外 に現 在 お よび 将 来 の数 学 と強 く結 び 付 い て い る こ とを伝 え る こ とが で きれば 幸 い と思 う.

1977年   夏 著

者

目

次

まえが き 第1章

  1変 数 多 項 式 の 不 変 式,共

§1  多項 式 へ のGL(2)の

変式

作用

  1

§2  1変 数 多項 式 の半 不 変 式,不 変 式,共 §3  半 不 変 式,不 変式,共

変式

 6

変式 の例

  17

§4  半 不 変 極,共 変 極

  22

§5 sl(2)の 表現

 25

§6 Cayley-Sylvesterの §7 不 変 式環,共

個数定理

変式環の有限生成性 

§8  記 号的 方 法(symbolic §9 零 形 式,不 第2章 

  33 37

method) 

45

変式 代 数 多様 体,共 変 式 代 数 多様 体

形 式 的1変

数 巾 級 数 の 半 不 変 式,共

§1  形 式 的 巾級 数 へ のGL(2)の §2 共 変 式,Robertの

作用

 52

変式  67

定理 

72

§3 半 不 変 式,共 変 式 の 例  

75

§4 半 不 変 式 環 の構 造  

78

§5 sl(2,K)の

無 限 次 元表 現,Gramの

§6 微 分 イデ アル,係 数 イ デ アル 第3章

  半 不 変 式 と1変

§1 Schwarz微

分

定理

  79  88

数保 型形 式  92

§2 保 型 形 式 と共 変 式

  97

§3 保 型 形 式 を 規 定 す る微 分 方程 式  106 第4章

  形 式 的 多 変 数 巾 級 数 の 半 不 変 式,共

§1  形 式 的 巾 級 数 へ のGL(g+1)の §2  共 変式,Robertの 第5章

変式

作用

  115

定理  

120

  対 称 行 列 変 数 の 形 式 的 巾 級 数 の 半 不 変 式,共

§1 GSp(2g)と

その作用

変式   125

§2 微 分 作 用 素Δ=(Δij) 

128

§3 半 不 変 式,共 変 式,Robertの 第6章 

定理

線 型 同 次 常 微 分 作 用 素 の 不 変 式,共

§1 Laguerre-Forsythの

 132 変式

標 準型  139

§2 不 変式,共 変 式  

150

あ とが き

 

索

  177

引

175

第1章  1変 数多項式 の不 変式,共 変式

  2元n次

形 式 の 不 変 式,共

な お し て 紹 介 す る.非

変 式 の 古 典 的 な 理 論 の あ ら ま し を,非

同 次 の 形 で 取 り扱 うの は,後

同次の形に

の 章 で 巾 級数 や対 称行 列 変

数 の 場 合 へ の 拡 張 を 自然 に す る た め で あ る.   前 半 の 主 要 結 果 は 半 不 変 式 の 環 と 共 変 式 の 環 と の 自然 な 同 型 を 与え bertの

定 理(定

るRo

理1.1)と,半

不 変 式 の 空間 の 次 元 を 与 え るCayley-Sylvester

の 個 数 定 理(定

理1.3)とに集

約 さ れ る.こ

リ ー 環sl(2)の

表 現 論 の ほ ぼ 全 体 を 内 包 し て い る こ とに も 注 意 し て お き た い .

後 半 に お い て は,Hilbertに Ω-プ ロ セ ス,記

作用 の 上 の 不 定 元 の 組{ξ(0),…,ξ(n)},お

を と り,多 項 式 環K[ξ]=K[ξ(0),…,ξ(n)],ま の 元 を 考 察 の 対 象 に す る.K[ξ]の

よ び 変 数z

た は,K[ξ,z]=K[ξ(0),…,ξ(n),z]

元 は φ(ξ),K[ξ,z]の

元 はF(ξ,z)等

に 必 要 が あ る と きに は,φ(ξ(0),…,ξ(n)),F(ξ(0),…,ξ(n),z)等

わ す こ と に す る.不

定元

ξ(l)の 次 数(degree)と重

と表 と表

さ(weight)を

項 式 ξ(0)j0ξ(1)j1… ξ(n)jnの 次 数 と重 さ を

と定 め る.す

べ て の 項 の 次 数 が 等 し い 多 項 式 を 同 次 多 項 式(homogeneous

polynomial),す nomial)と

の 特 殊線 型

よ る 不 変 式 の 環 の 有 限 生 成 性 の 証 明,Cayleyの

  1.1  標 数 零 の 体Kと,そ

で 与 え,単

定 理 は,2次

号的 方 法 等 を 紹 介 す る.

  §1  多 項 式 へ のGL(2)の

わ す が,特

れ ら2大

べ て の 項 の 重 さ が 等 し い 多 項 式 を 同 重 多 項 式(isobaric

呼 ぶ こ と に す る.同

次 多 項 式 φ(ξ)に つ い て は「Eulerの

が 成 り立 ち,同 重 多項 式 ψ(ξ)に つ い ては

poly 公式」

が 成 り立 つ こ と が す ぐに 確 か め ら れ る.同

次 同 重 多 項 式 φ(ξ)が あ る と き,そ

の 指 数(index)を ind(φ)=ndeg(φ)-2weight(φ) で 定 義 す る.次

数,重

さ はnに

は よ ら な い で 定 ま る が,指

数 はnに

関 係 し て定

め ら れ て い る こ とに 注 意 し て ほ し い.   微 分(derivation)と K[ξ]自

い う便 利 な 概 念 に つ い て も,述べ

身 の 中 へ の 線 型 写 像XがK[ξ]の

任 意 の2元

X(φ ・ φ)=(Xφ)・ を 満 た す と き,XはK[ξ]の

て お こ う.K[ξ]か

ら

φ,φ に 対 し て,

φ+φ ・Xφ

微 分 と 呼 ば れ る.こ

の定 義 か ら直 ちに

とな る こ とが わ か る.つ ま り 

とお けばXが

次 の様 な

1階 同 次 偏 微 分 作 用 素 と して 書 け る こ とが わ か る.

し た が っ て 微 分Xは,Xξ(0),…,Xξ(n)の 2つ の 微 分X,Yが ば 実 は,X=Yで の 微 分X,Yに

与 え ら れ た と き,も あ る こ と が わ か る.こ 対 し,そ

み で 決 ま る と い え る.こ し 

の こ と か ら, が 成 り立 て

の 事 実 は 今 後 しば し ば 利 用 す る.2つ

の リー積 を [X,Y]=XY-YX

で 定 義 す る と,[X,Y]も

ま た 微 分 と な っ て い る.実

際

と 表 わ せ る.

  1.2  K[ξ]に に 定 義 す る.

作 用 す るCayley-Aronholdの

微 分 作 用 素H,D,Δ

を 次 の様

(た だ し,ξ(-1)=ξ(n-1)=0).H,D,Δ 作 用 さ せ た と き,次

は い ず れ もK[ξ]の

数 は 変 化 し な い が,重

微 分 で あ る.こ

れ らを

さ に つ い て は 次 の こ と が 成 り立 つ.

weight(Hφ)=weight(φ), weight(Dφ)=weight(φ)-1, weight(Δ φ)=weight(φ)+1.   補 題1.1 

[D,Δ]=H,[H,D]=2D,[H,Δ]=-2Δ,ま

た 同 次同 重 多 項 式

φ(ξ)に 対 し て Hφ(ξ)=ind(φ)φ(ξ).   証 明   前 半 を 証 明 す る に は,ξ(0),…,ξ(n)へ の 両 辺 の 作 用 が 一 致 す る こ と を み れ ば い い が,実

際

  後 半 は φ(ξ)=ξ(0)j0… ξ(n)jnと し て 証 明 す れ ば 十 分 で あ る が,

 昇 巾 の順 に書 い た 多項 式  (1.1)

を,一

般n次

多 項 式 と 呼 ぶ,zlの

係 数 を,2項

は,以 後 の 理 論 を よ り美 し くす る た め で あ る.   2次 一 般 線 型 群

係 数 を つ け て 

とす るの

のf(ξ￨z)へ

の作 用 を

 (1.2)

すなわち  (1.3)

に よ って 定 義 す る.つ

とき のzlの

ま り,左

辺 のzlの

係 数 

は右辺を整理 した

係 数 と して 定 め るわ け で あ る.こ こで ρnと 書 い た のは,対 応

がGL(2)の(n+1)次

共 変 対 称 テン サ ー 表 現 に な っ て い る ため で あ る.

  命 題1.1  (1.4)

 証 明  定 義 よ り

と おい て

に 注 意 す れ ば,結 局

特 殊 な 形 の 元 に(1.4)を

適 用 し て,

  系1  (1.5)

 (1.6)

 (1.7)

 (1.8)

  (1.9)

 更 に 次 の 系 も成 立 す る こ とが わ か る.  系2  (1.10)

 (1.11)  証 明

 と お く と

と な り,Dは

微 分 と な っ て い る こ と が わ か る が,Dも

を 示 せ ば(11.0)は

(1.11)に

証 明 さ れ た こ と に な る.と

つ い て も 同 様 に 示 す こ と が で き る.■

微分だか ら

こ ろ で(1.7)よ

り

 な お,GL(2)の

作 用 と い う 以 上,任

に対

意 な2元 

し て,   (1.12)

が成 立 し て い てほ し いが,そ れ は 次 の様 に 定 義 か ら直 ち に 確 か め られ る.

  §2  1変 数 多 項 式 の 半 不 変 式,不

変 式,共

変式

  2.1  ま ず 半 不 変 式 の 定 義 か ら 始 め よ う   定 義1.1 

K[ξ]の

(semi-invariant)で 単 に(d,p)-半   Dは

元 φ(ξ)がDφ(ξ)=0を

次p同

重 半 不 変 式 で あ る と き簡

不 変 式 と い う.

微 分 で あ る か ら,Dを

環 を な す が,こ

満 た す と き φ(ξ)は 半 不 変 式

あ る と い い,φ(ξ)がd同

れ を〓nと

ベ ク トル 空 間 を 

る微 分作 用素 

作 用 さ せ て 零 に な る 多 項 式 の 全 体 はK[ξ]の 表 わ す こ とに す る.ま と 表 わ す . 

た,(d,p)-半

の と き,K[ξ(0),…,ξ(n′)]に

は 部 分 環K[ξ(0),…,ξ(n)]の

部分

不 変式 のつ くる 作用す

上 で 

に 同 じ作 用 を す る こ とは 明 らか だ か ら

が 成 り立 つ こ とが わ か る.   補 題1.2  多項 式 φ(ξ)の 同 次 同 重 直 和 分 解 を

とす る とき,φ(ξ)が 半 不 変 式 とな るた め の 必 要 に し て かつ 十 分 な条 件 は,す

べ て の 同 次 同 重 成 分 φd,p(ξ)が 半 不 変 式 と な る こ と で あ る.   証 明  Dは

次 数 を 変え ず,重

さ を1だ

け 減 らす の で

deg(Dφd,p)=d,weight(Dφd,p)=p-1. し た が っ てDφ=ΣDφd,pはDφ る.つ

ま りDφ=0と

の 同次 同重 直 和 分 解 を与 え て い る こ とがわ か

な る 必 要 十 分 条 件 は す べ て の 成 分に つ い てDφd,p=0と

な る こ と で あ る とわ か る.■   こ の 補 題 か ら,次

の 直 和 分 解 を う る.

  命 題1.2

 半 不 変 式 と い う名 前 の 意 味 を はっ き り さ せ る た め に 次 の命 題 を 示 し て お く.  命 題1.3 

多項 式

φ(ξ)が(d,p)-半

不 変 式 で あ る こ と と,任

意 の α,γ,δ

 に 対 し て  (1.13)

が 成 り 立 つ こ と と は 同 値 で あ る.   証 明  (1.5),(1.6)よ

り

した が って

こ れ は,φ(ξ)がd同

次p同

重 である ことと

と が 同 値 で あ る こ と を 示 し て い る.し

た がっ てDφ(ξ)=0と

と の 同値 性 が示 せ れ ば 命題 が証 明 され た こ とに な る.Dφ(ξ)=0と

す る と,

こ れ は, 

のtに

よ る微 係 数 が 零 で あ る こ とを 意 味 して い る.し

た

がっ て,

逆は

か ら 示 さ れ る.■   次 に 共 変 式,不   定 義1.2 

変 式 の 定 義 を 述 べ よ う.

K([ξ]=K([ξ(0),…,ξ(n)]の

元 を 係 数 と す る 多 項 式F(ξ,z)が

 (1.14)

こ こで を 満 た す と き,(n,m,p)-共 (n,p)-不

変 式(invariant)と

  (n,m,p)-共

変 式(covariant)と

呼 び,特

変 式 の つ く る ベ ク トル 空 間 をCn(m,p)と

と は 明 ら か で あ る か ら,共

と きに は

呼 ぶ.

の 元 を 単に 共 変 式 と い う こ と に す る.CnがK[ξ,z]の

  補 題1.3(指

にm=0の

書 く こ と に し,直

和

部 分 環 と なっ て い る こ

変 式 環 と 呼 ぶ.

数 公 式)  (n,m,p)-共

変 式F(ξ,z)に

対 し て,関

係式

m=nd-2p を 満 た す 負 で な い 整 数dが   証 明   (n,m,p)-共

また

存 在 し,定

変 式 の 定 義 か ら,

数 項F(ξ,0)は(d,p)-半

不 変 式 と な る.

だか ら

を 得 る.と

こ ろ で,こ

の 式 はF(ξ,0)がn-1(m+2p)-同

て い る,つ

ま りn-1(m+2p)=dは

命 題1.3に

よ れ ば,こ

負 で な い 整 数 で あ る.こ

れ はF(ξ,0)が(d,p)-半

る.■   補 題1.4 

F(ξ,z)が(n,m,p)-共

変 式 な らば

ま た,F(ξ,z)=exp(zΔ)F(ξ,0).   証 明   共 変 式 の定 義 よ り

これ で前 半 が 示 され た が,こ

と お き,前

半 の 式dF/dz=ΔFを

こで

用 い る と,

この式 の 両 辺 のzl-1の 係 数 を 比 較 す れ ば,

これ を く りか え せ ば

した が って

次式 で あ る こ とを 示 し のdを

用 い れ ば,

不 変 式 で あ る こ とを 示 して い

ま た 明 らか に Δk+1c0(ξ)=0  で あ るか

ら,結

(l=1,2,3,…)

局

  命 題1.4 

F(ξ,z)を

の 次 数 はmと

な る.

零 で な い(n,m,p)-共

変 式 とす れ ば,そ

 証 明

だ か ら,zmがF(ξ,z-1)を

整 化 す る こ とが わ か り, 

も し,m>degzF(ξ,z)と

仮 定 す る と,

一 方 

だか ら

ここで  

F(ξ,0)=c0(ξ) 

と書 く こ と に す る と

ξ(0),…,ξ(n)の 代 数 的 独 立 性 か ら 0=c0(ξ)=F(ξ,0). こ こ で 補 題1.4を

用い ると F(ξ,z)=exp(zΔ)F(ξ,0)=0

と な りF(ξ,z)が   補 題1.5 

零 で な い こ と に 矛 盾 す る.■

φ(ξ)をK[ξ]の

元 とす る と き

のzに

つ いて

 証明

だか ら

(1.8)  よ り,こ

の式 は

に 等 し い こ と が わ か る.し

た が って

  これ ら の 補 題1.3,1.4,1.5を

用 い て,半

不 変 式 と共 変 式 の 間 の 自 然 な 対 応 を 与

え る 次 の 定 理 を 証 明 し よ う.   定 理1.1  (Robertの

定 理)m=nd-2pを

組 を 任 意 に 与 え る と き,(d,p)-半 の 対 応 で1対1に

不 変 式 全 体 と(n,m,p)-共

対 応 す る. (d,p)-半

た だ し,

満 た す 負 で な い 整 数n,d,p,mの

不 変式  

(n,m,p)-共

変式

変 式 全 体 と は,次

 証 明   (d,p)-半

不 変 式 φ(ξ)に 対 し て,

と お き これ が(n,m,p)-共

は,補

題1.3,1.4,1.5か

変 式 で あ る こ と を 示 そ う.こ

れがわかれば

ら 直 ち に 出 る.

を 用 い て,

こ れ は,Φn(φ)(ξ,z)が

Φn(φ)(ξ,0)=φ(ξ)を

満 た す(n,m,p)-共

変式であ る

こ と を 示 し て い る.   こ の こ と と 補 題1.3か   系  nd=2pの

ら 証 明 が 終 了 す る.■

とき

 (d,p)-半

不 変 式 は(n,p)-不

変 式 と 考 え る こ と が で き る.

  次 に,半

不 変 式 環〓nと

め に は,次

の 様 な 微 分 共 変 式 環 を 経 由 さ せ る の が わ か り や す い.つ

共 変 式 環Cnと

の対 応 Φnに つ い て 考 え よ う.そ の た

ず,微 分 多 項 式 環 

お よ びK[ξ(0),…,ξ(n)]か

  へ の 環 同 型Θnを

ま り,ま ら

次 の式 で定 め る.

こ の と き.   定 義1.3  式(differential  直和分解

(d,p)-半

不 変 式 φ(ξ)のΘnに

covariant)と

呼 ぶ.

よ る 像Θn(φ)を(d,p)-微

分共 変

が あ る こ と は い うま で も な い.   Robertの

定理 に お け る対応

Φnは,こ

れ ら の 記 号 を 用 い れ ば,

Φn(φ)(ξ,z)=Θn(φ)￨y=f(ξ￨z) で 与 え ら れ る こ とが わ か る が,Θnが え て い る こ と か ら,対 る か ら 結 局,Φnは   次 に,半 た め,ま

応 Φnが 環 準 同 型 だ と わ か る.し

か も1対1な

お きか わけであ

環 同 型 に な っ て い る こ とが わ か る.

不 変 式 の 言 葉 か ら,共 ず2つ

環 同 型 で あ る こ と,yをf(ξ￨z)で

変 式 の 言 葉 へ の 「翻 訳 」 規 則に つ い て 述 べ る

の 補 題 を 示 し て お こ う.

上 の微 分d/dzを

  補 題1.6 

次 の様 に 定 め る.

こ の と き,  (1.15)

 証 明 

d/dz,Δは 各 々 微 分 で あ り,Θnは

示 す に は,ξ(0),…,ξ(n)に

対 す る 両 辺 の 作 用 が 一 致 す る こ と が 示 せ れ ば よ い.と

こ ろ で,

  補 題1.7 

多項 式

環 同 型 で あ る こ と か ら,(1.15)を

φ(ξ)に 対 し て

 証 明   計 算 に よ って確 か め る.

  定 理1.2 

φ,ψ,φ を 半 不 変 式 と し,φ

が φ,Δφ,…,Δrφ,ψ,Δ ψ,…,Δsψ の 多

項 式 φ に よ って

と表 わ さ れ る と き

  証 明   Φn(φ)=exp(zΔ)φ,Φn(ψ)=exp(zΔ)ψ,Φn(φ)=exp(zΔ)φ Φnは 環 同 型 で あ る か ら,

を 得 る こ と が で き る が,こ

こ に 補 題1.7を

用いれば

  2.2  半 不 変式 環〓nの 構 造 を知 るた め の命 題 に つ い て述 べ よ う.  命 題1.5  (1.16)

と お く と き,

  証 明   ま ず,φ2,φ3,…,φnが

半 不 変 式 で あ る こ と を い お う.

で あ り,

し か も,deg(φl)=l,weight(φl)=lと 式 で あ る こ と が わ か っ た.ま

な っ て い る か ら,φl(ξ)が(l,l)-半

た ξ(0)は(1,0)-半

に 注 意 す れ ば,ξ(0),ξ(1),φ2(ξ),…,φn(ξ)は の 巾 を 係 数 と し て)含

を う る.と

と書 け る.こ

順 に

こ で,

ξ(0),ξ(1),ξ(2),…,ξ(n)を(ξ(0)

ん で い る こ とが わ か り

こ ろ で,ξ(0),ξ(1),φ2,…,φnはK上

変 式 φ(ξ)は

不 変 式 で あ る.こ

代 数 的 に 独 立 で あ るか ら,半

ξ(0),φ2,…,φnの 多 項 式 

意 的 で あ る.

を 作 用 さ せ る と,

だか ら

した が って

とな って h1=h2=…=hm=0 な わ ち

不

を用いて

の 表 示 は ξ(0)-1の 巾 を 最 小 に と る こ と に す れ ば,一

 tを 変 数 とし て φ(ξ)に 

を う る.す

不変

φ(ξ)=ξ(0)-Nh0(ξ(0),φ2,…,φn)∈K[ξ(0)-1,ξ(0),φ2,…,φn].■

 降 巾順 のn次

のzn-1項

多項式

を 消 去 す る よ く知 ら れ た や り方 で,得

られ る 多 項 式 が,上 の 命 題1.5

の φ2(ξ),…,φn(ξ)を 用 い て

と 書 け る こ と に 注 意 し て お こ う.   命 題1.6   証 明   命 題1.5よ

り

し た が っ て,

  上 の2つ

の 命 題1.5,1.6に

よ っ て 「半 不 変 式 環〓nの

構 造 は,あ

ま り複 雑 で

は な い 」 と い う こ と が わ か る.   次 に 共 変 式 環Cnに   命 題1.7 

つ い て も,同

様 な 命 題 を 示 し て お こ う.

Cn[f-1]=K[f-1,f,Φn(φn),…,Φn(φn)] 

  証 明   命 題1.5にRobertの   と こ ろ で,φ2(ξ),φ3(ξ),…

に 対応 す る共変 式

の 型 を 具 体 的 に 書 け ば 次 の 様 に な る.

更 に,一

般 に

た だ し,こ

(こ こにf=f(ξ￨z)).

定 理 を 適 用 す れ ば い い. ■

こで

Φn(φ2)(ξ,z),Φn(φ3)(ξ,z),…

  §3  半 不 変 式,不   3.1  Robertの 満 た すdを

変 式,共

定 理 の 系 に よ り,(n,p)-不

と り,(d,p)-半

場 合 にHankel行

変 式 の例 変 式 を 得 る た め に は,nd=2pを

不 変 式 を 求 め れ ば よ い.こ

こ で はnが

偶 数2qの

列式

 (1.17)

が(2q,q(q-1))-不   命 題1.8 

変 式 に な る こ と を 示 す.

Hankel行

列 式Hank2q(ξ)は(q+1,q(q+1))-半

し た が っ て(2q,q(q+1))-不

不 変 式 で あ る.

変 式 と もみ れ る.

  証 明   行 列 式 の 定 義 か ら,

し た が って deg(Hank2q(ξ))=q+1, weight(Hank2q(ξ))=q(q+1) で あ る こ と が わ か る.

 をHank2q(ξ)に こ の た め に,次

作 用 さ せ て,不

変 に な る こ と を み れ ば 証 明 が 終 わ る が,

の 様 な 工 夫 を す る.

と お きSJtSの(l,h)-成

分 を 計 算 す れ ば,

こ こ で 

を 用 い た こ と に 注 意 し て ほ し い.

つ ま り

  q=1.2の

場 合 を 計 算 して み れ ば

 3.2 降 巾 の順 に書 い たn次

の多 項 式

に 対 し て ξ(0),…,ξ(n)に つ い て の 多 項 式

を そ の 判 別 式(discriminant)と れ て い た 不 変 式 の 例 で あ る.こ 体 的 に(ξ(0),…,ξ(n)の   u1,…,unの

と書 け ば

呼 ぶ が,こ

こ で は こ の 事 実 を 示 す と と も に,disn(ξ)を

式 と し て)構

基本対称式を

れ は 不 変 式 論 が で き る 以 前 か ら知 ら

成 す る 方 法 に つ い て 述 べ よ う.

具

だか ら

こ こ で,u1,…,unの

次 数,重

さ を 次 の 様 に 定 め,ξ(0)

,…,ξ(n)の

次 数,重

さ と

矛 盾 の な い 様 に し て お く.

  命 題1.9 

n次 多 項 式 の 判 別 式disn(ξ)は(n,n(n-1))-不

  証 明   slに はu1u2…ulが

重 複 度1で

変 式 で あ る.

含 ま れ て い る か ら,単

項 式s1j1s2j2…sjnn

には

が 重 複 度1で

含 ま れ る こ と に な る.し

か も 

単 項 式sj11 sj22…sjnnに は 含 ま れ て い る こ と は な い.し 式 ψ(s)の

次 数 は φ(u1,…,un)=ψ(s)と

の 次 数 に 等 し い.こ

た が っ てs1,…,snの

書 い た と き の φ(u)のu1に

多項 ついて

の事実を特に

の 場 合 に 用 い れ ば,ψ(s)はs1,…,snに る.と

とす る と き

つ い て2(n-1)次

で あ る こ とがわ か

ころで

だか ら

は

ξ(0),…,ξ(n)に

つ い て(2n-2)次

ら,disn(ξ)はn(n-1)-同重

だか ら

同 次 多 項 式 で あ る.weight(uj)=1だ 多 項 式 で あ る こ と が わ か る.と

こ ろ で 一 方,

か

これ は,disn(ξ)が(2(n-1),n(n-1))-半

不 変 式 で あ る こ と を 示 し て い る.

指数 は n(2(n-1))-2n(n-1)=0 と な る か ら,(n,n(n-1))-不   Cayleyの

変 式 で も あ る.■

や り方 に 従 っ て,判

  補 題1.8  (Cayley)半

と 表 わ せ ば,φ(ξ)は

別 式 の 計 算 法 を 紹 介 し よ う.

不 変 式 φ(ξ)を

ψ0(ξ(0),…,ξ(n-1))と

ξ(n)の 昇巾 の 順 に

そ のDlに

よる像 とを用 い て

 (1.18)

と書 け る.(和 は勿 論,有

限和 に な っ てい る.)

 証 明   φ は半 不 変 式 だ か ら

こ こ で,ξ(0),…,ξ(n)が

代 数 的 に独 立 で あ る こ とに 注意 すれ ば n(l+1)ξ(n-1)ψl+1+Dψl=0.

つ ま り

す なわ ち

  命 題1.10  (1.19)

こ こ で,

 証明

とお い た と き

だ か ら,

と書 け ば

更 に,

が な りた っ て い る か ら,結

また

だか ら

局

一 方 ,補

題1.8よ

り

で あ るか ら,(ξ(n-1)-1D)ldisn(ξ(0),…,ξ(n-1),0)は け れ ば な ら な い.し

た が っ て 

  以 上 の 方 法 を,n=2,3の

ξ(0),…,ξ(n-1)の 多 項 式 で な つ ま り 

場 合 に 適 用 し,判

■

別 式 を 求 め て み よ う.

とお く と

つま り

次 にn=3と

し て,命

こ の 様 に し て,機

題1.10を

利 用 す る と,

械 的 にdis4(ξ),dis5(ξ),dis6(ξ),…

  §4  半 不 変 極,共

を 順 に 求 め て ゆ け る.

変極

  4.1  2つ の 共 変 式 か ら,新

し い 共 変 式(半

不 変 式)を

つ く り出 す,Cayley

の 方 法 を 紹 介 し よ う.  定 義1.4 を そ れ ぞ れ(n,m,p)-共   (1.20)

変 式,(n,m′,p′)-共

変 式 と す る.こ

の とき

をFとGのr次   補 題1.9 

の 半 不 変 極(r-th

apolar)と

φ(ξ),φ(ξ)を そ れ ぞ れ(d,p)-半

m=nd-2p,m′=nd′-2p′

と お く と き,r次

呼 ぶ(こ

こ で 

).

不 変 式,(d′,p′)-半

不 変 式 と し,

の半 不 変 極 は 次 の様 に表 わ され

る.

 (1.21)

  証 明   補 題1.4よ

で あ る か ら,そ

 補 題1.10 

り

れ を(1.20)に

代 入 し て,

V[m]を 指数mの

す べ て の 同次 同重 多 項 式 か ら生 成 され たK[ξ]

の 部 分 ベ ク トル空 間 とす る と

ま た,Π[m]をK[ξ]か

らV[m]へ

の射 影 作 用 素 とす れ ば

 (1.22)  (1.22′)

  証 明   V[m]の

元

φ(ξ)へ の 作 用 が一 致 す る こ と を み れ ば い い,lに

関す る

帰 納 法 で これ を 示 そ う.   ま ず,l=1の

と き は,[DΔ]φ=Hφ=mφ [ΔD]φ=-Hφ=-mφ

だ か ら成 立 し て い る. lの と き 成 立 す る と 仮 定 す る と,(Δ φ ∈V[m-2],Dφ

∈V[m+2]に

注 意 し て)

  命 題1.11 

F(ξ,z),G(ξ,z)を

変 式 と す れ ば,r次 で あ る.(た

そ れ ぞ れ(n,m,p)-共

変 式,(n,m′,p′)-共

の 半 不 変 極Ar(F,G)(ξ)は(d+d′,p+p′+r)-半

だ しm=nd-2p,m′=nd′-2p′

と す る.)

  証 明   F(ξ,0)=φ(ξ),G(ξ,0)=φ(ξ)と

す れ ば,φ,φ

は そ れ ぞ れ(d,p)-半

不 変 式 お よ び(d′,p′)-半 不 変 式 で,F=Φn(φ),G=Φn(φ)と はlに

か か わ ら ず(d+d′)-同

りAr(F,G)も

不変 式

次,(p+p′+r)-同

書 け る.Δr-lφ・Δlφ

重 多 項 式 だ か ら,(1.21)よ

そ うな る.

  し た が っ て,D(Ar(F,G))=0を

示 せ ば い い.D(φ)=Dφ=0だ

か ら 補 題1.10

に よ り

と な る が,こ

  定 義1.5 

れ ら を(1.21)に

FとGのr次

G))をFとGのr次

利用 して

の 半 不 変 極Ar(F,G)に の 共 変 極(r-th

対 応 す る 共 変 式 Φn(Ar(F,

transvectant)と

呼 び〈F,G〉(r)と

表

わ す.   r次

の 共 変 極〈F,G〉(r)をF,Gの

  命 題1.12 

F,Gを

微 分 多 項 式 と し て 具 体 的 に 表 示 し よ う.

そ れ ぞ れ(n,m,p)-共

 とす れ ば,r次

変 式,(n,m′,p′)-共

の 共 変 極 は 次 の 様 に 表 わ さ れ る.

変 式 と し,

  証 明   補 題1.9に   r=1の

定 理1.2の

翻 訳 規 則 を 適 用 す れ ば 直 ち に 得 ら れ る. ■

場 合 に 半 不 変 極,共

  命 題1.13 

変 極 の 別 の 表 示 を 求 め よ う.

φ(ξ),φ(ξ)を そ れ ぞ れ(d,p)-半

し,m=nd-2p,m′=nd′-2p′

不 変 式,(d′,p′)-半

不 変式 と

とお くと

 (1.23)

ま た,F,Gを

そ れ ぞ れ(n,m,p)-共

変 式,(n,m′,p′)-共

変 式 とす れ ば

 (1.24)

  証 明   Φn(φ),Φn(φ)のzに 題1.9よ

つ い て の 次 数 は そ れ ぞ れm,m′

で あ る か ら,補

り

F=Φn(φ),G=Φn(φ)と 適 用 し て(1.24)が

  §5  sl(2)の

仮 定 し て い い か ら,(1.23)に

表 現 形 式 に 関 す る 不 変 式,共

関 係 を 決 定 し て ゆ く過 程 の 中 で,Cayley, とい わ れ て い る

り あ げ て い っ た が,後

に,こ

の"原

型"を

変式 の環 の生 成 元 とそ の 間 の

Sylvesterは

近 代 数 学 に お け る典 型

『単 純 リー 環 と そ の 表 現 論 』 の"原

のsl(2)に

ー 環 の 場 合 に ま で お し 進 め た の はWeylで   こ こ で は,こ

翻訳規則 を

得 ら れ る. ■

  5.1  低 い 次 数 の2元

的 理 論 の1つ

定 理1.2の

関 す る 仕 事 を 分 析 し て,一 あ

つ く

般 の 単純 リ

った.

紹 介 す る た め に,ま

の 表 現 に つ い て 復 習 し て お こ う.

型"を

ず 準 備 と し て,リ

ー環 と そ

体K上

の ベ ク トル 空 間gに

積(a,b)→[a,b]が

与え られ,次

の公理

  1)  [λa+μb,c]=λ[a,c]+μ[b,c],   2)  [a,a]=0,   3)  [a[b,c]]+[b[c,a]]+[c[a,b]]=0  を 満 た す と き,gを

体K上

自 身 への 線 型 写 像 全 体 に,い リー 環 に な っ て い る が,こ う.gl(V)の

(Jacobi律)

の リー 環 と 呼 ぶ.K上

の ベ ク トル 空 間Vの

わ ゆ る リー 積[A,B]=AB-BAを れ をgl(V)と

入 れ た もの は

書 き,V上

の 一般 線 型 リ ー環

部 分 リー 環 を 線 型リー 環 と 呼 ぶ.VにK上

と れ ばgl(V)はn×n-行 と か く.(体Kを   gl(n)の

明 示 し た い と き に はgl(n,K)と

特 殊 線 型 リー 環 と い い.sl(n)で

  K上

の リー 環gか

ら,Kを

  1)  ρ(λa+μb)=λ

像ρ

表 現 は,表

れ

表 わ す.

含 む 体L上

の 一 般 線 型 リー 環gl(V)へ

の,

ρ(a)+μ ρ(b),

をgの

(a,b∈g,λ,μ

∈K)

表 現(representation),

現 空 間 も こ め て(ρ,V)と

の と きn次

書 く.)

が

  2)  ρ([a,b])=[ρ(a),ρ(b)]  を 満 た す と き,ρ

れ をgl(n)

零 に な る 元 の 全 体 は 部 分 リー 環 を つ く る.こ

をn次

恒 等 的 に 零 で な い,写

と い

の 基 底e1,…,enを

列 全 体 に リー 積 を い れ た も の に な る.こ

中 で,跡(trace)が

それ

表 現,nが

有 限,無

Vを

そ の 表 現 空 間 と呼 ぶ.

表 わ す こ と も あ る.Vの

次 元 がn次

限 に し た が っ て そ れ ぞ れ 有 限 次 表 現,無

元 限次

表 現 と 呼 ぶ.   Vの

部 分 ベ ク トル 空 間Wがgの

作 用 で 不 変,す

ρ(a)W⊂W  と な る と き,Wを (ρ,W)はgの

表現

現 を 既 約 表 現(irreducible

空 間Vが

い う.こ

た は 半 単 純(semi-simple)で

そ の 代 数 的 閉 包 に ま で,係 irreducible)だ

制 限 す れ ば,

身 以 外 に 不 変 部 分空 間 を もた な い表

representation),ま

の と き 表 現 空 間Vが

をWに

た は,単

純 表 現(simple

現

は 完 全 可 約(complet

あ る と い う .Vの

数 拡 大 し て も な お 既 約 と な る と き,ρ と い う.

repre

既 約 だ と い うい い 方 も す る .表

既 約 な 不 変 部 分 空 間 の 直 和 に 分 解 す る と き,ρ

ely reducible)ま

(absolutely

(a∈g)

ρ の 不 変 部 分 空 間 と い う.ρ

表 現 に な る.{0}とV自

sentation)と

なわ ち

係 数 体 を, は絶 対 既 約

  5.2  2次 の 特 殊 線 型 リー 環sl(2)の

を とれ ば,計

基 底 と して

算 に よ り, [X,Y]=H,[H,X]=2X,[H,Y]=-2Y

と な っ て い る こ と が わ か る.し

た が って 対 応

λH+μX+νY→

λH+μD+νΔ

は(補

題1.1に

よ り)sl(2)の

表 現 を 与 え て い る こ とが わ か る.表

項 式 全 体 の つ く る ベ ク トル 空 間K[ξ]で に す る の で,d同

  (λ,μ,ν,∈K)

あ る.H,D,Δ

は多項式の次数を不変

次 多 項 式 の つ く る 部 分 ベ ク トル 空 間 をVn,dと

は 不 変 部 分 空 間 と な り,上

の 対 応 のVn,dへ

現空 間は多

の 制 限 はsl(2)の

す れ ば,Vn,d 有 限 次表

現を与

え て い る こ と が わ か る.   定 義1.6 sl(2)の る と は,Vの

表 現 空 間Vの

零 で な い 元υ

が 原 始 的(primitive)で

係 数 体 の 元 λ が 存 在 して ρ(H)υ=λυ,か

つ,ρ(X)υ=0

を 満 た す こ と で あ る.   補 題1.11 ρ(H)υ=λ

  証 明  l=1と

 命 題1.14 

と お く.も

υ な らば 次 の 式 が 成 り立 つ.

して,証 明 す れ ば 十 分 で あ るが,

sl(2)の

し em+1=0と

  1) ρ(H)el=(m-2l)el,   2) 

ρ(X)el=(m-l+1)el-1,

  3) 

ρ(Y)el=(l+1)el+1

表 現(ρ,V)の

原 始 元e0を

す れ ば

と り

あ

と な る(こ

こ でe-1=0).ま

空 間Wmは

たe0,e1,…,emで

張 ら れ る(m+1)次

元 ベ ク トル

既 約 不 変 部 分 空 間 で あ る.

  証 明   elの 定 義 か ら(ρ(H)e0=λe0と

す る と)

ρ(H)el=(λ-2l)el,ρ(Y)el=(l+1)el+1. 次 に,lに

関 す る帰 納 法 で ρ(X)el=(λ-l+1)el-1 

を 示 そ う.l=0な

ら,ρ(X)e0=0=(λ+1)e-1と

の と き 成 立 し て い る と 仮 定 し て,l+1の

と な り,や は り成 立 し て い る.し l=m+1と

(l=0,1,2,…) な って 成 立 し て い る か ら, 場合をみ ると

た が っ て 帰 納 法 が 終 了 す る.し

た が って

お くと 0=ρ(X)em+1=(λ-m)em.

し か る に,    Wmが

だ か ら λ=mを

,-mで

あ り,そ

れe0,e1,…,emで Uが -m}の

く し て1),2),3)が

不 変 部 分 空 間 と な っ て い る こ と は 明 らか だ か ら,既

明 が 終 わ る.ρ(H)をWmに -m+2

得 る.か

約 性 を 示 せ ば,証

制 限 し た も の の 固 有 値 はm,m-2,m-4,…, れ ぞ れ の 固 有 値 に 対 す る 固 有 空 間 は1次

張 られ る.も

あ って,ρ(H)のUへ

しWmが

既 約 で な け れ ば,Wmの

元 で,そ

れぞ

不変 部 分 空 間

の 制 限 の 固 有 値 は{m,m-2,m-4,…,-m+2,

部 分 集 合 に な るが

に 入 っ て い る.し

示 さ れ た.

,そ

の う ち 最 大 の も の をm-2hと

す る とehはU

か し ρ(X)eh=(m-h+1)eh-1, ρ(H)eh-1=(m-2h+2)eh-1

に 注 意 す れ ば,eh-1もUに ( 

な ら)m-2hよ

つ ま りU=Wmを   命 題1.15 

入 り,か

つ そ れ に 対 応 す る ρ(H)の

り大 き く な っ て 矛 盾 が お き て く る.し

固有 値 が

た が っ てeh=e0,

得 る. ■ (m+1)次

元 ベ ク トル 空 間 

の 基 底e0,…,emに

対 し

て,H,X,Yの

作 用 を

  1) 

ρm(H)el=(m-2l)el,

  2) 

ρm(X)el=(m-l+1)el-1,

  3) で 定 め れ ば,(ρm,Wm)はsl(2)の

絶 対 既 約 表 現 を 与

え る(こ

こ でe-1=em+1

=0).

証 明   ρmが 表 現 を 与 え る こ と は,計

算 に よ れ ば い い.つ

ま り

と こ ろ で,e0がWmの

原 始 元 と な っ て い る こ とが 定 義 よ り直 ち に わ か る の で,

命 題1.14に

既 約 で あ る.こ

よ りWmは

よ っ て 変 化 し な い か ら,特   命 題1.16  (ρm,Wm)と

れ ら の 事 情 は,Wmの

係数体の拡大に

に 絶 対 既 約 で あ る こ と が わ か る. ■

(ρ,V)をsl(2)の(m+1)次

の 既 約 表 現 と す れ ば,そ

れ は

同 値 に な る.

  証 明   ま ず,Vの

係 数 体 を 代 数 的 閉 体 に ま で,拡

張 し て お い て,ρ(H)の

固

有 値 λ0と 固 有 ベ ク トル υ を と る と

と な る の で,υ,ρ(X)υ,ρ(X)2υ,…,は が っ て 

零 で な い か ぎ り1次

ρ(X)h+1υ=0と

と お け ば こ のe0は

な るhが

原 始 元 に な る.だ

存 在 す る.こ

か ら,(命

とす れ ば,  間 と な る 様 なnが

e0,…,enを し て い る.と

あ る.こ

り) 

そ こ に 制 限 し た と き,そ の こ と は,Vの

選 ん で 上 の 様 な 不 変 部 分 空 間 を(Vの こ ろ でVは

た

で 張 られ る空 間 が 不 変 部 分 空

存 在 す る.ρ(H)を

{n,n-2,n-4,…,-n}で

題1.15よ

独 立 に な る.し の と きe0=ρ(X)hυ

既 約 だ か ら,e0,…,enはVを

の 固有値は

係数体を拡大 し な くて も 中 に)つ

く りうる こ と を 示 張 ら ね ば な ら な い,

つ ま りn=mと

な り,(ρ,V)は(ρm,Wm)と

  補 題1.12 

{e(1),…,e(r)}をsl(2)の

元 の つ く る 集 合 と す る.各

と な る 正 整 数miを

同 値 に な る. ■ 有 限 次 表 現(ρ,V)の1次

し 

独 立 な原 始

につ いて

と り

と お く と, 

は1次

  証 明   命 題1.15の2)か

ら

が 得 られ る こ とに まず 注 意 す る.今,仮

が 存 在 した とし, 

独 立 で あ る.

とな るlの

りに 自明 で な い1次 関 係

最 大 値 をl0と

す る.上

の1次 関係 式 に

ρ(X)l0を 作 用 させ れ ば,

を 用 い て,

を 得 る.こ

れ はe(1)…,e(r)の1次

  補 題1.13 e(1)をsl(2)の

独 立 性 に 矛 盾 す る. ■ 有 限 次 表 現(ρ,V)の

む 最 小 の 不 変 部 分 空 間 とす る.eを 原 始 元eをeの  証明

と す る.

原 始 元,Wをe(1)を

商 ベ ク トル 空 間V/Wの

代 表 元 に と る こ と が で き る.

含

原 始 元 と す れ ば,

と お く と,Wはe(1)0,…,e(1)m1で

張 られ る.し

れ ば

と 書 け る.

で あ る か ら,

と お く と,

を う る.し

たが って

と書 け る.と

こ ろで

で あ る か ら,e(1)lの

係 数 を比 べ て (2+m1+m)μ=0, ν1=ν2=…=νm1=0.

だ か ら,μ=0,よ

って

ρ(H)u=mu+ν0e(1), ρ(X)u=0 を う る.も

し 

な ら

た が っ てeの

代 表 元υ

を1つ

と

と お い て,

と な る か ら,eは と き に は,u自 い い.そ

原 始 元 でeの

代 表 元 と な っ て い る こ と が わ か る.m=m1の

身 が 原 始 元 と な る こ と を 示 そ う.こ

の た め に はν0=0を

示せば

こで ま ず ρ(H)ρ(Y)lu=(m-2l)ρ(Y)lu+ν0ρ(Y)le(1)

を(帰 l+1の

納 法 で)示

そ う.ま

ずl=0の

と き は 成 り立 つ.lの

と き を 仮 定 し て,

と き を 考 え よ う.

し た が っ て 上 式 が 示 さ れ た.こ

の 式 で,l=m+1に

適 用 す れ ば(m1=mと

定 し て い る か ら)

とな る.ρ(H)をWに

制 限 す れば,そ

で あ り,ρ(Y)m+1uはWの

し た が っ てν0=0を   命 題1.17 sl(2)の

の 固 有 値 はm,m-2,…,-m+2,-m

元 だ か ら ρ(Y)m+1u=0.よ

って

得 る.■ 有 限 次 表 現 は 完 全 可 約 で あ る.

  し た が っ て,(ρ1,W1),(ρ2,W2),(ρ3,W3),…

の 直 和 と 同 値 に な る.

仮

  証 明   {e(1),…,e(r)}をsl(2)の

有 限 次 表 現(ρ,V)の1次

集 合 で,極

ついて

大 な も の とす る.各iに

な る 正 整 数miを

 ρ(Y)mi+1e(i)=0と

と り

と お く.e(i)0,…,e(i)miで 張 られ る空 間 をWiと

はVの

不 変 部 分 空 間 に な り(命

(ρmi,Wmi)と

証 明 が 終 わ る.こ

書 け ば(補

題1.15よ

同 値 に な って い る.し

れ ら に ρ(Y)を

独 立 な原 始 元 の

り)ρ

題1.12よ

のWiへ

た が っ てVの

り)

の 制 限(ρ,Wi)は

任 意 の 元 が 原 始 元 お よび そ

何 度 か 作 用 さ せ た も の の 和 と し て 表 わ さ れ る こ と が わ か れ ば, の こ と をVの

  ま ずdimV=2の

次 元 に つ い て の 帰 納 法 で 示 そ う.

と き は,既

約 に な り(ρ1,W1)と

よ り も 次 元 の 低 い 場合 に 成 立 す る と 仮 定 し て,Vの

同 値 に な る か ら い い.V 場 合 を み よ う.V/W1の

1次 独 立 な 原 始 元 の 極 大 集 合 を{f(1),…,f(s)}と

す る と,(補

題1.13よ

り)各

f(i)の 代 表 元 と し て 原 始 元f(i)を

と る こ と が で き る.帰

の 元 はf(1),…,f(s)に

何 度 か 作 用 さ せ た 元 の 和 で表 わ せ る か ら,結

局,Vの

ρ(Y)を

任 意 の 元 が,f(1),…,f(s),e(1)に

ρ(Y)を

納 法 の 仮 定 か らV/W1

何 度 か 作用 させ た 元 の和 と

し て 表 わ せ る こ と が わ か る.■

  §6  Cayley-Sylvesterの

個 数 定理

  6.1 K[ξ]=K[ξ(0),…,ξ(n)]内 ル 空 間 を つ く る が,こ

関 数 の 母 関 数(generating

で あ る.こ

の と き,ま

のd同

れ をVn,d,pと

次p同

重 多 項 式 全 体 はK上

書 く こ と に す る.こ

function)をφ(x,z)と

のベ ク ト

の と きVn,d,pの

す る.つ

次元

ま り

ず 次 の こ と が わ か る.

  補 題1.14  (1.25)

  証 明   定 義 か らVn,d,pの 数 に 等 しい.

次元 は 次 の 連 立1次 方 程 式 の 負 で な い整 数 解 の個

と こ ろ が,こ

の 方 程 式 の 解 の 総 数 は(1.25)の

右 辺 のxpzdの

係数 に ほ か な ら

な い こ と が わ か る.■   次 に,φ(x,z)をzに 書 く.つ

つ い て の 形 式 的 巾 級 数 と み てzdの

係 数 を φd(x)と

ま り

と お く.こ

の と き φd(x)の

具 体 的 表 示 は,次

の 様 に な る.

  補 題1.15  (1.26)

 証 明   dに 関 す る帰 納 法 で示 そ う.ま ず,φ0(x)=1で

を い え ば い い.と

こ ろ でφ(x,z)の

あ るか ら,

定 義 か ら直 ち に

つ ま り (1-xn+1z)φ(x,xz)=(1-z)φ(x,z). こ の 式 で 両 辺 のzdの

係 数 を 比 較 す れ ば,

xdφd(x)-xn+dφd-1(x)=φd(x)-φd-1(x). し た がっ

て,

  以 下 で は,上

の 補 題 を 用 い て,半

す な わ ち 「Cayley-Sylvesterの 題 を1つ

個 数 定 理 」 を 証 明 す る た め の 準 備 と し て,命

つ く っ て お く.

  命 題1.18 

mを

不 変 式 の空 間の 次 元 を 決 定 す るた め の 定 理

正 の整 数 と し

を(n,m,p)-共変 はsl(2)の ∼3)を

式 と す る. 

既 約 表 現(ρm,Wm)の

とおけ ば,{e0,…,em} 標 準 基 底 を 与 える,す

な わ ち 命 題1.15の1)

満たす.

  証 明   ま ずRobertの

定 理 に よ って

した が って

  と こ ろ で,c0(ξ)は(d,p)-半 m=nd-2pを

ま た,共

つ ま り

満 た す 正 整 数),

変 式 の 定 義 か ら,

不 変 式 で あ る こ と に 注 意 す れば(こ

こ でdは

か く し て,命   K[ξ]内

題1.15の1)∼3)は

のd同

満 た さ れ て い る こ と が 示 さ れ た.■

次 多 項 式 の つ く るsl(2)の

表 現 空 間Vn,dの

原始元は

  1) Dφ(ξ)=0,   2) Hφ(ξ)=mφ(ξ)  を 満 た す φ(ξ)∈Vn,dと

(mは

し て 定 義 さ れ る わ け だ か ら,(m+1)-次

空 間 を 生 成 す る こ とが,命 め れば よい が,そ

正 整 数)

題1.18に

元 の既 約 表 現

よ って 明 らか に な った 原 始 元 を す べ て 集

れは こ こに

と な っ て い る こ とが わ か る.   定 理1.3  (Cayley-Sylvesterの

個 数 定 理)  (d,p)-半

不 変 式 の 空 間 

の次 元 は  (1.27)

を 形 式 的 巾級 数 と考 えた と きのxpの

係 数 に 等 しい.(た だ し, 

と

す る.)   証 明 Vn,dの

原 始 元全 体 は

と な っ て い る か ら,Un,dの1次

独 立 な 原 始 元 の 極 大 集 合{φ1,…,φr}は

に,

か ら と り 出 す こ とが で き る.し

を 得 る.ま

だ か ら, 

た 補 題1.12か

た が っ て 命 題1.16,1.17か

ら

に 注 意 し て,

ら

明 らか

し た が って

のxpの

係 数)-(xφd(x)のxpの のxpの

係 数)

係数

のxpの 系(Hermiteの

係 数.■

相 互 律)

(1.28) 証 明   次 の 恒 等 式 に 注 目す れ ば い い.

  §7  不 変 式 環,共

変式 環 の 有 限生 成性

  7.1  不 変 式 環 の 有 限 生 成 性(Gordanの す る の は,Hilbertに は 数 学 で は な い.神 っ て,こ

定 理)を

よ る 歴 史 的 証明 で,こ 学 だ!」

証 明 し よ う.こ

こで 紹 介

の 証 明 を 知 っ たGordanが

「こ れ

と い っ た と伝え られ て い る が,実

う ま で い わ れ る こ と は ま こ と に す ば ら し い こ と で も あ る.と

現 在 で は ご く一 般 的 と な っ た 数 学 の ス タ イ ル が,こ の 導 入 を1つ

と,K[ξ]か こ で,V[m]は,指

のHilbertに

の 契 機 と し て 形 成 さ れ て 行 った こ と は,確

  ま ず 最 初 に,既

い る.

は,数

に 導 入 し たK[ξ]の

ら 直 和 因 子V[m]へ 数mの

学者 に と に か く,

よ る 「神 学 」

か で あ る.

直和分解

の 射 影 作 用 素 π[m]を 思 い 出 し て お こ う.こ

同 次 同 重 多 項 式 で 生 成 さ れ た ベ ク トル 空 間 を 示 し て

  補 題1.16(Hilbert) 

K[ξ]に

作 用 す る微 分 作 用 素

は 次 の 性 質 を 満 た す.   1)  φ がd同

次p同

重 多 項 式 な ら,L(φ)は(d,p)-半

不 変 式.

  2)  φ が 半 不 変 式 な ら,L(φ)=φ.   3)  Φ が 不 変 式 な ら,L(Φ

ψ)=ΦL(ψ),(こ

こ で ψ は 任 意 の 多 項 式.)

  証 明   1)の 証 明 か ら 始 め る.φ

はd同

同 次p同

そ う な る.よ

重.し

m0=nd-2pと

た が っ てL(φ)も お け ば,Dlφ

∈V[m0+2l]と

次p同

重 だ か ら  っ てDL(φ)=0を

な るか ら,補

題1.10を

もd み れ ば い い. 用 いて

[D,Δl]Dlφ=l(m0+2l-l+1)Δl-1Dlφ. この こ とを 利 用 し て

次 に,2)の

証 明.こ

れ はDφ=0に

3)に つ い て は,ind(Φ)=0か

注 意 す れ ば,Lの

ら,任

意 の 

について

Π[m](Φ ψ)=ΦΠ[m]ψ. 更 に,

だか ら DΦ=Δ Φ=0. し た が っ て,任

意 のl, 

について

定 義 か ら 直 ち に わ か る.

これ か ら

  次 の 補 題 は,有

名 なHilbertの

基 底 定 理(base theorem)で

あ る.証

明は代

数 の 教 科 書 に ゆ ず る.   補 題1.17  ル をaと

(Hilbert) 

す れ ば,有

多 項 式 環K[ξ]の

限 個 のSの

部 分 集合Sで

生 成 され た イ デ ア

元 η1,…,ηrが 存 在 し て,

a=K[ξ]・

η1+…+K[ξ]・

ηr

と 書 け る.   定 理1.4  (Gordan)

の 不 変 式 の 全 体 はK[ξ]の   証 明  (Hilbert)  aと

す る と,(補

部 分 環 で,K上

有 限 生 成 で あ る.

定 数 項 の な い 不 変 式 全 体 で 生 成 さ れ たK[ξ]の

題1.17か

ら)同

次 不 変 式 Φ1,…,Φrが

イデアルを

存 在 して

a=K[ξ]Φ1+…+K[ξ]Φr と 書 け る こ とが わ か る か ら,定 K[Φ1,…,Φr]の

理 を 証 明 す る た め に は,任

元 と な っ て い る こ と を み れ ば 十 分 で あ る.こ

次 数 に つ い て の 帰 納 法 を 用 い る.ま 以 下 の(同

次)不

意の同次不変式 Φ が

ずΦ

変 式 がK[Φ1,…,Φr]の

が 次 数0な

の た め に,Φ

ら 自 明,次

の

に(d-1)次

元 で あ る と 仮 定 し,Φ

の 次 数 がd

で あ る と して み る と Φ=φ1Φ1+…+φrΦr と 書 け て い る こ と か ら,こ

の 両 辺 に 微 分 作 用 素Lを

作 用 さ せ て,

Φ=L(Φ)=Φ1L(φ1)+…+ΦrL(φr). Φiの 指 数 は0だ

か ら,同

次 同 重 つ ま り指 数0で 1.16の1)に

よ っ て, 

次 同 重 多 項 式 で あ り,し

あ る.Lが

た が っ て 

は 同

指 数 を 不 変 に す る こ と に 注 意 す れば,補 は 指 数0の

同 次 半 不 変 式,つ

題

ま り同次 不

変 式 と な っ て い る.と

ころ で

し た が っ て 帰 納 法 の 仮 定 か ら Φ はK[Φ1,…,Φr]の   以 上 の 様 に,Hilbertの 証 明 と 比 較 す れ ば,そ を 抽 出 し,証

元 で あ る こ と が わ か る.■

証 明 は 極 め て 明 快 で あ り,Gordanに の 単 純さ は 驚 くべ き も の で あ る.2つ

よ る構 成 的 な の補題1.16,1.17

明 の 論 理 構 造 を 多 項 式 環 の イ デ ア ル の 性 質 へ と結 晶 さ せ た み ご と

な 洞 察 力 に は,感

服 す る ほ か な い.

  7.2  共 変 式 の 環 の 有 限 生 成 性 を 示 す に は,Ω-プ れ る 方 法 が 便 利 で あ る.こ

ロ セ ス(Ω-process)と

呼 ば

こ で は これ を 紹 介 す る.

  変 数 を 成 分 と す る2×2-行

列

に対 して

 (1.29)

で 定 ま る微 分 作用 素,お

よび これ を 作用 さ せ る過 程 をCayleyに

に 関 す るΩ-プ ロ セ ス と呼 ぶ.(n×n-行   命 題1.19  (Ω-プロセ ス の第1法 則)独

したが ってx

列に 対 し て も同様 に 定 義 す る.) 立 な 変 数 を 成 分 とす る2×2-行

列

に対 し て

と お く.そ

の と き任 意 の 多 項 式 Φ(x)=Φ(x11,x12,x21,x22)に

が 成 り立 つ.  (1.30)

  証 明   σ は{1,2}の

置換 として

対 し て次 の こ と

に注意すれ ば

あ と の 関 係 式 も全 く同 様 で あ る. ■   こ の 証 明 の 形 を み れ ば(1.30)が

一 般 のn×n-行

列 に 対 し て も 成 り立 つ こ と

が わ か る.   命 題1.20   (1.31) Ωxdetxp=p(p+1)detxp-1 

(p=1,2,3,…).

 証明

で あ るか ら

  GL(2)は

自然 な 座 標(x11,x12,x21,x22)を

表 現 ρ と はGL(2)か

らm次

も っ て い る.GL(2)のm次

の 一 般 線 型 群GL(m)へ

の 各 行 列 成 分 が そ れ ぞ れx11,x12,x21,x22の あ る.特

に ρ(x)の

有理

の 準 同 型 で,像

ρ(x)

有 理 式 に な って い る もの の こ とで

各 成 分 が 多 項 式 と な っ て い る と き,ρ

をm次

の多項式表

現 と 呼 ぶ.   補 題1.18 

GL(2)の1次

の 多項 式 表 現 は 対 応 x→detxp

に よ っ て す べ て 得 ら れ る.こ   証 明   ρ を1次

こ にpは

負 で な い 整 数.

の 多 項 式 表 現 と し,ρ(x)の

と,g(x)=(detx)dρ(x-1)は

多 項 式 と し て の 次 数 をdと

多 項 式 に な る.ρ(x)ρ(x-1)=ρ(1)=1で

す る あ るか

ら ρ(x)g(x)=(detx)d.ま で

ρ(x)=c(detx)pと

x=1と

たdetx=x11x22-x12x21は な る 負 で な い 整 数pと

お く と,c=1,よ

  補 題1.19 

定 数cが

っ て ρ(x)=detxpと

GL(2)の(n+1)次

既 約 多 項 式 であ る の 存 在 す る.と

ころ が

な る こ と が わ か る . ■

有 理 表 現 ρ に 対 して ρ(x)=detxmρ(x)

がGL(2)の

多 項 式 表 現 と な る 様 な 負 で な い 整 数mが

  証 明   多 項 式 環K[x11,x12,x21,X22]の

元 に つ い て は,定 数 倍 を の ぞ い て 既 約

多 項 式 の 積 に よ る 一 意 的 な 分 解 が 可 能 だ か ら,ρ(x)の で あ る と 考 え て よ い.q(x)は x21,x22]上

分 母 因 子 は 多 項 式q(x)

定 数 倍 を 除 い て 一 意 に 定 ま る.yをK[x11,x12,

に 独 立 な 成 分 を もつ2×2-行

ら,ρ(xy),ρ(x),ρ(y)そ λq(xy)=q(x)q(y)の

存 在 す る.

列 とす れ ば

の 分 母 因 子 の 間 に は,零 関 係 が 成 り立 つ .q(x)の

ρ(xy)=ρ(x)ρ(y)だ

か

で な い定 数 λが存 在 し て

か わ りにq(x)=λp(x)を

用

い れ ば,p(xy)=p(x)p(y)と

な りpはGL(2)の1次

の 多項 式 表 現 とな り

し た が っ て 負 で な い 整 数mが

存 在 し てp(x)=detxmと

な る.ρ(x)=detxm

・ρ(x)と

お け ば ρ は 多項 式表 現 とな

  命 題1.21  xmを

(Ω-プ ロ セ ス の 第2法

そ の 上 の 座 標 関 数 と す る.ρ

をx1,…,xmの

っ て い る. ■

則)Vをm次 をVに

元 の ベ ク トル 空 間,x1,…, 作 用 す るGL(2)の

多 項 式 と し,detsqA(ρ(s)x)がsの

る様 に 負 で な い 整 数qを

と る.rを

,

有理表現

,A(x)

成 分 に つ い て 多項 式 とな

負 で な い 整 数 と して

I(x)=Ωrs(detsqA(ρ(s)x))￨s=0 とお け ば,I(x)=0(q>r)か   (1.32) 

つ

I(ρ(s)x)=detsr-qI(x) 

(s∈GL(2)).

 証明 A(ρ(s)x)=G(s,x), 

detsqG(s,x)=K(s

,x)

とお く と, A(ρ(st)x)=G(st,x)=G(s,ρ(t)x). これ にdet(st)qを

かけ る と

す な わ ちK(st,x)=dettqK(s,ρ(t)x).仮

定 よ りK(s,x)はsの

て 多 項 式 で あ る か ら,Ω-プ

則 が 適用 で き

ロ セ ス の 第1法

成分 に つ い

す な わ ち 

こ の 式 の 両 辺 にs=0を

す る と,I(ρ(t)x)=dettr-qI(x)が I(x)=0. 

得 ら れ る.I(x)の

代 入

定 義 よ りq>rな

らば

■

  共 変 式 の 環 の 有 限 生 成 性 を 証 明 す る に は,非 数x0,x1を

用 い た 方 が よ い.(n+3)-次

同 次 変 数zの

かわ

りに同次変

元 の ベ ク トル 空 間 の 座 標 を

(ξ;x0,x1)=(ξ(0),…,ξ(n),x0,x1), GL(2)の

作用 を ρ(s)(ξ;x0,x1)=(ρn(s)ξ;(x0,x1)s-1) 

で き め る と,ρ

はGL(2)の(n+3)-次

の 多 項 式F(ξ;z)とx0,x1に

(s∈GL(2))

の 有 理 表 現 に な る.zに つ い てm次

つ い てm次

同 次 多 項 式F(ξ;x0,x1)が

F(ξ;x0,x1)=x0mF(ξ;z) な る 関 係 で 対 応 す る.し い てm次

た が っ て 指 数m,重

さpの

同 次 のK([ξ(0),…,ξ(n),x0,x1]の

共 変 式 に はx0,x1に

F(ρn(s)ξ;(x0,x1)s-1)=detspF(ξ;x0,x1)  を 満 た す も の が 対 応 す る.こ

つ

元F(ξ;x0,x1)で

のF(ξ;x0,x1)も

(s∈GL(2)) 指 数m,重

さpの

共変式 と

呼 ぶ こ と に し よ う.   定 理1.5 の 共 変 式 の 全 体 はK[ξ,z]の

部 分 環 で,K上

  証 明   非 同 次 変 数zの

か わ りに,同

中 で 考 え る.ξ(0),…,ξ(n),x0,x1を と 呼 ぶ こ とに し よ う.定 イ デ ア ル をaと

数mi,重

用 い てK[ξ,x0,x1]の 元 の み か らな る項 を 定 数 項

数 項 の な い 共 変 式 全 体 で 生 成 さ れ たK[ξ,x0,x1]の

す る と, 

さpiの

次 変 数x0,x1を

含 ま な い,Kの

で あ り,か

同 次 イ デ ア ル で あ る ば か りで な く,重 で,指

有 限 生 成 で あ る.

つaはx0,x1に

つ いて

さに つ い て も 同重 の イ デ ア ル で あ る の

共 変 式Φi(ξ;x0,x1) 

が存在 して

α=K[ξ,X0,X1]Φ1+…+K[ξ,x0,x1]Φr と 書 け る.定

理 を 証 明 す る た め に は,指

と き 常 にK[Φ1,…,Φr]に ば よ い.こ

数m,重

さpの

共 変 式 Φ を と った

含 まれ る こ と を Φ の次 数 につ い て の 帰納 法 で 示 せ

こ に 次 数 と は ξ(0),…,ξ(n),x0,x1に

つ い て の次 数 を 意味 す る もの と

す る.次

数 零 の 定 数 項 を も た な い 共 変 式 は 零 し か な い か ら 次 数d=0の

よ い.次

数 が 高 々d-1のaに

と 仮 定 し よ う.Φ  

含 まれ る 共 変 式 はK[Φ1,…,Φr]に

をd次

の 次 数 は1以

のaに

含 ま れ る 共 変 式 で 重 さ がpの

上 で あ る の で(d-1)-次

と きは 含 ま れ る

も の と す る.

以 下 の 多 項 式Aiξ;x0,x1)

 が 存 在 し て

と書 け る.両

辺 にs∈GL(2)を

作用 さ せ て

適 当 に 大 き な 負 で な い 整 数lを

と っ て,す

べ て の 

につい て

detspi+lAi(ρn(s)ξ;(x0,x1)s-1) がsの

成 分 の 多 項 式 に な る よ う に す る.両

辺 にdetslを

か け て お い てΩsp+u

を 作用 さ せ る と

s=0を

代 入して

こ こに

重 さ は 正 で あ る か ら,Ii(ξ;x0,x1)は 式 と 考 え て よ い.帰 し た が ってΦ

納 法 の 仮 定 よ り 

はK[Φ1,…,Φr]の

  Ω-プ ロ セ ス の 第1,第2法 の で,一

次 数d-1以

般 線 型 群GL(r)に

下 の 重 さ  はK[Φ1,…,Φr]の

の共変 元 で あ る.

元 で あ る. ■

則 はr×r-行 つ い て,い

列 に 対 し て も 成 り立 つ こ とが わ か る くつ か の 形 式

に 対 す る不 変 式 環,共 変 式 環 に 対 し て も,そ の有 限 生 成 性 が上 と同様 に証 明 で き る.こ こに

  §8  記 号 的 方 法(symbolic

method)

  8.1  偏 極 作 用 素(polarization)に (x0,x1)に

は,ξ=(ξ(0),…,ξ(n))に

関 係 す る も の が あ る.新

し い 独立 変 数 の組

関 係 す る も の と,

η=(η(0),…,η(n))に

対

し て微 分 作 用 素

を 組(η,ξ)に

関 す る 偏 極 作 用 素(polarization)と

す る 偏 極 作 用 素 も,新

で 定 義 す る.偏

し い 変 数 の 組(y0,y1)を

極 作 用 素 は 同 次 多 項 式 を 多 重1次

呼 ぶ.変

数(x0,x1)に

と り

形 式 に 変 換 す る の に 用 い る.

次 に 可 算 個 の 記 号 の 組 α=(α10,α11),α2=(α20,α21),α3=(α30,α31),… し,次

を用 意

の 様 な 計 算 規 則 を 定 め る.

  規 則1  がn以

関係

α10,α11,α20,α21,… の 単 項 式 は 各iに

下 の と き の み 考 え,そ

な 単 項 式 の1次   規 則2 

つ いて

αi0,αi1に 関 す る 次 数

れ 以 外 の も の は 取 り扱 わ な い.多

項 式 も この 様

結 合 と な っ て い る も の の み を 考 え る.

ξ(l)=αi0n-lαi1l 

 記号

(l=0,1,2,…,n;i=1,2,3,…).  

  この 様 な計 算 規 則 や略 記法 を 利 用 す るの が,い わ ゆ る記 号的 方 法 と呼 ば れ て い る もの で あ る.   この 記 号 法 に よれ ば基 本 に な るn次

形 式f(ξ￨x0,x1)は

と表 わ され る.簡 単 な半 不 変 式 の 記 号 的 表 示 の 例 を 示 そ う.  ⅰ )

 ⅱ )

 基 本n次

形 式f(ξ￨x0,x1)の

高次微分は

 偏極作用素 の作用は

こ の こ と に 注 意 す れ ば,共

変 式Hessianは

次 の表 示 を もつ こ とが わ か る.

 ⅲ )

  8.2  1次 変 換 の 記 号 的 表 示 へ の 作 用 を し ら べ て み る.   補 題1.20 

β0=(β00,β01),β1=(β10,β11)と

  (1.33) した が って   (1.34) と お い て よ い.  証 明

お くと

  補 題1.21  (1.35)  (1.36)

 証明 と お け ば 補 題1.20よ

り

  命 題1.22  負で な い 整 数 

がすべ ての

 に対 し て

を満 たす と き

は指数  さpの

の 共 変 式 で あ る.r1=…=rN=0の

重 さ 

とき は重

不 変 式 で あ る.

  証 明   す べ て のjに

対 し て,αj0,αj1に

規 則2に

よ っ て,上

のm次

同 次 多 項 式 で あ る.ま

とな り,指 数m,重

つ い てn次

同 次 多 項 式 で あ る の で,

の 記 号 的 表 示 は ξ(0),…,ξ(n)の 多 項 式 を 係 数 と す るx0,x1

さpの

た 補 題1.21よ

り

共 変 式 に な る こ とを 示 す. ■

  ここ でひ とまず 記 号 的 方 法 そ の もの の説 明 を 中断 して,前 セ ス との関 係 を述 べ て お こ う.

に 用 いたΩ-プ ロ

  補 題1.22

 (1.37)

 証明

  命 題1.23 

N個

の 変 数 の 組x(1)=(x0(1),x1(1)),…,x(N)=(x0(N),x1(N))を

と り

とお く, 

を 負 で ない 整 数 で,す べ て のjに

て

を満 た す もの とす る.そ の と き  (1.38)

  証 明   補 題1.22よ

り

これ を 何 回 も用 い れ ば

こ れ にx(1)=…=x(N)=xを

 系

代 入 し て(1.38)を

得 る.  ■

対し

は指数 

の 共 変 式 で あ る.

重 さ 

 この 系 の 証 明 は 直 接 次 の 補題 か ら も得 られ る.  補 題1.23

とお け ば Ωy=detσΩx.   証 明 (xi0,xi1)σ-1=(yi0,yi1) か ら

が得 られ る の で,行 列式 を と って Ωy=detσ Ωxを 得 る. ■  命 題1.22に

よ り共 変 式 を 構 成 す る 方法 が 与 え られ た が,実 は す べ て の 共 変

式 は そ の様 に して つ くられ た もの の1次 結 合 で 表 わ され るの で あ る.   定理1.6  (記号 的 方 法 の基 本 定 理)指

数m,重

さpの

の の1次 結 合 とし て 表 わ され る.

こ こ に 

また す べ て のjに

ついて

ま た はn.   証 明   β00,β01,β10,β11を

と お く.

であるか ら

変数 と し

共 変 式 は 次 の様 な も

基 本n次

形 式 を 

と 表 わ さ れ る.指

と書 い た と き,補

数m,重

F(ξ;x)がx0,x1に u1の

共 変 式F(ξ;x)を

つ い てm次

表 示 を 用 い れ ば,規

と 書 き 表 わ さ れ る.よ

Gの

さpの

期1を

題1.20よ

任 意 に1つ

り

と る と,

の 同 次 多 項 式 で あ る こ と に 注 意 し,上 満 た す 多 項 式Gが

のu0,

あ って

って

単項 式

に

を 作 用 させ れ ば,

で あ る の で,補題1.22よ

り

その像は

の 様 な 形 の 項 の1次 m1′=m2′=0と

結 合 と な る.こ

な る項 の 前 の 部 分

こで

β0=(0,0),β1=(0,0)と

お け ば,

の1次

結 合 と な る.一

方 命 題1.20よ

り

Ω σp+mdetσp+m=((p+m)!)2(p+m+1)

で あ り,

で あ る か ら,F(ξ;x)は Π[αi,αj]rijΠ((αi,x))ri

の形 の項 の1次 結 合 に な る.GL(2)の また す べ て のjに

作 用 を 比 較 す れ ば, 

つい て ま た はn

が わ か る.■   こ の基 本 定 理 は 確 か に す ば ら しい.し か し共 変 式 の 表 示 が 一 意 的 で な い とい う弱 点 が あ る.次 の 命 題 は この こ とを 示 し てい る.   命 題1.24  (1.39)   (1.40)  証 明

(1.39)式

で(x0,x1)=(δ1-δ0)と

お け ば, 

で あ る か ら,(1.40)を

得 る.■

  半 不 変 式 は あ る 共 変 式 に(x0,x1)=(1,0)を

代 入 し て 得 ら れ る か ら,基

本定

理 の 系 と し て 次 の 半 不 変 式 の 表 示 を 得 る.   命 題1.25 

指 数m,重

さpの

半 不 変 式 は 次 の 様 な も の の1次

結合 と し て

表 わ さ れ る.   (1.41)

また す べ てのjに

こ こに 

ついて

ま た はn. 逆 にri,rijの

間 に こ れ ら の 関 係 の あ る,表

示(1.41)は

指 数m,重

さpの

半

不 変 式 で あ る.   証 明   命 題1.22と

  §9  零 形 式,不   9.1  基 本n次

定 理1.6よ

り,直

変 式 代 数 多 様 体,共

ち に 出 る.■

変 式 代 数 多様 体

の定数 項 の な い不 変 式 全

形 式 

体 か ら 生 成 さ れ るK[ξ(0),…,ξ(n)]の

イ デ ア ル をaで

がイ デ ア ルaの

 定 義1.7  n次 形 式  の 元 φ(ξ(0),…,ξ(n)に (null-form)と   補 題1.24  n=2rま

すべ て

満 た す と き,n次

零形式

呼 ぶ. 不 変 式 の 各 項 は ξ(0),…,ξ(r)の い ず れ か を 必 ず 含 む.(こ

同 次,重

に つ い て,cl0,…,  を 示 せ ば よ い.指

と な る.今

対 し て φ(a(0),…,a(n))=0を

た はn=2r+1と

  証 明   d次

表 わ す.

こに

す る.) さpの

不変式

な ら ばl0,…,lrの 数 公 式 よ りnd=2pで

仮 りにl0=l1=…=lr=0と

中 の 少 な く と も1つ

は零でない こ と

あ るか ら

す れ ば,n=2rま

た は2r+1で

あ るか

ら (n=2rの

(n=2r+1の

とな って矛 盾 で あ る.■

と き)

と き)

  命 題1.26(Cayley) 

n次

子 を も て ば,f(a￨x0,x1)は

形 式f(a￨x0,x1)が

重 複 度r+1以

零 形 式 で あ る.(こ

こ にn=2rま

上 の1次

因

た はn=2r+1

とす る.)   証明 f(a￨x0,x1)=(c0x0+c1x1)r+1g(a;x0,x1) と せ よ.b0,b1を

選 ん で 

と お き,(x0,x1)の

と し,(y0,y1)=(b0x0+b1x1,c0x0+c1x1)

か わ り に(y0,y1)を

用 い て

f(a￨x0,x1)=(c0x0+c1x1)r+1g(a;x0,x1)=y1r+1h(a;y0,y1) と 表 わ さ れ る.よ

って

これ は 

と 表 わ す と,b(0)=…=b(r)=0を

し て い る.従

っ て 前 の 補 題 よ り,定

数 項 の な い 重 さpの

示

不 変 式 φ(ξ)に 対 し て

φ(a)=detσ-pφ(ρn(σ)a)=0. こ れ はf(a￨x0,x1)が

  9.2  命 題1.26の Hilbertに

零 形 式 で あ る こ と を 示 す.■

条 件 は 零 形 式 で あ る た め の 必 要 条 件 で も あ る.そ

従 っ て 示 そ う.こ

れ に は 終 結 式 が 利 用 さ れ る.m1次

の 同 次 多項 式

を と り,

と分 解 した とき

をF(a;x0,x1)とG(b;x0,x1)の

終 結 式(resultant)と

い う.

れ を

お よ びm2次

  F(a;x0,1)=G(a;x0,1)=0に =0と

共 通 根 が 存 在 す る 必 要 十 分 条 件 はR(F,G)

な る こ とで あ る.

を 指 数mの 共 変 式 とす れ ば

  補 題1.25   (1.42)  (1.43)    証 明   Robertの

定 理 よ り,a(0)(ξ)は

指 数mの

半 不 変 式 で あ り,

よっ て

ま た 補題1.10よ

り

よ って

  補 題1.26 

F1(ξ;x0,x1),F2(ξ;x0,x1)を

と す る と き,そ

の 終 結 式R(F1,F2)(ξ)は

  証 明 f1(ξ1￨x0,x1),f2(ξ2￨x0,x1)を m2次

そ れ ぞ れ 指 数m1,m2の

共変式

不 変 式 で あ る. そ れ ぞ れ 変 数 係 数 のm1次

形 式 お よび

形 式 とす る.

と お け ば,Fi(ξ;x0,x1)=fi(ai(ξ)￨x0,x1)(i=1,2)と の 命 題2.2で

述 べ る 次 の こ と を 使 う.終

f2(ξ2￨x0,x1)の 作 用 素 をDi,Δiと

同 次 不 変 式 で あ る.す す れ ば,

表 わ さ れ る.次

に 第2章

結 式R(f1,f2)(ξ1,ξ2)はf1(ξ1￨x0,x1), な わ ちD,Δ

に 対 応 す る ξiに 関 係 し た

また R(F1,F2)(ξ)=R(f1,f2)(a1(ξ),a2(ξ)) で あ る か ら,前

の 補 題 よ り

こ れ はR(F1,F2)(ξ)がSL(2)の x0,x1)の

元 で 不 変 に な る こ と を 示 す,す

不 変 式 で あ る.■

  定 理1.7(Cayley-Hilbert) 

n次

必 要 十 分 条 件 は,f(a￨x0,x1)が重 る.(こ

な わ ちf(ξ￨

こ にn=2rま

形 式f(a￨x0,x1)が 複 度r+1以

た は2r+1と

零 形 式 で あ るた め の

上 の1次因

子 を もつ こ と で あ

す る.)

  証 明   十 分 条 件 で あ る こ と は 既 に 証 明 し た.必

と お け ば,ck(ξ)は

§4で

次 半 不 変 極(2k-th

apolar)A2k(f,f)に

要 で あ る こ と を 示 そ う.

定 義 し たf(ξ￨x0,x1)とf(ξ￨x0,x1)自

身 と の2k-

ほ か な らな い か ら指 数 が

mk=2n-2・2k=2(n-2k) で 与 え ら れ る 半 不 変 式 で あ る.(直 接 計 算 し て もDck(ξ)=0,Hck(ξ)=mkck(ξ)は 容 易 に わ か る.)

をck(ξ)に

対 応 す る指 数mkの

と し,λ1,…,λrを

共 変 式 とす る.mをm1,…,mの

不 定 係 数 とし て

最小公倍数

とお けばU(ξ;x0,x1)は U(ξ;x0,x1)の

指 数mの

共 変 式 に な る.n次

終 結 式R(f,U)(ξ)を

そ こ でf(a￨x0,x1)が

つ くれ ば,前

の 補 題 よ り不 変 式 に な る .

零 形 式 で あ る と 仮 定 す る.R(f,U)(ξ)の

か ら,R(f,U)(a)=0が

わ か る.こ

定数項 はない

れ はf(a￨x0,x1)とU(a;x0,x1)が1次

式 を 共 有 す る こ と を 示 す.λ1,…,λrは

不 定 係 数 で あ る の で,こ

f(a￨x0,x1),F1(a;x0,x1),…,Fr(a;x0,x1)が1次 す.GL(2)の

形 式f(ξ￨x0,x1)と

の こ と は,

因 子 を 共 有 す る こ とを 示

適 当 な 元 を 作 用 さ せ て お い て,そ

の 共 有1次

と し て よ い.f(a￨x0,x1), 

因 子 はx1で

はx0だ

あ る

け の 項 を もた な

いので

ck(a)=0よ

り

し た が っ てa(0)=0よ

り始 め て,順

々 にa(1)=…=a(k)=0と

な る.こ

れは

f(a￨x0,x1)=x1r+1g(a;x0,x1) と 書 け る.つ

ま りf(a￨x0,x1)の1次

因 子x1の

重 複 度 がr+1以

上である こ

零 で な い 整 数 の 組 と し た と き,N+1次

元 ア フ ァ

と を 示 す.■

  9.3  ま ず 重 さ つ き 射 影 空 間 を 説 明 し よ う.   定 義1.8 

(p0,…,pN)を

イ ン 空 間(affine

space)AN+1の

に よ る 商 空 間 を 重 さ(p0,…,pN)-つ と い う.(X0,…,XN)を

で 定 め る.同

次 元 射 影 空 間Pnの

f(ξ￨x0,x1)の

き 射 影 空 間(weighted

同 次 座 標 と 呼 び,各Xlの

次 座 標 環K[X0,…,XN]は

多 項 式 環 で あ る.基

数 体Kに

同値 関 係

本n次

不 変 式 の 全 体 はK上

の 重 さ(p0,…,pN)-つ

き

係 数 の 組(ξ(0),…,ξ(n))をn

同 次 座 標 と考え る.Gordanの

係 数 を も つ 同 重 な(isobaric)不

space)

重 さを

係 数 体K上

形 式f(ξ￨x0,x1)の

projective

変式

有 限 生 成 性 定 理 よ り,係 Φ0(ξ),…,ΦN(ξ)が

に 生 成 さ れ た 環K[Φ0,…,ΦN]に

選 べ て, 一 致 す る.

と お け ば,指 次di次

数 公 式 よ り 

で あ る か ら Φi(ξ)は ξ の 同

式 で も あ る.K[ξ(0),…,ξ(N)]の同

(Φ0,…,ΦN)に

対 応 す るPNの

次 イ デ ア ル(homogeneous ideal)

中 の 代 数 多 様 体(algebraic

次 零 形 式 の つ く る 代 数 多 様 体 で あ る.  影 空 間 を 表 わせ ば,多

variety)Wnはn

で 重 さ(p0,…,pN)-つ

き 射

項式写像

(ξ(0),…,ξ(n))→Φ(ξ(0),…,ξ(n))=(Φ0(ξ),…,ΦN(ξ)) はPn-Wnか ΦNは

ら 

の 中 へ の 正 則 写 像(regular

map)に

同 重 多 項 式 で あ る の で,F(Φ0(ξ),…,ΦN(ξ))=0を

…,XN)の ideal)に

つ く るK[X0 な る,す

,…,XN]の

イ デ ア ル〓

満 た す 多 項 式F(X0,

は 同 重 イ デ ア ル(isobaric

なわち

こ こに〓p={F￨Fはp重

同 重 な〓

の 元}を 示 す 。 よ っ て 同 重 イ デ ア ル〓 に は

 の 中 の 代 数 多 様 体 が 対 応 す る.こ variety

な る.Φ0,…,

of invariants)と

呼 ぶ.生

れ を 不 変 式 代 数 多 様 体(algebraic

成 示 Φ0(ξ),…,ΦN(ξ)の

選 び方 に よら な い

定 義は Proj(K[Φ0(ξ),…,ΦN(ξ)]) で 与 え ら れ る,Projの

定 義 は 代 数 幾 何 の 教 科 書 を 参 照 さ れ た い.次

代 数 多 様 体 を 定 義 す る.共 Kに

変 式 環 も 有 限 生 成 で あ る か ら,同

係 数 を もつ 共 変 式F0(ξ;x0,x1),…,FM(ξ;x0,x1)が

も つ 共 変 式 の 全 体 はK[F0(ξ;x0,x1),…,FM(ξ;x0,x1]と

と お け ば,指 い てdi次

数 公 式 

(-1,-1)-つ

あ っ てKに

よ りFi(ξ;x0,x1)は

き 射 影 空 間P1(-1,-1)の

  Pn×P1(-1,-1)の

重 同指 数 の 係数 体

同 次 座 標 環 をK[x0,x1]と

項 式写 像

(ξ(0),…,ξ(n),x0,x1)→(F0(ξ;x0,x1),…,FM(ξ;x0,x1)) は Pn×P1(-1,-1)-Wn

ξ に つ お

イ デ ア ル(F0(ξ;x),…,FM(ξ;x))に 中 の 代 数 多 様 体 と す れ ば,多

係数 を

一 致 す る.

の 同 次 式 に な る.weight(x0)=weight(x1)=-1と

K[ξ(0),…,ξ(N),x0,x1]の

に共変式

き,重

す る.Wnを 対 応 す る.

さ

   

か ら 

の 中 へ の 正 則 写 像 で あ る.F0(ξ;x0,x1),…,FM(ξ;x0,x1)は

同 重 多 項 式 で あ る の で,G(F0(ξ;x0,x1),…,FM(ξ;x0,x1))=0を 式G(X0,…,XM)の

つ く るK[X0,…,XM]の

満 た す 多項

イ デ ア ル は 同 重 イ デ ア ル に な り,

 の 中 の 代 数 多 様 体 が 対 応 す る.こ れ を 共 変 式 代 数 多 様 体(algebraric variety

of covariants)と

呼 ぶ.生

成 元F0(ξ;x0,x1),…,FM(ξ;x0,x1)の

選

び 方 に よ らな い 定 義 は Proj(K[F0(ξ;x0,x1),…,FM(ξ;x0,x1)]) で 与 え ら れ る.   不 変 式 代 数 多 様 体,共

変 式 代 数 多 様 体 を 具 体 的 に 表 示 す る こ と は,Cayley

以 来 の 問 題 で あ る が,nが

増 す と急 速 に 計 算 が 複 雑 に な る の でnの

極く 小 さ

い と き 以 外 は わ か っ て い な い.

  9.4  自 明 で な い 場 合 の 共 変 式 代 数 多 様 体 の 例 を 示 そ う.   3次 形 式(cubic

from)の

場 合.典

型 的 共 変 式 と思 わ れ る もの を あ げ る と

  1° f=ξ(0)x03+3ξ(1)x02x1+3ξ(2)x0x12+ξ(3)x13.   2° fのHessian

3° fとhのJacobian

4° 判 別 式

  Cayleyに

よ っ て 得 ら れ た 次 の 結 果 は 不 変 式 論 の 最 初 の 一里 塚 で あ っ た.そ

の 証 明 の た め の 工 夫 と し て,Cayley-Sylvesterの

個 数 定理―sl(2)の

表 現論

の 原 型 を 見 出 し た わ け で あ る.   定 理1.8(Cayley)  で 生 成 さ れ る.そ

の 共 変 式 環 はf,h,j,d

3次 形 式  れ らの 間 の 関 係 は j2=f2d-4h3

で 与 え ら れ る.こ

こにhはfのHessian, jはfとhのJacobian,

dはf

の 判 別 式 で あ る.   証 明 に 入 る 前 にCayley-Sylvesterの個 式 的 巾 級 数h(x)のxpの

係 数 をh(x)￨pで

  N(n,r,p)=dim(ξ   A(n,r)=dim(ξ

数 定 理 を 思 い 出 し て お こ う.xの

に つ い てr次,重 に つ い てr次

形

示 し, さpの

共 変 式 の ベ ク トル 空 間),

の 共 変 式 の ベ ク トル 空 間)

と お け ば,

(nrが

(nrが

  定 理1.8の を 含 む.よ

証 明  f(ξ;1,0)=ξ(0),h(ξ;1,0)=ξ(0)ξ(2)-ξ(1)2,ま っ てf(ξ;1,0),h(ξ;1,0),dは

た が っ てf,h,dはK上 て の 次 数6,重

よ って定 数

係 数 体K上

代 数 的 独 立 で あ る.上

さ6の

共 変 式 と し てj2,f2d,h3が

は1次

あ る.個

た 上 の 表 を み れ ば 

独 立 で あ る.一

方

ξ(3)

に あ げ た 表 に よれ ば ξ に つ い

j2=λf2d+μh3

fαhβdγ,fαhβdγj 

奇 数).

代 数 的 独 立 で あ る.し

λ,μ が あ っ て

と 表 わ さ れ る.ま

たdは

偶 数)

よ って (α,β,γ=0,1,2,…)

数定理 よ り

し た が っ て ξ に つ い て の 次 数 がrのK[f,h,d,j]の

元 の つ くる ベ ク トル 空

間 の次 元 は

で 与 え ら れ る.よ

 ⅰ )  r=2sの

っ て い うべ き こ と は

場 合.左

辺 を計 算 す る と

右辺 を 計 算 す る と

各項 は

し た が って右 辺 は 

と な り左 辺 と等 し い.

ⅱ)r=2s+1の

場 合.

を い え ば よい.左 辺 か ら計 算 す る と

右辺を計算す ると

第1項 は

第2項 は

し た が って 右辺 は 

と な り左 辺 と 等 し い.

  最 後 にj2=λf2d+μh3の し て λ=1,μ=-4を

両 辺 の ξ(3)2ξ(0)2x16お よ び

ξ(2)6x16の 係 数 を 比 較

得 る.■

  系   3次 形 式 の 不 変 式 は 判 別 式 の 多 項 式 と し て 一 意 的 に 表 わ さ れ る.   証 明   定 理1.8か

ら も 出 る が,次

の よ う な 直 接 の 証 明 も あ る.指

共 変 式 の 重 さpと

ξ に つ い て の 次 数rの

間 に は 等 式3r-2p=0が

数公式 よ り 成 り立

つ.よ

っ てr=2s,p=3sと

お い て

を し ら べ れ ば よ い.第1項

は

第2項 は

よ って

(sが 偶 数) (sが 奇 数) 一 方 判 別 式dはs=2に K[d]と

対 応 す る.dは

超 越 元 で あ る か ら これ は不 変 式 環 が

一致 す る こ とを 示 す.■

  4次 形 式 の 場 合,典 型 的 と思 わ れ る共 変 式 を あ げ て み る と,   10

  20  fのHessian

  30  fとhのJacobian

  40  fとfの4次

の 半 不 変 極(4-th

apolar)

P=ξ(0)ξ(4)-4ξ(1)ξ(3)+3ξ(1)2,

  50  Hamkel

determinant

 ξ(1)=0,x0=1,x1=0と

お く とf,h,P,Qは

とな り,係 数 体K上

代 数 的 独 立 に な る.よ

そ れ ぞ れ

ってf,h,P,QはK上

立 で あ る.ま た 上 の表 か ら 

した が って 定 数

代数的独

一方個数定理 より

λ,μ,ν が あ っ て j2=λf3Q+μf2hP+νh3

と な る.fαhβPγQδ,fαhβPγQδj(α,β,γ,δ=0,1,2,…)は1次

で あ る か ら,ξ

に つ い て 次 数 がrのK[f,h,P,Q,j]の

独 立 で あ り,

元 の つ く る ベ ク トル 空

間 の次 元 は

で 与 え られ る.こ れ が

に 等 しい こ とが わ か れ ばK[f,h,P,Q,j]と え る.計 算 す る と

共 変 式 の 全 体 が 一 致 す る こ とが い

よ っ て 共 変 式 の 全 体 はK[f,h,P,Q,j]と

一 致 す る.ま

た 係 数 を比 較 し て

j2=-f3Q+f2hP-4h3. し た が っ て 次 の 定 理 を 得 る.  定 理1.9 

(Cayley) 

で 生 成 さ れ る.そ

4次 形 式 

の 共 変 式 はf,h,j,P,Q

れ らの 間 の関 係 は j2=-f3Q+f2hP-4h3

で 与え られ る.こ

こ にhはfのHessian,jはfとhのJacobian

で あ る.

 系1. 

4次 形 式 の不 変 式 は 代 数的 独 立 な 上 の2つ の 不 変 式P,Qの

多項式 で

あ る.   5次 形 式 の 不 変 式 の 場 合.指

を計 算す れ ば い い.第1項

は

数 公 式5r=2pよ

り,r=2s,p=5sと

お い て,

第2項 は

第3項 は

よ って

r=2s,p=5sと

お く と

 (1.44)

この 式 よ り次 の 結 果 が 出 る.  定 理1.10(Cayley-Gordan)  い て,そ

には,ξに

5次 形 式 

れ ぞ れ4,8,12,18次

の 不 変 式I4,I8,I12,I18が

あ っ て,そ

れ らは不 変 式

環 の 生 成 元 に な る.I4,I8,I12は

代 数 的 に 独 立 で あ り,I182はI4,I8,I12の

式 で あ る が,I18はI4,I8,I12の

多 項 式 で な い.

  CayleyはI4,I8,I12,I18お I4,I18の

よび そ れ ら の間 の関 係 を 具 体 的 に

決 め

選 び 方 は 定 数 倍 を 除 い て 一 意 的 で あ る け れ ど も,I8,I12に

の 選 び 方 が あ る.例   適 当 にI4,I8,I12,I18を

つ

多項

て い

る.

は い ろ い ろ

え ばI8+λI42,I12+μI43+νI4I8. 選 べ は そ の 間 の 関 係 は

 (1.45)

で与え

ら れ る.

  6次 形 式 の 不 変 式 の 場 合.指 算す る と

数 公 式6r=2pよ

りp=3r.N(6,r,3r)を

計

と な る こ と が わ か る.よ

って

  定 理1.11(Clebsch-Gordan)  い て そ れ ぞ れ 次 数 が2,4,6,10,15の

不 変 式I2,I4,I6,I10,I15が

は 不 変 式 環 を 生 成 す る.I2,I4,I6,I10は I10の

代 数 的に

多 項 式 で あ る が,I15はI2,I4,I6,I10多

  具 体 的 にI2,I4,I6,I10,I15を 30次

の 多 項 式Gを

には ξに つ

6次 形 式 

構 成 し,そ

れ ら

独 立 で あ り,I152はI2,I4,I6,

項 式 で な い. れ らの 間 の 関係 は具 体 的 に与 え う る

用 い て I152=G(I2,I4,I6,I10)

で 与 え ら れ る こ と が わ か っ て い る.

あ っ て,そ

 第2章  形式的1変 数 巾級数 の半不変式,共 変式

 2項 係 数 の 概 念 を 拡 張 してuが

複 素 数 の場 合に も

と定 義 す る.ま た,以 下 で は 複 素 数 の 組w=(w1,w2,…,wN)とN組 元  しwrが

の不 定

を 固 定 す る.(た だ 零 また は 自然 数 の と きは ξr(wr+l)=0 

と約 束 す る.)

  基 礎 に お く形 式 的 巾級 数 を

と す れ ば,￨1-δ￨