Commandes non linéaires (Traité IC2, série Systèmes automatisés)

© LAVOISIER, 2003 LAVOiSIER

1 J rue Lavoisier 75008 Paris 1

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1

,
0

12.38'1

alors l'origine esllllle solll1ioll globall'lIlellt asymptotiquement stable du sy,\'tèl11e C01l1plet /2.35]. REMARQUE

2.5.- Des versions locales de cet énoncé existent Voir par exemple

95"1· EXEMPLE

2.2

(APPLICATION DU THÊORÈl'vlE DES PETITS GAINS).-

Considérons le

système:

.1:2 (

Û=

-:1'1

+ ,T~ J;2

-J'2

:r2

+ lJ'2

12.39]

- II + ~ l,]' 1 1j

Montrons que J'origine est globalemenL asymptotiquement stable en appliquant le théorème des petils gains. Pour ce faire, nous considérons le système l2.39] comme étant constitué de l'interconnexion des sous-systèmes en :L' et en y.

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Commandes non linéaires

Pour étabHr que Je sous-système en .1' est SEE, posons: [2.401 En complétant les carrés, nous obtenons:

-"-;---( .. ".)" _ \:1' .1.1,·1.2 -

-


8(:r) = 0 si

+ :efl = 0

08(:r) si

1:['2 +

1f::

0

l2.8::!J

ou: SI.

l:r'2 + :rj')1

o

si 1:l'2 + .rÏ 1f:: 0 [2.83] est continue et donne une loi de commande stabilisant asymptotiquement globalement l'origine. Nous pouvons uussi tirer profit de la décomposition particulière 12.731 de

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Commandes non linéaires

LI li pour déduire une IOÎ de commande

~1

partir de V. En effet. nous obtenons:

Ainsi, nous voyons que la fonction: [2.851

est continue et donne L1ne loi de commande swbilisant asymptotiquement globalement l'origine. Les éwpes ci-dessus sont typiques dans la synthèse de Lyapunov. Précisément, en es consistent à écrire une majoration de la dérivée li comme une somme d'un terme non posÎtif et d'un terme ayant Ly 11 en fac le ur. Une (eHe majoration est non unique. Ainsi par exemple, nous avons aussi: [2.861

A parlir de ces majorations, nous pouvons procéder par an/1ulation en définissant la commande cie sorte qu'elle annule le facteur de Lg"V et le remplace par un terme négatif multiplié par L!J V. Nous pouvons aussi lirer parti d'inégalilés comme [2.3661 et procéder par dOlllil1a1Îrm. Par exemple: dans la décomposition [2.84], nous voyons qu'il n'est pas nécessaire d'annuler le produit: ,,')( - ').....1'1 A L gl1i(q .lJ,.I2

+ -.11.2L 1)

1 'yi'

r(".1),.1