М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У...
16 downloads
257 Views
139KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т
В Ы США Я М А Т Е М А Т И К А практику м по специальности «А г рохимия и поч в ов ед ение» 013000
В оронеж 2003
2
У тв ерж д ено нау ч но-метод ич еским сов етом математич еског о ф аку льтета28.05.03.
Состав итель: К аплан А .В .
П рактику м под г отов лен накаф ед ре теории ф у нкций и г еометрии математич еског о ф аку льтетаВ оронеж ског ог осу д арств енног о у нив ерситета. Рекоменд у ется д ля сту д ентов 1 ку рсабиолог о-поч в енног о ф аку льтета (отд еление аг рохимии и поч в ов ед ения).
3
О тсостав ителя. Н астоящ ий практику м сод ерж иту слов ия контрольны х работпо ку рсу «В ы сш ая математика» д ля сту д ентов 1 ку рсаотд еления аг рохимии и поч в ов ед ения биолог о-поч в енног о ф аку льтета. В теч ение у ч ебног ог од асту д енты в ы полняю т6 контрольны х работ: работы № № 1 – 3 в ы полняю тся в перв ом семестре, работы № № 4 – 6 – в о в тором. Н омера«св оих» в ариантов сту д енты у знаю тнапрактич еских занятиях. Д ля более полног о иг лу боког о у св оения у ч ебног о материала рекоменд у ется в ы полнить несколько зад аний из «ч у ж их» в ариантов . К аж д ое зад ание д олж но бы ть в ы полнено наотд ельном од инарном листе, в се зад ания в клад ы в аю тся в д в ойной лист, наперв ой странице которог о сту д енту казы в аетф амилию и имя, номер г ру ппы и номер св оег о в арианта. К роме тог о, наэ той странице заг отав лив ается реш еткад ля оценок (перв ая строка– номеразад аний, в торая – пу сты е клетки д ля оценок). О бразец: 1 2
3
4
5
В ы полнение в сех работнаоценку не ниж е 3,0 необход имо и д остаточ но д ля полу ч ения зач етав перв ом семестре и д опу скак э кзамену – в о в тором. Ж е лаю у с пе х а! А .В .К аплан.
4
К онтрольная раб ота № 1 «А налитиче с кая ге оме трия ». Задание 1. П ря мая линия . Д ано у рав нение прямой ℓ и точ ка М (х0;у0). 1) Н айти расстояние отточ ки М д о прямой ℓ . 2) П рив ести у рав нение прямой ℓ к в ид у в отрезках. 3) Н айти площ ад ь S треу г ольника, отсекаемог о прямой ℓ наосях коорд инат. 4) Н аписать у рав нение прямой ℓ ⊥, проход ящ ей ч ерез точ ку М и перпенд ику лярной ℓ . 5) Н айти точ ку P пересеч ения полу ч енной прямой ℓ ⊥ и прямой ℓ .
Номе р
У равне ние пря мой ℓ
Точка М (х0;у0)
1.
2х + у+ 1 = 0
М ( 2; 1)
2.
х – 2у+ 1 = 0
М ( – 1; 2)
3.
2х – у+ 1 = 0
М ( 2; – 1)
4.
х + у+ 1 = 0
М ( 1; 1)
5.
х – у+ 1 = 0
М ( 1; – 1)
6.
х +2у+ 1 = 0
М ( 1; 2)
7.
х – у– 1 = 0
М ( – 1; – 1)
8.
х + у– 1 = 0
М ( – 1; 1)
9.
х + 2у– 1 = 0
М ( 1; – 2)
10.
2х – у– 1 = 0
М ( 2; 2)
5
Задание 2. Окру ж нос ть. Д ано у рав нение окру ж ности. 1) П рив ести э то у рав нение к канонич ескому в ид у . 2) Н айти коорд инаты центра. 3) Н айти рад иу с. 4) Н айти точ ки пересеч ения окру ж ности сосью абсцисс. 5) Н айти точ ки пересеч ения окру ж ности сосью орд инат.
Номе р
У равне ние окру ж нос ти
Номе р
У равне ние окру ж нос ти
1.
х2 + у2 – 2х + 2у– 1 = 0
6.
х2 + у2 – 10х – 6у+ 33 = 0
2.
х2 + у2 – 4х – 2у+ 1 = 0
7.
х2 + у2 – 8х + 6у = 0
3.
х2 + у2 – 4х + 2у+ 1 = 0
8.
х2 + у2 – 2х – 4у+ 1 = 0
4.
х2 + у2 – 2х + 2у+ 1 = 0
9.
х2 + у2 – 4х + 4у+ 4 = 0
5.
х2 + у2 + 2х + 4у+ 1 = 0
10.
х2 + у2 + 2х + 2у+ 1 = 0
6
Задание 3. Эллипс . И зв естно, ч то точ ка М ( х0; у0 ) принад леж итэ ллипсу , зад анному в канонич еской системе коорд инат. К роме тог о, зад ано ещ е некоторое д ополнительное у слов ие. 1) Состав ить канонич еское у рав нение э ллипса. 2) О пред елить параметры a, b, c э ллипса. 3) Н айти коорд инаты ф оку сов и в ы ч ислить э ксцентриситет. 4) Н аписать у рав нения д иректрис. 5) Н айти ф окальны е рад иу сы д анной точ ки М .
Номе р
Точка М (х0;у0)
1.
М (2; − )
ε =
2.
М (– 5 ; 2)
2а = 10 ε
3.
М (8; 12)
| MF1 | = 20
4.
М ( 15 ;– 1)
| F1F2 | = 8
5.
М ( 4; – 3 )
точ ка N (2 2 ; 3) ∈ э ллипсу
6.
М ( 2; – 2)
а =4
7.
М (– 2 5 ; 2)
b=3
8.
М ( 3;
9.
М (4;
10.
М ( 2; − )
5 3
3 ) 2
Д ополните льное у с ловие 2 3
F1 (– 1; 0)
12 ) 5
F2 (3; 0)
5 3
ε =
2 3
7
Задание 4. Гипе рб ола. Д ано канонич еское у рав нение г иперболы . 1) Н айти полу оси. 2) О пред елить коорд инаты ф оку сов . 3) В ы ч ислить э ксцентриситет. 4) Н аписать у рав нения асимптот. 5) Н аписать у рав нения д иректрис. Номе р
У равне ние гипе рб олы
1.
2 х − у =1 25 144
2.
2 х − у =1 64 225
3.
2 х − у= 1 64 36
4.
2 х − у = 1 81 144
5.
2 х − у =1 9 16
Номе р
У равне ние гипе рб олы
6.
2 х − у =1 36 64
7.
2 х − у =1 144 25
8.
2 х − у= 1 225 64
9.
2 х − у= 1 144 81
10.
2 х − у =1 49 144
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Задание 5. П араб ола. В некоторой системе коорд инатзад ано у рав нение параболы . 1) О пред елить коорд инаты в ерш ины и у казать направ ление оси. 2) Н айти в елич ину параметра. 3) О пред елить коорд инаты ф оку са. 4) Н аписать у рав нение д иректрисы . 5) Н айти точ ки пересеч ения параболы сосями коорд инат. Номе р
У равне ние параб олы
Номе р
У равне ние параб олы
1.
у2 – 4х – 6у+ 29 = 0
6.
у2 – 6х + 14у+ 49 = 0
2.
х2 + 2х + у = 0
7.
у2 + 8х – 16 = 0
3.
у2 – х – 6у– 8 = 0
8.
х2 + у2 – 2х + 2у– 1 = 0
4.
у2 – 10х – 2у– 19 = 0
9.
х2 – 6х – у+ 8 = 0
5.
х2 – 2х + у– 3 = 0
10.
у2 + х – 2у– 3 = 0
8
К онтрольная раб ота № 2 «П ре де лы». Задание 1. В ы ч ислить пред елы и д оказать прав ильность в ы ч ислений на «язы ке ε – N ». 1. 2. 3. 4. 5.
lim
n − 1 . n + 1
6.
lim
2n + 3 . n − 2
7.
lim
3n − 4 . 2n + 3
8.
lim
4n + 5 . 3n − 4
9.
lim
5n − 6 . 4n + 5
10.
n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞
lim
4n + 5 . 5n + 6
lim
3n + 4 . 4n − 5
lim
2n − 3 . 3n + 4
n →∞ n →∞ n →∞
lim
n + 2 . 2n − 3
lim
9n + 10 . 10n − 9
n → ∞ n →∞
Задание 2. В ы ч ислить пред елы : 1.
x
lim
x → −2
2.
lim
x→ 2
3.
lim
x → −1
4.
lim
x→−3
5.
lim
x→ 2
x
x − 2
− x − 6
2
−
− 3x + 2
2
− 3x − 4
2
x
x x
2
2
x
2
2
.
.
+
x − 6
−
x − 12
−
x − 2
lim
7.
lim
x
.
8.
lim
x→1
.
.
9.
lim
x → −2
10.
lim
x→ 3
2
x x
x → −2
+ 2x + 1
− 4x + 4
6.
x→ 3
x − 2
2
x
x
+
2
x x
2
+
x − 12
2
−
x − 6
2
+ 3x + 2
x
− 2x + 1
2
+ 3x − 4 x
x
+
.
x − 2
2
+ 4x + 4
2
−
x x
2
.
x − 2
2
x x
+
2
.
2
x − 6
− 2x − 3
.
.
9
Задание 3. В ы ч ислить пред елы : 1.
lim
(
lim
2 x + х +1
x → +∞
2.
x → +∞
2 x − 1 −
)
2 x − 4х
− х
.
.
х − 2 x −1 . x→+∞ 2 4. lim x2 − 3х + 1 − x − 4 x→ − ∞
3.
lim
3х − →+ ∞
5.
lim x
6.
lim
x → −∞
7.
lim
x → +∞
8.
lim
x→+∞
(
2
−
2
x + 4х
2 − х −1 x
(
x −1 2
9 x −1
)
2
)
− х
.
.
.
2 2 − x −4 x − x +3 x → −∞ 10. lim 9 x2 + 1 − 3х . x→ + ∞
9.
lim
.
.
x +1 − х
.
10
Задание 4. В ы ч ислить пред елы : sin 2α . α → 0 sin 5α π π cos + α − cos − α 6 6 . 2. lim α α →0
lim
1.
х→0
4. 5.
1 − cos 2 x
lim
3.
lim
α →0
2
х
6.
lim
α →0
tg 3α . tg 2α
π π sin + α + sin α − 4 4 7. lim . 2α α →0 2
.
8.
α sin α . 1 − cos 2α
9.
lim
х→0
lim
x→ 0
2 sin α . 2 α → 0 sin 3α
lim
10.
lim
α →0
х . cos 2 x − 1 cos 4 x − 1 . 2 x sin x 1 − cos 2α 1 − cos 4α
.
Задание 5. В ы ч ислить пред елы :
2n
1. 2.
lim
n → −∞
lim (1 −
α→0
3n
3 1+ . n 2α
)
3 α
6.
.
7.
n
3.
n + 1 2 lim n n →+∞
4.
α α lim 1 + 3 . α→ 0
5.
n 2 lim n− 2 n →+∞
.
lim
n →+∞
2 . 1 − n
lim (1 + 3α )
2 α
n 8. lim n + 1 n → −∞
1
.
α→0
2n
.
1
9.
n
.
10.
α α lim 1 − 2 . α →0 n lim n − 2 n→∞
n
.
11
К онтрольная раб ота № 3 «П роиз водные ». В зад аниях1. – 5. в ы ч ислить произв од ны е у казанны х ф у нкций. Задание 1. 1.
y =
2.
y =
3.
y =
4.
y =
5.
y =
Задание 2.
− 2 x2 . 2x + 1 x 2 − 3х . х− 2 4x2−х . 1− 2 х 4 x 2 −5х . 2 х− 3 x 2 +2 х . х+1
1.
y =
(1 + х )(1 − х )
.
2.
y =
(2 − х )(1 + х )
.
3.
y =
(1 − х )(3 + х )
.
4.
y =
(4 + х )(1 − х )
.
(5 − х )(1 + х )
.
5.
Задание 3. 1.
y =
2.
y =
3.
y =
4.
y =
5.
y =
1 + cos x 1 − sin x 2 − cos x 1 + sin x 3 − sin x 1 + cos x 4 + sin x 1 − cos x 5 − cos x 1 + cos x
3
3
3
3
y =
3
3
Задание 4.
\
( ). e−3x ⋅ ln( 2 − x 2 ) . e−2 x ⋅ ln( 3 − x3) . e−3x ⋅ ln( 4 − x 2 ) . e−2 x ⋅ ln(5 − x 3) .
.
1.
y = e−2 x ⋅ ln 1 − x3
.
2.
y =
.
3.
y =
.
4.
y =
.
5.
y =
2.
y =
Задание 5. 1.
y =
3.
y =
5.
y =
(arcsin (arcsin (arcsin
) . 2 x + 3) . 2 x + 5) .
x +1
2
4.
y =
(arccos x + 2 ) . 2 (arccos x + 4 ) . 2
12
К онтрольная раб ота № 4 «Ис с ле дование фу нкций». Задание 1. Сч итая изв естны ми г раф ики э лементарны х ф у нкций , построить г раф ики у казанны х слож ны х ф у нкций.
1.
y = e arc tg x .
2.
y = ln (cos x) .
3.
y = e cos x .
4.
y = ln (sin x) .
5.
y = eх +х .
6.
y = log 2 tg x .
8.
2 y = 1 + cos x .
2
−
7.
у= е
9.
y=2
1 х
.
х2 − 2 х
.
(
y = ln 4 − x
10.
2
Задание 2. Н айти асимптоты г раф иков след у ю щ их ф у нкций . 1.
y=
− 2 х2 . 2 х +1
3.
y=
4 х2 − х 1− 2х
5.
2 + 2х y= х .
7.
у=
9.
2+ х y= х
х +1
6 х2 + 2 х . 2х +1 х+ 2
2. .
2 − 3х y= х .
х −2
4 х2 − 5 х . 2х − 3
4.
у=
6.
2 +1 . y= − х
8.
у=
10.
х+2
6 х2 − 4 х . 1 − 2х
2−2х y= х .
1− х
).
13
Задание 3. Н айти промеж у тки монотонности и э кстрему мы след у ю щ их ф у нкций (рассмотреть промеж у ток [ – π; π ] ). 1.
y = sin x + cos x .
2.
y =
3.
y = sin x – cos x .
4.
y = cos 2x – 2sin x .
5.
y = sin x + cos 2x .
6.
y = cos x – sin x.
7.
y = sin x + 3 cos x .
8.
y = sin x –
9.
y = cos x +
10.
y = 3 sin x – cos x .
1 cos 2x . 2
3 sin x + cos x .
1 cos 2x . 2
Задание 4. Н айти промеж у тки в ы пу клости и точ ки перег ибаг раф иков след у ю щ их ф у нкций.
(
)
1.
y = ln 1 + x 3
3.
y = х 2 ln x .
5.
y = ln x 3 − 1
7.
y = х ln 2 x.
9.
y=
(
)
.
.
ln x . x
2
2.
y = e− х .
4.
y = x е– х .
6.
y = ( 1 + х 2 ) ех .
8.
y = х 3 е– х .
10.
y = е х ( х 2 – 2x + 2 ) .
Задание 5. И сслед ов ать ф у нкции и построить г раф ики. 1. у = 2х 3 – 9х 2 + 12x – 5 .
2. у = 2х 3 + 15х 2 + 36x – 53 .
3. у = х 3 – 12x + 11 .
4. у = х 3 – 3х 2 – 9x – 11 .
5. у = 2х 3 – 9х 2 + 7 .
6. у = 2х 3 + 9х 2 + 12x – 23 .
7. у = 2х 3 – 15х 2 + 36x – 23 .
8. у = х 3 – 3x + 2 .
9. у = х 3 + 3х 2 – 9x + 5 .
10. у = 2х 3 + 9х 2 – 11 .
14
К онтрольная раб ота № 5 «Не опре де ле нный инте грал». В зад аниях 1. – 5. в ы ч ислить интег ралы . Задание 1. 1.
∫
3.
∫
5.
∫
7.
∫
9.
∫
( х − 3 ) dx . 2
2.
∫
.
4.
∫
.
6.
∫
.
8.
∫
10.
∫
x − 3x + 2 ( х − 2 ) dx x 2 − 4x + 3 ( х − 3 ) dx x 2 − 6x + 8 ( х −1) dx x 2 − 5x + 6 ( х − 3 ) dx x2 − x − 2
.
( х + 1 ) dx . 2
x + 5x + 6 ( х + 3 ) dx x2 + x − 2 ( х + 3 ) dx
.
x 2 + 3x + 2 ( х + 2 ) dx
.
x 2 + 4x + 3 ( х + 3 ) dx
.
x 2 + 6x + 8
.
Задание 2. 1.
∫
3.
∫
5.
∫
7.
∫
9.
∫
dx 1 − 2x − x dx
2
5 − 4x − x 2 dx x 2 + 2х − 1 dx
.
2.
∫
.
4.
∫
.
6.
∫
.
8.
∫
.
10.
∫
2
4x + 4х − 3 dx 2x 2 − 6х + 5
dx 2
2x − х + 2 dx x 2 + 4х − 5 dx 1 + x − x2 dx 7 − 6x − x dx
. .
.
2
.
3 − 4x − 4x 2
.
Задание 3. 1.
∫ sin 5 x sin 2 x dx .
2.
∫ sin 3x cos 2 x dx .
3.
∫ cos x cos 3x dx .
4.
∫ cos 2 x sin 4 x dx .
5.
∫ sin 3 sin 2 dx .
6.
∫ sin 5 x cos x dx .
7.
∫ cos x sin 3x dx .
8.
∫ cos 3x cos 4 x dx .
9.
∫ sin x sin 3x dx .
10.
∫ sin 2 cos 12 dx .
x
x
x
x
15
Задание 4. е3 х dx . е2 х −1
1.
∫
3.
∫ е2 х + 4 dx .
5. 7. 9.
ех − 2
е2 х dx . ех −1
∫
dx
∫ ех −1 ∫
.
∫
4.
∫ 1 + е2х .
6.
е3 х dx . ех + 2
8. х
е2 х - 2е
1 + е2 х
dx .
ех + 1 dx . ех − 1
2.
10.
ех dx
∫
ех dx
∫ 1 − е2х . е2 х -1
∫ 1+ е2 х dx .
Задание 5. 1.
∫ arc sin x dx .
2.
∫ x ln x dx .
3.
∫ x cos x dx .
4.
∫ x 2 e − x dx .
5.
∫
e x sin x dx .
6.
∫ arc tg x dx .
7.
∫
x 2 ln x dx .
8.
∫ x sin x dx .
9.
∫ x ex
dx .
10.
∫
e − x cos x dx .
16
К онтрольная раб ота № 6 «Опре де ле нный инте грал и е го приложе ния ». Задание 1. В ы ч ислить интег ралы спомощ ью у казанны х под станов ок. 4
1.
a
dx
∫ 1+
, x=t
x
0
2.
2.
∫
1
x
2
a−x
x = a sin t .
2 dx ,
4.
0 3
5.
∫
0
xdx 4 − x2
∫
6.
∫
1
dx
(1+ x )
2
, x = t2 .
2
e x − 1 dx,
ex − 1 = t .
8.
0 2
9.
e x dx ∫ 1 + e2 x , e x = t . 0 4
, x = 2 sin t .
ln 2
7.
x 2 a − x 2 dx , x = a sin t .
0
a
3.
∫
∫
2 − x 2 dx , x = 2 sin t .
1 a
e x dx , ex = t . x −1 1 e
∫
10.
∫ x2
a 2 − x 2 dx , x = a sin t .
0
Задание 2. В ы ч ислить интег ралы . π 2
1
1.
∫ arc sin x dx .
2.
∫ xe−x
4.
0 1
3.
2
dx .
0 e
−1 3π
5.
3
∫ x sin x dx .
6.
∫ e x sin x dx .
8.
1
1
∫ x 2 e − x dx .
−1 π 2
e
∫ ln x dx .
∫ arc tg x dx . 0
0
9.
∫ ln 2 x dx .
1
2π π
7.
∫ e x cos x dx .
10.
∫ x cos x dx . 0
17
Задание 3. В ы ч ислить несобств енны е интег ралы . 0
∫ x e x dx . −∞
1.
∞
∫
3.
2.
0
dx
− ∞ x + 2x + 5 2
∞ arc tg x dx
∫
5.
4.
.
6.
.
1 + x2 1 ∞ ∫ e − x cos x dx .
7.
∞
∫
8.
∞ ln x dx ∫ x2 .
10.
1
dx
.
2 e x ln x
∞
∫
1
0
9.
∞ ∫ e −x sin x dx .
∞
∫
1 1 −x dx . e x2
dx
2 − ∞ x + 4x + 9 ∞ arc tg x dx
∫
1
x2
.
.
Задание 4. В ы ч ислить площ ад ь ф иг у ры , ог ранич енной зад анны ми линиями. x2 − x + 2 ; 2
1.
y =
2.
y = x 2 ; y = 2 – x; y = 0 .
3.
y =
4.
y = x 2 − 2 x + 3 ; y = 3x – 1 .
5.
y = 2x − x 2 ; y = x .
6.
y = 1 − x2 ;
7.
y =
(x −1)2 ; y = 4(x – 2); y = 0 .
8.
y =
x 2 − x ; y = 3x .
9.
y =
x 2 − 2 x + 4 ; y = 10 – x . 3
10.
y = x; x = 0 .
x2 ; y = x + 2 .
y = 2(1 – x);
y = 7x − 2 x2 ; x + y =
7 . 2
x = 0
18
Задание 5. В ы ч ислить объем тела, образов анног о в ращ ением ф иг у ры с зад анной г раницей в окру госи О х ( Vx ) или в окру госи О у (Vy ). 1. Vx:
у= 4х – х2; у= 0 .
2. Vу : х2 = 16 – 2у; у= 0; у= 6 . 2 3. Vx: y = x ; х = 0; у= 0; х = 3 .
3
4. Vу : х2 + у2 = 25; 3х – 4у= 0; х = 0. 2
5. Vx: y = 6 − x ; х = 0; у= 0; х = 3 . 2
6. Vx: ху= 6; х = 1; у= 0; х = 6. 7. Vу : 8. Vx: 9. Vу :
х2 – 6у+ 12 = 0; х = 0; у= 0; х = 6. 2 x2 + у 25 9
= 1; у= 0.
у= 4 – х2; у= 9 – х2; у= 0 .
10. Vx: у2 = 3х; х = 2; х = 10 .
Л ите рату ра. 1. М инорский В .П . Сборник зад ач по в ы сш ей математике: У ч еб. пособие д ля в ту зов / В .П .М инорский . – 14-е изд ., испр.– М .: И зд -в о ф из.-мат. лит., 2001. – 336 с. 2. Шипач ев В .С. О снов ы в ы сш ей математики: У ч еб. пособие д ля в ту зов / В .С.Шипач ев . – М .: В ы сш . ш к., 1994. – 479 с.
19
Состав итель: К аплан А натолий В икторов ич Ред актор Т ихомиров аО .А .
