1. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Основные теоретические сведения Корпускулярно-волновой ...
43 downloads
192 Views
454KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
1. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Основные теоретические сведения Корпускулярно-волновой дуализм является важнейшим внутренним свойством всех материальных объектов природы и заключается в том, что они обладают одновременно корпускулярными и волновыми характеристиками. Многочисленные эксперименты доказывают, что электроны, нейтроны, электромагнитное излучение и т.п. в одних условиях проявляют признаки частиц, движущихся по классическим траекториям и обладающих определенными энергией и импульсом, а в других — обнаруживают свои волновые свойства, характерные для явлений интерференции и дифракции. Впервые корпускулярно-волновой дуализм был обнаружен у света. Опыты по интерференции, дифракции и поляризации свидетельствовали о его волновой природе. Вместе с тем, закономерности равновесного теплового излучения привели в 1900 г. М. Планка к необходимости принять гипотезу о дискретном (порционном, квантовом) характере излучения. В 1905 г. А. Эйнштейн ввел понятие частиц света — фотонов, несущих квант (порцию) энергии Eф и облаr дающих импульсом pф . Согласно М. Планку эти характеристики связаны с частотой ν и длиной волны λ электромагнитного излучения формулами r hr Eф = hν и pф = n , (1.1) λ r где h = 6,63.10–34 Дж.с — постоянная Планка, n — единичный вектор направления движения фотона. Гипотеза о фотонах была подтверждена зафотоны кономерностями явления фотоэффекта, тормозного рентгеновского излучения и эффекта А K e Комптона. Количественные сведения о фотоэффекте были получены в экспериментальной установке, схема которой приведена на рис. 1.1. С металлической пластины К (катода), помещенной внутри откачанного стеклянного баллона, при облучении светом вылетали электроU ны, которые, попадая на пластину А (анод), приводили к возникновению электрического Рис. 1.1 тока в цепи. Полученные результаты Эйнштейн объяснил как выбивание электронов при бомбардировке поверхности катода фотонами. В этом случае закон сохранения энергии записывается в виде формулы Эйнштейна для фотоэффекта Eф = А + T, (1.2) где А — работа выхода электронов из вещества анода (характерная для каждого твердого или жидкого вещества величина, равная минимальной энергии, необходимой для удаления из него электрона в вакуум), T — максимально воз-
можная кинетическая энергия вылетевшего электрона. Ее можно измерить приложив для прекращения фототока между пластинами К и A запирающее (задерживающее) напряжение Uз. Тогда T = eUз, где e = 1,6.10–19 Кл — элементарный заряд. Правая часть формулы Эйнштейна минимальна при T = 0 и ограничена величиной работы выхода А. Поэтому фотоэффект не наблюдается при Eф< А . Определенные из условия Eф = А предельные значения частоты νкр и длины волны λкр фотонов называются красной границей фотоэффекта. Это дает основание из соображений удобства вместо работы выхода использовать величины hνкр и hc/λкр (здесь и далее с = 3.108 м/с — скорость света в вакууме). В таблице 1.1. приведены значения работы выхода для некоторых металлов. Таблица 1.1. Работа выхода электронов из металлов. Металл Алюминий Золото Литий Медь Никель
Работа выхода, эВ 4,25 5,10 2,38 4,40 4,50
Металл Платина Серебро Титан Цезий Цинк
Работа выхода, эВ 5,32 4,30 3,95 1,81 4,24
Представление о фотонах было окончаr' тельно подтверждено при изучении их упPф ругого рассеяния на свободных электронах r (эффект Комптона — 1922 г.). Векторная Pф ϑ диаграмма закона сохранения импульса в процессе соударения налетающего фотона с r r импульсом pф с покоящимся электроном Pe приведена на рис. 1.2. После удара у фотоr на остается импульс pф′ , а электрон приобРис. 1.2 r ретает импульс pe . Используя законы сохранения энергии и импульса можно получить формулу взаимосвязи длин волн налетающего λ и рассеянного λ´ фотонов: h (1.3) Δλ = λ′ − λ = (1 − cos θ ) = λc (1 − cos θ ) , mec где me — масса покоя электрона, ϑ — угол рассеяния фотона, а величина h λc = = 2,43 ⋅ 10−12 м (1.4) mec называется комптоновской длиной волны электрона. Наличие у электромагнитных волн свойств частиц побудило Луи де Бройля высказать в 1924 г. гипотезу о всеобщем характере корпускулярно-волнового дуализма. Не только фотоны, но и любая движущаяся частица с энергией Е и
r импульсом p обладает волновыми свойствами, которые соответствуют длине волны и частоте, определяемым по формулам E h и νБ = . (1.5) λБ = h p Гипотеза де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме всех квантовых объектов ограничивает возможность применения к микрочастицам понятий координаты и импульса в их классическом понимании. Следствием внутренних свойств микрообъектов являются соотношения неопределенностей, установленные В. Гейзенбергом в 1927 г. Математически соотношения неопределенностей имеют вид неравенств, например h Δx ⋅ Δpx ≥ , (1.6) 2 h , Δx и Δpx — неопределенности значений координаты x и сопрягде h = 2π женной с ней компоненты импульса px . Аналогичные соотношения справедливы и для других пар — y и py, z и pz , E и t. В 1927 г. Н. Бор объединил вышеприведенные выводы в утверждение, что если в каком-либо эксперименте мы можем наблюдать одну сторону физического явления, то одновременно мы теряем информацию о дополнительной к первой стороне явления. Это утверждение называется принципом дополнительности. Свойствами дополнительности обладают такие пары, как координата и импульс, волновой и корпускулярный характер поведения и т.д.
Литература
1. Савельев И.В. Курс физики.Т.3: Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. Гл. 2, п.п. 810, гл. 3, п.п. 11-13. – М.: Наука, 1989. 2. Трофимова Т.И. Курс физики. Гл. 26, п.п. 202-207, гл. 28, п.п. 213-215. – М.: Высшая школа, 1990.
2. КВАНТОВЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦ Основные теоретические сведения
В классической механике состояние частицы задается радиусом-вектором r r r и импульсом p , изменение которых определяется с помощью второго закона Ньютона. В физике микромира, из-за соотношения неопределенностей, классическое определение состояния утрачивает смысл и можно говорить лишь о вероятности обнаружения частицы в той или иной области пространства. Эта вероятность определяется через волновую функцию (пси-функцию) Ψ(x,y,z,t), которая является решением уравнения Шредингера и задает состояние микрочастицы. Для стационарных (не зависящих от времени) состояний волновая функция распадается на два множителя и принимает вид
Ψ(x,y,z,t)= ψ(x,y,z) ⋅e
−i
E
t
, где — E энергия частицы. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид h2 2 2m или − ∇ ψ + Uψ = Eψ ∇ 2ψ + 2 ( E − U ) ψ = 0 . 2m h h
В этом случае вероятность dW обнаружения частицы в элементе объема dV в окрестности некоторой точки с координатами {x,y,z} определяется по формуле dW = |Ψ(x,y,z,t)|2 dV = |ψ(x,y,z)|2 dV = ρ(x,y,z) dV, (2.1) 2 где величина ρ(x,y,z)= |ψ(x,y,z)| называется плотностью вероятности. Для определения вероятности W обнаружения частицы в объеме Vo необходимо проинтегрировать это выражение: W=
∫
2
ψ ( x, y, z ) dV .
(2.2)
Vo
Соответственно, в одномерном случае вероятность обнаружения частицы в пределах области [x1,x2] равна
W=
x2
∫
2
ψ ( x ) dx ,
(2.3)
x1
а в случае сферической симметрии задачи вероятность обнаружения частицы в сферическом слое в пределах значений расстояний от центра от r1 до r2 r2
2
W = ∫ ψ ( r ) ⋅ 4πr 2 dr .
(2.4)
r1
Учитывая, что вероятность достоверного события равна 1, можно написать условие нормировки для ψ-функции +∞ 2 (2.5) ∫ ψ ( x ) dx = 1 . −∞
Знание волновой функции позволяет определить средние значения физических величин по формуле +∞
A
СР
=
ˆ dx , ∫ ψ * Aψ
(2.6)
−∞
где Aˆ — линейный оператор соответствующей физической величины A (см. таблицу 2.1), ψ* — волновая функция, комплексно сопряженная ψ. Таблица 2.1. Операторы физических величин. Величина в классической механике Координата Проекция импульса
Кинетическая энергия Потенциальная энергия Величина, являющаяся функцией координаты
Сокращенная запись оператора
Вид оператора
x
xˆ
x
px
pˆ x
−ih
∂ ∂x
T
Tˆ
h2 2 − ∇ 2m
U(r)
Uˆ
U(r)
f(x)
fˆ ( x )
f(x)
Дополнительную информацию о степени разброса величины A можно получить, определив среднее квадратичное отклонение от средней величины по формуле
δA =
( ΔA ) 2
=
A2 − A
2
.
(2.7)
Вид волновой функции в конкретной задаче находится с помощью соответствующего уравнения. В частности, решение стационарного уравнения Шредингера для частицы массы m локализованной в одномерной потенциальной яме со стороной l и с абсолютно непроницаемыми стенками дает набор собственных функций ψn и собственных значений полной энергии En: 2 πnx π 2h2 2 ψn = ⋅ sin , En = n , (2.8) l l 2ml 2 где n = 1, 2, 3,..., ∞ . Если потенциальная яма имеет форму куба со стороной l с абсолютно непроницаемыми стенками, то собственные функции и собственные значения энергии зависят от трех квантовых чисел {n1, n2, n3}
ψ n1n2n3 =
πn3 z 23 πn1x πn2 y , sin sin sin ⋅ ⋅ ⋅ l l l l3
π 2h2 2 En1n2n3 = (n + n22 + n32 ) . (2.9) 2 1 2ml При этом возможны состояния с различными наборами квантовых чисел, но имеющие одинаковую энергию. Число таких состояний называется кратностью вырождения собственных значений энергии. В квантовой механике для волновых функций справедлив принцип суперпозиции: если имеется ряд возможных состояний системы с волновыми функциями ψ1, ψ2, ..., ψn, то может существовать сложное состояние ψ = c1ψ1 + c2ψ2 + ... + cnψn , где c1, c2,..., cn — произвольные, вообще говоря, комплексные числа.
Литература
1. Савельев И.В. Курс физики. Т. 3: Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. Гл. 3, п.п. 14, 15, гл. 4, п.п. 17, 18. – М.: Наука. 2. Трофимова Т.И. Курс физики. Гл. 28, п.п. 216-220. – М.: Высшая школа, 1990.
3. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР Основные теоретические сведения Потенциальный барьер — пространственно ограниченная область высокой потенциальной энергии частицы в силовом поле с одной или с двух сторон которой потенциальная энергия более или менее резко спадает. На рис. 3.1 и 3.2 приведены потенциальные барьеры простейшей формы для случая движения частицы вдоль оси x. Максимальное значение потенциальной энергии U0 называется высотой барьера. U U
1
2
1
U0
2
3
U0
E
E
o x Рис. 3.1. Потенциальный барьер в виде ступеньки.
o l x Рис. 3.2. Прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины l. Решение стационарного уравнения Шредингера для частиц, движущихся в области потенциального барьера, приводит к отличным от классической физики выводам: 1. Если частица, имеющая массу m и полную механическую энергию E, налетает на высокий потенциальный барьер в виде ступеньки при E < U0 (рис. 3.1), то она отражается от него не на границе барьера, а проникая в глубину. Плотность вероятности обнаружить частицу “внутри” потенциального барьера (при x > 0) убывает экспоненциально в соответствии с формулой 2 ⎛ 2 ⎞ ψ ( x) = C ⋅ exp ⎜ − 2m (U 0 − E ) ⋅ x ⎟ , где С — сonst. (3.1) ⎝ h ⎠ При этом в области 1 наблюдается интерференция падающей и отраженной волн де Бройля частицы. 2. Если частица налетает на низкий потенциальный барьер в виде ступеньки при E > U0 (рис. 3.1), то для нее имеется вероятность D прохождения в область 2 (где ее кинетическая энергия T = E – U) и вероятность R отражения от барьера, определяемые по формулам D=
4 ⋅ E(E − U0 ) ( E + E − U 0 )2
,
⎛ E − E − U0 R=⎜ ⎜ E + E −U 0 ⎝
2
⎞ ⎟⎟ . ⎠
(3.2)
Очевидно, что R + D = 1. Величины D и R называют коэффициентами прохождения (пропускания) и отражения соответственно. Изменение кинетической энергии частицы при прохождении границы областей 1 и 2 с разной потенциальной энергией приводит к изменению ее волнового числа k = 2π/λ и длины волны де Бройля. Величина λ k n= 1 = 2 (3.3) λ2 k1 называется относительным коэффициентом преломления волн де Бройля. 3. Если частица с энергией E < U0 налетает на прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины l (рис. 3.2.), то у нее имеется вероятность отразиться, вероятность проникнуть в область 2 и вероятность пройти потенциальный барьер (туннельный эффект) и попасть в область 3. Соответствующий коэффициент прохождения (пропускания или прозрачности) D определяется по формуле ⎡ 2 ⎤ D ≈ exp ⎢ − 2m (U 0 − E ) ⋅ l ⎥ . (3.4) ⎣ h ⎦ При решении задач на прохождение частицей потенциального барьера полезно записать качественный вид функции плотности вероятности ее обнаружения |ψ(x)|2 для областей 1, 2, 3 (рис. 3.1 и 3.2) и построить соответствующие графики.
Литература
1. Савельев И.В. Курс физики. Т. 3: Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. Гл. 3, п. 16. – М.: Наука. 2. Трофимова Т.И. Курс физики. Гл. 28, п. 221. – М.: Высшая школа, 1990.
4. АТОМЫ Основные теоретические сведения
Атом является наименьшей частью химического элемента, в которой сохраняется индивидуальность химического элемента. Опыты Э. Резерфорда доказали, что атом состоит из положительно заряженного ядра, в котором сосредоточена почти вся масса, и движущихся на периферии электронов. Решение уравнения Шредингера с учетом взаимодействия в такой системе зарядов дает собственные функции, содержащие три целочисленные параметра n, l, m ψ = ψn,l,m (r,θ,ϕ), где r, θ, ϕ — сферические координаты. Эти параметры называются квантовыми числами и могут принимать следующие значения: n = 1, 2, 3, ... ,∞; – главное квантовое число – азимутальное (орбитальное) квантовое число l = 0, 1, 2, ..., n – 1; m = 0, ±1, ±2, ..., ±l. – магнитное квантовое число В атоме водорода эти числа определяют соответственно квантование энергии электрона En, модуля момента импульса M и проекции момента импульса электрона на физически выделенную ось (например, z) Mz : 2
⎛ 1 ⎞ me 4 1 En = − ⎜ ⎟ ⋅ 2⋅ 2 ; ⎝ 4πεo ⎠ 2h n M = h l ( l + 1) ;
(4.1)
M z = mh . Из экспериментальных фактов следует, что у электрона имеется собственный момент импульса — спин, проекция которого на физически выделенную ось Msz определяется формулой 1 M sz = ms h , где ms= ±s, s = — спиновое квантовое число. (4.2) 2 В результате состояние электрона в атоме водорода характеризуется четырьмя квантовыми числами n, l, m, ms . В атомной физике принята система условных обозначений состояния электрона с различными значениями числа l.
Если l = 0, то состояние называется s-состояние, при l = 1 — p-состояние, l = 2 — d-состояние, l = 3 — f-состояние, l = 4 — g-состояние и далее по алфавиту. Значение главного квантового числа указывается цифрой перед условным s l=0
0
p l=1
d l=2
f l=3
g l=4
Э н е р г и я, э В
-1- n=4 n=3 -2-3-
n=2
-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-
n=1
Рис. 4.1. Схема энергетических уровней водородного атома (в качестве примера указаны возможные переходы из 4d- в 1s-состояние). обозначением квантового числа l. Например, электрон в состоянии с n = 4 и l = 2 обозначается 4d. С учетом этих обозначений уровни энергии в атоме водорода удобно изображать в виде схемы, приведенной на рис. 4.1. При определенном значении квантового числа n азимутальное квантовое число l может принимать n значений от 0 до n – 1, а при каждом значении l квантовое число m может принимать 2l + 1 значение. Следовательно, с учетом
спинового квантового числа кратность вырождения по энергии состояния с квантовым числом n равна n−1
∑ 2 ( 2l + 1) = 2n2 .
(4.3)
l =0
Совокупность состояний электрона с одинаковым главным квантовым числом n называется оболочкой. В свою очередь, оболочка состоит из подоболочек — состояний с одинаковыми значениями квантового числа l. При переходе электрона с одного уровня энергии на другой происходит испускание или поглощение кванта энергии в виде фотона, который обладает моментом импульса, равным ћ. Поэтому закон сохранения момента импульса накладывает ограничения на переходы в виде правила отбора: возможны переходы между состояниями, для которых выполняется условие (4.4) Δl = ±1 . В атомах, содержащих больше одного электрона, энергия состояния зависит в основном от квантовых чисел n и l , а распределение электронов по состояниям определяется принципом Паули: в одном стационарном состоянии, характеризующемся четырьмя квантовыми числами {n, l, m, ms}, не может одновременно быть больше одного электрона. В основном (невозбужденном) состоянии атома электроны располагаются на самых низких энергетических уровнях, не нарушая принципа Паули. В атоме гелия (Z = 2) оба электрона при разных значениях спинового числа находятся в состоянии с n = 1 и l = 0. Тогда так называемая электронная конфигурация атома гелия записывается как 1s2 (два электрона в s-состоянии на 1-ой оболочке). Следующим по порядку в периодической системе стоит атом лития (Z = 3) с тремя электронами. Два из них находятся на 1-ой оболочке, а третий на 2-ой. Электронная конфигурация атома лития 1s22s1. Для первых 18 элементов периодической системы Д.И. Менделеева выполняется следующий порядок заполнения электронами состояний: сначала заполняется оболочка с меньшим значением квантового числа n, а внутри данной оболочки вначале заполняются состояния с l = 0, затем по порядку с большими значениями l до l = n – 1. Нарушение этого порядка начинается с калия (Z = 19). Энергия электрона в 4s-состоянии оказывается меньше, чем в состоянии 3d. Поэтому вначале электроны “предпочитают” заполнять подоболочку 4s, а затем — 3d. Например, электронная конфигурация калия (Z = 19) 1s22s22p63s23p64s1. После заполнения подоболочек 4s и 3d порядок заполнения вновь нарушается, но об этом подробнее читайте в рекомендуемой литературе. Литература
1. Савельев И.В. Курс физики. Т. 3: Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. Гл. 5, п.п. 22, 23, 27, гл. 4, п.п. 17, 18. – М.: Наука. 2. Трофимова Т.И. Курс физики. Гл. 29, п.п. 223-228. – М.: Высшая школа, 1990.
Пример 1а Фототок, вызываемый падением электромагнитного иэлучения с длиной волны λ1 = 0,44 мкм на катод, прекращается при задерживающей разности потенциалов Uз = 0,95 В (рис. 1.1.). Определить работу выхода катода и максимальную скорость фотоэлектронов. Какой станет максимальная скорость фотоэлектронов, если у падающего излучения длина волны уменьшится в два раза? Решение Для расчета работы выхода напишем формулу Эйнштейна (1.2), испольhc и равенство T = eUз: зуя выражение для энергии фотонов (1.1) Eф = hν = λ hc hc = A + eU З или A= − eU З . λ1 λ1 Подставим числовые значения величин и произведем вычисления: 6,63 ⋅ 10−34 ⋅ 3 ⋅ 108 Дж − 1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 0,95 Дж = A= −6 0,44 ⋅ 10
= 3,00 ⋅ 10−19 Дж = 1,88 эВ. Полученное значение работы выхода характерно для цезия (см. таблицу 1.1.). Скорость фотоэлектрона определим через кинетическую энергию, равную в первом случае T1 = eUз = 0,95 эВ. Эта величина значительно меньше энергии покоя электрона (moc2 = 0,511 МэВ). Следовательно, в данном случае можно использовать нерелятивистское выражение для кинетической энергии 2 mo ⋅ Vmax 1 . T1 = 2 2eU з 2T1 Тогда Vmax = = . 1 mo mo Произведем вычисления:
2 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 ⋅ 0,95 м/с ≈ 5,8 ⋅ 105 м с . −31 9,1 ⋅ 10 При замене падающего излучения на излучение с длиной волны λ2 = λ1 /2 = 0,22 мкм энергия фотона увеличится в два раза, а кинетическая энергия фотоэлектрона увеличится в соответствии с формулой (2.1) hc − A. T2 = Eф2 – А или T2 = λ2 Vmax = 1
Учитывая, что Vmax = 2
2T2 , получим mo
Vmax = 2
⎞ 2 ⎛ hc ⎜ − A⎟ . mo ⎝ λ2 ⎠
Произведем вычисления:
⎛ 6,63 ⋅ 10−34 ⋅ 3 ⋅ 108 2 −19 ⎞ 3 10 − ⋅ Vmax = ⎜ ⎟ 2 9,1 ⋅ 10−31 ⎝ 0,22 ⋅ 10−6 ⎠
м/с ≈
.
≈ 1,15 ⋅ 106 м с
Ответ: A = 1,87 эВ (цезий), Vmax ≈ 5,8 ⋅ 105 м с , Vmax ≈ 1,15 ⋅ 106 м с 1 2 Пример 1б Фотон с импульсом P = 1,02 МэВ/с, где с — скорость света, рассеялся на покоившемся свободном электроне, в результате чего импульс фотона стал равным P’ = 0,255 МэВ/с. Под каким углом рассеялся фотон и какая доля энергии первичного фотона приходится на кинетическую энергию электрона отдачи? Решение При столкновении фотона со свободным электроном (рис. 1.2.) выполняется формула (1.3). Запишем ее, выразив длины волн исходного λ и рассеянного λ′ фотонов через импульсы с помощью формулы (1.1) h h h − = (1 − cos θ ) . P P′ moc ⎛ P − P′ ⎞ После преобразований получим moc ⎜ ⎟ = 1 − cos θ . ⎝ P ⋅ P′ ⎠
⎡ ⎛ P − P ' ⎞⎤ Тогда θ = ± arccos ⎢1 − moc ⎜ ⎟ ⎥ . Для облегчения расчетов представим ⎝ P ⋅ P ' ⎠⎦ ⎣ эту формулу в виде ⎡ ⎛ Pc − P ' c ⎞ ⎤ θ = ± arccos ⎢1 − moc 2 ⎜ ⎟⎥ , Pc ⋅ P ' c ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 2 где moc = 0,511 МэВ — энергия покоя электрона, по условию задачи Pc = 1,02 МэВ, P’c = 0,255 МэВ. После подстановки этих значений получаем ⎡ 2 ⎛ 1,02 − 0,255 ⎞ ⎤ θ = ± arccos ⎢1 − 0,511⎜ ≈ ± arccos ( −0,5 ) = ± π . ⎥ ⎟ 3 ⎝ 1,02 ⋅ 0, 255 ⎠ ⎦ ⎣ Для ответа на второй вопрос задачи используем закон сохранения энергии Eф + moc2 = Eф′ + moc2 +T, где T — кинетическая энергия электрона отдачи, Eф = Pc, Eф′ = P′c .
Тогда можно рассчитать искомое отношение: Eф - Eф′ P − P′ T = = = 0,75 . Eф Eф P Ответ: угол рассеяния θ = 120о, на кинетическую энергию электрона отдачи приходится 75% энергии первичного фотона. Пример 2 Сравнить длину волны де Бройля молекулы водорода с ее диаметром. Считать, что молекула имеет скорость, равную средней квадратичной скорости молекул газообразного водорода при температуре 0оС. Диаметр молекулы водорода d = 0,27 нм. Решение Из молекулярно-кинетической теории следует, что средняя квадратичная скорость молекул газа определяется по формуле 3kT V = , ср.кв. m где k = 1,38.10–23 Дж/К — постоянная Больцмана, T = 273 К — абсолютная температура газа, m — масса молекулы газа. С учетом этого формулу де Бройля (1.5) можно записать в виде h h NA , λБ = = =h 3MkT mVср.кв. 3mkT
где NA = 6,02.1023 моль–1 — число Авогадро, М = 0,002 кг/моль — молярная масса водорода. После подстановки этих величин и расчета получим λБ ≈ 0,11 нм. Эта величина одного порядка с размерами молекулы водорода. Ответ: λБ ≈ 0,11 нм. Пример 3 Электрон локализован в области в области в виде плоской пластины, толщина которой l = 25 нм. Используя соотношение неопределенностей оценить кинетическую энергию частицы, при которой ее относительная неопределенность будет порядка η = 0,01. Решение При локализации частицы неопределенность ее координаты примерно равна размерам области локализации. Будем считать, что Δx ≈ l/2, Δy→∞, Δz→∞, а соотношение неопределенностей (1.6) для оценочных расчетов запишем со знаком приблизительного равенства
h h h . Тогда Δpx ≈ = , Δp y ≈ 0 и Δpz ≈ 0 . 2Δx l 2 Для определения взаимосвязи неопределенности кинетической энергии ΔT с неопределенностью импульса возьмем дифференциал от левой и правой частей нерелятивистской формулы кинетической энергии T = p2/2m (считая, что p ≡ px ) p ⋅ dpx . dT = x m В приближенных расчетах можно считать, что p ⋅ Δp x . ΔT = x m Тогда относительную неопределенность кинетической энергии можно записать в виде ΔT px ⋅ Δpx ⋅ 2m 2Δpx η= = = . T px m ⋅ px 2 После подстановки в эту формулу значения неопределенности импульса 2h получим η ≈ . px ⋅ l 2h Отсюда можно определить импульс px ≈ и искомое значение кинетиη⋅l ческой энергии p2 4h 2 2h 2 T= x ≈ = . 2m 2m ⋅ η 2 ⋅ l 2 m ⋅ η 2 ⋅ l 2
Δx ⋅ Δp x ≈
Где масса электрона m = 9,1 ⋅ 10−31 кг . Произведем расчет:
T≈
2 ⋅ (1,055 ⋅ 10−34 ) 2 Дж ≈ 3,9 ⋅ 10−19 Дж ≈ 2,4 эВ . −31 −4 −18 9,1 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 625 ⋅ 10
Ответ: T ≈ 2,4 эВ.
Пример 4 После дифракции на щели электроны вызывают на экране Э сцинтилляционные вспышки (рис. 2.1). Интенсивность вспышек на небольшой площади экрана вблизи точки А составляет 10 с–1, а на такой же площади вблизи точки В — 40 с–1. Чему равно отношение волновых функций электронов в этих точках.
e e e e e e
А В
Рис. 2.1.
Э
Решение Интенсивность вспышек прямо пропорциональна плотности вероятности обнаружения электронов в соответствующей точке I ∼ |ψ|2. Тогда
ψΒ
2
ψΑ
2
=
I B 40 = =4 I A 10
или
ψΒ = 2. ψΑ
Пример 5 Поток электронов проходит через две узкие щели А и В (рис. 2.2), образуя на экране Э интерференционную картину. Интенсивность ее в минимуме равна Io. Какова интенсивность в максимуме, если щель В пропускает в 4 раза больше электронов, чем щель А? Решение Так как щель В пропускает в 4 раза больше электронов, то ψ B2 = 4ψ Α2 или e ψΒ = ±2ψ Α . Интенсивность пропорцио- e e нальна плотности вероятности обнаруe жения электронов, которая в максимуме e равна квадрату суммы волновых функe ций, а в минимуме квадрату их разности:
А
Э
В Рис. 2.2.
Imax ∼ ( ψΒ + ψ Α ) = 9ψ Α2 , а Imin= Iо ∼ ( ψΒ − ψ Α ) = ψ Α2 Сравнивая эти соотношения, получаем Imax = 9Io . 2
2
Пример 6 Электрон локализован в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками в пределах области на оси x от 0 до l. Его состояние описывается волновой функцией 3π 2π ψ ( x) = A ⋅ sin x ⋅ cos x . l l Определить вероятность обнаружения электрона в средней четверти ямы. Решение Искомую вероятность можно найти с помощью формулы (2.3). Предварительно преобразуем заданную пси функцию в соответствии с тригонометрической формулой 2sinα .cosβ = sin(α–β) + sin(α+β).
3π 2π A π A 5π x ⋅ cos x = sin x + sin x . l l 2 l 2 l Анализ этого выражения показывает, что ψ(x) является суперпозицией двух стационарных состояний (собственных функций) электрона в потенциальной яме с квантовыми числами n =1 и n = 5. На рис. 2.3. приведен график ψ(x) полученный сложением соответствующих графиков ψ1(x) и ψ5(x). Тогда ψ ( x) = A ⋅ sin
Рис. 2.3. Для определения постоянной А воспользуемся условием нормировки 2
l
A2 ⎛ π 5π ⎞ ⎜ sin x + sin x ⎟ dx = 1 . ∫ l l ⎠ 4 0⎝ Сделаем преобразования l l l ⎤ A2 ⎡ ⎛π ⎞ ⎛ 5π ⎞ 2⎛π ⎞ 2 ⎛ 5π ⎞ ⎢ ∫ sin ⎜ x ⎟ ⋅ dx + 2∫ sin ⎜ x ⎟ ⋅ sin ⎜ x ⎟ ⋅ dx + ∫ sin ⎜ x ⎟ ⋅ dx ⎥ = 1. 4 ⎢⎣ 0 ⎝l ⎠ ⎝l ⎠ ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ ⎥⎦ 0 0 При интегрировании используем тригонометрические равенства 2sin2α = 1– cos2α и 2sinα . sinβ = cos(α–β) – cos(α+β). l l 1 ⎛ 2π ⎞ 1 l l 2π Тогда ∫ sin x ⋅ dx = ∫ ⎜1 − cos x ⎟ dx = x 0 = , l 2 0⎝ l ⎠ 2 2 0 l
l
l
π 5π 4π 6π 2 ∫ sin x ⋅ sin x ⋅ dx = ∫ cos x ⋅ dx − ∫ cos x ⋅ dx = 0 , l l l l 0 0 0
l
l
5π 1 ⎛ 10π ⎞ 1 l l ∫ sin l x ⋅ dx = 2 ∫ ⎜⎝1 − cos l x ⎟⎠ dx = 2 x 0 = 2 . 0 0 2
A2 ⎡ l l⎤ 2 . или + 0 + = 1 После вычислений получаем A = 4 ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ l Вероятность обнаружения электрона в средней четверти ямы определяется интегрированием плотности вероятности (2.3) в заданных пределах от x1 = 3l/8 до x2 = 5l/8 x 2 1 2⎛ π 5π ⎞ W = ∫ ⎜ sin x + sin x ⎟ dx = lx⎝ l l ⎠ 1 x2 x2 ⎡x ⎤ 1⎢ 2 2 π π 5π 2 5π x ⋅ dx ⎥ . = ∫ sin x ⋅ dx + 2 ∫ sin x ⋅ sin x ⋅ dx + ∫ sin ⎥ l ⎢x l l l l x1 x1 ⎣ 1 ⎦ После соответствующих преобразований (см. выше) и вычислений получим W = 0,57. Этот результат качественно подтверждает график плотности вероятности обнаружения электрона ρ =⏐ψ⏐2, приведенный на рис. 2.3. Максимум этой функции приходится на середину ямы. Пример 7 Электрон находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками (0 ≤ x ≤ l). Найти среднее квадратичное отклонение соответствующей проекции импульса частицы от среднего значения. Решение +∞
Определим < px>ср по формуле (2.6) ψ1 =
2 π ⋅ sin x , l l
pˆ x = −ih
px
ср
=∫ 0
l
ср
=
∫ ψ1 pˆ xψ1 ⋅ dx , ∗
где
−∞
∂ . ∂x l
Получим
px
2 π ⎛ π ∂ ⎞ 2 sin x ⎜ −ih ⎟ sin x ⋅ dx = l l ⎝ ∂x ⎠ l l l
2ih π 2ih 2 ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ =− sin x ⋅ d ⎜ sin x ⎟ = − sin ⎜ x ⎟ = 0 . ∫ l 0 l l ⎠ l ⎝ ⎝ l ⎠0 Этот результат можно было ожидать из соображений симметрии: движение электрона равновероятно вправо и влево, что приводит к нулевой средней проекции импульса. Для определения среднего квадратичного отклонения используем формулу (2.7) с учетом того, что < px>ср= 0
l
2
l
2 π ⎛ ∂ ⎞ π (δpx ) = ∫ ψ1 ( pˆ x ) ψ1dx = ∫ sin x ⎜ −ih ⎟ sin x ⋅ dx = ∂x ⎠ l0 l ⎝ l 0 2
2
l
l
2h π ∂2 ⎛ π ⎞ 2π 2 h 2 π = − ∫ sin x 2 ⎜ sin x ⎟ dx = 3 ∫ sin 2 x ⋅ dx = l 0 l ∂x ⎝ l ⎠ l l 0 2π 2 h 2 l π 2 h 2 = 3 ⋅ = 2 . 2 l l Тогда среднее квадратичное отклонение δp x =
πh . l
Пример 8 Электрон, находящийся в потенциальной яме кубической формы с абсолютно непроницаемыми стенками, перешел из возбужденного состояния с квантовыми числами {4,2,1} на соседнее с меньшей энергией. Сторона куба l = 1 нм. Определить выделившуюся при этом энергию и кратностью вырождения нового состояния. Решение Первоначальное состояние имеет энергию (см. формулу (2.9)) π 2h2 2 π 2h2 2 2 (4 + 2 + 1 ) = E4,2,1 = ⋅ 21 . 2ml 2 2ml 2 Соседним состоянием с меньшей энергией может быть состояние, для которого сумма квадратов квантовых чисел равна 20, 19, 18 и меньше. Перебирая возможные числа, определяем, что ближайшими являются 3 состояния с квантовыми числами {1,3,3}, {3,1,3} и {3,3,1}, имеющие одинаковую энергию π 2h2 2 2 2 π 2h2 (1 + 3 + 3 ) = E1,3,3 = ⋅ 19 . 2ml 2 2ml 2 Следовательно, кратность вырождения нового состояния равна трем, а выделившуюся при переходе энергию рассчитаем по формуле 3,142 ⋅ 1,052 ⋅ 10−68 ⋅ 2 π 2h2 ΔE = (21 − 19) = Дж ≈ 2ml 2 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10−31 ⋅ 10−18
≈ 1,2 ⋅ 10−19 Дж = 0,75 эВ.
Пример 9 Определить долю электронов, прошедших потенциальную ступеньку высотой U0 (рис. 3.1. ), считая, что все частицы до барьера имели одинаковую кинетическую энергию T = 2U0 . Найти качественный вид волновой функции и функции плотности вероятности обнаружения электронов до и после барьера.
Решение Доля электронов, прошедших потенциальный барьер, это отношение числа частиц, прошедших барьер за интервал времени Δt , к числу частиц, упавших на барьер за то же время. Поэтому мы сразу можем воспользоваться формулами (3.2). Учитывая, что E = T = 2U0 , получим 4 ⋅ 2U 0 ⋅ U 0 D= ≈ 0,97 . ( 2U 0 + 2U 0 − U 0 ) 2 Поскольку до и после ступеньки потенциальная энергия не зависит от координаты, то можно сразу записать вид волновой функции до и после скачка потенциала. В области 1 волновая функция ψ1(x) соответствует падающей и отраженной волнам де Бройля, а в области 2 ψ2(x) соответствует прошедшей волне де Бройля: 1 ik x −ik x ψ1 = A1e 1 + B1e 1 , где k1 = 2mT ; h 1 1 ik x ψ 2 = A2e 2 , где k2 = 2m ( E − U 0 ) = mT . h h Из условия непрерывности ψ-функции и ее производной на границе (т.е. при x = 0) получим ⎧ψ1(0) = ψ 2 (0) ⎧ A1 + B1 = A2 или ⎨ . ⎨ ⎩ψ1′ (0) = ψ 2′ (0) ⎩k1 ( A1 − B1 ) = k2 A2
Разделим все члены этих уравнений на A1 и введем обозначения B A b1 = 1 и a2 = 2 A1 A1 ⎧ 1 + b1 = a2 . Получим ⎨ k (1 − b ) = k a ⎩ 1 1 2 2 Решая эту систему уравнений, находим 2k1 2 2T 2 2 a2 = = = ≈ 1,17, k1 + k2 2T + T 2 +1 b1 =
k1 − k2 2T − T 2 −1 = = ≈ 0,17. k1 + k2 2T + T 2 +1 −ik x
ik x
ik x
Тогда ψ1 = A1e 1 + 0,17 A1e 1 , ψ 2 = 1,17 A1e 2 . Соответственно плотности вероятности обнаружения электронов до и после ступеньки равны
(
2
ψ1 = A12 e
ik1x
−ik1x
) ⋅ (e
i 2k1x
+e
+ 0,17e
(
≈ A12 ⎢⎡1 + 0,03 + 0,17 e ⎣ 2
ik2 x
ψ 2 ≈ 1,37 A12e
⋅e
−ik 2 x
= 1,37 A12 .
−ik1x
+ 0,17e
ik1x
)≈
)⎥⎦ ≈ A ⎡⎣1,03 + 0,34cos ( 2kx )⎤⎦ .
−i 2k1x ⎤
2 1
Появление осциллирующего множителя cos(2kx) в выражении для плотности вероятности обнаружения электронов в области x < 0 связано с образованием стоячей волны при интерференции падающей и отраженной волн. В области x > 0 плотность вероятности постоянна. Пример 10 Какое максимальное число электронов в атоме могут иметь следующие одинаковые квантовые числа: 1) n, l, m; 2) n, l. Решение 1. В соответствии с принципом Паули в атоме не может быть более одного электрона с одинаковыми четырьмя квантовыми числами. В первом случае три из них фиксированы, а четвертое (спиновое) ms может принимать только два значения. Следовательно, в атоме только два электрона могут иметь одинаковый набор квантовых чисел n, l, m. 2. При заданном значении квантовых чисел n, l магнитное квантовое число m может принимать значения 0, ±1, ±2,..., ±l, т.е. всего 2l + 1 значений. При каждом из них (см. 1-ый случай) возможны два значения спинового квантового числа. Следовательно, в атоме не более 2(2l + 1) электронов могут иметь одинаковый набор квантовых чисел n, l. Пример 11 Электрон в атоме водорода находится в 4d-состоянии. Какой максимальный квант энергии может выделиться при его самопроизвольном переходе в основное состояние? Решение Правило отбора (4.4) накладывает ограничение на прямой переход из 4dв 1s-состояние. Поэтому переход возможен только в два этапа: из 4d- в какоелибо p-состояние, а затем — в основное состояние 1s. Соответственно при переходе будет выделено два кванта энергии. Возможными являются переходы (см. рис. 4.1.) 4d→3p→1s и 4d→2p→1s. Энергия перехода определяется с помощью формулы (4.1) 2 ⎛ 1 ⎞ me 4 ⎛ 1 1 ⎞ ΔE = − ⎜ ⎟ ⋅ 2 ⋅⎜ 2 − 2 ⎟. ⎝ 4πε0 ⎠ 2h ⎜⎝ n j ni ⎟⎠ Ее величина будет максимальной при переходе 3p→1s (ni = 1, nj = 3). Произведем расчет м 9,1 ⋅ 10−31 кг ⋅ 1,64 ⋅ 10−76 Кл 4 ⎛ 1 1 ⎞ ΔE = −92 ⋅ 1018 ⋅ ⋅ ⎜ − ⎟≈ Ф 2 ⋅ 1,052 ⋅ 10−68 Дж 2 ⋅ с 2 ⎝ 32 12 ⎠
≈ 19,3 ⋅ 10−19 Дж ≈ 12,1 эВ .
Пример 12 Электронная конфигурация атома калия (Z = 19) имеет вид 2 2 1s 2s 2p63s23p64s1 . Определить число свободных состояний в 3-ей оболочке. Решение В соответствии с формулой (4.3) на 3-ей оболочке может находиться 2n2 = 2.32 = 18 электронов. У атома калия на ней 2 электрона в s-состоянии и 6 электронов в p-состоянии. Следовательно, остаются вакантными 10 d-состояний на 3-ей оболочке.