Волновые движения сплошных сред. Сборник задач: Учебное пособие

НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА

С.В. СУХИНИН

ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНЫХ СРЕД СБОРНИК ЗАДАЧ

Учебное пособие

Новосибирск 2001

Правила выбора задач для индивидуального задания Алгоритм выбора состоит в следующем: 1. По 2 задачи из каждого раздела. 2. Всего 10 задач. 3. Номер первой задачи n1 совпадает с порядковым номером студента в общем списке группы. 4. Номер второй задачи вычисляется по формуле

(

)

(

)

n2 = n1 + N численность группы mod N задач в разделе . й

й

Здесь n1 - номер 1 задачи в разделе, n2 - номер 2 задачи в разделе,

N численность группы

-

численность

группы,

N задач в разделе - количество задач в разделе. Желаю успеха С.В. Сухинин

1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1.1. О БЩИЕ СВЕДЕНИЯ Чтобы решить уравнение ∂z ∂z (1.1) a1 (x1 ... xn , z ) + ... + an (x1 ... xn , z ) = b(x1 ... xn , z ) ∂xn ∂x1 надо найти n независимых первых интегралов системы обыкновенных дифференциальных уравнений dx1 dx dz (1.2) = ... = n = a1 an b 1.2.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ СЛАБЫХ РАЗРЫВОВ Исследование качественных свойств решения задачи Коши для квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными является трудной и, в некоторых случаях, невыполнимой задачей. Поэтому методы, которые позволяют исследовать качественные свойства решений задачи Коши при помощи более простых задач являются важными. В разделе исследуются свойства непрерывных, кусочно - дифференцируемых решений задачи Коши ∂u ∂u (1.3) + a ( x , t , u ) = b( x , t , u ) ∂t ∂x ⎧ f (x ), x ≤ x∗ (1.4) u ( x, 0) = ⎨ ⎩ f (x∗ ), x∗ ≤ x

Предполагается, что f (x ) гладкая функция на своей области определения и f ′(x∗ ) ≠ 0 . Это означает, что начальные условия задачи Коши (1.3), (1.4) содержат слабый разрыв в точке (x∗ , 0) . dx dℵ(t ) = = a (x, t , u ) в точке пространства (t, x ) наdt dt зывается характеристическим для уравнения (1.3) на некотором решении u (x, t ) и позволяет записать его в виде

Направление

d (1.5) u (ℵ(t ), t ) = b(ℵ(t ), t , u ) dt Пусть u (x, t ) - решение (1.3) непрерывно всюду, а его первые про-

изводные непрерывны в замкнутых областях D+ и D− (в том числе 2

на общей границе этих областей Γ = {(x, t ) : x = ℵ(t )} , x∗ = ℵ(0) при подходе к ней слева или справа). На линии Γ частные производные ∂ x u , ∂ t u имеют разрывы. Ввиду непрерывности u на линии Γ справедливо выражение • d (1.6) u (ℵ(t ), t ) = ∂ t u + ℵ∂ x u = b(ℵ(t ), t , u ) dt Пусть v = u x , [v ]Γ (t ) = [v ]Γ (ℵ(t ), t ) = v (ℵ(t ) + 0, t ) − v (ℵ(t ) − 0, t ) . Из •

(1.6) следует, что ut (ℵ(t ) + 0, t ) − ut (ℵ(t ) − 0, t ) = [ut ]Γ = − ℵ[v ]Γ . В силу •

(1.3) справедливо равенство ℵ(t ) = a (ℵ(t ), t , u (ℵ(t ), t )) . Функция σ (t ) = [v ] Γ (t ) описывает интенсивность разрыва функции v на Γ (слабого разрыва функции u ). При помощи (1.3) - (1.6) можно получить уравнение Риккати для неизвестной функции [v ] = σ (t ) , которое имеет вид

(1.7)

d t σ + Pσ + Q σ 2 = 0

Здесь P, Q - известные функции, d t производная вдоль Γ . Если продифференцировать (1.3) по x и взять скачок на линии Γ , то справедливо

[vt ] + a (x, t , u )[v x ] + a x (x, t , u )[v ] + au (x, t, u )([ v )2 ] = bu (x, t, u )[v ]

Так как

[v ] = (v( ) ) − (v( ) ) = (v( ) ) − (v( ) − [v]) 2

+

2

−

2

+

2

+

2

(1.8)

= 2v(+ )[v ] − [v ]2 , и

d t = ∂ t + a ∂ x то (1.8) примет вид (1.7)

{

}

d t σ + a x + 2au v(+ ) − bu σ − au σ 2 = 0

(1.9)

Начальные условия Пример. Пусть в (1.3) a ≡ u , b ≡ 0 . Так как v(+ ) = 0 , то (1.9) при-

мет вид

dtσ − σ2 = 0 Решение этого уравнения с начальными условиями, которые следуют из (1.4) описывает зависимость интенсивности слабого разрыва вдоль соответствующей характеристики и имеет вид σ = 1 ( f ′(x∗ ) − t ) . Уравнение этой характеристики x = f (x∗ )t + x∗ . 3

1.3. Д ВИЖЕНИЕ С СИЛЬНЫМ РАЗРЫВОМ При описании некоторых специфических нелинейных процессов например ударных волн в газе или бора для волн на воде необходимо ослабить понятие решения дифференциального уравнения (1.3). Допускается, что решение этого уравнения может иметь сильный разрыв. Условие на сильном разрыве можно получить при помощи интегрального закона сохранения, эквивалентного (1.3). Для этого уравнение (1.3) необходимо записать в дивергентном виде r r div ( x , t ) A = b , A = ( A1, A2 ) (1.10)

()

В силу этого интегральный закон сохранения имеет вид r r A, n dS = b dΩ

∫∫ ( )

∂Ω = S

∫∫

(1.11)

Ω

Здесь Ω - произвольная область в пространстве (x, t ) . Пусть Γ = {(x, t ) : x = S (t )} - линия сильного разрыва. Тогда в силу (1.10) и (1.11) справедливо соотношение [A1 ]Γ = − S& (t )[A2 ]Γ (1.12) которое позволяет описать движение сильного разрыва. 1.4. П РИМЕР Решить задачу Коши: ut + uu x + 2u = 0 ⎧ B = b, ξ ≤ 0 ⎤ ⎪ u (ξ,0) = ⎨ aξ + b, 0 < ξ < Ξ ⎥⎥ ⎪ A = aΞ + b, Ξ ≤ ξ ⎥ ⎦ ⎩

(1.13) (1.14)

Решение: В области единственности решения при помощи системы уравнений, являющейся следствием (1.13), dx =u dt du = −2u dt и начальных условий (1.14) можно найти решение задачи Коши (1.13) - (1.14) в неявном виде u = u (ξ,0) exp(− 2t )

4

(1.15)

u (ξ,0) (1.16) (1 − exp[− 2t ]) + ξ 2 Соотношение (1.16) является уравнением характеристики проходящей через точку (x, t ) = (ξ,0) . Параметр ξ при помощи (1.16) x=

выражается как ξ = ξ (x, t ) . В силу этого и (1.15) решение задачи Коши (1.13) - (1.14) в области единственности решения имеет вид u (x, t ) = u (ξ (x, t ), 0) exp(− 2t )

(1.17)

Градиентная катастрофа. Прямым вычислением проверяется, что в точке (x∗ , t∗ ) вида

(x∗, t∗ ) = ⎛⎜⎜ − b , 1 ln⎛⎜

a ⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎝ a 2 ⎝ a + 2 ⎠⎠ происходи градиентная катастрофа задачи Коши (1.13) - (1.14). Для описания решения этой задачи при t > t∗ можно ослабить понятие

решения - искать решения с сильным разрывом x = S (t ) , который проходит через точку (x∗ , t∗ ) . При помощи (1.12) и (1.17) для неизвестной функции x = S (t ) можно получить дифференциальное уравнение и начальные условия • 1 S (t ) = (B + A) exp(− 2t ) 2 (1.18) S (t∗ ) = x∗ Решение (a + 2 )( A + B ) 1 x = S (t ) = − ( A + B ) exp(− 2t ) + x∗ + 4 4a задачи Коши (1.18) описывает распространение сильного разрыва

для t > ln a (a + 2 ) .

Распространение слабого разрыва. Начальные данные (1.14) имеют разрыв производной по пространственной переменной в точках ξ = 0 и ξ = Ξ . При помощи (1.7) можно проследить эволюцию по времени величины этого разрыва. Уравнение Риккати для величины слабого разрыва вдоль соответствующей характеристики 1.5.

ЗАДАЧИ

Для каждого из уравнений 1.1-1.14 найти общее решение

5

1.1.

yu x + xu y = x − y

1.8.

xyu x − x 2u y = yu

1.2.

e x u x + y 2u y = ye x

1.9.

xu x − 2 yu y = x 2 y + u

1.3.

2 xu x + ( y − x )u y = x 2

1.10.

(x

1.4.

2 y 4u x − xyu y = x u 2 + 1

1.11. xyu x + (x − 2u )u y = yu

1.5.

x 2uu x + y 2uu y = x + y

1.12. yu x + uu y = y x

1.6.

yuu x + xuu y = eu

1.13. sin 2 (x )u x + tg (u )xu y = cos2 (u )

1.7.

(u − y )2 u x + xuu y = xy

1.14. u x + u 2u y = e y

2

)

+ y 2 u x − 2 xyu y + u 2 = 0

В задачах 1.15-1.21 найти решение задачи Коши Уравнение

Начальные условия

1.15. ut + u x + 2u = 0

u (x,0) = sin (x )

1.16. x 2ut + txu x = t

u (x,0) = x 2

1.17. tut − 2 xtu x = t 2 + x 2

u (x∗ , t ) = t 2

(

)

1.18. ut + 2et − x u x = 0

u (x,0) = x

1.19. tut + xu x = u − tx

u ( x, 2 ) = x 2 + 1

1.20.

(t + 1)ut + (x + 1)ux = 2 x (t + 1)

⎧ b, x ≤ 0 ⎤ ⎪ u (x, 0) = ⎨ax + b, 0 < x < 1⎥ ⎥ ⎪ a + b, 1 ≤ x ⎥ ⎦ ⎩

1.21.

(t − x )ut + 2 xu x = x 2

u (x , 0) = e − x

1.22. tut + xu x = 2tx

u (x , x ) = x 2

1.23. tuut + xuu x + tx = 0

u (x, 1 x ) = 1

2

В задачах 1.24-1.35 построить решение задачи Коши, найти: момент градиентной катастрофы, траекторию сильного разрыва, величину слабого разрыва, используя начальные условия вида 6

b, x ≤ 0 ⎧ ⎪ u (x , 0) = ⎨ax + b, 0 < x < X ⎪ aX + b, X ≤ x ⎩

1.24. ut + uu x = 0

1.30. ut + u 3u x = eu

1.25. tut + (cu + x )u x = 1

1.31. ut + uu x = t

1.26. tut +

u ux = 1 u+c

1.32. uut + u 3u x = 0 ut ln (u ) + ux = 0 u u

1.27. xut + x 2uu x = −2 xu 2

1.33.

1.28. tut + t 2uu x = −u

1.34. ut + uu x = et

1.29. ut + uu x = u

1.35. ut + C (u )u x = 0

1.36. Поток транспорта движется с постоянной скоростью u0 через перекресток, на котором в момент времени t = 0 начинает работать светофор в двухцветном режиме "красный-зеленый". Описать движение через перекресток для t > 0 в приближении кинематических волн с расходом ρ⎛ ρ⎞ Q (ρ ) = 4q∗ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ρ∗ ⎝ ρ∗ ⎠ q∗ > 0, ρ∗ > 0, u0 < 4q∗ ρ∗ - постоянные величины. 1.37. Частицы движутся по инерции. Найти поле скоростей u (x, t ) движения сплошной среды, если u (x, 0) =

7

4 . 4 + ex

2.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В разделе изучаются свойства решений задачи Коши для квазилинейных систем уравнений вида

(2.1)

ut + A u x + b = 0

( )

u = (u1 , ... un ) = u(x , t ) , A = A (u, x, t ) , A : R n +1+1 → L R n ,

( )

A ∈ L R , b = b(u, x, t ) , b : R n

n +1+1

→R

n

С начальными условиями u(x , 0 ) = u 0 ( x )

(2.2)

О п р ед ел е н и е . Система уравнений (2.1) гиперболична, если выполнено одно из утверждений 1. A ∈ L R n имеет n линейно-независимых вещественных собственных векторов. 2. Матрица A подобна диагональной вещественной матрице. 3. A - самосопряженный оператор. 4. (x, A y ) - симметрическая квадратичная форма.

( )

5. Все инвариантные пространства можно разложить в прямую сумму одномерных инвариантных подпространств оператора A относительно поля вещественных чисел.

2.1.

Х АРАКТЕРИСТИКИ

О п р ед ел е н и е . Направление d c x dt = c (u, x, t ) называется характеристическим для (2.1), если c (u, x, t ) является собственным значением оператора A . Оператор A′ сопряженный к A имеет линейно-независимые r собственные вектора l j j =1,K,n которым соответствуют характери-

{}

стические направления d

cj

x dt = c j (u, x, t ) . Поэтому (2.1) можно

записать в эквивалентном виде v c v l j , d j u dt + l j , b = 0 , j = 1, K, n ,

(

)( )

который называется характеристическим. Необходимо отметить, что любая гиперболическая система уравнений вида (2.1) имеет по крайней мере одно характеристическое направление. 8

2.2.

ИНВАРИАНТЫ РИМАНА r Пусть d c x dt = c (u, x, t ) и l - собственный вектор оператора r r v v A′ , сопряженного к A , A′ l = cl . Тогда l , d c u dt + l , b = 0 .

(

) ( )

Если для некоторого α = α (u, x, t ) , α : R n +1+1 → R справедливо r r v αl = ∇u r (u ) = (∂r ∂u1 , ... , ∂r ∂un ) , то d c r dt = − αl , b .

(

)

О п р ед ел е н и е . Такая функция r = r (u ) , если она существует, называется инвариантом Римана квазилинейной гиперболической системы уравнений (2.1). Для того, чтобы найти инвариант Римана необходимо решить систему уравнений. r r α (u )l (u ) = ∇u r (u )

Существование инвариантов Римана. 1. Если n = 2 , то инварианты Римана существуют 2. Если n = 3 , то необходимое и достаточное условие существоваr r ния инварианта Римана l , rot l = 0 для некоторого собственного вектора оператора A′ . 3. Если n > 3 , то должны быть выполнены условия совместности ∂αli ∂αl j = . ∂u j ∂ui

(

)

В общем случае инварианты Римана могут не существовать.

2.3.

ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ . М ЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК

{ }

r Пусть l (k ) k =1, ..., n - полная система линейно-независимых соб-

ственных векторов оператора A′ , сопряженного к A . Для достаточно малых Δt в каждую точку M = (x, t + Δt ) приходят n характеристик, Γk = {(x, t ) : xk = ℵk (t )}r =1,..., n , которые проходят через точки (xk , t ) . Гиперболическую систему уравнений (2.1) можно записать в приближенном виде r r l (k ) , u(x, t + Δt ) k =1,K, n = l (k ), u(xk , t ) − Δt b(xk , t ) k =1,K, n

(

)

(

)

9

2.4.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ СЛАБЫХ РАЗРЫВОВ . У РАВНЕНИЕ РИККАТИ Предполагается, что решение гиперболической системы уравнений непрерывно в некоторой области D и непрерывно дифференцируемо в замыканиях D(+ ) и D(− ) , открытых областей D(+ ) и D(− ) , D = D(+ ) ∪ D(− ) ∪ Γ , Γ = D(+ ) ∩ D(− ) - характеристика. И ре-

шение можно найти с одной стороны характеристики (в D(+ ) или D(− ) - обычно решение постоянно), то для изучения качественных свойств решения задачи Коши достаточно исследовать распространение слабого разрыва вдоль характеристики Γ . Пример. Одномерные изентропические движения политропного газа описываются в инвариантах Римана задачей Коши ⎧ rt + R (r, s )rx = 0 , ⎨ ⎩ st + S (r, s )s x = 0

⎧ ⎪ R (r, s ) = ⎨ ⎪ S (r, s ) = ⎩

0, x ≥ a ⎧ , u (x,0) = ⎨ ( ) (l + a − x ), x < a c x a − ⎩ 0

γ +1 3− γ r+ s 4 4 , γ +1 3− γ s+ r 4 4

⎧ ⎪⎪r = u + ⎨ ⎪s = u − ⎩⎪

(2.3)

2 c γ −1 2 c γ −1

Пусть слабый разрыв распространяется по линии x = ℵ(t ) , тогда ⎧⎪ [r ] + R[r ] = 0 t x ⎨ [ ] [ s S s + x ] = 0 x =ℵ(t ) ⎪⎩ t

(2.4)

На линии x = ℵ(t ) для всех функций, продифференцированных & ∂ ∂x справедливы соотношения вдоль направления d dt = ∂ ∂t + ℵ ⎧ [r ] + ℵ ⎪ t & [rx ] = 0 ⎨ & ⎪⎩[st ] + ℵ[s x ] = 0 x =ℵ(t )

Из (2.5) и (2.4) следует, что

10

(2.5)

⎧−ℵ ⎪ & [rx ] + R[rx ] = 0 ⎨ & ⎪⎩− ℵ[s x ] + S [s x ] = 0 x =ℵ(t )

Выполнение этих равенств возможно в 2х случаях: 1. & = R, [sx ]x =ℵ(t ) = 0 , [st ]x =ℵ(t ) = 0 ℵ 2.

[rx ]x =ℵ(t ) = 0 , [rt ]x =ℵ(t ) = 0

& =S, ℵ

(

)

& ∂ ∂x r = 0 , [s ] & = R , (d dt )r = ∂ ∂t + ℵ Пусть ℵ x x =ℵ(t ) = [st ]x =ℵ(t ) = 0 .

Если продифференцировать систему уравнений (2.3) по x и вычислить скачок [ ]ℵ= R , то получаются соотношения ⎧ [rxt ] + [Rr rx rx ] + Rs [s x rx ] + R (r, s )[rxx ] = 0 ⎨ ⎩[s xt ] + [Sr rx s x ] + S s [s x s x ] + S (r , s )[s xx ] = 0

(2.6)

Второе из соотношений (2.6) выполняется в силу предположения о & = R . Из первого соотношения (2.6) следует, что слабом разрыве, ℵ dR [rx ] + Rr [rx rx ] + Rs [sx rx ] = 0 dt

(2.7)

Так как s x(+ ) = s x(− ) , то [s x rx ] = s x(+ )rx(+ ) − s x(− )rx(− ) = s x(+ )[rx ] . Для квадратичного слагаемого (2.7) справедливо соотношение

(

)

(

)

(

)

Rr [rx rx ] = Rr rx(+ )rx(+ ) − rx(− )rx(− ) = Rr rx(+ )[rx ] − rx(− )[rx ] = Rr 2 rx(+ )[rx ] − [rx ][rx ]

& = R примет вид В силу этого уравнение Риккати для скачка rx на ℵ

(

)

dR [rx ] + Rr 2[rx ]rx(+ ) − [rx ]2 + Rs s x(+ )[rx ] = 0 dt

В случае (2.3) это уравнение имеет вид dR [rx ] − (γ + 1) [rx ] = 0 dt 4

11

⎧⎛ γ + 1 ⎞ ⎫ Отсюда следует что [rx ] = ⎨⎜ ⎟t + c1 ⎬ ⎩⎝ 4 ⎠ ⎭

(−1)

, из начальных условий

⎧⎛ γ + 1 ⎞ l ⎫ c1 = l c0 . Следовательно [u x ] = ⎨⎜ ⎟t + ⎬ ⎩⎝ 4 ⎠ c0 ⎭

(−1)

.

2.5.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ В некоторых задачах моделирования физических явлений понятие решения квазилинейной системы уравнений (2.1) необходимо ослабить - искать решения с сильными разрывами в пространствевремени. Условия на сильном разрыве получаются при помощи законов сохранения или дивергентной формы системы уравнений (2.1). Пусть некоторое соотношение имеет вид закона сохранения r r ∂ r ∂ (2.8) P (u , x, t ) + Q (u , x, t ) + b(u , x, t ) = 0 ∂x ∂t r Пусть Γ = {(x, t ) : x = S (t )} сильный разрыв, A = (Q, P ) - векторное поле в пространстве-времени. Интегрируя (2.8) по некоторой ε - окрестности сильного разрыва Dε можно получить соотношение на сильном разрыве (см. раздел 1) из которого следует соотношение на сильном разрыве

[Q ] − S& (t )[P ] = 0

(2.9)

Начальные условия для x = S (t ) определяются содержанием задачи. [P ] и [Q ] считаются известными, они определяются решением задачи (2.1). Задача Коши для системы уравнений (2.8) или r r r ∂ t u + ∂ x f (u ) = 0 с начальными условиями специального вида ⎧ur (− ) = const, r u(x,0) = ⎨ r (+ ) ⎩u = const,

x ≤ 0, x > 0.

называется задачей Римана (задачей о распаде разрыва). 12

(2.10)

r r r Пример. Пусть в (2.10) u = u , f (u ) = u 2 . Тогда условия на

( ) ( ) ( Следовательно S (t ) = ⎡(u ( ) ) − (u ( ) ) ⎤ [u ( ) − u ( ) ] ⎢⎣ ⎥⎦

[

]

2 2 & (t ) u (+ ) − u (− ) = 0 . сильном разрыве примут вид ⎡ u (+ ) − u (− ) ⎤ − ℵ ⎢⎣ ⎥⎦ + 2

− 2

+

−

−1)

t.

2.6. ЗАДАЧИ В задачах 2.1-2.5 при помощи метода бихарактеристик на соответствующем решении построить характеристические поверхности Ψ (x,y,z,t ) = 0 . Написать уравнение Риккати, найти инварианты Римана, написать условия на сильном разрыве. 2.1.

⎛ u 0 ⎞⎛ u ⎞ ⎛ uv 0 ⎞⎛ u ⎞ ⎛ v 0 ⎞⎛ u ⎞ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 0 ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ 0 v ⎠⎝ v ⎠t ⎝ 0 uv ⎠⎝ v ⎠ x ⎝ 0 u ⎠⎝ v ⎠ y

(

⎛ u ⎞ ⎛1 1 + e − x − y − t Ψ (x, y ,0) = x 2 + y 2 − 1999 , на решении ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ e x + y +t ⎝v⎠ ⎝

2.2.

)⎞⎟ ⎟ ⎠

y−t ⎧ ⎪ut + vu x +u y = y ⎨ ⎪⎩ vt + uv x + v y = 0

(

)

⎛ u ⎞ ⎛ y2 + x y ⎞ ⎟ Ψ (x, y ,0) = x 2 − y + 1 , на решении ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎝v⎠ ⎝ x y − t ⎠

2.3.

t ⎧ ⎪vut + vuu x +tu y = − x+ y ⎨ ⎪⎩ vt + uvv x +tv y = 0

(

)

⎛ u ⎞ ⎛ − x − y + t 2 ( x + y )⎞ ⎟ Ψ (x, y , 1) = πx + ey − 2001 , на ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟ (x + y ) t ⎝v⎠ ⎝ ⎠

2.4.

⎧vut + vuu x +uv y = 0 ⎨ ⎩ vt + uvv x +uv y = 0 ⎛ u ⎞ ⎛ ( x + y ) ( x + y + t )⎞ x ⎟ Ψ (x, y , 1) = − 2001! , на решении ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ (x + y ) t ⎟⎠ y ⎝v⎠ ⎝

13

2.5.

⎛ u ⎞ ⎛ 0 0 ⎞⎛ u ⎞ ⎛ 0 v ⎞ ⎛ u ⎞ ⎜⎜ v ⎟⎟ + ⎜⎜ u 0 ⎟⎟⎜⎜ v ⎟⎟ + ⎜⎜ 0 0 ⎟⎟⎜⎜ v ⎟⎟ = 0 ⎝ ⎠t ⎝ ⎠⎝ ⎠ x ⎝ ⎠⎝ ⎠ y

(

)

⎛u⎞ ⎛ y ⎞ 1 2 x + y 2 − 1 , на решении ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . 2 ⎝v⎠ ⎝ x⎠ 2.6. Найти бихарактеристики и характеристические поверхности h (x, y , t ) = 0 для системы уравнений Ψ (x, y , 0) =

0 ⎞⎛ u ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ u ⎞ ⎛ 0 0 − 5 ⎞⎛ u ⎞ ⎛ 0 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + + − 0 0 1 ⎟⎜ v ⎟ = 0 0 0 0 v 0 1 0 v ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ w ⎟ ⎜ − 5 0 0 ⎟⎜ w ⎟ ⎜ 0 − 1 0 ⎟⎜ w ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ t ⎝ ⎠⎝ ⎠ x ⎝ ⎠⎝ ⎠ y h (x, y , 0 ) = x 2 + 25 y 2 − 25 .

2.7. Для волнового уравнения u xx + u yy − utt = 0 найти характеристическую поверхность Ψ (x, y , t ) = 0 такую что Ψ (x, y ,0 ) = x 2 + y 2 − 2 x .

2.8. Распространение звука в среде движущейся с постоянной скоростью описывается системой уравнений акустики ρ0ut + ρ0Uu x + p x = 0 ⎧ ⎪ ρ0vt + p y = 0 ⎪⎪ ρ0 wt + pz = 0 ⎨ ⎪ 1 U p x + u x + v x + wx = 0 ⎪ 2 pt + ρ0c02 ⎩⎪ ρ0c0

здесь ρ0 , c0 , U - плотность, скорость звука, скорость движения, среды, u, v, w, p - компоненты акустического возмущения скорости и давления. Написать уравнение для бихарактеристик (лучей) и уравнение характеристической поверхности h (x, y, z, t ) = 0 если h (x, y, z,0) = x 2 + y 2 + z 2 − R .

В задачах 2.9 -2.20 записать систему уравнений в инвариантах и дивергентном виде, выписать условия Рэнкина - Гюго14

нио на сильном разрыве и решить задачу Римана. 2.9.

⎧ut + (u + v )u x + vv x = 0 ⎨ ⎩vt + vu x + (u + v )v x = 0

2.10.

⎧ ut + (u + v )u x + uvv x = 3u ⎨ ⎩vt + uu x + (u + v )v x = −2v

2.11.

3 ⎧ ⎪ut + vu x + u 3v x = u 2 ln (v ) ⎨ v 2 ⎪ vt + v u x + vv x = 2 u ⎩

2.12.

⎧⎪ut + u 2 + v 2 u x + uv x = 0 ⎨ ⎪⎩ vt + uu x − u 2 − v 2 v x = 0

2.13.

v ⎧ v x = 3u ⎪ut + u x u + u ⎨ ⎪ v + u u + v u = 2v x x ⎩ t

2.14.

v ⎧ ⎪⎪ut + u x u + u v x = u ⎨ v ⎪ vt + u x + uv x = 3v ⎪⎩ u

2.15.

ut + 2 cos(v )u x + sin(u )v x = 0 ⎧ ⎨ ⎩vt + cos(v )u x + [sin(u ) + cos(v )]v x = 0

2.16.

⎧⎪ut + u 2 + v 2 u x + u 2v x = u 2v ⎨ ⎪⎩ vt + v 2u x + u 2 + v 2 v x = u

2.17.

⎧ut + (u + v )u x + uv x = 0 ⎪ vt + uv x = 0 ⎨ ⎪ w + (u − v )w = 0 t x ⎩

2.18.

⎧ut + uvu x + v x = 1 (u − 1) ⎨ vt + vv x = v ⎩

(

(

(

) (

15

)

)

)

2.19. Выписать соотношения на сильном разрыве

( ) ( )

⎧⎪ (uv )t + u 2v x + e x = 0 ⎨ ⎪⎩(u v )t + u 2 v x + e − x = 0

2.20. Записать систему уравнений колебаний балки в характеристической форме, найти инварианты Римана ⎧ ut − v x = 0 ⎨ ⎩vt − σ (u )x = 0

2.21. Слабонелинейные акустические волны в неподвижной идеальной среде описываются уравнением [1] 2 1 ∂ 2φ 1 ∂ ⎡ 1 γ − 1 ⎛ ∂φ ⎞ ⎤ ∇ 2 φ − 2 2 = 2 ⎢(∇φ )2 + 2 ⎜ ⎟ ⎥ c0 ∂t c0 ∂t ⎢⎣ c0 2 ⎝ ∂t ⎠ ⎥⎦ φ, c0 , γ - потенциал акустических скоростей, скорость звука в состоянии покоя, и показатель политропы идеальной среды. Провести полное исследование этого уравнения.

2.22. Уравнение Вестервельта, описывающее распространение неодномерных, почти плоских звуковых пучков, имеет вид 1 ∂2 p ε ∂2 2 ∇2 p − 2 2 = − p c0 ∂ t ρ 0 c04 ∂t 2

( )

p, c0 , γ - давление в акустических волнах, скорость звука в состоянии покоя, и показатель политропы идеальной среды, ε = (γ + 1) 2 . Провести исследование этого уравнения.

2.23. Привести пример гиперболической системы уравнений для которой не существуют инварианты Римана. 2.24. Уравнение движения плоской волны в жидкости с пузырьками газа имеет вид для частот, которые много ниже частот резонансных колебаний пузырьков

( )

⎛ 1 z0ρ0 ⎞ ∂ 2 p ∂ 2 p (γ + 1)z0ρ0 ∂ 2 p 2 ⎜ + ⎟ ⎜ c 2 γp ⎟ ∂t 2 − ∂x 2 = 2 γ 2 p 2 ∂t 2 0 ⎠ 0 ⎝ 0

16

здесь p, c0 - акустическое давление и скорость звука в жидкости, p0 , ρ0 , γ - давление, плотность в состоянии покоя и показатель политропы идеальной газовой среды, запол3 няющей полости пузырьков. z0 = 4π

R0 max

∫ R n(R )dR 3 0

0

0

- равно-

R0 min

весная объемная концентрация пузырьков, R0 - радиус пузырьков, n (R0 )dR0 - число пузырьков в единице объема с радиусом от R0 до R0 + dR0 . Провести полное исследование этого уравнения. В задачах 2.25-2.32 описать распространение слабых разрывов 2.25.

⎧ ⎛ 0⎞ ⎪ ⎜⎜ ⎟⎟, x ≤ 0 ⎛u⎞ ⎪ 0 ⎜⎜ ⎟⎟(x,0) = ⎨ ⎝ ⎠ v ⎝ ⎠ ⎪⎛⎜ kx ⎞⎟, x > 0 ⎪⎩⎜⎝ − kx ⎟⎠

⎛ u ⎞ ⎛ u + v 2001⎞⎛ u ⎞ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 0 , ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎝ v ⎠t ⎝ 2001 u − v ⎠⎝ v ⎠ x

2.26.

⎧ ⎛1⎞ ⎪ ⎜⎜ ⎟⎟, x ≤ 0 ⎛u⎞ ⎪ 1 ⎜⎜ ⎟⎟(x,0) = ⎨ ⎝ ⎠ ⎝v⎠ ⎪⎛⎜ x + 1⎞⎟, x > 0 ⎪⎩⎜⎝1 − x ⎟⎠

⎛ u ⎞ ⎛ v π ⎞⎛ u ⎞ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 0 , ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎝ v ⎠ t ⎝ π u ⎠⎝ v ⎠ x

2.27. ⎛e ⎞ ⎛ u ⎞ ⎛ uv 2001⎞⎛ u ⎞ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ − t ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎝ v ⎠t ⎝ 2001 u v ⎠⎝ v ⎠ x ⎝ e ⎠ t

⎧ ⎛b⎞ ⎪ ⎜⎜ ⎟⎟, x ≤ 0 ⎛u⎞ ⎪ d ⎜⎜ ⎟⎟(x,0) = ⎨ ⎝ ⎠ ⎝v⎠ ⎪⎛⎜ x + b ⎞⎟, x > 0 ⎪⎩⎜⎝ d − x ⎟⎠

2.28. ⎛ u ⎞ ⎛ (u + v )2 ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎜ ⎝ v ⎠t ⎝ 0

0 ⎞⎟⎛ u ⎞ ⎜ ⎟ =0, (u − v )2 ⎟⎠⎜⎝ v ⎟⎠ x

17

⎧ ⎛ 0⎞ ⎪ ⎜⎜ ⎟⎟, x ≤ 0 u ⎛ ⎞ ⎪ 0 ⎜⎜ ⎟⎟(x,0) = ⎨ ⎝ ⎠ v ⎝ ⎠ ⎪⎛⎜ ex ⎞⎟, x > 0 ⎪⎩⎜⎝ πx ⎟⎠

2.29. ⎛u⎞ ⎛u ⎜⎜ v ⎟⎟ + ⎜⎜ 1 ⎝ ⎠t ⎝

2

⎧ ⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟, x ≤ 1 ⎪ ⎛ v ⎞ ⎛u⎞ 1 ⎞⎛ u ⎞ ⎝2⎠ ⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟(x,0) = ⎪⎨ 2⎟ v ( − 1) + 1⎞ k x ⎛ u v v ⎠⎝ ⎠ x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎜ ⎟⎟, x > 1 ⎜ ⎪⎩⎝ 2x ⎠

2.30. u ⎞⎛ u ⎞ ⎛ u ⎞ ⎛ 2001 ⎟⎜ ⎟ = 0 , ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ u + v ⎟⎠⎜⎝ v ⎟⎠ x ⎝ v ⎠t ⎝ u

2.31. ⎛u⎞ ⎛ v ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ u ⎝ v ⎠t ⎝ e

e u ⎞⎛ u ⎞ ⎟⎜ ⎟ = 0 , u ⎟⎠⎜⎝ v ⎟⎠ x

2.32.

⎧ ⎛ 0⎞ ⎪ ⎜⎜ ⎟⎟, x ≤ 0 ⎛u⎞ ⎪ 0 ⎜⎜ ⎟⎟(x,0) = ⎨ ⎝ ⎠ ⎝v⎠ ⎪⎛⎜ kx ⎞⎟, x > 0 ⎪⎩⎜⎝ − kx ⎟⎠ ⎧ ⎛b⎞ ⎪ ⎜⎜ ⎟⎟, x ≤ 0 ⎛u⎞ ⎪ d ⎜⎜ ⎟⎟(x,0) = ⎨ ⎝ ⎠ ⎝v⎠ ⎪⎛⎜ ax + b ⎞⎟, x > 0 ⎪⎩⎜⎝ cx + d ⎟⎠

⎛ u ⎞ ⎛ u + v 2001⎞⎛ u ⎞ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 0 , ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎝ v ⎠t ⎝ 2001 u − v ⎠⎝ v ⎠ x

⎧ ⎛ 0⎞ ⎪ ⎜⎜ ⎟⎟, x ≤ 0 u ⎛ ⎞ ⎪ 0 ⎜⎜ ⎟⎟(x,0) = ⎨ ⎝ ⎠ v ⎝ ⎠ ⎪⎛⎜ kx ⎞⎟, x > 0 ⎪⎩⎜⎝ − kx ⎟⎠

⎛ u ⎞ ⎛ w 1 a ⎞⎛ u ⎞ ⎛1⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ v v 1 1 v + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜2⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ w ⎟ ⎜ a 1 u ⎟⎜ w ⎟ ⎠⎝ ⎠ x ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠t ⎝

⎧ ⎛1⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ 2 ⎟, x ≤ 0 ⎛u⎞ ⎪⎪ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎜ v ⎟(x,0) = ⎨ ⎜ w⎟ ⎪⎛⎜ x + 1 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎪⎜ x + 2 ⎟, x > 0 ⎪⎜ ⎟ ⎩⎪⎝ 3 − x ⎠

2.33.

18

3. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ Необходимые сведения содержатся, например в [2, 3, 4, 5].

3.1.

О СНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ Волновое движение, которое описывается функцией вида u (x, t ) = a exp(ikx − iωt )

(3.1)

называется элементарным волновым пакетом. Здесь a - амплитуда, L = 2π k - длина волны (наименьший пространственный период волны), k = 2π L - волновое число (количество длин L укладывающихся в отрезок [0, 2 π ] ), T = 2π ω наименьший временной период волны, ω - круговая частота колебаний (радиан/сек.), f = ω 2π частота колебаний, Θ(x, t ) = (kx − ωt ) фаза волны. Пусть x = x (t ) , Θ(x (t ), t ) = const следовательно скорость распространения постоянного значения фазы элементарного волнового пакета вычисляется по формуле ∂Θ ∂t ω(k ) = c ph = dx dt = − k ∂Θ ∂x Эта величина называется фазовой скоростью волны. Групповой скоростью называется величина dω cg = dk Пусть Pm,n (∂ x , ∂ t ) полином порядка m по ∂ x и n по ∂ t . Для того, чтобы решение линейного уравнения с частными производными Pm,n (∂ x , ∂ t ) u (x, t ) = 0

(3.2)

существовало в виде элементарного волнового пакета (3.1) частота и волновое число этого пакета должны быть связаны Pm,n (ik , − iω ) = 0

(3.3)

которое называется дисперсионным соотношением. Так как (3.3) является полиномом степени n от ω , то в поле комплексных чисел существует n корней этого уравнения ω j = ω j (k ), j = 1, K, n 19

Определение. Каждый из корней ω j = ω j (k ),

j = 1, K, n уравнения

(3.3) называется волновой модой. Для каждой волновой моды фазовая скорость имеет вид c (phj ) = ω j (k ) k = c (phj ) (k ), j = 1, K, n Если неизвестных функций больше чем одна, то элементарным волновым пакетом называется функция вида ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ r u(x, t ) = ⎜ M ⎟ exp(ikx − iωt ) ⎜a ⎟ ⎝ n⎠ r Для линейной системы уравнений Pn (∂ x , ∂ t ) u = 0 дисперсионные соотношения имеют вид det[Pn (ik , − iω )] = 0

3.2.

О СНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО СЛУЧАЯ Элементарным волновым пакетом называется функция вида r r u (x, t ) = a exp ik ⋅ x − iωt (3.4)

(

)

r k = (k1, k 2 , k3 ) - волновой вектор. Замечание. Элементарный волновой пакет - плоская волны распроr r страняющаяся в направлении k k . r r Фаза волны Θ = k ⋅ x − ωt , поверхность постоянной фазы является r r r плоскостью в R 3 , k ⋅ x = ωt + Θ0 . Фазовая скорость c ph k в наr правлении k = (k1, k2 , k3 ) (нормальная фазовая скорость) имеет вид r r r c ph k = ω k k .

(

)

()

() ()

20

3.3.

ЗАДАЧИ

3.1. Найти решение волнового уравнения в 3х мерном пространстве в виде волны, бегущей вдоль оси x и убывающей по направлениям осей y, z . 3.2. С какой скоростью и в каком направлении распространяется волна u = f t + α 2 x − β2 y .

(

)

3.3. Вывести уравнение распространения акустических волн линеаризацией на равномерном стационарном потоке идеального (политропного) газа для а) давления, б) плотности, в) потенциала скоростей. Написать выражение для элементарного волнового пакета. 3.4. Вывести уравнения распространения малых вихревых и потенциальных возмущений на равномерном стационарном потоке. Показать, что вихревая мода является псевдозвуком - не удовлетворяет уравнениям акустики. 3.5. Вывести уравнение для акустических волн на равномерном стационарном потоке неидеального газа для возмущения плотности, давления и потенциала скорости частиц. Написать выражение для элементарного волнового пакета. Определить диссипативный коэффициент для акустических волн в вязком газе в зависимости от теплопроводности, сдвиговой и объемной вязкости. 3.6. Вывести уравнения, описывающие распространение продольных и поперечных волн в упругом теле. Написать дисперсионные соотношения. Определить скорости распространения сигналов. 3.7. Показать, что произвольное волновое поле в упругой среде можно представить как сумму продольных и поперечных смеще∂ 2 U l ∂t 2 − cl2 ΔU l = 0 ний, описываемых уравнениями ∂ 2 Ut ∂t 2 − ct2 ΔUt = 0 . Определить скорости продольных и поперечных смещений в зависимости от модуля всестороннего сжатия K и модуля сдвига μ .

3.8. Две гармонические плоские акустические волны - одна в воде, другая в воздухе - имеют одинаковую интенсивность. (Интенсивность звука, или сила звука, - средняя по времени энергия, переносимая волной через единичную площадку, перпендикулярную к направлению распространения волны, в единицу времени. Для эле21

ментарного волнового пакета I = pv 2 = p 2 2ρc = v 2ρc 2 , p - амплитуда звукового давления, v - амплитуда колебательной скорости частиц, ρ - плотность среды, c - скорость звука) Показать, что амплитуда звукового давления в воде примерно в 60 раз больше, чем в воздухе. 3.9. Найти выражение для угла полной прозрачности Θ0 , при котором акустическая волна, падающая на границу раздела, полностью переходит из одной среды в другую. 3.10. Зависимость коэффициента поглощения от частоты имеет вид α (ω ) = α ∞ ω 2 τ 2 1 + ω 2 τ 2 . Восстановить уравнение. Использованы обозначения: k = k ′ + ik ′′ = ω c (ω ) + iα (ω ) - комплексное волновое число.

(

)

3.11. Найти фазовую и групповую скорость распространения сигнала по периодической цепочке частиц массы m , соединенных пружинками с жесткостью k . Написать уравнение для длинных волн. 3.12. Найти фазовую и групповую скорости распространения сигнала по одномернопериодической цепочке частиц, фундаментальная ячейка которой состоит из двух частиц массой m1 , m2 , соединенных пружинками с жесткостью k12 , k21 соответственно [6]. 3.13. Пусть фундаментальная ячейка одномерно-периодической монодисперсной неоднородной среды состоит из одного связного слоя среды M 1 = {c1 , ρ1} длиной (линейной концентрацией) k1 = k и одного связного слоя среды M 2 = {c2 , ρ2 } длиной (линейной концентрацией) k 2 , 1 = k1 + k 2 - безразмерная длина ячейки (пространственный период структуры), κ = c1 c2 - отношение скоростей звука, τ = ρ 2 ρ1 - отношение плотностей двух сред, ξ - волновое число, λ = ω c1 - безразмерная частота. Найти дисперсионные соотношения акустических волн. 3.14. В условиях предыдущей задачи найти фазовую скорость для длинных волн. Показать, что эта скорость может меньше скоростей звука в средах 1 и 2.

22

3.15. Методом Фурье найти решение уравнения Шредингера iΨt + Ψxx = 0,− ∞ < x < +∞ , t>0 с начальным условием ⎧⎪a , x < 1 a 2 Ψ (x,0) = ⎨ 2 ⎪⎩0, x > 1 a

3.16. Малые отклонения грузиков в цепочке “грузики - пружинки” описываются бесконечной системой уравнений d 2φ n (t ) dt 2 = φ n +1 (t ) + φ n −1 (t ) − 2φ n (t ) , n ∈ Z .

Найти решение этой системы уравнений, построить асимптотику решения при больших временах. 3.17. Подводная лодка, находясь на боевом дежурстве, легла на жидкий грунт (находится в состоянии нейтральной плавучести на некоторой глубине с которой возможен старт стратегических ракет и на которой она невидима). Найти частоту собственных вертикальных колебаний подводной лодки (частота Брента - Вяйсяля). В масштабах океана подводную лодку можно считать дифференциальной точкой, ρ = ρ 0 (z ) - плотность воды в океане в состоянии покоя. 3.18. В рамках линей ной теории найти частоты собственных колебаний воды в бассейне размерами a × b и глубиной h . При какой наименьшей глубине бассейна частоты собственных колебаний описываются при помощи теории волн на глубокой воде с точностью до 3% ?. Найти функцию тока собственных колебаний. 3.19. В каком случае наблюдатель, стоящий на берегу реки со скоростью течения u0 , может увидеть неподвижную стоячую волну с гребнями поперек русла реки? 3.20. Найти скорость передачи энергии в гиперболических и диспергирующих волнах. Примеры? 3.21. Привести примеры сред в которых групповая скорость больше фазовой и наоборот. Какой в этом физический смысл. 3.22. Во многочисленных рекомендациях по спасению в чрезвычайных ситуациях считается, что если во время шторма вылить в океан бочку масла, то волны вокруг корабля станут меньше и корабль может спастись. Оценить влияние масляной пленки на волны 23

в океане и на мелкой воде. Какого размера живые организмы могут спастись? 3.23. В рамках линейной теории волн на воде решить задачу Коши считая, что вертикальное смещение водной поверхности и вертикальная скорость в начальный момент времени зависят только от одной пространственной координаты. (При помощи метода Фурье). 3.24. Описать длинные волны на слое жидкости постоянной глубины, который медленно вращается с постоянной угловой скоростью ω . Выписать дисперсионные соотношения, найти фазовую и групповую скорости. [7]. 3.25. Описать длинные волны на воде в бесконечном канале постоянной глубины и ширины, который медленно вращается с постоянной угловой скоростью ω . [7]. 3.26. Цунами (в переводе с японского большая волна) в открытом океане имеет высоту порядка метра поэтому безопасна для кораблей. Почему разрушительная сила этой волны проявляется только около берега? 3.27. В Институте геологии и геофизики СО РАН разработан источник акустических колебаний для создания акустических импульсов, предназначенных для просвечивания Земли. Источник представляет собой куб из капролактана, в центре одной из граней проделано отверстие в которое подается масло под давлением p = 100 атмосфер. Оценить длительность и энергию акустического импульса, который возникает при мгновенном открытии отверстия. (Куб можно считать цилиндром длиной l с направляющей - окружностью радиуса b , по оси которого проделано отверстие радиуса a ) 3.28. Для дегазации угольных пластов в них, с поверхности земли, пробуривают сетку скважин. Метан, адсорбированный на углях пласта, частично переходит в газообразное состояние и выделяется через скважину. Если содержание метана в скважине более 3%, то выгодно этот метан вылавливать для применения в хозяйственных нуждах. Основной проблемой при дегазации является проблема интенсификации выделения метана. Проблема состоит из 2 частей. 24

1. Увеличение проницаемости призабойной зоны. Для этого используются следующие методы: а). Гидроразрыв пласта при помощи сильного повышения давления. б). Создание каверны в призабойной зоне при помощи резкого понижения давления, например при помощи газлифта. 2. Интенсификация перехода метана из жидкого или адсорбированного состояния в газообразное. Для этого в скважине создаются интенсивные акустические колебания либо с поверхности земли либо при помощи некоторых излучателе, находящихся в скважине. Пусть скважина имеет глубину H , слой воды в скважине имеет глубину h . Найти резонансные частоты колебаний в скважине, такие, чтобы пучность давления была напротив перфорации стенок скважины. ПерH форация находится на высоте ε от дна скважи- h ны, ε 0.

∫

∞

∫ (

)

0

4.3.

L(t ) =

1 ⎛ − α ⎜ x f (x )exp − te ⎜ ⎝

α

∫ 0

∞

4.4.

∫ (

⎞ ⎟dx . ⎟ ⎠

)

L(t ) = exp − tx + 1 + x dx . 0

π2

4.5.

4.6.

∫ exp[t cos( x )]dx .

L(t ) = L(t ) =

4

0 ∞

∫ exp(− tx )ln(1 + x + x )dx . 2

2

−∞

4.7. Исследовать трансформацию видеоимпульса u 1 1 и спектральной = sign(t + t0 ) − sign(t − t0 ) u0 2 2 u sin (ωt0 ) a (ω ) = 0 , u (x, t ) = π ω

с

формой

амплитудой

+∞

∫ a(ω)exp[ik (ω)x − iωt ]dω

при его рас-

−∞

ω ⎛⎜ ω p ⎞⎟ 1− 2 . c⎜ ω ⎟⎠ ⎝ уравнения Шредингера с начальным условием 2

пространении в среде с законом дисперсии k = 4.8. Найти решение iΨt + Ψxx = 0,− ∞ < x < +∞ ,

(

)

t>0

Ψ (x, 0) = a exp − a x , найти асимптотику этого решения при 2

t → +∞ методом перевала. 4.9. Найти асимптотику при t → +∞ решения уравнения колебаний балки , если начальные условия взять в виде δ - функции.

31

4.10.Найти асимптотику при t → +∞ решения уравнения для гравитационно-капиллярных волн на воде, если начальные условия взять в виде δ - функции. ВОЛНОВОЙ ФРОНТ 4.11. Из неоднородной пластины изготовлен параболический сегмент с границей γ = (x , y ): y = x 2 , 0 ≤ y ≤ 2000 ∪

{

}

{

}

∪ (x, y ): y = 2000,− 2000 ≤ x ≤ + 2000 . Найти положение равнове-

сия сегмента на произвольной поверхности в поле силы тяжести. 4.12. Пловец увидел плавник акулы на входе в параболическую бухту. Как ему добраться до ближайшей точки на берегу? 4.13. Найти зону поражения орудия, стреляющего в одном направлении. 4.14. На сухом лугу поджигатели разлили бензин по дорожке в форме прямоугольника, а затем его подожгли. Найти границу выгоревшей области в каждый момент времени. 4.15. То же самое, что и в предыдущей задаче, но для произвольной бензиновой дорожки. 4.16. Написать уравнение волнового фронта для уравнения u xx + u yy − c −2utt = 0 , если при t = 0 он совпадал с кривой второго порядка ax 2 + by 2 + c = 0 . 4.17. Написать уравнение волнового фронта для уравнения u xx + u yy + u zz − c −2utt = 0 , если при t = 0 он совпадал с поверхностью Платонова тела. 4.18. Полифем бросил в корабль Одиссея каменный куб, но не попал. Описать распространение волнового фронта, вызванного этим камнем. 4.19. Описать поведение волнового фронта от точечного источника для волнового уравнения u xx + u yy + u zz − c −2 utt = 0 , в котором ско-

рость распространения сигнала функция c = c(x, y , z ) . 4.20. Описать поведение бихарактеристик, проходящих через начало координат для уравнения u xx + u yy + u zz − c −2 utt = 0 , в котором

c (z ) = exp(εz ) . 4.21. Предполагая, что радиус окружности, в которой дельфин видит (слышит) рыбу равен R0 , описать зону съеденной рыбы, если

32

дельфин обедал в течении времени T , а его маршрут описывается кривой γ = {(x, y ): x = x (t ), y = y (t ), 0 ≤ t ≤ T }. 4.22. Зайчик щипал траву на поляне. Неожиданно он обнаружил, что во всех точках границы поляны с лесом на него нападает стая голодных лисичек. Определить оставшееся время жизни зайчика в зависимости от его начального положения, если скорости всех млекопитающих в данной задаче равны. Поляна имеет форму углового сегмента, зайчик умный, лисички хитрые. 4.23. Условия предыдущей задачи, поляна имеет форму параболического сегмента. 4.24. Условия предыдущей задачи, поляна имеет форму кругового сегмента. 4.25. В рамках линейной теории волн на глубокой воде решить задачу Коши считая, что в начальный момент времени вертикальное смещение водной поверхности h = 2ε 2ε x 2 + x02 . Найти асимптотику при x → +∞,t → +∞ . Проверить, что полная энергия волн при x > 0 составляет половину начальной потенциальной энергии. Куда исчезла вторая половина?

(

33

)

5.

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

Использована литература [2, 9, 10, 11] 5.1. Показать, что модифицированное уравнение Кортевега - де ut + 6u 2 u x + u xxx = 0 имеет солитонное решение Фриза

(

)

ksech kx − k 3t .

5.2. Для

уравнений

(

ρt + (ρu )x = 0, (ρu )t + ρu + A(ρ ρ0 ) − μu x γ

2

)

x

вязкого

газа

= 0 при помощи растя-

нутых координат ξ = ε (x − at ),τ = ε 2t , разлагая плотность и скорость в ряды по ε , показать, что ρ (1) удовлетворяет уравнению Бюргерса (1) ρ . 2ρ (τ1) + a (1 + γ )ρ (1)ρ ξ(1) ρ 0 = μρ ξξ 0

( )

5.3. Уравнение utt − c 2u xx + αL u 2 xx + L2u xxtt = 0 для L >> 1 описывает длинные продольные волны в упругих стержнях. Показать, что для εL = 1 , в растянутых координатах ξ = ε (x − ct ) , τ = cεt , u = εv если пренебречь производными по τ выше первого порядка, то получится уравнение v τ − αc −2 vvξ + (1 2 )vξξξ − vξξτ = 0 . 5.4. Построить ограниченное решение типа бегущей волны для уравнения Бюргерса ut + uu x = νu xx . Найти асимптотику решения при ν → 0 . 5.5. В момент времени t = 0 внезапно, при помощи неизвестной диверсионной группы, разрушается плотина водохранилища глубины H . В приближении мелкой воды определить зависимость формы свободной поверхности от времени, скорость движения водяного фронта по сухому руслу и зависимость расхода в створе плотины от времени. Для Новосибирской ГЭС оценить время, через которое на площади Ленина высота слоя воды будет равна 2 метрам. 5.6. Найти профиль уединенной волны, описываемой уравнением Кортевега - де Фриза ut + σuu x + u xxx = 0 , σ = const . 5.7. Найти решение уравнения Кортевега - де Фриза ηt + c0 (1 + 3η 2h0 )η x + γη xxx = 0 в виде уединенной волны. Ответ: η = η0sech 2 ⎡(x − Ut ) 3η0 4h02 ⎤ , U = c0 (1 + η0 2h0 ) . ⎢⎣ ⎥⎦ 34

5.8. Найти решение уравнения Кортевега - де Фриза ηt + c0 (1 + 3η 2h0 )η x + γη xxx = 0 в виде периодической бегущей волны. Вывести дисперсионное соотношение для таких волн. 5.9. Найти

решение

кубического

уравнения

Шредингера

2

iut + u xx + ν u u = 0 , ν > 0 в виде уединенной волны.

5.10. Найти периодические волновые пакеты и уединенные волны для уравнения Sin-Гордона φ tt − φ xx + sin φ = 0 . 5.11. Найти решение в виде уединенной волны для цепочки Тоды m&r&n = 2 f (rn ) − f (rn +1 ) − f (rn −1 ) , f (r ) = −α[1 − exp(− βr )] , n - целое. 5.12. Найти решение уравнения Борна Инфельда 1 − φt2 φ xx + 2φ x φt φ xt − 1 − φ 2x φtt = 0 в виде бегущей волны.

(

)

(

)

5.13. Имеет ли солитонное φ xx − φ tt + φ 2 xx + φ xxxx = 0 ?

решение

5.14. Показать,

для

( )

2

что

φt + i 3α φ φ x + βφ xx + iσφ xxx + δ φ

2

уравнение уравнения

= 0, αβ = σδ

Буссинеска Хироты существуют

двойные солитоны, которые определяются четырьмя параметрами. 5.15. Найти локализованное по x, y солитонное решение уравнения Кадомцева - Петвиашвили (ut + 6uu x + u xxx )x = u yy . 5.16. Шары Бьёркнесов. В безграничной жидкости пульсируют два газовых пузыря. Показать, что если они пульсируют в фазе, то притягиваются к друг другу, а в противофазе - отталкиваются [12]. 5.17. В рамках линейной теории волн на воде показать, что подводный однородный хребет является волноводом для волн на воде [12]. 5.18. Найти зону тени для луча (бихарактеристики волнового уравнения), выпущенного в цилиндрическое зеркало. Сравнить с бильярдным шаром. Объяснить эффект “шепчущей галереи”. 5.19. Скорости зайчика и лисы постоянны и равны u и v > u . Управляющими параметрами являются углы направления скоростей к некоторой оси. Написать уравнение для времени жизни зай-

35

чика и решить его. Ответ: 1 − (v − u ) Tx2 + T y2 = 0 (в системе отсчета “лиса”). 5.20. Имеет ли волна (в газе, упругом теле, на воде и т.п.) импульс? [13] 5.21. Описать гидравлические прыжки (бора) в открытых однородных каналах [4]. 5.22. Описать образование бора из простой волны в неоднородном (например сужающемся) канале. 5.23. При помощи теории нелинейного взаимодействия волн описать причину появления и движение 9го вала на картине Айвазовского “Девятый вал” [3]. 5.24. Построить картину волн от корабля движущегося с постоянной скоростью. (Воспользоваться теорией корабельных волн Кельвина) [2, 4, 14]. 5.25. Прогрессивная волна стационарной формы с прямыми гребнями на свободной поверхности тяжелой жидкости большой глубины движется с наибольшей возможной (до опрокидывания) амплитудой. Движение жидкости безвихревое. Известно, что при этих условиях жидкость вблизи гребня имеет форму клина с вершиной на гребне и двумя гранями, симметричными относительно вертикали. Покажите, что угол между гранями этого клина равен 120 0 [12]. 5.26. Опишите формы рупоров. Сколько наилучших форм и почему? Приведите примеры систем координат, в которых пространственные переменные волнового уравнения разделяются. Сколько таких систем координат? 5.27. Почему у граммофона раструб, а у CD проигрывателя его нет? При помощи [4] оценить повышение КПД граммофона с раструбом.

36

6.

ОТВЕТЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

2.5

2.6

h (x, y, t ) =

[x ch (t ) + xye 2

−t

] [

]

− y 2 sh (t ) + y 2 ch (t ) + xye − t − x 2 sh (t ) 2

(x + y )

2

2

x = x0 (1 − t ),

y = y0 (1 − t ) - характеристики,

h (x, y, t ) = x + 25 y 2 − 25(1 − t )2 2

2.7

Ψ (x, y, t ) = (x − 1)2 + y 2 − (1 − t )2

2.8

h ( x, y , z , t ) =

2.9

r1 = 1 + 2 u + v, r2 = 1 − 2 u + v

2.10

r1 = u +

2.11

r1 = −2u −1 2 + ln (v ), r2 = 2u −1 2 + ln (v )

2.12

⎧ ⎛⎜1 + u 2 + 1 ⎞⎟ ⎪ ⎝ ⎠ − 1 arcth⎛⎜ 1 ⎞⎟ + v ⎪ r1 = − 2 ⎜ 2 ⎟ 2 2u ⎪ ⎝ u +1 ⎠ ⎨ ⎛ − 1 + u2 + 1 ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ 1 ⎠ + arcth⎛⎜ 1 ⎞⎟ + v ⎪r = − ⎝ 2 2 ⎜ 2 ⎟ ⎪ 2 2u ⎝ u +1 ⎠ ⎩

2.13

r1 = u +

2.14

r1 =

2.15

⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ r1 = u − v, r2 = ln ⎢ − ctg (u )⎥ + ln ⎢ − ctg (v )⎥ ⎣ cos(u ) ⎦ ⎣ cos(v ) ⎦

2.16

r1 = ln (uv ), r2 = ln (u ) − ln (v )

2.18

r1 = ln (uv ), r2 = ln (u ) − ln (v )

(

)

(x + Ut )2 + y 2 + z 2 − R + c0t

(

)

2 32 2 v , r2 = u − v 3 2 3 3

2 32 2 v , r2 = u − v 3 2 3 3

4 34 4 u + 2v1 4 , r2 = u 3 4 − 4v1 4 3 3

37

−2

2.20

dx ± = ± σ′(u ) , r = v + dt

u

σ′(ξ )dξ , l = v −

∫ 0

u

∫

σ′(ξ )dξ

0

ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ . 3.6 3.7

ρ0 ∂ 2U ∂t 2 = (K + μ 3)grad divU + μΔU . cl =

(1 ρ0 )(K + 4μ 3) ,

ct = μ ρ0 .

[

] [(ρ

3.9

sin 2 Θ0 = (ρ 2 ρ1 )2 − (c1 c2 )2

3.10

∂u 1 ∂u ∂ + = α∞ ∂x c∞ ∂t ∂t

t

2

]

ρ1 )2 − 1 .

⎛ t − t′ ⎞ ⎟u (x, t ′)dt ′ τ ⎠

∫ exp⎜⎝ −

−∞

3.13

4τκ[1 + cos(2ξ )] − (τ + κ )2 {cos[λ (k − κk + κ ) + ξ ] + cos[λ (k − κk + κ ) − ξ ]}+

3.14

C™ (ξ, k , τ ) = τ κ k (1 − k ) = (c2 c1 ) τ k (1 − k ) .

3.27

Работа внешних сил на перемещение

+ (τ − κ )2 {cos[λ (k + κk − κ ) + ξ ] + cos[λ (k + κk − κ ) − ξ ]} = 0

[

Π=

]

) [(

) (

p2 a2 2πl a 2 + b 2 + ν b 2 − 2a 2 2 E b − a2

(

АСИМПТОТИКИ И ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ (ПЕРЕВАЛА) 4.1 4.2

L(t ) ≈ π t

−

3 4

(

)

exp − 2 t .

α+2 α ⎤ ⎡ 2π − 2 (α +1) L(t ) ≈ t exp ⎢− (1 + α )t α +1 ⎥ . α +1 ⎢⎣ ⎥⎦ 1

4.3

L(t ) ≈ f (0)(ln t )− α .

38

)]

L(t ) ≈

4.4

L(t ) ≈

4.5

e . t

2e t . t 3

L(t ) ≈ π 4t 2

4.6 4.7

4.9

При x → ∞ u (x, t ) ≈ u0 1 2

g π

2ω p t0 πω p τ

4

⎛ x xτ π ⎞⎟ cos⎜ 2ω p + . ⎜ 4 ⎟⎠ cτ c ⎝

⎛ gt 2 π ⎞ cos⎜⎜ − ⎟⎟ x3 ⎝ 4x 4 ⎠

t

39

ЛИТЕРАТУРА 1 Н.Н. Андреев О некоторых величинах второго порядка в акустике // Акуст. журн. 1955. Т. 1. Вып.1. С.3-11. 2 Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977. 624 стр. 3 М.Б. Виноградова, О.В. Руденко, А.П. Сухоруков. Теория волн. М.: Наука, 1990, 432 стр. 4 Джеймс Лайтхилл. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981. 598 стр. 5 Нелинейные волны. - М.: Мир, 1977. 6 Л. Бриллюэн, М. Пароди. Распространение волн в периодических структурах. М.: Изд-во иностранной литературы, 1959, 458 стр. 7 Л.Н. Сретенский. Динамическая теория приливов. М.: Наука, 1987, 472 стр. 8 М.В. Федорюк. Асимптотика. Интегралы и ряды. М.: Наука. 1987. 544 стр. 9 Солитоны. Ред. Р. Буллаф, Ф. Кодри. М.: Мир, 1983. 408 стр. 10 Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 696 стр. 11 М. Абловиц, Х. Сигур. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. 480 стр. 12 М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973, 416 стр. 13 Современная гидродинамика. Успехи и проблемы. Ред. Дж. Бэтчелор, Г. Моффат. М.: Мир, 1984. 504 стр. 14 Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе .Теоретическая гидромеханика. ч. 1. - М.: Физматгиз, 1963.

40