О дизъюнктивном свойстве в классе паранепротиворечивых расширений минимальной логики

Алгебра и логика, 43, N 2 (2004), 235—252

УДК 510.64

О ДИЗЪЮНКТИВНОМ СВОЙСТВЕ В КЛАССЕ ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВЫХ РАСШИРЕНИЙ МИНИМАЛЬНОЙ ЛОГИКИ М. В. СТУКАЧЕВА

В этой работе рассматривается дизъюнктивное свойство (DP) некоторых расширений минимальной логики Lj . Напомним, что логика L обладает дизъюнктивным свойством (обозначение: L ∈ DP), если из ϕ∨ψ ∈ L следует ϕ ∈ L или ψ ∈ L для любых формул ϕ, ψ. Имеется обширная литература, посвященная изучению указанного свойства в различных расширениях интуиционистской логики Li (см., напр., [1—4]). Данная работа направлена на выявление связей между наличием DP у логик класса INT промежуточных расширений минимальной логики, класса NEG негативных расширений минимальной логики и логик класса PAR собственно паранепротиворечивых расширений минимальной логики. В работе будет особо выделена логика LF класса PAR, играющая особую роль при трансляции дизъюнктивного свойства из класса PAR в класс NEG расширений Lj . Будет показано, что логика LF разрешима и обладает дизъюнктивным свойством.

§ 1. Некоторые предварительные замечания Здесь рассматриваются пропозициональные логики в языке h∨, ∧, ⊃, ⊥i, отрицание считается сокращением для формулы ¬ϕ = ϕ ⊃ ⊥, где ⊥ — константа ”противоречие“. Как обычно, логика — это множество формул, c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

236

М. В. Стукачева

замкнутое относительно правил подстановки и modus ponens. В дальнейшем понадобятся следующие логики: Lj — минимальная логика (или логика Иоганссона), Li = Lj + {⊥ ⊃ p} — интуиционистская логика, Lk = Lj + {p ∨ ¬p} — классическая логика, Ln = Lj + {¬p} — негативная логика, Lmn = Lj + {¬p} + {((p ⊃ q) ⊃ p) ⊃ p} — максимальная негативная логика, Le = Lj + {((p ⊃ q) ⊃ p) ⊃ p} — логика классической опровержимости [5], F — тривиальная логика, т. е. множество всех формул. Исчерпывающую информацию об алгебраической семантике и семантике Крипке перечисленных выше логик можно найти в [6—9]. Ниже приводятся лишь некоторые необходимые определения и факты. Пусть A — алгебра в сигнатуре h∧, ∨, ⊃, ⊥, 1i. Будем называть Aоценкой произвольное отображение V : {p0 , p1 , . . .} → A из множества пропозициональных переменных в основное множество алгебры A. Каждая A-оценка естественным образом распространяется на множество всех пропозициональных формул. Формула ϕ истинна в A (является тождеством алгебры A), символически A |= ϕ, если V (ϕ) = 1 для любой Aоценки V . Как и в [6, 7, 10] будем называть j-алгебрами импликативные решетки, рассматриваемые в сигнатуре h∧, ∨, ⊃, ⊥, 1i, где ⊥ интерпретируется как произвольный элемент решетки. Многообразию j-алгебр соответствует минимальная логика Lj (см. [8, 10]). Алгеброй Пирса (p-алгеброй) называется импликативная решетка, удовлетворяющая тождеству ((p ⊃ q) ⊃ p) ⊃ p. Удовлетворяющую этому тождеству j-алгебру называем (как и в [6, 7, 10]) алгеброй Пирса– Иоганссона (pj-алгеброй). Негативной алгеброй Пирса (негативной pалгеброй) называется pj-алгебра с условием ⊥ = 1. Алгебры Пирса– Иоганссона, в которых противоречие является наименьшим элементом — это булевы алгебры.

О дизъюнктивном свойстве

237

Многообразия pj-алгебр, негативных p-алгебр и булевых алгебр определяют логику Le , логику Lmn и логику Lk соответственно [7, 10]. Пусть A = hA, ∨, ∧, ⊃, ⊥, 1i — произвольная j-алгебра. Будем называть верхней алгеброй (как и в [7, 10]), ассоциированной с j-алгеброй A, алгебру Гейтинга A⊥ с универсумом A⊥ = {a ∈ A | a ≥ ⊥} и операциями, индуцированными из A. Нижней алгеброй, ассоциированной с j-алгеброй A, называется негативная алгебра A⊥ с универсумом A⊥ = {a ∈ A | a ≤ ⊥}, операциями ∧, ∨, индуцированными из A, и импликацией, определенной по правилу x ⊃⊥ y ⇋ (x ⊃ y) ∧ ⊥. В [6, 7, 10] описывается структура класса расширений минимальной логики. В частности, пусть JHN — класс всех нетривиальных расширений минимальной логики Lj , INT — класс всех промежуточных логик (т. е. всех расширений Lj , для которых справедлив закон ⊥ ⊃ p), NEG — класс негативных логик (расширений Lj , содержащих аксиому ¬p (или ⊥)), и PAR ⇋ JHN − (INT ∪ NEG) — класс всех собственно паранепротиворечивых расширений Lj . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1 [6]. Для любой логики L ∈ JHN выполняются условия: 1) L ∈ INT ⇔ Li ⊆ L ⊆ Lk ; 2) L ∈ NEG ⇔ Ln ⊆ L ⊆ Lmn ; 3) L ∈ PAR ⇔ Lj ⊆ L ⊆ Le . Для произвольного расширения L минимальной логики определяются интуиционистский и негативный напарники (см. [10]), а именно: Lint ⇋ {ϕ | L ⊢ I(ϕ)}, где трансляция I(ϕ(p0 , p1 , . . . , pn )) ⇋ ϕ(p0 ∨ ∨ ⊥, p1 ∨ ⊥, . . . , pn ∨ ⊥) определена для формулы с пропозициональными переменными из списка p0 , p1 , . . . , pn ; Lneg ⇋ {ϕ | L ⊢ ⊥ ⊃ ϕ}. Известно [10], что модели интуиционистского и негативного напарников данного расширения L минимальной логики непосредственно связаны с моделью логики L. Имеет место ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2 [10]. Пусть L ∈ JHN. Верны условия:

238

М. В. Стукачева 1) если алгебра A является моделью логики L, то A⊥ |= Lint и A⊥ |=

Lneg ; 2) если алгебра A является характеристической моделью логики L, то LA⊥ = Lint и LA⊥ = Lneg . Пусть L1 ∈ INT и L2 ∈ NEG. Рассмотрим класс логик с фиксированными интуиционистским и негативным напарниками L1 и L2 ([6, 10]): Spec(L1 , L2 ) ⇋ {L ⊇ Lj | Lint = L1 , Lneg = L2 }. Кроме того, для L1 и L2 определяется логика L1 ∗L2 , называемая свободной комбинацией логик L1 и L2 , а именно: L1 ∗ L2 ⇋ Lj + {I(ϕ), ⊥ ⊃ ψ | ϕ ∈ L1 , ψ ∈ L2 }. Справедлива следующая семантическая характеризация свободной комбинации логик. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3 [10]. Пусть L1 ∈ INT, L2 ∈ NEG, A — произвольная j-алгебра. Тогда A |= L1 ∗ L2 в том и только том случае, если A⊥ |= L1 и A⊥ |= L2 . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.4 [10]. Пусть L1 ∈ INT и L2 ∈ NEG. Тогда Spec(L1 , L2 ) = [L1 ∗ L2 , L1 ∩ L2 ]. Имеет место следующее представление j-алгебр, позволяющее описывать классы моделей для логик, лежащих внутри интервалов вида [L1 ∗ L2 , L1 ∩ L2 ], где L1 ∈ INT, L2 ∈ NEG. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5 [7]. Пусть A — произвольная j-алгебра, отображение fA : A⊥ → A⊥ задано правилом fA (x) = ⊥ ∨ (⊥ ⊃ x). Тогда справедливы следующие свойства: 1) отображение fA : A⊥ → A⊥ является полурешеточным гомоморфизмом, сохраняющим пересечение и наибольший элемент (fA (⊥) = = 1); 2) вложение λ⊥ : A → A⊥ × A⊥ , где λ⊥ (x) = (x ∨ ⊥, x ∧ ⊥), имеет следующий образ λ⊥ (A) = {(x, y) | x ≤ fA (y), x ∈ A⊥ , y ∈ A⊥ }.

О дизъюнктивном свойстве

239

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.6 [10]. Пусть B, C — произвольные гейтингова и негативная алгебры соответственно, f — любой полурешеточный гомоморфизм из C в B (сохраняющий пересечение и наибольший элемент) и |B ×f C| ⇋ {(x, y) | x ∈ B, y ∈ C, x ≤ f (y)}. Решетка A ⇋ B×f C имеет естественную структуру j-алгебры, причем псевдодополнение задается по формуле (x1 , y1 ) ⊃ (x2 , y2 ) = ((x1 ⊃ x2 ) ∧ f (y1 ⊃ y2 ), y1 ⊃ y2 ), а единица и противоречие выглядят в A следующим образом: 1A = (1B, ⊥C ) и ⊥A = (⊥B , ⊥C ). Кроме того, B ∼ = A⊥ . = A⊥ и C ∼ Теперь обратимся к фактам, касающимся семантики Крипке для расширений минимальной логики (см. [9]). Будем называть j-шкалой Крипке (или просто j-шкалой), тройку µ = hW, R, Qi, где W — множество возможных миров, R — отношение достижимости такое, что hW, Ri — обычная шкала Крипке для интуиционисткой логики, т. е. частично упорядоченное множество, Q ⊆ W — конус относительно R, называемый конусом ненормальных миров (подмножество X ⊆ W называется конусом относительно отношения R, если из того, что x ∈ X и xRy, следует y ∈ X). Миры, не входящие в Q, называются нормальными. Шкала называется острой, если она имеет наименьший элемент. Как обычно, означивание V j-шкалы µ — это отображение из множества пропозициональных переменных в множество конусов порядка hW, Ri. Модель M = hµ, V i — это пара, состоящая из шкалы и ее означивания. Выполнимость константы ⊥ на произвольной модели M = hW, V i определяется следующим образом: M |=x ⊥ ⇔ x ∈ Q. В остальном отношение выполнимости формул на модели M определяется аналогично выполнимости на обычных моделях Крипке для интуиционистской логики.

240

М. В. Стукачева Как обычно, говорим, что формула ϕ истинна на модели M = hµ, V i,

M |= ϕ, если для любого x ∈ W выполняется M |=x ϕ. Формула ϕ истинна на j-шкале µ, µ |= ϕ, если она истинна на модели hµ, V i для произвольного означивания V j-шкалы µ. Формула ϕ общезначима на классе K j-шкал Крипке, если µ |= ϕ для любой j-шкалы µ ∈ K. Говорим, что j-шкала µ является моделью для логики L ∈ JHN, µ |= L, если µ |= ϕ для всех ϕ ∈ L. Для логики L ∈ JHN и класса j-шкал K определим Mod(L) ⇋ {µ | µ |= L}, LK ⇋ {ϕ | ∀µ ∈ K(µ |= ϕ)}. Логика L ∈ JHN полна по Крипке, если L = LMod(L). Логика L ∈ JHN характеризуется классом j-шкал K, если L = LK. Логика называется финитно аппроксимируемой, если она характеризуется классом конечных шкал Крипке. Если L ⊇ Lj , то канонической моделью логики L называется модель Крипке ML = hTL , ⊆, QL , VL i, где элементами TL являются L-полные множества формул (см. [9]), QL = {x ∈ TL | ⊥ ∈ x} и VL (p) = {x ∈ TL | p ∈ x}. ТЕОРЕМА 1.1 (о канонической модели) [9]. Для любой логики L ∈ ∈ JHN и любой формулы ϕ выполняется ∀x ∈ TL (ϕ ∈ x тогда и только тогда, когда ML |=x ϕ). Пусть M = hW, R, Q, V i — произвольная модель, а Ψ — множество формул, замкнутое относительно подформул. Отношение x ∼ y ↔ ∀ϕ ∈ ∈ Ψ[M |=x ϕ ↔ M |=y ϕ] является отношением эквивалентности на W . Пусть [x] = {y ∈ W | x ∼ y}. Модель M′ = hW ′ , R′ , Q′ , V ′ i называется фильтрацией M по Ψ, где W ′ = {[x] | x ∈ W }, [x]R′ [y] ↔ ∀ϕ ∈ Ψ[M |=x ϕ → M |=y ϕ], Q′ = {[x] ∈ T ′ | ⊥ ∈ Ψ, x ∈ Q}, V ′ (p) = {[x] ∈ T ′ | p ∈ Ψ, x ∈ V (p)}. ТЕОРЕМА 1.2 (фильтрации) [9]. Если M — модель, а Ψ — множество формул, замкнутое относительно подформул, то для любой формулы ϕ ∈ Ψ и всех x ∈ M выполняется M |=x ϕ ↔ M′ |=[x] ϕ.

О дизъюнктивном свойстве

241

В дальнейшем нам понадобится следующий cемантический критерий дизъюнктивного свойства. Пусть шкалы µ1 = hW1 , R1 , Q1 i и µ2 = hW2 , R2 , Q2 i такие, что W1 ∩ W2 = ∅, тогда через µ1 + µ2 обозначается шкала µ = hW, R, Qi, где W = W1 ∪ W2 , R = R1 ∪ R2 и Q = Q1 ∪ Q2 . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.7 (семантический критерий свойства DP у расширений минимальной логики). Пусть логика L ⊇ Lj характеризуется классом K шкал Крипке. Логика L обладает дизъюнктивным свойством, если для любых шкал µ1 , µ2 ∈ M таких, что W1 ∩ W2 = ∅, существует острая шкала µ0 ∈ K, в которой µ1 + µ2 является конусом. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО аналогично случаю расширений интуиционистской логики.

§ 2. Дизъюнктивное свойство напарников паранепротиворечивых расширений минимальной логики Настоящий параграф посвящён изучению трансляций дизъюнктивного свойства DP в классах INT, NEG, PAR расширений минимальной логики. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Если L ∈ PAR и L ∈ DP, то Lint ∈ DP. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть L ∈ PAR и L ∈ DP. Покажем, что из ϕ ∨ ψ ∈ Lint следует ϕ ∈ Lint или ψ ∈ Lint для произвольных формул ϕ, ψ. Имеем: ϕ ∨ ψ ∈ Lint ⇒ I(ϕ ∨ ψ) ∈ L (по определению интуиционистского напарника). Так как для трансляции I(θ) справедливо I(ϕ ∨ ψ) = I(ϕ) ∨ I(ψ) и L обладает дизъюнктивным свойством, то I(ϕ) ∈ L или I(ψ) ∈ L, а значит, ϕ ∈ Lint или ψ ∈ Lint . 2 Таким образом, дизъюнктивное свойство паранепротиворечивой логики наследуется ее интуицинонистским напарником. Важно отметить, что аналогичное утверждение для негативного напарника неверно. В качестве контрпримера рассмотрим логику Lj EQ 1 ⇋ Lj + {⊥ ⊃ p ∨ (p ⊃ q)},

242

М. В. Стукачева

введенную в [9]. В [7] показано, что Lj EQ 1 = Li ∗ Lmn . В [9] утверждается, хотя и без доказательства, что логика Lj EQ 1 характеризуется классом IdQ 1 всех таких j-шкал Крипке µ = hW, R, Qi, что ∀x ∈ Q [xRy ⇒ ⇒ yRx]. Покажем истинность этого утверждения, необходимого для проверки Lj EQ 1 ∈ DP. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Логика Lj EQ 1 характеризуется классом IdQ 1 . Q ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть µ ∈ IdQ 1 . Предположим, что µ 6|= Lj E1 .

Тогда существует элемент x ∈ µ, для которого x 6|= ⊥ ⊃ p ∨ (p ⊃ q) ⇔ (существует y ∈ W такой, что y ∈ Q и y 6|= p ∨ (p ⊃ q)) ⇔ ∃y ∈ Q (xRy и y 6|= p и y 6|= p ⊃ q) ⇔ ∃y ∈ Q (xRy и y 6|= p и ∃z ∈ W (yRz, z |= p, z 6|= q)). Так как y ∈ Q и yRz, то учитывая µ ∈ IdQ 1 , получаем zRy, а следовательно, z 6|= p. Противоречие. Q Пусть теперь Lj EQ 1 0 ϕ. Тогда существует такое Lj E1 -полное мно-

жество x, что ϕ 6∈ x, и по теореме о канонической модели формула ϕ опровергается на канонической модели ML

Q j E1

. Таким образом, для завер-

шения доказательства достаточно показать, что ML Пусть, напротив, ML элементы x, y ∈ QL

Q j E1

Q j E1

Q j E1

∈ IdQ 1 .

6∈ IdQ 1 . Следовательно, существуют такие

, что y ⊆ x и y 6⊇ x. Тогда для некоторой формулы

ϕ имеем ϕ ∈ x и ϕ 6∈ y. С другой стороны, x является Lj EQ 1 -полным множеством, а значит, и Lj EQ 1 -непротиворечивым, поэтому существует формула ψ такая, что ψ 6∈ x. Итак, ϕ ⊃ ψ 6∈ x, откуда ϕ ⊃ ψ 6∈ y. Из ϕ 6∈ y и y |= ⊥ получаем y 6|= ⊥ ⊃ ϕ ∨ (ϕ ⊃ ψ), а это противоречит LL

Q j E1

-полноте

множества y. 2 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Логика LL

Q j E1

обладает дизъюнктивным

свойством. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть µ1 = hW1 , R1 , Q1 i и µ2 = hW2 , R2 , Q2 i — произвольные шкалы класса IdQ 1 . Рассмотрим шкалу µ0 , построенную следующим образом:

О дизъюнктивном свойстве

243

W = W1 ∪ W2 ∪ {n}; Q = Q1 ∪ Q2 . Определим отношение R: ∀x ∈ W nRx; ∀x, y ∈ W1 xRy ↔ xR1 y; ∀x, y ∈ W2 xRy ↔ xR2 y. Очевидно, что шкала µ0 принадлежит классу IdQ 1 и µ1 + µ2 является конусом в µ0 . Согласно семантическому критерию имеем Lj EQ 1 ∈ DP. 2 Приведенный пример показывает, что возможна ситуация, когда интуиционистский напарник и сама паранепротиворечивая логика обладают дизъюнктивным свойством, но негативный напарник таким свойством не обладает. Для определения условий трансляции дизъюнктивного свойства логики класса PAR в случае негативного напарника нам понадобятся некоторые предварительные результаты. Введем для дальнейшей работы аксиому F : (⊥ ⊃ p ∨ q) ⊃ (⊥ ∨ (⊥ ⊃ p) ∨ (⊥ ⊃ q)). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Для произвольной j-алгебры A выполняется A |= Lj + F в том и только том случае, если отображение fA является решеточным гомоморфизмом. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Представим j-алгебру A в виде A⊥ ×fA A⊥ , возьмем произвольные элементы (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ A и вычислим (далее опустим нижний индекс в записи fA ): ((⊥, ⊥) ⊃ (x1 , y1 ) ∨ (x2 , y2 )) ⊃ (⊥, ⊥) ∨ ((⊥, ⊥) ⊃ (x1 , y1 )) ∨ ((⊥, ⊥) ⊃ (x2 , y2 )) = = (f (y1 ∨ y2 ), y1 ∨ y2 ) ⊃ (⊥, ⊥) ∨ (f (y1 ), y1 ) ∨ (f (y2 ), y2 ) = (f (y1 ∨ y2 ), y1 ∨ y2 ) ⊃ (f (y1 ) ∨ f (y2 ), ⊥) = (f (y1 ∨ y2 ) ⊃ f (y1 ) ∨ f (y2 ), ⊥) = (1, ⊥). Последнее равенство имеет место тогда и только тогда, когда f (y1 ∨ ∨f (y2 )) ⊃ f (y1 ) ∨ f (y2 ) = 1 ⇔ f (y1 ∨ y2 ) = f (y1 ) ∨ f (y2 ), т. е. f — решеточный гомоморфизм. 2

244

М. В. Стукачева Предложение 2.4 показывает, что логика LF ⇋ Lj + (⊥ ⊃ p ∨ q) ⊃ (⊥ ∨ (⊥ ⊃ p) ∨ (⊥ ⊃ q)) = Lj + F

определяется упомянутым свойством ”быть решеточным гомоморфизмом“ для отображений вида fA . СЛЕДСТВИЕ 2.1. Для любой логики L ⊇ Lj включение LF ⊆ L выполняется в том и только том случае, если соответствующее отображение fA произвольной модели A |= L является решеточным гомоморфизмом. Непосредственно из определения интуиционистского и негативного напарников логики класса PAR можно заключить, что (LF )int = Li и (LF )neg = Ln , другими словами, LF ∈ [Lj , Le′ ]. Кроме того, выполняется следующее предложение, касающееся аксиомы F. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.5. Для любых L1 ∈ INT, L2 ∈ NEG L1 ∗ L2 + {F} = 6 L1 ∗ L2 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим j-алгебру A, устроенную следующим образом: A⊥ |= L1 ; A⊥ — 4-х элементная алгебра Пирса с носителем {0, a, b, ⊥}, где 0 ≤ a ≤ ⊥, 0 ≤ b ≤ ⊥, а элементы a и b несравнимы; fA (⊥) = 1, fA (x) = ⊥ для любого x ∈ A⊥ и x 6= ⊥. Так как Lmn ⊇ L2 , то A⊥ |= L2 . Согласно семантической характеризации свободной комбинации (предлож. 1.3) имеем A |= L1 ∗ L2 . Очевидно, отображение fA не является решеточным гомоморфизмом. Действительно, fA (a ∨ b) = fA (⊥) = 1 6= ⊥ = ⊥ ∨ ⊥ = fA (a) ∨ fA (b). Поскольку L1 ∗ L2 + {F} ⊇ LF и по следствию 2.1, получаем A 2 2 L1 ∗ L2 + {F}. 2 Следующее предложение непосредственно касается дизъюнктивного свойства негативного напарника. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.6. Пусть L ∈ PAR, LF ⊆ L. Если L ∈ DP, то Lneg ∈ DP.

О дизъюнктивном свойстве

245

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для произвольных формул ϕ, ψ справедливы ϕ ∈ / Lneg и ψ ∈ / Lneg . Покажем, что ϕ ∨ ψ ∈ / Lneg . По определению негативного напарника ⊥ ⊃ ϕ ∈ / L и ⊥ ⊃ ψ ∈ / L, следовательно, ⊥ ∨ (⊥ ⊃ ϕ) ∨ (⊥ ⊃ ψ) ∈ / L. По условию F ∈ L, откуда (⊥ ⊃ ϕ ∨ ψ) ∈ /Lи ϕ∨ψ ∈ / Lneg . 2 СЛЕДСТВИЕ 2.2. Пусть L ∈ PAR и для любой модели A |= L отображение fA является решеточным гомоморфизмом. Если L ∈ DP, то Lneg ∈ DP. В заключение стоит отметить, что наличие дизъюнктивного свойства у негативного и интуицинистского напарников не гарантирует его наличия у логик соответствующего интервала. ЗАМЕЧАНИЕ. Для любых логик L1 ∈ INT, L2 ∈ NEG пересечение L1 ∩ L2 не обладает дизъюнктивным свойством. Этот факт очевиден, поскольку L1 ∩ L2 ⊢ ⊥ ∨ (⊥ ⊃ p), однако L1 ∩ L2 0 ⊥ и L1 ∩ L2 0 ⊥ ⊃ p. § 3. Дизъюнктивное свойство логики LF В предыдущем параграфе было показано, что дизъюнктивное свойство DP негативного напарника логики класса PAR полностью определяется его наличием у данной паранепротиворечивой логики и определенным в предыдущем параграфе условием на соответствующие отображения вида fA . Представляется интересным вопрос о наличии дизъюнктивного свойства у логики LF , определяемой упомянутым условием. Прежде обратимся к некоторым необходимым в дальнейшем фактам. ТЕОРЕМА 3.1 (Диего) [2]. Для любого n > 0 множество Σn формул, построенных из пропозициональных переменных p1 , p2 , . . . , pn с использованием связок ∧, ⊃ и ¬, содержит конечное число попарно неэквивалентных относительно Li формул. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. В произвольной j-алгебре любое замыкание конечного множества элементов относительно операций ∧, ⊃ конечно.

246

М. В. Стукачева Для доказательства нам потребуется следующая простая ЛЕММА 3.1. Пусть An — замыкание множества {a1 , . . . , an } эле-

ментов j-алгебры A относительно операций ∧, ⊃. Тогда An имеет наименьший элемент. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Индукцией по сложности соответствующих термов покажем, что элемент x = a1 ∧ a2 ∧ . . . ∧ an является наименьшим в An . 1. Для любого i, 1 6 i 6 n, выполняется x ≤ ai . 2. Пусть bk ∈ An , bl ∈ An и x ≤ bk , x ≤ bl . Тогда x ≤ bk ∧ bl и x ≤ bl ≤ bk ⊃ bl по свойствам импликативных решеток. Таким образом, для любого элемента b ∈ An имеем x ≤ b. 2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО предложения 3.1. Пусть A — произвольная j-алгебра сигнатуры h∧, ∨, ⊃, ⊥i, An — замыкание множества элементов {a1 , . . . , an , ⊥} из A с помощью операций ∧, ⊃. В силу леммы 3.1, An имеет наименьший элемент ⊥′ . Рассмотрим j-алгебру B сигнатуры h∧, ∨, ⊃, ⊥′ i с универсумом B = = A. Пусть Bn — замыкание множества {a1 , . . . , an , ⊥} относительно ∧, ⊃, ¬ (¬a = a ⊃ ⊥′ ). Ясно, что Bn = An . С другой стороны, Bn есть замыкание ′

конечного множества элементов гейтинговой алгебры B⊥ относительно ∧, ⊃ и ¬. Согласно теореме Диего, Bn конечна, а значит, конечна и An . 2 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2 (аналог теоремы Диего для минимальной логики). Пусть Ψ(ϕ1 , . . . , ϕn ) — множество всех формул, построенных из произвольных формул ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn (n > 1) с помощью константы ⊥ и логических связок ∧, ⊃. Тогда множество Σ = {[ϕ] | ϕ ∈ Ψ(ϕ1 , . . . , ϕn )}, где [ϕ] — класс эквивалентности относительно Lj , конечно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем эквивалентность условий предложений 3.1 и 3.2. 3.2 ⇒ 3.1. Пусть Fω — ω-порожденная свободная j-алгебра. Известно, что элементами Fω являются в точности классы эквивалентных формул. Пусть Fωn — замыкание множества [ϕ1 ], [ϕ2 ], . . . , [ϕn ] элементов (классов эквивалентных формул с произвольными представителями ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn

О дизъюнктивном свойстве

247

соответственно) j-алгебры Fω относительно указанных операций. По предложению 3.2 подмножество Σ(ϕ1 , . . . , ϕn ) ⊆ Ψ(ϕ1 , . . . , ϕn ) всех попарно неэквивалентных относительно Lj формул конечно, другими словами, замыкание Fωn конечно. Любая n-порожденная с помощью рассматриваемых операций подалгебра F n является гомоморфным образом Fωn , поэтому она конечна. 3.1 ⇒ 3.2. Любое конечно порожденное указанным образом замыкание ω-порожденной свободной j-алгебры Fω конечно, поэтому существует лишь конечное число попарно неэквивалентых формул, построенных из конечного числа пропозициональных переменных с помощью ∧, ⊃ и ⊥. 2 Определим класс K конечных шкал Крипке: K ⇋ {µ = hW, ⊑, Qi | множество W конечно, и ∀x ∈ W множество {x}+ ∩Q либо пустое, либо имеет наименьший элемент}, где {x}+ = {y ∈ W | x ⊑ y}. ТЕОРЕМА 3.2. Логика LF характеризуется классом K. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем корректность логики LF относительно указанного класса шкал. Предположим существование шкалы µ ∈ ∈ K такой, что µ 6|= F. Тогда существует элемент x0 ∈ W , для которого x0 6|= (⊥ ⊃ p ∨ q) ⊃ ⊥ ∨ (⊥ ⊃ p) ∨ (⊥ ⊃ q), это имеет место в том и только том случае, если существует такой элемент y ∈ W , что x0 ⊑ y и y |= (⊥ ⊃ p ∨ q), y 6|= ⊥, y 6|= ⊥ ⊃ p, y 6|= ⊥ ⊃ q. Последнее в свою очередь равносильно следующему: ∃y ⊒ x0 [y |= ⊥ ⊃ p ∨ q) и y 6∈ Q, y 6|= ⊥ ⊃ p, y 6|= ⊥ ⊃ q] ⇔ ⇔ ∃y ⊒ x0 [∀z((y ⊑ z и z ∈ Q) ⇒ z |= p ∨ q) и y 6∈ Q, ∃n ⊒ y(n ∈ Q и n 6|= p), ∃m ⊒ y(m ∈ Q и m 6|= q)]. Если {y}+ ∩ Q = ∅, то z 6∈ Q для любого z из конуса {y}+ , а это противоречит условиям ∃n ⊒ y(n ∈ Q и n 6|= p), ∃m ⊒ y(n ∈ Q и n 6|= q). Если {y}+ ∩ Q имеет наименьший элемент t, то t ⊑ n и t ⊑ m, следовательно,

248

М. В. Стукачева

t 6|= p ∨ q, что противоречит конъюнктивному члену ∀z((y ⊑ z и z ∈ Q) ⇒ ⇒ z |= p ∨ q) цепочки преобразований. Корректность показана. Полнота. Пусть LF 0 ψ для некоторой формулы ψ. Тогда существует такое LF -полное множество x, что ψ 6∈ x и, следовательно, по теореме о канонической модели формула ψ опровергается на MLF . Пусть Ψ0 — множество всех подформул формулы ψ, Ψ — замыкание Ψ0 ∪ {⊥} относительно ∧ и ⊃. Рассмотрим модель M′ = hT ′ , R′ , Q′ , V ′ i — фильтрацию MLF по Ψ, где T ′ является множеством классов эквивалентности (x ∼ y ⇔ x ∩ Ψ = = y ∩ Ψ); Q′ = {[x] ∈ T ′ | ⊥ ∈ x} (важно отметить, что Q′ 6= ∅; действительно, так как LF 0 ⊥ ⊃ p, то QLF 6= ∅; тогда существует по крайней мере один элемент x0 ∈ QLF , причем (x0 ∩ Ψ) ⊇ {⊥}, следовательно, существует по крайней мере один класс эквивалентности [x0 ], принадлежащий конусу Q′ ); [x]R′ [y] ⇔ x ∩ Ψ ⊆ y ∩ Ψ; V ′ (p) = {[x] ∈ T ′ | p ∈ Ψ и p ∈ x}. Согласно аналогу теоремы Диего для Lj , множество Ψ содержит конечное число попарно неэквивалентных относительно Lj формул. Тем более, Ψ содержит конечное число попарно неэквивалентных относительно LF формул. Любое множество x ∈ TLF вместе с каждой формулой ϕ содержит и все формулы, эквивалентные ϕ относительно LF , поэтому имеется лишь конечное число вариантов пересечения множеств x и Ψ. Значит, множество T ′ конечно. По теореме фильтрации M′ 2 ψ. Покажем, что шкала µ′ модели M′ принадлежит классу K. Пусть, напротив, существует такой элемент [x0 ] ∈ T ′ , что множество {[x0 ]}+ ∩Q′ непусто, причем определяется несравнимыми элементами [x1 ], . . . , [xn ], т. е. [y] ∈ {[x0 ]}+ ∩ Q′ ↔ [xj ]R′ [y] для некоторого j. По определению R′ для любого не сравнимого с [xj ] элемента [y] существует такая формула αy ∈ Ψ, что xj |= αy и y 2 αy . Пусть V qj = αy . Тогда xj |= qj и, так как множество Ψ замкнуто относительно y

∧, получаем qj ∈ Ψ, следовательно, [xj ] |= qj .

О дизъюнктивном свойстве ЛЕММА 3.2. Имеет место x0 |= ⊥ ⊃

W j

249

qj , где x0 ∈ TLF является

представителем класса [x0 ]. ⊃

W

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, пусть x0 2 ⊥ ⊃ W qj . Тогда существует такой элемент y ∈ {x0 }+ , что y |= ⊥ и y 2 qj ,

j

j

т. е. y ∈ QLF и y 2 qj для любого j. Рассмотрим элемент [y] ∈ T ′ . Так как x0 ⊑ y, то [x0 ]R′ [y] и [y] ∈ ∈ {[x0 ]}+ ∩ Q′ . Тогда существует j такое, что [xj ]R′ [y], откуда следует [y] |= qj и y |= qj , так как qj ∈ Ψ; получаем противоречие. 2 Продолжим доказательство полноты. Так как x0 ∈ TLF есть LF полное множество формул, то, применив достаточное число раз аксиому W W F к x0 |= ⊥ ⊃ qj , получим x0 |= (⊥ ⊃ qj ). j

j

С другой стороны, по определению qj имеем следующее: поскольку неверно, что [xj ]R′ [xi ], то qj содержит в качестве конъюнктивного члена формулу αxi , для которой xj |= αxi и xi 2 αxi . Следовательно xi 2 qj для любых i 6= j, 1 6 i, j 6 n. А так как qj ∈ Ψ, то [xi ] 2 qj . Таким образом, выполняется [xi ] 2 ⊥ ⊃ qj для всех i 6= j, где 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 n. Из [x0 ]R′ [xi ] вытекает [x0 ] 2 ⊥ ⊃ qj для любого j. Учитывая, что множество Ψ замкнуто относительно ⊥ и ⊃, имеем ⊥ ⊃ qj ∈ Ψ. По теореме фильтрации x0 2 ⊥ ⊃ qj для любого j, получаем противоречие. Итак, для любого элемента [x] ∈ T ′ множество {[x]}+ ∩Q′ либо пустое, либо имеет наименьший элемент, т. е. µ′ ∈ K. Кроме того, построена модель hµ′ , V ′ i, на которой опровергается формула ψ. 2 СЛЕДСТВИЕ 3.1. Логика LF разрешима. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Требуемое вытекает из известной теоремы Харропа (см. [2]), поскольку LF конечно аксиоматизируема и финитно аппроксимируема. 2 ТЕОРЕМА 3.3. Логика LF обладает дизъюнктивным свойством. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно применить семантический критерий дизъюнктивного свойства к классу K′ всех острых шкал класса K. Пусть µ1 = hW1 , ⊑1 , Q1 i, µ2 = hW2 , ⊑2 , Q2 i — острые шкалы класса K соответственно с наименьшими элементами o1 , o2 , W1 ∩ W2 = ∅.

250

М. В. Стукачева Будем строить новую острую шкалу µ = hW, ⊑, Qi класса K, содер-

жащую µ1 , µ2 в качестве подшкал, в каждом из возможных случаев. С л у ч а й A: Q1 = Q2 = ∅. Рассмотрим следующую шкалу µ: W = W1 ∪ W2 ∪ {n}; Q = ∅; отношение ⊑ определено так ∀x ∈ W : n ⊑ x, ∀x, y ∈ W1 : x ⊑ y ↔ x ⊑1 y, ∀x, y ∈ W2 : x ⊑ y ↔ x ⊑2 ⊑2 y. Очевидно, что µ ∈ K. С л у ч а й B: Q1 6= ∅, Q2 = ∅. Рассмотрим следующую шкалу µ: W = W1 ∪ W2 ∪ {n}; Q = Q1 ; отношение ⊑ определено аналогично случаю A. Шкала µ принадлежит классу K. Действительно, для любого x ∈ W1 множество {x}+ ∩ Q либо пустое, либо имеет наименьший элемент, так как µ1 ∈ K; для любого x ∈ W2 множество {x}+ ∩ Q является пустым, так как Q2 = ∅. Для нормального элемента n выполняется {n}+ ∩ Q = = {o1 }+ ∩Q1 по построению шкалы µ, а значит, {n}+ ∩Q либо пустое, либо имеет наименьший элемент. С л у ч а й C: Q1 6= ∅, Q2 6= ∅. Используя технику, предложенную в [4], построим новую острую шкалу µ, содержащую µ1 и µ2 в качестве подшкал, следующим образом: W = W1 ∪ W2 ∪ (W1 × W2 ); Q = Q1 ∪ Q2 ∪ (Q1 × Q2 ); отношение ⊑ определено так: x ⊑ y для x, y ∈ W тогда и только тогда, когда [x, y ∈ W1 и x ⊑1 y] или [x, y ∈ W2 и x ⊑2 y] или [x = hz1 , z2 i ∈ ∈ W1 × W2 , y ∈ W1 и z1 ⊑1 y] или [x = hz1 , z2 i ∈ W1 × W2 , y ∈ W2 и z2 ⊑2 y] или [x = hz1 , z2 i ∈ W1 × W2 , y = hz1′ , z2′ i ∈ W1 × W2 и z1 ⊑1 z1′ , z2 ⊑2 z2′ ]; наименьший элемент o = ho1 , o2 i. Ясно, что W1 и W2 являются конусами относительно R. Покажем, что шкала µ принадлежит классу K. Пусть z ∈ W — произвольный элемент шкалы µ. Возьмем множество {z}+ ∩ Q и рассмотрим все возможные

О дизъюнктивном свойстве

251

случаи. 1) Если z ∈ W1 , то {z}+ ∩ Q = {z}+ ∩ Q1 и множество {z}+ ∩ Q либо пустое, либо имеет наименьший элемент, так как µ1 ∈ K. 2) Случай z ∈ W2 аналогичен предыдущему. 3) Пусть z = hk1 , k2 i ∈ W1 × W2 . (a) Если {k1 }+ ∩ Q1 = ∅ и {k2 }+ ∩ Q2 = ∅, то {z}+ ∩ Q = ∅. Действительно, для любого x1 такого, что z ⊑ k1 ⊑1 x1 , выполняется x1 6∈ Q. Аналогично, для любого x2 такого, что z ⊑ k2 ⊑2 x2 , выполняется x2 6∈ Q. Для элемента вида hx1 , x2 i такого, что hx1 , x2 i ⊑ z, имеем hx1 , x2 i 6∈ Q1 × Q2 , так как k1 ⊑1 x1 и k2 ⊑2 x2 . (b) Если {k1 }+ ∩ Q1 6= ∅ и {k2 }+ ∩ Q2 = ∅, то {z}+ ∩ Q = {k1 }+ ∩ Q1 (действительно, по построению шкалы µ ненормальными элементами конуса {hk1 , k2 i}+ могут быть только ненормальные элементы конуса {k1 }+ , поскольку множество Q не содержит элементов вида hx1 , x2 i, где x1 ∈ Q1 и x2 6∈ Q2 ). Таким образом, множество {z}+ ∩ Q либо пустое, либо содержит наименьший элемент. (c) Если {k1 }+ ∩ Q1 6= ∅ и {k2 }+ ∩ Q2 6= ∅, то множество {z}+ ∩ Q имеет наименьший элемент q = hq1 , q2 i ∈ Q1 × Q2 , где q1 — наименьший элемент

множества {k1 }+ ∩ Q1 , q2 — наименьший элемент множества {k2 }+ ∩ Q2 . Действительно, для любого элемента n ∈ {k1 }+ ∩ Q1 имеем q ⊑ n, так как q1 ⊑1 n. Аналогично, для любого m ∈ {k}+ ∩ Q2 справедливо q ⊑ m, поскольку q2 ⊑ m. Кроме того, для любого элемента hx1 , x2 i ∈ {z}+ ∩Q1 ×Q2 выполняется q ⊑ hx1 , x2 i, учитывая, что q1 ⊑ x1 и q2 ⊑ x2 , как и ранее. Итак, в каждом из рассмотренных случаев новая острая шкала µ при-

надлежит классу K и содержит µ1 , µ2 в качестве подшкал. Согласно семантическому критерию, логика LF обладает дизъюнктивным свойством. 2 Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю С. П. Одинцову за постановку задачи и внимательное отношение к работе. ЛИТЕРАТУРА 1. A. Chagrov, M. Zakharyaschev, The undecidability of the Disjunction Property of propositional logics and other related problems, J. Symb. Log., 58, N 3

252

М. В. Стукачева (1993), 967—1002. 2. D. M. Gabbay, The decidability of the Kreisel–Putnam system, J. Symb. Log., 35, N 3 (1970), 431—437. 3. L. L. Maksimova, On maximal intermediate propositional logic with the Disjunction property, Stud. Log., 45, N 1 (1986), 69—75. 4. P. Minari, On the extensions of intuitionistic propositional logic with Kreisel– Putnam’s and Scott’s schemes, Stud. Log., 45, N 1 (1986), 55—68. 5. H. B. Curry, Foundations of mathematical logic, New York, McGrow-Hill Book Company, 1963. 6. S. P. Odintsov, Maximal paraconsistent extension of Johansson logic, Log. Anal., Nouv. S´er., 41, N 161-163 (2000), 107—120. 7. S. P. Odintsov, Representation of j-algebras and Segerberg’s logics, Log. Anal., Nouv. S´er., 42, N 165/166 (2000), 81—106. 8. H. Rasiowa, An algebraic approach to non-classical logics, Amsterdam, NorthHolland, 1974. 9. K. Segerberg, Propositional logics related to Heyting’s and Johansson’s, Theoria, 34 (1968), 26—61.

10. S. P. Odintsov, Logic of classical refutability and class of extensions of minimal logic, Log. Log. Philos., 7/8 (1999/2000).

Поступило 9 октября 2002 г. Окончательный вариант 16 апреля 2003 г. Адрес автора: СТУКАЧЕВА Марина Викторовна, Институт Математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. e-mail: [email protected]