Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет Кафедра геоме...
55 downloads
233 Views
243KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет Кафедра геометрии
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ Методическая разработка
Екатеринбург 2005
Составитель: канд. ф.-м. н., доцент В.П. Толстопятов Геометрические величины: методическая разработка /Урал. гос. пед. ун-т: Сост. В.П. Толстопятов. Екатеринбург, 2005. 22 с.
Разработка содержит изложение вопросов, связанных с обоснованием измерения геометрических величин и может быть использована при изучении студентами раздела «Основания геометрии», а также при чтении курсов по выбору. Излагаемый материал предполагает знакомство студентов с построением геометрии евклидова пространства на основе аксиоматик Гильберта и Вейля.
Научный редактор: доктор физико-математических наук, профессор Ю.Н. Мухин
© Уральский государственный педагогический университет, 2005
2
Содержание Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 1. Различные определения длины отрезка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Длина отрезка как результат процесса измерения . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2. Определение длины отрезка на основе расстояния между точками . . 6 1.3. Аксиоматическое определение длины отрезка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 2. Понятие площади плоской фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .8 2.1. Площадь многоугольной фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 2.2 Расширение класса квадрируемых фигур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 3. Равновеликость и рвносоставленность многоугольных фигур . . . . . 15 4. О понятии объема. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 4.1. Измерение объемов многогранных тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 4.2. Расширение класса кубируемых фигур. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5. Равновеликость и равносоставленность многогранных тел . . . . . . . .18 6. Величина и её измерение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 21
3
Введение В математике общее понятие величины является первичным, неопределяемым. В школьном курсе математики изучаются отдельные виды величин (длина, площадь, объем и т.д.) и методы и приемы их измерения. Важно, чтобы учитель математики имел представление о величине не как о чем-то таком, что можно измерить, а как о всеобщем, основном понятии математики. Учитель должен понимать, что такое измерение величин, что независимо от способа измерения однородных величин при заданной единице измерения результат будет один и тот же. На достижение этой цели направлено содержание предлагаемой методической разработки. Приведенные аксиоматические определения измерения длин отрезков, площадей квадрируемых и объемов кубируемых фигур, дают представление об измерении величин как некотором сюрьективном отбражении. Кроме того, обобщение свойств семейств результатов измерения длин, площадей или объемов, дает возможность дать строгое математическое определение положительной скалярной величины. 1. Различные определения длины отрезка Длина отрезка как результат процесса измерения Обычно длину отрезка вводят с помощью процесса измерения. При этом мы будем пользоваться представлением положительного числа в виде двоичной дроби: n, n1n2 . . ., где n – целое неотрицательное число, а n1 , n2 ,. . . рав1.1.
1 1 1 + 3+ 4 . 2 2 2 Пусть зафиксирован некоторый отрезок [ PQ] , который принимается за единицу измерения. Процесс измерения произвольного отрезка [ AB ] заключается в следующем. На отрезке [ AB ] от одного его конца (пусть от точки A) по-
ны 0 или1 . Например, число 2,1011 равно 2 +
следовательно откладываются отрезки, конгруэнтные единице измерения. Если единица измерения отложилась на отрезке [ AB ] n раз, то говорят, что с точностью до 1 длина d ( [ AB ] ) отрезка [ AB ] , взятая с недостатком, равна n , а взятая с избытком, равна ( n + 1) и пишут: n ≤ d( [ AB ] ) < ( n + 1) . (1) Знак равенства в левой части соответствует тому случаю, когда единица измерения точно укладывается на отрезке [ AB ] n раз. Число n в этом случае назовем длиною отрезка [ AB ] . Если этого не случилось, то на получившемся остатке [ SB ] отрезка [ AB ] от точки S откладываем ния. Если эта
1 часть единицы измере2
1 часть уложилась на остатке [ SB ] n1 раз ( n1 равно 0 или 1 ), то 2
пишут 4
n, n1 ≤ d ( [ AB ] ) < n, n1 +
1 . 2
(2)
Затем, если имеется ещё некоторый остаток, можно осуществить измерение отрезка [ AB ] с точностью до
1 : 22
n, n1 n 2 ≤ d( [ AB ] ) < n, n1 n2 +
1 . 22
В результате возникают последовательности приближений к длине отрезка [ AB] по недостатку: a k = n, n1 n 2 . . .n k , и по избытку: Ak = a k +
1 , 2k
где a k – двоичная дробь. Первая последовательность неубывающая и ограничена сверху ( a k ≤ A0 ) , а вторая – невозрастающая и ограничена снизу ( Ak ≥ a0 ) . При этом Ak − a k =
1 . Таким образом, существуют пределы этих последовательностей 2k
при k→∞ и они равны:
lim a k = lim Ak = d . k→ ∞ k→ ∞
Общий предел последовательностей приближений по недостатку и по избытку называется длиной отрезка [ AB ] при единице измерения [ PQ] . Исходя из определения длины отрезка, можно вывести следующие основные свойства длины: I. Длина любого отрезка есть положительное число. II. Конгруэнтные отрезки имеют равные длины. III. Если точка C лежит между A и B, то d ( [ AB ] ) = d ( [ AC ] ) + d ( [ CB ] ) . IV. Длина единицы измерения [ PQ] равна 1 . Доказательства свойств I, II, IV просты. Остановимся на доказательстве свойства III. Пусть a k( 1) , a k( 2 ) , a k – последовательности приближений к длине по недостатку соответственно для отрезков [ AC ] , [ CB ] и [ AB ] . Тогда a k = lim a k( 1) + lim a k( 2 ) . a k = a k( 1) + a k( 2 ) и lim k→ ∞ k→ ∞ k→ ∞ Аналогичное равенство получим для последовательностей Ak( 1) , Ak( 2 ) , Ak приближений к длине по избытку для отрезков [ AC ] , [ CB ] , [ AB ] . Отсюда d ( [ AB ] ) = d ( [ AC ] ) + d( [ CB ] ) . ⊗ Кроме этого можно доказать следующие свойства длин отрезков: • Если отрезок [ CD ] содержится в отрезке [ AB ] , не совпадая с ним, то d ( [ CD ] ) < d( [ AB ] ) . • При переходе от одной единицы измерения к другой длина отрезка умножается на длину первоначальной единицы измерения относительно вновь выбранной. • Для всякого положительного числа m при выбранной единице измерения можно построить отрезок, длина которого равна m . 5
Доказательство. Пусть m выражается конечной двоичной дробью. Искомый отрезок можно получить, откладывая на некотором луче последова1 тельно единичный отрезок данное число целых единиц числа m , затем
2 1 часть единичного отрезка данное число на первом месте после запятой, 2 2
часть единичного отрезка данное число на втором месте после запятой, и так далее, пока не будут исчерпаны все знаки двоичной дроби. Пусть m не выражается конечной двоичной дробью. На луче [ OX ) будем откладывать от точки O отрезки OK j и ON j по недостатку и по избытку соответственно. В последовательности отрезков [ K j N j ] каждый последующий отрезок содержится в предыдущем, и никакой отрезок не содержится во всех отрезках [ K j N j ] . Тогда, по аксиоме Кантора, существует одна и только одна точка A, принадлежащая всем отрезкам данной последовательности. Длина отрезка [ OA] равна m и [ OA] – искомый отрезок. ⊗ Замечание. В школьной практике при измерении отрезков пользуются представлением положительного числа в виде десятичной дроби. В соответствии с этим, при описании процесса измерения отрезков используют деление отрезка не на две равные части, а на десять равных частей, что предполагает использование аксиомы параллельных. Таким образом, приведенное описание процесса измерения показывает, что теория измерения отрезков относится к абсолютной геометрии. Описанное построение теории длины отрезка может быть проведено как в гильбертовой аксиоматической схеме построения геометрии, так и в аксиоматической схеме Вейля. Однако в вейлевской схеме имеется и другой, более простой путь введения понятия длины. 1.2. Определение длины отрезка на основе расстояния между точками Исходя из вейлевской аксиоматики евклидова пространства, можно 2 ввести расстояние между точками: ρ ( A, B ) = AB . Тогда длиной отрезка [ AB ] ρ ( A, B)
при выбранной единице измерения [ PQ] назовем число d ( [ AB] ) = ρ ( P, Q) . Можно проверить, что длина отрезка, определенная таким образом, обладает свойствами I – IV, сформулированными выше. Свойство I очевидно, так как расстояние – неотрицательное число и ρ ( A, B ) = 0 ⇔ A = B . Пусть [ AB ] ≅ [ A′ B ′ ] . Следовательно, существует движение f, которое переводит [ AB ] в [ A′ B ′ ] . Это движение порождает ортогональное преобразование ϕ пространства переносов V, при котором ϕ AB = A′ B ′ . Ортогональное преобразование сохраняет длину вектора, поэтому ρ ( A, B ) = ρ ( A′ , B ′ ) и значит d ( [ AB ] ) = d ( [ A′ B ′ ] ) . Пусть точка C лежит между A и B . Тогда AB = t ⋅ AC , где 0 0 найдутся такие два многогранных тела K, K ′ ∈ M , что K ⊂ F ⊂ K ′ и V( K ′ ) − V( K ) < ε . Из определения множества M1 следует, что существуют точные грани V* ( F ) = sup V( K ) , K ⊂ F , K ∈ M и V * ( F ) = inf V( K ′ ) , F ⊂ K ′ , K ′ ∈ M , называемые соответственно внутренней и внешней жордановой мерой фигуры F . Имеем: 0 ≤ V * ( F ) − V* ( F ) ≤ V( K ′ ) − V( K ) < ε . Поскольку ε – произвольное положительное число, то V * ( F ) = V* ( F ) = V( F ) . Число V( F ) называют объемом фигуры F ∈ M1 , а фигуру F кубируемой. Тем самым определено отображение V : M1 → R *+ , удовлетворяющее аксиомам V1. ∀ F , F ′ ∈ M1, ( F ≅ F ′ ⇒ V( F ) = V( F ′ ) ) ; V2. ∀ F , F1 , F2 ∈ M1 , ( F = F1 + F2 ⇒ V( F ) = V( F1 ) + V( F2 ) ) ; V3. V( P0 ) = 1 , где P0 – куб, ребро которого является единичным отрезком. 5. Равновеликость и равносоставленность многогранных тел По аналогии с теорией площадей, можно поставить следующий вопрос: всякие ли два равновеликих многогранных тела равносоставлены?
19
Решение этого вопроса сводится к решению III проблемы Гильберта: любые ли две пирамиды с конгруэнтными основаниями и конгруэнтными высотами равносоставлены? Отрицательное решение этой проблемы дано немецким математиком Деном (1900 г.). Им введены необходимые условия равносоставленности многогранных тел. В 1965 году французский математик Сидлер доказал, что эти условия Дена являются также и достаточными. Теорема. Два многогранных тела с двугранными углами α i , β t , ( i = 1,2,..., r ; t = 1,2,..., s ) равносоставлены тогда и только тогда, когда существуют такие целые положительные числа n i , m t и такое целое число c , что ni ⋅ α i − mt ⋅ β t = π ⋅ c . В 1901 году Ден доказал, что равновеликие куб и правильный тетраэдр не равносоставлены. 6. Величина и её измерение Понятие «величина», как математическое понятие, является обобщением более конкретных понятий: длина, площадь, объем и т. п. Эти первоначальные понятия связаны с определенным способом сравнения каких-либо объектов. На множестве M всех отрезков плоскости определено отношение ≅ конгруэнтности, которое является отношением эквивалентности. Каждый элемент фактормножества M ≅ представляет собой множество всех попарно конгруэнтных отрезков. Если элемент фактормножества содержит отрезок [ AB] , то обозначим его K [ AB ] . Таким образом, K [ AB ] = K [ A′ B′ ] ⇔ [ AB] ≅ [ A′ B ′ ] . Аналогично, отношение ∆ равновеликости на множестве M всех многоугольных фигур плоскости ( ∆ 1 на множестве M всех многогранных тел пространства) является отношением эквивалентности, и мы имеем фактормножество M ∆ ( M ∆ 1 ). При выбранной единице измерения, конгруэнтные отрезки имеют одну и ту же длину, равновеликие многоугольные фигуры одну и ту же площадь, а равновеликие многогранные тела один и тот же объем. Это наводит на мысль отождествить определенные длины с определенными классами эквивалентности фактормножества M ≅ , определенные площади с определенными элементами фактормножества M ∆ , определенные объемы с определенными элементами множества M ∆ 1 .
Таким образом, фактормножество M ≅ – это система величин – длин, фактормножество M ∆ – система величин – площадей, фактормножество M ∆ 1 – система величин – объемов. 20
Что же общего между системами этих величин? Что понимать под измерением этих величин? На множестве M ≅ можно определить отношение частичной упорядоченности. Пусть K [ AB ] , K [ CD ] ∈ M ≅ . Откладывая на произвольном луче [ OX ) отрезки [ OB ′ ] ≅ [ AB ] и [ OD ′ ] ≅ [ CD ] , получим один и только один из трех случаев: 1. D ′ = B ′ , следовательно, [ AB ] ≅ [ CD ] и K [ AB ] = K [ CD ] ; 2. O − B ′ − D ′ , тогда скажем, что [ AB ] < [ CD ] и K [ AB ] < K [ CD ] ; 3. O − D ′ − B ′ , в этом случае скажем, что [ AB ] > [ CD ] и K [ AB ] > K [ CD ] .
Таким образом, имеем на множестве M ≅ бинарное отношение, обладающее свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности. Для любых двух элементов из M ≅ имеет место одно и только одно из трех соотношений: K [ AB ] < K [ CD ] , K [ AB ] = K [ CD ] , K [ AB ] > K [ CD ] . То есть множество M ≅ упорядоченным. Для элементов множества M ≅ определяется операция сложения:
является
K [ AB ] + K [ CD ] = K [ OD0 ] ,
где [ OD0 ] – сумма отрезков [ OB0 ] и [ B0 D0 ] , принадлежащих соответственно классам K [ AB ] и K [ CD ] . При этом выполняется коммутативность и ассоциативность сложения. Таким образом, множество M ≅ становится упорядоченной коммутативной полугруппой. Если [ AB ] > [ CD ] , то можно рассматривать разность K [ AB ] − K [ CD ] как класс, определяемый отрезком, конгруэнтным разности отрезков [ AB ] и [ CD ] . Можно доказать, что операция сложения и отношение порядка на множестве M обладают свойствами: ≅ 1) ∀ K [ AB ] , K [ CD ] ∈ M ≅ , K [ AB ] + K [ CD ] > K [ AB ] (монотонность сложения); 2) ∀ K [ AB ] , K [ CD ] ∈ M ≅ , ( K [ AB ] > K [ CD ] ⇒ ∃ K [ MN ] , K [ AB ] + K [ CD ] = K [ MN ] ) ;
3) ∀ K [ AB ] ∈ M ≅ , ∀ n ∈ N , ∃ K [ CD ] ∈ M ≅ , K [ AB ] = n ⋅ K [ CD ] , где n ⋅ K [ CD ] обозначает сумму из n слагаемых K [ CD ] (возможность деления);
4) ∀ K [ AB ] , K [ CD ] ∈ M ≅ , ∃ n ∈ N , K [ AB ] < n ⋅ K [ CD ] (аксиома Евдокса или Архимеда); 5) Если бесконечные последовательности K [ A B ] < K [ A B ] < . . . < K [ A B ] < . . . . . < K [ C D ] < . . . < K [ C D ] < K [ C D ] обладают тем свой1 1
2 2
k
k
k
k
2
2
1 1
ством, что ∀ K [ MN ] ∈ M ≅ , ∃ n ∈ N , K [ C D ] − K [ A B ] < K [ MN ] , то существует единственный элемент K [ X Y ] ∈ M ≅ , K [ A B ] < K [ X Y ] < K [ C D ] , ∀ k ∈ N (аксиома Кантора). n
n
0 0
n n
k
21
k
0 0
k
k
Доказательство свойств 1)-5) определяется аксиоматикой построения геометрии. Аналогичные наблюдения можно провести для множества площадей или объемов. В результате можно дать общее понятие величины. Системой положительных скалярных величин называется упорядоченная коммутативная полугруппа G , для которой операция сложения и отношение порядка удовлетворяют аксиомам: 1) ∀ a, b ∈ G, a + b > a (монотонность сложения; 2) ∀ a, b ∈ G, (a > b ⇒ ∃ c ∈ G, a + b = c) ; 3) ∀ a ∈ G, ∀ n ∈ N , ∃ b ∈ G, a = n ⋅ b , где n ⋅ b обозначает сумму из n слагаемых b (возможность деления); 4) ∀ a, b ∈ G, ∃ n ∈ N , a < n ⋅ b (аксиома Евдокса или аксиома Архимеда); 5) Если бесконечные последовательности a1 < a 2 < ... < a k < ... < bk < ... < b2 < b1 обладают тем свойством, что ∀ c ∈ G, ∃ n ∈ N , bn − a n < c , то существует единственный элемент x0 ∈ G, a k < x0 < bk , ∀ k ∈ N (аксиома Кантора). Каждый элемент системы положительных скалярных величин называется положительной скалярной величиной. Если x, y ∈ G , то говорят, что величины x и y однородные. Можно проверить, что множество R *+ положительных действительных чисел является примером системы положительных скалярных величин. Пусть G – система положительных скалярных величин. Измерением величин из G называется изоморфное отображение f : G → R *+ . При этом элемент a0 ∈ G | f ( a0 ) = 1 называется единицей измерения, число f ( x ) называется мерой (числовым значением) величины x ∈ G при единице измерения a 0 . Можно доказать, что для любой системы G положительных скалярных величин при произвольно выбранной единице измерения a0 ∈ G существует и притом единственное измерение величин из G . Замечание 1. Кроме системы положительных скалярных величин иногда приходится рассматривать систему неотрицательных скалярных величин (в этом случае полугруппа G содержит нейтральный элемент (нуль) и в аксиомы 1)-5) вносятся очевидные уточнения). Примером системы неотрицательных скалярных величин является множество R + неотрицательных чисел. Замечание 2. Направленные отрезки на прямой, ориентированные углы на плоскости, и т.п., приводят к понятию системы скалярных величин. Так называется упорядоченная коммутативная группа G , которая удовлетворяет аксиоме 1) при любом b > 0 , где 0 – нейтральный элемент группы G , аксиомам 2), 3), аксиоме 4) для любых a > 0, b > 0 и аксиоме 5) при любом c > 0 . Например, само множество R действительных чисел является системой скалярных величин. Замечание 3. Иногда в математике и её приложениях рассматривают систему векторных величин – векторное пространство над некоторым полем K . Векторные величины образуют коммутативную группу относительно сложения, но эта группа не является упорядоченной. 22
Список литературы 1. Александров А.Д. Основания геометрии. – М.: Наука,1987. 2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 2. – М.: Просвещение, 1984. 3. Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии, ч.1,2. – М., 1997 4. Аргунов В.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1966. 5. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия, ч.2. – М.: Просвещение,1975. 6. Бахвалов С.В., Иваницкая В.П. Основания геометрии. – М.: Высшая школа, 1972. 7. Болтянский В.Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры. – М.:Физматгиз,1956. 8. Болтянский В.Г. Равносоставленность многоугольников и многогранников//Энциклопедия элементарной математики, т.V. – М.: Наука, 1966. 9. Болтянский В.Г. Длина кривой и площадь поверхности//Энциклопедия элементарной математики, т.V. – М.: Наука, 1966. 10. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1985. 11. Бончковский Р.Н. Площади и объемы. – М., 1937. 12. Иванов Л. Д. Что такое площадь//Математика в школе. – 1997.- ,№ 6. 13.Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Геометрия. – М.: Наука, 1987. 14. Колмогоров А.Н. Величина и её измерение//Математика – наука и профессия. Библиотечка «Квант», вып.64. – М.: Наука, 1988. 15. Лебег Г.Об измерении величин. – М. 1938. 16. Любецкий В.А. Основные понятия школьной математики. – М.: Просвещение, 1987. 17. Рабинович В.Л. Об изучении измерения объемов//Математика в школе – 1974. - № 4. 18. Рохлин В.А. Площадь и объем//Энциклопедия элементарной математики, т. V. – М.: Наука, 1966. 19.Фридман Л.М. Величины и числа. – М.: Флинта, 2000. 20. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади, поверхности и изопериметрии. – М.: Наука, 1957.
23