Финитно аппроксимируемая ассоциативная алгебра с неразрешимой проблемой равенства

Алгебра и логика, 39, N 4 (2000), 441-451

УДК 512.54.05:512.552

ФИНИТНО

АППРОКСИМИРУЕМАЯ

АССОЦИАТИВНАЯ АЛГЕБРА С НЕРАЗРЕШИМОЙ ПРОБЛЕМОЙ РАВЕНСТВА

О.В.БЕЛЕГРАДЕК

Любая конечно определенная финитно аппроксимируемая группа имеет разрешимую проблему равенства [1]. Аналогичный результат ве­ рен и для алгебр над конструктивным коммутативным кольцом к, ес­ ли понимать финитную аппроксимируемость как аппроксимируемость fc-алгебрами на конечно-порожденных свободных /.-модулях. (В частности, для алгебр над полем финитная аппроксимируемость — это аппроксими­ руемость конечномерными алгебрами.) Конечно-порожденная рекурсивно определенная финитно аппроксимируемая группа может иметь неразре­ шимую проблему равенства [2]. Л. А. Бокуть [3, проблема 2.10] поставил вопрос о существовании конечно-порожденной рекурсивно определенной финитно аппроксимируемой ассоциативной алгебры с неразрешимой про­ блемой равенства. В настоящей статье мы строим серию примеров таких алгебр. Для построения нам понадобится конструкция присоединения к ассо­ циативной алгебре полугруппы ее эндоморфизмов, напоминающая извест­ ную конструкцию расширения группы с помощью группы ее автоморфиз­ мов. Эта конструкция может представлять и самостоятельный интерес.

§ 1. Присоединение к алгебре полугруппы ее эндоморфизмов Пусть к — коммутативное кольцо с единицей, А — ассоциативная /г-алгебра, и Ф — полугруппа, действующая на алгебре А эндоморфизма©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

442

О. В, Белеградек

ми. Последнее означает, что задан гомоморфизм / полугруппы Ф в полу­ группу всех эндоморфизмов алгебры А. В частности, Ф может быть про­ извольной полугруппой эндоморфизмов алгебры А, а / —- тождественным отображением. Для ф Е Ф и а Е А обозначим через аф образ элемента а под действием эндоморфизма /(ф) алгебры А. Таким образом, (аа)ф = ааф,

(а + Ь)ф = аф + Ъф, (аЬ)ф = афЪф,

афф = (а*)*

для любых а,Ь € А, а Е fc и r A e / ^ Ci £ * и V>j7 *t € *•

Таким образом, отображение (5,6) »-» Д ь из й

х А в 1?(&Ф ® А),

fc-модуль эндоморфизмов fc-модуля &Ф® А, является билинейным. Поэтому существует гомоморфизм д : кФ ® А -> £(&Ф ® А) такой, что g(s ® Ь) = Дь для любых 6 Е А и s Е &Ф. Для ж Е &Ф ® А обозначим д(х) через ж; таким образом, х — эндоморфизм fc-модуля &Ф® А. Для ж, у Е &Ф ® А положим х • у •=• х(у). Очевидно, это умножение билинейно, и для любых а, Ь Е А и 0, ^ Е Ф (^ ® а) * (ф ® 6) = Д 6 ( 0 ®а)=:фф® афЪ. Проверим ассоциативность этого умножения. Пусть ф,ф,в € Ф и а, 6, с Е А. Тогда (( ФА такой, что / ( 0 ) = (0, 0) и / ( а ) = (0,г а). Очевидно, / ( 0 а ) = / ( 0 ) / ( а ) = (0, 0 ® а). Элементы ви­ дов (0,0) и (0,£® а) порождают А;-алгебру ФА; поэтому / сюръективен. Остается показать, что / инъективен. В силу соотношений (1)—-(4) любое слово алфавита Ф U А равно в С слову вида фа либо вида ф для некоторых ф £ Ф и a £ А; поэтому в С любой элемент с представим в виде

*

J

где а, Е &, aj £ .А, ^?,, 0j: £ Ф, все V7* попарно различны и все 0j попарно различны. Отсюда

/ И = ( ^2