Changing Views on Ancient Near Eastern Mathematics

BERLINER BEITRAGE ZUM VORDEREN ORIENT Herausgegeben von Volkert Haas, Hartmut Kuhne, Hans J org Nissen und Johannes Reng...

Author: Jens Hoeyrup | Peter Damerow

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BERLINER BEITRAGE ZUM VORDEREN ORIENT Herausgegeben von Volkert Haas, Hartmut Kuhne, Hans J org Nissen und Johannes Renger

CHANGING VIEWS ON ANCIENT NEAR EASTERN MATHEMATICS From a Workshop Jointly Organized by Altorientalisches Seminar, Freie Universitat Berlin Seminar fur Vorderasiatische Altertumskunde, Freie Universitat Berlin Max Planck Institute for Human Development and Education, Berlin

Seminar fur Altorientalische Philologie und Seminar fur Vorderasiatische Altertumskunde der Freien Universitat Berlin Fachbereich Geschichts- und Kulturwissenschaften

edited by Jens H0yrup Roskilde University and Peter Damerow Max Planck Institute for the History of Science, Berlin

Band 19

2001

DIETRICH REIMER VERLAG · BERLIN

DIETRICH REIMER VERLAG · BERLIN

TABLE OF CONTENTS

Jens H0yrup Preface An Editor's Personal Reminiscence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. VII The Six Workshops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XV Acknowledgments ................................................. XVI Robert K. Englund Gedruckt mit U ntersttitzung der Deutschen Forschungsgemeinschaft

Grain Accounting Practices in Archaic Mesopotamia .................... . Hans Neumann Zu den Buchungseintragen in den neusumerischen Handwerkerprasenzlisten aus Ur ....................................

37

J oachim Oelsner HS 201 - Eine Reziprokentabelle der Ur III-Zeit ....................... Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz ftir diese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhaltlich

53

Joran Friberg Bricks and Mud in Metro-Mathematical Cuneiform Texts. . . . . . . . . . . . . . . ..

61

Jens H0yrup The Old Babylonian Square Texts - BM 13901 and YBC 4714 Retranslation and Analysis .......................................... 155

© 2001 by Altorientalisches Seminar und Seminar ftir Vorderasiatische Altertumskunde der Freien Universitat Berlin und Dietrich Reimer Verlag GmbH ZimmerstraBe 26-27 10969 Berlin

Peter Damerow Kannten die Babylonier den Satz des Pythagoras? Epistemologische Anmerkungen zur Natur der babylonischen Mathematik ..... 219 Herrmann Hunger Zeitmessung

Gedruckt auf alterungsbestandigem Papier Alle Rechte vorbehalten Nachdruck, auch auszugsweise, verboten Printed in Germany ISBN 3-496-02653-7

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VII PREFACE

AN EDITOR'S PERSONAL REMINISCENCES AND REFLECTION JENS H0YRUP

During the second half of the 1970s, three of us had taken interest in ancient Near Eastern-in particular Mesopotamian-mathematics with approaches or from perspectives that differed from those usually applied: Joran Friberg, living and working in Gothenburg; Peter Damerow, in Berlin (at the time, West Berlin); and the author of these lines Oens H0yrup), in Copenhagen. We had entered the field without knowing of each other but had come in contact, in part (Friberg-H0yrup) because of our common use of the resources-a wonderful library, and a handful of generous scholars-of the Assyriological Institute of Copenhagen (now part of the Carsten Niebuhr Institute); in part (Damerow-H0yrup) because a mutual psychologist friend discovered that two of his friends had similar peculiar interests and told us about each other. Nobody familiar with the situation of scholarly outsiders will wonder that we exploited the situation and took up contact; outsiders we were indeed, at least with respect to our Mesopotamian interests. Geographical distance was of course an obstacle not only to genuine collaboration but also to gaining deeper familiarity with each other's work, in particular with such underlying ideas that were only reflected indirectly in our writings. We therefore envisaged a private working and discussion session for the three of us in my home in Copenhagen, conveniently situated midway between Berlin and Gothenburg. When I had the occasion to visit Berlin and Peter Damerow in May 1982, planning of this meeting was on our agenda. Peter, however, had news that made our scheme obsolete. Hans Nissen and Johannes Renger, both at Altorientalisches Seminar und Seminar fur Vorderasiatische Altertumskunde in BitterstraRe, had discovered-thus the oral information I got at the time from Peter, which I like too much to control its historical veracity in detail-that somebody in Berlin but with no connection to their institution was working on Babylonian mathematics, and had made contact with him. In any case, the four of us had lunch together (pen ne al salmone) at an Italian restaurant; that was where I heard about the offer to arrange a genuine workshop on the topic at the BitterstraRe Institute. This workshop "on mathematical concepts in Babylonian mathematics" took place from the 1st to the 5th of August 1983, at the Altorientalisches Seminar und Seminar fur

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PREFACE

Vorderasiatische Altertumskunde in BitterstraBe and with logistic and financial support from the Max Planck Institute for Human Development and Education. The circle of participants was interdisciplinary-a fact that only needs mentioning because most assyriologists had by then become accustomed to consider tablets containing too many numbers in place-value notation "a matter for Neugebauer" and thus none of their business: our company embraced assyriologists and archaeologists, historians of mathematics, philosophers-and then of course those who were there because of specific interest in Mesopotamian mathematics in that wide sense which had been characteristic of Neugebauer's and Thureau-Dangin's work in the 1930s and 1940s, but which most historians of mathematics had lost sight of in later decades in their enthusiasm for the high level of the Old Babylonian school texts.} The "concepts" of the title of this and later workshops were understood correspondingly, in their interaction with mensurational, computational, and accounting practices no less than in relation to the "theoretical practice" of teaching and exploration of the possibilities of the computational tools. The workshop was a workshop, and not a small conference. Emphasis was on discussion based on whatever material was deemed relevant for the themes chosen-already published papers as well as semi-finished drafts and preliminary results not yet ready for publication-with particular pleasure I recall a draft hand copy of a newly located mathematical tablet (now decently published), on which was written "Smuggled out of the ... Museum. Only the workshop members know about it!" It was the explicit intention not to aim at the publication of proceedings. All participants found the structure to be productive, and a "Second Workshop on Concept Development in Babylonian Mathematics" was arranged in BitterstraBe from the 18th to the 22ndJune, 1984. The "Third Workshop on Concept Development'in BabyIonian Mathematics" took place from the 9th to the 13th December, 1985. The "Fourth International Workshop on Concept Development in Babylonian Mathematics" followed on the 5th to the 9th May, 1988; on this occasion, the perspective was broadened so as to include comparison with Aztec, Chinese, and Egyptian material. A "Fifth International Workshop" took place from the 21st to the 23th January, 1994. Already outside the regular sequence, an final ancillary workshop "Standardisierung der elektronischen Transliteration von Keilschrifttexten" was arranged at the Max Planck Institute for the History of Science, Berlin, on the 7th to 9th September, 1994,2 which became the first step towards the "Cuneiform Digital Library Initiative (CDLI)."3

1 This is not the place to discuss the development of the historiography of Mesopotamian mathematics; but see my "Changing Trends in the Historiography of Mesopotamian Mathematics. An Insider's View." History ofScience 34 (1996): 1-32. 2 See Damerow, P. "Standardisierung Von Transliterationen." State Archives of Assyria Bulletin Vol. X, Issue 2 (1996): 51-54. 3 See http://cdli. ucla.edu/index.html with mirror site http://cdli.mpiwg-berlin.mpg.de/index.html.

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The organization of the workshops remained the same throughout: genuine working sessions with presentation of results, publications, pre-publications, and work in progress, arranged around specific themes. Proceedings were never planned, but much of what the participants have published on Mesopotamian mathematics since the workshops started has gone through the mill of workshop discussions; much had looked differently and much would not have existed, had it not been for the occasion offered by the workshops. Even though it would thus be highly mistaken to regard the sequence of workshops as scientometrically barren we concluded after the third workshop that it would be a good idea to present the approach of the workshop in print-not through a collection of papers presented at one or the other workshop but in the shape of a coordinated volume representing the global approach and the spectrum of topics dealt with at "the Workshop" (in generic singular). This was the kind of extravagant planning that can be made at the end of a brief week's intensive collaboration but cannot be followed up when the potential authors are spread over three continents and engaged in their usual academic work with all its constraints. At the final wrap-up session of the Fourth Workshop in 1988 we therefore agreed on a different conception: less strictly coordinated contributions, all centered on texts: Publication, interpretation, and discussion of new texts, or new interpretations and discussions of familiar texts. This was to be coordinated from Berlin, and preliminary versions of the contributions should be ready in Spring 1990. In December 1988, however, the Erlenmeyer collection of cuneiform tablets-including many early accounting tablets in perfect state, see Robert Englund's contribution below-was auctioned by Christie's in London. Hans Nissen, Peter Damerow, and Robert Englund succeeded in convincing the purchasing institutions and individuals as well as further museums that an exhibition should be arranged where they were displayed together with a collection of prehistoric means of administration, proto-cuneiform tablets, and cuneiform administrative texts of the third millennium B.C.-artifacts that together provide crucial insights into the development from the origins of bookkeeping to the rise of babylonian mathematics. The arrangement of this exhibition "Friihe Schrift und Techniken der Wirtschaftsverwaltung im alten Vorderen Orient"4 evidently got a higher

See Nissen, H. ]., P. Damerow, P., and Englund, R. K., Frohe Schrift und Techniken der Wirtschaftsverwaltung im alten Vorderen Orient: Informationsspeicherung und -verarbeitung vor 5000 Jahren. (Bad Salzdetfurth: Franzbecker, 21991); Nissen, H. J., P. Damerow, P., and Englund, R. K, Archaic Bookkeeping: Early Writing and Techniques of Economic Administration in the Ancient Near East. (Chicago: Chicago University Press, 4

1993).

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priority than the production of a volume whose appearance was not strictly bound to a specific date. After the opening of the exhibition I therefore promised to take over responsibility for the coordination and started writing circulars to the contributors. At a later moment, Peter Damerow offered to take care of a non-coercive harmonization of the contributions and to be responsible for the final preparation of the manuscript. Draft versions were to be handed in by July 1991; by then, one contribution was delivered (not mine!). The project had evidently become a victim of "Marvin's law," formulated by Marvin Powell at the second workshop: if a collective publication has n authors, the planned production time will have to be multiplied by n. During Fall 1991, a number of papers were completed, and others were promised; of these promises, some have been fulfilled, others retracted because the authors never found the time to produce the article. Jim Ritter, who was to write about Egyptian 4th millennium metrological subunits, fractions, and quasi-fractions, had the good luck (and the present volume the misfortune) to get access to unpublished economical papyri from the 4th dynasty, which made his manuscript grow into the size of a volume of its own, hopefully to be finished soon. All contributors-each of us carries part of the responsibility for the delays-owe their apologies to Karen Nemet-Nejat, the author of the only paper that arrived on time. After a couple of years the material she had used for her contribution appeared as part of a different publication from her hand, and she retracted the paper, supplying a different one in 1993-only to discover now that the same thing had happened a second time, at a moment when the promise to finish a book on "Daily Life in Ancient Mesopotamia" left her no time to prepare a third contribution within the final time limit that was established in 1996. (Further delays were caused by an unfortunate interplay between grant decision delays, the need to allow authors to revise passages in already delivered contributions that had become outdated, and by other duties incumbent on the editors.)

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ics" seems to be misleading: rather than primarily "matters for teaching," as this Greek loanword claims it to be, so-called Mesopotamian mathematics should rather be understood as (pure or applied) computation.5 Deceptive is even the con~eptual pair "p~re" and "applied," which intimates that the "pure" v~riant-mathemat1cs or computat~on per se-is primary and its "applicatio.n" to ~,ract.lc,~ pro,?lems second;ry; Babyloman computation should rather be categonzed as baSIC and extrapolated. It seemed a natural reflection of this state of affairs to make practical computation and the practice of computation a first main theme; this theme is de.alt with by Robert ~nglund

and Hans Neumann. Mathematical techniques, mathemancal knowledge and itS organization, and mathematical mode of thought-these constitute the second main theme, treated by Jens H0yrup and Peter Damerow. Joachim Oelsne~'s and Jor~n Friberg's co~ tributions bridge the two themes. Lastly, since those who are ~nterested.l? Me.sopotamlan mathematics can no longer be presupposed to be automancally famlhar wIth astronomy (neither ancient nor modern), as was the case during the decades where Bab~lonian mathematics was the preserve of a specialized tribe of historians of mathemancs, we thought it useful to include a chapter surveying an aspect of astronomy by Hermann Hunger. In the late 1970s, Joran Friberg took a second look at the corpus of published protocuneiform and proto-Elamite accounting tablets. 6 Analysis of their summations led him to the conclusion that the conventionally established interpretation was partly a myth, and allowed him to single out in the proto-cuneiform material a number of metrological sequences. This work was continued in the 1980s by Peter Dame~ow, Rober~ Englu~d, and Hans Nissen. Computer analysis of the published and unpubhshed archaIc matenal allowed them to confirm Friberg's main results and at the same time to make further differentiations between different metrologies and counting systems. 7 On this secure foun-

• • • It is characteristic that what Benno Landsberger identifies as the "mathematician" in his description of Old Babylonian scribal specializations is the dub.sar nfg.sid, the "scribe of account~"-see Landsberg~r, B., "Babylonian Scribal Craft and its Terminology," in Proceedings ofthe 23rd InternatIOnal Congress ofOrtentalists, Cambridge, 21-28 August 1954, ed. D. Sinor (London: 1956), 123-126, here 225. . 6 Friberg, J., "The Third Millennium Roots of Babylonian Mathematics. I: A Method for. the D~cI~her ment, through Mathematical and Metrological Analysis, of Pro to-Sumeri an and Proto-Elamlte Ser~ll-P~cto graphic Inscriptions," Department of Mathematics, Chalmers University of Technology an~ the Unt~erst~ of Goteborg, No. 1978-9; idem, "The Early Roots of Babylonian Mathematics. 11: MetrologICal RelatIons m a, Group of Semi-Pictographic Tablets of the Jemdet Nasr Type, Probably from Uruk-Warka, " Department of Mathematics, Chalmers University of Technology and the University ofGoteborg, No. 1979-15. " 7 Damerow, P. and Englund, R. K., "Die Zahlzeichensysteme der Archaische~ Texte aus Uruk, Chapte~ 3 in Zeichenliste der Archaischen Texte aus Uruk, Band 11, Green, M. Wand NIssen, H. J., (ATU 2. Berlm: Gebr. Mann, 1987), 117-166. Idem, "The Proto-Elamite Texts from Tepe Yahya'~ (The American School of Prehistoric Research, Bulletin 39. Cambridge, MA: Peabody Museum of Archaeology and Ethnology/Harvard University Press, 1989). 5

The seven articles that follow appear in something like chronological order: Robert Englund's focus is the archaic period, Hans Neumann and Joachim Oelsner describe and analyze Ur III material. Joran Friberg's, Jens H0yrup's, and Peter Damerow's contributions are weighted toward the Old Babylonian period, and Hermann Hunger's toward the later 2nd and the 1st millennium. This chronological arrangement was not intended but came about as a by-product of an intentional thematic ordering. Mesopotamian mathematics never severed the ties to its origin in applied computation; even when most "pure," that is, totally inapplicable in any extra-mathematical practice, mathematical texts pose as if they were concerned with fields, commerce, and earth works (etc.). Etymologically the very concept of "mathemat-

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dation it was possible to investigate now more specifically the complex procedures used in archaic accounting and planning in particular areas of archaic bookkeeping practice. 8 Chapter I of the present volume, Robert Englund's "Grain Accounting Practices in Archaic Mesopotamia," provides an example showing the state of understanding reached on this basis. It recapitulates the main results of the metrological inquiry in as far as they are relevant for grain accounting, and applies them in an analysis of proto-cuneiform grain accounting tablets. Chapter 11, Hans Neumann's "Zu den Buchungseintragen in den Sumerischen Handwerkerprasenzlisten aus Ur," is an adaptation of a chapter from his Handwerk in Mesopotamien9 to the context of the workshop. The book deals with an important aspect of Ur III social organization; the contribution to the present volume describes the evidence offered by administrative documents of a particular kind-the lists of the daily presence or absence of artisans in workshops of the Ur ''Artisan's House"-and discusses the conclusions that can be drawn from these documents regarding the organization of work. General histories of mathematics, when dealing with Babylonian mathematics, invariably present the sexagesimal place-value system-all too often as if this ambiguous floating-point notation was the only number system of the Babylonians. In 1976 Marvin Powell proposed that the system was created for use in intermediate calculations in the Ur III bureaucracy, though on the basis of ideas that had been around for centuries. ID ~ome workers have adopted and elaborated the thesis,ll connecting it explicitly to the Sulgi reforms and the use of igi.gub factors. Others (e.g. Peter Damerow), without denying the connection between the place-value system and the use of technical constants, have maintained that the evidence for Ur III dating was ambiguous and inconclusive, and insisted that final judgment on the matter had to be postponed. loachim Oelsner's contribution, "HS 201-Eine Reziprokentabelle der Ur III Zeit" (Chapter Ill), contributes to settle the question. It is shown that two tables of reciprocals, HS 201 and Istan-

8 The existence of planning or "normative accounting" of fodder rations is demonstrated in Englund, R., ''Administrative Timekeeping in Ancient Mesopotamia." Journal of the Economic and Social History of the Orient 31 (1988): 121-185. See also Nissen, H., Damerow, P. and Englund, R. K., Archaic Bookkeeping: Writing and Techniques ofEconomic Administration in the Ancient Near East (Chicago: Chicago University Press, 1994). 9 Neumann, H., Handwerk in Mesopotamien. Untersuchungen zu seiner Organisation in der Zeit der III Dynastie von Ur. (Schriften zur Geschichte und Kultur des Alten Orients, 19. Berlin: Akademie-Verlag, 1987, 21993). 10 Powell, M., "The Antecedents of Old Babylonian Place Notation and the Early History of Babylonian Mathematics." Historia Mathematica 3 (1976): 417-439. Robert Whiting, "More Evidence for Sexagesimal Calculations in the Third Millennium B.C" (ZA 74 (1984): 59-66), finds evidence for the use of the sexagesimal system already in the Akkad period, but fails to distinguish between "sexagesimalization," that is, the tendency to generalize the use of 60 as a metrological step factor, from place value, which is not attested in his pre-Ur III material.

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bul T 7375, share features that point with high probability to the Ur III period, and that they are clearly archaic compared with those of the familiar Old Babylonian standard type. The place-value system, developed for administrative use but only well documented in tables and in Old Babylonian and later mathematical and astronomical texts, is one link between the practical uses of mathematics and "mathematics proper." Another link is the topic discussed by loran Friberg in Chapter IV, "Bricks and Mud in Metro-Mathematical Cuneiform Texts." Brick calculations and the work norms for brick production, brick carrying, building, and digging were eminently practical concerns, and sorting out the precise meaning of the terminologies and technical constants belonging to the domain is essential if administrative documents are to serve as sources for economical and social history; but brick and mud calculations were also so important in school teaching that they were amply used as pretexts for "extrapolation"-one example discussed by Friberg is a problem where the sum of "men," "days," and (Sussum of) bricks carried are to be singled out from their sum, given the coefficient for brick carrying and the ratio between "men" and "days"-a problem of algebraic type and second degree, with no imaginable purpose outside school. This Babylonian "algebra," normally formulated in geometrical terms, is another piece de resistance of general histories of mathematics. Since it was discovered in the late 1920s, its "lengths," "widths," "areas," and "squares" have traditionally been assumed to be nothing but frozen metaphors for unknown numbers, their products, and their second powers. 12 This interpretation was challenged by lens H0yrup in working papers presented at the first workshops. His contribution, "The Old Babylonian Square Texts BM 13901 and YBC 4714" (Chapter V) argue for an interpretation of the technique as "naive" (i.e., reasoned but not explicitly demonstrative) geometry, and applies it to two problem texts dealing systematically with squares.

For example, H0Yrup, "Mathematics and Early State Formation," in idem, In Measure, Number, and Weight. Studies in Mathematics and Culture (New York: State University of New York Press, 1994), 45-87, here 77f. Eleanor Robson, "Old Babylonian Coefficient Lists and the Wider Context of Mathematics in Ancient Mesopotamia, 2100-1600 BC" Dissertation, submitted for D.Phil in Oriental Studies, 1995. Revised as idem, Mesopotamian Mathematics. Technical Constants in Bureaucracy and Education. (Oxford Editions of Cuneiform Texts, 14. Oxford: Clarendon Press, 1999). Robson shows that certain igi.gub factors taught in the Old Babylonian school correspond to management practices that fell into disuse at the onset of the Old Babylonian period. 12 " ... we must guard against being led astray by the geometric terminology. The thought processes of the Babylonians were chiefly algebraic. It is true that they illustrated unknown numbers by means of lines and areas, but they always remained numbers. This is shown at once in the first example [of the preceding], in which the area xy and the segment x - y are calmly added, geometrically nonsensical." - B. L. van der Waerden, Science Awakening (Groningen: Noordhoff, 21962): 71£ II

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The conflicting interpretations of Babylonian "algebra" highlights a general problem: It has proven very difficult to understand mathematical modes of thought different from ours unless in terms of equivalence and deficiency. "Their" algebra was read as more primitive than ours-lacking in particular our symbolism-but fundamentally of the same kind and applying "the same formulae" 13 as far as it went. "Their" geometry included knowledge of the Pythagorean theorem, but did not consider triangular heights and did not possess the concept of a quantified angle. This last example shows the inherent paradox of the equivalence-and-deficiency approach: Is it possible to understand a theorem concerned with right triangles without knowing what a right angle is? Or, alternatively, may one have a notion of a right angle but no idea of quantified angles?

organizers knew since the very beginning of the enterprise that their approaches differed; it will be evident to any attentive reader of the following contributions that both approaches and views are still divergent. We have made no effort to gloss over our disagreements. To the contrary, it is our aspiration that these may inspire others to make a second, a third, and a fourth step follow upon our first move. Thereby, we hope, further evidence and arguments may turn up that settle our friendly disputes and create new more sophisticated ones.

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Peter Damerow's "Kannten die Babylonier den Satz des Pythagoras?" takes up precisely the problems of geometrical conceptualizations in general and the Pythagorean theorem in particular; lists the evidence normally taken to prove unambiguously that the Babylonians knew the, that is, our, Pythagorean theorem-and concludes that the underlying epistemological problem makes it impossible to answer "yes" or "no" to the question of his title. Hermann Hunger's "Zeitmessung" is mainly concerned with astronomical measurement of time intervals shorter than a day. It exemplifies a theme that otherwise is only represented in Englund's and Friberg's contributions, namely metrology, under a perspective which is represented nowhere else in the volume: that of mensuration techniques. It is true that the measurement of time is more intricate than measurements of length and weight; yet, if concepts conceptualize a practice-a historically particular practice-further understanding of the "concept development in Babylonian mathematics" might follow if more work was made on the relation between the practice of measurement and the mathematical treatment of its results. Even though it falls somewhat outside the two main themes of the volume, Hermann Hunger's contribution thus points to a track which, if pursued, might lead to interesting insights, both from the Assyriological point of view and from the stance of the epistemology of mathematics-the two fields whose encounter gave birth to "the workshop." The title of the volume speaks of "changing view," not of "a new view" nor, a fortiori, "the new view." This is neither an accident nor an admission of defeat. The Workshop was intended to provide a new start, not to replace old orthodoxies by a new one. The

13 See for instance F. Thureau-Dangin, "L'Equation du deuxieme degre dans la mathematique babylonienne d'apres une tablette inedite du British Museum." RA 33 (1936): 27-48, here 28. Thureau-Dangin, as we know, was an eminent philologist trained in interpretation, and no mathematician turned historian; but that did not help him interpreting Babylonian mathematics independently of the framework of modern concepts.

xv

SIX WORKSHOPS

Workshop on Mathematical Concepts in Babylonian Mathematics. Date: August 1-5, 1983. Place: Seminar fiir Vorderasiatische Altertumskunde und altorientalische Philologie der Freien Universitat. Participants: Ilona Braune, Kilian Butz, Peter Damerow, Renate Eileck, Robert K. Englund, Joran Friberg, Thomas Gotzelt, Jens H0yrup, Karlheinz Kessler, Wolfgang Lefevre, Dierck Nahring, Hans Nissen, Marvin A. Powell, Johannes Renger, Jiirgen Renn, Eva Ruhnau. Second Workshop on Concept Development in Babylonian Mathematics. Date: June 18-22, 1984. Place: Seminar fiir Vorderasiatische Altertumskunde der Freien Universitat Berlin. Participants: Kilian Butz, Peter Damerow, Rene Dittmann, Robert K. Englund, Gideon Freudenthal, Joran Friberg, Marcel Hagelberg, Jens H0yrup, Hermann Hunger, Christine Kreidt-Keitel, Karlheinz Kessler, Tilman Krischer, Hartmut Kiihne, Wolfgang Lefevre, Hans Nissen, Manolis Papamastorakis, Johannes Renger, J iirgen Renn, Jochen Schneider, Sebastian Sczech, DetlefSpalt, Sabetai Unguru, Henning Vierck, Kurt Vogel. Third Workshop on Concept Development in Babylonian Mathematics. Date: December 9-13, 1985. Place: Seminar fiir Vorderasiatische Altertumskunde der Freien Universitat Berlin. Participants: Kilian Butz, Peter Damerow, Robert K. Englund, Joran Friberg, Jean-Pierre Gregoire, Jens H0yrup, Hermann Hunger, Karlheinz Kessler, Manfred Klika, Wolfgang Lefevre, Hans Nissen, Marvin A. Powell, Johannes Renper, Jiirgen Renn, Jim Ri tte r, Francesca Rochberg, Jochen Schneider, Marcel Sigrist, Arpad Szab6, Sabetai Unguru, Henning Vierck, Markus Worner, Frieder Zaminer.

XVI

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Fourth Workshop on Concept Development in Babylonian Mathematics. Date: May 5-9, 1988.

GRAIN ACCOUNTING PRACTICES IN ARCHAIC MESOPOTAMIA!

Place: Seminar flir Vorderasiatische Altertumskunde der Frel'en Un'

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~;~/~:~:sv~;:~: Jiirgen Renn, Berthold Riese, Jirr! Rit~~~Z:~ec~!~~~~~f~f Fifth Workshop on Mathematical Concepts in Babylonian Mathemat' Date: January 21-23, 1994. tcs. .Seminar flir Vorderasiatische Altertumskunde der Freien Universitat Berlin RPlac~: 'tlrtlczpants: Peter Damerow R b K E I d ' " . ~~:e~ti:,uf~h~;~7n":"n Hu~ge~ ~:~s Nis~~n~'jo~l~;~n6~:~:~;" J~::;.~~:r~e~;:;,~r:;

Workshop ':5. d. d: . J on tan an ISlerung aer elektronischen Transliteration von Keilschrrifitext " Date: September 7-9, 1994. en

The appearance in 1991 of the first volume of a new scientific series entitled Materialien zu den frUhen Schriftzeugnissen des Vorderen Orients marked the beginning of a format of publications chosen by the members of the Berlin research project Archaische Texte aus Uruk 2 to present to a wider public certain aspects of our work on the edition and decipherment of the earliest written documents from Mesopotamia. This volume, The ProtoCuneiform Texts from Jemdet Nasr, I· Copies, Transliterations and Glossary, authored by Jean-Pierre Gregoire and myself, represents the desire on our part and on that of the series editors to publish in a form complementary to the primary project publicationsin the series ATU, comprising text copies and catalogues of the archaic texts from Uruk! Warka3-not only glossaries and commentaries to the Warka material, but also our work on text groups from sites and periods other than the levels Uruk IV-Ill in Warka.

Plac~: .Max Planck Institute for the History of Science Partlczpants: Peter Damerow Robert K En lund J ono ,

. Jens H0yrup, Jorg Kantel, S:efan Maul' Ge;hard 'SeolzraMaFnblerS~' ~ean-PIerre Gregoire, , ,rce 19nst.

ACKNOWLEDGMENTS

The editorfislexpress their gratitude for the invaluable help for transforming the . . .d d b vanous computer es and

put together to boo~:~~~~'[;:~:~~~: th:fi~ ~~;:~~st~n~:~~~:%~;hich could be The series of workshops and the present publication were financially supported by: Deutsche Forschungsgemeinschaft Freie Universitat Berlin Max Planck Inst~tute for Human Development and Education Max Planck Institute for the History of Science Jens H0yrup's work on th d" f h from the Danish Research eCcoor .llnCatl°hn °H t e p~~lication was supported by a grant ounCI ror t e Umallltles.

1 For abbreviations see the dictionaries: W. von Soden, Akkadisches Handworterbuch. Lieferung 16 (Wiesbaden: 1981) ix-xvi; 1. J. Gelb et al., eds., Chicago Assyrian Dictionary, vol. A (Chicago: 1964), xxiv-xxxiv; A. Sjoberg, ed., Philadelphia Sumerian Dictionary, vol. B (Philadelphia: 1984) vii-xxv. My thanks are due to Peter Damerow and Joran Friberg for their comments on earlier versions of this paper, as well as to J.-P. Gn:goire and R Matthews, co-author and collaborator, respectively, in the recent publication of the protocuneiform tablets from Jemdet Nasr, of which a number are dealt with in the following. Matthews was directing renewed British excavations of the northern Babylonian site when the Kuwait war broke out. His work on the administrative sealing practices employed at Jemdet Nasr and ED I Ur appeared in 1993 as vol. 2 of MSVO under the title Cities, Seals and Writing: Archaic Seal Impressions from Jemdet Nasr and Ur. 2 The project, under the direction of Hans Nissen, has been funded primarily by the German Research Association (Deutsche Forschungsgemeinschaft [DFG]) and administered by the Free University of Berlin. Since 1982, Peter Damerow of the Max Planck Institute of Human Development and Education, currently of the Max Planck Institute for the History of Science in Berlin has as associate of the Uruk Project been instrumental in the ordering of our electronic data and in our thinking about conceptual developments in the archaic period, which may be dated roughly to 3200-3100 (Uruk IV) and 3100-3000 B.c. (Uruk IlIl Jemdet Nasr). It has not been possible in all cases to reconstruct the authorship of specific ideas in our work; above all, P. Damerow and J. Friberg have made frequent contributions now ascribed generally to the work of "project associates." 3 Publication of the primary material from Uruk will continue to be reserved for the series Archaische Texte aus Uruk (abbreviated A TU) , edited by H. Nissen. A. Falkenstein's Archaische Texte aus Uruk (= Ausgrabungen der Deutschen Forschungsgemeinschafi in Uruk= W'arka, vol. 2 [Berlin: 1936]) has been retroactively numbered volume 1 of the series, a revised signlist Zeichenliste der Archaischen Texte aus Uruk by M. Green and H. Nissen (Berlin: 1987) is ATU2. Die lexikalischen Listen der archaischen Texte aus Uruk (= ATU 3), by Nissen and myself, appeared in 1993, and Nissen's complete Katalog der archaischen Texte aus Uruk (= ATU 4) should appear in the coming year. Five further volumes will complete the series, with copies of the administrative documents from Uruk, comprising some 85 percent of the text corpus from that site. These volumes commenced with my Archaic Administrative Texts from Uruk: The Early Campaigns (= ATU 5 [Berlin: 1994]),

2

GRAIN ACCOUNTING PRACTICES IN ARCHAIC MESOPOTAMIA

While it is true that the great bulk of proto-cuneiform tablets resulted from the German excavations in these Warka levels-we count at present 5,000 archaic tablets and fragments from Warka excavations alone, and many more pieces may lie unaccessioned in the Iraq Museum-still the circa 400 pro to-cuneiform tablets from other excavations or from the antiquities market are of more than passing interest. 4 A private collection of such texts auctioned off in London in December of 1988 is a case in point. These tablets

including copies of the primarily Uruk IV period texts from Falkenstein's ATU 1, as well as the many fragments excavated before 1932 but not included in ATU 1 by Falkenstein, thereafter copies of the tablets excavated subsequent to those published inATU 1. WithATU5, a copy of our complete data base was included on diskette; subsequent volumes will include an expanded data base on CD-ROM, in the hope of alleviating the frustration common to our field of attempting to follow textual arguments based on unpublished reference texts, without recourse to the same material the author is using. Access to these data should aid in cutting short the sort of unfounded speculation about archaic sign identifications which has burdened recent discussions. An example of this problem is the identification of the name Nergal recently proposed in ZA by W. Lambert and P. Steinkeller, and in particular the latter's use of the sign listATU2 in ZA 80 (1990), 5354. Of the signs ZATU32, 219, 297, and 428, Steinkeller claimed the first three were incorrectly, only the last correctly identified by M. Green. Assuming the author means with 'identification' the reasonable proof that the archaic signs in question were graphic precursors of EO signs whose readings can be inferred from contextual evidence, and not the 'readings' themselves, it is still difficult to understand the reasoning in his argument that ZATU428 = 'pirig,' since no lexical correspondences exist between this sign and EO 'pirig'. Tribute 67 would, if anything, point to UG (i.e., with final Igl; the combinations 'PIRIG' +NUNUZ [Green: AZ], + MA [Green: ALIM] and 'GIR3 PIRIG' [Green: TIDNUM] are irrelevant in this discussion). The author's "almost certain" identification of ZATU297 with ANSE also has no lexical foundation, since the Ebla witness TM.75.G.1912 cited by him contains ii 3 the clear entry 'LAK244' (MEE 4,872; PES).rDA', for which see the photograph MEE 31A, pI. XX, and M. Krebernik, Die Beschworungen aus Fara und Ebla (Hildesheim: 1984), 287-290 (whereas such administrative texts as Frohe Schrift: 38, no. 4.69 obv. i 2 [counted KIS after GU4]' imply that this or at least a closely related sign may have represented a large animal). The identification of ZATU32 is consequently without merit (Green's identification of ZATU219 with 'GIR; was based on Cities 35 [GIR3 /I LAK248], of course, not on the reading of Nergal's name in Cities 23; if the witness W 24222 ii belongs to this list, then to Cities 16-21). No effective use of administrative attestations has been made in the Nergal debate or in similar treatments of archaic topics, for which the Uruk Project, but also, for instance, unstable conditions in Iraq, bear some blame. This point is madeand for comparison a table of these identifications offered below-merely to underscore the need for a more cautious approach to archaic lexicography, based on a consideration of all available sources. ZATU32 ZATU219 ZATU297 ZATU428

Green:

Steinkeller:

ANSE GIR3 KIS PIRIG

KIS ANSE PIRIG

Lexical correspondence: LAK239 (based on Vessels 49) LAK248 'LAK244' (probably IpeS!) LAK256 (probably lug!)

4 Beyond the 244 MSVO 1 texts known to be from Jemdet Nasr and Kish, some 90 texts resulted from excavations at various sites including Tell Uqair near Jemdet Nasr, Tell Asmar in the Diyala basin, and possibly Larsa, and in small lots from the antiquities market. These texts have been gathered and re-edited by the author in Proto-Cuneiform Texts from Diverse Collections (= MSVO 4; Berlin: 1996). The most notable collection of proto-cuneiform documents in private hands was certainly the Erlenmeyer collection, for which see directly.

ROBERT

K. ENGLUND

3

exhibited a state of preservation unknown in the texts from Uruk. Whereas the Uruk tablets, having been deposited in antiquity almost without exception in trash dumps or used as fill in new floors and walls, were only rarely fully preserved, the majority of the Erlenmeyer collection were in nearly perfect condition. 5 The importance of this state of preservation for a reconstruction of ~he bookkeeping practices employed in the archaic period cannot be overstated. In partIcular,. the reconstructability of the numerical calculations involved in specific texts as well as m accounting genres is painfully impaired by the damaged surfaces s~ characteristic of the Ur~k texts which formed part of the rubbish cleared from accountmg offices of the Eanna dIStrict. Faced with these damaged but nearly complete tablets or, still worse, with the innumerable fragments of texts from this site, we were often forced in our formal analyses of the Uruk numerical sign systems to resort to the statistics of sign repetition and sequence to build up probabilities of numerical and metrological sys~em structures; o~ly in rare cases were we in a position to utilize fully preserved summaUons to prove or dISprove the existence of numerical structures heret~fore ascribed to the archaic. m~terial. 6 Figure 1 presents factor diagrams of those numencal systems that were of major Importance in the archaic accounting of the primary administrative activity in archaic Mesopotamia, namely, of grain storage and distribution; although the control of grain resulted in by far the greatest number of accounts in Uruk, the fragmentary state of these texts severely limited our understanding of the bookkeeping system they represented. 7

5 See the auction catalogue published by Christie's, London, Ancient Near Eastern Texts from the Er~nmeyer Collection, 13 December 1988, and H. Nissen, P. Damerow, and R. Englund, Frohe Schrift und Techntken der Wirtschafisverwaltung im alten Vorderen Orient (Berlin: 1990, 219: 1), of which a .revised. ~nglis~ tr~nslation appeared in 1993 as Archaic Bookkeeping: Early Writing and Techntques. ofEconomIc Adml~lStratlOn In the Ancient Near East (University of Chicago Press). An edition of the texts WIll appear forthcommg by P. Damerow and the author as voI. 3 of MSVo. 6 See P. Damerow and R. Englund, "Die Zahlzeichensysteme der Archaischen Texte aus Uruk," ATU 2: 117-166, particularly 121-126; P. Damerow, R. Englund and H. Nissen, "Die EntstehungderSchrift," and "Die ersten Zahldarstellungen und die Entwicklung des Zahlbe?riffs," Spekt:ru.m der. Wissen~chafi, FebrualJ' 1988: 74-85 and March 1988: 46-55, respectively (the two artIcles were repnnted m B. Riese, ed., Schrift und Sprache [Heidelberg: 1994],90-111); Archaic Bookkeeping: 25-29. 7 The figure includes only the so-called basic numerical systems, excluding the represe?tation of d~rivat.ive systems achieved through the addition of, for example, dotted impressions to the capaCity system, s~gnalmg an amount of cracked or rough-ground barley groats used in the production of beer and other gram pr~d ucts. The names of the various numerical signs were assigned more or less arbitrarily, but generally accordmg to sign form, numbering all numerical signs from 1 to, now, 60, thus N~, N 2 , ••. , N60·.Numer~s below the members of the two systems used to quantify discrete objects, the sexageslmal and the blsexageslmal systems, correspond to the number of units represented by the sign. Quotation marks signal the fact that the quantities are translations and that the signs do not represent abstract numbers. See P. Damerow and R. Englund, ATU 2: 117-166, for a complete discussion of these numerical notations.

4

GRAIN ACCOUNTING PRACTICES IN ARCHAIC MESOPOTAMIA

System used to count most discrete objects, for example, humans and animals, dairy and textile products, fish, wooden and stone implements, and containers

Nso

Cl) 36,000

N 4S

N 48

N34

---1

N30a

N30c

N30d

N 29 b

N29a

~

00 @

N 13

N32

N31

DRY CEREAL PRODUCTS AND RATIONS: COMBINATIONS OF NUMERICAL SIGNS AND IDEOGRAMS [)[) [)

---

C]C] C]

~

~-

NINDA2 +INl

NINDA2

KURa/b

~

~

~

NINDA2 +2Nl

NINDA2 NINDA2 +ZATU659+INl +lNs

of barley you see. The procedure.

~n this e~ercis~ it is asked how much barley a boat can load, if it holds precisely 1 brick sar ofbncks (Silently understood to be of type RI). It is presumed to be known that the volume of 1 brick (of type RI) is 0;00,41,40 volume shekels, and that 1 volume shekel = 1 n.. I!!.. 1 c. = 60!!.. I!!.• 5 !!. is equivalent to 5,00 (cubic) sUa.

Therefore, the capacity equivalent of 1 brick (of type RI) is 0;00,41,40 . 5,00 = 3;28,20 (cubic) sUa. It follows that the capacity equivalent of 1 brick sar of bricks is 3;28,20 . 12,00 = 41,?0 (cubic) sUa. Finally, since 1 gur = 5,00 sUa, the result is that the capacity of the boat IS equal to 41,40 sHa = 8 gur 1,40 sUa (= 8 gur 1 barig 40 sHa). What does this mathematical exercise have to do with the entries mentioning 'boats' in the tables of constants? The answer is very simple. Indeed, as was shown above, 1 volume shekel := 5,00 (cubic) sUa

=

1 (cubic) gur.

JORAN FRlBERG

(f) The table NSd is the only table of constants mentioning bricks of both main and variant types. This table is also exceptional because in it are recorded numerical par~m eters for many different types of bricks, even if in a fairly unsystematic way. It begInS, however, by mentioning in §§ 2-7, six successive entries, the molding and carrying numbers for bricks of types RI, HI, and S6, in this order. The brick types are named si~, si~.a.b, si~.al.ur5.ra, in the same way as in (b), (c), (d) above. For some reason, type R2, called si~.3"-ti is missing here, although it is mentioned as the fourth element of the "conventional group" of brick types in the three previous instances. (g) Just like NSd, table Ka, too, mentions only the first three o~ the ?rick types in t~e conventional group, that is the types RI, HI, and S6. However, In thiS table the terminology is different. Thus in Ka 24-26, the molding numbers for the th~ee types RI, HI, S6 refer to bricks called sig4, peS.si~.al.ur5.ra, and si~.al.ur5.ra, and In Ka 29-31, the carrying numbers for the same three types refer to bricks called sig 4, si~.in.xx, and si~.lb. [siB]' It is not known what some of these terms mean. (h) YBC 4607 (= MCT, text 0) is an Old Babylonian mathematical abbreviated theme text in which the theme is (the computation of) the base areas, volumes, capacities, and laying numbers of five types of bricks. The five type~ are first RI and R2, ~alled sig4, then HI, called sig4.ib, and finally S6 and S8, called slg4.al.ur5.ra. Thus, thiS text confirms the impression made by the tables of constants mentio~ed in \b)-(g) above'jnamel.y that the most common types of bricks in the Old Babyloman penod were the l2-cubtt twothirds-brick (type RI or Rlv), the 213-cubit half-brick (HI or Hlv), and the 2/3-cubit square-brick (S6 or S6v) , marginally also the i8-fingers two-thirds-brick (R2 or R2v), and even the i-cubit square-brick (S8 or S8v = U).

On the other hand, by definition L brick sar := 1 volume sar = 1,00 volume shekels, for all types of bricks.

Combining these equivalencies, one finds the new equivalence relation L brick sar := 1,00 (cubic) gur, and, conversely, 1 brick sar := (UXJ/I) (cubic) gur.

In the particular case of bricks of type RI, this means that

Here are, for example, the paragraphs ofYBC 4607 dealing with bricks of type HI: YBC 4607 §§ 3, 8 (MCT: 92). Conform transliteration and translation. Two paragraphs of an abbreviated theme text (questions and answers, but no solution procedures). si~.ab

§ 3

7;12 brick sar:= 1,00 (cubic) gur, and, conversely, 1 brick sar:= 8 1/3 (cubic) gur.

2

There~ore, the number computed in the "boat exercise" BM 85194 § 30 is, essentially,

3

the recIprocal ofthe molding number for bricks of type RI! There is no doubt that in the original theme text, from which this exercise was excerpted, other exercises illustrated directly the equivalence L brick sar := 1,00 (cubic) gur, for instance by asking how many bricks (or brick sar) a I-gur-boat, or a 10-gur-boat, etc., would hold.

4

5 6

16 Raised exclamation marks in the translation indicate corrections of suspected errors in the cuneiform text.

87

3" kus us.bi 13' kus sag.bi 5 su.si sukud.bi I gagar sagar.bi it Uam sagar.bi en.nam I 16 se su.ri.a se it igi.6.gaI se se.b[iJ I 2 se su.ri.a se igi.4.ga[1 se it] [igi.9.gaI igiJ.4.gal sagar I 42' sUa 6 3" 20 se 1. [sam sagar. bi]

A cow-brick. 2/3 cubit is its flank, 1/3 cubit its front, 5 fingers is its height. Its ground and mud, and the equivalent of its mud are what? 16 barley-corns, half a barley-corn, and one-6th barley-corn is its ground!, 2 barley-corns, half a barley-corn, one-4t[h barley-corn and] [onc-9th of one]-4th its mud. 4 1/2 sUa 62/3 <shekel> 20 barley-corns are the equi[valent of its mud].

88

BRICKS AND MUD IN METRO-MATHEMATICAL CUNEIFORM TEXTS

§ 8

si~.ab

2 3

3" kM us.bi 3' kus sag.bi 5 su.si sukud.bi I 1 sar gagar ta-ad-di-ta-am en.nam Ldfb I 10.48 si~.ab Ldfb

A cow-brick. 2/3 cubit is its flank, 1/3 cubit its front, 5 fingers is its height. 1 sar of ground, laying, what does it take? 10,48 cow-bricks it takes.

The first of these two exercises asks for the base area (the 'ground'), the volume (the 'mud'), and the capacity ('the equivalent of the mud') of a 2/3-cubit cow-brick of height 5 fingers, that is a brick of type HI. It answers, omitting the computations, that the base area is 16 1/2 1/6 (area) barley-corns, that the volume is 21/21/4 1/9' 1/4 (volume) barley-corns, and that the capacity is 41/2 sUa 6 2/3 shekels and 20 barley-corns. This answer is correct (see above, Section 4.1). In the second exercise one is asked to find the value of the laying number for cow-bricks of type HI. In this case, too, the answer given is correct, 10,48 bricks per area sar.

(i) In addition to the mentioned, most common types of bricks, some tables of constants mention also the l/2-cubit square-brick (type S3), the 18-fingers square-brick (S5), the 24-fingers square-brick (S7), and the variant ll3-cubit square-brick (S2v).

4.3 YBC 4669 §§ 10-12. Bricks of type S2 used to build a staircase In most cases, brick texts published and discussed earlier by Neugebauer and other scholars have not been interpreted correctly, if at all, due to an insufficient familiarity with the complicated Mesopotamian "brick metrology." Consider, for instance, the following exampl: of.a brick text which was previously not at all understood, even though Thureau-Dangm, m TMB 92-95, successfully interpreted a related set of exercises for a siege ramp with steps (BM 85210 §§ 1-4).

89

lORAN FRIBERG

§ 11

1 2 3 4

5 § 12

1 2 3 4 5

6 7 8

~un4v~?)v 2 2' ninda su[kud] I t-na sa-su [...... ] I 2' ninda us [ ...... ] I sukud.md [ ...... ] I igi.2'.gal [...... ] I 32' ninda 3 kM us I 3' kus si~.glr.gub I [3'] kM su[ku]d? gl[r.gu]b I 2 kM dagal gir.gub I sid si~.glr.gub en.nam I it si~ en.nam I 2.15 sid glr.gub I 2 sar 3 su-Ji si~

A staircase. 21/2 n. is the hei[ght]. Out of it .. , .. . 1/2 n. flank ..... , The heights ... .,. One-(1/2)th .. , .. , 31/2 n. 3 c. is the flank, 1/3 c. is the brick-step, [1/3 ]c. the he[ight)? of the st[ep], 2 c. the width of the step. The number of brick-steps is what, and the bricks are what? 2,15 is the number of steps, 2 sar 3 sixties are the bricks.

These three paragraphs are almost certainly ran~om. exc:r~ts from an. extensive theme text, which explains why some crucial information IS mlssmg. Thu~, m the first paragraph, the height of a staircase is given (h = 21/2 n. = 30 c.), and one 1~ as~ed ~o find the corresponding length. This cannot be done without knowing the. ll~clmatIon of the steps. Since the answer says that the length is u = 3 1/2 n. 3 c. = 45 c., It IS easy to see that the never mentioned inclination must be equal to u: h = 45:30 = 3:2. The text of the second paragraph is badly preserved, but the few remaining traces seem to indicate that the exercise asked for the height h of the steps when the to.tallengt~ of the steps was given (u = 21/2 n.), and also the height hI of the steps. at a? mtermedlate point at a distance u = 1/2 n. from the beginning of the steps. ThIS IS a Simple proble~ that ~an be solved by1 the rule of three. (Problems of a similar kind oc~ur fr~quently m Old Babylonian mathematical texts.) Thus, the answer was probably given m th: fo~m h = u . h . l/u . This would explain the surprising and unprecedented appearance .m lme 3 of the ;econd paragraph above of the expression igi.2' .gal 'one-halfth' for the recIprocal of 1/2.

YBC 4669 §§ 10-12 (MKTIII: 27). Conform transliteration and translationY Three isolated paragraphs in the middle of an Old Babylonian mathematical recombination text. § 10

2 3 4

kun4 (?) 2 2' ninda sukud I en.nam us he. til (?) I glr.gub kun4 gar.ra I 32' ninda 3 kM u[s]

A staircase. 21/2 n. is the height. What of flank shall I to finish the steps of the staircase set? 31/2 n. 3 c. is the fla[nk].

17 Note that the transliterationltranslation is still only tentative. It is based on the hand copy of the text in Neugebauer's MKTIII, a hand copy which was made before the meaning of the text was understood.

The third paragraph is much better preserved. It seems to be asking for the number of steps in a staircase, and the number ~f bricks needed to build those steps, when It is known that the total length of the steps is 31/2 n. 3 c. (= 45 c.), that 1/3-cubit squarebricks (more precisely bricks of type S2) are used for the individual steps, that 1/3 c. is the height of each step, and that 2 c. is the widt? of each step. The solution procedure IS omitted but can easily be reconstructed. First, it is clear that 2 . 6 = 12 bricks of type S2 are needed for each one of the steps. In-

1/3c. 1/6c. 1/6c.

90


JORAN FRIBERG

:,

ge~.~'a:~ :~~~t s;~; e:~~de~in

:; order to obtain the requested width, namely O height of one step namely 1/3 c M r er arhe nleeded In order to obtain the requested " ' . 0 eover, t e ength of on t b' al whIch IS the side of one of the square-bricks it foIl h ~ s ep beIng equ to 113 c., equal to 3 . 45 = 2 15 The £4 h al' bOWS t ~t t e num er of steps must be 1 . v ,. re ore, t e tot num er ofbncks is 2 15 . 12 - 2'15 = 2 /4 bnck sar = 2 sar 3 sixties of bricks Th" . I h ' . -.' . 12,00 . IS IS precIse y t e answer gIVen In the text. 18

§3c

2

§4a

4.4 AD 10822. An Abbreviated Theme Text for Three Types of Bricks

§ 1b 1

2

7 tar-ki-bu fa si!;4 5 tar-ki-bu fa si!;4.ab [3 tar-kz]-bu I sa si~.al.ur).ra 1 sar si!;4 si!;4.ab it si!;4.aI.ur).ra

be-ri-ma I

3

si~ si!;4.ab it si~.al.ur5.ra

le-qe-a-am §2a

§2b 1

2 §3a

[iz.z]i 5 ninda us 5 [kuS]? ku-bu-ur-ri iz.zi [2' ninda sukudF si~ en.nam [iz.z]i 5 ninda us a.na 2' ninda sukud 122' s[ar si~] I ku-bu-ur-ri-e iz.zi en.nam si~.anse si~

1 us 30 sag 30 sukud si~ en.nam

§3b 1

2

si~.anse si~

3 us 2.30 sag 6 sukud 3.45 si~ I i-vna s[a.bi] [lOF si!;4 ba-af-ba-ku us en.nam lu-ru-ub

7 layers of bricks, 5 layers of cow-bricks, [3 lay]ers of tile-bricks, 1 sar. Bricks, cow-bricks, and tile-bricks single out, then bricks, cow-bricks, and tile-bricks take to me. [A brick wa]ll. 5 n. is the flank, 5, [c.], is the thickness of the brick wall [112 n. is the height]. ' The bricks are what?

[A brick waJlI. 5 n. is the flank, as much as 1/2 n. the height, 121/2 [sar the bricks]. The thickness of the brick wall is what? A brick pile of bricks. 1 is the flank, 30 the front, 30 the height The bricks are what? . A brick pile of bricks. 3 is th: flank, 2;30 the front, 6 the height, 3,45 <sar> the bricks. Out off it] 10?dar> of bricks I need. Of flank, what shall I go in?

18 ~n Salonen (1972, pI. 22,2) there is reproduced a hoto r h f . perIod, excavated in Ur. The lower 0 f h . P g ap 0 two connected staIrcases from the Ur In ne 0 t ese IS composed of 6 . 3(?) square-bricks for each step.

1

§4b

Another text which has been badl d d I the following one, a single prese:.;n ;rstoofi' part IY due to its extr~me conciseness, is co umn rom a arge mathematIcal day tablet: AO 10822 §§ 1-4 (MKTI: 124· TMB 59 . . Th 1 d ' 5-599). Conform translIteratIOn and translation e on y preserve column from a large abbreviated theme text. .

1

2

§4c

2

si!;4 .anse si!;4 3 us 2.30 sag 6 sukud 3.45 si!;4 i-na sa I 10 sar si~ pa-af-pa-ku i-na 6 sukud en.nam lu-up-ru-

A brick pile of bricks. 3 is the flank, 2;30 the front, 6 the height, 3,45 dar> the bricks. Out of it 10 sar I need. From 6, the height, what shall I tear off?

si!;4.anse si!;4.ab 2.30 us 1.30 sag 4 sukud si!;4.ab en.nam

A brick pile of cow-bricks.

si!;4.anse si!;4.ab 2.30 us 1.30 sag 6 sukud 56.[15] sigdab] I i-na [sa] 10 sar si!;4.ab pa-af-pa-ku us en.nam lu-up-lu-uk

A brick pile of cow-bricks. 2;30 is the flank, 1;30 the front, 6 the height, 56;[15] dar> the [cow]-bricks. Out [of it] 10 sar of cow-bricks I need. Of flank what shall I mark off?

si!;4.anse si!;4.ab 2.30 us 1.30 sag 6 sukud [56.15 si!;4 .ab] I i-na [sa] 10 sar si!;4.ab pa-af-pa-ku [i-na 6 sukud en.nam lu-up-ru-u6]

A brick pile of cow-bricks.

91

2;30 is the flank, 1;30 the front, 6? the height. The cow-bricks are what?

2;30 is the flank, 1;30 the front, 6 the height, [56;15 <sar> the cow-bricks]. Out [of it] 10 sar of cow-bricks I need. [From 6, the height, what shall I tear off]?

The best place to start the interpretation of this text is in § 3 b. There it is stated that a brick pile with the volume V = 3 n .. 2;30 n .. 6 c. contains 3,45 brick sar of sig4 bricks. Since then V = 45 volume sar and since 5 . 45 = 3,45 (225), it follows that the molding number must be L = 5 (brick sar per volume sar). Hence the sig4 bricks are two-thirdsbricks of type R2 (see Table 4.2). Now consider § 2 b. Here a brick pile containing 121/2 brick sar of si~ bricks, presumably of type R2, has the length 5 n. and the height 1/2 n. It follows that the volume of the pile is IlL . 121/2 brick sar = 21/2 volume sar. Consequently, the width of the pile is 21/2n .. n.·c. = 1 c. = 0;05 n.

5n.. 1I2n.

This result is confirmed by the data in § 2a, where the width of the pile seems to be written as 5, kus, meaning 0;05 n. = 1 c. Consider again § 3 b. There it is said that 10? brick sar of bricks shall be removed from the 3,45 brick sar contained in the pile. This is to be done by reducing the length of the pile, which is given as 3 n. The solution can be obtained through an application of the rule ofthree. Thus, the length must be reduced by 3 n .. 10/3,45 = 1n.' 2/15 = 11/2 c. 3 f. In § 3 c, the same pile of bricks is considered again. This time 10 brick sar of bricks shall be removed by reducing the height of the pile. It follows that the height has to be reduced by 6 c.. 10/3,45 = 1C' 4/15 = 8 f. (note that this is an absurd requirement when the height of a single b rick is 5 f.).

92


In § 4 b, a brick pile of cow-bricks with the volume V = 2;30 n .. 1;30 n .. 4 c. contains brick sar. Since then V = 15 volume sar and 56;15 = 3;45 . 15, it follows that in thIs case L = 3;45. This means that the cow-bricks are bricks of type H2 (see Table 4.2).

5~;15

It is clear that § 4 c is a parallel to § 3 c. It is also clear that after § 4 c followed, in the destroyed part of th~ text, §§ 5 a-5 c with three problems for tile-bricks, parallel to the preserved problems m §§ 3 a-3 c for bricks of type R2 and in §§ 4 a-4 c for bricks of type ~? Sinc~ the ~~~e~ of bricks of the two types R2 and H2 may be expressed in terms ?f the small nmda, It. IS safe to assume that also the tile-bricks in § 5 had sides expressed m ~er~s of the small ~mda. Therefore, presumably, the tile-bricks were either of type S5 (wIth sIde 3 Q. and wIth L = 3;20) or of type 57 (with side 4 Q. and with L = 1;52,30). Consider now, at !ast, the first ~reserved'problem, § 1 b. There, a brick wall with 15 layers (cou~ses) ofbncks (hence wIth the heIght 15 . 1/6 c. = 21/2 c.) is composed of seven layer~ ofbncks (of type Rl), five layers of cow-bricks (of type H2), and three layers of tilebnc~ (of type 55 or 57). All the bricks together measure 1 sar, probably 1 volume sar. ObvIOusly, t~en, the 7 layers of two-thirds-bricks occupy 0;28 (7115) volume sar, the 5 lay~rs of cow-bncks 0;20 (5115) volume sar, and the 3 layers of tile-bricks 0; 12 (3115) volume sar. Therefore, the numbers of bricks of each kind required for the wall must be 0;28 . 5 brick sar = 21/3 brick sar of bricks of type R2 (with L = 5), 0;20 . 3;45 br~ck sar = 1 brick sar 3 sixties of bricks of type H2 (with L = 3;45), and 0;12·3;20 bnck sar = 2/3 brick sar of bricks of type S5 (with L = 3;20), or 0;12· 1;52,30 brick sar = 4;30 bricks of type 57 (with L = 1;52,30).

JoRAN FRIBERG

93

This text is interesting for three reasons. First, it is writte? wi~h cuneiform sign for.ms characteristic for the beginning of the Old Babylonian peno~ (If n.ot even the precedmg Ur III period). It is therefore an early example of countmg w~th ~ncks .. Secondly, the reverse of the tablet contains hastily inscribed numbers, showmg m whIch order t~e c~ culations were carried out. And, finally, the use of sexagesimal place value notatIOn m the scribbled numbers on the reverse makes this one of the oldest known examples of the use of (sexagesimal) place value notation (see Friberg 1990-93, § 4.5).

An object made of bricks has here the length 6 n. 41/3 c. = 6;21,40 n. Its height is 1/2 n. and its width 2 c. 5 £ = 2; 10 c. The side area is then equal to 6;21,40 n. . 1/2 n. = 3; 10,50 n .. n. It is obvious that this computation of the side area is what is r~corded on the reverse of the tablet. If the side area is multiplied by the width, one obtams the volume number 3; 10,50 . 2; IOn.. n .. c. = 6;53,28,20 volume sar. The next step of the computation contains a slight error. It seems as if the author of the text first rounded. off the volume to 7 sar - 5 gin. T~en he multiplie~ by 112, presu~ably b~ca~se the 10bJ:ct was a triangular prism (a slopmg ramp?). In thIS way he obtamed 3 12 sar - 212 gm, which he recorded, by mistake, as 3112 sar + 21/2 gin.

In

The last step of the computation was to compute the number of bricks the c~nstruc tion. Using the molding number L = 7; 12 for bricks of type RI, the scnbe obtamed the final result L . 3;32,30 volume sar = 25 1/2 brick sar. This is also the stated answer.

4.6 YBC 4669 § 13. The Bottom Area of a WaIl (?) of Bricks of Type RI 4.5 AOT 34. Bricks of Type RI in an Early Old Babylonian School Tablet

(The clay tablet depict~d below is typical for an Old Babylonian school text, fabricated rapidly from a lump of clay flattened m the hand to a roughly circular form.)

YBC 4669 § 13 (MKT Ill: 27). Conform transliteration and .translation. . .. An isolated exercise situated in the middle of an Old Babyloman mathemattcal recombmatlOn text. § 13

2' n. sukud 2 kus 5 su.si dag sahar.bi 3 2' sar 2 'gin si .bi 2 5 2' sa 0

1 2 3 4

l(bur) aSa s si~ I 2 ninda sukud.bi I gagar en.nam I 103' [sar 5 gf]n

This brief exercise was first correctly read by Sachs (1944). The computation is eas~. If a brick wall (?) contains B = 1 bur of bricks of type RI, and if the height of the wall IS h = 2 n. = 24 c., then its bottom area A must be equal to A = v/h= 30 ,00 sarB

Figure 4.1.

AOT 34 = R!,C 4.13.

~ri~k counting and sexagesimal place value notation.

Conform transhteratlOn with m an outline of the clay tablet. Oversize scribbled numbers o~ th~ ~everse. In the transliteration of the text here, the superscribed 0 indicates tens. Thus, 2 52 sar should be read as 25 1/2 sar, 62 0 1 4 0 as 6,21,40, and 3 10 50 as 3,10,50.

1 bur of bricks, 2 n. its height. The ground is what? 10 1/3 [sar 5 she]kels.

•

1 1 v 712 vI Bfs • -24 ; sar sar V c. . = 4,10 sar • -24 c. = 10;25 sarA.

Remark. The sign gagar (or ki) 'ground, botto~ are~' in line. 3 of ~his text was misread in MKTIlI. It was misread again in the followmg bnef exerCIse, without answer:

lORAN 94

YBC 4673 § 1 (MKTIII: 29; TMB615). Conform transliteration and translation. An isolated exercise situated in the middle of an Old Babylonian mathematical recombination text.

§ 1

FRIBERG

1-2

si~ 2' kus us I 3' kus sag I

3

5 su.si sukud. bi I

4

gagarsabaren.nam

A brick. 1/2 c. is the flank, 1/3 c. is the front, 5 fingers is the height. Ground and mud (= volume) are what?

ofa numerical example. Such general nonnumerical solution procedures are very rare i~ Id Bab Ionian mathematical texts, and tend to be awkwardly form~lated. For a goo o I Y AO 6770 § 1 (MKTII: 37). Another example of a text wIth elaborate n?n;;:::ri~~:~lution procedures is the Nippur fragment CB~ 12648 ~see below; SectIon 9.6), probably the oldest known Old Babylonian mathematIcal cuneIform text.

4.7 YBC 4673, §§ 2-4. Carrying Bricks of Type RI, and Wages in Barley

4.8 BM 85194, §§ 16, 19. Trapezoidal Bricks of Type TI for a Circular Well

YBC 4673 §§ 2-4 (MKTIII: 29; TMB 616). Conform transliteration and translation. A small set of exercises in an Old Babylonian mathematical text of mixed content.

BM 85194 §§ 16, 19 (MKTI: 146; TMB60, 63).

§2

§3

a.na 30 ninda us IM.l.e I

3 4 5-6

9 Ju-si si~ il-ma I 1 (ban) se in.na.an.sum I i-na-an-na I 5 Ju-si si~ il-ma I

7

si~ al. til.la

8 9

en.nam se in.na.an.sum I 5 2' sila 3 3' gin se

1 2 3

hUidim.e I i-na 30 ninda us I 9 su-si I si~ iUI-ma I 1 (ban) se in.na.an.sum.ma I

4-5

i-na-an-na I 6 su-Ji si~ il.il-ma I

6 7 8

si~

1 2-3

... ] I pa-ni es.ga[r] I us fUI [... ] I usi[~ ... ]

2.15 bricks .. , . The opposite of the task of brick!? carrying and the bricks... .

i-na 30 nin[da us] I 2' (iku) asa5 4 sar si~ [lUI] I erim.hci en.nam gar.ra I i-na U4 l.k[am l.t]ill 1.12 erim.ha

From 30 n. [of length], 1/2 iku 4 sar of bricks [were carried.] Of men, what to set (so that) in 1 day they are finished? 1,12 men.

4 §4

As much as 30 n. of length, 1 man, 9 sixties of bricks he carried, then 1 ban of barley I gave him.

1-2

al.til.l[a] I ???I pa-[m] es.gar I si~ fUll 9-10 ??? I [ .. .]-ri-ik-sum-ma

§ 3+

95


1 2

3 4 5

2.15

si[~

si~.al.ur5.ra pu

§ 16

3.20 us 2[.30 sag an].na I 1.40 sag k.i {ta-mar} a.na pu [ki ma-!i sak] -na-at I za.e 2.30 sag an.na ugu [1.40] [en.nam] I dirig 50 dirig igi 50 dus.a [1.12 ta-mal r I 1.12 a-na 1.40 i-si 2 t{a-mar] [2 tab.b]a 4 ta-mar I 3.20 us a-na 4 i-si 1 [3.20 tal -mar dal tur? I 13.20 a.rei 3 tab.ba 40 t{a-mar] [40 gur p]u I .'

2

Now, 5 sixties of bricks he carried, the bricks were finished. What of barley did I give him? 51/2 sUa 3 1/3 shekel of barley.

3 4

A brick worker, from 30 n. of length, 9 sixties of bricks he carried, then 1 ban of barley I gave him. Now, 6 sixties of bricks he carried, then the bricks were finished.

5 6

??? 7

The opposite of the task of brick carrying ???

These exercises are simple examples of how to count with the carrying number for bricks of type RI, Z = 9 (sixties of bricks for 30 n.), if the wages for 1 day's work are 1 ban = 10 sUa of barley. In § 2, if only 5 sixties are carried 30 n., then only 5/9 of a day's work is done, and the wages are only 5/9 • 10 sUa = 5 1/2 1/18 sUa = 5 1/2 sUa 3 1/3 shekel. This is a simple application of the "rule of three." The situation in § 4 is equally simple. There, 1/2 iku 4 sar = 54 sar = 54 . 12 sixties of bricks are carried 30 n. This corresponds to 54/9 • 12 work norms for carrying = 1,12 man-days. The text of §§ 3-3+ is badly preserved and difficult to read, but it is probable that what is going on here is an attempt to write down a "general" solution procedure for the same kind of problem as in § 2, that is a solution procedure expressed verbally and not in terms

Conform.transliterat~on ~nd translation.

An isolated pair of exercises in an Old Babylonian mathematical recombmatlon text.

ti-ib-ku-um is-t{e-en kz ma-!z]

8

[igi 1.40 sag ki].ta dus.a? I

36 ta-mar 3[6 a-na 40 gur ti-ib-ku-um i-si] [24 ta-mar] I 10 24 ti-ib-k[u-um is-te-en]

9

[nigfn.na] I gur qe-er-bi-tum [en.nam] [3.20 us] I si~ tab.ba 6.40 a-na 13[.20 dab·h a] [20 ta-mar dal gal] I 13 20 a.rei 3 tab.ba 1 ta-mar 1 g[ur ki-di-tum] I ki-a-am ne-pe-sum 14

11 12

si~.al.ur5.ra pu

§ 19

2

3

3.20 us 50 sag an.na ugu sag ki. 40 gur I dirig sag an.na usag ki. en.nam za.e I igi 4020 (!) ba.zi 13.20 ta-mar igi 3.20 dus 18 ta-mar I

Tile-bricks (for a) well. 3;20 (Q.) is the flank, 2 [30 is the u]pper [front], 1·40 is the lower front. much as (for) the well, [how much is] set?

As

You: 2;30, the upper front, over [1;40] [what is it] beyond? 0;50 it is beyond. The opposite of 0;50 release, [1;12] you [see]. 1;12 to 1;40 raise, 2 you [see]. [2 double], 4 you see. 3;20, the flank, to 4 raise, 1[3;20 you] see, the small? transversal. 13;20 steps 3 repeat, 40 y[ou see], [40 is the arc of the w]ell. One layer is [how much]? [The opposite of 1;40, the low] er front, release, 0;36 you see. 0;3[6 to 40, the arc of the layer, raise], [24 you see]. 24 is [one la]yer. [Turn around!] The outer! arc [is what]? [3;20, the flank] of the brick, repeat, 6;40, to 13;[20 add on], [20 you see, the large transversal]. 20 steps 3 repeat, 1,00 you see, 1 (n.) is [the outer arc]. Such is the procedure. Tile-bricks (for a) well. 3;20 is the flank, 0;50 the upper front over the lower front is beyond, 40 is the arc. (Corrected here.) The upper front and the lower front are what? You: (1/3, i.e.) 0;20 of 40 tear off (means: take), 13;20 you see. The opposite of 3;20 release, 0; 18 you see.

96


4

5 6 7

18 a-na 13.20 i-si 4 ta-mar 2' 4 be-pe 2 ta-mar I 50 dirig a-na 2 i-si 1.40 ta-mar 1.40 a.na bal sag an. I it sag ki. gar.ra 50 a-na 1.40 dah.ha 2.30 ta-mar I 2.30 sag an.na ~ ~ ki-a-am ne-pe-sum

0;18 to 13;20 raise, 4 you see. 1/2 of 4 break off, 2 you see. 0;50, the beyond, to 2 raise, 1;40 you see. 1;40 as much as the ?? of the upper front and the lower front set. 0;50 to 1;40 add on, 2;30 you see. 2;30 is the upper front. Such is the procedure.

This is the only text in which trapezoidal bricks are mentioned In § 16 th " If h f1 k f b' . . , e question IS: . ~ e an 0 a .nck IS u = 3;20 Q. = 2/3 c., if its upper front is Sa = 2;30 n. = 1/2 C., and If Its lower fro~t IS Sk = 1.;40 g. = 1/3 c., then how many such bricks are n~eded to form one layer of a cIrcular bnck well? 1/2 c.

N umber of bricks in one layer: 24 Inner diameter d: 13;20 g. = 22/3 c. Outer diameter: 20 g. = 4 c.

1

~

~

,'r,J

,'S

,, ...... , ,, ,,

Inner circumference: 40 g. = 8 c. Outer circumference: 1 n. = 12 c.

I,

JoRAN FRIBERG

97

4.9 YBC 7997 = MeT, Text Pa. A Circular Brick Oven (bricks of type RI) YBC 7997 (MeT, text Pa). Conform transliteration and translation. An excerpt text, written almost entirely in syllabic Akkadian.

u-tu-num 1.30 ninda ki-ip-pa-tum I ba-ma-at ta-al-li-im I a-na er-be-et ta-za-az-ma I 15 ra-bi-a-tim tu-us-ta-kal-ma I 3.45 i-li-a-ma I 5 6-7 a-na 12 su-up-li-im I tu-ub-ba-al-ma I 45 su-up-lu-um i-li-a-am I 8 tu-war-tar 9-10 1.30 ki[p-pa] -tam I [tu] -uf-ta-ka4 -at} I 11 a-[na] 5 tu-ub-ba-al-ma I 12 [1] 1.15 i-li-a-ma I 13-14 45 it 11.15 I tu-uf-ta-kal-ma I ma-la i-li-a-am I 15 16 7.12 ta-ta-na-af-si-ma I si~ i-na-an-di-in 17 1 2 3 4

An oven. 1;30 n. the arc. The half diameter in four you shall divide. 0; 15 of the fourth you let hold itself, 0;03,45 comes up for you, then to 12 of the depth, you bring (it), 0;45, the depth, comes up for you. Return(?). 1;30, the arc, you let hold itself, to 0;05 you bring (it), then [0;1] 1,15 comes up for you. 0;45 and 0;11,15 you let hold each other, whatever comes up for you to 7;12 you raise, the brick(s) it will give.

On one hand, it is clear that the interpretation in MeT of this text is not correct. On the other hand, it is far from clear how the text ought to be interpreted and why the object of this exercise is called utiinum 'brick oven.'19 There are several ambiguities in the text, and the following interpretation is only tentative.

I, "

Figure 4.2.

Trapezoidal bricks of type Tl in one layer of a circular brick well.

:he first step of ~he soluti?n procedure is to compute the inner diameter, the dal tur small t~ansvers~l, . of the CIrcular well. This is done by use of the rule of three, applied to the sIdes of SImIlar triangles. Thus (see figure 4.2), d/ 2 = u'

~

Sa-Sk

= 3'20 '

g.

•

1;40 _. 2;30-1;40 -3,20g. '2, andd=3;20g. ·4= 13;20g.

Hence, the in?er circumference of ~he circular well is 3 . 13;20 g. = 40 g. = 8 c. Since the lower, ?r mne.r, front of each ?nck ~easures 1/3 c., it follows that there are precisely 24 trapezOldal bncks around the mner cIrcumference (in each layer of the brick well). In the re~ainin~ part of § 16, the o.uter circumference is computed. In § 19, a reverse problem IS conSIdered. Note the cunous use of a special term (bal) to denote the whole lower front and an equally large part of the upper front.

R~mar~. Salo~e? (1972, pI. XXV) shows a photo of a circular well with 12 trapezoidal bncks m the VISIble uppermost layer. The well is Old Babylonian (Ibalpiel I).

The object in question seems to be a circular cylinder with the circumference 1;30 n. Hence (for 1t ;:::: 3), its diameter d is 0;30 n. = 6 c., and its 'half-diameter' d/2 is 0; 15 n. = 3 c. A quarter of this half-diameter, 0; 15 . 0; 15 n., is computed in a quaint but typically Babylonian way as (00; 15) n. = 0;03,45 n. The depth h of the cylinder is apparently given by the equation h = 1/4 . d/2. It is obtained by multiplying 0;03,45 n. with the constant 12 su-up-li-im '12 of the depth' (= 12 cubits per ninda). Thus, h = 0;45 c. = 3/4 c. Next, with 1/41t ;:::: 1/12 = 0;05, the area A of the bottom of the cylinder is A = 0;05 . 0 (I ;30 n.) = 0; 11,15 0 n. Therefore, the volume V = A . h = 0; 11,15 0 n .. 0;45 c. = 0;08,26,15 sarv (not computed!). The corresponding brick number is B = L· V = 7;12 . 0;08,26,15 sarB = ....

It is interesting that the author of this little text did not bother to compute the volume V and the brick number B. Instead he wrote in an apparently nonchalant way 'whatever results (from the multiplication of A and h) you multiply with 7; 12 (the molding number) and you will get the brick number.' It is not necessary, however, to conclude that the scribe was lazy. Another way of looking at the evidence is to say that the scribe, in an 19 The pictures ofMesopotarnian brick ovens in Salonen (1972, pis. XXXIV-XXXVII, XLVI-XLVII, LI-LII) give no useful hints.

98


lORAN FRIBERG

~;~:SU:k:i,,!h~sr~~~~r:'~o~~~ye :~eg;:va~h:::~act, ndonnulm~ricalform to the last part

99

f d' /' e en resu t IS easy to compute by us o mo ern notatIOns for general fractions. Indeed, e

The first step of the solution procedure in the text is to invert the expression for the carrying number. The new constant obtained in this way is

A=

I/Z = 0;40 man-days for each sixty of bricks and each sixty ninda.

.

1/12 • 0 3/2 n - 3/16 0

.'-

n.,

V

=

3/

3

16 0 n. . /4 c.

= 9/64 sarV: B = 36/5

• 9/64 sarB

= SI/so sarB.

Is It by accIdent or by design that the final brick number is so dose to 1 brick sar?

It follows, to begin with, that

~;e:~~":rS ~~~~e~n~~h';~~t1~~ °3~;~~~~~ ~;:bf ~etyfact ~~at, t~atis IS,~iffi~ult t~ fill wIth the sIdes c. pe With bncks

10 n .. 0;40 (2/3) man-days/{l,OO bricks· 1,00 n.)

1/2 C., 1/3 C., 1/6

0

= 0;06,40 (1/9)

man-days for each sixty of bricks.

Therefore, in the last step of the computation, the number M of man-days required is found to be 54,00 bricks· 0;06,40 (1/9) man-days/(l,OO bricks)

=

6 man-days.

This is precisely the answer given in the text.

4.10 IM 54538. Laying and Carrying of Bricks of Type S6 (?)

~M 54538 (Baqir 1951, text 3). Conform transliteration and translation n excerpt text from Tell Harmal (Old Babylonian), written almost enti;ely in Akkadian.

1 2 3

fum-ma ki-a-am i-fa-al-ka [um-ma fu-u-ma] I a-fa-al fi-du-um e-fe-ri-[it mu]-fa-[ri] lli-bi-tu-um i-na ki. sUr im fa-[ ak-na] -at I ki ma-fI ~d-ba-am u-ma-ka-li-a-am I lu-uf-ku-un-ma li-ig-mu-ra-am I at-ta i-na e-pf-fi-ka 1.30 [i]-gi-gu-ub-bi I fu-ku-un-ma igi 1.30 i-gi-gu-bi-ka I pu-tu-ur 40 ta-mar [40 a]-na a-fa-all fi-di-im i-fi-ma 6.40 ta-mar I 6.40 fa ta-mu-ru a-na 54 I e-fe-ri-it mu-fa-ri li-bi-ti-ka I i-fi-ma 6 ta-mar 6 a-wi-lu-ka I u-ma-ka-lu-tu-un I fa i-ga-ma-ru-ni-if-fi I i-na u-ma-ka-al

4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15

If so he asks you [this, that] a rope is the length, ten [sa]r the bricks, in the storage they a[re s]et. how much of a man for-a-whole-day shall I set and finish it for me? You in your procedure: 1;30 of your [co] nstant set, the opposite of 1;30, your constant, release, 0;40 you see. [0;40 do the rope oflength raise, then 0;06,40 you see. 0;06,40 that you see to 54 of the 10 sar of bricks raise, then 6 you see. 6 are your men for-a-whole-day that finish it for you in a whole-day.

~~;~db;~~::;:~:~~::~e ~n'raospin,g~ellaoyer covering 10 area sar (musaru), are to be h'

,

e -

n. away. H ow many m

d

('

fC

:a:~~-!ay ) arehreqthuired to ~o this job? Apparently, the reference her:: ':~o, ~:~ c~~~ ,

eans t at

e carrymg number for the bricks is

Z = 1;30 sixties of bricks • 1 us (= sixty n.) for each man-day.

Also, N

=

co~n~ing backwards, one finds that the laying number for the bricks is

5;24 SIxties of bricks on each area sar.

Indeed, the text mentions' 54 of the 10 sar of b . ks' h' h . ber is expressed as 10 . 5'24 = 54 (00) b . k nc , w I~ means that the laymg numnc s on 10 area-sar. , ,

In order to make the interpretation complete, it remains to find out which type of bricks it is that has the given carrying and laying numbers. As shown above in Section 4.1, the laying number N = 5.24 (bricks per area sar) is common for bricks of the main type S6 and bricks of the variant type S6v, or generally for square-bricks with the side 2/3 c. However, the carrying number is Z = 1,41; 15 for bricks of type S6 and Z = 1,24;22,30 for bricks of type S6v, while the carrying number given in the text is 1,30. Something seems to be not in order here. Maybe the carrying number was incorrectly computed. On the other hand, the discrepancy is not very large, since 1,30 = 15/16 • 1,24;22,30, and 1,30 = 9/8' 1,41; 15. Therefore, Z = 1;30 may be a deliberately rounded number close to the carrying number for type S6 (or type S6v).

4.11 HSS 5, 77. An Account of Bricks (Nuzi) with Hurrian Number Words The brick sar and related higher units are known to appear only in one pre-Old-Akkadian account, in several Sumerian accounts from the Ur III period, and in Old Babylonian mathematical or economic texts. In texts from later periods, such special measures for brick numbers are not documented. In spite of this fact, it is obvious that computations with bricks must still have been going on in essentially the same way as before. A particularly intriguing example is provided by the Nuzi text HSS 5, 77 (Chiera 1929; see Friberg, "Mathematik", § 3.3). In this text, nine named persons deliver (?) together 9 GAL+V units of some kind, probably sig4 bricks. Indeed, after the enumeration of the 9 GAL+V units there follows a line saying sig4.md an-nu-u 'these bricks,' two more person names, and the total. The decimal number mentioned in the total is su+nlgin 6 zu-bu 4 nu-bi 6 li-mi (collated Chicago Assyrian Dictionary M12 s.v. nubz),

which means, in Hurrian number words, 'together: 646,000.' If the last digit is corrected from '6' to '8,' this total can be read as 9 GAL+U = 648!,000 = 9 . 72,000 = 900 . 12 . 60.

lORAN FRIBERG


100

Therefore, apparently, 1 GAL+U units of (whatever) = 100 . 12 . 60 si~ bricks. This result can be interpreted in two ways. One possibility is that GAL+ U was a number sign for a large brick number, namely 100 brick sar. The alternative interpretation is that GAL + U 'great ten' was a number sign for the large decimal unit 10,000 (Hurrian: zu-bu). In this second case, the text may be a record of 90,000 talents (?) of bricks of type RI, equal to 90,000 .7 1/5 = 648,000 such bricks. Here, of course, 7 1/5 (= 36/5 = 7;12) is the molding number for bricks of type RI.

. 'd d) F athematical point of view, the ex(In § 8 b the reverse problem IS conSI ere. rom a m f b . ks . th the side 2/3 .' . im le It asks for the number 0 square- nc WI . . h h .d 20 ubits The details of the computatIon erClse m § 8 a IS very s p. cubit contained in a square court WIt t e SI e c . are discussed in Friberg, et al. (1990). . b bl . h f type S6 or of type S6v. The The bricks figuring in this exercIse are pro a y elt er 0 . answer to the problem is given in decimal numbers, not bnck numbers.

Mud in Baskets, and Mud in Walls of Rammed Earth or in Dikes

4.12 W 23291-x, § 8. Square-Bricks in a Late Babylonian Text

5.

W 23291-x (Friberg, Hunger and AI-Rawi 1990) is a mathematical "topic text" from Late Babylonian Uruk. Its topic is described in the colophon as se.numun u gi.md 'seed

5.1 The Carrying of Mud in Baskets

and reeds,' which means various methods (both Late and Old Babylonian) of measuring the surface extent of fields or plane figures. In the section of the text with Late Babylonian characteristics, three alternatives are often presented for each solution procedure, first a non-numerical computation rule, then a computation with 1 ninda as the basic unit of length measure, and finally a computation with 1 cubit as the basic unit.

I H ddad 104 §10 (Roaf and AI-RawI 198 , a corn me wo . ,

In § 8 of the text, the subtopic is brick measure: W 23291-x, § 8 (Friberg, Hunger and Al-Rawi 1990). Conform transliteration and translation. A paragraph in a Late Babylonian topic text with the general topic surface extent. § 8a 1

20 kM ur.a tlie? 6" kus ur.a a-gur-ru tar-bi-e I

2

3 4 5

6 7

en mi-nu-ut a-gur-ru fd qe-reb tlie? mu nu zu-u I a? .ra mi-hi-il-tU sa tlie? a.ra igi -; fd a.ra I mi-bi-il-tu4 fd a-gur-ru du -ma mi-nu-ut a-gur-ru igi-[mar] I fum-ma 5 am-mat-ka

1.40 a.rei 40 2.46.40 [3.20 a].ra 13.20 du-ma 1.16.40 igi 11.06.40 5.24 5.24 [a.ra] I [2.]46.40 du-ma 15 fum-ma 1 am-mat-ka

8 9

20 a.r[a 20 6.40] I [40] a.rei 40 26.40 igi 26.40 2.15 2.15 [a.ra 6.40] I [du-m]a 15 9 me 9 me a-gur-ru

20 cubits equalside, a court? 2/3! cubit equal side tile-bricks. Enlargemene. What is the number of bricks that are inside the coure? Since you do not know: Steps of the line of the court? steps of the igi of steps of the line of the bricks go, then the number of bricks you wi[ll see]. If 0;05 is your cubit: 1;40 steps of 1!;40 is 2;46,40. [0;03,20 ste]ps of 0;03,20 go, then 0;00,11!,16,40. igi 0;00,11,06,40 is 5,24. 5,24 [steps of] 2;46,40 go then 15,00. If 1 is your cubit: 20 steps [of 20 is 6,40]. [0;40] steps of 0;40 is 0;26,40. igi 0;26,40 is 2; 15. 2;15 [steps of 6,40 go, t]hen 15,00. It is 9 hundred. 9 hundred tile-bricks.

101

rk norm problem" (see . b kt' n a . ) d for the making of bricks is fetched m carrymg as ~ s below, SectIon 7.1 , mu ,vd (. gis'l r gisdub £1) The work norm for carrymg Y'kk ( Y'kk m) - glS usu wntten I 0 .' thupsz u"! or supsz d Uthro~gh the phrase 45 mu-ta-lik-tim, to be understood as t e mud IS expresse w = 45 carrying baskets' 1 us per man-day. I h k . H dd d 104 §10 as 0'02 13,20 vo ume s e k .' The volume of a carrying bas et IS glv~n~nl (; dad 1/3 = 0'20 1/9 =' 1/3' 0;20 = 0;06,40, els, which is the same as 1/27 volume s ;h ~'. ~ e~h' volu~e of a brick of type S6v, with e and I/v = 1/3·0;06,40 = 0;02,13 ,2 "~.~~ 13 20 = 45/27 = 5/3 = 1;40, it follows that f S the dimensions 2/3 c .. 2/3 c.. 6 . Ince ", l' . I the work norm for mud carrying can be expressed, more exp IClt y, as .

4)

"

b'

d

Y

?') 4;s

w - 1·40 volume shekels . 1 us per man-day.

b al . mud carrying are mentioned. not only in Haddad 104 ut so m several tables of constants, as shown in the followmg survey:. k' carrymg basket Haddad 104 § 10 tu-up-sz- z E3 2.13.20 igi.gub gisil fti-up-fi-ki-im carrying basket NSd 45 2.13.20 gisd carrying basket 2.13.20 it 1.15 fa usu ' . walking Haddad 104 §10 mu-ta- tzk -um E 16 45 t"k . walking 45 igi.gub mu-ta- H -tzm . NSd 39 45 mu-ut-ta-al-li-ik-tum wal~ng NSe 46 ta-la-ak-tum walking 45 walking?, steps? Ka 28 igi.gub a.rei BR 36 45 .. carrying igi.gub sa na-az- ba-tz-zm E4 45 mud, carrying mud igi.gub sahar na-az- ba-aI sah~ar G E23 1.40 ~ b I ah carrying, mud i-qi-gu-bu na-az- a-a s ~ ar NSd 8 1.40 6' b I ah carrying, mud 1.40 na-az- a-a s ~ar NSd 42 v sahar lifting, mud d NS 32 ma-af-fu-u-um sa 1. 40 na-az-ba-al sahar carrying, mu e 6.40 (?) ~. NS 32 h' h pears there It is difficult to explain the value 6.40 for the constant. m e , w IC ap instead of the expected value 1.40. It is precisely four tImes too large.

N~~bers related to

V'

102

All the other entries from tables of constants quoted in the list above make good sense. AB explained already, 2.13.20 stands for the volume of a basket to carry mud in, 45 for the number of baskets of mud carried a distance of 1,00 ninda in a day's work, and 1.40 for the combined volume of those 45 baskets of mud. The terms talaktum and muttaliktum appearing in the list are nouns derived from the verb stems alakum G 'to go' and Gtn 'to go back and forth.' In a similar way, the term maJlum 'lifting' is derived from nalum'to lift.,2o AB for the Sumerian term a.d, either it means 'walking' and corresponds directly to the Akkadian terms talaktum and muttaliktum, or it refers simply to the number of 'times' that the basket of mud is carried in a day. Presumably, the two constants listed together in NSd 45 are the volumes of a large and a small carrying basket, respectively. If this assumption is correct, then it ought to be possible to find out how the two volumes were computed. One may start by observing that 0;02,13,20 volume shekels = l/V volume shekels = 12/V 0 c.. g. = 2/3 c.. 2/3 c.. 6 f. (see above), and that therefore 0;01,15 volume shekels = 1/48 volume shekels = 9116 • 2/3 c.. 2/3 c.. 6 f. = 1/2 c.. 1/2 c. ·6 f. Hence, presumably, the two baskets are of the same general form and have the same height, while the ratio between their horizontal extensions is 4:3. It must be a matter of conjecture what the precise form of the mud baskets really was. Von Soden (XX. DOt 1977) refers to an Early Dynastic copper statuette (Salonen 1972, pI. 9) of a man carrying on his head a cube-shaped object: a stone, a square basket, a few tile-bricks? According to Powell (1982), the third alternative seems to be excluded, since plane bricks were not used during the Early Dynastic period. If the object is, for instance, a basket of the larger kind with the volume 0;02,13,20 volume shekels, then the only acceptable interpretation is that its linear dimensions were either 2/3 c.. 2/3 c.. 1/5 c. or 1/3 c.. 1/3 c.. 4/5 c. In both cases, the proportions do not seem right for a basket to carry mud in.

{: that the large and small carrying baskets with the volumes 4 ) b h h d In that Suppose, t h ererore, 0.02 13 20 and 0·01 15 volume shekels (as in NSd 5 were ot cone-s ape . ' ft' he two kinds of baskets may have been computed as follows: , , h' I case, t e vo umes 0 5 V = 1/3 • 3/4 • 2/3 c.. 2/3 c.• 4/5 c., di.ameter d = 2/3 c., hei.ght h =_ 44/ c. =_ 20 f. Large gisdusu: 1 h h h /5 20 f Small gisdusu: V = 1/3 • 3/4 • 1/2 c.• 1/2 c.• 4/5 c., dIameter d = /2 c., elg t c. -. .

Compare the cryptic entry 6 ma-aJ-su-u-um sa si&l in NSd 4l. See now also MCT, text L § 16 (Section 8.4 below, and MCT, text P (Section 9.4 below). (These are new readings.)

.

d' the diameter of the circular opening of the basket, and h the mner he1ght \see

H

th~r~g~;e above). The area of the circular opening is co~puted by.use ?f the ~q~a~~

A

= 3/4 . 0 d, which results from the standard Babyloman approx1matIOn 1t -. . Vvolume of a cone with base area A and height h is comput~d. by ~~e of the equation 1/3' A . h, which was known by the Babylonian mathematIClans.

5.2 Constants for the Construction of a Wall of Rammed Earth (a Clay Wall) . f .. . d' a 'clay wall' are known . Sin le work norms for the construction 0 a ptttqtum = 1m. u. fro! four Old Babylonian tables of constants. The quote~ work norm 1S 3~45 vol~me shekels of mud per man-day, and also, in two cases, the rec1procal value, 0; 1 man- ays per volume shekel of mud: 3.45 sa sa

3.45 16?

., b 191.gU igi.gub ., b 191.gU

3.45 3.45 16 3.45

sa

B 4

pi-ti-iq-tum pi-ti-iq-ti pi-ti-iq-ti «pi-tiq> > saQar kli kli saQar ., lm.du.a

pi-ti-iq-tim su.ba·ban.te <su>. a.an.te

clay wall BR 43 clay wall BR 44 clay wall E 13 clay wall Ka 32 mud, silver, to receive '1 r mud to receive Ka 33 SI ve , , NSd 17 clay wall . ' .

The constant 3·45 appears also in four mathematical texts, of whICh one 1S from Ur Ill. ,

igi-gub-bi-ka igi-gub-bi-ka

3.45

Another possibility is that the gisdusu baskets appearing in the table of constants were cone-shaped, as the basket which Ur-Nanshe of Lagash carries on his head in a wellknown relief figure on a votive plaque (see Salonen 1972, pI. 10). This tentative interpretation is supported by the circumstance that the pictogram which eventually evolved into the cuneiform sign il 'to carry' clearly shows a head, on top of which there is some kind of platform supporting a cone-shaped basket.

103

lORAN FRIBERG


3.45 3.45 gurus.l.se

sahar

9,20 ? 9,6.40 ?

igi.gub igi.gub

I

•

•

(pt-tt-tq-tum) (pi-ti-iq-tum)

d' ) es.gar lm;, u.a, u4·l. a 3 3 5 gm. ta IV

,

(.

cla wall y clay walall k clay w l,tas

IM 53961 IM 54011 YBC 4673 § 11 UET 3, 1386

Totally unexplained are the following two suc~essive entries fro~ a tab~ of c~n(~:;~, which a arently give the values of two combmed work nor~s or mu wor . , howeve;'ln the second of these entries, that 9 and 6.40 are rec1procal n~mbers.) sahar {Ul sah ar {Ul

si&l dli im.dli.a

to carry mud, make bncks to carry mud, (make a) clay wall

5.3 IM 53961. Building a Clay Wall with a Rectangular Cross Section IM 53961 (Baqir 1951, text 4). Conform transliteration and translati?n.. 11 b' Akk d' An Old Babylonian excerpt text from Tell Harmal, written almost enmely m sy a lC a lan.

20

21

See the new mathematical topic text BM 96954 (Friberg 1996).

Ka 35 Ka 36

lORAN

104

2 3 4

5 6 7 8

9 10 11

sum-ma ki-a-am i-sa-al-ka um-ma su-u-[ma] I pi-ti-iq-tum si-ta am-ma-tim I ru-up-su-um am-ma-at me-li-um I is-ka-ar if-te-en a-wi-li-im I mi-nu-um at-ta i-na e-pf-si-ka I [10]? a-na me-li-ka i-si-i-ma I 10 i-li 10 sa i-li-a-ku-um I igi 10 Pu-!u-ur-ma 6 i-li I [6] sa i-li-kum a-na 3.45 i-gi-gu-bi-ka I [zl-Si-i-ma 22.30 i-li 22.30 sa i-li-kum I is-ka-ar if-te-en I a-wi-li-im i-li

If so asks you somebody this, [then]: A clay wall. Two cubits is the width, a cubit is the height. The work norm for a man is what? You, in your doing: [l0)? to your height raise, then 10 comes up. 10 that comes up for you, the opposite of 10 release, then 0;06 comes up. [0;06] that comes up for you, to 3;45, your constant, raise, then 0;22,30 comes up. 0;22,30 that comes up for you, the task of a man comes up.

The object considered in this text is a clay wall in the form of a rectangular prism, that is with a rectangular cross section. The width of the wall is 2 c., the height is only 1 c. The length is not indicated. The work norm for the construction of the clay wall, in terms ofthe volume built per man-day, is given as 3.45

i-gi-gu-bi-ka

3,45, your constant

IM 53961

However, the point of the computation is to compute the work norm in terms of the progress per man-day of the building of the wall (in the length direction). Thus, first the area of the cross section is computed. It is 2 c.. 1 c. = 0; IOn .. 1 c. = 109.. c. Then the work norm, 3;45 volume shekels per man-day, is divided by this area. The result is 22 3;45 n .• n.. c. (per man-day) 110 n.. c. = 0;22,30 n. (per man-day) (= 4 1/2 c. (per man-day)).

5.4 IM 54011. Building a Clay Wall with a Trapezoidal Cross Section IM 54011 (Baqir 1951, text 10; von Soden 1952: 54). Conform transliteration and translation. An Old Babylonian excerpt text from Tell Harmal, written almost entirely in Akkadian.

2

3 4

FRIBERG

105


[sum-ma ki-a-am i]-sa-al-ka um-ma su-u-ma I pf-ti-iq-tum a-sa-al si-du-um si-ta am-ma-tim I ru-up-su-um kus be-pe? a-na e-le-nu-um k[u-bu-u] r I ni-ka-ds mu-lu-um e-pf-ru-ka it [a-wi-lu-ka] I

[If so a]sks you somebody this, then: A clay wall. A rope (10 n.) is the flank. Two cubits is the width. A cubit, break? (1/2 c.), above it is [thic]k. A nikas (3 c.) is the height. Your mud and [your men]

u-ma-ka-la-tum mi-nu-um at-ta i-n[a e-pi-si-ka] I 6 Si-ta-am-ma-tim ru-up-sa-am it kM be-pe? I 7 ku-mu-ur be-pe-e-ma 6.15 be-pu-su I .. 8 [6.] 15 a-na ni-ka-ds mu-lt-zm 9 i-S[i-ma] I [1]8.45 ta-mar 18?.45 a-na a-sa-[al si-di-im] I 10 i-si-ma 3.[07.3]0 ta-mar 3.07.30 [e-pi-ru-ka] I 11 na-ds-hi-ir-ma 3.45 i~gi-gu-b[u-ka ... ] I 12 [i]-gi 3.45 pu-tu-ur-ma 13 a-na [3.07.30] I e-pi-ri !-ka i-si-ma 50 ta-[mar] [50 a-wi-lu-ka] I 14 sum-ma ki-a-am i-sa-al-ka um-ma [Su] -u-[ma] I 15 [i] s-ka-ar a-wi-lim is-te-en [ki] ma-[,I'zll 16 at-ta i-na e-pi-si-ka 17 si-ta [am-ma-tim] I [ru-up-sa] -am it kM be-pt? mu? -bi-[im] 18 [ku-mu]-ur?-ma I [be-p]e-ma [6.]15 be-pu-su 19 [6.15] a-na I n[i-ka-ds] [mu-~ i-im i-si-i-ma [1]8.45 ta-mar I 20 [i-gi 18.]45 pu-tu-ur-ma [3.12] a-na 3.45 [i-si-ma] I 21 [12 ta-mar 12] if-kaLar?-ka?-ma

.

[ ......... ]

d m 10 s unusual terminology. Therefore, the transhterThis text IS badly preserv it eats, then now, 1 c. of width, 1 c. of height it adds on. In 1/2 n. of flank, of mud, wha[t is packed together]? The n[ew mud and the old mud] are [what]? [10 shekels is the mud]. 2[1/2 shekels is the old mud], [7 1/2 shekels is the new mud]. An old dike. 1 c. is the width, 2 c. is the height. Now, 1 c. of width, 1 c. of height it adds on. In 1 c., 1 c. it eats. In 1/2 n. of flank, of mud, what is packed together? 1/3 sar 21/2 shekels of mud. The n[ew mud and the old mud] are what? 10 shekels is the old mud, 121/2 shekels is the new mud.

In the interpretation of YBC 4673 §§ 13-15 proposed here, it is assumed that the form of the 'dike' is a triangular prism as in figure 5.2, to the left. The interpretation proposed by Muroi (1992b) is that the dike is composed of two facing parts, one on each side of a canal. In that case, the cross section of the dike is the sum of two right triangles, as in figure 5.2, to the right. The width of the dike is in this case equal to the lower width of each triangle. No serious objection can be raised against this alternative interpretation, apart from the obvious lack of physical stability of vertical mud walls regularly licked by water.

1 c.

1 c.

4 c. 6 c.

dike.

1 c. is the width, 1 c. is its In 1 c., 1 c. it eats, then in 1/2 n. of flank,

1 c.

2 c.

YBC 4673 §§ 13-15 (MKTIII: 30; TMB 621-623). Conform transliteration and translation. Three isolated exercises situated in the middle of an Old Babylonian mathematical recombination text. Figure 5.2.

5.7

Two explanations of the "old and new dike" problem.

UET 3, 1386. An Ur III Account of the Building of a Clay Wall

The followin account from Ur demonstrates that the work no~m 3;45 volume .she~els per man-day 10r the building of a clay wall was applied already m the Ur In penod. UET3, 1386 (Vaiman 1961: 244). Conform transliteration and translation. An account from Ur. 1

2 3 4 5 6 7 8

9 10

la 2' ninda gid 3 kits dagal I 3 kits sukud I a.sa 142' sar 72' gin I 72' ninda gid 2 kM dagal I 3 kM sukud I a.sa 33' sar 5 gin I sagar? dUB? a.gis.gi I su.nigin a.sa.bi 18 3' sar 2 2' gin I gurus.l.se u4·l. a 33" 5 gin.ta I gurus.bi 4.54 u4·l. se

20

20- 1/2

n. length,

3 c. width, 3 c. height.

Field (= volume)

141/2 sar 7 1/2 shekels.

7 1/2 n. length, 2 c. width, 3 c. height. Field (= volume) 32/3! sar 5 shekels.

The mud release, the workday-equivalent? The total of its Held (= volume): 18 1/3 sar 21/2 shekels. For 1 worker in 1 day, at 32/3 5 shekels. Its workers 4,54 for 1 day. (Names and date.)

This text is an account of the v~lumes of two objects (probabl~~~~:w~~s~.a~~ ~e~n~;;, ber of man-days rhequired tdo bultld t~em7i/;:e.f~s: ~o~~m~ ~2/;! sar 5 ·shekels. The sum of sar 7 1/2 shekels T e secon vo ume IS . .' . 7. b the two volu~es is 181/3 sar 21/2 shekels. The meaning of the phrase ~ l~e Is.not a h solutely clear, but it is likely mat it asks ~or me ~onvers.io~.~~ ~~l~:e s~~~ep:t~:U~ equivalent number of man-days, when t e w~h norm IS, 'is i may be compared with day, expressed in line 9 as 32/35/(JJ shekels. ('v : ter~vka.g .g) D' 'd' 181/3 sar 21/2 d nyms for es gar = IS arum. IVl Ing :;:t~1:~r~8:~2;!~S~~:~ers~y ~~~ shekels per ~an-day, one obtains the number of mandays, which is precisely 4,54, as stated in the text.

r

'V

,

JoRAN FRIBERG

110

6.

III


Combined Work Norms for Work with Bricks or Mud

6.1 Haddad 104 § 9. Crushing, Molding, and Mixing As mentioned in Section 4.1, bricks of type S6v occur in the two "combined work norm" problems Haddad 104 §§ 9 and 10. 23 In the first part of the solution procedure in Haddad_l 04 ~~, ~he wO.rk norms for babiitum 'crushing (the clay?),' labiinum 'molding,' and ~~lalum mI;nng (with water?, or with straw?)' are given. For some reason, the usual term zikarum for task, work norm' seems to be replaced in this text, often, but not consistently, by the word allum, normally meaning 'hoe, pick-axe.' The explicitly given work norms are:

1/20 + 1/20 + 1/10

1 = _1_ = 5 . 0;03 + 0;03 + 0;06 0;12

In the next step of the solution procedure, it is shown that the volume of one brick (of type S6v) is V = 0;02,13,20 volume shekels = 1/27 volume shek~l. Hence, 1 volume shekel is the combined volume of27 bricks. It follows that the combmed work norm, expressed in terms of the number of bricks produced, is equal to a = 5 (volume shekels per man-day) .

2.15 fu-fi si~ if-ka-ar 1 hi

The text as~ fo~ the resul~ing (combined) alii labiinim. In the first line of § 9, this type of pro?lem IS bnefly descnbed as na-al-ba-nu-um ne-eq-re-bu-um. This initial phrase can tentatively be ,~ranslated as 'brick making, combination,' since neqrebum may be derived from qerbum mner, central part,' or from qeribum 'come close.' Compare 'to form an alliance, combine, unite.'

In a "combined work norm" problem, various work moments, each with its own work norm, are i?volved i~ the production of each unit of some specified commodity. The way of solvmg. combmed work n.orm problems is the following: Suppose that in, say, three cons~cutIve mom~nts of a gIven line of work, the separate work norms are w\' W 2' and W3 ~nIts (of s~~e kind) per man-day. Then the number ofman-days required for the productIOn of 1 umt IS 1/w\ man-d . moment 2, and ays'In moment 1, 1/~ man-days In

1

27 (bricks per volume shekel) = 2,15 (135) bricks per man-day.

The result is given quite explicitly in the text as

alli babatim (crushing): 20 (volume shekels per man-day), alIi labanim (molding): 20 (volume shekels per man-day), alli baliilim (mixing): 10 (volume shekels per man-day).

AHw., s.v. qerebum 11.5: ana abamif qerebum

In Haddad 104 § 9, the combined work norm is computed in the following way, in agreement with the general rule formulated above:

1/W]

man-days in moment 3.

!ogether this is l/wJ + I/W2 + l/w3 man-days for the production of 1 unit. It follows that, mverselY' the number ofproduced units in 1 day is 1 l/w\ + I/W2 + l/w3

'2; 15 sixties of bricks is the task of 1 man.'

The procedure goes on, multiplying this combined work norm by three (3 . 2; 15 6;45). It then states, as the final result, that 6.45 fu-fi if-ka-ar al-lim

=

'6;45 sixties (of bricks) is the task of the hoe.'

What this means, although quite cryptically stated, is that 6 3/4 sixties of bricks per manday is the average of the three work norms 20, 20, and 10 volume shekels per man-day, in other words of9, 9, and 41/2 sixties of bricks (of type S6v) per man-day. In this exercise it is shown that the combined work norm for 'crushing,' 'molding,' and. 'mixing,' colle~tively called alli labiinim 'the hoe of molding,' wh~n it is not called allz neqrebim or simply allum, is w = 5 volume shekels per man-day. It IS further s~own that, for bricks (of type S6v) with V = 0;02,13,20 volume shekel~ p~r brick,. an eqUivalent expression for this combined work norm is a = = 2; 15 SIxtieS of ~r~cks per. m~n-day. Now, 2; 15 is equal to the molding number for bncks of.type S6v. ThIS IS no c?mCldence. Until now, it has been convenient to think of the moldmg number .L fo~ a gIven typ~ of bricks as the number of brick sar (of bricks of the given type) cont~m~d m a ~olume sar. Since 1 brick sar = 12 sixties of bricks, this means that L times 12 SIXtieS ofbncks (of the given type) equals 1 volume sar = 60 volume shekels. Hence,

w/:

L sixties of bricks (with the molding number L) := 1/12 volume sar = 5 volume shekels.

Hence: The "combined work norm" is w =

units per man-day. l/w) + l/w2 + l/w3

In bureaucratic bookkee~ing, the numbe~ ot UnIts processed may be counted separately for each moment of the lme of work. ThIS would mean that (cf. below, Section 8.10: The "average work norm" is a = _ _ _3_ _ _ units per man-day.24 l/w) + l/w2 + l/w3

~3 A surve~ of combined work norm problems in cuneiform mathematical texts can be found in Friberg

Mathemauk" (1990-93, § 5.6 h). ' 2: In modern mathematical terminology, this average work norm is the "harmonic mean value" of the three gIven work norms.

Thus, one is led

to

the following conclusion (for bricks with the molding number L):

The combined work norm w for molding:= L sixties of bricks per man-day.

It is quite likely that this was the original definition of molding numbers, not lea~t because of the etymology of the term nalbanum < labiin~m '~o mold,' etc .. Note th~t m the case of unit bricks the combined work norm for moldmg IS equal t~ 1 SIXty ofb~ICks per man-day. This observation adds a new item to the amazing set of UnItary properties characterizing the unit brick!

112


6.2 Haddad 104 § 10. Crushing, Molding, Mixing, and Carrying In Haddad 104 § 10, the phrase is-tu 5 fu-up-pa-am za-bi-lam-ma a-la-bi-in 'from 5 (ninda, that is a) fuppiin bring me (mud) and I make bricks' indicates that the mud for the br~cks ha~e to be carried a distance of 5 ninda = 1 fuppiin (about 30 meters), before the bnckmaking can start. The work norm for this fourth work moment can be computed as follows (see above, Section 5.1): 1/27

volume shekels per basket. 45 baskets. 1,00 ninda per man-day 5 ninda

It is given in the text as 20 volume shekels per man-day, which is correct, since 1/27. 45 . 1'~/5 = 5/3 • 12 = ~O. Thus, in this case the combined work norm is formed by combinatIOn of four partIal work norms and is equal to 1/20 + 1/20 + 1/10 + 1/20

003 ;

+00 ; 3+

0;0 6

+

0;03

=

1 0;15

=

4 volume shekels per man-day.

JoRAN FRIBERG ¥BC 4669 § BI0 (MKTIII: 28; TMB613). Conform transliteration and translation. An isolated exercise situated in the middle of an Old Babylonian mathematical recombination text. 1 3

lu.l.e 20 ninda us I he.gul.gull he.iUII i-na si.te.en u4 I he.gul.[gul] I i-na si.te.[en u4] I he.fl.[ll] I i-na igi.5.gil u4 12 I 5 gin gul.gull i-na 48 ib.ta~ u4 I 5 gin iUI

4 5 6 7 8

9

1 man, 30! ninda length. May he demolish and carry. In a fraction of a day he may demo[lish], in a fraction [of a day] he may car[ry]. In 1/5 of a day, 0; 12, 5 shekels he demolishes. In 0;48, the remainder of the day, 5 shekels he carries.

In the formulation of this problem, it is silently understood that known work nor~s are applied in the case of both the 'demolishing' (of an old ~rick wall?) and the carryIng .(of bricks) (cf. the partial demolishing of an old clay wall In YBC 4673 § 12). CountIng backwards from the given solution, one can find the assumed values of these work norms: The work norm for demolishing: w The work norm for carrying: w~

Just as in Haddad 104 § 9, the combined work norm is multiplied by 3 in order to find the ifkar allim. It is not clear if this is an error. Ifthe purpose of this last operation was to compu.te the average (the harmonic mean value) of the four given work norms, then the combIned work norm should correctly be multiplied by 4, not by 3. A final remark: The curious name alli labiinim 'the hoe of molding,' for the combined ~ork norm of crushIng, mixing, molding, (and carryin~ may be elliptical. Compare, for Instance, the follOWIng phrases, quoted in CAD, S.v. allu b 2e': 'I had them take up the hoe and the basket, and they made bricks,'

ufazbila kudurrf

25 volume shekels per man-day.

= 6;15 volume shekels'

30 ninda per man-day.

w

=

(1/12 volume shekel per talent) . (1,15 talents' 30 ninda per man-day)

6; 15 (25/4) volume shekels . 30 ninda per man-day.

The equations for the work norms can be expressed in inverted form as

l~~ ~ 8l8~:3~ ~l~§~ ~~g=~~~;p~rV$JY~~es~~!l (when the distance is 30 ninda),

and gis al-lu tupJikku ufafft1uniiti

=

The value of the second of these work norms can be established independently. Indeed, it was shown above (in Section 3.3) that the common carrying number for all kinds of bricks was 37;30 talents· 1,00 ninda per man-day = 1,15 talents· 30 ninda per manday, and that the weight of 1 volume shekel of bricks was assumed t.o be. 1~ t.alents (Section 3.2). Combining these two equations, one finds the result ImplICIt In the text, namely that 2 =

al-lu tupfikku uSassiJuniitima ilbinu libitti

113

llw

'I had them take up the hoe and the basket and had them carry the corvee basket for me.'

= llw] +

1/W], = 0;12

(l/5) man-days per volume shekel (when the distance is 30 ninda).

These ~hrases clearly indicate that "the hoe and the basket" were symbolic for the various succeSSIve moments of the work of brickmaking.

From these inverted relations it follows immediately that 5 volume shekels of bricks can be processed in one day, and that 0;12 (1/5) of the day must be spent carrying the bricks, while the remaining 0;48 (4/5) of the day is spent demolishing.

6.3 YBC 4669 § BIO. Demolishing and Carrying in Fractions of a Day

In the general case, a similar argument shows that if w1' w2 ' ••• are the indi;idual work norms, while w is the corresponding combined work norm, then the fractIOns of a day spent on moment 1, moment 2, etc., of the processing are

Another e~ample of combined work norms in the context of brickmaking is offered by the follOWIng problem text, which is brief enough to be quoted here:

w/Wl> wIW]"

etc., where w

1

= -----llwj + I/W2 + ...

114

6.4 YBC 4673 § 5. Carrying and Molding in Fractions of a Day YBC 4673 § 5 is another brief problem text, very much like the one above. It, too, is interesting enough and brief enough to be quoted here, although it is full of ambiguities and therefore difficult to interpret: ¥BC 4673 § 5 (MKT Ill: 30; TMB 617). Conform transliteration and translation. Another exercise situated in the middle of an Old Babylonian mathematical recombination text.

1 3 4 5 6 7 8 9

lu.l.e I a.na 30 ninda us I sahar iUI-rna I 1O~ P si~.anse dus.du s I i-na si.te.en U4 I sahar fUll i-~a si.te.en U4 I si~.anse dus.du s I it si~ en.nam 2.401

1 man as much as 30 ninda length mud he carries, then lOP brick piles he molds. In (what) fraction of a day mud does he carry, in (what) fraction of a day brick piles does he mold, and the bricks are what? 2,40

This text begins by mentioning 1 man, repeatedly carrying (iUI) mud for 30 ninda and making (dug.dug) 1 P brick piles. Here 'P' is an ad hoc transliteration of a very rare number sign, which looks like '6,' with a horizontal wedge underneath, and which may be an unorthodox way of writing '16.'25 The text continues by asking for the fractions of a day that the man is carrying mud and making brick piles, respectively. The answer is only vaguely given as 2,40 (bricks per man-day?). In this problem, as in the one above, the assumed work norms for carrying mud and making brick piles are not explicitly indicated.

It is reasonable to assume that the first of these work norms is 1;40 volume shekels (of mud) . 1 us (1,00 ninda) per man-day (cf. above, Section 5.1). The work norm for carrying mud a distance of only 30 ninda would be twice as much. Hence, the first work norm is Wj = 3;20 volume shekels of mud per man-day. On the other hand, in view of the discussion above of Haddad 104 §§ 9 and 10, it is also reasonable to assume that the second work norm is w2 = 5 volume shekels = the volume of L sixties of bricks per manday. An added complication is that there is no hint in YBC 4673 § 5, an exercise without context in a recombination text, of which value L is supposed to have. Assume anyway, for the sake of the discussion, that the bricks considered are of type RI v, so that the molding number L equals 6 brick sar per volume sar. In that case, W 2 must be equal to the volume of 6,00 bricks per man-day. The combined work norm for carrying and molding in this exercise is lOP = 10 . 16(!) bricks = 2,40 bricks per man-day, as indicated (?) in the last line of the text. Since 25

JoRAN FRIBERG


A small unpublished tablet from the YOS collection contains the sign P six times, but no other writing.

115

2 40 = 4/9 . 6,00, this is only 4/9 of the 6,00 bricks of type RI v that would be mo~ded in a' full day's work. Therefore, 4/9 = 0;26,40 is the fraction of the day spent moldmg. the bricks. The remaining 5/9 = 0;33,20 is the fraction of the day that the m.ud for the bncks is carried a distance of 30 ninda. Furthermore, the volume of the bncks of type RI v molded in 4/9 of a day would be 4/9 . 5 = 2JJ/9 volume shekels, and the volume of the mud carried a distance of 30 ninda in 5/9 of a day would be 5/9 . 3;20 = 50/27 volume shekels. All this means that if the multiple assumptions made above are correc~ then 50/2: volume shekels of mud would be enough for 2JJ/9 = (JJ/27 volume shekels of bncks. E9U1v~entlf' 1 volume shekel of mud would be enough to make 6/5 volume shekels of bncks. ThIS result is, perhaps, not surprising, in view of the fact that mud, :water, a~d .straw were mixed together in order to make the bricks. Compare the followmg entnes m three tables of constants: 1.40 3.20 3.36 1.20 it 15 2.13.20 it 1.15

i-gi-gu- bu i-gi-gu-bu

sa

na-az- ba-aI na-az-ba-al na-az-ba-al

sah a r seln.ndu.da in.nu. a a gisdusu

carrying, mud carrying, straw straw

carry~ng'bwakter carrymg as et

GE23 GE24 NSe22 NSd44 NSd45

The constants for the carrying of mud and of straw are located in two. successive l~nes of table G, and the constants for the carrying of water and for the carryIng of mud m baskets in two successive lines of table N5d. Therefore, these constants must refer to mud, straw, and water used together for the making of bricks.

6.5 G E22-29. Combined Work Norms in Goetze's Table of Constants The following table of constants in a section of Goetze's "compend.ium" of Babylonian mathematical problems (Goetze 1951) has not been properly explamed before: 45 1.40 3.20 2.13.20 4 [5] 6.40 10

i-gi-gu-bu i-gi-gu-bu i-gi-gu-bu al-Iu-urn al-Iu-urn al-Iu-urn al-Iu-urn al-Iu-urn

na-az- ba-a I I na-az- ba-a na-az-ba-al a.na 40 ninda a.na 20 ninda a.na 15 ninda a.na 10 ninda a.na [5] ninda

·

Sl~

ah

s ~ar

carrying, bricks carrying, mud

se.in.~u.~a

~~~~i~~~ ~~a:nda I carry

a-za-bi-i a-za- i-il a-za-bi-il a-za-bi-il a-za-bi-il

'hoe' cor 20 ninda I carry

GE 22 GE 23 GE 24 GE 25 GE 26

[I

'hoe' for 15 ninda I carry 'hoe' for 10 ninda I carry 'hoe' for 5 ninda I carry

GE 27

g~;~

The table begins with the carrying number 45 (sixties of bricks . 1 us per man-day! for 'bricks' (of type 58: 1 c.. 1c.. 5 f.), the carrying number 1;40 (volume shekels· 1 us per 26

The gratuitous assumption that L

=

fo~ L would le~d c~mplicated r~tIo ~erweenf ~h~

6 was made here because other choices of a value

to a less elegant (reconstructed) resolution of the problem, namely.a more

time spent carrying and the time spent molding, and a more comphcated ratio berween t e vo ume mud and the volume of the bricks produced from the mud.

0

116


ma~-day) for 'mud,' an~ the carrying number 3;20 (volume shekels. 1 us per man-day?) for straw. Each followmg paragraph of the section is of the form 'a is the hoe, as much as d ninda I carry.'

1;4O/d volume shekels . d us per man-day.

Unde~ this assumption, it is easy to find a second work norm w as the solution of th equation l/wd + 1/w2 -- a, wit . h match·mg val ues ror C • 2 e d and a mserted. It turns out that W2

7.

117

Market Rates of Bricks, Relative to Silver or Barley

7.1 Old Babylonian Market Rates for si~ Bricks, Relative to Silver

There is. no obvious relation between the successive values of the distance d and the cor~esp?ndmg values of the p.arameter a. However, as shown above, in § 7 b, the term altum .hoe I?ay refe~ to a c~mbzned work norm for brickmaking. Therefore, suppose that what IS carned her~ IS mud m baskets, and that the work norm for carrying is w = 45 carrying 1 bask~ts . 1 us pe~ man-day := 1;40 volume shekels of mud . 1 us per man-day. For the carrymg of mud m baskets a fraction d of 1 us, the equivalent work norm is Wd =

JoRAN FRIBERG

= 20 volume shekels per man-day (the single work norm for just 'molding'?).

One isolated item in a table of constants may refer to the market rate of bricks: 27 4.24

ma-aI-qd-al-tum fa

si~

payment for bricks

NSd36

In order to see what this entry may refer to, first recall that the presumed combined work norm for brick molding, deduced from Haddad 104 § 9, is 5 volume shekels per manday (see above, Section 6.1). Add to this the fact that in Old Babylonian mathematical texts such as, for instance, YBC 4657 (= MeT, text H), the wages per hired man and day is 6 barley-corns = 1/?JJ shekel of silver. Through combination of these data one finds that the market rate of bricks deriving from labor cost alone, in silver, ought to be 1 shekel of silver

:=

30 . 0;05 volume sar of bricks = 2;30 volume sar of bricks (?).28

Indeed, let. Wd = 1;4O/d (volume shekels/man-day), W2 = 20 (volume shekels per man-day) The combmed work norm can then be computed as follows in the various cases: .

On the other hand, by definition, L brick sar of bricks (with the molding number L) equals 1 volume sar. Therefore, presumably,

If d = 0;40 (us), then a

1 shekel of silver := 2;30 • L brick sar (?).

= 40/1,40 + 1120

1 1 0;24 + 0;03 = 0;27 = 2;13,20 (volume shekels/man-day).

If d = 0;20 (us), then a = If d= 0;15 (us), then a If d= 0;10 (us), then a

1 =

1 0;15

=

4 (volume shekels/man-day).

=

1 0;12

=


0;06 + 0;03

=

1 0;09

=

6;40 (volume shekels/man-day).

0;03 + 0;03

=

1 0;06

=


20/1,40 + 1120

0;12 + 0;03

15/1,40 + 1/20

0;09

1

=

+

0;03

1

= 10/1,40 + 1120

If d = 0;05 (us), then a =

1 5/1,40 + 1/20

1 shekel of silver

This interpretation verifie~ the values for d and a listed in the quoted lines of the table o~ constants. I: .also expla~ns why the otherwise frequently occurring distance d = 30 mnda = ?;30 us IS so conspl~uousl! absent in this enumeration of combined work norms ~or car~mg mud and moldmg bncks. Th: reason is that in this particular situation, if d - 30 nmda, then a turns out to be the recIprocal of a nonregular sexagesimal number so that the value of a cannot be computed, at least not easily. Indeed, if d = 30,

then a =

1 30/1,40 + 1120

1

In particular, since 2;30 . L = 2;30 . 7; 12 = 18 for bricks of type RI, and since 1 brick sar = 12 sixties of bricks, a reasonable conjecture is that

- - - - = -1- = 20/7 = n 0;18 + 0;03 0;21 ...

:=

18 brick sar = 3,36 sixties of bricks, for bricks of type RI (?).

This tentative suggestion may be compared with what is actually known about market rates for bricks in Old Babylonian texts (c£ MeT: 97, fn. 260). In particular, VAT 1056 (Ungnad 1909: 86), contains the following text of a contract: 1 gin ku.babbar ... a.na si~ ... su.ba.an.ti.md ... 16 sar si~ iti e-lu-nim i-na-di-nu-u u-ul i-di-nu-u-ma 2 gin ku.babbar Llal.e.md ...

Here 1 shekel of silver is paid for bricks. It is promised that 16 sar of bricks will be delivered by the month elunu (the sixth month). If this is not done, a fine of 2 shekels of silver, double the received payment for the bricks, will have to be paid. Thus, this text seems to show, in fairly good agreement with the tentative suggestion above, that 1 shekel of silver

:=

16 brick sar of si~ bricks = 3,12 sixties of bricks, for bricks of type RI (?).

Another text that may be relevant for the present discussion is the school text YBC 7284 (MeT, text Oa), shown here in conform transliteration within an outline of the tablet. The term maIqaltum 'weight, payment' is derived from the verb faqiilum 'to weigh, to pay.' So is also, by the way, the word Hqlum 'shekel.'

27

28 The "market rate" of a commodity is the inverted price of that commodity. It expresses how much of the commodity one can get in exchange for 1 unit of payment (1 shekel of silver or 1 gur of barley).

118


An Old Babylonian school text mentioning the volume, the weight, and, possibly also the market rate of si~ bricks. The text further mentions the constant '12,' which is the weight, in talents, of 1 volume shekel of bricks.

Figure 7.1.

In the transliteration here, the superscript ° indicates tens. Thus, 4° 1 4° means 41.40, etc.

YBC 7284 = MeT, text Oa.

~ ~enti~ned in Se~tion 3.2, the reverse of this tablet contains

. ,re ernng to t e VOlume of a bnck of typ RI 1/7;12 = 0;00,41,40 volume shekel, and the nu b ,e ',namef °th tyPale RI 'fnam (1 . 1/7;12 = 8 1/3 e v ue 0 th e constant (by whi h I' I . c onhe h as to ~u tIp y ~he volume in order to get the weight). The last bit of' n matic note '1 3 40' h' h . I . In ormatIon on t e reverse IS the emg, w lC IS not exp amed in any way It must h h' with weight and with bricks of type RI Th I h" h aye som~t mg to do I (0 I ~ ; 5 vo um~ shekel) .

;~~~~~~:;;~~h:~:ta, ~~~Cl~S

~ly ta1~nt)

m~n~.\t;~fo~;!:

may be areference to the market rate of bricb :~ ~el~ ~ ~~:~;:~~:~7~~~ir~at it 1 shekel of sIlver

:=

3,40 sixties

=

18 1/3 brick sar, for bricks of type RI (?).

This conjectured market rate of 181f3 brick sar is not very f r fi h k 18 brick v db h a rom t e mar et rate v fi sar ~uggeste y t e hypothetical equation 1 shekel of silver '- 2'30 Lb' k sar, or rom t e market rate 16 brick sar suggested by the evidence of th~~ex~ VAT 10~1~.

n the meaning of the line' 4.24 ~a~:q~~;_t:~c~;!~~~r~ ~S~ s~~:y~dcl,::mely that

The conjecture that the enigm t' c '1 3 40' bricks for 1 shekel of silver' I ad note h r~ ers to a market rate of '3,40 sixties of

1 shekel of silver ;= 4,24 sixties = 22 brick sar, for bricks of type RI (?).

The situation so far is quite fu d Th Old Bab l ' k con ~e. ere are now four candidates for the value of the y oman mar et rate of bncks of type RI, namely VAT 1056: labor cost: YBC 7284: NSd 36· .

1 shekel of silver ;= 3,12 sixties = 16 brick sar 1 shekel of silver ;= 3,36 sixties = 18 brick sar' 1 shekel of'l '- 3 40 " 1 .: 1 h k s~ ver.-, s~xt~es = 18 12 bnck sar s e el of sIlver := 4,24 SIXtIes = 22 brick sar

= =

119

not very likely, that the first market rate above refers to bricks that are larger than bricks of type RI, and that the fourth market rate refers to bricks that are smaller than bricks of type RI. 29 Instead, the explanation for the apparent variation of the market rate may be simply that the market rate was an economical parameter, unlike the molding number, the carrying number, etc., which are essentially physical parameters for the bricks. Two of the four market rates above can be interpreted as "almost round numbers." An almost round number is a large and round number increased or decreased by one n-th of itself, where n is a small integer. Ever since the invention of the (proto-)cuneiform script, and even before that, the use of almost round numbers was a permanent feature of certain kinds of (Middle Eastern) economical texts, probably for fiscal reasons (c£ Friberg 1994, 1997/1998).

within a frame the

(;):re s~~:~ti!~ ;h~I~:~~:~~ti'~~~ t~e "!'swer: h'Its w;ight is'8 1/} ~ina.' On ~he re~~;:~ 1

lORAN FRIBERG

(1 + 1/10) • 162/3 brick sar (1 + 1/10) • 20 brick sar. '

Of these four market rates only the sec d ( . . non ~ ~o~e~ture) and the thud (a tentative interpretation) are definitelr'know t n 0 re er to nc 0 type RI. It is conceivable, though

7.2 An Old Akkadian Market Rate (?) for

si~

Bricks

The market rate suggested by the Old Babylonian contract VAT 1056, namely 16 brick sar per shekel of silver for bricks of type RI, may possibly explain the meaning of some enigmatic texts from the Old Akkadian period (several hundred years before the Old Babylonian period). Five small day tablets from Lagash/Girsu, ITTl, 1338, ITT2, 2832 (Thureau-Dangin 1910), ITT2, 4373 (de Genouillac 1910-11), STTI L. 4389 and 9327 (Donbaz and Foster 1982) are all inscribed with nothing else but Ix 6cd si~ dus.a u4.n.kam '16 (?) of bricks moIded, the n-th day.'

Here 'cd' is the number sign which in conventional Sumerian sexagesimal notation has the value 10,00 = 600, while Ix seems to be written as lcd cross . (The copies of the five texts are somewhat contradictory at this point.) There is no reason to doubt that this number, Ix 6cd, is expressed in a certain, badly understood Old Akkadian system of number notations, known, in particular, from some Old Akkadian royal inscriptions. There are indications that the number system was sexagesimal for small numbers but decimal for large numbers. Thus, it is likely that the number Ix 6cd means 1 . (10 . 10 . 60) + 6 . (10 . 60). If that is really the case, the recorded brick number can be interpreted as Ix 6cd bricks = 16 . 10 . 60 bricks = 5/6 • 16 • (12 . 60 bricks)

= 5/6 •

(16 brick sar)

=

13 1/3 brick sar.

Now recall that the volume of a brick of the variant type RI v is 6/5 times the volume of a brick of the main type RI. Therefore, the market rate of bricks oftype Ri V ought to be 5/6 of the market rate of bricks of type Ri. Then, since 16 sar of bricks of type RI for 1 If 16 brick sar per shekel of silver was a fixed market rate for bricks of type RI, then, for instance, 20 brick sar per shekel would be 5/4 times that fixed market rate and would therefore be the market rate for bricks that were 4/5 times as big as bricks of type RI and had the molding number L = 5/4 • 7;12 = 9. This is the molding number for bricks of type S2v. However, it is not very likely that the market rate for any kind of square-bricks would be called mafqaltum sa si~, since si~ denotes two-thirds-bricks. 29

120

JGRAN FRIBERG


shekel of silver is a market rate attested by the contract VAT 1056, it is reasonable to assume that the corresponding market rate for bricks of type RI v was 1 shekel of silver := 16 . 10 . 60 bricks = 2,40 sixties = 13 1/3 brick sar, for bricks of type RI v (?).

If this very te~ltative interpreta~ion is correct, then the almost identical inscriptions on the five mentIOned Old Akkadlan tablets may be the record of the daily production (by a team of 30 men?) of 1 silver shekel's worth of bricks of type RI v.

7.3 An Ur III Market Rate for

si~

Bricks, Relative to Barley

~L 265 and ~6~ (~au~en .1978) are two closely related receipts from Lagash (both

wIth envelopes) gIvmg mdlcatIons about market rates for sig4 bricks in the Ur III period. The recorded equivalences are the following: NYPL 265: l(bar~g) 4(ban) (= 1/3 gur) of barley := 7 2/3 brick sar, hence 1 gur:= 23 brick sar, NYPL 266: 3(bang) 2(ban) (= 2/3 gur) of barley := 15 brick sar, hence 1 gur:= 221/2 brick sar.

Since 23 is a n?nregular num?e.r, ~ut not an almost round number, it is probably the result ~f roundmg. Therefore It IS lIkely that 221/2 (= (1 + 1/8) . 20) brick sar per gur of barley IS the correct market rate here. It can be compared with the 22 (= (1 + 1110) . 20) brick sar per shekel of silver in NSd 36. (Indeed, 1 gur of barley := 1 shekel of silver was ~he norm~ Sumerian and Babylonian rate of exchange for barley and silver. Thus, for mstance, m the excavation prob!ems in MeT, text G, and MeT, text K, the monthly wages for 1 man are 1 shekel of sIlver and 1 gur of barley, respectively. See the discussion of this matter in MeT: 80.)

7.4 Ur III and Old Babylonian Market Rates for si~.al.ur5.ra Bricks HS 1065 and 1310 (Pohl 1937) are two receipts from Lagash yielding some information ab?ut market rates for si~.al.ur5.ra bricks in the Ur III period. The recorded equivalences m these two cases are the following: HS 1065: 2(barig) 3(ban) (= 1/2 gur) of barley := 4,12 si~.al.ur5.ra bricks, HS 1310: 1 gur of barley := 8,24 si~.al.ur5.ra bricks.

The two statements confirm each other; the market rate is precisely the same in both cases. Nevertheless, the market rate established by these two texts is astonishingly small. Indeed, 8,24 = 42 . 12 = (1 + 1/6) . 36 . 12 = (1 + 1/6) . 3/5 . 12,00. Therefore, 8,24 is an almost round number, and the market rate can be expressed as HS 1065 and 1310: 1 gur of barley := (1 + 1/6) . 3/5 brick sar of si~.al.ur5.ra bricks. It is interesting to compare this result with an observation made as long ago as in Scheil (1915: 162), namely that an Old Babylonian text (Schorr, VAB 5, 1913: 156), dated to the tenth year of Hammurabi, mentions five shekels as the price for 3 sar of kiln-fired bricks. The corresponding market rate is, of course,

121

VAB 5, 156: 1 shekel of silver:= 3/5 brick sar of si~.al.ur5·ra bricks.

These market rates for square-bricks may be compared with the Old Babyloni~n market rates for bricks of type RI discussed above in Section 7.1. Recall that the ~oldlng number Lis 7; 12 = 36/5 for bricks of type RI but only 1; 12 = 6/5 for the largest kind o.f squarebricks, those of type S8. Since 36/5 + 6/5 = 6, this means that the largest square-br~cks were six times as heavy as the common two-thirds-bricks of type RI. Therefore theI: market rate ought to be only 1/6 of the market rate of bricks of type RI. Now take, for mstan.ce, the market rate 18 brick sar per shekel which is suggested by labor cost alone, and whIch is close to the market rate possibly recorded on the round school tablet YBC 7284. Then it is clear that 18 brick sar per shekel for type RI ought to be the same as 3 brick sar per gur for type 58.

.

Or, take instead the market rate 16 brick sar per shekel implied by the Ol~ Babyloman contract VAT 1056, and consider square-bricks of the common type S6, Wlt~ the mold. b r L - 2·42 - 27/10 In this case 2;42/7'12 = 36/5 + V/lO = 8/3, Therefore bncks of type mg num e - , - . " . 3 h S6 are 8/3 times as heavy as bricks of type RI, and theIr market rate ought to be /8 of t e market rate of bricks of type RI. It follows that 16 brick sar per shekel for type RI ought to be the same as 6 brick sar per gur for type S6.

The two possible cases considered above are the most probable ones because they lead to expected market rates for the square-bricks expressed in terms of small integers. How then is it possible to explain that the mentioned market rates for square-bricks are only'3/5 and (1 + 1/6) . 3/5 brick sar per gur, that is essentially only 1/5 or eve? l/lO of the market rates suggested by comparison with the known mar~et rates for bnc~ of type RI? Is it because the square-bricks in question were actually kzln-fired square-bncks, and because the firing of the bricks was so costly that the market rate had to be decreased to 1/5 or even only 1/10 of the market rate for unfired square-bricks?

7.5 ITT 5, 6908 and 6677. Ur III Work Norms for si~ Bricks The inscription on the obverse of ITT 5, 6908 (de Genouillac 1921) is 48 sar si~ I gurus.e U4.l.a l.20.ta im.du I i.bi 7.12! guruS.U4·l. se .

.

What this means is that 48 brick sar of sig4 bricks can be produced in 7, ~ 2 ~an-days, If the work norm for brickmaking is 1,20 bricks per man-day. Compare thIS WIth the rule tentatively deduced from Haddad 104 § 9 (above, Section 6.1): The combined work norm w for molding:= L sixties of bricks per man-day.

According to this rule, a work norm of 1,20 bricks per. man-day would correspo~d to a molding number equal to 1;20. There is. no kn.own bnck type that exa.ctly fits t~IS prescription (see Table 4.2). The closest fit is provided by type S~, for which L = 1,1~ and (1 + 1/10) • L = 1; 19, 12 ~ 1;20. However, this is not a good solutlo~ to the problem either, because the bricks in ITT 5, 6908 are si~ bricks, not square-bncks. Note, by the way,

122

JoRAN FRIBERG


that 1,20 bricks per man-day is the same as 40 sixties or 3 1/3 brick sar per man-month, hence per shekel of silver.

ITT5, 6677 is a (fragment of a) small tablet recording several amounts of bricks (debits against crew foremen). The sum of the amounts is recorded on the reverse as su.nigin 9 (10 minus 1) sar

si~

123

The meaning of some of these constants is not c~ear. It. is likelr' h~wever, that most, i~ not all, of them are concerned with 'excavations or wIth the mamtenance of can~s. This will be made clear below by taking a close look at a numbe.r of Old Babyloman mathematical exercises concerned with the computation of combmed work norms for digging at various levels of an excavation or a canal.

Ila.ni.am I a 10 u4.kam.

This seems to I?ean that a total of9 brick sar of sig4 bricks is owed, and that this is equivalent to the bncks produced by a brickmaker in 10 days (?). If the interpretation is correct, th~ corresponding work norm is 9/10 brick sar = 10;48 sixties of bricks per man-day. AccordIng to the rule mentioned above, this would imply bricks of type S2 (see again Table 4.2). However, as in the previous example, this conclusion is in doubt because bricks of type S2 are square-bricks, and therefore not sig4 bricks. Note also that in this case 9/10 brick sar per man-day is the same as 27 brick sar per man-month.

7.6 Late Babylonian Work Norms and Market Rates for agurru Bricks

8.1 YBC 7164 § 6. Digging a Three-Level Canal. Unequal Volumes YBC 7164 (MeT, text L) § 6. Conform transliteration and translation. An exercise in an "abbreviated theme text" with the theme pas·sig 'narrow canal.' pas·sig 5 us us 3 kitS dagal I 4(bur) aSa5 si~. iz.zi.da du.a igi.5.gil.bi A.KA ba.an.ni.ib.gill 9(bur) 1(de) asa5 1.022' sar si~.za.ri.in ki.sa.a sukud.bi 10 kM I 1(ese) 3(iku) aSa5 10 sar si~.u.ku.ru.um ki.sa.a sukud.bi 10 kM I a.ra 1.kam I 1(bur) 4(iku) 2'(iku) aSa5 6 sar si~.za.ri.in ki.sa.a sukud.bi 3 kM I 2(iku) asa5 8 3' sar si~.u.ku.ru.um ki.sa.a sukud.bi 3 kus I a.ca 2.kam I ~u+nig~n 4(bur) 1 (ese) 5(iku) aSa5 183' sar si~.u.ku.ru.um I s~u+nigm 10(bur) l(ese) 5(iku) asa5 182' sar si~.za.ri.in I EASara I l(bur) 3(iku) 2'(iku) aSa5 10 sar si~.za.ri.in ki.sa.a sukud. bi 3 kM I 1(ese) asa5 30 sar <si~>.u.ku.ru.um ki.sa.a sukud.bi 3 kM I a.ra 1.kam I 1(ese) 3(iku) aSa5 si~.za.ri.in ki.sa.a sukud.bi 3 kus I 1(iku) asa5 4 2' sar si~.u.ku.ru.um ki.sa.a sukud.bi 2 kM I a.ra 2.kam I 52 ninda 2 kM iz.zi dagal.bi 6 kus sukud.bi 22 kM I l(bur) aSa5 1(.00) sar si~.u.ku.ru.um.bi I 1.08 ninda 2 kus iz.zi dagal.bi 5 kM I sukud.bi 22 kM I si~.u.ku.ru.um.bi 1(bur) 2(iku) asa5 22 sar I 12 ninda 4 kM gid dagal.bi 6 kM I sukud.bi 22 kM I si~.za.ri.in.bi 2(ese) aSa 5 I bad.glr.gin.e.dingir.ka I su+nigin 2(bur) 5(iku) 2'(iku) asa s 162' sar si~.u.ku.ru.um I su+nigin 2(bur) 1(ese) asa5 [1 00] sar si~.za.ri.in I E.dNin.ur4.ra I su+n~g~n 6(bur) 2(ese) 4(iku) 2'(iku) aSa5 35 sar si~.u.ku.ru.um I sU+Olgm 12(bur) 2(ese) 5(iku) 2'(iku) aSa5 28 2' sar si~.za.ri.in I E.dSara I E.dNin.ur4.ra I

First a reI?ark about ~he ter~inology in this text. In four subsections of the text, the length, wI~th, ~nd heIght (gId, dagal, sukud) of the brick constructions are recorded, and t~e.he~ght IS ~lways 22 c. I~ three of these cases (a1.u, b3.u, b4.u), the term for the walls IS IZ.ZI, and ~.ku.ru.um bncks are used to build them. In the fourth case (b5.z) the term f?r the W~II~ bad, and za.ri.in bricks are used to build it. In all the remaining c~ses, the heIght vanes, It can be 10 c., 3 c., or 2 c., the length and the width are not given,

volumes (V) of the u.ku.ru. urn walls, in the cases that this is possible, then dividing the corresponding brick numbers (B) with these volumes. In b3.u, for instance, B V = 52;10 n .. 1/2 n .. 22 c. = 9,33;50 sarv (volume sar), while B = 31,00 sar (brick sar).

Hence L z 3;14 brick sar per volume sar (see Dunham 1982: 33). However, this result in itself is not very informative. It would be much more interesting to know if there is any kind of square-bricks, half-bricks, or two-thirds-bricks with L z 3; 14. A brief search shows that there is only one acceptable answer to this question, that the bricks in question are square-bricks of the variant type S4v with the molding number 2 L = 9/5 . 9/5 = 1;48 • 1;48 = 3;14,24, for bricks with the sides 5/9 (5/6. 2/3) c., 5/9 (5/6. /3) c., 1/5 c. (= 6 f.).

It is easy to check this result in the three cases where enough information is available: B b3.u: v::::: 9,34sarV, B= 9,34. 9/5' 9/5sarB=30,59;48,36sarB:::::31,00sar , B B 9 b4.u: V::::: 10,24sarv, B= 10,24. /5' 9/5sarB= 33,41;45,36sar :::::33,42 sar , a1.u: V = 37,02 sarv, B = 37,02 . 9/5 . 9/5 sarB = 1,59,59;4048 sarB::::: 2,00,00 sarB.

All three results are meticulously exact. In the case of a1.u, it is now clear that the height of the wall, omitted in the text by mistake, was indeed 22 c. It is also clear that the length of the wall in this case was not given by external circumstances, but was deliberately chosen so that the brick number would be a round number! This becomes even more obvious if (exceptionally) the computation is carried out in decimal numbers, because then, in the case of a1.u, V = 202 n .. 1/2 n .• 22 c. = 2222 sarv, and 2222 • 9 = 19998 = 20000 - 2, so that B = 2222 . 9/5 . 9/5 sarB = (7200 - 18/25) sarB = 4 burB - 0.72 sarB.

The molding number for the za.ri.in bricks is obtained from b5.z. Here, however, something is not quite in order. Apparently, in this case, the length of the wall was mistakenly recorded as 12 n. 4 c., instead of as 12 n. 2 c. Indeed, in b5.z (corrected), V = 12; IOn .. 1/2 n .. 22 c. = 2,13;50 sarv ::::: 2,14 sarv, and B= 2,14 . 9 sarB = 20,06 sar B = 2 ese 6 sar::::: 2 ese.

Therefore, it is likely that the molding number of the za.ri.in bricks is L = 9, which means that the za.ri.in bricks in this text are of the variant type S2v. This result is in accordance with the general rule (above, Section 4.2) which says that if several types of bricks occur in the same cuneiform text, they are either all of main types or all of variant types. Remark. Note that the sum of the two recorded totals, that is the total number of bricks, is (by accident?) very close to a round number. Indeed, this sum is equal to 6(bur) 2(ese) 4(iku) 2'(iku) asa5 35 sar + 12(bur) 2(ese) 5(iku) 2'(iku) asa5 28 2' sar = 19 bur 2 ese 4 1/2 iku 31/2 sar ::::: 20 bur = 10,00,00 (brick) sar = 2,00,00,00,00 (::::: 26 million) bricks.

lORAN FRIBERG


136

This is atak very larl~ ~oun d num ber. I" manygrand da S ittotal would .t IS mteresting to try to find out how bricks per m~~daa (:~:te ~o m~y ~ncks, at the presumed rate of 5 volume shekels 30 volume sar per man-year ~f th a ove , . ectlon 6.1), w~~ch can be reformulated as Id' . e two b nck total s are divided by the corres ondin mo Ing numbers, one finds the corresponding total volumes, which are p g

J

3,28,05 • 5/9 • 5/9 z 1,04,00 sarv = 2,08 • 30 sarv, and 6,27,33;30 . 1/3 • 1/3 z 43 ,04 sarv - 1,26 • 30 sar. v v

ren~ the bricks in the text could be fabricated in approximately 3 34 -

214 n ~tb ~r words, it would, for instance, take a team of 200 men mor~ tha~ one :J:?ears. so many bricks, or it would take a team of 20 men more than ten ye::.e;:,

~~ ~:j~~~

A.z b1.1 2 u b2.1 2 u b3.z b4.1 2 u b5.u

su+nigin 11 sar si~.[za.ri.in] I glrlugal.[ ... ] I 22' n. gid 2' n. 2 [2' kM] dagall 3 kus sukud a.ra [1.kam] I 22' n. gid 2' n. 22' [dagal] I 1 kM ba.an.gi4 153' sukud a.ra 2.kam I si~.bi 282' sar I dub Su.lu.lu hi Ud.[ ...... ] I 2' n. gid 2' n. 2 2' kM dagall 3 kM sukud a.ca I.kam I 2' n. gid 2' n. 2 2' kM dagall1 kM ba.an.gi4 153' kM sukud a.ca 2.kam I si~.bi 5 3" sar 2 gin I 2 sar si~ I dub.bi 2.am I dub Silim-z-lilu ensi Adabki.ka I 1 2' n. gid 2' n. 2 2' kM dagall 3 kM sukud a.ra 1.kam I 1 2' n. gid 2' n. dagall 22' kM sukud 1 kM ba.an.gi4 I a.ra 2.kam I si~.bi 12 sar 9 gin I dub Su.lu.lu lu ensi Marad.daki.ka I 21 sar si~.u.ku.ru.um I dub Ri-if-be-li Ilu ensi Ka.sal.luki.ka I

B.u

9.3 AO 7667 (Ur III Umma). Brick Walls and Proportional Sharing

~ur-Sm

o~

ma AO 7?67 (Scheil 1915) is a Late Sumerian administrative text fr 4, that is, from the Ur III period), in which the bricks of se bU.mk (dated tlons are computed. The total of h db' . . ver nc construcsar 12' f' , t e compute nck numbers IS gIVen in the form 2 22

conve;~~ ;0 ~~~;~:~:~~~~. :;~i~~~:/~~40~u~; ~:a~;~rn~arge brick number is ~ot

AO 7667 (ScheilI915', MCT:. 95) . An U r III account of (predominantly) u.ku.ru.um bricks. a1.z

................................................... a2.u a3.1 2 u

a4.1

2 u

a5.1 2 u

a6.1 2 u

a7.1 2 u

a8.u a9.1 2 u

A.u

[....................................... a.ra 2] kam [ ... ] sar T gin I dub.bi 2.am I dub Silim-dNin.e.g~ 2 n. g~d 2' n. 3' kM dagal I 2 kus sukud a.ra I.kam I ~ n. g~d 4 k~s dagal I 4 kus sukud a.ra 2.kam I sl~.bl 126 sar 4 gin I dub Arad-dNannar I sd sabra dNin [ ] I 1 2, n. g~d 2' ~}' kM dagall 2 kM sukud a.ra 1.kam I .... 1. 2 n: gld,~v kus dagall 4 kM sukud a.ra 2.kam I sl~.bl 9 3 sar I dub Ne.ni.a Ilu sabra An.na.[ ...... ] I [ ]k I 1 n. gid 2' n. 3' kM dagall 2 kM sukud a.ra 1.kam I .......... a 1. n. gid 4 kus dagal I 4 kM sukud a.ra 2.kam I sl~.bi 6 3' sar 7 gin I dub.bi 2.am I dub I.ti E.a Ilu.dZuen ka I 1 n. gid 2' n. 3' kM dagal I 2 kM sukud a.ra I.kam I . 1. [no ~id] kus dagall 4 kM sukud a.ra 2.kam I sl~.b~ 6 ~ sar 7 gin I dub GlrJ-li [ ... ] I 3, n. gld 2 n. dagal I 2 kM sukud a.ra I.kam I ~ n. ~agal 1 kM ba.an.gi 4 I 4 kM sukud a.ra 2.kam I sl~.bl 17 2' sar I dub Lu.kal.la sabra I [.,,,] 2',40 ~i~ I ,[dub] dSulgi.ezen Ilu dNin.a.mu.tum.me.su I 2, n. g~d 2 n. 3 kM dagal I 2 kM sukud a.ra I.kam I ~ n. ~ld kM dagal I 4 kus sukud a.ra 2.kam I vSl~.~~ 3 sar 13 gin I dub Su.lu.lu lu dNin.ezen X la su+mgm 1.146" sar [... ] si~.u.ku.ru.um I

?

?

137

AB.u AB.z

su+nigin 1.07 3' sar 1 gin

si~.u.ku.ru.um I gir Lu.dingir.ra I

[su+nig]in 2.22 sar 12 gin si~.u.ku.ru.um I ki [su+nigin 1]2 sar si~.za.ri.in I [dub ... ] sa Ga.d I [mu ...... ].gal An.na I [ ... dN]annar ba.tus

This text obviously has a quite complicated structure. It is in many ways similar to the text YBC 9818 discussed in the previous paragraph (Section 9.2), but the dimensions of the objects considered here (in MeT mistakenly called "brick piles") are much smaller than the dimensions of the temple walls in YBC 9819. In the present text, just like in YBC 9819, two kinds of bricks are mentioned, called si~.u.ku.ru.um and si~.za.ri.in, respectively. Here, however, the za.ri.in bricks appear only marginally, and they do not play an important role in the computations. Moreover, the present text, just like YBC 9819, is divided into two parts (A and B), with separate subtotals for each part. The majority of the entries come in pairs, and it is easy to recognize several interesting symmetries and repetitions in the data. The interpretation of the text given below presupposes a number of amendments < ... > and reconstructions [... ], deemed to be justified by the symmetry and repetitiveness of the text. As a first step of this interpretation, consider the following list of all entries of the text for which a length (gid), a width (dagal), and a height (sukud) are given, so that the corresponding volume (Vi or Yj) can be computed. Since the volumes are not explicitly mentioned in the text, they must have been recorded somewhere else. v a2.1: a2.2: a3.1: a3.2: a4.1: a4.2: a5.1: a5.2: a6.1: a6.2:

g = [2;30 n.] g = [2;30 n.] g=2n. g= 2 n. g=I;30 n . g= 1;30 n. g=ln. g= 1 n. g=In. g= 1 n.

d = [1/2 n. 1/3 C. = 0;31,40 n.] d = [4 c. = 0;20 n.] d=I/2n. I/3c.=0;31,40n. d= 4 C. = 0;20 n. d=I/2n. I/3c.=0;31,40n. d= 4 C. = 0;20 n. d=I/2n. I/3c.=0;31,40n. d= 4 C. = 0;20 n. d=I/2n. I/3c.=0;31,40n. d= 4 c. = 0;20 n.

5 = [2 c.] 5 = [4 c.] 5=2c. 5= 4 C. 5=2c. 5= 4 C. 5=2c. 5= 4 C. 5=2c. 5= 4 C.

~ = 2;38,40 vsar

V; = 3;20 sar

~=2;06,40sarv v V2 = 2;40 sar

~=1;35sarv v V2 = 2 sar ~=1;03,20sarv v V2 = 1;20 sar

~=I;03,20sarv v V; = 1;20 sar

138 a7.1: a7.2: a9.1: a9.2: b1.1: bl.2: b2.1: b2.2: b4.1: b4.2:


g= 3 n. g= g= 0;30 n. g= 0;30 n. g= 2;30 n. g= 2;30 n. g= 0;30 n. g= 0;30 n. g= 1;30 n. g= 1;30 n.

d= l/2n. = 0;30 n. d = (1/2 n. + 1 c.)/2 = 0; 17,30 n. * d = 1/2 n. 1/3 c. = 0;31,40 n. d = 4 c. = 0;20 n. d = 1/2 n. 2[1/2J c. = 0;42,30 n. d = (1/2 n. 21/2 c. + 1 c.)/2 = 0;23,45 n. * d = 1/2 n. 21/2 c. = 0;42,30 n. d = (1/2 n. 21/2 c. + 1 c.)/2 = 0;23,45 n. * d = 1/2 n. 21/2 c. = 0;42,30 n. d= 1/2n. = 0;30 n.

s = 2 c. s = 4 c. s=2c. s= 4 c. s= 3 c. s = 5;20 c.

V; = 3 sarv

Vz = 3;30 sarv

V;=0;31,40sarv Vz = 0;40 sarv V; = 5;18,45 sarv Vz = 5; 16,40 sarv s = 3 c. V; = 1;03,45 sarv s = 5;20 c. Vz = 1;03,20 sarv s= 3 c. V; = 3;11,15 sarv s= (2 1/2c. + 1 c.)/2 = 1;45 c.* Vz = 1;18,45 sarV

p~rt A o~ the text, the widths and the heights do not change from air to air of the e~tne~, whll: the lengths decreas~ (exception in one case) by uniformPsteps. therefore In

~ e

In the secon~ half of the pair a?1 .and .a7.2, and in the second halves of all the airs in part B, there IS an added complIcatIon, Indicated by an asterisk (*) In all th . p " d' h b . ese Instances a certain phr ase IS mserte ,eIt er etween the data for the width and th h . h ft ' the data for the height. The phrase in question is e elg t, or a er 1 kus ba.an.gi4

'1 cubit returned (?).'

~~e ;~aning of this phrase is explained in Robson 1995, footnote 334. (See the remark a e m.the proofs, at .the e~d of the paper.) When the phrase is inserted after the data for tht ~Idtt.(or the height) It seems to indicate that the width (or the height) is reduced ;~ on y ( CUhIt at dth) eAltoP h(or the end) of the wall, which therefore is tapering off toward l t e brick numb r " th e top or teen h' Id' b e s appeanng m e present text appear to refer to bricks h ' avmg t e mo mg num er 2;42. Indeed, for each pair of partial volumes V, V2 computed above, let VI and V2 be multiplied with the mentioned molding number~' In this way the following brick numbers will be obtained: 35 B = L . CV; + Vz) = 2;42 . 1;11,40 sarB= 3;13,29 sar B: : :; 3;13,30 sarB. B= L· (V; + Vz) = 2;42 • 5 . 1;11,40 sarB: : :; 5 • 3;13,30 sarB= 16'0730 v B B= L· CV; + Vz) = 2;42 ·4· 1;11,40 sar B: : :; 4 . 3'1330 sar B- 12:54'v :ar, B- L . C V) " - , sar, 1 + 2 = 2;42 . 3 . 1;11,40 sar B: : :; 3 • 3;13,30 sarB= 9.40 30 v B B B: L : CV; + Vz) = 2;42 . 2 . 1;11,40 sar : : :; 2 . 3;13,30 sarB = 6;27'sar:,ar , B-L CV; + Vz)=2;42· 2· 1;11,40sarB::::::2. 3'1330sarB-6'27v B B - L • (LT V) 4 v ' , - , sar, VI + 2 = 2; 2 . 6;30 sar B= 17;33 sarB, B = L . (V; + Vz) = 2;42 . 2;07,05 sarB:::::: 5;42 sarB, B = L . (V; + Vz) = 2;42 . 5 • 2;07,05 sarB:::::: 28;30 sar B, B= L· CV; + Vz) = 2;42 ·4;30 sar B= 12;09 sarB.

v.

35 Note how the brick numb . 2 6 b . a9.u, and the brick number i~r~~nuaa~~~ai .~ caaln e clo.mIPutfedhasblll~egral multiples of the brick number in . n egr mu up eo t e rIck number in b2.u.

139

Comparing the brick numbers computed in this way with the brick numbers recorded in the text, one finds some differences. First, in a2.u, a4.u, and a9.u, the brick numbers are rounded to the nearest shekel, discarding in each case 1/2 brick shekel = 6 bricks. In a2.u, Scheil's copy shows [ ... J sar 5 gin, a mistake for the correct [16] sar 7 gin. In a7.u, Scheil's copy shows 172' sar, a mistake (?) for 17 2' sar 3 gin. With these mistakes corrected, the sum of all the brick numbers for u.ku.ru.um bricks in part A, including the single entry a8.u:

B = 2,40 si!;4,

can be shown to be

;0 um~s

I; fart ~ are proportIonal to the lengths, so that, for instance, the volume~ In a. 1 an a. are nve tImes as large as the volumes in a9.1 and a9.2.

a9.u: a2.u: a3.u: a4.u: a5.u: a6.u: a7.u: b2.u: bl.u: b4.u:

lORAN FRIBERG

+ 12;54 + 9;40 + 6;27 + 6;27 + 17;30 + 3;13) sarB + 2,40 si~ = 1,12; 18 sarB + 2,40 si!;4.

B= (16;01'

The actually recorded sum is instead A.u;

B= 1,14;5[IJ sarB si!;4.u.ku.ru.um, where 1,14;51 =1,12;11

+ 2;40.

The inevitable conclusion is that 2,40 sig4 in a8.u is a mistake for 2;40 sarB = 2 sar 40 gin. However, in order for this conclusion to be valid, it is necessary to assume that the scribe who wrote the text carried out all his computations, multiplications as well as additions on a temporary medium, either on a counting board or in sexagesimal place value notation on a separate clay tablet. 36 The mistakes, or careless round-offs, were introduced when the results of the computations were transferred from the temporary medium to the final text and expressed in conventional brick numbers. In part B of the text, the situation is less complicated, because at least the recorded u.ku.ru.um bricks total B.u is equal to the sum of the individual entries in bl.u, b2.u, b4.u, and b5.u. (The 2 sar si~ in b3.z evidently refer to za.ri.in bricks.) Indeed, (28;30 + 5;42 + 12;09 + 21) sarB = 1,07;21 sarB.

The grand total for the u.ku.ru.um bricks is correctly computed as AB.u = A.u + B.u = (1,14;51 + 1,07;21) sarB = 2,22;12 sarB.

Sections a2-a6 and a9 of the text can be explained as a record of bricks of type S6 used for the construction of a brick wall, 8 1/2 n. long, 4 c. high, and 4 c. wide, placed on top of a fundament of the same length, 2 c. high, and 1/2 n. 1/3 c. wide. (A similar construction appears in the Old Babylonian problem text MeT, text Eb, although only the volume of the construction is considered there, not the number of bricks needed to build it.) The bricks for this wall plus fundament were (presumably) supplied by seven high officials, in unequal shares proportional to 5, 4, 3, 2, 2, 1. The simplest way of visualizing the individual shares was, of course, to divide the whole construction into seven successive parts, with the lengths of the seven parts proportional to the relative sizes 5, 4, 3, A privately owned, unpublished mathematical cuneiform text from the Ur III period contains the solution procedure for an inheritance problem, with all numerical data expressed in sexagesimal place value notation (c. Walker, private communication).

36

140

JoRAN FRIBERG


@

@)

@ z

Co

I

I

z

2112n.

1112n.

2 n.

@,4c.

z

I

L

9.4 MCT, Text P and AO 8862, §§ 2.1-2. Sharing the Work of Carrying

@

@

I 1 n.

I

1 n.

( B, I

4 c. 2 c.

112 n.

YBC 10722 (MCT, text P). Conform transliteration and translation. An Old Babylonian assignment. (Obv. blank, except for the number 9.)

112 n. 1/3 c. 2

~

/1 c.

3

~4c. 2 c.

4

~112n.

3 n.

t===®==1=~@~2 /1 c.

(

2112n.

Figure 9.2.

( ~;':3 , 1/2 n.

e

1/2 n. 2112 c.

3 c.1

~/ ot(

11/2 n.

~

ag-ra-am a-gu-ur-[ma]? I [i-na 30] ninda us 9 su-fi si~ iz-bi-la[m] I [1 bnY 5 sUa se-a-am i-di-fu il-qe-ma I i-na-an-na 4 lu.gu[n.g]a a-gu-ur-[ma] I 1 7 111 113 1 14

(§

5 1/3 c.

le. 1/2n.

[ ... ]

[ ... ]

8 1/2 n.

@

141

an-nu-um ma-af-su-[um]?

A hired man I hired, [from 30] n. oflength 9 sixties of bricks he carried to me, [1 ban] 5 sUa of barley his wages he took, and now, 4 hired men I hired, [and]

1 7 11 13 14

this is the carrying.

This brief text is probably just a notation about an assigned mathematical problem. No solution procedure is provided and no answer is given.

112 n. 2 112 c.

AO 7667 (Ur Ill) Bricks of type S6 for four brick walls.

~'~ 1 of~he s~ares .(see figure 9.2). This way of counting with "proportional sharing"

own rom mhe.ntance problems or problems about the division of property in Sumenan'"Old Ba?yloman, and even Late .Babylonian mathematical texts. 37 It is known even from ~roto-hterate metro-mathemattcal field texts" (Friberg 1997/1998 § 5) df the Ch h ' al I . ' , an rom mese mat emattc c asslc Nine Chapters, Book 5, §§ 1-7.

What the text means is obviously the following: According to the work norm of carrying for two-thirds-bricks of type RI, one hired man carries 9 sixties of bricks over a distance of 30 n. in one day. For this he is rewarded with 1 ban 5 sUa = 15 sUa of barley. If, instead, the work is shared between four hired men in the proportions 7, 11, 13, 14, how much barley will each man receive?

IS.

P~rt B~f AO !667 is similar to part A, but simpler. The wall in part B is higher and wider

t an t e one m a2-a6 and a9, but not as long. It is divided in the proportions 5, 1, 3.

The problem was probably intended to be solved by use of the "rule of false value" (Friberg, "Mathematik" 1990-93, § 5.7 d). Suppose, to begin with, that the first hired man received 7 shares (of unspecified size), the next hired man 11, and so on. The four hired men together would then receive (7 + 11 + 13 + 14) = 45 shares, and the 45 shares would be equal to one day's wages, that is 15 sUa. Therefore each share was equal to 113 1 sUa, so that the first man received 7 . 1/2 sUa = 3 /2 sUa, etc. In AO 8862, § 2.1 (iii:27-iv:3), the wages for carrying 9 sixties of bricks 3 'ropes' = 30 n. is 2 ban = 20 sUa, but the work is shared between five men in the proportions 1,2,3,4, 5. One is asked to find the number of bricks carried by each man in one day and the wages each man receives. In the same text, § 2.2 (iv:4-16), four men share the work in the proportions 7, 11, 13, 14, as in MeT, text P.

37 Sumerian OldABab I .

' h seven b rot h ers IS. gIven . exampI elwl~ by the text mentioned in footnote 36. One of several yoman examp es IS MCT. text Q § 2 (f1 b h ) A L ' Pinches (1955,1648 § 2) (five bro;hers) A' d' Ive rot ers. ate Babyloman ~x~ple is Sachs and tional sharing is kno h d' clco~ mg to J. I:"I0Yrup (personal commumcanon), such proporb h d' I d I . wn to ave occurre a so m Europ instance in dividing the fish caught by Da i h fI h' b e mb ot me leva an re auvely recent times, for men. n s IS mg oats etween t h e owner, the captain, and the fisher-

AO 8862, § 2.2 (MKTI: 112; TMB 142). Conform transliteration and translation. Wages for the carrying of bricks of type RI. Proportional shares. 1 2

3

a.na sa-la--af-li-i I

if-te-en a-wi-lu-um 9 su-si si~ I iz-bi-la-am-ma 2bn se-a-am ad-di-su I

(For) as much as three ropes one man 9 sixties of bricks carried to me. 2 bin of barley I gave to him.

142 4

5 6 7 8 9

10, 11 12 13

14

BRICKS AND MUD IN METRO-MATHEMATICAL CUNEIFORM TEXTS i-na-an-na i-ti-nu-um I uf-te-pi-ra-an-ni-i I 4 erim-hd a-si-i-ma I if-te-en ;i-bi-fu-u igi I fa-nu-um if-ti-fi-ri-fu I fa-al-fu-um fa-la-fi-ri-fu-u I re-bu-um er-be-fi-ri-fu-u I if-fi-a-am ki ma-# li-bi-ta-am I ip-qi-da-am-ma fe-a-am ki ma-# I ad-di-fu-um I

30 7 11

[1]3 [1]4 1.30?

9 1.24 2.12 2.36 2.48 20

3.06.40 53.20 5.46.40 6.13.20 se

Now, the builder has made me reward them, 4 men I called, then the first, seven times a part, the second, eleven times, the third, thirteen times, the fourth, fourteen times raised to me. How much brick did he deliver to me, barley how much did I give to him? 30 9 <sixties of bricks>

7 11 [1]3 [1]4 1,30

1;24 2;12 2;36 2;48

3;06,40 4!;53,20 5;46,40 6;13,20 20 <slla of> barley

In line !O of this ~~xt, the ,term i?i ~s used to denote the basic share. Thureau-Dangin translat~s thIS term as mverse, explammg that what is meant here, in anticipation of the application of the rule of false value or some equivalent method, is the reciprocal of the sum 7 + 11 + 13 + 14. A less contrived explanation is that here igi means simply 'part.' The table at the end of the paragraph exhibits the solution. It seems to be the case that the sum 20 se in th~ last line of the table is not correctly placed. It should rightly be placed. below the thIrd column. (A corresponding table exhibiting the solution in the pre~ed~ng paragraph of the text, § 2.1, has its numbers misplaced too, which is a dear IndIcatIon that the text is a copy of an older text. This is interesting, since AO 8862, a four-sided prism from Larsa, is one of the oldest known Old Babylonian mathematical cuneiform texts; see MKTI: 117.) The ~eaning o~ th~ number 1.30 in the last line is not dear. A possible explanation is that m the applIcation of the rule of false value the initial assumption was that the indivi~ual, "false" shares of bricks to be carried were 7 . 2, 11 ·2, 13 ·2, and 14 ·2 (sixties), wIth the. sum (7 + 1.1 + 13 + .14) . 2 = 45 ·2= 1,30 (sixties). The factor 2 can perhaps be ~x~la1ned ~s a rational chOIce based on the observation that if four men were to carry 9 SIxtIes of brIcks, then the average share would be dose to 2 sixties. The mismatch between the "false" sum 1,30 (= 90) sixties and the required sum 9 sixties showed that the false shares were precisely 10 times too big. Therefore, the "true" shares must be 7 • 2 . 1/10 = 7 . 0;12 = 1;24, 11 • 0;12 = 2;12, 13 • 0;12 = 2;36, and 14 . 0;12 = 2;48 (sixties).

Similarly, since 1,30 = 20 . 912, the individual shares of the wages had to be 7 11 13 14

• 2 . 2/9 = 7 . 0;26,40 = 3;06,40, . 0;26,40 = 4;53,20, • 0;26,40 = 5;46,40, . 0;26,40 = 6;13,20 (slla of barley).

Hence, the given answers are all correct.

lORAN FRIBERG

143

9.5 AO 8862, § 2.3. A Remarkable Metric Algebra Problem for Bricks AO 8862, § 2.3 (MKTI: 112; TMB 142). Conform transliteration and translation. 1 2

3 4

5 6

sum-ma a.na sa-la-sa-af-li I [ft1-du-um-mi li-bi--am erim.hi I [u] u4-mi-ia ak-mu-ur-ma 2.20 I [st1-ni-ip-pa-a-at erim.hi u4 -mu-u-a I [I] i-bi-ti erim·hi u u4 -mi-ia be-ra-am I

If as much as three ropes the [le]ngth, say, the bricks, the men, [and] my days I heaped, then 2.20. [Tw]o-thirds of (my) men are my days. My [b]ricks, (my) men, and my days single out for me.

[6]1 1 40

2.20

[6]1

es.gar sa u4 erim I-en 30 es.gar 30 erim 1 30 si&i u4 20 u4 -mu-u

1

2 30 20

9? 1

40

2 30 20

2.20

9, task for a day and 1 man

30 tasks, 30 men 1.30 bricks days: 20 days

In this paragraph, the table at the end is not of much use. One number is l~st, one is incorrectly written (the 9?), some are difficult to read, and several are probably mcorrectly placed. Nevertheless, it is dear that the given answer is correct. A correct interpretation of this curious exercise was given by Thureau-Dangin (see the Introduction in his TMB: xxxix). Formally, the situation is similar to the one in the preceding two paragraphs of the text. ~hu~, a n~~ber of ~en carry b~icks of type RI, so that the given work norm for carrymg IS 9 SIxtieS of brIcks for a dIstanc~ of 3 ro~es = 30 n. However, this time the carrying of bricks is a pretext not for a relatively straIghtforward exercise in "proportional shares" but for setting up a highly unrealistic system of equations leading to a quadratic equation. Let B be the total number of bricks carried by m men in d days. Then the stated problem can be reformulated, in modernized terminology, as B = 9 (sixties) . m • d, B + m + d = 2.20,

2/3 m =

d.

Aa 8862, § 2.3

Now recall that ever since the publication of H0yrup (1990b) it has been known that Old Babylonian mathematicians visualized their "algebr~" as problems?: squares or rectangles and solved "algebraic" problems by use of geometrz.c "!ethods. T~I~, IS w~at H0yrur, calls "naive-geometric algebra." A more fitting and deSCrIptive name IS metrIc algebra. The objects considered in a Babylonian exercise in metric algebra are usually squares or rectangles, and the unknowns are the measures (lengths) of the side of the squ~re or the long and short sides of the rectangle. In a few known examples, however, the ob!ects considered are not from the beginning squares or rectangles, so that the reformulation of the given problem in terms of squares or rectangles is not immediately obvious. 38

In H0yrup (1994), it is shown how TMS 13, a problem about buying and selling at di~erent market rates, can be reformulated as a problem in naive geometry/metric algebra and solved geometncally.

38

144

JORAN FRIBERG


145

stated in Aa ~862, § 2.3, expressed above in modernized symbolic notat~n, .~an ~e Inte~preted as a rectangular-linear" system of equations of a special kind for ~ e II es ,m 0 ~ rectangle. Rectangular-linear systems of equations of this particular n are very rare In the corpus of mathematical cuneiform texts published so far.

The problem type was obviously popular and was applied to all kinds of geometric figures. Thus, in yet another large theme text from Tell Haddad with equations for semicircles (Friberg and AI-Rawi, to appear), one of the problems is stated this way:

~

a matter of fact, until now the only published example 39 is a se uence of ara ra h In the Old Babylonian "catalog text" BM 80209 (Friberg 1981) ~ h .P p. s des, of the following type: ' Wit equattons ror ctr-

The form of the solution procedure clearly shows that this problem was interpreted as the following quadratic-linear system of equations in one unknown, the arc a of the semi-circle (imprecisely called us 'flank, length'):

~.sa gur dal gur. it sf-bi-ir-t~ gur ul.gar-ma 5 (5 a given number)

A + a + d + r = 5 (given), A = 1/12 D a, d = 2/3 a, r = 1/3 a.

~he proble~

f

BM 8020

The area of a cIrcle, the dIameter of a circle, and the circumference of a circle, add: 5.

9, § 7 a d

I~

modernized sr:mbolic ?otation, with A = the area, a = the circumference, and d = the diameter of the cIrcle, this equation can be expressed as follows: A = 1/4 a • d, A + d + a = 5 (given), 1/3 a = d (n z 3).

~:: is obviously a re.ctangular-linear system of equations, with two unknowns, of the ty~e as the one In AC! 8862, § 2.3. An equivalent quadratic-linear s stem of e ua.

ttons, with one unknown, IS obtained if A and d are eliminated from the

~quations:q

A + d + a = 5 (given), A = 1/12 D a, d = 1/3 a.

No solution are supplied for the problems in BM 80209 . Th ererore 1: •• 'bl knprocedures h It IS not POSSI e to ow ow the author of BM 80209 expected his equations to be solved. Other ~robhldemds of the same type occur in unpublished texts belonging to the Iraq Mu. I seum, ag a. One of these is IM 43993 (Friberg and AI-Rawi to app ) problem t t . h I I ' ear , a SIng eex Wit a comp ete so ution procedure for the following problem: !i-ni-ip fi-di-im-mi pu-ta-am I a.sa fi-di it pu-ti-mi ak-mu-ur-ma I I-mi 3 (I made) two-thirds of the flank the front. (My) area, my flank, and my front I added, then 1.' IM 4399

This is a rectangular-linear system of equations for the sides u (the flank) and s (the front) of a rectangle. In modernized notations:

a-na sa a.sa U4.sakar us dal u ba.at dal dah-ma 36.40 'Unto the area of a crescent, the length, the transversal, and half the transversal add on, then 36.40.'

The solution procedure for this problem is particularly interesting in the present context, because it probably shows how the problem in Aa 8862, § 2.3 was supposed to be solved. Thus, the first step of the solution procedure for Aa 8862, § 2.3 may have been to reformulate the problem as a quadratic-linear system of equations for one unknown, the number m of men carrying bricks, in the following way (in modernized notation): B + m + d = 2,20,00, B = 9 • m . d, 2/3 m = d. The geometric interpretation of this system of equations is shown in the figures below, which also demonstrate how the geometric problem could be solved by an ingenious combination of the rule of false value with the method of "completing the square."

Imagine, as in figure 9.3, a rectangle with the sides m and 9 d = 9 . 2/3 m = 6 m, and therefore the area B = 9 d X m = 6 D m. Imagine further that the long side 6 m of this rectangle is extended in two steps, first by l' = 1,00 (= 60), then by 2/3. l' = 40. Then the area of the rectangle is increased, first by m X 1 ' , then by 2/3 . m X l' = 2/3 m X 1 '= d X 1'. This means that the whole area of the twice increased rectangle has the given value 5 = 2,20,00 = 2,20'. Consequently, the twice increased rectangle in figure 9.3 is a geometric representation of the brick problem in Aa 8862 § 2.3, provided that the two parameters m and d are counted not in men and days, but in multiples of the length unit 1 n., and that the area is counted not in bricks but in area units, multiples

A = u x s, 2/3 u = s, A + u + s = 1.

of 1 sar.

Another textfJ in the h 11 IIraq Museum is IM 121163 (Friberg and AI -RaWI,. to appear) , a Iarge t eme text rom e I Haddad ~ith equations for rectangles and complete solution rop cedures. One of the problems In that text is stated in the following way:

Because the Babylonian mathematicians characteristically operated with sexagesimal numbers in floating place-value notation, it may have seemed to them of no importance if they thought of a rectangle with the area m as the product of two sides with the lengths m and 1, or as the product of two sides with the lengths m and 1 . sixty. (It is in order to stress this point that in figure 9.3 the length 1 . sixty is written as l' instead of 1,00 and the area 5 as 2,20' rather than 2,20,00.) On the other hand, a crucial step in the solution procedure for a quadratic equation is the extraction of a square-root, and the square-root of l' = 1,00 = 60, for instance, is certainly different from the square root of 1. It is for this reason that it is precarious to use floating place-value notation in solution procedures for quadratic equations.

3" I a.sa us it sag.ki ak-mur-ma 1.3730 ''y, us sag.ki h' . . IM 121163 § 5 wo-t lrds of the flank IS the front. The area, the flank, and the front I added, then 1;37,30.' '

This is a problem of exactly the same kind as the one in IM 43993. 39 Ads~stem of equations of a closely related kind occurs in the "didactic" text TM59 § 3 . I d' cusse m H0yrup (1990b). It is of the form A + u + s = 1, A = u X s, (3 u + 4s)117 + s ~ 30. ' extensIve y IS-

146

(9 d= 6 m=) 6'?

B = 9 dx m, d = 2/3 m, B + m xl'

Figure 9.3.

l'

+

40

147

lORAN FRIBERG


(9 d= 6 m=) 6'?

l'

6'?

40

50

dx l' = 5 = 2,20'

AO 8862 § 2.3. A geometric representation of the brick problem

~yway, the Babylonian way of solving a problem like the one represented geometrically

In figure 9.3 above was to choose a suitable "false value" for one unknown. Typically, let m have the false value 1'. Now, if m has the false value 1', then it follows that d must have the false value 2/3 . l' = 40, and 9 d the false value 9 . 40 = 6', as indicated. (In figure 9.3, for the sake of greater clarity, all false values are indicated by question marks.) In the next step o~ the s~lution proce~ure, the rectangular-linear system of equations represented. geome~ncally In figure 9.3 IS reduced through vertical scaling to an equivalent quadratIc equatIon, represented geometrically in figure 9.4 (to the left) as a "mended" square (mended in the sense that one side is no longer a fraction of the other), which together with its two extensions has the given area 6 5 = 14" = 14,00,00 = 14 ·60 ·60. In the third step of the geometric solution procedure, one-half of the horizontal extension of the square is cut off, rotated, and repositioned as a vertical extension of the square. ~n this way a "balanced" extension of the square is obtained, as in figure 9.3 ~to the nght). :h.e last step of the g~ometric solution procedure consists of "completIng the square, In a purely geometrzc sense, by adding the missing square with the side 50 = 1/2 . (1' + 40) and the area Q = 050 = 41,40. Mter being completed in this way, t~e whol~ square h.as the area 6 5 + Q = 14" + 41,40 = 14,41,40. Consequently, the SIde of thIS square IS equal to J14,41,40 = 3,50. On the other hand, it is also equal to the sum of the false value 6'? and the extension 50. Therefore, 6'? = 3', and 1 '? = 30. The false value m = I'? can now be replaced by the 'true' value m = 30 (30 men), and it f?ll?wS at once that d = 2/3 • 30 = 20 (20 days), and that B = 9 m . d = 1,30,00 (1,30,00 SIxtIes of bricks). This is precisely the answer to the problem given in the lower right corner of the brief table at the end of AO 8862 § 2.3. The first column of that table, [6]?, 1,40, may be a hint about how the initial false values for B, m, and dwere chosen, while ?O and 20 i~ the second column are the true values for m and d. The meaning of the '2' In the first lIne of the second column is not clear, although it is possible that it means that 2'? = 1'.

0(6 m) + (6 m)· 1,40 = 6 5= 14" 65+ Q= 14" + 050 = 14,41,40 = 0(3,50) => 6'? + 50 = 3,50 => 6'? = 3' => I'? = 30 => m = 30, d = 2/3·30 = 20, B = 9 m' d = 1 30'

Figure 9.4.

AO 8862 § 2.3. How to solve the problem by "mending and balancing"

Remark. The proposed reconstruction above of the omitte~ solution procedure for the rectangular-linear system of equations in AO 8862 § 2.3 IS. not accepted b,y ~0yrup (personal communication). His principal objection, here as In ~any other sImIlar cases, is that the "extension" of a rectangle or square cannot be 1 = 1 (00), as proposed above, it must be just 1. As a consequence of this reduction in scale, he also wants the answer to the problem in AO 8862 § 2.3 to be m = 0;30 = 1/2 man for d = 0;20 = 1/2 day, so that B = 9 (sixties) . 0;30 . 0;20 = 1;30 (sixties), instead of, as propo~ed here, m = 30 men for d = 20 days, so that B = 9 (sixties) ·30 .. 20 = 1,30,00 (SIXtI~S). The text itself is rather vague at this point, in view of the floatI.ng v~lues of B.abyloman sexagesimal numbers in place value notation. The answer gIven In the bnef table ~t th~ end of the exercise is '30 men, 1.30 bricks, 20 days,' where the empty space after 1.30 can, but does not have to, indicate that 1.30 actually means 1,30,00. According to H0yrup's interpretation, m = 0;30, d = 0;20, B = 1;30 (sixties) => 5 = B + m + d = 2;20,

According to the interpretation proposed here, on the other hand, m = 30, d = 20, B = 1,30,00 (sixties) => 5 = B + m xl'

+

dx l' = 2 20' = 2,20,00.

The reason why the latter interpretation has to be the correct one is the following:

148

In pro to-literate "field texts" from the proto-Sumerian period, toward the end of the fourth millennium B.C. (see Friberg 1997/98), as well as in Sumerian and Akkadian administrative or mathematical texts from the third millennium, the surface extent of rectangles and squares is expressed in area measure, with the iku, the ese, and the bur as the principal units. Small fields are measured in multiples of the iku, large fields are multiples of the bur. More precisely, if the sides of rectangular fields are measured in 'ropes' (1 rope = 10 ninda), then the area is measured in iku, and if the sides are measured in us (1 us = 60 ninda), then the area is measured in bur. The ese is an intermediate unit. In Old Babylonian mathematical texts concerned with metric algebra, the sides of rectangles and squares are still measured in multiples of the ninda. The areas are expressed in square ninda in the solution procedures, but often in traditional area measure in the statements of the problems and in the answers. The "standard rectangle" seems to have been a rectangle with the sides 30 and 20 ninda and with the area 1 ese (= 10,00 0 n. = 6 iku). Rectangles with an area of 1 ese are mentioned in the following "series texts" (abbreviated theme texts): YBC 4668,4697,4709,4710,4711, VAT 7537 (all in MKTI), and A 24194 (in MCT). Rectilinear figures with areas of one or several bur are mentioned in the following texts with only one or a few exercises: VAT 7532, 7535, 8389, 8390 (in MKT!), and YBC 4612,4675 (in MCT). In IM 43993 (Friberg and Al-Rawi, to appear), sexagesimal (floating value) numbers are used in the statement and in the very elaborate solution procedure of a rectangular-linear system of equations. In the answer, however, it is stated quite explicitly that '30 is the flank, 20 is the front, 1 ese is the field.'

In this case, it is an inevitable conclusion that the rectangular-linear system of equations, which is pronounced in the text as fi-ni-pa 1 fi-di-im-mi pu-[ta-am ... ] I a.sa fi-di it pu-ti-mi [ak]-mu-ur-ma I I-mi

'two-thirds of 1 flank ... the front; the field, the flank, and the front I heaped, then l'

has to be interpreted (in modern terms) as the following system of equations: A

=

lORAN FRIBERG


u x s, 213 u = s, A + u xl' + s xl'

=

=

1 ese + 1 bur + 2 ese

9. 6 C BM 12648. A Cubic Equation for the Side of a Brick of Type RI CBM 12648 (MKTI: 234; Friberg 1982; Muroi 1989). Conform transliteration and translation. § I'

I' 2' 3' 4' § 2' 1 2 3 4-5 6-7 8 9 10 11 12

.. , ..... , ., .... ub.te.g[u7-ma] I sahar.bi ba.e.il-ma I b~r.bi ba.zu.zu.un I bur.bi 1 2' kM I 2 se igi.12.gal se [a.sar I 3".bi us.a.kam sag I su.ri.a sag.ga.kam I bur.bi I us.bi sag.bi I it bur.bi e[n.n]am I us [sa]g I it bur.bi I ub.te.gu7-ma I igi.bi e.dus-ma I sahade ba.e.H-ma I ib:sis I 15.37.30 I ell.de I ib.si s 15.37.30 I [2.30 ... ] I

............... let [eat] each other, [then] its mud (= volume) raise, then its depth you will know. Its derth is 11/2 c. 2 bc. /12 bc. is the field? (= volume!), two-thirds of the flank is the front, half of the front is its depth. Its flank, its front, and its depth are what? The flank, the [fro]nt, and its depth, let eat each other, then its opposite release, then to the mud raise it, then the equalside of 15;37,30 may come up. The equalside of 15;37,30 is [2;30, ... ] •••••••

•• ,

.0'

.... , ..........

§ 3'

I' 2' 3' 4' 5' 6' 7-8' 9'-10' 11' 12' 13' 14' 15'

0'

.,

••••

•••••••••

ub.te.guTma I igi.bi he.[dus-ma] I sahar.se ba.e.[H-ma] I ib:si s [7.30] I ell.[de] I 6.30 ib.si s I 30 us [sag.se] I it bur.[bi.se] I ba.e.H-[ma] I us.bi sag. [bi] I it bur. [bi] ] I ba.zu.z[u.un] I us.bi [ ... ] I sag.bi [ ... ] I bur.bi [... ] I 1 [...... ]

••••• ,

.0'

••••••

let eat each other, then its opposite let [release, then] to the mud [raise, then] the equalside of7,30,00 may come up. ]!,30,00 the equalside 30, the flank, [to the front]' and [to its] depth, raise, [then] its flank, [its] front, and [its] depth you wi[ll know]. Its flank is ... . its front is .. , , its depth is ., ..

On the reverse, only a few signs of the beginnings of 13 lines of text are preserved.

1".

Hence, in terms of area measure, the sum of 'the field, the flank, and the front' is (30 x 20 + 30 x 1,00 + 20 x 1,00) 0 n.

149

=

2 bur (= 1,00,00 0 n.).

This interpretation stresses the agricultural background of Babylonian metric algebra.

The first mathematical cuneiform texts ever to be publishe~ were t~e present fragment CBM 12648 and CBM 10201, an interestmg algonthm text. They a~e f h ~o:~ f;:~ :::~~ Old Babylo~ian Nippur, and they appeared in Hilprech~ (190~). It IS ironic that precisely these two texts were particularly difficult to ~nder~~n ~ so ~ a~o;y. rect interpretations of them were not achiev~d until long after t e pu IcatlOn m of the main corpus of Babylonian mathematical texts. CBM 12648 is a fragment of a text written in Sumerian, with unusually ex~licit SUI?erian rammatical verb forms. It contains parts of three 'proble~s, two of whIch are SImilar ;ut complementary, so that a complete problem WIth solution procedure can be re-

150


construc~ed from t~e tw? of them. Thus, § 2' begins by asking for the sides of a rectangular solId figure, gIven Its volume and the ratios between its sides: V(= Ux s • h) = 21/12 (25/12) bc., 2/3 U = s, 1/2 s = h.

CBM 12648

!he mos~ likely interpretation of the solution procedure, vaguely described in the text, IS that thIs problem ,;as s?lved by use of the (cubic) rule offolse value, in the following way: Suppose, t~ begm wIth, that the false flank u = I? Then the false front s = OAO?, and the false heIght h = 0;20? This means that the correspondingfolse volume is V= 0; 13,20? = eh)?, while the true volume is, V = 2;05 bc. = (0;00,00,)41,40 sar = 0;41,40 n.. n.. c. = 3;28,20 The ratio between the true and the false volume is

0 n .. n.

--

3;28,20 o!!.. !!.. 9/2 = 10;25 o!!.. n .. 3/2 = 15;37,30 0 n .. n.

Here 15;37,30 o!!.. .!!.

=

1/8 • 2,05 o!!.. .!!. = 5/2!!. • 5/2!!.. 5/2!!.

This ~eans that if t.he.false flank u = I?, the false front s = 0;40?, and the false height h = 0~20. are all multtplIed by 5/2 Q. = 2;30 Q. (the cube root of 15;37,30 0 n .. n.), then then product will be the true volume. 4o In other words, - U = 2;30 n· = 1/2 c., s = 2/3 U= 1/3 c., h = 1/2 s = 1/6 c. = 5 f.

These are precisely the sides of a two-thirds-brick of the common type RI.

JoRAN FRIBERG

151

of the sides u, s, h, then the product of the two remaining sides is also given. This is the point of departure for a systematically arranged, extensive series of exercises, either division exercises (when one of the two remaining sides is given) or rectangular-linear systems of equations (when a linear combination of the two remaining sides is given). In another section of the text (§§ 49-51), three exercises of (essentially) the same type as §§ 2'-3' in CBM 12648 lead to simple cubic equations. The three exercises are: B(= 7;12· uX s· h) = 1,04;48 sar, 2/3 U= s, 1/2s= h (u, s, h= 11/2n., 1 n., 1/2n.) B(= 7;12 . uX s· h) = 57;36 sar, 1/2 U= s, 1/3 s= h B(= 7;12 . uX s· h) = 10;48 sar, U= s= h

(u, s, h= 2n., 1 n., 4 (u = s = h= 1/2n.)42

c.)

In the last section ofYBC 4708 (§§ 53-60), the brick pile has the form of a truncated square pyramid with the base a square of side s = 2 n., with the top a square of side t = 1/2 n. 2 c. = 8 c., and with the height h = 1/2 n. 3 c. = 9 c. The brick number is computed, using an incorrect expression for the volume of a truncated pyramid, namely as B= 7;12· (0 s+ 0 t)· hl2 = 2,24 sar = 1 iku 44 sar.

This is not because the Babylonian mathematicians did not know the correct expression for the volume of a truncated pyramid, which they did (see Friberg 1996). Instead, it is because the formulation of exercises in terms of a brick pile shaped as a truncated pyramid was just a pretext for setting up a series of quadratic-linear systems of equations of the type 7; 12 . (0 s + 0 t) • h/2 = B (given), h given, and a linear combination of sand t given.

The parallel problem in § 3' seems to have the solution u = 30 n. = 1/2 n., etc., which probably was the long side (the flank) of a brick pile. A differen~problem in § l' may have asked for the height of a brick pile, when the flank and the front were known. 41

9.7 YBC 4708. Quadratic and Cubic Equations for Brick Piles

~C 4708 (MKT.I: 38~; TMB 53~-594) is an abbreviated theme text with sixty conCISely .stated exe~cIses ~wIthout ~olutton procedures) in terms of brick piles. It is Old Baby~ontan b~t wntten m Sumenan. In the first section of this text (§§ 1-36, 46-48) the object consIdered is a brick pile with the sides u = 5 n., s = 11/2 n., h = 1/2 n., the volume V = 45 sar,. and the brick number B = L· V = 5,24 sar = 3 iku 24 sar. Hence L = 7; 12, and the bncks are of type RI. The text exploits the fact that if B is given as well as one T~e phras~ used here .for th~ command "extract the cube-root" is {b.si8 e 11 .de. An Akkadian counterpart ~o t~ls Su.menan phrase IS ba.s1.e fu-li-ma in IM 523? 1, a text from Tell Harmal (Baqir 1950), and ba.sis.e su-!t-m~. In IM 121613, a text from Tell Haddad (Fnberg and Al-Rawi, to appear). The explanation of the 40

Remark, added in the proofs. In 1995, Eleanor Robson submitted a dissertation entitled Old Babylonian Coefficient Lists and the Wider Context ofMathematics in Ancient Mesopotamia, 2100-1600 BC for D. Phil. in Oriental Studies at Wolfson College, Oxford. Here, "coefficient list" is just another name for "table of constants." Therefore, as the title suggests, there is a considerable overlapping between Robson's dissertation and the present paper, although the scope of the dissertation is considerably wider. Thus, most of the overlapping is restricted to the following chapters of the dissertation: Ch. Ch. Ch. Ch. Ch.

2. 4. 5. 6. 9.

Coefficients and coefficient lists. Bricks and brickworks. Making bricks; carrying; combined coefficients. Earthworks and waterworks; other workloads. Mathematics in Ur III and OB administration.

It is unfortunate that this dissertation was printed only after the manuscript for the present publication was written. For this reason, the author remained ignorant of its existence until very late in the game. It is clear that if the dissertation had been earlier available, the discussion in this paper could have been modified and improved in several plac-

phrase In Muroi (1989: 187) is probably not correct.

41 T~e te~t.o~ this problem is not in order. It is likely that the line sagar.bi ba.e.il-ma is a contraction of the two lmes Ig1.bl e.du8-ma I sagar.se ba.e.il-ma.

42 The equations u = s = h are expressed by the phrase a.na {b.si 8 sukud.bi 'as much as the equalside is the height.' The Sumerian term a.na = ma-la 'as much as' is missing from the vocabulary in MKT, and is there often mistaken for the Akkadian preposition a-na. (It is present in the vocabulary of MeT.)

152

lORAN FRIBERG


es. J-:!owever, after Bricks and Mud had been sent to the editors, but before the proofr~admg ~ad begun, Eleanor Robson was kind enough to lend her own copy of the dIssertation to the author. As a result of this, there was time to make two important amendments. of the text of the paper, both deriving from new readings of badly understood Akkadlan or Sumerian words. The first amendment was made with regard to the table of constants BM 36776 renamed RAF.b with a clear reference to Robson. Indeed, Robson realized term ~a:rzp-tt In RAFb 13-16 refers to fired bricks, while the term ud.du in RAFb 912 (whIch she reads. as has.d.) refe~s to ~un-dried bricks. See CAD s.v. ~ariipu A 1. 'to refine (~etals by finng), to fire (bncks) , with examples such as la-bi-ni u sa-ra-pa 'to make bncks and to fir~ (them)~' and agurri la ~a-rip 'the bricks have not been fired.' See also CAD s.v.. aba~u. B 1. to. dry up, dry out', with reference to, for instance, e ud.du ~ a-ba-lu m DIn I 57 (saId of canals, fields, plants, or parts of the body but not of bncks). '

th~tn~:

As .a result of the. improved reading it is now clear that the table of constants RAFb whIch may be a faIrly l~rge fragm~nt of the original table, originally contained four brief }~b-tables of four entnes each, WIth four kinds of parameters for bricks of each of the h ur£types .SI, HI, S6, and R2 (see § 4.2). According to the now better understood text ~ e. ~ur kind~ of parameters are, in order of appearance, the molding numbers L th~ m~lvldual weIghts 3/2 . IlL (ma.na) of [newly made, wet and heavy)? bricks the individual weIghts 6/S • 1/L of sun-drie~ bricks, and finally the individual weights 1/L'offired bricks. There are n.o ~own c.u?elform mathematical texts other than the table of constants ~Fb ~entIonm~ expltcltly extra heavy, wet or sun-dried bricks. Note that, surprisingly, t e welgh~ o~ a bnc~ of type ~1 according to the round tablet in Figure 7.1 above (8 113 ~;~) 1~~mCldes WIth the weIght of a fired(!) brick of type RI according to the entry

Th.e second ame~dment.~ade to the paper after the confrontation with Robson's dissertation wa~ ~ major rewntmg of the cO,m~entary to the Ur III text AO 7667 in § 9.3. The rewn~l~g was ~o~ced b~ Robsons, mterpretation of the repeatedly used obscure phras~ 1 ~us ba.an.gI4 1 cubIt returned-' as referring to a wall that tapers off and is only 1 cubIt WIde at the top (or 1 cubit high at the end).

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THE OLD BABYLONIAN SQUARE TEXTS BM 13901 AND YBC 4714 RETRANSLATION AND ANALYSIS

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JENS H0YRUP

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I. Old Babylonian ''Algebra'' The discovery of what looked like second-degree algebra in cuneiform tablets goes back to around 1930, 1 and the interpretation of these texts and the derivation of general conclusions was one of the central concerns for the historiography of Babylonian mathematics throughout the 1930s-a look at /sis, Osiris, and Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik from this decade will show that it was even an important concern for the history of science in general. The protagonists of the venture were Thureau-Dangin and Neugebauer, not only as editors of the source collections MKT and TMB but also as authors of numerous studies. Important contribution were also made by Schuster, Struve, Vogel, Gandz, and others. At the end of the 1930s, everybody agreed that Babylonian "algebra" was indeed algebra, with the main difference that Thureau-Dangin thought of this discipline in the likeness of Medieval (in particular Arabic) rhetorical algebra, while Neugebauer emphasized its character of a numerical discipline without committing himself to any specific interpretation (his copious explanations by means of modern symbolism were rarely claimed to coincide by necessity with the original way of thinking, and he mostly kept the term algebra in quotes). Everybody agreed that Babylonian algebra was indeed an art of extricating numbers from complex relationships, and that the operations involved were arithmetical addition, subtraction, multiplication, squaring, etc. The obviously geometric etymology of much of the vocabulary (unknowns labelled as "lengths" and "widths," products as "fields" or "areas") was regarded as no more relevant for actual procedures and conceptualizations than Diophantos's use of similar terms to represent arithmetical correlations between and operations with numbers. 2 Since the technical meaning of the terminology had to be derived from its use (as any interpretation of an unknown technical terminology must be) and since the terms always occurred together with numbers, connected these, and operated on these, this numerical interpretation was at the very least a natural first approximation (cf H0yrup 1990: 42f).

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1 Neugebauer (1929) contains the first discussion of an Old Babylonian tablet formulating problems of the second degree, while Schuster (1930) and Neugebauer (1930) present the first text describing how to find their solution. For further details see H0yrup (1996: 3f£). 2 See, for example, Thureau-Dangin's very strong formulation of this point of view (1940: 302).

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T~is un~erstanding, which Thureau-Dangin and Neugebauer had felt should be argued p~tlol?gIcally, was acce~ted as self-evident and in need of no further proof after 1940 by

hIstOrIans of mathematIcs and Assyriologists alike. It was also the picture I encountered ,:hen fi~st loo~ing"at Ba?ylonia~ mathematics in the later 1970s, and which I accepted (In the rhetorIcal versIOn) untIl a random question asked by Peter Damerow put me on the trace of destructive evidence in 1982. The principles producing this evidence and suggesting an alternative interpretation of the texts can be labelle~ "structural analysis" and "close reading." They also provide proof ~hat ?ld Babylon~an and Seleucid second-degree "algebra" are not to be automatIc.ally IdentIfied: for whIch reason I shall restrict myself in the following to Old Babylonlan mathematIcs. It was known from an early moment that the Babylonian mathematical vocabulary possessed a plethora of terms for each arithmetical operation, but it was believed that these were merely synonyms. However, structural analysis of the distribution of each term within a number of complex problem texts showed, for example, that the addition of an area and a length is consistently designated by kamiirum or by one of the logograms gar.gar or UL.GAR (the few exceptions have particular causes, cf. below). The addition invo~ved in a quadratic completion, on the other hand, is invariable spoken of as wa1abum, ~r by means of the logogram dab. Evidence of this kind can be multiplied, demonstratIng that kamiirum and wa1iibum cannot refer to the same process, nor correspond to the same concept. Babylonian calculators thus possessed two different concepts, both of which are understood as addition within the received arithmetical interpretation. Similarly, at least two different "subtractions" exist, and no less than four "m~ltiplica~io~s." Evid~ntly, this makes no sense in an arithmetical interpretation, to whIch addtng IS one thIng, subtracting another but equally one, etc. The arithmetical reading of operations and of Old Babylonian "algebraic" texts on the whole can thus be no more than a first approximation, a homomorphism which is unable to account for the specific structure of the texts. A ~etter mapping o.f this speci?c structure is obtained if we take the geometric connotatIOns of the termInology serIously. If kamiirum refers to the addition of measuring n~mbers and wa1iibum means to join a concrete entity to another entity of the same kind, then the two are clearly different, and the respective roles obvious. "~lo~e reading" of t?e texts sU'ppo~ts a geometrical interpretation: Analysis of the organIZatIOn of explanatIons and dIrectIves compared to possible alternatives, observation of the influence of the changing linguistic and mathematical context on the choice of t~rms, and examination of metaphorical and other nontechnical use of apparently techn~cal terms .leaves n~ reasonable doubt that Old Babylonian "algebra" was really a technIque for dIsentanglIng unknown quantities from complex relationships, but that these

were basically thought of as unknown but measurable geometrical e~tities (line segments and the rectangular areas they contain), not as abstract numbers. ThIS would not prevent them from representing entities of other kinds (p~ic:s, weig~ts, a~d even numbers from the tables of reciprocals) involved in structurally SImIlar relatIOnShIps; nor, however, does the basic interpretation of the x's and y's of modern equations as numbers prevent these from representing prices, speeds, or geometrical magnitudes. I?isentangleme~t from complex correlations through analytical procedures, together WIth rep:esenta~IOn, are also the crux of more recent algebra, which may justify that we speak If not sImply of algebra then at least of "algebra." The fundamental method of Old Babylonian second-degree "algebra" can be characterized as a "naive cut-and-paste" geometry supported by certain other techniques. The term "naive" should be understood in opposition to a Kantian "critical" attitude, taking what appears as obvious truth at the word without systematic reflection about. hows and w~ys. A similar naive attitude characterizes present-day elementary algebraIc computatIon, where e "s:e" immediately the correctness of the transf~rmations ?f 6x -,,2~ ~ 2: + ~ successIvely Into 6x- 2x- 24 = 4, 4x = 4 + 24 = 28, x = /4 = 7, ~~tle the .cr~tI~al ap proach of algebraic theory will ask for proofs involving commutatIVIty, assocIatIVIty, etc., corresponding to what for example the Euclidean Elements represent (though not always

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perfectly) in geometry. The" naive geometry" of Old Babylonian "algebra" thus differs from the geometry ?f the Greeks not because it involves no understanding of what goes on but because thIS understa~ding involves (and requires) no formal proof3 but only didactical explanation and clarification. 4 Its precise character will be demonstrated below. The arguments involved in the structural analysis and the dose reading are presented in detail in H0yrup (1990), and I shall not repeat them here. Instead, I shall retranslate and analyze two complete and rather extensive mat~ematical texts (B~ 13901 and YBC 4714) in the light of the reinterpretation of termInology and technIques. At first, how3 Evidently it also differs in many other respects. Important is, firstly, ~he ~bsence of a concept of qua?tifiable angle (implying that what we see as a right angle is t.o the B,~bylom,~n slmply the corner between sldes to be multiplied in area computation, and thus the opposite of a wron~ angle); secon~ly, the apparent absence of differentiation between such imprecisions which follow from lmperfect m,?delmg .of nature (field~ are not Euclidean planes) and from measuring errors, and what we would see as approxlmate form~las (computing, e.g., the area of near-rectangular areas by the "surveyors' formula," as average length tlmes average width). 4 Such didactical expositions are rarely made in detail in the written texts, even though it h~s been a longstanding belief that oral teaching must have contained the~. A couple of late ?ld Babyloman te~ts from Susa confirms the conjecture, containing indeed both questlons about the meamng of transformations and quite detailed didactical answer (TMS XVI and IX, see the reinterpretations in H0Yrup [1990: 299ff. and 320ff.]; and TMSVII, see the reinterpretation in H0Yrup [1993]).

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ever, I shall present an overview of the basic terminology (further details will be dealt with in connection with the two texts).

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possibility to leave out the preposition and make libbi itself function prepositionally). Similar expressions are not used in connection with other mathematical operations, even when these involve the preposition ana. 6

11. Terminology and Operations Additive Procedures

Multiplicative Procedures

As a~eady n:entioned, two additive procedures of major importance exist. One is kamar~m (WIt?logograms gar.gar and UL.GAR). It appears to designate a genuinely numencal addItIOn, ~nd can th~s be used to add the measuring numbers of, for example, !engths and area~. It I~ symme~ncal, connecting its addends by u, "and;" concomitantly, It conserves the IdentIty of neIther addend. I shall translate it "to accumulate."5

As told, four "multiplications" can be found in Old Babylonian mathematical texts. One of them (a. ra, the term used in the multiplication tables and derived from Sumerian ra "to go") is absent from the texts to be treated below. The others are, firstly, nasum (logogram 11), "to raise."71t is used in all cases where considerations of proportionality lead to a multiplication; for the calculation of areas when this calculation is not the implied consequence of a construction (e.g., for the computation of triangular and trapezoidal areas as average width times length/average length); for metrological conversions and similar multiplications by technical constants; and when divisions are performed through a multiplication by a reciprocal. In the computation of volumes it is used for the multiplication by the height, which may be the key to the origin of the term (as argued more closely in H0yrup 1992: 351£).

The other addi~i:e procedu:e is wa1iibum (logogram dab.), "to append." It operates on concrete entItIes, for whIch reason it only joins entities of the same kind and dime~sion .. 1t is asymmetrical, connecting with the preposition ana, "to," and conserves the Id~ntIty of that enti~y to ~hich something else is appended while increasing its numencal value (as the IdentIty of my bank account is unchanged when interest is added).

Secondly, we encounter sutakiilum (Lkti/l.kti.kti), which is used when a "length" and a "width" are put in place so as to "hold" each other as sides of a rectangle, 8 silently entailing but not to be identified with the computation of an area equal to the product of the

Sub tractive Procedures Three co~cepts us~d in our two tablets belong to this category. One is formulated as ~ companson, statIng that X eli Y D itter (X u.gu Y D dirig), exceeds Y by D" or, In a wo~~ for word transla~ion w~ic~( I shall use !~. the following, "X over Y D goes beyond. The ~ec?nd, nasabum (ZI), . to tear out, IS the reversal of appending. The t?ud, of more lImIted use but present In both texts below, is ma/um (lal), "to diminish" (In the yrese~t context to be read i~ the intransitive sense); tur (used logographically for .seberum, to be [come] small[er] and found in YBC 4714), appears to be used synonymously.

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Th~ corporeal character of wa1~bum and nasiibum is stressed by the fuller phrase in whIch they are often embedded In BM 13901: A is not simply "appended to" or "torn ~ut fron:, B" but .ana/ina libbi. B ("to/from the inside of B"; libbum, literally "heart" or . bowels, . seems In ~athematIcal texts to have been worn down to a suggestion that B IS somethIng possessIng bulk or body (this wearing-down is confirmed, not least, by the 5 This transl~tion: as well as those which follow, is what shall be employed in my "conformal translation" of the texts. It is eVidently not exhaustive, nor necessarily the most precise if a single term should be chosen to render the everyday use of the word. Compare below, on the principle of conformal translation.

6 A similar indication of body and localization is offered by the grammatical complement which regularly go together with the Sumerograms for the two terms (in contrast to most other mathematical Sumerographs, siB and sum excluded), making them occur as bi.dab. and ba.zi. Both prefixes contain the non person pronominal element /b/ followed, respectively, by the locative-terminative elements /if and the locative element /a/. We may perhaps assume that bi.dab. stands not for wt¥abum simply but for (ana) libbi wt¥abum, and ba.zi similarly for (ina) libbi nasabum. In the case of sum, the prefix "in" is apparently used in order to underscore that a calculation gives its result to a person, viz to the calculator (the corresponding Akkadian expression invariably includes a "to you" or "to me"), unless it is simply a phonetic complement indicating the reading inaddinam. The prefixes of ba.si g and fb.si g both include the element /b/ indicating that a nonpersonal entity (viz an area) is "made equilateral" (cf. below), ba furthermore that the action takes place at a locativic "out there"-compareThomsen (1984: §§ 311, 349-351). 7 The alternative logogram nim is absent from our texts. 8 Among early interpreters, only Thureau-Dangin interpreted the term as sutakulum, "faire se tenir mutuellement," derived from kullum, "to hold" (TMB: 219). Because of the ideographic use ofku, the normal explanation was sutiikulum, "to make eat each other," deriving the term from akalum, "to eat." It turns out, however, that a number of texts use the verbal noun takiltum where others have the relative clause sa tustakilu, "which was made hold/eat." taHltum, however, can only be derived from kullum; the use ofku must therefore be explained as a kind of pun, based on the (near-)coincidence of the St-forms of the two verbs. It hardly needs to be pointed out that "mutual holding" seems a much more obvious metaphor than "mutual eating" for the "building" of a rectangle from length and width.

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two measuring numbers.9 In other texts the UL.UL (a logogram for itkupum?) and UR. UR (a non-Iogographic ideogram?) are used synonymously. Th~rdly, efifJUm (tab), "~o repeat," .~hich d~signates the concrete repetition of a tangible

entIty (at tImes only a smgle repetItIOn, whIch would warrant a translation "to double" but often with the phrase ana n, "until n times," 2 ~ n ~ 9 in known texts). '

Squaring and Square Root O?ly in the geo~etrical. sense is "squaring" found as a specific operation, the main termmology for whIch denves from mabarum, "to confront" (in particular confront as an equal, bu~ also confront an enemy, etc.~. The construction of a square (entailing, like the constructIon of the rectangle, the creatIon of a measurable area) is mostly denoted by the verb J~tamfurum, "to make [the sides] confront [each other as equals]." A related verbal noun IS mltb~rtum, which designates a situation characterized by the confrontation of equals-that IS, a square geometric configuration. In numerical terms, the mithartum is equal to the length of the side of the square. IO v

YBC 4714 and other "series texts" (together with Str 363 [MKT I: 244f.], which is the o~ly proc~d~re text to ~o so) use fb.si 8 as a logogram for mitbartum. The normal use of thIs term .IS I~ ~onnectIons w?ere the arithmetical interpretation sees a square root. 11 The term IS"ongmally a. Sumenan verbal form, meaning "makes equal" or (since sides are spoken of) m~es eqUIlateral." That A-e rib.si 8 ("A makes requilateral") means that the area A, when laId out as a square, makes r the side of this square figure-to which corresponds of co~rse the numerical relation r = JA . Secondarily (but not in the texts below), the term IS used as a noun denoting this side. 9 This non-identity between construction and computation is made quite clear by the text YBC 4675 (MeT: 44f.), where the Sumerogram is used to make "length and [a different] length" hold that is to I . the computation of the area is evidently not' implied, , and ay out a ?o?rectanguIar qua drangIe. In th"IS sItuatIon a flrtlOrt not the essence of the operation. 10 This may s.eem ~trange to u.s, :who are accustomed to the idea that a square is its area (i.e., is identified by and hence WIth thIs ~har~ctens~Ic p.aram~ter) and has a side. A priori, however, the Babylonian conception of a squ~re figure as bemg{1.e., beIng IdentIfied by and hence with) its side and possessing an area is no more paradOXIcal. The Greek mathematical term dynamis, moreover, appears to correspond to a similar conceptual stru~ture-compare H0yrup (1990b); so does perhaps an ancient Chinese mathematical term (Martzloff, pnvate communication). 11 Here the use of ib.~i~, or of one of a few variants of the term, is indeed compulsory. Some of these variants are produced by trIVIal h~mophonous substitution of syllables. More important is the alternative ba.si . It has been assumed that ba.~I8 stood for."cube. root" .and ib.si 8 for square root, and the exceptions to th~s rule have been regarded as mInor anomalIes. WIth an Increasing number of exceptions this explanation has now lost much of its credibility (cf. also footnote 6).

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Division, Parts, and Bisection It was established long ago that the Babylonian technique for division by a sexagesimally regular divisor n consists in multiplication by Iln, called igi n or, in a fuller phrase used in the initial part of BM 13901, igi n gal.bi. Comparison with other texts shows that the fuller expression tends to be used for the "n'th part [of something]" (thus also in YBC 4714), while the tabulated reciprocal of n is referred to as igi n-and even BM 13901 does so when telling that the reciprocal of a number cannot be found or if n is followed by an epithetical identification (igi 3 mi-it-ba-ra-ti, in Rev. I, 47). Other texts make use of different stratagems in order to discriminate the reciprocal from the n'th part, but the use of stratagems is pervasive enough to demonstrate that two distinct concepts are involved (see H0yrup 1990: 54 n. 69). For the former I shall retain the original term instead of translating in order to stress its specific character, connected as it is both to mathematical inversion and to the table of reciprocals.

Finding the igi of n is spoken of by the verb palarum, "to detach." The meaning of this usage seems to be that unity is imagined to be split into n parts, one of which is taken out from the bundle-as follows from the recurrent use of the verb nasahum (or rather the logogram zi), "to tear out," in the parallel expression for finding the n'th part of something. Time and again, BM 13901 (as well as other "algebra texts") has to deal with problems of the type d = n x, where n is sexagesimally irregular. In such cases the text takes note of the fact that the igi of n cannot be detached and then asks "what shall I posit to n which gives me d?" and gives the answer immediately-easily done, in fact, since mathematical problems were constructed backwards and the solution thus both guaranteed and known in advance. In BM 13901, the quotient is occasionally labelled bandum-a loanword from Sumerian ban.da (or ba.an.da).12 The number 1/2 may be written sexagesimally as 30 (0;30 in the translation), but also possesses a name miJlum (su.ri.a). It is dealt with as any other regular reciprocal, also when it comes to finding 1/2 of something or dividing by 2. In spite of what one might expect, however, another apparent "half' and another apparent "halving" turns out to be sharply distinguished from the miSlum and the multiplication by igi 2. This "half' is the bamtum (occasionally abbreviated BA or BA.A) , which I shall translate "moiety." Originally the term appears to refer to a rib-side or the slope (i.e., one of the two opposing slopes) of a mountain ridge. It denotes what we might think of as a "nat12 The etymology of the word is unclear, but at least a reading of the final "cla" as the comitative suffix, "together with," seems attractive, since the bandum x is indeed put "together with" n in order to give d. In later texts, the "scribe of bandum" appears to be a calculator.

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ural" or "necessary" (as opposed to a merely coincidental) half: The radius is the moiety of the diameter; what goes into the area calculation of a triangle is the moiety of the base, while the average length used to find the area of a trapezium is the moiety of the sum of the two lengths (indeed, all average values used for the computation of areas or volumes are moieties); and what is squared in the quadratic completion during the solution of a mixed second-degree equation is the moiety of the "coefficient" of the first-degree term. The biimtum is thus always the half o/something, and never a number in itsel£ and it is only used when the procedure or concept involved will by necessity call for the half. The biimtum is found by "breaking" (bepum/gaz) the entity of which it is the moiety. This verb is used in no other functions within the mathematical texts and thus in itself an indication that an average or a natural halfis found.

"Variables," Metrology, and Metalanguage Any mathematical technique which is somehow "algebraic" in character must possess ways to designate "unknowns" or variables and ways to display the logical organization of problems and procedures. So also Babylonian "algebra." Designations for variables are more or less standardized, and more or less bound to specific problem types. Of most general use, almost corresponding to our semiautomatic choice of x and y as labels for a pair of unknowns, is the set uS/sag, representing the "length" and the "width" of a rectangle. 13 The texts treated below, which both deal with squares, instead make use of the mitbartum (the quadratic configuration for which the side is used as an identifier, and which I shall translate "confrontation"; written ib.si in 8 YBC 4714); when needed they speak of the 1st, 2nd, 3rd and 4th mitbartum. YBC 4714 also makes use, as we shall see, of a sag for a specific purpose, while one problem from BM 13901 refers to its Akkadian counterpart. When a length and a width are "made hold" (or a single length is "made confront itself'), what results is denoted a.sa (often provided with a phonetic complement showing that the pronunciation was eqlum, but never written in genuine phonetic writing). In order to emphasize that this outcome is not merely the numerical measure of the area I shall use the translation "surface." 13 Often these Sumerian terms are understood as logograms for the Akkadian words fiddum and piitum. Except for a few very early texts from ESnunna, however, these latter are never used for the length and width of "standard algebraic problems" but only (and rarely) in descriptions of real situations (the distance which a load of bricks is carried, etc.). We must therefore assume that these age-old Sumerian surveying terms were taken over (as were igi and {b.si g, even they well-worn Sumerian terms) in Akkadian mathematics tels quels, at least as concepts (irrespective of the way they were spoken-even 20th century mathematicians will at times make conceptual distinctions which they do not pronounce).

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"Lengths," "widths," "confrontations," and "surfaces" P?ssess and are identified by their measuring numbers. In most of BM 13901 these look hke pure num~ers, but Nos. 14, 23, and 24 show the linear measures to be meant as numbers of nmdan; YBC 4714 makes this explicit throughout. Areas told in seeminglY'pure numbers ~re usually .me~nt to be measured in sar = nindan 2, but YBC 4714 gives one area In the umts Iku (= 1,40 sar) and eSe (= 10,0 sar). BM 13901 is rather parsimonious in its use of indicators of structure. The .statement is distinguished from the procedure by being expressed ~n the first person sm~ular, ~as~ tense while the procedure is told in the second person smgular, present tense. Equality , an entity and a number (essential . . t he .e9uatIons" . 14 0 f ,~ he s~atebetween for. formulatmg ment but also for announcing a result) is indicated by an enchtIc suffix ~a, whlc? I shall render by a colon (":"). The "bracket" mala is used once, and the mterrogatIve minum, "what" on~y when for~ulating di:isio?s by ir~:g~l~r .?um,?er~; ~?e u~,u~ d~ marcations of steps m a hypothetical reasomng (summa, . If, muma:. as, a!sum~ smce ) are all absent, as is the indication of equality between different entities (kzma, as much as ") . YBC 4714 is even more miserly in this respect, taking advantage of its stri~t forma~ ~~t

even then at times ambiguous unless the result is used to. decide betw:en r~val poss~blh ties. kima, however, is used, written logographically as gm 7.nam. SO IS mmum, wntten en.nam.

The "Conformal Translation" In order to render as much as possible of the original conceptual structures, distinctions and connotations and to make clear what is told in the texts and what not, the transl~ tions which follo~ are made according to a principle of "conformality': as .se~ fo~th I? H0yrup (1990: 60-62), though with the :xception that n.o typogr~phlc dlstmctIon IS made in the present paper betwe:n tran~latIons from"syllablc Akkadla~ andfrom corresponding Sumerograms. The baSIC tool IS the use of standard translatIons, where all words except a few key terms are rendered by English words; a given expres~ion is in pr~nciple always rendered by the same English expression, and different expressions are rendered dIfferently WIth the only excep14 This term may look like an unwarranted moderni~at.io~. Yet ,;hile O~d Babylonian "algeb~a" only shared certain features with the various techniques and dIscIpimes whIch earned the .n~me algeb~a smce the Renaissance, and while "additive procedures" are not to be understood simply as add1t~on, equau?g the numerical measure of a composite entity with a number (at times with the measure of a dl~erent entIty) c~~es as close as possible to the equations of modern applied algebra (not least because eng~neers and ph~slCIsts are as inclined as the Babylonians to make the m in an equation mean both t.he physlCal mas~ and lts numerical measure). Indeed, the presence of equations has probably been that slllgle feature whlch has been most decisive for the interpretation of Old Babylonian "algebra" as algebra.

164

JENS H0YRUP


tion that well-established logographic equivalence is rendered by coinciding translation [... ], while possibly mere ideographic equivalence is rendered by translational differentiation. Terms of different word class derived from the same root are rendered (when the result is not too awkward) by derivations from the same root [... ]. Furthermore, syntactical structure and grammatical forms are rendered as far as possible by corresponding structure and grammatical forms; the simple style of the mathematical texts makes this feasible. (H0yrup 1990: 61)

Obverse I No. 1 a.sal[amJ it mi-it-bar-ti ak-m[ur-m]a 45.e 1

1)

wa-si-tam 2)

Apart from a couple of minor corrections and one or two newcomers, the standard translations used in the present paper are identical with those of this earlier publication.

3) 4)

Ill. BM 13901 This tablet was published first by Thureau-Dangin (1936), and again by Neugebauer (MKTIII: 1-14). Both classified the text as one of the earliest surviving Old Babylonian mathematical texts, basing their judgment on language and writing. Goetze, in his classification of Old Babylonian mathematical texts according to dialect and characteristic spellings, put it in his "2nd group," early texts from some southern locality. It is noteworthy for its use of syllabic spelling in almost all places where Akkadian pronunciation can be expected. IS

165

ta-f~-ka-an ba-ma-at 1 te-be-pe [3]0 it 30 tu-uf-ta-kal 15 a-na45 tu-~a-ab-ma l.[e] Ifb.si s 30 fa tu-uf-ta-ki-lu lib-ba 1 ta-na-sa-ab-ma 30 mi-it-bar-tum

The surfa[ce] and my confrontation I have accu[mulated]: 0;45 is it. 1, the projection, you posit. The moiety of 1 you break, 0;[3]0 and 0;30 you make hold. 0; 15 to 0;45 you append: 1 [makes] 1 equilateral. 0;30 which you have made hold in the inside of 1 you tear out: 0;30 the confrontation.

No. 2 5) 6) 7)

8)

mi-it-bar-ti lib-bi a.sa [a]s-su-ub-ma 14.30.e 1 wa-si-tam ta-f~-ka-an ba-ma-at 1 te-be-pe 30 it 30 tu-uf-ta-kal 15 aJna 14.30 tu-~a-]ab-ma 14.30.15.e 29.30 fb.si s 30 fa tu-uf-ta-ki-lu a-na 29.30 tu-~a-ab-ma 30 mi-it-bar-tum

my confrontation inside the surface [I] have torn out: 14,30 is it. 1, the projection, you posit. The moiety of 1 you break, 0;30 and 0;30 you make hold, 0;15 t[o 14,30 you appe]nd: 14,30;15 makes 29;30 equilateral. 0;30 which you have made hold to 29;30 you append: 30 the confrontation.

No. 3 The transliteration is on the whole taken over from MKT Following Thureau-Dangin I have replaced throughout p#itum with wiifitum. When restitutions of damaged passages do not follow MKT, this is pointed out in a note. The translation is my own, and follows the principle of conformality (cf. above).

15 The only exceptions to the rule of phonetic spelling are these: (a) fb.si s' written as a verb as indicated by the presence of the ergative suffix "e"; (b) a suffix "e" employed in certain other cases where the result of an operation is not used in the next operation but is followed by another number (possibly a distorted borrowing of the ergative suffix, whence my translation "is it"); (c) igi / igi ... gal.bi; (d) possibly ba.an.da (which however is rather a phonetic writing of a loanword bandum borrowed from Sumerian); (e) u.gu for eli; (f) ki.2 and ki.3 in Rev. I: 48f.; (g) a.sa, written when necessary with a phonetic suffix limllam; (h) syllabo-Iogographic writing using ltb (= sa) in libbum; (i) syllabo-Iogographic writing using bar (= ur 5) in mitbartum. "Syllabo-Iogographic writing" (the use of a syllabic sign which happens to be also a logogram for the complete word) is distinguished from logographic writing with a phonetic complement, among other things through the fact that the complement is dropped in the latter case when unessential for understanding. mitbartum and libbum are always spelled in full.

fa-lu-uf-ti a.sa as-su fa-lu-uf-ti mi-it-har-tim a-na lib-bi 10) a.salim~ u-#-ib-ma 20.e 1 wa-#-tam ta-fa-ka-an

9)

11) fa-lu-uf-ti 1 wa-#[-tim 20 ta-na-sa-ab-ma] 40 a-na 20 ta-na-fi 12) 13,20 ta-la-pa-at [ba-ma-at 20 fa-I] u-uf-tim fa ta-su-hu 13) te-be-pe ~1O [it 10 tu-uf-ta-kaI1.40] a-na 13.20 tu-sa-ab 14) 15:e 30 [fb.si s 10 fa tu-uf-ta-ki-lu ltb-ba 30] ta-na-sa-ah-ma 20 15) igi.40.gcil.b[i 1.30 a-na 20 ta-na-fi-ma 30] mi-it-bar-tum

The third of the surface I have torn out. The third of the confrontation to the inside of the surface I have appended: 0;20 is it. 1, the projection, you posit, the third of 1, the projec[tion!, 0;20, you tear out:] 0;40 to 0;20 you raise, 0; 13,20 you inscribe. [The moiety of 0;20, of the th]ird which you have appended! {text: torn out),16 you break, 0;10 [and 0;10 you make hold, 0;1,40] to 0; 13,20 you append, 0;15 makes 0;30 [equilateral. 0;10 which you have made hold in the inside of 0;30] you tear out: 0;20. The ig[i] o[f] 0;40 is [1 ;30, to 0;20 you raise, 0;30,] the confrontation.

16 See the commentary concerning the reconstruction and translation oflines 11 and 12.

166 No.

167

No. 7 20

417

16) fa-lu-uJ[ -ti a.sa as-su-ub-ma a.sa it m] i-i[t-ba] r-ti 17) ak-mur-ma [4A6AO.e 1 wa-fi-tam t]a-fa-k[aa] n fa-lu-uf-ti 18) 1 wa-f[i-tim20 ta-na-sa-ab-ma40 a-na4A6.)40 ta-na-fi-ma 19) 3.11. [6.40 ta-Id-pa-at ba-ma-at 1 wa-#-tim te-] be-pe 30 it 30 20) tu[ -uf-ta-kaI15 a-na 3.11.6040 t] u-fa-ab-ma 21) [3.11.21.40.e 13.50 tb.si s 30 s1a tu-uf-ta-ki-lu 22) PUb-ba 13.50 ta-na-sa-ah-ma 1.30 a-na]? 13.20 ta-na-fi-ma 23) 20[ mi-tJ t-bar-tum

The thir[ d of the surface I have torn out: The surface and] my conf[ronta}tion I have accumulated, [4,46;40 is it. 1, the projection, yo]u po[s]it, the third [of] 1, of the pr[ojection, 0;20, you tear: 0;40 to 4,46;40 you raise: 3,11; [6,40 you inscribe. The moiety of 1, of the projection, you] break, 0;30 and 0;30 you [make hold, 0; 15 to 3,11 ;6,40 yo] u append: [3,11;21,40 makes 13;50 equilateral. 0;30 whi]ch you have made hold [iin the inside of 13;50 you tear out: 1;30, to?] 13;20 you raise: 20[, the conf]rontation.

No. 518 24)

lENS H0YRUP


35) [mi-it-bar-ti a-na si-bi-at it a.sa a-n] a if-te-en-fi-ri-it 36) [ak-mur-ma 6.15 7 it 11 ta-la-p] a-at 11 a-na 6.15 37) [ta-na-fi-ma 1.8045 ba-ma-at7 te-] be-pe 3.30 it 3.30 38) [tu-uf-ta-kaI12.15 a-na 1.8045 t]u-fa-ab-ma 39) [1.21.e 9 tb.sis 3.30 fa tu-uf-ta-k] i-lu lib-bi 9 40) [ta-na-sa-ab-ma 5.30 ~ta-Id-pa-at? igi 1] 1 u-Ia ip-pa-ta-ar 41) [mi-nam a-na 11 lu-uf-ku-un fa 5.30 i-] na-di-nam 42) [30 ba-an-da-fu 30 mi-it-bar-] tum

[My confrontation to seven and the surface t]o eleven [I have accumulated: 6;15. 7 and 11 you inscr]ibe. 11 to 6;15 [you raise: 1,8;45. The moiety of7 you] break, 3;30 and 3;30 [you make hold, 12;15 to 1,8;45 y]ou append: [1,21 makes 9 equilateral. 3;30 which you have made ho]ld inside 9 [you tear out, 5;30 iyou inscribe? The igi of 1] 1 is not detached. [What to 11 shall I posit which 5;30] givers] me? [0;30 its bandum, 0;30 the confronta}tion.

No. 821

[a.salam it mi-it-bar-ti it fa-lu-uf-~ i

mi-it-har-ti-ia 25) [ak-m"ur-ma 55.e 1 wa-#-tam ta-fa-k] a-an fa-lu-uf-ti 26) [1 wa-#-tim 20 a-na 1] tU-fa-ab 1.20 BA-fu 40 27) [it 40 tu-uf-ta-kaI26AO a-n] a 55 tU-fa-ab-ma

28) [1.21.40.e 1.10 tb.si g 40 fa tu-uf-]ta-ki-lu lib-ba 1.10 29) [ta-na-sa-ab-ma 30 mi-tJ t-bar-tum

[The surface and my confrontation and the third] of my confrontation [I have accumulated, 0;55 is it. 1, the projection, you po]sit. The third [of 1, of the projection, to 1] you append, 1;20. Its moiety, 0;40 [and 0;40 you make hold, 26,40 t]o 0;55 you append: [1;21,40 makes 1;10 equilateral. 0;40 which you made] hold in the inside of 1; 10 [you tear out: 0;30 the co]nfrontation.

No. 6 19 30) [a.sa lam it fi-ni-pa-a-at mi-tJ t-bar-ti-ia 31) [ak-mur-ma 35.e 1 wa-#-tam ta-s1a-ka-an fi-ni-pa-a-at 32) [1 wa-fi-tim 40 BA-fu 20 Ul 20 tu-uf-ta-kal 33) [6040 a-na 35 tu-fa-ab-ma 4] .1.40.e 50 tb.si g 34) [20 fa tu-uf-ta-ki-lu lib-ba 50 ta-na-sa-]ah-ma 30 mi-it-bar-tum v

[The surface and two-third] of my [co]nfrontation [I have accumulated, 0;35 is it. 1, the projection, you p]osit. Two-third [of 1, of the projection, 0;40. Its moiety, 0;20 an1d 0;20 you make hold, [0;6,40 to 0;35 you append: 0;4] 1,40 makes 0;50 equilateral. [0;20 which you have made hold in the inside of 0;50 you tear] out, 0;30 the confrontation.

17 See the commentary concerning the reconstruction.

43) [a. sa fi-ta mi-it-ba-ra-ti-ia ak-mur-ma] 21.40 44) [it mi-it-ba-ra-ti-ia ak-mur-ma 50 ba-ma-at 21.]40 te-be-pe 45) [10.50 ta-Id-pa-at ba-ma-at50 te-be-pe 25 it 25 tu-u] f-ta-kal 46) [10.25 lib-bi 10.50 ta-na-sa-ba-ma25. e 5] tb.si g

[The surfaces of my two confrontations I have accumulated:] 0;21,40, [and my confrontations I have accumulated: 0;50. The moiety of 0;21 ,]40 you break, [0; 10,50 you inscribe. The moiety of 0;50 you break, 0;25 and 0;25 you m]ake hold, [0;10,25 inside 0;10,50 you tear out: 0;0,25 makes 0;5] equilateral.

Obverse II 1)

5 a-na25 if-te-en tU-fa-ab[-ma30 mi-it-bar-tum

2)

if-ti-a-at] 5 lib-bi 25 fa-ni-im ta-na-sa-ab-m[a 20 mi-it-bar-tum fa-ni-tum]

0;5 to the first 0;25 you append[: 0;30 the first confrontation.] 0;5 inside the second 0;25 you tear out: [0;20 the second confrontation.]

18 Line 26 shows that the total "coefficient of the side" must be 1.20. The allocation of space in lines 25 and 26 suggests the wa-fi-tamltim. The reconstruction of MKT(which follows Thureau-Dangin [1936] thus seems unavoidable.

20 Even though very little remains of the text, the gross lin~s ?f the recons~ruc~ions seems certain; thus line 36 (supported by line 40) shows that 11 times the surface is lOvolved, ~hlle hne 37 shows the number of sides to be 2 . 3;30 = 7. Finally, the 6; 15 of line 36 shows that the 7 Sides must be added. As regards the details of the formulation, the reconstruction is obviously much less secure.

19 Line 32 shows the coefficient of the side to be 40, that is, the fi-ni-pa-a-at of line 31. Line 34 shows the member to be additive. Allocation of space and the [ta-s1 a-ka-an of line 31 suggests the wa-fi-tamltim. Apart from details, the reconstruction of MKT seems unavoidable.

21 The reconstruction in MKT is possible and in itself plausible. Furthermore, it belongs naturally in a group with No. 9, and what remains suggests a strictly pa~allel structure and formulation. Still, of course, the details of the reconstruction remain somewhat uncertalO.

JENS H0YRUP

168

169


No. 9 3)

a.sa si-ta mi-it-!Ja-ra-ti-ia ak-mur-ma 21.4[0]

4)

mi-it-!Jar-tum u.gu mi-it-!Jar-tim 10 i-te-er

5)

ba-ma-at21.40 te-!Je-pe-ma 10.50 ta-la-pa-at

6)

ba-ma-at 10 te-!Je-pe-ma 5 it 5 tu-us-ta-kal

7)

25 lib-bi 10.50 ta-na-sa-!Ja-ma 10.25.e 25tb.sis

8)

25 a-di fi-ni-su ta-la-pa-at 5 sa tu-us-ta-ki-lu

9) a-na 25 if-te-en tu-sa-ab-ma 30 mi-it-har-tum 10) 5 lib-bi 25 sa-ni-i~ ta-na-sa-ah-ma 20 mi-it!Jar-tu m sa-ni-tum ~

No. 12 The surfaces of my two confrontations I have accumulated: 0;21,4[0]. Confrontation over confrontation 0; 10 goes beyond. The moiety of 0;21 ,40 you break: 0; 10,50 you inscribe. The moiety of 0; 10 you break: 0;5 and 0;5 you make hold. 0;0,25 inside 0; 10,50 you tear out: 0; 10,25 makes 0;25 equilateral. 0;25 until twice you inscribe. 0;5 which you have made hold to the first 0;25 you append: 0;30 the confrontation. 0;5 inside the second 0;25 you tear out: 0;20 the second confrontation.

No. 10 11) a.sa si-ta mi-it-!Ja-ra-ti-ia ak-mur-ma 21.15 12) mi-it-!Jar-tum a-na mi-it-!Jar-tim si-bi-a-tim im-{i 13) 7 it 6 ta-la-pa-at 7 it 7 tu-us-ta-kaI49 14) 6 it 6 tu-uf-ta-kaI36 it 49 ta-ka-mar-ma 15) 1.25 igi 1.25 u-la ip-pa-ta-ar mi-nam a-na 1,25 16) lu-us-ku-un sa 21.15 i-na-di-nam 15.e 30 tb.sis

17) 30 a-na 7 ta-na-si-ma 3.30 mi-it-!Jar-tum if-ti-a-at 18) 30 a-na 6 ta-na-si-ma 3 mi-it-!Jar-tum sa-ni-tum

The surfaces of my two confrontations I have accumulated: 21;15. Confrontation to confrontation, the seventh it has diminished. 7 and 6 you inscribe. 7 and 7 you make hold, 49. 6 and 6 you make hold, 36 and 49 you accumulate: 1,25. The igi of 1,25 is not detached. What to 1,25 shall I posit which 21; 15 gives me? 0; 15 makes 0;30 equilateral. 0;30 to 7 you raise: 3;30 the first confrontation. 0;30 to 6 raise: 3 the second confrontation.

No. 11 19) a.sa si-ta mi-it-!Ja-ra-ti-ia ak-mur-ma 28.15 20) mi-it-!Jar-tum u.gu mi-it-!Jar-tim si-bi-a-tim i-te-er 21) 8 it 7 ta-la-pa-at 8 it 8 tu-us-ta-kal1.4 22) 7 it 7 tu-us-ta-kaI4[9] it 1.4 ta-ka-mar 1.53

23) igi 1.53 u-la ip-pa-ta-a[r] mi-nam a-na 1.53 24) lu-us-ku-un sa 28.15 [i-na-a'Ji-nam 15.e 30 tb.si 8 25) 30 a-na 8 ta-na-si-ma 4 mi-it-har-tum if-ti-a-at 26) 30 a-na 7 ta-na-si-ma 3.30 mi~it-!Jar-tum sa-ni-tum

The surfaces of my two confrontations I have accumulated,28;15. Confrontation over confrontation, the seventh goes beyond. 8 and 7 you inscribe. 8 and 8 you make hold, 1,4. 7 and 7 you make hold, 4[9] and 1,4 you accumulate, 1,53. The igi of 1,53 is not detached. What to 1,53 shall I posit which 28; 15 [gi]ves me? 0; 15 makes 0;30 equilateral. 0;30 to 8 you raise: 4 the first confrontation. 0;30 to 7 raise: 3;30 the second confrontation.

27) a.sa si-ta mi-it-!Ja-ti-ia ak-mur-ma 21.40 28) mi-it-ha-ra-ti-ia uf-ta-ki-iI5 -ma 10 29) ba-m;-at21.40 te-be-pe-ma 10.50 it 10.50 tu-uf-ta-kal 30) 1.57.46.4022 .e 10 it 10 tu-us-ta-kal1.40 23

31) ltb-bi 1.57.46.40 ta-na-sa-ab- ma 17.46.40 .e 4,1024 tb.si s

32) 4.10 a-na 10.50 if-te-en tu-~a-ab-ma 15.e 30 tb.si s 33) 30 mi-it-bar-tum if-ti-a-at 34) 4.10 llb-bi 10.50 sa-ni-im ta-na-sa-ba-ma6.40.e 20 tb.si s 35) 20 mi-it-bar-tum sa-ni-tum

No. 13 36) a.sa si-ta mi-it-ba-ra-ti-ia ak-mur-ma 28.20 37) mi-it-bar-tum ra-bi-a-at mi:it-ba-ar-tim 38) 4 it 1 ta-la-pa-at 4 it 4 tu-us-ta-kaI16 25 39) 1 it 1 tu-us-ta-kall it 16 ta-ka-mar-ma 16

40) igi 17 u-la ip-pa-ta-ar mi-nam a-na 17 lu-us-ku-un 41) sa 28.20 i-na-di-nam 1.40.e 10 tb.si s 42) 10 a-na4 ta-na-si-ma40 mi-it-bar-tum if-ti-a-at 43) 10 a-na 1 ta-na-si-ma 10 mi-it-bar-tum sa-ni-tum

No. 1426 44) a.sa si-ta mi-it-ba-ra-ti-ia ak-mur-ma [25.]25 45) mi-it-bar-tum si-ni-pa-at mi-it-bar-tim (it 5 nind]an

The surfaces of my two confrontations I have accumulated: 0;21,40. My confrontations I have made hold: 0;10. The moiety of 0;21,40 you break: 0;10,50 and 0; 10,50 you make hold, 0;1,57,21,40! (text: 0;1,57,46,40) is it. 0;10 and 0; 10 you make hold, 0; 1,40 inside 0;1,57,21,40! (text: 0;1,57,46,40) you tear out: 0;0,17,21,40! (text: 0;0,17,46,40) makes 0;4,10 equilateral. 0;4,10 to one 0;10,50 you append: 0;15 makes 0;30 equilateral. 0;30 the first confrontation. 0.4 10 inside the second 0; 10,50 you tear out: 0~6:40 makes 0;20 equilateral. 0;20 the second confrontation.

The surfaces of my two confrontations I have accumulated: 0;28,20. . The confrontation, the fourth of the confrontation. 4 and 1 you inscribe. 4 and 4 you make hold, 16. 1 and 1 you make hold, 1 and 16 you accumulate, 1T (text: 16) The igi of 17 is not detached. What to 17 shall I pm~ . which 0;28,20 gives me? 0;1,40 makes 0;10 eqUllateral. . 0; 10 to 4 you raise: 0;40 the first confrontation: 0; 10 to 1 you raise: 0; 10 the second confrontanon.

The surfaces of my two confrontations I have accUmulated: [0;25],25. . The confrontation, two-third of the confrontanon [and 0;5, nind]an.

22 Erroneous for 1.57.21.40. c 1721 40-a consequence of the previous error. 23 ErroneouS ror . . 24 This number is correct but not the square root of 17.46.40. 25 Writing error for 17. . . 26 The text of this problem is rather damaged; due to the parallels in No. 24, however, all restitutions apart perhaps from minute details seem certain.

170

46) 1 u 40 u 5 [e-le-nu 4]0 ta-la-pa-at 47) 5 u 5 [tu-uf-ta-kaI25 llb-bi 25.25 ta-na-sa-ab-ma]

1 and 0;40 and 0;5 [over-going 0;4]0 you inscribe. 0;5 and 0;5 [you make hold, 0;0,25 inside 0;25,25 you tear out:]

Reverse I 1)

[25 ta-la-pa-at 1 u 1 tu-uf-ta-kall 40 u 40 tu-uf-ta-ka~

[26.40 a-na 1 tu-~a-ab-ma 1.26.40 a-na 25 ta-na-fi-ma] 3) [36.6.40 ta-la-pa-at 5 a-na 4]0 t[a-na-fi-ma 3,20] 4) [u 3.20 tu-uf-ta-kall1.6.40] a-na 3[6.]6.40 [tu-~a-ab-ma] 5) [36. 17.46.40.e 46,40 ib.si s 3.]20 fa tu-uf-ta-kzl-lu] 6) [/ib-bi46.40 ta-na-sa-ab-]ma43.20 ta-la-pa-a[t] 7) [igi 1.26.40 u-la ip-pa-t] a-ar mi-nam a-na 1.2[6.4]0 8) [/u-uf-ku-un fa 43.20 i-n]a-di-nam 30 ba-an-da-fu 9) [30 a-na 1 ta-na-fi-ma 30] mi-it-har-tum if-ti-a-at 10) [30 a-na 40 ta-na-fi-ma 20] u 5' tu-!a-ab-ma 11) [25 mi-it-bar-t] um fa-ni-tum 2)

[0;25 you inscribe. 1 and 1 you make hold, 1. 0;40 and 0;40 you make hold,] [0;26,40 to 1 you append: 1;26,40 to 0;25 you raise:] [0;36,]6,40 you inscribe. 0;5 to 0;40 yo]u raise: 0;3,20 [and 0;3,20 you make hold, 0;0,11,6,40] to [0;36,]6,40 [you append:] [0;36,17,46,40 makes 0;46,40 equilateral. 0;3,]20 which you have made hold [inside 0;46,40 you tear out]: 0;43,20 you inscrib[e]. [The igi of 1;26,40 is not det] ached. What to 1;2[6,4]0 [shall I posit which 0;43,20 g]ives me? 0;30 its bandum. [0;30 to 1 you raise: 0;30] the first confrontation. [0;30 to 0;40 you raise: 0;20], and 0;5 you append: [0;25] the second [confrontatJion.

No. 15 27 12)

JENS H0YRUP


raja ar-ba mi-it-ba-r]a-ti-ia ak-mur-ma 27.5

13) [mi-it-bar-tum fi-ni-pa-at mi-fi-]iI5 fa-lu-uf-ti mi-it-har-tim 14) [1 u40 u30 u20 t]a-la-pa-atl u 1 tu-uf-ta-kall

15) [40 u40 tu-uf-ta-kaI26.]40.e30 u30 tu-uf-ta-kaI15 16) [20 u20 tu-uf-ta-kaI6.}40 u 15 u26.40 u 1

[The surface of] my [four confront]ations I have accumulated: 0;27,5. [The confrontation, two-third, the hall£' the third of the confrontation. [1 and 0;40 and 0;30 and 0;20 y]ou inscribe. 1 and 1 you make hold, 1. [0;40 and 0;40 you make hold, 26,]40 is it. 0;30 and 0;30 you make hold, 0;15. [0;20 and 0;20 you make hold, 0;6,]40 and 0; 15 and 0;26,40 and 1 [you accumulate, the igi of 1;48,]20 [?Jis not detached.

[What to 1;48,20] shall I posit which 0;27,5 gives md . [0;15 makes 0;30 equilateral. 0;30 to] 1 you ralse: 0;30 the first confrontation. [0;30 to 0;40 you raise]: 0;20 the second confrontation. [0;30 to 0;30 you raise]: 0;15 the third confrontation. [0;30 to 0;20 you raise: 0;1]0 the fourth confrontation.

18) [mi-nam a-na 1.48.20] lu-uf-ku-un fa 27.5 i-na-di-nam 19) [15.e 30 ib.si s 30 a-na] 1 ta-na-fi-ma 30 mi-it-har-tum if-ti-a-at 20) [30 a:na 40 ta-na-fi-m]a 20 mi-it-bar-tum fa-ni-tum 21) [30 a-na 30 ta-na-fi-m]a 15 mi-it-bar-tum fa-lu-uf-tum 22) [30 a-na 20 ta-na-fi-ma 1]0 mi-it-bar- tum re-bu-tum

No. 1629

[The third of the confronta}tion in the inside of the surface I have torn o[ut]: 0;5 [1, the projection, you pos] it. The third of 1, of the projection, 0;20. [The moiety of 1, of the projec}tio[n, YJou break, 0;30 to 0;20 you raise, 0;10. [0;10 and 0;10 you ma]ke hold, 0;1,40 to 0;5 you append: . [0;6,40 makes 0;20 equilateral.] 0;10 which you have made hold to 0;20 you append: [0;30] the confrontation.

23) [fa-lu-us-ti mi-it-bar-] tim lib-ba a.sa as-su-u[h-m]a 5 24) [1 wa-~;-tam ta-fa-ka-a] n fa-lu-uf-ti 1 wa-~i-tim

20 25) [ba-ma-at 1 wa-fi-]t[im tje-be-pe 30 a-na 20 ta-na-fi-ma 10 26) [10 u 10 tu-uf-]ta-kal1.40 a-na 5 tu-~a-ab-ma 27) [6.40.e 20 ib.si s] 10 fa tu-uf-ta-ki-lu a-na 20 tu-sa-ab-ma 28) [3D] mi-it-bar-tum

No. 17 29) [a. sa sa-]la-aJ mi-it-ba-ra-ti-ia ak-mur-ma 10.1[2.4]5 . 30) m[i-zl t-b[ar-t] um s[i-b] i-a-at mi-it-bar-t[zm] 31) 49 u7 u 1 ta-la-pa-at49 u49 [tu-us-]ta-kaI40.1 32) 7 u 7 tu-uf-ta-kaI49.e 1 u 1 tu-uf-ta-kal1 33) 40.1 u 49 u 1 ta-ka-mar-ma 40. [5]1 igi 40.51 34) u-la ip-pa-ta-ar mi-nam a-na 40.[5] 1 lu-uf-ku-un 35) a 10.12.45 i-na-di-nam 15 ba-an-da-fu 15.e 30

27 The reconstruction of the problem follows with almost complete certainty from parallel passages in related problems.

ib.si s ,, 36) 30 a-na 49 ta-na-fi-ma 24.30 mz-zt-bar-tum if-ti-a-at 37) 30 a-na 7 ta-na-si-ma 3.30 mi-it-bar-tum fa-ni-tum 38) 30 a-na 1 ta-na-fi-ma 30 mi-it-bar-tum fa-lu-uf-tum

28 The He" read by Thureau-Dangin and accepted by Neugebauer is anomalous, and a gil though equally anomalous when the igi is not to be found would fit the context no worse. Since the sign is damaged anyhow according to the autography, no clear-cut conclusion can be reached.

29 Apart from the phrase [ba-ma-at 1 passages.

17) [ta-ka-mar igi 1.48.]20[.e/gil J2S u-la ip-pa-ta-ar

W

171

[The surface of] my [thr]ee confrontations I have accumulated: 10,1[2;4]5. The c[on]fro[ntat]ion the s[ev]enth [of] the confrontation. 49 and 7 and 1 you posit. 49 and 49 [you mak]e hold, 40,1. ak 7 and 7 you make hold, 49 is it. 1 and 1 you m e hold, 1. h ' . 40,1 and 49 and 1 you accumulate: 40, [5] 1. T e 19l of 40,51 . is not detached. What to 40,51 shall I pOSit which 10,12;45 gives me? 0;15 its bandum, 0;15 makes 0;30 equilateral. . 0;30 to 49 you raise: 24;30 the first confrontation. 0;30 to 7 you raise: 3;30 the second confrontation. 0;30 to 1 you raise: 0;30 the third confrontation.

a-,si-lt[i m in line 25, all restitutions follow from strictly parallel "'J

172


lENS H0YRUP

173

No. 18 39) a.sa f[a-] la-a! mi-it-ba-ra-ti-ia ak-mur-ma 23.20 40) mi-it-bar-tum u.gu mi-it-bar-tim 10 i-te-er

41) 10 fa i-te-ru a-na 1 ta-na-fi 10 a-na 2 ta-na-fi 20 u20 42) 6.40.e 10 u 10 tu-uf-ta-kal1.40 a-na 6.40 tU-fa-ab 8.20 43) lib-ba 23.20 ta-na-sa-ah-ma 15 a-na 3 mi-it-ha-ra[ -ttJ ~ 44) ta-na-fi 45 ta-la-pa-at IOu 20 ta-ka-mar-ma 45) 30

u30 tu-uf-ta-kaI15 a-na 45 tU-fa-ab-ma

46) l.e 1 fb.si B 30 fa tu-uf-ta-ki-lu ta-na-sa-ab-ma 30 ta-la-pa-at 47) igi 3 mi-it-ba-ra-ti 20 a-na 30 ta-na-fi 10 mi-it-har-tum 48) 10 a-~a 10 tU-fa-ab-ma 20 mi-it-bar-tum ki.2 10 a-na 20 49) tU-fa-ab-ma 30 mi-it-bar-tum ki.3

Reverse 11 The surface of my t[h]ree confrontations I have accumulated: 0;23,20. The confrontation over the confrontation, 0; 10 goes beyond. 0; 10 which it goes beyond to 1 you raise, 0; 10; to 2 you raise, 0;20 and 0;20 , 0;6,40 is it. 0; 10 and 0; 10 you make hold, 0;1,40 to 0;6,40 you append, 0;8,20 in the inside of 0;23,20 you tear out: 0; 15 to 3, the confronta[ tion]s, you raise, 0;45 you inscribe. 0; 10 and 0;20 you accumulate: 0;30 and 0;30 you make hold, 0; 15 to 0;45 you append: 1 makes 1 equilateral. 0;30 which you have made hold you tear out, 0;30 you inscribe. The igi of 3, of the confrontations, 0;20 to 0;30 you raise, 0; 10 the confrontation. 0; 10 to 0; 10 you append: 0;20 confrontation no. 2. 0;10 to 0;20 you append: 0;30 confrontation no. 3.

No. 19 50) mi-it-ba-ra-ti-ia uf-ta-ki-ilrma

a.sa iam ark-mu] r

51) ma-la mi-it-bar-tum u.gu mi-it-bar-tim i-te[ -ru] 52) it-ti ra-ma-ni-fa-a-ma uf-ta-ki-iI a-n[a lib-bi 5 a.sa] 53) U-fi-ib-ma 23.20 mi-it-ba-ra-ti-ia a[k-mur-ma 50] 54) 23,20 a-na fi-na te-fi-ip 46.40 ta-la-pa-a[~

My confrontations I have made hold: T[he] surface I have [accum]ulated. So much as the confrontation over the confrontation goes beyo[nd] together with itself: I have made hold, t[0 inside the surface] I have appended: 0;23,20. My confrontations I have [accumulated, 0;50.] 0;23,20 until 2 you repeat, 0;46,40 you inscri[be]

The following hypothetical completion is mainly due to Neugebauer (my own minute contribution is boldfaced) [50 u50 tu-uf-ta-kaI41.40 llb-bi 46.40 ta-na-sa-ab-ma] **) [5 igi.12.gal.bi 5 a-na 5 ta-na-li 25.e 5 fb.si B ba-ma-at 50 te-be-pe] *)

***) [25 a-na 5 tU-fa-ab-ma 30 mi-it-bar-tum if-ti-a-a~

****) [5 lib-bi 25 ta-na-fa-ab-ma 20 mi-it-bar-tum fa-ni-tum]

[0;50 and 0;50 you make hold, 0;41,40 inside 0;46,40 you tear out:] [0;5. The igi of 12 is 0;5, to 0;5 you raise, 0;0,25 makes 0;5 equilateral. The moiety of 0;50 you break,] [0;25 to 0;5 you append: 0;30 the first confrontation.] [0;5 inside 0;25 you tear out: 0;20 the second confrontation.]

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

[a. sa ... ] a.s(a ... ] a.s[a ... ] t[a- ... ] t[a- ... ] 41.[40 ... ] [... ] ta-[ ... ]

[The surface ... ] The sur [face ... ] The sur[face ... ] Yo[u ... ] Yo[u ... ] 41;[40 ... ] [... ] you .. .

8) '.. 5 Lt b"] 9) 41.40.e [50 {b.sl.B ••• 'lgl. .gal. l' 10) 12 a-na 50 [ita-na-fi-ma 10 nindan? im-t] a-ba-ar

0;41,40 (make]s [0;50 equilateral ... ithe igi of5'?] 0;12 to 0;50 [iyou raise, 0;10 nindan? co]nfronts it [self.]

No. 23 11)

a.saiam 30 pea] -a[ -at er-be-et-tam ua.s]alam

ak-mur-ma 41.40 12) 4 pa-a-at31 er[-be-e]t-tam t[a-la-p] a-at igi.4.gaI.bi 15 13) 15 a-na 41.40 [ta-n]a-fi-ma 10.25 ta-~-p~-at 14) 1 wa-#-tam tU-fa-ab-ma 1.10.25.e 1.5 Ib.S1 B

15) 1 wa-#-tam fa tu-t!-bu ta-na-sa-ab-ma 5 a-na fi-na 16) te-#-ip-ma 10 nindan im-ta-ba-ar3 2

About a surface, the fIo]u[r fronts and the surf]ace I have accumulated, 0;41,40. 4, the f[ou]r fronts, yo[u inscr]ibe. The igi of 4 is 0;15. . 'b 0;15 to 0;41,40 [you r]aise: 0;10,25 you mscn e. 1, the projection, you append: 1;10,25 makes 1;5 equilateral. 1, the projection, which you have appended, you tear out: 0; 5 to two you repeat: 0;10 nindan confronts itself

No. 24 33 17) a.sa fa-la-a! mi-it-b[a-r] a-ti-i[a] 29.10

ak-mur-ma

The surface of m[y] three confr[ont]ations I have accumulated, 0;29,10.

. . 1 al m . h atical texts but not impossible; most probably 30 The initial accusative eqlam l~ h~gh y unusu h. ~~t ~m a e lam ifaluqa umma fuma, "if somebody it should be understood as ,~~ elhPSls for somrhm~ ~ ;~u~~6 (~aqir 1962). Other texts telling initially asks you thus about.a field, m.the manner 0 tr e ~i: writin without any complement (e.g., us sag in AO about the configuration dealt with use Sumer~g ap. . ~ t t makes heavy use of phonetic writing, 8862, tul.sag in BM 85200 + VAT 6599) or t e ~~~na.ti~e. h:n~~c complement when this is needed for it is true, but precisely a.sa seems .only to b~ pr~~l ~ ~lt ~!:e a specific explanation: most probably a deunderstanding. Even the present mstance s ou t ere ore liberate Akkadian archaism, compare the commentary. . . -, I al f the Akkadian equivalent for sag when refernng to 31 Even the use of an Akkadlan pat ~p ur 0 putum, that the term is used in order to emphasize the width of a field) is unique, comparfe ahbov~;~~ ~us~~u~po:~ut and pasted in school "algebra"; this will, that a real field is spoken of, not one 0 t ose l.e s w lC ar at the same time, make the word another archalsm. 21 22 and 23 These are problems where the depth of a cellar 85200 + VAT 6599, N os .. ' If' d n c~bit "and where the solution states that "x con32 Compare is told to be "soBM much as I have ad e con f ront ltse , an , h fronts itself' precisely as here-compare H0Yrup (1992: 333f.). 33 The problem contains a number of errors (indicated by an asterisk*) which eventually cancel each ot er.

174


18) mi-it-bar-tum fi-ni-pa-a-at [mi-z] t-bar-tim it 5 nindan 19) [mi-f] i-i[l5 m] i-it-bar-tim it 2. [30] nindan 1 it [40] it 20 20) 5 e-le-n[u 40 t]a-la-pa-at2.30 e-le-nu 20 ta-la-pa-at 21) ba-ma-at 5 t[e-be] -pe 2.30 a-na 2.30 tU-fa-ab 5 it5 22) tu-uf-ta-kaI2[5 t]a-la-pa-at 5 it 5 tu-uf-ta-kal 23) 25 a-na 25 tu-fa-ab-ma 25.25* ltb-ba 29.10 ta-na-sa-ah 24) 3,45 ta-la=pa-at 1 U 1 tu-uf-ta-kall 40 it 40 tu-uf-ta-kal 25) 26.40 20 it 20 tu-uf-ta-kaI6.40 it 26.40 it 1

26) ta-ka-mar-ma 1.33.20 a[ -na 3].45 ta-na-fi-ma 5.50 27) 40 a-na 5 t[a-n] a-fi 3.20 [20] a-na 2.30* ta-na-fi 50 28) 3.20 it 50 ta-ka-mar-m[a] 4.10 it 4.10 tu-uf-ta-kal 29) 17.21.40 a-na 5.50 tu[ -fa] -ab-ma 6.7.21.40.e 19.10 tb.si B 30) 4,10 fa tu-uf-ta-ki-lu ltb[ -bi] 19.10 ta-na-sa-ab-ma 15 a-na fi-na e-fi-ip* 30 31) a-na 1 ta-na-fi-ma 30 mi-i[ t-h] ar-tum if-ti-a-at 30 a-na 40 ta-na-fi-ma 20 it tu-sa-ab-ma 32) 25 mi-it-bar-tum fa-ni-tum ba-ma~at25 te-be-pe 12.30 it 2.30 tu-sa-ab-ma 33) 15 mi[ -it-bar-tu~ sa-lu-] us-tum

5

The confrontation, two-third of the [conf]rontation and 0;5, nindan, [ha]l[f] of the [co]nfrontation and 0;2,[30], nindan. 1 and [0;40] and 0;20, 0;5 over-goi[ng 0;40 y]ou inscribe, 0;2,30 over-going 0;20 you inscribe. The moiety of 0;5 yo[u bre]ak, 0;2,30 to 0;2,30 you append, 0;5 and 0;5 you make hold, 0;0,2[5 yo]u inscribe. 0;5 and 0;5 you make hold, 0;0,25 to 0;0,25 you append, 0;25,25 (should be 0;0,50;) inside 0;29,10 you tear out, 0;3,45 you inscribe. 1 and 1 you make hold, 1. 0;40 and 0;40 you make hold, 0;26,40. 0;20 and 0;20 you make hold, 0;6,40 and 0;26,40 and 1 you accumulate: 1;33,20 t[o 0;3,]45 you raise, 0;5,50. 0;40 to 0;5 y[ou r]aise, 0;3,20. [0;20] to 0;2,30 (should be 0;2,30 + 1/2 • 0;5) you raise, 0;0,50. 0;3,20 and 0;50 you accumulate[:] 0;4,10 and 0;4,10 you make hold, 0;0,17,21,40 to 0;5,50 you [ap]pend: 0;6,7,21,40, makes 0;19,10 equilateral. 0;4,10 which you have made hold insi[de] 0;19,10 you tear out: 0; 15 until two you repeat (should be: raise to the igi of 1;33,40),0;30. To 1 you raise: 0;30, the first co[nf]rontation. 0;30 to 0;40 you raise, 0;20, and 0;5 you append: 0;25, the second confrontation. The moiety of 0;25 you break, 0; 12,30, and 0;2,30 you append: 0;15, the [thi]rd co[nfrontation].

lENS H0YRUP

175

In many problems (1-7, 16 and 23), this order cannot be questioned. 34 In all these cases except Nos. 2 and 4, the side falls in the order of sixtieths of a nindan; in No. 2, the side has to be smaller than the area, and thus cannot avoid being larger than 1; only No. 4 (and only on the condition that the reconstruction is correct) presents us with a deliberately chosen value of the side in the integer range. There is hence little doubt that the order of sixtieths was the preferred order of magnitude at least in the present text (but indeed in most other texts where sides of squares or rectangles appear as 20/0;20 or 30/ 0;30; only the mathematical series texts are exceptions to the rule). This preference may wonder; the dimensions of real fields certainly fell in the integer range. Yet if the drawings on which the initial teaching of the discipline was based were made in the sand of the school yard (as seems to have been the case in the initial teaching of writing, cf. Tanret 1982: 49), 0;20 to 0;30 nindan was certainly more adequate. Such a distinction between a "true" and an "algebra-problem" -field will also explain a puzzling computation in the didactical explanation TMS XVI, lines 1Of. (cf. H0yrup 1994: 4). Here, a "true width" of20 is multiplied by 1, which yields the width presupposed in the problem that is discussed; if the latter width is meant to be 0;20, the distinction between "true width" and "width" and the multiplication by 1 (meant as 0; 1) become meaningful.

It is therefore natural to assume that the preferential use of the order of minutes holds even in cases in the present tablet where we are not able to determine directly the intended order of magnitude; this has been my guiding rule in the above translations. A particular problem regarding Nos. 14 and 24 will be taken up in due course.

No. 1

In my discussion of the mathematical procedure followed in the single texts I shall take a~vant~ge of the co?formal t~anslation, using its terms for the operations; philological dIscussIOns and the mtroductIon of new terms will of course refer to the Akkadian text. In a n~mber of cases I shall make use of translation into mathematical symbols in order to eluCIdate the structure of arguments. When so, D (s) designates the square on s, and c:::J (l,w) the rectangle contained by the sides I and w. a x b shall designate a product found as the area of the rectangle c:::J (a, b). Since the text. progresses f~irly systematically, the commentary may conveniently treat the problems In the or~er m whi~h they occur. At first, however, a general observation on the order of sexagesImal magmtude chosen for the translation may be useful.

The first problem deals with the simplest of all possible mixed second-degree problems: When the sum of a square surface and its side (the "confrontation") is known to be 0;45, 34 loran Friberg, it is true, suggests (personal communication) that we insert implicit coefficients" 1" with the value 1,0 and thus read (e.g.) the first line "The surface and 1,0 my confrontations I have accumulated: 45 is it" instead of "The surface and my confrontation I have accumulated: 0;45 is it." For a number of reasons (among which I shall list four) I believe this conjecture to be impossible. (i) This would call for a plural form of the noun or perhaps (as in BM 15285) for a singular genitive, mitbartija-all the way through the tablet, the grammar is impeccable; (ii) the supposed "20 confrontations" in No. 3 would never be written as "the third of [1,O]confrontation"; (iii) enough remains of No. 7 to show us the construction actually used to indicate an integer multiple: "1,0 confrontations" would appear as "the confrontation to 1,0"; (iv) the construction used in No. 23 designates the four sides which by its very nature belongs to the square, neither 0;4 nor a fortiori 4,0 times the side (cf. GAG, § 139i). The ad hoc character of the suggestion is revealed by the absence of an implicit coefficient in all cases where it is not needed in order to achieve an integer order of magnitude-thus from the statement of No. 3.

176

177

JENS H0YRUP


No. 2

~

Confrontation

No. 2 is the obvious companion piece, showing however t~at no exact reversal o~ :' ac~u mulation" existed (even subtraction by comparison reqUIres that the two entitles Involved can be compared). The statement thus jumps to the geometric interpretation where the confrontation, provided with a projection 1, can be torn out from the surface.

1xs= s

sx s

Projection

11(

A

L -_ _ _ _ _..L _ _ _ _ _ _ _ _ _ I

B

Figure 1. BM 13901 No. 1.

Again, a rectangular surface resul.ts, ,:ith sides s a~d s - 1 (see figure 2A) ..Breaking t~e excess of length over width, mOVIng It together W1t~ the appurtenant semI-rectangle In order to form a gnomon, making it hold a square WIth a~ea 0;30 X 0;30 = 0; 15 and appending this to the gnomon results}n a new square ':lth th~, surfa~e 14,30 + 0; 15 = 14,30;15 (figure 2B). This number makes 29;30 eqUIlateral, th.at IS, the new squa~e has the side 29;30. To this, the moiety 0;30 which was made hold IS appended-that IS, it is put back to its original position, reestablishing the vertical side of the original square as 29;30 + 0;30 = 30.

oil(

to find the side. As is to be expected, the sum is made by accumulation, since it can only regard the measuring numbers and not the tangible entities. The procedure begins by "positing" (Jakiinum) "1 the projection" (wiifitum). "Positing" appears to be a general term for taking note of something by some material means or by marking it out. The projection/ wiifitum is a verbal noun derived from wa!'um, "to go out," and designates inter alia something protruding or projecting, for example from a building. In the present case "1 the projection" is the entity required to make geometrical sense of the addition of a surface and a length: If the side s of the square is provided with a breadth 1 projecting perpendicularly, a rectangular surface c::J (l,s) with the measuring number 1 X s = s is produced, which can be joined meaningfully with the square surface D (s) (see figure lA). In line 2, the outer moiety of the projection is broken off and "made hold," that is, the two moieties (with adjacent semi-rectangles) are made the sides of a rectangle (actually a square) with area 0;30 X 0;30 = 0; 15. In the same process, the original composite rectangle D (s) + c::J (l,s) is transformed into a gnomon of the same area 0;45. In line 3, the square 0; 15 is appended (quite physically, as we see) to the gnomon 0;45, producing a new square of area 0;45 + 0;15 = 1, which is told to "make 1 equilateral," that is, to have the side 1. From this latter 1, that moiety 0;30 "which was made hold" is "torn out" (another quite physical process), leaving us with the original (vertical) side of the square, which must hence be 1 - 0;30 = 0;30.

..... 0II(f----

..

s- 1

1

1 I

....

I

•

~O;30~

------l.~~ 1~

sXs-s

.... x

14,30(~

--------------

\ P;15: L--_ _ _ _ _ _ _ _--'- - --'

A

B

.......

I

t


No. 3 No. 3 introduces two complications at a time (originally, No. 16. ~ay have belonged between Nos. 2 and 3). Firstly, not the whole area of the square IS Involved but only 2/3 of it; secondly, not the whole side but only 1/3 of it is added. Furthermore, th~ p~es ence of two different thirds has caused some confusion; only knowledge of SImIlar

178

~ 5 ~ .....1II(f----

I 5

lENS H0YRUP


Projection

0;20 x 5

0;405X 5

=

1 -----,.~

whence the original confrontation is found to be 0;30. Both the original scaling and its reversion are made by raising multiplication. 0;20

0;405 0

~

1

13,(-~

S?

~

0;405+ ~ 0;20

o..... CS

~

0;10

A

179

B

The mixup of tearing and appending in line 1.2 is un~istakab~e, and supports th.e notio~ of a parallel mixup in line 11. However, a sltghtly dtfferent mterpretatlon of lme 11 tS not totally excluded. Even though other problems show the fundamental role of "1 the projection" to be as described above, a quasi-metaphorical use of the same term for one the sides of the square (which indeed also projects from the other) cannot be completely excluded, either as a general usage or as an idiosyncracy.

c


problems (from the present and from other tablets) therefore allows us to decipher the procedure. The statement is interesting in itself. At first one-third of the surface is "torn out"; as observed in connection with No. 2 this implies that we jump from measuring numbers to their geometrical interpretation. The jump has the striking and singular effect that even the third of the confrontation is appended.

As a first step in the solution, the projection is posited, as we would expect. That its third is taken is also regular (see figure 3A, and cf. No. 5). Then, however, the third of the surface which is to be torn out is identified with this third of the projection. The remaining part of the surface is found, correctly, to be 0;40 = 213 (of the original surface). The geometrical configuration possessing the total area 0;20 is thus composed of two rectangles, CJ (0;405,5) and c::::::J (0;20,5). At the end of line 11, this area 0;20 is multiplied by 0;40. The aim is to find the total area of a new configuration composed of the square on 0;405 and 0;20 times the side of this same square.3 5 In figure 3B this is shown as a change of vertical scale by a factor 0;40 (elsewhere I have spoken of this as the "scaling technique"). The resulting configuration is similar to that of No. 1, and is cut, pasted and completed in the same way (cf. figure 3C; but in line 12 the third of the original square which was removed is again mistaken for the third of the projection which sticks out, and which is actually the entity to be bisected). The result of the process is that the side (0;405) of the new square is 0;20,

No. 4 The text of this problem is very damaged. From lines 22-23, however, it seems sure that the original problem contains a 213 0 (5), while lines 19-20 a~pear to g~arantee ~at one confrontation is added or subtracted (added by accumulation accordmg to lme 17); even though the autography allows a damaged 30 in line 23 just as well ~ a co~plete 20, the other remaining numbers do not seem to fit anYt;hing b~t 20). Accordmg to.lmes 17-18, a third ofthe projection will be involved in the solution, whtch may suggest a.m~up (or a quasi-metaphorical use) analogous to that of problem 3 but does not establtsh it fi~mly. The reconstruction is that of MKT (and hence coincident with that ofThureau-Dangm (1936). In so far as this reconstruction can be trusted, No. 4 follows the pattern known from No. 3, in particular the scaling by a factor 0;40. Most noteworthy is perhaps th: indubitable ak-mur-ma of line 17, which demonstrates a return to conceptual normaltty. According to the reconstruction this is achieved by sp~itting the st~tement into two sections. First a new surface is produced through a teanng. Next, thts new surface and the confrontation are accumulated.

Nos. 5-6 As argued in notes 18-19, the reconstructions of thes~ p.roblems are next to inescapable. We notice that the projection appears to be used agam m the sense of No. 1, as already in its second occurrence in No. 4 (in all cases the term occurs in restituted passages, but the very regular writing of the tablet makes arguments from available space credible.

No. 7 35 That this is the aim of the multiplication 0;40 . 0;20 is of course difficult to see in the present problem, where so many numbers possess the value 0;20. The interpretation follows from numerous parallel cases, several of which are found in the present tablet.

As observed in footnote 20, the reconstruction of the structure of the problem seems certain but that of the details of the formulation much less compulsory. Still, since it is

180


made on the basis of later problems a commentary presupposing its correctness will not be totally off the point.

]ENS H0YRUP

.......~---- x

z

-------,J.~

d

.......~---- Z

181

-------4.~

y

d

Like No. 3, the problem is of the type a 0 (s) + bs = c, but this time a and b are integers. The procedure is again a scaling producing a problem "square area and sides" with reference to the entity as. Since there is no space for it, the wiifTtum seems now to have been left behind, perhaps as a pedagogical device which is now fully comprehended and thus superseded. However, if this is the explanation, No. 16 is displaced (as it may be in any case). The terminological newcomer lapiitum is better discussed in the context of problems where its presence is not conjectural.

Figure 4. BM 13901 No. 8-9, the two squares and the "average square."

Nos. 8-9 According to what remains of these two problems, they appear to form a couple: In both, the sum of two square areas is given; in the first, the sum of the sides will also have been known, while the second tells their difference. Since the reconstruction of No. 8 builds on the presupposition that it can be copied mutatis mutandis from No. 9, we shall first look at this latter problem.

"inscribed until twice," and "that which was made hold" is torn out from one (giving the width) and appended to the other (giving the length). Following this procedure, we may inscribe z twice as AB and BC in figure SA. Taking AB as the line to which d is appended gives AD as the side of the larger square, and EC as the side of the smaller square.

In contrast to what we have seen until now it is not possible to read the procedure as the description of a construction. Instead it appears to refer to a standard diagram; what we can do is to see whether the formulations of the texts presuppose a specific configuration.

This does not tell us the complete configuration, since the two squares mayor may not overlap. In the first case, however, the same areas will have to be counted seve~al times. The total configuration will be rather confusing-see figure SB-and thus dIfficult to argue from. 36 A configuration where the two squares do not overlap is thus more likely to have been presupposed by the procedure of our text.

First of all we have to take note of the "breaking" of the total area. The resulting "moiety," as we remember, is a "necessary" half, and in the present case thus the average of the two areas. As a first step, we may imagine the two squares (on x and y) compared to the "average square" 0 (z) (z = y), as in figure 4. If the deviation between the average side and the two real sides is d = x; Y , the larger square is seen to be decomposeable as 0 (z) + 0 (d) + 2c::J (d,z). If the same strips c::J (d,z) are added to the smaller square, the result is seen to exceed the average square by 0 (d). The total area of the two squares is thus 20 (z) + 20 (d), and its moiety hence 0 (z) + 0 (d). If we know d (as we do from breaking 0;10 in No. 9) or z (as supposedly in No. 8), finding the other is easy; as so often in Old Babylonian mathematics, x and y are then found from the sum of and difference between average z and deviation d. Lines 8-9, however, follow a pattern which is familiar from problems concerning rectangles with given area and given excess of length over width. In such cases, the procedure is as in figure I-and when the equilateral of the completed square is found it is

An interesting diagram exists which contains this nonoverlapping configuration as a partial figure-see figure SC. Within the square AH on the sum of the two sides AB and BC, the two squares are represented (e.g.) by AF and BD. Two corresponding copies of the "average square" areA] and]C. dis represented by NB. The same diagram is made use of 36 Admittedly, the smaller square is located concentrically within the larger, a favorite configuration in Babylonian geometry (see Friberg 1990: § 5.4.1). In the present case, howe~er, the "average s~uare" is.no~ located with the same centre, which spoils that symmetry which is the pomt of the concentnc organIzation. Locating the "average square" concentrically would imply that (dl2)2 and not tf2 were found. Even though the method for the solution of the problem is not liable to have been built on concentric squares, the inspiration for the problem is likely to have been just this design. This conclusion follows from Susa Text V, Rev. II: 43f. (and neighboring problems), which states precisely our problem No. 8, but makes it deal with a mithartum kiditum and a mitbartum efurtum, an "outside confrontation" and a "square drawn [within it]," and with a messitum ("throwing-out," i.e., distance from inner to outer). (TMS: 45-47; ME.SI.TUM should read me-se-tum, against p. 46 n. 1, c£ Kilmer 1964: 142).

182


Ar----------,

lENS H0YRUP

I

I I I I I

M

------

c

E

IJ

-r I I I I I I

Q A

A

D

- - - - -

K

F

I

p

L B

c

NB

A

183

other of the numerous sums of squares occurring in the tablet), and nothing in the procedure suggests that this correspondence was thought of. 37 Secondly, our two problems correspond to Propositions 9 and 10 of Euclid's Elements, Book II. Such correspondences say little in themselves. However, the presence of propositions 9-10 in Elements II has always been regarded as anomalous: They are used nowhere else in the work (cf. Mueller 1981: 286f., 301f.; Herz-Fischler 1987: 86). Their presence might thus be another indication that Elements II derives from an attempt to make "critical" sense out of an older naive-geometric tradition connected ultimately to Old Babylonian "algebra" (cf. H0yrupI996a).

H

Nos. 10-11

E

C

c

D

B

Figure 5. BM 13901 No. 8-9. Reconstructing the underlying diagram.

inAO 8862 No. 3 (MKTI: 110f., interpretation H0yrup 1990: 313ff.), and it also seems to turn up elsewhere in the Old Babylonian record (No. 19 of the present tablet, compare below, and YBC 6504 No. 2, MKTIII: 23, succinct analysis in H0yrup 1989: 28-30). It is likewise made use of in Seleucid "algebra" (e.g., BM 34568, passim, cf. H0yrup 1990: 343-346). If we draw the diagonals BK, KL, LM and MB it will also be recognized as the basis for a familiar naive-geometric proof of the Pythagorean theorem. In this form it seems to be presupposed by the early Old Babylonian Esnunna text Db r 146 (published and translated in traditional algebraic interpretation by Baqir 1962). Both No. 9 and the reconstructed No. 8 can be followed easily on this diagram. Even though arguments from the text do not exclude that a diagram in the style of figure 5B has been used, figure 5e therefore provides us with the most plausible basis for the two solutions. Two observations of interest can be made on this group of problems. Firstly, the substance of No. 9 comes close to that of the Seleucid problem BM 34568 No. 10, where the diagonal and the sum of length and width of a rectangle is given. In that case there is no reasonable doubt that the diagram of figure 5C is used (with added diagonals BK, KL, LM and MB). Similarly, No. 8 of the present tablet corresponds to the problem where the diagonal and the difference between length and width are given. In our Old Babylonian tablet, however, the sum of the two sides is no square number {nor are any

These two closely related problems introduce a technique which is needed for most complex problems, and which I shall speak of as the "accounting technique" (the ancient texts have no name for it but only for its outcome, cf. below). Once again, we are dealing with two squares, and the sum of their areas is given. In both cases, the sides differ by one seventh-but in No. 10, the second is obtained by decreasing the first by this fraction, while in No. 11 the second exceeds the first by the same amount. No. 11 uses the familiar verb watiirum, "go beyond," while No. 10 employs matum. Together the two texts show that the difference between the two verbs has nothing to do with any difference between positive and negative numbers but at most with a distinction between additive and sub tractive roles for numbers 38-which in the present case amounts to nothing but a way to tell whether 1/7 is to be taken of the larger or the smaller number. In No. 10 (No. 11 is solved by the same method), the first step is that of a "single false position": 7 is chosen as a number from which 1/7 can easily be removed. Doing this leaves 6 (the single steps in this argument are left implicit, but they are spelled out clearly elsewhere, e.g., in VAT 7532, Rev. 6f., MKTI: 295).

37 In this connection, Young's analysis (1988) of the regnal and dynastic spans of the slightly older Sumerian King List may be of interest. A strikingly large share of these are either square numbers or the sum of square numbers. Together with irregular numbers like 7 and 11 (cf. also No. 7 of the present tablet) and their products, square numbers and their sums seem to have been considered remarkable. 38 An explicit distinction of this kind is also strongly suggested by other texts. Thus TMS XVI, lines 5 and 23 (see H0yrup 1990: 299f., 302). The problems of sub tractive and of supposedly negative numbers in Old Babylonian mathematical texts is dealt with in detail in H0yrup (1993a).

184

lENS H0YRUP


7

6

185

coefficient. 4o Elsewhere, however, a "coefficient" is spoken of explicitly-the Susa text TMSXVI, 1: 9-10, refers to the "coefficients" oflength and width in a rectangle problem as kima uS/sag, "as much as [there is] of lengths/widths." This term is one reason that I speak of the computation of a coefficient as an "accounting procedure"-the other reason is that what goes on is in fact a kind of accounting, computing additive and (in other cases) subtractive contributions and finding the total.

No. 12

Figure 6. BM 13901 No. 10. Thes~ n~mbers

are "inscribed": taking again VAT 7532 as a model (together with the drawmg m BM 15285 No. 10, MKTII: PI. 4), we must understand this as shown in figure 6: Two lines of length 7 and 6 are drawn 39 and "made hold," which produces squares of area 49 and 36, and thus with a total area equal to 1,25.

At this point two interpretations become possible. Either the two squares are imagined to be ~hose told of in. the statement. Then the area 1,25 represents the total area measured m. a? ~ndetermmed ~n~t equal to the area of the small square, and the subsequent steps (dlvldmg and determmmg the square root) find the value of the side of the small squ~re to be 0;30 .[nindan~. Alternatively, .the squares 6 X 6 and 7 X 7 are thought of as ~avmg really the sIdes 7 [nmdan] and 6 [nmdan], in which case the division and the takIng o~ t?e square root yield first the quadratic and next the linear proportion between ~he onglnal and the new set of squares. Both for reasons of didactical simplicity (it is easIer to keep one set of squares present to the minds of students than two sets) and because changes of unit were familiar to the Old Babylonian scribes (c£ also below, the use of the undeter~ined ccz".as a unit in No. 14), I tend to prefer the first interpretation. Still, the second mterpretatlon cannot be excluded-the mathematical steps would be the same; moreover, the makfarum spoken of in YBC 8633 and YBC 6295 (MeT: 53 and 42, c£ H0yrup 1985: 105.11£) makes use of similar "model figures." The text gives no descriptive name to the number 1,25, that is, to the number of small squares-a number which in translations into symbolic algebra would present itself as a 39 May~e only imagined, (~n~ in ~n~, case no(~ drawn"to scale-the length 7 [nindan] equals c. 42 m. Whether m t.he present ~ase to mscnbe means to draw (as when we "inscribe until twice" or tells us that the number IS really wntten'alon?side the line (as done in VAT 7532) is not clear. The presence of a line, however, wheth~r drawn ~r Imagmed, and whether spoken of implicitly or explicitly, follows from the use of the constructIon verb sutakiilum.

This problem is the first example of how the measurable line segments of the naive-geometric technique might be used to represent other entities-in the actual case to represent areas. A superficial inspection of the statement will easily miss this point. Once more we are told about two squares, where the sum of the areas is given again as 0;21,40 (actually, the squares are those which were encountered in Nos. 8-9). As supplementary information, however, we are told the area of the rectangle contained by their two sides (arithmetically speaking, their product). What we know is represented in figure 7A, which will be recognized as identical with the part ACHPFQA of the diagram of figure 5C. Use of figure 5C might also lead without difficulty to the values of (x + y)2 and (x - y)2 and hence to a solution of the problem.41 The procedure followed, however, corresponds to a different diagram (figure 7B) and problem: A rectangle where the area is known and the sum of length and width (not their square sum) is given as 0;21,40. In order to make this work, the calculator has to find the area of a rectangle whose sides are the areas held by the original sides. Arithmetically, this is easy: if u = x2, V = y2, then uv = x2y2 = (xy)2 = (0;10)2. The Old Babylonian calculator seems to have had no greater difficulties with the transformation c::::J (0 (x), 0 (y)) = 0 (c::::J (x,y)): If the areas are obtained from the sides by making these hold, the same process (and not some other multiplicative process like, e.g., raising) should be applied to their area in order to give the new area. Obviously, this idea implies a metaphorical use of the term: no real construction can have been involved. The present problem is thus a beautiful illustration of the process by which systematic exploration of the possibilities of a mathematical technique leads to 40 For example, representing the first confrontation by 7 z and the second by 6z, we get the equation (7 x 7 + 6 X 6)z2 = 21;15, and thus 1,25 . Z2 = 21;15.

41 The reason that this procedure is not followed (as in related problems from the Seleucid text BM 34568, MKT Ill: 14-17) may be precisely that the diagram leads more easily to x + yand x - y than to the Old Babylonian favorites (X;Y) and (X;Y) •

186

OLD

lENS H0YRUP

BABYLONIAN SQUARE TEXTS

••

~.~------u+v------~

187

No. 13

u

y

This problem is closely related to Nos. 10-11 in subject matter as well as method, and there is no reason to take it up on its own.

0;10

x I L

. ____

-.l ..... :

No. 14

~u+v~

2 A

B

Figure 7. BM 13901 No. 12.

generalization and a~straction. It is also important by suggesting that "mental geometry" may have played an Important role in Old Babylonian "algebra" in general.

No. 14, on the other hand, introduces more advanced applications of the accounting technique. Once again we are dealing with two squares, the sides of which we may label for convenience xandy. We are told that D(x) + D(y) = 0;25,25, and thaty = 213 x + 0;5. At first 1, 0;40 (= 213) and "0;5 over-going 0;40" are inscribed-more or less, we may presume, as in figure 8A (mentally or materially, as we were reminded by No. 12). T.hen the accounting process begins, which eventually is going to transform the problem mto the type known from Nos. 5-6, "square area plus sides"-in symbols D (az) + 2c:J (b,az) = c

There.is no reason ~o go into the details of the naive-geometric manipulations-they can be eaSIly followed m figure 7B. But the errors pointed out in the notes to the text (2224) are significant: They demonstrate that the scribe who committed the error in line 30 actually performed some of the calculations. The equilateral 0;4,10, however, has not been found by calculation or by means of a table, but backwards from the known result. It is possible that a copyist made his own computations for a while and then returned, looking at the original; but it seems more plausible that the error was due to the author of the tablet. Wit? the possible exception of the mistakes in No. 3 and of the displacem~nt of No. 16, mdeed, ~he errors of the tablet are those of a calculator or calculating edI~or. and not those typIcal of a genuine copyist; there are no dittographies, and no omISSIOns of passages between identical sign sequences. Worth noticing is also line 28. Sign for sign, except the result, it recurs in No. 19, line 50, with a totally different meaning (yet concerned with the same squares on 0;30 and 0;20). Obviously, it is not the phrase in itself which determines whether "making my con~rontation~ h?ld" ~eans ."constructing c:J (x,y)" or "constructing D (x) and D (y)." Bu~ If a result ~s gIven ImmedIately, the ambiguous expression can only mean the former, whI~e an ensumg accumulation enforces the second meaning. Old Babylonian mathematIcallanguage is not precise in the sense aimed at in contemporary mathematics. In~tead, its"a.mbiguities are unravelled by context; not, however (or at least not always) by context m a vague and noncommittal sense but by precise clues given by the context. 42 42 Similarly, i~entifying only one length and only one width of a quadrangle conveys the information that w~ have to d~ WIth a rectangle. Giving ~ length and an "upper" and a "lower" width tells us that we are dealing WIth a trapezlUm, and that the length

IS

the relevant length, the one which will be used in area computation.

where z = x (that a new square D (z) is really thought of will be apparent below). First the shaded area in the corner of D(y) is found to be 0;0,25, which is torn out from the sum, leaving us with the nonshaded areas which must hence equal 0;25,25 - 0;0,25 = 0;25. Next, since x = 1 . z, the large square is found to be 1 X 1 D (z) (since 1 and 1 are "made hold," we must imagine z as the unit by which the side of the squares are measured). The upper left square from D (y) is similarly found to be 0;40 X 0;40 D (z) = 0;26,40 D(z), which are appended to the 1 D(z). Putting a = 1;26,40, this gives us a total of a squares D (z)-the upper left part of figure 8B. This can be changed into ~ squa~e on az by blowing up the figure vertically by a scaling factor a ~ 1;26,40, whIch WIll change the total area into a· 0;25 = 1;26,40 . 0;25 = 0;36,6,40 (lmes 2-3). Up to now, the two "wings" of D (y) have been negl~cted. They ~re ~ow found to be ea~h 5 .0;40 z--that is, to be strips c:J (5 ·0;40, z). ThIS computation IS performed as a raISing-as is to be expected, since we start out from strips of wi~th 0~5, the lengths of which, however, are 0;40 . z and not z: thus, a factor of propOrtiOnalIty 0;40 has to be applied. Next, of course, they participate in the scaling, which gives them the adequate length az, but this involves no computation, and b = 0;40 . 0;5 = 0;3,20. We are thus left with a problem of the type "square area and sides" (with side az). This is solved as we have seen a number of times (with omission of the "breaking," since the two wings are already separate), and az is found to be 0;43,20 (line 8). From this, z is found by the customary method for division by an irregular divisor to be 0;30. x follows through raising to 1, and y by raising to 0;40 and ensuing appending of 0;5.

188

lENS H0YRUP


0;40

y x

A

~

0;5

i I

1;26,36z

1;26,36 z

X

z

1

t ,_______________ ,

I... :

189

ined "real" field and has the value 20, while the latter belongs to a model drawn in the school yard and has the value 0;20. It is an obvious possibility that the same relation could hold between x and z, with the consequences that x = 1,Oz and y = 40z + 5 (and thus x = 30, Y = 25, z = 0;30), and that the statement should be translated "The surfaces of my 2 confrontations I have accumulated: [25],25. The confrontation, two-third of the confrontation and 5 nindan." The insertion of the unit nindan precisely here (and in No. 24, which presents us with the same dilemma) might even be considered evidence in favor of this reading. On the other hand, as we shall see, No. 23 also refers to "10 nindan" which in that case can only mean "0; 10 nindan." Without rejecting the alternative, I have therefore preferred to ascribe not only z but also x and y to the preferred order of magnitude.

'

B

Figure 8. BM 13901 No. 14.

The need to introduce a third square, viz on the unit z follows from lines 1 and 9. If the total area had been expressed as a multiple of the first area plus a multiple of its side (in symbols: as a 0 (x) + bx), there would have been no occasion to make 1 and 1 holdthe area of the first square is 1 times this area (cf. below, the discussion of No. 18). Similarly, the multiplication in line 9 would make no sense. What is only conjectural in No. 1~-that ~he total area is thought of as measured in terms of the square on an undetermIned unIt (equal to 1/7X and to 1/6y)-is unavoidable in the present case. 43 The computation of 1 X 1 and 1 . z in lines 1 and 9 has further implications. Even if measurement in terms of D (z) and z was thought of, the author of the text must have been aware of t?~ possibili~ of making shortcuts in the formulation and omitting these steps. The explIcIt presence In the text of operations with no computational effect demonstrates that shortcuts were consciously avoided. That the two "wings" of D (y) are only calculated separately and not added to a total ofO;6,40zcan thus be no shortcut induced ?y the knowledge that .this number will soon have to be broken again: It must mean, Ins~e~d, that the two WIngs are really thought of during the ongoing process as separate entItles. !he use of a reference square D (z) which is distinguished from the first square D (x) in Itself calls for a commentary. As it was argued in the discussion of orders of magnitude, the distinction between a "true width" and a "width" in TMSXVI which seem numerically identical may be explained by the assumption that the former belongs to an imag43 The possibility of using a "model figure" with side 1 nindan is excluded by the inhomogeneous nature of the problem.

A final observation follows from the formulation of this problem, namely from its careful distinction between "raising" and "making hold." Whatever the balance between mental and tangible geometry there is no doubt that the categories of the geometrical conceptualization are present-abstraction or metaphorization (or whatever description of the process attested to in No. 12 is most fitting) does not entail a shift to an arithmetical understanding. The tablet Str 363 (MKT I: 244f.) contains three variants of the present problem (y = 0;40 x-0;10; X= z+ 0;10,y= 0;40 z+ 0;5; X= z+ 0;20,y= 0;40 z+ 0;5). Even though it has obviously been written in a different school and at a different time, as demonstrated by a heavily Sumerographic style and many terminological differences, its problems agree with what we have seen here both by making use of a third square and in the arrangement of operations.

No. 15 This is another variation on the pattern already familiar from Nos. 10-11 and 13. Apart from the presence of four instead of two squares there is nothing new in the treatment, and thus no reason to analyse the text more closely-in particular because much of the text is reconstructed from the phrasing of parallel problems.

No. 16 This problem is a simple variation on No. 2, the only difference being that not ~ side but a third of a side is torn out. There is nothing astonishing in the procedure nor In the way it is told, excepting line 25: Elsewhere, when the number of sides is found (here 0;20), this number is bisected. In the present case the procedure starts as usual, but. the? returns and breaks a full 1 (possibly identified again as the projection), after whIch It

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r~ises the. resulting 0;30 to the coefficient. It seems as if the description merges two slIghtly. dIfferent procedures, both of which are possible. Apart from that, everything goes as m N? 2; as observed above, one may suspect the problem to have been displaced from where It should have belonged according to the canonic habits of the discipline.

...... o('----

Y

z 0;10

x

0;100;10

x

I I

x

x

x

I

x

No. 17 I

No. 17 is another variation on the pattern known from Nos. 10-11 13 and 15 this ~ime invol~ing thre: squares. The method follows what we already ~ow, 'and the ~ost Importa?t mformatIon to be extracted from the problem is probably a confirmation of the specIal role of the number 7 in the construction of problems.

o-------t---i

......

O _ _ _ _ _------'--J A

This problem concerning three squares is no extension of a simpler model already treated, but of what we may see as the "missing link" between Nos. 1 and 14. Its main interest comes from its deviations from and similarities with No. 14.

I

6-

0°;20

......

0

o---------~

o------------'-~

~0(~-------3x --------~.~

x

No. 18

o

x

I

I I I I I I I

x

I

I I I I I I I

X

0;30

0;30

B

Figure 9. B in distorted proportions. For simplicity we may label the three sides x; y = x + 1 . 0; 10 = x + 0; 10; and z = y + 0; 10 = x : 2.. o~ 10 =: x + 0;20 (figure 9A). These pedantic computations render line 41; the multIplIcatIons mvolved are raisings, as they should be. In line 42, the areas of the l.o,:er right corners of. (y) and 0 (z) are found ("being held," again quite regularly) and Jomed, and the result IS torn out from the total area 0;23,20, leaving 0; 15 as the value of the three squares 0 (x) and the. "winps" of D (y) and 0 (z) (figure 9B). The presence of three squares 0 (x) calls for a scalmg WIth the factor 3, giving a total area of the scaled figure equal ~o .0;45. Only after this is found, and when the width of the wings must be made hold, IS It found as 0; ~ 0 + 0;20 = 0;30 (by accumulation, i.e., in an accounting procedure, not through puttmg together materially the wings of 0 (y) and 0 (z). Lines 4? to 47 follow the familiar pattern, until "the confrontation" is found by inverse scaling. Lmes 48 and 49 then find y and z by successive additions of 10. In the discussion of No. 14 it w~s .argue~ that a new unit z was made use of (perhaps equal to~, perhaps to 0;1 . x). ~hIS IS obvIOusly. not the case here. The initial accounting process dIssects 0 (y) and 0 (z) mto areas and SIdes of the (first) square. This is reflected m the absence of a multiplication of 10 (i.e., 0; 10) by 1 in line 47 (whereas the lack of an e~ith.et ''jirst confrontation" is in agreement with general stylistic patterns and thus not sIpnIficant). More important is, however, the absence of "making 1 and 1 hold" before lme 41: The square areas are already present, and regarded as identical with the square whose area and sides is the object of accounting.

An important observation can be made from the precedence of the scaling over the computation of the width of the "wings." This order agrees with a general norm which was also present in No. 14; we shall encounter it again in No. 24; and we may find it in other texts as well. The arrangement implies that bringing about the general (normalized) onesquare situation is the important point in the solution of problems of this kind, while the computation of the precise dimensions of the figure is a secondary matter. This would be anomalous if the geometric technique was based on drawings made more or less to scale. There is, however, no reason to believe it was: Field plans, for example, were drawn in highly distorted proportions, and are better understood as structure diagrams than as maps.44 So, even if material drawings were made, they will hardly have been made to scale. In that case, delayed computation of the width of the wings would thus be possible, even if still a bit strange. In the equally plausible case that the geometry appealed to was mental and not material, early computation of this width would only burden the calculator's memory with a num-

44 Compare, for example, the autography of one specimen and the redrawing in true proportions in Thureau-Dangin (1897). See also the distorted diagram in the mathematical tablet YBC 4675, MeT: 4446 and plate 1.

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ber to be remembered, or (rather) force him to make a note. Computation of the precise proportions of the figure would be better delayed until the moment they were to be used. Since internalization of geometrical no less than arithmetical procedures presupposes a training phase where one becomes familiar with tangible representations of the same operations, we cannot conclude that every actual solution of our problem was made mentally; after all, the text is prescriptive, not a description of actual solutions. An immutable order also suggests that we are dealing with a convention. Even a convention, however, will have been derived through generalization from typical usage. The order in question thus intimates that at least the basic naive-geometric operations will have been performed mentally by trained calculators.

1

1

2

4

1

1

1

1

1

1

1

1

1+3

1

1

1

1

Figure 10. BM 13901 No. 19.

No. 19

No. 23

Of this problem, only the statement and the very first step of the procedure are conserved. However, these remnants suffice to suggest a reference to the standard diagram of figure SC, which can also be used to explain the hypothetical completion of the problem.

Neugebauer regarded this problem as so anomalous, both regarding its location among the complex problems and as far as method and formulation is concerned, that he proposed it to be the outcome of a scribal misunderstanding which happened to be mathematically consistent (MKTIII: 14). It is, indeed, only the naive-geometric interpretation which makes sense of it.

First of all we notice once more that the first part of line 50 coincides sign for sign with a corresponding passage in No. 12, line 28, without repeating its meaning. This was already discussed. Using figure 10 (a simplified redrawing of figure SC) we may then explain what goes on as follows: The sum of the two areas is represented by the shaded area in figure lOA, and the square held by the excess by the dark grey shaded area. 0;23,20 is thus the total shaded area, with the dark grey shaded part counted twice. Repetition of this configuration may result in something like the configuration of figure lOB, where the numbers indicate how many times each area is counted. The slight rearrangement in figure 10C shows the 0;46,40 resulting from the repetition to represent the total area of the square on the sum of the sides, plus three times the central square. The reconstruction builds on what might be expected to be made out of this, according to our general knowledge of Old Babylonian habits and from other problems from the present tablet. Tearing out the square on the sum of the sides 0;41,40 would leave three times the central square, that is, 12 times the square JF (figure SC) on the semi-difference between the sides. From this, the semi-difference is easily found, and appending it to and tearing it out from the semi-sum would yield the two confrontations. The remains of No. 19 thus tell us that the standard diagram suggested for Nos. 8-9 might serve once again. Evidently, nothing more can be concluded from a text which is so heavily damaged. No. 20, of which nothing remains, will probably have repeated the pattern of No. 19 with inversion of the respective roles of the sum of the sides and their difference.

The text starts by telling that we are dealing with a surface-or rather, it might seem from the anomalous accusative complement, a field-compare footnote 30. Here, the four fronts and the area are accumulated. "Front" (fin the figure) renders pat, the plural of putum. Traditionally, this term is taken to be the Akkadian equivalent of the Sumerian sag, the "width" of mathematical rectangle problems. As pointed out above, however, the basic "algebraic" length-width problems never apply the Akkadian term (with the exceptions of a few early texts from Esnunna). Using the Akkadian equivalent must therefore imply that we are located outside the discourse of basic "algebra," and within that everyday parlance of Akkadian surveyors where putum was the "front" of a field (a metaphor referring originally to the end of a narrow field confronting the irrigation canal). As observed above, the construction in which these "fronts" occur is the one which is used when n items belong invariably together (as do nowadays "the four cardinal points" and in Babylonia "the seven mountains"). What is added to the surface is thus not four times the side of the square but those sides of which a square possesses exactly four. Remembering that the addition of a side to an area involves a "projection" 1, we a:e thus led to the configuration shown in figure l1A: a central (hatched) square representmg the field, extended in all four directions by a projection 1. Its total area is 0;41,40. The first computational step (lines 12-13) finds the fourth of this area to be O;lO,~S-comp.are figure 11 B. In line 14, the projection is appended. This appears to contradIct everythmg we have seen until now. Elsewhere, the projection was "posited," a step which has been

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~

I

'

I

!

~I

1:-; -

-

-~~

-

~

I ' - . - . - . , . . . . . . . . . . .

The geometrical understanding thus elucidates the procedure and the way it is explained, and the specific character of the solution may also explain why the problem is located among the complex problems and not in the vicinity of No. 6. But what can be said about the linguistic and terminological peculiarities?

,

~

I

A

B

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peating it"-that is, joining it with its mirror image in the quartering line-yields 0; 10 as that front which confronts itself.

-':-';

~'} I

f -

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c

Figure 11. BM 1390 1 No. 23.

taken for g~anted here. Next, the projection is a linear entity, and what is appended in figur; 11 ~ IS of course a surface 1 X 1. How can we explain that" 1 and 1" are not" made hold as m other places of this carefully formulated text (e.g., No. 14, line l)?

This is a complex question, with which I have dealt elsewhere (H0yrup 1996a; cf. H0yrup 1990: 275, 352). In brief, the problem appears to have been borrowed from a tradition of surveyors' or other practical geometers' "recreational mathematics" which has left traces as far back as the Sargonic era; which may have provided the foundation from which the scribal school developed its sophisticated "algebra"; and whose interest in the four sides of squares and rectangles can be followed until the Islamic Middle Ages and even further to Leonardo Fibonacci and Luca Pacioli. This would explain the initial "about a field" (which is probably the genuine meaning of the first word, cf. footnote 30), as well as the use of the Akkadian pat together with the other archaisms and oddities which have been pointed out in the notes and in the discussion.

The expla?ation is provided by parallels from other elements of the mathematical discourse.wh!ch presuppose that a rectangle is represented by and in a certain sense identified with It~ side. Firstly, this is. seen in the terminology for squares-as we remember, the term mttbartuml confrontatIOn not only designates the quadratic configuration but ~so (the lengt~ of) its side. Secondly, it is shown by the way rectangles were transformed mto gnomons m the ~ut-and-paste procedures of figure 1 (etc.): The line by which the length exceeded the width was broken and next made hold; implicitly, this involved the whole part of the rectangle lying along this line.

Medieval texts belonging to this tradition favor the value 10 for the side of the square strongly and persistently. So does indeed, as we see, No. 23 of the present tablet, while no other problem dealing with a single square gives this value. Interaction with the place value system, however, has decreased the value 10 by an order of magnitude which is revealing: A number which must have originated as a "natural" choice has lost this quality in the present version of the problem. The implication is that the problem has its origin outside the environment where the sexagesimal number system was used, and probably among speakers of a language employing a decadic number system-we may guess at Akkadian, which fits other strands of the evidence.

!n t~e p~esent case, we ~~y apply the mitbartum-analogy: The square held by two proJectIon~ IS already there,. It IS not necessary to construct it. Instead we may regard the confrontation as representmg the whole quadratic configuration which is appended in the upper l~ft corner of figure ~ 1C. 45 This giv~s an area 1; 10,25 for the completed upper left section, and thus an eqUlI~terall;5. Teanng out that projection which was appendedbut now understood as the lme and not as the whole quadratic configuration which it represented when appended-gives us 0;5 as the half-front of the original square. "Re-

The Medieval texts have the sides as the first addend and the area as the second, precisely as the present problem, in contrast to all other sums of area and confrontation. They end by telling the value of" each side," not simply the side-a usage which may be reflected in the reference to 0; 10 nindan "confronting itself'; the tablet BM 80209, indeed, uses the expanded phrase "10 TA im-ta-bar," "10, each, confronts itself' (Friberg 1981).

No. 24 45 Even ~en, of course, the language remains slightly anomalous. Within strict mathematical discourse, the confrontat1~n r~presents, the whol~ quadra~ic con,fig~ration, it is true; but it is not numerically identical with the area, Whl~h in numencal te~ms IS the entuywhlch IS appended in line 14. This, however, is probably nothing but another Instance of the dehberate departure from strict terminological normality in the present problem.

This problem is a more complex variation on the pattern of No. 14 (it was indeed used for restituting the many damaged passages of that problem), and it tells us little new. It is marred by a number of errors, the last of which cancels the others (obviously because the calculator knows the result in advance). Excepting the possible displacement of

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No. 16, the errors of the tablet are typically those made by a calculator, not copyist's mistakes. The abundance of such errors in this last problem of the long tablet suggests that the author became tired, or did not have the time to check everything. 46 Fatigue may also be sufficient explanation of the transformation of the miflumlhalf of line 19 into a bamtumlmoiety in line 32-and the likely influence of fatigue or haste prevents us from concluding anything from this anomaly.

General Observations A number of general conclusions were drawn or hinted at in the above discussion of the single problems of our tablet. In order not to let them vanish from view in the thicket of details it may be useful to list them separately. I shall bypass what was learned about the use of cut-and-paste procedures, scaling and accounting as techniques for solving the equations of Old Babylonian "algebra," since this was central to the argument most of the way through. But if we take the tablet as representing a particular field of study (a "subdiscipline," we might say, in particular if we remember that "discipline" derives from discere, "to learn"), we shall find that this sub-discipline is understood as the ("algebraic'') study ofsquare and squares. Other systematic tablets deal with "length, width" (i.e., rectangles) or "cellars" (rectangular parallelepipeds). Each group may contain problems of the first, the second, and the third degree (this is the case with the "cellar" text BM 85200 + VAT 6599), or problems to be solved by means of different characteristic techniques (one example of this is offered by No. 12 from the present tablet, which belongs here because it deals with two squares, but which is reduced to a rectangular problem). Within the tablet we see a fairly but not fully systematic progression from the simplest to the most complex cases. The main exceptions (apart from No. 23, which is a special case) are that Nos. 5-6 come after No. 3; that No. 16 comes still much later; and the absence of a two-square version of No. 18 before No. 14. The early date of the tablet (compared to other Old Babylonian mathematical texts) was mentioned above. The systematic organization as well as the firm grasp of methods and the confident use of measurable lines as representatives for square areas in No. 12everything exhibits an "algebraic" discipline which is already fully mature. Only No. 23 seems to represent the vestiges of an earlier, pre-scholastic stage. 46 It might be worthwhile to investigate the tablet itself in order to see whether the writing of the final problem suggests that the clay was becoming too dry. (But evidently the absence of characteristic copyist's errors does not prove that the tablet is no copy, only that if it is a copy it was made by a conscientious copyist.)

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In this connection the overwhelmingly Akkadian language used in the tablet is remarkable. Apart from the ideographic writing u.gu for eli and from what I termed syllabologographic writing in note 15, only a handful of Sumerian terms are used (igi, fb.si g, a.sa, ki-n, and ba.an.da if this is not already to be read as an Akkadianized loanword), all of them central to traditional Sumerian practical computation (accounting and mensuration) or (ki-n) to the writing of lists. Like omina, which are also written from the beginning in Akkadian, "algebra" must thus be a new literary genre, created or adopted into the scribal school in the Old Babylonian age-the use of Sumerograms, on the whole increasing with time, should not deceive us. The formulation of No. 23 as discussed above, together with other evidence,47 suggests an adoption from an environment of Akkadian-speaking surveyors. In its original surveyors' milieu, the technique appears to have embraced only cut-andpaste procedures, without any "scaling" or "accounting"-this seems to foll~w from the later sources for this tradition mentioned in the discussion of No. 23. It WIll probably not have been used to represent entities of other kinds, and we may guess that the techniques have been based upon tangible geometry. Our tablet demonstrates though only through a single modest example (No. 12) that the Old Babylonian calculators had developed the subject into a general technique (even though they appear never to have a~ plied it to problems whose solutions were not known beforehand); most of the tablet IS aimed at training precisely the use of "scaling" and "accounting"; and the arrangem~nt of certain steps of the procedures (discussed in connection with No. 18) suggests a PIVotal role for mental geometry. Adoption into the scribal school thus appears to have been followed by a rapid and thorough recasting of the technique into a full-fledged discipline.

An observation of a fully different kind, related to the psychology of numeracy rather than to mathematics stricto sensu, regards the notion of what I have called "remarkable numbers" (H0yrup 1993b). Apart from the sums of square numbers (cf. footnote 37), 47 In particular the use of part of the characteristic terminology of the "algebra" texts to, describe t~e me~h od for bisecting a trapezium (VAT 8512, MKTI: 341£, c£ H0yrup 1985: 105, 18-23), m connection with the evidence that this kind of problem is attested to in a single Sargonic text (IM 58045, see Friberg 199?: § 4.4), Additionally, the essential trick for the solution of mixed second-degree problems (the quadr~tic completion) appears to have been spoken of as "the Akkadian [method]" (TMS IX, corrected interpretation in H0yrup 1990: 326). Possibly also of importance are a group of Sargonic school exercises in area measurement (squares on ~ ~ d, where R is a large round measure and ra small length measured in "seed-cubits"). As intimated by Whltlng (1984: 65 n. 16), these are solved so much easier if one makes use of the knowledge that D (R± r) = D (~) + D (r) ± 2c:::::::::J (R,r) that this trick must probably have been the gist of the problems; already me Sargolllc scribe school thus seems to have made a first adoption of this kind of proto-"algebraic" (indeed, naive-geometric) knowledge, which, however, shows no signs of having developed inside the school into the "algebra" of the Old Babylonian age: The Sargonic problems are written in Sumerian, and their vocabulary shares nothing beyond us, sag and sis with the characteristic vocabulary of the Old Babylonian problems (subtraction is designated lal, addition not at all).

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7 and 11 play a special role for the construction of problems-but only as factors and as 1/7 to be added or subtracted. Additive contributions (how many nindan one confrontation exceeds the other) are 0;10 and 0;5. 48 No. 13 suggests that the number 4 might belong to the same group as 7 and 11. The predilection for these two groups of numbers recurs in other mathematical texts, 49 which also confirm the appurtenance of 4 (and, almost predictably, 13, 17 and 19) together with 7 and 11.

As far as the prime numbers (7, 11, 13, 17) are concerned, we may share the feeling that these are special or funny numbers; the Biblical evidence for the role of7 ("I say not unto thee, Until seven times: but, Until seventy times seven," etc.) is also well known. The inclusion of four in the same group and the absence of preferential use of these numbers outside the multiplicative-partitive domain suggest, however, that we should not look for an explanation through number-psychological universals. We may notice that 4 can be regarded as kind of the first "non-small" number-compare the role which the fractions 1/2, 113 and 213 play in elementary as opposed to sophisticated variations of data (Nos. 3-6, and the ratio before excess between confrontations in Nos. 14 and 24). 7 and 11 (etc.), on their part, cannot be reduced to simpler cases through elimination of sexagesimally regular factors. They are thus-but only within the multiplicative-partitive domain-numbers which by necessity must be dealt with as they are, and not through some indirect scheme; like four they represent number in general. In the additive domain, the numbers 4, 7 and 11 (etc.) possess no unique mathematical quality. This must probably be the reason for their conspicuous absence when it comes to the statement of excess lengths; conversely, their absence shows that they had no other essential qualities (to be understood, e.g., as number-psychological universals). The special role of 5 and 10 is probably not to be explained directly by the properties of these numbers in the additive domain; it is rather a consequence of a predilection for constructing problems from given results, where these would be "round but not too round" like the sequences 0;30-0;20 (Nos. 8, 9, 12), 3;30-3 (No. 10), 4-3;30 (No. 11), 0;40-0;10 (No. 13), 0;30-0;25 (No. 14),0;30-0;20-0;15-0;10 (No. 15),24;30-3;30-0;30 (No. 17). Such data may either have been chosen so as to be striking and easily remembered yet not completely trivial, or they may have been picked as round as permitted if "remarkable" numbers should fit as factors and denominators of parts (this is especially clear in No. 17). As pointed out by Powell (personal communication), the predominance of 0;30 [nindan] may depend on the role of this length as a unit (gi, "a reed") used in practical mensuration.

48 No. 24 also contains an additive 0;2,30, which however is only part of the total excess of the third confrontation over the third part of the first (which is indeed 0;5). 49 For example, YBC 4714 (to be dealt with below) and TMSV and IX.

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Iv. YBC 4714 This tablet was first published by Neugebauer (MKTI: 487-492). It is a series text, telling in the colophon to be No. 4 of the se~ies within which. it belo.ngs. It deals with squares, and is closely related to our prevIOus tablet, even. If tr~atIng on the whole of more sophisticated variants of the problems. We may ImagIne, as suggested by Neugebauer (MKTIII: 10), that tablet No. 3 has presented the level of BM 13901. The language of the tablet is highly elliptic. Almo~t everything is.written.logographically, grammatical complements are rare, and the style IS utterly laconIc-at tImes demonstrablyambiguous. 5o Nothing sure is known about the origin of the tablet, but Neugebauer lists r~asons which point toward Kis (partially retracted in MeT: 95, however). As to ~he datIn~, external evidence suggests a somewhat later date than that of BM 13901. ThIs con~lu~lOn agrees with what can be inferred from internal evidence: The extreme formalIzatIon of the phrasing can only be expected to have arisen well after t~e ~ogniti~e ~aturation of the discipline; the same holds for the tendency toward canOnIzatIon whIch IS represented by the series texts as a global undertaking. The transliteration is borrowed from MKT (vo!. I, with corrections from vo!. III and from TMB: 136-148). The translation is my own, following again the principle of conformality. I have translated the ideographically written verbs as infinite forms in ord~r to reproduce the abrupt impression conveyed b~ the text.. Even the pr?blematIc .su.ba.an.tu of Rev. 11,20, ifit indeed is a wronglywntten syllabIC form of banum (rather unlikely, but no plausible explanation is at hand), must. have been intended as a? infinite form (Ju-stem, verbal adjective, feminine???). The affi~Ity to BM. 13901 makes It r~aso~ able to read tb.si 8 ideographically for mitbartum whIch stands In the same functIon In the problems of that tablet (cf. also YBC 6504, Nos. 3-4; MKTIII: 22f.). The use of the suffix "e" on numerals counting the number of squares (both cardinally and ordinally) is remarkable. It appears to have lost all connections to th~ ?umerian ergative suffix, and thus to be a symbolism created ad hoc and almost ex mhzlo.

50 At an early moment, Neugebauer (1932: 222) maintained that the ideograms of the mathematical texts functioned "precisely as mathematical symbols." The ambiguities resulting from the ~ondens~~ style of t~e present tablet shows that this is not so: Compact ideographic writing may have allevIated wn~mg, .but dId not facilitate intelligibility or provide transparency. A fortiori it could never lead to that operatIOn dIrectly at the level ofsymbols which distinguishes symbolic from rhetorical and syncopated algebra.

200

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Obverse I

Obverse 11

No. 1

No. 5

** 1)

2) 3) 4)

gar.gar-1m[a? ... ] tb.si B13?e [en.nam] 130? nindan l.e 20 nindan 2.e

accumulated[:] ... The 131 confrontations, [what?] 30 nindan, the 1st. 20 nindan, the 2nd.

No. 2 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

a.sa tb.si B4.e gar.gar-ma 1.30 tb.si B4.e gar.gar-ma 2.20 t[b.s]iB 4.e en.nam 50 [nindan] Le 40 nindan 2.e 30 nindan 3.e 20 nindan 4.e

The surface of 4 confrontations accumulated: 1,30,0. The 4 confrontations accumulated: 2,20. The 4 co[nfront]ations, what? 50 nindan, the 1st. 40 nindan, the 2nd. 30 nindan, the 3rd. 20 nindan, the 4th.

No. 3 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24)

a.sa tb.si B6.e gar.gar-ma 1.52.55 tb.si B6.e gar.gar-ma 3.15 tb.si B6.e en.nam 45 nindan Le 40 nindan 2.e 35 nindan 3.e 30 nindan 4.e 25 nindan 5.e 20 nindan 6.e

The surface of 6 confrontations accumulated: 1,52,55. The 6 confrontations accumulated: 3,15. The 6 confrontations, what? 45 nindan, the 1st. 40 nindan, the 2nd. 35 nindan, the 3rd 30 nindan, the 4th. 25 nindan, the 5th. 20 nindan, the 6th.

No. 4 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34)

a.sa tb.si B3.e gar.gar-ma 30.50 igi.7.gal Le [u 1]5 nindan 2.e su.ri.a 2.e u5 nindan 3.e tb.si B3.e en.nam 35 nindan 1.e 20 nindan 2.e [15 nilndan 3.e

The surface of 3 confrontations accumulated: 30,50. The 7th part of the 1st [and 1]5 nindan, the 2nd. Half of the 2nd and 5 nindan, the 3rd. The 3 confrontations, what? 35 nindan, the 1st. 20 nindan, the 2nd. [15 ni]ndan, the 3rd.

** 1) .... e ... 2) ... 2.e ... 3) tb.si B3[.e e]n.nam 4) [5 l 5 nindan Le 5) 24 nindan 2.e 6) 22 nindan 3.e

201

... [1F]st .. , .. , 2nd ... The 3 confrontations, [w]hat? [5 l 5 nindan, the 1st. 24 nindan, the 2nd. 22 nindan, the 3rd.

No. 6 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)

a.sa tb.si B3.e utb.si B[3].e gar.gar-ma 27)50 l tb.si Btb.siB·ra igi.17.gal ba.lal 1/2 nindan Le da!! 3 nindan 2.e da!! 2 nindan 3.e da!! tb.si B3.e en.nam 25 nindan Le 24 nindan 2.e 20 nindan 3.e

The surface of 3 confrontations and the [3] confrontations accumulated: 27,[50l . Confrontation to confrontation, The 17th part diminishes, 1/2 nindan (being) appended to the 1st, 3 nindan appended to the 2nd, 2 nindan appended to the 3rd. 51 The 3 confrontations, what? 25 nindan, the 1st. 24 nindan, the 2nd. 20 nindan, the 3rd.

No. 7 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28)

a.sa tb.si B3.e gar.gar-ma1.17.30 igi.11.gal1.e u30 nindan 2.e igi.7.gal2.e u15 nindan 3.e tb.si B3.e en.nam 55 nindan 1.e 35 nindan 2.e 20 nindan 3.e

The surface of 3 confrontations accumulated: 1,17,30. The 11 th part of the 1st and 30 nindan, the 2nd. The 7th part of the 2nd and 15 nindan, the 3rd. The 3 confrontations, what? 55 nindan, the 1st. 35 nindan, the 2nd. 20 nindan, the 3rd.

No. 8 29) a.sa tb.si B[4].e 30) gar.gar-ma 2.2[3].20 31) igi.3.gal tb.si Btur.ra

The surface of [4] confrontations accumulated: 2,2[3],20. The 3rd part of the smallest 52 confrontation,

51 The formulation is either corrupt or too elliptic (even according to the norm used in other problems of the tablet) to allow proper interpretation. The meaning might be that (x+ 1/2) - Y = 1/17 (x+ ~/2),y- (z+~) = (y + 3) - x, as suggested by Neugebauer (MKTI: 499), and will plausibly have to be somethmg of that kind. 52 I take the suffix "ra" (which in classical Sumerian was a dative suffix only to be regularly applied persons) as a way to express the extreme, by way of the logographic use for ana ("to the small" expressing "the

202 32) 33) 34) 35) 36) 37)


fb.si 8 u.gu fb.si 8 dirig fb.si 8 4.e en.nam 1 gis l.e 50 nindan 2.e 40 nindan 3.e 30 nindan 4.e

confrontation over confrontation goes beyond. The 4 confrontations, what? 1 gis the 1st. 50 nindan, the 2nd. 40 nindan, the 3rd. 30 nindan, the 4th.

No. 9 38) a.sa f[b.s]i 8 4.e 39) it fb.si 8 4.e

The surface of 4 co[nfront]ations and the 4 confrontations

JENS H0YRUP

203

No. 12 20) a.sa fb.si 8 4.e 21) gar.gar-ma 1.36.15 22) igi.4.gil igi.ll.gal gal 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29)

u.gu igi.7.gil2.e dirig fb.si 8 u.gu fb.si 8 dirig fb.si 8 4.e en.nam 55 nindan l.e 35 nindan 2.e 30 nindan 3.e 25 nindan 4.e

The surface of 4 confrontations accumulated: 1,36,15. the 4th part of (that which) the 11 th part of the great, over the 7th part of the 2nd goes beyond, confrontation over confrontation goes beyond. 53 The 4 confrontations, what? 55 nindan, the 1st. 35 nindan, the 2nd. 30 nindan, the 3rd. 25 nindan, the 4th.

Obverse III

No. 13

** 1)

30 [nindan 4.e]

30 [nindan, the 4th].

No. 10 2) a.sa {[b.si8] [4.e] 3) gar.gar-ma l.15. [50] 4) fb.si 8 l.e 5) u.gu 2.e 10 nindan dirig 6) igi.7.gaI2.e 7) it 25 nindan 3.e 8) 2/3 3.e 4.e 9) {b.si8 4.e en.nam 10) 45 nindan l.e 11) 35 nindan 2.e 12) 30 nindan 3.e 13) [20 nindan 4.e]

The surface of [4 confrontations] accumulated: 1,15,[50.] The 1st confrontation over the 2nd 10 nindan goes beyond. The seventh part of the 2nd and 25 nindan, the 3rd. 2/3 of the 3rd, the 4th. The 4 confrontations, what? 45 nindan, the 1st. 35 nindan, the 2nd. 30 nindan, the 3rd. [20 nindan, the 4th.]

[a.sa fb.si 8 4.e] [c. 4 lines are destroyed] f[b.si 8 4.e en.nam] 50 [nindan l.e] 50 nindan [2.e] 45 nindan [3.e] 40 nindan 4.e

[The surface of 4 confrontations] [The 4] con[frontations, what?] 50 [nindan, the 1st.] 50 nindan, [the 2nd.] 45 nindan, [the 3rd]. 40 nindan, the 4th.

a.sa fb.si 8 3.e gar.gar-ma 2.47.5 1.20 nindan fb.si 8 I.e igi.7.gil1.e u.gu 2.e dirig 3.e 2.e.ra ba.lal fb.si 8 2.e en.nam 45 nindan 2.e 40 nindan 3.e

The surface of 3 confrontations accumulated: 2,47,5. 1,20 nindan the 1st confrontation. The 7th part of (that which) the 1st over the 2nd goes beyond, the 3rd (compared) to the 2nd diminishes. The 2 confrontations, 54 what? 45 nindan the 2nd, 40 nindan the 3rd.

Obverse IV

No. 14 55 1) 2) 3) 4) 5)

No. 11 14) ** 15) 16) 17) 18) 19)

30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37)

6) 7) 8) 9)

[a.sa fb.si 8 3.e] [gar.gar-ma 2.47.5] [igi.7.gil1.e] [u.gu 2.e dirig] [3.e 2.e tur.ra] [45 nindan fb.si 8 2.e] [fb.si 8 2.e en.nam] [l.20 nindan l.e] [40 nindan 3.e]

[The surface of 3 confrontations] [accumulated: 2,47,5.] [The 7th part of (that which) the 1st] [over the 2nd goes beyond,] [the 3rd (compared to) the 2nd becomes smaller.] [45 nindan the 2nd confrontation.] [The 2 confrontations, what?] [1,20 nindan, the 1st]. [40 nindan, the 3rd.]

No. 15 10) [a. sa fb.si 8 3.e] 53 The meaning oflines 22-24 appears to be

[The surface of 3 confrontations]

1/4 • (XI - x2) =

I/n • XI

= 1/7 • X2 = x2 - x3 = x3 - X4'

54 The line could also mean "The 2nd confrontation, what?". I choose the translation corresponding the answer. smallest"). The use of "ra" in connection with nouns belonging to the nonpersonal class indicates that the Sumerian of our tablet does not testifY to the existence of old Sumerian mathematical traditions, but is a translation of the Akkadian mathematical idiom.

to

55 Nos. 14-16 are strongly or completely destroyed. Nonetheless, the main lines of the reconstructions can probably be relied upon. Details, however, are uncertain-we cannot possibly know, for example, whether No. 17 line 34 or not No. 13 line 35 should be the general model for the fifth line of the problems.

204 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)

[gar.gar-ma 2.47.5] [igi.7.gal1.e] u.g[u 2.e dirig] 3.e [2.e tur.ra] 40 [nindan fb.si 8] 3.e fb.s[i 8 2.e] en.nam 1.20 [nindan 1].e 45 [nindan 2.e]

[accumulated: 2,47,5.] [The 7th part of (that which) the 1st] ov[er the 2nd goes beyond,] the 3rd [(compared to) the 2nd becomes smaller.] 40 [nindan the] 3rd [confrontation.] The [2 con]frontations, what? 1,20 [nindan, the l]st. 45 [nindan, the 2nd.]

a.sa [ib.si8 3.e] [gar.gar-ma 2.47.5] [igi.7.gal1.e] [u.gu 2.e dirig] [3.e 2.e tur.ra] [igi ... gal ... ] [u ... dirig ... ] [ib.si8 3.e en.nam] [1,20 nindan 1.e] [45 nindan 2.e] [40 nindan 3.e]

The surface [of 3 confrontations] [accumulated: 2,47,5.] [The 7th part of (that which) the 1st] [over the 2nd goes beyond,] [the 3rd (compared to) the 2nd becomes smaller.] [The ... part ... ] [and ... goes beyond ... ] [The 3 confrontations, what?] [1,20 nindan, the 1st.] [45 nindan, the 2nd.] [40 nindan, the 3rd.]

No. 17 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40)

a.sa [ib.si8 3.e] gar.gar-ma 2.[47.5] igi.7.gal [1.e] [u-g]u 2.e dirig 3-[e] 2-[e] tur.ra igi.3.gal 1.e u13.20 3.e fb.si 8 3.e en.nam 1.20 nindan 1.e 45 nindan 2.e 40 nindan 3.e

The surface [of 3 confrontations] accumulated: 2,[47,5.] The 7th part [of (that which) the 1st] [ov]er the 2nd goes beyond, the 3[d] (compared to) the 2[nd] becomes smaller. The 3rd part of the 1st and 13;20, the 3rd. The 3 confrontations, what? 1,20 nindan, the 1st. 45 nindan, the 2nd. 40 nindan, the 3rd.

No. 18 41) 42) 43) 44) 45) 46) 47) 48) 49) 50) 51)

a.sa fb.si 8 3.e gar.gar-ma 2.47.5 igi.7.gal 1.e u.gu 2.e dirig 3.e 2.e tur.ra igi.4.gal l.e u 20 nindan 3.e tb.si 8 3.e en.nam 1.20 nindan l.e 45 nindan 2.e 40 nindan 3.e

205

No. 19 52) [a.s]a f[b.s]i8 3.e 53) gar.gar-ma 2.47.5

[The surf]ace of 3 con[fronta]tions accumulated: 2,47,5.

Obverse V

**

No. 16 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29)

lENS H0YRUP


The surface of 3 confrontations accumulated: 2,47,5. The 7th part of (that which) the 1st over the 2nd goes beyond, the 3rd (compared to) the 2nd becomes smaller. The 4th part of the 1st and 20 nindan, the 3rd. The 3 confrontations, what? 1,20 nindan, the 1st. 45 nindan, the 2nd. 40 nindan, the 3rd.

No. 20 ** 1)

2) 3) 4) 5)

gar.[gar-ma ... ] igi ... u.g[u ... ] 3.e su[.ri.a ... ]

accu[mulated: ... ] .., part .. . ov[er ... ] 3rd .. . Ha[lf ... ]

6)

** [c. 4 lines are destroyed]

No. 21 56 ** ** ** ** 7) 8) 9) 10) 11) 12)

[a.sa ib.si8 4.e] [gar.gar-ma 52.30] [igi.7.gaI 1.e] [ib.si8 u.gu fb.si 8 dirig] [fb.si 8] 4.[e] [e]n.nam 35 nindan 1.e 30 nindan 2.e 25 nindan 3.e 20 nindan 4.e

[The surface of 4 confrontations] [accumulated: 52,30.] [The 7th part of the 1st,] [confrontation over confrontation goes beyond.] [The] 4 [confrontations] [w]hat? 35 nindan the 1st. 30 nindan the 2nd. 25 nindan the 3rd. 20 nindan the 4th.

No. 22 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23)

a.sa fb.si 8 4.e utb.si 8 4.[e] gar.gar-ma 54.20 igi.7.gal 1.e tb.si8 u.gu fb.si 8 di['rig?] tb.si 8 4.e en.nam 35 nindan 1.e 30 nindan 2.e 25 nindan 3.e 20 nindan 4.e

The surface of 4 confrontations and the 4 confrontations accumulated: 54,20. The 7th part of the 1st, confrontation over confrontation goes be[yond]. The 4 confrontations, what? 35 nindan, the 1st. 30 nindan, the 2nd. 25 nindan, the 3rd. 20 nindan, the 4th.

56 The unnumbered lines are my reconstruction, based on Nos. 22-28.

206


lENS H0YRUP

Reverse I

No. 27

No. 23

38) 39) 40) 41) 42)

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

[a.s]a fb.si B 4.e [gar].gar-ma [5]2.30 igi.4.gal fb.si B tur.ra fb.si B u.gu fb.si B dirig fb.si B 4.e en.nam 35 nindan l.e 30 nindan 2.e 25 nindan 3.e 2[0 nindan] 4.e

[The surf] ace of 4 confrontations [acc]umulated: [5]2,30. The 4th part of the smallest confrontation, confrontation over confrontation goes beyond. The 4 confrontations, what? 35 nindan, the 1st. 30 nindan, the 2nd. 25 nindan, the 3rd. 2[0 nindan], the 4th.

No. 24 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)

a[.sa fb.]si B 4.e it fb.si B 4.e gar.gar-ma 54.20 igi.4.gal tur.ra fb.si B u.gu fb.si B dirig 35 nindan l.e 30 nindan 2.e 25 nindan 3.e 20 nindan 4.e

The su[rface] of 4 [con]frontations and the 4 confrontations accumulated: 54,20. The 4th part of the smallest, confrontation over confrontation goes beyond. 35 nindan, the 1st. 30 nindan, the 2nd. 25 nindan, the 3rd. 20 nindan, the 4th.

No. 25 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27)

a.sa fb.si B 4.e gar.gar-ma 52.30 igi.5.gal3.e fb.si B u.gu fb.si B dirig fb.si B 4.e en.nam 35 nindan l.e 30 nindan 2.e 25 nindan 3.e 20 nindan 4.e

The surface of 4 confrontations accumulated: 52,30. The 5th part of the 3rd, confrontation over confrontation goes beyond. The 4 confrontations, what? 35 nindan, the 1st. 30 nindan, the 2nd. 25 nindan, the 3rd. 20 nindan, the 4th.

No. 26 28) a.sa fb.si B 4.e 29) it fb.si B [4].e

30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37)

gar.gar-ma [54.20] igi [5 ga]l [3.e] f[b.si B u.gu fb.si B dirig] f[b.si B 4.e en.nam] 3[5 nindan l.e] [30 nindan 2.e] [25 nindan 3.e] [20 nindan 4.e]

The surface of 4 confrontations and the [4] confrontations accumulated: [54,20.] [The 5t]h part [of the 3rd,] co[nfrontation over confrontation goes beyond.] [The 4] co[nfrontations, what?] 3[5 nindan, the 1st.] [30 nindan, the 2nd.] [25 nindan, the 3rd.] [20 nindan, the 4th.]

[a.sa fb.si B 4.e] [gar.gar-ma 52.30] [su.ri.a igi.3.gal] [fb.si B 2.e] [fb.siB u.gu fb.si B dirig]

207

[The surface of 4 confrontations] [accumulated: 52,30.] [Half of the 3rd part] [of the 2nd confrontation,] [confrontation over confrontation goes beyond.]

Reverse 11 1) 2) 3) 4) 5) 6)

fb.si B 4.e en.nam 35 nindan 30 nindan 25 nindan 20 nindan

l.e 2.e 3.e 4.e

The 4 confrontations, what? 35 nindan, the 1st. 30 nindan, the 2nd. 25 nindan, the 3rd. 20 nindan, the 4th.

No. 28 7) 8)

9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17)

a.sa fb.si B 4.e it fb.si B 4.e gar.gar-ma 54.20 su.ri.a igi.3.gal fb.si B 2.e fb.si B u.gu fb.si B dirig fb.si B 4.e en.nam 35 nindan l.e 30 nindan 2.e 2[5 nindan] 3.e 20 [nindan] 4.e

The surface of 4 confrontations and the 4 confrontations accumulated: 54,20. Half of the 3rd part of the 2nd confrontation, confrontation over confrontation goes beyond. The 4 confrontations, what? 35 nindan, the 1st. 30 nindan, the 2nd. 2[5 nindan], the 3rd. 20 [nindan], the 4th.

No. 29 18) 19) 20) 21) 22) 23)

a.sa fb.si B 2.e gar.gar-ma48.45 a.sa !u-ba-an-tu57 2 (de) 1 (iku) 1(112 iku) iku 5B fb.si B 2.e en.nam

The surface of 2 confrontations accumulated: 48,45. A surface having been built, 2 de 1112 iku. The 2 confrontations, what?

57 For lack of rival explanations I have read this word tentatively as a (wrongly written) syllabic form of banum. The word is found in other series texts in the same meaning and context and nowhere else (it can have nothing to do with the su ba.an.ti of AO 6770, which is a familiar logogram for laqum used in agreement with parallel passages). So much is certain from parallel passages (AO 8862 and VAT 8390, MKTI: 108-113 and 335-337; YBC 4608, MeT: 49f.; etc.) that a form of banum is meant by the present .sU.BA.AN.TU, in syllabic or logographic meaning. 58 1 (112 iku) designates 112 iku, written with the corresponding special sign. The total area in the line is 22,30.

208


24) [4]5 nindan 1.e 25) 30 nindan 2.e

lENS H0YRUP

[4]5 nindan, the 1st. 30 nindan, the 2nd.

14) [30 nindan] 1.e 15) 20 [nindan] 2.e

No. 30 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35)

213 of the 1st confrontation,

fb.si 8 2.e fb.si 8 2.e ki 2[5] sag 2.e 59 Lku-m[a] a.sa 1.e u.gu a.sa 2.e dir[ig] fb.si 8 2.e en.narn 30 nindan 1.e 20 [nind]an 2.e

the 2nd confrontation. The 2nd confrontation together with 2[5], the 2nd width, is made hold: (That which) the 1st surface over the 2nd surface goes bey[ond]. The 2 confrontations, what? 30 nindan, the 1st. 20 [nind]an, the 2nd.

16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27)

Half of the 1[st] su.ri.a 1.[e] it 5 nindan 2[.e] and 5 nindan, the 2[nd]. 25 nindan [slag [2.e] 25 nindan, the [2nd w]idth, ki fb.si 8 2[.e] together with the 2[nd] confrontation, Lku-ma a. [sa 1.e] is made hold: (that which) the 1st sur[face] u.gu a.sa 2.e over the 2nd surface {a line from the edge erroneously counted as part of the text}

fb.si 8 2.e en.nam 30 nindan 1.e 20 nindan 2.e

The 2 confrontations, what? 30 nindan, the 1st. 20 nindan, the 2nd.

No. 32 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

25 nindan sag kur.ra60 ki fb.si 8 2.e Lku-ma a.sa 1.e a.sa 2.e gin 7.nam61 igi.3.gil fb.si 8 1.e it 10 nindan 2.e fb.si 8 2.e en.narn

25 nindan, the alternate width, together with the 2nd confrontation, is made hold: As much as the 1st surface (over) the 2nd surface. The 3rd part of the 1st confrontation and 10 nindan, the 2nd. The 2 confrontations, what?

59 Since this "width" is "second," the "confrontation" itself must also be a "width." Compare "the four fronts" of BM 13901 No. 23 but also (a contrario) the identity of us and mitbartum (written LAGAB or NIGIN) in TMSV-VI. 60 I choose Thureau-Dangin's reading, but translate it in agreement with Rev. 11, 29, Ill, 21, etc.

igi.3.gal1.e u.gu 2.e [dirig] fb.si 8 l-[e] dah-ma [33.20] fb.;i 8 2.e ki 25 sag 2.e l.ku-ma a.sa 1.e 2.e g[in7·nam] fb.si 8 2.e en.narn 30 nindan 1.e [20] nindan 2.e

The 3rd part of (that which) the 1st over the 2nd [goes beyond,] (To) the l[st] confrontation appended: [33;20]. The 2nd confrontation together with 25, the 2nd width, is made hold: As [much as] the 1st surface (over) the 2nd. The 2 confrontations, what? 30 nindan, the 1st. [201 nindan, the 2nd.

No. 34 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38)

Reverse III 1) 2) 3) 4)

[30 nindan], the 1st. 20 [nindan], the 2nd.

No. 33

213 fb.si 8 1.e

No. 31 36) 37) 38) 39) 40) 41) 42)

209

i[gi].3.gil1.e u.gu 2.e dirig fb.si 8 1.e ba.z[i]-ma 26.40 2[5 nindan slag 2.e ki [fb.si 8 21.e l.ku-ma a.sa 1.e a.sa 2.e gin7 fb.si 8 2.e en.narn

The 3rd p[art] of (that which) the 1st over the 2nd goes beyond, (from) the 1st confrontation torn o[utl: 26;40. 2[5 nindan,] the 2nd [wi]dth, together with the 2[nd confrontation,] is made hold: As much as the 1st (over) the 2nd surface. The 2 confrontations, what?

I

I

Reverse IV

No. 35 1) igi 3 ga[ll-]e 2) u.gu 2.e dirig 3) fb.si 8 2.e.ra 4) dah.ma 23.20 5) fb.;i 8 2.e 6) ki 25 nindan sag 2.e 7) Lku-ma

The 3rd par[t of (that which) the l]st over the 2nd goes beyond. to the 2nd confrontation appended: 23;20. The 2nd confrontation, together with 25 nindan, the 2nd width, is made hold:

61 This reading (which is taken over from Thureau-Dangin) fits Neugebauer's autography better than Neugebauer's own reading ba-zi. Similarly in following occurrences. The translation is given in the beginning of the previous line, where it would belong in grammatical Akkadian. Similarly below.

210


lENS H0YRUP 8) 9) 10) 11) 12) 13)

a.sa l.e a.sa 2.e gin? ib.si s 2.e en.nam 30 nindan l.e 20 nindan 2.e

As much as the 1st surface (over) the 2nd. The 2 confrontations, what? 30 nindan, the 1st. 20 nindan, the 2nd.

No. 36 14) 15) 16) 17) 18) 19)

igi.3.gal l.e u.gu 2.e dirig ib.sis 2.e ba.zi-ma 16.40 ib.si s 2.e ki 25 nindan sag 2.e

20) Lku-ma 21) 22) 23) 24) 25) 26)

a.sa l.e a.sa 2.e g[in?namJ ib.[si s] 2.e e[n.na]m [30 nindan 1].e [20 nindan 2.e]

The 3rd part of (that which) the 1st over the 2nd goes beyond, (from) the 2nd confrontation is torn out, 16;40. The 2nd confrontation, together with 25 nindan, the 2nd width, is made hold: A[s much as] the 1st surface (over) the 2nd surface. The 2 confron[tations], w[ha]t? [30 nindan, the l]st. [20 nindan, the 2nd.]

No. 37 27) 28) 29) 30) 31) 32)

[igi.3.gal] l.e [u.gu 2.d dirig ib.si s 2.e dah-ma 53.20 25 ~nindan sag 2.e ki ib.si s [2.e]

33) Lku-ma 34) 35) 36) 37)

a.sa l.e a.sa 2.e gin?n[am] ib.sis 2.e en.nam

[The 3rd part of] (that which) the 1st [over the 2ndJ goes beyond (to) the 2 confrontations62 appended: 53;20. 25 nindan, the 2nd width, together with [the 2nd] confrontation, is made hold: As much [as] the 1st surface (over) the 2nd surface. The 2 confrontations, what?

211

Reverse V

No. 38 2) 3)

[ig]i.3.gill.e [u.g]u 2.e dirig ib.sis 2.e

4)

ba.zi-ma 46.40

5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

25 nindan sag 2.e ki ib.si s 2.e

1)

Lku-ma a.sa l.e a.sa 2.e gin? ib.si s 2.e en.nam 30 nind[an] l.e 20 [nindan] 2.e

The 3rd [pa]rt of (that which) the 1st [ov]er the 2nd goes beyond, (from) the 2 confrontations is torn out: 46;40. 25 nindan, the 2nd width, together with the 2nd confrontation, is made hold: As much as the 1st surface (over) the 2nd surface. The 2 confrontations, what? 30 nind[an], the 1st. 20 [nindan], the 2nd.

No. 39 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)

21) 22) 23) 24)

igi. [3] .gal l.e u.gu 2.e dirig l.e dah-ma 33.20 25 nin~dan [sag 2.e] kiib.sis [2.e] l.ku-ma a.sa 2.e g[in?J ib.si s 2.e en.nam 30 nindan l.e 20 nindan 2.e

The [3]rd part of (that which) the 1st over the 2nd goes beyond, (to) the 1st appended: 33;20. 25 nindan, the [2nd width,] together with the [2nd] confrontation, is made hold: As muc[h as] (over) the 2nd surface. The 2 confrontations, what? 30 nindan, the 1st. 20 nindan, the 2nd.

[4]3 [IlM.lSUl dub 4.kam.ma

[4]3 [selct[ions]63 4th tablet.

In contrast to BM 13901, but in the likeness of other series texts, the present tablet does not tell the procedures to be used. Still, it differs from a number of series texts by informing about the solutions, which at least helps us interpret certain ambiguous problem statements.

62 Comparison with Rev. IV, 3-4 shows that no difference is made in writing between appending to "the secon~ confrontation" and "the two confrontations." The dative suffix "ra", indeed, corresponding to an Akkadlan ana, can hardly have been meant to distinguish one interpretation from the other, as also confirmed by the completely identical formulations of Rev. IV, 16-17 with Rev. V, 3-4 of "second" and "two," respectively. The written text was a support for memory, and for the original user of the tablet no less than for the modern interpreter, the numbers turning up had to determine the reading of the single problem.

The tablet also differs from BM 13901 by stating given and resulting lengths not as seemingly pure numbers but with explicit units (mostly nindan, but also gis1 gis = 60 nindan). Areas, on the other hand, are given in an implicit unit sar (with the single exception of No. 29). As in the other series texts, the order of magnitude is integer nindan, not minutes. 63 As observed by Neugebauer U'r1KTI: 492), one problem counts as two sections if it is divided between two columns.

212


lENS H0YRUP

Nos. 1-3 It can be safely assumed that the dubious "3" of line 2 should be "2," since this is the number of confrontations actually found. We may also assume that the statement of No. 1 (the missing lines) has told the sum of the areas and the sum of the sides. If this is correct, the problem is fully determined, and there will thus have been no occasion to tell that the sides of Nos. 2-3 should be in arithmetic progression (pace Neugebauer, MKTI: 498). We must rather infer that the absence of explicit information about the nature of the differences will have contained the implicit message that these were as simple as possible-that is, all alike. It can be observed that this would be difficult to formulate precisely within the standard terminology of Old Babylonian mathematics without telling the value of the difference. If constant differences are taken for granted, all three problems can be solved through an accounting procedure similar to the one used in BM 13901 No. 18. If c designates the side of the smallest square, z the constant difference, and if Pn = 1 + 2 + '" + (n - 1), = 12 + 22 + ... + (n - 1)2, the general case reduces to

o.n

o.n. 0 (z) + 2Pn(c,z) + nO (c) = A

Pn • z+ nc= B

which can be solved by familiar methods. General problems of this kind might even have knowledge of which is attested to in the Seleucid tablet roused interest in finding Aa 6484, Obv. 3-5 (MKT I: 97).

o.n,

Two things should be noticed, however. Firstly, that No. 1 appears to coincide with BM 13901 No. 8; secondly, that the number of squares involved is always even: 2, 4, or 6. BM 13901 Nos. 8-9, as we remember, made use of an "average square." If the same trick is applied here and the squares are coupled two by two, the square on the semi-difference is found without difficulty, since the average side follows from the sum of the sides.

213

2,26,20 and the sides to differ again by 1/3 of the smallest side, a single false position (x = 3u, y = 4u, z = 5u)would lead to a simple mixed equation analogous to BM 13901 No. 7.

Nos. 13-20 Nos. 13-15 could be solved by a variant of the method of BM 13901 No. 24, inverting the role of the decrease (which is unknown here) and the side of a "basic" square (which is given in the present case) . .A5 far as the naive-geometric and accounting procedures are concerned, all principles would be the same. Nos. 17-18 (and apparently also No. 16) would require red~ctions of the ~rst-degree expressions before the same method co~ld be appl~ed. !hese mIght be of the kind taught in the Susa text TMS XVI (see the remterpretatIon m H0yrup 1990: 299-306), and would thus offer no problems of principle. Since the sum of the three areas is the same in No. 19 as in Nos. 13-18, it can be safely assumed to belong to the same group. With less certainty this may also be presumed concerning No. 20, since the traces that are left differentiate that problem clearly from the following group. Comparison between No. 13 and 17-18 permits us to make a minor Rhilological ob.servation: The fifth line of all three problems has exactly the same functIon and me~nmg, yet No. 13 tells that 3.e 2.e.ra ba.lal, while the others have 3.e 2.e tur.ra. There IS thus no doubt that the two subtractive terms lal and tur are used synonymously.

Nos. 21-28 Nos.4-7,10-12 With a slight proviso for Nos. 5, 6, and 11 (all of which are corrupt or damaged), these problems could be solved by the method of BM 13901 No. 24. The labor involved would of course be even more arduous, since the coefficients are quite complex; but no difficulties of principle would arise.

This sequence consists of problem pairs, each of which is an~logous to. the pair ~os. 89. There is nothing of significance to be added to what was saId on pOSSIble solution procedures, but an interesting observation to be made on the arrangement of the p~oblems. All problems concern the same squares on 35, 30, 25, and 20. The constan~ dIfference can thus be expressed as 1/7, 1/6, 1/5, or 1/4 of the re~pectiv~ sides. 1/6, however, IS expre~se.d as 1/2 of l/}-and this variation of the problem IS put m the end, maybe because It IS regarded as the most sophisticated.

Nos. 8-9 No. 8 could be solved precisely as BM 13901 Nos. 10-11 . .A5suming that No. 9 is the companion piece to be expected (cf. Nos. 21-28), telling the sum of sides and areas to be

Like Nos. 2-3 and Nos. 8-9, these problems deal with squares whose sides are in arithmetical progression. Even though the methods used to solve these problems prob~bly do not refer to a configuration of concentric squares, the problems themselves are lIkely to have been inspired by this popular configuration (see figure 12; cf. above, footnote 36,

214


JENS H0YRUP

215

In all cases we are told that the rectangle held by y together with wequals the excess of D (x) over D (Y). The other condition is linear, ranging from the simple (y = 2/3 x-the only homogeneous case) to the fairly complex (the value of A ± l/3(x - y), where A is x, y or x + y).

Figure 12. The configuration of concentric squares.

and Friberg 1990: § 5.4.1). It is noteworthy that all the problems of this type deal with an even number of squares.

No. 29 No. 29 is of the same type as BM 13901 No. 12, and we may assume that it was intended to be solved in the same manner. Noteworthy is the use of the verb banum, "to build." Repeatedly, the phrase "a surface I have built" (or, if the straitjacket of standard translati?ns is left asid~ for a moment, "I have marked out a field") occurs in the Old BabylonIan mathematIcal texts as added explanation when a length and a width have been made hold ..In the pres~nt text, the only occurrence of the phrase is followed by the only use of practIcal area UnIts. We may make the conjectural inference that the phrase is thus a reference to a surveyors' idiom-which is in fact corroborated by the occurrence of banum, for example, in the tablet Aa 8862, where the author says that he has walked around the field which has just been "built" (see H0yrup 1990: 314).

Nos. 30-39 This last group brings us beyond the range of problems known from or related to problems from BM 13901. All deal with two squares, the sides of which are eventually found as x = 30 and y = 20. Furthermore, a "second" or "alternate" width w = 25 is given.64 64 No. 39 is an exact repetition of No. 33 as far as the mathematical substance and most of the formulations are concerned.

If we leave aside the simple case y = 213x, no tricks seem to be at hand which would permit an easy reduction. The intended procedure appears to have been a reduction of the linear condition followed by a transformation of the other equation in agreement with the pattern which we know from BM 13901 No. 14). The most adequate procedure will have been to express x in terms of y, x = ay + b, which would yield the excess area by precisely the means exerted in BM 13901 No. 14; the rectangle c:::J (w,y), we observe, already has the ontological status needed for the geometrical procedure: no numerical multiple of the length but a rectangular surface w long and y broad. Considerations of the possible procedure cannot bring us any further. It may be interesting, however, to look at the configuration on which all statements are built-see figure 13. The area condition tells us that the light grey shaded excess area equals the dark grey shaded rectangle. This is visually evident, since the width of the excess gnomon is half of~ and because w = (X; Y) • Together, the two partial rectangles of which the gnomon is composed thus have a width ~ while their average length is precisely w. A related geometrical maneuver seems to have been what led the calculator astray in YBC 6504 No. 4 (MKTIII: 23; cf. interpretation in H0yrup 1989: 30f.). There is thus some reason to believe that the cut-and-paste idea which is illustrated in figure 13 inspired the construction of the problems 30-39 of the present tablet. If we take a global look at the tablet, it turns out to be fairly well ordered, both as far as the organization of each group is concerned and in the progression from group to group. As it can already be seen in BM 13901, problems dealing with fewer squares precede problems dealing with more. Except for the sequence 1-3, this principle overrides organization built on shared mathematical principles: Hence, Nos. 8-9 are inserted between Nos. 4-7 and Nos. 10-12. At the same time, problems dealing with the same number of squares tend to be arranged according to a fixed progression between types: Hence, Nos. 13-20 precede Nos. 21-28, just as Nos. 4-7 precede Nos. 8-9. Within this latter group (as within the corresponding pairs of the group Nos. 21-28), the simple problem precedes the complex version. However, the principle that simplicity precedes complexity does not seem to be too important-Nos. 4-7 are as difficult and complex as No. 9. We are rather faced with a result of an attempt at three-dimensional systematic organization of the text. The system is not administered with full consequence, and other series texts display a four-dimensional organization much more perfectly; yet the attempt is unmistakable, and a far cry from BM 13901. Even the organization of Str 363, the tablet containing three variations of the pattern of BM 13901 No. 14, only corresponds to a single dimension of the order of YBC 4714.

216


lENS H0YRUP

217

Bibliography

t

y

~

1 x

j

r

w

l Figure 13. The configuration ofYBC 4714 Nos. 30-39.

When it comes to mathematical substance, the distance between the three texts is much more modest. YBC 4714, as"its pre?ecessors, is engaged in the subdiscipline "(algebraic) study of square and squares. SolutIon of the problems of YBC 4714 will have asked for mor~ labor and more patience, but no new mathematical principles apart from the reductIon of first-degree conditions (again laborious but well known) seem to be involved. Not onl'y will the techn~ques of BM 13901 carry through, it is also difficult to imagine alternatIve methods whIch would have been more effective.

It is striking that a similar observation would be made if we compare the methods of BM 1?90 1 with moder~ techniq~es for. solving second-degree equations. Apart from t~~ shIft from a geometnc. t~ an anthm.etIcal conceptualization and the ensuing streamlInIng of the panoply of dIstInct operatIOns, we would indeed use the same methods today if con~~on~ed wit~ the problems o?e .br: one. With us, as with the authors who produce~ th~ se:Ies text. verSIOn of the dIsCIplIne, change is to be found in the higher-level orgalllZatIOn Into whIch problems are imbedded, and in the metatheoretical framework ~h~ough which we understand this organization. Our organization and our framework, It IS true, are totally different fr~m those displayed in YBC 4714-demonstrating, if it sho.uld.be needed, that Babylolllan mathematics was fairly similar to ours (at the level whIch It reached), but that the way it was looked upon and understood by those who were engaged in it was thoroughly different.

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219 KANNTEN DIE BABYLONIER DEN SATZ DES PYTHAGORAS? EPISTEMOLOGISCHE ANMERKUNGEN ZUR NATUR DER BABYLONISCHEN MATHEMATIK!

PETER DAMEROW Man kann bei der Behandlung der Geschichte der griechischen und indischen Geometrie nicht mehr an der Möglichkeit eines babylonischen Ursprunges des Pythagoräischen Lehrsatzes vorübergehen. Otto Neugebauer, 1928 We know «that the bees built their hexagonal wax cells according to the laws of maxima and minima, that the birds observe the principle of symmetry in the structure of their nests», and «that no animal is so foolish as to follow a curved instead of a straight line between two points in its path». Are we going to credit the bees with the knowledge of the differential calculus or the animals with the definition of the straight line as the shortest path between two points? Men were thinking and reasoning logically many thousands of years before they had the slightest idea of the science of logic, they were computing correctly before they knew of the common notions of Euclid, they built their tents with two equal sticks on both sides having an equal inclination before they had the slightest idea of angle-measurement of the theorem of the equality of the angles at the base of the isoseeles triangle, and in the same way it was also that the Egyptians built their great pyramids. The theory of parallelism is closely connected with angle-geometry. But there is not the slightest trace of the knowledge of such things among the Babylonians. Solomon Gandz, 1929

Kannten die Babyionier bereits den Satz des Pythagoras? Die Frage ist als Herausforderung gemeint. Besser, sie soll auf die methodische Herausforderung aufmerksam machen, vor die die reichhaltigen Quellen der babylonischen Mathematik auch nach gut siebzig Jahren Quellenstudien und Quelleninterpretation die Philologen und die Historiker der Mathematik gleichermaßen immer noch stellen. Vertraut man der einschlägigen mathematikhistorischen Literatur, so kann man die Frage, ob die Babyionier bereits den Satz des Pythagoras kannten, nur ohne Einschränkung bejahen. 2 In der Tat lassen sich für eine solche Auffassung auch gute Gründe anführen. Im folgenden soll jedoch gezeigt werden, daß die gängige Antwort trotzdem problematisch ist und daß auf Grundlage unseres gegenwärtigen Wissensstandes über die babylonische Mathematik die Frage kaum zufriedenstellend beantwortet werden kann, weil sie 1 Dieser Aufsatz ist die stark überarbeitete und ergänzte Fassung meiner Antrittsvorlesung an der Universität Konstanz am 24. Oktober 1994.

220

PETER DAMEROW

KANNTEN DIE BABYLONIER DEN SATZ DES PYTHAGORAS

auf ein schwieriges, epistemologisches Problem führt. Sie wirft nämlich die weitergehende Frage auf, ob sich eigentlich mathematische Aussagen, als seien sie zeitlose, der Geschichte enthobene Wahrheiten, im Denken und in der Literatur beliebiger Kulturen eindeutig wiedererkennen lassen. Es soll gezeigt werden, daß der Satz des Pythagoras seine Bedeutung erst durch den Kontext geometrischen Wissens erhält, in dem er als Gegenstand und als Mittel des mathematischen Schlußfolgerns Verwendung findet. Dieser epistemologisch beschreibbare Kontext aber ist der historischen Entwicklung unterworfen. Unter verschiedenen historischen Bedingungen kann der Satz des Pythagoras daher ganz verschiedene Funktionen und damit auch verschiedene Formen annehmen; oder genauer gesagt, sehr verschiedene Einsichten können die Erscheinungsform des Satzes des Pythagoras annehmen. Die scheinbar einfach zu beantwortende wissenschaftshistorische Fragestellung wird sich daher im Verlauf der Untersuchung zunehmend als ein Problem der historischen Epistemologie erweisen, das nicht allein durch die historische Datierung einer Entdekkung oder durch den Nachweis historischer Überlieferungslinien gelöst werden kann. Entgegen der vorherrschenden Ansicht, daß die mathematischen Keilschrifttexte einen von praktischen Problemen weitgehend unabhängig gewordenen Kanon von mathematischen Erkenntnissen repräsentieren, wird sich zeigen, daß es einen engen Entwicklungszusammenhang zwischen der babylonischen Geometrie und dem praktischen Wissen der Feldmesser gibt, der den Charakter dieser Geometrie bestimmte. Zahlreiche Merkwürdigkeiten der babylonischen Geometrie finden durch die Annahme eines engen Zusammenhangs zu den professionellen Techniken und dem Praktikerwissen der Verwaltungs beamten eine Erklärung. Insbesondere gilt dies für die offensichtliche Inkonsistenz der babylonischen Geometrie wie sie beispielsweise in der Anwendung des Satzes des Pythagoras auf schiefwinklige Dreiecke zum Ausdruck kommt, der die herkömmliche Mathematikgeschichtsschreibung die Aufmerksamkeit versagt. Es wird sich zeigen, daß diese scheinbar widersinnige Anwendung vor dem Hintergrund des geome2 Schon die Pioniere der Entzifferung der mathematischen Keilschrifttexte sahen als erwiesen an, daß die Babyionier den Satz des Pythagoras kannten. Neugebauer beispielsweise schreibt, daß "dessen Kenntnis aus verschiedenen Stellen der mathematischen Keilschrift-Texte einwandfrei für die babylonische Mathematik gesichert ist" (Neugebauer 1934: 35). In der Tat gehörte die Einsicht, daß die Babyionier den Satz des Pythagoras anwandten, zu den ersten Ergebnissen der Entzifferung dieser Texte (siehe Vogel 1958/59, Band 2: 12, mit Bezug auf eine der frühesten Publikationen über mathematische Texte, nämlich die Publikation Weidner 1916 über den Text VAT 6598; jetzt VAT6598 + BM 96957, siehe Robson 1997). Zusammenfassend schreibt Archibald (1936: 79): " ... while there is not a single document to show that the Egyptian knew even the simplest case of the so-called Pythagorean theorem, there is not the slightest doubt that the Babylonian knew the general result." Diese Auffassung wurde im folgenden durch spätere Textfunde nur noch verstärkt und herrscht auch in neueren Publikation vor. Wussing (1965: 87) schreibt zum Beispiel: "Es steht jedenfalls fest, daß der ,pythagoreische' Lehrsatz vom Quadrat über der Hypotenuse schon 1000 Jahre vor Pythagoras in Keilschrifttexten Anwendung gefunden hat. Pythagoras könnte ihn sehr gut in Babyion kennengelernt haben, evtl. stammt ein neuartiger Beweis von ihm oder seinen direkten Schülern". Andere urteilen vorsichtiger; siehe zum Beispiel Gericke 1984: 33-35.

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trischen Wissens der babylonischen Feldmessung eine plausible Erklärung findet und nur mit der Annahme eines konsistenten mathematischen Wissenskanons unvereinbar ist, den nach gängiger Auffassung auch die mathematischen Keilschrifttexte repräsentieren, ohne ihn in vollem Umfang zu explizieren. Die Untersuchung ist in 14 Abschnitte gegliedert: •

Der erste Abschnitt dient der Vorklärung des mathematischen Sachverhalts.

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Im zweiten Abschnitt wird die griechische Überlieferung kurz dargestellt, die Pythagoras die Entdeckung des Satzes zuschreibt.

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Der dritte Abschnitt beschreibt die veränderte Lage nach der Wiederentdeckung der babylonischen Mathematik zu Beginn des 20. Jahrhunderts und stellt kurz einige der wichtigsten Belege dar, die zu der Auffassung geführt haben, entgegen der griechischen Überlieferung sei der sogenannte Satz des Pythagoras bereits etwa 1500 Jahre früher von den Babyioniern gefunden worden (YBC 7289; TMS 1; Plimpton 322; IM 67118).

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Der vierte Abschnitt diskutierte den Sachverhalt, daß in den Belegen für die babylonische Kenntnis des Satzes dieser nur implizit enthalten ist. Diskutiert wird ferner ein Text mit einer Aufgabe über rechtwinklige Dreiecke, dessen Verfasser den Satz anscheinend nicht kannte (IM 55357).

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Der fünfte Abschnitt befaßt sich mit der verbreiteten Ansicht, die Babyionier hätten den Satz zwar gekannt, seien jedoch nicht in der Lage gewesen, diesen und ähnliche Sätze zu beweisen. Der besondere Status mathematischer Aussagen wird an Platons Dialog zwischen Menon und einem ungebildeten Sklaven über die Verdoppelung der Quadratfläche untersucht; am Beispiel eines altbabylonischen, geometrischen Schultextes wird gezeigt, wie die Babyionier im Unterricht in vergleichbarer Weise Einsichten in die logische Notwendigkeit mathematischer Aussagen vermittelten wie die Griechen (BM 15285).

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Der sechste Abschnitt dient dem Nachweis, daß die geometrischen Zeichnungen der Babyionier nicht nur aus Nachlässigkeit oftmals eine logisch erforderliche Rechtwinkligkeit einer Figur vermissen lassen. Diskutiert wird ein Text, in dem der Satz des Pythagoras auf Dreiecke angewendet wird, bei denen die Rechtwinkligkeit logisch ausgeschlossen ist, wobei im gleichen Kontext auch die Berechnung der Dreiecksflächen ohne Rücksicht auf die erforderliche Rechtwinkligkeit der Dreiecke erfolgt (YBC 8633).

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Im siebenten Abschnitt wird aus den vorangegangenen Abschnitten das Resümee gezogen, daß der babylonische "Satz des Pythagoras" ein Problem der historischen Epistemologie aufwirft. Dieses Problem kann nur gelöst werden, wenn man die Kenntnis des Satzes nicht isoliert untersucht, sondern im Kontext der Struktur des geometrischen Wissens der babylonischen Schreiber, deren Texte uns Hinweise auf die Kenntnis des Satzes vermitteln. Der achte Abschnitt stellt die geometrischen Techniken der Feldmesser des dritten Jahrtausends v.Chr. dar. Verglichen wird ein Text aus der frühestens Zeit der Schriftentwicklung zu Beginn des Jahrtausends (MSVO 1, 2) mit einem geometrisch komplexen Verwaltungsdokument aus der Periode der 3. Dynastie von Ur gegen Ende des dritten Jahrtausends, kurz bevor die ersten Hinweise auf eine Kenntnis des babylonischen "Satzes des Pythagoras" auftauchen (Or 5,60). Diskutiert wird ferner ein Text aus derselben Periode, der die Funktion der Feldmessung im Kontext der zentralisierten Wirtschaftsverwaltung der frühen Stadtstaaten und Großreiche Mesopotamiens verdeutlicht (AO 3448).

• Im neunten Abschnitt wird gezeigt, wie im Schulkontext die Techniken der Feldmesser zu spezifischen Formen von geometrischen Abstraktionen führten. An einem archaischen Schultext wird die Herkunft des Verfahrens diskutiert, nach dem die Feldmesser die Flächen unregelmäßiger Vierecke berechneten (W 19408,76). Texte aus der Fara-Periode liefern Hinweise auf das arithmetische Verfahren der Multiplikation, das zur Berechnung von Feldflächen aus Längenmessungen verwendet wurde, und auf die Systematisierung dieses Verfahrens (TSS 51; VAT 12593). Drei altakkadische Texte zeigen das Entstehen von Formen der Repräsentation mathematischer Zusammenhänge in geometrischen und numerischen Paradigmen, sowie die Verallgemeinerung von Techniken durch die Konstruktion praktisch irrelevanter Größenbereiche (IM 58045; Limet 1973, Nr. 36; MAD 5, 112). •

Der zehnte Abschnitt beschreibt zusammenfassend die Struktur des geometrischen Wissens im dritten Jahrtausend v.Chr. und die Formen der Abstraktion, die dieses Wissen strukturiert haben.

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Der elfte Abschnitt ist dem wichtigsten Einschnitt in der Entwicklung des mathematischen Denken in Babylonien gewidmet, der Erfindung des sexagesimalen Stellenwertsystems.

• Im zwölften Abschnitt wird an einem Schlüsseltext für das Verständnis der Struktur der babylonischen Mathematik gezeigt, daß die Arithmetisierung der babylonischen Geometrie deren Struktur nicht grundlegend veränderte, daß jedoch die Abstraktionen des Schulkontexts unter den neuen Bedingungen neuartige Aufgabenstellungen und Lösungsverfahren hervorbrachten (YBC 4675). Die Texte der altbabylonischen

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Mathematiker, die aus solchen Abstraktionen hervorgegangen sind, weisen insbesondere eine unvergleichbar höhere Komplexität und Unabhängigkeit vom Kontext des Praktikerwissens auf als die Schultexte des dritten Jahrtausends v. Chr. •

Im dreizehnten Abschnitt wird ein Gesamtüberblick über die Texte gegeben, die Hinweise auf eine Kenntnis des "Satzes des Pythagoras" enthalten. Die wichtigsten Texte werden im Kontext des geometrischen Wissens der babylonischen Schreiber erneut diskutiert (TMS 1; BM 34568; VAT 6598 + BM 96957; IM 55357; BM 85196; IM 67118).

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Im vierzehnten und letzten Abschnitt werden Schlußfolgerungen aus der Untersuchung der eingangs gestellten Frage gezogen. Es wird gezeigt, daß die Zuschreibung der Kenntnis des "Satzes des Pythagoras" eine unzulässige Vereinfachung im Rahmen eines anachronistischen Gesamtbildes des geometrischen Wissens der BabyIonier darstellt. Solche Vereinfachungen verschleiern dessen algorithmische Natur und behindern systematisch die Rekonstruktion seiner Strukturen und die Aufklärung der historischen Entstehung dieses Wissens als Reflexionsform des geometrischen Praktikerwissens der Feldmesser.

1. Der mathematische Sachverhalt Der Satz des Pythagoras besagt, daß in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden Seiten ist, die den rechten Winkel einschließen. Auch die Umkehrung des Satzes gilt. Wenn bei einem Dreieck die Summe der Quadrate zweier Seiten gleich dem Quadrat der dritten Seite ist, dann ist der Winkel zwischen diesen Seiten ein rechter. Beispielsweise ist bekanntlich 3 2 + 4 2 = 52. Bei einem Dreieck mit zwei Seiten, die drei beziehungsweise vier Einheiten lang sind, ist die dritte Seite genau dann fünf Einheiten lang, wenn das Dreieck rechtwinklig ist. Das gewählte Beispiel weist noch eine Besonderheit auf, die Seitenlängen sind ganze Zahlen. Man nennt solche Tripel ganzer Zahlen, bei denen das Quadrat der einen Zahl gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen ist, pythagoreische Zahlen. Die Existenz solcher Zahlentripel wirft das mathematische Problem auf, Verfahren zu finden, alle Tripel pythagoreischer Zahlen zu konstruieren. Da die ganzzahligen Vielfachen pythagoreischer Zahlen wiederum pythagoreische Zahlen sind, besteht dieses Problem, genau gesagt, darin, alle Tripel pythagoreischer Zahlen zu finden, die keinen gemeinsamen Faktor besitzen. Durch Primzahlzerlegung lassen sich pythagoreische Zahlen stets eindeutig auf ein Tripel dieser Form zurückführen.

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Im allgemeinen allerdings besitzen rechtwinklige Dreiecke keine ganzzahligen oder was wegen der Beliebigkeit, mit der die Längeneinheit festgelegt werden kann, auf das Gleiche hinausläuft - rationalen Verhältnisse zwischen den Seiten; die Seiten solcher Dreiecke sind inkommensurabel, das heißt, es gibt keine Längeneinheit, von der die drei Dreieckseiten zugleich ganzzahlige Vielfache sind. Der Satz des Pythagoras, wie er uns in der griechischen Tradition überliefert ist, ist also in natürlicher Weise mit bestimmten mathematischen Problemen verknüpft, zu denen insbesondere die Existenz irrationaler Verhältnisse zwischen geometrischen Größen und die Bestimmung pythagoreischer Zahlen tripel gehört.

2. Die griechische Überlieferung Nach dieser Vorklärung des mathematischen Sachverhalts, um den es beim Satz des Pythagoras geht, sind als nächstes die historischen Quellen der griechischen Tradition kurz zu charakterisieren, die über die Entdeckung des Satzes Auskunft geben. Der Satz ist uns durch Euklid überliefert. In seinen Elementen nimmt er einen herausragenden Platz ein; er bildet gemeinsam mit seiner Umkehrung den Abschluß des ersten Buches. 3 Auch die genannten mathematischen Probleme, die mit dem Satz des Pythagoras in einem engen Zusammenhang stehen, sind Gegenstand von Euklids Elementen. Insbesondere enthält das zehnte Buch eine umfassende Theorie der Inkommensurabilität, die mit dem Beweis endet, daß die Seite eines Quadrats und dessen Diagonale inkommensurabel sind,4 sowie ein Verfahren zum Auffinden pythagoreischer Zahlen. 5 Euklid schrieb seine Elemente etwa um 325 v.Chr. Zu dieser Zeit war Pythagoras, der zu den ältesten der griechischen Mathematiker gehört, bereits über 150 Jahre tot - er lebte von 570 bis 480 v.Chr. Euklid hat seine Elemente allerdings zu einem großen Teil aus älteren Quellen kompiliert, so daß nicht ausgeschlossen ist, daß einzelne Sätze tatsäch3 Euklid 1975: 32f. I, 47: ,,Am rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite den Quadraten über den den rechten Winkel umfassenden Seiten zusammen gleich." I, 48: "Wenn an einem Dreieck das Quadrat aber einer Seite den Quadraten über den bei den übrigen Seiten zusammen gleich ist, dann ist der von diesen bei den übrigen Seiten des Dreieck, umfaßte Winkel ein Rechter." 4 Euklid 1975: 313f. X, 115a: "Man soll zeigen, daß in jedem Quadrat die Diagonale der Seite linear inkommensurabel ist." Der Satz ist vermutlich eine spätere Hinzufügung eines älteren Beweises. Der Satz folgt unmittelbar aus dem allgemeineren Satz X, 9. 5 Euklid 1975: 232f. X, 28a: "Hilfssatz: Zwei Quadratzahlen so zu finden, daß auch ihre Summe eine Quadratzahl ist."

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lich bis zu Pythagoras zurückreichen. Entsprechende Hinweise sind jedoch weder in Euklids Elementen, noch in Werken anderer zeitgenössischer Autoren enthalten. Erst sehr viel später wurde Pythagoras als einem der Urväter der griechischen Mathematik der nach ihm benannte Satz zugeschrieben, ebenso übrigens wie auch andere mathematische Entdeckungen. Der erste Hinweis auf eine solche Zuschreibung findet sich bei Vitruv, der im 1. Jahrhundert v.Chr. lebte. Vitruv behauptet jedoch lediglich, Pythagoras habe das pythagoreische Zahlentripel (3,4, 5) gekannt und dieses zur Konstruktion rechter Winkel verwendet. Die Behauptung, Pythagoras habe darüberhinaus den allgemeinen Satz selbst gefunden und bewiesen, findet sich erst im 3. Jahrhundert n.Chr. bei Diogenes Laertios sowie im 5. Jahrhundert bei Proklos und bei Eutokios. 6 Bei dieser schwierigen Quellenlage ist es kaum verwunderlich, daß es in der Wissenschaftsgeschichte eine lange, kontroverse Diskussion darüber gibt, welche Einsichten der griechischen Mathematik denn nun tatsächlich bis zu Pythagoras selbst zurückreichen. Wenn man nach dem Ursprung der von den Griechen überlieferten mathematischen Einsichten fragt, dann ist außer der späteren Tendenz, sie den Urvätern der griechischen Mathematik zuzuschreiben, auch noch eine andere Überlieferung in Betracht zu ziehen, die bis ins 5. Jahrhundert v.Chr. zurückreicht. Mehrere Autoren, darunter insbesondere Herodot (484-425 v.Chr.), Diodor (letztes Jhd. v.Chr.), Strabon (64 v.Chr.-19 n.Chr.) und Heron (1. Jhd. n.Chr. ?),7 berichten darüber, daß die Geometrie von ägyptischen Priestern erfunden wurde, und zwar insbesondere um die Felder nach den Überschwemmungen des Nils neu abstecken zu können. Demokrit, der um die Wende vom 5. zum 4. Jahrhundert v.Chr.lebte, wird die Äußerung zugeschrieben, niemand habe ihn in den geometrischen Kenntnissen übertroffen, nicht einmal die ägyptischen Landmesser. Sollte Demokrit dies tatsächlich so gesagt haben, dann maß er den Ägyptern offenbar eine höhere geometrische Kompetenz bei als seinen griechischen Zeitgenossen. 8 In diesem Zusammenhang gewinnt vielleicht auch die Tatsache an Bedeutung, daß Pythagoras Reisen nach Babyion und insbesondere auch nach Ägypten unternommen haben soll, so daß vermutet worden ist, er habe die ihm zugeschriebenen mathematischen Kenntnisse auf seinen Reisen erworben. 9

6 Siehe Heath 1956, Band 1: 350-364; Heath 1981, Band 1: 144-154. 7 Siehe die bei Cantor 1907/1908, Band 1: 57 und 102(, angegebenen Quellen. 8 Siehe Jürß, Müller und Schmidt 1977: 108. Klemens von Alexandria zitiert in Stromateis Demokrit mit den Worten: "Und in der Zusammensetzung der Linien mit Beweis hat mich keiner je übertroffen, auch nicht die sogenannten Schnurknüpfer (Landvermesser) der Ägypter." Zur Deutung dieser Stelle und der Interpretation der "Schnurknüpfer" (Harpedonapten) als Feldmesser siehe Gandz 1930. 9 Siehe Sarton 1970, Band 1: 199-201.

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Die überlieferten ägyptischen Quellen, insbesondere die mathematischen Papyri aus der Zeit des Mittleren Reiches, zeigen nun in der Tat, daß es in Ägypten bereits lange vor der griechischen Antike eine "vorgriechische" Mathematik gegeben hat, die insbesondere auch geometrische Kenntnisse einschloß, insbesondere auch eine Technik des Feldmessens. Diese Technik ist auf ägyptischen Fresken dargestellt lO und ansonsten durch die wenigen mathematischen Papyri bekannt, die uns aus der Zeit des Mittleren Reiches überliefert sind. Die ägyptische Geometrie hatte allerdings, soweit wir sie kennen, wenig Gemeinsamkeit mit der griechischen Geometrie, die angeblich von ihr herrühren soll. Im wesentlichen hatte sie, in der Tat, nur die Vermessung der Felder und die Berechnung der Feldflächen zum Gegenstand. Die Grundlage der Flächenberechnung bildete die Flächeneinheit Setat (SI3t) , die als Quadrat mit einer Seitenlänge von 100 Ellen (m/;J) definiert war, also ein Quadrat mit einer Seitenlänge von etwa 50 Metern repräsentierte. Die Fläche von Rechtecken war demgemäß als Produkt von Länge und Breite bestimmt. Zur Berechnung der Fläche unregelmäßiger Vierecke wurden statt der tatsächlichen Längen die Mittelwerte gegenüberliegender Seiten benutzt, so als handele es sich bei den zu berechnenden Flächen um Rechtecke, deren Seiten diesen Mittelwerten entsprechen. Die Fläche von Dreiecken wurde als Hälfte der Fläche des durch Verdoppelung entstehenden Vierecks berechnet, also als die Hälfte des Produkts der beiden kürzeren Seiten. 11 Außer Berechnungen dieser Art gibt es in den mathematischen Papyri auch artifizielle Aufgaben, die von den Flächenberechnungen der Feldmesser abgeleitet wurden. Insbesondere gibt es Aufgaben, bei denen die Längen der Seiten aus der Fläche und einer Bedingung für die Seiten zu berechnen sind, beispielsweise die Bedingung in Aufgabe 6 des Moskauer Papyrus, daß die Breite die Hälfte plus ein Viertel der Länge beträgt. Solche Berechnungen von Längenangaben aus Flächenangaben bilden eine Umkehrung der Fragestellung, die vermutlich nur in der Ausbildung, nicht aber in der Praxis der Feldmesser eine Rolle spielte. 12 Insgesamt jedoch blieben die Leistungen dieser ägyptischen Mathematik weit hinter denen der uns durch Euklid überlieferten griechischen Mathematik zurück. Insbesondere enthalten die ägyptischen Quellen auch keine Hinweise auf eine ägyptische Kenntnis des Satzes des Pythagoras.

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Der Erkenntnisstand über die Herkunft des Satzes des Pythagoras, den die Quellen der Antike vermittelten, deutete insgesamt also eher auf eine späte Entdeckung des Satzes, als daß er erwarten ließe, daß die Legenden über entwickelte mathematische Kenntnisse vorgriechischer Kulturen eine Bestätigung finden würden. Aus diesem Grunde hat sich bis in die erste Hälfte unseres Jahrhunderts hinein nahezu unangefochten die Lehrmeinung behauptet, der Satz des Pythagoras sei von den Griechen entdeckt und die Mathematik überhaupt von den Griechen erfunden worden.

3. Der "Satz des Pythagoras" in der wiederentdeckten babylonischen Mathematik Vor diesem Hintergrund läßt sich ermessen, welche wissenschaftshistorische Sen.sation zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts die Entzifferung der ersten .mathemat~schen Keilschrifttexte darstellte. Diese Texte legten die Annahme nahe, daß dIe Babylomer bereits 1000 Jahre vor der Zeit der Urväter der griechischen Mathematik über ein hochentwickeltes mathematisches Denken verfügten. Die Entdeckung erhielt zudem noch dadurch ein besonderes Gewicht, daß sich diese "babylonische Mathematik" an Hun-

Älteste Dokumente der babylonischen Feldmessung Altbabylonischer "Satz des Pythagoras" Pythagoras Erste überlieferte Formulierung des "Satzes des Pythagoras" durch Euklid Vitruv schreibt Pythagoras die Kenntnis der pythagoreischen Zahlen 3, 4, 5 zu

10 Siehe die Beispiele in Vogel 1958/1959, Band 1: 59f. 11 Aus Sicht des euklidischen Flächenbegriffs erscheinen solche Berechnungen in vielen Fällen als fehlerhaft oder die Aufgabenstellung als ungenau. In der mathematikhistorischen Sekundärliteratur zur ägyptischen Mathematik wird daher zumeist angenommen, in den Aufgaben seien stillschweigend zusätzliche Annahmen über die Rechtwinkligkeit von Winkeln oder über die Parallelität von Seiten gemacht worden, oder die Berechnungen seien nur als Näherungsrechnungen gemeint. Insbesondere werden oftmals Längenangaben an den Seiten von Flächen als Angaben über Höhen interpretiert, die weder in den Aufgabentexten noch in den oftmals beigefügten Zeichnungen enthalten sind, so beispielsweise von Vogel (I958/ 1959, Band 1: 64f.) zu Aufgabe 51 im Papyrus Rhind und zu der gleichen Aufgabe 4 im Moskauer Papyrus. Vogels Rechtfertigung seiner anachronistisch verfälschenden Interpretation ist für eine solche Haltung charakteristisch: "Da die Zahl 10 neben der Seite steht und die Höhe selbst nicht eingezeichnet ist, hat man auch gemeint, die Ägypter hätten nach der falschen Formel (Grundliniel2) x Seite gerechnet; so ungeschickt waren sie sicher nicht! Die ,Grenze' ist doch wohl die Trennungslinie der bei den Halbdreiecke, in die das gleichschenklige Dreieck zerlegt werden kann, also die Höhe."

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I 3000 v.Chr.

Abbildung 1.

I 2000 v.Chr.

I 1000 v.Chr.

I I

o

Pythagoras wird die Kenntnis des "Satzes des Pythagoras" zugeschrieben

I 1000 n.Chr.

I 2000 n.Chr.

Historische Distanz der griechischen Überlieferung des "Satzes des Pythagoras" zu den Quellen der babylonischen Geometrie.

12 Im folgenden wird sich zeigen, daß mit dieser Form der Abstraktion, wie auch mit ~en ~echn~ken d~r Feldmessung selbst, die Geometrie der ägyptischen Feldmesser außerordentlich große Ahnhchkel~~n mit der Geometrie der babylonischen Feldmesser aufweist, so daß viele der im folgenden angestellten Uberlegungen zum Charakter der babylonischen Geometrie auch auf die ägyptische Geometrie zu übertragen sind.

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derten von Originaltexten studieren ließ und man nicht, wie bei der frühen griechischen Mathematik, auf sekundäre Quellen angewiesen war. 13 Die meisten dieser Dokumente stammen aus der altbabylonischen Periode, das heißt, aus der Zeit zwischen dem 20. und dem 17. Jahrhundert v.ehr. Sie stammen also aus einer Periode über eintausend Jahre vor der Zeit, in die die ältesten Nachrichten über die griechische Mathematik zurückreichten (Abb. 1). Das Auffinden und die Entzifferung dieser Texte warf naturgemäß die Frage auf, in welchem Maße die griechische Mathematik von dieser babylonischen Tradition beeinflußt worden war. Für die Annahme eines solchen Einflusses ist ins Feld geführt worden, daß es Verbindungen zwischen Griechenland und dem Nahen Osten gab und die babylonischen Mathematiker anscheinend bereits über viele der mathematischen Einsichten verfügten, die man bis dahin als originäre Leistungen der griechischen Mathematik betrachtete. Dagegen ist eingewandt worden, daß der babylonischen Mathematik eben jene Form einer definierenden und beweisenden Wissenschaft fehle, die für mathematische Einsichten konstitutiv sei. 14 Hier deutet sich bereits an, daß das Problem, das diese Kontroverse auslöste, in seinem Kern gar kein wissenschaftshistorisches, sondern vielmehr ein wissenschaftstheoretisches Problem darstellt. Der Gegenstand dieses Aufsatzes ist von dieser Kontroverse insofern betroffen, als der Satz des Pythagoras zu jenen mathematischen Einsichten gehört, deren Entdeckung man zu Unrecht den Griechen zugeschrieben zu haben scheint. Es gibt zahlreiche babylonische Texte, die darauf hindeuten, daß dieser Satz den Babyionier bereits bestens bekannt war. Um die Art der Zeugnisse zu verdeutlichen, die für diese Annahme sprechen, seien hier einige Beispiele kurz diskutiert.

13 Leonard W King veröffentlichte 1900 in Band 9 der "Cuneiform Texts from Babylonian Tablets ... in the British Museum" die Tafeln BM 85194 und BM 85210, die umfangreiche Sammlungen von mathematischen Aufgaben und Aufgabenlösungen enthielten. Diese Texte blieben jedoch noch für längere Zeit unverstanden. Erst als Ernst F. Weidner 16 Jahre später den Text VAT 6598 veröffentlichte und in den Aufgaben dieses Textes Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Quadratwurzeln identifizierte (Weidner 1916), löste dieses eine Diskussion über die Terminologie derartiger Texte aus, die in der zweiten Hälfte der zwanziger Jahre zur Identifizierung der quadratischen Natur vieler Probleme und, wie im folgenden deutlich werden wird, zu Otto Neugebauers Vermutung führte, die Kenntnis des "Satzes des Pythagoras" läge den Aufgaben des Textes VAT 6598 zugrunde (Neugebauer 1928). 14 Zu den frühen Auseinandersetzungen über die Schlußfolgerungen, die aus der Existenz einer vorgriechischen Mathematik zu ziehen sind, siehe Gandz 1929. Gandz weist in seinem skeptischen Artikel, der in der Periode sensationeller Erfolge bei der Entzifferung der mathematischen Keilschrifttexte allerdings weitgehend folgenlos geblieben ist, auf begriffliche Defizite der vorgriechischen im Vergleich zur griechischen Mathematik hin, insbesondere auf das Fehlen von Begriffen wie Winkel, Rechtwinkligkeit und Parallelität.

Abbildung 2. YBC 7289. Berechnung der Diagonalen eines Quadrats.

Die in die erste Hälfte des 2. Jahrtausends datierbare Tafel YBC 7289 15 enthält die Zeichnung eines Quadrats, in das die Diagonalen eingezeichnet sind (Abb. 2). An einer der Quadratseiten ist die Länge 30 notiert. Da nach dem Satz des Pythagoras das Quadrat über der Diagonalen doppelt so groß sein muß wie das Quadrat über der Seite, erhält man die Länge der Diagonalen aus der Seitenlänge durch Multiplikation mit der Wurzel aus zwei. In der Tat ist in der Zeichnung entlang der Diagonalen die Sexagesimalzahl1.24.51.10 notiert, das ist ein bis auf die vierte Sexagesimalstelle genauer Näherungswert für die Wurzel aus zwei. 16 Darunter steht der Wert 42.25.35, das ist das Produkt mit der Länge der Seite, also die errechnete Länge der Diagonalen. Diese Berechnung könnte eine Anwendung des Satzes des Pythagoras sein. Aber ein solcher Rückschluß wäre natürlich nicht zwingend. In der Tat wird sich im folgenden zeigen, daß die Babyionier über ein Verfahren der Berechnung der Diagonalen des Quadrats verfügten, daß die Kenntnis dieses Satzes nicht voraussetzt.

15 Neugebauer und Sachs 1945: 42. 16 Hier wie im folgenden wird die übliche moderne Notierung für die Darstellung von Zahlen im sexagesimal Positionssystem verwendet. Dabei werden die Stellen durch Punkte getrennt, wenn es sich um eine Transkription der Notierung handelt, durch Kommata zwische~. den Stellen und durch ein Semikolon z:vischen den ganzzahligen Teil und dem Bruchteil, wenn in einer Ubersetzung eine numerische InterpretatIon der Notierung gegeben wird. Mit dieser Notierung ist 1.24.51.102 = 1.59.59.59.38.1.40 und 1.24.51.1 J2 = 2.[0.0.]2.27.44.1. Der Wert 1.24.51.10 ist auch in einer der Koeffizientenlisten enthalten, und zwar gekennzeichnet als fi-li-ip-tum ib.sig , d. h. als "Diagonale (des) Quadrats". Siehe Robson 1999: 44.

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Noch eine Besonderheit dieses Beispiels verdient Aufmerksamkeit: Wenn der babylonische Mathematiker, der die Zeichnung angefertigt hat, in der Lage war, den Radius des Umkreises zu berechnen, dann verfügte er damit zugleich auch über ein Verfahren, um aus gegebenen pythagoreischen Zahlen neue zu gewinnen, denn für jedes pythagoreische Dreieck liefert die Berechnung des Umkreises nach dem Verfahren, das hier auf das Dreieck mit den Seiten der Länge 30, 40 und 50 angewandt wurde, rationale Lösungen und damit ein von dem Ausgangsdreieck verschiedenes, pythagoreisches Dreieck. Das dritte Beispiel, das hier angeführt werden soll, dokumentiert, daß es bei den babylonischen Mathematikern in der Tat ein Interesse an der systematischen Konstruktion von pythagoreischen Zahlen gab. Der Text Plimpton 322,19 ein Bruchstück einer größeren Tafel, die ebenfalls aus der altbabylonischen Periode stammt, enthält keine Zeichnung sondern nur mehrere Spalten einer Zahlentabelle mit insgesamt 13 Zeilen. Im Kopf jeder Spalte ist die Bedeutung der in der jeweiligen Spalte notierten Zahlen angegeben. Der Kopf der Tabelle ist allerdings beschädigt, so daß die Bezeichnungen der Spalten nur zum Teil noch lesbar sind. An der linken Seite der Tabelle ist außerdem ein Stück von unbekannter Größe weggebrochen.

Abbildung 3. TMS 1. Berechnung des Umkreises eines gleischschenklichen Dreiecks, das aus zwei pythagoreischen Dreiecken zusammengesetzt ist.

Im Falle des zweiten Beispiels, das hier angeführt werden soll, der ebenfalls vermutlich aus der ersten Hälfte des 2. Jahrtausends stammenden Tafel TMS 1 17 , ist die Lage komplizierter. Diese Tafel enthält ebenfalls eine Zeichnung mit eingetragenen Längenmaßen (Abb. 3). Den Ausgangspunkt der Konstruktion bildet offenbar ein rechtwinkliges Dreieck. An den Seiten des Dreiecks sind die pythagoreischen Zahlen 30, 40 und 50 notiert. Zwei solcher Dreiecke bilden ein gleichschenkliges Dreieck, das mit seinem Umkreis versehen worden ist. Durch das Einzeichnen der Radien entstehen dabei ein weiteres rechtwinkliges Dreieck und sein symmetrisches Gegenüber. Auch bei diesem zweiten Dreieck sind Zahlen angetragen, nämlich die Sexagesimalzahlen 8.4 5, 30 und 31.15. Auch diese Zahlen entsprechen dem Satz des Pythagoras. 1g Schon dieser Umstand deutet daraufhin, daß dem Schreiber der Satz des Pythagoras offenbar bestens vertraut war. Darüberhinaus jedoch handelt es sich bei dem Wert 31.15 auch tatsächlich um den korrekten Radius des Umkreises. Der Wert muß errechnet worden sein, und dieses erscheint kaum anders möglich als durch die Anwendung des Satzes des Pythagoras.

Die erste der vier erhaltenen Spalten, deren Bezeichnung im Kopf der Spalte zu beschädigt ist um zweifelsfrei gedeutet zu werden, enthält in jeder Zeile das Quadrat der Dia19 Neugebauer und Sachs 1945: 38ff. Zu den divergierenden Interpretationen der Tafel siehe insbesondere Vogel 1958/1959, Band 2: 37ff., und Friberg 1981.

17 Bruins und Rutten 1961: 22( 18 Es ist 8.45 2 = 1.16.33.45 und 30 2 =15, sowie 31.15 2 16,16;33,45 gilt also: 8;45 2 + 30 2 = 31;15 2 •

Das überlieferte Bruchstück enthält die vier weitgehend erhaltenen rechten Spalten, von denen die letzte nur eine Numerierung der Zeilen enthält. Die Deutung der Tabelle beruht im wesentlichen auf der zweiten und der dritten der erhaltenen Spalten. Sie sind im Kopf als "ib-si g sag" und "ib-si g fi-li-ip-tim" gekennzeichnet, das heißt, sie enthalten Angaben über die Breite (sag) und die Diagonale (fi-li-ip-tum) von Vierecken oder von Dreiecken, die durch die Halbierung von Vierecken erzeugt wurden, und zwar werden diese Strecken verstanden als Seiten der über ihnen errichteten Quadrate (ib-si g). 20 Diese Deutung wird durch die Zahlen in den beiden Spalten bestätigt. Sie erweisen sich nämlich jeweils als Werte von pythagoreischen Zahlentripeln. Alle Tripel sind wesentlich voneinander verschieden, das heißt, sie weisen unterschiedliche Größenverhältnisse zwischen den Werten auf. Sie repräsentieren also ihrem Wesen nach verschiedene, nicht durch Skalierung ineinander überführbare, pythagoreische Dreiecke. Sie sind ferner systematisch angeordnet. Die Zeilen sind nach der Größe der Seitenverhältnisse geordnet und damit die repräsentierten Dreiecke oder diagonal geteilten Vierecke nach ihrer Form.

=

16.16.33.45. Wegen 1,16;33,45

+

15,0 =

20 Zut doppelten Bedeutung von ib-sig als Fläche und als Seite eines Quadrats siehe H0Yrup 1990, insbes.49(

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gonalen des auf eine Breite mit dem Wert 1 skalierten Vierecks. Es ist insbesondere diese Spalte, die zu den verschiedensten Spekulationen über das Verfahren geführt hat, mit dem die pythagoreischen Zahlen ermittelt wurden, über die Zwecksetzung der Tafel, über die Frage, welche Spalten vorgegeben und welche berechnet wurden und über den Inhalt der verlorengegangenen Spalten der Tabelle. Übereinstimmend wird jedoch angenommen, daß die Tafel notwendigerweise die Kenntnis des Satzes des Pythagoras voraussetzt. Das am häufigsten angeführte Indiz jedoch dafür, daß die Babyionier den Satz des Pythagoras bereits kannten, sind Abfolgen von Rechnungen, die durch diese Annahme eine Erklärung finden. Das wohl expliziteste Beispiel einer solchen ,,Anwendung" des Satzes bietet die in Tell Dhiba'i ausgegrabene altbabylonischeTafel IM 67118 21 , die nach dem Fundkontext sogar genau datiert werden kann, und zwar in die Regierungszeit von Ibalpiel 11 von Eshnunna. Die Tafel enthält das Problem, aus der Diagonalen mit der Länge 1.15 und der Fläche mit der Größe 45[.00] einer gegebenen, viereckigen Figur deren Länge und Breite zu bestimmen. Im Anschluß an die Formulierung des Problems wird dessen Lösung gegeben, und zwar in der für die babylonische Mathematik charakteristischen Weise. Ohne jeden Verweis auf allgemein formulierte Regeln oder mathematische Gesetzmäßigkeiten werden nacheinander die Rechenoperationen und deren Ergebnisse genannt, die mit den gegebenen Zahlen ausgeführt werden müssen, bis schließlich die beiden Seiten der Figur korrekt mit den Längen 45 und 1 [.00] errechnet sind. Der Rechengang findet eine Erklärung, wenn man annimmt, daß der Schreiber die Diagonale als Summe der Quadrate der unbekannten Seiten interpretiert hat, also unterstellt hat, daß für die beiden Dreiecke, in die die Diagonale die gegebene Figur zerlegt, der Satz des Pythagoras gilt. Noch deutlicher wird die stillschweigende Verwendung des Satzes in der Kontrollrechnung, die sich an die Lösung anschließt. Die Diagonale 1.15 wird aus den ermittelten Seitenlängen 45 und 1 [.00] als Wurzel aus der Summe ihrer Quadrate wieder zurückgerechnet. Eine direktere Bestätigung, daß die Babyionier den Satz ~es Pythagoras kannten und stillschweigend benutzten scheint kaum noch denkbar zu sem.

4. Der "Satz des Pythagoras" als implizite Struktur Angesichts solcher Beispiele scheint außer Frage zu stehen, daß der Pythagoras zugeschriebene Satz in der Tat bereits den Babyionier bekannt war. Gegen diesen scheinbar so zwingenden Schluß lassen sich nun allerdings bei näherer Betrachtung auch einige Bedenken vortragen. Zweifellos zeugen die angeführten Beispiele von einem entwickelten mathematischen Denken. Die mathematischen Keilschrifttexte repräsentieren nicht 21 Siehe Baqir 1962: 11-14 und Tf. 1-3.

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das Erfahrungswissen von Praktikern, wie man dies früher der vorgriechischen Mathematik in Abgrenzung gegen die deduktiven mathematischen Theorien der Griechen oftmals pauschal unterstellt hat. Aber alle bekannten Belege bezeugen, ebenso wie die hier gegebenen Beispiele, die Kenntnis des Satzes des :yth.agoras nur indirek~. Was, gen~u genommen, aus den Beispielen nur hervorgeht 1st ~le Tatsache, .daß dIe Babylom~r rechtwinklige Dreiecke oder geometrische Figuren, dIe solche DreIecke als BestandteIl enthielten, mit Maßen versahen, die der Beziehung des Satzes des Pythagoras genügen, und daß sie darüberhinaus auch bei der Berechnung geometrischer Größen Verfahren anwandten, die sich durch diesen Satz rechtfertigen lassen. Dagegen ist uns kein einziges Dokument überliefert, in dem dieser Satz explizit ausgesprochen worden wäre. Angesichts der Überzeugungskraft der Beispiele mag ein solcher ~inwand als s~itzfi?dig erscheinen, zumal die Babyionier auch sonst niemals so etwas WIe Theoreme 1m Smne der späteren mathematischen Tradition formuliert haben. Dieses vollst~ndige Feh.len :iner Darstellung des Wissens, das den Problemlösungen zugrunde zu ~legen schemt, l~t jedoch allemal erklärungsbedürftig. Die scheinbar untrüglichen Bewel~e dafür, d~ß dIe in den mathematischen Keilschrifttexten enthaltenen Rechnungen dIe Kenntms von mathematischen Sachverhalten wie dem des Satzes des Pythagoras voraussetzen, ohne daß diese eine direkte Repräsentation in sprachlicher oder schriftlicher Form gefunden hätten, werfen die Frage auf, wie man sich eigentlich eine solche Form des Wissens vorzustellen hat. Repräsentiert die babylonischen Mathematik ein esoterisches Geheimwisse~, dessen R~ geln und Sätze bewußt nicht schriftlich niedergelegt wurden? Oder lösten dIe Babylomer die mathematischen Probleme weitgehend intuitiv ohne eine bewußte Anwendung kommunizierbarer Regeln und Gesetze wie dem Satz des Pythagoras? Wenn auch ni~ht ausgeschlossen werden kann, daß die Babyionier in der Tat mathematische Ken~tmsse besaßen, die aus irgendeinem Grund keine direkte Darstellung in den mathematischen Texten gefunden haben, so besteht doch andererseits auch die Möglichkeit, daß uns das mathematische Wissen der Babyionier nur darum als intuitiv angewendet oder als bewußt verborgen erscheint, weil es vom Standpunkt der späteren Entwicklung der Mathematik aus anachronistisch in Kategorien gefaßt wird, die seiner tatsächlichen Struktur nicht adäquat sind und daher zwangsläufig auch nicht historisch identifiziert werden können? Wenn insbesondere die babylonische Kenntnis des Satzes des Pythagoras nur indirekt aus numerischen und geometrischen Beispielen und aus der algori.thmischen St~uktur von Problemlösungen erschlossen wurde, dann ist auch durchaus mcht aus~uschheßen, daß die Beispiele und Lösungsverfahren, deren Zustandekommen durch dIe Annahme einer Kenntnis des Satzes des Pythagoras erklärt wird, tatsächlich auf ganz anderen mathematischen Voraussetzungen beruhen, die jedoch in diesen Fällen zu den gleichen Lö22 sungsschritten oder numerischen Lösungen führen wie eine Kenntnis dieses Satzes.

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auch die dritte Seite vorgegeben, die Hypotenuse, und zwar korrekt mit 1.15 (dezimal: 75), als sei sie mit Hilfe des Satzes des Pythagoras errechnet worden. Auch die zusätzlich vorgegebenen Werte für die Flächen der Teildreiecke sind korrekt berechnet worden. 24

Abbildung 4.

Zeichnung der Tafel IM 55357 mit redundanten Angaben über die Dreiecksflächen, die eine Kenntnis des Satzes des Pythagoras vermissen lassen.

Daß dies nicht nur eine unbegründete Spekulation ist, zeigt die in Tell Harmal ausgegrabeneTafel IM 55357. 23 Gegenstand dieser Tafel ist ein rechtwinkliges Dreieck, das durch mehrfaches Wiederholen der gleichen Operation, dem Einzeichnen von Höhen, in insgesamt vier !e.ildreiecke z~rlegt wurde (Abb. 4). Gefragt wird nach der Länge der entstandenen Limen. ZusätzlIch zum Text erläutert eine Zeichnung diese Problemstellung.

Die dann auf der Tafel angegebene Lösung ist unvollständig. Sie bricht am Ende der Vorderseite der Tafel abrupt ab. Aus dem ausgeführten Teil geht jedoch bereits hinreichend hervor, auf welche Weise das Problem gelöst wurde, und zwar ohne jede Anwendung des Satzes des Pythagoras. Das Verfahren, schrittweise jeweils die Seiten der durch die Höhen entstehenden Teildreiecke zu berechnen, wird zweimal vollständig und am unvollständigen Ende der Problemlösung noch ein drittes Mal ansatzweise angewendet. Es besteht jeweils darin, die in der Aufgabenstellung überflüssigerweise gegebene Fläche des durch eine Höhe und eine Kathete aufgespannten Teildreiecks zu verdoppeln und mit dem zuvor berechneten Seitenverhältnis des Gesamtdreiecks zu multiplizieren. Für das erste Teildreieck bedeutet dies beispielsweise, daß zunächst die Breite 45 durch die Länge 1 [,0] dividiert, und das errechnete Seitenverhältnis [0;]45 dann mit 2 und der gegebenen Fläche 8,6 zum Zwischenergebnis 12,9 (dezimal: 729) multipliziert wird. Geometrisch interpretiert bedeutet dies, daß das Teildreieck zum Rechteck ergänzt und dieses dann zum Quadrat über einer der unbekannten Seiten des Teildreiecks skaliert wird (Abb 5a). Die Länge dieser Seite wird dann folgerichtig durch Ausziehen der Quadratwurzel als 27 bestimmt.

Aus der Sichtweise der Geometrie Euklids wäre es naheliegend, dieses Problem mit Hilfe des Satzes des Pythagoras zu lösen. Dies geschieht jedoch im vorliegenden Fall nicht, und auch sonst weist der Text eine Reihe von Eigentümlichkeiten auf, die das Problem von denen der euklidischen Geometrie unterscheiden.

4

5

Schon die Aufgabenstellung ist merkwürdig. Wie aus dem Text hervorgeht und wie auch die Zeichnung zeigt, sind die drei Seiten des Dreiecks gegeben, und zwar als das Fünfzehnfache des Zahlen tripels (3,4, 5), sowie außerdem die Flächen der Teildreiecke. Aber wenn zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben sind wie hier die Katheten mit den Werten 45 .und 1 [.0] (dezimal: 60), so sind wegen der Geltung des Satzes des Py_ t~agoras auch dIe Länge der dritten Seite, ferner die Längen der Seiten aller Teildreiecke, d~e zu~em ebenfalls .alle ~as Seiten~erhält~is 3 zu 4 zu 5 aufweisen, und damit gleichfalls dIe Flachen aller Teildreiecke bereits bestImmt. In dem vorliegenden Text wird jedoch

Transformation im Verhältnis 4 zu 3

Abbildung 5.

a

b

Schema der ersten Lösungschritte der Aufgabe der Tafel IM 55357.

24 Die Aufgabenstellung lautet: 1) sag-du 1 US 1.15

US gid 45 sag-ki an-ta Ein Dreieck, 1,0 die Länge, 1,15 die lange Länge, 45 die obere Breite,

22 ~o ?at bei~pielsweise E. M. Bruins (1955) die These aufgestellt, alle Probleme der babylonischen Geometrie heßen Sich auf der Grundlage von zwei Prinzipien lösen, nämlich der Annahme, daß in einem Viereck mit drei rechten Winkeln auch der vierte Winkel ein rechter sei, sowie der Annahme der Flächenadditiv!tä~, das he!ßt der A~nahme, bei einer geteilten Fläche sei die Gesamtfläche gleich der ~umme der ~e~lflache~: DI~ bab~lolllsc?e Ge.om~trie benötigte daher keinen der Begriffe Winkel, Proporu~n, .P~ralle~ltat u~d ~nhchkelt. Brums wies msbesondere darauf hin, daß die von ihm angegebenen Prmzlplen die Gülugkelt des Satzes des Pythagoras zur Folge haben.

2) 22.30 a-sa til ina 22,30 a-sa til 8.6 a-sa an-ta 22,30 die gesamte Fläche. Von 22,30, die gesamte Fläche, 8,6 die obere Fläche,

23 Baqir 1950.

5)

3) 5.11.2.24 a-sa TA 3.19.3.56.9.36 a-sa 3-kam 5,11 ;2,24 die nächste Fläche, 3,19;3,56,9,36 die dritte Fläche, 4) 5.53.53.39.50.24 a-sa ki-ta 5,53;53,39,50,24 die untere Fläche.

US an-ta us-LUM us-ki-ta mu-tar-ri-it-tum mi-nu-um Die obere Länge, die LUM-Länge, die untere Länge, das "muttarittum" ist was?

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Die dr!tte ~eit~ könnte jetzt jeweils mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werde? SI~ WIrd Je~och wIederum aus der in der Aufgabenstellung gegebenen Fläche des Teildreiecks bestimmt, und zwar indem die errechnete Seite 27 zu 13.30 halbiert und dann der Kehrwert des Ergebnisses mit der Fläche 8,6 multipliziert wird, um den Wert 36 für die gesuchte dritte Seite zu erhalten. Geometrisch bedeutet dies, daß die Dreiecksfläc~e durch Halbieren ei?~r. Seite in eine Rechtecksfläche gleichen Inhalts umgeformt WIrd, um dann durch DIVISIOn der Fläche durch die bekannte Seite die andere Seite zu ermitteln (Abb 5b). Dieses Verfahren, die Teilungslinien zu berechnen, die beim wiederholten Unterteilen eine~ rech~inkligen Dreiecks durch Höhen in Teildreiecke entstehen, vermeidet syste~atlsc~ dIe Anwendu?g des Satzes des Pythagoras. Es hat zur Voraussetzung, daß wie 1m vorlIegenden Fall dIe Flächen der Teildreiecke, die eigentlich aus dem Ursprungsdreieck berechnet werden könnten, durch die Aufgabenstellung bereits gegeben sind. Kann man aus der !atsach~, daß mit der Au~gabenstellung ein Teil der Lösung bereits vorweggenommen 1st, schlIeßen, daß zwar dIe Lösung der Aufgabe ohne den Satz des Pythagoras möglich ist, daß aber zumindest der Konstrukteur der Aufgabe diesen Satz gekannt hab.en muß? Auch diese Schlußfolgerung läßt sich jedoch nur bedingt ziehen, denn das bel der Problemlösung verwendete Verfahren ist, leicht modifiziert, auch zur Berechnu~g ~~r in der Aufga?enstellung überflüssigerweise angegebenen Flächen geeigne~. MultiplIz~ert man nämlIch die Aus gangs fläche fortlaufend mit dem Quadrat des SeIten~er~ältmsses, so. er?ält ~an ~acheinander die in der Aufgabenstellung angegebenen Tellfla~hen. Der emzige Hmwels auf den Satz des Pythagoras, den die Aufgabenstellung. vermIttelt, besteht darin, daß die Seiten des Ausgangsdreiecks Vielfache der pythagoreIschen Zahlen 3, 4 und 5 darstellen und vermutlich, wie in ähnlichen Fällen um irrationale Seitenverhältnisse zu vermeiden, auch durch Skalierung dieser Zahle~ gewonnen wurden. Trotz der ~ähe der Au~gabenstellung des Textes zum Satz des Pythagoras geht dieser also nu.r margmal dur~h dIe Verwendung des bekanntesten Tripels pythagoreischer Zahlen bel der KonstruktI~n der Aufgabe. und überhaupt nicht in die Aufgabenlösung ein. Von welchen mathematI~che? Kenntmssen stattdessen die Aufgabe zeugt ist allerdings ein offenes Problem. 25 DI~ wle~erholte Anwendung zeigt, daß bei der Lösung die Regel ver~endet wu~de, ~aß SIC~ dIe zum .Rechteck verdoppelte Fläche eines durch die Höhe gebIldeten Telldreiecks mIt dem Seltenverhältnis des Gesamtdreiecks zum Quadrat skalieren läßt. Woher aber kommt diese Regel? Sie würde aus der Gleichheit der S~itenverhältni.~se des Gesamtdreiecks und des Teildreiecks folgen, also im euklidischen Smne aus. der Ah~lich~eit der beiden Dreiecke. Die Lösung der Aufgabe jedoch zeigt, d~ß eben Jene GleIchheIt dem babylonischen Schreiber der Tafel nicht bekannt gewesen s~m kann, den? sonst würde er im zweiten Schritt der Aufgabenlösung dieses Verhältnis mcht aufwendIg für das Teildreieck erneut berechnet haben. Auf jeden Fall zeigen aber

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sowohl die Aufgabenkonstruktion als auch das Lösungsverfahren, daß die babylonischen Schreiber ein irgendwie geartetes Verständnis der Flächenähnlichkeit besessen haben müssen, also von dem Sachverhalt, daß sich Flächen beim Skalieren in beiden Dimensionen nicht linear sondern mit dem Quadrat des Skalierungsfaktors verändern. Auch wenn sich die Frage, auf welchen Kenntnissen die Konstruktion und Lösung der Aufgabe beruht, letztlich nicht zufriedenstelIen klären läßt, so bietet der Text doch ein schlagendes Beispiele dafür, daß Aufgaben, die aus euklidischer Sicht eine Anwendung des Satzes des Pythagoras nahe legen, auch auf ganz andere Weise gelöst werden können. Im vorliegenden Fall scheint die Anwendung des Satzes geradezu systematisch vermieden worden zu sein, und dies obwohl die Geltung des Satzes eine implizite Konsequenz des tatsächlich angewendeten Verfahrens darstellt. Hätte nämlich der Schreiber des Textes das Verfahren der Skalierung der doppelten Dreiecksfläche zum Quadrat über einer Seite nicht nur, wie in dem Text dokumentiert, auf das erste Teildreieck angewendet, sondern auf beide durch das Einzeichnen der Höhe entstandenen Teildreiecke und außerdem auf das Gesamtdreieck, so hätte ihm auffallen können, daß die Quadrate aller drei Seiten des von ihm berechneten ersten Teildreiecks aus den Dreiecksflächen durch

= 2F2 X ~

F

c 2 = 2F x ~

c

b

2

a = 2FI X

Abbildung 6.

2

2

= FI +

F2

= a2 +

b

2

ba

Der implizite Satz des Pythagoras.

25 Der Text gehört zu den wenigen, bei denen diese Frage extensiv und kontrovers diskutiert wurde, ohne daß allerdings eine überzeugende Lösung zu Tage getreten wäre. Baqir 1950 nimmt an, die Aufgabe beruhe auf dem Prinzip ähnlicher Dreiecke. Drenckhahn 1951 argumentiert, die Aufgabe setze spezifisch die Kenntnis der Theoreme VI, 4 und VI, 8 der Elemente des Euklid voraus. Bruins (1955: 48f.) bestreitet dagegen die euklidische Natur der zugrundeliegenden Kenntnisse und damit jede Einsicht in das Prinzip ähnlicher Dreiecke. Vogel (1958/1959, Band 2: 78f.) führt die Lösung auf die Kenntnis eines Satzes über ähnliche Dreiecke zurück, den man formulieren könnte: Das Produkt der Fläche eines Dreiecks mit dem Quadrat einer Seite eines ähnlichen zweiten Dreiecks ist gleich dem Produkt des Quadrats der dieser Seite entsprechenden Seite des ersten Dreiecks mit der Fläche des zweiten Dreiecks. Er rechtfertigt die Annahme allein damit, daß sich die Aufgabenlösung durch die Annahme der Kenntnis des genannten Satzes begründen läßt. Vogel führt allerdings an, daß die gleiche Annahme auch andere Aufgabenlösungen zu erklären gestattet, und weist im übrigen aber darauf hin, eine bündige Entscheidung über die alternativen Annahmen darüber, welche mathematischen Kenntnisse der Aufgabe zugrunde liegen, sei im vorliegenden Fall nicht möglich. Friberg (1990: 559f.) kehrt wieder zurück zu der Annahme entwickelter euklidischer Kenntnisse und formuliert ein "flip-flop similarity principle" für die Teildreiecke eines durch Höhen geteilten, rechtwinkligen Dreiecks als Grundlage der Aufgabe.

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Skalierung mit dem gleichen Faktor hervorgehen (Abb 6). Aus der Tatsache, daß die Fläche des Dreiecks die Summe der Flächen der beiden Teildreiecke ist, folgt damit die entsprechende Beziehung für die Quadrate der Seiten des von dem Schreiber berechneten ersten Teildreiecks, also die Geltung des Satzes des Pythagoras. 26 Es ist allerdings unwahrscheinlich, daß dem Schreiber diese Tatsache bewußt war. Nicht einmal die implizite Geltung des Satzes im Kontext einer Problemlösung und erst recht nicht die bloße Tatsache, daß sich solch eine Problemlösung mit Hilfe des Satzes rechtfertigen läßt, können daher ohne weitere als ein Indiz gewertet werden, daß dieser Satz den Babyioniern tatsächlich bekannt war.

5. Gab es "Beweise" in der babylonischen Mathematik? Es gibt jedoch auch noch einen weitergehenden Einwand dagegen, den Babyioniern vorbehaltlos eine Kenntnis des Satzes zuzuschreiben. In der Form, in der uns der Satz aus der griechischen Tradition überliefert ist, ist er ein bewiesener Satz, und das heißt, er ist unter bestimmten Voraussetzungen als denknotwendig zu begreifen. Selbst wenn die Babylonier den Satz tatsächlich verwendet haben sollten, so besagt dies nicht automatisch auch, daß er für sie den Status eines denknotwendigen Satzes gehabt haben muß.

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Den Griechen war der besondere Status ihrer mathematischen Aussagen vollständig bewußt. Dies läßt sich nicht nur aus ihrem Bemühen erschließen, für die Wahrheit mathematischer Sätze schlüssige Beweise zu liefern, sondern vor allem auch aus der philosophischen Reflexion. Zu erinnern ist hier an den vielzitierten Dialog in Platons Menon, in dem Sokrates anhand eines mathematischen Beispiels, das die Kenntnis des Satzes des Pythagoras vorauszusetzen scheint, seinen Gesprächspartner Menon davon zu überzeugen sucht, daß mathematische Wahrheiten zu den eingeborenen Ideen gehören, über die im Prinzip der ungebildete Sklave ebenso verfügt wie jeder gebildete griechische Bürger. 27 In diesem Dialog, der sich auf eine ähnliche Zeichnung eines Quadrats mit eingezeichneten Diagonalen bezieht wie die Zeichnung des eingangs als ein Beispiel für den Satz des Pythagoras angeführten Textes der babylonischen Mathematik, läßt Sokrates einen herbeigerufenen Sklaven durch Fragen die Einsicht produzieren, daß das Quadrat über der Diagonalen eines Quadrats mit zwei Fuß Seitenlänge im Vergleich zum Ausgangsquadrat die doppelte Fläche besitzt. Im Verlauf dieses Dialogs ist der Sklave zunächst der fehlerhaften Ansicht, ein Quadrat mit der doppelten Seitenlänge von vier Fuß besitze die doppelte Fläche (Abb. 7a und b). Da dieses sich als zu groß erweist, versucht er es mit einem Quadrat mit 3 Fuß Seitenlänge (Abb. 7b). Später glaubt er, nicht zu wissen, wie lang die Seite eines Quadrats mit der doppelten Fläche sein müsse. Schließlich gelangt er zu der Einsicht, daß es notwendigerweise nur das Quadrat über der Diagonalen sein kann, das diese Eigenschaft besitzt, da es alle Teilquadrate des Quadrats mit doppelter Seitenlänge und damit vierfacher Fläche genau in der Mitte teilt (Abb. 7c und d). Platon versucht mit diesem Dialog zu beweisen, daß ein Prozeß des Erinnerns und nicht ein Prozeß des Erwerbs von Wissen zu mathematischen Einsichten führt.

1------- --------1 1 1 1

1-------L----1 _ - _____ _

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

(c------1-------1 1 1 1 1 1 1

a

Abbildung 7.

b

'-------"""-------..:

c

d

Die Zeichnungen des Sokrates (Rekonstruktion) zum Beweis, daß weder das Quadrat mit der doppelten, noch das mit der eineinhalbfachen Seitenlänge die doppelte Fläche besitzt, sondern das Quadrat über der Diagonalen, das alle Flächen des Quadrats mit der vierfachen Fläche

26 Friberg (1981: 306ff., insbes. 312) hat aus diesem Grunde argumentiert, daß der babylonische "Satz des Pythagoras" als geometrische Interpretation pythagoreischer Zahlen wahrscheinlich gar keine herausragende Entdeckung darstellte, sondern eine natürliche Konsequenz einer Einsicht in das Prinzip der Flächenähnlichkeit war, die er durch den hier diskutierten Text dokumentiert sieht.

Dieser Dialog betrifft die hier aufgeworfene Fragestellung in doppelter Hinsicht. Er zeigt zum einen, daß die Griechen in der Tat ein Verständnis des besonderen Charakters mathematischer Sätze besaßen, und die Auffassung scheint vertretbar, daß wahre mathematische Einsicht auch bei einem babylonischen Schreiber ein solches Verständnis zur Voraussetzung haben muß. Zum anderen zeigt dieser Dialog aber auch, daß selbst aus der Sichtweise des Mathematikverständnisses der Griechen die Einsicht in diesen besonderen Charakter mathematischer Sätze nicht notwendigerweise eine deduktive Form der Darstellung voraussetzt. Der Sklave in Platos Dialog folgert allein auf der Grundlage eines Modells des Sachverhalts, dessen mentale Konstruktion aus elementaren Elementen der geometrischen Erfahrung durch die Zeichnung und die Fragetechnik des Sokrates ausgelöst wird. Die Operationen dieses Modells ermöglichen es ihm, den Zusammenhang zwischen mathematischen Objekten wie Länge und Fläche zu elaborieren. 28 Dieses

27 Platon 1993, Band 2: 40-48. 28 Solche Prozesse einer "real-time construction" im mathematischen Denken sind von Robert B. Davis auf der Grundlage von Marvin Minskys Theorie der Kognition als Bedingungen des mathematischen Problemlösens identifiziert und analysiert worden; siehe Davis 1984: 40f. und 259-271.

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Beispiel macht daher auch deutlich, daß das Fehlen expliziter Beweise in der babylonischen Mathematik nicht notwendigerweise als ein Zeichen mangelnden mathematischen Verständnisses zu werten ist. Es ist nicht auszuschließen, daß die babylonischen Schreiber auch ohne formelle Definitionen und Beweise zu Einsichten gelangen konnten, wie sie Sokrates in Platos Dialog dem herbeigerufenen Sklaven zu vermitteln sucht. Im Falle des dem Sklaven gestellten Problems der Verdoppelung der Fläche des Quadrats verfügen wir sogar über einen Beleg dafür, daß den babylonischen Schreibern Argumentationen wie die des Sokrates durchaus vertraut waren. Uns ist nicht nur der bereits angeführte Text YBC 7289 mit der dem Platonischen Dialog entsprechenden Zeichnung überliefert, sondern auch zwei Bruchstücke eines Schultextes (BM 15285),29 der ursprünglich wahrscheinlich 40 Zeichnungen von ineinandergeschachtelten Figuren enthielt (Abb 8). Zu jeder dieser Zeichnungen gibt es eine Beschreibung der Konstruktion, die mit der Frage abschließt: Wie groß sind die (entstandenen) Flächen?30

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Die Zusammenstellung der Aufgaben ist nicht willkürlich. Schon die Zeichnungen selbst deuten auf einen engen Zusammenhang aufeinanderfolgender Aufgaben hin, auch wenn der Sinn der Zusammenstellungen im einzelnen nicht ohne weiteres verständlich ist. Insbesondere findet sich unter den Zeichnungen auch eine Folge von sechs Figuren,31 die den Figuren vergleichbar sind, die Sokrates in Platos Dialog dem Sklaven in den Sand zeichnet, um ihn zu der Einsicht zu führen, daß das Quadrat über der Diagonalen eines Quadrats die doppelte Fläche besitzt.

1 US die Länge eines Quadrats. Im Inneren habe ich ein zweites Quadrat gezeichnet. Das Quadrat, das ich gezeichnet habe, berührt das äußere Quadrat. Wie groß sind die Flächen?

Abbildung 9.

Aufgabe 7 des Schultextes BM 15285.

Die Figurenfolge in dem babylonischen Schultext beginnt mit der Zeichnung eines Quadrats, in das ein zweites Quadrat so eingezeichnet wird, daß das äußere das Quadrat über der Diagonalen des inneren bildet (Abb. 9). Die sich anschließende Frage nach der Größe der Flächen kann man als Leitfrage für die ganze Figurenfolge begreifen. Die korrekte Antwort, daß das äußere Quadrat die doppelte Fläche des inneren besitzt, würde zugleich die Frage des Sokrates nach der Verdoppelung eines Quadrats beantworten, aber in dem babylonischen Text wird, wie die folgenden Figuren zeigen, offenbar vorausgesetzt, daß weitere Hilfen zur Beantwortung der Frage erforderlich sind.

1 US die Länge eines Quadrats. Im Inneren vier Dreiecke und ein Quadrat. Das Quadrat, das ich gezeichnet habe, berührt das zweite Quadrat. Wie groß sind die Flächen?

Abbildung 8.

Vorderseite des geometrischen Schultexts BM 15285.

Abbildung 10. Aufgabe 8 des Schultextes BM 15285. 29 Neugebauer 1935/1937, Band 1: 137-142; Saggs 1960; Robson 1999: 208-217. 30 Aus der Formulierung der Frage "a.sa.bi en.nam" geht nicht hervor, ob sie im Singular oder im Plural gemeint ist.

31 In Saggs 1960 sind es die Aufgaben E, F, III, IV, G und H, die aus historischen Gründen nicht einheitlich bezeichnet sind. Hier wird die durchlaufende Zählung von Robson 1999 verwendet, beginnend mit Aufgabe 7 und endend mit Aufgabe 12.

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Die zweite Zeichnung stellt jedenfalls die gleiche Figur dar, aber mit veränderter Beschreibung der Konstruktion (Abb. 10): das innere Quadrat wird hier durch das Einzeichnen der vier überstehenden Dreiecke erzeugt. Diese Variation der Beschreibung macht darauf aufmerksam, daß die Figur auf verschiedene Weise aus Teilfiguren zusammengesetzt gedacht werden kann.

1 US die Länge eines Quadrats. Im Inneren habe ich ein Quadrat gezeichnet. Das Quadrat, das ich gezeichnet habe, berührt das Quadrat. In das zweite Quadrat habe ich ein drittes Quadrat gezeichnet (Das Quadrat), das ich gezeichnet habe, berührt das Quadrat. Wie groß sind die Flächen?

Abbildung 11. Aufgabe 9 des Schultextes BM 15285. Bei der dritten Zeichnung wird die Fragestellung verallgemeinert. Diese Zeichnung enthält eine kompliziertere Figur 32 , bei der die Konstruktion des Einzeichnens eines Quadrats nicht nur einmal, sondern zweimal angewendet wird, so daß in dem zweiten noch ein drittes Quadrat mit der halben Seite und damit einem Viertel der Fläche des ursprünglichen Quadrats entsteht (Abb. 11). Die Zeichnung macht deutlich, daß durch Halbieren der Seite nicht ein Quadrat mit der halben Flächen entsteht.

1 US die Länge eines Quadrats. Im Inneren habe ich 8 Dreiecke gezeichnet. Wie groß sind die Flächen?

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1 US die Länge eines Quadrats. Im Inneren habe ich ein Quadrat gezeichnet. Das Quadrat, das ich gezeichnet habe, berührt das Quadrat. In das Quadrat habe ich 4 Dreiecke gezeichnet.

Abbildung 13. Aufgabe 11 des Schultextes BM 15285. Die gleiche Figur ist auch Gegenstand der fünften Zeichnung (Abb. 13), aber jetzt wird durch eine veränderte Beschreibung der Konstruktion zusätzlich darauf aufmerksam gemacht, daß die vier inneren Dreiecke das einbeschriebene Quadrat bilden.

1 US die Länge eines Quadrats. Im Inneren habe ich 16 Dreiecke gezeichnet. Wie groß sind die Flächen?

Abbildung 14. Aufgabe 12 des Schultextes BM 15285. Mit der sechsten und letzten Zeichnung der Folge schließlich wird auch die kompliziertere Figur der dritten Zeichnung in Dreiecke zerlegt (Abb. 14), so daß ersichtlich wird, daß das Quadrat, das aus dem zweimal wiederholten Einschreiben eines Quadrats in das äußere Quadrat entsteht, mit vier von sechzehn Dreiecken nur noch ein Viertel der Fläche des Ausgangsquadrats umfaßt.

Abbildung 12. Aufgabe 10 des Schultextes BM 15285. Die vierte Zeichnung kehrt wieder zur ersten Figur zurück. In das äußere Quadrat werden jetzt acht Dreiecke so eingezeichnet, daß sich das durch seine Diagonalen in vier Dreiecke geteilte innere Quadrat ergibt (Abb. 12). Durch bloßes Auszählen der Dreiecke läßt sich jetzt die ursprüngliche Frage nach der Fläche des inneren Quadrats beantworten. 32 Diese Figur ist weitgehend zerstört, aber aus dem beschreibenden Text rekonstruierbar.

Wenn diese Interpretation der Abfolge der Zeichnungen richtig ist, dann entspricht sie in ihrer Funktion weitgehend der Folge der Fragen, mit denen Sokrates in Platos Dialog den Sklaven zur Einsicht führte, daß das Quadrat über der Diagonalen eines Quadrats die doppelte Fläche besitzt. Wenn die Figuren und ihre Beschreibungen eine Anweisung für die vom Lehrenden im Bezug auf fundamentale Beziehungen der babylonischen Geometrie zu stellenden Aufgaben darstellt, dann verfügten diese Lehrer bereits über eine der sokratischen vergleichbare Technik des Fragens, mit der sie die mathematische Stringenz solcher Beziehungen vermittelten.

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KANNTEN DIE BABYLONIER DEN SATZ DES PITHAGORAS

6. Die Anwendung des "Satzes des Pythagoras" auf nicht-rechtwinklige Dreiecke Zu einer solchen Schlußfolgerung im Hinblick auf die mathematischen Einsichten der babylonischen Mathematiker stehen allerdings zahlreichen Beispiele in offenem Widerspruch, die scheinbar jeden Sinn für mathematische Einsicht und Stringenz vermissen lassen. Dies gilt beispielsweise für die implizite Anwendung des Satzes des Pythagoras in dem Text YBC 8633. 33 In diesem Text, dessen geometrische Deutung durch die beigefügte Zeichnung (Abb 15) außer Zweifel steht, ist ein Dreieck durch die drei Seiten gegeben. Zwei Seiten des Dreiecks haben jeweils die Länge 1AO (dezimal: 100), die dritte Seite die Länge 2.20 (dezimal: 140). Gefragt wird nach der Fläche des Dreiecks.

Abbildung 15. YBC 8633. Anwendung des "Satzes des Pythagoras" auf nicht-rechtwinklige Dreiecke. Ein babylonischer Feldmesser würde dieses Problem dadurch lösen, daß er die beiden kürzeren Seiten miteinander multipliziert und das Produkt halbiert. Zur Rechtfertigung dieses Verfahrens nimmt man üblicherweise an, daß die Schreiber in solchen Fällen stillschweigend die Rechtwinkligkeit des Dreiecks unterstellten, und zwar selbst dann, wenn eine beigefügte Zeichnung dem widerspricht. Im vorliegenden Fall ist eine solche Annahme allerdings durch die Tatsache ausgeschlossen, daß alle drei Seiten des Dreiecks gegeben sind, und zwar so, daß das Dreieck nicht rechtwinklig sein kann. Das Ergebnis, das der babylonische Feldmesser erzielen würde, die Sexagesimalzahl 1.23.20 (dezimal: 5000), wäre nur annähernd richtig, wenn auch in guter Näherung, denn das gegebene Dreieck weicht nur geringfügig von der Rechtwinkligkeit ab. Die korrekte Lösung würde voraussetzen, daß zunächst mit Hilfe des Satzes des Pythago ras die Höhe des Dreiecks berechnet wird und daß dann nicht die Seiten, sondern die Grundlinie und die Höhe miteinander multipliziert werden. Das Ergebnis wäre eine irrationale Zahl, nämlich (dezimal) 70 . ,das ist ziemlich genau 4999, also ein Wert,

J5i

33 Neugebauer und Sachs 1945: 53-55.

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der nur geringfügig von dem Wert abweicht, den der babylonische Feldmesser mit seinem "Näherungsverfahren " erhalten hätte. Der Schreiber der Tafel jedoch folgte im vorliegenden Fall weder dem üblichen Verfahren der Feldmesser, noch dem der späteren, euklidischen Geometrie. Der Satz des Pythagoras wird zwar angewandt, aber auf eine äußerst befremdliche Weise. Zunächst wird das Dreieck symmetrisch in drei Teildreiecke zerlegt, indem die längste Seite in drei Teilstrecken mit den sexagesimal notierten Längen 1 [.0], 20 und nochmals 1 [.0] unterteilt wird. Die beiden äußeren Dreiecke besitzen dann jeweils zwei Seiten mit den Längen 1 [.0] (dezimal: 60) und 1AO (dezimal: 100), die sich durch l.20 (dezimal: 80) zu einem pythagoreischen Zahlentripel ergänzen lassen. Die so festgelegte Zahl 1.20 wird dann, so als ob sich der Satz des Pythagoras anwenden ließe, geometrisch als Länge der fehlenden dritten Seite interpretiert. Schließlich werden die Flächen der drei Teildreiecke nach dem üblichen Verfahren der Feldmesser als halbes Produkt der beiden kürzeren Seiten errechnet und zur Gesamtfläche aufaddiert. Die Unsinnigkeit dieses Verfahrens scheint kaum noch zu überbieten. Der babylonische Schreiber wählt einen aufwendigen Umweg über eine Anwendung den Satzes des Pythagoras auf nicht-rechtwinklige Dreiecke und die dreimalige ~wendung se.ines üblich~n Näherungsverfahrens, nur um mit dem Wert 1.33.20 (deZImal: 5600) emen sehr VIel schlechteres Ergebnis zu erzielen, als er es erhielte, wenn er die Fläche ohne diesen Umweg berechnet hätte. Es gibt im Grunde nur zwei mögliche Erklärungen für die eigenartige Berechnung: Entweder wir haben es hier mit einem völlig unfähigen babylonischen Schreiber zu tun, der nicht in der Lage war, den Satz des Pythagoras korrekt anzuwenden, ~der aber der Feh!er liegt in der modernen Interpretation seines Vorgehens. Gegen dIe erste Alternative spricht, daß der Text ansonsten keine weiteren Hinweise auf eine besondere Inkomp~ tenz des Schreibers enthält und sich, abgesehen von der seltsamen Problemlösung, m keiner Hinsicht von anderen Texten der babylonischen Mathematik unterscheidet. Schließt man die Möglichkeit eines unfähigen Schreibers jedoch aus, dann muß der Satz des Pythagoras im Kontext des geometrischen Wissens der babyloni.schen Mathemat~ ker, wie eingangs bei der Diskussion der impliziten Natur des Satzes m den mathematischen Keilschrifttexten bereits als Möglichkeit ins Auge gefaßt wurde, eine ganz andere Bedeutung besessen haben als später in der euklidischen Geometrie, in der die Anwendung auf nicht-rechtwinklige Dreiecke schon durch die Formulierung des Satzes als unzulässig ausgeschlossen wird.

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7. Der babylonische "Satz des Pythagoras" als Problem der historischen Epistemologie

PETER DAMEROW

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anderen Zeugnisse der babylonischen Mathematik im engeren Sinne die gleiche zeitliche Beschränkung auf die Zeit nach dem Ende des dritten Jahrtausends v.Chr. gilt. 34

Im Verlauf der vorangegangenen Überlegungen hat sich die ursprüngliche Problemstellung also verschoben. Ausgangspunkt war zunächst die Frage, ob der Satz des Pythagoras bereits zu den mathematischen Kenntnissen der babylonischen Schreiber gehörte. Dann stellte sich heraus, daß eine Antwort auf diese Frage bedeutungslos ist, solange nicht zugleich die Wissensform des vermeintlich identifizierten Satzes rekonstruiert und insbesondere die Frage beantwortet werden kann, inwiefern die Kenntnis des Satzes eine mathematische Einsicht im Sinne späterer mathematischer Beweise darstellte. Jetzt zeigt sich darüberhinaus, daß die eigentliche Frage lauten muß, in welchem Sinne der Satz des Pythagoras im spezifischen Kontext des mathematischen Wissens der Babyionier einen denknotwendigen Sachverhalt darstellte, welche Voraussetzungen ihn konstituierten und welche Folgerungen in diesem Kontext aus ihm gezogen werden konnten.

Zwischen den Problemstellungen und Problemlösungstechniken der babylonischen Mathematiker, die durch diese, vergleichsweise kleine Gruppe von "mathematischen" Texten dokumentiert werden, und den normalen Aufgaben des babylonischen Verwaltungspersonals besteht eine bemerkenswerte Kluft. Dennoch kann wegen der vielfältigen Zusammenhänge zwischen den Gegenständen der Verwaltung und den Gegenständen, oder zumindest der Terminologie der mathematischen Keilschrifttexte im engeren Sinne gar kein Zweifel daran bestehen, daß die Methoden der babylonische Mathematik unmittelbar aus der Verwaltungspraxis der Schreiber im dritten Jahrtausend hervorgegangen sind und auch die mathematischen Inhalte in einem hohen Maße von Themen aus dieser Verwaltungspraxis geprägt wurden.

Im Rahmen der späteren griechischen Mathematik war die Kenntnis des Satzes des Pythagoras notwendigerweise mit der Einsicht in die Abhängigkeit des Sachverhalts von der Rechtwinkligkeit des Dreiecks verbunden. Jede Einsicht in die Gültigkeit eines mathematischen Satzes setzt voraus, daß der Zusammenhang des Satzes mit den konstituierenden Bedingungen seiner Gültigkeit erfaßt wird. Angesichts des impliziten Charakters des Satzes des Pythagoras im Rahmen der babylonischen Mathematik und zudem seiner Anwendung ohne Rücksicht auf die Bedingung der Rechtwinkligkeit, wird die Bestimmung der konstituierenden Bedingungen seiner Gültigkeit im historischen Kontext des geometrischen Wissens der babylonischen Schreiber zum zentralen Problem der aufgeworfenen Frage, in welchem Sinne diese Schreiber, oder zumindest einige von ihnen, diesen Satz kannten.

Insbesondere deuten der geometrische Gehalt und die Begriffe und Inhalte der babylonischen Mathematik auf Zusammenhänge mit geometrischen Techniken der Praktiker der Verwaltung hin, vor allem mit Vermessungstechniken in der Architektur und der Landwirtschaft. Da diese Texte ein im einzelnen zwar in vielfältiger Hinsicht lückenhaftes, aber im wesentlichen doch stimmiges Bild der sich entwickelnden geometrischen Kenntnisse der intellektuellen und machtpolitischen Führungsschicht der frühen babylonischen Großreiche vermitteln, bietet sich hier eine gute Chance, auf der Grundlage von Tausenden von überlieferten Keilschrifttafeln mit Verwaltungsaufzeichnungen das geometrische Wissen, das die Voraussetzung für die babylonischen Mat~e~atik im allgemeinen und für die vermutete Entdeckung des Satzes des Pythagoras m Ihrem Kontext im besonderen bildete, zuverlässig zu rekonstruieren.

Da uns nicht einmal Texte überliefert sind, in denen der Satz explizit formuliert ist, verfügen wir erst recht über keine Quellen, die unmittelbar über seine Stellung im geometrischen Wissen der babylonischen Schreiber Auskunft geben könnten. Die einzige Möglichkeit, die Bedeutung des babylonischen Satzes des Pythagoras im Kontext dieses Wissen zu beurteilen, besteht daher darin, die Entwicklung dieses Wissens selbst zu rekonstruieren und den Versuch zu unternehmen, die Entdeckung des Satzes im diesem Entwicklungsprozeß historisch einzuordnen, in der Hoffnung, dadurch die historischen Bedingungen seiner Gültigkeit im babylonischen Kontext und die sich in diesem Kontext ergebenden Folgerungen besser zu verstehen. Einen zweckmäßigen Ausgangspunkt für eine solche Untersuchung bietet die Datierung der Belege für die Kenntnis des Satzes: Alle bekannten Belege stammen aus der altbabylonischen Periode oder aus späterer Zeit, also aus der Zeit nach der Wende des dritten zum zweiten Jahrtausend v.ehr. Gegen die Annahme, es könne sich hierbei um einen Zufall der Überlieferung handeln, spricht die Tatsache, daß nicht nur für die Texte, die Hinweise auf eine Kenntnis des "Satzes des Pythagoras" enthalten, sondern auch für alle

8. Die geometrischen Techniken der Feldmesser im 3. Jtsd. v.ehr. Aus den Verwaltungstexten des dritten Jahrtausends geht hervor, daß die babylonischen Feldmesser eine über viele Jahrhunderte gleichartige Aufgabe hatten. Sie mußten die Felder abstecken und vermessen und aus den ermittelten Maßen die Feldflächen und möglicherweise auch die den Größen der Felder entsprechenden Saatmengen und Ernteerträge berechnen. 35 Die wichtigste technische Voraussetzung für die Messungen und Berechnungen der Feldmesser bildeten standardisierte Maße für Längen und Flächen. Die grundlegende Einheit für die in der Feldmessung verwendeten Längenmaße war das "ninda", ein Maß 34 Zur Datierung der Entstehung der babylonischen Mathematik siehe Damerow und Lefevre 1981 und Damerow 1995, insbes. Kapitel 7.

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mit einer Länge von etwa 6 Metern. Aufbauend auf dieser Einheit folgten die weiteren Einheiten in sexagesimaler Gliederung. 10 ninda 6 es 60US

1 es (Meßleine) 1 US 1 sar

Bei den Flächenmaßen ist keine vergleichbar kanonische Grundeinheit auszumachen, denn die Gliederung der Maße ist unregelmäßiger als bei den Längenmaßen. Als kleinste Einheit wurde zumeist das Maß "sar" (Garten) verwendet. Es folgen Feldmaße mit einer unregelmäßigen Gliederung. Erst die größeren Maßeinheiten weisen wiederum eine sexagesimale Gliederung auf. 100 sar (Garten) 6iku

3 ese 60 bur

1 iku (Feld) 1 ese 1 bur 1 sar

Das Verfahren, die Feldflächen zu berechnen, beruhte darauf, daß die grundlegenden Flächenmaße sar und iku durch die Längenmaße ninda und es festgelegt waren. Das Flächenmaß sar entsprach der Fläche eines Quadrats mit einer Seite von der Länge einer Einheit des Längenmaßes ninda und damit das Flächenmaß iku der Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge einer Einheit des Längenmaßes es.36 1 sar 1 iku 2 bur

(1 ninda)2 (1 es)2 (1 US)2

Die Flächenmaße wurden additiv verwendet, das heißt, die Gesamtfläche einer aus mehreren Feldern gebildeten Flur wurde als Summe der Einzelflächen errechnet. Bei großen 35 Die Zahl der Texte, die Ergebnisse der Feldmessung enthalten, ist viel zu groß, as daß hier ein Überblick über die verschiedenen Arten gegeben werden könnte. Als repräsentative Beispiele seien für die altsumerische Periode die zahlreichen Texte mit Feldflächenangaben in Bauer 1972 genannt. Für die Periode der 3. Dynastie von Ur die Texte in Pettinato 1969. Beide Publikationen enthalten nicht nur Texte, in denen die Feldflächen in der Verwaltung berücksichtigt werden, sondern auch solche, bei denen die ursprünglichen Vermessungsdaten mit angegeben werden. Ansonsten siehe auch Nissen, Damerow und Englund 1991, insbes. Kapitel 12.

36 Entsprechend der wechselvollen Geschichte der vielfältig gegliederten Stadtstaaten Mesopotamiens gibt es.. eine reiche Vielfalt verschiedenartiger Notierungen für Längen und flächenmaße, denen dieser kurze Uberblick nicht gerecht werden kann, die jedoch im vorliegenden Kontext für die Frage der Herkunft der Strukturen des geometrischen Denkens weitgehend irrelevant sind.

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unregelmäßig geformten Feldern wurde die Fläche zunächst durch eines oder mehrere Vierecke angenähert, und dann wurden die überstehenden oder fehlenden Randflächen in Dreiecke und Vierecke zerlegt. Die Flächen unregelmäßiger Vierecke wurde als Produkt der Mittelwerte gegenüberliegender Seiten berechnet, ein Verfahren, das bei den normalen Formen von Feldern sehr gute Näherungswerte ergibt. Die Berechnung der Flächen von Dreiecken beruhte darauf, daß sich diese durch Verdoppelung zu einem Viereck ergänzen lassen. Daraus folgt das oben bereits erwähnte Näherungsverfahren, die Fläche als halbes Produkt der beiden kürzeren Seiten zu berechnen. 37 Verfahren für die Durchführung solcher Berechnungen gehören offenbar zum ältesten Kernbestand der geometrischen Kenntnisse der Babyionier. Schon unter den e~a 6000 in einer Proto-Keilschrift geschriebenen Verwaltungsdokumenten aus der Zelt der Erfindung der Schrift um 3000 v.ehr. gibt es einige, die Angaben über.die Größe von Feldflächen enthalten. 38 Eine kleine Zahl dieser Texte enthält darüberhmaus auch Angaben zu den Maßen der Felder, so daß Rückschlüsse auf das Zustandekommen der Flächenangaben möglich sind. 39 Die am besten erhaltene Tafel dieser Art (MSVO 1, 2)40 dokumentiert vermutlich die Aufteilung und Zuweisung etwa eines Drittels eines relati: gro~en Feld:s an. fünf ~?ch rangige Beamte. Die Vorderseite (Abb. 16) enthält fünf Zellen, m de~en J~wells zunach~t die Länge des zugewiesenen Feldes und der Name des .Beamte~ nottert smd, danach ?le Breite des Feldes und anschließend die Feldfläche. 41 DIe zugeWIesenen Felder haben eme beträchtliche Größe. Ihre Länge liegt bei etwa 5 mal 60 ninda (1800 Meter), ihre Breite bei etwa 1 mal 60 plus 40 ninda (600 Meter). 37 Diese Regeln sind nirgendwo explizit angegeben, son~er~ ~us de.n zahlr~ic~en überlie.fert~n Berec~ nungen rekonstruiert. Sie geben nur die grundlegenden Pnnziplen wIeder, dIe m der PraxIs mcht konsIstent angewendet wurden. Insbesondere wurde bei kleineren viereckigen Teilfläche~ am Rande. größe.rer Felder die äußere Begrenzung in der Regel nicht vermessen, sondern der gegenüberhegenden Selte glelCh gesetzt, obwohl diese bei der zumeist gezeichneten Trapezform ersichtlich etwas länger sein müssen. Außerdem wurden die großen Vierecke, mit denen komplexe Feldformen zunächst gro? angen.ähert wurde~, nach einem eigenartigen Verfahren berechnet, das im folgenden noch näh:r beschneben wud. Beda~erh cherweis gibt es noch keine gründliche Untersuchung der Vermessungspraxis, von der Hunderte von uberlieferten Vermessungsdaten und Felderplänen zeugen.

38 Siehe z. B. die Belegstellen zu den archaischen Notierungen von Feldflächen bei Damerow und Englund (1987: 141-143). 39 Archaische Texte, die sowohl Vermessungsergebnis als auch die ausgerechneten Flächenangaben e~t halten sind bislang nur in Jemdet Nasr gefunden worden; siehe die Texte MSVO 1, 2 bis MSVO 1, 6 m Englund und Gregoire 1991. 40 Englund und Gregoire 1991: Tf. 2-3. Siehe auch Englund, in diesem Band, zu MSVO 1, 95 und 96. 41 Friberg (1997/1998: 19-27) interpretiert den Text als. eine Aufteilun~ ein~r Gesamtfläche und hält demgemäß die Längenangaben für berechnete Daten und mcht für Ergebmsse emer Vermessung.

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Länge 290 (ninda)

x

Breite 100 (ninda)

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Feldfläche 16 bur + 2 ese "zusätzlich" ~ L-

-e!•• ••

D:•

•

Beamtentitel

i

"Tempel"(?) von Jemdet Nasr (?)

~

rt]

~~ Feldj[[l des "Herrschers"

e. ee: ee·

UDgenauigkeit ~der notierten Flächen:

§f-

Notiert: 16 bur 2 ese Errechnet: 16 bur 2 iku Fehler: + 1000 sar Notiert: 15 bur 1 ese 4 iku 70(7) sar Errechnet: 15 bur 1 ese 4 iku 80 sar Fehler: -10 sar

ee::•• •

Notiert: 12(?) bur Errechnet: 9 bur 2 ese 5 iku 80 sar Fehler: +3620 sar

Flächenmaße:

() = 1 ninda (etwa 6 m)

v = 1O(?) sar = 1O(?) Quadrat-ninda

• = 10 ninda = 1 es

()

D

= 60 ninda = 1 US

= 100 sar

0,36 ha

1 ese

6 iku

2,16 ha

= 1 bur

3 ese

6,48 ha

= 1 bur'u

10 bur

64,80 ha

~ =

•

e e

= 1 sm-

Name des Feldes (?)

Summe der mit dem Zeichen j[[l gekennzeichneten Feldflächen der Vorderseite Summe der "zusätzlichen" (Rechenfehler?) Flächen .~()() ~ ()() ()

Längenmaße:

= 1 iku

~

(Doppelte Fläche)

Notiert: 15 bur Errechnet: 14 bur 2 ese 5 iku 70 sar Fehler: +30 sar

Notiert: 19 bur 2 ese Errechnet: 18 1 ese Fehler: +2400 sar

251

6 bur'u "" 388,80 ha

Abbildung 16. Text MSVO 1, 2, rekonstruierte Vorderseite. Archaische Feldflächenberechnung

Abbildung 17. Text MSVO 1, 2, rekonstruierte Rückseite. Summierung der archaischen Feldflächenberechnungen der Vorderseite. Die Rückseite der Tafel (Abb. 17) enthält im mittleren Fach der rechten Spalte einen gerundeten Wert der Summe der Feldflächen der Vorderseite, in dem oberen Fach eine genau doppelt so große Fläche, die als "Feld des Herrschers" gekennzeichnet ist, und in dem unteren Fach den durch die Rundung nicht berücksichtigten Flächenanteil. In der linken Spalte wurde schließlich die Summe der drei Eintragungen, also die Gesamtfläche, verzeichnet. Die Struktur des Textes wirft eine Reihe von bislang ungelösten Problemen auf, die die Funktion der Eintragungen betreffen, die für die Beurteilung der geometrischen Kenntnisse der Schreiber solcher Texte jedoch ohne Belang sind. Von Bedeutung ist im Hinblick auf

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diese Frage dagegen die Tatsache, daß sich aus dem Text Hinweise auf das Zustandekommen von Flächenangaben in solchen Texten entnehmen lassen. Trotz der Fehler, die einige der Angaben des Textes enthalten, steht angesichts der Genauigkeit der übrigen Werte nämlich außer Zweifel, daß es sich nicht um empirisch ermittelte Größen handeln kann. Vielmehr müssen die Flächenangaben auf irgendeine Weise errechnet worden sein. 42 Spätestens in der altsumerischen Periode etwa 500 Jahre danach waren die Techniken der Feldmessung, so wie sie aus späteren Perioden bekannt sind, voll ausgebildet. Zwar sind auch aus dieser Periode noch keine Zeichnungen von Feldern überliefert, und es ist nicht entscheidbar, ob überhaupt solche Zeichnungen zu dieser Zeit bereits angefertigt wurden,43 aber die Terminologie der Verwaltungstexte, die sich auf die Vermessung der Felder beziehen, macht deutlich, daß das geschilderte Verfahren der Annäherung der Feldfläche durch Vierecke und der Korrektur solcher Näherungen durch die getrennt zerlegten und berechneten Randflächen bis in diese Periode zurückreicht. Wie die Praxis der Verwaltung insgesamt, war auch die Feldmessung im Verlaufe des dritten Jahrtausends Entwicklungen unterworfen, die zu einer Verbesserung der angewendeten Techniken führten. In ihrem Kern jedoch blieben sowohl die Aufgabenstellungen als auch die Methoden, mit denen die Aufgaben bewältigt wurden, unverändert. Was sich tatsächlich veränderte war:

• die Größenordnung der zu vermessenden Felder, • die Komplexität der Formen der Felder und damit der Zerlegungen in Teilflächen,

• die Genauigkeit, mit der die Feldgrößen ermittelt wurden und •

die Verwendung geometrischen Zeichnungen der vermessenen Felder, um die Lage der gemessenen Strecken zueinander zu dokumentieren.

Ihren Höhepunkt erreichte diese Entwicklung im letzten Jahrhundert des dritten Jahrtausends v.Chr., in der Periode der 3. Dynastie von Ur, in der zeitweise ein Großreich, das weite Teile Mesopotamiens umfaßte, mit den in den Stadtstaaten entwickelten Methoden zentral verwaltet wurde. Insbesondere aus dieser Zeit stammen Dokumente von Feldmessern mit geometrischen Zeichnungen. Zu dieser Zeit hatten die Zerlegungen der Felder in Vierecke und Dreiecke eine so große Komplexität gewonnen, daß ohne derartige Pläne die Bedeutung der gemessenen Strecken nicht mehr schriftlich zu fixieren gewesen wäre. Maßstab ca. 10: 17

42 Den genauesten Wert ergibt die Rechnung in der zweiten Zeile. Der gen aue Wert für ein Feld mit einer Länge von 5 US 1 es 2 ninda und einer Breite von 1 US 3 es ist 1 bur'u 5 bur 1 ese 80 sar. Alle anderen errechneten Flächen weichen zum Teil beträchtlich von den korrekten Werten ab (siehe Abb. 17). 43 Bereits aus der altakkadischen Periode sind jedoch Gebäudepläne und Fragmente von Stadtplänen erhalten; siehe Heinrich und Seidl1967 und Heisell993: 9-19.

Abbildung 18. Felderplan aus derPeriode der 3. Dynastie von Ur (Ende des 3. Jtsd. v.Chr.) Kopie: Stefan Maul.

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255

Einer der größten überlieferten Pläne 44 enthält beispielsweise die Zeichnung eines mehr als 5 Kilometer langen und über 4 Kilometer breiten, unregelmäßig geformten Feldes (Abb. 18). Die Form des Feldes wurde zunächst durch sechs große Vierecke grob approximiert, das sogenannte Ternen. Dann wurde die resultierende Fläche am Rand durch mehr als 40 Dreiecke und Vierecke der genauen Form des Feldes angepaßt. Alle Flächen wurden vermessen und die Maße gemeinsam mit den errechneten Einzelflächen in den Plan eingetragen. Eigentümlich ist das Verfahren der Berechnung kompliziert zusammengesetzter Ternen. Dieses Verfahren ist bislang nur durch zwei Texte bekannt, von denen einer der hier vorliegende Text ist. 45 Die einzelnen Teilflächen des Ternen wurden dabei berechnet, als wären die gegenüberliegenden Seiten gleich lang. Diese Berechnung erfolgte zweimal, einmal mit den Maßen der einen Seite des Feldes, das zweite Mal mit den Maßen der anderen Seite. Auf diese Weise ergaben sich für jede der Teilflächen des Ternen zwei Flächenangaben, die jeweils wechselseitig auf dem Kopf stehend in den Felderplan eingetragen wurden. Man rechnete gewissermaßen einmal um das Feld herum und erhielt auf diese Weise für jede Teilfläche zwei Werte. Aus diesen Werten wurde dann der Mittelwert gebildet. Auf der Rückseite, die bei der vorliegenden Tafel stark beschädigt ist, wurde dann die errechnete Gesamtfläche eingetragen. Außerdem enthielt die Rückseite, wie bei solchen Felderplänen üblich, Verwaltungsvermerke über die Funktion der Vermessung. Abgesehen von der Größe und Komplexität des vermessenen Feldes ist dieser Felderplan typisch für die zahlreichen Vermessungsdokumente, die aus der Zeit der dritten Dynastie von Ur überliefert sind. Eine durchgängiges Kennzeichen dieser Felderpläne ist es, daß sie zwar die Topologie der vermessenen Felder korrekt wiedergeben, nicht aber die Größenverhältnisse und Winkel. Zeichnet man die Felder nach den Längenangaben der Pläne maßstabsgerecht auf, dann zeigt sich, daß die Zeichnungen ohne jede Rücksicht auf die tatsächliche geometrische Form der Felder angefertigt und dabei beträchtliche Verzerrungen in Kauf genommen wurden. Dieses Charakteristikum der Zeichnungen findet in ihrer Funktion eine Erklärung. Sie dienten ausschließlich der Dokumentation der für die Flächenberechnung ermittelten Vermessungsdaten. Da aber die Flächenberechnungen der Feldmesser grundsätzlich nur auf Flächenzerlegungen und Längenmessungen beruhten, war die genaue geometrische Form im Sinne der euklidischen Geometrie für die Berechnungen irrelevant. Auch den topologisch verzerrten Plänen ließen sich alle für die Flächenberechnung erforderlichen Angaben entnehmen.

~

~

«

co

fffi

~

1 (sar)-gal 1 (sar'u) 1 (sar) 1 (bur) Feldfläche,

W JIT(;> die dazugehörige Gerste

~S~

3 (sM'u)

5 (sar)

~~

««« eo=R'

3 (ges'u)

3 (u) gur.

~ ttID{t> H>1 Davon

~~

~~

wr

~~

~

V

~:f=f

2 (sar'u) 1 (sar) 4 (ges'u) 7 (ges) 4 (u) 2 (gur) 1 (bariga) 4 (ban) gur

L1HV~ abgeliefert.

ilJ:->- ~

SO

~~ VIV «« ~

~1

'1= ,1=1

Fehlbetrag: 1 (sar'u) 3 (sar) 4 (ges'u) 3 (ges) 2 (u) 7 (gur) 3 (bariga) 2 (ban) gur

Abbildung 19. Ausschnitt der Tafel AG 3448 aus der Periode der 3. Dynastie von .Ur 44 Or 5, Nr. 26 = Wengier 36. Der Text aus der Wengiersammlung befindet sich jetzt im Altorientalisehen Seminar der Freien Universität Berlin; siehe Nissen, Damerow und Englund 1991 und dies. 1993. 45 Zu dem Verfahren und dessen Rekonstruktion auf Grund der Rechnungen des anderen der bei den komplexen Felderpläne siehe Thureau-Dangin 1897.

mit einer theoretischen Berechnung der Ernteerträge der ProVInZ Lagasch für das dritte von drei auf der Tafel dokumentier~en Abre~h nungsjahren und mit einer Bilanzierung gegen die tatsächhchen Abheferungen der Erträge.

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Die aufwendigen Vermessungen von Feldern, die durch die Felderpläne dokumentiert wurden, dienten dem Zweck, die zentral verwalteten Ressourcen des Großreichs der dritten Dynastie von Ur vollständig zu erfassen und die Redistribution der Ressourcen zu planen und zu organisieren. Dies läßt sich aus den Angaben bilanzierender Dokumente erschließen, in denen aggregierte Daten über Feldflächen, Arbeitseinsätze und Ernteerträge aus zahlreichen Einzeldokumenten zusammengefaßt wurden. Ein solches Dokument repräsentiert beispielsweise das Bruchstück AO 3448 46 einer Tafel aus der g~eichen Pe~iode, die eine Bilanzierung von Getreideerträgen der Provinz Lagasch ent?Ielt: Au~ dIeser Tafel waren für drei aufeinanderfolgende Jahre für die gesamte Provinz JeweIls dIe folgenden Angaben verzeichnet (Abb. 19):

• die insgesamt bewirtschaftete Feldfläche, • der mit Hilfe eines standardisierten Normalertrages errechnete, zu erwartende Gesamtertrag an Gerste,

• der tatsächliche Ernteertrag und • das als Differenz errechnete Defizit. Dieses .~eltene Beis~iel eine~ m~hrere Jahre übe~greifenden Planungsdokuments zeigt, daß s~at~stens zu dIeser Zelt dIe Feldmessung em fester Bestandteil der routinemäßig vollstandlgen Erfassu~g der Ressourcen geworden war. 47 Die Feldmessung repräsentierte gegen .Ende des dntten Jahrtausends v.Chr. einen fest etablierten Kanon geometrischen ~Issens. Selbst wenn .es keine weitergehenden Hinweise für den Zusammenhang der PraxIS der Feldmesser mIt der babylonischen Geometrie gäbe, wäre daher zu vermuten, daß jede Form der geometrischen Abstraktion und Begriffsbildung in Mesopotamien von den Problemen der Feldmesser ihren Ausgang nahm und durch die Reflexion ihrer Methoden ihre geometrischen Gegenstände gewann.

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257

Texte dienten. Daneben gibt es jedoch von Beginn der Schrifttradition an vereinzelt auch andersartige Texte, die keinem erkennbaren Verwaltungsziel dienten und Ansätze zur Verselbständigung der Methoden der Feldmesser vom praktischen Zweck ihrer Messungen und Berechnungen erkennen lassen. Sie stammen vermutlich aus dem Schulkontext und werden daher gewöhnlich undifferenziert als "Schultexte" klassifiziert, ohne daß damit eine durchweg gleichartige Funktion anzunehmen wäre. Angesichts unserer sehr begrenzten Kenntnis über die soziale Organisation des Wissenserwerbs im dritten Jahrtausend ist es zur Zeit auch kaum möglich, die genaue Funktion dieser Texte im einzelnen zu bestimmen. Anders als bei den Schultexten der späteren Tradition ist es insbesondere oftmals unmöglich festzustellen, ob es sich bei einem Text um eine Schülerübung oder das Werk eines ausgebildeten Schreibers handelt, ob also die zahlreichen Fehler, die solche Texte enthalten, nur dem niedrigen Ausbildungsstand eines Schülers zuzuschreiben sind, oder aber Grenzen des mathematischen Wissens im dritten Jahrtausend aufzeigen. In jedem Fall jedoch lassen sich insbesondere aus solchen Fehlern Probleme erschließen, die in den strukturellen Eigentümlichkeiten des geometrischen Wissens in dieser Periode begründet waren, wobei lediglich offen bleiben muß, in welchem Maße solche Probleme immanent überwindbar waren. In die frühesten Phase der Schriftentwicklung ist die stark beschädigte Tafel W 19408,76 zu datieren (Abb. 20), die auf der Vorder- und auf der Rückseite je zwei Längen- und zwei Breitenangaben enthält, und zwar Angaben die im Vergleich zu den Abmessungen real existierender Felder unrealistisch groß sind; die Längenangaben liegen bei etwa sieben, die Breitenangaben bei etwa fünf Kilometern. Es handelt sich hier offenbar um zwei Aufgaben, bei denen jeweils die Fläche eines unregelmäßigen Vierecks zu berechnen ist. Das auf der Tafel nicht verzeichnete Ergebnis ist in beiden Fällen das gleiche, nämlich lOsar, das ist ein runder Wert, der zudem die Eigenschaft besitzt, daß er die erste Größenordnung repräsentiert, die nicht mehr mit den gängigen, in den Verwaltungstexten gebrauchten proto-keilschriftlichen Zeichen für die Flächenmaße darstellbar war, die mit der Einheit "sar" einen gewissen Abschluß fanden. 49

9. Geometrische "Schultexte" des 3. Jtsd. v.Chr. Die Verwaltungstexte, in denen Ergebnisse der Feldmessung registriert wurden, sind nun nicht die einzigen überlieferten Texte, die über das geometrische Wissen im 3. Jtsd. v.Chr. Aufschluß geben. 48 Die in solchen Verwaltungstexten dokumentierten Flächenberechnungen sind zumeist ersichtlich von dem praktischen Zweck bestimmt, dem die 46 Siehe Nissen, Damerow und Englund 1991: 185-187.

~7 Für das hier abgebildete dritte Jahr beträgt die erfaßte Feldfläche 3600 + 600 + 60 + 1 = 4261 bur, das SInd nahe~u 28.000 Hek~ar. Pro bur (6,48 Hektar) wird in dem Text mit einem Ablieferungssoll von 30 gur Getrelde (ca. 9.000 Laer oder 5,4 Tonnen) gerechnet, das sind insgesamt etwa 150.000 Tonnen erwarteter Ernteertrag für die Provinz Lagasch.

48 Unberücksichtigt bleibt hier wegen der eingeschränkten Thematik dieses Aufsatzes die Tatsache, daß es neben den Verwaltungsdokumenten mit Ergebnissen der Feldmessung vereinzelt auch noch andere Abrechnungen der Verwaltung aus dem 3. Jtsd. v.ehr. gibt, die indirekt Hinweise auf geometrische Kenntnisse geben wie beispielsweise im Zusammenhang der Verwaltung von Arbeitskräften Volumenberechnungen für Ausschachtungen im Kanalbau oder für das Streichen von Ziegeln und deren Transport zur Baustelle beim Errichten von größeren Bauwerken. Siehe Friberg, in diesem Band. 49 Siehe die Übersicht über alle bekannten Zeichen für die Notierung von Flächen in den protokeilschriftlichen Verwaltungsdokumenten bei Damerow und Englund (1987: 141-143). Es ist zwar nicht auszuschließen, daß auch Zeichen für noch größere Flächen in Gebrauch waren, aber die in relativ große Zahl in den Texten erhaltenen Notierungen der Größen realer Felder erreichen niemals einen solche Größenordnung. Eine besondere Schwierigkeit muß darin bestanden haben, daß die für 10 sar zu vermutende Zeichenform schon für 10 bur vergeben war. Dies erklärt, warum in der Fara-Periode eine gewisse Unsicherheit der Schreibung bestand und die Schreibung der höheren Werte der Feldflächen nochmals verändert wurde.

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1. Breite 930 (ninda) (= 900 + 30)

1. Länge 1200 (ninda)

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Vorderseite

1200 + 1200

x 930 - -+-870 -

2 2. Breite 870 (ninda) (= 900 - 30)

2. Länge 1200 (ninda)

1200 x 900 (ninda)

=

1080.000 sar

Rückseite 1. Breite 1280 (ninda) (= 900 + 380)

1. Länge 980 (ninda) (= 1200 - 220)

2. Breite 520 (ninda) (= 900 - 380)

2. Länge 1420 (ninda) (= 1200 + 220)

980 + 1420

genüberliegenden Seite subtrahiert wurde. Dabei wurde offenbar vorausgesetzt, daß sich bei der Verkleinerung einer Seite bei gleichzeitiger Vergrößerung der gegenüberliegenden Seite im gleichen Maße die Größe der Fläche nicht ändert. Bezeichnet man mit F(a,b,c,d) die Fläche eines Vierecks mit den Seiten a, b, c, d und mit ~a und ~b die Werte, um die die Seiten a und b vergrößert bzw. verkleinert werden, dann bedeutet diese Annahme, daß

2

=

F(a,b,a,b) = F(a + ßa,b + ßb,a - ßa,b - ßb)

Diese Annahme wurde durch die Tatsache nahegelegt, daß sich bei der Addition gegenüberliegender Seiten und damit bei der Mittelwertbildung die Verkleinerung und die Vergrößerung gegenseitig kompensieren. a

x1280 - -+-520 -

=

2 2 1200 x 900 (ninda)

=

1.080.000 sar

Maßstab 1:2

Abbildung 20. Archaischer Schultext W 19408,76 mit Aufgaben zur Feldflächenberechnung Der Text ist in zweierlei Hinsicht aufschlußreich. Zum einen bietet er ein frühes Beispiel für ein auffallendes Kennzeichen der späteren babylonischen Mathematik, nämlich für die Konstruktion von Problemen durch die Umkehrung der Voraussetzung und des Ergebnisses eines von den Praktikern verwendeten Verfahrens, im vorliegenden Fall in der noch primitiven Form, bei der das Verfahren nicht variiert wird, die Aufgaben jedoch schon gezielt so konstruiert werden, daß sie eine vorgegebene, einfache Lösung besitzen. Zum zweiten vermittelt der Text einen Hinweis auf die Überlegungen, aus denen die Regel der mesopotamischen Feldmesser zur Berechnung unregelmäßiger Vierecke hervorgegangen ist. Den beiden Aufgaben auf der Vorder- und der Rückseite der Tafel liegt gemeinsam das gleiche regelmäßige Viereck von 1200 X 900 ninda zugrunde. Die Seiten der zu berechnenden, unregelmäßigen Vierecke wurden aus den Seiten dieses regelmäßigen Vierecks dadurch konstruiert, daß jeweils ein gleicher Wert zu einer Seite addiert und von der ge-

259

=

(a + ßa) + (a - ßa)

~-~2:--'-----'-

b = (b + ßb) + (b - ßb) 2

Unter der Voraussetzung, daß die Flächen infolge dieser Kompensation gleich bleiben, ergibt sich für die Fläche des konstruierten unregelmäßigen Vierecks (b+ßb)+(b-ßb) =!( + )X!(b +b) F -- a x b -- (a+ßa)+(a-ßa) 2 x 2 2 a 1 a2 2 1 2

Kehrt man dieses Verfahren der Konstruktion von unregelmäßigen aus regelmäßigen Vierecken um, so ergibt sich eben jenes Verfahren der Rückführung von unregelmäßigen auf regelmäßige Vierecke durch die Bildung der Mittelwerte g~genüberliegender Seiten, das aus späteren Texten als Berechnungsverfahren der babylomschen Feldmesser für den Flächeninhalt unregelmäßiger Vierecke bekannt ist. 1 1 F = 2(a 1 + a2 ) x 2(b 1 + b 2 )

Aus diesem Schultext geht allerdings ebensowenig wie aus den eigentlichen Verwaltungsdokumenten hervor, wie solche Flächen tatsächlich berechnet wurden. Dieser Frage wurde bislang nur wenig Beachtung geschenkt. Zumeist wird stillschweigend oder ausdrücklich angenommen, die Berechnungen seien mit Hilfe eines abstrakten, sex~ gesimalen Multiplikationsverfahrens ausgeführt worden unter Verwendung von Techmken, wie sie später aus der babylonischen Mathematik bekannt sind. 50 Eine solche B~ rechnung würde die Fläche allerdings zunächst als Vielfache der Quadrate der sexageSimal strukturierten Längenmaße liefern, also ebenfalls als sexagesimal strukturierte Werte. Sie müßten nachträglich in die im Bereich der kleineren und mittleren Feldflächenmaße sehr inhomogen strukturierten Flächenmaße umgerechnet worden sein, die 50 Gestützt auf indirekte Belege wird von Powell (1976) und von Whiting (1984) sogar die These ve~tre ten, das sexagesimale Stellenwertsystem der mathematischen Keilschrifttexte der altbabylonischen Penode und die auf diesem System beruhenden Rechenalgorithmen reichten bis in der Fara-Periode zurück.

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in den Verwaltungstexten ausschließlich verwendet wurden. Für die Existenz derartiger Umrechnungen zwischen verschiedenen Darstellungen von Flächen gibt es jedoch vor dem späten dritten Jahrtausend ebensowenig direkte Belege wie für die Existenz eines abstrakten Multiplikationsverfahren. Eine mögliche Alternative zur Berechnung der Flächen durch Multiplikation bildet die Zerlegung in Teilflächen, die einfach berechenbare Vielfache der Einheiten der Feldflächenmaße selbst darstellen, und ihr Aufaddieren zur gesuchten Gesamtfläche. Eine solches Verfahren setzt, im Gegensatz zur Verwendung eines abstrakten Multiplikationsverfahrens, keine arithmetischen Techniken voraus, die im dritten Jahrtausend nicht nachweisbar sind. Insbesondere läßt sich auf diese Weise die Größe von Flächen ohne den Umweg über ein sexagesimales Zwischenergebnis ermitteln. Voraussetzung für die effektive Anwendung eines solchen Verfahrens ist allerdings die Kenntnis der Flächengrößen für alle Kombinationen von Längeneinheiten. Aus solchen "Einheitsflächen " läßt sich die gesuchte Gesamtfläche durch Vervielfältigung und Addition der Teilflächen errechnen. Es gibt in den Texten des dritten Jahrtausends einige Indizien dafür, daß die Feldflächen in der Tat auf diese Weise berechnet worden sind. So enthält insbesondere die Tafel TSS 5 pI aus der Fara-Periode (um 2500 v.ehr.) auf der Rückseite numerische Notierungen, die sich als Teilflächen der auf der Vorderseite angegebenen Feldfläche deuten lassen, wie sie sich als Zwischenergebnisse bei der Berechnung dieser Fläche ergeben können. 52 Die erste Eintragung der Vorderseite ist eine offenbar durch Zerdrücken korrigierte Flächenangabe, die wegen der möglichen Übereinstimmung mit der ersten Eintragung der Rückseite als 1 ese 3 iku gelesen werden kann. Es folgen zwei Längenangaben, von denen die erste von dem Wert 1 US 2 es 2 ninda in die Notierung

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Die Rückseite der Tafel enthält eine Zeile am oberen Rand die Notierung 1 ese 3 iku Diese Notierung ist wahrscheinlich ein übertragener Wert der ersten Eintragung der Vorderseite. Darunter befinden sich drei durch Striche abgetrennte Zeilen mit numerischen Notierungen sowie eine weitere Notierung auf dem unteren Rand, die sich folgendermaßen deuten lassen:

2 bur 1 ese 1 iku 20 sar 2 ese 2? iku 3 bur 3 iku 1 1/2 iku Die bei den ersten Zeilen und die Zeile auf dem unteren Rand sind die Partialprodukte, die sich ergeben, wenn man die korrigierte erste Längenangabe der Vorderseite, also den Wert 1 US 1 es 2 ninda, einzeln mit den Einheiten der zweiten Längenangabe 1 US 2 es 2 ninda "multipliziert" Die Angabe in der dritten Zeile ist eine Zwischensumme der beiden ersten Partialprodukte, die vor der abschließenden Berechnung des Partialprodukts der verbleibenden kleinen Restfläche errechnet wurde:

1 US 1 es 2 ninda x 1 US 1 US 1 es 2 ninda x 2 es 2 bur 1 ese 1 iku 20 sar + 2 ese 2 iku 40 sar 1 US 1 es 2 ninda x 2 ninda

= = = =

2 bur 2 ese 3 bur 1 iku

1 ese 1 iku 20 sar 2 iku 40 sar :::: 2 ese 2 iku 3 iku 60 sar :::: 3 bur 3 iku 42 sar :::: 1 1/2 iku

1 US 1 es 2 ninda korrigiert worden zu sein scheint. Die zweite Angabe ist deutlich erkennbar der Wert

1 US 2 es 2 ninda. Errechnet man aus diesen Werten die Fläche, so ergib sich (auf die Einheit iku abgerundet) die Flächenangabe der Vorderseite, die auf die Längenangaben folgt:

3 bur 5 iku 4 sar. 51 Jestin 1937: Tf. 22. 52 Die Deutung dieses Textes ist schwierig, da er mehrere Korrekturen enthält, die die Identifizierung der Zeichen erschweren. Die von Jestin publizierte Kopie ist irreführend, denn auf der Rückseite sind ohne Differenzierung die Ränder hinzugefügt, wodurch eine korrekte Interpretation der Werte unmöglich wird. Die hier gegebene Interpretation beruht auf einem Foto, das zeigt, daß ein runder Eindruck in der zweiten Zeile von Jestins Kopie sich in Wirklichkeit auf dem Rand befindet und nicht zur Notierung gehört. Der Text bedarf einer Neuedition, die jedoch ohne Kollation des Originals in Istanbul kaum möglich ist.

Wenn diese, mit mehreren paläografischen Unsicherheiten behaftete Rekonstruktion der Eintragungen stimmt, dann dokumentieren die Eintragungen der Rückseite eine Zwischenrechnung der Berechnung einer Feldfläche aus den Vermessungsergebnissen. Diese Zwischenrechnung beweist, daß im dritten Jahrtausend zur Berechnung von Feldflächen kein abstraktes Multiplikationsverfahren verwendet wurde, das zunächst ein wie die Längenmaße sexagesimal strukturiertes Zwischenergebnis ergab, sondern ein Verfahren, das Partialprodukte direkt in der Notierung der Flächenmaße lieferte. Die Schwierigkeit, ein solches Verfahren über große Wertebereiche hinweg korrekt zu handhaben, erklären vielleicht auch die zahlreichen Ungenauigkeiten, die Flächenberechnungen des dritten Jahrtausends in der Regel aufweisen. Als eine Bestätigung für die gegenstandspezifische Natur des Verfahrens, mit dem die Feldflächen ermittelt wurden, sind auch die ersten Zeugnisse einer systematischen Beschäftigung mit den Eigenschaften dieses Verfahrens zu.werten. So sind ~ns insbes?ndere zwei Tafeln aus dem frühen dritten Jahrtausend überhefert, auf denen m tabellanscher Weise quadratische Flächen aufgelistet werden.

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Die ältere der beiden Tafeln (VAT 12593) stammt wiederum bereits aus der Fara-Periode. 53 In absteigender Folge sind auf dieser Tafel in der ersten Spalte die Länge, in der zweiten der gleiche Wert für die Breite, und in der dritten Spalte die errechnete Fläche aufgelistet. Die Tafel beginnt mit einer Fläche mit einer Seitenlänge von 10 mal 60 ninda, das sind etwa 3,6 Kilometer. Anschließend werden Flächen mit kleineren Seitenlängen bis zu einer Länge von 5 mal 1 ninda wiedergegeben, das sind etwa 30 Meter. 10 (US) nindanind~ sag 9 (US) 8 (US) 7 (US) 6 (US) 5 (US) 4 (US) 3 (US) 2 (US) 1 (US) 5 (es) 4 (es) 3 (es) 2 (es) 1 (es) 5 (ninda)

10 (US) 9 (US) 8 (US) 7 (US) 6 (US) 5 (US) 4 (US) 3 (US) 2 (US) 1 (US) 5 (es) 4 (es) 3 (es) 2 (es) 1 (es) 5 (ninda)

sa sa sa sa sa sa sa sa sa sa sa sa sa sa sa sa

3 (sar) 2 (bur'u) GAN 2 (sar) 4 (bur'u) 2 (bur) 2 (sar) 8 (bur) 1 (sar) 3 (bur'u) 8 (bur) 1 (sar) 1 (bur'u) 2 (bur) 5 (bur'u) 3 (bur' u) 2 (bur) 1 (bur' u) 8 (bur) 8 (bur) 2 (bur) 1 (bur) 1 (ese) 1 (iku) 2 (ese) 4 (iku) 1 (ese) 3 (iku) 4 (iku) 1 (iku) 1/4 (iku)

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10 ninda ist und ebenso das Quadrat von 5 mal 60 ninda gleich der Summe der Quadrate von 4 mal 60 ninda und 3 mal 60 ninda. Auch könnten solche systematischen Berechnungen von Flächen ein intuitives Verständnis für das bereits erwähnte Prinzip der Flächenähnlichkeit55 vermitteln, also dafür, daß Flächen nicht linear, sondern mit dem Quadrat der Seiten wachsen, ein Prinzip, dessen Bedeutung in der babylonischen Mathematik unter anderem durch das eingangs diskutierte Beispiel der Berechnung der durch das Einzeichnen der Höhe eines rechtwinkligen Dreieckes entstandenen Teildreiecke dokumentiert wird. Im weiteren Verlauf des dritten Jahrtausends vermehren sich die Hinweise auf Abstraktionen vom praktischen Zweck der Techniken der Feldmessung. Aus der sargonischen Periode um 2300 v.ehr. ist uns eine Schülertafel überliefert (IM 58045),56 die die Skizze einer Feldfläche mit einer Teilungslinie enthält, wobei die Maße darauf hindeuten, daß es sich um artifizielle Werte handelt. Die Werte wurden offenbar von einem Quadrat mit 1 ninda (= 2 gi = 12 kus) Seitenlänge und damit von 1 sar Fläche abgeleitet (Abb. 21).

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Ein unmittelbar praktischer Zweck dieser systematische Auflistung von Flächen ist nicht ersichtlich.5 4 Vielmehr dokumentiert die Tabelle offenbar die frühe Erscheinungsform eines systematisch explorierenden Interesses, das sich in der Reflexion auf die Methoden der Feldmesser herausbildete und später in der babylonischen Mathematik seine entwikkeltesten Form erreichte. Wenn diese Annahme richtig ist, dann ist auch nicht auszuschließen, daß die babylonischen Schreiber beim Operieren mit solchen Tabellen mit den ihnen inhärenten Strukturen vertraut wurden, beispielsweise mit dem pythagoreischen Zahlentripel (3, 4, 5), denn die Tabelle macht unmittelbar deutlich, daß das Quadrat von 5 mal 10 ninda gleich der Summe der Quadrate von 4 mal 10 ninda und 3 mal 53 Deimel 1923, Text Nr. 82; Nissen, Damerow, Englund 1993: 136-139. Der jüngere, altsumerische Text OIP 14,70 enthält die Quadrate von 1 bis 11 und von 18 kus (Ellen); siehe Edzard 1969. 54 Wenn das Verfahren zur Berechnung von Feldflächen die Kenntnis der aus verschiedenen Längeneinheiten und ihren Vielfachen gebildeten Einheitsflächen voraussetzte, dann war die Auflistung derartiger Flächen sicherlich nützlich, aber wegen der Beschränkung auf quadratische Flächen ist es nicht wahrscheinlich, daß sie direkt als Hilfsmittel für die Flächenberechnung verwendet wurde.

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Abbildung 21. Altakkadische Tafel IM 58045 mit dem vermutlich ältesten Beleg für eine theoretische motivierte Feldteilung (Kopie: A. Westenholz) .

55 Siehe hierzu Friberg 1990: 558f. 56 Eine Kopie der Tafel mit einem Hinweis auf den Zusammenhang mit späteren Felderteilungsproblemen ist veröffentlicht von Friberg (1990: 541). Die Tafel konnte nach der Fundlage als eindeutig altakkadisch identifiziert werden. Die Interpretation der Zeichnung auf dieser tafel beruht auf der Annahme, daß hier eine sonst nicht belegte Schreibweise für die Hälfte des Längenmaßes gi verwendet wurde. Die beiden Angaben der Breiten des Feldes sind 2+x gi ifl [kus] und 1 gi 1 kus, die Angaben der Längen jeweils. 2 gi. Interpretiert man bei der ersten der beiden Breiten den sehr viel kleineren Keil, der hier als x um~chneb~.n wurde, nicht als verunglücktes Zeichen für ein drittes gi, sonders als eine bewußt gewählte Schrelbun~ für die Hälfte eines gi, dann ergeben sich, wie hier angenommen, als Seitenlängen 17 kus, 7 kus und zweImal 12 kus.

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Eine Seite wurde auf 17 kus verlängert, die gegenüberliegende Seite auf 7 kus verkürzt. Die so erhaltenen Werte erfüllen eine ungewöhnliche Bedingung, die Bedingung nämlich, daß der Mittelwert ihrer Quadrate wieder eine Quadratzahl ist.

Dies ist aber gerade die Bedingung, die in der späteren babylonischen Mathematik die Länge der Linie kennzeichnet, die die Fläche in zwei flächengleiche Teile teilen soll, wie im folgenden noch gezeigt werden wird. Für die beiden Teilflächen ergeben sich für die Mittelwerte der Seiten der Teilflächen dann die einfachen Werte 13 + 17 2

= 15 und

13 + 7 2

= 10

so daß die Teilungslinie die anderen beiden Seiten nur im umgekehrten Verhältnis 2 zu 3 teilen muß, damit beide Teilflächen die gleiche Größe erhalten. Aus etwa der gleichen Zeit wie die Zeichnung mit der Feldteilung, sind ferner acht eng zusammengehörige altakkadische Tafeln überliefert, die aus dem Schulkontext stammen und artifizielle Flächenberechnungen zum Gegenstand haben. 57 Sechs dieser Tafeln 58 enthalten Aufgaben, in denen, wie bei der oben diskutierten systematischen Auflistung, Flächen von Feldern mit vier gleichen Seiten zu ermitteln sind, die übrigen drei Tafeln 59 sind die ältesten Beispiele einer Umkehrung von Flächenberechnungen; aus einer gegebenen Fläche und der Länge der Fläche soll ihre Breite ermittelt werden. Die Interpretation dieser Texte wirft allerdings Probleme auf. Sie enthalten offensichtlich, wie viele derartige Schultexte, Fehler. Zudem werden zum Teil extrem große und kleine Maßeinheiten verwendet, die in den überlieferten Verwaltungstexten nicht oder nur selten vorkommen, so daß ihre Größe nur mit Schwierigkeiten bestimmt werden kann.

2 zipah 2 GIS.BAD 6 kus-numun 10 ninda

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1 GIS.BAD 1 kus-numun 1 ninda 1 es

Die zu berechnende Fläche besitzt gleich lange Seiten, und zwar mit einer eigenartigen Länge, nämlich der Summe der Längenmaßeinheiten, also mit der Länge

1 es 1 ninda 1 kus-numun 1 GIS.BAD 1 zipah· Diese merkwürdige AufgabensteIlung findet eine Erklärung, wenn man sich ver~eg~n wärtigt, daß zur Lösung alle Flächen ermittelt und aufsummiert werden müsse?, dIe SI~~ durch Permutation aus je zwei Einheiten der altakkadischen Längenmaße es, nmda, kusnumun, GIS.BAD und zipah bilden lassen, also genau jene "Einheitsflächen" (A?b. 22), die bei der Berechnung der Partialprodukte einer Flächenberechnung benötigt werden. 61 Das auf der Tafel angegebene Ergebnis der Aufgabe enthält allerdings einen Fehler,. un~ zwar einen Fehler, dessen Zustandekommen sich unter der Annahme, das Ergebms seI nicht mit Hilfe eines mit abstrakten Multiplikationsverfahrens, sondern durch Aufaddieren von Einheitsflächen zustande gekommen, leicht rekonstruieren läßt. Die in dem Text verwendeten Flächenmaße sind: 60 gin-tur 60 gin 100 sar

1 gin 1 sar 1 iku

Der Text gibt als Ergebnis

11/4 (iku) gin 2112 sar 6 gin 15 gin-tur. Der artifizielle Charakter der Flächenberechnungen geht aus der Art der gegebenen Daten hervor. Eine der Tafeln 60 enthält beispielsweise die Aufgabe, eine Fläche zu berechnen, und zwar unter Verwendung der spezifisch altakkadischen Längenmaße:

Korrekt wäre dagegen

11/4 (iku) gin 2112 sar 6 gin-tur

15/60

gin-tur.

57 Siehe Powe1l1976: 422-429, Whiting 1984: 59-66. 58 Limet, Liege, Nr. 36; Limet, Liege, Nr. 37; MAD 5, 112; A 5443; A 5446; Ashm. 1924,689. 59 Limet, Liege, Nr. 38; Limet, Liege, Nr. 39; HS 815 60 Limet, Liege, Nr. 36, siehe Limet 1973; Bearbeitungen: Powe1l1976: 426f. Siehe auch Whiting 1984: 61-64.

61 Friberg interpretiert demgegenüber die eigenartige Wahl der Seitenlä~ge der zu bere~hne~den Fläche als "playing with numbers". Im vorliegenden Fall sch~int die merkwürdl~e Wahl. d~r Seltenla~ge ~es ~~ berechnenden "Quadrats" jedoch wohl eher dem unmmelbaren Nutzen für das Emuben von Emheltsflachen für die Technik der Flächenberechnung zuzuschreiben zu sein.

266


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1 iku

10 sar

1 sar 40 gin

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267

Eine andere Tafel aus der gleichen Gruppe von altakkadischen Schultexten mit Flächenberechnungen (MAD 5, 112)63 unterscheidet sich von vergleichbaren Verwaltungstexten durch die absurde Größenordnung der angegebenen Maße. Berechnet werden soll wahrscheinlich 64 die Fläche eines Feldes mit einer Länge von -;j>

1 (sar-gal) 4 (US) ninda 4 kus-numun

0..

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und einer Breite von 50 gin

25 gin

1 (sar) 1 (US) 32 ninda 1 kus-numun, Faktor 10

ninda

10 sar

1 sar

10 gin

kus-numun

1 sar 40 gin

10 gin

1 gin 40 gin-tur

5 gin

2 gin 30 gin-tur Faktor 6

50 gin-tur

25 gin-tur

das ist eine Fläche mit einer Länge von nahezu 1300 Kilometern und einer Breite von mehr als 22 Kilometer. Dabei werden die Länge und die Breite jeweils bis auf eine Elle genau angegeben. Das Ergebnis ist allerdings, wie bei vielen solchen Texten mit absurd hohen Werten, fehlerhaft.

Faktor 2

GIS.BAD

50 gin

5 gin

50 gin-tur

25 gin-tur

12 gin-tur 30 /60 Faktor 2

zipag

25 gin

2 gin 30 gin-tur

25 gin-tur

12 gin-tur

6 gin-tur

30 /60

15 /60

Abbildung 22. Schematische Darstellung der "Einheitsflächen", die aus den Einheiten altakkadischer Längenmaße gebildet werden können.

Aus de~ Differe?z ist.ersi~htlich, daß hier eine Teilfläche von 6 gin-tur 15/60 gin-tur versehentlich um eme EmheIt verschoben als 6 gin 15 gin-tur addiert wurde, und diese fehlerhaft addierte Teilfläche ist gerade die Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 1 zipag.62

62 Po~ell (1976: 426f.) und (Whiting 1984: 61f.) interpretieren den Fehler als "Stellenwertfehler" im sexagesimalen Stellenwerrsystem der späteren Zahldarstellung und den Text damit als einen Beweis für die Annahme, ~aß das sexagesim~e Stellenwertsystem bereits 300 Jahre vor seiner expliziten Verwendung in der babylonIschen. Mathematik bekannt war und als Hilfsmittel für die Berechnung von Feldflächen verwe?det ~rde. Die Tatsache, daß der fehlerhaft addierte Wert gerade die Fläche eines Quadrates mit 1 ZIPaD. Seltenlänge darstellt, zeigt, daß diese zusätzliche Annahme, der Fehler setzte eine Kenntnis des sexagesimalen Stellenwertsystems voraus, fehlerhaft ist. Die Kenntnis des Systems kann daher aus dem Fehler nicht erschlossen werden.

10. Geometrische Abstraktionen und die Struktur des geometrischen Wissens im dritten Jahrtausend v.Chr. Die Praxis der Feldmessung entwickelte sich, wie die Beispiele in den beiden vorangegangenen Abschnitten zeigen, in dem Zeitraum von der Erfindung der Schrift um 3000 v.Chr. bis zur dritten Dynastie von Ur im letzten Jahrhundert des dritten Jahrtausends von vergleichsweise einfachen Ausmessungen und Berechnungen einzelner Felder zu einer komplizierten Technik der Aufgliederung unregelmäßig geformter Anbaugebiete von beträchtlicher Größenordnung in berechenbare Einzelflächen, die systematisch durch Vermessungen erfaßt wurden, um auf dieser Grundlage die Größe des gesamten Anbaugebietes zu bestimmen und in grafischer und schriftlicher Form zu dokumentieren. Die Herkunft der babylonischen Geometrie aus dieser Praxis prägte die Struktur des geometrischen Wissens der Schreiber, denn die geometrischen Erfahrungen und Einsichten, die in dieser Praxis erworben werden konnten, waren naturgemäß von der praktischen AufgabensteIlung und von den zur Lösung der Probleme verwendeten Methoden determiniert. Was zeichnet diese AufgabensteIlungen und Methoden gegenüber anderen möglichen Quellen geometrischer Erfahrungen aus? Die von den Feldmessern verwendeten Techniken beruhten auf Grundannahmen, die Gemeinsamkeiten mit der Geometrie in der späteren, griechisch-euklidischen Tradition aufweisen. Dies gilt insbesondere für die 63 Ashm. 1924,689; publiziert in Gelb 1970 als Nr. 112. 64 Siehe Powell1976: 427; Whiting (1984: 61) schlägt dagegen vor, die beiden Längenangaben als zwei voneinander unabhängigen Aufgaben zur Berechnung von quadratischen Flächen zugehörig anzusehen.

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Technik der Flächenzerlegung und die Additivität des dieser Technik zugrunde liegenden Flächenbegriffs. Die Flächenzerlegung beruhte auf der Einsicht, daß die geometrischen Operationen des Unterteilens und Zusammenfügens von Flächen in einer direkten Beziehung zu den arithmetischen Operationen stehen, die mit den Ergebnissen der Flächenberechnungen vorgenommen werden können, daß insbesondere die Größe einer aus zwei TeilBächen zusammengesetzte Fläche gleich der Summe der Größen dieser TeilBächen ist. Es ist nicht möglich, an Hand überlieferter Quellen den Ursprung dieser Einsicht zu rekonstruieren. Wie immer diese Einsicht aber gewonnen sein mag, sie war für die Techniken der Feldmesser konstitutiv und fand in der fortwährenden Erfahrung des linearen Zusammenhangs von FeldBäche, Nutzungsaufwand und Nutzungsertrag ihre beständige empirische Bestätigung. Neben solchen Gemeinsamkeiten mit der griechisch-euklidischen Tradition der Geometrie weist das geometrische Wissen der babylonischen Feldmesser auch einige außergewöhnliche Besonderheiten auf. Da die Feldmessung ausschließlich auf Längenmessungen beruhte, blieben Winkel und damit die präzisen Formen der Flächen grundsätzlich unberücksichtigt. Dies wird, wie bereits erwähnt, insbesondere an den geometrischen Zeichnungen deutlich, mit denen von der dritten Dynastie von Ur an die gegenseitige Lage der vermessenen Strecken dokumentiert wurde. Als offensichtliche Folge ihrer Funktion, die Vermessungsergebnisse zu dokumentieren, geben diese Zeichnungen nur die Topologie der vermessenen Felder wieder. Nicht einmal die Größenverhältnisse, die in den Meßergebnissen arithmetisch repräsentiert waren, erschienen den Feldmessern als geometrisch hinreichend bedeutsam, um bei der Anfertigung der Zeichnungen beachtet zu werden. Diese Zeichnungen vermitteln daher ausnahmslos ein geometrisch unvollständiges und bezüglich der gemessenen Längen stark verzerrtes Bild der vermessenen Felder. Diese Kennzeichnung gilt generell auch für die überlieferten Zeichnungen von Grundrissen von Gebäuden, von denen einige bereits aus dem dritten Jahrtausend stammen. 65 Zwar spielt in diesen Plänen, vermutlich wegen der als Baumaterial verwendeten Lehmziegel, die Rechtwinkligkeit eine größere Rolle als bei den Felderplänen, aber im übrigen sind auch die Häuserpläne im wesentlichen Darstellungen der Topologie und weisen die gleichen Abweichungen von maßstabsgetreuen Zeichnungen auf wie die Felderpläne. Diese Besonderheit bleibt in der Folgezeit nicht auf die geometrischen Zeichnungen der Verwaltungstexte beschränkt, sondern kennzeichnet später auch die Zeichnungen geometrischer Aufgabentexte der babylonischen Mathematik. Schon dieser Sachverhalt deutet darauf hin, daß wir es hier nicht nur mit einer Eigentümlichkeit einer bestimmten Textgattung zu tun haben, sondern mit einem spezifischen Merkmal des geometri65 Siehe Heinrich und Seidl 1967 und Heisel 1993.

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schen Wissens in Babylonien selbst. Eine Bestätigung dieser Annahme ergibt sich aus der geometrischen Terminologie. Es fehlen in der babylonischen Geometrie Begriffe, die sich auf Winkel beziehen. Insbesondere ist die Terminologie für EinzelBächen nicht an einer Klassifikation von Flächen im euklidischen Sinn orientiert, sondern betrifft neben ihrer Zweckbestimmung in der Landwirtschaft vor allem die Topologie und relative Lage von TeilBächen im Zusammenhang vo~ Fe~dBäc?enaufteilungen. 66 O?wohl mit der Entstehung der babylonischen Mathematik eme VIelzahl neuer geometr1sch~r Termini hinzukommen, hat auch diese Entwicklung bis in die Spätphase der babylomschen Mathematik im ersten Jahrtausend v.Chr. hinein im wesentlichen an dieser Situation nichts geändert. Die Beschränkung auf eine topologische Repräsentation von Flächen ist nicht die einzige Besonderheit des geometrischen Wissens im dritten Jahrtausend v.Chr. In eng~m zusammenhang mit dieser Besonderheit steht ein anderes Kennzeichen, nämlic? dIe Tatsache, daß alle Flächenberechnungen auf Berechnungsverfahren beruhten, dIe aus der Sicht der euklidischen Geometrie keine genauen, sondern nur Näherungswerte liefern, und es gibt keinerlei Hinweise, die darauf hindeuten würden, daß die babylonischen Feldmesser sich dieser Tatsache bewußt waren. Näherungsverfahren ohne vorhandene präzise Alternative wurden nicht nur bei der Flächenberechnung, sondern auch sonst verwendet, beispielsweise bei der Berechnung des einer FeldBäche zugeordneten Arbeitsaufwands, der Saatmenge oder des Ernteertrags. Solche Verfahren beruhten auf der stillschweigend Annahme, daß zwischen solchen Größen und der FeldBäche ein linearer Zusammenhang besteht. Aus der Sichtweise der euklidischen Geometrie unterscheiden sich solche Näherungsrechnungen grundlegend von der Näherung der Fläche durch das Berechnungsverfahren der Feldmesser: Im Fall der Flächenberechnung gibt es einen mathematisch definierbaren, "wahren" Wert, und es läßt sich mit mathematischen Methoden feststellen, daß der von den Feldmessern berechnete Wert in der Regel nicht mit d~esem We~t übereinstimmt. ,~n den a?deren .Fällen dagegen gibt einen solchen, mathematisch defimerbaren, "wahren Wert mcht. DIe Voraussetzung, unter der dieser Unterschied zwischen der Näherungsformel der Feldmesser für die FeldBäche und solchen Näherungsformeln wie die für Arbeitsaufwand, Saatmenge und Ernteertrag wahrgenommen wird, ist die Kenntnis einer von der Näherungsfor66 Ein Beispiel ist die Bezeichnung "gin bar" für Teile des Feldes, die über da.:' Te~en hi~ausragen. ~~t das Ternen dagegen über das Feld hinaus, findet sich ~r die abzur~c~nenden Tell~ dIe BezelChnung."ki Zl .. Solche Bezeichnungen wurden zum Teil später technIsche TermInI der babylOnIschen. Mathema~lk. BeIspielsweise wurde der Terminus "zi" in den mathematischen Texten der alt~abylonIschen Pe~lOde als Bezeichnung für eine Subtraktion von Flächen verwendet. Mit Ausnahme der Ubernahme von Grundbegriffen wie "sag" für die Breite von Flächen, "us" für deren Länge und "as~t" für die Fläche selbst sind ~olche Zusammenhänge zwischen der Verwaltungsterminologie des dritten Jahrtausends und den technIschen Termini der babylonischen Mathematik bislang kaum untersucht worden.

270

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mel für die Flächenberechnung unabhängigen, mathematischen Definition für die Fläche. Es gibt jedoch in den Verwaltungs- und Schultexten des dritten Jahrtausends keinerlei Indizien dafür, daß die babylonischen Schreiber über eine solche Definition verfügten oder auch nur für eine solche ein gewisses Interesse aufgebracht hätten. 67 Wir müssen daher davon ausgehen, daß eine weitere Besonderheit ihrer aus der Feldmessung gewonnenen geometrischen Kenntnisse darin bestand, daß diese auf einen Flächenbegriff gegründet waren, der im Rahmen der euklidischen Geometrie als fehlerhaft erscheint, weil er nur in Spezialfällen wie dem des Rechtecks oder des Quadrats mit dem euklidischen Flächenbegriff übereinstimmt. Wahrscheinlich war im dritten Jahrtausend für die Feldflächenberechnungen ebenso wie für andere Berechnungen die Bestätigung in der Praxis das dominierende Kriterium für die Gültigkeit der angewendeten, geometrischen Verfahren. Für dieses Kriterium aber ist die Unterscheidung von exaktem Verfahren und Näherungsverfahren irrelevant. Alles spricht dafür, daß aus diesem Grund die Feldmesser keinen von ihrem Verfahren der Flächenberechnung unabhängigen Begriff der Fläche besaßen, der es ihnen ermöglicht hätte, ihre Verfahren als Näherungsverfahren zu begreifen. Diese spezifischen Kennzeichen des geometrischen Denkens der Feldmesser blieben auch von den Abstraktionsprozessen unberührt, die sich, den Schultexten zufolge, im Laufe des Jahrtausends im Kontext von Ausbildungsprozessen vollzogen haben. Eine vergleichsweise kleine, aber über die gesamte Periode des dritten Jahrtausends datierbar verteilte Zahl von Einzeltexten, die nicht aus der unmittelbaren Verwaltungspraxis sondern vermutlich überwiegend aus dem Schulkontext stammen, zeugt von systematischen Explorationen der Leistungen und Grenzen der von den Feldmessern verwendeten Techniken. Trotz der kleinen Zahl dieser Texte läßt sich die Natur der diesen Explorationen inhärenten Abstraktionsprozesse gut rekonstruieren. Sie haben ihre Grundlage in einer gegenüber den praktischen Zielsetzungen der Verwaltung verselbständigten Verwendung der Techniken der Feldmesser. Es sind dies vor allem die Techniken der Flächenzerlegung und der Flächenberechnung. Solche Techniken wurden im Schulkontext auf Problemstellungen angewandt, die sich nicht prinzipiell von den charakteristischen Problemen der Feldmesser unterscheiden, aber nicht mehr an praktischen Zielen orientiert waren, sondern ohne Rücksicht auf realistische Bedingungen formuliert wurden.

67 Eine solche Definition hätte in der Metrologie des dritten Jahrtausends durchaus eine Basis gehabt, denn die grundlegenden flächenmaße "sar" (Garten) und "iku" (Feld) standen ja mit den längenmaßen in einem arithmetischen Zusammenhang, das "sar" als Quadrat des Längenmaßes "ninda" und das "iku" als Quadrat des längenmaßes "es". Diese Beziehungen scheinen jedoch ausschließlich rechentechnisch verwendet worden zu sein und keinen Zweifel an der Gültigkeit des Berechnungsverfahrens für unregelmäßig geformte Flächen begründet zu haben. In den Schultexten, soweit wir über solche verfügen, wird die Gültigkeit dieses Verfahrens immer unterstellt., Die Möglichkeiten, Flächen als zweidimensionale Vielfache aus der Einheitsfläche zu konstruieren scheinen trotz der extensiven Verwendung von Flächenzerlegungen in der Vermittlung des Flächenbegriffs keine Rolle gespielt zu haben.

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Den im vorigen Abschnitt zusammengestellten Beispielen von "Schultexten" ist gemeinsam, daß sie offensichtlich aus der Verselbständigung von Techniken und Aufgabenstellungen der Feldmesser gegenüber ihren Zwecksetzungen im praktischen Kontext der Verwaltung hervorgegangen sind. Sie repräsentieren Abstraktionsprozesse, die zu abstrakten mathematischen Überlegungen führen können, ohne daß dieses Potential in dieser Periode bereits realisiert worden sein muß. Zumindest deuten die im überlieferten Gesamtkorpus der Texte des dritten Jahrtausends vergleichsweise kleinen Zahl solcher "Schultexte" sowie ihre Verschiedenartigkeit darauf hin, daß sie, anders als die spätere Tradition der mathematischen Keilschrifttexte im engeren Sinne, noch keinen von Generation zu Generation tradierten Wissenskanon repräsentierten, sondern wohl eher individuelle, historisch weitgehend folgenlose Erkundungen der in den Methoden der Verwaltung verkörperten Potentiale. Es ist allerdings auch nicht auszuschließen, daß es eine von der Verwaltungspraxis teilweise abgekoppelte Schultradition gab, in deren Freiraum sich bereits ein Kanon von abstrakten Aufgabenstellungen zum Zwecke des Erlernens der in der Verwaltungspraxis verwendeten Techniken entwickeln konnte. Systematische Gründe wie beispielsweise eine selektive Auswahl der in Archiven zu verwahrenden Texte könnten damit für die Verschiedenartigkeit und die geringe Zahl der aus dem dritten Jahrtausend erhaltenen "Schultexte" verantwortlich sein. Um so aussagekräftiger über die Gegenstände des mathematischen Wissens dieser Periode dürfte damit jedoch die Tatsache sein, daß der spezifische Charakter dieser Texte sich sehr leicht auf eine kleine Anzahl von Formen der Abstraktion vom Verwaltungskontext zurückführen läßt, und zwar von Abstraktionsprozessen, die ihrer Natur nach nicht als geeignet erscheinen, geometrische Einsichten wie die des Satzes des Pythagoras hervorzubringen. In Anbetracht ihrer langfristigen Konsequenzen erscheint es angebracht, diese Abstraktionsprozesse im einzelnen etwas näher zu betrachten. Es sind vor allem drei Formen der Abstraktion vom Verwaltungskontext, durch die sich die angeführten Beispiele von den typischen Strukturen von Verwaltungstexten abheben. • Aufgabenstellungen der Verwaltungspraxis wurden auf unrealistische Größenordnungen ausgeweitet. • Aufgabenstellungen der Verwaltungspraxis wurden durch systematische Variation der Bedingungen zu tabellarisch dargestellten, funktionalen Zusammenhängen erweitert. •

Durch Vertauschung von Voraussetzung und Ergebnis der in der Praxis angewandten Rechenverfahren wurden neue, artifizielle Aufgabenstellungen erzeugt.

Von diesen Formen der Abstraktion ist die Ausweitung von Aufgabenstellungen auf unrealistische Größenordnungen die einfachste und zugleich am frühesten nachweisbare Form. Ein Beispiel aus der ältesten Schriftperiode Periode bietet der oben disku~ier~e, archaische Schultext (W 19408,76), der auf der Vorderseite und auf der Rückseite Je-

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weils Maße für ein 10 sar großes Feld enthält, das heißt für ein Feld mit Seitenlängen von mehr als fünf Kilometern und damit einer Größe, die alle in den Verwaltungstexten dieser Periode verzeichneten Feldgrößen von Einzelfeldern weit übertrifft. Ein jüngeres Beispiel bietet der oben ebenfalls bereits erwähnte altakkadische Schultext (MAD 5, 112), auf dem die Fläche eines Feld von 22 Kilometern Breite und 1300 Kilometern Länge berechnet wird. Der Text verdeutlicht, wie mit der Ausweitung der realen Größenordnungen im Zuge der Ausbildung von Großreichen auch die unrealistischen Größenordnungen der Schultexte anwachsen. Auch die systematische Variation von Aufgabenstellungen ist bereits relativ früh in den Schultexten nachweisbar. Bei dieser Form der Abstraktion werden die Ausgangswerte der in der Praxis verwendeten Berechnungsverfahren nach einfachen Regeln verändert, entweder mit dem Ziel, eine ähnlich systematische Veränderung der Ergebnisse zu erzielen, oder aber, um Ergebnisse auf Vorrat für eine spätere Verwendung zu produzieren. Eine solche systematische Variation von Aufgabenstellungen führt beispielsweise zu geordneten Außistungen, für die die oben diskutierte, aus der Fara-Periode überlieferte Tabelle von Feldßächen verschiedener Größe (VAT 12593) ein einzigartig frühes Beispiel darstellt. Die Vertauschung von Voraussetzung und Ergebnis der in der Praxis angewandten Rechenverfahren zur Konstruktion von neuen, in der Praxis nicht vorkommenden Aufgabenstellungen schließlich ist die späteste und zugleich folgenreichste Form der Abstraktion von den Zwecksetzungen der Verfahren der Verwaltungspraxis. Als ein Ansatz zur Konstruktion von Aufgaben auf eine solche Weise kann bereits die Methode angesehen werden, von der angezielten, einfachen Lösung der zu konstruierenden Aufgabe auszugehen um Bedingungen für die Aufgabestellungen zu gewinnen, die zu dieser einfachen Lösung führen. Ihre eigentliche Wirkung auf die Entwicklung mathematischer Kenntnisse gewinnt die Vertauschung jedoch erst damit, daß nicht nur bei der Aufgabenkonstruktion, sondern in der Aufgabe selbst die Voraussetzung und das Ergebnis vertauscht werden. Den wichtigsten Aufgabentyp dieser Art bildet die oben bereits erwähnte Berechnung der Seite eines Feldes aus der Fläche und der andern Seite, für den es unter den altakkadischen Schultexten einige Beispiele gibt. In den Verwaltungstexten des dritten Jahrtausends v.ehr. kommt diese Problemstellung aus naheliegenden Gründen nicht vor, denn normalerweise lieferte die Feldmessung die Längenangaben, aus denen die Flächen berechnet wurden, und nicht umgekehrt. Allenfalls bei Erbteilungen oder ähnlichen Verwaltungsvorgängen wäre es denkbar, daß eine Teilßäche vorgegeben wurde und die Abmessungen zu ermitteln waren, aber für solche Vorgänge gibt es in den Verwaltungstexten dieses Jahrtausends kein einziges Beispiel. Aller Wahrscheinlichkeit nach waren die im Schulkontext durch Abstraktion gewonnenen Einsichten für die Realisierung der ursprünglichen Zwecke der Feldmessung vorerst völlig belanglos.

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11. Die Erfindung des sexagesimalen Stellenwertsystems zu Beginn des 2. Jtsd. v.Chr. Zu Beginn des zweiten Jahrtausends v.Chr. trat in d.~r Entwicklung der babylonischen Mathematik eine entscheidende Veränderung ein. Außerlich wird diese Veränderung durch mehrere hundert Texte dokumentiert, die zwei neuartigen Textgattungen zuzurechnen sind, den Ta bellen texten und den mathematischen Aufgabentexten der babylonischen Mathematik im engeren Sinne. 68 Der Grund für das plötzliche Auftreten dieser beiden Textgattungen liegt auf er Hand, es ist die Erfindung einer äußerst leistungsfähigen Form der Zahldarstellung, die Erfindung des sexagesimalen Stellenwertsystems. 69 Die Erfindung des sexagesimalen Stellenwertsystems fällt wahrscheinlich in die letzten einhundert Jahre des dritten Jahrtausends v.ehr., in die Zeit der dritten Dynastie von Ur, als große Teile Mesopotamiens zu einem einzigen, zentral verwalteten Großreich gehörten. 7o Die großen Zahl und die Art der aus dieser Zeit überlieferten Verwaltungstexte läßt darauf schließen, daß die Verwaltung und mit ihr das Schreiberwesen im Reich der dritten Dynastie von Ur in bis dahin nicht gekanntem Ausmaße expandierten.?1 Unter den überlieferten Texten dieser Periode finden sich die ersten Dokumente, die auf die Existenz des sexagesimalen Stellenwertsystems hindeuten. 72 Eine weite Verbreitung scheint die neue Technik jedoch erst in der altbabylonischen Periode nach dem Zusammenbruch des Großreichs gefunden zu haben, denn fast alle Quellen, die die Verwendung des neuen Systems dokumentieren, stammen aus der Zeit nach der Wende vom dritten zum zweiten Jahrtausend v.ehr. 68 Dieses sind die beiden grundlegenden Kategorien, die Neugebauer eingeführt hat, um die "mathematischen Keilschrifttexte" zu klassifizieren. Durch das Einbeziehen von Schultexten aus dem dritten Jahrtausend v.ehr. und teilweise auch von Dokumenten der Praktiker unter die "mathematischen" Texte ist diese einfache Klassifikation obsolet geworden. Sie kennzeichnet jedoch immer noch treffend zwei spezifische Textgattungen, die scheinbar urplötzlich nach dem Zusammenbruch des Reichs der dritten Dynastie von Ur auftauchen. Zu neueren Klassifikationen der mathematischen Texte, die sich an einem differenzierteren Bild ihrer Funktion orientieren, siehe Friberg 1990 und in diesem Band, sowie Robson 1999: 6-15. 69 Zur Vorgeschichte dieser Erfindung siehe Damerow und Lefevre 1981 und Damerow 1995, insbes. Kapitel 7. 70 Einen Überblick über den gegenwärtigen Forschungsstand zu den Texten, die aus dieser Periode überliefert wurden, geben Sallaberger und Westenholz 1999. 71 Eine von Sigrist und Englund erstellter, elektronischer Katalog (zugänglich im Internet unter http:// www.mpiwg-berlin.mpg.de/cdli/index.html und unter http://cdli.ucla.edu/index.html) enthält mehr als 42.000 publizierte Texte aus dem IOO-jährigen Zeitraum der dritten Dynastie von Ur.. Angesic~t~ der Tatsache, daß viele Texte aus Privatsammlungen und zum Teil auch aus den Museen mcht publlZlert smd, dürfte die Gesamtzahl der bisher ausgegrabenen Texte aus dieser Periode noch erheblich größer sein. 72 Diese Hinweise sind allerdings nur bedingt überzeugend. Siehe insbesondere das von Oelsner ~n ~ie sem Band diskutierte Beispiel einer frühen, jedoch kaum präzise datierbaren Reziprokentafel. Vermemthch zwingende Belege für eine frühe Existenz des Sexagesimalsystems hat Powell (1976) zusammengestellt, jedoch können seine weitgehenden Schlußfolgerungen kaum überzeugen.

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Den Ausgangspunkt für die Erfindung bildete das Sexagesimalsystem des dritten Jahrtausends, welches Zeichen mit den Werten 1, 10, 60, 600, 3600, 36000 und 216000 zur Grundlage hatte, deren Vielfache durch Zeichenwiederholungen dargestellt wurden. In dem neuen, sexagesimalen Stellenwertsystem wurde die Zahl dieser Zeichen auf zwei reduziert, auf die Zeichen mit den Werten 1 und 10. In ähnlicher Weise wie später das um die Dezimalbrüche erweiterte indisch-arabische Dezimalsystem beruhte das sexagesimale Stellenwertsystem der Babyionier darauf, ~aß alle Po~enzen d:r Basis (mit ~anz zahligen, positiven und negativen Exponenten) mIt dem gleIchen ZeIchen geschneben wurden und nur die Stellung der Ziffern in einer numerischen Notierung darüber Auskunft gab, mit welchen Potenzen der Basis die Ziffern multipliziert wer~en muß.ten~ um aus der Notierung auf den dargestellten Wert zu schließen. Im UnterschIed zum mdlscharabischen, dezimalen Stellenwertsystem beruhte das babylonische System allerdings nicht auf der Basis 10, sondern auf der Basis 60. Das Zeichen mit der Wert 1 stand also auch für alle Potenzen von 60 und von 1160, die Wiederholungen des Zeichens auch für die Vielfachen dieser Potenzen und das Zeichen für die 10 und seine Wiederholungen auch für die Zehnfachen dieser Zahlen und deren Vielfache, also beispielsweise auch für 600 oder für 10 /60• Die Bedeutung, die der neuen Form der Zahldarstellung für die Entwicklung arithm~ tischerTechniken zukam, kommt in dem plötzlichen, massenhaften Auftreten 73 der belden neuen Textgattungen in der altbabylonischen Periode zum Ausdruck, also kurz nach der Zeit, aus der die ältesten Belege für die Kenntnis dieses System stammen. Die babylonischen Schreiber waren sich der Bedeutung der Erfindung offenbar durchaus bewußt. Das sexagesimale Stellenwertsystem machte es mit einem Schlage möglich, alle metrologischen Systeme einschließlich der geometrischen Maßsysteme der Feldmessung in einem einheitlichen System zu notieren und vereinheitlichten, universell anwendbaren Rechenverfahren zu unterwerfen. Zudem war das System nicht nur für die Darstellung der ganzzahligen Vielfachen von Maßeinheiten geeignet, sondern auch für deren Bruchteile, wie sie für komplexe Metrologien charakteristisch sind. Die Rechenverfahren, die als Folge der Erfindung des sexagesimalen Stellenwertsystems entwickelt wurden und die in ihrer Leistungsfähigkeit denen des späteren indisch-arabischen dezimalen Stellenwertsystems kaum nachstanden, werden vor allem durch die erste der beiden neuen Textgattungen dokumentiert, die Tabellentexte. Bei diesen handelt es sich in ihrer großen Mehrzahl um Multiplikationstafeln und um Tafeln von Rezipro73 Angesichts der großen Zahl von Keilschrifttexten insgesamt ist die Zahl der ~athematisc~en Texte zwar relativ klein, innerhalb dieser Gruppe jedoch ist die Zahl der Texte aus dem Begmn des zwelten Jahrtausend ein Vielfaches der Zahl vergleichbarer Texte aus dem vorangehenden Jahrtausend, selbst dann, wenn man den Begriff "mathematisch" für dieses Jahrtausend sehr weit auslegt. Wir haben es hier ~icher mit einem historischen Phänomen zu tun und nicht nur mit einer zufälligen Häufung archäologIscher Funde.

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ken, die dem Erlernen oder aber der Ausführung von Multiplikationen und Divisionen dienten. Außerdem sind in größerer Zahl auch metrologische Tabellen überliefert, die die Konvertierung zwischen traditionellen metrologischen Notierungen und Notierungen in dem neuen sexagesimalen Stellenwertsystem dokumentieren, sowie Listen mit Koeffizienten, vor allem von Konstanten für verschiedenartige Berechnungen aus der Verwaltungspraxis, darunter auch solche mit geometrischer Bedeutung wie etwa der Wert, mit dem man die Seite eines Quadrats multiplizieren muß, um einen (approximativen) Wert für die Länge der Diagonalen zu erhalten, das heißt, ein Näherungswert für die Wurzel aus zwei. Schließlich gibt es eine Reihe von exotisch anmutenden Tabellen wie solche mit Quadratzahlen, Kubikzahlen oder Potenzen, für die eine praktische Bedeutung außerhalb des Kontexts schulischer Ausbildung bislang nicht erkennbar ist. Verglichen mit dem modernen Dezimalsystem wies das Sexagesimalsystem der altbabylonischen Periode allerdings zwei entscheidende Defizite auf, es fehlte ein Zeichen für die Null, und es fehlte eine Notierung zur Festlegung der absoluten Größe einer Notierung, ein Symbol beispielsweise, das wie das Komma im modernen dezimalen Stellenwertsystem den ganzzahligen Teil von den Brüchen abtrennt. Das erste dieser Defizite wurde durch die Einführung eines besonderen Zeichens ausgeglichen, das zuerst nur gelegentlich, in den astronomischen Texten des ersten Jahrtausends v.Chr. jedoch regel~ä ßig unbesetzte Stellen kennzeichnete, also die Funktion einer Null erfüllte. Das zweIte dieser Defizite, die fehlende Festlegung der absoluten Größenordnung einer Notierung, wurde jedoch nie wirklich beseitigt. Dieses zweite Defizit dürfte wohl auch der Grund dafür sein, daß das System in den nahezu 2000 Jahren seiner Verwendung niemals in den Verwaltungstexten selbst verwendet wurde. Das System konnte den Darstellungserfordernissen der Verwaltung nicht genügen und blieb, falls es überhaupt in größerem Umfang verwendet wurde, als eine Hilfstechnik im Hintergrund.74 Es kann jedoch als gesichert gelten, daß zumindest in der altbabylonischen Periode die Verwendung des sexagesimale Stellenwertsystem in den Schreiberschulen tatsächlich gelehrt wurde. 75 Auch in der Folgezeit müssen die Fertigkeiten im Umgang mit dem System zumindest in einem solchen Umfange in der Schreiberkultur gepflegt worden sein, daß sie bei der Wiederbelebung der Rechentechniken im Kontext der babylonischen Astronomie des ersten Jahrtausends v.Chr. noch im vollem Umfange zur Verfügung standen. 74 Es ist ein in der mathematikhistorischen Literatur wenig beachtetes Faktum, daß das wegen seiner vergleichweise großen Leistungsfähigkeit gepriesene sexagesimale Stellenwertsystem nur in den soge.nannten mathematischen und später (im 1. Jtsd. v.ehr.) in den astronomischen Texten verwendet wurde~ mc~t aber in dem um ein Vielfaches größeren Korpus der sonstigen Keilschrifditeratur, insbesondere mcht m ~en Verwaltungstexten. Es ist eine gegenwärtig kaum zu beantwortende Frage, ob es sich hierbei nur u~ el~e Frage der Darstellung handelt, oder ob dieses System tatsächlich niemals in größerem Umfange m dIe Rechenpraxis der Verwaltung Eingang gefunden hat.

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Die Entstehung der babylonischen Mathematik im engeren Sinne zu Beginn des zweiten Jahrtausends v.Chr. ist also nicht nur auf eine isolierte Entdeckung oder Erfindung zurückzuführen, sondern sie beruht auf der Einführung eines ganzen Komplexes voneinander abhängiger Innovationen im Bereich der Zahldarstellung und der Rechentechnik. Daß sich diese Veränderung in einem historisch relativ kurzen Zeitraum vollzog, bedeutet allerdings nicht, daß Ihre Entstehung von den Entwicklungen im dritten Jahrtausend unabhängig gewesen sei. Die Innovationen im Kontext der Erfindung des sexagesimalen Stellenwertsystems sind vielmehr in einem hohen Maße die logische Konsequenz der im Vorangehenden geschilderten Entwicklung arithmetischer und geometrischer Techniken der Wirtschaftsverwaltung und insbesondere der Feldmessung. 76 In den Spekulationen über die Entstehung des sexagesimalen Stellenwertsystems ist vor allem die Tatsache hervorgehoben worden, daß in der Periode der dritten Dynastie von Ur mit der Vereinfachung der Schreibweise von Ziffern durch die Imitation ihrer Formen mit Hilfe des Schreibgriffels, die die Verwendung eines speziellen Griffels für die Ziffern überflüssig machte, die Eins und die Sechzig nicht mehr mit verschiedenen Zeichen geschrieben wurden, sondern mit dem gleichen Zeichen, für das aus dem Ko?text erschlossen werden mußte, welchen der bei den Werte es im Einzelfall repräsentIerte. Welches immer jedoch der Einfluß dieser nicht-eindeutigen Form der numerischen Notierung auf die Entstehung einer nicht mehr allein von der Zeichenform bestimmten Zuweisung von Werten zu Symbolen gewesen sein mag, eine weit wichtigere Voraussetzung bildete die Verfeinerung von Maßsystemen durch die artifizielle Unterteilung von Maßen in sechzig kleinere Einheiten. Nach dem Vorbild der weitgehend bereits sexagesimalen Untergliederung aller Gewichtsmaße wurde insbesondere in der Periode der drit-

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ten Dynastie von Ur die Einführung von artifiziellen, sechzigfach kleineren Einheiten mit der von den Gewichtsmaßen entlehnten Bezeichnung gin zu einer gängigen Praxis,?7 Die Gepflogenheit, die n-ten Teile der Gewichtsmaße teilweise durch Brüche mit der Bezeichnung "igi n gal", teilweise aber auch als Vielfache der sechzigmal kleineren Einheit, insbesondere des gin, darzustellen, führte zu einer Tabellierung der Bruchteile der Gewichtmaße und ihrer Entsprechungen in der sechzigfach kleineren Einheit, zur sogenannten Reziprokentafel. Reziprokentafeln stellen eine zentrales Instrument der auf das sexagesimale Stellenwertsystem gegründeten arithmetischen Technik dar und bilden zugleich die ältesten historischen Zeugnisse der Erfindung dieses Systems. 78 Die Kombination dieser Reziprokentabelle mit den ebenfalls tabellierten Vielfachen der sexagesimalen Brüche "igi n gal" und den Vielfachen der Einheiten 1 und 10 des neuen Darstellungssystems führte zu der babylonischen Standardrechentafel, einem leistungsfähigen Instrument zur Ausführung von Divisionen (soweit die Quotienten in der Reziprokentabelle enthalten waren) und Multiplikationen (mit beliebigen Faktoren) im sexagesimalen Stellenwertsystem.

12. Die Arithmetisierung geometrischer Abstraktionen und die Kontinuität der Strukturen des geometrischen Wissens Das auf die Feldmessung gegründete geometrische Wissen war von der Entwicklung der neuen arithmetischen Techniken zunächst nur mittelbar betroffen, und zwar vor allem durch die Vereinfachung der Flächenberechnung. Die Repräsentation von Längen- und Flächenmaßen im gleichen System der Zahldarstellung ermöglichte jetzt die Berechnung von Flächen durch eine einfache Multiplikation in dem neuen System mit anschließender Umwandlung der Ergebnisse in die üblichen Flächenmaße. 79 Die wirklich einschneidenden Neuerungen, die die Erfindung des sexagesimalen Stellenwertsystems mit sich brachte, waren jedoch nicht rechentechnischer Natur. Sie hatten vielmehr die Entstehung einer spezifischen Form von Aufgabentexten zur Folge, die ein neues System von esoterisch arithmetisierten Verwaltungswissens repräsentierten, die babylonische Mathematik im engeren Sinne. Ausgangspunkt für die Entstehung dieser babylonischen Mathematik waren genau die gleichen Formen der Abstraktion, die in den Schultexten des dritten Jahrtausends v.Chr. wirksam wurden, die aber in der Kombination mit dem sexagesimalen Stellenwertsystems viel weiterreichendere Folgen zeitigten.

75 Siehe hierzu Robson 1999, insbes. Kapitel 9 und 10. Dafür, daß in der altbabylonischen Periode die Kenntnis des sexagesimalen Stellenwertsystems zur normalen Ausbildung der Schreiber gehörte, spricht vor allem die Tatsache, daß einige der überlieferten Tabellentexte auf typischen Schultexten gemeinsam mit Schreibübungen vorkommen; siehe Alster 1997 und Robson 1999, Appendix 5. Einen weiteren Hinweis liefern die Edubba-Texte, in denen die Schreiberkultur beschrieben und verherrlicht wird. Insbesondere enthält die Zeile 27 des sogenannte Examenstexts A eine Aufzählung von Gegenständen, die ein Schreiber in der Schule zu lernen hat (siehe Sjöberg 1975, S. 144f.). Die meisten der Termini, die sich auf die Lerngegenstände beziehen, bezeichnen Verfahren der Buchführung. Die Aufzählung begin~t jedoch mit. Begri~ fen, die offensichtlich Operationen mit dem sexagesimalen Stellenwertsystem bezeichnen, nämhch mit dem Wort "a-ra", dem Standardterminus für die Multiplikation in den Vielfachentafeln des sexagesimalen Stellenwertsystems, gefolgt von den Wörtern "igi" und "igi-ba", das sind die Bezeichnungen für ein Wertepaar der Reziprokentabelle des sexagesimalen Stellenwertsystems, die dessen Erfindung. offensichtlich vo~ aussetzt, gefolgt von dem Wort "igi-gub-ba", dem Standardterminus der Koeffiziententabellen, die ebenfalls erst bei einer Kenntnis der Multiplikation im sexagesimalen Stellenwertsystem ein sinnvolles Hilfsmittel darstellten. Die aus der altbabylonischen Periode plötzlich in großer Zahl belegten Tabellenund Aufgabentexte der babylonischen Mathematik könnten also darauf hindeuten, daß in dieser Peri?de das Rechnen im sexagesimalen Stellenwertsystem zu einem Bestandteil der Grundausbildung der Schreiber wurde, die dem Erlernen der eigentlichen Buchführungstechniken vorausging.

77 Solche artifiziellen Unterteilungen mit der Bezeichnung "gin" treten vor allem als abstrakte. R~che~ größen in Erscheinung, beispielsweise für die Unterteilung von Arbeitertagen "a"; siehe zum Beispiel die Bilanzierung im Text BM 21348 mit der absurd genauen Zahl von 2.4.22 10 gin (dezimal: 7462 1°/60) Arbeitertagen im Haben (Englund 1990: 71-79; siehe zur sexagesimalen Unterteilung des Arbeitstages auch Nissen, Damerow und Englund 1991, Kap. 10, 11 und 13; Englund 1991; Englund 1988: 1?8-1.80). Ähnliche administrative Unterteilungen mit dem Terminus gin finden sich auch für andere Maßemheuen, beispielsweise für die Teile des Flächenmaßes sar, des Hohlmaßes slla, etc.

76 See Damerow 1995, insbes. Kapitel 7.

78 Siehe Oelsner, in diesem Band.

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Von diesen, aus dem dritten Jahrtausend vererbten Formen der Abstraktion hatte die Ausweitung von Aufgabenstellungen auf unrealistischen Größenordnungen die geringsten Auswirkungen, obwohl auch diese Form in vielfältiger Form anzutreffen ist. Als Beispiel einer Rechenübung ohne jede praktische Anwendung sei die Berechnung der Potenzen der Zahl 1.40 (dezimal 100 bzw. 1213 etc.) bis zur lOten Potenz, das ist in der Darstellung des sexagesimalen Stellenwertsystems eine 12-stellige Sexagesimalzahl, in der ineffektiveren dezimalen Darstellung bei der Interpretation als 100 10 eine Eins mit zwanzig Nullen. 80 Größer waren die Auswirkungen der systematischen Variation von Aufgabenstellungen, von der Hunderte von erhaltenen Tabellentexten sowie zahlreiche sogenannte Serientexte, das sind Texte mit jeweils nur leicht variierten Aufgabenstellungen, zeugen, die aus der ersten Hälfte des zweiten Jahrtausends v.Chr. überliefert sind. 81 Erst die Tabellierung von Rechenoperationen hat es wahrscheinlich möglich gemacht, daß das arithmetische Potential der strikten, sexagesimalen Stellenwertdarstellung den Babyioniern bewußt und in die Entwicklung einer leistungsfähigen Rechentechnik umgesetzt werden konnte. In ähnlicher Weise bildete die allmähliche Veränderung von Aufgabenstellungen durch leichte Variation der Ausgangsbedingungen wahrscheinlich den Weg, auf dem die komplexen Lösungsverfahren für die Aufgabenstellungen der babylonischen Mathematik aus einfacheren Aufgabenlösungen schrittweise entwickelt wurden. Die dritte Form der Abstraktion, aus der schon im dritten Jahrtausend Aufgaben, die dem Einüben von Methoden und Denkweisen und nicht praktischen Zwecken dienten, hervorgegangen sind, die Vertauschung von Voraussetzung und Ergebnis der in der Praxis angewendeten Rechenverfahren, wurde in Kombination mit dem erweiterten rechentechnischen Potential des sexagesimalen Stellenwertsystems zum eigentlichen Ausgangspunkt für die Entstehung der babylonischen Mathematik. Viele der Standardaufgaben 79 Auch im Falle der Flächenberechnung fällt es schwer nachzuweisen, daß die Rechnungen mit Hilfe einer Zwischenrechnung im sexagesimalen Stellenwertsystem ausgeführt wurden, obwohl schwer vorstellbar ist, wozu die Umrechnungstabellen zwischen Längenmaßen und flächenmaßen einerseits und Notierungen im sexagesimalen Stellenwertsystem andererseits verwendet wurden, wenn nicht zu diesem Zweck. Ein deutlicher Hinweis findet sich jedoch in einem sehr viel jüngeren Text, einem neubabylonischen Vermessungsdokument. Die Vorderseite enthält den Plan eines unregelmäßigen, viereckigen Feldes. Die Mittelwerte der Längen (die für die Hunderter und Tausender dezimal in kus notiert sind) der gegenüberliegenden Seiten ergeben errechnet 84 3/4 kM und 1095 kM. Auf der Rückseite sind deutlich Rasuren von Zahlen zu erkennen, die wahrscheinlich Hilfsrechnungen waren. Die ersten beiden Zahlen sind jedoch noch gut zu erkennen. Bei ihnen handelt es sich um die beiden Mittelwerte in sexagesimaler Notierung: 1.24.45 und 18.15[.0]; siehe Nemet-Nejat 1982: 30-34 und Plate 11 (Kopie zeigt 18.16[.0]; Kollation durch David Brown, dem ich hiermit danke, bestätigte den durch eine Rasur korrigierten Wert 18.15[.0].)

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der babylonischen Mathematik haben die Struktur, daß vertraute und einfach auszuführende Operationen der Verwaltungspraxis beschrieben, das Ergebnis genannt und dann nach den nicht genannten Ausgangswerten der Operationen gefragt wird. Dabei spielen Techniken der Feldmessung eine herausragende Rolle, deren Grundbegriffe "a-sa" (Feld), "us" (längere Seite eines Feldes) und "sag" (kürzere "Kopf"-Seite eines Feldes) zu abstrakten geometrischen Termini für Fläche, Länge und Breite verallgemeinert wurden. 82 Das sexagesimale Stellenwertsystem vereinfachte die Operationen und machte zugleich wegen der von Bedeutungen unabhängigen Form der Darstellung Kombinationen dieser Operationen möglich, die in den metrologischen Notierungssystemen des dritten Jahrtausends sinnlos und technisch nicht ausführbar gewesen wären. Am Beispiel einer typischen Aufgabe der babylonischen Mathematik mögen die Folgen einer solchen Vertauschung von Voraussetzung und Ergebnis im Kontext von Operationen des sexagesimalen Stellenwertsystems verdeutlicht werden. Wenn aus der Länge 30 die Fläche eines gleichseitigen Vierecks mit dieser Seitenlänge durch Multiplikation im sexagesimalen Stellenwertsystem errechnet wird, so ergibt sich der Wert 15, wobei wegen des Fehlens einer Null in diesem System die Tatsache, daß sich eigentlich der Wert 15 mal 60 ergibt, nicht zum Ausdruck gebracht wurde. Addiert man nun die Länge zu der Fläche, was nur wegen der Abstraktheit der Darstellung im sexagesimalen Stellenwertsystem sinnvoll ist, und fragt man, aus welcher Ausgangslänge I das Ergebnis 45 auf diese Weise erzielt wurde, so ergibt sich ein typisches Problem der babylonischen Mathematik, und zwar ein Problem von der Struktur einer Gleichung zweiten Grades. 83

Charakteristisch an Problemstellungen dieser Art ist, daß weder in der Aufgabenstellung, noch in der oftmals gegebenen Lösung die absoluten Größen der im sexagesimalen Stellenwertsystem dargestellten Werte zum Ausdruck gebracht werden, obwohl diese Größen zumeist implizit festgelegt sind wie in vorliegenden Beispiel durch die Addition der Länge 30 und der Fläche 15 auf die Werte 30/60 für die Länge und damit 15/60 für die Fläche. 84 Durch Ausdifferenzierung der Ausgangswerte und der mit diesen Werten durchgeführten Operationen in der Form, wie dies durch die Serientexte belegt wird, lassen sich eine Vielzahl von Problemen konstruieren, für deren Komplexität es in den Schultexten des dritten Jahrtausends v.Chr. keine Parallele gibt. Die Konstruktion der Probleme ist in den meisten Fällen ebenso einfach wie in dem angeführten Beispiel, die so konstruierten Probleme konnten jedoch einen beträchtlichen Schwierigkeitsgrad erreichen. Insbeson-

80 Siehe Nissen, Damerow und Englund 1991: 194-196.

82 Zur geometrischen Terminologie der mathematischen Texte siehe H0Yrup 1990 und in diesem Band.

81 Siehe z.B. die von H0Yrup in diesem Band diskutierten Texte.

83 Dies ist das erste Problem des Textes BM 13901, siehe H0Yrup, in diesem Band.

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dere verlangten die Probleme zu ihrer Lösung, anders als zumeist zu ihrer Konstruktion, eine Kontrolle der absoluten Größen der im sexagesimalen Stellenwertsystem dargestellten Werte, was in der Regel nur durch Rückgriff auf ihre ursprüngliche inhaltliche Bedeutung möglich war, im Falle der Geometrie auf die wirklichen geometrischen Bedeutungen der Längen und Flächen sowie der mit diesen vorgenommenen Operationen. 85 Die Arithmetisierung der Geometrie, die aus der Erfindung des sexagesimalen Stellenwertsystems resultierte und solche neuartigen Aufgabenstellungen hervorbrachte, machte damit im wesentlichen die impliziten Strukturen des geometrischen Wissens explizit, die sich im Verlauf des dritten Jahrtausends herausgebildet hatten. Die Arithmetisierung bereicherte dieses geometrischen Wissens, aber ohne seine Struktur grundlegend zu verändern. Diese Kontinuität soll hier an der Struktur der Aufgabe des Textes YBC 4675 86 exemplarisch erläutert werden, deren Konstruktion die Folgewirkungen der strukturellen Ei-

5.10 (= 310) 7 17

Abbildung 23. Zeichnung des Flächenteilungsproblems der Tafel YBC 4675

84 Für einen absoluten Wert 30 wäre das Quadrat 15,00 und damit die Summe nicht 45 sondern 15,30. Dagegen ist für einen absoluten Wert 0;30 das Quadrat 0; 15 und damit die Summe 0;45 wie in der AufgabensteIlung angegeben. Die Mathematiker, die die Serie von Aufgaben des Textes BM 13901 zusammenstellten, haben dieser Differenz wenig Beachtung geschenkt. Zwar werden in allen Aufgaben dieselben Ausgangswerte verwendet, aber die implizit dutch die Art der Summenbildung festgelegten Absolutwerte differieren, offensichtlich weil die Mathematiker bei der Konstruktion der Aufgaben nur eine möglichst einfache Summenbildung im Auge hatten und den resultierenden Absolutwerten keine Bedeutung beimaßen. Man kann diesen Umstand als einen Hinweis betrachten, daß entgegen der Auffassung von H0Yrup (in diesem Band), das Fehlen einer Notierung des Absolutwertes im sexagesimalen Stellenwertsystem der Babyionier nicht nur ein Defekt in der Darstellungsform war, sondern eine Basis im begrifflichen Verständnis besaß. "It's not a bug, it's a feature!" 85 Siehe H0Yrup, in diesem Band. 86 Neugebauer und Sachs 1945: 44-48.

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gentümlichkeiten der Geometrie des dritten Jahrtausends v.Chr. besonders deutlich hervortreten läßt und aus diesem Grunde aus der Sichtweise der euklidischen Geometrie ähnlich absonderlich erscheint wie die oben bereits diskutierten Texte. Wie oftmals in der babylonischen Mathematik ist auch hier die Konstruktion der Aufgabe und die Wahl der numerischen Daten mindestens ebenso aufschlußreich wie das Verfahren der numerischen Lösung. 87 Gegeben sind die vier Seiten eines unregelmäßigen viereckigen Feldes mit einer Fläche von zwei bur (Abb 23). Das Feld soll in zwei gleich große Felder von je einem bur zerlegt werden. Gefragt wird nach der Länge der Teilungslinie. Die Differenz dieser Aufgabenstellung zu euklidischen Vorstellungen ist offensichtlich. Vom Standpunkt der euklidischen Geometrie macht es keinen Sinn, ein Viereck durch eine beliebige Linie in zwei gleich große Teile zu teilen und dann nach deren Länge zu fragen, denn diese Länge hängt ja davon ab, in welchem Winkel die Fläche geteilt wird. Im Kontext des geometrischen Wissens, wie es von den Feldmessern übernommen wurde, ist die Problemstellung dagegen von geradezu paradigmatischer Bedeutung für die Rechenverfahren, die für die Umrechnungen zwischen den Bestimmungsstücken geteilter Flächen entwickelt wurden. Diese Kontinuität deutet sich bereits bei den gegebenen numerischen Werten an. Die Längsseiten messen 5.10 ninda (dezimal: 310 ninda) und 4.50 ninda (dezimal: 290 ninda), die Breitseiten 7 ninda und 17 ninda. Da die ebenfalls gegebene Fläche die Größe 2 bur besitzen soll, muß die Fläche im Sinne der Formel der Feldmesser des dritten Jahrtausends aufgefaßt worden sein, die aus euklidischer Perspektive nur eine Näherungsformel für die Fläche darstellt. Aus dieser Perspektive ist insbesondere die stillschweigende Annahme der Aufgabenstellung, die Gesamtfläche sei gleich der Summe der beiden Teilflächen, überhaupt nicht erfüllt, es sei denn, bei dem zu teilenden unregelmäßigen Viereck handelt sich um ein parallel zu seinen parallelen Seiten geteiltes Trapez, was bei den gegebenen Maßen des Vierecks logisch ausgeschlossen ist. Auch die der Aufgabe beigefügte Zeichnung demonstriert eindringlich die Kontinuit~t zur Geometrie des dritten Jahrtausends v.Chr. Die Zeichnung zeigt ein Viereck mIt plausiblen Größenverhältnissen, den gegebenen Maßen zufolge muß es sich jedoch um ein Feld mit seltsamen Ausmaßen handeln, nämlich um einen extrem langgestrecktes, schmales Viereck, das sich überhaupt nicht vernünftig in einer Zeichnung darstelle.n läßt. Wäre die kleinere Längsseite noch etwas kürzer gewählt worden, dann wären dIe drei kürzeren Seiten gar nicht lang genug gewesen, um mit der längsten Seite übe~hauRt noch eine geschlossene Fläche bilden zu können. Dieses extreme Mißverhältms ZWI87 Die Lösung der Aufgabe ist bereits mehrfach Gegenstand ausführlicher, zum.Teil ?ivergierender Interpretationen gewesen, die Konstruktion der Aufgabe ist dagegen bislang kaum diskutlert worden, o?wohl sie im vorliegenden Fall viel interessantere Einblicke in das geometrische Denken der babylolllschen Schreiber gibt als die Lösung.

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schen der Zeichnung und den numerischen Werten der Aufgabe dokumentiert in nahezu persiflierender Form eine der oben diskutierten Eigentümlichkeiten der Techniken der Feldmesser, die Beschränkung der Darstellung auf topologische Strukturen. Die Zeichnung wurde ohne jede Rücksicht auf die Form der Fläche und auf die Winkel angefertigt, die die Seiten der Fläche miteinander bilden. Sie diente offenbar allein dem Zweck, die arithmetischen Beziehungen zwischen den Längen zu verdeutlichen. Diese arithmetischen Beziehungen waren alles andere als trivial. Die aus euklidischer Perspektive so unsinnige Aufgabenstellung erweist sich als ein elaboriertes mathematisches Konstrukt, wenn man sich vergegenwärtigt, vor welcher schwierigen Aufgabe ihr Konstrukteur gestanden hat. Er mußte sieben Seitenlängen, die Seitenlängen von zwei Vierecken mit einer gemeinsamen Seite, so finden, daß beide Vierecke verschieden waren, aber beim Berechnen ihrer Fläche nach dem Verfahren der Feldmesser den gleichen Wert ergaben. Die Flächen sollten sich ohne Knick zu einer Gesamtfläche zusammenfügen und diese Gesamtfläche sollte, wiederum nach dem Verfahren der Feldmesser berechnet, gerade die Summe der Teilflächen ergeben, also die doppelte Größe einer Teilfläche besitzen. Bedenkt man, daß bei einer in zwei Teile geteilten Fläche die Summe der nach dem Verfahren der Feldmesser berechneten Teilflächen nur in Ausnahmefällen die ebenso berechnete Gesamtfläche ergeben, dann wird klar, daß es sich hier um ein "praktisch" unlösbares Problem handelt. Zudem sollten alle Zahlen möglichst einfach sein, zumindest eine endliche sexagesimale Darstellung besitzen, und die Gesamtfläche sollte eine vorgeschriebene Größe haben. Es muß als eine meisterhafte theoretische Leistung erscheinen, daß die babylonischen Mathematiker dieses Problem der Aufgabenkonstruktion gelöst haben. Glücklicherweise verraten uns die in der Aufgabe gegebenen Werte nicht nur, daß sie dieses Problem gelöst haben, sondern sie liefern auch den Schlüssel zur Beantwortung der Frage, wie sie es gelöst haben. Das Verfahren läßt sich auf die gleiche Weise erschließen, wie sich aus den Werten des bereits diskutieren archaischen Schultextes W 19408,76 die Überlegungen rekonstruieren lassen, die zu dem Flächenberechnungsverfahren der Feldmesser selbst geführt haben, und es sind sogar die gleichen Überlegungen. Wie in diesem Fall bildet eine regelmäßige Fläche den Ausgangspunkt. Die Fläche, die geteilt werden soll, zeigt wiederum die historische Kontinuität zur Tradition der Feldmesser, denn sie wurde direkt aus der Metrologie der Flächenmaße abgeleitet. Geteilt werden soll eine Einheitsfläche, denn zwei bur sind in der Metrologie der Flächenmaße gerade das Quadrat der Einheit US (60 ninda). Aus dieser Einheitsfläche wurden die Seitenlängen der in der Aufgabe gegebenen unregelmäßigen Fläche von zwei bur und ihrer beiden Teilflächen von jeweils einem bur mit Hilfe der gleichen Verfahren konstruiert, die bereits bei dem etwa 1000 Jahre älteren archaischen Schultext angewendet wurden. Jetzt jedoch wurden diese Verfahren in geradezu virtuoser Weise gehandhabt, um aus der

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Einheitsfläche unter Beibehaltung der vorausgesetzten Flächengrößen die Größen eines vollständig unregelmäßiges Vierecks zu konstruieren. Zunächst wurde eine Einheitsfläche mit der Seitenlänge von 60 ninda, aus der die Gesamtfläche gebildet werden soll, durch Multiplikation der einen Se~te mit fünf u?d Division der anderen Seite durch fünf in eine langgestreckte Fläche gleIchen Flächenmhalts transformiert. Im sexagesimalen Stellenwertsystem ergibt dies für die Länge 5.0 (dezimal: 300) ninda und für die Breite 12 ninda. Nach der Teilung in zwei gleiche Teile ergaben sich dementsprechend zwei gleiche Teilflächen mit der Länge 2:30 (dezimal. 150) ninda und der Breite 12 ninda. Die bei den bis dahin noch gleichen Tetlflächen erhIelten dann durch eine weitere Transformation dieser Art eine verschiedene Form, wobei die verwendete Beziehung 2.0 ninda X 15 ninda = 2.30 ninda X 12 ninda = 3.0 ninda X 10 ninda garantierte, daß die Flächengleichheit beibehalten wurde. Aus diesen beiden Flächen mit den Maßen 2.0 ninda mal 15 ninda und 3.0 ninda mal 10 ninda wurden dann unter der für die Flächenberechnung der Feldmesser konstitutiven Annahme, daß sich die Flächengröße nicht ändert, wenn bei zwei gegenüberliegenden Seiten vo~ der ei?en S~ite ein bestimmter Wert subtrahiert und bei der gegenüberliegenden SeIte addIert wIrd, zwei Flächen mit den Maßen 2.0 ninda X (15 ± 2) ninda 3.0 ninda X (10 ± 3) ninda konstruiert, die dadurch beide eine Seite mit der gleichen Länge 13 ninda erhielten. Zusammengesetzt ergeben die bei den Flächen eine zu teile~de Fläche ~it de~ ~änge 5.0 ninda, den Breiten 17 ninda und 7 ninda und einer gememsamen Tellungshme von 13 ninda an der die bei den Teilflächen aneinander grenzen. Dabei wurde durch die Verlängerun~ bzw. Verkürzung der Seite~ proportional zu ~en .Lä?gen de~.Teilflächen sichergestellt, daß die Längsseiten der Tetlflächen ohne KnIck memander ubergehen. Schließlich erhielten auch die Längsseiten der Gesamtfläche durch Addition und S~b traktion von 10 ninda eine verschieden Größe, wobei, wie die gegebene Lösung zeIgt, diese Veränderung der Gesamtlänge im Verhältnis der Längen der Teilflächen auf die Teillängen verteilt wurden: (5.0

± 10) ninda = (3.0 ± 6) ninda + (2.0 ± 4) ninda.

Die seltsamen Ausmaße der zu teilenden Feldfläche finden in dieser raffinierten Konstruktion der Werte des Problems und seiner Lösung eine einfache Erklärung. Sie er?eben sich fast zwangsläufig, wenn man einfache Werte sucht, die den zahlreichen Bedmgungen der Konstruktion genügen können. Die Konstruktion der Werte geht von dem

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gewünschten Ergebnis aus, der Teilung der Einheitsfläche in zwei gleiche Teile, und sichert durch die Anwendung der aus der Feldmesser vertrauten Methoden der Aufgabenkonstruktion, daß die Gesamtfläche und die Teilflächen ihre Größen behalten und damit auch die Eigenschaft, daß auch bei voneinander unabhängiger Berechnung der Flächen nach der Formel der Feldmesser die Gesamtfläche die Summe der Teilflächen bleibt. Die Konstruktion erklärt jedoch noch mehr. Sie liefert auch den Schlüssel für das Verständnis des Verfahrens, mit dem das Problem gelöst wird. Die Konstruktion führt für die in der Aufgabe gegebenen Breiten auf die Werte 7 und 17 ninda und für die gesuchte Teilungslinie auf den Wert 13 ninda, die auf den ersten Blick eine verblüffende Eigenschaft besitzt. Sie erfüllen die Bedingung, daß das Quadrat über der Teilungslinie gleich dem Mittelwert der Quadrate der beiden gegenüberliegenden Seiten ist: 2

2

132=~ 2

Diese Beziehung ist eine Implikation dessen, daß die Konstruktion sicherstellt, daß die ~esa~tfläche und die Teilflächen bei der Transformation in unregelmäßige Vierecke Ihre EIgenschaft behalten, daß die nach der Formel der Feldmesser berechnete Gesamtfläche gerade die Summe der nach der gleichen Formel berechneten Teilflächen ergibt, daß also ein aus euklidischer Sicht nicht exaktes Verfahren die Bedingung der Flächenadditivität erfüllt, gegen die im Rahmen der euklidischen Geometrie dieses "Näherungsverfahren " der Feldmesser verstößt. Da die Beziehung zwischen den Werten allein in d~m Ver~ahren ~er Konstru~tion begründet ist, gilt sie zudem für alle Teilungsaufgaben, dIe auf dIese Welse konstrUIert werden. Für alle so konstruierten Teilungen einer Fläche in zwei gleich Teile gilt, daß das Quadrat über der Teilungslinie d gleich dem Mittelwert der Quadrate der beiden gegenüberliegenden Seiten a und bist. 2

2

d2=~ 2

Fer~er läßt sich die. Ko?str~ktion auch auf die Teilung in ungleiche Teilflächen verallgememern und resultIert m emer entsprechend verallgemeinerten Beziehung zwischen den Breiten und der Teilungslinie, bei der an die Stelle des Mittelwertes der gewichtete Mittelwert tritt. Ist das Verhältnis der Flächen a zu ß, dann gilt für die Länge der Teilungslinie: 88 2

d 2 = aa + ßb

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Die Flächenteilungsaufgabe, die uns durch die Tafel YBC 4675 überliefert ist, erweist sich als ein Schlüsseltext für das Verständnis der Transformation des geometrischen Wissens der Feldmesser des dritten Jahrtausends v.Chr. in die arithmetisierte Geometrie der altbabylonischen Periode. In der babylonischen Mathematik hat die Teilung einer unregelmäßigen Einheitsfläche in zwei gleiche Teile einen paradigmatischen Status für die durch viele Aufgaben repräsentierte Kunst der Flächenteilungen 89 und der Konstruktion von Aufgaben durch Übersetzung der Feldmesserpraxis in die sexagesimalen Operationen mit geometrischen Größen. Aber auch in anderer Hinsicht erweist sich die Tafel als ein Schlüsseltext, denn sie ermöglicht eine epistemologische Beurteilung der Situation nach der Arithmetisierung des geometrischen Wissens der Feldmesser. Die Aufgabenkonstruktion zeigt beispielhaft, wie in dem neuen Medium des sexagesimalen Stellenwertsystems Konsequenzen bekannter Verfahren elaboriert und dabei zu Ergebnissen und Techniken fortentwickelt werden, die ohne das neue Medium nicht denkbar wären. Hierfür ist die Konstruktion der Zahlenwerte der vorliegenden Aufgabe und des Reehen ganges zu ihrer Lösung ein herausragendes Beispiel. Die dabei verwendete Beziehung zwischen den Längen der Seiten und der Länge der Teilungslinie ist eine implizite Folge der Konstruktion, die zur Entwicklung von Verfahren zur Lösung solcher Aufgaben geführt hat. Zudem weist die Beziehung zwischen den Seiten und der Teilungslinie eine verblüffende strukturelle Ähnlichkeit zum Satz des Pythagoras auf, nur das hier die Summe der Quadrate nicht das Quadrat, sondern das doppelte Quadrat der Teilungslinie ergibt.

Wie der Satz des Pythagoras wird auch dieser Satz nicht explizit formuliert. Auch hier kann die Kenntnis des Satzes nur aus dem Rechengang erschlossen werden. So wie der Satz des Pythagoras so gilt auch dieser Satz in der euklidischen Geometrie nur unter einschränkenden Bedingungen. Im Fall der Satzes des Pythagoras muß das Dreieck rechtwinklig sein, damit die Anwendung des Satzes korrekt ist. Im Fall des in der euklidischen Geometrie unbekannten "Flächenteilungssatzes" müssen zwei Seiten und die Teilungslinie parallel zueinander sein, damit der Satz für den euklidischen Flächenbegriffkorrekt ist. 9o Dieses sind Bedingungen, die bei den in der Aufgabe der Tafel YBC 4675 gegebenen Werten genausowenig erfüllt sind wie die Bedingungen für die Anwendbarkeit des Satzes des Pythagoras bei der Dreieckszerlegung der Tafel YBC 8633, bei der der Satz

2

a+ß 88 Verwendet beispielsweise in der ersten Aufgabe von YBC 4608, Neugebauer und Sachs 1945: 49-52. Zum mathematischen Hintergrund siehe Bruins 1955: 46.

89 Eine Zusammenstellung solcher Aufgaben gibt Friberg 1990: 561-563. 90 Dementsprechend wird in der Edition des Textes (Neugebauer und Sachs 1945: 44ff., insbesondere 46-48) angenommen, eigentlich sei ein Trapez gemeint, und da eine solche Interpretation bei den vorli~ genden Daten ausgeschlossen ist, wird der Schluß gezogen, die babylonischen Mathematiker hätten die Berechnung der Teilungslinie als eine Approximation aufgefaßt.

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auf nicht-rechtwinklige Dreiecke angewendet wird. Wir stoßen hier also auf eine verblüffende Parallele der aus euklidischer Sicht scheinbar begangenen Fehler. Im vorliegenden Fall jedoch macht die Analyse des Problems deutlich, daß unter den von den babylonischen Mathematikern von den Feldmessern übernommenen Bedingungen der "Flächenteilungssatz" eine logische Konsequenz ist. 91 Aus der Konstruktion und der Lösung der Aufgabe geht hervor, daß konsistent das Verfahren der Feldmesser für die Berechnung der Flächen unregelmäßiger Vierecke verwendet wird, aber zugleich auch die Annahme eingeht, daß die Gesamtfläche gleich der Summe der Teilflächen ist. Unter der Voraussetzung des euklidischen Flächenbegriffs machen diese beiden Annahmen keinen Sinn. Für Flächen im euklidischen Sinn liefert das Berechnungsverfahren der Feldmesser nicht den korrekten Wert und die Summe der nach diesem Verfahren berechneten Teilflächen einer euklidisch vorgegebenen und geteilten Fläche ist nicht gleich der ebenfalls nach diesem Verfahren errechneten Gesamtfläche. Für Flächen im Sinne des Verfahrens der Feldmesser, diese zu berechnen, folgt dagegen aus der Flächenadditivität der "Flächenteilungssatz" . Wenn also die babylonischen Mathematiker dieses Verfahren nicht als "Näherungsformel" für eine Fläche im euklidischen Sinn begriffen haben, sondern das Verfahren verwendeten, als ob es die Fläche definierte, und wenn sie die Flächenadditivität verwendeten, als ob es ein Axiom wäre, dann war der "Flächenteilungssatz", euklidisch gesprochen, ein für ihre Geometrie allgemeingültiges Theorem.

13. Der "Satz des Pythagoras" im Kontext der babylonischen Mathematik Kommen wir nun auf die eingangs angeführten Belege für die babylonische Kenntnis des Satzes des Pythagoras zurück. Die Zahl der Texte, die Hinweise auf die Kenntnis des Satzes enthalten, ist vergleichsweise klein. Je nachdem, wie eng man die Kriterien setzt, liegt ihre Zahl zwischen zehn und zwanzig. 92 Vier dieser Texte stammen zudem aus der Zeit der Seleukiden, in der die babylonische Mathematik wahrscheinlich bereits von der 91 Auf diesen, von den Editoren des Textes übersehenen Umstand haben Bruins 1955 und Vogel 1958/ 1959, Band 2: 70, aufmerksam gemacht. 92 Zu den Texten, die Hinweise auf eine Kenntnis des Satzes des Pythagoras enthalten sind insbesondere die folgenden Texte zu zählen: AO 6484, BM 34568, BM 85194, BM 85196, Erm. 15073, IM 55357, IM 67118, Plimpton 322, TMS 1, TMS 2, VAT 7531, VAT 7848, VAT6598 + BM 96957, YBC 7289, YBC 8633 ~nd W23291. Als indirekte Belege für die Kenntnis des Satzes des Pythagoras werden auch einige ~erte 1ll den Koeffizientenlisten angesehen. In der Tat sind in diesen Listen Werte für die Berechnung der Diagonalen des Quadrats (verschiedene Näherungswerte für die Wurzel aus 2) und für die ebenfalls als Diagonale bezeichnete Hypotenuse von Dreiecken mit dem Seitenverhältnis der pythagoreischen Zahlen 3, 4 und 5 enthalten. Ferner wird bei mehreren Koeffizienten angenommen, daß es sich um Näherungswerte handelt, deren Berechnung auf der Grundlage dieses Satzes erfolgte, insbesondere bei einem Koeffizie?ten, der sich auf diese Weise als Koeffizient für die Höhe des gleichseitigen Dreiecks interpretieren läßt. Siehe Robson 1999: 40ff. und Friberg 1990: 554.

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griechischen Mathematik beeinflußt war. 93 Die übrigen Belege sind zum Teil von sehr unterschiedlicher Natur. Diese Verschiedenartigkeit macht es schwierig zu beurteilen, welches kommunizierte und tradierte mathematische Wissen die spezifischen Problemlösungen, die diese Texte dokumentieren, ermöglicht hat. Es fehlen insbesondere Aufgaben, die auf gleichartige Weise auf eine Kenntnis des Satzes hindeuten. Für andere mathematische Inhalte geben beispielsweise die sogenannten "Serientexte" Hinweise auf eine Tradierung bestimmten mathematischen Wissens. Die Auflistung ähnlicher oder gleichartiger Aufgaben in großer Zahl läßt erkennen, daß die Lösung dieser Aufgaben systematisch gelehrt oder geübt wurde. Solche Serientexte fehlen jedoch für alle grundlegenden geometrischen Theoreme der euklidischen Geometrie, insbesondere für den Satz des Pythagoras. Welchen Charakter die Belege für den Satz des Pythagoras tatsächlich besitzen sei im folgenden an einigen Beispielen diskutiert. Eingangs wurde bereits die Zeichnung eines in einen Kreis eingezeichneten, aus zwei rechtwinkligen Dreiecken gebildeten gleichschenkligen Dreiecks auf der Tafel TMS 1 als ein Beispiel dafür angeführt, daß die mathematischen Keilschrifttexte der Babyionier sichere Hinweise auf eine Kenntnis des Satzes des Pythagoras zu enthalten scheinen. Zu dieser Zeichnung fehlt ein begleitender Text, so daß nicht unmittelbar erkennbar ist, welche der in der Zeichnung angetragenen Größen vorgegeben waren und welche aus den vorgegebenen Größen berechnet wurden. Diese Frage läßt sich dennoch entscheiden. Die Seitenlängen 30, 40 und 50 des rechtwinkligen Grunddreiecks der Figur wurden aus den einfachen pythagoreischen Zahlen 3, 4 und 5 gebildet. Dies sind offensichtlich die vorgegebenen Werte. Die berechneten Werte müssen demnach die Länge des Radius mit dem Maß 31.15 und der Abstand der Grundlinie des gleichschenkligen Dreiecks vom Mittelpunkt mit dem Maß 8.45 sein. Auch auf das Verfahren, wie diese Werte errechnet wurden, liefert die Zeichnung Hinweise. Geht man davon aus, daß der babylonische Schreiber, der die Zeichnung anfertigte, wußte, daß sich das Quadrat des Radius r gemäß dem Satz des Pythagoras als Summe der Quadrate der halben Grundseite des gleichschenkligen Dreiecks, deren Länge 30 vorgegeben ist, und dem Quadrat des unbekannten Abstandes ades Kreismittelpunkts von dieser Grundseite berechnen läßt, dann konnte er daraus wahrscheinlich auch die für die Zeichnung benötigten Größen erschließen (Abb 24). Der Radius r und der Ab-

93 Es sind dies die Texte AG 6484, BM 34568, VAT 7848 und W23291. Ein griechischer Einfluß ist beispielsweise anzunehmen, wenn bei der Flächen- und der Volumenberechnung korrekterweise die lotrecht gefällten Höhen, und nicht die Seiten verwendet werden. So wird insbesondere im seleukidischen Text AO 6484 (Neugebauer 1935/1937 Band 1: 96ff,) anscheinend der Satz des Pythagoras verwendet, um aus der Seite die Höhe eine Dreiecks zu berechnen, im ebenfalls späten Text VAT 7848 (Neugebauer und Sachs 1945: 141 ff.) die Höhe eines Trapezes. Solche Berechnungen finden sich in keinem der altbabylonischen Texte.

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Zumindest der letzte Schritt dieser Berechnung entspricht einem in der babylonischen Mathematik häufig angewendeten Verfahren, dessen Logik im folgenden noch diskutiert werden wird. Man ist daher versucht anzunehmen, daß der Radius des Kreises tatsächlich genau auf diese Weise auf eine standardisierte Lösung zurückgeführt wurde. Falls diese Annahme richtig wäre, dann müßte also die Berechnung der in der Zeichnung angegebenen Längen auf einem Verfahren beruhen, das die Kenntnis von genau zwei mathematischen Sachverhalten voraussetzte, nämlich die Kenntnis des Satzes des Pythagoras und die Kenntnis der dritten binomischen Formel.

Abbildung 24. Zur Interpretation der Zeichnung der Tafel TMS 1. stand a sind dann nämlich durch die Summe der vorgegebenen Werte und die Differenz ihrer Quadrate festgelegt: r+a

2

= 40

r - a

2

= (r + a)( r -

a)

= 30 2

Wenn also der Schreiber, der die Seitenlängen des für die Konstruktion des Umkreises benötigten Dreiecks berechnete und die Zeichnung anfertigte, annahm, daß nicht nur die Längen der Seiten des Ausgangsdreiecks sondern auch die des benötigten Dreiecks pythagoreische Zahlen darstellten, dann führte ihn die Aufgabe damit auf ein Problem, das große Ähnlichkeit mit denen der überlieferten Serientexte zeigt und für das er möglicherweise eine standardisierte Lösung kannte. Nach dem sogenannten dritten binomischen Lehrsatz erhält man, wie dies hier in der anachronistischen Umschreibung in eine moderne Formel verdeutlicht werden soll, durch Division der Differenz der Quadrate der beiden Strecken durch ihre Summe deren Differenz. Dann lassen sich die benötigten Längen dieser Strecken durch Subtraktion und Addition ihrer halben Summe bzw. ihrer halben Differenz einfach errechnen. 2

r-a

2

= ~ = 22.30 r+a

a =

r+a

r-a

-2--2

= 8.45

Es gehört nun jedoch zu den Merkwürdigkeiten der babylonischen Mathematik, daß es für keine Annahme der Kenntnis irgendeiner allgemeingültigen Formel nicht auch Hinweise gäbe, die an einer solchen Annahme Zweifel aufkommen lassen. Dies gilt nicht nur für den hier diskutierten Satz des Pythagoras sondern beispielsweise auch für die vermutete Existenz eines standardisierten Verfahren zur Lösung des Gleichungssystems des vorliegenden Problems und insbesondere auch für die Kenntnis der dritten binomischen Formel. Obwohl in der mathematikhistorischen Literatur angesichts der komplexen algebraischen Struktur vieler Probleme der babylonischen Mathematik als selbstverständlich angenommen wird, daß die Schreiber dieser Texte die drei binomischen Formeln kannten und anwendeten,94 fällt es schwer, für die Kenntnis der dritten binomischen Formel sichere Belege zu finden. Ähnliches gilt für den Typus des Problems selbst. Obwohl aus der Perspektive einer modernen Klassifikation von algebraischen Gleichungssystemen sich die Problemstellung, zwei Längen aus ihrer Summe und aus der Differenz ihrer Quadrate zu ermitteln, kaum von den üblichen Problemstellungen der Serien texte unterscheidet, etwa von dem Problem, zwei Längen aus ihrer Summe und aus der Summe ihrer Quadrate zu ermitteln,95 kommt auch diese Problemstellung in den Texten kaum vor. 96 Implizit ist ein Problem dieser Struktur in einem sehr viel jüngeren Text enthalten, nämlich in dem seleukidischen Serientext BM 34568. 97 Bei den Aufgaben dieses Textes sind bestimmte Werte vorgegeben, deren Berechnung aus der Länge I, der Breite b, der Fläche F und der Diagonalen d eines Rechtecks in der Aufgabenstellung beschrieben wird. Aus 94 Siehe zum Beispiel: Vogel 1958/59, Band 2: 45; Goetsch 1968/69: 134. 95 Siehe H0Yrup in diesem Band. 96 Siehe Fribergs Klassifikation von Gleichungssystemen: Friberg 1990: 572. Die Problemstellung erscheint hier als Typ B3b mit der Behauptung, Probleme dieses Typs seien wie oben angegeben gelöst worden. Friberg gibt jedoch kein Beispiel, das dies belegen könnte. Fribergs Klassifikation greift die bereits kurz nach der Publikation des größten Teils der mathematischen Keilschrifttexte durch Neugebauer von Gandz vorgenommene Klassifikation wieder auf, in der dieser Problemtyp den Babylonier ebenfalls zugeschrieben wird; siehe Gandz 1937: 405, Typ B V. Gandz fühn dabei den im folgenden diskutienen seleukidischen Text als Beleg an. 97 Siehe Neugebauer 1935/1937 Band 3: 14ff., Aufgabe 3 und Aufgabe 4.

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b

d

Abbildung 25. Rechteck der Aufgaben drei und vier des Textes BM 34568

diesen Werten sollen die fehlenden Werte dieser vier Größen zurückgerechnet werden (Abb. 25). Unter diesen Aufgaben sind zwei enthalten, bei denen jeweils eine Seite und die Summe der anderen Seite und der Diagonalen gegeben sind. Bei der ersten dieser beiden Aufgaben ist beispielsweise erstens die Summe s der Diagonalen d und der Länge I gegeben und zweitens die Breite b, deren Quadrat nach dem Satz des Pythagoras gleich der Differenz des Quadrats der Diagonalen d und des Quadrats der Länge I ist. s = d+ 1

Damit entspricht diese Aufgabe in der Struktur dem Problem, in der Zeichnung der oben diskutierten Tafel TMS 1 den Radius des Umkreises zu bestimmen, von dem seine Summe mit dem Abstand des Kreismittelpunkts von der Grundseite des Dreiecks und die Differenz seines Quadrats und des Quadrats des Abstandes gegeben ist. Der hier in dem seleukidischen Text eingeschlagene Rechengang folgt jedoch nicht der auf dem Satz des Pythagoras und der dritten binomischen Formel beruhenden Lösung, mit der zu der Summe d + I die Differenz d - I ermittelt werden würde:

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Bei dieser mathematisch ebenfalls korrekten Lösung wird also weder der Satz des Pythagoras noch die binomische Formel angewandt, sondern ein Verfahren, dessen geometrische oder algebraische Herkunft nicht unmittelbar ersichtlich ist und das den Satz des Pythagoras allenfalls implizit voraussetzt. Es ist daher nicht auszuschließen, daß weder die Lösung dieser Aufgabe aus der späten, seleukidischen Periode, noch die in der Problemstruktur gleichartige Konstruktion des Umkreises eines Dreiecks in der sehr viel älteren Zeichnung der Tafel TMS 1 aus dem Satz des Pythagoras abgeleitet wurde. Dieses Beispiel verdeutlicht, wie problematisch es selbst in scheinbar so eindeutigen Fällen wie dem der explizit an die Strecken der Zeichnung des Umkreises eines gleichschenkligen Dreiecks geschriebenen pythagoreischen Zahlen ist, auf die Kenntnis bestimmter Theoreme der euklidischen Geometrie zu schließen. Jedes Rechenverfahren, das im Sinne dieser Geometrie "korrekt" ist, kann aus solchen Theoremen auf irgendeine Weise begründet werden. Es ist jedoch ein anachronistischer Fehlschluß, allein die Existenz solcher Rechenverfahren schon als einen Beweis zu nehmen, daß die Theoreme, aus denen sie in der euklidischen Geometrie begründet werden können, bereits bekannt gewesen sein müssen. Dieses Problem stellt sich in verschärftem Maße dann, wenn die durch die Texte belegten Rechenverfahren das aus der Sicht der euklidischen Geometrie korrekte Ergebnis nur näherungsweise ergeben oder sogar als fehlerhaft zu werten sind. Dies gilt insbesondere für den Text VAT6598 + BM 96957,98 dem einzigen bekannten Text vergleichbarer Art, bei dem zur Konstruktion der Aufgaben keine pythagoreischen Zahlen verwendet wurden so daß die Diagonalen und Seiten in einem irrationalem Verhältnis zueinander stehen. Ein Bruchstück dieses Textes (VAT6598), lieferte im Jahre 1916 den ersten Hinweis darauf, daß die Babyionier den Satz des Pythagoras möglicherweise kannten. 99 Die Rückseite di~ses Bruchstücks enthält eine Reihe von Aufgaben mit ihren Lösungen, die die Diagonale d eines Tors mit einer Höhe h von 0;40 und einer Breite b von 0; 10 ni~da betreffen (Abb. 26). Die Länge dieser Diagonalen besitzt also keinen ganzen oder rationalen Wert. IOD Sie wird in der Lösung der Aufgabe dadurch berechnet, daß die Breite quadriert, durch die Höhe dividiert und dann die Hälfte des Ergebnisses zur Höhe der Tür addiert wird. 2

1 b d=h+-·2 h

In dem tatsächlich Rechengang, der auf der Tafel festgehalten ist, wird dagegen die Länge I direkt berechnet, und zwar entsprechend der Beziehung:

98 Robson 1997. 99 Weidner 1916, siehe Neugebauer 1928. 100 Die Länge der Diagonalen beträgt in sexagesimaler Darstellung 0;41,13,51,48,9,4,48,10, ... ninda.

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40

10

1=====1

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Solche Zweifel an der üblichen Interpretation der Berechnung der Diagonalen als Ergebnis einer Anwendung des Satzes des Pythagoras und anschließender Anwendung eines Näherungsverfahrens zum Ausziehen der Quadratwurzel werden nach dem Auffinden eines weiteren Bruchstücks der Tafel in den Beständen des British Museum noch verstärkt. 103 Das hinzugefundene Bruchstück legt eine Rekonstruktion der gesamten Tafel nahe, nach der auf ihr nicht nur zwei, sondern drei Versionen der gleichen Aufgabe enthalten waren, wobei die dritte Version eben jene Berechnung der Länge der Diagonalen d als Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der Breite b und der Höhe h enthalten haben müßte, die sich direkt aus dem Satz des Pythagoras ergibt.

Abbildung 26. Erste Zeichnung der Tafel VAT6598 (Berechnung der Diagonalen) d

Diese Rechnung liefert nicht genau, aber immerhin angenähert den korrekten Wert für die Länge der Diagonalen. 101 Neugebauer hat diese Rechnung daher als Anwendung des "Heronschen Näherungsverfahrens" für die Berechnung der Quadratwurzel interpretiert und daraus auf die Möglichkeit geschlossen, daß die Babyionier den Satz des Pythagoras gekannt haben könnten, denn die Anwendung des Satzes zur Lösung der Aufgabe würde auf diese Quadratwurzel führen. Noch heute wird daher in der Regel der Text als ein Beleg für die Kenntnis dieses Satzes angeführt.

= h+2b 2 h

Auch diese Rechnung liefert angenähert die richtige Länge, 102 berechnet man jedoch auf die gleiche Weise die Länge der Diagonalen für andere Ausgangsdaten, etwa für die pythagoreischen Zahlen 3, 4 und 5, so erhält man unsinnige Ergebnisse. Für eine Tür mit einer Breite von 3 Einheiten und einer Höhe von 4 Einheiten erhält man beispielsweise statt einer Länge der Diagonalen von 5 Einheiten eine Länge von 76 Einheiten. Die Rechnung kann in diesem Falle daher schlechterdings nicht als Anwendung eines auch auf andere Werte anwendbaren Näherungsverfahrens interpretiert werden.

= Jb 2 + h2

Bei allen drei Versionen schließt sich an die Berechnung der Länge der Diagonalen aus der Höhe und der Breite die Rückrechnung der Breite aus der Diagonalen und der Höhe an, sowie teilweise auch die Rückrechnung der Höhe aus der Diagonalen und der Breite.

Schon das Bruchstück der Tafel, das allein zunächst nur bekannt war, läßt jedoch diese Interpretation als problematisch erscheinen, denn es enthält noch eine zweite Version der gleichen Aufgabe, die einen ganz anderen Rechengang aufweist. In dieser zweiten Version wird zu der Höhe der Tür das doppelte Produkt aus dem Quadrat der Breite b und der Höhe h addiert, um die Diagonale d zu erhalten. d

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(d

["2-:2

~

= "" b - + h -) ::::} (b = "" d - -

h - und h

~

= "" d - -

b- )

Wegen der unsymmetrischen Behandlung von Höhe und Breite ist in der ersten Version die Rückrechnung der Höhe nicht in gleicher Weise möglich wie die Rückrechnung der Breite. Daher wird hier die Rückrechnung der Höhe zwar als Aufgabe formuliert, dann jedoch für unlösbar erklärt. 104 In der zweiten Version fehlt, vermutlich aus dem gleichen Grund, die Rückrechnung der Höhe ganz. Nach dieser, durch die noch vorhandenen Teile recht zuverlässig gesicherten Rekonstruktion der gesamten Aufgabensequenz enthält die Tafel also eine systematische Zusammenstellung von Berechnungen der Diagonalen eines Rechtecks, in der auch eine 103 Robson 1997.

101 Die errechnete Länge der Diagonalen beträgt 0;41,15 ninda. 102 Die errechnete Länge der Diagonalen beträgt 0;42,13,20 ninda.

104 Siehe Robson 1997: 55. Die Umkehrung führt auf eine quadratische Gleichung, die hier für unlösbar erklärt wird. Dies wird durch die Verneinung NU auf ähnliche Weise wiedergegeben wie in frühen Reziprokentabellen die Nichtinvertierbarkeit von irregulären Sexagesimalzahlen wie beispielsweise der sieben; Siehe Neugebauer 1935/1937 Band 1: 9 (Typus B).

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Version enthalten ist, die sich als Anwendung des Satzes des Pythagoras deuten läßt. Diese aus der Sicht der euklidischen Geometrie theoretisch gerechtfertigte Berechnung ist jedoch nur eine von drei gleichberechtigt in dem Text enthaltenen Berechnungen der Diagonalen, die drei leicht voneinander abweichende Lösungen ergeben. Dem babylonischen Schreiber schien offensichtlich die Rechtfertigung dieser Lösungen durch Rückrechnung der Ausgangswerte wert festgehalten zu werden. Dagegen kümmerte es sich überhaupt nicht um die aus späterer Sicht viel wichtigere euklidische-geometrische Korrektheit des Rechenganges. Aus euklidischer Sicht läßt sich die erste Version mit einiger Phantasie als Anwendung eines Näherungsverfahrens interpretieren, die zweite Version erscheint als kaum mehr als eine Zahlenspielerei und nur die dritte als exakte Berechnung auf der Grundlage des Satzes des Pythagoras. Auch ansonsten weisen die Texte, die sich als Belege für die Kenntnis des Satzes anführen lassen, häufig Besonderheiten auf, die Zweifel an einer Interpretation aus der Sicht späterer euklidischer Theoreme begründen können. So wurde beispielsweise eingangs die Auflistung von Angaben über die Breite und die Diagonale von Rechtecken auf der Tafel Plimpton 322 angeführt, die sich bei genauerer Prüfung als geordnete Auflistung von pythagoreischen Zahlen erweist. Der Enthusiasmus über den Fund einer solchen Auflistung hat dazu geführt, daß diese Tafel einhellig als "eines der wichtigsten Zeugnisse für den Stand der theoretischen Arithmetik in altbabylonischer Zeit" angesehen wird. 105 Dieser Enthusiasmus ist in der Annahme begründet, die Tafel zeige, daß die Babyionier über so elaborierte Verfahren wie das einer systematischen Konstruktion pythagoreischer Zahlen verfügt haben müßten. Die eigentlich naheliegende Erklärung, daß die Tafel wirklich nichts anderes enthält als eine geordnete Auflistung von damals bekannten und tradierten Beispielen pythagoreischer Zahlen, wurde stets als zu einfach angesehen und ist daher niemals ernsthaft in Erwägung gezogen worden. Andererseits ist diese unvollständig erhaltene Tafel auch das einzige Zeugnis, das für die Vermutung ins Feld geführt werden kann, die babylonischen Schreiber hätten ein mathematisch begründetes Verfahren zur Konstruktion pythagoreischer Zahlen gefunden und historisch tradiert. Für eine solche Annahme liefert die Tafel jedoch überhaupt keine Anhaltspunkte. Weder läßt sich die erste, nach der Bruchstelle erhaltene Spalte, die das Verhältnis der Quadrate zweier Seiten enthält und nach der die Werte geordnet sind, zweifelfrei als ein Zwischenwert einer Berechnung deuten, die auf ein solches Verfahren schließen ließe, noch deuten die Fehler einzelner Werte eindeutig auf ein solches Verfahren hin. Besonderen Zweifel an der Annahme, die Babyionier hätten den Satz des Pythagoras schlicht und einfach gekannt, weckt die Tatsache, daß ausgerechnet der einzige mathematische Text, in dem rechtwinklige Dreiecke eine systematische Rolle spielen, der eingangs bereits ausführlich diskutierte Text IM 55357, den stärksten Gegenbeleg darstellt

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für eine allgemeine Kenntnis des Satzes in dieser Periode, in der die babylonische Mathematik ansonsten ihre größten Leistungen hervorbrachte. Ein rechtwinkliges Dreieck wird durch eine Folge von Höhen in Teildreiecke zerlegt. Die Längen der Höhen gilt es zu ermitteln. Kennt man den Satz des Pythagoras, ist dies eine einfache Aufgabe. Wie soll die Annahme, der Satz sei in dieser Periode bekannt gewesen und habe die Grundlage für die Berechnung rechtwinkliger Dreiecke gebildet, damit vereinbar sein, daß ausgerechnet in diesem "pythagoreischen" Text die Höhen nicht mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden, sondern mit Hilfe der Dreiecksflächen, die überflüssigerweise zusätzlich gegebenen wurden so als ob die Aufgabe ohne diese Zusatzinformation nicht lösbar wäre. Dabei handelt es sich bei diesem Text sicherlich nicht etwa um die mißlungene Übung eines unfähigen Schülers, sondern vielmehr über einen arithmetisch überaus elaborierten Text, der nun seinerseits wiederum zu der Vermutung geführt hat, den Babyioniern seien bereits auch mit den Ähnlichkeitssätzen der euklidischen Geometrie vertraut gewesen. Die direktesten Hinweise auf eine Kenntnis des Satzes liefern jene Texte, bei denen zur Berechnung einer Diagonalen oder einer Seite aus einer Diagonalen der Rechengang Schritt für Schritt dem folgt, was man bei einer Kenntnis des Satzes erwarten sollte. Außer dem eben bereits diskutierten Text VAT 6598 + BM 96957, der Umrechnungen zwischen Höhe, Breite und Diagonale einer Tür zum Gegenstand hat, sind dies im wesentlichen nur zwei weitere frühe Texte. Wie bei fast allen Texten, in denen pythagoreische Zahlen eine Rolle spielen, bilden dabei die Seitenlängen Vielfache des speziellen, wohl einfachsten und bekanntesten pythagoreischen Zahlentripels 3, 4 und 5. Der jüngere dieser beiden Texte (BM 85196, kassitisch oder etwas älter) 106 enthält eine Aufgabe,107 die am direktesten die Umrechnung dieser pythagoreischen Zahlen ineinander dokumentiert. Ein Balken wird an eine Mauer gelehnt, und zwar so, daß die Seitenverhältnisse des Dreiecks aus der Mauer, dem Balken und dem Fußboden zwischen Mauer und Balken den pythagoreischen Zahlen 3, 4 und 5 entsprechen. Gegeben sind die Länge des Balkens und die Differenz zwischen der Balkenlänge und der Höhe des Punktes, an dem die Leiter an der Mauer lehnt, in der Aufgabe benannt als die Strecke um die sich der Balken beim Abrücken von der Wand senkt. Zu berechnen ist der Bodenabstand der Leiter von der Mauer. Anschließend ist umgekehrt aus dem Bodenabstand die genannte Differenz zu berechnen. Die Lösung der einfachen Aufgabe folgt ohne Umwege dem Rechengang, der sich aus dem Sachverhalt ergibt, daß nach dem Satz des Pythagoras das Quadrat über der Länge der Leiter gleich der Summe der Quadrate über dem Bodenabstand und über der Höhe des Anlehnungspunktes ist.

106 Neugebauer 1935/1937, Band 2: 43ff. 105 Vogel 1958/1959: 37

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107 N r. 9 nach der Zählung von Neugebauer.

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Der etwas ältere der beiden Texte, die die Umrechnung von Länge 1und Breite b in die Diagonale d als anscheinend direkte Anwendung des Satzes des Pythagoras enthalten, ist der bereits eingangs angeführte Text IM 67118, eine Tafel mit nur einer einzige Aufgabe, bei der aus der Diagonalen d und der Fläche F eines Vierecks dessen Länge 1und Breite b ausgerechnet werden. Anschließend werden aus Länge und Breite wieder die gegebene Fläche und die Länge der Diagonalen zurück gerechnet.

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Rechengang für die Lösung. 108 Gegeben ist die Summe s der Flächen zweier Quadrate mit den Seitenlängen 11 und 12 , sowie das Produkt p dieser beiden Quadratseiten. 2

2

11 + 12

=S

11 . 12

=P

Der Rechengang folgt dann dem Schema:

Diese Kontrollrechnung, mit der die Richtigkeit der erzielten Ergebnisse 1und b bestätigt wird, folgt wiederum sehr eng dem durch den Satz des Pythagoras nahegelegten Schema. Die errechneten Werte für die Länge und die Breite des Vierecks werden quadriert und die Quadrate addiert.

Die Länge der Diagonalen ergibt sich dann als Quadratwurzel aus dieser Summe. Angesichts dieser anscheinend unbezweifelbaren, direkten Anwendung des Satzes des Pythagoras sollte man erwarten, daß der babylonische Mathematiker auch bei der vorausgehenden, eigentlichen Lösung des Problems den direktesten Weg der Problemlösung mit Hilfe des Satzes des Pythagoras eingeschlagen hat, vorausgesetzt, er kannte außer diesem Satz und der Formel für die Fläche des Rechtecks auch noch die binomischen Formeln. Nach dem Satz des Pythagoras ist das Quadrat der gegebenen Diagonalen gleich der Summe der Quadrate von Länge und Breite des Vierecks. Da die Fläche gleich dem Produkt von Länge und Breite ist, erhielte man nach den binomischen Formeln durch Addition der doppelten Fläche das Quadrat der Summe von Länge und Breite, durch Subtraktion der doppelten Fläche das Quadrat der Differenz von Länge und Breite. 2 d + 2F

= 12 + 21 b + b 2 = (1 + b) 2

2 2 2 d -2F = 1 -21b+b = (1-b)2

Aus der Summe und Differenz von Länge und Breite ließen sich dann Länge und Breite leicht berechnen. Dieses ist jedoch nicht der auf der Tafel eingeschlagene Weg. Es gibt noch einen zweiten naheliegenden Weg, auf dem der Schreiber des Textes die Lösung hätte finden können. Da nach dem Satz des Pythagoras das Quadrat der gegebenen Diagonalen gleich der Summe der Quadrate von Länge und Breite, die gegebene Fläche ihr Produkt ist, besteht das Problem darin, aus der Summe der Quadrate von zwei Zahlen und ihrem Produkt die beiden Zahlen zu errechnen. Für dieses Problem gab es jedoch in der babylonischen Mathematik möglicherweise ein Standardverfahren der Lösung. Zumindest kommt genau diese Aufgabe in zweien der Texte mit Serien von systematisch variierten Aufgabenstellungen vor, in einem von ihnen sogar mit dem

Auch dieser Rechengang ist jedoch nicht derjenige, den der Schreiber gewählt hat. Die tatsächliche Lösung des Problems auf der Tafel folgt offensichtlich nicht einem fest tradierten Schema und gewährt daher einen gewissen Einblick in das Verhältnis von tradiertem Wissen und individueller Problemlösung. Der Rechengang ist nicht optimiert, sondern verfolgt einen Umweg, der als Ergebnis einer individuellen Lösungsstrategie verständlich wird, bei der sich der Schreiber zunächst an einer geometrischen Figur orientiert um die Ausgangsbedingungen für die Anwendung eines Standardverfahrens zu erreichen, daß ihm vertraut ist. Gegeben sind die Diagonale des Vierecks d = 1.15 und seine Fläche F = 45, wobei die Lösung zeigt, daß 1; 15 und 0;4 5 die Absolutwerte der Maße sein müssen. Der Lösungsgang beginnt mit der Berechnung des Quadrats über der Diagonalen, jedoch in einer Terminologie, die das Operieren mit geometrischen Flächen zum Ausdruck bringt. 109 Geht man davon aus, daß der Schreiber in der Tat über der Diagonalen des Vierecks das Quadrat gezeichnet hat und dann die Zeichnung symmetrisch zu einer Figur ähnlich denen des oben diskutierten Schultextes BM 15285 ergänzt hat, dann kann er aus dieser Figur unmittelbar abgelesen haben, was sich ansonsten nur mit Hilfe des Satzes des Pythagoras und der binomischen Formel hätte erschließen können (Abb. 27). Die Zeichnung zeigt dann nämlich, daß man das Quadrat der Differenz von Länge und Breite erhält, wenn man von dem Quadrat der Diagonalen die Fläche des Vierecks zweimal abzieht. (1- b)

2

= d 2 + 2F = 0;3,45

108 BM 13901, Neugebauer 1935/1937, Band 3: lff. Aufgabe 12; YBC 4714, Neugebauer 1935/1937 Band 1: 487ff. Aufgabe 29. Neuinterpretation des Textes von H0Yrup in diesem Band. 109 Zur geometrischen Bedeutung der verwendeten Termini mebrum, futäkulum, und bar~um, mit denen die Operationen beschrieben werden, siehe H0Yrup 1990 und in diesem Band.

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I I I I I I "--------I

I

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und Subtraktion der Abweichung a der Seiten von diesem Mittelwert die Seiten I und b selbst berechnen. Die Vierecksfläche F = I· b ergibt sich als Differenz des Quadrats des Mittelwerts m und des Quadrats der Abweichung a. 1+ b

m=-

2

1= m+a

I-b a= 2 b

= m-a

lI-bi

d

b

Abbildung 27. Zum Rechengang der Tafel IM 67118

Genau dieses erfolgt in der Rechnung, gefolgt vom Ausziehen der Quadratwurzel, aber dann geschieht etwas Merkwürdiges. Der Schreiber halbiert die gewonnene Differenz und quadriert das Ergebnis wieder, eine überflüssige Operation, denn er hätte ja einfach nur das Quadrat der Differenz durch vier teilen müssen, um das gleiche Ergebnis zu erhalten wie er es mit dem Ausziehen der Quadratwurzel, dem Halbieren und dem anschließenden Quadrieren erhalten hat. Eine Erklärung für diese merkwürdige Operation ergibt sich daraus, daß das Zwischenergebnis der halben Differenz aus Länge und Breite das Ziel des ersten Abschnitts der Rechnung ist, an den sich ein zweiter Abschnitt mit der Berechnung nach einem Verfahren anschließt, für das dieser Wert den Ausgangspunkt bildet. a

= I-b - 2 = 0'730 ' ,

Dieses Verfahren läßt sich plausibel rekonstruieren, wenn man berücksichtigt, daß der Mittelwert zweier Größen und die Abweichung dieser Größen von ihrem Mittelwert in den Rechengängen vieler Aufgaben eine zentrale Rolle für die Abfolge der Rechnungen spielen. Zwischen zwei voneinander verschiedenen Größen I und b, ihrem Mittelwert m und der Abweichung ader bei den Größen von ihrem Mittelwert bestehen einfache Beziehungen, denen in der babylonischen Mathematik die Rechnungen häufig folgen. Insbesondere lassen sich aus dem Mittelwert m der Seiten eines Vierecks durch Addition

Der Umgang mit Mittelwerten zur Reduktion der Komplexität von Problemen war eine zentrale Technik der Feldmesser des dritten Jahrtausends. Angesichts der Kontinuität zwischen dem Wissen dieser Praktiker und der durch die Erfindung des sexagesimalen Stellenwertsystems arithmetisierten Geometrie wird ein virtuoser Umgang mit Mittelwerten in abstrahierter Form auch in der altbabylonischen Periode zu den Grundfertigkeiten der Schreiber gehört haben. Es gibt daher Grund zu der Annahme, daß Umrechnungen zwischen Maßen und Mittelwerten tradierte Standardverfahren der babylonischen Mathematiker waren. Der vorliegenden Text liefert hierfür ein Beispiel. Offensichtlich diente der erste Abschnitt der Rechnung dem Ziel, die Abweichung a = 0;7,30 der Seiten vom Mittelwert auszurechnen. Der zweite Abschnitt dient nun der Berechnung des Mittelwertes m selbst. Zu diesem Zweck wird das Quadrat der Abweichung a zur Fläche F addiert, um das Quadrat des Mittelwerts m 2 zu erhalten und aus diesem die Quadratwurzel m = 0,52,30 zu ziehen. Aus dieser ergeben sich durch Addition und Subtraktion der Abweichung die Länge 1= 1 und die Breite b = 0;45. Nimmt man also an, der Schreiber habe gelernt, Zeichnungen, wie sie uns aus dem Schultext BM 15285 bekannt sind, heuristisch für die Lösung von Problemen zu gebrauchen und aus ihnen die Abfolge der erforderlichen Rechnungen abzulesen, und nimmt man ferner an, daß er mit den Standardumrechnun·gen vertraut war, die durch Reflexion auf die Methoden der Feldmesser bei der Verwendung von Mittelwerten nach der Erfindung des sexagesimalen Stellenwertsystems entwickelt worden sind, dann erscheint die Lösung des Problem als eine stringente Abfolge plausible Rechenoperationen. Aus der Sicht der euklidischen Geometrie erscheinen die Rechenschritte durch den Satz des Pythagoras und durch die binomischen Formeln gerechtfertigt, aber es gibt a?gesichts der geometrischen Plausibilität des heuristischen Teils der Aufgabenlösung kemen Anlaß anzunehmen, daß auch für den babylonischen Schreiber dieses die Grundlage war, über die Korrektheit oder Fehlerhaftigkeit seiner Lösung des Problems zu entschei-

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den. Die Ableitbarkeit der Umrechnungen aus den topologischen Beziehungen geometrischer Figuren, die Teilungslinien vom Typus von "Diagonalen" aufweisen, und die Umkehrbarkeit solcher Umrechnungen, das heißt, die Möglichkeit durch Rückrechnung der Ergebnisse zu den Ausgangwerten zurückgelangen zu können, waren die zentrale Mittel der Überprüfung der Korrektheit solcher Rechnungen. Versagten diese Kriterien wie im Fall der Umrechnung von Längen, Breiten und Diagonalen ineinander, die keine pythagoreischen Zahlen waren und irrationale Zahlenverhältnisse aufwiesen, dann verloren Umrechnungen nach dem Satz des Pythagoras ihre besondere Stellung und andere Verfahren konnten, wie dies die oben diskutierte Berechnung der Diagonalen einer Tür gezeigt hat (VAT 6598 + BM 96957), an ihre Stelle treten, Verfahren, die keine vergleichbare Rechtfertigung in der euklidischen Geometrie besitzen.

welche Schritte einer heuristischen ad-hoc-Überlegung des Schreibers entspringen, mit der eine individuelle oder kollektive Wissenslücke überbrückt wird. Die Ergebnisse der vorangehenden Analyse machen vor allem auf drei Quellen mathematischer Kenntnisse aufmerksam, aus denen die Entwicklung der babylonischen Mathematik gespeist wurde. •

Die erste Quelle bildete die Praxis der Schreiber, die in der Verwaltung tätig waren. Die von dieser Praxis abgehobenen mathematischen Techniken, Teile der mathematischen Terminologie und die Struktur des mathematischen Wissens sind direkt der Verwaltungspraxis entlehnt, oder sie spiegeln in Form von Modellen diese Praxis wider.

•

Die zweite Quelle bildete die Ausbildung der Schreiber. Die systematische Lehre von Verwaltungstechniken hat bereits im Verlaufe des dritten Jahrtausends spezifische Formen der Abstraktion von den Zwecksetzungen der Verwaltungspraxis hervorgebracht. Im Kontext dieser Wissensvermittlung wurde das Problemlösungspotential von Verwaltungsinstrumenten elaboriert. Zugleich entstand eine eigene Form der Repräsentation der den Schreibern vermittelten Praxis in Form von artifiziellen Aufgabenstellungen und ihrer Lösungen. Ferner hat die Ausbildung der Schreiber Verfahren der logischen Begründung von Lösungsverfahren durch Aufgabenfolgen und durch Umkehrung von Aufgabenstellung und Rückrechnung der Ausgangsbedingungen aus den Ergebnissen hervorgebracht.

•

Die dritte Quelle bildete das sexagesimale Stellenwertsystem, dessen Erfindung Ende des dritten Jahrtausends zwar die Verwaltungspraxis kaum beeinf!ußte, das jedoch die Bedingungen für die Entwicklung mathematischer Kenntnisse grundlegend veränderte. Dieses System wurde zu einem eigenständigen Medium der Repräsentation numerischer Operationen und zum Ausgangspunkt einer Verselbständigung der Aufgaben in Abgrenzung zu den Zwecksetzungen der Verwaltungspraxis und ihrer Problemlösungen, die weiterreichende Folgen zeitigte als vor dieser Erfindung.

14. Schluß Den Ausgangspunkt der vorliegenden Untersuchung bildete die Frage: Kannten die Babylonier den Satz des Pythagoras? Im Verlaufe der Untersuchung hat sich gezeigt, daß diese Frage in der gestellten Form nicht mit einem einfachen "Ja" oder "Nein" beantwortet werden kann. Sie bedarf vielmehr der Präzisierung, denn je nachdem, was man unter einem "Satz" und unter "kennen" versteht, fällt die Antwort verschieden aus. Hier mußte daher zunächst die Frage geklärt werden, in welchem Sinne in Bezug auf die babylonische Mathematik überhaupt von Sätzen die Rede sein kann. Der logische Status des babylonischen "Satzes des Pythagoras" läßt sich nur aus der Funktion des Satzes im Kontext des mathematischen Wissens der babylonischen Schreiber erschließen. Wie wurden die mathematischen Kenntnisse der Schreiber erworben? In welcher Form waren die mathematischen Kenntnisse der Schreiber repräsentiert? Wie wurden sie angewendet? Wie wurden sie kommuniziert? Spielten "Sätze" im Sinne euklidischer Theoreme beim Erwerb und bei der historischen Tradierung ihrer mathematischen Kenntnisse überhaupt eine Rolle? Die mathematischen Keilschrifttexte der altbabylonischen Periode enthalten zweifellos Hinweise, die auf eine Kenntnis des Satzes des Pythagoras hindeuten, aber sichere Rückschlüsse auf das geometrischen Wissen der babylonischen Schreiber lassen sich aus diesen Hinweisen nur im Kontext der Antworten auf diese Fragen ziehen. Dies ergibt sich schon aus der Tatsache, daß die mathematischen Keilschrifttexte, wie jede historische Quelle, nicht nur das tradierte mathematische Wissen der Babylonier dokumentieren, sondern notwendigerweise zugleich auch individuelle Folgerungen, die einzelne Schreiber mehr oder weniger zwingend und möglicherweise völlig wirkungslos für die babylonische Mathematik im Ganzen aus diesem Wissen gezogen haben. Jede überlieferte Aufgabe nötigt uns daher ein Urteil darüber ab, welche Lösungsschritte ein im mathematischen Wissen begründetes Verfahren repräsentieren und

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Diese drei Quellen der babylonischen Mathematik bestimmten insbesondere auch die Struktur des geometrischen Kenntnisse der Schreiber sowie die Form, in der di.es~ Kenntnisse als kommunizierbares und tradierbares Wissen repräsentiert wurden. DIe 1m staatlichen Verwaltungssystem des dritten Jahrtausends verankerte geometrische Praxis. der Feldmessung bildete die Grundlage für die geometrischen Kenntnisse der SchreIber. Diese Kenntnisse wurden weder durch Verallgemeinerung empirischer Beobachtungen und Erfahrungen, noch durch schrittweise Deduktion aus mathematische~ Grunde~ fahrungen akkumuliert. Sie resultierten vielmehr aus der Reflexion der SchreIber auf dIe

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von ihnen entwickelten Mittel der Verwaltung, insbesondere der Verwaltung der Feldflächen. Die Herkunft aus der Praxis der Verwaltung verlieh dem geometrischen Wissen der Schreiber einen eigentümlichen, nicht-euklidischen Charakter. Die Geometrie dieser Schreiber, wenn man ihre in der Verwaltung der Feldflächen gewonnenen Kenntnisse so bezeichnen will, repräsentierte nicht die metrische Form von Flächen, sondern die Rechenverfahren zu ihrer Reduktion auf numerische Größen. Die Elemente dieser "Geometrie" waren nicht "Sätze", sondern Operationen, vor allem solche des Absteckens von Feldern, ihrer Aufgliederung in regelmäßigere Teilflächen, der Vermessung und Berechnung dieser Flächen und schließlich der Reduktion der komplex gegliederten Flächen auf einfache numerische Maße. Zentrale euklidische Begriffe wie der des Winkels oder der der Parallelität, falls es sie überhaupt gegeben hat, hatten in dieser, aus der Praxis der Feldmesser abgeleiteten Geometrie keine Funktion. Es ist daher auch nicht verwunderlich, daß es aus dem dritten Jahrtausend weder direkte noch indirekte Hinweise auf eine Kenntnis des Satzes des Pythagoras gibt. Diese Feststellung gilt nicht in gleichem Maße uneingeschränkt auch für die Kenntnis pythagoreischer Zahlen. Zumindest gab es vergleichbare Formen der Repräsentation ~eometrischen Wissens, die die Annahme nahelegen, in Form der Kenntnis pythagoreIscher Zahlen könnte auch der Satz des Pythagoras schon im dritten Jahrtausend eine R?lle gespielt haben. Die oben diskutierte altakkadische Zeichnung der Teilung eines VIerecks (IM 58045) scheint beispielsweise in ähnlicher Weise eine geometrische Beziehung paradigmatisch durch Zahlen zu repräsentieren, in diesem Fall die Beziehung zwischen der Länge der Teilungslinie und den beiden von ihr nicht geteilten Seiten. Der Mittelwert der Quadrate dieser beiden Seiten mit den Maßen 5 und 17 Ellen ist wieder eine Quadratzahl, nämlich das Quadrat von 13 Ellen. Nimmt man an, daß dieses Maß implizit als Länge der Teilungslinie angesehen wurde, dann verkörperten diese Maße die oben diskutierte, in späteren Texten den Verfahren zur Berechnung der Länge der Teilungslinie zugrundeliegende Beziehung, daß die Summe der Quadrate der Seiten gleich dem doppelten Quadrat der Teilungslinie ist. Dieses Beispiel aus dem Schulkontext deutet darauf hin, daß die Konstruktion derartiger numerischer Repräsentationen geometrischer Beziehungen schon im dritten Jahrtausend im Bereich des Möglichen lag. Es ist daher insbesondere auch nicht ausgeschlossen, daß die häufig geäußerte Vermutung für Babylonien tatsächlich zutrifft, bereits vor der Entdeckung des allgemeinen Satzes des Pythagoras sei das Tripel pythagoreischer Zahlen 3, 4 und 5 dazu verwendet worden, mit Hilfe von Knotenschnüren in der Architektur rechte Winkel abzustecken. Für eine solche Annahme gibt es jedoch bislang keine wirklichen Belege. Der Kontext, in dem die frühesten Hinweise dafür auftauchen, daß die Babyionier den Satz der Pythagoras gekannt haben könnten, ist erst die Entwicklung einer den mathematischen Wissenskanon stabilisierenden Texttradition, die gegen Ende des Jahrtausends durch die

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Erfindung des sexagesimalen Stellenwertsystems ausgelöst wurde. Diese gegenüber ihrer Basis im Praktikerwissen der Feldmesser verselbständigte Textradition weist die historische Besonderheit auf, daß hier zum ersten Mal abstraktes mathematisches Wissen im Sinne der späteren, griechischen Tradition repräsentiert wurde. Im Kontext dieser historischen Tradierung mathematischen Wissens bildete die babylonischen Kenntnis des Satzes des Pythagoras, worin immer sie bestanden haben mag, keine isolierte Erkenntnis. Sie war vielmehr eine Begleiterscheinung der Entstehung eines zusammenhängenden mathematischen Wissensystems, dessen plötzliches Auftauchen in unmittelbarem zeitlichen und sachlichen Zusammenhang mit der Entstehung des sexagesimalen Stellenwertsystems nach einer einheitlichen Erklärung verlangt. Die Form, in der dieses mathematische Wissen repräsentiert war und in der es kommuniziert und tradiert wurde, war allerdings grundlegend verschieden von der Form der deduktiven Theorie, in der der Satz des Pythagoras später seine kanonische Formulierung erhielt. Auch hinsichtlich der Form der Repräsentation des mathematischen Wissens setzte die babylonische Mathematik eine Tradition der Verwaltungspraxis fort. Im dritten Jahrtausend waren die geometrischen Kenntnisse den Techniken der Feldmesser inhärent und wurden gemeinsam mit diesen Verfahren kommuniziert und tradiert. Im Schulkontext wurde diese Tradierung durch eigens konstruierte, dekontextuierte Aufgaben intensiviert, bei denen an die Stelle der externen Zwecksetzung der Verwendung solcher Techniken die immanente Zielsetzung trat, deren Möglichkeiten und Grenzen zu elaborieren. Diese Form der Repräsentation geometrischer Kenntnisse in praktischen Verfahren und paradigmatischen Aktivitäten blieb auch nach der Verselbständigung der Tradierung mathematischen Wissens im Zuge der Entstehung der altbabylonischen Mathematik das zentrale Mittel der babylonischen Schreiber geometrische Kenntnisse zu kommunizieren und zu tradieren. Solche Kenntnisse wurden im wesentlichen durch Serien systematisch variierter Aufgaben vermittelt, die zum Zwecke der Einübung schematisierter numerischer Lösungen konstruiert wurden. Ergänzt wurde diese Form der Repräsentation durch Zeichnungen, die, wie in der späteren euklidischen Geometrie, mit Lineal und Zirkel angefertigt wurden. Der Bezug dieser Zeichnungen zu den repräsentierten geometrischen Formen wurde jedoch nicht durch diese Konstruktion hergestellt, sondern, wie bei den Zeichnungen der Feldmesser, durch die Topologie der Flächenteilungen. Diese Form der Repräsentation geometrischen Wissens ist der epistemologische Kontext, in dem der babylonische "Satz des Pythagoras" zu interpretieren ist. Was bleibt nun von den Belegen übrig, die auf die Kenntnis des Satzes des Pythagoras hindeuten, wenn man sie im Kontext der babylonischen Schreiber und ihrer Praxis interpretiert, Rechenverfahren auf geometrische Probleme anzuwenden, und nicht im Kontext des euklidischen Gebäudes von Theoremen? Es sind vor allem drei Befunde festzuhalten, die das Verhältnis solcher Rechenverfahren zum Satz des Pythagoras betreffen.

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Die babylonischen Schreiber verwendeten bei der Konstruktion von geometrischen Aufgaben, insbesondere wenn sie sich auf Figuren mit Teilungslinien vom Typus der "Diagonale" (altbabylonisch: fi1iptu) beziehen, pythagoreische Zahlentripel, und zwar fast ausschließlich solche, die sich aus dem Tripel (3, 4, 5) durch Multiplikation mit einem einfachen Faktor mit endlicher Sexagesimaldarstellung ergeben.

•

Zum Umrechnen von Werten eines pythagoreischen Zahlen tripels ineinander verwendeten die babylonischen Schreiber ein Lösungsschema, das auf der für solche Tripel konstitutiven Beziehung beruht, daß das Quadrat der größten Zahl, die die "Diagonale" repräsentierte, gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Zahlen ist, die die "Länge" (us) und "Breite" (sag = "Kopf") repräsentierten.

•

Für die Umrechnung von Längen, Breiten und Diagonalen ineinander, die keine pythagoreischen, sondern irrationale Zahlenverhältnisse aufweisen, konnten an die Stelle der Umrechnungen, die dem Satz des Pythagoras entsprechen, andere Verfahren treten, die keine vergleichbare Rechtfertigung in der euklidischen Geometrie besitzen, die aber sich teilweise als Näherungsverfahren interpretieren lassen.

In der herkömmlichen Wissenschaftsgeschichte werden diese drei Befunde unter der stillschweigenden Annahme interpretiert, die im Rahmen der babylonischen Mathematik formulierten geometrischen Aufgaben würden ihrer Natur nach euklidische Probleme einer letztlich universellen geometrischen Anschauung aufwerfen. Im logischen Gerüst einer solchen Interpretation liegt es nahe, das Operieren mit geometrischen Objekten in einer dem euklidischen Denken vertrauten Weise als Ausdruck der Kenntnis euklidischer Theoreme zu deuten, insbesondere die geometrische Anwendung pythagoreischer Zahlen als Resultat einer Anwendung des Satzes des Pythagoras auf rechtwinklige Dreiecke. Es ist eine unmittelbare Folge dieser Vorgehensweise, daß üblicherweise schon die Beschreibung der den babylonischen Schreibern zugeschriebenen geometrischen Kenntnisse bedenkenlos in einer Darstellungsform erfolgt, die mit der Form, in der diese Schreiber selbst ihre Kenntnisse kommunizierten und tradierten, kaum zu vereinbaren ist. Obwohl in den mathematischen Texten keine einzige Formulierung von der Art euklidischer Theoreme zu finden ist, wird die babylonische Geometrie durch Theoreme in Form von algebraischen Beziehungen zwischen geometrischen Größen gekennzeichnet. Unterstellt wird die Kenntnis jener Theoreme, durch die sich die in den Texten dokumentieren Rechnungen im Rahmen der euklidischen Geometrie rechtfertigen lassen, sofern sie aus dieser Perspektive überhaupt als korrekt erscheinen oder wenigstens als Näherung plausibel zu machen sind. Den von den Schreibern thematisierten geometrischen Objekten werden dabei notwendigerweise Eigenschaften wie die der Rechtwinkligkeit oder der Parallelität bestimmter Linien beigelegt, die diese selbst nie als Bedingung formuliert haben. Die Zuschreibung erfolgt selbst dann, wenn solche An-

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nahmen in offenem Widerspruch zu den Zeichnungen stehen, mit denen die Schreiber selbst die gemeinten Objekte darstellten. Eine solche Interpretation der vorhandenen Quellen setzt. stillschweigen~ v~raus, d~ß die Struktur des mathematischen Wissens von den Operatlonen, durch dIe dIeses WISsen gewonnen wurde, und von der spezifischen Form, in der. es zum Lösen ~on ~ufgaben verwendet wird, weitgehend unabhängig ist. Di.e baby~omsche Geo~et~le WIrd unter dieser Voraussetzung zu einem noch unvollständIgen Tellsystem von Emslchten der euklidischen Geometrie, das von den babylonischen Schreibern zwar verwendet, aber noch nicht adäquat expliziert wurde. Anders jedenfalls als in der späteren griechischen Trad~ tion wurden weder die angenommenen wesentliche Einsichten, noch deren ~athematl sche Begründungen schriftlich fixiert. Sie treten einer solchen Interpr~tatlon zufolge dennoch indirekt durch die aus ihnen gezogenen Schlußfolgerungen 1m Ablauf der Rechnungen in Erscheinung. Die zahlreichen Ungereimtheiten wie etwa die Anwendung de~ Sat~es des Pythagoras auf nicht-rechtwinklige Dreiecke, auf die eine solche Interpretatlon 1m Falle der Befunde führt, aus denen auf diese Weise die Kenntnis des Satzes des Pythagoras erschlossen wurde, legen allerdings eine weniger spekulat~~e Interpretation sol~her Befunde n:m e. Vor de~ Hintergrund der hier vorgetragenen Uber~egu~gen muß dIe Re~onstruktl?n geometnscher Kenntnisse der babylonischen SchreIber m der altbabylomschen Penode von ~er Analyse der Formen der Repräsentation ausgehen, mit de~en im historische~ Kontex~ dIeser Periode derartiges Wissen real kommuniziert und tradIert wurde. Das heIßt, es mu.ssen zunächst in den dokumentierten Rechnungen die erlernten Routinen und Subroutmen identifiziert werden, die von den babylonischen Schreibern beim Konstruieren und Löse? der Aufgaben miteinander kombiniert wurden. Es müssen dann auf.dies:r Grundlage dIe mentalen Modelle der geometrischen Objekte erschlossen werden, dIe beIm Erlernen u~d bei der Verwendung dieser Routinen als begriffliche Verbindungen der Ausgangsbedmgungen und Ergebnisse der ausgeführten Transformationen erworben werden. Diese in der Reflexion auf erlernte Routinen ausgebildeten mentalen Modelle geometr~ scher Objekte sind es, die man begründeterweise auch in .einer solchen his~orischen SItuation als geometrische Kenntnisse identifiz~er~n kan~, m der mathe~atlsche Ke~nt: nisse noch nicht in reflektierter Form als schnftlIch fiXIerte "Theoreme und "BeweIse kommuniziert und tradiert wurden. Charakteristisch ist die Belegung solcher Modelle mit "Default"-Annahmen, mit prototypischen Beispielen, etwa damit, daß ein .Dre~eck oder Viereck üblicherweise eine Breite von 3 Einheiten und eine Länge von 4 Emhel~en und die "Diagonale" eine Länge von 5 Einheiten besitzt. Ein ä~nliches Mode~l reduzl~rt zwei ungleiche Größen auf ihren Mittelwert und deren Abw:lchung v?m dle~em Ml~ telwert und reproduziert umkehrt aus Mittelwert und AbweIchung WIeder dIe ~~glel chen Größen. Mentale geometrische Modelle liegen auch der Zerlegung komplI~~erter Formen in einfache Flächen zugrunde sowie umgekehrt der Synthese solcher Flachen

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aus einfachen geometrischen Formen. Solche Modelle ähneln jenem handlungsleitenden, prozeduralen Wissen, das den Praktikern der Feldmessung den zweckmäßigen Umgang mit den Hilfmitteln der geometrischen Erfassung der Felder ermöglichte; sie unterscheiden sich von diesem jedoch insofern, als sie nicht mehr nur den Umgang mit den realen geometrischen Meßinstrumenten reflektieren, sondern darüberhinaus auch den Umgang mit den Symbolen in Form von numerischen und gezeichneten Größen, mit denen die Ergebnisse der Feldmessung dokumentiert und weiterverwendet wurden. Der logische Zusammenhang von Routinen ist allerdings ein anderer als der Zusammenhang von Theoremen in einem deduktiven System. Die Verifikation, die Routinen den durch ein mentales Modell implizit definierten Eigenschaften eines geometrischen Objekts verleihen können, ist in ihrer Umkehrbarkeit begründet. Eine Berechnung von Größen aus der umgekehrt die Ausgangsbedingungen einer gestellten Aufgabe zurückgerechnet werden können, verbürgt in einem gewissen Sinn die Korrektheit der Routine und ihrer Anwendung. Es ist daher auch kein Wunder, daß in der durch Routinen kommunizierten und tradierten babylonischen Mathematik die Umkehrung von Rechenverfahren eine geradezu konstitutive Rolle spielt. In der verselbständigten altbabylonischen Tradition der Geometrie ist genau dieselbe Vertauschung von Voraussetzung und Ergebnis das zentrale Prinzip der Abstraktion von Erkenntnissen aus praktischen Verfahren und symbolisch vermittelten Routinen, die schon in der Tradition der Feldmessung im dritten Jahrtausend Abstraktionen kennzeichnete. Pythagoreische Zahlen werden in diesem Kontext dadurch zu identifizierbaren und eindeutig bestimmten Objekten, daß sich Länge, Breite und Diagonale als Invarianten der sie begründenden, inversen Routinen erweisen, durch die sie ineinander umgerechnet werden, nicht dagegen dadurch, daß sie in irgendeinem Sinn sich an realen Feldflächen oder konstruierten Figuren als empirisch bestätigbar erweisen. Das Wissen darum, daß die Skalierung pythagoreischer Dreiecke durch Multiplikation der Seiten längen mit festen Faktoren die Anwendbarkeit der pythagoreischen Umrechnungen zwischen den Seiten nicht beeinträchtigt, ist dementsprechend auch keine tiefsinnige mathematische Ergänzung, sondern geradezu eine konstitutive Bedingung, die diese Umrechnungen als eine zu tradierende Routine begründete. Im Gegensatz zu deduktiven Beweisen, die Voraussetzungen und Theoreme miteinander in Beziehung setzen, liefert die Begründung von Routinen durch deren Umkehrbarkeit keine internen Kriterien für ihre Anwendbarkeit. Das in Form von mentalen Modellen geometrischer Objekte kommunizierte und tradierte Wissen determiniert dementsprechend in weitaus geringerem Maße die Objekte, auf die es anwendbar ist, als euklidische Theoreme. Es gibt kein internes Kriterium der pythagoreischen Umrechnungen, die üblicherweise als Hinweise auf die Kenntnis des Satzes des Pythagoras gewertet werden, das es ermöglichen würde, logisch zwischen Dreiecken zu unterscheiden, für die die Umrechnungen exakt gelten, und solchen, auf die die Umrechnungen im strengen Sinne

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nicht anwendbar sind. Andererseits können verschiedene Verfahren der Umrechnung, die zwar gleichermaßen umkehrbar sind, aber nicht zu den gleichen Res~ltaten führen, nicht ohne äußere Kriterien in exakte und Näherungsverfahren unterschIeden werden. Die Komplexität der geometrischen Kenntnisse, die sich auf dieser Grundlage gewinnen lassen, resultiert aus der Tatsache, daß die elementaren mentalen Modelle über Flächenteilungen differenzierter Figuren miteinander in Beziehung gesetzt werden. Mit jeder Beziehung erhöht sich die Zahl der Kriterien, durch die sich eine Routine. als gerechtfertigt oder als fehlerhaft erweisen kann. Dabei ist allerdin~s nicht au~zuschlIeßen, ~aß ~er schiedene Routinen in Bezug auf die gleichen geometnschen Objekte unterschIedlIche Ergebnissen zeitigten. So stießen schon die Feldmess~r auf die Sc?wierigkei~, daß die B~ rechnung der Feldfläche von der weitgehend willkürlIchen AufglIederung eInes Feldes In Teilflächen abhängig war und damit das Ergebnis nicht ei?deutig .. Bei k0I?-plexen Feldformen lieferte das angewendete Verfahren sogar systematisch zweI verschIedene Werte, weil die gleiche Fläche zunächst mit den Messungen der einen Sei~e ber:chnet wurde und anschließend noch einmal mit den Messungen der anderen Seite. DIe Feldmesser lösten das Problem pragmatisch auf eine Weise, die für Praktiker typisch ist. Statt den Versuch zu unternehmen, das Zustandekommen der Differenzen theoretisch zu klären, verwendeten sie einfach den Mittelwert der beiden sich widersprechenden Werte. In den artifiziellen Problemstellungen der altbabylonischen Mathematik wurden solche Probleme auf andere Weise bewältigt. Das dichtere Netz von Verfahren, mit denen geometrische Größen ineinander umgerechnet werden, führte hier zu einer Selektion von Routinen und numerischen Belegungen der geometrischen Größen, die Mod~llsy~teme von reversiblen Umrechnungen konstituierten wie beispielsweise die geom~tnsch Interpretierten pythagoreischen Zahlen 3, 4 und 5. I?er so gesch~ffen:n baby!onIsch:.n :,Ge?metrie" sicherte die innere Konsistenz der tradIerten RoutInen Ihre LeIstungsfähIgkeIt; die konstruierten Zahlen beispiele verbürgten als Testdaten zur Kontrolle der korrekte? Ausführung der Routinen ihre Verständlichk~it. I?as ~entral~ Defizit dies:r .~e~~etne bestand darin, daß die Form ihrer Repräsentation In mit speZIellen Zahlen InItIalIsI.erten Modellsystemen für deren Übertragbarkeit keine eindeutigen Kriterie? lieferte. DIe babylonische Geometrie blieb daher hinsichtlich der Anwendungsbereiche der Rechenschemata, die ihr Wesen ausmachten, in hohem Maße unbestimmt. Zu den komplexeren Modellsystemen dieser Art gehörten insbesondere Z~lenb~ispiele für die Strecken und Flächengrößen von Flächenteilungen in Verbindung mIt geeIgneten Umrechnungen dieser Größen ineinander, die so beschaffen ,:aren, daß .die Summe ~ler Teilflächen auch tatsächlich der Gesamtfläche entsprach. DIe babylOnischen SchreIber hielten insbesondere sowohl an dem Verfahren zur Flächenberechnung, als auch an der Gleichheit der Gesamtfläche mit der Summe der Teilflächen fest, und sie verfügten auch über konsistente Zahlenbeispiele, die diese Bedingungen erfüllten. Sie nah~en d~für in Kauf, daß die Ergebnisse gelegentlich jede geometrische Plausibilität vermIssen lIeßen.

308

PETER DAMEROW


Dies unterscheidet sie prinzipiell von den Praktikern, deren Wissen sie in eine neue Form brachten und durch abstrakte Erweiterungen bereicherten. Die oben diskutieren, skurrilen Belege von Flächenteilungen, die jede Spur jener praktischen Vernunft der Feldmesser vermissen lassen, mit der diese die Unzulänglichkeiten ihrer Verfahren umgingen, zeigen, daß die altbabylonischen Schreiber sich der Defizite ihrer Rechenverfahren bewußt waren. Einen Weg, diese auf euklidische Weise zu beseitigen, gab es für sie nicht.

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Pythagoras" so uminterpretiert, daß sie das mathematische Operieren und nicht dessen Reflexion im Medium der Sprache benennt, kann man sagen, die Babyionier hätten den Satz des Pythagoras gekannt. Diese Einsicht ist nicht neu. Sie ist nur über die dramatischen Erfolge der Entzifferung der mathematischen Keilschrifttafeln in Vergessenheit geraten.

Literatur Kannten die Babyionier den Satz des Pythagoras? Es war eine eigentümliche, uns wenig vertraute Form des geometrischen Denkens, die sich in Babylonien als Reflexionsform des Praktikerwissens der Feldmesser im Medium sexagesimaler Rechenschemata entwikkelt hat. Aus keinem der euklidischen Theoreme, deren Kenntnis den Babyioniern zugeschrieben wird, wurden in dieser Mathematik die gleichen Folgerungen gezogen wie in der euklidischen Geometrie.

~ --2 ----- --

:C:

_ _ _ _ _ _ _ _1 _ _

,

Abbildung 28. Zeichnung der Tafel BM15285 und der Satz des Pythagoras Hätten die babylonischen Schreiber die Zeichnung, die ihr Verfahren der Berechnung der Quadratdiagonale repräsentierte, nur ein wenig verändert, um die besonderen Bedingungen des Spezialfalles zu beseitigen, dann hätte sie die Grundlage für einen allgemeinen Beweis des Satzes des Pythagoras bilden können. Für beliebig wählbare Seiten a und b hätte dann die Quadratfläche (a+b)2 zu gleicher Zeit die Beziehungen a2 +b 2 +2ab und c2 +2ab repräsentiert (Abb 28). Auch dann jedoch hätten die babylonischen Schreiber aus der Zeichnung wahrscheinlich nicht die euklidischen Konsequenzen gewgen, die zu einer Formulierung des Satzes des Pythagoras führen können. Sie hätten sie genauso interpretiert wie alle Zeichnungen der babylonischen Mathematik, nämlich als heuristische Grundlage für die sachgerechte Ausführung der implizierten, dem Satz des Pythagoras entsprechenden numerischen Umrechnungen. Der Geltungsbereich einer solchen Anwendung des Satz des Pythagoras wäre unbestimmt geblieben, weil erst die euklidische Interpretation die euklidischen Geltungsbedingungen des Satzes in die Zeichnung hineinlesen kann. Nur wenn man die Formulierung "Satz des

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311 ZEITMESSUNG HERMANN HUNGER

Die in diesem Manuskript zusammengetragenen Ansichten über Zeitmessung sind auf dem letzten Workshop nicht referiert worden; sie wurden nur nachträglich als Beitrag zur gemeinsamen Publikation eingesandt. Auch handelt es sich fast ausschließlich nicht um Ideen des Referenten, sondern um solche anderer Personen. Trotzdem schien es mir nicht unpassend, diese Zusammenstellung zu verfassen, weil auf dem Gebiet der Zeitmessung in letzter Zeit neue Texte publiziert und neue Vorschläge zur Interpretation altbekannten Materials gemacht wurden. Ich hoffe, daß dadurch eine Diskussion über dieses Thema angeregt wird.

1. Maßeinheiten Es gibt zwei Systeme zur Zeitmessung: das eine verwendet Länge~maße, das andere Gewichtsmaße. Das erste System besteht aus den Einheiten beru, US und NINDA. 1 biru = 30 US, 1 US = 60 NINDA. Dieses System ist in verschiedenen Arten von Texten, auch in astronomischen, zu finden. Das zweite System verwendet die Einheiten MA.NA (manu) und GIN (Jiqlu); 1 MA.NA = 60 GIN. Es kommt nur in astronomischen Texten vor, und zwar in Schemata für die wechselnde Länge von Tag und Nacht im Lauf des Jahres. Die Beziehung der beiden Systeme zueinander wurde geklärt von George l anhand von Tabellen in der XlV. Tafel der Serie Enuma Anu Enlil: 1 MA.NA = 2 biru. 1 beru entspricht 2 unserer Stunden, 1 US also 4 Minuten.

2. Meßgeräte Probleme mit diesen Maßen ergeben sich im Zusammenhang mit der Frage, wie man gemessen hat. Das Vorhandensein von Wörtern für "Wasseruhr" (maltaktu, gisdib.dib) und die Tatsache, daß MA.NA ein Gewichtsmaß ist, hat zur Annahme geführt, daß das Gewicht des Wassers in einer Wasseruhr zum Messen der Länge der Zeit verwendet wurde. Über die Konstruktion der babylonischen Wasseruhren ist wenig bekannt; man ist daher auf Vermutungen angewiesen. Thureau-Dangin 2 hat anhand von mathematischen Aufgabentexten gezeigt, daß es Einlauf-Wasseruhren gab, die eine im Vergleich zum Volumen niedrige Höhe hatten. In diesem Fall steigt der Wasserspiegel fast linear

1

George und Al-Rawi 1992.

2

Thureau-Dangin 1937.

312

mit der Zeit3, falls der Wasserdruck im dazugehörigen Auslaufgefäß sich nicht viel ändert. Neugebauer4 dachte an Wasseruhren, die sich an den erwähnten Schemata für die Länge von Tag und Nacht orientieren. Diese Schemata nehmen einen Wert von 2: 1 für das Verhältnis des längsten zum kürzesten Tag an. Da dies offensichtlich weder für Babylonien noch für Assyrien paßt, und da außerdem in späteren mathematisch-astronomischen Texten ein Verhältnis von 3 : 2 belegt ist, nahm Neugebauer an, daß es sich um zylindrische (oder prismatische) Auslauf-Wasseruhren handelte; läßt man einen solchen Behälter ganz ausfließen, so verhalten sich die Zeiten für das Ausfließen wie die Quadratwurzeln der Gewichte (oder Volumina). Er hoffte dadurch den Widerspruch zwischen dem Schema und der Realität beseitigt zu haben. Leider wurde seine Erklärung durch später publizierte Quellen nicht bestätigt. Zunächst ist festzuhalten, daß in MulApin S der Wert 3: 2 nicht explizit vorkommt, wie Neugebauer zur Zeit der Abfassung seines Artikels annahm; die Stelle, die Kugler6 dafür in Anspruch nahm, ist anders zu verstehen 7 . Ob die Tabellen für die Schattenlänge in Mul-Apin II ii, 21-42 dieses Verhältnis voraussetzen, ist eine Frage der Interpretation. Ich komme darauf noch zurück. Außerdem wird in einem Text aus dem 7. Jahrhundert 8 das Verhältnis 2: 1 in den Maßen biru und US ausgedrückt; diese Maße haben aber mit der Wasseruhr nichts zu tun, und daher kann Neugebauers Erklärung auf diesen Text nicht zutreffen. Auch in Mul-Apin selbst können einige Passagen, die das Verhältnis 2: 1 verwenden, nicht auf dem Umweg über die Wasseruhr verstanden werden 9 • Schließlich zeigt auch die jetzt vollständig vorliegende lO Tafel XIV von Enuma Anu Enlil, daß es eine Tradition gab, die den längsten Tag für doppelt so lang wie den kürzesten annahm. Diese Tradition ist schon seit der altbabylonischen Zeit belegt 11. Wenn man keine Vergleichsmöglichkeit hat, kann man die Genauigkeit von Wasseruhren nicht überprüfen. Andererseits kann man verschiedene Arten von Wasseruhren vergleichen, und auch bemerken, daß das Wasser anfangs viel schneller ausläuft als später. Das Problem liegt in der Annahme des Verhältnisses 2: 1. Das kann doch nur mit unzureichenden Wasseruhren gemessen worden sein - oder gar nicht. Bei sorgfältiger Mes-

3

Gehlken 1991.

4

Neugebauer 1947: 39.

5

Ich verwende diese Schreibweise der Einfachheit halber; besser wäre mulAPIN.

6

Kugler 1913: 89 f., Anmerkung l.

7

Mul-Apin 11 ii: 13-17; vgl. Hunger und Pingree 1989: 153.

8

Pingree und Reiner 1977.

9

Hunger und Pingree 1989: 154.

10

HERMANN HUNGER

ZEITMESSUNG

George und Al-Rawi 1992.

sung kann man auf 3 : 2 kommen, was ja auch irgendwann geschehen ist. Genauer als 3: 2 wird man nicht geworden sein; für Rechenverfahren sind "runde" Zahlen erforderlich. Auf keinen Fall kann man aus der Relation 3 : 2 die geographische Breite des Messungsortes innerhalb von Mesopotamien ableiten 12. Gehlken (1991) diskutiert im Anschluß an Thureau-Dangin (1937) Möglichkeiten, wie man Wasseruhren so konstruiert haben könnte, daß die Wasserhöhe sich ungefähr direkt proportional mit der Zeit ändert. Wenn das der Fall war, so h~t .es doch nicht dazu geführt, daß das Verhältnis von längstem zu kürzestem Tag eInIgermaßen korrekt bestimmt wurde; denn dieses wird in Mul-Apin überall als 2: 1 angenommen. Gehlkens Erklärung des "Divisors 8" in Mul-Apin II ii: 41 f. kann in Anbetracht der (ihm. noch nicht bekannten) Relation 1 MA.NA = 60 US nicht aufrechterhalten werden. Fnbergs Erklärung (Friberg, Hunger und Al-Rawi 1990) scheint mir eher zuzutreffen: Wenn die monatliche Änderung der Zeit, die bis .~ur Erreichung einer bestimmten Scha:tenlän~e vergeht, 5 US ist, und die monatliche Anderung der Lä~ge de~ Nacht ~;40 beru,. so I~t tatsächlich das Verhältnis der beiden Zahlen 1: 8. AllerdIngs tnfft das nIcht auf dIe mIt diesen Zahlen gemessenen Zeiten zu; denn 0;40 biru = 20 US, also nur das Vierfache, nicht das Achtfache von 5 USo

3. Schattenlängen Seit Weidner (1923) die Schattentabelle in Mul-Apin publizierte, war ihre Interpretation problematisch. Van der Waerden (1968: 80 f.) referierte mehr oder minder :x'eidner, wogegen Neugebauer (1975: 544 f.) eine radikale Emendation vorschlug: DIe Abschnitte für Winter- und Sommersonnenwende seien zu vertauschen. Er begründete diesen Vorschlag damit, daß derjenige der beiden Abschnitte, in dem die Z~it bis zu~. Erreichung der kürzesten Schattenlänge länger sei, sich auf den S~mmer bezI~hen musse. Unter dieser Voraussetzung impliziert die Schattentabelle eIn VerhältnIs von 3: 2 zwischen längstem und kürzestem Tag. Wie schon Neugebauer selbst be~erkte, fü~rt diese Annahme zu einem in allen Jahreszeiten gleich langen Schatten zu MIttag, was Jeder Erfahrung widerspricht. Pingree (Hunger und Pingree, 1989: 153 f.) schloß sich Neugebauer an. Friberg (Friberg, Hunge~ und Al-Rawi 199?: ~98 ~.) leh~te Neuge~au ers Emendation ab und schlug vor, die hIer gebrauchten ZeIteInheIten beru und US als mit den Jahreszeiten variierend anzunehmen, also wie Temporalstunden aufz,:fass~n. Diese Annahme hätte den Vorteil, daß dann auch die Angaben der Tabelle für dIe WIntersonnenwende möglich werden. Allerdings würde diese Tabelle dann keine Aussage über das Verhältnis von längstem zu kürzestem Tag enthalten. Bremner (1993) nahm an,

. von Babyon, 1 . d'ies zum B" Auch nicht die geographische Breite Wie elspie1 Ptolemaios getan zu haben scheint: Neugebauer 1975: 367. 12

11

Hunger und Pingree 1989: 163 f.

313

314

HERMANN HUNGER

ZEITMESSUNG

315

30. Ululu 2 5/6 Minen Tagwache, 3 Minen 10 Schekel Nachtwache 15. Tdritu 22/3 Minen Tagwache, 3 1/3 Minen Nachtwache 30. Tdritu 2 1/2 Minen Tagwache, 3 1/2 Minen Nachtwache 15. Arahsamnu 2 1/3 Minen Tagwache, 32/3 Minen Nachtwache 30. Arahsamnu 2 Minen 10 Schekel Tagwache, 3 5/6 Minen Nachtwache 15. Kislimu 2 Minen Tagwache, 4 Minen Nachtwache 15. Kislimu: Nacht weicht dem Tag, die Tage werden länger, die Nächte kürzer 30. Kislimu 2 Minen 10 Schekel Tagwache, 3 5/6 Minen Nachtwache 15. Tebetu 2 1/3 Minen Tagwache, 32/3 Minen Nachtwache 30. Tebetu 2 1/2 Minen Tagwache, 3 1/2 Minen Nachtwache 15. Sabaru 22/3 Minen Tagwache, 3 1/3 Minen Nachtwache 30. Sabaru 2 5/6 Minen Tagwache, 3 Minen 10 Schekel Nachtwache 15. Addaru 3 Minen Tagwache, 3 Minen Nachtwache 15. Addaru: Nacht weicht dem Tag, die Tage werden länger, die Nächte kürzer 30. Addaru 3 Minen 10 Schekel Tagwache, 2 5/6 Minen Nachtwache

Die Idee der Temporalstunden läßt sich zum ersten Mal klar in einem "Report" aus dem 7. Jahrhundert nachweisen 13. Damit wird auch die Interpretation eines ElfenbeinPrismas 14 bestätigt, das zur Umrechnung solcher Temporalstunden verwendet werden konnte.

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Rochberg-Halton (I989: 152 ff.) hat vorgeschlagen, das Wort si.man in keilschriftlichen Horoskopen der hellenistischen Zeit mit "seasonal hour" zu übersetzen. Dafür spricht vor allem, daß in mehreren Fällen vor si.man eine Zahl zwischen 6 und 12 steht.

Eine Tabelle mit den gleichen Zahlen findet sich in Mul-Apin II ii, 43-iii, 1.2; dort ist aber das Frühlingsäquinoktium auf den 15. Nisannu angesetzt, und auch die anderen Jahrespunkte sind entsprechend verschoben.

daß die Angabe der Zeit bis zum Erreichen des kürzesten Schattens am Tag der Wintersonnenwende (die länger als das Intervall Sonnenaufgang bis Mittag ist) nur aus Symmetriegründen eingefügt wurde, um die Berechnung des Abschnittes deutlich zu machen, und daher nicht zum Anlaß genommen werden dürfe, mit Neugebauer die Textabschnitte für Winter und Sommer zu vertauschen.

4. Temporalstunden

Wie Friberg be~erkt (Friberg, Hunger und Al-Rawi 1990: 498 f.), könnten die Einheiten beru und US in den Schattentabellen von Mul-Apin Bruchteile der mit den Jahreszeiten variierenden Tageslänge sein.

Texte 1. Eniima Anu Enlil XIV Tabelle C (nach George und Al-Rawi 1992) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

15. Nisannu 3 1/3 Minen Tagwache, 22/3 Minen Nachtwache 30. Nisannu 3 1/2 Minen Tagwache, 2 1/2 Minen Nachtwache 15. Ajjaru 3 2/3 Minen Tagwache, 2 1/3 Minen Nachtwache 30. Ajjaru 3 5/6 Minen Tagwache, 2 Minen 10 Schekel Nachtwache 15. Simanu 4 Minen Tagwache, 2 Minen Nachtwache 15. Simanu: Tag weicht der Nacht, die Tage werden kürzer, die Nächte länger 30. Simanu 3 5/6 Minen Tagwache, 2 Minen 10 Schekel Nachtwache 15. Du)uzu 32f3 Minen Tagwache, 2 1/3 Minen Nachtwache 30. Du)uzu 3 1/2 Minen Tagwache, 2 1/2 Minen Nachtwache 15. Abu 3 1/3 Minen Tagwache, 22/3 Minen Nachtwache 30. Abu 3 Minen 10 Schekel Tagwache, 2 5/6 Minen Nachtwache 15. Ululu 3 Minen Tagwache, 3 Minen Nachtwache 15. Ululu: Tag weicht der Nacht, die Tage werden kürzer, die Nächte länger

13

Pingree und Reiner 1977.

14

Langdon 1935: 55 ff.; Smith 1969: 74 ff.

2. Schattentabelle in Mul-Apin II ii, 21-42 (nach Hunger und Pingree 1989) 21 Am 15. Nisannu, 3 Minen Tagwache, 3 Minen Nachtwache. 22 1 Elle Schatten, 2 1/2 beruT~ 23 2 Ellen Schatten, 1 beru 7 US 30 NINDA Tag 24 3 Ellen Schatten, 2/3 beru 5 US Tag 25 Am 15. Du)uzu, 4 Minen Tagwache, 2 Minen Nachtwache. 26 1 Elle Schatten, 2 beruTag 2 Ellen Schatten, 1 beru Tag 2/3 beruTag 27 3 Ellen Schatten, 4 Ellen Schatten, 1/2 beruTag 28 5 Ellen Schatten, 12 US Tag 10 US Tag 6 Ellen Schatten, 7 US 30 NINDA Tag 29 8 Ellen Schatten, 30 9 Ellen Schatten, 6 US 40 NINDA Tag 10 Ellen Schatten, 6 US Tag 31 Am 15. Tdritu, 3 Minen Tagwache, 3 Minen Nachtwache. 32 1 Elle Schatten, 2 1/2 beruTaj; 33 2 Ellen Schatten, 1 beru 7 uS 30 NINDA Tag 34 3 Ellen Schatten, 2/3 beru 5 US Tag 35 Am 15. Tebetu, 2 Minen Tagwache, 2 Minen Nachtwache. 36 1 Elle Schatten, 3 beruTag 2 Ellen Schatten, 11/2 beruTag 37 3 Ellen Schatten, 1 beruTag 4 Ellen Schatten, 2/3 beru 2 US 30 NINDA Tag 38 5 Ellen Schatten, 18 US Tag 1/2 beruTag 6 Ellen Schatten,

316 39

ZEITMESSUNG

8 Ellen Schatten, 9 Ellen Schatten, 40 10 Ellen Schatten,

11 US 15 NINDA Tag 10 US Tag 9 US Tag

41 Wenn du die Differenz für 1 Elle Schatten sehen willst, multiplizierst du 40, die Differenz für Tag 42 und Nacht, mit 7.30, und findest 5, die Differenz für 1 Elle Schatten.

References Bremner, R. W. "The Shadow Length Table in MUL.APIN". In Die Rolle der Astronomie in den Kulturen Mesopotamiens. Beiträge zum 3. Grazer Morgenländischen Symposium (23.-27. September 1991), hrsg. von H. D. Galter. (Graz: 1993). Friberg, J., H. Hunger, und F. N. H. Al-Rawi. "Seed and Reeds". Baghdader Mitteilungen 21 (1990): 483557. Gehlken, E. "Der längste Tag in Babyion (MUL.APIN und die Wasseruhr)". NABU 1991/95 (1991). George, A., und F. N. H. Al-Rawi. "EnumaAnu Enlil XIVand Other Early Astronomical Tables". AjO 38 (1992): 1-19. Hunger, H., und D. Pingree. "Mul.Apin: An Astronomical Compendium in Cuneiform". AfO Beiheft 24 (1989). Kugler, F. X. Sternkunde und Sterndienst in Babel, Ergänzungen. (Münster: Aschendorff, 1913). Langdon, S. Babylonian Menologies and the Semitic Calendar. (London: Oxford University Press, 1935). Neugebauer, O. "Studies in Ancient Astronomy. VIII: The Water Clock in Babylonian Astronomy". 1515 37 (1947): 37-43. Neugebauer, O. A History o[Ancient MathematicalAstronomy. (Berlin/Heidelberg: Springer, 1975). Pingree, D. und E. Reiner. ,,A Neo-Babylonian Report on Seasonal Hours". AfO 25 (1977): 50-55. Rochberg-Halton, F. "Babylonian Seasonal Hours". Centaurus 32 (1989): 146-170. Smith, S. "Babylonian Time Reckoning". lraq 31 (1969): 74-81. Thureau-Dangin, F. "La clepsydre babylonienne". RA 34 (1937): 144. van der Waerden, B. L. Anfinge der Astronomie. (Basel: 1968). Weidner, E. F. "Zur babylonischen Asronomie: Mondlauf". Babyloniaca 6 (1912): 8-28. Weidner, E. F. "Ein babylonisches Kompendium der Himmelskunde". AJSL 40 (1923): 186-208.

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