Des catégories dérivées des catégories abéliennes, Astérisque No. 239 (1996)

Preface Jean-Louis Verdier, tragiquement disparu le 25 ao^ut 1989, a soutenu sa these de doctorat d'E tat, intitulee Des categories derivees des categories abeliennes, le 14 juin 1967, a Paris. Le present texte est celui du manuscrit dactylographie de cette these, dans sa derniere version. Les editeurs se sont bornes a corriger des erreurs de detail. Seule la partie intitulee Introduction avait ete deposee a la faculte. Le corps du texte etait inacheve a la date de la soutenance, et l'est reste. La genese de ce travail est assez bien connue (cf. [I]). On sait que Grothendieck concut l'idee des categories derivees au debut des annees soixante pour fournir le cadre d'algebre homologique necessaire a la vaste generalisation des theoremes de dualite qu'il avait imaginee a la suite de son expose au congres international d'E dinbourg de 1958. Il avait propose a Verdier, comme sujet de these, de construire le formalisme envisage. En 1963, Verdier faisait para^tre un fascicule de resultats resumant l'essentiel de la theorie,  0) , mimeographie par l'IHE S Categories derivees, quelques resultats (Etat (reproduit dans [SGA 4 1/2]). Si la notion de categorie derivee est due a Grothendieck, c'est a Verdier que revient d'avoir introduit, en amont, celle de categorie triangulee. L'axiomatique presentee la, inspiree de la theorie homotopique stable (cf. [P]), devait se reveler d'une surprenante fecondite. Ce n'est que plusieurs annees apres que Verdier entreprend une redaction d'ensemble de son travail. Pourquoi ne l'a-t-il pas terminee? Bien des hypotheses ont ete avancees. Je pencherais pour la suivante. La partie qui manque est la theorie des foncteurs derives. Quand Verdier en arrive a cet endroit de sa redaction, les categories derivees ont deja ete largement utilisees en geometrie algebrique. Diverses variantes et generalisations se developpent : notion de derivabilite ponctuelle a la Deligne, foncteurs derives non additifs (algebre homotopique a la Quillen), foncteurs derives ltres. Des lors, le cadre xe par le fascicule de resultats s'averait insusant. Trouver le bon point de vue aurait demande un nouveau travail de fondements que Verdier, interesse a cette epoque par d'autres problemes, n'a eu, me semble-t-il, ni le loisir ni sans doute l'envie de realiser. A mesure que le temps passait, des articles sur

les categories derivees paraissaient et l'usage s'en repandait, le formalisme envahissant d'autres domaines des mathematiques (comme les equations aux derivees partielles lineaires). L'achevement de son ouvrage devenait alors aux yeux de Verdier une t^ache de moins en moins necessaire . . . Tout incomplet qu'il est, ce texte de Verdier constitue neanmoins une reference precieuse, voire irremplacable (par exemple, la presentation, originale et elegante, qui y est donnee des suites spectrales ne se trouve, a ma connaissance, nulle part ailleurs). On ne peut que se rejouir qu'il voie en n le jour. Paris, le 27 avril 1996 Luc Illusie

References

[I] L. Illusie, Categories derivees et dualite, travaux de J.-L. Verdier, L'Enseignement Mathematique, 36 (1990), 369-391. (Expose donne le 19 octobre 1989, lors de la ceremonie en hommage a Jean-Louis Verdier organisee par l'Universite Paris VII.) [P] D. Puppe, On the formal structure of stable homotopy theory, Colloquium on Algebraic Topology, Aarhus Universitet (1962), 65-71. [SGA 4 1/2] \Cohomologie etale", Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois-Marie, SGA 4 1/2, par P. Deligne, Lecture Notes in Mathematics 569, Springer-Verlag (1977), 262-311.

ii

Note des editeurs C'est lors de la ceremonie en hommage a J.-L. Verdier, organisee par l'Universite Paris VII, le 19 octobre 1989, que M. Artin, P. Cartier et L. Illusie eurent l'idee de publier la these de J.-L. Verdier. Deux ans plus tard je me joignais a eux et j'obtenais, gr^ace a l'appui de J. Le Potier et de M. Broue, un nancement de Paris VII (URA 212) et de l'E NS (DMI) pour une saisie de ce texte en TEX. Une fois la frappe terminee, le resultat fut soigneusement compare a l'original dactylographie de Verdier. Il restait encore a faire une relecture mathematique car Verdier n'avait jamais eectue les dernieres corrections. Cette lecture attentive a ete faite, avec un extr^eme soin, par P. Cartier (chapitre I), B. Keller (chapitre III), et, pour l'ensemble du texte, par M. Zisman et moi-m^eme. En dehors des nombreuses coquilles qui ne meritent pas d'^etre enumerees, les principales modi cations apportees sont les suivantes. Dans le chapitre I, la proposition (3.1.5) armait une equivalence. Cette equivalence a ete remplacee par une implication, la reciproque (jamais utilisee par la suite) etant fausse. Dans la proposition (3.4.1), il y avait une erreur de signe, induisant des erreurs de signe dans le chapitre III ((1.3.4), (b ) et (3.2.7.3)). Ceci a conduit a adapter la de nition de la \categorie triangulee opposee" (chap. II, 1.1.7) a n que reste vraie l'armation : la categorie derivee de la categorie opposee est la categorie triangulee opposee a la categorie derivee. Dans le chapitre II, l'ordre des propositions du x1.2 a ete modi e. En eet, Verdier s'etait rendu compte, apres la redaction, que l'assertion que la somme directe de deux triangles distingues est un triangle distingue est consequence des autres axiomes des categories triangulees. Il l'avait donc supprimee de la liste des axiomes, sans eectuer les remaniements qui en resultaient. D'autre part, les alineas (2.3.6) et (2.3.7) qui n'etaient pas utilises dans la suite, et dont la veri cation a echoue, ont ete supprimes. La de nition de la notion d'objet spectral stationnaire (4.4.2) a ete legerement modi ee, la de nition originale etant trop faible pour l'etablissement du theoreme (4.4.3) qui suivait. Il a ete veri e que cela etait sans consequence pour la suite.

L'index de notations et l'index terminologique ont ete completes. En revanche, la bibliographie a ete laissee inchangee (sauf pour les SGA dont les references de nitives dans les \Lecture Notes" ont ete indiquees). En particulier, l'absence de reference numero 13 n'a pas ete comblee. Je voudrais remercier vivement M. Broue, A. Bruguieres, P. Cartier, L. Gruson, L. Illusie, B. Keller, J. Le Potier, M. Zisman, ainsi que l'Universite Paris VII, l'E cole Normale Superieure, et l'Institut des Hautes E tudes Scienti ques, qui ont aide a divers titres a la realisation de ce projet. Je remercie egalement C. Defosse et C. Gourgues pour avoir patiemment saisi cet ouvrage en AMS-TEX. J'aurais aime pouvoir etendre ces remerciements a L. Doustaing prematurement disparu en decembre 1994. Paris, le 14 juin 1996 Georges Maltsiniotis

iv

Publications de J.-L. Verdier (d'apres G. Shimura), Seminaire Bourbaki 1960-61, n 216, pp. 216-1 a 216-27, Benjamin (1966). Le theoreme de dualite de Poincare , C.R.A.S. t. 256, pp. 2084-2086, Gauthier-Villars (1963). Seminar on etale cohomology of number elds (en collaboration avec M. Artin), Woods Hole Conference on Algebraic Geometry, A.M.S. (1964). E quivalence essentielle des systemes projectifs , C.R.A.S. t. 261, pp. 49504953, Gauthier-Villars (1965). Dimension des espaces localement compacts , C.R.A.S. t. 261, pp. 52935296, Gauthier-Villars (1965). Dualite dans la cohomologie des groupes pro nis , Appendice a \Cohomologie galoisienne" (Jean-Pierre Serre), Lecture Notes in Mathematics 5, pp. 183-206, Springer (1964), quatrieme edition (1973). Faisceaux constructibles sur un espace localement compact , C.R.A.S. t. 262, pp. 12-15, Gauthier-Villars (1966). Dualite dans la cohomologie des espaces localement compacts , Seminaire Bourbaki 1965-66, n 300, pp. 300-01 a 300-13, Benjamin (1966). The Lefschetz xed point formula in etale cohomology , Conference on Local Fields, NUFFIC Summer School held at Driebergen in 1966, pp. 199-214, Springer (1967). A duality theorem in the etale cohomology of schemes , Conference on Local Fields, NUFFIC Summer School held at Driebergen in 1966, pp. 184-198, Springer (1967). Base change for twisted inverse image of coherent sheaves , Bombay Colloquium on Algebraic Geometry in 1968, pp. 393-408, Oxford University Press (1969).

[01] Sur les integrales attachees aux formes automorphes [02] [03] [04] [05] [06] [07] [08] [09] [10] [11]

[12] Theoreme de dualite pour la cohomologie des espaces localement com[13] [14] [15] [16]

[17] [18]

[19]

[20] [21] [22]

[23]

pacts , Dualite de Poincare, Seminaire Heidelberg-Strasbourg 1966-67, exp. 4, Publ. I.R.M.A. Strasbourg, n 3, pp. 1-36 (1969). Theoreme du noyau , Dualite de Poincare, Seminaire Heidelberg-Strasbourg 1966-67, exp. 9, Publ. I.R.M.A. Strasbourg, n 3, pp. 1-52 (1969). On a theorem of Wilder , Applications of categorical algebra, Proc. Symp. Pure Math. 17, pp. 184-191, A.M.S. (1970). Ein einfacher Beweis des Koharenzsatzes von Grauert (en collaboration avec R. Kiehl), Math. Ann. 195, pp. 24-50, Springer (1971). Topologie sur les espaces de cohomologie d'un complexe de faisceaux analytiques a cohomologie coherente , Bull. Soc. Math. France 99, pp. 337343, Gauthier-Villars (1971). Dualite relative en geometrie analytique complexe (en collaboration avec J.-P. Ramis et G. Ruget), Inv. Math. 13, pp. 261-283, Springer (1971). S.G.A. 4 (1963-64) \Theorie des topos et cohomologie etale des schemas" : Prefaisceaux (en collaboration avec A. Grothendieck) pp. 1-184 ; Topologies et faisceaux, pp. 219-263; Fonctorialite des categories de faisceaux, pp. 265-297; Topos (en collaboration avec A. Grothendieck), pp. 299-519, Lecture Notes in Mathematics 269, Springer (1972). S.G.A. 4 (1963-64) \Theorie des topos et cohomologie etale des schemas" : Cohomologie dans les topos, pp. 1-62; Conditions de nitude. Topos et sites bres. Applications aux questions de passage a la limite (en collaboration avec A. Grothendieck), pp. 163-336, Lecture Notes in Mathematics 270, Springer (1972). Caracteristique d'Euler-Poincare , Bull. Soc. Math. France 101, pp. 441445, Gauthier-Villars (1973). Le theoreme de Le Potier , Seminaire de geometrie analytique 1972-73, Dierents aspects de la positivite, Asterisque 17, pp. 68-78, S.M.F. (1974). Independance par rapport a ` des polyn^omes caracteristiques des endomorphismes de Frobenius de la cohomologie `-adique (d'apres P. Deligne), Seminaire Bourbaki 1972-73, n 423, Lecture Notes in Mathematics 383, pp. 98-115, Springer (1974). Quelques problemes d'intersection en geometrie riemannienne (en collaboration avec P. Marry), J. Di. Geom. 12, pp. 345-376, A.M.S. (1977).

vi

[24] Strati cations de Whitney et theoreme de Bertini Sard , [25] [26] [27]

[28] [29] [30] [31] [32] [33]

[34] [35] [36]

Inv. Math. 36, pp. 295-312, Springer (1976). Classe d'homologie associee a un cycle , Seminaire de geometrie analytique 1974-75, Asterisque 36-37, pp. 101-151, S.M.F. (1976). Le theoreme de Riemann-Roch pour les intersections completes , Seminaire de geometrie analytique 1974-1975, Asterisque 36-37, pp. 189-228, S.M.F. (1976). Le theoreme de Riemann-Roch pour les varietes algebriques eventuellement singulieres (d'apres P. Baum, W. Fulton et R. MacPherson), Seminaire Bourbaki 1974-75, n 464, Lecture Notes in Mathematics 514, pp. 159-175, Springer (1976). Categories derivees (redige en 1963, publie en 1976), Seminaire de Geometrie Algebrique 4 1/2, Cohomologie E tale, Lecture Notes in Mathematics 569, pp. 262-311, Springer (1977). E quations dierentielles algebriques , Seminaire Bourbaki 1977-78, n 512, Lecture Notes in Mathematics 710, pp. 101-122, Springer (1979). Instantons , Les equations de Yang-Mills, Seminaire E .N.S. 1977-78, Asterisque 71-72, pp. 105-134, S.M.F. (1980). Specialisation des classes de Chern , Caracteristique d'Euler-Poincare, Seminaire E .N.S. 1978-79, Asterisque 82-83, pp. 149-159, S.M.F. (1981). Algebres de Lie, systemes hamiltoniens, courbes algebriques (d'apres M. Adler et P. Van Moerbeke), Seminaire Bourbaki 1980-81, n 566, Lecture Notes in Mathematics 901, pp. 85-94, Springer (1981). Les representations des algebres de Lie anes : applications a quelques problemes de physique (d'apres E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara, T. Miwa), Seminaire Bourbaki 1981-82, n 596, Asterisque 92-93, pp. 365-377, S.M.F. (1982). Construction des matrices S (en collaboration avec A. Treibich-Kohn), Mathematique et Physique, Seminaire de l'E .N.S. 1979-82, Progress in Mathematics 37, pp. 175-196, Birkhauser (1983). Two dimensional  -models and harmonic maps from S 2 to S 2n , Group Theoretical Methods in Physics, Lecture Notes in Physics 180, pp. 136141, Springer (1983). Geometrie Microlocale , Algebraic Geometry, Japan-France Conference, Tokyo-Kyoto 1982, Lecture Notes in Mathematics 1016, pp. 125-133, Springer (1983). vii

(en collaboration avec G. Gonzalez-Sprinberg), Annales Scienti ques E .N.S. t. 16, pp. 409-449, Gauthier-Villars (1983). Specialisation de faisceaux et monodromie moderee , Analyse et topologie sur les espaces singuliers (II-III), Asterisque 101-102, pp. 332-364, S.M.F. (1983). Transformation de Fourier geometrique (en collaboration avec J.-L. Brylinski et B. Malgrange), C.R.A.S. t. 297, pp. 55-58, Gauthier-Villars (1983). Extension of a perverse sheaf over a closed subspace , Systemes Dierentiels et Singularites, Asterisque 130, pp. 210-217, S.M.F. (1985). Prolongements de faisceaux pervers monodromiques , Systemes Dierentiels et Singularites, Asterisque 130, pp. 218-236, S.M.F. (1985). Re exive modules over rational double points (en collaboration avec M. Artin), Math. Ann. 270, pp. 79-82, Springer (1985). Sur la regle de McKay en caracteristique positive (en collaboration avec G. Gonzalez-Sprinberg), C.R.A.S. t. 301, pp. 585-587, Gauthier-Villars (1985). Applications harmoniques de S 2 dans S 4, Geometry today, International Conference, Rome 1984, Progress in Mathematics 60, pp. 267-282, Birkhauser (1985). Structure multiplicative des modules re exifs sur les points doubles rationnels (en collaboration avec G. Gonzalez-Sprinberg), Geometrie algebrique et applications : I. Geometrie et calcul algebrique, Travaux en cours 22, pp. 79-110, Hermann (1987). Un calcul triste , Appendice, Geometrie algebrique et applications : II. Singularites et geometrie complexe, Travaux en cours 23, pp. 12-14, Hermann (1987). Transformation de Fourier geometrique II (en collaboration avec J.-L. Brylinski et B. Malgrange), C.R.A.S. t. 303, pp. 193-198, GauthierVillars (1986). Groupes quantiques (d'apres V. G. Drinfel'd), Seminaire Bourbaki 198687, n 685, Asterisque 152-153, pp. 305-319, S.M.F. (1987). Applications harmoniques de S 2 dans S 4 II , Harmonic mappings, twistors, and  -models, Advanced series in Mathematical Physics 4, pp. 124-147, World Scienti c (1988).

[37] Construction geometrique de la correspondance de McKay [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45]

[46] [47] [48] [49]

viii

[50] New Elliptic Solitons , [51] [52] [53] [54]

\Algebraic Analysis", Papers Dedicated to Professor Mikio Sato on the Occasion of his Sixtieth Birthday, Vol. II, pp. 901-910, Academic Press (1988). Solitons Elliptiques (en collaboration avec A. Treibich), The Grothendieck Festschrift, Vol. III, Progress in Mathematics 88, pp. 437-473, Birkhauser (1990). Rev^etements tangentiels et sommes de 4 nombres triangulaires (en collaboration avec A. Treibich), C.R.A.S. t. 311, pp. 51-54, Gauthier-Villars (1990). Boussinesq Elliptic Solitons : the cyclic case (en collaboration avec E. Previato), Proceedings of the Indo-French Conference on Geometry, pp. 173-185, Hindustan Book Agency (1993). Varietes de Kritchever des Solitons Elliptiques de KP (en collaboration avec A. Treibich), Proceedings of the Indo-French Conference on Geometry, pp. 187-232, Hindustan Book Agency (1993).

ix

DES CATE GORIES DE RIVE ES DES CATE GORIES ABE LIENNES

J.-L. VERDIER

Introduction Nous proposons dans ce travail un formalisme de l'hyperhomologie. 1. Soient A et B deux categories abeliennes, F : A ! B un foncteur additif. Lorsque la categorie A possede susamment d'objets injectifs, la construction des foncteurs derives droits de F est maintenant classique [1] : tout objet X de A possede une resolution injective X !" I  (X ) unique a \homotopie pres". Les objets de cohomologie du complexe F (I  (X )) sont donc de nis a isomorphisme canonique pres par l'objet X et dependent fonctoriellement de X . Les foncteurs obtenus sont les foncteurs derives droits de F . Ainsi, on associe fonctoriellement a tout objet X de A un complexe d'objets de B de ni \a homotopie pres" dont on prend la cohomologie. Cependant le plus souvent, les constructions usuelles de l'algebre homologique ne fournissent pas des complexes de nis a homotopie pres, mais des complexes de nis a quasi-isomorphisme pres (un morphisme de complexes est appele un quasi-isomorphisme s'il induit un isomorphisme sur les objets de cohomologie). Pour illustrer ce point, donnons deux exemples. Notons tout d'abord que, pour etudier les foncteurs derives de F , il y a 0 " lieu de considerer des resolutions X ! R(X ) plus generales que les resolutions injectives : les resolutions par des objets acycliques pour le foncteur F (en theorie des faisceaux, resolutions par des faisceaux asques, mous [23] ; en theorie des modules, resolutions par des modules plats . . . ). Ces resolutions ne sont plus necessairement uniques a homotopie pres. Mais etant 0 " donnees une resolution F -acyclique X ! R(X ) et une resolution injective X !" I  (X ) , il existe un et un seul (a homotopie pres) morphisme de resolutions, i.e. un morphisme de complexes  : R(X ) ! I  (X ) tel que le dia-

J.-L. Verdier

gramme ci-apres soit commutatif :

R(X )

0  " 



X [[[ ] " [[[

u



I (X ) 

:

De plus, etant donne un morphisme de resolutions F -acycliques :

 "1 

 X [[[ [[[ ]

R1(X )

"2

u

0

R2(X ) ; le morphisme de complexes d'objets de B : F (0 ) : F (R1(X )) ! F (R2 (X )) est un quasi-isomorphisme. Remarquons qu'ici on obtient dans B un systeme inductif de complexes et de quasi-isomorphismes qui possede un element maximal unique a homotopie pres : le transforme par F d'une resolution injective de X . Ce phenomene ne se produit plus dans le deuxieme exemple que nous abordons maintenant. Le procede de de nition des foncteurs derives par resolution se generalise parfois au cas ou la categorie A ne possede plus necessairement susamment d'objets injectifs ou projectifs. Considerons le cas ou A est la categorie des faisceaux de groupes commutatifs sur un espace topologique E . Cette categorie ne possede pas, en general, susamment d'objets projectifs. On se propose neanmoins de de nir les foncteurs derives gauches du foncteur exact a droite de A dans A qui, a tout faisceau G, associe le faisceau F Z G (F faisceau xe). On exige, bien entendu, que cette de nition fournisse des foncteurs possedant les proprietes usuelles des foncteurs derives gauches (comportement par rapport aux suites exactes et une certaine propriete universelle) et qu'elle redonne dans les cas connus (par exemple lorsque E est reduit a un point) les produits de torsion usuels. On peut operer de la maniere que voici. Tout faisceau G admet une resolution a gauche L ! G de longueur nie (en fait de longueur 2) par des 2

Categories Derivees

faisceaux dont les bres sont des groupes commutatifs sans torsion (resolution plate). On constate aisement les faits suivants : " G , i = 1; 2 , il en existe a) E tant donnees deux resolutions plates Li ! "3 G et un diagramme commutatif a homotopie pres de une troisieme L3 ! resolutions :  i

A 1 " C A 1 A 1 A "3 wG L3   P N N 2  NN"2 L



:

L2

b) E tant donnes deux morphismes de resolutions plates :

L1

"1

 G      u u   "2

 0 L2

il existe une troisieme resolution plate :

;

"

L3 !3 G ;

et un morphisme de resolutions :

L3



"3

 G     u  "1

L1

;

tel que les morphismes de complexes  et 0  soient homotopes. c) Pour tout morphisme de resolutions plates :

L1 

"1

 G     u   "2

L2

3

;

J.-L. Verdier

le morphisme de complexes de faisceaux :

F  : F Z L1 ! F Z L2 ; est un quasi-isomorphisme. On obtient donc un systeme coherent de complexes de faisceaux F Z L et de quasi-isomorphismes qui depend, en un sens qu'on peut preciser, fonctoriellement du faisceau G. En tout cas, les objets de cohomologie des complexes F Z L ( L resolution plate de G ) sont de nis a isomorphismes uniques pres et dependent fonctoriellement de G . Les foncteurs ainsi obtenus possedent les proprietes voulues et meritent le nom de foncteurs derives gauches du foncteur \produit tensoriel par F ". Bien entendu, pour calculer les faisceaux de torsion TorZ(F; G) , on peut prendre le faisceau associe au prefaisceau U 7 ! TorZ (F (U ); G(U )) (U ouvert de E ). Mais la methode que nous employons fournit un complexe de faisceaux bien de ni a quasi-isomorphisme pres dont les objets de cohomologie sont TorZ (F; G) et F Z G , information supplementaire essentielle pour le maniement commode de ces foncteurs, ainsi que nous le verrons par la suite. Cette methode s'etend immediatement au cas des topos anneles et permet de de nir dans ce cadre les foncteurs derives gauches du foncteur \produit tensoriel de faisceaux". 2. Dans l'etude des foncteurs derives d'un foncteur compose de deux foncteurs, des proprietes d'associativite, des relations du type de Kunneth, on est amene a etendre le formalisme des foncteurs derives au cas ou l'argument n'est plus seulement un objet de la categorie etudiee, mais un complexe d'objets de cette categorie. Cette extension a ete faite dans [1]. Rappelons-en les grandes lignes. Soit F : A ! B un foncteur additif entre deux categories abeliennes telles que A possede susamment d'objets injectifs. Soit Y  un complexe d'objets de A . On de nit dans loc. cit. les \resolutions injectives" du complexe Y  , que nous appelons resolutions injectives de Cartan-Eilenberg du complexe Y  . Une telle resolution est, par de nition, un double complexe I  dont les composants sont des objets injectifs de A , muni d'une augmentation : "

Y  ! I 

qui induit des resolutions injectives (au sens usuel) des composants, des bords, et des objets de cohomologie du complexe Y  . Ces resolutions sont uniques a homotopie (de doubles complexes) pres. On forme alors le double complexe F (I  ) , puis le complexe simple associe F (I  ) qui, lui aussi, est determine

R

4

Categories Derivees

R

a homotopie pres par le complexe Y  . Les objets de cohomologie Rn F (Y  ) du complexe F (I  ) sont donc de nis a isomorphisme canonique pres et on constate qu'ils dependent fonctoriellement du complexe Y  . Les foncteurs RnF obtenus sont les hyperderives a droite de F . On obtient de plus deux suites spectrales fonctorielles en Y dont les termes initiaux sont : p q  Ip;q 2 = H (R F (Y )) p q  IIp;q 2 = R F (H (Y )) ;

() ()

et dont les termes in nis sont les gradues associes aux objets Rn F (Y  ) convenablement ltres. Bornons-nous, pour simpli er, au cas ou les composants des complexes envisages sont nuls en degre susamment petit. On constate alors que les suites spectrales () et () convergent. Un morphisme m : Y  ! Z  de complexes induit des morphismes :

RnF (m) : RnF (Y  ) ! RnF (Z  ) et des morphismes des suites spectrales correspondantes. En particulier, lorsque m est un quasi-isomorphisme, la suite spectrale () montre que les morphismes Rn F (m) sont des isomorphismes. Ainsi les objets Rn F (Y  ) sont determines des que l'on conna^t le complexe Y  a \quasi-isomorphisme pres". Comme, par ailleurs, on a indique que les procedes usuels de l'algebre homologique ne fournissent le plus souvent que des complexes determines a quasi-isomorphisme pres, il appara^t que les objets naturels qu'etudie l'hyperhomologie sont les \classes de complexes a quasi-isomorphisme pres". 3. La demarche que nous suivons s'impose alors naturellement. On introduit, pour toute categorie abelienne A , la categorie comp(A) des complexes d'objets de A . Puis on construit a partir de comp(A) une nouvelle categorie en rendant formellement inversibles les quasi-isomorphismes de comp(A). On obtient ainsi une categorie D(A) : la \categorie derivee" de la categorie abelienne A . Par des procedes de resolution a droite qu'il importe peu de preciser dans cette introduction, on associe a un foncteur additif entre deux categories abeliennes F : A ! B , un foncteur R F : D(A) ! D(B) (qui n'est de ni le plus souvent que sur une sous-categorie convenable D (A)  D(A) obtenue en imposant des limitations aux degres des complexes envisages) appele le foncteur derive total a droite de F . Pour tout objet X de D (A) , l'objet R F (X ) de D(B) est donc un complexe d'objets de B de ni a \quasiisomorphisme pres", et par suite, les objets de cohomologie Rn F (X ) de ce complexe sont bien de nis. Les foncteurs X 7! Rn F (X ) sont les \hyperderives a droite" du foncteur F , de nis ici sans supposer necessairement que 5

J.-L. Verdier

A possede susamment d'objets injectifs. Le foncteur derive total permet donc, en particulier, de reconstruire les \hyperderives a droite de F "; mais il fournit plus d'informations. Par exemple, lorsqu'on a un foncteur additif G : B ! C entre categories abeliennes, on peut composer les foncteurs derives totaux : R G
R F : D (A) ! D(C ) : Dans les cas habituels, le foncteur R G
R F est canoniquement isomorphe au foncteur derive total de GF : 

R(GF ) ! R G
R F ;

formule de composition qui traduit dans notre langage la suite spectrale des foncteurs composes, et qui est d'ailleurs plus precise, car elle ne se borne pas a donner certaines informations sur les objets de cohomologie de R GF (X ) (X objet de D (A)), mais elle decrit entierement le complexe a \quasiisomorphisme pres" qui donne naissance a ces objets de cohomologie ; complexe dont la connaissance permet, par exemple, de composer a nouveau avec un autre foncteur derive total. 4. D'une maniere generale, on est amene, dans ce formalisme, a travailler directement avec les complexes a \quasi-isomorphisme pres", complexes qu'on se garde bien de remplacer par les seuls objets de cohomologie. (Si, le plus souvent, les \invariants" que l'on recherche, au terme du calcul ou du raisonnement, sont les objets de cohomologie des complexes, il n'en est pas toujours ainsi : les dierentielles des suites spectrales sont, elles aussi, des \invariants" interessants). On etablit, au niveau des complexes a quasiisomorphisme pres, ou au niveau des foncteurs derives totaux, ou plus generalement au niveau des foncteurs entre les categories derivees, diverses relations (relation d'isomorphie, relation d'adjonction pour les theoremes du type dualite, etc.). Ces relations fourniront, par des procedes purement automatiques (les suites spectrales), des informations sur les objets de cohomologie des complexes, sur les ltrations naturelles dont ces objets sont munis, etc. M^eme lorsqu'on ne s'interesse qu'aux valeurs des foncteurs derives traditionnels, i.e. aux seuls objets de cohomologie, les relations dans les categories derivees sont souvent des intermediaires techniques indispensables pour arriver a etudier ces foncteurs et formuler pour eux certaines relations importantes. En n, avantage essentiel, les relations qu'on etablit dans les categories derivees sont d'apparence et de fait plus simples que les relations qu'on en 6

Categories Derivees

deduit pour les objets de cohomologie. Le mecanisme des suites spectrales cache le plus souvent la simplicite des phenomenes. L'exemple elementaire des relations de Kunneth est a cet egard signi catif. 5. Soient X et Y deux espaces compacts, A un anneau a element unite commutatif (pour simpli er), F et G deux faisceaux de A-modules sur X et Y respectivement. Lorsque A est un corps, on sait que le produit cartesien [23] de nit un isomorphisme d'espaces vectoriels gradues : 

H (X; F ) A H (Y; G) ! H (X  Y; F A G) :

(Ku)1coh

Lorsque A = Z et que le faisceau F ou le faisceau G est sans torsion, on a des suites exactes scindables : Hp (X; F ) A Hq (Y; G) ! Hn (X  Y; F A G) ! 0!

L

p+q=n

(Ku)2coh

!

L

p+q=n+1

TorZ(Hp (X; F ); Hq (Y; G)) ! 0 :

Lorsque A = Z et qu'on ne fait aucune hypothese sur F et G , on a deux familles de suites exactes scindables : 0! (Ku)3coh

L

p+q=n

Hp (X; F ) A Hq (Y; G) ! Hn !

!

L

p+q=n+1

TorZ (Hp (X; F ); Hq (Y; G)) ! 0 ;

0 ! Hn+1 (X  Y; TorA (F; G)) ! Hn ! Hn (X  Y; F A G) ! 0 : La formulation initiale (Ku)1coh se complique donc, mais reste accessible au calcul explicite. Quand l'anneau A est plus complique, par exemple lorsque A = Z=`r Z , ` premier, r > 1 , anneau de dimension cohomologique globale in nie, on n'a plus, traditionnellement, que deux suites spectrales ayant m^eme aboutissement dont les termes initiaux sont : 0 Kp;q = TorAp (Hr (X; F ); Hs (Y; G)) ; 2 r+s=q (Ku)4coh 00 Kp;q = Hp (X  Y; TorA (F; G)) : q 2

L

Cependant ces suites spectrales et l'isomorphie entre leurs aboutissements ne sont que la consequence et la traduction imparfaite de la relation suivante dans la categorie derivee de la categorie des A-modules : (Ku)Der

L



L

RH(X; F ) A RH(Y; G) ! RH(X  Y; F A G) ;

7

J.-L. Verdier

ou RH(X; ) designe le foncteur derive total a droite du foncteur \sections L globales" sur X (de m^eme pour RH(Y; ) et RH(X  Y; )) et ou A designe le foncteur derive total a gauche du foncteur produit tensoriel. (On suppose que X et Y sont des espaces de dimension cohomologique nie, par exemple des complexes cellulaires nis.) Les deux membres de (Ku)Der sont des complexes de A-modules determines a quasi-isomorphisme pres dont les modules de cohomologie sont respectivement l'aboutissement de la premiere et de la deuxieme suite spectrale de (Ku)4coh . La formule (Ku)Der est, bien entendu, encore valable lorsque F et G sont des complexes de faisceaux sur X et Y (convenablement bornes). Elle est parfaitement maniable pratiquement, et permet de formuler egalement les proprietes de commutativite, et d'associativite lorsqu'il y a plusieurs facteurs. L'extension des scalaires conduit a une formule analogue dans les categories derivees. Lorsque A ! B est une A-algebre et lorsque F est un faisceau de A-modules sur X , on a la relation : L



L

RH(X; F ) A B ! RH(X; F A B ) :

De facon imagee, on peut dire, qu'en general, les formules naves et traditionnellement fausses deviennent vraies lorsqu'on travaille dans les categories derivees. L'importance des anneaux de coecients Z=`r Z provient notamment de la cohomologie etale des schemas. On sait [6] que dans cette theorie on doit essentiellement travailler avec des faisceaux de torsion. On obtient la cohomologie `-adique, i.e. a valeurs dans l'anneau Z` des entiers `-adiques, en passant a la limite projective dans la cohomologie a valeurs dans les anneaux Z=`r Z . La formule (Ku)Der est encore valable dans ce contexte (lorsque, par exemple, X et Y sont des schemas propres sur un corps algebriquement clos, A = Z=`r Z), et passe a la limite immediatement pour fournir une formule analogue pour les Z` -faisceaux. Mais comme Z` est un anneau principal, la formule (Ku)Der fournit en passant a la cohomologie une formule du type (Ku)3coh et en tensorisant par Q` , la formule (Ku)1coh pour les Q` -faisceaux.

b

b

b

6. C'est le developpement systematique des considerations esquissees ci-dessus que nous presentons dans ce travail. Voici quel en est le plan. Nous etudions au premier chapitre les categories de complexes des categories additives. Ces categories sont graduees. Plus precisement, elles sont munies de foncteurs translation (translation des degres dans une direction 8

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donnee et changement de signe de la dierentielle correspondante). Les extensions naturelles des foncteurs multi-additifs aux complexes ne commutent pas necessairement aux translations, mais y commutent \a isomorphisme pres", isomorphismes determines, pratiquement, au signe pres. Il se trouve qu'on ne peut choisir ces isomorphismes de maniere coherente pour la composition des \foncteurs translation", et qu'il s'introduit alors un signe. L'etude de ce signe fait l'objet du paragraphe 1 (voir aussi l'appendice). Au paragraphe 2, nous de nissons les notions classiques de complexes multiples, complexes simples, foncteur \complexe simple associe", homotopie, et au paragraphe 3, nous abordons l'etude du c^one d'un morphisme de complexes (\mapping cone" ou \mapping cylinder"), construction essentielle pour la suite. La construction de la categorie D(A) , categorie derivee de la categorie abelienne A , se fait en deux etapes. Dans la premiere etape on introduit la categorie K(A) des complexes de A a homotopie pres. Puis on inverse formellement dans K(A) les quasi-isomorphismes pour obtenir la categorie D(A) . Les categories K(A) et D(A) ne sont pas necessairement abeliennes; mais elles sont munies d'une structure supplementaire, consistant en la donnee d'une famille de diagrammes de nis a partir de la construction du c^one : les triangles distingues. Les triangles distingues jouent, pour ces categories, le r^ole des suites exactes des categories abeliennes. Les categories additives munies de cette structure supplementaire, mise en evidence et etudiee par Puppe [2], sont appelees categories triangulees et sont etudiees de notre point de vue au chapitre II. Le premier paragraphe est consacre a l'expose de resultats elementaires sur les categories triangulees. Au paragraphe 2, nous montrons, dans le cadre general des categories triangulees, que le probleme consistant a inverser formellement les quasi-isomorphismes de la categorie triangulee K(A) se resout simplement par un \calcul de fractions" [16]. Au paragraphe 3, nous demontrons un theoreme d^u a Freyd [17] : une categorie triangulee D se plonge de maniere universelle dans une categorie abelienne A(D) . Cette categorie A(D) possede une famille E d'objets a la fois injectifs et projectifs, telle que tout objet de A(D) soit isomorphe a un sous-objet d'un objet de E et a un objet quotient d'un objet de E . La sous-categorie pleine de A(D) de nie par E est isomorphe a la categorie D . En n au paragraphe 4, nous etudions les \objets spectraux" a valeurs dans les categories triangulees ou les categories abeliennes. Nous ne faisons ici qu'adapter les de nitions de [1]. Le chapitre III est consacre a l'etude des categories derivees proprement dites. Lorsque X et Y sont deux objets de D(A) , categorie derivee de la categorie abelienne A , les morphismes de degre n de X dans Y s'interpretent, lorsque la categorie A possede susamment d'objets injectifs et lorsque Y est un complexe dont les composants sont nuls en degre petit, comme les 9

J.-L. Verdier

elements de ExtnA (X; Y ) , n-ieme hyper-ext des complexes X et Y (au sens de [1]). Lorsque X et Y sont des complexes bornes (composants nuls sauf un nombre ni), les homomorphismes de degre n de X dans Y peuvent se de nir par une construction qui generalise la construction de Yoneda [3]. La composition des morphismes dans D(A) n'est autre que la composition de Yoneda. Au paragraphe 4, nous etudions les objets spectraux usuels. Tout complexe de A donne naissance a trois objets spectraux a valeurs dans D(A) , qui permettent d'ecrire de facon automatique les suites spectrales essentielles. D'ailleurs toute suite


! Xn ! Xn+1 !


de complexes et de morphismes de complexes (ou les morphismes de transition ne sont pas necessairement des monomorphismes) donne naissance a un objet spectral. 7. En resume, il s'agit d'etablir les fondements d'un formalisme, avec tous les inconvenients qu'un tel travail comporte : enthymemes et sorites, demonstrations sans reelles dicultes mathematiques mais necessitant souvent des suites de veri cations parfois (resp. toujours) ennuyeuses. Ce travail ne presente donc un inter^et que dans la mesure ou ce formalisme, par sa souplesse et sa generalite, permet la formulation et la demonstration de \vrais" theoremes. C'est le souci d'enoncer et de demontrer des theoremes de dualite cohomologique qui a constitue la premiere motivation de ce formalisme. On sait qu'il existe dans dierents contextes des theories de dualite cohomologique formellement tres analogues : 1) Theorie de la dualite dans la cohomologie des faisceaux coherents sur les schemas [4]. 2) Theorie de la dualite dans la cohomologie des faisceaux pour la topologie etale des schemas [5], [6]. Ces theories sont dues a A. Grothendieck. 3) Theorie de la dualite dans la cohomologie des modules galoisiens due a J. Tate et J.-L. Verdier [7]. 4) Theorie de la dualite dans la cohomologie des faisceaux sur un espace localement compact [9], [10]. 5) Theorie de la dualite dans la cohomologie des faisceaux analytiques coherents. Cette theorie reste encore essentiellement conjecturale. 6) Theorie de la dualite pour les corps locaux, corps de nombres ou corps de fonctions et ses relations avec la theorie du corps de classes. Cette theorie est a developper. Les premiers pas sont dus a M. Artin [8]. Toutes ces theories ont pour point de depart (ou d'arrivee) une propriete d'adjonction reliant certains foncteurs entre categories derivees. Le 10

Categories Derivees

cas particulierement simple des espaces localement compacts fournit le modele des enonces qu'on obtient. Soient X et Y deux espaces localement compacts (disons : de dimension cohomologique nie), A un anneau (ntherien), D(XA ) et D(YA ) les categories derivees des categories de faisceaux de A-modules XA et YA sur X et Y respectivement, f : X ! Y une application continue. On peut alors de nir dans cette situation : a) Un foncteur f! : XA ! YA , image directe a support propre et le foncteur derive total correspondant : R f! : D(XA ) ! D(YA ) :

(Lorsque f : X ! Y est une application propre, le foncteur f! est le foncteur image directe usuel.) b) Un foncteur f ! : D+ (YA ) ! D+ (XA ) (le signe + signi e qu'on se limite aux complexes bornes inferieurement) dont la de nition precise est assez technique, mais qui est caracterise, a isomorphisme unique pres, par la propriete c). c) Un isomorphisme bifonctoriel :
f (F; G) : RHom(R f! F; G) ! RHom(F; f ! G) de ni pour tout objet F de D(XA ) et tout objet G de D+ (YA ) (RHom designe le foncteur derive total du foncteur \complexe des homomorphismes"). Les phenomenes importants sont alors les suivants : D1) La formation du foncteur f ! est transitive pour f variable. D2) L'isomorphisme
f est compatible avec la composition des applications. D3) Lorsque X est lisse sur Y de dimension relative n , i.e. lorsque, localement sur X , X est Y -isomorphe au produit d'un ouvert de Y par l'espace topologique Rn (exemple : Y = un point, X variete topologique), on a pour tout objet G de D+ (YA ) un isomorphisme canonique :

f ! (G) ' f (G) !X=Y [n] ; ou f  (G) est l'image inverse usuelle, !X=Y un faisceau localement libre de rang 1 : le faisceau d'orientation relative de X sur Y , et ou !X=Y [n] designe le complexe obtenu en faisant subir au complexe !X=Y un decalage des degres de n unites. 11

J.-L. Verdier

D4) Lorsque X est un ferme de Y et que f est l'injection canonique, le foncteur f ! est le foncteur derive total du foncteur \sections a support dans X ". Ce theoreme, et ses variantes dans les autres contextes signales plus haut, contient les formulations traditionnelles de la dualite : theoreme de dualite de Poincare dans le cas topologique, theoreme de dualite de Serre pour les faisceaux algebriques coherents sur une variete projective et lisse. Mais l'emploi du langage des categories derivees ne permet pas seulement de demontrer avec plus de generalite des theoremes auxquels on pouvait ne s'interesser que dans des cas particuliers simples. On ne sait par exemple, a l'heure actuelle, demontrer le theoreme de dualite sous la forme traditionnelle (type dualite de Serre), pour les faisceaux algebriques coherents sur une variete propre et lisse non projective sur un corps algebriquement clos, que par l'intermediaire du theoreme de dualite general. Il en est de m^eme pour la dualite en cohomologie etale, pour les varietes projectives non singulieres.

8. Les theoremes de dualite dans les cas 1), 2) et 4) conduisent a des formules de points xes de Lefschetz, de type non classique, faisant intervenir des faisceaux pouvant presenter des singularites [10], [11], [12]. Soient X un espace topologique compact de dimension cohomologique nie, A un anneau ntherien, F un faisceau de A-modules sur X possedant les proprietes suivantes : a) En tout point de X , les bres du faisceau F sont des A-modules de type ni et de dimension projective nie. b) Une propriete de regularite au voisinage de tout point de X , analogue aux proprietes decrites par Wilder [9]. Soit  = (X ; F ) : (X; F ) ! (X; F ) un endomorphisme de l'espace topologique X muni du faisceau F . L'endomorphisme  induit un endomorphisme de complexe de A-modules : RH() : RH(X; F ) ! RH(X; F ) : Sous les hypotheses a) et b), le complexe RH(X; F ) est un complexe parfait de A-modules, i.e. il est isomorphe, dans la categorie derivee, a un complexe ni dont les composants sont des A-modules projectifs de type ni. On peut donc de nir le nombre de Lefschetz (RH()) comme etant la somme alternee des traces des composants de RH() , qui sont des endomorphismes de modules projectifs de type ni. Supposons maintenant, pour xer les idees, que les points xes de  soient isoles. On a alors l'egalite : (Lef) (RH()) = P () ;

X

P

xe

12

Categories Derivees

ou les P () sont des invariants locaux, que l'on peut determiner lorsqu'on conna^t le faisceau F et l'endomorphisme  au voisinage de P . Lorsque X est une variete topologique et lorsque le faisceau F est constant et libre de rang 1, on retrouve la formule de Lefschetz usuelle. Dans le cadre de la cohomologie des faisceaux coherents, on a une formule analogue. Il faut prendre, pour X , un schema de type ni et propre sur un corps k et pour F un faisceau coherent de tor-dimension nie, ou plus generalement un complexe parfait. L'etude des invariants locaux qui s'introduisent alors n'a ete faite que dans certains cas particuliers. Lorsque le corps k est algebriquement clos, le schema X lisse sur k, le faisceau F localement libre et le point xe P a croisement normal, on obtient : Tr(F;P ) P () = det(1 dX;P ) ;

ou F;P designe l'endomorphisme induit par  sur la bre reduite du faisceau

F en P (qui est un k-espace vectoriel de dimension nie) et ou dX;P designe la dierentielle du morphisme X en P . Lorsqu'on ne suppose plus que le point xe P est a croisement normal, i.e. lorsqu'on ne suppose plus que l'endomorphisme 1 dX;P est inversible,

les invariants locaux peuvent encore se determiner par un calcul de residus au sens de [4]. Le theoreme de Lefschetz dans le contexte de la Geometrie Algebrique peut d'ailleurs se generaliser aux situations relatives. On se donne un f Y -schema X ! Y propre et lisse sur un schema localement ntherien Y et un faisceau coherent F de tor-dimension nie sur X . Le complexe de faisceaux R f (F ) sur Y est alors un complexe parfait. Soit  : (X; F ) ! (X; F ) un Y -endomorphisme du schema X muni du faisceau F et supposons que le schema P des points xes de  soit ni sur Y . L'endomorphisme  induit un endomorphisme : R f () : R f (F ) ! R f (F ) ;

et comme le complexe R f (F ) est parfait, on peut de nir le nombre de Lefschetz (R f ()) qui est ici une section du faisceau structural de Y . Cela pose, on a l'egalite : (R f()) = P () ; ou P () est un invariant local, qui peut encore se determiner par un calcul de residus. 13

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Dans le cadre de la topologie etale, on a une formule de Lefschetz analogue [12]. Cette formule, appliquee a l'endomorphisme de Frobenius d'une courbe algebrique propre et lisse sur un corps ni, munie d'un faisceau constructible pour la topologie etale, a permis la demonstration de la rationalite des fonctions L generalisees [11]. Signalons que dans cette demonstration, on utilise une formule de Lefschetz ou le faisceau des coecients possede effectivement des singularites. 9. Dans le cas de la formule de Lefschetz topologique, on a vu que le complexe : RH(X; F ) est parfait, ce qui permet de de nir le nombre de Lefschetz de : RH() : RH(X; F ) ! RH(X; F ) : On voit la de facon particulierement frappante pourquoi on ne peut remplacer un complexe par la collection de ses objets de cohomologie. On ne peut en eet de nir la trace des endomorphismes : Hi () : Hi (X; F ) ! Hi (X; F ) que sous des conditions extr^emement restrictives. Lorsque, par exemple, la dimension cohomologique globale de l'anneau A est nie, i.e. lorsque A est regulier, on peut de nir la trace de Hi () en prenant des resolutions projectives nies. On a alors : (RH()) = ( 1)i Tr(Hi()) :

X i

Mais ainsi qu'on l'a vu, notamment en theorie des faisceaux pour la topologie etale, on a a travailler avec des anneaux du type Z=p` Z (`  2) qui ne sont pas reguliers. Cette notion de complexe parfait est egalement utile en geometrie algebrique : K-theorie et theoreme de Riemann-Roch [14]. 10. En conclusion, il semble qu'actuellement, le langage des categories derivees soit l'outil indispensable pour permettre de formuler et de demontrer les resultats essentiels des theories qu'on vient de mentionner. Nous nous sommes limites dans ce travail a l'algebre homologique additive : categories abeliennes et foncteurs additifs. Des qu'on aborde les theoremes de Riemann-Roch [14] ce cadre est insusant. Nous n'avons pas non plus aborde l'etude des dierents groupes de classes, ou groupes de Grothendieck, que l'on peut former avec les categories triangulees. En n, nous avons laisse de c^ote les questions d'homologie relative, qui peuvent aussi se tra^ter dans le cadre des categories triangulees [15]. 14

Remerciements Cette these a ete faite sous la direction de A. Grothendieck. Les idees fondamentales qu'elle contient lui sont dues. Sans son impulsion initiale, son aide constante, ses critiques fructueuses, je n'aurais pu la mener a son terme. Qu'il trouve ici l'expression de ma profonde gratitude. Je remercie C. Chevalley d'avoir bien voulu presider mon Jury de these et d'avoir eu la patience de lire ce texte. Je remercie R. Godement et N. Bourbaki de m'avoir initie aux mathematiques.

Chapitre I Les categories de complexes des categories additives. 1. Categories graduees.

1.1. Categories graduees de type G . 1.1.1. A tout groupe G on associe une categorie, que nous notons G , de nie

de la maniere suivante : { Ob(G ) est un ensemble reduit a un element choisi une fois pour toutes. { Fl(G ) est l'ensemble sous-jacent a G . (1.1.1.1) { Les applications source et but sont les uniques applications de Fl(G ) dans Ob(G ) . L'application identite envoie l'unique element de Ob(G ) sur l'element neutre de G . g h { Le compose de deux eches ! ! est la eche hg produit dans le groupe G des elements h et g . On appelle categorie graduee de type G une categorie bree sur G [18]. Une categorie (C ; G) graduee de type G est donc une categorie C munie d'un foncteur deg : C ! G faisant de C une categorie bree au-dessus de G . Le foncteur deg : C ! G est appele foncteur degre. L'image par deg d'un morphisme de C est appele le degre de ce morphisme. Soit e l'element neutre de G . On designe par Ce la categorie bre de (C ; G) . La categorie Ce est

J.-L. Verdier

donc la sous-categorie de C ayant m^eme ensemble d'objets que C et dont les morphismes sont les morphismes de C de degre e . Soient (C ; G) et (C 0 ; G) deux categories graduees de type G . On appelle foncteur gradue de (C ; G) dans (C 0 ; G) un foncteur cartesien F au-dessus de G . On designe par Fe : Ce ! Ce0 le foncteur obtenu par restriction aux categories bres. En n, un morphisme de foncteurs gradues m : F ! F 0 est dit compatible avec la graduation si c'est un G -morphisme de foncteurs. 1.1.2. Soient C une categorie graduee de type G et g un element de G . Pour g tout couple X , Y d'objets de C , on designe par Hom (X; Y ) l'ensemble des morphismes de X dans Y de degre g . On a alors : G (1:1:2:1) Hom(X; Y ) = Homg (X; Y ) : g 2G

L'ensemble Hom(X; Y ) est donc muni d'une structure d'ensemble gradue de type G . Le degre etant fonctoriel, on a pour tout morphisme m : X ! Y et tout morphisme n : Y ! Z : (1:1:2:2) deg(n) deg(m) = deg(nm) : Les formules precedentes ne font que traduire le fait que C est une categorie au-dessus de G . Exprimons maintenant que la categorie C est une categorie bree au-dessus de G . Il sut pour cela d'exprimer que tout objet de C est but d'un morphisme hypercartesien de degre donne [19]. Or on veri e immediatement que les morphismes hypercartesiens de C sont les isomorphismes de C , et par suite que la categorie C est bree si et seulement si elle possede la propriete suivante : (1.1.2.3) Pour tout element g de G et tout objet X de C , il existe un isomorphisme de but X et de degre g . Soient maintenant (C ; G) et (C 0 ; G) deux categories graduees de type G et F : C ! C 0 un foncteur gradue. Le foncteur F est d'abord un G -foncteur et, par suite, il conserve le degre des morphismes. Il transforme de plus les morphismes cartesiens de C en morphismes cartesiens de C 0 , ce qui est automatique car les morphismes cartesiens de C sont des isomorphismes. Les foncteurs gradues de C dans C 0 sont donc simplement les foncteurs de C dans C 0 qui conservent le degre. En n, un morphisme de foncteurs gradues m : F ! F 0 compatible avec la graduation est simplement un morphisme de foncteurs de degre e, i.e. la donnee pour tout objet X de C d'un morphisme : m(X ) : F (X ) ! F 0 (X ) 18

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de degre e veri ant les proprietes de compatibilite usuelles. De nition 1.1.3. Une categorie graduee de type G est dite additive si la categorie bre Ce est additive [20]. Un foncteur gradue entre categories graduees additives est dit additif si le foncteur restreint aux bres est additif. Soit C une categorie graduee de type G additive. La categorie C depouillee de sa structure bree n'est pas additive lorsque G 6= feg . On peut toutefois associer a C une categorie additive en procedant comme suit : pour tout couple X , Y d'objets de C et tout element g de G , on veri e que l'ensemble Homg (X; Y ) est muni naturellement d'une structure de groupe commutatif. De nissons alors une nouvelle categorie Cadd en prenant comme ensemble d'objets l'ensemble des objets de C , et comme ensemble de morphismes entre deux objets X et Y : (1:1:3:1)

HomCadd (X; Y ) =

L

g2G

HomgC (X; Y ) :

La composition des morphismes dans Cadd se de nit de la maniere evidente et on veri e que Cadd est une categorie additive. E tant donne de m^eme un foncteur cartesien additif F : C ! C 0 entre deux categories graduees additives, 0 . on construit par la m^eme methode un foncteur additif Fadd : Cadd ! Cadd Nous n'utiliserons jamais cette construction. Remarquons que la de nition des categories graduees adoptee ici est plus restrictive que celle qui s'impose naturellement a l'esprit. En plus des structures evidentes (1.1.2.1) et (1.1.2.2), nous imposons la propriete (1.1.2.3).

1.2. Operation a isomorphisme pres d'un groupe sur une categorie. 1.2.1. Soit C une categorie graduee de type G . Choisissons un clivage nordeg malise de la categorie bree C ! G [18], i.e. pour tout g 2 G choisissons un foncteur changement de base : 8 < T (g ) :

(1:2:1:1)

Ce ! Ce ;

T (e) = identite de Ce : Pour tout couple (g; h) d'elements de G , on a [18] un isomorphisme de foncteurs :

(1:2:1:2)

:

8 < c(h; g ) : T (hg ) :

! T (g)T (h) ;

c(g; e) = c(e; g ) = identite de T (g ) 19

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et pour tout triplet (g; h; k) d'elements de G , on a la relation : (1:2:1:3)

(T (g ) ? c(k; h))c(kh; g ) = (c(h; g ) ? T (k))c(k; hg ) :

De nition 1.2.2. Soit G un groupe. On appelle G-categorie (G groupe oppose a G) une categorie Ce munie d'une famille de foncteurs T (g ) (g 2 G) et d'isomorphismes de foncteurs c(h; g ) (g ; h 2 G) veri ant les proprietes (1.2.1.1), (1.2.1.2) et (1.2.1.3). Une G -categorie est donc une categorie Ce munie d'une operation a isomorphisme pres d'un groupe G . On utilise la notation (Ce ; G; T; c) pour designer la G-categorie ; les isomorphismes c(h; g ) sont appeles les isomorphismes de transition. Lorsque les isomorphismes de transition sont des isomorphismes identiques, ce qui implique en particulier qu'on a pour tout couple g ; h 2 G l'egalite T (hg ) = T (g )T (h) , on dit que la G-categorie est stricte. Un tel objet est donc de ni par une representation de G dans le groupe des automorphismes de la categorie Ce . 1.2.3. Soient maintenant C et C 0 deux categories graduees de type G et F : C ! C 0 un foncteur gradue. Choisissons sur C et C 0 des clivages normalises. Le choix de ces clivages de nit des isomorphismes de foncteurs : (1:2:3:1) m(g ) : Fe T (g ) ! T 0 (g )Fe ; g 2 G ; m(e) = identite de Fe tels que pour tout couple g ; h 2 G , le diagramme ci-apres soit commutatif :

m(hg )

Fe T (hg ) Fe ? c(h; g ) (1:2:3:2)

u

Fe T (g )T (h) m(g ) ? T (h)

u

T 0 (g )FeT (h)

w T 0 (hg)Fe c0 (h; g ) ? Fe

T 0 (g ) ? m(h) w T 0(g )Tu 0(h)F e

:

De nition 1.2.4. Soient (Ce; G; T; c) et (Ce0 ; G; T 0; c0) deux G-categories. On appelle G-foncteur la donnee d'un foncteur :

Fe : Ce ! Ce0 20

Categories Derivees

et d'isomorphismes : m(g ) : FeT (g ) ! T 0 (g )Fe ; g 2 G ; tels que les diagrammes (1.2.3.2) soient commutatifs. Un G-foncteur est donc un foncteur \commutant a isomorphisme pres aux operations de G ". On utilisera pour le designer la notation (Fe ; m) . Lorsque pour tout g 2 G les isomorphismes m(g ) sont des isomorphismes identiques, ce qui implique en particulier que pour tout g 2 G on a les egalites Fe T (g ) = T 0 (g )Fe , on dit que le G -foncteur est strict. 0

F 0 F 1.2.5. Soient C , C 0 et C 00 trois categories graduees et C ! C ! C 00 , F 00 = F 0 F trois foncteurs gradues. Choisissons sur C , C 0 et C 00 des clivages normalises. On en deduit, d'apres ce qui precede, trois G-categories (Ce ; G; T; c) , (Ce0 ; G; T 0; c0 ) et (Ce00 ; G; T 00 ; c00 ) et trois G -foncteurs (Fe ; m),

(Fe0 ; m0 ) et (Fe00 ; m00 ). On veri e immediatement qu'on a les relations : 8 < Fe00 = Fe0 Fe ; (1:2:5:1) : 00 m (g ) = (m0 (g ) ? Fe)(Fe0 ? m(g )) ; g 2 G :

De nition 1.2.6. Soient (Ce; G; T; c) , (Ce0 ; G; T 0; c0) et (Ce00 ; G; T 00 ; c00 ) trois G-categories et :

Fe ;m)

Fe0 ;m0 )

(Ce ; G; T; c) ! (Ce0 ; G; T 0; c0) ! (Ce00 ; G; T 00 ; c00 ) deux G-foncteurs. Les egalites (1.2.5.1) de nissent un G -foncteur qui est appele le foncteur compose des G -foncteurs (Fe ; m) et (Fe0 ; m0 ) . 1.2.7. Soient F et F 0 deux foncteurs gradues entre deux categories C et C 0 graduees de type G et soit u : F ! F 0 un morphisme de foncteurs de degre e . Choisissons sur C et C 0 des clivages normalises. On en deduit deux G-categories (Ce; G; T; c) et (Ce0 ; G; T 0 ; c0 ) et deux G-foncteurs (Fe ; m), (Fe0 ; m0 ). Le morphisme u determine alors un morphisme de foncteurs : (1:2:7:1) ue : Fe ! Fe0 tel que le diagramme ci-apres soit commutatif : (

(1:2:7:2)

Fe T (g ) m(g )

u

T 0 (g )Fe

(

ue ? T (g )

w Fe0 T (g)

m0 (g )

T 0 (g ) ? ue 21

u w T 0 (g)Fe0

:

J.-L. Verdier

De nition 1.2.8. Soient (Ce; G; T; c) et (Ce0 ; G; T 0; c0) deux G-categories et (Fe ; m) et (Fe0 ; m0 ) : Ce ! Ce0 deux G-foncteurs. On dit qu'un morphisme de foncteurs ue : Fe ! Fe0 est compatible avec les operations de G si pour tout g 2 G le diagramme (1.2.7.2) est commutatif.

En n, nous dirons qu'une G -categorie est additive si la categorie sousjacente est additive. D'apres (1.1.3), la G-categorie associee a une categorie graduee additive est une G -categorie additive.

1.3. E quivalence de deux langages. 1.3.1. On se xe un univers U. Designons par Grad(G) la U-categorie dont les objets sont les categories graduees de type G, appartenant a U, et dont les morphismes sont les foncteurs gradues. Designons de m^eme par G-Cat la U-categorie dont les objets sont les G-categories, appartenant a U, et dont

les morphismes sont les G -foncteurs. On deduit immediatement de (1.2.1), (1.2.3) et (1.2.5) que le choix, pour toute categorie graduee de type G d'un clivage normalise, de nit un foncteur : (1:3:1:1)

: Grad(G) ! G-Cat :

Le resultat de [18] s'interprete comme suit : Proposition 1.3.2. Le foncteur est une equivalence de categories. On trouvera dans [18] la description d'un foncteur quasi-inverse de . Nous nous bornerons ici a decrire rapidement la categorie graduee C [G] associee a une G-categorie (C ; G; T; c) . Tout d'abord, l'ensemble des objets de C [G] est l'ensemble des objets de C . Soient X et Y deux objets de C . Posons alors : (1:3:2:1)

Homg (X; Y ) = HomC (X; T (g )Y ) ;

(1:3:2:2)

HomC [G] (X; Y ) =

G

g2G

g2G;

Homg (X; Y ) :

Decrivons alors la composition des morphismes de 0C [G] . Soient X , Y et Z trois objets de C et u 2 Homg (X; Y ) , v 2 Homg (Y; Z ) , g ; g 0 2 G . Le foncteur T (g ) de nit une application : (1:3:2:3)

0

Homg (Y; Z ) ! HomC (T (g )Y; T (g)T (g 0)Z )

22

Categories Derivees

et l'isomorphisme c(g 0; g ) 1 de nit une application : (1:3:2:4)

HomC (T (g )Y; T (g)T (g0)Z ) ! HomC (T (g )Y; T (g0g )Z ) :

D'ou en prenant l'image de v , un element v 0 2 HomC (T (g )Y; T (g0g )Z ) . Le compose dans C de u et de v 0 est un element : (1:3:2:5)

0

w = v 0 C u ; w 2 Homg g (X; Z )

qui est, par de nition, le compose de u et de v dans C [G] . Le foncteur brant C [G] ! G est alors le foncteur evident. La categorie bree C [G] ! G est munie d'un clivage normalise canonique. 1.3.3. On a en fait un resultat plus precis. Soient C et C 0 deux categories graduees de type G munies de clivages normalises. Le foncteur de nit une bijection : (1:3:3:1)

(C ; C 0) : HomGrad(G) (C ; C 0) ! HomG -Cat ( (C ); (C 0)) :

Or ces ensembles sont les ensembles d'objets des categories : (1:3:3:2)

HomGrad G (C ; C 0) ; (

HomG-Cat( (C ); (C 0))

)

dont les morphismes sont respectivement les morphismes de foncteurs de degre e et les morphismes de foncteurs compatibles avec les operations de G . De plus, il resulte immediatement de (1:2:7) que l'application (C ; C 0) s'etend en un foncteur : (1:3:3:3)

(C ; C 0) : HomGrad(G) (C ; C 0) ! HomG -Cat( (C ); (C 0))

et on veri e aisement : Proposition 1.3.4. Le foncteur (C ; C 0) est un isomorphisme de categories. 1.3.5. En n, pour ^etre complet, il conviendrait de noter que le foncteur (etendu aux morphismes de foncteurs) respecte les convolutions des foncteurs par les morphismes de foncteurs. La veri cation en est laissee au lecteur. 1.3.6. Le plus souvent, nous utiliserons des G-categories strictes (1.2.2). Soient (C ; G; T ) et (C 0 ; G; T 0 ) deux G -categories strictes. Un G-foncteur (F; m) est alors un foncteur F : C ! C 0 muni d'isomorphismes : (1:3:6:1)

m(g ) : FT (g ) ! T 0 (g )F ; g 2 G ; m(e) = identite 23

J.-L. Verdier

tels que les diagrammes ci-apres soient commutatifs :

m(hg )

FT (hg) (1:3:6:2)

FT (g )T (h) m(g ) ? T (h)

u

T 0 (g )FT (h)

w T 0(hg)F T 0 (g )T 0(h)F

) ''' ' ' ' ''' T 0 (g) ? m(h)

g; h 2 G

:

Il convient de remarquer que, m^eme dans le cas d'operation stricte de G sur les categories, les foncteurs ne commutent pas necessairement strictement aux operations de G . Ainsi, lorsque G opere trivialement sur les categories C et C 0 (i.e. T (g ) = T 0 (g ) = identite), un G -foncteur n'est alors autre qu'un foncteur muni d'une representation de G dans son groupe des automorphismes. De plus, il est facile de voir qu'un G-foncteur n'est pas necessairement isomorphe a un G -foncteur strict. On construit facilement un contre-exemple en s'inspirant de [19]. En utilisant les resultats de [loc. cit.], on peut d'ailleurs montrer que toute G-categorie est G-equivalente a une G-categorie stricte. On peut aussi par les m^emes methodes preciser ce resultat de la facon suivante. E tant donnees deux G-categories (C ; G; T; c) et (C 0 ; G; T 0 ; c0 ) , il existe deux G-categories strictes : (Ce; G; Te) et (Ce0 ; G; Te0 ) et des G -equivalences : (u; ) : (Ce; G; Te) ! (C ; G; T; c) ; (v;  ) : (C 0 ; G; T 0 ; c0) ! (Ce0 ; G; Te 0) telles que pour tout foncteur : (F; m) : (C ; G; T; c) ! (C 0 ; G; T 0 ; c0 ) ; le foncteur compose : (v;  )(F; m)(u; ) : (Ce; G; Te) ! (Ce0 ; G; Te0 ) soit isomorphe a un foncteur commutant strictement aux operations de G . Nous n'utiliserons pas ce resultat. 1.3.7. Nous avons rappele dans ce numero l'equivalence de deux langages : le langage des categories graduees et celui des G -categories. Nous emploierons 24

Categories Derivees

exclusivement dans ce travail le langage des G-categories. Cependant, nous n'oublierons pas totalement le point de vue \categories graduees" en utilisant la terminologie suivante : De nition 1.3.8. Soient G un groupe et (C ; G; T; c) une G-categorie. Soient g et h deux elements de G et X et Y deux objets de C . Un morphisme de C : u : T (h)X ! T (gh)Y sera appele un morphisme de degre g de X dans Y . Montrons que cette terminologie n'apporte pas de confusion. En eet, pour tout couple h ; h0 d'elements de G , le foncteur T (h 1 h0 ) et les isomorphismes c(h; h 1 h0 ) et c(gh; h 1h0 ) de nissent un isomorphisme bifonctoriel : 

(1:3:8:1) ig (h; h0 ) : HomC (T (h)X; T (gh)Y ) ! HomC (T (h0 )X; T (gh0)Y ) et les identites de cocycle (1.2.1.3) montrent qu'on a la relation : (1:3:8:2)

ig (h; h00) = ig (h0 ; h00 )ig (h; h0 ) ;

pour tout triplet h ; h0 ; h00 2 G . Si donc, on identi e les dierents ensembles : HomC (T (h)X; T (gh)Y )

a l'aide des isomorphismes ig (h; h0 ) , la formule (1.3.8.2) montre que ces dierentes identi cations sont compatibles. De plus, pour tout quadruplet g ; g 0 ; h ; h0 2 G et tout triplet X ; Y ; Z d'objets de C , le diagramme ciapres (1.3.8.3) est commutatif : HomC (T (h)X; T (gh)Y )  HomC (T (gh)Y; T (g0gh)Z )

w HomC (T (h)X; T (g0gh)Z )

u

u

ig (h; h0 )  ig0 (gh; gh0) '

ig0g (h; h0 ) '

HomC (T (h0 )X; T (gh0)Y )  HomC (T (gh0)Y; T (g 0gh0 )Z ) w HomC (T (h0 )X; T (g 0gh0 )Z )

(les eches horizontales sont de nies par la composition dans C ). Le diagramme (1.3.8.3) nous permet donc de de nir sans ambigute, ou plus precisement aux identi cations de nies par les isomorphismes ig (h; h0 ) pres, le compose de deux morphismes de degre respectif g et g 0 et on veri e immediatement que cette de nition de la composition est compatible avec la de nition 25

J.-L. Verdier

de la composition dans la categorie graduee C [G] associee a la G-categorie (C ; G; T; c) (1.3.2.5). 1.3.9. Soit (C ; G; T; c) une G-categorie. La categorie opposee a (C ; G; T; c) est une G-categorie (G groupe oppose a G) (C ; G; T ; c) de nie de la maniere suivante. La categorie C  est la categorie opposee a C . Les foncteurs T (g ) , g 2 G , sont de nis par : T (g )X = T (g 1)X ; X 2 Ob(C ) = Ob(C ) ; (1:3:9:1) T (g )u = T (g 1 )u ; u 2 Fl(C ) = Fl(C ) ; et les isomorphismes c (g; h) de C  sont de nis par : c(g; h) : T (h ? g ) ! T (h)T (g ) ; (1:3:9:2) c(g; h) = c 1 (g 1; h 1 ) : (on designe par ? la composition dans G ). Remarque 1.3.10. Soit C [G] ! G  la categorie graduee de type G associee a la categorie (C ; G; T; c) . Cette categorie est munie d'un clivage canonique. Soit alors C [G] ! G la categorie co bree obtenue en passant aux categories opposees. Cette categorie est munie d'un coclivage canonique et, comme G est un groupe, cette categorie est aussi bree sur G . On en deduit un clivage canonique sur C [G] ! G et par suite une G -categorie qui est canoniquement isomorphe a la categorie opposee a la categorie (C ; G; T; c) , ainsi qu'on le veri e immediatement. 1.3.11. Soient (C ; G; T; c) une G-categorie et (C 0; G0; T 0; c0) une G0 -categorie. La categorie C  C 0 est munie canoniquement d'une structure de G  G0 categorie de la maniere evidente. La G  G0 -categorie obtenue sera appelee le produit de la G-categorie (C ; G; T; c) par la G0 -categorie (C 0 ; G0 ; T 0 ; c0) . 1.3.12. Soit (C ; G; T; c) une G-categorie. On utilisera le plus souvent dans la pratique une notation a droite pour designer les operations de G sur C . On posera pour tout objet X de C : (1:3:12:1) T (g )X = X [g ] et de m^eme pour tout morphisme u de C : (1:3:12:2) T (g )u = u[g ] : Les isomorphismes c(g; h) de nissent donc, pour tout objet X , des isomorphismes : (1:3:12:3) c(g; h)(X ) : X [gh] ! X [g ][h] : Cette notation a en particulier l'avantage de transformer les operations de G sur C en des operations a droite de G sur C . 26

Categories Derivees

1.4. Changement de groupes. 1.4.1. Soit f : H ! G un homomorphisme de groupes. On associe a toute G-categorie (C ; G; T; c) une H -categorie (C ; H; Tf ; cf ) en faisant operer H sur C par l'intermediaire de f , i.e. en posant : (1:4:1:1)




Tf (h) = T f (h) ;
cf (h; h0 ) = c f (h); f (h0 ) ;

h2H ; h; h0 2 H :

E tant donne de m^eme un G-foncteur : (F; m) : (C ; G; T; c) ! (C 0 ; G; T 0; c0 ) ; on lui associe un H -foncteur (F; mf ) entre les H -categories correspondantes en posant :


(1:4:1:2)

mf (h) = m f (h) :

En n, un morphisme de G-foncteurs compatible avec les operations de G est compatible avec les operateurs de H . Ce qui precede de nit visiblement un foncteur, qu'on appelle le foncteur de changement de groupes :

f  : G-Cat ! H -Cat :

(1:4:1:3)

Plus precisement, soient C et C 0 deux G-categories ; le foncteur f  de nit une application : (1:4:1:4)


f (C ; C 0) : HomG-Cat(C ; C 0) ! HomH -Cat f  (C ); f (C 0 ) :

Mais les ensembles HomG-Cat (C ; C 0) et HomH -Cat (f (C ); f (C 0 )) sont des ensembles d'objets de categories HomG-Cat (C ; C 0) et HomH -Cat (f  (C ); f (C 0 )) dont les morphismes sont les morphismes de foncteurs, compatibles avec les operations des groupes, et l'application f  (C ; C 0) s'etend naturellement en un foncteur : (1:4:1:5)


f  (C ; C 0) : HomG-Cat (C ; C 0) ! HomH -Cat f (C ); f (C 0 ) :

Ce foncteur est dele. 27

J.-L. Verdier

1.4.2. Soient e ! K !n H !f G ! e une suite exacte de groupes, le groupe K etant identi e par n a un sous-groupe distingue de H , et (C ; G; T; c), (C 0 ; G; T 0; c0 ) deux G-categories. Soient (C ; H; Tf ; cf ), (C 0 ; H; Tf0 ; c0f ) les H -categories obtenues par le changement de groupes H !f G . Soit en n : (1:4:2:1) (F; m) : (C ; H; Tf ; cf ) ! (C 0 ; H; Tf0 ; c0f ) un H -foncteur. Les diagrammes (1.2.3.2) fournissent alors pour tout couple d'elements k; k0 2 K , un diagramme commutatif : (1:4:2:2)

m(kk0 )

wF 44 j h 6 hhhm(k0) m(k) 4

F4

F

;

d'ou une representation de K  dans le groupe des automorphismes de F . Lorsque le foncteur (F; m) provient d'un G-foncteur, cette representation est triviale. Reciproquement, lorsque cette representation est triviale, on deduit immediatement des diagrammes (1.2.3.2) que, pour tout h 2 H et pour tout k 2 K , on a : (1:4:2:3)

m(hk) = m(kh) = m(h)

et, par suite, le H -foncteur (F; m) provient d'un G-foncteur par le changement de groupe f  . On se propose dans la suite de ce numero d'etudier, dans un cas tres particulier, les H -foncteurs (F; m) qui induisent une representation donnee a l'avance de K  dans le groupe des automorphismes de F . 1.4.3. On utilise les notations de (1.4.2). On suppose que la categorie C 0 est additive et que K = Z=2Z. Le groupe des signes f 1; +1g ' Z=2Z opere alors sur le foncteur identique de la categorie C 0 en associant a tout objet X de C 0 le morphisme : (1:4:3:1)

"(X ) : X

"
idX

!X ;

" 2 f 1; +1g :

Par suite, le groupe des signes opere sur tout foncteur F : C ! C 0 en associant a tout objet Y de C le morphisme : (1:4:3:2)

"(Y ) : F (Y )

"
idF (Y )

! F (Y ) ; 28

" 2 f 1; +1g :

Categories Derivees

Cette operation est appelee l'operation canonique. On se propose d'etudier les H -foncteurs : (1:4:3:3)

(F; m) : (C ; H; Tf ; cf ) ! (C 0 ; H; Tf0 ; c0f )

qui induisent l'operation canonique du groupe Z=2Z sur le foncteur F . Soit _ 2 H2 (G; Z=2Z) l'element decrivant l'extension : (1:4:3:4)

f n H! 1 ! Z=2Z ! G!e :

Soit s 2 Z2 (G; Z=2Z) un cocycle normalise non homogene dans la classe _ de ni par une section normalisee s de f . On a :

s(1; 2 ) = s(2 )s(1 2 ) 1s(1 ) ; 1 ; 2 2 G ; s(e) = unite de H ; (1.4.3.5) s (1 ; e) = s (e; 1 ) = 1 ; s (1; 2 ; 3) = s (2 ; 3 )s(12 ; 3 ) 1 s (1 ; 2 3 )s(1 ; 2 ) =1 ; 1 ; 2 ; 3 2 G : La section s : G ! H de nit un isomorphisme d'ensembles :  Z=2Z  G ; H!

et en transportant la loi de groupe de H sur Z=2Z  G par cet isomorphisme, on obtient la loi de groupe : (1:4:3:6)

("1 ; 1)("2 ; 2 ) = "1 "2 s (1 ; 2); 12




:

Identi ons alors le groupe H et le groupe decrit par (1.4.3.6). On a, pour tout ("1 ; 1 ); ("2; 2 ) 2 H :

(1:4:3:7)

Tf ("1 ; 1) = T (1 ) ; Tf0 ("1 ; 1) = T 0 (1 ) ;
cf ("1 ; 1 ); ("2; 2) = c(1; 2) ;
c0f ("1 ; 1 ); ("2; 2 ) = c0 (1; 2) 29

1

J.-L. Verdier

et, par suite, d'apres (1.2.3.2), pour tout couple (";  ) , le diagramme ci-apres est commutatif : m(("; )) w T 0 ()F FT () A (1:4:3:8)

A

C m((1; )) AA

T 0 ()F

P NN N NN T 0 ()  m(")

;

i.e.

(1:4:3:9) m ("; ) = " m (1; ) : Posons alors :
(1:4:3:10) m (1; ) = p() : FT () ! T 0 ()F : La famille des isomorphismes p( ) ,  2 G, possede alors la propriete suivante : pour tout couple 1 ; 2 2 G , le diagramme ci-apres est s(1 ; 2 )-commutatif (i.e. commutatif si s(1; 2 ) = +1 et anti-commutatif si s (1 ; 2) = 1 ) :

FT (1 2) F  c(2 ; 1 ) (1:4:3:11)

p(12 )

u

w T 0 (  )F 1 2

c0 (2 ; 1)  F

FT (1 )T (2) p(1 )  T (2)

u

u

0 T 0 (1)FT (2) T (1 )  p(2 ) T 0 (1 )T 0 (2 )F

w

:

Reciproquement, lorsqu'on se donne un foncteur F : C ! C 0 et une famille d'isomorphismes p( ) : FT ( ) ! T 0 ( )F ,  2 G , telle que pour tout couple (1 ; 2) 2 G  G le diagramme (1.4.3.11) soit s (1 ; 2)-commutatif, on peut reconstruire d'une maniere unique un H -foncteur : (F; m) : (C ; H; Tf ; cf ) ! (C 0 ; H; Tf0 ; c0f ) induisant l'operation canonique du groupe des signes sur F , en posant (via l'identi cation du groupe H avec le groupe decrit par (1.4.3.6)) :
(1:4:3:12) m ("; ) = " p() : La veri cation immediate est laissee au lecteur. 30

Categories Derivees

De nition 1.4.4. Soient (C ; G; T; c) et (C 0; G; T 0; c0) deux G-categories, C 0 etant une categorie additive. Soit  2 Z (G; Z=2Z) un cocycle normalise 2

non homogene. On appelle G-foncteur tordu par le cocycle  l'objet (F; p) constitue par un foncteur : F : C ! C0 et des isomorphismes de foncteurs :

p() : FT () ! T 0 ()F ;

2G ;

tels que, pour tout couple 1 ; 2 2 G , le diagramme (1.4.3.11) soit (1 ; 2 )commutatif. Le choix d'une section normalisee s de l'extension (1.4.3.4) permet donc d'etablir une correspondance biunivoque entre les H -foncteurs : (F; m) : (C ; H; Tf ; cf ) ! (C 0 ; H; Tf0 ; c0f ) qui induisent l'operation canonique du groupe des signes sur F , et les G-foncteurs tordus par le cocycle s de ni par la section s. 1.4.5. On utilise les notations de (1.4.3). Soient : (1:4:5:1)

(F1 ; m1); (F2; m2 ) : (C ; H; Tf ; cf ) ! (C 0 ; H; Tf0 ; c0f )

deux H -foncteurs induisant l'operation canonique du groupe des signes et : (1:4:5:2)

u : (F1 ; m1 ) ! (F2 ; m2 )

un morphisme de foncteurs compatible avec les operations de H . Soient s1 et s2 deux sections
normalisees de l'application f de la suite exacte (1.4.3.4) s1 (e) = s2 (e) = e . Soient s ; s 2 Z2 (G; Z=2Z) les cocycles normalises correspondants. Soit : G ! Z=2Z, l'application : 1

(1:4:5:3)

2

() = s2()s1 ()

1

;

2G :

Les foncteurs (F1 ; m1 ) et (F2 ; m2 ) de nissent, d'apres (1.4.3), des G-foncteurs (F1 ; p1) , (F2 ; p2) tordus respectivement par les cocycles s , s . On veri e immediatement que le morphisme u : F1 ! F2 entre les foncteurs sous-jacents possede la propriete suivante : 1

31

2

J.-L. Verdier

Pour tout element  2 G, le diagramme :

(1:4:5:4)

F1 T () u  T ()

u

F2 T ()

p1 () p2 ()

w

w T 0 ()F u

1

T 0 ()  u

T 0 ()F2

est ( )-commutatif. De nition 1.4.6. Soient (C ; G; T; c)2 une G-categorie, (C 0; G; T 0; c0) une G-categorie additive, 1 et 2 dans Z (G; Z=2Z) deux cocycles non homogenes normalises, : G ! Z=2Z une application telle que : (1:4:6:1)

2(1 ; 2)1 1 (1 ; 2) = (2 ) (1 2) 1 (1 ) :

Soient en n (F1 ; p1); (F2 ; p2) : (C ; G; T; c) ! (C 0 ; G; T 0; c0 ) deux G-foncteurs tordus respectivement par les cocycles 1 et 2 . On appelle -morphisme du foncteur (F1 ; p1) dans le foncteur (F2 ; p2 ) un morphisme u : F1 ! F2 de foncteurs tel que, pour tout  2 G, le diagramme (1.4.5.4) soit ( )-commutatif. 1.4.7. On a montre (1.4.5) que le choix de deux sections normalisees permet d'associer a un morphisme de H -foncteurs induisant l'operation canonique du groupe des signes un -morphisme entre les G-foncteurs tordus correspondants. On veri e immediatement que cette correspondance est biunivoque. De plus, lorsqu'on a trois H -foncteurs (F1 ; m1) , (F2 ; m2 ) , (F3 ; m3 ) induisant l'operation canonique du groupe des signes, trois sections normalisees s1 , s2 , s3 et deux morphismes de H -foncteurs u , v et leur compose vu : (1:4:7:1)

u : (F1; m1) !(F2 ; m2) ; v : (F2; m2 ) !(F3 ; m3) ; vu : (F1 ; m1 ) !(F3 ; m3) ;

les morphismes : (1:4:7:2)

u : (F1 ; p1) !(F2 ; p2) ; v : (F2; p2 ) !(F3 ; p3) ; vu : (F1 ; p1 ) !(F3 ; p3) ; 32

Categories Derivees

ou les (Fi ; pi) sont les G-foncteurs tordus determines respectivement par les foncteurs (Fi ; mi) et les sections si , sont des j;i-morphismes, ou : (1:4:7:3)

j;i() = sj ()si() 1 ; i; j 2 f1; 2; 3g ; i < j :

On a donc la relation : (1:4:7:4)

3;1 = 3;2 2;1 :

Les relations (1.4.7.2) et (1.4.7.4) permettent alors de de nir le compose du

3;2-morphisme v avec le 2;1 -morphisme u et cette composition ainsi de nie est compatible avec la composition des morphismes de H -foncteurs. 1.4.8. Soient C 0 une categorie additive et : (F; p) : (C ; G; T; c) ! (C 0 ; G; T 0; c0 ) un G-foncteur tordu par un cocycle normalise  2 Z2 (G; Z=2Z). On designe par : (1:4:8:1)

(F  ; p) : (C  ; G; T ; c) ! (C 0 ; G; T 0 ; c0 )

le foncteur gradue tordu oppose au foncteur (F; p). (On utilise les notations de (1.3.9)). Il est de ni de la maniere suivante : Le foncteur sous-jacent est F  , le foncteur oppose au foncteur F . Pour tout g 2 G (groupe oppose a G), l'isomorphisme de C  :  T 0 (g )F  = T 0 (g 1 )F p(g ) : F  T (g ) = FT (g 1) !

est egal a p 1 (g 1) . Le foncteur (F  ; p) est un G -foncteur tordu par le cocycle  dans
2   0 1 1 0 1 Z (G ; Z=2Z) oppose au cocycle   (g; g ) =  (g ; g ) . 1.4.9. La seule vertu du groupe Z=2Z qu'on utilise dans ce numero est qu'il opere canoniquement sur le foncteur identique des categories additives. On peut donc developper des considerations analogues en remplacant le groupe Z=2Z par un groupe commutatif K operant sur les foncteurs identiques des categories considerees, de facon compatible avec les operations de G. 33

J.-L. Verdier

1.5. Zn-categories. 1.5.1. Soient (C ; Zn; T; c) une Zn -categorie, (C 0; Zn; T 0; c0) une Zn-categorie additive, (F; p) : (C ; Zn; T; c) ! (C 0 ; Zn ; T 0 ; c0) un Zn -foncteur tordu par un cocycle normalise  2 Z (Zn ; Z=2Z). Designons par e ; . . . ; en la base canonique de Zn . On a donc pour tout i 2 [1; n] un isomorphisme de foncteurs : (1:5:1:1) p(ei) : FT (ei) ! T 0 (ei )F et pour tout couple (i; j ); i = 6 j , un diagramme (ei; ej ) (ej ; ei)-commu2

1

1

tatif :

(1:5:1:2) FT (ei + ej ) F  c(ei; ej ) w FT (ej )T (ei ) p(ej )  T (ei ) w T 0 (ej )FT (ei )

T 0 (ej )  p(ei)

u

F  c(ej ; ei )

u

T 0 (ej )T 0 (ei )F c0 (ei ; ej ) 1  F

FT (ei )T (ej ) p(ei)  T (ej )

u

u

T 0 (ei )FT (ej ) T 0 (e )  p(e ) w T 0 (ei )T 0(ej )F 0 w T 0 (ei + ej )F 1 c ( e ; e )  F i j j i

:

Proposition 1.5.2. Soient F : C ! C 0 un foncteur et pour tout i 2 [1; n] un

isomorphisme de foncteurs :

pi : FT (ei) ! T 0 (ei )F tel que pour tout couple i , j , i 6= j , le diagramme analogue au diagramme (1.5.1.2), ou l'on remplace les p(ei ) par les pi , soit (ei ; ej ) 1 (ej ; ei)-commutatif. Il existe un et un seul Zn -foncteur tordu par le cocycle  :

(F; p) : (C ; Zn; T; c) ! (C 0 ; Zn ; T 0; c0 ) tel que :

i 2 [1; n] :

p(ei) = pi ;

La demonstration de l'unicite se fait en examinant les diagrammes (1.4.3.11). Nous laissons au lecteur le soin de veri er ce point. Nous nous bornerons a donner quelques indications sur la demonstration de l'existence. Celle-ci se fait par recurrence sur l'entier n. 34

Categories Derivees

1.5.3. Existence dans le cas n = 1 . Posons : p(0) = identite , p(e1) = p1 :

(1:5:3:1)

Puis : (1:5:3:2)
p( e1 ) = (e1 ; e1) T 0 ( e1 )F  c 1 ( e1 ; e1 )

T 0 ( e1 )  p 1 (e1 )  T ( e1 ) c0(e1 ; e1 )  FT ( e1 ) ; i.e. p( e1 ) est, au signe pres (ce signe etant (e1 ; e1 ) ), le morphisme compose :

FT ( e1 )

c0 (e1 ; e1 )FT ( e1 )

! T 0( e )T 0(e )FT ( e ) 1

! T 0 ( e )FT (e )T ( e )

1

1

T 0 ( e1 )F c

1

T 0 ( e1 )  p

1

e T ( e1 )

( 1)

!

e1 ;e1 )

! T 0 ( e )F : Nous allons de nir les isomorphismes p(qe ) par recurrence sur jq j. Pour cela, considerons les diagrammes D(q; q 0) du type (1.4.3.11), ou les isomorphismes p(re ) a de nir doivent intervenir : 1

1

(

1

1

1

1

FT ((q + q 0 )e1 ) F  c(q 0 e1 ; qe1)

p((q + q 0 )e1 )

u

FT (qe1 )T (q 0 e1 ) p(qe1 )  T (q 0 e1)

(1:5:3:3)

u

T 0 (qe1 )FT (q 0 e1 )

w T 0((q + q0 )e )F 1

c0 (q 0 e1 ; qe1)  F T 0 (qe1 )  p(q 0e1 ) w

u

T 0 (qe1 )T 0(q 0 e1 )F

et supposons que les isomorphismes p(qe1 ) soient de nis pour les entiers q tels que jq j < r. On de nit alors p(re1 ) comme etant l'unique isomorphisme rendant le diagramme D(r 1; 1) (r 1; 1)-commutatif et p( re1 ) comme etant l'unique isomorphisme rendant le diagramme D( r + 1; 1) ( r + 1; 1)-commutatif. Les isomorphismes p(qe1) etant maintenant de nis, nous pouvons considerer la propriete :


P (q; q 0 )

Le diagramme D(q; q 0)est (q; q 0 )-commutatif .

35

J.-L. Verdier

Soit par de nition, soit par veri cation immediate, la propriete P (q; q 0 ) est vraie dans les cas suivants :

q=0 ; q0 = 0 ; q  0 et q 0 = 1 ; q  0 et q 0 = 1 ; q = 1 et q 0 = 1 ; q = 1 et q 0 = 1 :

(1:5:3:4)

De plus, l'examen des dierents diagrammes D(q; q 0 ) qu'on peut former avec trois entiers q , q 0 , q 00 montre immediatement (1.5.5) : (1.5.3.5) Si trois des quatre proprietes P (q 0 ; q 00 ) , P (q + q 0 ; q 00 ) , P (q; q 0 + q 00 ) , P (q; q 0 ) sont vraies, la quatrieme l'est aussi. On deduit alors de (1.5.3.4) que la propriete P (q; q 0 ) est vraie pour tout couple d'entiers q; q 0 , ce qui acheve la demonstration dans le cas n = 1. 1.5.4. Existence dans le cas general. Designons par Zn 1 ,! Zn le sous-groupe engendre par les n 1 premiers elements de la base de Zn ; on a alors Zn = Zn 1  Zen . Utilisant l'hypothese de recurrence, il existe des isomorphismes :

p() : FT () ! T 0 ()F ; p( ) : FT ( ) ! T 0 ( )F ;

 2 Zn 1 ;  2 Zen ;

tels que les diagrammes :

FT ( + ) F  c(; ) (1:5:4:1);

p( + )

w T 0( + )F

u

c0 (; )  F

FT ()T () p()  T ()

u

u

T 0 ()FT () T 0 ()  p() w T 0 ()T 0()F 36

Categories Derivees

soient (; )-commutatifs lorsque ;  2 Zn 1 ou ;  2 Zen . Designons alors par Q(;  ) ,  2 Zn 1 ,  2 Zen , la propriete :

Q(;  )




Le diagramme ci-apres est (;  ) 1 (;  )-commutatif :

(1:5:4:2); FT ( +  ) F  c(;  ) w FT ( )T () p( )  T () w T 0 ( )FT ()

T 0 ( )  p()

u

F  c(; )

FT ()T ( ) p()  T ( )

u

T 0 ()FT ( )

T 0 ()  p( ) w

u

T 0 ( )T 0 ()F c0 (;  ) 1  F T 0 ()T 0 ( )F

c0 (; ) 1  F

w

u

T 0 ( +  )F :

Par hypothese, les proprietes Q(ei; en ) , Q(ei ; 0) , 1  i  n 1 , Q(0; en) , sont vraies. De plus, en utilisant les diagrammes (; )-commutatifs (1.5.4.1); , on veri e aisement (1.5.6) : (1.5.4.3) Si deux des proprietes Q(;  +  0 ) , Q(;  ) , Q(;  0 ) ,  2 Zn 1 , ;  0 2 Zen sont veri ees, la troisieme l'est aussi. De m^eme, si deux des proprietes Q( +  0 ;  ) , Q(;  ) , Q( 0 ;  ) , ;  0 2 Zn 1 ,  2 Zen sont vraies, la troisieme l'est aussi. On en deduit que la propriete Q(;  ) est veri ee pour tout  2 Zn tout  2 Zen .

1

et

De nissons alors, pour tout ! 2 Zn , ! =  +  ,  2 Zn 1 ,  2 Zen , l'isomorphisme p(! ) : FT (! ) ! T 0 (! )F , comme etant l'unique isomorphisme rendant le diagramme (1.5.4.1); (;  )-commutatif. Ceci nous permet d'ecrire pour tout couple ;  2 Zn le diagramme (1.5.4.1); et de considerer la propriete :

P (; )




Le diagramme (1:5:4:1); est (; )-commutatif .

37

J.-L. Verdier

D'apres ce qui precede, nous savons que la propriete P (; ) est veri ee dans les cas suivants :  et  2 Zn 1 ;  et  2 Zen ; (1:5:4:4)  2 Zn 1 et  2 Zen ;

 2 Zen et  2 Zn

1

:

De plus (1.5.5), on a : (1.5.4.5) Si trois des proprietes P (;  ) , P ( + ;  ) , P (;  +  ) , P (; ) sont vraies, la quatrieme l'est aussi. On en deduit que la propriete P (; ) est vraie pour tout couple ;  2 Zn , ce qui acheve la demonstration de la proposition (1.5.2). Diagramme 1.5.5. On se propose de demontrer l'assertion (1.5.4.5). On designe par D(; ) le diagramme (1.5.4.1); . La demonstration de (1.5.4.5) repose sur la consideration du diagramme que nous ecrivons, pour simpli er, dans le cas ou les isomorphismes de transition c et c0 sont des morphismes identiques, i.e. dans le cas ou le groupe Zn opere strictement sur les categories C et C 0 :

FT ( +  +'  ) N N '

p   N ' N p  T   '  NN Q N ' w T 0 ( +  +  )F T 0( + )N ' QFT NN(N) NNT 0   p  C '' A0 A NNNNN ) A 0 A NN T  p  T  A T  p   0 p(+)?T ( )

( )

( + )

( )

( )

( )

( + + )

( + )

( )

T ()FT ( +  )

( )

( + )

:

Ce diagramme a la forme d'un tetraedre dont les quatres faces sont respectivement les diagrammes D(;  +  ) , D( + ;  ) , D(; )T ( ) et T 0 ()D(;  ) . La demonstration de (1.5.4.5) se fait alors en envisageant les quatre cas possibles et en utilisant la relation de cocycle. Dans le cas general, le diagramme qu'il faut introduire est un peu plus complique, mais en utilisant les identites (1.2.1.3), l'argument se ramene a l'argument esquisse ci-dessus. Pour obtenir la demonstration de (1.5.3.5), on utilise le m^eme diagramme en posant :  = qe1 ,  = q 0e1 ,  = q 00 e1 . 38

Categories Derivees

Diagramme 1.5.6. Demontrons maintenant l'assertion (1.5.4.3).La demonstration repose sur la consideration du diagramme suivant, que nous ecrirons pour simpli er dans le cas ou les isomorphismes de transition c et c0 sont des morphismes identiques :

1.5.7. p(0 )T (+ )

w T 0 (0)FT ( 4+  ) h 44 44 hhhhh h 44T 0 0 p  T  44 hhhh hhh 44 4 p  T  0  4 p   0 T  h hhh 6 6 4 j 4 T 0()FT ( 0 +  ) T 0  p 0 T  w T 0 ( + 0 )FT ( )

FT ( +  0 4 +  )h

(

( )

(

+ )

( +

)

)

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

p( )T (+0 ) T 0 ( 0 )p( )T ( ) T 0 ( )p( )T ( 0 ) T 0 (+0 )p( )

u

0 0 T 0 ( )FT ( +  0 ) T ( )p( )T ()

u

w AAhhhh '' h AA hh h T 0  p  0 ''T 0 0  p  hhh T 0  p  T 0 AA hhhh ''' AA hhh C u j ') u T 0( + )FT ( 0) T 0   p 0 w T 0 ( +  +  0 )F T 0 ( + 0 )FT () ( )

( )

( )

(

( +

(

)

+ )

( )

)

( + )

(

)

Designons par
(;  ) le diagramme (1.5.4.2); . Le diagramme ci-dessus 39

J.-L. Verdier

fait appara^tre cinq diagrammes verticaux qui sont respectivement les diagrammes :

T 0 (0 )
(;  ) ; T 0 ()
(0;  ) ;
(;  )T ( 0) ;
( 0 ;  )T () ;
( +  0 ;  ) : Il fait appara^tre de m^eme quatre diagrammes horizontaux qui sont respectivement les diagrammes :

D(; 0)T ( ) ; D( 0 ; )T ( ) ; T 0 ( )D(; 0) ; T 0 ( )D( 0; ) : Par hypothese de recurrence, les diagrammes D(;  0 ) et D( 0 ;  ) sont respectivement (;  0) et ( 0 ;  )-commutatifs. On en deduit la premiere partie de

l'assertion (1.5.4.3) en envisageant les trois cas possibles. La deuxieme partie de l'assertion (1.5.4.3) s'obtient en interchangeant les r^oles des  et des  . Dans le cas general, le diagramme qu'il faut introduire est plus complique. Mais, en utilisant les identites (1.2.1.3), l'argument se ramene a celui presente ci-dessus. Remarque 1.5.8. La proposition (1.5.2) s'applique en particulier au cas ou le cocycle  est trivial. On veri e alors que la proposition et sa demonstration s'etendent verbatim au cas ou la categorie C 0 n'est plus necessairement additive. 1.5.9. Soient : (F1 ; p1); (F2; p2 ) : (C ; Zn; T; c) ! (C 0 ; Zn ; T 0 ; c0) deux Zn -foncteurs tordus respectivement par deux cocycles normalises 1 ; 2 2 Z2(Zn ; Z=2Z) , : Zn ! Z=2Z une application telle que : (1:5:9:1) 2 (1 ; 2)1 1 (1 ; 2 ) = (2 ) (1 2 ) 1 (1 ) ; 1 ; 2 2 Zn ; et u : (F1 ; p1) ! (F2 ; p2) un -morphisme de foncteurs (1.4.6). Soit e1 ; . . . ; en la base canonique de Zn . Pour tout i 2 [1; n] le diagramme ci-apres est (ei)-commutatif :

(1:5:9:2)

F1 T (ei) u  T (ei)

u

F2 T (ei)

p1(ei) p2(ei) 40

w T 0(ei)F u

1

T 0(ei)  u

w T 0(ei)F

2

:

Categories Derivees

Reciproquement :

Proposition 1.5.10. Tout morphisme u : F ! F entre les foncteurs sous-jacents, tels que pour tout i 2 [1; n] le diagramme (1.5.9.2) soit 1

2

(ei )-commutatif, est un -morphisme de foncteurs. En eet, pour tout  2 Zn , designons par R( ) la propriete : (R( )) Le diagramme ci-apres est ( )-commutatif :

(1:5:10:1)

F1 T () u  T ()

u

F2 T ()

p1 () p2 ()

w

w T 0()F u

1

T 0 ()  u

T 0()F2

:

L'examen des dierents diagrammes (1.5.10.1) , (1.5.10.1) , (1.5.10.1) + montre immediatement qu'on a : Si deux des proprietes R(1 ) , R(2 ) , R(1 + 2 ) sont vraies, la troisieme l'est aussi. De plus par hypothese, on a les proprietes R(ei) , i 2 [1; n] et R(0) . On en deduit immediatement que la propriete R( ) est vraie pour tout  2 Zn . 1.5.11. Une Zn-categorie stricte est une categorie munie d'une representation de Zn dans son groupe des automorphismes. Pour de nir une telle representation, il sut bien entendu de se donner n automorphismes : T (e1 ); . . . ; T (en ) qui commutent deux a deux. 1.5.12. Le probleme consistant a determiner sur une categorie donnee les structures de Zn -categorie (non necessairement stricte) est beaucoup moins simple. Ainsi, si on se borne a determiner, sur une categorie C , les structures de Zn -categorie telles que pour tout  2 Zn on ait T ( ) = identite de C , on a alors a se donner, pour tout couple 1 ; 2 d'elements de Zn , un element c(1 ; 2 ) du groupe des automorphismes du foncteur identique de C (ce groupe est commutatif), cette donnee etant soumise a veri er les identites (1.2.1.3). Par suite, pour se donner une telle structure, il faut se donner un 2-cocycle normalise non homogene de Zn a valeurs dans le groupe des automorphismes du foncteur identique de C . On veri e d'ailleurs immediatement que deux telles structures sont isomorphes, par un Zn -foncteur (F; m) tel que F = identite de C , si et seulement si les cocycles correspondants sont dans la m^eme classe de cohomologie. 1

41

2

1

2

J.-L. Verdier

1.5.13. Les Zn-categories que nous utiliserons dans ce travail seront des

categories strictes. Aussi ne tenterons-nous pas d'aborder le probleme signale en (1.5.12) dans le cas general. Cependant l'exemple presente en (1.5.12) suggere que la determination des structures de Z-categorie sur une categorie C est particulierement simple. C'est en eet le cas. Designons par E -Cat la U-categorie dont les objets sont les categories appartenant a U munies d'une equivalence : (1:5:13:1) T :C!C et dont les morphismes sont les foncteurs F : C ! C 0 muni d'un isomorphisme : (1:5:13:2) m : FT ! T 0 F : On a alors evidemment un foncteur de la U-categorie Z-Cat dans la U-categorie E -Cat : (1:5:13:3) R : Z-Cat ! E -Cat : Le foncteur R associe a une Z-categorie (C ; Z; T; c) la categorie C munie de l'equivalence T (1) : C ! C et a tout Z-foncteur : (F; m) : (C ; Z; T; c) ! (C 0 ; Z; T 0; c0 ) ; le foncteur F muni de l'isomorphisme m(1) : FT (1) ! T 0 (1)F . Proposition 1.5.14. Le foncteur R est une equivalence de categories. Nous nous bornerons a donner des indications sur la demonstration. La proposition (1.5.2) et la remarque (1.5.8) montrent que R est pleinement dele. Il sut donc de montrer que R est essentiellement surjectif. Soit donc (C ; T : C ! C ) une categorie munie d'une equivalence. Soient T 1 : C ! C un foncteur quasi-inverse de T et : u : idC ! TT 1 ; (1:5:14:1) v : idC ! T 1 T les isomorphismes d'adjonction. Les foncteurs T n et (T 1 )n sont, pour tout entier n > 0, adjoints l'un de l'autre, d'ou des isomorphismes d'adjonction : u(n) : idC ! T n (T 1 )n ; (1:5:14:2) v(n) : idC ! (T 1 )n T n : 42

Categories Derivees

Posons alors :

T (0) = idC ; T (n) = T n ; n > 0 ; (1:5:14:3) T (n) = (T 1) n ; n < 0 : Puis, pour tout couple (n; n0 ) d'entiers, de nissons des isomorphismes : c(n0 ; n) : T (n + n0 ) ! T (n)T (n0 ) par :

(1:5:14:4)

n; n0  0 c(n0 ; n) = identite ; n; n0  0 c(n0 ; n) = identite ; n0  0 ; n  0 ; n + n0  0 ; c(n0 ; n) = u(n)  T (n + n0 ) ; n0  0 ; n  0 ; n + n0  0 ; c(n0 ; n) = T (n + n0 )  u(

n0 )

n0  0 ; n  0 ; n + n0  0 ; c(n0 ; n) = T (n + n0 )  v (n0 ) ; n0  0 ; n  0 ; n + n0  0 ; c(n0 ; n) = v( n)  T (n + n0 ) :

;

Pour s'assurer qu'on a bien ainsi de ni une Z-categorie, il reste a veri er qu'on a bien les identites du type (1.2.1.3). Cette veri cation s'appuie sur les identites classiques que veri ent les morphismes u(n) et v (n) . Nous laissons au lecteur le soin de l'entreprendre.

1.6. Cocycle de Koszul. Regle des signes. 1.6.1. Soit e ; . . . ; en une base de Zn . Designons par Zni;j , i; j 2 [1; n] , i 6= j , 1

le sous-groupe de Zn engendre par les elements ei et ej . Les homomorphismes de restriction de nissent un homomorphisme : (1:6:1:1)

H2 (Zn ; Z=2Z) !

M

i;j 2[1;n] i<j

H2 (Zni;j ; Z=2Z) :

On a des isomorphismes (canoniques) : (1:6:1:2) H2 (Zni;j ; Z=2Z) ' Z=2Z : L'homomorphisme (1.6.1.1) est un isomorphisme. 43

J.-L. Verdier

Proposition 1.6.2. 1) Soient  2 Z (Zn; Z=2Z) un cocycle normalise non homogene, _ 2 H (Zn ; Z=2Z) sa classe de cohomologie, _ i;j 2 H (Zni;j ; Z=2Z) 2

2

2

ses composantes. On a (utilisant (1.6.1.2)) : (1:6:2:1) _ i;j = (ei ; ej ) 1 (ej ; ei ) : (On ecrit multiplicativement la loi de groupe de Z=2Z). 2) Soient 1 et 2 deux elements cohomologues de Z2 (Zn ; Z=2Z) et pour tout i 2 [1; n] , i un element de Z=2Z. Il existe une et une seule application : Zn ! Z=2Z telle que : (1:6:2:2) 2(1; 2)1 1(1 ; 2) = (2 ) (1 + 2) 1 (1 ) ; pour 1 ; 2 2 Zn ;

(1:6:2:3) (ei) = i : On se ramene, pour demontrer la premiere assertion au cas n = 2 et on veri e immediatement que la quantite (ei ; ej ) 1 (ej ; ei) ne change pas lorsqu'on modi e  par un cobord. Lorsque  est un cobord, il est symetrique et par suite la formule (1.6.2.1) est vraie dans ce cas. D'autre part, le cocycle : 0 (p1 ei + q1 ej ; p2ei + q2 ej ) = ( 1)q p n'est pas cohomologue a 0 puisqu'on a : 0 (ei; ej ) 1 0 (ej ; ei ) = 1 et tout cocycle non cohomologue a zero est cohomologue a 0 . Pour demontrer la deuxieme assertion, on remarque que deux solutions de (1.6.2.2) dierent par un homomorphisme de groupes ; par suite, on peut toujours modi er une solution de (1.6.2.2) d'une maniere unique par un homomorphisme de groupes de facon a lui faire prendre sur les ei des valeurs donnees a l'avance. De nition 1.6.3. Soit e1; . . . ; en une base de Zn . On appelle classe de Koszul relative a la base e1 ; . . . ; en l'unique element de H2 (Zn ; Z=2Z) dont les restrictions aux H2 (Zni;j ; Z=2Z) soient non nulles. On notera que la de nition de la classe de Koszul fait intervenir le choix d'une base de Zn . Les classes de Koszul associees a deux bases distinctes sont en general distinctes. Soit e1 ; . . . ; en une base de Zn qu'on ordonne suivant l'ordre naturel de [1; n] . Designons alors par Zn ( i) (resp. Zn ( i)) le sous-groupe de Zn engendre par les ej , j  i (resp. j  i ). 1 2

44

Categories Derivees

De nition 1.6.4. On appelle cocycle de Koszul relatif a une base ordonnee

e1 ; . . . ; en de Zn l'unique cocycle  dans la classe de Koszul relative a la base e1; . . . ; en qui veri e les egalites : (1:6:4:1) (1 ; 2) = 1 8 1 2 Zn ( i) ; 8 2 2 Zn ( i) ; 8 i 2 [1; n] : Soient 1 =

n P

i=1

pi ei , 2 =

(1:6:4:2)

n P

i=1

qi ei deux elements de Zn ; on a alors : P

(1 ; 2) = ( 1)

i<j

qi pj



:

Cette de nition demande une justi cation. L'existence d'un cocycle dans la classe de Koszul veri ant (1.6.4.1) est claire : un calcul immediat montre que le cocycle (1.6.4.2) veri e (1.6.4.1) et qu'il est dans la classe de Koszul (1.6.2). Pour veri er l'unicite, il sut de remarquer que tout cocycle cohomologue au cocycle  est du type : 1 (1 ; 2 ) = (1 ; 2 ) (2) (1 + 2 ) 1 (1) et qu'un tel cocycle possede la propriete (1.6.4.1) si et seulement si : (1 + 2) = (1 ) (2 ) 8 i ; 8 1 2 Zn( i) ; 8 2 2 Zn ( i) : On en deduit immediatement que : Zn ! Z=2Z est un homomorphisme de groupes et par suite qu'on a 1 =  . 1.6.5. La de nition du cocycle de Koszul fait intervenir de facon essentielle l'ordre total que l'on met sur la base e1 ; . . . ; en de Zn . Designons par  l'ordre naturel de [1; n] et par s un ordre total sur [1; n]. Soit s l'unique permutation de [1; n] telle que : (1:6:5:1) i s j () s(i)  s(j ) : Soient  et s les cocycles de Koszul relatifs respectivement aux ordres  et s . On a alors : (1:6:5:2)  P

(1; 2) = ( 1) 

s (1 ; 2 ) = ( 1)

i<j

P

s(i)<s(j)

qi pj

qi pj

; 

; 45

1 =

X

i

pi ei ; 2 =

X

i

qi ei ;

J.-L. Verdier

d'ou on deduit immediatement :

s (1 ; 2) (1 ; 2) 1 = s (2 ) s (1 + 2) 1 s(1) ; (1:6:5:3)



s (1 ) = ( 1)

P

i<j s(i)>s(j)

pi pj



;

8 i 2 [1; n] :

s (ei ) = 1 ;

Par suite, d'apres (1.6.2), toute application : Zn ! Z=2Z telle que (1:6:5:4)

s(1 ; 2 ) (1; 2 ) 1 = (2 ) (1 + 2) 1 (1 )

est du type : (1:6:5:5)

= s  ;

ou  : Zn ! Z=2Z est l'unique homomorphisme de groupes qui prend sur les ej 2 Zn les valeurs (ej ) . 1.6.6. Soient (Ci; Z; Ti; ci) , 1  i  n , des Z-categories et (D; Z; T; c) une Z-categorie additive. Designons par (C ; Zn; T; c) la categorie produit des (Ci; Z; Ti; ci) . Le groupe Zn est muni naturellement d'une base ordonnee e1 ; . . . ; en . Il opere a isomorphisme pres sur C par la formule (on utilise ici la notation a droite introduite en (1.3.12)) : (1:6:6:1)




(X1 ; . . . ; Xn )[ ] = X1 [l1 ]; . . . ; Xn [ln ] ;  = n P




n P

n X i=1

liei :

Soit ' : Zn ! Z l'homomorphisme ' li ei = li . Faisons operer Zn i=1 i=1 sur D par l'intermediaire de ' (1.4.1). Dans cette situation, nous utiliserons toujours les conventions suivantes : Regle des signes I : Les foncteurs de C dans D seront toujours, sauf mention expresse du contraire, des Zn -foncteurs tordus par le cocycle de Koszul relatif a la base ordonnee e1 ; . . . ; en . Regle des signes II : les morphismes de foncteurs seront, sauf mention expresse du contraire, des morphismes de Zn -foncteurs relatifs a l'homomorphisme trivial : Zn ! Z=2Z (1.4.6). 46

Categories Derivees

D'apres la proposition (1.5.2), se donner un foncteur de C dans D revient a se donner un foncteur : (X1; . . . ; Xn ) 7 ! F (X1 ; . . . ; Xn )

(1:6:6:2)

et des isomorphismes de foncteurs : (1:6:6:3)

 F (X ; . . . ; X )[1] pi : F (X1; . . . ; Xi[1]; . . . ; Xn) ! 1 n

tels que les diagrammes (1.5.1.2) :

F (X1 ; . . . ; Xi[1]; . . . ; Xj [1]; . . . ; Xn)

u

w F (X ; . . . ; Xi; . . . ; Xj [1]; . . . ; Xn)[1]

pi

1

pj

u

pj [1]

F (X1 ; . . . ; Xi[1]; . . . ; Xj ; . . . ; Xn )[1] pi[1]w F (X1 ; . . . ; Xi; . . . ; Xj ; . . . ; Xn )[2] soient anticommutatifs (pour i < j ). (Pour simpli er le diagramme (1.5.1.2), on a suppose, ce qui sera toujours le cas dans ce travail, que les isomorphismes de transition de D sont des identites). De m^eme, d'apres la proposition (1.5.10), les morphismes de foncteurs u : F ! F 0 que nous considerons sont soumis aux conditions suivantes : les diagrammes ci-apres sont commutatifs :

F (X1 ; . . . ; Xi[1]; . . . ; Xn) pi (1:6:6:4)

u

w F 0 (X ; . . . ; Xi[1]; . . . ; Xn) 1

p0i

u

u u [1] 0 w F (X1; . . . ; Xi; . . . ; Xn)[1] F (X1 ; . . . ; Xi; . . . ; Xn )[1]

:

Lorsque le contexte ne pr^etera a aucune confusion, nous designerons les

Z-categories par les categories sous-jacentes et les Zn -foncteurs tordus par

leurs foncteurs sous-jacents.

47

2. Complexes d'une categorie additive. 2.1. Complexes n-uples. 2.1.1. Fixons d'abord quelques notations. On designe par [n] l'ensemble : [n] = fp 2 Z j 1  p  ng : On designe par Z[n] le groupe abelien libre engendre par l'ensemble [n] et pour tout i 2 [n] par ei le generateur de Z[n] associe a i . Soit ' : [n] ! [m] une application ; on designe encore par ' : Z[n] ! Z[m] l'homomorphisme de groupes qui lui correspond. Dans ce paragraphe, C designe une categorie additive. De nition 2.1.2. Un complexe n-uple d'objets de C est un objet constitue par : 1) La donnee, pour tout  2 Z[n] , d'un objet X  de C . 2) La donnee, pour tout  2 Z[n] et tout i 2 [n] , d'un morphisme :

d;i : X  ! X +ei ; ces morphismes etant soumis aux conditions suivantes :

d+ei ;id;i = 0

8  2 Z[n] ; 8 i 2 [n] ; d+ej ;id;j = d+ei ;j d;i 8  2 Z[n] ; 8 i ; j 2 [n] : 2.1.3. Un complexe n-uple d'objets de C sera appele le plus souvent un complexe n-uple de C . Soit (X  ; d;i ) un complexe n-uple de C . L'objet X  (2:1:2:1)

est appele le composant de degre  du complexe (X  ; d;i ) . Le morphisme d;i est appele la dierentielle de degre  dans la direction i du complexe (X  ; d;i ) . Soit Y un complexe n-uple de C . Le composant de degre  de Y est note Y  . La dierentielle de degre  dans la direction i de Y est notee d;i Y . De nition 2.1.4. Soient Y et Y 0 deux complexes n-uples de C . Un morphisme de complexes de Y dans Y 0 est une famille de morphismes de C : (f  : Y  ! Y 0  )2Z[n] qui commutent aux dierentielles, i.e. telle que : (2:1:4:1)

;i  f +ei d;i Y = dY 0 f :

J.-L. Verdier

2.1.5. Le morphisme f  : Y  ! Y 0  est appele le composant de degre  du morphisme (f  ) . Soit f : Y ! Y 0 un morphisme de complexes n-uples. Le

composant de degre  de f est note f  . Les morphismes de complexes n-uples se composent de maniere evidente : composant par composant. Les complexes n-uples d'objets de C forment une categorie qui est notee compn (C ). Lorsque n = 1, on utilise la notation simpli ee comp1(C ) = comp(C ). Les objets de comp(C ) sont appeles les complexes simples de C ou m^eme, lorsqu'aucune confusion n'en resulte, les complexes de C . Les categories compn (C ) sont additives. 2.1.6. Soit Y un complexe n-uple de C . On utilise parfois, pour designer le composant de degre  de Y , la notation Y  , et, pour designer la dierentielle de degre  de Y dans la direction i , la notation dY ;i . Cette notation est surtout utilisee lorsque Y est un complexe simple dont tous les composants de degre positif sont nuls sauf un nombre ni d'entre eux. Soit de m^eme f : Y ! Y 0 un morphisme de complexes n-uples. On utilise parfois la notation f  pour designer le composant de degre  du morphisme f . 2.1.7. Soit ' : [n] ! [m] une application. Un complexe n-uple Y de C est dit '-sommable, si pour tout  2 Z[m] , l'ensemble des  2 Z[n] tels que '() =  et Y  soit dierent de 0, est ni. Lorsque ' est l'unique application [n] ! [1] , ' on dit simplement sommable . Soient [n] ! [m] ! [p] deux applications. Tout complexe n-uple Y qui est '-sommable est aussi '-sommable. En particulier,'tout complexe n-uple sommable est '-sommable pour toute application [n] ! [m] . Lorsque ' est une injection, tous les complexes sont '-sommables. On appelle categorie des complexes n-uples '-sommables , la sous-categorie pleine de compn (C ) de nie par les complexes '-sommables.

2.2. Complexe simple associe. 2.2.1. Pour tout  2 Z[n] ,  =

posons :

(2:2:1:1)

P

j 2[n]

lj ej , lj 2 Z , et pour tout i 2 [n]



"(; i) = ( 1)

P

j

lj



:

La formule (2.2.1.1) de nit une application : (; i) 7 ! "(; i) de Z[n]  [n] dans le groupe des signes f 1; 1g . On veri e immediatement que pour tout i 2 [n] , l'application  7 ! "(; i) est un homomorphisme de 50

Categories Derivees

groupes et que "(ej ; i) = 1 si j < i , "(ej ; i) = 1 si i  j . L'application (; i) 7 ! "(; i) est d'ailleurs uniquement determinee par ces proprietes. On en deduit immediatement la relation : (2:2:1:2) "(; i)"( + ei ; j ) = "(; j )"( + ej ; i) valable pour tout  2 Z[n] et pour tout couple (i; j ) 2 [n]  [n] , i 6= j . 2.2.2. Soit Y un complexe n-uple de C . Posons : (2:2:2:1) Y;i = "(; i)d;i Y : On deduit alors de (2.2.1.2) que les relations (2.1.2.1) sont equivalentes aux relations : Y+ei ;iY;i = 0 ; 8  2 Z[n] ; 8 i 2 [n] ; (2:2:2:2) Y+ej ;i Y;j + Y+ei;j Y;i = 0 ; 8  2 Z[n] ; 8 i; j 2 [n] : Soit maintenant ' : [n] ! [m] une application et R supposons que Y soit '-sommable. On de nit alors un complexe m-uple ' Y par les formules : Z

(2:2:2:3)

'

(2:2:2:4) R;i (y ) = Y '

Y



X

=

M

'()=

Y ;

8  2 Z[m] ;

Y;j (y ) ;  2 Z[n] ; i 2 [m] ; y 2 Y  ;  = '() :

'(j )=i

La formule (2.2.2.4) de nit un morphisme de R

'Y


 +ei

=

L

'()= +ei

R

'Y




=

L

'()=

Y  dans

Y  lorsque C est la categorie des groupes abeliens.

Elle permet aussi de de nir un morphisme de ' Y  dans ' Y  +ei lorsque C est une categorie additive en se placant dans la categorie des foncteurs contravariants sur C a valeurs dans la categorie des groupes abeliens, i.e. en interpretant y comme un morphisme d'un objet quelconque de C dans Y  . Un calcul immediat montre que les R;i Y veri ent les relations (2.2.2.2) d'ou, ' en revenant aux dierentielles, que les objets de nis par (2.2.2.3) munis des morphismes de nis par :  2 Z[m] ; X ;j ;i "(; j )dY (y ) ; i 2 [m] ;  2 Z[n] ; (2:2:2:5) dR Y (y ) = "(; i) ' '(j )=i '() =  R

51




R




J.-L. Verdier

forment un complexe m-uple de C . Soit maintenant f : Y ! Y 0 un morphisme de complexes n-uples de C , '-sommables. Posons : Z

(2:2:2:6)

'

f



=

M

'()=

f :

Z

'

Y



!

Z

'

Y0



:

Il est clair que les ' f  commutent aux dierentielles de ' Y et de ' Y 0 et que, parR suite, R une telleR famille de nit un morphisme de complexes 0 . Il est clair que R fg = R f R g et que Y Y ! f : m -uples ' ' ' 'R ' ' R R est un foncteur de la cat e gorie des complexes . Par suite id = id Y ' ' Y ' n-uples '-sommables dans la categorie des complexes m-uples. Ce foncteur est additif. R




R

R

2.2.3. Soient ' : [n] ! [m] une application,  un element de Z[m] et i un element de [m] . Soient E1 (resp. E2 ) les ensembles : 



E1 = 1 2 Z[n] j '(1) =  



resp. E2 = 2 2 Z[n] j '(2 ) =  + ei



:

Soit en n Y un complexe n-uple de C . Posons, pour 1 2 E1 , 2 2 E2 : (2:2:3:1)

u2 ;1 (Y ) = "(; i)"(1; j )dY1;j si 2 1 = ej ; =0

sinon ,

d'ou une matrice de type E2  E1 : (2:2:3:2)




M (; i; Y ) = u2 ;1 (Y ) 2 2E2 ;1 2E1 :

Lorsque Y est '-sommable, cette matrice est la matrice du morphisme dR;i Y . ' Remarquons que dans le cas general, cette matrice ne possede qu'un nombre ni de termes non nuls sur chaque ligne et sur chaque colonne. Il y a donc R a priori au moins deux extensions possibles du foncteur ' aux complexes quelconques lorsque, dans C , les produits denombrables et les sommes di52

Categories Derivees

rectes denombrables sont representables : Z

 '

Y

!

=

dR;i Y 

Z

'

Y

!

'()=

Y ;

de ni par la matrice M (; i; Y ) ;

'

(2:2:3:3)

Y

=

dR;i Y

M

'()=

Y ;

de ni par la matrice M (; i; Y ) :

'

Le foncteur ' est appele la -extension du foncteur ' . Le foncteur ' est R appele la -extension du foncteur ' . Ces deux extensions seront utilisees R R par la suite. On a d'ailleurs un morphisme naturel de foncteurs ' ! ' correspondant au morphisme fonctoriel de la somme directe dans le produit. 2.2.4. Soient [n] !' [m] ! [r] deux applications et supposons, pour xer les idees, que les produits denombrables soient representables dans C . On a alors les relations : R

(2:2:4:1)

R

Z

Z  ' Z

=



Z



'

R

;

= id : id Le redacteur se voit ici dans la penible obligation de tirer l'irritant coup de chapeau habituel. Le signe = de la formule (2.2.4.1) n'est valable que lorsqu'on dispose d'un foncteur produit possedant des proprietes d'associativite convenables, ce qui n'est jamais le cas dans la pratique. Dans le cas general, le signe \=" doit ^etre remplace par un isomorphisme canonique qui veri e les proprietes de compatibilite usuelles du type (1.2.1.3). Des relations analogues R aux relations (2.2.4.1) sont valables pour le foncteur ' . Lorsque les produits et sommes denombrables ne sont pas necessairement representables, la formule (2.2.4.1) est encore valable lorsqu'on se restreint aux complexes '-sommables. Lorsque est l'unique morphisme [n] ! [1], on utilise la R R notation n . Pour tout complexe n-uple sommable Y , le complexe n Y est appele le complexe simple associe au complexe Y . (2:2:4:2)

53

J.-L. Verdier

2.3. Structure graduee sur les categories de complexes. 2.3.1 Soient Y un complexe n-uple et i 2 [n] . Posons : (TiY ) = Y +ei ;  2 Z[n] ; (2:3:1:1) +ei;j ; j 2 [n] ; d;j Ti Y =  (i; j )dY ou  (i; j ) = 1 si i = 6 j ,  (i; j ) = 1 si i = j . Pour tout morphisme de complexes n-uples f : Y ! Y 0 , posons : (2:3:1:2) (Ti f ) = f +ei ;  2 Z[n] : On de nit ainsi un foncteur Ti : compn (C ) ! compn (C ) qu'on appelle le

foncteur de translation dans la direction i . Lorsque n = 1 , on utilise la notation TY , Tf ou bien Y [1] , f [1] . Le foncteur de translation dans la direction i est un automorphisme de compn (C ) . Les foncteurs Ti , i 2 [n] , commutent deux a deux :

8i ; j 2 [n] :

T i Tj = Tj Ti ;

(2:3:1:3)

On peut donc de nir une operation du groupe Z[n] sur la categorie compn (C ) : (2:3:1:4)

=

X

i2[n]

T () = T1l1


Tnln :

liei ;

La notation compn (C ) designera dorenavant la categorie compn (C ) munie de la structure de Z[n]-categorie stricte decrite ci-dessus. 2.3.2. Soient ' : [n] ! [m] une application, Y un complexe n-uple de C , i un element de [n] . On suppose, pour xer les idees, que les sommes denombrables sont representables dans C . Remarquons tout d'abord que les R 
 R
 objets ' Ti Y et T'(i) ' Y sont egaux. Ils sont en eet egaux par de nition a : M '()= +e'(i)

Posons alors :

pi;' (Y )  :


(2:3:2:1)

Z

pi;' (Y )  =




'

Ti Y



M

Y :



! T'(i)

Z

 '

Y



;  2 Z[m] ;


'()= +e'(i)

"(; i)" '(); '(i) idY  :

54

Categories Derivees


Un calcul immediat montre que la familleR (pi;'(Y )) ;  2 Z[m] commute R aux dierentielles de ' TiY et de T'(i) ' Y et qu'elle de nit par suite un morphisme : (2:3:2:2)

pi;'(Y ) :



Z

'

Ti Y ! T'(i)



Z

'

Y :

Ce morphisme est un isomorphisme fonctoriel en Y , d'ou un isomorphisme de foncteurs : 

Z   pi;' : Ti ! T'(i) : ' ' Z

(2:3:2:3)

Proposition 2.3.3. 1) Pour tout couple i; j 2 [n] , i 6= j , le diagramme : Z

 '

pi;' ? Tj

Ti Tj

w T'(i)

Z

'

Z u

T' ( j )

Tj

T'(i) ? pj;'

pj;' ? Ti

(2:3:3:1)



 '

T'(j ) ? pi;'

Ti

u

w T'(i)T'(j)

Z

 '

est commutatif lorsque '(i) 6= '(j ) et anticommutatif lorsque '(i) = '(j ) . 2) Soit : [m] ! [r] une application. Le diagramme : Z

Z  '

R

Ti

?pi;'

w

Z



T'(i)



Z

'

R p'(i); ? ' Z

 '

Ti

pi;

'

w T '(i)

Z

 '

Z u

T '(i)

Z  '

est commutatif. (Le lecteur qui ne veut pas tricher remplacera le signe \=" par des isomorphismes canoniques). La preuve est immediate et laissee au lecteur. La premiere assertion resulte de (2.2.1.2).

55

J.-L. Verdier

2.3.4. Prenons pour application ' l'unique application [n] !' [1] et faisons operer le groupe Z[n] sur comp(C ) par l'intermediaire de ' : Z[n] ! Z . Il existe alors (1.5.2) un seul Z[n]-foncteur tordu par le cocycle de Koszul :

(2:3:4:1)



Z

n



; pn : compn (C ) ! comp(C )

tel que :

pn (ei) = pi;' :

Dorenavant, la notation n designera le foncteur n muni de la structure de Z[n]-foncteur tordu decrite ci-dessus. 2.3.5. Les considerations developpees aux alineas (2.3.2), (2.3.3) et (2.3.4) R s'appliquent, modulo les modi cations evidentes, aux foncteurs ' . Lorsque les sommes et produits denombrables ne sont pas necessairement repr R esentables dans C , les resultats ci-dessus s'appliquent aux foncteurs ' en se restreignant a des complexes possedant des proprietes de sommabilite convenables. R

R

2.4. Extension des foncteurs aux complexes. 2.4.1. Il existe un foncteur canonique : (2:4:1:1) n : compn (C ) ! compn (C ) de ni par les formules suivantes :

n X  = X




 d;i  n X = dX

(2:4:1:2)

n f  = f




X 2 Ob(compn (C )) ;

; ei ;i

;

;

f 2 Fl(compn (C )) :

Le foncteur n est un isomorphisme de Z[n]-categories (la structure de Z[n]-categorie de compn (C ) est de nie par (2.3.1) ; la structure graduee de compn (C ) est de nie par (2.3.1) et (1.3.9)). Supposons que les sommes directes denombrables soient representables dans C et soit ' : [n] ! [m] une application. Designons par : (2:4:1:3)

Z

  ';C

: compn (C ) ! compm (C ) ; 56

Categories Derivees

le foncteur oppose au foncteur de ni en (2.2.3) et (2.2.4). De m^eme, designons par : (2:4:1:4)



Z

';C 

: compn (C ) ! compm (C ) ;

le foncteur de ni en (2.2.3) et (2.2.4). On veri e immediatement que le diagramme : compn (C )

(2:4:1:5)

n

w compn (C )

R  

R

';C 

';C

compm (C ) u

m

w

compm (C  ) u

est commutatif. En particulier, lorsque ' est l'unique application [n] ! [1] , on a un diagramme commutatif : compn (C )

(2:4:1:6)

R

n

w compn (C )

  n;C

R

n;C 

comp(C ) u

1

w comp(C ) u

et on veri e immediatement que le couple d'isomorphismes (1 ; n ) est un R 
 R isomorphisme du Z[n]-foncteur tordu n;C sur le Z[n]-foncteur tordu n;C  R (la structure graduee de n;C  est decrite en (2.3.4) ; la structure graduee de R 
 n;C est decrite en (2.3.4) et (1.4.8)). Nous identi erons dorenavant par l'isomorphisme n les categories R
R compn (C ) et compn (C ) et les foncteurs ';C  et ';C  . 2.4.2. Soient Ci , i 2 [n] , une famille de categories additives et Q Ci leur i2[n] Q produit. On designe par (X1; X2 ; . . . ; Xn ) les objets de Ci et on utilise la i2[n] notation (X1 ; X2; . . . ; fi ; . . . ; Xn) pour designer le morphisme : (idX1 ; idX2 ; . . . ; fi ; . . . ; idXn ) : 57

J.-L. Verdier Q

Ces conventions s'appliquent en particulier a la categorie comp(Ci ). i 2 [ n ] Q Remarquons que la categorie comp(Ci ) est munie d'une structure de i2[n] P Z[n]-categorie (1.3.11). Pour tout  = liei ,  2 Z[n] , on a : i2[n]

(2:4:2:1) T ()(X1; X2; . . . ; Xn ) = X1 [l1 ]; X2[l2]; . . . ; Xn[ln ]) : Q Un objet (X1 ; . . . ; Xn ) de comp(Ci) est dit sommable si pour tout l 2 Z, P

i2[n]

P

l'ensemble des  = liei 2 Z[n] tels que li = l et Xili 6= 0 , pour au i2[n] i2[n] moins un i 2 [n] , est ni. Q Soit maintenant F : Ci ! C un foncteur multiadditif (covariant). i2[n] Q Pour tout objet (X1 ; . . . ; Xn) de comp(Ci ) , posons : (2:4:2:2) pour tout  =

i2[n] F [n] (X1; . . . ; Xn) = F (X1l1 ; . . . ; Xnln )

P

liei 2 Z[n] , i2[n] l1 li ln d;i F [n] (X1 ;...;Xn ) = F (X1 ; . . . ; dXi ; . . . ; Xn ) ;

;

8 i 2 [n] :

On a ainsi de ni un complexe n-uple de C . Q Pour tout morphisme (f1 ; . . . ; fn ) de comp(Ci ) , posons : i2[n] F [n] (f1 ; . . . ; fn) = F (f1l1 ; . . . ; fnln )

; (2:4:2:3) P pour tout  = liei 2 Z[n] . On a ainsi de ni un morphisme de complexes i 2 [ n ] n-uples. Ce qui precede de nit visiblement un foncteur : (2:4:2:4)

F [n] :

Y

i2[n]

comp(Ci ) ! compn (C ) :

Remarquons que pour tout  2 Z[n] , on a : (2:4:2:5) F [n] T () = T ()F [n] : [n] transPar suite, le foncteur F [n] est un Q Z[n]-foncteur strict. Le foncteur F forme les objets sommables de comp(Ci ) en objets sommables de compn (C ) . i2[n]

58

Categories Derivees

Supposons maintenant que les produits (resp. sommes directes) denombrables soient representables dans C . On pose alors : comp F =

(2:4:2:6)

(resp. comp F =

Z



n Z  n

F [n] ; F [n ] ) :

Q

Le foncteur comp F (resp. comp F ) : comp(Ci ) ! comp(C ) est appele la i2[n] -extension (resp. la -extension ) du foncteur RF aux complexes. Le foncteur R  F etant un Z[n]-foncteur strict et le foncteur n (resp. n ) etant un Z[n]foncteur tordu par le cocycle de Koszul relatif a la base ordonnee e1 ; . . . ; en de Z[n] , le foncteur comp F (resp. comp F ) est un Z[n]-foncteur tordu par le cocycle de Koszul relatif a la base ordonnee e1 ; . . . ; en de Z[n], conformement a la regle des signes I (1.6.6). On a donc pour tout i 2 [n] des isomorphismes canoniques : (2:4:2:7)  comp F (X ; . . . ; X ; . . . ; X )[1] comp F (X1 ; . . . ; Xi[1]; . . . ; Xn) ! 1 i n   comp F (X ; . . . ; X ; . . . ; X )[1] ) (resp. comp F (X1 ; . . . ; Xi[1]; . . . ; Xn ) ! 1 i n  qui seront notes pi . Ces isomorphismes possedent les proprietes d'anticommutativite decrites en (1.6.6.3). LesQ restrictions des foncteurs comp F et comp F aux objets sommables de comp(Ci ) sont egales, et cette restrici2[n] tion peut toujours se de nir, sans hypotheses sur la categorie C . 2.4.3. Soient maintenant deux foncteurs multiadditifs F , F 0 : Q Ci ! C i2[n] et h : F ! F 0 un morphisme de foncteurs. On en deduit un morphisme de foncteurs : h[n] : F [n] ! F 0 [n] ; en posant :

(2:4:3:1)

h[n] (X1; . . . ; Xn) = h(X1l1 ; . . . ; Xnln ) ; =

X

i2[n]

liei 2 Z[n] ;

(X1 ; . . . ; Xn) 2 Ob 59

Y

i2[n]



comp(Ci )

:

J.-L. Verdier

D'ou, en passant aux complexes simples, deux morphismes de foncteurs : comp h : comp F ! comp F 0 ;

(2:4:3:2)

comp h : comp F ! comp F 0 :

Si h et h0 sont deux morphismes composables de foncteurs multiadditifs, on a: comp hh0 = comp h comp h0 ; comp hh0 = comp h comp h0 : Le morphisme comp h (resp. comp h) est un morphisme de Z[n]-foncteurs qui suit la regle des signes II (1.6.6). 2.4.4. Lorsque le foncteur F est contravariant en certaines variables, i.e. lorsqu'on a des egalites Ci = (Ci0 ), pour i 2 J  [n] , les foncteurs comp F et comp F sont, modulo les identi cations faites en (2.4.1), contravariants en les variables correspondantes.

2.5. Homotopies.

2.5.1. Soient X et Y deux complexes n-uples de C et f; g : X w Y deux morphismes de complexes. Une homotopie reliant f a g est une famille de morphismes a = (a;i : X +ei ! Y  ,  2 Z[n] , i 2 [n]) telle que : (2:5:1:1)

a+ei

ej ;j d;i = d ej ;i a ej ;j ; 8  2 Z[n] ; X Y X  ei ;i a ei ;i ; g f  = a;i d;i X + dY i2[n]

8 i; j 2 [n] ; i 6= j ; 8  2 Z[n] :

On utilise la notation a : f } w g pour designer les homotopies a reliant f a g. 2.5.2. Soient f; g; h : X ww Y trois morphismes, a : f } w g et b : g } w h deux homotopies. On designe par b + a : f } w h, l'homotopie (b + a);i =
;i ;i b + a ,  2 Z[n] , i 2 [n] . 2.5.3. Soient f; g : X ww Y deux morphismes de complexes, a : f } w g une homotopie et u : Y ! Y 0 (resp. v : X 0 ! X ) un morphisme de complexes. On designe par u ?
a : uf } w ug (resp. a ? v
: fv } w gv ) l'homotopie (u ? a);i = u a;i (resp. (a ? v );i = a;i v +ei ). 60

Categories Derivees

2.5.4. Les operations ? et \somme des homotopies" possedent les proprietes suivantes : (2:5:4:1)

u ? (b + a) = u ? b + u ? a ; (b + a) ? v = b ? v + a ? v ; uu0 ? a = u ? (u0 ? a) ; a ? vv0 = (a ? v ) ? v0 :

2.5.5. Deux morphismes f; g : X

ww Y sont dits homotopes s'il existe une

homotopie qui les relie. Deux morphismes f , g sont homotopes si le morphisme f g est homotope a zero. Soit f : X ! Y un morphisme homotope a zero. Pour tout  2 Z[n] , le morphisme T ( )f est homotope a zero. L'ensemble des morphismes homotopes a zero forme un ideal de compn (C ), i.e. le compose dans les deux sens d'un morphisme homotope a zero avec un morphisme quelconque est homotope a zero et la somme directe de deux morphismes homotopes a zero est homotope a zero. R R 2.5.6. Soit ' : [n] ! [m] une application. Les foncteurs ' et ' transforment les couples de morphismes homotopes de compn (C )Qen couples de morphismes homotopes de compm (C ) . Soient de m^eme F : Ci ! C un fonci2[n] teur multiadditif,

F [n] :

Y

i2[n]

comp(Ci ) ! compn (C )

le foncteur decrit en (2.4.2.4), Xi des objets de comp(Ci) (i 6= j ) et f; g : X w Y deux morphismes homotopes de comp(Cj ) . Les morphismes de compn (C ) :

F [n] (X1 ; . . . ; f; . . . ; Xn ) et F [n] (X1 ; . . . ; g; . . . ; Xn) sont homotopes. Par suite, les morphismes de comp(C ) : comp F (X1 ; . . . ; f; . . . ; Xn ) et comp F (X1 ; . . . ; g; . . . ; Xn)

sont homotopes (m^eme resultat pour comp F ). Nous laissons au lecteur le soin de veri er toutes ces assertions ou de se reporter a [1]. 2.5.7. Designons par K(C ) la categorie suivante : { Les objets de K(C ) sont les objets de comp(C ) . 61

J.-L. Verdier

{ Soient X et Y deux objets de K(C ) , f; g : X w Y deux morphismes de comp(C ) . La relation \f et g sont homotopes" est une relation d'equivalence sur Homcomp(C ) (X; Y ) , et on de nit HomK(C ) (X; Y ) comme le quotient de Homcomp(C ) (X; Y ) par cette relation d'equivalence. { Il resulte immediatement de (2.5.5) que la loi de composition sur les morphismes de comp(C ) passe au quotient et de nit une loi de composition sur les morphismes de K(C ) . Il resulte immediatement de (2.5.5) qu'on a bien de ni ainsi une categorie Q et que cette categorie est additive. Le foncteur canonique comp(C ) ! K(C ) qui est l'identite sur les objets et qui associe a tout morphisme f de comp(C ) sa classe d'equivalence f_ est additif. Le morphisme f_ de K(C ) image du morphisme f de comp(C ) par le foncteur canonique est appele la classe de f modulo homotopie. La categorie K(C ) est appele la categorie des complexes de C a homotopie pres.

2.5.8. Le foncteur canonique comp(C ) !Q K(C ) possede la propriete suivante : tout foncteur de K(C ) dans une categorie A fournit, par composition avec Q , un foncteur de comp(C ) dans A , d'ou, pour toute categorie A , un foncteur :


Hom(Q; A) : Hom K(C ); A ! Hom comp(C ); A




(Hom designe la categorie des foncteurs). Ce foncteur est pleinement dele, injectif sur les objets et l'image est la sous-categorie pleine de :

Hom comp(C ); A
de nie par les foncteurs de comp(C ) dans A qui transforment tout couple de morphismes homotopes de comp(C ) en morphismes egaux. La categorie K(C ) Q munie du foncteur canonique comp(C ) ! K(C ) est determinee a isomorphisme unique pres par cette propriete. 2.5.9. Il resulte immediatement de (2.5.5) et de (2.5.8) qu'il existe un et un seul foncteur de translation sur K(C ) tel que le foncteur canonique : comp(C ) ! K(C )

commute (strictement) aux translations. Ce foncteur de translation est un automorphisme de K(C ) et par suite de nit sur K(C ) une structure de Z-categorie stricte. Le foncteur canonique comp(C ) ! K(C ) est un Z-foncteur strict. 62

Categories Derivees

2.5.10. Soit F :

Q

i2[n]

Ci ! C un foncteur multiadditif. Designons par : Qi : comp(Ci ) ! K(Ci)

les foncteurs canoniques. Il resulte de (2.5.6) et de (2.5.7) qu'il existe, lorsque les produits denombrables sont representables dans C , un et un seul foncteur Q K (F ) : K(Ci) ! K(C ) tel que le diagramme ci-apres soit commutatif : i2[n]

Y

i2[n]

(2:5:10:1)

Q

i2[n]

comp F

comp(Ci)

w comp(C ) Q

Qi

Y

i2[n]

K F

K(Ci ) u

w K(C ) u

:

Q

De plus, le foncteur Qi etant un Z[n]-foncteur strict, il existe sur le i2[n] foncteur K F une et une seule structure de Z[n]-foncteur gradue tordu par le cocycle de Koszul relatif a la base ordonnee e1 ; . . . ; en de Z[n] , tel qu'on ait l'egalite entre Z[n]-foncteurs tordus : Y (2:5:10:2) K F Qi = Q comp F : i2[n] 0 En n, soient F et F deux foncteurs multiadditifs et m : F

! F 0 un mor-

phisme de foncteurs. Il resulte de (2.5.7) qu'il existe un et un seul morphisme de foncteurs : (2:5:10:3) K  m : K F ! K F 0 tel que : Y (2:5:10:4) K m ? Qi = Q ? comp m : i2[n]

Le foncteur K F est appele la -extension du foncteur F aux complexes a homotopie pres. Le morphisme K m est appele la -extension du morphisme m aux complexes a homotopie pres. Lorsque les sommes directes denombrables sont representables dans C , on de nit de maniere analogue le foncteur K F : la -extension du foncteur F aux complexes a homotopie pres, et le morphisme K m : la -extension du morphisme m aux complexes a homotopie pres. 63

J.-L. Verdier

2.5.11. Soient X et Y deux complexes de C . Un morphisme de comp(C ) , f : X ! Y , est appele un homotopisme si son image f_ dans K(C ) est un isomorphisme. Les complexes X et Y sont dits homotopes s'ils sont isomorphes dans K(C ) . 2.5.12. Soient X et Y deux complexes de C , f; g : X w Y deux morphismes de comp(C ), a; b : f } w g deux homotopies reliant f a g . On appelle homotopie du deuxieme ordre reliant a a
b , notee  : a } w b , une famille de morphismes  = i : X i+2 ! Y i ; i 2 Z telle que : (2:5:12:1)

bi ai = i diX+1 diY 1 i 1 :

2.5.13. Remarquons pour terminer que l'isomorphisme (2.4.1) : 1 : comp(C ) ! comp(C ) de nit, en vertu de (2.5.7), un unique isomorphisme :

1 : K(C ) ! K(C ) qui est un isomorphisme de Z-categories. Nous identi erons dorenavant le plus souvent les categories K(C ) et K(C  ) par cet isomorphisme.

64

3. Triangles distingues. 3.1. Le c^one d'un morphisme. 3.1.1. Soit C une categorie additive. On designe par tr1(C ) la categorie suivante : f { Les objets de tr1 (C ) sont les morphismes (de degre zero) X ! Y de complexes d'objets de C . f f 0 { Soient X ! Y et X 0 ! Y deux objets de tr1(C ). Un morphisme de f f X ! Y dans X 0 ! Y 0 est un triplet (g; h; a) , ou g : X ! X 0 et h : Y ! Y 0 sont des morphismes de complexes de degre zero et ou a : f 0 g } w hf est une homotopie reliant f 0 g a hf . { Soient : 0

0

f 0 f f 0 f 00 (g; h; a) : (X ! Y ) ! (X 0 ! Y ) et (g 0; h0 ; a0 ) : (X 0 ! Y ) ! (X 00 ! Y ) 0

0

00

deux morphismes de tr1 (C ) . Le morphisme compose : f 00 f (g 00 ; h00 ; a00 ) : (X ! Y ) ! (X 00 ! Y ) 00

est alors de ni par les egalites : (3:1:1:1)

g 00 = g0 g ; h00 = h0 h ; a00 = a0 ? g + h0 ? a :

On veri e aussit^ot qu'on a bien ainsi de ni une categorie. On represenf f 0 tera le plus souvent un morphisme (g; h; a) : (X ! Y ) ! (X 0 ! Y ) de tr1 (C ) par un diagramme : 0

X (3:1:1:2)

g

u0

X

f

wY h

f

aNN P u0 Z wY 0

:

J.-L. Verdier

f f 0 La categorie tr1 (C ) est additive. La somme directe de X ! Y et de X 0 ! Y est :   0

f 0 0 f

0

X  X0

!Y Y0 :

3.1.2. Soit X !f Y un objet de tr1(C ) . Posons : c(f )i = Y i  X i+1 ; (3:1:2:1)

dic(f ) =

f i+1 ! i i+1 : Y  X ! Y i+1  X i+2 : i +1 dX

diY 0

On veri e qu'on a ainsi de ni un complexe d'objets de C . Ce complexe est note c(f ) et est appele le c^one du morphisme f . Soit maintenant :

f

X g

wY h

u0

X

f

aNN Pu0 Z wY 0

un morphisme de tr1 (C ) . Posons : (3:1:2:2)

hi ai ! i i+1
i : Y  X ! Y 0 i  X 0 i+1 : c (g; h; a) = i+1 0 g

Ces morphismes commutent avec les dierentielles de c(f ) et de c(f 0 ) et par suite de nissent un morphisme de complexes : (3:1:2:3)




c (g; h; a) : c(f ) ! c(f 0 ) :

On veri e qu'on a de ni ainsi un foncteur c : tr1 (C ) ! comp(C ) qu'on appelle le foncteur c^one . Designons par s : comp(C ) ! tr1 (C ) le foncteur X 7 ! (0 ! X ) . Pour f tout objet X ! Y de tr1(C ) , on designe par (f ) : (X !f Y ) ! sc(f ) le 66

Categories Derivees

morphisme suivant de tr1 (C ) :

(f ) = 0; p(f ); a(f ) (3:1:2:4)

p(f )i = a(f )i =




X

u

0

!

f

wY p(f )

a(f A ) M Cw c(fu )

;

idY i : Y i ! Y i  X i+1 ; 0

!

0 idX i+1

: X i+1 ! Y i  X i+1 :

Un calcul immediat montre que  est un morphisme du foncteur identique de la categorie tr1 (C ) dans le foncteur sc . Proposition 3.1.3. Le morphisme  fait du foncteur c^one un adjoint a f gauche du foncteur s, i.e. pour tout objet X ! Y de tr1 (C ) et pour tout objet W de comp(C ) , l'application canonique de nie par le morphisme  :




f Y ); sW Homcomp(C ) c(f ); W ! Homtr1 (C ) (X !




est un isomorphisme. La veri cation est laissee au lecteur. On notera que le foncteur s est pleinement dele et que par suite le foncteur cs est canoniquement isomorphe au foncteur identique. En fait, avec la construction choisie du foncteur c , le foncteur cs est egal au foncteur identique. La propriete d'adjonction de (3.1.3) peut encore se traduire comme suit : l'application de nie par le foncteur :




c : Homtr1 (C ) (X !f Y ); sW ! Homcomp(C )(c(f ); W ) est un isomorphisme. 3.1.4. Nous allons de nir dans tr1(C ) une notion d'homotopie. Soient : f (g; h; a) ; (g 0 ; h0 ; a0 ) : (X ! Y)

67

ww (X 0 !f Y 0 ) 0

J.-L. Verdier

deux morphismes de tr1 (C ) . Une homotopie reliant (g; h; a) a (g 0 ; h0 ; a0 ) est un triplet (b; b0; ) , ou b : g } w g 0 et b0 : h } w h0 sont des homotopies et ou  : f 0 ? b + a0 } w b0 ? f + a est une homotopie du deuxieme ordre (2.5.12). Deux morphismes de tr1 (C ) seront dits homotopes s'il existe une homotopie les reliant. La relation : \(g; h; a) et (g 0 ; h0 ; a0 ) sont homotopes" est une relation d'equivalence compatible avec la somme directe et la composition des morphismes. On peut donc introduire la categorie Tr1 (C ) dont les objets sont les objets de tr1 (C ) et les morphismes les morphismes de tr1 (C ) a homotopie pres. f 0 Y ) deux morProposition 3.1.5. Soient D , D0 : (X !f Y ) ww (X 0 ! phismes de tr1 (C ) . Si les morphismes D et D0 sont homotopes dans tr1 (C ) , alors les morphismes c(D) et c(D0 ) sont homotopes dans comp(C ) . Soient D = (g; h; a) et D0 = (g 0 ; h0 ; a0 ) . Supposons que D et D0 soient homotopes dans tr1 (C ) . Il existe donc des homotopies b et b0 telles que : g 0 g = bd + db ; (3:1:5:1) h0 h = b0 d + db0 : (Pour alleger la notation, nous avons omis dans ce calcul les exposants indiquant le degre des composants.) Il existe de plus une homotopie du deuxieme ordre  telle que : d d = b0 f + a (f 0 b + a0 ) : 0



0



Un calcul immediat montre alors que b0 b est une homotopie qui relie c(D) a c(D0 ) . Corollaire 3.1.6. Les foncteurs : c : tr1 (C ) ! comp(C ) et s : comp(C ) ! tr1 (C ) sont compatibles avec les homotopies de tr1 (C ) et de comp(C ) et de nissent, en passant au quotient, des foncteurs encore notes c : Tr1 (C ) ! K(C ) et s : K(C ) ! Tr1 (C ). Le foncteur c : Tr1 (C ) ! K(C ) est adjoint a gauche du foncteur s : K(C ) ! Tr1 (C ). Ceci resulte formellement de (3.1.5) et de (3.1.3). 3.1.7. Designons par s0 : comp(C ) ! tr1(C ) le foncteur X 7 ! (X ! 0) . Le foncteur cs0 : comp(C ) ! comp(C ) est egal au foncteur de translation de comp(C ) . Le foncteur s0 transforme deux morphismes homotopes de comp(C ) en morphismes homotopes de tr1 (C ) et par suite de nit un foncteur que nous noterons encore s0 : K(C ) ! Tr1 (C ). Le foncteur cs0 : K(C ) ! K(C ) est egal au foncteur de translation de K(C ) . 68

Categories Derivees

3.2. Proprietes du foncteur c^one. 3.2.1. Dans une Z-categorie, on appelle triangle tout diagramme du type : w X [1] : (3:2:1:1) X !u Y !v Z ! Pour designer le triangle (3.2.1.1), on utilise la notation (X; Y; Z; u; v; w) , ou bien le diagramme :

^[ Z [  v[ w  u  wY X

(3:2:1:2)

;

la eche munie d'un poussoir designant le morphisme de degre 1 du triangle. Soient (X; Y; Z; u; v; w) et (X 0; Y 0 ; Z 0 ; u0 ; v 0 ; w0) deux triangles. Un morphisme de triangles est un diagramme commutatif : (3:2:1:3)

u w Y v w Z w w X [1] g h f [1] u 0 u0 u 0 v 0 u 0 w 0 0 u wY wZ w X [1] : X

X f

Les morphismes de triangles se composent de la maniere evidente. Les triangles forment une categorie. 3.2.2. Soit X !f Y un objet de tr1 (C ). Le morphisme (fonctoriel en f ) de tr1 (C ) :

X (3:2:2:1)

idX

f

u

X

wY u w0

;

f fournit, en appliquant le foncteur c^one, un morphisme, fonctoriel en X ! Y, (3.1.7) de comp(C ) :

(3:2:2:2)

q (f ) : c(f ) ! X [1] : 69

J.-L. Verdier

De m^eme, le morphisme de tr1 (C ) : 0

(3:2:2:3)

u

X

f

wY id u Y wY

f fournit, en appliquant le foncteur c^one, un morphisme, fonctoriel en X ! Y, de comp(C ) (3.1.2.4) : (3:2:2:4) p(f ) : Y ! c(f ) : f On peut donc associer a tout objet X ! Y de tr1 (C ) un triangle de comp(C ) : f) f) X f! Y p(! c(f ) q(! X [1] :

(3:2:2:5)

f On notera que ce triangle ne depend pas fonctoriellement de l'objet X ! Y f f 0 0 de tr1 (C ) . Soit, en eet, D = (g; h; a) : (X ! Y ) ! (X ! Y ) un morphisme de tr1 (C ) . On obtient alors le diagramme : f w Y p(f ) w c(f ) q (f ) w X [1] X 0

(3:2:2:6)

g

u0

X

h

ah j u0 t f0 w Y

c(D)

u0

p(f 0 ) w c(f ) q (f 0 )

w

u

g [1]

X 0 [1]

:

Les morphismes p(f ) et q (f ) etant fonctoriels en f , les deux derniers carres de ce diagramme sont commutatifs, mais le premier carre est commutatif a homotopie pres seulement. En passant au quotient par les homotopies, on f peut associer a tout objet X ! Y de Tr1 (C ) un triangle de K(C ) : (3:2:2:7)

_ f) f) X f! Y p_(! c(f ) q_(! X [1]

f qui depend fonctoriellement de X ! Y . (On designe par f_ , p_(f ) , q_(f ) les classes modulo homotopie des morphismes f , p(f ) , q (f ) respectivement.) On a donc ainsi un foncteur de la categorie Tr1 (C ) dans la categorie des triangles de K(C ) .

70

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3.2.3. L'automorphisme de translation de comp(C ) s'etend naturellement en un automorphisme T : tr1 (C ) ! tr1 (C ) : (3:2:3:1)

[1] T (X f! Y ) = X [1] f ! Y [1]
T (g; h; a) = (g [1] ; h[1] ; a[1] ) :

On fait alors du foncteur c^one un Z-foncteur (1.5.2) en de nissant un isomor' c(f )[1] : phisme (f ) : c(f [1]) ! (3:2:3:2)

0 id i+1 Y (f )i = @

0

0

idX i+2

1 A : Y i+1  X i+2 ! Y i+1  X i+2 :

Le lecteur veri era que (3.2.3.2) de nit bien un isomorphisme de complexes et demontrera la proposition suivante : Proposition 3.2.4. Lorsque f = 0 ! Y , l'isomorphisme canonique :

c(f [n]) ! c(f )[n] n'est autre que l'application identique de Y [n] . Lorsque f = X ! 0 , l'isomorphisme canonique : c(f [n]) ! c(f )[n] n'est autre que l'isomorphisme : ( 1)n idX [n+1]

! X [n + 1] :

X [n + 1]

3.2.5. Soit X !f Y un objet de tr1 (C ) . On peut lui associer un triangle de comp(C ) : (3:2:5:1)

f) f) [1] Y p(! c(f ) q(! X [1] f ! Y [1] :

Or le morphisme q (f )p(f ) : Y ! X [1] est le transforme par le foncteur c^one du morphisme : wY 0

u

u

w0

X 71

:

J.-L. Verdier

Il est donc nul. Il existe donc, d'apres les proprietes d'adjonction du foncteur c^one (3.1.3), un unique morphisme :




J : c p(f ) ! X [1] ;

(3:2:5:2) tel que le diagramme : (3:2:5:3)

c(f ) p(p(f )) w c(p(f )) idc(f ) J u u c(f ) q (f ) w X [1]

soit commutatif et que l'on ait Ja(p(f )) = 0 (3.1.2.4). Proposition 3.2.6. a) Le morphisme J est un homotopisme, i.e. est un isomorphisme a homotopie pres. b) Le diagramme : c(p(f )) q (p(f )) w Y [1] idY [1] J (3:2:6:1) u u f [1] w Y [1] X [1] est anticommutatif a homotopie pres. 3.2.7. Demonstration. Nous allons d'abord construire un morphisme
H : X [1] ! c p(f ) . Il sut pour cela de construire un morphisme entre les deux foncteurs que ces
objets representent. Soit W un objet de comp(C ) . Un morphisme de c p(f ) dans W n'est autre que, tenant compte des proprietes d'adjonction du foncteur c^one (3.1.3), un couple (u; a) , ou u : c(f ) ! W Utiliest un morphisme de complexes et a : 0 } w up(f ) est une homotopie.
sant encore une fois (3.1.3), on voit qu'un morphisme de c p(f ) dans W est un triplet (m : Y ! W ; a : 0 } w m ; b : 0 } w mf ). Associons a ce triplet le diagramme :

X (3:2:7:1)

u

0

w0

Pu ZNN wW 72

 =b a?f ;

Categories Derivees

i.e. ((3.1.3) et (3.1.7)) un morphisme de X [1] dans
W . On a donc associe, fonctoriellement en W , a tout morphisme de c p(f ) dans W un morphisme
de X [1] dans W , et par suite on a de ni un morphisme H : X [1] ! c p(f ) . Pour prouver la partie a ) de la proposition (3.2.6), il sut de montrer que :

(3:2:7:2)

Le morphisme JH : X [1] ! X [1] est l'identite.







(3:2:7:3) Le morphisme HJ : c p(f ) ! c p(f ) est homotope a l'identite. Pour prouver la partie b ) de la proposition (3.2.6), il sut de montrer de plus que : (3.2.7.4) Le diagramme : f [1] w Y [1] X [1]

H

u

u

idY [1]

c(p(f )) q (p(f )) w Y [1] est anticommutatif.

3.2.8. Demonstration de l'assertion (3.2.7.2). Montrons que le morphisme JH : X [1] ! X [1] est l'identite. Il sut

pour cela de voir que le morphisme JH induit l'endomorphisme identique du foncteur represente par X [1] . D'apres (3.1.3) et (3.1.7), le foncteur :

W 7 ! Homcomp(C )(X [1]; W ) n'est autre que le foncteur :

9 > > > = (3:2:8:1) > > u NN P Z w W >; :
D'autre part, d'apres (3.2.7), l'objet c p(f ) de comp(C ) represente le fonc8 > X > > < W 7 !> > > : 0u

teur :

(3:2:8:2)

w0

n

o

W 7 ! (m : Y ! W ; a : 0 } w m ; b : 0 } w mf ) 73

:




J.-L. Verdier

L'homomorphisme J : c p(f ) ! X [1] correspond, ainsi qu'on le veri e immediatement, au morphisme fonctoriel : (3:2:8:3) X w0 D=  7! JD = (0 : Y ! W; 0 : 0 } w 0 ;  : 0 } w 0) :

u

ju th wW

0




Le morphisme H : X [1] ! c p(f ) correspond par de nition (3.2.7) au morphisme fonctoriel :

X (3:2:8:4) t = (m : Y ! W; a : 0 } w m; b : 0 } w mf ) 7! Ht =

u

w0 ; = b h u tjw W

a?f:

0 Le compose de ces deux morphismes fonctoriels est bien l'identite, ce qui demontre l'assertion (3.2.7.2).

3.2.9. Demonstration de l'assertion (3.2.7.3).

D'apres (3.2.8), le morphisme HJ : c p(f ) ! c p(f ) correspond au morphisme fonctoriel : (3:2:9:1)

t = (m : Y !W ; a : 0 } w m ; b : 0 } w mf ) 7 ! HJt = = (0 : Y ! W ; 0 : 0 } w 0 ; b a ? f : 0 } w 0)

et par suite : (3:2:9:2)

t HJt = (m : Y ! W ; a : 0 } w m ; a ? f : 0 } w mf ) :

Pour prouver l'assertion (3.2.7.3), il sut de montrer que tout triplet de la forme (m : Y ! W ; a : 0 } w m
; a ? f : 0 } w mf ) correspond a un morphisme homotope a zero de c p(f ) dans W . Or un tel triplet de nit, en utilisant (3.1.3), un morphisme : (3:2:9:3)

v : c(f ) ! W

v = (m : Y ! W ; a ? f : 0 } w mf )

et une homotopie : (3:2:9:4)

a : 0 } w vp(f ) = m ; 74

Categories Derivees

d'ou un diagramme :

Y (3:2:9:5)

p(f )

w c(f ) v

Cu MaAA wW

u

0

de nissant par (3.1.3) le morphisme n : c(p(f )) ! W associe au triplet (m : Y ! W ; a : 0 } w m ; a ? f : 0 } w mf ) . Pour montrer que le morphisme n est homotope a zero, il sut (3.1.5) de montrer que le diagramme (3.2.9.5) est un morphisme homotope a zero de tr1 (C ) et, pour cela, il sut de montrer qu'il existe une homotopie : 0 } w v telle que ? p(f ) = a . Or le morphisme v : c(f ) ! W a pour composants : (3:2:9:6)

v i = (mi; ai f i+1 ) : Y i  X i+1 ! W i

et on veri e immediatement que l'homotopie de composants :

i = (ai; 0) : Y i+1  X i+2 ! W i

(3:2:9:7)

relie 0 a v et que ? p(f ) = a , ce qui acheve la demonstration de l'assertion (3.2.7.3).

3.2.10. Demonstration de l'assertion (3.2.7.4). L'objet Y [1] represente le foncteur :

8 > Y > < W 7 !> > : u

(3:2:10:1)

0

w 0 9>>= P u >>; ZNN wW

et le morphisme f [1] : X [1] ! Y [1] represente le morphisme fonctoriel : (3:2:10:2)

D=

Y

u

0

w0 7 NN P u Z wW

! f [1]D =

X

u

0 75

w0  ? fNN Z Pw Wu

:

J.-L. Verdier







De m^eme, le morphisme q p(f ) : c p(f ) ! Y [1] represente le morphisme fonctoriel : (3:2:10:3) Y w0 7 ! q(p(f ))D = (0 : Y ! W ;  : 0 } w 0 ; 0 : 0 } w 0) : D=

u

Pu ZNN wW

0 Par suite, en utilisant (3.2.8.4), pour demontrer (3.2.7.4), il sut de remarquer que pour tout diagramme : w0 Y D= ;

u

0


on a Hq p(f ) D + f [1]D = 0 .

j u th wW

3.2.11. Soient X !f Y !g Z deux morphismes de comp(C ) . Posons gf = h . On peut construire, avec ces donnees, deux diagrammes commutatifs : (3:2:11:1)

X

f

u

h

D = idX X

wY g u wZ

X h D0 = f u Y g

;

wZ id u Z wZ

que nous interpreterons comme des morphismes de tr1 (C ). D'ou, en appliquant le foncteur c^one, deux diagrammes : D) c(f ) c(! c(h) c(D!) c(g ) g wZ Y 0

(3:2:11:2)

I = p(f )

u

u

p(h)

c(f ) c(D) w c(h)

:

Ce dernier diagramme est un carre commutatif (3.2.2.4) et peut donc ^etre interprete comme un morphisme de tr1 (C ), d'ou en appliquant encore une fois le foncteur c^one, un morphisme :
(3:2:11:3) c(I ) : c(g ) ! c c(D) : 76

Categories Derivees




Proposition 3.2.12. a) Le morphisme c(I ) : c(g) ! c c(D) est un homoto-

pisme. b) Le diagramme :

(3:2:12:1)

c(g )

A AC c(D0)AA c(I ) A A u AA p(c(D)) c(h) w c(c(D))

est commutatif a homotopie pres. c) Le diagramme : q (g ) c(g )

(3:2:12:2)

c(I )

w Y [1]

u

u

p(f )[1]

c(c(D)) q (c(D)) w c(f )[1]

est commutatif. En eet, un calcul immediat montre que le i-eme composant du morphisme c(I ) est : 0 id 0 1 (3:2:12:3) c(I )i = B @ 00 id0 C A : Z i  Y i+1 ! Z i  X i+1  Y i+1  X i+2 : 0 0
Le morphisme u : c c(D) ! c(g ) de composants : ! id 0 0 0 : Z i  X i+1  Y i+1  X i+2 ! Z i  Y i+1 (3:2:12:4) ui = 0 f i+1 id 0 est un inverse de c(I ) a homotopie pres, ce qui demontre la premiere assertion. Pour demontrer la deuxieme assertion, il sut de veri er que le diagramme : c(g )

AA A AA c(D0)

(3:2:12:5)

c(h)

C AAA

p(c(D))

u

u

w c(c(D))

est commutatif, ce qui se fait en exhibant les composants. En n, d'apres (3.2.2), les proprietes fonctorielles du morphisme q (f ) (3.2.2.2) impliquent que le carre (3.2.12.2) soit commutatif. 77

J.-L. Verdier

3.3. Proprietes des triangles distingues. De nition 3.3.1. Un triangle X !u Y !v Z !w X [1] de K(C ) sera dit distinf 0 gue s'il existe un objet X 0 ! Y de Tr1 (C ) et un isomorphisme de triangles 0

((3.2.1.3) et (3.2.2.7)) :

X fo

u0

X

u f_0

wY

wZ

v

go

u0

p_(f 0 )

wY

w

ho

u0

q_(f 0 )

w c(f )

w X [1]

o f [1]

u w X 0[1]

:

Proposition 3.3.2. (TRI) Tout triangle de K(C ) isomorphe a un triangle distingue est un triangle distingue. Pour tout objet X de K(C ) , le triangle X id!X X ! 0 ! X [1] est distingue. Tout morphisme u : X ! Y de K(C ) est u Y ! v Z! w X [1] . contenu dans un triangle distingue X !

La premiere assertion est triviale. Pour demontrer la deuxieme assertion, il sut de montrer que le diagramme :

X idX

u

X

idX idX

wX idX

u

wX

w0

w X [1]

u

u

idX [1]

p_(idX ) w c(id ) q_(idX ) w X [1] X

est un isomorphisme de triangles de K(C ) . Il sut donc de montrer que c(idX ) est homotope a zero. Or il resulte immediatement de la de nition des homotopies dans tr1 (C ) (3.1.4) que tout morphisme de tr1 (C ) du type :

X

idX

wX g

u

Pu ZaNN wW

0

est homotope a zero. Les proprietes d'adjonction du foncteur c^one (3.1.6) montrent alors que c(idX ) est homotope a zero. Soit f : X ! Y un morphisme 78

Categories Derivees

de comp(C ) dans la classe modulo homotopie de u : X ! Y . On a alors un f objet de Tr1 (C ) : X ! Y . Le triangle distingue : u

!Y

X

p_ (f )

q_(f )

! c(f )

! X [1]

contient le morphisme u . Proposition 3.3.3. (TRII) Un triangle X u! Y v! Z w! X [1] de K(C ) est distingue si et seulement si le triangle Y v! Z w! X [1] u![1] Y [1] est distingue. Supposons que le triangle X u! Y v! Z w! X [1] soit distingue. Il est alors isomorphe a un triangle du type :

X0

f_

!Y0

p_ (f )

q_(f )

! X 0[1] ;

! c(f )

ou X 0 f! Y 0 est un objet de Tr1 (C ) . Il sut donc de montrer que le triangle :

Y0

p_ (f )

! c(f )

q_(f )

! X 0[1]

f_[1]

! Y 0[1] ;

est distingue. Or d'apres (3.2.6), le diagramme :

Y0 idY

0

u0

Y

p_(f ) p_(f )

w c(f ) idc(f )

u

w c(f )

p_(p(f ))

w c(p(f ))

q_(f )

J_ u w X 0[1]

q_(p(f ))

w Y 0[1]

f_[1]

u 0

idY [1] 0

w Y [1]

est un isomorphisme de triangles dans K(C ) . Supposons maintenant que le triangle Y v! Z w! X [1] u![1] Y [1] soit distingue. On en deduit par (3.2.4) que le triangle :

Y [ 1]

v[ 1]

! Z [ 1]

w[ 1]

u

!X !Y

est distingue et, en appliquant deux fois l'argument precedant, que le triangle : X u! Y v! Z w! X [1] est distingue, ce qui acheve la demonstration. 79

J.-L. Verdier

Proposition 3.3.4. (TRIII) Soient : w X 0 [1] v Z0 ! u Y0 ! w X [1] ; X 0 ! X !u Y !v Z ! deux triangles distingues de K(C ) et : 0

0

(3:3:4:1)

X0 m

u0

X

u

u

0

w Y0 n u wY

un carre commutatif de K(C ) . Il existe un morphisme r : Z 0 ! Z tel que le diagramme : 0 0 0 X 0 u w Y 0 v w Z 0 w w X 0 [1]

m

u

X

n

r

u

wY

u

v

u

wZ

w

u

m[1]

w X [1]

soit un morphisme de triangles. Par de nition, les triangles proposes sont isomorphes a des triangles : _

V f! W _

V 0 f! W 0 0

p_(f )

q_(f )

! c(f ) ! V [1] ;

p_(f ) 0

q_(f ) 0

! c(f 0 ) ! V 0[1]

et, par suite, le carre (3.3.4.1) est isomorphe a un carre : f_0 0 0

V g_

u

V

wW g_ 0 u wW

f_

;

ou g : V 0 ! V et g 0 : W 0 ! W sont des morphismes de comp(C ) . Le carre de comp(C ) : 0

V0 g

u

V

f

w W0 g0 u wW

f 80

Categories Derivees

est commutatif a homotopie pres. Soit donc a : fg } w g 0 f 0 une homotopie. Le diagramme : f0

V0

w W0

D= g

g0

u

V

f

aP u ZNN wW

est un morphisme de tr1 (C ) . On en deduit par (3.2.2.7) que le diagramme : 0 0 _0 V 0 f w W 0 p_(f ) w c(f 0 ) q_(f ) w V 0 [1] g_ g_ 0 c_(D) g_ [1] u f_ u p_(f ) u q_(f ) u V wW w c(f ) w V [1] est un morphisme de triangles dans K(C ) , d'ou l'existence du morphisme r : Z0 ! Z . Proposition 3.3.5. (TRIV) Soit : 2[

 [u[ u 3 ]1

u2

X

X1

w X3

un diagramme commutatif de K(C ) . Il existe trois triangles distingues : 3 X v! 3 Z w! 3 X [1] ; X1 u! 2 3 1 1 X v! 1 Z w! 1 X [1] ; X2 u! 3 1 2 2 X v! 2 Z w! 2 X [1] X1 u! 3 2 1

et deux morphismes : tels que :

m1 : Z3 ! Z2 ; m3 : Z2 ! Z1 ; 81

J.-L. Verdier

a) Les diagrammes :

u3

X1 id

u

X1

u2

X1 u3

u2

u

u1

u

w X3

v2

w X3

v2

id

u1

X2

v3

w X2

u

v1

w X3

soient des morphismes de triangles. b) Le triangle :

Z3

m1

m

w3 w X [1] 1

w Z3

m1

u id

u

w2 w X [1] 1 w2 w X [1]

w Z2 w Z2

m3

! Z2 3! Z1

1

u

u

u3 [1]

w1 w X [1] 2

w Z1 v3 [1]w1

! Z3 [1]

soit distingue. Soient f : X1 ! X2 (resp. g : X2 ! X3 ) un morphisme de comp(C ) qui soit dans la classe u3 (resp. u1 ). Posons h = gf : X1 ! X3 . Le morphisme h est dans la classe u3 . Pour demontrer la proposition, il sut de prendre pour triangles distingues les triangles (3.2.2) :

X1 X2 X1

f_

! X2

p_ (f )

q_(f )

g_

p_(g)

q_ (g)

h_

p_ (h)

q_(h)

! X3 ! X3

! c(f ) ! c(g)

! c(h)

! X1[1] ;

! X2[1] ; ! X1[1]

et pour morphismes, les morphismes : c(D) : c(f ) ! c(h) ; c(D0 ) : c(h) ! c(g ) ; ou D et D0 sont les diagrammes :

X1 D = id

u

X1

f h

w X2 u

g

w X3

X1 D0 = f

;

u

X2 82

h

w X3

g

u id

w X3

:

Categories Derivees

En eet, la premiere assertion est une consequence immediate de (3.2.2) et, d'apres la proposition (3.2.12), il existe un morphisme c(I ) : c(g ) ! c(c(D)) tel que le diagramme : c_(D0 ) w c(g ) p_(f )[1]_q(g ) w c(f )[1] c(f ) c_(D) w c(h) c_(I ) id id u c_(D) id u p_(c(D)) u u w c(h) w c(c(D)) q_(c(D)) w c(f )[1] c(f ) soit un isomorphisme de triangles.

3.3.6. Soit F : J ! comp(C ) un foncteur. Designons par F`n (J ) la categorie des suites de n morphismes composables de J : les objets de F`n (J ) sont les diagrammes de J : 1 i f! 2 i i1 f! 2 3




fn

! in+1 :

Soient (ip ; fp) et (jp ; gp) deux suites de n morphismes composables de J . Un morphisme, dans F`n (J ), de (ip; fp ) dans (jp ; gp) est un diagramme commutatif :

i1 f1 h u 1 g1 j 1

w i2 u

h2

w j2

f2 g2

f3

w i3 u

h3

w j3

g3

w w









fn

w in+1 u

gn

hn+1

w jn+1

:

La composition des morphismes se de nit de la maniere evidente. On designe f par Fln (J ) l'ensemble des objets de F`n (J ) . Soit i ! j un objet de F`1 (J ) . En appliquant le foncteur F , on obtient un morphisme de comp(C ) :

F (i) F (!f ) F (j ) ; qu'on peut interpreter comme un objet de Tr1 (C ) , d'ou, en appliquant le foncteur c^one, un foncteur S : F`1 (J ) ! K(C ) : (3:3:6:1)







S (f ) = S i !f j = c F (i) F (!f ) F (j ) : 83

J.-L. Verdier

f Soit maintenant i ! j !g k un objet de F`2 (J ). On peut lui faire correspondre le diagramme suivant de Tr1 (C ) :

F (i) F (f ) w F (j ) F (g ) id u F (gf ) u w F (k) F (i)

(3:3:6:2)

F (f )

u id

u

F (j ) F (g ) w F (k)

:

Posons :

 (f; g ) : S (g ) ! S (f )[1] ;

(3:3:6:3)







 (f; g ) = p_ F (f ) [1]q_ F (g ) :

On obtient, en appliquant le foncteur c^one au diagramme (3.3.6.2), un foncteur de F`2 (J ) dans la categorie des triangles de K(C ) : (3:3:6:4)

f g (i ! j ! k) 7 ! S (f ) ! S (gf ) ! S (g )

(f;g)

! S (f )[1] :

La n de la demonstration de (3.3.5) montre que le triangle :

S (f ) ! S (gf ) ! S (g )

(f;g)

! S (f )[1]

est un triangle distingue.

3.4. Proprietes fonctorielles des triangles distingues. Proposition 3.4.1. Soient 1 : K(C ) ! K(C ) l'isomorphisme canonique u v w X [1] un triangle distingue de K(C ) . Le triangle (2.5.13) et X ! Y ! Z ! de K(C ) : w v u (1 X )[ 1] 1 ! 1 Z 1 ! 1 Y 1! 1 X est distingue.

84

Categories Derivees

On peut toujours supposer (3.3.1) que le triangle propose est de la forme :

_ f) f) X !f Y p_(! c(f ) q_(! X [1] ; ou f : X ! Y est un morphisme de comp(C ) . Il s'agit alors de montrer que

le triangle :

1 q_(f )

1 p_ (f )

(_1 f )

(1 X )[ 1] ! 1 c(f ) ! 1 Y ! 1 X est distingue (1 f est l'image par 1 : comp(C ) ! comp(C ) du morphisme f ). Il resulte immediatement des de nitions de 1 (2.4.1) et du foncteur c^one (3.1.2) que les composants et les dierentielles du complexe 1 c(f ) sont :

1c(f )i = (1X )i 1  (1 Y )i ; (3:4:1:1)

0 di 1 ( f )i 1 1 1 X C di1 c(f ) = B @ A

Par suite, on a l'egalite :

0

:

1 c(f ) = c( 1 f )[ 1]

et on veri e que le diagramme : 1q_(f ) w 1c(f ) (1 X )[ 1] (1 X )[ 1]

di1 Y

w 1 Y

1_f

w 1 X

p_( 1 f )[ 1] w c(  f )[ 1] q_( 1 f )[ 1] w  Y 1 1

1_f

w 1 X

1p_(f )

est commutatif. Il sut alors d'appliquer (3.3.3) pour achever la demonstration. 3.4.2. Soit F : Q Ci ! C un foncteur multiadditif. Supposons, pour xer i2[n] les idees, que les produits denombrables soient representables dans C . Soient alors : Y K F : K(Ci ) ! K(C ) i2[n]

la -extension de F aux complexes a homotopie pres et : pi : K F (X1 ; . . . ; Xi[1]; . . . ; Xn) ! K F (X1 ; . . . ; Xi; . . . ; Xn )[1] les isomorphismes fonctoriels canoniques. 85

J.-L. Verdier

Soient j 2 [n] et pour tout i 6= j , Xi un objet de K(Ci ) . Designons par G : K(Cj ) ! K(C ) le foncteur : (3:4:2:1) X 7 ! G(X ) = K F (X1; . . . ; X; . . . ; Xn) ;  G(X )[1] l'isomorphisme fonctoriel deduit de p . et par m : G(X [1]) ! j

Proposition 3.4.3. Pour tout triangle distingue : w X [1] X !u Y !v Z ! de K(Cj ) , le triangle de K(C ) : G(X ) G(!u) G(Y ) G(!v) G(Z )

mG(w)

! G(X )[1]

est distingue. On peut, tout d'abord, supposer que le triangle distingue de K(Cj ) est de la forme (3.3.1) : _ f) f) X !f Y p_(! c(f ) q_(! X [1] ; ou f : X ! Y est un morphisme de comp(Cj ) . Designons par : H : comp(Cj ) ! comp(C )

le foncteur :

X 7 ! H (X ) = compF (X1 ; . . . ; X; . . . ; Xn) ;  H (X )[1] l'isomorphisme fonctoriel de commutation et par m : H (X [1]) ! aux translations dans la direction j . Le foncteur (G; m) s'obtient a partir du foncteur (H; m) en passant aux complexes a homotopie pres. Pour demontrer la proposition, il sut de montrer qu'il existe un isomorphisme de complexes dans comp(C ) :
 c H (f )
J : H c(f ) ! tel que le diagramme ci-apres soit commutatif : (3:4:3:1) H (X ) H (f ) w H (Y ) H (p(f )) w H (c(f )) H (q (f )) w H (X [1]) id

u

id

J

u

m

u H (f ) p (H (f )) q (H (f )) w H (Y ) w c(H (f )) w H (X )[1] : H (X ) 86

u

Categories Derivees

Pour tout complexe X , designons par X le complexe obtenu en gardant les composants de X et en annulant les dierentielles. Il resulte immediatement de la de nition de H qu'on a l'egalite H (X ) = H (X ). De m^eme, pour tout morphisme de complexes f : X ! Y , designons par f : X ! Y le morphisme obtenu en conservant les composants de f . Il resulte alors de la de nition du foncteur c^one que c(f ) = Y  X [1], que le morphisme p(f ) : Y ! c(f ) est la premiere injection et que le morphisme q (f ) : c(f ) ! X [1] est la deuxieme projection. Le foncteur H et le foncteur \ " etant additifs, on en

, que H p(f )
: H (Y ) ! H c(f )
est deduit que H c(f ) = H (Y )  H X [1]


la premiere injection et que H q (f ) : H c(f ) ! H X [1] est la deuxieme projection. Il en resulte que :







H c(f ) l = H (Y )l  H X [1] l ;

(3:4:3:2)

0 dl H (Y ) dlH (c(f )) = B @ 0

l

dlH (X [1])

1 C A ;




l : H X [1] l ! H (Y )l+1 :
La dierentielle de H
c(f ) s'obtient
sous cette forme en exprimant simplement que H p(f ) et H q (f ) sont des morphismes de complexes. Pour calculer l , il faut revenir a la de nition du foncteur H et, par suite, a la de nition du foncteur complexe simple associe (2.2.2.5). On a :

Y




H X [1] l =

=  li ei  li =l i

(3:4:3:3)

H (Y )l+1 =

=  li ei  li =l i

l =

Y

Y

=  li ei  li =l

F (X1l1 ; . . . ; X lj +1 ; . . . ; Xnln ) ; F (X1l1 ; . . . ; Y lj +1; . . . ; Xnln ) ; "(; j )F (X1l1 ; . . . ; f lj +1 ; . . . ; Xnln ) :

i

87

J.-L. Verdier

Par ailleurs, on a (de nition du foncteur c^one) :







c H (f ) l = H (Y )l  H (X )[1] l ; (3:4:3:4)

0 dl l+1 1 H (Y ) H (f ) C dlc(H (f )) = B A @ dlH (X )[1]

0

;

ou le morphisme H (f ) est de ni par (2.4.2.6), (2.4.2.3) et (2.2.2.6) : (3:4:3:5)

Y

H (f )l+1 =

F (X1l1 ; . . . ; f lj +1; . . . ; Xnln ) :

=  li ei  li =l

Posons alors :







J l : H (Y )l  H X [1] l ! H (Y )l  H (X )[1] l ; (3:4:3:6)

0 id l H (Y ) B l J =@ 0

l =

Y

=  li ei  li =l

0 l

1 C A

;

"(; j )idF (X1l1 ;...;Xlj +1 ;...;Xnln ) :

Pour veri er que les J l sont les composants d'un morphisme de complexes, il sut de veri er que : (3:4:3:7)

l = H (f )l+1 l ; l+1 dlH (X [1]) = dlH (X )[1] l :

Pour veri er que le diagramme (3.4.3.1) est commutatif, il sut de veri er que : (3:4:3:8)

l = ml : 88

Categories Derivees

La premiere egalite de (3.4.3.7) est evidente ((3.4.3.3) et (3.4.3.5)). La deuxieme egalite de (3.4.3.7) resulte de (3.4.3.8). Pour veri er (3.4.3.8), il sut de se reporter a la de nition du morphisme m (2.3.2.1). 3.4.4. Lorsque les sommes directes denombrables sont representables dans C , on a une proposition analogue a la proposition (3.4.3) pour le foncteur KF . La demonstration s'obtient en remplacant dans la demonstration de la proposition (3.4.3) les produits par des sommes.

89

Appendice : Commentaires sur le choix des signes. Le foncteur c^one est determine a isomorphisme unique pres par ses proprietes d'adjonction (3.1.3). Pour pouvoir associer facilement a un morphisme de tr1 (C ) un triangle de comp(C ) , nous avons choisi pour foncteur de translation le foncteur \c^one du morphisme X ! 0 " ((3.1.7) et (3.2.2.7)), i.e. decalage des degres et changement de signe de la dierentielle. Q C ! C un foncteur multiadditif. La categorie Q comp(C ) Soit F : i i i2[n] i2[n] est munie naturellement structure de Z[n]-categorie. Si on veut que Q compd'une le foncteur F [n] : (Ci) ! compn (C ) soit un Z[n]-foncteur strict, on i2[n] est conduit au choix des conventions que nous avons fait pour les translations : decalage des degres dans une direction et changement de signe de la dierentielle correspondante. Nous avons pris les conventions de [1] pour le choix du foncteur complexe simple associe (a ceci pres que, dans nos complexes multiples, les dierentielles Q commutent entre elles). Ceci permet de de nir le foncteur K F : K(Ci ) ! K(C ) . Il se trouve alors que K F (X1 ; . . . ; Xi[1]; . . . ; Xn ) i est dierent de K F (X1 ; . . . ; Xi; . . . ; Xn )[1] . Pour pouvoir neanmoins armer que le foncteur K F transforme les triangles distingues en triangles distingues, on est amene a de nir les isomorphismes :  K F (X ; . . . ; X ; . . . ; X )[1] pi : K F (X1 ; . . . ; Xi[1]; . . . ; Xn) !  1 i n (demonstration de (3.4.3)). Il se trouve alors que, pour i 6= j , on a des diagrammes anticommutatifs : K F (X1 ; . . . ; Xi[1]; . . . ; Xj [1]; . . .)

pi

u

K F (X1 ; . . . ; Xi; . . . ; Xj [1]; . . .)[1]

pj

w K F (X1; . . . ; Xi[1]; . . . ; Xj ; . . .)[1]

pj

u

pi

w K F (X1; . . . ; Xi; . . . ; Xj ; . . .)[2] :

On a alors montre (1.5.2) comment prolonger de facon coherente ces isomorphismes en isomorphismes p( ) de nis pour tout  2 Z[n] . Il intervient ici un choix arbitraire. Il consiste a choisir un cocycle dans une classe de cohomologie qui elle est bien determinee : la classe de Koszul (1.6.3). Pour nous conformer aux regles communement admises (par exemple [1]), nous avons choisi de prendre dans tous les cas le cocycle de Koszul (1.6.6).

Chapitre II Categories triangulees.

1. De nitions et premieres proprietes. 1.1. De nition des categories triangulees. De nition 1.1.1. Une categorie triangulee D est une Z-categorie additive

stricte (chap. I, 1.5.11) munie d'un ensemble de triangles (chap. I, 3.2.1), appeles triangles distingues , possedant les proprietes suivantes : TRI : Tout triangle de D isomorphe a un triangle distingue est un triangle X X ! 0 ! X [1] est distingue. Pour tout objet X de D , le triangle X id! distingue. Tout morphisme u : X ! Y de D est contenu dans un triangle u v w distingue X ! Y ! Z ! X [1] . u Y ! v Z ! w X [1] est distingue si et TRII : Un triangle de D : X ! [1] v Z! w X [1] u! seulement si le triangle Y ! Y [1] est distingue. TRIII : Pour tout couple de triangles distingues :

X u! Y v! Z w! X [1] ; 0

0

0

u

wY g u0

X 0 u! Y 0 v! Z 0 w! X 0 [1]

et tout diagramme commutatif :

X f

u0

X

u0

wY

;

J.-L. Verdier

il existe un morphisme h : Z ! Z 0 tel que (f; g; h) soit un morphisme de triangle, i.e. tel que le diagramme ci-apres soit commutatif :

u w Y v w Z w w X [1] g h f [1] u 0 u0 u 0 v 0 u 0 w 0 0 u X wY wZ w X [1] :

X f

TRIV : Pour tout diagramme commutatif : 2[

 [u[ u 3 ]1

u2

X

X1

et tout triplet de triangles distingues :

w X3

X1 u! X2 v! Z3 w! X1 [1] ; X2 u! X3 v! Z1 w! X2 [1] ; X1 u! X3 v! Z2 w! X1 [1] ; 3

3

3

1

1

1

2

2

2

il existe deux morphismes :

m1 : Z3 ! Z2 ; m3 : Z2 ! Z1 ; tels que (idX ; u1 ; m1) et (u3 ; idX ; m3 ) soient des morphismes de triangles, 1

3

et tels que le triangle :

Z3 m! Z2 m! Z1 1

3

v3 [1]w1

! Z3 [1]

soit distingue.

Remarque 1.1.2. Soit (X; Y; Z; u; v; w) un triangle distingue. Il resulte de TRII que dans la suite illimitee :


! X [n]

( 1)n u[n]

! Y [n]

( 1)n v[n]

! Z [n]

( 1)n w[n]

! X [n + 1] !




trois morphismes consecutifs forment un triangle distingue. Les automorphismes de D : X 7 ! X [n] sont appeles automorphismes de translation. 94

Categories Derivees

De nition 1.1.3. Soient D et D0 deux categories triangulees. Un foncteur exact de D dans D0 est un Z-foncteur (non necessairement strict) (chap. I, 1.2.4) (F; p) : D ! D0 tel que, pour tout triangle distingue : w X [1] X !u Y !v Z !

de D , le triangle :

FX Fu! FY Fv! FZ

p(X )Fw

! (FX )[1]

soit distingue (1.1.4.2). De nition 1.1.4. Soient DiQ, 1  i  n et D , n +1 categories triangulees. Un foncteur multi-exact de Di dans D est un Zn -foncteur tordu (chap. I, i Q 1.4.4) (F; p) : Di ! D tel que, pour toute famille d'objets Xi appartenant i respectivement aux categories Di , i 6= j , le Z-foncteur :

X 7 ! F (X1 ; . . . ; X; . . . ; Xn) : Dj ! D soit un foncteur exact. 1.1.4.1. Dans la de nition (1.1.4), la categorie Q Di est munie de sa i Zn-structure canonique et le groupe Zn opere sur la categorie D par l'intermediaire de l'homomorphisme Zn ! Z , somme des coordonnees (chap. I, 1.6.6). 1.1.4.2. Conformement a la regle des signes I (chap. I, 1.6.6), les foncteurs multi-exacts seront, sauf mention expresse du contraire, tordus par le cocycle de Koszul relatif a la base canonique e1 ; . . . ; en de Zn (chap. I, 1.6.4). Ceci implique en particulier que les foncteurs exacts de D dans D0 sont tordus par le cocycle trivial. De nition 1.1.5. Soient D une categorie triangulee et A une categorie abelienne. Un foncteur H : D ! A est appele foncteur cohomologique si pour tout triangle distingue : w X [1] X !u Y !v Z !

le diagramme :

HX Hu ! HY Hv! HZ Hw ! H X [1]

est une suite exacte de A .

95




J.-L. Verdier

On montrera (1.2.7) que les foncteurs cohomologiques sont additifs et que les foncteurs multi-exacts sont multi-additifs. Soit H : D ! A un foncteur cohomologique. On
utilise le plus souvent la notation H 0 (X ) = H (X ) , H n (X ) = H X [n] . En utilisant l'axiome TRII, on voit wqu'un foncteur cohomologique associe a tout triangle distingue X !u Y !v Z ! X [1] une suite exacte longue : (1:1:5:1) H ( w) 0 H (u) H (v ) H (w )


! H 1(Z ) ! H (X ) ! H 0(Y ) ! H 0(Z ) !


1.1.6. Soit D une categorie trianguluee. Onv emploie le plus souvent la terw X [1] de D est dit antiminologie suivante : un triangle X ! Y ! Z ! u Y ! v Z ! w X [1] est distingue. Un Z-foncteur distingue si le triangle X ! d'une categorie triangulee D0 dans D est dit antiexact s'il transforme les triangles distingues de D0 en triangles antidistingues de D. Le plus souvent, pour designer un foncteur exact de D0 dans D, on omet de faire gurer dans la notation les isomorphismes de commutation aux translations. 1.1.7. Soient C une Z-categorie stricte (chap. I, 1.2.2) et : X 7 ! X [n] ; n 2 Z ; les foncteurs de translation de C . Soit C  la Z-categorie opposee (chap. I, 1.3.9). Pour tout morphisme u de C , notons ((u)) le morphisme correspondant de C . Cette notation est abusive car l'ensemble des objets et l'ensemble des morphismes de C  sont egaux respectivement a l'ensemble des objets et l'ensemble des morphismes de C . Designons par :   X 7 ! X [n] ; n 2 Z ; les foncteurs de translations de C  . Rappelons qu'on a, pour tout objet X de C et tout entier n 2 Z (chap. I, 1.3.9) :   X [ n] = X [n] : On appelle categorie triangulee opposee a une categorie triangulee D la Z-categorie stricte D opposee a la categorie D (chap. I, 1.3.9) munie de l'ensemble de triangles distingues suivant. Un triangle de D :   X [ 1] ((w!)) Z ((v!)) Y ((u!)) X est distingue si et seulement si le triangle correspondant de la categorie D : X u! Y v! Z w! X [1] ; est antidistingue. On demontre aisement que la famille de triangles de D ainsi de nie veri e les axiomes des categories triangulees. 1

0

96

0

0

Categories Derivees

1.2. Premieres proprietes des categories triangulees. Proposition 1.2.1. Soit D une categorie triangulee. Pour tout objet X de D ,

les foncteurs HomD (X; : ) et HomD ( : ; X ) sont des foncteurs cohomologiques a valeurs dans la categorie des groupes abeliens. Il sut tout d'abord de montrer que le foncteur HomD (X; : ) est un foncteur cohomologique. L'autre assertion s'obtiendra alors en passant a la 0 0 0 w v u 0 0 0  0 categorie opposee D (1.1.7). Soit donc X ! Y ! Z ! X [1] un triangle distingue. Il sut de montrer que dans le diagramme : (1:2:1:1) HomD (X;u0 ) Hom (X;v0 ) Hom (X;w0 ) HomD (X;X 0 ) !HomD (X;Y 0 ) D !HomD (X;Z0) D ! HomD (X;X0[1])

on a : HomD (X; v 0) HomD (X; u0 ) = 0 et que ce diagramme est exact en HomD (X; Y 0 ) . En eet, l'axiome TRII permettra alors d'obtenir le m^eme resultat en HomD (X; Z 0 ) . Soit donc f : X ! X 0 . D'apres TRI, le triangle X X ! 0 ! X [1] est distingue et d'apres TRII et TRIII, il existe un X id! morphisme g : X ! Y 0 tel que le diagramme ci-apres soit commutatif : w0 w X [1] X idX w X (1:2:1:2)

f

u0

X

g

u0

u0 w Y

u0

u 0

f [1]

v0 w Z w0 w X [1] :

On en deduit que u0 f = g et que v 0 u0 f = v 0 g = 0 , ce qui demontre que HomD (X; v 0) HomD (X; u0) = 0 . Soit maintenant g : X ! Y 0 un morphisme tel que v 0 g = 0 . D'apres TRII et TRIII, il existe un morphisme f : X ! X 0 tel que le diagramme (1.2.1.2) soit commutatif. On en deduit que g = u0 f et que par consequent la suite (1.2.1.1) est exacte en HomD (X; Y 0 ) . 0

0

0

w X 0 [1] , le v Z0 ! u Y0 ! Corollaire 1.2.2. Dans un triangle distingue X 0 !

compose de deux morphismes consecutifs est nul. En vertu de TRII, il sut de montrer que v 0 u0 = 0 . Pour cela, il sut de prendre X = X 0 dans la suite exacte (1.2.1.1) et de considerer les images successives de idX 0 2 HomD (X 0; X 0 ) . Corollaire 1.2.3. Soient (X; Y; Z; u; v; w) et (X 0; Y 0; Z 0 ; u0; v0; w0) deux triangles distingues de D et (f1 ; f2; f3 ) un morphisme de triangles. Si deux des fi , 1  i  3 , sont des isomorphismes, le troisieme l'est aussi.

97

J.-L. Verdier

Supposons, pour xer les idees, que f1 : X ! X 0 et f2 : Y ! Y 0 soient des isomorphismes. Pour tout objet W de D, on a un diagramme commutatif :




w HomD (W; X )

u

w HomD (W; Y )

HomD (W;f1)

w HomD (W; Z ) w HomD (W; X [1]) w




HomD (W;f2 )

HomD (W;f3 )

HomD (W;f1 [1])

u u u w HomD (W; Y 0 ) w HomD (W; Z 0) w HomD (W; X 0[1]) w







w HomD (W; X 0)

ou les lignes sont exactes. On en deduit, par le lemme des cinq, que HomD (W; f3 ) est un isomorphisme pour tout W , et par suite que f3 est un isomorphisme. Les deux autres assertions du corollaire se deduisent de celle-ci en utilisant l'axiome TRII. 0 0 Corollaire 1.2.4. Soient X !u Y !v Z !w X [1] et X !u Y v! Z 0 w! X [1] deux triangles distingues. Il existe un isomorphisme f : Z ! Z 0 tel que le diagramme ci-apres soit commutatif :

(1:2:4:1)

X

u

C Av AA

A w Y

Z

of

u A

0

v0

Z

w  X [1] C A A A w0

:

En eet, d'apres l'axiome TRIII, il existe un morphisme f : Z ! Z 0 tel que le diagramme (1.2.4.1) soit commutatif. D'apres (1.2.3), ce morphisme est un isomorphisme. Le corollaire (1.2.4) montre donc que les triangles distingues contenant un morphisme donne sont essentiellement uniques : ils sont determines a isomorphisme pres. Mais il convient de noter que cet isomorphisme n'est pas unique. Nous preciserons ce point en (1.2.12). Corollaire 1.2.5. La somme directe de deux triangles distingues est un triangle distingue. Soient : X u! Y v! Z w! X [1] ; 0

0

0

X 0 u! Y 0 v! Z 0 w! X 0 [1] 98

;

Categories Derivees

deux triangles distingues et soit de plus : uu0

! Y  Y 0 m! L n! (X  X 0)[1]

X  X0

un triangle distingue contenant le morphisme u  u0 (TRI). Les diagrammes : 



idX 0

wY

u

X





idY 0

X  X0

u

u  u0

u wY Y0

X0

u0

wY0

0 idX 0





u

u  u0

X  X0

u



;

0 idY 0



wY Y0

sont commutatifs et, par suite, s'inserent en vertu de (TRIII) dans des diagrammes commutatifs : 

u

idX 0



X  X0

u  u0

X0

u0



u

wY

u

X

0 idX 0

X  X0



u  u0

w

v 

u

idY 0



m

Y Y0

wY0



u

v0 0 idY 0

wY Y0



m 99

wZ

w



f

u

wL



w X 0[1] 

n

idX [1] 0

w (X  X 0)[1] w0

f0

wL

u

n

w Z0 u

w X [1]

u

0

;



idX 0 [1]

w (X  X 0)[1]

:

J.-L. Verdier

On en deduit que le diagramme ci-apres est commutatif : 0 0 0 X  X 0 u  u w Y  Y 0 v  v w Z  Z 0 w  w w (X  X 0)[1]

u

id

u

(f; f 0 )

id

0 X  X0 u  u w Y  Y 0

u wL

m

id

n

u w (X  X 0)[1]

:

Pour demontrer le corollaire, il sut de montrer que le morphisme : (f; f 0 ) : Z  Z 0 ! L est un isomorphisme. Il sut donc de montrer que, pour tout objet M , le morphisme :
HomD M; (f; f 0 ) est un isomorphisme de groupes abeliens; ceci resulte immediatement de (1.2.1) et du lemme des cinq. Corollaire 1.2.6. Soit X !u Y !v Z !w X [1] un triangle distingue de D tel que w = 0 . Il existe alors une section s : Z ! Y du morphisme v . Toute section s : Z ! Y de nit un isomorphisme : (u;s)

X  Z ! Y : Reciproquement, tout triangle du type : 

(1:2:6:1)

X

id 0



!XZ

0 ; id




! Z 0! X [1]

est distingue. La troisieme assertion resulte immediatement de TRI, de TRII et de (1.2.5). Demontrons la premiere assertion. Il resulte de (1.2.1) que, pour tout W , la suite :

(1:2:6:2)

0 ! HomD (W; X ) ! HomD (W; Y ) ! HomD (W; Z ) ! 0 100

Categories Derivees

est exacte. En prenant W = Z , on voit que l'application identique idZ 2 HomD (Z; Z ) provient d'une application s : Z ! Y , d'ou l'existence de la section. Cette section permet de construire un diagramme commutatif : 

X id

id 0



wXZ (u; s)

u

u

wY

u

X

0; id




wZ u

id

wZ

v

:

En appliquant le foncteur HomD (W; : ) , l'exactitude de la suite (1.2.6.2) et le lemme des cinq entra^nent que le morphisme :


HomD W; (u; s) : HomD (W; X  Z ) ! HomD (W; Y )

est un isomorphisme. Par suite, le morphisme (u; s) est un isomorphisme. Remarque 1.2.7. Le corollaire (1.2.6) permet de montrer que tout foncteur F D est additif. Tout d'abord, le triangle 0 ! 0 ! 0 ! 0 est exact D0 ! distingue dans D0 ; par suite, le triangle : idF idF F (0) ! F (0) ! F (0) ! F (0)[1] (0)

(0)

est distingue dans D. On deduit alors de (1.2.2) que F (0) = 0. En appliquant le foncteur F a des triangles distingues du type (1.2.6.1) et en appliquant (1.2.6), on en deduit que F est additif. Un raisonnement analogue montre que tout foncteur cohomologique est additif. De nition 1.2.8. Une decomposition d'un morphisme f : X ! Y d'une categorie additive est un diagramme commutatif :

f

X

o

u

ZW



0 idW 0 0

wY 

o

u w W  Z0

:

Un morphisme est dit decomposable s'il admet une decomposition. Un scindage d'un morphisme f : X ! Y est un morphisme g : Y ! X tel que 101

J.-L. Verdier

fgf = f et gfg = g . Un morphisme est dit scindable s'il possede un scin-

dage. Les morphismes decomposables sont scindables. La reciproque n'est pas necessairement vraie (exemple : categorie des modules libres sur un anneau de Dedekind non principal). Une categorie additive est dite decomposable si tous les morphismes de cette categorie sont decomposables. Une categorie decomposable est abelienne. f Soit X ! Y un morphisme d'une categorie triangulee D et soit :

f

X

o



u

Z W

0 idW 0 0

wY 

u

o

w W  Z0

une decomposition de f . Tout triangle distingue contenant f est isomorphe au triangle : 

Z W











0 idZ 0 0 idZ [1] 0 0 0 0 ! W  Z0 ! Z 0  Z [1] ! Z [1]  W [1] :

0 idW 0 0

Ceci resulte immediatement de (1.2.4), de (1.2.5) et des axiomes TRI et TRII. Proposition 1.2.9. Soient D une categorie triangulee et f : X ! Y un morphisme de D . Considerons les proprietes suivantes du morphisme f : i) Le morphisme f admet un noyau. ii) Le morphisme f admet un conoyau. iii) Le morphisme f est decomposable. iv) Le morphisme f est scindable. On a alors les implications : i) () ii) () iii) =) iv) : Lorsque les produits denombrables ou bien lorsque les sommes denombrables sont representables dans D , les proprietes i), ii), iii) et iv) sont equivalentes. Tout d'abord, on a evidemment les implications iii) =) i) , iii) =) ii) , iii) =) iv) . L'implication i) =) iii) est equivalente a l'implication

102

Categories Derivees

ii) =) iii) pour la categorie opposee a D . L'implication i) =) iii) pour toute categorie triangulee est donc equivalente a l'implication ii) =) iii) pour toute categorie triangulee. Pour demontrer les implications :

i) () ii) () iii) =) iv ) ; il sut donc de demontrer l'implication i) =) iii) .

1.2.10. Demonstration de la proposition 1.2.9. (suite). Demontrons d'abord qu'un monomorphisme est decomposable. Soient f : X ! Y un f w X [1] un triangle distingue contenant f monomorphisme et X ! Y !v Z !

(TRI). Le morphisme f etant un monomorphisme, il en est de m^eme de f [1] . Il resulte alors de TRII et de (1.2.2) que w = 0 . Il resulte alors de (1.2.6) que le morphisme f est decomposable. Demontrons maintenant que i) =) iii) dans le cas general. Supposons que le morphisme f : X ! Y admette un noyau Ker(f ) ! X . Le morphisme Ker(f ) ! X est un monomorphisme, donc il est decomposable. Le morphisme f est donc isomorphe a un morphisme du type :
Ker(f )  X 0



id 0



0;g

!Y ;

dont le noyau est Ker(f ) ! Ker(f )  X 0 . On en deduit immediatement que le morphisme g est un monomorphisme; par suite, il est decomposable. Le morphisme f : X ! Y est donc isomorphe a un morphisme du type : 



0 id 0 0 Ker(f )  X 0 ! X0  Y 0 : Il est donc decomposable.

1.2.11. Demonstration de la proposition 1.2.9. ( n)1 . Il reste a demontrer l'implication iv ) =) iii) sous les hypotheses supplementaires. Remar-

quons tout d'abord que les sommes directes denombrables sont representables dans D si et seulement si les produits directs denombrables sont representables dans D . De plus, l'implication iv ) =) iii) pour la categorie D est equivalente a l'implication iv ) =) iii) pour la categorie opposee a D. Il sut donc de demontrer l'implication iv ) =) iii) lorsque les produits denombrables sont representables dans D, i.e. compte tenu de ce qui precede, de 1 Nous utilisons ici un argument d^u a Freyd.

103

J.-L. Verdier

demontrer l'implication iv ) =) i). Soit donc f : X ! Y un morphisme muni d'un scindage g : Y ! X . Le foncteur noyau du morphisme f : X ! Y est alors egal au foncteur noyau du morphisme gf : X ! X qui est un projecteur de X (i.e. gfgf = gf ). On est donc ramene a demontrer que, dans une categorie triangulee, ou les produits denombrables sont representables, les projecteurs admettent des noyaux. Soit donc e : X ! X un projecteur de X . Posons Xi = X , i 2 N, soient : Y Y  : Xi ! Xi ; i2N

i2N

i2N

i2N

le morphisme de ni par :
(1:2:11:1) (x0 ; x1; x2 ; . . .) = ex0 + (1 e)x1 ; ex1 + (1 e)x2 ; . . . : La formule (1.2.11.1) de nit un morphisme en interpretant les symboles x0 ; x1; . . . comme des morphismes d'un objet quelconque de D dans les Xi . De m^eme, soit : Y Y : Xi ! Xi ; le morphisme de ni par :
(1:2:11:2) (x0 ; x1; x2 ; . . .) = x0 ; (1 e)x0 + ex1 ; (1 e)x1 + ex2 ; . . . : Il est clair que  = id et, par suite, le morphisme  est un epimorphisme. Il admet donc, d'apres les implications deja demontrees, un noyau representable. D'autre part, le foncteur noyau de  est canoniquement isomorphe au foncteur noyau de e : X ! X . Ce foncteur est donc representable et, par suite, le projecteur e admet un noyau. Ceci acheve la demonstration de la proposition (1.2.9). 1.2.12. Le corollaire (1.2.4) montre que les triangles distingues contenant un morphisme donne sont uniques a isomorphisme non unique pres. De plus, l'axiome TRIII impose que tout morphisme de morphismes se prolonge en un morphisme de triangles. On peut donc se demander s'il est possible de de nir la structure triangulee en associant fonctoriellement a tout morphisme de la categorie un triangle distingue. Nous allons montrer que dans l'armative la categorie est, sous certaines hypotheses supplementaires, decomposable. Proposition 1.2.13. Soient D une categorie triangulee et Tr un foncteur de F`1 (D) (chap. I, 3.3.6), categorie des morphismes de D, dans la categorie des triangles distingues (sous-categorie pleine de la categorie des triangles de D de nie par les triangles distingues) :

Tr(X f! Y ) = X f! Y

a(f )

104

b(f )

!  (f ) ! X [1] :

Categories Derivees

Si les produits denombrables ou les sommes directes denombrables sont representables dans D , la categorie D est decomposable. En eet, soit v : W ! X un morphisme tel que fv = 0 . On a alors un morphisme de morphismes :

X v

f

wY u

u

w0

W

:

D'ou, en appliquant le foncteur Tr , un diagramme commutatif :

X u

(1:2:13:1)

f

wY

v W

a(f )

w  (f )

u

Tr(v; 0)

w0

b(f )

w X [1] u

u

v [1]

w  (W ! 0)

b(W ! 0) w W [1] :

Remarquons tout d'abord que la ligne du bas du diagramme (1.2.13.1) est un triangle distingue. Par suite, le morphisme b (W ! 0) est un isomorphisme (1.2.1). Posons alors : (v ) = Tr (v; 0)[ 1] b (W ! 0) 1 [ 1] ; de sorte que le diagramme :

 (f )[ 1] b(f )[ 1] w X f w Y  v 0 (v ) W u

soit commutatif. On veri e aussit^ot qu'on a ainsi de ni une section :  : Ker (f ) !  (f )[ 1] du morphisme canonique  (f )[ 1] ! Ker(f ) du foncteur represente par  (f )[ 1] dans le foncteur noyau du morphisme f . Le foncteur noyau de f est donc isomorphe au foncteur noyau d'un projecteur de  (f )[ 1] . Il est donc representable (1.2.9). On en deduit par (1.2.9) que le morphisme f est decomposable, ce qui acheve la demonstration. 105

J.-L. Verdier

Remarque 1.2.14. Les proprietes etudiees au numero 1.2 n'ont fait a aucun moment intervenir l'axiome TRIV. Elles sont donc valables pour toutes les Z-categories additives strictes munies d'un ensemble de triangles veri ant les axiomes TRI , TRII et TRIII .

1.3. Exemples de categories triangulees. 1.3.1. Soient C une categorie additive, K(C ) la categorie des complexes de C a homotopie pres (chap. I, 2.5.7). La categorie K(C ) est une Z-categorie stricte munie d'une famille de triangles, les triangles distingues (chap. I, 3.3.1), qui possede les proprietes TRI, TRII et TRIII (chap. I, 3.3). Proposition 1.3.2. La categorie K(C ), munie de la famille des triangles distingues, est une categorie triangulee. Il reste a demontrer que la famille des triangles distingues de K(C ) possede la propriete TRIV. Soient donc : X2

) u3'' X1

'

u1

w X3

u2

un diagrammme commutatif et :

X1 u! X2 v! Z3 w! X1 [1] ; 3

3

3

X2 u! X3 v! Z1 w! X2 [1] ; 1

1

1

X1 u! X3 v! Z2 w! X1 [1] 2

2

2

trois triangles distingues. D'apres (chap. I, 3.3.5), il existe trois triangles distingues : (X1 ; X2; Z30 ; u3; v30 ; w30 ) ; (X2; X3 ; Z10 ; u1 ; v10 ; w10 ) ; (X1 ; X3; Z20 ; u2; v20 ; w20 ) et deux morphismes :

m01 : Z30 ! Z20 ;

m03 : Z20 ! Z10 ; 106

Categories Derivees

tels que (idX ; u1 ; m01 ) et (u3 ; idX ; m03) soient des morphismes de triangles et tels que le triangle : 1

3

01

03

Z30 m! Z20 m! Z10

v30 [1]w10 0 ! Z3 [1]

soit distingue. De plus ((1.2.4) et (1.2.14)), il existe des isomorphismes ij : Zj0 ! Zj , 1  j  3 , tels que (id; id; ij ) soient des isomorphismes de triangles. Il sut alors de poser :

m1 = i2 m01 i3 1 : Z3 ! Z2 ;

m3 = i1 m03 i2 1 : Z2 ! Z1 :

Les morphismes m1 et m3 possedent les proprietes demandees par l'axiome TRIV. 1.3.3. Soit C une categorie additive. A tout objet X de C , on associe le complexe de C dont tous les composants sont nuls sauf le composant de degre zero qui est egal a X . On de nit ainsi un foncteur de C dans comp(C ) , et en composant avec le foncteur canonique comp(C ) ! K(C ) , un foncteur de C dans K(C ) . Ces foncteurs sont pleinement deles et injectifs sur les ensembles d'objets, et realisent donc C comme sous-categorie pleine de comp(C ) et K(C ) . Par la suite, la categorie C sera toujours consideree comme sous-categorie pleine de comp(C ) et K(C ) par l'intermediaire de ces foncteurs. 1.3.4. Soit C une categorie abelienne. Pour tout complexe X de C , on designe par H0 (X ) l'objet de C : (1:3:4:1)

H0 (X ) = Ker(dX0 )=Im(dX 1 ) :

f Pour tout morphisme de complexes X ! Y , on designe par :

H0 (f ) : H0 (X ) ! H0 (Y )

le morphisme induit par f . On de nit ainsi un foncteur : H0 : comp(C ) ! C

qu'on appelle le zero-ieme objet de cohomologie. Ce foncteur transforme les morphismes homotopes en morphismes egaux et, par suite, fournit un foncteur encore note : H0 : K(C ) ! C : 107

J.-L. Verdier

Proposition 1.3.5. Soit C une categorie abelienne. Le foncteur : H0 : K(C ) ! C est un foncteur cohomologique. En eet, d'apres (chap. I, 3.3.1), il sut de montrer que, pour tout objet f X ! Y de tr1 (C ) (chap. I, 3.1.1), la suite : H0 (X )

H0 ( f ) 0 H0 (p(f )) 0
H0 (q(f )) 0 ! H (Y ) ! H c(f ) !H




X [1]

est exacte. En utilisant la propriete TRII (1.1.1), on voit qu'il sut de montrer que la suite : H0 (p(f )) 0
H0 (q(f )) 0 0 H (Y ) ! H c(f ) !H

X [1]




est exacte, ce qui resulte immediatement des de nitions (chap. I, 3.1.2 et 3.2.2). Le foncteur H0 : K(C ) ! C est
appele le foncteur cohomologique canonique. On pose Hn (X ) = H0 X [n] conformement a l'usage. Proposition 1.3.6. Soit C une categorie abelienne. Les conditions suivantes sont equivalentes : i) La categorie K(C ) est abelienne. ii) La categorie K(C ) est decomposable (1.2.8). iii) La categorie C est decomposable. L'equivalence i) () ii) resulte de (1.2.9). L'implication ii) =) iii) est evidente car C est une sous-categorie pleine de K(C ) . Pour tout complexe X de C , designons par H (X ) le complexe : H (X )l = Hl (X ) ;

dHl  (X ) = 0 ;

l2Z ; l2Z:

On veri e que le foncteur H : K(C ) ! K(C ) est une equivalence de categories lorsque C est decomposable. On en deduit l'implication iii) =) ii). 108

Categories Derivees

1.3.7. Soit F :

Q

Ci ! C un foncteur multi-additif. Supposons que les produits denombrables soient representables dans C . Il resulte immediatement i2[n]

de (chap. I, 3.4.3 et 3.4.4) que la -extension du foncteur F aux complexes a homotopie pres : Y K F : K(Ci ) ! K(C ) i2[n]

est un foncteur multi-exact. Ce foncteur est un Zn -foncteur tordu par le cocycle de Koszul conformement a la regle des signes (chap. I, 1.6.6). Resultats analogues pour le foncteur K F . 1.3.8. Soit C une categorie additive et  : K(C ) ! K(C ) l'isomorphisme canonique  = 1 (chap. I, 2.5.13). Munissons la categorie K(C ) de la structure triangulee decrite en (1.1.7). Il resulte de (chap. I, 3.4.1) que  est un foncteur exact entre categories triangulees. Par suite,  est un isomorphisme de categories triangulees. Nous identi erons dorenavant, sauf mention du contraire, les categories triangulees K(C ) et K(C ) a l'aide de l'isomorphisme  .

109

2. Localisation dans les categories triangulees.

2.1. Systemes multiplicatifs de morphismes [16]. 2.1.1. Soit C une categorie (non necessairement additive). Un ensemble S de morphismes de C est appele un systeme multiplicatif si il possede les

proprietes suivantes : SM1) Le compose de deux morphismes composables de S est un element de S . Pour tout objet X de C , le morphisme identique de X est un element de S . SM2) Tout diagramme :

wu

f

s2S

peut se completer en un diagramme commutatif :

g t2S

u

w wu

Tout diagramme :

f

s2S :

g t2S

w

u

peut se completer en un diagramme commutatif :

g t2S

u

f

w wu

s2S :

SM3) Pour tout couple de morphismes f; g : X suivantes sont equivalentes :

w Y , les proprietes

J.-L. Verdier

i ) Il existe un morphisme s de S , de source Y , tel que sf = sg . ii ) Il existe un morphisme t de S , de but X , tel que ft = gt . Un systeme multiplicatif est dit sature s'il possede la propriete suivante : SM4) Si f; g et h sont trois morphismes composables et si les morphismes fg et gh appartiennent a S , alors le morphisme g appartient a S . 2.1.2. Soit D une categorie triangulee. Un systeme multiplicatif S de D est dit compatible avec la triangulation s'il possede les proprietes suivantes : SM5) Pour tout element s de S et tout entier n 2 Z , le morphisme s[n] appartient a S . Autrement dit, S est stable par les automorphismes de translation. SM6) Pour tout couple de triangles distingues :

(X; Y; Z; u; v; w) ; (X 0; Y 0 ; Z 0 ; u0 ; v 0 ; w0) et tout diagramme commutatif :

wY 0 u s0

u

X s

u0

u0

X

wY

;

ou s et s0 sont des elements de S , il existe un morphisme appartenant a S : s00 : Z ! Z 0 tel que (s; s0 ; s00 ) soit un morphisme de triangles. Remarque 2.1.3. 1) Soient D une categorie triangulee, S un systeme multiplicatif de D compatible avec la triangulation et D la categorie triangulee opposee a D . L'ensemble S de morphismes de D est un systeme multiplicatif de D compatible avec la triangulation de D (1.1.7). 2) Soient D une categorie triangulee et S un ensemble de morphismes de D possedant les proprietes SM1), SM5) et SM6). Alors l'ensemble S possede aussi la propriete SM2). En eet, il sut de montrer que tout diagramme :

Z

f 112

X0 s2S

u

wX

Categories Derivees

se complete en un diagramme commutatif :

Z0 t

t2S

u

Z

g

w X0 s u wX

f

;

car alors la deuxieme assertion de SM2) s'obtiendra en passant a la categorie opposee. Par TRI) et TRII), on sait qu'il existe un triangle distingue (X; Y; Z [1]; u; v; f [1]) et, par TRI), on sait qu'il existe un triangle distingue (X 0; Y; Z 0 ; us; v 0; w0). On a alors un diagramme commutatif :

X0 s

us

X

u

u

wY id u Y

wY

:

Le morphisme idY appartient a S (SM1) et, par SM6), on obtient un morphisme s0 : Z 0 ! Z [1] appartenant a S tel que (s; idY ; s0 ) soit un morphisme de triangles. En particulier, le diagramme ci-apres est commutatif :

Z0 s0

u

Z [1]

w0

w X 0[1]

f [1]

u

s[1]

w X [1]

;

d'ou, en utilisant SM5), la premiere assertion de SM2). 2.1.4. Les systemes multiplicatifs des categories triangulees seront, sauf mention expresse du contraire, compatibles avec la triangulation. Ils seront donc appeles simplement et par abus de langage, systemes multiplicatifs. 2.1.5. Soit D une categorie triangulee. Une sous-categorie triangulee pleine de D est une sous-categorie pleine de D stable par translations, munie d'une structure triangulee telle que le foncteur d'inclusion soit un foncteur exact (pour la commutation stricte aux translations). Une sous-categorie triangulee pleine de D est une sous-categorie additive de D (1.2.7). Une sous-categorie 113

J.-L. Verdier

pleine de D admet au plus une structure triangulee compatible avec le foncteur d'inclusion. Soit D0 une sous-categorie pleine de D stable par translations. Pour que D0 admette une structure triangulee faisant de D0 une souscategorie triangulee pleine de D, il faut et il sut que pour tout couple X , Y d'objets de D0 et tout morphisme f : X ! Y , il existe un triangle distingue de D : (X; Y; Z; f; g; h) , ou Z est un objet de D0 . 2.1.6. Soit D une categorie triangulee. Une sous-categorie triangulee pleine D0 de D est dite saturee si elle possede la propriete suivante : (2:1:6:1)

Tout facteur direct dans D d'un objet de D0 est isomorphe a un objet de D0 .

(Un facteur direct d'un objet Y est un objet X tel qu'il existe un objet Z et  Y ). un isomorphisme X  Z ! 2.1.7. Soit D0 une sous-categorie triangulee pleine d'une categorie triangulee D. Designons par S (D0 ) l'ensemble de morphismes de D de ni de la maniere suivante : (2:1:7:1) Un morphisme f : X ! Y appartient a S (D0 ) si et seulement s'il existe un triangle distingue de D : (X; Y; Z; f; g; h) , ou Z est un objet de D0 .

Proposition 2.1.8. L'ensemble S (D0) (2.1.7.1) est un systeme multiplicatif (2.1.4) de D. Il est sature si et seulement si la sous-categorie D0 est saturee.

Pour prouver la premiere assertion, il sut en vertu de (2.1.3), de montrer que l'ensemble S (D0 ) possede les proprietes SM1), SM3), SM5) et SM6). Nous allons montrer successivement que l'ensemble S (D0 ) possede ces proprietes, et nous demontrerons ensuite la derniere assertion. 2.1.9. L'ensemble S (D0 ) possede la propriete SM1). Tout d'abord, il est clair que pour tout objet X de D, le morphisme idX est un element de S (D0 ) . Ceci resulte immediatement de TRI) et du fait que les objets nuls de D0 sont des objets nuls de D. Le fait que l'ensemble S (D0 ) est stable par composition resulte immediatement de l'axiome TRIV) et de (1.2.4). Nous laissons au lecteur le soin de faire les veri cations. 2.1.10. L'ensemble S (D0) possede la propriete SM3). Il sut tout d'abord f de montrer que lorsqu'on a un diagramme X !s Y ! Z , avec s 2 S (D0 ) , fs = 0 , il existe un diagramme Y !f Z !t W , avec t 2 S (D0) , tf = 0 . Car alors, en passant aux categories opposees, on obtiendra la reciproque et, par 114

Categories Derivees

suite, SM3). Par hypothese, il existe un triangle distingue (X; Y; N; s; h; u) , ou N est un objet de D0 . Comme on a fs = 0 , il resulte de (1.2.1) qu'il existe un morphisme g : N ! Z tel que f = gh . Soit alors (N; Z; W; g; t; v ) un triangle distingue contenant g (TRI). On a alors tg = 0 (1.2.2) et, par suite, tf = tgh = 0 . Tout revient donc a montrer que t est un element de S (D0 ) , ce qui resulte immediatement de TRII). 2.1.11. L'ensemble S (D0) possede la propriete SM5). Resulte immediatement de TRII) et du fait que la sous-categorie D0 est stable par translation. 2.1.12. L'ensemble S (D0) possede la propriete SM6). Soient (X; Y; Z; u; v; w) et (X 0; Y 0 ; Z 0 ; u0 ; v 0 ; w0) deux triangles distingues de D et :

X s

u0

X

u u0

wY s0 u0

wY

un diagramme commutatif, ou s et s0 appartiennent a S (D0 ). Il s'agit de trouver un morphisme s00 : Z ! Z 0 de S (D0 ) tel que (s; s0 ; s00 ) soit un morphisme de triangles. On peut tout d'abord supposer qu'on est dans l'un des deux cas suivants : a ) On a X = X 0 et s = idX . b ) On a Y = Y 0 et s0 = idY . En eet, tout morphisme de morphismes se factorise :

X idX

u

X s

u0

X

u

wY s0 u0

s0 u w Y u0

id 0

u0 Y

wY

;

et on obtiendra le morphisme s00 en composant (on a deja montre que l'ensemble S (D0 ) est stable par composition). Ensuite, le cas b ) se deduit du cas a ) en passant aux categories opposees. Il sut donc de traiter le cas a ), qui est alors une consequence immediate de TRIV). 115

J.-L. Verdier

2.1.13. Si la categorie D0 est saturee, l'ensemble S (D0 ) est sature. Soient f , g , h trois morphismes composables tels que fg et gh soient des elements de S (D0 ) . Utilisant l'axiome TRIV, on peut construire un diagramme : N1h

N2h

NNP hhj NNP hhj N N QY hku h s 'x*Xhku h t 'x*Z  N h '  h '*' N * ' NQ w f w g h w

;

ou N1 et N2 sont des objets de D0 , ou les cinq triangles hachures sont des triangles distingues et ou les deux triangles non hachures sont commutatifs. On en deduit que s[1]t = 0 (1.2.2). De plus, en vertu de SM1) et SM5), le morphisme s[1]t est un element de S (D0 ) . Il existe donc un triangle distingue du type (Z; Y [2]; N; 0; u; v ), ou N est un objet de D0 . On en deduit, en utilisant (1.2.6) et TRII, que Y est facteur direct d'un objet de D0 . Par suite, Y est isomorphe a un objet de D0 . On en deduit, en utilisant (1.2.4), le fait que D0 soit une sous-categorie triangulee de D et le triangle distingue :

N4 44 h j h 6 4 hh Yu xX s 1

que X est isomorphe a un objet de D0 . Par suite, le morphisme g est un element de S (D0 ) . 2.1.14. Si l'ensemble S (D0) est sature, la sous-categorie D0 est saturee. Soit X un facteur direct d'un objet de D0 . En utilisant (1.2.6) et TRII, on voit qu'il existe un triangle distingue (X; Y; N; 0; u; v ), ou N est un objet de D0 . Par suite, le morphisme nul X ! Y est un morphisme de S (D0 ) . Appliquons alors la propriete SM4) aux trois morphismes 0 ! X ! 0 ! Y . On en deduit que le morphisme X ! 0 est un element de S (D0 ). Il existe donc un triangle distingue (X; 0; N; 0; 0; i), ou N est un objet de D0 . Par suite, le morphisme N !i X [1] est un isomorphisme. On en deduit que X est isomorphe a N [ 1] , qui est un objet de D0 . Ceci acheve la preuve de la proposition (2.1.8). 116

Categories Derivees

2.1.15. Soit D0 une sous-categorie triangulee pleine d'une categorie triangulee D. Le systeme multiplicatif S (D0 ) (2.1.7) est appele le systeme multiplicatif associe a la sous-categorie D0 . Proposition 2.1.16. Soit F : D ! D un foncteur exact entre deux categories triangulees (1.1.3). Soit S (F ) l'ensemble des morphismes de D qui sont transformes par F en isomorphismes de D . Soit D0 (F ) la sous-categorie pleine de D de nie par les objets de D qui sont transformes par F en objets nuls de D . a) La sous-categorie D0 (F ) est une sous-categorie triangulee strictement pleine (tout objet de D isomorphe a un objet de D0 (F ) est un objet de D0 (F ) ) 1

2

1

2

1

1

2

1

et saturee. b) L'ensemble S (F ) est un systeme multiplicatif sature de D1 . c) L'ensemble S (F ) est le systeme multiplicatif associe a la sous-categorie D0 (F ) (2.1.15). La preuve est facile et laissee au lecteur qui pourra demontrer de m^eme la proposition ci-apres : Proposition 2.1.17. Soit H : D ! A un foncteur cohomologique d'une categorie triangulee dans une categorie abelienne. Soit S (H ) l'ensemble des morphismes de D qui sont transformes, ainsi que leurs translates, en des isomorphismes de A . Soit D0 (H ) la sous-categorie pleine de D de nie par les objets de D qui sont transformes, ainsi que leurs translates, en des objets nuls de A . a) La sous-categorie D0 (H ) est une sous-categorie triangulee strictement pleine et saturee. b) L'ensemble S (H ) est un systeme multiplicatif sature de D . c) L'ensemble S (H ) est le systeme multiplicatif associe a la sous-categorie D0 (H ) (2.1.15).

2.2. Construction de la categorie localisee. 2.2.1. Soient C une categorie (non necessairement additive) et S un systeme multiplicatif de C . Designons, pour tout objet X de C , par S=X (resp. X nS ) la categorie dont les objets sont les morphismes de S de but X (resp. de source X ) et dont les morphismes sont les diagrammes commutatifs :

wY0 Yh u h '*'t' shj X

117

s; t 2 S ;

J.-L. Verdier

(resp.

Xh hthj ' s' '* u Y wY0

s; t 2 S ) :

Pour tout couple X , Y d'objets de C , posons : (2:2:1:1)

HomC (S 1 ) (X; Y ) = lim ! HomC ( : ; Y ) : (

S=X )

(Le \point" dans la formule (2.2.1.1) designe la source d'un objet variable de S=X ). Il resulte immediatement des proprietes SM1), SM2) et SM3) que la categorie (S=X ) est ltrante [6]. Il en resulte qu'un element de HomC (S 1 ) (X; Y ) est une classe de diagrammes du type : s

D=X deux diagrammes D1 = X

s1

X 0 m! Y ; s 2 S ; X1 m!1 Y et D2 = X

s2

X2 m!2 Y

appartenant a la m^eme classe si et seulement s'il existe un diagramme :

D3 = X

s3

X3 m!3 Y ;

s3 2 S ;

et un diagramme commutatif :

X1

4 m 744 u m  4 wY Xu X 6 4 4 s u v 44m s1 s3 2

1

u

3

3

2

X2

:

Pour tout element f 2 HomC (X; Y ) , on designe par Q(f ) la classe du diagramme X idX X f! Y . Pour tout morphisme s : Y ! X , s 2 S , on Y Y. designe par Q(s) 1 la classe du diagramme X s Y id! Designons alors par Fl(C (S 1)) l'ensemble : a

(

X;Y )2Ob(C )Ob(C )

HomC (S 1 ) (X; Y ) ;

118

Categories Derivees

par s et b : Fl(C (S 1)) w Ob(C ) les applications : m 2 HomC (S 1 ) (X; Y ) ; s(m) = X ; b(m) = Y ; et par id : Ob(C ) ! Fl(C (S 1)) l'application X 7 ! Q(idX ) . On de nit ainsi un diagramme C (S 1) = (Ob(C ); Fl(C (S 1)); s; b; id) . On a de plus un couple d'applications note abusivement :
Q = idOb(C ) : Ob(C ) ! Ob(C ) ; Q : Fl(C ) ! Fl(C (S 1 )) : Theoreme 2.2.2. a) Il existe une et une seule loi de composition partiellement de nie sur Fl(C (S 1)) telle que : 1) C (S 1 ) soit une categorie. 2) Q(s) soit un isomorphisme et Q(s) 1 son inverse ( s 2 S ). 3) Pour tout diagramme D = X s X 0 m! Y , s 2 S , on ait D = Q(m)Q(s) 1 ( D 2 HomC (S 1 ) (X; Y ) est la classe de D ). 4) Q soit un foncteur. b) Tout morphisme de C (S 1 ) peut s'ecrire comme un compose Q(t) 1 Q(m) , m 2 Fl(C ) , t 2 S , (resp. Q(p)Q(s) 1 , p 2 Fl(C ) , s 2 S ). c) Le foncteur Q commute aux limites projectives nies et aux limites inductives nies. d) Pour toute categorie A, la composition avec le foncteur Q de nit un foncteur : Hom(Q; A) : Hom(C (S 1); A) ! Hom(C ; A) (Hom designe la categorie des foncteurs). Le foncteur Hom(Q; A) est injectif sur les objets, pleinement dele, et l'image de Hom(C (S 1); A) est la souscategorie strictement pleine de Hom(Q; A) de nie par les foncteurs de C dans A qui transforment les morphismes de S en isomorphismes. La demonstration de ce theoreme est laissee au lecteur, qui pourra consulter [16]. Nous nous bornerons a decrire la composition des morphismes dans C (S 1 ) . Soient D1 2 HomC (S 1 ) (X; Y ) et D2 2 HomC (S 1 ) (Y; Z ) deux morphismes composables de C (S 1 ) . Soient D1 = X s X 0 m! Y et D2 = Y t Y 0 p! Z deux diagrammes de C dans les classes D1 et D2 . En utilisant SM2), completons le diagramme :

X 0h j mhh

Y0

Y

' t ' '* 119

t2S

J.-L. Verdier

en un diagramme commutatif :

Z 00h

hmhj0

' ' '* 0 Xh j mhh

t0 2 S

Y

Y0

'2 S t ' '* 0

: 0

On obtient alors un diagramme D3 = X st Z 00 pm! Z , ou le compose st0 appartient a S (SM1). On veri e que la classe D3 de D3 dans HomC (S 1 ) (X; Z ) ne depend que des classes D1 et D2 . Le morphisme D3 est le compose dans C (S 1) des morphismes D1 et D2 . Remarque 2.2.3. a ) Il resulte de la quatrieme assertion du theoreme (2.2.2) que la categorie C (S 1 ) munie du foncteur Q : C ! C (S 1) est solution d'un probleme universel : le foncteur Q transforme les morphismes de S en isomorphismes, et tout foncteur de C dans une categorie A qui transforme les morphismes de S en isomorphismes se factorise d'une maniere unique par Q . La categorie C (S 1 ) munie du foncteur Q est donc determinee a isomorphisme unique pres par cette propriete. b ) Soient C une categorie et S un ensemble de morphismes de C qui ne soit pas necessairement un systeme multiplicatif de C . Il existe toujours une categorie C (S 1 ) et un foncteur Q : C ! C (S 1 ) qui transforme les morphismes de S en isomorphismes, tel que tout foncteur de C dans une categorie A transformant les morphismes de S en isomorphismes se factorise d'une maniere unique par Q . Lorsque S est un systeme multiplicatif de C , le theoreme (2.2.2) donne une description simple de la categorie C (S 1 ) ; il donne de plus des proprietes supplementaires du foncteur Q (assertions b) et c) ) qui ne sont pas vraies en general. Corollaire 2.2.4. Soient C une categorie et S un systeme multiplicatif de C . a) L'ensemble S est un systeme multiplicatif de C  , la categorie opposee a C . On a un isomorphisme canonique de categories : (C (S 1 )) ! C (S 1) : Cet isomorphisme induit en particulier des isomorphismes : HomC (S 1 ) (X; Y ) ! lim ! HomC (X; : ) : Y nS

120

Categories Derivees

b) Lorsque la categorie C est additive, la categorie C (S 1) est additive et le foncteur Q est additif. c) Soit S^ l'ensemble des morphismes de C qui sont transformes par Q en isomorphismes de C (S 1) . L'ensemble S^ est un systeme multiplicatif sature de C . Tout systeme multiplicatif sature de C qui contient S contient S^ . La premiere assertion resulte immediatement de la propriete universelle de C (S 1 ) : la categorie (C  (S 1 )) est une solution de ce probleme. La deuxieme assertion resulte immediatement des assertions b ) et c ) du theoreme (2.2.2). Il resulte immediatement de la description des morphismes de C (S 1 ) qu'un morphisme f de C est transforme par Q en isomorphisme si et seulement s'il existe deux morphismes de C , g et h , tels que gf et fh soient de nis et appartiennent a S . On en deduit immediatement que l'ensemble S^ possede les proprietes SM2) et SM3). De plus, il resulte de la de nition de S^ que cet ensemble possede les proprietes SM1) et SM4). L'ensemble S^ est donc un systeme multiplicatif sature de C . La derniere assertion de (2.2.4) est triviale. 2.2.5. Soient C une categorie et S un systeme multiplicatif de C . La categorie C (S 1) est appelee la categorie localisee de C par rapport au systeme S . Le foncteur Q : C ! C (S 1) est appele le foncteur de localisation. Le systeme multiplicatif S^ est appele le sature du systeme S . Theoreme 2.2.6. Soient D une categorie triangulee et S un systeme multiplicatif de D (2.1.4). Designons par D(S 1 ) la categorie localisee de D et Q : D ! D(S 1 ) le foncteur de localisation. a) Il existe sur D(S 1 ) une et une seule structure de Z-categorie stricte telle que Q soit un Z-foncteur strict. b) Il existe sur D(S 1 ) une et une seule structure triangulee telle que Q soit un foncteur exact. Les triangles distingues pour cette structure sont les triangles isomorphes aux images par Q des triangles distingues de D . c) Tout foncteur exact (resp. cohomologique ) F : D ! D0 dans une categorie triangulee (resp. abelienne ) qui transforme les morphismes de S en isomorphismes se factorise d'une maniere unique par Q : D ! D(S 1 ) en un foncteur exact (resp. cohomologique ) G : D(S 1 ) ! D0 . Soient F1 ; F2 : D w D0 deux foncteurs exacts (resp. cohomologiques ) qui transforment les morphismes de S en isomorphismes ; G1 ; G2 : D(S 1 ) w D0 leurs factorisations respectives et m : F1 ! F2 un morphisme de foncteurs exacts (resp. cohomologiques ). Il existe un et un seul morphisme de foncteurs p : G1 ! G2 tel que m = p ? Q . La premiere assertion est une consequence immediate du theoreme (2.2.2) et de SM5). La troisieme assertion est une consequence immediate de la 121

J.-L. Verdier

deuxieme assertion et du theoreme (2.2.2). Il reste donc a demontrer la deuxieme assertion. Soit T l'ensemble des triangles de D(S 1 ) qui sont isomorphes aux images par Q des triangles distingues de D . On veri e sans diculte que l'ensemble T possede les proprietes TRI et TRII. Pour demontrer qu'il possede la propriete TRIII, nous aurons besoin d'un lemme : Lemme 2.2.7. Soient u : X ! Y et u0 : X 0 ! Y 0 deux morphismes de D et : Q(X ) Q(u) w Q(Y )

m

u

u

p

0 Q(X 0 ) Q(u ) w Q(Y 0 ) un diagramme commutatif de D(S 1 ) . Il existe un morphisme u00 : X 00 ! Y 00

et deux diagrammes commutatifs de D :

X 00 s

u00

X

u

X 00 f

u00

u u

u0

X0

w Y 00 ut wY

s; t 2 S

w Y 00 g u w Y0

;

;

tels que m = Q(f )Q(s) 1 et p = Q(g )Q(t) 1 . Supposons le lemme demontre et montrons que l'ensemble T possede la propriete TRIII. En utilisant la de nition de l'ensemble T , on est ramene a demontrer : etant donne deux triangles distingues de D : (X; Y; Z; u; v; w) ; (X 0; Y 0 ; Z 0 ; u0 ; v 0 ; w0) et un diagramme commutatif de D(S 1 ) : Q(X ) Q(u) w Q(Y )

m

u

u

p

0 Q(X 0) Q(u ) w Q(Y 0 )

122

;

Categories Derivees

il existe un morphisme r : Q(Z ) ! Q(Z 0 ) tel que (m; p; r) soit un morphisme de triangles. En utilisant le lemme (2.2.7), on est ramene a envisager les deux cas suivants : a ) m = Q(s) 1 , p = Q(t) 1 , s; t 2 S et le diagramme :

X0 s

u0

X

u

u

est commutatif. b ) m = Q(f ) , p = Q(g ) et le diagramme :

u

X f

u

u0

X0

w Y0 ut wY wY g u0

wY

est commutatif. Dans le cas a ), la propriete resulte alors de la propriete SM6) (2.1.2). Dans le cas b ), la propriete resulte de la propriete TRIII pour les triangles distingues de D . 2.2.8. Demonstration du lemme 2.2.7. En vertu du theoreme (2.2.2), il existe un morphisme t : Y 00 ! Y , t 2 S , tel que pQ(t) = Q(g ) , ou g : Y 00 ! Y 0 . On construit alors pas a pas le diagramme suivant :

X 00 s3

u 00

X2 '

u00

''u00 '') u 00 X w Y 00 u00

s2

1

s1

u

X

2

1

u

123

u wY

t

;

J.-L. Verdier

tel que : 1) On ait l'egalite us1 = tu001 et s1 2 S . Ceci se fait en utilisant SM2). 2) On ait les egalites mQ(s1 s2 ) = Q(f 0 ) , ou f 0 : X200 ! X 0 est un morphisme de D , u002 = u001 s2 et s2 2 S . Ceci se fait en utilisant le theoreme (2.2.2). 3) On ait l'egalite u0 f 0 s3 = gu002 s3 , u00 = u002 s3 , et s3 2 S . En eet, le diagramme de D : 00

X200 f0

u

X0

u2

w Y 00

g

u0

u wY0

n'est pas necessairement commutatif. Mais le diagramme de D(S 1 ) obtenu en appliquant le foncteur Q au diagramme precedent est commutatif. On a donc Q(u0 f 0 ) = Q(gu002 ) : Q(X200 ) ! Q(Y 0 ) . Il en resulte, par de nition des morphismes de D(S 1 ) , qu'il existe un morphisme s3 2 S : X 00 ! X200 tel que u0 f 0 s3 = gu002 s3 . Pour achever la demonstration du lemme, il sut de poser f = f 0 s3 , s = s1 s2 s3 . 2.2.9. Fin de la demonstration du theoreme 2.2.6. Il reste a demontrer que l'ensemble T possede la propriete TRIV. Nous savons maintenant que cet ensemble possede les proprietes TRI, TRII et TRIII. On peut donc utiliser les resultats du numero 1.2 (1.2.14). En particulier, il resulte de (1.2.4) que tous les triangles de T contenant un morphisme donne sont isomorphes. On peut donc, par des reductions analogues a celles utilisees dans la demonstration de la proposition (1.3.2), se ramener, pour demontrer la propriete TRIV, a des diagrammes de D(S 1 ) qui sont images par Q de diagrammes analogues de D . La veri cation est alors facile. Nous laissons au lecteur le soin d'en mettre au point les details. 2.2.10. Soient D une categorie triangulee, B  D une sous-categorie triangulee pleine et S (B) le systeme multiplicatif associe a B (2.1.15). On notera D=B la categorie D(S (B) 1 ) . La categorie D=B est appelee la categorie quotient de la categorie D par la categorie B . Le foncteur canonique Q : D ! D=B est appele le foncteur de passage au quotient. Soit F : D ! D0 un foncteur exact (resp. cohomologique) dans une categorie triangulee (resp. abelienne). On designe par Ker(F ) et on appelle noyau de F la sous-categorie triangulee strictement pleine saturee de nie par les objets qui sont annules par F (resp. dont tous les translates sont annules par F ) ((2.1.16) et (2.1.17)). 124

Categories Derivees

Corollaire 2.2.11. Soient D une categorie triangulee et B  D une souscategorie triangulee pleine. a) Le noyau du foncteur de passage au quotient Q : D ! D=B est la plus petite sous-categorie triangulee strictement pleine saturee qui contienne B . b) L'application B 7! S (B) qui a toute sous-categorie triangulee strictement pleine saturee associe son systeme multiplicatif sature (2.1.8) est un isomorphisme d'ensembles ordonnes de l'ensemble des sous-categories triangulees strictement pleines saturees, ordonne par inclusion, dans l'ensemble des systemes multiplicatifs satures de D , ordonne par inclusion. L'application inverse associe a tout systeme multiplicatif sature le noyau du foncteur de localisation correspondant. c) Un foncteur exact (resp. cohomologique ) F : D ! D0 dont le noyau contient la sous-categorie B se factorise d'une maniere unique par Q : D ! D=B en un foncteur G : D=B ! D0 qui est exact (resp. cohomologique ). Un morphisme de foncteurs exacts (resp. cohomologiques ) dont les noyaux contiennent la sous-categorie B provient d'une maniere unique d'un morphisme entre les factorisations. Ce sont des consequences faciles du theoreme (2.2.6). 2.2.12. Commentaires sur la propriete TRIV. Appelons categorie pretriangulee une Z-categorie stricte munie d'une famille de triangles possedant les proprietes TRI, TRII et TRIII. On de nit de la m^eme facon que pour les categories triangulees les notions de foncteurs exacts, foncteurs cohomologiques, systemes multiplicatifs. Soit S un systeme multiplicatif (2.1.4) d'une categorie pre-triangulee D . La categorie localisee D(S 1 ) admet une et une seule structure de categorie pre-triangulee telle que le foncteur de localisation soit exact. La sous-categorie pleine des objets de D qui sont annules par le foncteur de localisation est une sous-categorie pre-triangulee pleine. On a besoin dans la pratique de savoir, inversement, associer a une sous-categorie pre-triangulee un systeme multiplicatif sature convenable. Le redacteur ne sait le faire qu'en utilisant la propriete TRIV. Cette propriete, de nature assez technique, a donc surtout servi, pour l'instant, a obtenir le corollaire (2.2.11) a partir du theoreme (2.2.6). 2.3. Proprietes du foncteur de localisation. Proposition 2.3.1. Soient D une categorie triangulee, B une sous-categorie

triangulee pleine.

125

J.-L. Verdier

Pour toute sous-categorie triangulee pleine A telle que B  A  D, designons par SD (B) (resp. SA (B) ) le systeme multiplicatif de D (resp. A ) associe a B (2.1.7). a) On a SD (B) \ Fl(A) = SA (B) . b) Le foncteur canonique A=B ! D=B est pleinement dele et injectif sur les objets. L'image de ce foncteur est Q(A) , ou Q : D ! D=B est le foncteur canonique. c) Le foncteur canonique D=A ! (D=B)=(A=B) est un isomorphisme de categories. d) Si la categorie A est saturee (2.1.6), la sous-categorie Q(A) est saturee. Pour toute sous-categorie triangulee pleine C de D=B , designons par Q 1 (C ) la sous-categorie pleine de D de nie par les objets X de D tels que Q(X ) soit isomorphe a un objet de la categorie C . a)bis La categorie Q 1 (C ) est une sous-categorie triangulee strictement pleine de D . b)bis Le systeme multiplicatif SD (Q 1 (C )) est compose des morphismes de D dont l'image par Q est un morphisme de SD=B (C ) . c)bis La sous-categorie Q 1 (C ) est saturee si et seulement si la sous-categorie C est saturee. d)bis L'application A 7! Q(A) est un isomorphisme d'ensembles ordonnes de l'ensemble des sous-categories triangulees strictement pleines de D contenant Bb (le noyau du foncteur Q ), ordonne par inclusion, dans l'ensemble des souscategories triangulees strictement pleines de D=B , ordonne par inclusion. L'application inverse est l'application C 7! Q 1 (C ) . La premiere assertion est evidente. La deuxieme resulte immediatement de la description des morphismes dans les categories A=B et D=B (2.2.1). Pour demontrer c ), il sut de se reporter aux proprietes universelles des categories quotients (2.2.11). Demontrons d ). Quitte a remplacer A par sa cl^oture strictement pleine, ce qui modi e Q(A) par une equivalence, on peut supposer que A est strictement pleine. Le noyau du foncteur D ! D=A est alors la categorie A (2.2.11). Ce foncteur se factorise en D ! D=B ! D=A . On en deduit que le noyau du foncteur canonique D=B ! D=A est Q(A) . Par suite, Q(A) est saturee (2.1.16). L'assertion a )bis est evidente, de m^eme que l'assertion b )bis . Supposons que C soit saturee. On peut supposer de plus que C est strictement pleine, car si l'on designe par Cb la cl^oture strictement pleine de C , la categorie Cb est strictement pleine saturee et Q 1 (Cb) = Q 1 (C ) . La categorie C est alors noyau d'un foncteur exact (2.2.11). Par suite, Q 1 (C ) est noyau d'un foncteur exact, donc saturee (2.1.16). Supposons que Q 1 (C ) soit

126

Categories Derivees

saturee. La sous-categorie Q(Q 1 (C )) est strictement pleine saturee d'apres la demonstration de d ). Or la categorie Q(Q 1 (C )) est la cl^oture strictement pleine de C . Par suite, C est saturee. Ceci demontre l'assertion c )bis. Il reste a demontrer la derniere assertion. Il est clair que lorsque C est strictement pleine, on a Q(Q 1 (C )) = C . Soit A une categorie triangulee strictement pleine contenant Bb . Il nous faut montrer que A = Q 1 (Q(A)) . Quitte a remplacer B par Bb , ce qui ne change pas la categorie D=B (2.2.11), on peut supposer que B est saturee, et par suite que B = Bb . Comme on a evidemment l'inclusion A  Q 1 (Q(A)) , il sut de montrer que tout objet de D qui devient isomorphe dans D=B a un objet de A est un objet de A . Soient donc X un objet de A , Y un objet de D et m : Q(X ) ! Q(Y ) un isomorphisme. Le morphisme m se decompose en m = Q(f )Q(s) 1 , ou s 2 SD (B) (2.2.2), et ou Q(f) est un isomorphisme. Donc f 2 SD (B) car B est saturee ((2.1.8) et (2.2.4)). On a donc un diagramme dans D :

sNN

QN N X

Z

f 

s; f 2 SD (B)

Y

:

Le morphisme s etant un element de SD (B) , il existe un triangle distingue (Z; X; W; s; u; v) , ou W est un objet de B (2.1.7). Par suite, W est un objet de A , et comme A est strictement pleine, l'objet Z appartient aussi a A (1.2.4). Le m^eme argument montre alors que Y est un objet de A , ce qui acheve la demonstration de la proposition. 2.3.2. Soient F : C ! C 0 un foncteur et X un objet de C 0 . Rappelons qu'un objet Y de C est dit F -libre a droite sur X , ou simplement libre a droite sur X , s'il existe un morphisme u : F (Y ) ! X tel que pour tout morphisme F (Z ) v! X , il existe un et un seul morphisme w : Z ! Y tel que le diagramme ci-apres soit commutatif :

F (Y )Q N

NN

F (w)

u



F (Z )

 v

wX :

La eche u : F (Y ) ! X s'appelle eche de liberte pour le couple (X; Y ) (relativement au foncteur F ). Cela peut encore s'interpreter, en prenant un 127

J.-L. Verdier

univers dont C et C 0 soient des elements, en disant que Y est libre a droite sur X s'il existe un isomorphisme entre les foncteurs Z 7! HomC (Z; Y ) et Z 7! HomC 0 (F (Z ); X ) . Nous dirons qu'un objet Y de C est F -libre a droite s'il existe un objet X de C 0 tel que Y soit libre a droite sur X . Nous dirons qu'un objet X de C 0 est F -liberable a droite s'il existe un objet Y de C libre a droite sur X . On de nit de facon analogue, par passage aux categories opposees, les notions d'objet libre ou liberable a gauche. Proposition 2.3.3. Soient D une categorie triangulee, B une sous-categorie triangulee pleine, Q : D ! D=B le foncteur de passage au quotient (2.2.10), SD (B) le systeme multiplicatif de D associe a B (2.1.8). a) Pour tout objet Y de D, les conditions suivantes sont equivalentes : i) L'objet Y est Q-libre a droite. ii) Pour tout morphisme s 2 SD (B) , s : S ! T , l'application : HomD (s; Y ) : HomD (T; Y ) ! HomD (S; Y ) est une bijection. iii) Pour tout objet B de B , HomD (B; Y ) = 0 . iv) Tout morphisme Y s! Z , avec s 2 SD (B) , admet une retraction. v) Pour tout objet X de D , l'application : HomD (X; Y ) ! HomD=B (Q(X ); Q(Y )) est bijective. b) Soit LR (Q) la sous-categorie pleine de D de nie par les objets Q-libres a droite. La categorie LR (Q) est triangulee, strictement pleine, saturee. c) La restriction du foncteur de passage au quotient a LR (Q) :

QjLR (Q) : LR (Q) ! D=B est pleinement dele et injective sur les objets. d) Soit LibR (Q)  D=B la sous-categorie pleine de nie par les objets Q-liberables a droite de D=B . La sous-categorie LibR (Q) est triangulee strictement pleine. Si les produits ou les sommes directes denombrables sont representables dans D , la categorie LibR(Q) est saturee. e) Le foncteur Q envoie LR (Q) dans LibR (Q) . La categorie LibR (Q) est la cl^oture strictement pleine de l'image de LR (Q) . Les eches de liberte sont des isomorphismes.

128

Categories Derivees

f) Un objet Z de D appartient a Q 1 (LibR(Q)) si et seulement s'il existe un objet libre a droite Y et un morphisme s : Z ! Y , ou s appartient a SbD (B) , le sature du systeme SD (B) (2.2.4, (c)). g) Le foncteur d'inclusion LR (Q)  Q 1 (LibR (Q)) admet un adjoint a gauche R : Q 1 (LibR(Q)) ! LR (Q) :

LR (Q) yu  

R

  w Q

 QjLR (Q) 

1

(LibR(Q)) y

wD

Q1

u w D=B

u

LibR (Q) y

Q :

Soit : LibR(Q) ! LR (Q) un foncteur quasi-inverse a QjLR (Q) (cf. c) et e)). On peut prendre pour foncteur R le foncteur Q1 , ou on designe par Q1 : Q 1 (LibR(Q)) ! LibR (Q) le foncteur induit par Q . Le foncteur est adjoint a droite au foncteur Q1 . 2.3.4. Demonstration de la proposition 2.3.3 : Demontrons a ). Tout d'abord, si Y est Q-libre a droite, le foncteur X 7! HomD (X; Y ) est isomorphe au foncteur X 7! HomD=B (Q(X ); Z ) , pour un objet Z convenable de D=B . Par suite, le foncteur X 7! HomD (X; Y ) transforme les morphismes de SD (B) en isomorphismes. Ceci demontre l'implication i ) ) ii ). L'implication ii ) ) iii ) resulte de ce que le morphisme B ! 0 est un morphisme de SD (B) . L'implication iii ) ) iv ) resulte de la de nition de SD (B) et de (1.2.6). L'implication iv ) ) v ) resulte de l'isomorphisme (2.2.4) : HomD=B (Q(X ); Q(Y )) ! lim ! HomD (X; : ) : Y nSD (B)

En n, l'implication v ) ) i ) est evidente : Y est libre a droite sur Q(Y ) . L'assertion b ) resulte de a ), iii ). L'assertion c ) resulte de a ), v ). Il resulte aussi de a ), v ) que les objets de D=B qui sont liberables a droite sont les objets de D=B qui sont isomorphes dans D=B aux images par Q des objets Q-libres a droite. Les eches de liberte sont des isomorphismes. Ceci demontre e ). Il est alors clair que LibR(Q) est une sous-categorie triangulee strictement pleine. Soit Z = Z1  Z2 un objet de LibR (Q) . Il existe donc un objet Q-libre a droite Y et un isomorphisme Q(Y ) ! Z1  Z2 . Le foncteur X 7! HomD (X; Y ) admet donc un projecteur, et par suite la decomposition de Z en somme directe de nit sur Y un projecteur. Les facteurs de Z seront dans LibR (Q) si et seulement si ce projecteur est decomposable, ce qui est le cas lorsque dans D les sommes ou produits denombrables sont representables (1.2.9). 129

J.-L. Verdier

Ceci demontre d ) ; demontrons maintenant f ). Un objet Z de D appartient a Q 1 (LibR (Q)) si et seulement s'ilm existe un objet Q-libre a droite Y et un isomorphisme dans D=B : Q(Z ) ! Q(Y ) . Un tel isomorphisme est de la forme m = Q(s) 1 Q(t) , ou s 2 SD (B) et t 2 SbD (B) ((2.2.2) et (2.2.4)). On a par suite dans D un diagramme :

AC Xs t A AA Y Z u

:

D'apres a ), iv ), le morphisme s admet une retraction s0 : X ! Y qui est un element de SD (B) (1.2.6). Par suite, il existe un morphisme t0 : Z ! Y , t0 2 SbD (B) . Reciproquement, s'il existe un tel morphisme, le morphisme Q(t0 ) : Q(Z ) ! Q(Y ) est un isomorphisme. Il reste a demontrer g ). On a, d'apres a ), v ), un isomorphisme bifonctoriel : HomQ 1 (LibR (Q)) (Z; (W )) ! HomLibR (Q) (Q1 (Z ); W ) ;

ce qui montre que est adjoint a droite a Q1 . On en deduit immediatement que si on note i : LR (Q) , ! Q 1 (LibR (Q)) le foncteur d'inclusion, on a un isomorphisme bifonctoriel : HomQ 1 (LibR (Q)) (Z; i(Y )) ! HomLR (Q) ( Q1 (Z ); Y ) :

Ceci montre que le foncteur R = Q1 est adjoint a gauche au foncteur d'inclusion et acheve la demonstration de la proposition (2.3.3). Proposition 2.3.5. Soient D une categorie triangulee, A et B deux souscategories triangulees pleines (B strictement pleine), SD (B) et SA (A\B) les systemes multiplicatifs de D et A associes respectivement aux categories B et A\B. a) Les conditions suivantes sont equivalentes : i) Tout morphisme X s! X 0 , avec X 2 Ob(A) , s 2 SD (B) , s'insere dans un diagramme commutatif :

 w X  u 00 s0 

X s

0

X

s0 2 SA (A \ B) 130

:

Categories Derivees

ii) Tout morphisme B ! X , avec B 2 Ob(B) , X 2 Ob(A) , s'insere dans un diagramme commutatif :

wX hhj    0

Bh

B0 2 Ob(A \ B)

B

:

Les sous-categories triangulees pleines A de D qui possedent les deux proprietes equivalentes ci-dessus sont appelees sous-categories B-localisantes a droite. b) Si A est B-localisante a droite, le foncteur canonique :

A=A \ B ! D=B est pleinement dele et injectif sur les objets. c) Les conditions suivantes sont equivalentes : i) A est B-localisante a droite. ii) Soit Q : D=A \ B ! D=B le foncteur canonique. La sous-categorie A=A \ B ! D=A \ B est formee d'objets Q-libres a droite. L'equivalence de a ) resulte immediatement de TRIII et des de nitions des systemes SD (B) et SA (A \ B) (2.1.7). Demontrons b ). Soient X et Y deux objets de A (donc de A=A \ B ). Montrons d'abord que l'homomorphisme : HomA=A\B (X; Y ) ! HomD=B (X; Y )

est injectif. Designons par Q1 : A ! A=A \ B et Q2 : D ! D=B les foncteurs canoniques de passage au quotient. Un element m 2 HomA=A\B (X; Y ) peut toujours s'ecrire sous la forme m = Q1 (s) 1 Q1 (f ) , s 2 SA (A \ B) (2.2.2). Son image dans HomD=B (X; Y ) est alors Q2 (s) 1 Q2 (f ) . D'apres (2.2.4, a )), cette image est nulle si et seulement s'il existe un diagramme commutatif :

C fAAAA

A A X

C AuAA '' * s

131

'

u

t Y

t 2 SD (B)

J.-L. Verdier

tel que uf = 0 . En utilisant alors a ), i ), on voit qu'il existe un diagramme commutatif :

C fAAAA

A A X

C AvAA '' * s

u

'

t0

t0 2 SA (A \ B)

Y tel que vf = 0 . Il en resulte alors que m = Q1 (t0 ) 1 Q1 (vf ) = 0 . Montrons maintenant que l'homomorphisme :

HomA=A\B (X; Y ) ! HomD=B (X; Y )

est surjectif. Un element p 2 HomD=B (X; Y ) se met sous la forme :

p = Q2 (t) 1 Q2 (g ) ; t 2 SD (B) : En utilisant a ), i ), on voit qu'un tel element s'ecrit toujours sous la forme :

p = Q2 (s) 1 Q2(g0 ) ; s 2 SA(A \ B) ; et, par suite, qu'il provient d'un element de HomA=A\B (X; Y ) .

Il reste a demontrer l'equivalence de c ). Demontrons tout d'abord que i ) ) ii ). D'apres (2.3.1), la categorie D=B est canoniquement isomorphe a la categorie (D=A \ B)=(B=A \ B) et le foncteur canonique :

Q : D=A \ B ! D=B est le foncteur de passage au quotient. Par suite, d'apres la proposition (2.3.3, a )), pour demontrer l'implication i ) ) ii ), il sut de montrer que pour tout objet X de A et tout objet B de B , HomD=A\B (B; X ) = 0 . Un element m de HomD=A\B (B; X ) se met sous la forme Q3 (f )Q3 (s) 1 , ou :

Q3 : D ! D=A \ B est le foncteur canonique, et ou s est un element de SD (A \ B) , le systeme

multiplicatif de D associe a A \ B (2.2.2). On a alors un diagramme de D :



B

s   

W[

[[ ]f

132

X

;

Categories Derivees

et comme B est un objet de B et s un element de SD (A \ B) , l'objet W est isomorphe a un objet de B (1.2.4). Par suite, d'apres la premiere assertion, le morphisme f se factorise a travers un objet de A\B . Le morphisme Q3 (f ) est donc nul, et par suite m = 0 . Demontrons maintenant l'implication ii ) ) i ). Il sut de montrer, d'apres a ), que tout morphisme dans D , g : B ! X , ou B est un objet de B et X un objet de A , se factorise a travers un objet de A \ B . On sait par hypothese que Q3 (g ) 2 HomD=A\B (B; X ) est nul. Par suite (2.2.4), il existe un morphisme t : X ! X 0 , t 2 SD (A \ B) , tel que tg = 0 . Par de nition de l'ensemble SD (A\B) , il existe un triangle distingue de D de la forme (B 0 ; X; X 0; l; t; w) , ou B 0 est un objet de A \ B . D'apres (1.2.1), l'egalite tg = 0 implique que le morphisme g se factorise a travers B 0 , ce qu'il fallait demontrer. Ceci acheve la demonstration de la proposition (2.3.5). On dit qu'une sous-categorie triangulee pleine A de D est B-localisante a gauche si la sous-categorie A de D est B -localisante a droite.

133

3. Abelianisation des categories triangulees. 3.1. Construction de la categorie A(D). 3.1.1. Soient D une categorie additive et F`1 (D) la categorie des morphismes de D (chap. I, 3.3.6). Un morphisme : X g

u0

X

f f0

wY u h0

wY

de F`1 (D) est dit negligeable si f 0 g = hf = 0. Le compose dans les deux sens d'un morphisme negligeable et d'un morphisme quelconque est un morphisme negligeable ; la somme directe de deux morphismes negligeables est un morphisme negligeable. Designons par A(D) la categorie dont les objets sont les objets de F`1 (D) et les morphismes, les morphismes de F`1 (D) a morphismes negligeables pres, i.e. pour tout couple U et V d'objets de A(D) , le groupe HomA(D) (U; V ) est le quotient du groupe HomF`1 (D) (U; V ) par le sous-groupe des morphismes negligeables. La categorie A(D) est additive. Soit C une categorie; la composition avec le foncteur canonique : F`1 (D) ! A(D) fournit un foncteur : (3:1:1:1) Hom(A(D); C ) ! Hom(F`1(D); C ) : Ce foncteur est pleinement dele et injectif sur les objets. Son image est la sous-categorie pleine de nie par les foncteurs de F`1 (D) dans C qui transforment les morphismes qui dierent par un morphisme negligeable, en morphismes egaux.   X 3.1.2. Le foncteur canonique de D dans F`1(D) : X 7! X id! X compose avec le foncteur canonique F`1 (D) ! A(D) est un foncteur qu'on note : (3:1:2:1) H : D ! A(D) : Le foncteur H est additif. Il est pleinement dele et injectif sur les objets. Il realise donc D comme sous-categorie pleine de A(D) .

J.-L. Verdier

3.1.3. Supposons que la categorie D soit une Z-categorie stricte. Les foncteurs de translations de D : X 7! X [n] , n 2 Z , s'etendent en automorphismes de F`1 (D) :     n] X f! Y 7! X [n] f [! Y [n] : Il resulte immediatement de la propriete universelle de A(D) (3.1.1.1) que ces automorphismes passent au quotient et de nissent sur A(D) une structure de Z-categorie stricte. Le foncteur H : D ! A(D) est un Z-foncteur strict. 3.1.4. Soient D et D0 deux Z-categories strictes additives et F : D ! D0 un Z-foncteur additif (tordu par le cocycle trivial). Soit F`1 (F ) l'extension de F aux categories de morphismes :     F`1(F ) X f! Y = FX Ff! FY : Le foncteur F`1 (F ) transforme les morphismes negligeables de F`1 (D) en morphismes negligeables de F`1 (D0 ) . Il de nit par suite un foncteur : (3:1:4:1) A(F ) : A(D) ! A(D0 ) : Le foncteur A(F ) est additif. Il resulte immediatement des proprietes universelles des categories A(D) et A(D0 ) que le foncteur A(F ) est muni canoniquement d'une structure de Z-foncteur. Soit F 0 : D0 ! D00 un Z-foncteur additif entre Z-categories strictes additives. On a alors : (3:1:4:2) A(F 0 ) A(F ) = A(F 0 F ) : Le diagramme ci-apres est commutatif : (3:1:4:3)

F w D0 D H H0 u A(F ) u 0 A(D) w A(D )

(les foncteurs H et H0 sont de nis en (3.1.2)). Soit de m^eme m : F ! F 00 un morphisme de Z-foncteurs additifs entre D , D0 . On en deduit, par les m^emes arguments que precedemment, un morphisme de Z-foncteurs : (3:1:4:4) A(m) : A(F ) ! A(F 00 ) : Si m et m0 sont deux morphismes composables de Z-foncteurs additifs, on a : (3:1:4:5) A(m0 ) A(m) = A(m0 m) : 136

Categories Derivees

3.2. Proprietes de la categorie A(D) (D categorie triangulee). 3.2.0. Soient D et D0 deux categories triangulees. Designons par E x(D; D0 ) la categorie dont les objets sont les foncteurs exacts de D dans D0 et dont les morphismes sont les morphismes de foncteurs exacts. Designons de m^eme par Z-Add(A(D); A(D0 )) la categorie dont les objets sont les Z-foncteurs additifs de A(D) dans A(D0 ) et dont les morphismes sont les morphismes de Z-foncteurs. Il resulte de ce qui precede qu'on a de ni un foncteur : (3:2:0:1) AD;D0 : E x(D; D0 ) ! Z-Add(A(D); A(D0 )) : Ce foncteur associe a un foncteur exact F le foncteur A(F ) . Theoreme 3.2.1. (*) a) Si D est une categorie triangulee, la categorie A(D) est abelienne. Si F : D ! D0 est un foncteur exact entre deux categories triangulees, le foncteur A(F ) (3.1.4.1) est exact. Le foncteur AD;D0 (3.2.0.1) est pleinement dele et injectif sur les objets. b) Les objets de D sont injectifs et projectifs dans A(D) . Tout objet de A(D) est isomorphe a un objet quotient (resp. a un sous-objet ) d'un objet de D. c) Soit A une categorie abelienne. Designons par E x(A(D); A) la categorie dont les objets sont les foncteurs exacts de A(D) dans A et les morphismes, les morphismes de foncteurs. De m^eme, designons par Hom(D; A) la categorie dont les objets sont les foncteurs de D dans A et les morphismes, les morphismes de foncteurs. La composition avec le foncteur H : D ! A(D) de nit un foncteur :

E x(A(D); A) ! Hom(D; A) : Ce foncteur est pleinement dele. Son image essentielle est constituee par les foncteurs cohomologiques de D dans A (1.1.5). En particulier, le foncteur H : D ! A(D) est un foncteur cohomologique. La demonstration de ce theoreme nous occupera jusqu'a l'alinea (3.2.9). Nous demontrerons d'abord trois propositions intermediaires. 3.2.2. Soit U un univers tel que la categorie D soit U-petite, i.e. tel que D soit un element de U. Soit D^ la categorie des foncteurs additifs contravariants sur D a valeurs dans la categorie des groupes abeliens U-petits. La categorie D^ est abelienne et le foncteur canonique h : D ! D^ , qui associe a tout objet de D le foncteur qu'il represente, est pleinement dele. Le foncteur h transforme tout objet de D en objet projectif de D^ .

(*) Ce theoreme m'a ete communique par Freyd [17]. 137

J.-L. Verdier

Un objet de D^ est dit admissible s'il est image d'un morphisme entre foncteurs representables. Soit I m : F`1 (D) ! D^ le foncteur : 



I m X f! Y = image du morphisme h(f ) :

(3:2:2:1)

Le foncteur I m est additif et transforme les morphismes negligeables en morphismes nuls. Il se factorise donc d'une maniere unique par un foncteur additif note abusivement :

I m : A(D) ! D^ : Le foncteur compose I m  H : D ! A(D) ! D^ n'est autre que le foncteur h. Un objet de D^ est isomorphe a l'image par I m d'un objet de A(D) si et (3:2:2:2)

seulement s'il est admissible. Proposition 3.2.3. Le foncteur I m : A(D) ! D^ est pleinement dele. Soit : f

X g

u0

X

wY g0 u0 wY

f0

=

(g ; g 0)

un morphisme de F`1 (D) . Nous designerons par I m((g ; g 0)) l'image par I m du morphisme (g ; g 0) . Le diagramme de F`1 (D) :

X

idX

X fu Y

f

idX

u

idY

wX uf wY u idY wY

fournit, en appliquant le foncteur I m , le diagramme :

h(X )

I m((idX ;f ))

! I m(f )

I m((f ;idY ))

! h(Y ) :

On a l'egalite : (3:2:3:1)

I m((f ; idY ))  I m((idX ; f )) = h(f ) : 138

Categories Derivees

Soient (X; Y; f ) et (X 0; Y 0 ; f 0 ) deux objets de A(D) . Pour demontrer la proposition (3.2.3), il sut de montrer que l'homomorphisme de ni par le foncteur Im : (3:2:3:2)




HomA(D) (X; Y; f ); (X 0; Y 0 ; f 0 ) ! HomD^ I m(f ); I m(f 0 )




est un isomorphisme. Montrons d'abord qu'il est injectif. Soit donc : (g ; g 0) : (X; Y; f ) ! (X 0 ; Y 0 ; f 0 ) un morphisme de F`1 (D) tel que I m((g ; g 0)) = 0 . Le morphisme compose :

I m((f 0 ; idY 0 ))  I m((g ; g0))  I m(idX ; f ) est egal au morphisme h(g 0 f ) . Par suite, h(g 0 f ) = 0 . Le foncteur h etant pleinement dele, on a g 0 f = 0 . Par suite, le morphisme (g ; g 0) est negligeable. Pour demontrer que l'homomorphisme (3.2.3.2) est surjectif, il sut de demontrer le lemme : Lemme 3.2.4. Soit I m(f ) ! I m(f 0) un morphisme de D^. Il existe deux morphismes de D, g : X ! X 0 et g 0 : Y ! Y 0 , tels que les diagrammes ci-apres soient commutatifs :

(3:2:4:1)

(3:2:4:2)

h(X ) I m((idX ; f )) w I m(f )  h(g ) u 0 I m((idX0 ; f 0)) u 0 h(X ) w I m(f ) h(X ) h(g )

u

h(X 0)

h(f ) h(f 0 )

w h(Y )

h(g 0 )

u0

w h(Y )

En eet, on deduit immediatement du lemme que le morphisme  est egal au morphisme I m((g ; g 0 )). Ceci resulte de l'egalite (3.2.3.1) et du fait que I m((idX ; f )) est un epimorphisme de D^ . 139

J.-L. Verdier

Pour demontrer le lemme (3.2.4), remarquons que le morphisme :

h(X 0 )

I m((idX 0 ;f 0))

! I m(f 0)

est un epimorphisme de D^ . Les foncteurs representables etant des objets projectifs de D^ , il existe un morphisme g : X ! X 0 tel que le diagramme (3.2.4.1) soit commutatif. Passons maintenant a la construction du morphisme g 0 : Y ! Y 0 . Il resulte des axiomes TRI et TRII des categories triangulees qu'il existe deux triangles distingues de la forme (Z; X; Y; u; f; v) et (Z 0 ; X 0; Y 0 ; u0 ; f 0 ; v 0 ) . Comme pour tout objet W de D, le foncteur HomD (W;
) est un foncteur cohomologique (1.2.1), les suites : I m((id ;f ))

h(u)

X ! h(X ) ! I m(f ) ! 0 h(u0 ) I m((idX 0 ;f 0 )) h(Z 0 ) ! h(X 0 ) ! I m(f 0) ! 0 sont exactes. Comme h(Z ) est un objet projectif de D^ , il existe un morphisme g 00 : Z ! Z 0 tel que le diagramme :

h(Z )

h(Z ) h(g 00 )

u0

h(Z )

h(u)

w h(X )

h(u0 )

u

h(g )

w h(X 0)

soit commutatif. Il resulte alors de l'axiome TRIII qu'il existe un morphisme g 0 tel que (g 00; g; g 0) soit un morphisme de triangle. En particulier, le diagramme (3.2.4.2) est commutatif. Ceci acheve la demonstration du lemme (3.2.4) et de la proposition (3.2.3). Proposition 3.2.5. Soient V et V 0 deux objets admissibles de D^ et  : V ! V 0 un morphisme de D^ . Le noyau de  dans D^ (resp. le conoyau de  dans D^ ) est un objet admissible de D^ . D'apres (3.2.3), on peut supposer que V = I m(f ) et V 0 = I m(f 0 ) et que  est le morphisme induit sur les images des morphismes h(f ) et h(f 0 ) par un diagramme commutatif : h(X ) h(f ) w h(Y ) h(g ) h(g 0 ) u 0 h(f 0 ) u 0 h(X ) w h(Y ) 140

Categories Derivees

Soit alors (Z; X; Y 0 ; u; f 0g; v ) un triangle distingue de D. Le diagramme :

h(Z ) h(fu) w h(Y ) id h(u) u h(f ) u h(Y ) w h(Y ) h(X ) h(g ) h(g 0 ) u u 0 h(X 0 ) h(f ) w h(Y 0 ) fournit, en prenant les images des morphismes horizontaux, un diagramme : (3:2:5:1) I m(fu) ! V ! V 0 : Montrons que le morphisme I m(fu) ! V est le noyau de  . Tout d'abord, il est clair que est un monomorphisme : en eet, I m(fu) et V sont des sous-objets de h(Y ). Ensuite, le compose  est nul : en eet, le morphisme canonique h(Z ) ! I m(fu) est un epimorphisme ; le morphisme canonique V 0 ! h(Y 0) est un monomorphisme, et le compose h(f 0 gu) est l'image par h du compose de deux morphismes consecutifs d'un triangle distingue ; ce morphisme est donc nul (1.2.2). Il reste a montrer que la suite (3.2.5.1) est exacte en V . Soit W un objet de D. Un morphisme  de h(W ) dans V provient toujours d'un morphisme de h(W ) dans h(X ) ( h(W ) est projectif dans D^ ), i.e. d'un morphisme m : W ! X . Ce morphisme compose avec  est nul si et seulement si f 0 gm = 0 ( V 0 est un sous-objet de h(Y 0 ) ). Par suite (1.2.1), il existe un morphisme n : W ! Z tel que un = m . Le morphisme  se factorise donc par I m(fu) . Montrons maintenant que le conoyau de  dans D^ est un objet admissible de D^ . Soit (X; Y 0 ; Z 0 ; g 0f; u0 ; v 0 ) un triangle distingue de D. Le diagramme : h(X ) h(f ) w h(Y )

h(g 0 )

h(g )

u0 h (f 0 ) 0 w h(Y ) h(X )

idh(X 0 )

u

h(u0 )

u

h (u0 f 0 ) u 0 0 h(X ) w h(Z ) 141

J.-L. Verdier

fournit, en prenant les images des morphismes horizontaux, le diagramme :

V ! V 0 ! I m(u0 f 0 ) :

(3:2:5:2)

Tout d'abord, est un epimorphisme : en eet, V 0 et I m(u0 f ) sont des quotients de h(X 0 ) . Ensuite, le compose  est nul : en eet, le morphisme canonique h(X ) ! V est un epimorphisme, le morphisme canonique : I m(u0 f 0 ) ! h(Z 0 )

est un monomorphisme et le compose h(u0 g 0 f ) est le transforme par h du compose de deux morphismes consecutifs d'un triangle distingue ; ce morphisme est donc nul (1.2.2). Il reste a montrer que la suite (3.2.5.2) est exacte en V 0 . Pour cela, d'apres les proprietes des suites exactes dans D^ , il sut de montrer que pour tout objet W de D, la suite de groupes commutatifs :


HomD^ h(W ); V ! HomD^ h(W ); V 0 ! HomD^ h(W ); I m(u0 f 0 )

est exacte. Soit donc  un morphisme de h(W ) dans V 0 . Ce morphisme  compose avec le morphisme canonique de V 0 dans h(Y 0 ) fournit un morphisme de h(W ) dans h(Y 0 ) , i.e. un morphisme m : W ! Y 0 . Le compose

 est nul si et seulement si u0 m = 0 ( I m(u0 f 0 ) est un sous-objet de h(Z 0 ) ). Il existe donc (1.2.1) un morphisme n : W ! X tel que g 0 fn = m . D'ou, en composant avec le morphisme canonique h(X ) ! V , un morphisme 0 : h(W ) ! V . Comme V 0 est un sous-objet de h(Y 0 ) , on a  0 =  . Ceci acheve la demonstration de la proposition (3.2.5). 3.2.6. Il resulte de la proposition (3.2.3) que la categorie A(D) est equivalente a la sous-categorie pleine des objets admissibles de D^ . Il resulte de la proposition (3.2.5) que la sous-categorie pleine des objets admissibles de D^ est une sous-categorie abelienne de D^. La categorie A(D) est par suite abelienne. Proposition 3.2.7. Toute suite exacte de A(D) : 0 ! V1 ! V2 ! V3 est isomorphe a une suite de A(D) determinee par un diagramme commutatif de D : w X1 u1 w X2 u2 w X3 0 i (Xi f! Y i ) ' Vi

u

0

f1

u

w Y1

idY1

f2

f3

u

u w Y3

w Y2 = Y1 142

1i3

Categories Derivees

tel que le diagramme :

X1

u1

! X2

f3 u2

! Y3

puisse s'inserer dans un triangle distingue (X1 ; X2; Y3 ; u1; f3 u2 ; u3) . Ceci resulte immediatement de la demonstration de la proposition (3.2.5).

3.2.8. Demonstration des assertions a) et b) du theoreme 3.2.1. Nous avons deja montre (3.2.6) que la categorie A(D) est abelienne. Soit F : D ! D0 un foncteur exact. Il resulte immediatement de la proposition (3.2.7) que le foncteur A(F ) est exact a gauche. Par ailleurs, il est clair d'apres la construction de la categorie A(D) , que la categorie A(D ) est canoniquement isomorphe a la categorie A(D) et que le foncteur A(F  ) est canonique-

ment isomorphe au foncteur A(F ) . Le foncteur F  etant exact (1.1.7), on en deduit que A(F  ) est un foncteur exact a gauche et, par suite, que le foncteur A(F ) est aussi exact a droite, donc exact. Les objets admissibles de D^ sont isomorphes a des sous-objets et des objets quotients de foncteurs representables. Par suite (3.2.3), tout objet de A(D) est isomorphe a un sous-objet et a un objet quotient d'un objet de D. Les foncteurs representables sont des objets projectifs dans D^ . Ils sont donc (3.2.5) projectifs dans la souscategorie pleine des objets admissibles de D^ . Par suite (3.2.3), les objets de D sont des projectifs de A(D) . On en deduit que les objets de D sont des objets projectifs de A(D ) et par suite, en passant aux categories opposees, que les objets de D sont des objets injectifs de A(D) . La demonstration en forme du fait que AD;D0 est pleinement dele peut ^etre sans danger laissee au lecteur : un morphisme entre foncteurs exacts est uniquement determine lorsqu'on connait ses valeurs sur susamment d'objets projectifs. 3.2.9. Fin de la demonstration du theoreme 3.2.1. Montrons d'abord que le foncteur H : D ! A(D) est un foncteur cohomologique. Soit : (X; Y; Z; f; g; h) un triangle distingue de D. Il faut demontrer que la suite :

H(X )

H(f )

! H(Y )

H(g)

! H(Z )

est exacte. Pour cela ((3.2.3) et (3.2.5)), il sut de montrer que la suite : (3:2:9:1)

h(X )

h(f )

! h(Y ) 143

h(g)

! h(Z )

J.-L. Verdier

est exacte dans D^ . La suite (3.2.9.1) est exacte si et seulement si pour tout objet W de D, la suite :


HomD^ h(W ); h(X ) ! HomD^ h(W ); h(Y ) ! HomD^ h(W ); h(Z ) est exacte. Or ceci resulte de ce que h est pleinement dele et de (1.2.1). Soit alors A une categorie abelienne et : E x(A(D); A) ! Hom(D; A) le foncteur \composition avec H ". Il est clair que ce foncteur est pleinement dele : un morphisme entre foncteurs exacts est uniquement determine lorsqu'on connait ses valeurs sur susamment d'objets projectifs. Il reste a demontrer que tout foncteur cohomologique : D ! A se factorise a travers A(D) : D 4 H w A(D) (3:2:9:2)

44 4 6 u 4 A

;

le foncteur  etant exact. Pour tout objet X f! Y de A(D) posons :  f) f   X ! Y = Image dans A de (X ) (! (Y ) (*) . On determine ainsi un foncteur de A(D) dans A tel que le diagramme (3.2.9.2) soit commutatif. Montrons que  est un foncteur exact. Il resulte immediatement de (3.2.7) que  est exact a gauche. En passant aux categories opposees, on montre de m^eme que  est exact a droite. Ceci acheve la demonstration du theoreme (3.2.1). Remarque 3.2.10. 1) La propriete universelle decrite dans le theoreme (3.2.1, c )) determine la categorie A(D) a equivalence pres. 2) Lorsque dans D les sommes denombrables ou bien les produits denombrables sont representables, tous les objets projectifs (resp. injectifs) de A(D) sont isomorphes a des objets de D. En eet, un tel objet est facteur direct dans A(D) d'un objet de D. Il est donc noyau d'un projecteur d'un objet de D. Or sous les hypotheses faites, les projecteurs sont decomposables dans D (1.2.9). () On remarquera que la construction du foncteur  fait intervenir le choix d'un foncteur \image" dans A . Ce choix est bien entendu unique a isomorphisme unique pres. On peut toujours imposer, ce que nous ferons desormais, que le foncteur \image" associe a tout morphisme TT . identique idT dans A , l'objet T muni du morphisme T id!

144

4. Objets spectraux. Nous reprenons, pour l'adapter aux categories triangulees, l'exposition des suites spectrales de [1], chap. XV, x7.

4.1. De nition des objets spectraux. 4.1.1. Soit J une categorie et, pour tout n 2 N, soit F`n (J ) la categorie des suites de n morphismes composables de J (chap. I, 3.3.6). Nous utiliserons trois foncteurs notes si : F`2 (J ) ! F`1 (J ), 1  i  3 : 8 f > > > > >  > > > > < s1  > > > s 2 > > > >  > > :s

! g! 2 Ob F`2(J ) ;

(4:1:1:1)

3

f



f



f



! g! = f! ;

! g! = gf! ;

! g! = g! ;

et deux morphismes de foncteurs :

(4:1:1:2)

8 u1 : s1 > > > > > > >  > > > > u1 f > > > >
> > u2 : s2 > > > > > > >  > > f > > u > : 2

:

4.1.2. Soient D une categorie triangulee et J une categorie. Un objet spectral de type J a valeurs dans D est un objet constitue par deux foncteurs : a ) Un foncteur X : F`1 (J ) ! D : 

f



! 7 ! Xf :

J.-L. Verdier

b ) Un foncteur de F`2 (J ) dans la categorie des triangles distingues de D de la forme :

!2 =



f



! g! 7 ! Xf

X u1 (!2 )

! Xgf

X u2 (!2 )

! Xg

(!2 )

! Xf [1] :

Pour designer les objets spectraux de type J
, nous utiliserons la notation Xf ; f 2 Ob F`1 (J );  (!2 ); !2 2 Ob F`2 (J ) , ou plus simplement (Xf ;  ) quand aucune confusion n'en resulte. 4.1.3. Soient C une categorie additive et F : J ! comp(C ) un foncteur. On a montre au chapitre I, (3.3.6) comment associer a F un objet spectral de type J a valeurs dans K(C ). L'objet spectral decrit au chapitre I, (3.3.6) est appele l'objet spectral associe au foncteur F . 4.1.4. Soient A une categorie abelienne et J une categorie. Un objet spectral de type J a valeurs dans A est constitue par : a ) Une suite de foncteurs H n : F`1 (J ) ! A , n 2 Z . b ) La donnee pour tout objet !2 = f! g! de F`2 (J ) et tout entier n , d'un morphisme  n (!2 ) : H n (g ) ! H n+1 (f ) , fonctoriel en !2 , tel que le diagramme :




! H n(f )

H n u1 (!2 )

! H n(gf )

H n u2 (!2 )

! H n (g)

n (!2 )

! H n+1(f ) !




soit une suite exacte illimitee de A . Nous utiliserons la notation :
H n(f ); f 2 Ob F`1 (J );  n (!2 ); !2 2 Ob F`2 (J ) pour designer les objets spectraux de type J , ou plus simplement (H n (f );  ) quand aucune confusion n'en resulte. 4.1.5. Soit F : D ! D0 un foncteur exact entre deux categories triangulees. Soit (Xf ;  ) un objet spectral de type J a valeurs dans D. Le couple des foncteurs (FXf ; F ) est un objet spectral de type J a valeurs dans D0 . De m^eme, un foncteur cohomologique H : D ! A d'une categorie triangulee dans une categorie abelienne transforme les objets spectraux a valeurs dans D en objets spectraux a valeurs dans A . 4.1.6. Soient D une categorie triangulee et (Xf ; ) , (Yf ; 0) deux objets spectraux de type J a valeurs dans D. Un morphisme d'objets spectraux est un morphisme de foncteurs : mf : Xf ! Yf ; f 2 Ob F`1(J ) ; 146

Categories Derivees

tel que pour tout objet !2 = f! g! de F`2 (J ) , le diagramme ci-apres soit commutatif : Xg  (!2 ) w Xf [1]

mg

u

u

mf [1]

0 Yg  (!2 ) w Yf [1]

:

Soient A une categorie abelienne et (H n (f );  ), (H 0 n (f );  0 ) deux objets spectraux de type J a valeurs dans A . Un morphisme d'objets spectraux est une suite de morphismes de foncteurs : mn (f ) : H n(f ) ! H 0 n (f ) ; f 2 Ob F`1 (J ) ; n 2 Z ; g telle que pour tout objet !2 = f! ! de F`2 (J ) et tout entier n , le diagramme ci-apres soit commutatif : n H n (g )  (!2 ) w H n+1(f ) mn (g ) mn+1 (f ) u 0n u : H 0 n (g )  (!2 ) w H 0n+1 (f )

Les objets spectraux de type J a valeurs dans D (resp. A) forment une categorie.

4.2. Mecanisme des suites spectrales. 4.2.1. Soient A une categorie abelienne et (H n(f ); ) un objet spectral de type J . Pour tout objet !2 = f! g! de F`2 (J ) , posons :

(4:2:1:1)

8 > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > :

   n 1 (!2 ) n
n n n 1 B ! = B f; g = Im H (g ) ! H (f ) 2 H n u1 (!2 ) n
' Ker H n(f ) ! H (gf ) ; 



   n n Z ! = Z f; g = Ker H n(g ) 2 ' Im H n(gf )

147

n (!2 )




! H n+1(f )

H n u2 (!2 )




! H n(g) :

J.-L. Verdier

On a ainsi de ni deux foncteurs de F`2 (J ) dans A . On a par de nition des inclusions :     B f;ng  H n (f ) ; Z f;ng  H n (g ) :

Soit !3 = f! g! h! un objet de F`3 (J ) . Proposition 4.2.2. On a les inclusions : 







B g;nh  Z f;ng  H n (g ) : La deuxieme inclusion est mise pour memoire. Pour demontrer la premiere inclusion, il sut de montrer que le compose des deux morphismes de la suite : 1 H n (g ) ! 2 H n+1 (f ) H n 1 (h) ! est nul. Or l'objet g! h! de F`2 (J ) fournit la suite exacte : 1 H n (g ) u! H n (hg ) ; H n 1 (h) !

et le morphisme de F`2 (J ) : ?

id y

f

!

?

y f id

!

g

!

hg

!

? y

h

fournit le diagramme commutatif :

H n(g ) u H

u n

2

N (hg ) N

w H n+1(f ) P NNN

N3

D'ou la proposition. 148

:

Categories Derivees

4.2.3. Posons alors : 









E !n = E f; ng; h = Z f;ng 3

(4:2:3:1)





B g;nh



On a ainsi de ni un foncteur de F`3 (J ) dans A .

:

2 f! 3 f! 4 un objet de F` (J ) . L'objet f! 3 f! 4 Soit maintenant !3 = f! 3 de F`2 (J ) fournit la suite exacte :

H n (f3 ) u! H n(f4 f3 ) ! H n(f4 ) ! H n+1(f3 ) : De plus, le morphisme dans F`2 (J ) : f2

!

? id y

!

? id y

fournit le diagramme commutatif :

u

H n(f3)

!

? y f4

!

f4 f3

f2

H n (f4 f3 ) u

f3



w H n+1(f2 ) P NNN

N N N

:

Par suite, le diagramme : n H n(f4 f3 )   w H (f4)  u   w H n+1(f2 ) H n (f3 ) u



w H n+1(f3 )

de nit un morphisme : n (!3 ) : Z



n  ! H n+1 (f ) . B  n + 1  : 2 f 3 ; f4 f 2 ; f3 149

J.-L. Verdier

On veri e que :

n  ; f 3 f 2 ; f4     n + 1 n + 1 n Im ( (!3 )) = B B f ;f : f 2 ; f4 f 3 2 3 Le morphisme n (!3 ) de nit par suite un isomorphisme : Ker ( n (!3 )) = Z

n (!3 ) : Z



n f 3 ; f4







Z f fn; f 3 2 4



! B



n+1 f 2 ; f4 f 3





B nf +; f1 2 3



:

1 f2 f3 f4 f5 Soit alors !5 = f! ! ! ! ! un objet de F`5 (J ) . Les morphismes canoniques :       E f ; fn ; f ! Z f n; f Z f fn; f ! 0 ; 3 4 5 3 4 3 2 4       n + 1 n + 1 n + 1 0 ! B f ;f f B f ;f ! E f ;f ;f ; 2 4 3 2 3 1 2 3

composes avec l'isomorphisme n (f2 ; f3 ; f4) , de nissent un morphisme : (4:2:3:2)     dn (!5 ) = dn (f1; f2 ; f3; f4; f5 ) : E f ; fn ; f ! E f n; f+;1f : 3 4 5

On a :

8 > > >
> n   B n  : > : Ker (dn (!5 )) = Z f 4 ; f5 f 3 f 2 ; f4 Le morphisme dn (!5 ) depend fonctoriellement, en un sens evident, de !5 . Proposition 4.2.4. Soit !7 = f!1 f!2 f!3 f!4 f!5 f!6 f!7 un objet de F`7 (J ) . Posons : d1 = dn 1 (f3; f4 ; f5 ; f6; f7 ) ; d2 = dn (f1 ; f2 ; f3; f4 ; f5) : Im (dn (!5 )) = B

150

Categories Derivees

Le compose des morphismes :      n + 1 n n 1 d d 2 1 E f ;f ;f ! E f ;f ;f ! E f ;f ;f 1 2 3 3 4 5 5 6 7 

est nul. On a un isomorphisme canonique : 

n Ker(d2 )= Im(d1) ' E f3 f2 ; f4; f6 f5

(4:2:4:1)



:

Resulte immediatement de (4.2.3.3) et (4.2.3.1). 4.2.5. Les morphismes dn (!5) , !5 2 Ob F`5 (J ) , sont appeles les dierentielles (relatives a l'objet spectral considere). La famille des foncteurs (4.2.3.1) h i  n !3 7! E !3 , !3 2 Ob F`3(J ) , munis des dierentielles (4.2.3.2) dn (!5 ) , !5 2 Ob F`5 (J ) , est appelee la famille spectrale associee a l'objet spectral (H n (f );  ).

4.2.6. Soit !4 = f!1 f!2 f!3 f!4 un objet de F`4(J ) . On en deduit un diagramme dans F`3 (J ) : f1 f2

u

f3

u

id

w

id

wu

u

id

f4

wu wu

f1 f2

id

w

id

wu

f3

f4 f3 id

wu wu

f1

w

f2

wu

f3 f2 f4

f1

id

id id

wu wu

f2 f1 f3 f4

id id id

w wu wu wu

f2 f3 f4 :

h i D'ou, en appliquant le foncteur E !n3 , trois suites exactes de A : 

       n n n n 0 ! B f ;f f B f ;f ! E f ;f ;f ! E f ;f ;f f ! 0; 2 4 3 2 3 1 2 3 1 2 4 3       n n n 0 ! E f ;f ;f f ! E f ;f f ;f ! E f f ;f ;f ! 0 ; 1 2 4 3 1 3 2 4 2 1 3 4

151

J.-L. Verdier 















0 ! E f f ;nf ; f ! E f ; fn ; f ! Z f n; f Z f fn; f ! 0 : 2 1 3 4 2 3 4 2 3 2 1 3 Soit alors fi , i 2 Z , une suite illimitee de morphismes composables de J .

On deduit de ce qui precede et de la de nition des dierentielles, une suite exacte illimitee :




! E

h

n 1 fi+3 ;fi+4 ;fi+5

!E

h

i

dn 1

!E

h

fi+1 ;fi+2 ;fi+3 i

n

i

n

h n d! E

fi+2 ;fi+3 ;fi+4

!E

h

n+1 fi ;fi+1 ;fi+2

n fi+1 ;fi+3 fi+2 ;fi+4

i

i

!

!


:

Le lecteur curieux elucidera les rapports de cette suite exacte avec la suite exacte a 5 termes de bas degre des suites spectrales classiques. 4.2.7. Tout diagramme commutatif de A :

NN 

'

u NP

X 0 '0 w X  w X 00 Y

;

dans lequel la ligne est exacte, de nit par l'intermediaire de  un isomorphisme ([1] p.316, Lemme 1.1) : Im(')= Im('0 ) ' Im( ) : 1 f! 2 f! 3 un objet de F` (J ) . En appliquant la remarque Soit !3 = f! 3 precedente au diagramme :

H n (f2 f1 )N

] [

 [[ [ [  nu n 1 H (f3 ) w H (f2) on obtient un isomorphisme : (4:2:7:1)



NN P N w H n(f3f2 )

;


n E f ; f ; f ! Im H n(f2 f1 ) ! H n(f3f2 ) : 1 2 3

152

Categories Derivees

En appliquant la m^eme remarque au diagramme :

H n (f2 f1 ) 4

P 44 NN N 6 4 N u N w H n(f3f2 f1 ) w H n(f3f2 ) H n(f1 )

;

on obtient un isomorphisme : (4:2:7:2) 



 n E f ; f ; f ! Im H n (f2f1 ) ! H n(f3f2 f1 ) Im H n (f1 ) ! H n (f3 f2 f1 ) : 1 2 3

4.3. Les termes E

h

n 1;p;q;+1

i

.

4.3.1. Soit Ze l'ensemble ordonne Z complete par un element initial 1 et un element nal +1 . Par abus de notation, nous designerons egalement par Ze la categorie associee a l'ensemble ordonne Ze . Un morphisme de Ze est donc un couple p  q , ou p et q sont des elements de Ze . Une suite ordonnee p1  p2 


 pn de nit un objet de F`n 1 (Ze ) note (p1; p2; . . . ; pn) . Un morphisme de Ze est dit ni si sa source et son but appartiennent a Z . Un objet F`n (Ze ) est dit ni si les morphismes qui le composent sont nis. 4.3.2. Nous n'utiliserons dans ce travail que les objets spectraux de type Ze , qui seront appeles dorenavant objets spectraux. On retrouve ainsi la notion   n e du chapitre XV, x7 de [1]. Soit H (p; q ) ;  ; p  q 2 Z un objet spectral a valeurs dans une categorie abelienne A . Posons :


F p H n ( 1; +1) = Im H n ( 1; p) ! H n ( 1; +1) :

(4:3:2:1)

On a F +1 H n ( 1; +1) = H n ( 1; +1) et F 1 H n ( 1; +1) = 0 . Les F p H n ( 1; +1) forment une ltration croissante de type Ze de H n ( 1; +1). De plus, pour tout couple p  q on a un isomorphisme (4.2.7.2) :

E



 n q H n ( 1; +1)  F p H n ( 1; +1) : ' F 1; p; q; +1

153

J.-L. Verdier h

i

n 4.3.3. On s'interesse plus particulierement aux termes E p r+1;p;p +1;p+r , p 2 Z , r 2 Z , r > 0 , car ceux-ci permettront, sous des hypotheses convenables, de determiner le gradue associe a H n ( 1; +1) . Pour nous ramener

aux notations de loc. cit., nous poserons :

(4:3:3:1)

8 h > E p > > > > > > > > i.e. : > > >
r > > > > > > Les > > > > > :

h

p+q p r; p 1; p; p+r 1

; i

; p; q 2 Z ; 1  r  +1 :

dierentielles correspondantes seront notees :

p+r;q dr : Ip;q r ! Ir

r+1

:

Il nous arrivera tres souvent d'utiliser la notation :

(4:3:3:2)

8 h > E p > > > > > > > > > i.e. : > >
> > > > > > Les dierentielles correspondantes seront notees : > > > > > :

p+r;q dr : IIp;q r ! IIr

r+1 :

Nous preciserons dans chaque cas la notation utilisee. Remarquons que lorsqu'on utilise la notation (4.3.3.1), les termes Ip;q r sont de nis pour r  1 , alors que lorsqu'on utilise la notation (4.3.3.2), les termes IIp;q r ne sont de nis que pour r  2 . i

h

n L'ensemble des termes E p r+1;p;p +1;p+r , n; p 2 Z , 1  r  +1 , munis des dierentielles correspondantes, est appele la suite spectrale associee a l'objet spectral (H n (p; q );  (p; q; r)).

154

Categories Derivees

4.4. Convergence. 4.4.1. Pour une etude detaillee de la convergence des suites spectrales, nous

renvoyons a loc. cit. Nous n'utiliserons que le critere suivant : De nition 4.4.2. On dit qu'un objet spectral (H n(p; q); ) a valeurs dans une categorie abelienne A est stationnaire , si pour tout entier n , il existe deux entiers u(n) , v (n) 2 Z tels que :

H n (p; q ) = 0 ; u(n)  p  q  +1 ; H n (p; q ) = 0 ;

1  p  q  v(n) :

Theoreme 4.4.3. Soit (H n (p; q); ) un objet spectral stationnaire. a) Pour tout n , la ltration F p H n ( 1; +1) , p 2 Ze , est stationnaire, i.e. il existe deux entiers n1  n2 2 Z tels que : F n1 H n ( 1; +1) = 0 et F n2 H n ( 1; +1) = H n( 1; +1) : h

i

n b) Les dierentielles partant de (resp. aboutissant a ) E r;p;q;s sont nulles si r  v (n + 1) (resp. u(n 1)  s ), et de plus : h i n c) Pour tout n et tout couple p  q , les objets E r;p;q;s tels que :

1  r  v(n + 1) et u(n 1)  s  +1 sont canoniquement isomorphes. Ce theoreme resulte immediatement des de nitions. Un objet spectral stationnaire fournit une suite spectrale fortement convergente au sens de loc. cit. Nous dirons qu'une suite spectrale associee a un objet spectral est stationnaire, ou encore, abusivement, convergente, lorsque cet objet spectral est stationnaire. En utilisant l'une ou l'autre des notations de (4.3.3), nous ecrirons : p+q Ip;q r ) H ( 1; +1)

p+q IIp;q r ) H ( 1; +1)

pour indiquer qu'une suite spectrale converge. L'ensemble des termes

H p+q( 1; +1) sera alors appele l'aboutissement de la suite spectrale. 155

J.-L. Verdier

4.4.4. Soient (H n(p; q); ), (H 0n (p; q); 0) deux objets spectraux a valeurs dans A et mn (p; q ) = H n (p; q ) ! H 0 n (p; q ) un morphisme d'objets spec-

traux. Un tel morphisme induit un morphisme des familles spectrales correspondantes, i.e. une famille de morphismes : 

     n n n 0 m p; q; r; s : E p; q; r; s ! E p; q; r; s

qui commutent aux dierentielles. En particulier, le morphisme m(p; q ) induit un morphisme des suites spectrales correspondantes : p;q 0 p;q mp;q r : Er ! E r : p;q p;q (On pose ici Erp;q = Ip;q r ou bien Er = IIr en prenant l'une ou l'autre des notations de (4.3.3)). Proposition 4.4.5. On suppose que les objets spectraux : (H n (p; q );  ) et (H 0 n (p; q );  0) sont stationnaires et que pour un entier r convenable, le morphisme : p;q 0 p;q mp;q r : Er ! E r est un isomorphisme pour tout couple p; q . Alors pour tout r0  r , le morphisme : p;q 0 p;q mp;q r 0 : Er 0 ! E r 0 est un isomorphisme. Le morphisme : mn ( 1; +1) : H n ( 1; +1) ! H 0 n ( 1; +1) est un isomorphisme d'objets ltres. En eet, les mp;q un
isomorphisme entre les objets dierenr de nissent p;q p;q 0 tiels gradues (Er ; dr ) et E r ; dr . Ils induisent donc un isomorphisme 0 p;q sur les objets de cohomologie Erp;q +1 et E r+1 , d'ou la premiere assertion par 0 recurrence sur r . Les objets spectraux etant stationnaires, le morphisme : p;q 0 p;q mp;q 1 : E1 ! E 1 p;q (resp. E 0 p;q ) sont les gradues associes aux est un isomorphisme. Les E1 1 objets ltres H n ( 1; +1) (resp. H 0 n ( 1; +1) ). Comme les ltrations de ces objets sont stationnaires, on en deduit que : mn ( 1; +1) : H n( 1; +1) ! H 0 n ( 1; +1) est un isomorphisme d'objets ltres. 156

Chapitre III Les categories derivees.

1. De nitions des categories derivees. Dans ce paragraphe, A designe, sauf mention du contraire, une categorie abelienne.

1.1. Notations et terminologie. 1.1.1. Soit A une categorie additive (non necessairement abelienne). On designe par compb (A) (resp. comp (A) , resp. comp (A) ) la sous-categorie pleine de comp(A) de nie par les complexes X tels que X i = 0 , pour jij assez grand (resp. i assez petit, resp. i assez grand). On designe par Kb (A) (resp. K (A) , resp. K (A) ) la sous-categorie pleine de K(A) de nie par les objets de compb (A) (resp. comp (A) , resp. comp (A) ). 1.1.2. Soient maintenant A une categorie (abelienne) et  l'un des signes typographiques : b ; + ; , \vide". On designe par comp;b (A) (resp. comp; (A) , resp. comp; (A) ) la sous-categorie pleine de comp(A) de nie par les complexes X objets de comp(A) tels que Hi (X ) = 0 , pour jij grand (resp. pour i petit, resp. pour i grand). De m^eme, on designe par K;b(A) (resp. K; (A) , resp. K; (A) ) la sous-categorie pleine de K (A) de nie par les complexes X objets de K (A) tels que Hi (X ) = 0 , pour jij grand (resp. i petit, resp. i grand). On introduit ainsi huit sous-categories de K(A) : K (A) c [[   ] K ; (A)  " ;b K ( A ) [ c [[ c    [ ] ] K (A)  "  " ;b (A)  (1:1:2:1) K b (A) c K [[ [ c     ] K ;b (A) " ] [  " [[ c  K ; (A) ] K (A) "  +

+

+

+

+

+

+

+

J.-L. Verdier

Il resulte immediatement de la de nition des triangles distingues dans K(A) (chap. I, 3.3.1) et des proprietes du foncteur cohomologique canonique H : K(A) ! A que les categories K; (A)  K(A) sont des sous-categories triangulees (chap. II, 2.1.5) pleines (strictement si  = \vide") et saturees (chap. II, 2.1.6) de K(A) . 0

1.1.3. Un complexe X de A est dit acyclique si pour tout entier i , Hi (X ) = 0 .  On designe par Ac (A) la sous-categorie pleine de K (A) de nie par les complexes acycliques qui sont des objets de K (A) . Un morphisme X u! Y de K(A) (resp. de comp(A) ) est appele un quasi-isomorphisme si pour tout entier i , le morphisme Hi (X ) H !u Hi (Y ) est un isomorphisme. On designe par Qis (A) (ou par Qis lorsqu'aucune confusion n'en resulte) l'ensemble des quasi-isomorphismes de K (A) . La sous-categorie Ac (A) de K (A) est une sous-categorie triangulee strictement pleine et saturee de K(A) . L'ensemble Qis (A) est un systeme multiplicatif sature de morphismes de K (A) (chap. II, 2.1.4). Dans un triangle distingue (X; Y; Z; u; v; w) de K (A) , le morphisme u est un quasi-isomorphisme si et seulement si le complexe Z est acyclique. Autrement dit (chap. II, 2.1.15), Qis (A) est le systeme multiplicatif de K (A) associe a la sous-categorie triangulee pleine Ac (A) . 1.1.4. Soit M un ensemble d'objets de A . Un complexe de A est dit de type M si tous ses composants sont des elements de M . Un morphisme u : X ! Y de K (A) ou de comp (A) est appele une resolution a droite (resp. a gauche ) i

( )

de X (resp. Y ) de type M si u est un quasi-isomorphisme et si Y (resp. X ) est un complexe de type M . Le plus souvent, par abus de langage et quand le contexte ne pr^ete a aucune confusion, on supprime la mention \a droite" (resp. \a gauche"). De m^eme le plus souvent, par abus de langage et quand le contexte ne pr^ete a aucune confusion, on designe par resolution a droite (resp. a gauche) d'un objet Y , le but (resp. la source) d'une resolution a droite (resp. a gauche) de Y . On designe par compA (M ) , ou simplement comp (M ) (resp. KA (M ) , ou simplement K (M ) ), la sous-categorie pleine de comp (A) (resp. K (A) ) de nie par les complexes de type M . 1.1.5. Lorsque M est l'ensemble des objets projectifs (resp. injectifs) de la categorie A , les complexes dont les composants sont projectifs (resp. injectifs) sont appeles, conformement aux conventions ci-dessus, les complexes de type projectif (resp. injectif). Le lecteur prendra soin de ne pas confondre les complexes de type projectif (resp. injectif) avec les objets projectifs (resp. injectifs) de la categorie comp(A) . On constate aisement qu'un objet de comp(A) est projectif (resp. injectif) si et seulement s'il est de type projectif (resp. injectif) et homotope a zero. 158

Categories Derivees

1.2. Les sous-categories remarquables des categories derivees. Proposition 1.2.1. a) Les sous-categories K ;(A)  K(A) sont Ac(A)-

localisantes a droite et a gauche (chap. II, 2.3.5). b) Les sous-categories K+; (A)  K(A) sont Ac(A)-localisantes a droite. b)bis Les sous-categories K ; (A)  K(A) sont Ac(A)-localisantes a gauche. c) La sous-categorie Kb (A)  K+ (A) est Ac+ (A)-localisante a gauche. c)bis La sous-categorie Kb (A)  K (A) est Ac (A)-localisante a droite. d) Tout objet de K ;+ (A) s'envoie par un quasi-isomorphisme dans un objet de K+ (A) . d)bis Tout objet de K ; (A) recoit par un quasi-isomorphisme un objet de K (A) . e) Tout objet de K ;b (A) s'envoie par un quasi-isomorphisme dans un objet de K+;b (A) . e)bis Tout objet de K ;b (A) recoit par un quasi-isomorphisme un objet de K ;b (A) . f) Tout objet de K+;b (A) recoit par un quasi-isomorphisme un objet de Kb (A) . f)bis Tout objet de K ;b (A) s'envoie par un quasi-isomorphisme dans un objet de Kb (A) . Pour tout complexe X , on designe par X (n; +1) (resp. X ( 1; n) ) le complexe :

X (n; +1) =


! 0 ! 0 ! X n = Im dnX

1


! Xn

(resp.

X ( 1; n) =


! X n

3

! Xn

2

! Ker dnX

1

+1

!





! 0 ! 0




)

et par p : X ! X (n; +1) (resp. i : X ( 1; n) ! X ) le morphisme de complexes :

pq = identite , q > n ; pn = X n ! X n = Im dnX

1




pq = 0 ; q  n 1 159

(morphisme canonique) ;

J.-L. Verdier

(resp.

iq = identite , q < n 1 ; in 1 = Ker dnX

1


! Xn

1

(morphisme canonique) ;

iq = 0 ; q  n

):

Remarquons que le morphisme p (resp. i) induit un isomorphisme sur les objets de cohomologie en degre j  n (resp. j < n) et que Hj (X (n; +1)) = 0 pour j < n (resp. Hj (X ( 1; n)) = 0 pour j  n). Toutes les assertions de la proposition (1.2.1) se demontrent alors immediatement en utilisant cette construction. Nous laissons au lecteur le soin de faire la demonstration en detail. De nition 1.2.2. On appelle categorie derivee de A et on note D(A) la categorie triangulee :



D(A) = K(A)=Ac(A) = K(A) Qis(A)

1



(chap. II, 2.2.6 et 2.2.10). Il resulte du theoreme (2.2.6) que le foncteur cohomologique canonique H : K(A) ! A se factorise d'une maniere unique en un foncteur cohomologique encore note : (1:2:2:1)

H : D(A) ! A

et encore appele foncteur cohomologique canonique. Le foncteur canonique de passage au quotient est note Q : K(A) ! D(A) . Theoreme 1.2.3. a) Les foncteurs naturels qui gurent dans le diagramme :

AAC A A K ;b(A)= Ac(A)





K ;+ (A)= Ac(A)

K ; (A)= Ac(A) 160



 D(A) C A AAA

Categories Derivees

sont strictement pleinement deles. Ils sont injectifs sur les objets et realisent donc les categories K ;(A)=Ac(A) comme sous-categories triangulees strictement pleines de D(A) . Un objet X de D(A) est un objet de K ;b (A)=Ac(A) (resp. K ;+ (A)=Ac(A) , resp. K ; (A)=Ac(A) ) si et seulement si Hi (X ) = 0 , pour jij grand (resp. i petit, resp. i grand ). b) Les foncteurs naturels qui gurent en traits pleins dans les diagrammes :

K + (A)= Ac+(A)

wK ;

(A)= Ac(A)




K (A)= Ac (A)

wK ;

(A)= Ac(A)

+



 D(A) 6 5 5 555

K +;b(A)= Ac+(A) '

'')

] [ [ [ K b (A)= Acb(A) ' ''' )

K ;b(A)= Ac (A)

[

K ;b (A)= Ac(A)

[[]

w D(A)

sont des equivalences de categories. Il sont injectifs sur les ensembles d'objets. c) Les foncteurs naturels qui gurent en traits pleins dans le diagramme :

K +;b (A)= Ac+(A)

wK

K ;b (A)= Ac (A)

wK

+

(A)= Ac+ (A)


(A)= Ac (A)



 D(A) 6 5 5 5 55

sont strictement pleinement deles et injectifs sur les ensembles d'objets. Resulte immediatement de (1.2.1) et de (chap. II, 2.3.5).

161

J.-L. Verdier

1.2.4. La sous-categorie K ;b (A)=Ac(A) (resp. K ; (A)=Ac(A) , resp. ; K (A)=Ac(A) ) de D(A) est notee Db (A) (resp. D (A) , resp. D (A) ) et +

+

est appelee la sous-categorie des objets bornes (resp. bornes inferieurement, resp. bornes superieurement ). Il convient de noter que ces limitations ne s'appliquent qu'aux objets de cohomologie des complexes consideres. 1.2.5. Soient X et Y deux objets de D(A) . On designe pari Ext0A (X; Y ) le groupe HomD(A) (X; Y ) . De m^eme, on designe par ExtA (X; Y ) les groupes Ext0A (X; Y [i]) ' Ext0A (X [ i]; Y ) (chap. I, 1.3.8). Cette notation sera justi ee ulterieurement. Rappelons cependant que tout triangle distingue (X; X 0; X 00 ; u; v; w) (resp. (Y; Y 0 ; Y 00 ; u; v; w)) de D(A) fournit une suite exacte illimitee :




! ExtA(X 00; Y ) ! ExtA(X 0; Y ) ! ExtA (X; Y ) ! ExtA(X 00 ; Y ) !


0

0

0

1

(resp.




! ExtA(X; Y ) ! ExtA (X; Y 0) ! ExtA (X; Y 00 ) ! ExtA (X; Y ) !


) 0

0

0

1

(chap. II, 1.2.1). 1.2.6. Soit M un ensemble d'objets de A . On designe par DM (A) la souscategorie pleine de D(A) de nie par les complexes dont les objets de cohomologie appartiennent a M en tout degre. On designe par DM (A) la sous-categorie pleine DM (A) \ D (A) . Si la sous-categorie pleine de A de nie par les objets de M est une sous-categorie epaisse de A (i.e. si elle est abelienne, si le foncteur d'inclusion est exact et si l'ensemble des objets de M est stable par extension), les sous-categories DM (A) sont des sous-categories triangulees pleines de D(A) . 1.2.7. Soient F : A ! B un foncteur exact entre deux categories abeliennes et K(F ) : K(A) ! K(B) l'extension du foncteur F aux complexes a homotopie pres (chap. I, 2.5.10). Le foncteur K(F ) transforme les complexes acycliques de A en complexes acycliques de B, est exact (chap. II, 1.3.7) et, par suite, (chap. II, 2.2.6) de nit un foncteur exact D(F ) : D(A) ! D(B) . Le foncteur D(F ) transforme les objets bornes (resp. bornes inferieurement, resp. bornes superieurement) de D(A) en objets de m^eme nature de D(B) . Le plus souvent, on utilisera la notation abusive F : D(A) ! D(B) pour designer le foncteur D(F ) . 1.2.8. L'isomorphisme canonique (chap. II, 1.3.8)  : K(A) ! K(A) transforme les objets de Ac(A) en objets de Ac(A) et, par suite, de nit un isomorphisme de categories triangulees encore note  : D(A) ! D(A ) . 162

Categories Derivees

On identi era dorenavant, sauf mention du contraire, les categories D(A) et D(A ) a l'aide de l'isomorphisme  . Notons que cette identi cation identi e la categorie Db (A) avec la categorie Db (A) , la categorie D+ (A) avec la categorie D (A ) et la categorie D (A) avec la categorie D+ (A ) . 1.2.9. Le foncteur canonique A ! K(A) (chap. II, 1.3.3), compose avec le foncteur Q : K(A) ! D(A) , fournit un foncteur A ! D(A) qui est pleinement dele : en eet, soient X et Y deux objets de A . Un morphisme dans D(A) de X dans Y est (chap. II, 2.2.2) la classe D d'un diagramme de K(A) : D = X s Z  m! Y ; ou s est un quasi-isomorphisme deK(A) . Par suite, s : Z  ! X induit un isomorphisme H0 (s)
: H0 (Z  ) ! H(X ) = X et on veri e aussit^ot que D = Q H0 (m) H0(s) 1 . Ceci montre que l'homomorphisme : HomA (X; Y ) ! HomD(A) (X; Y )

est surjectif. Montrons qu'il est injectif. Un morphisme f : X ! Y dans A de nit un morphisme nul dans la categorie D(A) si et seulement s'il existe un quasi-isomorphisme s : Z  ! X dans K(A) tel que fs = 0 . On en deduit que H0 (f ) H0 (s) = 0 . Comme H0 (s) est un isomorphisme, on en deduit que H0 (f ) = f = 0 . Notons que le foncteur A ! D(A) est de plus injectif sur les ensembles d'objets et realise par suite A comme sous-categorie pleine de D(A) . Dorenavant, la categorie A sera toujours consideree comme une sous-categorie de sa categorie derivee par l'intermediaire de ce foncteur. Le foncteur cohomologique canonique D(A) H! A , restreint a la sous-categorie A , est le foncteur identique. Proposition 1.2.10. ia) Un objet X de D(A) est isomorphe a un objet de A si et seulement si H (X ) = 0 , pour tout i 6= 0 . Il est alors canoniquement 0 isomorphe a H (X ) . b) Soient X et Y deux objets de A . On a : ExtnA (X; Y ) = 0 ; pour n < 0 ; Ext0A (X; Y ) = HomA (X; Y ) :

Demontrons a ). Il est clair que Hi (X ) = 0 , pour i 6= 0 , lorsque X est un objet de A . Soit X un objet de D(A) tel que Hi (X ) soit nul, pour i 6= 0 . 163

J.-L. Verdier

Le complexe X (0; +1) (demonstration de (1.2.1)) est alors quasi-isomorphe a X , et le morphisme canoniqe H0 (X (0; +1)) ! X (0; +1) est un quasiisomorphisme. Ce qui montre que X est isomorphe dans D(A) a H0 (X ) . Demontrons b ). La deuxieme egalite est mise pour memoire et resulte de ce que A est une sous-categorie pleine de D(A) . Un morphisme dans D(A) de X [ n] dans Y est de la forme Q(m)Q(s) 1, ou m : Z  ! Y est un morphisme de K(A) et s : Z  ! X [ n] est un quasi-isomorphisme de K(A) . Le morphisme i : Z  ( 1; n + 1) ! Z  (demonstration de (1.2.1)) est alors un quasi-isomorphisme. Par suite, on a :

Q(m)Q(s) 1 = Q(m)Q(i)Q(i) 1Q(s) 1 = Q(mi)Q(si)

1

:

Lorsque n est strictement negatif, mi = 0 . Par suite, Q(m)Q(s) 1 = 0 . De nition 1.2.11. On designe par AExt la sous-categorie pleine de D(A) de nie par les translates des objets de A . La categorie AExt est donc (contrairement a la sous-categorie A ) une sous-Z-categorie de D(A) . Un objet de D(A) est isomorphe a un objet de AExt si et seulement s'il ne possede qu'un seul objet de cohomologie non nul.

1.3. Le -foncteur canonique. 1.3.1. Soit A une categorie abelienne et D une categorie triangulee. Un  -foncteur de A dans D est un objet constitue par : 1) Un foncteur G : A ! D . 2) La donnee, pour toute suite exacte S = 0 ! X ! Y ! Z ! 0 de A , d'un morphisme de D :  (S ) : G(Z ) ! G(X )[1] : Ces donnees etant soumises aux axiomes suivants : a ) Pour tout morphisme de suites exactes :

S = 0 S0 = 0

wX u u0

wX

wY v u0

wY

164

wZ w u w Z0

w0 w0

;

Categories Derivees

le diagramme ci-apres est commutatif :

G(Z ) G(w)

u

G(Z 0 )

 (S )

w G(X )[1]

 (S 0 )

u0

G(u)[1]

w G(X )[1]

:

b ) Pour toute suite exacte de A , S = 0 ! X u! Y v! Z ! 0 , le triangle (G(X ); G(Y ), G(Z ); G(u); G(v );  (S )) est distingue. 1.3.2. Soient A une categorie abelienne et u un morphismeu de comp (A) . On v designe par [u] l'image de u dans D(A) . Soit S = 0 ! X ! Y ! Z ! 0 une suite exacte de comp(A) . Les proprietes d'adjonction du foncteur c^one (chap. I, 3.1.3), de nissent un morphisme (S ) : c(u) ! Z . Le diagramme ci-apres est commutatif (chap. I, 3.2.2.4) :

Y ' p(u)

'' w c(u) v '' ) u (S ) Z

:

Un calcul simple montre que les composants du morphisme (S ) sont : (S )i : Y i  X i+1 ! Z i (1:3:2:1) (S )i = (v i; 0) : On en deduit que le morphisme (S ) : c(u) ! Z est un epimorphisme et qu'on a une suite exacte : 0 ! c(idX ) ! c(u) ! Z ! 0 : Introduisons alors le complexe c((S )) et soit m : c(idX ) ! c((S ))[ 1] le morphisme de composants : mi : X i  X i+1 ! Z i 1  Y i  X i+1 (1:3:2:2)

00 mi = @ ui

1

0 0A 0 id : 165

J.-L. Verdier

Le morphisme m est un monomorphisme et on a la suite exacte : (1:3:2:3)

0 ! c(idX ) m! c((S ))[ 1] ! c(idZ )[ 1] ! 0 :

Les complexes c(idX ) et c(idZ ) sont homotopes a zero. Par suite, le complexe c((S )) est acyclique. Le morphisme (S ) est donc un quasi-isomorphisme.

En passant dans la categorie K(A) , on obtient un diagramme (chap. I, 3.2.2.7) : X u_ w Y ' p_(u) w c(u) q_(u) w X [1] '' v_ '' ) u _ (S )

Z

:

Posons alors : (1:3:2:4)

 (S ) = [q (u)] [(S )]

1

:

Il resulte des de nitions des structures triangulees de K(A) (chap. I, 3.3.1) et de D(A) (chap. II, 2.2.6) que le triangle (X; Y; Z; [u]; [v ];  (S )) est distingue dans D(A) . De plus, on veri e immediatement que le morphisme  (S ) est fonctoriel par rapport a S ((1.3.1), propriete a )). On a donc muni le foncteur canonique comp(A) ! D(A) d'une structure de  -foncteur. Le  -foncteur ainsi obtenu est appele le  -foncteur canonique. Le morphisme  (S ) est appele le morphisme de liaison associe a la suite exacte S . 1.3.3. Soit A la categorie opposee a A . Pour toute suite exacte S de comp(A ) , designons par   (S ) le morphisme de liaison associe. Soient C une categorie, X un objet de C et u un morphisme de C . Dans la proposition ci-apres, nous designerons abusivement par X  et u l'objet et le morphisme correspondant de la categorie opposee a C (rappelons que la categorie opposee a C a m^eme ensemble d'objets et de morphismes que la categorie C ). Proposition 1.3.4. a) Pour toute suite exacte S de comp(A) , on a :

 (S [1]) =  (S )[1] : b) Pour toute suite exacte S de comp(A) , compte tenu de l'identi cation (1.2.8), on a :   (S ) =  (S )[1] : 166

Categories Derivees

c) Tout triangle distingue de D(A) est isomorphe a un triangle distingue du
type X; Y; Z , [u]; [v ];  (S ) , ou S = 0 ! X u! Y v! Z ! 0 est une suite exacte de A . La demonstration de a ) et b ) est laissee au lecteur. Demontrons c ). D'apres (chap. II, 2.2.6), tout triangle distingue de D(A) est isomorphe a l'image par Q : K(A) ! D(A) d'un triangle distingue de K(A) . D'apres (chap. I, 3.3.1) et l'axiome TRII, tout triangle distingue de K(A) est isomorphe a un triangle de la forme : p(u) :

q(u)

u[1]

:

:

! X [1] ! Y [1] : Par suite, tout triangle distingue de D(A) est isomorphe a un triangle du Y

type :

! c(u)




Y; c(u); X [1]; [p(u)]; [q (u)]; [u][1] :

Remarquons alors que :

S= 0 !Y

p(u)

! c(u)

q(u)

! X [1] ! 0

est une suite exacte de comp(A) . Il resulte alors de (chap. II, 1.2.4) qu'il existe un isomorphisme du triangle :




Y; c(u); X [1]; [p(u)]; [q (u)]; [u][1] sur le triangle :




Y; c(u); X [1]; [p(u)]; [q(u)];  (S ) :

Proposition 1.3.5. a) Tout foncteur F : comp(A) ! C qui transforme les quasi-isomorphismes en isomorphismes de C , se factorise de maniere unique par le foncteur comp(A) ! D(A) . b) Tout foncteur semi-exact de comp(A) dans une categorie abelienne B qui transforme les quasi-isomorphismes en isomorphismes se factorise d'une maniere unique a travers le  -foncteur canonique comp(A) ! D(A) et un foncteur cohomologique de D(A) dans B .

L'assertion b ) resulte de l'assertion a ) et de la description des triangles distingues de D(A) donnee par (1.3.4). L'assertion a ) resulte de la de nition de D(A) (chap. II, 2.2.6) et du lemme ci-apres. Lemme 1.3.6. Soient A une categorie additive (non necessairement abelienne) et F un foncteur de comp(A) dans une categorie C . Les conditions suivantes sont equivalentes : 167

J.-L. Verdier

i) F se factorise par K(A) . ii) F transforme les homotopismes en isomorphismes de C . Il est clair que i ) ) ii ). Pour montrer que ii ) ) i ), il sut de montrer que F transforme les couples de morphismes homotopes en morphismes egaux. Soit X un objet de comp(A) . Le foncteur sur comp(A) :

Y 7! fcouple de morphismes de X dans Y muni d'une homotopie qui les relieg est representable par un complexe Z :

(1:3:6:1)

Z i = X i  X i  X i+1 0 di 0 idX +1 1 X C B i i C +1 0 d id dZ = B X X A @ i +1 : 0 0 dX i

i

Il existe donc deux morphismes homotopes p1 ; p2 : X ! Z :

0 id 1 X pi = @ 0 A ; i

1

(1:3:6:2)

0

0 0 1 pi = @ idX A ; 2

0

i

et il sut de montrer que F (p1 ) = F (p2 ) . Or le couple de morphismes (idX ; idX ) muni de l'homotopie triviale de nit un morphisme  : Z ! X : (1:3:6:3)

 i = (idX ; idX ; 0) i

i

et on a p1 = p2 = idX . De plus, on veri e immediatement que les morphismes  , p1 et p2 sont des homotopismes. Il en resulte que F (p1 ) , F (p2 ) , F () sont des isomorphismes et que F ()F (p1 ) = F ()F (p2 ) = idF (X ) . Par suite, F (p1 ) = F (p2 ) , ce qui acheve la demonstration du lemme. Remarque 1.3.7. Il resulte de la proposition (1.3.5) que la categorie derivee de A est la solution du probleme universel consistant a inverser les quasiisomorphismes de comp(A) (chap. II, 2.2.3, b )). 168

2. Resolutions. Dans tout ce paragraphe, A designe une categorie abelienne.

2.1. Morphismes elementaires. 2.1.1. Soient X un complexe de A et X i le composant de degre i . Soit u : Y ! X i un morphisme de A . Construisons le diagramme commutatif ci-apres : (2:1:1:1)

Xi

3

diX 3 w X i

ou le carre :

X 0i

v2

1

h u0 j vh 1h hi2 u 2 dX w X i 1

diX 1

X 0i u0

1

v2

Xi

1

diX 1

u

w Y '' 'v3' u u i diX ) i+1 wX wX wY u ui

diX+1 w X i+2 ;

wX

est cartesien et ou les morphismes v1 et v3 sont de nis par les egalites : v2 v1 = 0 ;

u0 v1 = diX 2 ; v3 = diX u :

Designons alors par X (u; i) le complexe : (2:1:1:2) diX+1 diX 3 v v v i 1 1 2 3 0 i +1 i 2 i 3 ! X i+2


; !Y !X !X !X X (u; i) =


X et par p(u; i) : X (u; i) ! X le morphisme de complexe : p(u; i)j = identite, pour j 6= i 1 ; i ; (2:1:1:3)

p(u; i)i 1 = u0 ; p(u; i)i = u :

J.-L. Verdier

Soit alors m : Z ! X un morphisme de complexes. Il est clair que le complexe Z 0 au dessus de Z obtenu par le changement de base Z m! X :

Z0

w X (u; i)

u

u

Z

p(u; i)

wX

m

est isomorphe a un complexe p(w; i) : Z (w; i) ! Z pour un morphisme w convenable. Lemme 2.1.2. a) Le morphisme Hj (p(u; i)) : Hj (X (u; i)) ! Hj (X ) est un isomorphisme pour j 6= i ; i + 1 . b) On a des suites exactes :


0 ! Hi (X (u; i)) ! Hi (X ) ! Ker diX + Im(u)













Im diX 1 + Im(u) ! 0




0 ! Ker diX + Im(u) Im diX 1 + Im(u) ! 



X i Im diX 1 + Im(u) ! X i Ker diX + Im(u) ! 0 0 ! Xi





Ker diX + Im(u) ! Hi+1 (X (u; i)) ! Hi+1 (X ) ! 0

c) Pour que p(u; i) soit un quasi-isomorphisme, il faut et il sut que :
Im diX 1 + Im(u) = X i :

La \chasse au diagramme" est laissee au lecteur. De nition 2.1.3. Un morphisme de complexes m : Z ! X est appele un morphisme elementaire de hauteur i s'il est isomorphe dans F`1 (comp(A)) a un morphisme du type p(u; i), ou u est un epimorphisme. Un morphisme elementaire est donc, en particulier, un quasi-isomorphisme ((2.1.2), c )). Un morphisme elementaire est un epimorphisme de comp(A) . Un epimorphisme de comp(A) est un morphisme elementaire si et seulement si son noyau est un complexe acyclique comportant au plus deux composants non nuls. Le compose de deux morphismes elementaires de m^eme hauteur est 170

Categories Derivees

un morphismes elementaire. Les morphismes elementaires sont stables par changement de base. Soit : un




Xn

! Xn

1

un 1

! Xn 2




une suite de morphismes de complexes, illimitee dans les deux sens, telle que pour tout entier n , le morphisme un soit un morphisme elementaire de hauteur n . Cette suite admet dans comp(A) une limite projective et inductive (cette suite induit sur les composants de degre donne une suite stationnaire dans les deux sens). Lemme 2.1.4. Soit m : X ! Y un quasi-isomorphisme de comp(A) . Il existe une suite de morphismes :

un : Xn ! Xn 1 ; n 2 Z ; telle que un soit, pour tout entier n , un morphisme elementaire de hauteur n , et des morphismes :  lim ! Xn Y ; n

lim Xn v X ; v homotopisme (chap. I, 2.5.11) ; n

tels que le diagramme :

X m

u

Y

w limn Xn

v



u

w limn! Xn

soit commutatif a homotopie pres. Tout d'abord, remarquons que pour tout morphisme m : X ! Y de comp(A) , il existe un epimorphisme m0 : X 0 ! Y et un diagramme commutatif a homotopie pres :

v XN w X0 N P

0 m N  m

Y 171

;

J.-L. Verdier

ou v est un homotopisme. Construisons en eet le c^one du morphisme m : m

X

p ( m)

!Y

! c(m)

!X [1] ;

puis de nouveau, le c^one du morphisme p(m) : p ( m)

q

! c(m) !c(p(m)) ! Y [1] : q Le morphisme c(p(m)) ! Y [1] est une epimorphisme (chap. I, 3.2.2). Il Y

resulte des proprietes des triangles distingues (propriete TRII) qu'il existe un homotopisme : X v! c(p(m))[ 1] tel que le triangle ci-apres :

v XN N m NN P Y

w c(p(m))[ h h q [ kh 1] h

1]

soit commutatif a homotopie pres. On peut donc supposer que le morphisme m est un epimorphisme de comp(A) . Soit alors : di+1

di

N =


! N i N! N i+1 N ! N i+2 !


le noyau du morphisme m. Posons :
N n =


! N n 3 ! N n 2 ! Im dnN 2 ! 0 ! 0 !


: Les N n forment une suite decroissante de sous-complexes acycliques de N , d'ou en posant Xn = X=Nn , une suite : un : Xn ! Xn 1 ; n 2 Z : Les un sont des morphismes elementaires de hauteur n et lim Xn = X , n lim ! Xn = Y . n

172

Categories Derivees

Remarque 2.1.5. Placons nous sous les hypotheses du lemme (2.1.4) et supposons de plus que X ; Y 2 Ob comp (A) . L'argument presente plus

haut montre alors qu'on peut, en changeant au besoin X par un homotopisme, supposer que m est un epimorphisme. La construction de la suite Xn presentee ci-dessus, montre alors que le systeme inductif Xn est stationnaire (i.e. Xn = Y et un = identite pour n petit) et que pour tout n , Xn 2 Ob comp (A) .

2.2. E tude de certains ensembles d'objets. 2.2.1. Soit M un ensemble d'objets de A . Nous considererons les dierentes

proprietes suivantes : (E1) Les objets nuls appartiennent a M . La somme directe de deux objets appartenant a M est un objet appartenant a M . (E2) Pour tout epimorphisme X u! L , ou X est un objet de A et L un element de M , il existe un epimorphisme v : L0 ! L , L0 2 M , qui se factorise par u . (E3) Pour tout entier n et toute suite exacte : 0 ! X ! Ln ! Ln 1 !


! L0 ! 0 ; Li 2 M ; 0  i  n ; il existe un epimorphisme L0 ! X , ou L0 2 M . (E4) Pour tout epimorphisme u : L ! L0 , L , L0 2 M , le noyau de u est un element de M . (E5) Pour toute extension 0 ! L ! Z ! L0 ! 0 , L ; L0 2 M , l'objet Z est un element de M ; 0 est un element de M . (E6) L'ensemble M est exact, i.e. chaque fois que deux des objets d'une suite exacte courte de A sont des elements de M , le troisieme l'est aussi; 0 est un element de M . On notera qu'on a les implications (E6) ) (E4) et (E5) , (E4 ) ) (E3 ) et (E5) ) (E1). Une suite exacte illimitee :


! Ln ! Ln 1 !


! L 0 ! X ! 0 ; L i 2 M ; i 2 N ; est appelee une 1-M -presentation de l'objet X . Soit M un ensemble d'objets possedant les proprietes (E1 ), (E2 ) et (E3 ). Designons par M ^ l'ensemble d'objets suivants : un objet X appartient a M ^ s'il possede une 1-M -presentation et si pour tout entier n et toute suite exacte : 0 ! X 0 ! Ln ! Ln 1 !


! L0 ! X ! 0 ; Li 2 M; 0  i  n ; l'objet X 0 possede une 1-M -presentation. 173

J.-L. Verdier

Lemme 2.2.2. Soit 0 ! X ! Y ! Z ! 0 une suite exacte de A . a) Si X et Y sont des elements de M ^, il existe un epimorphisme u : L ! Z , L 2 M. b) Si X et Z sont des elements de M ^ , il existe un epimorphisme u : L ! Y , L 2 M. c) Si Y et Z sont des elements de M ^ , il existe un epimorphisme u : L ! X , L 2 M. Lemme 2.2.3. Soit 0 ! X ! Y ! Z ! 0 une suite exacte de A . a) Si Y et Z sont des elements de M ^ , pour tout epimorphisme u : L ! X , L 2 M , le noyau de u est un noyau d'un epimorphisme entre deux elements

de M ^ . b) Si X et Y sont des elements de M ^ , pour tout epimorphisme u : L ! Z , L 2 M , le noyau de u est un conoyau d'un monomorphisme entre deux elements de M ^. c) Si X et Z sont des elements de M ^ , pour tout epimorphisme u : L ! Y , L 2 M , le noyau de u est un noyau d'un epimorphisme entre deux elements de M ^ . La demonstration des deux lemmes est laissee au lecteur. On remarquera que les proprietes (a ) et (c ) des lemmes (2.2.2) et (2.2.3) ne font pas intervenir la propriete (E2). Proposition 2.2.4. a) L'ensemble M ^ possede les proprietes (E6) et (E2) . L'ensemble M est contenu dans l'ensemble M ^ . Tout objet de M ^ est quotient d'un objet de M . b) Tout ensemble d'objets M 0 contenant M tel que tout objet de M 0 soit un quotient d'un objet de M et qui possede la propriete (E3) est contenu dans M ^. c) En particulier, (M ^)^ = M ^ . La propriete a ) resulte des deux lemmes precedents. Les proprietes b ) et c ) sont immediates. 2.2.5. Soient M  M 0 deux ensembles d'objets de A tels que M possede les proprietes (E4 ) et (E5 ), que M 0 possede la propriete (E4 ), et que tout objet de M 0 soit quotient d'un objet de M . On dit qu'un objet X de M 0 est de M -dimension inferieure ou egale a n et on note M - dim(X )  n , s'il existe une suite exacte :

0 ! Ln ! Ln 1 !


! L0 ! X ! 0 ; Li 2 M ; 0  i  n : 174

Categories Derivees

S'il existe des entiers n tels que M - dim(X )  n , on appelle M -dimension de X et on note M - dim(X ) , le plus petit des entiers n tels que M - dim(X )  n . S'il n'existe pas de tels entiers, on pose M - dim(X ) = +1 . Lemme 2.2.6. Soit 0 ! X ! L u! Y ! 0 une suite exacte de A telle que L 2 M et X; Y 2 M 0 . On a :

M - dim(X ) = supfM - dim(Y ) 1 ; 0g :

Proposition 2.2.7. Soit 0 ! X ! Y ! Z ! 0 une suite exacte, X; Y; Z 2 M 0 . a) M - dim(Z )  inf fM - dim(X ) ; M - dim(Y )g ) M - dim(X ) = M - dim(Y ) . b) M - dim(Y )  inf fM - dim(X ) ; M - dim(Z )g ) M - dim(X ) = supfM - dim(Z ) 1 ; M - dim(Y )g . c) M - dim(X )  inf fM - dim(Y ) ; M - dim(Z )g ) M - dim(Z ) = M - dim(Y ) ou M - dim(Z ) = M - dim(Y ) + 1 . La proposition se demontre par recurrence, en construisant un epimorphisme de suites exactes :

0 0

! L2 # ! X

! L1 # ! Y

! L0 # ! Z

! 0 ! 0

; Li 2 M ; 0  i  2 ;

et en appliquant l'hypothese de recurrence a la suite exacte noyau sur laquelle on a un contr^ole, gr^ace au lemme (2.2.6). Reste donc a demontrer le lemme. Tout d'abord, si M - dim(Y ) = +1 (resp. 0 ), M - dim(X ) = +1 (resp. 0 ). On peut donc supposer que M - dim(Y ) est ni non nul, et il s'agit de montrer que M - dim(X ) = M - dim(Y ) 1 . Soit : 0 ! Ln ! Ln 1 !


! L0 ! Y ! 0 ; n  1 ; une M -resolution de Y . Posons :

V  = 0 ! 0 !


! 0 ! L n ! Ln 1 !


! L 0 ! Y ! 0 ! 0 !


( Li est le composant de degre i ),

U0 = V (u; 1) ;

p0 = p(u; 1) : U0 ! V  175

J.-L. Verdier

(2.1.1). Le morphisme p0 est un morphisme elementaire de hauteur 1 . Le complexe U0 est de la forme :

U0 = 0 ! 0


0 ! Ln ! Ln 1 !


! L1 ! Z0 ! L ! 0 ! 0 !


: D'apres la propriete (E4 ), l'objet Z0 est un element de M 0 . Par suite, il existe un epimorphisme u0 : L00 ! Z0 , L00 2 M . Posons alors (2.1.1) U1 = U0(u0 ; 0) , p1 = p(u0; 0) : U1 ! U0 . En poursuivant ainsi, on demontre par recurrence, qu'il existe une suite de morphismes : pi : Ui ! Ui 1 ; 1  i  n 1 ;

p0 : U0 ! V 

;

ou pi est un morphisme elementaire de hauteur i + 1 et ou Ui est de la forme : Ui =

0 ! 0 !


Ln ! Ln 1 !


Li+1 ! Zi ! L0i 1 !


! L00 ! L ! 0


;

ou L0j 2 M , 0  j  i 1 . On obtient donc, en composant ces dierents morphismes pi , un quasi-isomorphisme epimorphique :

p : Un

1

!V :

Remarquons alors que dans le complexe :

Un 1 = 0 ! 0 !


! Ln ! Zn 1 ! L0n 2 !


! L00 ! L ! 0 !


l'objet Zn 1 appara^t, d'apres la propriete (E4 ), comme une extension de deux elements de M et est par suite, d'apres la propriete (E5), un element de M . Posons alors : L = 0 ! 0 ! Ln ! Ln 1 !


! L 0 ! 0 ! 0


; L0  = 0 ! 0 ! Ln ! Zn 1 ! L0n 2 !


! L00 ! 0 ! 0


et notons m : L0  ! L le morphisme induit par p . Le seul objet de cohomologie non nul de L (resp. L0  ) est l'objet Y en dimension 0 (resp. L en dimension 0 ) et le morphisme m induit sur ces objets le morphisme u . Considerons alors le c^one c(m) du morphisme m : c(m) = ! 0 ! Ln ! Ln  Zn 1 ! Ln 1  L0n 2 !





! L1  L00 ! L0 ! 0 !


176

Categories Derivees

(l'objet L0 est le composant de degre 0 de c(m) ). La cohomologie de c(m) est nulle en degre dierent de 1 , et egale a X en  degr  e 1 . Le morphisme id Ln ! Ln  Zn 1 dont la matrice est de la forme  admet une retraction. Il existe donc un morphisme v : Zn 1 ! Ln 1  L0n 2 tel que le complexe :




0 ! 0 ! Zn

1

v! L

n 1  L0n 2 !


! L1  L00 ! L0 ! 0 !




soit quasi-isomorphe au complexe c(m) . D'autre part, le noyau du morphisme L1  L00 ! L0 est, d'apres la propriete (E4), un element de M . Designons par L001 ce noyau. Le complexe : 0 ! 0 ! Zn 1 ! Ln 1  L0n 2 !


! L2  L01 ! L001 ! X ! 0


est donc acyclique. On a ainsi construit une resolution de longueur n 1 de l'objet X et, par suite, M - dim(X )  n 1 . Par ailleurs, il est clair que M - dim(X )  M - dim(Y ) 1. Ceci acheve la demonstration du lemme (2.2.6) et de la proposition (2.2.7).

2.3. Quelques lemmes sur les resolutions. Proposition 2.3.1. [22] a) Soit M un ensemble d'objets de A possedant les proprietes (E1), (E2) et (E3 ) (2.2.1). Soient Y 2 Ob comp (A) un complexe dont les composants appartiennent a M ^ (2.2.1) et m : X ! Y un quasiisomorphisme. Il existe un complexe L 2 Ob comp (A) dont les composants appartiennent a M et un quasi-isomorphisme w : L ! X . b) Reciproquement, soit M un ensemble d'objets de A possedant la propriete (E1). Supposons que pour tout complexe Y 2 Ob comp (A) dont les composants sont des elements de M , et pour tout quasi-isomorphisme m : X ! Y , il existe un complexe L dont les composants appartiennent a M et un quasiisomorphisme w : L ! X . Alors l'ensemble M possede les proprietes (E2 ) et (E3).

Demontrons a ). Tout d'abord, il existe un complexe X 0 2 Ob comp (A) et un quasi-isomorphisme X 0 ! X (1.2.1). On peut donc se ramener au cas ou X est un objet de comp (A) . D'apres (2.1.4) et (2.1.5), il existe une suite de morphismes : un : Xn ! Xn 1 ; n 2 Z ; 177

J.-L. Verdier

ou les Xn sont des objets de comp (A) , les un des morphismes elementaires de hauteur n et un diagramme commutatif a homotopie pres :

wX

lim Xn n

u

u



lim ! Xn n

m

wY

Pour demontrer la proposition, on peut donc supposer que X = limXn et n que Xn = Y , un = identite, pour n assez petit. Nous allons construire par recurrence sur n : a ) Une suite de morphismes elementaires :

vn : Ln ! Ln

; n 2 Z ; vn elementaire de hauteur

1

n:

b ) Une suite de morphismes :

wn : Ln ! Xn tels que : 1) Pour tout n 2 Z les composants de degre i , i  n , de Ln soient des elements de M et les composants de degre i , i < n , soient des elements de M ^. 2) Les diagrammes ci-apres, soient commutatifs :

wn

Ln

vn

u 

Ln

1

wn

w Xn 1

u

w Xn

un 1

8n 2 Z :

3) L'objet Ln soit egal a Y et les morphismes vn et wn soient l'identite pour n assez petit. 178

Categories Derivees

Ceci etant fait, il sura de poser L = lim Ln , w = lim wn . Pour n n n susamment petit, on pose Ln = Y , vn = idY et wn = idY . Supposons que l'on ait construit pour tout entier n < q , q 2 Z , des complexes Ln et des morphismes vn et wn possedant les proprietes 1), 2) et 3) ci-dessus. Le complexe Xn est de la forme : Xn =


! Y n 2 ! Z n 1 ! X n ! X n+1 !


et le complexe Ln est de la forme :

Ln =


! Y n 2 ! Z 0 n 1 ! L n ! L n+1 !


; ou les Y i (resp. les X i ) sont les composants du complexe Y (resp. X ). On a donc un diagramme :

q

X (wq 1 ) q

Z0 q

wZ

(uq ) q

uq

;

ou (uq ) q est un epimorphisme et ou Z 0 q 2 M ^ . Comme l'ensemble M ^ possede la propriete (E2 ) (2.2.4), on peut completer ce diagramme en un diagramme commutatif :

L 



q

u

wX

(wq 1 ) q

Z0 q

wZ

q

(uq ) q

uq

;

ou le morphisme  est un epimorphisme et l'objet L q un element de M . On en deduit, en utilisant les notations (2.1.1.2) et (2.1.1.3), un diagramme commutatif de complexes :

Lq 1 (; q ) p(; q )

u

L

q 1

' wq

w Xq

1 ((uq )

w Xq

1

179

u

q;

q ) ' Xq p((uq) q ; q ) ' uq 1

:

J.-L. Verdier

Posons alors Lq = Lq 1 (; q ) , wq = ' , vq = p(; q ) . Les complexes Ln et les morphismes de complexes wn et vn , n  q , possedent les proprietes 2) et 3). Il reste a montrer que Lq possede la propriete 1) ci-dessus. Ceci resulte du fait que l'ensemble M ^ est exact (E6 ) (2.2.4). Demontrons b ). Soient L un element de M et u : X ! L un epimorphisme. Designons par Y le noyau de u . On a un quasi-isomorphisme :

w0 u






wY u w0

w0






wX u u wL

w0 u

w




w0

w




:

Par suite, on a un quasi-isomorphisme :

wL






w L0 v u wX

1

u

wY






w L1 u w0

w L2 u w0

w


w




;

ou les Li sont des elements de M . Par suite, le morphisme uv est un epimorphisme, ce qui demontre la propriete (E2 ). Soit maintenant : 0 ! X u! Ln ! Ln 1 !


! L0 ! 0 une suite exacte, ou les Li sont des elements de M . On a alors un quasiisomorphisme :









w0 u w0

w0 u

wX u u

w0

w Ln

w0 u

w Ln

w




w0 u

w




1

w L0

w0 u w0

Il existe par suite un quasi-isomorphisme :









wL

n 1

u

w0

wL u

n

v

wX

180

wL

n+1

u

w0

w


w




w


w




:

Categories Derivees

et par suite v est un epimorphisme, ce qui demontre la propriete (E3) et acheve la demonstration de la proposition. Proposition 2.3.2. Soit M un ensemble d'objets de A possedant les proprietes (E1 ), (E2) et (E3). Soit Y 2 Ob comp(A) un complexe tel que pour tout entier n , Hn (Y ) 2 M et tel qu'il existe un entier n0 tel que Hn (Y ) = 0 , pour n  n0 . Il existe alors un complexe X 2 Ob comp (A) dont les composants sont des elements de M et un quasi-isomorphisme :

u:X !Y : Tout d'abord, il existe (1.2.1) un complexe Y 0 2 Ob comp (A) et un quasi-isomorphisme Y 0 ! Y . On peut donc se ramener au cas ou Y est un objet de comp (A) . Nous allons construire par recurrence sur n , une suite de morphismes : un : Xn ! Xn 1 possedant les proprietes suivantes : 1) Pour n assez petit Xn = Y et un = identite. 2) Les composants de degre i  n du complexe Xn sont des elements de M . Les noyaux et images des dierentielles de degre i  n de Xn sont des elements de M ^ (2.1.1). 3) Le morphisme un est un quasi-isomorphisme. Il est isomorphe au morphisme p((un ) n , n) (2.1.1.3). Ceci fait, il sut de poser X = lim Xn et de prendre pour morphisme u n le morphisme canonique :

u : X = lim Xn ! lim Xn = Y : n n! Pour n assez petit, on pose Xn = Y et un = idY . Supposons que l'on ait construit pour tout entier n < q des complexes Xn et des morphismes un possedant les proprietes 1), 2) et 3) ci-dessus. Le complexe Xq 1 est de la forme :

Xq 1 =


! Y

q 2

!Y

q 1

!Z

q

!L

q+1

!L

q+2

!


;

ou les Y i sont les composants du complexe Y et les Li sont des elements de M . On a alors un epimorphisme :

Z

q

! Z q = Im(Y

q 1

181

! Z q) ! 0

J.-L. Verdier

et des suites exactes : 0 ! H q (Xq 1 ) ! Z q = Im(Y q 1 ! Z q ) ! Z q = Ker(Z q ! L q+1 ) ! 0 ; 0 ! Z q = Ker(Z q ! L q+1 ) ! L q+1 ! L q+1 = Im(Z q ! L q+1 ) ! 0 ; 0 ! H q+1 (Xq 1 ) ! L q+1 = Im(Z q ! L q+1 ) ! L q+1 = Ker(L q+1 ! L q+2 ) ! 0: Le complexe Xq 1 etant quasi-isomorphe au complexe Y , les objets Hi (Xq 1 ) sont des elements de M . Il resulte alors des suites exactes ecrites ci-dessus, de l'hypothese de recurrence 2), et des proprietes d'exactitude de l'ensemble M ^ (2.2.4), que l'objet Z q = Im(Y q 1 ! Z q ) est un element de M ^ . Par suite, il existe un morphisme :

v:L

q

!Z

q

tel que L q soit un element de M et que le morphisme compose :

L

q v! Z q

! Z q = Im(Y

q 1

! Z q)

soit un epimorphisme. Posons alors :

Xq = Xq 1 (v; q ) ; uq = p(v; q ) (2:1:1): Il resulte de (2.1.2) que uq est un quasi-isomorphisme, d'ou la propriete 3). Il reste a veri er la propriete 2), i.e. a veri er que le noyau et l'image du morphisme L q ! L q+1 sont des elements de M ^ ; ce qui resulte immediatement des suites exactes : 0 ! Im(L q ! L q+1 ) ! Ker(L q+1 ! L q+2 ) ! H q+1 (Xq ) ! 0 0 ! Ker(L q ! L q+1 ) ! L q ! Im(L q ! L q+1 ) ! 0 : Ceci acheve la preuve de la proposition. Proposition 2.3.3. Soient M  M 0 deux ensembles d'objets de A tels que M possede les proprietes (E4 ) et (E5), que M 0 possede les proprietes (E1 ) et (E4) et que tout objet de M 0 soit quotient d'un objet M . Soit Y 2 Ob comp(A) un complexe tel que : 1) Les composants Y i , i 2 Z , de Y soient des elements de M 0 . 182

Categories Derivees

2) La suite i 7! i M - dim(Y i ) tende vers +1 , quand i tend vers +1 . Il existe alors un complexe X 2 Ob comp(A) dont les composants sont des elements de M et un quasi-isomorphisme : u:X !Y : Si on suppose de plus que tous les composants de Y sont de M -dimension nie et que Y 2 Ob(compb (A)) (resp. Ob(comp+ (A)) ), on peut alors prendre X dans compb (A) (resp. comp+(A) ). Soit n0 un entier tel que i > n0 ) M - dim(Y i ) < +1 . On se propose de construire : a ) Une suite de complexes Xi , i  n0 . b ) Une suite de morphismes ui : Xi ! Xi 1 , i > n0 , un0 : Xn0 ! Y , tels que : 1)i (Xi)j 2 M , pour j  i . 2)i (Xi)j = Y j , pour j > i . 3)i Le morphisme ui soit un quasi-isomorphisme. 4)i (ui )j = identite, pour j > i . 5)i (ui)j = identite, pour j  i M - dim(Y i ) ; cette derniere propriete n'etant vraie que pour i > n0 . Cette construction etant faite, remarquons que le systeme projectif Xi admet une limite projective dans comp(A) : les systemes projectifs induits sur les composants de degre donne sont stationnaires, car i M - dim(Y i ) tend vers +1 avec i . Il sura de poser alors X = lim Xi et de prendre pour i u : X ! Y le morphisme canonique. Les composants du complexe X sont des elements de M et le morphisme u est un quasi-isomorphisme. Construisons tout d'abord le morphisme un0 : Xn0 ! Y . Procedons par recurrence et supposons qu'on ait construit pour tout entier i , n0  i < q , des complexes Xn0 ;i et des morphismes vn0 ;i : Xn0 ;i ! Xn0 ;i 1 , i > n0 , et vn0 ; n0 : Xn0 ; n0 ! Y , tels que : I )n0 ;i Les composants (Xn0 ;i)j soient des elements de M , pour i  j  n0 . II )n0 ;i Les composants (Xn0 ;i)j soient des elements de M 0 , pour tout entier j . III )n0;i Le morphisme vn0 ;i soit un morphisme elementaire de hauteur i (2.1.3). Le complexe Xn0 ;q 1 est alors de la forme :




! Y

q 1

!Z q!L

q+1 ! L q+2


! Ln0 1

183

! Ln0 ! Y n0 +1 ! Y n0 +2 !


;

J.-L. Verdier

ou Z q est un element de M 0 et les Lj , q + 1  j  n0 , des elements de M . Il existe par suite un epimorphisme :

:L

q

!Z

q

; ou L q 2 M :

Posons alors :

Xn0 ;q = Xn0 ;q 1 (; q ) ; vn0 ;q = p(; q ) (2:1:1): Il est clair que par construction on a les proprietes I )n0 ;q et III )n0;q . La propriete II )n0 ;q resulte de ce que l'ensemble M 0 possede les proprietes (E1 ) et (E4). On peut donc poursuivre la construction des Xn0 ;i . En posant Xn0 = lim Xn0 ;i et en prenant pour un0 : Xn0 ! Y le morphisme canonique, on i

obtient un complexe et un morphisme qui possedent les proprietes 1)n0 , 2)n0 , 3)n0 , 4)n0 . Pour construire alors les complexes Xi et les morphismes ui : Xi ! Xi 1 , nous procedons par recurrence. Supposons donc qu'on ait construit pour tout entier i , n0  i < q , des complexes Xi et des morphismes ui : Xi ! Xi 1 possedant les proprietes 1)i , 2)i , 3)i , 4)i , 5)i , n0  i < q . Il s'agit de construire un complexe Xq et un morphisme uq : Xq ! Xq 1 tels que l'on ait les proprietes 1)q , 2)q , 3)q , 4)q , 5)q . Tout d'abord, si Y q 2 M , on pose Xq = Xq 1 et uq = identite. Supposons que Y q ne soit pas un element de M , i.e. que M - dim(Y q ) > 0 . Pour construire le complexe Xq et le morphisme uq : Xq ! Xq 1 , nous procedons a nouveau par recurrence. Soit r un entier tel que q < r  q + M - dim(Y q ) . Supposons qu'on ait determine une suite de complexes Xq;l , q < l < r , et de morphismes vq;l : Xq;l ! Xq;l 1 (on pose Xq; q = Xq 1 ) tels que : I 0 )l (Xq;l)j = (Xq;l 1 )j , pour tout j 6= l ; l + 1 . II 0)l (Xq;l ) l 2 M 0 et M - dim((Xq;l) l ) = M - dim(Y q ) l q . III 0)l (Xq;l ) l+1 2 M . IV 0 )l vq;l soit un morphisme elementaire de hauteur l + 1 et (vq;l )j = identite, pour j 6= l , l + 1 . Le complexe Xq;r 1 est alors de la forme :




! L

r

!Z

r+1

!L

r+2

!


! Lq ! Y q+1 ! Y q+2 !


;

ou les Li sont des elements de M et ou Z r+1 est un element de M 0 tel que M - dim(Z r+1 ) = M - dim(Y q ) r + 1 q . Il existe donc un epimorphisme 184

Categories Derivees

 : L r+1 ! Z r+1 , ou L r+1 est un objet de M . Posons alors Xq;r = Xq;r 1 (; r + 1) et vq;r = p(; r + 1) (2.1.1). Il est clair que Xq;r et vq;r possedent les proprietes I 0)r , III 0)r , IV 0 )r . De plus, par de nition du complexe Xq;r (2.1.1), on a une suite exacte : 0 ! (Xq;r ) r ! L r  L r+1 ! Z r+1 ! 0 : Il resulte alors de la propriete (E4) que (Xq;r ) r est un element de M 0 et de

(2.2.6) que :

M - dim((Xq;r) r ) = M - dim(Z r+1 ) 1 = M - dim(Y q ) r q ; d'ou la propriete II 0 )r . On peut donc poursuivre la construction. Posons alors Xq; q+M - dim(Y q ) = Xq et designons par uq : Xq ! Xq 1 le morphisme obtenu en composant les vq;l . Il est clair que Xq et uq possedent les

proprietes 1)q , 2)q , 3)q , 4)q , 5)q . Ceci acheve la demonstration de la premiere assertion de la proposition. Pour demontrer la deuxieme assertion, il sut de remarquer que sous les hypotheses supplementaires, on peut prendre dans la construction precedente Xn0 = Y , pour un n0 convenable. Remarque 2.3.4. Dans la construction du complexe Xn0 (cf. demonstration de la proposition (2.3.3)), nous avons en fait demontre le resultat suivant : soit M  M 0 deux ensembles d'objets de A tels que 0 2 M , M 0 possede les proprietes (E1 ) et (E4 ) et que tout objet de M 0 soit quotient d'un objet de M . Soit Y 2 Ob comp (A) un complexe dont tous les composants sont des elements de M 0 . Il existe un complexe X 2 Ob comp (A) dont tous les composants sont des elements de M et un quasi-isomorphisme u : X ! Y . 2.3.5. Nous laissons au lecteur le soin d'enoncer les resultats qu'on obtient en appliquant les resultats de ce numero a la categorie opposee a A . On dit qu'un ensemble M d'objets de A possede la propriete (Ei) , 1  i  6, si l'ensemble M d'objets de A possede la propriete (Ei) de (2.2.1).

2.4. Applications. Proposition 2.4.1. a) Soient A une categorie abelienne et M un ensemble d'objets de A possedant la propriete (E1) (2.2.1). La categorie K (M ) (1.1.4) est Ac(A)-localisante a gauche (chap. II, 2.3.5) si et seulement si l'ensemble

M possede les proprietes (E2 ) et (E3). b) Soient M un ensemble d'objets possedant les proprietes (E1 ), (E2 ) et (E3 ) et M ^ l'ensemble associe a M , de ni en (2.2.1). Le foncteur naturel : K (M )= Ac (M ) ! K (M ^)= Ac (M ^) 185

J.-L. Verdier

est une equivalence de categories. Le foncteur naturel : K (M ^)= Ac (M ^ ) ! D (A) est pleinement dele. Les objets de D (A) dont les objets de cohomologie sont des elements de M ^ sont isomorphes a des objets de K (M ^ )= Ac (M ^) , ou Ac (M ) et Ac (M ^) designent les categories des complexes acycliques dont les composants sont des elements de M et M ^ respectivement. Cette proposition resulte immediatement de (2.3.1), (2.3.2) et de (chap. II, 2.3.5). Corollaire 2.4.2. Soit U un univers. On suppose que la categorie A est une U-categorie, i.e. que pour tout couple Y et Z d'objets de A , HomA(Y; Z ) est un element de U, et que les sommes directes indexees par des elements de U sont representables dans A . Soient (Xi)i2I2U une`famille de generateurs de A et M l'ensemble des objets de A de la forme Xj , ou les Xj sont j 2J 2U S des elements de l'ensemble fXig. Alors le foncteur naturel : i2I

K (M )= Ac (M ) ! D (A) est une equivalence de categories. Resulte immediatement de (2.4.1). Proposition 2.4.3. Soient A une categorie abelienne et M un ensemble d'objets de A possedant les proprietes (E4 ) et (E5) tel que tout objet de A soit quotient d'un element de M et tel qu'il existe un entier n 2 N majorant la M -dimension de tout objet X de A . a) La categorie K (M ) est Ac (A)-localisante a gauche ( = ; + ; b ; \vide"). b) Le foncteur naturel : K (M )= Ac(M ) ! D (A) est une equivalence de categories. Paraphrase la proposition (2.3.3) ( = + ; b ; \vide"), ou la proposition (2.3.1) ( = ). Proposition 2.4.4. On designe par Q : K(A) ! D(A) le foncteur canonique. a) Soit X un objet de A . L'objet X est Q-libre a gauche (chap. II, 2.3.2) si et seulement si X est un objet projectif de la categorie A .

186

Categories Derivees

b) Designons par P l'ensemble des objets projectifs de A . La categorie triangulee K (P ) est une sous-categorie de la categorie des objets Q-libres a gauche. Le foncteur naturel : K (P ) ! D(A) est pleinement dele. c) Si tout objet de A est quotient d'objet projectif (resp. et si de plus il existe un entier n 2 N qui majore la dimension projective des objets de A ), alors : 1) Le foncteur naturel K (P ) ! D (A) (resp. K (P ) ! D (A) ) est une equivalence de categories. On designe par L : D (A) ! K (P ) (resp. L : D(A) ! K (P ) ) un foncteur quasi-inverse. 2) Le foncteur L Q : K (A) ! K (P ) (resp. L Q : K(A) ! K (P ) ) est adjoint a droite au foncteur d'inclusion : K (P ) ! K (A)

(resp. K (P ) ! K (A) ) :

Le morphisme d'adjonction idK (A) ! L Q (resp. idK (A) ! LQ ) est un \quasi-isomorphisme". 3) Le foncteur L (resp. L ) est un adjoint a gauche au foncteur Q (resp. Q ). 4) Un objet de K (A) (resp. K (A) ) est Q-libre a gauche si et seulement s'il est isomorphe a un objet de K (P ) (resp. K (P ) ). Demontrons a ). Pour tout objet Y de A , on a : HomK(A) (X; Y [n]) = 0 , pour n 6= 0 , et par suite, comme X est Q-libre a gauche (chap. II, 2.3.3), on a: HomD(A) (X; Y [n]) = 0 ; pour n 6= 0 : Par ailleurs, on a HomD(A) (X; Y ) = HomA (X; Y ) (1.2.9). Soit alors :

S = 0 ! Y 0 u! Y v! Y 00 ! 0 une suite exacte de A. Le foncteur cohomologique canonique
comp(A) ! D(A) (1.3.2) fournit un triangle distingue Y 0 ; Y; Y 00 ; [u]; [v ];  (S ) . D'ou, une suite exacte (chap. II, 1.2.1) :




! 0 ! HomD(A)(X; Y 0 ) ! HomD(A)(X; Y ) ! HomD(A) (X; Y 00 ) ! 0 !


; i.e. une suite exacte :

0 ! HomA (X; Y 0 ) ! HomA (X; Y ) ! HomA (X; Y 00 ) ! 0 ; 187

J.-L. Verdier

ce qui montre que X est un objet projectif de A . Demontrons b ). Soient L un complexe de type projectif objet de K (A) et u : L ! Y un morphisme dans un complexe acyclique. Supposons qu'on ait construit pour tout entier i > n , un morphisme si : Li ! Y i 1 tel que ui = diY 1 si + si+1 diL (une telle construction est toujours possible pour n susamment grand car L est un objet de K (A) ). On en deduit que dnY (un sn+1 dnL ) = 0 et, par suite, le morphisme un sn+1 dnL se factorise par Ker(dnY ) . Le complexe Y etant acyclique, le morphisme Y n 1 ! Ker(dnY ) est un epimorphisme et l'objet Ln etant projectif, il existe un morphisme sn : Ln ! Y n 1 tel que dnY 1 sn = un sn+1 dnL . On demontre ainsi par recurrence qu'il existe, pour tout entier i , un morphisme si tel que ui = diY 1si + si+1dnL . Le morphisme u est donc homotope a zero. On en deduit par (chap. II, 2.3.3) que l'objet L est un objet Q-libre a gauche. La derniere assertion de b ) resulte alors de (chap. II, 2.3.3). Demontrons c ). L'assertion 1) resulte immediatement de b ) et de (2.3.1). Pour demontrer l'assertion 1) sous la forme resp. , montrons d'abord que tout complexe de type projectif est Q-libre a gauche. Soit L un complexe de type projectif et u : X ! L un quasi-isomorphisme. Il sut de montrer que u admet une section (chap. II, 2.3.3). Il sut donc de montrer qu'il existe un complexe de type projectif L0  et un quasi-isomorphisme v : L0  ! X tel que le morphisme compose uv : L0  ! L soit un isomorphisme de K(A) . D'apres (2.3.3), il existe toujours un complexe L0 de type projectif et un quasi-isomorphisme v : L0  ! X . Tout revient donc a montrer qu'un quasiisomorphisme uv : L0  ! L est un isomorphisme. Or il existe un triangle distingue (L0  ; L; L00  ; uv; w; m) , ou L00  est un complexe de type projectif acyclique. Tout revient donc a montrer que les complexes acycliques de type projectif sont homotopes a zero. Soit donc L00  un complexe acyclique de type projectif. Comme la dimension projective des objets de A est majoree, les noyaux des dierentielles de L00 sont des projectifs (2.2.6). On en deduit que toutes les dierentielles de L00 sont des morphismes decomposables (chap. II, 1.2.8) et, par suite, que L00 est homotope a zero. Il resulte alors de (chap. II, 2.3.3) que le foncteur naturel K (P ) ! D(A) est pleinement dele. Par suite, le foncteur K(P ) ! D (A) est pleinement dele. D'apres (2.3.3), ce foncteur est aussi essentiellement surjectif ; il est par suite une equivalence de categorie. Les assertions 2) et 3) ne sont alors que des applications directes de (chap. II, 2.3.3). L'assertion 4) est alors evidente : un objet Q-libre a gauche de K (A) (resp. de K (A) ) admet, d'apres (2.3.1) (resp. (2.3.3)), une resolution a gauche par un complexe de type projectif de K (A) (resp. K (A) ), et un quasi-isomorphisme entre objets Q-libres a gauche est un isomorphisme de K(A) . 188

Categories Derivees

Remarque 2.4.5. a ) Soit A une categorie abelienne dont tous les objets

soient isomorphes a des quotients d'objets projectifs. Un complexe de type projectif n'est pas necessairement Q-libre a gauche. Exemple : Soit A la categorie des Z=4Z-modules. Le complexe :




! Z=4Z ! Z=4Z ! Z=4Z ! Z=4Z ! Z=4Z !


dont toutes les dierentielles sont la multiplication par 2 est acyclique et de type projectif. Il n'est cependant pas homotope a zero. Le m^eme complexe fournit un exemple de complexe acyclique de type injectif, non homotope a zero. b ) M^eme lorsque la dimension projective des objets de A n'est pas bornee, il peut exister des complexes de type projectif Q-libres a gauche dont l'image dans D(A) n'appartienne pas a D (A) . Par exemple, un complexe projectif de Cartan-Eilenberg est un objet Q-libre a gauche. Plus generalement, toute somme directe d'objets Q-libres a gauche est Q-libre a gauche. 2.4.6. Nous laissons au lecteur le soin de formuler les enonces qu'on obtient en appliquant les resultats de ce numero a la categorie opposee a la categorie A .

189

 3. Etude des Ext . Dans ce paragraphe, A designe une categorie abelienne.

3.1. Dierentes de nitions equivalentes. 3.1.1. On dit que la dimension cohomologique de A est inferieure ou egale a n si pour tout couple X et Y d'objets de A et pour tout entier p > n , on a ExtpA (X; Y ) = 0 ((1.2.5), (1.2.9)). On appelle dimension cohomologique de A et on note dimcoh(A) , le plus petit des entiers n pour lesquels la dimension cohomologique de A est inferieure ou egale a n . S'il n'existe pas d'entier n pour lequel la dimension cohomologique de A soit inferieure ou egale a n , on dit que la dimension cohomologique de A est in nie et on ecrit dimcoh(A) = +1 . 3.1.2. Rappelons (1.1.3) qu'on designe par Qis l'ensemble des quasi-isomorphismes de K (A) (  = b ; ; + , \vide"). Soit X un objet de K (A) , on designe par Qis =X (resp. X n Qis ) la categorie des quasi-isomorphismes de but X (resp. de source X ) (chap. II, 2.2.1). L'ensemble Qis etant un systeme multiplicatif de morphismes, la categorie Qis =X (resp. X n Qis ) est ltrante a gauche (resp. a droite) (chap. II, 2.2.1). La categorie Qis =X (resp. X n Qis ) admet un objet initial (resp. nal) u : Y ! X (resp. u : X ! Y ) si et seulement s'il existe un objet Q -libre a gauche (resp. a droite) Y et un quasi-isomorphisme u : Y ! X (resp. u : X ! Y ), comme on le voit immediatement en utilisant (chap. II, 2.3.3). Proposition 3.1.3. Soient X et Y deux complexes de A . (1) Ext0A (X; Y ) = lim ! HomK(A) (
; Y ) . (

Qis =X )

(2) Ext0A (X; Y ) ' lim ! HomK(A) (X;
) . (3) Ext0A (X; Y ) '

Y n Qis

(

lim !

Qis =X ) (Y n Qis)

HomK(A) (
;
) .




(4) ExtnA (X; Y ) ' Ext0A X [p]; Y [n + p] , pour tout entier p . (5) Pour tout X dans K (A) , Ext0A (X; Y ) ' lim ! HomK(A) (
; Y ) . (

Qis =X )

(6) Pour tout Y dans K+ (A) , Ext0A (X; Y ) ' lim ! HomK(A) (X;
) . Y n Qis+

J.-L. Verdier

(7) Pour tout X dans Kb (A) et tout Y dans K+ (A) , Ext0A (X; Y ) ' (

lim ! HomK(A) (
; Y ) :

Qisb =X )

(8) Pour tout X dans K (A) et tout Y dans Kb (A) , Ext0A (X; Y ) ' lim ! HomK(A)(X;
) : Y n Qisb

La formule (1) resulte de la de nition de la categorie localisee (chap. II, 2.2.2). La formule (2) se deduit de la formule (1), en passant a la categorie opposee (chap. II, 2.2.4). La formule (3) se deduit alors des formules (1) et (2). La formule (4) est une de nition (chap. I, 1.3.8). Les formules (5) et (6) resultent de la proposition (1.2.1), b ) et b )bis. Les formules (7) et (8) resultent de la proposition (1.2.1), c ) et c )bis. Proposition 3.1.4. On suppose que tout objet de la categorie A est isomorphe a un sous-objet (resp. a un quotient ) d'un objet injectif (resp. projectif ) de A . 1) Tout objet Y (resp. X ) de K+ (A) (resp. K (A) ) possede une resolution a droite (resp. a gauche ) u : Y ! I  (resp. u : P  ! X ) de type injectif (resp. projectif ) (1.1.4). 2) Cette resolution de nit un isomorphisme : Ext0A (X; Y ) ' HomK(A) (X; I ) ; pour tout X dans K(A)

(resp.

Ext0A (X; Y ) ' HomK(A) (P  ; Y ) ; pour tout Y dans K(A) ):

3) La dimension cohomologique de A est la borne superieure des dimensions injectives (resp. projectives ) des objets de A . 4) Lorsque la dimension cohomologique de A est nie, tout objet Y (resp. X ) de K(A) possede une resolution a droite (resp. a gauche ) u : Y ! I  (resp. u : P  ! X ) de type injectif (resp. projectif ). 5) Avec les hypotheses et notations de 4), une telle resolution de nit un isomorphisme : Ext0A (X; Y ) ' HomK(A) (X; I ) ; pour tout X dans K(A)

(resp.

Ext0A (X; Y ) ' HomK(A) (P  ; Y ) ; pour tout Y dans K(A) ):

192

Categories Derivees

Seule reste a demontrer la troisieme assertion. Les autres assertions sont des consequences immediates de la proposition (2.4.4). L'assertion 2) montre aussit^ot que la dimension cohomologique de A est inferieure ou egale a la borne superieure des dimensions injectives (resp. projectives) des objets de A . Supposons que la dimension cohomologique de A soit egale a n et soit :

I =


! 0 ! 0 ! I0 ! I1 ! I2 ! I3 !


une resolution de type injectif d'un objet Y de A . Pour tout objet X de A , on a HomK(A) (X [ n 1] ; I  ) = 0 . En particulier, en prenant X = Ker dnI +1 , on montre aussit^ot que le morphisme canonique Ker dnI +1 ! I n+1 se factorise a travers I n : Ker dnI +1

In

\ \ \ ^ \

\

w

u

w




I n+1

:

Par suite, Ker dnI +1 et Ker dnI sont des facteurs directs de I n et sont donc injectifs. Le complexe :




! 0 ! I ! I !


! In 0

1

1

! Ker dnI ! 0 !




est une resolution injective de Y ; ce qui montre que la dimension injective de Y est inferieure ou egale a n . On demontre de m^eme que la dimension projective de tout objet X de A est inferieure ou egale a n . 3.1.5. Soient X et Y deux objets de A . La proposition (3.1.4) montre que lorsque la categorie A possede susamment d'objets injectifs ou projectifs les groupes ExtiA (X; Y ) que nous avons de nis ici concident avec ceux qui sont de nis classiquement.

3.2. La construction de Yoneda. 3.2.1. Soient X et Y deux objets de A . Designons par EAn (X; Y ) (n  1) l'ensemble des suites exactes :

S n (X; Y ) = 0 ! Y ! Zn

1

! Zn

2

!


! Z u!0 X ! 0 : 0

L'entier n est appele la longueur de la suite S n (X; Y ) . Associons a tout element S n (X; Y ) de EAn (X; Y ) trois complexes : 193

J.-L. Verdier

a ) Le complexe X dont le seul composant non nul est l'objet X en degre zero. b ) Le complexe : Z  =


! 0 ! Y ! Zn 1 !


! Z0 ! 0 ! 0 !


( Y est le composant de degre n et les Zi sont les composants de degre i ). c ) Le complexe Y [n] dont le seul composant non nul est l'objet Y en degre n . Designons alors par u(S n (X; Y )) : Z  ! X le morphisme dont le seul composant non nul est u0 en degre 0 , et par v (S n(X; Y )) : Z  ! Y [n] le morphisme dont le seul composant non nul est idY en degre n . Le morphisme u(S n (X; Y )) est un quasi-isomorphisme, d'ou un morphisme dans D(A) (avec les notations de (1.3.2)) : (3:2:1:1) An (S n (X; Y )) = [v (S n (X; Y ))][u(S n (X; Y ))] 1 : X ! Y [n] : On de nit ainsi une application : (3:2:1:2) An : EAn (X; Y ) ! ExtnA (X; Y ) ; qu'on note simplement  n lorsqu'aucune confusion n'en resulte. Proposition 3.2.2. a) L'application n est surjective. b) Deux elements : S n(X; Y ) = 0 ! Y ! Zn 1 !


! Z0 ! X ! 0 et : S 0 n (X; Y ) = 0 ! Y ! Zn0 1 !


! Z00 ! X ! 0 ont la m^eme image par  n si et seulement s'il existe un element : S 00 n (X; Y ) = 0 ! Y ! Zn00 1 !


! Z000 ! X ! 0 et un diagramme commutatif :

0

w Yu

w Znu

wY

w Zn00

id

u 0

id

0 0

u

wY

w Zn

1

1

1

w




w Zu

0

w Xu

w0 w0

id

w




w Z 00

wX

w




u0

u

194

0

wZ

0

id

wX

w0

:

Categories Derivees

c) Lorsque n = 1 ,  1 est le morphisme de ni par le  -foncteur canonique comp(A) ! D(A) (1.3.2). Cette proposition resulte de la proposition (3.1.3) formule (7). Nous laissons l'exercice au lecteur qui pourra consulter [3]. un 1 u0 n Z 3.2.3. Soit S n (X; Y ) = 0 ! Y u! n 1 ! Zn 2


Z0 ! X ! 0 un element de EAn (X; Y ) . Pour tout entier p , 0  p  n , donnons nous un element "p de f 1; +1g. Designons par S"n (X; Y ) la suite exacte : (3:2:3:1)

0 !Y

"n u n

! Zn

"n 1 un 1

! Zn


Z

1

2

0

"0 u 0

!X !0 ;

qui est element de EAn (X; Y ) . On a l'egalite :

 n (S"n(X; Y )) =

(3:2:3:2)

n  Y i=0

"i  n (S n (X; Y )) :

La formule (3.2.3.2) se demontre immediatement en utilisant la relation d'equivalence (3.2.2), b ) et la de nition de  n (3.2.1.1). 3.2.4. Soient maintenant deux suites exactes : u

n Zn S n (X; X 0) = 0 ! X 0 !

1

u0

m 0 Zm S m(X 0 ; X 00 ) = 0 ! X 00 !

1

un 1

u

u0m 1

u0

u

1 0 !


! Z ! X !0 0

u0

0 1 X0 ! 0 : Z0 ! !


! 0

Designons par S m (X 0 ; X 00 )  S n (X; X 0) la suite exacte :

S m (X 0; X 00 )  S n (X; X 0) =

(3:2:4:1) u0m 0 00 0 ! X ! Zm

u0m 1 1

un u00 0 !


Z ! Zn 0

1

un 1

u

0 !


Z ! X !0 0

Proposition 3.2.5. On a l'egalite :  m n (S m (X 0 ; X 00)  S n (X; X 0)) = ( 1)mn ( m(S m (X 0; X 00 ))) [n]  n (S n(X; X 0)): +

Determinons le morphisme ( m (S m(X 0 ; X 00 )))[n]  n (S n (X; X 0)) . Avec les notations de (3.2.1), on a deux diagrammes :

X0

u(S m (X 0 ;X 00 ))

Z0

v(S m (X 0 ;X 00 ))

! X 00 [m] ;

195

J.-L. Verdier

u(S n (X;X 0 ))

X

v(S n (X;X 0 ))

Z

! X 0[n] ;

d'ou un diagramme :

X

u(S n )

Z

v (S n )

u(S m )[n]

! X 0[n]

Z 0  [n]

v(S m )[n]

! X 00[m + n] ;

(ou pour simpli er la notation nous avons fait les abreviations evidentes). Il resulte alors de la de nition de la translation dans D(A) (chap. II, 2.2.6) qu'on a l'egalite : (3.2.5.1) ( m (S m (X 0 ; X 00 ))) [n]  n (S n (X; X 0)) =

v(S m)[n]u(S m)[n] v(S n)u(S n) 1

1

:

Posons alors : (3.2.5.2) Z 00  =






(

1)

! 0 ! X 00




n u01

(

un u00

! Z0

! Zn

0

1

n u0m

! Zm0

1)






(

1)

! X 00

n u01

! Z0

(

1)

un 1

!




1 !


u! Z ! 0 ! 0 !




n u0m

! Zm0

un u00

0

1)

1

0

(les Zi sont les composants de degre i de Z 00  ),

S m+n (X; X 00 ) = 0

n u0m 1

(

! Zn

1

(

n u0m 1

1)

!




1

un 1

u

u

1 0 !


! Z ! X !0 0

De nissons maintenant deux morphismes de complexes :

(3:2:5:3)

 : Z 00 

8 p < n  ! Z : p  

: Z 00  ! Z 0 [n]

= id ; pour p  n + 1 ; = u00 ; = 0 ; pour p < n ; p = 0 ; pour p = id ; pour

p n+1 ; p n:

On veri e immediatement qu'on a les proprietes suivantes : a ) Le morphisme  : Z 00  ! Z  (3.2.5.3) est un quasi-isomorphisme. 196

Categories Derivees

b ) Dans le diagramme ci-apres :

Z 00[hh ' v (S m n) u(S m n)'''' [ hhhh

hhhh  ' [] ' '

j  ' * ' Z 0 [n] v (S m)[n] w X 00 [m + n] X u u(S n) Z  [ [] m  v (S n) [ u (S )[n]   0 

+

+

(3:2:5:4)

X [n]

le carre central et les triangles lateraux sont commutatifs dans comp(A) . En passant dans la categorie D(A) , le diagramme (3.2.5.4) fournit l'egalite : ( m (S m(X 0 ; X 00 )))[n]  n (S n (X; X 0)) =  m+n (S m+n (X; X 00 )) : Il sut alors d'utiliser (3.2.3.2) pour achever la demonstration. 3.2.6. Un cas d'application particulierement important de la proposition (3.2.5) est le suivant. Soit : un 1

u

u

u

1 0 Z0 ! S n (X; Y ) = 0 ! Y n! Zn 1 !


! X !0 un element de EAn (X; Y ) . Posons pour tout entier p , 1  p  n : (3:2:6:1) Sp1 = 0 ! Ker(up 1) ! Zp 1 ! Im(up 1 ) ! 0 :

On a alors l'egalite : (3:2:6:2) n(n 1)  n (S n (X; Y )) = ( 1) 2  1 (Sn1 )[n 1]  1(Sn1 1 )[n 2]


 1 (S11); ainsi qu'on le demontre immediatement en utilisant la proposition (3.2.5). 3.2.7. Buvons le calice jusqu'a la lie, et soient X et Y deux objets de A et par consequent de A : la categorie opposee a A . Les ensembles EAn (X; Y ) et EAn  (Y; X ) sont egaux et on a deux applications :

EAn (X; Y )

An

w ExtnA (X; Y )

EAn  (Y; X )

An 

w ExtnA (Y; X )

(3:2:7:1)

197

:

J.-L. Verdier

Par ailleurs, on a identi e en (1.2.8) la categorie D(A) a la categorie D(A ) , ce qui permet d'identi er les ensembles ExtnA (Y; X ) et ExtnA (X; Y ) (chap. I, 1.3.9). Modulo ces identi cations, on a donc deux applications ayant m^eme source et m^eme but :

EAn (X; Y )

An

w ExtnA(X; Y )

EAn  (Y; X )

An 

w ExtnA (Y; X )

(3:2:7:2) et on a la relation :

An = An  :

(3:2:7:3)

Cette relation est vraie pour n = 1 (1.3.4). Elle se demontre alors par recurrence sur n en utilisant (3.2.5). 3.2.8. Soient : un 1

u1 u0 2 !


u! Z ! Z ! X !0 un element de EAn (X; Y ) , f : X 0 ! X et g : Y ! Y 00 deux morphismes de A . Posons : u

n S n(X; Y ) = 0 ! Y ! Zn

(3:2:8:1) un S n (X; Y )  f = 0 ! Y ! Zn

ou Z00 est le produit bre :

Z00 f0

u

Z0

1

1

1

0

u0

u0

un 1

1 0 0 2 !


u! Z ! Z ! X0 ! 0 ;

u00 u0

1

0

w X0 u

f

wX

et ou u01 est l'unique morphisme de ni par les egalites f 0 u01 = u1 et u00 u01 = 0 . De m^eme, posons : (3:2:8:2) u00n 00 u00n 1 un 2 u1 u0 Z0 ! Zn 1 ! Zn 2 !


! X!0; g  S n (X; Y ) = 0 ! Y 00 ! 198

Categories Derivees

ou Zn00 1 est la somme amalgamee :

Y g Y

u 00

un u00n

w Zn u

w Z 00 n

1

g00 1

et ou u00n 1 est l'unique morphisme de ni par les egalites u00n u00n 1 u00n = 0 . Proposition 3.2.9. a) On a les egalites : n (S n (X; Y )  f ) =  n (S n (X; Y ))f

1

g 00 = un 1 et

 n (g  S n (X; Y )) = g [n]  n(S n(X; Y )) :

b) Tout diagramme commutatif :

S n(X; Y ) = 0 S 0 n (X 0; Y 0 ) = 0

wY

w Zn

u w Y0

u w Zn0

g

1

1

w




wZ

w




u w Z0

1

1

wZ

wX

w0

u w Z0

u w X0

w0

0

0

f

fournit l'egalite : (3:2:9:1)  n (g  S n(X; Y )) =  n (S 0 n (X 0; Y 0 )  f ) :

Lorsque n = 1 , ces proprietes resultent des proprietes du  -foncteur canonique comp(A) ! D(A) (1.3). Le cas general s'obtient par recurrence sur n , en utilisant (3.2.5). 3.2.10. Soient S n (X; Y ) et S n(X 0; Y 0) deux elements appartenant respectivement aux ensembles EAn (X; Y ) et EAn (X 0 ; Y 0 ) et considerons le morphisme :
n S n (X; Y )  S n (X 0; Y 0 ) : X  X 0 ! (Y  Y 0 )[n] : On a l'egalite : (3:2:10:1) 0 n (S n(X; Y )) 1 0
A ;  n S n (X; Y )  S n (X 0; Y 0 ) = @ 0  n(S n(X 0 ; Y 0 )) ainsi qu'il resulte immediatement de la de nition des applications n . 199

J.-L. Verdier

3.2.11. Soient f =  n (S n(X; Y )) et g =  n (S 0 n (X; Y )) deux elements de n ExtA (X; Y ) . Le morphisme f + g 2 ExtnA (X; Y ) est, par de nition, le morphisme compose :

 id 

X

id

f  0

!XX

0

g

! Y [n]  Y [n]




id;id

! Y [n] :

Les alineas (3.2.9) et (3.2.10) permettent alors, a partir des elements S n (X; Y ) et S 0 nn(X; Y ), de construire un element S 00 n (X; Y ) 2 EAn (X; Y ) tel que  n (S 00 (X; Y )) = f + g . Nous laissons au lecteur le soin d'expliciter cette construction. 3.2.12. Nous avons donc montre au cours de ce numero que les groupes n ExtA (X; Y ) ( X et Y objets de A ) peuvent s'interpreter comme des quotients des ensembles EAn (X; Y ) par la relation d'equivalence decrite en (3.2.2). De plus, la composition des extensions et la somme peuvent se decrire a l'aide d'operations simples sur les elements des EAn (X; Y ) . On retrouve ainsi une description due a Yoneda [3].

3.3. La categorie AExt . Lemme 3.3.1. a) Soient X et Y deux objets de A et  2 ExtA (X [p]; Y [q]) ' ExtqA p (X; Y ) , q > p . Il existe q p suites exactes de longueur 1 , Si , 1  i  q p , telles que la suite exacte de longueur n : Sq p  Sq p 


 S 0

1

1

soit de nie (3.2.4) et telles que :

(3:3:1:1)

q

p

Sq1 p  Sq1

p

1

1

1

1 1







 S [p] =  : 1 1

b) Soient S n et S 0 n deux elements de EAn (X; Y ) qu'on peut ecrire en utilisant les notations de (3.2.6) :

S n = Sn1  Sn1 1 


 S11 ; S 0 n = S 0 1n  S 0 1n 1 


 S 0 11 ; ou les Si1 et les S 0 1i , 1  i  n , sont des suites exactes de longueur 1 . Les proprietes suivantes sont equivalentes : i)  n (S n ) =  n (S 0 n ) . ii) Il existe n suites exactes de longueur 1 : S 00 1i , 1  i  n , et 2n 2 morphismes de A : fi , 1  i  n 1 , et gi , 1  i  n 1 , tels que les suites

200

Categories Derivees

exactes Si1  fi 1 , 1 < i  n , fi  S 00 1i , 1  i < n , S 0 1i  gi 1 , 1 < i  n , gi  S 00 1i , 1  i < n , soient de nies ((3.2.8.1) et (3.2.8.2)) et tels que :

(3:3:1:2)

8 00 >>  (S n ) >> 00 >>  (S n ) >> <  (fi  S 00 i ) >>  (gi  S 00 i ) >> >>  (f  S 00 ) >> :  (g  S 00 )


; 

1

1

=  1 Sn1  fn

1

1

1

=  1 S 0 1n  gn

1




; 

1

1

=

 1 Si1  fi

1

1

1

=

 1 S 0 1i  gi

1

1

1 1

=  1 (S11 ) ;

1

1 1

=  1 (S 0 11 ) :

1

1



;

; 1> mX (p; q) = mY (p; q) ; >> n >< Z (4:1:6:5) > mX ( 1; q ) = mY ( 1; q ) = mY (q ) ; >> Zn Z >> m : X ( 1; +1) = X = mY ( 1; +1) = mY (+1) = Y ; n

n

212

Categories Derivees

puis : (4:1:6:6)

Z n







f (p; q ); (p0; q 0 ) = h (p; q ); (p0; q 0 ) :

Soit de plus : (4:1:6:7)

md(p; q; r) : mY (q; r)

le morphisme compose : (4:1:6:8)

mY (q; r)

R

n g(p;q;r)

!

! mY (p; q)[1]

 Z () m m X (p; q ) [1] Tm X (p; q ) ! n n

Z

jj

Y (p; q )[1] ; ou le morphisme () est l'isomorphisme de commutation aux translations du foncteur complexe simple associe (chap. I, 2.3.2.1). R On obtient ainsi une ltration du complexe simple Y = n X : (4:1:6:9)

0 = m Y ( 1) 


 mY (q ) 


 mY (+1) = Y

qu'on appelle la ltration de nie par le m-ieme degre de X . On peut, par le procede rappele en (4.1.1), associer au complexe ltre (4.1.6.9) un objet spectral a valeurs dans K(A) note : (4:1:6:10)




Y (p; q); (p; q; r) :

En n, abusivement, nous designerons dans la proposition ci-apres par la m^eme notation, un morphisme de comp(A) et son image dans K(A) . Proposition
4.1.7. a) Les objets mY (p; q) (4.1.6.5), les morphismes h (p; q ); (p0; q 0 ) (4.1.6.6) et les morphismes md(p; q; r) (4.1.6.7) de nissent un objet spectral a valeurs dans K(A) qui depend fonctoriellement du complexe n-uple X . Cet objet spectral est appele l'objet spectral a valeurs dans K(A) de ni par le complexe X ltre par son m-ieme degre. b) Il existe un isomorphisme canonique (i.e. fonctoriel par rapport a l'objet
(4.1.6.10) X de compn (A) ) entre les objets spectraux Y ( p; q ) ;  ( p; q; r ) et m Y (p; q ); md(p; q; r)
. 213

J.-L. Verdier

Supposons, tout d'abord, la proposition demontree lorsque X est un double complexe et lorsque l'entier m = 1, et montrons comment on peut se ramener a ce cas. Soit ' : [n] ! [2] l'application : (4:1:7:1)

R

8 < '(m) = 1 ; : '(i) = 2 ;

pour tout i 2 [n] ; i 6= m :

Posons ' X = Z (chap. I, 2.2.2). On peut alors eectuer sur le double complexe Z les constructions decrites en (4.1.6.i), 1  i  4 . On obtient des doubles complexes : (4:1:7:2)

(p; q ) 2 Fl1 (Ze) ;

Z (p; q ) ;

1

et des morphismes de doubles complexes :




fZ (p; q ); (p0; q 0 ) : 1Z (p; q ) ! 1Z (p0 ; q 0 ) ;

(4:1:7:3)




gZ (p; q; r) : 1Z (q; r) ! T1 1Z (p; q ) :

On constate alors que :

Z

(4:1:7:4)

Z

' '

mX (p; q ) = 1Z (p; q )

;

(p; q ) 2 Fl1 (Ze ) ;







f (p; q ); (p0; q 0 ) = fZ (p; q ); (p0; q 0 ) ;

(veri cation immediate) et que de plus le morphisme gZ (p; q; r) est le morphisme compose :

R


! T Z mX (p; q) ; ' ' ' R ou () est l'isomorphisme de commutation du foncteur aux translations

(4:1:7:5)

Z

mX (q; r)

' g(p;q;r)

Z

! Tm mX (p; q)

(

)

1

'

(chap. I, 2.3.2.1) (pour veri er ceci, on utilise la de nition explicite des dierentielles de Z (chap. I, 2.2.2.5) et de l'isomorphisme de commutation (chap. I, 2.3.2.1). Construisons alors l'objet spectral de ni par Z ltre par son preR R R mier degre. Il resulte de l'egalite 2 '
= n , de (4.1.7.4), (4.1.7.5) et de (chap. I, 2.3.3) que mY (p; q ); md(p; q; r) est egal a cet objet spectral. 214

Categories Derivees

Supposons donc que X soit un double complexe et que m = 1 . Pour demontrer a ), il sut de montrer que, pour tout (p; q; r) 2 Fl2 (Ze) , le diagramme de comp(A) :  Z Z Z(4:1:7:6) Z 1d(p;q;r) Z
1 1 1 1 1 ! T1 X (p; q) = X (p; q) [1] X (p; q ) ! X (p; r) ! X (q; r) 2

2

2

2

2

de nit dans K(A) un triangle distingu e (remarquons que l'isomorphisme de

R R  1 1 commutation aux translations 2 T1 X (p; q ) ! 2 X (p; q ) [1] est dans ce cas l'identite). Les autres assertions contenues dans a ) sont evidentes. Pour prouver que le diagramme (4.1.7.6) de nit dans K(A) un triangle dinstingue, il sut, d'apres la propriete (TRII) (chap. II, 1.1.1), de montrer que le diagramme : (4Z :1:7:7)  Z Z 1d(p;q;r)[ 1] Z 1 1 1 X (q; r) [ 1] ! X (p; q) ! X (p; r) ! 1X (q; r) 2

2

2

2

de nit dans K(A) unR triangle distingue. On constate alors immediatement que le complexe simple 2 1X (p; r) est egal au c^one Rdu morphisme 1d(Rp; q; r)[ 1] (chap. et que les morphismes 2 1X (p; q ) ! 2 1X (p; r) , R R 1X (p;I,r) 3.1.2) 1 ! 2 X (q; r), gurant dans (4.1.7.7), sont les morphismes intro2 duits dans l'etude du foncteur c^one (chap. I, 3.2.2.2 et 3.2.2.4). Par suite, le triangle de K(A) de ni par le diagramme (4.1.7.7) est par de nition (chap. I, 3.3.1) un triangle distingue. Demontrons maintenant b ). En utilisant les notations introduites en (4.1.6.5), on vient de montrer que dans le diagramme : 1d(

1;q;r)

1 (4:1:7:8) Y (q; r)[ 1] ! 1Y (q) ! 1Y (r) ! 1Y (q; r) ; le complexe 1Y (r) appara^t comme le c^one du morphisme 1d( 1; q; r) (poser p = 1 dans le diagramme (4.1.7.7)). De plus (4.1.1), l'objet Y (q; r) a ete de ni comme etant le c^one du morphisme : 1 (4:1:7:9) Y (q ) ! 1Y (r) On a alors de ni, dans cette situation (chap. I, 3.2.5.2), un homotopisme (de nissant donc un isomorphisme dans K(A)) : (4:1:7:10) J (q; r) : Y (q; r) ! 1Y (q; r) : On laisse au lecteur le soin de veri er que cet homotopisme est fonctoriel par rapport aux indices (q; r) 2 Fl1 (Ze ) et par rapport au double complexe X et
qu'il de nit un isomorphisme canonique
de l'objet spectral Y (p; q );  (p; q; r) sur l'objet spectral 1Y (p; q ); 1d(p; q; r) .

215

J.-L. Verdier

4.1.8. Lorsque X est un complexe simple, l'objet spectral a valeurs dans K(A) de ni par le complexe X ltre par son premier degre (4.1.7) n'est autre que le premier objet spectral a valeurs dans K(A) associe au complexe X . De m^eme, soient X un complexe n-uple et m un entier, 1  m  n . Supposons que le composant X  de X soit nul lorsque :  mem 6= 0

(m m-ieme coordonnee ):

On veri e alors que l'objet spectral de ni par le complexe X ltre par son m-iemeR degre est egal au premier objet spectral canonique du complexe simple m X . En n, lorsque la categorie A est abelienne, le foncteur canonique : K(A) ! D(A)

transforme l'objet spectral a valeurs dans K(A) de ni par un complexe

n-uple X ltre par son m-ieme degre en un objet spectral a valeurs dans

D(A) . L'objet spectral ainsi obtenu est appele l'objet spectral, a valeurs dans D(A) , de ni par X , ltre par son m-ieme degre. Lorsque aucune confusion n'en resulte, on supprime la mention \ a valeurs dans D(A) ". 4.1.9. Soit X  un complexe double de A . Designons, pour tout entier q , par X q; (resp. X ;q ) le complexe simple :

X q; =




1 dq;i 2

dq;i 2

! X q;i

! X q;i

( resp. X ;q =


! X i;q

(

1)

q di;q

1

! Xi

+1

;q

+1

+1 dq;i 2

!




(

1)

q di+1;q

1

! Xi

;q !


) ;

+2

dont le composant de degre i est X q;i (resp. X i;q ). La dierentielle dans la premiere (resp. deuxieme) direction de X  induit des morphismes (dans K(A) ) :

dq;1  : X q; ! X q+1;

( resp.

d2;q : X ;q ! X ;q+1 ) ;

dont les composants sont : (dq;1 )i = dq:i 1 ( resp.

(d2;q)i = ( 1)idi;q ): 2 216

Categories Derivees







Designons par 1Y (p; q ); 1 (p; q; r) (resp. 2Y (p; q ); 2 (p; q; r) ) l' objet spectral, a valeurs dans K(A) , de ni par le complexe X , ltre par son premier (resp. deuxieme) degre (4.1.7). Il resulte immediatement des de nitions qu'on a les relations :

8 Y (q 1; q ) = X q;[q ] ; >> >> Y (q 1; q ) = X ; q [q ] ; < >> (q 1; q; q + 1) = (d q ;)[q + 1] ; >> : (q 1; q; q + 1) = (d; q )[q + 1] : 1

2

(4:1:9:1)

1

1

2

2

1

1

Ces formules seront utilisees au numero (4.6).

4.2. Objet spectral a valeurs dans D(A) associe a un objet ltre de comp(A) . Dans ce numero et les numeros suivants de ce paragraphe, A designe une categorie abelienne.

4.2.1. Soient X un objet de comp(A) et X (q) , q 2 Ze , une ltration crois-

sante de type Ze du complexe X :

(4:2:1:1) 0 = X ( 1) 


 X (q )  X (q + 1) 


 X (+1) = X : On en deduit, par la construction rappelee en (4.1.1), un objet spectral
X (p; q); (p; q; r) a valeurs dans K(A) , d'ou, en appliquant le foncteur canonique K(A) ! D(A) , un objet
spectral a valeurs dans D(A) encore note, abusivement, X (p; q );  (p; q; r) . On se propose de decrire un objet spectral a valeurs dans D(A) isomorphe a ce dernier objet spectral. 4.2.2. Soit donc 0 = X ( 1) 


 X (q) 


 X (+1) = X , un objet ltre de comp(A) . Posons : (4:2:2:1)

X (p; q ) = X (q )=X (p) ;

pour tout element (p; q ) de Fl1 (Ze) . (Le quotient est pris evidemment ici au sens de la categorie abelienne comp(A) ). Designons par : (4:2:2:2)




' (p; q ); (p0; q 0 ) : X (p; q ) ! X (p0; q 0 ) ; 217

J.-L. Verdier

ou (p; q ) et (p0 ; q 0 ) sont des elements de Fl1 (Ze) tels que p  p0 et q  q 0 , l'image dans D(A) du morphisme canonique de comp(A) :
(4:2:2:3) (p; q ); (p0; q 0 ) : X (p; q ) ! X (p0; q 0 ) : On a ainsi determine un foncteur de F`1 (Ze) dans D(A) . Soit, pour tout element (p; q; r) de Fl2 (Ze) : (4:2:2:4) S (p; q; r) : 0 ! X (p; q ) ! X (p; r) ! X (q; r) ! 0 ; la suite exacte de comp(A) dont les morphismes sont les morphismes canoniques deduits de la ltration de X . Soit en n, pour tout element (p; q ) de Fl1 (Ze) , (4:2:2:5) J (p; q ) : X (p; q ) ! X (p; q ) ; l'image dans D(A) du morphisme de comp(A) : (4:2:2:6) j (p; q ) : X (p; q ) ! X (p; q ) ; dont les composants sont : j (p; q )i : X (p; q )i = X (q )i  X (p)i+1 ! X (q )i=X (p)i = X (p; q )i ; (4:2:2:7)

j (p; q )i = (i; 0) ; ou  i est l'epimorphisme canonique :

i : X (q )i ! X (q )i=X (p)i :

Proposition 4.2.3. Pour tout element (p; q; r) de Fl (Ze) , designons par :  (p; q; r) : X (q; r) ! X (p; q )[1] ; le morphisme de D(A) : 2




(4:2:3:1)  (p; q; r) =  S (p; q; r) ;
ou  S (p; q; r) est le morphisme de D(A) associe a la suite exacte S (p; q; r) (4.2.2.4) par le  -foncteur canonique comp(A) ! D(A) (1.3.2).
a) Les objets X (p; q ) (4.2.2.1), les morphismes ' (p; q ); (p0; q 0 ) (4.2.2.2) et les morphismes  (p; q; r) (4.2.3.1) de nissent un objet spectral a valeurs dans D(A) . b) Les morphismes J (p; q
) (4.2.2.5) de nissent un isomorphisme
de l'objet spectral X (p; q );  (p; q; r) sur l'objet spectral X (p; q );  (p; q; r) . L'assertion a ) resulte immediatement des proporietes du  -foncteur canonique comp(A) ! D(A) (1.3.1). Pour demontrer l'assertion b ), le lecteur se reportera a (1.3.2). 218

Categories Derivees

4.2.4. Un morphisme d'objets ltres de type Ze de comp(A) induit de la

maniere evidente un morphisme entre les objets spectraux associes decrits par la proposition (4.2.3), a ). La proposition (4.2.3) de nit donc un foncteur de la categorie des objets ltres de comp(A) dans la categorie des objets spectraux a valeurs dans D(A) . Soient X un objet de comp(A) et X (q )  X , q 2 Ze , sa premiere ltration canonique. L'objet
spectral associe par la proposition (4.2.3) a l'objet ltre X; X (q ) ; q 2 Ze n'est autre, dans ce cas, que le premier objet spectral, a valeurs dans D(A) , associe au complexe X (4.1.5). R Soient de m^eme X un complexe n-uple de A , n X = Y le complexe simple associe, m un entier, 1  m  n , et : 0 = m Y ( 1) 


 m Y (q ) 


 mY (+1) = Y la ltration de nie par le m-ieme degre de X (4.1.6.9). L'objet spectral asso
cie par la proposition (4.2.3) a l'objet ltre Y; mY (q ) ; q 2 Ze n'est autre, dans ce cas, que l'objet spectral, a valeurs dans D(A) , de ni par X , ltre par son m-ieme degre (4.1.8).

4.3. Deuxieme objet spectral canonique. 4.3.1. Soit X un objet de comp(A) . Posons :

(4:3:1:1) X ( 1) = 0 ;

X (+1) = X ;

X (q ) =


X q 3 ! X q 2 ! Ker(dqX 1 ) ! 0 ! 0 !


; q 2 Z ;

les dierentielles de ce dernier complexe etant induites par les dierentielles de X . On a des monomorphismes canoniques : (4:3:1:2) 0 = X ( 1) 


 X (q )  X (q + 1) 


 X (+1) = X qui de nissent une ltration de type Ze sur X qu'on appelle la deuxieme ltration canonique de X .
On en deduit, par la proposition (4.2.3), un objet spectral X (p; q );  (p; q; r) qu'on appelle le deuxieme objet spectral, a valeurs dans D(A) , associe au complexe X . Un morphisme dans comp(A) : X ! Y respecte les deuxiemes ltrations canoniques et, par suite, le foncteur :
X 7 ! X (p; q );  (p; q; r) est un foncteur de comp(A) dans la categorie des objets spectraux a valeurs dans D(A) . Ce foncteur est appele le foncteur deuxieme objet spectral canonique. 219

J.-L. Verdier




Proposition 4.3.2. Soient X un objet de comp(A) , X (p; q); (p; q; r) le deuxieme objet spectral associe a X et H : D(A) ! A le foncteur cohomolo-

gique canonique.
a) Hr X (p; q ) = 0 , pour tout entier r < p ou r  q . b) Soit r un entier. Pour tout element (p; q ) 2 Fl1 (Ze ) tel que p  r < q , il existe un et un seul isomorphisme :
irp;q (X ) : Hr (X ) ! Hr X (p; q ) tel que ir 1;+1 (X ) soit l'identite et tel que pour tout couple (p; q ) et (p0 ; q 0 ) , p  p0 , q  q0 , p  r < q , p0  r < q 0 , le diagramme ci-apres soit commutatif : Hr (X )

irp0;q0 (X ) A irp;q (X ) AA

 AAHr ' (p; q); (p0; q0)



A D r H (X (p; q )) w Hr (X (p0; q0))

:

c) Soient m : X ! Y un morphisme de comp(A) et : m(p; q ) : X (p; q ) ! Y (p; q ) le morphisme correspondant entre les deuxiemes objets spectraux associes. Pour tout element (p; q ) de Fl1 (Ze ) et tout entier r tel que p  r < q , le diagramme ci-apres est commutatif : Hr (X ) irp;q (X ) o

Hr (m)

u

w Hr (Y )

o irp;q(Y )

u

Hr (m(p; q )) r Hr (X (p; q )) H (Y (p; q ))

w

:

Cette proposition resulte immediatement des de nitions. Corollaire 4.3.3. Le foncteur deuxieme objet spectral canonique (4.3.1) se factorise d'une maniere unique a travers le foncteur canonique : comp(A) ! D(A) : En eet, d'apres (4.3.2), un quasi-isomorphisme m : X ! Y est transforme par ce foncteur en isomorphisme d'objets spectraux. Le corollaire resulte donc de (1.3.5). 220

Categories Derivees

4.3.4. Le foncteur de D(A) dans la categorie des objets spectraux de D(A)

est encore appele, abusivement, le foncteur deuxieme objet spectral canonique.
Soient X un complexe de A , X (p; q );  (p; q; r) le deuxieme objet spectral associe a X . Il resulte de (4.3.2) et (1.2.10) qu'on a un isomorphisme canonique dans D(A) :

X (p; p + 1) ! Hp(X )[ p] : Notons aussi que lorsque X est un objet de D (A) ( = ; +; b, \vide"), le deuxieme objet spectral associe a X est en fait a valeurs dans D (A) .

(4:3:4:1)

4.4. Suites spectrales usuelles. 4.4.1. Soient A une categorie additive, non necessairement abelienne, F : K(A) ! B un foncteur cohomologique dans une categorie abelienne B , F p : K(A) ! B les foncteurs deduits de F
en composant avec le foncteur de translation de K(A) F p (X ) = F (X [p]) . Soit, de plus, Y un complexe de A . Le foncteur F transforme le premier objet spectral, a valeurs dans K(A) , associe a Y (4.1.4) en un objet spectral a valeurs dans B. On en deduit (chap. II, 4.3.3) une suite spectrale a valeurs dans B, fonctorielle en F et en Y (lorsque celui-ci varie dans comp(A) ), qu'on appelle la premiere suite spectrale du foncteur F , relative au complexe Y . On utilise toujours, pour cette suite spectrale, l'indexation introduite au (chap. II, 4.3.3.1). Proposition 4.4.2. a) Le terme Ip;q de la premiere suite spectrale du foncteur 1 F relative au complexe Y est donne par :

Ip;q = F q (Y p ) 1 ( Y p designe ici le complexe dont le seul composant non nul est, en degre zero, le p-ieme composant du complexe Y ). La dierentielle correspondante est : d1 : Ip;q ! I1p+1;q ; 1

d1 = F q ( dpY ) : F q (Y p ) ! F q (Y p+1 ) :

b) Le terme Ip;q de cette m^eme suite spectrale peut donc se decrire comme 2
suit : designons par F q; : comp K(A) ! comp(B) l'extension de F q aux complexes, HpB : comp(
B) ! B le foncteur p-ieme objet de cohomologie et Y  l'objet de comp K(A) :

Y  =


! Yp

1

dYp 1

!Y p 221

dpY

!Y p

+1

!


:

J.-L. Verdier

On a alors :

Ip;q = HpB F q; (Y  ) : 2 c) Les termes Ip;q 1 sont les gradues associes aux objets F p+q (Y ) convenablement ltres.
Demontrons a ). Soit Y (p; q );  (p; q; r) le premier objet spectral a valeurs dans K(A) associe au complexe Y . Il resulte immediatement de la de nition de cet objet qu'on a (4.1.2.3) : Y ( p 1; p) = Y p[ p] : Par suite (chap. II, 4.3.3.1) :
Ip;q = F p+q Y p [ p] = F q (Y p ) : 1 La description de la dierentielle d1 : Ip;q ! I1p+1;q se deduit alors immedia1 tement de (4.1.2.6). L'assertion b ) resulte immediatement de a ). La derniere assertion resulte de (chap. II, 4.3.2).
Remarque 4.4.3. Designons par Ip;q r (Y ) ; dr ; r  1 la premiere suite spectrale du foncteur F relative au complexe Y . Le foncteur :
Y 7 ! Ip;q r (Y ) ; dr ; r  1 est un foncteur de la categorie comp(A) dans la categorie des suites spectrales a valeurs dans B. Ce foncteur ne se factorise pas en general par la categorie K(A) . En revanche, le foncteur :
Y 7 ! Ip;q r (Y ) ; dr ; r  2 se factorise, d'apres la proposition (4.4.2), b ), par la categorie des complexes a homotopie pres. 4.4.4. Soient maintenant A une categorie abelienne, F : D(A) ! B un foncteur cohomologique a valeurs dans une categorie abelienne, F p , p 2 Z , les foncteurs
deduits de F en composant avec les translations de D(A) F p (X
) = F (X [p]) . Soient, de plus, Y un objet de comp(A) et Y (p; q );  (p; q; r) le premier objet spectral, a valeurs dans D(A) , associe au complexe Y . Le foncteur F transforme cet objet spectral en un objet spectral a valeurs dans B. On en deduit une suite spectrale a valeurs dans B qu'on appelle encore la premiere suite spectrale du foncteur F , relative au complexe Y . Cette suite spectrale est decrite essentiellement par la proposition (4.4.2) (il sut dans la proposition (4.4.2) de remplacer la categorie K(A) par la categorie D(A) ). La premiere suite spectrale du foncteur F , relativement au complexe Y , depend fonctoriellement de F et de l'argument Y quand celui-ci varie dans comp(A) . Nous utiliserons toujours, pour cette suite spectrale, l'indexation introduite en (chap. II, 4.3.3.1). 222

Categories Derivees

4.4.5. Les donnees sont les m^emes qu'en (4.4.4)
mais on se donne, de plus, un objet X de D(A) . Soit X (p; q );  (p; q; r) le deuxieme objet spectral a valeurs dans D(A) associe au complexe X (4.3.1). Le foncteur F transforme cet objet spectral en un objet spectral a valeurs dans B. On en deduit une suite spectrale fonctorielle en F et en l'argument X lorsque celui-ci varie dans la categorie D(A) (4.3.3). Cette suite spectrale est appelee la deuxieme suite spectrale du foncteur F , relative au complexe X . On utilise toujours, pour cette suite spectrale, l'indexation introduite au (chap. II, 4.3.3.2).

Proposition 4.4.6. a) Le terme IIp;q de la deuxieme suite spectrale de F 2

relative au complexe X est donne par :


IIp;q = F p Hq (X ) 2

b) Les termes II p;q 1 sont les gradues associes aux objets F p+q (X ) convenablement ltres. En eet (4.3.4.1), on un isomorphisme canonique :

X (p; p + 1) ! Hp(X )[ p] ; d'ou en utilisant (chap. II, 4.3.3.2) :



= F p+q Hq (X )[ q ] = F p Hq (X ) ; IIp;q 2

d'ou l'egalite (abusive) de a ). L'assertion b ) resulte de (chap. II, 4.3.2).

4.5. Problemes de convergence. De nition 4.5.1. Soient A et B deux categories abeliennes. Un foncteur cohomologique F : D (A) ! B ( = + ; ; b , \vide") est dit stationnaire a droite (resp. a gauche ) s'il existe un entier n0 tel que, pour tout objet X de D (A) tel que Hi (X ) = 0 , pour tout i < 0 (resp. > 0 ), on ait F n (X ) = 0 , pour tout n < n0 (resp. n > n0 ). Le foncteur F est dit stationnaire0 s'il est stationnaire a droite et a gauche. Un foncteur exact G : D (A) ! D (B) est dit stationnaire a droite (resp. stationnaire a gauche, resp. stationnaire ) si le foncteur cohomologique obtenu 0en composant le foncteur G avec le foncteur cohomologique canonique D (B) ! B est stationnaire a droite (resp. stationnaire a gauche, resp. stationnaire). 223

J.-L. Verdier

4.5.2. Soient F : D(A) ! B un foncteur cohomologique stationnaire a droite, p un entier, X un objet de comp(A) et : 0 = X ( 1) !


! X (q ) ! X (q + 1) !


! X (+1) = X




la deuxieme ltration canonique (4.3.1) de X . Le systeme inductif F p X (q ) est stationnaire, i.e. il existe un entier q0 tel que pour tout q , q0  q  +1 , le morphisme :
F p X (q ) ! F p (X ) soit un isomorphisme. En eet, avec les notations de (4.2.3), on a une suite exacte :

Fp

1










X (q; +1) ! F p X (q ) ! F p(X ) ! F p X (q; +1) ;

et le foncteur F etant stationnaire a
droite, il existe un entier
q0 tel que pour tout q > q0 les objets F p X (q; +1) et F p 1 X (q; +1) soient nuls. Soient de m^eme F : D(A) ! B un foncteur cohomologique stationnaire a droite, p un entier, Y un objet de comp(A) et : 0 = Y ( 1) !


! Y (q ) ! Y (q + 1) !


Y (+1) = Y ; la premiere ltration de
Y (4.1.2). Il existe un entier q0 tel que pour tout q < q0 l'objet F p Y (q ) soit nul. La veri cation analogue a la precedente est laissee au lecteur qui pourra de m^eme, en passant aux categories opposees, etudier les proprietes analogues des foncteurs stationnaires a gauche. Proposition 4.5.3. a) Soit Y un objet de comp(A) (1.1.1) ( = + ; ; b , \vide"). Soit F : D (A) ! B un foncteur cohomologique. La premiere suite spectrale du foncteur F relative au complexe Y (4.4.1) dont les termes initiaux sont (4.4.2) : Ip;q = F q (Y p ) 1 est stationnaire (chap. II, 4.4.2) dans les cas suivants : 1) Y est un objet de compb (A) . 2) Y est un objet de comp+ (A) et F est stationnaire a droite. 3) Y est un objet de comp (A) et F est stationnaire a gauche. 4) Le foncteur F est stationnaire. b) Soient X un objet de D(A) (1.2.4) et F : D (A) ! B un foncteur cohomologique. La deuxieme suite spectrale du foncteur F relative au complexe X (4.4.5) est stationnaire dans les cas suivants : 224

Categories Derivees

1) X est un objet de Db (A) . 2) X est un objet de D+ (A) et F est stationnaire a droite. 3) X est un objet de D (A) et F est stationnaire a gauche. 4) Le foncteur F est stationnaire. Cette proposition resulte immediatement de (4.5.2) et de la de nition (chap. II, 4.4.2). Theoreme 4.5.4. Soient F1 ; F2 : D(A) ! B ( = + ;0 ; b , \vide") deux foncteurs cohomologiques (resp. G1 ; G2 : D (A) ! D (B) deux foncteurs exacts ) et m : F1 ! F2 (resp. m : G1 ! G2 ) un morphisme de foncteurs (resp. un morphisme de foncteurs exacts (chap. I, 1.6.6.4)). La sous-cat
egorie pleine de D (A) de nie par les objets X de D (A) tels que m X [p] soit un isomorphisme, pour tout entier p, est une sous-categorie triangulee strictement pleine et saturee de D (A) (chap. II, 2.1.6), notee Is(m) . a) Si tout objet de A est un objet de Is(m) , alors Db (A)  Is(m) . b) Si tout objet de A est un objet de Is(m) et si les foncteurs F1 et F2 (resp. G1 et G2 ) sont stationnaires a droite, alors D+(A) \ D(A)  Is(m) . c) Si tout objet de A est un objet de Is(m) et si les foncteurs F1 et F2 (resp. G1 et G2 ) sont stationnaires a gauche, alors D (A) \ D (A)  Is(m) . d) Si tout objet de A est un objet de Is(m) et si les foncteurs F1 et F2 (resp. G1 et G2 ) sont stationnaires, alors D (A) = Is(m) . e) S'il existe une partie M de Ob(A) telle que : ) tout objet de A soit isomorphe a un quotient d'un objet appartenant a M ; ) tout objet appartenant a M soit un objet de Is(m) ; si de plus les foncteurs F1 et F2 (resp. G1 et G2 ) sont stationnaires a gauche, alors D (A) \ D (A)  Is(m) . f) S'il existe une partie M de Ob(A) telle que : ) tout objet de A soit isomorphe a un sous-objet d'un objet appartenant a M ; ) tout objet appartenant a M est un objet de Is(m) ; si de plus les foncteurs F1 et F2 (resp. G1 et G2 ) sont stationnaires a droite, alors D+ (A) \ D (A)  Is(m) . Notons, tout d'abord, que la partie resp. du theoreme (4.5.4) se deduit de la partie non resp., en composant les foncteurs G1 et G2 avec le foncteur 0 cohomologique canonique D (B) ! B . Demontrons a ). Soit X un objet de 225

J.-L. Verdier

Db (A) . Le morphisme m induit un morphisme entre les deuxiemes suites spectrales canoniques des foncteurs F1 et F2 relatives au complexe X . Le morphisme induit entre les termes initiaux :







p q ! F2p Hq (X ) mp;q 2 (X ) : F1 H (X )

est par hypothese un isomorphisme. De plus, les deux suites spectrales sont stationnaires (4.5.3). On en deduit (chap. II, 4.4.5) que le morphisme m induit un isomorphisme entre les aboutissements des deux suites spectrales et, par suite, que m(X ) est un isomorphisme. Les assertions b ), c ), d ) se demontrent de maniere analogue : il sut de remarquer que sous les hypotheses faites, les deuxiemes suites spectrales canoniques sont stationnaires (4.5.3). Demontrons e ). Il sut, d'apres c ), de montrer que tout objet de A est un objet de Is(m) . Soient X un objet de A , p un entier, et montrons que le morphisme :
m X [p] : F1p (X ) ! F2p (X ) est un isomorphisme. Les foncteurs F1 et F2 etant stationnaires a gauche, il existe un entier r tel que Fiq (Y ) = 0 , pour i = 1; 2 , tout objet Y de A et tout entier q  p + r 1 . La propriete ) implique que X est quasi-isomorphe a un complexe :

W =


! 0 ! Y ! L

r+1

r+2 !


! L

!L

1

! L ! 0 !


; 0

ou les composants Li , r + 1  i  0 , sont des elements de M . Designons par L le complexe :




! 0 ! L

r+1 ! L r+2 !


! L

1

! L ! 0 !


: 0

On a une suite exacte de complexes : 0 ! L ! W  ! Y [r] ! 0 ; d'ou (1.3.2) un triangle distingue de D (A) :

L

A A D

DY [r] h kh A 226

h wX

:

Categories Derivees

On en deduit un diagramme commutatif, ou les lignes sont exactes :

F1p+r 1 (Y )

u r

F2p+

w F p(L)

w F p (X )

u p

u p

1

1

m(L [p]) 1

w F (L)

(Y )

wF

2

m(X [p])

2 (X )

w Fp w Fp 2

r (Y )

+

1

u

r (Y )

+

:

L'entier r a ete choisi de telle facon que les objets Fiq (Y ) soient nuls, pour i = 1; 2 et q  p + r 1 , et, par suite, tout revient a montrer que m(L ) est un isomorphisme, pour tout objet L de compb (A) dont les composants sont des elements de M . Or le morphisme m induit un morphisme entre les premieres suites spectrales des foncteurs F1 et F2 relatives au complexe L . Sur les termes initiaux, ce morphisme : q p q p ;  mp;q 1 (L ) : F1 (L ) ! F2 (L )

est, par hypothese, un isomorphisme. Ces suites spectrales etant stationnaires (4.5.3), le morphisme m induit un isomorphisme sur les aboutissments (chap. II, 4.4.5) et, par suite (4.4.2), le morphisme m(L ) est un isomorphisme. Ceci acheve la demonstration de l'assertion e ). L'assertion f ) se deduit de l'assertion e ), en passant aux categories opposees. Le theoreme est demontre.

4.6. Objet spectral de Cartan-Eilenberg. De nition 4.6.1. On dit qu'un complexe I  de A est un complexe injectif i

de Cartan-Eilenberg si, pour tout entier i, les objets Im(diI  ) et H (I  ) sont injectifs. 4.6.2. On notera qu'un complexe injectif de Cartan-Eilenberg I  est de type injectif (1.1.5), i.e. que ses composants sont des objets injectifs de A et que, pour tout entier i, l'objet Ker(diI  ) est un objet injectif de A . Ceci se veri e immediatement, en utilisant les suites exactes a trois termes qui relient ces dierents objets. Proposition 4.6.3. Soit I  un complexe injectif de Cartan-Eilenberg. a) Pour tout complexe Y , le morphisme canonique : HomK(A) (Y; I ) ! est un isomorphisme.

Y

p2Z


HomA Hp (Y ); Hp (I )

227

J.-L. Verdier

b) Soit Q : K(A) ! D(A) le foncteur de passage au quotient. Le complexe I  est Q-libre a droite (chap. II, 2.3.3), i.e. pour tout complexe Y , le morphisme canonique : HomK(A) (Y; I ) ! HomD(A) (Y; I ) est un isomorphisme. c) Soit : H (I ) :


! Hp (I ) ! Hp+1 (I ) !


le complexe dont les composants sont les Hp (I ) , p 2 Z , et les dierentielles sont nulles. Il existe un et un seul isomorphisme dans K(A) I  ! H (I ) induisant l'identite sur les objets de cohomologie. d) Les morphismes canoniques H (I ) ! Hp (I )[ p] de nissent des isomorphismes dans K(A) et dans D(A) :

Y H(I  ) ! Hp (I )[ p] : p2Z

Montrons que a ) entra^ne b ). En eet, il sut (chap. II, 2.3.3) de montrer que pour tout complexe acyclique Y , HomK(A) (Y; I ) = 0 , ce qui resulte de a ). Montrons que a ) entra^ne c ). En eet, il sut de remplacer, dans l'isomorphisme de a ), le complexe Y par I  et le complexe I  par H(I  ) . On voit de m^eme que a ) entra^ne d ) en remplacant, dans l'isomorphisme de a ), le complexe I  par le complexe H (I ) . Demontrons a ). Il resulte immediatement des de nitions que le complexe I  est isomorphe a un complexe du type : id




! J n  Hn J n 2

1

1

0 0 0 0 0 0 0 0

!

id

! J n  HnJ n 1

0 0 0 0 0 0 0 0

!

! J n  Hn J n !


; +1

+1

et, par suite, il existe un homotopisme entre I  et le complexe H (I ) . Pour demontrer a ), on peut donc supposer que I  = H (I ) . Il est clair qu'on a alors un isomorphisme :


Y
HomK(A) Y; H (I ) ! HomK(A) Y; Hp (I )[ p] : p2Z

De plus, les objets Hp (I ) etant injectifs, le morphisme canonique :



HomK(A) Y; Hp (I )[ p] ! HomA Hp (Y ); Hp (I )

est un isomorphisme. 228

Categories Derivees

4.6.4. Soit X  un double complexe de A (chap.
I, 2.1.2). Le double complexe X  de nit un objet de comp comp(A) : X  :




! X ;n

1

d2;n 1

d2 ;n ;n+1  ;n !X !X !


:

(On utilise les notations de (4.1.9). Attention au signe !) Designons par Bp1 (X ) le complexe simple : (4:6:4:1)

8 Bp(X )i = Im(dp ;i) ; < : diBp X induit par dp;i : 1 1

1

(

1

2

)

Designons par Zp1 (X ) le complexe simple : (4:6:4:2)

( Zp(X )i = Ker(dp;i) ; 1

1

dp;i : 2

diZp1 (X ) induit par

Designons par Hp1 (X ) le complexe simple : (4:6:4:3)

( Hp(X )i = Zp(X )i= Bp(X )i ; 1

1

diHp1 (X ) induit par

1

dp;i 2

:

En n, Y etant un complexe simple de A , nous designons encore par Y le complexe double dont les composants sont nuls en deuxieme degre non nul et dont les composants et les premieres dierentielles sont ceux de Y en deuxieme degre zero. De nition 4.6.5. Soit Y un complexe simple de A . Une resolution injective de Cartan-Eilenberg de Y est un double complexe :

I  :


! 0 ! I ;0 ! I ;1 ! I ;2 !


;

muni d'un morphisme appele augmentation :

" : Y ! I 

tel que pour tout entier p , les complexes simples Bp1 (I ) (4.6.4.1) et Hp1 (I ) (4.6.4.3) munis des augmentations : Bp1 (") : Im(dYp 1 ) ! Bp1 (I ) ;

Hp1 (") : Hp (Y ) ! Hp1 (I )

229

J.-L. Verdier

soient des resolutions de type injectif (1.1.4). Nous appelons donc resolution injective de Cartan-Eilenberg du complexe Y ce que ces auteurs appellent simplement resolution injective du complexe Y ([1], chap. XVII), terminologie que nous n'utiliserons pas dans ce travail. Une resolution injective de Cartan-Eilenberg de Y induit des resolutions de type injectif des composants du complexe Y et des noyaux des dierentielles de Y [loc. cit.]. Nous dirons qu'une resolution de Cartan-Eilenberg " : Y ! I  est de longueur nie s'il existe un entier n0 tel que I ;n = 0 pour n > n0 . Pour qu'un complexe Y admette une resolution injective de Cartan-Eilenberg de longueur nie, il faut et il sut que la dimension injective des objets de cohomologie de Y et des images des dierentielles de Y soit majoree. Rappelons les resultats etablis dans loc. cit. : Proposition 4.6.6. a) Lorsque la categorie A possede susamment d'objets injectifs (3:1:5), tout complexe simple Y de A admet une resolution injective de Cartan-Eilenberg. b) Soient f : X ! Y un morphisme de complexes simples, " : X ! I  et "0 : Y ! J  deux resolutions injectives de Cartan-Eilenberg. Il existe un morphisme de doubles complexes :

g : I  ! J  au dessus de f , i.e. tel que le diagramme de morphismes de doubles complexes :

X "

u

I 

f

g

wY "0 u 

wJ

soit commutatif. c) Deux morphismes g ; g 0 : I  ! J  au dessus de f , sont homotopes (au sens de l'homotopie des morphismes de doubles complexes (chap. I, 2.5.1)). Nous renvoyons pour la demonstration a loc. cit. 4.6.7. Soient Y un objet de comp(A) et Y ! I  une resolution injective de Cartan-Eilenberg de Y . Le double complexe I  donne naissance a deux objets spectraux a valeurs dans D(A) , suivant qu'on le ltre par son premier ou son deuxieme degre (4.1.7). L'objet spectral, a valeurs dans D(A) , de ni par I  ltre par son deuxieme degre , est appele l'objet spectral de CartanEilenberg de Y (relatif a la resolution de Cartan-Eilenberg considere).

230

Categories Derivees

Proposition 4.6.8. Soient Y un complexe de A et " : Y ! I  une resolution injective de Cartan-Eilenberg de Y . Lorsque Y est un objet de comp (A) , +

lorsque la resolution I  est de longueur nie, le complexe simple RouIbien  est un complexe de type injectif et le morphisme de complexes : Z Z 2

2

" : Y ! I  2

est un quasi-isomorphisme. En eet, le morphisme " induit un morphisme entre le premier objet spectral de Y , a valeurs dans D(A) (4.1.5), et l'objet spectral, a valeurs dans D(A), de ni par I  ltre par son premier degre ((4.1.7), (4.1.8)). Ces deux objets spectraux sont transformes par le foncteur cohomologique canonique H : D(A) ! A en objets spectraux a valeurs dans la categorie abelienne A . Il sut de montrer que " induit un isomorphisme entre ces objets spectraux. Or l'objet spectral de ni par Y est toujours stationnaire (chap. II, 4.4.2) et, sous les hypotheses faites, l'objet spectral de ni par I  est stationnaire. Il sut donc de montrer que " induit un isomorphisme sur les termes initiaux. Ces termes initiaux sont d'une part :

Ip;q = Hq (Y p ) ; 1 et d'autre part :

0Ip;q = Hq (I p;) : 1

De plus, le morphisme induit par " sur les termes initiaux est deduit par passage a la cohomologie du morphisme de complexes :

"p : Y p ! I p; : Or ce morphisme est un quasi-isomorphisme, ce qui demontre la proposition. 4.6.9. Soient F : D(A) ! B un foncteur cohomologique, Y un objet de comp(A) et Y ! I  une resolution injective de Cartan-Eilenberg. Le foncteur F transforme l'objet spectral de Cartan-Eilenberg correspondant (4.6.7) en un objet spectral a valeurs dans B , d'ou une suite spectrale appelee suite spectrale de Cartan-Eilenberg. Designons par (C.E.)p;q r les termes de cette suite spectrale (chap. II, 4.3.3.1). Les termes initiaux de cette suite spectrale sont (4.1.9.1) :


(C.E.)p;q = F p+q I ;p[ p] = F q (I ;p) ; 1 231

J.-L. Verdier

et les premieres dierentielles sont (4.1.9.1) :

dp;q : (C.E.)p;q ! (C.E.)1p+1;q ; 1 1 dp;q = F q ( d2;p) : 1

Les complexes I ;p sont des complexes injectifs de Cartan-Eilenberg (4.6.1) et, par suite (4.6.3), on a un isomorphisme canonique dans D(A) :

Y I ;p ! Hr (I ;p)[ r] : r2Z

Utilisons alors le complexe Hp1 (I ) introduit en (4.6.4.3). Pour tout entier r on a : Hr1 (I )p = Hr (I ;p) ; d'ou un isomorphisme canonique dans D(A) :

Y I ;p ! Hr1 (I )p[ r] ; r2Z

et, modulo cet isomorphisme, le morphisme de complexes : d2;p : I ;p ! I ;p+1 ; est isomorphe au morphisme :

Y

r2Z

dpHr1 (I ) [ r] ;

d'ou l'expression de nitive des termes initiaux : (C.E.)p;q = Fq 1

(4:6:9:1)

et des premieres dierentielles :

dp;q = Fq 1

(4:6:9:2)

Y

r2Z

Y r2Z

Hr1 (I )p [ r]



dpHr1 (I) [ r]



; :


Soit alors F q; Hr (I ) le complexe d'objets de B obtenu en appliquant le

foncteur F q aux composants et aux dierentielles du complexe Hr1 (I ) . Les formules (4.6.9.1) et (4.6.9.2) de nissent un morphisme : 1

(4:6:9:3)

(C.E.)p;q ! 2

Y

r2Z


HpB F q r; (Hr1 (I )) : 232

Categories Derivees

Ce morphisme est un isomorphisme lorsque, par exemple, le complexe Y est un objet de comp+ (A) et lorsque le foncteur F est stationnaire a droite, ou bien, sans hypothese sur Y , lorsque le foncteur F est stationnaire (4.5.1). Le double complexe I  etant une resolution injective de Cartan-Eilenberg de Y , le complexe Hr1 (I ) est une resolution injective de l'objet Hr (Y ) et, par suite, on a un isomorphisme :


HpB F q r; (Hr1 (I )) ! Rp F q r (Hr (Y )) ;

(4:6:9:4)

ou RpF q r : A ! B designe le p -ieme derive droit (au sens de [1]) du foncteur F q r restreint a la categorie A . On a donc, lorsque le morphisme (4.9.6.3) est un isomorphisme, un isomorphisme : ! Y Rp F q r (Hr (Y )) : (C.E.)p;q 2

(4:6:9:5)

r2Z

4.6.10. E tudions le cas ou la categorie B est la categorie Ab des groupes abeliens appartenant a un univers convenable et ou le foncteur :

F : D(A) ! Ab est le foncteur :

Y 7 ! F (Y ) = Ext0 (Z; Y ) ; ou Z est un objet de D(A) . Soient Y un complexe de A et " : Y ! I  une

resolution injective de Cartan-Eilenberg. Le morphisme (4.6.9.3) est alors un isomorphisme (4.6.3) et, par suite, on a un isomorphisme : ! Y Extp Hr q (Z ); Hr (Y )
: (C.E.)p;q 2

(4:6:10:1)

r2Z

Par ailleurs, la suite spectrale de Cartan-Eilenberg relative a F est stationnaire lorsque Y est un objet de comp+ (A) et Z un objet de D (A) , ou bien lorsque la resolution injective de Cartan-Eilenberg est de longueur nie. De plus, sous ces hypotheses, l'aboutissement de cette suite spectrale est, en vertu de (4.6.8) :

Y

r2Z


Extp Hr q (Z ); Hr (Y ) =) Extp+q (Z; Y ) : 233

Index des notations. Ob(G ), Fl(G ) deg Ce , Fe Homg (X; Y ) Cadd, Fadd T (g ), c(h; g ) (Ce ; G; T; c) (Fe ; m) Grad(G), G-Cat, C [G] HomGrad(G) (C ; C 0), HomG-Cat(C ; C 0), (Ce; G; Te) ig(h; h0 ) (C ; G; T ; c)

?

X [g ], u[g ] (C ; H; Tf ; cf ), (F; mf ) f , f (C ; C 0) _ , s, s (F; p) (F  ; p),  E -Cat Zni;j Zn ( i), Zn ( i)

chap. I, 1.1.1. chap. I, 1.1.1. chap. I, 1.1.1. chap. I, 1.1.2. chap. I, 1.1.3. chap. I, 1.2.1. chap. I, 1.2.2. chap. I, 1.2.4. chap. I, 1.3.1. chap. I, 1.3.2. chap. I, 1.3.3. chap. I, 1.3.6. chap. I, 1.3.8. chap. I, 1.3.9. chap. I, 1.3.9. chap. I, 1.3.12. chap. I, 1.4.1. chap. I, 1.4.1. chap. I, 1.4.3. chap. I, 1.4.4. chap. I, 1.4.8. chap. I, 1.5.13. chap. I, 1.6.1. chap. I, 1.6.3.

J.-L. Verdier



s, s , s

[n], Z[n], ei Y  , d;i Y

f

compn (C ), comp(C ) Y , dY;i , f "(; i)

RY;i R 'Y, 'f u2 ;1 , M (; i; Y ) R R ' Y, ' Y R

n

Ti, T , Y [1] , f [1] ,  (i; j ) pi;' pn n R

R R R ';C , ';C , n;C , n;C (X1; X2 ; . . . ; Xn ), (X1 ; X2; . . . ; fi ; . . . ; Xn) F [n] , compF , compF , pi h[n] , comp h, comph

a:f } w g b+a u ? a, a ? v

Q K(C ), comp(C ) ! K(C ), f_ K (F ), K m, K F , K m tr1 (C )
c(f ), c (g; h; a) , s (f ), p(f ), a(f ) Tr1 (C )

s0 (X; Y; Z; u; v; w) ,

236

chap. I, 1.6.4. chap. I, 1.6.5. chap. I, 2.1.1. chap. I, 2.1.3. chap. I, 2.1.5. chap. I, 2.1.5. chap. I, 2.1.6. chap. I, 2.2.1. chap. I, 2.2.2. chap. I, 2.2.2. chap. I, 2.2.3. chap. I, 2.2.3. chap. I, 2.2.4. chap. I, 2.3.1. chap. I, 2.3.2. chap. I, 2.3.4. chap. I, 2.4.1. chap. I, 2.4.1. chap. I, 2.4.2. chap. I, 2.4.2. chap. I, 2.4.3. chap. I, 2.5.1. chap. I, 2.5.2. chap. I, 2.5.3. chap. I, 2.5.7. chap. I, 2.5.10. chap. I, 3.1.1. chap. I, 3.1.2. chap. I, 3.1.2. chap. I, 3.1.4. chap. I, 3.1.7. chap. I, 3.2.1.

Categories Derivees

^[ Z [  w v[  u  X wY

q (f ) (f ) J H F`n (J ), Fln (J ) S (f ),  (f; g ) H n (X )   ((u)), X [n] H0 (X ) Hn (X ) H (X ) S (D0 ) S (F ), D0 (F ) S (H ), D0 (H ) S=X , X nS C (S 1), Q S^ D=B Ker(F ) SD (B) , Q 1 (C ), Bb LR(Q), LibR(Q)

chap. I, 3.2.1.

;

A(D)

H F`1 (F ), A(F ), A(m) E x(D; D0), Z-Add(A(D); A(D0 )), AD;D0 E x(A(D); A) I m, h, D^

s1, s2 , s3, u1 , u2
Xf ; f 2 Ob F`1 (J );  (!2); !2 2 Ob F`2(J ) , (Xf ;  ) 237

chap. I, 3.2.2. chap. I, 3.2.3. chap. I, 3.2.5. chap. I, 3.2.7. chap. I, 3.3.6. chap. I, 3.3.6. chap. II, 1.1.5. chap. II, 1.1.7. chap. II, 1.3.4. chap. II, 1.3.5. chap. II, 1.3.6. chap. II, 2.1.7. chap. II, 2.1.16. chap. II, 2.1.17. chap. II, 2.2.1. chap. II, 2.2.1. chap. II, 2.2.4. chap. II, 2.2.10. chap. II, 2.2.10. chap. II, 2.3.1. chap. II, 2.3.3. chap. II, 3.1.1. chap. II, 3.1.2. chap. II, 3.1.4. chap. II, 3.2.0. chap. II, 3.2.1. chap. II, 3.2.2. chap. II, 4.1.1. chap. II, 4.1.3.

J.-L. Verdier


H n (f ); f 2 Ob F`1(J ); n (!2); !2 2 Ob F`2 (J ) , (H n(f );  ) chap. II, 4.1.4. h i h i n B !n2 , B f;g chap. II, 4.2.1. h

i

h

i

n n !2 , Z f;g i h h i n E !n3 , E f;g;h n (!3 ), n (!3 ) dn(!5 ), dn(f1 ; f2; f3; f4 ; f5 )

Z

chap. II, 4.2.1.

chap. II, 4.2.3. chap. II, 4.2.3. chap. II, 4.2.3. Ze chap. II, 4.3.1. F p H n ( 1; +1h) chap. II, 4.3.2. i p;q p;q n Ir , IIr , dr , E p;q;r;s chap. II, 4.3.3. u(n) , v (n) chap. II, 4.4.2. p;q p + q chap. II, 4.4.3. Ir ) H ( 1; +1) p;q chap. II, 4.4.3. IIr ) H p+q ( 1; +1) b + comp (A) , comp (A) , comp (A) chap. III, 1.1.1. b + K (A) , K (A) , K (A) chap. III, 1.1.1.  ;b  ; +  ; comp (A) , comp (A) , comp (A) ,  2 fb; +; ; \vide"g chap. III, 1.1.2. K;b (A) , K;+ (A) , K; (A) ,  2 fb; +; ; \vide"g chap. III, 1.1.2.    Ac (A), Qis (A) , Qis chap. III, 1.1.3.   compA (M ) , comp (M ) chap. III, 1.1.4.   chap. III, 1.1.4. KA (M ) , K (M ) X (n; +1) , p : X ! X (n; +1) chap. III, 1.2.1. X ( 1; n) , i : X ( 1; n) ! X chap. III, 1.2.1. D(A), H : D(A) ! A, Q : K(A) ! D(A) chap. III, 1.2.2. b + D (A) , D (A) , D (A) chap. III, 1.2.4. i ExtA (X; Y ) chap. III, 1.2.5.  DM (A), DM (A) chap. III, 1.2.6. D(F ) chap. III, 1.2.7.  chap. III, 1.2.8. Ext A chap. III, 1.2.11. [u],  (S ) chap. III, 1.3.2. X (u; i), p(u; i) chap. III, 2.1.1. ^ M chap. III, 2.2.1. 238

Categories Derivees

M - dim(X )  n , M - dim(X )

dimcoh(A) EAn (X; Y ) , u(S n (X; Y )), v (S n(X; Y )), An ,  n S"n(X; Y ) S m(X 0; X 00 )  S n (X; X 0) S n(X; Y )  f , g  S n(X; Y ) F n , Fn (S 1 ) SFL(A; C ),  : Hom(AExt ; C ) ! SFL(A; C ) Fln (AExt )
Y (p; q),  (p; q); (p0; q0) , (p; q; r), M(p; q)
Y (q ), Y (p; q ), ' (p; q ); (p0; q 0 ) , J (p; q ) Spec1 (Y ) mX (p; q ), f (p; q ); (p0; q 0 )
, g (p; q; r) mY (p; q ), m Y (q ), h (p; q ); (p0; q 0 )
, md(p; q; r)
Y (p; q); (p; q; r) X q; , X ;q , dq;1 ,
d2;q X (p; q); (p; q; r)
X (p; q ), ' (p; q ); (p0; q 0) , J (p; q ) H (I ) Bp1 (X ), Zp1 (X ), Hp1 (X )

239

chap. III, 2.2.5. chap. III, 3.1.1. chap. III, 3.2.1. chap. III, 3.2.3. chap. III, 3.2.4. chap. III, 3.2.8. chap. III, 3.3.2. chap. III, 3.3.4. chap. III, 3.3.4. chap. III, 4.1.1. chap. III, 4.1.2. chap. III, 4.1.4 et 4.1.5. chap. III, 4.1.6. chap. III, 4.1.6. chap. III, 4.1.6. chap. III, 4.1.9. chap. III, 4.2.1. chap. III, 4.2.2. chap. III, 4.6.3. chap. III, 4.6.4.

Index terminologique. Aboutissement d'une suite spectrale. Chap. II, 4.4.3. Automorphisme de translation. Chap. II, 1.1.2. -morphisme de G-foncteurs tordus. Chap. I, 1.4.6. Categorie decomposable. Chap. II, 1.2.8. Categorie derivee d'une categorie abelienne. Chap. III, 1.2.2. Categorie des complexes de C a homotopie pres. Chap. I, 2.5.7. Categorie des complexes n-uples '-sommables. Chap. I, 2.1.7. Categorie graduee additive. Chap. I, 1.1.3. Categorie graduee de type G. Chap. I, 1.1.1. Categorie localisee par rapport a un systeme multiplicatif. Chap. II, 2.2.5. Categorie opposee a une G-categorie. Chap. I, 1.3.9. Categorie pre-triangulee. Chap. II, 2.2.12. Categorie quotient d'une categorie triangulee par une sous-categorie triangulee. Chap. II, 2.2.10. Categorie triangulee. Chap. II, 1.1.1. Categorie triangulee opposee. Chap. II, 1.1.7. Classe de f modulo homotopie. Chap. I, 2.5.7. Classe de Koszul relative a une base. Chap. I, 1.6.3. Cocycle de Koszul relatif a une base ordonnee. Chap. I, 1.6.4. Complexe acyclique. Chap. III, 1.1.3.

J.-L. Verdier

Complexe de type M . Chap. III, 1.1.4. Complexe de type injectif (resp. projectif). Chap. III, 1.1.5. Complexe d'une categorie additive. Chap. I, 2.1.5. Complexe injectif de Cartan-Eilenberg. Chap. III, 4.6.1. Complexe n-uple d'objets d'une categorie additive. Chap. I, 2.1.2. Complexe n-uple d'une categorie additive. Chap. I, 2.1.3. Complexe n-uple '-sommable. Chap. I, 2.1.7. Complexe n-uple sommable. Chap. I, 2.1.7. Complexe simple associe a un complexe n-uple. Chap. I, 2.2.4. Complexe simple d'une categorie additive. Chap. I, 2.1.5. Complexes homotopes. Chap. I, 2.5.11. Composant de degre  d'un complexe n-uple. Chap. I, 2.1.3. Composant de degre  d'un morphisme de complexes n-uples. Chap. I, 2.1.5. Composition de -morphismes de G-foncteurs tordus. Chap. I, 1.4.7. C^one d'un morphisme de complexes. Chap. I, 3.1.2.  -foncteur. Chap. III, 1.3.1.  -foncteur canonique. Chap. III, 1.3.2. Decomposition d'un morphisme. Chap. II, 1.2.8. Degre d'un morphisme. Chap. I, 1.1.1. Deuxieme ltration canonique d'un complexe. Chap. III, 4.3.1. Deuxieme objet spectral a valeurs dans D(A) associe a un complexe. Chap. III, 4.3.1. Deuxieme objet spectral canonique. Chap. III, 4.3.1, 4.3.4. Deuxieme suite spectrale d'un foncteur relative a un complexe. Chap. III, 4.4.5. Diagramme "-commutatif. Chap. I, 1.4.3. Dierentielle de degre  dans la direction i d'un complexe n-uple. Chap. I, 2.1.3. Dierentielles relatives a un objet spectral. Chap. II, 4.2.5. 242

Categories Derivees

Dimension cohomologique d'une categorie abelienne. Chap. III, 3.1.1. Extension d'un foncteur aux categories de complexes. Chap. I, 2.4.2. Famille spectrale associee a un objet spectral. Chap. II, 4.2.5. Filtration de nie par le m-ieme degre. Chap. III, 4.1.6. Foncteur antiexact. Chap. II, 1.1.6. Foncteur cohomologique. Chap. II, 1.1.5. Foncteur cohomologique canonique. Chap. II, 1.3.5, Chap III, 1.2.2. Foncteur compose de deux G-foncteurs. Chap. I, 1.2.6. Foncteur c^one. Chap. I, 3.1.2. Foncteur de changement de groupes. Chap. I, 1.4.1. Foncteur de localisation. Chap. II, 2.2.5. Foncteur de passage au quotient. Chap. II, 2.2.10. Foncteur de translation dans la direction i. Chap. I, 2.3.1. Foncteur degre. Chap. I, 1.1.1. Foncteur exact. Chap. II, 1.1.3. Foncteur exact (resp. cohomologique) stationnaire (resp. stationnaire a gauche, resp. stationnaire a droite). Chap. III, 4.5.1. Foncteur gradue. Chap. I, 1.1.1. Foncteur gradue additif. Chap. I, 1.1.3. Foncteur gradue tordu oppose a un G-foncteur tordu. Chap. I, 1.4.8. Foncteur multi-exact. Chap. II, 1.1.4. G-categorie. Chap. I, 1.2.2. G-categorie additive. Chap. I, 1.2.8. G-categorie stricte. Chap. I, 1.2.2. G-foncteur. Chap. I, 1.2.4. G-foncteur strict. Chap. I, 1.2.4. G-foncteur tordu par un cocycle. Chap. I, 1.4.4. Homotopie du deuxieme ordre reliant deux homotopies. Chap. I, 2.5.12. 243

J.-L. Verdier

Homotopie reliant deux morphismes de complexes n-uples. Chap. I, 2.5.1. Homotopie reliant deux morphismes de tr1 (C ). Chap. I, 3.1.4. Homotopisme. Chap. I, 2.5.11. Isomorphismes de transition. Chap. I, 1.2.2. M -dimension d'un objet. Chap. III, 2.2.5. Morphisme de complexes n-uples. Chap. I, 2.1.4. Morphisme de degre g d'une G-categorie. Chap. I, 1.3.8. Morphisme de foncteurs gradues, compatible avec la graduation. Chap. I, 1.1.1. Morphisme de G-foncteurs, compatible avec les operations de G. Chap. I, 1.2.8. Morphisme de liaison associe a une suite exacte. Chap. III, 1.3.2. Morphisme de suites de foncteurs lies. Chap. III, 3.3.3. Morphisme de triangles. Chap. I, 3.2.1. Morphisme decomposable. Chap. II, 1.2.8. Morphisme d'objets spectraux. Chap. II, 4.1.6. Morphisme elementaire de hauteur donnee. Chap. III, 2.1.3. Morphisme ni de Ze . Chap. II, 4.3.1. Morphisme negligeable de F`1 (D). Chap. II, 3.1.1. Morphisme scindable. Chap. II, 1.2.8. Morphismes homotopes de complexes n-uples. Chap. I, 2.5.5. Morphismes homotopes de tr1 (C ). Chap. I, 3.1.4. Noyau d'un foncteur exact ou cohomologique. Chap. II, 2.2.10. Objet admissible de D^ . Chap. II, 3.2.2. Objet de M -dimension inferieure ou egale a n. Chap. III, 2.2.5. Objet F -liberable a droite (ou a gauche). Chap. II, 2.3.2. Objet F -libre a droite (ou a gauche). Chap. II, 2.3.2. Objet F -libre a droite (ou a gauche) sur un autre. Chap. II, 2.3.2. 244

Categories Derivees

Objet ni de F`n (Ze). Chap. II, 4.3.1. Objet sommable de compn (C ) . Chap. I, 2.1.7. Y Objet sommable de comp(Ci ) . Chap. I, 2.4.2. i2[n]

Objet spectral. Chap. II, 4.3.2. Objet spectral a valeurs dans D(A) de ni par un complexe ltre par son m-ieme degre. Chap. III, 4.1.8. Objet spectral a valeurs dans K(A) de ni par un complexe ltre par son m-ieme degre. Chap. III, 4.1.7. Objet spectral associe a un foncteur a valeurs dans la categorie des complexes d'une categorie additive. Chap. II, 4.1.3. Objet spectral de Cartan-Eilenberg. Chap. III, 4.6.7. Objet spectral de type J a valeurs dans une categorie abelienne. Chap. II, 4.1.4. Objet spectral de type J a valeurs dans une categorie triangulee. Chap. II, 4.1.2. Objet spectral stationnaire. Chap. II, 4.4.2. Operation canonique du groupe des signes sur un foncteur a valeurs dans une categorie additive. Chap. I, 1.4.3. R -extension du foncteur ' . Chap. I, 2.2.3. -extension d'un foncteur aux complexes a homotopie pres. Chap. I, 2.5.10. -extension d'un foncteur multiadditif. Chap. I, 2.4.2. -extension d'un morphisme de foncteurs aux complexes a homotopie pres. Chap. I, 2.5.10. Premier objet spectral a valeurs dans D(A) associe a un complexe. Chap. III, 4.1.5. Premier objet spectral a valeurs dans K(A) associe a un complexe. Chap. III, 4.1.4. Premier objet spectral associe a un complexe. Chap. III, 4.1.5. Premier objet spectral canonique a valeurs dans D(A). Chap. III, 4.1.5. Premier objet spectral canonique a valeurs dans K(A). Chap. III, 4.1.4. 245

J.-L. Verdier

Premiere ltration canonique d'un complexe. Chap. III, 4.1.2. Premiere suite spectrale d'un foncteur relative a un complexe. Chap. III, 4.4.1, 4.4.4. Produit d'une G-categorie par une G0 -categorie. Chap. I, 1.3.11. Quasi-isomorphisme. Chap. III, 1.1.3. Regle des signes. Chap. I, 1.6.6. Resolution a droite (resp. a gauche) de type M . Chap. III, 1.1.4. Resolution injective de Cartan-Eilenberg. Chap. III, 4.6.5. Resolution injective de Cartan-Eilenberg de longueur nie. Chap. III, 4.6.5. R -extension du foncteur ' . Chap. I, 2.2.3. -extension d'un foncteur aux complexes a homotopie pres. Chap. I, 2.5.10. -extension d'un foncteur multiadditif. Chap. I, 2.4.2. -extension d'un morphisme de foncteurs aux complexes a homotopie pres. Chap. I, 2.5.10. Sature d'un systeme multiplicatif. Chap. II, 2.2.5. Scindage d'un morphisme. Chap. II, 1.2.8. Somme de deux homotopies. Chap. I, 2.5.4. Sous-categorie B-localisante a droite (ou a gauche). Chap. II, 2.3.5. Sous-categorie des objets bornes (resp. bornes inferieurement, resp. bornes superieurement) de la categorie derivee d'une categorie abelienne. Chap. III, 1.2.4. Sous-categorie triangulee. Chap. II, 2.1.5. Sous-categorie triangulee saturee. Chap. II, 2.1.6. Suite de foncteurs lies. Chap. III, 3.3.3. Suite spectrale associee a un objet spectral. Chap. II, 4.3.3. Suite spectrale convergente. Chap. II, 4.4.3. Suite spectrale de Cartan-Eilenberg. Chap. III, 4.6.9. Suite spectrale stationnaire. Chap. II, 4.4.3. Systeme multiplicatif associe a une sous-categorie triangulee. Chap. II, 2.1.15. 246

Categories Derivees

Systeme multiplicatif compatible avec la triangulation. Chap. II, 2.1.2. Systeme multiplicatif de morphismes. Chap. II, 2.1.1, 2.1.4. Systeme multiplicatif sature. Chap. II, 2.1.1. Triangle antidistingue. Chap. II, 1.1.6. Triangle dans une Z-categorie. Chap. I, 3.2.1. Triangle distingue. Chap. II, 1.1.1. Triangle distingue de K(C ). Chap. I, 3.3.1. Z-categorie (resp. Z[n]-categorie). Chap. I, 1.2.2. Z-categorie (resp. Z[n]-categorie) stricte. Chap. I, 1.2.2. Z-foncteur, Z[n]-foncteur (resp. strict). Chap. I, 1.2.4. Z[n]-foncteur tordu. Chap. I, 1.4.4. et chap. I, 1.6.6. Zero-ieme objet de cohomologie. Chap. II, 1.3.4. 1-M -presentation d'un objet d'une categorie abelienne. Chap. III, 2.2.1.

247

Bibliographie. [1] H. Cartan et S. Eilenberg, \Homological Algebra", Princeton University [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]

Press (1956). D. Puppe, On the formal structure of stable homotopy theory, Colloquium on Algebraic Topology, Aarhus Universitet, pp. 65-71 (1962). N. Yoneda, On Ext and exact sequences, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec. I, Vol. VIII, pp. 507-576 (1960). R. Harsthorne, \Residues and Duality", Lecture Notes in Mathematics n 20, Springer-Verlag (1966).  Cohomology of Schemes, J.-L. Verdier, A Duality Theorem in the Etale Lecture Notes of the Woods Hole Conference, American Mathematical Society (1964). M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Verdier, \Theorie des Topos et Cohomologie E tale des Schemas" (S.G.A. 4), Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois-Marie (1963-1964), Lecture Notes in Mathematics n 269, Springer-Verlag (1972). J.-P. Serre, \Cohomologie Galoisienne", Lecture Notes in Mathematics n 5, Springer-Verlag (1964). M. Artin et J.-L. Verdier, \Seminar on E tale Cohomology of Number Fields", Lecture Notes of the Woods Hole Conference, American Mathematical Society (1964). J.-L. Verdier, Dualite dans la Cohomologie des Espaces Localement Compacts, Seminaire Bourbaki, expose n 300 (1965-1966). J.-L. Verdier et M. Zisman, Dualite de Poincare, Seminaire HeidelbergStrasbourg (1966-1967), Publ. I.R.M.A. Strasbourg n 3 (1969).

J.-L. Verdier

[11] A. Grothendieck, Formule de Lefschetz et Rationalite des Fonctions L,

Seminaire Bourbaki, expose n 279 (1964-1965). [12] J.-L. Verdier, The Lefschetz Fixed Point Formula in Etale Cohomology , Proceedings of a Conference on Local Fields, Nuc Summer School held at Driebergen in 1966, pp. 199-214, T. A. Springer Ed., Springer-Verlag (1967).

[13] [14] P. Berthelot, A. Grothendieck, L. Illusie, \Theorie des Intersections et [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24]

Theoreme de Riemann-Roch" (S.G.A. 6), Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois-Marie (1966-1967), Lecture Notes in Mathematics n 225, Springer-Verlag (1971). R. L. Knighten, \Derived Functors", These M.I.T. (1966). P. Gabriel et M. Zisman, \Calculus of Fractions and Homotopy Theory", Ergebnisse der Mathematik, Band 35, Springer-Verlag (1967). P. Freyd, Representation in Abelian Categories, Proceedings of the Conference on Categorical Algebra, La Jolla 1965, pp. 95-120, S. Eilenberg, D. K. Harrison, S. MacLane, H. Rohrl Eds., Springer-Verlag (1966). A. Grothendieck, Categories Fibrees et Descente, \Rev^etements E tales et Groupe Fondamental" (S.G.A. 1) Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois-Marie (1960-1961), expose n VI, pp. 145-194, Lecture Notes in Mathematics n 224, Springer-Verlag (1971) . J. Giraud, Methode de la descente, Bull. Soc. Math. de France, Memoire n 2 (1964) P. Gabriel, Des Categories Abeliennes, Bull. Soc. Math. de France, Tome 90, pp. 323-448 (1962). P. Freyd, Splitting Homotopy Idempotents, Proceedings of the Conference on Categorical Algebra, La Jolla 1965, pp. 173-176, S. Eilenberg, D. K. Harrison, S. MacLane, H. Rohrl Eds., Springer-Verlag (1966). L. Gruson, Completion Abelienne, Bull. Sciences Math., Tome 90, pp. 17-40 (1966). R. Godement, \Theorie des faisceaux", Actualites scienti ques et industrielles 1252, Hermann (1958). A. Grothendieck, Sur quelques points d'algebre homologique, T^ohoku Math. J., vol. 9, pp. 119-221 (1957). 250

Table des matieres. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chapitre I : Les categories de complexes des categories additives. 1. Categories graduees. 1.1. Categories graduees de type G . . . . . . . . . 1.2. Operation a isomorphisme pres d'un groupe sur une categorie 1.3. E quivalence de deux langages . . . . . . . . . . 1.4. Changement de groupes . . . . . . . . . . . . 1.5. Zn -categories . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Cocycle de Koszul. Regle des signes . . . . . . . .

. . . . . .

17 19 22 27 34 43

2. Complexes d'une categorie additive. 2.1. Complexes n-uples . . . . . . . . . 2.2. Complexe simple associe . . . . . . . 2.3. Structure graduee sur les categories de complexes 2.4. Extension des foncteurs aux complexes . . . 2.5. Homotopies . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

49 50 54 56 60

3. Triangles distingues. 3.1. Le c^one d'un morphisme . . . . . . 3.2. Proprietes du foncteur c^one . . . . . 3.3. Proprietes des triangles distingues . . . 3.4. Proprietes fonctorielles des triangles distingues

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

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65 69 78 84

Appendice : Commentaire sur le choix des signes

. . . . . .

91

J.-L. Verdier

Chapitre II : Categories triangulees. 1. De nitions et premieres proprietes. 1.1. De nition des categories triangulees . . . . . . . . . 93 1.2. Premieres proprietes des categories triangulees . . . . . . 97 1.3. Exemples de categories triangulees . . . . . . . . . 106 2. Localisation dans les categories triangulees. 2.1. Systemes multiplicatifs de morphismes . . . . . . . . 111 2.2. Construction de la categorie localisee . . . . . . . . . 117 2.3. Proprietes du foncteur de localisation . . . . . . . . 125 3. Abelianisation des categories triangulees. 3.1. Construction de la categorie A(D) . . . . . . . . . 135 3.2. Proprietes de la categorie A(D) . . . . . . . . . . 137 4. Objets spectraux. 4.1. De nition des objets spectraux 4.2. Mecanisme des suites spectrales  n 4.3. Les termes E 1; p; q; +1 4.4. Convergence . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

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. . . .

145 147 153 155

Chapitre III : Les categories derivees. 1. De nition des categories derivees. 1.1. Notations et terminologie . . . . . . . . . . . . 157 1.2. Les sous-categories remarquables des categories derivees . . . 159 1.3. Le  -foncteur canonique . . . . . . . . . . . . . 164 2. Resolutions. 2.1. Morphismes elementaires . . . 2.2. E tude de certains ensembles d'objets 2.3. Quelques lemmes sur les resolutions 2.4. Applications . . . . . . .

. . . .

3. E tude des Ext. 3.1. Dierentes de nitions equivalentes

. . . . . . . . . 191

252

. . . .

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. . . .

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169 173 177 185

Categories Derivees

3.2. La construction de Yoneda . . . . . . . . . . . . 193 3.3. La categorie AExt . . . . . . . . . . . . . . 200 4. Objets spectraux usuels. 4.1. Premier objet spectral canonique . . . . . . . 4.2. Objet spectral a valeurs dans D(A) associe a un objet ltre de comp(A) . . . . . . . . . . . . 4.3. Deuxieme objet spectral canonique . . . . . . 4.4. Suites spectrales usuelles . . . . . . . . . 4.5. Problemes de convergence . . . . . . . . . 4.6. Objet spectral de Cartan-Eilenberg . . . . . .

Index des notations Index terminologique Bibliographie . . . Table des matieres .

. . . 207 . . . . .

. . . . .

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217 219 221 223 227

. . . . . . . . . . . . . . 235 . . . . . . . . . . . . . . 241 . . . . . . . . . . . . . . 249 . . . . . . . . . . . . . . 251

253