Calculo de Estructuras II Sistemas de piezas prismáticas Spanish

POLITEXT Juan Miquel Canet Cálculo de estructuras Libro 2 Sistemas de piezas prismáticas EDICIONS UPC La presente o...

Author: Juan Miquel Canet

128 downloads 1442 Views 5MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

POLITEXT

Juan Miquel Canet

Cálculo de estructuras Libro 2 Sistemas de piezas prismáticas

EDICIONS UPC

La presente obra fue galardonada en el octavo concurso "Ajuts a l'elaboració de material docent" convocado por la UPC.

Primera edición: octubre de 2000

Diseño de la cubierta: Manuel Andreu

©

Juan Miquel, 2000

©

Edicions UPC, 2000 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es E-mail: [email protected]

Producción:

CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord) La Cup. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona

Depósito legal: B-31.160-2000 ISBN Obra completa: 84-8301-398-3 ISBN: 84-8301-400-9 Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos.

En los edi cios de muchos arcos de piedra, los pilares de los angulos se haran mas anchos, para que mejor puedan resistir el impulso; siendo cosa clara, que las piedras del arco, oprimidas de las paredes sobrepuestas, empujaran al centro por sus tiranteces o lechos, y expeleran los bolsones: pero si son anchos los pilares angulares, aseguran la fabrica con su resistencia al impulso de los arcos. VITRUBIO, Los diez libros de Arquitectura Traducido por Don Joseph Ortiz y Sanz, Pbro., 1787

a Montse, Laura y Marc

© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000.

Indice General

ix

Indice General Libro 1. Fundamentos y estudio de secciones pag:

1 Fundamentos

1

2 La pieza elastica: fundamentos de analisis

35

3 Esfuerzo axil

71

4 Momento ector

91

5 Tensiones producidas por el esfuerzo cortante

153

6 Torsion

201

Indice Alfabetico

247

Libro 2. Sistemas de piezas prismaticas 7 Energa de deformacion

1

8 Estructuras articuladas

39

9 Vigas simples

71

10 Vigas continuas

153

11 Estructuras reticuladas

173

12 Formulacion en 3D

229

Bibliografa

257

Indice Alfabetico

259


Indice Libro 2

xi

Indice Libro 2 7

pag:

1

Energ a de deformaci on

7.1 7.2

8

Introduccion Teorema de los trabajos virtuales 7.2.1 Formulacion 7.2.1.1 Pieza recta 7.2.1.2 Pieza curva 7.3 Teorema de los trabajos virtuales complementarios 7.3.1 Formulacion 7.3.2 Metodo de la fuerza unidad para la determinacion de movimientos 7.4 Energa potencial total 7.5 Expresion de la energa elastica 7.6 Primer teorema de Castigliano 7.7 Segundo teorema de Castigliano 7.7.1 Formulacion 7.7.2 Aplicacion del segundo teorema de Castigliano a la determinacion de movimientos 7.8 Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti 7.9 Minimizacion de la energa elastica respecto a las incognitas hiperestaticas 7.10 Expresion de las deformaciones generalizadas 1 ; , y de los esfuerzos en funcion de los movimientos 7.11 Directriz que no pasa por el centro de gravedad de la seccion

32 34

Estructuras articuladas

39

8.1 8.2 8.3

Introduccion Estructuras isostaticas 8.2.1 Metodologa general de analisis. Matriz de conexion 8.2.2 Calculo de movimientos Estructuras hiperestaticas


1 1 1 2 6 9 9 10 14 15 20 21 21 22 27 31

39 40 40 47 52

C alculo de Estructuras: 2. Sistemas de piezas prism aticas

xii

8.4 9

8.3.1 Calculo de estructuras hiperestaticas mediante el metodo de compatibilidad 8.3.2 Calculo de estructuras hiperestaticas por el metodo de rigidez Ejercicios propuestos

52 57 65

Vigas simples

71

9.1 9.2

71 71

9.3

9.4

9.5

9.6

Introduccion Ecuacion de la elastica 9.2.1 Deformacion de una mensula sometida a carga uniformemente repartida 9.2.2 Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida 9.2.3 Viga empotrada en un extremo y apoyada en otro sometida a carga uniformemente repartida 9.2.4 Cargas no uniformes. Utilizacion de la funcion de Heaviside 9.2.5 Viga biapoyada sometida a una carga puntual F 9.2.6 Movimientos de apoyos en vigas simples 9.2.7 Efectos termicos 9.2.8 Vigas sobre lecho elastico Deformacion de vigas isostaticas: teoremas de Mohr y Castigliano 9.3.1 Primer teorema de Mohr 9.3.2 Segundo teorema de Mohr 9.3.3 Determinacion de echas y giros utilizando los teoremas de Mohr 9.3.4 Calculo de movimientos utilizando el segundo teorema de Castigliano y el metodo de la fuerza unidad 9.3.5 Efectos termicos Vigas rectas hiperestaticas. Aplicacion de los teoremas de Mohr y segundo de Castigliano 9.4.1 Viga empotrada y apoyada 9.4.2 Viga biempotrada Ecuaciones elasticas 9.5.1 Relaciones momentos - giros 9.5.2 Relaciones momentos - desplazamientos 9.5.3 Inclusion del axil y cortante. Ecuaciones elasticas 9.5.4 Ecuaciones elasticas cuando la directriz no coincide con la lnea de centros de gravedad Ecuacion de la elastica 9.6.1 Deformacion de una mensula sometida a carga uniformemente repartida 9.6.2 Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida y momentos en los extremos


73 74 75 76 79 80 84 88 94 94 94 96 98 102 103 103 108 112 112 113 114 119 124 126 127

Indice Libro 2

xiii

9.6.3 Viga empotrada y apoyada 9.6.4 Importancia relativa de los terminos de cortante frente a los de

ector 9.7 Deformacion de vigas isostaticas: teoremas de Mohr generalizados 9.7.1 Segundo teorema de Mohr generalizado 9.8 Estudio de la pieza recta biempotrada 9.9 Ecuaciones elasticas 9.9.1 Relaciones momentos - giros 9.9.2 Relaciones momentos - desplazamientos 9.9.3 Inclusion del axil y del cortante. Ecuaciones elasticas 9.9.4 Ecuaciones elasticas cuando la directriz no coincide con la lnea de centros de gravedad 9.10 Ecuacion de la elastica en piezas curvas 9.11 Ejercicios propuestos

128 130 133 133 135 138 138 140 141 143 144 148 153

10 Vigas continuas

10.1 Introduccion 10.2 Calculo de vigas continuas mediante metodos de compatibilidad 10.2.1 Calculo de vigas continuas tomando como incognitas hiperestaticas las reacciones de los apoyos intermedios 10.2.2 Calculo de vigas continuas tomando como incognitas hiperestaticas los momentos ectores en los apoyos intermedios: Teorema de los tres momentos 10.2.3 Movimientos de apoyos: Valores conocidos de un descenso de apoyo y apoyos elasticos 10.3 Calculo de vigas continuas mediante el metodo de rigidez 10.3.1 Vigas continuas con nudos jos 10.3.2 Viga continua con movimientos de apoyo 10.4 Ejercicios Propuestos

153 154 154 157 159 164 164 169 169 173


11.1 Introduccion 11.2 Simetras y Antimetras 11.2.1 Simetras 11.2.2 Antimetras 11.3 Metodos generales de calculo de estructuras: compatibilidad y rigidez 11.4 Determinacion de movimientos. Formulas de Navier-Bresse 11.4.1 Movimiento relativo entre dos puntos 11.4.2 Movimientos totales de un punto


173 174 174 175 178 181 182 188


xiv

11.5 El metodo de compatibilidad 11.5.1 Planteamiento 11.5.2 Estructuras antifuniculares 11.5.3 Algunas simpli caciones 11.6 El metodo de rigidez 11.6.1 Planteamiento del metodo de rigidez 11.6.2 Condiciones de vinculacion 11.6.3 Nudos de tama~no nito 11.6.4 Ecuaciones elasticas reducidas 11.7 Ejercicios propuestos

191 191 202 204 208 208 214 216 220 221 229

12 Formulaci on en 3D

12.1 Introduccion 12.2 Relaciones fundamentales 12.2.1 Relacion esfuerzos-deformaciones generalizadas 12.2.2 Relaciones deformaciones generalizadas - movimientos 12.3 Teoremas de trabajos virtuales 12.4 Determinacion de movimientos 12.5 Estudio de las piezas rectas. Matrices de rigidez: ecuaciones elasticas 12.5.1 Caso general 12.5.2 Un caso particular: el emparrillado plano 12.6 Inclusion de la deformacion por alabeo

229 229 229 237 239 239 243 243 251 253

Bibliograf a

257

Indice Alfab etico

259


1

7 Energ a de deformaci on


7.1 Introducci on

Los teoremas y procedimientos relacionados con la energa de deformacion ocupan una posicion central en todo el Calculo de Estructuras. En este captulo se va a estudiar su formulacion basica, y si bien se introduciran algunos ejemplos que permitan alcanzar una mejor comprension de la teora, las aplicaciones a los sistemas estructurales se dejaran para los captulos sucesivos. Si bien los teoremas que se van a estudiar son completamente generales y, por tanto, directamente aplicables a sistemas 2D y 3D, a n de facilitar una mejor comprension de la exposicion, se hara especial incidencia en el caso bidimensional. En el Captulo 12 se retomara su estudio para aplicaciones a los sistemas estructurales tridimensionales. Por lo que hace referencia a la nomenclatura utilizada, se designa por la letra v a los movimientos en las coordenadas propias de la seccion (coordenadas locales) y por u a los mismos movimientos en otras direcciones (coordenadas globales, movimientos segun una direccion, etc.). En ocasiones, la diferencia entre ambos smbolos es nula, por lo que la eleccion de uno u otro es arbitraria. 7.2 Teorema de los trabajos virtuales

El teorema de los trabajos virtuales constituye una forma alternativa de presentar las ecuaciones de equilibrio y de hecho puede deducirse a partir de estas. Al mismo tiempo constituye una herramienta muy utilizada en la formulacion de las ecuaciones discretizadas de la deformacion de solidos. 7.2.1 Formulaci on

En el Captulo 2 se han establecido las ecuaciones de equilibrio interno para una pieza lineal cualquiera. Dichas ecuaciones se escriben dF +p = 0 ds


(7:1a)

2


dz dM + m+ F = 0 ds ds

(7:1b)

Para el caso de una pieza bidimensional, se supondra que el eje x3 es principal de inercia y es perpendicular al plano en el cual esta contenida dicha pieza. Asimismo, el eje x2 sera tambien principal de inercia. De esta forma, las unicas cargas externas que actuan seran p1 ; p2 y m3 , por lo que las unicas componentes no nulas de los esfuerzos seran N; Q2 y Mf 3 . Por lo que hace referencia a los movimientos, cabe considerar v1 ; v2 y '3 siendo nulos el resto. Asimismo, para las deformaciones, las unicas a considerar son 1 ; 3 y 2m . Por ello, en todo el estudio bidimensional, y siempre que no induzca a confusion algunas de las notaciones iniciales, seran sustituidas por: m3 ! m Q2 ! Q Mf 3 ! Mf '3 ! ' 3 !

2m ! m o simplemente

Aunque las demostraciones que se desarrollaran seguidamente pueden realizarse directamente para el caso mas general de piezas curvas, se procedera, para mayor claridad de exposicion, a formular en primer lugar las piezas rectas y seguidamente las curvas. 7.2.1.1 Pieza recta

Para el caso particular de una pieza bidimensional recta, las anteriores ecuaciones toman la forma (Fig. 7.1) dN +p = 0 dx1 1 dQ +p = 0 dx1 2 dMf +m+Q= 0 dx1

(7:2a) (7:2b) (7:2c)

Las anteriores ecuaciones pueden escribirse en forma debil Zso

so

so

Z Z dQ dN dMf + m + Q ' dx1 + dx + p2 v2 dx1 + dx + p1 v1 dx1 = 0 dx 1 1 1 o o o

(7:3)

siendo so la longitud total de la pieza, ' un giro cualquiera (virtual), v1 un desplazamiento virtual en direccion x1 y v2 un desplazamiento virtual en direccion x2 . Notese que si se considera la deformacion por cortante, ' y v2 son independientes. En caso contrario ' = dv2 =dx1 .


3


Fig. 7.1 Equilibrio bidimensional de una rebanada diferencial

Las anteriores ecuaciones pueden integrarse por partes quedando so

Zso

so

so

Z Z Z s d' dv o dx1 + m' dx1 + Q'dx1 + Qv 2 o Mf Q 2 dx1 dx1 dx1 o o o o Zso Zso Zso s dv1 o dx + p v dx = 0 (7:4) N + p2 v2 dx1 + N v1 o dx1 1 o 1 1 1 o o

s o

Mf ' o

Si no se desprecia la in uencia del esfuerzo cortante en la deformacion, el termino

dv2 =dx1 puede escribirse (Fig. 7.2)

dv 2 ='+ dx1

(7:5)

siendo ' el angulo de giro total de la cara anterior de la seccion y el angulo de deformacion por cortante de una cara de la seccion respecto a la anterior. Por lo que, teniendo en cuenta que la curvatura virtual es igual a = d'=dx1 , la expresion 7.4 puede escribirse s o

Mf ' o Zso

Zso

o

Mf dx1 + Zso

Zso

o

s o 2

Q' dx1 + Qv o s o 1

+ m' dx1 + p2 v2 dx1 + Nv o o

o

Zso

Zso

o

Q' dx1 so

Zso

o

Q dx1

Z dv N 1 dx1 + p1 v1 dx1 = 0 dx1 o o


(7:6)

4


O sea

Fig. 7.2 Movimiento diferencial de una seccion Zso

o

Mf dx1 +

Zso

o

Q dx1 + Zso

Zso

o

N

so so so dv1 dx1 = Mf ' o + Qv2 o + Nv1 o dx1

Zso

Zso

+ m' dx1 + p1 v1 dx1 + p2 v2 dx1 o so R

o

so R

so R

(7:7)

o

y teniendo en cuenta que Mf ds; Q ds y N (dv1 =dx1 )dx1 son respectivamente o o o el trabajo virtual realizado por los momentos ectores, por los esfuerzos cortantes y por los esfuerzos axiles, puede enunciarse el teorema de los trabajos virtuales como sigue: Cuando a una pieza en equilibrio se la somete a unos desplazamientos virtuales, el trabajo realizado por las fuerzas externas es igual al trabajo realizado por las fuerzas internas.

En el caso de despreciar la deformacion debida al esfuerzo cortante, = 0, por lo que de acuerdo con 7.5 dv2 =' dx1

(7:8)

por lo que la expresion de trabajos virtuales 7.7 se escribira Zso

Zso

so

Z so so so dv Mf dx1 + N 1 dx1 = Mf ' o + Qv 2 o + Nv1 o + m' dx1 dx1 o o o Zso

Zso

o

o

+ p1 v1 dx1 + p2 v2 dx1


(7:9)

5


Hay que se~nalar asimismo que, tal como se ha apuntado anteriormente, el teorema de los trabajos virtuales es aplicable a sistemas cualquiera bidimensionales o tridimensionales. En el Captulo 12 se volvera otra vez sobre esta cuestion.

| Problema resuelto P7.1 Supongase la mensula de la gura P7.1.1 sometida a las cargas que en ella se indican. Sean los movimientos virtuales v 2 = ax31 ; ' = bx1 . Comprobar que se cumple el teorema de los trabajos virtuales.

Fig. P7.1.1 Mensula cargada sometida a unos movimientos v y ' virtuales

Solucion La curvatura de la pieza correspondiente al movimiento virtual ' valdra =

d' =b dx1

y la deformacion cortante virtual

=

dv 2 dx1

' = 3ax21

bx1


6


Por otra parte, las leyes de esfuerzos se escriben Mf = M + F (L Q =F

x1 )

Se aplica seguidamente el teorema de los trabajos virtuales:

Trabajo producido por las fuerzas internas Mf y Q Wi =

Z L

o

[M + F (L

L2

F (3ax21

bx1 ) dx1

(a)

W2 = M '(x1 = L) + F v 2 (x1 = L) = M bL + F aL3

(b)

2

+ F aL3

o

= M bL + F aL3

=M bL +

F bL2

x1 )]b dx1 +

Z L

Fb

2

Trabajo producido por las fuerzas externas Tal como establece el teorema de los trabajos virtuales, las expresiones a y b coinciden.

7.2.1.2 Pieza curva

En el caso mas general de pieza curva, las ecuaciones 7.1 se escribiran dF +p = 0 ds dMf +m+Q= 0 ds

escribiendose en este caso

(7:10a) (7:10b)

F = N e1 + Qe2

p = p1 e1 + p2 e2

Es importante notar la diferencia entre las ecuaciones anteriores y las 7.2. Dicha diferencia viene dada por el hecho de que las derivadas respecto a la coordenada curvilnea s de los vectores e1 y e2 no son nulas como suceda en el caso de piezas rectas. Escribiendo nuevamente 7.10 en forma debil Zso

o

so

Z dF + p v ds + ds o

dMf + m + Q ' ds = 0 ds

(7:11)

siendo ', al igual que anteriormente, un giro virtual y v un desplazamiento virtual de componentes

v1 v = v2


(7:12)

7


Integrando 7.11 por partes so

Mf ' o

Zso

so

so

Z Z so d' Mf ds + m' ds + Q' ds + F v o ds o o o Zso Zso dv F ds ds + p v ds = 0 o o

(7:13)

Por otra parte, si z es la coordenada de un punto cualquiera de la directriz de la pieza antes de la deformacion y z0 es la coordenada del mismo punto despues de la deformacion, los desplazamientos se escribiran 0 z v = z (7:14) y tambien dv dz0 = ds ds

dz =t ds

e

1

(7:15)

siendo t el vector tangente a la directriz despues de la deformacion (ver Fig. 7.3).

Fig. 7.3 Movimiento de una seccion de una pieza plana


8


De acuerdo con la gura 7.3, e01 es igual al vector e1 girado un angulo ' y tal que ke01 k = ke1 k(1 + 1) = (1 + 1) (7:16) es decir 0 1 = e1 + 'e3 e1 (7:17) e1 1 + 1 ademas 0 t = e1 + = e1 (1 + 1 ) + 'e3 e1 (1 + 1 ) + (7:18) sustituyendo en 7.15 se tendra dv =t ds

1

e

= e1 (1 + 1 ) + 'e3 e1 (1 + 1 ) +

1

e

= 1 e1 + '(1 + 1 )e2 + e2 (7:19)

y dado que los movimientos son peque~nos, el producto '1 puede despreciarse, por lo que la expresion 7.19 queda nalmente dv = 1 e1 + (' + )e2 ds

(7:20) Si los movimientos que se consideran son virtuales, la expresion anterior se transforma en dv = 1 e1 + (' + )e2 ds

(7:21)

Sustituyendo 7.21 en la expresion 7.13 se obtiene so

Mf ' o

so

Zso

so

Z Z so so d' Mf ds + m' ds + Q' ds + Nv1 o + Qv2 o ds o o o

Zso

o

Zso

(N e1 + Qe2 ) 1 e1 + (' + )e2 ds + p v ds = 0 o

(7:22)

es decir Zso

o

Mf ds +

Zso

o

Q ds +

Zso

o

N1 ds =

Zso Zso Zso s o s = Mf ' o + Qv2 joo + Nv1 o + m' ds + p1 v1 ds + p2 v2 ds o o o s o

(7:23)

expresion muy similar a la 7.7 pero valida ahora para cualquier tipo de pieza plana. Notese asimismo que, para el caso de piezas curvas, se tiene que en general 1 6= dv1 =ds.


9


7.3 Teorema de los trabajos virtuales complementarios

7.3.1 Formulaci on

Considerese al igual que en el apartado anterior una pieza cualquiera sometida a un determinado sistema de cargas. Dicha pieza tendra unos desplazamientos v(s) en cada punto. Supongase seguidamente que a dicha pieza se aplica un sistema de cargas virtuales p(s), la cuales motivaran la aparicion de unos esfuerzos F (s) y M(s) tambien virtuales. Se cumpliran las ecuaciones de equilibrio dF + p (s) = 0 ds dz dM + m+ F = 0 ds ds

(7:24a) (7:24b)

Al igual que antes, el teorema de los trabajos virtuales complementarios se realizara para piezas rectas. Para piezas curvas, sin embargo, y dada la similitud que presenta la demostracion con el caso anterior, se escribira unicamente la expresion general, dejando como ejercicio para el lector su demostracion. Para el caso particular de una pieza bidimensional, las anteriores ecuaciones tomaran la forma: dN +p = 0 dx1 1 dQ +p = 0 dx1 2

(7:25a) (7:25b)

dM f +m+Q= 0 dx1

(7:25c)

Estas ecuaciones pueden escribirse en forma debil

Zso

o

so

!

Z dM f + m + Q ' dx1 + dx1 o

so

!

Z dQ + p2 v2 dx1 + dx1 o

!

dN + p v dx = 0 (7:26) dx1 1 1 1

siendo '; v1 y v2 los giros y desplazamientos reales de la pieza. Procediendo igual que antes se llega a Zso

o

M f dx1 + s o

Zso

o

Q dx1 +

s o 2

Zso

dv N 1 dx1 = dx1 o

s o 1

Zso

Zso

Zso

o

o

o

= M f ' o + Qv o + Nv o + m' ds + p1 v1 dx1 + p2 v2 dx1


(7:27)

10


Puede formularse, por tanto, el teorema de los trabajos virtuales complementarios como sigue: Si a una pieza en equilibrio se la somete a unas determinadas cargas virtuales, el trabajo realizado por las fuerzas internas es igual al trabajo realizado por las fuerzas externas.

Nuevamente es preciso realizar la misma observacion respecto al termino de deforso R macion por cortante, en el sentido de que si este se desprecia, el termino Q dx1 se o anula. Para el caso mas general de piezas curvas, la expresion 7.27 de trabajos virtuales complementarios se escribe Zso

o

M f ds + s o

Zso

o

Q ds + s o 2

Zso

o

N1 ds =

s o 1

Zso

Zso

Zso

(7:28) = M f ' o + Qv o + Nv o + m' ds + p1 v1 ds + p2 v2 ds o o o Las expresiones 7.27 y 7.28 pueden escribirse de otra forma que en muchas ocasiones puede resultar mas conveniente. Dado que Mf EI Q

= kGA N 1 = EA

(7:29a)

=

(7:29b) (7:29c)

siendo kA el valor de la seccion reducida a cortante, se puede reescribir la ecuacion de trabajos virtuales complementarios en la forma so

Zso

so

Z Z QQ NN Mf M f ds + ds + ds = EI kGA EA o o o so

so 2

so 1

M f ' o + Qv o + Nv o +

Zso

o

m' ds +

Zso

o

p1 v1 ds +

Zso

o

p2 v2 ds

(7:30)

expresion mas comoda que la anterior. 7.3.2

M etodo de la fuerza unidad para la determinaci on de movimientos

El teorema de los trabajos virtuales complementarios anteriormente desarrollado tiene una interesante aplicacion en la obtencion de movimientos de una pieza cualquiera. Supongase una estructura cualquiera (isostatica o hiperestatica) en la que se conocen sus leyes de esfuerzos Mf ; Q y N y de la que se desea obtener el movimiento de un punto


11


determinado C de la misma segun una determinada direccion (Fig. 7.4). Para ello se aplica una fuerza virtual concentrada F = 1 en C en la direccion en que se desea obtener el movimiento.

Fig. 7.4 Estructura sometida a fuerzas externas y a una fuerza virtual unidad

Sea: Mf ; Q; N los esfuerzos en la estructura bajo la accion de las cargas externas que en

ella actuan. mf ; q; n los esfuerzos en la misma estructura cuando en el punto C actua una fuerza unidad F = 1 en una determinada direccion. uc el vector movimiento total del punto C . uFc la componente del movimiento uc en la direccion de F = 1. Logicamente (7:31) uFc = uc F Aplicando la expresion 7.30 del teorema de los trabajos virtuales complementarios Zso

so

so

Z Z Qq Nn Mf mf ds + ds + ds = uc F = uFc EI kGA EA o o o

(7:32)

Expresion que proporciona el movimiento de cualquier punto de una estructura en una determinada direccion. Evidentemente, si se quisiera obtener el giro, se aplicara un momento virtual M = 1. En la practica, aparecen casos en los cuales no todas las deformaciones estan producidas por los esfuerzos, sino que pueden tener otro origen, por ejemplo el termico.


12


En tales casos, las expresiones 7.29 se pueden escribir de forma mas general t = + nt

t = + nt t1 =1 + nt 1 t t t en donde ; y 1 son las deformaciones generalizadas totales, ; y 1 son las deformaciones generalizadas debidas a los esfuerzos Mf ; Q y N respectivamente (expresiones 7.29) y nt ; nt y nt1 son las deformaciones generalizadas producidas por otras causas (efectos termicos, retraccion, etc.). Si a una estructura con las deformaciones generalizadas anteriores se le aplica una fuerza virtual concentrada F = 1 en un punto C y en la direccion en que se desea obtener el movimiento de la estructura, la expresion 7.32 se reescribira Zso

o

t m

f

ds +

Zso

o

tq

ds +

Zso

o

t1 n ds = uFc

(7:33a)

o tambien, desarrollando los terminos de las deformaciones generalizadas so

Zso

siendo

so

Z Nn Mf mf Z Qq + ds + ds + Wint = uFc EI kGA EA o o o

Wint

=

Zso

o

nt m

f

ds

Zso

o

nt q

ds +

Zso

o

(7:33b)

nt 1 n ds

La expresion 7.32 (o la mas general 7.33a y 7.33b) es extremadamente util en la determinacion de los movimientos de las estructuras y sera utilizada en los captulos que siguen.

| Problema resuelto P7.2 Supongase que se desea determinar el movimiento vertical y el giro en el punto A de la mensula de la gura P7.2.1. Solucion Los esfuerzos en la pieza valen Mf (x1 ) =

p

Q(x1 ) = px1

x21

2

Para determinar el desplazamiento vertical del punto A, se coloca una fuerza vertical en A de valor F = 1. Los esfuerzos provocados por esta fuerza valdran mf = x1 q=1


13


Fig. P7.2.1 Determinacion de la echa y el giro en el extremo de una mensula Aplicando la expresion 7.32 se obtendra el desplazamiento vertical v2A del punto A ZL

v2A = o

px21 2

( x1 )

EI

ZL

dx1 + o

px1 1 pL4 pL2 dx1 = + kGA 8EI 2kGA

Es importante recordar que v2A es el producto escalar del desplazamiento por la fuerza F = 1, lo que quiere decir que un signo negativo indicara que el desplazamiento tiene sentido contrario a la fuerza F = 1. Analogamente, para obtener el giro en el punto A se aplica en dicho punto un momento virtual M = 1. Las leyes de esfuerzos que dicho momento producira valen mf = 1 q=0

por lo que, aplicando nuevamente la expresion 7.32, se obtendra el giro 'A en el punto A ZL

'A = o

px21

2

EI

( 1)

dx1 =

pL3 6EI

La misma observacion realizada anteriormente a proposito del signo de v2A es igualmente aplicable ahora al giro.


14


7.4 Energ a potencial total

El teorema de la minimizacion de la energa potencial total puede plantearse como una consecuencia directa del teorema de los trabajos virtuales. Para ello, basta con notar que los movimientos virtuales v1 ; v2 ; ' se pueden escribir como una variacion arbitraria de los movimientos previamente existentes en la estructura, es decir, v1 = Æv1 ; v2 = Æv2 ; ' = Æ', con lo cual = Æ y tambien = Æ y 1 = Æ1 . Por lo tanto ÆMf EI ÆQ Æ = kGA ÆN Æ1 = EA Æ =

Sustituyendo en 7.23, se obtiene so

Zso

so

Z Z ÆQ ÆN ÆMf ds + Q ds + N Mf EI kGA EA o o o 2 Zso

4

o

p1 Æv1 ds +

Zso

o

p2 Æv2 ds +

X

i

F1i Æv1i +

X

i

3

F2i Æv2i 5 = 0

(7:34)

La expresion anterior, aunque escrita en forma ligeramente distinta a la 7.23, es la misma; unicamente se ha supuesto ademas que existen cargas concentradas en la pieza y considerado que las fuerzas y momentos de extremo de barra son unas cargas concentradas mas. Teniendo en cuenta que Mf2 ÆMf = Æ 2EI Mf EI Q2 ÆQ = Æ 2kGA Q kGA N2 ÆN = Æ 2EA N EA

(7:35a) (7:35b) (7:35c)

se obtiene 2

s

Zso

s

Zo Zo Mf2 Q2 N2 ds + ds + ds+ Æ 2 EI 2 kGA 2 EA o o o 0 4

Zso

@

o

p1 v1 ds

Zso

o

p2 v2 ds

X

i

F1i v1i


X

i

13

F2i v2i A5 = 0

(7:36)

15


El termino

Zso

s

s

Zo Zo Mf2 Q2 N2 ds + ds + ds 2 EI 2 kGA 2 EA o o o es la energa interna de deformacion W , mientras que el termino entre parentesis es la energa potencial de las fuerzas externas Up . Por lo tanto, la expresion 7.36 puede

escribirse

ÆW + ÆUp =0 Æ(W + Up ) =0

(7:37a) (7:37b)

Al termino = W + Up se le denomina energa potencial total del sistema. Las expresiones 7.37 indican que la energa potencial total del sistema debe ser estacionaria frente a cualquier variacion de los desplazamientos. Se expresa tambien Æ = 0 (7:38) y tambien X @ Æv (7:39a) Æ = i

@vi

i

i

@ui

i

y puesto que las variaciones Ævi son arbitrarias, es preciso que para todo i se cumpla que @ =@vi = 0, por lo que resulta que debe ser un maximo o un mnimo frente a los desplazamientos. Si el equilibrio es estable, se trata de un mnimo, con lo cual Æ2 > 0, mientras que si Æ2 < 0 se estara en presencia de un problema de inestabilidad. En 7.39a se ha supuesto que la energa potencial total se expresa en funcion de los desplazamientos referidos a las coordenadas locales. Logicamente puede tambien expresarse en funcion de los desplazamientos referidos a las coordenadas globales. En este caso, 7.39a se reescribe X @ Æu (7:39b) Æ = con lo que igualmente se llega a la conclusion de extremo de . 7.5 Expresi on de la energ a el astica

Una vez llegados a este punto, es conveniente hacer un alto para analizar detenidamente las componentes de la energa elastica de deformacion, as como sus diferentes posibles expresiones. La energa elastica de deformacion puede expresarse de diferentes formas: a) Como una funcion de las variables externas. En este caso es posible elegir varias alternativas:


16


- Expresar la energa elastica como una funcion de las fuerzas externas y de los desplazamientos existentes en los puntos de aplicacion de las mismas. - Como una forma cuadratica de las fuerzas externas. - Como una forma cuadratica de los movimientos de los puntos de actuacion de las fuerzas. b) Como una funcion de las variables internas. En este caso caben asimismo diferentes alternativas: - Expresar la energa elastica como una funcion de los esfuerzos internos de la pieza (momentos ectores, esfuerzos cortantes, esfuerzos axiles y momentos torsores). - Como una funcion de los esfuerzos internos y de las deformaciones generalizadas (curvaturas, etc.). - Como una funcion de las deformaciones generalizadas. Indudablemente, al ser la energa elastica una funcion de estado, todas las anteriores expresiones son equivalentes. Seguidamente se analizan con algun detalle las diferentes expresiones de la energa elastica enunciadas anteriormente. a) Expresion de la energa elastica como una funcion de las variables externas Supongase una pieza elastica cargada con unas fuerzas F1 Fi Fn (Fig. 7.5) que producen unos movimientos u1 ui un en los puntos de aplicacion de las mismas. Logicamente pueden actuar tambien momentos, en cuyo caso el correspondiente movimiento a considerar sera un giro.

Fig. 7.5 Fuerzas y movimientos en una pieza elastica

Si todas las cargas se aumentan proporcionalmente desde cero a su valor nal, es evidente que la energa de deformacion vendra dada por la suma de productos escalares, W=

1 XF u 2 i i i


(7:40)

17


que tambien puede escribirse

1 X F u (7:41) 2 i i i siendo Fi el modulo de Fi y ui la proyeccion (positiva o negativa) del movimiento ui en la direccion de la fuerza Fi . A los movimientos ui se les denomina movimientos e caces. La expresion anterior puede escribirse como funcion de las fuerzas externas. Para ello basta tener en cuenta que los desplazamientos e caces ui dependen linealmente de las fuerzas externas Fj , es decir W=

m X ui = ij Fj j =1

(7:42)

siendo j unos coe cientes que seran conocidos una vez resuelto el problema elastico. Sustituyendo 7.42 en 7.41 se obtiene la energa elastica como una forma cuadratica de las fuerzas externas 1 XX F F (7:43) W= 2 i j ij i j Analogamente, se puede escribir la energa elastica como una funcion de los movimientos e caces. Para ello, invirtiendo las relaciones 7.42 se tendra X Fi = ij uj (7:44) j

expresion que sustituida en 7.41 proporciona 1 X X u u (7:45) W= 2 i j ij i j lo cual proporciona la expresion de la energa elastica en funcion de los desplazamientos e caces. La expresion 7.45 puede escribirse tambien en funcion de los movimientos totales. Para ello, basta observar que 7.44 puede reescribirse ui = ci ui (7:46) siendo ci el coseno del angulo que forma el movimiento con la fuerza aplicada, por lo que 7.45 tomara la forma 1 X X 0 u u (7:47) W= 2 i j ij j i Es importante se~nalar que, puesto que el valor de la energa elastica es unico, las expresiones anteriores son validas independientemente del proceso de carga.


18


b) Expresion de la energa elastica en funcion de variables internas. Tal como se ha tenido ocasion de indicar anteriormente, la energa elastica puede escribirse como semisuma de las integrales extendidas a toda la pieza de los esfuerzos multiplicados por las deformaciones generalizadas. Para el caso bidimensional dicha energa tendra la forma 2

s

s

s

3

s

3

Zo Zo Zo 1 4 5 W= 2 o Mf ds + o Q ds + o N1 ds


o tambien

2

Zso

s

(7:48a)

1 Mf2 ds + Z o Q2 ds + Z o N 2 ds5 W= 4 2 o EI kGA EA o o 2

s

s

s

(7:48b) 3

Zo Zo Zo 1 2 2 2 5 4 W= 2 o EI ds + o kGA ds + o EA1 ds

(7:48c)

siendo equivalentes las tres expresiones.

| Problema resuelto P7.3

Considerese la mensula de la gura P7.3.1 en la que actuan dos fuerzas F1 y F2 . Para mayor simplicidad se desprecia la deformacion debida al esfuerzo cortante. Tal como se vera mas adelante, los desplazamientos en los puntos B y C valen: a3 (2F1 + 5F2 ) 6EI a3 (5F1 + 16F2 ) u2C = 6EI

u2B =

Escribir las diversas expresiones de la energa elastica.

Fig. P7.3.1 Mensula sometida a cargas externas


(a) (b)

19


Solucion a) En funcion de las variables externas, la energa elastica se escribira: - En funcion de las fuerzas y los movimientos 1 2

1 2

W = F1 u2B + F2 u2C

(c)

- En funcion de las fuerzas Sustituyendo en c las expresiones de los desplazamientos dados por las expresiones a y b se obtiene W =

=

a3 1 a3 1 F1 (2F1 + 5F2 ) + F2 (5F1 + 16F2 ) 2 6EI 2 6EI a3 (F 2 + 5F1 F2 + 8F22 ) 6EI 1

(d)

- En funcion de los movimientos Invirtiendo las relaciones a y b se obtiene F1 =

6EI (16u2B 7a3

F2 =

6EI ( 5u2B + 2u2C ) 7a3

y sustituyendo en d

6EI (56u22B 49a3 b) En funcion de las fuerzas internas La ley de momentos ectores se escribe

35u2B u2C + 7u22C )

W =

Mf jBA =

F1 (a

Mf jCB =

F2 (2a

5u2C )

x1 )

F2 (2a

x1 )

x1 )

Sustituyendo ambas expresiones en 7.33b y recordando que en este ejemplo se desprecia la energa de deformacion debida al esfuerzo cortante, se obtiene 1 W = 2 +

Za

o

1 2

[ F1 (a

Z2a

a

x1 )

[ F2 (2a

EI

F2 (2a EI x1 )]2

x1 )]2

dx1

dx1

expresion que integrada coincide con la d tal como era de esperar.


20


7.6 Primer teorema de Castigliano

Supongase un sistema elastico en equilibrio sometido a una serie de fuerzas externas

Fi , las cuales deben ser independientes. Si ui son los desplazamientos e caces en los

puntos de actuacion de las fuerzas, la energa elastica se escribe 1 X F u (7:49) W= i i 2 Se da a continuacion un incremento diferencial de desplazamiento dvi al punto i y cero al resto. Logicamente, cada una de las otras fuerzas Fj se modi cara en un diferencial, aunque su contribucion al incremento de energa sera nulo, al serlo el incremento de los respectivos movimientos e caces. El incremento de energa elastica valdra 1 (7:50) dW = Fi dui + dFi dui = Fi dui 2 Este incremento de energa elastica puede tambien escribirse dW =

e igualando

@W du @ui i

(7:51)

@W du = Fi dui @ui i

o sea

Fi =

(7:52)

@W @ui

(7:53)

lo cual constituye la expresion del primer teorema de Castigliano. Mas adelante se veran las aplicaciones de este teorema al calculo de estructuras hiperestaticas. Otra deduccion del primer teorema de Castigliano

Anteriormente se ha visto que la energa potencial total del sistema vale X =W Fi ui La primera variacion de debe ser nula, es decir Æ = ÆW

X

X @W Æu Fi Æui = @ui i

i

X

i

y puesto que las variaciones Æui son arbitrarias @W @ui

X @W Fi Æui = @ui

Fi = 0


i

Fi Æui

(7:54) (7:55)

21


o sea

Fi =

@W @ui

(7:56)

lo cual constituye otra demostracion del primer teorema de Castigliano. 7.7 Segundo teorema de Castigliano

7.7.1 Formulaci on

Supongase al igual que antes un sistema elastico cargado con un conjunto de fuerzas independientes Fi. De acuerdo con la expresion del teorema de los trabajos virtuales complementarios puede escribirse Zso

o

M f ds +

Zso

o

Q ds +

Zso

o

N1 ds =

n X i=1

F i ui

(7:57)

Si los esfuerzos y fuerzas virtuales de la expresion anterior son una variacion de los esfuerzos y fuerzas reales existentes debidos a las fuerzas Fi, se tendra M f = ÆMf ; Q = ÆQ; N = ÆN; F = ÆF . Ademas, como Mf EI Q

= kGA N 1 = EA

(7:58a)

=

la expresion 7.57 puede escribirse Zso

o sea

es decir

(7:58b) (7:58c)

so

so

s

s

Z Z X Q N Mf ÆMf ds + ÆQ ds + ÆN ds = ui ÆFi EI kGA EA i o o o

2

s

3

Zo Zo Zo Mf2 1 Q2 1 N2 5 1 4 ds + ds + Æ 2 o EI 2 o kGA 2 o EA ds

ÆW

pero como ÆW =

P

i

X

ui ÆFi = 0

@W ÆF sustituyendo en 7.61 @Fi i X @W ui ÆFi = 0 @Fi i


X

i

ui ÆFi = 0

(7:59)

(7:60) (7:61) (7:62)

22


y como las fuerzas virtuales son arbitrarias ui =

@W @Fi

(7:63)

lo cual constituye la expresion del segundo teorema de Castigliano. Otra demostracion

La energa elastica de la pieza cargada vale W . Si se incrementa el valor de una fuerza cualquiera Fi en un diferencial dFi la nueva energa elastica valdra W+

@W dF @Fi i

(7:64)

Supongase seguidamente que la carga se realiza cargando primeramente la fuerza

dFi y posteriormente el resto de las cargas. La energa elastica nal valdra

1 dF du + dF u + 1 X F u = u dF + W i i 2 i i 2 j j j i i y puesto que las expresiones 7.64 y 7.65 deben ser equivalentes ui =

@W @Fi

(7:65) (7:66)

que constituye la expresion del segundo teorema de Castigliano. 7.7.2 Aplicaci on del segundo teorema de Castigliano a la determinaci on de movimientos

El segundo teorema de Castigliano, uno de los teoremas mas importantes de todo el calculo de estructuras, tiene dos importantes aplicaciones: por una parte en la determinacion de los esfuerzos en estructuras hiperestaticas tal como se vera mas adelante, y por otra en la determinacion de movimientos, tal como se expone seguidamente. Cabe considerar varios casos: a) En el punto en que se desea determinar el movimiento existe una fuerza concentrada aplicada. En este caso, la aplicacion directa del segundo teorema de Castigliano proporciona el desplazamiento e caz en este punto. Para aclararlo, considerese el siguiente ejemplo.

| Problema resuelto P7.4 Sea la mensula de la gura P7.4.1 sometida a las fuerzas alla indicadas. Se desea hallar el movimiento vertical del punto B. Solucion Las leyes de esfuerzos seran Mf = Q =F

p

2

(L p(L

x1 )2 + F (L

x1 )

x1 )


23


Fig. P7.4.1 Mensula cargada La energa elastica valdra 1 W = 2

Zs

o

Mf2 1 ds + EI 2

Zs

o

Q2 ds kGA

A partir de la expresion 7.66, se obtiene la echa en B @W = u2B = u2B = @F

y puesto que

u2B =

ZL h

o

=

Zs

o

@Mf ds Mf + @F EI

@Mf = (L @F @Q =1 @F p

2

(L

x1 ) + F (L 2

F L3 FL + + 8EI 3EI kGA pL4

i

x1 ) (L

Zs

Q o

@Q ds @F

x1 )

dx1 x1 ) + EI

pL2 2kGA

ZL

F o

p(L

x1 )

dx1 kGA

b) En el punto en que se desea determinar el movimiento segun una determinada direccion no hay aplicada ninguna fuerza concentrada en tal direccion. En este caso se supone aplicada en dicho punto y en la direccion deseada una fuerza de valor F . Las nuevas leyes de esfuerzos valdran: Mft = Mf + F mf Qt = Q + F q Nt = N + Fn

(7:67a) (7:67b) (7:67c)

siendo Mf ; Q y N los esfuerzos en la pieza con las cargas reales, y F mf ; F q y F n los esfuerzos en la misma pieza debidos a la fuerza cticia F . Logicamente mf ; q y n seran


24


los esfuerzos debidos a una fuerza unidad aplicada en el mismo punto y con la misma direccion que F . La energa elastica valdra Zs Zs Zs (Mft )2 1 ( Qt )2 1 (N t)2 ds 1 t ds + ds + (7:68) W = 2 o 2EI 2 o kGA 2 o EA

y de acuerdo con 7.66, el movimiento total debido a las cargas aplicadas y a la fuerza F sera s Zs Zs @Qt @N t @W t Z t @Mft t t = Mf ds + Q ds + N t ds (7:69) u = @F @F @F @F y puesto que

o

o

o

@Mft = mf @F @Qt =q @F @N t =n @F

(7:70a) (7:70b) (7:70c)

sustituyendo en 7.69 s s Zs ds Z ds ds Z t + ( N + F n)n u = (Mf + F mf )mf + (Q + F q)q EI o kGA o EA o El movimiento ut y el movimiento u coincidiran si F = 0, por lo que Zs Zs Zs Qq Nn Mf mf ds + ds + ds u = EI kGA EA o o o

(7:71)

(7:72)

expresion que proporciona el movimiento e caz en el punto de interes.

| Problema resuelto P7.5 Determinar el movimiento horizontal del punto A en la pieza de la gura P7.5.1 mediante la aplicacion del teorema de Castigliano. Solucion Se eligen coordenadas polares. Las leyes de esfuerzos seran R2

(1 sin )2 2 Q = pR(1 sin ) cos N = pR(1 sin ) sin

Mf =

p


25


Fig. P7.5.1 Pieza circular: a) Cargas aplicadas, b) Carga unidad Las leyes de esfuerzos debidos a una fuerza unidad valen mf = R(1 sin ) q = cos n = sin

Aplicando el teorema de Castigliano en su expresion 7.72, =2 Z

uA =

p o

R2

2

(1

sin )

2

R(1

=2 Z

+

pR (1

sin ) cos ( cos )

o = Z 2

+

sin )

pR (1 o

= 0; 1302

sin ) sin

Rd EI

Rd kGA

Rd EA

pR2 pR2 pR4 + 0; 4521 + 0; 1187 EI kGA EA

que proporciona el valor del desplazamiento del punto A en direccion horizontal.

c) Determinacion del movimiento total de un punto de una pieza. Este caso es una consecuencia directa del anterior. Para determinar el desplazamiento total, es preciso hallar dos componentes en dos direcciones cualesquieras utilizando la metodologa de la fuerza unidad expuesta en el punto anterior. d) Determinacion del movimiento relativo entre dos puntos. Supongase que en una pieza cualquiera (Fig. 7.6) actuan una serie de fuerzas F1 ; F2 ; Fi 1 ; Fi ; Fi ; Fi+1 ; Fn 1 ; Fn de tal forma que dos de ellas Fi y Fi tengan igual modulo y signo contrario y esten aplicadas las dos en puntos distintos de la estructura A y B .


26


Fig. 7.6 Estructura cargada con un sistema de fuerzas, dos de ellas de igual magnitud y signo opuesto

Supongase que se carga la estructura con dFi y al mismo tiempo con dFi . Posteriormente se colocan el resto de las cargas. La energa elastica nal valdra 1 1 XF u 1 (7:73) W = dFi duA + dFi duB + dFi uA + dFi uB + 2 2 2 j j j La energa elastica dada por 7.73 tambien se puede escribir W+

E igualando se obtiene

@W dF @Fi i

uAB = uA + uB =

(7:74) @W @Fi

(7:75)

lo cual proporciona la expresion del movimiento relativo de los puntos A y B en la lnea de accion de Fi .

| Problema resuelto P7.6 Supongase la viga biapoyada de la gura P7.6.1 cargada con

una carga uniformemente repartida p y dos momentos M iguales y de signo contrario aplicados en los puntos de apoyo A y B . Se desea obtener el giro relativo de A respecto a B . Para mayor simplicidad se considerara u nicamente la deformacion debida al momento

ector. Solucion Las leyes de momentos valdran Mf =

pL

2

(L

x1 )

p (L

2

x1 )2

+M


27


Fig. P7.6.1 Viga biapoyada sometida a carga uniformemente repartida y a momentos en sus extremos y sus derivadas respecto a M @Mf =1 @M

Aplicando el teorema de Castigliano ZL

'AB =

Mf o

ZL

= o

@Mf dx @M EI

pL

2

(L

x)

p(L

2

x)2

+M

dx pL3 ML = + EI 12EI EI

lo cual proporciona el valor del giro relativo entre los extremos A y B .

7.8 Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti

Este teorema fue enunciado en 1872 por E. Betti y poco mas tarde en 1874 por Lord Rayleigh. Previamente, en 1864 Maxwell lo haba formulado como un caso particular de su forma mas general. Considerese una pieza elastica cargada de forma independiente con dos sistemas de cargas (Fig. 7.7). El primer sistema consiste en una serie de fuerzas externas p que daran lugar a un campo de movimientos v. El segundo sistema esta formado por otras fuerzas distintas p^ que daran lugar a otro campo de movimientos v^ . El primer sistema de fuerzas dara lugar a unos esfuerzos ^ N^ . Logicamente, en el caso tridimenMf ; Q y N , mientras que el segundo a M^ f ; Q; sional se tendran ademas otros esfuerzos. Ambos sistemas de esfuerzos cumpliran las ecuaciones de equilibrio interno, es decir d (N e1 + Qe2 ) + p = 0 ds


(7:76a)

28


Fig. 7.7 Pieza elastica cargada con dos sistemas de fuerzas

dMf +Q= 0 ds

(7:76b)

d ^ (N e1 + Q^ e2 ) + p^ = 0 ds

(7:77a)

y tambien

dM^ f ^ +Q= 0 ds

(7:77b)

por lo que tambien debera veri carse Zso

o Zso h o

Zso

i

o Zso

(N e1 + Qe2 ) + p v^ ds +

(N^ e1 + Q^ e2 ) + p^ v ds +

o

dMf + Q '^ ds = 0 ds !

dM^ f ^ + Q ' ds = 0 ds

(7:78a) (7:78b)

Procediendo de igual forma que en las demostraciones de los teoremas de trabajos virtuales (esto es, integrando por partes), la ecuacion 7.78a se transforma en Zso

Zso

Zso

ds ds ds + N N^ Mf M^ f + QQ^ EI o kGA o EA o

Zso Zso s s o o s o = Mf '^jo + Qv^2 o + N v^1 o + p1 v^1 ds + p2 v^2 ds o o


(7:79)

29


mientras que la 7.78b se escribe Zso

Zso

Zso

ds ^ ds + NN ^ ds = M^ f Mf + QQ EI o kGA o EA o Zso Zso so so so ^ ^ ^ = Mf ' + Qv2 + Nv1 + p^1 v1 ds + p^2 v2 ds o

o

o

o

o

(7:80)

y puesto que los primeros miembros de 7.79 y 7.80 son iguales, se puede escribir s

o

s

s

o

o

Mf '^ o + Qv^2 o + N v^1 o Zso

Zso

o

o

+ p1 v^1 ds + p2 v^2 ds

s

o

M^ f ' o Zso

o

s

o

^ 2 Qv o

p^1 v1 ds

Zso

o

s

o

^ 1 + Nv o

p^2 v2 ds = 0

(7:81)

lo cual constituye la expresion general del teorema de Maxwell-Betti, que puede enunciarse as: En una pieza elastica sometida a dos sistemas diferentes de fuerzas, el trabajo que realizaran las fuerzas del primer sistema con los movimientos del segundo es igual al trabajo que realizaran las fuerzas del segundo sistema con los movimientos del primero.

Un caso particular muy interesante es el que se re ere al caso en que el primer sistema esta formado por una unica fuerza (o momento) F1 aplicada en un punto 1, mientras que para el segundo sistema se tiene una fuerza F2 aplicada en el punto 2 (Fig. 7.8).

Fig. 7.8 Pieza elastica con dos sistemas de cargas formado cada uno de ellos por una fuerza (o momento) concentrado

Sea: u11 el movimiento del punto 1 debido a la fuerza F1 . u21 el movimiento del punto 2 debido a la fuerza F1 . u12 el movimiento del punto 1 debido a la fuerza F2 . u22 el movimiento del punto 2 debido a la fuerza F2 .


30


de acuerdo con 7.81 debera cumplirse que 1 u12

= F2 u21 (7:82) Por su interes, es formativo deducir 7.82 por un camino distinto a como se ha deducido 7.81. Para ello, supongase que se carga la estructura aplicando primeramente F1 y a continuaci on F2 . El trabajo total realizado sera: 1 F u11 Trabajo realizado por F1 cuando se carga F1 : 2 1 F

Trabajo realizado por F1 cuando se carga con F2 :

1 u12

F

1 F u22 Trabajo realizado por F2 cuando se carga con F2 : 2 2 El trabajo total valdra 1 1 (7:83) W = F1 u11 + F1 u12 + F2 u22 2 2 Analogamente, supongase que se carga primeramente con F2 y posteriormente con F1 . El trabajo realizado valdr a: 1 F u22 Trabajo realizado por F2 cuando se carga F2 : 2 2

Trabajo realizado por F2 cuando se carga con F1 :

2 u21

F

1 F u11 Trabajo realizado por F1 cuando se carga con F1 : 2 1 El trabajo total valdra 1 1 (7:84) W = F1 u11 + F1 u21 + F2 u22 2 2 y puesto que las expresiones 7.83 y 7.84 son equivalentes F1 u12 = F2 u21 tal como se enuncio. Una interesante aplicacion del teorema de reciprocidad es la que hace referencia al centro de esfuerzos cortantes de nido en el Captulo 5. Considerese una seccion cualquiera (Fig. 7.9) en que los ejes x2 ; x3 son principales de inercia. Supongase que el primer sistema de cargas esta formado por un esfuerzo cortante Q3 que pasa por el centro de esfuerzos cortantes C , mientras que el segundo sistema esta formado por un momento torsor T que actua en el centro de esfuerzos cortantes. Al pasar Q3 por el centro de esfuerzos cortantes, la seccion no gira, teniendo unicamente un desplazamiento vertical de valor

dv3 = 3 ds =

Q3 ds k3 GA

(7:85)

Asimismo, cuando en la seccion hay aplicado un momento torsor T , el punto C tiene


31


Fig. 7.9 Seccion cargada con un esfuerzo cortante que pasa por el centro de esfuerzos cortantes y un momento torsor

un desplazamiento vertical dv3 y un giro por torsion d'1 = (T=GJ )ds. De acuerdo con el teorema de Maxwell-Betti, el cortante Q3 multiplicado por dv3 debe ser igual al momento torsor T por el giro de la seccion debido a Q3 , es decir: Q3 dv3 = T 0 (7:86) es decir dv3 = 0. Analogamente, si el cortante aplicado tuviera direccion horizontal, resultara que dv2 = 0, es decir, que cuando la seccion esta sometida a un momento torsor, el centro de esfuerzos cortantes solamente gira sin desplazarse, o sea, que una seccion sometida a un momento torsor gira alrededor del centro de esfuerzos cortantes. 7.9 Minimizaci on de la energ a el astica respecto a las inc ognitas hiperest aticas

Considerese una estructura hiperestatica cualquiera (ver Fig. 7.10) en la que se han introducido los cortes su cientes para transformarla en isostatica. En los puntos de corte se han introducido unas fuerzas y/o momentos Xi de tal manera que se restablezca la estructura original. Los movimientos e caces de las Xi deben ser nulos, ya que en el caso de las hiperestaticas internas dicha nulidad de movimientos e caces es necesaria para restablecer la continuidad de la estructura, mientras que para las hiperestaticas externas al tratarse de apoyos, tambien se exige la nulidad de movimientos. Por lo tanto, de acuerdo con el segundo teorema de Castigliano @W =0 @Xi

(7:87)

lo cual indica que la energa elastica debe ser un mnimo respecto a las incognitas hiperestaticas.


32


Fig. 7.10 a) Estructura hiperestatica, b) Cortes y fuerzas introducidas para transformarla en isostatica 7.10 Expresi on de las deformaciones generalizadas en funci on de los movimientos

1 ; , y de los esfuerzos

Recuerdese que la expresion 7.20 establece

dv = 1 e1 + (' + )e2 ds

Por otra parte,

dv de dv de dv d = ( v1 e1 + v2 e2 ) = 1 e1 + v1 1 + 2 e2 + v2 2 (7:88) ds ds ds ds ds ds Las derivadas respecto a la coordenada s de los vectores e1 y e2 vienen dadas por la


33


matriz de acuerdo con las expresiones 2.13 y 2.22, es decir de1 = 12 e2 ds de2 = 12 e1 ds

(7:89a) (7:89b)

por lo que 7.88 puede escribirse

dv2 dv dv1 = +

12 v2 e1 + ds ds ds

12 v1

2

e

(7:90)

Igualando 7.90 a 7.20 se obtiene

dv 1 = 1 + 12 v2 ds dv2 ' 12 v1

= ds

y ademas =

d' ds

(7:91a) (7:91b) (7:91c)

Las expresiones 7.91 pueden expresarse matricialmente

o sea

3

2

d 1 ds 0 6 d 4 5=4 0 ds 0 0 2

3

0 2 v1 3 2 0 12 0 3 2 v1 3 1 75 4 v2 5 + 4 12 0 0 5 4 v2 5 d ' 0 0 0 ' ds

= LÆ + Æ = (L + )Æ

(7:92) (7:93)

siendo el vector de deformaciones generalizadas 2

3

1 =4 5

L

(7:94a)

es el operador diferencial bidimensional dado por 2 L

d ds 6

0

3

0 1 75

= 4 0 dsd 0 0 dsd


(7:94b)

34


El vector Æ es el vector de movimientos en coordenadas de la seccion 2

3

v1 Æ = 4 v2 5 '

(7:94c)

La expresion 7.92 o su forma compacta 7.93 proporcionan las deformaciones generalizadas en funcion de los movimientos. Dichas expresiones son de especial importancia en la resolucion de problemas de Calculo de Estructuras utilizando metodos numericos. Es de notar que en el caso de piezas rectas se veri ca que = 0, por lo que la expresion 7.93 para este caso particular adopta la forma = LÆ (7:95) Por lo que respecta a los esfuerzos, se puede escribir 2

o en forma compacta

3

2

32

3

N EA 0 0 1 4 Q 5=4 0 kGA 0 5 4 5 Mf 0 0 EI

(7:96a)

= C (7:96b) Sustituyendo por la expresion dada por 7.93 R = CLÆ + C Æ = C(L + )Æ (7:97) expresion que proporciona el valor de los esfuerzos en funcion de los movimientos. R

7.11 Directriz que no pasa por el centro de gravedad de la secci on

Todo lo estudiado hasta ahora supone que la directriz de la pieza pasa en cada punto por el centro de gravedad de la seccion recta. Con ser este el caso mas habitual, no deja de ser un caso particular de uno mas general, consistente en suponer una directriz cualquiera. En el Calculo de Estructuras, existen importantes aplicaciones cuyo estudio se simpli ca notablemente con una determinada directriz no coincidente con el lugar geometrico de los centros de gravedad de las secciones rectas. Por ello, se exponen en este apartado las expresiones que resultaran de este cambio. Sea en una seccion cualquiera G el centro de gravedad de la misma y G0 la interseccion de dicha seccion con la directriz. En G0 se situa el origen del triedro local e1 ; e2 ; e3 . Sea e(s) la posici on del punto G respecto al origen de coordenadas G0. Se denominaran mediante N; Q y Mf los esfuerzos en G y mediante N 0; Q0 y Mf0 los esfuerzos en G0 . Evidentemente, N 0; Q0 y Mf0 cumplen las ecuaciones de equilibrio interno 2.14. Por equilibrio se tendra N0 = N (7:98a)


35


Q0 = Q Mf0 = Mf

(7:98b) e(s)N

(7:98c)

Asimismo si 01 ; 10 y 0 son las deformaciones generalizadas respecto a G0, se puede escribir 01 = 1 + e(s) (7:99a)

0 =

(7:99b)

0 =

(7:99c)

y ademas N 0 Mf0 + e(s)N 0 + e (s) EA EI Q0

0 = kGA M 0 M 0 + e (s)N 0 0 = f = f EI EI 01 =

es decir

(7:100a) (7:100b) (7:100c)

2 3 e2 (s) e(s) 3 2 N 0 3 1 + 0 01 EA EI EI 7 1 4 0 5 = 6 4 0 5 4 Q00 5 0 kGA 0 Mf e(s) 1 0

(7:101)

0 = D0R0

(7:102)

e2 (s) e(s) 3 + 0 EI 7 0 6 EA 0 EI 1 D = 4 kGA 0 5 e(s) 1 0 EA EI

(7:103)

2

EI

o sea siendo

2

EA

1

La relacion 7.102 se puede invertir R

0 = C00


(7:104)

36


siendo 2

0 = (D0 )

=4

1

C

0

EA

0

e(s)EA

0

kGA

e(s)EA

EI + e2 (s)EA

0

3

(7:105)

5

Por lo que hace referencia a la expresion del teorema de los trabajos virtuales 7.23, sustituyendo en dicha expresion las ecuaciones 7.98 a 7.100 se obtiene Zso

o

M 0 0 ds + f

+ N 0v

0 so 1

o

Zso

o

+

Q0 0 ds +

Zso

o

Zso

o

p0 v0 ds + 1 1

s

o

Zso

o

s

o

N 0 01 ds = Mf0 '0 o + Q0 v02 o + p02 v02 ds = 0

(7:106)

lo cual constituye la expresion del teorema de los trabajos virtuales respecto a una directriz cualquiera. En cuanto a la energa elastica, dada por la expresion 7.48a, se tendra 2

s

2

s

2

s

s

3

s

Zo Zo Zo 1 4 5 W= 2 o Mf ds + o Q ds + o N1 ds =

s

3

s

Zo Zo Zo 1 0 0 0 0 0 4 = 2 (Mf + e(s)N ) ds + Q ds + N 0(01 e(s)0 ds5 o o o

s

3

s

Zo Zo Zo 1 0 0 0 0 4 = 2 Mf ds + Q ds + N 001 (s) ds5 o o o

(7:107)

o tambien 2

s

s

s

3

Zo Zo Zo Mf0 + e(s)N 0 ( Q0 )2 N 0 Mf0 + e(s)N 0 1 0 4 Mf ds + ds + N 0 + e(s) ds5 W= 2 o EI kGA EA EI o o 2 s s o o Zso Z Z (Mf0 )2 ( Q0 )2 1 e2 (s) 1 0 2 4 ds + ds + (N ) + ds =2 EI kGA EA EI o o o Zso

!

3

e(s)Mf0 N 0 5 ds +2 EI o

(7:108)


37


y en funcion de las deformaciones generalizadas 8

s

s

1 > =

+ C1L + C2 = 0 (9:11) > qL3 ; + C1 = 0 > 6EI 3 de donde se obtiene C1 = qL =6EI ; C2 = qL4=8EI , por lo que la expresion de la


74


deformada 9.9 se escribira nalmente pL3 pL4 qx4 x1 (9:12) v2 = 1 + 24EI 6EI 8EI y derivando se obtiene la ley de giros qx31 qL3 dv (9:13) '= 2 = dx1 6EI + 6EI La echa maxima se obtendra en el punto A, por lo que sustituyendo para x1 = 0 en la expresion 9.12 se obtiene (v2)max = 3qL4=8EI . Asimismo, el giro maximo se producira tambien en A y valdra 'max = qL =6EI . 9.2.2 Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida

Considerese (Fig. 9.2) una viga biapoyada sometida a una carga uniformemente repartida de valor p2 = q kN por metro lineal. Se trata de hallar la ley de echas, los giros, la echa maxima y los giros en los apoyos

Fig. 9.2 Deformada de una viga biapoyada sometida a una carga uniforme

Las reacciones RA y RB valdran RA = RB = qL=2. La ley de momentos ectores valdra q 2 qLx1 Mf (x1 ) = RB (L x1 ) 2 (L x1) = 2 Sustituyendo en la expresion 9.6a qLx1 px21 d2 v EI 22 = dx 2 2 Integrando

1

EIv2 =

qLx31

12

qx41

24 + C1x1 + C2


qx21

2

(9:14) (9:15) (9:16)

75

9 Vigas simples

para x1 = 0 ) v2 = 0 para x1 = L ) v2 = 0 3 Con lo cual C1 = pL =24; C2 = 0, por lo que sustituyendo en 9.16 se tendra qx (9:17) v2 = 1 (2Lx21 x31 L3 ) 24EI La echa maxima (v2)max se obtendra para x1 = L=2, por lo que 5pL4 (9:18) (v2)max = 384 EI En lo que respecta a los giros, derivando la expresion 9.17 qLx21 px31 qL3 dv (9:19) '= 2 = dx 4EI 6EI 24EI 1

Ademas, para x1 = 0 se obtiene 'A =

qL3 =24EI

y para

x1 = L; 'B = qL3 =24EI .

9.2.3 Viga empotrada en un extremo y apoyada en otro sometida a carga uniformemente repartida

Considerese la viga de la gura 9.3 sometida a una carga uniformemente repartida Al ser la pieza hiperestatica, no es posible utilizar la ecuacion diferencial 9.6a al ser desconocida la ley de momentos ectores, por lo que sera necesario partir de la 9.6c. Integrando dicha ecuacion se obtiene qx41 C1 x31 C2 x21 (9:20) EIv2 (x1 ) = 24 + 6 + 2 + C3x1 + C4 Las condiciones de contorno a imponer seran: - para x1 = 0 ) v2(x1) = 0 - para x1 = 0 ) '(x1) = dv2 =dx1 = 0 - para x1 = L ) v2 (x1) = 0 2 - para x1 = L ) Mf = EId v2 =dx21 = 0 Imponiendo las anteriores condiciones a la ecuacion 9.20 se obtienen los valores de las cuatro constantes de integracion: C1 = 5qL=8; C2 = qL2=8; C3 = C4 = 0, con lo que la expresion de la ley de echas sera 5qLx31 qL2x21 qx41 + (9:21) v2 = 24EI 48EI 16EI y la ley de giros qx31 5qLx21 qL2 x1 dv (9:22) '= 2 = dx 6EI + 16EI 8EI

q.

1


76


Fig. 9.3 Deformada de una viga simple empotrada y apoyada sometida a una carga uniformemente repartida

Las leyes de esfuerzos se obtendran qx21 5qLx1 d2 v2 = dx21 2 + 8 dMf = qx1 5qL dx1 8

Mf (x1 ) = EI Q(x1 ) =

y las reacciones

MA = Mf (x1 = 0) =

qL2

8

(9:23a) (9:23b)

qL2

8 5 qL RA = Q(x1 = 0) = 8 3 qL RB = Q(x1 = L) = 8 En la gura 9.4 pueden verse dibujadas las leyes de momentos ectores y de esfuerzos cortantes 9.2.4 Cargas no uniformes. Utilizacion de la funcion de Heaviside

Las piezas estudiadas anteriormente tienen en comun el hecho de que la carga es uniformemente repartida a lo largo de toda la luz de la pieza. Aparecen, sin embargo, muchos casos en los que la carga actua unicamente en un trozo de la pieza, o bien, dicha carga es puntual. En estos casos es muy util introducir la funcion de Heaviside, la cual se de ne (Fig. 9.5) x1 < a H (x1 a) = 01 si (9:24) si x1 a


77

9 Vigas simples

Fig. 9.4 Leyes de momentos ectores y esfuerzos cortantes en una viga empotrada y apoyada sometida a carga uniforme

Fig. 9.5 Funcion de Heaviside

Mediante la funcion de Heaviside es posible representar funciones a trozos, lo que la convierte en una herramienta muy util para representar analticamente algunos tipos de cargas, momentos, etc. As por ejemplo, las cargas representadas en las guras 9.6a y 9.6b pueden escribirse respectivamente: p2 (x1 ) = qH (x1 a)

(9:25a)

p2 (x1 ) = qH (x1 a) + qH (x1 b)

(9:25b)


78


Fig. 9.6 Diversas cargas y leyes de esfuerzos en una pieza biapoyada

mientras que la ley de momentos ectores de la gura 9.6c se escribira M L(a x1 ) M H (x1 a) Mf (x1 ) = 0 x1 + 0 a a(L a)

(9:25c)

Es interesante obtener la primera derivada as como la integral de la funcion de Heaviside dH (x1 a) = Æ(x1 a) (9:26) dx 1


79

9 Vigas simples

siendo Æ(x1

a) la funcion delta de Dirac de nida por Æ(x1 a) = 0 Z

asimismo

Z x1

si x1 6= a

1 f (x1 )Æ(x1 1

(9:27a)

a) dx1 = f (a) Z x1

(9:28) A partir de estas expresiones ya es posible proceder a la integracion de la ecuacion de la elastica para cualquier tipo de carga. 1

f ( )H ( a) d = H (x1 a)

(9:27b)

a

f ( ) d

9.2.5 Viga biapoyada sometida a una carga puntual F

La ecuacion de la elastica se escribira en este caso (Fig. 9.7): F Æ(x a) EI 1

(9:29)

F H (x1 a) + C1 EI F (x a)H (x1 a) + C1x1 + C2 EI 1 F (x1 a)2 x2 H (x1 a) + C1 1 + C2 x1 + C3 EI 2 2 x3 x2 F (x1 a)3 H (x1 a) + C1 1 + C2 1 + C3 x1 + C4 EI 6 6 2

(9:30a)

cuyas sucesivas integrales seran d3 v2 dx31 d2 v2 dx21 dv2 dx1

= = =

v2 =

d4 v2 dx41

=

Las condiciones de contorno a imponer seran:

v2 (0) = 0 v2 (L) = 0

d2 v =0 Mf (x1 = 0) = EI 22 dx1 x1 =0 d2 v =0 Mf (x1 = L) = EI 22 dx1 x1 =L


(9:30b) (9:30c) (9:30d)

80


Fig. 9.7 Deformada de una viga biapoyada sometida a carga puntual

con lo cual las constantes de integracion valdran F a 1 L C1 = EI C2 = C4 = 0 aa F C3 = 6EI 1 L L 2 aL con lo que la ley de echas se escribira v2 =

F F ( x1 a)3 H (x1 a) + 1 6EI 6 EI F 1 La La 2 aLx1 + 6EI

a 3 x L 1

La echa en el punto C de actuacion de la carga valdra F a 2 2 v2C = v2 (x1 = a) = 3EI 1 L a L Los giros en A y B seran F 6EI 1 F 'B = '(L) = 6EI 1 'A = '(0) =

aa 2 aL L L 2 a aL L

(9:32) (9:33) (9:34a) (9:34b)

9.2.6 Movimientos de apoyos en vigas simples

Las piezas analizadas hasta ahora, descansan todas ellas en apoyos jos. Existen sin embargo casos en los cuales algun apoyo experimenta algun movimiento (desplaza-


81

9 Vigas simples

miento o giro) conocido, o bien, dicho apoyo es elastico, entendiendo por tales aquellos apoyos que experimentan un movimiento proporcional a la accion existente en dicho apoyo (Fig. 9.8). As por ejemplo, si el apoyo A es elastico a desplazamiento vertical, el desplazamiento en este punto no sera nulo, sino que se escribira v2A = kRA, mientras que si es elastico al giro, este valdra 'A = k0MA, siendo MA el momento externo actuante en dicho apoyo. El signo menos tiene su origen en que el movimiento tiene signo opuesto a la accion.

Fig. 9.8 Vigas sobre apoyos elasticos

A n de ilustrar el proceso a seguir en ambos casos, considerese la viga simple de la gura 9.9. Se estudiara primeramente el caso en que los movimientos de los apoyos son dados v2A = v2 (x1 = 0) = v2oA (9:35a) 'B =

dv2 = 'o dx1 x1 =L B

v2B = v2 (x1 = L) = 0

(9:35b)

(9:35c) La solucion general viene dada por la expresion 9.20, en donde las cuatro constantes de integracion se obtendran imponiendo las condiciones de contorno dadas por 9.35 y


82


Fig. 9.9 Viga simple sometida a una carga uniformemente repartida y a un desplazamiento dado v2oA en A y a un giro dado 'oB en B

ademas Mf (x1 = 0) =

2 v2 d EI dx2 1

x1 =0

= 0. Con ello se obtiene

3qL + EI 3v2oA + 3'oB 8 L3 L2 o 'B 3v2oA qL3 C3 = 48 EI 2 + 2L C1 =

C2 = 0 C4 = v2oA EI

Con lo que la expresion de la echa vendra dada por qx41 3qL 3v2oA 3'oB x31 qL3 'oB 3v2oA o v2 = 24EI + 8EI + L3 + L2 6 48EI + 2 + 2L x1 + v2A La ley de giros vendra dada por qx31 3qL 3v2oA 3'oB x21 qL3 'oB 3v2oA '(x1 ) = 6EI + 8EI + L3 + L2 2 48EI + 2 + 2L La ley de momentos ectores sera (Fig. 9.10a) qx21 3qL + 3v2oA + 3'oB x1 d2 v + EI Mf (x1 ) = EI 22 = dx1 2 8EI L3 L2 El momento en el extremo B valdra 3'oB EI L qL2 3qL 3v2oA + + EI + MB = Mf (x1 = L) = 2 8 L3 L2 o o 2 = qL8 + 3Lv22A EI + 3'LB EI


(9:36) (9:37) (9:38)

(9:39)

83

9 Vigas simples

Fig. 9.10 Leyes de momentos ectores y de esfuerzos cortantes para la viga simple de la gura 9.9

mientras que la ley de cortantes (Fig. 9.10b) o 3 qL 3 v2A 3'oB d3 v2 (9:40) Q = EI 3 = qx1 dx1 8 + EI L3 + L2 en tanto que las reacciones en A y B 3qL + 3v2oA EI + 3'oB EI RA = Q(x1 = 0) = 8 L3 L2 3 'oB 5 qL 3v2oA RB = Q(x1 = L) = 8 L3 EI L2 EI En el caso de una viga con apoyos elasticos, la solucion general de la elastica seguira siendo la 9.20, siendo distintas las condiciones de apoyo a imponer. Considerese por ejemplo la viga simple de la gura 9.11, en la cual el apoyo A es elastico en direccion vertical y el apoyo B es elastico a giro. Las condiciones de contorno a imponer seran: - para x1 = 0 ) - para x1 = 0 ) - para x1 = L )

v2A = kRA

) v2(x1 = 0) =

=0 ) v2 (x1 = L) = 0

Mf

d2 v2 dx21 x1 =0

3 v2 d kEI dx3 1

=0


x1 =0

84


Fig. 9.11 Viga sobre apoyos elasticos

- para x1 = L )

'B =

k 0 MB

)

dv2 dx1

x1 =L

=

2 k0 EI d v22

dx1 x1 =L

Con lo cual las constantes de integracion C1, C2, C3 y C4 valdran C1 = 3qL 1 2

C2 = 0

q 72(EI )2 kk0 + 24EIkL + 6EIk0 L3 + L4

C3 =

6

C4 = 3qEIkL 1 siendo

2

2

1 = 4EIk0 + L

2 = 8( 3EIk + 3EIk0L2 + L3)=L2 Las leyes de esfuerzos, reacciones etc. se obtendran de la misma forma que anteriormente. 9.2.7 Efectos termicos

El estudio de los movimientos y las tensiones producidas por los efectos termicos es en general un tema complejo cuyo analisis en profundidad excede los lmites de este texto. Sin embargo, en piezas formadas por una seccion rectangular o asimilable existe una solucion aproximada, valida para un numero considerable de aplicaciones. Dicha


85

9 Vigas simples

Fig. 9.12 Distribucion de temperaturas a traves de una seccion y descomposicion de las mismas en una variacion uniforme y en otra variable

aproximacion consiste en admitir una distribucion lineal de temperaturas a traves del canto de la seccion (Fig. 9.12). Como puede verse en la gura 9.12, una variacion lineal de temperatura puede descomponerse en una variacion uniforme y una distribucion variable, de forma que en las caras superior e inferior los incrementos termicos sean iguales y de sentido contrario. En el primer caso se produce un alargamiento de toda la seccion de valor (t1 +t2)=2 por unidad de longitud. Sus efectos en las piezas rectas seran estudiadas al nal de este captulo. Por lo que respecta al segundo caso, las variaciones termicas producen una curvatura en la seccion (ver Captulo 4) de valor (t1

t2)

(9:41) siendo el coe ciente de dilatacion lineal y h el canto de la seccion. La curvatura total de una seccion valdra por tanto M (9:42) t = f + nt EI por lo que las ecuaciones 9.6 se transforman en nt =

h

Mf + nt = EI Q + m dnt + dx = EI 1

d2 v2 dx21 d3 v2 dx31


(9:43a) (9:43b)

86


p2 EI

1

dm d2 nt + EI dx1 dx21

4

= ddxv42

(9:43c)

1

y si la variacion termica es constante en toda la longitud de la pieza d2 nt dnt = dx = 0 dx2 1

1

Es importante se~nalar que si la pieza es isostatica los momentos ectores y esfuerzos cortantes producidos por las variaciones termicas seran nulos, aunque no los movimientos. | Problema resuelto P9.1

La pieza de la gura P9.1.1 esta sometida a la variacion termica indicada. Dado que t1 = t y t2 = t, la curvatura debido a la variacion termica vale 2t nt = h Integrando la ecuacion 9.43c x + C2 1 + C3 x1 + C4 6 2 Las condiciones de contorno a aplicar seran v2A = v2 (x1 = 0) = 0 v2 = C1

x31

'A =

2

dv2 =0 dx1 x1 =0

v2B = v2 (x1 = L) = 0

d2 v2 nt Mf (x1 = L) = EI dx21 x1 =L

!

por lo que las constantes C1, C2 , C3 y C4 valdran 3 C1 = nt 2L C2 =

nt

2


=0

87

9 Vigas simples

Fig. P9.1.1 Viga empotrada y apoyada sometida a una variacion termica

La ecuacion de la deformada sera

C3 = C4 = 0

v2 =

nt 3 4L x1

nt

4 x1 Las leyes de momentos ectores se obtendran a partir de 9.43a 2 3 nt x 1 EI d v2 nt = Mf (x1 ) = EI dx21 2 L y el momento reaccion en A 3tEI 3 MA = Mf (x1 = 0) = nt EI = 2 h En cuanto a la ley de esfuerzos cortantes, a partir de 9.43b 3 nt 3t d3 v Q = EI 32 = dx1 2L EI = hL EI y las reacciones 3t EI 3 RA = Q(x1 = 0) = nt = 2L hL RB = Q(x1 = L) =

2

3 nt 3t 2L = hL EI

En la gura (P9.1.2) pueden verse representadas las leyes de esfuerzos y las reacciones.


88


Fig. P9.1.2 Leyes de esfuerzos y reacciones para el problema resuelto P9.1

9.2.8 Vigas sobre lecho elastico

El objeto de este apartado es el analisis de un tipo especial de vigas simples que no descansan sobre apoyos jos, sino que estan apoyadas en toda su longitud sobre un lecho elastico (Fig. 9.13), caracterizado por el coe ciente de balasto k. Tal tipo de vigas aparecen frecuentemente en la practica estructural asociadas a problemas de cimentaciones, depositos, etc.

Fig. 9.13 Viga apoyada sobre lecho elastico


89

9 Vigas simples

La ecuacion de la elastica se escribira ahora d4 v EI 42 = p2 (x1 ) + p02 (x1 ) dx

y dado que p02(x1) =

(9:44)

1

kv2

d4 v2 + kv2 = p2 dx41

(9:45) Como es sabido, la solucion de la ecuacion anterior es suma de la solucion de la ecuacion homogenea mas una solucion particular, es decir EI

v2 = e x1 (C1 cos x1 + C2 sin x1 ) + e

x1

(C3 cos x1 + C4 sin x1) + v2p

(9:46)

q

k . siendo v2p la solucion particular dependiente de las cargas p y = 4 4EI Las constantes C1 a C4 se obtendran en cada caso particular, imponiendo las condiciones de contorno apropiadas de la misma forma que se ha hecho hasta ahora. Por su importancia practica en cimentaciones, se van a estudiar dos casos de especial interes: el primero de ellos corresponde a una viga in nita sobre lecho elastico cargada con una fuerza puntual F , mientras que el segundo se re ere a la misma viga cargada ahora con un momento concentrado M .

a) Viga in nita sobre lecho elastico cargada con una fuerza concentrada F (Figura 9.14)

Para este, caso la solucion particular v2p es nula, es decir v2p = 0, por lo que habra que determinar las constantes C1 a C4 de la expresion 9.46. Se considerara unicamente la solucion en el semieje x1 positivo, ya que por simetra los correspondientes valores del semieje x1 negativo se deducen inmediatamente. Para dicho semieje x1 positivo, las constantes C1 y C2 deben ser nulas, pues de lo contrario se tendran valores in nitos de la echa en x1 = 1 (para x1 negativo las constantes nulas deben ser por la misma razon C3 y C4), es decir v2 = e x1 (C3 cos x1 + C4 sin x1 ) (9:47) Las condiciones de contorno a aplicar a la expresion anterior seran '(x1 = 0) =

dv2 =0 dx1 x1 =0

F d3 v Q(x+1 = 0) = EI 32 + = dx1 x1 =0 2


(9:48a) (9:48b)

90


Fig. 9.14 Viga in nita apoyada en lecho elastico y cargada con una fuerza concentrada en el origen

Derivando 9.47 dv2 dx1 d2 v2 dx21 d3 v2 dx31

= e

x1

[(

C3 + C4 )cos x1

(C3 + C4) sin x1 ]

= 2 2 e

x1

(

C4 cos x1 + C3 sin x1 )

= 2 3 e

x1

[(C3 + C4) cos x1 + (

C3 + C4 )sin x1 ]

(9:49a) (9:49b) (9:49c)

los constantes C3 y C4 valdran C3 = C4 =

por lo que

v2 =

F

8 3EI e

x1

F 8 3EI

(cos x1 + sin x1)


(9:50a)

91

9 Vigas simples

= 4 F2EI e F d2 v Mf = EI 22 = e dx 4 dv '= 2 dx1

Q = EI

1

d3 v2 dx31

x1

sin x1

(9:50b)

x1

(cos x1 sin x1 )

(9:50c)

= F2 e

x1

cos x1

(9:50d)

y si se introduce la notacion g1 ( x1 ) = e g2 ( x1 ) = e g3 ( x1 ) = e g4 ( x1 ) = e

(cos x1 + sin x1) (9:51a) sin x1 (9:51a) x1 (cos x (9:51a) 1 sin x1 ) x1 cos x (9:51b) 1 En la tabla 9.1 pueden verse los valores numericos de g1( x1) a g4( x1) en funcion de x1. Las expresiones 9.50 quedan F (9:52a) v2 = 8 3EI g1( x1) '=

Mf

=

Q=

x1 x1

F 4 2 EI g2( x1) F 4 g3( x1) F g4 ( x1 )

2 En la gura 9.14 se representan estos valores.

(9:52b)

(9:52c) (9:52d)

b) Viga in nita sobre lecho elastico cargada con un momento concentrado M (Fig. 9.15)

Al igual que en el caso anterior, la solucion v2p vale cero, es decir v2p = 0. Asimismo se considerara la solucion en el semieje x1 positivo, ya que por antisimetra, una vez conocidos los valores buscados en dicho semieje, es inmediato determinar los correspondientes a x1 negativo. Tambien por las mismas razones apuntadas antes C1 = C2 = 0 y la solucion general 9.47 seguira siendo valida. Las condiciones de contorno a aplicar en este caso seran v2 (x1 = 0) = 0 (9:53a) 2 M dv (9:53b) Mf (x+1 = 0) = EI 22 = dx 2 1 x1 =0


92


x1

0,00 0,02 0,05 0,10 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,20 4,40 4,60 4,80 5,00 5,20 5,40 5,60 5,80 6,00

Tabla 9.1 Valores de las funciones g1 ( x1 ) y g2 ( x1 )

g1 ( x1 )

1,0000 0,9996 0,9976 0,9907 0,9651 0,8784 0,7628 0,6354 0,5083 0,3899 0,2849 0,1959 0,1234 0,0667 0,0244 -0,0056 -0,0254 -0,0369 -0,0423 -0,0431 -0,0408 -0,0366 -0,0314 -0,0258 -0,0204 -0,0155 -0,0111 -0,0075 -0,0045 -0,0023 -0,0006 0,0005 0,0013 0,0017

g2 ( x1 )

0,0000 0,0196 0,0475 0,0903 0,1627 0,2610 0,3099 0,3223 0,3096 0,2807 0,2430 0,2018 0,1610 0,1231 0,0896 0,0613 0,0383 0,0204 0,0070 -0,0024 -0,0085 -0,0121 -0,0137 -0,0139 -0,0131 -0,0117 -0,0100 -0,0082 -0,0065 -0,0049 -0,0035 -0,0023 -0,0014 -0,0007

g3 ( x1 )

1,0000 0,9604 0,9025 0,8100 0,6398 0,3564 0,1431 -0,0093 -0,1108 -0,1716 -0,2011 -0,2077 -0,1985 -0,1794 -0,1548 -0,1282 -0,1019 -0,0777 -0,0563 -0,0383 -0,0237 -0,0124 -0,0040 0,0019 0,0057 0,0079 0,0089 0,0089 0,0084 0,0075 0,0064 0,0052 0,0041 0,0031


g4 ( x1 )

1,0000 0,9800 0,9500 0,9003 0,8024 0,6174 0,4530 0,3131 0,1988 0,1091 0,0419 -0,0059 -0,0376 -0,0563 -0,0652 -0,0669 -0,0636 -0,0573 -0,0493 -0,0407 -0,0323 -0,0245 -0,0177 -0,0120 -0,0074 -0,0038 -0,0011 0,0007 0,0019 0,0026 0,0029 0,0029 0,0027 0,0024

93

9 Vigas simples

Fig. 9.15 Viga in nita sobre lecho elastico cargada con un momento puntual M en el origen de coordenadas

por lo que las constantes C3 y C4 valdran

con lo cual

C3 = 0 M C4 = 2 4 EI v2 = '=

= Q=

Mf

M 4 2EI g2( x1) M 4 EI g3( x1) M 2 g4( x1) M g1 ( x1 )

2 En la gura 9.15 pueden verse representadas los anteriores valores.


(9:54a) (9:54b) (9:54c) (9:54d)

94


9.3 Deformacion de vigas isostaticas: teoremas de Mohr y Castigliano

En los apartados anteriores se han estudiado los movimientos en las vigas simples utilizando la ecuacion de la elastica. De la integracion de dicha ecuacion se obtienen las echas y los giros en todos los puntos de la pieza. En muchos casos es, sin embargo, su ciente con obtener los movimientos unicamente en un reducido numero de secciones. En tales casos, es util la aplicacion de los teoremas de Mohr o del segundo teorema de Castigliano. 9.3.1 Primer teorema de Mohr

Considerese una pieza simple cualquiera sometida a un sistema de cargas y sean A y B dos puntos cualesquiera de la misma (Fig. 9.16).

Fig. 9.16 Viga simple y su deformada

A partir de la expresion 9.4b se tiene Z B Z B Mf dx1 (9:55) 'B = 'A + dx1 = 'A + A A EI y dado que 'AB = 'B 'A es el giro relativo de B respecto de A se tendra que Z B Mf dx1 (9:56) 'AB = A EI lo cual constituye la expresion del primer teorema de Mohr, que proporciona el valor del giro relativo entre dos puntos de una pieza recta. 9.3.2 Segundo teorema de Mohr

Considerese una viga simple en la que un punto A de la misma no gira ni tiene desplazamiento vertical (Fig. 9.17), y sea un punto B del que se desea hallar los


95

9 Vigas simples

Fig. 9.17 Desplazamientos relativos entre dos puntos A y B

movimientos respecto de A. El diferencial de desplazamiento vertical debido a la exibilidad de cualquier punto entre A y B valdra M (9:57) dv2AB = (x1B x1 ) d' = f (x1B x1 ) dx1 EI o sea Z B Mf (x1B x1 ) dx1 (9:58) v2AB = A EI Logicamente (Fig. 9.18), si el punto A tiene un giro 'A y un desplazamiento v2A, el desplazamiento del punto B valdra v2B = v2A + (x1B

x1A )'A +

Z B

A

Mf (x EI 1B

x1 ) dx1

(9:59)

Las expresiones 9.58 y 9.59 constituyen la expresion del segundo teorema de Mohr, el cual permite hallar el desplazamiento de un punto de una viga recta.

Fig. 9.18 Desplazamiento total de un punto


96


A la misma expresion 9.59 se puede llegar a partir de que ' = dv2 =dx1 v2B = v2A + Z B

A

Z B

A

' dx1 = v2A +

B 'x1

A

Z B

A

x1 d' = v2A + 'B x1B

Z B Mf Mf x dx = v + 'A + dx1 x1B EI 1 1 2A A EI

= v2A + 'A(x1B

x1A ) +

Z B

(x1B A

x1 )

Mf dx EI 1

expresion identica a la 9.59.

'A x1A

'A x1A Z B

A

Mf x dx = EI 1 1

(9:60)

9.3.3 Determinacion de echas y giros utilizando los teoremas de Mohr a) Determinacion de giros

En el caso en que se conozca el giro de un punto cualquiera A (caso de una mensula), mediante la aplicacion directa de la expresion 9.55 es posible determinar el giro de otro punto cualquiera B . En caso contrario (caso de una viga biapoyada), es preciso la utilizacion simultanea de los dos teoremas de Mohr. Considerese la viga biapoyada de la gura 9.19 en la cual se quiere determinar el giro del punto B . De acuerdo con el primer teorema de Mohr, Z B Mf dx1 (9:61) 'B = 'A + A EI y a partir del segundo teorema de Mohr, Z C Mf (x1C x1) dx1 (9:62) v2C = 0 = v2A + 'A (x1C x1A ) + A EI de donde (y teniendo en cuenta que x1A = 0; x1C = L; v2A = 0) Z C Mf 1 (L x1) dx1 (9:63) 'A = L A EI expresion que sustituida en 9.61 1 Z C Mf (L x1) dx1 + Z B Mf dx1 (9:64) 'B = L A EI A EI proporciona el valor del giro en B b) Calculo de echas

Al igual que en el caso de los giros para determinar las echas en una mensula


97

9 Vigas simples

Fig. 9.19 Flecha y giro de un punto cualquiera B en una viga biapoyada

se puede aplicar directamente el segundo teorema de Mohr. En el caso de una pieza biapoyada (Fig. 9.19), se tendra Z B Mf (x1B x1) dx1 = v2B = v2A + 'A (x1B x1A ) + A EI (9:65) Z B Mf = 'Ax1B + A EI (x1B x1) dx1 Sustituyendo en la expresion anterior el valor del giro en A dado por 9.63, se tendra nalmente Z B Mf x1B Z C Mf ( L x1 ) dx1 + (x1B x1) dx1 (9:66) v2B = L A EI A EI lo cual proporciona el valor de la echa en un punto cualquiera B . | Problema resuelto P9.2

Dada la pieza piapoyada de la gura P9.2.1, determinar el giro y el movimiento vertical del punto B .

Fig. P9.2.1 Viga biapoyada correspondiente a los problemas resueltos P9.2 y P9.3.


98


Solucion

La ley de momento ectores se escribe: q1 2 (a) = qL 2 x1 2 x1 De acuerdo con los teoremas de Mohr, el giro y el movimiento vertical de B se escriben: 2

Mf

'B = 'A +

3ZL=4 0

Mf dx EI 1 3L=4

Z Mf 3L 3 L x1 dx1 v2B = v2A + 'A + 4 EI 4 0 y sustituyendo la ley de momentos ectores dada por a e integrando 9 3 'B = 'A + 128EI qL 45 3L 4 v2B = v2A + 'A + 4 2048 EI qL Por otra parte, el desplazamiento vertical del punto C vale

v2C = v2A + L'A +

ZL 0

(b) (c)

1 qL4 Mf ( L x1 ) dx1 = v2A + L'A + EI 24EI

y dado que v2A = v2C = 0, de esta ultima expresion resulta que 1 3 'A = 24EI qL por lo que sustituyendo en b y c, qL3 EI 4 0; 00928 qL EI

'B =0; 02865 v2B =

Los valores anteriores son, respectivamente, el giro y el desplazamiento vertical del punto B. 9.3.4 Calculo de movimientos utilizando el segundo teorema de Castigliano y el metodo de la fuerza unidad

Tanto el segundo teorema de Castigliano como el metodo de la fuerza unidad son alternativas muy utiles para la determinacion de movimientos. La metodologa de aplicacion se ha analizado en el Captulo 7, por lo que no se repite aqu. Se estudia simplemente un ejemplo.


99

9 Vigas simples

| Problema resuelto P9.3 Utilizando el segundo teorema de Castigliano y el metodo de

la fuerza unidad, determinar el giro y el desplazamiento vertical del punto B de la viga correspondiente al problema resuelto P9.2. Solucion a) Utilizando el segundo teorema de Castigliano

Para obtener el giro del punto B , se introducira un momento externo M en el punto B que posteriormente se anulara (Fig. P9.3.1).

Fig. P9.3.1 Viga con carga uniformemente repartida y un momento M aplicado en el punto B .

Las leyes de momentos ectores valdran B

+ ML x1 2 A C qx21 M qL Mft = x1 2 L (L x1 ) B 2 Derivando las anteriores expresiones con respecto a M Mft

qx21

= qL2 x1

B

@Mf

A

@M

C

= xL1

@Mf

L x1 = @M L = 0, el giro valdra B

por lo que, dado que M 'B =

3ZL=4

Mf

0

B @Mf

dx1 @M EI A

+

ZL 3L=4

Mf

C @Mf

dx1 @M EI B


= 0; 02865 qL EI

3

=0

100


Fig. P9.3.2 Viga con carga uniformemente repartida y una fuerza F aplicada en el punto B .

=0

Analogamente, para obtener la echa v2B se introduce una fuerza F = 0 en el punto B (Fig. P9.3.2). Las leyes de momentos ectores valdran: B t Mf A C t Mf B

qx21

F + 2 4 x1 2 = qL2 x1 qx2 1 + 34F (L Derivando las anteriores expresiones respecto a F

= qL 2 x1

B @Mf

A

@F

C

@Mf @F por lo que, particularizando para F ' 2B =

3ZL=4

Mf

0

B @Mf

dx1 @F EI A

B

x1 )

= x41 = 43 (L

x1 )

= 0, la echa v2B valdra +

ZL

Mf

3L=4

C @Mf

dx1 @F EI B

= 0; 00928 qL EI

4

Notese que en este caso la echa v2B sale positiva (en el ejercicio propuesto P9.2 sala negativa). Ello es debido a que en este caso el signo es positivo si el desplazamiento coincide con el sentido de la fuerza F = 0. b) Aplicando el metodo de la fuerza unidad

Para obtener el giro 'B se aplicara un momento M = 1 en el punto B (ver Fig. P9.3.3).


101

9 Vigas simples

Fig. P9.3.3 Viga con carga uniformemente repartida y un momento unidad aplicado en el punto B .

Las leyes de momentos ectores debidas a M = 1 valen: B mf A C mf

= xL1

L x1 L B por lo que, de acuerdo con (7.32), el giro en B valdra 'B =

=

3ZL=4 0

B dx Mf mf 1 EI

A

ZL

+

C dx1

Mf mf

B EI

3L=4

y realizando las sustituciones, se obtiene nuevamente 'B = 0; 02865

qL3 EI

De la misma forma, para obtener el desplazamiento v2B se introducira una fuerza unidad F = 1 en el punto B . Las leyes de esfuerzos debidos a dicha fuerza unidad valen: B mf A C mf

= x41 = 34 (L x1 ) B Aplicando nuevamente la expresion (7.32) se obtiene v2B =

3ZL=4 0

B dx Mf mf 1 EI

A

+

ZL 3L=4

C dx1

Mf mf

B EI

= 0; 00928 qL EI

expresion que proporciona el desplazamiento vertical del punto B .


4

102


9.3.5 Efectos termicos

De acuerdo con lo analizado en el apartado 9.2.7 la curvatura de origen termico viene dada por la expresion 9.41, es decir (t1 t2 ) nt = h por lo que la curvatura total sera igual a la curvatura termica mas la mecanica. Es decir, de acuerdo con 9.42 M t = f + nt EI Sustituyendo la expresion anterior en 9.4b y observando nuevamente la gura 9.16, se tendra 'B = 'A +

Z B

A

t dx

1

= 'A +

Z B M

f

EI

A

+

nt

dx1 = 'A +

Z B

A

Z B Mf dx + nt dx1 EI 1 A

Por lo que el giro relativo de punto B respecto al punto A vendra dado por Z B

Z B Mf dx1 + nt dx1 EI A

(9:67) lo cual constituye la expresion del primer teorema de Mohr cuando se incluyen efectos termicos. Por lo que respecta al segundo teorema, la expresion 9.57 se reescribe 'AB = 'B

dv2AB = (x1B

'A =

x1 ) d' = (x1B

A

x1 )t dx1 = (x1B

x1 )

Mf EI

+ nt

dx1

Por lo cual, el movimiento total del punto B (Fig. 9.18) vendra dado por v2B = v2A + (x1B

x1A )'A +

Z B M

A

+ nt (x1B EI f

x1 ) dx1

(9:68)

A partir de las expresiones anteriores, la determinacion de echas y giros sigue las mismas pautas que las se~naladas anteriormente. El giro y la echa en un punto debido a efectos termicos puede tambien calcularse utilizando el metodo de la fuerza unidad desarrollado en el apartado 7.3.2. En efecto, supongase primeramente que se desea calcular el giro en un punto cualquiera B de una pieza simple sometida a cargas y a efectos termicos. Para ello, si se coloca un momento unidad en el punto B , el giro en en este punto, de acuerdo con (7.32) valdra 'B =

ZC

A

t mf dx1


103

9 Vigas simples

siendo mf la ley de momentos ectores en la piezat producidos por un momento unidad aplicado en B . Sustituyendo la curvatura total por su expresion 9.42, el giro queda nalmente ZC

'B =

A

Mf EI

+ nt

mf dx1

(9:69)

Analogamente, cuando se desea hallar el desplazamiento vertical de B , se coloca en dicho punto una fuerza unidad. Si mf representa ahora la ley de momentos ectores en la pieza debida a dicha fuerza unidad, el desplazamiento en B se escribe v2B =

ZC

A

t mf dx1

y sustituyendo nuevamente la curvatura total t por su expresion 9.42, se obtiene v2B =

ZC

A

Mf EI

+ nt

mf dx1

(9:70)

lo cual representa el valor del desplazamiento vertical del punto B . 9.4 Vigas rectas hiperestaticas. Aplicacion de los teoremas de Mohr y segundo de Castigliano 9.4.1 Viga empotrada y apoyada

Considerese la pieza de la gura 9.20 sometida a unas cargas cualesquiera. Dicha pieza es una vez hiperestatica. Supongase que se elige como incognita hiperestatica el momento reaccion en A. Para obtener el valor de la incognita hiperestatica, se libera la coaccion al giro que tiene el punto A colocandose en su lugar un momento de valor desconocido Mc, con lo cual la estructura se ha convertido en isostatica. El valor del giro en A en dicha estructura isostatica sera igual al giro producido por las cargas externas mas el giro producido por el momento Mc, es decir, 'A = 'CA + '1A (9:71) El valorC del momento Mc se obtendra de imponer la condicion de giro 'A nulo. Para ello, si Mf es la ley de momentos ectores en la pieza debido a las cargas externas, de acuerdo con 9.63 se tendra Z L MfC 1 C (L x1) dx1 (9:72) 'A = L 0 EI


104


Fig. 9.20. Pieza empotrada y apoyada

Por otro lado, la ley de momentos ectores debida a Mc sera x1 c 1 Mf1 = M L que introducida en 9.63 proporciona Z L c c M 1 xL1 ML 1 1 ( L x1 ) dx1 = 'A = L 0 EI 3EI por lo que sustituyendo en 9.71 c 1 Z L MfC (L x1 ) dx1 + ML 'A = 0 = L 0 EI 3EI y despejando Mc

(9:73) (9:74) (9:75)

Z L 3 (9:76) = L2 0 MfC (L x1) dx1 Una vez conocido el valor de Mc, las leyes de esfuerzos se obtienen en la forma habitual. c M


105

9 Vigas simples

| Problema resuelto P9.4 Determinar las reacciones y las leyes de esfuerzos en la viga empotrada y apoyada de la gura P9.4.1

Fig. P9.4.1 Viga empotrada y apoyada sometida a una carga uniformemente repartida Solucion

Para determinar el valor de la incognita hiperestatica, se libera la coaccion al giro en A c, y se calcula el valor del giro en A. colocando en su lugar un momento desconocido M Para ello, se considera primeramente la pieza isostatica sometida a las cargas externas. La ley de momentos MfC vale q 2 ( L x1 ) 2 2 (L x1 ) por lo que, de acuerdo con 9.63, el giro en A valdra 1 Z L qL (L x1 ) q (L x1 )2 dx1 = qL3 'CA = L 0 2 2 EI 24EI c )=(3EI ). Por lo mientras que, de acuerdo con 9.74, el giro debido al momento vale (ML tanto, y dado que el giro total debe ser nulo MfC =

qL

'A = 0 =

qL3 24EI

+ 3ML EI


106


de donde

c= M

qL2

8 Mientras que las reacciones en A y B valdran 5 RA = qL 8 3 RB = qL 8 En la gura P9.4.2 pueden verse representadas las leyes de esfuerzos y la deformada. Como puede observarse en la gura P9.4.2, el punto de in exion de la deformada (curvatura nula) coincide con el punto de momento nulo, ya que = Mf =(EI ).

Fig. P9.4.2 Leyes de esfuerzos y deformada para la estructura de la gura P9.4.1. a) Ley de momentos ectores. b) Ley de esfuerzos cortantes. c) Deformada


107

9 Vigas simples

Otra opcion a seguir en el caso de la viga empotrada y apoyada consiste en tomar como incognita hiperestatica la reaccion vertical en B . En este caso, la pieza se transforma en isostatica liberando el apoyo en B y colocando en su lugar una reaccion desconocida RB (Fig. 9.21). El desplazamiento vertical en B valdra v2B = v2CB + v21B (9:77) C 1 siendo v2B la echa en B debida a la carga y v2B la echa tambien en B originada por la reaccion hiperestatica RB .

Fig. 9.21 Pieza empotrada y apoyada

Si MfC es la ley deCmomentos ectores debida a las cargas externas de la estructura isostatica, la echa v2B , de acuerdo con el segundo teorema de Mohr, valdra Z L dx C (9:78) v2B = MfC (L x1 ) 1 EI 0


108


mientras que tambien de acuerdo con el segundo teorema de Mohr el valor de la echa v21B sera Z L dx R L3 dx Z L (9:79) v21B = Mf1 (L x1 ) 1 = RB (L x1 )2 1 = B EI EI 3EI 0 0 por lo que, al ser la echa total en B nula, se puede escribir Z L dx R L3 (9:80) v2B = v2CB + v21B = MfC (L x1 ) 1 + B = 0 EI 3EI 0 y despejando RB Z L dx 3 RB = 3 MfC (L x1 ) 1 L 0 EI con lo cual se obtiene el valor de la incognita hiperestatica RB y es posible obtener el resto de las reacciones, as como las leyes de esfuerzos. 9.4.2 Viga biempotrada

Sea la viga biempotrada de la gura 9.22 sometida a una carga cualquiera p2(x1) normal a la directriz. La pieza sera, por tanto, dos veces hiperestatica. Al igual que en el apartado anterior, se eligiran como incognitas hiperestaticas los momentos en A y B (Fig. 9.22). Al igual que en el apartado anterior, se liberan las coacciones a giro en A y en B colocandose en su lugar sendos momentos McA y McB , que constituyen las incognitas hiperestaticas del problema. Los giros totales en A y B deben ser nulos. Dichos giros, en la estructura isostatica, son los debidos a las cargas mas los debidos a los momentos, y para determinarlos se utilizara el teorema de Castigliano. Para ello, los momentos

ectores totales en la viga valdran Mf = MfC + MfA + MfB siendo MfC los momentos ectores debidos a las cargas externas en la estructura isostatica, MfA los momentos ectores en la estructura isostatica debidos al momento McA y MfB los momentos ectores en la estructura isostatica debidos al momento McB , es decir, x1 c x1 C c + MB L Mf = Mf MA 1 L Las derivadas del momento ector respecto a McA y McB valen x1 @Mf = 1 L c @ MA @Mf c @M B

= xL1


109

9 Vigas simples

Fig. 9.22 Viga biempotrada

Por lo que de acuerdo con el segundo teorema de Castigliano 'A =

'B =

Z L @Mf dx1 C = 0 Mf 1 Mf c 0 @ MA EI Z L x1 x1 dx1 c 1 L EI M B 0 L

Z L

@Mf dx1 Z L C x1 dx1 = 0 Mf L EI Mf c 0 @ MB EI Z L 1 c + MB 0 xL1 dx EI

Z L

x1 dx1 c Z L + MA 0 1 L EI

x1 2 dx1 L EI

(9:81a) c M

A

x1 1 0 L

Z L


x1 dx1 + L EI

(9:81b)

110


y llamando

x1 2 dx1 L EI 0 Z L x1 dx1 x1 1 L EI

2 = 0 L Z L 3 x1 dx1

3 = L EI 0 Z L

1 =

y sustituyendo en 9.81 se obtiene

1

c M

A

2

c M

B

(9:82a)

1

=

c + M

2 M A 3 cB =

Z L

(9:82b) (9:82c)

x1 dx1 1 L EI x dx MfC 1 1 L EI 0

MfC 0Z L

(9:83a) (9:83b)

Sistema que, resuelto, proporciona los valores de los momentos de empotramiento perfecto en A y B Z L Z L x1 dx1 x1 dx1 1 C C c

M 1

2 Mf (9:84a) MA =

1 3 22 3 0 f L EI L EI 0 Z L Z L x1 dx1 x1 dx1 1 C C c

2 M 1

1 M (9:84b) MB =

1 3 22

f

0

L EI

0

f

L EI

Si el producto EI fuera constante, puede sacarse fuera de las integrales, por lo que L

1 = 3 = 3EI L

2 = 6EI

y por lo tanto:

c = M A

2 2 Z L M C 1

L

2 B=

c M

0 Z L

L 0

f

MfC

1

x1 dx1 L

x MfC 1 dx1 L 0 Z L x1 x1 C dx1 2 Mf dx1 L L 0 Z L

(9:85a) (9:85b)

Una vez obtenidos los valores de estos momentos, ya es posible obtener las reacciones, leyes de esfuerzos y movimientos en cualquier punto. En el caso en que las cargas fueran de origen termico, la metodologa a aplicar sigue las mismas pautas hasta ahora expuestas. La unica diferencia consiste en sustituir la Ccurvatura mecanica producida por las cargas ntque actuan en el interior de la viga Mf =(EI ) por la curvatura de origen termico . Las expresiones resultantes son formalmente las mismas.


111

9 Vigas simples

| Problema resuelto P9.5 Determinar las leyes de esfuerzos en una viga biempotrada de

seccion constante sometida a una curvatura termica nt (x1 ). Particularizar para el caso en que dicha curvatura sea constante nt = ((t1 t2 ))=h. Solucion

El problema puede solucionarse bien utilizando el teorema de la fuerza unidad (expresion 9.69), o bien, los teoremas de Mohr. Aqu se seguira la primera opcion, dejando la segunda como ejercicio para el lector. cA y M cB son respectivamente los momentos de empotramiento perfecto en A y B , la Si M ley de momentos ectores valdra cB x1 cA 1 x1 + M Mf = M L L y de acuerdo con 9.69 los giros en A y B valdran 'A =

'B =

Z L Z L 2 Mf x1 nt x1 1 nt c 1 L dx1 + MA 1 xL1 dx (1 L ) + EI dx1 = EI 0 0 0 Z L Z L c cB L x1 nt M L M 1 cB = 1 dx1 + A M 1 xL1 xL1 dx EI L 3EI 6EI 0 0

Z L

Z L 0

x1 nt Mf + dx1 = L EI

Z L 0

x1 nt dx1 L

cA L cB L M M + 6EI 3EI

Igualando a cero los anteriores giros se obtiene Z L 2 EI c 2 nt 1 x1 dx1 MA = L

cB = 2EI M

L

L

0

"Z

L

0

Z L

nt

1

x1 dx1 L

0

2

x nt 1 dx

Z L 0

L

1

x nt 1 dx1 L

#

y para el caso en que nt sea constante, los anteriores momentos de empotramiento valdran cA = nt EI M cB = nt EI M Una vez conocidos los valores de los momentos de empotramiento perfecto es inmediato determinar las leyes de esfuerzos. Efectivamente cB = nt EI Mf = M Q=O


112


9.5 Ecuaciones elasticas

Las relaciones entre los esfuerzos (o tensiones generalizadas) y las deformaciones generalizadas vistas en el Captulo 7 proporcionan a nivel local la union entre el campo estatico y el cinematico. El objeto del presente apartado es obtener unas relaciones entre los esfuerzos de extremo de barra y los movimientos tambien de extremo de barra para una viga recta. Tales ecuaciones son extremadamente utiles en el calculo de estructuras y constituyen el punto de partida del metodo de rigidez. 9.5.1 Relaciones momentos - giros

Considerese la pieza simple biapoyada de la gura 9.23. En ella actuan unas cargas externas p2(x1) normales a la directriz y unos momentos en los extremos MA y MB .

Fig. 9.23 Viga biapoyada con cargas y momentos en los extremos

La ley de momentos ectores sera x x1 C + MB 1 (9:86) Mf = Mf MA 1 L L siendo MfC la ley de momentos ectores en la pieza debida a las cargas p2(x1). De acuerdo con el segundo teorema de Castigliano, los giros en A y B valdran 'A = 'B =

Z L

0 Z L

0

Mf

@Mf dx1 @MA EI

=

Mf

@Mf dx1 @MB EI

=

Z L

0 Z L

MfC

1

x dx MfC 1 1 L EI 0

x1 dx1 + 1 MA 2 MB L EI

2 MA + 3 MB

viniendo , 2 y 3 dadas por 9.82.


(9:87a) (9:87b)

113

9 Vigas simples

Resolviendo en MA y MB las relaciones 9.87 se obtiene, Z L Z L x1 dx1 x1 dx1 1 C C

3 M 1

2 M + MA =

1 3 22

1

0

f

3 'A + 2 'B 1 3 22

+

MB =

1

1 3 22

+

1

1 3

2

Z L

0

MfC

1

' + '

22 2 A 1 B

L EI

0

x1 dx1 L EI

Z L

1

0

f

L L

x dx MfC 1 1 L EI

+

(9:88a)

(9:88b)

y teniendo presente 9.84, las anteriores ecuaciones se escriben MA = MB =

y si la inercia es constante

3

+ 2 1 3

1 ' +

2 A '

22 A

1 3

2

1 3 2

MA = MB =

1 3

22

22

c 'B + M A c 'B + M B

4EI 'A + 2EI 'B + McA

L L 2EI 'A + 4EI 'B + McB L L

(9:89a) (9:89b) (9:90a) (9:90b)

Las ecuaciones anteriores forman las relaciones momentos de extremo de barra versus giros de extremo de barra buscadas. 9.5.2 Relaciones momentos - desplazamientos

Supongase la misma pieza que anteriormente, pero en la cual han dejado de actuar las cargas externas. La pieza esta ahora sometida a un desplazamiento del apoyo B de valor , de tal forma que los giros en A y B son nulos (Fig. 9.24). Para obtener el valor de los momentos MA y MB en funcion del desplazamiento se pueden utilizar las ecuaciones momentos{giros vistas anteriormente, en las que c =M c = 0 y (ver la Fig. 9.25) ' = ' = =L. M A B A B Por lo que de acuerdo con 9.90 4EI 2EI = 6EI (9:91a) MA = L L

L L

L2


114


Fig. 9.24 Pieza sometida a un desplazamiento de apoyo

Fig. 9.25 Giros equivalentes a un desplazamiento dado

MB =

2EI 4EI = 6EI L L L L L2

(9:91b)

que constituyen las relaciones buscadas.

9.5.3 Inclusion del axil y cortante. Ecuaciones elasticas

Sea en general una estructura cualquiera sometida a una serie de cargas. Por efecto de dichas cargas, todos los nudos experimentaran unos desplazamientos y giros, por lo que si de forma arbitraria se separa una pieza cualquiera, dicha pieza tendra unos movimientos en A y B . Dichos movimientos pueden expresarse en ejes globales (lo cual se hara cuando se analice toda la estructura) o en los ejes locales propios de cada barra (Fig. 9.26). Si vA y vB son los vectores desplazamiento en A y en B expresados en ejes locales, se tendra que

vA = vv1A 2A vB =

v1B v2B


(9:92a) (9:92b)

115

9 Vigas simples

Fig. 9.26 Esfuerzos de extremo de barra y movimientos en una pieza recta

Sean asimismo p1(x1) y p2(x1) las cargas que actuan en la pieza expresadas en ejes locales De acuerdo con lo visto hasta ahora y dado que = v2B v2A , se tendra 4EI 'A + 2EI 'B 6EI (v2B L L L2 2EI 'A + 4EI 'B 6EI (v2B MB = MA =

L

L2

L

c v2A ) + M A

(9:93a)

c v2A ) + M B

(9:93b)

como, por equilibrio en la pieza, F2B + F2A + F2B =

Z L

0

p2 (x1 )dx1 = 0

(9:94a)

1 Z L x1p2(x1)dx1

MA + MB L

L 0

(9:94b)

se puede escribir F2A =

6EI 'A + 6EI 'B 12EI (v2B L2 L2 L3 Z L

0

F2B =

1

x1 p (x )dx L 2 1 1

6EI 'A 6EI 'B + 12EI (v2B L2

Z L

v2A ) +

L2

L3

c +M M A cB L

(9:95a) v2A )

x1 p2 (x1 )dx1 0 L


c +M M A cB L

(9:95b)

116


y llamando Fb

2A

=

c +M M A cB L

Z L

0

c +M M A cB L

Fb2B =

1

x1 p (x )dx L 2 1 1

(9:96a)

Z L

x1 p2 (x1 )dx1 0 L

(9:96b)

se puede escribir nalmente 6EI 'A + 6EI 'B 12EI (v2B L2 L2 L3 6EI 'A 6EI 'B + 12EI (v2B F2B = F2A =

L2

L2

v2A ) + Fb2A

L3

(9:97a)

v2A ) + Fb2B

(9:97b)

Como puede observarse, Fb2A y Fb2B son las reacciones en direccion al eje x2 que aparecen cuando se impiden los giros y los desplazamientos de la pieza en los extremos A y B (reacciones de empotramiento perfecto). Por lo que respecta a los esfuerzos axiles, por equilibrio Z L F1B + F2A + p1 (x1 )dx1 = 0 (9:98) 0 Asimismo, es evidente que dx F L ZL (9:99) v1B v1A = 1B + x1 p1 (x1 ) 1 EA EA 0 por lo que Z L Z L EA 1 ( v1B v1A ) EA F1A = F1B p1 (x1 )dx1 = L 0 0 Z L x1 ( v1B v1A ) 1 p (x )dx = EA L L 1 1 1 0 Z L x1 EA ( v1B v1A ) p1 (x1 )dx1 F1B = L 0 L

x1 dx p1 (x1 ) 1 L EA (9:100a)

(9:100b)

y llamando Fb1A = Fb

1B

=

Z L

0

Z L

1

x1 p (x )dx L 1 1 1

x1 p1 (x1 )dx1 0 L


(9:101a) (9:101b)

117

9 Vigas simples

las expresiones 9.100 quedan F1A = F1B =

EA (v v ) + Fb1A L 1B 1A EA (v v ) + Fb1B L 1B 1A

(9:102a) (9:102b)

Las expresiones 9.93, 9.97 y 9.102 constituyen las ecuaciones elasticas en coordenadas locales de una pieza recta. Dichas expresiones pueden escribirse en forma matricial 2

F1A 3

6 7 6 7 6 FA2 7 6 7 6 7 6 7 6 MA 7 6 7 6 7 6 7 6 F1B 7 6 7 6 7 6 7 6 FB2 7 4 5

=

2 EA L 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 EA 6 6 L 6 6 6 6 4

0 0

0

0

12EI 3 L

6EI2

6EI2 L

4EI

0

L

0

EA L

0 0

L

EA L

0

0

32

76 76 7 vA 2 L 76 76 76 2EI 7 6 'A L 76 76 6 76 7 6 v1B 76 76 6EI2 7 7 6 vB 2 L 76 54 4EI 'B L

12EI 3

6EI2

L

6EI2 L

0

0

2

v1A 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

+

Fb1A

3

6 7 6 7 6 Fb 7 6 A2 7 6 7 6 7 6M c 7 6 A7 6 7 6 7 6F b 7 6 1B 7 6 7 6 7 6 Fb 7 6 B2 7 4 5 c M

(9:103)

6EI2 12EI 0 12LEI3 0 L3 L 2EI 6EI2 6EI2 MB 0 0 B L L L o bien, escrito en forma compacta, FA = KAA KAB vA + Fb A (9:104) FB KBA KBB vB Fb B o tambien F = Kv + Fb (9:105) en donde la simbologa es evidente. Como facilmente se comprueba, las matrices KAA y KBB son simetricas y KAB = KTBA . A la matriz K se la conoce con el nombre de matriz de rigidez de la barra AB expresada en coordenadas locales y es una matriz simetrica. Las expresiones 9.103 a 9.105 pueden escribirse en coordenadas globales. Para ello (ver Fig. 9.27), la relacion entre las componentes globales Yg de un vector cualquiera y las componentes locales Y se escriben Yg = TY (9:106) siendo 2 6

Y1g 3 7

Yg = 664 Y2g 775 ; Y3g

2 6

Y1 3 7

Y = 664 Y2 775 Y3


118


Fig. 9.27 Relacion entre las coordenadas locales y globales

cos sin 0 3 T = 4 sin cos 0 5 0 0 1 Notese ademas que T 1 = TT . Las ecuaciones 9.104 pueden escribirse 2

2

TT FgA

3

2

32

TT uA

3

2

TT Fb gA

3

54 5+4 5 (9:107) g T KBA KBB TT uB T FB siendo uA y uB los movimientos en A y B en coordenadas globales. Multiplicando por la izquierda la expresion anterior por la matriz T, se obtiene 4

TT FgB 2 4

siendo

5

FgA

FgB

= TKAA = TT

3 5

2

=4

KgAA KgAB

KgBA

KgBB

+ 12LEI3 S 2 EA 12EI L3 SC + L SC

2

KgAA

=4

KAA KAB

EA C 2 L

6 6 6 6 4

6EI2 S

32 54

uA uB

KgAB

= TKAB

TT

=

EA C 2 L

5

+4

Fb gA Fb g

3

(9:108)

5

B

L

L

6EI2 S 3 L

12EI 2 EA S 2 3 C +

6EI2 C

6EI2 C

4EI

L

L

L

L

EA SC L EA S 2 L

6EI2 C L


7 7 7 7 5

(9:109a)

L

L

12EI 2 12EI SC L3 S L3 EA SC 12EI 2 3 C

6 6 12EI 6 6 L3 SC L 4 6EI2 S L

2

12EI EA SC 3 SC +

L

2

3

6EI2 S 3 L

6EI2 C L

2EI L

7 7 7 7 5

(9:109b)

119

9 Vigas simples

2

KgBB

= TKBB

TT

=

6 6 6 6 4

+ 12LEI3 S 2 EA 12EI L3 SC + L SC

EA C 2 L

6EI2 S

12EI EA SC 3 SC + L

L

12EI 2 EA S 2 3 C + L

L

L

6EI2 C L

KgBA = (KgAA )T

6EI2 S L

3 7

6EI2 C 7 7 L

4EI

7 5

(9:109c)

L

(9:109d)

En donde S = sin y C = cos . Las ecuaciones elasticas 9.108 juegan un papel capital en todo el calculo de estructuras al constituir el fundamento del metodo de rigidez. Logicamente, el vector Fb de la expresion 9.105 engloba todo tipo de cargas que actuan sobre la pieza, estando incluidas entre ellas las correspondientes a deformaciones o movimientos impuestos (por ejemplo, cargas termicas). 9.5.4 Ecuaciones elasticas cuando la directriz no coincide con la lnea de centros de gravedad

A partir de las ecuaciones 7.98 se obtiene 2 0 3 2 F1i 1 0 0 3 2 F1i 3 6 7 6 76 7 6 0 7 6 76 7 1 0 (9:110a) 6 F2i 7 = 6 0 7 6 F2i 7 4 5 4 54 5 Mi0 e 0 1 Mi que escrito en forma compacta F0i = Se Fi (9:110b) Tambien es evidente que 2 v1i 3 2 1 0 1 3 2 v10 i 3 6 7 6 76 7 6 7 6 76 7 (9:111a) 6 v2i 7 = 6 0 1 0 7 6 v20 i 7 4 5 4 54 5 'i e 0 1 '0i o sea vi = STe vi0 (9:111b) Premultiplicando por la izquierda por Se las ecuaciones 9.104 y teniendo en cuenta 9.111, se obtiene F0A = Se FA = Se KAA STe vA0 + Se KAB STe vB0 + Se Fb A F0B = Se FB = Se KBA STe vA0 + Se KBB STe vB0 + Se Fb B


(9:112a) (9:112b)

120


es decir

2 4

F0A F0

3 5

B

siendo

2

=4

K0AA K0AB K0

K0

BA

AA

=

AB

= K0T

BA

=

=

Se KAB STe

6 6 6 6 4

BB

=

B

+4

Fb 0A Fb 0

3

(9:113)

5

B

0

12EI 3

6EI2

e EA L

6EI2 L

0

4EI e2 EA L + L e EA L

12EI 3

6EI

e EA L

6EI2

0

2EI e2 EA L + L2 3 e EA L

12EI 3

6EI2

L

L

0

EA L

L

L L

EA L

6 6 6 6 4

=

Se KBB STe

5

2

e EA L

2

K0

v0

3

0

2

K0

54

EA L

6 6 6 6 4

=

Se KAA STe

vA0

BB

2

K0

32

0

L

L

6EI2 e2 EA + 4EI L L L

e EA L

3 7 7 7 7 5

(9:114a)

3 7 7 7 7 5

(9:114b)

7 7 7 7 5

(9:114c)

El vector [Fb 0A ; Fb 0B ]T representa las fuerzas y momentos de empotramiento perfecto respecto a la nueva directriz. Las ecuaciones 9.113 constituyen las ecuaciones elasticas de una barra recta en ejes locales cuando la directriz no coincide con la lnea de centros de gravedad. Para escribir dichas ecuaciones elasticas en ejes globales, se procede como anteriormente, resultando 2 4

en donde

F0Ag F0g B

3 5

2

=4

g g K0AA K0AB

K0g

K0g

BA

32 54

BB

vA0

v 0g B

3 5

2

+4

g

K0AA = TK0AA TT g

g

K0AB = (K0BA )T

= TK0AB TT

g

y tambien

K0BB = TK0BB TT 2 4

Fb 0Ag Fb 0g B

3 5

2

=4

T Fb 0A T

Fb 0

3 5

B


Fb 0Ag Fb 0g B

3 5

(9:115) (9:116a) (9:116b) (9:116c) (9:117)

121

9 Vigas simples

constituyen los esfuerzos de empotramiento perfecto en coordenadas globales. Las expresiones anteriores pueden tambien obtenerse a partir de la integracion de las ecuaciones 7.101, despreciando la deformacion por efecto del esfuerzo cortante. | Problema

resuelto P9.6 A partir de las expresiones 7.101, deducir las ecuaciones elasticas de una pieza recta en coordenadas locales, cuando la lnea de centros de gravedad no coincide con la directriz de la pieza.

Solucion

A efectos de simplicidad, se consideraran unicamente fuerzas y momentos en los extremos de barra, dejando para el lector la generalizacion a otros tipos de cargas. De acuerdo con 7.101 2 0 3 2 1 e2 e 3 2 N0 3 1 + 0 EA EI EI 7 7 6 7 6 76 1 6 07 6 07 76 6 Q 6 7 6 7 = 6 0 0 74 5 4 5 4 kGA 5 1 e 0 0 0

EI

Expresiones que, invertidas

Mf

EI

2

3 2 32 0 3 EA 0 eEA N0 1 4 Q0 5 = 4 0 kGA 0 5 4 0 5 Mf0 eEA 0 EI + e2 EA 0

y puesto que no se considera la in uencia del esfuerzo cortante en la deformacion, las expresiones anteriores pueden escribirse 2 0 3 2 1 e2 e 32 0 3 + N 1 74 EA EI EI 5 4 5=6 (a) 4 1 5 e 0

EI

y la relacion inversa 2 4

N0

3 5

2

=

4

Mf0 Las leyes de esfuerzos N 0 y Mf0

EA

EI

eEA

eEA EI + e2 EA

Mf0

3

5

01 0

pueden escribirse en funcion de las fuerzas y momentos de extremo de pieza (Fig. P9.6.1) N 0 = F10B Mf0 = (L x1 )F20B + MB0


122


Fig. P9.6.1 Esfuerzos de extremo de barra

Sustituyendo en a y teniendo en cuenta la relacion entre deformaciones y movimientos se tiene dv10 3 2 1 e2 + 6 ds 7 6 EA EI 5=4 4 e d'0 EI ds 2

2 0 3 e e 3 F1B (L x1 ) EI 7 66 77 EI 56F0 7

1 (L EI

1

x1 )

4

EI

2B

MB0

5

Integrando la expresion anterior a lo largo de toda la longitud de la barra 2 4

v10 B '0B

2

L e2 L + EA EI 5=6 4 eL '0A EI 3 v10 A

eL2 2EI L2 2EI

2 0 3 eL 3 F1B 7 EI 7 6 6 0 7 6F 7

1

EI

5

4

2B

MB0

5

De la integracion de '0 = dv20 =ds : 2

[v20 B

v20 A '0A L] =

eL2 L3 2EI ; 3EI ;

F10B 3

7 L2 6 6 0 7 6 F2B 7 EI 4 5

2

MB0

Escribiendo de forma conjunta las dos expresiones anteriores 2

L e2 L + EI 6 EA 6 6 eL2 6 6 2EI 6 4 eL EI

eL2 2EI L3 3EI L2 2EI

eL 3 2 0 3 F1B 2 3 EI 7 7 v0 v0 2 76 L 76F0 7 7 4 0 1B 0 1A 0 5 2EI 775 64 2B 75 = v2B '0Bv2A '0A'AL L MB0 EI


123

9 Vigas simples

que se puede reescribir eL 3 EI 7 7 L2 7 7 2EI 775 L EI

2

L e2 L eL2 + EI 2EI 6 EA 6 7 6 L3 eL2 6 0 7 6 6 F2B 7 = 6 6 4 5 6 2EI 3EI 4 0 L2 eL MB EI 2EI 82 32 0 3 2 v1B 1 0 < 1 0 0 4 0 1 0 5 4 v20 B 5 + 4 0 1 : 0 0 1 '0B 0 0 2

F10B 3

De donde se obtienen las matrices dose comprobar que 2

y

K

L e2 L + EI 6 EA 6 6 eL2 0 KBB = 6 6 2EI 6 4 eL EI 2

L e2 L + EI 6 EA 6 6 eL2 0 KBA = 6 6 2EI 6 4 eL EI

0BA

y

0BB

K


9

0 3 2 v10 A 3 = L 5 4 v20 A 5 1 '0A ;

dadas por las expresiones 9.114, pudien-

eL 3 EI 7 7 L2 7 7 2EI 775 L EI eL 3 EI 7 7 L2 7 7 2EI 775 L EI


1

1

1

1 0 03 6 7 6 7 60 1 07 4 5 0 0 1 2

1 0 03 6 7 6 1 L7 6 0 7 4 5 0 0 1 Las otras dos matrices se obtienen a partir del equilibrio F10A + F10B = 0 2

F20A + F20B = 0

Es decir,

F20B L + MA0 + MB0 = 0

1 0 0 3 2 F10B 3 0 1 0 5 4 F20B 5 0 L 1 MB0 Y sustituyendo en la expresion anterior los valores del vector obtienen las expresiones de las matrices 0AA y 0AB . 2

3

2

F10A 4 F20A 5 = 4 MA0

K

K


0

FB

, dadas previamente, se

124


B) FORMULACION DE TIMOSHENKO 9.6 Ecuacion de la elastica

Para el estudio de la pieza bidimensional se partira, al igual que para el caso de la formulacion de Euler-Bernouilli, de las ecuaciones 2.24 de equilibrio interno, es decir

o tambien

dMf dx1 d2 Mf dx21

dQ +p =0 dx1 2

(9:118a)

+m+Q=0

(9:118b)

dm + dx

p2 = 0

1

(9:118c)

Las ecuaciones cinematicas 7.92 se escribiran igualmente 3 2 d 1 7 v2

= 66 dx1 7 (9:119) 4 d 5 ' 0 dx 1 Asimismo, las relaciones entre las tensiones y las deformaciones generalizadas son Q = kGA

(9:120a)

= EI (9:120b) Sustituyendo en la expresion 9.120b el valor de , dado por la segunda ecuacion 9.119, se tendra d' (9:121) Mf = EI dx1 Introduciendo en 9.118c el valor de Mf , dado por 9.121, se obtiene dm d2 d' EI = p2 dx (9:122) dx21 dx1 1 Por otra parte, sustituyendo la primera expresion 9.119 en 9.120a dv2 ' (9:123) Q = kGA dx Mf

1


125

9 Vigas simples

Introduciendo en 9.118b los valores de Mf y de Q, dadas por 9.121 y 9.123, se obtiene dv2 d d' EI + kGA ' =0 (9:124) dx1 dx1 dx1 Las expresiones 9.122 y 9.124 constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales cuyas incognitas ' y v2 proporcionan la solucion del problema buscado. Dichas expresiones constituyen, por tanto, el sistema de ecuaciones diferenciales de la elastica, generalizado al caso en que se considera la deformacion por esfuerzo cortante. Logicamente, si son conocidas las leyes de momentos ectores y de esfuerzos cortantes, pueden utilizarse de forma alternativa las expresiones 9.121 y 9.123. Para el caso de piezas de seccion constante, las expresiones 9.122 y 9.124 se escriben EI

d3 ' dx31 dv2 dx1

dm dx1 2 = ' + ddx'2 1

= p2

(9:125a) (9:125b)

siendo la relacion entre las rigideces a exion y cortante EI = kGA De la integracion de 9.125b, resulta Z d' (9:126) v2 = 'dx1 dx1 De la observacion de 9.125a y 9.6c se deduce, que si vNB es la solucion general de la viga elastica de Navier-Bernouilli para una carga p2(x1) dada, entonces dv (9:127) ' = NB dx1 y tambien, a partir de 9.126 d2 v (9:128) v2 = vNB NB dx21 y teniendo presente 9.6a v2 = vNB Mf Expresion que proporciona la solucion general en la viga de Timoshenko, conocida la solucion general para la formulacion de Navier-Bernouilli. U nicamente es preciso a~nadir condiciones de contorno. No se repetiran por tanto todos los desarrollos realizados anteriormente, dejandolos como ejercicio para el lector.


126


9.6.1 Deformacion de una mensula sometida a carga uniformemente repartida

Considerese nuevamente la mensula representada en la gura 9.1. De acuerdo con 9.7, las leyes de momentos ectores se escriben qx21 Mf = 2 y las de esfuerzos cortantes Q = qx1 Sustituyendo respectivamente en 9.121 y 9.123, se tendra qx21

d' = EI 2 dx1 dv2 qx1 = kGA dx

1

Integrando '= v2 =

qx31 + C1 6EI 2 qx41 qx1 2kGA 24EI

'

+ C1x1 + C2

(9:129a) (9:129b) (9:130a) (9:130b)

Las constantes de integracion C1 y C2 se obtendran imponiendo las condiciones de contorno x1 = L =) ' = 0 x1 = L =) v2 = 0 Ello conduce a que C1 = qL3=(6EI ) y C2 = qL2=(2kGA) qL4=(8EI ). Por tanto, los giros y las echas valdran q 3 3 '= 6EI (L 4x1) 3 4 (9:131) q q x1 x1 L L + ( L2 x21 ) v2 = 2EI 12 3 4 2kGA La echa maxima se obtendra en el punto A, es decir 4 qL2 (9:132a) (v2)max = v2 (x1 = 0) = 8qLEI 2kGA El giro maximo se producira asimismo en A y valdra qL3 (9:132b) 'max = '(x1 = 0) = 6EI


127

9 Vigas simples

De la comparacion de los valores anteriores con los dados en el apartado 9.1, se deduce por una parte la igualdad de giros y, por otra, un aumento de las echas cuando se considera la deformacion por esfuerzo cortante. 9.6.2 Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida y momentos en los extremos

Considerese la viga de la gura 9.28 en la que p2 = q.

Fig. 9.28 Viga biapoyada sometida a una carga uniformemente repartida y a unos momentos en los extremos

Dicha pieza es la misma que la representada en la gura 9.2. Sin embargo, a diferencia de ese caso, al considerar la deformacion por cortante, los giros en A y B no coincidiran con las tangentes a la directriz en A y B . Dichos giros corresponden al giro de las secciones, las cuales no seran en general normales a la directriz deformada. Las leyes de esfuerzos se escriben qx21 MA + MB qL + 2 x1 MA (9:133a) Mf = 2 + L MA + MB qL (9:133b) Q = qx1 L 2 Sustituyendo respectivamente en 9.121 y 9.123 d' qx21 MA + MB qL x1 MA = EI + + 2 L 2 dx1 dv2 MA + MB qL qx1 L 2 = kGA dx

1


(9:134a)

'

(9:134b)

128


Integrando qx31 MA + MB qL x21 MA x1 + 2 2EI EI + C1 '= 6EI + L x41 MA + MB pL x31 x21 + 2 6EI v2 = q 2kGA 24EI + L MA x21 2EI + C1x1 + C2

(9:135a) x1 kGA

(9:135b)

Imponiendo la condicion de echa nula en A y en B , se obtiene, una vez reorganizados terminos, las expresiones nales para echas y giros 3 L x31 Lx21 MA + MB x21 L2 + + + + EI' = q 24 6 4 L 2 6 L (9:136a) + MA 2 x1 L3 Lx21 x31 MA + MB 2 qx1 2 EIv2 = 2 (x L) 12 + 6 12 + 6L (x1 L )x1+ MA x1 (9:136b) 2 (L x1) 9.6.3 Viga empotrada y apoyada

Se trata de analizar la viga representada en la gura 9.29 sometida a una carga uniforme, vertical descendente, de valor q.

Fig. 9.29 Viga empotrada y apoyada sometida a carga uniforme

A partir de 9.20, la solucion general para la formulacion de Navier-Bernouilli vale x3 x2 x qx41 + C1 1 + C2 1 + C3 1 + C4 (9:20) vNB = 24EI 6EI 2EI EI


129

9 Vigas simples

Por lo que, de acuerdo con 9.128, se tendra v2 =

2 qx2 Cx x qx41 + 1 + 1 1 + 1 24EI 2EI EI 6 2 C C C2 x1 + 3 x1 + 4 + EI 2 EI EI

+

Las condiciones de contorno en el empotramiento (punto A) seran: - para x1 = 0 : dvNB =0 '(x1 = 0) = dx1 x1 =0 - para x1 = 0 : v2 (x1 = 0) = 0 Mientras que para el apoyo simple B seran: - para x1 = L : v2 (x1 = L) = 0 - para x1 = L : d2 vNB d' = EI dx2 = 0 Mf (x1 = L) = EI dx 1 x1 =L

Imponiendo dichas condiciones en 9.137 se tiene

1 x1 =L

5qL 1 + 12=(5L2 ) 8 1 + 3=L2 1 qL2 C2 = 8 1 + 3=L2 C3 = C4 = 0 Con lo cual, las leyes de echas y giros valdran C1 =

5 qL 1 + 12=(5L2 ) x21 EIv2 = 24 + 2 + 8 1 + 3=L2 6 x1 1 x21 qL2 2 8 1 + 3=L 2 qx31 1 5qL 1 + 12=(5L2 ) 2 dv EI' = EI NB = dx1 6 + 2 8 1 + 3=L2 x1 1 x1 qL2 8 1 + 3=L2

qx41

(9:137)

(9:138a) (9:138b) (9:138c) (9:138d) (9:139a) (9:139b) (9:139c)

qx21


(9:140) (9:141)

130


Expresiones que cuando = 0 coinciden respectivamente con 9.21 y 9.22. Por lo que respecta a los esfuerzos 2 1 + 12=(5L2 ) x1 d' = qx2 1 + 5qL = EI dx 8 1 + 3=L2 1 5qL 1 + 12=(5L2) dMf = qx1 Q= dx 8 1 + 3=L2

Mf

1

1 8 1 + 3=L2 (9:142a) (9:142b)

qL2

y las reacciones 1 (9:143a) 8 1 + 3=L2 5qL 1 + 12=(5L2 ) (9:143a) RA = Q(x1 = 0) = 8 1 + 3=L2 3qL 1 + 4=L2 (9:143a) RB = Q(x1 = L) = 8 1 + 3=L2 Logicamente, las expresiones anteriores coinciden con las vistas en el apartado 9.2.3 cuando = 0. MA = Mf (x1 = 0) =

qL2

9.6.4 Importancia relativa de los terminos de cortante frente a los de ector

A partir de los resultados obtenidos en los apartados precedentes es posible realizar un somero analisis de la importancia del esfuerzo cortante en la deformacion. Para ello se elegiran dos tipos de secciones: secciones de alma llena y secciones de paredes delgadas. a) Secciones de alma llena

Considerese para jar ideas una seccion rectangular de ancho b y canto h. El momento de inercia y la seccion reducida valdran respectivamente I = (1=12)bh3 , kA = (5=6)bh. Admitiendo un coe ciente de Poisson de valor = 0; 25, se tendra =

EI kGA

= 0; 25h2

(9:144)

Segun los resultados obtenidos en el apartado 9.6.1, la echa maxima de una mensula con carga uniformemente repartida vale (expresion 9.132a) 4

2

qL (v2 )max = 8qLEI 2kGA


(9:145)

131

9 Vigas simples

por lo que la relacion de echas maximas considerando y sin considerar la deformacion por cortante vale qL4 8EI

v =

qL2 2kGA qL4 8EI

2 = 1 + 4L2 = 1 + Lh

(9:146)

Por otra parte, en el apartado 9.6.3 se han obtenido las leyes de esfuerzos para una pieza empotrada y apoyada. El momento de empotramiento perfecto en A (Fig. 9.29) vale 1 qL2 (9:147) MA = 8 1 + 3=L2 por lo que la relacion entre momentos de empotramiento considerando y sin considerar la deformacion por cortante vale 1 qL2 1 + 3=L2 = 1 = (9:148) M = 8 1 qL 2 2 1 + 3=L 1 + 0; 75 Lh 2 8 En la tabla 9.2 pueden verse representadas las expresiones 9.146 y 9.148 en funcion de la relacion canto/luz h=L y del error, viniendo este ultimo expresado por 2 h 100 E (%) en echa = L 0; 75 Lh 2 100 E (%) en momento = 1 + 0; 75 Lh 2 Tabla 9.2 In uencia de la deformacion por cortante en las echas y en los esfuerzos y error cometido si se desprecia la in uencia del cortante (seccion rectangular)

h=L

1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64

v

1,2500 1,0625 1,0156 1,0039 1,0010 1,0002

ERROR (%) 16,00 5,54 1,51 0,39 0,10 0,02

M

0,8421 0,9552 0,9884 0,9971 0,9993 0,9998


ERROR (%) 15,79 4,48 1,16 0,29 0,07 0,02

132


b) Secciones de pared delgada

Centrando el analisis en un per l IPE, el valor de no es el mismo para todos los per les. Sin embargo, tomando un valor medio de I=(kA) = 0; 4 h2 , resulta = h2 . Por tanto 2 h 4 (9:149) v = 1 + 2 = 1 + 4 L L 1 L2 (9:150) = M = 2 L + 3 1 + 3 h 2 L En la tabla 9.3 se representan los valores v y M dados por las expresiones 9.149 y 9.150, as como el error porcentual cometido al considerar unicamente la deformacion por momento ector Tabla 9.3 In uencia de la deformacion por cortante en las echas y en los esfuerzos y error cometido si se desprecia su in uencia (seccion IPE)

h=L

1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64

v

2,0000 1,2500 1,0625 1,0156 1,0039 1,0010

ERROR (%) 25,00 16,00 5,54 1,51 0,39 0,10

M

0,5714 0,8421 0,9552 0,9884 0,9971 0,9993

ERROR (%) 42,86 15,79 4,48 1,16 0,29 0,07

c) Conclusiones

Los calculos realizados en los dos apartados anteriores corresponden a casos particulares que, logicamente, no pueden ser generalizados. Sin embargo, s permiten sacar algunas conclusiones de interes: - La deformacion por cortante es mas importante en piezas cortas (relacion canto/luz grande) que en piezas largas (relacion canto/luz peque~na). - La importancia de la deformacion por cortante es superior en piezas de paredes delgadas que en secciones macizas (ver tablas). - Es tambien facil comprobar que la importancia de la deformacion por cortante es superior cuando existen cargas concentradas que cuando estas son repartidas.


133

9 Vigas simples

9.7 Deformacion de vigas isostaticas: teoremas de Mohr generalizados

En el apartado 9.3 se han estudiado los movimientos de vigas isostaticas bajo la hipotesis de deformacion de Navier-Bernouilli. Al igual que antes, es tambien posible utilizar el segundo teorema de Castigliano para determinar los movimientos en un punto de una viga incluyendo la deformacion por cortante. Basta con introducir dicho termino en la energa de deformacion, tal como se ha visto en el Captulo 7. Los teoremas de Mohr son, por otra parte, una herramienta muy util para hallar los citados movimientos, y a ellos se dedica el resto del presente apartado. Por lo que hace referencia al primero de los teoremas de Mohr, es preciso notar que, se incluya o no la deformacion por esfuerzo cortante, su exposicion es la misma, es decir, el giro relativo entre dos puntos A y B (Fig. 9.16) viene dado por Z B Mf dx1 (9:151) 'AB = A EI Sin embargo, es importante resaltar el distinto signi cado de la expresion anterior cuando se desprecia o no la deformacion por cortante. Efectivamente, en ambos casos se mide el giro entre dos secciones rectas de la viga. La diferencia estriba en que en el primer caso dicho giro coincide con el giro relativo de la directriz de la pieza (Fig. 9.16) entre estos dos puntos, mientras que en el segundo no, dado que las secciones rectas no permanecen normales a la directriz despues de la deformacion. 9.7.1 Segundo teorema de Mohr generalizado

Considerese una viga simple, isostatica, en la que en el punto A no tiene desplazamiento, ni la seccion recta gira (Fig. 9.30). Considerese otro punto B de la viga del que se desea hallar los movimientos respecto a A. El diferencial de desplazamiento vertical d(v2 )AB de B , debido a la exibilidad de cualquier rebanada diferencial entre A y B , vendra dado por la suma de las contribuciones de los movimientos debidos al cortante y debidos al momento ector (Fig. 9.30). A partir de la gura 9.30 es evidente que Q dx kGA 1 x1 ) d' = (x1B

d(v2Q )AB = dx1 = d(v2M )AB = (x1B

x1 )

y por lo tanto o sea

Mf dx EI 1

M Q dx1 + (x1B x1 ) f dx1 kGA EI Z B Z B M Q dx1 + (x1B x1 ) f dx1 (v2 )AB = A kGA EI A

d(v2 )AB =


(9:152a) (9:152b) (9:153) (9:154)

134


Fig. 9.30 Movimiento diferencial de un punto B debido a la exibilidad de una rebanada. a) Geometra de la pieza. b) Movimiento debido al esfuerzo cortante. c) Movimiento debido al momento ector

Logicamente, si el punto A tiene un desplazamiento vertical v2A y su seccion recta un giro 'A, el desplazamiento del punto B valdra v2B = v2A + 'A (x1B

x1A ) +

Z B

A

Z B Q dx + (x kGA 1 A 1B

x1 )

Mf dx EI 1

(9:155)

Las dos expresiones anteriores constituyen el segundo teorema de Mohr generalizado. Para la determinacion de echas y giros utilizando los teoremas de Mohr se siguen las mismas pautas ya expuestas en el apartado 9.3.3. En este caso, las expresiones del


135

9 Vigas simples

giro y del desplazamiento en un punto cualquiera B de una viga biapoyada entre dos puntos A y C vienen dadas por Z C Z C Z B Q 1 Mf 1 dx (L x ) dx + Mf dx (9:156) ' = B

v2B =

1 L A kGA 1 L A EI 1 A EI x1B Z C M x1B Z C Q dx1 ( L x1 ) f dx1 + LZ A kGA L EI A Z B B Q Mf + A kGA dx1 + A (x1B x1) EI dx1

1

(9:157)

9.8 Estudio de la pieza recta biempotrada

Considere la viga biempotrada de la gura 9.31 en la que actua una carga cualquiera = p2(x1) normal a la directriz. La pieza es dos veces hiperestatica, y al igual que en el apartado 9.4.2, se tomaran como incognitas hiperestaticas los momentos de empotramiento perfecto en A y B , McA y McB , respectivamente.

p2

Fig. 9.31 a) Pieza recta biempotrada. b) Estructura isostatica base: los mocA y M cB se tratan como cargas externas mentos M

La ley de momentos ectores en la pieza isostatica base valdra Mf = MfC + MfA + MfB


(9:158)

136


siendo MfC la ley de momentos ectores debida a las cargas externas, MfA la ley de momentos ectores debida al momento McA y MfB la ley de momentos ectores debida al momento McB , es decir, Mf

=

MfC

c M

A

x1 c x1 + MB L L

1

(9:159)

Por otro lado, la ley de esfuerzos cortantes sera c +M M A cB L

Q = QC

(9:160)

en donde QC = (dMfC )=(dx1 ) es la distribucion de esfuerzos cortantes en la pieza isostatica debido a las cargas externas p2(x1) Las derivadas respecto a McA y McB valen @Mf c @M A @Mf c @M B @Q c @M A @Q c @M B

=

x1 L

1

= xL1 = 1

L

= L1

Por lo que, de acuerdo con el segundo teorema de Castigliano, 'A =

@Q dx1 Z L @Mf dx1 + Mf c EI Q c 0 @ MA kGA 0 @ MA

Z L

c Z L

+ ML2A +

c M

A

Z L 1 dx1 = L 0 QC kGA +

c Z L dx dx1 M B 1 + L2 0 kGA 0 kGA

Z L

x1 2 dx1 L EI

x1 1 0 L

Z L

0

1

c M

B

0

Z L

MfC

1

x1 dx1 + L EI

x1 dx1 L EI


=0

(9:161a)

137

9 Vigas simples

'B =

@Q dx1 Z L @Mf dx1 + Mf c EI Q c 0 @ MB kGA 0 @ MB

Z L

c Z L

c Z L dx dx1 M B 1 + 2 kGA L kGA 0 0

+ ML2A

Z L

x1 1 L

Z L 1 dx1 = L 0 QC kGA +

Z L

x dx MfC 1 1 L EI 0

(9:161b)

x1 dx1 c Z L x1 2 dx1 + MB 0 L EI L EI

=0 y ampliando la notacion proporcionada por las expresiones 9.82, se tiene que 1 Z L dx1

4 = c M

A

L2 0 kGA

Las expresiones anteriores pueden escribirse

x1 dx1 ( 1 + 4) A ( 2 4) B = 1 L EI + dx1 + L1 0 QC kGA Z L x1 dx1 1 Z L C dx1 C c c ( 2 4)MA + ( 3 + 4)MB = 0 Mf L EI + L 0 Q kGA

(9:162a)

dx1 1 Z L C dx1 + Q + EI L 0 kGA Z L dx1 + L1 0 QC kGA

(9:163b)

c M

Z L

MfC 0 Z L

c M

(9:162b)

Sistema que, resuelto, proporciona los valores de los momentos de empotramiento perfecto McA y McB Z L x1 dx1 1 Z L C dx1 1 C c ( 3 + 4) 0 Mf 1 L EI + L 0 Q kGA + MA =

(9:163a) Z L x1 dx1 1 Z L C dx1 C + ( 2 4) 0 Mf L EI + L 0 Q kGA 1 ( 2 B=

c M

Z L

x1

4 MfC L 0 Z L dx x

4 MfC 1 1 L EI 0

)

+ ( 1 + ) con

1

= ( 1 + 4 )( 3 + 4 )

Si la pieza es de seccion constante, entonces Z L Z L dMfC 1 1 dx1 C = dx1 = Q 0

kGA

kGA 0 dx1

( 2 Z L

kGA 0

4 )2 dMfC =


(9:164) 1

kGA

MfC L0 = 0

138


y ademas

L 3 1 + L2

1 + 4 = 3 + 4 = 3 EI L 6

2 4 = 6EI 1 L2 12 L2

= 12(EI )2 1 + L2

por lo que

Z L 2 C 2A11 M 1 A=

c M

c = M B

L

2 A21

L

0 Z L 0

f

MfC

1

Z L x1 x1 C dx1 A12 Mf dx1 L L 0 Z L x1 x dx1 2A22 MfC 1 dx1 L L 0

(9:165a) (9:165b)

siendo los coe cientes 1 + 3=L2 (9:166a) 1 + 12=L2 1 6=L2 (9:166b) A12 = A21 = 1 + 12=L2 Logicamente, las expresiones anteriores coinciden con las 9.85 para el caso en que la deformacion por cortante no se considere o sea muy peque~na ( = 0). Una vez obtenidos los valores de estos momentos, se pueden obtener por equilibrio las reacciones, siendo asimismo posible obtener los movimientos en cualquier punto. A11 = A22 =

9.9 Ecuaciones elasticas

9.9.1 Relaciones momentos - giros

Considerese una pieza cualquiera, biapoyada, sometida a unas cargas externas p2(x1) normales a la directriz y unos momentos en los extremos de valor MA y MB (Fig. 9.32). Las leyes de esfuerzos seran a) Ley de momentos ectores x1 C + MB xL1 Mf = Mf MA 1 L


139

9 Vigas simples

Fig. 9.32 Viga biapoyada cargada

b) Ley de esfuerzos cortantes

Q = QC

MA + MB L

siendo respectivamente MfC y QC la ley de momentos ectores y de esfuerzos cortantes debidos a las cargas externas p2(x1). De acuerdo con el segundo teorema de Castigliano, los giros de las secciones en A y B valdran Z L x dx1 @Mf dx1 Z L @Q dx1 + Q = MfC 1 1 @MA EI @MA kGA L EI 0 0 0 Z L 1 QC dx1 + ( 1 + 4)MA ( 2 4)MB L 0 kGA Z L Z L x dx @M dx Z L @Q dx1 = MfC 1 1 'B = Mf f 1 + Q @MB EI @MB kGA L EI 0 0 0 1 Z L QC dx1 ( 2 4)MA + ( 3 + 4)MB L 0 kGA

'A =

Z L

Mf

Resolviendo las ecuaciones para MA y MB se tendra

+ c MA = 3 4 'A + 2 4 'B + M A

+

c MB = 2 4 'A + 1 4 'B + M B

(9:167a) (9:167b) (9:168a) (9:168b)

viniendo McA y McB los momentos de empotramiento perfecto dados por 9.163. Si la seccion de la pieza es constante en toda su longitud, las anteriores ecuaciones se escriben 4EI A11 'A + 2EI A12 'B + McA (9:169a) MA = L

L


140


MB =

2EI A21 'A + 4EI A22 'B + McB L

(9:169b)

L

viniendo dado el signi cado de A11 , A12 , A21 y A22 por las expresiones 9.166. 9.9.2 Relaciones momentos - desplazamientos

Si al igual que en el caso de la viga de Navier-Bernouilli, se produce un desplazamiento relativo entre los puntos A y B , en direccion perpendicular a la directriz y sin que se permita el giro en A y B (Fig. 9.33), la expresion de los momentos vendra dada por 4EI A11 2EI A12 = 6EI 2A11 + A12 = 6EI A33 (9:170a) MA = L L L L L2 3 L2 2EI A21 4EI A22 = 6EI A21 + 2A22 = 6EI A33 (9:170b) MB = L L L L L2 3 L2

siendo

1 2A11 + A12 = 3 1 + 12=L2 Por lo tanto, las ecuaciones elasticas completas para piezas de inercia constante se escribiran 4EI A11 'A + 2EI A12 'B 6EI A33 (9:171a) MA = L L L2 2EI A21 'A + 4EI A22 'B 6EI A33 (9:171b) MB = A33 =

L

L

L2

expresiones que tienen en cuenta la deformacion por esfuerzo cortante.

Fig. 9.33 Viga simple sometida a un desplazamiento


141

9 Vigas simples

9.9.3 Inclusion del axil y del cortante. Ecuaciones elasticas

Si la pieza esta sometida a unos giros 'A y 'B en los extremos, as como a unos desplazamientos en A y B de valor vA = [v1A ; v2A ]T , vB = [v1B ; v2B ]T , las ecuaciones 9.171 se escribiran 4EI A11 'A + 2EI A12 'B 6EI A33 (v2B

MA =

L L 2EI A21 'A + 4EI A22 'B L L

MB =

L2 6EI A33 (v2B L2

v2A )

(9:172a)

v2A )

(9:172b)

Sean asimismo p1(x1) y p2(x1) las cargas que actuan en la pieza expresadas en los ejes de la barra. Procediendo al igual que en el apartado 9.5.3, se obtienen los valores de las fuerzas y momentos de extremo de barra (ver Fig. 9.26) en funcion de los movimientos (tambien de extremo de barra) y de las fuerzas y momentos de empotramiento perfecto 2

F1A 3

6 7 6 7 6 F2A 7 6 7 6 7 6 7 6 MA 7 6 7 6 7 6 7 6 F1B 7 6 7 6 7 6 7 6 F2B 7 4 5

MB

=

2 EA L 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 EA 6 6 L 6 6 6 6 4

0 0

v1A

0

12EI 3 A33

6EI2 A33

6EI2 A33

4EI A11

0 0

0

0

EA L

L L

0 0

2

0 L

L

6EI2 A33

12EI 3 A33 L

L

2EI A21

6EI2 A33

3

6 7 6 7 6 v2A 7 6 7 6 7 7 6 6 'A 7 6 7 7 6 6 7 6 v1B 7 7 6 6 7 7 6 6 v2B 7 5 4

+

'B

L

L 2 3 Fb1A 6 7 6 7 6 Fb 7 6 2A 7 6 7 6 7 6M c 7 6 A7 7 6 6 7 6 Fb 7 6 1B 7 7 6 7 6 6 Fb 7 6 2B 7 4 5 c M

0

EA L

0 0

12EI 3 A33 L

6EI2 A33 L

0

12EI 3 A33 L

6EI2 A33 L

0

3

7 7 7 7 L 7 2EI A12 7 7 7 L 7 7 7 7 7 6EI2 A33 7 7 7 L 5 4EI A22 L

6EI2 A33

0

(9:172c)

B

siendo Fb

1A

=

Z L

0

1

x1 p (x ) dx L 1 1 1


(9:173a)

142


Fb

1B

Fb

2A

= =

Z L

x1 p1 (x1 ) dx1 0 L Z L c +M M A cB 1 L 0 c +M M A cB L

Fb2B =

(9:173b) x1 p (x ) dx L 2 1 1

(9:173c)

Z L

x1 p2 (x1 ) dx1 0 L

(9:173d)

La expresion 9.172 constituye la expresion matricial de las ecuaciones elasticas de una pieza recta en coordenadas locales cuando se incluye la deformacion por esfuerzo cortante. Estas mismas ecuaciones se expresan en coordenadas globales

siendo 2

KgAA

=

6 6 6 6 4

2

KgAB

=

FgA FgB

=

KgAA KgAB KgBA KgBB

+ A33 12LEI3 S 2 EA A33 12LEI 3 SC + L SC EA C 2 L

uA uB

+

Fb gA Fb gB

(9:174) A33 6LEI2 S

2 EA S 2 A33 12EI 3 C +

A33 6EI2 C

A33 6LEI2 C

A11 4EI L

L

L

12EI 2 A33 12LEI 3 S A33 L3 SC

6 6 EA SC 6 A33 12EI 6 L L3 SC 4 A33 6LEI2 S

EA A33 12LEI 3 SC + L SC

A33 6LEI2 S

EA C 2 L

2 A33 12EI 3 C L

EA SC L EA S 2 L

A33 6LEI2 C

L

A33 6LEI2 S

A33 6EI2 C L

A12 2EI L

KgBB

=

6 6 6 6 4

+ A33 12LEI3 S 2 EA A33 12LEI 3 SC + L SC EA C 2 L

A33 6LEI2 S

(9:175a)

7 7 7 7 5

(9:175b) (9:175c)

EA A33 12LEI 3 SC + L SC

2 EA S 2 A33 12EI 3 C + L

7 7 7 7 5

3

KgBA = (KgAB )T 2

3

L

A33 6LEI2 C

A33 6LEI2 S

3 7

7 A33 6EI2 C 7

L

A22 4EI L

7 5

(9:175d)

siendo, como anteriormente, S = sin y C = cos . Tal como se ha indicado anteriormente, las ecuaciones anteriores juegan un papel fundamental en el calculo de estructuras.


143

9 Vigas simples

9.9.4 Ecuaciones elasticas cuando la directriz no coincide con la lnea de centros de gravedad

La deduccion de las ecuaciones elasticas sigue en este caso las mismas pautas ya desarrolladas en el apartado 9.5.4. Si Se es la matriz de nida en 9.110b se tendra 2 4

F0A

F0

3 5

B

2

=4

3

K0AA K0AB

K0

5

K0

BA

BB

2

+4

vA0

v0

3 5

B

2

+4

Fb 0A

Fb 0

3 5

B

siendo F0A y F0B las fuerzas de extremo de barra referidos a la nueva directriz. Fb 0 y Fb 0 son las fuerzas y momentos de empotramiento perfecto referidos A

B

directriz. Vienen dadas por

(9:176) Asimismo, a la nueva

Fb 0A = Se Fb A Fb 0B = Se Fb B

(9:177a) (9:177b) Por lo tanto, procediendo igual que en el apartado 9.5.4, las matrices de rigidez valdran K0AA = Se KAA STe T K0AB = K0BA = Se KAB STe K0BB = Se KBB STe

(9:178a) (9:178b) (9:178c) Es posible asimismo transformar las anteriores expresiones a coordenadas globales, resultando 2 4

en donde

F0Ag F0g B

3 5

2

=4

g g K0AA K0AB

K0g

BA

K0g

BB

32 54

u0A

u0

3 5

B

2

+4

g

K0AA = T K0AA TT g g K0AB = (K0BA )T = TK0AB TT g K0BB = TK0BB TT

y tambien

"

Fb 0Ag Fb 0Bg

#

=

T Fb 0A T F0B

Fb 0Ag F0g B

3 5

(9:179) (9:180a) (9:180b) (9:180c) (9:181)

que constituyen las fuerzas y momentos de empotramiento perfecto en coordenadas globales.


144


C) PIEZAS CURVAS

Para cerrar el captulo referente a vigas simples, se realiza una introduccion en el campo de las piezas curvas. Concretamente se formula la ecuacion de la pieza deformada (ecuacion de la elastica) en las coordenadas locales de la directriz. El sistema de ecuaciones diferenciales resultante es, en general, demasiado complejo como para ser utilizado en la resolucion de los problemas que se presentan en la practica. Por ello, dichos problemas se tratan en general utilizando las tecnicas generales descritas en el Captulo 11. 9.10 Ecuacion de la elastica en piezas curvas

Tal como se ha estudiado para el caso de piezas rectas, la obtencion de la ecuacion de la elastica parte de tres tipos de relaciones: Ecuaciones de equilibrio interno (ecuaciones 2.24) dN ds

+ 12Q + p1 = 0 + p2 = 0

12N + dQ ds dMf +Q+m=0 ds

Ecuaciones que en forma compacta se escriben 3 2 02 31 2 3 2 3 d 0 0 0

0 N p1 12 ds 7 C B6 d 4 12 5A 4 Q 5 + 4 p2 5 = 0 + 0 0 5 @4 0 0 ds 0 0 0 Mf m 0 1 dsd o bien 2

3

(9:182a) (9:182b) (9:182c) (9:183a)

p1 (L0 + )R + 4 p2 5 = 0 m

(9:183b)

R = C

(9:184)

Relacion esfuerzos{deformaciones generalizadas (expresiones 7.96) Relacion deformaciones generalizadas{movimientos (expresion 7.93)

= (L + )Æ (9:185) Introduciendo el vector de deformaciones generalizadas dado por 9.185 en 9.184 e


145

9 Vigas simples

introduciendo a su vez el vector de esfuerzos R dado por 9.184 en 9.183b, se obtiene la expresion de la ecuacion de la elastica para piezas curvas 2

3

p1 (L0 + )C(L + )Æ + 4 p2 5 = 0 m

(9:186)

N dv1 + 12 v2 = EA ds Q

12 v1 + dvds2 ' = kGA d' Mf = ds EI

(9:187a) (9:187b) (9:187c)

El sistema de ecuaciones diferenciales 9.186 representa el caso mas completo en cuanto a elementos que se considera que intervienen en la deformacion. Por ello, admite expresiones mas sencillas en funcion, por una parte, de las aproximaciones que se realicen y, por otra, del conocimiento que se tenga de la solucion (por ejemplo, si se conocen las leyes de esfuerzos). En el caso en que las leyes de esfuerzos sean conocidas, introduciendo 9.185 en 9.184 se obtiene:

Si en las expresiones anteriores se desprecia la deformacion por esfuerzo cortante, el cociente Q=(kGA) es nulo. Asimismo, sera nulo el cociente N=(EA) en el caso en que no se tuviera en cuenta la deformacion debida al esfuerzo axil. | Problema resuelto P9.7 Utilizando las ecuaciones 9.187, determinar la ley de movimientos y giros en la mensula circular de la gura P9.7.1.

Las leyes de esfuerzos valdran

N = F cos Q = F sin Mf = F R cos

(a) (b) (c)

Por otra parte e1 e2

= sin 1 + cos 2 = cos 1 + sin i

i

i

i2

siendo ademas 12 = 1=R. Teniendo presente ademas que d=ds = (1=R) d=d, las expresiones 9.187 se escriben dv1 d

+ v2 =

RF cos EA


(d)

146


Fig. P9.7.1 Mensula circular de radio R

+ R1 dvd2

v1 R d' d

=

'=

F sin kGA

(e)

F R2 cos EI

(f )

Derivando e con respecto a y sustituyendo el valor de dv1 =d dado por d y el valor de d'=d dado por f se obtiene

F R3 EI + EI + 1 EI R2 EA R2 kGA

d2 v2 d2

+ v2 = cos La solucion de la ecuacion anterior es, como se sabe, suma de la solucion de la ecuacion homogenea mas una solucion particular, es decir, v2 = v20 + v2p con d2 v20 d2

+ v20 = 0

y siendo v2p una solucion particular de

(g )

d2 v2p d2

La solucion de g es

+ 2= vp

F R3 EI EI + +1 2 EI R EA kGA v20 = C1 sin + C2 cos


cos

147

9 Vigas simples

pudiendose tomar para v2p v2p =

Por lo que

EI F R3 EI 2EI R2 EA + R2 kGA + 1 sin

EI F R3 EI 2EI R2 EA + R2 kGA + 1 sin

v2 = C1 sin + C2 cos

La expresion anterior constituye la solucion para los desplazamientos radiales v2 , a falta de determinar las constantes de integracion C1 y C2 Por otra parte, a partir de f se obtiene F R2 2EI sin + C3

'=

y despejando v1 de la expresion e

FR d2 v2 R' + sin = C1 cos C2 sin d kGA 3 EI EI FR 2EI R2 EA + R2 kGA + 1 (sin + cos ) + 3 FR sin + FEIR sin + C3R + kGA Las tres constantes C1, C2 y C3 se obtendran imponiendo las tres siguientes condiciones para = 0 v1 =

v1 ( = 0) =0 v2 ( = 0) =0 '( = 0) =0

es decir

C1 = C2 = C3 = 0

por lo que la solucion de la elastica vendra dada por v1 =

EI F R3 EI 2EI R2 EA (sin + cos ) + R2 kGA (

+ ( sin + cos ) v2 = '=

EI F R3 EI + 2 2 2EI R EA R kGA + 1 sin F R2 sin EI


sin + cos )+ (h) (i) (j )

148


Los movimientos en el extremo de la mensula valdran

v1 =

2 =

F R3 EI EI 2EI R2 EA + R2 kGA

v2 =

F R3 EI EI + 2 2 4EI R EA R kGA + 1 F R2 EI

2 =

1

(k) (l)

(m) 2 = Notese que en las expresiones h a m esta explcita la importancia relativa de la deformacion por esfuerzo axil y de la deformacion por cortante frente a la deformacion por momento ector. Los ejemplos de los apartados 9.6.4 dan idea de la importancia relativa de tales terminos. ' =

9.11 Ejercicios propuestos

| Ejercicio propuesto EP9.1 En la estructura de la gura, las rectas BC y AB

son tirantes de seccion w = 2 cm2 . La viga BD tiene inercia I = 106 cm4 y esta cargada con una carga uniformemente repartida de valor p = 100 kN=m.

Fig. EP9.1

Hallar las leyes de esfuerzos en todas las piezas de la estructura, as como el movimiento del punto B . Valor de control: El esfuerzo axil en AB vale: 66; 4 kN .


149

9 Vigas simples

| Ejercicio propuesto EP9.2 En la estructura de la gura las piezas AD y A0D0

tienen rigidez in nita. Las rectas DC y D0 C 0 son dos tirantes de seccion ! . Sobre la pieza A0 BA actua una carga uniformemente distribuida de valor p = 15 kN=m. La inercia de las piezas A0 BA y BC es I .

a) Determinar el valor de b para que los tirantes no trabajen. b) Con el valor de b obtenido anteriormente, supongase que previamente a la introduccion de la carga p se da al tirante una tension previa de 50 kN , introduciendo seguidamente la carga p. Determinar y dibujar las leyes de esfuerzos para el estado nal. Nota: A excepcion de los tirantes, solamente se tendra en cuenta la deformacion por Momento Flector.

Fig. EP9.2 Valor de control:

BA vale:

| Ejercicio

El valor de b es b = 4; 16 m. El momento ector en B de la barra 112; 3 kN . propuesto EP9.3

siguientes piezas:

La estructura de la gura esta compuesta por las

-

Las rectas AD y DC representan un tirante unico ADC . La pieza ABC es un per l metalico IPE 450 (I = 33740 cm4 ). La pieza BD es in nitamente rgida y sobre el punto D desliza libremente el tirante ADC .

Sobre la pieza ABC actua una carga normal a la pieza, uniformemente repartida y con sentido descendente, de valor p = 12 kN=m. La seccion del cable es tal que el momento ector en el punto B de la viga BC es la mitad del que tendra si no hubiera cable.


150


Fig. EP9.3

En un determinado momento de la vida de la estructura, y al comprobar que los cables se encuentran en de ciente estado de conservacion, se decide colocar un apoyo en C y a continuacion eliminar el cable ADC . Hallar: Ley nal de momentos ectores en la estructura. Giro nal del punto B . Valor de control: El giro nal en B vale: 351; 3 = EI . | Ejercicio propuesto EP9.4 La pasarela de peatones de la gura esta sometida a una sobrecarga vertical en la viga horizontal de

35 kN=m.

Fig. EP9.4

Las rectas AD y DG son dos tirantes de seccion ! y modulo de elasticidad Et = 210 GP a. En el extremo D del mastil DC , los dos tirantes se unen al mastil. Las rectas AG y DC se cruzan sin cortarse. La inercia de la viga AGB vale I = 0; 1 m4 y el modulo de elasticidad Ev = 30 GP a. Sabiendo que la seccion de los cables es de ! = 20 cm2 , determinar: a) Leyes de momentos ectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos axiles. b) Movimientos de los puntos D y G. Nota: Se considerara exclusivamente la deformacion por esfuerzo axil en los tirantes Valor de control: Esfuerzo axil en el cable DG: 407 kN .


151

9 Vigas simples

| Ejercicio propuesto EP9.5 Se considera la misma estructura del Ejercicio Pro-

puesto EP9.4 con las caractersticas geometricas y mecanicas alla indicadas. Sin embargo, en el punto C existe un empotramiento y en el punto A una deslizadera. Contestar a las mismas preguntas del mencionado ejercicio. Valor de control:

El esfuerzo axil en DG vale: 407 kN .

| Ejercicio propuesto EP9.6 En la estructura de la gura, las rectas BS y BT representan tirantes de Et = 210 GP a.

70 cm2

de seccion cada uno y un modulo de elasticidad

Fig. EP9.6

El mastil BA tiene una inercia de 40 m4 y se cruza con el tablero, el cual tiene un momento de inercia de valor 0; 3 m4 . Tanto el tablero como el mastil tienen un modulo de Elasticidad de 30 GP a. Sobre el tablero actua una fuerza repartida de valor p = 75 kN=m. Determinar: a) Leyes de esfuerzos. b) Movimiento del punto B . Valor de control: El esfuerzo axil en BS vale: 5030 kN .


153

10 Vigas continuas

10 Vigas continuas 10.1 Introduccion

Se denominan vigas continuas a aquellas piezas rectas hiperestaticas que descansan sobre mas de dos apoyos (Fig. 10.1). Se supondra que las cargas actuan normalmente al eje de la pieza, por lo que en la misma no habra esfuerzos axiles en ningun punto.

Fig. 10.1 Viga continua sobre cuatro apoyos

Tal tipo de estructura aparece con cierta frecuencia en la practica de la ingeniera: puentes (Fig. 10.2), correas de naves industriales, vigas carrileras, etc. Por tal motivo, se justi ca su estudio separado del resto de las estructuras hiperestaticas.

Fig. 10.2 Puente simplemente apoyado sobre cuatro apoyos (dos pilares y dos estribos)

El analisis de las vigas continuas puede abordarse bien mediante un metodo de compatibilidad, bien mediante un metodo de rigidez, tal como se describe en los apartados que siguen.


154


Tanto cuando se utiliza un metodo de compatibilidad como cuando se pre ere un metodo de rigidez, es posible incluir o no la deformacion por esfuerzo cortante. En la exposicion que se realiza en el presente captulo, se prescinde a efectos de claridad de dicha deformacion. En cualquier caso, su inclusion es muy sencilla (de acuerdo con lo analizado en el captulo 9) y se deja como ejercicio para el lector interesado. 10.2 Calculo de vigas continuas mediante metodos de compatibilidad

Existen primordialmente dos procedimientos para analizar vigas continuas mediante el metodo de compatibilidad. En el primero de ellos, se toman como incognitas hiperestaticas las reacciones en los apoyos intermedios, mientras que en el segundo, como hiperestaticas se eligen los momentos ectores tambien en los apoyos intermedios. En lo que sigue, se desarrollan ambos procedimientos. 10.2.1 Calculo de vigas continuas tomando como incognitas hiperestaticas las reacciones de los apoyos intermedios

Considerese la viga continua de cuatro tramos, representada en la gura 10.3, sometida a unas cargas cualesquiera p2(x1). La longitud total de la pieza sera L = L1 + L2 + L3 + L4 .

Fig. 10.3 a) Viga continua de cuatro tramos, b) Transformacion de la viga continua anterior en una viga simple biapoyada

La pieza es tres veces hiperestatica y, de acuerdo con lo se~nalado anteriormente, se tomaran las reacciones en los puntos intermedios R2; R3 y R4 como incognitas hiperestaticas. El desplazamiento vertical de los puntos 2, 3 y 4 valdra 2 = c2 + 22R2 + 23 R3 + 24 R4 (10:1a)


155

10 Vigas continuas

3 = c3 + 32R2 + 33 R3 + 34 R4 (10:1b) c 4 = 4 + 42R2 + 43 R3 + 44 R4 (10:1c) en donde c2 ; c3 y c4 son respectivamente los movimientos verticales de los puntos 2,3 y 4 debido a las cargas externas p2(x1). Los coe cientes se determinan utilizando el teorema de Castigliano, Mohr, etc. Notese que se ha utilizado el smbolo para indicar los movimientos v2 en direccion perpendicular al eje de la pieza. Dicho cambio de simbologa, en el presente captulo, viene justi cado para evitar confusiones en los desarrollos que siguen. Imponiendo la condicion de nulidad en los desplazamientos verticales de los puntos 2,3 y 4 (2 = 3 = 4 = 0), el sistema de ecuaciones 10.1 proporciona el valor de las reacciones (incognitas hiperestaticas) en los apoyos intermedios. En el caso en que hubiera desplazamientos de apoyos, simplemente se sustituye su valor en las expresiones 10.1. Analogamente, en el caso en que alguno de los apoyos fuera elastico (por ejemplo, el apoyo 3), se tendra que R3 = k3 (10:2) por lo que sustituyendo en 10.1, dichas expresiones se modi can quedando ij

0 = c2 + 22R2 + 23 R3 + 24 R4 (10:3a) 1 (10:3b) 0 = c3 + 32R2 + 33 + k R3 + 34R4 0 = c4 + 42R2 + 43 R3 + 44 R4 (10:3c) Notese nalmente que las cargas pueden consistir en variaciones termicas de la viga, sin que la estructura de las ecuaciones 10.1 experimente variaciones. | Problema resuelto P10.1 Determinar las leyes de esfuerzos y el valor de las reacciones

en la viga continua de la gura P10.1.1. Solamente se considerara la deformacion debida al momento ector. Solucion

Se tomara como incognita hiperestatica la reaccion del apoyo 2. Para ello, se sustituye dicho apoyo por una fuerza R2 . Utilizando cualquiera de los metodos estudiados en los captulos anteriores, la echa del punto 2 valdra 4 R2 L3 11 qL4 = 0 2 = 9EI 12EI por lo que R2 = 2; 0625 qL


156


Fig. P10.1.1 a) Viga continua, b) Viga isostatica base

y por equilibrio

R1 =0; 125 qL R3 =0; 8125 qL

En la gura P10.1.2 puede verse representada la ley de momentos ectores y de esfuerzos cortantes.

Fig. P10.1.2 a) Ley de esfuerzos cortantes, b) Ley de momentos ectores.


157

10 Vigas continuas

10.2.2 Calculo de vigas continuas tomando como incognitas hiperestaticas los momentos ectores en los apoyos intermedios: Teorema de los tres momentos

Considerense (Fig. 10.4) dos tramos intermedios cualesquiera de una viga continua y sea (M ) 1 : Momento ector en el apoyo i 1 (M ) : Momento ector en el apoyo i (M ) +1 : Momento ector en el apoyo i + 1 Si la viga continua se descompone en vigas simples, es preciso colocar en sus extremos los correspondientes valores de los momentos ectores, que seran considerados como las incognitas hiperestaticas del problema. f

f

f

i

i

i

Fig. 10.4 Tramos intermedios de una viga continua.

Para obtener los valores de las incognitas hiperestaticas, es preciso plantear la igualdad de giros en cada uno de los apoyos intermedios. Es decir - Giro en i de la pieza I 1 (M ) 1L 1 + (M ) L 1 + ' (10:4a) ' = 1 6EI 3EI f

i

f

I

i

1

I

i

I

I

c

i;I

1

- Giro en i de la pieza I

) +1L + ' (10:4b) = (M3EI) L (M6EI siendo, respectivamente, ' 1 y ' los giros en i de las piezas I 1 e I debidas a las cargas p2(x1) que actuan en el interior de las mismas. '

f

i

I

f

i

I

i

c i;I

c

i;I

I

I

c i;I


158


De la igualdad de las dos expresiones 10.4 (M ) 1L 1 + (M ) L 1 + L + (M ) +1L = ' ' (10:5) 1 6EI 1 3E I 1 I 6EI Esta igualdad constituye la expresion del teorema de los tres momentos. Dicha ecuacion planteada para cada uno de los apoyos intermedios proporciona un sistema de tantas ecuaciones como incognitas hiperestaticas tiene el problema. f

i

I

I

f

i

I

I

I

I

f

i

I

c

c

i;I

i;I

I

| Problema

resuelto P10.2 Dada la viga continua de la gura P10.2.1 con las cargas que en ella se indican, determinar las leyes de esfuerzos.

Fig. P10.2.1 Viga continua de tres tramos

Solucion

Se tomaran como incognitas hiperestaticas los momentos ectores en los apoyos 2 y 3: (M )2 y (M )3 , respectivamente. Para determinarlos, se descompone la viga continua en tres vigas simples (Fig. P10.2.2). f

f

Fig. P10.2.2 Descomposicion en vigas simples

Se plantea a continuacion la igualdad de giros en los apoyos 2 y 3 - Giro en el punto 2 de la pieza 1 (M )2 5 50 5 '2 = 3EI 6EI f


159

10 Vigas continuas

- Giro en el punto 2 de la pieza 2 (M )2 5 (M )3 5 '2 = 3EI 6EI De la igualdad de las dos expresiones anteriores 4(M )2 + (M )3 = 50 (a) Analogamente para el apoyo 3 - Giro en el punto 3 de la pieza 2 (M )2 5 + (M )3 5 '3 = 6EI 3EI - Giro en el punto 3 de la pieza 3 (M )3 5 20 53 '3 = 3EI 24EI Igualando las dos expresiones anteriores (M )2 + 4(M )3 = 125 (b) lo cual constituye la segunda ecuacion del problema. Resolviendo el sistema formado por a y b se obtiene (M )2 =21; 7 kN m (M )3 = 36; 7 kN m A partir de los anteriores valores, es posible determinar las leyes de esfuerzos (Fig. P10.2.3) y calcular las reacciones. A partir de las leyes de cortantes, se obtienen las reacciones R1 =14; 3 kN (sentido ascendente) R2 = (14; 3 + 11; 6) = 25; 9 kN (sentido descendente) R3 =11; 6 + 57; 3 = 68; 9 kN (sentido ascendente) R4 =42; 7 kN (sentido ascendente) Como puede observarse, R1 + R2 + R3 + R4 = 20 5 = 100 kN f

f

f

f

f

f

f

f

f

f f

10.2.3 Movimientos de apoyos: Valores conocidos de un descenso de apoyo y apoyos elasticos

En el caso en que algun o algunos apoyos tengan un desplazamiento vertical (bien sea este conocido o se produzca como consecuencia de la elasticidad del apoyo), es tambien posible utilizar el teorema de los tres momentos para obtener el valor de las incognitas hiperestaticas (M ) . Considerese para ello la gura 10.5, que al igual que la f

i


160


Fig. P10.2.3 Leyes de esfuerzos: a) Ley de momentos ectores, b) Ley de esfuerzos cortantes

gura 10.4, representa varios tramos de una viga continua. La diferencia entre ambas radica en el hecho de que mientras que en la gura 10.4 no se consideran movimientos de apoyos, en la gura 10.5 s se consideran. Al igual que antes los valores de las incognitas hiperestaticas se obtendran de igualar los giros en los apoyos, teniendo presente que ahora el giro, ademas de a los momentos y a las cargas externas, sera tambien debido al movimiento del apoyo. Es decir - Giro en i de la pieza I 1 + (M ) 1L 1 + (M ) L 1 + ' (10:6a) ' = + = 1 L 6EI 3EI f

i

i

i

i

I

1

i

I

I

1


f

i

I

I

1

c

i;I

161

10 Vigas continuas

Fig. 10.5 Tramos intermedios de una viga continua con movimiento de apoyo

- Giro en i de la pieza I (M ) L (M ) +1L + ' ' = + = L 3EI 6EI De la igualdad de las expresiones 10.6 se obtiene (M ) 1L 1 + (M ) L 1 + L + (M ) +1L = 6EI 1 3E I 1 I 6EI =' ' 1 +1 i

0

0

i

i

f

i

i

i

f

i

I

c

i;I

I

f

I

f

I

I

i

I

I

I

I

I

I

f

i

(10:6b)

I

I

(10:7) lo cual constituye la expresion del teorema de los tres momentos para el caso en que exista un desplazamiento de apoyo en el punto i. Si el desplazamiento del apoyo es conocido, se puede sustituir en la expresion 10.7, con lo cual quedan unicamente como incognitas los momentos ectores. En el caso en el que el apoyo i fuera elastico, existe una relacion entre el desplazamiento y la reaccion en i dada por R = k (10:8) siendo k el coe ciente de balasto. Por otra parte, la reaccion R vendra dada por la suma (Figura 10.5) R =R 1+R (10:9) y por equilibrio (M ) 1 (M ) + R (10:10a) R 1= c

c

i;I

i;I

1

i

L 1 I

L

I

i

i

i

i

i

i;I

f

i;I

i

L 1

i;I

f

i

c

i;I

I


1

162


R

= (M ) +1L (M ) + R f

i;I

i

f

i

(10:10b)

c

i;I

I

siendo respectivamente R 1 y R las reacciones en el apoyo I de las vigas simples I 1 e I debidas unicamente a las cargas que actuan en su interior. Sumando las dos expresiones anteriores y teniendo en cuenta 10.8 se puede escribir (M ) 1 (M ) 1 1 R 1 +1 = (M ) + + + R + R (10:11) = c i;I

i

k

i

f

k

c i;I

i

L 1

f

I

i

L 1

f

L

I

L

I

y sustituyendo en 10.7 (M ) 1L 1 + (M ) L 1 + L + (M ) +1L = ' 6EI 1 3E I 1 I 6EI 1 (M ) (M ) 1 +1 1 (M ) + + +R f

i

f

I

i

I

I

I

I

f

i

I

i

'

c

c

i;I

I

c

i;I

I

i;I

I

1 1+k

c

1

i;I

1 + 1 L L I

1

I

+R (10:12) expresion que contiene unicamente las incognitas hiperestaticas y valores conocidos (bien de giros, bien de reacciones). f

i

L 1 I

f

i

L 1 I

f

L

I

L

i

I

c

i;I

1

c

i;I

| Problema resuelto 10.3 Considerese la misma viga que en el problema P10.2, en la cual

el apoyo 3 es elastico, con un coe ciente de balasto de valor k . Determinar los momentos

ectores en los apoyos 2 y 3 y el movimiento vertical del punto 3. Solucion

La viga continua se descompone en las tres vigas simples de la gura P10.3.1.

Fig. P10.3.1 Descomposicion en vigas simples

Se plantea la igualdad de giros en los apoyos 2 y 3.


163

10 Vigas continuas

- Giro en el punto 2 de la pieza 1 '2 =

(M )2 5 50 5 3EI 6EI f

- Giro en el punto 2 de la pieza 2 (M )2 5 (M )3 5 + 3 '2 = 3EI 6EI 5 De la igualdad de las dos expresiones anteriores 100(M )2 + 25(M )3 = 1250 + 6EI 3 De la misma forma, en el apoyo 3 f

f

f

f

(a)

- Giro en el punto 3 de la pieza 2 (M )2 5 + (M )3 5 + 3 '3 = 6EI 3EI 5 - Giro en el punto 3 de la pieza 3 (M )3 5 20 53 3 3EI 24EI 5 Igualando 25(M )2 + 100(M )3 = 3125 12 EI 3 (b) Por otra parte, tomando momentos en el apoyo 2 de la viga 2, se obtendra el valor de la reaccion R3 2 . Es decir (M )2 (M )3 R3 2 = 5 Asimismo, tomando momentos en el apoyo 4 de la pieza 3, se tiene 20 52 (M )3 = 50 (M )3 R3 3 = 25 5 5 La reaccion en el apoyo 3 vale (M )2 2(M )3 R3 3 = R3 2 + R3 3 = 50 + 5 y como tambien R3 = k 3 Igualando las dos expresiones anteriores (M )2 2(M )3 = 250 5 k 3 (c) f

f

f

f

f

;

f

f

;

f

f

;

f

;

;

f

;

f


f

164


Las expresiones a, b y c constituyen un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas, cuya resolucion proporciona la solucion del problema. Resolviendo (M )2 =21; 7 48 4140 + 625k kNm (M )3 = 36; 7 + 48 6210 + 625k kNm 3 = (48 +43125 625k )EI m siendo k = k=EI . Para el caso de apoyo rgido (k = 1), la solucion obtenida coincide con la proporcionada por el problema P10.2. f

0

f

0

0

0

10.3 Calculo de vigas continuas mediante el metodo de rigidez

As como en los metodos de compatibilidad la solucion del problema se obtiene hallando el valor de las incognitas hiperestaticas, en el metodo de rigidez la solucion se obtiene mediante la determinacion de los movimientos en los nudos. Para ello se utilizan las ecuaciones elasticas desarrolladas en el Captulo 9. Es importante advertir que los desarrollos que se incluyen en el presente apartado constituyen una particularizacion del metodo de rigidez que se expondra en el captulo siguiente. 10.3.1 Vigas continuas con nudos jos

En este caso, puesto que los desplazamientos de los nudos son nulos, el unico movimiento desconocido en cada nudo es el correspondiente al giro. Por ello, la expresion de los momentos en las ecuaciones elasticas 9.103 para una viga simple puede escribirse unicamente en funcion de los giros, es decir M

A

M

B

2EI ' + Mc ' + = 4EI L L 4 EI 2 EI = L ' + L ' + Mc A

B

A

A

B

B

(10:13a) (10:13b)

Al estar compuesta la estructura por diferentes barras, es preciso completar la anterior nomenclatura en el sentido siguiente (Fig. 10.6): Para una barra cualquiera I , cuyos extremos sean i y j , se denominara extremo A al extremo de menor numeracion y extremo B al de numeracion mayor, de forma que el eje local x1 ira del extremo A al B. Escribiendo las ecuaciones elasticas correspondientes a los momentos de extremo de


165

10 Vigas continuas

Fig. 10.6 Nomenclatura para una pieza recta

Fig. 10.7 Tramos intermedios de una viga continua

barra de las dos piezas que concurren en el nudo i, se tendra (Fig. 10.7) EI EI c 1 ' 1+4 ' 1+M M 1 =2 L L I

I

I

I

B

A

B

B

1

I

EI ' M =4 L I

A

EI +2 L '

I

I

A

B

I

y teniendo en cuenta que ' 1 = ' anteriores ecuaciones quedan I A

i

I

1

;

' 1 I B

1

I

+ Mc

(10:14b)

I

A

=' ;

'

I A

i

=' ; i

EI EI c ' 1+4 ' +M M =2 L L 1 1 EI EI c ' + 2 ' +1 + M M =4 L L I

B

1

I

i

i

I

(10:14a)

B

I

'

I B

= ' +1, las i

1

(10:15a)

I

I

i

A

I

i

A

I

Por equilibrio, es evidente que debe cumplirse que M 1 + M debe ser igual (si lo I B


I A

166


hubiese) al momento externo M aplicado en i, es decir ext i

M

" EI # EI EI ' 1+ 4 +4 L ' + =2 L L 1 1 c 1+M c ' +1 + M + 2 EI L

ext

i

i

i

I

I

i

I

I

I

B

A

(10:16)

I

y llamando

=M la expresion 10.16 puede escribirse M

i

2 EI L

" EI ' 1+ 4 L 1 i

I

ext i

(Mc 1 + Mc ) I

I

B

A

EI # +4 L ' 1

i

I

I

+2

(10:17)

EI ' +1 = M L i

i

I

(10:18)

Igualmente, una ecuacion similar a la anterior puede escribirse para cada uno de los apoyos de la viga continua, llegandose a la formacion de la siguiente expresion matricial '=M K' (10:19) siendo ' el vector de incognitas 2 3 '1 66 '2 77 66 .. 77 ' = 66 '. 77 66 . 77 4 .. 5 '

(10:20)

i

n

M es el vector de cargas

2 M1 3 66 M2 77 6 .. 7 M = 666 M. 777 64 . 75

..

i

M

n

y K es la matriz de rigidez de la estructura. Un elemento cualquiera K se escribe rs

EI L EI K =2 L

K

rs

=4

s

rs

s

1

+4

EI L

s

si

s=r

(10:21a)

si

s=r+1

(10:21b)


167

10 Vigas continuas

EI K =2 L K =0

si s = r 1 (10:21c) en los demas casos (10:21d) Como puede observarse, la matriz de rigidez K es tridiagonal y simetrica. Dicha simetra constituye una importante propiedad de las matrices de rigidez de una estructura y puede demostrarse con caracter general a partir del teorema de Maxwell-Betti. Fsicamente, un elemento cualquiera K se interpreta como el momento externo M que existe (o que hay que aplicar) en el apoyo r cuando se da un giro unidad al apoyo s y cero al resto. De la resolucion del sistema de ecuaciones 10.19, se obtiene el vector de giros (vector de incognitas). Sustituyendo en las ecuaciones elasticas 10.14, se obtienen nalmente los momentos de extremo de barra. Asimismo, en el caso en que existieran cargas termicas, los momentos de empotramiento perfecto seran los correspondientes a tales cargas (ver captulo 9). rs

s

rs

rs

r

| Problema resuelto P10.4 Calcular la viga del problema P10.2 utilizando el metodo de rigidez

Solucion

Aunque, de acuerdo con las reglas dadas por 10.21 es posible escribir directamente la matriz de rigidez, esta se va a deducir paso a paso, a n de facilitar la comprension del proceso: Ecuacion elastica para el apoyo 1 = 4 EI5 '1 + 2 EI 5 '2 + 0 y puesto que el momento externo aplicado en el apoyo 1 vale 50 kN m, la ecuacion anterior se escribe 50 = 0; 8 EI '1 + 0; 4 EI '2 (a) Ecuaciones elasticas para el apoyo 2 M1

A

M1

= 4 EI5 '2 + 2 EI 5 '1 + 0

M2

= 4 EI5 '2 + 2 EI 5 '3 + 0

B

A

Teniendo presente que en el apoyo 2 no hay aplicado ningun momento externo, resulta que M 1 + M 2 = 0, por lo que se obtiene la ecuacion 0 = 0; 4 EI '1 + 1; 6 EI '2 + 0; 4 EI '3 (b) B

A


168


Analogamente, para el apoyo 3 =4 EI5 '3 + 2 EI 5 '2 + 0 2 EI 20 5 EI M 3 =4 '3 + 2 '4 + 5 5 12 Teniendo en cuenta que M 2 + M 3 = 0, se tendra 41; 67 = 0; 4 EI '2 + 1; 6 EI '3 + 0; 4 '4 (c) Y para el apoyo 4 4 EI '4 + 2 EI '3 41; 67 M3 = 5 5 y puesto que M 3 = M4 = 0 41; 67 = 0; 4 EI '3 + 0; 8 EI '4 (d) Las expresiones a, b, c y d forman un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incognitas. Matricialmente se escribe 2 50 3 2 0; 8 0; 4 0 0 3 2 '1 3 64 0; 4 1; 6 0; 4 0 75 64 '2 75 = 1 64 0 75 0 0; 4 1; 6 0; 4 '3 EI 41; 67 41; 67 0 0 0; 4 0; 8 '4 Sistema que una vez resuelto proporciona el valor de los giros 65; 28 ; '2 = 5; 55 ; '3 = 43; 06 ; '4 = 73; 62 '1 = M2

B

A

B

A

B

B

EI

EI

EI

EI

Valores que sustituidos en las diferentes expresiones de los momentos de extremo de barra dan M 1 =50 kN m M 1 =0; 8 ( 5; 55) + 0; 4 65; 28 = 21; 7 kN m M 2 =0; 8 ( 5; 55) + 0; 4 ( 43; 06) = 21; 7 kN m M 2 =0; 8 ( 43; 06) + 0; 4 ( 5; 55) = 36; 7 kN m 20 52 = 36; 7 kN m M 3 =0; 8 ( 43; 06) + 0; 4 73; 62 + 12 Puede observarse que se cumple el equilibrio de momentos en cada nudo. Asimismo puede comprobarse que los valores de los momentos coinciden con los obtenidos en el problema P10.2. Igualmente se comprueba que 20 52 = 0 M 3 = 0; 4 ( 43; 06) + 0; 8 73; 62 12 Una vez obtenidos los anteriores valores, se obtienen las reacciones y leyes de esfuerzos de forma similar a como se obtuvieron en el problema P10.2. A

B

A

B

A

B


169

10 Vigas continuas

10.3.2 Viga continua con movimientos de apoyo

Cuando en la viga continua los apoyos pueden experimentar desplazamiento vertical, pueden considerarse dos casos. En primer lugar cabe hablar de aquellas situaciones en las cuales el valor del movimiento (o de los movimientos, si hubiera mas de un apoyo movil) es conocido. En tales casos, tal como se expone mas abajo, se obtiene el mismo sistema de ecuaciones, modi cando el termino de cargas. En segundo lugar, si los apoyos fueran elasticos, solo es conocida una relacion entre la reaccion del apoyo y el desplazamiento del mismo. La resolucion de ambos casos no plantea especiales problemas, aunque el segundo caso es preferible abordarlo desde una perspectiva mas general, por lo que se expondra en el Captulo 11, cuando se desarrolle el metodo de rigidez. Se expone seguidamente la resolucion de una viga continua con movimiento dado de apoyos. Para este caso, es preciso ampliar las ecuaciones elasticas 10.14 para introducir los terminos correspondientes a los movimientos, es decir EI EI 1 ' +4 ' 1+ M =2 L L 1 1 ( 1 1) + Mc 1 +6 EI L2 1 EI EI EI ' +2 ' +6 2 M =4 L L L I

B

1

I

I

A

B

I

I

I

I

I

A

B

B

(10:22a)

I

I

I

I

A

A

B

I

I

I

(

) + Mc (10:22b)

I A

I

I

B

A

y puesto que 1 = 1; 1 = ; = y = +1, y ademas estos valores son conocidos, la expresion 10.17 se modi ca en el sentido de que el valor de M viene dado ahora por I A

I B

i

I A

i

I B

i

i

i

M

i

=M

ext

i

(Mc

I

B

1

+ Mc

I

A

EI ) + 6 L2

I

1

( i

i

EI 1) + 6 L2

( +1 ) (10:23) i

I

i

permaneciendo inalteradas el resto de las ecuaciones. 10.4 Ejercicios Propuestos

| Ejercicio propuesto EP10.1 En la viga continua de la gura, hallar las leyes de momentos ectores y de esfuerzos cortantes, as como las reacciones. Hallar asimismo la

echa del punto A. Valor de control:

El momento ector en B vale: 60; 3 kNm.


170


Fig. EP10.1

| Ejercicio propuesto EP10.2 Determinar las reacciones, leyes de momentos ectores y

leyes de esfuerzos cortantes de la estructura que se acota en la gura. Hallar tambien el desplazamiento vertical del punto A.


La reaccion en B vale: 18; 9 kN .

| Ejercicio propuesto EP10.3 La viga de la gura tiene una rotula situada en el punto A. En dicho punto y a ambos lados de la rotula actuan sendos momentos iguales y de sentido contrario de valor M .

Hallar: a) Desplazamiento vertical de la rotula. b) Giro relativo a ambos lados de la rotula.


El desplazamiento de la rotula vale 139 M=(60 EI ).


171

10 Vigas continuas

| Ejercicio propuesto EP10.4 La viga continua de la gura tiene una seccion rectangular

de ancho 1 y canto h. Dicha pieza sufre una variacion termica de valor t en su cara superior y t en su cara inferior. Teniendo en cuenta la deformacion por momento ector y por esfuerzo cortante, y tomando como incognita hiperestatica el momento ector en el apoyo intermedio, determinar y dibujar las leyes de esfuerzos.


El momento ector en el apoyo intermedio vale 10t M = h(3; 33=EI + 3; 53=Gh) f

| Ejercicio propuesto EP10.5 En la viga continua de la gura, el apoyo 2 es elastico

con un valor de la constante k igual a 5 kN=m. La inercia de todas las piezas es la misma e igual a 106 cm4 , siendo el modulo de elasticidad E = 210 GP a. Hallar las leyes de esfuerzos as como el movimiento del punto 5.


El movimiento vertical del punto 5 vale: 0; 00136 m.


172


| Ejercicio propuesto EP10.6 En la estructura de la gura, la pieza E D ADE es una 0

0

pieza metalica formada por un IPE 450. Asimismo, las piezas C 0 D0 , CD y AB estan formadas por el mismo material y la misma seccion. Las piezas E 0 C 0 , C 0 B , BC y CE son tirantes de 2 cm2 de seccion.

Fig. EP10.6

Sobre la pieza recta horizontal actua una carga uniformemente repartida vertical descendente de valor p = 3 kN=m. Determinar las leyes de esfuerzos en todas las piezas. - Modulo de Elasticidad del acero E = 210 GP a. Valor de control: El momento ector en A vale: 20; 7 kN m.


173


11 Estructuras reticuladas 11.1 Introduccion Se denominan estructuras reticuladas a las estructuras formadas por la union de varias vigas (rectas o curvas) entre s mediante nudos rgidos. La mayor parte de las estructuras que se construyen caen dentro de esta categora: porticos, marcos, arcos, etc. En la gura 11.1 pueden verse representados diversos ejemplos de este tipo de estructuras.

Fig. 11.1 Diversas estructuras reticuladas


174


En el presente captulo se van a abordar las metodologas mas habituales de calculo de estructuras. Dichas metodologas son independientes de que la estructura sea plana o espacial, aunque por motivos de claridad de exposicion se hara referencia unicamente a las primeras. Las estructuras espaciales seran analizadas en el Captulo 12.

11.2 Simetras y Antimetras Previo al analisis y calculo de las estructuras reticuladas es interesante estudiar las propiedades y simpli cacions que pueden realizarse en las estructuras simetricas y en las antimetricas.

11.2.1 Simetras Se dice que una estructura es simetrica respecto a un eje cuando respecto a el es simetrica de forma y cargas. Al indicar simetrica de forma se hace referencia a que la simetra es no solo geometrica, sino tambien de propiedades mecanicas: area, momento de inercia, modulo de elasticidad, modulo de elasticidad transversal y seccion reducida. En la gura 11.2 pueden verse diferentes estructuras simetricas en contraposicion con otras que no lo son. Logicamente una estructura puede tener mas de un eje de simetra, como es el caso del anillo de la guras 11.2c. Para analizar las propiedades de las estructuras simetricas, considerese una estructura simetrica cualquiera, por ejemplo la representada en la gura 11.3a. Si se analiza el punto de corte de la estructura con el eje de simetra (punto B) y las fuerzas internas y externas que en el actuan (Fig. 11.3b), puede observarse que debido a dicha simetra debe veri carse que

H = H0 ; V = V 0 ; M = M 0 Por otra parte el equilibrio en el nudo B se veri ca siempre que sea V = F=2, y si no existen cargas externas puntuales aplicadas en dicho nudo, se cumple que V = 0. En uno u otro caso, esta claro que el valor de V es conocido, lo cual reduce en un grado de hiperestaticidad del problema. Si el corte del eje de simetra con la estructura fuera en una barra (punto D), entonces V sera el esfuerzo cortante existente en dicho punto. Por lo que hace referencia a las variables cinematicas, el desplazamiento horizontal (perpendicular al eje de simetra) de los puntos B y D debe ser nulo, ya que si un punto situado un in nitesimo a la izquierda de B (y tambien de D) tuviera un movimiento Æ hacia la izquierda, su correspondiente punto simetrico tendra tambien un desplazamiento Æ pero hacia la derecha, lo cual es absurdo. Analogamente, tambien es nulo el giro en los puntos B y D de corte de la estructura con el eje de simetra. Segun todo lo anterior, la estructura de la gura 11.3 puede simpli carse tal como se representa en la gura 11.4.


175


Fig. 11.2 a), b), c), d): Estructuras simetricas. e), f): Estructuras no simetricas

11.2.2 Antimetras Una estructura es antimetrica, cuando es simetrica de forma y antimetrica de cargas. En la gura 11.5 pueden verse representadas diferentes estructuras antimetricas. A n de estudiar las propiedades que presentan las estructuras antimetricas, considerese la estructura antimetrica de la gura 11.6. Cabe considerar dos casos distintos: los puntos A y D en los cuales el eje de antimetra corta a la estructura pero no coincide


176


Fig. 11.3 Estructura simetrica

Fig. 11.4 Reduccion de una estructura simetrica.

con ninguna barra de la misma, y el punto G, en donde s coincide. Por lo que respecta al primer caso, es evidente que, por antimetra (Fig. 11.6b), H = H 0 y Mf = M 0 f

Ademas, por equilibrio del nudo, debe veri carse que V = V 0 ; Mf = M=2; H = F=2. Logicamente, si en el nudo no hay cargas puntuales externas aplicadas, H = 0 y ademas Mf = 0. Es decir, que tanto en uno como en otro caso es conocido el esfuerzo horizontal (perpendicular al plano de antimetra) y el momento ector. Si al igual que antes, se analizan las variables cinematicas, el movimiento vertical de los puntos A y D debe ser nulo, ya que si un punto situado un in nitesimo a la izquierda de A (o de D) tiene un movimiento vertical Æ descendente, su correspondiente punto al


177


Fig. 11.5 Diversas estructuras antimetricas.

Fig. 11.6 Estructuras antimetricas

otro lado del eje de antimetra debe tener un movimiento vertical Æ ascendente, lo cual es imposible. Por lo que respecta al punto G, los esfuerzos cortantes a la izquierda y derecha de G deben ser iguales y del mismo signo (esto es, las fuerzas V iguales y de sentido contrario) y el esfuerzo axil en GO debe ser nulo.


178


Con todo lo anterior, la estructura de la gura 11.6 puede descomponerse tal como se representa en la gura 11.7. Como puede observarse, se ha sustituido la inercia de la barra GO por una inercia mitad. El hecho de que tal sustitucion es correcta puede demostrarse a partir de la matriz de rigidez global de la estructura. Tal matriz de rigidez se estudiara mas adelante.

Fig. 11.7 Simpli caciones en una estructura antisimetrica

11.3 Metodos generales de calculo de estructuras: compatibilidad y rigidez Dentro del analisis estructural existen dos grandes grupos de metodos para determinar el estado tensodeformacional de las estructuras. El metodo de compatibilidad y el metodo de rigidez. En esta seccion se dara una panoramica general sobre ambos metodos, ilustrandola con algun ejemplo. En los apartados siguientes se desarrollaran los fundamentos de ambas metodologas. Para el metodo de compatibilidad, las incognitas a determinar son los esfuerzos o reacciones hiperestaticas de la estructura. Es decir, dada una estructura h veces hiperestatica, es posible convertir la estructura en isostatica (isostatica base) mediante la realizacion de h cortes en la misma y colocando en dichos puntos de corte los esfuerzos o reacciones hiperestaticas a determinar. Mediante las oportunas ecuaciones de compatibilidad de movimientos en los puntos de corte, se obtendran los valores de las hiperestaticas. Considerese, por ejemplo, la estructura articulada de la gura 11.8a la cual es una vez hiperestatica. Supongase que se asla la barra OA realizando el


179


oportuno corte. La incognita hiperestatica sera NOA y la ecuacion correspondiente se obtendra de imponer la compatibilidad de movimientos en O.

Fig. 11.8 Descomposicion de una estructura hiperestatica

Los esfuerzos en cada una de las barras valdran: NOC = NOA (traccion si NOA tiene el sentido de la gura) p NOB = NOA 2 + F El movimiento del punto O en direccion OA de la estructura isostatica base (estructura 1 de la Fig. 11.8b) valdra, de acuerdo con el segundo teorema de Castigliano: 2 2 @ 1 NOC LOC 1 NOB LOB @W = + uOA = @NOA @NOA 2 EA 2 EA y substituyendo en la expresion anterior los valores previamente obtenidos:

p

p

2 p pi 1 NOA L 2 1 ( NOA 2 + F )2 L L h @ + = (2 + 2)NOA F 2 uOA = @NOA 2 EA 2 EA EA

"

#

En la pieza OA el desplazamiento de O en direccion OA valdra p NOA L 2 uOA = EA e igualando se obtiene el valor del esfuerzo hiperestatico que se buscaba. 1 p NOA = F 2+ 2 Una vez obtenido el valor de la hiperestatica, se determinan el resto de los esfuerzos: 1 p 2 +p 2 2 p F + F = 2p F NOB = 2+ 2 2+ 2

NOC = F


180


Por lo que respecta al metodo de rigidez, su punto de partida son los movimientos de los distintos nudos de la estructura. El grado de libertad de un nudo en una determinada direccion (normalmente coincidente con uno de los ejes de coordenadas o con un giro) indica la posibilidad de movimiento de dicho nudo en la direccion indicada. El numero total de grados de libertad de una estructura sera por tanto el numero total de movimientos posibles de todos los nudos de la estructura. As, en una estructura articulada plana, dado que cada nudo tiene dos grados de libertad (movimiento horizontal y vertical), el numero de grados de libertad sera igual a dos veces el numero de nudos menos los movimientos coaccionados en los apoyos. As, por ejemplo, la estructura de la gura 8.3 tiene 25 { 3 = 7 grados de libertad. La estructura de la gura 8.7 tiene 26 { 3 = 9 grados de libertad. Asimismo, la estructura hiperestatica de la gura 8.5.1 tiene 27 { 3 = 11 grados de libertad . Para una estructura reticulada plana, el numero de grados de libertad por nudo es de tres (dos traslaciones y un giro). El numero total de grados de libertad sera por lo tanto igual a tres veces el numero de nudos menos el numero de coacciones de apoyo. Es muy importante observar que el numero de grados de libertad de una estructura es independiente de si es isostatica o hiperestatica, y en este segundo caso del numero de veces h que lo sea. Para ilustrar el metodo de rigidez considerese nuevamente la estructura de la gura 11.8. Dicha estructura tiene dos grados de libertad: el movimiento horizontal y el movimiento vertical del punto O. Se les denominara u1 y u2 respectivamente (Fig. 11.9).

Fig. 11.9 Movimientos de una estructura

Los alargamientos de cada barra valdran: p 2 uOA = u1 2

uOB = u1

p

u2

p

2 2

p

2 2 uOC = u1 + u2 2 2


181


con lo que los esfuerzos axiles de cada barra seran

uOA EA 1 EA = (u u ) LOA 2 L 1 2 EA u NOB = L 1 1 EA (u + u ) NOC = 2 L 1 2 NOA =

La energa elastica se escribira por tanto: " p p# 1 EA 2 2 2 2 2 (u1 u2 ) + u1 + (u1 + u2 ) W= 2 L 4 4 y de acuerdo con el primer teorema de Castigliano, las derivadas parciales de W con respecto a u1 y u2 daran la fuerza horizontal y vertical aplicadas en O, es decir F y " p p# cero: 2 2 @W EA = (u1 u2 ) + u1 + (u1 + u2 ) F= @u1 L 4 4 " p p# 2 2 @W EA = (u1 u2 ) + 0 + (u1 + u2 ) 0= @u2 L 4 4 y resolviendo el sistema:

2 L pF EA 2 + 2 u2 = 0

u1 =

por lo que sustituyendo en los valores de los esfuerzos 1 p F ; NOB = 2p F ; NOC = 1p F NOA = 2+ 2 2+ 2 2+ 2 Valores logicamente identicos a los obtenidos previamente.

11.4 Determinacion de movimientos. Formulas de Navier-Bresse Por lo visto hasta ahora, la determinacion de los movimientos de los distintos puntos de corte en estructuras hiperestaticas constituye la base de los metodos de compatibilidad. En el Captulo 7 se demostro el segundo teorema de Castigliano que, conjuntamente con el de la fuerza unidad, ha sido utilizado en los Captulos 8, 9 y 10 para determinar los movimientos de cualquier punto. Seguidamente se van a exponer y desarrollar las formulas de Navier-Bresse como una tercera alternativa para hallar los


182


mencionados movimientos. Como facilmente podra comprobarse, constituyen una generalizacion a piezas cualesquiera de los teoremas de Mohr de piezas rectas. Se supondra en primer lugar que la directriz de la pieza coincide con la lnea de centros de gravedad de las secciones rectas, aunque posteriormente, y para mayor generalidad, se supondra que la directriz de la pieza no coincide necesariamente con el lugar geometrico de dichos centros de gravedad.

11.4.1 Movimiento relativo entre dos puntos Supongase la pieza de la gura 11.10, en la cual quiere determinarse el movimiento relativo del punto B respecto al punto A. En la pieza actuaran por una parte unas determinadas cargas, las cuales daran lugar a las correspondientes leyes de esfuerzos. Para cada punto, la relacion entre dichos esfuerzos y las correspondientes deformaciones generalizadas viene dada por la expresion 7.96. Asimismo, cada seccion puede sufrir otras deformaciones debidas a otras causas, tales como efectos termicos, etc. A las deformaciones motivadas por dichas causas no tensionales se las designara por el superndice nt.

Fig. 11.10 Pieza en el plano

En tales condiciones, se pretende obtener: (u1 )AB : Movimiento relativo en la direccion z1 del punto B respecto al punto A (u2 )AB : Movimiento relativo en la direccion z2 del punto B respecto al punto A 'AB : Giro relativo del punto B respecto al punto A Para ello supongase una dovela cualquiera de longitud ds situada entre A y B , esto es en el punto C (Fig. 11.10). Las deformaciones generalizadas de dicha dovela debidas


183


nt a los esfuerzos vendran dadas por 7.96, existiendo ademas unas deformaciones nt 1 , y nt debidas a causas no tensionales. Las deformaciones totales vendran dadas por:

t = + nt

(11:1)

siendo t = [t1 ; t ; t ]T las deformaciones generalizadas totales en la dovela,

(11:2a)

= [1 ; ; ]T las deformaciones generalizadas debidas a los esfuerzos, y

(11:2b)

nt nt T nt = [nt (11:2c) 1 ; ; ] las deformaciones generalizadas debidas a causas no tensionales. Debido a las anteriores deformaciones, los movimientos relativos del punto B respecto al punto C valdran (Fig. 11.11) "

#

(du1 )AB (du)AB = = [t1 e1 + t e2 + t e3 (zB (du2 )AB

z)]ds

(11:3a)

d'AB = t ds

(11:3b)

y substituyendo en las anteriores expresiones los valores dados por 11.2 y 7.96 se obtiene:

Q M N + nt + nt ) e2 + ( f + nt ) e3 (zB (du)AB = ( 1 ) e1 + ( EA kGA EI Mf + nt ds d'AB = EI

z) ds

(11:4a) (11:4b)

Llamando al angulo que forma el vector unitario e1 con el eje z1 , e integrando entre A y B , las anteriores expresiones pueden escribirse Z B Q N ( + nt ) cos ds + nt ) sin ds 1 A kGA A EA Z B M ( f + nt )(z2B z2 ) ds A EI Z B Z B Q N + nt ) cos ds + ( + nt ) cos ds (u2 )AB = ( 1 A kGA A EA Z B M + ( f + nt )(z1B z1 ) ds A EI

(u1 )AB =

Z

B

(


(11:5a)

(11:5b)

184


Fig. 11.11 Movimientos de la dovela C y del punto B

'AB =

Z

B

M ( f + nt ) ds A EI

(11:5c)

Las anteriores expresiones permiten obtener los movimientos relativos del punto B respecto del punto A. Para obtener los movimientos totales del punto B es preciso realizar algunas correcciones a las expresiones anteriores, al igual que cuando se estudiaban los teoremas de Mohr. Asimismo, en 11.5a y 11.5b y prescindiendo de las deformaciones no tensionales, la primera integral representa la contribucion del esfuerzo axil al movimiento, mientras que la segunda da la contribucion del esfuerzo cortante. Tal como se ha indicado en repetidas ocasiones, en general dichas contribuciones son menores que la debida al momento ector (tercera integral). En el Captulo 9, correspondiente a vigas simples, se analizo la in uencia del esfuerzo cortante, llegandose a la conclusion de que su importancia es signi cativa unicamente en piezas cortas (relacion luz/canto peque~na). Dichas conclusiones siguen siendo validas en el caso de piezas de forma cualquiera. Por lo que respecta al esfuerzo axil, su contribucion puede ser importante en piezas alargadas y sometidas a esfuerzos axiles importantes, como por ejemplo las pilas de puente de luz elevada y altura tambien grande. Hay que tener presente, sin embargo,


185


que en tales casos pueden aparecer efectos de inestabilidad (pandeo) que sera preciso considerar. Las anteriores expresiones pueden completarse para aquellos casos que la directriz 0 no coincide con la lnea de centros de gravedad de las secciones rectas. Para tales casos, el punto de partida lo constituira la expresion 7.101. Asimismo, y al objeto de no repetir la demostracion previamente realizada, se utilizara una formulacion compacta basada en la notacion matricial. La expresion 11.1 se reescribira 0 )t = 0 + nt ( (11:6) Substituyendo 0 por su valor dado por 7.101 y 7.102 0

( 0 )t = D0 R0 + nt (11:7) El diferencial de desplazamiento entre B y A vendra dado por 0 )t ds0 (du0 )AB = [e1 ; e2 ; e3 (z0B z0 )]( (11:8) y llamando e23 = [e1 ; e2 ; e3 (z0B z0 )] e introduciendo 11.7 en 11.8 se obtiene: 0

(du0 )AB = e23 (D0 R0 + nt ) ds0

(11:9)

0

e integrando entre A y B

Z B 0 (u )AB = e23 (D0 R0 + nt ) ds0

(11:10a)

0

A

La matriz e23 es una matriz de 23. Las las corresponden a las componentes de e1 , e2 y e3 (z 0B z 0 ) segun los vectores unitarios globales i1 e i2 . Analogamente para el giro # Z B" e(s) 0 Mf0 nt 0 N + + ds0 (11:10b) 'AB = EI A EA Las expresiones 11.10 puede ponerse de forma explcita escribiendo: 0

(u0 )AB = 1

(u02 )AB =

'0AB =

Z

B

A Z B A Z B A

g1 cos ds0 g1 sin ds0 +

Z

B

A Z B A

g2 sin ds0 g2 cos ds0 +

Z

B

A Z B A

g3 (z20 B

z20 ) ds0

(11:11a)

g3 (z10 B

z10 ) ds0

(11:11b)

g3 ds0

siendo

g1 = (

(11:11c)

e2 (s) 0 e(s) 0 1 + )N + M + nt EA EI EI f 1 0


(11:12a)

186


Q0 + nt kGA e(s) 0 Mf0 N + + nt g3 = EA EI g2 =

0

0

(11:12b) (11:12c)

Las expresiones 11.11 son las equivalentes a las 11.5 para el caso en que la directriz no coincide con la lnea de centros de gravedad.

| Problema resuelto P11.1 Determinar los movimientos relativos del punto B respecto al punto A (al ser nulos los movimientos de A, los movimientos de B obtenidos seran los totales) en la estructura que se representa en la gura P11.1.1. La directriz es un cuarto de crculo de radio R.

Fig. P11.1.1

Solucion

Al no existir deformaciones, debido a causas no tensionales, las deformaciones generalizadas nt seran identicamente nulas. Por otro lado, las leyes de esfuerzos valdran N = H cos Q = H sin Mf = HR cos


187


Para determinar los movimientos del punto B, se puede partir alternativamente de las expresiones 11.3, 11.4 o bien 11.5. En este caso se partira de la primera de ellas. Los vectores base 1 y 2 se escriben: e

e

= cos 1 sin 2 = sin 1 + cos

e1

i

i2

e

i

i2

Asimismo, las deformaciones generalizadas se escriben: N = EA Q =

= kGA M = f = EI

1 =

H cos EA H sin kGA HR cos EI

Por lo cual, dado que de acuerdo con 11.3 d AB = [1 1 + 2 + 3 ( Sustituyendo (y dado que en este caso 3 3) u

e

e

e

e

zB

z

)]ds

i

H cos (cos i1 sin i2) EA H sin (sin i1 + cos i2) kGA HR cos i3 [R i1 (R sin i1 + R cos i2)]Rd EI

duAB =

Integrando y reorganizando terminos uAB

=

Z =2 0

duAB =

1 + 0; 5RH ( EA

1 + 1 + R2 ) 1 0; 7854RH ( EA kGA EI i

1

R2 )i EI 2

kGA

lo cual proporciona el desplazamiento horizontal y vertical de B . Por lo que respecta al giro, 'AB =

Z =2 0

Rd =

R2 EI

Z M=2 0

H cos d =

HR2 EI

Como puede comprobarse, los valores anteriores con los obtenidos en el problema resuelto P9.7


188


11.4.2 Movimientos totales de un punto Los movimientos totales de un punto cualquiera B pueden obtenerse a partir de 11.5 (o bien de 11.11) siempre que se conozcan los movimientos del punto A, por lo que si uA y 'A representan respectivamente los desplazamientos y giro de A, el movimiento de B se escribe: uB = uA + 'A e3 (zB zA ) + uAB (11:13a) 'B = 'A + 'AB (11:13b) expresiones que desarrolladas:

Z

B

N + nt 1 ) cos ds A EA Z B Z B M Q nt + ) sin ds ( f + nt )(z2B z2 ) ds ( kGA A EI A Z B N + nt u2B = u2A + 'A (z1B z1A ) + ( 1 ) sin ds A EA Z B Z B M Q + nt ) cos ds + ( f + nt )(z1B z1 ) ds + ( kGA A EI A Z B M 'B = 'A + ( f + nt ) ds A EI u1B = u1A 'A (z2B

z2A ) +

(

(11:14a)

(11:14b) (11:14c)

Las expresiones anteriores son conocidas con el nombre de formulas de Navier-Bresse y permiten obtener los movimientos de todos los puntos de la estructura. Pueden presentarse dos casos: a) Existe un punto en el que todos los movimientos son conocidos (en general un empotramiento). En tal caso, los movimientos totales de cualquier punto son iguales a los relativos de dicho punto respecto al punto jo, por lo que los mencionados movimientos se determinan sin problema a partir de 11.5. b) No existe ningun punto en que todos los movimientos sean conocidos. Bajo esta circunstancia, si B es el punto en el que se desean obtener los movimientos, las ecuaciones a aplicar seran las 11.14, siendo A en principio cualquier otro punto, aunque en la practica suele elegirse un apoyo acerca del cual se conocen algunos movimientos (usualmente u1A y u2A ). Los movimientos desconocidos de A que intervienen en 11.14 se determinan a partir de condiciones cinematicas de algun otro punto D (que puede coincidir con el B ). As, por ejemplo, si en la estructura de la gura 11.12, se quieren determinar los movimientos de B , las ecuaciones a aplicar seran: u1B = u1A 'A (z2B z2A ) + (u1 )AB (11:15a) u2B = u2A + 'A (z1B z1A ) + (u2 )AB (11:15b)


189


en donde (u1 )AB y (u2 )AB se determinan a partir de 11.5, y ademas u1A = u1B = 0. Sin embargo, el giro en A es desconocido. Para obtenerlo basta imponer la condicion de que el desplazamiento vertical de D es cero:

u2D = 0 = 'A (z1D

z1A ) + (u2 )AD

(11:16)

en donde nuevamente (u2 )AD se obtiene a partir de 11.5. A partir de la ecuacion anterior, es posible despejar 'A , que al ser sustituido en 11.15 proporcionara el valor del desplazamiento horizontal y vertical en B tal como se buscaba. Es decir:

z2B z2A + (u1 )AB z1D z1A z z u2B = (u2 )AD 1B 1A + (u2 )AB z1D z1A u1B = (u2 )AD

(11:17a) (11:17b)

Las formulas de Navier-Bresse proporcionan como consecuencia una alternativa muy util e intuitiva en la determinacion de movimientos.

Fig. 11.12 Estructura en la que se determina los movimientos del punto B

| Problema

resuelto P11.2 Mediante la utilizaci on de las formulas de Navier-Bresse, determinar el movimiento horizontal del punto B en el portico de la gura P11.2.1. A n de simpli car los calculos, se considera unicamente la deformacion debida al momento

ector. Todas las barras tienen igual producto EI .

Solucion

De acuerdo con los sentidos marcados en la gura P11.2.2, las leyes de momentos ectores valdran Mf jCB =

pa

2 (a

s)


190


Fig. P11.2.1 Estructura isostatica

Fig. P11.2.2 Reacciones y ejes

Mf jAC =

pa2

2

p

2 (a

s)2

a) Movimientos relativos del punto B respecto a A. De acuerdo con las expresiones 11.5: Z C Z B Mf f (a (u1 )AB = EI (a a)ds + M EI C

A

s)ds =


pa4 8EI

191


(u2 )AB =

Z B C

Mf (a s)ds + EI

Z C A

Mf pa4 ads = EI 2EI

b) Giro del punto A Dado que el movimiento vertical del punto B debe ser nulo, u2B = 0 = u2A + 'A a + (u2 )AB de donde, dado que u2A = 0, despejando 'A : 'A =

por lo cual, y dado que sustituyendo

pa3 2EI

u1B = u1A 'A a + (u1 )AB u1B =

4 3 3 pa4 ( 2paEI )a 8paEI = 8EI

expresion que proporciona el valor del desplazamiento horizontal del punto B . 11.5 El metodo de compatibilidad 11.5.1 Planteamiento Considerese una estructura h veces hiperestatica, tal como la representada en la gura 11.13. Se trata en dicha estructura de determinar las reacciones en los apoyos, as como las leyes de esfuerzos en todas las barras. Para ello, el primer paso es convertir la estructura isostatica, dandole el numero su ciente de cortes y colocando en los mismos unos esfuerzos o reacciones incognita. A la nueva estructura as obtenida con todas las cargas que en ella actuan (externas e hiperestaticas) se la denomina isostatica base. En funcion de las cargas y de las incognitas hiperestaticas, es posible determinar (utilizando cualquiera de los metodos estudiados: Navier-Bresse, Castigliano y fuerza unidad) el movimiento relativo entre ambos labios del corte para los cortes tipo 2 (Fig. 11.13) o los absolutos para los cortes tipo 1 correspondientes a los apoyos. De la anulacion de cada uno de los anteriores movimientos se obtiene una ecuacion. En total se podran formular tantas ecuaciones como incognitas hiperestaticas aparecen en la solucion del problema.


192


Fig. 11.13 Isostatica base de una estructura hiperestatica

Una serie de ejemplos ilustraran el metodo de compatibilidad. En todos ellos y a efectos de simplicidad, se considerara en las barras que trabajan a exion unicamente la energa de deformacion correspondiente al momento ector.

| Problema

resuelto P11.3 Determinar, utilizando las f ormulas de Navier-Bresse, las leyes de esfuerzos en la estructura hiperestatica representada en la gura P11.3.1.

Solucion

Se tomara como incognita hiperestatica la reaccion horizontal del punto B . Interesa por lo tanto hallar el movimiento horizontal de este punto para igualarlo a cero (Fig. P11.3.2). De acuerdo con 11.14 y 11.5: u1B =

5; 5'A

Z B A

Mf (5; 5 z2)ds EI

(a)

y para determinar 'A sera preciso imponer la condicion de que el desplazamiento vertical


193


Fig. P11.3.1 Estructura correspondiente al problema resuelto P11.3

Fig. P11.3.2 Incognita hiperestatica HB para el problema resuelto P11.3

del punto B sea nulo, es decir u2B = 0 = 6; 5'A +

Z B A

Mf (6; 5 z1)ds EI


(b )

194


Las leyes de momentos ectores seran Mf jCB = VB (4; 5 s cos ) + HB (1; 5 s sin )

16(4; 5

Mf jAC = VB (6; 5 s cos ) + HB (5; 5 s sin )

16 4; 5( 42; 5 + 2

16(4

s sin )2

1 2

s cos )2

1 2

(c1) s cos )

(c2)

siendo por equilibrio global VB = 0; 8462HB + 66; 77. Introduciendo las anteriores expresiones en b se obtiene: 0 = 6; 5'A + 1 ( 78723; 6 + 1688VB + 997; 6HB ) es decir:

EI

EI'A =

5228; 33 + 66; 28HB

(d)

y substituyendo en la expresion a u1B = 0 =

5; 5 (5228; 33 66; 28HB ) + (50241; 2 997; 6VB 643; 2HB ) 1 EI EI

es decir, resolviendo en HB HB = 75; 73 kN

y por lo tanto, VB = 2; 69 kN Conocidos los anteriores valores, es posible determinar las leyes de esfuerzos, las otras reacciones as como las leyes de momentos ectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos axiles. En base al equilibrio global de la estructura se puede escribir: - Reaccion horizontal en A: HA = 11; 73 kN (fuerza dirigida hacia la derecha). - Reaccion vertical en A: VA = 69; 31 kN (fuerza dirigida hacia arriba) Sustituyendo en c1 y c2 los valores de HB y VB obtenidos previamente se obtienen las leyes de momentos ectores en toda la estructura. Asimismo, puede determinarse la expresion analitica de las leyes de esfuerzos cortantes y esfuerzos axiles. En la gura P11.3.3 se hallan representadas las leyes de esfuerzos as como las reacciones.


195


Fig. P11.3.3 Reacciones y leyes de esfuerzos para el problema resuelto P11.3.a Reacciones, b) Leyes de esfuerzos cortantes, c) Ley de esfuerzos axiles, d) Ley de momentos ectores.

| Problema resuelto P11.4 Utilizando el teorema de Castigliano, determinar las leyes de esfuerzos del portico de la gura P11.4.1.

Solucion

La estructura es una vez hiperestatica. Lo mas directo en este caso sera tomar como incognita hiperestatica bien el momento reaccion en C , bien la reaccion vertical en A. Sin embargo, y a n de ilustrar un camino diferente, se tomara como incognita hiperestatica el momento ector en B , MfB (Fig. P11.4.2).


196


Fig. P11.4.1 Portico del problema resuelto P11.4

Fig. P11.4.2 Incognita hiperestatica MfB para el problema resuelto P11.4

En funcion de MfB la reaccion VA vale VA =

MfB

6 + 30

Las leyes de momentos ectores valdran: (6 s)2 = ( MfB + 30)(6 Mf jBA = VA (6 s) p 2 6


(a) s)

10(6

2

s)2

(b1)

197


Mf jCB =6VA p

62 = ( MfB + 30) 6 180 2 6

(b2)

y las derivadas respecto a MfB

f jB = 6 6 s ; @M = MfB @MfB El giro relativo entre ambos labios del corte dado en B debe ser nulo, por lo que

@Mf jBA @MfB

0=

Z 6 0

C

Mf jBA

@Mf jBA ds @MfB 2EI

+

Z 5 0

Mf jCB

@Mf jCB ds @MfB EI

(c) (d)

Introduciendo en d las expresiones b y c se obtiene el valor del momento ector en B : MfB = 7; 5kN m. Conocido el valor de la incognita hiperestatica, se dibujan las reacciones y leyes de esfuerzos (Fig. P11.4.3).

Fig. P11.4.3 Reacciones y leyes de esfuerzos para el problema resuelto P11.4.a Reacciones, b) leyes de esfuerzos cortantes, c) ley de esfuerzos axiles, d) ley de momentos ectores.


198


| Problema

resuelto P11.5 Aplicando las f ormulas de Navier-Bresse y teniendo en cuenta la simetra de la estructura, determinar las leyes de esfuerzos en el portico representado en la gura P11.5.1.

Fig. P11.5.1 Estructura correspondiente al problema resuelto P11.5 Solucion

La estructura propuesta es tres veces hiperestatica, aunque debido a la simetra dicho grado de hiperestatismo se reduce a dos, al ser las reacciones verticales conocidas: VC = VC0 = 13 5 = 65 kN . Se tomaran como incognitas hiperestaticas la reaccion horizontal y el momento en C . Al mismo tiempo, el punto A no gira debido a la simetra, por lo que puede considerarse unicamente la mitad de la estructura, tal como indica la gura P11.5.2. Notese que en la estructura original el punto A puede desplazarse verticalmente, aunque no el C . Por lo tanto, en la estructura modi cada el desplazamiento vertical de C sera igual y de sentido contrario al desplazamiento vertical de A en la estructura real. Las leyes de momentos ectores valdran: Mf jBC = MC HC (3 s) (a:1) 2 (5 s cos ) (a:2) Mf jBA = MC HC (5 s sin ) + 65(5 s cos ) 40(2 s sin ) 13 2 Las condiciones cinematicas a imponer seran de giro nulo en C y desplazamiento horizontal de C tambien nulo. Al ser 'A = 0, las expresiones 11.14a y 11.14c se escriben: Z 3

u1C =0 = 'C =0 =

0

Z 3 0

Mf jCB [0

j

Mf CB

ds EI

(3 +

s)]

Z 5;3852 0

ds EI

Mf jBA

Z 5;3852 0

Mf jBA [0

ds EI


(5

s sin )]

ds EI

(b) (c)

199


Fig. P11.5.2 Incognitas hiperestaticas correspondientes al problema resuelto P11.5.2

Introduciendo las expresiones a en b y c queda un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas en MC y HC . Resolviendo dicho sistema: MC = 33; 9 kN m ; HC = 25; 1 kN En la gura P11.5.3 pueden verse representadas las reacciones y las leyes de esfuerzos. | Problema resuelto P11.6 Determinar las leyes de momentos ectores en el anillo de radio R de la gura P11.6.1. Solucion

La estructura tiene tres ejes de simetra: OC , OA y OB . Por lo tanto, los giros y los esfuerzos cortantes son conocidos en los puntos de corte de dichos ejes con el anillo (Fig. P11.6.2a). Es decir, 'A = 'A0 = 'B = 'B0 = 'C = 'C0 = 0 QA = QB = QC = F=2 QA0 = QB0 = QC0 = 0 La estructura puede por tanto separarse en tres partes, tal como indica la gura P11.6.2b, en donde N puede determinarse por equilibrio y M es la incognita hiperestatica. N

= 2sinF 60 = 0; 5774F


(a)

200


Fig. P11.5.3 Leyes de esfuerzos y reacciones de la estructura del problema resuelto P11.5

El momento M se determinara imponiendo la condicion de que el giro en el punto C 0 sea nulo (Fig. P11.6.2c). Las leyes de momentos ectores y su derivada respecto a M valdran Mf = M NR[1 cos(60 )] (b) @Mf =1 @M por lo que 'C0 = 0 =

1

EI

Z =3 0

Mf Rd =

1

EI

Z =3 0

fM 0; 5774F R[1 cos(60 )]gRd = 0 (c)

de donde integrando y despejando M = 0; 09989F R.


201


Fig. P11.6.1 Anillo correspondiente al problema resuelto P11.6.

Fig. P11.6.2 a) Ejes de simetra, b) separacion de un tercio de la estructura, c) esquema de calculo.

Una vez conocido el valor del momento M , a partir de b la expresion de la ley de momentos

ectores vale Mf = F R[ 0; 4775 + 0; 5774cos(60 )]


202


11.5.2 Estructuras antifuniculares Se dice que una estructura es antifunicular de unas determinadas cargas si, debido a ellas, la lnea de presiones en todos los puntos de la estructura coincide con el centro de gravedad de la seccion recta y ademas el esfuerzo es de compresion. La idea de que una determinada estructura (en general un arco) sea antifunicular es muy atractiva para el dise~nador o el proyectista, ya que permite optimizar el material de la misma. Al mismo tiempo, en la historia de la construccion el concepto de arco va unido de forma natural a una estructura antifunicular mas o menos perfecta1 lo que ha permitido tradicionalmente, y hasta la aparicion del hormigon armado y pretensado, salvar luces no solo moderadas sino incluso tambien grandes. Intuitivamente, se puede llegar al concepto de la estructura antifunicular a traves del siguiente proceso: supongase un hilo totalmente exible y en el que por tanto los unicos esfuerzos que actuan en el mismo son esfuerzos axiles (en lo sucesivo no se tomara en consideracion su deformacion por axil). Dicho hilo tiene una longitud L y esta jo en dos puntos A y B (Fig. 11.14). Sobre el actuan una serie de cargas p (entre ellas quizas el peso propio) variables punto a punto. Bajo las anteriores cargas el hilo tomara una determinada forma z2 = g(z1 ), denominada curva funicular de las cargas dadas. Los esfuerzos en el hilo seran unicamente axiles y de traccion. Si idealmente se rigidiza el hilo convirtiendolo por tanto en una estructura rgida y se invierte el signo de las cargas externas, la pieza sigue unicamente con esfuerzos axiles, pero ahora de compresion. En este caso se esta hablando de estructura antifunicular de las cargas dadas.

Fig. 11.14 Hilo funicular de unas cargas dadas.

Una de las curvas funiculares mas conocidas es la catenaria. Su expresion analtica y su obtencion puede consultarse en los textos de mecanica elemental. Dicha catenaria es la forma que toma un hilo de longitud L situado entre dos puntos A y B y sometido a su propio peso. Otra curva funicular muy conocida es el anillo exible sometido a presion interior. Unicamente existen esfuerzos axiles de traccion de valor (Fig. 11.15)

T = pR 1 J. Heymann. P ublicas.

Teor a, historia y restauraci on de estructuras de f abrica.


Ministerio de Obras

203


Fig. 11.15 Anillo sometido a presion interior

siendo p la presion interior. Una estructura antifunicular de cierto interes consiste en el arco parabolico sometido a una carga repartida, vertical descendente, constante por unidad de proyeccion horizontal p (Fig. 11.16). Debe notarse que si el arco no es muy peraltado, dentro de p puede incluirse de forma aproximada el peso propio del arco (carga por unidad de longitud). La ecuacion de dicho arco es z (11:18) z2 = f [1 ( 1 )2 ] a Puesto que es simetrico y con carga simetrica, como esquema de calculo puede tomarse el representado en la gura 11.16b. El valor de la incognita hiperestatica H se obtendra como consecuencia de anular el desplazamiento horizontal del punto A. La ley de momentos ectores se escribe, (a z1 ) 2 (11:19) Mf = pa(a z1 ) Hz2 p 2 Por lo que de acuerdo con el segundo teorema de Castigliano, o bien, mediante las formulas de Navier-Bresse:

u1A =

Z 0

a

Mf z2

(a z1 )2 dz1 dz1 Z a = [pa(a z1 ) Hz2 p ]z2 =0 EI0 2 EI0 0

(11:20)

en donde se ha aproximado ds por dz1 . A partir de la expresion anterior se obtiene pa2 (11:21) H= 2f Si este valor de H se introduce en 11.19, se obtiene un valor nulo del momento

ector para todos los puntos del arco. Es decir, el arco bajo las cargas consideradas es antifunicular. Notese que el arco no pierde su caracter antifunicular si se empotra en A y/o A0 e


204


Fig. 11.16 Arco parabolico

incluso si se introduce alguna rotula en el interior del mismo. Por el contrario, pierde dicho caracter si se producen movimientos de apoyo que afecten al valor de H (es decir, movimientos horizontales).

11.5.3 Algunas simpli caciones Tradicionalmente, dentro del calculo de estructuras se ha venido distinguiendo entre estructuras traslacionales e intraslacionales. Tal distincion tiene unicamente sentido cuando se esta hablando de estructuras en las cuales se desprecia la in uencia del esfuerzo axil en la deformacion, puesto que en caso contrario la practica totalidad de las estructuras son traslacionales. Modernamente, el uso de ordenadores electronicos ha rebajado la importancia de tal diferenciacion y, por ende, de los metodos de analisis que de una u otra forma la contemplaban. Sin embargo, por su valor conceptual puede ser util su conocimiento. Se dice que una estructura es intraslacional cuando (despreciando la contribucion a la deformacion producida por el axil) ninguno de sus nudos sufre traslacion alguna. En caso contrario la estructura sera traslacional. En este ultimo caso cabe hablar de grado de traslacionalidad. Puede de nirse como el n umero de apoyos simples que hay que colocar en la estructura para convertir a la estructura en intraslacional. Otra de nicion equivalente a la anterior es a rmar que el grado de traslacionalidad es el numero de


205


desplazamientos independientes que tiene la estructura. En la gura 11.17 pueden verse varios ejemplos.

Fig. 11.17 a) Estructura intraslacional, b) estructura dos veces traslacional, c) estructura cuatro veces traslacional, d) estructura dos veces traslacional.

Para el caso en que la estructura sea intraslacional, esta se puede, a efectos de calculo, descomponer en vigas simples, al igual que se hizo con las vigas continuas. A traves de la igualdad de giros se obtendran los esfuerzos de extremo de barra. Un ejemplo aclarara lo anterior.

| Problema resuelto P11.7 Descomponer en vigas simples la estructura representada en

la gura P11.7.1 y determinar las leyes de esfuerzos, as como las reacciones. Todas las barras tienen la misma inercia. Solucion

La estructura propuesta es intraslacional. En la gura P11.7.2 puede verse descompuesta en vigas simples la estructura anterior. Las incognitas a determinar son los momentos de extremo de barra.


206


Fig. P11.7.1 Estructura intraslacional.

Fig. P11.7.2 Descomposicion en vigas simples de la estructura del problema resuelto P11.7.

Los momentos se obtendran de la igualdad de giros: 'A =

MAB 2a 4EI

p(2a)3 48EI


207


M a 'A = AD 3EI M a 'A = AC 3EI

pa2 2

a

6EI

Igualando los anteriores giros juntamente con la condicion MAB + MAC + MAD = 0 se obtiene MAB =0; 1875 pa2 MAC =

0; 2187 pa2

MAD =0; 0313 pa2

En la gura P11.7.3 pueden verse representadas las leyes de esfuerzos.

Fig. P11.7.3 Leyes de esfuerzos: a) momentos ectores, b) esfuerzos cortantes, c) esfuerzos axiles.


208


11.6 El metodo de rigidez El metodo de rigidez plantea la solucion del problema elastico desde un punto de vista diferente, tomando como incognitas los movimientos de los nudos, por lo que conduce a un sistema de ecuaciones igual al numero de nudos multiplicado por el numero de grados de libertad por nudo.

11.6.1 Planteamiento del metodo de rigidez El punto de partida del metodo de rigidez lo constituyen las ecuaciones elasticas desarrolladas en el Captulo 9. All se obtuvieron diferentes expresiones, dependiendo de cual fuera la bra tomada como directriz, as como si se incluye o no la deformacion por cortante. En funcion de todo ello, resulta valida una de las expresiones 9.108, 9.113, 9.174 o 9.179. En cualquier caso, las ecuaciones elasticas, en coordenadas globales, se escriben para una barra cualquiera:

FgA = KgAA uA + KgAB uB + Fb gA FgB = KgBA uA + KgBB uB + Fb gB

(11:22a) (11:22b)

Considerese la estructura de la gura 11.18. Como se observa, dicha estructura es la misma que la de la gura 8.9, pero ahora con nudos rgidos. Las cargas que en ella actuan estan como caso mas general aplicadas en las barras y en los nudos. Se escriben las ecuaciones elasticas 11.22 para cada una de las barras, pero sustituyendo los movimientos de extremo de barra uA y uB por las correspondientes a la numeracion global de los nudos de la estructura. En una barra cualquiera de nudos i, j (numeracion global) se considerara extremo A al nudo de menor numeracion y extremo B al de numeracion mas elevada. As por ejemplo, la barra 4 une los nudos 2 y 3. Para dicha barra, el nudo 2 sera el A y el 3 el B . Barra 1: Barra2: Barra 3: Barra 4:

(FgA )1 = (KgAA )1 u1 + (KgAB )1 u2 + (Fb gA )1 (FgB )1 = (KgBA )1 u1 + (KgBB )1 u2 + (Fb gB )1

(11:23a) (11:23b)


(11:24a) (11:24b)


(11:25a) (11:25b)


(11:26a) (11:26b)


209


Fig. 11.18 a) Estructura de nudos rgidos. b) Estructura de nudos rgidos en la cual se han sustituido los apoyos por las correspondientes reacciones.

Barra 5:

(FgA )5 = (KgAA )5 u1 + (KgAB )5 u4 + (Fb gA )5 (FgB )5 = (KgBA )5 u1 + (KgBB )5 u4 + (Fb gB )5 Por otro lado, por equilibrio de cada uno de los nudos

Fp1 = (FgA )1 + (FgA )2 + (FgA )5 Fp2 = (FgB )1 + (FgA )4 Fp3 = (FgB )2 + (FgA )3 + (FgB )4 Fp4 = (FgB )3 + (FgB )5

(11:27a) (11:27b) (11:28a) (11:28b) (11:28c) (11:28d)

siendo Fpi el vector de fuerzas externas (fuerzas y momentos) aplicados al nudo i. Introduciendo las ecuaciones 11.23 a 11.27 en las 11.28 y llamando

Fb 1 = (Fb gA )1 + (Fb gA )2 + (Fb gA )5 Fb 2 = (Fb gB )1 + (Fb gA )4 Fb 3 = (Fb gB )2 + (Fb gA )3 + (Fb gB )5 Fb 4 = (Fb gB )3 + (Fb gB )5


(11:29a) (11:29b) (11:29c) (11:29d)

210


a la suma de las fuerzas y momentos de empotramiento perfecto de todas las barras que concurren en los correspondientes nudos, se puede escribir nalmente 2 (Kg )1 + (Kg )2 AA 2 F1 3 6 AA +(KgAA )5 6 6 6 7 6 7 6 6 F (KgBA )1 6 27 6 6 7 =6 6 7 6 F 75 666 0 6 4 37 6 6 4

F4

KgAB )1

0

0

KgBB )1 + (KgAA )4 (KgBA )4

KgAB )4 (KgBB )2 + (KgAA )3 +(KgBB )4 (KgBA )3

0 (KgAB )3

( (

0

0

(

KgBB )3 + (KgBB )5

(

3 77 2 u1 3 77 6 7 77 66 u2 77 77 66 77 77 66 u3 77 77 4 5 5

u4

(11:30) siendo

F1 = Fp1 F2 = Fp2 F3 = Fp3 F4 = Fp4

Fb 1 Fb 2 Fb 3 Fb 4

o bien, escrito en forma compacta

(11:31a) (11:31b) (11:31c) (11:31d)

F = Ku (11:32) El sistema anterior constituye el sistema de ecuaciones buscado. Resuelto dicho sistema y obtenidos los movimientos u, los esfuerzos de extremo de barra se obtienen a partir de las ecuaciones elasticas 11.22. Por lo que respecta a la simetra de la matriz K y a su estructura en banda, recuerdese lo se~nalado en el apartado 8.3.2. Es interesante sin embargo se~nalar el signi cado fsico de un termino cualquiera kij de la matriz de rigidez K. Para ello, supongase que en la estructura de la gura 11.18 se impiden todos los movimientos de todos los grados de libertad, a excepcion del grado de libertad j , al que se le da el valor 1. Logicamente, tales impedimentos se consiguen colocando unas fuerzas Fi en los correspondientes grados de libertad. El sistema de ecuaciones 11.30 se escribira 3 2 32 2 3 0 k11 k12 ::: k1i ::: k1j ::: k1n F1 7 6 76 6 7 6k 6F 7 k22 ::: k2i ::: k2j ::: k2n 77 66 0 77 6 21 6 27 7 6 76 6 7 6 ::: 6 ::: 7 ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: 77 66 ::: 77 6 6 7 7 6 76 6 7 7 6 76 6 7 0 k ::: k ::: k ::: k 6 6 ki1 7 6 Fi 7 i2 ii ij in 7 6 7 7 6 7=6 (11:33) 7 6 76 6 7 6 ::: 7 6 ::: 7 6 ::: 7 ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: 7 6 76 6 7 7 6 76 6 7 6 kj 1 6 Fj 7 kj2 ::: kji ::: kjj ::: kjn 77 66 1 77 6 6 7 7 6 76 6 7 6 ::: 6 ::: 7 ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: 75 64 ::: 75 4 4 5 0 kn1 kn2 ::: kni ::: knj ::: knn Fn por lo que, realizando los productos, se obtiene para una la cualquiera ( la i): Fi = kij .


211


Es decir, que el termino kij de la matriz de rigidez puede ser visto como el valor de la fuerza (o momento) que aparece en el grado de libertad i cuando el grado de libertad j (y solo el) sufre un desplazamiento unidad. Asimismo, a partir de la expresion 11.30 es posible dar una regla general para la formacion de la matriz de rigidez de una estructura: El elemento (i; i) de la diagonal principal esta formado por la suma de las matrices KgAA o KgBB de todas las barras que concurren al nudo i. Se colocara KgAA si dicho nudo es el de menor numeraci on de la barra correspondiente y KgBB en caso contrario. En el elemento (i; j ), siendo i < j , si existe una barra que una los nudos i y j se colocara KgAB correspondiente a dicha barra, y cero en caso contrario. Al igual que en los problemas resueltos P8.6 y P8.7, es posible obtener la matriz K a partir del teorema de los trabajos virtuales o de la minimizacion de la energa potencial total

| Problema resuelto P11.8 Formar la matriz de rigidez, as como el vector de fuerzas

del portico representado en la gura P11.8.1. La seccion de las dos barras es rectangular de 40 cm de ancho por 60 cm de canto. El modulo de elasticidad vale E=30 GPa.

Fig. P.11.8.1 Portico correspondiente al problema resuelto P11.8

Solucion

En la gura P11.8.1 pueden verse los ejes locales y globales adoptados para la estructura. Para la barra 1, las matrices de rigidez en coordenadas locales se escriben 2 921; 866 0 0 3 6 7 3 0 5; 441 21; 246 75 AA = 10 6 4 0 21; 246 110; 624 K


212


921; 866 0 0

2 KAB

=

T

KBA

6

=103 64

0 0 3 7 5; 441 21; 246 75 21; 246 55; 312

921; 866 0 0 3 6 7 3 0 5; 441 21; 246 75 BB =10 6 4 0 21; 246 110; 624 La matriz de cambio de base se escribe 2 0; 64 0; 768 0 3 6 7 = 64 0; 768 0; 64 0 75 0 0 1 por lo que las matrices de rigidez de la barra 1 en coordenadas globales seran: 2 381; 025 450; 701 16; 322 3 6 7 ( gAA )1 =103 64 450; 701 546; 282 13; 601 75 16; 322 13; 601 110; 624 2

K

T

T

K

2

(

g

KAB

)1 = (

6

) =103 64

g T 1

KAB

381; 025 450; 701 16; 322

450; 701 16; 322 3 7 546; 282 13; 601 75 13; 601 55; 312

381; 025 450; 701 16; 322 3 6 7 ( gBB )1 =103 64 450; 701 546; 282 13; 601 75 16; 322 13; 601 110; 624 Para la barra 2 las matrices de rigidez en coordenadas locales seran logicamente las mismas, mientras que la matriz de cambio de base se escribira 2 0; 64 0; 768 0 3 6 7 = 64 0; 768 0; 64 0 75 0 0 1 por lo que las matrices de rigidez en coordenadas globales se escriben 2 381; 025 450; 701 16; 322 3 6 7 ( gAA )2 = 103 64 450; 701 546; 282 13; 601 75 16; 322 13; 601 110; 624 2

K

T

T

K


213


381; 025 450; 701 16; 322 3 6 7 ( gAB )2 = ( gBA T )2 =103 64 450; 701 546; 282 13; 601 75 16; 322 13; 601 55; 312 3 2 381; 025 450; 701 16; 322 6 7 g 2 36 ( BB ) =10 4 450; 701 546; 282 13; 601 75 16; 322 13; 601 110; 624 En cuanto al vector de fuerzas (fuerzas y momentos de empotramiento perfecto), para cada una de las barras sera nulo, para la barra 1, al no actuar cargas en dicha barra, y para la barra 2 valdra en coordenadas locales 2 2 57; 62 3 57; 62 3 6 7 6 7 b A = 6 48; 01 7 b B = 6 48; 01 7 4 5 4 5 62; 5 62; 5 y en coordenadas globales 2 2 0 3 0 3 6 7 6 7 ( b gA )2 = 64 75 75 ( b gB )2 = 64 75 75 62; 5 62; 5 La matriz de rigidez se escribira 2 3 ( gAA )1 ( gAB )1 6 7 g )2 ( g )2 7 = 64 ( gBA )1 ( gBB )1 + (KAA AB 5 ( gBA )2 ( gBB )2 y sustituyendo por los valores obtenidos anteriormente 2

K

K

K

F

F

F

F

K

K

K

K

K

0

2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 3 K = 10 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

381; 025

450; 701

450; 701

546; 282

16; 322

0

16; 322

K

K

K

381; 025

450; 701

13; 601

450; 701

546; 282

13; 601

110; 624

16; 322

13; 601

381; 025

450; 701

16; 322

762; 049

0

32; 643

450; 701

546; 282

0

1092; 56

0

16; 322

13; 601

55; 312

32; 643

0

0

0

0

0

0

0

450; 701

546; 282

0

0

0

16; 322

13; 601

13; 601

381; 025

16; 322

0

0

13; 601

0

0

55; 312

0

0

381; 025

450; 701

450; 701

546; 282

221; 248

16; 322

13; 601

16; 322

381; 025

450; 701

450; 701

13; 601 55; 312


450; 701

546; 282

16; 322

13; 601

3 77 0 77 77 0 77 77 16; 322 7 77 7 13; 601 7 77 7 55; 312 7 77 16; 322 7 77 7 13; 601 7 75 0

110; 624

214


El vector de fuerzas externas ensambladas valdra: 2 p ( b gA )1 3 1 6 7 = 64 p2 [( b gB )1 + ( b gA )2 ] 75 p ( b gB )2 3 Es importante se~nalar que p1 no es conocido puesto que es el vector de reacciones del punto 1. El vector p2 es el vector de fuerzas y momentos externos aplicados al nudo 2 y por tanto nulo en este caso. Por lo que respecta a p3 , sus dos primeras componentes son la reaccion horizontal y vertical del nudo 3 y por lo tanto desconocidas. Su tercera componente es el valor del momento puntual externo aplicado en 3 (nulo en este caso). Por lo tanto, las fuerzas anteriores se escribiran 2 (R1 )1 3 6 6 (R2 )1 777 6 F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

M1

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

0 = 75 62; 5 (R1 )3 (R2 )3 75 62; 5 Notese que para solucionar la estructura planteada se dispone de un sistema de nueve ecuaciones con nueve incognitas: cuatro movimientos y cinco reacciones. F

11.6.2 Condiciones de vinculacion La matriz de rigidez K obtenida en el apartado anterior constituye el elemento clave del metodo de rigidez. De la resolucion del sistema 11.32 se obtienen los desplazamientos y reacciones buscados. Es importante advertir, sin embargo, que tal como se ha puesto de mani esto en el problema resuelto P11.8, no todos los desplazamientos son incognita ni todas las fuerzas externas son conocidas. En los apoyos algunos movimientos son dados (bien son nulos, bien son conocidos como asientos de apoyo) y algunas fuerzas en los nudos son desconocidas (reacciones). Este hecho debe tenerse presente en la resolucion del sistema 11.32. Para el caso en que todos los apoyos sean jos, el sistema 11.32 puede resolverse en dos pasos: en el primero se eliminan las las y columnas correspondientes a los grados de libertad jados, con lo cual queda un sistema de tantas ecuaciones e incognitas como grados de libertad no coartados. En dicho sistema se determinan los desplazamientos. Conocidos ya todos los movimientos, en el segundo paso y a partir de las las eliminadas se obtienen las reacciones.


215


Puede darse el caso de que algun apoyo sea elastico. Concretamente, si la reaccion correspondiente al grado de libertad j es proporcional al movimiento del grado de libertad j se tendra: Rj = kuj (11:34) por lo que, yendo al sistema de ecuaciones 2

F1p Fb1

3

2

k11 6 7 6 6 p 6 F2 Fb2 777 66 k21 6 6 6 7 6 ::: 77 66 ::: 6 6 7=6 6k b 7 6 Rj F 6 j1 j 6 7 6 6 7 6 ::: 75 64 ::: 4 kn1 Fnp Fbn

k12 k22 ::: kj2 ::: kn2

::: ::: ::: ::: ::: :::

k1j k2j ::: kjj ::: knj

::: ::: ::: ::: ::: :::

2

3

k1n 3 6 u1 7 76 7 k2n 77 66 u2 77 76 7 ::: 77 66 ::: 77 76 7 kjn 77 66 uj 77 76 7 ::: 75 66 ::: 77 4 5 knn un

(11:35)

Sustituyendo 11.34 en 11.35 y pasando kuj al segundo miembro: 2

F1p Fb1

3

2

k11 k12 ::: k1j ::: k1n 3 2 u1 3 6 7 6 76 7 6 p b 7 6 k21 k22 ::: k2j ::: k2n 77 66 u2 77 6 F2 F 27 6 6 7 6 76 7 6 7 6 ::: 7 6 ::: 7 ::: ::: ::: ::: ::: 6 7 ::: 6 7 6 7 6 7=6 (11:36) 76 7 6 7 6 7 6 6 Fbj 77 66 kj1 kj2 ::: kjj + k ::: kjn 77 66 uj 777 6 6 7 6 ::: ::: ::: 75 64 ::: 75 ::: 75 64 ::: ::: ::: 4 kn1 kn2 ::: knj ::: knn un Fnp Fbn Es decir, la matriz de rigidez se modi ca en el sentido de a~nadir el valor de la constante k del apoyo al correspondiente elemento kjj de la diagonal principal.

| Problema resuelto P11.9 Determinar las reacciones, desplazamientos y leyes de esfuerzos de la estructura correspondientes al problema resuelto P11.8. Solucion

Dado que los movimientos en los grados de libertad coaccionados son nulos, el sistema puede resolverse considerando en primer lugar los grados de libertad activos (es decir, aquellos no coaccionados). Para ello se eliminan las las y columnas numeros 1, 2, 3, 7 y 8, quedando 2 762; 049 0 32; 643 16; 322 3 2 u4 3 2 0 3 6 6 0 1092; 56 0 13; 601 777 666 u5 777 666 75 777 36 10 66 7=6 7 76 0 221; 248 55; 312 75 64 u6 75 64 62; 5 75 4 32; 643 62; 5 16; 322 13; 601 55; 312 110; 624 u9


216


Resolviendo el anterior sistema u4 = 0; 0034 10 3 m ; u5 = 0; 0788 10 3m u6 = 0; 4878 10 3 rdn ; u9 = 0; 8182 10 3rdn Las reacciones se obtienen a partir de las las eliminadas ( las 1, 2, 3, 7 y 8) del sistema de ecuaciones global. As para la reaccion horizontal en el apoyo 1: (R1 )1 = ( 381; 025u4 450; 701u5 16; 322u6) 103 = 42; 18 kN y para las demas reacciones (R2 )1 =( 450; 701u4 546; 282u5 + 13; 601u6) 103 = 34; 9 kN M1 =(16; 322u4 13; 601u5 + 55; 312u6 ) 103 = 25; 8 kNm (R1 )3 =( 381; 025u4 + 450; 701u5 16; 322u6 16; 322u9) 103 = 42; 18 kN (R2 )3 =(450; 701u4 546; 282u5 13; 601u6 13; 601u9) 103 + 75 = 115; 1 kN Los esfuerzos de extremo de barra se obtienen a partir de las ecuaciones elasticas. As para el extremo A (nudo 1) de la barra 1 ( gA )1 = ( gAA )1 1 + ( gAB )1 2 + ( b gA )1 = 2 381; 025 450; 701 16; 322 3 2 u 3 2 42; 18 3 4 6 7 6 7 = 103 64 450; 701 546; 282 13; 601 75 4 u5 5 = 64 34; 9 75 16; 322 13; 601 55; 312 u6 25; 8 valores que pasados a coordenadas locales (ver Fig. P11.9.1), permiten obtener las fuerzas y momentos de extremo de barra [58; 8 kN ; 10; 1 kN ; 25; 8 kNm]T Asimismo en la gura P11.9.1 pueden verse los restantes esfuerzos de extremo de barra. En la gura P11.9.2 se dibujan las reacciones, as como las leyes de esfuerzos axiles, cortantes y ectores. F

K

u

K

u

F

11.6.3 Nudos de tama~no nito Aunque en muchos casos se puede prescindir del tama~no de los nudos de la estructura, existen otros casos en que el orden de dicho tama~no puede afectar a los resultados del analisis estructural. Tal sera el caso, por ejemplo, de varias barras que concurren en un nudo y sus directrices no se cortan en un punto. Conviene, por tanto, disponer de una formulacion que permita considerar las dimensiones del nudo y tenerla en cuenta en el calculo. En la exposicion que sigue se modi caran las matrices de rigidez para tener en cuenta este hecho, si bien se supondra que el nudo es rgido.


217


Fig. P11.9.1 Esfuerzos de extremo de barra.

Fig. P11.9.2 Reacciones y leyes de esfuerzos: a) Reacciones, b) Ley de axiles, c) Ley de cortantes, d) Ley de momentos ectores.


218


Fig. 11.19 Estructura con nudos de tama~no nito

Supongase la estructura de la gura 11.19. En ella se han dibujado las directrices de las distintas piezas. Asimismo, las directrices de todas las barras que concurren en un nudo pueden cortarse en un punto o no (aunque con lo estudiado hasta ahora se disponen de herramientas para que as sea, por ejemplo no haciendo coincidir en todas o en algunas barras la directriz con la lnea de centros de gravedad). En el nudo 2 concurren las barras 1-2, 2-3 y 2-5 y las directrices de las mismas no se cortan en un unico punto. Como punto representativo del nodo se puede, en principio, tomar uno cualquiera. Supongase, por ejemplo, que para el mencionado nudo 2 se toma como punto representativo el a4 . Respecto a dicho punto se de niran los movimientos del nudo 2, as como los esfuerzos de extremo de barra que en dicho nudo concurren. En la gura 11.20a se representa una viga en cuyos extremos existen nudos rgidos de tama~no nito. Sean A y B los extremos de la pieza, y C y D los puntos representativos del nudo. Las rectas AC y BD representan bielas rgidas que unen los extremos de la pieza AB con los nudos C y D. Se trata de plantear las ecuaciones elasticas respecto a los nudos C y D. Si (c1 ; c2 ) y (d1 ; d2 ) son las coordenadas de los puntos C y D respecto a los ejes locales de la barra x1 ; x2 , de acuerdo con la gura 11.20c se puede escribir 2

3

2

FC1 1 6 7 6 6F 7 = 6 0 4 C2 5 4 MC c2 2 3 2 FD 1 1 6 7 6 6F 7 = 6 0 4 D2 5 4 MD d2

32

3

0 0 FA1 76 7 1 0 75 64 FA2 75 c1 1 MA 32 3 0 0 FB1 76 7 1 0 75 64 FB2 75 (d1 L) 1 MB


(11:37a)

(11:37b)

219


Fig. 11.20 a) Pieza con nudos nitos b) Barra exible c) Equilibrio en los nudos

o escrito en forma compacta

FC = HC FA FD = HD FB en donde la simbologa es evidente. Por lo que respecta a los movimientos, se puede escribir (Fig. 11.21) 2 3 2 32 3 vA1 1 0 c2 vC1 6 7 6 76 7 6v 7 = 60 1 c1 75 64 vC2 75 4 A2 5 4 'A 0 0 1 'C 2 3 2 32 3 vB1 1 0 d2 vD 1 6 7 6 76 7 6v 7 = 60 1 76v 7 ( d L ) B 2 1 D 2 4 5 4 54 5 'B 0 0 1 'D y tambien vA = HTC vC vB = HTD vD


(11:38a) (11:38b)

(11:39a)

(11:39b) (11:40a) (11:40b)

220


Fig. 11.21 Movimientos del punto A conocidos los de C .

y sustituyendo 11.38 y 11.40 en cualquiera de las expresiones 9.104, 9.113, 9.172 o 9.176 de las ecuaciones elasticas en coordenadas locales, se tendra

FC = HC KAA HTC vC + HC KAB HTD vD + HC Fb A (11:41a) T T b FD = HD KBA HC vC + HD KBB HD vD + HC FB (11:41b) que constituyen la expresion de las ecuaciones elasticas en coordenadas locales para el caso de nudos rgidos de tama~no nito. Logicamente, el paso a coordenadas globales sigue los mismos pasos que los ya se~nalados para el resto de las ecuaciones elasticas. 11.6.4 Ecuaciones elasticas reducidas Supongase una estructura formada por piezas rectas de nudos rgidos en la que se desprecia la deformacion por esfuerzo axil y por esfuerzo cortante. Ademas, la directriz de las piezas esta formada por la lnea de centros de gravedad de las respectivas secciones rectas. En tales circunstancias, las ecuaciones elasticas 9.104 pueden escribirse en coordenadas locales en forma reducida 2EI 6EI 4EI c ' + ' + Æ+M (11:42a) MA = A L A L B L2 4EI 6EI 2EI c ' + ' + Æ+M (11:42b) MB = B L A L B L2 siendo Æ = vA vB el desplazamiento relativo en direccion perpendicular a la barra de los dos extremos de la pieza. Las expresiones 11.42 son las ecuaciones elasticas reducidas y juegan un papel de importancia en los metodos manuales de calculo de estructuras basados en el metodo de rigidez. El proceso de calculo de una estructura segun dichas expresiones sigue la metodologa general ya expuesta del metodo de rigidez. Sin embargo, es importante establecer varias precisiones: { El equilibrio en cada nudo solo se realiza en momentos. Con ello se obtiene un sistema de tantas ecuaciones como nudos. Dicho sistema, en general, es insu ciente


221


para resolver todas las incognitas, por lo que es necesario aumentar el numero de ecuaciones. { Los desplazamientos Æ de las distintas barras no son independientes entre s. Existe un numero de desplazamientos independientes igual al grado de traslacionalidad de la estructura (ver apartado 11.5.3), por lo que los mencionados desplazamientos Æ de cada barra deben ponerse en funcion de los desplazamientos independientes. { El sistema de ecuaciones se completa escribiendo la ecuacion de equilibrio de cortantes para cada grado de traslacionalidad. { Los esfuerzos cortantes y axiles se obtienen por equilibrio una vez conocido el valor de los momentos ectores.

11.7 Ejercicios propuestos En todos los ejercicios se siguen se supone que, salvo en los tirantes, se desprecia la deformacion por esfuerzo axil y por esfuerzo cortante.

| Ejercicio propuesto EP11.1 Hallar las leyes de esfuerzos en la estructura de la gura,

cuando en una de las celdas existe una presion interior de valor p = 20 kN=m. La longitud de cada uno de los lados del hexagono es de 4 metros. Valor de control:

El esfuerzo axil en la barra inferior vale 12 kN (traccion).

Fig. EP11.1


222


| Ejercicio

propuesto EP11.2 La estructura de la gura est a cargada con una carga uniformemente repartida en las barras AB y A0 B 0 de valor p = 2 104 N=m. La pieza AA0 es un tirante de 15 cm2 de seccion y modulo de elasticidad E = 200 GP a. En todas las barras EI = 40000 kN m2 . El tirante esta sometido a un decrecimiento de temperatura de valor t = 30o C 1 ( = 5 10 5 o C ).

Hallar las leyes de momentos ectores, cortantes y axiles. Valor de control: El esfuerzo axil en el tirante vale 75; 9 kN .

Fig. EP11.2

| Ejercicio propuesto EP11.3 Dada la estructura que se detalla en la gura, hallar las

= 10 kN . Valor de control: El movimiento horizontal del nudo A vale 0; 00295 m:

leyes de esfuerzos cuando actuan dos cargas F de valor F

Fig. EP11.3


223


| Ejercicio propuesto EP11.4 Dada la estructura de la gura, determinar las leyes de esfuerzos, as como el giro del punto A. El producto EI vale: 2; 1 105 kN m2 . Valor de control: El giro del punto A vale 2; 18 10 5 rdn.

Fig. 11.4

| Ejercicio

propuesto EP11.5 En la estructura de la gura, la pieza curva es una parabola de segundo grado de eje vertical. En ella se veri ca que I = I0 = cos , siendo I0 la inercia en la clave y el angulo que forma la tangente a la curva en cualquier punto con la horizontal. La pieza vertical se supone inextensible. Determinar las leyes de esfuerzos y el giro en C .

Valor de control:

El giro en C vale 11; 17 p=EI .

Fig. 11.5


224


| Ejercicio propuesto EP11.6 En la estructura de la gura, el arco es circular de radio

= 3 m: Todas las piezas tienen el mismo momento de inercia y el mismo modulo de elasticidad. Determinar las leyes de esfuerzos, las reacciones y el movimiento de B .

R

Valor de control:

El movimiento de B vale 11; 64 p=EI .

Fig. EP11.6

| Ejercicio

propuesto EP11.7 En la estructura de la gura, la pieza curva es una parabola de cuarto grado de eje vertical de expresion y = 8 1 (x=8)4 . Su inercia vale I (s) = I= cos , siendo el angulo que forma la tangente a la curva en cada punto con la horizontal. La pieza AB es un tirante de seccion A. Los pilares AD y BC tienen una inercia de valor I . En los puntos A y B existe una articulacion. Determinar las leyes de esfuerzos en todas las piezas (para la pieza curva los esfuerzos se dibujaran sobre su proyeccion horizontal).

Valor de control:

El esfuerzo en el tirante vale 44; 9 kN .

| Ejercicio propuesto EP11.8 En la estructura que se representa en la gura, la pieza

curva B 0 CB es un semicrculo de radio 5m. Todas las piezas tienen la misma inercia. Bajo las cargas que se indican, determinar:

a) b)

Reacciones y leyes de esfuerzos en todas las piezas rectas. Valor del Momento Flector en A y del esfuerzo cortante en la pieza AB .

Notas:

- No se considerara la deformacion por esfuerzo axil ni por esfuerzo cortante. - En los puntos B y B 0 las piezas estan articuladas entre s. Valor de control: El momento ector en A vale 137; 5 kN .


225


Fig. EP11.7

Fig. EP11.8

| Ejercicio

propuesto EP11.9 En el p ortico de la gura, en A y B todas las piezas estan articuladas entre s. Por otra parte, la pieza AB representa un tirante de seccion !. Determinar la relacion entre p y F para que el tirante no trabaje.

Valor de control:

La relacion vale p = 22; 6 F=a.

| Ejercicio

propuesto EP11.10 El arco de la estructura de la gura es parab olico de eje vertical. La inercia en la clave es I0 , mientras que en un punto cualquiera vale I (s) = I0 = cos , siendo el angulo que forma la directriz del arco con la horizontal. La inercia del resto de las barras vale I0 . En los puntos A y D todas las piezas estan articuladas entre s. Determinar el desplazamiento vertical de los puntos B y D.

Valor de control:

El desplazamiento vertical de B vale 19 pL4=EI .


226


Fig. EP11.9

Fig. EP11.10

| Ejercicio propuesto

EP11.11 En la estructura que se representa en la gura, todas las barras (rectas o curvas) tienen la misma inercia. Las piezas curvas son circulares de radio a = 5 metros, y con tangente horizontal en C y vertical en B y B 0 . Hallar:

a) Leyes de momentos ectores y esfuerzos cortantes en todas las piezas. b) Valor de las reacciones. c) Valor del esfuerzo axil en las barras BC y B 0C 0 Valor de control: El esfuerzo axil en la barra BC vale 25; 5 kN .


227


Fig. EP11.11

| Ejercicio propuesto EP11.12 La estructura de la gura esta compuesta por dos arcos

los cuales estan rgidamente unidos entre s. Ambos arcos son parabolas de segundo grado de eje vertical. Su inercia es tal que I (s) = I= cos , siendo el angulo que forma la tangente al arco en cada punto con la horizontal. Determinar las leyes de esfuerzos en toda la estructura. Valor de control:

La reaccion horizontal en el apoyo derecho vale 15; 025 p.

Fig. EP11.12


229


12 Formulaci on en 3D 12.1 Introducci on

En los captulos 3 a 6 se ha estudiado el comportamiento de una seccion cualquiera sometida a esfuerzo axil, ector, cortante y torsor. Segun los resultados obtenidos, los captulos 7 a 11 se han dedicado al analisis en 2D de las estructuras formadas por piezas lineales. El objetivo del presente captulo es generalizar a 3D la metodologa all expuesta, as como los principales resultados obtenidos. En el calculo de estructuras en tres dimensiones, las expresiones utilizadas son mas complejas que en el caso bidimensional. Por ello, los calculos manuales resultan tediosos y sujetos a errores, razon por la cual se enfocara el estudio teniendo en mente su resolucion numerica. Se utilizara desde el principio notacion matricial, razon por la cual se supone al lector una cierta soltura en el manejo y manipulacion de matrices. En la mayor parte del captulo se supone que la torsion obedece a la teora de la torsion segun Saint{Venant, dedicandose el nal de la exposicion al caso en que se tenga en cuenta la in uencia del alabeo. 12.2 Relaciones fundamentales

12.2.1 Relacion esfuerzos-deformaciones generalizadas

Supongase la seccion recta de una pieza (recta o curva) tridimensional (Fig. 12.1) en la cual la directriz coincide con la lnea de los centros de gravedad. En dicha seccion actuaran unos esfuerzos F y M (Fig. 12.1 a) y b)) dados por:

F = N e1 + Q2 e2 + Q3 e3 = eFl

(12:1a)

M = T e1 + Mf2 e2 + Mf3 e3 = eMl

(12:1b)


230


Fig. 12.1 Esfuerzos en una seccion: a) Cortantes y axil aplicados en el centro de gravedad, b) Flectores y torsor aplicados en el centro de gravedad, c) Cortantes aplicados en el centro de esfuerzos cortantes y axil en el centro de gravedad, d) Momentos ectores aplicados en el centro de gravedad y torsor aplicado en el centro de esfuerzos cortantes.

De acuerdo con lo estudiado en el Captulo 3, debido a N se producira una deformacion 1 de valor N (12:2) 1 = EA

Asimismo (ver captulo 4) la relacion entre los momentos ectores Mf 2 , Mf 3 y las curvaturas 2 , 3 se escribe 2 =

I23 I3 Mf 2 + M 2 E (I2 I3 I23 ) E (I2 I3 I232 ) f 3


(12:3)

231


3 =

I2 I23 Mf 2 + M 2 E (I2 I3 I23 ) E (I2 I3 I232 ) f 3

(12:4)

Por lo que respecta a los esfuerzos cortantes y al momento torsor actuando en G, el sistema es equivalente a situar los esfuerzos cortantes en el centro de esfuerzos cortantes C , colocando en dicho punto un momento torsor de valor (Fig. 12.1 c) y d)) Tc = T + x3c Q2 x2c Q3 (12:5) siendo x2c y x3c las coordenadas del centro de esfuerzos cortantes respecto a los ejes x2 , x3 que pasan por el centro de gravedad G (ver captulo 5). La relacion entre la curvatura de torsion 1 (en el captulo 6 se la denomino angulo espec co de torsion) y Tc viene dada por Tc GJ

(12:6)

1 (T + x Q x Q ) 3c 2 2c 3 GJ

(12:7)

1 Qb 2

(12:8a)

1 Qb 3

(12:8b)

1 =

es decir:

1 =

Volviendo a los esfuerzos cortantes Q2 y Q3 , en el captulo 5 se establecio que si Qb 2 y Qb 3 son los esfuerzos cortantes que actuan segun los ejes principales x^2 y x^3 , la deformacion por cortante ^2q y ^3q segun dichos ejes principales viene dada por

^2q =

GAk2

^3q =

GAk3

siendo Ak2 y Ak3 las secciones reducidas segun los ejes x^2 y x^3 . Si es el angulo que forma el eje principal x^2 con x2 (ver Fig. 12.2) se puede escribir: 2 3 " # b2 Q 4 5 = T2 Q2 (12:9) Q3 Qb 3 siendo T2 la matriz de cambio

"

cos sin T2 = sin cos Analogamente para las deformaciones 2 3 " q#

2 ^2q 5 T 4 = T 2

3q

^3q

#


(12:10)

(12:11)

232


Fig. 12.2 Descomposicion del cortante y de las deformaciones por cortante segun los ejes principales.

Sustituyendo 12.9 en 12.8 y esta a su vez en 12.11, 3 21 " q# 0 7 "Q # 6

2 k 2 1 2 77 T 6 = GA TT2 64 2 q 5 Q3

3 0 k1

(12:12)

3

y llamando d22 =

cos2 + sin2 k2

d23 = d32 = d33 =

k3

sin cos k2

sin2 + cos2 k2

(12:13a) sin cos k3

k3

la expresion 12.12 se escribe " q#

" #" # d22 d23 Q2

2 1 = GA d32 d33 Q3

3q

(12:13b) (12:13c)

(12:14)

Las deformaciones totales 2 y 3 se obtendran a~nadiendo a 2q y 3q dadas por 12.14 las procedentes del momento torsor T , es decir x3c Tc = 2q + GJ (T + x3c Q2 x2c Q3 ) GJ x2c T (T + x3c Q2 x2c Q3 ) x2c c = 3q GJ GJ

2 = 2q + x3c

(12:15a)

3 = 3q

(12:15b)


233


o sea

3 2 x2 d23 x2c x3c x3c 2 Q2 3 d 6 22 + 3c GJ GJ 77 66 Q 77

2 = 66 GA GJ GA (12:16) 7 3

3 4 d23 x2c x3c d33 x22c x2c 5 4 5 + T GA GJ GA GJ GJ Las expresiones 12.2, 12.3, 12.4, 12.7 y 12.16 se pueden agrupar, resultando: 2 1 3 2 0 0 66 77 6 1=EA 2 66 77 66 d23 x2c x3c d22 x3c + 66 2 77 66 0 GA GJ GA GJ 66 77 66 d33 x22c d23 x2c x3c + 66 3 77 66 0 GA GJ GA GJ 66 77 = 66 x2c x3c 66 77 66 0 GJ GJ 66 1 77 66 66 77 66 0 0 0 66 2 77 66 64 75 4 0 0 0 3

0

x3c GJ x2c GJ

1

GJ

0 0

0 0 0 0 I3 EI 2 I23 EI 2

32 N 3 77 77 666 7 0 77 66 Q2 77 77 66 77 7 6 0 77 66 Q3 777 77 77 66 6 7 0 7 6 T 77 77 76 I23 777 666 77 2 7 6 EI 7 6 Mf 2 77 75 I2 5 64 EI 2 M f3 (12:17)

0

siendo I 2 = I2I3 I232 . La expresion anterior se puede escribir de forma compacta = DR

(12:18)

con "

# F = M F = [1 ; 2 ; 3 ]T

M = [1 ; 2 ; 3 ]T " # Fl R= Ml " # DF F DF M D= DMF DMM


(12:19a) (12:19b) (12:19c) (12:19d) (12:19e)

234


siendo DF F , DF M , DMF y DMM submatrices de 33, cuyo signi cado es evidente a partir de 12.17. La matriz D de las expresiones 12.17 o 12.18 pueden tambien escribirse D = GD0 GT

(12:20)

siendo G una matriz tal que 2 N 3 2 N 3 66 Q 77 66 Q 77 66 2 77 66 2 77 66 Q3 77 6 Q3 77 66 77 = GT 666 7 66 Tc 77 66 T 777 64 Mf 2 75 64 Mf 2 75 Mf 3 Mf 3

es decir 21 66 0 66 60 G=6 66 66 0 64 0 0

y ademas

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 x3c x2c

1 0 0

0 0 0 0 1 0

03 0 777 7 0 77 7 0 77 7 0 75 1

3 2 1 0 0 0 0 0 77 66 EA 77 66 66 0 d22 d23 0 0 0 77 GA GA 77 66 7 66 d23 d33 0 0 77 0 GA GA 0 6 77 D0 = 6 66 7 1 66 0 0 0 77 0 0 GJ 77 66 66 I23 77 I3 0 0 0 EI 66 0 2 EI 2 7 77 64 I2 5 I23 0 0 0 0 EI 2 EI 2


(12:21)

(12:22a)

235


siendo su inversa

2 EA 66 0 66 6 0 (D0 ) 1 = 666 66 0 64 0 0

0

GAd~33 GAd~23

0 0 0

0

0 0 0

GAd~23 GAd~22

0 0 0

GJ

0 0

3 77 77 77 77 77 EI23 75 EI3

0 0 0 0

0 0 0 0

EI2 EI23

(12:22b)

con d~ij =

dij

d22 d33 d223

La expresion 12.20 presenta ventajas que se haran evidentes mas adelante. Notese que D0 es la matriz que relaciona las tensiones generalizadas con las deformaciones generalizadas para el caso en que el centro de gravedad y el centro de esfuerzos cortantes coincidan. Las expresiones 12.17 o 12.18 relacionan las deformaciones generalizadas en una seccion con los esfuerzos que actuan en dicha seccion. Como puede observarse, la matriz D es simetrica. Es posible asimismo escribir 12.19b y 12.19c en la forma vectorial aF = 1 e1 + 2 e2 + 3 e3 = eF

(12:23a)

aM = 1 e1 + 2 e2 + 3 e3 = eM

(12:23b)

Si se toma como directriz una linea no coincidente con el lugar geometrico de los centros de gravedad de las secciones rectas, y se supone (Fig. 12.3) que G es la interseccion de dicha directriz con la seccion, se puede escribir: 0

= B

(12:24a)

0

R = BT R

(12:24b)

0

siendo R y los esfuerzos y deformaciones referidos a G y B una matriz obtenida 0

0

0


236


Fig. 12.3 Puntos G, G0 y C de una seccion.

por consideraciones cinematicas y de equilibrio. Su valor es: 21 66 0 66 60 B=6 66 66 0 64 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 x3G 0 x3G 0 1 x2G 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

0

0

x2G 3 0 777 7 0 77 7 0 77 7 0 75 0

(12:25)

1

en donde x2G y x3G son las coordenadas de G respecto a G. Es posible, por lo tanto, escribir la nueva relacion entre y R de la forma 0

0

0

0

=DR 0

siendo

0

D

0

0

(12:26)

0

= BDBT

(12:27)

Aunque en los desarrollos sucesivos se hara mencion, por simplicidad, de la matriz

D, la exposicion es completamente general, pudiendose sustitur por D . 0


237


12.2.2 Relaciones deformaciones generalizadas - movimientos

En este apartado se desarrollaran las expresiones que relacionan las deformaciones generalizadas aF y aM con los movimientos. Para ello, sea U el vector de desplazamientos, el cual puede expresarse bien en funcion de sus componentes globales o locales, es decir U = u1i1 + u2i2 + u3i3 = iu (12:28a)

U = v1 e1 + v2e2 + v3 e3 = ev

(12:28b)

Sea asimismo el vector giro en cada punto, el cual se expresa en funcion de sus componentes locales = '1 e1 + '2 e2 + '3 e3 = e' (12:28c) El camino para obtener las relaciones buscadas seguira las pautas desarrolladas para 2D (apartado 7.2.1.2). Si z son las coordenadas de un punto cualquiera de la directriz de la pieza antes de la deformacion y z es la coordenada del mismo punto despues de la deformacion, los desplazamientos se escribiran U =z z (12:29) y tambien 0

0

dU dz = ds ds

0

dz = t e1 ds

(12:30)

siendo t el vector tangente a la directriz despues de la deformacion (ver Fig. 7.3). Asimismo, de acuerdo tambien con la gura 7.3, el vector e1 es igual al vector e1 girado un angulo y tal que jje1 jj = jje1 jj(1 + 1 ) = (1 + 1 ) (12:31) es decir 1 = e + e (12:32) e1 1 1 + 1 1 Como ademas t = e1 + 2 e2 + 3 e3 = e1 (1 + 1 ) + e1 (1 + 1 ) + 2 e2 + 3 e3 (12:33) 0

0

0

0

y sustituyendo en 12.30

dU = e1 (1 + 1 ) + e1 (1 + 1 ) + 2e2 + 3 e3 e1 = ds = 1 e1 + 2 e2 + 3 e3 + e1 (1 + 1 ) = =aF + e1 (1 + 1 )


(12:34)

238


y dado que el producto e1 1 es despreciable, se puede nalmente escribir o tambien

dU = aF + e1 ds

(12:35)

aF = ddsU + e1

(12:36)

Por lo que respecta a las deformaciones aM , se puede escribir directamente (12:37) aM = dds Las anteriores expresiones 12.36 y 12.37 pueden escribirse tambien en funcion de las componentes segun los ejes locales: aF = eF ev) + e1 = aF = ddsU + e1 = d(ds dv = e ds + v + 3'

(12:38a) (12:38b)

Igualando ambas expresiones F = ddsv + v + 3'

en donde 3 es la matriz de 33 dada por 20 0 0 3 6 7 3 = 64 0 0 1 75 0 1 0 Analogamente, para los giros, a partir de 12.37 d'' + ' eM = e ds

(12:39)

(12:40)

(12:41)

es decir

' + ' M = d' ds

(12:42)

Las expresiones 12.39 y 12.42 son las expresiones buscadas. Proporcionan en componentes locales las relaciones entre deformaciones generalizadas y los movimientos.


239


12.3 Teoremas de trabajos virtuales

Los teoremas de trabajos virtuales fueron introducidos en el captulo 7 para estructuras en dos dimensiones. Tal como alla se dijo, tanto dichos teoremas, como, en general, todos los que alla se dedujeron, son tambien validos para piezas tridimensionales. En la presente seccion se desarrollaran de forma sucinta las expresiones 3D del teorema de los trabajos virtuales, as como del teorema de los trabajos virtuales complementarios. A partir de las ecuaciones de equilibrio interno 2.10 se puede escribir: Z so

Z so M + m + e F )ds = 0 U ( ddsF + p)ds + ( dds 1 o

o

(12:43)

en donde U y son respectivamente desplazamientos y giros virtuales. Las anteriores expresiones pueden integrarse por partes, por lo que, teniendo en F ) = (e1 ) FF y, por otra, las expresiones 12.36 cuenta por una parte que (e1 F y 12.37 Z so a o

F F ds + +

Z so a

Zo so o

M M ds =

Z so o

U p ds+

m ds + U F jsoo + Mjsoo

(12:44)

y escribiendo la expresion anterior en las componentes locales: Z so T o

Rds =

Z so o

(vT p + 'T m)ds + v T Fl jsoo + 'T Ml jsoo

(12:45)

Las dos igualdades anteriores constituyen la expresion del teorema de los trabajos virtuales. Analogamente, el teorema de los trabajos virtuales complementarios se escribira Z so Z so l jsoo T R ds = (vT p + 'T m )ds + vT F l jsoo + 'T M (12:46) o

o

cuya demostracion sigue los mismos pasos que la anterior. 12.4 Determinacion de movimientos

En los captulos 7 y 11 se han demostrado los dos teoremas de Castigliano, as como las formulas de Navier-Bresse para la obtencion de movimientos. En el presente apartado se daran las correspondientes expresiones para piezas 3D. Para ello, la energa elastica se escribe Z so 1 a a (12:47) W= 2 o (F F + M M)ds


240



Z so Z so 1 1 T T (12:48) W= 2 o Rds = 2 o R DRds Por lo que, de acuerdo con las expresiones (7.56) y (7.63), el primer y segundo teorema de Castigliano se escribiran respectivamente: @W @ui @W ui = @Fi Fi =

(12:49a) (12:49b)

con los signi cados dados en los apartados 7.6 y 7.7.

Fig. 12.4 Movimientos debidos a giros

Por lo que respecta a las formulas de Navier-Bresse, se seguira la metodologa desarrollada en 11.4. El desplazamiento de un punto B de una pieza debido a la

exibilidad de una dovela situada en C vale (ver Fig. 12.4) aF ds + d (zB z), por lo que el movimiento relativo del punto B respecto al punto A valdra ZB U AB = [aF + aM (zB z)]ds (12:50) A

y teniendo en cuenta 12.18 y 12.23 ZB U AB = [e(DF F Fl + DF M Ml) + e(DMF Fl + DMM Ml ) (zB z)]ds A

Por lo que el desplazamiento del punto B valdra U B = U A + A (zB zA ) + U AB


(12:51) (12:52)

241


Asimismo el giro del punto B valdra ZB ZB Z B d a ds = A + M ds = A + e(DMF Fl + DMM Ml )ds (12:53) B = A + ds A

A

A

Las igualdades 12.51 y 12.53 constituyen la expresion de las formulas Navier-Bresse. Las formulas de Navier-Bresse pueden obtenerse tambien a partir de la integracion entre los puntos A y B de las expresiones 12.35 y 12.37 ZB U B = U A + (aF + e1 )ds (12:54) Teniendo en cuenta que

A

e1 = ddsz integrando por partes el ultimo sumando de 12.54, ZB B U B = U A + zjA + (aF dds z)ds A

y despues de algunas manipulaciones matematicas se obtiene ZB U B = U A + A (zB zA) + [aF + aM (zB z)]ds expresion identica a la 12.52.

A

| Problema

resuelto P12.1 La m ensula de la gura P12.1.1 tiene directriz circular. Su seccion recta es tal que todos los ejes son principales de inercia. Sus caractersticas mecanicas son:

{ { { { {

Area: A Areas reducidas: k2 A = k3 A = kA Rigidez de exion: EI2 = EI3 = EI Rigidez a torsion: GJ = 0; 5EI El centro de gravedad coincide con el centro de esfuerzos cortantes

En el punto B actua una fuerza concentrada de valor P cuya direccion coincide con el eje z3 y cuyo sentido coincide tambien con el eje z3 positivo. Se desea obtener el desplazamiento y giro de B utilizando el segundo teorema de Castigliano, as como las formulas de Navier-Bresse.

Solucion a) Utilizando el segundo teorema de Castigliano Las leyes de esfuerzos se escriben:

F = eFl = Pe3


(a)

242


Fig. P12.1.1 Mensula plana sometida a exion y torsion.

! Pe3 = PR(1 M = eMl = CB 203 6 7 Fl = 6 0 7 4 5

es decir

D

PR cos e2

2 PR(1 sin ) 3 6 7 Ml = 6 4 PR cos 75

P

La matriz

sin ) e1

0

1=kGA

0

1=kGA 2=EI

0

1=EI 1=EI

La energa elastica vale:

W=

+

Z P2 2

B

A

[R(1

(c)

es en este caso diagonal y se escribe

2 1=EA 66 66 66 D = 6 66 66 4

2 1=EA B 6 [0; 0; 1] 6 4 0 A

Z P2 2

(b)

0

0

1=kGA

0

0

1=kGA

0

2 2=EI 6 sin ); R cos ; 0] 6 4 0 0

(d)

3203 77 66 77 5 4 0 5 ds+

0

0

1=EI

0

0

1=EI


3 77 77 77 77 77 75

1

3 2 R(1 sin ) 3 77 66 7 5 4 R cos 75 ds 0

(e)

243


Aplicando el segundo teorema de Castigliano:

u3B =

R 7 @W = P+( @ P 2kGA 4

R3 P EI

4)

(f )

b) Aplicando las formulas de Navier-Bresse Se partira de la expresion 12.51, dado que, en este caso, el movimiento relativo del punto B respecto a A es igual al movimiento total del punto A. Al ser la matriz D, en el presente ejercicio, una matriz diagonal, DF M = DF M = 0. Por lo tanto,

UB = =

Z

B A

[eDF F Fl + (eDMM Ml ) (zB

8 2 1=EA > < 6 =2 > e6 4 0 > B > :

Z

0

2 2=EI 6 +e 6 4 0 0

0

0

1=EI

0

0

1=EI

0

0

1=kGA

0

0

1=kGA

z

)]ds =

32 3 77 4 0 5 5 0 + P

32 3 77 4 R(1 sin ) 5 R cos [R cos e1 + R(1 5 0

R =

2kGA

+

7 4

4

R3 EI

Pe3

9 > > = sin ) e2 ] Rd = > > ; (g )

Resultado identico al obtenido previamente utilizando el segundo teorema de Castigliano.

12.5 Estudio de las piezas rectas. Matrices de rigidez: ecuaciones elasticas 12.5.1 Caso general

En el captulo 9 se dedujeron las matrices de rigidez KAA , KAB , KBA y KBB de una pieza recta situada en el plano. Asimismo, en los captulos 10 y 11 se ha estudiado el metodo de rigidez para la resolucion de cualquier tipo de estructuras. Dicho metodo es el mas ampliamente utilizado en la practica, ya que permite ser facilmente programado para su uso en ordenadores. Recuerdese que las citadas matrices KAA , KAB , KBA y KBB constituyen el fundamento del mencionado metodo. El objetivo del presente apartado es la deduccion de las anteriores matrices de rigidez para una pieza recta tridimensional.


244


Fig. 12.5 Mensula tridimensional sometida a fuerzas y momentos en uno de sus extremos.

Para ello, supongase la mensula de la gura 12.5 en cuyo extremo B actuan unas fuerzas eFB y unos momentos eMB . Las leyes de esfuerzos se escribiran

F = eFl = eFB M = eMl = eMB + e1 FB (L s) = eMB + e 3 FB (L s) viniendo la matriz 3 dada por 12.40. Las expresiones anteriores pueden escribirse en componentes: " # " #" # Fl I3 0 FB R= = = A6 RB Ml 3 (L s) I3 MB en donde el signi cado de A6 y RB resulta evidente. La energa elastica se escribe ZL ZL 1 1 T T T W= 2 o Z R ds = 2 o RB A6 DA6 RB ds = L AT6 DA6 ds RB = 12 RTB 0

(12:55a) (12:55b)

(12:56)

(12:57)

y derivando respecto a las fuerzas y momentos RB se obtendran los movimientos del extremo B @W Z L u T B = A6 DA6 ds RB (12:58) Æ AB = ' = @R B

B

o

En la expresion anterior se puede sustituir la matriz D por el producto de matrices dado por 12.20 Z L T 0 T Æ AB = A6 GD G A6 ds RB (12:59) 0


245


y dado que, tal como puede comprobarse, AT6 G = GAT6 , resulta Æ AB =

Z L 0

GAT D0 A 6

6

GT ds

RB

=G

Z

L

0

AT D0 A 6

6 ds

GT RB = GY0 GT RB

(12:60)

siendo Y0 una matriz de exibilidad dada por ZL Y0 = AT6 D0 A6 ds

(12:61)

0

En el cuadro 12.1 pueden verse los valores explcitos de la matriz Y0 . Notese que dicha matriz Y0 al ser una matriz de exibilidad, su inversa (Y0 ) 1 = K0BB sera una matriz de rigidez. En los cuadros 12.2 a 12.5 se tabulan:

Cuadro 12.2: Matriz de rigidez K0BB para el caso general (con in uencia del esfuerzo

cortante en la deformacion y en ejes cualesquiera). Cuadro 12.3: Matriz de rigidez K0BB sin considerar la in uencia del esfuerzo cortante en la deformacion y en ejes cualesquiera. Cuadro 12.4: Matriz de rigidez K0BB considerando la in uencia del esfuerzo cortante en la deformacion y en ejes principales. Cuadro 12.5: Matriz de rigidez K0BB sin considerar la in uencia del esfuerzo cortante en la deformacion y en ejes principales. Notese que la matriz de rigidez K0BB corresponde al caso particular de que el centro de esfuerzos cortantes coincide con el centro de gravedad de la seccion. L EA 0 0 0 0 0

Cuadro 12.1 Matriz de exibilidad 0

0

I2 L3 3EI 2 I L3 (1 23 ) 23 2 3EI

I23 L3 3EI 2 I L3 (1 + 33 ) 3 2 3EI

0

0

(1 + 22 )

I23 L2 2EI 2 I2 L2 2EI 2

(1

23 )

I3 L2 3EI 2 I23 L2 3EI 2

0 0 0

L GJ 0 0

2 dij siendo ij = L32 EI GA Iij (I22 = I2 I33 = I3 ).


Y

0

0

0

I23 L2 2EI 2 I3 L2 2EI 2

I2 L2 2EI 2 I23 L2 2EI 2

0

0

I3 L EI 2 I23 L EI 2

I23 L EI 2 I2 L EI 2

246


Cuadro 12.2 Matriz de rigidez

L EA

0

0

EI3 g L3 22 EI 12 323 g32 L

0

12

0 0

EI23 g L3 23 EI 12 32 g33 L 0

6EI23

0

g52

L 6EI3 g L2 62 2

0

6EI2

g53

L 6EI23 g L2 63 2

: Caso general

0

12

0

0

KBB

0 0

GJ L 0 0

0

0

EI23 g L2 25 EI 6 22 g35 L

6EI3

6

0

g L2 26 6EI23 g L2 36 0

EI2 g L 55 EI 4 23 g65 L

4

4EI23

g L 56 4EI3 g L 66

siendo: g22 = g26 = g62 = (1 + 433 )I 2 =de g23 = g32 = g25 = g52 = g36 = g63 = (1 423 )I 2 =de g33 = g35 = g53 = (1 + 422 )I 2 =de (1 + 422 )(1 + 33 )I2 I3 (1 + 322 223 + 4232 )I232 g = 55

de

(1 + 22 323 + 33 + 422 33 )I2 I3 (1 523 + 4232 )I232 g56 = g65 = de g66 =

(1 + 22 )(1 + 433 )I2 I3 (1 + 333 223 + 4232 )I232 de

de = (1 + 422 )(1 + 433 )I2 I3 (1 423 )2 I232 Cuadro 12.3 Matriz de rigidez K0BB : No se considera la in uencia del cortante en la deformacion. Los ejes de la seccion son cualesquiera.

EA L 0 0 0 0 0

0

EI3 L3 EI 12 323 L 12

0

EI23 L3 EI 12 32 L

12

0

0

6EI23

6EI2

L2 6EI3 L2

L2 6EI23 L2

0 0 0

GJ L 0 0


0

EI23 L2 EI 6 22 L

6

0

EI2 L EI23 4 L

4

0 6EI3

L2 6EI23 L2 0 4EI23

L

4EI3

L

247


EA L

Cuadro 12.4 Matriz de rigidez K0BB : Se considera la in uencia del cortante en la deformacion. Los ejes de la seccion son principales de inercia. 0

0

12

EI3 g L3 22 0

0

0

0

0

0

0

12

0

0

0

0

0

EI2 g L3 33 0

0 6EI2

6EI3

0

0

L

2

L2

g62 0

g53 0

0

0

6

GJ L 0 0

0 6EI3

EI2 g L2 35

L2

0

0

0

0 4

g26

0

EI2 g L 55

0

0

0

4EI3

L

g66 0

Siendo 1 g22 = g26 = g62 = 1 + 422 1 g33 = g35 = g53 = 1 + 433 1 + 33 g55 = 1 + 433 1 + 22 g66 = 1 + 422 0

0

0

0

0

0

0

0

Cuadro 12.5 Matriz de rigidez K0BB : No se considera la deformacion debida al esfuerzo cortante. Los ejes de la seccion son principales de inercia.

EA L 0

12

0

0

0

0

EI3 L3

0

0

0

EI2 L3

0

0

0

0

0

0

0

0

6EI3

L2

12

0 6EI2

GJ L

L

0

0

0

2

6


4

0 6EI3

L2

EI2 L2

0

0

0

EI2 L

0

0

4EI3

L

248


Por otra parte, invirtiendo la relacion 12.60, se obtiene la expresion de la matriz de rigidez KBB en las coordenadas locales de la barra: RB = KBB Æ AB (12:62) siendo KBB = (GT ) 1 K0BB G 1 (12:63) en donde, como queda dicho, la matriz K0BB puede verse en los cuadros 12.2 a 12.5 y 21 0 0 0 0 03 66 0 1 0 x 0 0 77 3c 66 77 6 0 0 1 x2c 0 0 77 G 1=6 (12:64) 66 7 66 0 0 0 1 0 0 777 64 0 0 0 0 1 0 75 0 0 0 0 0 1 Las otras tres matrices de rigidez KAA , KAB y KBA pueden obtenerse a partir de KBB y de consideraciones de equilibrio. Considerese para ello una barra recta cualquiera (Fig. 12.6). Dicha barra tendra unas fuerzas y momentos de extremo de barra RA y RB en sus extremos A y B . Asimismo, tendra unos movimientos Æ A y Æ B tambien en dichos extremos A y B . Se trata de buscar las ecuaciones que ligan las fuerzas y momentos R con los movimientos Æ (ecuaciones elasticas).

Fig. 12.6 Pieza recta antes y despues de la deformacion.

Por equilibrio de la barra RA + HRB

=0 (12:65) siendo H la matriz de equilibrio en coordenadas de la barra. Su expresion es: I 0 3 H= L I (12:66) 3

3


249


Conocida por tanto H la expresion 12.65 proporciona una relacion entre las fuerzas y momentos de extremo de barra. Supongase seguidamente la misma barra sometida a unas fuerzas y momentos de extremo de barra arbitrarios RA y RB , y a la cual se la somete a un movimiento de solido rgido. Sean Æ A y Æ B los movimientos de A y B debidos al mencionado movimiento de solido rgido. Logicamente, al estar la barra en equilibrio, el trabajo realizado por las fuerzas y momentos RA y RB sera nulo, es decir: (RA )T Æ A + (RB )T Æ B = 0 (12:66) y teniendo en cuenta 12.65, (RB )T HT Æ A = (RB )T Æ B (12:67) y puesto que RA y RB son arbitrarios, se obtiene nalmente HT Æ A = Æ B (12:68) expresion que proporciona una importante relacion entre los movimientos de solido rgido de los dos extremos de una pieza recta. Volviendo a la barra recta de la gura 12.6, esta claro que el movimiento Æ B se puede descomponer en el movimiento relativo del punto B respecto al punto A mas un movimiento de B debido a un movimiento de solido rgido de la barra. Dicho movimiento de solido rgido valdra en A, Æ A = Æ A , y en B, Æ B , por lo que Æ A = Æ A (12:69a) Æ B = Æ B + Æ AB (12:69b) y dado que Æ B = HT Æ A se tendra Æ AB = Æ B HT Æ A (12:70) Sustituyendo la anterior expresion 12.70 en 12.62, RB = KBB Æ B KBB HT Æ A (12:71a) y sustituyendo la anterior expresion en 12.65, RA = HKBB Æ B + HKBB HT Æ A (12:71b) Las anteriores expresiones 12.71 pueden escribirse de forma compacta RA = KAAÆ A + KAB Æ B (12:72a) 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

RB

siendo KAA = HKBB HT

= KBAÆ A + KBB Æ B

(12:72b)

= HKBB KBA = KBB HT (12:73) Las expresiones 12.72 constituyen las ecuaciones elasticas de una barra recta en sus coordenadas locales. KAB


250


Notese que las anteriores matrices de rigidez pueden ser obtenidas, a partir de K0BB , hallando previamente la matriz K0 dada por " 0 0 # K K AA AB K0 = 0 0 Para ello, desarrollando 12.73:

1

(12:74a)

K0AA H(GT ) 1 K0BB G 1 = (GT ) 1 ( HK0BB ) G 1 = (GT ) 1 K0AB G 1 | {z } K0AB

(12:74b)

KAA = H(GT ) 1 K0BB G 1 HT KAB

=

KBA KBB

0 HT G 1 = (GT ) 1 K0 G = (GT ) 1 HK AA BB } | {z

y lo mismo para KBA = KTAB , dado que H(GT ) 1 = (GT ) 1 H. De esta forma se obtiene la matriz de rigidez K de la forma " # KAA KAB K=

(12:75)

KBA KBB

Por otro lado, las ecuaciones elasticas 12.72 pueden ser escritas en coordenadas globales a partir de la matriz E de nida en 2.1. Para ello, se de ne la matriz E6 de la forma " # E 0 E6 = 0 E

Teniendo en cuenta que las componentes en los ejes globales de los vectores R y Æ se expresan en funcion de las componentes en los ejes locales mediante Rg = ET6 R

Æ g = ET6 Æ

(12:76)

las ecuaciones elasticas 12.72 se transforman en RgA = KgAAÆ gA + KgAB Æ gB

(12:77a)

= KgBAÆ gA + KgBB Æ gB

(12:77b)

RgB

siendo: KgAA = ET6 KAA E6

KgAB

= (KgAB )T = ET6 KAB E6

KBB

= ET6 KBB E6

las correspondientes matrices de rigidez en coordenadas globales.


(12:78)

251


Queda nalmente considerar el caso en que la directriz de la pieza no coincida con el lugar geometrico de los centros de gravedad de las secciones rectas. En este caso la expresion 12.58 quedara Z L T Æ AB = A6 D A6 ds RB (12:79) 0

0

0

0

viniendo D dada por 12.27. Sustituyendo: Z L Z L T T T 0 T T Æ AB = A6 BDB A6 ds RB = A6 BGD G B A6 ds RB 0

0

0

0

0

0

(12:80)

y dado que tambien se veri ca que AT6 B = BAT6 , la anterior expresion queda: Æ AB = BGY0 GT BT RB 0

(12:81)

0

con lo cual la matriz de rigidez KBB se escribe 0

KBB 0

con

= (BT ) 1 (GT ) 1 K0BB G 1B

21 66 0 66 60 B 1=6 66 66 0 64 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 x3G x 2G 0

0

1 0 0

1

x3G x2G 3 0 0 777 7 0 0 77 7 0 0 77 7 1 0 75 0

0

(12:82)

0

(12:83)

1

El resto de las matrices KAA , KAB y KBA se obtienen sin mas que sustituir KBB por KBB en la expresion 12.73, o bien, teniendo en cuenta que H(BT ) 1 = (BT ) 1H Kij = (BT ) 1 Kij B 1 variando los ndices i y j de A a B . 0

0

0

0

0

12.5.2 Un caso particular: el emparrillado plano

Un tipo de estructura bastante utilizado en la practica de la ingeniera es el emparrillado plano (Fig. 12.7). En ella, la directriz de todas las piezas esta situada en el plano z3 = constante (el eje global z3 y el local x3 son paralelos). Todas las secciones rectas de las diferentes piezas tienen un eje principal de inercia paralelo al plano del emparrillado, y las fuerzas externas que actuan son tales que N = 0, Mf 3 = 0, Q2 = 0.


252


Fig. 12.7 Pieza de emparrillado plano

Las matrices D0 , A6 (que ahora se denomina A3 ), Y0 , G y B se escriben ahora 3 2d 33 0 7 66 GA 0 2 1 0 03 77 6 1 A3 = 6 D0 = 6 0 777 66 0 4 0 1 0 75 GJ 75 64 1 0 1 1 0 0 EI 2 2 L2 3 L3 0 (1 + ) 66 21 x 03 3EI2 2EI2 77 2c 7 6 (12:84) L 7 6 75 G = 0 1 0 Y0 = 6 7 66 4 0 0 77 GJ 64 0 0 1 2 L 5 L 0 EI2 2 1 x2EI20 3 2G B =6 4 0 1 0 75 0 0 1 0

con

=

3 EI2

L2 kGA


253


por lo que la matriz K0BB quedara 3 2 1 6 EI 1 12 EI 2 7 66 3 2 0 2 1 + 4 7 L 1 + 4 L 77 66 GJ 77 (12:85a) K0BB = 6 0 0 66 7 L 7 64 4 EI2 1 + 5 6EI2 1 0 L2 1 + 4 L 1 + 4 Conocidas las anteriores matrices, la obtencion de KAA , KAB y KBA es obvia: 3 1 0 L2 1 + 4 77 77 GJ 77 0 L 7 4 EI2 1 + 5 0 L 1 + 4 3 6EI2 1 0 L2 1 + 4 77 77 GJ 77 0 L 7 2 EI2 1 2 5 0 L 1 + 4

2 12EI 1 2 66 L3 1 + 4 6 KAA = 6 66 0 64 6EI2 1 2 2 12LEI 1 + 14 2 66 L3 1 + 4 6 KAB = 6 66 0 64 6EI2 1 L2 1 + 4

6EI2

(12:85b)

(12:85c)

12.6 Inclusi on de la deformacion por alabeo

En el caso de que, debido a las caractersticas de la seccion, los alabeos por torsion fueran importantes, es necesario introducir algunas modi caciones en la matriz de rigidez para tener en cuenta este hecho. En el apartado 12.5 se ha visto que la matriz de rigidez de una estructura puede obtenerse a partir de la matriz de rigidez K0BB (expresiones 12.74), la cual viene dada por los cuadros 12.2 a 12.5. El objetivo del presente apartado es estudiar como se modi ca la matriz K0 cuando en la torsion se tiene en cuenta el efecto de los alabeos, ya que, como queda dicho, una vez obtenida esta, es inmediata la evaluacion del resto de matrices de rigidez estudiadas. Supongase una pieza recta AB de longitud L sometida a torsion constante en x1 y en cuyo extremo A el giro '1 vale '1A , siendo en su extremo B '1B . Asimismo, y dado que la derivada de dicho giro '1 no es constante, en A dicha derivada valdra '1A y en B '1B . De acuerdo con la expresion 6.93 la ley de giros '1 valdra: 0

0

'1 = c1 + c2 x1 + c3 Ch 0

0

0

x1 + c4 Sh x 1 0


(6:93)

254


y tambien 1 x 1 x d'1 = c2 + c3 Sh 1 + c4 Ch 1 dx1 d2 '1 1 = (c Ch x1 + c4 Sh x 1 ) dx21 2 3 x x d3 '1 1 = ( c3 Sh 1 + c4 Ch 1 ) 3 3 dx1 0

0

(12:86a)

0

0

0

(12:86b)

0

0

(12:86c)

Si se imponen las condiciones de contorno d'1 d'1 j j = 'B x1 =0 = 'A dx1 dx1 x1 =L se obtendran las cuatro constantes de integracion c1 , c2 , c3 y c4 . Ademas, en los extremos A y B actuaran unos momentos torsores externos de valor TA y TB , as como unos bimomentos BA y BB de forma que en B : d3 ' d' M!B = EI

31 jx1 =L MtB = GJ 1 jx1 =L dx1 dx1 '1 jx1 =0 = '1A

'1 jx1 =L = '1B

0

0

Sumando:

TB = MtB + M!B = GJ

Por otro lado,

0

0

0

0

d3 '1 d'1 j j = c GJ x1 =L EI

dx1 dx31 x1 =L 2 0

(12:87)

d2 '1 j dx21 x1 =0 d2 ' BB = B jx1 =L = EI

21 jx1 =L dx1

BA = B jx1 =0 = EI

Sustituyendo: c3 = 0

BA GJ

c4 = 0

BB 1 + BA Ch(L= ) GJ Sh(L= ) GJ Sh(L= )

(12:88)

Introduciendo 12.87 y 12.88 en 12.86 y teniendo ademas en cuenta las condiciones de contorno se obtiene: 3 2L 1 1 77 2 TB 3 2 '1B '1A 3 66 Ch(L= ) 1 1 6 1 Sh(L= ) Sh(L= ) 7 6 B 7 = 6 ' 75 (12:89) 7 6 4 4 A5 A 7 6 GJ 4 Ch(L= ) 5 BB 1 'B 1 Sh(L= ) Sh(L= ) 0

0


255


Resolviendo el sistema de ecuaciones y teniendo en cuenta que TA + TB = 0 3 2 1 L 1 2 3 Sh 1 + Ch L Sh L 1 + Ch L 2T 3 A 77 'A 66 66 77 L L L L 6 Sh L L 77 666 'A 777 66 BA 77 = GJ 66 1 + Ch Sh + LCh 1 Ch 77 6 7 64 TB 75 cd 66 1 Sh L L 1 L L 77 64 'B 75 1 Ch Sh 1 Ch 64 5 BB Sh L L 1 Ch L Sh L + LCh L 'B 1 + Ch L (12:90) 0

0

siendo

L L 1 cd = (LSh + 2 Ch )

La expresion anterior tambien puede escribirse 2' 3 A 2 3 TA " Kb Kb # 66 77 66 BA 77 1;1 1;2 6 'A 7 4 TB 5 = Kb Kb 66 ' 77 2;1 2;2 4 B 5 BB 0

(12:91)

'B 0

en donde las submatrices Kbi;j son de 22. De acuerdo con lo anterior, la matriz de rigidez K0 obtenida para torsion uniforme se modi ca de la siguiente forma: Las las y columnas 4 y 10 de la matriz K0 son las que re ejan la incidencia del momento torsor. Como puede observarse a partir de los cuadros 12.2 a 12.6, todos los terminos de las las y columnas 4 y 10 son nulos a excepcion de los siguientes: K40;4 = K100 ;10 =

GJ L

K40;10 = K100 ;4 =

GJ L

Al tomar en consideracion los efectos del alabeo por torsion, las anteriores las y columnas 4 y 10 se desdoblan cada una en dos a n de dar cabida a los bimomentos y a las derivadas de los giros en A y B . De esta forma el elemento K40;4 se sustituye por la submatriz Kb1;1 , el elemento K100 ;10 por Kb2;2 , el elemento K40;10 por Kb1;2 y el K100 ;4 por Kb2;1 . La matriz K0b aumentada sera por tanto ahora de 1414. Una vez obtenida la matriz K0b , para la obtencion de las correspondientes matrices K o K se sigue el mismo procedimiento descrito anteriormente. 0


Indice Alfabetico Acciones (1)1, (1)3, (1)12, (1) 29-31 Alabeos (1)201, (1)202, (1)226 Analoga de la membrana (1)210 Angulo espec co de torsion (1)212, (1)220 Apoyo { deslizante (1)38 { jo (1)38 { elastico (1)27, (1)30, (2)159 Arco parabolico (2)202 Area mecanica (1)78 Bimomento (1)231 Catenaria (2)202 Centro { de esfuerzos cortantes (1)189-192 { de gravedad (1)37, (1)71, (1)94 { de gravedad mecanico (1)78, (1)114 { de presiones (1)124, (1)131, (1)142 { de torsion (1)202, (1)233 Crculo de Mohr (1)105 Coe ciente de balasto (2)88 Compatibilidad de movimientos (1)12, (1)55 Coordenada { sectorial (1)229 { sectorial normalizada (1)229 Cuerpo deformable { ver solido deformable Curva funicular (2)202 Curvatura (1)94, (1)101 { termica (2)85, (2)102, (2)110 { virtual (2)3 { de torsion - ver angulo espec co de torsion Deformacion (1)1 { longitudinal (1)15, (1)17, (1)18 { tangencial (1)15, (1)17, (1)18 Deformaciones (1)13-19 { generalizadas (2)12, (2)32

{ impuestas (1)30, (1)117 { no mecanicas (1)76 Delta de Dirac (2)79 Directriz (1)35, (1)37, (1)49, (1)72, (2)34 Dovela (1)44, (1)93 Ecuacion de la elastica (2)71, (2)124, (2)145 Ecuaciones { constitutivas (1)19 Ecuaciones { de compatibilidad (1)19 { de compatibilidad de Beltrami (1)28, (1)29 { de equilibrio interno (1)7-10, (1)44-54, (2)1 { de Lame (1)25, (1)28 { de Navier (1)27, (1)28 { elasticas (2)58, (2)112, (2)138, (2)241 { elasticas reducidas (2)220 Efectos termicos (2)47, (2)57, (2)84, (2)102 Eje { de torsion (1)202 { neutro (ver bra neutra) Ejes principales de inercia (1)49, (1)97, (1)98, (1)99-101, (1)130 Elasticidad lineal (1)20 Elementos nitos (1)205, (1)211 Emparrillado plano (2)249 Empotramiento (1)37 Energa { de deformacion (1)31, (1)32, (1)83-84, (1)122-124, (1)196, (2)15 { elastica (minimizacion) (2)31, (2)237 { potencial de las fuerzas externas (2)15 { potencial total (2)14 Esfuerzo { axil (1)42, (1)63-69, (1)71-90, (1)124, (2)39 { cortante (1)42, (1)63-69


260


{ cortante esviado (1)169-172 Esfuerzos (1)39-44 Estructuras { antifuniculares (2)201 { antimetricas (2)175 { articuladas (2)39 { hiperestaticas (1)55, (2)178 { intraslacionales (2)204 { isostaticas (1)55, (2)178 { reticuladas (2)173 { simetricas (2)174 { translacionales (2)204 Excentricidad (1)124 Fibra neutra (1)93-94, (1)95, (1)98, (1)100, (1)104-105, (1)125, (1)159 Flexion { compuesta (1)91, (1)124-140 { esviada (1)98-114 { pura (1)91 { simple (1)91 Flujo de tensiones tangenciales (1)163, (1)165, (1)183-184, (1)219 Flujos correctores (1)184 Formulacion { de Euler-Bernouilli (2)71 { de Timoshenko (2)124 Formulas de Navier-Bresse (2)182-189, (2)237 Funcion { de alabeo de Saint-Venant (1)202, (1)203, (1)205 { de Heaviside (2)76 { de Prandtl (1)204, (1)205, (1)212 Grado de libertad (2)52, (2)180 Grado de traslacionalidad (2)204 Hiperestatismo (1)55-56, (1)180 Hipotesis { de Navier (1)72, (1)77, (1)91, (1)93, (1)117 { de Winkler (1)30 hormigon { armado (1)4 { pretensado (1)4 Incognitas hiperestaticas (2)31, (2)52 Inestabilidad (2)15

Isostatica base (2)52, (2)178 Isostatismo (1)55-56 Lecho elastico (2)88 Ley de Hooke (1)19-26, (1)32, (1)93 Leyes de esfuerzos (1)54-61, (1)63-69 Matriz { de conexion (2)40 { de equilibrio (2)246 { de rigidez (2)60, (2)117 Mecanica del Medio Continuo (1)6, (1)16 Mensula (1)42 Metodo { de compatibilidad (2)40, (2)52, (2)154, (2)178 { de la fuerza unidad (2)10 { de rigidez (2)40, (2)57, (2)164, (2)178, (2)208 Modulo { de alabeo (1)231 { de elasticidad (1)20-26 { de elasticidad transversal (1)22-26 { de Poisson (1)21-26 { de torsion (1)220 { de Young { resistente (1)95-96 Momento { de alabeo (1)191 { de inercia (1)95, (1)99-106, (1)212 { de inercia mecanico (1)115 { estatico (1)154, (1)196 { estatico sectorial (1)230 { ector (1)42, (1)63-69, (1)91-151, (1)154-156, (1)170 { torsor (1)42, (1)63-69 Movimiento { de solido rgido (2)247 { e caz (2)17 { relativo (2)25 Movimientos (1)1, (1)2, (1)3, (1)12-16, (1)19 Movimientos virtuales (2)2 Nucleo central (1)140-142 Nudos de tamao nito (2)216 Pieza elastica (1)35-37, (1)72 Piezas


261

Indice Alfabetico

{ curvas (2)144 { de plano medio (1)37, (1)92-98 { planas (1)37 Principio de Saint-Venant (1)61 Problema elastico (1)27, (1)32 Producto sectorial de inercia (1)191 Puntos angulosos (1)219, (1)222 Radio { de curvatura (1)94, (1)101 { de giro (1)125, (1)130 Rendimiento geometrico (1)96 Retraccion (1)30 Rigidez a torsion (1)214 Rotula (1)39 Seccion reducida (1)197 Secciones { cerradas (1)180-184, (1)219 { de paredes delgadas (1)162-200, (1)215 { unicelulares (1)167-169, (1)219 Solido deformable (1)6, (1)7, (1)12, (1)19, (1)29, (1)35 Subestructuras (1)30, (1)31 Superposicion de efectos (1)33, (1)34 Tension (1)4-12, (1)39 { de compresion (1)4 { de traccion (1)4 { normal (1)4, (1)5, (1)6 { tangencial (1)4, (1)5, (1)6, (1)153-200 Tensiones cortantes - Ver tensiones tangenciales

Tensor { de deformaciones (1)17 { de tensiones (1)6, (1)7, (1)10 Teorema { de Castigliano (primer teorema) (2)20, (2)237 { de Castigliano (segundo teorema) (2)21, (2)237 { de los trabajos virtuales (2)1, (2)237 { de los trabajos virtuales complementarios (2)9, (2)237 { de los tres momentos (2)157 { de Maxwell-Betti (2)27 { de reciprocidad - ver teorema de Maxwell-Betti { de Mohr (primer teorema) (2)94, (2)133 { de Mohr (segundo teorema) (2)94, (2)133 Torsion { con alabeo - ver torsion no uniforme { no uniforme (1)201, (1)226, (1)232 { segun Saint-Venant { Ver torsion uniforme { uniforme (1)201, (2)227 Triedro { local (1)37 { de Frenet (1)47, (1)51 Variaciones termicas (1)30 Vigas continuas (2)153 Vinculaciones (1)27, (1)37-39


257

Bibliograf a

Bibliograf a

ARGUELLES ALVAREZ, R.

Calculo de Estructuras.

ETS de ingenieros de Montes.

Madrid, 1985.

BATOZ, J.L.; DHATT, G.

Modelisation des estructures par elements nis.

Hermes

1995.

BEER, F.P.; RUSSELL JOHNSTON, E.

BELLUZZI, O.

Ciencia de la Construccion.

BICKFORD, W.B.

CHAJES, A.

Mecanica de solidos.

Mecanica de solidos,

Structural Analysis.

McGraw-Hill, 1993.

4 tomos. Ed. Aguilar. Madrid, 1970.

Times Mirror de Espaa, 1995.

Prentice-Hall, 1990.

Advanced Mechanics of Materials.

COOK, R.D.; YOUNG, W.C.

2nd Ed.

Prentice

Hall, 1998.

COURBON, J.

ENSIDESA.

Resistencia de Materiales.

Ed. Aguilar. Madrid, 1968.

Manual sobre la construccion con acero, 1993.

FLUGGE, W.

Stresses in shells.

GARRIDO, J.A.; FORCES, A.

Springer Verlag, 1960.


GERE, J.M.; TIMOSHENKO, S.P.

Univ. de Valladolid, 1994.

Mecanica de materiales.

Grupo Editorial Ibero-

americana, 1986.

GREEN, A.E.; Zerna, W.

Theoretical Elasticity.

2nd ed.

Oxford University Press,

1968.

KOLLBRUNNER, C.F.; BASLER, K.

LANDAU, L.; LIFCHITZ, E.

Torsion.

Ed. Spes Lausanne, 1970.

Theorie de L'Elasticit e.

Ed. Mir, 1967.


258

C alculo de Estructuras

LIVESLEY, R.K.

LOVE, A.E.H.

Metodos matriciales de calculo de estructuras.

Ed. Blume, 1970.

A treatise on the mathematical theory of Elasticity.

Dover Publications,

1944.

MALVER, L.E.

Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium.

Prentice-Hall,

1969.

MASSONET, Ch.

Resistence des materiaux.

MONLEON CREMADES, S.

sentacion uni cada.

Ed. Dunod. Par s, 1968.

Analisis de vigas, arcos placas y laminas. Una pre-

Universidad Polit ecnica de Valencia, 1999.

NORRIS, C.H., WILBURG, J.B.; UTKU, S.

Elementary structural analysis.

McGraw-

Hill, 1991.

ODEN, J.T.; RIPPERGER, E.A.

POPOV, E.G.

Mechanics of elastic structures.

Engineering Mechanics of solids.

ORTIZ BERROCAL, L.

SAMARTIN, A.

SAMARTIN, A.F.

Prentice hall, 1998.


Resistencia de materiales. Curso de Elasticidad.

McGraw-Hill, 1981.

McGraw-Hill, 1991.

Col. Ing. Caminos. Madrid, 1995.

Ed. Bellisco, 1990.

TIMOSHENKO, S.P. RESISTENCIA DE MATERIALES. Espasa Calpe, 1982.

TIMOSHENKO, S.P.; Young, D.H.

Elementos de Resistencia de materiales.

Muntaner

y Sim on, 1979.


Teora de las estructuras.


Teora de la Elasticidad.

VAZQUEZ, M.


VLASSOV, B.Z.

WEST, H.H.

Ed. Urmo, 1968.

Ed. Noela, 1994.

Pieces longues en voiles minces.

Eyrolles Editeurs, 1962.

Fundamentals of Structural Analysis.

YUAN-HU HSIEH.

Ed. Urmo, 1976.

John Wiley, 1993.

Elementary theory of structures.

Prentice-Hall, 1995.


Calculo de Estructuras II Sistemas de piezas prismáticas Spanish

Mecánica de estructuras II. Métodos de análisis (Spanish Edition)

Mecánica de estructuras II. Métodos de análisis

Dinamica de Sistemas (Spanish Edition)

Consideraciones para el calculo de Estructuras de Madera

Analisis plastico de estructuras : introduccion Spanish

Estructuras de Acero :Comportamiento y LRFD Spanish

Cálculo de estructuras I. Fundamento y estudio de (Spanish Edition)

Sistemas de Control Automatico - 7b: Edicion Spanish

Sistemas de Banco de Dados

Diseño De Sistemas De Sonido

Apuntes De Calculo Numerico

Sistemas de Numeración

Diseño Estructurado De Sistemas

Seminario Sistemas De Informacion

Sistemas de Desigualdades Lineales

El calculo de Dios

Implantacion De Sistemas

Sistemas Politico De Garzon

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Mecánica de estructuras I: Resistencia de materiales

Diseno de Estructuras de Concreto - 12: Edicion

Estructuras Sociales de La Economia

Calculo Vectorial (Spanish Edition)

Analisis de Sistemas Electricos de Potencia

Fundamentos y Diseño de Sistemas de Riego

Psicologia De Los Sistemas De Juego

Calculo En Variedades Spanish

Sistemas De Informacion En Internet

Analisis Forense De Sistemas Gnu

Sistemas De Significacion En Arquitectura

Calculo de Estructuras II Sistemas de piezas prismáticas Spanish

Mecánica de estructuras II. Métodos de análisis (Spanish Edition)

Mecánica de estructuras II. Métodos de análisis

Dinamica de Sistemas (Spanish Edition)

Consideraciones para el calculo de Estructuras de Madera

Analisis plastico de estructuras : introduccion Spanish

Estructuras de Acero :Comportamiento y LRFD Spanish

Cálculo de estructuras I. Fundamento y estudio de (Spanish Edition)

Sistemas de Control Automatico - 7b: Edicion Spanish

Sistemas de Banco de Dados

Diseño De Sistemas De Sonido

Apuntes De Calculo Numerico

Sistemas de Numeración

Diseño Estructurado De Sistemas

Seminario Sistemas De Informacion

Sistemas de Desigualdades Lineales

El calculo de Dios

Implantacion De Sistemas

Sistemas Politico De Garzon

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Mecánica de estructuras I: Resistencia de materiales

Diseno de Estructuras de Concreto - 12: Edicion

Estructuras Sociales de La Economia

Calculo Vectorial (Spanish Edition)

Analisis de Sistemas Electricos de Potencia

Fundamentos y Diseño de Sistemas de Riego

Psicologia De Los Sistemas De Juego

Calculo En Variedades Spanish

Sistemas De Informacion En Internet

Analisis Forense De Sistemas Gnu

Sistemas De Significacion En Arquitectura

Recommend Documents