Простейшие понятия теории множеств

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Радиотехнический факультет

Кафедра теоретических основ радиотехники Секция “Современная математика в инженерном образовании”

Ченцов А.Г. Простейшие понятия теории множеств

Екатеринбург – 2004

2

Введение. В данном пособии обсуждаются начальные сведения из теории множеств. В центре нашего рассмотрения — понятие множества, а также некоторые естественные операции над множествами. 1. Множества и свойства; содержательные рассуждения. Обсудим предварительно несколько простых содержательных примеров, не связанных с какой-либо формализацией. В этих примерах обсуждается вопрос о построении совокупностей каких-либо вещей (предметов). Термин “совокупность” будем заменять иногда термином “множество”, не вкладывая в это строгого смысла. Рассмотрим простой пример. В некотором кошельке K находятся три монеты, две из которых — достоинством в 1 рубль, а третья — достоинством в 2 рубля. Итак, монеты, обозначаемые сейчас в упомянутой выше очередности через A, B и C, составляют содержимое кошелька K. Именно, через A обозначена одна из “однорублевых” монет, через B — другая “однорублевая” монета, а через C — единственная “двухрублевая” монета. Монеты A и B настолько родственны, что их хотелось бы рассматривать как одно и то же. Если, однако, мы будем извлекать из K монеты в упомянутой очередности, т.е. сначала одну “однорублевую” монету, помечая ее индексом A, затем — вторую, отмечаемую как B, и, наконец, третью, т.е. “двухрублевую” монету, отмечаемую как C, то мы ясно видим, что родственных монет — две, а всего монет — три. Монеты A и B следует, стало быть, различать, несмотря на их равное достоинство. Содержимое кошелька можно теперь характеризовать множеством M = {A; B; C}, считая, что в этой совокупности M находятся монеты A, B, C и нет никаких других вещей или предметов. Мы могли бы анализировать монеты в другом порядке, извлекая например, сначала монету B, затем C и, в заключении A. Монеты при этом могут быть непомеченными и мы, просматривая их, можем присвоить названия A1 , B1 и C1 . Получаемая совокупность M1 = {A1 ; B1 ; C1 } отождествима, однако, с M в следующем смысле: какой бы предмет из M мы ни выбрали, он несомненно “найдется” в M1 и наоборот; при этом, конечно, одна и та же монета обозначена при построении M и M1 по-разному: A есть C1 , B есть A1 , C есть B1 . Можно считать по этой причине, множества M и M1 совпадающими. Итак, у нас есть единая совокупность — множество, полностью определяемое своими элементами. Некоторый дискомфорт вызывает, однако, наличие двух одинаковых “однорублевых” монет, которые объективно следует различать. В этой связи полезно коснуться понятия равенства двух произвольных объектов U и V , не обязательно связанных с нашим примером. Выражение U = V (имеет место равенство объектов U, V ) понимается в следующем естественном смысле: U есть в точности тот же самый объект, что и V . Во всяком случае, при условии U = V нет возможности рассматривать U в отдельности от V , коль скоро U и V — одна и та же “вещь”. Возвращаясь к нашим монетам A и B (или, на другом языке, C1 , A1 ), мы должны признать, что указанное выше требование у нас не выполняется: можно, например, рассматривать монету A, совершенно не интересуясь монетой B. Можно перемещать монету A, не перемещая B и т.д. Эти соображения позволяют отрицать свойство A = B, т.е. говорить о свойстве A 6= B, хотя монеты A и B “стопроцентно” идентичны. Последнее не означает, конечно, возможности каких-то второстепенных, с нашей точки зрения, различий монет: на одной есть царапина, а на другой — нет; одна из монет имеет изгиб и т.д. Разумеется, создать в виде B точную копию A и просто невозможно, но мы не акцентируем сейчас внимание на этой стороне дела. Все же, при несколько ином рассмотрении, различие между “однорублевыми” монетами (копейками) может быть утеряно. В самом деле, допустим, что нас интересует совокуп3

ность всевозможных стоимостей, т.е. достоинств, монет в кошельке K. Данное множество содержит только два элемента (точки): число 1 и число 2. Это означает, на содержательном уровне, следующее: 1) Если мы наудачу вытащим из кошелька одну монету, то получим непременно либо 1, либо 2 рубля. 2) Получение 1 рубля и 2 рублей в виде достоинства извлекаемой монеты вполне возможно, т.е. при желании мы можем извлечь монету достоинством 1 рубль, но так же точно (если это нам потребуется) можно извлечь монету достоинством 2 рубля. Теперь мы имеем двухэлементное множество, при построении которого как раз реализовано отождествление (по результату) монет A и B предыдущего примера. Развивая идею упомянутой редукции рассматриваемых совокупностей (множеств), обратимся к вопросу определения множества возможных платежей, реализуемых монетами из K (в предыдущем случае мы ограничили себя возможностью использования в целях платежа только одной монетой). Именно, рассмотрим совокупность всех платежей, которые только и возможны при использовании содержимого K. Все наши возможности в этом направлении легко перечислить: 1 рубль, 2 рубля, 3 рубля, 4 рубля. Поэтому рассматриваемое нами сейчас множество всех возможных платежей (содержимым кошелька K) является четырехэлементным; оно может быть записано в виде {1; 2; 3; 4}, что реализуется простым перечислением упомянутых платежей. В связи с последним множеством естественно возникает вопрос с способах реализации платежей 1, 2, 3, 4; эти способы будем сводить к вариантам комбинирования монет из K, не различая сейчас порядок их извлечения из K с целью получения соответствующих сумм. Если рассматривать множество M, определяемое ранее в терминах A, B и C, то упомянутые варианты можно представлять в виде подмножеств M, т.е. в виде некоторых частей M. Тогда плата (платеж) 1 рубль реализуется в виде каждого из одноэлементных множеств {A}, {B}, т.е. предъявляется либо монета A, либо монета B. Мы знаем уже, что эти объекты различны с точки зрения анализа содержимого K. Плата 2 рубля реализуется посредством одного из множеств {A; B}, {C}. Плата 3 рубля реализуется посредством множеств {A; C}, {B; C}. Наконец, плата 4 осуществляется путем использования всего множества M, т.е. полным опустошением кошелька K. Мы видим, что соответствующее множество всех вариантов, реализующих платежи, можно в данном случае представить в виде множества, элементами которого также являются множества. Мы столкнулись здесь с семействами подмножеств M. Было указано четыре таких семейства. Если же все эти семейства объединить в естественном (нестрогом пока еще) смысле, то получится семейство всех подмножеств M. При формировании самих подмножеств M и семейств подмножеств M мы использовали некоторые простые свойства. Так, например, четыре вышеупомянутых варианта платежей определяют четыре свойства: заплатить 1 рубль, 2 рубля, 3 рубля или 4 рубля. В терминах этих свойств мы и сформулировали четыре семейства подмножеств M. Данный прием широко применяется в современной теории множеств. Вместе с тем, операции, связанные с применением свойств для построения конкретных множеств, приводили к парадоксам (антиномиям); см., например, [1, c. 68,69]. Это обстоятельство заставляет уделять должное внимание правилам построения множеств на основе свойств. Весьма общий принцип таких построений, связываемый (в конце концов) с аксиоматикой Цермело – Френкеля, состоит в следующем. Пусть нас интересует свойство . . .; это свойство может быть выполнено (быть истинным) для одних объектов и, напротив, может 4

не выполняться (т.е. быть ложным) для других. На первый взгляд естественным представляется интерпретация совокупности всех объектов со свойством . . . в виде множества, что часто записывается в виде {x : . . .}. Тем не менее, как показывают известные парадоксы теории множеств (см., например, [1, c. 68,69]), на этом пути могут возникнуть противоречия. Ориентируясь на известную в теории множеств [1, 2] аксиоматику Цермело – Френкеля, можно предложить несколько иной способ представления совокупностей, подобных вышеупомянутой, в виде множеств. Именно, пусть наряду со свойством . . . имеется “устраивающее нас” множество X: наши интересы можно вполне ограничить просмотром точек этого множества. Тогда мы можем говорить о совокупности всех x ∈ X, обладающих свойством . . ., как о множестве, для которого часто используется обозначение {x ∈ X| . . .};

(1.1)

(1.1) интерпретируется как множество всех элементов x из множества X, для каждого из которых имеет место (т.е. истинно) свойство . . ., которое, кстати, может задаваться с помощью тех или иных формул. Действуя в духе (1.1), мы, в некоторой степени, ведем себя “скромнее”. Именно, прежде чем классифицировать объекты на предмет истинности свойства . . ., мы определяем границы нашей “проверки” в виде (предварительно построенного или найденного тем или иным способом) множества. Данная предосторожность избавляет [1, 2] от многих неприятностей. 2. Множества и операции над множествами. Что такое множество? Можно ли дать исчерпывающее определение, которое годилось бы “на все случаи жизни”. Вероятно, следовало бы определить множества как объекты специального вида, а именно, как объекты, могущие содержать другие объекты в качестве элементов. Для обозначения этого последнего свойства принято использовать символ ∈; если A — множество и a — объект, то выражение a ∈ A заменяет высказывание: a есть элемент (точка) множества A. Заметим, однако, что в своей повседневной деятельности человека практически не беспокоит вопрос о точном (ортодоксальном) определении множества. Мы “научились” обходиться содержательными представлениями о множествах; они не подводят нас в естественных случаях. Возникают, однако, затруднения в случаях, когда мы пытаемся оперировать наборами множеств с целью построения новых множеств, которые могут оказаться более изощренными и недоступными нашей интуиции. В этой связи именно “взаимоотношения” между множествами должны стать предметом формализации. Иными словами, мы занимаемся на уровне первичных (простейших) понятий систематизацией интуитивных представлений, стремясь не допускать парадоксов; в этой связи см. замечание в [1, c.64]. Итак, мы должны обратить самое серьезное внимание на исследование взаимосвязей различных множеств, полагая, как и в [1, c.15], первичными (и, по этой причине, неоспариваемыми) понятия множества и отношения “быть элементом”. Мы должны, как видно уже из примеров предыдущего раздела, уяснить, в частности, что означает понятие равенства множеств. Разумеется, мы относимся к выражению A = B, где A и B — множества, как к свойству полного отождествления A и B: B есть в точности то же самое множество, что и A. Однако, такое суждение не представляется достаточным в условиях, когда само понятие множества оказывается неопределимым (мы пользуемся интуицией). Стало быть, вышеупомянутому суждению надо “помочь”, упомянув тот или иной признак; последнее лучше всего сделать, используя первичные понятия. 5

Принято считать, что множества совпадают, если они составлены из одних и тех же элементов (здесь и ниже мы избегаем употребления аксиом). Можно об этом сказать несколько иначе, введя предварительно понятие вложения: множество A считаем вложенным в множество B, если каждый элемент a множества A содержится в B, т.е. a ∈ B. Это свойство можно переписать несколько иначе (мы намеренно заменим a “нейтральной” буквой): при всяком выборе объекта x (x ∈ A) =⇒ (x ∈ B); (2.1) (2.1) следует читать [3, c.94,95] так: из того, что x ∈ A вытекает x ∈ B. Мы использовали в (2.1) импликацию; см. [1, c.11]. Итак, если (2.1) истинно для любого объекта x, то мы говорим, что A содержится в B, вложено в B. Часто говорят еще: A есть подмножество (п/м) B; это суждение записываем кратко так: A ⊂ B. Тогда признак совпадения множеств A, B можно выразить формулой (A = B) ⇐⇒ ((A ⊂ B) & (B ⊂ A)),

(2.2)

где использован знак ⇐⇒ эквивалентности высказываний, а также знак & (и), означающий конъюнкцию высказываний; см. [1, c.11]. Выражение в правой части (2.2) следует читать: A ⊂ B и B ⊂ A. Замечание. В (2.2) достаточно было потребовать истинности импликации ((A ⊂ B) & (B ⊂ A)) =⇒ (A = B).

(2.3)

В самом деле, если A = B, то (2.1) истинно равно как истинно (x ∈ B) =⇒ (x ∈ A) для всякого объекта x. Стало быть, при A = B свойства A ⊂ B и B ⊂ A очевидны. Импликация же (2.3) составляет, напротив, предмет постулата. Заметим, что (2.3) можно связать с т.н. аксиомой объемности [1, c.59]. Мы принимаем факт существования множества ∅, не содержащего ни одного элемента (точки). Данное множество исчерпывающим образом характеризуется свойством: x ∈ / ∅ при всяком выборе объекта x (здесь и ниже перечеркивание символа заменяет отрицание; ∈ / заменяет фразу “не принадлежит”). В силу (2.2), (2.3) множество ∅ с вышеупомянутым свойством единственно; называем его пустым множеством. Каждому объекту x мы сопоставляем (одноэлементное) множество {x}, для которого x ∈ {x} и при всяком выборе объекта y (y ∈ {x}) =⇒ (x = y). В силу (2.3) множество {x} определяется единственным образом; мы называем его синглетоном, содержащим x. Заметим, что {∅} = 6 ∅; при этом ∅ ∈ {∅}. В дальнейшем рассмотрении будем использовать кванторы ∀ (для любого), ∃ (существует); мы относимся к ним как к символам, заменяющим соответствующие слова и не более того. Например, если U — множество, то выражение ∀x ∈ U следует читать как фразу “для любого элемента x множества U ”. В этих терминах мы можем дать компактное представление еще одной важной операции, а именно, операции объединения двух множеств (более общие варианты объединения сейчас не рассматриваем). Итак, если A и B — множества, то существует (строго говоря, это утверждается специальной аксиомой теории множеств) единственное множество A ∪ B (объединение A и B), для которого 6

1) A ⊂ A ∪ B, 2) B ⊂ A ∪ B, 3) (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ∀x ∈ A ∪ B; здесь знак ∨ заменяет, как обычно, слово “или”. Заметим, что из данного определения следует сразу, что для любых двух множеств A и B A ∪ B = B ∪ A. Далее, с учетом определений синглетона и объединения двух множеств единственным образом определяется неупорядоченная пара любых объектов x и y: именно, мы полагаем, что 4 {x; y} = {x} ∪ {y}, (2.4) 4

где = обозначает (здесь и ниже) равенство по определению. Множество (2.4) содержит в качестве своих элементов только объекты x и y: (x ∈ {x; y}) & (y ∈ {x; y}) & ((z = x) ∨ (z = y) ∀z ∈ {x; y}). Более сложные реализации объединения двух множеств мы сейчас подробно обсуждать не будем; отметим только, что здесь допускается объединение множеств различной природы. Например, мы можем в качестве A рассматривать плоскость, а в качестве B — трехмерное пространство. Обсудим понятие разности двух множеств (существование такого нового множества обеспечивается, строго говоря, аксиомой; см. [1, c.15]). Итак, если A и B — два множества, то единственным образом определена их разность A \ B (это множество) посредством условия: для произвольного объекта x эквивалентны следующие два утверждения: 1) x ∈ A \ B; 2)(x ∈ A) & (x ∈ / B). Итак, множество A \ B “составляют” элементы A, не содержащиеся в B, и только они; можно было бы использовать запись A \ B = {x ∈ A| x ∈ / B}.

(2.5)

В частности, мы можем теперь, имея множество A и объект y, рассматривать множество– разность A \ {y} = {a ∈ A | a 6= y}. Наконец, в терминах разности мы можем определить важную операцию пересечения двух любых множеств. Именно, если A и B — два множества, то полагаем [1, c.16] 4

A ∩ B = A \ (A \ B).

(2.6)

Рассмотрим подробнее свойства множества (2.6). Если a ∈ A ∩ B, то по определению (см. (2.6)) a ∈ A и, вместе с тем, a ∈ / A \ B. В силу (2.5) нам остается допустить единственную возможность ¬(a ∈ / B), (2.7) где ¬ — знак “не”. Поскольку у нас всегда (a ∈ B) ∨ (a ∈ / B), то a ∈ B. Стало быть, (a ∈ A)&(a ∈ B). Итак, все элементы множества (2.6) содержатся как в множестве A, так и в множестве B. Пусть теперь z — объект, обладающий последним свойством: (z ∈ A) & (z ∈ B). 7

(2.8)

Тогда ¬(z ∈ / B), т.е. для z не может выполняться условие z ∈ / B. Из (2.5) имеем сразу z∈ / A \ B. Мы получили (см. (2.6), (2.8)) свойство z ∈ A \ (A \ B), т.е. z ∈ A ∩ B. Итак, мы установили, что для произвольных множеств A и B множество A ∩ B, именуемое пересечением A и B, есть в точности множество всех объектов z со свойствами (2.8). 4 Простой пример. Пусть N — множество всех натуральных чисел, т.е. N = {1; 2; . . .} (мы используем здесь толкование N , отвечающее наивной теории множеств), N1 — множество всех четных, а N2 — множество всех нечетных чисел из N . Тогда при A = N1 и B = N2 имеем равенство A ∩ B = ∅. Мы получили пример пары непересекающихся множеств. 2 Отметим еще полезное понятие симметрической разности двух множеств: если A и B — множества, то 4 A4B = (A \ B) ∪ (B \ A). (2.9) Отметим одно эквивалентное представление множества (2.9). Именно, в условиях, обеспечивающих (2.9), имеет место равенство A4B = (A ∪ B) \ (A ∩ B);

(2.10)

проверьте это равенство самостоятельно. Мы ограничимся в части (2.10) лишь рассмотрением следующего примера. Пусть R — множество всех вещественных чисел (считаем его известным), A есть множество всех плоских векторов (x, y), x ∈ R, y ∈ R,

(2.11)

таких, что |x| > 1, а B есть множество всех векторов (x, y) (2.11), для каждого из которых |y| > 1. Требуется построить A4B (2.9), (2.10). Легко видеть, что A ∪ B есть множество всех векторов (x, y) (2.11) таких, что (|x| > 1) ∨ (|y| > 1); данное множество получается выбрасыванием из плоскости единичного квадрата K с центром в “нуле”: K есть множество всех векторов (x, y) (2.11), для каждого из которых (|x| ≤ 1) & (|y| ≤ 1). Определим теперь множество A ∩ B. Из определения A и B следует, что это множество имеет следующий вид: A ∩ B есть множество всех векторов (x, y) (2.11) таких, что (|x| > 1) & (|y| > 1).

(2.12)

Данное множество является, в свою очередь, объединением четырех плоских множеств, отвечающих случаям, когда в (2.12): 1◦ ) x ≥ 0, y ≥ 0; 2◦ ) x ≤ 0, y ≥ 0; 3◦ ) x ≤ 0, y ≤ 0; 4◦ ) x ≥ 0, y ≤ 0. Так, например, первое (из упомянутых четырех) множество — компонента A∩B — есть множество всех векторов (2.11) таких, что x > 1, y > 1. Это множество соответствует 1◦ ); мы предлагаем читателю рассмотреть каждый из случаев 1◦ ) − 4◦ ) и построить множество A4B на основе (2.10). В результате должен получиться, как легко видеть, бесконечно 8

протяженный крест с вырезанной “серединой” (квадрат K). Ширина каждого фрагмента “креста” A4B равна двум. Проделайте построение A4B на основе (2.9). В заключении раздела рассмотрим некоторые комбинации вышеупомянутых операций. Очень полезны законы де Моргана: для любых трех множеств A, B и C A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C),

(2.13)

A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).

(2.14)

Разумеется, (2.13) и (2.14) извлекаются из общих положений логики; см. [3, c.109]. Все же полезно проверить эти соотношения непосредственно. Рассмотрим обоснование (2.13). Учтем вложения A \ (B ∪ C) ⊂ A \ B,

(2.15)

A \ (B ∪ C) ⊂ A \ C.

(2.16)

В (2.15) использовалась “оценка” B ⊂ B ∪ C, а в (2.16) — “оценка” C ⊂ B ∪ C. Из (2.15), (2.16) имеем вложение A \ (B ∪ C) ⊂ (A \ B) ∩ (A \ C). (2.17) Если x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C), то x ∈ A и (x ∈ / B) & (x ∈ / C).

(2.18)

Из (2.18) имеем: x ∈ / B∪C. В итоге x ∈ A\(B∪C), чем завершается обоснование вложения (A \ B) ∩ (A \ C) ⊂ A \ (B ∪ C).

(2.19)

Из (2.17), (2.19) имеем (2.13). В части обоснования (2.14) полезно учесть вложения A \ B ⊂ A \ (B ∩ C),

(2.20)

A \ C ⊂ A \ (B ∩ C),

(2.21)

в которых учтены свойства B ∩ C ⊂ B и B ∩ C ⊂ C. Из (2.20), (2.21) имеем: (A \ B) ∪ (A \ C) ⊂ A \ (B ∩ C).

(2.22)

Если же y ∈ A \ (B ∩ C), то непременно y ∈ A и y ∈ / B ∩ C, т.е. (y ∈ / B) ∨ (y ∈ / C). В итоге (y ∈ A \ B) ∨ (y ∈ A \ C). Установили вложение A \ (B ∩ C) ⊂ (A \ B) ∪ (A \ C), которое в сочетании с (2.22) доставляет (2.14). Подчеркнем, что в (2.13), (2.14) мы не предполагаем, что B ⊂ A и C ⊂ A; в последнем случае речь шла бы о дополнениях до A. В (2.13), (2.14) отмечен более общий случай (см. [1, 3]). Отметим следующие полезные свойства, полагая, что A, B и C — множества. Именно, всегда A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), (2.23) 9

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

(2.24)

В (2.23), (2.24) имеем законы дистрибутивности, связывающие операции объединения и пересечения. Более простое и естественное обоснование (2.23) предоставляем читателю. Обсудим обоснование (2.24). Имеем вложения A ∪ (B ∩ C) ⊂ A ∪ B,

(2.25)

A ∪ (B ∩ C) ⊂ A ∪ C,

(2.26)

поскольку B ∩ C ⊂ B и B ∩ C ⊂ C. Из (2.25), (2.26) получаем вложение A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

(2.27)

Выберем произвольно z ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Тогда (z ∈ A ∪ B) & (z ∈ A ∪ C).

(2.28)

При этом (z ∈ A) ∨ (z ∈ / A). Случай z ∈ A сейчас не рассматриваем. Пусть z ∈ / A. Тогда (см. (2.28)) z ∈ B и z ∈ C, т.е. z ∈ B ∩ C. Итак, (z ∈ / A) =⇒ (z ∈ B ∩ C).

(2.29)

Из (2.29) следует, что z ∈ A ∪ (B ∩ C). Поскольку выбор z был произвольным, вложение (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊂ A ∪ (B ∩ C) установлено, что, с учетом (2.27), означает равенство (2.23): A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Напомним очевидные свойства: для всяких множеств M и N M ∪ N = N ∪ M, M ∩ N = N ∩ M.

(2.30)

Если U, V и W — три множества, то (U ∩ V ) ∩ W = U ∩ (V ∩ W ),

(2.31)

(U ∪ V ) ∪ W = U ∪ (V ∪ W ).

(2.32)

В (2.30) имеем свойства коммутативности, а в (2.31) и (2.32) — свойства ассоциативности операций пересечения и объединения; см. [4, c.16]. В силу (2.31), (2.32) мы, при исполнении операций пересечения и объединения можем в подобных случаях опускать скобки: 4

U ∩ V ∩ W = (U ∩ V ) ∩ W = U ∩ (V ∩ W ), 4

U ∪ V ∪ W = (U ∪ V ) ∪ W = U ∪ (V ∪ W ). Легко проверяются также законы идемпотентности: если A — множество, то A ∪ A = A, A ∩ A = A. 10

Вышеупомянутые легкопроверяемые свойства позволяют установить целый ряд полезных следствий. Первое совсем простое следствие касается операции объединения множеств A и B: A ∪ B = A ∪ (B \ A).

(2.33)

В этой связи см. изящное рассуждение в [1, c.20, 21]. Сейчас отметим только, что в силу (2.5) A ∪ (B \ A) ⊂ A ∪ B. Если же y ∈ A ∪ B, то у нас имеется только две возможности: a) y ∈ A, b) y ∈ / A. Случай b) означает, что y ∈ B \ A, поскольку (y ∈ A) ∨ (y ∈ B) по предположению относительно выбора y. Мы установили, что (y ∈ A) ∨ (y ∈ B \ A), т.е. y ∈ A ∪ (B \ A). Вложение A ∪ B ⊂ A ∪ (B \ A) установлено, чем и завершается обоснование (2.33). Итак, мы выразили объединение двух произвольных множеств в терминах дизъюнктного объединения, допуская изменение одного из них. Далее, для всяких двух множеств A и B A \ B = A \ (A ∩ B);

(2.34)

см. рассуждение в [1, c.21]. В самом деле, поскольку A ∩ B ⊂ B, то A \ B ⊂ A \ (A ∩ B).

(2.35)

Пусть x ∈ A \ (A ∩ B). Тогда x ∈ A и x ∈ / A ∩ B. Последнее возможно только при x ∈ / B, т.к. в противном случае (следствие свойства x ∈ A) x ∈ A ∩ B, что невозможно. В итоге, x ∈ A \ B, чем и завершается обоснование вложения, противоположного (2.35). Итак, (2.34) справедливо. Отметим еще закон дистрибутивности умножения относительно вычитания: для всяких трех множеств A, B, C имеет место A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C.

(2.36)

В самом деле, множество в правой части содержится в A и в B но не содержится в C. Тогда, в частности, это множество содержится как в A, так и в B \ C. В итоге, (A ∩ B) \ C ⊂ A ∩ (B \ C).

(2.37)

Пусть x ∈ A ∩ (B \ C). Тогда x ∈ A и, вместе с тем, x ∈ B \ C. Последнее означает: (x ∈ B) & (x ∈ / C). Мы имеем, стало быть, x ∈ A ∩ B и, вместе с тем, x ∈ / C. Тогда x ∈ (A ∩ B) \ C. Вложение A ∩ (B \ C) ⊂ (A ∩ B) \ C установлено, что, с учетом (2.37), означает справедливость (2.36).На этом мы завершаем краткую сводку сведений, относящихся к простейшим операциям на множестве, отсылая 11

заинтересованного читателя к [1, c.22] за более подробной информацией (имеется и много другой литературы по теории множеств; см. [5]–[7] и др.). 3. Подмножества заданного множества. Фиксируем множество Ω. Мы рассматриваем подмножества Ω, т.е. множества, содержащиеся в Ω. Семейство всех подмножеств Ω обозначаем через P(Ω); P(Ω) — множество, все элементы которого сами являются множествами. Термин семейство понимается здесь в следующем смысле: семейство — множество, все элементы которого сами являются множествами (вместо множества множеств говорим семейство множеств). Заметим, что упомянутые ранее операции (объединение, разность, пересечение, симметрическая разность), применяемые к подмножествам Ω, т.е. к множествам из P(Ω), снова реализуют подмножества Ω. Этот простой, но очень полезный факт, широко используется в теории меры и теории вероятностей. Грубо говоря, из P(Ω) невозможно “выйти”, используя только операции над множествами из P(Ω), т.е. над п/м Ω. Если H ∈ P(Ω), т.е. H — множество со свойством H ⊂ Ω, то множество Ω \ H ∈ P(Ω) принято называть дополнением H (до Ω). Следующее свойство очень важно: если H ∈ P(Ω), то Ω \ (Ω \ H) = H (3.1) (закон двойного дополнения [1, c.27], аналог закона двойного отрицания в алгебре высказываний; см. [1, c.13]). Легко видеть, что при всяком выборе H ∈ P(Ω) H ∪ (Ω \ H) = Ω, H ∩ (Ω \ H) = ∅.

(3.2)

Далее, очевидным образом выполняется свойство: если H1 ∈ P(Ω), H2 ∈ P(Ω) и H1 ⊂ H2 , то Ω \ H2 ⊂ Ω \ H1 . Заметим, кстати, что конструкция, заложенная в (3.2), может служить основой для введения важного понятия разбиения. В данном случае речь идет о разбиении Ω на две части. Данная конструкция широко используется в теории вероятностей, где во многих задачах для их успешного решения целесообразно “работать” с дополнениями требуемых (по условиям задачи) множеств. Рассмотрим в этой связи простейший пример: речь идет о nкратном подбрасывании монеты, грани которой, как обычно, именуем орлом (символ — число 1) и решеткой (символ — число 0). Пусть нас интересует ситуация, когда в n подбрасываниях монеты хотя бы один раз появился орел, т.е. число 1. Пусть испытания занумерованы: u1 , . . . , un . При каждом j, 1 ≤ j ≤ n, может реализоваться, в качестве исхода uj , либо 0, либо 1. Введем множество 1, n всех натуральных чисел i, для которых i ≤ n; число 0 мы не включаем в множество всех натуральных чисел. Пусть теперь Ω есть множество всех числовых наборов ω = (ω1 , . . . , ωn )

(3.3)

таких, что при каждом t ∈ 1, n у нас либо ωt = 0, либо ωt = 1. Множество A, которое нас интересует, следует составить из всех таких наборов ω, у которых хотя бы одна из компонент совпадает с 1. Можно, однако, рассматривать дополнение множества A, т.е. множество Ω \ A. Последнее есть очевидно множество всех наборов (3.3) таких, что ωt = 0 ∀t ∈ 1, n. Легко видеть, что Ω \ A — одноэлементное множество: Ω \ A = {ω 0 }, где ω 0 = (ω10 , . . . , ωn0 ) удовлетворяет условию ωt0 = 0 ∀t ∈ 1, n. Но тогда в силу (3.1) мы получаем очень простое описание нужного нам множества: A = Ω \ (Ω \ A) есть исходное 12

множество Ω за вычетом одного элемента ω 0 , т.е. A = Ω \ {ω 0 }. Прием такого рода часто используется в задачах элементарной теории вероятностей. Очень часто приходится сталкиваться с семействами подмножеств Ω, отличными от всего семейства P(Ω). В этих случаях при построении соответствующего семейства используются не все подмножества Ω, а только некоторые. Так, например, если Ω — плоскость, то можно говорить о семействе всех кругов на данной плоскости, имеющих каждый произвольный (строго) положительный радиус и произвольный центр. Итак, мы можем рассматривать то или иное множество H, для которого H ⊂ P(Ω). Про H будем говорить в этом случае: H — семейство подмножеств Ω или подсемейство P(Ω). Если H 6= ∅, то будем говорить: H — непустое семейство подмножеств Ω или непустое подсемейство P(Ω). Применяя к множествам из H те или иные операции (здесь и далее мы имеем в виду только операции, упоминаемые ранее), мы можем получить множества, уже не содержащиеся в H. Если же какая-то операция, применяемая к множествам из H, не выводит за пределы H, то будем говорить, что H замкнуто относительно данной операции. Пример. Пусть Ω = [0, 1], а H — семейство всех отрезков [a, b], где a ∈ Ω и b ∈ Ω. Если b < a, то полагается, что [a, b] = ∅ (итак, у нас ∅ — отрезок); последнее согласуется с точным пониманием отрезка на числовой прямой. Легко видеть, что H1 ∩ H2 ∈ H ∀H1 ∈ H ∀H2 ∈ H. Стало быть, H замкнуто относительно операции пересечения двух любых множеств (легко видеть, что этим обеспечивается замкнутость H относительно конечных пересечений; достаточно применить рассуждение по индукции). В общем случае применения к множествам из H, H ⊂ P(Ω), какой-либо операции мы можем получить другое семейство множеств (ограничиваемся сейчас случаем подсемейств P(Ω)). Так, например, в задаче раздела 1, при Ω = M, можно рассматривать (конечное) семейство H = {{A}; {B}; {C}} всех одноэлементных подмножеств M. Оно не является замкнутым относительно операции объединения двух множеств и, как следствие, не является замкнутым относительно операции конечного объединения. Отметим (на самом предварительном уровне) один важный пример семейства подмножеств Ω в общем случае множества Ω. Семейство A, A ⊂ P(Ω), называется алгеброй подмножеств Ω, если оно содержит ∅, Ω и является замкнутым относительно операций пересечения (любых двух множеств из A и, как следствие, любого конечного подсемейства A) и дополнения до Ω. Иными словами, (∅ ∈ A) & (Ω ∈ A) & (A1 ∩ A2 ∈ A ∀A1 ∈ A ∀A2 ∈ A) & (Ω \ A ∈ A ∀A ∈ A).

(3.4)

С учетом (3.1) и соотношений двойственности раздела 2 (см. (2.13), (2.14)) легко проверяется, что наше семейство A замкнуто относительно операции объединения двух (а, стало быть, и любого конечного семейства) множеств из A: если A1 ∈ A и A2 ∈ A, то A1 ∪ A2 = (Ω \ (Ω \ A1 )) ∪ (Ω \ (Ω \ A2 )) = Ω \ ((Ω \ A1 ) ∩ (Ω \ A2 )) ∈ A, поскольку в силу (3.4) имеет место Ω \ A1 ∈ A, Ω \ A2 ∈ A и, как следствие (Ω \ A1 ) ∩ (Ω \ A2 ) ∈ A, а тогда последнее свойство в (3.4) гарантирует выполнение (3.5). 13

(3.5)

4

Рассмотрим простой пример алгебры подмножеств Ω = {1; 2; 3} (Ω содержит здесь 4 только три элемента — числа 1, 2, 3; никаких других элементов Ω не содержит). Пусть A = {{1}; {2; 3}; Ω; ∅}; свойства (3.4) для данного семейства A проверяются непосредственно, т.е. наше семейство A — алгебра подмножеств Ω. Данная алгебра множеств порождена разбиением Ω в сумму следующих двух непустых множеств: {1} и {2; 3}. Эти два множества не пересекаются и в сумме составляют Ω; этот факт иногда записывают в следующем виде: Ω = {1} t {2; 3}.

Список литературы 1. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 2. Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. М.: Мир, 1973. 3. Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. Логика. М.: ВЛАДОС – ПРЕСС ИМПЭ им. А.С.Грибоедова, 2001. 4. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 5. Ван Хао, Мак-Нотон Р. Аксиоматические системы теории множеств. М.: Иностранная литература, 1963. 6. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965. 7. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966.

14