О решениях общих алгебраических уравнений с помощью интегралов от элементарных функций

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2006. Том 47, № 2

УДК 517.55

О РЕШЕНИИ ОБЩИХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Е. Н. Михалкин Аннотация: Получена интегральная формула для решения общего алгебраического уравнения. В этой формуле подынтегральная функция является элементарной, а интегрирование осуществляется по отрезку. Преимущество полученной формулы перед известной формулой Меллина состоит в расширении области сходимости интеграла. Это обстоятельство позволяет описать монодромию решения для триномиальных уравнений. Ключевые слова: алгебраическое уравнение, интегральное представление, гипергеометрические функции.

Введение В 1921 г. Меллин [1] привел интегральную формулу и разложение в гипергеометрический ряд для z n + x1 z n1 + · · · + xp z np − 1 = 0,

n > n1 > · · · > np > 0

(1)

(см. также [2]). Указанная формула была получена им для ветви z(x) с условием z(0) = 1 и названа главным решением уравнения (1). Легко видеть, что все остальные ветви получаются из z(x) по формуле zj (x) = εj z(εj x), где ε = e

j = 1, . . . , n − 1,

2πi n

— первообразный корень. Формула Меллина следующая:  1  np n1 1 1 n  n − n z1 − · · · − n zp  (z1 ) . . .  (zp ) −z1 p x1 . . . x−z z(x) = dz, (2) 1  p np n1 (2πi)p  + z1 + · · · + zp + 1 γ+iRp

n

n

n

где  — гамма-функция Эйлера, γ — точка из многогранника {u ∈ Rp : u1 > 0, . . . , up > 0, n1 u1 + · · · + np up < 1}, а dz = dz1 ∧ · · · ∧ dzn . На основе интегрального представления (2) и теории многомерных вычетов в статье [2] описаны некоторые аналитические продолжения z(x). Отметим, что в этой формуле подынтегральное выражение является трансцендентной функцией, а множество интегрирования неограниченное. Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ–1212.2003.1).

c 2006 Михалкин Е. Н. 

Е. Н. Михалкин

366

В настоящей статье предлагается интегральная формула для решения общего алгебраического уравнения с интегрированием по компакту (отрезку) элементарной функции. В этой формуле область сходимости интеграла шире, чем в формуле Меллина (2). Для формулировки основного результата настоящей статьи обозначим  ni = n − ni ,

n

ni

i

yi = xi t n (1 − t) n .

(3)

Теорема 1. Ветвь алгебраической функции z(x) решения уравнения (1) с условием z(0) = 1 допускает представление в виде интеграла    1 p  n 1+n 1−n 1 πi k πi − − t n (1 − t) n e n ln 1 + e n yk z(x) = 1 + 2πin k=1 0   p  n k πi − πi − e n ln 1 + e n yk dt, (4) k=1

где ветви логарифма определены в области пространства Cp переменного x = (x1 , . . . , xp ), полученной удалением из Cp двух семейств комплексных гиперплоскостей  p

 n k nk nk − πi xk t n (1 − t) n e n = 1 , − = t∈[0;1]

+ =

t∈[0;1]

k=1



p 

xk t

nk n

(1 − t)

n k n

e

nk n

πi

=1 ,

k=1

и выбираются условием ln 1 = 0. Таким образом, z(x) голоморфно и однозначно продолжается из окрестности нуля в область Cp \ (− ∪ + ). Выражаю благодарность В. А. Степаненко, замечание которого позволило улучшить доказательство сформулированной теоремы. 1. Доказательство теоремы 1 Для доказательства воспользуемся представлением z(x) в виде гипергеометрического ряда (см. [1, 3]):  |k|  n (−1)  n1 + nn1 k1 + · · · + np kp 1  k z(x) = 1  x11 . . . xp kp , np  n1  n k1 ! . . . kp ! − k1 − · · · − kp + 1 |k|≥0

n

n

n

где |k| = k1 + · · · + kp , ki ≥ 0. 1 Пользуясь формулой дополнения  (z) =  (1−z)π sin πz , перепишем рассматриваемый ряд в виде     |k|  n n  1  (−1)  n1 + nn1 k1 + · · · + np kp  − n1 + nn1 k1 + · · · + np kp z(x) = πn k1 ! . . . kp ! |k|≥0

 1 n1  np  − k1 − · · · − kp + 1 x1 k1 . . . xp kp × sin π n n n     n n  |k|  1  (−1)  n1 + nn1 k1 + · · · + np kp  − n1 + nn1 k1 + · · · + np kp =1+ πn k1 ! . . . kp ! |k|≥1

 1 np  n1  × sin π − k1 − · · · − kp + 1 x1 k1 . . . xp kp . n n n

О решении общих алгебраических уравнений

367

Используя определение бета-функции и ее связь с гамма-функцией, получим 1 πn    (−1)|k|  (k1 + · · · + kp ) sin π 1 − n1 k1 − · · · − n n × k1 ! . . . kp !

z(x) = 1 +

 + 1 x1 k1 . . . xp kp

np  n kp

|k|≥1

1 ×

1

tn+

n1 n

k1 +···+

np n

kp −1

1

(1 − t)− n +

n1  n

k1 +···+

np  n

kp −1

dt.

0

Покажем, что в последнем выражении можно поменять местами порядок суммирования и интегрирования, т. е. что 1 z(x) = 1 + πn

1 t

1−n n

(1 − t)−

1+n n

0

   (−1)|k|  (k1 + · · · + kp ) sin π 1 − n1 k1 − · · · − n n × k1 ! . . . kp !

np  n kp

+1



|k|≥1

× [x1 t

n1 n

(1 − t)

n 1 n

k1

]

. . . [xp t

np n

(1 − t)

np n

kp

]

dt.

В самом деле, элементы последнего ряда мажорируются величинами k1



n n1 1 |k|! [x1 t n (1 − t) n ] k1 ! . . . kp !

. . . [xp t

np n

(1 − t)

np n

kp

] ,

которые составляют ряд геометрической прогрессии для функции 1 p 

1−

i=1

(xi t

ni n

(1 − t)

n i n

, )

абсолютно сходящийся к этой функции при малых |xi |. Поскольку ряд под интегралом в выражении функции z(x) фактически зависит от величин n i

ni

yi = xi t n (1 − t) n ,

i = 1, . . . , p,

целесообразно ввести в рассмотрение ряд H(y1 , . . . , yp )

  (−1)|k|  (k1 + · · · + kp ) sin π 1 − n1  k1 − · · · − n n = k1 ! . . . kp !

np  n kp

+1

 y1k1 . . . ypkp ,

(5)

|k|≥1

в результате чего z(x) запишется в виде z(x) = 1 +

1 πn

1 t 0

1−n n

(1 − t)

− 1+n n

H(y1 , . . . , yp ) dt.

(6)

Е. Н. Михалкин

368

После применения к (5) формул  (n) = (n − 1)! и sin z = равенство

eiz −e−iz 2i

получим

H(y1 , . . . , yp ) n1 1 |k| 1  (−1) (k1 + · · · + kp − 1)!e( n − n = 2i k1 ! . . . kp !



k1 −···−

np  n

kp +1)πi

y1k1 . . . ypkp

|k|≥1

n1 1 |k| 1  (−1) (k1 + · · · + kp − 1)!e−( n − n − 2i k1 ! . . . kp !



k1 −···−

np  n

kp +1)πi

y1k1 . . . ypkp

|k|≥1

n

k1

πi 1 e n  (k1 + · · · + kp − 1)!(−e− n πi y1 ) =− 2i k1 ! . . . kp !

. . . (−e−

np n

πi

kp

yp )

|k|≥1

n

πi 1 e− n  (k1 + · · · + kp − 1)!(−e n πi y1 ) + 2i k1 ! . . . kp !

k1

. . . (−e

np n

πi

kp

yp )

.

|k|≥1

Воспользуемся равенством  (k1 + · · · + kp − 1)! z1 k1 . . . zp kp = − ln(1 − z1 − · · · − zp ), k1 ! . . . kp !

|k|≥1

в результате чего получим πi

H(y1 , . . . , yp ) =

np n en 1 ln(1 + e− n πi y1 + · · · + e− n πi yp ) 2i πi np n e− n 1 ln(1 + e n πi y1 + · · · + e n πi yp ). (7) − 2i

Из (6) следует, что условие z(0) = 1 будет обеспечено, если в (7) выбрать ветви логарифма так, чтобы выполнялось равенство H(0) = 0, и это достигается выбором ветвей логарифма с помощью условия ln 1 = 0. Итак, показано, что πi

H(y1 , . . . , yp ) =

np n en 1 ln(1 + e− n πi y1 + · · · + e− n πi yp ) 2i πi np n e− n 1 ln(1 + e n πi y1 + · · · + e n πi yp ), − 2i

(8)

где yi выражается через xi согласно равенству (3), а ветви логарифма выбираются согласно условию ln 1 = 0. Логарифмические функции в (8) голоморфны и однозначны в Cp \ − ∪ + , где ∓ определены в формулировке теоремы 1. После подстановки (8) в (6) получаем равенство (4). Тем самым теорема 1 доказана. 2. Применение к триномиальному уравнению Рассмотрим уравнение вида (1) в случае p = 1, т. е. когда в уравнении всего один параметр x1 , который мы обозначим через x. Соответствующее уравнение z n + xz m − 1 = 0,

0 < m < n,

(9)

О решении общих алгебраических уравнений

369

назовем триномиальным уравнением. Для него главное решение (4) запишется в виде 1 z(x) = 1 + 2πin

1 t

1−n n

(1 − t)−

1+n n

πi

[e n ln(1 + e−

n−m n πi

y)

0 πi

− e− n ln(1 + e n−m

m

n−m n πi

y)] dt,

(10)

n−m

m

где y = xt n (1 − t) n . Максимальное значение функции t n (1 − t) n на от m  n−m  n−m n n резке [0, 1] равно m , поэтому множества ∓ в формулировке теоn n   mπi 1 ремы 1 представляют собой пару лучей ∓ = τ e± n : τ ≥ m n−m n−m n ( (m n )

(см. рис. 1). Im x

Σ−

Im x

Im x x0

x0

|arg x|
0). Действительно, интеграл имеет вид   1 1  n−m 1 n n z  (z)  x−z dz, (11) 2πi  n1 + n−m z + 1 n γ+iR

где 0 < γ