Относительные дополнения в дельта(0,2)-степенях по перечислимости

Алгебра и логика, 39, N 5 (2000), 547-566

УДК 510.5

ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ В ^ - С Т Е П Е Н Я Х ПО ПЕРЕЧИСЛИМОСТИ*)

И. Ш . К А Л И М У Л Л И Н

Множество А Си сводится по перечислимости к В С и (или е-сводигпся) и записывается как А s(x)5 всех Е^-множеств будет выбрана таким образом, что если А Е Д§» то существу­ ет е Е CJ такое, что Л (ж) = lim* К,* (я) для всех ж € и>. Такие аппроксимации будем называть Д^-аппроксимациями. Через Ф4?5 обозначается е-оператор с множеством аксиом И^>, т. е. Ф|?5 аппроксимирует в некотором смысле оператор Ф, на шаге s. Без огра­ ничений общности можно считать, что для всех 5, г, у, ж и всех конечных множеств F выполняется у £ F & (x,F)E

Ф,>=>у < s.

Если i? — некоторое выражение, вычисляемое в ходе конструкции, то вычисленное на шаге s выражение R будем обозначать через R[s]. Остальные обозначения в данной работе будут полностью соответ­ ствовать принятым в [1]. Все конструкции в настоящей работе будут оперировать с деревом стратегий Т = CJ 0 е является относительным допол­ нением вниз для е-степени а*,, если а е П Ь е = 0 е . Аналогично, е-степень b e < Qfe называется относительным дополнением вверх для е-степени а е , если а е U Ь е = 0^. На существование относительных дополнений для естепеней ниже 0'е указывают следующие результаты (см. [2, 3]): 1) каждая ненулевая Д^-е-степень имеет Д^-относительное дополне­ ние вверх,

Относительные дополнения в Д° -степенях

549

2) каждая неполная А^-е-степень а е имеет Е^-относительное допол­ нение вниз. Однако, как показывает следующая теорема, результат 2 нельзя обобщить, построив А 2 ~ о т н о с и т е л ь н о е Дополнение вниз даже для П^ степе­ ней. Доказательство, которое здесь приводится, требует 0'"-приоритетных рассуждений. Т Е О Р Е М А 1. Существует неполная П^-е-степень, не имеющая относительного дополнения вниз в А^-степенях по перечислимости. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно построить d-p. п. множество А — = А\ — А2 (где Ai,A2 являются р. п. множествами) и р. п. множество В, удовлетворяя требованиям: Ре • {Уе.зУаеш является Д^-аппроксимацией и V€ не будет р. п. мно­ жеством => (ЗГ,Л)[Г Л = Лу« к Av* еА°2к

{ЩТА

ф Wi)) (здесь Г и Л -

некоторые операторы перечисления). Опишем основной модуль для требования Ne: 1) Держим некоторый свидетель у в дополнении В; 2) Ждем появления некоторого конечного множества F такого, что (у, F) б Ф е И & F C A[s]; 3) Перечисляем у в В и запрещаем перечислять элементы F в Л 2 (сохраняя неравенство В (у) = 0 ^ 1 = Ф^(у)). Возможные выходы этой стратегии обозначим как 0 и 1: 0 — соот­ ветствует п. 3, в данном случае имеем ФА - В ф 0 ; 1 — соответствует п. 2, тогда В ~ ФА ф 0 . Ясно, что здесь все выходы конечны. Введем для требования Ре подтребования Реу. Peti:

ГА=Ау.

Если левая часть требования Р€ верна для некоторого е, необходимо вы­ полнить все подтребования вида Ре?;, где г £ а;. Опишем основной модуль для удовлетворения одного подтребования Pejt-. Работа будет осуществляться по циклам ж, где х £ и. Каждому ци-

550

И. Ш. Ка^пимуллин

клу х сопоставляем свидетель (ж, г). Каждому открытому циклу х соответ­ ствует перечисление аксиомы {(я, г), {х}) в Л е . Пусть на некотором шаге s для любого открытого цикла х верно TA((x)i))[s]

= Wi,«((s>0)>

тог

Да

открываем все не открытые ранее циклы у ^ s. В противном случае будем говорить, что Ре>|- дшгошлизировано,

и новые циклы открывать не будем.

Ради сохранения равенства ЛУе = ГА для каждого открытого цикла ж, удо­ влетворяющего условию (х, г) £ (Л^е — ГА)[«], выбираем в (е, г)~м столбце достаточно большое число j x и перечисляем его в А\. Далее, определяем новую аксиому {{я, г), {jx}) в Г. С другой стороны, если найдется откры­ тый на шаге s цикл х такой, что (я, г) 6 (Г"4 - Л ^ ) ^ ] , то перечисляем в A е> т о существует г, , либо к некоторому "псевдотребованию" Р£, in где ef < е, справедливо а С г. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем п. а и b индукцией по х. Предполо­ жим, что для х' < х лемма верна. Обозначим через ох> и тх> вершины, лежащие на м. В последнем случае Ff уже не содержит свидетель ж, и поэтому в дальнейшем будем восстанавливать F1 вместо F в А; лишь тогда мы начнем перечислять в TL SS1 где и ^ s. (Инициализация стратегии а, CTGT,

на шаге 5 означает, что в дальнейшем не будем возвращаться к ее

работе. Кроме того, если длина строки а нечетна, то полагаем Av(n(a))

= 1

для всех v ^ s.) Определим As+\ и £5+1 через этапы £, 0 ^ t ^ 5. На каждом этапе £ будем строить конечное множество Аг8+1 и вершину Определим Л ^

= А* +1 и

£*+* = <S*+]/"m, где m > 0 — наименьшее положительное число такое, что стратегия £*+]^ ш

еш е н е

>

инициализирована на шаге s.

С л у ч а й 2:Т & Г,,,-£/,-,, ф 0 . Определим для каждого конечного множества F значение функции m(F, s) как наимень­ шую а (Е Г (относительно приоритетного, или, что то же самое, лексико­ графического упорядочения вершин дерева