Камчатский государственный технический университет Кафедра высшей математики
Г.П. Исаев
МАТЕМАТИКА Типовые расчеты по ...
42 downloads
208 Views
663KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Камчатский государственный технический университет Кафедра высшей математики
Г.П. Исаев
МАТЕМАТИКА Типовые расчеты по курсу для студентов экономических специальностей очной формы обучения
Петропавловск-Камчатский 2005
УДК 510.2 ББК 22.1я729 И85
Рецензент М.И. Водинчар, кандидат физико-математических наук
Исаев Г.П. И85
Математика. Типовые расчеты по курсу для студентов экономических специальностей очной формы обучения. – Петропавловск-Камчатский: КамчатГТУ, 2005. – 74 с. Задачи типовых расчетов составлены для самостоятельной работы студентов по изучаемому предмету. Рекомендовано к изданию учебно-методическим советом КамчатГТУ (протокол № 8 от 23 апреля 2004 г.).
УДК 510.2 ББК 22.1я729
© КамчатГТУ, 2005 © Исаев Г.П., 2005 2
Введение Выполнение типовых расчетов по курсу "Математика" предназначено для самостоятельного закрепления студентами экономических специальностей теоретического и практического материала, изученного на аудиторных занятиях. Типовые расчеты выполняются студентом в отдельной тетради. Вариант выполняемого задания соответствует порядковому номеру в журнале. После выполнения заданий типовой расчет сдается на проверку. Если при выполнении типового расчета студент допустил ошибки, то они исправляются в той же тетради с пометкой "Работа над ошибками". Правильно выполненный типовой расчет подлежит защите студентом.
3
Типовой расчет №1 Тема: Линейная алгебра и аналитическая геометрия Задача №1. Пользуясь формулами Крамера решить систему трех линейных уравнений.
4
⎧3 x 1 − 5 x 2 + 3 x 3 = 46 ⎪ 1. ⎨ x 1 + 2 x 2 + x 3 = 8 ⎪ x − 7x − 2x =5 2 3 ⎩ 1
⎧3 x1 + x 2 + 2 x 3 = 11 ⎪ 2. ⎨2 x1 + 2 x 2 − 3 x 3 = 9 ⎪ x − 5 x − 8 x = 23 2 3 ⎩ 1
⎧5 x 1 + 6 x 2 − 2 x 3 = 12 ⎪ 3. ⎨2 x 1 + 5 x 2 − 3 x 3 = 9 ⎪4 x − 3 x + 2 x = − 15 2 3 ⎩ 1
⎧2 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 15 ⎪ 4. ⎨ x1 + x 2 + 5 x 3 = 16 ⎪3 x − 2 x + x = 1 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 + 3 x 2 − 4 x 3 = − 3 ⎪ 5. ⎨3 x 1 − 2 x 2 + 5 x 3 = 20 ⎪2 x + 5 x − 3 x = 7 2 3 ⎩ 1
⎧3 x1 + 4 x 2 − 2 x 3 = 9 ⎪ 6. ⎨2 x1 − x 2 + 5 x 3 = 23 ⎪ x + 6 x − 2 x = 15 2 3 ⎩ 1
⎧4 x 1 + 2 x 2 − 3 x 3 = − 9 ⎪ 7. ⎨3 x 1 + 5 x 2 − x 3 = 4 ⎪2 x − x + 6 x = 14 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 − 4 x 2 + 5 x 3 = 8 ⎪ 8. ⎨3 x 1 + 2 x 2 − 3 x 3 = − 14 ⎪2 x − 3 x + 6 x = 14 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 − 3 x 2 + 6 x 3 = 20 ⎪ 9. ⎨− x 1 + 5 x 2 − 6 x 3 = − 11 ⎪6 x − x + 5 x = 27 2 3 ⎩ 1
⎧ 3 x 1 + x 2 + 5 x 3 = 17 ⎪ 10. ⎨ 4 x 1 − x 2 + 7 x 3 = 17 ⎪− x + 2 x + 5 x = 28 2 3 ⎩ 1
⎧− x 1 + 2 x 2 − 4 x 3 = − 11 ⎪ 11. ⎨ 2 x 1 − 3 x 2 + 5 x 3 = 11 ⎪ 3 x − x + 6 x = 23 1 2 3 ⎩
⎧ x 1 + x 2 + 3 x 3 = 24 ⎪ 12. ⎨2 x 1 − 3 x 2 + 3 x 3 = 10 ⎪3 x − 2 x + 4 x = 22 2 3 ⎩ 1
⎧ x 1 − x 2 + 4 x 3 = 17 ⎪ 13. ⎨ x 1 + 2 x 2 − 3 x 3 = − 6 ⎪3 x − x + 4 x = 19 2 3 ⎩ 1
⎧ 2 x 1 − x 2 + 3 x 3 = 14 ⎪ 14. ⎨− x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 8 ⎪ 3 x − 5 x + 3 x = 20 2 3 ⎩ 1
⎧ x 1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 15 ⎪ 15. ⎨2 x 1 + x 2 − 3 x 3 = − 7 ⎪3 x − 2 x + 5 x = 25 2 3 ⎩ 1
⎧− x 1 + 2 x 2 − 3 x 3 = − 19 ⎪ 16. ⎨2 x 1 + 5 x 2 − 2 x 3 = − 21 ⎪5 x + x + 3 x = 14 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 5 ⎪ 17. ⎨3 x 1 − x 2 + 4 x 3 = − 5 ⎪4 x − 2 x + 3 x = − 4 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 − x 2 + x 3 = 12 ⎪ 18. ⎨3 x 1 − x 2 + 2 x 3 = 21 ⎪5 x − 3 x + x = 22 2 3 ⎩ 1
⎧ x 1 + x 2 + x 3 = 10 ⎪ 19. ⎨2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 19 ⎪3 x + 2 x − x = 16 2 3 ⎩ 1
⎧− x 1 + x 2 − x 3 = 1 ⎪ 20. ⎨2 x 1 − x 2 + 3 x 3 = 6 ⎪3 x − 2 x + 5 x = 8 2 3 ⎩ 1
⎧ 2 x1 − 2 x 2 + x 3 = 5 ⎪ 21. ⎨− 3 x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 11 ⎪ 5x − 3x + 2x = 7 1 2 3 ⎩
⎧− x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 = − 1 ⎪ 22. ⎨ 3 x1 − 5 x 2 + 4 x 3 = 41 ⎪ x + 2x + 2x = 6 2 3 ⎩ 1
⎧− x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 = − 1 ⎪ 23. ⎨3 x 1 − 2 x 2 − 5 x 3 = 20 ⎪5 x + 4 x + 6 x = − 2 2 3 ⎩ 1
⎧ 2 x 1 + 3 x 2 − 5 x 3 = 15 ⎪ 24. ⎨− 3 x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 = − 25 ⎪ x 1 − x 2 − 6 x 3 = 23 ⎩
⎧ 3 x1 + 2 x 2 + 4 x 3 = − 5 ⎪ 25. ⎨ 2 x 1 − 3 x 2 + x 3 = − 11 ⎪− 3 x + 4 x − 2 x = 15 1 2 3 ⎩
⎧ x1 + 3 x 2 + x 3 = 2 ⎪ 26. ⎨ 2 x1 − 4 x 2 + 3 x 3 = 17 ⎪− 3 x + x + 4 x = 5 1 2 3 ⎩
5
⎧− 3 x 1 + 4 x 2 + 2 x 3 = 1 ⎪ 27. ⎨ 2 x 1 − 3 x 2 − x 3 = − 3 ⎪ − x + 2 x + 5 x = − 15 1 2 3 ⎩
⎧ 2 x1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 12 ⎪ 28. ⎨− 3 x1 + 2 x 2 − 4 x 3 = 10 ⎪ x − 2 x + 3 x = − 12 1 2 3 ⎩
⎧− 2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 19 ⎪ 29. ⎨ 3 x 1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 1 ⎪ 2 x + 4 x + 5 x = 15 1 2 3 ⎩
⎧ 2 x1 − 3 x 2 + 5 x 3 = 5 ⎪ 30. ⎨ 3 x 1 + 4 x 2 − 6 x 3 = 11 ⎪− 2 x + 6 x + x = 7 1 2 3 ⎩
Задача №2. Решить систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса.
6
⎧− x 1 + 2x 2 − 2x 3 = −11 ⎪ 1. ⎨ 2x 1 − 3x 2 + 5x 3 = 11 ⎪ 3x − x + 6x = 23 2 3 ⎩ 1
⎧ x 1 + x 2 + 3x 3 = 24 ⎪ 2. ⎨2x 1 − 3x 2 + 3x 3 = 10 ⎪3x − 2 x + 4x = 22 2 3 ⎩ 1
⎧ x 1 − x 2 + 4x 3 = 17 ⎪ 3. ⎨ x 1 + 2x 2 − 3x 3 = −6 ⎪3x − x + 4 x = 19 2 3 ⎩ 1
⎧ 2x 1 − 3x 2 + 3x 3 = 19 ⎪ 4. ⎨− x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 12 ⎪ 3x − 5x + 3x = 23 2 3 ⎩ 1
⎧ x 1 − 2x 2 + 3x 3 = 15 ⎪ 5. ⎨2x 1 + x 2 − 5x 3 = −7 ⎪3x − 2 x + 5x = 25 2 3 ⎩ 1
⎧− x 1 + 2x 2 − 3x 3 = −2 ⎪ 6. ⎨ 2x 1 + 5x 2 − 2x 3 = 14 ⎪ 5x + x + 3x = 20 2 3 ⎩ 1
⎧ 2 x 1 + 3x 2 + 4 x 3 = 5 ⎪ 7. ⎨3x 1 − x 2 + 4 x 3 = −5 ⎪4x − 2 x + 3x = −4 2 3 ⎩ 1
⎧2x 1 − x 2 + x 3 = 12 ⎪ 8. ⎨3x 1 − x 2 + 2x 3 = 21 ⎪5x − 3x + x = 22 2 3 ⎩ 1
⎧ x 1 + x 2 + x 3 = 10 ⎪ 9. ⎨2x 1 + 3x 2 + x 3 = 19 ⎪3x + 2 x − x = 16 2 3 ⎩ 1
⎧− x 1 + x 2 − x 3 = 1 ⎪ 10. ⎨ 2x 1 − x 2 + 3x 3 = 6 ⎪ 3x − 2 x + 5 x = 8 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 + x 2 − 2 x 3 = 2 ⎪ 11. ⎨3 x1 + 2 x 2 − 4 x 3 = 5 ⎪2 x + 3 x + x = − 11 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 8 ⎪ 12. ⎨− x1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 12 ⎪3 x + 5 x + 2 x = 14 2 3 ⎩ 1
⎧− 2 x1 + x 2 − 3 x 3 = − 12 ⎪ 13. ⎨3 x1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 16 ⎪2 x + 3 x + 5 x = 22 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 7 ⎪ 14. ⎨3 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 2 ⎪x + 3 x + 2 x = 11 2 3 ⎩ 1
⎧3 x1 − 2 x 2 + 4 x 3 = − 13 ⎪ 15. ⎨x1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 1 ⎪5 x + 2 x + 6 x = − 9 2 3 ⎩ 1
⎧5 x1 + x 2 + 2 x 3 = 21 ⎪ 16. ⎨3 x1 − 2 x 2 + 5 x 3 = 20 ⎪2 x + 3 x + 2 x = 21 2 3 ⎩ 1
⎧− 2 x1 + 3 x 2 − 5 x 3 = − 7 ⎪ 17. ⎨− 3 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 24 ⎪2 x + 4 x + x = 12 2 3 ⎩ 1
⎧3 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 24 ⎪ 18. ⎨2 x1 + 3 x 2 − 2 x 3 = − 13 ⎪x + 5 x + 3 x = − 1 2 3 ⎩ 1
⎧2 x1 − 5 x 2 + 3 x 3 = 12 ⎪ 19. ⎨3 x1 + 2 x 2 − 2 x 3 = 8 ⎪4 x + 2 x + x = 21 2 3 ⎩ 1
⎧− 2 x1 − 3 x 2 + 4 x 3 = 11 ⎪ 20. ⎨3 x1 − 4 x 2 + 5 x 3 = 2 ⎪2 x + 3 x − 2 x = − 3 2 3 ⎩ 1
⎧3 x 1 + x 2 + 2 x 3 = 11 ⎪ 21. ⎨2 x 1 + 2 x 2 − 3 x 3 = 9 ⎪ x − 5 x − 8 x = 23 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 + 3 x 2 − 4 x 3 = − 3 ⎪ 22. ⎨3 x 1 − 2 x 2 + 5 x 3 = 20 ⎪2 x + 5 x − 3 x = 7 2 3 ⎩ 1
7
⎧3 x 1 + 4 x 2 − 2 x 3 = 9 ⎪ 23. ⎨2 x 1 − x 2 + 5 x 3 = 23 ⎪ x + 6 x − 2 x = 15 2 3 ⎩ 1
⎧ x 1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 15 ⎪ 24. ⎨2 x 1 + x 2 − 3 x 3 = − 7 ⎪3 x − 2 x + 5 x = 25 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 − 4 x 2 + 5 x 3 = 8 ⎪ 25. ⎨3 x 1 + 2 x 2 − 3 x 3 = − 14 ⎪2 x − 3 x + 6 x = 14 2 3 ⎩ 1
⎧ x 1 + x 2 + 3 x 3 = 24 ⎪ 26. ⎨2 x 1 − 3 x 2 + 3 x 3 = 10 ⎪3 x − 2 x + 4 x = 22 2 3 ⎩ 1
⎧ 2 x 1 − x 2 + 3 x 3 = 14 ⎪ 27. ⎨− x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 8 ⎪ 3 x − 5 x + 3 x = 20 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 − x 2 + x 3 = 12 ⎪ 28. ⎨3 x 1 − x 2 + 2 x 3 = 21 ⎪5 x − 3 x + x = 22 2 3 ⎩ 1
⎧− x 1 + x 2 − x 3 = 1 ⎪ 29. ⎨2 x 1 − x 2 + 3 x 3 = 6 ⎪3 x − 2 x + 5 x = 8 2 3 ⎩ 1
⎧ 3 x1 + 2 x 2 + 4 x 3 = − 5 ⎪ 30. ⎨ 2 x 1 − 3 x 2 + x 3 = − 11 ⎪− 3 x + 4 x − 2 x = 15 1 2 3 ⎩
Задача №3. Решить систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом обратной матрицы.
8
⎧2 x 1 + 3 x 2 + x 4 = − 1 ⎪ 1. ⎨x1 + 4 x 2 + 5 x 3 = 8 ⎪3 x − 2 x + 3 x = 16 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 = − 9 ⎪ 2. ⎨2 x 1 + 4 x 2 + 5 x 3 = − 13 ⎪− x + 2 x + 3 x = − 11 2 3 ⎩ 1
⎧3x1 + 2 x 2 − x 3 = 6 ⎪ 3. ⎨2 x1 + 4 x 2 + x 3 = 10 ⎪x + 3 x − 2 x = 1 2 2 ⎩ 1
⎧ x1 − 2 x 2 + x 3 = 3 ⎪ 4. ⎨2 x1 + x 2 − 3 x 3 = 1 ⎪4 x + 2 x + x = 16 2 3 ⎩ 1
⎧3 x1 + 2 x 2 − 3 x 3 = −1 ⎪ 5. ⎨x1 − 3 x 2 + 4 x 3 = 11 ⎪2 x + 5 x + 2 x = 15 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 − 3 x 2 + 2 x 3 = − 6 ⎪ 6. ⎨x1 + 2 x 2 + 5 x 3 = 0 ⎪3 x + 3 x + x = 8 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 − 3 x 2 + 4 x 3 = 4 ⎪ 7. ⎨x1 + 2 x 2 − x 3 = 0 ⎪3 x + 2 x + 2 x = 7 2 3 ⎩ 1
⎧x1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 13 ⎪ 8. ⎨2 x1 + x 2 + 4 x 3 = 17 ⎪3 x + 2 x + 2 x = 14 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 + x 2 − 3 x 3 = − 5 ⎪ 9. ⎨3 x1 + 2 x 2 + x 3 = 10 ⎪x − 3 x + 4 x = 7 2 3 ⎩ 1
⎧2 x1 + x 2 + 3 x 3 = 11 ⎪ 10. ⎨3 x1 + 2 x 2 + x 3 = 14 ⎪− x + 3 x + 4 x = 7 2 3 ⎩ 1
⎧x1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 11 ⎪ 11. ⎨− x1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 11 ⎪3 x + 2 x + 4 x = 16 2 3 ⎩ 1
⎧3 x1 + 2 x 2 + x 3 = 11 ⎪ 12. ⎨2 x1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 13 ⎪4 x + 2 x + 3 x = 19 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 + x 2 − 3 x 3 = − 13 ⎪ 13. ⎨− 3 x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 11 ⎪2 x − 4 x + x = 9 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 − 3 x 2 + x 3 = 12 ⎪ 14. ⎨− 5 x 1 + x 2 + 2 x 3 = − 1 ⎪4 x − 6 x + 3 x = 29 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = − 7 ⎪ 15. ⎨3 x1 + 2 x 2 − 2 x 3 = 5 ⎪4 x − 3 x + 3 x = 1 2 3 ⎩ 1
⎧2 x1 − 3 x 2 + 4 x 3 = 10 ⎪ 16. ⎨x1 + 2 x 2 + 5 x 3 = 21 ⎪3 x − 4 x + 6 x = 16 2 3 ⎩ 1
⎧3 x1 + 2 x 2 + 5 x 3 = 0 ⎪ 17. ⎨2 x1 − x 2 + 3 x 3 = − 5 ⎪5 x + 6 x + x = − 2 2 3 ⎩ 1
⎧3 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 16 ⎪ 18. ⎨x1 + 3 x 2 + 5 x 3 = 22 ⎪2 x − 3 x − x = − 7 2 3 ⎩ 1
9
→
⎧ x1 + 5 x 2 − x 3 = − 6 ⎪ 19. ⎨2 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 13 ⎪3 x − 2 x + 5 x = 23 2 3 ⎩ 1
⎧2 x1 − 2 x 2 − 3 x 3 = 11 ⎪ 20. ⎨3 x1 − 4 x 2 + x 3 = 2 ⎪x + 2 x − 5 x = 10 2 3 ⎩ 1
⎧2x1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 28 ⎪ 21. ⎨3 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 7 ⎪4 x + x − x = 9 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 − 3 x 2 + 4 x 3 = 3 ⎪ 22. ⎨3 x1 + 4 x 2 − 2 x 3 = 14 ⎪− 2 x + 5 x + 3 x = 17 1 2 3 ⎩
⎧2 x1 − 3 x 2 + 4 x 3 = 17 ⎪ 23. ⎨3 x1 + x 2 + 5 x 3 = 28 ⎪x + 2 x + 3 x = 15 2 3 ⎩ 1
⎧3 x1 + 2 x 2 − 2 x 3 = 4 ⎪ 24. ⎨4 x1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 25 ⎪2 x − 4 x + 5 x = 12 2 3 ⎩ 1
⎧3 x1 + 4 x 2 − x 3 = 13 ⎪ 25. ⎨− 2 x1 − 3 x 2 + 5 x 3 = 12 ⎪5 x + 2 x + 3 x = 31 2 3 ⎩ 1
⎧2 x 1 − 3 x 2 + 4 x 3 = 7 ⎪ 26. ⎨− 3 x1 + 2 x 2 − 5 x 3 = −19 ⎪5 x + 3 x + x = 34 2 3 ⎩ 1
⎧2 x1 + 3 x 2 + 3 x 3 = 31 ⎪ 27. ⎨3 x1 − 2 x 2 + 5 x 3 = 23 ⎪5 x + 3 x + x = 27 2 3 ⎩ 1
⎧3 x1 + 2 x 2 + 5 x 3 = 31 ⎪ 28. ⎨2 x1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 25 ⎪4 x + 3 x + 2 x = 28 2 3 ⎩ 1
⎧− 2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 5 ⎪ 29. ⎨2 x1 + 4 x 2 + x 3 = 17 ⎪x + 3 x + 5 x = 23 2 3 ⎩ 1
⎧3 x1 + 2 x 2 + 5 x 3 = 29 ⎪ 30. ⎨4 x1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 26 ⎪2 x + 5 x + 3 x = 33 2 3 ⎩ 1
Задача
№4.
(
)
→
Четыре
(
c cx ; cy ; cz и d d x ; d y ; dz → →
→
вектора
)
→
(
) ( →
)
a a x ; a y ; a z , b bx ; by ; bz ,
заданы в некотором базисе. Пока-
зать, что векторы a , b и c образуют базис, и разложить по этому →
базису вектор d . 10
→
→
b = (2 ; − 1; 0 ) , c = (− 2 ; 3 ; 1) ,
→
→
→
→
→
c = (4 ; − 2 ; 1) ,
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
b = (− 1; 1; 2 ) , c = (3 ; 5 ; 1) ,
→
→
→
→
→
→
→
b = (1; − 3 ; 8) , c = (5 ; 0 ; 3) ,
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
b = (5 ; 7 ; 11) ,
→
с = (4 ; 3 ; 2 ) ,
→
→
→
→
с = (4 ; 10 ; 3) ,
→
→
→
b = (2 ; 4 ; 7 ) ,
→
c = (6 ; 4 ; 2 ) ,
→
→
→
b = (4 ; 5 ; 3) ,
→
c = (5 ; 9 ; 6 ) ,
→
→
→
→
c = (7 ; 5 ; 3) ,
→
→
→
b = (7 ; 9 ; 6 ) ,
→
с = (4 ; 2 ; 5) ,
→
→
→
←
→
→
→
b = (5 ; 4 ; 6) , с = (4 ; 5 ; − 3) ,
→
→
→
→
→
→
→
→
1. a = (3 ; 4 ; 1) ,
2. a = (5 ; − 1; 4 ) , b = (1; 2 ; 3) , 3. a = (− 5 ; 7 ; 4 ) , b = (1; 3 ; 1) ,
d = (4 ; 7 ; 1).
d = (4 ; 7 ; 1).
c = (2 ; − 1; − 1) ,
d = (0 ; 8 ; 3).
4. a = (1; − 2 ; 1) , b = (3 ; 4 ; − 1) , c = (2 ; 6 ; 2 ) , 5. a = (1; 0 ; 1) ,
d = (3 ; 0 ;−2). d = (2 ; 1 ; − 2 ).
6. a = (4 ; 1; − 2 ) , b = (2 ; − 3 ; 0 ) , c = (3 ; 1; 2 ) , 7. a = (2 ; 1; 4 ) ,
d = (17 ; − 2 ; 4 ).
d = (12 ; − 5 ; 9 ).
8. a = (1; − 2 ; 3) , b = (4 ; − 4 ; 3) , c = (6 ; 8 ; 9 ) , 9. a = (2 ; 1; 0 ) ,
b = (2 ; − 4 ; 3) , c = (− 1; 2 ; 0 ) ,
10. a = (3 ; 2 ; − 2 ) , b = (1; 0 ; 1) , 11. a = (5 ; 8 ; 9 ) , 12. a = (9 ; 3 ; 4 ) ,
15. a = (2 ; 8 ; 4 ) ,
18. a = (3 ; 8 ; 4 ) , 19. a = (8 ; 3 ; 2) , 20. a = (1; 2 ; 3) , 21. a = (2 ; 4 ; 5) ,
→
d = (13 ; 3 ; 2 ).
→
b = (10 ; 2 ; 4 ) , c = (3 ; − 5 ; 2 ) , d = (24 ; − 19 ; 5).
16. a = (2 ; − 3 ; 4 ) , b = (5 ; 8 ; 3) , 17. a = (2 ; 5 ; 4 ) ,
d = (7 ; − 4 ; 12 ).
c = (4 ; − 1; 3) ,
13. a = (11; 4 ; 2 ) , b = (2 ; 5 ; 3) , 14. a = (3 ; 5 ; 2 ) ,
d = (7 ; − 38 ; 3).
→
b = (4 ; 2 ; 9 ) ,
с = (3 ; − 8 ; 5) ,
→
b = (− 2 ; 4 ; 3) , c = (8 ; − 4 ; 6 ) ,
d = (2 ; 2 ; − 7 ).
d = (− 7 ; 6 ; 4 ).
d = (22 ; 6 ; − 1). d = (7 ; − 5; 0).
d = (20 ; 1; 10 ).
d = (1 ; − 12 ; 11). d = (7 ; − 12 ; 5).
d = (6 ; 10 ; 7 ).
d = (24 ; 0 ; 27 ).
→
b = (− 1; 2 ; 3) , c = (2 ; 3 ; − 1) , d = (− 1; 0 ; − 9 ). 11
→
→
→
→
→
→
→
→
b = (2 ; 4 ; − 1) , c = (4 ; 2 ; 0 ) ,
→
→
→
→
b = (1; 2 ; 3) ,
→
c = (2 ; 1; 3) ,
→
→
→
→
b = (− 1; 4 ; 1) , c = (4 ; 3 ; 2 ) ,
→
→
→
b = (3 ; 1; 2 ) ,
→
c = (5 ; 4 ; 3) ,
→
→
→
→
→
→
c = (2 ; 4 ; 5) ,
→
→
→
22. a = (3 ; 1; 4 ) ,
b = (1; 2 ; − 1) , c = (1; 2 ; 3) ,
23. a = (2 ; 4 ; 3) , b = (− 1; 2 ; 5) , c = (3 ; 2 ; 1) , 24. a = (1; 2 ; 3) , 25. a = (4 ; 1; 2 ) , 26. a = (1; 2 ; 3) , 27. a = (2 ; 1; 4 ) , 28. a = (2 ; 1; 2 ) , →
b = (1; 4 ; 3) , →
29. a = (− 2 ; 3 ; 2 ) , b = (1; 4 ; 3) , →
30. a = (2 ; 5 ; 1) ,
→
→
d = (12 ; − 1; 7 ).
→
d = (9 ; − 2 ; − 1). d = (17 ; 16 ; 1).
d = (2 ; − 1; 4 ).
d = (11; 14 ; 1). d = (12 ; 13 ; 4 ).
c = (− 1; − 2 ; 3) , d = (4 ; − 3 ; 6).
b = (− 2 ; 3 ; 2 ) , c = (5 ; 1 ; 2 );
d = (11; 6 ; 13).
d = (9 ; 4 ; 9 ).
Задача №5. Решить задачу аналитической геометрии на плоскости по вариантам. 1. Даны четыре вершины четырехугольника A (− 9 ; 0 ) , B (− 3 ; 6) , С (3 ; 4 ) и D (6 ; − 3) . Найти точку пересечения его диагоналей АС и BD и вычислить угол между ними. 2. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон 2x − 5y − 1 = 0, 2 x − 5y − 34 = 0 и уравнение одной из его диагоналей x + 3y − 6 = 0. 3. Даны две вершины треугольника A (− 6 ; 2), B (2 ; − 2 ) и точка H (1; 2 ) пересечения его высот. Вычислить координаты третьей вершины С. 4. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма x − y − 1 = 0 , x − 2 y = 0 и точка пересечения его диагоналей M(3 ; − 1) . Написать уравнения двух других сторон параллелограмма. 5. Составить уравнения высот треугольника, зная уравнения его сторон 2 x − y + 3 = 0 , x + 5 y − 7 = 0 и 3 x − 2 y + 6 = 0 .
12
6. Из точек пересечения прямой 3 x + 5 y − 15 = 0 с осями координат восстановлены перпендикуляры к этой прямой. Найти их уравнения. 7. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты "а" и "b", чтобы прямые a x + b y + 1 = 0 , 2 x − 3 y + 5 = 0 и x − 1 = 0 проходили через одну и ту же точку. 8. При каком значении коэффициента k прямая y = kx + b проходит через точку пересечения прямых x − y + 5 = 0 и x + 2 y + 2 = 0. 9. Найти уравнения прямых, проходящих через точку A (− 7 ; 8)
под углом 45 0 к прямой 3 x − 5 y + 15 = 0 . 10. Треугольник задан вершинами А (− 7 ; 3) , B (2 ; − 1) и C (− 1; − 5). Найти уравнение медианы AD . 11. Треугольник задан вершинами A (− 8 ; − 2 ) , B (2 ; 10 ) и C (4 ; 4) . Найти уравнение медианы CD . 12. Две противоположные вершины квадрата лежат в точках A (− 1; 1) и C (5 ; 3). Составить уравнения сторон и диагоналей этого квадрата. 13. Даны уравнения двух сторон параллелограмма 3 x − 2 y + 12 = 0 и x − 3 y + 11 = 0 и точка пересечения его диагоналей O (2 ; 2 ). Составить уравнения двух сторон параллелограмма и его диагоналей. 14. Одной из вершин прямоугольника является точка A (− 4 ; 3) , а противоположный угол образован осями координат. Составить уравнения сторон и диагоналей этого прямоугольника. 15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 5 x + 2 y − 7 = 0 и 3 x + 7 y − 10 = 0 перпендикулярно прямой 5 x − y − 4 = 0 . 16. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых x − y − 2 = 0 и 3 x − y − 4 = 0 . 17. Найти площадь треугольника, ограниченного осью абсцисс и прямыми x − y − 3 = 0 и 2 x − y − 12 = 0 . 18. Известны координаты двух противоположных вершин ромба A (4 ; − 3) и B (2 ; 1). Составить уравнения его диагоналей. 13
19. Найти расстояние между параллельными прямыми 4 x − 3 y + 8 = 0 и 4 x − 3 y + 12 = 0 . 20. Даны уравнения сторон параллелограмма x − y + 1 = 0 , x − y − 3 = 0 , 3 x − 4 y − 6 = 0 , 3 x − 4 y − 9 = 0 . Найти площадь параллелограмма. 21. Дан треугольник с вершинами A (− 2 ; 0 ) , B (2 ; 4) и C (4 ; 0 ) . Найти уравнение медианы АЕ. 22. Дан треугольник с вершинами А (2 ; 3) , B (4 ; 2) и С (4 ; 1). Найти длину медианы ВЕ. 23. Найти длину высоты BD в треугольнике с вершинами A (− 3 ; 0) , B (2 ; 5) и С (3 ; 2 ). 24. Составить уравнения прямых, проходящих через точку пересечения прямых 2 x − 3 y + 1 = 0 и 3 x − y − 2 = 0 параллельно прямой y = x + 1. 25. Составить уравнения прямых, проходящих через точку пересечения прямых 2 x − 3 y + 1 = 0 и 3 x − y − 2 = 0 перпендикулярно прямой y = x + 1. 26. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями y = x − 2 и x − 5 y + 6 = 0 . Диагонали его пересекаются в начале координат. Найти уравнения его диагоналей. 27. Зная уравнения сторон треугольника x − y − 1 = 0 . 2 x + 3 y − 7 = 0 и 9 x − 4 y + 21 = 0 , найти его площадь. 28. Прямая проходит через середину отрезка АВ перпендикулярно ему. Составить уравнение этой прямой, если точки А и В заданы следующим образом A (− 2 ; 1) и B (4 ; 4). 29. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых x + 2 y + 4 = 0 и 3 x − y − 9 = 0 перпендикулярно прямой x + y − 7 = 0 . 30. На прямой 2 x + 3 y − 18 = 0 найти точку, которая отстоит от оси ординат в три раза дальше, чем от оси абсцисс.
14
Типовой расчет №2 Тема: Введение в математический анализ Задача №1. Найти область определения функции. x −5 − 3 x + 5; 2. y = ln 2 1. y = ln x − 4 + 6 − x ; x − 10 x + 24
(
3. y =
)
1 + x + 2; ln (1 − x )
4. y = x + 3
1 − ln (2 x − 3); x−2
⎛ 5 x − x2 ⎞ ⎟; 6. y = ln ⎜⎜ 4 ⎟⎠ ⎝ 1 1 7. y = + ln (x − 1) ; 8. y = 3 x − 1 + ; 5−x − x2 + x + 2
5. y =
(
)
3 + ln x 3 − x ; 3 4−x
1
9. y = x 2 − 5 x + 6 ;
10. y =
11. y = 2 − 3 x + ln x ;
12. y = x − 2 + 2 − x ;
13. y =
3x −1 + x − 2; 5x + 6 x −8 ; 12 − x
15. y =
⎞ ⎛ 5x 17. y = ln ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ ; ⎠ ⎝ x −1 x −1 19. y = 2 ; x − 9 x + 20
21. y = 23. y =
ln (x + 1) x −1
+2
14. y =
3x − 2 ; 2x + 6
16. y = ln
5x −1 ; 3x −1
1
18. y = 7 − x +
x −1
22. y = 10 − x
;
24. y =
6
16 − x 2
ln (x − 1)
2
x (x + 1) x+4
;
4
20. y = 3 5 − x −
4x −1 ; 2 3x − 5x − 2 5
;
x2 − 3 x
x −3
;
; ;
15
− x2 − 7 x + 8 ;
25. y = x − 1 + 1 − x − log 2 x ; 26. y =
(
(
)
29. y = x 2 + x + 1
−
3 2
(
))
28. y = ln 1 − ln x 2 − 5 x + 16 ;
27. y = 3 + x + 4 7 − x ;
30. y = 1 − x .
;
Задача №2. Определить четность или нечетность функции. 1. y = log 2
2−x ; 2+x
2. y =
x
x
⎛1⎞ 4. y = ⎜ ⎟ − 3x ; ⎝ 3⎠
⎛1⎞ 3. y = 2 + ⎜ ⎟ ; ⎝2⎠ ⎛ 2 − x3 ⎞ ⎟; 5. y = ln ⎜⎜ 3 ⎟ ⎝2+x ⎠ x
7. y =
x 3 cos x 2
6. y =
+ sin 2 x ;
8. y =
2x ⎛1+ x ⎞ ⎟⎟ ; 9. y = lg ⎜⎜ ⎝1− x ⎠
(
ln 1 − x 2 3
cos x
)⋅ e
− x2
;
ex + 1 ; ex − 1
10. y =
x ; 2 −1 x
13. y = x 2 + x ;
2x − 2− x ; 2 14. y = x + sin x ;
15. y = x ⋅ sin 3 x ;
16. y =
17. y = 3x ⋅ sin x ;
18. y = 34 x ⋅ x 2 + cos x ;
12. y =
11. y = sin x − cos x ;
(
)
x4 − x 3 ln 1 + x 2 ; sin x sin x 21. y = 3 ; x
19. y =
16
3 x + 3− x ; 3 x − 3− x
x4 − 1 − x2 ; cos x
20. y = x 2 ln x ; 22. y =
tg x ; x + x2 + x 4
(
)
2
23. y = sin 2 x + cos x ⋅ x 3 ;
24. y = 3x ;
25. y = 2 x 3 − 3 x ;
26. y = 2 − x ;
27. y = x ⋅
2
ax −1 ; ax + 1
4
28. y = 2 x − x ;
ax + a− x ; 2
29. y =
30. y =
x . a −1 x
Задача №3. Найти предел от рациональной алгебраической дроби без применения правила Лопиталя.
x 2 − 7 x + 10
1. lim
x 2 − 9 x + 20
x →5
3. lim
x→2
;
2. lim
;
4. lim
x2 − 5x + 6 x 2 − 12 x + 20
x →1 3
x→2
x4 + 5x3 + 6 x2
5. lim
x 2 − 3 x − 10
x → −2
x2 − x
;
6.
x + 2x −3 2
x +x−2
x →1
9. lim
x →1
x→
;
3x2 − 2 x −1 1 2
13. lim
x →3
15. lim
x→2
17. lim
x 2 + 3 x − 10
;
3 ( 4 + x ) − 64 lim ;
x
x→0
8. lim
x →1
6x2 − 5x +1
x −1 2 x2 − x −1
;
x3 + 3 x2 + 2 x ; x → −1 x2 − x − 2
;
8 x3 −1
10. lim
;
x2 − 5x + 6 x 2 − 12 x + 27 4x2 − 7 x − 2 5 x 2 − 11 x + 2
x → −2
);
−1
2
4x2 − 7 x + 3
11. lim
2
x2 − 4x + 4
2
7. lim
(x
x2 − x − 6 x 2 + 7 x + 10
12. lim
x →1
;
14. lim
;
16. lim
;
18. lim
x→2
x →5
x2 − 2x +1 x2 − x
;
x 2 + 3 x − 10 3x2 − 5x − 2
;
3 x 2 − 17 x + 10 3 x 2 − 16 x + 5
;
x2 − x − 6 ; x → −2 x 2 + 6 x + 8
17
19. lim
x →3
21. lim
x→2
23. lim x→−
25. lim
x →5
27. lim
x →5
29. lim
x→6
x2 − 5x + 6 x 2 − 8 x + 15
;
3x2 − 8x + 4 5 x 2 − 14 x + 8
x3 −1
x →1
;
3x2 + 5x + 2 2 3
x4 − 2x2 +1
20. lim
3x2 + 8x + 4
x → −3
;
26. lim
3 x 2 − 19 x + 20 2x2 − 9x − 5 6 x 2 − 21 x − 45 3 x 2 − 22 x + 24
3x2 + 7 x − 6
3x2 − x − 2
24. lim
x 2 − 2 x − 15
2 x 2 − 9 x − 18
2 x 2 + x − 15
22. lim
;
7 x2 − 6 x −1
x →1
28. lim
;
30. lim
;
;
5x2 + 6x − 8
x → −2
;
;
2x2 + 7 x + 6
;
7 x 2 + 23 x + 6
x → −3
5 x 2 + 14 x − 3
;
5 x 2 + 37 x + 14 . x → − 7 6 x 2 + 41 x − 7
Задача №4. Найти предел от иррациональной алгебраической дроби без применения правила Лопиталя.
x+3−2 x
1. lim
x −1
x →1
5 +x −3
3. lim
x−4
x→4
5. lim
4 − 11 + x x −5
x →5
7. lim
3 − 2x +1
x→4
9. lim
x →3
11. lim
x →1
18
x−4 1+ x − 2 x −3
2. lim
;
4. lim
5−x −2 3− 4+ x
;
8. lim
2 − x −1 x −5
x →5
x →1
;
x→2
12. lim
;
x− 1 ; x −1
10. lim
;
;
x −5
x →5
6. lim
;
2 − x −1
x →1
;
4x + 5 − 3 1− x
;
x →1
1− 3 − x 2−x
;
3x − 2 −1 x −1
;
13. lim
x − 3x − 2 x −4
x→2
x +3 −3
15. lim
x−6
x→6
x
→0
x →5
23. lim
x→6
25. lim
x →8
29. lim
x→0
;
22. lim
x−6 x +3 −3 1+ x2 −1 3x
2
x +1 − 3 3
x −2
1− x − 3 2+3 x
x →9
;
26. lim
x→4
;
4+x − 4−x
x −1 x
;
3− x 4 − 2x − 2 2− x 3 − 2x +1 x +4 −3
28. lim
x→5 3 −
2x −1
x −1
3
;
;
3+ x − 3− x
x→0
24. lim
2x
x2 − x
x →1
;
;
x
x → −8
20. lim
3 − 2 x −1
1+ x2 −1
x→0
;
5−x
x→0
27. lim
18. lim
1+ x −1
19. lim 21. lim
;
x −1
x →1
x
16. lim
;
x −2
x→4
;
5−x −2
17. lim
1+ 2x − 3
14. lim
;
2
30. lim
x −1
x →1
;
;
; ;
.
Задача №5. Найти предел на основе первого замечательного предела.
1 − cos x ; 5x 2 2 x cos x ; 3. lim x → 0 sin 3x 1 − cos x 5. lim ; x →0 3x 1. lim
x →0
2x ; sin 3x 1 − cos 2x 4. lim ; x →0 3x 2 x sin (x − 2 ) 6. lim ; x → 2 7 x 2 − 2x
2. lim
x →0
(
)
19
7. lim
x →0
5 tg 2 x ; x2 + x
x →0
3x 2 ; x → 0 1 − cos x
9. lim
1 − 2 sin x ; π −x 6 cos ( α + x ) − cos ( α − x ) 13. lim ; x→0 x 1 − cos 2 x ; 15. lim x → 0 x sin x 1 − sin x 17. lim ; π π x→ x − 2 2 π x→ 6
4
23. lim
x→0
25. lim
x→0
27. lim
π x→ 2
x tg x ; 1 − cos x
2
1 − tg x tg x − sin x 3
x→0
sin 10 x ; sin 9 x cos x ; 16. limπ x→ 2 π − 2x 1 − cos 5 x 18. lim ; x → 0 1 − cos 3 x 14. lim
x→0
x→0
x 3; 2
x
22. lim (1 − x ) tg
;
x →1
πx ; 2
π 24. lim ( − x ) ⋅ tg x ; π 2 x→
;
2
1 − cos x 3 ⋅ x 2 ⋅ cos 2
1 − sin x 2
;
⎛π ⎞ ⎜ − x⎟ ⎝2 ⎠ 3 1 − cos x 29. lim ; x → 0 x sin 2 x
20
12. lim
20. lim
2 cos x − 1
x
5x 3 + 5x 2 ; 1 − cos 4x
tg 2
1 − cos 4 x 19. lim ; x → 0 x ⋅ sin x x→
)
10. lim
x →0
11. lim
21. limπ
(
8. lim 2 x 2 − x ctg 2 x;
x 2
;
1 − cos 2 x ; x → 0 x sin 2 x
26. lim
28. lim x
→π
sin 3 x ; sin 2 x
cos α x − cos β x . x→0 x2
30. lim
Задача №6. Найти предел на основе второго замечательного предела. x
x
⎛ x + 3⎞ ⎟ ; 2. lim ⎜⎜ x→∞ x − 2 ⎟ ⎝ ⎠
3x
⎛ 2 ⎞ ⎟ 4. lim ⎜⎜1 + x→∞ x − 1 ⎟⎠ ⎝
⎛1+ x ⎞ ⎟ ; 1. lim ⎜⎜ x→∞ x − 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ x −2⎞ ⎟ ; 3. lim ⎜⎜ x→∞ x + 3⎟ ⎠ ⎝
1⎞ ⎛ 5. lim ⎜1 + ⎟ x→∞ ⎝ x⎠
⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ ; 6. lim ⎜⎜1 + x→∞ ⎝ 1+ x ⎠
;
x −1
⎛ 2x + 1 ⎞ 9. lim ⎜ ⎟ x → ∞ ⎝ 2x ⎠
⎛ 1− x ⎞ ⎟ 8. lim ⎜⎜ x→∞ 2 − x ⎟ ⎝ ⎠
;
x2
⎛ 2x ⎞ ⎟ 11. lim ⎜⎜ x→∞ 2x + 5⎟ ⎝ ⎠
4x
⎛ 4 − 2x ⎞ ⎟ 13. lim ⎜⎜ x→∞ 1− 2x ⎟ ⎠ ⎝
x +1
⎛ x2 + 5 ⎞ ⎟ ; 12. lim ⎜⎜ 2 x→∞ x − 5⎟ ⎝ ⎠
;
3x
;
⎛ 1− x ⎞ ⎟ ; 14. lim ⎜⎜ x →∞ 2 − x ⎟ ⎠ ⎝
;
⎛ x2 + 1⎞ 16. lim ⎜⎜ 2 ⎟⎟ x→∞ ⎝ x ⎠
x −1
;
⎛ x2 + 1⎞ ⎟ ; 18. lim ⎜⎜ 2 x→∞ x + 2 ⎟ ⎝ ⎠
3 x +1
⎛ x2 + 2 ⎞ ⎟ ; 21. lim ⎜⎜ 2 x → ∞ x + 1⎟ ⎠ ⎝
x2 +1
x2
2x
⎛ x2 − 1⎞ 17. lim ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ; x→∞ ⎝ x ⎠
x2
;
⎛ 2x − 1 ⎞ ⎟ ; 10. lim ⎜⎜ x → ∞ 2x + 1 ⎟ ⎠ ⎝
;
⎛ 2x −1 ⎞ ⎟ 19. lim ⎜⎜ x→∞ 2x + 4⎟ ⎝ ⎠
x +1
x
x +1
⎛ 2x − 5⎞ ⎟ 15. lim ⎜⎜ x →∞ 2 x + 1 ⎟ ⎠ ⎝
;
2x
x+4
1⎞ ⎛ 7. lim ⎜1 + ⎟ x→∞ ⎝ x⎠
x−2 4
;
⎛ x −1 ⎞ ⎟ 20. lim ⎜⎜ x→∞ x + 3⎟ ⎝ ⎠
x+2
;
2x
2⎞ ⎛ 22. lim ⎜1 + ⎟ ; x →∞ ⎝ x⎠ 21
2x
x
⎛2+x⎞ ⎟ ; 23. lim ⎜⎜ x→∞ 3 + x ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3x − 4 ⎞ ⎟ 25. lim ⎜⎜ x →∞ 3 x + 2 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ x ⎞ ⎟ ; 24. lim ⎜⎜ x → ∞ x + 1⎟ ⎝ ⎠
x +1
2x
;
⎛ 5x + 4 ⎞ ⎟ ; 26. lim ⎜⎜ x →∞ 5x − 3 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 3x2 + 2 ⎞ ⎟ ; 27. lim ⎜⎜ 2 x →∞ 3x −1 ⎟ ⎠ ⎝
⎛ 3x ⎞ ⎟ ; 28. lim ⎜⎜ x →∞ 3x + 4 ⎟ ⎠ ⎝
3
x2
2x
⎛ 3x + 4 ⎞ ⎟⎟ ; 29. lim ⎜⎜ x→∞ ⎝ 3x ⎠
22
3x
2x
⎛ x +3⎞ ⎟ . 30. lim ⎜⎜ x→∞ x − 4⎟ ⎝ ⎠
Типовой расчет №3 Тема: Дифференциальное исчисление Задача №1. Вычислить производную функции. 1
1
1 −x ⋅e ; x x2 4. y = ; ln x 1 6. y = ; x ⋅ ln x
1 x2 ⋅e ; x ln x 3. y = 2 ; x 1. y =
2. y =
5. y = x ⋅ ln x 2 ;
(
)
2
7. y = x + 1 e 9. y =
ln x x3
−
x2 2
;
)
2
10. y = x 2 ⋅ sin x 2 ;
;
(
)
12. y = x 2 + 1 ⋅ cos 2 x ;
(
)
14. y = x 2 + 1 ⋅ cos x ;
11. y = x 2 + 1 ⋅ sin x 3 ; 13. y = x 2 + 1 ⋅ sin x ; 15. y = ln ⎛⎜ x + x 2 + 1 ⎞⎟ ; ⎝ ⎠
x3
17. y =
x4 +1
19. y = 3
21. y =
(
8. y = ln x 2 − 1 ;
(x
3
+2
ln (x − 1)
(x − 1)2
16. y = x
18. y =
;
x3
(
)
2
;
;
20. y =
3
)
3
x2 ⋅e 2
;
x3 + 2 x x2
3
x3 − 4
;
;
22. y = x ⋅ arc sin x ⋅ ln x ;
23
23. y =
x e3
x ⋅ cos ; 3 2
24. y = x
x ⋅e 2
;
2
e−x ; 2x
25. y =
27. y = 2
x ln x
26. y = ln arc tg 1 + x 2 ; 28. y = 3
;
sin 3 x
;
x⎞ ⎛ 30. y = cos 2 ⎜ sin ⎟ . 3⎠ ⎝
29. y = sin x ;
Задача №2. Вычислить производную функции методом логарифмического дифференцирования. 1. y = 3
1+ x3 1− x
2. y = 4 x + x 3 ;
;
3
3. y = (sin x )
arc tg x
(
5. y = 1 + sin 2 x
(
7. y = x + 3 x 9. y = (cos x )
)
(
)
(
)
13. y = sin 2 x
x
x
)
)
arc sin (1 + x )
6. y = (cos x )
3 + cos x
8. y = arc tg x 2
(
)
;
10. y = (ln x )
x
;
12. y = arc tg x
arc sin x
17. y = arc tg x 2
;
;
ln x
15. y = (1 + ln x )
24
cos x
arc tg x
11. y = 1 + x
(
)
(
4. y = tg x 2
;
1+
(
;
)
sin 2 x
)
cos x
arc cos x
ln x
;
18. y = (sin x )
ln 2 x
;
;
16. y = (x + cos x )
;
sin x
(
14. y = cos 3 x
;
;
; ;
;
;
19. y = (cos x )
1+ x
;
20. y = 1 + x 2
(
)
21. y = (cos x )
sin x 2
;
22. y = (sin x )
cos x 3
(
24. y = 1 + x 3
23. y = x sin x ; 25. y = (1 + tg x )
1 + sin x
27. y = (arc sin x )
(
29. y = arc sin x 2
arc tg x
)
)
cos x
sin x
;
26. y = (1 + ctg x )
;
28. y = (arc cos x )
1 + ln x
; ; ;
1 + cos x
arc ctg x
30. y = (arc tg x )
;
arc sin x
; ;
.
Задача №3. Найти производную от неявно заданной функции. 1. sin (x + y ) = x + y + tg x ;
2. cos (x + y ) = x y + tg x ;
3. sin (x + y ) = x 2 + y 2 + ctg x ;
4. y = y 2 + x + sin (x + y );
5.
x 2 + y 2 = sin (x y );
6.
x + y = sin y ;
7. x 2 + y 2 = ln sin y ;
8. arc sin y = x 2 + y 2 ;
9. arc cos x = sin (x + y );
10. y = x + sin (x + y );
11. sin (x y ) = y + sin (x + y );
12. cos (x y ) = y + cos (x + y );
13. tg x = x 2 + sin (x + y );
14. ctg y = x 2 + y 2 ;
15. y + x 2 = x + arc tg y ;
16. x + y = arc tg (x + y );
17. x y = arc sin (x + y ) ;
18. x 2 + y 2 = y + sin x ; 25
19. 1 + sin y = tg (x + y );
(
)
20. 1 + tg x = ln (x + y );
21. x + y = sin x 2 + y 2 ;
22. x y + x = sin y 2 ;
23. tg (x + y ) = y + sin x ;
24. tg x 2 + y 2 = x y ;
25. arc sin x y = x 2 + y 2 ;
26. arc cos (x + y ) = x 2 + y ;
27. arc tg (x + y ) = y 2 + x ;
28. arc ctg (x + y ) = x y − x 2 ;
29. arc tg (x y ) = x − y ;
30. arc tg (x y ) = x 2 − y .
(
)
Задача №4. Найти производную второго порядка от заданной функции. x ; 1. y = 2 2. y = ln ctg 2 x ; x −1 3. y = x 3 ln x ;
4. y = x arc tg x ;
5. y = arc tg x ;
6. y = e tg x ;
7. y = e x cos x ;
8. y = e x sin x ;
9. y = x 1 + x 2 ;
10. y = x e − x ;
11. y = e
x
1 ; 1 + x3 1− x 14. y = ; 1+ x 12. y =
; 2
13. y = x e x ; 15. y =
26
1 2+ x
2
;
16. y = x e − x ;
x ; x −1 1 19. y = arc tg ; x x +1 21. y = ; x −1 17. y =
18. y = ln (2 x − 3);
2
20. y = 1 + x 2 ; 22. y = x 2 ln x ; 24. y = x 3 ⋅ e x ;
23. y = x ⋅ sin x ; x 25. y = x 2 sin ; 3
26. y = x arc tg x ;
27. y = arc tg 1 + x 2 ;
28. y = x 2 sin x ;
29. y = arc sin x ;
30. y =
cos x . 1 − sin x
Задача №5. Найти дифференциал функции.
(
)
2
2. y = 2 − x ;
1. у = ln sin x ; 3. y = e
−
5. y = e 7. y =
2 3
1 cos x
4. y = x 3 + x x ;
;
1 + ln x
6. y = 5 arc tg e x ;
;
(1 + ln x )3 ;
9. y = ln ⎛⎜ x sin x ⋅ 1 − x 2 ⎞⎟ ; ⎠ ⎝
11. y = arc tg ln (5 x + 3) ; 1 13. y = ; x + x2 −1 15. y = arc tg 6 x − 1 ; 17. y = ln sin tg e 19. y = arc cos e
−
−
x 2
x2 2
8. y =
2 3
arc tg
2x +1 3
;
10. y = 1 − arc cos 2 x ;
( )
12. y = arc sin e 4 x ; 14 y = 3 1 + 2 tg 2 x ; 16. y = tg sin cos x ;
;
18. y = ln arc tg 1 + x 2 ;
;
20. y =
1+ 1+ x2 x
; 27
21. y = ln arc cos 2 x ; 23. y = ln 25. y =
(
)
x − x −1 ;
ln sin x ; ln cos x
27. y = ln ⎛⎜ e 2 x + e 4 x + 1 ⎞⎟ ; ⎠ ⎝ 1 29. y = ; 1 + e− x
22. y = arc sin sin x ; 24. y = ln ⎛⎜ sin x + 1 + sin 2 x ⎞⎟ ; ⎠ ⎝ x −x e +e ; 26. y = x e − e− x 28. y = x ⋅ e
x
;
30. y = x ⋅ e1 − cos x .
Задача №6. Найти производные первого и второго порядков от функции, заданной параматрически. 1. y (t ) = 1+ 3 t 2 ; x (t ) = sin t ; 2. y (t ) = 8 t 2 − 1;
x (t ) = cos t ;
3. y (t ) 6 t ;
x (t ) = 2 t 2 + t ;
4. y (t ) = cos 2 t ; 5. y (t ) = 1 + cos t ; 6. y (t ) = 1 + tg t ;
x (t ) = sin 2 t ; x (t ) = 1 + sin t ; x (t ) = sin t ;
3
7. y (t ) = ln t ;
x (t ) = 1 + t 2 ;
x (t ) = ln t ;
8. y (t ) = 1 + t 2 ; 9. y (t ) = sin t ;
x (t ) = 1 + 3 t 2 ;
10. y (t ) = cos t ;
x (t ) = 8 t 2 − 1;
11. y (t ) = 2 t 2 + t ; 12. y (t ) = 1 + sin t ; 13. y (t ) = sin t ;
x (t ) = 6 t 3 ; x (t ) = 1 + cos t ; x (t ) = 1 + tg t ;
14. y (t ) = 1 + t 2 ; 15. y (t ) = 3 t + t + t ; 3
16. y (t ) = sin t ; 28
2
x (t ) = ln t ;
x (t ) = 1 + t ; x (t ) = 2 t 3 ;
17. y (t ) = e t ;
x (t ) = e − t ;
18. y (t ) = ln t ;
x (t ) = e t ;
19. y (t ) = 2 t 3 ;
x (t ) = sin t ;
20. y (t ) = e − t ;
x (t ) = e t ;
21. y (t ) = 1 + t 2 ;
x (t ) = 1 + sin t ;
22. y (t ) = sin 2 t ;
x (t ) = cos 2 t ;
23. y (t ) = tg 2 t ; 24. y (t ) = cos t ;
x (t ) = 1 + t 2 ; x (t ) = ln t ;
26. y (t ) = 1 + 2 t + 3 t 2 ; 27. y (t ) = 2 sin 2 t ;
x (t ) = ln 3 t ; x (t ) = cos 2 t ;
25. y (t ) = ln t ;
28. y (t ) = 1 + t 2 ; 29. y (t ) = 2 tg t ; 2
30. y (t ) = 1 + t 3 ;
x (t ) = 1 + t 3 ;
x (t ) = 2 ln t ; x (t ) = sin t ;
x (t ) = cos 3 t .
29
Типовой расчет №4 Тема: Исследование функции одной переменной Задача №1. Найти предел на основе правила Лопиталя. 1. lim x e − x ;
2. lim x ln x ; x→0
x→∞
π − 2 arc tg x
2. lim
e
x→∞
5. lim
3/ x
−1
(
x→
)
2 − e x + e − x cos x x4
x→0
ex − e−x ; x → 0 ln (1 + x )
7. lim
(
)
ln 1 + 1 / x 2 ; x → ∞ π − 2 arc tg x
9. lim
)
14. lim (arc sin x ctg x );
π x; 2
⎛ 2 1 ⎞ ⎟; 16. lim ⎜⎜ 2 − ⎟ x →1 x −1 x 1 − ⎝ ⎠ ⎛ 1 1 ⎞ ⎟; − 18. lim ⎜⎜ x →1 x −1 ln x ⎟⎠ ⎝
(
17. lim
x →1
x→0
ln (x − 1) ; ctg π x
⎛ 1 1⎞ − ⎟⎟ ; 19. lim ⎜⎜ x → 0 sin x x⎠ ⎝ 21. lim (ln x ln (x − 1)); x →1
23. lim
x→0
30
ex −1 ; x→0 x e x − e sin x 8. lim ; x → 0 x − sin x
6. lim
ln x ; x→∞ x πx tg 2 ; 12. lim x → 1 ln (1 − x )
ex ; x →∞ x2 ln (x − a ) ; 13. lim x → a ln e x − e a x →1
;
10. lim
11. lim
15. lim (1 − x ) tg
π / 2 − arc tg x ; ∞ 1 x −1 ln 2 x +1
4. lim
;
ln (1 − x ) + x 2
(1 + x )5 − 1 + x 2
;
⎛ 1 1 ⎞ − 2 ⎟⎟ ; 20. lim ⎜⎜ x → 0 x sin x x ⎠ ⎝ x − arc tg x 22. lim ; x→0 x3 e −x − 1 + x 4 ; 24. lim x→0 sin 2 x
ex − e−x − 2 x ; x→0 sin x − x
25. lim
1 − 2 sin x ; π cos 3 x x→
27. lim
⎛ 1 ⎞ 26. lim ⎜ 2 − ctg 2 x ⎟ ; x →0⎝ x ⎠
e−x −1 + x − 28. lim
3
ex −1
x→0
6
x3 x2 − − x −1 6 2 ; x2 cos x + −1 2
ex − 29. lim
x→0
x2 2 ;
30. lim (tg x ⋅ ln x ). x→0
Задача №2. Найти экстремумы функции. 1. y = 6 3 x 2 ⋅ (x + 1);
2. y = 3 x 2 ⋅ (10 − x );
3. y = e x + e − x ;
4. y =
5. y = (x − 1) ⋅ 3 x 2 ;
6. y =
7. y = x +
1 ; x
9. y = x ⋅ 1 − x ; 11. y =
x ; 1+ x2
ex ; x
(x − 2) ⋅ (3 − x ) ; x
8. y = 2 e x + e − x ; 10. y = x + 1 − x ; 12. y = 2 − 3 (x − 1) ; 2
13. y = x 3 ⋅ e x ;
14. y = x ⋅ e
15. y = x 3 ⋅ e − x ;
16. y =
−
x 2
;
x2 ; x2 −1 31
17. y = 3 x 2 − 1;
18. y = 2 x − 3 3 x 2 ;
x2 ; x−2
19. y =
20. y =
21. y = x ⋅ 3 (x − 1) ; 2
2 x −1
23. y =
(x − 1)2
25. y = x ⋅ (1 − x ); 3
22. y = 1 + 3 (1 − x ) ; 2
24. y =
;
2
x3
29. y =
(x − 1)2
28. y =
30. y =
;
(x + 1)2
−
x2 2
3− 2x
(x − 2)2 x3 . 1− x2
Задача №3. Найти точки перегиба графика функции. 1. y = x ⋅ 3 (x − 1) ; 2
3. y =
x ; x +1
(
)
3
5. y = x 2 − 1 ; 2
7. y = x ⋅ e − x ; 32
2. y = (1 − x ) ⋅ 3 x 2 ; 4. y = (x − 1) ⋅ e x ;
2
6. y =
1 + 4x2 ; x
8. y = x +
;
x2 + 2x
26. y = x ⋅ e
1
27. y = x 2 ⋅ e x ;
ex ; 4 (1 − x )
ln x ; x
; ;
9. y =
x ; ex
10. y = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x − 1;
11. y =
x3 − 3 x2 + 8 x − 4; 3
12. y = x 4 − 10 x 3 + 36 x 2 − 10 ;
2
13. y = e − x ;
14. y = x ⋅ e − x ;
15. y = x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 − 10 ;
16. y = (x + 1) ⋅ (x − 2) ;
17. y = x 4 − 8 x 3 + 18 x 2 + 31;
18. y =
19. y = (x + 1) ⋅ (x − 2); 2
21. y =
x ; x +1
2
1 ; x +1
20. y = e
2
1 x
− x;
22. y = x + 5 x 3 ;
2
23. y = x 3 − 12 x 2 + 36 x ;
24. y = 2 x 2 + ln x ;
25. y = x ⋅ x − 1 ;
26. y = 2 x 3 − 3 x 2 + 15;
(
)
27. y = ln 1 + x 2 ; 29. y = x ⋅ e
−
x 2
;
28. y = x ⋅ e x ; 30. y = (1 − x ) ⋅ e x .
Задача №4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке [a; b]. 1. y = x 3 − 12x + 7 ; 5 2. y = x 5 − x 3 + 2 ; 3
[0 , 3].
[0 , 2]. 33
3. y = 3x 4 − 16x 3 + 2 ; 4. y = x 3 − 3x + 1; 5. y = x 4 + 4 x ; 1 6. y = x 3 − 2 x 2 + 3x + 1; 3 7. y = − 3x 4 + 6 x 2 − 1; 3
2
8. y = 2x − 15x + 24x + 5 ; 9. y = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1; 3 10. y = 2x 3 + x 2 + x ; 2 2 11. y = x − 6 x + 13 ; 12. y = x 2 − 4 x + 3 ; 1 13. y = 8 − x 2 ; 2 1 2 1 3 14. y = x − x ; 3 2 2 15. y = 6 x − x 3 ; 16. y = 2 sin x − cos 2 x ; 17. y = − 3 x 4 + 6 x 2 ; 18. y = x + 2 x ; x −1 ; 19. y = x +1 20. y =
1 − x + x2 ; 1 + x − x2
21. y = 3 x + 1 − 3 x − 1 ; 22. y = arc tg
34
1− x ; 1+ x
[− 3 , 1]. ⎡1 ⎤ ⎢ 2 , 2⎥ . ⎣ ⎦ [− 2 , 2].
[− 1, 5]. [− 2 , 2]. [0 , 3]. [− 2 , 4]. [1, 2]. [0 , 6]. [0 , 3].
[− 2 , 2]. [1, 3]. [− 1, 6]. ⎡ π⎤ ⎢0 , 2 ⎥ . ⎣ ⎦ [− 2 , 2].
[0 , 4]. [0 , 4].
[0 , 1]. [0 , 1]. [0 , 1].
23. y =
(x
3
)
2
2
− 2x ;
24. y = sin 2 x − x ; 25. y = 100 − x 2 ; 26. y = x 3 − 3 x 2 + 6 x − 2 ; 27. y = x 5 − 5 x 4 + 5 x 3 + 1; 28. y = x 4 − 2 x + 5 ; 29. y = x 3 − 3 x + 3 ; 30. y =
x2 − 1 ; x2 + 1
[0 , 3]. ⎡ π π⎤ ⎢− 2 , 2 ⎥ . ⎣ ⎦
[− 6 , 8]. [− 1, 1]. [− 1, 2]. [− 2 , 2]. 3⎤ ⎡ ⎢− 3 , 2 ⎥ . ⎣ ⎦
[− 2 , 3].
Задача №5. Найти асимптоты линий. x ; 2. y = 3 x 3 − x 2 ; 1. y = 5 x−2 3. y =
ln (x + 1) x
2
;
x
5. y = x e ;
(
)
7. y = ln 1 + e x ; 1 9. y = x + ; x 11. y =
5x ; x −1 2
4. y =
1 ; x − 4x + 5 2
6. y =
2 x xe
8. y =
1 ex
10. y = 12. y =
+ 1;
;
x + x; 2 x −1 x2 + 5 x2 −1
+ 2x;
x2 +1 ; 1+ x
13. y = e − x ;
14. y =
15. y = x + e − x ;
1⎞ ⎛ 16. y = x ln ⎜ e + ⎟ ; x⎠ ⎝ 18. y 3 = 3 − x 2 ;
17. 2 y (x + 1) = x 3 ; 2
35
1
19. y 2 (x − 2 a ) = x 3 − a 3 ;
20. y =
21. y 3 = a 3 − x 3 ;
22. y 2 =
23. y 3 = 6 x 2 + x 3 ;
24. y = e x − 1;
(x + 2)3
;
x3 ; 2a − x 1
25. y = a +
a3
(x − a )
2
;
27. (y + x + 1) = x 2 + 1;
28. y = 2 x + arc tg
29. 2 y (x + 1) = x 3 ;
30. x y = a .
2
2
36
26. x y 2 + x 2 y = a 3 ; x ; 2
Типовой расчет №5 Тема: Интегральное исчисление Задача №1. Найти неопределенный интеграл от иррациональной функции. 1.
∫
3.
∫
5.
∫
7.
∫
9.
∫
11.
x 2 dx 2 + 3x
3
x 2 dx
;
1+ x x dx
1 + 3x
5
x 2 dx
∫
dx 1+
;
;
2+x
4
;
x
x 2 dx
;
(
)
2
2.
∫
4.
∫x⋅
6.
∫1 +
8.
∫ x ⋅ (1 +
x ⋅ 1 + 3 x dx ;
dx ln x
5
dx
10.
3
;
;
x
dx
∫
1+
ln x ln x
x x 3 dx
);
dx ;
12.
∫
∫
14.
∫2x
44
x 5 − 2 dx ;
∫
16.
∫3x
2 5
x 3 + 2 dx ;
∫
18.
3
1+ x
;
13. x 3 1 + x dx ; 15. x ⋅ 3 2 + 3 x dx ;
17. x 2 ⋅ 3 1 + x dx ;
3
∫
x4 + 1
;
x 4 dx 4 + x5
;
37
19.
∫
21.
∫1+
1 + x dx ;
∫
27.
x −1 3
x2
dx ;
4 x dx 3
8 + x2
3
1+ x
∫ (x
22.
∫x
2
)
3
− 1 x 3 dx ;
4 x 3 + 1 dx ;
2 4
3
x 2 dx
∫
(x
−1
(5 x
3
4
∫ x (3 x 3
30.
3
+2 4
dx ;
;
)
3
x 3 dx
∫
28.
;
4
∫ x (1 − 3 x )
24.
26.
;
dx
∫1+
29.
dx;
x +3 x
∫
25.
dx ;
1+ x x3
∫
23.
1+ x
20.
)
;
2
)
3
+ 2 dx .
Задача №2. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям.
38
x dx
1.
∫ x ln (3 x + 2) dx ;
2.
∫ sin
3.
∫x5
4.
∫ (1 − x ) sin x dx ;
5.
∫
dx ;
6.
∫
7.
∫ x sin 4x dx .
8.
∫ x arc tg x dx ;
x
ln x x
3
dx ;
2
ln x 3
x
x
;
dx ;
9.
∫ ln (1 − x ) dx .
x sin x dx
10.
∫
12.
∫ cos
cos 2 x
;
11.
∫ e ln (1 + 3e )dx .
13.
∫
dx .
14.
∫x
3
ln x dx ;
15.
∫ x arc sin x dx .
16.
∫x
3
e − x dx ;
17.
∫ (2 x + 1) ln x dx ;
18.
∫ x ⋅ arc sin x dx ;
19.
∫
dx ;
20.
∫ x ⋅ arc ctg x dx ;
21.
∫ x ⋅ arc cos x dx ;
22.
∫xe
23.
∫
24.
∫ x sin 3x dx ;
25.
∫ (2 + 3 x ) e 3 dx ;
26.
∫ x cos x dx ;
27.
∫x
28.
∫
29.
∫ ln (x
30.
∫ xe
x
x
x arc sin x 1− x
2
1
ln x x
4
x ln x dx ; x
3
ln x dx ; 2
)
+ 1 dx ;
x dx 2
;
x
2
−2x
dx ;
arc sin x x 2x
dx ;
dx .
39
Задача №3. Найти неопределенный интеграл от рациональной алгебраической дроби. 1.
2
2x + 3
3.
∫x
5.
∫ 5x
2
7.
∫ 2x
2
9.
40
2x +1
∫ (x + 1) (1 + x ) dx ; 2
+ 2x −3
dx ;
5x − 2 + 8x + 3
2x + 3 +9x + 4
6.
dx ;
8.
x−6
13.
∫x
2
15.
∫x
2
17.
∫x
2
+ 6x +8
2x +1 + 4x + 3 3x + 4 + 5x + 6 4x −5 + 6x +8
3x − 5 2
+ 8 x + 12
dx ;
3x2 +1
∫ (3 − x ) (1 + x ) dx ; 2
∫ 6x
3x + 2 2
+ 5x +1
2x −5 2
10.
∫x
2
dx ;
12.
∫x
2
dx ;
14.
∫ 2x
dx ;
16.
dx ;
18.
2
2
∫x
∫ 5x
∫ (x + 3) (1 + x ) dx ; ∫x
4.
dx ;
2x2 + 3
11.
2.
+ 6x +1
2x + 3 − 6x +8
dx ;
dx ;
5x + 2 + 2 x + 10
7x −6 2
dx ;
−6x + 4
dx ;
dx ;
2x + 3
∫ (x − 2) (x + 5) dx ; ∫x
4x −3 2
+ 5x − 6
dx ;
−x+6
19.
∫x
21.
∫ 2x
2
23.
∫ 3x
2
2
+ 7 x + 12 x+5 +6x +8
3x + 2 + 4x +1
20.
dx ;
22.
∫x
2
dx ;
24.
∫x
2
6x + 5
25.
∫ 2x
2
27.
∫ 2x
2
29.
∫ 3x
2
∫x
dx ;
+ 5x + 3
3x +1 + 7x + 6
2x + 5 + 4x − 4
6 x −1 2
− 4x + 5
dx ;
dx ; + 4 x + 13
x dx ; + 3x + 2
3x2 + 2 x − 3 dx ; x (x − 1) (x + 1)
dx ;
26.
∫
dx ;
28.
∫x
dx ;
30.
∫ (x − 2) (x + 5) dx .
2x − 2 2
− 2x + 2
dx ;
2x + 3
Задача №4. Вычислить определенный интеграл. 4
1.
∫1+ 0
1 2
3.
∫ 0
3
5.
∫ 1
dx 2x +1
1+ x dx ; 1− x dx ; x + x2
1
;
2.
∫e
dx ; + e− x
x
0
e
4.
∫ ln
2
x dx ;
1
1
6.
∫x
2
e − x dx ;
−1
41
2 π
3
∫ arc tg x dx ;
7.
8.
16
9.
1 ex
2
11.
∫x
2
10.
;
x+9 − x
0
2
dx ;
12.
14.
∫ ln
3
16.
x dx ;
∫x 1
21.
42
;
1 + ln x
−x
dx ;
∫ x cos x dx ;
5
∫ ⎛5
18.
∫ (e
)
4
− 1 e x dx ;
x
0 e
dx
∫ (3 − x )
1 2
∫xe
1
dx
−13
3 2
;
0
e2
2
3
π 2
1
19.
dx
∫x+x
;
0
e
17.
2
1
ln (x + 1) dx ;
0
15.
1 − (ln x )
1
e −1
∫
dx
∫x 1
1
13.
x
e
dx
∫
∫ 1 π
0
1 x dx ; 2
sin
4
x 4⎞
;
20.
π 3
3
5 − x4 ⎜ −x ⎟ ⎝8 ⎠ 8
1 + ln x dx ; x 1
∫
dx ;
22.
x dx
∫ sin π 4
2
x
;
e
23.
∫x
1 − (ln x )
1
9
25.
x
4
27.
∫ 0
2 ln 2
29.
∫
ln 2
x 6
4
dx ;
24.
ex
∫
ex + 1
0
π 4
dx
∫1+ 1
ln 3
ln x
;
26.
x +4
dx
∫ 1 + sin 0
4 3
2
dx ;
dx ; x e −1
28.
∫x 3 4
1
30.
∫e
dx ;
2
x
dx x2 +1
x + ex
;
;
dx .
0
43
Типовой расчет №6 Тема: Дифференциальные уравнения. Ряды Задача №1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. 1. y / = x + sin x ;
2. (3 x − 1) ⋅ y / = y 2 ;
3. y / ⋅ x = 1 + y ;
4. (2 + x ) ⋅ y / = 3 + y ;
5. y / ⋅ x 2 = 1 + y 2 ;
6. y / = x y − y ;
(
)
(
)
7. y / ⋅ 1 + x 2 = y ; 9. y / ⋅ 1 + x 2 = 1 + y 2 ;
10. y / ⋅ 1 − x 2 = y ;
11. (1 + x ) ⋅ y / = 1 + y ;
12. x y / − y = 0 ;
13. y / ⋅ e x = y ;
14. x y / + y = 0 ;
15. y / ⋅ e − x = y ;
16. y y / + x = 0 ;
2
44
8. e x ⋅ y / + e y = 0 ;
17. y / ⋅ e x = x y ;
18. 2 y /
19. y / ⋅ x = ln x ;
20. x 2 y / + y 2 = 0 ;
21. y / ⋅ x =
22. y / = (2 y + 1) ⋅ ctg x ;
ln x ;
x = y;
23. y / ⋅ e − x = y − 3 ;
24. 2 y = y / ;
25. y / ⋅ (1 − 2 y ) = 2 y ;
26. (2 x + 1) y / + y 2 = 0 ;
27. y / ⋅
1− x2 = y;
29. y / ⋅ 1 − x 2 = 1 + y 2 ;
28. y x − y / = 0 ; 30. y y / = x + 3 .
Задача №2. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка. 1. x y / + y − e x = 0 ;
(
)
3. y = x y / − x cos x ; 5. (2 x + 1) y / = 4 x + 2 y ; 7. y / x + x + y = 0 ; 9. y / − 2 x y = x ; 11. y / + y = 2 e x ;
2. x 2 y / + x y + 1 = 0 ; 1 ; 4. y / + y tg x = cos x 2 6. y / − y = 2 x 3 ; x 2 / 8. y + 2 x y = 3 x 2 e − x ; 1 ; 10. y / + y ctg x = sin x 1 12. y / − y = x ; x
13. y / −
2 y = x3 ; x
14. y / + x y = 3 e − x ;
15. y / +
3 2 y= 3 ; x x
16. y / + y = e − x ;
/
17. y + 2 y = e
−3x
;
/
18. y + x y = e
−
x2 2
; 2
19. x y / + y = x 2 ;
20. y / + 2 x y = e − x ;
21. y / + sin x ⋅ y = e cos x ;
22. x y / + 2 y = x 3 ;
23. x y / + 3 y = x 2 ;
24. y / +
2 y = x; x
45
25. ctg x ⋅ y / + y = cos x ;
26. tg x ⋅ y / + y = sin x ;
27. y / + tg x ⋅ y = cos 2 x ;
28. y / + ctg x ⋅ y = sin x ;
/
29. y + 2 y = e
−2x
;
2
/
30. x ⋅ y + 2 y =
2 x e .
Задача №3. Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. 1. y // − 4 y / + 3 y = 2 x 2 + 3 x − 5 ; 2. y // + 4 y / + 29 y = 2 x e x ; 3. y // − 7 y / + 6 y = 2 sin 3 x ;
4. y // − 2 y / + 2 y = 2 cos x ;
5. y // − 3 y / + 2 y = 0 ;
6. y // + 2 y / + 5 y = 8 x 3 ;
7. y // + y / − 2 y = e3 x ( x 2 + x ) ;
8. y // − 2 y = x e x ;
9. 4 y // − 8 y / + 5 y = e − x cos x ;
10. y // − 4 y / − 12 y = 13 sin x ;
11. y // + y / − 12 y = 2 x e − 3 x ;
12. y // + 4 y / + 13 y = ( x + 1) e x ;
13. y // + 3 y / + 2 y = (2 x + 6) sin x ; 14. y // + y / − 2 y = 4 x cos x ; 15. y // + 4 y / + 4 = e x cos 2 x ;
16. y // + 2 y / − 15 y = e −2 x sin 4 x ;
17. y // − y / − 12 y = 25 cos 2 x ;
18. y // + y / − 56 y = 2 e3 x cos x ;
19. y // − 4 y / = 4 x 2 + 2 x + 3 ;
20. y // + 3 y / − 4 y = 2 x 2 x − x ;
21. y // − 9 y = 2 x e − 3 ;
22. y // + 4 y = e − 2 x sin 2 x ;
23. y // + 4 y / − 5 y = ( x 2 + 2) e x ; 24. y // + 4 y / − 12 y = 2 e − 2 x ; 46
25. y // + y / − 20 y = x + 1;
26. y // − 3 y / − 10 y = 3 x cos x ;
27. y // + 6 y / − 27 = e − 4 x cos 3 x ; 28. y // + 6 y / − 27 y = x 2 e − x ; 29. y // − 4 y / − 45 y = x 2 e x ;
30. y // − 2 y = x e − x . ∞
Задача №4. Исследовать сходимость числового ряда
∑u
n
.
n =1
1. u n = 3. u n = 5. u n = 7. u n = 9. u n =
n+3 ; n−2
2. u n =
1
(2 n + 1)2 − 1 n3 ; nn
2n +1 n 2n
8. u n =
;
1 ; (n + 1) ln (n + 1)
1
13. u n =
n (n + 1)
15. u n = ln
n2 +1 n2
3n n ! n
n
4. u n = 6. u n =
1⎞ ⎛ 11. u n = ln ⎜1 + ⎟ ; n⎠ ⎝
17. u n =
;
;
;
;
n−
n
14. u n =
16. u n =
18. u n =
;
3n ; (2 n )! 1
(n + 1) (ln (n + 1))2
;
n2 ; (3 n )!
10. u n =
12. u n =
n
nn + 1 ; (n + 1)! 2n n! nn
; 1
n (n + 1)(n + 2) en n! nn
;
;
1 n2 + 2n
; 47
19. u n =
(n + 1)! ; 2 n!
ln n
21. u n =
23. u n =
25. u n =
27. u n =
29. u n =
20. u n =
n
4
n5
n ; (n + 1)!
⎛1 + n 2 22. u n = ⎜⎜ 3 ⎝1+ n
;
1 ; (2 n + 1)!
(2 n )! ;
24. u n =
3n ; (n + 1)!
28. u n =
(n + 1)! ;
30. u n =
nn
(n !)2
;
nn ; (2 n )!
26. u n =
3n
nn
2
⎞ ⎟ ; ⎟ ⎠
n! nn
;
3
n4 . (n + 1)!
Задача №5. Найти интервал сходимости степенного ря∞
да
∑a
n
xn .
n =1
1. a n =
3. a n = 5. a n =
48
3
(n + 1)n n!
(2 n ) ! nn
;
;
n ; n 3 (n + 1)
2. a n =
4. a n = 6. a n =
2n ; n (n + 1) 3n n !
(n + 1) n 5n n
n
;
;
n
1⎞ ⎛ 7. a n = ⎜1 + ⎟ ; n⎠ ⎝ 9. a n =
11. a n =
8. a n =
3n 2 n (3 n − 1)
10 n n
17. a n =
19. a n =
21. a n =
23. a n = 25. a n =
2 n (n + 1)!
(n + 1)n
2 n (n + 1)!
(n + 2)n n!
(n + 1)n n +1
;
18. a n =
;
20. a n =
22. a n =
;
1 ; (2 n − 1) 2 n
n+2 ; n (n + 1)
n (n + 3)
5n ; (n + 1)(n + 2) 5
(n + 1)n (n + 1)!
;
3n + 1 ; n (n + 2 )
26. a n = n !;
28. a n =
1
;
24. a n = n n ;
;
27. a n = 3 n ; 29. a n =
10. a n =
(n + 2 )
1 ; nn 1 ; 14. a n = n ⋅ 2n n 16. a n = n ; 2 (n + 2 )
1 ; n!
2n
3
12. a n =
;
13. a n = n !; 15. a n =
;
n +1 n
;
30. a n =
2 n −1 n2 n +1 3
n
;
. 49
Типовой расчет №7 Тема: Теория вероятностей и математическая статистика Задача №1. Найти вероятность случайного события по формуле "урновой схемы". 1. В ящике находится 20 деталей, среди которых 12 стандартных деталей. Контролер извлекает наугад из ящика 3 детали. Найти вероятность того, что две вынутых детали являются стандартными. 2. В ящике находится 12 деталей, среди которых 8 стандартных деталей. Контролер извлекает наугад из ящика 3 детали. Найти вероятность того, что только одна среди извлеченных деталей является стандартной. 3. В ящике находится 10 деталей, среди которых 3 нестандартных детали. Контролер извлекает из ящика 4 детали. Найти вероятность того, что две извлеченные детали являются стандартными. 4. В ящике находится 10 деталей, среди которых 2 нестандартных детали. Контролер извлекает из ящика 5 деталей. Найти вероятность того, что среди вынутых деталей стандартной является только одна деталь. 5. В ящике находится 10 деталей, среди которых 8 стандартных деталей. Контролер извлекает из ящика 3 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных 3 деталей находится одна стандартная. 6. В ящике находятся 10 деталей, среди которых 8 стандартных деталей. Контролер извлекает из ящика 2 детали. Найти вероятность того, что среди двух вынутых деталей обе являются нестандартными. 7. В ящике находятся 10 деталей, среди которых 8 стандартных деталей. Контролер извлекает из ящика 2 детали. Найти вероятность того, что среди вынутых двух деталей обе окажутся стандартными. 8. В ящике находятся 10 деталей, среди которых 6 стандартных деталей. Контролер извлекает из ящика 3 детали. Найти вероятность того, что все 3 детали окажутся стандартными. 9. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных детали. Контролер взял наугад из ящика 3 детали. Найти вероятность того, что одна из деталей оказалась стандартной. 50
10. В ящике в случайном порядке положены 12 деталей, из которых 5 нестандартных. Контролер взял наугад из ящика 3 детали. Найти вероятность того, что обе детали оказались нестандартными. 11. В ящике находятся 12 деталей, среди которых 5 нестандартных деталей. Контролер извлекает из ящика 4 детали. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся 3 стандартных детали. 12. В ящике находится 20 деталей, среди которых 16 стандартных деталей. Контролер извлекает из ящика 3 детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными. 13. В ящике находится 18 деталей, среди которых находится 15 стандартных деталей. Контролер извлекает из ящика четыре детали. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся две нестандартных детали. 14. В ящике находятся 10 деталей, среди которых 3 нестандартных детали. Контролер извлекает из ящика 3 детали. Найти вероятность того, что все вынутые детали окажутся нестандартными. 15. В ящике находятся 12 деталей, среди которых 5 нестандартных деталей. Контролер извлекает из ящика 4 детали. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся 4 нестандартных деталей. 16. В ящике находится 10 деталей, среди которых 2 нестандартных детали. Контролер извлекает из ящика 6 деталей. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся 5 стандартных деталей. 17. В ящике находится 10 деталей, среди которых 3 нестандартных детали. Контролер извлекает из ящика 3 детали. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся 2 стандартные детали. 18. В ящике находится 10 деталей, среди которых 6 стандартных деталей. Контролер извлекает из ящика 4 детали. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся 3 стандартные детали. 19. В ящике находится 10 деталей, среди которых 2 нестандартных детали. Контролер извлекает из ящика 6 деталей. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся 2 нестандартные детали. 20. В ящике находится 10 деталей, среди которых 8 стандартных деталей. Контролер извлекает из ящика 2 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей будет хотя бы одна стандартная деталь. 21. В ящике находится 15 деталей, среди которых 10 стандартных. Контролер извлекает из ящика 5 деталей. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся все стандартные детали. 51
22. В ящике находится 13 деталей, среди которых 4 нестандартных. Контролер извлекает из ящика 4 детали. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся 3 нестандартные детали. 23. В ящике находятся 10 деталей, среди которых 7 стандартных деталей. Контролер извлекает из ящика 4 детали. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся 3 стандартные детали. 24. В ящике находятся 12 деталей, среди которых 3 нестандартные детали. Контролер извлекает из ящика 5 деталей. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся 4 стандартных детали. 25. В ящике находится 8 деталей, среди которых 2 нестандартных детали. Контролер извлекает из ящика 2 детали. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся обе нестандартные детали. 26. В ящике находится 10 деталей, среди которых 3 нестандартные детали. Контролер извлекает из ящика 6 деталей. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся 5 стандартных деталей. 27. В ящике находится 12 деталей, среди которых 8 стандартных деталей. Контролер извлекает из ящика 5 деталей. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся 3 нестандартных детали. 28. В ящике находятся 16 деталей, среди которых 4 нестандартные детали. Контролер извлекает из ящика 6 деталей. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся 3 нестандартных детали. 29. В ящике находятся 14 деталей, среди которых 11 стандартных деталей. Контролер извлекает из ящика 5 деталей. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся 2 нестандартных детали. 30. В ящике находится 13 деталей, среди которых 3 нестандартных детали. Контролер извлекает из ящика 5 деталей. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся 4 стандартных детали. Задача №2. Найти вероятность случайного события. 1. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены потребует его внимания первый станок, равна 0,7, для второго станка вероятность равна 0,75, для третьего станка вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребуют какие-либо два станка. 2. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, рана 0,2, для второго вызова вероятность равна 0,3, для третьего вызова вероятность равна 0,4. События, состоящие в том, что данный вызов будет принят, являются 52
независимыми. Найти вероятность того, что корреспондент услышит радиста. 3. Деталь проходит три операции обработки. Вероятность того, что она окажется бракованной после первой операции, равна 0,02, после второй операции вероятность равна 0,03, после третьей операции вероятность равна 0,02. Найти вероятность того, что деталь будет не отбракованной после трех операций. 4. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7, вероятность для второго станка равна 0,4, вероятность для третьего станка равна 0,4, вероятность для четвертого станка равна 0,3. Найти вероятность того, что хотя бы один станок в течение часа не потребует внимания рабочего. 5. На сборку поступило 3000 деталей с первого станка и 2000 со второго станка. Первый станок дает 0,2 %, а второй - 0,3 % брака. Найдите вероятность того, что взятая наудачу деталь из не рассортированной продукции окажется бракованной. 6. В партии находятся 14 деталей, среди которых 4 нестандартных детали. Найти вероятность того, что среди 5 наудачу взятых деталей находится не менее 4 стандартных. 7. В партии находятся 14 деталей, среди которых 5 нестандартных деталей. Найти вероятность того, что среди 3 наудачу взятых деталей будет не более одной нестандартной. 8. В партии находятся 7 деталей, среди которых 2 нестандартных детали. Найти вероятность того, что среди 5 наудачу взятых деталей будет находиться не менее 4 стандартных деталей. 9. В партии находятся 11 деталей, среди которых 3 нестандартных детали. Найти вероятность того, что среди 4 наудачу взятых деталей стандартных деталей будет не менее 3 деталей. 10. В партии находятся 11 деталей, среди которых 3 нестандартных детали. Найти вероятность того, что среди 4 наудачу взятых деталей стандартных будет не менее 3. 11. Имеется пять винтовок, из которых три с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом составляет для данного стрелка 0,95, без оптического прицела вероятность равна 0,8. Найти вероятность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки. 53
12. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы равны по 0,9, а вероятность ответа на третий вопрос равна 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить, по крайней мере, на два вопроса. 13. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего равна 0,3, вероятность для второго станка равна 0,4, вероятность для третьего станка равна 0,7, для четвертого станка вероятность равна 0,4. Найти вероятность того, что в течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего. 14. Для сообщения об аварии установлены три независимо работающих сигнализатора-автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95, вероятность для второго сигнализатора равна 0,9, вероятность для третьего сигнализатора равна 0,85. Найти вероятность того, при аварии поступит сигнал хотя бы от одного сигнализатора-автомата. 15. Для сообщения об аварии установлены три независимо работающих сигнализатора-автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равна 0,95, для второго сигнализатора вероятность равна 0,9, для третьего сигнализатора вероятность равна 0,85. Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал только от одного сигнализатора-автомата. 16. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего равна 0,7, вероятность для второго танка равна 0,5, для третьего станка вероятность равна 0,3. Найти вероятность того, что хотя бы один станок в течение часа не потребует внимания рабочего. 17. Заводом послана автомашина за различными материалами на три базы. Вероятность того, что нужного материала не окажется на первой базе рана 0,8, для второй базы вероятность равна 0,9, для третьей базы вероятность равна 0,6. Найти вероятность того, что только на одной базе окажется нужный материал. 18. В партии находятся 8 деталей, среди которых 2 нестандартных детали. Найти вероятность того, что среди 3 наудачу взятых деталей нестандартных будет не более одной.
54
19. В партии находится 8 деталей, среди которых 3 нестандартных детали. Найти вероятность того, что среди 4 наудачу взятых деталей стандартных будет не менее 3. 20. В партии находятся 9 деталей, среди которых 3 нестандартных детали. Найти вероятность того, что среди 5 взятых наудачу деталей нестандартных будет не более одной. 21. В партии находятся 9 деталей, среди которых 3 нестандартных детали. Найти вероятность того, что среди 5 наудачу взятых деталей стандартных будет не менее 4. 22. В партии находятся 20 деталей, среди которых 4 нестандартных детали. Найти вероятность того, что из 3 наудачу взятых деталей стандартных будет не менее 2. 23. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего равна 0,7, вероятность для второго станка равна 0,4, вероятность для третьего станка равна 0,4, вероятность для четвертого станка равна 0,3. Найти вероятность того, что любые три станка потребуют внимания рабочего. 24. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребует первый станок равна 0,7, вероятность для второго станка равна 0,75, вероятность для третьего станка равна 0,8, вероятность для третьего станка равна 0,85. Найти вероятность того, что внимания рабочего потребуют какие-либо два станка. 25. Деталь проходит две операции обработки. Вероятность того, что она окажется бракованной после первой операции равна 0,03, вероятность для второй операции равна 0,05. Найти вероятность того, что деталь будет не отбракованной после двух операций. 26. Заводом послана автомашина за различными материалами на четыре базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0,9, вероятность для второй базы равна 0,95, вероятность для третьей базы равна 0,8, вероятность для четвертой базы равна 0,6. Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала. 27. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос равна 0,8, вероятность для второго вопроса равна 0,85, вероятность для третьего вопроса
55
равна 0,9. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить на все вопросы. 28. В партии находятся 8 деталей, среди которых 2 нестандартных детали. Найти вероятность того, что среди 5 наудачу взятых деталей нестандартных будет не более одной. 29. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 2 нестандартных детали. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных контролером 6 деталях окажется не менее 5 стандартных деталей. 30. В партии из 10 деталей находятся 8 стандартных деталей. Найти вероятность того, что из наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная. Задача №3. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины x, заданной следующим законом распределения. 1.
2.
3.
4.
56
x
-2
0
1
4
p
0,4
0,1
0,3
0,2
x
-1
0
3
4
p
0,3
0,4
0,2
0,1
x
-3
0
1
5
p
0,4
0,2
0,3
0,1
x
-2
-1
1
4
p
0,5
0,1
0,2
0,2
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
x
-2
-1
2
4
p
0,3
0,2
0,3
0,2
x
-4
-1
2
3
p
0,5
0,2
0,1
0,2
x
-3
-1
2
4
p
0,3
0,2
0,3
0,2
x
-4
-2
1
4
p
0,3
0,2
0,3
0,2
x
-2
-1
1
3
p
0,4
0,2
0,1
0,3
x
-1
1
3
5
p
0,4
0,3
0,2
0,1
x
1
2
3
4
p
0,3
0,25
0,15
0,3
57
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
58
x
4
3
2
1
p
0,25
0,1
0,4
0,25
x
0
2
4
6
p
0,15
0,3
0,4
0,15
x
-2
0
3
5
p
0,35
0,25
0,1
0,3
x
2
4
6
7
p
0,45
0,15
0,25
x
-1
3
5
9
p
0,5
0,2
0,1
0,2
x
1
3
5
6
p
0,25
0,35
0,25
0,15
x
2
4
6
8
p
0,1
0,2
0,3
0,4
0,15
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
x
1
3
5
7
p
0,35
0,15
0,1
0,4
x
-3
4
7
9
p
0,25
0,2
0,15
0,4
x
0
4
7
9
p
0,55
0,1
0,15
0,2
x
3
6
8
9
p
0,5
0,2
0,15
0,15
x
2
5
7
9
p
0,35
0,45
0,1
0,1
x
3
5
7
8
p
0,15
0,25
0,2
0,4
x
1
4
7
9
p
0,25
0,35
0,2
0,2
59
26.
27.
28.
29.
30.
x
3
5
7
8
p
0,2
0,45
0,15
0,2
x
5
7
9
10
p
0,15
0,2
0,35
0,3
x
2
5
8
9
p
0,25
0,35
0,25
0,15
x
3
5
8
10
p
0,1
0,3
0,25
0,35
x
2
5
8
9
p
0,15
0,45
0,25
0,15
Задача №4. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины, заданной следующей функцией распределения.
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 1. F (x ) = ⎨x 4 , 0 < x ≤ 1, ⎪1, x > 1. ⎩
60
⎧0 , x ≤ 3 , ⎪ 2 2. F (x ) = ⎨(x − 3) , 3 < x ≤ 4 , ⎪1, x > 4 . ⎩
⎧0 , x ≤ 3 , ⎪x − 3 ⎪ ( ) , 3 < x ≤ 6, 3. F x = ⎨ ⎪ 6 ⎪⎩1 , x > 6 .
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x ( ) , 0 < x ≤ 14 , 4. F x = ⎨ ⎪196 ⎪1, x > 14 . ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x 5. F (x ) = ⎨ , 0 < x ≤ 12 , ⎪144 ⎪1, x > 12 . ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x , 0 < x ≤ 10 , 6. F (x ) = ⎨ ⎪100 ⎪1, x > 10 . ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x 7. F (x ) = ⎨ , 0 < x ≤ 11 , ⎪121 ⎪1 , x > 11. ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x 8. F (x ) = ⎨ , 0 < x ≤ 18 , ⎪ 324 ⎪1, x > 18 . ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x 9. F (x ) = ⎨ , 0 < x ≤ 8 , ⎪ 64 ⎪1 , x > 8 . ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x 10. F (x ) = ⎨ , 0 < x ≤ 6 , ⎪ 36 ⎪1 , x > 6 . ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x 11. F (x ) = ⎨ , 0 < x ≤ 4 , ⎪ 16 ⎪⎩1 , x > 4 .
⎧0 , x ≤ 2 , ⎪x ⎪ 12. F (x ) = ⎨ − 1 , 2 < x ≤ 4 , ⎪2 ⎩⎪1 , x > 4 .
61
62
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x ( ) 13. F x = ⎨ , 0 < x ≤ 2 , ⎪ 4 ⎪1 , x > 2 . ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 14. F (x ) = ⎨x 3 , 0 < x ≤ 1 , ⎪1 , x > 1. ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x − x 15. F (x ) = ⎨ , 0 < x ≤ 2, ⎪ 2 ⎪1 , x > 2 . ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 16. F (x ) = ⎨x 2 , 0 < x ≤ 1 , ⎪1 , x > 1. ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x 17. F (x ) = ⎨ , 0 < x ≤ 5 , ⎪ 25 ⎪1 , x > 5 . ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x 18. F (x ) = ⎨ , 0 < x ≤ 20 , ⎪ 400 ⎪1 , x > 20 . ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x 19. F (x ) = ⎨ , 0 < x ≤ 7 , ⎪ 49 ⎪1, x > 0 . ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x 20. F (x ) = ⎨ , 0 < x ≤ 3 , ⎪9 ⎪1, x > 3. ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x 21. F (x ) = ⎨ , 0 < x ≤ 15 , ⎪ 225 ⎪1, x > 15 . ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x , 0 < x ≤ 19 , 22. F (x ) = ⎨ ⎪ 361 ⎪1, x > 19 . ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x ( ) , 0 < x ≤ 25 , 23. F x = ⎨ ⎪ 625 ⎪1, x > 25 . ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪ 2 ⎪x ( ) , 0 < x ≤ 17 , 24. F x = ⎨ ⎪ 289 ⎪1, x > 17 . ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎧0 , x ≤ 0 , ⎪x 1 ⎪x ⎪ ⎪ 25. F (x ) = ⎨ + , − 2 < x ≤ 2 , 26. F (x ) = ⎨ , 0 < x ≤ 4 , ⎪4 2 ⎪4 ⎪⎩1, x > 2 . ⎪⎩1, x > 4 .
⎧ ⎪0 , x ≤ 0 , ⎪ π ⎪ 27. F (x ) = ⎨sin x , 0 < x ≤ , 2 ⎪ π ⎪ ⎪⎩1, x > 2 .
π ⎧ ⎪0 , x ≤ − 2 , ⎪ π ⎪ 28. F (x ) = ⎨cos x , − < x ≤ 0 , 2 ⎪ 1 , 0 . ⎪ ⎪ ⎩
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪x ⎪ 29. F (x ) = ⎨ , 0 < x ≤ 3 , ⎪3 ⎪⎩1, x > 3.
⎧0 , x ≤ 0 , ⎪x ⎪ 30. F (x ) = ⎨ , 0 ≤ x 2 , ⎪2 ⎪⎩1, x > 2 .
Задача №5. Найти значение выборки, заданной интервально. 1.
xi
1-3
3–5
5-7
ni
1
6
3
63
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
64
xi
0–2
2–3
3–4
ni
1
4
2
xi
2–4
4–6
6–8
ni
2
8
6
xi
1–3
3–5
5–7
ni
3
5
6
xi
2–4
4–6
6 –8
ni
1
6
3
xi
3–5
5–7
7–9
ni
2
4
3
xi
1–4
4–7
7 – 10
ni
3
4
6
xi
2–5
5–8
8 – 11
ni
1
6
3
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
xi
1–3
3–5
5–7
ni
1
4
2
xi
0–3
3–6
6–9
ni
1
4
2
xi
1-3
3–5
5-7
ni
1
6
3
xi
0–2
2–3
3–4
ni
1
4
2
xi
2–4
4–6
6–8
ni
2
8
6
xi
1–3
3–5
5–7
ni
3
5
6
xi
2–4
4–6
6 –8
ni
1
6
3 65
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
66
xi
3–5
5–7
7–9
ni
2
4
3
xi
1–4
4–7
7 – 10
ni
3
4
6
xi
2–5
5–8
8 – 11
ni
1
6
3
xi
1–3
3–5
5–7
ni
1
4
2
xi
0–3
3–6
6–9
ni
1
4
2
xi
1-3
3–5
5-7
ni
1
6
3
xi
0–2
2–3
3–4
ni
1
4
2
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
xi
2–4
4–6
6–8
ni
2
8
6
xi
1–3
3–5
5–7
ni
3
5
6
xi
2–4
4–6
6 –8
ni
1
6
3
xi
3–5
5–7
7–9
ni
2
4
3
xi
1–4
4–7
7 – 10
ni
3
4
6
xi
2–5
5–8
8 – 11
ni
1
6
3
xi
1–3
3–5
5–7
ni
1
4
2
67
30.
xi
0–3
3–6
6–9
ni
1
4
2
Задача №6. Экспериментально получены пять значений функции у = f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти вид уравнения линейной регрессии у = kx + b, выражающую приближенно функцию. Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и графики приближенной функции у = kx + b. 1.
2.
3.
4.
5.
68
x
1
2
3
4
5
y
4,3
5,3
3,8
1,8
2,3
x
1
2
3
4
5
y
4,5
5,5
4,0
2,0
2,5
x
1
2
3
4
5
y
4,7
5,7
4,2
2,2
2,7
x
1
2
3
4
5
y
4,9
5,9
4,4
2,4
2,9
x
1
2
3
4
5
y
5,1
6,1
4,6
2,6
3,1
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
x
1
2
3
4
5
y
3,9
4,9
3,4
1,4
1,9
x
1
2
3
4
5
y
5,2
6,2
4,7
2,7
3,2
x
1
2
3
4
5
y
5,5
6,5
5,0
3,0
3,5
x
1
2
3
4
5
y
5,7
6,7
5,2
3,2
3,7
x
1
2
3
4
5
y
5,9
6,9
5,4
3,4
3,9
x
1
2
3
4
5
y
4,3
5,3
3,8
1,8
2,3
x
1
2
3
4
5
y
4,5
5,5
4,0
2,0
2,5
69
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
70
x
1
2
3
4
5
y
4,7
5,7
4,2
2,2
2,7
x
1
2
3
4
5
y
4,9
5,9
4,4
2,4
2,9
x
1
2
3
4
5
y
5,1
6,1
4,6
2,6
3,1
x
1
2
3
4
5
y
3,9
4,9
3,4
1,4
1,9
x
1
2
3
4
5
y
5,2
6,2
4,7
2,7
3,2
x
1
2
3
4
5
y
5,5
6,5
5,0
3,0
3,5
x
1
2
3
4
5
y
5,7
6,7
5,2
3,2
3,7
x
1
2
3
4
5
y
5,9
6,9
5,4
3,4
3,9
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
x
1
2
3
4
5
y
4,3
5,3
3,8
1,8
2,3
x
1
2
3
4
5
y
4,5
5,5
4,0
2,0
2,5
x
1
2
3
4
5
y
4,7
5,7
4,2
2,2
2,7
x
1
2
3
4
5
y
4,9
5,9
4,4
2,4
2,9
x
1
2
3
4
5
y
5,1
6,1
4,6
2,6
3,1
x
1
2
3
4
5
y
3,9
4,9
3,4
1,4
1,9
x
1
2
3
4
5
y
5,2
6,2
4,7
2,7
3,2
x
1
2
3
4
5
y
5,5
6,5
5,0
3,0
3,5 71
29.
30.
72
x
1
2
3
4
5
y
5,7
6,7
5,2
3,2
3,7
x
1
2
3
4
5
y
5,9
6,9
5,4
3,4
3,9
Литература 1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. – М., Дело, 2000. 2. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш.Кремера. – М., ЮНИТИ, 1997. 3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике. ч. 1,2. – М., Финансы и статистика, 1999. 4. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М., ИНРА 1999. 5. Карасёв А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. ч. 1,2. – М., Высшая школа, 1982. 6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М., Наука, 1984. 7. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М., Наука, 1987. 8. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М., Высшая математика, 1999. 9. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. – М., Высшая школа, 1991. 10. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. – М., Высшая школа, 1998. 11. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М., Высшая школа, 1998. 12. Исследование операций в экономике. Под ред. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1997. 13. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. – М.: ЮНИТИ, 1997. 14. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике. – М.: БЭК, 1998. 15. Грешилов А.А. Как принять наилучшее решение в реальных условиях. – М.: Радио и связь, 1991.
73
Содержание
Введение…………………………………………………………….3 Типовой расчет №1…………………………………………………4 Типовой расчет№2………………………………………………...15 Типовой расчет№3………………………………………………...23 Типовой расчет№4………………………………………………...30 Типовой расчет№5………………………………………………...37 Типовой расчет№6………………………………………………...44 Типовой расчет№7………………………………………………...50 Литература…………………………………………………………73 Содержание………………………………………………………...74
74
