Cours de mathématiques supérieures Tome IV, part 2

V. SMIRNOV

COURS de ,. MATHEMATIQUES SUPÉRIEURES tome IV deuxième partie

~DITIONS MIR • MOSCOU

Traduit du rùsse par Djtlali Embarek

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lfSAaTeXbCTBO «HaYKal) fxaBHaH peAaK~IUI «Ï>I13I1KO-MaTeMaTiPIeCKOH JI1ITepaTypLI, 1981, C I13MeHeHIIHMII

© Traduction française Editions Mir 1984

TABLE DES MATIERES

Préface CHAPITRE

... .. . . . . . . . . . ... .. ... . . . . . . PREMIER. TH~ORIE G~NÉRALE DES ÉQUATIONS D~RIVÉES PARTIELLES • . • . . . •

9

AUX

fO

1-1. Equations du premier ordre • • • • • • • • . • • • • •• 1-1-1. Equations linéaires à deux variables indépendantes (10). 1-1-2. Problème de Cauchy et caractéristiques (13). 1-1-3. Cas d'un nombre quelconque de variables (18). 1-1-4. Exemples (23). 1-1-5. Théorème auxiliaire (24). 1-1-6. Equations non linéaires du premier ordre (28). 1-1-7. Variétés caractéristiques (32). 1-1-8. Méthode de Cauchy (32). 1-1-9. Problème de Cauchy (35). 1-1-10. Unicité de la solution (37). 1-1-11. Cas singulier (40). 1-1-12. Cas d'un nombre quelconque de variables indépendantes (42). 1-1-13. Intégrales complète, générale et singulière (45). 1-1-14. Intégrale complète et problème de Cauchy (47). 1-1-15. Exemples (49). 1-1-16. Cas d'un nombre quelconque de variables (53). 1-1-17. Théorème de J acobi (55). 1-1-18. Systèmes de deux équations du premier ordre (57). 1-1-19. Méthode de Lagrange-Charpie (59). 1-1-20. Systèmes d'équations linéaires (61). 1-1-21. Systèmes complets et jacobiens (63). 1-1-22. Intégration des systèmes complets (65). 1-1-23. Crochet de Poisson (66). 1-1-24. Méthode de Jacobi (69). 1-1-25. Systèmes canoniques (71). 1-1-26. Exemples (72). 1-1-27. Méthode des séries majorantes (73). 1-1-28. Théorème de Kovalevskaïa (76). 1-1-29. Equations d'ordre supérieur (82).

fO

1-2. Equations d'ordre supérieur . . . . . . . . . . . .. 1-2-1. Types d'équations du second ordre (84). 1-2-2. Equations à coefficients constants (86). 1-2-3. Formes normales dans le cas de deux variables indépt'ndantes (88). 1-2-4. Problème de Cauchy (91). 1-2-5. Bandes caractéristiques (94). 1-2-6. Dérivées d'ordre supérieur (96). 1-2-7. Caractéristiques réelles et imaginaires (99). 1-2-8. Théorèmes fondamentaux (100). 1-2-9. Intégrales intermédiaires (102). 1-2-10. Equations de Monge-Ampère (103). 1-2-11. Caractéristiques dans le cas de n variables (104). 1-2-12. Bicaractéristiques (107). 1-2-13. Lien avec un problème variationnel (111). 1-2-14. Propagation de la surface de discontinuité (113). 1-2-15. Discontinuités fortes (116). 1-2-16. Méthode de Riemann (119). 1-2-17. Conditions initiales

84

6

T ABLE DES MATŒRES

caractéristiques (124). 1-2-18. Théorèmes d'existence (125). 1-2-19. Formule d'intégration par parties et formule de Green (130). 1-2-20. Méthode de Volterra (132). 1-2-21. Formule de Sobolev (136). 1-2-22. Formule de Sobolev (suite) (140). 1-2-23. Construction de la fonction cr (142). 1-2-24. Conditions initiales générales (14'i). 1-2-25. Equation des ondes généralisée (149). 1-2-26. Cas d'un nombre quelconque de variables indépendantes (151). 1-2-27. Inégalité énergétique (154). 1-2-28. Théorèmes d'unicité et de dépendance continue des solutions (160). 1-2-29. Cas de l'équation des ondes (163). 1-2-30. Théorème d'immersion dans l'espace des fonctions continues et certaines de ses conséquences (166). 1-2-31. Solutions distributionnelles des équations du second ordre (171). 1-2-32. Sur l'existence et l'unicité des solutions distributionnelles du problème de Cauchy pour l'équation des ondes (177). 1-2-33. Equations de type elliptique (178). 1-3. Systèmes d'équations 1-3-1. Caractéristiques de systèmes d'é~uations (184). 1-3-2. Conditions cinématiques de compatibilite (188). 1-3-3. Condi. tions dyn~m,iq:ue~ O. Par analogie avec l'espace à trois dimensions on se servira de termes géométriques pour étudier l'équation (16). Les énoncés et les démonstrations ne seront pas donnés dans le détail. Nous avons affaire à un espace à (n 1) dimensions de point générique (Xl' . . . , X n , u). Appelons variété à m dimensions de cet espace, l'ensemble des points dont les coordonnées s'expriment en fonction de m paramètres arbitraires:1

+

+ + ... +

+

Xli

= Xli (tH ••• ,

t m );

u = u (tu ••• , t m )

(k =

1, 2, •.. , n).

On admet que m de ces équations sont résolubles par rapport à t l , • . • , t m . Pour m = n on a une variété à n dimensions que l'on appellera surface. Si l'on prend Xl' . . ., X n pour paramètres, on obtiendra l'équation explicite de la surface: u = u (Xl' .•. , x n ). C'est cette forme que doit avoir l'équation de la surface intégrale de l'équation (16). Pour m = 1, la variété à une dimension correspondante s'appelle ligne de l'espace à (n 1) dimensions. Définissons les caractéristiques de l'équation (16) à l'aide du système suivant:

+

dXk

~=ak

) (Xlt ... , Xn , u;

du ----a;s=C (Xl'

... , Xn , U),

(17)

où s est un paramètre auxiliaire. Toute solution de ce système définit une ligne de l'espace à (n 1) dimensions, car il n'existe pas de solution dont tous les Xk et u soient constantes, puisque par hypothèse a~ a; a; > O. Les coordonnées des points de cette ligne s'exprimeront en fonction du paramètre s. Pour construire une surface avec ces lignes, il nous faut prendre une famille de telles lignes dépendant de (n - 1) paramètres arbitraires. On obtient un ensemble de points dépendant de n paramètres. Si une surface régulière u = u (Xl' . . . , X n) est formée par une famille de caractéristiques dépendant de (n - 1) paramètres, alors c'est une surface intégrale de l'équation (16). En effet, en dérivant u {Xl' ••.

+

+ + ... +

1-1-3. CAS D'UN NOMBRE QUELCONQUE DE VARIABLES

19

..., xn) par rapport à s et en se servant des équations (17), on obtient ft

~

du

dS = LJ ux,.,a,.,. k=l

Comme du = c en vertu de la dernière équation (17), il vient l'équada tion (16). Réciproquement, toute surface intégrale régulière u = = U (Xl' .•. , xn) peut être engendrée par une famille de caractéristiques, qui dépend de (n - 1) paramètres. En effet, si l'on connaît la surface intégrale u = u (XH' •• , xn), on peut déterminer les X,.. . à partir du système d'équations

d~1&==a",[xlt •.• ,Xn ,

u(xl

, •••

,xn )]

(k=1, .o.,n),

(18}

ce qui nous donne (n - 1) constantes arbitraires. La constante qui figure par sa somme avec s n'est pas essentielle. En portant la solution du système (18) dans le second membre de u = u (Xl' .•. , xn),. en dérivant par rapport à s et en se servant des équations (16) et (18), on s'assure que u vérifie la dernière des équations (17). On admet comme dans [1-1-2] que u (Xi' ... , xn) et les seconds membres des équations (17) possèdent des dérivées premières continues. Le problème de Cauchy pour l'équation (16) revient à déterminer une surface intégrale contenant une variété à (n - 1) dimensions donnée: Xk = Xk (t l , • • ., t n -1) ; U = U (t l , • t n -1) (k = 1, ..., n), (19) les seconds membres de ces équations étant continus et possédant des dérivées partielles premières continues à l'intérieur d'un do,.. maine D de l'espace à (n - 1) dimensions (t l , . . . , t n - l ). On admet que le rang de la matrice formée avec les dérivées ôô:X k est égal à (n - 1) et qu'à des systèmes différents de valeurs tl (t l , ••• , t n - l ) correspondent des points (Xl' • . • , xn) différents.. Par ailleurs, comme indiqué plus haut, on admet que les coefficients ak (Xl' •.• , Xn' u) et c (Xl' •• 0' Xn, u) possèdent des dérivées premières continues dans un domaine de l'espace, contenant. la variété (19) en son intérieur. En particulier, cette condition du problème de Cauchy peut setraduire par la donnée de la fonction cherchée u comme fonction h à Xl fixe, des autres variables: u IX1=xiO) = cp (x 2 , ••• , Xn)' (20) Ce problème se résout comme dans le cas de deux variables indépendantes. On prend les expressions (19) pour conditions initiale~ 0

2*

.,

20

CH. 1. TH:eORIE DES :eQUATIONS AUX D:eRIV:eES PARTIELLES

dans l'intégration du système (17). On obtient ainsi la solution sous la forme Xl = Xlt (s, Le déterminant ÔXn , · .. , as ÔS ôX2 ÔXn ·.. , at , atl ' . . . . . . • . . . . . . l. . 8x'j lJz n ÔXI , , · .. , at n - l ôt n ôt n- l

7iï , ÔXI , ôt l ÔZI

â=

Dx'j

(22)

l

jouera un rôle essentiel dans la suite. Compte tenu de l'équation (17), on peut le mettre sous la forme al'

â=

a 2,

ÔZI

ÔZ"

at l '

ôtl '

• • • 8Zi , 8t n- 1

.• • • 8z" atn-l'

... , an ÔZn ... , ~ • • • . • .

... ,

(23)

•

ÔXn ~

n-l

Si ce déterminant est non nul sur la variété (19), c'est-à-dire pour $ = 0, alors les n premières équations (21) sont soluble~' par rapport à s, tu ... , t n -1. En portant cette solution dans la dernière des équations (21), on obtient une surface intégrale de l'équation (16). Le problème de Cauchy n'admet pas d'autres solutions dans ce cas. Ceci se démontre exactement de la même façon que pour·deux variables indépendantes. Considérons le cas où la condition initiale est de la forIlle (20); le rôle des paramètres t l , . • • , t n -1 est assumé par X2' .' •• , Xn. Considérons l'équation linéaire et. supposons que le déterIllinant (23) est différent de zéro sur la variété (19). Comme ~=p= 0 pour P =1= q et = 1, on obtient d , al '=1:- o. Un~ diiision par le coefficient al ~ous conduit à l'équation

:;p

Pl

+ a2 (Xl'

••• , Xn )

P2

+ · · · + an (Xl'

• •• , X n) ,

Pn ..:-: ,

= b (Xit ••• , Xn)U+ C (XI~' '. :., Xn). (24)

Supposons que alt, b et c sont continus et ,possècie~t. des ,dérivées partielles premières par rapport à Xi' •• • '~n continùes poùr a~ ~. Xl ~ Ji ~t X 2 , • • • , X n quelconques. Suppbsons en outre que sous 'ces ..conditions les fonctions 'indiquées sont bornées:' 1ali··1 ~ M; ·lbl~'M;''I'c'I~M. - "'.' l, h ' . : ,

1-1-3. CAS D'UN NOMBRE QUELCONQUE DE VARIABLES

2t

Prenons xi pour variable indépendante et mettons le système (17) sous la forme

= ait (xu

dxll d.%1

::i

(k = 2, ... , n),

... ,xn )

= b (Xl' ••• , X n ) U

+ C (Xi!

x n )·

••• ,

(25) (26),

Soit x\O) E[a,~] la valeur initiale de Xl. Intégrons le système (25) avec des conditions initiales quelconques: x" 1X1=Cl(1) =x~O)

De

l'ak

(k=2, ... , n).

1~M il s'ensuit que les solutions

Xk

possèdent des dérivées bornées 1 ::: 1~M, donc

du système (25) Xk

restent bornées

en valeur absolue: 'Xk-X~O) 1~M (~-a). En appliquant la méthode des approximations successives (tome II, [11-3-2]) on s'assure immédiatement que les solutions indiquées (k = 2, ... , n) existent sur l'intervalle a ~ Xl ~ ~ tout entier pour des condition~ initiales arbitraires x1&O) (k = 2, ... , n). On peut dire que la courbe intégrale qui passe par le point A o (x~O), X~O), ••• t x~» arrive au point A (Xl' X 2 ' • • • , x n ) dont les coordonnées sont définies par les formules (27). Le théorème d'unicité nous permet d'affirmer que; si l'on prend le point A pour point initial, alors la courbe intégrale correspondante passera par le point A o• D'où il s'ensuit que les équations (27) sont solubles pour Xk quelconque par rapport à X~O), ••• • . •, x~) et la solution est de la forme I l ' Xl' X , • • • , X ) (k =2, ... , n ) . Xk(0) -- n) dX1

X(O)

1

~t

dans b et c figurent CPk (Xl' X~O), X~O), ••• , x~». En portant l'ex;pression (27 1) dans le second membre de (28), on obtient la solution 'voulue U (Xl' ••• , x n ) du problème de Cauchy. Cette solution existe :sur l'intervalle a ~ Xl ~ ~ tout entier et quels que soient X 2 ' ••• .• • • , X n . Cela est dû au fait que l'équation est linéaire et aux conditions imposées à ah, b et c. On peut indiquer pour l'équation quasi linéaire (16) un domaine d'existence de la solution sous certaines conditions portant sur ah et c. En effet, sUJ>posons que al = 1 et que ah et c sont continus, bornés et possèdent des derivées continues sous réserve que x(t) 1 ~ a,

1 ,xl -

bh

~. xh ~ ch

(29)

(k = 2, •.. , n)

(30)

~t

quels que soient u réels, ces dérivées étant bornées en valeur absolue par une constante A. Supposons que

(Xl' •• " Xn ' u) = C,

où C est une constante arbitraire. On obtient pour la fonction q> l'équation al
(k=l, 2, •.• , n)

(41)

1-1-5.

TImO~E

AUXILIAIRB

25-

dépendent d'un 'paramètre Â. Supp.osons d'autre part que ces seconds membressont des fonctions continues possédant des dérivées continues par rapport.à tous les Yk dans le domaine 1 z - a 1 ~ A ; 1 Yk - bk 1 ~ B (k = f, 2, • n), (42} où a et bk sont des nombres donnés, et  E [a, ~]o Soit M = max{1 !k (z, y, ••• , Yn' Â) I} (k

=

f,

0

0

0'

0

0'

n)

pour les valeurs indiquées des variables. Sous ces conditions, le système (41) possède une solution unique vérifiant les conditions initiales: Yk Ix=a = bA (k = f, •• 0' n}. (43} Cette solution existe dans l'intervalle 1 z - a 1 ~ h, où h = min {A, B/Ml et on peut la trouver dans cet intervalle par la méthode des approximations successives (tome II, [11-3-2]). Les approximations successives calculées avec les formules indiquées au (tome II, [11-3-2]) seront des fonctions continues de z et  et en vertu de la convergence uniforme des approximations successives en z et  (tome II, (II-3-2]), on peut affirmer que les fonctions qui nous donnent la, solution du système (41) vérifiant les conditions initiales (43) seront des fonctions continues de z et Â. On aurait pu admettre de toute évidence que les seconds· membres des équations (41) renferment plusieurs paramètres au lieu d'un. On a donc démontré le Lem m e. Si les seconds membres des équations (41) dépendent des paramètreS'

"'l' ...,

Âs et remplissent les conditions indiquées ci-dessus, alors la solution du système vérifiant les conditions initiales (43), où a et bk sont des nombres donnés,. est formée de fonctions continues dépendant de z et de Âi : Yk = "Pk (z, Â1 , ••• , Â s ).

Rem a r que. Soient Zo et yg des valeurs comprises dans le domaine (42). Les solutions vérifiant les conditions initiales Yk (zo) = yg seront fonctions deces conditions initiales: Yk = "Pk (z, zo, y~, ••• , yf&),

(44r

de plus elles sont définies dans un voisinage de z = 3:0. Si l'on introduit la variable indépendante S = z - Zo et les fonctions fJk = Yk - Yi, le système· devient

~~k =fk (ç+zo, rh+Y~,

fJ2+yg, ... ,

fJn+y~L

Â),

c'est-à-dire que les conditions initiales figureront comme paramètres dans lesseconds membres et seuls des nombres bien définis figureront dans les conditionsinitiales fJk (0) = O. Le lemme ci-dessus nous permet d'affirmer que les fonctions (44) sont des fonctions continues en chacun de leurs arguments. . Passons maintenant à la démonstration du théorème énoncé dans [I-f-2] .. Pour simplifier, on commencera par traiter le cas d'une seule équation dy dx =

f (x, y).

(45)

Supposons que le second membre est continu et possède une dérivée continue pal'" rapport à Y dans le domaine 1z -

a 1 ~ A;

1Y -

b 1 ~ B.

(46),

Considérons la solution de l'équation (45) qui vérifie la condition initiale= YQ' où Xo et Yo. sont situés à l'intérieur du domaine (46). Cette solution dépendra de Zo et Yo: Y = cp (x, zo, Yo}, (47}) Y (xo)

26

CH. I. TImORIE DES :eQUATIONS AUX D:eRIV:eES PARTIELLES

et sera définie pour les x assez proches de xo. Modifions un peu la condition initiale et considérons la nouvelle solution: y+ = q> (x, Xo, Yo

+

~Yo)'

(48)

Si ~Yo est assez pètit en valeur absolue, alors les solutions (47) et (48) existent .dans un certain voisinage de x = Xo' De l'équation (45), il s'ensuit que

d(~:-Y)=f(X,

y+)-f(x, y),

.et cette équation peut être mise sous la forme (49)

-où a (x

~y)= f (x, y+)- f (x, y)

\,

y+- Y

0

(50)

•

()n admet que cette relation est une fonction connue de x et ~Yo' puisque les solutions (47) et (48) le sont aussi. Il est immédiat de voir que la fonction a(x, ~Yo) est une fonction continue en ses arguments. Ceci est évident pour les valeurs de x et de ~Yo pour lesquelles y+ - Y =1= O. Si les fonctions y+ et y tendent vers la même limite y' lorsque x --+ x' et ~Yo --+ a', alors de la condition d'existence de la dérivée continue il résulte que f(x, y+2- / (x, y) =fy[x, y+8(Y+-Y)]-+l y (x, y'), y -y

.autrement dit, la fonction (50) est continue dans ce cas. En divisant les deux membres de (49) par ~Yo, on obtient une équation différentielle pour le rapport (y+ -

y)/ ~Yo :

d (Y+-Y) dx ~Yo

Pour x

=

.1:0'

on a y+ Ix=x

= •

=

Yo

a (x, ~yo)·

+ ~Yo

~Yo

•

(51)

et y Ix=x = Yo, c'est-à-dire que

y+-y 1 =1. ~Yo x=x o

Donc, (y+ -

y+-y

•

(52)

y)/ ~Yoest la solution de l'équation différentielle du dx =a (x, ~Yo) u,

(53)

-qui vérifie la condition initiale u 1X=Xo = 1.

(54)

Comme le second membre de l'équation (53) est une fonction continue du paramètre ~Yo pour tous les ~Yo assez proches de 0, la solution u vérifiant la -condition (54) est aussi une fonction continue de ~Yo et en particulier existe la limite du rapport mentionné lorsque ~Yo --+ 0, ce qui exprime que la fonction (47) possède une dérivée partielle q>yO (x, xo, Yo) par rapport à Yo' Cette dérivée partielle doit être solution de l'équation (53) pour ~Yo = O. Or, en vertu de (50), -on a a (x, 0) = 111 [x, q> (x, xo, Yo)]' donc, on peut affirmer que la dérivee

AUXILIAIRE

27

partielle -définissent, quelles que soient a fixe et b = w (a), la solution du .système (107) qui vérifie la condition (106). On peut admettre que les formules (121) définissent quatre des variables x, y, U, p, q en fonction de la cinquième et des trois constantes arbitraires a, b et c = w' (a). L'intégrale générale du système >(107) contient quatre constantes arbitraires. Mais la relation (106) nous dit que la famille .des bandes caractéristiques ne doit dépendre que de trois constantes arbitraires. C'est ce qu'expriment les formules (121). Dans un prochain paragraphe consacré au cas d'un nombre quelconque de variables indépendantes, on s'assurera par des calculs ,directs que les équations (121) donnent bien la solution du système {107). Voyons maintenant s'il est possible de définir une intégrale singulière directement à partir de l'équation différentielle sans le se.cours d'une intégrale complète. Une dérivation de (110) par rap-

l-l-t5. EXEMPLES .

49

port à a et à b nous donne

0; F uCPb + FpCPXb + F qCPub = O. La définition de l'intégrale singulière (113) nous permet d'affirmer que sur la surface intégrale singulière on a : FuCPa

+ Fp<J>xa + F qCPu a = FpCPxa

+ F qCPu a = 0;

FpfPxb

+ F q<J>ub = O.

On admettra que le déterminant de ce système homogène par rapport à F p et F q ne s'annule pas sur la surface intégrale singulière, ce qui revient en fait à admettre que les équations (109) sont solubles par rapport à a et b. Ce système nous donne F p = F q = O.

(122)

Donc, l'intégrale singulière peut être obtenue par élimination de p et q entre les trois équations suivantes:

P, q) = 0; F q (x, y. u. Pt q) = O. (123) Les équations (122) indiquent qu'lI est impossible d'appliquer le théorème des fonctions implicites à l'équation (106) relativement à la variable P ou q. Ceci exprime qu'il est impossible d'obtenir l'intégrale singulière en résolvant le problème de Cauchy ainsi que nous l'avons fait dans [1-1-9], en admettant que l'équation était résolue en p (ou q). On aurait pu arriver à ce résultat par une autre voie. Quelle que soit la courbe considérée sur la surface intégrale singulière, le déterminant (96) sera nul le long de cette courbe en vertu des conditions (122). Ceci montre que le problème de Cauchy n'admet pas de solution pour toute courbe de la surface intégrale singulière. F (x, y,

U,

P, q)

=

0; F p (x, Y.

Ut

1·1·15. Exemples. 1. L'équation U

+

= xp

yq

+ f (P,

q)

(124)

est analogue à l'équation de Clairault étudiée au (tome II, [l-t-tin. En remplaçant p et q par a et b on obtient immédiatement l'intégrale complète: u = ax

+ by + f (a,

L'équation u = xp

b).

+ yq+ pq

admet pour intégrale complète:

u=

ax

+ by + ab

En appliquant la méthode indiquée ci-dessus, on obtient l'intégrale singulière: 'U

== -xY.

Si l'on considère une courbe quelconque XD

'-01017

=

cp (t) ; Ye

= 1{> (t) ;

Uo

=

-cp (t) 1{> (t)

(125)

50

CH. 1. TH1!:ORIE DES 1!:QUATIONS AUX D1!:RIV1!:ES PARTIELLES

de cette surface, alors les équations (86)

'l' (t) qo + Poqo + cp (t).'1' (t) = 0, cp' (t) '1' (t) + 'l" (t) cp (t) + cp' (t) Po + '1" (t) qo = admettent les solutions Po = -'l' (t), qo = -cp (t) et -le long de la courbe (125) cp (t) Po +

°

on aura

Fpo=q+cp(t) =:0;

Fq.=p+'P(t)=:O.

L'équation

1

u=xp+yq-T (p2+ q2)

admet pour intégrale singulière 1 u= l (x, a) et q = q>2 (y, a) et l'on obtient l'intégrale complète u=

J

q>d x , a) dx+

J

(j>2

(y, a) dy+b,

.où b est la deuxième constante arbitraire. Appliquée à l'équation

pq-xy=O ou

.E...=.J!.. x q'

(129)

cette méthode nous donne 1 1 u="2 ax2 + 2a y2+b.

Soit à déte rminer la surface intégrale quîpasse par la courbe 1 x

= t;

Y= - ;

t

(130) ~

u = 1.

En portant ces expressions dans (130) et en dérivant par rapport à t, on trouve 1 1 t 1=2' at2 2atl +b; at- at 3 =0.

+

L'élimination de t entre ces équations nous donne b = 0 et nous obtenons une famille de surfaces intégrales à un paramètre. 1 1 u=2" ax 2 + 2a yI. L'env.eloppe de cette famille est la surface intégrale cherchée, soit:. u = xy. Si pour condition initiale on avait pris la courbe x = t; Y = t; u = t~,

. (t3t)

S2

CH. J. THSORJE DES :SQUATIONS AUX :DSRIVSES PARTIEI.J·ES

la méthod~ ;précédente nous aurait conduits aux équations ( ~ a+ ~ -1) ,1I+b=O; 2( ~, a+ ~ -1) , ' 0,

'"

d'où il s'ensuit que a =1,b = 0 et nous n'aurions pas pu trouver une surface intégrale passant par la courbe (131). Il est immédiat de voir qu'on peut prolonger la courbe (131) en une bande caractérist ique en posant p = , etq -:.' t. En effet, les fonctions, x = t; Y = t; u = t~; P = t; q = 1 vérifient l'équation (129) et le système (1.07).

4. Si l'équation ne contient pas les variah' et de la forme F (u, P, q) = 0

indépendantes, t'est-à-di11!

on peut déterminer une intégrale complète en cherchant la solution d, l'équa'tionsous la forme ' u = q> (x + ay), (t32) où

est une constante arbitraire. Voyons à titre d'exemple l'équation

CI

pq -

u

=

O.

(t33)

En effectuant la substitution (132) et en posant CI

[q>' (,)]' -

~

=

x

on trouve

dOLDe

l'intégrale

q> (,) = O.

L'intévation de cette équation différentielle ordinaire nous œmplète de l'équation (t33): (x+ay+b)1 u= 4a ,~

+ G1/,

système (68) s'écrit dans le cas de l'équation (133): ~

IIi"' ~ q;

~

~

et son intégration nous donne x = qoe'' (xo - qo) ; y = poe' ... ..'('

'.

~

d,::;= P; fiS = 2pq;

+ .

i

P

=

+ (Yo -

poe';

q

d,

Po) ;

=

= P; u

=

~

fiï=- q, Poqo~'

+ (Ue- PolJe) ;

qoe'.

Supposons qu'on cherche la, sUrface intégr~le qui p:asse par la droite ft;;; ,

,'Xo

=

t;

1I~ ,

t;

Uo

= t•

.on détermine Po et qo à partir des équations

=

t; Po = 1, a"où Po = J et qo=t., En, portant Po et qo, dans les trois premièreséquati()DS , Prio

(f3St) et en posant e'':'''- ;v~"on obtient les équations paramétriqueS deJ8'SUiface d1erchée en fonction des paramètres ,v ,et t: , , x 7""", Iv; 11 = v; u 7"""tv~,

:w,,' sous

la forme explicite,

.U, ~

xy. .'

I.;I-te~

CAS D'UN NOMBRE QUELCONQUE DE

:vARIAB:J,.ES

53:

'1..1·16. CaS d'un nombre quelconque de variables. On 'appellfJ, de l'équation F (Xit •• 0' Xn, U, Pl' •• 0' Pn) = 0 (134) une solution (135) intégrale complète

de cette équation contenant n constantes arbitr aires as et telle que l'élimination des as entre les équations P. = q>%J& (xi t

Xn , al'

0.0'

000,

an), (k = 1, 2,

00.'

n)

(135t )

et l'équation (135) donne l'équation (134).On admettra que ait sont des fonctions de n - 1 paramètres: ait

=

ait (tt,

0

•

0'

t n -l )

= 1, 2, ... ,

(k

n).

(136)

En portant ces expressions dans (135) et en éliminant les n - 1 paramètres entre les n équations u = Cf> (Xl' Xn , al' ••• , an), , Xn , al' ••• , an)=O (j=1, ... , n-1), 0

Cf>Cj(xh

•• ,

(137)

on obtient l'intégrale générale de l'équation (134). Cette intégrale dépend du choix des n fonctions (136). Passons maintenant au problème de Cauchy. On demande de trouver une surface intégrale de l'équation (134) contenant une variété de n - 1 dimensions donnée: u

=

u (tt, • -

0'

t n -l );

Xit

=

Xit (t lt

0

0

tn-t) (k = 1, 2, .. 0' n).

.,

(138)

Ce problème se résout exactement comme pour le cas de deux variables indépendantes. En portant les expressions (138) dans (135) OD obtient une égalité de la forme

t n -It al' •

an) = O.

(139) En adjoignant à cette égalité les n - 1 relations obtenues par dérivation de (139) par rapport à tlt t n -1' soit '" (t it

••

0'

0

"'Cl = 0 ; """2 = 0;

0

0

.,

.,

"""n-l = 0,

(140) on obtiendra n équations à partir desquelles on peut déterminer ait (k = 1, 2, ... t n) en fonction des paramètres tt, ., 0' t n -ll c'est-à-dire les fonctions (136). En portant ces fonctions dans (137) et en éliminant t lt t n -1 entre les n équations (137), on obtiendra la surface intégrale qui contient la variété (t38). A noter que dans la formule (139) le nombre de paramètres peut être inférieur 0

•• ,

o ••

;

S4

CH. I. THeORIE DES ::eQUATIONS AUX DeRIv:eES PARTIELLES

à n _. 1. Dans ce cas il faut dériver (139) par rapport à ces paramètres. Si l'on fixe les paramè~res tjt les n équations (137) à n 1 variables (u, Xl' ••• , x n ) définissent une courbe dans l'espace à n 1 dimensions de point générique (U, Xl' . . • , x n ). En adjoignant l'équation (135 1) à ces équations, on prolonge cette courbe en une .bande du premier ordre. Cette bande appartient à deux surfaces intégrales: à l'enveloppe qui s'obtient par élimination des paramètres i j entre les équations (137), et à une surface enveloppée. Donc, cette bande est caractéristique, c'est-à-dire vérifie le système de Cauchy (98). Ceci nous permet, si l'on connaît une intégrale complète (135), de trouver la solution du système (98) en fonction de 2n -1 constantes arbitraires. On admettra pour simplifier que an est une fonction de (al' .. ~, an -1)' ces derniers jouant le rôle des paramètres t l , • • . , t n -1' Les formules (137) et (135 1) deviennent:

+

+

ail "', an), (J)a j + cp an bi -:- 0 (j = 1, 2, ..., n - 1), U=(J)(Xl , " ' , X n ,

Ph=(J)Xh(X1,

... , X n , al' ... , an)

(k=1,

(141)

2, ... , n),

où par bi on a désigné la dérivée de an par rapport à ai' Les formules (141) définissent la bande du premier ordre mentionnée. Dans ces formules al' ... , an et bl , • • • , bn -1 sont arbitraires, puisque le choix de la fonction an (al' ... , an -1) l'est. Prouvons formellement que la bande définie par les formules (141) vérifie le système (98). En portant les expressions (141) de U et Ph dans l'équation (134), on obtient une identité en Xh et ah (k = 1, ... , n) dont la dérivation par rapport à as nous donne n

U(J)aj+'

LJ

Ph(J)Xkaj-O

k=1

(j

=

1, 2, ... , n!~l),

n

U(J)an

+Li

k=1

PkCf'xkan

=0.

En multipliant la dernière égalité par bit en l"aJoutant à laprécédente et en se servant de (141), on obtient les n ....... 1 égalités suivantes: l

n ,

.LJ

k= 1 :

•

Ph (
+ j F p.' , Fu

, et"l' des variables Xl' • • • , X n et Pl' . . . , Pn se définit de façon analogue par l'égalité: n

(cp, '\')= ~ (CPPj'i'Xj-CPXj'\'Pj)· .1=1

Supposons que CP=Xi (u) et ,\,=Xk (u). On a

En portant ces expressions dans le second membre de (166), on ohtient:

(166)

1-1-21. SYST:I!:MES COMPLETS ET JACOBIENS

ou ce qui revient au même: n

Li [Xi (aks)-X. (ais)] Ps·

(Xi (u), ~1& (u»=

1=1

Une comparaison avec le second membre de (165) nous donne l'importante identité: Xi (X k (u» -

X k (Xi (u» = (Xi (u), X k (u».

(167)-

Si u est solution du système (163), c'est-à-dire Xl (u)

== 0

(l = 1, ... , m),

alor.;; elle sera aussi solution de l'équation linéaire sans second membre (Xi (u), X k (u» = 0

(168}

quels que soient les indices i et k. En faisant prendre toutes les valeurs possibles aux indices, on forme m (m - 1) nouvelles équations linéaires sans second 2

membre qui résultent, au sens indiqué, du système (163). Certaines de ces équations peuvent se transformer en identités, c'est-à-dire que leurs coefficients en Pk sont nuls. J oignons les autres équations (celles qui ne se transforment pas en: identités) à celles du système (163) en nous assurant à chaque fois que l'équation, adjointe n'est pas une combinaison linéaire des précédentes (si une équation est. une combinaison linéaire des précédentes, il faut immédiatement .l'écarter). En faisant cette opération avec toutes les équations nous obtenons un nouveau systè-me qui peut être composé de plus de m équations. Formons les crochets de Pois-· son des premiers membres du nouveau système en prenant soin d'écarter ceux. qui ont déjà été dans le système initial. Joignons les équations obtenues aU' nouveau système comme nous l'avons déjà fait plus haut. Poursuivons cette procédure. Deux cas peuvent se présenter. Ou bien nous obtenons un système de n équations qui n'admettra donc 'que la solution triviale u = const et il en sera de même du système initial. Ou bien nous obtenons un système de moins de n, équations tel que toutes les nouvelles équations déduites par le crochet de Poisson sont des combinaisons linéaires des équations de (163). Un tel système est dit complet. Des raisonnements précédents il s'ensuit donc que le système initial' ou bien n'admet que la solution triviale ou bien est équivalent à un système complet.

On admettra que le système (163) est complet, c'est-à-dire ou bien les crochets. de Poisson (Xi (u), X h (u» sont des combinaisons linéaires des premiers membres des équations initiales: m

(Xi (u), Xk (u»=

2J ~li, k)X z (u),

(169),

1=1

les coefficients ~~i,h) étant des fonctions de nuls.

Xh'

ou bien ils sont identiquement

1-1-21. Systèmes complets et jacobiens. Etablissons quelques propriétés: fondamentales des systèmes complets. Introduisons les nouvelles variables. indépendantes Yh = =

L'équation (53) exprime qu'en tout point de la surface S la directiofr de la normale à S est une direction caractéristique de la normale. Si la surface S est telle qu'en aucun de ses points la direction de lanormale n'est caractéristique, c'est-à-dire que le premier membre de-

106

CH. I. TH1WRIE DES ÉQUATIONS AUX DÉRIV:E:ES PARTIELLES

{53) est non nul sur S, alors d'après ce qui a été dit plus haut, le -changement de variables (51) ramène l'équation (48) à la forme

et donne de la surface S le plan x~ = O. Ceci permet de transformer le problème de Cauchy sur S en un problème de Cauchy sur le plan -x~ = O. Si l'équation (48) possède par exemple des coefficients analytiques et si la surface Sn' est pas caractéristique et 00 1 est une fonction analytique, alors le problème de Cauchy transformé (c'est-à-dire sur le plan x~ = 0) peut être résolu sous des conditions appropriées à l'aide du théorème de Kovalevskaïa. Si la surface S est caractéristique, alors la fonction u et ses dérivées partielles du premier ordre ·doivent être reliées par une certaine relation sur S. En effet, pour ·démontrer cette assertion il suffit de trouver une relation entre u et ses dérivées partielles par rapport à x~, ... , x~. Rappelons que l'équation de S est simplement x~ = O. Si S est une surface caracté-ristique, alors a~l = 0 pour x~ = 0 dans l'équation transformée et J'on obtient l'équation

"où les termes omis ne contiennent que les dérivées premières. Donc, les fonctions !Po et CP1 sont reliées par: n

~ i, k=2

2

, 8 cpo aik 8 '8 ' x· xk t

n

+

~'OCPl ,a 1 i --ç;-;vX.

i=2

+ . . . = 0.

t

-Cette expression ne se ramène pas à une identité par rapport à (flo -et CP1. Supposons maintenant que les coefficients aik dépendent de x s , de u et de U xs • Les conditions initiales sur la variété (50) à n - 1 -dimensions dépendent de n - 1 paramètres. Supposons que ces paramètres sont X 2 , ••• , X n • En portant les expressions des conditions .initiales dans les coefficients aik, on obtiendra comme précédemment l'équation (53) qui doit être satisfaite en vertu de (50) et l'on peut . alors dire si la surface S d'équation 00 1 = 0 est caractéristique sous les conditions initiales données. Dans la suite on se limitera au seul cas où les coefficients aik ,dépendent uniquement de X s • A noter que si l'équation (48) est de .type elliptique, alors comme dans le cas de deux variables, l'équa.tion (53) ne possède pas de solutions réelles autres que 00 1 = const. La solution 00 1 = const ne présente manifestement pas d'intérêt )Jour notre problème.

107

1-2-12. BICARACTBRISTIQUES

1-2-12. Bicaractéristques. L'équation (53) doit être satisfaite en

vertu de (50). Exigeons qu'elle soit identiquement vérifiée par rapport à X S • Sous ces conditions, l'équation (53) est une équation différentielle aux dérivées partielles du premier ordre dont toute solution distincte d'une constante nous donnera une famille de caractéristiques: (54) où C est une constante arbitraire. Réciproquement, pour que l'équation (54) définisse une famille de caractéristiques, il est nécessaire et suffisant que la fonction w l soit solution de l'équation (53). On démontre comme plus haut [1-1-21 que toute caractéristique peut être englobée dans une famille de la forme (54) et donc que les solutions de l'équation (53) définissent toutes les caractéristiques. Dans les équations de physique mathématique, la variable temps joue un rôle exceptionnel en regard des autres variables qui sont assimilées aux coordonnées spatiales. On admettra dans la suite que la variable temps est X n et l'on posera X n = t. Pour les autres variables 'on se servira des notations Xl' • • . , X m , autrement dit, on conviendra que n = m 1. Ecrivons l'équation de la surface (50) sous la forme résolue par rapport à t, soit: t - W (Xl' . . • , x m ) = 0 et supposons que les coefficients aik ne dépendent pas de t. En portant le premier membre de l'équation t - W = 0 dans (53), on obtient l'équation suivante pour la fonction W :

+

m

"LJ

m

ôw -ôôw - 2 "LJ ai1~ -aXi Xk

i, k=l

ain

ôw + a -ann = Xi

o.

(55)

i=l

En principe, cette équation doit être satisfaite du fait que t = w. Or, elle ne contient pas t, donc on peut affirmer qu'elle est identiquement vérifiée. Revenons au cas général et écrivons le système de Cauchy correspondant à l'équation du premier ordre (53). L'équation (53) ne renfermant pas la fonction W Il on omettra la relation du système de Cauchy qui contient dw 1. On obtient ainsi le système d'équations différentielles ordinaires suivant:

(k = 1, 2, ... , n) n

dPk = _ ds

'" LJ i, ;=1

où s est un paramètre auxiliaire. Considérons une famille d'hypersurfaces caractéristiques Cù l (Xl' • • • , X n ) = C et posons Pk = ~Wl. (,xk

108

CH. I.

TH~ORIE

DSR~ES

DES :eQUATIONS AUX

PARTIELLES

Les Pi sont des fonctions de (Xl' ••. , x n ). En les portant dans les seconds membres des équations (56 1), on obtient un système du premier ordre pour (Xl' .•. , x n ). Si l'on prend une solution quelconque de ce système et qu'on la porte dans les expressions de Pk, on s'assure immédiatement que les fonctions obtenues sont solutions des équations (56 2). En effet n

n

i,3=1

i,3=1

(57) En remplaçant l'indice k par j dans l'équation (53) et en dérivant les deux membres par rapport à Xk, on trouve n

~ ôai i LJ . iJx~ PiPi

n

+

i, 3=1

+

~ ôPi LJ aii iJxk Pi. i,3=1

n

~ LJ

ôPi 0 aijPi ôXk ::::::s •

i,3=1

Les deux dernières sommes sont égales, puisque ail = identité nous permet de mettre (57) sous la forme dpk ds

=

aii.

Cette

n ~

_

LJ i,3=1

qui n'est autre que l'équation (56 2 ). Signalons que la relation (54) est une intégrale du système (56 1 ). En effet, n

~~1

=

~

k=1

n

k

: : : . d:S

=

2

~

i, k=1

aik

::~ ~~~

,

et la dernière somme est identiquement nulle en vertu de (53). Les courbes de l'espace Rn de point générique (Xl' ... , x n) obtenues par intégration du système (56 1 ) dans lequel on aura posé Pi = ~~~ s'appellent bicaractéristiques correspondant au système 001 = C des surfaces caractéristiques. Si lors de l'intégration du système (56 1 ) on prend pour point initial XkO l un point situé sur une hypersurface (ù 1 = Co, alors la bicaractéristique correspondante sera tout entière située sur cette hypersurface, autrement dit, toute surface caractéristique de l'équation (48) peut être formée de bicaractéristiques. Exhibons maintenant les conditions sous lesquelles les solutions du système (56 1 ), (56 2 ) forment une hypersurface caractéristique. La surface (54) est une variété à n - 1 dimensions dans Rn. Etant donné que le paramètre s figure dans l'équation de la bicaractéristique, pour former l'équation de l 'hypersurface caractéristique (54) il faut prendre une famille de bicaractéristiques dépendant de n -. 2 paramètres. On admettra que les valeurs initiales xkO l et PhO l des variables figurant dans le

1-2-12. BICARACT:eRISTIQUES

109

système (56 1), - (56 2) dépendent de n - 2 paramètres t 1 , • • • , t n -2En reprenant les raisonnements de [1-1-8] on s'assure sans peine qu'une condition nécessaire et suffisante pour que la famille de bicaractéristiques obtenue définisse une hypersurface caractéristique est que les valeurs initiales x~) et PkO) vérifient les relations suivantes [1-1-12]: n ~

LJ

a~O)p~O)p(O) - 0 lkl k-,

(58)

=0

(59)

i, k=1 n ~

L..J

p(O) 8

ôx(M)

+

+ ôu (M; t) ôt

ôq> (M) 1t=q>(M) • ôn '

d'où ôu(.il-f; t) 1 = ôn t=(M) • ôn '

autrement dit, [ ôu (:; t) ]

= ôlo~:)

_

ôcpô~M)

Il (M).

En posant F(M o; t) =

=4~

~~

{cr

ô/o (At!) ôn

+ cr (~_ ôn

8cp ) fI (M)ôn

't(M; Mo>+ 0 l'inégalité dw (t) dt~Cl(t)W(t)+C2(t),

( 183)

où

Ci

155

IN~GALIT~ ~NERG:eTIQUE

1-2-27.

(t) sont· des fonctions intégrables, alors t

t

SC1(t 1)dtt w(t)<e o

t

[w(O)+

Jc2 (t 2)e

SC1(t 1)dt 1

-

0

° Si en outre

Cl

(t) ~O, alors pour presque tous les t t

dt 2

J.

>

0

(184)

t2

Sc1(tddt 1

d~?) ~cI(t)eO

t

[w(O)+

~ c2 (t 2)e

-

SC1(t 0

1

)dt 1

.

dt 2]-\-c 2 (t).

(185)

o

De (184) et (185) il s'ensuit en particulier que si Cl (t) est une constante strictement positive (Cl (t) = Cl) et C 2 (t) est une fonction croissante, alors (186)

et (187) t

- Scl(tddt 1 En effet, multiplions les deux membres de (183) par e et mettons le résultat sous la forme t

- ~'cl(tddtt

d

dI(w(t)e

°

0

t - )'Cl(tl)dt 1

)~c2(t)e 0

•

En intégrant cette inégalité par rapport à t entre 0 et t, on obtient la majoration (184). Si Cl (t) ~ 0, la majoration (185) résulte de (184) et de (183). Ce que nous voulions. Supposons que, dans un domaine ~ adhérent au plan t = 0 et compris dans le demi-espace t > 0, l'équation (181) admet une solution continue avec ses dérivées premières et secondes dans ~. Supposons que ~ contient un domaine D de type cône tronqué dont la base inférieure B (0) est située dans le plan t=O et la base supérieure B (T), dans le plan t = T > 0, que cos (n, t) > 0 sur la surface latérale S et que S est orientée de façon spatio-caractéristique, c'està-dire que sur S 2

2

cos (n, t) -

h

aih cos (n, Xi) cos (n, Xh) >0

(188)

i,11=1

(on rappelle que la normale n à S est dirigée vers l'extérieur de D). Soit B (t 1) la sec tion de D par le plan t = t 1 . Consi dérons

156

CH. I.

TH~ORIE

DES

~QUATIONS

AUX

D~RIV~ES

PARTIELLES

la relation t

t

~ ~~

-

o

~ ~~

2UtL (U) dX I dX 2 dt l = -

B(tl)

0

2ud dX I dX 2 dt l

(189)

B(tt>

pour tE [0, Tl. En se servant de la formule (107) et des identités 2

2

~

2

i,

2 i,

h=l

l

(aihuxkut)-

2

~ ~

-

~ a~.

aihuXixkUt = 2

h=l

i,

~

aihuXiuXk - 2

k=l

i,

k-1

on peut mettre la relation (189) sous la forme 2

~~

~

(

B(t)

i,

+ U~) dXI dx

aihUXiuXk

k= 1

2-

2

- ~ l (~ B(O)

t

+~

i,

k=1

aihUxpXk +U~) dX I dx2 + 2

~

~

[- 2

o 8B(tl)

i,

aikuxJpt cos (n, Xi) +

h=l

2

+( ~

aihuxpXk +ui) cos (n, t) ] dS dt] +

;,k=1 2

t

+~ I~(2 ~ o B(tl)

i,

aa'k _...;.:l..;..,U

at

k=1 t

2

- 2

U

xi xk

~ biuxiUt - 2cuut) dX I dX2 dt l = -

l ~ l 2ud dXI dxz dt

t=1

0 B(tr)

l ,

(190)

où ôB (t l ) est la frontière de B (tl)' L'intégrant du troisième terme est positif, car il ne diffère que par le terme strictement positif cos (n, t) de la somme 2

,2J aik (U Xi cos (n, k=1

1,

t) - Ut cos (n, Xi» (U Xk cos (n, t) - Ut cos (n, Xh»

+

2

+ U~ (cos 2 (n, t) -

~ aik cos (n, Xi) cos (n, Xh»), i, h=l

1-2-27. IN:eGALIT:e :eNERG:eTIQUE

157 2

~ aik~tSh'

dont le premier terme est une forme quadratique

i, h=l

définie positive et dont le second est positif en vertu de (183). De (190) il s'ensuit donc 2

t

~ K (0) - ~ ~ ~

K (t)

o

~ ~:it

(2

2

2

- 2

uXPXk-

i, h=l

i, k=l

B(tl)

~ a;:k

UxhUt t

~ btuxiUt - 2cuut) dX I dX2dt l

-

i=l

JJJ2ud dX dX2dt I

l ,

(191)

0 B(tl)

ou" 2

K (t)

=

J( ~

~

aikuXiuXh

+ U~) dX

i, k=l

B(t)

I

dx 2.

(192)

.

Supposons que

aXk ' I ~l

(193)

1

où Co>O. Alors 1~

~

2

a:~k

h

UXiUXh dX I dX21~Co

B(tl) i, k=l

2

J~

~

IUXil,/uXkl dX I dx 2·

B(t!) i, h=l

On a par ailleurs

Or, en vertu de (182), 2

2

i=l

i, k=l

~ U~i ~ ~ ~

aihUXiUxk ,

donc t

1

JJ j o

2

~ a:~k

UXiU X : l dXI dX 2 dtll ~ Cl

B(tl) i, k-l

.

t

JK (t l ) dt

lt

0

OÙ Cl est une constante strictement positive dépendant des coefficients. De façon analogue 2

t

J

Jo ~ ~ 2ut ~ (b B(t!)

i=l

2

i -

~ k=l

.

::::')

UXi dXI dX2 dtll~C2

t

Jn K (t

l)

dt l

,

158 OÙ C2

CH. I. TH:eORIE DES :eQUATIONS AUX D:eIUV:eES PARTIELLES

est une constante identique à Cl' Posons L (t)

=

JJu2dxI dx

(194)

2•

B(t)

De par l 'inégalité 12ab 1~ a2 + b2 et du fait que 2

. LJ aihUXiuXk~O, k=1

(195)

l,

on trouve t

t

11112CUtudX1dx2dtll~C31 o B(tl)

[K(tl)+L(tI)]dtl ·

0

Compte tenu de la relation 121utl ~u~

+ 12

et de (195), on obtient

1112IUtdXldx21~K(tI)+M(tl)' B(t l )

où M (tl) =

11 j2 dXI dx2·

(196)

B(tl)

En portant les majorations obtenues dans (191), on aura t

K(t)~K(0)+(CI+C2+C3+1)

JK(tl)dt l + o t

+ C3

t

JL (tl) dt l + JM (il) dt o

l•

(197)

0

Majorons L (t). Considérons l'intégrale t

JI (t)

=

JJJ [u 2 (Xl' X o

2,

tl)]tl dX I dX 2 dt}"

B(tl)

Cette intégrale peut être traitée comme une intégrale triple étendue au domaine Dt borné inférieurement par le plan t l = 0, supérieurement, par le plan t l = t et latéralement, par la surface S susindiquée sur laquelle cos (n, t) > O. La formule d'Ostrogradski nous donne immédiatement

JI(t)~

1Ju dxl dx2-1 Ju 2d:r dx2, 2

B(t)

1

B(O)

1-2-27. IN1tGALIT2

~NERG~TIQUE

1591

c'est-à-dire que t

JJu2dxldx2~ JJu 2dx l dx2+ ) JJ2UUtldxldx2dtl' B(t)

B(O)

d'où, compte tenu de

(198)!

B(tl)

0

12uutll~uri+u2 t

et de (195), il s'ensuit t

J

J

o

0

(t)~L (0) + K (t I ) dt t + L (t I ) dtl.

L

(199)J

Ajoutons (197) et (199):

K (t) +L{t)~ t

t

~K (0) + L (0) + C S[K (tI) + L (tl)] dt t + ) M (tI)'dt 1, o

(200}

u

où la constante C = Cl + C2 + C3 + 2 dépend des coefficients aik" bit c et des dérivées de aik. Utilisons maintenant les inégalités: t

(186) et (187). La fonction w (t) =

J[K (tI) .+ L (tt)] dt

l

remplit les:

o

conditions du lemme avec

t

cI(t)=C,

c2 (t)=K(O)+L(0)+

Jo M(tI)dtl

et w(O)=O.

Elle est donc justiciable des majorations t

w(t)=

Jr [K(tI)+L(tJ)]dtl~

r_6+ Jr t

eCt_f

c

o

M(t1)dt l

J

0

et

d~it)

= K (t) + L (t) ~

t

eCt [

6

+ JM (t J) dt l J,

(201);

o

où

+

K (0) L (0). Ces majorations sont dites énergétiques. En vertu de l'hypothèse (182), on a Ô=

K (t) ~

JJ ("U~l + VU~2 + un dXl dx2· B(t)

Sans nuire à la généralité, on peut admettre que le facteur v de la, condition (182) vérifie la double inégalité 0 < ,,~1. De (201) il

j.

160

.(

CH. I. TH:eORIE DES :eQUATIONS AUX D:eRIV:eES PARTIELLES

résulte alors

j J(ui + U~I + ut + u l

2

)

dX I

dX2~

.B(t)

Ct

~~[

2

JJ( ~

B(O)

aikuXiuXk+u~ + u 2 )

dxl dx 2

+

i, k=l t

+)

~

1/2

dX 1 dX 2 dtlJ .

(202)

o BUl) Cette majoration est valable pour tous les t E [0, Tl et pour tout domaine du type indiqué. Les constantes C et 'V ne dépendent que des O. La 'petitesse de L (0) et K (0) entraîne, en vertu des majorations précédentes, celle de L ft) et K (t) pour 0 ~ t ~ T. D'où l'on déduit que les intégrales ~2(t)

62(t)

2

) u (x, t)dx; SI (t) 11-0tOI7

) il(t)

62(t)

u~(x,

t)dx;

) ui (x, ~1(t)

t) dx

(205)

162

CH. I. THeORIE DES :eQUATIONS AUX D:eRIV:eES PARTIELLES

sont petites. Supposons que ces intégrales sont inférieures à f}>O. L'inégalité de Cauchy-Bouniakovski nous donne {u (x, t) - U [~1 (t), t]}2 = x

x

) ux(x', t) dx'

= [

x

J2 ~ ) ui (x', t) dx·

~1(t)

~1(t)

) f2dx, 61(t)

d'où {u(x, t)-U(~I(t), t)}2~a"

[~I(t)~X~~2(t)],

(206)

où a = ~2 (0) - SI (0) dans D. Grâce à l'inégalité de Cauchy-Bouniakovski on trouve la majoration x

[

) lu(x',

t)ldx'J2~af},

(207)

~1(t)

[61 (t)~X~~2 (t)]. De (206) il s'ensuit que u [~1 (t), t] = u (x, t)

+ v (x,

où

t),

Iv (x, t)l ~yaf).

En intégrant les deux membres par rapport à x entre et en se servant de (207), on obtient

lu [SI (t),

t] 1~

lf all b

~1 (t)

+ yaf},

(208)

et 62 (t) (209)

+

où b = ~2 (T) - 61 (T), de sorte que 1 U [SI (t), t] ~ (1 b_l) Y af}. En vertu de (208) et de la dernière inégalité, on obtient la majoration (210)

où f} est la majoration des intégrales (205), b = 62 (T) - 61 (T). On a donc majoré 1 u (x, t) 1 dans le domaine D tout entier en supposant que b > O. Majorons maintenant la solution u (x, t) en fonction du second membre f. Supposons que f est non nul et que les conditions initiales sont de la forme (203). Soit 1 f 1 ~ Mo, où Mo > O. En vertu de (196) et de (201), il vient alors K (t)

+ LI(t)~atM:eCt.

(211)

On \peut se servir non pas de la majoration de 1 f 1 mais de celle Ide la fonction M (t l ) figurant dans la formule (201). Les intégrales K (t) et L (t), établies pour la différence U 2 - Ul de) deux solutions U 2 et U 1 de l'équation (181) avec des seconds mem-

c,

1-2-29. CAS DE L':eQUAT10N DES ONDES

163

bres différents' mais les mêmes conditions initiales, sont aussi petites que l'on veut si 1/2 - /1 1 est assez petite. Pour n = 1 on peut comme plus haut en déduire une majoration pour / U 2 - Ul /.

1·2·29. Cas de l'équation des ondes. Il est immédiat de voir (cf. (191» que les solutions de l'équation des ondes n

2J U x .x . -

i=1

1

Utt

= 0

(212)

1

VÉrifient l'inégalité énergétique n

ft

) B(t)

(~u~i+uï)dx~) (~Uii i=1

+z4)dx,

(213)

i=1

B(O)

où dx = dXl ... dxn • Cette inégalité a été établie dans l'hypothèse que U possède des dérivées premières et secondes continues. Si U possède dans les domaines considérés des dérivées continues jusqu'à l'ordre m 1, alors n'importe quelle dérivée DIU, l~ m - 1 est aussi solution de l'équation (212) et par conséquent vérifie l'inégalité (213), c'est-à-dire que

+

n

) B(t)

n

[~ (D 1u x ,)2 + (D ut)2] dx~) [~(D1UXI)2+ 1

i=l

B(O)

(D 1ut)2J dx.

(214)

i=1

La formule de Poisson (tome II, [VII-1-9J) nous donne la solution du problème de Cauchy pour l'équation (212), solution dont la régularité croît avec celle des dérivées des conditions initiales

l+ [ nt + 1, l>2, alors la solution correspondante u (x, t) du problème de Cauchy pour .l'équation (212) est continue et admet des dérivées continues jusqu'à l'ordre l. Dire que cp E w~ loc (Rn) revient à dire que cpE w~ (B) pour toute boule Be Rn. Les raisonnements du numéro précédent entraînent l'existence d'une solution u (x, t) du problème de Cauchy .appartenant à w~ loc (Rn+ 1 ). Ceci et le théorème 2 ci-dessus affirment la continuité de u (x, t) et de ses dérivées jusqu'à l'ordre

J

.l=m-[ nt 1 J-1. La solution du problème de Cauchy pour l'équation 0 u = -= f (x, t) avec les mêmes conditions initiales sera classique si (Rn+!) 2, 100 + , f Ewm-l

1-2-31. SOLUTIONS DISTRIBUTIONNELLES

171

1-2-31. Solutions distributionnelles des équations du second ordre. Au [I-2-15J on a étudié la question de savoir lesquelles des fonctions u (x, t) définies dans un domaine D, possédant des dérivées partielles premières discontinues sur une surface régulière a et vérifiant les équations Ou = 0 ou Ou = /, il convenait d'appeler solutions (plus exactement solutions distributionnelles) de ces équations dans D. Du point de vue physique, c'est-à-dire si un problème de physique nous conduit à ces équations, il faut imposer à ces fonctions u la condition [P (u)J()' = 0 qui dit qu'aucune force extérieure n'est concentrée sur la surface de discontinuité. Du point de vue mathématique, il faut que ces fonctions soient justiciables de la formule de Green (79) dont le rôle est déterminant dans l'étude des équations différentielles. Au [I-2-15], on a montré que ces conditions sont équivalentes si u présente des discontinuités « régulières »,c'est-àdire remplit des conditions cinématiques de compatibilité et si les surfaces de discontinuité sont régulières. Les fonctions u remplissant toutes ces conditions et vérifiant l' équation 0 u = / en dehors de a, satisfont l'identité

) u 0 11 dx dt= ) /11 dx dt D

(224)

D

pour tout 11 E Cr: (D). D'autre part, au (tome IV l , [111-5], [111-6]) on a défini les notions de dérivées distributionnelles et d'opérateurs différentiels distributionnels pour les fonctions de L 2 (D). Dans le langage de ces notions, l'identité (224) exprime que l'opérateur distributionnel 0 a été défini pour u et que 0 u = /' On dira qu'une fonction u (x, t) est une solution distributionnelle de la classe L 2 de l'équation 0 u = / dans un domaine D si elle est de carré sommable sur tout domaine D' c D et si elle est justiciable de l'identité (224) pour tout 11 E C~ (D). Dans la suite, par D'on comprendra des domaines bornés tels que D' cD. De façon analogue, on appelle solution distributionnelle de la classe L 2 dans le domaine D de l'équation n

L (u) ==. ~ aihuxix1& t, h=1

n

+!J biuxi+cu=! t=1

(225)

toute fonction u (x) de carré sommable sur tout domaine D'et vérifiant l'identité

JuL* (11) dx= J/11 dx

D

D

(226)

172

CH. 1.

TH~ORIE

DES

~QUATIONS

AUX

D::eRIV~ES

PARTIELLES

pour tout 1'] E C~ (D). L'opérateur L* est l'adjoint de L au sens de Lagrange, c'est-à-dire

Pour que cette définition soit correcte, il faut que les coefficients admettent des dérivées secondes et les coefficients b h des dérivées premières. Supposons que les dérivées D1aik' l = 1, 2 et Db i sont continues dans D. Les solutions des équations (225) de la classe C2 (D) (les seules considérées jusqu'à présent) seront dites classiques. Les solutions classiques de l'équation (225) vérifient l'identité (226), car la formule de Green aik

j uL* (l']) dx = j 1']L (u) dx, D

(227)

D

a lieu pour tout u E C2 (D) et tout 11 E Cr: (D). La réciproque est vraie: si u E C2 (D) et vérifie l'identité (226), alors elle est solution classique de l'équation (225). En effet, de (226) et (227) il s'ensuit que

j [L (u) -f] 1'] dx= 0 D

pour tout 1'] E Cc: (D). De là il s'ensuit en vertu du théorème 2 du (tome IV l' UII-5l) appliqué à un domaine D' que L (u) = f. On a le Thé 0 r ème 3. Si les coefficients de L sont constants dans D, alors toute solution distributionnelle de L 2 de l'équation sans second membre associée à (225) peut être approximée pour les normes de L 2 (D') par des solutions classiques de la même équation. En effet, soit u une solution distributionnelle de L 2 de l'équation sans second membre associée à (225) dans D, c' est-à-dire que u E L 2 (D') pour tout domaine D'et (228)

pour tout 11 E Cc: (D). Pour 11 prenons les fonctions moyennes Vh décrites pour une fonction v E Cc: (D) dans le (tome IV l' [111-4]). Ces moyennes appartiennent à Cc: (D) pour h assez petit. Le noyau médiateur ne dépendant que de la différence des arguments, l'égalité D1vh = (DlVh a lieu pour toute dérivée Dl de v. Donc L (Vh) = = (L (v)h. D'autre part, il est immédiat de vérifier à l'aide du

I-2~31. SOLUTIONS DISTRIBUTIONNELLES

173

théorème de Fubini que ) uWhdx= ) Uh wdx D

(229)

D

quelles que soient U E L 2 (D) et w E Cr;' (D) si h est assez petit (h doit être strictement inférieur à la distance du support de w à la frontière de D). De tout ce qui précède il s'ensuit que

0= ) uL* (Vh) dx= ) u (L* (v)h dx = D

D

= ) UhL* (v) dx= ) D

L (Uh) v dx.

(230)

D

Soit un domaine D' cD. Les relations (230) sont valables pour tout v E Cr;' (D') et h strictement inférieur à la distance de D' à la frontière de D. Ceci nous permet d'affirmer en vertu du théorème 2 du (tome IV l' [III-41) que L (Uh) = 0 dans D', c'est-à-dire que Uh est une solution classique de l'équation sans second membre associée à (225). Lorsque h -+ 0 les fonctions Uh convergent vers la solution distributionnelle U pour la norme de L 2 (D'). C. q. f. d. Il est immédiat de voir que la réciproque est vraie aussi: si une jonction U peut être approximée pour les normes de L 2 (D'), D' c D, par des solutions classiques Um de l'équation sans second membre associée à (225), alors elle est solution distributionnelle de cette équation dans le domaine D. On aurait pu se servir de ces deux propositions pour définir les solutions distributionnelles de l'équation L (u) = 0 dans D comme la limite, pour les normes de L 2 (D'), de ses solutions classiques. Cette définition aurait été identique à celle donnée plus haut. Cependant nous ne ferons pas intervenir cette définition, car elle n'est valable que pour des opérateurs L à coefficients constants (ou, plus généralement, assez réguliers). Signalons seulement que c'est précisément cette approche ,qui a été développée dans les années 30 par S. Sobolev dans l'étude des solutions discontinues de l'équation des ondes et la résolution du problème de Cauchy corrrespondant. Par la suite, Sobolev et de nombreux autres auteurs se sont penchés sur la résolubilité du problème de Cauchy pour des équations hyperboliques à coefficients variables en se basant sur les solutions classiques du problème de Cauchy pour des équations spéciales approximant l'équation donnée. Les solutions distributionnelles de l'équation (ou du problème de Cauchy correspondant) ont été définies comme la limite (pour telle ou telle norme) de solutions classiques des équations approximantes (ou du problème de Cauchy correspondant). Si de bonnes représentations intégrales ont été

174

CH. I. THeORIE DES :eQUATIONS AUX D:eRIV:eES PARTIELLES

trouvées pour les solutions des équations ou des problèmes aux limites correspondants, alors ces représentations ont été utilisées pour déterminer les solutions distributionnelles (cf. travaux de N. Gunter, G. Leray et autres). Le rôle dominant de l'identité (226) n'est pas apparu d'emblée bien que cette identité ait figuré dès les années 20 dans de nombreux travaux (par exemple, dans le travail de N. W i en e r, The Operational Calculus. Math. Ann., 1926, 95, pp. 557-584). Plus tard (à la fin des années 40- début des années 50) les solutions distributionnelles du problème de Cauchy et des problèmes aux limites pour des équations de types divers ont été définies sans faire appel aux représentations de ces solutions et aux processus d'approximation. Ces définitions qui se basent sur des identités intégrales ont été fécondes pour la résolution des problèmes aux limites. C'est précisément cette approche qui a été systématiquement développée dans les travaux de O. Lad y j e n s k a ï a et notamment dans sa monographie Problème mixte pour l'équation hyperbolique. Ces travaux mettent l'accent sur l'adéquation de l'introduction non pas d'une seule classe de solutions distributionnelles du problème, mais de toute une famille de classes de solutions distributionnelles si les coefficients de l'équation sont des fonctions suffisamment régulières. En revanche, si les coefficients ne sont pas suffisamment réguliers, il est souvent possible de rattacher à cette équation une classe bien définie de solutions distributionnelles. Ainsi, par exemple, si les dérivées des coefficients aik ou b i de l'équation (225) ne figurent pas dans l'expression de L*, alors la définition des solutions distributionnelles basée sur l'identité (226) est illicite. Dans le chapitre suivant, on exhibera une définition des solutions distributionnelles de divers problèmes aux limites, appartenant à différents espaces fonctionnels et l'on montrera comment appliquer ces définitions à l'étude de la résolubilité de ces problèmes. Etudions le problème de Cauchy suivant: n

L(u)e=

~

i, k=1

n aikuX.X1&+ l

~ biux.+cu-utt=f,

i=1

(231)

l

It=o = cp (x), Ut It=o = 'P (x), (232) en admettant que les coefficients de L sont des fonctions assez régulières (c'est-à-dire, différentiables autant de fois qu'il le faut) et que l'équation est hyperbolique. Multiplions l'équation (231) par une fonction arbitraire 'Y) (x, t) E C':' (Rn +1) (on rappelle que les fonctions telles que 'Y) (x, t) possèdent un support compact) et intégrons la relation obtenue sur le domaine R~+I= ({x, t) : x ERn, t > O}. Intégrons le premier membre par parties de telle sorte qu'il ne reste aucune dérivée de u. On obtient ainsi des intéU

175-

1-2-31. SOLUTIONS DISTRIBUTIONNELLES

grales étendues au plan R: = (ex, t): x E Rn, t = O} ~t contenant. les fonctions u 1t=o et Ut 1t=o qui seront remplacées par cp et'i' en vertU! de (232). En définitive, on est conduit à l'identité

J 1 uL* ('ll) dx dt + J('i''ll- CPT)t) dx =

R:+

(233)1

R:

où n

L* ('ll) =

{) (b (rl)

~

OZi

+ e'YI _ '1

'YI

'Itt

i, k=l

et où toutes les intégrales sont pratiquement étendues à un domaine.borné dans lequel 'll (x, t) est non nulle. Appelons solution distributionnelle de la classe L 2 du problème de' Cauchy (231), (232), une fonction u de la classe L 2 , loc (R~+I) (c'est-à-dire, une fonction de carré sommable sur toute partie bornée dlL domaine R";+I) et vérifiant l'identité intégrale (233) pour tout 11 E C:' (Rn +1). Il est clair que si les coefficients de L possèdent des dérivées con-tinues figurant dans L*, si f E Li, loc (R,,;+I) et si cp et 'i' sont deséléments de Li,lOC (Rn), alors cette définition est correcte, autre-ment dit, toutes les intégrales figurant dans (233) sont convergentes. Les solutions classiques du problème (231), (232) vérifient l'identité, (233). Si d'autre part une fonction u satisfait à cette identité pourtout 'll E (Rn +1) et est bicontinûment dérivable pour t ~ 0, alors elle sera solution du problème (231), (232). Pour s'en assurer il faut intégrer le premier membre de (233) par parties, ce qui conduit. à l'identité

Cc:

1 R:+

[L(u)-f]'lldxdt+ ) [('i'- U t)11-(<J>-u)'llt]dx=O.

(234}

R~

i

Les intégrales étendues à R: sont nulles pour 'll E Cc: (R:+ 1 ) et decette identité il s'ensuit en vertu du théorème 2 du (tome IV 1 ,· [111-5]) que Lu = f dans R:+l. Donc, l'identité (234) équivaut à, l'identité

1[('i'-

R:

u,) 11 - (q> - u) 'llt] dx =

o.

{235}

Considérons maintenant les 'll E Cr: (Rn+ 1 ) qui sont nuls pour t = O. Donc, l'intégrale qui contient 'll disparaîtra de (235) et de l'identit€ obtenue il s'ensuivra {toujours en vertu du théorème 2 du (tomeIV 17 [111-5]) que cp = ult=o, car pour 'llt'J=o on peut prendre une-

176

CH. I. TH:eORIE DES :eQUATIONS AUX D:eRIV:eES PARTIELLES

fonction quelconque de Cr: (Rn). L'identité (235) se réduit donc à

.\

('P -

Ut)

Tl dx = 0,

R~

-d'où l'on déduit par analogie que'P = Utlt=o' Ainsi donc l'identité {233) recèle toute l'information nécessaire sur le problème (231), (232). De la démonstration de ce fait, on voit à quel point il est essentiel que cette identité soit réalisée pour tout 'Y) E C': (Rn +1). :Si l'on avait considéré une classe plus étroite de fonctions 'Y) , par exemple, la classe C': (R~+1), on n'aurait pas pu prouver que la fonction U satisfait les conditions initiales (232). De tout ce qui précède il est clair que la définition de la solution distributionnelle du pr'oblème (231), (232), exhibée plus haut, généralise bien la notion de solution classique. Cette généralisation est indispensable .:Si les fonctions f, cp et'P ne sont pas assez régulières. Si, par exemple, la fonction f est discontinue ou si cp et'P ne sont pas dérivables, alors le problème (231), (232) n'admet pas visiblement de solutions clas:siques (c'est-à-dire de solutions deux fois continûment dérivables .dans R~ +1). Cependant la généralisation de la notion de solution du problème (231), (232), implique encore une justification. Plus exactement, au [1-2-28] on a montré que, dans la classe des solutions clas.:Siques, le problème (231), (232) est déterministe, c'est-à-dire qu'il ne peut admettre deux solutions distinctes. Il y a intérêt à préserver ~ette importante propriété des problèmes dynamiques, faussi est-il nécessaire d'établir si le théorème d'unicité n'est pas mis en défaut ·dans la classe des solutions distributionnelles définie plus haut. La démonstration exhibée au (I-2-27] ne passe pas, car les solutions oétudiées doivent posséder des dérivées distributionnelles du second ·ordre au moins. Une autre démonstration du théorème d'unicité a été proposée au début du siècle par Holmgren. Mais cette démonstration implique la résolution dans la classe des solutions classiques du problème adjoint pour des conditions initiales et des seconds membres suffisamment réguliers et à support borné. Or ce problème est pratiquement identique au problème initial (231), (232). Ce problème a été étudié dans le cas d'équations à coefficients variables par Hadamard, puis par Schauder et autres par des méthodes assez complexes et pour des coefficients de L pourvus d'un grand nombre ·de dérivées. Il était nécessaire d'élaborer d'autres méthodes de démonstration du théorème d'unicité pour les solutions distributionnelles qui n'impliquent pas de trouver les solutions classiques du problème adjoint. Ceci a été fait dans les travaux de O. Ladyjenskaïa au début des années 50 (cf. monographie citée à la page 174 et l'article: O. Lad y j e n s k a ï a, Sur la résolubilité des problèmes aux limites fondamentaux pour équations paraboliques et elliptiques.

1-2-32. EXISTENCE ET UNICIT:m DES SOLUTIONS DISTRIBUTIONNELLES

t77

DAN SSSR, 1954, 97, nO 3). Pour trouver les solutions distributionnelles du problème (231), (232), on peut se servir des méthodes de Galerkine, aux différences finies, fonctionnelle de Lâdyjenskaïa et autres. 1-2-32. Sur l'existence et l'unicité des solutions distributionnelles du problème de Cauchy pour l'équation des ondes. Les solutions distributionnelles du problème de Cauchy pour l'équation des ondes n

Ou==2J ux.:c.-Utt=/ i=l 1

(236)

Z

peuvent être déterminées pour de « mauvaises » fonctions j,

0, alors e-nx -+ 0 et le rapport e nx /n 2 -+ 00 pour n -+ 00, puisque enx croît plus vite que n 2 • Donc, lorsque les con·ditions initiales tendent vers 0, la solution tend vers l'infini. En ·d'autres termes, la solution du problème de Cauchy pour l'équation (239) ne dépend pas continûment des conditions initiales. S'agissant de l'équation hyperbolique, cette dépendance par rapport aux -conditions initiales a toujours lieu dans un sens ou dans l'autre (cf. [1-2-28] ;[1-2-29]). Nous avons établi l'analyticité des solutions de l'équation de Laplace pour le cas de deux variables indépendantes. Il en va de même pour le cas de trois variables indépendantes: U xx

+ U yy + U zz =

O.

Brossons la démonstration de cette affirmation. Supposons que l'on soit en possession d'une solution de cette équation admettant des dérivées premières et secondes continues en 0 et en son voisinage. La fonction u sera analytique sur une boule de centre 0 et de rayon R.

1-2-33. :eQUATIONS DE TYPE ELLIPTIQUE

181

La formule (tome II, [VII-3-6l) u(X,y,z)= 1

=

4nR

R2_(X 2 +y2+ Z2)

\ \

J J u (~, 11, ~) [(X_;)2+(Y_lJ)2+(Z_~)2]3/2 dS

(247)

s

nous permet d'exprimer la valeur prise par la fonction u en un point intérieur quelconque (x, y, z) de la boule par l'intermédiaire de la valeur prise en un point (~, 11, ~) de la frontière S de cette boule. Pour les x, y, z situés au voisinage de 0, on peut développer la fonction [(x- ~)2+ (y - 11)2 +(z _ ~)2]-3/2= 3

= R-3 [

1 + (X2+y2+Z2)_~~X+2lJY+2~Z)

]-2

en une série entière des puissances positives de (x, y, z) à l'aide de la formule du binôme de Newton. L'intégrant de l'intégrale (247) sera représenté par une telle série dont les coeffiCients dépendent de (~, 11, ~). Une intégration terme à terms de cette série sur S nous donnera la série entière de u (x,. y, z). On démontre de façon analogue que les solutions de l'équation {)2

U

{)x2

+

{)2

U

{)y2

+k u = 0 2

sont des fonctions analytiques de (x, y). Ceci fera du reste l'objet du chapitre suivant. Une démonstration de l'analyticité des solutions pour une vaste classe d'équations de type elliptique èst accessible dans les travaux de S. Ber n ste i n. Jusqu'ici il n'a été question que des solutions classiques, c'est-àdire des solutions bicontinûment dérivables des équations elliptiques. Penchons-nous sur les propriétés des solutions distributionnelles (discontinues) de ces équations. Considérons l'équation (239) et le laplacien Ll correspondant. En appliquant à cet opérateur les mêmes raisonnements qu'à l'opérateur 0 == L\ - ~ {){)22 , (cf. a t [1-2-14]; [1-2-15]) on est conduit à la conclusion suivante: l'équation (239) ne possède pas de solutions présentant des discontinuités faibles ni non plus de solutions présentant des discontinuités fortes et vérifiant les conditions cinématiques et dynamiques de compatibilité. Cela se conçoit, car on a établi que seules les surfaces caractéristiques pouvaient être des surfaces de discontinuité faible et de discontinuité forte; or les équations elliptiques n'en possèdent pas. On prouvera un fait plus général:

182

CH. 1. TH:eORIE DES :eQUATIONS AUX D:eRIV:eES PARTIELLES

Thé 0 r ème. Toute solution distributionnelle de L 2 de l'équation de Laplace est classique. Ce théorème est valable quel que soit le nombre de variables indépendantes. Pour plus de suggestion on le prouvera pour l'équation (239). Soit u (x, y) une solution distributionnelle de l'équation (239) dans le disque ouvert D po = {(x, y): V x 2 y2 < Po}, autrement dit u E L 2 (D p ) pour tout p < Po et

+

I JuC11 dx dy= 0

(248)

D po

pour tout 11 E Cc: (D po )' Le théorème établi au (I-2-311 nous dit que les moyennes Uh de la fonction u sont des fonctions harmoniques (donc analytiques) approximant u lorsque h -+ 0 pour les normes de L 2 (D p ), P < Po' Rappelons que Uh est définie sur D fH P ~ Po - h. Utilisons la propriété suivante des fonctions harmoniques: Uh

(x, y)

= n~2

J~

(x', y') dx' dy',

Uh

(249)

Be(x, y)

où Be (x, y) est un disque de centre (x, y) et de rayon 8, contenu dans D po - h ' Montrons que la famille de fonctions {Uh}, 0 ne dépendent que de X S , la connaissance dès valeurs initiales. des fonctions Uj sur la surface (3) importe peu. Pour établir les conditions que doit remplir la surface caractéristique (3), introduisons comme au (1-2-11] les nouvelles variables indépendantes xi en posant (4, où les n - 1 fonctions 00 2' • • • , OO n ont été choisies de telle sort6' que le système (4) soit soluble en Xk. On a les formules suivantes:

-186

CH. 1. TH~ORIE DES ~QUATIONS AUX D:mRIV~ES PARTIELLES

En portant ces expressions dans le système (1) et en ne retenant ~ue les termes qui contiennent les dérivées aU! ,on obtient aX i m

~

n

~

LJ Li

•

(If)

ai}

aOh au] -a-a + ... = 0 Xk Xl 1

(i=1, ... , m).

}=1 k=1

Dans les nouvelles variables nous avons affaire à des conditions initiales spéciales supportées par le plan x~ = O. Ce plan sera caractéristique si le système (11) ne permet pas de déterminer les dérivées - aau! de façon unique, c'est-à-dire si le déterminant formé avec Xl

les coefficients en .pose

aau! est nul. Si, pour simplifier l'écriture, on Xi n wij

~

(k) aUl I

(5)

= LJ aii -;)-, oXk

k=1

·on obtient l'équation du premier ordre suivante qui doit être vérifiée par toute surface caractéristique du système (1):

IWijl

=

Wu,

W 12 ,

w2l ,

W 22 ,

· . ., · .. ,

W m2 ,

· .. ,

Wm!, ,

.. .

W 1m W 2m

=0.

(6)

W mm aUll

'Cette equation du premier ordre est de degré ln en les dérivées aXk • Elle est identique à l'équation (53) du [1-2-11]. L'équation (6) doit être satisfaite en vertu de (3). Si l'on exige -qu'elle soit vérifiée identiquement, c'est-à-dire si on la traite comme une équation ordinaire du premier ordre pour la fonction wl (Xl' ••• . . . , x n ), alors on obtiendra une famille W 1 (Xl' • . . , X n ) = C de .surfaces caractéristiques du système (1). On démontre (cf. 1-1-3) que toute surface caractéristique peut être incluse dans une telle famille. Si la fonction W 1 (Xl' . • • , X n ) est telle que le premier membre ·-de l'équation (6) est différent de 0 sur la surface W l = 0, alors en -effectuant le changement de variables (4), on peut résoudre le systè-

au·

me (11) par rapport à -a ~ . Xi

Si dans le premier membre de l' équation (6) on remplace aaUll Xk par a'0 on obtient une équation de degré m pour les composantes du vecteur (al' ... , an), qui définit en chaque point les directions .caractéristiques de la normale. La direction de la normale est carac4éristique en tout point d'une surface caractéristique.

1-3-1. CARACT:eRISTIQUES DE SYSTÈMES D':eQUATIONS

187

On peut d-e la même façon considérer le système d'équations du second ordre m

n

""

"",

L.I

Lj

kl ai}

f)2 Uj

--~--:-~+ VXk VXl

... = 0,

(7)

i=1 k, l=1

en admettant comme toujours que a~'!= a~J.l. Si l'on a affaire à des tJ l conditions initiales spéciales supportées par l'hyperplan Xl = 0: Uj IXl=O

= fP j (x 2 ,

~Uj 1Xl=O -'i'j (x 2 ,

vX l

••• ,

xn )

••• ,

x n );

(j= 1, ... , m),

on sait que toutes les dérivées premières et toutes les dérivées seconpeuvent être déterminées sur Xl = O. En des, hormis ~ui Xl portant les conditions initiales dans les coefficients du système et en égalant à zéro le déterminant formé avec les coefficients en f);U! Xl on obtient la condition que doit remplir l'hyperplan Xl = 0 pour être caractéristique. Dans le cas général, les fonctions et leurs dérivées premières sont données sur la surface (3) et l'on doit chercher la condition sous laquelle le système (7) combiné aux conditions initiales ne permet pas de définir de façon unique les dérivées secondes. Considérons de nouveau le changement de variables (4). On a les formules:

,

En portant ces expressions dans (7) et en ne retenant que les termes f)2 u . contenant f) ,~ ,on obtient le système Xl

Dans les nouvelles variables, les conditions initiales sont supportées par le plan x~ = 0 et l'on doit écrire la condition d'indétermination de ce système. En posant n

(8)

188

CH. I. THeORIE DES :eQUATIONS AUX D:eRIV:eES PARTIELLES

on peut mettre cette condition SOUS la forme , , , 0011 0012 ... , OOlm , , ,

Iooijl =

0021

, OOm1

.. . , OO2m ..... , , OOm2 ... , OOmm

0022

=0.

(9)

Le premier membre de cette équation du premier ordre est un polyAh '" d e d egre' 2m en 1es d'" oro1 nome omogene erlvees -;l-. UXh

Revenons aux systèmes du premier ordre. Si dans (6) on substitue ah à ~ro1 , on obtient l 'équa tion UXh

(al' •.. , an)

=

0,

(10)

où est un polynôme homogène de degré menaI' ... , an et dont. les coefficients dépendent de (Xl' ... , X n ). On dit que le système (1) est elliptique dans un domaine D de l'espace (Xl' ... , x n ) si le premier membre de l'équation (10) ne s'annule que pour al = a 2 = . . . . .. = an == O. On définit de façon analogue un système (7) elliptique. Les systèmes hyperboliques sont différents. Mais nous revieudrons sur cette question dans le cas de deux variables indépendantes. On dit que le système (1) est paraboliquement dégénéré en un point (Xl' ... , x n ) ou dans un domaine D si en ce point ou dans ce domaine .on peut, par un changement linéaire ~déquat des variables as, réduire le nombre de variables du polynôme homogène (al' ... . , an)' Si les coefficients a~') du système (1) contiennent les fonctions Uj (c'est-à-dire que le système est quasi linéaire), alors en substituant des fonctions quelconques Uj supportées par. une surface 00 1 = 0 dans ces coefficients, on peut composer l'équation (6) et dire si la surface w 1 = 0 est caractéristique ou non. Ceci vaut aussi pour le système (7) si les coefficients a~J dépendent des fonctions U j et de leurs dérivées partielles premières (cf. U-2-1l). A noter que le système (7) peut être ramené à un système d'équations du premier ordre par l'introduction des mn fonctions

ou j

-aXh - --wik

j _1, ( k-1,

m).

, , n

En faisant le changement (10 1) dans les équations (7), on obtient m équations du premier ordre par rapport à (m mn) fonctions, Uj et Wjh' A ces équations s'ajouteront encore les mn équations (101).

+

1-3-2. Conditions cinématiques de compatibilité. Pour la suite de l'exposé on aura besoin d'un lemme sur la dérivabilité des fonc-

COMPATIBILIT~

1-3-2. CONDITIONS CINeMATIQUES DE

189

tions sur une" surface. Pour plus de suggestion, on prouvera ce lemme pour le cas de trois variables indépendantes. Soit f (Xl' X 2, Xs) une fonction continue d'un côté et sur une -surface S:

'1'

(Xl' X 2, Xs)

=

o.

'Supposons encore que les dérivées partielles premières de f sont .aussi continues de ce côté de S et prennent des valeurs frontières f Xi bien définies sur S. Si une courbe l d'équation Xi = Xi (t) (i = = 1, 2, 3), où Xi lt) possèdent des dérivées continues, est donnée du même côté de S, alors la fonction f est une fonction de t le long de l et l'on a 3

:~

~

=

fXhXk

(11)

(t).

h=1

Lem m e. La formule (11) a lieu si l est située sur S. On peut admettre que la courbe l est assez petite. Soient NI et N 2 ses extrémités et N le point courant de l. Menons par N une parallèle à la normale nI à S en NI vers le côté où f est définie, et portons sur chacune de ces parallèles un segment N N' de longueur ô. Oil admet que les extrémités N' de ces segments forment une courbe l' sans points doubles contenue dans le domaine de définition de f. Si = = Xi (t) Ô cos (nI' Xi). Appliquons la formule (11) le long de l' :

+

3

~~ Il' = ~

fXk (§1' S2' S3)

Xk

(t).

k=1

Intégrons les deux membres par rapport à t entre la valeur t = t i correspondant au po int N 1 et t: t

f(t)ll'-f(tl)ll'=)

3

~

fXkœl'

62'

63)Xk

(t) dt,

tl h=1

où f (t l ) et f (t) sont les valeurs de f aux points de l' correspondant aux t indiqués. Par hypothèse, f et f Xh sont continues sur S, donc l'intégrant du second membre est une fonction uniformément continue du paramètre ô. En passant à la limite pour Ô -+ 0 dans la dernière formule, on obtient t

3

1 (t) -- f (t l ) = ) ~

fXk

[Xl

(t), X 2 (t), X s (t)] Xk (t) dt,

tl k=1

où au premier membre figurent les valeurs de f sur l. Une dérivation des deux membres par rapport à t nous donne la formule (11).

190

CH. 1.

TH~ORIE

DES

~QUATIONS

D~RIV:E:ES

AUX

PARTIELLES

Ce lemme nous sera utile dans ce numéro et dans le chapitre suivant.Passons au cas d'un nombre quelconque de variables et supposons maintenant qu'une fonction f (Xl' ••. , x n ) reste continue en traversant une surface S: 'P (Xl' ••• , X n ) = 0, (12) et que ses dérivées partielles premières possèdent des limites bien définies de chaque côté de S, mais que ces limites sont différentes~ autrement dit, les dérivées premières de f présentent une discontinuité de première espèce sur la surface (12). Chaque côté de la surface sera doté d'un signe. Les limites seront affectées du signe « » ou « - » selon qu'elles auront été obtenues du côté positif ou négatif. Ainsi la condition de continuité de f à la traversée de S sera notée f+ = f-. Introduisons le saut des dérivées partielles premières:

+

[fxh]

= t~h - f~k·

Les quantités f+ et f- sont par hypothèse confondues le long de tout~ courbe l située sur la surface (12). En appliquant le lemme on obtient donc n

2J

h=l

n

2J

f~k dXh =

k=l

f;k dXk

(sur S).

(13}

Les variables Xh ne sont pas indépendantes sur la surface S. Si, par exemple, l'équation de la surface est donnée sous forme explicite~ l'une des variables sera fonction des autres, et seules ces dernières seront traitées comme des variables indépendantes. La formule précédente peut encore s'écrire n

2J

[f Xh] dXh =

h=l

O.

On a d'autre part n

2J

k=l

1Pxk dX h

= O.

Multiplions cette relation par un facteur h, inconnu pour l'instant,. et soustrayons de la formule précédente: n

2J Hf Xh] -

h=l

h'Pxh} dX k

=

o.

Définissons maintenant le facteur h de manière que le coefficient en la différentielle de la variable dépendante soit nul. Les autres coefficients en les différentielles des variables indépendantes seront visiblement nuls (tome l, (V-2-7l) et l'on obtient ainsi les n égali-

1-3-3. CONDITIONS DYNAMIQUES DE COMPATIBILITÉ

tg!

tés suivantes: . (14}

autrement dit, les sauts des dérivées partielles premières doivent êtreproportionnels aux dérivées partielles de (12) par rapport aux variables correspondantes. Ces conditions s'appellent conditions cinématiquesde compatibilité. Traitons maintenant le cas où la fonction f et ses dérivées premières restent continues à la traversée de la surface (12) tandis que ses dérivées secondes présentent une discontinuité. Les raisonnements'. précédents s'appliquent alors à chaque fonction f Xk' Chaque fonction f Xk figurera avec son propre coefficient de proportionnalité h k dans les conditions cinématiques de compatibilité et le saut de la dérivée de f Xk par rapport à Xl doit être proportionnel à 1PxZ" autrement dit, on aura les égalités suivantes pour les sauts des:· dérivées secondes: [!XkXl] = .f~kxl- f~l{xl = h k 1Px[' La dérivation ne dépendant pas de l'ordre dans lequel elle est effectuée tant du côté positif que négatif de S, on a h k 1Pxl = h l 1P x l" • e. ~ hl{ = ~. hl E n d' autres t ermes, 1e rapport h k·. 11, . 1. 't'Xk ne d olt 't'xk

't'Xl

pas dépendre de l'indice k. En posant h k dernière formule à la forme

=

: 1P x k

=

h, on ramène la'

1Pxz·

(15) Ces formules traduisent les conditions cinématiques de compatibi-lité dans le cas d'une discontinuité de seconde espèce, c'est-à-dire· des dérivées partielles secondes. [f XhXl]

h1Pxk

1-3-3. Conditions dynamiques de compatibilité. Revenons au système d'équations du premier ordre (1) et supposons que la surface· (3) est caractéristique pour ce système et qu'une solution u présente· une faible discon tinuité sur cette surface, c'est-à-dire que u est continue sur cette surface et seules ses dérivées premières y sont discontinues. Soient u + et u - les solutions continues respectives, du côté « >} et du côté « - >}, confondues avec u. Ecrivons le système (1) pour u + et u -. Faisons la différence de ces équations sur la surface (3). Les termes Q:>i seront continus à la traversée de cette surface et disparaîtront lors de la soustraction. Nous serons: donc conduits aux m équations suivantes que doivent vérifier lessauts des dérivées partielles premières:

+

(16).

192

CH.

1;

'1'H:mORIE DES :mQUATIONS AUX DBRrvoS PARTm.x,p,s

-Pour établir ces conditions on s'est essentiellement servi du système ~1) qui décrit généralement un processus physique; les conditions -obtenues s'appellent conditions dynamiques de compatibilité. Chaque Jonction Uj figure avec son propre coefficient de proportionnalité .h j dans les conditions cinématiques de compatibilité (14): {ju j [ -{jXh

J=

hj

{jw l

-{jXl>..

(j = 1, 2, ... , m).

(17)

En portant ces expressions dans les conditions (16) et en tenant de la notation (5), on obtient m équations du premier degré .sans second membre pour les coefficients h j : ~ompte

m

1J

wijhj=O

(i=1, 2, ... , m).

(18)

1=1

ne l'équation de la surface caractéristique (6) il s'ensuit immédiatement que le déterminant de ce système est nul et par suite ce système possède une solution non triviale. Dans le cas général, lorsque le œang de la matrice du système (18) est égal à m - 1, la solution :générale de ce système se définit à un facteur multiplicatif près .dont l'influence sur la nature de la discontinuité est insignifiante. Passons maintenant à l'étude du système d'équations du second «)rdre (7). Dans ce cas, la solution qui présèntera une discontinuité laible sera une solution dans laquelle la fonction U et ses dérivées premières sont continues. Comme plus haut, on obtient les conditions dynamiques de compatibilité suivantes pour les sauts des .dérivées secondes: (19) "Chaque fonction Uj figurera avec son propre coefficient de proportionnalité h j dans les conditions cinématiques de compatibilité: ] _ h {jw l {jw 1 {j2U j (20) [ -{j~X-h~{j-xl- j {j Xh {j x l · En portant ces expressions dans les conditions (19) et en se servant -de la notation (8), on obtient de nouveau un système d'équations sans seconds membres en hj, dont le déterminant est nul en vertu ~e (9): m

2J

Wiihj = O.

(21)

i=1 1-3-4. Equations de l'hydrodynamique. Appliquons la théorie des caractéristiques aux équations de l'hydrodynamique. Désignons par (ul' U 2 , us) les -eomposantes du vecteur vitesse, par p, la pression, par p, la densité et par Ir,

1-3-4.

~QUATIONS

DE L'HYDRODYNAMIQUE

193

fI, fs, les composantes de la force extérieure rapportée à l'unité de masse. Les variables indépendantes seront le temps t et les coordonnées spatiales On aura trois équations d'Euler:

Xl' X2' Xs.

(i=1, 2, 3),

et l'équation de continuité (tome II, [IV-2-8]) 3

op ~ -,-+ ot

3

op

-Uk+P

oXk

k=l

~ --=0. ÔUk ôXk k=l

On admettra que le liquide est compressible et que l'équation d'état est une relation liant la pression et la densité p = p (p), où p (p) est une fonction donnée. On aura en définitive quatre équations du premier ordre pour les fonctions Uit U2' Us, P des variables indépendantes Xl' X 2 , Xs, t: (i=1, 2, 3),

3

~

P LJ

3

ÔUk

Ô:Pk

+!.f!-+ ~ !E.... u =0. ôt LJ ÔXk k

k=l

Les quantités

OOi)

k=l

définies par les formules (5) seront de la forme:

(i=1, 2, 3, 4),

1 P dp

dp Ô00 1 • 00' - - - - l4 ÔXi t

(i

=1= 4),

où 001 désigne comme toujours le premier membre de l'équation de la surface caractéristique 001 (XH X2' XS t t) = O. (22) Comme plus haut désignons par g2 la somme

( ~)2 ôXk • 13-01017

194

CH. J. TH~ORIE DES ~QUATIONS AUX D~RJV~ES PARTIELLES

L'équation de premier ordre (6) que doit vérifier la surface caractéristique (22) sera de la forme: . 1 dp ôro t

o

o

p

1 dp

o

dro t

o

o

dro t

ôro t

ôro t

P

àX1

(

·0

dt

ôro t drot

=

dt

"P""d'P

p

ôX 2

+

ôro t àt

ôX 2

1 dp

ôro t

U

ÔXt

1

=0

ôXa

dro 1

--cu-

ôXa

oro t

ôro t

p d'P p ëiP

dt

ôX1

+ ÔX ôro

u

t

2

2

+

oro t u ) ÔXa

3

•

Développons ce déterminant: (

~~1

)

2[ (

d;/ )2 _

g2

J

:~ = O.

(23)

La vitesse P de propagation de la surface (22) dans le sens normal à celle-ci est donnée par la formule (75) du [1-2-14]. La surface (22) traversera à chaque instant des particules liquides. Soit un la composante de la vitesse d'une particule liquide située sur la surface, portée par la normale à cette surface au point considéré. Comme oro 1 : g sont les cosinus directeurs de la normale en question (du côtéÔXk

des roI

>

0), on a 3

Un

=.i~ g LJ

ôrot

UA

àXk·

k=1

La différence P - Un qui exprime la vitesse de propagation de la surface par rapport aux particules liquides s'appelle généralement vitesse de propagation de l'onde. Pour cette vitesse on a l'expression suivante: V = P - un = .

_.!g ôrot ot

_

-!.

3

~

g LJ

.Uk

ôro 1 ÔXk

k=1

ou (24)

L'équation différentielle des surfaces caractéristiques . (23) équivaut aux deux. équations suivantes:

V2 = O·,

f

ll2= dp , 'dp·

(25)

La première équation décrit le cas d'une discontinuité stationnaire, donc dans la suite on n'étudiera que la deuxième. La vitesse II définie par la formule (25} est la vitesse du son: .

ll=,i,d p V ·dp·

(26)

1-3-4.

~QUAT10NS

195

DE L'HYDRODYNAMIQUE

Etablissons' maintenant la nature de la discontinuité en se servant des con~ ditions cinématiques et dynamiques de compatibilité. Désignons par h k les coefficients de discontinuité figurant avec les fonctions Uk dans la formule (17). par r, celui de la fonction p. Les équations (18) s'écrivclll ici dro t hk' dt

+..!..

ôro t ÔXk

dp P dp

r=O

(k = 1, 2, 3)

ou, compte tenu de (24) et de (25), 1 V ôro -ghk+- - t r=O,

P

ôXk

autrement dit (27}

où cos a.k sont les cosinus directeurs de la normale à la surface de discontinuité. On interprétera (ht , h 2 , ha) comme les composantes d'un vecteur h (le vecteur de discontinuité des dérivées de la vitesse). Les formules précédentes peuvent être mises sous la forme vectorielle suivante: rV

h= p n,

où n est le vecteur unitaire de la normale à la surface de discontinuité. On voit donc que le vecteur de discontinuité des dérivées de la vitesse est dirigé suivant la normale à la surface de discontinuité (onde longitudinale). Les composantes du vecteur accélération Wi s'expriment à l'aide des formules: ôU· W"= _ _ l Z

ôt

+

3 ~

ôU· __ Z

Uk

ÔXk

(i= 1,2, 3)

k=1

et sont affectées d'une discontinuité à la traversée de la surface. Supposons qu'il y ait repos d'un côté de la surface. La vitesse étant continue, ses valeurs limites sur la surface sont nulles que l'on se rapproche d'un côté ou de l'autre de cette surface, quant à ses dérivées, elles prendront sur la surface des valeurs égales au saut puisqu'avant d'atteindre la surface elles étaient nulles du côté du repos. Il en va de même des composantes de l'accélération. Le saut de ces composantes est défini, en vertu de (27) et (24), par l'égalité [wi] = hi

-+ ôt ôrot

3 ~

oro t htUk - ôXk

=

dro t hi - = dt

k=1

rgV2

---.;;-- c os a. i , P

ou sous la forme vectorielle: [w]

=-

rgV2 n. p

Cette formule nous donnera l'accélération sur la surface de discontinuité sous la condition de.repos. . . Considérons maintenant le cas stationnaire où les fonctions Uk et p ne dépendent pas de t. En admettant que rot' ne dépend pas non plus du temps, on aura P = et V = -un' Supposons que la vitesse du liqui e est inférieure à P et l'égalitécelle du son (26) dans un domaine. Donc, a fortiori 1 un 1
0) et par suite l'équation (33) définit bien un ellipsoïde. La résolution de l'équation en Â. nous donne .en tout point du corps trois racines strictement positives Â. = P5, P5 étant une fonction homogène de degré 2 par rapport à Pl' P2' Ps. Si l'on divise les deux membres de l'équation (33) par g2, les Pk se transforment en cos a.h, où cos a.h sont les cosinus directeurs de la normale à la surface de l'onde, et la racine p~ se transforme en P2. Donc, en chaque point on obtient trois vitesses possibles de propagation de l'onde dans une direction fixe. Les composantes (hl' h 2, ha) du vecteur de discontinuité se déduisent du système d'équations sans seconds membres qui définit les directions des axes de symétrie de l'ellipsoïde (33). Donc, si la direction est donnée, on aura en chaque point trois vecteurs de discontinuité deux à deux orthogonaux correspondant aux trois vitesses de propagation. Pour obtenir des ondes longitudinales et transversales, il est nécessaire et suffisant que l'un des axes de symétrie de l'ellipsoïde soit dirigé suivant la normale à l'onde correspondante. Sous cette condition, on aura une onde longitudinale et deux transversales. On admet que, la direction étant fixée, l'équation cubique ci-dessus admet trois racines distinctes. Dans le cas d'un milieu isotrope homogène, on a vu qu'une racine était double. Les cosinus directeurs de la normale à l'onde sont proportionnels à Pl' P2' Pa et par suite la condition nécessaire et suffisante revient à dire que pour une certaine racine Â. = PP5 les quantités (hl. h 2, h~) doivent être proportionnelles à (Pit P2' Ps), quel que soit Pk' c'est-à-dire quelle que soit la direction. En remplaçant ces quantités par les quantités proportionnelles h k dans le système homogène en hk , on obtient:

+

+

(api+ c"pl+ b"pl-ppi) Pl {

+

+ (c' + c") PIPi+(b' +b") PIP§ =0,

(c' +c") pip2+(c"pl+bpi+a"pâ--PP5) P2+(a' +a") P2P§=Ü, (b' +blf) pips+(a'

(34)

+ a") P~P3+ (b"pi+alfp~+cpi-PP~) Ps=O.

Si l'on tient compte du fait que quel que soit le choix de Pl' P2 et Ps, on doit obtenir à partir des équations (34) la même valeur pp~, on est conduit aux conditions suivantes pour les coefficients du potentiel élastique A :

=

c

d'où l'on déduit que PPi nales est

=

a

=

b

=

a'

ag~

+ 2a" =

b'

+ 2b" =

c'

+ 2c",

(35)

et la vitesse de propagation des ondes longitudi-

p=".1 V

Il

p'

200

CH. 1.

TH~OFJ.IE

DES~QUATIONS

D~RIV~ES

AUX

PARTIELLES

Les deux autres racines sont généralement distinctes et dépendent du choix de la direction de l'onde, c'est-à-dire du choix de Pk' Les égalités (35) nous fournissent cinq conditions pour les neuf coefficients qui figurent dans l'expression du potentiel éb.stique A. 1-3-7. Ondes électromagnétiques. Considérons les deux premières équations de Maxwell en milieu isotrope: crot H

=

ÂE

+

crot

BEt ,

E

=

-JA-Ht ,

(36)

où E et H sont les champs électrique et magnétique. c, la vitesse de la lumière, Â, le coefficient de conductibilité du milieu, B et ~, la constante diélectrique et la perméabilité magnétique. Les vecteurs E et H sont fonctions des variables indépendantes (xl' x~, Xa, t). En désignant leurs composantes par (el' e2' ea) et (hl' h 2 , ha), on peut mettre l'équation (36) sous la forme

J:. c

J:.. c

ôh t ôt ôh 2 ôt

+ ôes + ôel

ôXa

J:. iJh a + c

_

iJx 2

Dt

ôe 2 =0, ôXa

_~ ôes =0, ôXI

ôe z _ ôXI

(37)

ôet =0, ôX z

les points de suspension remplacent des termes ne contenant pas de dérivées des fonctions ek et h k • Nous avons affaire à un système de six équations du premier ordre à six fonctions. Numérotons ces fonctions comme suit: UI = el;

= e2;

Ua = ea;

= hl;

= hz;

= ha· En formant les expressions (5) et en écrivant l'équation (6), on obtient l'équation du premier ordre suivante pour les surfaces caractéristiques: U2

B

U4

u6

-Po

0

0

0

Pa

-Pz

0

-Po

0

-Pa

0

Pl

0

0

-Po c

c

0 Pa

-P2

B

c

-Pa

B

Pz

P2

-Pl

ua

0 =0.

~

-Po

0

0 0

c

~

0

-Pl

0

-Po

Pl

0

0

0

c

(38)

~Po c

Multiplions les trois premières colonnes de ce déterminant par

J:c

Po- Puis à la

première colonne ajoutons la cinquième multipliée par (-Pa) et la sixième multipliée par P2; à la deuxième colonne, ajoutons la quatrième multipliée par Pa et la sixième multipliée par (-Pl); à la troisième colonne ajoutons la quatrième multipliée par (-P2) et 'la cinquième multipliée par Pl- En développ ant ensuite ce déterminant suivant les éléments de la sixième, cinquième

I~3~7.

20t

ONJ)ES :eLECTROMAGN:eTIQUES

et quatrième ligne, on est conduit à l'équation

9+ pf

PIP2

P2PI

q+ P~

PaPI

PSP2

=0,

où q= e~ P~_ g2. c

(40).

Le développement de ce déterminant nous amène à l'équation (g2=pi+p~+pi),

q2(q+g2)=0

(41}

°

qui se scinde en deux équations. Si l'on égale la somme entre parenthèses à zéro,. on trouve que Po = et l'on obtient une onde stationnaire [1-2-14]. On examinera ultérieurement le second cas où q = 0, c'est-à~dire lorsque

qt c2 p2_g2=0 0 ,

(42\.r

ce qui conduit à une expression notoire de la vitesse de propagation de l'onde: V=

c Vef-L •

(43)·

Etudions maintenant la nature de la discontinuité. Désignons par (al' a 2 , as) les coefficients de discontinuité des dérivées des composantes du champ E, par (~l' ~2' ~s), les mêmes grandeurs relatives au champ H. Introduisons comme toujours les vecteurs de discontinuité a (al' a 2 , as) et li (~l' ~2' ~s). On a [EXh] = Pha, {

(k=O, 1, 2, 3;

[H Xh ] = Phli

X o=

(44)-

t).

Les trois premières équations (18) deviennent ici: (

1

~

~ POal + PS~2 - P2~3 = 0,

+ c

POa 2

+ PI~S

poas

+ P2~1 -

1

l cB

-

PS~l =

0,

PI~2 = 0,

ou, en désignant par n le vecteur unitaire de la normale au front d'onde dirigé dans le sens où WI > 0, -

(45):

eV a=li X n, c

WI

= 0(46).

le ~econd membre représentant le produit vectoriel des vecteurs li et n. De façon· analogue, les trois dernières équations (18) s'écrivent:

~V c

li= -a X n.

(47)-

De ces équations il s'ensuit immédiatement que les vecteurs a et li sont situés dans un plan tangent à l'onde et sont deux à deux orthogonaux. Supposons que devant le front d'onde, c'est-à-dire dans la région où wi > 0, le milieu soit au repos, ce qui s'exprime par la nullité de E et H. Les formules.

:202

CH. I. TH~ORIE DES ~QUATIONS AUX D~RIV:E:ES PARTIELLES

.(44) nous donnent les valeurs des dérivées de E et H sur le front d'onde:

E Xk = -Pk a ; H Xk = -Pk~.

(48)

'Considérons le développement taylorien de E et H limité aux termes contenant !les dérivées premières au voisinage du front d'onde. Comme E et H sont nuls :sur le front d'onde, on obtient, compte tenu de (48), les formules approchées :suivantes: 3

E,.., -a

3

2J

H ,.., -~ ~ Pk (Xk -xj"o»,

Pk (Xk-Xit°»;

k=O

'Où (xilO>, fonction 'ID I

k=O

x~o>tx~°l, X~OI) û.)l

est un point du front d'onde. En développant la en série de Taylor, on peut éc.rire, compte tenu de ce que

(x60>, x1°>,

x~o>,

xâo» = 0 : 3

(Xo,

û.)l

Xl'

X 2, X3)"""

2J

Pk (Xil -xk.° l ),

k=O

,et les formules précédentes deviennent (cf. [1-3-4]) E ,..,

-û.)l

(xo,

Xb X 2 '

x3)

a;

H ,..,

-û.)l

(xo,

Xl' X2' X3)

p.

(49)

-Ces formules approchées sont valables au voisinage de l'onde du côté qui est le siège d'un processus électromagnétique. Dans un milieu homogène anisotrope la quantité 8 ne doit plus être considé!l'ée comme un nombre, mais comme une matrice d'ordre 3. Cette quantité figure dans la relation qui lie le vecteur déplacement électrique au vecteur E (tome II, nV-2-12]). La quantité f.t est un nombre comme avant. Choisissons les axes de -coordonnées de telle sorte que la matrice 8 se réduise à la forme diagonale et soient 8 3 > 8 2 > 8 1 > 0 ses valeurs propres (tome 1111 , [II-2-1], [11-2-2]). Sous -ces conditions, les trois premières équations (37) s'écrivent:

!.L C

oel ot

8S

C

oh 2 oXa

oh a

_

+ ... =0,

OX2

a_ + oh oX

oh l oXs

+ . . . =0 ,

oe s +oh l _oh 2 ot OX2 oXl

+ ... =0,

~ oe 2 C

+

0t

l

-et au lieu de l'équation (39) on obtiendra l'équation

+

ql pi PlP2 PIPa PlP2 q2+ p~ P2PS PlPS

qs

P2Pa

=0,

(50)

+ P~

-où En posant

O. En procédant comme indiqué au (1-3-10) et en effectuant le changement

+

1fa~ u.; VI = Va u,. on ebtient deux équations séparées pour VI et v.: VI

aVI aXI

-ya

=

aVI aX2

+F (x 2) =0;

+ya

aV2 aXI

aV2 aX2

UlI'

(93)

-F (x2) =0.

(94)

Le changement de variables 2't']= --fa Xl +X 2 ,

2s=ytÏ %1 +X2; ramène le système à la forme

(95)

Cherchons la solution de (95) qui vérifie la condition initiale vllx1==o=v.lx1==o=O, Le.

VI

111=i=O;

v2111=~=0.

On déduit à partir de (95) i+11

J2,

,+11

J

F (t) dt;

F (t) dt.

211

Dans les anciennes variables indépendantes, on a 1

l'

F (t) dt;

",= );

Y

F (t) dt,

Y;Xl+ X• - VaxI+X2 et les formules (93) nous permettent de remonter aux solutions Ul' (92) qui vérifient les conditions initiales UI

Ix1==o =

U2

IX1=o =0.

Il est évident que cette solution est unique. Pour a = 0, le système (92) devient aUI _ aXI

au. =0; aX 2

aU2 ax}

+F (X2) = 0,

U2

du système (96)

214

CH. 1. TH:eiORIE DES :eQUATIONS AUX D:eRIV:eiES PARTIELLES

et sa solution qui vérifie les conditions (96) est: UI

= - 2,x~

F' (,x2);

U2

= -,xiF (,x2),

il est entendu que F (,x2) possède une dérivée seconde continue. Traitons enfin le cas où a = - b2 < O. En posant y

b,xl=,x;

,x2=y,

Vt=bUl+

~

) F(t)dt;

(97)

V2 =U2,

e

on écrit le système (92) sous la forme

+ aVI ôy

Ôl'2 =0' aV 2 ôy 'ô,x

ÔVI _ ô,x

=0 •

+

+

On remarque que VI V2i doit être une fonction régulière de z = ,x yi qui en vertu de (96) et (97) doit tendre pour ,x -- 0 vers la fonction réelle . y

~

(98)

) F (t) dt. e

-On peut affirmer que la fonction régulière z doit être prolongée par analyticité .au-delà de la droite x = 0 et par suite doit être analytique sur cette droite même {tome 111 2 , (1-24]). Donc, la fonction (98) et, par suite, la fonction F (y), doivent être analytiques pour y réel. En développant la fonction (98) en série entière de (y - Yo), où Yo est un réel quelconque, soit:

-+ ) y

00

F(t) dt=

~

ak (y-yo)k,

k=O

c

on obtient 00

VI+v 2i= ~ (-i)kak(z-iYo)1~

(z=,x+yi)

k=O

pour les z proches de iyo. Sachant

VI

et V2' on détermine

UI

et U2 grâce à (97).

Chapitre II

. PROBLÈMES AUX LIMITES

11-1. Problèmes aux limites pour une équation différentielle ordinaire 11-1-1. Fonction de Green relative à une équation linéaire du second ordre. Le présent chapitre sera consacré à l'étude des problèmes aux limites aussi bien pour les équations différentielles ordinaires que pour les équations aux dérivées partielles. Nous avons à maintes reprises rencontré de tels problèmes. Nous nous proposons de donner un exposé systématique de cette question. L'application de la méthode de Fourier à la résolution de problèmes aux limites de la physique mathématique nous a conduits à plusieurs reprises au problème aux limites suivant pour une équation différentielle ordinaire du second ordre contenant un paramètre: trouver les valeurs du paramètre  pour lesquelles l'équation sans second membre d

dx

[p (x) y']

+ [Âr (x) -

q (x)] y =

°

(1)

possède une solution non nulle sur un intervalle borné fini [a, b] et vérifiant aux bornes de cet intervalle des conditions aux limites homogènes: O-lY (a)

+ O-zy' (a)

=

°;

~lY (b)

+ ~zY' (b)

= 0,

(2)

et ~k sont des nombres donnés non tous nuls. On admettra que p (x), q (x) et r lx) sont des fonctions continues sur [a, b] et de plus que p (x) ne s'annule en aucun point de cet intervalle et possède une dérivée continue. Désignons la somme des termes de l'équation (1) ne contenant pas le paramètre  par OÙO-k

d

L (y) = Ch [p (x) y']- q (x) y. On appellera comme toujours valeurs propres, les valeurs du paramètre  pour lesquelles le problème homogène possède des solutions non triviales, et fonctions propres, ces solutions non triviales. Ces fonctions sont de toute évidence définies à un facteur multiplicatif constant près. Il est immédiat de voir qu'à toute valeur propre est associée une fonction propre et une seule. En effet, supposons

216

CH. II.

PROB~MES

AUX LIMITES

à l'inverse que l'équation (1) admet pour une valeur propre  deux solutions linéairement indépendantes vérifiant les conditions aux limites (2). L'intégrale générale de l'équation (1) vérifie alors les conditions aux limites (2). Ce qui est absurde, puisqu'on peut trouver une solution de l'équation (1) pour des valeurs initiales y (a) et y' (a) ne satisfaisant pas la première condition (2). Par les transformations élémentaires dont on s'est maintes fois servi (tome 111 2 , [V-8J, lVI-2-3J, lVI-3-2l) on montre que des fonctions propres CPI (x) et CP2 (x) associées à des valeurs propres distinctes sont orthogonales, soit: b

Jr (x) CPl (x) CP2 (x) dx = O. a

_Introduisons pour l'opérateur L (y) une fonction identique à celle qui a défini la déformation statique subie par une corde sous l'action d'une force concentrée (tome IV 1 , (1-1]). Le rôle de l'opérateur L (y) incombait à y". Pour arriver de façon naturelle aux propriétés de la fonction introduite, considérons l'équation d

L (y) = dx [p (x) y'] -q (x) y=

-1 (x)

(3)

et supposons que la fonction 1 (x) est nulle sur l'intervalle la, bJ tout entier sauf un petit intervalle [~ - e, ~ el, où ~ est un point fixe intérieur à [a, blet de plus que

+

~+s

J f (x) dx= 1.

(4)

5- S

Lorsque e tend vers 0, on obtient à la limite l'analogue d'une force concentréa au point x = ~. Sous la condition imposée à f (x) considérons la solution Ye (x) de l'équation (3) qui vérifie les conditions aux limites (2) (on admet que cette solution existe). En intégrant les deux membres de l'équation (3) par rapport à x et en tenant compte de (4), on obtient

p(x)y~(x)

J-.-J. X=S+8

~+8

q(x)y.(x)dx= -1,

ou à la limite lorsque e -+ 0, y'

(~ + 0) -

y' (s - 0) =

-

p

~~)

,

c'est-à-dire que la dérivée y' (x) de la solution y (x) doit subir au point z = ~ un saut égal à - p ~~) • Cette solution dépendra de

217

11-1-1. FONCTION DE GREEN

toute évidence du point de l'intervalle [a, b] qui sera pris pour s~ de sorte qu'elle sera fonction des variables x et On la désignera par G (x, s) et on l'appellera fonction de Green relative à l'opérateur L (y) sous les conditions aux limites (2). Les considérations précédentes nous conduisent à la définition rigoureuse suivante de la fonction de Green: on appelle fonction de Green relative à l'opérateur L (y) avec les conditions aux limites (2) une fonction G (x, s) vérifiant les conditions suivantes: 1) G (x, s) est définie et continue dans un carré k o défini par les inéquations a:::( x, s:::( b; 2) G (x, s), comme fonction de x, possède pour a:::( x < set S< x:::( b des dérivées premières et secondes continues et est solution de l'équation sans second membre L (y) = 0; 3) G (x, s), comme fonction de x, satisfait les conditions aux limites (2) ; 4) la dérivée de G (x, s) par rapport à x que nous désignerons par G' (x, s), subit un saut sur la diagonale du carré ko, c'est-àdire pour x = S, et de plus

s.

r {

G' (s + 0, s) -- G' (s - 0, s) = G'

(s, s+ 0) -

G'

(s, s-

0)

=

p

p

~6)

~6) ,

(5}

•

Les conditions (5) se traduisent par une seule, savoir: à l'approche de tout point x = S de la diagonale, aussi bien d'en haut, c'est-à-dire à partir du domaine S > x, que d'en bas, c'est-à-dire à partir du domaine S< x, la dérivée G' (x, s) doit prendre des valeurs bien définies et la différence de ces valeurs limites doit être égale à p ~s) . Dans chacun de ces domaines, la dérivée seconde par rapport à x s'exprime, en vertu de L (G) = 0, de la manière suivante: p (x) G" (x, s)

=

-p' (x) G' (x, s)

+ q (x) G (x,

s),

et par suite cette dérivée seconde prendra des valeurs bien définies à l'approche de la diagonale d'en haut ou d'en bas. Prouvons maintenant qu'il existe une fonction de Green et une seule satisfaisant toutes les conditions indiquées ci-dessus. On admettra que Îv = n'est pas une valeur propre, c'est-à-dire que l'équation L (y) = ne possède pas de solutions non ~riviales satisfaisant les conditions (2). Nous verrons dans la suite comment il faut modiest une fier la définition de la fonction de Green lorsque Îv = valeur propre. Construisons la solution YI (x) de l'équation L (y) = 0 en prenant pour valeurs initiales YI (a) et Y~ (a) des nombres vérifiant la première condition (2). La solution YI (x) et plus généralement toutes les solutions CIYI (x), où Cl est une constante arbitraire, satisferont la première condition (2). Il est immédiat de voir qu'il n'existe pas d'autres solutions vérifiant la première condition (2). En effet, s'il en existait une, Y (x), on aurait deux équations sans second

° °

°

218

CH. II.

PROB~MES

AUX LIMITES

membre en Ct l et Ct 2 : CtIYI (a)

+ (Z2Y~ (a)

= 0;

(ZiY

(a)

+

Ct 2 y'

(a)

= 0,

et comme on admet naturellement que l'un au moins de ces nombres est non nul, le déterminant de ce système devrait être nul, autrement dit le wronskien des solutions y (x) et YI (x) serait nul pour x = a, donc Y (x) et YI (x) seraient linéairement indépendantes, c'est-à-dire que Y (x) = CYl (x) (tome II, 11-1-1). De façon tout à fait analogue, supposons que C2Y2 (x), où C2 est une constante arbitraire, sont les solutions de l'équation L (y) = qui vérifient la deuxième condition (2). Le théorème d'existence et d'unicité nous dit que les solutions YI (x) et Y2 (x) sont définies sur l'intervalle la, b] et sont linéairement indépendantes. En effet, si elles étaient linéairement dépendantes, alors YI (x) vérifierait les deux conditions aux limites (2) et À = serait valeur propre, ce qui est contraire à l'hypothèse. La fonction G (x; s) est de la forme CIYI (x) pour x ~ et de la forme C 2Y2 (x), pour x ~ Il reste à choisir les constantes Cl et C2 de telle sorte que cette fonction soit continue en x = S et que sa dérivée subisse le saut signalé. Ceci nous conduit aux deux équations suivantes pour la détermination de Cl et C2 : ( CIYI Œ) - C2Y2 (s) = 0, ) 1 (6) l cIY; (s) - C2Y~ (s) = P (6) •

°

°

s,

s.

y;

Le déterminant [Y2 (s) Y~ (S) - YI (S) (S)] de ce système est nOIl nul, puisque les solutions YI (x) et Y2 (x) sont linéairement indépendantes. Donc on obtient des valeurs bien définies pour les constantes Cl et C2. Le wronskien des solutions YI (x) et Y2 (x) s'exprime (tome II, 11-1-11) à l'aide de la formule YI (x) Y~ (x) - Y2 (x) Y~ (x)

= P ~X)

,

où C est une constante non nulle. Quitte à multiplier l'une des solutions, par exemple YI (x), par c, on ramène la relation précédente à la forme p (x) [YI (x) Y~ (x) - Y2 (x) Yi (x)] = 1De cette relation il s'ensuit immédiatement que le système (6) a pour solution: Cl = Y2 (s) et C 2 = YI (S) et la fonction de Green G (x, S) est définie comme suit: G (x, S) = { YI (x) Y2 (s) Y2 (x) YI (S)

(x~ S),

(7)

(x~6)·

On vérifie sans peine qu'elle remplit toutes les quatre conditions. Son unicité résulte directement des raisonnements précédents.

R~DUCTION

11-1-2.

INT~GRALE

A UNE .eQUATION

219

11-1-2. Réduction à une équation intégrale. Considérons l'équation avec second membre L (y)

=

d

- f (x),

(IX [p (x) y'] - q (x) y =

(8)

où f (x) est une fonction donnée, continue sur un intervalle [a, b]. On cherchera la solution de l'équation (8) qui vérifie les conditions aux limites (2). Cette solution est unique. En effet, s'il en existait deux, leur différence satisferait l'équation sans second membre L (y) = 0 et les conditions aux limites (2), c'est-à-dire que 1.. = 0 serait valeur propre. Assurons-nous que la solution unique de l'équation (8) qui satisfait les conditions aux limites (2) est donnée par la formule b

Y (x) = ) G (x, s) f (s) d

s·

(9)

a

L'analogue de cette formule (tome IV l , (1-1]) admet une signification mécanique simple, à savoir que si l'on connaît la déformation statique due à une force ponctuelle, on peut au moyen d'une intégration obtenir la déformation statique due à une force continûment distribuée. Passons à la démonstration du fait que la fonction définie par la formule (9) satisfait (8) et les conditions aux limites (2). Partageons l'intervalle d'intégration en deux, compte tenu du saut subi par la fonction de Green: x

b

y= ) G(x, s)/ (s)ds+ ) G(x, s)f(s)ds. a

x

Une dérivation par rapport à x nous donne x

y' ==

) G' (x,

s) f (6) dx + G (x, x-O) / (x) +

a

b

+ ) G' (x, s) / (s) ds -

G (x, x + 0) f (x)

x

ou encore x

y' =

) G' (x, s) a

b

f (6) ds + ) G' (x, x

b

s) / (s) ds = ) G' (x, s)

f (s) ds, (10)

a

+

puisque la fonction de Green est continue, i. e. G (x, x 0) = = G (x, x - 0). Des formules (9) et (10) et du fait que G (x, s) satisfait les conditions aux limites (2), il s'ensuit aussitôt que la

CH. II. PROBL:E:MES AUX LIMITES

220

fonction (9) vérifie également ces conditions. Pour vérifier l'équation (8) dérivons encore une fois y' par rapport à x. Des transformations peu compliquées nous conduisent à l'expression b

y" = ~ G"(x, s)f(s)ds--!--[G'(x,x-O)-G'(x,x+O)]f(x), a

et de (5) il s'ensuit que b

y" =

JG" (x, s) f (s) d s-

;

~:~

•

(11)

a

En portant dans (8) les expressions (9), (10) et (11) de y, y' et y", on trouve b

~ L(G)f(s)ds-f(x)= -f(x), a

c'est-à-dire que l'équation (8) est bien vérifiée puisque la fonction G (x, s) est solution de l'équation sans second membre L (y) = O. Signalons que les formules précédentes nous disent que la fonction y définie par (9) possède des dérivées premières et secondes continues sur l'intervalle [a, b]. On est donc conduit à la proposition suivante: Si  = n'est pas une valeur propre pour l'équation (8), alors cette équation admet pour toute fonction f (x) définie et continue sur [a, bl une solution unique vérifiant les conditions aux limites (2) et cette solution est donnée par la formule (9). Cette proposition peut encore s'énoncer: Pour toute fonction f ex) continue donnée, la fonction (9) possède des dérivées premières et secondes continues et vérifie l'équation (8) avec les conditions aux limites (2). A noter que si y (x) est une fonction quelconque possédant des dérivées première et seconde continues sur un intervalle fa, blet vérifiant les conditions aux limites (2), alors en la portant dans l'équation (8) on peut construire une fonction f (x) continue. D'après ce qui a été prouvé plus haut, la fonction y (x) s'exprime au moyen de f (x) par la formule (9). Donc, les formules (8) et (9) établissent une correspondance biunivoque entre deux classes de fonctions: la première étant composée des fonctions y (x) possédant sur fa, b 1 des dérivées première et seconde continues et vérifiant les conditions aux limites (2); la seconde, des fonctions f (x) continues sur fa, bl. Le passage de y (x) à f (x) est réalisé par la formule (8), le passage de f (x) à y (x), par la formule (9). On voit donc à la lumière de ce qui vient d'être dit qu'il est possible de ramener le problème aux limites à une équation inté-

°

221

II-f-3. SYM:eTRIE DE LA FONCTION DE GREEN

grale. En effet, en mettant l'équation (1) sous la forme L (y) = -Âr (x) y, on constate immédiatement en vertu des résultats établis que l'équation (1) avec les conditions aux limites (2) est équivalente à l'équation intégrale b

Y (x) =

Â

~ G (x, 6) r (6) y (6) d6.

(12)

a

De façon tout à fait analogue, l'équation avec second membre d dx [p (x) y']

+ [Âr (x) .- q (x)] y =

F (x)

(12 1 )

avec les conditions aux limites (2) équivaut à l'équation intégrale b

y (x) = FI (x)

+ Â ~ G (x, 6) r (6) y (6) d6,

(12 2 )

a

où b

FI (x)

=

-

~ G (x, 6) F (6) d6, a

la solution étant dans les deux cas une fonction continue y (x). 11-1-3. Symétrie de la fonction de Green. La formule (7) définit la fonction de Green non seulement pour x Ela, bl, mais aussi aux bornes x = a et x = b de cet intervalle, c'est-à-dire sur le carré fermé k o : a ~ x, 6~ b, et cette formule entraîne directement la symétrie de la fonction de Green sur k o : G (x, 6)

=

G (6, x).

(13)

Donnons une u utre démonstration de la symétrie de la fonction de Green, une démonstration fondée sur une idée utilisée dans des cas plus généraux. L'identité suivante est de vérification immédiate: d

uL (v) - vL (u) = dx [p (x) (uv' - vu')].

(14)

Dans cette identité, u (x) et v (x) sont deux fonctions arbitraires possédant des dérivées. premières et secondes continues. Posons u = G (x, 61) et v = G (x, 62) dans (14) en admettant pour fixer les idées que 61 < 62" En intégrant sur les intervalles [a, 61], [617 62) et [62' b] et en tenant compte du fait que la fonction de Green est

222

CH. II. PROBL1!:MES AUX LIMITES

solution de l'équation L (y) = 0, on obtient [p (x) (G (x, ~l) G' (x, ~2) -

G (x, ~2) G' (x, ~l»]~_~l = 0,

[p (x) (G (x, ~l) G' (x, ~2) -

G (x, ~2) G' (x, ~l»]~ i~ = 0,

[p (x) (G (x, ~l) G' (x, ~2) -

G (x, ~2) G' (x, ~l»]~=t~2 = O.

En ajoutant ces trois égalités et de par la continuité de la fonction de Green et la discontinuité de sa dérivée première, on trouve G (~l' ~2) - G (~2' ~l) = = [p (x) (G (x, ~l) G' (x, ~2) -

G (x, ~2) G' (x, ~l»]~=~'

(15)

Il est immédiat de vérifier que la différence du second membre s'annule pour x = a et x = b. En effet, la fonction de Green satisfait la première condition (2), soit

alG (a, ~l) alG (a, ~2)

+ a G' (a, + a G' (a, 2

~l) =

2

~2)

0,

= 0,

et comme on admet naturellement que les constantes al et a 2 ne sont pas simultanément nulles, le déterminant de ce système homogène doit être nul, autrement dit, la différence ci-dessus s'annule bien pour x = a. On démontre de même qu'elle s'annule pour x = b et la formule (15) établit la symétrie de la fonction de Green. On peut envisager des conditions aux limites plus générales que les conditions (2), c'est-à-dire des conditions dans lesquelles figurent les valeurs prises par la fonction et sa dérivée première aux bornes de l ' intervalle [a, b]:

alY (a) ~lY (a)

+ a y' (a) + aaY (b) + a,.y' (b) = 0, + ~2Y' (a) + ~aY (b) + ~,.y' (b) = O. 2

Tous les raisonnements précédents, excepté la démonstration de la symétrie de la fonction de Green, restent en vigueur. Pour que la démonstration de la symétrie de la fonction soit valable, il est nécessaire et suffisant que soit remplie la condition suivante: p (b)

al' a 2 R

R

Pl'

P2

=p (a)

a 3 , a.. R

R

P3'

P"

•

Nous glisserons sur la démonstration de ce fait. On vérifie immédiatement que la fonction de Green est symétrique pour des conditions aux limites périodiques: y (a) = y (b); y' (a) = y' (b) si p (a) = = p (b), c'est-à-dire si la fonction p (x) est périodique. Signalons que si les autres coefficients q (x) et r (x) sont périodiques, alors le problème aux limites avec les conditions périodiques mentionnées revient à chercher les valeurs du paramètre 'A pour lesquelles l'équation (1) possède une solution périodique.

11-1-4. VALEURS ET FONCTIONS PROPRES

223

II-1-4. Valeurs et fonctions propres du problème aux limites. Etant donné qu'on a ramené le problème aux limites à une équation intégrale, on peut mettre en œuvre la théorie générale des équations intégrales et établir ainsi des propositions relatives aux valeurs et fonctions propres du problème aux limites. Commençons par le cas r (x) == 1, où l'équation (1) est de la forme

ëfX [p (x) y'] + (1.. - q (x» y = 0, d

(16)

les conditions aux limites étant telles que la fonction de Green est symétrique. L'équation intégrale (12) est une équation à noyau symétrique. Elle admettra des valeurs propres réelles, et les fonctions propres associées aux valeurs propres distinctes seront orthogonales. On a vu au (II-1-11 qu'à toute valeur propre était associée une fonction propre et une seule. Ceci a été prouvé pour des conditions aux limites du type (2). Si les conditions aux limites sont périodiques, à toute valeur propre il peut correspondre deux fonctions propres au plus, car l'équation (16) ne possède que deux solutions linéairement indépendantes. Prouvons encore que le noyau G (x, ~) de l'équation (16) est un noyau complet, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de fonction continue j (x) non identiquement nulle qui soit orthogonale au noyau. Si par absurde on suppose qu'une telle fonction existe, c'est-à-dire que b

~

G(x, s)j(s)ds=Ot

a

on constate alors que la fonction (9) d'un côté est identiquement nulle et de l'autre est, en vertu de ce qui a été démontré plus haut, solution de l'équation avec second membre (8), ce qui est impossible. Le noyau étant complet, il existe une infinité de valeurs propres (tome IV l' (1-421). Soient 1.. n (n = 1, 2, ... ) les valeurs propres de l'équation (16), c'est-à-dire du problème aux limites envisagé, et > O. Les résultats du (tome IV l' [1-44]) nous disent que le problème aux limites (2) pour l'équation (1) se ramène alors à une équation intégrale à noyau symétrique. En particulier, toute fonction satisfaisant les conditions aux limites (2) et possédant des dérivées première et seconde continues sur [a, b), se développe en une série de Fourier régulièrement convergente suivant les fonctions propres du problème: 00

f (x) = ~ cnCPn (x),

(18)

n=1

dont les coefficients sont définis pas les formules b

Cn

=

Jr (x) f (x) CPn (x) dx.

(19)

a

Pour prouver cette proposition, on observera qu'en vertu du (IJ-1-2] on a b

f(x)= -

JG(x,

s)Lff(6))ds·

a

Or, de toute évidence L If (6)] = - V r (6) h Œ), où la fonction h (6) est continue sur· la, bl, puisque r (6) >0. Donc, la fonction V r (x) f (x) se représente par le noyau de l'équation intégrale

II-1-S. SIGNE DES VALEURS PROPRES

225

symétrique : b

V r (x) t (x) = ) G (x, 6) V r (x) r (s) h (s) dS,

(20)

a

et les raisonnements du (tome IV!, [1-44]) nous donnent immédiatement le théorème de décomposition formulé ci-dessus. Comme plus haut on peut prouver la fermeture du noyau et par suite l'existence d'une infinité de valeurs propres. En reprenant les raisonnements du [11-1-1) pour le cas où f (x) possède une dérivée première continue et une dérivée seconde continue par morceaux et en se rappelant que le théorème 2 du (tome IV h [1-31]) est valable pour le cas où une fonction est représentable par un noyau à l'aide d'une fonction h (x) continue par morceaux, on s'assure que le théorème de décom· position est valable pour le cas où la fonction f (x) qui satisfait les conditions aux limites (2) possède une dérivée première continue et une dérivée seconde continue par morceaux. Dans la suite, on signalera les cas où les théorèmes de décomposition restent valables pour une dérivée première continue par morceaux. 11-1-5. Signe des valeurs propres. On admettra pour alléger l'écriture des formules que r (x) == 1. Les raisonnements s'étendent sans peine au cas général. Exhibons tout d'abord une formule exprimant les valeurs propres au moyen des fonctions propres. Soient Ân les valeurs propres et ~ (x) + q (x) q>~ (x)] dx.

(22)

a

Supposons que p (x) > O. Si l'on admet de plus que q (x);;::: 0 sur [a, b], alors la formule (22) nous dit que les valeurs propres sont toutes strictement positives. Supposons maintenant que q (x) est une fonction continue arbitraire et soit m son minimum sur [a, b], c'est-à-dire que q (x);;::: m, x E [a, bl. De la formule précédente, il s'ensuit immédiatement b

Ân~

) P (x)

q>~2 (x) dx+ m~m.

a

Donc, dans le cas envisagé, seul un nombre fini de valeurs propres peuvent être strictement négatives. Supposons maintenant que les conditions aux limites sont de la forme: yi (a) - hly (a) = 0; yi (b) h 2 y (b) = 0, (23) où hl et h 2 sont des constantes strictement positives. Le second terme de la formule (21) est alors strictement positif et l'on s'assure comme plus haut que sous les conditions aux limites (23) et pour q (x) ~ 0 les valeurs propres sont toutes strictement positives. Si toutes les valeurs propres sont strictement positives ou si seul un nombre fini d'entre elles sont strictement négatives, alors est vrai le théorème de Mercer et l'on peut développer le noyau en une série absolument et uniformément convergente:

+

00

G (x, ~) = ~

fPn

(Xi:

n

(~)

•

(24)

n=l

Cette égalité nous permet d'étendre le théorème de décomposition suivant les fonctions propres qui a été prouvé au (11-1-4] à une classe de fonctions plus vaste, plus exactement, supposons que f (x) est continue, possède une dérivée continue sur l'intervalle [a, b] t01,lt entier sauf en un point x = c où elle subit un saut: f' (c 0) - f' (c - 0) = k,

+

et une dérivée seconde continue par morceaux. Supposons par ailleurs que f (x) satisfait comme toujours les conditions aux limites (23). Composons la différence:

f (x) -

k

p (c)

G (x, c),

qui possède une dérivée continue sur l'intervalle la, b] tout entier. Cette -différence est justiciable du théorème de décomposition sui-

II-t-6. EXEMPLES

227

vant les fonctions propres. D'autre part, en vertu de la formule (24) le terme G (x, c) peut être développé suivant les fonctions propres, donc la fonetion f (x) se décompose en une série de Fourier absolument et uniformément convergente suivant les fonctions propres. Ces raisonnements sont valables de toute évidence dans le cas où la dérivée f' (x) présente un nombre fini de sauts dans [a, bl. Ils sont identiques à ceux utilisés au (tome II, [VI-2-8J) pour améliorer la convergence des séries de Fourier. 11-1-6. Exemples. 1. Considérons l'équation y"

avec les conditions aux limites y (0) de Green s'écrit G (x,

s)= {

+ 'Ay = =

y (1)

0

=

O. On a L (y)

s) x

(x ~ ~),

(1-x)s

(s~x).

(1-

=

y" et la fonction

Les valeurs et fonctions propres se définissent sous forme explicite 'An

=

n 2n 2 ;

CPn (x)

= 11 2 sin nnx

(n

=

1, 2, •••),

et les fonctions satisfaisant toutes les conditions du numéro précédent sont justiciables du théorème de décomposition suivant ces fonctions propres. Il est possible d'élargir les conditions d'applicabilité du théorème de décomposition, mais nous glisserons là-dessus. 2. Considérons l'équation de l'exemple précédent avec les conditions aux limites y (0) = y' (1) = O. On a

et les valeurs et fonctions propres sont: 31;2

'An =(2n+ 1)24'""";

-

CPn (x) =-.12 sin (2n+ 1)

n

T

x.

3. Considérons encore l'équation de l'exemple 1 avec les conditions aux limites y (0) = 0; y (1) hy' (1) = O. Composons la fonction de Green. Prenons deux solutions de l'équation y" = 0, l'une vérifiant la première condition aux limites, l'autre, la seconde, soit: YI (x) = x; Y2 (x) = (1 h) - x. Les raisonnements du [1I-1-1J nous· conduisent à la fonction de Green suivante: '

+

+

G (x,

s)= {

1~~~s

x

(x~s),

1+h-x ~ 1+h

(S ~ x).

Les valeurs propres sont toutes strictement positives et en posant  = fJ.2 on s'assure sans peine que les valeurs propres correspondantes fJ. se déduisent à· partir de l'équation tg fJ. + hfJ. = 0 et les fonctions propres seront Cn sin fJ.nx, ' la constante Cn étant déterminée à partir des conditions de normalisation de ces fonctions... 4. L'étude des vibrations d'une membrane circulaire fixée par son contour nous a conduits au problème aux limites suivant: trouver les valeurs du para15*

CH. II. PROBL1l1MES AUX LIMITES

228

mètre  pour lesquelles l'équation

1l'+.!...Y'+ z

(Â- Zlni ) Y=O

(25)

admet une solution vérifiant les conditions aux limites sup 1 y (0) 1 < 00 et y (l) = 0, (*) n étant un entier positif. Ce problème aux limites diffère de ceux étudiés jusqu'à maintenant par le fait que les coefficients de l'équation présentent un pôle en z = et au lieu d'une condition bien définie en x = on exige simplement que la solution soit bornée au voisinage de x = O. La solution de l'équation (25) prend une valeur finie pour x = O. Nous avons rencontré plusieurs fois de tels problèmes aux limites. En multipliant les deux membres de (25) par x, on met l'équation sous la forme usuelle:

°

°

2

d (xy')+ ( ÂX--;n ) y=O, dx

(26)

°

où n > est un nombre donné. La fonction de Green se définit comme précédemment sauf qu'en x = au lieu d'une condition aux limites on exige que la fonction de Green soit finie. L'équation L (y) = est une équation d'Euler (tome II, [II-1-18]) qui admet les solutions linéairement indépendantes x n et x-no La fonction de Green devant être finie en x = 0, on doit la prendre de la forme Clxn sur l'intervalle [0, S]. Sur l'intervalle [S, 1] on doit former une combinaison linéaire des solutions zn et x- n qui s'annule pour x = 1, autrement dit, la fonction de Green doit être de la forme C2 (zn- x- n ). Les constantes Cl et Cl! se déterminent comme toujours à partir des conditions de continuité de la fonction de Green et de saut de sa dérivée première en x = S. On obtient en définitive la formule suivante:

°

°

(x ~ ~), (~~

x).

L'équation avec -second membre L(y) = -f (x) possède une solution unique satisfaisant les conditions aux limites (.), soit 1

y(X)=) G(x,

S)!(S)ds.

o Les raisonnements du [II-1-5] nous disent que les valeurs propres sont toutes strictement positives. En posant  = f.t2 on déterminera les valeurs propres à partir de l'équation transcendante J n (f.t) = 1 et les fonctions propres seront 9>n (x) = cnJn (f.tn x ). Pour n = 0, l'équation 'L (y) = possède deux solutions linéairement indépendantes: YI (x) = 1'et Y2 (x) = ln x. La fonction de Green est donc: -ln x~ (27) G(x,s)= { -lnx, s~x.

°

s,

s,

A noter que la ,formule (9) nous donne ici: 1

y

(x),-

J

x

~

0

G(x, s)!(s)d;=-lnx ) f(S)

1

J

d~- !(s)ln~ dS, x

229

11-1-7. DISTRIBUTION DE GREEN

et l'on vérifie immédiatement que cette fonction satisfait l'équation L (y) = = -1 (x) avec les conditions aux limites (-\10). La forme de l'é~uation (26) indique que r (x) = x. En ramenant le problème aux limites à une equation intégrale on obtient le noyau G (x, 6) V6X qui est continu sur le carré tout entier, y compris en x = 6 = O. Les fonctions propres de cette équation intégrale sont q>n (x) = = cn V; Jo (....nx ) et l'on obtient la série de Fourier absolument et uniformément convergente suivante: 00

G (x,

s) -ys x =

~

Cj)n

(X~:n

(6) •

n=1

Une division par

-V 6x

nous donne

~ c;J0 ( ....n x ) Jo 0 donné, on peut trouver un polynôme -OÙ P n (x)

235

II-1-S. POLYNOMES DE LEGENDRB

Q (x) tel que sur l'intervalle [-1, 1) l'on ait l'inégalité qui entraîne aussitôt

1 1 (x) -

Q (x)

1< 8

1

) li (x) -Q (X))2 dz
0 pour q (x) ~ O. Remarquons que la démonstration de l'inégalité (61) est intégralement valable si l'on admet que la fonction continue f (x) admet une dérivée t' (x) partout sur (a, b] sauf en un nombre fini de points al' al' ... , am, cette dérivée étant partout continue sauf en ces points où elle présente une discontinuité de première espèce. Pour intégrer par parties, il suffit d'intégrer sur les intervalles de con~ tinuité de fi (x) et d'ajouter ensuite les intégrales. i Prouvons maintenant que sous les conditions imposées à f (x); la série de Fourier de cette dernière, soit 00

2}

CAQ>A

k==1

(x)

(62)

converge régulièrement sur l'intervalle [a, bl, c'est-à-dire que la série 00

2J

A==1

ICAQ>A

(x) 1

(63)

converge uniformément sur cet intervalle. L'équation intégrale b

CP. (x) = ÂA ) G (x, s) CPA (s) ds,

(64)

a

nous permet de mettre la série (63) sous la forme 00

~

où

1&==1

ÂA

ICA"''' (x)/,

(65)

b

"'A (x) =

J

G (x,

a

.~) 0 la, hl, on trouve compte tenu de (69): b

b

J a

a

SUl

r r~2 (t) dt~_i_ r p (t) r~2 (t) dt~..E..-, Po J Po

~t

l'inégalité précédente nous donne r:'

(x)~ b~a j r~ (t) dt +2 V ~ -V j r:' (t) dt. a

a

Le second membre ne dépend pas de x et tend vers 0 lorsque 00, d'où il résulte que r n (x) -+ 0 uniformément sur [a, b], c'est-à-dire que la série (62) converge uniformément sur cet intervalle et sa somme est t (x). On démontre sans admettre que q (x) ~ 0 que la série (62) converge régulièrement. n -+

lI-t-t2. Justification de la méthode de Fourier pour l'équation de la chaleur. Considérons l'équation aux dérivées partielles:

. ~~ . :t [p(x) ~: ]-q(x)u,

(70)

qui décrit la diffusion de la chaleur dans une harre non homogène en présence de perte de chaleur par rayonnement. En admettant que a ~ x ~ b, on cherchera la solution de l'équation (70) qui vérifie la condition initiale u It=o =

t (x)

(x

E [a, bl)

(71)

et les conditions aux limites

u 1%" a = 0; U I%-b = O. La méthode de Fourier nous donne la solution

(72)

00

U (x, t) =

~ cke-~lIt 0, on affirme que la série (73) converge absolument et uniformément pour .~ ~ 0 et x E [a, b]. Donc, sa somme est une fonction continue pour les valeursihdiquées des arguments, c'est-à-dire que 00

Hm u.(x, t) = u (x, 0) = ~

, ... +0

.

k=l

Ck(J)k

(x) =

f (x).

Ceci prouve que la . condition initiale (71) est réalisée. Les conditions aux limites (72) sont satisfaites par u, car elles ·le sont par les fonctions (J)k (x). Il reste à vérifier l'équation (70) pour t > O. Chaque terme de la série (73) est par construction solution de l'équation (70) et il suffit donc de prouver que la serie (73) est dérivable terme à terme une fois par rapport à t et deux fois par rapport à x. Pour cela il suffit de .montrer que les sér,ies

(76~) 00

~

Cke-1ktq>k

(x)

k=l

convergent uniformément pour t,~ct,· où ct> 0 est un nombre arbitraire, et pour x E [a, b]. Commè Îl. -+ 00 avec k, on a Âk e- 1k -+ ~ 0 et Âke-"'k t ~  k e- 1kœ pou t ~ ct, c'est-à-dire qu'il existe un N(ne dépelldantpas de t) tel que  k e- 1kt O. On obtient ainsi le théorème suivant: Thé 0 r è ID e. Si la fonction f (x) de la condition initiale posiède une dérivée continue sur l'intervalle la, b) et vérifie ks conditions aux limites (72), alors la jonction u (x, t) définie par la formule (73) satisfait la condition initiale (71), les conditions aux limites (72) et 1'équation (70) pour t > O. La série (73) est dérivable terme à terme autant de fois qu'on le veut par rapport à t et deu:x fois par rapport à x pour t > O.

11-1-13. M:mTHODE DE FOURIER POUR: t'1:Q'UA'l'ïoN' bES VIBRATIONS

11-1-13. Justification de la méthode de Fourier pour des vibrations. Considérons maintenant l'équation "

(Pu ôt2

ô [

=7iX,P(x)

ôu ôx

249-

~'équation

J-q(x)u

(79)1

avec, en plus des conditions aux limites (72), les deux conditions initiales:

u

1,=0 = / (x); ô~

lt=o

= /1 (x).

(80)

La méthode de Fourier nous donne la solution sous la forme 00

u(x, t)= ~ (akcosVÂllt+bksinVÂkt) k (x) = Â,k'i'k (x), on trouve

-VX;:lbkq>k (x)! = YÂklbi'i'k (x)l, d'où, en vertu de l'inégalité de Cauchy, m+p ~ ;fm+ p ~ ;fm+p YÂklbhq>k(X)I~ k~m b'i/. ~m Âk'i'~(X),

klt

V

V

ou, compte tenu de (68), m+p

k~m YÂhlbhq>k (x) 1~

...

;fm+ p

V

~m bk'·YM.

Or la série constituée des termes b1 converge et de la dernière inéga.. lité il s'ensuit immédiatement que la série (88) converge unifor.. mémento On obtient donc le Thé 0 r è ID e. Si p (x) possède des .dérivées première et seconde continues, q (x)~ 0 et pos$ède une dérivée continue, f (x) possède des déri~ vées jusqu'à l'ordre trois continues, vé,rijie les. conditions (72) et la

252

CH. Il. PROBLBME8' AUX 'LIMITES

condition (85), et si enfin fI (x) possède des dérivées première et seconde: continues et satisfait les conditions (72), alors la fonction u (x, t) définie par la formule (81) est ",ne solution de l'équation (79) vérifiant les conditions aux limites (72) et les conditions initiales (80). Sous ces conditions, la série ,(81) est dérivable terme à terme deux foi~ par rapport à t et à x et les séries obtenues convergent uniformément sur [a, b] quel que soit t. ' 1

11-1-14. Théorèmes d'unicité. Nous avons établi l'existence de solutions des équations (70) et (79) vérifiant des conditions initiales et des conditions aux limites données. Prouvons maintenant l'unicité de ces solutions. Commençons par l'équation (70) pour q (x) ~ 0 en admettant que les solutions sont continues pour t ~ 0 et x E [a, b] et possèdent des dérivées premières et secondes par rapport à x (t > 0) continues et des dérivées premières par rapport à t continues sur [a, b]. Nous avons déjà construit une telle solution au [11-1-12]. Dire qu'une telle solution est unique revient à dire que la solution ua (x, t) de l'équation (70) qui vérifie la condition initiale homogène U o It-o = 0 (x E [a, bl) (89)

et les conditions aux limites (72) est identiquement nulle pour

t> O.

Ecrivons l'équation (70) pour ua (x, t), multiplions ses deux membres par U o (x, t) et intégrons par rapport à x. On obtien~ b

b

;:t ~ u~ dx = ~ a

b

U

o o :x [p (x) ô:x ] dx- ~ q (x) u~ dx. a

a

Toutes les opérations sont licites en vertu des propriétés de ua (x, t) indiquées plus haut. En intégrant par parties la première intéJ. grale du second membre et en tenant compte des conditions aux limites, on obtient b

~

:t ~u~dx= a

b

b

~P(x)

(Ôô: )2 dx _ 1I

a

~q(x)u~dx~O. a

Donc, la fonction positive de t b

~ u~dx

. (90)

a

continue pour t ~ 0 et nulle pour t = 0, en vertu de (89), pos~ède une dérivée négative pour t > O. D'où il résulte que la fonction (90) est 'identiquement nllne pour t > O. Donc, il en est dem-ême de u (x, t) pour t ~ 0, ce que nous voulions.

II-i~i. TJœOR~MBS

lVlmICIT:&

253

Passons maintenant à la démonstration du théorème d'unicité pour l'équation (79) avec q (x) ~ O. On admettra que les solutions U sont continues avec leurs dérivées Ub Utt,U x , U xx $ur {a, b] quel que soit t. On a déjà construit une telle solution au [11-1-13]. Affirmer que la solution est unique revient à affirmer que la solution Uo (x, t) de l'équation (79) qui vérifie les conditions initiales homogènes U o 1t=o

-!.!!:!./ t=o--0

-

(91)

ôt

et les conditions aux limites (72) est identiquement nulle. Introduisons la fonction t V

(x, t) =

) U o (x,

't)

(92)

d'te

o Cette fonction possède dës dérivées v x , Vtt V xx , Vxtt Vtt continues pour x E [a, b] et tE] - 00, 00 [. Ecrivons l'équation (79) pour Uo (x, 't) et intégrons-la par rapport à 't entre 't = 0 et 't = t. En tenant compte de (91) et (92), on trouve

!.-. [ P () ôv (x, x ôx

2

ô v (x, t) = ôt'J. ôx

t)] _

()

q x

V

(

x,

t)

.

Remplaçons t par 't, multiplion~ les deux membres par V,; (x, 't) et intégrons par rapport à 't entre 't ' 0 et 't == t. En vertu de (91) et de (92), on obtient 1

.

"2 v~ (x,t) =

t

~.

J'V,; (x;

't)

ô t, ax [p (x) V x (x, 't)] d't- 2' q (x) V2 (x,

t).

o

Intégrons les deux membres par rapport à x sur la, b] et intervertissons l'ordre d'intégration dans l'intégrale itérée: b

~ ) z,.~ (x,

t) dx =

a

" t

b

= ) { } Oa

b

V,;

(x,, -r) ,;; [p (x) V x (x, 't)] dx} d't

-f)q (x)

VZ

(x, t) dx.

' a

Dans l'intégrale entre accolades, intégrons par parties et tenons O. Soient Un (t) les fonctions propres associées aux valeurs propres Ân • On peut écrire U~

(t)

+ Ânun (t)

=

s (t) Un (t),

d'où il vient un(t)=a n sin VÂ n t+b n cos VÂ n t+ t

+! \ s ('t) Un Ct) sin VÂ n (t _/ Â .' r

n

0

't) d't. .

(124)

265

11-1-18. EXPRESSION ASYMPTOTIQUE DES FONCTINOS PROPRES

Appliquons l'inégalité de Cauchy-Bouniakovski à l'intégrale du second membre: t

[

~ S Ct) Un (T) sin VÂ n (t -

't) dt J2 ~

o t

~~

t

u; ('t) dT )

o d'où il résulte que pour tout tE [0, II t

[

~

S2

(T) sin 2 VÂ n (t - 't) dT,

0

l

('t) Un ('t) sin VÂ n (t - 't) d't J2 ~

S

~ S2 ('t) dT ;

(125)

o 0 on s'est servi du fait que les fonctions Un (t) sont normées. Soit (J'n (x) la fonction propre de l'équation (1) déduite à partir de Un (t) par les substitutions (114) et (115). Ces substitutions entraînent immédiatement b

~

l

r (x) 0). (137}

+

Considérons les conditions aux limites élémentaires: y (0) = y (1) = O. Si l'on pose V n (x) = sin nnx, alors l'écart entre la vraie valeur de Âm et son approximation d'ordre n peut être majoré de la manière suivante:

V2

l

rn> II.m-lI.m '1

'1

1 ::;::: -...:::

(n

+

2Âfu max r 3 / 2 (x) . _/ 1)2 n 2 mm JI r (x) -2Â m max r 3 / 2 (x)

'

ou (138) où

m~x r t~; V mmr x

A = [max r (x)-min r (x)) .. /

B=2 max r (x).

Dans les calculs pratiques, on se sert plus souvent des polynômes que des fonctions trigonométriques. Considérons encore l'équation (137) avec les conditions aux limites y (-1) = y (1) = 0 et posons vn (x) = (1 - x 2 ) x n - 1 (le facteur (1 - x 2 ) assure la réalisation des conditions aux limites). Si les fonctions V (x) sont ainsi choisies, on a la majoration suivante: Ârirl-Âm 1
0 tel que si No est un point quelconque de S, alors toute sphère Sode centre No et de rayon::( d partage S en deux parties dont l'une est intérieure et l'autre extérieure à 8 0 et toute droite parallèle à la normale à 8 en No coupe la partie de 8 intérieure à 8 0 en un seul point. 3. Si t}o est l'angle aigu formé par les normales à 8 en deux de ses points NI et N 2 et rI, 2' la distance de ces points, il existe alorsdeux nombres a > 0 et ex > 0 ne dépendant pas du choix de NI et N 2' tels que ~ ~ arf, 2 (ex ~ 1) (3)

quelle que soit la position des points NI et N 2 sur 8. Les surfaces fermées satisfaisant à ces conditions sont dites surfaces de Liapounov. Avant d'indiquer les autres hypothèses que doit vérifier 8 tirons quelques conséquences de celles qui ont déjà été faites.

272

CH. II. PROBLÈMES AUX LIMITES

De (3) il s'ensuit immédiatement que le plan de tangence varie continûment lorsque le point de contact se déplace sur la surface. Indiquons maintenant un important corollaire de la troisième condition. Soit No un point de S. Plaçons l'origine des coordonnées en ce point, orientons l'axe NoZ des Z suivant la normale extérieure à S en No et disposons les axes NoX des X et NoY des Y de façon arbitraire dans le plan tangent. L'équation du morceau de surface S intérieur à la sphère So de centre No et de rayon d est de la forme:

(4) Par (6, 1), ~) on désignera les coordonnées du point courant N de la surface S et par (x, y, z) les coordonnées de tout point M de l'espace. Les axes de coordonnées introduits s'appellent axes locaux au point iVo• L'existence du plan tangent et sa variation continue entraînent l'existence et la continuité des dérivées du premier ordre ~~ (6, ll) et ~T] (6, ll). On admet que d est assez petit. On peut par exemple poser adœ ~ 1 (5) de sorte que l'angle {to de la normale en 1\/0 et de la normale en un point N du morceau de surface S intérieur à la sphère So est strictement inférieur à ~l. En désignant par r o la distance NoN (ro < d), il vient

(6) d'où

co:

ir

o

= V 1 + ~! + ~~ ~ 1 + a2r~a ~ 2,

(7)

et par suite en vertu de (5)

t~~2 + loT] ~2~2a2r2cx+a""r4a~3a2r2cx ~ 0 0 ~ o·

(8)

En coordonnées polaires ~=

Po cos 0;

1) =

Po sin 0,

on a ~~o = (~~ cos

e+ ~T] sin e)2~~~ + ~~,

d'où, en vertu de (8),

1~p.1 ~ Vs ar~ ,

(9)

et (10)

273

II-2-1. POTENTIEL NEWTONIEN

et par suite r o=

V p~+~2~2po·

(11)

Les inégalités (9) et (11) entraînent l~p.1 ~V3 a2ap~,

(12)

1 ~ 1 ~ 2ap~+\

(13)

d'où

ou, à fortiori, car 2a

~

a

+1

pour a ~ 1. De (6) il s'ensuit enfin 1 ~ cos 'fr o ~ 22a-la2p~a.

(14)

Estimons cos (n, X) et cos (n, Y) où n est le vecteur unitaire de la normale extérieure à 8 en N. On a en vertu de (8)

I~~I ~ I~~I ~V3ar~, y 1+~~+s~

Icos (nt X)I = et de façon analogue 1 cos

(n, Y) I~V3 a~.

On a par ailleurs

=

cos 'fr o• Regroupons toutes les majorations précédentes: cos (n, Z)

1 ~ 1 ~ cp~+a

;

1 cos

(n, X) 1 ~ cp~;

1 - cos (n, Z)

~ cp~a

;

1 cos

1 cos

(n, Y) 1 ~ cp~;

(n, Z)

1~

1

(15)

2";

pour simplifier l'écriture des formules ultérieures on a désigné par c la plus grande des constantes figurant dans ces majorations. Ces inégalités restent en vigueur si l'on remplace Po par r o. Aux points d'intersection de 8 et 8 0 , on a r o = d et de (11) il résulte que Po ~ ~ ~ d. On voit donc que la partie de 8 découpée par le cylindre dont l'axe est confondu avec l'axe NoZ et de rayon ~ d, est intérieure à 8 0 • On désignera cette partie de 8 par a o. Sa projetée a~ sur le plan XNoY (i.e. le plan tangent à 8 en No) est le disque:

~2 + 'Y)2~ ~

•

(16)

Tous les points N de ao sont justiciables des formules (15). Considérons encore la partie al de 8 découpée par le cylindre circulaire 18-01017

CH. II. PROBL:E:MES AUX LIMITES

274

dont l'axe est NoZ et le rayon de base dl < ~ . Dans la suite on utilisera le fait que dl est arbitraire. Les majorations (15) sont également valables sur 0'1. La projetée 0'; de 0'1 sur le plan tangent à S en No est le disque: t2+ 'Yl2~d12 ~ '1........

(d1"2 < d).

(17)

On se propose d'étudier les propriétés des potentiels de simple couche ainsi que d'autres potentiels, notamment les potentiels de double couche qui, comme ceux de simple couche, se représentent par des intégrales étendues à S. 11-2-2. Potentiel de double couche. La solution singulière ..!- de r l'équation de Laplace joue un rôle primordial dans la construction des fonctions (1) et (2). Introduisons maintenant une autre solution singulière de cette équation. Soient N un point de l'espace, l, une direction orientée fixe passant par N. Prenons un vecteur ~

N N' de support l de même sens que l et de longueur e et plaçons

en N une charge ( ; ) et en N', une charge ( - ; ). En désignant par r et r' les distances d'un point variable M à N et N' respectivement, on obtient le potentiel suivant:

1 (1 1) 1 U o (M) = 8" 7 - 7 ="8.

r' - r rr'

1 r'2 - r 2 =8". (r'+r) rr'

.

Considérons l'angle cp = (r, l). En vertu de la relation r'2 = r 2+ 8 2 + 2re cos cp, il vient M e+2r cos cp Uo (

)

=

+ r) rr'

(r'

,

et en faisant tendre e-+ 0 on obtient à la limite le potentiel du dipôle d'intensité unitaire et de direction l: U o (M) =

cos

r

2

cp •

Il est immédiat de vérifier que ce potentiel se représente comme la dérivée de ..!-r suivant la direction l, la dérivation ayant lieu par rapport au point M: cos

r2

cp

=...!al

(.!-) r •

En effet, en désignant les coordonnées de N par (6, 'll, M par (x, y, z), on obtient

~e

.!- (-!-) = al

r

(18) ~)

et celles

(6-x) cos (l, x)+(ll-Y) cos (l, y)+(~-s) cos (l, z) r3

,

275

II-2-2. POTENTIEL DE DOUBLE COUCHE

d'où, compte' tenu de la formule coscp=

ç-x cos (l, T

x)+ fi-y cos (l, y)+ ~-s cos (l, z), r

T

on retrouve la formule (18). La fonction (18) est de toute évidence harmonique et présente une singularité en N. Recouvrons la surface S de dipôles ayant en chaque point 1'7. de 8 le même sens que la normale 1 extérieure n à 8 et soit l-t (N) l'inten~ cp ,.,r sité du dipôle placé en N. Nous sommes ainsi conduits à la notion de potentiel de double couche qui sera défini par la relation (fig. 5):

/ >/ ,/

w (M)

rr

= J J ~t (N)

cosr2 cp as

s [cp=(r,n)]. (19) La fonction (19) possède des dériFig. 5 vées de tout ordre en dehors de 8 et est harmonique. On peut sous ces conditions la dériver par rapport à M sous le signe d'intégration. Si M est confondu avec un point No situé sur 8, alors r = 0 et l'intégrale (19) est alors une intégrale impropre. Montrons qu'elle a un sens. Il suffit d'étudier à cet effet l'intégrant sur 0"0 au voisinage de No, en se servant de l'équation de la surface (4) en coordonnées locales. Calculons cos cpo = cos (rD, n), où rD est un vecteur directeur de NoN: cosCPo=-.lcos(n, X) TO

+-.2L cos (n, TO

y)+-.lcos(n, Z) TO

(n, Z) = {to).

(20}, où (~,11,~) sont les coordonnées de N et ro=Vs2+112+~2. En· vertu des majorations (15) et des inégalités évidentes: Is 1~Po;, /111 ~Po; po~ro' il vient:

i.e.

I

coscpol~ 3cp~ T~

p~

(Po= VS2+112),

coscpo I~ 2

~

b 2-cx.'

Po où b est une constante. D'autre part, TO

1 l-t (N) 1 ~ A

(N E 8),

(21)

(22)

276

CH. II.

PROB~MES

AUX LIMITES

où A = max Il.l. (N) 1. En remplaçant l'intégrale étendue à 0'0 par celle étendue à la projetée O'~ de 0'0 sur le plan XNoY (Le. le disque de centre No et de rayon :), on obtient \ \

cos

J J I.l. (s, 'ri)

T5

0 tel que pour toute position du point M on puisse partager S en un nombre de parties inférieur à k de telle sorte que toute droite passant par M coupe chaque partie en un point au plus. Ceci étant, cos

(M) =

+ W~2) (M),

JJ[I-t (N) -I-t (No))

(31)

c~: cp

dS ;

c~~ cp

dS.

a

J[I-t (N) -I-t (No)]

W~2) (M) = \

§"a

(32)

Pour toute position du point M, on a 1w~1) (M) 1~

JJII-t (N) -I-t (No) 1

1 cos cp 1 r2

dS,

a

d'où, en vertu de (28) et (30): 1 w~l> (M) 1~ : •

De (31) il s'ensuit W o (M) - W o (No) =

w~u (M) -

w~u

(No)

(33)

+ [w~

2)

(M)

280

CH. Il. PROBL:E:MES AUX LIMITES

d'où 1Wo

(M) -

W

1 ~ 1 W~l)

o (No)

(M)

1

+ 1 w~n (No) 1 + 1 W~2) (M) -

W~2)

(No)

l,

ou, en vertu de (33),

1W o (M) -

W

o (N) 1~ ~

+ 1w~2) (M) -

W~2) (No) 1.

(34)

Dans le potentiel de double couche W~2) (M) l'intégration est étendue à S'",,-a et le point No est intérieur à a, donc la fonction W~2) (M) est continue au point No et dans son voisinage (et admet des dérivées de tout ordre). Donc, pour tous les M assez proches de No, on a 1 W~2) (M) - W~2) (No) 1 ~ ~, et en vertu de (34) 1 W o (M) W o (No) 1 ~ e, d'où il résulte, puisque e est arbitraire, que la fonction W o (M) définie par (29) est continue en No. On peut écrire: W o (M)

= w (M) --Il, (No)

i\ c~~

cp dS,

(35)

SOl

où w (M) est le potentiel de double couche (19). Supposons d'abord que M est situé sur S. Désignons-le par N. On a alors en vertu de (26) W o (N) = w (N) 2nf.l (No) (36) et W o (No) = w (No) - 2nf.l (No), (37) où w (No) est la valeur de l'intégrale (19) en No. Faisons tendre le point N de S vers No. La fonction W o (M) étant continue, il vient Wo

(N) -+

Wo

(No) = w (No) - 2nf.l (No)·

De là et de la formule (36), on voit que w (N) tend vers w (No), c'est-à-dire que la fonction w (M) définie par (19) est une fonction continue sur la surface S. Supposons maintenant que le point M est intérieur à S. En vertu de (26), on a alors Wo

(M)

= w (M)

-

4nf.l (No).

(38)

Faisons tendre M vers No. La fonction W o (M) étant continue, on a W o (M) -+ W o (No) = w (No) - 2nf.l (No). (39) On remarque qu'au second membre de (38) w (M) tend aussi vers une limite que l'on désignera par Wi (No). De (38) et (39) il s'ensuit Wi

(No) - 4nf.l (NI) = w (No) - 2nf.l (No),

i.e. (40)

II-2-3.

PROPRI~T~S

281

DU POTENTIEL DE SIMPLE COUCHE

On voit donc que la limite Wi (No) et la valeur W (No) sont distinctes si J.t (No) =1= O. Si le point M est extérieur à S, alors au lieu de (38} on a WO

=

(M)

W

(M),

et en raisonnant comme plus haut, on constate l'existence de la limite de w (M) lorsque M tend de l'extérieur vers No. En désignant. cette limite par W e (No), on a, compte tenu de (39), (41)

En désignant par r o et 0 donné, on peut exhiber un nombreB > 0 tel que 1 w (M) 1 ~ ê si seulement M est extérieur à la. sphère de centre 0 et de rayon B. 11-2-3. Propriétés du potentiel de simple couche. Le potentiel de" simple couche

u (M) = ~ ~ ~ ~N) dB

(44y

s

est une intégrale impropre si M est sur S. Supposons que M est: confondu avec un point No de S. Montrons que l'intégrale impropre (44) a un sens. Comme au [11-2-2] il suffit de la considérer sur une partie 0'0 de S contenant No à l'intérieur. Utilisons l'équation (4)

282 ~n

CH. II. PROBLÈMES AUX LIMITES

coordonnées locales. On a

En vertu de (15), (22) et puisque r o ~ Po, on obtient la majoration pour l'intégrant:

~suivante

I-t (~, 'YJ) I:s:::: 2A 1 roc.os'l'to -....;::: Po ' est l'angle de r et de n, 1 vecteur unitaire de la normale extérieure en N qui est le point variable d'intégration, alors que dans l'intégrale (47), l'angle 'l' est l'angle de r et de no, vecteur unitaire de la normale extérieure au point fixe No. Dans les deux cas, le vecteur r est de même sens que Fig. 7 S

~

MN (fig. 7). Montrons que l'intégrale (47) existe dans le cas où M est confondu avec le point No. Mettons l'intégrale (47) sous la forme

U

ft (N) cO: 1Po dS =

où r o = NoN et Nous montrerons l'intérieur ou de de (47) tend vers mules

6

U

ft (N) cos (~r no) dS,

(48) -~

l'angle 'l'o = (r o' no) est l'angle de NoN et no. ensuite que lorsque le point M tend vers Node l'extérieur de S suivant une normale, la dérivée des limites définies qui sont données par les for-

(auô~o)L = ~ ~ Il (N) cO~6'i'o dS + 2nll (No), s

(aUa~: 0») e = ) ) ~ (N) co;~'I'o dS - 21[~t (No), s

(49)

284

CH. II. PROBUlMES AUX LIMITES

où comme dans [11-2-2] les indices i et e signifient que M tend vers No de l'intérieur et de l'extérieur de S.

Dans le système de coordonnées locales d' origine No, le vecteur no est de même sens que l'axe N oZ. On désignera comme plus haut les coordonnées de M par (x, y, z) et celles de N dans le système local par (6, 11, ~). En introduisant comme plus haut la partie (Jo de la surface S, on peut écrire l'intégrale (47) sous la forme ) ) f1 (N)

\3 ZdS.

(50)

0'0

Si M

== No,

alors z = 0 et l'intégrale devient

) ) f1 (N)

r~t

dS = ) ) f1 (s,11) O'~

al

rg ~~;(n~) Z) ds d11,

OÙ ~ = ~ (S,11). On s'assure immédiatement que cette intégrale a un sens en vertu de (15) et de l'inégalité r o ;:::: Po. On a donc prouvé l'existence de l'intégrale (47) pour les M situés sur S. Passons à la démonstration des formules (49). Composons la différence de l'intégrale (47) et du potentiel de double couche de même densité f1 (N) :

a~~~)

_ w

(M) =

) ) I-t (N)

cos 'P~cos

qJ

dS.

(51)

s Cette intégrale a un sens si M ~ S ou si M ==. No. Montrons que cette différence reste continue lorsque M traverse la surface S en No. Il suffit à cet effet de prouver comme dans les numéros précédents que cette intégrale étendue à la petite portion (J1 de S, définie par (17), peut être rendue aussi petite que l'on veut en module. On supposera dans les estimations ultérieures que M est situé sur la normale à S en No, c'est-à-dire que x = y = 0 en coordonnées locales. On a alors cos 'P-;cos qJ =

r

__ ~ cos (n, Y)- ~ 3 Z (cos'6'o-1). (52) r cos (n, X) -4 r r

En tenant compte de (15) et de 1 si::::;; Po,

1 11 1::::;; Po;

1

r> Po > 2" r ;

1~ -

z 1::::;; r ::::;; 2po, ~

où Po= Vs 2 + 11 2 est la longueur du projeté de MN sur le plan XN oY, on obtient 1 cos 'P-cos qJ

r2

1

~ ~

b1 2-a.'

Po

où bl est une constante. Compte tenu de (22), il vient

285

II-2-5. DERIVEE NORMALE DU POTENTIEL DE SIMPLE COUCHE

1~ )

~ (N) cos 'P~COs cp dS 1~

)

~ ::~~ ds d11 =

Po:e::;;;d 1

al

0 2Jt dl

= 2Ab1

~ d~o_:

0 donné, on peut exhiber un 11 > 0 ne dépendant pas de la position de No sur S, tel que t (0 (M) - (0 (No) 1 ~ e si 1 MN o 1 ~ 11, M étant situé sur la normale à S en No. Figeons un dl tel que b2d~ ~ : et mettons (0 (M) sous la forme

==

(0

(M)

=

(01

(M)

+

(02

(M),

où {Ù1(M)=)) ~(N)cos'i'~cos: dl et r o >: dl' D'autre part, pour toute position des points N et No sur S, les modules des quantités YI, ~ sont inférieurs au diamètre de la surface S, c'est-à-dire à la distance des points les plus éloignés de S. On a par ailleurs , r - r o 1 ~ 1 z 1 et

s,

..!- __ 1 I-Ir-r0 1 (_1 +_1_+_1_) ~ r~r r~r2 ror 3 -..-: : : : / r~ r 3 -

1z 1

31 z 1 •

dt

'

r3

1z 1

~(j3' 1

et en vertu de la formule (56) 1

[

COS

,!,-cos

(60)

TO

1

Appelons 0'1 la portion de la surface S, découpée par le cylindre circulaire ayant pour axe la normale à S en No et pour base le disque de rayon 2To l ' Décomposons l'intégrale étendue à S en deux, l'une sur 0'1' l'autre sur S"'O'I:' J

1

= ~ ~

~

~

1

(JI

J2=

cos (ro, no) 1 as

1 cos (rI' nd

0

., (61)

\ ~ 1 cos (~r nt>

~"(Jl

L'introduction du produit scalaire nous permet d'écrire: cos (rll' no) rl,nl ro·no cos (ri' nt) r 12

ri

r~

_

rl,nO -

-

ro,no 3

Tg

+ rl,nl -

Tl

rt,no 3

rI

+ru .no (_1__..!-) 3

rI

3'

ro

«)Ù, comme toujours, no et ni sont les vecteurs unitaires de la normale extérieure -en No et NI' De ce qui précède il s'ensuit que cos (ro' no) 1::::::::: I r l,nO-rO,n61 ,/ cos (~j' nI)

+ + Irl,nl-rl,nol + 1ro,no1 1 Tt1 - rt1 1. Tt

T~

-.:::

Tf

(ü2)

Majorons séparément les divers termes: 1 rl,n l -rI"no 1 = 1ri' (ni -

no) 1 ~ rll ni - no 1.

En considérant le triangle de côtés no et ni' on obtient 1 nI - no 1 ~ '6', où '6' .est l'angle de no et nI' La condition (3) nous permet d'écrire: 1 rl,nl - rl,no 1 ~ arlr~,l' 'où a est une constante, Par ailleurs Irl,no -ro,no

1

=

1 (rl-rO),no 1

=

Iro.l,no

1

=

1 ~ll,

,où ~l est une coordonnée de NI dans le système local d'origine No. On a grâce

.à (15)

Irl,n O -ro,no 1 ~ crJ,ta..

Si enfin le point d'intégration N est assez proche de No, alors en vertu de (15) .on a 1 ro'no 1 = 1 ~ 1 ~ cr~+a., Mais, comme pour l'inégalité (59), on peut admet-

D2RIV~E

11-2-6. VALEUR DIRECTE DE LA

NORMALE

289

tre que l'inégalité précédente est valable pour toutes les valeurs de TO' En portant les majorations obtenues dans (62), on trouve cos (rOt no) 1~

cos (ri' nt)

T8-"':::

ri

Clrlr~, 1 + ctr~~f

_

":::::::

~

~

1

+CIT 0

(1 +-+-, fI) ~~ ~~ ~~

+CX Irl-rol

(63)

-3

où Cl = max {a, cl. On déduit à partir du triangle NoNIN que

Tt

+ To.

1

~

TO'

Or, en intégrant !ur (S ",,",0'1) on a ro. 1 ~ ~ et par suite rI ~ ~ • En se servant de ces inégalités et aussi de l'inégalité 1rI - ro 1 ~ ro, 1t on peut mettre (63) sous la forme cos (rI' nI) r12

1 (_ 0, 1 r21

~ c rcx

-...:::

1

cos (ro' no) 1~ r02 -"':::

+~ + r3 1

r1+ar1-CX 0 0, 1 r 3r

+

01

~ C1r~,

1

(

r 1+cx r 1- a 0 0, 1 r 2r 2

+

r 1+a r 1- a

01

1

4

2

4

0

O. 1 ) ~

r3 r01

-...:::

8)

19c1r~

-;:2+-;:2+-;:2+7=2+7=2 = o 0

0

0

0

r2' 0

1

•

En revenant à la deuxième formule (61), on obtient

arr

dS

IJ21~corO',1JJ

ri'

(64)

8"-01

où Co = 19c1' On a considéré un cylindre de rayon de base 2rO,I' Prenons maintenant un cylindre de même axe et de rayon fixe ~. Ce cylindre découpe sur S une portion 0'0 qui est comprise dans 0'1' On a

~ J ~f =

8"01

D~ns

la deuxième intégrale ro

JJ ~: + JJ ~: .

0 0 "al

~ d/3,

rr

JJ

8"-00

donc 9

dS

r~ ~ d2' 1SI,

8"00

où 1Siest l'aire de S. On peut ramener l'intégration sur 0'0""0'1 à une intégration sur le plan tangent en No puis à l'aide des estimations habituelles

( ro ~ Po et cos (n, Z) 2n d/3

JJ ~: ~ J J 0 0"-01

~ -{-) 2po ~~o

obtenir:

de

4n (ln

~

-ln 2ro•

0 2rO• 1

En portant ceci dans (64) on trouve J2~Alr~, 111nrO.ll+B1r~.1' 19-01017

1) .

CH. II. PROBUlMES AUX LIMITES

290

et BI sont des constantes. Si 0 < ration par une majoration de la forme:

OÙ Al

J 2 ~ A2

~

< cx on peut remplacer cette majo-

rg. 1.

Passons à la majoration de JI. On a JI

~ ) ) Icos

(:r

dS

nl)1

+)

al

Icos (~r no)! dS.

(65)

al

Les majorations habituelles nous donnent:

)) ICOS(~r

no)/

dS=))

al

2n 2ro• 1

':3'

dS~C)

)

0

0

al

=

A3r~.

l'

1

où A 3 est une constante. Pour évaluer la première intégrale (65) traçons la

sphère de centre NI et de rayon 4rO.l en remarquant que 4rO.l < ~ . Cette sphère découpe sur S une portion (J2 contenant (JI. La portion (J2 est définie par une équation explicite dans le système de coordonnées locales de centre NI et on peut lui appliquer les estimations habituelles en ramenant l'intégration au plan tangent à S en NI. Le domaine d'intégration est une partie du disque de centre NI et de rayon 4ro.l. En intégrant sur le disque tout entier, on obtient la majoration:

rr

JalJ

1cos(rl;

nI) 1 dS ~

rI

r r 1cos (r~, nt>

J02J

1

rI

dS ~ A4r~ 1. •

En portant toutes les majorations obtenues dans (60), on aura 1 F (NI) - F (No) 1 ~ A (A 2 r Afir~.l)'

e.! +

d'où l'on déduit en définitive la formule (59), où ~ > 0 est strictement inférieur à cx. 11-2-7. Dérivée du potentiel de simple couche suivant une direction quel. conque. Au (11-2-4] nous avons étudié les valeurs limites de la dérivée normale du potentiel de simple couche lorsque M -+ No suivant la normale. Si on impose à la densité fA. (N) des conditions plus fortes que la continuité, on peut prouver que les dérivées suivant une direction fixe convergent et de plus que ces limites ne dépendent pas de la façon dont M -+ No. On admet que la densité vérifie la condition de Lipschitz: 1 J.l. (N 2) - J.l. (NI) 1 ~ Brt2' (66) où rl. 2 = NIN 2' B et 6 sont des constantes strictement positives (6 ~ 1). Soit (NoX, Y, Z) un système de coordonnées locales d'origine No E S. Calculons la dérivée de u (M) suivant l'axe NoX situé dans le plan tangent à S en No. On admettra provisoirement que le point M se trouve sur la normale à S en No. On admettra pour fixer les idées que M est intérieur à S. On a 8u(M) 8x

) ) J.l.(N)

r~

dS

(r=MN).

(67)

S

Introduisons la quantité r' = l!~2

JJ

J.l. (No)

00

r~3

+ "1 +

cos (n, Z) dS = J.l. (N 0)

2

)

Z2

et considérons l'intégrale

J(;2+ ,/+

00

Z2)3/2

d~ d"l

(z =F 0), (68)

11-2-7.

où

(J~

D~RIV~E

291

DU POTENTIEL SUIVANT UNE DIRECTION

est le disque S2+T]2 ~

~

• On a de toute évidence d

J\ \J

~

(SJ+T]2+ Z2)8/2

a'o L'expression (67) devient

0 un nombre donné. Considérons la partie (JI de (Jo définie par S2 1'J2 ~ dl et choisissons dl assez petit pour que l'intégrale

+

) ) I~I 1fJ.(N)~fJ.(No)1 dS al

soit ~ :

en module quelle que soit la position du point M sur la normale

en No. Ceci est possible en vertu de la première majoration (76). Mettons ensuite VI. 1 (M) sous la forme V1, 1

(M)

=)) ~

fJ.

(N)~I-t (No)

al

dS

+

+ II

~ I-t(N)~I-t(No)

dS=V)l,>l (M)+v\:\(M),

<Jo""-<JI

et (77)

L'intégrale v\2> 1 (M) est prise sur une surface dont les points se trouvent à une distancè ~ dl ,de No et M et exactement comme au [II-2-5], on obtient

IV\~~l (M)-v\~>l (No) 1~ C, Izl, où C4 ne dépend pas de la position de No sur S. Ceci étant, (77) devient

et pour

Izi

8

~ 2C

'

on trQuve

4

IVI, 1 (M)-VI, d'où il résulte que vItI(M) de No sur S.

-+ VI,1

1

(N li ) 1 ~

8,

(No) uniformément par rapport à la position

11-2-70 DSRIVSE DU POTENTIEL SUIVANT UNE DIRECTION

293

En retournant à la formule (75), on remarque que vi (M) tend uniformément vers VI (N Q) pour M ~ Noo Si~alons que cette limite est la même, que M tende vers No de l'intérieur ou de l'extérieur de S. De façon plus simple, la fonction v). (M) est continue en No lorsque M se déplace sur la normale en NoL'integrale V2 (M) est prise sur la portion S "'- (Jo de S dont les points se trouvent à une distance ~ dl3 de M et No. De là il s'ensuit comme plus haut que 1 V2 (M) - V2 (No) 1 ~ Ci 1 z l, où la constante Cr; ne dépend pas de la position du point No sur S et par suite VI (M) ~ v2 (No) uniformément par rapport à Noo On peut finalement affirmer que la dérivée auô~M) converge uniformément lorsque M -+ No sur la normale en No et que cette limite est la même, que M -+ No de l'intérieur ou de l'extérieur de S. Cette assertion est vraie également pour au(J~M) • Au [11-2-5] on a

0 Ote 0 , auôz (M) convergeaI°t UnIo f' - cette 1Imi mont re' que 1a d'erlvee ormement, mals n'était pas la même lorsque M -+ No. de l'intérieur ou de l'extérieur. Si 1 est UBe direction quelconque faisant les angles CXt, al et as avec les axes NoX, N,Y et NoZ respectivement, alors de ce qui précède il s'ensuit aussitôt que la dérivée au (M) _ au (M) ôl

az

-

cos al

+ buay(M)

cos al

+ auaz(M)

cos a.

(78)

converge aussi uniformément lorsque M -+ No de l'intérieur ou de l'extérieur de So La convergence de la dérivée (78) étant uniforme lorsque M -+ No de l'intérieur et de l'extérieur, on peut affirmer que les limites sont des fonctions continues du point Node S Montrons enfin (fue la dérivée (78) tend vers la limite indiquée ci-dessus quelle que soit la façon dont M -+ No et pas seulement suivant la normale en No- Supposons pour fixer les idées que M -+ No de l'intérieur et désignons par ID (N ) la valeur limite de la dérivée (78) lorsque M -+ No le long de no. Soit 9 donne 8 > O. Il nous faut prouver qu'il existe un Tl > 0 tel que 0

auiJl(M) -c. (No) 1~ 8 y (79) 1 .si seulement MN 0 ~ Tl, le point M étant intérieur à S. Traçons une sphère de centre No et choisissons son rayon ô assez petit pour que sur la partie a' de la surface S, intérieure à cette sphère, l'on ait 1 ID (N) - ID (No) 1 ~ ; • Suppo!sons par ailleurs que M est intérieur à une sphère de centre No et de rayon fi choisi tel que

1

(M) (N) I~..!. ôl ro -..::::: 2 '

ÔU

M étant situé sur la normale à S en N et M N ~ Tlo Ceci est possible en vertu de

la convergence uniforme de Si MN 0 ~ normale MN On a T)

~~

0

T),

ÔU

ô~M) vers ro

(N) sur S. Nous supposons enfin que

alors à fortiori MN

~ Tl,

où N E (J'est le pied de la

0

ôUa\M) -ro(N o)=

ôuô(~)

ro (N)+ro (N)-ro (No)

294

CH. II. PROBL:E:MES AUX LIMITES

et

D'après ce qui a été dit plus haut, les deux termes du second membre sont 8

=e;;;;;2'

donc (80)

On s'est servi plus haut de la proposition élémentaire suivante: la plus courte distance d'un point M à une surface S est la longueur de la normale MN à S. Signalons encore que les intégrales (67) et (68) n'ont pas de sens pour z = 0, c'est-à-dire pour M == No. Mais nous avons vu que leur différence avait un sens. Les raisonnements précédents nous conduisent au théorème suivant dû à Liapounov: Thé 0 r ème. Si la densité f..t (N) vérifie la condition de Lipschitz (66), alors la dérivée du potentiel de simple couche suivant une direction quelconque fixe est continue sur S aussi, que M -+- No de l'intérieur ou de l'extérieur. La dérivée suivant une direction quelconque tangente à S en No varie continûment lorsque le point M traverse S en No. L'étude du comportement des dérivées du potentiel de double couche lorsque M tend vers la surface S soulève de grosses difficultés. Les principaux résultats ont été obtenus dans ce domaine par Liapounov dans l'ouvrage déjà cité Sur certaines questions rattachées au problème de Dirichlet.

11-2-8. Potentiel logarithmique. Dans le cas du plan, la solution singulière fondamentale était ln.!. (tome II, lVII-3-2l). Soit l un r contour fermé du plan (X, Y), lo, sa longueur. Le potentiel de simple couche est donné par la formule: u (M) = ) Il (N) ln l

+

ds= ) Il (s) ln l

+

ds.

(81)

La deuxième solution singulière, identique à un dipôle dans l'espace (cf. (18» est cos q:> r

= -!..(ln .i-) al r'

et le potentiel de double couche est défini par la formule: w(M)

=

J\ Il (N)

cos q:> r

ds,

(82)

l

où q>=(r, n). L'expression cos O. La convergence étant uniforme sur l, il existe un N tel que pour tout n ~ N et tout p > 0 l'on a n+p

1

~

(x, y) I~e «x, y) sont sur l).

Uk

k=n

Cette somme finie de fonctions harmoniques est une fonction harmonique à l'intérieur de B et continue dans B. En vertu de la propriété fondamentale des fonctions harmoniques relative aux extrémums sur le contour (tome II, [V11-3-3l), on peut affirmer que cette inégalité étant réalisée sur le contour l, elle le sera à fortiori en tout point intérieur, autrement dit elle est réalisée dans le domaine B, ce qui exprime la convergence uniforme de la série (100) dans B. Donc, la somme S (x, y) de la série (100) est une fonction continue dans B. Montrons qu'elle est harmonique dans B. Soient Mo un point quelconque de B et ~ 0 un disque de centre Mo et de rayon R tel que ~ 0 c B. Désignons par Sn (x, y) la somme partielle de la série (100). Cette somme est une fonction harmonique et les valeurs qu'elle prend en un point intérieur de ~ 0 s'expriment en fonction de celles qu'elle prend en un point frontière de ~ 0 à l'aide de la formule de Poisson:

où (p, 0 donné il existe un A > 0 tel que 1 u (M) 1~ 8 dès que r;;;::: A. Construisons une boule B 0 centrée en l'origine et de rayon assez grand pour que u (M) soit harmonique à t'extérieur et sur âB o. Construisons une fonction Vl (M') harmonique

CH. II. ·PROBLM4ES AUX LIMITES

312

à l'intérieur de B o et prenant les mêmes valeurs limites sùr ôB o que u (M). Soit 11,1 (M) l'image de la fonction VI (M') par la transformation de Kelvin par rapport à B o. La différence 11, (M) - 11,1 (M) est une fonction harmonique à l'extérieur de B o, nulle sur ôB o, qui tend vers 0 lorsqtier ~ 00. On a vu plus haut qu'une telle fonction est identiquement nulle. Donc, 11, (M) == 11,1 (M). On a vu par ailleurs que 1es .produits rUt

_2 ôu!(M) (M) , r ôx '

r

2 ôu!

(M) ôy

t

r

2

au! (M) ô:

(A 15) ~

sont bornés pour r ~ 00. On remarque donc que la convergence de 11, (M) vers 0 lorsque r ~ 00 entraîne que les produits (115) pour 11, (M) restent bornés lorsque r ~ 00. On dira qu'une fonction u (M), harmonique au point à l'infini, est régulière au point à l'infini si u (M) ~ 0 pour r ~ 00. Si l'on sait seulement que u (M) converge vers une limite finie b, alors on peut dire qu'une telle fonction est égale à la somme de la constante b et d'une fonction harmonique régulière au point à l'infini. Si pour des fonctions 11, (M) et v (,M) harmoniques à l'extérieur d'une sùrface S les produits (115) sont bornés et si ces fonctions possèdent sur S des dérivées normales régulières, alors comme on l'a vu au [II-2-91, elles sont justiciables des formules (94) et (95) dans lesquelles l'intégration est étend ue à la région de l'espace extérieure à S. Le pro b 1 ème e x t é rie u r d e D i r i chI e t consiste à trouver une fonction u (M) harmonique à l'extérieur de S, régulière au point à l'infini, continue à l'extérieur de S et sur S et prenant sur S des valeurs f (N) données à priori. En plaçant l'origine des coordonnées en un point Mo intérieur à S, on ramène par une transformation de Kelvin le problème extérieur de Dirichlet à un problème intérieur pour le domaine image. On démontre l'unicité de la solution du problème extérieur par les raisonnements habituels. L'existence de la solution du problème extérieur se ramène à celle de la solution du problème intérieur, laquelle peut être établie sous des hypothèses générales sur la surface avec des conditions aux limites continues. Signalons la différence qui existe dans les positions du problème extérieur de Dirichlet pour le plan et pour l'espace. Dans le cas plan nous avons donné les conditions aux limites sur la frontière et avons simplement exigé que la fonction tende vers une limite finie lorsque r ~ 00. Dans l'espace, nous imposons cette limite, à savoir nous la supposons égale à o. Il est évident qu'on aurait pu admettre que la fonction u (M) tend vers une limite b pour r ~ 00 et revenir à la position précédente en considérant la différence u (M) - b. Il est immédiatde voir que dans l'espace il ne suffit pas d'exiger que u (M)tende vers une limite finie lorsque r ~ 00 pour que le pro-

II-2-14. UNIClT:e DE LA SOLUTION DU PROBUlME DE NEUMANN

313

blème extériéur soit bien posé. En effet, supposons qu'une certainequantité d'électricité se trouve en équilibre sur une surface conductri-ce S. Ce potentiel électrostatique de simple couche sera égal à une~ constante c sur S et de plus on démontre sans peine que U (Ml est une fonction harmonique à l'extérieur de S et tend vers pourr ~ 00. La constante c sera elle aussi une fonction harmonique à l'extérieur de S et prendra sur S les mêmes valeurs limites, mais elle ne sera pas régulière au point à l'infini au sens de notre définition. Dans le plan, ce raisonnement n'a pas de sens, car le potentiel électrostatique de simple couche sur une courbe l est infini à l'infini. Signalons encore que la fonction u (M) est dite harmonique à l'extérieur de S dans le cas seulement où elle est régulière à l'infini, c'està-dire que certains auteurs incluent dans la définition d'une fonction harmonique à l'extérieur de S la régularité au point à l'infini. Le pro b 1 ème e x t é rie u r deN e u man n consiste à trouver une fonction harmonique à l'extérieur de S, régulièreà l'infini dont la dérivée normale prend des valeurs données sur S. Les valeurs frontières de la dérivée normale ne doivent plus satis-faire ici à la condition (110). La démonstration de cette conditiol1 dans le cas plan ne s'étend pas à l'espace, car l'aire de la sphère de· rayon R est de l'ordre de R2 et l'intégrale de :: sur une sphère derayon assez grand ne doit pas tendre vers lorsque R ~ 00. Si l'on suppose que la solution du problème extérieur de Neumann possède· une dérivée normale régulière, alors l'unicité de la solution résulteimmédiatement de la formule (94). Nous avons effectué le même· raisonnement pour le problème intérieur de Neumann. Signalons en conclusion que les propriétés de la fonction harmonique au voisinage du point à l'infini peuvent être directement acquises à partir du développement de cette fonction suivant desfonctions sphériques au voisinage du point à l'infini.

°

°

11-2-14. Unicité de la solution du problème de Neumann. On sepropose de prouver l'unicité de la solution du problème intérieur de Neumann sans supposer que la dérivée normale est régulière. On considère au préalable un solide de forme spéciale sur lequel on. construit une fonction harmonique douée de propriétés qui seront précisées plus bas. Soit T (ex, k, h) un solide limité par la surface1+a

J=

+ y2)-2-

k (x 2

et le plan z = h, où k, ex et h sont des constantes strictement positi-ves. Soit No (0, 0, 0) le sommet de ce solide. Désignons par a' laI portion de frontière contenue dans le plan z = h et par a" la portion restante. Soit par ailleurs Uo et Ul deux constantes réelles telles queU o < Ul. Con.struisons une fonction w (M) harmonique à l'intérieur-

CH. II. PROBLœiES AUX LIMITES

'314

.(le T (ex, k, h), continue dans T (ex, k, h) et telle que w(M) < Ut sur 0', w (M) ~ U o sur 0" et w (No) = u o. Si r = V x 2 y2 Z2, 8 est l'angle du rayon vecteur de M et de l'axe NoZ, et P n (x), la fonction de Legendre (tome 111 2 , [VI-1-131), alors on sait (tome 111 2 , tVI-1-7l) que pour tout n la fonction rnP n (cos 8) sera harmonique à l'intérieur de T (ex, k, h). Construisons w (M) de la forme w (M) = Y [r cos 8 r 1 +PPl+P (cos 8)] Uo, (117)

+ +

+

+

0 et ~ > 0 sont des constantes qui seront déterminées plus loin. De toute évidence w (No) = U o. Montrons tout d'abord que pour tou t ~ assez proche de 0 P1+rdO) < O. (118) La fonction P n (x) est la somme d'une série hypergéométrique: 1 Pn(x)=F n+1; -n; 1; 1-x 2 ) (Ixl 0 et les k - 2 autres, y,

où y > 0 est un nombre quelconque. On admet qu'il existe un solide T (a, k, h) tangent à S en No et dont tous les points sauf No sont intérieurs à S. Prenons h fixe assez petit pour que l'on ait (119) sur la portion (J" de la surface du solide. Soit u1 la plus petite valeur de u (M) sur (J'. La fonction u (M) n'étant pas constante, on a U o < Ul' En choisissant y assez petit, on peut construire une fonction w (M) douée des propriétés mentionnées plus haut et telle que w (No) = u (No) et w (N) < u (N) sur le reste de la surface de T (a, k, h). En orientant l'axe NoZ dans le sens de la normale intérieure à S en No, on obtient u(M)-u(No) NoM -

ce que nous voulions.

K(M)-.(N o) z

>

w(M)-w(No) z

>

y,

(122)

316

CH. II. PROBL1!:MES AUX LIMITES

Ce théorème entraîne immédiatement l'unicité de la solution du problème de Neumann au sens suivant: Si une fonction u (M) harmonique à l'intérieur de Di est continue dans ÏJ i et (a~~N») i = 0 sur la surface S tout entière, alors u (M) est constante,. Soit No le point de S en lequel u (M) présente son minimum. De (122) il résulte aussitôt que la dérivée suivant la normale en No ne peut tendre vers 0 lorsque M ~ No suivant la normale en No. Si cela était vrai, la formule des accroissements finis nous donnerait u (M)-u (No) ~ 0 J

J

ce qui contredit (122). L'unicité de la solution du problème extérieur de Neumann se prouve exactement de la même manière. La démonstration exhibée a été donnée dans le travail commum de M. K e 1 d Y c h et M. L a v r e n t i e v (DAN SSSR, 1937,. 16, nO 3). La démonstration du théorème d'unicité est élémentaire dans le cas où la surface S est tangente intérieurement à une sphère (S. Z a-: rem b a, UMN, 1946, 1, nOS 3-4). 11-2-15. Résolution des problèmes aux limites dans l'espace. Posons les problèmes intérieurs de Dirichlet et de Neumann pour un domaiBe Di limité par une surface S. On cherchera la solution du problème intérieur de Dirichlet sous la forme d'un potentiel de double couche:

u (M) =

JJ

fA. (N) cos ~~. n) dS,

(123)

8

-+

où r= MN etn est la normale extérieure au point N de S. On cherche la densité fA. (N). En vertu de la première formule (42), le problème intérieur de Dirichlet avec la condition aux limites (124) (U)i 18 - t (N) est équivalent à l'équation intégrale suivante pour la densité fA. (N) : t(N o)=

JJfA.(N)

cos~o.

8

n)

dS+2nfA.(N o)

(ro = NoN).

0

En considérant le noyau K (N . N) o,

= __1_ 2n

cos (ro. n) r~

,

on peut mettre cette équation sous la forme: Jl (No) =

2~ t (No) +

JJIl (N) K (No; N) dS. 8

(125)

11-2-15. ReSOLUTION DES PROBL:I!:MES AUX LIMITES DANS L'ESPACE

31't

Le noyau K (No; N) n'est pas symétrique, car la normale est prise -~ en N et r o = NoN. On obtient le noyau transposé de l'équation adjointe (tome IVu [1-9]) en prenant la normale en No et r o = NN o• Le noyau transposé KI (No; N) est donc défini par la formule: ~

K 1 (N 0 ., N) -- K (N'' 0 N ) --

cos (ro, no) 2nr~

(126)

,

"0 est la normale extérieure en No.

Nous avons changé le signe du noyau, car le sens de r o a été inversé dans KI (No; N) et conservé dans la formule (126). Cherchons la solution du problème intérieur de Neumann avec la condition aux limites OÙ

(127) sous la forme d'un potentiel de simple couche: U

(M) =

JJ s

fi

~N) dB.

(128)

La première formule (49) nous conduit à une équation intégrale équivalente au problème posé:

f (No) =

) ) fi (N) cos (~r no) dB + 211;J.' (No).

s Cette équation peut être mise sous la forme

J.' (No) = 2~ f (No) - ) ) Jt (N) KI (No; N) dB. (129) s De façon analogue, les deuxièmes formules (42) et (49) nous donnent pour les problèmes extérieurs de Dirichlet et de Neumann avec les conditions aux limites (Ue>ls= f (N) ;

( auan(N) ) • = f (N) les équations intégrales

JI (No) = -

2~ f (No) +

) ) JAr (N)

cos

(;r

n)

dB,

s JAr

(N 0) =

-

_1_

2n

f (N 0) + J{" J{" JI (N) s

cos (ro, no) dB 2nr2 , 0

dont les solutions sont cherchées sous la forme (123) (pour le problème de Dirichlet) et (128) (pour le problème de Neumann).· Consi"

CH;;, U.

318

PROB~~ES Â, UX

LIMITES

dérons les équatjOD,S

~ (No) = q:> (No) + Â ,

f1 (No) =

1. Si dans la formule (135) on admet que IJ. (N) = = const =1= 0 alors la formule (136) nous donne encore  = - 1. Par conséquent, si S est une surface convexe, alors  = 1 n'est pas une valeur propre de l'équation (135) et  = - 1 est une valeur, propre simple et la fonction propre correspondante IJ. (N) est cons1 f1

11-2-16. STUDE DES SQUATlONS IN!fSGilALES

319'

tante. On peut donc affirmer que').. = 1 n'est pas une valeur proprede l'équation (133) et ').. = - 1 en est une simple. . Montrons maintenant que ces résultats sont valables pour toute surface de Liapounov avec Cl = 1 en utilisant pour cela les résultats du [11-2-9] qui sont basés sur la possibilité de construire des surfacesparallèles. Considérons l'équation (133) et l'équation homogènecorrespondante pour').. = 1 : J.t (No)

=

JJ~ (N) KI (No; N) dS.

(136)

s

Soit ~o (N) une solution continue de cette équation. Il nous faut. prouver que ~o (N) O. Le potentiel de simple couche de densité~o (N) définit une fonction U o (M) harmonique dans Di et De, continue dans l'espace tout entier, dont la dérivée normale (au~~N)) e prend des valeurs nulles sur S. Cette dernière circonstance résulte-' du fait que ~o (N) est par hypothèse solution de l'équation (136). Le potentiel de simple couche U o (N) est justiciable de la formule (94) d'où il résulte que U o (N) est constante dans De. Le potentiel desimple couche est nul à l'infini, donc U o = 0 dans De et en particulier sur S. Ceci étant, la fonction harmonique U o (M) est nulle à l'intérieur de S aussi, autrement dit U o (M) 0 dans l'espace tout. entier. En tenant compte de (54), on obtient':

==

==

f-lo

(N) = _1 [( 4n _

auoan(N)

) _ i

(

auoan(N)

) e

J== 0

(sur S),

c.q.f.d. On peut donc affirmer que').. = 1 n'est pas une valeur propre des équations (132) et (133). Pour').. = - 1, l'équation homogène (135) possède, en vertu de (26), une solution constante, autrement dit  = - 1 est une valeur propre des équations (132) et (133). Montrons qu'elle est simple. Il suffit à cet effet de prouver que pour ').. = - 1 l'équation homogène (133), soit: f-l (No)

= - ) ) f-l (N) KI (No; N) dB,

(137)

s

ne possède qu'une seule fonction propre à un facteur constant près. Soit f-li (N) une fonction propre de l'équation (137). Le potentiel de simple couche de densité f-li (N) définit une fonction UI (M) harmonique dans Di dont la dérivée normale (alt~~N») i est nulle sur S. Comme plus haut, la formule (92) nous dit que UI (M) est constante dans Di et sur S, c'est-à-dire que la densité f-li (N) définit un poten~ tiel de simple couche constant sur et à l'intérieur de S. Autrement dit, f-ll (N) est une densité électrostatique.

~20

CH. Il. PROBL:E:MES AUX LIMITES

Montrons que l'intégrale

JJ III (N) dS, s

(138)

qui donne la quantité totale d'électricité en équilibre sur la surface conductrice Sn'est pas nulle. Comme indiqué plus haut, la fonction 'ul (N) est constante dans D et la formule (54) nous donne N) =

III (

__ 1 (au! (N) ) 4n an ,.

(139)

:Si l'intégrale (138) était nulle, on aurait

JJ( au~~N) ). dS s

= O.

(140)

Appliquons la formule (94) à UI' La fonction Ul est constante ;sur S et l'intégrale (140) est nulle. Il s'ensuit que les deux membres de la formule (94) sont nuls pour U = Ul' autrement dit Ul est constante dans De et la formule (139) nous dit que III (N) est nulle sur S, or nous avons admis que III (N) est une solution de l'équation (137), non identiquement nulle. Donc, l'intégrale (138) n'est pas nulle. En multipliant III (N) par une constante, on peut faire prendre n'importe quelle valeur à l'intégrale (138). Montrons maintenant que l'équation (137) admet une seule solu-tion à un facteur constant près. Soit 112 (N) une solution quelconque non triviale de cette équation. Il existe une constante C telle que l'intégrale (138) est nulle par la substitution de 112 (N) - Cil! (N) à ""1 (N). Ceci étant, 112 (N) - Clll (N) est également solution de l'équation (137), donc d'après ce qui vient d'être prouvé, 112 (N) - Clll (N) ==0 sur S, d'où 112 (N) = Clll (N), c'est-à-dire que la formule Il (N) = Clll (N) nous donne toutes les solutions de l'équation (137). Des raisonnements précédents il s'ensuit que les équations (132) et (133) possèdent une solution bien définie pour Â, = 1 quel que soit le terme constant, ce qui donne par conséquent la solution du problème intérieur de Dirichlet et du problème extérieur de Neumann. Voyons maintenant l'équation (133) pour Â, = - 1. Cette équation définit la densité du potentiel (128), solution du problème intérieur de Neumann. Pour que ce problème admette une solution, il est nécessaire et suffisant que le terme constant de l'équation intégrale soit orthogonal à une fonction propre de l'équation homogène associée, c'est-à-dire à une constante. Ceci nous conduit à la condition

JJ f(N) dS=O s

(141)

II-2-16.~TUDE

DES

~QUATIONS INT~GRALES

321

qui, nous l'avons vu plus haut, est nécessaire. Cette condition est également suffisante. Si cette condition est remplie, la solution de l'équation non homogène est définie à un terme additif près qui est solution de l'équation homogène (137), c'est...à-dire à un terme additif près qui est la densité électrostatique. La substitution de ce terme dans le potentiel de simple couche nous donne un potentiel constant et le terme constant ne joue pas de rôle fondamental dans la résolution du problème intérieur de Neumann. Considérons maintenant l'équation (132) pour  = - 1, ce qui correspond au problème extérieur de Dirichlet. Pour que cette équation admette une solution, il est nécessaire et suffisant que le terme constant soit orthogonal à la solution de l'équation homogène (137), c'est-à-dire à la densité électrostatique J.f.t (N) :

JJJlt (N) t (H) dS= a.

(142)

B

Cette condition subsidiaire n'est pas liée au fond du problème, elle est due simplement au fait que l'on cherche la solution du problème extérieur de Dirichlet sous la forme d'un potentiel de double couche. De la forme d'un tel potentiel il s'ensuit immédiatement que pour r ~ 00 il tend vers a comme lIr 2 • Cette convergence rapide n'est pas nécessaire à la résolution du problème extérieur de Dirichlet, par contre elle est à l'origine de la condition subsidiaire (142). Montrons qu'on peut résoudre le problème extérieur de Dirichlet sans imposer aucune condition supplémentaire à t (N), à l'aide de la somme d'un potentiel de simple couche et d'un potentiel de double couche. En effet, soient ""1 (N) la densité électrostatique pour laquelle l'intégrale (138) est égale à l'unité, et U1 (M), le potentiel de simple couche correspondant. Le potentiel U1 (M) prend sur S des valeurs égales à une constante k =1= a.Choisissons une constante c telle que

JJ""1 (N) [f (N) -cJ dS = a, B

c'est-à-dire posons c=

Js ~ ""1 (N) f (N) dS.

On peut, d'après ce qui précède, former un potentiel de double couche w (M), solution du problème extérieur de Dirichlet avec les valeurs frontières t (N) - c. Alors la somme w (M) 21-01017

c + TUt (M)

322

CH. II.· PROBU;MES AUX LIMITES

sera solution du problème extérieur de Dirichlet avec des valeurs de f (N) données sur S. Rem a r que. Dans ce numéro, on a admis que le domainedans lequel est résolu le problème aux limites est borné par une seule surface S. Les résultats seront différents si D est limité extérieurement par une surface So et intérieurement par des surfaces Sk (k = 1, 2, ... , m). Dans ce domaine, on cherchera la solution du problème de Dirichlet sous la forme d'un potentiel de double couche. Pour la densité on obtient comme toujours l'équation (132} avec  = 1, S étant la frontière de D, c'est-à-dire que S est composée de So et de Sk (k = 1, 2, ... , m), la normale à Sk étant orientéevers l'extérieur de D, c'est-à-dire vers l'intérieur de Sk (k = 1, ... . . . , m). On a donc affaire à un problème intérieur de Dirichlet. L'équation (133) avec  = 1 définit un problème extérieur de Neumann qui consiste ici à trouver une solution harmonique à l'intérieur de chaque surface S k et à l'extérieur de S 0' les valeurs de la dérivéenormale étant données sur ces surfaces. La solution cherchée est comme toujours régulière à l'infini. Si les valeurs frontières de la dérivée normale sont nulles, on obtient alors l'équation homogène (133) avec  = 1. On vient devoir que cette équation n'admet que la solution triviale si D est limité par une seule surface. Il en va autrement dans le cas considéré. Supposons en effet que toutes les surfaces sont conductrices. Disposons sur Sl une charge électrique positive unitaire, relions la. surface So à la terre et admettons que toutes ces surfaces soient lesiège d'un régime électrostatique. On obtient ainsi une distribution induite à charge totale nulle sur les surfaces S l (l = 2, ... , m). Soit III (N) la densité de la distribution électrostatique obtenuesur S. Le potentiel de simple couche ayant une telle densité sera de toute évidence constant à l'intérieur de chaque surface Sk et nul à l'extérieur de So, autrement dit il sera solution du problème extérieur de Neumann avec une condition aux limites homogène. En d'autres termes, III (N) sera solution de l'équation homogène (133} pour  = 1. En disposant une charge électrique positive unitairesuccessivement sur chaque surface S k, on obtiendra m solutions l!k (N) linéairement indépendantes de l'équation homogène (133) pour  = 1. On montre que les fonctions Ilk (N) constituent un système complet de solutions linéairement indépendantes. On voit donc que dans le cas envisagé la valeur  = 1 est une valeur propre des équations (132) et (133). Pour que l'équation (132) admette une solution, il est nécessaire et suffisant que f (N) vérifie les m conditions

Jrf (N) !-tk (N) as = o. s

II-2-17. ReSULTATS RELATIFS AUX PROBUlMES AUX LIMITES

323

Si l'une au moins de ces conditions n'est pas satisfaite, alors le problème intérieur de Dirichlet n'admet pas de solution sous forme d'un potentiel de double couche. On démontre que ce problème admet une solution sous forme de la somme d'un potentiel de double couche et d'un potentiel de simple couche, comme on l'a fait plus haut pour le problème extérieur de Dirichlet. L'étude détaillée des problèmes de la théorie du potentiel dans le cas où la frontière est constituée de plusieurs surfaces est accessible dans l'ouvrage de N. M. G u n ter, La théorie du potentiel et ses applications aux problèmes fondamentaux de la physique mathématique. Paris, 1934. On a établi plus haut l'unicité de la solution du problème de Neumann sous réserve que la fonction harmonique cherchée soit continue dans D. Des raisonnements précédents, il s'ensuit que cette solution unique se représente par un potentiel de simple couche. II-2-17. Sommaire des résultats relatifs aux solutions des problèmes aux limites. Récapitulons les résultats relatifs à la résolution des problèmes de Dirichlet et de Neumann et exhibons-en de nouveaux. Pour toute fonction f (N) continue sur S, l'équation (125) définit une densité Il (N) continue, telle que le potentiel de double couche (123) donne la solution du problème intérieur de Dirichlet avec la condition aux limites (124). L'équation intégrale adjointe (131 2) définit une densité continue Il (N) telle que le potentiel de simple couche (128) est solution du problème extérieur de Neumann avec la condition aux limites (130 2 ). Si f (N) satisfait la condition (141), alors l'équation (129) définit une densité ,.... (N) telle que le potentiel de simple couche soit solution du problème intérieur de Neumann. Faisons quelques remarques importantes sur la résolution des problèmes de Neumann. Dans les équations (129) et (131 2 ), l'intégrale du second membre satisfait à la condition de Lipschitz [11-2-6]. Si la fonction f (N) vérifie aussi une telle condition, alors les équations mentionnées nous disent qu'il en de même de Il (N). Or de [1I-2-7] il résulte que le potentiel de simple couche correspondant~ c'est-à-dire la solution du problème de Neumann, non seulement est continue dans D~ mais possède des dérivées partielles premières qui le sont également.

Revenons maintenant à la condition (141) d'existence d'une solution du problème intérieur de Neumann. On a établi cette condition en admettant que la solution u (M) possède une dérivée normale régulièr~. Donc, u (M) doit être continue dans D [11-2-9]. Montrons que la nécessité de la condition (141) résulte de la seule continuité de u (M) dans D. Supposons que f (N) ne satisfait pas à cette condition, mais que le problème de Neumann admet tout de même une solution u (M) continue dans D et montrons qu'il y a contradiction.

324

CH. II. PROBLEMES AUX LIMITES

On a par hypothèse

JJ 1(N) dS * 0, s

et l'on peut choisir une constante C

ii [1

(N)-

*

0 telle que

Cl dS = o.

s

D'après ce qui a été dit plus haut, on peut construire une solution u 1 (M) du problème intérieur de Neumann avec la condition aux limites (

au~~N)

)i=

1 (N) - C

sous la forme d'un potentiel de simple couche à densité continue, ét cette solution est continue dans D. La différence U2 (M) = = u (M) - Ul (M) est également continue dans i5 et satisfait la condition aux limites (

au~::'T)

L= C.

Quitte à changer le signe de U 2 (M), on peut admettre que C > O. La fonction U 2 (M) atteint sur S son minimum en un point No, or ceci contredit le fait que lorsque M -+ No suivant la normale à S en No, la dérivée a~~) tend vers la constante C > O. Donc, la nécessité de la condition (141) résulte de la continuité de la solution cherchée dans D. Nous avons indiqué plus haut les propriétés des dérivées des solutions du problème de Neumann à l'approche de la surface S. L'étude analogue de la solution du problème de Dirichlet est plus compliquée du fait que cette solution se représente par un potentiel de double couche. Le potentiel de double couche a été étudié par A. Lia pou nov dans le travail mentionné plus haut ainsi que dans Sur le principe fondamental de Neumann dans le problème de Dirichlet (1902). Enumérons les résultats obtenus par A. Liapounov sur le potentiel de double couche et la résolution du problème de Dirichlet. 1. La valeur prise sur S par le potentiel de double couche w (N) de densité continue est une fonction vérifiant la condition de Lipschitz dans un rapport quelconque < 1. 2. Si le potentiel de double couche de densité continue possède une dérivée normale régulière d'un côté de S, alors il possède une dérivée normale régulière de l'autre côté aussi et ces dérivées normales sont égales en tout point de S. 3. Pour que la solution du problème intérieur ou extérieur de Dirichlet qui prend des valeurs f (N) continues sur S, possède une dérivée normale régulière, il est nécessaire et suffisant que le potentiel de double couche de densité f (N) possède une dérivée normale régulière sur S. Ce théorème a été prouvé dans l'hypothèse que le nombre ct qui figure dans la condition (3) soit égal à 1. 4. Soient F (x, y, z) une fonction continue avec ses dérivées premières et secondes, définie dans un voisinage de S, et 1 (N), la valeur prise par F (x, y, z)

II-2-18.

PROBL~MES

AUX LIMITES DANS LE PLAN

325

sur S. Sous ces conditions la dérivée, suivant une direction quelcmique fixe, d'une fonction u (M) harmonique dans Di ou De et prenant les valeurs f (N) sur S est continue dans DioU De US. Ce théorème a été établi' sans admettre que ct = 1. A. Liapounov a prouvé aussi une condition suffisante pour que le potentiel de double couche possède une dérivée normale régulière. Exhibons-la. Soit No un point de S qui est pris pour origine des coordonnées polaires (p, 8) dans le plan tangent à S en No. Les valeurs de la densité l.l (N) au voisinage. de No peuvent être traitées, par projection de N sur le plan tangent, comme une fonction de p et de 8. Posons 2:rt

Jr l.l(p,

1 ~(p)= 2n

8)d8.

o La condition indiquée ci-dessus se ramène à la suivante: il existe deux nombres > 0 et ~ > 0, tels que pour tout point No l'on ait

b

I~ (p)-~ (No) 1 ::;;; bpfH-1.

Ce théorème a été prouvé par Liapounov dans l'hypothèse que ct = 1. D'autres résultats relatifs à la théorie du potentiel newtonien de volume de simple et de double couche, ainsi qu'à l'étude du problème de Dirichlet sont accessibles dans l'ouvrage déjà cité de N. Gunter et dans l'article: Kh. S m 0 1 i t ski, Estimations des dérivées des fonctions fondamentales. DAN SSSR, 1950, 24, nO 2.

11-2-18. Problèmes aux limites dans le plan. Les problèmes de Dirichlet et de Neumann dans le plan se traitent exactement comme dans [11-2-15]. La solution du problème de Dirichlet est cherchée sous la forme d'un potentiel de double couche u (M) = ) ~ (N) cos (~' n) ds,

(144)

l

et celle du problème de Neumann, sous la forme d'un potentiel de simpIe couche: u (M) =

i~ l

(N) ln

+

ds.

(145)

On obtient les équations ,intégrales suivantes pour la densité:

i

~(No)=cp(No)+Â ~(N)K(No; N)ds,

(146)

l

~ (No) =

cp (No)

+ Â ~ ~ (iV) K

l

(No; N) ds,

l

où

(r o= NoN).

(147)

326

CH. II. PROBLeMES AUX LIMITES

L'équation (146) correspond au problème intérieur de Dirichlet f (No) et au problème extérieur de Diripour  = 1 et qJ (No) = ~ :Tt chlet pour  = - 1 et cp (No) = _...!f (No). L'équation (147) défi:Tt nit le problème extérieur de Neumann pour  = 1 et qJ (No) = = _..!. f (No) et le problème intérieur de Neumann pour Â=-1 :Tt . et qJ (No) =..!..f (No). Dans tous ces cas, la fonction :Tt dans la condition aux limites. L'équation (146) peut être mise sous la forme

qJ

(No) figure

lo

P- (so) =

qJ

(so)

+ Â l p- (s) K (so, s) ds,

- -

o

où set So sont les longueurs des arcs LN et LN0 du contour l, mesurées à partir d'un point fixe L dans un sens donné, lo la longueur du contour l. L'équation (147) s'écrit de façon analogue. Les noyaux K (so; s) et KI (so; s) sont continus sous les hypothèses imposées au contour l dans (I1-2-8l. Comme au [11-2-16], le nombre  = 1 n'est pas une valeur propre et  = - 1 est une valeur propre simple. Ceci étant, pour l'équation (146), la fonction propre associée à cette valeur propre est une constante et pour l'équation (147), c'est la densité électrostatique P-o (N) pour laquelle le potentiel de simple couche (145) est constant sur et à l'intérieur de l. Les problèmes intérieurs plans de Dirichlet et de Neumann se résolvent comme dans l'espace. Penchons-nous sur les problèmes extérieurs. La solution du problème extérieur de Neumann est reliée à l'équation (147) pour  = 1. Ceci étant, la fonction cp (No) doit satisfaire à la condition [II-2-12] : l

lo

cp (No) ds o = O.

En intégrant les deux parties de (147) pour  == 1 par rapport à No, on obtient z l1(N o)ds=O, o

J

et par suite la fonction (145), où 11 (N) est la solution de l'équation (147) pour  = 1, est une fonction harmonique régulière à l'infini [11-2-12], donc est solution du problème extérieur de Neumann.

11-2-19.

~QUATION INT~GRALE

POUR FONCTIONS SPH:eRIQUES

Passons au problème extérieur de Dirichlet. Si la condition ) flo (N)

f

327

(N) satisfait

f (N) ds = 0,

l

.alors la substitution de la solution de l'équation (146) pour À = - 1 dans la formule (144) nous donne la solution du problème. Si cette condition n'est pas remplie, on prend alors une constante .a telle que [11-2-16] ) f-lo (N) [f (N)

-al ds=

°

l

et comme plus haut on obtient, grâce à la formule (144), la solution (M) qui prend les valeurs f (N) - a sur l et la somme w (M) a sera la solution cherchée qui prend les valeurs f (N) sur l. L'adjonction de la constante est due au fait que la formule (144) nous donne une fonction harmonique nulle à l'infini, alors que dans le plan la solution du problème extérieur ne s'annule pas à l'infini.

+

:Il)

11-2-19. Equation intégrale pour fonctions sphériques. Considérons l'équation homogène (133) dans le cas d'une sphère unitaire ~ centrée --+ en l'origine. Dans ce cas, no est de même sens que le rayon ON 0 et cos (r o, no) = - r~ de sorte que l'équation homogène (133) sera Ge la forme (148)

On serait arrivé au même résultat en partant de l'équation (132). L'intégrale du second membre représente la valeur au point No (8 0 , CPo) du potentiel de couche sphérique de densité - 4~fl (N) =

= -

Â

4n fl (8, cp) .

Considérons tout d'abord ce potentiel en un point M (p, sr, cp') intérieur à ~. En désignant par r la distance MN et par p, la distance OM, on aura le développement (tome 111 2 , [VI-1-4])

+= ~ 00

Ph (cos 1') ph (p< 1),

(149)

h=O

Pk (x) sont les polynômes de Legendre et l' l'angle des rayons vecteurs OM et ON. Prenons pour fl (8, cp) une fonction sphérique d'ordre

OÙ

~

n:

~

CH. II. PROBUlMES AUX LIMITES

Le développement (149) qui converge uniformément pour p nous permet d'écrire

ll Y

(8, 'fP) +da=

n

2:~t

Y n (8', . (k= 1,2, ••. , n).

m=O i*k

En retranchant la somme p-1

2J

m=O

u m • k (N)

des deux membres de l'égalité précédente, on obtient p-1

n

2J LJ

m=O i=l

um,i(N)=!h(N)-up,h(N)

sur 8 h (k=1, 2, ••• , n). (163)

II-2--23.

M~THODE

DE 'SCHWARZ "(SUITE)

337

Si l'on démontre que pour p -+00 les fonctions u p , k (M) (k = 1, 2, ... , n) tendent uniformément vers 0 dans le dO,maine D" alors de (163) il s'ensuivra que la fonction p-1

n

LJLJ

m=O i=1

U m.

dM}

qui est harmonique à l'intérieur de D et continue -dan's D; nous donnè la solution du problème de Dirichlet pour D, qui prend les valeurs tk (N) sur Sk: 00

U

(NI)

=

LJ

n

~ u m • i (M).

(164)

m=O '1.=1

Etudions maintenant les conditions sous lesquelles les fonctions Up,k (NI) tendent uniformément vers 0 dans le domaine D. Désignons pàr Vk (M) (k = 1, 2, ... , n) une fonction harmonique à l'intérieur de D k et égale à 1 sur Sk. Ceci étant, Vk (M) ~ 0 à l'intérieur de DA et puisque Vk (M) -+ 0 lorsque M -+ 00 il ré'suIte qu'il existe une constante qk: 0 < qk < 1, telle que . Vk (M) ~ qk sur Si pour i =1= k (k = 1, 2, ... , n). (165) Si Wk (M) (k = 1, 2, ... , n) sont des fonctions harmoniques à l'intérieur de D k , continues dans D k et vérifiant la condition 1 Wk (M) 1~ ak sur S k (k = 1, 2, ... , n), (166) où ak sont des constantes, alors akvk (M) - wk(M) seront des fonctions harmoniques à l'intérieur de D k et positives sur Sk' d'où il s'ensuit que akvk (M) -!:!!k (M) ~ 0 dans ï5k~ c'est-à-dire: qlîe Wk (M) ~ ahvh (M) dans D h. Sans modifier la condition (166), peut changer le signe de la fonction harmonique Wk (M) et considérer de la sorte que Wk (M) ~ 0 au point M envisagé. Des raisonnements précédents il s'ensuit donc , 1 Wk (M) 1~ akvk (M), (167)

on

d'où, en vertu de (165), 1 Wh (N) 1~ akqk sur Si pour i =1= k (k - 1,2, .•. , n). (168) Cette inégalité découle donc de (166). Soit a > 0 un nombre tel que 1tk (N) 1~ a pour k = 1, 2, ... , n et q ',max {ql' Q2' ... , qn}. Il est évident que 0 < q < 1. En vertu de (160), il vient 1· UO,k (N) 1~ ~ a sur S h' En vertu de (161) et (168), on a 1 Ul.k (N) 1~ (n - 1) aq sur Sk (k = 1,2, ... , n). En se servant de (162) pour m = 2 et de (168), on obtient 1 U2. k (N) 1 ~ (n - 1)2aq2 sur Sk et, d'une façon générale 1Up.k (N) I~. (n - 1)P aqP sur S k et par suite IUp.k(M) I~ f(n 22-010t7

1) q]P~ (M E D k) (k- 1, 2, ... , n). (169)

338

CH. II.

PROB~MES

AUX LIMITES

Si le nombre de surfaces n = 2, alors il s'ensuit de là que Up,k (M) -+ -+ 0 lorsque p -+ 00 uniformément dans DA et à fortiori uniformément dans D. Si n > 2, on obtient la condition suffisante suivante pour que u p , h (M) -+ 0 : (170) (n - 1) q < 1. Par construction, le nombre q ne dépend pas des conditions aux limites fh (N) et est défini uniquement par le domaine D. On aurait pu exactement de la même manière considérer le cas où le domaine D est un domaine fini borné par une frontière extérieure SI et des frontières intérieures S 2' S 3, • • • , Sn' Ceci étant, nous aurions eu affaire au problème intérieur de Dirichlet pour le domaine Dl limité par 8 1 , et au problème extérieur pour les domaines DA (k = 2, ... , n). La construction indiquée ci-dessus a été proposée par G. G 0 1 0 u z i n e (Matem. Zbornik, 1934, 41, nO 2) (en russe). On s'assure sans peine qu'elle n'est pas valable dans le plan en se donnant des valeurs frontières constantes sur les contours fermés lh' 11-2-24. Fonctions sub- et superharmoniques. La méthode des équations intégrales de résolution du problème de Dirichlet assujettit la frontière du domaine à des conditions relativement fortes. On se propose d'exposer une autre méthode de résolution de ce problème, valable pour des conditions assez générales sur la frontière du domaine et les valeurs frontières. Cette méthode, appelée souvent méthode de balayage, a été proposée par Poincaré ensuite précisée par Perron (O. P e r r 0 n. Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe jür du = O. Math. Z., 1923, 18, voir également l'article de 1. P é t r 0 v ski, Méthode de Perron de résolution du problème de Dirichlet. UMN, 1941, 8 et son ouvrage sur les équations aux dérivées partielles) et par Vallée et Poussin. Dans ce numéro, on définit des notions nouvelles qui seront utilisées pour développer la méthode indiquée. Ces notions présentent un intérêt en physique mathématique. On se place dans le plan. Les raisonnements sont exactement les mêmes dans l'espace. La différence dans l'étude des valeurs frontières de la fonction harmonique construite d'après cette méthode est mentionnée à la fin. L'équation de Laplace pour la fonction d'une seule variable indépendante y (x) est y" (x) = O. Son intégrale générale est le binôme y = ax b et son graphique, une droite. Le problème de Dirichlet, c'est-à-dire le problème qui consiste à déterminer la solution de l'équation y" (x) = 0 à l'intérieur de l'intervalle ra, b] prenant des valeurs données aux bornes de cet intervalle, consiste tout simplement à mener une droite par les deux points donnés. Le binôme du premier degré est caractérisé par le fait que sa valeur en un point quelconque x = Xo est égale à la moyenne arithmétique de ses va-

+

II-2-24. FONCTIONS SUB ET SUPERHARMONIQUES

339

+

leurs aux points x = Xo h et x = Xo - h. Considérons maintenant une courbe continue ayant sa concavité tournée vers les y > o. Soit y = y (x) son équation. En tout point de cette courbe, on a 1

Y (x o) 0 tel que f (P) soit inférieure à la valeur moyenne de f (M) sur un cercle de centre P et de rayon p < ô. Si x et y sont les coordonnées de P, cette condition s'écrit alors f(x,

y)~ 2~

2:rt

l f(x+pcos0 (à l'intérieur de B).

domain~

(173 1)

En appliquant la formule de Green au disque K p de centre P (x, y) .contenu à l'intérieur de B et en posant u=f et v=1, on obtient

~ :~ cp

ds=

~~

/1fda,

(174)

Kp

où Cp est la frontière du disque K p • Appliquons encore à la fonction .f la formule (tome II, [VII-3-2])

2~

f (x, y) =

J(f

ô~: r

-ln r

:~

) ds +

cp

2~ ~

J/1f ln r da,

Kp

où r est la distance du point de coordonnées (x, y) au point variable d'intégration. Sur Cp, la direction de n est celle de r, et ds = pdçp. En se servant de (174), on peut mettre la formule précédente sous la forme 2:1:

tex, y)=

2~

)

f(x+pcosçp, y+psinçp)dçp+

2~)) /1fln

;'da.

o Kp Dans le disque K p , on a r/p ~ 1 et, en vertu de (173 1), la dernière formule nous donne l'inégalité (172 1), autrement dit, si la condition (173 1 ) est remplie, la fonction f (M) est une fonction subharmonique à l'intérieur de B. De façon analogue, si t!f ~ 0 (dans B), (173~) alors f (M) est une fonction superharmonique à l'intérieur de B. La définition principale des fonctions sub- et superharmoniques n'implique pas l'existence des dérivées. Les conditions (173 1 ) et (173 2 ) sont identiques aux conditions classiques de convexité et concavité d'une courbe (tome l, II-5-2). Etudions quelques propriétés simples des fonctions sub- et superharmoniques. Supposons que f (M) est une fonction continue dans un domaine fermé et subharmonique à l'intérieur de ce domaine. Soùs cette condition il s'ensuit aussitôt de (172 1) qu'une fonction subharmonique prend sa plus grande valeur sur le contour. De plus, à l'intérieur du domaine elle ne peut avoir un maximum au voisinage duquel elle n'est pas constante. D'une façon analogue, une fonction superharmonique prend sa plus petite valeur sur le contour.

11-2-25. Propositions auxiliaires. Prouvons quelques propositions Sur les fonctions sub- et superharmoniques qui nous seront utiles lors de la résolution du problème de Dirichlet. -

341

II-2-25. PROPOSITIONS. AUXILIAIRES

r ème I. Si ht (M) (k = 1, 2, ... , m) sont des fonctions continues dans un domaine B et subharmoniqucs dans B, alors la foncThé

0

tion

(M) ~ ail s'ensuit que u (M) ~ a et comme la constante b est une fonction supérieure, il vient u (M) ~ b c'est-à-dire la fonction u (M) vérifie la condition a ~ u (M) ~ b. Par définition de la borne inférieure, pour tout point Mo de B il existe une suite {'lI>n (M)} de fonctions supérieures telle que 'lI>n (Mo) ~ u (Mo) pour n ~ 00. S'il existe une fonction supérieure 'li> (M) telle que 'li> (Mo) = u (Mo), alors on peut admettre, par exemple, que 'lI>n (M) = 'li> (M) pour tout n. Les suites {'lI>n (M)} peuvent varier d'un point Mo à un autre. Prouvons le Thé 0 r ème. La fonction u (M) est harmonique dans B. Dans la suite, les fonctions seront affectées d'indices supérieurs notés entre parenthèses. Prouvons préalablement le Lem m e. Si P est un point arbitraire fixe de B, il existe alors une suite monotone de fonctions supérieures (J)(1) (M) ~ (J)(2) (M) ~ ... (M

E B)

(178)

telles que (J)(n) (P) ~ u (P). On a vu plus haut qu'il existe une suite {'lI>n (M)} de fonctions supérieures 'lI>n (M) telles que 'lI>n (P) ~ u (P). Posons (J)(n)

(M) = min {'lI>1 (M), 'lI>2 (M), .•. , 'lI>n (M)}.

(179)

Les fonctions (J)(n) (M) sont, nous l'avons vu, des fonctions supérieures continues. Lorsque n croît, le nombre de fonctions 'li> s (M) dont on considère le minimum croît aussi et par suite çp(n) (M) satisfont la condition (178). Le fait que la fonction u (M) est la borne inférieure des fonctions supérieures et la relation (179) entraînent que u (P) ~

,CH. II.PROBUlMES AUX

~

LIMITE~

cp(n) (P) ~ 'Pn (P) d'où cp(n) (P) ~ u (P) Ceci achève la démonstration du lemme.

pui~que

'l'n (P)

~

u (P).

Rem a r que. Soit K un disque de c-entre P contenu dans B. Construisons les fonctions cpW) (M) comme indiqué dans le théorème III'. Les inégalités (178) étant vérifiées sur la frontière du disque K, elles le seront sur le disque K tout entier. A l'extérieur de K, les fonctions cp'lP (M) sont confondues avec cp(n) (M) et par suite vérifient aussi la condition (178): cp 0 tel que dans ~ÔI' l'on ait 'Pl (M) ~ w (No) 28 (M E ~Ô2)' et à fortiori u (M) ~ w (No) 28 (M E B et ~Ô2)' (185) Soit ô = min{ô 1 , ô 2 }. D'après (184) et (185), on a w (No) - 28 ~ u (M) ~ w (No) 2e (M E B et ~ô). (186)

+

+

+

Le nombre 8 étant arbitrairement choisi, il s'ensuit que u (M) ~ ~ w (No) lorsque M ~ No de l'intérieur du domaine, ce qui prouve le théorème. Cette démonstration est valable dans le plan comme dans l'espace. Si w (N) est continue sur l et si la condition 1 est remplie pour chaque point No de l, alors la fonction u (M) est continue dans B et est égale à w (N) sur l. Dé fin i t i o:n. On dit qu'un point frontière No est régulier si pour toute fonction w (N) continue sur l, la fonction u (M) ~ w (No) lorsque M ~ No. Les points frontières ne jouissant pas de cette propriété sont dits points frontières irréguliers. Le théorème prouvé plus haut nous dit que la condition 1 est une condition suffisante de régularité du point No. Indiquons maintenant une condition suffisante simple de nature géométrique pour qu'un point frontière soit régulier dans l'espace. Supposons qu'un point frontière No jouit de la propriété suivante: il existe une boule qui ne contient aucun point de B autre que No. Soient Ml le centre de cette boule et R son rayon. Posons r = M 1M et considérons la fonction 1

1

w(M)~--R r •

CH. II. PROBU:MES AUX LIMITES

348

Cette fonction satisfait visiblement la condition 1 et de plus est harmonique dans B. Plaçons-nous maintenant dans le plan et supposons que la frontière de B est composée d'un nombre fini de courbes fermées simples d'équations x = x (t), y = y (t), où x(t) et y (t) sont des fonction~ de t périodiques continues (fig. 14). Supposons tout d'abord que le point No se trouve sur le contour extérieur lI. Plaçons l'origine des coordonnées en z = 0 et choisissons l'échelle de telle sorte que le domaine B contienne le disque 1 z 1 < 1. Composons la fonction 1

o

F(z)=--

Fig. 14

ln z·

Lorsque z se déplace dans B il ne peut contourner l'origine et F (z) est une fonction continue dans B et régulière dans B et de plus F (0) = O. En posant z = peï\P, on obtient pour la partie réelle de F (z) l'expression ln p

W

(z) = - (ln p)2+cp2 ,

ln p < O. Cette fonction harmonique remplit toutes les conditions ci-dessus. En particulier, à l'extérieur de .~ 8 on a w (z)

>-

InR (ln e)2...1-",2' l '1'0

où CPo est la plus grande valeur de cp dans Ë et R, la distance de l'origine au point de jj le plus éloigné de cette origine. , Supposons maintenant que No est situé sur le contour l2. Choisis~ sons à l'intérieur de l2 un point quelconque ex. et effectuons la transforma tion conforme

z

,

1 =--

z-a.·

Le contour l2 se transforme en un contour extérieur et l'on peut construire une fonction w (M) pour le point considéré par la méthode ci-dessus. En revenant à la variable z, on obtient la fonction cherchée. Donc, si 00 (N) est continue sur le contour l, alors u (M) le sera à l'intérieur et sur l et sera égale à 00 (N) sur l. Supposons maintenant que No est un point de discontinuité de première espèce de 00 (N), autrement dit 00 (N) tend vers des limites différentes selon que N -+ No le long du contour d'un côté ou de l'autre. Désignons ces limites par 001 (No) et 00 2 (No) et supposons que 00 1 (No) < 00 2 (No). En raisonnant comme plus haut, au lieu de

I1-2-27.

~TUDE

DES VALEURS.

FRONTI~RES

349

i

_~

(187) Si (ù (N) est une fonction bornée, c'est-à-dire vérifie les conditions (177), alors on a vu qu'il en est de même de la fonction u (M). Donc u (M) est une fonction harmonique bornée prenant les valeurs frontières (ù (N) en tous les points de continuité de (ù (N). Revenons maintenant à l'espace. On peut construire Une surface relativement simple possédant des points irréguliers. Cette construction a été proposée par Lebesgue et ensuite, indépendamment de lui, par P.S. Uryshon. Le problème des valeurs frontières est étudié plus en détail dans un article de M. K el d Y c h (UMN, 1941, 8). Citons encore un exemple dans le cas du plan. Soit B un disque centré en l'origine des coordonnées et privé de son centre. L'ensemble l des points frontières est constitué du cercle de ce disque et de son centre. Supposons que (ù (N) = 0 sur le cercle et (ù (N) = 1 au centre. Une telle fonction (ù (N) est continue sur l. La fonction harmonique u (M) tend visiblement vers zéro lorsque M tend vers le cercle. Montrons que u (M) ne peut tendre vers 1 lorsque M tend vers le centre. S'il en était ainsi, u (M) serait harmonique dans le disque au cas où elle serait égale à 1 au centre [I1-2-121. Or ceci contredit le théorème de la valeur moyenne d'une fonction harmonique au centre du disque. Donc, l'origine des coordonnées est un point frontière irrégulier. 0 dans le cas considéré. En On démontre aisément que u (M) effet, u (M) est bornée et par suite converge lorsque M tend vers le centre (I1-2-12] et si cette limite est égale à la valeur de u (M) au centre, alors u (M) est partout harmonique dans le disque [II-2-12] et nulle sur le cercle, c'est-à-dire que u (M) O. A noter qu'au lieu de la condition l, on aurait pu poser une condition portant uniquement sur le voisinage du point No et montrer en outre que cette nouvelle condition est identique à la condition 1.

==

==

Con dit ion II. Pour un voisinage ~" du point No, il existe une fonction w" (M) continue sur ~'" superharmonique dans ~1l et telle que w" (No) = 0 et w" (M) > 0 dans ~,,' {No}.

350

CH. II. PROBU;MES AUX LIMITES

On démontre que dans l'espace le point No vérifie la condition II s'il est le sommet d'un cône circulaire dont les points assez proches de No sont situés à l'extérieur de ff (sauf No). Donc, ces points sont réguliers (cf. 1. P é t r 0 v ski, Leçons sur le.séquationsauxdérivée$ partielles, M., Fizmatguiz, 1961 (en russe)). Dans la suite, sauf mention expresse du contraire, on admettra que les contours ou les surfaces limitant les domaines étudiés ont tous leurs points réguliers. Ce sera par exemple le cas des surfaces de Liapounov. Pour ces dernières nous avons construit la solution du problème de Dirichlet à l'aide de la théorie du potentiel et des équations intégrales. Si une fonction continue (ù (N) est définie sur la frontière et si tous les points de cette dernière sont réguliers, alors la fonction harmonique construite u (M) est continue à l'intérieur du domaine et sur la frontière et prend sur cette dernière les valeurs (ù (N). On sait que la fonction u (M) est unique. Si la frontière présente des points irréguliers, alors la fonction harmonique u (M) est bornée à l'intérieur du domaine et prend les valeurs (ù (N) en tous les points frontières réguliers. On démontre qu'il n'existe qu'une seule fonction possédant de telles propriétés. On peut trouver la démonstration de cette proposition et d'autres faits intéressants, dont le critère de régularité de Wiener, dans l'article déjà cité de M. Keldych. 11-2-28. Equation de Laplace dans un espace à n dimensions. Jusqu'ici nous avons étudié l'équation de Laplace dans le plan et dans l'espace. Les résultats acquis se généralisent facilement à un espace à n dimensions dans lequel l'équation prend la forme n

.1u=2J ux.x.=O. i=1

l

t

Citons les principaux résultats concernant les solutions de cette équation. Les fonctions qui possèdent des dérivées premières et secondes continues et qui sont solutions de cette équation sont dites harmoniques. La solution singulière fondamentale est de la forme C rn- 2

(n> 2),

la constante C étant égale à (n- ~) W ,où O>n est l'aire de la n sphère unité dans l'espace à n d'imensions, de sorte que la solution singulière fondamentale s'écrit 1



2).

II-2-29. FONCTION DE' GREEN DE

L'OP~RATEUR

DE LAPLACE

35~

Le volume Un d'une boule de rayon r à n dimensions s'exprim& par la formule (tome II, [III-4-11]) n Un

(2n)2 n 2' r n (n- ) ..• 2

=

pour n paIr,

n+ 1 n-l

Un

_ - -22 2 n n •. n(n-2) ... 1 r pour n ImpaIr,

=

ce qUI, on le vérifie sans peine, peut être mis sous la forme unIque

d'où, en dérivant par rapport à r et en posant r= 1, 2

w

n

(v~n)n

= r (~ ) .

Pour une fonction harmonique dans un domaine D limité par une' surface S on a la formule (tome II, [VII-3-3]) u (M) =

1 ( s

(j)o

(r)

:~

- u

a~on(r)

)

dS

(on n'écrira partout qu'un seul signe d'intégration). La quantité rest la distance du point variable d'intégration à M. Les propriétés. fondamentales des fonctions harmoniques restent en vigueur, y compris le théorème de la moyenne d'une fonction harmonique au centre d'une boule et l'unicité de la solution du problème de Dirichlet. La formule qui donne la solution du problème de Dirichlet pourune boule de rayon R est de la forme u(M)=_1_r (N)

Jf

CJJnR S

(R2_ p2)dS n ,

(188),

(R2+ p2_2Rp cos 8)2

où p est la distance du centre 0 à M, N un point variable de la boule,. e l'angle de ON et OMo La méthode des fonctions supérieures et inférieures 'se généralisesans changement à un espace à n dimensions. La condition de régularité des points frontières établie plus haut est valable aussi en, dimension n. 11-2-29. Fonction de Green de l'opérateur de Laplace. Nous pou-vons définir la fonction de Green pour une équation aux dérivées.

_:

352

CH. II.

PROB~MES

AUX LIMI'l'ES"

partielles de la même manière que nous l'avons fait pour une équation différentielle ordinaire. Commençons par définir la fonction de Green pour l'équation de Laplace dans l'espace avec l'une des conditions aux limites homogènes suivantes:

u/s=o, au

. ~+p (N) uls=O

(189)

.

(190)

(p (N) >0).

Nous pouvons construire la fonction de Green aussi bien pour un domaîne fini Di intérieur à S que pour un domaine illimité De extérieur à S. Commençons par le domaine Di. La fonction de Green G (P; Q) doit être une fonction du couple de points (P ; Q). En tant que fonction de P, la fonction G (P ; Q) doit, dans Di" {Q}, posséder des dérivées premières et secondes continues et être harmonique, et sur la frontière, satisfaire la condition aux limites. En tant que fonction de P, elle doit par ailleurs présenter une singularité au point Q correspondant à une charge (ou une masse) ponctuelle en Q. En tenant compte du facteur 4n figurant dans la formule (tome II, [VII-2-81) il [) ) )

~ ~M)

dTMJ =

- 4rqt (Mo) Mo ED, (r = MoM) , (191)

Di

on définit la fonction de Green pour les conditions (189) ou (190) de la manière suivante: D é fin i t ion. On appelle fonction de Green de l'opérateur de Laplace, correspondant aux conditions aux limites (189) ou (190), une fonctionG (P; Q) vérifiant comme fonction de P, à Q E Di fixe, les conditions suivantes: 1) cette fonction est harmonique dans Di" {Q} ; 2) elle vérifie la condition aux limites (189) ou (190); 3) elle peut être mise sous la forme 1 +g(P,• Q), G(P; Q)=G(x, y, z; ~,11, ~)= 4nr

où r

=

(192)

PQ et g (P ; Q) est une fonction partout harmonique dans D i'

Construire la fonction de Green revient à en trouver la partie régulière g (P ; Q). Les conditions aux limites (189)~et (190) deviennent respectivement pour la fonction g (P; Q): 1

g (N: Q) = - - 4 ,!'l ES, (r= NQ); nr

C1g (~n; Q)L + p (N) g (N ; Q) =

ai.

-

4~ [ a~

+ p ~N)

(193)

] ,

NES. (194)

"~

II-2-29. FONCTION DE GREEN DE

L'OP~RATEUR

DE LAPLACE

353

Donc, la construction de la fonction de Green se ramène à la résolution des problèmes de Dirichlet et mixte pour l'équation de Laplace et l'on peut admettre comme acquise l'existence de la fonction de Green si S est une surface de Liapounov. . Dans le cas du domaine De' il faut inclure dans la définition de la fonction de Green la condition de régularité à l'infini, c'est-à-dire que G (P ; Q) à Q fixe situé à une distance finie, doit tendre vers 0 lorsque P ~ 00. Soit Di un domaine borné de frontière S. Le problème de Dirichlet admet dans Di une solution distributionnelle vérifiant la condition aux limites (193). La formule (192) définit la distribution de Green pour le domaine Di avec la condition aux limites (189). Si No est un point frontière régulier, alors G (P ; Q) ~ 0 pour P ~ ~ No. On peut prouver la réciproque, savoir que si G (P; Q) ~ 0 pour P~No' alors No est un point frontière régulier. Dans le plan, la fonction de Green se définit de façon analogue, sauf qu'il faut remplacer la formule (192) par G (P; Q)

1 1 = -2 ln -r + g (P ; Q) . n

(195)

Les formules (192) et (195) nous disent que G (P; Q) = 00 pour P Q et G (P ; Q) > 0 pour les P assez proches de Q. Le point Q s'appelle pôle de la- fonction de Green. On étudiera la fonction de Green uniquement pour la condition aux limites (189). Montrons que G (P ; Q) est une fonction continue des points P et Q dans Di, pourvu gue ces points ne soient pas confondus. En vertu ~e (192), on peut affirmer que la démonstration de la continuité de G (P; Q) peut être ramenée à celle de la continuité de g (P; Q). Estimons la différence g (P' ; Qf) _ g (P"; Q") ; en ajoutant et en retranchant g (P' ; QIf), on obtient

==

1g

(P'; Q') -

< 1 g (P';

g (P"; Q")

1~

Qf) _ g (P'; Q")

1

+

1

g (P' ; Q") -

g (P"; Q")

1.

La différence g (P' ; Q") - g (P"; Q") est la différence des valeurs de g (P ; Q") aux points P' et P" et cette différence tend visiblement vers 0 lorsque P" ~ P'. La différence g (P' ; Qf) - g (P' ; Q") est la valeur en P' de la fonction harme)ilique g (P; Q') - g (P; Q") 1 qui prend les valeurs frontières -4 (~-~) sur S,. où r' et r" n r r sont les· distances du point variable NES aux points Q' et Q". Si Q" est assez proche de Q', alors la: valeur absolue de la différence est aussi petite que l'on veut lorsque N varie sur S. Or la fonction harmon~gue g (P; Q') - g (P; Q") prend sa valeur minimale et sa valeur maximale sur la frontière S et l'on

(+- ;,,)

23-01017

354

CH. II. PROBL:E:MES AUX LIMITES

peut affirmer que g (P' ; Q') - g (P' ; Q") ~ 0 pour Q" ~ Q'. Ceci prouve la continuité de la fonction g (P; Q), donc de G (P ; Q). La fonction G (P; Q) est strictement positive au voisinage du point Q et nulle sur S, donc elle est strictement positive dans le domaine Di. Ce raisonnement est valable dans l'espace pour le domaine De. Etablissons une inégalité simple pour G (P; Q). La fonction g (P ; Q) prend les valeurs strictement négatives (193) sur S. Donc, g (P; Q) < 0 dans Di et par suite 1

0< G (P; Q) < 4nr

dans

D,

(r= PQ).

(196)

On obtient une estimation analogue pour De. Plaçons-nous maintenant dans le plan. Soit d le diamètre d'un domaine fini B du plan, c'est-à-dire la borne supérieure des distances des couples de points de B. La fonction harmonique g (P ; Q) + 2~ ln ~ prEnd sur l lES valeurs 2~ ln ~ qui sont strictement négatives quelle que soit la pcsition du pôle dans B. 1 1. 1 1 Donc, g (P; Q) +:Et ln ëf< 0, 1. e. g (P; Q) < - 2n ln d dans B. Ce qui nous donne 1

1

1

1

G (P ; Q) < "7) ""n ln -r - -2 n ln -d '

c'est-à-dire 0< G (P; Q) < a ln

~

+b

(dans B),

(197)

où a et b sont des constantes. Les doubles inégalités (196) et (197) nous donnent des encadrements de la fonction de Green qui dépendent de la distance r des points P et Q. 11-2-30. Propriétés de la fonction de Green. Considérons la fonction de Green dans Dien désignant comme plus haut par r la distance du point courant au point Q E Di. Définissons la fonction g (P; Q),

v (P) = {

1 -

4nr '

PEDit PED e-

(198)

Cette fonction est harmonique dans Di et De et nulle à l'infini. Dans De elle possède des dérivées de tout ordre continues dans De U S. On peut traiter v (P) comme la solution dans De du problème de Neumann qui prend les valeurs frontières

f (M)= -

1 418

:n (~),

MES,

(199)

II-2-S0.

PROPRI~T~S

DE LA FONCTION DE GREEN

355

et représenter de la sorte v (P) comme un potentiel de simple couche de densité continue: v(P)= ) ) ~;:V) dS s

(r'=NP).

(200)

Ce potentiel est égal à - 4....!sur S, où r = MQ, autrement dit, il nr prend les mêmes valeurs que g (M; Q). De là il résulte que la formule (200) est valable dans l'espace tout entier, c'est-à-dire que g (P ; Q) =

) ) ~ ~~V) dS

(P EDt),

(201)

s

et par suite g (P ; Q) possède dans Dt des dérivées normales régulières sur S. On peut de toute évidence en dire autant de la fonction G (P; Q). Signalons à propos de la condition aux limites (199) que la fonction

1 T

possède, quel que soit Q E Di' des dérivées de tout ordre non seulement sur S mais dans un voisinage de S. Sur S le second membre de (199) vérifie la condition de Lipschitz 1

f (N 2 )1 - f (NI)

1 ~ arl.2

(rl,2

= N I N 2 ),

et l'on peut affirmer que Il (N) vérifie la condition de Lipschitz [11-2-5] et par suite G (P; Q) possède des dérivées premières continues dans Dt [11-2-7].

Prouvons maintenant que la fonction de Green est symétrique, c'est-à-dire que G (P; Q) = G (Q; P). (202) A noter qu'on vient de démontrer que G (P; Q) possède des dérivées normales régulières sur S. Par ailleurs elle possède des dérivées continues dans Dt' {Q}. Appliquons maintenant la formule ) ) ) (u L\v-v L\u) dT=

Di

JJ(u :: -v :: ) dS B'

aux fonctions u = G (P; QI) et v = G (P; Q2)' le domaine d'intégration Di étant constitué de Dt privé de deux sphères SI et S2 de centres QI et Q2 et de rayon e petit. L'application de cette formule est licite d'après ce qui a été dit plus haut. L'intégrale triple étendue à Di est nulle, puisque la fonction de Green est harmonique en dehors des pôles. L'intégrale étendue à S est nulle en vertu de la condition aux limites (peu importe laquelle), donc ] dS=O. 23·

356

Cff. II. PROBL:ElMES AUX LIMITES

Au point Q2' la fonction G (P; QI) ne présente aucune singularité, quant à la fonction G (P; Q2)' elle tend vers l'infini comme..!.. Le r

°

produit de .!par l'aire 4ne 2 de la sphère tendant vers avec e, B on voit que les seuls termes de la formule à ne pas tendre vers avec e sont ceux qui contiennent la dérivée normale de G (P; Qi), i = 1, ~, au voisinage du point où G = +00. Ces termes seront au nombre de deux, et, en les explicitant, on obtient la somme

4~ ~ ~ G (P ; QI) ~J

a_1_

'a:

dS -

4~ ~ ~ G (P; Q2)

°

a _1_

a:'·

dS

+ 11 = 0,

SI

où 11 -+ 0 avec e, r~ = PQ1' r 2 = PQ2' La formule de Green fait intervenir la 'normale extérieure, donc dans les dernières formules la normale doit être orientée vers l'intérieur des sphères, c'est-à-dire dans le sens contraire aux rayons et l'on a '--'-'

' ; j

4~B2

)l Œ

(P; QI) dS -

S2

4~82 ~ ~ G (P;

Q2) dS + 11 = O.

SI

En appliquant le-théorè:r;ne de la moyenne à ·ces intégrales, on peut écrire , G (P 2; QI) - G (Pl; Q2) 11 = 0,

+

est un point de S2 et pour e -+ 0, on trouve OÙP2

P1~

un point de SI' En passant à la limite

G (Q2; QI) = G (QI; Q2)'

ce qui prouve' que la fonction de Green est symétrique. Il s'ensuit de cette égalité que g (P; Q) est continue en (P, Q) dans Di X Di à l'exception de l'ensemble où; P = Q E S. Dans le cas d'une boule, la fonction de Green s'écrit (tome II, [VII-3-7l)

1 (1

R ) G(P' . , Q)=4n r -pr!'

(203)

où p est la distance de Q au' centre, rI' la distance de P à Q', symétrique de Q par rapport à la sphère, R, le rayon de la boule. En désignant par (x, y, z) et (6, 11, ~) les coordonnées de P et Q, on peut écrire

11-2-31. FONCTION DE GREEN DANS LE PLAN

357

En dérivant (203) par rapport à x par exemple, et comme 1x -

~:ç

1

-'--...:....---:.. ~ 1, rI

on trouve aG(p;

ax

l

Q)I~_1 ~ 4n

(_1 +~) r pri· 2

Les points P et Q étant intérieurs à la sphère, rI> r et G (P; Q) > on obtient

> 0,

aG(p; Q) 1~_1_

1

ax

~

2nr 2

(204)

•

On a des majorations analogues pour les autres dérivées partielles. Supposons que u (M) est la solution du problème intérieur de Dirichlet pour un domaine Di de frontière S avec les conditions aux limites f (N). Si l'on sait que u (M) possède une dérivée normale régulière, alors on peut appliquer la formule (91) en posant v = = g (P; Q). On obtient alors (tome II, [VII-3-7l) u (Q)

= - ) ) f (N)

aG

(:n;

Q) dS N.

(205)

S

A. Lia pou nov a prouvé que cette formule donne la solution du problème de Dirichlet pour toute fonction continue f (N) de la condition aux limites. On lui doit également la première démonstration rigoureuse de la symétrie de la fonction de Green. Ces résultats et d'autres portant sur la théorie du potentiel abordée plus haut se trouvent dans son travail Sur quelques questions liées au problème de Dirichlet, 1898 (en russe). 11-2-31. Fonction de Green dans le plan. L'étude de la fonction

de Green dans le plan diffère sur quelques points de celle effectuée dans l'espace. On envisagera la fonction de Green pour un domaine borné Bide contour l avec la condition aux limites (189) sur l. Définissons comme dans (11-2-30] la fonction v (P) dans le plan:

v (P) =

{

g (P; Q)

à l'intérieur de l,

2n

à l'extérieur de l.

__1_ ln 1r

(206)

Construisons comme au [II-2-30] le votentiel de=simple couche= VI

(P) =

~ ~ (S) ln 1

+-

ds,

(207)

CH.. Ii. PROB~MES AUX LIMITES

358

où r' = PN, N étant un point variable de l. La dérivée normale ( ÔV~~P) ) e prend sur l les valeurs

f (M) =

--

2~ :n ln ~ =

-

cos2~; n), MEL,

(208)

-+ où r est de même sens que MQ, et n, la normale extérieure à l en M. Composons maintenant la fonction

w (P) = ) JI (s) ln ~ ds + 2~ ln ~

(r = PQ, Q est intérieur à l)

l

(209)

harmonique dans Be et telle que ô~ M.

11-2-31. FONCTION DE GREEN DANS LE PLAN

359

Donc, la fonCtion (211) est harmonique dans Be' possède sur lune dérivée normale régulière nulle et tend vers 0 lorsque P -+ 00. Cette fonction est justiciable de la formule

d'où il s'ensuit que w (P) = 0 dans Be, c'est-à-dire que

r

1

J II (s) ln --;:' ds = -

1

2n

ln

r1

dans Be.

1

De là il résulte aussitôt comme dans (I1-2-301 que le potentiel de simple couche (207) est confondu avec la fonction v (P) définie par (206) sur le plan tout entier et l'on peut affirmer que g (P ; Q) possède sur l une dérivée normale régulière. Par ailleurs, comme dans [11-2-30] on peut affirmer que g (P; Q) possède dans Bides dérivées premières continues dans Bi. On démontre que G (P; Q) est symétrique exactement comme dans [II-2-301. Pour un disque de rayon R la fonction de Green s'écrit G (P ; Q) =

2~ ln ';; ,

(212)

les notations étant les mêmes que dans [II-2-30l. Ceci nous conduit aux majorations suivantes: ôG (P; ôx 1

0) 1:::;:=_1_. ~ nr '

ÔG (P; Q) 1:::;:=_1_ ôy ~ nr • I

(213)

La solution du problème de Dirichlet dans Bi est justiciable d'une formule identique à (205). La fonction de Green de l'opérateur de Laplace pour un domaine simplement connexe plan avec la condition aux limites (189) est étroitement liée avec une fonction réalisant une transformation conforme du domaine considéré en le disque 1 w 1 < 1 (tome II1 2 , [11-7]). Soient B un domaine simplement connexe de contour l et Zo = S l'li, un point intérieur à B. Supposons par ailleurs que w = f (z) est une fonction réalisant une transformation conforme de B sur le disque unité, et de plus f (zo) = 0, c'est-à-dire que l'image de Zo est le centre du disque. Si le contour l remplit certaines conditions de régularité, alors la fonction f (z) est continue sur le disque 1 z 1 ~ 1 et transforme le cercle 1 z 1 = 1 en l. La transformation étant injective, f (z) possède une raCIne simple en z = Zo:

+

f (z)

=

(z -

zo) [a o

+ al (z -

zo)

+ ... J

(a o =1= 0).

(214)

360

CH. II. PROBL:E:MES AUX LIMITES

Formons la fonction G (x, y ; ~, '1'1) =

-

1

2n ln 11(z) 1·

(215)

On vérifie immédiatement que cette fonction est la fonction de Green pour le domaine B avec un pôle en (~, '1'1). En effet, ln 1 1 (z) 1 est la partie réelle de ln 1 (z), donc est une fonction harmonique. En vertu de (214), la partie infinie de la fonction (215) sera égale à 1 ln 1 1 1 au point (~, '1'1) et enfin le contour l de B se trans2n Z-Zo forme en le cercle unité, autrement dit Il (z) 1 = 1 sur l, et la fonction (215) est nulle. Soit H (x, y; ~, '1'1) la fonction conjuguée harmonique de (215). On a G -t- il! =

- 2~

ln 1 (z) ,

(216)

et par suite l'on peut exprimer 1 (z) en fonction de G et de H:

f (z) = e- 2Jt(G+Hi). La fonction H est définie à un terme additif constant près, donc au second membre de la dernière formule on aura un facteur constant arbitraire de module 1 qui correspond à une rotation arbitraire du disque 1 w 1 < 1 autour de l'origine. Supposons que le contour l du domaine B est doué de la propriété suivante. L'angle 8 (s) formé par la tangente à l avec une direction quelconque fixe vérifie, comme fonction de la longueur d'arc s, la condition de LipEchitz (217)

où b > 0 et ~ > 0 wnt des constantes. On prouve que dans cette condition la dérivée f' (z) est continue dans B et il existe des constantes m > 0 et .M > 0 telles que m~

1

f'

(z)

1~

(218)

M.

Ces constantes dépendent évidemment du choix du point Zo qui se transforme en l'origine des coordonnées dans le plan de la variable w. Fixons le point Zo et construisons maintenant une transformation conforme de B sur le disque 1 w 1 < < 1, telle que l'antécédent de l'origine soit un point z' intérieur à B. Pour cela, il faut effectuer d'abord une transformation conforme w = f (z) et ensuite appliquer le disque 1 w 1 ~ 1 sur lui-même de telle sorte que l'image du point f (z') soit l'origine des coordonnées. Cette application est une application homographique et en écartant le facteur constant de module 1, on obtient en définitive -2nG(z· z')=Re [ln t

f(z)-f(z') 1-f(z)f(z')

J,

où Re désigne comme toujours la partie réelle et G (z, z'), la fonction de Green pour le domaine B de pôle en z'. En dérivant par rapport à x, où-x est une direc-

361

11-2-32. EXEMPLES

tion quelconque, on trouve -2n iJG (z; z') = Re [ iJx

+ W'J f' (z)

l'

(z) f(z)-f(z')

J

=

1-f(z)f(z')

2

_ Re { f' (z) [1-lf (z') 1 ] [f (z)- f (z')] [1- f (z) f (z')]

}

,

ou, si l'on remplace la partie réelle par le module 2n/ iJG~; z') I~

x

2

II'(z)II1-If(z')1 1

,

If(z)-f(z')II1-f(z)f(z')1

et si l'on tient compte du fait que If (z)1 < 1 et If (z')1 < 1, on trouve iJG (z; z') 1 If' (z)1 11-lf(z')1 2 1 211' (z)1 2n 1 iJx < If (z)-f(z') 1 (1-If(z')I) < If(z)-f(z')I· (218 1 ) Soit z = cp (w) la fonction réciproque de w = f (z). Cette fonction est définie sur le disque 1 w 1 ~ 1. De (218), il s'ensuit que 1 cp' (w) 1 ~ 1/m et l'on obtient w'

1 0, alors en tenant compte de l'encadrement (196) on peut prendre dl assez petit pour que l'intégrale de la formule (222) étendue à Di soit < ~ en valeur absolue pour tout point P intérieur à la sphère Sd1 (No). Lors de l'intégration sur Di, le point Q appartient à Di et le point P est supposé se trouver dans un petit voisinage du point No, par exemple, dans une sphère Sd 1/2 (No). Dans ces con.

II-2-33. FONCTION DE GREEN ET

~QUATION

AVEC SECOND MEMBRE

365

ditions, PQ > ~l et de [II-2-291 il s'ensuit que G (P; Q) est une fonction continue de (P; Q). Donc, dans l'intégrale étendue à Di on peut passer à la limite par rapport à P lorsque P -+- No et cette limite est nulle, car G (P ; Q) satisfait la condition (221). Par conséquent, l'intégrale étendue à Di sera < ~ en module si P est assez proche de No et par suite l'intégrale de la formule (222) sera pla

av. [au]=iroeiCt)(t-:)v [u]=eiCt)(t-:)v', [auJ=eiCt)(t-:) an an' _at ' et en intégrant sur Sp on obtient une intégrale de la forme

~~

e-;k

T

(~~ + ikv) as + ))

;2 e-

ikT

as,

(253)

sp

sp

p. Il est naturel d'exiger que cette expression tende vers 0 lorsque p --+ 00 (ceci correspond à une absence de source de vibrations à l'infini). L'aire élémentaire de la sphère contient le facteur p2 et la condition indiquée ci-dessus sera remplie si l'on impose à v les deux conditions suivantes:

()Ù r =

rv est borné et r (~~

+ ikv) ~ 0

pour r --+ 00, ces deux conditions devant être réalisées quelle que soit l'origine des rayons vecteurs r et uniformément par rapport aux directions de ces rayons vecteurs. Dans la suite on se servira des notations suivantes. Par 0 (,.ex) on désignera une quantité x telle que le rapport :x/ra soit borné lorsque r --+ 00 et par 0 (ra..), une quantité x telle qUé le rapportj x/ra.. --+ 0 lorsque r --+ 00, la convergence devant être uniforme par rapport à la direction du rayon vecteur r et ne pas dépendre du choix de son origine. Les conditions précédentes peuvent s'écrire: v = :J (r- 1) ; (254)

~~ + ikv =

0

(r- 1 ).

(255)

Ces conditions traduisent mathématiquement le principe de radiation dans l'espace. De façon analogue, elles s'écrivent dans le plan: 1

v=O(r-2); 1 av -a;+ ikv=o(r 2).

(256) (257)

376

CH..

n.

PROBL:Il:MES AUXLIMITES

La solution singulière fondamentale vérifiant le principe de radiation dans l'espace aura pour expression (P) =

V

e- ikT r

,

(258)

où r est la distance d'un point 0 fixe au point variable P. En dérivant la solution (258) par rapport à r, on s'assure qu'elle vérifie une condition plus forte que (255), plus exactement, au second membre au lieu de 0 (r- l ) on aura 0 (r- 2 ). Ceci étant, on admet que dans la formule (255), les distances sont mesurées à partir du même point O. Vérifions les formules (254) et (255) en admettant que les distances sont mesurées à partir d'un même point 0 1 et posons 0lP = p. Le fait que pv est borne résulte immédiatement de ce que p/r -+- 1. La formule (255) se vérifie par une simple dérivation de la solution (258) par rapport à p par l'intermédiaire de r. Ceci étant, on a àr

-=ccs'" àp J' où,\, -est l'angle des directions de r et de p; en appliquant la formule qui donne le carré du côté 00 1 dans le triangle OOlP, on obtient -cos,\,

1

=

+0

(r- 2 ).

(259)

Dans le plan, la solution fondamentale qui vérifie le principe de radiation sera la solution H~2) (kr) , où H~2) (z) est la deuxième fonction de Hankel. -Pour vérifier ceci, il suffit de se servir de l'expression asymptotique des fonctions de Hankel et de la formule

~ H~2) (z) =

-

H~2) (z).

(260)

La condition (257) sera remplie sous la forme forte, c'est-à-dire qu'au 3

1

second membre on aura 0 (r -2) au lieu de 0 (r- 2). En multipliant la solution H~2) (kr) par une constante qui ramène la singularité en r = 0 à ln .!, on obtient la solution r

v=

31

2, 1,

H~2) (kr).

(261)

On démontre comme plus haut que le principe de radiation sera aussi vérifié par les solutions H~)

(kr) cos mfl); Hi/;,) (kr) sin mfl) (m

= 1,

2, 3, ...).

(262)

Il-2-38. Théorème d'unicité. Si le principe de radiation a lieu, on peut démontrer le théorème d'unicité suivant: si une fonction v est solution de l'équation (252) à l'extérieur d'un contour fermé l, vérifie le principe de radiation à tinfini et une condition aux limites homogène.,

II-2-38. TH:eOR:eME D'UNICIT:e

par exemple la condition v quement nulle. _ Appliquons la formule

Il = ° ::/l = 0, ou

377

alors elle est identt,.:-

2 au! ) d s J\ J\ (Ul~U2-U2~UI) d't= Jr Jr (au u 1 an -u 2 a;-

(263)-

aBl

Bl

au domaine BI limité intérieurement par le contour l et extérieurement par un cercle ST de centre en un point fixe quelconque et de ray~~ assez grand, et posons U 1 = v et U 2 - li, où v est la conjuguée complexe de v. On admet que v est continue dans BI et possède une dérivée normale régulière. L'intégrale double est nulle en vertu de (252) et l'intégrale prise le long de l est nulle aussi en vertu de la condition aux limites. Reste l'intégrale étendue à ST' contour surlequel n est de même sens que r. La condition (257) nous permet deremplacer

-av

ar = -

1 -ikv .,.l- 0 (r 2). tl .

,

av-

--1

-

ar=ikvrt-o(r 2),

et l'on est conduit à l'égalité 2ik

JIv

1

l2

ds+ ) v·o(r -"2) ds+

Sr

Sr

Jv.o(r-2") ds=O. 1

br

Comme v Vr- et V Vr- sont bornés lorsque r ~ 00, les deux der-niers termes tendent vers et en considérant l'angle polaire cp sur lecercle ST' on obtient

°

2:rt

Vrv 12 dcp~ O.

(264)

) 1

o

Appliquons à présent la formule de Green à la solution v et à la première solution (262). L'intégrale double est nulle comme précédemment et il reste les intégrales prises le long de l et de ST' donc l'intégrale sur ST ne dépend pas de r. Les deux solutions considéréesvérifient le principe de radiation, et de plus les solutions (262) satisfont la condition (257) dans la forme forte au même titre que la solution H~2) (kr). En se servant comme plus haut de la condition (257), on trouve que l'intégrale prise le long de ST tend vers 0, et comme elle ne dépend pas de r, elle est tout simplement nulle, autre-ment dit

Hi/i) (kr)

av Jr 7ir

Sr

dH(2) (kr)

cos mcp dcp - -"':';'~::-r"""""""-';'"

r

J v cos Sr

mcp dcp = O.

CH. II.

PROBL~MES

AUX LIMITES

Si l'on pose lm (r) =

) vcosmcpd (kr), où dm est une constante -aussi. L'équation de fermeture (tome IV l , [1-31) et la formule (264) ~ous disent que pour m fixe et r -+ 00 Cm

Vr H~) (kr)

et

dm

V;: Hg) (kr)

-+

O.

'Ûr, de l'expression asymptotique de Hi:"J (kr) il s'ensuit que VrH~1 (kr) reste supérieur en module à un nombre strictement positif pour les grands r, donc Cm =dm = 0, c'est-à-dire que lm (r) = = gm (r) = 0, d'où il résulte, en vertu de l'équation de fermeture, que v = sur les cercles Sr' Si l est un cercle, alors en assimilant Sr à un cercle concentrique ·à l, on trouve que v à l'extérieur de l, c. q. f. d.

°

== °

°

Dans le cas d'un contour quelconque, les raisonnements précéau voisinage du point à l'infini. On ·dents montrent que v = montrera plus bas [11-2-39] que v (x, y) doit être, comme dans le cas de l'équation de Laplace, une fonction analytique et, en vertu ·du principe du prolongement analytique, la nullité de v au voisinage ·du point à l'infini entraîne sa nullité partout à l'extérieur de l. Le théorème d'unicité se démontre de façon tout à fait analogue . dans l'espace. 11-2-39. Principe de l'amplitude limite et principe de l'absorption limite. Comme au numéro précédent, on peut montrer que la condition de radiation ;permet de sélectionner une solution unique de l'équation dv

+ k~v = -F (P)

(k

>

0),

àéfinie dans l'espace tout entier. On admettra que F (P) est une fonction de point . continûment dérivable définie dans l'espace tout entier et nulle à l'extérieur ..d'un domaine D fini. La solution indiquée est alors donnée par la formule 1 v(P)= 4n

eJr 5Jr -,-, --F (Q) d'LQ ikr

D

(r=PQ).

II-2-39. PRINCIPE DE L'AMPLITUDE LIMITE

379

On est conduit- à cette solution en envisageant le problème non stationnaire des ()scillations forcées sous l'action d'une force périodique. Plus exactement, de la formule de Kirchhoff (tome II, [VII-3-11]) il s'ensuit immédiatement que r:(P)= Hm u(P, t) e- ikt , t-+oo

()ù u (P, t) est la solution de l'équation des ondes li.u -

Utt

=

-F (P) eikt ,

qui vérifie des conditions initiales nulles. Pour cette raison on dit de la solution v (P) qu'elle est 1'« amplitude limite d'une oscillation périodique établie pour les grands t sous l'action d'une force périodique ». Un tel principe de sélection des solutions de l'équation (2641 ) s'appelle principe de l'amplitude limite. Un autre principe de sélection des solutions de l'équation (264 1 ) appelé principe d'absorption limite (cf. V. 1 g n a t 0 vs k i, Ann. Phys., 1905, t8) consiste en ce qui suit: on introduit un paramètre complexe -ie (e > 0) «( absorption ») dans l'équation (2641 ):

+

li.ve (k 2 - ie) ve = -F (P), et l'on prend la solution ve (P) qui tend vers 0 à l'infini (cette solution est uni-

«ue) :

Ve

1 (P)= 4JT.

r

') ~

D

J

-ir(ae-ib e )

r

e

F(Q) dTQ,

()ù a e - ib e = V k 2 - ie (a e > 0, b e > 0), de plus b e -- 0 pour e -- +0. Lorsque e -- +0, la solution ve (P) admet une limite qui est confondue avec la solution v (P) définie par (264 2 ), Les trois principes envisagés ici et au [11-2-37] conduisent à la même solution (264 2), Il semble naturel de s'attendre à ce qu'ils soient applicables à des problèmes plus généraux, par exemple aux problèmes aux limites pour des équations elliptiques dans des domaines illimités. Cependant ces principes trouvent des champs d'application différents. Ainsi, le principe de radiation est favorable au cas où l'équation (2641 ) est considérée dans l'espace tout entier ()u dans un domaine E contenant le point à l'infini (11-2-38]. Si le domaine E est par exemple la bande 0 ~ z ~ 1, alors l'équation (264 1) n'admet aucune solution nulle pour z = et pour z = 1 et satisfaisant les conditions de radiation "Sous la forme (254) et (255) (F (Q) 0). Néanmoins si l'on modifie légèrement ces conditions, le problème admettra une solution unique (cf. A. S v e c h n i k 0 v, Sur le principe de radiation, DAN SSSR, 1950, 73, nO 5). En vertu des deux autres principes applicables ici sans aucun changement, .cet exemple montre que les « conditions de radiation » doivent dépendre de la forme du domaine E à l'infini. Des considérations physiques suggèrent que le principe d'absorption limite n'est pas toujours applicable dans la forme indiquée .ci-dessus si E se rétrécit assez vite à l'infini. Le problème de l'applicabilité des principes formulés ici reste ouvert. Indiquons à ce propos les travaux de F. Rellich (J ahresber. Deutsch. Math. Verein., 53, 57) qui étudient la forme des « conditions de radiation » pour l'équation (2641 ) dans des domaines illimités d'aspect divers, le travail de A. P 0 v z !Il e r, Sur le développement des fonctions suivant les fonctions propres de l'opérateur -li.u + cu. Matem. sb., 1953, 32, nO 1, qui démontre le principe d'absorption limite pour l'équation

°

li.u

*'

+ q (P) u + k

2

u = -F (P)

dans un espace illimité à trois dimensions et enfin l'article de Mme O. Lad y je n s ka ï a, Sur le principe d'amplitude limite. UMN, 1957, 12, nO 3. Cet article est consacré au principe d'amplitude limite pour l'équation ci-dessus.

380

CH. II. PROBUMES AUX LIMITES

Les travaux de Povzner et de Mme Ladyjenskaïa montrent que le principe d'absorption limite possède un plus vaste champ d'application que le principe d'amplitude limite, du moins tel qu'il est formulé plus haut. Plus exactement, les solutions des équations .1ve

+ q (P) ve + (k 2 -

iE) Ve

=

-F (P),

nulles à l'infini, admettent une limite pour E -+ +0 si seulement k 2 n'est pas une valeur propre de l'opérateur .1v q (P) v; la limite Hm u (P, t) e- i kt des t .... +oo solutions du problème non stationnaire correspondant est susceptible de ne pa~ exister si l'opérateur possède une valeur propre au moins. Signalons qu'un nomq (P) v si l'équation .1v bre c s'appelle valeur propre de l'opérateur .1v q (P) v cv = 0 admet une solution non triviale dont le carré du module est intégrable sur l'espace tout entier. Ces principes sont étudié~ ,pour des équations plus générales dans des travaux de D. E i d 0 u s, B. Van ber g et autres. .

+

+

+

+

+

II-2-40. Problèmes aux limites pour l'équation de Helmholtz. La solution (258) de l'équation (252) présente une singularité i. en r r = 0, ce qui nous permet d'élaborer pour cette équation une théorie du potentiel identique à celle du potentiel newtonien pour l'équation de Laplace. En désignant par r la distance du point variable NES au point P, on aura dans l'espace les analogues suivants des potentiels de simple et de double couche

J~ (N) e-;k ., s

v (P) = \"

T

dS,

aan (e- r Jr J ~r(N)

ikT

W

(P)

= -

(265) )

dS,

s

où n est la normale extérieure à S en N. En mettant les noyaux e- ikT 1 e- ikT _1 des potentiels v (P) et w (P) sous la forme - r = -r r on obtient des potentiels déjà étudiés dans lesquels le passage à la limite lorsque P tend vers la surface s'effectue d'après les formules de [11-2-2] et [11-2-4]. Dans l'intégrale restante, le noyau ne présentera plus de singularité pour r = et le passage à la limite est possible sous le signe d'intégration. On obtient ainsi les formules analogues à celles de [11-2-2] et [11-2-4]:

+

,.

°

L= 2a~ L

=

+ .\ J~t (N) iJ~o ( e-:o

kTO

(No)

)

dS,

s

(ro=NoN)

-2n~(No) + JJ ~ (N) a~o ( e-r~ro) dS s

(266)

II-2-40.

PROBL~MES

;LIMITES~VRL'ÉQU~TIONDE

AUX

et Wi

W

= 2n~ (No) -

(No)

) )

s

~

HELMHOLTZ

ro e-:: ) as, :n (e-::ro ) dS,

381

(N) :n (

e(No) = -2n~ (No) - ) ) ~l (N) s

(267)

à noter que le noyau de l'intégrale est dans (266) la valeur prise en No par la dérivée suivant la normale no, et dans (267), la valeur prise en N suivant la normale n; l'intégration est étendue à S comme dans toutes les formules de cette nature. Dans le plan, on obtient les potentiels de simple et de double couche v (P)

= )~

(Pl)

~ H~2) (kr) ds,

l

w(P)

= )~

(N) af)n

[2~ H~2)

(kr)

(268)

Jds,

l

qui sont justiciables de formules analogues aux formules (266) et (267) dans lesquelles il faut remplacer 2n par n. Ces potentiels sont solutions de l'équation (252) et en vertu du choix spécial des noyaux, chaque élément des intégrales écrites et ces intégrales elles-mêmes vérifient le principe de radiation. Considérons le noyau K (N

0'

N

;

k)

f) = an

(e- ikrO

)

= -

2nro

e

-ikrO('k o +1) l r ~nr5

cos m

't'O'

~

OÙ

(8 = 1, 2, ... , n). Par ailleurs

°

n

Tr (AB) = Tr (A' [fJ.l' fJ.2' •.. , fJ.n]) = Lj {A'}ss

fl.,

s=1

d'où il s'ensuit immédiatement que si tous les fls ~ 0, alors Tr (AB)~ ~ 0 et si tous les fls;:::: 0, alors Tr (AB) ;:::: O. Ce qui prouve le lemme. Signalons encore un fait qui nous sera utile pour la suite. Soit u (P) = u (Xl' X 2 , • • • , Xn) une fonction continue réelle définie dans un ouvert D de l'espace de point générique (Xl' X 2 , • • • , xn) admettant dans D des dérivées premières et secondes continues. Supposons que la fonction u (P) atteint son maximum en un point Po E D. Sous ces conditions. la forme symétrique réelle n

. .2J uXi~k (P 0) ~iÇk

t, R=1

ne peut prendre de valeurs strictement positives (tome 111 1 , [11-2-4]), c'est-à-dire que les valeurs caractéristiques de la matrice symétrique réelle Il u xixk (Po) Il ne sont pas toutes strictement positives. De façon analogue, elles ne sont pas toutes strictement négatives au point où u (P) présente un minimum. Considérons l' équation elHptique linéaire n

L (u)

n

= L} aUPx,xk z

i, k=1

+ i=1 .L: biuxz. + cu = f,

(289)

en admettant que aik' bh c et f sont des fonctions continues dans un domaine fini D et que la forme quadratique n

~ aik~i6k

i, k=1

est définie strictement positive dans D. Signalons que la somme (290)

II-2-43.

UNICIT~

DE LA SOLUTION DU PROBUJME DE DIRICHLET

391

est la trace du produit des matrices symétriques réelles Il aik Il et " U xixk II· On admet que la fonction U (P) possède des dérivées premières et secondes dans D. L'unicité de la solution du problème de Dirichlet pour l'équation (289) repose sur le théorème suivant. Thé 0 r ème. Si c sans second membre


0 dans D, on peut choisir ~ de telle sorte que bl~ - au~2 < 0 dans D et ensuite choisir a assez grand pour que a - e-/3xl > 0 dans D. Ceci étant, dans l'équation (295) on a c' < 0 dans D et la fonction w (P) qui est nulle sur S est justiciable du théorème ci-dessus, d'où w (P) 0 dans D. De (294) il s'ensuit qu'il en est de même de v (P). L'hypothèse c ~ 0 est essentielle pour l'unicité de la solution du problème de Dirichlet. Il est aisé d'exhiber un exemple dans lequel l'équation L (v) = 0 avec c > 0 possède une solution nulle sur S mais non identiquement nulle. Un tel exemple nous est fourni par l' équation (297)

==

que nous allons considérer sur le carré 0 ~ Xl ~ n, 0 ~ X2 ~ n. Si k est un entier naturel, alors l'équation (297) admet la solution v = sin kXl sin kx 2 ,

qUI est nulle sur la frontière du carré. On rappelle que l'équation 8. v

+ Âv =

0

(298)

possède une infinité de valeurs propres strictement positives  = = 11,1; 11, = 11,2' ••• , telles que pour 11, = Âh l'équation possède des solutions non identiquement nulles mais nulles sur la frontière· S du domaine considéré. Rem a r que. Les résultats ci-dessus nous permettent d'établir quelques estimations pour les solutions du problème de Dirichlet. Signalons les plus simples d'entre elles. Soit u (P) la solution du problème L (u) = f dans D; u 1s = o. (299) On admet que c < 0 dans D. Désignons par !-t le minimum de et par AI le maximum de 1 f 1 dans D.

1c 1

11-2-44. L'ÉQUATION

t\.1! -

Âv

=

393;

0

Introduisons la fonction v en posant v = u + k, où k est une·constante. On a L (v) = L (u) + ck = f + ck, de sorte que v (P) est la solution du problème L (v) = f + ck dans D; vis = k. (300}< Supposons d'abord que k

=

M•• ~

-

Sous cette condition f

+ ck ~ 0 dans-

D et les solutions de l'équation L (v) = f + ck ne peuvent présenter de minimum strictement négatif dans D. Or v (P) = M > 0 sur S, donc v (P) ~ 0, c'est-à-dire v = u

+

~

~ 0 ou u ~ _

M ~

M • De ~

façon analogue, en posant k = - M , on obtient u ~ ~ • En: !1 !1 définitive on peut affirmer que la solution du problème (299) (si elle· existe' oit vérifier dans D l'inégalité M lul~-. !1

Considérons maintenant le problème

L(u)=O

uls=cp

D;

dans

(301);"

et désignons par N le maximum de 1cp 1sur S. En posant de nouveau v = u k, on est conduit au problème

+

L (v)

=

ck

dans

D;

vis = cp

+ k.

Posons k = N. Vu que l'on a convenu que c < 0 dans D, la fonction v ne peut présenter de minimum strictement négatif dans D. Pour les valeurs frontières de v (P), on a de toute évidence cp N ~ O. D'où, comme plus haut, il résulte que 1l = U N ~ 0, c'est-à-dire-' u ~ -N. De façon analogue, en posant k = -N, on trouve u ~ N, c'est-à-dire 1 u 1 ~ N dans D pour le problème '(301).

+

11-2-44. L'équation

~v

-

+

J.v = O. Considérons l'équation

~v -

Âv =

0,

(303)
0 est un nombre donné et posons le problème intérieur deDirichlet avec la condition aux limites v

Is

=

f

(N).

(304);

Les solutions de l'équation (303) ne peuvent présenter ni de maximums strictement positifs ni de minimums strictement négatifsdans Di [II-2-43], d'où il résulte que le problème posé admet une solution unique. Si la fonction f (N) est telle que -a ~ f (N) ~ b, où a > 0 et, b > 0 sont des nombres arbitraires, alors la solution du problème.

CH. II. PROBUlMES AUX LIMITES

294

0 est donné. Par ailleurs, en vertu de (326), on a pour les assez grands

1

JJJVÂ 'P (P, Â) d't- ~~ I~ ~ , D'

0 et

VÂ s (Â) =

H,

(330)

D-2-U. EXPRESSION ASYMPTOTIQUE DES VALJ!lURS PROPRES

401

alors (331)

la sommation étant étendue aux valeurs de k telles que Âk ~Â. Appliquons ce théorème à la série (328). Dans ce cas Ch = Âj;l et H = :11: et l'on obtient Hm _~

"'-++00

~

y Â. '" k-...-; ::::::Â

;k - 2:

2

ou, ce qui revient au même, (332) où

8 (Â) -+

0 pour

 -+

+ 00.

Si

 = Ân .,

alors (333)

Posons

et désignons le second membre de (332) par-cp (Â). C'est une fonction croissante de  et de plus 0 pour  (Â,,) =

" C"'. LJ k=l

(343)

Dans la formule (342) la sommation est étendue aux valeurs de k pour lesquelles Â", ~ Â. La fonction cp 0..,) est une fonction de Ât eroissante et positive: pour A < Â1 pour Âm~Â< Âm+t.

q> (A) = {O ,

Comme A",

+ A~ 2A

am

(344)

pour Â", ~ Â, il vient

cp(A)~2Â ~ Âkc~Â )."'~~

êt en vertu de (330), on obtient

,

cp (Â) = 0 (V~),

(345)

autrement dit, cp (Â}/Vl est borné pour  -+ 00. On a d'autre part 11-1

~ Â"'C~). = ~

k=l

~t

O'k (

k=l

Âk~Â - Âk+~ +1.) +1.,,0,+-).,

de plus

La formule (334) nous pèrmet d'écrire "

).n

"" c'" '~ LI A",+A = 1&=1 ',:.,1,

cp (x)

(X+A)I

d + 0'" x A,,+l·

'.

Or 'Un ='(P'(l n ) et, de (~45) il s'ensuit que 0'"/(1,, + 1) -.. 0 pour n -+ 00., donc la dernière formule nous donne 00

• (1) =,~

k=1

00

A1&c~A = ~ (x~~)2 "0

dx.

(346)

405

11-2-.6. DSMONSTRATION DU THSOlUl:ME AUXILIAIRE

De (345) il résulte aussitôt que la fonction à intégrer est de l'ordre de x-s/2 lorsque x -+ 00. Pour alléger l'écriture, si '1' (1) = a1b e (Â) Âb , où e (Â) -+ 0 pour 1 -+ 00, on écrira 'l' (Â) ~ aÂb (tome III" [V-151). Prouvons deux lemmes:

+

+

Lem m e I. Si 1 (Â) est définie pour tous les 1 > 0 assez grands~ admet une dérivée continue, ÂI' (Â) croît avec  et 1 (Â) ~ a1q (q > 0), alors l' (1) ~ aq1Q- l . Prouvons d'abord ce lemme pour a = 1 et q = 1. On al (Â) ~  et il nous faut montrer que l' (Â) ~ 1, c'est-à-dire il faut prouver que l' (Â) -+ 1 lorsque 1 -+ 00. Raisonnons par l'absurde. Si l' (Â) ne tend pas vers 1, il existeune suite de valeurs Ân , telle que Ân -+ 00 et l' (Ân ) -+ h, où h =1= 1. Supposons par exemple que h > 1. Soit y > 0 un nombre arbitraire.. Comme ÂI' (1) est une fonction croissante, il vient / (')..,n

+ y n ) -

/ (Â n ) _

y n

= y~"

-

ln+Vln

J

f'

(Â) d1>

Ân~~~n)

Ân+V"'n

l d:

~n

=

j'

~n)

ln (1

+ y) ..

ln

+

Le second membre tend vers !!:..ln (1 y) > 1 si y est assez voisin. y de O. Or de 1 (1) ~ 1, il s'ensuit immédiatement que / ( n +Y n ) - f ( n ) -+ 1. y /1

Cette contradiction prouve le lemme pour a = q = 1. Passons au cas 1 Q général. Posons 11. = 1 Q et fI (11) = ..!. a 1 (11 / ). On a

Donc, ,..,/; (11) est une fonction croissante et l'on peut appliquer le lemme à Il (,...) pour a = q = 1, d'où il vient

Il (,...)

~

1,

Le.

1 l..-1 ..!.. q q ) ~ 1, -l1 f' (l1 aq

et f' (1) ~ aqÂQ-1, ce qui prouve le lemme. Cette démonstration reste en vigueur pour h = 00. Considérons l'intégrale 00

Kp =

J

u

1 2

P+-

----,-,..."........,..2=-

o

(U+1)2p+

du

(p

= 1, 2, ... ).

(347)

. 'CH. II. PROBLt;:MES AUX LIMITES

406

La substitution u = x/(1-x) nous permet d'écrire cette intégralesous la forme (tome 1112 , [111-17)): 1

Kp

=

. 1 P 21 x + (1-x)P- 2dx=

J

(P+.!.)

r (p+.!) r 2 r

(2P+2)

(348}

2

o Lemme II. Soient l-a.

Jo

K p ,l =

u

P+-12

(U+1)2p+2

du; 1 P+u 2

r

00

J

K p ,3=

ô~,

du,

1+a.

-où 0 < a < 1. Alors

.qù

(U+1)2p+2

Kptl~Ô~Kp; K pt2 >(1-ô;)K p ; Kp.3~6;Kp-,

(349)

ô; et ô; qui dépendent de a, tendent vers 0 lorsque

p~ 00.

En appliquant la formule de Stirling (tome III" [111-20]) 1

r (z) = ·V21t zZ-2e- z [1 + 8 (z)]

(8 (z) ~ 0 pour Z~ 00),

au second membre de (348), on obtient 3

K p = V21t 2- 22-21'

(p+~)P+l 2

(p+1)

(p+.!.)P

3 2p+-

2

(1 +e p ),

2

()ù 8 p ~ 0 pour p ~ 00. Le produit de la fraction par vers 1 lorsque p ~ 00, donc

'V p

tend

1

Kp

= Ap- 22-2P (1 + 8~)

(8; ~ 0),

(350)

3

ù A= V2i2- 2. La fonction u/(u+1)2 présente un maximum égal il 1/4 en u=1, d'où

T' (U~1)' 1

K P.1";;'k"

r(U~1)' 1

du< k

P

du,

-où 0 < k < 1/4 et k dépend de a. On obtient donc K

Pt 1 ~AlkP,

(351)

()ù Al = 1t/2, et de façon analogue

K P. 3~AlkP.

(352)

407.

11-2-46. DSMQNSTRATION DU. TH:eOR~ME AUXILIAIRE

On a kP = (1/4- ô)P, où Ô> 0 et dépend de cx. De ce qui précède, il s'ensuit que k P.2 2P p 1/2=(1-4ô)P p1/2-+0 pour p-+oo et en vertu de (350), (351) et (352), on obtien~ les inégalités .(349) pour K P. 1 et K p. 3" On a par ailleurs K P.

2

= K P - K P. 1 - K p. 3> K p - (ô; + ô;) K P'

de là on déduit (349) pour K p. 2' ce qui prouve le lemme. Passons à la démonstration du théo;fème formulé au [11-2-45]. 1) 'après l'hypothèse de ce théorème

r cp (x) J (X+Â.)2

1

00

s (Â) =

dx ~ HÂ

- -

(353)

2.

o Considérons la fonction Â2S (Â) et montrons que sa dérivée est strictement positive et croît avec Â: 00

"2"

2

d dÂ. [l'v S (l'v)] =

r Â-xcp (x) J (X+Â.)8

00

d

Jr

ucp (Â.u) (U+1)3

d

u. o 0 De la dernière expression et du fait que la fonction cp (x) est croissante, il résulte immédiatement que la dérivée du premier membre est strictement positive et croissante. On peut donc appliquer le lemme 1 à la fonction Â2S (Â) et, en vertu de (353), obtenir d dÂ.

x=

2

3 ~ [Â2 S (Â)] ~"2 HÂ2,

d'où 00

-8'(Â)=2~

(354)

On a par ailleurs -

 3s'

r (u+ ucp (Â-u) 1)4

00

:!.

1

d

(Â) ~"2 HÂ2,

-

dÂ

[Â3 S '

(Â)] = 2·3

J

du,

o et l'on peut appliquer le lemme 1 à la fonction - 1..3S ' (1..) : -

d

dÂ.

[1.. 3s' (1..)]

~

1

!

3

2:."2 H)..2.

Une dérivation combinée à (354) nous donne 5

00

S" (")

l'v

= 3.f J\ o

cp (x)

(X+Â.)4

1

3

dx ~ 2'2H1..

- -

2.

(355)

408

CH. II.

PROB~MES

AUX LIMITES

En prolongeant cette procédure, on est conduit à la formule 00

(_1)ffl sm (Â)

=

+ 1) 1 )

(m

(X+~~+2 dx __ {·3 .. ~~m-1) RÂ-

2m+l -2-.

o

(356) Etudions maintenant le comportement de l'intégrale (357) pour de grands Â. On a (x

~

xp ).,)2p+2 -

( 1- x  ) (x+).,)p+1

+

p

-

~

s)

(

LJ

P

.=0

~(~).,).~ (x+).,)P+2+"

où S ) (

= p (p -1) ... (p - s + 1) .

psI

0

\1 p ) = 1 ,

'

et par suite p

J p (Â) =

00

~

( ; ) ( - Â)' ) (X;).,\Xj+2+. dx .

•=0

0

En tenant compte de (356) on obtient 1 p

J (Â) __ RÂ -p- 2 ~ (_1)' ( s) 1·3 ... (2p+2s+1) LJ

p

p

s=o

(p+s+1)12p+,'

(358)

1

Jo (Â) =s (Â) -- RÂ - 2. La première de ces formules peut être mise sous la forme -p_!

J p (Â) -- RÂ

2

1

PaS (-1) (p)

~

vn

r r

~

(p+s+ ) (p+s+2).

(359)

s=o Prouvons maintenant la formule 1

(S

p

../n ~

(_1)8

p)

r r

~

(p+s+ ) 2 K po (p+s+2) =

s=o A cet effet, considérons l'intégrale

rr:

(360)

(361)

409

11-2-46. DEMONSTRATION DU THEOR1lJME AUXILIAIRE

qui par la substitution x= Âu se ramène à la forme 1

p+ u 2 1 , 1 p+ - • (u+ 1)2p+2 du = 00

Lp= Â

2

1

(362)

P+.!. K po Â

0

2

On a p

X) P =.LJ(-1) "" & ( S) Â8 ( x+Â p (X+À)8'8=0

et l'intégrale (361) devient p

Lp =

~

00

(_1)8

(~)

Â8 ) 0

8=0

1

p

1

1

').P+'i

""

.LJ

00-

(_1)8

(Sp) Jr

8=0

u 2

(u+1)P+8+2

d

u.

(363)

0

Le changement u=x/(1-x) nous donne

r J

1

u"2 (U+1)P+8+2 du=

o

rJ x...!.. (1-x) P+8-i-~ dx= r({)r(p+s+{-) 2

r (p+s+2)

0

Portons ceci dans la formule (363) :

V-Lp=

p

~

p:J.. 2').

2

(_1)8

8=0

(~)

r

(p+s+-.!- )

r

(p+s+~

.

En comparant avec (362) on obtient (360) et la formule (359) devient 1

J

P

(Â) ~ 2H Â-P-T K Tt

(364)

P

ou (365) où Tb. dépend de p et de

Â

et ll;l.. -+ 0 pour p fixe et

 -+

00.

CH. II. PROBL:E}MES AUX LIMITES

410

Mettons l'intégrale J p (Â) sous forme d'une somme de quatre termes: (l-a)1I.

(Xx: V ~ ~L i=1

V

=

const > 0,

~

0, S est de classe Cl +2+a et cp E Cl +2+a (S), alors le problème (391), (392) admet une solution u et une seule de la classe Cl +2 +a (D). Ce théorème combiné à la compacité de l'immersion de Cl +a (D) dans Cl (D) et aux propriétés spectrales des opérateurs complète-

C

(x)

ment continus nous permet d'établir l'analogue du premier et du deuxième théorème de Fredholm pour l'opérateur L avec la condition de Dirichlet. Plus exactement, considérons parallèlement au problème (391), (392) le problème spectral L (u) = 'Au, uls = O. (399) Pour que le résultat soit plus complet il faut admettre que 'A est un nombre complexe et u une fonction de la variable réelle x à valeurs complexes. De ce fait, il faut introduire les analogues des espaces Cl +fi. (D), dont les éléments sont des fonctions à valeurs complexes u (x) = Ul (x) l,U 2 (x), où Ul (x) et U 2 (x) appartiennent à Cl+a (D). On désignera aussi ces espaces par Cl +a (D). Une norme dans un tel Cl +a (D) est définie comme la somme des normes (397) pour Ul et u 2 . On a la proposition suivante:

+

Thé

°

r ème 2. Supposons que toutes les hypothèses du théorème 1 à l'exception de c (x) ~ sont remplies pour Let S. Alors le problème (399) possède des solutions non triviales pour un nombre au plus dénombrable de valeurs 'A: 'A = 'Ah, k = 1, 2, ... , et ces solutions appartiennent à Cl +2 +a (D). Les nombres 'Ah sont situés dans la parabole quadratique n = {'A = 'A' i'A": 'A"2 ~ al (a 2 - 'A'), al > O} dont les 0

+

paramètres ai se déterminent à l'aide des coefficients de L. Chaque Â'1~ est de multiplicité finie, c'est-à-dire qu'à chaque 'Ah. est associé un nombre fini de solutions linéairement indépendantes. Le problème

L (u) = 'Au

+ f,

u 1s = cp,

admet une solution unique dans Cl +2+'X (D) quels que soient f et cp E Cl +2+a (S), pourvu que 'A =1= 'Ah, k = 1, 2, ...

(400)

E Cl+a (D)

La dernière proposition du théorème peut être brièvement formulée comme suit: le théorème d'existence résulte du théorème d'unicité pour le problème (400). Les nombres {'Ah} constituent le spectre de l'opérateur L pour la condition aux limites du problème de Dirichlet. Les solutions correspondantes Uh., c'est-à-dire les solutions du

II-2-51. SOLUTIONS DISTRIBUTIONNELLES DE LA CLASSE

W~ (D)

421

problème (399)- pour Â, = Â,ln s'appellent fonctions propres de l' opérateur L pour la condition aux limites du problème de Dirichlet. Elles sont toutes de la classe Cl +2+'"1. (D). Il est impossible de formuler sous une forme simple le troisième théorème de Fredholm pour le problème (400) sous les conditions de régularité imposées plus haut aux coefficients de L. Nous ferons ceci plus loin en imposant d'autres conditions aux coefficients de L lorsque nous étudierons en détail le problème (400) dans l'espace hilbertien W; (D). La démonstration de ces théorèmes repose essentiellement sur l'importante inégalité suivante: " u Il YJ+2+a) ~ C [II L (u) IIYJ+a) max 1u 1 Il u 11~+2+a)J. (401)

+

+

D

Cette inégalité est valable pour toute fonction u E Cl +2 +CI.. (D). La constante C dépend seulement des normes des coefficients de L dans l'espace Cl+a (D), de la constante d'ellipticité v et de la frontière S qui doit appartenir à la classe Cl +2 +a. Si le coefficient c (x) ~ 0, alors on peut éliminer le terme max 1 u 1 du second membre de (401). D

Il est d'usage d'appeler l'inégalité (401) inégalité de Schauder (qui l'a établie pour l = 0). Nous ne développerons pas ici les démonstrations des faits mentionnés, car elles sont compliquées et assez laborieuses. Le lecteur intéressé pourra consulter la monographie de O. Lad y j e n s k a ï a et N. 0 u raI t s é v a, Equations linéaires et quasi linéaires de type elliptique, M., Naouka, 1973 (en russe). Signalons à ce propos l'idée originale et assez fructueuse de Korn, appelée généralement « gel }) des coefficients. Cette idée a permis de décomposer le problème en plusieurs problèmes « canoniques}) faisant intervenir seulement l'opérateur de Laplace. Pour résoudre ces problèmes on se sert de la théorie classique du potentiel exposée dans les paragraphes précédents. Cette idée est largement utilisée dans l'étude des problèmes aux limites généraux pour équations et systèmes d'équations d'ordre quelconque de type elliptique et parabolique; elle a permis en particulier de prouver que les problèmes (391), (393) et (391), (394) admettaient une solution au sens de Fredholm. On prouvera dans les numéros suivants que le problème (400) admet une solution au sens de Fredholm dans l'espace hilbertien W; (D). Cette démonstration est bien plus simple que dans les autres espaces et ne fait pas intervenir l'idée de Korn. 11-2-51. Solutions distributionnelles de la classe IV~ (D). Pour la suite de l'exposé il nous sera utile de mettre l'opérateur L sous la forme n

L(u)= • 'l,

n

au) + ~ b.-+cu au ()x. , ~ -ax·a ( a· .. -ax.. k=1

1

1 ...

1

H.

i=1

1

(402)

422

CH. II. PROBL:E:.MES AUX LIMITES

Si les coefficients aik possèdent des dérivées distributionnelles premières dans D, alors tout opérateur L de (391) peut être représenté sous la forme (402) et réciproquement (aux valeurs près des coefficients bi)' Dans les numéros suivants, on se propose d'étudier la résolubilité du problème de Dirichlet

=

L (u)

'Au

+ f,

u 1s

=0

(403)

dans un domaine borné D pour des opérateurs elliptiques généraux L à coefficients variables en fonction des valeurs du paramètre 'A. Si ailu b i et c sont des fonctions mesurables bornées sur D et aik possèdent des dérivées distributionnelles bornées, alors pour toute fonction u E W; (D), l'opérateur L (u) est un élément de L 2 (D) et pour tout 11 E C~ (D), on a

~ L (u) 11 dx = L (u, 11),

-

(404)

D

où L (u, 11) désigne la forme bilinéaire L (u, 11) =

~ (ai1~uXk11 Xi -

biu Xi 11 - CU11) dx.

(405)

D

Ici et dans la suite on omettra le signe ~ lorsque la sommation est étendue aux indices se répétant deux fois. L'égalité (404) s'obtient par une intégration par parties du premier groupe de termes du premier membre de (404) (voir formule (107) de [1-2-19]). Comme L (u) E L 2 (D) et que l'ensemble C~ (D) est dense dans l'espace o . ~ (D), alors la relation (404) est satisfaite pour tout 11 E W~ (D). o Toute fonction 11 E ~ (D) peut être approximée pour la norme de ~ (D) par des fonctions 11m E C~ (D). La relation (404) est vérifiée pour u et 11m et l'on peut y passer à la limite par rapport à m pour m --+ 00. On obtient (404) pour toute fonction u E W; (D) et o 11 E ~ (D). Si u appartient à W: (D) et est solution de l'équation 0

L (u) = 'Au

+f

(406)

(pour presque tous les x E D) où f E L 2 (D), alors pour cette fonction u o et pour tout 11 E W~ (D), on a L (u, 11) = -

~

('Au

+ f) 11 dx.

(407)

D

La réciproque est également vraie: si la relation (407) est réalisée o pour un élément u E W: (D) et pour tout 11 E W~ (D) (ou à la rigueur pour tout 11 E Cc;' (D)), alors u est solution de l'équation (406). En

11-2-51. SOLUTIONS DISTRIBUTIONNELLES DE LA CLASSE

W~ (D)

423

effet, de (407) et (404) il s'ensuit que

l (L (u) -- 'Au -

f) Tl dx = 0,

D

et puisque le premier facteur appartient à L 2 (D) et le second est un o élément quelconque de W~ (D) (ou à la rigueur de C~ (D)), alors le premier facteur sera nul en vertu du théorème 2 de (tome IV1 , [111-4]). Donc, l'équation (406) et l'identité (407) prise avec un Tl o quelconque de W~ (D) ou de C: (D) sont équivalentes sur W; (D). Néanmoins l'identité (407) est valable pour les fonctions u E W~ (D). Bien plus, elle ne contient pas les dérivées de ail1. par rapport à x. Ceci nous permet d'introduire la généralisation suivante de la notion de solution de l'équation (406): On dit qu'une fonction u (x) est une solution distributionnelle de classe ~ (D) de l'équation (406) si elle appartient à W~ (D) et vérifie o l'identité (407) pour tout Tl E Wi (D). S'agissant des coefficients aik, b i et c, on peut supposer simplement que ce sont des fonctions mesurables bornées sur D. De ce fait, on appelle solution distributiono nelle de classe ~ (D) du problème (403), une fonction u E W~ (D) o vérifiant l'identité (407) pour tout Tl E W~ (D). Cette généralisation de la notion de solution du problème (403) est adéquate. Si les aik vérifient, quels que soient les réels 61' ... ... , Sn, l'inégalité n

n

~ aik (x) 6iSk>V ~

i, k=1

i=1

sL

x ED,

'V

= const

> 0,

inégalité qui n'est autre que la condition d'ellipticité de L, et s'ils sont dérivables, alors le problème (403) est justiciable de propositions qu'il serait naturel d'appeler théorèmes de Fredholm. Celles-ci sont identiques aux trois théorèmes de Fredholm prouvés précédemment pour des équations intégrales de Fredholm de seconde espèce ainsi que pour des équations plus générales de la forme u = 'AA (u) f dans un espace hilbertien séparable (notamment dans L 2 ) avec un opérateur A complètement continu [(tome IV1 , chap. 1), (tome V»), Formulons ces théorèmes. Leur démonstration, quoique élémentaire du point de vue analytique, implique des notions et théorèmes de l'analyse fonctionnelle qui seront abordés seulement au tome V. Le premier théorème de Fredholm dit que si le problème (403) possède au plus une solution distributionnelle de W~ (D), alors il admet une solution pour tout f E L 2 (D). Ceci est également vrai pour 'A complexe, mais dans des espaces o complexes L 2 (D), W~ (D) et W~ (D), c'est-à-dire qu'il faut admettre que u et f sont des éléments de ces espaces. Les coefficients de L sont

+

424

CH. II. PROBL:E:MES AUX LIMITES

partout supposés réels. Pour formuler le deuxième théorème de Fred-

holm, il faut envisager les deux problèmes spectraux suivants: L (u) = Âu, U 18 = 0, (408) et (409) L * (u) = Âu, u 1 8 = 0, où L* est l'opérateur différentiel adjoint de L au sens de Lagrange. En vertu de [I-2-19l l'opérateur L* est de la forme {j L * (u )_ '--{j

au- ') --a-(biu)+cu. f) (410) aikaxk xi Par solutions distributionnelles non triviales de classe W~ (D) du pro(

Xi

o

blème (408) on entend les éléments u E W~ (D) non identiquement nuls vérifiant l'identité (407) avec 1 = O. De façon analogue, les solutions distributionnelles de la classe W~ (D) du problème (409) sont les élé-

ments de W~ (D) vérifiant l'identité

L* (u, 11) ==

)

(aiku Xk 11xi - biU11xi - cU11) dx =

-

D

 ) u11 D

o

pour tout 11 E W~ (D). Le deuxième théorème de Fredholm dit que les problèmes (408) et (409) possèdent des solutions distributionnelles non triviales pour un ensemble au plus dénombrable de valeurs Â:  = Âk , k = 1, 2, ... Ces valeurs sont confondues avec les  k mentionnés au [II-2-50l. A chaque  k est associé seulement un nombre fini de solutions distributionnelles linéairement indépendantes du problème (408) et du problème (409) et ce nombre est le même dans les deux cas. La collection de nombres { k } s'appelle spectre de l'opérateur L et de l'opérateur L* dans le domaine D sous la condition de Dirichlet. Donc, le problème (403) admet une solution unique pour tout f E L 2 (D) pour tous les  =1=  k • Si  = Âk dans (403), on s'assure sans peine qu'une condition nécessaire pour que le problème (402)

admette une solution est que

1 vérifie

l Iv

k

les égalités

dx = 0,

(411)

D

où Vk est une solution distributionnelle quelconque du problème (409) pour  =  k • Ceci résulte de (407) si l'on y pose  = Âk , 11 = = Vk et que l'on remarque que L (u,

Vk)

= L* (Vk'

u)

= -

Âk

)

vku dx.

D

Le troisième théorème de Fredholm pour le problème (403) avec  =  k affirme que la réalisation de (411) est une condition nécessai-

II-2-51. SOLUTIONS DISTRIBUTIONNELLES DE LA CLASSE

W:~ (D)

425-

re et suffisante pour que le problème (403) admette une solution dans l'espace W~ (D). Dans ce cas le problème possède une infinité· Nk

de solutions de forme générale u

=

Uo

+ i=l ~ CiUhi'

où

Uo

est une so-

lution distributionnelle particulière du problème (403), Uh.'l i = = 1, . . ., N h les solutions distributionnelles du pro blème (408} pour 'A = 'Ah' et Ci des nombres arbitraires. Pour que toutes lespropositions précédentes soient vraies, il est essentiel que D soit borné et que les coefficients aih satisfassent les conditions n V

n

~ Sr~aih (x) SiSh~~ ~ sT,

i=l

i=l

où v > 0 et ~ > 0 sont des constantes. La condition que b i et c sont bornés peut être affaiblie, plus exactement remplacée par la condition b i E L q (D), q > n et C E L q (D), q > n/2. On peut demême affaiblir l 'hypothèse sur l, la remplacer par exemple par 1 E E L q (D), où q ~ n2n ') pour n > 2 et q fini quelconque pour n = 2. ... On étudie de façon analogue le cas d'une condition aux limites de Dirichlet non homogène ainsi que le problème de Neumann et le problème mixte. Lorsque b i 0, l' équation (412) L (u) = 1

==

est une équation d'Euler pour la fonctionnelle quadratique J (u)

j (aUiuXhuXi -

=

cu 2

+ 2ut) dx,

D

et l'identité L(u, YJ)==

j (ai1iuxhYJ~i-cuYJ)dx= - j IYJdx D

D

correspondant à (412) n'est autre que l'égalisation à zéro de la première variation de J (u) sur les fonctions u et ÔU = 'YJ. Donc, au problème de Dirichlet pour l'équation (412) est relié un problème variationnel de recherche des points extrémaux de la fonctionnelle J (u) sur une classe de fonctions de W~ (D). Les solutions de ce problème (si elles existent) ne sont autres que les solutions distributionnelles de classe W~ (D) du problème de Dirichlet pour (412). Au (tome IV!, [III-9 à III-11l) on a montré que l'infimum de la o fonctionnelle J (u) sur W~ (D) est réalisé par un élément unique de o W~ (D) si C (x) == 0 (ceci est également vrai pour toute fonction C (x) ~ 0 bornée). Les raisonnements effectués n'impliquaient pas

~6

CH. II. PROBLRMES AUX LIMITES

l'existence de la solution du problème de Dirichlet pour l'équation (412); au contraire, ils garantissent l'existence de la solution distributionnelle de classe W~ (D) du problème de Dirichlet pour (412). Les bases d'une telle étude des problèmes aux limites (méthodes di'l'ectes) ont été jetées par Hilbert qui a justifié le principe de Riemann pour L = A. Plus exactement, sans faire intervenir la théorie .du potentiel il a prouvé que parmi les fonctions indéfiniment dérivables vérifiant la condition aux limites u 1s = cp il en existe une (Jui réalise l'infimum de l'intégrale 2

J (u) =

j ~ U~i dX

1

dx 2 ,

D i=l

-et cette fonction est harmonique dans D. Certes, à l'époque on n'opérait qu'avec des fonctions continûment dérivables et on essayait ·d'obtenir directement des solutions classiques. Ceci a compliqué singulièrement les choses. Dans les années 20, on a commencé à renoncer aux dérivées ordinaires (classiques) en introduisant des dérivées distributionnelles. Au début des années 30, lorsque la notion de ·dérivée distributionnelle exposée à la fin du tome IV 1 a pris corps, le problème de la détermination de l'infimum de J (u) (pour c (x) ~ ~ 0) a été posé et résolu en fait dans la forme exposée au (tome IV I , UII-9], [III-10l). Dans le travail de K. F rie der i c h s, Spektraltheorie halbbeschriinkter Operatoren und Anwendungen auf die Spektralzerlegung von Differentialoperatoren (Math. Ann., 1934, 109, na 4-5) la résolubilité de ce problème a été posée à la base de la construction .de prolongements hermitiens semi-bornés des opérateurs elliptiques n

L (u)

==

~ à~i

(aik ::k ) +cu,

i, k=1

définis initialement sur l'ensemble de toutes les fonctions régulières nulles sur S. Les coefficients aik ont été supposés continûment dérivables (ou, de façon générale, des fonctions de x de dérivées bornées) et le problème du prolongement des opérateurs non bornés L a -été posé dans l'espace hilbertien L 2 (D). Nous reviendrons sur cette .question au tome V. Les théorèmes de résolubilité du problème (403) (et les théorèmes analogues de résolubilité d'autres problèmes aux limites classiques pour l'équation L (u) = Âu f) formulés dans ce numéro ont été prouvés à la fin des années 40 par des méthodes différentes par M. Vi-chik, O. Ladyjenskaïa et S. Mikhline. Les définitions des solutions .distributionnelles introduites diffèrent par leur forme mais sont équivalentes dans leur fond. Nous avons exhibé les définitions d'une solution distributionnelle d'une équation et d'une solution distributionnelle du problème (403) proposées par O. Ladyjenskaïa. Ces

+

II-2-52. PREMUJRE

I~GALIT:m

FONDAMENTALE

427

définitions Olit été commodes pour l'étude des problèmes aux limites non seulement linéaires mais aussi non linéaires. La démonstration qu'elle a donnée des théorèmes de Fredholm se décompose en deux étapes: elle établit d'abord l'équivalence de 1 identité (407) à une équation opératorielle de la forme u = ÂA (u) f dans l'espace o hilbertien W; (D), où A est un opérateur complètement continu. Pour cela elle utilise les estimations qui seront prouvées au numéro suivant ainsi que le théorème de Riesz sur la forme générale des fonctionnelles linéaires; ensuite à l'aide des théorèmes de Fredholm valables pour de telles équations elle déduit les propositions sur la résolubilité du problème (403) énumérées plus haut (voir à ce sujet les leçons de O. Lad y j e n s k a ï a regroupées dans l'ouvrage: Problèmes aux limites de physique mathématique. M., Naouka, 1970 (en russe). Une analyse plus détaillée des problèmes (403) et (408) et la bibliographie correspondante sont données dans la monographie de O. Ladyjenskaïa et N. Ouraltséva indiquée dans le numéro précédent).

+

11-2-52. Première inégalité fondamentale (ou énergétique). Supposons que les coefficients de l'opérateur L de (402) satisfont les conditions du [11-2-51], plus exactement, quels que soient les réels SI' ... , Sn et xÉ D, n V

n

2J

i=1

-\1

/

sf~aik (x) SiSk~f-l n

~1 br (X)~f-ll'

2J

sÏ,

i=1

(413)

f-l2~C (X)~~t3'

où V> 0, f-l > 0, f-ll;;;:: 0, f-l2 et ~L3 des nombres quelconques (pas forcément strictement positifs). Posons (u, v) =

l

n

uv dx,

Il u Il = V (u, u), ui: = ~ U~i' i=1

D

1U x 1= Il u

Hv Il Ux 11

2

-Ill" Ux

1111

u 1l-1l311 u 11 2 •

De là il s'ensuit En vertu de (416)

L(u, u»(v-81)lIuxIl2-(1l3+

~~)

lIull 2

(417)

quel que soit 8 1 > O. Supposons que u est une solution distributionnelle de classe W~ (D) du problème (403), de sorte que cette solution est justiciable de l'identité (407). En faisant 11 = u dans (407), on obtient

L (u, u) + Â Il U 11 2 =

.-

~ fu dx.

(418)

D

En se servant de (417), de l'inégalité de Bouniakovski-Schwarz et de (416), on déduit de (418) l'inégalité suivante: (v -- 8 1 )

Il Ux 11 2 + (Â -1l3 - ~tl ) Il U 11 2 ~ ~ Il f" Il u Il ~ë211

11 2+ 48 Il f !1 2, 1

U

2

(419)

où 8 2 > 0 est un nombre arbitraire. Cette inégalité s'appelle première inégalité fondamentale (ou énergétique). Sur (419) on voit que la norme Il U x Il de la solution distributionnelle du problème (403) se majore en fonction de Il fI/et Il u Il. Si (420) alors (419) nous permet d'estimer la norme 1/ U x Il uniquement en fonction de Il f 1/. En effet, prenons par exemple 8 2 = ô/4 et 81 tel que  - Ila - Il~ (481t1 = 3ô/4. Alors par des calculs élémentaires on trouve que 8 1 = vll~ (ôv + Il~) -1, et de (419) on déduit la majoration voulue: (421)

11-2-52. PREMIÈRE IN);:GALIT);: FONDAMENTALE

429

ou, pour abréger, "u

Il (1)

~ Cô

Il fil.

(422)

Grâce à cette majoration on a le théorème d'unicité suivant: Thé 0 r ème 1. Si les coefficients de L satisfont les conditions (413) et si est réalisée la condition (420), alors le problème (403) possède une solution distributionnelle au plus de classe W~ (D) (le domaine D peut- être illimité). En effet, la différence v = u' - u" de deux solutions distributionnelles éventuelles du problème (403) vérifie l'identité (407) avec / = 0, donc l'inégalité (422) avec f = 0, inégalité de laquelle il résulte que v = 0, c'est-à-dire que u' = u". Si le domaine D est borné, on peut affaiblir la condition (420). On se sert à cet effet de l'inégalité

l u2dx~CD l u~ dx D

(423)

D

(l'inégalité (32) du (tome IV1 , [III-7]) valable pour toute fonction o u EW~ (D) et tout domaine borné D. Pour 8 1 E]0, vI il s'ensuit de (419) que ( v-el CD

+ Â - ~l3 -

4l-ti - 8 2 ) Il u el

112~-41 Il f e

11 2 ,

(424)

2

donc, si max

O<el~'V

alors en faisant

82

'V (

C

10,

D

I-tt ) _

1

-r  - !J.3--4-

=

.e l

61 > 0,

(425)

= 61 /2 dans (424), on obtient

Il u 11 ~ 2

612 Il f

2 11

•

(426)

De là ·et de (419) dans laquelle on aura posé par exemple 8 1 = v/2 et 8 2 = 1 on trouve la majoration de la norme complète de u dans W~ (D), soit: Il u 11(1) ~ C Il f Il. (427) La condition (425) est remplie par exemple pour L = â quel que soit  ~ O. La condition (420) au contraire n'est pas satisfaite pour L = ~ et  = O. Si les coefficients sont donnés dans un domaine quelconque Dl et qu'ils satisfont les conditions (413) dans Dl' alors la condition (425) est vérifiée pour tout  fixe (en particulier pour  = 0), pourvu que le domaine D c Dl soit de volume assez petit, car CD -+ lorsque mes D -+ O. On dit pour cette raison que le théorème d 'unici té est valable pour le problème (403) dans des domaines de « volume assez petit ».

°

CH. II. PROBL:E:MES AUX LIMITES

430

Rem a r que. Au (tome IV I , [111-7]), on a montré que CD -+ 0 si le diamètre deD tend vers O. Des raisonnements plus fins montrent que CD est proportionnel à 1 mes D 1 2/ n •

11-2-53. L'espace W;, 0 (D) et la deuxième inégalité fondamentale. Prouvons préalablement l'inégalité

i Ivl dS~q)~(IVI + Ivxl)

(428)

dx.

D

S

Cette inégalité est valable pour toute fonction v E WI (D), c'est-à dire pour toute fonction v E LI (D) possédant des dérivées distributionnelles premières sommables sur D. La frontière S du domaine D doit être assez régulière, par exemple être de classe Cl. L'inégalité (428) est valable pour une classe plus large de domaines: pour des domaines à frontière lipschitzienne. Nous ne donnerons pas leur définition exacte mais de la conclusion déduite plus bas il est aisé d~ voir quelles sont les propriétés de S qui sont suffisantes pour qu~ (428) ait lieu. L'inégalité (428) nous sera utile uniquement pour les fonctions v E Cl (D). C'est pourquoi nous nous bornerons à la démontrer seulement pour de telles v. De ce fait et de la densité d~ Cl (D) dans Wi (D), il s'ensuit que (428) a lieu pour tout v E Wi (D). Considérons un système de coordonnées cartésiennes locales (YI' ... , Yn) ayant pour origine un point quelconque XO ES, et un morceau Sp (XO) de S d'équation

y'

== (YI'

.•. , Yn-l) E B p = {y': 1 y' 1


D E1

,,2 = Be ' l'inégalité (440) devient s

~ \.2" U xx 112~ "L (U) 11 2_ ~ \ 1 (s) dS + C~ ( Il U WU)2. (441) S

Jusqu'ici nous n'avons pas utilisé le fait que u s'annule sur S. Montrons que si l'on fait jouer cette condition, alors l'intégrale ) 1 dS s

peut être ramenée à une forme ne contenant pas les dérivées secondes de u par rapport à x. Ce fait est primordial lors de la déduction de l'inégalité (434). Pour le prouver, considérons un point arbitraire XO E S et introduisons un système de coordonnées cartésiennes locales y: Yh = Chl (Xl - xV, k = 1, ... , n, c'est-à-dire un système dont l'axe des Yn est orienté suivant la normale extérieure n à S en XO et la matrice (Ch l), orthogonale. Soit Yn = (ù (YI' . • ., Yn -1) l' équation de S au voisinage de l'origine des coordonnées Y = (0, ... , 0). Par hypothèse, (ù (YI' ••. , Yn-I) E C 2• La matrice (Ch l) étant orthogonale, on a Xl - xY = ChlYh, l = 1, ... , n. Donc cos (n, Xl) = = Cnz, l = 1, ... , n. Considérons l'expression 1 (s) au point XO et passons dans cette expression aux coordonnées y: 1 (XO) -

= aihajlCmiUYmCpjCqlUYpylnhaihajlCmiuYmc PkCqlUYpylnj

== (bmnb pq -

bmpbqn ) uYmuYpYq'

(442)

où

b pq

=

ajlCpjcql'

p, q

= 1, ... , n.

Utilisons maintenant la condition aux limites U 1s = O. Au VOISInage du point XO dont les coordonnées Y l sont nulles, cette condition devient U (YI' ••• , Yn-l'

(ù

(YI' ••• , Yn-l))

= 0,

et de plus elle est identiquement satisfaite par rapport à YI' ••• • • • , Yn -1 au voisinage de YI = ... = Yn -1 = O. Dérivons cette identité par rapport à Yi et Yh, i, k = 1, , n - 1, et prenons en considération le fait que (ÙYi = 0, i = 1, , n - 1, au point xo. 28*

CH. II.

436

PROBL~MES

Ceci nous donne au point Uv.~

AUX LIMITES

XO:

(443)

= 0,

i, k=1, ... , n-1. Grâce à

:~ /xo=O, i=1, ... , n-1, on a ôu au bnpbqn ) -a- a ô ' (444) n YP Yq 2

1

(xO) =

(bnnb pq -

Pour p = n et q quelconque, ainsi que pour q = n et p quelconque, les termes entre parenthèses dans (444) se simplifient mutuellement, ce qui, combiné avec (443), nous donne pour 1 (XO) l'expression suivante: n-1

1

~

(XO) = -

(bnnb pq -

bnpbqn ) ( ; : ) 2 (OYpY q •

(445)

P. q=1

On admettra que les coordonnées YI' ... , Yn -1 sont choisies dans le plan tangent à S en XO de telle sorte que toutes les dérivées mixtes (OlIpllq' p =1= q, soient nulles en XO (on sait qu'on peut toujours réaliser ceci par une transformation orthogonale des coordonnées YI' ••• , Yn -1)' Alors n-1

l (xO)

= -

~

(bnnbpp-b;p) ( ; :

)2 (OYpYp.

(446)

p=1

En vertu de l'hypothèse SE C2 , on peut exhiber un nombre tel que (OYpYplxo~K,

p=1, ... , n-1,

K~O

(447)

quel que soit XO E S. Si, en particulier, le domaine D est convexe, alors on peut prendre pour K. De la condition (413), il s'ensuit bnnb pp - b~p ~ ~2, et par suite

°

0-
0, si u =f= O.

(455)

Le produit scalaire (u, u) permet de définir un nombre strictement positif appelé norme de l'élément u: plus exactement, Il u Il = = V (u, u). La norme est nulle uniquement pour l'élément nul de H (que nous désignerons simplement par 0). Ce qui précède nous permet d'introduire la notion de convergence: une suite {Uk} k=t converge vers un élément u si lim Il Uk - U Il = O. Une suite {Uk} k-l est k-...oo

°

dite suite de Cauchy (ou suite fondamentale) si Il Uk - Um Il ~ lorsque k et m ~ 00. L'espace H est dit complet si toute suite de Cauchy {Uk}:' 1 converge vers un élément u E H. Enfin, l'espace H est dit séparable s'il existe un ensemble dénombrable d'éléments de H: {Vk} k-1'

440

CH. Il. PROBL1lJMES AUX LIMITES

dense dans H. Ceci signifie que pour tout élément u E H et tout 8 > 0 il existe un élément Vk tel que Il u - Vk Il ~ 8. Si H possède les propriétés énumérées ci-dessus, on l'appelle espace hilbertien complexe séparable complet. Souvent, les propriétés de complétude et de séparabilité sont implicitement incluses dans la notion d'espace hilbertien et dans la suite ne seront pas spécifiées. De même, nous ne les signalerons pas séparément, car on admettra qu'elles sont toutes deux réalisées. Si a, b, ... sont des réels, alors le produit scalaire (u, v) l'est aussi et la conjugaison complexe disparaît des égalités (455). Dans ce cas on parle d'un espace hilbertien réel H. On démontre que dans un espace hilbertien abstrait H, il existe une base orthonormée, c'est-à-dire un système d'éléments {(})k}k' 1 tels que {(})k' (})z} = {hl et tout élément u se représente par une série 00

u =

L

(u,

(})k) (})k

convergente vers u pour la norme de H. De là il

k=l 00

s'ensuit que" u

11

2

=

LJ

1 (u, (})k) 12 •

Il existe une infinité de telles

k=l

bases. Mais en en choisissant une on peut établir un isomorphisme entre deux espaces hilbertiens complexes quelconques Hi et notamment entre H et l'espace hilbertien complexe l2 dont les éléments sont les suites x = (Xl' X 2 , • • • ) de nombres complexes Xk 00

tels que

2:

1 Xk

k=l

/2 < 00. La multiplication par un nombre et

+

l'addition se définissent comme suit: ax = (axI' ax 2 , • • • ), X y = = (Xl YI' X2 Y2' ... ) et le produit scalaire par l'égalité

+

+

00

(X, Y)l2 =

LJ

k=l

XkY k·

L'isomorphisme indiqué se construit comme suit: à un élément u E H on associe la collection ;; = «u, (})I), (u, (})2), ••. ) de ses coefficients par rapport à la base orthonormée {(})k}k' 1 choisie dans H. '" '" Il est immédiat de voir que (u, v) = (u, v) 1 Grâce à cela tous les espaces hilbertiens (il s'agit uniquement des espaces séparables complets) ont la même structure d'un point de vue abstrait et les faits prouvés pour l'un peuvent être reformulés pour l'autre. Les espaces signalés au début de ce numéro sont isomorphes à l'espace l2 et partant l'un à l'autre. Donc, de nombreux résultats établis pour L 2 (D) sont valables pour les autres espaces. Par exemple, l'inégalité de Bouniakovski-Schwarz est un simple corollaire des axiomes (455). Dans le cas d'un espace abstrait H elle devient 1(u, v) 1~ " u Il Il v Il. Cependant nous n'utiliserons pas l'isomorphisme entre les espaces fonctionnels qui nous intéressent, car les faits qu'on en tire sont peu suggestifs et de plus nous n'avons 2

•

11-2-54. QUELQUES

CONSID~RATIONS

SUR LES ESPACES HILBERTIENS

441

pas encore prouvé que les espaces WJ (D) avec l entier sont séparao bles. La séparabilité de ~ (D) et de W;,o (D) résultera des propositions du numéro [II-2-57). Il est aisé de prouver la séparabilité detous les espaces (D) à partir de considérations plus simples et plus générales, ce qui sera fait au tome V, chapitre IV. Dans un espace hilbertien donné H, on peut introduire une nou-· velle structure hilbertienne (c'est-à-dire un autre produit scalaire) de telle sorte que cet espace soit de nouveau complet. Pour cela, il faut que la nouvelle norme Il • 11* correspondant au nouveau produit. scalaire (,)* (c'est-à-dire Il u 11* = V (u, uf*) soit équivalente à la norme initiale Il . Il. L'équivalence des normes Il • 11* et Il . Il signifiequ'il existe deux constantes Cl > 0 et C 2 > 0 telles que pour tous les éléments de Hl' on ait

w1

Cl

Il

u

~

Il

Il

11*

u

~ C2

Il

u

II·

Il est clair que si une suite d 'éléments u k, k = 1, 2, . . . converge· pour la norme Il . Il, alors elle convergera pour la norme Il . 11* et réciproquement. Ceci garantit la complétude de H relativement à la convergence pour la nouvelle norme. Si H est séparable, alors il en est de même du nouvel espace hilbertien engendré par lui. Les opérateurs linéaires sont l'un des principaux objets d'étudedans les espaces hilbertiens. On dit qu'un opérateur A est un opérateur linéaire borné dans H s'il applique H dans H de telle sorteque A (au bv) = aA (u) bA (v) et s'il existe un nombre C >Û' tel que pour tous les éléments de Hl' on ait *)

+

+

Il A

(u)

Il

-< C Il u II·

La borne inférieure de tous les tels C s'appelle norme de l'opérateur A et se note Il A Il. Démontrons une proposition simple qu'en fait nous avons rencontrée à maintes reprises en étudiant des espaces fonctionnels concrets et des opérateurs concrets évoluant dans ces espaces. Lem m e 1. Soit A un opérateur linéaire borné dans un espacehilbertien H et supposons que sa norme Il A Il < 1. Alors l'équation u

=

A (u)

+v

(456}

admet une solution unique dans H quelle que soit v. Pour intégrer l'équation (456), on se sert de la méthode des approximations successives dans sa forme élémentaire, c'est-à-dire: soient UI = v, Un+l = A (un) v, n = 1, 2, ... Il est aisé de voir-

+

*) On écrit souvent Au pour A (u).

CH. II. PROBL:E:MES AUX LIMITES

442

-que " Ul

= Il v /l, Il ~ Il A Il Il Un

/1

Un +1 -

Un

Un -1

Il = Il A

/1 ~ •••

-
O. Il est aisé de *) Au (tome II, [VIJ-1-15], [VII-1-16]) et au (tome III 2 , [VI-1-5] à [VI-1-8], (VI-2-3], (VI-2-11] à [VI-2-13]) on donne la forme explicite de tous les Uh pour de tels D, forme de laquelle il résulte que Uh E Coo {D); la complétude de {uk}~ 1 est prouvée au [11-2-34].

II-2-56. LA R:E:SOLUBILIT:E: AU SENS DE FREDHOLM

447

voir que si u (x) E W:. o (D), alors u (y) = u (x (y)) sera un élément de W;.o (D) et réciproquement. Lorsqu'on passe de x à y, l'opérateur différentiel L (u) s'écrit:

'" ""

L

(u) =

,...,

a (""

OYi

aik

OU)

(y) oYk

""

'"

+ b i (y)

ou

,. ., + '"C (y) u,

0Yi

où , '" aik

bi (y) =

[b

j

(x)

(y)

=

[

a il (x)

°Yi (x) ] 1

OX j

OX j

aYk (x) ] oxz

1 x=x(y) ,

-

X=X(Y)

-r

aZk (x)

,...,

0Yi (x)

f)Yi (x) ] 1

a (a yj

(x) ) 1 dXz x=x(y)

On vérifie sans peine que les coefficients de L oXk

x=x(y)

ay j

,

et C (y) = C (x (y». satisfont les inégalités (413) et (433), mais avec d'autres constantes. Ces constantes nous permettent de choisir un  o assez grand pour ,..., "" que L - ÂoE vérifie la condition (458) dans D, et par suite l' iné,..., galité (459). Si D est une boule, un parallélépipède ou une couronne sphérique, alors de ce qui a été démontré plus haut, il s'ensuit que le problème L (;;) - Âo;;' = (y), ;;, laD = 0, admet une solution ,..., "" unique dans W:. o (D) pour tout f E L 2 (D). En passant dans ce problème à l'ancienne variable x, on s'assure que le problème (471) admet une solution unique dans W;,o (D) pour la valeur de  o retenue et pour toute fonction f E L 2 (D). On a donc prouvé le théorème suivant:

7

Thé 0 r ème 2. Si les coefficients de L de (402) vérifient lesconditions (413) et (433) et si le domaine D est une boule, un parallélépipède ou une couronne sphérique ou est susceptible d'être transforméen l'un de ces derniers par une fonction régulière y = y (x) E C 2 (D),. alors le problème (471) admet une solution unique dans W;,o (D) pour toute fonction f E L 2 (D) et pour  o assez grand. Rem a r que. Ce théorème nous permet de prouver que le problème posé admet une solution unique dans tout domaine D (éventuellement illimité) dont la frontière est une surface de classe C2. 11-2-56. Sur la résolubilité au sens de Fredholm du problème de Dirichlet. Considérons maintenant la résolubilité du problème de Dirichlet L (u) = Âu + f, u 1s = 0, (474) pour  réel arbitraire. Tout ce qui va suivre est valable pour  complexe, mais on se bornera au cas réel. Supposons que les conditions

448

CH. II. PROBLÈMES AUX LIMITES

.du théorème 2 du numéro précédent sont remplies pour L et D. Prenons Âo assez grand pour que LI = L - ÂoE soit justiciable de la -conclusion de ce théorème et ramenons le problème (474) à la forme -équivalente u = (Â - Âo) L -~ (u) L -~ (f). (475)

+

Au [lI-2-55J on a montré que L-~ transforme les éléments de L 2 (D) .en ceux de W 2: 0 (D) et que pour tout f E L 2 (D)

Il

L~l (f) "

::s; C 2 1/ f Il

(2)

(476)

{cf. (461)). En vertu du théorème de Rellich (tome IVI , [lII-7J) il ;s'ensuit de là que L-~ est un opérateur complètement continu dans L 2 (D) (c'est-à-dire comme un opérateur de L 2 (D) dans L 2 (D)). Donc, l'équation (475) est justiciable des théorèmes de Fredholm (tome IVI , [I-28J et tome V, [V-1-14J à [V-1-16J) qui nous disent -que l'équation (475) admet une solution unique dans L 2 (D) pour tous les  à l'exception d'un ensemble dénombrable que l'on désignera par { h } , k = 1, 2, ... Supposons que  =1=  h et que u est la .solution correspondante de l'équation (475). Cette solution est un -élément de W2~O (D), puisque les deux termes du second membre de (475) le sont si f E L 2 (D). Donc, u est une solution du problème (474) appartenant à l'espace W 270 (D). Pour  =  h (et uniquement pour de tels Â), l'équation sans se.cond membre admet les solutions non triviales Uh

=

(Â h -

 o) L-~ (Uh).

(477)

Ces solutions sont aussi des éléments de W 270 (D), car l'appartenance de Uh à L 2 (D) et les propriétés de l'opérateur L-~ entraînent que L-~ (Uh) E W 270 (D). Donc, Uh sont solutions du problème L

(Uh)

=

ÂhUh'

Uh 1S

= O.

(478)

Ces solutions s'appellent fonctions propres de l'opérateur L dans le domaine D pour la condition aux limites du problème de Dirichlet, et Âh , les valeurs propres correspondantes. La théorie des équations linéaires à opérateurs complètement continus nous dit qu'à chaque  h est associé un nombre fini de solutions linéairement indépendantes du problème (478), autrement dit chaque Âh est de multiplicité finie. Pour formuler les autres propositions, il nous faut introduire les opérateurs adjoints de L et de LI agissant dans L 2 (D). L'opérateur A * adjoint d'un opérateur (linéaire) A donné se définit par l'identité (479) (A (u), v) = (u, A * (v)), qui est réalisée pour tous les éléments u sur lesquels est donné A. On admet que le domaine de définition :!lJ (A) de A est l'espace L 2 (D) tout entier si A est borné et un ensemble :!lJ (A) dense dans

1

4i9

II-2-58. LA RaSOLUBILIT&AU SENS DE FREDHOLM

L.iD) si A n'ést pas borné. L'ensemble de définition ~(A *) de l'opérateur A* est composé des éléments v (et d'elix seuls) pour lesquels l'expression (A (u), v) qui est une fonction linéaire de u sur l'ensemble ~(A) peut être mise sous la forme (u, w), où west un élément quelconque de L,(D). L'ensemble ~(A) étant dense dans L,(D), l'élément west unique et il doit être égal à A* (v). Si A est un opérateur borné on démontre que ~(A *) est l'espace Ls(D) tout entier (ou l'espace hilbertien H tout entier si L 2 (D) = == H). Ceci résulte aussitôt du théorème de Riesz sur la forme ~énérale des fonctionnelles linéaires de L,(D) (tome V, [V-1-4]). En effet, pour tout v E L" (D) l'expression (A (u), v) est une fonction continue linéaire u définie sur l'espace L 2 (D) tout entier (c'est-àdire une fonctionnelle linéaire), donc il existe un élément unique w tel que (A (u), v) = (u, w) pour tous les u E L,,(D). Or, ceci signifie que v E ~(A *), w = A* (v) et ~(A *) = L,(D). Si A n'est pas borné, la détermination de 9J(A*) et de la forme explicite de A* est une tâche ardue. Les opérateurs L et LI considérés sont des opérateurs non bornés, définis sur l'ensemble ~(L) = = ~(Ll) = W,~o (D), dense dans L 2(D). On montrera que les opérateurs adjoints L* et LT sont de la forme

L*(u)=-aa (a'k aau (biu)+cu, Li(u) =L* (u)-Âou. (480) Xi xk )--aa Xi (c'est-à-dire sont des opérateurs différentiels adjoints de L et LI respectivement au sens de Lagrange (cf. formule (410» et leurs domaines de définition sont confondus avec W2~O (D). Assurons-nous à cet effet que le problème L~ (u) = f, u Is = 0, (481) où L*(u) est donné par (480),· admet une solution unique dans W,~o lD) pour toute fonction f E L, (D). En effet, l'opérateur L~ remplit toutes les conditions du théorème 2 de [11-2-55], y compris la condition L~ (u, u) ~ cS l Il u Il', cS l > 0 si Âo ~ 1, car Li(u, u)=(-L~(u), u)=

=

J(aikuXkux,~biUUXi-cu2+Âou2) dx=L

1

(u, u).

g

Désignons par (L~) _1 l'opérateur associant à f la solution u du problème (481). Cet opérateur est un opérateur borné dans La(D) mettant L,(D) et W,~o (D) en correspondance bijective. D'autre part, pour toutes fonctions u et v de W,~o (D), on a la relation . (LI (u), v) = (u, L~ (v», (481,.) qui s'obtient par une double intégration par parties du premier membre. En comparant cette égalité avec celle qui a servi à définir l' opé29-01017

450

CB.IL PROBLDlES AUX LIMITES,

rateur A * on voit que les éléments.v de W2~O (D) appartiennent à 9J(A*) = 9J (L~) et A* = L~ est défini par (480). Il reste à véri-' fier que ~ (L~) == W2~O (D), c'est-à-dire à prouver que si pour de~ éléments quelconques v et f de L 2 (D) on a (L 1 (u), v)

= (u, f)

pour toutu E W2~O (D), alors v,E W2~O (D) et f = L~ (v). Déterminons à l'aide de f l'élément w = (L;tif, solution du problème (481) (cette solution est un élément de Wi,o (D» et mettons (u, f) sous la forme (u, L~ (w» = (L 1 (u), w) en vertu de la formule (482). Alors (u, f) = (L 1 (u), w) = (L 1 (u), v), et puisque les éléments L 1 (u) parcourent l'espace L 2 (D) tout entier lorsque u parcourt W2~O (D), il s'ensuit de là que v = w, c'est-à-dire que v appartient bien à W2~O (D) et f = L~ (v). , On a donc démontré que l'opérateur L~, adjoint de l'opérateur non borné L 1 de L 2 (D) dans L 2 (D) et défini sur l'ensemble 3J (L 1 ) = W2~O (D), est également défini sur W2~O (D) et agit Sur les éléments de W 2~ 0 (D) en vertu de (480). L'opérateur L (u) ne différant de L 1 (u) que par un terme additif Âou auquel correspond un opérateur borné, on a 9J (L) = ~ (L 1) = W2~O (D), ~ (L*) = = 9J (L~) = W2~O (D) et l'action de l'opérateur L* sur W2~O (D) est définie par (480). Rem a r que. Quand on dit que l'opérateur différentiel L* est défini par (480), on entend par là la méthode de calcul de L* (u) sur les fonctions u (x). Il faut distinguer cette notion de la notion d'opérateur adjoint d'un opérateur non borné L engendré par un opérateur différentiel L. Dans ce cas il faut indiquer le domaine de définition de l'opérateur différentiel L et trouver le domaine de définition de l'opérateur adjoint. Revenons à l'étude des opérateurs L et L* ainsi que des opérateurs L 1 = L - ÂoE et L! = L* - ÂoE, définis sur W~,o (D) de l'espace L 2 (D). Montrons que l'opérateur adjoint de l'opérateur L-~ de L 2 (D) dans L 2 (D) est l'opérateur borné (L1)-1, c'est-à-dire que

(L-D* = (L1t 1 et 9J«L1)-1) = $«L-D*) = L 2 (D). Ceci résulte immédiatement de faits déjà connus et notamment de ce que l'opérateur L 1 et son adjoint Li mettent en correspondance biunivoque l'espace ~ (L 1 ) = ~ (L~) = W2~O (D) et l'espace L 2 (D) tout entier et vérifient l'identité (481 1) pour tous u, v E W 2~ 0 (D). Lorsque u et v parcourent W2~O (D), les opérateurs L 1 (u) et L 1 (v) parcourent l'espace L 2 (D) tout entier. Désignons L 1 (u) par (C), L~ (v) par 1j), .et mettons l'équation (481 1) sous la forme

(cp,

(L~t11j)

=

(L-~cp, 1j).

11-2-56. LA R:eSOLu:aILIT:e AU SENS DE FREDHOLM

451

Cette égalité 'étant valable pour tous !p, '" E L 2 (D), elle traduit lefait que (L-~)· est égal à l'opérateur borné (L~)-l dans L 2 (D). 'Revenons maintenant au problème (474) et aux problèmes (475)" (477) et (478) qui lui sont reliés. L'opérateur L-i étant complètement continu dans LI (D), ses valeurs propres sont confondues avec celles de son adjoint (L-~)*, c'est-à-dire avec O-k - Âo)' autrement dit l'équation v = ( - Âo) (L-D* (v) (482)\ n'admet des solutions non triviales que pour  =  k , k = 1, 2, . . .' (on rappelle qu'on s'est limité à l'étude des  réels). A chaque Âlt est associé un nombre fini de solutions non triviales Vk de l'équation (482), égal au nombre des solutions linéairement indépendantes del'équation (477) correspondant au même  k • En d'autres termes,. les valeurs propres  k - Âo des opérateurs L-~ et (L-i)* ont mêmemultiplicité. Comme (L-D* = (L~)-\ l'équation (482) équivaut a,a système L~ (v) = ( - Âo) v, vis = 0, qui n'est autre que le système L * (v) = Âv, vis = 0, (483) dont les solutions sont des éléments de W2~O (D), l'opérateur diffé-: rentiel L* étant défini par (480). Donc, le spectre réel des opérateurs L et L* pour la condition aux limites du problème de Dirichlet est au plus dénombrable, chaque valeur propre  k est de multiplicité; finie et les seuls points limites de { k } sont  = + 00. Mais le; théorème 2 du [11-2-55] nous dit que pour  ~ Âo, le problème (478), ne possède pas de solutions non triviales, donc tous les Âk < Âo~ Si nous avions dès le départ envisagé un espace hilbertien complexe L 2 (D) et le problème (474) avec des Âcomplexes, alors en appliquant les théorèmes de Fredholm à l'équation (475) nous aurions déduit que le spectre des opérateurs L et L* est composé d'un nombre, au, plus dénombrable de valeurs propres ayant chacune une multiplicité finie. Des estimations relativement simples du type de celles d& [II-2-52] montrent que le spectre est compris dans une parabole d~ la forme Â"2 = al (a 2 - Â'), où ai sont des nombres réels qui se dé.... terminent sans peine à l'aide de la constante d'ellipticité '\1 et des majorants .... i des coefficients de L, ceci étant, al > 0 etÂ' etl'~ sont les parties réelle et imaginaire de  (Le.  = Â' + iÂ'").. Uneanalyse plus poussée montre que le spectre du problème (474) est: constitué d'un nombre infini de valeurs propres {JI'kl k~l et Re Â.k ~. ~ - 00 pour k ~ 00. Ceci a été étab~i par Carleillan (cf. [II-2~45I) ..\ Au numéro suivant on démontrera cette proposition pour un opé-;. rateur symétrique L, c'est-à-dire lorsque L* = L ou, ce qui est. équivalent, lorsque bi (x) === O. Pour l'instant on se propose de prou-· ver le troisième théorème de Fredholm pour le problème (474)~ 29*

452

CH. ,II. PROBLIlMES AUX LIMITES

Supposons que dans ce problème  est égal à une valeur propre  k • Si ce problème admet une solution u pour f E LI (D) (dans la suite toutes les solutions sont supposées appartenir à W2~O (D)), alors en multipliant la première équation (474) par une fonction arbitraire v E W2~O (D) et en intégrant ensuite sur D, on peut transformer le résultat de la manière suivante:

J

L (u) vdx=

J

uL* (v) dx=Â.

J Jt uvdx+

vdx .

Si v est confondu avec une solution Vk du problème (483) avec =Âk , alors cette égalité devient

Â

=

(484)

) fVkdx=O, D

et par suite elle est nécessaire pour que le problème (474) admette une solution. Montrons que la condition (484) est également suffisante. En effet, le troisième théorème de Fredholm appliqué à une équation pour un opérateur complètement continu L-~ nous dit qu'une condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (475) admette une solution dans L'J, (D) est que

O=(L~l(f), vk)=(f, (L~l)* (v,J)=

Â. f Â. k- 0

(f, Vk)'

où Vk est une solution de (482) avec  = Âk • Or le problème (482) est équivalent au problème (483) avec  = Âk et leurs solutions sont confondues, de sorte que cette condition n'est autre que la condition (484). Cette condition est de la même forme pour les Âk complexes. Récapitulons ce que nous venons de démontrer sous la forme du Thé 0 r ème 1. Si les hypothèses du théorème 2 du numéro précédent sont remplies pour L et D, alors le problème (474) admet une solution unique dans wto (D) quelle que soit f E L 2 (D) pour tous les l'réels sauf pour un nombre au plus dénombrable de Âk , k = 1, 2, ... , qui constituent les valeurs propres réelles du spectre de L dans D pour la 'Condition aux limites du problème de Dirichlet. Le problème homogène (478) admet des solutions réelles non triviales pour ces valeurs Âk et pour elles seules et à chaque Âk est associé un nombre fini de solutions linéairrement indépendantes du problème (478). L'ensemble {Âk } est composé de valeurs propres qui sont les valeurs propres réelles du spectre du problème adjoint (483), lesÂkétantde même multiplicité que dans le problème (478). ~es valeurs Âk , k =1, 2, ... peuvent être rangées par ordre' de décroissance et le seul point d'accumulation de {Âk } est·Ze point 1= -' 00. Une condition nécessaire et suffisante pour que le problème (474) (J,l)ec  = ,Â"l possède une solution unique est que soit réalisée, la condi';'

453

11-2-56. LA USOLUBlLIftAU. SBNS DE :PJUmBOLM

tion (484) d'orthogonalité de f à toutes les solutions du problème homogène adjoint (483) avec le même Âk • Sous ces conditions la solution géNil.

nérale du problème (474) est u =

Uo

+ ~CtUkt' où Uo est une solution ~1

particulière du problème (474), Ch des nQmbres arbitraires et Uk t ' i = 1, ... , N k , les solutions du problème (478) avec ÂIl, Ce théorème exprime l'un des énoncés de la résolubilité au sens de Fredholm du problème de Dirichlet (474). Comme indiqué plus haut, le problème (474) s'étudie de façon analogue pour les  complexes. La condition de résolubilité du problème (474) pour ÂIl complexes est de la même forme que (484). Il est utile de remarquer que pour les solutions du problème (474) on a Il u Il 2 ~ c). Il f Il, (485) pour tous les  =1= À k , k = 1, 2, ... , la constante C). dépendant des coefficients de L, du domaine D et du  considéré. Pour les  vérifiant la condition (420), on aurait pu expliciter C). en fonction de caractéristiques relativement simples du domaine D et des para~ mètres ~, t-'t et 'Â. Dans le cas général, lorsqu'on sait seulement que  =1= Âkt' k = t, 2, on peut affirmer l'existence de la constante C,,-, mais sans pouvoir l'expliciter. Il est clair que C,,- tend vers l'infini lorsque  tend vers une valeur propre de {ÂIl}. Signalons qU& la détermination des valeurs propres ÂIl pour un L et un D concrets donne lieu à des calculs assez compliqués. Le théorème t de ce numéro et le théorème 2 du numéro précé~ dent entraînent le

v,

0

•

0'

Thé 0 t ème 2. Si les hypothèses duthéotème 2 du numéro précédent sont remplies pour L et D, alors toute solution distributionnelle du problème (474) de classe ~ (D) est un élément de W2~0 (D). En effet, supposons qu'une fonction u est une solution distributionnelle du problème (474) de classe ~ (D), c'est-à-dire appartient o à ~ (D) et vérifie l'identité (407) pour toute fonction Tl E ~ (D) .. Mettons l'identité (407) sous la forme 0

L (u, 1J) =

+

-

J

(Aou

+ F) 1J dx.

(486)

où F = f ( - Âo) u. Prenons le nombre  o assez grand pour que soit réalisée l'inégalité (420), inégalité qui assure l'existence d'une solution unique du problème (474) avec  - Âo, c'est-à-dire du problème L (v) = Âov + F, v lB -:- 0, (487) la fonction F - f ( - Âo) u étant une fonction connue (puisqueu • est par hypothèse une solution connue qe W~ (D». Il est manifeste

+

454

'CH. II. PROBL~MES AUX LIMITES

que F E L 2 (D). En vertu de (486), la fonction u est une solution d.istributionnelle du problème (487) de classe ~ (D) pour F = f (À - Ào) u. D'autre part, le théorème 2 du numéro précédent nous dît que le problème (487) admet une solution unique dans la classe W 2: 0 (D) (le premier théorème de Fredholm a lieu grâce à (420». En vertu du théorème 2 de (l1-2-52J cette solution doit nécessairement être confondue avec la solution distributionnelle étudiée u o de ,~(D), donc u est u,n élément de W2~O (D), c.q.f.d.

+

+

]1-2-57. Sur le spectre d'un opérateur symétrique. Considérons -des opérateurs différentiels symétriques L de la forme (402), c'està-dire des opérateurs tels que L = L* (l'adjoint L* de L au sens de Lagrange est défini par (480»: L (u) =

f)~i (ai1~ :~

)

+ cu.

(488)

Posons le problème

L (u) = Àu,

u 1s

= 0,

(489)

dans un domaine borné Den admettant que léS coefficients de L et le domaine D remplissent les conditions du théorème 2 de [1I-2-55l. Des résultats prouvés au numéro précédent, il s'ensuit que l'adjoint d'un opérateur non borné L défini sur un ensemble :2J(L) = W2~o(D) dense dans L 2 (D) par (488) est cet opérateur lui-même défini sur le même ensemble W2~O (D). On dit dans ce cas que l'opérateur Lest hermitien (ou auto-adjoint) et on note ceci par L = L*. La forme quadratique correspondant à L s'écrit:

L (u, u)

= -

)

L (u) u dx =

D

)

(aikuxiuXk - cu 2) dx.

D

Comme par hypothèse -c(x)~-. J!3' on a pour ÂO=l-t3 LI (u, U) E = -

)

(L- Ào) (u) dx =

D

=L(u, u)

+Âol/uIl 2 >v )

u~dx>vCÏllluIl2t (490)

D

où CD > 0 est la constante de l'inégalité (423) [11-2-52]. En vertu des résultats de (11-2-55], l'opérateur LI == L o - ÂoE admet un réciproque L~l qui est complètement continu, hermitien de, L 2 (D) dans L 2 (D). Donc, il est justiciable des théorèmes prouvés au (tome IVI , [1-30 à 1-36]). Plus exactement, son spectre est composé d'un nombre au plus dénombrable de valeurs propres réelles que l'on désignera par I1k, k = 1, 2, ... A chaque I1k correspond un nombre fini de solutions linéairement indépendantes de l'équation L;l Uk = J!kUkt (491)

455

II-2-57. SUR LE SPECTRE D'UN OP:eRATEUR SYM:eTRIQUE

°

qui sont des éléments de L 2 (D). L'opérateur L-~ étant inversible, le nombre !..t = n'est pas un point de son spectre (c'est-à-dire qu'aucun !..th n'est nul), donc il existe une infinité de valeurs propres !..tA distinctes. Des propriétés de L-~ il s'ensuit que Uh E W2~O (D) et tout UA est solution du problème 1

L 1 u=-u,

U

fL

18=0,

(492)

pour !..t = !..th et, réciproquement, toute solution du problème (492) appartenant à W2~ 0 (D) est solution du problème (491). Le problème (492) n'est autre que le problème (489) correspondant à Îv = = Îv o !..t _1. De l'inégalité (490), il s'ensuit que les !..th '< et -!..th ~ V-1CV • En effet, pour U = Uk, l'inégalité (490) nous donne

°

+

L l (u h ,

Uh) =

-.

--!-.II Uh I/2~vCÏlll Uh 1/2. fLk

En vertu toujours des propriétés établies au (tome IV1 , (1-30] à '(1-36]) pour les opérateurs symétriques complètement continus, les valeurs propres !..th, k = 1, 2, ... peuvent être supposées numérotées dans leur ordre de croissance. Par ailleurs, dans la suite {!..th} h CX\ il est commode de faire figurer chaque valeur propre en un nombre .d'exemplaires égal à sa multiplicité et d'associer à chacune d'elles une fonction propre Uh normée dans L 2 (D), ces fonctions devant être choisies de manière à être deux à deux orthogonales. D'après ce qui vient d'être dit, on peut a dmettre que

-v_1CV

~ !..tl ~ ft2 ~ •••


"t, qui satisfait la condition initiale homogène pour t = "t u (x, "t; ~, "t) = 0 (30) et les conditions aux limites u (0, t; ~, "t) = Uo (-~, t - "t) ; u (l, t; ~, "t) = Uo (l - ~, t - "t). (301) Dans ces formules, ~ et "t sont figés, et de plus ~ E ]0, l[. De cette définition, il s'ensuit immédiatement que u (x, t; ~, "t) et la fonction de Green dépendent 30·

468

CH. II. PROBUlMES AUX LIMITES

uniquement de la différence a = t - T et l'on peut remplacer u (x, t; ~, l') par u (x, ~, a) et G (x, t; ~, l') par G (x, ~, a). Les conditions (30) et (301) nous donnent les valeurs frontières de la fonction u (x, ~, a) sur le contour de la demi-bande bornée par x = et x = Z(t ~ T) et par le segment [0, Z] de la droite t = T. Ces valeurs frontières sont continues aux sommets de cette demi-bande. Ceci résulte immédiatement du fait que pour x =1= ~ fixe et t -+ T 0, la solution (11) tend vers o. Ces valeurs frontières étant ~O, on peut affirmer qu'il en est de même de u (x, t, a) et par suite en vertu de (29) on a G (x, ~, a) ~ Uo. Pour t = T et x = ~, la fonction de Green présente une singularité caractérisée par celle de Uo. On a Uo ~ et, en vertu de (30), u (x, ~, a) -+ pour a-+ -+ +0, d'où il s'ensuit immédiatement la deuxième inégalité pour la fonction de Green, à savoir G (x, ~, a) ~ O. On démontre que la fonction de Green est symétrique par rapport à x et ~. La fonction de Green nous permet de construire la solution de l'équation de la chaleur avec second membre qui satisfait des conditions aux limites et initiale homogènes, plus exactement, si n (x, t) est une fonction continue dans l'intervalle ]0, Z[ et possède des dérivées premières continues pour t > 0, alors la fonction

°

+

+°

°

°

t

l

w (x, t) = .\ dl' ) G (x,

o

0

ôw

2

~,

a) n

(~,

T)

d~

(31)

est la solution de l'équation 7jt=a

ô2w

ôx 2

+ n (x, t)

qui vérifie des conditions aux limites et initiale homogènes. Tout ce qui vient d'être dit est valable en dimension n. Une démonstration des propositions avancées figure dans le travail mentionné ci-dessus de A. Tikhonov. 11-3-5. Usage de la transformation de Laplace. Nous avons déjà signalée lors de la résolution du système d'équations intégrales (18) qu'on pouvai t user dIa transformation de Laplace. Cette transformation peut être appliquée directement à l'équation différentielle (5). On se servira ici de la transformation unila térale 00

/(s)=) .-stF(t) dt=L 1 (F).

(32)

o Soient données les conditions aux limites (6) et la condition initiale homogène (10). Au lieu de la fonction u (x, t), on cherchera sa transformée de Laplace: 00

0 un nombre arbitrairement choisi. Etant donné que pour tous les k assez grands on a 0 < Âke-~ ha < 1 et que la série (74) converge uniformément, on peut affirmer que la série (75) converge régulièrement si P E lJ et t ~ a. On démontre de façon analogue que la série 00

lJ

akÂ'ke-Âktvk (P),

k=l

obtenue par une dérivation terme à terme de (75) par rapport à t, converge aussi régulièrement sous les conditions indiquées. De là il s'ensuit que u (P; t) possède des dérivées première et seconde par rapport à t continues pour t > 0 et P E jj et pour ces dérivées on a 00

Ut (P ; t)

=

h

-

akÂhe-Âhtvk (P) ;

k=l 00

Utt (P ; t) = ~ ahÂke-Âhtvk (P). k=l

Ce raisonnement est valable pour n'importe quelle dérivée de par rapport à t. Or

U

Vk(P)=Â k ) )G(P; Q)vk(Q)dS, .

B

où G (P; Q) est la fonction de Green pour l'opérateur de Laplace correspondant à la condition aux limites (71), donc la formule (76 1 ) peut se mettre sous la forme 00

udP; t) =

-

~

) ) ahÂke-Âk,tG

k=l

(P ; Q) v k (Q) dS.

B

La série (76 2) étant uniformément convergente dans B pour t > 0 on peut intervertir la sommation et l'intégration et l'on obtient udP; t)= - ) )G(P; Q)Utt(Q; t)dS,

(77)

B

et de façon analogue u(P; t)= - ) .\G(P; Q)udQ; t)dS.

(78)

B

La fonction Utt (Q; t) est continue dans Ë pour t > 0 et de (77) il s'ensuit que Ut (P; t) possède à l'intérieur de B pour t > 0 des dérivées premières par rapport à x et y continues. Par ailleurs, la formule (78) montre que u (P; t) possède dans B pour t > 0 des déri-

478

PROBL~MES

CH. II.

AUX LIMITES

vées du premier et du'second ordre continues et est solution de l'équation tJ.u (P; t) - Ut (P; t) = 0, ce que nous voulions.

II-3-S. Equation avec second membre. Considérons maintenant l'équation avec second membre Ut U xx u YlI = n (x, y; t) (79) avec les conditions aux limites et initiale homogènes lim u= 0; (80) t-+o

ulz=O.

(81)

Considérons lES coefficients de Fourier du second membre n (x, y; t) bk (t) =

~ ~ n (P ;

t) Vk (P) dS

(82)

B

et cherchons la solution du problème sous la forme 00

2J

u(P; t)=

(83)

Ck(t)Vk(P).

k=1

En portant u (P; t) dans l'équation (79) et comme L\Vk = -Â'kVht on obtient pour les coefficients Ck (t) l'équation différentielle Ck (t) = -ÂkCk (t) b k (t),

+

=

0, on obtient

(t') dt'.

(84)

d'où, compte tenu de (80), c'est-à-dire que Ck (0) t

Ch

(t)

=

J

e),k(t'-t>b,; (t')

dt' ,

o et en portant ceci dans (83), on trouve t

00

U

(P ; t) = ~

Vk

(P) )

. k=O

e'J..kw-t)b k

0

Montrons que cette formule nous donne bien la solution sous les conditions suivantes sur le second membre: n (P; t) possède dans B pour t ~ 0 des dérivées premières par rapport à x et y continues et les séries 00

~ bk (t) v k (P);

k=1

00

~ bk (t)

h=\

00

ÂkV k

(P) ;

LJ

k=1

bk (t) Â~Vk (P)

(85)

convergent régulièrement si P E B et t E [0, TI. La première des séries (85) étant régulièrement convergente et 0 ~ éMt'-t) ~ 1 pour

47~

II-3-S. EQUATION AVEC SECOND MEMBRE

t' E [0, tl, on peut affirmer que la série du second membre de (84) converge uniformément sous les conditions imposées à P et t. Sa somme u (P; t) est une fonction continue de P et de t pour P E B et t E [0, Tl. La forme du second membre nous montre que u (P; t} vérifie les conditions (80) et (81). Il reste à vérifier que la fonction u (P; t) définie par la formule (84) possède dans B pour t > les dérivées requises continues et satisfait l'équation (79). Une dérivation de la série de la formule (84) terme à terme par rapport à t nous donne

°

00

t

00

~ bk (t) v k (P) - ~ k=l

ÂhV k

(P) ~ i'kW-t)b k (t') dt'.

h=l

0

La deuxième série (85) étant régulièrement convergente, la sé00

rie

2i

ÂhVh

(P) converge uniformément pour P

EÏ3 et tE [0, Tl. La

k=l 00

somme de la série

2i

h=l

bk (t) vh (P) est égal~ à .il (P ; t), car cette

série converge régulièrement par hypothèse (tome IV l , [1-31]) .. Donc t

00

Ut

(P ; t) =:Tt (P; t) - ~ v h (P) Â h ~ i'kW-t)b k (t') dt',

(86)

0

k=l

Ut (P; t) est continue pour P E B et t E [0, Tl. En remplaçant P par Q dans cette formule, en multipliant ses deux membres par G (P; Q) et en intégrant sur B, on obtient, compte tenu de l'équation intégrale pour Vk (P) :

où

JJG(P; Q)u,(Q; t)dS= B t

00

= SSG (P ; Q) n (Q ; t) dS - 2} B

.

k=l

v k (P) ~ e"'kW-t)b k (t'>.dt', 0

la somme de la dernière série étant égale à u (P; t). Donc u (P ; t) =

- ~ ~ G (P ; Q) ut{Q ; t) dS + ~ ~ G (P ; Q) n (Q ; t) dS. B

B

(87) Comme :Tt (Q; t) possède dans B des dérivées continues, il vient que la dernière intégrale possède des dérivées premières et secondes par rapport à x et y continues dans B et l'opérateur de Laplace de cette intégrale est égal à -:Tt (Q; t).

480

CH. II. PROBLE:MES AUX LIMITES

Mettons maintenant à profit la convergence régulière de la troisième série (85) pour prouver que u (P; t) possède dans B des dérivées premières et secondes continues et satisfait l'équation (79). Posons t

00

w(P; t)= -Ut(P; t)+n(P; t)= ~ Vk(P)Âk~i·k(t'-t)bk(t')dt'. k=l

. 0

La troisième série (85) étant régulièrement convergente, on peut dériver terme à terme par rapport à t la série uniformément convergente ci-dessus: 00

00

Wt (P: t) = ~

(t)

Âhb k

Uk

(P) - ~

k=l

Uk

(P) Â~ ~ i'k(t'-t)b k (t') dt', 0

k=l

les séries intervenant dans cette formule étant uniformément convergentes. En remplaçant P par Q dans la dernière formule, en multipliant ses deux membres par G (P; Q), en intégrant par rapport à Q et en tenant compte de l'équation intégrale pour Uk (P), on ~btient

5~ G (P: Q) wdQ; t) dB = B 00

t

00

= ~ bk (t) U k (P) - ~ U k (P) k=l

k=l

Âk

~ eJokW-t)bk (t') dt', 0

donc, en vertu de (86), il vient

ut< P

; t)

= ) ~ G (P ; Q) wt{ Q ; t) dS, B

d'où il s'ensuit que Ut (P ; Q) possède dans B des dérivées premières continues. La formule (87) montre que U (P; t) possède dans B des dérivées premières et secondes continues et satisfait l'équation !1u (P; t) -

Ut (P; t)

= n (P; t),

ce qui prouve la formule (84). Si l'on ne considère que les solutions distributionnelles de l'équation (79), on peut légitimer cette formule pour des conditions moins astreignantes sur le second membre. Rappelons la définition d'une solution distributionnelle de l'équation (79). Soient D le cylindre mentionné dans [11-3-11, DT la partie de ce dernier limitée supérieurement par le plan t = T. On dit qu'une fonction u (P; t) est une solution distributionnelle de l'équation (79) si toute fonction (J (P; t) possédant dans DT des dérivées premières et secondes continues et

481

II-3-9. SOLUTIONS DE L'11:QUATION DE LA CHALEUR

s'annulant dans un voisinage de BD T est justiciable de la formule

~ ~ ~U(Œxx+ Œyy+Œt)dxdydt= DT

-

J'.\ InŒdxdydt.

(88)

DT

On se bornera à étudier les solutions distributionnelles de la classe C (D T). Supposons que la première série (85) converge régulièrement si P Effet t E [0, Tl. Alors la somme de cette série est égale à n (P; t) et nous avons vu plus haut que la série (84) converge uniformément, de sorte que U E C (D~). Désignons par nn (P; t) la somme partielle de la première série (85) : n

nn (P ; t)

= ~ bk (t) Vh (P), k=1

et par Un (P; t), la somme partielle de la série (84): n

Un (P ; t) = ~ h=l

t Vh

(P) ~ e?-"k 0, d'où il s'ensuit que l'intégrale considérée converge uniformément sur l'intervalle [0, t] par rapport au A B x paramètre x = x' + x "i pour tous les x complexes assez proches de X o et, d'autre part, l'intégrant de cette intégrale est une fonction F1Og • 15 entière de x pour 't E [0, tL De là il résulte que cette intégrale est une fonction holomorphe de x au voisinage de tout point (x, t) intérieur à ABCD (tome 111 2 , [I1I-16]) et en particulier du point M. On peut en dire autant de la deuxième intégrale de la formule (90). Donc, les solutions de l'équation (89) sont des fonctions analytiques de x.

Cette assertion est mise en défaut pour la variable t. En effet, si toute solution u (x, t) de l'équation (89) était une fonction analytique de t, alors les valeurs de u (x, t) sur toute droite d parallèle à l'axe des t et appartenant à la demi-bande de la figure 15 seraient entièrement définies, en vertu du principe du prolongement analytique, par les valeurs que u (x, t) prend sur le segment de d compris dans ABCD. Or ceci est impossible, car les valeurs de u (x, t) dépendent manifestement du procédé qui a servi à prolonger les fonctions 001 (t) et Cù2 (t) données initialement seulement sur les segments AD et BC des droites x = 0 et x = 1. Jusqu'ici on a supposé que f (xo) 0 sur ]0, lL Si f (xo) =;É 0 on peut prolonger cette fonction à un intervalle [a, b] plus large de

==

II-3-9. SOLUTIONS DE V:eQUATION DE LA CHALEUR

483

sorte qu'elle soit nulle en a et b et ensuite la prolonger par 0 au delà de cet intervalle. Composons la différence (~-X)I

b

U-

1

\

2 V nt.

f (~) e-

. 4t

ds.

a

Cette différence est nulle sur le segment AB et elle est justiciable des raisonnements ci-dessus. Il reste à considérer la solution ua (x, t) = 2 ~ nt

(~-X)I

b

Jf (~)

e-

4t

ds.

a

En appliquant le théorème relatif à une intégrale dépendant d'un paramètre (tome II1 2 , [III-16J), on voit que Ua (x, t) sera une fonction régulière de (x, t) au voisinage de tout point situé au-dessus de l'axe t = 0, c'est-à-dire pour t > O. Signalons encore que la formule (90) nous dit que la fonction U possède des dérivées de tout ordre par rapport à t pour x E JO, ZL Il est possible de majorer les dérivées de la solution de l'équation (89) par rapport à t. Supposons que U (x, t) est analytique en x, possède des dérivées de tout ordre par rapport à t au voisinage de x = t = 0 et est impaire en x. On a alors le développement de Maclaurin U

=

t x + 3! x

U1 ( )

Us

(t)

3

+ . . • + (2n U2n+l (t) 2n+1 + + 1)! X •• • ,

(91)

où (n=O, 1,2, ... ).

L'équation (89) nous permet d'écrire U 2n +I

(t)

=

an ( au ) atn ax x=o

=

dnUl (t) dt n •

(92)

Si p > 0 est strictement inférieur au rayon de convergence de la série (91), alors on a l'inégalité (tome 111 2 , [IV-3D u2n+1 (t)

1(2n+ 1)1

1

~

M pn ,

où M > 0 est un nombre arbitraire. De (92) on déduit la majoration suivante pour les dérivées de Ul (t) : dnul (t) I:s:::: M (2n + 1) ! pn • 1 dtn -...;:::: Cette majoration n'assure pas l'analyticité de la fonction Ut (t). Si nous avions la majoration plus forte dnUl (t) I:s:::: M·nl 1 dt n -...;:::: pn , 81*

484

CH. II. PROBLi!.:MES AUX LIMITES

alors la série de Maclaurin de la fonction U1 (t) aurait été convergente et cette fonction, régulière au voisinage de l'origine. II-3-10. Potentiels de simple et de double couche généralisés en dimension un. Au [11-3-2] nous avons résolu un problème aux limites pour l'équation (5) dans une demi-bande limitée inférieurement par la caractéristique t = 0 et latéralement t par les droites x = 0 et x = l. Considérons maintenant un domaine du plan (x, t), limité inférieurement par la caractéristique t = b et latéralement par les courbes li d'équations (fig. 16) 4 1

b'\

x = 0'1 (t) ;

o

x = 0'2 (t) [0'1 (t)


0 un nombre donné. Choisissons Ô > 0 assez petit pour que l 'li' (t') - 'li' (to) 1 ~ e pour 1 t' - t o 1 ~ ô, et partageons l'intervalle d'intégration [b, t) en deux parties lb, t o - ô] et [to - ô, t). La fonction exprimée par l'intégrale étendue au premier de ces intervalles est continue en (x o' t o)' il suffit donc de montrer que l'intégrale .

est assez petite quel que soit (x, t) assez proche de (x o, to) ou confondu avec lui. Le module de cette intégrale est ~ à

rJt

e 2a vrn

,

lx-a (t )1 e -

[0'(t')-x]2 4a 2 (1-1')

(t- t')3/2

dt' •

to-6

Supposons que la différence x - cr (t') change de signe k fois au plus, où k > 0 est un entier bien défini, pour t' E [to - Ô, t] et quelle que soit la position du point (x, t) dans un voisinage de (x o' to). Sous ces conditions l'intégrale t

~

lx-a

(t') 1

(t- t')3J2

e

-

[0' {t')-x]2 4a2 (t-I')

dt'

10- 6

se représente par la somme de k intégrales au plus de la forme [0' (t')-x]2

x-a (t') (t- t')3/2

e

4a 2 (t-t')

dt'

487

II-3-10. POTENTIELS DE SIMPLE ET DE DOUBLE COUCHE

qUi diffèrent des intégrales x - a (li+l) 2a Vl - li+1

~

+ 4a

x-a

e- z2 dz

par la quantité

(li)

2a Vi-t.l

-2cr' (t') ---==:::-'- e l/ t - t'

[a (l')-x]2 4a 2 (l-l')

dt' ,

qui est ::::;;; en module à une certaine constante. Donc, l'intégrale étudiée reste bornée lorsque le point (x, t) se trouve dans un voisinage de (x o, t o). Cette intégrale est multipliée par 8, donc la démonstration du fait que le premier terme du second membre de la formule (101) est continu lorsque le point (x, t) traverse l en (x o' t o) s'achève exactement comme au [II-2-2]. En se servant des potentiels mentionnés plus haut, on peut ramener le problème aux limites pour le domaine de la figure 16 à une équation intégrale comme on l'a fait au (11-3-2]. Supposons que les conditions sont les suivantes: u = 0 sur la caractéristique t = b et u = Wi (t) sur li. On cherchera la solution sous la forme 2

t) u ( x"

=

1

~

2ayn L.J

t

Jr

[ai (t')-xJ2

'\Ji

(t')

(t-t')3/2

[x - al' (t')] e

4a 2 (l-l')

dt'.

(102)

i=1 b

Sous ces conditions, quelle que soit 'Pi (t'), l'équation (5) est satisfaite avec la condition aux limites supportée par la caractéristique t = b; quant aux conditions aux limites supportées par li' elles nous donnent le système d'équations intégrales de Volterra suivant pour 'Pi (t):

(103)

-ai(t')]e

488

CH. II. PROBLÈMES AUX LIMITES

COllsidérons les intégrales de la première équation t

r (t'\JI (t') t')3/2

J

[al

[a (t)-a (t')] 1

e-

(t')-al (t)J2 4a 2 (t-t')

1

dt' ,

(104)

dt' .

(105)

b

t

r '\J2 (t') J (t-t')3/2

[a2 (t')-al (t)J2 4a 2 (t- t')

[al (t) -a2 (t')] e

b

Dans l'intégrale (104), la singularité pour t' = t est affaiblie par le numérateur durapport (JI

(t) - (JI (t') (t-t')3/2

exactement comme nous l'avons signalé plus haut. Dans la deuxième intégrale, l'exposant de e tend vers - 0 0 pour t' -+ t et ceci fait entièrement disparaître la singularité. On étudie de façon analogue les intégrales de la deuxième équation (103). Donc, le système (103) possède une solution unique et peut être résolu par la méthode des approximations successives. On peut chercher la solution du problème aux limites posé ci-dessus sous la forme d'une somme de deux potentiels de simple couche: t

2

u (x, t)=

, [[a j(t')-x]2 0 la série (133) converge pour la norme de W~, 0 (B) uniformément en t E [e, 00[, où e > 0 est un nombre arbitraire. En effet, en vertu de (1.32) p

jm.

p

(t)

==" k=m ~ (cp,

Uh) eÎ.ktuk (x)

II~ =

p

2J

k=m

Â~e2Âkt (cp,

Uk)2.

Or pour t>e > 0, les fonctions Â~e2Âkt, k = 1, 2, ... sont ~ à un nombre Ce dépendant seulement de e. Donc pour t>8>0, on a p

im, p (t) ~ Ce 2J

k=m

(cp,

U k )2.

Ceci prouve la convergence de la série (133). De cette convergence, il s'ensuit que la somme U de la série (133) est un élément de W~ 0 (B) dépendant continûment de t > 0 pour la norme de cet espacé. 32-01017

498

CH. II. PROBL:E:MES AUX LIMITES

Une dérivation terme à terme de la série (133) par rapport à t nous donne la série 00

2J

h=1

(134)

'Ah ( 0, où 8 > est un nombre arbitraire. On prouve ceci comme plus haut en prenant en considération le fait que les fonctions l 'Ah Ir /"k t , k = 1, 2, ... , pour t ~ 8 > sont ~ à un nombre C e,r dépendant uniquement de 8 et de r. Une pareille convergence de la série (134) garantit l'appartenance de sa somme à wto (B) pour tous les t > 0, et que cette somme est la dérivée distributionnelle par rapport à t de la somme u (x, t) de la série (133) dans les domaines De, T = B X ]8, T[, 8 > O. De tout ce qui vient d'être dit, il s'ensuit que la somme u (x, t) de la série (133) est une solution distributionnelle du problème (126), (127), (128) dans le domaine DT = B X JO, T[ de la classe mT dont les éléments v (x, t) sont doués des propriétés suivantes: ce sont des éléments de L 2 (B) dépendant continûment de t E [0, Tl pour la norme de L 2 (B) ; ils possèdent une dérivée distributionnelle Vt (x, t) dans DT et de plus v (x, t) et Vt (x, t) sont des éléments de W~. 0 (B) dépendant continûment de t E JO, Tl. La somme u (x, t) de la série (133) est solution de l'équation (126) pour tout t > et pour presque tous les x E B. Elle satisfait la condition aux limites (127) en ce sens que pour t > elle est un élément de W;,o (B). La condition initial e est vérifiée «en moyenne»:

°

°

°

" u (x, t) -

0, cette solution est douée de la régularité requise pour la déduction de l'inégalité énergétique (124), donc elle est justiciable de la majoration ) v 2.dx ~ eC l(t B(t)

e)

)

B(e)

V2

dx

(136)

II-3-t3.

M~THODE

pour tout 8 E JO, t[ et t E [8, TJ. En faisant tendre 8 vers que v 2dx -+' pour 8 -+ 0, on s'assure que v (x, t)

j

499

DE FOURIER

°

°

==

et du fait O. Ce qui

B(e)

prouve le théorème d'unicité. Si l'on soumet {fJ (x) à des conditions subsidiaires, alors la série (133) convergera plus vite, et sa somme sera douée de meilleures o propriétés différentielles. Si, par exemple, {fJ E W~ (B), alors la o série (133) converge pour la norme de W~ (B) uniformément en • t ~ et sa somme sera donc un élément de ~ (B) dépendant continûment de t pour la norme de cet espace pour tous les t ~ O. En effet, en vertu de (131) et (129), on a

°

p

p

\1 ~

({fJ, Uh) i'htU k

II~ = ~ PI/hl

k=m

({fJ,

Uh)2e2"'kt~

k=m

et 00

~l [ 'l', l"" ~;k 1 J=

['l', 'l' l , o

c'est-à-dire que la série (133) converge pour la norme de ~ (B) o uniformément en t E [0, 00[. Montrons que si {fJ E ~ (B), les séries obtenues par une double dérivation terme à terme de la série (133) par rapport à Xh i = 1, ... , n, convergent pour la norme de L 2 (D T), où D T = B X JO, T[ et T est un nombre fini quelconque. Nous avons bien ceci, puisque T

p

~ Il ~ o

({fJ, Uh) e"'ktuk

1/: dt =

h=m p

=

p

T

~ ~ "-l ({fJ, k=m 0

2

U k )2 e "'k

t

dt~ ~ -} l''-hf ({fJ,

U h )2 -+

0

k=m

pour m, p -+ 00. Cette inégalité exprime que la série (134) est convergente pour la norme de L 2 (D). Enfin, le système {Uk}k 1 formant une base dans W~, 0 (B) (11-2-571, il s'ensuit que si {fJ E Wt 0 (B), alors la série (133) converge uniformément en t E [0, oo[ pour la norme de W; (B) et sa somme est un élément de Wt 0 (B) dépendant continûment de t E [0, oo[ pour la norme de W; (B). La série (134) convergera 32*

CH. II. PROBLÈMES AUX LIMITES

500

pour la norme de L 2 (B) uniformément en t E [0, oo[ et sa somme v (x, t) = Ut (x, t) sera un élément de L 2 (B) dépendant continûment de t E [0, oo[ pour la norme de L 2 (B). Nous avons donc prouvé le théorème suivant: Thé 0 r ème 1. Si les coefficients de l'équation (126) et le domaine B remplissent les conditions du théorème 2 de [II-2-55l, c (x) ;:::= ~ et cp E L 2 (B), alors la solution du problème (126), (127), (128) est donnée par la série (133) qui converge uniformément en t E [0, oo[ pour la norme de L 2 (B); pour t > 0, cette série converge uniformément en t E [8, 00[, où 8 > est un nombre arbitraire, pour la norme de w; (B). La série obtenue par une dérivation terme à terme de la série (133) par rapport à t converge uniformément en t E [0, oo[ pour la norme de L 2 (B). La somme de la série (133) est une solution distributionnelle du problème de classe T (T quelconque) et de plus cette

°

°

:m

o

classe est justiciable du théorème d'unicité. Si cp

E W~ (B), alors la 0,'11-

série (133) converge uniformément en t E [0, oo[ pour la norme de W~ (B) et les séries obtenues par une simple dérivation terme à terme par rapport à t et une double dérivation par rapport à x convergent pour la norme de L 2 (D T), DT = B X ]0, TL Enfin si cp E W~, 0 (B), la série (133) converge pour la norme de W: (B), et la série (134), pour la norme de L 2 (B) uniformément en t E [0, 00[.

iConsidérons encore le problème L (u)

=f

(x, t), u

1ST

= 0,

~ u 1 t-o

= 0,

(137)

où L est le même que dans (126) et f E L 2 (D T)' Ce problème est formellement satisfait par la somme de la série t

00

U (x, t)

= ~ ~ f k Ct) i"k(t-T.) d't Uk (x),

(138)

k=l 0

où fk ('t)

= ~

f (x, 't) Uk (x) dx. Montrons que la série (138) et les

B

séries déduites par une simple et une double dérivations terme à terme par rapport à x convergent pour la norme de L 2 (D T)' de sorte que la somme u (x, t) de la série et ses dérivées U X z• et u Xoxlt appartiennent z à L 2 (D T). Pour cela il suffit de s'assurer que T

jp,

m

== ~ o

m

Il:2}

t

~

k=p 0

fk ('t) e"k(t-T.) d'tuk (x)

Il: dt

(139)

501

II-3-t3. M:E:THODE DE FOURIER

tendent vers 0 pour p, m -+ grâce à (132), on a t

T

m

i p , m = ~ ~ Â~ 1 ~ k=p 0 m

IR (l:) /'k(t-'t) dl: 1 dt~ 2

0

T

t

t

~ ~ ~ Â~ (~ f~ (l:) k=p 0

0

t)

t

T

i in

k=p

f (x,

0

dl:) dt~ m

(l:)

dl:

/'k(t-'t)

dt~ ~

i f~ T

(l:) d't,

k=p 0

0

EL 2 (DT) satisfont les égalités

T

T

f2

i"h(t-'t)

0

~ ~ IÂkl et les fonctions

(i

dl:)

i"k(t-'t)

m

lJ

Ce qui est immédiat, puisque

00.

(x, l:) dx dl:

I~ n

=

00

T

00

i

= ~

(l:) dl:

f'k

(l:) dl:.

oB 0 k=l k=l 0 De la majoration de jp,m il s'ensuit également que la série déduite par une dérivation terme à terme de la série (133) par rapport à t converge pour la norme de L 2 (D). Les sommes finies N

UN

(x, t)

= ~

i t

fk

(l:)

i"k(t-'t)

dl: Uk (x)

k=l 0

satisfaisant (pour presque tous les (x, t) de DT) l'équation L

(UN)

=

N

=

où

fN,

fN

(x, t)

=

~

fk

(t)

Uh

(x), et

fN

convergent vers

f

pour

k=l

la norme de L 2 (D T), la somme de la série (138) sera solution de l'équation (137) pour presque tous les (x, t) de DT' Pour que les conditions initiale et aux limites de (137) soient remplies, il faut que la série (138) converge pour la norme de W~ (B) pour tout t ~ O. En effet, les raisonnements qui nous ont servi à majorer jp,m nous donnent 00

I~

t

~

k=l 0

t

~ IÂ k Il

i

k=l

0

00

fk

(l:)

/'h(t-'t)

dl: Uh (x)

Il: =

00

~~

fk

Ct) i"k(t-'t) dl:

h=l 0

2

t

t

i

1~

f'k

(l:) dl: =

i i If

(x, t) 12 dx dt.

0 B

De là il est évident que pour tout t ~ 0, la somme o élément de W~ (B) et Il U (x, t) 111 -+ 0 avec t. Nous venons de prouver le

U

(x, t) est un

502

CH. II. PROBL:RMES AUX LIMITES

Thé 0 r ème 2. Si L et B remplissent les conditions du théorème 2 [II-2-55], f E L 2 (D T), DT = B X ]0, Tl, alors la solution du problème (137) dans DT est donnée par la série (138). Cette série et les séries déduites par une simple dérivation terme à terme par rapport à t et x et une double dérivation par rapport à x convergent pour la norme de L 2 (D T)' La somme de la série (138) satisfait l'équation (137) pour o presque tous les (x, t) E D T' appartient à W~ (B) pour tout t E [0, T] et " u (x, t) III -+ pour t -+ O. Signalons que les solutions des problèmes de Dirichlet et mixte avec des conditions initiale et aux limites pour l'équation L (u) = = f (x, t) sont données par des séries de la forme (133) et (138) dans lesquelles il faut remplacer Uh (x) par les fonctions propres de L correspondant à la condition aux limites considérée.

°

11-3-14. Deuxième inégalité fondamentale et existence de la solution du problème de Dirichlet-Cauchy. Décrivons une méthode de démonstration de l'existence de la solution du problème (113), (127), (128) dans la classe des fonctions W~, 1 (D T), DT = B X ]0, Tl, composée de toutes les fonctions u (x, t) appartenant à L 2 (D T) avec leurs dérivées distributionnelles Ut, U Xt et u xixk ' Cet ensemble peut être traité comme un espace hilbertien complet muni du produit scalaire (u,

v)~~'.J~ = ..\ (uv + UxV x + UxxV xx + UtVt) dx dt

(140)

DT

(on utilise les abréviations de [II-2-52J et [11-2-53]). Désignons la norme de W;,l (DT) par 11·11 ;~rJ~. L'adhérence pour la norme de W;,l (DT) de l'ensemble de toutes les fonctions de C2 (DT)' nulles sur la surface latérale ST du cylindre D T' est un sous-espace de W;,l (D T) qui sera désigné par W~:~ (D T)' On admettra que le domaine B remplit les conditions du théorème 2 de [II-2-55] et que les coefficients de M satisfont les conditions (114), (115), (116) et ôaih (x, t)

1

at

1::;:::: -..;;::~

(141)

Ils'

Montrons que les opérateurs paraboliques M vérifient une inégalité de nature voisine de l' inégalité (434) de [I -2-53]. Considérons à cet effet l'intégrale

~ (M(u»)2dxd1:= ~ Dt

[U'{-L.(U)]2 dx dl",

Dt=BxJO, t[,

Dt

où L (u) ,

ô = -ôXi (

ih

(x, t)

U Xk ) -

bi (x, t)

U.r; i -- C

(x, t) u,

II-3-14. DEUXI:SlME IN:eGALIT:e FONDAMENTALE

503

et U (x, t) est Une fonction arbitraire de C2 (D T), nulle sur ST. Transformons cette intégrale à l'aide de la formule d'intégration par parties (107) de [1-2-19J:

l

[u~ + (L (U))2 + 2aihuXhuxit +

(M (U))2 dx dT: = )

Dt

Dt

+ 2 (biu Xj + cu) u,J dx dT: =

l [u~ +

(L (U))2+.

Dt

+ :1:

(aihUXiuXh) -

Ô;~h

UXiU xh + 2 (biu Xi

+ cu) UT] dx dT:.

(142)

De cette égalité et des conditions (116) et (141), on déduit

l

aihuXiuXh dx+

~ [u~ +. (L (U))2J dx dT:~ ~ Dt

B(t)

+ Cl ~

aihUXjUXk dx+

B(O>

[eui + (1 + e- i ) (ui + u 2)J dx dT:

+~

(M (U))2 dx dT:,

(143)

~

Dt

inégalité dans laquelle la constante Cl ne dépend que de !L2 et !Ls. ~ > 0 est un nombre arbitraire et B (t), B (0) désignent respectivement les bases supérieure et inférieure de Dt. Utilisons maintenant l'inégalité (452) de [II-2-53J. Cette inégalité et la condition (114) nous permettent de déduire de (143) l'inégalité v

~ u~dx+ ~ [u~+ B(t)

:2 (uix+U~+u2)J dxd-r~

Dt

~ f-t ~ U~ dx + C2 ~ [eu~ + (1 + e- i )

(ui + u 2)J dx dT:

+

Dt

B(O)

+ ) (M (u))2dx dT:,

(144)

Dt

où la constante C 2 dépend de v, f-t, f-ti et du domaine B. Faisons e = (2C 2)_1 dans (144). Une majoration grossière de (144) nous donne

~ u~ dx + ~ (2u~ + uix + u~ -+- u2) dx dT:~ B(t)

Dt

~C3[ ~ u~dx+ ~ (u~+u2)dxdT:+ ~O)

Dt

l

Dt

(M(U))2 dx d-rJ.

(145)

·CH. II. PROBUlMES AUX LIMITES

504

L'inégalité

u2dx~ ) u 2dx+) (u~+u2):d't,

) B(t)

(146)

Dt

B(O)

qui se déduit aisément à partir de la formule de Newton-Leibnitz pour u 2 (x, t) à l'aide de l'inégalité de Bouniakovski-Schwarz (cf. (198) [1-2-27]) nous permet de tirer de (145): )

J(ui + u~:c+u~ + u 2) dx d't~

(u~+ u 2) dx +

Dt

B(t)

~c~ [) (U~+U2) dx+ ) (U~+U2) dx dl' + Dt

B(O)

) (M (U»2 dxd't

J.

(147)

Dt

Le lemme de [1-2-27] nous permet de déduire toujours de (145) la majoration désirée )

(u~ + u 2) dx + ) (u~ + u;~ + ui: -t- u 2) dx dl' ~ Dt

B(t)

~ C~eC4t

[i

(U~ + u 2) dx +

B(O)

i

(M (U»2 dx dl'

J

(148)

Dt

(la marche est presque la même que pour (124». L'inégalité (148) n'est autre que la deuxième inégalité énergétique pour les opérateurs paraboliques M pour la condition (127). Cette inégalité a été établie pour toute fonction u (x, t) E C 2 (DT)' nulle sur ST. Montrons que pour de telles fonctions les intégrales () (u~ u 2 ) dx t E

f/2,

+

B(t)

Il u 1I~~'ri~. Considérons à cet effet une régulière, égale à 1 pour tE [~ , T et à 0

E [0, Tl, sont majorées par fonction X (t) ~ pour t E [ 0, ~

i

°

J et utilisons

J

les égali tés

t

(u~ + u 2) X dx =

i i :,; [(ui: +

u 2) xl dx dl' =

0 B('t)

B(t)

=)

(2u x u x -rX + u~X'

+ 2uu-rX + u 2x') dx dl' =

Dt

= ) ( - 2u't~uX Dt

+ uix' + 2uu-rX + u X') dx dT. 2

11-3-14. DEUXUlME INÉGALITÉ FONDAMENTALE

De là il s'ensuit pour tE [

~ ,

TJ :

~ (ui+u 2) dX~C5 ~ (u~+u~x+u~+u2)dxd't'. B(t)

505-

DT

(149)1

J.

On établit une inégalité similaire pour tE [0, ~ La démonstra-tion est la même sauf qu'il faut remplacer la fonction X (t) parune fonction régulière positive égale à 1 Sur [0, ~ ] et à sur-

°

[3{ , TJ.

Grâce à cela la norme

équivalente à la norme "u

11* = max [~ O~t~T

(ui

B(t)

1I·1I~~·~~ de w~: 6(DT) est-

+ u 2) dx f /2 + Il u II~~'~~.

(150).

Ce fait et l'inégalité (148) prouvée pour les u E C 2 (D T), nuls surS T' entraînent la validité de (148) pour tout élément u E W~:6 (D T). Cette inégalité permet de prouver l'unicité de la solution du problème (113), (127), (128) quelles que soient f (x, t) E L 2 (D) et cp (x) E o E w~ (B), en utilisant la méthode de prolongement par rapport au paramètre ([11-2-55] et le théorème 2 de [11-3-131). Plus exactement,. il nous faut considérer les problèmes

==

+

M,; (u) (1- 't') Mo (u) 't'Ml (u) = { ulsT-O, Ult=o-cp, 't'E[O, 1],

f,

(151)1

n

où Mo (u)

= Ut -

2J i=1

UXiX • et Ml (u)

= 111 (u), ainsi que le couple-

t

o

d'espaces hilbertiens ~:~ (DT) et W = L 2 (DT) X W~ (B). L'espaceWest constitué des couples de fonctions {f (x, t) ; cp (x)} et est muni du produit scalaire

(ff;

cp},

ft; ~})w =

l ff

dx dt

+ l (CPxq;x + cp~) dx.

DT

B

Les problèmes (151) peuvent être interprétés comme une familled' équations opératorielles A'( (u) = {f; cp},

't' E [0, il,

où les opérateurs A'( sont définis par A,; (u) = {M'( (u); u It=o},

't' E [0, 1].

(152} (153}

Les opérateurs A,; sont des opérateurs de W~:6 (D T) dans W. L'unicité· de la solution de l'équation (152) pour 't' = et pour {f; cp} E W quelconques est acquise grâce aux théorèmes de (11-3-131. A partir de

°

CH. II. PROBUiMES AUX LIMITES

là on démontre sans peine l'unicité de la solution de tous les problè;mes (152) quelles que soient {f; cp} E W à l'aide des inégalités «149) et de l'inégalité (148), valable pour tous les M.r;, l' E [0, 1] avec une constante C 4 que l'on peut choisir commune pour tous les l' E E [0, il. Nous glisserons sur cette démonstration, car elle est calquée :sur celle du théorème 1 de [II-2-551. Enonçons seulement le résultat :final: Thé 0 r ème. Si les coefficients ,conditions (114), (115), (116) et (141) et 2 de [II-2-55J, alors le problème (113), .unique dans W~', A0(D T), DT =1= B X lE L 2 (D T) et cp E W~ (B).

de M de (113) remplissent les le domaine B, celles du théorème (127), (128) admet une solution ]0, T[ quelles que soient f E

11-3-15. Equations hyperboliques de forme générale. Inégalité 'énergétique pour le problème de Dirichlet-Cauchy. Les numéros suivants de cet ouvrage seront consacrés au problème de DirichletCauchy pour les équations hyperboliques. Considérons l'équation n

n

M(u)= ~ aikuX'Xk+~ biuxi+cu-Utt=f i, k=l

~

i=l

(154)

f(Jui est de la même forme que dans [1-2-27] dans un domaine DT = = B X ]0, T[ d'un espace euclidien Rn+l (x E B c Rn, t E ]0, TO. Les coefficients de l'équation (154) et le second membre f peuvent -dépendre de (x, t). On supposera que ces coefficients sont des fonctions mesurables bornées sur DT et de plus que aik sont dérivables . , ---at' 8aïk 8aih ( , , 1 t d'IS t rl. ;par rapport a" x et t et 1eurs d'erlvees ~ genera emen butionnelles) sont bornées dans DT' Supposons que f E L 2 (DT)' L 'hyperbolicité de l'équation (154) est assurée par la condition n

aih (x, t) ~i~k~ V

2J sr

(155)

i=l

-dans laquelle v > 0 est une constante, ~i des paramètres réels -arbitraires (on convient comme partout que aik = aki)' Posons le problème de Dirichlet-Cauchy pour l'équation (154) dans le domaine .D T' Ce problème consiste à trouver la solution u (x, t) de l'équation (154) dans DT qui satisfait les conditions initiales

ult=o=cp(x),

utlt....o=,p(x),

xEB,

(156)

:et la condition aux limites u

1 ST

= 0,

ST

= S

X [0, T],

(157)

.où S est la frontière de B. Autrement dit, nous cherchons une solution u (x, t) de l'équation (154) dans B c Rn pour t E ]0, T[ vérifiant

II-3-15. EQUATIONS HYPERBOLIQUES DE FORME GENÉRALE

507

les conditions initiales (156) à l'instant t = 0 et s'annulant sur la frontière de B pour t E JO, TL Montrons que ce problème est bien posé, c'est-à-dire qu'il admet une solution au plus et que cette dernière dépend continûment des conditions initiales et du second membre de l'équation. La continuité est comprise au sens des normes intégrales définies par l'inégalité énergétique que nous allons établir. On prouvera l'existence de la solution du problème (154), (156), (157) au numéro suivant en imposant aux coefficients de l'équation (154) des conditions supplémentaires permettant de construire la solution sous la forme d'une série de Fourier. Dans la suite, on aura affaire à des solutions distributionnelles de la classe W~ (D T). Les éléments U (x, t) de cette classe satisfont l'équation (154) pour presque tous (au sens de Lebesgue) les points (x, t) de DT. Ils appartiennent à W~ (B) pour tous les t E [0, Tl et dépendent continûment de t pour la norme de W~ (B) (c'est-à-dire 1/ U (x, t At) - U (x, t) Il "i,B -+0 pour At -+ 0 et t, t At E [0, Tl). La dérivée Ut (x, t) est un élément de L 2 (B) pour tous les t E [0, Tl et dépend continûment de t pour la norme de L 2 (B). Pour cette raison les conditions initiales seront les suivantes: 11 U (x, t) - fP (x) 1/ ~~)B -+ 0 et Il Ut (x, t) - '" (x) 112,B -+ 0 o pour t -+ 0 et la condition aux limites (157) deviendra U (x, t) E W~ (B) pour tous les t E [0, Tl (pour plus de détails sur les espaces W~, voir tome V chap. IV). On supposera naturellement que

+

+

+

o

fP (x) E W~ (B), '" E L 2 (B).

(158)

L'inégalité énergétique pour les solutions du problème (154), (156), (157) (nous omettrons plus bas le terme « distributionnel », car il sera partout question de solutions distributionnelles de la classe W; (D T) sauf, mention expresse du contraire) s'établit de la même manière que l'inégalité énergétique pour les solutions du problème de Cauchy [1-2-271. Sa déduction est même plus simple ici, car les intégrales étendues à la surface l~térale ST sont nulles en vertu de la condition (157). De nombreuses notations et majorations sont empruntées au [1-2-271. Plus exactement, désignons par K (t) l'intégrale K (t)

=

(aikuxiuXh

)

+ un dx,

B(t)

où B (t o) est la section du cylindre DT par le plan t = t o, et par D tt le cylindre B X JO, t l [, en admettant que t i ~ T. Multiplions l'équation (154) par -2u t et intégrons le résultat obtenu sur Dt: - ) 2M (u) Dt

Ut

dx dt = - ) 2fut dx dt. Dt

(159)

508

CH. II. PROBLÈMES AUX LIMITES

Intégrons le premier membre de (159) par parties en procédant comme suit

:t (Ut)2 dx dt =

) 2UttUt dx dt = ) Dt Dt

~\ ll~ dx B(t)

) 2aikUXiXk . Ut dx dt = ) (2aikUxiUtxk + 2 Dt Dt

-

= Jr r_at()

(aikUXiuXk) -

)

ui dx,

B(O)

~;:

UxiUt) dx dt =

éJai"k ] d a t UXiU xk + 2 éJaik éJxk uxiUt x dt =

Dt

Pour établir ces relations on s'est servi du fait que uls T = 0, donc que Ut IS T = O. La relation (159) équivaut donc à la suivante: K (t)

=

K (0) +

) [ éJ;;h

UXiU Xk - 2

~:~h

UxiUt

+

Dt

+ 2biuxiUt + 2cuut -

2fut ] dx dt.

(160)

L'intégrale du second membre de (160) se majore comme au [I-2-27) (le fait que Dt est un cylindre et non pas un cône importe peu). Nous ne reprendrons pas ici ces raisonnements et écrirons seulement l'inégalité énergétique déduite à partir de (160). Cette inégalité (dont l 'homologue est l'inégalité (201) dans [I-2-271) s'écrit )

(ui

+ aikuxiuxk + u 2) dx~

B(t)

~eCt[ ) (u~+aikuX,uXk + u 2 ) dx+ ) j2dx dt]. B(O)

.

(161)

Dt

La constante C dépend dES coefficients de M, plus exactement du nombre v de la condition (155) et des maximums des modun

les des fonctions éJ:~k, ~ (~:ikk - bi ) et c dans le domaine Dte k=l

Les fonctions du second membre de (161) sont connues à partir des conditions du problème, en particulier l'intégrale étendue

509

II-3-16. M:eTHODE DE FOURIER. :eQUATIONS HYPERBOLIQUES

il B (0) est égale à

l ('1'2 +

aikcpXiCPXk +cp2) dx.

B

De (161), il s'ensuit

l

(uï

+ vui + u

2

)

dx~

Blt)

~ eCt

[ )

('1'2 + ~cpi + cp2) dx

B

+ .\ f2 dx dt],

tE [0, Tl, (162)

Dt n

OÙ

~ est la constante de l'inégalité aiksisk ~ ~ ~

i=l

s~ (de sorte que

!.t est un majorant pour aih). L'inégalité (162) s'appelle aussi inégalité énergétique. On en déduit le

Thé

0

r ème

1. Le problème (154), (156), (157) admet une

solution au plus de W~ (D T) qui dépend continûment des conditions initiales et du second membre. En effet, si Ui (x, t), i = 1, 2, sont deux solutions de W~ (D T) correspondant aux conditions initiales CPi (x), 'Pi (x) et aux seconds membres (aux forces) fi (x, t), i - 1, 2, alors leur différence u (x, t) est une solution du même problème de W~ (D T), correspondant aux conditions initiales cp (x) = CPI (x) - CP2 (x), 'P (x) = 'Pl (x) - 'P2 (x) et au second membre f (x, t) = fI (x, t) - f2 (x, t). Donc, u (x, t) est

justiciable de l'inégalité (162), d'où résultent les deux propositions du théorème. 11-3-16. Méthode de Fourier pour les équations hyperboliques. On se propose de prouver l'existence d'une solution du problème de Dirichlet-Cauchy pour les équations hyperboliques de la forme n

i, h=l

+

Supposons que la partie elliptique L (u) = :Jô (aihux) cu UXi h de cette équation et le domaine B remplissent les conditions du théorème 2 [II-2-551, donc que le système de fonctions propres {Uh (X)}~l et de valeurs propres {Î"h} de l'opérateur L pour la condition u 1s = 0 est doué des propriétés décrites dans [II-2-57J. Supposons provisoirement que c (x) ~ O. Ceci exprime que  h < 0 de sorte qu'il est commode de désigner Âh par -~~, en admettant que lth > O. Les solutions u (x, t) = X (x) T (t) de l'équation (163) vérifiant la condition aux limites (157) sont toutes de la forme (ah cos ~ht bit sin ~ht) Uh (x), où ah et b h sont des constantes

+

510

CH. II.

PROBL~MES

AUX LIMITES

arbitraires et Uh (x), la fonction propre associée à la valeur propre Âk

=

-fJ~·

De ce fait, on cherchera la solution du problème (163), (156), (157) sous la forme de la série 00

U (x, t) = ~ (ah cos fJkt h=1

+ bk sin fJht) Uh (x),

(164)

dont on déterminera les coefficients ah et b h à partir des conditions initiales (156). La première de ces conditions nous donne ah = (cp, Uh),

(165)

bA = _1_ ('1', Uk).

(166)

et la deuxième, JLk

Formellement cette série satisfait toutes les conditions de notre problème. On se propose d'étudier sa convergence et en particulier de montrer qu'on peut la dériver terme à terme deux fois par rapport à x et à t. Cette dérivation est nécessaire pour justifier les égalités 00

M (u)

=

M

(2J (ah cos fJh t + bh sin fJh t) Uk (x») = k=1 00

= ~ M (ah cos fJkt -I- bh sin fJht) Uk h=1

(x»

=

0,

(167)

c'est-à-dire s'assurer que la somme de la série (164) est solution de l'équation (163). On montrera que la série (164) et les séries obtenues par une double dérivation terme à terme par rapport à x et t convergent pour la norme de L 2 (B) uniformément en t E [0, 00[. Ceci prouvera que la somme de la série (164) est solution de l'équation (163) pour presque tous les (x, t) de DT (et même plus, pour tous les t E [0, co[ pour presque tous les x E B). Les conditions initiales seront satisfaites au sens suivant:

Il U (x,

t) - cp (x)

IIh2.) B

-+

0,

Il Ut (x,

t) -

'1' (x)

II~~) B -+

°

(168)

pour t -++. O. La condition aux limites (157) sera exprimée par l'appartenance de u (x, t) à W~, 0 (B) pour tous les t ~ O. Tout o ceci aura lieu si cp (x) E 0 (B) et '1' (x) E W~ (B). En effet, on a vu au [II-2-57] que la fonction cp (x) se décompose en la série

wt

00

de Fourier cp (x) =

2J

(cp, uhfuh (x) convergente vers elle pour la_

h=1

norme 11·112 et de plus 00

Il cp Il; = ~ (cp, k=1

00

Uh)2 Jt~

=

2J

h=l

a~fJ~,

(169)

11-3-16.

M~THODE

DE FOURIER. :eQUATIONS HYPERBOLIQUES

5tl

DO

et la fonction '1' (X), en la série de Fourier '\j? = convergeant vers '\j? (x) pour la norme

/1·/11 et

00

/1 '\j? /I~ = ~

k=l

2J ('\j?,

Uk) Uk (x),.

k=1

00

('\j?, Uk)211~

=

2J b~fl:· k=l.

(170).

D'autre part,

Il k=m f (ak cos IIk t + bk sin IIh t ) Uk II~ = p

=

2J

k=m

p

(ak cos IIk t + bk sin IIk t )2 111 ~ 2

2J

h=m

(a: + b:) (-tt,

(171»)

p

Il k=m ~ :t (ah cos IIh t + bh sin (-th t ) Uh Il: = p

=

p

~ (-t~(-ahsin(-tht+bhcos(-tkt)2~t~~2 ~ (a~+b~)111 (172p

k=m

k=m

et p

;;1 (ak cos (-tk t + bk sin J.tk t ) Uk W = k=m

Il ~

p

=

p

~ (ah cos (-tk t + bh sin IIh t )2 (-tt ~ 2 ~ (a~ + b~) (-th.

(1731

h=m h=m En comparant les majorations (171), (172) et (173) à (169) et (170, on s'assure de la validité des propositions concernant la convergence de la série (164) et des séries obtenues par dérivation terme à terme' de (164) par rapport à x et t. Ceci étant, on se rappellera que les normes II· 1/1 et 11·112 sont équivalentes aux normes initiales des espaces~ o W~ (B) et Wt 0 (B) respectivement. Que pour tous les t ~ 0, la somme U (x, t) de la série (164) appartienne à W~,o (B) et Ut (x, t) et Utt (x, t) o respectivement à W~ (B) et L 2 (B) résulte de la convergence de cesséries et du fait que leurs sommes partielles sont des éléments deo W~, 0 (B), W~ (B) et L 2 (B). On a donc prouvé le Thé 0 r ème 1. Supposons que les coefficients de M et le domaineB remplissent les conditions du théorème 2 de [II-2-55J et c (x) ~ o. o Si cp E W~,o (B) et'\j? E W~ (B), alors lasomme U (x, t) de la série (164), dont les coefficients ak et bk sont définis par les formules (165) et (166)" est une solution du problème (163), (156), (157). Cette solution appar-

:512

CH. II.

PROBL~MES

AUX LIMITES

°

.tient à W~. 0 (B) pour t ~ et dépend continûment de t pour la norme de cet espace. Ses dérivées Ut (x, t) et Utt (x, t) sont des éléments de o

W~ (B) et L 2 (B) dépendant continûment de t ~

°

pour les normes de ces espaces. Les séries obtenues par une double dérivation terme à terme par rapport à x et t de la série (164) convergent pour la norme de L 2 (B) .uniformément en t ~ O.

Rem a r que 1. Si l'on écarte la condition c (x) ~ 0, lt théorème reste en vigueur mais il est possible que quelques-unes des -premières valeurs propres Âk soient strictement positives ou nulles. Les termes correspondants seront alors de la forme (akeV"'k i bke- V"'k t ) Uk (x) ou (ak bkt) Uk (x). La convetgence de la série (164) n'est pas affectée par ces termes: en effet, leur somme peut ,être représentée par un seul terme dans (164).

+

+

+

Rem a r que 2. Les problèmes de Cauchy et de Dirichlet.. 'Cauchy pour les équations hyperboliques se résolvent de façon analogue pour t > ou t < O. La série (164) converge comme ci-des:sus pour ·t ~ O. Considérons maintenant l'équation avec second membre

°

M (u) =

f

(x, t),

(174)

'Üù M est donnée par (163). Trouvons la solution qui vérifie les conditions initiales et aux limites homogènes suivantes: u It=o =

Développons à cet effet

0,

Ut

It=o

=

0,

U

IS T = O.

f en une série suivant

{Uk }h' 1: 00

00

t (x,

(175)

t) = ~ (f (x, t) 1

Uh

h=l

(x))

Uh

(x) ===

LJ

fh

(t)

Uh

(x),

h=1

et trouvons les solutions U (x, t) = X (x) T (t) de l'équation M (u) = fh (t) Uh (x) (176' qui satisfont les conditions (175). Posons u (x, t) = De (176), on obtient alors pour Th (t) l'équation

Th

(t)

Uh (x)~

(177)

On sait que la solution qui s'annule avec sa dérivée pour t = la fonction

°

esi

t

Th (t) = - _1_ f-lh

r sin P'h (t-T) th ('t) dT,

Jo

(178) .1

11-3-16.

M~THODE

où comme plus haut

DE FOURIER.

Ill' =

-Â h •

(x, t) = -

~ _1_ \ k-l

513

HYPERBOLIQUES

La somme de la série

t

00

U

~QUATIONS

~h ~

fk

(T) sin Ilh (t -T) dT u k (x)

(179)

satisfait formellement toutes les conditions du problème (174), (175). Pour justifier la formule (179), il faut s'assurer que la série (179) converge comme la série (164) du théorème 1. Prouvons la proposition suivante. Thé 0 r è ID e 2. Supposons que les coefficients de M et le domaine B vérifient les mêmes conditions que dans le théorème 1. Si o f (x, t) E L 2 (D 7), alors la série (179) converge pour la norme de W~ (B) uniformément en t E [0, Tl. Si, de plus, f (x, t) possède une dérivée distributionnelle ft (x, t) EL 2 (DT)' alors la série (179) et lesséries obtenues à partir d'elle par une simple et une double dérivations terme à terme par rapport à x et t convergent pour la norme de L 2 (B) uniformément en t E [0, Tl. Dans le dernier cas la somme u de la série est une solution distributionnelle du problème (174), (175) de la classe (D T) (et même d'une meilleure classe). . Les propositions du théorème résultent des relations et majorations suivantes:

W: p

P

2

~ T k (t) uk (x)

1-

~ Il~T~ (t)~ k=m

k=m

P

t

P

T

~ ~ (~I th (T) 1d't)2 ~T ~ ~ h=m

00

00

(180)

k=m 0

0

et T

n('t) d'tt

T

~ ~ /l('I:) d'l: = ~1 ~ Il ('1:) d'l: =

l

12 (x,

t) dx dt.

(181)

Si de plus ft (x, t) EL 2 (DT)' alors t

'r k (t) =

-

= - !'~

--4\ th ('t) d cos J.tk (t -'t) = ~h ~

[-1 t

1. ('1:) cos P.k (t-'t) d't+ fh (t) -tk (0) cos J.tktJ = t

= -

:1 [)

o

th ('t) (1- cos flk (t - 't» dT

+ th (0)~(1- cos flk t )J.

CH. II. PROBLÈMES AUX LIMITES

5t4

D'où T

T~(t)
(M, t-T) d ôt 2 't

+

(t _ ID

r

) [ôq> (M, t-T)] ôt 't-t-r •

En portant cette expression dans (183) et puisque

(M, t-T) [_ ôt

+

r

+ôq>(M, t-T) ôx

ôq>(M, t-T) oy

y

x

+

+oq>(M, t-T) ] 0 oz Z ~=t-r = •

(185)

Or, en vertu du théorème d'Euler sur les fonctions homogènes, on a (tome l, [V-1-41) ôq>(M,t-T)(t_ )+oq>(M,t-'t) +oq>(M,t-'t) +oq>(M,t-'t) =0 ot 't OX X oy Y oz z •

On s'assure par la substitution 't = t - r que la relation (185) est réalisée et par suite la formule (184) donne bien une solution de l'équation (183). Cherchons maintenant une solution de l'équation (183) sous la forme spéciale

u-'1'

(+) Y n (e, 2

+ n (n + 1) y n --

0

,

on est conduit à l'équation suivante pour '1' ( ~ ) :

ou (1-x2)~" (x)

+ n (n+ 1) 1J' (x) =

0

(188)

11-3-17. PROBUlME AUX LIMITES POUR LA SPHERE

517

Pour trouver 'li (X), on se rappellera que les polynômes de Legendre (tome 1II 2 , [V-8]) satisfont l'équation [(1-X2)P~ (x)]'+n(n+1) Pn(x)=O.

Introduisons le polynôme de degré n + 1 x

Qn+, (x)

I

=

(189)

P n (x) dx.

En intégrant les deux membres de l'équation précédente entre 1 et x, on obtient (1- x 2) P~ (x)

+ n (n + 1) Qn+l (x) = 0,

ou, en vertu de (189), (1 - x 2 ) Q~+l (x)

+ n (n + 1) Qn+l (x)

= 0,

et en comparant avec (188), on voit que la fonction u = Qn+l

(+) y

n

(e,

(190)

(J)

est une solution de l'équation (183). En vertu de (189), on a = 0, c'est-à-dire que la solution (190) est nulle pour r = t. Par ailleurs, il est évident que cette solution est une fonction homogène de degré 0 par ranport aux variables (x, y, z, t). Le lemme nous ,dit que la fonction Qn+l (1)

t-r

u(M, t)=Y n (e,

(J)

ffi('t)Qn+1 (

\

t-;T) dt:

(191)

ô

est aussi solution de l'équation (183) quelle que soit la fonction continue ffi (t:). Après ces considérations préliminaires, passons à la résolution 4'un problème aux limites pour une condition aux limites spéciale. Supposons qu'on cherche en dehors de la sphère r = 1 une solution de l'équation (183) satisfaisant les conditions initiales homogènes u It=o =

~I -0 ôt t=o-

0;

(192)

et la condition aux limites u I r =l

=f

(t) Y n

(e,

(J),

(193)

où f (t) est une fonction donnée. On admet que cette fonction possède des dérivées première et seconde continues et que

f

(0)

= t'

(0)

=

O.

(194)

CH. II. PROBLElMES AUX LIMITES

518

Attardons-nous sur la formule (191). Si dans son second membre on substitue t 1 à t, on obtient de nouveau une solution de l'équation (183), puisque les coefficients de cette équation ne dépendent pas de t. Cherchons la solution du problème aux limites posé sous la forme

+

t+1-r

r () Q

Yn (0' cp )

u=

~

(ù';

n+l

(

t

+ ~ - L)

d"", Il

t~r-1,

{

0,

(195)

t~r-1,

(1') est la fonction inconnue, l' ~ O. La première condition (192) résulte immédiatement de (195). En dérivant (195) par rapport

où

(ù

à t pour r = 1 et en faisant ensuite t = 0, on obtient la deuxième condition (192), puisque Qn+l (1) = O. La condition aux limites (193) nous donne l'équation intégrale suivante pour (ù (1'): t

~

Qn+l (t

(ù (,;)

+ 1- 1') d,; =

f

(t).

o

Cette équation est une équation de Volterra de première espèce. En la dérivant terme à terme on obtient l'équation t

~

(ù

(1') P n (t+ 1-1') d1'=f' (t),

o qui, en vertu de (194), est équivalente à la précédente. Une nouvelle dérivation nous donne en vertu de (194) l'équation de deuxième espèce équivalente: t

ùl

(t)

+J

ùl

('I)

p~

(t

+ 1- 't) d't = f" (t).

Les noyaux des équations écrites ne dépendent que de la différence t - 't, et en appliquant la méthode développée au (tome IVlt [1-53]) on obtient une solution de la forme (ù

(t)

= f" (t) -

, JH (t -

x)

f" (x) dx,

o

où H (z) est la somme des résidus de la fonction -sn ________ ______

~-esz

sn+sn-lp~ (1)+sn-2p~ (1)+ ... +p~n) (1)

par rapport à ses pôles. La condition aux limites (193) entre en jeu à partir de l'instant t =0. Avant cet instant c'est le repos. Le front d'onde se propagera

II-S-18. VIBRATIONS DE

L'INT~RIEUR

DELA SPH:E:RE

519

à une vitesse égale à 1. En dehors de la sphère centrée en l'origine et de rayon t 1, on aura le repos à l'instant t en vertu de (195). Les dérivées secondes peuvent être affectées d'une discontinuité sur le front d'onde. Signalons que toute condition aux limites continue peut être approchée en moyenne sur la sphère par des conditions aux limites de la forme (193). Ceci résulte de la fermeture des fonctions sphériques. La méthode indiquée ci-dessus est valable dans le plan pour l'extérieur d'un disque (V. S mir nov, DAN SSSR, 1937, 14, nO ,1). .

+

11-3-18. Vibrations de l'intérieur de la sphère. Cherchons main.;. tenant la solution de l'équation (183) qui satisfait les conditions (192) et (193) pour l'intérieur de la sphère. Si 1, alors il est immédiat que Qn +1 (x) est de même parité que n 1 et la solution (191) peut être mise sous la forme

n> +

t-r

Ut

(M, t)

=

Y

n

(8, cp) ~ o

Û)1 (T)

Qn+t (

T-;

t )

dT.

(196)

En remplaçant t par t-1, on obtient une solution de la forme t+r-l

2

u (111, t) = Y n (8, cp)

l

Û)2

(T) Qn+]

(T+:-t) dT,

(197)

-0

< O. Cette solution décrit une onde qui se déplace de la frontière vers l'intérieur de la sphère. Cette solution cesse d'être finie pour t > 1 au centre de la sphère, c'est-à-dire pour

OÙ Û)2 (T)

= 0 pour

T

r= O. Pour t = 1, l'onde correspondante atteint le centre de la sphère et il faut alors ajouter à la solution correspondante la solution (196) dans laquelle on aura remplacé t par t - 1 et dûment choisi 0)1 (T). Ceci nous conduit à une solution de la forme t - l +r

u 3 (M, t)=Y n (8, cp)

l

û)3(T)

Qn+l

(T+;-t) dT,

(198)

t - 1-1'

où û) (T) = 0 pour T < O. Entre les limites d'intégration on a -r T 1 - t r, et la solution (198) reste finie même pour r = O. Pour imposer des conditions moins astreignantes aux dérivées de la fonction I(t) qui figure dans la condition aux limites (193), on prendra pour solution fondamentale la solution déduite à partir de (198) par une dérivation par rapport à t. Comme Qn +1 (+1) = 0 pour n 1, on obtient la solution u (M, t) = Yn (8, cp) CPn (r, t), (199)

< +

>-


1) (2021 ,

t-2

et pour n = 0

/00 (t) -

00

(t -

(202 2)

2) = j' (t).

L'équation (202 1) nous permet de construire 00 ('t) par la méthode des approximations successives. Déterminons d'abord 00 (t) dans l'intervalle [0, 2] à partir de l'équation de Volterra: t

00

(t) -

J ('t) P~ ('t + 1- t) d't= f' (t), 00

o

ensuite

00

(t) dans l'intervalle J2, 4J à partir de l'équation

t

00 (t)-

) oo(t)P~('t+1-t)d't= 2

l 2

= j' (t) + (_1)n 00 (t-2) + co ('t)~P~

('t

+ 1-t) dT .

o

dont le second membre est connu, et ainsi de suite. Portons la fonctior 00 ('t) trouvée dans le second membre de (200).

521

II-3-t8. VIBRATIONS DE L'INT9RIEUR DE LA SPH1l:RE

Utilisons la transformation unilatérale de Laplace pour résoudre l'équation (202 1). Esquissons cette méthode. La formule définitive sera établie plus bas par une autre méthode. Dans l'équation (202 1), représentons l'intégrale par une somme de deux intégrales avec des bornes inférieures nulles, multiplions l~ deux membres par e -st, où S = al 0'2i et al > 0 est un nombre 'Wsez grand et intégrons sur t entre 0 et 00. Posons

+

IH .t~

B

00

00

Q (s)

=

Je-:stw (t) dt,

Je-stf (t) dt;

F (s) =

o

o

("

(203)

;tal

il.ilisons le théorème de convolution (tome IV1 , [1-52]) et les 1:1g,nules

~es formules se déduisent 'sans peine par une intégration direct des premiers membres. Cette méthode nous conduit à l'équation suivante pour Q (s): (~

~

-----

.. /" 2n

V

n

efT (2n+1) e-sJ

s

1 (_

is) Q (s)

= F (s).

n+2'

~

La transformation réciproque de Laplace nous donne co (t) =

- i"::"'( 2n+ 1)

4 ---:::-21t~i-t

O'+ioo

r

J

O'-ioo

1

JI

_ 8

2n

(8) J 1 ( - is) n+e(t+1)SF

ds.

(205)

2

Le nombre réel al est pris assez grand pour que tous les points singuliers de la fonction F (s) soient situés à gauche de la droite d'in tégration. La justification de la possibilité d'appliquer les transformations d,irecte et réciproque de Laplace est facilitée par le fait qu'on a déjà établi l'existence de co (t) par la méthode des approximations suc(~essives et qu'on peut majorer cette fonction pour de grands t en lHt]>osant certaines conditions à f' (t) pour de grands t. En portant j'expression (205) dans (200), en permutant l'ordre d'intégration et 36-01017

522

CH. II. PRDBL:I!:MES AUX LIMITES'

en utilisant la relation facilement démontrable 1

~

J

3t

ePxPn (x) dx=

t ( - ip)

_y--=p=--_,

eiT(2n+t) _n_+_2

V2:rt

(206)

-1

on obtient O'+ioo J

CPn (r, t) =

r

1 _Î

y

T21li

1 ( - irs)

n+-

J.

~

J

(_ is)

3t

F (s) e ds

(n=O, 1, 2, ... ).

n+2

0'-1,00

(207)

Indiquons un moyen plus rapide pour établir la formule (207). En portant (199) dans (183) et en se servant de l'équation pour Y n (e, cp), on obtient l'équation suivante pour q:Jn (r, t): 8 2cpn _ 8t 2 -

8 2 cpn 8r 2

+!

8CPn _

r

n (n+ 1)

8r

r2

q:Jn'

(208)

A cette équaiton il faut adjoindre les conditions q:Jn

It=o =

8~n

CPn Ir=1 =

t=o = 0;

(209)

t (t).

(210)

En multipliant les deux membres de l'équation (208) par e-st , en intégrant sur t entre 0 et 00 et en tenant compte de la condition (209), on obtient pour la fonction 00

X n (r, s)= ~ o

e-stq:Jn

(r, t)dt

(211)

l'équation

d~~n

+; d:; + (-S2- n(~:1) ) Xn=O.

(212)

La transformation de Laplace appliquée à (210) nous donne

= F (s).

X n Ir=1

(213)

La fonction X n (r, 8) doit de plus être finie pour r = O. L'équation (212) se ramène à une équation de Bessel et en se servant de (213) et du fait que X n est finie pour r = 0, on trouve J

X n (r, s.) =

1

y- r

(-irs)

t

n+'2 J

1 ( - is

n+'2

)

F (8).

II-3-19. DISCUSSION DE LA SOLUTION

523

La transformation réciproque de (211) nous conduit ensuite à la formule (207). Les conditions qu'il faut imposer à f (t) pour justifier l'application de la transformation de Laplace et de la formule (207) figurent dans le travail de G. Pet r a che n e, Problèmes dynamiques de la théorie de l'élasticité pour une sphère isotrope. Utch. Zap. LGU, ser. matem. naouk, 1950, nO 21. L'exposé de ce numéro et du suivant est emprunté à ce travail. II-3-19. Discussion de la solution. Etudions la solution

i

o+ioo J lf/l

1 (r, t)=-= , _ .

JI r2m. 0-100

1 (-

J

n+-

.) F (s)

2( 1

irs)

-lS

n+ 2

e~t ds.

(214)

On admettra pour fixer les idées que la fonction f (t) =1= 0 seulement sur un intervalle fini [0, Tl, possède des dérivées première et seconde continues et j (0) = f' (0) = j (T) = f' (T) = ü. Sous ces conditions, une double intégration par parties nous donne T

F(s)=

T

i e-~tf(t)dt= :2 i

e-stj"(t) dt.

(215)

o 0 On admettra que la fonction F (s) est de la forme F (s) = FI (s) F 2 (s) e- sT , (216} où FI (s) et F 2 (s) sont des fractions rationnelles dont le degré du dénominateur est de deux unités au moins supérieur à celui du numérateur. Il est immédiat de vérifier que la fonction F (s) jouira de cette propriété par exemple dans les deux cas suivants:

+

j(t)=t 2 (T-t)2;

j(t)=sin 2

n.:,

tElÜ, T].

On voit sur la formule (215) que F (s) est une fonction entière. La fonction J n +I / 2 (-is) possède des zéros imaginaires que l'on désignera par +ksi (8 = 1, 2, 3, ...), où k s sont les zéros de l'équation J n +I / 2 (k) = (1. (tome 1H z, [V1-2-3]). Utilisons la formule J

1 (z) =

~ [H(1)

n+2 2

+

1 (z) H(2) 1 (z) n+n+2 2

i ]

et les expressions suivantes des fonctions de Hankel:

(217)

524

PROBL~MES

CH. II.

AUX LIMITES

OÙ