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• y eine Abbildung. Das Urbild f~^{y) auch Faser iiber y genannt.
C X des Elements y €Y
wird
a) Bestimmen Sie die Fasern fiir die folgenden Abbildungen: prj : Xi X X-z ^ Xi,
pr^ : Xi x X-z ^ X-z .
b) Das Element xi £ X sei durch die Relation 7?, C X'^ mit einem Element xz G X verbunden. Wir schreiben xi7?,a;2, falls f{xi) = f{xz), d.h., xi und xz liegen beide in derselben Faser. Zeigen Sie, dass TZ eine Aquivalenzrelation ist.
1.3 Funktionen
25
c) Zeigen Sie, dass die Faserii einer Abbildung / : X —>• F sich iiicht schneiden und dass die Vereinigung aller Faserii die gesamte Menge X ergibt. d) Zeigen Sie, dass jede Aquivalenzrelation zwischen Elementen einer Menge es ernioglicht, eine Menge als eine Vereinigung von gegenseitig disjunkten Aquivalenzklassen von Elementen darzustellen. 3. Sei / : X —>• y eine Abbildung von X auf Y. Zeigen Sie, dass fiir Untermengen A und B von X gilt: a) {AdB)^
(f{A)
C / ( B ) ) ^{Ad
B),
h)iA^0)^[fiA)^0), c)/(AnB)c/(A)n/(B), d)/(AUB) = /(A)U/(B). Sind A' und B' Untermengen von Y, dann gilt: e){A'cB')^[f-'{A')cf-'{B')), f-'{A')nf-HB'), i)f-'{A'nB') = g)f-'{A'UB') = f-'{A')Uf-HB'). Gilt Y D A' D B', dann ist:
h)r'(A'\B') i)f-'{CYA')
= f-\A')\f-\B'), = Cxf-HA').
Fiir jedes Ac
X und B' CY
gilt:
J)r'{fiA))DA,
k)/(r'(B'))cB'. 4. Zeigen Sie, dass fiir die Abbildung f : X ^ Y gilt: a) / ist genau dann surjektiv, wenn f [f~^{B')j
= B' fiir alle Mengen B' C Y,
b) / ist genau dann bijektiv, wenn
{r'{fiA))=A)A[f(f-\B'))=B') fiir jede Menge A C X und jede Menge B' C Y. 5. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen iiber eine Abbildung / : X —> Y Equivalent sind: a) / ist injektiv, b) c) d) e)
/ " ' ( / ( ^ ) ) = A fui' jedes AcX, f{A n B) = f{A) n f{B) fiir beliebige Teilmengen A und B von X, /(A) n / ( B ) = 0 ^ AnB = 0, / ( A \ B) = /(A) \ / ( B ) , falls X D A D B.
26 6.
1 Allgemeine mathematische Begriffe und Schreibweisen a) Fiir die Abbildungen f : X ^ Y und g : Y ^ X gelte g o f = ex, wobei ex die Identitat auf X ist. Danii wird g eine linke Inverse von / und / eine rechte Inverse von g genannt. Zeigen Sie, dass im Gegensatz zur Eindeutigkeit der inversen Abbildung mehrere einseitige inverse Abbildungen existieren konnen. Betrachten Sie zum Beispiel die Abbildungen / : X —>• Y und g : Y ^ X, wobei X eine Menge mit einem Element ist und Y eine Menge mit zwei Elenienten oder die Abbildungen von Folgen, die durch f
yXl,
. . . , Xn,
{y2,...,y„,...)
• • •} ^
^
'
yOj, Xl,
. . . , X'a, • • •) ,
{yi,y2,...,yn,---)
•
gegeben sind. b) Seien / : X —>• Y und g : Y ^ Z bijektive Abbildungen. Zeigen Sie, dass die Abbildung g o f : X ^ Z bijektiv ist und dass {g ° f)~^ = f~^ ° g~^• c) Zeigen Sie, dass die Gleicliung
.f)-\c) = r'{9-\c))
fiir jede Abbildung / : X —>• Y und g -.Y ^ Z und jede Menge C d Z gilt, d) Beweisen Sie, dass die Abbildung F : X x Y — > - Y x X , die durch die Bezieliung (x, y) I—> (y, x) definiert ist, bijektiv ist. Beschreiben Sie die Verbindung zwischen den Graphen zueinander inverser Abbildungen / : X —> Y und /~^ : Y —> X. 7.
a) Zeigen Sie, dass fiir jede Abbildung / : X —>• Y die Abbildung F : X —>• X x Y,
die durch die Beziehung x i—> {x,f{x)\ definiert wird, injektiv ist. b) Nehmen Sie an, dass sich ein Teilchen mit gleichformiger Geschwindigkeit auf einem Kreis Y bewegt. Sei X die Zeitachse und x i—> y die Beziehung zwischen der Zeit x £ X und der Position y = f[x) G Y des Teilchens. Beschreiben Sie den Graphen der Punktion / : X — > - Y i n X x Y . 8.
a) Bestimmen Sie fiir jedes der Beispiele 1-12 im Abschnitt 1.3, ob die darin definierten Abbildungen surjektiv, injektiv oder bijektiv sind oder zu keiner dieser Klassen gehoren. b) Das Ohmsche Gesetz / = V/R verbindet den Strom / in einem Leiter mit der Potentialdifferenz V an den Enden des Leiters und dem Widerstand R des Leiters. Formulieren Sie Mengen X und Y, fiir die eine Abbildung O : X ^ Y dem Ohmschen Gesetz entspricht. Von welcher Menge ist die entsprechende Relation eine Teilmenge? c) Finden Sie die Abbildungen G~^ und L"^, die zur Galilei- und zur LorentzTransformation invers sind.
9.
a) Eine Menge S C X ist unter einer Abbildung / : X —>• X stahil, wenn f{S) C S. Beschreiben Sie die Mengen, die unter einer Verschiebung der Ebene um einen vorgegebenen Vektor, der in der Ebene liegt, stabil sind. b) Eine Menge / C X ist unter einer Abbildung / : X —> X invariant, wenn / ( / ) = / . Beschreiben Sie die Mengen, die hinsichtlich einer Rotation der Ebene um einen Fixpunkt invariant sind. c) Ein Punkt p £ X ist ein Fixpunkt einer Abbildung / : X —> X, falls f{p) = p. Beweisen Sie, dass jede Komposition einer Verschiebung, einer Rotation und einer Ahnlichkeitstransformation der Ebene einen Fixpunkt besitzt, falls der Koeffizient der Ahnlichkeitstransformation kleiner als 1 ist.
1.4 Erganzungen d) Betrachten der Ebene den Punkt invarianten
27
Sie die Galilei- und die Lorentz-Transformationen als Abbildungen auf sich selbst, wobei der Punkt mit den Koordinaten {x,t) auf mit den Koordinaten {x',t') abgebildet wird. Bestimnien Sie die Mengen dieser Transformationen.
10. Betrachten Sie den gleichmafiigen Fluss einer Fliissigkeit (d.li., die Geschwindigkeit in jedem Punkt der Fliissigkeit andert sich mit der Zeit nicht). Zur Zeit t bewege sich ein Teilchen im Punkt x der Fliissigkeit zu einem neuen Raumpunkt ft(x). Die Abbildung x — i > ft{x), die dadurch auf den Raumpunkten, die die Fliissigkeit einnimmt, definiert wird, hangt von der Zeit ab und wird Abbildung nach der Zeit t genannt. Zeigen Sie, dass ft^ ° fti = fti ° /ta = fti+t2 und ft o f-t = ex-
1.4 Erganzungen 1.4.1 D i e M a c h t i g k e i t e i n e r M e n g e ( K a r d i n a l z a h l e n ) Die Menge X lieiBt dquipotent oder gleichmachtig zur Menge Y, falls es eine bijektive Abbildung von X auf Y gibt, d.h., jedem x G X wird ein Element y G Y zugewiesen, die Elemente von Y, die verscliiedenen Elementen von X zugewiesen werden, sind unterscliiedlich und jedes Element von Y wird einem Element von X zugewiesen. Bildlicli gesproclien, besitzt jedes Element x G X in Y iiiT sich alleine einen Stulil und es gibt in Y keine freien Stiihle. Es ist klar, dass die so eingefiilirte Relation XTZY eine Aquivalenzrelation ist. Aus diesem Grund werden wir in Ubereinstimmung mit unserer vorhergehenden Konvention X ^ Y s t a t t XTZY schreiben. Die Aquivalenzrelation unterteilt die Ansammlung aller Mengen in Klassen zueinander aquivalenter Mengen. Die Mengen einer Aquivalenzklasse besitzen dieselbe Anzalil von Elementen (sie sind aquipotent), woliingegen Mengen verschiedener Aquivalenzklassen unterschiedlicli viele Elemente liaben. Die Klasse, zu der eine Menge X gehort, wird Kardinalzahl von X genannt und mit \X\ bezeichnet. Sind AT ~ F , so schreiben wir \X\ = \Y\. Ein Gedanke hinter dieser Konstruktion ist, dass wir so die Anzahl von Elementen in Mengen vergleichen konnen, ohne direkt eine Vorschrift zum Zahlen vorzugeben, d.h., ohne die Elemente zu zahlen, sondern durch den Vergleich mit den natiirlichen Zahlen N = {1, 2 , 3 , . . . } . Das Letztere ist manchmal, wie wir gleich sehen werden, nicht nur theoretisch moglich. Ist X aquipotent zu einer Teilmenge von Y, so nennen wir die Kardinalzahl einer Menge X nicht grofier als die Kardinalzahl der Menge Y und wir schreiben \X\ < \Y\. Somit ist: {\X\ (\X\ = \Y\) (der Satz von SchroderBernstein.^®). 3°. V X V r (|X| < | y | ) V ( | y | < \X\) (Satz von Cantor). Daher ist die Klasse der Kardinalzahlen hnear angeordnet. Wir sagen, dass die Machtigkeit von X geringer ist als die Machtigkeit von Y und schreiben \X\ < \Y\, falls \X\ < \Y\ und \X\ ^ \Y\. Somit gilt:
(|x|• F aus einer vorgegebenen Menge X in eine andere vorgegebene Menge Y ihrerseits eine Menge M{X, Y) bilden.
34
1 Allgemeine mathematische Begriffe und Schreibweisen
c) Sei TZ eine Menge von geordneten Paareii (d.h. eine Relation). Uberpriifen Sie, ob die ersten Elemente der Paare in TZ (wie auch die zweiten) eine Menge bilden. 3.
a) Priifen Sie mit Hilfe der Extensionalitats-, Paarungs-, Aussonderungs-, Vereinigungs- und Unendlichkeitsaxiome, dass die folgenden Aussagen fiir die Elemente der Menge No der natiirlichen Zahlen im Sinne von von Neumann zutreffen: l" a; = 2/ => x'^ = y"*", 2° ( V i G N o ) ( i + 7^0), 3" x'^ = y'^ ^ X = y, 4° (Vi G No) ( i ^ 0 ^ (3y G No) (x = ?/+)).
b) Zeigen Sie unter Ausnutzung, dass genden Aussagen fiir jedes Element gelten: 1° \x\ < \x+\, 2° | 0 | < \x+\, 3° |x| < |2/| ^ | x + | < I2/+I, 4° \x\ < \x+\, 5° \x\ a; (sprich: „y ist groBer oder gleich a;") geschrieben werden kann. Gilt x ^ y, dann wird die Relation x y .
Beweis. Dies folgt aus der obigen Definition der strengen Ungleichheit und den Axionien 1< und 3 i 3x' G X {x' < i')))
.
Zusammen mit der Schreibweise inf AT (sprich: „das Infimum von AT") benutzt m a n auch die Schreibweise inf x fiir die groBte untere Schranke von X. xex Somit haben wir die folgenden Definitionen getroffen: sup AT := min {cGM\yx
G X{x
< c)} ,
inf A: := m a x { c e K| Vx £ AT (c < x)}
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2 Die reellen Zahlen
Aber bereits oben haben wir gesagt, tes oder groBtes Element besitzt. Daher tionen zur kleinsten oberen Schranke und Ausfiihrung, die wir ini folgenden Lemma
dass nicht jede Menge ein kleinserfordern die vorgestellten Definider groi^ten unteren Schranke eine geben wollen.
Lemma. (Das Prinzip der kleinsten oberen Schranke). Jede nicht leere Menge reeller Zahlen, die von oben beschrdnkt ist, besitzt eine eindeutige kleinste obere Schranke. Beweis. Da wir bereits wissen, dass das groBte Element einer Zahlenmenge eindeutig ist, miissen wir nur zeigen, dass die kleinste obere Schranke existiert. Sei A: C ffi eine gegebene Menge und Y = {y G M\\fx G X (x < y)}. Laut Voraussetzung ist X 7^ 0 und Y ^ 0. Dann existiert nach dem VoUstandigkeitsaxiom ein c £ M, so dass \/x G X \/y £ Y (x < c < y). Die Zahl c ist daher sowohl eine Majorante von X als auch eine Minorante von Y, wobei c als Majorante von X ein Element von Y ist. Andererseits muss c als Minorante von Y das kleinste Element von Y sein. Daher gilt c = m i n F = sup X. D Natiirlich verhalt es sich mit der Existenz und Eindeutigkeit der grofiten unteren Schranke einer Zahlenmenge, die von unten beschrankt ist, analog, d.h., es gilt das folgende Lemma: Lemma.
(X von unten beschrankt) => (3! inf AT).
Wir iibergehen diesen Beweis. Wir kehren nun zur Menge A' = { a ; e M | 0 < a ; < l } zuriick. Nach dem eben bewiesenen Lemma muss sie eine kleinste obere Schranke besitzen. Nach der Definition der Menge X und der Definition der kleinsten oberen Schranke ist klar, dass sup AT < 1. Um zu zeigen, dass supX = 1, miissen wir daher nachweisen, dass fiir jede Zahl q < 1 ein x G X existiert, so dass q < x; einfach formuhert, so bedeutet dies ledighch, dass es Zahlen zwischen q und 1 gibt. Dies zu zeigen, ist natiirlich einfach (indem man beispielsweise zeigt, dass q < 2~^{q+l) < 1), aber wir verzichten im Augenblick darauf, da derartige Fragen systematisch und ausfiihrlich im nachsten Abschnitt untersucht werden. Die grofite untere Schranke fallt immer mit dem kleinsten Element einer Menge zusammen, falls solch ein Element existiert. Daher erhalten wir allein aus dieser Betrachtung fiir das gegenwartige Beispiel, dass inf X = 0. Andere, stichhaltigere Beispiele fiir den Einsatz der hier eingefiihrten Begriffe werden wir im nachsten Abschnitt kennen lernen.
2.2 Klassen reeller Zahleii und Berechnungen
49
2.2 Die wichtigsten Klassen reeller Zahlen und Gesichtspunkte fiir das Rechnen mit reellen Zahlen 2.2.1 Die natiirlichen Zahlen und das Prinzip der mathematischen Induktion a. Definition der natiirlichen Zahlen Die Zahlen der Gestalt 1, 1 + 1, (1 + 1) + 1, usw. werden 1,2,3,... usw. bezeichnet und natiirliche Zahlen genannt. Eine derartige Definition ist nur fiir jemanden sinnvoll, der bereits iiber ein vollstandiges Bild der natiirlichen Zahlen inklusive ihrer Schreibweise verfiigt, wie etwa bei Berechnungen im Dezimalsysteni. Die Fortsetzung einer derartigen Entwicklung ist bei Weitem nicht eindeutig, so dass das allgegenwartige „und so welter" eine Erklarung notig macht, die das zentrale Prinzip der mathematischen Induktion liefert. Definition 1. Eine Menge X C ffi ist induktiv, falls mit jeder Zahl x G X auch a; + 1 in ihr enthalten ist. So ist beispielsweise ffi eine induktive Menge, ebenso wie die Menge der positiven Zahlen. Der Durchschnitt X = f] Xa jeder Familie von induktiven Mengen Xa ist, falls er nicht leer ist, eine induktive Menge, denn tatsachhch gilt:
ixex \
= f] xA ^ {yaeA{xG x„)) => aeA
J ^ (Va e A ((a; + 1) e X„)) => [ (x + 1) £ p | X„ = X | . \
aeA
/
Wir wenden uns nun der folgenden Definition zu. Definition 2. Die Menge der natiirlichen Zahlen ist die kleinste induktive Menge, die die 1 enthalt, d.h., sie ist der Durchschnitt aller induktiven Mengen, die die 1 enthalten. Die Menge der natiirlichen Zahlen wird mit N bezeichnet und ihre Elemente heiBen natiirliche Zahlen. Aus dem Blickwinkel der Mengenlehre mag es verniinftiger sein, die natiirlichen Zahlen bei 0 beginnen zu lassen, d.h., die Menge der natiirlichen Zahlen als die kleinste induktive Menge, die die 0 enthalt, zu definieren. Es ist jedoch fiir uns bequemer, Nummerierungen mit 1 zu beginnen. Das folgende zentrale und haufig benutzte Prinzip ist ein direktes KoroUar zur Definition der Menge der natiirlichen Zahlen.
50
2 Die reellen Zahlen
b. D a s Prinzip der m a t h e m a t i s c h e n Induktion Enthalt eine Teilmenge E der natiirlichen Zahlen N die 1 und zusdtzUch jeder Zahl x G E die Zahl x -\- 1, dann gilt i? = N. In symbolischer Schreibweise: (E CN) A (1 G E) A {yx G E {x G E ^
zu
{x + 1) G E)) ^ E = N .
Wir woUen dieses Prinzip beim Beweis mehrerer niitzlicher Eigenschaften der natiirlichen Zahlen, die wir von nun an immer wieder benutzen werden, veranschaulichen. 1°. Die Summe
und das Produkt natiirlicher
Zahlen sind natiirliche
Zahlen.
Beweis. Seien mjU GW, wir wollen zeigen, dass (m + n) G N. Sei E die Menge der natiirlichen Zahlen n, fiir die (m + n) £ N fiir alle m € N. Dann ist 1 G E, da (m e N) ^ ((m + 1) £ N) fiir jedes m G K 1st n G E, d.h. (m + n) G N, dann ist auch (n + 1) G E, da {^m + {n + 1)) = ((m + n) + l ) £ N. Nach dem Induktionsprinzip gilt E = fi und wir haben bewiesen, dass uns die Addition nicht aufierhalb von N fiihrt. Sei E die Menge der natiirlichen Zahlen n, fiir die (m • n) € N fiir alle m G N. Dann ist 1 £ -E, da m • 1 = m. Sei n G E, d.h. m • n G N, dann ist m • (n + 1) = mn + m die Summe zweier natiirlichen Zahlen, die nach dem eben Bewiesenen in N liegt. Somit gilt {n G E) ^ ((n + 1) £ i?) und somit nach dem Induktionsprinzip, dass _E = N. D 2°.
(n £ N) A (n ^ 1) ^
((n - 1) £ N ) .
Beweis. Sei E die Menge aller Zahlen n — 1, ungleich 1 ist. Wir wollen zeigen, dass i? = (1 + 1) £ N und daher ist 1 = (2 - 1) £ £;. Sei m G E, dann ist m = n — 1 mit n £ N. und da n + 1 £ N, gilt (m + 1) £ E. Nach dem folgern, dass E = N.
wobei n eine natiirliche Zahl N. Da 1 £ N ist auch 2 := Dann gilt m + l = (n + l ) — 1 Induktionsprinzip konnen wir D
3°. Zu jedem n £ N enthalt die Menge {a; £ N| n < x} ein kleinstes namlich m i n j x £ N | n < x} = n + 1 .
Element,
Beweis. Wir werden zeigen, dass die Menge E, die aus Elementen n G N besteht, fiir die diese Annahme gilt, mit N iibereinstimmt. Zunachst zeigen wir, dass 1 G E, d.h., m i n j x £ N| 1 < a;} = 2 . Wir werden auch diese B e h a u p t u n g mit dem Induktionsprinzip beweisen. Sei M = {a;£ N|(a; = 1) V ( 2 < x)} .
2.2 Klassen reeller Zahleii und Berechnungen
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Laut Definition von M gilt 1 £ M. 1st namlich a; £ M, so ist entweder x = 1, woraus folgt, dass x + 1 = 2 £ M oder es gilt 2 < x, womit 2 < (a; + 1) und wiederum, dass (x + 1) £ M. Somit ist M = N. 1st daher (a; ^ 1) A (a; e N), dann gilt 2 < x, d.h. tatsachlicli, dass min{a; £ N| 1 < x} = 2. Daher ist 1 £ E. Wir zeigen nun, dass fiir n G E aucli (n + l) £ E. Dazu lialten wir zunaclist fest, dass fiir a; £ {x £ N| n + 1 < a;} gilt: ix-l)=yG{yGN\n y > n + l und a; > n + 2. Daher ist (a; £ {x £ N| n + 1 < a;}) ^ (a; > n + 2) und folglich min{a; £ N| n + 1 < x} = n + 2, d.h., (n + 1) £ E. Nach dem Induktionsprinzip ist i? = N und 3° ist somit bewiesen.
D
Als unmittelbare Korollare aus 2° und 3° erhalten wir die folgenden Eigenschaften 4°, 5*^ und 6° der natiirlichen Zahlen: 4°. (m £ N) A (n £ N) A (n < m) =^ (n + 1 < m). 5°. Die Zahl (n + l) £ N ist der unmittelbare Nachfolger der Zahl n £ N, d.h., ist n £ N, dann gibt es keine natiirliche Zahl x, fiir die gilt: n < x < n + 1. 6°. Sei n £ N und n ^ 1. Dann ist (n — 1) der unmittelbare Vorgdnger von n in N, d.h., ist n £ N, dann gibt es keine natiirliche Zahl x, fiir die gilt: n — 1 < X < n. Wir woUen eine weitere Eigenschaft der natiirlichen Zahlen beweisen. 7°. In jeder nicht leeren Teilmenge der Menge der natiirlichen Zahlen gibt es ein kleinstes Element. Beweis. Sei M C N. Ist 1 £ M, dann ist m i n M = 1, da Vn £ N(l < n). Angenommen, 1 ^ M, d.h. 1 £ _E = N \ M. Die Menge E muss eine natiirliche Zahl n enthalten, so dass alle natiirlichen Zahlen, die nicht grofier als n sind, zwar zu E gehoren, aber (n + l) £ M. Gabe es kein derartiges n, wiirde die Menge i? C N, in der 1 enthalten ist, zusammen mit jedem seiner Elemente n auch die Zahl (n + 1) enthalten und ware daher nach dem Induktionsprinzip gleich N. Dies ist jedoch unmoglich, da N \ -E = M ^ 0 . Die so gefundene Zahl (n + l) muss das kleinste Element von M sein, da es zwischen n und n + l , wie bewiesen, keine weiteren natiirlichen Zahlen gibt. D
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2 Die reellen Zahlen
2.2.2 R a t i o n a l e u n d i r r a t i o n a l e Z a h l e n a. D i e g a n z e n Z a h l e n D e f i n i t i o n 3 . Die Vereinigung der Menge der natiirlichen Zahlen niit der Menge der Negativen der natiirlichen Zahlen und der Null wird die Menge der ganzen Zahlen genannt und mit Z bezeichnet. Da, wie bereits bewiesen, Addition und Multiplikation natiirlicher Zahlen nicht aufierhalb von N fiihren, folgt sofort, dass die Anwendung dieser Operationen auf ganze Zahlen auch nicht auBerhalb von Z fiihrt. Beweis. Seien 7n,n £ "L und einer dieser Zahlen gleich Null. Dann entspricht die Summe m+n der anderen Zahl, so dass also {m+n) £ Z und m-n = 0 € Z . Sind beide Zahlen von NuU verschieden, so ist entweder m, n € N und folghch {m -\- n) £ N C Z und [m-n) £ N C Z oder es ist (—m), (—n) £ N mit m-n = ((—l)m) ((—l)n) £ N oder aber {—m),n £ N und somit (—m-n) £ N, d.h., m • n £ Z oder schliefilich m, (—n) £ N und somit (—m • n) £ N und wiederum m • n £ Z . D Somit ist Z eine Abelsche Gruppe beziiglich der Addition. Beziiglich der Multiplikation ist weder Z eine Gruppe noch Z \ 0, da (auBer 1 und —1) die Kehrwerte der ganzen Zahlen nicht in Z enthalten sind. Beweis. Sei m G li und m 7^ 0 , 1 . Wenn wir zunachst annehmen, dass m £ N, dann gilt 0 < 1 < m und da m • m~^ = 1 > 0, muss 0 < m~^ < 1 gelten (wie aus den Anordnungsaxiomen im vorherigen Absatz folgt). Daher ist m~^ ^ Z . Der Fall, dass m eine negative Zahl ungleich —1 ist, lasst sich sofort auf das bereits Betrachtete reduzieren. D Gilt k = 'm-n~^ £ Z fiir zwei ganze Zahlen 171,71 £ Z , d.h. m = k-n fiir ein k G li, dann sagen wir, dass m durch n oder einem Vielfachen von n teilhar ist oder dass n ein Teller von m ist. Die Teilbarkeit von ganzen Zahlen lasst sich nach geeignetem Vorzeichenwechsel, d.h. durch Multiplikation mit —1, sofort auf die Teilbarkeit der entsprechenden natiirlichen Zahlen zuriickfiihren. In diesem Zusammenhang wird sie in der Zahlentheorie untersucht. Wir wiederholen ohne Beweis den sogenannten Fundamentalsatz der Arithmetik, den wir bei der Untersuchung einiger Beispiele benutzen werden. Eine Zahl p £ N, p ^ 1 ist eine Primzahl, wenn es keinen Teller aufier 1 und p in N gibt. F u n d a m e n t a l s a t z d e r A r i t h m e t i k . Jede natiirliche stellung als Produkt n=pi---pk , wohei pi,... ,pk Primzahlen der Faktoren eindeutig.
sind. Diese Darstellung
Zahl erlaubt eine Dar-
ist bis auf die
Anordnung
2.2 Klassen reeller Zahleii und Berechnungen
53
Die Zahlen 711,71 ^IJ werden teilerfremd genannt, falls sie aufier 1 und —1 keine gemeinsamen Teller besitzen. Aus diesem Satz folgt insbesondere, dass eine von zwei teilerfremden Zahlen m und n durcli die Primzahl p teilbar sein muss, falls das P r o d u k t m • n durch p teilbar ist.
b. Die rationalen Zahlen D e f i n i t i o n 4. Zahlen der Gestalt m • n~^ mit m , n € Z werden ratio7iale Zahlen genannt. Wir bezeichnen die Menge der rationalen Zahlen mit Q. Somit wird durch das geordnete P a a r ganzer Zahlen (m, n) die rationale Zahl q = m • 7i~^ definiert, falls n ^ 0. Die Zahl q = 711 •7i~^ kann auch als ein Quotient^ von m und n geschrieben werden, d.h. als sogenannter rationaler Bruch —. Die in der Schule vermittelten Regeln fiir den Umgang mit rationalen Zahlen in ihrer Darstellung als Bruch, folgen sofort aus der Definition einer rationalen Zahl und den Axiomen fiir die reellen Zahlen. Insbesondere „bleibt der Wert eines Bruchs unverandert, wenn sowohl der Zahler als auch der Nenner mit derselben von Null verschiedenen ganzen Zahl multipliziert wird", d.h., die Briiche ^ und — reprasentieren dieselbe rationa1
1
"
"
1
1
1
le Zahl. Da {nk){k 71 ) = 1, d.h. (n • k) = k • n ~ , gilt tatsachlich {m,k){nk)~^ = {7nk){k~^n~^) = m • 7i~^. Also definieren die verschiedenen geordneten P a a r e (m, n) und (mfc, nk) dieselbe rationale Zahl. Folghch kann jede rationale Zahl nach geeigneter Reduktion als ein geordnetes P a a r teilerfremder Zahlen dargestellt werden. Auf der anderen Seite gilt m i n 2 = r7i27ii, wenn ( m i , n i ) und (m2,n2) dieselbe rationale Zahl definieren, d.h. m i • nj~ = 777-2 • n^ • Sind andererseits beispielsweise m i und Tii teilerfremde Zahlen, so folgt aus dem oben angefiihrten KoroUar des Fundamentalsatzes der Arithmetik, dass 712 • nj~ = 7772 • nil
= k £
Z.
Somit haben wir gezeigt, dass zwei geordnete Paare (mi,7ii) und (m2,7i2) genau dann dieselbe rationale Zahl definieren, wenn sie proportional sind, d.h., es existiert eine ganze Zahl fc £ Z , so dass etwa m2 = fc7ni und 772 = fcrii.
c. D i e i r r a t i o n a l e n Z a h l e n D e f i n i t i o n 5. Die reellen Zahlen, die nicht rational sind, werden genannt.
irrational
^ Die Schreibweise Q riihrt vom ersteii Buchstaben des Wortes Quotient her, das seinerseits vom lateinischen quota, das den Einheitsteil von etwas bedeutet, und quot, das wie viele bedeutet, stamnit.
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2 Die reellen Zahlen
Das klassische Beispiel fiir eine irrationale reelle Zahl ist \/2, d.h., die Zahl s £ M mit s > 0, fiir die s^ = 2 gilt. Nach dem Satz von Pythagoras ist die Irrationalitat von \/2 aquivalent zu der Behauptung, dass die Diagonale und die Kante eines Quadrats inkommensurabel sind. Daher beginnen wir mit dem Beweis der Existenz einer reellen Zahl s £ M, deren Quadrat gleich 2 ist und zeigen dann, dass s ^ Q. Beweis. Seien X und Y die Mengen positiver reeller Zahlen, so dass \/x G X (a;2 < 2), Vy e r (2 < 2/2). Da 1 e X und 2 e y folgt, dass X und Y keine leeren Mengen sind. Da aufierdem fiir positive Zahlen x und y gilt, dass (x < y) 0) A ( a ^ 1) algebraisch und /3 eine irrationale algebraische Zahl (beispielsweise a = 2, /? = ^/2).
2.2.3 Das archimedische Prinzip Wir wenden uns nun dem archimedischen^ Prinzip zu, das sowohl in theoretischer Hinsicht als auch fiir die Benutzung von Zahlen in Messungen und Berechnungen wichtig ist. Wir werden es mit Hilfe des Vollstandigkeitsaxioms Die Zahl TT entspricht in der euklidischen Geometrie dem Verhaltnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises. Aus diesem Grund wird diese Zahl seit dem achtzehnten Jahrhundert nach eineni Vorschlag von Euler mit TT bezeichnet, denn dies ist der Anfangsbuchstabe des griechischen Wortes Trepupipba - Peripherie (Umfang). Die Transzendenz von TT wurde durch den deutschen Mathematiker F. Lindemann (1852-1939) bewiesen. Insbesondere folgt aus der Transzendenz von TT, dass es unmoglich ist, eine Strecke der Lange TT mit Zirkel und Lineal (das Problem der Rektifizierung des Kreises) zu konstruieren, genauso wie das uralte Problem der Quadratur des Kreises nicht mit Zirkel und Lineal gelost werden kann. D.Hilbert (1862-1943) - herausragender deutscher Mathematiker, der 1900 auf dem internationalen Kongress der Mathematiker in Paris 23 Probleme aus verschiedenen Bereichen der Mathematik formulierte. Diese Probleme wurden als die „Hilbert Probleme" bekannt. Das hier genannte Problem (das siebzehnte der Hilbert Probleme) wurde 1934 durch den russischen Mathematiker A. O. Gel'fond (1906-1968) und den deutschen Mathematiker T.Schneider (1911-1989) gelost. Archimedes (287-212 v.Chr.) - brillanter griechischer Gelehrter, iiber den Leibniz, einer der Begriinder der Analysis, sagte: „Beim Studium der Arbeiten von Archimedes verblassen die Leistungen moderner Mathematiker."
56
2 Die reellen Zahlen
beweisen (genauer gesagt, dem Satz zur kleinsten oberen Schranke, der zum VoUstandigkeitsaxiom aquivalent ist). Dieses zentrale Prinzip ist in anderen Axiomensystenien der reellen Zahlen haufig eines der Axionie. Wir halten fest, dass die bisher bewiesenen Satze zu den natiirlichen Zahlen und den ganzen Zahlen iiberhaupt keinen Gebrauch vom VoUstandigkeitsaxiom machten. Wie wir unten sehen werden, werden die mit der Vollstandigkeit zusanimenhangenden Eigenschaften der natiirlichen und ganzen Zahlen im Wesentlichen durch das archimedische Prinzip widergespiegelt. Wir beginnen bei diesen Eigenschaften. 1°. Jede von oben beschrankte, enthalt ein grofites Element.
nicht leere Teilmenge
der natiirlichen
Zahlen
Beweis. Sei E C 'N die zu untersuchende Teilmenge. Dann gilt nach dem Lemma zur kleinsten oberen Schranke, dass 3 ! s u p i ? = s g M. Nach der Definition der kleinsten oberen Schranke existiert eine natiirliche Zahl n G E, fiir die gilt: s — 1 < n < s. Aber dann ist n = maxE, da eine natiirliche Zahl, die groBer als n ist, mindestens n + 1 sein muss und n + 1 > s. D KoroUare 2°. Die Menge der natiirlichen Beweis.
Zahlen ist nicht von oben
beschrdnkt.
Ansonsten gabe es eine grofite natiirhche Zahl. Aber n < n - | - l £ N . D
3°. Jede nach oben beschrankte, ein grofites Element.
nicht leere Teilmenge
ganzer Zahlen
enthalt
Beweis. Der Beweis von 1° kann wortlich iibernommen werden, wenn wir N durch Z ersetzen. D 4°. Jede nach unten beschrankte Element.
Teilmenge ganzer Zahlen enthalt ein
kleinstes
Beweis. Wir konnten den Beweis von 1° wiederholen und dabei N durch Z ersetzen und das Prinzip der groBten unteren Schranke anstelle des der kleinsten oberen Schranke benutzen. Alternativ konnten wir das Negative der Zahlen betrachten („Vorzeichenwechsel") und 3° anwenden. 5°. Die Menge der ganzen Zahlen ist nach unten und oben Beweis.
Dies folgt aus 3° und 4° oder direkt aus 2°.
unbeschrdnkt. D
Nun konnen wir das archimedische Prinzip formulieren. 6°. (Das a r c h i m e d i s c h e P r i n z i p ) . Zu jeder festen positiven Zahl h und jeder reellen Zahl x gibt es eine eindeutige ganze Zahl k, so dass (k — l)h < X < kh.
2.2 Klassen reeller Zahleii und Berechnungen
57
Beweis. Da Z nicht von oben beschrankt ist, ist die Menge {n £ Z | | < nj eine nicht leere, nach unten beschrankte Teilnienge der ganzen Zahlen. Somit (vgl. 4°) enthalt sie ein kleinstes Element k, d.h., (fc — 1) < x/h < k. Da h > 0, sind diese Ungleichungen zu denen im archimedischen Prinzip aquivalent. Die Eindeutigkeit von k G Z, das diese Ungleichungen erfiillt, folgt aus der Eindeutigkeit des kleinsten Elements in einer Zahlenmenge (vgl. Absatz 2.1.3). D Nun einige Korollare: 7°. Zu jeder positiven
Zahl e gibt es eine natiirliche
Zahln,
so dass 0 < ^ < e.
Beweis. Nach dem archimedischen Prinzip existiert ein n £ Z , so dass 1 < e-n. Da 0 < 1 und 0 < e, gilt 0 < n. Somit ist n e N und 0 < ^ < e. D 8°. Gilt fiir die Zahl x £ M., dass 0 < x und x < -^ fiir alle n G N, dann ist x = 0. Beweis.
Die Ungleichung 0 < a; ist nach 7*^ unmoglich.
D
9°. Zu beliebigem a,b GM. mit a < b gibt es eine rationale Zahl r € Q, so dass a < r b — a. Somit ist r = — £ Q und
a 0. 2.2.4 Die geometrische Interpretation der M e n g e der reellen Zahlen und Gesichtspunkte b e i m Rechnen mit reellen Zahlen a. D i e r e e l l e G e r a d e Im Zusammenhang mit den reellen Zahlen benutzen wir oft eine anschauliche geometrische Darstellung, so wie Sie sie im Grofien und Ganzen aus der Schule kennen. Nach den Axiomen der Geometrie existiert ein eins-zu-eins Zusammenhang / : L —>• ffi zwischen den P u n k t e n einer Geraden L und der
58
2 Die reellen Zahlen
Menge der reellen Zahlen M. AuBerdeni bestelit ein Zusanimenhang mit starren Bewegungen der Geraden. Um genauer zu sein, so existiert, falls T eine parallele Verscliiebung der Geraden L auf sicli ist, eine Zahl t £ K (die nur von T abliangt), so dass f(T{x)) = f{x) +1 fiir jeden Punkt x Gh. Die Zahl f{x), die einem Punkt a; £ L entspricht, wird Koordinate von x genannt. Im Hinblick auf die bijektive Eigenschaft der Abbildung / : L —>• M wird die Koordinate eines Punktes oft auch einfach Punkt genannt. So sagen wir beispielsweise anstelle von „wir nehmen den Punkt mit der Koordinate 1" „wir nehmen den Punkt 1". Mit Kenntnis der Beziehung / : L —^ffinennen wir die Gerade L die Koordinatenachse, die Zahlengerade oder die reelle Gerade. Da / bijektiv ist, wird die Menge ffi selbst oft als reelle Gerade und ihre Elemente als Punkte der reellen Gerade bezeichnet. Wie wir oben angemerkt haben, besitzt die bijektive Abbildung / : L ^ K, durch die die Koordinaten auf L definiert werden, die Eigenschaft, dass sich die Koordinaten der Bildpunkte der Geraden L nach einer parallelen Verschiebung T von den urspriinglichen Koordinaten der Punkte um die Zahl t e M unterscheiden. Dies ist fiir alle Punkte gleich. Aus diesem Grund wird / voUstandig durch Angabe des Punktes mit Koordinate 0 und des Punktes mit Koordinate 1 bestimmt oder, kiirzer formuliert, durch den Punkt 0, der Ursprung genannt wird und den Punkt 1. Das abgeschlossene Intervall, das durch diese Punkte festgelegt wird, wird Einheitsintervall genannt. Die Richtung des Strahls mit Ursprung in 0 zum Punkt 1 wird positive Richtung genannt, und eine Bewegung in diese Richtung (von 0 nach 1) wird Bewegung von links nach rechts genannt. In Ubereinstimmung mit dieser Konvention liegt 1 rechts von 0 und 0 liegt links von 1. Nach einer parallelen Verschiebung T, bei der der Ursprung XQ in den Punkt xi = T{xo) mit der Koordinate 1 bewegt wird, sind die Koordinaten der Bilder aller Punkte um eine Einheit grofier als die ihrer Urbilder. Und deshalb erhalten wir den Punkt X2 = T{xi) mit Koordinate 2, den Punkt X'j, = T{x2) mit Koordinate 3, ...und den Punkt Xn+i = T{xn) mit der Koordinate n + 1 genauso wie die Punkte X-i = T~^{xo) mit der Koordinate — 1, .. .und den Punkt X-„-i = T~^(a;_„) mit der Koordinate —n — 1. Auf diese Weise erhalten wir alle Punkte mit ganzzahligen Koordinaten m £ Z. Wir wissen, wie dieses Einheitsintervall zu verdoppeln, zu verdreifachen, . . . ist, und konnen analog dazu mit Hilfe des Satzes von Thales dieses Intervall in n gleich grofie Teilintervalle teilen. Wenn wir das Teilintervall so wahlen, dass der eine Endpunkt im Ursprung liegt, finden wir, dass das andere Ende, das wir mit x bezeichnen, die Gleichung n-x = 1 erfiillt, d.h. x = -. Auf diese Weise konnen wir alle Punkt mit rationalen Koordinaten — £ Q finden. Aber es verbleiben noch Punkte auf L, da wir wissen, dass es IntervaUe gibt, die zum Einheitsintervall inkommensurabel sind. Jeder derartige Punkt wie jeder andere Punkt der Geraden unterteilt die Gerade in zwei Strahlen. Auf jedem dieser Strahlen gibt es Punkte mit ganzzahligen und rationalen Koordinaten. (Dies ist eine Konsequenz aus dem urspriinglich geometrischen archimedischen Prinzip.) Somit erzeugt ein Punkt eine Unterteilung, oder wie
2.2 Klassen reeller Zahleii und Berechnungen
59
es genannt wird, einen Schnitt von Q in zwei nicht leere Mengen X und Y entsprechend zu den rationalen Punkten (den Punkten niit rationalen Koordinaten) auf deni linken oder deni rechten Strahl. Nach dem VoUstandigkeitsaxiom gibt es eine Zahl c, die X und Y trennt, d.h., x < c < y fiir alle x G X und alle y £Y. Da XUY = Q, folgt, dass supX = s = i = iniY. Denn ansonsten ware s < i und es gabe eine rationale Zahl zwischen s und i, die weder in X nocli in Y liegen wiirde. Somit ist s = i = c. Diese eindeutig definierte Zahl c wird dem entsprechenden Punkt auf der Geraden zugeordnet. Die gerade beschriebene Zuordnung von Koordinaten zu Punkten auf der Geraden eroffnet ein anschauliches Modell sowohl fiir die Anordnungsrelation in M (daher der Ausdruck „lineare Anordnung") als auch das VoUstandigkeitsaxiom in K. Letzteres bedeutet geometrisch, dass es keine „L6cher" auf der Geraden L gibt, die die Gerade in zwei Stiicke, die keinen Punkt gemeinsam haben, unterteilen wiirden. (Eine derartige Trennung konnte nur mit Hilfe eines Punktes auf der Geraden L zustande kommen.) Wir woUen die Konstruktion der Abbildung / : L —^ffinicht naher untersuchen, da wir die geometrische Interpretation der Menge der reellen Zahlen nur der Anschaulichkeit halber ins Spiel bringen. Vielleicht hilft eine geometrische Intuition dem Leser. Die formalen Beweise werden, wie bisher, entweder aus Tatsachen, die wir aus Axiomen fiir die reellen Zahlen erhalten haben, oder direkt aus den Axiomen selbst aufgebaut. Geometrische Ausdriicke werden wir jedoch standig benutzen. Wir fiihren nun die folgende Schreibweise und Terminologie fiir die unten angefiihrten Zahlenmengen ein: ]a, b[:= {x £M.\a < X < b} ist das offene IntervaU ah, [a, b] := {x GM.\a < X 0 , 0 falls a; = 0 , —X falls a; < 0 , die der Betrag oder der Absolutwert der Zalil x genannt wird. Definition 8. Der Abstand zwisclien x,y GM. entspricht |a; — 2/|. Der Abstand ist nicht negativ und genau dann gleich Null, wenn die Punkte X und y identisch sind. Der Abstand zwischen x und y ist mit dem Abstand zwischen y und x identisch, da |a; — 2/| = ly — a;|. Ist schlieBlich 2; £ M, dann gilt |a; — 2/| < |a; — z| + |z — yj. Dies ist die sogenannte Dreiecksungleichung. Die Dreiecksungleichung ergibt sich aus einer Eigenschaft des Betrags, der auch Dreiecksungleichung genannt wird (da sie aus der obigen Dreiecksungleichung durch Setzen von z = 0 und Ersetzen von y durch —y erhalten werden kann). Auf den Punkt gebracht, so gilt die Ungleichung \x + y\< \x\ + \y\ fiir alle Zahlen x und y, und Gleichheit herrscht nur dann, wenn die Zahlen X und y beide das gleiche Vorzeichen besitzen. Beweis. Seien 0 < a; und 0 < y, dann gilt 0 < x -\- y, \x -\- y\ = x + y, \x\ = x und \y\ = y, so dass in diesem Fall Gleichheit herrscht. Seien a; < 0 und y < 0, dann gilt x + y < 0, \x + y\ = —{x + y) = —x — y, \x\ = —X und \y\ = —y, so dass wiederum Gleichheit herrscht. Sei nun eine der Zahlen negativ und die andere positiv, etwa x < 0 < y. Dann gilt entweder a; < a; + y < 0 oder 0 < x + y < y. Ira ersten Fall ist |a; + 2/| < \x\ und im zweiten |a; + 2/| < \y\, so dass in beiden Fallen |a; + 2/| < |a;| + |2/| gih. D Mit Hilfe des Induktionsprinzips konnen wir zeigen, dass \xi
-\
\-Xn\
< \xi\
H
h \Xn\ ,
wobei wiederum genau dann Gleichheit herrscht, wenn die Zahlen a;i,...• ,a; ; '*^n alle das gleiche Vorzeichen besitzen.
2.2 Klassen reeller Zahleii und Berechnungen
61
Die Zahl ^-^ wird oft der Mittelpunkt oder das Zentrum des Intervalls mit den E n d p u n k t e n a und b genannt, da sie zu beiden E n d p u n k t e n des Intervalls den gleiclien Abstand besitzt. Insbesondere ist ein P u n k t x G W das Zentrum seiner (5-Umgebung ]x — d,x + d[ und alle P u n k t e der (5-Umgebung besitzen von x einen Abstand kleiner als 6.
b . S c h r i t t w e i s e N a h e r u n g zur D e f i n i t i o n e i n e r Zahl Bei Messungen realer physikalischer Grofien erhalten wir eine Zahl, die im Allgemeinen bei einer Wiederholung der Messung etwas anders ausfallt, vor allem dann, wenn entweder die Messmetliode oder das Messinstrument ausgetausclit wird. Dalier ist ein Messergebnis iiblicherweise ein Naherungswert der gesucliten Grofie. Die Qualitat oder die Genauigkeit einer Messung wird beispielsweise durcli die GroBe einer moglichen Abweichung zwischen dem tatsachliclien Wert der GroBe und den bei der Messung erhaltenen Werten cliarakterisiert. Dabei kann es vorkommen, dass wir niemals den exakten Wert einer GroBe (falls er theoretisch existiert) bestimmen konnen. Von einem elier konstruktiven Gesichtspunkt aus konnten (oder soUten) wir jedoch sagen, dass wir die gewiinschte GroBe voUstandig kennen, falls wir sie mit jeder vorgegebenen Genauigkeit messen konnen. Dieser Gesichtspunkt lauft darauf hinaus, eine Zahl als eine Folge^ immer genauerer Naherungsergebnisse aus Messungen zu betrachten. Dabei ist jede Messung eine endliche Anzahl von Vergleichen mit einem Standard oder mit einem Teil eines Standards in vergleichbarer GroBenordnung. Somit wird das Messergebnis notwendigerweise mit Hilfe natiirlicher, ganzer oder, allgemeiner formuliert, rationaler Zahlen ausgedriickt. Daher kann theoretisch die ganze Menge der reellen Zahlen mit Hilfe von Folgen rationaler Zahlen beschrieben werden, indem nach reiflicher Analyse eine mathematische Kopie oder, besser formuliert, ein Modell konstruiert wird, das dem alltaglichen Umgang mit Zahlen ohne eine Vorstellung ihrer axiomatischen Beschreibung entspricht. Taglich addieren und multiplizieren wir Naherungswerte anstelle von Messwerten, die unbekannt sind. (Dabei ist sicher, dass i.A. nicht immer gewusst wird, in welcher Beziehung das Ergebnis dieser Operationen zu dem Ergebnis steht, das durch Berechnung mit den exakten Werten erhalten wiirde. Wir werden diesen Gesichtspunkt unten naher untersuchen.) Nachdem wir eine Zahl mit einer Folge von Naherungen identifiziert haben, sollten wir dann auch Folgen von Naherungen beispielsweise addieren, wenn wir zwei Zahlen addieren woUen. Die so erhaltene neue Folge muss als eine neue Zahl betrachtet werden, die Summe der ersten beiden genannt wird. ^ Ist n die Nummer der Messung und x„ das Messergebnis, dann ist die Zuordnung n 1-^ x„ einfach eine Funktion / : N —> R mit einer natiirlichen Zahl als Argument und somit per definitionem eine Folge (in diesem Fall eine Zahlenfolge). In Abschnitt 3.1 werden numerische Folgen ausfiihrlich behandelt.
62
2 Die reellen Zahlen
Aber ist diese Folge eine Zahl? Die Subtilitat dieser Frage entspringt der Tatsache, dass nicht jede zufallig erzeugte Folge eine Folge von beliebig genauen Naherungen an eine Grofie ist. Somit miissen wir erst noch untersuclien, wie aus der Folge direkt zu erkennen ist, ob sie eine Zahl darstellt oder nicht. Ein anderes Problem, das sich bei dem Versuch ergibt, eine mathematische Kopie von Operationen mit Naherungszahlen zu erstellen, ist, dass verschiedene Folgen Naherungsfolgen fiir dieselbe Grofie sein konnen. Die Beziehung zwischen Naherungsfolgen, die eine Zahl definieren, und den Zahlen selbst ist in etwa dieselbe wie die zwischen einem Punkt auf einer Karte und eineni Pfeil auf der Karte, der auf den Punkt verweist. Der Pfeil bestimmt den Punkt, aber der Punkt bestimmt nur die Spitze des Pfeils und die Pfeilform ist voUstandig behebig. Eine genaue Beschreibung dieser Probleme wurde durch Cauchy^ gegeben, der einen voUstandigen Entwurf zur Konstruktion eines Modells der reellen Zahlen erstellte, den wir nur kurz andeuteten. Wir hoffen, dass Sie nach der Untersuchung der Theorie von Grenzwerten diese Konstruktionen unabhangig von Cauchy wiederholen konnen. Das bisher Ausgefiihrte erhebt natiirlich keinen Anspruch auf mathematische Strenge. Der Zweck dieser nicht formalen Ausfiihrungen war es, den Leser auf die theoretischen Moglichkeiten hinzuweisen, dass mehr als ein natiirliches Modell fiir die reellen Zahlen existieren kann. Daneben habe ich versucht, ein Bild von der Beziehung zwischen Zahlen und der uns umgebenden Welt zu zeichnen und die zentrale RoUe, die dabei die natiirlichen und rationalen Zahlen spielen, zu verdeutlichen. Schliefilich woUte ich auch zeigen, dass Naherungsrechnungen sowohl natiirlich als auch notwendig sind. Der folgende Teil dieses Abschnitts ist einfachen, aber wichtigen Fehlerabschatzungen gewidmet, die bei arithmetischen Operationen mit Naherungswerten auftreten. Diese Abschatzungen werden unten benutzt und sind von allgemeinem Interesse. Wir machen nun genaue Aussagen. Definition 9. Sei x der genaue Wert einer Grofie und x eine bekannte Naherung an diese Grofie. Dann werden die Zahlen A{x) := \x — x\ und
der absolute und der relative Naherungsfehler von x genannt. Der relative Fehler ist fiir x = 0 nicht definiert. ^ A. Cauchy (1789-1857) - franzosischer Mathematiker. Einer der aktivsten Begriinder der mathematischen Sprache und der Maschinerie der klassischen Analysis.
2.2 Klassen reeller Zahleii und Berechnungen
63
Da der Wert x unbekannt ist, sind die Werte A{x) und d{x) ebenfalls unbekannt. Normalerweise sind aber fiir diese GroBen gewisse obere Schranken A{x) < A und d{x) < S bekannt. Fiir diesen Fall sagen wir, dass der absolute oder der relative Fehler A oder 6 nicht iibersteigt. Praktiscli miissen wir uns nur um Abschatzungen fiir die Fehler kiimmern, so dass die Gr6i3en A und 6 auch oft selbst absoluter und relativer Fehler genannt werden. Dies werden wir jedoch nicht t u n . Die Schreibweise x = x ± A bedeutet, dass x — A<x<x + A. Einige Beispiele: Gravitationskonstante Lichtgeschwindigkeit Plancksche Konstante Ladung eines Elektrons Ruhemasse eines Elektrons
G c h e nip
(6,672598 ± 0, 00085) • 1 0 - " N • m V k g ^ 299792458 m / s (exakt im V a k u u m ) , (6,6260755 ± 0,0000040) • l O ' ^ " J • s, (1,60217733 ± 0,00000049) • I Q - i ^ C o u l , (9,1093897 ± 0,0000054) • l O ' ^ i k g .
Der wichtigste Indikator fiir die Genauigkeit einer Messung ist der relative Fehler der Naherung, der iiblicherweise in Prozenten angegeben wird. Somit sind bei den Beispielen die relativen Fehler hochstens (in der Reihenfolge): 13-IQ-
0 ,
6-10-
31 • 10"
6-10-
oder als Prozentangabe der gemessenen Werte: 13 • 10"^% ,
0% ,
6 • 10"^% ,
6-10-
31 • IQ-
Wir wollen nun die Fehler abschatzen, die bei arithmetischen Operationen mit Naherungswerten auftreten. S a t z . Sei \x -x\
= A{x) ,
\y -y\=
A(y)
dann gilt: A{x + y) :=\{x A{x-y) Gilt
+ y)-(x
+ y)\
1, dass g™ < g"~^. Tatsachlich kann an dieser Anmerkung ersehen werden, dass die Ungleichungen (7™~^ <x k: 1 qh p
was nach 8° oben unmoglich ist.
1 qn
l)qP-"
68
2 Die reellen Zahlen
Auch die Feststellung, dass, falls eine der Zahlen cxp—j^—i,..., cxp—'a kleiner a\s q — 1 ist, wir anstelle von (2.9) 1 qk-p
1 qn-v
schreiben konnen oder, was identisch ist ^n + ^p 0 gehoren. Tatsachlich konnen wir aus der Darstellung ocp ... cxp—n • • • die Folge {r„} der Form (2.7) konstruieren. Aufgrund der Beziehungen ro < ri < r„ < • • • und unter Beriicksichtigung von (2.9) und (2.10) erhalten wir: r o < r i < • • • < • • • < • • • < r„ + ^ < - - - < r i + ^ < r o + 4 r qn p
qi- p
(2-11)
q p
Die strengen Ungleichungen in dieser letzten Beziehung soUten folgendermaBen verstanden werden: Jedes Element der Folge auf der linken Seite ist kleiner als jedes Element auf der rechten Seite. Dies folgt aus (2.10). Wenn wir nun x = sup r„ ( = inf (r„+g~("~P-')) bilden, wird die Folge {r„} die Bedingungen (2.7) und (2.8) erfiiUen, d.h., die Darstellung ap ... ap-n • • • entspricht der Zahl a; € ffi. Somit haben wir eine eindeutige Beziehung zwischen den positiven Zahlen X GW und den Symbolen der Form ap .. .ao,... fiir p > 0 oder 0,0 . . . 0 ccp . . . IPI Nullen
fiir p < 0 hergestellt. Die x zugewiesene symbolische Darstellung wird auch q-adische Darstellung von x genannt. Die in der Darstellung auftretenden Zahlen werden Ziffern und die Position einer Ziffer relativ zum Komma wird Stelle genannt. Wir vereinbaren, einer Zahl a; < 0 die Darstellung der positiven Zahl —x mit vorangestelltem Minuszeichen zu geben. SchlieBlich weisen wir die Darstellung 0, 0 . . . 0 . . . der Zahl 0 zu. Auf diese Weise haben wir das Stellenwertsystem (auch Positionssystem) zur Basis q zum Schreiben reeller Zahlen konstruiert. Das gebrauchlichste System ist dabei das Dezimalsystem (im normalen Gebrauch) und aus technischen Griinden das binare System (in elektronischen Computern). Weniger verbreitet, aber in einigen Teilen der Informatik iiblich, sind das ternare, oktale und hexadezimale System.
2.2 Klassen reeller Zahleii und Berechnungen
69
Die Formeln (2.7) und (2.8) verdeutlichen, dass der absolute Fehler der Naherung (2.7) fiir x nicht grofier ist als eine Einheit in der letzten vorhandenen Stelle, wenn in der symbolischen Darstellung von x nach einer endlichen Zalil von Ziffern alle folgenden Stellen gestriclien werden (oder, falls gewiinsclit, konnen wir diese Stellen gedanklich mit NuUen fiillen). Diese Beobachtung ermoglicht den Gebraucli der Formeln aus Paragraph b, um die Fehler, die bei arithmetischen Operationen mit Zahlen auftreten, abzuschatzen, wenn wir die exakten Zahlen durch die entsprechenden Werte der Formel (2.7) ersetzen. Diese letzte Anmerkung besitzt auch einen gewissen theoretischen Wert. Genauer gesagt, werden wir ein neues Modell der reellen Zahlen erstellt haben, wenn wir eine reelle Zahl x mit ihrer g-adischen Darstellung identifizieren und entsprechend Paragraph b gelernt haben, arithmetische Operationen direkt mit g-adischen DarsteUungen auszufiihren. Offensichtlich besitzt dieses Modell fiir Berechnungen einen besonderen Stellenwert. Dabei stellen sich im Wesentlichen die folgenden Probleme: Bei zwei g-adischen DarsteUungen ist es notwendig, fiir deren Summe ein neues Symbol einzufiihren. Dieses wird natiirlich schrittweise konstruiert. Genauer gesagt, werden wir rationale Naherungen fiir die Summe erhalten, wenn wir immer genauere rationale Naherungen der Ausgangszahlen addieren. Mit Hilfe der obigen Anmerkung konnen wir zeigen, dass wir mit steigender Genauigkeit der Naherungsausdriicke immer mehr Ziffern der g-adischen Darstellung der Summe erhalten, die sich dann nicht mehr bei den folgenden Verbesserungen in den Naherungen verandern. Dasselbe Problem stellt sich bei der Multiphkation. Ein anderer, weniger konstruktiver Weg zu den reellen Zahlen geht auf Dedekind zuriick. Dedekind identifiziert eine reelle Zahl mit einem Schnitt der Menge Q der rationalen Zahlen, d.h. einer Zerlegung von Q in zwei disjunkte Mengen A und B, so dass a < 6 fiir aUe a £ A und b G B. Mit dieser Annaherung an reelle Zahlen wird unser VoUstandigkeitsaxiom zu einem wohl bekannten Satz von Dedekind. Aus diesem Grund wird das VoUstandigkeitsaxiom in der Art, wie wir es formuliert haben, manchmal auch das Dedekind-Axiom genannt. Zusammenzufassend lasst sich sagen, dass wir in diesem Abschnitt die wichtigste Klasse von Zahlen vorgestellt haben. Wir haben die zentrale Rolle, die die natiirlichen und die rationalen Zahlen dabei spielen, verdeutlicht. Wir konnten zeigen, dass sich die zentralen Eigenschaften dieser Zahlen aus dem Axiomensystem*, das wir gewahlt haben, ergeben. Wir haben verschiedene Modelle der Menge der reellen Zahlen skizziert. Wir haben dabei die Gesichtspunkte bei Berechnungen mit reellen Zahlen untersucht: Fehlerabschatzungen, In fast der hier vorgestellten Form wurde es von Hilbert zu Beginn des 20. Jahrhunderts aufgestellt, vgl. etwa Hilbert, D.: "Uber den ZahlbegrifF" in Jahreshericht der deutschen Mathematikervereinigung 8 (1900).
70
2 Die reellen Zahlen
die bei arithmetischen Operationen mit Naherungswerten auftreten und die symbolische g-adische Darstellung. 2.2.5 U b u n g e n u n d A u f g a b e n 1. Zeigeii Sie mit dem Induktionsprinzip, dass a) die Summe xi + • • • + Xn reeller Zahlen unabhangig ist von der Klamnierung der Summanden, d.h. der Festschreibung der Reihenfolge, b) das Gleiche auch fiir das Produkt Kilt, c) \xi -\ h a;„| < |xi| H h |x„|, d ) \xi
• • -Xnl
e) ({m, neK)
=
\xi\
•••
\Xn\,
A{m 0 eine positive Losung (mit \/a oder a"^'"' bezeichnet) besitzt. Beweisen Sie, dass fiir o > 0, 6 > 0 und n^m ^'i^ gilt: b) yah = \fa • yh und \j^Ja = " "^/o. c) (on )"" = (o"") n =: o""/" und o'^" • a}'"^ = a^/^+^/^. d) ( o " " / " ) - ' = ( o " ' ) ' " / " =: o-""/". e) Zeigen Sie, dass fiir alle r i , r 2 G Q gilt: a"-! . a'^ = a'^+'^
und
{a'^f^ = a'^'^ .
20.
a) Zeigen Sie, dass die Inklusion eine teilweise Anordnung fiir die Menge (aber keine lineare Anordnung!) induziert. b) Seien A, B und C Mengen mii A d C, B R' ist eine bijektive Abbildung, die die Anordnung erhalt. 24. Zeigen Sie, ausgehend von der vorherigen Aufgabe und dem Vollstandigkeitsaxiom, dass das Axiomensystem fiir die Menge der reellen Zahlen diese Menge bis auf einen Isomorphismus (eine Realisierungsmethode) bestimmt, d.h., sind R und R' zwei Mengen, die diese Axiome erfiillen, so existiert eine eins-zu-eins Abbildung / : R —> R', die die arithmetischen Operationen und die Anordnung erhalt: fix + y) = fix) + fiy),
fix • y) = fix) • fiy) und ix• ffi reeller Zahlen betracliten. D e f i n i t i o n 2. Eine Zahl A £ M wird Grenzwert der numerischen Folge {a;„} genannt, falls fiir jede Umgebung V{A) von A ein (von V{A) abhangiger) Index N existiert, so dass alle Terme der Folge mit einem Index grofier als N in der Umgebung V{A) liegen. Wir werden diese Definition unten in formaler Logik ausdriicken, aber zunachst auf eine andere gebraucliliche Formulierung der Definition des Grenzwertes einer Folge hinweisen. Eine Zahl A £ ffi wird Grenzwert der Folge {a;„} genannt, falls fiir jedes e > 0 ein Index N existiert, so dass |a;„ — A\ < e fiir aUe n > N. Die Aquivalenz dieser beiden Aussagen lasst sich leicht zeigen (zeigen Sie sie!), wenn wir beriicksichtigen, dass jede Umgebung V{A) von A eine eUmgebung des P u n k t e s A enthalt. Die zweite Formulierung der Definition eines Grenzwertes bedeutet, dass es unabhangig davon, mit welcher Genauigkeit wir e > 0 vorgeben, einen Index N gibt, so dass der absolute Fehler bei der Annaherung der Terme der Folge {xn} an A kleiner als s ist, sobald n > A^ ist. Wir schreiben nun diese Formulierungen der Definition eines Grenzwertes in der Sprache der symbohschen Logik. Dabei bedeutet der Ausdruck „ hm Xn = A^\ dass A der Grenzwert der Folge {a;„} ist. Somit lim x„ = A) := yV{A)
3N G fi ^n > N (x„ G V{A))
bzw. ( lim Xn = A) •=ye>03N
Gf^yn>
N (|a;„ - A\ < e)
3.1 Der Grenzwert einer Folge
85
D e f i n i t i o n 3 . Gilt lim a;„ = A, so sagen wir, dass die Folge {a;„} gegen A n—)-oo
konvergiert oder gegen A strebt und schreiben x„ ^ A fiir n —>• oo. Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, wird konvergent genannt. Fine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, wird divergent genannt. Wir woUen einige Beispiele betracliten. Beispiel
1. lim i = 0, da I ^ - Ol = ^ < e fiir n > TV = [ i ] .^
Beispiel 2. lim ^^^^^^ = 1, da 1^^^ - ll = - < s f i i r n > [-1. ^-i™« (l + ^
)
= 1'da I ( l + i ^ )
- l| = i < e fiirn > [ i ] .
^_ lij^ Sinn. = 0, da | 5 i i i i i - 0 | < i < e m r n >
[i].
5. lim -IT = 0 fiir |g| > 1. n—)-oo y
Wir wollen diese letzte Behauptung mit Hilfe der Definition des Grenzwertes beweisen. Wie in P a r a g r a p h c Absatz 2.2.4 gezeigt wurde, so existiert fiir jedes e > 0 ein TV £ N, so dass j-pv < £• E)a |g| > 1, erhalten wir
4r-0
< -TTTT < YW ^ ^ '^^'" ^ > ^7 wodurch die Bedingung in der Definiti-
on des Grenzwertes erfiillt ist Beispiel 6. Die Folge 1, 2, | , 4 , | , 6 , y , . . . , deren n-tes Glied a;„ = (n e N) ist, divergiert.
n*^ ^)"
Beweis. Nacli der Definition des Grenzwertes wiirde jede Umgebung von A alle Ternie der Folge, mit Ausnalime einer endliclien Anzalil, enthalten, wenn A der Grenzwert dieser Folge ware. Eine Zahl A ^ 0 kann nicht der Grenzwert dieser Folge sein. Ist namlich s = - y > 0, dann liegen alle Terme der Folge der Form JE+T^ ^^'" '^^^ JE+T ^ '-^^ gilt, aufierhalb der e-Umgebung von A. Die Zahl 0 kann aber auch nicht der Grenzwert sein, da es beispielsweise unendlich viele Glieder der Folge gibt, die auBerhalb der 1-Umgebung von 0 liegen. D Beispiel 7. Auf ahnhche Weise kann gezeigt werden, dass die Folge 1 , - 1 , + 1 , — 1 , . . . mit Xn = (—1)" keinen Grenzwert besitzt. ^ Wir wiederholen, dass [x] der ganzzalilige Teil der Zalil x ist. (Vgl. Korollare 7° und 10° in Absclmitt 2.2.)
86
3 Grenzwerte
3.1.2 Eigenschaften des Grenzwertes einer Folge a. AUgemeine Eigenschaften Wir behandeln in diesem Paragraphen nicht nur die Eigenschaften, die numerische Folgen besitzen, sondern, wie wir unten sehen warden, auch andere Arten von Folgen. Aber im Augenblick werden wir diese Eigenschaften nur fiir nunierische Folgen untersuchen. Fine Folge, die nur einen Wert annimnit, wird konstante Folge genannt. Definition 4. Falls eine Zahl A und ein Index N existieren, so dass Xn = A fiir alle n > A^, so wird die Folge {a;„} schliefiUch konstant genannt. Definition 5. Eine Folge {a;„} heifit beschrankt, faUs es ein M gibt, so dass \x„\ < M fiir alle n £ N. Satz 1. a) Eine schliefiUch konstante Folge konvergiert. b) Jede Umgebung des Grenzwertes einer Folge enthalt, bis auf eine endliche Anzahl von Termen der Folge, alle Terme. c) Eine konvergente Folge kann keine zwei verschiedenen Grenzwerte besitzen. d) Eine konvergente Folge ist beschrankt. Beweis. a) Gilt Xn = A fiir n > N, dann gilt fiir jede Umgebung V{A) von A, dass Xn £ V{A) fiir n > N, d.h., lim a;„ = A. n—>oo
b) Diese Behauptung folgt unmittelbar aus der Definition einer konvergenten Folge. c) Dies ist der wichtigste Teil des Satzes. Sei lim x„ = Ai und lim x„ = n—)-oo
n—)-oo
A^. Gilt Ai ^ A2, so konnen wir Umgebungen V{Ai) und V{A2) definieren, die sich nicht schneiden. Diese Umgebungen konnen beispielsweise (5-Umgebungen von Ai und A2 mit S < ^|Ai — A2I sein. Nach der Definition des Grenzwertes gibt es Indizes A^i und N2, so dass a;„ £ V{Ai) fiir alle n > Ni und a;„ £ U(^2) fiir alle n > N2. Aber dann miisste fiir A^ = max{A^i,A^2} gelten, dass a;„ £ U ( ^ i ) n V{A2). Dies ist jedoch unmoglich, da V{Ai) n ^ ( ^ 2 ) = 0 . d) Sei lim a;„ = A. Wenn wir in der Definition des Grenzwertes e = 1 n—>oo
setzen, gibt es ein A^, so dass |a;„ — A\ < 1 fiir aUe n > N, denn es gilt \x„\ < |A| + 1 fiir n > N. Nun wahlen wir M > max{|a;i|,..., |a;„|, |A| + 1} und stellen fest, dass \x„\ < M fiir alle n £ N. D b. Grenzwerte und arithmetische Operationen Definition 6. Seien {a;„} und {yn} zwei numerische Folgen. Ihre Summe, Produkt und Quotient (in Ubereinstimmung mit der allgemeinen Definition von Summe, Produkt und Quotient von Funktionen) sind die Folgen
3.1 Der Grenzwert einer Folge {{Xn + Vn)},
{{x„-yn)},
87
{( ~ ) }"
Der Quotient ist natiirlich nur definiert, falls yn ¥" (^ fur alle n € N. Satz 2. Seien {a;„} und {yn} numerische Folgen. Gilt lim Xn = A und n—>oo
lim y„ = B, dann ist n—)-oo
a) lim {xn +yn) = A + B, n—)-oo
b) lim (xn • yn) = A • B und n—>oo
c) lim 7^ = 4 , vorausgesetzt, dass yn ¥^ ^ (^T- = Ij 2 , . . . , ) und B ^ 0. n—>oo « "
Beweis. Wir benutzen zur Ubung die bereits bekannten Abschatzungen (vgl. Absatz 2.2.4) fiir die absoluten Feliler, die bei aritlimetischen Operationen mit Naherungswerten auftreten. Sei |A — a;„| = A{xn), \B — 2/„| = A{yn). Dann gilt im Fall a), dass \{A + B)-
{Xn +yn)\
0 gegeben. Da lim a;„ = A, existiert N', so dass Z\(a;„) < e/2 fiir n—)-oo
alle n > N'. Da lim yn = B, existiert analog ein N", so dass A{yn) < e/2 n—)-oo
fiir alle n > N". Dann gilt fiir n > maxjiV', N"}: \{A + B) - {Xn + yn)\
N. b) Angenommen, die drei Folgen {a;„}, {yn} und {z„} sind derart, dass Xn ^y-n ^ Zn fur alle n > A^ € N. Konvergieren beide Folgen {a;„} und {z„} zu demselben Grenzwert, dann konvergiert auch die Folge {yn} gegen diesen Grenzwert. Beweis. a) Wir walilen eine Zalil C, so dass A < C < B. Nach der Definition des Grenzwertes konnen wir Zahlen N' und A^" finden, so dass |a;„—A| < C—A fiir alle n > N' und \yn — B\ < B — C fiir alle n > N". Dann erhalten wir fiir n> N = max{Ar', A^"}: x-a < A +C - A = C = B - {B - C) < ynb) Sei lim x„ = lim z„ = A. Zu vorgegebenem e > 0 wahlen wir A^' und n—)-oo
n—)-oo
A^", so dass A — e < a;„ fiir alle n > N' und 2;„ < A + e fiir alle n > A^". Dann erhalten wir fiir n > A^ = maxjA^', A^"}: A — e < Xn < yn < Zn < A + s. Somit ist \yn — A\ < s, d.li., A = lim 2/„. D KoroUar. Seien lim x„ = A und lim yn = B. Falls ein N existiert, so dass n—>oo
n—>oo
fiir alle n > N gilt: a) Xn > yn, dann ist A > B ; b) x„ > yn, dann ist A> B ; c) x„ > B, dann ist A> B ; d) x„ > B, dann ist A > B . Beweis. Wir arbeiten mit Widerspriiclien und erhalten die ersten beiden Behauptungen sofort aus Teil a) des Satzes. Die dritte und vierte Behauptung sind Spezialfalle der ersten beiden, die wir fiir y„ = B erhalten. D Wir wollen darauf hinweisen, dass strenge Ungleichheit zu Gleichheit im Grenzwert werden kann. Beispielsweise gilt ^ > 0 fiir alle n € N und doch ist lim i = 0.
90
3 Grenzwerte
3 . 1 . 3 F r a g e n zur E x i s t e n z d e s G r e n z w e r t e s e i n e r F o l g e a. D a s C a u c h y s c h e K o n v e r g e n z k r i t e r i u m D e f i n i t i o n 7. Eine Folge {a;„} wird fundamental oder Cauchy-Folge^ genannt, falls ftlr jedes e > 0 ein Index N £ N existiert, so dass \xjn — x„\ < e fiir alle n > N und m > N. S a t z 4 . (Caucliysclies Konvergenzkriterium). Eine numerische giert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Beweis.
Folge
konver-
Sei lim a;„ = A. Zu vorgegebenen e > 0 existiert ein N, so dass n—>oo
|a;„ —A| < I fiir n > N. Dann erhalten wir fiir m > N und n > N: \xm — x„\ < \xm — A\ + \xn — A\ < l + l = e , womit bewiesen ist, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist. Nun sei {xk} eine Cauchy-Folge. Zu gegebenen e > 0 existiert ein N, so dass \xm — Xk\ < I fiir m > N und k > N. Wenn wir m = N setzen, finden wir fiir jedes k > N: £ £ XN - - < Xk < XN + - •
(3.1)
Da aber nur eine endliche Anzahl von Ternien der Folge Indizes besitzen, die nicht groi^er als N sind, haben wir gezeigt, dass eine Cauchy-Folge beschrankt ist. Fiir n £ N setzen wir nun a„ := inf Xk und &„ := supxfc. *>"
k>n
Aus diesen Definitionen ist klar, dass a„ < a „ + i < 6„+i < 6„ (da die groBte untere Schranke nicht abninimt und die kleinste obere Schranke nicht anwachst, wenn wir zu einer kleineren Menge iibergehen). Nach deni Prinzip der Intervallschachtelung gibt es einen P u n k t A, der alien abgeschlossenen Intervallen [a„,b„] gemeinsam ist. Da a„ < An
sup xu = b„ k>n
fiir fc > n, folgt, dass \A-Xk\ N und daher
= s u p Xk <XN k>n
+ T 'J
2e K - an < — < £
(3.3)
fiir n > m. Ein Vergleich der Relationen (3.2) und (3.3) fiihrt zu \A-Xk\
N und somit haben wir bewiesen, dass lim Xk = A .
D
fe—)-oo
Beispiel 8. Die Folge (—1)" (n = 1, 2 , . . . ) besitzt keinen Grenzwert, da sie keine Cauchy-Folge ist. Obwohl diese Tatsache offensichtlich ist, geben wir doch einen formalen Beweis. Die Negierung der Aussage, dass {a;„} eine CauchyFolge ist, lautet: 3£ > 0 \/N £ N 3n > N 3m > N {\xm - a;„| > e) , d.h., es gibt ein e > 0, so dass fiir jedes N £ N zwei Zahlen n, m grofier als N existieren, so dass \xm — Xn\ > £• Fiir unseren Fall geniigt es, e = 1 zu setzen. D a n n gilt fiir jedes N £ N, dass \XN+I — XN+2\ = | 1 - (-1)1 = 2 > 1 = e. Beispiel
9. Sei
a;i = 0 ;
a;2 = 0, a i ;
xs = 0, aia^
; . . . ; a;„ = 0, aia2 •. • ccn ;. •.
eine Folge endlicher binarer Darstellungen, bei der jede folgende Darstellung durch Hinzufiigen einer 0 oder einer 1 an den Vorganger erhalten wird. Wir werden zeigen, dass eine derartige Folge stets konvergiert. Sei m > n. Wir wollen den Unterschied Xm — a;„ abschatzen: «n+l
^ _ ^
2n+l
On
2"
0 ein N so wahlen, dass -^ < £ und erhalten die Abschatzung, dass \xm — Xn\ < -^ < jiv < £ fiir alle m > n > N. Damit ist bewiesen, dass die Folge {a;„} eine Cauchy-Folge ist. Beispiel
10. Wir betrachten die Folge {a;„}, mit 2
Da
1 \X2n
Xn
n 1
- + ••• +
1 >n-
1
— --" 2
1 n Konvergenzkriterium +n in fiir alle n £ N, folgt aus demn +Cauchyschen sofort, dass diese Folge keinen Grenzwert besitzt.
92
3 Grenzwerte
b. Ein Existenzkriterium fiir den Grenzwert einer monotonen Folge Definition 8. Eine Folge {x„} ist anwachsend, wenn a;„ < Xn+i fiir alle n € N, nicht absteigend, wenn x„ < Xn+i fiir alle n £ N, nicht anwachsend, wenn a;„ > Xn+i fiir alle n € N und absteigend, wenn a;„ > a;„+i fiir alle n € N. Derartige Folgen heifien monotone Folgen. Definition 9. Eine Folge {a;„} ist von ohen beschrdnkt, falls eine Zahl M existiert, so dass a;„ < M fiir alle n £ N. Satz 5. (Weierstrafi). Damit eine nicht absteigende Folge einen Grenzwert besitzt, ist es notwendig und hinreichend, dass sic von oben beschrdnkt ist. Beweis. Dass jede konvergente Folge besclirankt ist, wurde oben unter allgemeinen Eigenscliaften des Grenzwertes einer Folge bewiesen. Aus diesem Grund ist nur die Beliauptung, dass dies hinreichend sei, zu zeigen. Angenommen wird, dass die Menge der Werte der Folge {a;„} von oben beschrankt ist, weswegen sie eine kleinste obere Schranke s = supa;„ besitzt. nGN
Nach der Definition der kleinsten oberen Schranke existiert fiir jedes e > 0 ein Element XN £ {xn}, so dass s — e < XN < s. Da die Folge {a;„} nicht absteigend ist, gilt, dass s — e < XN < Xn < S fiir alle n > N, d.h. \s — a;„| = s — Xn < £• Somit haben wir bewiesen, dass lim x„ = s. D n—)-oo
Natiirlich lasst sich ein analoger Satz fiir eine nicht anwachsende Folge, die von unten beschrankt ist, aufstellen und beweisen. In diesem Fall ist lim x„ = n—)-oo
inf XnnGN
Anmerkung. Die Beschranktheit von oben (bzw. unten) einer nicht absteigenden (bzw. nicht anwachsenden) Folge ist offensichtlich zur Beschranktheit dieser Folge aquivalent. Wir woUen einige niitzliche Beispiele betrachten. Beispiel 11. lim ^ = 0 fiir g > 1. n—)-oo ^
Beweis. Ist a;„ = ^ , dann ist in der Tat Xn+i = ^^^^n fiir n G N. Da lim 2i±i = lim (1 + i ) i = lim (l + i ) • lim i = 1 • i = i < 1, existiert ein Index N, so dass ^ ^ < 1 fiir n > A^. Somit gilt Xn+i < a;„ fiir n > N, so dass die Folge ab dem Index N monoton absteigend ist. Nach der Definition eines Grenzwertes besitzt eine endliche Anzahl von Termen einer Folge keinen Einfluss auf die Konvergenz der Folge oder ihren Grenzwert, so dass es ausreicht, den Grenzwert der Folge x^+i > XN+2 > . . . ZU bestimmen. Die Terme dieser Folge sind positiv, d.h., die Folge ist von unten beschrankt und besitzt daher einen Grenzwert.
3.1 Der Grenzwert einer Folge
93
Sei X = lim a;„. Aus Xn+i = ^ ^ a ^ n folgt, dass nq
X = lim {xn+i) = lim (
n + l
Wir erkennen daraus, dass ( l — -)x
\ ,. n + 1 , . a;„) = lim • lim a;„
1
= 0 und folglich x = 0.
D
KoroUar 1. lim \/n = 1. n—>oo
Beweis. Mit dem eben Bewiesenen gibt es zu gegebenem e > 0 ein N G N, so dass 1 < n < (1 + e ) " fiir alle n > N. Dann gilt fiir n > iV: 1 < y/n < 1 + e und daher lim i^n = 1. D n—>oo
KoroUar 2. lim A/C = 1 fiir jedes a > 0. n—)-oo
Beweis. Wir nehmen zunaclist an, dass a > 1. Zu jedem e > 0 existiert ein N GN, so dass 1 < a < (1 + e ) " fiir alle n > N, so dass 1 < -v/a < 1 + e fiir alle n > N gilt, wonach lim ^ = 1. n—)-oo
Fiir 0 < a < 1 gilt 1 < ^ und somit: lim
n—)-oo
A/C
= lim —j= = n—>oo „ / i ?/ V "
r= = 1.
i„ /i lim ?/ n—>oo V '^
D
Beispiel 12. Sei g £ ffi beliebig, n € N und n\ := 1 • 2 • ... • n. Dann gilt: lim ^ = 0. n—)-oo ^"
Beweis. Fiir g = 0 ist die Behauptung offensiclitlich. Da ferner 1^1 = i", geniigt es, die B e h a u p t u n g fiir g > 0 zu beweisen. Mit denselben Uberlegungen wie in Beispiel 11 erhalten wir, dass Xn+i = —^a;„. Da die Menge der natiirlichen Zalilen niclit von oben besclirankt ist, existiert ein Index N, so dass 0 < ^ ^ < 1 fiir alle n > N. Damit erhalten wir fiir n > N, dass Xn+i < Xn- Da die Terme der Folge positiv sind, konnen wir nun sicher sein, dass der Grenzwert lim existiert. Aber dann gilt: n—>oo
X = lim Xn+i = lim n—)-oo
q
-a;„ = lim
n—)-oo Tl -\- V
q
n—)-oo Ji -\- \
• lim a;„ = 0 • a; = 0. n—)-oo
D
94
3 Grenzwerte
c. D i e Zahl e Beispiel
13. Wir woUen beweisen, dass der Grenzwert lim
IH— I
n—>oo \
existiert.
nJ
Trifft dies zu, dann ist der Grenzwert eine Zahl, die wir nach Euler niit deni Buchstaben e bezeichnen. Diese Zahl ist so wichtig fiir die Analysis, wie die Zahl 1 fiir die Arithmetik oder TT fiir die Geometrie. Wir werden in vielfaltigen Zusammenhangen auf sie zuriickkommen. Wir beginnen damit, die folgende Ungleichung, die manchmal die Bernoullische^ Ungleichung genannt wird, zu beweisen: (1 + a ) " > 1 + na
fiir n £ N und a > -I
.
Beweis. Die B e h a u p t u n g ist fiir n = 1 wahr. Gilt sie fiir n € N, dann muss sie auch fiir n + 1 gelten, da dann gilt: (1 + a ) " + i = (1 + a ) ( l + a)" > (1 + a ) ( l + na) = = 1 + (n + l)a + na^ > 1 + (n + l ) a . Nach dem Induktionsprinzip ist die B e h a u p t u n g fiir alle n € N wahr. Im Ubrigen ergibt die Berechnung, dass strenge Ungleichheit gilt fiir a ^ 0 und n > 1. D Wir zeigen nun, dass die Folge 2/n = ( l + - )
abnehmend ist.
Beweis. Sei n > 2. Mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung erhalten wir: Vn-i Vn
^ (1 + ^ ) " ^ n^" n (l + i ) " + i (n2-l)»'n +
T~V
n^-l/
n+1 >
> {^ + —, 7 7 > 1+ 7 = 1n+1 V n/ V vZ — l/n+l V n / nn ++ 1 ixn+l
Da die Terme der Folge positiv sind, existiert der Grenzwert lim ( l + ^ ) Somit gilt: / l\n lim ( 1 + - ) = lim n->oo V nJ n->oo = lim
/ (1 + V / 1+
n—>oo V
l\n+i/ l\-i -) (1 + - ) = n/ \ nl I1N\ n+1 iNn+l 1 / • hm ^ = hm 1 + n/
n—)-oo 1 -I- — n
n—)-oo V
Jl'
Nun konnen wir die folgende Definition aufstellen: D e f i n i t i o n 10. e := lim ( 1 H— ) n—>oo \
7J/
^ Jakob (James) Bernoulli (1654-1705) - schweizerischer Mathematiker, Mitglied der angesehenen Gelehrtenfamilie Bernoulli. Er war einer der Begriinder der Variationsrechnung und der Wahrscheinlichkeitstheorie.
3.1 Der Grenzwert einer Folge
95
d. T e i l f o l g e n u n d T e i l g r e n z w e r t e e i n e r F o l g e D e f i n i t i o n 1 1 . Sei
Folge und rii < 77-2 < • • • < n^ < • • •
eine anwachsende Folge natiirliclier Zalilen. Dann wird die Folge Xm, a;„2, . . . , a;„j,,... eine Teilfolge der Folge {x„} genannt. So ist z.B. die Folge 1 , 3 , 5 , . . . der positiven ungeraden Zahlen in ihrer natiirlichen Anordnung eine Teilfolge der Folge 1 , 2 , 3 , . . . , aber die Folge 3 , 1 , 5 , 7 , 9 , . . . ist keine Teilfolge dieser Folge. L e m m a 1. (Bolzano-WeierstraB). sitzt eine konvergente Teilfolge.
Jede beschrankte
Folge reeller Zahlen be-
Beweis. Sei E die Menge der Werte der beschrankten Folge {a;„}. Ist E endlich, dann existiert ein P u n k t x G E und eine Folge n i < 77.2 < • • • von Indizes, so dass a;„j = a;„2 = • • • = x. Die Teilfolge {x„^,} ist konstant und konvergiert folglich. Ist E unendlich, dann besitzt sie nach dem Satz von Bolzano-WeierstraB in Absatz 2.3.3 einen Haufungspunkt x. Da x ein Haufungspunkt von E ist, konnen wir 771 € N wahlen, so dass \xni — x\ < 1. Wurde 77^ £ N so gewahlt, dass |a;„j, — x\ < ^, dann existiert ein Uk+i £ N, so dass rifc < 77j;+i und la^wfe+i — x\ < ^ ^ , da X ein Haufungspunkt von E ist. Da lim r = 0, konvergiert die so konstruierte Folge Xm, a;„2, • • •, Xn^, • • • fc—>oo
gegen x.
D
D e f i n i t i o n 1 2 . Wir schreiben a;„ -^ + 0 0 und sagen, dass die Folge {a;„} gegen positiv Unendlich strebt, falls fiir jede Zahl c ein TV £ N existiert, so dass Xn > c fiir alle n > N. Wir woUen diese und zwei analoge Definitionen in logischer Schreibweise forniulieren:
{x„ -)• +00) = Vce {x„ -)• - 0 0 ) = Vce {x„ -)• 00) = Vce
3N GN^ny
N {c<Xn)
,
3N GN^ny
N {x.an
Wir geben nun einige Beispiele: Beispiel U. Xk = (-1)^, fc £ N: lim Xk = lim inf Xk = lim inf (—1) = lim (—1) = —1 , k—^oo
n—>oo k>n
n—>oo k>n
lim Xk = lim sup a;j; = lim sup(—1) = lim 1 = 1 fe—)-oo
n—>oo k>n
n—>oo k>n
n—)-oo
3.1 Der Grenzwert einer Folge id 15. Xk = f c ( - i ) ' ,
fceN:
lim fc(-i)' = j,_^^
lim inf k'--^^' = lim 0 = 0 , n->oo k>n
lim k^~^'
97
n—>oo
= lim supfc'""'^-'
fc->oo
= lim (+oo) = + o o .
n->oo j , > „
n->oo
ie? iff. a;*; = fc, fc e N: lim k = lim inf k = lim n = +CXD , fc_>oo n->c>o fc>n n->oo
lim fc = fc—>oo
lim sup k = lim (+oo) = +oo . n—>oo j , > „
n—>oo
ie? i 7 . a;fc = ^ ^ , fc £ N: fiir n = 2m + 1 lim ^ ! ^ fc_j.oo
=
fc
lim inf ^ ^ ^ = lim oo
fc>n
k
>= 0,
n—>oo I
i
n+l -^- ( - 1 ) ^ lim — ; — = fc—>oo
k
. (-1)* lim sup — - — = n->oo j , > „
k
fiir n = 2m
- , fiir n = 2m lim n—>oo
- ^
, fiir n = 2m + 1
18. Xk = -k'\ fc G N: lim (—fc ) = lim inf (—fc ) = —oo . i p . Xk = (-l)^fc, fc e N: lim (-l)*^fc = j,_!.OQ
lim (-l)*^fc = fc—>oo
lim i n f ( - l ) * f c = n—>oo k>n
lim ( - o o ) = - o o , n->oo
lim s u p ( - l ) * f c = lim (+oo) = +oo . n—>oo k>n
n—>oo
Zur Erklarung des Ursprungs der Ausdriicke Limes „superior" und „inferior" einer Folge, geben wir die folgende Definition. D e f i n i t i o n 15. Eine Zahl (oder das Symbol —oo oder +oo) wird Teilgrenzwert einer Folge genannt, wenn die Folge eine Teilfolge entlialt, die gegen diese Zahl konvergiert. S a t z 6. Der Limes inferior und der Limes superior einer heschrankten sind jeweils die kleinsten und grofiten Teilgrenzwerte der Folge^.
Folge
* Hierbei gelien wir von der natiirlichen Beziehung — oo < a; < +oo zwischen den Symbolen —oo, +oo und den Zahlen a; £ R aus.
98
3 Grenzwerte
Beweis. Wir woUen dies beispielsweise fiir den Limes inferior i = lim Xk A;—>oo
beweisen. Wir wissen, dass die Folge «„ = inf Xk nicht absteigend ist und dass k>n
lim in = i G M. Fiir die Zahlen n £ N wahlen wir mit Hilfe der Definition n—)-oo
der grofiten unteren Schranke durch Induktion Zahlen fc„ £ N, so dass «„ < Xkn < *n + - und fc„ < kn+i- Da lim i„ = lim (i„ + -) = i, konnen wir mit Eigenschaften des Grenzwertes feststellen, dass lim Xk„ = i- Somit haben n—>oo
wir bewiesen, dass i ein Teilgrenzwert der Folge {xu} ist. Es ist der kleinste Teilgrenzwert, da fiir jedes e > 0 ein n £ N existiert, so dass i — s < in, d.h., i — e < in = inf Xk < Xk fiir alle k > n. k>n
Die Ungleichung i — e < Xk fiir k > n bedeutet, dass kein Teilgrenzwert der Folge kleiner als i — e sein kann. Aber e > 0 ist beliebig und daher kann kein Teilgrenzwert kleiner als i sein. Der Beweis fiir den Limes superior verlauft natiirlicli analog. D Wir merken an, dass eine von unten nicht beschrankte Folge eine Teilfolge besitzt, die gegen — oo strebt. Aber in diesem Fall gilt auch lim Xk = — oo, A;—>oo
SO dass wir vereinbaren konnen, dass der Limes inferior wiederum der kleinste Teilgrenzwert ist. Der Limes superior kann endlich sein und falls dem so ist, muss er der groBte Teilgrenzwert sein. Aber er kann ebenfalls unendlich sein. Gilt lim Xk = +0O, dann ist die Folge auch oben unbeschrankt und wir A—>oo
konnen eine Teilfolge finden, die gegen +oo strebt. Ist schliefilich lim Xk = A—>oo
—00, was ebenfalls moglich ist, so bedeutet dies, dass sup Xk = s„ ^ —oo, d.h., k>n
die Folge {a;„} strebt gegen — oo, da s„ > a;„. Ganz ahnlich gilt Xk -^ +oo, falls lim Xk = +oo. fe—)-oo
Wenn wir das eben Gesagte beriicksichtigen, konnen wir den folgenden Satz herleiten: Satz 6'. Fiirjede Folge ist der Limes inferior der kleinste ihrer Teilgrenzwerte und der Limes superior der grofite ihrer Teilgrenzwerte. KoroUar 3. Eine Folge besitzt genau dann einen Grenzwert oder strebt gegen negativ oder positiv Unendlich, wenn der Limes inferior und der Limes superior identisch sind. Beweis. Die Falle lim Xk = lim Xk = +oo und lim Xk = lim Xk = —oo wurden bereits oben untersucht und wir konnen daher annehmen, dass lim Xk = lim Xk = A G W. Da «„ = inf Xfc < a;„ < sup Xk = Sn und A—>oo
fe—)-oo
k>n
k>n
angenommen wird, dass lim i„ = lim s„ = A, gilt nach den Eigenschaften n—)-oo
n—)-oo
von Grenzwerten, dass lim Xn = A.
D
KoroUar 4. Eine Folge konvergiert genau dann, wenn jede ihrer Teilfolgen konvergiert.
3.1 Der Grenzwert einer Folge
99
Beweis. Der Limes inferior und der Limes superior einer Teilfolge liegen zwischen denen der Folge. Wenn die Folge konvergiert, dann stinimen der Limes inferior und superior iiberein und daher miissen auch die der Teilfolge gleich sein. Damit ist bewiesen, dass die Teilfolge konvergiert. Aufierdem muss der Grenzwert der Teilfolge niit dem der Folge iibereinstimnien. Die umgekelirte Beliauptung ist offensiclitlich, da die gewahlte Teilfolge die Folge selbst sein kann. D KoroUar 5. Das Lemma von Bolzano-Weierstrafi in seiner eingeschrankten und umfassenderen Form folgt jeweils aus den Sdtzen 6 und 6'. Beweis. Ist in der Tat die Folge {xk} beschrankt, dann sind die P u n k t e i = lim Xk und s = lim Xk endlich und nacli dem eben Bewiesenen Teilgrenzwerte der Folge. Nur fiir i = s besitzt die Folge einen eindeutigen Grenzwert. Fiir i < s existieren mindestens zwei. Ist die Folge auf der einen oder anderen Seite unbesclirankt, dann existiert eine Teilfolge, die gegen die entsprecliende Unendlichkeit strebt. D Zusammenfassende Anmerkungen Wir haben alle drei zu Beginn des Absclinitts angefiihrten P r o g r a m m p u n k te durcligefiilirt (und sind in gewisser Weise dariiber liinaus gegangen). Wir haben eine prazise Definition des Grenzwertes einer Folge gegeben, bewiesen, dass der Grenzwert eindeutig ist, den Zusammenhang zwisclien Grenzwert und Operationen und der Struktur der Menge der reellen Zalilen erlautert und ein Kriterium fiir die Konvergenz einer Folge erhalten. Wir untersuchen nun einen speziellen T y p von Folge, der oft auftritt und sehr niitzlich ist - eine Reilie. 3.1.4 Elementares zu R e i h e n a. D i e S u m m e e i n e r R e i h e u n d d a s C a u c h y s c h e K o n v e r g e n z k r i t e r i u m fur R e i h e n Sei {a„} eine Folge reeller Zahlen. Wir erinnern daran, dass die Summe Op + 9
ap+i + • • • + Og, {p < q) mit dem Symbol X] a„ bezeichnet wird. Wir woUen n=p
nun dem Ausdruck ai + a2 + • • • + a„ + • • • eine klare Bedeutung verleihen, die die Summe aller Glieder der Folge {a„} zum Ausdruck bringt. D e f i n i t i o n 16. Der Ausdruck ai + a2 + • • • + a„ + • • • wird durch das Symbol oo
^
a „ bezeichnet und iiblicherweise eine Reihe oder eine unendliche
Reihe
n=l
(um den Unterschied zu einer Summe mit endlicher Anzahl von Summanden zu betonen) genannt.
100
3 Grenzwerte
Definition 17. Die Elemente der Folge {a„} werden als Bestandteile einer Reihe die Glieder der Reihe genannt. Das Element a„ wird als n-tes Glied bezeiclinet. n
Definition 18. Die Summe s„ = X] Ofc wird Teilsumme der Reihe oder, falls fc=i
der Index hervorgelioben werden soil, die n-te Teilsumme der Reihe^ genannt. Definition 19. Falls die Folge {sn} der Teilsummen einer Reihe konvergiert, dann sagen wir, dass die Reihe konvergiert. Besitzt die Folge {sn} keinen Grenzwert, so sagen wir, dass die Reihe divergiert. Definition 20. Der Grenzwert lim Sn = s der Folge von Teilsummen der n—)-oo
Reihe wird, falls er existiert, die Summe der Reihe genannt. In diesem Sinne werden wir zukiinftig den Ausdruck oo
n=l
verstehen. Da die Konvergenz einer Reihe zur Konvergenz ihrer Folge von Teilsummen {s„} aquivalent ist, erhalten wir durch das Cauchysche Konvergenzkriterium fiir die Folge {sn} den folgenden Satz: Satz 7. (Cauchysches Konvergenzkriterium fiir Reihen). Die Reihe oi + • • • + a„ + • • • konvergiert genau dann, wenn fiir jedes e > 0 ein N G'N existiert, so dass aus den Ungleichungen m > n > N folgt: |a„ + • • • + am\ < £• KoroUar 6. Wird nur eine endliche Anzahl von Gliedern einer Reihe verandert, dann konvergiert die neue Reihe, falls die urspriingliche Reihe konvergiert und sie divergiert, wenn die urspriingliche divergiert. Beweis. Fiir den Beweis geniigt die Annahme, dass die Zahl N im Cauchyschen Konvergenzkriterium groBer ist als der groBte Index der veranderten Gheder. D KoroUar 7. Es ist eine notwendige Bedingung fiir die Konvergenz der Reihe ai -\- • • • -\- On + • • •, dass ihre Glieder fiir n ^ oo gegen Null streben, d.h., es ist notwendig, dass lim a„ = 0. Beweis. Es geniigt, im Cauchyschen Konvergenzkriterium m = n zu setzen und die Definition des Grenzwertes einer Folge zu benutzen. D 6
Somit definieren wir eine Reihe als geordnetes Paar ( {on}, {s„} 1 von Folgen, die durch die Gleichung [s„ = '^ Ukj fiir alle n £ N verkniipft sind. k= l
'
3.1 Der Grenzwert einer Folge
101
Hier noch ein weiterer Beweis: a„ = s„ —s„_i und es gilt unter der Voraussetzung, dass lim s„ = s: lim a„ = lim (s„ —s„_i) = lim s„— lim s„_i = n—>oo
n—)-oo
n—>oo
n—>oo
n—)-oo
s - s = 0. Beispiel 20. Die Reihe l + ( 7 + g^+ ••• + ?" + ••• wird oft auch geometrische Reihe genannt. Wir wollen ihr Konvergenzverhalten untersuchen. Da \q"\ = \q\"-, gilt |g"| > 1 fiir \q\ > 1, weswegen in diesem Fall die notwendige Konvergenzbedingung niclit eingehalten wird. Sei nun \q\ < 1. Dann erhalten wir n-i
1 - 9" 1-q
und lim s„ = -r^-, da lim (/" = 0 fiir \q\ < 1. n—)-oo
y
n—)-oo oo
Somit konvergiert die Reihe ^ (/""^ genau dann, wenn \q\ < 1, und dann n=l
betragt die Summe -r—. °
1 —g
Beispiel 21. Die Reihe l + ^ + --- + - + --- wird harmonische Reihe genannt, da voni zweiten Term an jeder Term dem harmonischen Mittel der beiden Terme links und rechts davon entspricht (vgl. Aufgabe 6 am Ende des Abschnitts). Die Gheder der Reihe streben gegen Null, aber die Folge der Teilsummen , 1 1 2 n divergiert, wie wir in Beispiel 10 gezeigt haben. Dies bedeutet, dass in diesem Fall s„ -^ +00 fiir n ^ oo. Somit divergiert die harmonische Reihe. Beispiel 22. Die Reihe 1 — 1 + 1 h (—1)"+^ H divergiert, wie wir an der Folge der Teilsummen 1,0,1,0,... sehen konnen und daran, dass ihre Glieder nicht gegen Null streben. Wenn wir Klammern einfiihren und die neue Reihe (1_1) + (1_1) + ... betrachten, deren Glieder die geklammerten Differenzen sind, sehen wir, dass diese neue Reihe konvergiert und ihre Summe ist offensichtlich Null. Wenn wir die Klammern anders setzen und die Reihe 1 + ( - 1 + 1 ) + ( - 1 + !) + ••• betrachten, dann konvergiert diese Reihe zur Summe 1. Wenn wir alle Terme, die gleich —1 sind, in der urspriinglichen Reihe um zwei Positionen nach rechts verschieben, erhalten wir die Reihe 1 + 1-1 + 1-1 + 1
.
102
3 Grenzwerte
Durch Klanimerung gelangen wir zur Reihe (l + l) + ( - l + l) + ( - l + !) + ••• , deren Summe gleich 2 ist. Diese Beobachtungen zeigen, dass die iiblichen Gesetze zur Behandlung endlicher Sumnien im AUgenieinen nicht auf Reihen erweitert werden konnen. Es gibt nichtsdestotrotz einen wichtigen Typ von Reihen, der, wie wir unten sehen werden, genauso wie endliche Summen behandelt werden kann. Dies sind sogenannte absolut konvergente Reihen. Mit diesen werden wir hauptsachlich arbeiten. b. Absolute Konvergenz. Der Vergleichssatz und seine Konsequenzen oo
Definition 21. Die Reihe J2 ^n ist absolut konvergent, faUs die Reihe n=l oo
^
|a„| konvergiert.
n=l
Da \a„ + • • • + Oml < |a„| + • • • + \am\, folgt nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium, dass eine absolut konvergente Reihe konvergiert. Die Unikehrung dieser Aussage ist im AUgenieinen nicht wahr, d.h., absolute Konvergenz ist eine starkere Anforderung als blofie Konvergenz, wie sich leicht an einem Beispiel zeigen lasst. Beispiel 23. Die Reihe 1 — I + 5 — 5 + | — | H , deren Teilsummen entweder - oder 0 sind, konvergiert gegen 0. Auf der anderen Seite divergiert die Reihe der Absolutwerte der Glieder 1+ 1
1
1
1
1
—+ —+ —+ —+ 2
2
3
3
wie schon im Fall der harmonischen Reihe. Dies folgt aus dem Cauchyschen Konvergenzkriterium, da 1
1
—7 H
1 7H
+
1
+
n+n n+n ( \ I N 2 - + ••• + >2n Vn + 1 n^ nl
1 = 1 n+n
Zur Untersuchung der absoluten Konvergenz einer Reihe geniigt es, die Konvergenz von Reihen mit nicht negativen Gliedern zu untersuchen. Es gilt der folgende Satz: Satz 8. (Konvergenzkriterium fiir Reihen mit nicht negativen Gliedern). Eine Reihe ai + • • • + a„ + • • •, deren Glieder nicht negativ sind, konvergiert genau dann, wenn die Folge der Teilsummen von oben beschrdnkt ist.
3.1 Der Grenzwert einer Folge
103
Beweis. Dies folgt aus der Definition der Konvergenz einer Reihe und dem Konvergenzkriterium einer nicht absteigenden Folge, wobei die Folge der Teilsummen in diesem Fall si < S2 < • • • < s„ < • • • ist. D Aus diesem Kriterium folgt der folgende einfache Satz, der fiir die Praxis sehr niitzlich ist. oo
oo
Satz 9. (Vergleiclissatz). Seien ^ a„ und ^ b„ zwei Reihen mit nicht nen=l
n=l
gativen GUedern. Falls ein Index N G 'N existiert, so dass a„ < b„ fiir alle oo
n > N, dann folgt aus der Konvergenz der Reihe ^ &„ die Konvergenz von oo
oo
oo
^ a„ und aus der Divergenz von ^ a„ folgt die Divergenz von ^ b„. n=l
n=l
n=l
Beweis. Da eine endliche Anzahl von Gliedern keine Auswirkung auf die Konvergenz einer Reihe besitzt, konnen wir oline Verlust der Allgemeinheit ann
nelimen, dass a„ < &„ fiir jeden Index n € N. Dann gilt An = X] Ofc < fc=i n
oo
J2 bk = Bn- Konvergiert die Reihe ^ &„, dann strebt die Folge {Bn}, die fc=l
n=l
nicht absteigend ist, gegen einen Grenzwert B. Aber dann gilt An < Bn < B oo
fiir alle n GN und folglich ist die Folge A„ der Teilsummen der Reihe ^
a„
n=l
beschrankt. Nach dem Konvergenzkriterium einer Reihe mit nicht negativen oo
Gliedern (Satz 8) konvergiert die Reihe "^2 inn=\
Die zweite Behauptung des Satzes folgt aus dem eben Bewiesenen durch einen Widerspruchsbeweis. D ^- D^ n(n+i) < ; ? < (n--V)n f^*" " > 2, folgcrn wir, dass die Reihen oo
oo
X] -^ und X] n{n+'\:) beide konvergieren oder divergieren. n=l
n=l
Aber die zweite Reihe kann direkt aufgrund von n
^I^J^-Y\
— \ ~ i+T ^^^" oo
gewertet werden, da folglich Yu k(k+\) = ^ ~ ^ - Daher ist Yu n(n+\) = ^• fc=l
n=l oo
Folgerichtig konvergiert die Reihe ^ n=l
oo
^ . Interessanterweise gilt Y W
2
~\^
n=l
wie wir unten zeigen werden. Beispiel 25. Wichtig ist, dass der Vergleichssatz nur fiir Reihen mit nicht negativen Gliedern gilt. Setzen wir namlich beispielsweise a„ = —n und &„ = 0, oo
oo
dann gilt a„ < 6„ und die Reihe ^ 6„ konvergiert, wohingegen ^ a„ divern=l
giert.
n=l
104
3 Grenzwerte oo
KoroUar 8. (WeierstraBscher M-Test auf absolute Konvergenz). Seien ^
a„
n=l oo
und ^ b„ Reihen. Angenommen,
es existiere ein Index N G 'N, so dass
n=\
I On I < ^n fur alle n > N. Dann ist es eine hinreichende Bedingung fiir die oo
oo
absolute Konvergenz der Reihe ^ a„, dass die Reihe ^ &„ konvergiert. n=l
n=l
Beweis. Nach dem Vergleichssatz konvergiert in der Tat die Reihe X] \ar, n=l
und genau das entspricht der absoluten Konvergenz von X] a„.
D
n=l
Dieser wichtige hinreichende Test auf absolute Konvergenz wird oft in Kurzform wie folgt formuliert: Werden die (Absolutwerte der) Glieder einer Reihe durch die Glieder einer konvergenten numerischen Reihe majorisiert, dann konvergiert die betrachtete Reihe absolut. Daher wird dieser Test auch oft als Majorantenkriterium bezeichnet. oo
Beispiel 26. Die Reihe YJ ^ ^ konvergiert absolut, da | ^ ^ | < ^ , und die n=l oo
Reihe ^
-^ konvergiert, wie wir in Beispiel 24 gezeigt haben.
n=l oo
KoroUar 9. (Cauchyscher Test). Sei ^ a„ eine gegebene Reihe und a = n=i
lim A/|a„|. Dann gilt:
n—)-oo
oo
a) fiir a < 1 konvergiert die Reihe ^ a„ absolut, n=\ oo
b) fur cc > 1 divergiert die Reihe X] ^n; n=l
c) fiir a = 1 existieren sowohl absolut konvergente wie divergente Reihen. Beweis. a) Fiir a < 1 konnen wir g £ ffi so wahlen, dass cc < g < 1. Bei festem q existiert nach der Definition des Limes superior ein A^ £ N, so dass A/|a„| < q fiir alle n > N. Somit erhalten wir |a„| < g" fiir n > N und, da die oo
Reihe ^ g" fiir \q\ < 1 konvergiert, folgt nach dem Vergleichssatz oder nach n=l oo
dem Weierstrafischen Kriterium, dass die Reihe ^ a„ absolut konvergiert. n=l
b) Da a ein Teilgrenzwert der Folge { \/l'^»l} ^^^ (Satz 6), existiert eine Folge {onfc}, so dass hm " v K » J = ct- Daher existiert fiir cc > 1 ein K £N, n—)-oo
SO dass |a„j, | > 1 fiir alle k > K. Somit wird die notwendige Konvergenzbeoo
dingung (a„ -^ 0) nicht von der Reihe ^ a„ erfiillt, weswegen sie divergiert. n=l
3.1 Der Grenzwert einer Folge oo
105
oo
c) Wir wissen bereits, dass die Reihe J2 ~ divergiert und ^
-^ konver-
n=l
jiert (absolut, da 1^1 = -^). Aufierdem gilt lim \ - = lim -4i= = 1 und In
lim
I
n
n->-oo V "
lim - ^ = lim {4r)
n->-oo
V"
= 1-
n—)-oo
Beispiel 27. Wir woUen die Werte x £ M finden, fiir die die Reihe oo
konvergiert. Dazu bereclmen wir cc = lim A / | ( 2 + (—l)")"a;"| = \x\ lim |2+(—1)"| = n—>oo
n—)-oo
3|x|. Somit konvergiert die Reihe fiir |a;| < | sogar absolut, wohingegen sie fiir \x\ > I divergiert. Der Fall \x\ = | erfordert eine Spezialbehandlung. Dies ist fiir diesen Fall einfach, da fiir |a;| = | und gerades n {n = 2k) gilt: (2 + (-1)^*^) x^* = 3^*^(1) = 1. Daher divergiert die Reihe, da sie die notwendige Konvergenzbedingung nicht erfiillt. KoroUar 10. (D'Alembert-Kriterium®, Quotientenkriterium). der Grenzwert
lim
an + i
existiere fiir die Reihe
^
Angenommen,
a „ . Dann
gilt:
n—>oo
a) Fiir a < 1 konvergiert
die Reihe
^
a„
absolut.
n=l oo
b) Fiir a > 1 divergiert
die Reihe
^
a„.
n=\
c) Es gibt fiir a = 1 sowohl absolut konvergente
wie divergente
Reihen.
Beweis. Fiir a < 1 existiert eine Zahl q, so dass a < q < 1. Wenn wir q festhalten und die Eigenschaften von Grenzwerten ausnutzen, konnen wir einen Index N £ N finden, so dass |^iii±i| < o fiir n > A^. Da eine endliche "
\ an
\
Anzahl von Gliedern keinen Einfluss auf die Konvergenz von Reihen besitzt, konnen wir ohne Verlust der AUgemeinheit annehmen, dass ""^^ < q fiir alle n e N. 02 On+l an Da = ai an an-1 erhalten wir | a „ + i | < | a i | • g". Aber die Reihe ^ Summe ist offensichthch gleich 'f^),
| a i | g " konvergiert (ihre
so dass die Reihe ^
a „ absolut kon-
n=l
vergiert. ^ J. L. d'Alembert (1717-1783) - franzosischer Gelehrter mit Mechanik als Spezialgebiet. Er war Mitglied der Gruppe von Philosophen, die die Encydopedie schrieben.
106
3 Grenzwerte
b) Fiir a > 1 gilt ab einem Index A^ £ N die Ungleichung |^^f^^| > 1, d.h., |a„| < |an+i|- Somit ist die zur Konvergenz notwendige Bedingung, dass oo
a„ ^ 0, fiir die Reihe ^ a„ nicht erfiillt. n=l oo
oo
c) Wie beim Cauchyschen Test dienen die Reihen J2 ~ und J2 ^ ^1^ n=l
n=l
Beispiele.
D
Beispiel 28. Wir woUen die Werte x £ M bestimmen, fiir die die Reihe oo
-.
V-a;" ^ ^ n! n=l
konvergiert. Fiir X = 0 konvergiert sie offensichtlich absolut. Fiir X ^ 0 erhalten wir lini ""^^ = lim ^ ^ = 0. n—>oo ' ^'^ '
n—)-oo ^+-'-
Somit konvergiert die Reihe absolut fiir jeden Wert x £ M. Zuni Abschluss woUen wir eine besondere, aber oft vorkonimende Klasse von Reihen, deren Glieder eine monotone Folge bilden, betrachten. Fiir derartige Reihen gilt die folgende notwendige und hinreichende Bedingung: oo
Satz 10. (Cauchy). Fiir ai > a2 > • • • > 0 konvergiert die Reihe ^ a„ genau n=l oo
dann, wenn die Reihe ^ 2*a2'« = oi + 2a2 + 4a4 + Sag + • • • konvergiert. fc=o
Beweis. Da 0 2 < 0 2 < Ol ,
2a4 < as + a4 < 2a2 , 4a8 < 05 + ag + a? + og < 4a4 , 2"a2"+i < a2»+i H
h a2»+i < 2"a2» ,
erhalten wir nach Addition dieser Ungleichungen: ^(-Sn+l - Oi) < ^2" + ! - ai < 5„ , wobei Ak = ai + • • • + Uk und 5„ = ai + 2a2 + • • • + 2"a2" die Teilsummen der beiden betrachteten Reihen sind. Die Folgen {Aj-} und {5„} sind nicht abnehmend und daher konnen wir aus diesen Ungleichungen folgern, dass sie entweder beide von oben beschrankt sind oder beide von oben unbeschrankt sind. Dann folgt aus deni Konvergenzkriterium von Reihen niit nicht negativen Gliedern, dass die beiden Reihen tatsachlich beide konvergieren oder divergieren. D
3.1 Der Grenzwert einer Folge
107
Aus diesem Ergebnis folgt ein niitzliches Korollar. KoroUar. Die Reihe
^
^
konvergiert
fiir p > 1 und divergiert fiir p < 1.^
n=l
Beweis.
Fiir p>0 folgt aus Satz 10, dass die Reihe gleichzeitig mit der Reihe
k=0
^
'
fc=0
konvergiert oder divergiert und eine notwendige und hinreichende Bedingung fiir die Konvergenz dieser Reihe ist (/ = 2 ^ ~ P < 1, d.h., p> \. OO
Fiir p < 0 divergiert die Reihe ^
^
offensichthch, da alle Gheder der
n=l
Reihe groBer als 1 sind.
D OO
Die Bedeutung dieses Korohars hegt darin, dass die Reihe ^
-^ oft als
n=l
Vergleichsreihe benutzt wird, urn die Konvergenz anderer Reihen zu untersuchen. c. D i e Zahl e als S u m m e e i n e r R e i h e Zum Abschluss unserer Untersuchungen iiber Reihen kehren wir wiederum zur Zahl e zuriick und erhalten eine Reihe, die einen sehr bequenien Weg zu ihrer Berechnung eroffnet. Wir werden Newtons binoniische Forniel benutzen, um den Ausdruck (1 + -i;)" zu entwickeln. Diejenigen, die mit dieser Formel aus der Schulzeit nicht vertraut sind und nicht die Teilaufgabe Ig) in Abschnitt 2.2 gelost haben, konnen diesen Anhang zur Zahl e ohne Verlust des Zusammenhangs auslassen. Dieser Anhang kann nach der Untersuchung der Taylorschen Fornieln, die als Verallgenieinerungen von Newtons binomischer Formel betrachtet werden konnen, nachgeholt werden. Wir wissen, dass e = hm ( l + - ) . n—>oo ^
"'
Nach Newtons binomischer Formel gilt: n 1
(' + - ) "
n(n — 1) 1
"^Tln "^
2!
'^^'"^
n(n-l)---(n-fc+l)
+
1
1
k\
n'• •
\
n
/
ni \
n/
\
X
n
/
^ Bis jetzt haben wir in diesem Buch die Zahl n'' formal nur fiir rationale Werte p definiert, so dass es dem Leser fiir den Augenblick freisteht, dieses Korollar nur fiir Werte p, fiir die n*" bisher definiert ist, anzuwenden.
108
3 Grenzwerte
Wir setzen (l + :^) = e„ und l + l + ---^ + --- + -k = Sn und erhalten e„ < s„, (n = 1,2,...)Auf der anderen Seite gilt fiir jedes feste k und n > k, wie wir aus derselben Entwicklung sehen, dass 1 /
1/
IN
1\
/
k-l\
Mit n ^ CO strebt die linke Seite dieser Ungleichungen gegen Sk und die rechte gegen e. Damit konnen wir folgern, dass Sfc < e fiir alle fc £ N. Nun erhalten wir aber aus den Relationen
dass lim s„ = e. n—>oo
In Ubereinstimmung mit der Definition der Summe einer Reihe, konnen wir nun schreiben: e == 1
1
+ 1!
1
+ 2! +
• • +
1 n!
+ •••
Diese Darstellung der Zahl e ist sehr wohl fiir Berechnungen geeignet. Wir woUen den Unterschied e — s„ abschatzen: 1 1 0 < e — Sr, (n + iy. (n + 2)! 1 r 1 1 -I < ' (n + 1)! r ^ n + 2 ^ (n + 2)(n + 3) ^"'\ 1 r 1 1 -1 _ '^ (n + iyA ^ n + 2 ^ (n + 2)2 + ' " J ~ 1 1 n+2 1 (n+l)!l-^ n ! ( n + l ) 2 < n\n ' Um den absoluten Fehler in der Naherung von e durch s„ etwa kleiner als 10~^ zu machen, geniigt es, dass ^ < j ^ und diese Bedingung ist bereits fiir sg erfiillt. Die fiihrenden Dezimalstellen von e lauten: e = 2,7182818284590... . Diese Abschatzung fiir die Differenz e — s„ kann als Gleichung e = Sn -\
;—, rnit 0 < ^„ < 1 n\n geschrieben werden. Aus dieser Darstellung folgt unmittelbar, dass e irrational ist. Wenn wir annehmen, dass e = ^ mit p,q G fi, dann muss die Zahl qle eine ganze Zahl sein, wohingegen g!e
^, \ _
, , «!
«!
, 9!
^«
i!
Z\
q\
q
4.-2)-'4-1— q\q/
3.1 Der Grenzwert einer Folge
109
Folglich soUte die Zahl -f- eine ganze Zahl sein, was unmoglich ist. Zur Information des Lesers bemerken wir, dass e nicht nur irrational, sondern auch transzendent ist. 3.1.5 U b u n g e n u n d A u f g a b e n 1. Zeigeii Sie, dass eine Zahl x e R genau danii rational ist, wenn ihre g-adische Darstellung in jeder Basis q periodisch ist, d.h., sie besteht ab einer Stelle aus ZifFern, die sich periodisch wiederholen. 2. Ein aus der Hohe h fallender Ball springt auf die Hohe qh zuriick, wobei q ein konstanter Koeffizient 0 < g < 1 ist. Bestimmen Sie die Zeit, die vergeht, bis der Ball zur Ruhe konimt und den Weg, den er in der Zeit in der Luft zuriickgelegt hat. 3. Beginnend bei einem festen Punkt markieren wir alle Punkte auf eineni Kreis, die durch Drehung des Kreises um einen Winkel von n Radianten entstehen. Dabei lauft n G Z uber alle ganzen Zahlen. Beschreiben Sie alle Haufungspunkte der so konstruierten Menge. 4. Der Bruch
1
ni H n2 +
i
113 +
1
1 nk mit Wfc £ N wird endlicher Kettenbruch genannt und der Bruch Uk-i H
1
ni + n-z +
n3 +
ein unendlicher Kettenbruch. Die Briiche, die aus einem Kettenbruch erhalten werden, wenn man von einem Punkt an alle folgenden Elemente weglasst, werden Konvergenten genannt. Der einem unendlichen Kettenbruch zugewiesene Wert ist der Grenzwert der Konvergenten. Zeigen Sie, dass: a) Jede rationale Zahl ^ , mit m, n £ N eindeutig als Kettenbruch entwickelt werden kann: m 1 1 - = gi + g2 + g3+
1
1 q-n-i H
Dabei ist q-n i= ^ fiir n > 1.
qn
110
3 Grenzwerte H i n w e i s : Die Elemente genannten Zahlen g i , . . . ,g„ konnen mit dem euklidischeii Algorithmus m
= n • qi+ri , ri • q2 +r2 ,
n = ri
= r2 • qs +r3
berechnet werden, indem wir — -^[Q folet schreiben: m l — =qi + —r- = gi +
n
1 —
32 +
nn
b) Die Konvergenten -Ri = gi, -R2 = gi H
, • • • erfiillen die Ungleichungen
i?l < i?3 < • • • < ^ 2 * - ! < — i> f5"^- I 2 Q, I Qi^Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit den Annahmen in Aufgabe 11 in Abschnitt 2.2.
3.1 Der Grenzwert einer Folge
111
5. Zeigeii Sie: a) Die Gleichung 1 1 1 + TT :^H 1! + 2!
1 1 \--r n! + n\n
1 • 2 • 2!
(n - 1) • n • n!
gilt fiir n > 2. oo
°) ^ = "^ ~ Z^ (n+l)(n+2)(n+2)! • n=0
c) Die Formel e w l + Y! + 5T + ' ' ' + ';n~'" TTF^ ^^^ ^^'' naherungsweisen Berechnung der Zahl e viel besser geeignet als die urspriingliche Formel e w 1 + YT + 5T + ' ' ' + ^ (Schatzen Sie die Fehler ab und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Wert von e, der auf Seite 108 aufgefiihrt ist). 6. Wenn o und b positive Zahlen sind und p eine beliebige von Null verschiedene reelle Zahl, dann ist der Mittelwert voni Grad p der Zahlen o und 6 die Grofie Sp[a,b) Fiir p = 1 erhalten wir insbesondere das arithmetische Mittel von a und b, fiir p = 2 das quadratische Mittel und fiir p = —1 das harmonische Mittel. a) Zeigen Sie, dass der Mittelwert Sp{a,b) fiir jeden Grad zwischen den Zahlen a und 6 liegt. b) Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen {Snia,b)},
{S-nia,b)}
7. Zeigen Sie: a) So (n) = 1 + • • • + n = n , Si(n)
= 1 +--- + n =
= -n
+ ^n ,
o f ^ i2, 82(71) = 1 H bs(n)
=
, 2 n(n + l)(2n + l) 1 3 1 2,1 \-n = = -n + -n + -n 6 3 2 6 n'jn + iy 1 4,1 3,1 2 4
= T W + T:n + -rn 4 2 4
und Sk{n) = Ok+in ^"^ + • • • + ain + oo ist ini AUgemeinen ein Polynom vom Grade fc + 1. ")
}
n'i + l ~ fc + 1 •
112
3 Grenzwerte
3.2 Der Grenzwert einer Funktion 3.2.1 Definitionen und Beispiele Sei E eine Teilmenge von K und a ein Haufungspunkt von E. Sei f : E ^ R eine auf E definierte reellwertige Funktion. Wir wollen die Bedeutung der Aussage, dass der Wert f{x) der Funktion / gegen eine Zahl A strebt, wenn x G E sich an a annahert, ausarbeiten. Es ist natiirlich, eine derartige Zahl A als Grenzwert der Funktionswerte zu bezeichnen oder als der Grenzwert von / , wenn x gegen a strebt. Definition 1. Wir werden (nacli Cauchy) sagen, dass eine Funktion f:E^R gegen A strebt, wenn x sich a annahert, oder dass A der Grenzwert von f ist, wenn x gegen a strebt, falls fiir jedes e > 0 ein 6 > 0 existiert, so dass |/(a;) - A\ < e fiir alle a; e -E mit 0 < |a; - a| < (5. In logischen Symbolen lauten diese Bedingungen: V e > 0 3 ( 5 > O V a ; e £ ; ( 0 < | a ; - a | < ( 5 ^ |/(a;) - A\ < s) . Ist A der Grenzwert von f{x), wenn x in der Menge E gegen a strebt, dann schreiben wir f{x) -^ A fiir x ^ a, x G E oder lim f{x) = A. Anstelle von x ^ a, x G E werden wir im Allgemeinen die kiirzere Sclireibweise E ^ x ^ a benutzen und anstelle von lim f{x) werden wir lim f{x) = A schreiben. E3x—>-a
Beispiel i. Sei i? = M \ 0 und f{x) = a;sin i . Wir werden zeigen, dass lim X sin — = 0 . B9x->0
X
Dazu wahlen wir 5 = e fiir ein vorgegebenes e > 0. Dann gilt fiir 0 < |a;| < 6 = e unter Einbeziehung der Ungleichung |a;sin i | < |a;|, dass jxsin ^| < £• Wir konnen iibrigens an diesem Beispiel erkennen, dass eine Funktion / : i? —>•ffieinen Grenzwert fiir E B x ^ a besitzt, ohne im Punkt a selbst definiert zu sein. Genau dies ist meistens dann der Fall, wenn Grenzwerte berechnet werden miissen. Und Sie werden, falls Sie aufmerksam waren, bemerkt haben, dass dieser Umstand bei unserer Definition des Grenzwertes beriicksichtigt wurde, da wir die strenge Ungleichung 0 < |a; — a| benutzt haben. Wir wiederholen, dass eine Umgebung eines Punktes a € ffi jedes offene IntervaU ist, dass diesen Punkt enthalt. Definition 2. Eine punktierte Umgebung eines Punktes ist eine Umgebung des Punktes, aus der der Punkt selbst entfernt wurde.
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
113
Wenn U{a) eine Umgebung von a bezeichnet, werden wir die zugehorige punktierte Umgebung durch tj{a) bezeichnen. Die Mengen Usia) := EnU{a)
,
tlEia) := Entlia) nennen wir eine Umgebung von a in E und eine punktierte Umgebung von a in E. Sei a ein Haufungspunkt von E, dann ist JJE{OL) 7^ 0 fiir jede Umgebung U{a). Wenn wir fiir den Augenblick die umstandlichen Symbole L^^(a) und V5[f(A) verwenden, um die punktierte (5-Umgebung von a \n E und die eUmgebung von A in M zu bezeichnen, dann kann die sogenannte Cauchysche „e-(5-Definition" des Grenzwertes einer Funktion neu geschrieben werden: lim f{x)=A\ EBx—i-a
•.= ^V^{A) 3u%{a)
[f[U^ia))
C V^{A)) .
J
Dieser Ausdruck besagt, dass A der Grenzwert der Funktion / : _E ^ M ist, wenn x in der Menge E gegen a strebt, falls fiir jede e-Umgebung V^{A) von A eine punktierte Umgebung i]^^{a) von a in _E existiert, deren Bild /(?7|;(a)) unter der Abbildung / : i? —>• K vollstandig in 1^(A) entlialten ist. Wenn wir beriicksiclitigen, dass jede Umgebung eines Punktes auf der reellen Geraden eine symmetrisclie Umgebung (eine (5-Umgebung) desselben Punktes enthalt, gelangen wir zu folgendem Ausdruck fiir die Definition eines Grenzwertes, den wir als unsere eigentliche Definition verwenden: Definition 3. lim f{x) = A\ :=VyK(A) ^UE{a)
{f{UE{a))
CVuiA)).
Somit wird die Zahl A als Grenzwert der Funktion / : _E —>•ffifiir x gegen a bezeichnet, wobei wir in der Menge E bleiben (a muss ein Haufungspunkt von E sein), wenn fiir jede Umgebung von A eine punktierte Umgebung von a in E existiert, deren Bild unter der Abbildung / : _E —>• M in der vorgegebenen Umgebung von A enthalten ist. Wir haben verschiedene Aussagen zur Definition des Grenzwertes einer Funktion eingefiihrt. Fiir numerische Funktionen, wenn a und A in M enthalten sind, sind diese Aussagen, wie wir gesehen haben, aquivalent. In diesem Zusammenhang nehmen wir zur Kenntnis, dass die eine oder die andere dieser Aussagen in verschiedenen Situationen praktischer sein kann. So ist beispielsweise die urspriingliche Formulierung bei numerischen Berechnungen zweckmafiig, da sie einen erlaubten Betrag fiir die Abweichung zwischen x
114
3 Grenzwerte
und a enthalt, um sicherzustellen, dass die Abweichung zwischen f{x) und A nicht einen bestimniten Wert iiberschreitet. Dagegen ist aber fiir die Verallgemeinerung des Konzepts eines Grenzwertes auf allgemeinere Funktionen die letzte Definition am praktischsten. Sie erlaubt es uns, den BegrifF eines Grenzwertes einer Abbildung / : X —>• F zu definieren, falls uns bekannt ist, was eine Umgebung eines P u n k t e s in X und Y bedeutet, d.h., falls, wie wir sagen, eine Topologie fiir X und Y gegeben ist. Wir wollen einige weitere Beispiele betracliten, die die eigentliche Definition verdeutliclien. Beispiel 2. Die Funktion
sgna; = ^
1 fiir X > 0 , 0 fiir x = 0 , -1 fiir X • 0 der Grenzwert dieser Funktion sein. Beispiel 6. Seien
und i . , = {a..M|a. =
- - l — , n e N } ,
7r/2 + 27rn
dann erhalten wir (vgl. Beispiel 4): lim B_9x->0
sin — = — 1 und X
lim
-B+Bs-S-O
sin — = 1 . X
Es besteht eine enge Verbindung zwischen einem Grenzwert einer Folge, den wir im vorangegangenen Abschnitt untersucht haben, und dem Grenzwert einer beliebigen numerischen Funktion, den wir in diesem Abschnitt einfiihren. Dies bringt der folgende Satz zum Ausdruck.
116
3 Grenzwerte
Satz 1. ^ Die Gleichung
lim f{x) = A gilt genau dann, wenn fiir jede Folge EBx^a
{xn\ von Punkten x„ G E\a, die gegen a konvergiert, die Folge {/(a;„)} gegen A konvergiert. Beweis. Dass ( lim f{x) = A] ^ ( lim /(a;„) = A], folgt sofort aus den Definitionen. 1st namlich
lim f(x) = A, dann existiert fiir jede Umgebung E3x—>-a
V{A) von A eine punktierte Umgebung (jE{a) des Punktes a in E, so dass fiir x e UE{a) gilt: f{x) £ V{A). Wenn die Folge {a;„} von Punkten in _E \ a gegen a konvergiert, dann existiert ein Index N, so dass x„ £ UE{a) fiir n > N und somit ist /(a;„) € V{A). Nach der Definition des Grenzwertes einer Folge konnen wir dann folgern, dass lim f{x„) = A. n—)-oo
Nun woUen wir die Umkehrung beweisen. Sei A niclit der Grenzwert von f{x), wenn E ^ x ^ a. Dann existiert eine Umgebung V{A), so dass fiir jedes n £ N ein Punkt a;„ in der punktierten ^--Umgebung von a in E existiert, so dass f{xn) ^ V{A). Dies bedeutet aber, dass die Folge {/(a;„)} nicht gegen A konvergiert, obwolil {a;„} gegen a konvergiert. D 3.2.2 Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion Wir woUen nun einige Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion ausarbeiten, die standig benutzt werden. Viele davon sind zu den Eigenschaften des Grenzwertes einer Folge, die wir bereits erarbeitet haben, analog und daher im Wesentlichen bekannt. Aufierdem folgen nach dem eben bewiesenen Satz 1 viele Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion direkt und unmittelbar aus den entsprechenden Eigenschaften des Grenzwertes einer Folge: Die Eindeutigkeit des Grenzwertes, die arithmetischen Eigenschaften des Grenzwertes und das Verhalten von Grenzwerten in Ungleichungen. Wir werden diese Beweise nichtsdestotrotz wiederholen. Sie werden erkennen, dass das durchaus Sinn macht. Wir wollen den Leser darauf aufmerksam machen, dass wir nur zwei Eigenschaften punktierter Umgebungen eines Haufungspunktes einer Menge benotigen, um die Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion einzufiihren: Bi) tlEia) i- 0 , d.h., die punktierte Umgebung des Punktes a in _E ist nicht leer; B2) -it' E{a)'itj " E{a) 3 ijE{a) [tE^O) C V ' E{a) n V " ^(a)), d.h., die Schnittmenge zweier punktierter Umgebungen enthalt eine punktierte Umgebung. Diese Beobachtung fiihrt uns zu einem allgemeinen Konzept fiir einen Grenzwert einer Funktion und zu der Moglichkeit, die Theorie von Grenzwerten ® Dieser Satz wird gelegentlich auch Aquivalenzaussage zwischen der Cauchyschen Grenzwertdefinition (mit Umgebungen) und der Heineschen Definition (niit Folgen) bezeichnet. E. Heine (1821-1881) - deutsclier Matliematiker.
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
117
zukiinftig nicht nur fiir Funktionen, die auf Zahlenmengen definiert sind, zu benutzen. Um zu verhindern, dass die Diskussion eine reine Wiederholung des in Abschnitt 3.1 Gesagten wird, warden wir einige niitzliche neue Methoden und Konzepte verwenden, die im vorangegangenen Abschnitt nicht bewiesen wurden. a. AUgemeine Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion Wir beginnen mit einigen Definitionen. Definition 4. Wie zuvor nennen wir eine Funktion / : _E —>• M, die nur einen Wert annimmt, konstant. Eine Funktion f : E ^ W wird schliefiUch konstant genannt, wenn sie in einer punktierten Umgebung JJE{OL) konstant ist, wobei a ein Haufungspunkt von E ist. Definition 5. Eine Funktion / : i? —>•ffiist beschrdnkt, von oben beschrdnkt oder von unten beschrdnkt, wenn eine Zahl C £ ffi existiert, so dass \f{x)\ < C, f{x) < C Oder C < f{x) fiir alle x G E. Gilt eine dieser drei Eigenschaften nur in einer punktierten Umgebung UE{OL), dann heiBt die Funktion fiir E B x ^ a schliefiUch beschrdnkt, schliefiUch von oben beschrdnkt oder schliefiUch von unten beschrdnkt. Beispiel 7. Die durch f{x) = (sin - + a;cos -) fiir x ^ 0 definierte Funktion ist in ihrem Definitionsbereich nicht beschrankt. Sie ist jedoch fiir a; —^ 0 schlieBlich beschrankt. Beispiel 8. Dasselbe gilt fiir die Funktion f{x) = x auf M. Satz 2. a) (^f : E ^ M. ist fiir E B x ^ a schliefiUch konstant gleich A) ( &;3
lim
f(x)=A).
lim /(x)
V -BBS—>a
^
{j
• E
^
R ist fiir E
B x
^
a schliefiUch
/
beschrdnkt). c) ( lim \E3x^a
fix)
=AAA( /
lim \E3x^a
f(x)
= A^)
=> {A^ =
A^).
/
Beweis. Die Behauptung a), dass eine schliei31ich konstante Funktion einen Grenzwert besitzt, folgt unmittelbar aus den entsprechenden Definitionen, ebenso wie die Behauptung b), dass eine Funktion, die einen Grenzwert besitzt, schhefilich beschrankt ist. Wir wenden uns nun dem Beweis der Eindeutigkeit des Grenzwertes zu. Sei Ai ^ A2. Wir wahlen Umgebungen V{Ai) und V{A2), die keinen Punkt gemeinsam haben, d.h. V{Ai) n V{A2) = 0 . Nach der Definition eines Grenzwertes gilt: lim f{x)=Ai
^3U'
lim f{x)=A2
^3U"E{CJ)
E3x
EBx^.
E{a) (f{U' E{a)) CV{A^)) [f{U"E{a))
CViA^))
, .
^
118
3 Grenzwerte
Wir betrachten nun eine punktierte Umgebung UE{a) von a (einem Haufungspunkt von E), so dass IJE{a) C (j' E{a) f^U" E{a)- (Wir konnen beispielsweise tjE{a) = U' E{a) f^U " E{a) wahlen, da der Schnitt auch eine punktierte Umgebung ist.) Da UE{OL) 7^ 0 , wahlen wir x £ UE{a)- Somit erhalten wir f{x) £ V{Ai) n V{A2), was unmoglich ist, da die Umgebungen V{Ai) und V{A2) keine gemeinsamen Punkte besitzen. D b. Grenzwerte und arithmetische Operationen Definition 6. Besitzen zwei reellwertige Funktionen / : _B —>• ffi und g : E ^ W einen gemeinsamen Definitionsbereich E, so sind ihre Summe, ihr Produkt und ihr Quotient die durch folgende Formeln definierten Funktionen auf derselben Definitionsmenge: (/ + ff)(a^) : = / ( x ) + 3 ( x ) , {f •g){x)
i>
••= fix)
fix)
'.f\r ^ 9^
-gix)
'
gix)
,
mit gix) ^ 0 fiir x £ E
Satz 3. Seien f : E ^ M. und g : E ^ M. zwei Funktionen mit einem gemeinsamen Definitionsbereich. Gilt hm fix) = A und hm g{x) = B, dann auch: EBx^a
a)
EBx^a
hm {f + g){x)=A
+B ,
EBx^a
b)
hm if-g){x)=A-B E3x^>a
c)
hm
EBx^a
und
f f\ A ( — ) = —, falls B ^ 0 und gix) ^ 0 fiir x £ E. \g /
B
Wie bereits zu Beginn von Absatz 3.2.2 bemerkt, folgt dieser Satz unmittelbar aus den entsprechenden Satzen zu Grenzwerten von Folgen (vgL Satz 1). Wir konnen den Satz auch dadurch erhalten, dass wir den Beweis des Satzes iiber die algebraischen Eigenschaften des Grenzwertes einer Folge wiederholen. Die notwendigen Veranderungen im Beweis beschranken sich auf einen Hinweis auf eine punktierte Umgebung fjE{OL) von a G E,wo wir vorher auf Aussagen, die „ab einem N £ N" gelten, verwiesen haben. Wir empfehlen dem Leser, dies zu iiberpriifen. Hier werden wir den Satz aus seinem einfachsten Spezialfall A = S = 0 erhalten. Natiirlich schliefien wir dabei Behauptung c) von unserer Betrachtung aus. Eine Funktion f : E ^ M. wird fiir E B x ^ a als infinitesimal bezeichnet, fahs lim f{x) = 0. EBx^a
Satz 4. a) Seien a : E ^ W und P : E ^ W infinitesimale Funktionen fur E B X ^ a. Dann ist ihre Summe cc + /? : -E —>•ffifiir E B x ^ a ebenfalls infinitesimal.
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
119
b) Seien cc : _E —>•ffiund (3 : i? —>•ffiinfinitesimale Funktionen fiir E B x ^ a. Dann ist ihr Produkt a • P : E ^ M. fiir E B x ^ a ebenfalls infinitesimal. c) Sei a : E ^ W infinitesimal fiir E B x ^ a und P : E ^ M. schliefilich beschrdnkt fiir E B x ^ a. Dann ist ihr Produkt a • P : E ^ M. fiir E B X ^ a infinitesimal. Beweis. a) Wir werden zeigen, dass {
lim a{x) = o) A f lim /3(x) = o) ^ f lim (a + P){x) = o) .
\EBx^a
I
\E3x^a
I
\ E3x^a
I
Sei e > 0 gegeben. Nach der Definition des Grenzwertes gilt: f
lim a(x) = 0 ) ^
f3;7'is(a) V x e ;7'is(a) (|a(a;)| < I ) ) ,
f
lim p[x) = O) ^
{^U"E[a) Va; £ U"E{a) {\P{x)\ < | ) ) .
\E^x—^a
/
\
I J
Dann erhalten wir fiir die punktierte Umgebung ijE{P) tj" E{a):
C ?7's(a) fl
Va; e tjE{a) |(a + ^)(a;)| = |a(x) ^ P{x)\ < \a{x)\ + |/3(x)| < e , d.li., wir haben gezeigt, dass
lim (a + P){x) = 0.
b) Die Beliauptung ist ein Spezialfall von Behauptung c), da jede Funktion, die einen Grenzwert besitzt, schliefilich beschrankt ist. c) Wir werden zeigen, dass (
lim a{x)=0]
A(3M
eM.3ifE{a)\/xeUE{a)
{\P{x)\ <M))
^
=^ ( lim a(x)B(x) = 0) . Sei e > 0 gegeben. Nach der Definition des Grenzwertes gilt (^lim
a{x) = 0 ) ^ (BU ' E{a) yxGU'
E{a) {\a{x)\ < ^ ) ) .
Dann erhalten wir fiir die punktierte Umgebung U " E{a) C C/' £;(a) fl JJE{OL)'V x e U"E{a) \{a-P){x)\
= \a{x)P{x)\ = \a{x)\\P{x)\ \B\ - \P(x)\ > ^ . Dann gilt in (jEia) ebenso, dass ,}., < |-|T, d.h., die Funktion -J-T ist schlieBlich beschrankt fiir E B x ^ a. Somit konnen wir schreiben: f\( \ ^ _ /(a;) A_A + a{x) A_ ^gJ ' B g{x) B B + P{x) B
{>
g(x) 10
B
Hier eine merkwiirdige Einzelheit. Diese sehr ofFensiclitliche Darstellung, die nichtsdestotrotz fiir Berechnungen selir niitzlicli ist, wurde durch den franzosischen Mathematiker und Facliniann der Meclianik Lazare Carnot (1753-1823), einem Revolutionsgeneral und Akademiker, besonders hervorgehoben. Er war der Vater von Sadi Carnot (1796-1832), dem Begriinder der Thermodynamik.
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
121
Aufgrund der Eigenschaften infinitesimaler Funktionen (unter Beriicksichtigung, dass -j-v schliefilich beschrankt ist) ergibt sich, dass die Funktion 7(2;) fiir E ^ x ^ a infinitesimal ist. Somit haben wir bewiesen, dass lim ( i ) ( x ) = 4 . D c. Grenzwerte und Ungleichungen Satz 5. a) Gilt fiir die Funktionen f : E ^ W und g : E ^ W, dass lim f{x) = A, lim g{x) = B und A < B, dann existiert eine E3x^>a
E3x^>a
punktierte Umgebung UE{a) von a in E und in jedem ihrer Punkte gilt
fix) 0
s—>0
D
d) Wir werden nun beweisen, dass lim 2iSJ£ = x_ x->0
*
Beweis. Fiir \x\ < TT/2 erhalten wir aus der Ungleichung in a), dass . 2 sma; 1 — sm X < < 1 X
Aber lim(l — sin x) = 1 — lim sin a; • lim sin a; = 1 — 0 = 1, so dass wir aus Satz 5 im Paragraplien „Grenzwerte und Ungleichungen" folgern, dass lim siiiii = 1. D s-s-O
=^
Beispiel 10. Definition der Exponential-, der Logarithmus- und der Potenzfunktionen mit Hilfe von Grenzwerten. Wir wollen nun veranschaulichen, wie die Definitionen aus der hoheren Schule fiir die Exponential- und Logarithmusfunktionen mit Hilfe der Theorie der reellen Zahlen und der der Grenzwerte vervollstandigt werden kann. Aus Griinden der Bequemlichkeit bei Verweisen und der Vollstandigkeit halber beginnen wir am Anfang. a) Die Exponentialfunktion. Sei a > 1. 1*^. Fiir n € N definieren wir induktiv: a^ := a, a""*"^ := a" • a. Auf diese Weise erhalten wir eine auf N definierte Funktion a", die, wie aus der Definition ersichthch ist, die Eigenschaft m
a" ~ fiir m.n G'N und m > n besitzt.
m —n
124
3 Grenzwerte 2^. Die Eigenschaft fiihrt zur natiirlichen Definition a° := 1 ,
a"" := — fiir n £ N , a" mit der die Funktion a" auf die Menge Z aller ganzen Zahlen erweitert wird. Es gilt also fiir alle m,n € Z. 3°. Bei der Theorie der reellen Zahlen haben wir beobachtet, dass fiir a > 0 und n £ N eine eindeutige n-te Wurzel von a existiert, d.li. eine Zahl a; > 0, so dass a;" = a. Fiir diese Zahl verwenden wir die Schreibweise a^/". Folgendes ist zweckmafiig, da es uns ermoglicht, das Gesetz zur Addition von Exponenten zu erlautern:
Aus diesem Grund ist es natiirlich, fiir n £ N und m £ Z einzufiihren: a™/» := (ai/")™ und a " ! / " := {cj}/'^)-^. Falls sich herausstellt, dass ^(mk)/{nk) _ g^m/n f^j. ^ g ^^ konnen wir in Betracht ziehen, a** fiir r £ Q definiert zu haben. 4*^. Fiir Zahlen 0 < x und 0 < y zeigen wir durch Induktion, dass fiir n £ N {x 0. Da , nk
mk
= (^^l/(nk}^^^^^'^^ = n^i/(nk)y^^\'^''
= mk a
und m/n\nk / l/n\n\"^^ l^^m/nyk ^ /((^l/")")
mk
a folgt, dass die erste der Ungleichungen, die in Verbindung mit Punkt 4° gepriift werden musste, nun bewiesen ist.
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
125
Da /• m i / m
m2/n2'\"i"2 _ / m i / n i \ " i " 2 ^ /- m 2 / n 2 \ " i " 2
_ min2+m2ni
und [a
» « i / n i + » « 2 / n ,2\\n"1i "n22
-)
^/ ( m i n 2 + m 2 n i ) / ( n i n 2 ) ' \ " i " 2
= (a
,
min2+m2ni min2+m2ni
wird auf ahnliche Weise die zweite Gleichung bewiesen.
D
Somit haben wir a** fiir r £ Q und a'" > 0 definiert und wissen, dass fiir jedes r i , r 2 G Q gilt:
6°. Aus 4° folgt, dass fiir r i , r 2 £ Q gilt: ( n < ra) ^ (a'^i < a''^) . Beweis. Da (1 < a) 1. Dann erhalten wir fiir ri < r2 mit 5*^: ^r2 ^ ^ r i . ^ r 2 - r i y a''
• I = a''' .
U
70. Wir werden zeigen, dass fiir ro G Q gilt: lim
a'' = a''" .
Q9r->ro
Beweis. Wir beweisen, dass a^ ^ 1 fiir Q 3 p ^ 0. Dies folgt aus der Tatsaclie, dass fiir \p\ < - nacli 6° gilt: a - i / " • 1 (und a~^/" ^ 1) fiir n —>• 00. Nun konnen wir mit den iiblichen Argumenten sicherstellen, dass fiir e > 0 ein (5 > 0 existiert, so dass fiir \p\ < S gilt: l - e < a P < l + e . Wir konnen — als S fiir 1 — e < a~^/" und a^/" < 1 + e wahlen. Nun beweisen wir den Kern der Behauptung.
126
3 Grenzwerte Zu gegebenem e > 0 wahlen wir 6 so, dass 1 - ea-''° • 0, so dass fiir jedes e > 0 ein (5 > 0 existiert, so dass aJ"^~'^^ — 1 < e/s fiir 0 < r2 — ^i < 0 beliebig ist, folgern wir, dass i = s. D Nun definieren wir a* := s = i. gO. Wir wollen zeigen, dass a* =
lim al". Q9r->a:
Beweis. Unter Beriicksichtigung von 8° wahlen wir fiir e > 0 ein r' < a;, so dass s — e < a^ < s = a^ und ein r", so dass a'^' = i < a^ < « + e. Da aus r' < r < r" folgt, dass a** < a^ < a^ , erhalten wir fiir alle r £ Q im offenen Intervall ]r',r"[: a-" - e < a"" < a^ + e.
D
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
127
Wir woUen nun die Eigenschaften der so definierten Funktion a^ in M untersuchen. 10°. Fiir a;i,a;2 e M und a > 1 gilt: (xi < X2) => (a^^^ < a^^). Beweis. Im ofFenen Intervall ]xi,X2[ existieren zwei rationale Zahlen ri < r2Fiir xi < ri < r2 < x^ ergibt sich nach der Definition von a* in 8*^ und den Eigenschaften der Funktion a^ auf Q:
11°. Fiir jedes a;i,X2 € M gift a^^ • a^^ = a*i+^^. Beweis. Mit den uns bekannten Abschatzungen fiir den absoluten Fehler bei der Produktbildung und nach Eigenschaft 9° konnen wir behaupten, dass fiir jedes e > 0 ein 6' > Q existiert, so dass a=^i • a=^^ - I < a'-' • a'^ < a''' • a"^' + | , faUs \xi — ri\ < 6' und \x2 — r2\ < S'. Wir konnen gegebenenfalls 6' kleiner machen und 6 < 6' wahlen, so dass ^ r i + r 2 _ £ < ^xr+X2 < ^ n + r ^ _^ £
fiir |xi — r i | < (5 und \x2 — r2\ < S, d.h., \{xi + X2) — {ri + r2)\ < 2(5. Aber a^^ • a^^ = a^^~^^^ fiir ri,r2 € Q, so dass aus diesen Ungleichungen folgt, dass Da e > 0 behebig ist, gelangen wir schlieBhch zu D
12°. lim a^ = a^°. (Wir erinnern daran, dass „x —>• XQ" eine Abkiirzung ist fiir „M 3 X ^ a;o"). Beweis. Zunachst beweisen wir, dass lim a^ = 1. Zu vorgegebenem e > 0 finden wir ein n € N, so dass 1 - e < a-^/" < a^/" < 1 + e . Dann ergibt sich nach 10° fiir \x\ < 1/n: 1 - e < a - i / " < 0=^ < a^/" < 1 + e , d.h., wir haben nachgewiesen, dass lim a* = 1. X—>0
Wenn wir nun (5 > 0 so wahlen, dass |a^~^° ~ 1| < ea~*° fiir |a; — a;o| < 6, dann ergibt sich a^"" - e < a=" = 0="° (0=""="° - 1) < 0="° + e , womit gezeigt ist, dass hm a* = a*°. X^Xo
D
128
3 Grenzwerte
13*^. Wir werden zeigen, dass der Wertebereich der Funktion a; i->- a* der Menge IR__| positiver reeller Zahlen entspricht. Beweis. Sei yo G 1$+• 1st a > 1, dann wissen wir, dass ein n € N existiert, so dass a~" < yo < a". Aufgrund dieser Tatsache sind die beiden Mengen A = {x£M.\a''
< yo} und B = {x eM.\yo < a''}
nicht leer. Da aber (xi < X2) (a^^ < a^^) (fiir a > 1) fiir alle Zahlen a;i,a;2 £ K, folgt aus xi G A und X2 G B, dass xi < X2- Daraus ergibt sicli, dass das VoUstandigkeitsaxiom auf die Mengen A und B anwendbar ist, woraus folgt, dass ein XQ existiert, so dass xi < a;o < X2 fiir alle xi G A und X2 £ B. Wir werden zeigen, dass a^° = yoWare a*° kleiner als yo, dann gabe es eine Zahl n G N, so dass ^xo+i/n < yg^ da a^^o+^Z" -^ a''" fiir n ^> 00. Dann batten wir [XQ + ^) & A, wobei der Punkt XQ die Mengen A und B trennt. Somit ist die Annahme, dass a*° < yo unhaltbar. Ganz ahnlich konnen wir nachweisen, dass auch die Ungleichung a*° > yo unnioglich ist. Aus den Eigenschaften der reellen Zahlen folgern wir daraus, dass a*° = yo. D 14°. Bisher sind wir davon ausgegangen, dass a > 1. Aber alle Konstruktionen waren fiir 0 < a < 1 wiederholbar. Unter diesen Umstanden ist 0 < a'" < 1 fiir r > 0, so dass wir nun in 6° und 10° finden, dass (xi < X2) =^ (a*^ > a^^) fiir 0 < a < 1. Somit haben wir fiir a > 0, a ^ 1 eine reellwertige Funktion x ^ a^ auf der Menge M der reellen Zahlen konstruiert, die die folgenden Eigenschaften besitzt: 1. a^ = a, 3. a^ -^ a*° fiir x ^ xo, 4. (a^i < a^2) 1 und (a^^ > a*^) - a* ist M-i- = {y € M| 0 < y}, die Menge der positiven Zahlen. Definition 7. Die Abbildung x ^ a"^ wird Exponentialfunktion genannt.
zur Basis a
Auf die Abbildung x i->- e*, das entspricht dem Fall a = e, werden wir besonders haufig treffen. Sie wird oft als expx bezeichnet. In diesem Zusamnienhang schreiben wir fiir die Abbildung x i->- a* nianchnial auch b) Der Logarithmus. Die Eigenschaften der Exponentialfunktion zeigen, dass exp„ : M ^ ffi+ eine bijektive Abbildung ist. Somit besitzt sie eine Inverse.
3.2 Der Grenzwert einer Punktion D e f i n i t i o n 8. Die zu exp^j : M -^ ffi+ inverse Abbildung wird zur Basis a (0 < a, a ^ 1) genannt und wie folgt geschrieben:
129
Logarithmus
log„ : ffi+ ^ M . D e f i n i t i o n 9. 1st die Basis a = e, so wird der Logarithmus natiirlicher rithmus genannt und In : ffi+ -^ M. geschrieben.
Loga-
Bei einer anderen Annaherung an den Logarithmus, die in vieler Hinsicht natiirhcher und durchschaubarer ist, wird der Grund fiir diese Namensgebung verstandhch. Wir werden diesen Weg nach der Konstruktion der Grundlagen der Differential- und Integralrechnung erlautern. Nach der Definition des Logarithmus als die zur Exponentialfunktion inverse Funktion erhalten wir: V x e K (logJa=") =x) , Vy e ffi+ (a'°S" y = y) . Aus dieser Definition und den Eigenschaften der Exponentialfunktion folgt insbesondere, dass der Logarithmus in seinem Definitionsbereich ]R_|_ die folgenden Eigenschaften besitzt: 1') 2') 3') 4')
l o g a a = 1, loga(2/i • 2/2) = log„ yi + log„ 2/2, loga y -^ log„ 2/0 fiir ffi+ 9 2/ ^ 2/o £ « + , (log„2/i < loga2/2) 1 und (log„ 2/1 > loga2/2) 0 und jedes cc € M gilt. Beweis. 1°. Die Gleichung gilt fiir cc = n £ N, da sich mit Eigenschaft 2') des Logarithmus und Induktion ergibt, dass log|j(2/i • • • 2/„) = log^ 2/i + - • "+loga t/n, so dass loga(&") = loga b + --- + log„ b = n log„ b . 2°- log„(&"^) = - log„ b, da fiir /3 = log„ b gilt: b = a^,
b-'^ =a-^
nnd \og^{b-^)
= -(] .
3°. Aus 1° und 2° konnen wir folgern, dass die Gleichung log„(6") a log„ b fiir a £ Z gilt. 4°. log„(&V») = i log^ 6 fiir n e Z . Tatsachlich ist
=
l o g > = log„ (&!/")" = n l o g „ ( & V » ) . 5*^. Nun konnen wir nachweisen, dass die Behauptung fiir jede rationale Zahl a = fGQ gilt. In der Tat ist m log„ b = m l o g „ (&!/") = log„ ( 6 1 / " ) " = log„ (&™/») n
132
3 Grenzwerte
6°. Gilt aber die Gleichung log^ b^ = r log^ b fiir alle r € Q, dann erhalten wir mit Eigenschaft 3) der Exponentialfunktion und 3') des Logarithmus, wenn wir r in Q gegen a streben lassen, dass fiir r geniigend nahe bei a auch b^ nahe bei b" ist, ebenso wie log^ b^ nahe bei log„ b" ist. Dies bedeutet, dass lim log„ b' = log„ 6" . Q9)—ya
Aber log^ b^ = r log^ b und daher gilt: loga b" =
hm log„ b'' = Q9)—ha
hm r log„ b = a log„ 6 .
D
Q9)—ya
Aus der eben bewiesen Eigenschaft des Logarithmus konnen wir folgern, dass die folgende Gleichung fiir aUe a, /3 £ ffi und a > 0 gilt:
7') {a"f = a"^. Beweis. Fiir a = 1 gilt 1" = 1 per definitionem fiir alle a £ ffi. Somit ist fiir den Fall die Gleichung trivial. Ist a ^ 1, dann gilt nach dem eben Bewiesenen, dass logjia^f)
= /?log„(a") = p -alog, a = p-a = \og,{a"^) ,
was nach Eigenschaft 4') des Logarithmus zur Gleichung aquivalent ist.
D
c) Die Potenzfunktion Wenn wir 1" = 1 annehmen, dann haben wir fiir alle X > 0 und a £ ffi die Gr6i3e x" (sprich: „x hoch a") definiert. Definition 10. Die auf der Menge IR__| der positiven Zahlen definierte Funktion a; !->• x" wird Potenzfunktion genannt und die Zahl a wird dabei als Exponent bezeichnet. Eine Potenzfunktion ist offensichtlich eine Verkettung einer Exponentialfunktion mit dem Logarithmus; genauer: J," — Qlog„(x°) _
^alog^x
Abb. 3.4 zeigt die Graphen der Funktion y = x" fiir verschiedene Exponenten. 3.2.3 Die allgemeine Definition des Grenzwertes einer Funktion (Grenzwert auf einer Basis) Beim Beweis der Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion haben wir bestatigt, dass die einzigen Erfordernisse, die an die punktierten Umgebungen gestellt werden, auf der unsere Funktionen definiert waren und die im Verlauf der Beweise auftraten, die Eigenschaften Bi) und B2) waren, die in der Einleitung des vorangegangenen Absatzes erwahnt wurden. Dies rechtfertigt die Definition des folgenden mathematischen Objekts.
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
133
Abb. 3.4. a. Basen: Definition und elementare Eigenschaften Definition 11. Eine Menge B von Teilmengen B C X einer Menge X wird Basis in X genannt, wenn die folgenden Bedingungen erfiillt sind: Bi) VBGB
{B^
0),
B2) VSi e B yB2 G B 3B e B (B c Bi n B2). Anders formuliert, so sind die Elemente des Mengensystems B nicht leere Teilmengen von X und der Schnitt je zweier Elemente entlialt immer ein Element desselben Mengensystems. Wir fiihren nun einige der in der Analysis niitzliclieren Basen an. Fiir E = E+ = {x GM.\X > a} (bzw. E = E' = {x GM.\X < a}) schreiben wir a; —>• a + 0 (bzw. x ^ a — 0) anstelle von x ^ a, x G E und wir sagen, dass X von rechts gegen a strebt (bzw. x strebt von links gegen a). 1st a = 0, schreibt man iibliclierweise a; —>• +0 (bzw. x —>• —0) anstelle von a; —>• 0 + 0 (bzw. X ^0-0). Die Schreibweise E ^ x ^ a + 0 (bzw. E B x ^ a — 0) wird anstelle von X ^ a, X G E Ci E^ (bzw. x ^ a, x G E Ci E~) eingesetzt. Es bedeutet, dass X \n E gegen a strebt, wobei es groBer (bzw. kleiner) als a bleibt. Fiir E = E^ = {xG^c<x}
(bzw. E = E:;^ = {x G^x
< c})
schreiben wir x -^ +00 (bzw. x —>• —00) anstelle von x ^ GO, x G E und sagen, dass x gegen positiv Unendlich strebt (bzw. x gegen negativ Unendlich strebt). Die Schreibweise E B x ^ +00 (bzw. E B x ^ —00) ersetzt a; ^ 00, X G EnE+, (bzw. X ^ 00, X G En E;^). 1st E = N, schreiben wir (wenn keine Unklarheiten auftreten konnen), wie in der Theorie der Grenzwerte von Folgen iiblich, n —^ 00 anstelle von a; —>• 00, a; € N.
134
3 Grenzwerte Schreibweise fiir die Basis
Sprich
Mengen (Eleniente) der Basis
Definition u n d Schreibweise von E l e m e n t e n
X —> a
X strebt gegen a
Punktierte Umgebungen a G R
U{a):={x G R|a- 0
X —> OO
X strebt gegen Unendlich
Umgebungen von Unendlich
a, X £ E oder S 9 X —>• a oder X —> a
X strebt gegen a in E
Punktierte Umgebungen* von a in _B
X —>• oo, X G E oder E B X ^ oo oder X —> oo
X strebt gegen Unendlich in E
Umgebungen** von Unendlich in E
X^
[/(oo) : =
= {x GR|(5< |a;|}, m i t •ffieine Funktion, die auf einer Menge X definiert ist und B eine Basis in X. Eine Zalil A £ ffi wird Grenzwert der Funktion f ^^ Beispielsweise bildet die Menge der offenen Kreisscheiben (die nicht ihren Kreisrand enthalten), die einen vorgegebenen Punkt der Ebene enthalten, eine Basis. Der Schnitt zweier Elemente der Basis ist nicht immer eine Kreisscheibe, enthalt aber immer eine Kreisscheibe des Mengensystems. ^'^ Fiir weitere Details, vgl. N. Bourbaki: General topology, Addison-Wesley, 1966.
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
135
auf der Basis B genannt, wenn fiir jede Umgebung V{A) von A ein Element B £ B existiert, dessen Bild f{B) in V{A) enthalten ist. 1st A der Grenzwert von / : X —>• K auf der Basis B, schreiben wir lim f(x) = A . Wir wiederholen nun die Definition des Grenzwertes auf einer Basis in logischen Symbolen: ;iim/(a;) = A) := Vy(A) 3B G B {f{B) C ViA)) . Da wir gegenwartig numerische Funktionen betrachten, kann es hilfreich sein, die folgende Form dieser wichtigen Definition im Hinterkopf zu behalten: (lim/(a;) = A) :=\/e > 0 3B G B \/x G B {\f{x)-A\
< e) .
In dieser Form verwenden wir eine (im Hinblick auf A symmetrische) eUmgebung anstelle einer beliebigen Umgebung V{A). Die Aquivalenz dieser Definitionen fiir reellwertige Funktionen folgt aus der bereits oben erwahnten Tatsache, dass jede Umgebung eines Punktes eine symmetrische Umgebung dieses Punktes enthalt. (Fiihren Sie diesen Beweis vollstandig aus.) Wir haben nun die allgemeine Definition des Grenzwertes einer Funktion auf einer Basis vorgestellt. Oben betrachteten wir Beispiele der in der Analysis gebrauchlichsten Basen. Fiir ein bestimmtes Problem, in der die eine oder andere dieser Basen vorkommt, miissen wir die allgemeine Definition in die fiir diese Basis bestimmte Form iibersetzen. Somit also: ( lim f(x) = A) := Ve > 0 3(5 > 0 Va; G]a - 6, a[ (\f(x) - A\ < e) , s—>a—0
( lim fix) = A) := Ve > 0 3(5 e K Vx < (5 (|/(a;) - A\ < e) . s—> —oo
Bei unserer Untersuchung von Beispielen fiir Basen haben wir insbesondere das Konzept einer Umgebung von Unendlich eingefiihrt. Wenn wir dieses Konzept einsetzen, dann ist es sinnvoU, in Ubereinstimmung mit der allgemeinen Definition eines Grenzwertes, die folgenden Vereinbarungen zu iibernehmen: (lim fix) = oo) := VF (oo) 3B G B (/(S) C V (oo)) oder, was dasselbe ist: (lim/(a;) = oo) := Ve > 0 3 S e B Vx e S (e < |/(a;)|) , (lim/(a;) = +oo) := Ve £ M 3 S £ B Va; £ S (e < fix)) , (lim/(a;) = -oo) := Ve GR3B
G B ^x G B (/(x) < e) .
136
3 Grenzwerte
Der Buchstabe e steht iiblicherweise fiir eine kleine Zahl. Dies trifft in den eben vorgestellten Definitionen natiirlich nicht zu. In Ubereinstinimung mit den iiblichen Vereinbarungen konnten wir beispielsweise schreiben: ( lim fix) = -oo) := Ve e K 3(5 e M Vx > (5 (f(x) < s) . s—> + oo
Wir geben deni Laser den Rat, die voile Definition eines Grenzwertes fiir verschiedene Basen selbstandig auszuformulieren und zwar sowolil fiir endliclie (numerische) als auch unendliclie Grenzwerte. Um die Satze zu Grenzwerten, die wir fiir die spezielle Basis E B x ^ ain Absatz 3.2.2 bewiesen haben, fiir den allgemeinen Fall eines Grenzwertes auf einer beliebigen Basis als bewiesen anselien zu konnen, miissen wir geeignet definieren, wann eine Funktion auf einer Basis schliefiUch konstant, schliefiUch beschrankt und infinitesimal ist. Definition 13. Eine Funktion / : X —^ ffi ist auf der Basis B schliefiUch konstant, falls eine Zahl A e M und ein Element B £ B existiert, so dass f{x) = A fiir alle x G B. Definition 14. Eine Funktion / : X —^ ffi ist auf der Basis B schliefiUch beschrankt, falls eine Zahl c > 0 und ein Element B £ B existiert, so dass |/(a;)| < c fiir alle x £ B. Definition 15. Eine Funktion / : X ^ ffi ist auf der Basis B infinitesimal, faUs hm f(x) = 0. Nach diesen Definitionen und der entscheidenden Anmerkung, dass alle Beweise der Satze zu Grenzwerten nur auf den Eigenschaften Bi) und B2) basieren, konnen wir alle in Absatz 3.2.2 aufgestellten Eigenschaften von Grenzwerten fiir auf beliebigen Basen giiltig erachten. Insbesondere konnen wir nun von dem Grenzwert einer Funktion fiir a; —>• 00, a; —>• — 00 oder x -^ +00 sprechen. AuBerdem haben wir uns nun davon iiberzeugt, dass wir die Theorie von Grenzwerten auch dann anwenden konnen, wenn die Funktionen auf Mengen definiert sind, die nicht notwendigerweise Zahlenmengen sind. Dies wird sich spater als besonders niitzhch erweisen. So ist beispielsweise die Lange einer Kurve eine numerische Funktion, die auf einer Klasse von Kurven definiert ist. Wenn wir diese Funktion auf unterbrochenen Geraden kennen, dann konnen wir sie auf komplizierteren Kurven definieren, wie etwa einem Kreis, indem wir zum Grenzwert iibergehen. Den hauptsachlichen Nutzen, den wir fiir den Moment aus dieser Beobachtung und dem in diesem Zusammenhang eingefiihrten Konzept einer Basis haben, ist, dass sie uns von der Notwendigkeit befreit, Nachweise und formale Beweise von Satzen zu Grenzwerten fiir jeden besonderen Typus von Grenzwertiibergangen auszufiihren oder, in unserer gegenwartigen Terminologie, fiir jeden besonderen Basistyp.
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
137
Um das Konzept eines Grenzwertes auf einer beliebigen Basis voUstandig zu beherrschen, warden wir die Beweise der folgenden Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion in allgemeiner Form ausfiihren. 3.2.4 Existenz des Grenzwertes einer Funktion a. D a s C a u c h y s c h e K r i t e r i u m Bevor wir das Cauchysche Kriterium darlegen, treffen wir die folgende niitzhche Definition. D e f i n i t i o n 16. Die Oszillation £; C X ist io(f,E):=
einer Funktion / : X —^ M auf einer Menge sup
|/(a;i)-/(a;2)|,
d.h. die kleinste obere Schranke des Betrags des Unterschieds der Funktionswerte in zwei behebigen P u n k t e n a;i,a;2 £ E. nel 11. uj{x\[-l,2]) 12. uj{x,[-1,2]) 13.uj{x,]-l,2[)
=4. =3. = 3.
nel 14. w(sgna;, [—1, 2]) = 2. Beispiel
15. w(sgna;, [0,2]) = 1.
nel 16. w(sgna;,]0,2]) = 0. S a t z 6. (Das Cauchysche Kriterium fiir die Existenz eines Grenzwertes einer Funktion). Sei X eine Menge und B eine Basis in X. Fine Funktion f : X ^ W besitzt auf der Basis B genau dann einen Grenzwert, wenn fiir jedes e > 0 ein B G B existiert, so dass die Oszillation von f auf B kleiner als e ist. Somit: 3 lim f{x) ^ye>03B Beweis.
GB {uj{f, B) < e)
N o t w e n d i g . Sei h m / ( a ; ) = A £ K. Dann existiert fiir alle e > 0
ein Element B £ B, so dass \f{x) — A\ < e / 3 fiir alle x G B. Aber dann gilt fiir alle a;i,a;2 € B, dass 1/(^1) - .fix2)\ und daher uj{f; B) < e.
< Ifixi)
-A\
+ \f{x2)
- A \ < j
138
3 Grenzwerte
H i n r e i c h e n d . Wir beweisen nun den Hauptteil des Kriteriunis, der sicherstellt, dass dann, wenn fiir jedes e > 0 ein B £ B existiert, fiir das w(/; B) < s, die Funktion einen Grenzwert auf B besitzt. Indem wir e nach und nach gleich 1,1/2,..., 1/n,... setzen, konstruieren wir eine Folge Bi,B2, • • • ,Bn • • • von Elementen in der Basis B, so dass uj{f,B„) < 1/n fiir n £ N. Da i3„ 7^ 0 , konnen wir einen Punkt x„ in jedem Bn wahlen. Die Folge f{xi),f{x2), • • •, f{xn), • • • ist eine Cauchy-Folge. Tatsachlich ist i3„ fl B^ i^ 0 und mit eineni Hilfspunkt x G B^i V\ Bra ^^~ halten wir |/(a;„) - /(a;™)| < |/(a;„) - /(a;)| + |/(a;) - /(a;™)| < 1/n + 1/m. Nach dem Cauchyschen Konvergenzkriteriuni fiir eine Folge besitzt die Folge {/(a^n), n £ N} einen Grenzwert A. Aus der oben aufgestellten Ungleichung folgt, dass fiir m —>• 00 gilt: |/(a;„) — A\ < Xjn. Wenn wir die Ungleichung io[j\ Bn) < 1/n beriicksichtigen, konnen wir nun abschliei3end festhalten, dass |/(a;) - A| < e in jedem Punkt x G B„, falls n> N = [2/e] + 1. D Anmerkung. Dieser Beweis bleibt auch, wie wir unten sehen werden, fiir Funktionen mit Werten in jedem sogenannten vollstandigen Raum Y giiltig. Fiir y = ffi, dem Fall, an dem wir gerade jetzt am meisten interessiert sind, konnen wir, wenn wir wollen, dieselben Ideen benutzen wie im „hinreichend-Zweig" des Beweises des Cauchyschen Kriteriums fiir Folgen. Beweis. Sei m s = inf f{x) und MB = sup/(a;). Wir merken an, dass m^j < iTiBinB2 < MBinB2 < MB2 fiir aUe Elemente Bi und B2 der Basis B. Damit erhalten wir mit dem VoUstandigkeitsaxiom, dass fiir i? e B eine Zahl A e M existiert, die die numerischen Mengen {ms} und {MB} trennt. Da uj{f; B) = MB — fUB, konnen wir nun folgern, dass, da uj{f;B) < e, in jedem Punkt X G B gilt: |/(a;) - A\ < e. D Beispiel 17. Wir werden zeigen, dass fiir X = N und fiir n —>• 00 als Basis B, n € N, das eben bewiesene allgemeine Cauchysche Kriterium fiir die Existenz des Grenzwertes einer Funktion mit dem bereits untersuchten Cauchyschen Kriterium zur Existenz eines Grenzwertes einer Folge iibereinstimmt. Tatsachlich ist ein Element der Basis n ^ 00, n G N eine Menge B = N n U{oo) = {n G N\N < n}, die aus den natiirlichen Zahlen n £ N besteht, die groi^er als eine Zahl TV £ M sind. Ohne Verlust der Allgemeinheit konnen wir annehmen, dass N GN. Die Ungleichung w(/; B) < e bedeutet nun, dass |/(»^i) - /("-2)| < e fiir alle ni,n2 > N. Somit ist fiir eine Funktion / : N ^ M die Bedingung, dass fiir jedes e > 0 ein B G B existiert, so dass uj{f;B) < e, aquivalent zur Bedingung, dass die Folge {/(n)} eine Cauchy-Folge ist. b. Der Grenzwert einer verketteten Funktion Satz 7. (Der Grenzwert einer verketteten Funktion). Sei Y eine Menge, By eine Basis in Y und 5 : F —>• ffi eine Abbildung mit einem Grenzwert auf
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
139
der Basis By- Sei X eine Menge, Bx eine Basis in X und f : X ^ Y eine Abbildung von X auf Y, so dass fur jedes Element By £ By ein Bx £ Bx existiert, dessen Bild f{Bx) in By enthalten ist. Mit diesen Annahmen ist die Verkettung g o f : X ^ M. der Abbildungen f und g definiert und besitzt einen Grenzwert auf der Basis Bx rnit lim(5°/)(a;) = lim^C?/)lix
HY
Beweis. Die verkettete Funktion g o f : X ^ M. ist definiert, da f{X) C Y. Sei limg{y) = A. Wir werden zeigen, dass lmi{go f)(x) = A. Zu vorgegebener BY
BX
Umgebung V{A) von A finden wir ein By £ By, so dass g{By) C V{A). Nach der Annahme existiert ein Bx £ Bx, so dass f{Bx) C By. Dann ist aber (g o f)(Bx) = g{f{Bx)) C g{By) C V{A). Damit haben wir bewiesen, dass A der Grenzwert der Funktion {g o f) : X ^W auf der Basis Bx ist. D Beispiel 18. Wir woUen den folgenden Grenzwert bestimnien: lini
s-s-o
sin 7x =! 7x
Wenn wir g{y) = ^i^Ji u^d f{x) = 7x setzen, dann ist {g° f){x) = ^™l^ • In diesem Fall ist y = K \ 0 und X = K. Da lim g{y) = lim ^^^^ = 1, konnen wir den Satz anwenden, wenn wir sicherstellen, dass es fiir jedes Element der Basis 2/ —>• 0 ein Element der Basis a; —>• 0 gibt, dessen Bild unter der Abbildung f{x) = 7x in dem vorgegebenen Element der Basis y —>• 0 enthalten ist. Die Elemente der Basis y —>• 0 sind die punktierten Umgebungen f7y(0) des Punktes 0 £ K. Die Elemente der Basis a; —>• 0 sind ebenfalls punktierte Umgebungen ilxiO) des Punktes 0 £ K. Sei Uy{0) = {y G R\a < y < P, y ^ 0} (mit a, /3 £ ffi und cc < 0, /3 > 0) eine beliebige punktierte Umgebung von 0 in wahlen, dann besitzt Y. Wenn wir f7x(0) = {a; £ ffi| y < a; < f,x^O} diese punktierte Umgebung von 0 in X die Eigenschaft, dass f(Ux{0)) = ilyiO) C Uy{0). Die Annahmen des Satzes sind daher erfiillt, und wir konnen nun behaupten, dass sin 7a; siny lim = lim = 1 . s-s-O 7x y^O y Beispiel 19. Die Funktion g{y) = \sgxiy\ besitzt, wie wir wissen (vgl. Beispiel 3), den Grenzwert lim Isgnyl = 1. J/-S-0
Die Funktion y = f{x) = x s i n ^ , die fiir x ^ 0 definiert ist, besitzt den Grenzwert hm xsin ^ = 0 (vgl. Beispiel 1). X—>0
Dagegen besitzt die Funktion {g o f){x) Grenzwert.
sgn(a;sini] fiir a; —>• 0 keinen
140
3 Grenzwerte
In der Tat gibt es in jeder punktierten Umgebung von x = 0 Nullstellen der Funktion sin i , so dass die Funktion |sgn(a; sin ^) | in jeder derartigen Umgebung sowohl den Wert 1 und den Wert 0 annimmt. Nach dem Cauchyschen Kriterium kann diese Funktion fiir a; —>• 0 keinen Grenzwert besitzen. Aber widerspricht dieses Beispiel nicht Satz 7? Uberpriifen Sie, ahnlich wie im vorigen Beispiel, ob die Annahmen des Satzes erfiillt sind. Beispiel 20. Wir woUen nun zeigen, dass
lim (l + -Y s-s-oo \
x/
Beweis. Wir wollen die folgenden Annahmen treffen: y = N , By ist die Basis n -)• oo , n e N , X = M+ = {x GM\X > 0} , Bx ist die Basis x -)• +00 , / : X —>• F ist die Abbildung x 1—> [x] , wobei [x] der ganzzahlige Teil von x ist (d.h. die groi^te ganze Zahl, die nicht groBer als x ist). Dann existiert oflFensichthch fiir jedes By = {n £ N| n > N} in der Basis n —>• 00, n £ N ein Element Bx = {x G M.\x > A^ + 1} der Basis x —>• +00, dessen Bild unter der Abbildung x i->- [x] in By enthalten ist. DieFunktionen5(n)=(l + i ) " , 5 i ( n ) = ( l + ;iTT)"™d32(n) = (l + i ) " + ' besitzen, wie wir wissen, die Zahl e als Grenzwert in der Basis n —>• 00, n £ N. Nach Satz 6 zum Grenzwert einer verketteten Funktion konnen wir nun behaupten, dass die Funktionen
ebenso e als Grenzwert auf der Basis x —>• +00 besitzen. Nun bleibt uns nur noch anzumerken, dass V
[x] + lJ
\
xJ
\
1 xH+1 [x]J
fiir X > 1. Da die aufien stehenden Terme fiir x —>• +00 gegen e streben, folgt aus Satz 5 zu den Eigenschaften eines Grenzwertes, dass lim (l + - ) = e. D Mit Hilfe von Satz 7 zum Grenzwert einer verketteten Funktion zeigen wir nun, dass hm (l + ^) = e.
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
141
Beweis. Wir schreiben lim a;—> —oo
/ 1\=^ / 1 \(-t) / 1+ = lim 1 + -—= lim 1 V xJ (-t)->--oo\ (-t)y t^+oo V
lim (l H ^ + oo V
") =
lim (l -\
t - 1 /
t^+oo V
=
lim (1 H
]
lim (l H
t-lJ
)
1\-* = tJ
t ^ + oo V
=
lim
") t - 1 /
(1 + - )
=e
Mit Hilfe der Substitutionen u = t — 1 und t = —x konnen wir diese Gleicliungen in umgekehrter Reihenfolge (!) mit Hilfe von Satz 7 rechtfertigen. In der Tat erlaubt uns der Satz erst dann, wenn wir beim Grenzwert lim (l + - ) , dessen Existenz bereits gezeigt ist, angekommen sind, die Behauptung, dass der vorige Grenzwert ebenfalls existiert und denselben Wert annimmt. Somit existiert auch der Grenzwert davor und wir gelangen mit einer endlichen Anzahl derartiger Ubergange scliliefilicli zum urspriinglichen Grenzwert. Dies ist ein sehr typisclies Beispiel fiir den Einsatz des Satzes zum Grenzwert einer verketteten Funktion zur Berechnung von Grenzwerten. Somit erhalten wir: lim :->-oo \
1+ -
= e=
xl
lim
1+ -
x->+oo \
1 + -)
= e. Da
lim
xl
(1 + 7)
= e, existiert
tatsachlicli zu vorgegebenem e > 0 ein ci £ ffi, so dass |(l + ^) — e| < e fiir X < c\. Da auch lim (l + - ) = e, existiert ein 02 G K, so dass 1(1 + ^) — e| < e fiir C2 < x. Dann erhalten wir fiir |a;| > c = max{|ci|, |c2|}, dass |(l + j ) womit bewiesen ist, dass hm (l + i ) = e.
— e| < e, D
Beispiel 21. Wir werden zeigen, dass lim(l + t)i/* = e .
t->o
Beweis. Nach der Substitution x = 1/t gelangen wir zu dem im vorigen Beispiel betrachteten Grenzwert. D
X
lim — = 0, fiir q> 1 .
a;—)-+oo q^
Beweis. Wir wissen (vgl. Beispiel 11 in Abschnitt 3.1), dass lim -^ = 0 fiir n—)-oo y
g>l.
142
3 Grenzwerte
Nun konnen wir, wie in Beispiel 3 in Abschnitt 3.1, / : IR__| -^ N mit der Funktion [x] (der ganzzahlige Teil von x) als Hilfsabbildung betrachten. Mit Hilfe der Ungleichungen 1 q
[x] gl^l
X q^
[x] + 1 q[x]+'i-
und unter Beriicksichtigung des Satzes zum Grenzwert einer verketteten Funktion ergibt sich, dass die aui3en stehenden Terme fiir x —>• +00 gegen 0 streben. Wir folgern, dass lim ^ = 0. D a;—)--t-oo ^
Beispiel 23.
lim i^i-£ = 0. a:-> + oo
X
Beweis. Sei a > 1 und t = log^jX, so dass x = a*. Aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion und des Logarithmus (unter Beriicksichtigung der Unbeschranktheit von a" fiir n £ N) erhalten wir (x —>• +00) • +00). Mit dem Satz zum Grenzwert einer verketteten Funktion und dem Ergebnis in Beispiel 11 in Abschnitt 3.1 erhalten wir: x->-|-oo
x
t-> + oo
a*
Fiir 0 < a < 1 setzen wir —t = log^ x, x = a~*. Dann (x —>• +00) (t ^ +00) und da 1/a > 1, erhalten wir wiederum: hm x->-i-oo
log. a; ,. —t ,. t ^ " = hm — - = - lim ,_, , ,, = 0 . X t->+oo a * t->-i-oo (l/aj*
D
c. Der Grenzwert einer monotonen Funktion Wir betrachten nun einen speziellen Typ einer numerischen Funktion, der aber sehr niitzlich ist, und zwar monotone Funktionen. Definition 17. Eine auf einer Menge E C R definierte Funktion f : E ^ R wird genannt: auf E anwachsend, wenn Va;i,a;2 G E {xi < x^ ^ lixi)
< fix^)) ,
auf E nicht ahsteigend, wenn Va;i,a;2 G E {xi < X2 ^ fi^i)
< fix^)) ,
auf E nicht anwachsend, wenn Va;i,a;2 G E {xi < x^ ^ fi^i)
> fix^)) ,
auf E ahsteigend, wenn Va;i,a;2 G E {xi < X2 ^ f{xi) > fix^)) •
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
143
Derartige Funktionen werden monotone Funktionen auf der Menge E genannt. Angenonimen, die Zahlen (oder Synibole —oo oder +CXD) i = mi E und s = supi? seien Haufungspunkte der Menge E und sei / : -E ^ M eine monotone Funktion auf E. Dann gilt der folgende Satz: Satz 8. (Kriterium zur Existenz eines Grenzwertes einer monotonen Funktion). Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafiir, dass eine nicht absteigende Funktion f : E ^ W auf der Menge E einen Grenzwert fur a; —>• s, X G E besitzt, ist, dass sie von oben beschrankt ist. Damit diese Funktion einen Grenzwert fiir x ^ i, x G E besitzt, ist es notwendig und hinreichend, dass sie von unten beschrankt ist. Beweis. Wir werden diesen Satz fiir den Grenzwert
lim f{x) beweisen.
Falls dieser Grenzwert existiert, dann ist die Funktion / , wie jede andere Funktion, die einen Grenzwert besitzt, auf der Basis -E 9 a; —>• s scliliefilicli beschrankt. Da / auf E nicht absteigend ist, folgt, dass / von oben beschrankt ist. Ja, wir konnen sogar behaupten, dass/(x) < lim / ( x ) . Dies wird im Folgenden EBx^ts
klar werden. Wir wollen die Existenz des Grenzwertes
lim f{x) zeigen, wenn / von EBx^ts
oben beschrankt ist. Angenonimen / sei von oben beschrankt, dann gibt es eine kleinste obere Schranke fiir die Werte, die / auf E annimmt. Sei A = sup/(a;). Wir xeE werden zeigen, dass lim f{x) = A. Sei e > 0 gegeben, so linden wir nach EBX^S
der Definition der kleinsten oberen Schranke einen Punkt XQ £ E, fiir den A — e < f{xo) < A. Da / nicht absteigend auf E ist, ergibt sich somit, dass A — s < f{x) < A iiiT XQ < X £ E. Aber die Menge {x G E\xo < x} ist offensichtlich ein Element der Basis x ^ s, x G E (da s = sup-E). Somit haben wir bewiesen, dass lim f{x) = A. EBX^S
Der Gedankengang ist fiir den Grenzwert
lim f{x) analog. In diesem EBx^i
Fall erhalten wir
lim f{x) = inf f{x). EBx^i
D
x€E
d. Vergleich des asymptotischen Verhaltens von Funktionen Zur Klarung eroffnen wir die Untersuchung mit einigen Beispielen. Sei 7r(a;) die Anzahl der Primzahlen, die nicht grofier als eine vorgegebene Zahl a; € M sind. Obwohl wir fiir jedes feste x (und wenn nur durch Abzahlen) den Wert 7r(a;) finden konnen, sind wir dennoch nicht in der Lage etwa zu sagen, wie sich die Funktion TT{X) fiir x —>• +00 verhalt oder, was dasselbe ist, wie das asymptotische Gesetz fiir die Verteilung von Primzahlen lautet. Wir
144
3 Grenzwerte
wissen seit Euklid, dass 7r(a;) -^ +00 fiir x —>• +00, aber der Beweis, dass 7r(a;) ungefahr wie j ^ anwachst, wurde erst im neunzehnten Jahrhundert durch P. L. Tschebyscheff^^ erbracht. Wenn es notwendig wird, das Verhalten einer Funktion in der Nahe eines Punktes (oder nahe Unendlich) zu beschreiben, in deni in der Regel die Funktion selbst nicht definiert ist, so sagen wir, dass wir an dem asymptotischen Verhalten der Funktion in einer Umgebung des Punktes interessiert sind. Das asyniptotische Verhalten einer Funktion wird iibhcherweise niit Hilfe einer zweiten Funktion charakterisiert, die einfacher oder besser untersucht ist und die die Werte der untersuchten Funktion in einer Umgebung des fraghchen Punktes niit kleineni relativen Fehler reproduziert. Somit verhah sich die Funktion Trfx) fiir x —>• +00 wie 7 ^ . Fiir a; —>• 0 verhalt sich die Funktion ^iSJS. ^^[Q (jjg konstante Funktion 1. Wenn wir von dem Verhalten der Funktion x + x + sin - fiir a; —>• 00 sprechen, sagen wir offensichtlich, dass sie sich im Grunde wie x verhalt. Wenn wir von ihrem Verhalten fiir a; —>• 0 sprechen, sagen wir dagegen, dass sie sich wie sin ^ verhalt. Wir geben nun exakte Definitionen einiger elementarer Konzepte im Zusammenhang mit dem asymptotischen Verhalten von Funktionen. Wir werden diese Konzepte im ersten Stadium unseres Analysisstudiums systematisch einsetzen. Definition 18. Wir sagen, dass eine gewisse Eigenschaft von Funktionen oder eine gewisse Relation zwischen Funktionen schliefiUch auf einer gegebenen Basis B gilt, falls B £ B existiert, worin sie gilt. Wir haben bereits die Bezeichnung einer Funktion als schliei31ich konstant oder als schlieBlich beschrankt auf einer gegebenen Basis in diesem Sinne interpretiert. In demselben Sinne werden wir von nun an sagen, dass die Relation f{x) = g{x)h{x) zwischen Funktionen / , g und h schliei31ich gilt. Diese Funktionen mogen zunachst unterschiedliche Definitionsbereiche haben, aber wenn wir an ihrem asymptotischen Verhalten auf der Basis B interessiert sind, dann ist fiir uns nur wichtig, dass sie alle auf einem Element von B definiert sind. Definition 19. Die Funktion / wird infinitesimal im Vergleich zur Funktion g auf der Basis B genannt und wir schreiben / = o{g) oder / = o{g) auf B, wenn die Relation f{x) = a{x)g{x) auf B schliefilich gilt, wobei a{x) eine Funktion ist, die auf B infinitesimal ist. Beispiel 24- a;2 = o{x) fiir a; ^ 0, da x^ = a; • a;. Beispiel 25. X
o{x'^) fiir a; —>• 00, da schlieBhch (so lange wie a; ^ 0) a; =
^•x\ X
^^ P. L. Tscliebyscheff (1821-1894) (aucli Tscliebyschow oder Cliebyshev) - hervorragender russischer Mathematiker und Fachmann fiir theoretische Mechanik, der Begriinder einer grolien Mathematikschule in Russland.
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
145
Aus diesen Beispiel muss gefolgert werden, dass es absolut notwendig ist, die Basis, auf der / = o{g) gilt, anzugeben. Die Schreibweise / = o{g) wird „ / ist klein o von g" ausgesprochen. Aus der Definition folgt insbesondere, dass die Schreibweise / = o(l), wenn wir g{x) = 1 setzen, einfach bedeutet, dass / auf B infinitesimal ist. Definition 20. Sind / = o{g) und g selbst auf B infinitesimal, dann sagen wir, dass / auf B von hoherer Ordnung infinitesimal ist als g. Beispiel 26. x~'^ = -^ ist von hoherer Ordnung infinitesimal als x~^ = - fiir a; —>• 0 0 .
Definition 21. Eine Funktion, die auf einer vorgegebenen Basis gegen Unendlich strebt, wird infinite Funktion oder einfach Unendlichkeit auf der vorgegebenen Basis genannt. Definition 22. Sind / und g auf B infinite Funktionen und / = o{g), so sagen wir, dass g von hoherer Ordnung infinit auf B ist als f. Beispiel ^7. ^ —>• oo fiir a; ^ 0, p- —>• oo fiir a; ^ 0 und ^ = 0(^2-). Daher ist T- von hoherer Ordnung infinit als - fiir a; —>• 0. Gleichzeitig ist fiir a; —^ CXD die Funktion a;^ von hoherer Ordnung infinit als X. Die Vorstellung, dass wir die Ordnung jeder infiniten oder infinitesimalen Funktion durch Wahl einer Potenz x" charakterisieren konnen und damit sagen konnen, dass sie vom Grade n sei, trifft nicht zu. Beispiel 28. Wir werden zeigen, dass fiir a > 1 und jedes n £ Z gilt: hm — = 0 , s—>+oo a* d.h., x" = o{a^) fiir x —>• +00. Beweis. Fiir n < 0 gilt die Behauptung offensichtlich. Ist n € N, konnen wir q = \fa setzen und erhalten g > 1 und ^ = (-%) und daher: hm — = a;—> + oo O'^
hm
I —
a;—> + oo \q^
= J
hm — • . . . • hm — = 0 . a;—> + oo q^
a;—)--t-oo q^
n Faktoren
Wir haben dabei (mit Induktion) den Satz 2 in Absatz 3.1.2 und das Ergebnis in Beispiel 22 benutzt. D Somit erhalten wir fiir jedes n £ Z, dass a;" = o{a'') fiir x —>• +00 mit a > 1.
146
3 Grenzwerte
Beispiel 29. Wir woUen das vorige Beispiel erweitern und zeigen, dass lim — = 0 fiir a > 1 und jedes cc £ M, d.h., x" = o{a'') fiir x -^ +oo. Beweis. Wir wahlen n € N so, dass n > a. Dann erhalten wir fiir x > 1: 0< — < — . Mit Hilfe der Eigenschaften des Grenzwertes und dem Ergebnis aus vorigem Beispiel gelangen wir zu lim ^ == 0. D a;—> + oo '^
Beispiel 30. Wir woUen zeigen, dass ^-1/x
lim R + 9a:->0
X"
fiir a > 1 und jedes cc £ M, d.h., a~^/^ = o{x") fiir a; —>• 0, x £ ffi+. Beweis. Hier setzen wir x = — 1/t und benutzen den Satz fiir den Grenzwert einer verketteten Funktion und das Ergebnis des vorigen Beispiels und erhalten: ^-l/x lim R + 9a:->0
= x"
^a l i m —7 = 0 . t->+oo a*
D
Beispiel 31. Wir woUen zeigen, dass lim ! ^ I - £ = 0 x->+oo
x"
fiir a > 0, d.h., dass fiir jeden positiven Exponenten a gilt, dass log^ x = o{x") fiir X -^ +00. Beweis. Fiir a > 1 setzen wir x = a*'". Dann gelangen wir nach den Eigenschaften der Potenzfunktion und des Logarithmus, dem Satz zum Grenzwert einer verketteten Funktion und dem Ergebnis in Beispiel 29 zu: hm
"
a:-> + oo
=
x"
hm
'
t^+QO
a}
= — lim — = 0 . a t^+oo
a*
1st 0 < a < 1, dann ist 1/a > 1 und nach Substitution von x = a~*/" erhalten wir: hm
a:-> + oo
"
x"
=
hm -^—'-—^ =
t^+(x
a *
hm
a t-> + oo ( l / o ) *
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
147
Beispiel 32. Wir woUen ferner zeigen, dass x" log„ X = o(l) fiir a; ^ 0, a; e IR+ fiir jedes a > 0. Beweis. Wir miissen zeigen, dass
lim
x" log. x = 0 fiir a > 0. Wir setzen
X = 1/t und wenden den Satz zum Grenzwert einer verketteten Funktion und das Ergebnis des vorigen Beispiels an und erhalten: lim
x" log„ X = lim ^°^"^^^^^ = -
lim i ^ ^ = 0 .
D
Definition 23. Wir woUen vereinbaren, dass die Schreibweise f = 0{g) oder / = 0{g) auf der Basis B (spricli: „ / ist groB O von g auf B") bedeutet, dass die Relation f{x) = (]{x)g{x) auf B schlieBlich gilt, wobei (]{x) auf B schlieBlich beschrankt ist. Insbesondere bedeutet f = 0(1), dass die Funktion f auf B schlieBlich beschrankt ist. Beispiel 33. (^ + sina;)a; = 0{x) fiir a; —>• oo. Definition 24. Die Funktionen / und g sind auf B von gleicher Ordnung und wir schreiben f ^ g auf B, wenn / = 0(g) und g = 0(f) gleichzeitig gelten. Beispiel 34. Die Funktionen (2 + sina;)a; und x sind fiir a; —>• oo von gleicher Ordnung, aber (l + sina;)a; und x sind fiir a; —>• oo nicht von gleicher Ordnung. Die Bedingung, dass / und g auf der Basis B von gleicher Ordnung sind, ist offensichtlich zu der Bedingung aquivalent, dass ci > 0 und C2 > 0 und ein Element B £ B existieren, so dass die Relationen ci|5(a;)|0
X
x-s-O
= In ( lim {I + xf/-") =\ne = I . ^ s-s-0
'
Hierbei haben wir in der ersten Gleichung die Beziehung \og^{b") = alog^b und in der zweiten die Beziehung lim log^ t = log^ h = log^ (lim t) genutzt. D Somit ist ln(l -\- x) = x + o{x) fiir x ^ 0. Beispiel 39. Wir woUen zeigen. dass e^ = 1 + a; + o{x) fiir x —>• 0. Beweis. lim s-s-o
e* - 1 . t = lim —; = 1. X t->o ln(l + t)
Hierbei haben wir die Substitution x = ln(l + t), e* — 1 = t vorgenommen und die Relationen e* ^ e*^ = 1 fiir a; ^ 0 und e^ ^ 1 fiir a; 7^ 0 verwendet. Somit ist mit Hilfe des Satzes zum Grenzwert einer verketteten Funktion und dem Ergebnis des vorigen Beispiels die Behauptung bewiesen. D Somit gilt e* — 1 ~ a; fiir X —>• 0. Beispiel 4O. Wir woUen zeigen, dass (1 + x)" = 1 + ax + o{x) fiir x ^ 0. Beweis. ( 1 + X ) " - 1 lim
s-s-o
=
X
, Qain(l+x)_i lim -—
ctln(l+x) — •
=
x->o a l n ( l + x)
x ,. e* - 1 ,. ln(l + x) = a lim • lim = a . t->0
t
s-s-O
X
Bei dieser Berechnung haben wir mit der Annahme, dass a ^ 0, die Substitution a l n ( l + x) = t vorgenommen und die Ergebnisse der beiden vorigen Beispiele verwendet. Fiir cc = 0 ist die Behauptung offensichtlich. D Somit ist (1 + x)" — 1 ~ ax fiir x —>• 0. Die folgende einfache Tatsache ist manchmal bei der Berechnung von Grenzwerten hilfreich. Satz 9. Sei f ^f,
dann ist lira f{x)g{x)
= lira f{x)g{x),
unter der Voraus-
setzung, dass einer dieser Grenzwerte existiert. Beweis. Sei /(x) = 7(x)/(x) und lim7(x) = 1, dann erhalten wir: lim/(a;)g(x) = lim7(x)/(x)g(x) = lim7(x) • lim/(x)g(x) = lim/(x)g(x) . D
1
3 Grenzwerte
ispiel 41,. In cos a; 1 ,. Incos^a; 1 ,. ln(l—sin^a;) lim —^r- = — lim = — lini s-s-o sin(x"^) 2 s-s-o x-^ 2 s-s-o x-^
=
1 1 ,. — sin^ X 1 ,. a;^ — = — lini —r- = 2 x->o x-' 2 x->o a;^ ~2
= — lini
Hierbei haben wir die Relationen ln(l + a) ^ a fiir a —>• 0, sinx ~ x fiir a; —>• 0, ^ji-j ~ i fiir /? ^ 0 und sin x ^ x"^ fiir a; —>• 0 verwendet. Wir haben bewiesen, dass wir in einer vorgegebenen Basis bei der Berechnung von Grenzwerten von Monomen Funktionen durch dazu aquivalente Funktionen ersetzen konnen. Diese Regel soUte nicht auf Summen und Differenzen von Funktionen iibertragen werden. 42. \/x'^ + X ~ X fiir X —>• +00, aber lim
(yx'^ + X — x) ^
a;—)-+oo
lim {x — x) = 0 . a;—> + oo
Tatsachlicli ist lim X ^ + 00
(yx'^ + X — x) = lim
=
S ^ + OO ^ a ; 2 _|_ 2; _|_ 2;
lim
—^^=^=—
X ^ + OO
A _|_ i _|_ -|^
1 2
Wir wollen einige weitere, haufig eingesetzte Regeln fiir den Umgang mit den Symbolen o(-) und O(-) in der Analysis anfiihren. Satz 10. Zu einer vorgegebenen Basis gilt: a)o{f)+o{f)=o(f), b) o{f) bedeutet auch 0(f), c) o(f) + 0{f) = 0(f), d) 0(f) + 0(f) = 0(f), e) Ist g(x) + 0, dann 2ilg)l = o ( f i ) und ^
i
= o(£M).
Beachten Sie die Besonderheiten bei Operationen mit den Symbolen o(-) und O(-), die sich aus der Bedeutung dieser Symbole ergeben. Beispielsweise ist 2o(f) = o(f) und o(f) + 0(f) = 0(f) (obwohl i.A. o(f) ^ 0); ebenso, dass o(f) = 0(f), aber 0(f) ^ o(f). Hierbei ist das Gleichheitszeiclien im Sinne von „ist" gemeint. Die Symbole o(-) und O(-) stehen nicht wirklich fiir Funktionen, sondern deuten asymptotisches Verhalten an, ein Verhalten, das viele Funktionen gemeinsam haben konnen, wie etwa / und 2 / u.s.w.. Beweis. a) Nach der eben gegebenen Klarstellung erscheint diese Behauptung nicht mehr merkwiirdig. Das erste Symbol o(f) bezeichnet eine Funktion der Form Q;i(a;)/(a;), mit limQ;i(a;) = 0. Das zweite Symbol o(f), das man mit
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
151
einem Zeichen versehen konnte (oder sollte), urn es vom ersten zu unterscheiden, bezeichnet eine Funktion der Form a2{x)f{x) mit lima2(a;) = 0. Dabei ist ai{x)f{x) + a2{x)f{x) = [ai{x) + a2{x))f{x) = a3{x)f{x), mit lim 0:3(2;) = 0. B Behauptung b) folgt aus der Tatsache, dass jede Funktion, die einen Grenzwert besitzt, schlieBlich beschrankt ist. Behauptung c) folgt aus b) und d). Behauptung d) folgt aus der Tatsache, dass die Summe von schhefilich beschrankten Funktionen wieder schlieBlich beschrankt ist. Bei e) ergibt sich "-^ = ^^^fgM = «(^)ZM = ^ ( f g } ) . Der zweite Teil der Behauptung e) wird auf ahnhche Weise bewiesen. D Mit Hilfe dieser Regeln und den in Beispiel 40 formulierten Aquivalenzen konnen wir den Grenzwert in Beispiel 42 durch die folgende direkte Methode bestimmen: lim (Va;^ + x — x) = lim x{\ a;— ->> ++ oooo
=
'
x->-|-oo
1 -\
VV
lim x f l - h - • - + 0 ^ - ) - 1) = a:-> + oo
\
2
X
\X I
1) = X
>
I
lim
f - + a; • o f - ) ) =
x->-|-oo \ 2
\X > I
= hin (1+0(1)) = i . Wir werden in Kiirze die folgenden wichtigen Relationen beweisen. Sie soUten sie sich jetzt wie das Einmaleins merken: (f = 1 + —a; + —x^ ^ 1! 2!
h —a;" H n\
COSx = 1 - —X + —X ^ h \ ^ , , , x^ ^ 2! 4! (2fc)! 1 1 (-1)*^ sin a; = -7a; - —a;^ H h --^——T-,X^^^^ H 1! 3! (2fc + l)! 1 1 (—1)""-'x" H ln(l + x) =x x^ + -x^ ^ h ^^ 2 3 n
fiir a; £ M , fiir a; e M , fiir a; £ M , fiir |a;| < 1 ,
(1 + a;)" = 1 + - X + - ! — — - x ^ + • • • + aia - 1) • • • (a - n + 1) „ „.. , , H—^ r -x^ + • • • fiir X < 1 . n\ Auf der einen Seite konnen diese Gleichungen bereits als Berechnungsformeln benutzt werden. Auf der anderen Seite enthalten sie die folgenden asymptotischen Formeln, die die in den Beispielen 37-40 enthaltenen Formeln verallgemeinern:
152
3 Grenzwerte 3=" =1 + —x+ —x^ ^ 1! 2! 1 1 cosx = 1 - —x^ + —x^ ^ 2! 4! 0 /I
h —,x^ + 0{x^"^^\ fiir X -!• 0 n\ (-1) h (2fc)! , ^ , , , x^^ + Ofaj^^^+^l fiir X -!• 0 /0^> *> '
_ 1 3 (-1)' s i n x = - ^ x - ;^x3 + • • • + - i r - ^ a ; 2 ^ + ' + 0{x''^^^\ !!•" 3!"" ^ ' " ^ (2fc + l ) ! ' l n ( l + x) = X - - x ^ + - x ^ + • • • + ^^ 2
3
'-
x" + 0(x"+M
fiir x ^ 0 fiir X ^ 0 ,
n
(1 + a;)" = 1 + - X + - ! — — ^ x ^ + • • • + ccfa — 1) • • • (cc — n + 1) „ ^ . „,,< ... H—^ ^ ^ x " + 0 ( x " + ^ ) fiir X -!• 0 . n\ ^ ' Diese Formeln sind iiblicherweise die effektivste Methode, urn die Grenzwerte der Elementarfunktionen zu bestimmen. Dabei soUten wir im Hinterkopf behalten, dass 0 ( x ™ + i ) = x™+i • 0 ( 1 ) = x™ • x O ( l ) = x™o(l) = o(x™) fiir X -)• 0. Wir wollen zum Abschluss einige Beispiele betrachten, in denen diese Formeln zur Anwendung gelangen. Beispiel 43x-sinx ,. X - (x - 4 x ^ - I - 0 ( x ^ ) ) ,. / 1 ^ , 9^\ 1 hm = hm ^ = hm — -|- 0 ( x ) = — . x^o x^ x^o x^ x^o V3! / 3! Beispiel 44- Wir wollen ,/T/X^ lim X ' a;—>oo
+X
1\
AVTT^-'^^'xJ
bestimmen. Fiir x —^ oo gilt: x^ - h x
l + x~'^
1 + x'-^
1 + x-
r
1 \ /^
1 \-i
(l + if)(l-Ja+0(ir))=l + ^+0(Ja) 'J I Jb
X" JL
l-hx3
woraus wir - = — • ^ + 0 f — ) fiir X -^ X 14 x^ Vx-^/ erhalten. Somit ist der gesuchte Grenzwert: x^cx,
Vl4x2
Vx3//
14
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
153
Beispiel 45lim [ - f l + - ) 1 = lim e x p | a ; f In ('l + - ) = =
- l) | =
lim exp • ^ a ; ^ l n ( l H — ) — x> = lim exp ix"^ { s-s-oo
L
-—r + Oi^T]]
\x
= lim exp\-l + s—>oo L 2
2x^
- x> =
\X'^ / /
J
0(-)]=e-'/\ \x/ i
3.2.5 U b u n g e n u n d A u f g a b e n 1.
a) Beweisen Sie, dass es eine auf R definierte eindeutige Funktion gibt, die die folgenden Bedingungen erfiillt: /(l)=o f(xi)
{a>Q,a^l),
• f{x2) = f{xi +X2) ,
f(x) —> f(xo) fiir X ^ xo • b) Beweisen Sie, dass es eine auf R+ definierte eindeutige Punktion gibt, die die folgenden Bedingungen erfiillt: /(a) = l
(o> 0 , 0 ^ 1 ) ,
f{xi) + fix-z) = f{xi • X2) , f{x) —>• f{xo) fiir xo £ R+ und R+ 9 a; —>• xo • H i n w e i s : Wiederholen Sie die Konstruktion der Exponentialfunktion und des Logarithmus in Beispiel 10. 2.
a) Stellen Sie eine Eins-zu-Eins Beziehung 93 : R —>• R+ her, so dass {p{x + y) = (p{x) • (p{y) fiir jedes x,y GM, d.h., so dass die Operation der Multiplikation im Bild (R+) der Operation der Addition im Urbild (R) entspricht. Die Existenz einer derartigen Abbildung bedeutet, dass die Gruppen (R,+) und (R+,-) als algebraische Objekte identisch sind, oder, wie wir sagen, dass sie isomorph sind. b) Zeigen Sie, dass die Gruppen (R, +) und (R \ 0, •) nicht isomorph sind.
3. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte: a) lim x^, a:->+0
b)
lim a:->0
d) lim •
x'/^
154
3 Grenzwerte
4. Zeigeii Sie, dass 1 -\
I----H = Inn + c + o(l) fiir n —>• oo , 2 n wobei c eine Konstante ist. (Die Zahl c = 0, 57721 . . . wird Eulersche genannt.) H i n w e i s : Benutzen Sie die Relation
Konstante
In ^ i ^ = In f l + i ^ = i + o f J _ ^ f i i r n ^ o o . n \ nj n \n J 5. Zeigen Sie: oo
oo
a) Gilt fiir zwei Reihen ^ an und ^ hn niit positiven Gliedern, dass Un ~ 6n fiir n=l
n=l
n —>• oo, dann konvergieren entweder beide Reihen oder beide divergieren. oo
b) Die Reihe Yl ^^^ '^ konvergiert nur fiir p > 1. n= l
6. Zeigen Sie: oo
a) Sei an > fln+i > 0 fiir alle n £ N und konvergiere die Reihe ^
Un- Dann gilt
n= l
On = o f ^ j fiir n ->• oo. b) Fiir h„ = ol^j ^
kann man inimer eine konvergente Reihe ^ -^
a„ konstruieren,
n= l
SO dass bn = o(on) fiir n —> oo. oo
c) Wenn eine Reihe ^ an niit positiven Gliedern konvergiert, dann konvergiert n=l oo
/ oo
auch die Reihe ^
An, niit An = \ jY
n=l
y
/
ik — A fc=n
U
oo
1^
a* und es gilt On = o{A„)
fc=n+l
fiir n —>• oo. oo
d) Wenn eine Reihe ^
On rnit positiven Gliedern divergiert, dann divergiert auch
n= l oo
/ n
m —1
die Reihe ^ An, mit An = * Y. ak — \ Y. ak und es gilt An = o(on) fiir n=2 y *=1 y *=1 n —>• oo. Aus c) und d) folgt, dass keine konvergente (bzw. divergente) Reihe als universeller Vergleichsstandard dienen kann, urn die Konvergenz (bzw. Divergenz) anderer Reihen abzuleiten. 7. Zeigen Sie: oo
a) Die Reihe Y, ^'^dn mit an > 0, n G N konvergiert genau dann, wenn die Folge n= l
{i7n = ai • • • an} einen endlichen Grenzwert ungleich Null besitzt. oo
b) Die Reihe Y ln(l +
CXn) n i i t IcXn
I < 1 konvergiert absolut genau dann, wenn die
n=l oo
Reihe Y Oin absolut konvergiert. n=l
H i n w e i s : Vgl. Beispiel 5 a).
3.2 Der Grenzwert einer Punktion
155
oo
8. Ein unendliches Produkt Y[ Sn wird konvergent genannt, wenn die Folge von n= l n
Zahlen i7„ = 1 1 6 * eineii endlichen Grenzwert 77 ungleich Null besitzt. Wir setzen *=i oo
dann 77 = H s*Zeigen Sie:
*=i oo
a) Konvergiert ein unendliches Produkt Y[ Sn, dann gilt e^ —>• 1 fiir n —>• oo. n=l oo
b) Wenn Vn £ N (e„ > 0), dann konvergiert das unendliche Produkt Y[ Cn genau n= l oo
dann, wenn die Reihe ^
In e^ konvergiert.
n= l
c) Wenn en = 1 + Qn und alle an das gleiche Vorzeiclien besitzen, dann konveroo
oo
giert das unendliches Produkt 11(1 + Q „ ) genau dann, wenn die Reihe ^
an
konvergiert. oo
9. a) Bestimmen Sie das Produkt JJ (1 +a;^""^). n= l oo
b) Bestimmen Sie Yl cos ^ und beweisen Sie das folgende Theorem von Viete'^'': n=l TT _
hyi + iy^'yi
2 ~
1
+ iy^ + ^y^'''
c) Bestimmen Sie die Punktion f(x) mit /(O) = 1 , f{2x) = cos X • f{x) , fix) -^ /(O) fiir x ^ 0 . Hinweis: x = 2 • | . 10. Zeigen Sie: oo
a) Sei j p ' ^ = 1+ /3n, n = 1,2,...,
und konvergiere die Reihe Yl Pn absolut, dann
"+^
n=l
existiert der Grenzwert lim 6„ = 6 G R. n—>oo oo
b) Sei ^°" = 1 + •^ + Cin, n = 1, 2 , . . . und konvergiere die Reihe ^ a „ absolut, dann gilt an '^ -^ fiir n —>• oo. oo
c) Bei der Reihe ^ n = l
oo
an gelte ^°" = 1 + J + an und die Reihe ^ a „ konvergiere ""'"•'
n = l
oo
absolut. Dann konvergiert ^ an absolut fiir p > 1 und divergiert fiir p < 1 n=l
(Gauss'scher Test auf absolute Konvergenz einer Reihe). ^"^ P. Viete (1540-1603) - franzosischer Mathematiker, einer der Begriinder der modernen symbolischen Algebra.
156
3 Grenzwerte
11. Zeigeii Sie, dass
lim ( l±^Ii±± 1 > e n—^oo
fiir jede Folge {a„} mit positiven Gliedern. Zeigeii Sie ferner, dass diese Abschatzung iiicht verbessert werdeii kanii.
Stetige Funktionen
4.1 Wichtige Definitionen und Beispiele 4.1.1 Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt Sei / eine Funktion niit reellen Werten, die in einer Unigebung eines Punktes a € ffi definiert ist. Rein intuitiv gesprochen, ist die Funktion / in a stetig, wenn ihr Wert f{x) sich an den Wert / ( a ) , den sie im Punkt a selbst annimmt, annahert, wenn x naher an a komnit. Wir werden nun diese Beschreibung des StetigkeitsbegrifFes einer Funktion in einem Punkt prazisieren. Definition 0. Eine Funktion / ist im Punkt a stetig, wenn fiir jede Unigebung V[f{a)) ihres Wertes / ( a ) in a eine Unigebung U{a) von a existiert, deren Bild unter der Abbildung / in V(^f{a)) enthalten ist. Wir wiederholen nun die Forniulierung dieses Konzepts in logischen Synibolen zusammen niit zwei weiteren Versionen, die in der Analysis haufig eingesetzt werden. (/ ist stetig in a) := {W{f{a))3U{a)
{f{U{a)) C V{f{a))))
,
Ve>03C/(a)Va;e U(a) {\f{x) - f{a)\ < s) , V e > 0 3 ( 5 > O V a ; e K ( | a ; - a | 03UEia)yx
e UEia) {\fix) - f{a)\ < e))
oder {f : E ^Rist stetig in a £ E) := = (Ve > 03(5 > OVa; e B (Ix - a| < (5 ^ \f(x) - f{a)\ < e)) . Wir untersuchen nun das Konzept der Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt detailliert. 1*^. Ist a ein isolierter Punkt, d.h. kein Haufungspunkt von E, dann gibt es eine Umgebung U{a) von a, die auBer a keine Punkte von E enthalt. In diesem Fall ist UE{a) = a und daher f{UE{a)) = / ( a ) C V{f{a)) fiir jede Umgebung Vif{a)\. Daher ist eine Funktion offensichtlich in jedem isolierten Punkt ihres Definitionsbereichs stetig. Dies ist jedoch ein entarteter Fall. ^ Wir erinnern daran, dass Usia) = E Cl U{a)
4.1 Wichtige Definitionen und Beispiele
159
2°. Der Hauptteil des Konzepts der Stetigkeit beschaftigt sich daher mit dem Fall, dass a £ E ein Haufungspunkt von E ist. Aus Definition 1 ist klar, dass (/ : -E ^ M ist stetig in a G E , wobei a ein Haufungspunkt von E ist) ^ (
lim
f{x)=f{a)).
E3x^a
Beweis. Ist a ein Haufungspunkt von E, dann ist die Basis E ^ x ^ a aus punktierten Umgebungen tfe(a) = UE{a) \ a von a definiert. Ist / in a stetig, dann lasst sich eine Umgebung UE{a) fiir die Umgebung V[f{a)) finden, so dass f{UE{a)) C ^ ( / ( a ) ) und gleichzeitig erhalten wir, dass f{UE{a.)) C y ( / ( a ) ) . Nach der Definition des Grenzwertes ist daher lim f{x) = f{a). EBx^a
Wissen wir andererseits, dass
lim f{x)
= / ( a ) , dann konnen wir zu
EBx^a
gegebener Umgebung V[f{a)) eine punktierte Umgebung tfe(a) finden, so dass f{tjE{a)) C V{f{a)). Da aber / ( a ) e U ( / ( a ) ) , gilt ebenso /([/^(a)) C V{^f{a)). Nach Definition 1 bedeutet dies, dass f in a £ E stetig ist. D 3*^. Da die Gleichung
lim f{x) = f{a) auch in der Form lim E3x^a
f(x) = f( ^ '
lim
•' ^E3x^a
x) '
geschrieben werden kann, gelangen wir zu der niitzlichen Folgerung, dass die stetigen und nur die stetigen Funktionen (Operationen) mit der Operation der Grenzwertbildung in einem Punkt kommutieren. Dies bedeutet, dass die Zahl / ( a ) , die wir durch Ausfiihren der Operation / auf die Zahl a erhalten, so genau wie gewiinscht durch die Werte angenahert werden kann, die wir durch Anwendung der Operation / auf Werte x erhalten, die a mit geeigneter Genauigkeit annahern. 4°. Da fiir a e -B die Umgebungen UE{a) von a eine Basis Ba bilden (ob a ein Haufungspunkt oder ein isolierter Punkt in E ist), ist Definition 1 zur Stetigkeit einer Funktion im Punkt a aquivalent zur Aussage, dass die Zahl / ( a ) - der Wert der Funktion in a - der Grenzwert der Funktion auf dieser Basis ist, d.h., (/ : £; ^ M ist stetig in a £ £;) 0.1m letzten Fall setzen wir natiirhcherweise uj{,f; a) = +00. 7*^. Mit Hilfe von Definition 2 konnen wir das in 6° Ausgefiihrte wie folgt zusammenfassen: Eine Funktion ist genau dann in einem Punkt stetig, wenn ihre Oszillation in diesem Punkt Null ist. Wir wollen das nochmals deutlich machen: (/ : £; ^ M ist stetig in a £ £;) • M ist auf der Menge E stetig, wenn sie in jedem Punkt von E stetig ist. Die Menge aller stetigen Funktionen mit reellen Werten, die auf einer Menge E definiert sind, wird mit C{E; M) oder in Kurzform mit C{E) bezeichnet. Wir haben nun das Konzept der Stetigkeit einer Funktion untersucht und wollen nun einige Beispiele betrachten. Beispiel 1. Sei f : E ^ R eine konstante Funktion. Dann ist / £ G{E). Dies ist offensichtlich, da f{E) = c C V{c) fiir jede Umgebung V{c) von c £ M. Beispiel 2. Die Funktion f{x) = x ist auf M stetig. Denn wir erhalten fiir jeden Punkt XQ £ ffi, dass |/(a;) — /(a;o)| = |a; — XQ] < e, wenn |a; — XQ] < 5 = e.
4.1 Wichtige Definitionen und Beispiele
161
Beispiel 3. Die Funktion f{x) = sin a; ist auf ffi stetig. Tatsachlich erhalten wir fiir jeden P u n k t XQ £ ffi: X +
sm X — sm XQ
.
XQ
X —
2 cos — - — sm
XQ
oo
n->oo ^n
,
—= 0, + 1+
^/n
SO dass es fiir jedes (5 > 0 Punkte x',^ und a;" gibt, so dass \x',^ — a;"| < 6, aber dennoch f{x'^) - f{x'^) = 1. Beispiel 7. Die Funktion f{x) = sin(a;^), die auf M stetig und beschrankt ist, ist auf ffi nicht gleichmafiig stetig, denn wir erhalten in den Punkten x'^ = ^\{n + 1) und a;" = \f\n, n £ N, dass |/(a;^) — /(a;")| = 1, wahrend lim \x'^ ~ x'n\ = 0 . n—)-oo
Nach dieser Diskussion des Konzepts der gleichmafiigen Stetigkeit einer Funktion und dem Vergleich von Stetigkeit und gleichmafiiger Stetigkeit wissen wir nun den folgenden Satz zu schatzen.
4.2 Eigenschaften stetiger Funktionen
171
Satz 4. (Der Satz von Heine zur gleichmafiigen Stetigkeit). Eine auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion ist auf diesem Intervall auch gleichmdfiig stetig. Wir bemerken, dass dieser Satz in der Literatur auch als Cantors Satz bezeichnet wird. Um ungebrauchliche Terniinologie zu vernieiden, warden wir die iiblichere Bezeichnung Satz von Heine bei spateren Verweisen benutzen. Beweis. Sei f : E ^ R eine gegebene Funktion, E = [a,b] und / e C(E). Da / in jedem Punkt x G E stetig ist, folgt (vgl. 6° in Absatz 4.1.1), dass wir zu vorgegebenem e > 0 eine (5-Umgebung U^{x) von x linden konnen, so dass die Oszillation uj{f;U^{x)) von / aul der Menge U^{x) = E Ci U^{x), die aus den Punkten im Delinitionsbereich E besteht, die in U^{x) liegen, kleiner als s ist. Zu jedem Punkt x £ E konstruieren wir eine Unigebung U^{x) mit dieser Eigenschaft. Die Gr6i3e 6 kann sich dabei von einem Punkt zum anderen andern, so dass es genauer ware, wenn auch umstandhcher, die Unigebung durch das Symbol U^^ ''{x) zu bezeichnen. Da aber das Symbol an sich durch den Punkt x bestimmt wird, konnen wir die folgende kiirzere Schreibweise einfiihren: U{x) = U^^''\x) und V{x) = C/*(*)/^(a;). Die oflFenen Intervalle V{x), x G E iiberdecken zusammen das abgeschlossene Intervall [a,b], so dass wir nach dem Satz zur endhchen Uberdeckung eine endliche Uberdeckung V{xi),..., V{xn) herausgreifen konnen. Sei S = min {^S{xi),..., ^(5(a;„)}. Wir werden zeigen, dass \f{x') — f{x")\ < e fiir aUe Punkte x', x" £ E mit \x' — x"\ < 6. Da das System der offenen IntervaUe V{xi),... ,V{xn) die Menge E iiberdeckt, existiert ein Intervall V{xi) in diesem System, das x' enthalt, d.h., \x' — Xi\ < ^6{xi). Dann ist aber \x" - Xi\ < \x' -x"\ Folglich ist x',x"
+ \x' -Xi\ [0,1] von einem abgeschlossenen Intervall auf sich selbst besitzt einen Fixpunkt, d.h. einen Punkt x G [0,1] mit f(x) = x. c) Konimutieren zwei stetige Abbildungen / und g von einem Intervall auf sicli selbst, d.h., / o g = p o / , dann besitzen sie einen gemeinsanien Fixpunkt. d) Eine stetige Abbildung / : R —>• R kann auch keinen Fixpunkt haben. e) Eine stetige Abbildung / : [0,1] —>• [0,1] kann auch keinen Fixpunkt haben. f) 1st eine Abbildung / : [0,1] -^ [0,1] stetig, /(O) = 0, / ( I ) = 1 und (fof){x) = x auf [0,1], dann ist f{x) = x. 5. Zeigen Sie, dass die Wertemenge jeder Funktion, die auf einem abgeschlossenen Intervall stetig ist, ein abgeschlossenes Intervall ist. 6. Beweisen Sie: a) Ist eine Abbildung / : [0,1] -> [0,1] stetig, /(O) = 0, / ( I ) = 1 und / " ( x ) := / o . . . o f[x) = X auf [0,1], dann ist f{x) = x. n Faktoren
b) Ist eine Funktion / : [0,1] —>• [0,1] stetig und nicht absteigend, dann tritt fiir jeden Punkt x G [0,1] zumindest einer der folgenden Falle ein: Entweder ist X ein Fixpunkt oder / " ( x ) strebt gegen einen Fixpunkt. (Hierbei ist / " ( x ) = / o . . . o f[x) die n-te Iteration von /.) 7. Sei / : [0,1] -> R eine stetige Funktion mit /(O) = / ( I ) . Zeigen Sie: a) Fiir jedes n e N existiert ein horizontales abgeschlossenes Intervall der Lange j^ mit Endpunkten auf dem Graphen dieser Funktion. b) Ist die Zahl / nicht der Form - , dann existiert eine Funktion dieser Form, in dessen Graphen keine horizontale Sehne der Lange / einbeschrieben werden kann. 8. Das Stetigkeitsmafi einer Funktion / : i? —>• R ist die Funktion a;(5), die fiir 5 > 0 wie folgt definiert ist: uj{5)=
sup
|/(a;i)-/(a;2)| .
\x\—X'2\<S XI, X2£E
Somit wird die kleinste obere Schranke iiber alle Paare von Punkten a;i,a;2 in E gebildet, deren Abstand kleiner als S ist. Zeigen Sie: a) Das Stetigkeitsmafi ist eine nicht absteigende nicht negative Funktion, die den Grenzwert^ ui(+0) = lim coiS) besitzt. (S->+0
b) Zu jedem e > 0 existiert ein 5 > 0, so dass fiir alle Punkte xi, 12 G E aus der Relation \xi — X2\ < 5 folgt, dass \f{xi) — /(a;2)| < cij(+0) + e. ^ Aus diesem Grund wird das Stetigkeitsmafi iiblicherweise fiir 5 > 0 betrachtet und a;(0) = a;(+0) gesetzt.
178
4 Stetige Funktionen
c) 1st E ein abgeschlossenes Intervall, ein ofFenes Intervall oder ein halb ofFenes Intervall, danii gilt die Relation 00(61+62)
• R. d) Die Stetigkeitsmafle der Funktionen x und sin(a; ) sind auf der ganzen reellen Geraden uj{S) = 6, bzw. die Konstante uj{S) = 2 im Bereich S > 0. e) Eine Punktion / ist genau dann auf E gleichmafiig stetig, wenn uj(+0) = 0. 9. Seien / und g beschrankte Funktionen, die auf derselben Menge X definiert sind. Die Grofle A = sup \f(x) — g(x)\ wird der Abstand zwischen / und g genannt. xex Er zeigt, wie gut eine Funktion sich einer anderen auf der gegebenen Menge X annahert. Sei X ein abgeschlossenes Intervall [0,6]. Zeigen Sie, dass fiir f,g G C[a,h] gilt: 3x0 G [a,h] mit A = \f{xo) — g(xo)\- Zeigen Sie ferner, dass dies im Allgemeinen fiir beliebige beschrankte Funktionen nicht zutrifft. 10. Sei Pn{x) ein Polynom vom Grade n. Wir woUen eine beschrankte Funktion / : [a, 6] —>• R durch Polynome annahern. Sei A{Pn)=
sup \fix)-Pn(x)\
und
S ^ ( / ) = inf Zi(P„) ,
xe[a,b]
-P"
wobei das Infimum iiber alle Polynome vom Grade n gebildet wird. Ein Polynom Pn wird Minimalabweichung oder Proximum von / genannt, falls A(Pn) = En{f)Zeigen Sie: a) Es gibt ein Proximum Po(x) = oo vom Grade Null. b) Unter den Polynomen Q\{x) der Form \P„{x), wobei P„ ein festes Polynom ist, gibt es ein Polynom QAQI SO dass: '4(QAo) = minZi(QA). A (EM
c) Palls ein Proximum vom Grade n existiert, dann existiert auch ein Proximum vom Grade n + 1. d) Zu jeder auf einem abgeschlossenen Intervall beschrankten Funktion und jedem n = 0,1, 2 , . . . existiert ein Proximum vom Grade n. 11. Beweisen Sie die folgenden Aussagen. a) Eine Polynom mit ungeradem Grad mit reellen KoefRzienten besitzt zumindest eine reelle NuUstelle. b) Ist Pn ein Polynom vom Grade n, dann besitzt die Funktion sgnP„(a;) hochstens n Unstetigkeitsstellen. c) Gibt es im abgeschlossenen Intervall [0,6] n + 2 Punkte xo < xi < • • • < Xn+i, so dass die Groflen sgn[(/(xi)-Pn(xi))(-l)'] fiir i = 0, . . . , n + 1 stets denselben Wert annehmen, dann ist E„{f) > min \f(xi) — Pn(xi)\. (Dieses Ergebnis ist als Vallee Poussin Theorem be0• to. Hierbei miissen wir natiirlich den FaU v(to) = 0 ausschhefien. Um diesen Fall nicht genereU aus der Betrachtung auszuschhefien, ist die Beobachtung, dass^ * Hierbei ist |t —to| der Absolutwert der Zahl t —to, wohingegen |v| der Absolutwert oder die Lange des Vektors v ist.
5.1 Differenzierbare Funktionen
185
|v(to)(^ — to)\ = |v(to)| \t — to\ hilfreich. 1st folglich |v(to)| ?^ 0, dann besitzt die Grofie |v(to)(t — to)| die gleiche Gr6i3enordnung wie |t — to|, so dass also o(v{to){t — to)) = o{t — to). Daher konnen wir anstelle von (5.4) die Gleichung r(t) - r(to) = v(to) (t - to) + o{t - to)
(5.5)
schreiben, in der der Fall v(to) = 0 nicht ausgesclilossen werden muss. Beginnend bei den allgemeinsten und vielleiclit vagen Vorstellungen iiber Geschwindigkeit sind wir zu Gleichung (5.5) gelangt, die die Gescliwindigkeit erfiillen muss. Und die Geschwindigkeit v(to) kann aus (5.5) unzweifelhaft bestimmt werden:
v(to)=liml4:i^. t—>-to
(5.6)
r — to
Daher konnen sowohl die zentrale Beziehung (5.5) als auch die dazu aquivalente Gleichung (5.6) als Definition der Grofie v(to), der momentanen Geschwindigkeit des Korpers zur Zeit to, betrachtet werden. An diesem Punkt werden wir es uns nicht erlauben, in eine detaillierte Diskussion des Problems des Grenzwertes einer vektorwertigen Funktion abzuschweifen. Stattdessen werden wir uns damit begniigen, ihn auf den Fall des Grenzwertes einer reellwertigen Funktion zu reduzieren, der bereits voUstandig untersucht wurde. Da der Vektor r(t) — r(to) die Komponenten [x{t) — x{to), y(t) - y(to)) besitzt, erhalten wir ^^^^^g^ = ( ^ ^ ^ ^ g ^ , ^'^llg*"^) und daher, wenn wir davon ausgehen, dass Vektoren nahe beieinander sind, wenn ihre Komponenten nahe beieinander sind, soUte der Grenzwert in (5.6) folgendermafien interpretiert werden: _ (f lin, ,,_ x{t) - x{to) ^.^ y{t) - y{h) ^ v(to) = hm £r(t) W -^ r(to) IM = to
V i—>-io
t — to
i—>-io
t — to
/
Der Ausdruck o(t —to) in (5.5) sollte ebenfalls als Vektor interpretiert werden der von t abhangt, so dass der Vektor °^*_ t-to *"-' (komponentenweise) fiir t ^ to gegen NuU strebt. Schliefilich merken wir an, dass fiir v(to) ^ 0 die Gleichung r(t) - r(to) = v(to) • (t - to)
(5.7)
eine Gerade definiert, die nach dem oben Gesagten als Tangente an die Bahn im Punkt {x{to),y{to)) betrachtet werden kann. Somit ist der Standard zur Definition der Geschwindigkeit einer Bewegung die Geschwindigkeit einer gleichformigen geradlinigen Bewegung, die durch die lineare Beziehung (5.7) definiert ist. Die Standardbewegung (5.7) ist mit der untersuchten Bewegung, wie gezeigt, durch Gleichung (5.5) verbunden. Der Wert v(to), fiir den (5.5) gilt, kann durch den Grenzubergang in (5.6) bestimmt werden. Er wird die Geschwindigkeit der Bewegung zur Zeit to genannt. Die in der klassischen Mechanik untersuchten Bewegungen, die durch das Gesetz (5.1) beschrieben werden, miissen den Vergleich mit diesem
186
5 Differentialrechnung
Standard zulassen, d.h., sie miissen die in (5.5) angedeutete lineare Naherung zulassen. 1st r{t) = [x{t),y{t)) der Radiusvektor eines sich bewegenden Punktes m zur Zeit t, dann ist r(t) = (^x{t),y{t)) = v(t) der Vektor, der die Veranderung von r{t) zur Zeit t beschreibt und r(t) = (x(t),i/(t)) = a(t) (die Beschleunigung) ist der Vektor, der die Veranderung von v(t) zur Zeit t wiedergibt. Damit kann (5.1) folgendermai3en geschrieben werden: m • r(t) = F{t) . Daraus erhalten wir die Koordinatenforni der Bewegung in eineni Gravitationsfeld: X{t) = - ^ ^ [ ^ 2 ( i ) + y 2 ( ^ ) ] 3 / 2 '
(5.8)
Dieses ist ein genauer mathematischer Ausdruck unseres Ausgangsproblems. Da wir wissen, wie wir r(t) aus r{t) bestimmen, wissen wir auch, wie wir r{t) linden und wir sind somit bereits in der Lage, die Frage zu beantworten, ob ein Paar von Funktionen (^x{t),y{t)) die Bewegung des Korpers m um den Korper M beschreiben kann. Um diese Frage zu beantworten, miissen wir x{t) und y{t) linden und priilen, ob (5.8) gilt. Das System (5.8) ist ein Beispiel fiir ein System sogenannter Differentialgleichungen. Gegenwartig konnen wir nur priilen, ob eine Menge von Funktionen eine Losung liir das System ist. Wie wir die Losung linden, oder besser lormuliert, wie wir die Eigenschalten von Losungen von DiflFerentialgleichungen analysieren, wird in einem besonderen und, wie man nun einschatzen kann, liir die Analysis kritischen Bereich, der Theorie der DiflFerentialgleichungen, untersucht. Die Veranderung einer vektoriellen GroBe zu bestimmen, kann, wie gezeigt wurde, aul das Bestimmen von Veranderungen in mehreren numerischen Funktionen - den Komponenten des Vektors - reduziert werden. Daher miissen wir zuallererst lernen, wie diese Operationen liir den einlachsten Fall reellwertiger Funktionen eines reellwertigen Arguments auszuliihren sind. Dies wollen wir nun in Angriff nehmen. 5.1.2 In einem Punkt difFerenzierbare Funktionen Wir beginnen mit zwei vorlauligen Delinitionen, die wir in Kiirze prazisieren werden. Definition Oi. Eine aul einer Menge i? C ffi delinierte Funktion f : E ^ R ist in einem Punkt a G E, der ein Haulungspunkt von E ist, differenzierbar, wenn eine lineare Funktion A • (x — a) des Inkrements im Argument x — a existiert, so dass f{x) — f{a) wie lolgt dargestellt werden kann: f{x) — f{a) = A • (x — a) + o{x — a) liir x ^ a, x G E .
(5.9)
5.1 Differenzierbare Funktionen
187
Anders formuliert, so ist eine Funktion in einem Punkt a difFerenzierbar, wenn die Veranderung in ihren Werten in einer Umgebung des betrachteten Punktes bis auf eine Korrektur, die im Vergleich zur Gr6i3e des Abstands x — a voni Punkt a infinitesimal ist, linear ist. Anmerkung. In der Regel liaben wir es mit Funktionen zu tun, die auf einer vollstandigen Umgebung des betrachteten Punktes definiert sind und nicht nur auf einer Teilmenge der Umgebung. Definition 02- Die lineare Funktion A- (x — a) in (5.9) wird Differential der Funktion f in a genannt. Das Differential einer Funktion in einem Punkt ist eindeutig bestimmt. Denn es folgt aus (5.9), dass lim EBx^a
fM—fiO') ^!^-^ ^ - ^ = X —a
,. lim
3x^a E32
/ , o(x — a)\ {A + — ]= A V
X —a
)
SO dass die Zalil A auf Grund der Eindeutigkeit des Grenzwertes unzweifelhaft bestimmt ist. Definition 1. Die Zalil
/'(„)=
lin, / M ^ / M EBx^a
(5.10)
X — a
wird Ahleitung der Funktion / in a genannt. Die Gleicliung (5.10) kann aquivalent geschrieben werden als: fix) - f{a) .// X , ( . = / (o^) + ct.[x) . x—a Dabei gilt a{x) -^ 0 fiir x ^ a,x G E. Diese Gleichung ist ilirerseits aquivalent zu: f{x) — / ( a ) = f'{a){x
— a) + o{x — a) fiir x ^ a, x G E .
(5.11)
Daher ist die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt zur Existenz ilirer Ableitung in demselben Punkt aquivalent. Wenn wir diese Definition mit dem in Absatz 5.1.1 Gesagten vergleichen, konnen wir folgern, dass die Ableitung die Veranderung einer Funktion im betrachteten Punkt charakterisiert, wohingegen das Differential die beste lineare Approximation an das Inkrement der Funktion in einer Umgebung desselben Punktes liefert. Ist eine Funktion / : i? —>• M in verschiedenen Punkten der Menge E differenzierbar, so kann sich beim Ubergang von einem Punkt zu einem anderen sowohl die GroBe A als auch die Funktion o{x — a) in (5.9) andern (ein Ergebnis, das wir bereits in (5.11) explizit sehen konnten). Dieser Sachverhalt soUte bei der Definition einer differenzierbaren Funktion festgehalten werden, und wir werden nun diese fundamentale Definition voUstandig formulieren.
188
5 Differentialrechnung
Definition 2. Eine auf einer Menge _E C ffi definierte Funktion / : i? —>•ffiist im Punkt x G E, der ein Haufungspunkt von E ist, dijferenzierbar, wenn f{x + h)-f{x)=A{x)h
+ a{x;h)
(5.12)
gilt, wobei h H^ A{x)h eine lineare Funktion in h ist und a{x;h) = o{h) fiir
h^O,
x + he E.
Die Gr6i3en
Ax{h) := (x + h) — X = h und Zi/(a;;/i):=/(a; + / i ) - / ( x ) werden das Inkrement des Arguments und das Inkrement der Funktion (in Abhangigkeit voni Inkrement des Arguments) genannt. Sie werden oft (wenn auch nicht ganz korrekt) durch die Symbole Ax und Af{x) als Funktionen von h bezeichnet. Somit ist eine Funktion in einem Punkt difFerenzierbar, wenn ihr Inkrement in diesem Punkt, das eine Funktion des Inkrements h ihrer Argumente ist, bis auf eine Korrektur, die im Vergleich zu h fiir /i —>• 0 infinitesimal ist, linear ist. Definition 3. Die Funktion h i->- A{x)h in Definition 2, die linear in h ist, wird das Differential der Funktion / : i? —>• M im Punkt x G E genannt und durch d/(a;) oder Df{x) bezeichnet. Somit gih: df{x){h) = A{x)h. Aus den Definitionen 2 und 3 erhalten wir, dass Af{x; h) — df{x){h) = a{x; h) , mit a{x;h) = o{h) fiir h ^ Q, x -\- h & E. D.h., die Differenz zwischen dem Inkrement der Funktion, die durch das Inkrement h in ihrem Argument hervorgerufen wird, und dem Wert der Funktion d/(a;), der in x zum selben h linear ist, ist hoherer Ordnung infinitesimal als h. Aus diesem Grund sagen wir, dass das Differential der lineare (Haupt-) Teil des Inkrements der Funktion ist. Aus (5.12) und Definition 1 folgt A( \ tU \ A\x) = J (x) =
y lim /»->o
/(a; + /i) ; n
f{x)
x+h,xEE
und daher kann das Differential folgendermafien geschrieben werden: df{x){h) = f'{x)h.
(5.13)
Ist insbesondere f{x) = x, dann erhalten wir offensichtlich f'{x) = 1 und
5.1 Differenzierbare Funktionen
189
dx{h) = 1 • h = h , so dass, wie manchmal gesagt wird, „das Differential einer unabhangigen Variablen ihreni Inkrenient entspricht". Mit Hilfe dieser Gleichung konnen wir (5.13) neu forniulieren zu df{x){h)
= f{x)dx{h)
,
(5.14)
d.h., d/(a;) = /'(a;)da; .
(5.15)
Die Gleichung (5.15) sollte als Gleichung zweier Funktionen von h verstanden werden. Aus (5.14) erhalten wir
^W
= ^'^'^ '
^'-''^
d.h., die Funktion ^^^' (das Verhaltnis der Funktionen df{x) und dx) ist Aus diesem Grund bezeichnen wir haufig nach Leibkonstant gleich f'{x). niz die Ableitung mit dem Symbol S'" , zusammen mit der von Lagrange^ f'{x). vorgeschlagenen Schreibweise In der Mechanik wird zusatzlich zu diesen Symbolen das Symbol Lp{t) (sprich „phi-Punkt von t") benutzt, um die Ableitung der Funktion ip{t) nach der Zeit t zum Ausdruck zu bringen. 5.1.3 Die Tangente und die geometrische Interpretation der A b l e i t u n g u n d d e s Differentials Sei f : E ^ M. eine auf einer Menge E C M. definierte Funktion und XQ ein vorgegebener Haufungspunkt von E. Wir suchen die Konstante CQ, die unter den konstanten Funktionen das Verhalten der Funktion in einer Umgebung des P u n k t e s XQ am besten beschreibt. Genauer gesagt, so soU der Unterschied f{x) — CQ im Vergleich zu jeder anderen von Null verschiedenen Konstanten fiir X ^ XQ, X G E infinitesimal sein, d.h., f{x)
= Co + o(l) fiir x —>• XQ, X G E .
Diese Gleichung ist aquivalent zur Aussage, dass insbesondere die Funktion in XQ stetig, dann ist
lim
(5.17)
lim f{x)
f{x)
= CQ. Ist
= f{xo)
und
EBX^XO
natiirlich CQ = ,f{xo). Nun wollen wir versuchen, die Funktion CQ + ci{x — XQ) SO ZU wahlen, dass wir ^ J. L. Lagrange (1736-1831) - beriihmter franzosischer Mathematiker und Fachmann fiir theoretische Mechanik.
190
5 Differentialrechnung f{x)
= Co + ci{x — XQ) + o{x — XQ) fiir x ^ XQ, x G E
(5.18)
erhalten. Dies ist offensichtlich eine Verallgenieinerung des vorigen Problems, da (5.17) wie folgt neu formuliert werden kann: f{x)
= Co + o(^{x — a;o)°) fiir x -^ XQ, X £ E .
Aus (5.18) folgt unmittelbar, dass CQ =
lim
f{x) und, falls die Funktion
in diesem P u n k t stetig ist, dass CQ = f{xo). Nachdem CQ bestimmt wurde, folgt aus (5.18), dass Ci =
,.
f{x)
lim E3x^xo
- Co
.
X — XQ
Wiirden wir ganz allgemein ein Polynom P„{xo; x) = CQ + ci(a; — a;o) + • • • + c„{x — a;o)" suchen, fiir das fix)
= Co + Ci{x - XQ) -\
\-Cn{x - XQ)" + o{{x
-
XQ)")
fiir X —>• XQ, X G E (5.19) gilt, wiirden wir nach und nach oline Zweideutigkeit finden, dass Co
=
lim lim
Cl
E3x^xo
c„
,. lim E3x^xo
=
f{x)
,
i^^^ * *°
/ ( « ) - coH
7
hc„-i(x-xo) y^ {x-xo)
.
Natiirlich vorausgesetzt, dass alle diese Grenzwerte existieren. Ansonsten kann die Bedingung (5.19) nicht erfiillt werden und das Problem besitzt keine Losung. Ist die Funktion / in XQ stetig, dann folgt aus (5.18), wie wir bereits bemerkt haben, dass CQ = f{xo), und wir gelangen dann zur Gleichung f{x)
— f{xo)
= Ci{x — XQ) + o{x — XQ) fiir X -^ XQ, X G E ,
die aquivalent zu der Bedingung ist, dass f{x) fiilirt uns zu d =
,-hm
E3x^xo
fix) - fjxo)
in XQ differenzierbar ist. Dies
,, .
= / [xo) •
X — Xo
Somit haben wir den folgenden Satz bewiesen. S a t z 1. Eine in einem Hdufungspunkt XQ G E CM. stetige Funktion f -.E ^M. erlaubt genau dann eine lineare Approximation (5.18), wenn sie in diesem, Punkt differenzierbar ist.
5.1 Differenzierbare Funktionen
191
Die Funktion (p{x) = Co +ci{x mit Co = ,f{xo) und ci = f'{xo) (5.18) erfiiUt. Somit liefert die Funktion
-xo)
(5.20)
ist die einzige Funktion der Form (5.20), die
(p{x) = f{xo) + f'ixo){x
- Xo)
(5.21)
die beste lineare Approximation an die Funktion / in einer Umgebung von xo in dem Sinne, dass fiir jede andere Funktion (p{x) der Form (5.20) gilt, dass f{x) — (p{x) 7^ o{x — XQ) fiir x -^ xo, x G E. Der Graph der Funktion (5.21) ist eine Gerade
y - f{xo) =
(5.22)
f'ixo){x-xo)
die durch den P u n k t {xo,f{xo)) geht und die Steigung f'{xo) besitzt. Da die Gerade (5.22) der optimalen linearen Approximation des Graphen der Funktion y = f{x) in einer Umgebung des P u n k t e s (XQ, /(XO)) entspricht, fiihrt uns dies zu folgender Definition. D e f i n i t i o n 4. Ist eine Funktion f : E ^ R auf einer Menge i? C ffi definiert und im P u n k t xo £ E differenzierbar, dann wird die durch Gl. (5.22) definierte Gerade die Tangente an den Graphen dieser Funktion im P u n k t (a;o,/(a;o)) genannt. In Abb. 5.3 ist alles Wichtige, was wir bisher in Verbindung mit der Differenzierbarkeit einer Funktion in einem P u n k t kennen, dargestellt: Das Inkrement im Argument, das zugehorige Inkrement der Funktion und der Wert des Differentials. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion, die Tangente
y
/y =-f{^) //y P
Xo + h)
X \ —r Af{xo;h)
P o /
Ax{h)
.^fV^ i—
Xo
f{xo + h) - f{xo)
X y~ ^^^°^
df{xo)ih)
df{xo){h) f{xo)
//
/(a^o)-
h
Xo + h A b b . 5.3.
{x — Xo)
192
5 Differentialrechnung
an den Graphen im P u n k t PQ = {xo,f{xo)) und zum Vergleich eine beliebige Gerade (normalerweise Sekante genannt), die durch PQ und einen P u n k t P ^ PQ des Graphen der Funktion geht. Die folgende Definition erweitert Definition 4. D e f i n i t i o n 5. Sind die Abbildungen / : _E ^ ffi und g : E ^ W m einem Haufungspunkt XQ G E stetig und gilt f{x) — g{x) = o((a; — X Q ) " ) fiir x -^ XQ, X G E, dann sagen wir, dass / und g sich in XQ in n-ter Ordnung beriihren (genauer: mindestens n-ter Ordnung). Fiir n = 1 sagen wir, dass die Abbildungen / und g in XQ zueinander Tangenten sind. Nach Definition 5 ist (5.21) in XQ eine Tangente a n eine Abbildung f : E ^ R, die in diesem P u n k t differenzierbar ist. Wir konnen nun auch sagen, dass das Polynom Pn{xo;x) = co+ci{x — xo) + " •" + c„{x — a;o)" in (5.19) die Funktion / mit mindestens n-ter Ordnung beriihrt. Die Zahl h = x — XQ, d.h. das Inkrement im Argument, kann als Vektor betrachtet werden, der im P u n k t XQ beginnt und den Ubergang von XQ ZU X = XQ + h definiert. Wir bezeichnen die Menge aller derartigen Vektoren mit TK(a;o) oder TR^^^. Ganz ahnlich bezeichnen wir mit TR{yo) oder TMj,„ die Menge aller Verschiebungsvektoren vom P u n k t yo entlang der y-Achse (vgl. Abb. 5.3). Aus der Definition des Differentials konnen wir nun folgern, dass die Abbildung d/(a;o) : TK(xo) ^ ™ ( / ( x o ) ) , (5.23) die durch das Differential h H^ f'{xo)h = df{xo){h) definiert wird, Tangente zur Abbildung h^f(xo + h)-f{xo) = Af(xo;h) (5.24) ist, die durch das Inkrement der differenzierbaren Funktion definiert wird. Wir merken an (vgl. Abb. 5.3), dass das Differential (5.23) dem Inkrement der Ordinate der Tangente an den Graphen der Funktion fiir das Inkrement h im Argument entspricht, wenn beim Ubergang des Arguments von XQ ZU xo + h das Inkrement der Ordinate des Graphen der Funktion y = f{x) durch (5.24) beschrieben wird. 5.1.4 D i e R o U e d e s K o o r d i n a t e n s y s t e m s Die analytische Definition der Tangente (Definition 4) mag der Grund fiir ein leichtes Unwohlsein sein. Wir versuchen, dieses Unwohlsein auf den P u n k t zu bringen. Zunachst werden wir aber eine mehr geometrische Konstruktion der Tangente an eine Kurve in einem ihrer P u n k t e PQ (vgl. Abb. 5.3) geben. Wir greifen einen von PQ verschiedenen beliebigen P u n k t P auf der Kurve heraus. Die Linie, die durch das P u n k t e p a a r PQ und P verlauft, wird, wie 6
Dies weicht leicht von der iiblichen Schreibweise Tx^M. oder T2;Q(R) ab.
5.1 Differenzierbare Funktionen
193
bereits benierkt, Sekante genannt. Wir zwingen nun den Punkt P entlang der Kurve imnier naher an PQ heran. Falls sich die Sekante dabei an eine bestimmte Gerade annahert, dann ist diese „Grenzwertgerade" die Tangente der Kurve in PQ. Entgegen unserer Intuition ist eine derartige Definition der Tangente fiir uns im Augenblick nicht moglicli, da wir niclit wissen, was eine Kurve ist und was es bedeutet, dass „ein Punkt entlang der Kurve einem anderen Punkt immer naher kommt" und scliliefilicli, was unter der Aussage, dass sich die „Sekante einer bestimmten Geraden annahert", zu verstehen ist. Statt diesen Begriffen eine prazise Bedeutung zu verleihen, woUen wir einen prinzipiellen Unterschied zwischen den beiden hier vorgestellten Definitionen einer Tangente deutlich niachen. Die Zweite war rein geometrisch und ohne Zusammenhang (zumindest solange, wie sie nicht prazise ist) zu einem Koordinatensystem. Bei der Ersten haben wir jedoch die Tangente an eine Kurve, die der Graph einer differenzierbaren Funktion ist, in einem Koordinatensystem definiert. Natiirlich stellt sich die Frage, ob die Kurve in einem anderen Koordinatensystem noch differenzierbar ist oder, falls sie differenzierbar ist, ob sie eine andere Gerade als Tangente besitzt, wenn die Berechnungen mit neuen Koordinaten ausgefiihrt werden. Diese Frage nach der Invarianz, d.h. der Unabhangigkeit vom Koordinatensystem, tritt immer dann auf, wenn ein Konzept mit Hilfe eines Koordinatensystems eingefiihrt wird. Diese Frage stellt sich im gleichen AusmaB beim Begriff der Geschwindigkeit, die wir in Absatz 5.1.1 diskutiert haben, und die, wie wir bereits bemerkt haben, das Konzept einer Tangente beinhaltet. Punkte, Vektoren, Geraden und so welter besitzen in verschiedenen Koordinatensystemen (Koordinaten eines Punktes, Komponenten eines Vektors, die Geradengleichung) verschiedene numerische Charakteristika. Wenn wir jedoch die Formeln kennen, die zwei Koordinatensysteme miteinander verbinden, dann konnen wir bei zwei numerischen Darstellungen immer bestimmen, ob sie Ausdriicke fiir dasselbe geometrische Objekt in unterschiedhchen Koordinatensystemen sind oder nicht. Unsere Intuition sagt uns, dass die in Absatz 5.1.1 vorgestellte Prozedur fiir die Definition der Geschwindigkeit unabhangig vom Koordinatensystem, in dem die Berechnungen ausgefiihrt werden, zum selben Vektor fiihrt. Zu geeigneter Zeit, bei der Untersuchung von Funktionen mehrerer Variabler, werden wir eine detaillierte Untersuchung auf Fragen dieser Art anfiihren. Die Invarianz der Definition der Geschwindigkeit bzgl. verschiedener Koordinatensysteme wird im nachsten Abschnitt bewiesen. Bevor wir uns der Untersuchung besonderer Beispiele zuwenden, woUen wir einige der Ergebnisse zusammenfassen. Wir trafen auf das Problem, mathematisch die momentane Geschwindigkeit eines sich bewegenden Korpers zu beschreiben. Dieses Problem fiihrte uns auf das Problem der Approximation einer gegebenen Funktion in der Umgebung eines bestimmten Punktes durch eine lineare Funktion, was uns bei der geometrischen Interpretation zur Tangente fiihrte.
194
5 Differentialrechnung
Wir gehen davon aus, dass Funktionen, die die Bewegung realer mechanischer Systeme beschreiben, eine derartige lineare Approximation erlauben. Auf diese Weise fanden wir die Klasse der dijferenzierbaren Funktionen in der Klasse aller Funktionen. Das Konzept des Differentials einer Funktion in einem Punkt wurde eingefiihrt. Das Differential ist eine lineare Abbildung, die auf Verscliiebungen des betracliteten Punktes definiert ist und die das Verhalten des Inkrements einer differenzierbaren Funktion in einer Umgebung des Punktes bis auf eine Grofie, die im Vergleicli zur Verschiebung infinitesimal ist, besclireibt. Das Differential df{xo)h = f'{xo)h wird voUstandig durcli die Zahl / ' ( X Q ) , die Ableitung der Funktion / in a;o, bestimmt. Sie kann als Grenzwert rif . f (xo) =
,hm E3x^xo
fix) -
fjxo)
X — Xo
bestimmt werden. Die pliysikalische Bedeutung der Ableitung ist das Ausmafi an Verdnderung einer Grofie f{x) zur Zeit XQ. Ilire geometrische Bedeutung ist die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion y = f{x) im Punkt (a;o,/(a;o)). 5.1.5 Einige Beispiele Beispiel 1. Sei f{x) = sin a;. Wir werden zeigen, dass f'{x) = cos a;. Beweis. lim h-s-o
sinfx +/i) - sina; ,. 2sin ( | ) cos (x + | ) ^ -^ = lim ^'^' ,—^^ ^^ = h /i->o h
(
h,\ ,.
sin(f)
= lim cos (x -\— • lim —,, , h^o V 2 / h^o ( I )
= cos x .
D
Hierbei liaben wir den Satz zum Grenzwert eines Produktes, die Stetigkeit der Funktion cos a;, die Aquivalenz sint ~ t fiir t —>• 0 und den Satz zum Grenzwert einer verketteten Funktion benutzt. >iel 2. Wir werden zeigen, dass cos' x = — sin a;. Beweis. hm h-s-o
cosfa; +/i) - cosa; ,. - 2 s i n ( | ) sin (x + | ) ^^ -^ = hm ^^ ^^ ^^ = h h-s-o h ,• • f h\ ,. sin ( I ) = — hm sm [x + — ) • hm —77—— = — smx . h^o V 2 / h^o ( I )
Beispiel 3. Wir werden zeigen, dass die Ableitung zu f{t) = rcosujt, —rujsmujt lautet.
f'{t)
5.1 Differenzierbare Funktionen
195
Beweis. ,. r cos Luit + h)-r lim ^ h ft->o ,.
.
cos cut
,. - 2 s i n ( ^ ) sinwft + | ) = r /i->o lim ^ ^ 'h ^ ^' — /i\
/
lim sm uj[t -\
,.
sm 1-5- ,
• lim —, , ;
= —ruj sm ujt
Beispiel 4- Sei f{t) = rsmcot, dann ist f'{t) = rujcoscot. Beweis. Der Beweis ist zu denen in den Beispielen 1 und 3 analog. 5. Die momentane Geschwindigkeit und die momentane Beschleunigung einer Punktmasse. Angenommen, eine Punktmasse bewege sich in einer Ebene und ihre Bewegung werden in einem gegebenem Koordinatensystem durch die nach der Zeit ableitbaren Funktionen X = x{t) und y = y{t) beschrieben oder, was dasselbe ist, durch den Vektor
r{t) = {x{t),yit)) . Wie wir in Absatz 5.1.1 erklart haben, entspricht die Geschwindigkeit des Punktes zur Zeit t dem Vektor v ( t ) = f ( t ) = (i(t),2/(t)) , wobei x{t) und y{t) die Ableitungen von x{t) und y{t) nach der Zeit sind. Die Beschleunigung a(t) entspricht dem AusmaB an Veranderung des Vektors v(t), so dass a ( t ) = v ( t ) = f ( t ) = (a;(t),y(t)) , wobei x{t) und y{t) die Ableitungen der Funktionen x{t) und y{t) nach der Zeit sind, die zweite Ableitungen von x{t) und y{t) genannt werden. Somit miissen, im Sinne des physikalischen Problems, die Funktionen x{t) und y{t), die die Bewegung einer Punktmasse beschreiben, sowohl eine erste als auch eine zweite Ableitung besitzen. Wir wollen insbesondere die gleichformige Bewegung eines Punktes entlang eines Kreises mit Radius r betrachten. Sei uj die Winkelgeschwindigkeit des Punktes, d.h. die GroBe des Winkels, den der Punkt in der Einheitszeit iiberstreicht. In kartesischen Koordinaten (mit den Definitionen der Funktionen cos a; und sin a;) lauten diese Funktionen: r(t) = (^r cos{ujt + a), r sm{ujt + a)) , und fiir r(0) = (r, 0) nimmt sie die folgende Form an: r(t) = i^r cos Lvt, r sin Lvt) .
196
5 Differentialrechnung
Ohne Verlust der AUgenieinheit bei unseren weiteren Herleitungen werden wir zur Abkiirzung annehmen, dass r(0) = (r, 0). Dann erhalten wir mit den Ergebnissen aus den Beispielen 3 und 4: v(t) = r{t) = {—ru) sin cut, ru) cos cot) . Die Berechnung des inneren P r o d u k t s ( v ( t ) , r ( t ) ) = —r'^uj sin Lvt cos ujt + r'^ uj cos ujt sin ujt = 0 besagt, wie wir fiir diesen Fall nicht anders erwarten konnen, dass der Geschwindigkeitsvektor v(t) zum Radiusvektor r ( t ) senkrecht ist und dalier entlang der Tangente des Kreises gericlitet ist. Als Naclistes erhalten wir fiir die Besclileunigung a(t) = v(t) = r{t) = {—ruj'^ cosujt, —rw^ sinwt) , d.li., a(t) = —uj'^r{t) und die Beschleunigung ist somit tatsachlicli zentripetal, da sie dem Radiusvektor r(t) entgegen gerichtet ist. AuBerdem gilt \a{t)\=Lo''\T(t)\=u:\=^-^^
=
-
mit V = |v(t)|. Ausgeliend von diesen Formeln wollen wir beispielsweise die Gescliwindigkeit eines Erdsatelliten in tiefer Hohe bereclinen. In diesem Fall entspricht r dem Radius der Erde, d.li. r = 6400 km, walirend |a(t)| = g mit g « l O m / s ^ die Beschleunigung fiir den freien Fall an der Erdoberflache ist. Somit ist 1-2 = |a(t)|r « l O m / s ^ x 64 • lO'^ m = 64 • lO*' (m/s)^ und daher V wS-lO^m/s. Beispiel 6. Die optischen Eigenschaften eines Parabolspiegels. Wir wollen die Parabel y = j-x"^ (p > 0, vgl. Abb. 5.4) betrachten und die Tangente im P u n k t {xo,yo) = [xo,-^xl) konstruieren. Da f{x) = -^x'^, erhalten wir 1 2
f'{xo)
^X = lim —
x^xo
1 2 -
1 .. , 1 — = -— lim (x + XQ) =, -XQ .
^XQ
X — XQ
p
2p x^xo
Folglich besitzt die gesuchte Tangente die Gleichung: 1
2
1
y- :r^o = 2p
.
^
-xo(x-xo) p
oder -xo{x P mit 2/0
2p-^o-
- xo) - {y - yo) = 0 ,
(5.25)
5.1 Differenzierbare Funktionen
197
Der Vektor n = ( — ^XQ, l ) ist, wie aus dieser letzten Gleichung abgelesen werden kann, senkrecht zur Geraden mit der Gleichung (5.25). Wir warden zeigen, dass die Vektoren e^ = (0,1) und e / = ( — a;o, f — yo) niit n dieselben Winkel einschliei3en. Der Vektor e^ ist ein Einheitsvektor, der entlang der yAchse gerichtet ist. Dagegen ist e / vom Beriihrpunkt {xo,yo) = (a;oi ^rja^o) zum P u n k t (O, | ) gerichtet, dem Fokus der Parabel. Daher ist: 1 |e/||n| (e/,n)
i„2
§ + :^ 2p-^0
2p-^0
cose/n 2p^0J
,2 + 2p^0J
Somit haben wir gezeigt, dass eine Strahlenquelle im P u n k t ( 0 , | ) , dem Fokus der Parabel, zu einem Strahl fiihrt, der parallel zur Spiegelachse (der 2/-Achse) verlauft, und dass ein parallel zur Spiegelachse auftreffender Strahl durch den Fokus verlauft (vgl. Abb. 5.4). Beispiel 7. In diesem Beispiel werden wir zeigen, dass die Tangente bloB die beste lineare Approximation an den Graphen einer Funktion in einer Umgebung des Beriihrpunktes ist und nicht notwendigerweise nur einen P u n k t mit der Kurve gemeinsam besitzt, wie es beim Kreis oder im AUgemeinen bei konvexen Kurven der Fall ist. (Fiir konvexe Kurven werden wir eine eigene Untersuchung durchfiihren.) Die Funktion sei durch x'^ sin i , fiir a; ^ 0 /(a;) 0 ,
fiir a; = 0
jegeben. Der G r a p h dieser Funktion ist als dicke Linie in Abb. 5.5 dargestellt. Wir suchen nach der Tangente an den Graphen im P u n k t (0, 0). Da /'(O) = hm^ x->0
x'^ sin i
0
lim X sin — x->0
X
0
198
5 Differentialrechnung
x^ sin — ,
fiir fiir
a; / 0, X= 0
A b b . 5.5. besitzt die Tangente die Gleichung y — 0 = 0 • (x — 0) oder einfach y = 0. Somit ist in diesem Beispiel die a;-Achse die Tangente, die vom Graphen unendlich oft in jeder Umgebung des Beriihrpunktes geschnitten wird. Laut Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion / : _B —>• M ini P u n k t XQ G E erhalten wir f{x)
— ,f{xo) = A{xo){x
— XQ) + o{x — XQ) fiir x —>• XQ, X G E .
Da die rechte Seite dieser Gleichung iiiT x ^ XQ, x G E gegen Null strebt, folgt, dass lim f{x) = f{xo), so dass eine in einem P u n k t differenzierbare EBX^XO
Funktion notwendigerweise in diesem P u n k t stetig ist. Wir werden zeigen, dass der Unikehrschluss natiirlich nicht inimer wahr ist. Beispiel
8. Sei f{x) lim X^tXQ—O
lim
= |a;| (vgl. Abb. 5.6). Dann ergibt sich im P u n k t XQ = 0:
f{x)-f{xo) X — XQ
fix) - fjxo) X — XQ
,.
lim
kl-0 N
0 a; - 0 lim 'x\ - 0 >+0 X
0
lim «->-0
= —1 , X
lim —
1
s^+O X
Folgerichtig besitzt die Funktion in diesem P u n k t keine Ableitung und ist daher in diesem P u n k t nicht differenzierbar. Beispiel 9. Wir werden zeigen, dass e*+'' — (f = (fh + o{h) fiir h ^ Q. Damit ist die Funktion exp(a;) = e^ differenzierbar mit dexp(a;)/i = exp(a;)/i, bzw. de^ = e^dx und daher ist exp'a; = e x p x , bzw. ^ ^ = e^.
5.1 Differenzierbare Funktionen
199
A b b . 5.6. Beweis. ^x+h
e'={e'' -1)
=e''{h
+ o{h)) =e'=h + o{h)
Hierbei haben wir die Forniel e^ — 1 = h + o{h), die wir in Beispiel 39 in Absatz 3.2.4 erhalten haben, benutzt. D Beispiel 10. Sei a > 0. Dann ist ax + h gilt da* = a * ( l n a ) d x und ^ ^ = a ^ l n a .
a^{\na)h
+ o{h) fiir /i ^ 0. Somit
Beweis. ^x+h _^x
^ ^x^^h _^^^
= a^iyhhia Beispiel
a=^(e''i"« - 1) =
+ o ( / i l n a ) ) = a^{\na)h
+ o{h) fiir /i ^> 0 .
D
11. Sei x ^ Q. Dann ist In |x + /i| — In \x\ = ^/i + o{h) fiir /i —>• 0.
Somit gilt d i n |x|
Idx und
^ ^
Beweis. In |a; + /i| — In \x\ Fiir \h\ < \x\ erhalten wir | l + f Werte von h schreiben konnen:
In I
1-
ln|l + ^ '
X
:, so dass wir fiir geniigend kleine
h\ - In \x\ = In f 1 + - ) = - + o{-] \ xJ X \xJ
= -h + o{h) X
fiir /i ^ 0. Hierbei haben wir die Gleichung l n ( l + 1 ) = t + o{t) fiir t ^ 0, die wir in Beispiel 38 in Absatz 3.2.4 gezeigt haben, benutzt. D 12. Sei X ^ 0 und 0 < a ^ 1. Dann gilt fiir /i —>• 0: log^ \x -\- h\ — lo.-» ,a;| = jY^h
+ o{h). Somit ist dlog„ \x\ = -rrtr^dx und —SSaJii — xln -J—a' a; In a dx
Beweis. l0g„ \x + h\-
l0g„ \x\ = l0g„ 1 + -
In a
\
X/
= loga ( l +
InaVx
\x/
-)
/
;ln a
h + o{h)
Hierbei haben wir die Formel fiir den Ubergang von einer Logarithmenbasis zu einer anderen und die in Beispiel 11 ausgefiihrten Betrachtungen eingesetzt. D
200
5 Differentialrechnung
5.1.6 Ubungen und Aufgaben 1. Zeigeii Sie: a) Die Tangentengleichung zur Ellipse 2
X
2
y
h— = 1
lautet im Punkt {xo,yo) folgendermafien : XXQ
yyo_ ^
b) Eine Ellipse mit den Halbaclisen a > 6 > 0 besitze die Foki Fi = ( —\Ja? — 62, 0 J und F2 = (^02 - 6 2 , 0 ) . Befindet sicli in einem der Foki eine Lichtquelle, dann wird deren Licht von einem elliptischen Spiegel ini anderen Fokus eingesanimelt. 2. Schreiben Sie die Fornieln fiir die nalierungsweise Bereclinung der folgenden Werte: a) sin ( f- + Q J fiir a nalie 0, b) sin(30° + Q ° ) fiir a° nalie 0, c) cos ( -J + Q 1 fiir a nalie 0, d) cos(45° + a°) fiir a° nalie 0. 3. Ein Wasserglas drehe sicli um seine Aclise mit konstanter Winkelgeschwindigkeit cij. Sei y = f{x) die Gleicliung der Kurve, die sicli als Sclinitt der Fliissigkeitsoberflache mit einer Ebene durcli die Dreliachse ergibt. a) Zeigen Sie, dass f'{x) = ^x, wobei g die Gravitationskonstante ist (vgl. Beispiel 5). b) Walilen Sie eine Funktion f{x), die die in Teil a) gestellte Bedingung erfiillt (vgl. Beispiel 6). c) Verandert sicli die Bedingung fiir die Funktion f{x) aus Teil a), wenn die Drehachse niclit mit der Aclise des Glases iibereinstimmt? 4. Ein als Punktmasse auffassbarer Korper gleite unter dem Einfluss der Scliwerkraft einen sanften Hiigel hinunter. Der Hiigel sei der Graph der differenzierbaren Funktion y = f(x). a) Bestimmen Sie die horizontalen und die vertikalen Komponenten des Besclileunigungsvektors, den der Korper im Punkt (xo,yo) besitzt. b) Bestimmen Sie fiir den Fall f{x) = x'^, wobei der Korper aus grofler Hohe gleitet, den Punkt der Parabel y = x'^, in dem die liorizontaler Komponente der Beschleunigung maximal ist.
5. Sei
fiir 0 < X < i ,
I'oix) 1 — X , fiir I < X < 1
5.2 Wichtige Ableitungsregeln
201
Erweitern Sie diese Funktion fiir die ganze reelle Gerade so, dass sie Periode 1 besitzt. Wir bezeichnen die erweiterte Funktion mit ipo- Sei ferner
Die Funktion (pn bat die Periode 4~" und besitzt iiberall eine Ableitung gleich + 1 oder —1, aufier in den Punkten x = .2
fix) = ^Vni^:)
•
n= l
Zeigen Sie, dass die Funktion / definiert und auf R stetig ist, aber in keinem Punkt eine Ableitung besitzt. (Dieses Beispiel geht auf den wohl bekannten niederlandischen Mathematiker B. L. van der Waerden (1903-1996) zuriick. Die ersten Beispiele fiir stetige Funktionen, die keine Ableitungen besitzen, wurden von Bolzano (1830) und Weierstrafl (1860) konstruiert.)
5.2 Wichtige Ableitungsregeln Das Differential einer gegebenen Funktion zu konstruieren, oder, was aquivalent dazu ist, ihre Ableitung zu finden, wird Differentiation^ genannt. 5.2.1 D i f f e r e n t i a t i o n u n d a r i t h m e t i s c h e O p e r a t i o n e n S a t z 1. Sind die Funktionen / : AT —>• ffi und g : X ^ differenzierbar, dann a) ist ihre Summe in x differenzierbar mit:
if+9nx)
= {f' + g'){x);
b) ist ihr Produkt in x differenzierbar {f-g)'{x)
= nx)-g{x)
c) falls g{x) ^ 0, ist ihr Quotient
W im Punkt x G X
mit: +
f{x)-g'{x)-
in x differenzierbar
mit:
'f\\._f'{x)9{x)-f{x)g'{x)
( )g)' < 7
g^{x)
Obwohl es mathematisch aquivalent ist, das Differential zu bestimmen oder die Ableitung zu finden, sind das Differential und die Ableitung dennoch nicht dasselbe. Aus diesem Grund gibt es etwa im Deutschen wie im Franzosischen zwei Ausdriicke - ableiten bzw. derivation fiir das Finden der Ableitung und differenzieren bzw. differentiation fiir das Bestimmen des Differentials.
202
5 Differentialrechnung
Beweis. Wir werden den Beweis auf der Definition einer difFerenzierbaren Funktion und den Eigenschaften des Symbols o(-), die wir in Absatz 3.2.4 bewiesen haben, aufbauen. a)
(/ + g){x + h)-{f
+ g){x) = {f{x + h) + g{x + h)) -
- {fix) + g(x)) = [fix + h)- fix)) + [gix + h) - gix)) = = {f'{x)h + o{h)) + {g'{x)h + o{h)) = (fix) + g'{x))h + o{h) = = [f + g'){x)h + 0{h) .
h)
if • g){x + h)-{f- g){x) = fix + h)gix + h) - fix)gix) = = ifix) + f'ix)h + oih)) igix) + g'ix)h + o(/i)) - fix)gix) = if'ix)gix)+fix)g'ix))h
=
+ oih).
c) Da eine in eineni Punkt x G X difFerenzierbare Funktion in diesem Punkt stetig ist, konnen wir aufgrund der Eigenschaften stetiger Funktionen garantieren, dass gix + h) ^ 0 fiir geniigend kleine Werte von h, falls gix) ^ 0. Bei den folgenden Bereclinungen wird angenommen, dass h klein ist:
(^)i^+h)-a)ix)=i^-i^= \gJ
\gJ
gix + h)
gix)
= "TTT—TTT gix)gix + h)'(/(^ + M5(a;) - fix)gix = [-^+oil)')iifix) = (
+ f'ix)h ^
+ h)) =
+ oih))gix)-fix)igix)+g'ix)h
+ «(!)) {if'(^)9i^)
- fi^)9'{^))h f'ix)gix)
+ oih))) =
+ oih)) =
- fix)g'ix) -h + oih) g'^ix)
Hierbei haben wir die Stetigkeit von g im Punkt x und die Ungleichung gix) ^ 0 benutzt und dass lim h^o gix)gix + h)
g^ix) '
d.h. 1 gix)gix + h)
_
1 g^ix)
wobei o(l) fiir /i ^ 0 mit x + h G X infinitesimal ist.
D
KoroUar 1. Die Ahleitung einer Linearkombination von differenzierbaren Funktionen ist gleich der Linearkombination der Ableitungen dieser Funktionen.
5.2 Wichtige Ableitungsregeln
203
Beweis. Da eine konstante Funktion offensichtlich difFerenzierbar ist und die Ableitung in jedem Punkt gleich 0 ist, erhalten wir mit Aussage b) aus Satz 1, wenn wir / = const = c setzen, dass {cgy{x) = cg'{x). Nun konnen wir mit Aussage a) aus Satz 1 schreiben: (ci/ + C23)'(a;) = (ci/)'(a;) + (c23)'(a;) = cif'{x) + c^g {x) . Wenn wir das eben Bewiesene beriicksichtigen, konnen wir durch Induktion zeigen, dass ( C l / l + • • • + Cnfn)'{x)
= Cifiix)
+ ••• + Cnfl,{x)
.
D
KoroUar 2. Sind die Funktionen / i , . . . , /„ in x dijferenzierbar, dann gilt: {h---fn)'{x)
= f[{x)h{x)---U{x) + fl{x)!2{x)fz{x)
• • • fn{x)
+ + ••• + fi{x)---
fn-l{x)f'^{x)
.
Beweis. Fiir n = 1 ist die Aussage oflFensichtlich. Wenn die Aussage fiir ein n £ N gilt, dann gilt sie nach Aussage b) aus Satz 1 aucli fiir (n + 1) € N. Mit dem Induktionsprinzip folgern wir, dass die Formel fiir jedes n £ N Giiltigkeit besitzt. D KoroUar 3. Aus dem Zusammenhang zwischen Ableitung und Differential folgt, dass Satz 1 auch fiir Differentiale formuliert werden kann. Auf den Punkt gebracht: a) d ( / + g){x) = df{x) + dg{x) ; b) d ( / • g){x) = g{x)df{x) + f{x)dg{x) ; C) d ( i ) ( x ) = « ( - ) d / ( x ) - / ( ^ ) d a ( x ) ^ ^ ^ ^ ( ^ ) _, 0
Beweis. Wir woUen exemplariscli Aussage a) zeigen. d ( / + g){x)h = (/ + gy{x)h = (/' + g'){x)h = = (fix) + g'{x))h = f'{x)h + g'{x)h = = df{x)h + dg{x)h = (df{x) + dg{x))h . Somit haben wir gezeigt, dass d{f -\-g){x) und df{x)-\-dg{x) sind.
dieselbe Funktion D
Beispiel 1. Invarianz der Geschwindigkeitsdefinition. Wir konnen nun nacliweisen, dass der momentane Geschwindigkeitsvektor einer Punktmasse, der in Absatz 5.1.1 definiert wurde, vom verwendeten kartesischen Koordinatensystem unabhangig ist. Wir werden dies sogar fiir alle affinen Koordinatensysteme zeigen. Seien {x^ ,x'^) und (x^, x"^) die Koordinaten desselben Punktes in der Ebene in zwei unterschiedlichen Koordinatensystemen, die durch die Gleichungen x^ = alx^ + a\x'^ + b^ , 2 _ „ 2 ^ 1 , „ 2 ^ 2 , L2 x"^ = a\x^ + a^x"^ + h
(5.26)
204
5 Differentialrechnung
niiteinander verbunden sind. Da jeder Vektor (ini afRnen Rauni) durch ein P u n k t e p a a r bestinimt wird und seine Koniponenten der DifFerenz der Koordinaten des Anfangs- und Endpunktes des Vektors entsprechen, sind die Komponenten eines vorgegebenen Vektors in diesen beiden Koordinatensystemen durch die Gleichungen «! = a\v^ + a\v^^ , w^ = a\v^ + ajW^
,g 27) '
niiteinander verbunden. Wird das Bewegungsgesetz des P u n k t e s in einem der Koordinatensysteme durch die Funktionen x^{t) und x'^{t) beschrieben, dann wird es im anderen System durch die Funktionen x^{t) und Sp'{t) beschrieben, die durch die Gleichungen (5.26) mit den Ersteren verkniipft sind. Wenn wir die Gleichungen (5.26) nach der Zeit ableiten, erhalten wir mit den Ableitungsregeln: ^2 _ X
2-1
— OJ-\X
2-2
^^-2^)
~\~ CloX
Daraus folgt, dass die Komponenten {v^,v'^) = {x^,x^)
des Geschwindig•1
'2
keitsvektors im ersten System und die Komponenten (w^,^^) = (x ,x ) des Geschwindigkeitsvektors im zweiten System tatsachlich durch die Gleichungen (5.27) verkniipft. Dies zeigt uns, dass wir es mit zwei unterschiedlichen Ausdriicken fiir denselben Vektor zu t u n haben. Beispiel 2. Sei f{x) = tana;. Wir werden zeigen, dass in jedem P u n k t in dem cos a; 7^ 0 ist, f'{x) = V gilt, d.h. im gesamten Definitionsbereich der Funktion t a n x = -^^S-S.. cos X In den Beispielen 1 und 2 in Abschnitt 5.1 haben wir gezeigt, dass sin'(a;) = cos a; und cos'a; = — s i n x , so dass nach Aussage c) aus Satz 1 fiir cos a; ^ 0 gilt: , /sm\' sm X cos X — sm x cos x tan X = (x) = I (X) Vcos/ COS/ COS X COS X + sm x sm x
Beispiel 3. cot' x = —-^^s-^ iiberall da, wo sin a; ^ 0, d.h. im Definitionsbereich voncotx = fff. Tatsachlich gilt: , /cos\' , cot X = -;— (x) Vsm sm/ • '
cos X sm X — cos x sm x sin^ x sm X sm X — cos x cos x sin^ X
svo? X
5.2 Wichtige Ableitungsregeln
205
Beispiel 4- 1st P{x) = CQ + cix + • • • + c„x" ein Polynom, dann ist P'{x) = C\ + 2C2X + • • • +
nCnX'^~^.
Da gf = 1, erhalten wir mit Korollar 2, dass ^ r = nx"~^. Die Aussage folgt nun unmittelbar aus Korollar 1.
5.2.2 Differentiation einer verketteten Funktion (Kettenregel) Satz 2. (Kettenregel) Ist die Funktion f : X ^ Y C M. im Punkt x G X differenzierbar und ist die Funktion g :Y ^ W im Punkt y = f{x) G Y dijferenzierbar, dann ist die verkettete Funktion go f : X ^ W in x differenzierbar und das Differential d{g o f){x) : TW{x) —>• TW(^g(^f(x))) der verketteten Funktion ist gleich der Verkettung dg{y) o df{x) ihrer Differentiate Af{x) : TK(x) ^ TW{y = f{x))
und dg{y = f{x)) : T^y)
^ T^g{y))
.
Beweis. Die Bedingungen fiir die Differenzierbarkeit der Funktionen / und g lauten: fix + h)-
fix) = f'{x)h
+ o{h) fiir /i ^ 0, a; + /i e X ,
9{y + t)- giy) = g'{y)t + oit) fiir t ^ o, y +1 e y . Wir merken an, dass wir davon ausgelien konnen, dass o{t) in der zweiten Gleicliung fiir t = 0 definiert ist und dass wir im Ausdruck o{t) = 7(t)t, mit 7(t) —>• 0 fiir t —>• 0, 2/ + t e F , annelimen konnen, dass 7(0) = 0. Wenn wir f{x) = y und fix + h) = y + t setzen, erhalten wir aufgrund der Differenzierbarkeit (und somit Stetigkeit) von / im Punkt x, dass t —>• 0 fiir h ^ 0 und dass fiir x + h G X gilt: y +1 £ Y. Nach dem Satz zum Grenzwert einer verketteten Funktion erhalten wir nun, dass 7(/(a; + h)-
fix))
= a(/i) ^ 0 fiir /i ^ 0, a; + /i £ AT ,
und somit fiir t = fix + h) — fix), o{t) = lifix
+ h)-
dass
fix)) [fix + h)-
fix))
= aih) {f'ix)h + oih)) = aih)f'ix)h
= + a(/i)o(/i) =
= oih) + oih) = oih) fiir h ^ 0, X + h G X . Somit erhalten wir (3 o /)(x + ft) - (3 o f)ix) = g{fix + h)) -gifix))
= 9iy + t)-giy)=g'iy)t = 9'{fix)) = 9'{fix))
{fix + h)-
fix)) + o{fix + h)-
{f'ix)h + oih)) + o{fix + h)-
= 9' {fix)) {f'ix)h)
=
+ oit) =
+ g' {fix)) {oih)) +o{fix
fix)) fix))
= =
+ h)-
fix))
.
206
5 Differentialrechnung
Da wir den Ausdruck g'{f{x)) [f'{x)h)
als Wert dg{^f{x)) o df{x)h
kettung h
der Abbildungen h t ^ ^ f'{x)h
^^(^HI^-^^^^)
g'ifix))
• f{x)h
der Verund
T I—> g'{y)T in h interpretieren konnen, bleibt fiir den Abschluss des Beweises nur noch anzumerken, dass die Summe g'[f{x)){o{h))+o{f{x
+
h)-f{x))
im Vergleich zu h fiir /i—>-0, a; + / i £ X infinitesimal ist, oder, wie wir bereits festgestellt haben, dass o{f{x + h)-
fix))
= o{h) iiir h^O,x
+ hGX
.
Somit haben wir bewiesen, dass (g o f)(x
+ h) - (g o f)(x)
= a'(/(a;)) • f'ix)h
=
+ o{h) fiir /i ^ 0, a; + /i e X .
D
KoroUar 4. Die Ahleitung (g o f)'{x) der Verkettung differenzierbarer Funktionen mit reellen Werten ist gleich dem Produkt g'{f{x)) • f'{x) der Ableitungen dieser Funktionen in den entsprechenden Punkten. Es besteht die groBe Versuchung, fiir diese Aussage in der Schreibweise, die Leibniz fiir die Ableitung einfiihrte, einen kurzen Beweis zu geben: dz dx
dz dy
dy dx
fiir z = z{y) und y = y{x). Dies erscheint vollig natiirlich, wenn wir die Symbole j ^ und -^ nicht als Einheit, sondern als Verhaltnis von dz zu dy und dy zu dx betracliten. Wir konimen dabei auf die folgende Beweisidee, bei der wir die Differenzenquotienten Az _ Az Ay Ax Ay Ax betracliten und dann zum Grenzwert fiir Ax -^ 0 iibergehen. Die dabei auftretende Schwierigkeit (mit der wir teilweise schon zu tun batten) ist, dass Ay fiir Ax ^ 0 Null werden kann. KoroUar 5. Existiert die Verkettung (fn ° • • • ° fi){x) tionen yi = fi{x),...,yn = fniVn-i), dann gilt: (/n ° • • • ° fi)'{x) = /;(y„_i)/;_i(y„_2)
differenzierbarer Funk-
•••f[{x).
Beweis. Die Aussage gilt offensichtlich fiir n = 1. Gilt sie auch fiir ein n € N, dann gilt sie nach Satz 2 auch fiir n + 1, so dass sie nach dem Induktionsprinzip fiir alle n € N zutrifft. D
5.2 Wichtige Ableitungsregeln 5. Wir wollen fiir a; > 0 zeigen, dass fiir a € M gilt: ^^ d.h. da;" = ax"~^dx und {x + h)" -x"
= ax"-^h
207
= ax" ^,
+ o{h) fiir /i ^ 0 .
Beweis. Wir schreiben x" = e"'"* und wenden Satz 2 an, wobei wir die Ergebnisse aus den Beispielen 9 und 11 aus Abschnitt 5.1 und Aussage b) aus Satz 1 einbeziehen. Sei g{y) = e^ und y = f{x) = Q;ln(x). Dann ist x" = {g o f){x) und
(9 ° fYi^) = g'iy) • fix) = e^ • f = e"'"" • f = OCX"-' • Beispiel 6. Die Ableitung des Logarithmus des Betrags einer difFerenzierbaren Funktion wird oft als logarithmische Ableitung bezeichnet. Da F{x) = ln|/(a;)| = (lno| | o f){x), erhalten wir nach Beispiel 11 Abschnitt 5.1, dass F'{x) = ( l n | / | ) ' ( x ) = ^ . Somit ist: An i^i\/ ^ = ti^A d(ln|/l)(a.) - ^ d . =
d/(a;) - ^ .
Beispiel 7. Der durch fehlerhafte Daten im Argument verursachte absolute und relative Fehler im Wert einer differenzierbaren Funktion. Ist die Funktion / in x differenzierbar, dann ist f{x + h) — f{x) = f'{x)h
+ a{x; h) ,
mit a{x; h) = o{h) fiir h ^ 0. Ist daher das Argument x mit einem absoluten Fehler h behaftet, dann kann bei der Berechnung des Wertes f{x) einer Funktion, der durch diesen Fehler im Argument verursachte absolute Fehler \f{x + h) — /(a;)| im Funktionswert fiir kleines h durch den Betrag des Differentials \df{x)h\ = \f'{x)h\ ersetzt werden. Der relative Fehler kann dann aus dem Verhaltnis ' \f(J)\' = \fZ)\ berechnet werden oder als Produkt I^Tzf) | \h\ des Betrags der logarithmischen Ableitung der Funktion mit dem Betrag des absoluten Fehlers im Argument. Nebenbei merken wir an, dass fiir f{x) = Ina; das Differential d l n x = ^ lautet, und dass folglich der absolute Fehler bei der Berechnung eines Logarithmus gleich dem relativen Fehler im Argument ist. Dieser Umstand kann wundervollerweise beim Rechenschieber (und bei jedem anderen Gerat mit nicht gleichformigen Skalen) verwendet werden. Zur Prazisierung wollen wir uns vorstellen, dass wir mit jedem Punkt der reellen Gerade, der rechts von Null hegt, seine Koordinate y verbinden und diese oberhalb des Punktes notieren. Unterhalb des Punktes schreiben wir die Zahl x = e^. Dann ist y = \nx. Dieselbe reelle Halbgerade haben wir auf diese Weise mit einer gleichformigen Skala y und einer nicht gleichformigen Skala x (logarithmisch) versehen. Um In x zu bestimmen, muss der Zeiger nur auf die Zahl x gesetzt
•
208
5 Differentialrechnung
und die zugehorige Zahl y oberhalb abgelesen werden. Die Genauigkeit bei der Platzierung des Zeigers auf einen bestimmten P u n k t ist von der Zahl x oder dem entsprechenden y unabhangig. Sie wird durch Ay (die Lange des Intervalls einer moglichen Verschiebung) auf der gleichformigen Skala gegeben. Wir erhalten daher ungefahr denselben absoluten Fehler bei der Bestinimung einer Zahl x wie fiir ihren Logarithmus y. Bei der Bestinimung einer Zahl aus ihrem Logarithmus werden wir iiberall auf der Zahlengeraden ungefahr denselben relativen Fehler erhalten. Beispiel 8. Wir woUen eine Funktion ^(a;)''^^-' differenzieren, wobei u{x) und v{x) differenzierbare Funktionen sind niit u{x) > 0. Wir schreiben ^(a;)''^^-' = QV{X)\I\U(X) yj^j verwenden KoroUar 5. Dann gilt: ^ Q"W^^-^W
ax
[y' (^x)\-D.u{x) +v{x)^^
=
\ u(x) I = u(x)''(=^) • v'{x) I n u ( x ) + v{x)u{xy^''^-^
• u'{x) .
5.2.3 Differentiation einer inversen Funktion S a t z 3 . (Die f~^ :Y ^ X ander inverse ist auch f~^
Ableitung einer inversen Funktion). Seien f : X ^ Y und in den Punkten XQ G X und / ( X Q ) = yo G Y stetige und zueinFunktionen. Ist f in XQ differenzierbar und ,f'{xo) ^ 0, dann im Punkt yo differenzierbar, mit
Beweis. Da die Funktionen f : X ^ Y und f~^ -.Y^X zueinander invers sind, sind f{x) - f{xo) und ,f~^{y) - f~^{yo), rnit y = f{x), fiir x ^^ XQ ungleich Null. AuBerdem folgern wir aus der Stetigkeit von / in XQ und f~^ in yo, dass {X ^ x ^ XQ) •ffibesitzen, die die zweite Ableitung der urspriingliclien Funktion / genannt wird und niit einem der folgenden Symbole bezeichnet wird: f"{x)
oder
dx'^
Wenn wir beini ersten Symbol die Differentiationsvariable explizit angeben wollen, dann sclireiben wir auch /"^.(a;). Definition. Durch Induktion konnen wir dann, wenn die n — 1-te Ableitung / ( " - I ) (a;) von / definiert ist, die Ableitung n-ter Ordnung durch folgende Formel definieren: /(»)(x) := (/("-i))'(x) . Die folgenden Schreibweisen sind fiir Ableitungen n-ter Ordnung iiblicli: /(")(.)
o d e r ^ .
Es ist auch iiblich, f^^\x) := f{x) zu schreiben. Die Menge der Funktionen / : i? —>• ffi, die einschlieBlich der n-ten Ordnung stetige Ableitungen besitzen, werden mit C'"' {E, K) bzw. den einfacheren Symbolen C"(£;,M), C^'^\E) oder C"(£;) bezeichnet, falls dadurch keine Unklarheiten aufkommen konnen. Insbesondere ist C^^\E) = C{E), da nach unserer Vereinbarung f^^\x) = Wir wollen nun einige Beispiele fiir die Berechnung von Ableitungen hoherer Ordnung betrachten.
5.2 Wichtige Ableitungsregeln
219
Beispiele
fix)
fix)
fix)
16)
a"
o^ Ino
o^ In^ a
a" In" a
17)
e"
e^
e"
e^
18)
sin a;
cos a;
— sin X
sin(a; + mr/2)
19)
cos a;
— sin a;
— cos X
cos(a; + n7r/2)
20)(l + a;)"
Q(l + a;)"-^
/("'(x)
a{a - l ) ( l + x ) " - ^ •
a(Q — 1) • • • (Q
21)
x"
ax"-^
22) log„ \x\ 23)
ln|a;|
X-'
• • a{a — 1) ••• ( a - n + l)x'
a(a-l)i"-"
(_1)"-1(„_1)!
^J-a;-^
In a
- n + l ) ( l + a;)"-"
„
In a
(-- l ) " - ' ( n - l ) ! a ; - "
(-l)x-^
Beispiel 24- Leibnizsche Formel. Seien ^(a;) und vix) Funktionen, die auf einer gemeinsamen Menge E Ableitungen einschlieBlich n-ter Ordnung besitzen. Die folgende Leibnizsche Formel gilt fiir die n-te Ableitung ilires Produkts: n
w("-™)f(") .
(MV)(») = J 2 ( n) m=0 ^
(5.44)
^
Die Leibnizsche Formel gleicht der Newtonschen binomischen Formel stark und tatsachlich sind die beiden direkt miteinander verbunden. Beweis. Fiir n = 1 stimmt (5.44) mit der bereits aufgestellten Regel fiir die Ableitung eines Produkts iiberein. Besitzen die Funktionen u und v Ableitungen einschlieBlich (n + 1)Ordnung, dann erhalten wir, wenn wir annehmen, dass Formel (5.44) fiir Ordnung n gilt, nach Ableitung der linken und der rechten Seiten: ^(n-m)^(m+l)
= u(n+%iO) +J2((l)
+ (k-l))
««"+''-''«• 0 (vgl. Beispiel 30 in Abschnitt 3.2), konnen wir zeigen, dass / ( " ) (0) = 0 fiir n = 0 , 1 , 2 , . . . . Daher sind fiir dieses Beispiel alle Gheder der Taylor-Reihe gleich 0 und daher ist ihre Summe ebenso gleich 0, wohingegen f{x) ^ 0 fiir a; ^ 0. Zuni Abschluss untersuchen wir eine lokale Version der Taylorschen Formel. Wir kehren wieder zu dem Problem zuriick, mit dessen Diskussion wir bereits in Absatz 5.1.3 begonnen haben, namlich ein Polynom zu finden, das einer Funktion j : E ^ M. lokal entspricht. Wir wollen das Polynom Pn{xo; x) = XQ + Ci{x — XQ) -|- • • • -|- C„{X — XQ)'^ SO wShlen, dass f{x)
= Pn{x) + o[{x — a;o)") fiir x -^ a;o, x G E
gilt, bzw. detaillierter: fix)
= Co + Ci{x - Xo) -\
\-Cn{x
- XQ)" + o{{x -
XQ)")
fiir X —>• Xo, X G E . (5.76)
236
5 Differentialrechnung
Wir fiihren nun ausdriicklich einen Satz an, der bereits vollstandig in seinen wichtigen P u n k t e n bewiesen wurde. S a t z 6. Existiert ein Polynom P„{xo; x) = CQ + ci{x — XQ) + • • • + c„(a; — X Q ) " , das die Bedingung (5.76) erfiiUt, dann ist dieses Polynom eindeutig. Beweis. In der Tat liefert uns (5.76) die KoefRzienten des Polynoms schrittweise vollstandig unzweideutig: Co
=
lims9x^xo /(a;) ,
ci
=
\imE3^^^o 4 r ^
C„
_ -
,. [imEBx^xo
fix)-[co-i
'
^c„-i{x-xo)" (x-xo)"
^\
[] •
Nun beweisen wir die lokale Version des Satzes von Taylor. S a t z 7. (Die lokale Taylorsche Formel) Sei E ein ahgeschlossenes Intervall mit XQ G W als Endpunkt. Besitzt die Funktion f : E ^ M. die Ahleitungen / ' ( x o ) , . . . , / ' " ' ( x o ) his einschliefilich n-ter Ordnung im Punkt XQ, dann gilt die folgende Darstellung: f(x)
= f(xo)
+
-,, 1!
[X - xo) -\
H
j (x - xo) + n! + o ( ( x — Xo)") fiir X -^ Xo, x G E . (5.77)
Somit wird das Problem einer lokalen Naherung einer differenzierbaren Funktion durch das Taylor-Polynom der geeigneten Ordnung gelost. Da das Taylor-Polynom P„{xo;x) mit der Anforderung konstruiert wird, dass seine Ableitungen bis einschlieBlich n-ter Ordnung mit den entsprechenden Ableitungen der Funktion / in xo iibereinstimmen muss, folgt, dass / W ( x o ) - P ^ ^ ' ( x o ; x o ) = 0 {k = 0 , 1 , . . . , n ) und die Giiltigkeit von (5.77) wird durch das folgende Lemma sicliergestellt. L e m m a 1. Besitzt eine Funktion ip : E ^ W, die auf einem abgeschlossenen Intervall E mit Endpunkt XQ definiert ist, Ableitungen bis einschliefilich nter Ordnung in XQ und ist (fixo) = '^'{XQ) = ••• = (y9(")(xo) = 0, dann gilt (p{x) = o((x — Xo)") fiir X -^ Xo, x G E. Beweis. Fiir n = 1 folgt die Behauptung aus der Definition der Differenzierbarkeit der Funktion ip in XQ, aufgrund derer gilt: (p{x) = (p{xo) + (p'{xo){x — Xo) -I- o{x — Xo) fiir x -^ XQ, X G E . Da (p{xo) = (p'{xo) = 0, erhalten wir (p{x) = o{x — Xo) fiir x ^ XQ, x G E .
5.3 Die zentralen Satze der DifFerentialrechnung
237
Angenommen, die Behauptung wurde fiir die Ordnung n = k — 1 > 1 bewiesen. Wir werden zeigen, dass sie dann auch fiir die Ordnung n = k > 2 gilt. Wir merken vorlaufig an, dass die Existenz von Lp^'''{xo), die sich aus ip'- '[xo) = {^^
') (xo) = ^ lim E3x^xo
X — Xo
ergibt, vermuten lasst, dass die Funktion ip^''~^^{x) auf E definiert ist, zumindest nahe dem Punkt XQ. Wenn wir das abgeschlossene Intervall E, falls notwendig, verkleinern, konnen wir beginnend bei (p{x), ip'(x),..., (p^ ' (x) mit k > 2 annehmen, dass diese Funktionen alle auf dem gesamten abgeschlossenen Intervall E mit Endpunkt XQ definiert sind. Da fc > 2, besitzt die Funktion (p{x) auf E eine Ableitung (p'{x) und laut Annahme ist
{^'y{xo) = --- = {v')^'-'H^o) = o. Dabei gilt laut Induktionsannahme, dass (p'{x) = o((a; — XQ)
) fiir x —>• XQ, X G E .
Dann erhalten wir mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass (p{x) = (f{x) - (f{xo) = (^'(0(a; - Xo) = a(0(C - a;o)**"^'(a; - XQ) ,
wobei ^ zwisclien XQ und x liegt, d.li. |^ — a;o| < |a; — xo| und a(^) —>• 0 fiir ^ ^ XQ, ^ G E. Dalier haben wir fiir x ^ XQ, x G E gleichzeitig ^ ^ XQ, ^ G E und a(^) -)• 0. Da \f{x)\
< \aiO\ \x - a;o|*"^|a; - xo\ ,
haben wir gezeigt, dass (p{x) = o(^{x — Xo) ) fiir x —>• XQ, X G E . Somit haben wir die Behauptung in Lemma 1 mit Hilfe mathematischer Induktion bewiesen. D Gleichung (5.77) wird als sogenannte lokale Taylorsche Formel bezeichnet, da die Form des Restglieds (das sogenannte Peano Restglied) r„(xo;x) = o((x-a;o)")
(5.78)
nur Schlussfolgerungen iiber die asymptotische Beziehung zwischen dem Taylor-Polynom und der Funktion fiir x ^ XQ, x G E erlaubt. Gleichung (5.77) ist daher bequem zur Berechnung von Grenzwerten und zur Beschreibung des asymptotischen Verhaltens einer Funktion fiir x ^ XQ, X G E geeignet. Sie kann jedoch nicht zur naherungsweisen Berechnung des
238
5 Differentialrechnung
Wertes der Funktion eingesetzt werden, bevor eine genaue Abschatzung der Grofie r„(a;o;a;) = o[{x — XQ)") verfiigbar ist. Wir wollen unsere Ergebnisse nun zusammenfassen. Wir haben das TaylorPolynoni Pn(xo;x)
= f(xo)
H
-;—(X - xo) -\ 1!
1
i—(a; - XQ) n!
definiert, die Taylorsche Forniel f{x)
= f{xo) H
-^(x-xo) 1!
H
\
-^{x n\
- Xo)" + Vnixo; x)
aufgestellt und sie in die folgende wichtige Gestalt iiberfiihrt. Besitzt f eine Ahleitung der Ordnung n+ 1 auf dem ojfenen Intervall den Endpunkten XQ und x, dann ist fix)
= fixo)
+ ^ ^ { x 1!
-xo)
+ --- + ^^-^{x n\
- xo)" +
+ ( ^i\, (^-^o)"+\ (n + I j ! wobei ^ ein Punkt zwischen XQ und x ist. Besitzt f Ableitungen bis einschliefilich dann gilt: fix)
= f(xo) + ^^(x-xo) 1!
mit
(5.79)
der Ordnung n > 1 im Punkt XQ,
+ --- + ^^^^(x-xo)" n\
+ o{{x-xo)")
. (5.80)
Gleichung (5.79), die Taylorsche Formel mit Restglied nach Lagrange genannt wird, ist ofFensichtlich eine Verallgenieinerung der Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion in einem P u n k t , auf die sie fiir n = 1 reduziert wird. Wir merken an, dass Gleichung (5.79) fast immer die stichhaltigere von beiden ist. Denn auf der einen Seite setzt sie uns, wie wir gesehen haben, in die Lage, den Absolutbetrag des Restgheds abzuschatzen. Auf der anderen Seite folgt aus ihr auch, wenn etwa /("+^'(a;) in einer Umgebung von XQ beschrankt ist, die asymptotische Formel fix)
= fixo)
+ ^ ^ { x 1!
-xo)
+ ---+
^ " ^^'^ (x - xo)" + Oiixnl
xo)"+i) .
(5.81) Daher enthalt fiir unendlich oft differenzierbare Funktionen, die in der klassischen Analysis die Mehrheit ausmachen, Gleichung (5.79) die lokale Formel (5.80). Insbesondere konnen wir auf der Basis von (5.81) und den gerade untersuchten Beispielen 3-10 die folgende Ubersicht asymptotischer Formeln fiir a; —>• 0 aufstellen:
5.3 Die zentralen Satze der DifFerentialrechnung e'' = 1 + —X + —x^ ^ 1! 2! cosa; = 1 - :ia;2 + i-x^ 2! 4!
h -7x" + Oix"^"^^) , n\ + fe^x^" + 0(a;2"+2) , (2n)!
cosh a; = 1 + —a;^ + —x^ H 2! 4!
h -TTT^.X^'^ + 0(x^"+^) , (2n)!
sinhx = X + —x^ + —x^ H
+ —
239
TTj^^"^^ + 0(x2"+^) ,
ln(l + x) = X - -x^ + -x^ + ^^ ^ x " + 0(x"+M , 2 3 n ,„ , cc a{a-\) 9 afcc - 1) • • • (cc - n + 1) „ (11 ++ x)" x)" == 11 ++ -TX —X ++ -—^-r: ^ - — - x^X^ ^ ++ hh-^^ -^^ rr -^ ^x" 1! 2! n 0(x"+i) Wir woUen nun einige weitere Beispiele fiir den Gebrauch der Taylorschen Forniel betrachten. Beispiel 11. Wir wollen ein Polynom finden, niit dem die Werte von sinx auf dem Intervall — 1 < x < 1 mit einem absoluten Fehler von hochstens 10~^ bestimnit werden konnen. Wir konnen fiir dieses Polynom ein Taylor-Polynom mit einem geeigneten Grad ansetzen, das wir aus der Entwicklung von sinx in einer Umgebung von xo = 0 erhalten. Da 1 1 sinX = X - - x ^ + -x^ 3!
+ ,„
5!
(—1)" I 1M^^"^^ + 0 • a;^""^^ + ^2n+2(0;x) ,
{in + Ij!
wobei wir fiir |x| < 1 das Restglied nach Lagrange ,
,
s i n ( ^ + f ( 2 n + 3)) „ ,„
durch
K+2(0;x)| 2. Somit besitzt die Naherung ° die geforderte Genauigkeit auf dem abgeschlossenen Intervall |x| < 1. Beispiel 12. Wir werden zeigen, dass tanx = x + |x^ + o(x^) fiir x ^ 0. Es gilt: tan' X = cos~^ x , tan" X = 2 cos~^ x sin x , tan'" X = 6 cos"'* x sin^ x + 2 cos~^ x
240
5 Differentialrechnung
Somit ist tan 0 = 0, tan' 0 = 1, tan" 0 = 0 und tan'" 0 = 2 und die gesuchte Beziehung folgt nun aus der lokalen Taylor-Reihe. oo
Beispiel 13. Sei a > 0. Wir woUen die Konvergenz der Reihe ^ In cos ^ n=l
untersuchen. Fiir a > 0 gilt ^ —>• 0 fiir n —>• oo. Wir woUen den Grad eines Glieds in der Reihe abschatzen: In cos — = In ( 1 - -7 • -T,
h o ( -^— ) ) = - - • -r,
h o ( -rr- ) •
Somit haben wir eine Reihe niit Ghedern niit konstanteni Vorzeichen, deoo
ren Glieder aquivalent sind zu denen der Reihe ^
2^5^- Da diese letztgenann-
n=l
te Reihe nur fiir cc > 5 konvergiert, wenn a > 0, konvergiert die urspriinghche Reihe nur fiir a> \ ('^gl- Aufgabe 15b) unten). Beispiel 14- Wir wollen zeigen, dass Incosa; = —^a;^ — j^x^ — j^x^ + 0{x^) fiir X ^ 0. Dieses Mai werden wir, anstatt sechs aufeinander folgende Ableitungen zu berechnen, die bereits bekannten Entwicklungen von cos a; fiir x ^ 0 und ln(l + u) fiir u ^ 0 benutzen: In cos a; = In fl V
= u-\u'
-x^ + —x* 2! 4!
TX^ + 0(x^)] = ln(l + u) = 6! \ /J \ J
+ 1^3 + 0(^4) = ( - la.2 + I x ^ - la.« + 0(x«)) -
- \ [w^' - 2 • i-'+^(-^)) 4 (- w^'+^^''^) = Beispiel 15. Wir suchen die Werte der ersten sechs Ableitungen der Funktion Incosa; in a; = 0. Es gilt (Incos)'x = \^™,^ und daher ist klar, dass die Funktion in 0 Ableitungen beliebiger Ordnung besitzt, da cosO 7^ 0. Wir werden nicht versuchen, fiir diese Ableitungen Funktionen zu formulieren, sondern stattdessen die Eindeutigkeit des Taylor-Polynoms ausnutzen sowie das Ergebnis aus dem vorigen Beispiel anwenden.
5.3 Die zentralen Satze der DifFerentialrechnung
241
1st f{x) = Co + cix + • • • + c„x" + o{x") fiir a; —>• 0 , dann gilt
Daher erhalten wir fiir diesen Fall: (Incos)(0) = 0,
(Incos)'(0) = 0,
(Incos)"(0) = - i • 2! ,
(In cos) (3) (0) = 0,
(In cos) (4) (o) = - -L . 41 ^
(In cos) ('5) (0) = 0,
(In cos) («) (0) = - ^ • 6! .
Beispiel 16. Sei f{x) eine im Punkt XQ beliebig oft differenzierbare Funktion. Wir nehmen weiter an, dass wir die Entwicklung fix)
= 4 + c'la; + • • • + c'^x"" + 0(x"+i)
ilirer Ableitung in einer Umgebung von Null kennen. Dann wissen wir aus der Eindeutigkeit der Taylor-Entwicklung, dass
(/')«(0) = fc!4 und somit /(*+^)(0) = fc!c^. Also ergibt sich fiir die Funktion f{x) selbst die folgende Entwicklung: I{^) = /(O) + ^ x + ^ x ^ + • • • + ( ; ^ a ; " + i + 0(x"+2) , die nacli einigen Vereinfachungen lautet: fix) = /(O) + ^ x + ^ x ^ + • • • + ^ i ^ a ; " + i + 0(x"+2) . 1 2 n +1 Beispiel 11. Wir wollen die Taylor-Entwicklung der Funktion /(x) = arctanx in 0 bestimmen. Da fix) = Y^ = (1 + x2)-i = 1 - x2 + x'' + (-l)"x2» + 0(x2»+2), erhalten wir laut den Uberlegungen in vorigem Beispiel, dass fix) = /(O) + i x - i x ^ + i x ^ - •. • + ^ ^ ' " + ^ + 0(x2"+^) , d.h. arctanx = x - -x^ + -x^ 3 5
+ ^^ ^ x 2 " + i + 0(x2"+3) 2n + 1
242
5 Differentialrechnung
Beispiel 18. Wir entwickeln auf ahnliche Weise die Funktion arcsin' x (1 — x^)~^''^ in einer Unigebung von Null und erhalten Scliritt fiir Scliritt: _i
_iC_i_i^
(1 _ ^ 2 ) - l / 2 ^ ^ ^ 1 2 ^ _ ] _ 4 ^ 4 ^ 2
22 - 2 ! "
1 3 1-3 arcsin X = x + -2— - 3- x + -r———-x 22-2!-5
l-3-^-(2n 2 " • n! 5 (2n
1)!!
(2n)!!(2n + l)
l)^2„^o(^2„+2^
2n+l
, n('^2n+3^
^
^
^
oder nach elenientaren Umforniungen: arcsin X = x + ^ x ^ + ^ x ^
+ • • • + K | L j W a ; 2 „ + i ^ o(3.2n+3) _
Hierbei bedeutet (2n - 1)!! := 1 • 3 • • • (2n - 1) und (2n)!! := 2 • 4 • • • (2n). Beispiel
19. Mit Hilfe der Beispiele 5, 12, 17 und 18 erhalten wir:
arctanx-sinx ,. [x - ^x^ + 0 ( x ^ ) ] - [x - 4 x ^ + 0 ( x ^ ) l lim ^ lim — — —^ x^o t a n x - arcsinx x^o [x + ^x^ + 0{x^)\ - [x + ^ x ^ + 0{x^)\
5.3.4 U b u n g e n u n d A u f g a b e n 1. Bestimmen Sie Zahlen a und 6 so, dass die Funktion f{x) = cos a; — -jiffs- von hoherer Ordnung infinitesimal ist als a; —>• 0. 2. Finden Sie lim x\^ -
(^X^•
3. Schreiben Sie ein Taylor-Polynom fiir e^ in Null, das es erlaubt, die Werte von e^ auf dem abgeschlossenen Intervall —1 < a: < 2 mit einer Genauigkeit von 10~^ zu bestimmen. 4. Sei / eine in 0 beliebig oft differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: a) Ist / gerade, dann enthalt die Taylor-Reihe in 0 nur gerade Potenzen von x. b) Ist / ungerade, dann enthalt die Taylor-Reihe im Punkt 0 nur ungerade Potenzen von X.
5.3 Die zentralen Satze der DifFerentialrechnung
243
5. Zeigen Sie, dass / = 0 auf [-1,1], falls / G C^°°\-l,l] und / 0 auf ]a, b[, wenn eine differenzierbare Funktion / auf ]a, b[ anwachst. Tatsachlich ist •> ^ '
h^o
h
Fiir /i > 0 ist f{x + h) - f{x) > 0. Und fiir / i < 0 gilt: f{x + h) - f{x) Daher ist der Bruch nach deni Limes-Zeichen positiv. Folgerichtig ist wie behauptet der Grenzwert ,f'{x) nicht negativ.
< 0. D
Anmerkung 1. Am Beispiel der Funktion f{x) = x^ wird deutlich, dass eine streng monoton anwachsende Funktion eine nicht negative Ableitung besitzt, aber nicht notwendigerweise eine, die immer positiv ist. In diesem Beispiel ist / ' ( 0 ) = 3 a ; 2 | „ = 0. Anmerkung 2. Im Ausdruck A ^ B ist A eine hinreichende Bedingung fiir B und B eine notwendige Bedingung fiir A, wie wir bereits an geeigneter Stelle betont haben. Daher konnen wir aus Satz 1 die folgenden Schlussfolgerungen Ziehen. Eine Funktion ist auf einem ojfenen Intervall genau dann konstant, wenn ihre Ableitung auf diesem Intervall gleich Null ist. Eine hinreichende Bedingung dafiir, dass eine auf einem ojfenen Intervall differenzierbare Funktion auf diesem Intervall absteigend ist, ist, dass ihre Ableitung in jedem Punkt des Intervalls negativ ist. Eine notwendige Bedingung dafiir, dass eine auf einem offenen Intervall differenzierbare Funktion auf diesem Intervall nicht anwachst, ist, dass ihre Ableitung in diesem Intervall nicht positiv ist. Beispiel 1. S e i / ( x ) = a;^ - 3 a ; - h 2 auf M. Dann ist f'{x) = 3 a ; 2 - 3 = 3(a;2 - 1). Da f'{x) < 0 fiir \x\ < 1 und f'{x) > 0 fiir |a;| > 1, konnen wir sagen, dass die Funktion auf dem offenen Intervall ] — oo, —1[ anwachst, auf ] — 1,1[ absteigt und wiederum auf ]1, -|-oo[ anwachst. 5.4.2 B e d i n g u n g e n fur e i n i n n e r e s E x t r e m u m e i n e r F u n k t i o n Mit dem Satz von Fermat (Satz 1 in 5.3) konnen wir den folgenden Satz aufsteUen. S a t z 2. (Notwendige Bedingungen fiir ein inneres E x t r e m u m ) . Eine der beiden folgenden Bedingungen muss notwendigerweise erfullt sein, damit ein Punkt XQ das Extremum einer auf einer Umgebung U{xo) dieses Punktes definierten Funktion f : U{xo) —>• M ist: Entweder ist die Funktion in XQ nicht differenzierbar oder es gilt f'{xo) = 0. Einfache Beispiele zeigen, dass diese notwendigen Bedingungen nicht hinreichend sind.
248
5 Differentialrechnung
Beispiel 2. Sei f{x) = x^. Dann ist /'(O) = 0, aber die Funktion besitzt in a;o = 0 kein Extremuni. iel 3. Sei C X fiir a; > 0 ,
fix) = { \^ 2x fiir a; < 0 . Diese Funktion hat in 0 einen Knick, aber offensichtlich weder eine Ableitung noch ein Extremuni in 0. Beispiel 4- Wir wollen das Maximum von f{x) = x'^ auf dem abgeschlossenen Intervall [—2,1] bestimmen. In diesem Fall ist offensichtlich, dass das Maximum im Endpunkt —2 angenommen wird, aber wir stellen hier einen systematischen Weg dafiir vor, das Maximum zu finden. Wir erhalten f'{x) = 2x und bestimmen als Nachstes alle Punkte auf dem offenen Intervall ] — 2,1[ in denen f'{x) = 0. In diesem Fall ist a; = 0 der einzige derartige Punkt. Das Maximum muss entweder einer der Punkte sein, fiir die f'{x) = 0 oder einer der Endpunkte, iiber die Satz 2 nichts aussagt. Daher miissen wir /(—2) = 4, /(O) = 0 und / ( I ) = 1 vergleichen, woraus wir folgern, dass der Maximalwert von f{x) = x"^ auf dem abgeschlossenen IntervaU [—2,1] gleich 4 ist und in —2, einem Endpunkt des Intervalls, angenommen wird. Mit den in Absatz 5.4.1 formulierten Zusammenhangen zwischen dem Vorzeichen einer Ableitung und der Monotonie der Funktion gelangen wir zu den folgenden hinreichenden Bedingungen fiir die Existenz oder die Abwesenheit eines lokalen Extremwertes in einem Punkt. Satz 3. (Hinreichende Bedingungen fiir ein Extremuni in Verbindung mit der ersten Ableitung). Sei f : U{xo) —>• M eine auf einer Umgebung des Punktes XQ definierte Funktion, die in diesem Punkt stetig ist und in einer punktierten Umgebung U{xo) dijferenzierbar ist. Sei (j {XQ) = {X £ U{XQ)\X < XQ} und U (xo) = {x G U{xo)\ X > xo}• Dann gelten die folgenden Schlussfolgerungen: a) (Vx e U~{xo) (fix)
< 0)) A (Vx e U^{xo) {f'{x) < 0)) ^ ^ (/ besitzt keinen Extremwert in XQ),
b) (Vx e U~{xo) (fix)
< 0)) A (Vx e il^ixo) (fix) > 0)) => ^ (XQ ist ein isoliertes lokales Minimum von f),
c) (Vx e
(fix)
> 0)) A (Vx e ;7+(xo) (fix) < 0)) => =^ (xo ist ein isoliertes lokales Maximum von f),
d) (Vx e U~{xo) (fix)
> 0)) A (Vx e tl^ixo) (fix) > 0)) => ^ (/ besitzt keinen Extremwert in XQ).
U~{XQ)
In Kurzform, aber weniger genau lasst sich sagen, dass ein Punkt ein Extremum ist, wenn die Ableitung beim Durchgang durch diesen Punkt das
5.4 DifFerentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen
249
Vorzeichen wechselt. Wechselt die Ableitung das Vorzeichen nicht, dann ist der P u n k t kein Extrenium. Wir merken sofort an, dass diese hinreichenden Bedingungen jedoch nicht notwendig fiir einen Extremwert sind, wie m a n am folgenden Beispiel erkennen kann. Beispiel
5. Sei
{
2x^ + x'^ sin i fiir a; 7^ 0 , 0
fiir a; = 0 .
Da x'^ < f{x) < 3a;^, ist klar, dass die Funktion ein isoliertes lokales Minim u m in xo = 0 besitzt. Aber die Ableitung f'{x) = 4a; + 2a; sin ^ — cos ^ hat in keiner punktierten einseitigen Umgebung dieses P u n k t e s ein einheitliches Vorzeichen. Dieses Beispiel verdeutlicht das Missverstandnis, das im Zusammenhang mit der eben formulierten abgekiirzten Aussage von Satz 3 auftreten kann. Wir wenden uns nun dem Beweis von Satz 3 zu. Beweis. a) Aus Satz 2 folgt, dass / auf JJ (XQ) streng absteigend ist. Da / in XQ stetig ist, gilt lim f{x) = f{xo) und folglich ist f{x) > / ( X Q ) U~ (a;o)9a:—>a:o
fiir X G tj (XQ). Mit denselben Uberlegungen erhalten wir / ( X Q ) > / ( x ) fiir X G U (XQ). Daher ist die Funktion in der gesamten Umgebung U{xo) streng absteigend und XQ ist ein E x t r e m u m . b) Wir folgern zunachst wie in a), dass / ( x ) > / ( X Q ) fiir x G JJ (XQ), da f{x) absteigend auf (j (XQ) und in XQ stetig ist. Wir folgern daraus, dass / auf (j (xo) ansteigt, dass / ( X Q ) < / ( x ) fiir x G (j (XQ). Somit besitzt / ein isoliertes lokales Minimum in XQ. Die Aussagen c) und d) werden ahnlich bewiesen. D S a t z 4 . (Hinreichende Bedingungen fiir ein E x t r e m u m in Abhangigkeit von Ableitungen hoherer Ordnung). Angenommen, eine Funktion f : U{XQ) -^ M, die auf einer Umgebung U{XQ) von XQ definiert ist, besitze Ableitungen hoherer Ordnung bis einschliefilich n (n >1) in XQ. Ist / ' ( x o ) = • • • = /'""^-'(xo) = 0 und f^ \XQ) ^ 0, dann gibt es keinen Extremwert in XQ, falls n ungerade ist. Ist n gerade, dann ist der Punkt XQ ein lokales Extremum und zwar ein isoliertes lokales Minimum, falls / ' " ' ( X Q ) > 0 und ein isoliertes lokales Maximum fiir f^^'{xo) < 0. Beweis.
Mit Hilfe der Taylorschen Formel fix)
- / ( x o ) = /(")(a;o)(x - x o ) " + a ( x ) ( x - XQ)" ,
(5.82)
wobei a ( x ) —>• 0 fiir x ^ xo, werden wir wie im Beweis des Satzes von Fermat argumentieren. Wir schreiben (5.82) neu: fix)
- / ( x o ) = (/(") (xo) + a ( x ) ) (x - x o ) " .
(5.83)
250
5 Differentialrechnung
Da /(")(a;o) 7^ 0 und a{x) -^ 0 fiir X ^ xo, besitzt die Summe / ( " ) ( x o ) + a{x) dasselbe Vorzeichen wie /'^"-'(XQ), wenn x geniigend nahe bei XQ ist. 1st n ungerade, dann wechselt der Faktor (x — XQ)" das Vorzeichen, wenn x durch XQ lauft und dadurch andert sich auch das Vorzeichen auf der rechten Seite von (5.83). Als Folge davon andert sich auch das Vorzeichen auf der Unken Seite, weswegen fiir n = 2k + 1 kein E x t r e m u m vorliegt. Ist n gerade, dann ist (x — XQ)" > 0 fiir x j^ XQ und daher ist in einer kleinen Umgebung von XQ das Vorzeichen der Differenz f{x) — f{xo) gleich dem Vorzeichen von /'^"-'(XQ), wie aus (5.83) offensichthch ist. D Wir wollen nun einige Beispiele betrachten. Beispiel 6. Das Brechungsgesetz der geometrischen Optik (SnelUussches Brechungsgesetz^^). Nach dem Fermatschen Prinzip legt ein Lichtstrahl den Weg zwischen zwei P u n k t e n in moglichst kurzer Zeit zuriick. Aus dem Fermatschen Prinzip und der Tatsache, dass der kiirzeste Weg zwischen zwei P u n k t e n eine Gerade mit den P u n k t e n als E n d p u n k t e n ist, folgt, dass sich in einem homogenen und isotropen Medium (das in jedem P u n k t und in jede Richtung identische Struktur besitzt) Licht in geraden Strahlen ausbreitet. Wir betrachten nun zwei Medien und nehmen an, dass sich das Licht von P u n k t Ai zum P u n k t A^ bewegt (vgl. Abb. 5.10).
Abb.
5.10.
Sind ci und C2 die Lichtgeschwindigkeiten in diesen Medien, dann betragt die Zeit fiir den Weg von Ai zu A^:
1
1
t{x) = —J hi + a;2 H
J h'^ + (a -
xY.
Nun suchen wir den Extremwert der Funktion t{x) durch die Ableitung
t'{x)
1
X
c\ ^/hf + x?
1
a—X
C2 ^ / i | + (a -
xY
0
W. Snell (1580-1626) - niederlandischer Astronom und Mathematiker.
5.4 DifFerentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen
251
die uns in Ubereinstimmung mit der Schreibweise der Abbildung cj~ sin ai = C2 sin 0:2 liefert. Aus physikalischen Betrachtungen oder direkt aus der Form der Funktion t{x), die fiir a; —>• 00 ohne Grenzen anwachst, wird klar, dass der P u n k t mit t'{x) = 0 ein absolutes Minimum der stetigen Funktion t{x) ist. Somit folgt aus dem Fermatschen Prinzip das Brechungsgesetz 212.21 = £x_ Beispiel
7. Wir werden zeigen, dass fiir a; > 0 gilt: x " - aa; + a - 1 < 0 , fiir 0 < a < 1 ,
(5.84)
x"—
(5.85)
ax + a — 1>0,
fiir a < 0 oder 1 < a .
Beweis. Differenzieren der Funktion f{x) = x" — ax + a — 1 liefert /'(a;) = a{x"~^ — 1) und f'{x) = 0 fiir x = 1. Bei der Bewegung durcli den P u n k t 1 gelit die Ableitung fiir 0 < cc < 1 von positiven zu negativen Werten iiber und fiir a < 0 oder a > 1 von negativen zu positiven Werten. Im ersten Fall ist der P u n k t 1 ein isoliertes Maximum und im zweiten ein isoliertes Minimum (und, wie aus der Monotonie von / auf den Intervallen 0 < a; < 1 und 1 < x folgt, niclit einfacli nur ein lokales Minimum). Aber / ( I ) = 0, wodurcli wir die beiden Ungleicliungen (5.84) und (5.85) gezeigt liaben. Dabei liaben wir sogar gezeigt, dass beide Ungleicliungen fiir a; 7^ 1 streng gelten. D Wir merken an, dass (5.84) und (5.85) Erweiterungen der BernouUischen Ungleichung (vgl. Abschnitt 2.2 und Aufgabe 2 unten) sind, die wir bereits fiir natiirliche Exponenten a kennen, wenn wir x durch 1 + a; ersetzen. Durch elementare algebraische Umformungen konnen wir eine Reihe klassischer Ungleichungen, die fiir die Analysis sehr wichtig sind, aus den eben bewiesenen Ungleichungen erhalten. Wir werden nun diese Ungleichungen herleiten. a. Youngsche^^ U n g l e i c h u n g e n . Sei a > 0 und b > 0 und fiir p und q gelte, dass p ^ 0,1, g 7^ 0 , 1 und ^ + ^ = 1. Dann gelten
Die Gleichheit
a^/pfji/v
a^/pfji/v>}.a+-b, p
fiirp 0, t/i > 0, i = 1,... ,n und - + - = 1. Dann qilt: p
q
"
E^^2^^l
(5.88)
und n
1 /
n
J2^^yi>{J2^') i=l
^
1 /
\J2yi)
i=l
'fiirp 0 (i = 1,... ,n). In (5.88) und (5.89) ist nur dann Gleichheit moglich, wenn die Vektoren (x^,..., x'f^) und (yf,..., y^) zueinander proportional sind. n
Beweis.
W i r wollen die Ungleichung (5.88) beweisen. Seien X = X] a;f > 0 i=l
und Y = '^ yf > 0- Wenn wir in (5.86) a = ^
u n d b = jr setzen, erhalten
i=l
wir X i / p y i / 9 - pX
qY
Wenn wir diese Ungleichungen iiber i von 1 bis n sunimieren, erhalten wir n
X'=^ i/pyi/9 < 1 , was zu (5.88) aquivalent ist. Ungleichung (5.89) erhalten wir auf ahnliche Weise aus (5.87). D a Gleichheit in (5.86) u n d (5.87) nur dann gilt, wenn a = b, folgern wir, dass Gleichheit in (5.88) und (5.89) nur dann gilt, wenn die Proportionalitaten x^ = Xyf oder y1 = Axf gelten. D c. Minkowskische^^ U n g l e i c h u n g e n . Seien Xi > 0, yi > 0, i = l , . . . , n . Dann gilt
{Y.(^^+yir)
i
(5-90)
/«^^^ P ( E ^f)
1/
n
+ ( E 2^f)
-, /
^® O. Holder (1859-1937) - deutsdier Mathematiker. ^^ H. Minkowski (1864-1909) - deutscher Mathematiker, dessen vierdimensionaler Raum die spezielle Relativitatstheorie substanziell erweiterte (ein pseudoeuklidischer Raum mit einer anderen Metrik).
5.4 DifFerentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen
253
Beweis. Wir wenden die Holdersche Ungleichung auf die Ausdriicke auf der rechten Seite der Gleichungen n
n
n
J2{xi + ViY = Y^ Xiixi + yi)P-^ + J2 Vii^i + ViY'^ i=l
i=l
i=l
an. Dann ist nach (5.88) und (5.89) die linke Seite von oben (fiir p > 1) bzw. von unten (fiir p < 1) durch folgenden Ausdruck beschrankt:
: E • 0 fiir sina; < 0. Daher sind die Punkte, in denen cosa; = 0 und sina; > 0 lokale Maxima, und die mit cosa; = 0 und sina; < 0 lokale Minima von sina; (was natiirlich seit langem bekannt ist). 5.4.3 Bedingungen fur die Konvexitat einer Funktion Definition 1. Eine auf einem offenen Intervall ]a, 6[c M definierte Funktion / :]a, 6[—>• M ist konvex, wenn die Ungleichung /(ccixi + a^x^) < aif{xi)
+ a2f{x2)
(5.92)
fiir alle Punkte xi, X2 G]a, b[ und alle Zahlen ai > 0, a2 > 0 mit cci + 0:2 = 1 gilt. Ist diese Ungleichung fiir xi ^ X2 und aia2 7^ 0 streng erfiillt, dann ist die Funktion auf ]a, b[ streng konvex. Geometrisch interpretiert, bedeutet die Konvexitatsbedingung (5.92) fiir eine Funktion / :]a, 6[—>• K, dass die Punkte jedes Bogens des Graphen der
254
5 Differentialrechnung (X2,f(x2)).
{aixi + a2X2,aif{xi)
+ a2f{x2))
(x-i,f(x-i))
xi
X = a\X\
+ a2X2
X2
Abb. 5.11. Funktion unterhalb der Sehne zur gegeniiberliegenden Seite des Bogens liegen (vgl. Abb. 5.11). Tatsachlich enthalt die linke Seite von (5.92) den Wert / ( x ) der Funktion im P u n k t x = a\X\ +a2X2 G [a;i,2:2], und die rechte Seite enthalt den Wert in demselben P u n k t einer linearen Funktion, dessen (geradliniger) Graph durch die P u n k t e (a;i,/(a;i)) und {x2,,f{x2)) verlauft. Die Ungleichung (5.92) besagt, dass die Menge E = {{x,y) £M^\x £]a, b[ , f{x) < y} der P u n k t e der Ebene, die oberhalb des Graphen der Funktion hegen, konvex ist. Daher kommt der Ausdruck „konvex", der fiir die Funktion selbst iibernommen wird. D e f i n i t i o n 2. Gih die umgekehrte Ungleichung fiir die Funktion / :]a, 6[—>• ffi, dann wird die Funktion auf dem Intervall ]a, b[ als konkav bezeichnet oder auch als abwarts gekriimmt auf dem Intervall, im Unterschied zu einer konvexen Funktion, die aufwdrts gekriimmt auf ]a, b[ genannt wird. Da alle unsere folgenden Konstruktionen fiir eine konkave Funktion genau gleich wie fiir eine konvexe durchgefiihrt werden, werden wir uns auf Funktionen beschranken, die konvex sind. Wir geben zunachst der Ungleichung (5.92) eine neue Gestalt, die fiir unser Vorhaben besser geeignet ist. In den Gleichungen x = a\X\ + a2X2 und a i + 0:2 = 1 gilt: a\
und X2 — Xi
a2 X2 — Xi
SO dass (5.92) in der Form
X2 — Xi
X2 — Xi
geschrieben werden kann. Wenn wir die Ungleichungen a;i < a; < a;2 und xi < X2 beriicksichtigen, konnen wir mit X2 — xi multiplizieren und erhalten {X2 - X)f{xi)
+ (xi - X2)f{x)
+ {X - Xi)f{x2)
> 0
5.4 DifFerentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen
255
Wenn wir nun noch bedenken, dass a;2 — a;i = {x2 — x) + (x — xi), dann erhalten wir aus der letzten Ungleichung nach einfachen Umformungen: f{x) - fjXi)
^ f{x2) -
fix)
fiir a;i < a; < a;2 und jedes xi, X2 e]a, b[. Ungleichung (5.93) ist eine andere Art, die Definition fiir die Konvexitat der Funktion f{x) auf einem offenen Intervall ]a, h[ zu schreiben. Geometrisch interpretiert bedeutet (5.93) (vgl. Abb. 5.11), dass die Steigung der Sehne /, die (xi, f{xi)) mit (a;, f{x)) verbindet, nicht groBer ist (und bei strenger Konvexitat kleiner ist) als die Steigung der Sehne II, die [x, f{x)) mit (a;2, fix'i)) verbindet. Wir woUen nun annehmen, dass die Funktion / :]a, 6[—>• M auf ]a, h[ diflerenzierbar ist. Wenn wir nun x in (5.93) zunachst gegen xi und dann gegen X2 streben lassen, erhalten wir die Ungleichung
/'(.,) < / M - ^ < /'(.,), X2 — Xi
die aussagt, dass die Ableitung von / monoton ist. Wenn wir dies fiir eine streng konvexe Funktion betrachten, erhalten wir mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass ft ^ / f'u ^ / W - fi^i) / 1(^2) - fix) ,, ^ , w. X / [xi) < f (Ci) = < = / ( 6 ) < / (a;2) fiir xi < £,1 < X < ^2 < X2, d.h., aus strenger Konvexitat folgt, dass die Ableitung streng monoton ist. Ist daher eine differenzierbare Funktion / auf einem offenen Intervall ]a, b[ konvex, dann ist / ' nicht absteigend auf ]a, b[. Ist aufierdem / streng konvex, dann ist die Ableitung / ' auf ]a, b[ anwachsend. Diese Bedingungen stellen sich nicht nur als notwendig, sondern auch als hinreichend fiir die Konvexitat einer differenzierbaren Funktion heraus. Tatsachlich ist nach dem Mittelwertsatz fiir a<xi<x<X2 0 auf]a,b[ ist hinreichend dafiir, dass f streng konvex ist. Wir konnen nun beispielsweise erklaren, warum die Graphen der einfachsten Elementarfunktionen mit der einen oder der anderen Art von Konvexitat gezeichnet werden. Beispiel 9. Wir wollen die Konvexitat von f{x) = x" auf der Menge x > 0 untersuchen. Da f"{x) = a{a — l)x"~'^, gilt f"{x) > 0 fiir a < 0 und cc > 1, d.h., fiir diese Exponenten a ist die Potenzfunktion x" streng konvex. Fiir 0 < a < 1 erhalten wir f"{x) < 0, so dass fiir diesen Exponenten die Funktion streng konkav ist. Die Falle a = 0 und a = 1 sind trivial: a;° = 1 und x^ = x. In beiden Fallen ist der Graph der Funktion eine Gerade (vgl. Abb. 5.18 auf S. 264). Beispiel 10. Sei f{x) = a*, 0 < a, a 7^ 1. Da f"{x) = a^ logj a > 0, ist die Exponentialfunktion a* fiir jeden zulassigen Wert der Basis a streng konvex auf K (vgl. Abb. 5.12).
Abb. 5.13.
Beispiel 11. Fiir die Funktion f{x) = log^j a; erhalten wir f"{x) = — s i ^ i so dass diese Funktion fiir 0 < a < 1 streng konvex ist und streng konkav fiir 1 < a (vgl. Abb. 5.13). Beispiel 12. Wir wollen die Konvexitat von f{x) = sin a; (vgl. Abb. 5.14) untersuchen. Da/"(a;) = —sin a;, erhalten wir auf den Intervallen TT • 2fc <x < 7r(2fc-|-l), dass f"{x) < 0, und auf den Intervallen 7r(2fc —1) < x < 7r-2fc, dass f"{x) > 0, fiir fc e Z. Daraus folgt beispielsweise, dass der Bogen des Graphen von sin a;
5.4 DifFerentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen
257
auf dem abgeschlossenen Intervall 0 < a; < |- auBer in den E n d p u n k t e n oberhalb der Sehne zwischen den E n d p u n k t e n liegt. Daher ist sin a; > -x fiir
0 < a ; < f.
y = cos X
y = sm X
A b b . 5.14. Wir woUen nun noch eine andere Charakteristik einer konvexen Funktion herausstellen, die zu der Aussage geometrisch aquivalent ist, dass ein konvexer Bereich in der Ebene vollstandig auf einer Seite einer Tangente an ihre Grenzlinie liegt. S a t z 6. Eine auf dem offenen Intervall ]a, b[ definierte und dijferenzierbare Funktion f :]a,b[-^ M. ist genau dann konvex auf]a,b[, wenn ihr Graph keine Punkte unterhalb jeder ihrer Tangenten besitzt. In diesem Fall ist es eine notwendige und hinreichende Bedingung fiir strenge Konvexitdt, dass alle Punkte des Graphen aufier den Beriihrpunkten streng oberhalb der Tangenten Beweis. N o t w e n d i g . Sei XQ G]a,b[. Die Gleichung der Tangente an den Graphen in (a;o,/(a;o)) lautet y = f{xo) +
f'ixo){x-xo)
so dass f{x)
-y{x)
= f{x)
- f{xo) - f'{xo){x-xo)
= ( / ' ( O - f'ixo)){x
- XQ) ,
wobei ^ ein P u n k t zwischen x und XQ ist. Da / konvex ist, ist die Funktion f'{x) nicht absteigend auf ]a,b[ und daher ist das Vorzeichen der Differenz / ( ^ ) — f'(xo) gleich dem Vorzeichen der Differenz x — XQ- Daher ist f{x) — y{x) > 0 in jedem P u n k t x G]a, b[. Ist / streng konvex, dann ist / ' auf ]a, b[ streng anwachsend und daher f{x) — y{x) > 0 fiir x G]a, b[ und x ^ a;o. H i n r e i c h e n d . Gilt die Ungleichung fix)
- y{x) = fix)
- fixo)
in alien P u n k t e n x,xo G]a,b[, dann ist
- f'ixo){x
- a;o) > 0
(5.94)
258
5 Differentialrechnung f{x) - fjxo)
, < / (a^o) lur X < xo ,
X — XQ
f{x) - f{xo) X — Xo
,, . > / (a^o) lur Xo < X .
Daher gilt fiir je drei Punkte xi, x, X2 e]a, b[ mit xi < a; < a;2 , dass f{x) - fjXi)
^ f{x2)
-fix)
Aus der strengen Ungleichheit in (5.94) folgt strenge Ungleichheit in dieser letzten Relation, die, wie wir erkennen konnen, mit der Definition (5.93) der Konvexitat einer Funktion iibereinstimmt. D Wir woUen nun einige Beispiele betrachten. Beispiel 13. Die Funktion f{x) = (f ist streng konvex. Die Gerade y = x + 1 ist in (0,1) Tangente an den Graphen dieser Funktion, da /(O) = e° = 1 und /'(O) = e^|^_g = 1. Laut Satz 6 folgern wir, dass fiir jedes a; £ M e"^ > 1 + a; gilt und dass diese Ungleichung fiir a; 7^ 0 sogar streng gilt. Beispiel 14- Wenn wir die strenge Konkavitat von In a; bedenken, konnen wir ahnlicli nacliweisen, dass die Ungleichung In a; < a; — 1 fiir a; > 0 gilt und dass fiir a; ^ 1 diese Ungleichung sogar streng gilt. Bei der Konstruktion von Graphen von Funktionen ist es niitzlich, die Wendepunkte eines Graphen bestimmen zu konnen. Definition 3. Sei / : U(xo) —^ K eine Funktion, die auf einer Umgebung U{xo) von Xo £ ffi definiert und differenzierbar ist. Ist die Funktion auf U (xo) = {x G U{xo)\x < XQ} konvex (bzw. konkav) und konkav (bzw. konvex) auf jj (xo) = {x G U{xo)\x > xo}, dann wird (a;o,/(a;o)) ein Wendepunkt des Graphen genannt. Daher andert sich die Kriimmungsrichtung des Graphen in einem Wendepunkt. Dies bedeutet insbesondere, dass der Graph der Funktion im Punkt [xo, f{xo)) von einer Seite der Tangente auf die andere wechselt. Wir konnen mutmafien, welches analytische Kriterium fiir die Abszisse XQ eines Wendepunkts gilt, wenn wir Satz 5 mit Satz 3 vergleichen. Um genauer zu sein, so lasst sich sagen, dass fiir eine in XQ zweimal differenzierbare Funktion / , da f'{x) in XQ entweder ein Maximum oder ein Minimum haben muss, f"{xo) = 0 gelten muss.
5.4 DifFerentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen
259
1st nun die zweite Ableitung f"{x) auf U{XQ) definiert und besitzt sie iiberall auf JJ {XQ) dasselbe Vorzeichen und iiberall auf fj {XQ) das entgegengesetzte Vorzeichen, dann sind die hinreichenden Bedingungen erfiillt, damit f'{x) sowohl auf U {XQ) als auch auf fj {XQ) monoton ist, jedoch mit unterschiedlicher Art der Monotonie. Laut Satz 5 erfolgt der Wechsel der Kurvenkriimmung in ( X Q , / ( X Q ) ) , und folglich ist dieser P u n k t ein Wendepunkt. Beispiel 15. Bei der Betrachtung der Funktion f{x) = sin a; in Beispiel 12 haben wir die Bereiche bestinimt, in denen der Graph der Funktion konvex oder konkav ist. Wir woUen nun zeigen, dass die P u n k t e des Graphen mit den Abszissen x = Trfc, fc € Z Wendepunkte sind. Tatsachlich gilt f"{x) = — sina;, so dass f"{x) = 0 in a; = Trfc, fc € Z . Aui3erdem andert f"{x) das Vorzeichen in diesen P u n k t e n , wodurch eine hinreichende Bedingung erfiillt ist, damit diese P u n k t e Wendepunkte sind (vgl. Abb. 5.14 auf S. 257). Beispiel 16. Man soUte nicht meinen, dass es eine hinreichende Bedingung fiir einen Wendepunkt ist, wenn eine Kurve von einer Seite der Tangente auf die andere Seite der Tangente wechselt. Es kann schliefilich sein, dass die Kurve keinerlei einheitliche Kriimmung in der links- oder rechtsseitigen Umgebung des P u n k t e s besitzt. Ein Beispiel dafiir ist einfach konstruierbar, indem wir Beispiel 5, das aus diesem Zweck angefiihrt wurde, verandern. Sei
{
2a;^ + x^ sin -^ fm x ^ 0 , 0
fiir a; = 0 .
Dann ist x"^ < f{x) < 3a;^ fiir 0 < a; und 3a;^ < f{x) < x^ fiir a; < 0, so dass die a;-Achse in a; = 0 Tangente an den Graphen dieser Funktion ist. Die Funktion wechselt in diesem P u n k t von der unteren Halbebene in die obere Halbebene. Gleichzeitig ist die Ableitung von f{x) 6x'^ + 3a;^ sin J,- — 2 cos -^ fiir a; 7^ 0 0
fiir a; = 0
in keiner einseitigen Umgebung von a; = 0 monoton. Zum Abschluss kehren wir zur Definition einer konvexen Funktion (5.92) zuriick und zeigen den folgenden Satz. S a t z 7. (Jensen-Ungleichung^'^). Sei f :]a,b[-^ M. eine konvexe Funktion, seiPunkte in ]a, b[ und « ! , . . . , « „ nicht negative Zahlen, so dass Q : I - I - - - - - I - cin = 1- Dann
fiaixi
H
ist
h anXn) < aif{xi)
H
J. L. Jensen (1859-1925) - danischer Mathematiker.
h a„f{x„)
.
(5.95)
260
5 Differentialrechnung
Beweis. Fiir n = 2 stimnit (5.95) mit der Definition (5.92) einer konvexen Funktion iiberein. Wir werden nun zeigen, dass die Ungleichung (5.95) auch fiir n = m giiltig ist, wenn sie fiir n = m — 1 gilt. Der Klarlreit halber nehmen wir an, dass a„ ^ 0. Dann ist P = a2 + • • • + a„ > 0 und ^ + ••• + %- = 1. Aufgrund der Konvexitat der Funktion gilt f{aixi
H
h anXn) = f f aixi + pl-^x^ < aifixi)
H
h -^Xn)
]
1. Fiir p < 1 ist die Funktion f{x) = x^ konkav und daher konnen fiir die zweite Holdersche Ungleichung (5.89) ahnhche Uberlegungen angestellt werden. 5.4.4 D i e R e g e l v o n L ' H o p i t a l Wir halten kurz inne, um eine spezielle, aber sehr niitzliche Regel zur Bestimmung des Grenzwertes eines Bruchs von Funktionen vorzustellen, die als Regel von I'HopitaP^ bekannt ist. S a t z 8. (Regel von I'Hopital). Angenommen, die Funktionen f :]a,b[-^ M. und g :]a, b[-^ M. seien auf dem ojfenen Intervall ]a, b[ (—oo < a < b < +oo) differenzierbar mit g'{x) ^ 0 auf]a,b[ und
fix) - ^ g'ix)
^ Afurx
^ a+ Q
{-oo< A+oo a*
=
lini
lim
=
x->+oo ax"
ax —
x^+coa-^lna
= •-• =
^
lim a:-> + oo
lini
x->+oo
= 0 fiir cc > 0 . ax"
a(a — 1) • • • (a — n + l)x
= 0
a* (In a ) "
fiir a > 1, da es fiir n > cc und a > 1 offensichtlich ist, dass ^^-^
> 0, falls
X —>• + 0 O .
Wir merken an, dass diese Kette von Gleicliungen rein hypotlietiscli ist, bevor wir nicht an einen Ausdruck gelangen, dessen Grenzwert wir bestimmen konnen. 5.4.5 D a s K o n s t r u i e r e n v o n G r a p h e n v o n F u n k t i o n e n Eine graphisclie Darstellung wird oft fiir eine visuelle Besclireibung einer Funktion benutzt. In der Regel ist eine derartige Darstellung bei der Diskussion qualitativer Fragen zur betracliteten Funktion hilfreicli. Fiir genaue Bereclinungen werden Graphen elier selten eingesetzt. In diesem Zusammenhang ist nicht so sehr eine gewissenhafte Reproduktion der Funktion in ihrem Graphen wichtig, sondern die Konstruktion einer Skizze des Graphen der Funktion, die die wichtigen Elemente ihres Verhaltens wiedergibt. In diesem Absatz werden wir allgemeine Methoden vorstellen, die bei der Konstruktion einer Skizze des Graphen einer Funktion eingesetzt werden. a. G r a p h e n d e r E l e m e n t a r f u n k t i o n e n Wir wiederholen zunachst, wie die Graphen der wichtigsten Elementarfunktionen aussehen. Dies sollte fiir das Weitere voUstandig beherrscht werden (Abb. 5.12-5.18). b. Beispiele von Skizzen von Graphen von Funktionen (ohne E i n s a t z d e r DifFerentialrechnung) Wir woUen jetzt einige Beispiele betrachten, in denen eine Skizze des Graphen einer Funktion einfach konstruiert werden kann, wenn wir die Graphen und Eigenschaften der einfachsten Elementarfunktionen kennen.
264
5 Differentialrechnung y
Abb. 5.18. Beispiel 23. Wir woUen den Graphen der Funktion h = log^
-3x+2 2
skizzieren. Wenn wir die Gleichung y = logx 2-3a:+2 •
1 log2(a;2-3a; + 2)
1 log2(a; - l)(x - 2)
beriicksichtigen, konnen wir nach und nach den Graphen des quadratischen Trinoms wi = a;^ — 3a; + 2, daraus y^ = log., yi{x) und schliei31ich y = —j-ry 2 \J^)
konstruieren (Abb. 5.19). Wir batten den Graphen dieser Funktion auch auf eine andere Art „erraten" konnen: Indem wir zunachst den Definitionsbereich der Funktion log^2_3j,^2 2 = (log2(a;2 — 3a; + 2)) bestimmen und das Verhahen der Funktion bei der Annaherung an Randpunkte des Definitionsbereichs und auf IntervaUen, dessen Endpunkte die Randpunkte des Definitionsbereichs sind, untersuchen. SchlieBhch zeichnen wir „glatte Kurven" unter Beriicksichtung des so bestimmten Verhahens in den Endpunkten der IntervaUe ein. 4- Die Konstruktion einer Skizze des Graphen der Funktion y = sin(a;^) ist in Abb. 5.20 dargesteUt.
5.4 DifFerentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen
265
Wir haben diesen Graphen niit Hilfe bestinimter fiir diese Funktion charakteristischer P u n k t e , nanilich den P u n k t e n , in denen sin(a;^) = —1, sin(a;^) = 0 und sin(a;^) = 1, konstruiert. Zwischen zwei benachbarten P u n k t e n ist die Funktion monoton. Der Verlauf des Graphen nahe deni P u n k t x = 0, y = 0 wird dadurch bestimmt, dass sin(a;^) ~ x"^ fiir a; —>• 0. Es ist auBerdem hilfreich, dass diese Funktion gerade ist. Da wir nur von Skizzen anstelle von genauen Konstruktionen des Graphen einer Funktion reden, wohen wir der Einfachheit halber vereinbaren, unter „der Konstruktion des Graphen einer Funktion" „die Konstruktion einer Skizze des Graphen der Funktion" zu verstehen. Beispiel 25. Wir woUen den Graphen der Funktion y = X + arctan(a;^ — 1) (Abb. 5.21) konstruieren. Fiir x -^ —oo wird der Graph durch die Gerade y = X — ^ gut approximiert, wohingegen sie fiir a; ^ -l-oo durch y = x + ^ angenahert wird. Wir woUen nun ein hilfreiches Konzept einfiihren. D e f i n i t i o n 4. Die Gerade CQ + CIX wird Asymptote des Graphen der Funktion y = f{x) fiir x -^ —oo (oder x —>• -l-oo) genannt, wenn f{x) — (CQ + CIX) = o(l) fiir X -^ —00 (oder x —>• -l-oo).
yi = X — 3a; + 2
3/2
=log2yi{x)
y2[x) A b b . 5.19.
A b b . 5.20.
266
5 Differentialrechnung
y = ysix) + yz(x) Abb. 5.21. Folglich besitzt im gegenwartigen Beispiel der Graph die beiden Asymptoten y = X — ^ fiir a; —>• — oo und y = x -\- ^ fiir x -^ +oo. Gilt \f{x)\ -^ oo fiir x ^ a — 0 (oder fiir a; —>• a + 0), dann ist klar, dass der Graph der Funktion sich immer mehr an die vertikale Gerade x = a annahert, wenn x gegen a strebt. Wir nennen diese Gerade eine vertikale Asymptote des Graphen, im Gegensatz zu den in Definition 4 eingefiihrten Asymptoten, die stets schief verlaufen. Folghch besitzt der Graph in Beispiel 23 zwei vertikale Asymptoten und eine horizontale Asymptote (vgl. Abb. 5.19) (dieselbe Asymptote fiir x -^ —oo und fiir x -^ +oo). Aus Definition 4 folgt offensichtlich, dass Cl
lim a:->-oo
Co =
lim
fi^) X
{f{x) — cix)
5.4 DifFerentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen 1st f{x) — (co + cix + • • • + c„x") Allgemeinen: •>—00
/(=s) a;"
.
fix)
im C„-l
Co
=
lim
-Cn 1-1
267
= 0(1) fiir x -^ —00, dann ist im
x'^
(f{x)-{cix-\
|-c„a;")) .
a;—)- — 0 0
Diese hier fiir den Fall a; —>• — CXD formulierten Gleicliungen sind natiirlich aucli fiir den Fall x -^ +00 giiltig. Sie konnen benutzt warden, um das asymptotisclie Verhalten des Graphen einer Funktion f{x) mit Hilfe des Graplien des zugehorigen algebraischen Polynoms ci + cix + • • • + c„x" zu besclireiben. Beispiel 26. Seien (p, (f) Polarkoordinaten in der Ebene. Angenomnien, ein P u n k t bewege sich in der Ebene so, dass P — P(*) = 1 ~ 6~* cos —t und Lp = Lp(t) = 1 — e
sm—t
zur Zeit t (t > 0). Wir suchen die Trajektorie des Punktes. Dazu zeichnen wir zunachst die Graphen von p{t) und (p{t) (s. Abb. 5.22a und Abb. 5.22b). Wenn wir nun beide eben konstruierte Graphen gleichzeitig betrachten, konnen wir die allgenieine Form der Trajektorie des P u n k t e s beschreiben (vgl. Abb. 5.22c).
1
2
3
t
b.
A b b . 5.22.
268
5 Differentialrechnung
c. Einsatz der Differentialrechnung zur Konstruktion des Graphen einer Funktion Wie wir gesehen haben, lassen sich allgemeine Eigenschaften in den Graphen vieler Funktionen verdeutlichen, ohne dafiir mehr als einfache Betrachtungen anzustellen. Wenn wir jedoch die Skizze genauer anfertigen wollen, konnen wir dann, wenn die Ableitung der untersuchten Funktion nicht zu kompliziert ist, die Differentialrechnung als Hilfsmittel einsetzen. Wir werden dies anhand von Beispielen demonstrieren. Beispiel 27. Wir konstruieren den Graphen der Funktion y = f{x) fiir f{x) = |a; + 2|e-i/=^ . Die Funktion f{x) ist fiir a; € ffi \ 0 definiert. Da e~^/* —>• 1 fiir a; ^ oo, folgt, dass
{
—(x + 2) fiir a; —>• — oo ,
{x + 2) fiir X —>• +oo . Als Nachstes ist offensichtlich, dass \x + 2|e~^/^ -^ +oo fiir a; —>• — 0 und |a;+2|e-i/=' ^ 0 fiir a; ^ +0. SchlieBlich ist klar, dass f{x) > 0 und / ( - 2 ) = 0. Aufgrund dieser Beobachtungen konnen wir bereits einen ersten Entwurf des Graphen anlegen (s. Abb. 5.23a). Wir wollen nun zur Sicherheit iiberpriifen, ob diese Funktion auf den IntervaUen ] — oo,—2[, [—2,0[ und ]0,+oo[ monoton ist, ob sie wirklich diese Asymptoten besitzt und ob die Konvexitat des Graphen richtig dargestellt ist. Da r _x'+x+'2f^-i/x ^ f a l l s a ; < - 2 ,
n^) = I
[ 2d±|+2e-i/=5 ^ falls - 2 < a; und a; ^ 0 , und f'{x) ^ 0, konnen wir die folgende Tabelle aufstellen: Intervall Vorzeiclien von f'{x) Verlialten von f(x)
] - oo,-2[ — +oo \ 0
]-2,0[ + 0 ^ +oo
]0,+oo[ + 0 /^ +oo
In den Bereichen, in denen die Ableitung konstantes Vorzeichen besitzt, zeigt die Funktion, wie wir wissen, die entsprechende Monotonie. Das Symbol + o o \ , 0 in der unteren Zeile der Tabelle bezeichnet eine monotone Abnahme der Funktionswerte von +oo auf 0, und 0 /^ +oo bezeichnet einen monotonen Anstieg von 0 auf +oo.
5.4 DifFerentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen
269
2-10
A b b . 5.23. Wir beobachten, dass f'{x) -^ - 4 e ~ ^ / ^ fiir x -^ - 2 - 0 und f'{x) -)• 4e~^/^ fiir X —>• — 2 + 0, so dass der P u n k t (—2,0) eine Spitze im Graphen (ein Knick wie im Graphen der Funktion |a;|) ist und kein regularer P u n k t , wie in Abb. 5.23a dargestellt. Als Nachstes ist f'{x) ^ 0 fiir a; —>• + 0 , so dass der G r a p h vom Ursprung aus tangential zur a;-Achse verlaufen sollte (bedenken Sie die geometrische Bedeutung von /'(a;)!). Wir wollen nun das asymptotische Verhalten der Funktion fiir a; ^ — oo und X —>• +0O genauer untersuchen. Da e~^/^ = 1 — x~^ + o{x~^) fiir a; ^ oo, folgt, dass —X — 1 + o(l) fiir X -^ —00 , |a; + 2|e"-l/x X + 1 + o(l)
fiir X -^ +00 ,
so dass tatsachlich y = —x — 1 fiir x -^ —oo und y = x + 1 fiir x -^ + o o die schiefen Asymptoten sind. Aus diesen Daten konnen wir bereits eine ziemlich verlassliche Skizze des Graphen erstellen, aber wir wollen noch welter gehen und die Konvexitatsbereiche des Graphen bestinimen, indem wir die zweite Ableitung berechnen: 3a;
e-^/''
, falls a; < - 2
x^
/"(^)
2 - 3 a ; e ^/* , faUs - 2 < a; und a; 7^ 0 . x^ Da f"{x)
= 0 nur fiir x = 2 / 3 , erhalten wir die folgende Tabelle:
Intervall
] - 00,-2[
]-2,0[
]0,2/3[
]2/3,+oo[
Vorzeichen von f"{x)
—
+
+
—
Kriinimung von f{x)
aufwarts
abwarts
aufwarts
abwarts
270
5 Differentialrechnung
Da die Funktion in a; = 2/3 differenzierbar ist und f"{x) das Vorzeichen wechselt, wenn x diesen Punkt passiert, ist der Punkt (2/3, /(2/3)) ein Wendepunkt des Graphen. Ware die Ableitung f'{x) irgendwo Null gewesen, ware iibrigens mit Hilfe der Tabelle der Werte von f"{x) die Entscheidung moglich gewesen, ob der entsprecliende Punkt ein Extremwert ist. In diesem Fall besitzt f'{x) jedoch keine NuUstelle, obwolil die Funktion in a; = —2 ein lokales Minimum besitzt. Sie ist in diesem Punkt stetig und ,f'{x) wechselt vom Positiven zum Negativen, wenn x durch diesen Punkt verlauft. Dennoch konnen wir an der Veranderung der Werte von f{x) auf dem entspreclienden Intervall erkennen, dass die Funktion in a; = — 2 ein Minimum besitzt, wobei wir natiirlich die Gleicliung /(—2) = 0 beriicksichtigen. Wir konnen nun einen genauere Skizze des Graphen dieser Funktion zeichnen (s. Abb. 5.23b). Wir fassen die Ergebnisse in einem weiteren Beispiel zusammen. Beispiel 28. Seien (x, y) die kartesischen Koordinaten in der Ebene. Angenommen, ein sich bewegender Punkt habe zur Zeit t (t > 0) die Koordinaten t 1 - ^ 2
, und
t - 2^3 y^
1 - ^ 2
•
Wir suchen die Trajektorie des Punktes. Wir beginnen mit einer Skizze der Graphen der beiden Koordinatenfunktionen x = x{t) und y = y{t) (s. Abb. 5.24a und 5.24b). Der zweite Graph ist etwas interessanter als der erste. Deswegen werden wir beschreiben, wie er zu konstruieren ist. Wir konnen das Verhalten der Funktion y = y{t) fiir t -^ +0, t —>• 1 — 0, t —>• 1 + 0 und die Asymptote y{t) = 2t + o(l) fiir t —>• +00 unmittelbar aus dem analytischen Ausdruck von y{t) erkennen. Nach Berechnung der Ableitung ., , 1-5*2 + 2*4 2/W = (l_,2)2 bestimmen wir ihre Nullstellen: ti « 0, 5 und ^2 ~ 1, 5 im Bereich t > 0. Nun konnen wir aus der Tabelle Intervall Vorzeichen von
y(t)
Verhalten von y{t)
]0,ti[
]• R gilt: a) In jedem Punkt x e]o, h[ besitzt die Punktion eine linksseitige Ableitung f'_ und eine rechtsseitige Ableitung / ^ mit f'-ix) < f'+ix), die folgendermafien definiert sind: lim / ( ^ + ' * ) --fix)
f'-ix)
h^-0
h
f'+ix)
/i-^+o
h
-fix)
b) Die Ungleichung f'j^{xi) < f'-ix-z) gilt fiir a;i,a;2 G]O, 6[ und xi < X2c) Die Menge der Spriinge des Graphen von f{x) (fiir die f'-ix) ^ f'+ix)) hoclistens abzahlbar.
ist
8. Die Legendre-Transformatiov?^ einer auf eineni Intervall / C R definierten Punktion / : / —> R wird gegeben durch: /*( 0 ein Index N GN existiert, so dass \zn — Zm\ < £ fiir alle n,m > N. Die Ungleichung (5.109) macht deutlich, dass eine Folge komplexer Zahlen genau dann eine Cauchy-Folge ist, wenn die Folgen der Real- und der Imaginarteile beide Cauchy-Folgen sind. Wenn wir das Cauchysche Konvergenzkriterium fiir Folgen reeller Zahlen beriicksichtigen, erhalten wir auf der Basis von (5.109) den folgenden Satz: Satz 1. (Cauchysches Konvergenzkriterium). Eine Folge komplexer Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Wenn wir die Summe einer Reihe komplexer Zahlen ZI+Z2
+
\-Zn-\
(5.110)
als Grenzwert der Teilsummen s„ = zi + • • • + Zn fiir n ^ co interpretieren, erhalten wir auch das Cauchysche Konvergenzkriterium fiir die Reihe (5.110).
5.5 Komplexe Zahleii und Elementarfunktionen
281
Satz 2. Die Reihe (5.110) konvergiert genau dann, wenn fiir jedes e > 0 ein N G'N existiert, so dass \z.rr, + --- + Z.a\<S
(5.111)
fiir beliebiges n > m > N. Daraus konnen wir erkennen, dass 2;„ —>• 0 fiir n ^ co eine notwendige Bedingung fiir die Konvergenz der Reihe (5.110) ist. (Dies wird jedoch bereits aus der Definition der Konvergenz deutlich.) Wie im Reellen heifit die Reihe (5.110) absolut konvergent, wenn die Reihe \zi\ + \z2\+---
+ \Zn\+---
(5.112)
konvergiert. Aus der Ungleichung \Zm-\
\- Zn\ < \Zm\-\
h \Zn\
und dem Cauchyschen Konvergenzkriterium folgt, dass eine Reihe (5.110) konvergiert, wenn sie absolut konvergiert. Beispiele Die Reihen
und
konvergieren absolut fiir alle z € C, da die Reihen
2')
l^l + il^l' + ^l^l' + ---
und
3')
1 , ,o2
I
1^
l_|4
l + ^N^ + 4, z
fiir jedes \z\ £ M konvergieren. Wir merken an, dass wir dabei die Gleichung |z"| = |z|" benutzt haben.
282
5 Differentialrechnung
Beispiel 4- Die Reihe 1 + z + z"^ + • • • konvergiert absolut fiir |2;| < 1 und ihre Summe ist s = jz^- Sie konvergiert fiir |z| > 1 nicht, da die Glieder dann nicht gegen Null streben. Reihen der Gestalt co+ci{z-zo)
+ --- + Cn{z - zo)" + •••
(5.113)
werden Potenzreihen genannt. Wenn wir das Cauchysche Kriterium (Absatz 3.1.4) auf die Reihe |co| + \ci{z - zo)\ + ••• + \cniz - zo)"\ + •••
(5.114)
anwenden, konnen wir folgern, dass diese Reihe konvergiert, wenn \z - zo\ < ( lim
\/\c^\)
n—)-oo
und dass fiir I2; — zo| > ( hm
A/|C„|)
ihre Gheder nicht gegen Null streben.
n—)-oo
Daraus erhalten wir den folgenden Satz: S a t z 3 . (Cauchy-Hadamard^'*). Die Potenzreihe (5.113) konvergiert halb der Scheibe \z — zo\ < R mit Zentrum in ZQ und Radius R= lim
^ j = . ^|c„|
inner-
(5.115)
n—>oo
Dies ist die Cauchy-Hadamard Formel. In jedem Punkt aufierhalb der Scheibe divergiert die Potenzreihe. inneren Punkt der Scheibe konvergiert die Potenzreihe absolut.
In jedem
Anmerkung. Satz 3 schweigt sich dariiber aus, was auf dem Rand \z — zo\ = R passiert, da alle logisch zulassigen Moghchkeiten wirkhch auftreten konnen. Beispiele Die Reihen 00
5)
E ^z" n=l n =l 00
6)
-J
E --" 1
"
n=l
und
'
^—1 n'-
n=l
'^'^ J.Hadamard (1865-1963) - bekannter franzosischer Mathematiker.
5.5 Komplexe Zahleii und Elementarfunktionen
283
konvergieren auf der Einheitsscheibe \z\ < 1, aber die Reihe 5) divergiert in jedem Punkt z mit \z\ = 1. Die Reihe 6) divergiert fiir z = 1 und (wie sich zeigen lasst) konvergiert fiir z = — 1. Die Reihe 7) konvergiert absolut fiir \z\ = 1, da IJyz"! = -^. Wir miissen den moglicherweise entarteten Fall im Hinterkopf behalten, dass i? = 0 in (5.115), was in Satz 3 nicht beriicksichtigt wurde. In diesem Fall schrumpft die Konvergenzscheibe auf einen einzigen Punkt ZQ, in dem die Reihe (5.113) konvergiert. Das folgende Ergebnis ist ein offensichtliches KoroUar zu Satz 3. KoroUar (Erster Abelsche Satz zu Potenzreihen). Konvergiert die Potenzreihe (5.113) in einem Wert z*, dann konvergiert sie sogar absolut fiir jeden Wert von z, fiir den \z — zo\ < \z* — zo\ gilt. Die bisher erhaltenen Satze konnen als einfache Erweiterungen bereits bekannter Tatsachen betrachtet werden. Wir werden nun zwei allgemeine Satze iiber Reihen beweisen, die wir bisher in keiner Weise bewiesen haben, obwohl wir teilweise einige der Fragen, die sie anschneiden, diskutiert haben. Satz 4. Konvergiert eine Reihe zi + Z2 + • • • + Zn + • • • komplexer Zahlen absolut, dann konvergiert auch die Reihe z„^ + z„2 + • • • + Zn^, + • • •, die wir durch Umordner?^ ihrer Glieder erhalten, absolut zu derselben Summe. oo
Beweis. Mit Hilfe der Konvergenz der Reihe ^
|z„| wahlen wir zu gegebenem
n=l oo
e > 0 ein A^ e N, SO dass
J2
\^n\ < £•
n=N+l
Wir finden dann einen Index K £ N, so dass alle Glieder in der Summe SN = zi + • • • + ZN unter den Gliedern der Summe Sk = z^ + • • • + z„^, fiir oo
k > K sind. Ist s = '^ z„, dann erhalten wir fiir k > K: \S-Sk\ n;i £ N eine bijektive Abbildung auf die Menge N ist.
284
5 Differentialrechnung
Das Problem dabei ist, dass es nach Entfernen der Klamniern keine natiirliche Ordnung fiir die Summation aller moglichen Paare Uibj gibt, da dabei zwei Summationsindizes auftreten. Wir konnten daher eine Reihe schreiben, die die Produkte Oj&j in beliebiger Reihung besitzt. Bei absolut konvergenten Reihen ist, wie wir gerade gesehen haben, die Summe aber unabhangig von der Anordnung der Glieder. Daher sind wir daran interessiert, ob die Reihe mit den Ghedern Uibj absolut konvergiert. Satz 5. Das Produkt von absolut konvergenten Reihen ist eine absolut konvergente Reihe, deren Summe dem Produkt der Summen der multiplizierten Reihen entspricht. Beweis. Wir beginnen mit der Bemerkung, dass wir zu jeder beliebigen endlichen Summe "^Ojbj mit Gliedern der Form Ojbj immer ein N finden, so dass das Produkt der Summen AN = oi + • • • + ajv und BN = bi + • • • + bN alle Glieder dieser Summe enthalt. Daher gilt N
N
N
oo
oo
J2aibj < J2 l«^^il < E l"^^il = E l°^l • E l^il ^ E l°^l • I E l^il ' oo
woraus folgt, dass die Reihe ^
Oibj absolut konvergiert und dass ihre Summe
unabhangig von der Anordnung der Faktoren eindeutig bestimmt ist. Daher konnen wir die Summe etwa aus dem Grenzwert der Produkte der Summen A„ = oi + • • • + a„ und B„ = &! + ••• + &„ bestimmen. Aber A„Bn -^ AB oo
oo
fiir n —>• 00 mit A = ^
a„ und B = '^ bn- Damit ist der Beweis von Satz 5
n=l
n=l
abgeschlossen.
D
Das folgende Beispiel ist sehr wichtig. oo
oo
Beispiel 8. Die Reihen X] ^ a " und J2 '^.^"^ konvergieren absolut. Wir woln=0
n^=0
len im Produkt dieser Reihen alle Monome der Form a"b"^, die den gleichen Grad n + m = k ergeben, gruppieren. Damit erhalten wir die Reihe oo
.
^
-.
E( E VA^" n\ m\ =0
n+m=A
Nun ist aber 1
1
n\m\
/
^
1
1
k\^n\{k-n)\
m+n=k
k\^^'
n=0
und daher erhalten wir: oo
^
OO
j:-^-"-j:-r=T.T^(-+f>)'n! •'—' m ! -'—' fc! n=0
m=0
fc=0
(5-116)
5.5 Komplexe Zahleii und Elementarfunktionen
285
5.5.3 Eulersche Formel und Z u s a m m e n h a n g e zwischen Elementarfunktionen In den Beispielen 1-3 formulierten wir in C die absolute Konvergenz der Reihen, die wir erhalten, wenn wir die Taylor-Reihe der auf M definierten Funktionen e^, sin a;, und cos a; auf die komplexe Ebene erweitern. Aus diesem Grund sind die folgenden Definitionen fiir die Funktionen e^, cos 2;, und s i n z in C nur natiirlich: e-' = e x p z • " -^ + T ! ^ + 2 ! ^ ' ^ 3 ! ^ ^ ^ ' " ' cosz
:= 1 -—z"^ 2!
+—z* - ••• 4!
sin 2; := z - —z^ + —z^ 3! 5!
^^'^^^^
und
(5.118)
.
(5.119)
Nach einem Vorschlag von Euler^^ woUen wir in (5.117) die Substitution z = iy vornehmen. Indem wir die Glieder der Teilsummen der sich ergebenden Reihe geeignet anordnen, erhalten wir
1 + ^(iy) + ^(i2/)' + ^i^yf lo
^y
+ ^iwY
+ ^iwf
+ ••• =
I4
A - / !
I s
+^y
-•••j+ij^y-^y
1
+^
d.h., cosy + i s i n y .
(5.120)
Dies ist die beriihmte Eulersche Formel. Bei ihrer Herleitung haben wir ausgenutzt, dass i^ = —1, i^ = —i, i'* = 1, i5 = i und so weiter. Die Zahl y in (5.120) kann entweder eine reelle Zahl oder eine beliebige komplexe Zahl sein. Aus den Definitionen (5.118) und (5.119) folgt, dass cos{—z) = cosz sm{—z)
und
= — sin 2; ,
d.h., cosz ist eine gerade Funktion und sin(—z) eine ungerade Funktion. Folglich ist e~'^ = cosy — isin2/ . ^® L. Euler (1707-1783) - bedeutender Mathematiker und Fachmann fiir theoretische Mechanik mit schweizerischer Abstammung, der den Grofiteil seines Lebens in St. Petersburg zubrachte. Laplace formulierte seine Bedeutung folgendermaflen: „Euler ist der gemeinsame Lehrer aller Mathematiker der zweiten Halfte des achtzehnten Jahrhunderts."
286
5 Differentialrechnung Wenn wir diese letzte Gleichung niit (5.120) konibinieren, erhalten wir cosy = :r(e'^ + e~'^) und sin 2/ = — (e'^ — e~'^) .
Da y jede beliebige komplexe Zahl sein kann, sollten wir diese Gleichungen neu formulieren, so dass die Schreibweise keinen Zweifel an dieser Tatsache lasst: cosz = x(e'^+e~'^) und (5.121) sinz = r7(e'^—e~'^) . Nehmen wir daher an, dass exp^; durch (5.117) definiert ist, dann konnen wir (5.121), die zu den Entwicklungen (5.118) und (5.119) aquivalent sind, wie die Fornieln cosh 2/ = :^(e^+e~^) und (5.122) sinhz = -fe^ — e~^) 2^ ^ als Definitionen der entsprechenden Winkel- und Hyperbelfunktionen betrachten. Wenn wir alle Betrachtungen iiber trigononietrische Funktionen, die uns zu diesem Schritt gefiihrt haben, aber nicht streng mathematisch gerechtfertigt waren (obwohl sie uns zur Eulerschen Formel gefiihrt haben), vergessen, dann konnen wir jetzt einen typischen niatheniatischen Trick anwenden und die Formeln (5.121) und (5.122) als Definitionen betrachten und aus diesen rein formal alle Eigenschaften der Winkel- und trigonometrischen Funktionen erhalten. So konnen etwa die wichtigen Gleichungen cos^ z + sin^ z = 1 und cosh^ z — sinh^ z = 1 unmittelbar bewiesen werden. Die komplizierteren Eigenschaften, wie etwa die Formeln fiir die Sunime fiir Cosinus und Sinus, erhalten wir aus der charakteristischen Eigenschaft der Exponentialfunktion exp(2;i + Z2) = exp(zi) • exp(2;2) ,
(5.123)
die sich offensichthch aus der Definition (5.117) und (5.116) ergibt. Wir woUen die Formeln fiir den Cosinus und den Sinus einer Summe herleiten.
5.5 Komplexe Zahleii und Elementarfunktionen
287
Zunachst erhalten wir mit der Eulerschen Formel gi(^i+22) ^ pog(^^ +Z2)+i sm{zi + Z2) ,
(5.124)
aber andererseits aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion und der Eulerschen Formel auch gi(2i+^2) _ gi2igi22 _ (^QQg^-^ + isin2;i)(cosz2 -l-isinz2) = = (cos 2:1 cos 2:2 — sinzi sinz2) + i(sin2;i cos 22 + coszi sin 22) . (5.125) Waren zi und Z2 reelle Zahlen, dann konnten wir die Real- und die Imaginarteile der Zahlen in den Gleichungen (5.124) und (5.125) gleich setzen und so die erwiinschten Formeln erhalten. Da wir sie fiir jedes zi, 22 € C beweisen wollen, nutzen wir aus, dass cos z gerade und sin z ungerade ist und gelangen so zu einer weiteren Gleichung: g-i(2i+22) = (coszi cos2;2 — sinzi sin2;2) — i(sinzi cos2;2-I-cos^i sinz2) . (5.126) Wenn wir nun (5.125) und (5.126) kombinieren, erhalten wir cos(zi-I-22) = -(e'^^^"*"^^'-I-e"''^^"*"^^') = cos zi cos Z2 — sin zi sin Z2 , sin(zi-I-22) = — (e'*^^^+^^-'— e~'*^^^+^^-') = sin zi cos 22-I-cos zi sin 22 . Die entsprechenden Formeln fiir die Hyperbelfunktionen cosh z und sinh z konnen wir vollstandig analog erhalten. Wie wir aus (5.121) und (5.122) sehen konnen, sind diese Funktionen iibrigens mit cosz und sinz folgendermafien verkniipft: coshz = cosiz und sinhz = —isiniz . Es ist jedoch sehr schwierig, geometrisch simple Tatsachen wie die Gleichung siuTT = 0 oder cos(z -I- 27r) = cosz aus den Definitionen (5.121) und (5.122) zu erhalten. Daher sollten wir, auch wenn wir nach Prazision streben, nicht die Probleme vergessen, in denen diese Funktionen ganz natiirlich auftreten. Deswegen werden wir an dieser Stelle nicht versuchen, die moglichen Schwierigkeiten im Zusammenhang mit den Definitionen (5.121) und (5.122), die bei der Beschreibung von Eigenschaften trigonometrischer Funktionen auftreten, zu iiberwinden. Wir werden auf diese Funktionen nach Einfiihrung der Theorie der Integration zuriickkommen. Im Augenblick hatten wir nur die Absicht, die erstaunliche Verschmelzung scheinbar vollstandig verschiedener Funktionen zu demonstrieren, was ohne einen Ubergang zu den komplexen Zahlen unmoglich gewesen ware.
288
5 Differentialrechnung Wenn wir als bekannt voraussetzen, dass fiir a; € M cos(a; + 2TT) = cos a; , sin(a; + 2TT) = sina; , cos 0 = 1 , sin 0 = 0
gelten, dann erhalten wir aus der Eulerschen Forniel (5.120) die Beziehung + 1= 0
(5.127)
in der die wichtigsten Konstanten verschiedener mathematischer Gebiete vertreten sind: 1 (arithmetisch), TT (geometrisch), e (analytisch) und i (algebraisch). Aus (5.123) und (5.127) wie auch (5.120) erkennen wir, dass exp(z + i27r) = exp z , d.h., die Exponentialfunktion ist auf C eine periodische Funktion mit der rein imaginaren Periode T = i2Tr. Wenn wir die Eulersche Formel beriicksichtigen, konnen wir nun die trigononietrische Schreibweise (5.105) fiir eine komplexe Zahl in die Form
bringen, wobei r der Betrag von z ist und ip ihr Argument. Die Formel von de Moivre wird dadurch sehr einfach:
5.5.4 Analytischer Zugang zur Potenzreihendarstellung einer Funktion Eine auf einer Menge E C C definierte Funktion w = f{z) einer komplexen Variablen mit komplexem Funktionswert w ist eine Abbildung f : E ^ C Der Graph einer derartigen Funktion ist eine Teilmenge von C x C=M^ x M^ =ffi'* und daher nicht auf traditionelle Weise darstellbar. Um diesen Verlust etwas auszugleichen, arbeitet man iiblicherweise mit zwei Kopien der komplexen Ebene C, um Punkte im Definitionsbereich in einer, und Punkte des Wertebereichs in der anderen anzudeuten. In den unten angefiihrten Beispielen ist der Definitionsbereich E und ihr Abbild unter der entsprechenden Abbildung angefiihrt. In Ubereinstimmung mit der allgemeinen Definition von Stetigkeit nennen wir eine Funktion f(z) einer komplexen Variablen im Punkt ZQ £ C stetig, wenn fiir jede Umgebung V[f{zQ)) ihrer Werte /(ZQ) eine Umgebung U{ZQ) existiert, so dass f{z) G V(^f{zo)) fiir alle z G U{zo). In Kurzform: hm f{z) = fizo) .
5.5 Komplexe Zahleii und Elementarfunktionen id 9.
289
iv
ly
®
1
@
0
X
1
2
u
Z 1-^ Z + 1 = W
A b b . 5.25. id 10.
w
iv 2i
©
@
i i 0
0
X
u
z 1-^ z + i = w A b b . 5.26. id 11.
A b b . 5.27. Diese Zusammenhange ergeben sich aus den Gleichungen i = e"^'^, z = re'*' und \z = re^^'^'^'^''^', d.h., es liegt eine Drehung uni den Winkel |- vor.
id 12.
iy
0
Z 1-^ Z
= W
A b b . 5.28. 1st namlich z = re'*', dann gilt z'^ = r^e'^*'.
290
5 Differentialrechnung oiel IS.
iy
A b b . 5.29. iel 14-
A b b . 5.30. Aus den Beispielen 12 und 13 ist klar, dass diese Punktion die Einheitsscheibe auf sich abbildet, die dabei aber zweimal iiberdeckt wird.
iel 15.
(n = 3)
A b b . 5.31. Ist z = re'*', dann ist nach (5.128) a" = r"e'"*', so dass in diesem Fall das Bild der Scheibe mit Radius r eine Scheibe mit Radius r" ist, wobei jeder Bildpunkt aus n verschiedenen Punkten der urspriinglichen Scheibe (die in den Ecken eines regularen n-Ecks sitzen) hervorgeht. Die einzige Ausnahme bildet der Punkt w = 0, dessen Urbild der Punkt z = 0 ist. Fiir 2; —>• 0 ist die Funktion a" jedoch infinitesimal der Ordnung n, so dass wir sagen konnen, dass die Punktion in z = 0 eine Null der Ordnung n besitzt. Wenn wir diese Art von Vielfachheit beriicksichtigen, konnen wir nun sagen, dass die Zahl der Urbilder jedes Punktes w unter der Abbildung z i-^ z" = w genau n ist. Insbesondere besitzt die Gleichung z" = 0 die n zusammenfallenden Losungen zi = • • • = Zn = 0-
5.5 Komplexe Zahleii und Elementarfunktionen
291
Die Ableitung einer Funktion f(z) im Punkt ZQ wird wie im reellen Fall definiert als
f{zo) = lim M^IM z^zo
,
(5.129)
Z — ZQ
falls dieser Grenzwert existiert. Gleichung (5.129) ist aquivalent zu f{z) - f{zo) = f'{zo){z - zo) + o{z - zo)
(5.130)
fiir z ^ ZQ. Sie entspricht der Definition der Dijferenzierbarkeit einer Funktion im Punkt ZQ. Da die Definition der Differenzierbarkeit im Komplexen der entsprechenden Definition fiir reelle Funktionen entspricht und da die arithmetischen Eigenschaften der Korper C und ffi gleich sind, konnen wir sagen, dass alle allgemeinen Regeln fiir die Differentiation auch im Komplexen gelten. Beispiel 16. {f+9nz) = f'{z)+g'{z), if-gnz) = f{z)g{z) + fiz)9'{z), igofnz)=g'{f{z))-f{z), so dass fiir f{z) = z^ gilt, dass /'(z) = 1 • 2; + z • 1 = 2z. Fiir f{z) = z" haben wir f'{z) = nz""^ und fiir Pn{z)
= Co + Ci{z - Zo) -\
h C„(z - Z Q ) "
ergibt sich P;(z) = ci + 2c2(z - Zo) + • • • + ncn{z - zo)"-^ . 00
Satz 6. Die Summe einer Potenzreihe f{z) = ^ c„(z —ZQ)" ist innerhalh der n=0
Scheibe, in der sie konvergiert, eine unendlich oft dijferenzierbare Funktion. Aufierdem gilt
n=0
^/(")(zo),
n = 0,l,
Beweis. Die Ausdriicke fiir die KoefRzienten folgen offensichtlich aus den Ausdriicken fiir f^^'{z) fiir k = n und z = ZQ. Fiir den Beweis der Formel fiir f^''' (z) geniigt es, diese Formel fiir fc = 1 zu zeigen, da die Funktion /'(z) dann der Summe einer Potenzreihe entspricht.
292
5 Differentialrechnung Wir wollen also zeigen, dass die Funktion Lp{z) =
^
n c „ ( z — zo)"~^
n=l
tatsachlich die Ableitung von f{z) ist. Wir beginnen mit der Anmerkung, dass nach C a u c h y - H a d a m a r d (5.115) der Konvergenzradius der abgeleiteten Reihe mit dem Konvergenzradius R der urspriinglichen Potenzreihe von f{z) iibereinstimnit. Um die Schreibweise zu vereinfachen, werden wir von nun an annehmen, dass ZQ = 0, d.h., f{z)
oo
= ^
oo
c „ z " , ip{z)
n=0
n=l
""~^, und dass diese Reihen
fiir |z| < i? konvergieren. Da eine Potenzreihe ini Inneren der Konvergenzscheibe absolut konvergiert, halten wir fest (und das ist entscheidend), dass die Abschatzung ^n-ll In-l < n|c„|r"~^ fiir \z\ < r < R gilt und dass die Reihe E
n\c„\r"-^ konvergiert. Daher existiert fiir jedes e > 0 ein Index N, so dass oo
E
e < - 3
1 mit komplexen Koeffizienten erlauht eine Darstellung der Form P{z)
mit zi,...,z„ verschieden eindeutig.
= Cn{z-Zi)---{z-Zn)
,
(5.132)
G C (wobei die Zahlen zi,...,Zn nicht notwendigerweise alle sind). Diese Darstellung ist bis auf die Anordnung der Faktoren
Beweis. Mit Hilfe der Polynomdivision, bei der ein Polynom P{z) durch ein anderes Polynom Q{z) mit kleinerem Grad dividiert wird, gelangen wir zu
5.5 Komplexe Zahleii und Elementarfunktionen
297
P{z) = q{z)Q{z) + r{z), wobei q{z) und r{z) Polynome sind. Der Grad von r{z) ist dabei kleiner als der Grad m von Q{z). 1st daher m = 1, dann ist r{z) = r eine einfache Konstante. Sei zi eine Nullstelle des Polynoms P{z). Dann gilt P{z) = q{z){z — zi)-\-r. Daher gilt P{zi) = r, woraus folgt, dass r = 0. Ist also zi eine Nullstelle von P{z), dann erhalten wir die Darstellung P{z) = (z — zi)q{z). Der Grad des Polynoms q(z) ist n — 1, und wir konnen fiir n — 1 > 1 die Argumentation fiir q{z) wiederholen. Durcli Induktion erhalten wir P{z) = c{z — zi) • • • (z — Zn)Da cz" = c„2;" gelten muss, erhalten wir c = Cn• KoroUar 2. Jedes Polynom P{z) = OQ + " •" + On-z" ^^ reellen Koeffizienten kann als ein Produkt Unearer und quadratischer Polynome mit reellen Koejfizienten dargestellt werden. Beweis. Dies folgt aus KoroUar 1 und Anmerkung 2, aufgrund derer mit jeder Nullstelle Zk von P{z) auch Zk eine NuUsteUe ist. Wenn wir die Multiphkation (z — Zk){z — Zk) im Produkt (5.132) ausfiihren, erhalten wir das quadratische Polynom z"^ — [zu + Zk)z + \zk\'^ mit reellen Koeffizienten. Die Zahl c„, die gleich a„ ist, ist in diesem Fall eine reelle Zahl und kann in eine der Klammern gezogen werden, ohne dadurch den Grad des Faktors zu verandern. D Wenn wir in (5.132) identische Faktoren zusammenfassen, konnen wir das Produkt neu schreiben: P{z) = cn{z - zif'
•••{z-
zj,f-
.
(5.133)
Die Zahl kj wird Vielfachheit der Nullstelle Zj genannt. Da P{z) = (z - Zj)^'Q{z), wobei Q{zj) ^ 0, folgt, dass P'{z) = kj{z - Zjf'-^Q{z)
+ {z- Zjf'Q'{z)
= {z- Zjf'-^R{z)
,
wobei R{zj) = kjQ{zj) ^ 0. Wir gelangen so zu folgender Schlussfolgerung: KoroUar 3. Jede Nullstelle Zj der Vielfachheit kj > 1 eines Polynoms P{z) ist eine Nullstelle der Vielfachheit kj — 1 der Ableitung P'{z). Noch sind wir nicht in der Lage, die Nullstellen des Polynoms P{z) zu bestimmen, aber wir konnen dieses letzte KoroUar und die Darstellung (5.133) benutzen, um ein Polynom p{z) = (z — zi) • • • (z — Zp) zu finden, dessen Nullstellen mit denen von P{z) iibereinstimmt, aber die Vielfachheit 1 besitzen. Mit dem euklidischen Algorithmus konnen wir zunachst den groBten gemeinsamen Teller q(z) von P{z) und P'{z) finden. Nach KoroUar 3, der Darstellung (5.133) und Satz 7 ist das Polynom q{z) bis auf einen konstanten Faktor gleich (z — zi)''^~^ • • • {z — Zp)*^""^. Daher erhalten wir, nach Division von P{z) durch q{z) bis auf einen konstanten Faktor, den wir entfernen konnen, indem wir durch den Koeffizienten von z"^ dividieren, ein Polynom p{z) = {z - zi)---{zZp).
298
5 Differentialrechnung
Nun betrachten wir das Verhaltnis R{z) = TJW- zweier Polynome, wobei Q{z) ^ konstant. 1st der Grad von P{z) grofier als Q{z), dann konnen wir den Divisionsalgorithmus anwenden und erhalten fiir P{z) die Darstellung p{z)Q{z) + r{z), wobei p{z) und r{z) Polynome sind und der Grad von r{z) kleiner ist als der von Q{z). So gelangen wir zur Darstellung R{z) = p{z) + QT-), wobei der Brucli ^T^y ein ecliter Bruch ist in dem Sinne, dass der Grad von r{z) kleiner ist als der von Q{z). Das KoroUar, das wir aufstellen wollen, beliandelt die Darstellung eines echten Bruchs als eine Summe von Briichen, die sogenannte Partialbruchzerlegung. KoroUar 4. a) Sei Q{z) = {z — zi)^^ • • • {z — Zp)^'' und Qt|t ein echter Bruch. P( z)
Dann existiert eine eindeutige Darstellung des Bruchs TJW- der Gestalt
b) Sind P{x) und Q{x) Polynome mit reellen Koeffizienten und Q{x)
= {x-Xif^
• • • {x - Xi)'" {x"^ + PlX + qi)""^
• • • {x^ + PnX + QnT'^
dann existiert eine eindeutige Darstellung des echten Bruchs ^^ stalt
,
der Ge-
wobei Ojk, bjk und Cjk reelle Zahlen sind. Wir nierken an, dass es eine universelle Metliode zur Auffindung der Entwicklungen (5.134) und (5.135) gibt, die unter dem Namen Methode der unbestimmten Koeffizienten bekannt ist, obwohl diese Methode nicht immer den kiirzesten Weg bietet. Dabei werden alle Ausdriicke auf der rechten Seite von (5.134) und (5.135) auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und dann die sich ergebenden Koeffizienten des Zahlers den entsprechenden Koeffizienten von P{z) gleichgesetzt. Das sich dabei ergebende lineare Gleichungssystem besitzt wegen KoroUar 4 immer eine eindeutige Losung. Da wir in der Regel an der Entwicklung eines bestimmten Bruchs interessiert sind, den wir nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten erhalten, benotigen wir nichts anderes von KoroUar 4 als die Gewahr, dass wir die Methode immer sicher anwenden konnen. Aus diesem Grund werden wir uns nicht die Miihe machen, den Beweis durchzufiihren. Er wird iiblicherweise algebraisch in Kursen zu moderner Algebra und analytisch in Kursen der Funktionentheorie komplexer Variabler erbracht. Wir wollen ein besonders ausgewahltes Beispiel betrachten, um das eben Erklarte zu veranschaulichen.
5.5 Komplexe Zahleii und Elementarfunktionen
299
Beispiel 17. Seien P{x) = 2a;® + 3x^ + 6x* + 6x^ + lOx^ + 3a; + 2 , Q{x) = x"^ + 3a;® + 5x^ + 7x* + 7x^ + 5x^ + 3a; + 1 . Wir suchen die Partialbruchentwicklung (5.135) fiir den Bruch •^^• Zunachst einmal wird das Problem dadurch erschwert, dass wir die Faktoren des Polynoms Q{x) nicht kennen. Deshalb woUen wir zunachst vielfache Nullstellen von Q(x) entfernen. Dazu bilden wir Q'(x) = 7x^ + 18a;'5 + 25x^ + 28x^ + 21a;2 + lOx + 3 . Nach sehr ermiidenden, aber moglichen Berechnungen erhalten wir mit dem euklidischen Algorithmus den groi^ten gemeinsamen Teiler von Q{x) und Q'ix): d{x) = a;" + 2a;^ + 2a;2 + 2x + 1 . Der hier angefiihrte groBte gemeinsame Teiler hat eine 1 als fiihrenden Koeffizienten. Die Division von Q{x) durch d{x) liefert das Polynom q{x) = X + X + X + 1 , das dieselben NuUsteUen wie Q{x) besitzt, allerdings nur mit Vielfachheit 1. Die NuUstelle in —1 konnen wir einfach erraten. Die Division von q(x) durch X + 1 ergibt a;^ + 1. Somit ist q{x) = {x + l){x'^ + 1) , und nach Division von d{x) durch a;^ + 1 und a; + 1 erhalten wir die Faktorisierung von d{x), d{x) = (a; + l)2(a;2 + l) und daraus die Faktorisierung Q{x) = {x + lf{x^
+ lf
.
Daher suchen wir nach Korollar 4b eine Entwicklung des Bruchs Tjf^ in der Form P{x) _ Oil Q(x) x +1
ai2 (a;+ 1)2
ai3 (a; +1)3
biix + cii a;2 + 1
bi2X + ci 2 (a;2 + 1)2
Dazu bestimmen wir einen gemeinsamen Teiler auf der rechten Seite und setzen die Koeffizienten des sich ergebenden Nenners mit denen von P(x) gleich und gelangen so zu einem System von sieben Gleichungen mit sieben Unbekannten, dessen Losung uns schlieBlich zu folgender Entwicklung fiihrt: P(x) Qix)
1 x+1
2 (a;+ 1)2
1 (a; + 1)3
a; - 1 a;2 + 1
a; + 1 (a;2 + 1)=
300
5 Differentialrechnung
5.5.6 U b u n g e n u n d A u f g a b e n 1. Verwenden Sie die geometrische Interpretation einer komplexen Zahl bei folgenden Problemen: a) Erklaren Sie die Ungleichungen |ai + 22! < |^i| + |^2| und l^i + • • • + a^l < \zi\ + --- + \Zn\. b) Bestimmen Sie die Lage der Punkte in der komplexen Ebene, die die Beziehung | a - l | + |a + l| < 3 erfiillen. c) Beschreiben Sie alle n-ten Einheitswurzeln und bestimmen Sie ihre Summe. d) Erklaren Sie die sich durch die Abbildung «!->•« ergebende Umformung der komplexen Ebene. 2. Bestimmen Sie die folgenden Summen: a) l + g + b) 1 + g +
hg", h g" H
fiir |g| < 1,
c) l+e'»' + --- + e'"»', d) e) f) g) li) i)
l + r e ' * ' + - - - + r"e™'', 1 + re'*' + • • • + r"(i"'f + • • • fiir \r\ < 1, 1 + r cos (/3 + • • • + r" cos rup, 1 + r cos (/3 + • • • + r" cosTup + • • • fiir \r\ < 1, 1 + r sin 93 + • • • + r" sin mp, 1 + r sin 93 + • • • + r" sin mp + • • • fiir \r\ < 1.
3. Bestimmen Sie den Betrag und das Argument der komplexen Zahl lim (1 + und zeigen Sie, dass diese Zahl gleich e^ ist. 4.
b) c) d) e) 5.
a) Zeigen Sie, dass die Gleichung e™ = a in w die Losung «; = In \z\ +iArg z hat. Es ist ganz natiirlich, w als den natiirlichen Logarithmus von z zu betrachten. Somit ist w = Ln z keine funktionale Beziehung, da Arg z mehrere Werte besitzt. Bestimmen Sie Ln 1 und Lni. Sei z" = e"^"'. Finden Sie 1" und i'. Berechnen Sie mit Hilfe der Darstellung w = sinz = 55-(e'^ — e~'^J einen Ausdruck fiir z = arcsinw. Gibt es Punkte in C, in denen | sinz] = 2?
a) Untersuchen Sie, ob die Punktion f{z) = jr^ in alien Punkten der Ebene C stetig ist. b) Entwickeln Sie die Punktion -r-r—r in einer Potenzreihe und bestimmen Sie ihren Konvergenzradius. c) Losen Sie Teil a) und b) fiir die Punktion YTX^TTI wobei A £ R ein Parameter ist. Konnen Sie eine Vermutung aufiern, wie der Konvergenzradius von der relativen Lage bestimmter Punkte in der Ebene C abhangt? Liefle sich diese Beziehung alleine auf Basis der reellen Gerade verstehen, d.h. durch Entwicklung der Punktion JT^T^, mit A G R und x G R?
5.6 Beispiele zur DifFerentialrechnung in den Naturwissenschaften 6.
301
a) Untersuchen Sie, ob die Cauchy-Punktion
fiz) = I [ in 2; = 0 stetig ist. b) Ist die Einschrankung /
0,
z=0
der Funktion / in a) auf die reelle Gerade stetig? IE
c) Existiert die Taylor-Reihe der Funktion / in a) im Punkt zo = 0? d) Gibt es in einem Punkt zo G C analytische Funktionen, deren Taylor-Reihen nur ini Punkt zo konvergieren? oo
e) Erfinden Sie eine Potenzreihe ^
Cn(z — zo)^, die nur in einem Punkt zo kon-
n=0
vergiert. oo
7.
a) Nehmen Sie in der Potenzreihe Yl ^ n ( a — o)" die formale Substitution a —o = n=0
(z — Zo) + (zo — a) vor und fassen Sie gleiche Glieder zusammen. Sie erhalten oo
so eine Reihe ^
C„{z — zoY und Ausdriicke fiir ihre KoefEzienten in Ak und
n=0
{zo-af, fc = 0 , 1 , . . . . b) Die urspriingliche Reihe konvergiere auf der Scheibe j^; — o| < R mit |ao — a| = r < R. Zeigen Sie, dass dann die Reihe, die C„, n = 0 , 1 , . .. definiert, absolut oo
konvergiert und dass die Reihe Yl Cn{z — zo)" fiir j^; — 2;o| < R — r konvergiert. oo
n=0
c) Sei f{z) = Y ^n{z — a)" auf der Scheibe j^; — a| < -R und \zo — a\ < R. Zeigen n=0
Sie, dass die Funktion / auf der Scheibe j^; — ao| < R— \zo — a\ die Darstellung oo
fi^) = Y Cn{z — Zo)" zulasst. n=0
8. Zeigen Sie: a) Wenn der Punkt z G C sich entlang der Kreises \z\ = r > 1 bewegt, dann bewegt sich der Punkt w = z + z~^ entlang einer Ellipse mit Zentrum in Null und Foki in ±2. b) Wenn eine komplexe Zahl quadriert wird (genauer gesagt unter der Abbildung w I—> lip), dann wird eine derartige Ellipse auf eine Ellipse mit einem Fokus in 0 abgebildet, die zweimal durchlaufen wird. c) Bei der Quadrierung komplexer Zahlen wird jede in Null zentrierte Ellipse auf eine Ellipse mit einem Fokus in 0 abgebildet.
5.6 Beispiele zur Anwendung der DifFerentialrechnung in den Naturwissenschaften In diesem Abschnitt wollen wir einige Probleme aus den Naturwissenschaften untersuchen, die sich zwar in ihrer Forniulierung unterscheiden aber, wie wir sehen werden, eng verwandte mathematische Modelle besitzen. Dieses
302
5 Differentialrechnung
Modell ist kein anderes als eine sehr einfache DifFerentialgleichung der uns interessierenden Funktion. Die Untersuchung eines dieser Beispiele - das ZweiKorper Problem - fiihrte uns zur Konstruktion der Differentialrechnung. Eine nahere Untersuchung des dabei erhaltenen Gleichungssystems war zu der Zeit unnioglich. Nun werden wir einige Probleme betrachten, die mit unserem jetzigen Wissensstand vollstandig losbar sind. Abgesehen von dem Vergniigen mathematische Werkzeuge in einem Spezialfall angewendet zu sehen, werden wir aus der Reihe von Beispielen in diesem Abschnitt aufierdem zusatzliches Vertrauen ini Hinblick auf die Definition der Exponentialfunktion exp x gewinnen und zwar sowohl wegen der Natiirlichkeit mit der die auftritt, als auch beziiglich ihrer Erweiterung ins Komplexe. 5.6.1 Bewegung eines Korpers mit veranderlicher Masse Wir betrachten eine Rakete, die sich geradlinig in den Raum bewegt und dabei weit von anziehenden Korpern entfernt ist (Abb. 5.33).
ruR
rtiT
Abb. 5.33. Sei M{t) die Masse der Rakete (inklusive des Treibstoffs) zur Zeit t, V{t) ihre Geschwindigkeit zur Zeit t und w die Geschwindigkeit (relativ zur Rakete), mit der der Treibstoff aus der Raketendiise bei Verbrennung austritt. Wir woUen eine Verbindung zwischen diesen GroBen herstellen. Mit diesen Annahmen konnen wir die Rakete mit Treibstoff als ein abgeschlossenes System betrachten, dessen Impuls (Bewegungsgrofie) mit der Zeit erhalten bleibt. Zur Zeit t betragt der Impuls des Systems M{t)V{t). Zur Zeit t + h betragt der Impuls der Rakete mit dem verbliebenen Treibstoff M{t + h)V{t + h), und der Impuls AI der in dieser Zeit ausgestofienen Masse \AM\ = \M{t + h)- M{t)\ = -{M{t + h)- M{t)) liegt zwischen den Grenzen {y{t) - uj)\AM\ < AI < {y{t + h)- uj)\AM\ , d.h. AI = {V{t) - uj)\AM\ + a{h)\AM\. Aus der Stetigkeit von V{t) folgt, dass a{h) -^ 0 iiir h ^ 0. Wenn wir die Impulse des Systems zu den Zeiten t und t + h gleichsetzen, erhalten wir M{t)V(t)
=M{t + h)V(t + h) + {V(t) - uj)\AM\ + a(h)\AM\
5.6 Beispiele zur DifFerentialrechnung in den Naturwissenschaften und nach Einsetzen von \AM\ ergibt sich:
= —(^M{t + h) — M{t))
303
und Vereinfachungen
M(t + h){V(t + h) - V{t)) = = -uj{M(t
+ h) -M{t))
+a{h){M(t
+ h)-M{t))
.
Die Division dieser letzten Gleichung durch h und Ubergang zum Grenzwert fiir h ^ 0 liefert M{t)V'{t) = -ujM'(t) . (5.136) Dies ist die Beziehung zwischen V{t), M{t) und ihren Ableitungen, nach der wir gesucht haben. Mit Hilfe dieser Gleichung zwischen ihren Ableitungen miissen wir nun die eigentliche Beziehung zwischen den Funktionen V{t) und M{t) finden. Ini Allgemeinen ist dies in dieser Reihenfolge schwerer als die Beziehung zwischen den Ableitungen aufzustellen, wenn wir bereits die Beziehung zwischen den Funktionen kennen. In unsereni Fall besitzt das Problem jedoch eine voUstandig elementare Losung. Tatsachlich konnen wir nach Division von (5.136) durch M{t) diese Gleichung unischreiben zu V'{t) = {-ujhiM)'{t) . (5.137) Sind aber die Ableitungen zweier Funktionen auf einem Intervall gleich, dann konnen sich die Funktionen selbst auf diesem Intervall hochstens urn eine Konstante unterscheiden. Daher folgt aus (5.137), dass V{t) = -uj\nM{t)+c.
(5.138)
Ist etwa die Geschwindigkeit V{Q) = VQ zur Zeit t = 0 bekannt, so wird durch diese Anfangsbedingung die Konstante c vollstandig bestimmt, denn wir erhalten dann aus (5.138), dass c = Vo
+uj\nM{{])
und wir konnen daraus die gesuchte FormeP^ bestimmen: V(t) = V^+u^\nj^.
(5.139)
Ist TTT-R die Masse der Raketenhiille und TTT-T die Masse des Treibstoffs und V die Endgeschwindigkeit, die die Rakete nach Verbrennung alien Treibstoffs ^® Diese Forniel wird manchmal mit deni Namen von K. E. Tsiolkowski (1857-1935), einem russischen Wissenschaftler und Begriinder der Theorie des Raumflugs, in Zusammenhang gebracht. Es hat aber den Anschein, dass sie im Jahre 1897 zuerst durch den russischen Fachmann fiir theoretische Mechanik, I. V. Meshcherski (1859-1935), in einer Studie zur Dynamik eines Punktes mit veranderlicher Masse formuliert wurde.
304
5 Differentialrechnung
erreicht, dann erhalten wir nach Substitution von M(0) =
TTT-R
+
TOT
und
M{t) = TTT-R, dass
Diese letzte Gleichung zeigt sehr deutlich, dass die Endgeschwindigkeit nicht so sehr vom Verhaltnis TTT-T/WR im Logarithmus abhangt als von der Austrittsgeschwindigkeit uj, die von der Art des Treibstoffs abhangt. Aus dieser Formel folgt insbesondere, dass fiir Vb = 0 folgende Treibstoffmenge vorhanden sein muss, um eine Rakete mit Eigenmasse mn auf die Geschwindigkeit V zu beschleunigen: mT =
TOR
(e^/- - l) .
5.6.2 Die barometrische Hohenformel Dies ist die Bezeichnung fiir die Formel, die die Abhangigkeit des atmospharischen Drucks von der Hohe iiber dem Meeresspiegel angibt. Sei p{h) der Druck in der Hohe h. Da p{h) dem Gewicht der Luftsaule auf einer Flache von 1 cm^ in der Hohe h entspricht, folgt, dass sich p{h + A) von p{h) um das Gewicht der Luftsaule im Quader mit der Grundflache 1 cm^ und der Hohe A unterscheidet. Sei p{h) die Dichte der Luft in der Hohe h. Da p{h) stetig von h abhangt, konnen wir annehmen, dass die Masse dieser Luftmenge durch die Formel piO [g/cm^] • 1 [cm2] . A [cm] = pi^A [g] wiedergegeben wird, wobei ^ eine Hohe zwischen h und h + A ist. Daher ist das Gewicht dieser Masse^® g • p{£,)^Somit ist p(h + A)-p(h) = -gp(0^Nach Division dieser Gleichung durch A und Ubergang zum Grenzwert fiir A ^ 0 und Beriicksichtigung von ^ —>• /i erhalten wir p'ih) = -gp{h) .
(5.140)
Somit ist die Veranderung des atmospharischen Drucks zur Dichte der Luft in der entsprechenden Hohe proportional. Wir erhalten eine Gleichung fiir die Funktion p{h), wenn wir die Funktion p{h) aus (5.140) ehminieren. Nach dem Gesetz von Clapeyron^^ (das ideale ^® Innerhalb des Bereichs, in dem die Atmosphare spiirbar ist, konnen wir g als Konstante betrachten. ^° B. P. E. Clapeyron (1799-1864) - franzosischer Physiker mit Thermodynamik als Spezialgebiet.
5.6 Beispiele zur DifFerentialrechnung in den Naturwissenschaften
305
Gasgesetz) hangen der Druck p, das molare Volumen V und die Temperatur T (in Kelvin^^) folgenderniaBen zusanimen: ^ = R ,
(5.141)
wobei R die sogenannte universelle Gaskonstante ist. Bezeichnet M die Masse eines Mols Luft und V sein Volumen, dann ist p = y-, so dass wir mit (5.141) 1 Wenn wir A = ^T
M R
R
setzen, ergibt sich also: p = X{T)p.
(5.142)
Wenn wir nun davon ausgehen, dass die Temperatur der Luftschicht, die wir beschreiben wollen, konstant ist, erhalten wir schlieBlich aus (5.140) und (5.142), dass
P'{h) = --fpC.)
(5.143)
Diese Differentialgleichung kann als
p'ih) p{h)
9 A
oder als {\np)'{h) =
(-!' geschrieben werden. woraus wir folgern , dass \np{h) = - 9i, , bzw. p(h) = e' • e-^s/X)h Der Faktor e" lasst sich aus der bekannten Anfangsbedingung p(0) = po zu e" = PQ bestimmen. Somit gelangen wir zu folgender Abhangigkeit zwischen Druck und Hohe: p = PQe-^B/X)h ^
(5;^44)
Fiir Luft mit R a u m t e m p e r a t u r (etwa 300 K = 27° C) ist der Wert von A bekannt: A K, 7, 7 • 10* (cm/s)^. Aufierdem wissen wir, dass g K, lO^cm/s^. Wenn wir diese Zahlenwerte fiir g und A einsetzen, nimmt (5.144) seine endgiiltige Form an. Insbesondere konnen wir aus (5.144) erkennen, dass der Druck um den Faktor e ( « 3) abnimmt, wenn wir auf eine Hohe von 1 0 ^cm = 7,7 km steigen. Der Druck nimmt um denselben h = A — = 7 , 7 - 10 Faktor zu, falls m a n in einem Minenschacht um etwa 7, 7 km absteigt. W. Thomson (Lord Kelvin) (1824-1907) - beriihmter britischer Physiker.
306
5 Differentialrechnung
5.6.3 Radioaktiver Zerfall, Kettenreaktionen und Kernreaktoren Es ist bekannt, dass die Kerne schwerer Elemente zu sporadischem (spontanem) Zerfall neigen. Dieses Phanomen wird natiirliche Radioaktivitdt genannt. Das hauptsachliclie statistische Gesetz fiir die Radioaktivitat (das dementsprechend fiir nicht zu geringe Mengen und Konzentrationen einer Substanz zutrifft) besagt, dass die Zahl der Zerfallsvorgange in einem kleinen Zeitintervall h, das zur Zeit t beginnt, zu h und zur Zahl N{t) der Atome der Substanz, die bis zur Zeit t nicht zerfallen sind, proportional ist, d.h. N{t + h)-
N(t) « -XN(t)h
,
wobei A > 0 ein numerischer KoefRzient ist, der fiir das jeweilige chemische Element charakteristisch ist. Daher erfiillt die Funktion N{t) die nun bekannte Differentialgleichung N'{t) = -XN{t)
,
(5.145)
aus der folgt, dass N{t) = Noe- -\t wobei No = N{0) die Anfangszahl der Atome der Substanz ist. Die Zeit T bis zu der die Halfte der anfanglichen Anzahl von Atomen zerfallen ist, wird Halbwertszeit der Substanz genannt. Die Gr6i3e T lasst sich aus der Gleichung e""^-^ = ^ bestimmen, d.h. T = ^^ « ^ ^ . So ist beispielsweise fiir Polonium-210 (Po^^°) die Halbwertszeit ungefahr 138 Tage, fiir Radium226 (Ra^^®) T « 1600 Jahre, fiir Uran-235 (U^^S) T « 7,1 • 10^ Jahre und fiir sein Isotop U^^s T « 4, 5 • 10^ Jahre. Eine Kernreaktion ist eine Wechselwirkung von Kernen oder eines Kerns mit Elementarteilchen, die zum Entstehen eines neuen Kerns fiihrt. Dies kann die Kernfusion sein, bei der die Verschmelzung leichter Kerne zur Bildung schwererer Kerne fiihrt (z.B. zwei Kerne schweren Wasserstoffs - Deuterium ergeben einen Heliumkern unter Freisetzung von Energie). Es kann auch der Zerfall eines Kerns sein und die Bildung eines oder mehrerer Kerne leichterer Elemente. Insbesondere tritt ein derartiger Zerfall in ungefahr der Halfte der Falle ein, wenn ein Neutron auf einen U^^^ Kern trifft. Der Zerfall des Uraniumkerns fiihrt zur Bildung von 2 oder 3 neuen Neutronen, die dann mit weiteren Kernen in Wechselwirkung treten konnen, was dazu fiihrt, dass diese zerfallen, was eine weitere Multiplikation der Zahl der Neutronen bewirkt. Eine Kernreaktion dieser Art wird Kettenreaktion genannt. Wir werden ein theoretisches mathematisches Modell fiir eine Kettenreaktion eines radioaktiven Elements beschreiben, um die Veranderung der Zahl N(t) der Neutronen als eine Funktion der Zeit zu bestimmen. Wir nehmen an, dass die Substanz Kugelform mit Radius r besitzt. Ist r nicht zu klein, werden einerseits neue Neutronen im Zeitintervall h beginnend zur Zeit t erzeugt. Deren Zahl ist zu h und N{t) proportional. Andererseits
5.6 Beispiele zur DifFerentialrechnung in den Naturwissenschaften
307
gehen auch einige der Neutronen fiir die Reaktion verloren, wenn sie sich aui3erhalb der Kugel bewegen. 1st V die Geschwindigkeit der entstehenden Neutronen, dann konnen nur solche Neutronen die Kugel in der Zeit h verlassen, die innerhalb der Entfernung vh des Randes liegen. Von diesen allerdings nur die, deren Bewegungsrichtung ungefahr in Richtung des Radiusvektors zeigt. Wenn wir annehmen, dass diese Neutronen einen festen Anteil aller Neutronen in der Kugel ausmachen und dass Neutronen ungefahr gleichformig in der Kugel verteilt sind, konnen wir sagen, dass die Zalil der verlorenen Neutronen ini Zeitintervall h zu N{t) und zum Verhaltnis zwisclien dem Volumen der Randschicht und dem Volumen der Kugel proportional ist. Das eben Gesagte fiihrt uns zu der Gleichung N{t + h)- N{t) « aN{t)h - -N{t)h (5.146) r (da das Volumen der Randschicht etwa Airr'^vh betragt und das Volumen der Kugel f^rr^ ist). Dabei hangen die Koeffizienten a und /3 nur von der vorliegenden radioaktiven Substanz ab. Nach Division mit h und Ubergang zum Grenzwert in (5.146) fiir /i —^ 0 erhalten wir o N'{t)=[a--jN{t) (5.147) und daraus N{t) = No exp
(«-7>}
Aus dieser Formel konnen wir erkennen, dass fiir (ct — f) > 0 die Zahl der Neutronen mit der Zeit exponentieU anwachst. Die Art dieses Anwachsens ist unabhangig von der Anfangsbedingung A^o derart, dass die Substanz praktisch in einem sehr kurzen Zeitintervall voUig zerfallt und dabei eine ungeheure Energiemenge freigesetzt wird - dies fiihrt zu einer Explosion. Ist (a — f ) < 0, schwacht sich die Reaktion sehr schneU ab, da mehr Neutronen verloren gehen als erzeugt werden. Fiir den Fall dazwischen, d.h. a — ^ = 0 , beobachtet man ein Gleichgewicht zwischen der Erzeugung von Neutronen und ihrem Verlust fiir die Reaktion, wodurch die Zahl der Neutronen ungefahr gleich bleibt. Der Wert r, fiir den a — ^ = 0, wird kritischer Radius und die Masse der Substanz im Kreis dieses Volumens wird kritische Masse der Substanz genannt. Fiir U^^^ liegt der kritische Radius bei etwa 8, 5 cm und die kritische Masse bei etwa 50 kg. In Kernreaktoren, in denen durch eine Kettenreaktion einer radioaktiven Substanz Dampf erzeugt wird, gibt es eine kiinstliche Neutronenquelle, die das spaltbare Material mit einer gewissen Anzahl n von Neutronen pro Einheitszeit versorgen. Daher andert sich fiir einen Atomreaktor die Gleichung (5.147) etwas zu: N'{t)=
(a--)N{t)+n.
(5.148)
308
5 Differentialrechnung
Diese Gleichung kann auf dieselbe Weise gelost werden wie (5.147), da (a-p%)N(t)+n der Ableitung der Funktion ^ ; ^ In [{a - f)N(t) + n] fiir a — ^ ^ 0 entspricht. Folglich besitzt die Losung von (5.148) die Form C ]Voe("-/5/^)* - ^ ^ [1 - e("-'3/'-)*] fur a - f ^ 0 , N{t) = \ I No+nt fiir a - f = 0 . An dieser Losung konnen wir sehen, dass fiir cc — -^ > 0 (iiberkritische Masse) eine Explosion auftritt. 1st die Masse unterkritisch, d.h. a — ^ < 0, wird der Vorgang sehr rasch zu
Nit) #-a gelangen. Wird daher die Masse der radioaktiven Substanz im unterkritischen Bereich aber nahe an der kritischen Masse gehalten, dann erhalten wir unabhangig von der Starke der zusatzlichen Neutronenquelle, d.h. unabhangig von n, hohere Werte von N(t) und folglich grofiere Energie aus deni Reaktor. Es ist sehr heikel, den Prozess im unterkritischen Bereich zu halten, und es ist in der Praxis nur durch sehr komplizierte automatische KontroUsysteme moglich. 5.6.4 In der Atmosphare fallende Korper Wir wollen uns nun mit einem Korper und seiner Geschwindigkeit v{t) beschaftigen, der unter dem Einfluss der Schwerkraft auf die Erde fallt. Gabe es keinen Luftwiderstand, wiirde die Gleichung v{t) = g
(5.149)
fiir einen Fall aus relativ niedriger Hohe gelten. Diese Beziehung ergibt sich aus dem zweiten Newtonschen Gesetz ma = F und dem allgemeinen Gesetz der Schwerkraft, aufgrund dessen fiir /i {m-zl > 0, dann wird eine der Substitutionen ~Jrnit = x, = .'" oder ^mit = , '" das Integral ^/mit = V l — x'^, \/mit f
,
auf die Form f
•' ^ A ( l + m i t 2 ) ( i + m 2 t 2 )
.
reduzieren, wobei f ei-
•' y ( l - a ; 2 ) ( i _ ; i 2 j , 2 )
ne rationale Funktion und 0 < fc < 1 ist. k) Leiten Sie eine Formel fiir die Verkleinerung der Exponenten 2n und m fiir die folgenden Integrale her: x^" r x'" Ax J J(l-x^)(l-k^x^)' s/il - x''){l - k'^x'')'
fr Ax J ix-'(x-'-a - a)"' • -s/{l - x''){l - k'^x-') '
1) Jedes elliptische Integral
/ R(x,^/P{x)\
Ax ,
wobei P ein Polynom vom Grad vier ist, kann bis auf Ausdriicke aus elementare Punktionen auf eine der kanonischen Formen (5.185), (5.186) und (5.187) reduziert werden. m) Driicken Sie das Integral f .'^^ durch kanonische elliptische Integrale aus. n) Driicken Sie die Stammfunktionen der Punktionen '
, '" „ und Vcos 2x
,
'"
durch
v c o s a —cosx
elliptische Integrale aus. 6. Finden Sie bis auf eine lineare Funktion Ax + B Stammfunktionen mit Hilfe der unten eingefiihrten Schreibweise fiir die folgenden, nicht elementaren besonderen Punktionen:
f e""
a) Ei (x) = / —da; (Integralexponential). J X smx Ax (Integralsinus). b) Si (x) = / '"""^ J
X
c) Ci (x) = / J
Ax (Integralcosinus X
342
5 Differentialrechnung smh X
/
X
cosh X
/
dx (Integralsinus hyperbolicus). da; (Integralcosinus hyperbolicus).
f) Die Fresnel-Integrale S{x) = I sinx dx und C{x) = I COST dx . g) 0 der Basis B besteht aus alien Unterteilungen mit ausgezeichneten Punkten (P, ^) auf [a,b] fiir die A(P) < d. Wir woUen zeigen, dass {B^} mit d > 0 tatsachlich eine Basis in V ist. Zunachst einmal ist B^ ^ 0 , denn es ist offensichthch, dass zu jeder Zahl d > 0 eine Unterteilung P von [a, b] mit Schrittweite A(P) < d existiert
348
6 Integralrechnung
(etwa eine Unterteilung in n kongruente abgeschlossene Intervalle). Aber dann existiert auch eine Unterteilung (P, ^) mit ausgezeichneten Punkten, fiir die A(P) < d. Des Weiteren ist es fiir di > 0, ^2 > 0 und d = minjdi, ^2} oflFensichtlich, dass i?di n Bci2 = B^ £ B. Daher ist B = {B^} tatsachlich eine Basis in V. c. Riemannsche Summen Definition 3. Ist eine Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] definiert und ist (P, ^) eine Unterteilung mit ausgezeichneten Punkten auf diesem abgeschlossenen Intervall, dann ist n
a{!-P,S,):=Y,f{S,i)Axi,
(6.3)
i=l
mit Axi = Xi — Xi-i, die Riemannsche Summe der Funktion / zur Unterteilung (P,^) mit ausgezeichneten Punkten auf [a,b]. Daher ist zu der vorgegebenen Funktion / die Riemannsche Summe cr{f;P,£,) eine Funktion ^(p) = a{f;p) auf der Menge V aller Unterteilungen p = (-P, 0 niit ausgezeichneten Punkten auf dem abgeschlossenen Intervall Da in "P eine Basis B existiert, konnen wir den Grenzwert der Funktion ^(p) auf dieser Basis untersuchen. d. Das Riemannsche Integral Sei / eine auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] definierte Funktion. Definition 4. Die Zahl / ist das Riemannsche Integral der Funktion / auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b], faUs fiir jedes e > 0 ein (5 > 0 existiert, so dass
E/(^^)^«
< e
fiir jede Unterteilung (P,^) mit ausgezeichneten Punkten auf [a,b], deren Schrittweite A(P) kleiner als 6 ist. Da die Unterteilungen p = {P,£,), fiir die A(P) < 6, die Elemente Bg der oben eingefiihrten Basis B auf der Menge V der Unterteilungen mit ausgezeichneten Punkten bilden, ist Definition 4 aquivalent zur Aussage / = lim^fp) , B
6.1 Definition des Integrals
349
d.h., das Integral / ist auf B der Grenzwert der Riemannschen Summen der Funktion / niit entsprechenden Unterteilungen mit ausgezeichneten Punkten a u f [a,b].
Es ist nur natiirlich, die Basis B mit A(P) ^ 0 zu bezeichnen. Damit kann die Definition des Integrals neu geschrieben werden: n
^=.}T
E/(^^)^«^-
(6.4)
Das Integral von f{x) auf [a, b] wird mit
f{x) dx bezeichnet. Dabei werden die Zahlen a und b die unteren und oberen Integrationsgrenzen genannt. Die Funktion / wird Integrand und x die Integrationsvariable genannt und f{x) dx wird als Differentialform bezeichnet. Somit ist also: (6.5)
Definition 5. Eine Funktion / ist auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] Riemann-integrierbar, wenn der Grenzwert der Riemannschen Summen in (6.5) fiir A(P) —>• 0 existiert (d.h., das Riemannsche Integral ist definiert). Die Menge der auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] Riemann-integrierbaren Funktionen wird mit IZ[a, b] bezeichnet. Da wir fiir eine Weile keine anderen Integrale auBer den Riemannschen Integralen betrachten, vereinbaren wir, der Einfachheit halber, nur „Integral" und „integrierbare Funktion" anstelle von „Riemannsches Integral" und „Riemann-integrierbare Funktion" zu sagen. 6.1.3 Die Menge der integrierbaren Funktionen Laut Definition des Integrals (Definition 4) und ihren Umformungen zu (6.4) und (6.5) ist ein Integral der Grenzwert einer gewissen Spezialfunktion ^(p) = a{f; P, ^), die Riemannsche Summe, die auf der Menge V der Unterteilungen p = (-P, 0 n^it ausgezeichneten Punkten definiert ist. Dieser Grenzwert wird auf der Basis B, die wir als A(P) —>• 0 bezeichnet haben, in V gebildet. Daher hangt die Integrierbarkeit einer Funktion / auf [a, h\ von der Existenz dieses Grenzwertes ab. Nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium existiert der Grenzwert genau dann, wenn fiir jedes e > 0 ein Element Bg G B existiert, so dass
350
6 Integralrechnung \ 0 eine Zahl 6 > 0 existiert, so dass
Y, 0 ein (5 > 0, so dass uj{f;A) < j ^ auf jedem abgeschlossenen IntervaU A C [a, 6], dessen Lange kleiner als 5 ist. Somit erhalten wir fiir jede Unterteilung P mit Schrittweite A(P) < 6, dass n
V w(/; Ai)Axi ^—' 1=1
n
< - ^ V Axi = T^{b - a) = e . b — a ^—' b—a 1=1
Nach Satz 2 konnen wir folgern, dass / € TZ[a, h\.
D
KoroUar 2. Ist eine auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] beschrdnkte Funktion f mit Ausnahme einer endlichen Punktmenge iiberall stetig, dann ist f e 7^[a,6]. Beweis. Sei w(/; [a,b]) < C < oo. Wir nehmen an, dass / auf [a,b] k Unstetigkeitsstellen besitzt. Wir werden beweisen, dass die hinreichende Bedingung fiir die Integrierbarkeit der Funktion / erfiillt ist. Zu vorgegebenem e > 0 wahlen wir die Zahl 5i = -^^r^ und konstruieren die (5i-Umgebung zu jedem der k Unstetigkeitsstellen von / auf [a, h\. Das Komplement der Vereinigung dieser Umgebungen in [a, b] besteht aus einer endlichen Zahl abgeschlossener Intervalle. Dabei ist / auf jedem dieser IntervaUe stetig und folghch gleichmaBig stetig. Da die Anzahl dieser IntervaUe endhch ist, existiert zu gegebenem e > 0 ein (52 > 0, so dass auf jedem Intervall Z\, dessen Lange kleiner als 82 ist und das vollstandig in einem der eben genannten abgeschlossenen IntervaUe hegt, in denen / stetig ist, uj{f]A) < 2(b-a) SiltWir wahlen nun 6 = min{(5i,(52}. Sei P eine behebige UnterteUung von [a, b] fiir die A(P) < 5. Wir teilen n
die Summe ^ w(/; Ai)Axi,
die zur Unterteilung P gehort, in zwei Telle:
i=l n
J2 ^ ( / ; A)Zixi = ^ ' a j ( / ; Ai)Axi + J2"ojif; Ai)Axi
.
i=\
Die Summe ^ ' enthalt die Glieder, die zu den Intervallen Z\j der Unterteilung gehort, die keine gemeinsamen Punkte mit irgendeiner der (5i-Umgebungen der
354
6 Integralrechnung
Unstetigkeitsstellen besitzen. Fiir diese Intervalle Z\j erhalten wir uj{f; Z\j) < 2(T^ und folglich
E'-(/; ^o^-« < ^
E'^-« < ^ ( ^ -«) = !•
Die Sumnie der Langen der verbleibenden Intervalle der Unterteilung P betragt, wie wir einfach selien konnen, hochstens {S+2di+d)k < 4:-§^-k und daher ist
E"^(/; A)4x, < c J2"Ax, < c • ^ = I. Daher erhalten wir fiir A(P) < S, dass
Y^uj{f;Ai)Axi
<e
1=1
d.h., die hinreichende Bedingung fiir die Integrierbarkeit ist erfiillt und somit ist / e 7^[a,&]. D KoroUar 3. Eine auf einem abgeschlossenen Intervall monotone Funktion ist auf diesem Intervall integrierbar. Beweis. Aus der Monotonie von / auf [a, &] folgt, dass a;(/; [a,b])=\f{b)—f{a)\. Sei e > 0 gegeben. Wir setzen 6 = ^^^TZTTT^- Sei f{b) — f{a) ^ 0, da ansonsten / konstant ist und dann unzweifelhaft integrierbar ist. Sei P eine beliebige Unterteilung von [a, b] mit Schrittweite \{P) < 6. Dann erhalten wir unter Beriicksichtigung der Monotonie von / , dass n
n
i=l
i=l
n
i=l
6 Y.{f{Xi)-f{Xi.,))
S\f{b)-f(a)\
i=l
Daher erfiillt / die hinreichende Bedingung fiir die Integrierbarkeit und folglich ist / e7^[a,&]. D Eine monotone Funktion kann eine (abzahlbar) unendliche Menge von Unstetigkeitsstellen auf einem abgeschlossenen IntervaU haben. So ist beispielsweise die folgenderniaBen definierte Funktion ( 1 - 2 ^ fiir 1 - 2 ^ <x • M eine Funktion mit reellen Werten, die auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] definiert und besclirankt ist. Sei P eine Unterteilung von [a, b] und seien Z\j (« = 1 , . . . , n) die Intervalle der Unterteilung P und seien rrii = inf f{x) und Mj = sup f{x){i = l,...,n). Die Summen n
sif;P)
•=
'^niiAxi i=l
und n
S{f;P):=Y,MiAxi i=l
werden untere bzw. obere Riemannsche Summen der Funktion / auf dem Intervall [a, b] zur Unterteilung P dieses Intervalls^ genannt. Die Summen s{f;P) und S{f;P) werden auch untere bzw. obere Darboux-Summen zur Unterteilung P von [a, b] genannt. Ist (P,^) eine beliebige Unterteilung mit ausgezeichneten P u n k t e n auf [a,b], dann ist offensiclitlich sif;P)• 0 und daher konnen wir nach Satz 2' aus dieser Ungleichung folgern, dass (/ £ TZ[a, b]) ^ (/e7^[c,d]), falls [c,d\ C [a,b]. e) Wir zeigen zunachst, dass fiir / e TZ[a, b] auch /^ £ TZ[a, b]. Sei / £ TZ[a,b], dann ist / auf [a,b] beschrankt. Sei |/(a;)| < C < oo auf [a,b]. Dann ist | / ' ( x i ) - f{x2)\
= |(/(xi) + fix,))
und daher ujif'^;E) < 2Cujif;E),
• [fix,)
- fix,))
I < 2C\fix,)
-
fix,)\
falls E C [a,b]. Somit ist
n
n
J2ojif;Ai)Axi
< 2CY,'^if-Ai)Axi
,
woraus wir mit Satz 2' schlieBen konnen, dass (/£7^[a,6])^(/2£7^[a,6]). Wir wenden uns nun dem allgemeinen Fall zu. Dazu schreiben wir die Gleichung
{f-g){^) = \[{f +
9)'\^)-{f-g)\x)].
Aus dieser Gleichung und dem eben bewiesenen Ergebnis konnen wir zusammen mit dem bereits bewiesenen Teilen a) und c) folgern, dass (/ £ 7^[a, b\) A (ff £ 7^[a, 6]) ^ (/ • 5 £ 7^[a, b\) .
U
6.1 Definition des Integrals
359
Sie wissen bereits von ihrem Algebrastudium, was ein Vektorraum ist. Funktionen mit reellen Werten, die auf einer Menge definiert sind, konnen addiert und mit einer reellen Zalil multipliziert werden, wobei beide Operationen punktweise durchgefiihrt werden. Das Ergebnis ist wieder eine Funktion mit reellen Werten auf derselben Menge. Werden Funktionen als Vektoren betrachtet, dann konnen wir zeigen, dass alle Axiome eines Vektorraums iiber dem Korper der reellen Zalilen gelten und dass die Menge der Funktionen mit reellen Werten einen Vektorraum beziiglicli der punktweisen Addition und Multiplikation mit reellen Zalilen bilden. In den Teilen a) und b) von Satz 4 wurde behauptet, dass die Addition von integrierbaren Funktionen und die Multiplikation einer integrierbaren Funktion mit einer Zahl nicht aufierhalb der Klasse TZ[a, b] der integrierbaren Funktionen fiilirt. Daher ist TZ[a, b] selbst ein Vektorraum - ein Unterraum des Vektorraums der auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] definierten Funktionen mit reellen Werten. d. K r i t e r i u m n a c h L e b e s g u e fur d i e R i e m a n n - I n t e g r i e r b a r k e i t einer Funktion Zum Abschluss stellen wir fiir den Augenblick ohne Beweis einen Satz von Lebesgue vor, der eine intrinsische Beschreibung einer Riemann-integrierbaren Funktion erlaubt. Dazu fiihren wir das folgende Konzept ein, das auch fiir sich genommen wertvoll ist. D e f i n i t i o n 7. Eine Menge i? C ffi besitzt das Mafi Null (im Sinne von Lebesgue), wenn fiir jede Zahl e > 0 eine Uberdeckung der Menge E durch ein hochstens abzahlbares System von Intervallen {Ik} existiert, deren Langen oo
summiert hochstens e ist, d.h. '^ \Ik\ < £• fc=i oo
Da die Reihe ^
\Ik\ absolut konvergiert, spielt die Summationsreihen-
fc=i
folge der Langen der Intervalle der Uberdeckung keine Rolle (vgl. Satz 4 in Absatz 5.5.2), so dass die Definition eindeutig ist. L e m m a 2. a) Ein Punkt und eine endliche Anzahl von Punkten sind Mengen mit dem Mafi Null. b) Die Vereinigung einer endlichen oder abzahlbaren Anzahl von Mengen mit dem Mafi Null ist eine Menge mit dem Mafi Null. c) Eine Teilmenge einer Menge mit dem Mafi Null besitzt selbst das Mafi Null. d) Ein abgeschlossenes Intervall [a, b] mit a < b ist keine Menge mit Mafi Null.
360
6 Integralrechnung
Beweis. a) Ein Punkt wird von einem Intervall niit einer Lange, die beliebig kleiner ist als jede vorgegebene Zahl e > 0, iiberdeckt. Daher ist ein Punkt eine Menge mit dem Mai3 Null. Der Rest von a) folgt aus b). b) Sei E = L) E" eine hoclistens abzahlbare Vereinigung von Mengen E" n
mit dem Mafi Null. Sei e > 0, so konstruieren wir zu jedem _E" eine Uberdeckung {IJ}} von E"-, so dass ^ \I^\ < ^ . k
Da die Vereinigung einer hochstens abzahlbaren Ansammlung von liochstens abzahlbar vielen Mengen selbst wieder hochstens abzahlbar ist, bilden die Intervalle /^, k,n £ N eine hochstens abzahlbare Uberdeckung der Menge E und e e £
Ei^^" n.k
Die Reihenfolge der Indizes n und k in X] l-^fc*! spielt bei der Summation keine Rolle, da die Reihe fiir jede Summationsreihenfolge zu derselben Summe konvergiert, sobald sie auch nur fiir eine Anordnung konvergiert. Dies ist hier der Fall, da jede Teilsumme der Reihe durch e von oben beschrankt ist. Daher ist E eine Menge mit dem Mafi Null im Sinne von Lebesgue. c) Diese Aussage folgt offensichthch unmittelbar aus der Definition einer Menge mit dem Mafi Null und der Definition einer Uberdeckung. d) Da jede Uberdeckung eines abgeschlossenen IntervaUs durch offene Intervalle eine endliche Uberdeckung enthalt, deren Langensumme offensichthch nicht die Summe der Langen der Intervalle der urspriinglichen Uberdeckung iibersteigt, geniigt es zu zeigen, dass die Summe der Langen von offenen Intervallen, die eine endliche Uberdeckung eines abgeschlossenen IntervaUs [a, h] bilden, nicht kleiner ist als die Lange b — a des abgeschlossenen IntervaUs. Wir werden dies durch Induktion iiber die Anzahl der Intervalle in der Uberdeckung beweisen. Fiir n = 1, d.h., wenn das abgeschlossene Intervall [a, 6] in einem offenen IntervaU (cc,/?) enthalten ist, ist offensichthch, dass a < a < b < P und fi — a> h — a. Angenommen, die Aussage sei bis einschliefihch des Indexes fc £ N bewiesen. Wir betrachten eine Uberdeckung, die aus fc + 1 offenen Intervallen besteht. Wir greifen ein IntervaU (ai, 02) heraus, das den Punkt a enthalt. Ist Q^2 > &, dann ist 0:2 — cti > h — a und das Ergebnis ist bewiesen. Ist a < a2 0 (i = 1,... ,n) und fiir a > b, dass Axi < 0 (« = 1 , . . . , n ) , da Axi = Xi — Xi-i. Daher wird sich fiir a > b die Summe (6.14) von der Riemannschen Summe mit derselben Unterteilung des abgeschlossenen Intervalls [b, a] (b < a) nur durch das Vorzeichen unterscheiden. Aus dieser Betrachtung heraus treffen wir die folgende Vereinbarung: 1st a > b, dann ist b
a
f{x)dx:=—
/ f{x)dx.
a
(6.15)
b
In diesem Zusammenhang ist es nur natiirlich, f(x)dx:=0
(6.16)
zu setzen. Nach diesen Vereinbarungen gelangen wir unter Beriicksichtigung von Lemma 1 zu folgender wichtigen Eigenschaft des Integrals. Satz 2. Seien a,b,c G ffi und sei f eine integrierbare Funktion, die auf dem grofiten abgeschlossenen Intervall, das zwei dieser Punkte als Endpunkt besitzt, definiert ist. Dann ist die Einschrankung von f auf jedes der anderen abgeschlossenen Intervalle in diesem Intervall ebenfalls integrierbar, und es gilt die folgende Gleichung: b
c
fix) dx+ a
a
f fix) dx+ b
f fix) da; = 0 .
(6.17)
c
Beweis. Wegen der Symmetrie von (6.17) bzgl. a, b und c konnen wir ohne Beschrankung der Allgemeinheit annehmen, dass a = minja, 6,c}. Ist max{a, b,c} = c und a < b < c, dann gilt nach Lemma 1, dass b
c
fix) dx + a
b
c
fix) dx —
fix) da; = 0 ,
a
woraus wir, wenn wir die Vereinbarung (6.15) beriicksichtigen, (6.17) erhalten. Ist max{a, b,c} = b und a < c < b, dann gilt nach Lemma 1, dass e
b
fix) dx +
b
fix) dx —
fix) da; = 0 ,
368
6 Integralrechnung
woraus wir, wenn wir die Vereinbarung (6.15) beriicksichtigen, wiederum (6.17) erhalten. Sind schlieBlich zwei der Punkte a, b und c gleich, dann ergibt sich (6.17) aus den Vereinbarungen (6.15) und (6.16). D Definition 1. Angenonimen, wir ordnen jedeni geordneten Paar (cc,/?) von Punkten a, /3 £ [a, b] eine Zahl I{a, /3) zu, so dass /(a,7)=/(a,/?)+/(/3,7) fiir jedes Punktetripel Q;,/?,7 £ [a,b] gilt. Dann wird die Funktion I{a, (3) als eine auf in [a, b] enthaltenen Intervallen definierte additive (orientierte) Intervallfunktion bezeichnet. 1st / £ TZlA, B] und a,b,c G [A, B], dann konnen wir, wenn wir I (a, b) = b
J f{x)dx
setzen, aus (6.17) folgern, dass
a c
b
fix) dx= a
c
I fix) dx+ I fix) dx , a
(6.18)
b
d.h., das Integral ist auf dem Integrationsintervall eine additive Intervallfunktion. Die Orientierung des Intervalls entspringt in dieseni Fall unserer Anordnung der Endpunkte des Intervalls, indem wir vorgeben, welches der erste (die untere Integrationsgrenze) und welches der zweite Punkt (die obere Integrationsgrenze) ist. 6.2.3 Abschatzung des Integrals, Monotonie des Integrals und der Mittelwertsatz a. Eine allgemeine Abschatzung des Integrals Wir beginnen mit einer allgemeinen Abschatzung des Integrals, die, wie wir spater sehen werden, auch fiir Integrale von Funktionen gilt, die nicht notwendigerweise reelle Werte annehnien. Satz 3. Sei a < b und f £ TZ[a, b]. Dann ist auch | / | £ TZ[a, b] und es gilt die folgende Ungleichung: b
b
fix)dx
< l\f\{x)dx.
(6.19)
Ist \f\{x) < C auf [a,b], dann gilt: b
\f\ix)dx 6j+i
n
mbi 0 und bi — bi+i > 0 fiir i = 1,..., erhalten wir mit (6.29), dass n
Y i=l
n—1
aibi <Mbn
+ Y
^^^i
- ^'+i) = ^ ^ » + ^ ( ^ 1 - ^») = ^ ^ 1 •
i=l
Die linke Ungleicliung von (6.30) wird ahnlicli bewiesen. L e m m a 3 . Sei f £ TZ[a, b], dann ist fiir jedes x £ [a, b] die F{x) = I f(t)dt
definiert,
n—1,
und es gilt F{x) € C[a,b].
D Funktion (6.31)
6.2 Linearitat, Additivitat und Monotonie des Integrals
373
Beweis. Die Existenz des Integrals in (6.31) fiir jedes x £ [a, b] ist bereits aus Satz 4 in Absclinitt 6.1 bekannt. Dalier bleibt nur zu zeigen, dass die Funktion F{x) stetig ist. Da / £ TZ[a,b], gilt | / | < C < oo in [a,b]. Sei x G [a,b] und X + h G [a,b]. Dann konnen wir mit der Additivitat des Integrals und den Ungleichungen (6.19) und (6.20) sagen, dass x-\-h
\F{x + h) - F{x)\
fit) dt - / fit) dt x-\-h
x+h
fit) dt
0 auch \f\'' £ TZ[a, h]. b) Gehen Sie von der Holderschen Ungleichung fiir Sumnien aus und zeigen Sie die Holdersche Ungleichung fiir Integrale®
jU-g){x)Ax
• a;, t £ [a, b]. Wenn wir den Punkt x festhalten, dann ist die Funktion A{t) = f{t) — f{x) in [a, 6] integrierbar, da sie der Differenz der integrierbare Funktion 11->- f{t) und der Konstanten f{x) entspriclit. Wir bezeiclmen sup \A{t)\ mit M{h), wobei I{h) das abgeschlossene Intervall mit t€Hh)
den Endpunkten x,x + h G [a,b] ist. Laut Voraussetzung gilt M{h) —>• 0 fiir Wir sclireiben nun X
x+h
x+h
F{x + h)- F{x) = I fit) At- j fit) dt= I fit) dt = a
a
x-\-h
X x-\-h
ifix) + Ait)) dt= wobei
x-\-h
[ fix) dt+
x+h
Ait) dt = aih)h gesetzt liaben. Aus
[ Ait) dt = fix)h + aih)h ,
3 Das Integral und die Ableitung x-\-h
x+h A{t) dt < \A{t)\At
379
x+h
';^i)^U,
i=l
i=l
wobei Ai das abgesclilossene Intervall mit den Endpunkten tj_i und tj ist. Diese letzte Summe strebt fiir X{Pt) —>• 0 gegen Null, da f' auf [a, (]] stetig ist. Daher liaben wir nachgewiesen, dass n
n
Y,!{S,i)Axi = J2f{^in))^'{n)Au + j , i=l
i=l
wobei 7 —>• 0 fiir X{Pt) —>• 0. Wir haben bereits darauf liingewiesen, dass X{Px) —>• 0, falls X{Pt) -^ 0. Aber / e TZ[a, b], so dass die Summe auf der linken Seite dieser letzten Gleichung fiir X{Px) —>• 0 gegen das Integral /
f{x)dx
strebt. Daher besitzt fiir X{Pt) —>• 0 die rechte Seite der Gleichung denselben Grenzwert. n
Wir konnen die Summe J2 f{v{Ti))f'{Ti)^ti
aber als vollig beliebige Rie-
i=l
mannsche Summe fiir die Funktion f{'pit))f'{t) zur Unterteilung Pf mit ausgezeichneten Punkten T = ( r i , . . . , r„) betrachten. Denn auf Grund der strengen Monotonie von ip kann jede Menge von Punkten r aus einer entsprechenden Menge ^ = ( ^ i , . . . , ^„) ausgezeichneter Punkte in der Unterteilung Px = ^{Pt) erhalten werden. Daher ist der Grenzwert dieser Summe per definitionem gleich dem Integral der Funktion f(^Lp{t))ip'{t) iiber dem abgeschlossenen Intervall [a,/?] und wir haben gleichzeitig sowohl die Integrierbarkeit von f{'pit))f'{t) auf [a,(]] als auch (6.48) bewiesen. D 6.3.5 Einige Beispiele Wir wollen nun einige Beispiele zum Gebrauch dieser Formeln und den in den letzten beiden Abschnitten bewiesenen Satzen iiber Eigenschaften von Integralen betrachten.
386
6 Integralrechnung 1. 7r/2
/ V 1 — a;2 dx =
/
yl — S\T? tcostdt
-7r/2
-1
=
/
cos^tdt
-7r/2
7r/2 7r/2
= -
/ ( l + c o s 2 t ) d t = - f t + -sin2t~j
^
-7r/2
^
2
-77/2
Bei der Berechnung des Integrals haben wir die Substitution x = sint vorgenommen und dann, nachdem wir die Stammfunktion fiir den sich ergebenden Integranden nach dieser Substitution bestimmt haben, den Fundamentalsatz angewendet. Natiirlich batten wir auch anders vorgehen konnen. Wir batten fiir die Funktion V l — x'^ sehr miihsam die Stammfunktion ^x^/l — x'^ + |-arcsina; finden und dann den Fundamentalsatz einsetzen konnen. Dieses Beispiel zeigt, dass wir gliicklicberweise mancbmal bei der Berecbnung bestimmter Integrale auf das AufRnden einer Stammfunktion fiir den vorgegebenen Integranden verzichten konnen. Beispiel 2. Wir wollen zeigen, dass a)
7r
TV
/ sin mx cos nx dx = 0 , h)
/ sin^ mx dx = TT , c) —TV
— 7r
TV
/ cos^ nxdx = TT —7r
fiir 171,71 G'N. 7r
7r
sin mx cos nxdx = - / (sin(n + m)x — sin(n — m)x) dx = - (
cosfn + m)x H
cos(n — m)x ]
0,
fiir n — m ^ Q. Der Fall n — m = 0 kann getrennt betrachtet werden und fiir diesen Fall gelangen wir offensichtlich zu demselben Ergebnis. b)
/ sin^ mx dx = - / (1 — cos2m,x) dx = T:[X — -— sin2m,x I — IT TT
c)
—IT
TT
/ cos^ nxdx = - / (1 + cos2nx) dx = - (a; + -— sin2nx) J 2J 2\ 2n /
TT .
1.3 Das Integral und die Ableitung
387
Beispiel 3. Sei / £ 7?,[—a, a]. Wir werden zeigen, dass f
a
2 / /(x) da; , falls / eine gerade Funktion ist f{x) dx = < 0,
falls / eine ungerade Funktion ist .
Ist f{—x) = /(a;), dann gilt a
0
f{x)dx=
a
I f{x)dx+ -a
I f{x)dx=
I f{-t){-l)dt+
j f{x)dx
0
a
0
a
f{-t)
a
dt+ I fix) dx=
0
a
0
a
I [fi-x)
0
=
+ f{x)) dx = 2 I f{x) dx .
0
0
Ist f{—x) = —f{x), dann erhalten wir durch dieselben Berechnungen, dass a
fix) dx=
I
{fi-x)
+ fix)) dx=
-a
I Odx = 0 . 0
Beispiel 4- Sei / eine auf der gesamten reellen Geraden ffi definierte Funktion mit der Periode T, d.h. fix + T) = fix) fiir alle x GM. Ist / auf jedem endliclien abgesclilossenen Intervall integrierbar, dann erhalten wir fiir jedes a € M die Gleichung T
a+T
fix) dx = a
fix) dx , 0
d.h., das Integral einer periodischen Funktion iiber einem Intervall, dessen Lange der Periode T der Funktion entspricht, ist von der Integrationsstelle auf der reellen Geraden unabhangig. 0
T
a+T
/ fix)dx+
/ /(a;)da;-|-
/ /(a;)da; =
a+T
fix)dx=
a
0 T
T 0
fix) dx+
I fix) dx+
0 T
a
I fit + T)-ldt 0
0
a
fix) dx+ I fix) dx+ I fit) dt= 0
=
a
0
T
I fix) dx . 0
Hierbei haben wir die Substitution x = t + T vorgenommen und die Periodizitat der Funktion fix) ausgenutzt.
388
6 Integralrechnung 1
Beispiel 5. Angenommen, wir miissten das Integral Jsin(a;^) da; mit einer Ge0
nauigkeit von 10~^ berechnen. Wir wissen, dass die Stammfunktion von Jsin(a;^)da; (das FresnelIntegral) sich nicht durch elementare Funktionen ausdriicken lasst, so dass wir den Fundanientalsatz hier nicht im traditionellen Sinne anwenden konnen. Wir woUen einen anderen Weg einschlagen. Bei der Untersuchung der Taylorschen Forniel in der Differentialrechnung haben wir erarbeitet (vgl. Beispiel 11 in Absclinitt 5.3), dass auf dem Intervall [—1,1] die Gleichung sin a; fv x — —x + —x =: P(x) 3! 5! mit einer Genauigkeit von 10~^ gilt. 1st aber auf dem Intervall [—1,1] |sina; — P{x)\ < 10~^, dann ist fiir 0 < a; < 1 auch | sin(a;2) - P(x^)\ < IQ-^. Folglich gilt 1
1
sin(a; ) dx — 0
1
1
P{x ) dx < / \sm{x^) - P{x^)\dx
< / 10"^ da; < 10"^
0 1
.2N Daher ist es ausreicliend, das Integral J P(a;^)da; zu bestimmen, um das
0 1
Integral /sin(a;^)da; mit der gewiinschten Genauigkeit zu berechnen. Es gilt 0
aber 1
1
Pix"^) dx=
(x^ - -x^ + 7ya;^°) da; 3! 5! 0
bl
3!7
^5!11
) 0
1 3
1 3!7
1 5!11
0,310 ± 1 0 "
und daher i
/ sin(a;2) dx = 0, 310 ± 2 • 10"^ = 0,31 ± 10"
Beispiel 6. Die Grofie // = j ^ J f{x) dx wird als Mittelwert der Funktion mit a
Gewicht 1 auf dem Intervall [a, b] bezeichnet. Sei / eine auf ffi definierte und auf jedem abgeschlossenen Intervall integrierbare Funktion. Wir benutzen / , um die neue Funktion x+5
Psix) = ^ I f{t)dt x—5
6.3 Das Integral und die Ableitung
389
zu konstruieren, deren Wert ini Punkt x deni Mittelwert von / in der 6Umgebung von x entspricht. Wir werden zeigen, dass sich Fs{x) (Durchschnitt von f genannt) im Vergleich zu / regularer verhalt. Genauer formuliert, so ist Fg{x) auf M stetig, wenn / auf jedem Intervall [a,b] integrierbar ist und ist / € C(ffi), dann ist Fs(x) eC(i)(M). Wir zeigen zunachst, dass Fg{x) stetig ist: x+d+h
\F,ix + h) - Fs{x)\ =
-
x—d
f{t)dt-
f{t) dt
K^, fiir den die Abbildung / -)• r{I) eine bijektive Abbildung ist, wird einfacher Weg oder parametrisierte Kurve genannt und seine Spur wird Kurve in M^ genannt. Definition 6. Ein gesclilossener Weg F : [a, b] —>• ffi^ wird einfacher geschlossener Weg oder einfache geschlossene Kurve genannt, falls der Weg r : [a, b[-^ M^ einfach ist. Daher unterscheidet sich ein einfacher Weg von eineni beliebigen Weg darin, dass wir bei der Bewegung entlang seiner Spur nicht zu bereits erreichten Punkten zuriickkehren, d.h., wir schneiden unsere Trajektorie nirgendwo, au6er moglicherweise im Endpunkt, faUs der einfache Weg geschlossen ist. Definition 7. Der Weg F : I ^ M? wird als Weg mit vorgegebener Glattheit bezeichnet, wenn die Funktionen x{t), y{t) und z{t) diese Glattheit besitzen. (Beispielsweise die Glattheit C[a,b], C'^^^[a,b] oder C(*^)[a,6].) Definition 8. Ein Weg F : [a, b] -^ M^ ist stiickweise glatt, wenn das abgeschlossene Intervall [a, b] in eine endliche Anzahl abgeschlossener Intervalle unterteilt werden kann, und auf jedem dieser Intervalle die entsprechende Einschrankung der Abbildung F durch stetig differenzierbare Funktionen definiert ist. Wir beabsichtigen, glatte Wege, d.h. Wege der Klasse C^^^, und stiickweise glatte Wege zu untersuchen. Wir wollen nun zu unserem Ausgangsproblem zuriickkommen. Wir konnen es nun so formuheren, dass wir die Lange des glatten Weges F : [a, b] -^ M^ bestimmen wollen. Unsere anfanglichen Vorstellungen iiber die Lange l[a,b] des im Zeitintervall a < t < (] zuriickgelegten Weges waren die folgenden: Ist a < /3 < 7, dann ist l[a,-f] = l[a,p] + l[p,-/] .
6.4 Einige Anwendungen der Integralrechnung 1st zweitens v{t) = (^x{t),y{t),z{t)) t, dann ist inf
\^r(t)\{P-a)
397
die Geschwindigkeit des Punktes zur Zeit
- g{x) auf einem Intervall [a,uj[ definierte Funktionen, die auf jedem abgeschlossenen Intervall [a,b] C [a,uj[ integrierbar sind. Seien die uneigentlichen Integrale f(x) dx ,
(6.72)
g{x) dx
(6.73)
a
definiert. Dann gilt: a) 1st u) G M. und f £ TZ[a,uj], dann sind die Werte des Integrals (6.72) unabhangig davon, ob es als eigentliches oder uneigentliches Integral interpretiert wird. b) Zu jedem Ai, A2 £ K ist die Funktion {Xif + X2g){x) auf[a,u![ uneigentlich integrierbar und es gilt: (Ai/ + X2g){x) da; = Ai / f{x) da; + A2 / g{x) dx . c) Ist c G [a,uj[, dann ist f{x)dx=
I f{x)dx+
I
f{x)dx
d) Ist (p : [a,7[—>• [a,uj[ eine glatte und streng monotone Abbildung mit (p{a) = a und (p{P) -^ to fur /? —>• 7, /? € [Q:,7[, dann existiert das uneigentliche Integral der Funktion 11->- (/ o (p){t)(p'{t) auf [a,j[ und es gilt: u>
7
/(a;)da;=
{f o ^)(ty (t) dt .
6.5 Uneigentliche Integrale
417
Beweis. Teil a) folgt aus der Stetigkeit der Funktion b
J=-{b) = I f{x) dx a
auf dem abgeschlossenen Intervall [a, to] auf dem / £ Tl[a,uj\. Teil b) folgt aus der Tatsache, dass fiir h £ [a,uj[ gilt: b
b
b
(Ai/ + X2g){x) dx = Ai / f{x) da; + A2 / g{x) dx . a
a
Teil c) folgt aus der Gleicliung b
c
f{x) dx =
b
f{x) dx +
f{x) dx ,
a
c
die fiir alle b,c G [a, uj[ gilt. Teil d) folgt aus den Formeln zur Substitution bei bestimmten Integralen:
f{x)dx = j{fo^){t)^'{t)dt.
U
Anmerkung 1. Wir soUten den in Satz 1 formulierten Eigenschaften des uneigentlichen Integrals die sehr niitzliclie Regel der partiellen Integration bei uneigentlichen Integralen hinzufiigen. Wir forniulieren dies folgenderniaBen: Seienf,g
£ C^^'[a,uj[ und es existiere der Grenzwert
lim {f-g){x).
Dann
sind die Funktionen f • g' und / ' • g entweder beide integrierbar oder beide sind als uneigentUches Integral auf [a,uj[ nicht integrierbar. Sind sie integrierbar, dann gilt die folgende Gleichung: if •g')ix)dx
= (/•3)(a;)|^ - / {f •g){x)dx
{f.g)(x)\^
= lim if . g)(x) - if • g)(a) .
a
wobei xE[a,u![
Beweis. Die Behauptung folgt aus der Formel b
if-g')ix)dx
= if-g)\l-
j{f'-g){x)dx a
fiir die partielle Integration eigentlicher Integrale.
,
418
6 Integralrechnung
Anmerkung 2. Nach Satz Ic) ist klar, dass die uneigentlichen Integrale UJ
f{x)dx
und /
f{x)dx
c
entweder beide konvergieren oder beide divergieren. Wie bei Reihen ist daher die Konvergenz bei uneigentlichen Integralen von einem anfanglichen Teil der Reihe oder des Integrals unabhangig. Aus diesem Grund lassen wir manclimal bei Konvergenzbetraclitungen zu uneigentlichen Integralen die Integrationsgrenzen, an denen das Integral keine Singularitat besitzt, vollstandig weg. Mit dieser Vereinbarung konnen wir die Ergebnisse aus den Beispielen 1 und 2 wie folgt neu formulieren: + 00
Das Integral J •% konvergiert nur fiir a > 1. Das Integral J ^
konvergiert nur fiir a < 1.
+ 0 •"
Das Symbol +0 im letzten Integral deutet an, dass der Integrationsbereich in a; > 0 enthalten ist. Durch Substitution erhalten wir aus diesem letzten Integral unmittelbar, dass das Integral f . _^'f ^ nur fiir cc < 1 konvergiert. ^
\X
XQI
6.5.2 Konvergenz eines uneigentlichen Integrals a. Das Cauchysche Kriterium Nach Definition 3 ist die Konvergenz des uneigentlichen Integrals (6.71) zur Existenz eines Grenzwertes der Funktion b
J=-{b) = I f{x) dx
(6.74)
a
fiir b ^ u), b G [a,u![ aquivalent. Auf Grund dieser Beziehung gilt der folgende Satz. Satz 2. (Cauchysches Konvergenzkriterium fiir ein uneigentliches Integral). Ist die Funktion x H^ f{x) auf dem Intervall [a,u![ definiert und auf jedem abgeschlossenen Intervall [a,b] C [a,a;[ integrierbar, dann konvergiert das Integral j f{x)dx
genau dann, wenn fiir jedes e > 0 ein B G [a,uj[ existiert, so
a
dass f{x)dx
<e
bi
fiir alle 61, 62 G [a, w[ mit B < bi und S < &2
6.5 Uneigentliche Integrale
419
Beweis. Wir erhalten nanilich 62
62
f{x) dx =
61
f{x) dx —
f{x) dx = J-'ib^) — ^{bi)
und daher ist die Behauptung einfach nur das Cauchysche Kriterium fiir die Existenz eines Grenzwertes fiir die Funktion J-'{b) fiir b ^ cu, b G [a,uj[. D b. Absolute Konvergenz eines uneigentlichen Integrals Definition 4. Das uneigentliche Integral J f{x) dx konvergiert absolut, wenn a
das Integral J \f\{x)dx
konvergiert.
a
Aus Satz 2 und der Ungleichung 62
f{x)dx
0 auf [a,uj[, dann existiert das uneigentliche Integral (6.71) genau dann, wenn die Funktion (6.74) auf[a,u![ beschrankt ist. Beweis. Ist namlicli f{x) > 0 auf [a,a;[, dann ist die Funktion (6.74) auf [a,uj[ nicht absteigend und daher besitzt sie fiir b ^ u), b G [a,uj[ genau dann einen Grenzwert, wenn sie beschrankt ist. D Als Beispiel fiir die Niitzlichkeit dieses Satzes betrachten wir das folgende Korollar. KoroUar 1. (Konvergenztest fiir Reihen durch Integration). Ist die Funktion X !->• f{x) auf dem Intervall [l,+oo[ definiert, nicht negativ, nicht ansteigend und auf jedem abgeschlossenen Intervall [1,6] C [l,+oo[ integrierbar, dann konvergieren die Reihe
X]/(n)=/(l) + /(2) und das Integral
420
6 Integralrechnung +00
f{x)dx 1
entweder beide oder beide Beweis.
divergieren.
Laut den Voraussetzungen folgt, dass die Ungleichungen n+l .fin+l)
• 1 — 0 ohne Grenzen an.
''* k'^ sin^ V>
6.5 Uneigentliche Integrale
429
4. Zeigeii Sie: ^
a) Das Integralexponential Ei (x) = /
t
^ di i^^ definiert und beliebig oft fiir x 0 die Menge K{a;6) = {x G W"\d{a,x)
< 6}
eine Kugel mit Zentruni a £ M™ und Radius 6 oder die d-Umgebung des Punktes a e M". Definition 2. Eine Menge G C M™ ist ojfen in M™, falls fiir jeden Punkt X G G eine Kugel K{x; S) existiert, so dass K{x; 6) C G. Beispiel 1. M™ ist eine offene Menge in ffi™. Beispiel 2. Die leere Menge 0 enthalt iiberhaupt keine Punkte und wir konnen daher diese Menge als offene Menge in ffi™ betrachten, da sie Definition 2 erfiillt. Beispiel 3. Eine Kugel K{a;r) ist eine offene Menge in K™. Ist namlich x £ K{a;r), d.h. d{a,x) < r, dann erhalten wir fiir 0 < 6 < r — d{a,x), dass K{x;S) C K{a;r), da {^GK{x;d))^{d{x,0<S)^ ^ (d(a, £,) < d{a, x) + d{x, ^) < d{a, x) + r — d{a, x) = r). Beispiel 4- Eine Menge G = {x G M™] d{a,x) > r}, d.h. die Menge der Punkte, deren Abstand von einem festen Punkt a £ ffi™ groBer als r ist, ist offen. Dies ist einfach zu beweisen, indem wir wie in Beispiel 3 die Dreiecksungleichung der Metrik benutzen. Definition 3. Die Menge F Cffi™ist in M*" abgeschlossen, falls ihr Komplement G = M™ \ F in K™ offen ist.
434
7 Funktionen mehrerer Variabler
Beispiel 5. Die Menge K{a; r) = {x £ M™ | d{a, x) < r } , r > 0, d.h. die Menge von Punkten, deren Abstand von einem festen Punkt a £ M™ hochstens r ist, ist abgeschlossen, wie aus Definition 3 und Beispiel 4 folgt. Die Menge K{a; r) wird abgeschlossene Kugel mit Zentrum a und Radius r genannt. Satz 1. a) Die Vereinigung |J Ga der Mengen jedes Systems {Ga, a G A} offener Mengen in M™ ist eine offene Menge in ffi™. n
b) Die Schnittmenge
f] Gi einer endlichen Anzahl offener Mengen in M™ ist i=l
eine offene Menge in M™. a') Die Schnittmenge f] Fa der Mengen jedes Systems {Fa, a G A} abgeaeA schlossener Mengen F^ in ffi™ ist eine abgeschlossene Menge in ffi™. n
b') Die Vereinigung [j Fi einer endlichen Anzahl abgeschlossener Mengen in i=l
ffi™ ist eine abgeschlossene Menge in ffi™. Beweis.
a) Ist a; £ |J Ga, dann existiert ein a^ € A, so dass x € Gao, und a€A
folglich gibt es eine (5-Umgebung K{x;6) von x, so dass K{x;6) C GaoDann ist aber K{x;6) C |J Gaa€A
n
b) Sei X G f] Gi. Dann ist x G Gi, (i = l,...,n).
Seien
di,...,dn
i=l
positive Zahlen, so dass K{x;di) C Gi, (i = l,...,n). Wenn wir S = mm{di,... ,dn} setzen, erhalten wir offensichtlich, dass (5 > 0 und n
K{x;d)c
n Gi. i=l
a') Wir wollen zeigen, dass die Menge C( f] Fa), das Komplement zu fl Fa in M™, eine oflFene Menge in M™ ist. a^A
Es gilt
^( n ^") = u (^^") = u ^"' aeA
aeA
aeA
wobei die Mengen Ga = CFa in K™ offen sind. Somit folgt Teil a') aus a). b') Ahnlich erhalten wir aus b), dass n
n
n
c[[JF,) = [\{CFi) = []Gi. i=l
i=l
U
i=l
Beispiel 6. Die Menge S{a;r) = {x G W^\d{a,x) = r}, r > 0 wird Kugelschale (oder Spliare) mit Radius r mit Zentrum in a G M™ genannt. Das Komplement zu S{a; r) in M™ ist nach den Beispielen 3 und 4 eine Vereinigung offener Mengen, die nach dem eben bewiesenen Satz ofFen ist und daher ist die Kugelschale S{a; r) in M™ abgeschlossen.
7.1 Der Raum R"* und seine Unterraume
435
Definition 4. Eine offene Menge in M™, die einen vorgegebenen Punkt enthalt, wird eine Umgebung des Punktes in M™ genannt. Insbesondere folgt aus Beispiel 3, dass eine (5-Umgebung eines Punktes eine Umgebung des Punktes ist. Definition 5. Wir sagen, dass ein Punkt x G ffi™ ein innerer Punkt einer Menge E Cffi™ist, falls er in E entlialten ist, ein aufierer Punkt einer Menge E Cffi™ist, falls er ini Koniplement von E in K™ entlialten ist und ein Randpunkt einer Menge E C ffi™ ist, falls er weder ein innerer, noch ein aufierer Punkt ist. Aus dieser Definition folgt, dass es eine charakteristische Eigenschaft von Randpunkten einer Menge ist, dass jede ihrer Umgebungen sowohl Punkte der Menge enthalt als auch Punkte, die nicht in der Menge enthalten sind. Beispiel 7. Die Kugelschale S{a;r), r > 0 ist die Menge aller Randpunkte sowohl der offenen Kugel K{a; r) als auch der abgeschlossenen Kugel K{a; r). Beispiel 8. Ein Punkt a €ffi™ist ein Randpunkt der Mengeffi™\ a, die keine aufieren Punkte besitzt. Beispiel 9. Die Kugelschale S{a;r) besteht nur aus Randpunkten. Als Teilmenge von M™ betrachtet, besitzt die Kugelschale S{a; r) keine inneren Punkte. Definition 6. Ein Punkt a G M™ ist ein Hdufungspunkt der Menge E C ffi™, falls fiir jede Umgebung U{a) von a die Schnittmenge EnU{a) eine unendliche Menge ist. Definition 7. Die Vereinigung einer Menge E mit all ihren Haufungspunkten inffi™wird Abschluss von E in ffi™ genannt. Der Abschluss der Menge E wird iiblicherweise mit E bezeichnet. Beispiel 10. Die Menge K{a] r) = K{a; r)U5(a; r) ist die Menge der Haufungspunkte der offenen Kugel. Daher wird K{a; r) im Unterschied zu K{a; r) eine abgeschlossene Kugel genannt. Beispiel 11. S{a;r) = S{a;r). Anstatt diese letzte Gleichung zu beweisen, werden wir den folgenden niitzlichen Satz beweisen. Satz 2. {F ist abgeschlossen m K™) 0, so dass auch K{^; S) C G. Nach Konstruktion und Ungleichung (7.2) existiert aber ein N, so dass /„ C K{£^; 6) C G fiir n > N. Wir erzeugen so einen Widerspruch zur Aussage, dass die Intervalle /„ keine endliche Uberdeckung durch Mengen des vorgegebenen Systems zulassen. D Satz 3. 1st K eine kompakte Menge in M™, dann ist a) K in M™ abgeschlossen und h) jede in K enthaltene abgeschlossene Teilmenge von M™ auch kompakt. Beweis. a) Wir woUen zeigen, dass jeder Punkt a £ ffi™, der ein Haufungspunkt von K ist, zu K gehoren muss. Angenommen, a ^ K. Zu jedem Punkt X G K konstruieren wir eine Umgebung G{x), so dass eine Umgebung von a existiert, die von G{x) disjunkt ist. Die Menge {G{x)}, x £ K, die aus alien derartigen Umgebungen bestelit, bildet eine offene Uberdeckung der kompakten Menge K. Daraus konnen wir eine endliche Uberdeckung G{xi),..., G{xn) herausgreifen. Ist nun Ui{a) eine Umgebung von a, so dass G{xi)riUi{a) = 0 , n
dann ist auch die Menge U{a) = f] Ui{a) eine Umgebung von a und offeni=l
sichthch ist K n U{a) = 0 . Somit kann a kein Haufungspunkt von K sein. b) Angenommen, F sei eine abgeschlossene Teilmenge von M™ und FcK. Sei {Ga}, a G A eine Uberdeckung von F durch offene Menge inffi™.Wenn wir dieser Ansammlung die offene Menge G =ffi™\F hinzufiigen, erhalten wir eine offene Uberdeckung von M™ und insbesondere auch eine offene Uberdeckung von K. Aus dieser konnen wir eine endliche Uberdeckung von K herausgreifen. Diese endhche Uberdeckung von K iiberdeckt auch die Menge F. Gehort namlich G zu dieser offenen Uberdeckung, dann konnen wir, da G fl -F = 0 , G daraus entfernen und behalten so eine endliche Uberdeckung von F durch das Ausgangssystem {Ga}, a G A. D Definition 9. Der Durchmesser einer Menge E Cffi™ist d{E) :=
sup
d{xi,X2) •
Definition 10. Eine Menge E C M™ ist beschrdnkt, wenn ihr Durchmesser endhch ist. Satz 4. Ist K eine kompakte Menge in M™, dann ist K eine beschrdnkte Teilmenge von M™. Beweis. Wir betrachten einen beliebigen Punkt a Gffi™und die Folge offener Kugeln {K{a; n)}, (n = 1, 2 , . . . , ) . Sie bilden eine offene Uberdeckung von K™ und folglich auch eine von K. Ware K nicht beschrankt, ware es unmoglich, aus dieser Folge eine endliche Uberdeckung von K herauszugreifen. D
438
7 Funktionen mehrerer Variabler
S a t z 5. Die Menge K C M™ ist genau dann kompakt, und beschrdnkt in M™ ist.
wenn K
abgeschlossen
Beweis. Die Notwendigkeit der Bedingungen wurde in den Satzen 3 und 4 bewiesen. Wir wollen beweisen, dass die Bedingungen auch hinreichend sind. Da K eine beschrankte Menge ist, existiert ein m-dimensionales Intervall / , das K enthalt. Wie wir in Beispiel 13 gezeigt haben, ist / in M™ kompakt. Ist aber K eine abgeschlossene Menge, die in einer kompakten Menge / enthalten ist, dann ist K nach Satz 3b) selbst kompakt. D
7.1.4 U b u n g e n u n d A u f g a b e n 1. Der Abstand d{Ei,E2)
zwischen den Mengen Ei,E2 C R™ ist d{Ei,E2) :=
inf xieEi,
d(xi,X2)
•
X2S-B2
Geben Sie ein Beispiel fiir abgeschlossene Mengen Ei und E2 in R™, die keinen gemeinsamen Punkt besitzen, fiir die aber dennoch d{Ei,E2) = 0 gilt. 2. Zeigen Sie: a) Der Abschluss E in R"* jeder Menge E C R"* ist eine abgeschlossene Menge in R™. b) Die Menge dE der Randpunkte einer Menge E C R"* ist eine abgeschlossene Menge. c) Ist G eine ofFene Menge in R™ und F abgeschlossen in R™, dann ist G\ F in R™ offen. 00
3. Zeigen Sie, dass f] Ki j^ 0, falls Ki D K2 D • • • D Kn D • • • eine Folge nicht i=l
leerer kompakter Mengen ist. 4.
a) Im Raum R* seien eine zwei-dimensionale Kugelschale S^ und ein Kreis S^ so platziert, dass der Abstand zwischen jedem Punkt der Kugelschale zu jedem Punkt des Kreises gleich ist. Ist dies moglich? b) Betrachten Sie Aufgabe a) fiir Kugelschalen S"'', S" beliebiger Dimension in R*. Welche Bedingungen miissen m, n und k erfiillen, daniit dies moglich ist?
7.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler 7.2.1 D e r G r e n z w e r t e i n e r F u n k t i o n In Kapitel 3 haben wir detailliert den Grenzwertiibergang einer Funktion mit reellen Werten / : X —^ M untersucht, die auf einer Menge definiert war, in der eine Basis B fest vorgegeben war.
7.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler
439
In den nachsten Abschnitten werden wir Funktionen f : X ^ M" betrachten, die auf einer Teilmenge von M™ definiert sind und die Werte in ffi = M^ oder allgemeiner in M", n € N annehmen. Wir woUen nun die Theorie der Grenzwerte um Besonderheiten beini Unigang niit dieser Klasse von Funktionen erganzen. Wir beginnen jedoch mit der zentralen allgemeinen Definition. D e f i n i t i o n 1. Ein P u n k t A € ffi" ist der Grenzwert der Abbildung f : X^M" auf einer Basis B in X, falls fiir jede Umgebung V{A) des P u n k t e s ein Element B £ B der Basis existiert, dessen Bild f{B) in V{A) enthalten ist. In Kurzform: (\imf{x)
= A ) := (yV{A)
3B G B {f{B)
C V{A)
Wir selien, dass die Definition des Grenzwertes einer Funktion f : X ^ M" der Definition des Grenzwertes einer Funktion f : X ^ M. entspricht, wenn wir dabei bedenken, was eine Umgebung V{A) eines P u n k t e s A e ffi" fiir jedes n e N bedeutet. D e f i n i t i o n 2. Eine Abbildung / : X ^ ffi" ist beschrdnkt, f{X) C M" beschrankt ist.
wenn die Menge
D e f i n i t i o n 3 . Sei B eine Basis in X. Eine Abbildung / : X —>• ffi" ist schliefilich beschrdnkt auf der Basis B, falls ein Element B in B existiert, auf dem / beschrankt ist. Mit Hilfe dieser Definitionen konnen wir olme Schwierigkeiten mit denselben Uberlegungen wie in Kapitel 3 zeigen, dass eine Funktion / : X —>• ffi" auf einer vorgegebenen Basis B in X hochstens einen Grenzwert haben kann, eine Funktion / : X —>• ffi", die einen Grenzwert auf einer Basis B besitzt, auf dieser Basis schliefilich beschrdnkt ist. Definition 1 kann unter explizitem Gebrauch der Metrik in ffi" umgeschrieben werden zu: D e f i n i t i o n 1'. (\imf{x)
=AGR"):=(ye>03BGBVxGB
{d{f{x),A)
oder D e f i n i t i o n 1". ( l i m / ( x ) = A e K " ) := ( l i m d ( / ( x ) , A) = o) .
< e
440
7 Funktionen mehrerer Variabler
Da ein Punkt y € ffi" ein geordnetes n-Tupel (y^,... ,y") reeller Zahlen ist, ist die besondere Eigenschaft einer Abbildung / : X —>• M" die, dass die Definition einer Funktion / : X —>• ffi" aquivalent zur Definition von n Funktionen /* : X ^ M , {i = 1 , . . . ,n) mit reellen Werten ist, wobei f^{x) = y^, (« = l , . . . , n ) . 1st A = (A^,..., A") und y = {y^,..., y"), dann gelten die Ungleichungen \y' - A'\ < d{y, A)• ffi" auf einer Menge E C X wird definiert als uj{f-E):=d{f{E)),
wobei d(^f{E)'j der Durchmesser von f{E) ist. Wir konnen erkennen, dass dies eine direkte Verallgemeinerung der Definition der Oszillation einer Funktion mit reellen Werten ist, in die Definition 5 fiir n = 1 iibergeht. Die Giiltigkeit des folgenden Cauchyschen Kriteriums zur Existenz eines Grenzwertes fiir Funktionen / : X —>• M" mit Werten in ffi" ergibt sich aus der Vollstandigkeit von MP.
7.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler
441
Satz 1. Sei X eine Menge und B eine Basis in X. Eine Funktion / : X ^ M" besitzt genau dann einen Grenzwert auf der Basis B, wenn fur jedes e > 0 ein Element B G B der Basis existiert, in dem die Oszillation der Funktion kleiner als e ist. Somit ist also: 31im/(a;) 0 3B G B {uj(f;B) < s) . Der Beweis von Satz 1 ist, abgesehen von einer winzigen Veranderung, eine wortwortliche Wiederholung des Beweises des Cauchyschen Kriteriums fiir numerische Funktionen (Satz 6 in Abschnitt 3.2). Nur der Betrag |/(a;i) — f{x2)\ muss durch d[f{xi),f{x2)) ersetzt werden. Wir konnen Satz 1 auch auf eine andere Weise mit Hilfe von (7.4) und (7.3) zeigen, wenn wir das Cauchysche Kriterium fiir Funktionen mit reellen Werten als bekannt voraussetzen. Der wichtige Satz zum Grenzwert einer verketteten Funktion bleibt ebenso fiir Funktionen mit Werten in ffi" giiltig. Satz 2. Sei Y eine Menge, By eine Basis in Y und 5 : F —>• M" eine Abbildung mit einem Grenzwert auf der Basis By • Sei X eine Menge, Bx eine Basis in X und f : X ^ Y eine Abbildung auf Y, so dass fiir jedes By G By ein Bx £ Bx existiert, so dass das Bild f{Bx) in By enthalten ist. Unter diesen Voraussetzungen ist die Verkettung 5 o / : X —>• M" der Abbildungen f und g definiert und besitzt einen Grenzwert auf der Basis Bx mit lim(ff°/)(a;) =Vang{y) . lix
OY
Wir konnen den Beweis von Satz 2 entweder durch Wiederholung des Beweises von Satz 7 in Abschnitt 3.2 durchfiihren, indem wir ffi durch M" ersetzen, oder wir berufen uns auf jenen Satz in Zusammenhang mit (7.4). Bis jetzt haben wir die Funktion f : X ^ M" mit Werten in ffi" betrachtet ohne naher auf ihren Definitionsbereich X einzugehen. Von nun an werden wir uns in erster Linie fiir den Fall interessieren, dass X eine Teilmenge des M™ ist. Wie zuvor treffen wir die folgenden Vereinbarungen: U{a) ist eine Umgebung des Punktes a G ffi™. (/(a) ist eine punktierte Umgebung von a G M™, d.h. U{a) := U{a) \ a. UE{a) ist eine Umgebung von a in der Menge E C M™, d.h. UE{a) := Er\U{a). UE{a) ist eine punktierte Umgebung von a in E, d.h. fjE{OL) '•= Er\ U{a). a; —>• a ist die Basis punktierter Umgebungen von a in ffi™. a; —>• 00 ist die Basis von Umgebungen von Unendlich, d.h. die Basis, die aus den Mengen K™ \ K{a;r) besteht.
442
7 Funktionen mehrerer Variabler X ^ a, X G E oder (E B x ^ a) ist die Basis punktierter Umgebungen von a in E, falls a ein Haufungspunkt von E ist. X ^ CO, X G E oder (_E 9 a; —>• oo) ist die Basis von Umgebungen von Unendlicli in E, die aus den Mengen E \ K{a; r) besteht, falls E eine unbeschrankte Menge ist.
In Ubereinstinimung niit diesen Definitionen konnen wir Definition 1 zuni Grenzwert einer Funktion beispielsweise die folgende besondere Gestalt geben, wenn wir iiber eine Funktion f : E ^ W^ sprechen, die eine Menge E C ffi™ auf K" abbildet: (^lim
f{x) = A ) := {^e > 0 3UE{a) Vx e UE{a) {d{.f{x),A) < e)) .
Dies konnen wir aucli wie folgt formulieren:
( lim fix) = A] := = (Ve > 0 3(5 > 0 Va; e £; (0 < d{x,a) - •K^{X) eine Abbildung TT* : M™ —>•ffi,bei der jedem x = (a;^,... ,a;™) in K™ seine i-te Koordinate a;* zugewiesen wird. Somit ist also Tr\x) = X* . 1st a = (a^,...,a™), dann ist offensiclitlich 7r*(a;) -^ a* fiir a; —>• a . Die Funktion x ^ TT^{X) strebt fiir a; ^ oo und m > 1 weder gegen einen endlichen Wert noch gegen Unendlicli. Andererseits gilt m
f{x) = y^ {'^\^))
~^ OO
fiir a; ^ oo .
7.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler
443
Wir sollten uns nicht vorstellen, dass wir den Grenzwert einer Funktion mehrerer Variabler finden konnen, indem wir nach und nach die Grenzwerte beziiglich jeder ihrer Koordinaten bestimmen. Das folgende Beispiel soil dies verdeutlichen. Beispiel 2. Die Funktion / : M^ ^ K sei fiir die P u n k t e (a;, y) G M^ folgendermaBen definiert: r ^ ^ ,
fiir x 2 + 2 / 2 ^ 0 ,
.fix,y) = < [
0 ,
fiir a;2 + 2/2 = 0 .
Dann ist f{0,y) = f{x,0) = 0, woliingegen f{x,x) = ^ fiir a; 7^ 0. Daher besitzt die Funktion fiir {x,y) -^ (0,0) keinen Grenzwert. Andererseits ist aber
Beispiel
lim ( \ i m f{x,y))
= lim(O) = 0 ,
lim ( l i m f{x,y))
= lim(O) = 0 .
3. Fiir die Funktion fiir X + y j^ 0
a: +1/
f{x,y)
••
0 ,
fiir a;2 + 2/2 = 0
erhalten wir 2
lim f lim f(x,y))
= lim ( —r | -- 1
t
lim ( lim f{x, y)) = lim (
-] = — 1
Beispiel 4- Fiir die Funktion
{
x + y sin ^ , fiir x ^ 0 , 0 ,
fiir a; = 0
fix.y)
= 0,
erhalten wir lim
lim ( l i m / ( a ; , 2/)) = 0 . X—>0
y—>0
Gleichzeitig existiert der wiederholte Grenzwert lim ( l i m / ( a ; , 2 / ) ) iiberhaupt nicht.
444
7 Funktionen mehrerer Variabler
Beispiel 5. Die Funktion fiir x'^ +y^ ^ 0
f{x,y) fiir x^ + 2/^ = 0 nimmt bei Annaherung an den Ursprung entlang jeden Strahls x = at und y = fit den Grenzwert Null an. Gleichzeitig ist die Funktion gleicli ^ in jedeni Punkt der Form (a, a?) mit a 7^ 0 und daher besitzt die Funktion fiir {x,y) -^ (0,0) keinen Grenzwert. 7.2.2 Stetigkeit einer Funktion mehrerer Variabler und Eigenschaften stetiger Funktionen Sei E eine Teilmenge vonffi™und f : E ^W^ mit Werten in M".
eine auf E definierte Funktion
Definition 6. Die Funktion / : _E —>• M" ist in a € i? stetig, falls fiir jede Umgebung l^(/(a)) des Wertes / ( a ) , den die Funktion in a annimmt, eine Umgebung UE{a) von a in _E existiert, deren Bild f{UE{a)) in l^(/(a)) enthalten ist. Somit gilt also (/ : £; ^ M" ist stetig in a e £;) := = (Vy(/(a)) 3UE{a) {f(UE{a)) C V{f{a))))
.
Wir konnen erkennen, dass Definition 6 dieselbe Form besitzt wie Definition 1 in Abschnitt 4.1 zur Stetigkeit von Funktionen mit reellen Werten, die wir bereits kennen. Wie dort konnen wir auch hier die folgende, alternative Formulierung fiir diese Definition benutzen: (/ : £; ^ M" ist stetig in a e £;) := = (Ve > 0 3 (5 > 0 Va; e £; {d{x, a) < d ^ d{f{x)J{a))
<e
oder, falls a ein Haufungspunkt von E ist, {f : E ^M"
ist stetig in a £ £ ; ) : = ( lim f{x) = /(a)) .
Wie in Kapitel 4 bemerkt, ist das Konzept der Stetigkeit genau dann im Punkt a £ -E, in dem die Funktion / definiert ist, von Interesse, wenn er ein Haufungspunkt der Menge E ist. Aus Definition 6 und (7.4) folgt, dass die durch die Relation (x\...,x"')
= x^y={y\...,y")
= = (/i(xi,...,a;™),...,/"(a;i,...,a;™))
7.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler
445
definierte Abbildung / : i? —>• ffi" in einem P u n k t genau dann stetig ist, wenn jede der Funktionen y^ = /*(a;^,... ,a;™) in diesem P u n k t stetig ist. Insbesondere woUen wir d a r a n erinnern, dass wir einen Weg in ffi" als Abbildung f : I ^ MP eines Intervalls / C M definiert haben, die durch stetige Funktionen / ^ ( x ) , . . . , / " ( x ) der Form x^y={y\...,y")
=
{fHx),...,nx))
definiert ist. Daher konnen wir sagen, dass ein Weg in ffi" erne stetige Abbildung eines Intervalls der reellen Geraden / C M auf MP ist. In Analogie zur Definition der Oszillation in einem P u n k t fiir eine Funktion mit reellen Werten fiihren wir den BegrifF der Oszillation in einem P u n k t fiir eine Funktion mit Werten in ffi" ein. Sei E eine Teilmenge des K™, a e -B und Ksia; r) = E Ci K{a; r). D e f i n i t i o n 7. Die Oszillation uj{f;a)
der Funktion
f : E ^ MP im P u n k t a G E ist
:= \im uj{f;KE{a;r))
.
Aus Definition 6 zur Stetigkeit einer Funktion erhalten wir, wenn wir die Eigenscliaften eines Grenzwertes und das Cauchysche Kriterium beriicksichtigen, eine Anzalil haufig benutzter lokaler Eigenscliaften stetiger Funktionen. Wir fiihren diese nun hier an. Lokale E i g e n s c h a f t e n s t e t i g e r F u n k t i o n e n a) Eine Abbildung f : E ^ M" einer Menge E C ffi™ ist im Punkt genau dann stetig, wenn uj{f;a) = 0. b) Eine in a G E stetige Abbildung / : _E ^ M" ist in einer Umgebung dieses Punktes beschrankt. c) Ist die Abbildung g : Y ^ M'^ der Menge F C ffi" in einem Punkt stetig und die Abbildung f : X ^ Y der Menge X C M™ in einem xo € AT stetig und ist / ( X Q ) = yo, dann ist die Abbildung g o / : X definiert und in XQ £ X stetig.
a G E UE{a) yo G Y Punkt —>• ffi*
Funktionen mit reellen Werten besitzen zusatzlich die folgenden Eigenschaften. d) Ist die Funktion f : E ^ M im Punkt a G E stetig und ist f{a) > 0 (oder f{a) < 0), dann existiert eine Umgebung UE{a) von a in E, so dass fix) > 0 (bzw. f{x) < 0) fiir alle x G UE{a). e) Sind die Funktionen f : E ^ M und g : E ^ M in a G E stetig, dann ist jede ihrer Linearkombinationen (af + fig) : E ^ M mit a,P GM, ihr Produkt if • g) : E ^ M und, falls g{x) ^ 0 auf E, auch ihr Quotient (|-) : E ^ M auf E definiert und stetig in a. Wir wollen vereinbaren, eine Funktion / : _B —^ ffi" als stetig auf der Menge E zu bezeichnen, wenn sie in jedem P u n k t der Menge stetig ist.
446
7 Funktionen mehrerer Variabler
Wir bezeichnen die Menge der auf E stetigen Funktionen f : E ^ M" mit C(-E;M") oder einfach nur mit C{E), falls der Wertebereich aus dem Zusammenhang deutlich hervorgelit. In der Regel werden wir diese Abkiirzung fiir M» = M benutzen. Beispiel 6. Die Funktionen (a;^,... ,a;™) i—> a;*, (i = l , . . . , m ) , durcli die M™ auf ffi abgebildet (projiziert) wird, sind offensiclitlich in jedem Punkt a = (fli,... ,a™) e K™ stetig, da lim 7r*(a;) = a' = n^a). Beispiel 7. Jede auf M definierte Funktion x i->- f{x), wie etwa x H^ sinx, kann als Funktion (x,y) i—> f{x) betrachtet werden, die beispielsweise auf M^ definiert ist. Falls / eine stetige Funktion auf ffi ist, ist in diesem Fall die neue Funktion {x,y) i—> f{x), eine in K^ stetige Funktion. Dies lasst sicli entweder direkt aus der Definition der Stetigkeit zeigen oder durch die Anmerkung, dass die Funktion F die verkettete Funktion {foTr^)(x, y) stetiger Funktionen ist. Wenn wir c) und e) beriicksiclitigen, folgt daraus insbesondere, dass beispielsweise die Funktionen /(a;,2/) = sina; + e*^
und
/(a;,2/) = arctan (ln(|a;| + lyj + 1))
in K^ stetig sind. Wir merken an, dass die gerade angewandten Uberlegungen auf rein lokalen Eigenscliaften beruliten und dass die Tatsaclie, dass die in Beispiel 7 untersuchten Funktionen / und F auf der ganzen reellen Geraden ffi bzw. der Ebene ffi^ definiert waren, rein zufallig war. Beispiel 8. Die Funktion /(a;, y) in Beispiel 2 ist aufier in (0,0) in jedem Punkt des Raumes ffi^ stetig. Wir merken an, dass die Funktion, trotz ilirer Unstetigkeit in diesem Punkt, in beiden Variablen fiir jeden festen Wert der anderen Variablen stetig ist. Beispiel 9. Ist eine Funktion / : _E —>• K" auf der Menge E stetig und ist E eine Teilmenge von E, dann ist die Einschrankung / | ?; von / auf diese Teilmenge stetig auf E, wie unmittelbar aus der Definition der Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt folgt. Wir wenden uns nun den globalen Eigenschaften stetiger Funktionen zu. Damit wir sie fiir Funktionen / : _E —>• ffi" formulieren konnen, formulieren wir zunaclist zwei Definitionen. Definition 8. Eine Abbildung f : E ^ W einer Menge E CW^ auf W ist gleichmdfiig stetig auf E, falls zu jedem e > 0 eine Zalil 6 > 0 existiert, so dass d[f{xi),f{x2)) < s fiir alle Punkte a;i,a;2 € E mit d(a;i,a;2) < 6.
7.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler
447
Wie zuvor gehen wir davon aus, dass die Abstande d[f{xi),f{x2)) und d{xi,X2) in ffi" bzw.ffi™gemessen werden. 1st m = n = 1, dann entspricht diese Definition der gleichmai3igen Stetigkeit von Funktionen mit reellen Werten, wie wir sie bereits kennen. Definition 9. Eine Menge E C ffi™ heiBt wegweise zusammenhangend, falls es zu jedem Paar ilirer Punkte XQ, xi einen Weg F : I ^ E mit Spur in E gibt, der in diesen Punkten endet. Anders formuliert, so kann man von einem Punkt XQ G E ZU jedem anderen Punkt xi £ E gelangen, olme die Menge E zu verlassen. Da wir im Augenblick keine andere Art des Zusammenhangs von Mengen, aufier dem wegweisen Zusammenhang betrachten, werden wir zwisclienzeitlich der Kiirze wegen wegweise zusammenhangende Menge als zusammenhangend bezeiclmen. Definition 10. Ein Gebiet inffi™ist eine offene zusammenhangende Menge. Beispiel 10. Eine offene Kugel K{a; r), r > 0 ist ein Gebiet in M™. Wir wissen bereits, dass K{a] r) in M™ offen ist. Wir wollen zeigen, dass die Kugel zusammenhangend ist. Seien XQ = {x\ . . . , x™) und xi = (a;J,..., x™) zwei Punkte der Kugel. Der durch die Funktionen x^{t) = tx\ -I- (1 — t)xQ, {i = 1 , . . . ,m) fiir das IntervaU 0 < t < 1 definierte Weg besitzt XQ und xi als Endpunkte. Aufierdem liegt seine Spur in der Kugel K{a;r), da nach der Minkowskischen Ungleichung fiir jedes t G [0,1] gilt, dass
d[x{t),a)
• K" genau dann linear ist, wenn jede Abbildung U in der Menge (8.9) linear ist. Wenn wir (8.9) spaltenweise schreiben, gelangen wir mit (8.8) zu ^ A. Einstein (1879-1955) - grofiter Physiker des zwanzigsten Jahrhunderts. Seine Arbeit in der Quantentheorie und insbesondere in der Relativitatstheorie iibten einen revolutionaren Einfluss auf die gesamte moderne Physik aus.
8.1 Die lineare Struktur auf R*"
LHh)\ L{h)=
I
•••
L-{h))
(a\
---alX
=
(h^\ •••
\a^ •••a^J
453
•
(810)
\h"^J
Daher ermoglicht uns die Festlegung von Basen inffi™und ffi", einen einszu-eins Zusanimenhang zwischen linearen Transforniationen L : W" —^ M" und m X n-Matrizen (aj), (i = l,...,m,j = l,...,n) herzustellen. Dabei entspricht die i-te Spalte der Matrix (aj) der Transformation L den Koordinaten L{ei), d.h. dem Bild des Vektors e^ £ {ei,... ,em}- Die Koordinaten des Bildes eines beliebigen Vektors h = h^Ci Gffi™konnen wir aus (8.10) erhalten, indem wir die Matrix der linearen Transformation mit der Spalte der Koordinaten von h multiplizieren. Da ffi" Vektorraumstruktur besitzt, konnen wir von Linearkonibinationen Ai/i + A2/2 von Abbildungen fiiX^M" und /2 : X ^> M" sprechen und (Ai/i + A2/2)(a;) := Xifi(x)
+ X^hix)
(8.11)
setzen. Insbesondere ist eine Linearkonibination von linearen Transforniationen Li : K™ ^ K" und L2 : K™ ^ K" entsprechend ihrer Definition (8.11) eine Abbildung h^XiLi{h)+X2L2{h) =L{h) , die offensichtlich linear ist. Die Matrix dieser Transformation ist die entsprechende Linearkonibination der Matrizen der Transforniationen Li und L2. Die Verkettung C = B o A linearer Transformationen A : M™ —>• M" und S : M" -!• K* ist offensichtlich ebenfalls eine lineare Transformation, deren Matrix dem Produkt der Matrix A mit der Matrix B (die von links multipliziert wird) entspricht, wie aus (8.10) folgt. In der Tat wurde die Multiplikation von Matrizen genau in der Ihnen bekannten Weise definiert, daniit das Produkt von Matrizen der Verkettung der Transformationen entspricht. 8.1.3 Die Norm in W^ Wir bezeichnen mit ||x|| = V(a;i)2 + --- + (a;™)2
(8.12)
die Norm des Vektors x = {x^,..., x™) € ffi™. Aus dieser Definition folgt unter Beriicksichtigung der Minkowskischen Ungleichung, dass 1°. ||a;|| > 0 , 2°. (||a;|| = 0 ) ^ ( a ; = 0), 3°. IIAxll = |A| •||a;||,mit A £ K, 4 ° . ilxi +X2\\ < \\xi\\ + \\X2\\.
454
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
Ganz allgemein wird jede auf einem Vektorraum X definierte Funktion II II : X ^ M, die die Bedingungen l°-4° erfiillt, eine Norm auf diesem Vektorraum genannt. Manchmal wird zur Unterscheidung von Normen ein Symbol als Index angehangt, um den Raum zu kennzeichnen, auf dem die Norm betrachtet wird. So konnen wir etwa ||a;||Rm oder ||2/||R" schreiben. In der Regel werden wir dies nicht tun, da immer aus dem Zusammenhang ersichtlich ist, welcher Raum und welche Norm gemeint ist. Wir merken an, dass nach (8.12) gilt, dass \\x2 — xi\\ = d{xi,X2) ,
(8.13)
wobei d{xi,X2) der Abstand in M™ zwischen den Vektoren xi und X2 ist, wenn wir sie als Punkte im M™ betrachten. Aus (8.13) wird deutlich, dass die folgenden Bedingungen aquivalent sind: X ^ XQ ,
d{x,xo)^0,
||a; — xoll ^ 0 .
In Anbetraclit von (8.13) gilt insbesondere, dass ||a;|| = d{0,x) . Die Eigenscliaft 4*^ der Norm wird Dreiecksungleichung genannt und wir verstehen jetzt, weswegen. Die Dreiecksungleichung lasst sich durcli Induktion auf jede endliche Summe verallgemeinern. Um es auf den Punkt zu bringen, so gilt: llxi H
hXfcll < ||a;i|| H
h ||a;fc|| .
Nun, da wir die Norm eines Vektors bilden konnen, konnen wir auch die Werte von Funktionen f : X ^ M™ und 5 : AT —>•ffi"miteinander vergleiclien. Wir woUen vereinbaren, f{x) = o{g{x)) oder / = o{g) auf einer Basis B in X zu schreiben, falls ||/(a;)||K'" = o(||(7(a;)||K") auf der Basis B. Ist f{x) = ( / ^ ( x ) , . . . , /"(a;)) die KoordinatendarsteUung der Abbildung / : AT —^ffi™,dann konnen wir aufgrund der Ungleichungen m
\r{x)\• M" im Punkt x G E wird durch df{x), Df{x) oder f'{x) symbolisiert. In Ubereinstimmung mit der eben eingefiihrten Sclireibweise konnen wir (8.21) wie folgt umschreiben: f{x + h) — f{x) = f'{x)h
+ a{x; h)
oder Af{x; h) = df{x)h + a{x; h) . Wir merken an, dass das Differential fiir Verschiebungen h vom Punkt x €ffi™definiert ist. Um dies zu betonen, befestigen wir gedanklich eine Kopie des Vektorraums M" im Punkt a; e K™, die wir mit T^K™, TK™ (x), oder TIR™ bezeichnen. Wir konnen den Raum Tffi™ als eine Menge von Vektoren interpretieren, die im Punkt X £ M™ angeheftet sind. Der Vektorraum TM,™ wird Tangentialraum zu M™ in X G ffi™ genannt. Der Grund fiir diese Schreibweise wird unten deutlich. Der Wert des Differentials zu einem Vektor h G TM™ ist der Vektor f'{x)h G TK,., der im Punkt f{x) angeheftet ist und das Inkrement f{x + h) — f{x) der Funktion annahert, das durch das Inkrement h im Argument x verursacht wird. Daher ist d/(a;) bzw. f'{x) eine lineare Transformation/'(a;) :TM™ ^TM^(^). Eine vektorwertige Funktion mehrerer Variabler ist in einem Punkt differenzierbar, wenn ihr Inkrement Af(x; h) in diesem Punkt bis auf einen Korrekturausdruck a(x;h), der fiir /i —>• 0 verglichen zum Inkrement im Argument infinitesimal ist, eine lineare Funktion von h ist. Dies ist, wie wir erkennen, in voUstandiger Ubereinstimmung mit dem bereits untersuchten ein-dimensionalen Fall. 8.2.2 Das Differential und partielle Ableitungen einer Funktion mit reellen Werten Wenn wir die Vektoren f{x + h), f{x), L{x)h und a{x;h) in ffi" in ihren Koordinaten schreiben, wird (8.21) zu den n aquivalenten Gleichungen
458
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler f{x + h)-f{x)=L'{x)h
+ a\x;h),
{i = l,...,n)
(8.22)
zwischen Funktionen mit reellen Werten. Dabei sind, wie aus den Relationen (8.9) und (8.15) in Abschnitt 8.1 folgt, L^(x) : K™ -;• K lineare Funktionen und a*(a;; h) = o{h) fiir h^O, x + hGE fiir jedes i = 1,... ,n. Wir gelangen so zu folgendem Satz. Satz 1. Eine Abbildung / : _E —>•ffi"einer Menge E C ffi™ ist genau dann in einem Punkt x G E, der ein Hdufungspunkt von E ist, dijferenzierbar, wenn die Funktionen /* : i? —>•ffi,(i = l,...,n), die die Koordinatendarstellung der Abbildung wiedergeben, in diesem Punkt dijferenzierbar sind. Da die Gleichungen (8.21) und (8.22) aquivalent sind, geniigt es, zur Bestimmung des Differentials L{x) einer Abbildung f : E ^ M" die Differentiale L^{x) ihrer Koordinatenfunktionen /* : _E —>• M zu bestimmen. Wir woUen nun eine Funktion / : _E —>• M mit reellen Werten betrachten, die auf einer Menge E Cffi™definiert ist und die in einem inneren Punkt X G E dieser Menge differenzierbar ist. Wir merken an, dass wir in Zukunft hauptsachlich den Fall betrachten werden, dass E ein Gebiet in K™ ist. Ist x ein innerer Punkt von E, dann gehort fiir jede hinreichend kleine Verschiebung h von X auch der Punkt x + h zu E, so dass wir folglich auch im Definitionsbereich der Funktion / : i? —>•ffibleiben. Wir gehen zur koordinatenweisen Beschreibung fiir den Punkt x = (a;^,..., a;™), den Vektor h = (/i^,..., /i™) und die lineare Funktion L{x)h = ai{x)h^ + • • • + am{x)h"^ iiber. Damit kann die Bedingung f{x + h)-fix)
=L(x)h
+ o{h) f i i r / i ^ O
(8.23)
als fix^ +h\...,x"'
+ /i")-/(a;\...,a;™) = = ai{x)h^ + • • • + a.rr,{x)h"'+ o{h) fiir/i ^ 0 (8.24)
geschrieben werden, wobei ai{x),..., am{x) reelle Zahlen sind, die vom Punkt X abhangig sind. Wir woUen diese Zahlen bestimmen. Dazu fiihren wir nicht beliebige Verschiebungen h aus, sondern die besondere Verschiebung hi = h^Ci = 0 • ei + • • • + 0 • Cj-i + h^Ci + 0 • Cj+i + • • • + 0 • e™ um einen Vektor /ij, der zum Vektor Cj der Basis { e i , . . . , Cm} inffi™kollinear ist. Fiir h = hi ist offensichtlich \\h\\ = |/i*|, und somit erhalten wir aus (8.24) fix\
. . . , x'-^, x' + h\ x'+^, • • • , a;™) - f{x\ . . . , a;',..., x " ) = = ai{x)h' + o{h') fiir /i* ^ 0 . (8.25)
Dies bedeutet, dass wir, wenn wir mit Ausnahme der i-ten Variablen alle Variablen in der Funktion f{x^, • • • ,x"^) festhalten, zu einer Funktion in der «-ten Variablen gelangen, die im Punkt a;* differenzierbar ist.
8.2 Das Differential einer Punktion mehrerer Variabler
459
Auf diese Weise erhalten wir aus (8.25), dass ai{x) =
(8.26) I
=
y tAj
» •
•
•
• *A^
«
IAJ
I
i t
• *A^
•
lim
•
•
•
• *A^
J
I
\ *A^
« •
:
•
•
«
IAJ
» •
•
•
»
IAJ
j
.
Definition 2. Der Grenzwert (8.26) wird partielle Ableitung der Funktion f{x) im Punkt x = (x^,... jX™) nach der Variablen a;* genannt. Wir bezeichnen sie mit eineni der folgenden Symbole: ^{x),
dj(x),
Dif{x),
f'Ax).
iel 1. 1st f{u,v) = u'^ + V sinu, dann ist gf dif(u,v)
=
d'lfiu^v)
= 7—(MJW) = 2i'sinu . av
au
—-{u,v)=3u'^+v'^cosu,
df
2. Ist / ( x , y, z) = arctan(x2/^) + e^, dann ist dif{x,y,z)
df = •—{x,y,z) i9x ' '
-
2/2
02j(x,y,z)
= -—(x,y,z) dy ' '
-
2„,4 1 + x'^y
1 + x'^y'^
df
dsfix, y, z) = — ( x , y, z) = e"" . Wir haben somit den folgenden Satz bewiesen. Satz 2. Ist eine Funktion / : _E ^ M" auf einer Menge E C ffi™ in einem inneren Punkt x G E dieser Menge differenzierbar, dann besitzt die Funktion in diesem Punkt eine partielle Ableitung nach jeder der Variablen und das Differential dieser Funktion ist durch diese partiellen Ableitungen eindeutig bestimmt: dmh
= §^{x)h'
+••• + ^ ( ^ ) / i ™ •
(8-27)
Wenn wir die Vereinbarung der Summation iiber den Index, der sowohl tiefgestellt als auch hochgestellt auftritt, benutzen, konnen wir (8.27) kurz und biindig sclireiben: df(x)h = dif(x)h' . (8.28) Beispiel 3. Wenn wir gewusst batten (wie wir gleicli wissen werden), dass die Funktion f{x,y,z) aus Beispiel 2 im Punkt (0,1,0) differenzierbar ist, batten wir sofort
460
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler d/(0,1,0)/i = 1 • fti + 0 • /i^ + 1 •ftS= /ji + /j3
schreiben konnen und entsprechend /(/iS 1 + h\h^)
- /(0,1,0) = d/(0,1,0)h + o{h)
oder arctan (/i^ {I + h^f)
+ e^'' = I + h^ + h'' + o{h) fiir /i ^ 0 .
Beispiel 4- Fiir die Funktion x = (x^,... ,a;™) i—> a;*, bei der dem Punkt X Gffi™die i-te Koordinate zugewiesen wird, erhalten wir ATT\x;h) = {x' + h')-x'
= h' ,
d.h., das Inkrenient dieser Funktion ist selbst wieder eine lineare Funktion in h: h H ^ /i*. Somit ist Z\7r*(x; h) = d7r*(x)/i, und die Abbildung d7r*(a;) = d7r* stellt sich als unabhangig von x £ffi™heraus in dem Sinne, dass dTr^{x)h = /i* in jedem Punkt x £ffi™.Wenn wir x^{x) anstelle von 7r*(x) schreiben, gelangen wir zu dx'^{x)h = dx^h = h^. Wenn wir dies und Gleichung (8.28) beriicksichtigen, konnen wir nun das Differential jeder Funktion als eine Linearkombination der Differentiale der Koordinaten ihres Arguments x £ ffi™ forniulieren. Urn es auf den Punkt zu bringen: df{x)=dif{x)dx'--
dx^ dx^
5.29)
da fiir jeden Vektor h e TM™ gilt: df{x)h = dif(x)h'
=
dif{x)dx'h
8.2.3 Koordinatenweise Darstellung des Differentials einer Abbildung: Die Jacobimatrix Wir sind also zu (8.27) fiir das Differential einer Funktion mit reellen Werten / : _E —>• M gelangt. Dann konnen wir aber aufgrund der Aquivalenz der Gleichungen (8.21) und (8.22) fiir jede Abbildung f : E ^ W einer Menge E C M™, die in einem inneren Punkt x £ E differenzierbar ist, die koordinatenweise Darstellung des Differentials d/(a;) wie folgt schreiben:
^dfHx)h^
^difHx)h'^
fl^ix)
...
§il,(^)^^h'^
df{x)h =
\dr(x)hJ \dirixwJ V|^(x)
(8.30)
8.2 Das Differential einer Punktion mehrerer Variabler
461
D e f i n i t i o n 3 . Die Matrix (dif^{x)^, (i = 1,... ,m, j = 1,... ,n) der partiellen Ableitungen der Koordinatenfunktionen einer gegebenen Abbildung im P u n k t X G E wird Jacobimatrix^ der Abbildung in diesem P u n k t genannt. Fiir den Fall n = 1 fiihrt uns das einfach zu Gleicliung (8.27) zuriick und fiir n = 1 und m = 1 gelangen wir zuni Differential einer Funktion mit reellen Werten in einer reellen Variablen. Aus der Aquivalenz der Gleichungen (8.21) und (8.22) und der Eindeutigkeit des Differentials (8.27) einer Funktion mit reellen Werten ergibt sich das folgende Ergebnis: S a t z 3 . 1st eine Abbildung / : _E —>• ffi" einer Menge E C M™ in einem inneren Punkt x G E differenzierbar, dann besitzt sie in diesem Punkt ein eindeutiges Differential df{x), und die koordinatenweise Darstellung der Abbildung df{x) : TM™ -^ TW^ix) entspricht Gleichung (8.30).
8 . 2 . 4 S t e t i g k e i t , p a r t i e l l e A b l e i t u n g e n u n d DifFerenzierbarkeit einer Funktion in e i n e m P u n k t Wir beenden unsere Untersuchung der Differenzierbarkeit einer Funktion in einem P u n k t , indeni wir auf einige Zusamnienhange zwischen der Stetigkeit einer Funktion in einem P u n k t , der Existenz partieller Ableitungen der Funktion in diesem P u n k t und der Differenzierbarkeit in diesem P u n k t hinweisen. In Abschnitt 8.1 ((8.17) und (8.18)) haben wir den Beweis erbracht, dass fiir eine lineare Transformation L : M™ —>• M" gilt, dass Lh —>• 0 fiir h ^ 0. Daher konnen wir aus (8.21) schliefien, dass eine Funktion, die in einem P u n k t differenzierbar ist, in diesem P u n k t stetig ist, da fix + h)-
fix)
= L{x)h + oih) fiir /i ^ 0, a; + /i e -B .
Der Umkehrschluss ist natiirlich nicht wahr, da dieser, wie wir wissen, nicht einmal fiir den ein-dimensionalen Fall gilt. Daher ist die Beziehung zwischen der Stetigkeit und der Differenzierbarkeit einer Funktion in einem P u n k t im mehr-dimensionalen Fall gleich der im eindimensionalen Fall. Die Lage ist jedoch vollstandig anders beim Verhaltnis zwischen partieller Ableitung und dem Differential. Im ein-dimensionalen Fall, d.h. im Fall einer Funktion mit reellem Wert in einer Variablen, sind die Existenz des Differentials und die Existenz der Ableitung einer Funktion in einem P u n k t aquivalente Bedingungen. Bei Funktionen mehrerer Variabler haben wir gezeigt (Satz 2), dass Differenzierbarkeit einer Funktion in einem inneren P u n k t ihres Definitionsbereichs die Existenz der partiellen Ableitungen nach jeder Variablen in diesem P u n k t garantiert. Der Umkehrschluss ist jedoch nicht wahr. ^ C. G. J. Jacobi (1804-1851) - beriihmter deutscher Mathematiker. Der Ausdruck Jacobian wird im Englischen meist fiir die Determinante dieser Matrix (falls sie quadratisch ist) benutzt.
462
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
Beispiel 5. Die Funktion
1 , fiir x^x'^ ^ 0 ist auf den Koordinatenachsen gleich 0 und besitzt daher beide partiellen Ableitungen im Punkt (0,0):
a,/(o,o)=iin.M4pW))^,^o_o^o,
Gleichzeitig ist diese Funktion nicht in (0, 0) difFerenzierbar, da sie offensichtlich in diesem Punkt unstetig ist. Die in Beispiel 5 vorgestellte Funktion besitzt in anderen Punkten auf den Koordinatenachsen aui3er in (0, 0) keine partiellen Ableitungen. Die Funktion r ^ # ^ , fiir x 2 + 2 / 2 ^ 0 ,
.fix,y) = < [
0,
fiir x^ + 2/2 = 0
(vgl. Beispiel 2 in Absclinitt 7.2) besitzt jedocli in alien Punkten der Ebene partielle Ableitungen. Sie ist allerdings aucli im Ursprung unstetig und daher dort nicht differenzierbar. Konnen wir also die rechte Seite in (8.27) und (8.28) aufstellen, so garantiert uns dies nicht, dass dieser Ausdruck eine Darstellung des Differentials der betrachteten Funktion ist, da die Funktion nicht differenzierbar sein kann. Dieser Umstand hatte zu einer ernsten Behinderung der gesamten Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Variablen werden konnen, wenn nicht sichergestellt worden ware (wie wir unten zeigen werden), dass die Stetigkeit der partiellen Ableitungen in eineni Punkt eine hinreichende Bedingung fiir die Differenzierbarkeit der Funktion in diesem Punkt ist.
8.3 Die wichtigsten Gesetze der Differentiation 8.3.1 Linearitat der Ableitung Satz 1. Sind die auf einer Menge E C M™ definierten Abbildungen / i : _E ^ M" und /2 : -B ^ ffi" in einem Punkt x G E differenzierbar, dann ist auch jede Linearkombination (Ai/i + A2/2) : i? ^ ffi" in diesem Punkt differenzierbar und es gilt die folgende Gleichung: (Ai/i + A2/2)'(a;) = {Xif[ + \2f^){x)
.
(8.31)
8.3 Die wichtigsten Gesetze der Differentiation
463
Gleichung (8.31) zeigt uns, dass die Ableitung, d.h. die Bildung des Differentials einer Abbildung in eineni Punkt, auf deni Vektorraum der in einem Punkt der Menge E differenzierbaren Abbildungen / : _E —>• M" eine lineare Transformation ist. Die linke Seite von (8.31) enthalt per definitionem die lineare Transformation (Ai/i + \2f2)'{x), wohingegen die rechte Seite die Linearkombination {\if[ + A2/2)(a;) der linearen Transformationen f[{x) : K™ ^ K" und fl^{x) : K™ ^ K" enthalt, die, wie wir aus Abschnitt 8.1 wissen, ebenfalls eine lineare Transformation ist. Satz 1 stellt sicher, dass diese Abbildungen identisch sind. Beweis. (Ai/i + \2f2){x + h)- (Ai/2 + A2/2)(a;) = = (Ai/i(a; + h) + \2h{x + h)) - [Xifiix) = Ai(/i(x + h)-
+ X^hix))
h{x)) + A2(/2(x + h)-
= Ai {f[{x)h + o{h)) + X2{mx)h = {X^f[{x)+X2nix))h
h{x))
= =
+ 0(h)) =
+ o{h).
a
Besitzen die untersuchten Funktionen reelle Werte, dann konnen wir sie auch multiplizieren und dividieren (falls der Nenner ungleich Null ist). Dies fiihrt uns zu folgendem Satz. Satz 2. Sind die auf einer Menge E C M™ definierten Funktionen f : E ^ M. und g : E ^W in einem Punkt x G E differenzierbar, dann ist auch a) ihr Produkt in x differenzierbar, mit {f-g)'{x)=g{x)f{x)+f{x)g'{x)
und
(8.32)
h) fiir g{x) 7^ 0 ist ihr Quotient in x differenzierbar, mit ( - ) ' ( ^ ) = ^ ( 5 ( a ; ) / ' ( a ; ) - f{x)g'{x)) . (8.33) \gJ 5 (a;) Der Beweis dieses Satzes ist identisch zum Beweis entsprechender Telle von Satz 1 in Abschnitt 5.2, so dass wir auf die Details verzichten. Wir konnen die Gleichungen (8.31), (8.32) und (8.33) auch in der anderen Schreibweise fiir die Ableitung formulieren: d(Ai/i(a;) + A2/2(x)) = (Aid/i + A2d/2)(x) , d ( / • 9){x) = g{x)df{x)
+ f{x)dg{x) ,
d ( - ) ( a ; ) = -jTriai^Wi^:) \gJ r(a;) '
- .fix)dg{x))
.
Was bedeuten diese Gleichungen in der koordinatenweisen Darstellung der Abbildungen? Wird eine in einem inneren Punkt x einer Menge E C ffi™ differenzierbare Abbildung (f : E ^ W" in ihrer Koordinatenform
464
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
• ffi* in X dijferenzierbar und das Differential d{g o f) : TM™ —>• TM.K,,^~.~. der Verkettung ist gleich der Verkettung dg{y) o df{x) der Differentiale df{x) : TR™ ^ TW}(,)=y ,
dg{y) : Tffi^ ^ TK*(^) .
Der Beweis dieses Satzes wiederholt fast voUstandig den Beweis von Satz 2 in Abschnitt 5.2. Um Ihre Aufmerksamkeit auf ein neues Detail zu lenken, das in diesem Fall auftritt, werden wir niclitsdestotrotz den Beweis wiederholen, ohne jedocli teclmische Details auszufiihren, die bereits dargestellt wurden. Beweis. Mit Hilfe der Differenzierbarkeit der Abbildungen / und g in den Punkten x und y = f{x) und der Linearitat der Ableitung g'{x) konnen wir schreiben: (g o f){x + h)-igo = g'ifix))
f){x) = g{f{x + h)) - g{f{x)) {fix + h)-
=
fix)) + o{f{x + h)-
fix))
=
= g'{y) {fix)h + o{h)) + o{f{x + h)- fix)) = = g'iy) {f{x)h)
+ g'iy) {o{h)) + o{f{x + h) - /(x)) = = {g'{y)of'{x))h
+
a{x;h).
Dabei ist g'{y) o f'{x) eine lineare Abbildung (als Verkettung linearer Abbildungen) und a{x; h) = g'iy) {o{h)) + o{f{x + h) - f{x)) . Wie wir aus (8.17) und (8.18) in Abschnitt 8.1 wissen, gilt
466
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
f{x + h)-
9'(y){o(h)) =o{h) f i i r / i ^ O , f(x) = f'{x)h + o{h) = 0(h) + o{h) = 0{h) fiir /i ^ 0
und o{f(x + h)-
f{x)) = o{0{h)) = o{h) fiir /i ^ 0 .
Folglich ist a{x; h) = o{h) + o{h) = o{h) fiir h ^ 0 , D
womit der Satz bewiesen ist.
Wenn wir ihn in Koordinatenform schreiben, besagt Satz 3, dass fiir einen inneren Punkt x in der Menge X mit
fd^fix)
•••
d^f\x)\ {dir)ix)
/'(^)
\di.r{x) ••• dm.r{x)j und fiir einen inneren Punkt y = f{x) der Menge Y mit fdigHy)
•••d„gHy)\
g'iv)
{dj9'')iy) \d19Hy)
•••dngHy)/
nit, dass (d,{gofY{x)
•••d^{gofY{x)\
(gofyix)
{di{g-fy)ix) \di{gof)>^(x)
(d^g\y)
••• dr.g\y)\
•••dm{goff{x)J
( d.fHx)
•••
d„J\x)\ {djg'{y)-difHx)).
\digHy)
•••dngHy)/
\dir{x) ••• d^r{x)j
In der Gleichung {di{g o f)')ix)
= {djgHfix))
•
difix))
5.34)
verstehen wir die Summation auf der rechten Seite bzgl. j iiber dessen Veranderungsbereich von 1 bis n. Im Gegensatz zu den Gleichungen (8.31'), (8.32') und (8.33') ist (8.34) selbst im Sinne einer elementweisen Gleichheit der darin vorkommenden Matrizen nicht trivial. Wir woUen einige wichtige Falle des eben bewiesenen Satzes betrachten.
8.3 Die wichtigsten Gesetze der Differentiation
467
b . D a s Differential u n d p a r t i e l l e A b l e i t u n g e n e i n e r v e r k e t t e t e n Funktion mit reellen Werten Sei z = g{y^,... ,y") eine Funktion mit reellen Werten der reellen Variay", wovon jede selbst wieder eine Funktion y^ = /•'{x^, • • •, a;™), blen y^,..., (j = 1 , . . . , n) der Variablen a;^,..., x™ ist. Wenn wir davon ausgelien, dass die Funktionen g und /•*, ( j = 1 , . . . , n ) differenzierbar sind, konnen wir die partielle Ableitung -g§i (x) der Verkettung der Abbildungen f : X ^ Y und g : Y ^ R bestimmen. Nach (8.34), wobei in diesem Fall I = 1 gilt, erhalten wir di{gof)(x)=djg{f{x))-dif{x)
(8.35)
oder in einer Schreibweise, die niehr Details offenbart: ^U) dx}
= ^^^°.^\x\...,x'^)=^^ dx^ '''''
^^\ \ dy^ dx}
I ^^ ^^" = dy" dx^
= dwifix)) • difix) + ••• + dng{f{x)) • dirix). c. D i e A b l e i t u n g n a c h e i n e m V e k t o r u n d d e r G r a d i e n t e i n e r Funktion in e i n e m P u n k t Wir betrachten den stationaren Fluss einer Fliissigkeit oder eines Gases in einem Gebiet G in M^. Der Ausdruck „stationar" bedeutet dabei, dass sich die Geschwindigkeit des Flusses in jedem P u n k t von G niclit mit der Zeit verandert, obwohl sie natiirlich in verscliiedenen P u n k t e n von G unterscliiedlicli sein kann. Nehmen wir etwa an, f{x) = f{x^,x'^,x^) sei der Druck im Fluss im P u n k t x = (x^, x"^, x^) £ G. Wenn wir uns im Fluss entsprecliend der Vorschrift x = x{t), wobei t die Zeit ist, fortbewegen, werden wir mit der Zeit den Druck ( / o x){t) = /(a;(t)) aufzeiclinen. Die Veranderung des Drucks mit der Zeit entlang unserer Trajektorie entspricht offensiclitlich der Ableitung ^;^™' (t) der Funktion ( / o x){t) nach der Zeit. Wir wollen diese Ableitung berechnen und dabei davon ausgelien, dass f{x^,x'^,x^) eine differenzierbare Funktion im Gebiet G ist. Nach der Regel zur Ableitung verketteter Funktionen erhalten wir
^ ^ W = §^{mi'it)
+ §^{mi'it)
+ §^{miHt) , (8.36)
mitx^t) = ^ ( t ) , (« = 1,2,3). Da der Vektor (x^,x^,x^) = v{t) der Geschwindigkeit unserer Bewegung der koordinatenweisen Formuliezur Zeit t entspricht und {dif,d2f,d3f){x) rung des Differentials df{x) der Funktion / im P u n k t x, konnen wir (8.36) auch wie folgt schreiben:
^ii£^(t)=df{x{t))v{t).
(8.37)
468
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
Somit ergibt sich die gesuchte GroBe aus dem Wert des Differentials d/(a;(t)) der Funktion f{x) im P u n k t x{t) multipliziert mit dem Geschwindigkeitsvektor v{t) der Bewegung. W a r e n wir zur Zeit t = 0 im P u n k t XQ = x(0), dann erhielten wir ^ ^ ^ ( 0 ) = df{xo)v
,
(8.38)
wobei V = 11(0) der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit t = 0 ist. Die rechte Seite von (8.38) hangt nur vom P u n k t XQ G G und dem Geschwindigkeitsvektor V in diesem P u n k t ab. Er ist, unter der Voraussetzung, dass x{0) = V gilt, von der besonderen Form der Trajektorie x = x{t) unabhangig. Dies bedeutet, dass der Wert der linken Seite von (8.38) auf jeder Trajektorie der Form x{t) =xo+vt + a{t) , (8.39) wobei a{t) = o{t) fiir t —>• 0, gleich ist. Denn dieser Wert wird durch den vorgegebenen P u n k t XQ und den Vektor v £ TW^,^ in diesem P u n k t voUstandig bestimmt. Insbesondere b a t t e n wir die Bewegungsgleicliung x{t) =xo+vt
(8.40)
wahlen konnen, um den Wert der linken Seite von (8.38) direkt (und somit aucli die rechte Seite) zu berechnen. Dabei ist (8.40) die Bewegungsgleichung fiir eine gleichformige Bewegung mit der Geschwindigkeit w, wie sie im P u n k t x{0) = XQ zur Zeit t = 0 herrscht. Wir geben nun die folgende D e f i n i t i o n 1. Ist die Funktion f{x) in einer Umgebung des P u n k t e s XQ £ ffi™ definiert und wird der Vektor v G TW^^ dem P u n k t XQ zugeschrieben, dann nennen wir Dvfixo)
(8.41)
:= lim
(falls der formulierte Grenzwert existiert) die Ableitung von f im Punkt XQ nach dem Vektor v oder die Ableitung im Punkt XQ entlang dem Vektor v. Aus diesen Uberlegungen folgt, dass die folgende Gleichung fiir jede Funktion x{t) der Form (8.39) gilt, wenn die Funktion / im P u n k t XQ differenzierbar ist: D.fixo)
= ^ ^ ^ ( 0 ) = df{xo)v
.
(8.42)
Sie gilt insbesondere auch fiir jede Funktion der Form (8.40). In Koordinatenschreibweise lautet diese Gleichung Dvfixo)
= ^ ( ^ o ) « ' + • • •+ ^ M v " "
.
(8.43)
8.3 Die wichtigsten Gesetze der Differentiation
469
Fiir die Basisvektoren ei = ( 1 , 0 , . . . , 0), . . . , e^ = ( 0 , . . . , 0,1) folgt aus dieser Formel insbesondere, dass
df Deifixo)
= -g-^{xo) ,
(« = l , . . . , m ) .
Sind i'i,i'2 £ K^ beliebige Vektoren und Ai,A2 £ K beliebige Zahlen, dann konnen wir aus (8.42) fiir eine im Punkt XQ differenzierbare Funktion / aufgrund der Linearitat des Differentials df{xo) schliefien, dass die Funktion im Punkt XQ eine Ableitung nach dem Vektor (AiWi + A2W2) £ ^R™ besitzt und dass f{xo) = XiD.Jixo) + X2D,J{xo) . (8.44) Wenn wir M™ als euklidischen Raum betrachten, d.h. als einen Vektorraum mit einem inneren Produkt, dann ist es nioglich (vgl. Abschnitt 8.1), jedes lineare Funktional L{v) als das innere Produkt {^,v) eines vorgegebenen Vektors ^ = £,(L) mit dem variablen Vektor v zu schreiben. Insbesondere existiert ein Vektor ^, so dass df{xo)v={^,v).
(8.45)
Definition 2. Der Vektor ^ G TM,™ , der im Sinne von (8.45) zum Differential df{xo) der Funktion / im Punkt XQ gehort, wird Gradient der Funktion in diesem Punkt genannt und mit grad/(a;o) bezeichnet. Somit gilt per definitionem df{xo)v = {gmdf{xo),v).
(8.46)
Wenn wir fiir M™ ein kartesisclies Koordinatensystem gewalilt liaben, dann konnen wir, wenn wir (8.42) und (8.43) mit (8.46) vergleichen, folgern, dass der Gradient in einem derartigen Koordinatensystem die folgende Darstellung besitzt: grad/(xo)=(^,...,^)(.o). (8.47) Wir woUen nun die geometrische Bedeutung des Vektors grad /(XQ) erklaren. Sei e e TIK.™ ein Einheitsvektor. Dann ist nach (8.46) Defixo) = |grad f{xo)\cosip
,
(8.48)
wobei (p der Winkel zwischen den Vektoren e und grad /(XQ) ist. Ist also grad /(XQ) 7^ 0 und e = ||grad /(a;o)||~^grad / ( X Q ) , dann nimmt die Ableitung Dgf{xo) einen Maximalwert an. D.h., das Anwachsen der Funktion / (ausgedriickt in Einheiten von / relativ zu einer Einheitslange in M™) ist exakt dann im Punkt XQ maximal und gleich ||grad /(a;o)||, falls die Bewegung in Richtung des Vektors grad /(XQ) stattfindet. Der Wert der Funktion nimmt bei einer Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung am starksten ab, und die Funktion / andert sich nicht, wenn die Bewegungsrichtung senkrecht zum Vektor grad /(XQ) verlauft.
470
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
Die Ableitung nach eineni Einheitsvektor einer vorgegebenen Richtung wird iiblicherweise Richtungsahleitung genannt. Da ein Einheitsvektor im euklidischen Raum durch die Richtungscosinus e = (cos « ! , . . . , cos am) bestimmt wird, wobei ccj den Winkel zwischen dem Vektor e und dem Basisvektor Cj in einem kartesischen Koordinatensystem beschreibt, folgt, dass
df Def{xo) = (grad/(a;o),e) = —Y(a;o)cosai H
df h -^-^{xo) cosam •
Wir treflFen sehr oft auf den Vektor grad f{xo) und er besitzt viele Anwendungen. Beispielsweise beruhen die sogenannten Gradientenmethoden zur numerischen Bestimmung von Extrema von Funktionen mehrerer Variabler (mit Hilfe eines Computers) auf der geometrischen Eigenschaft des gerade eingefiihrten Gradienten. (Beachten Sie in diesem Zusammenhang Aufgabe 2 am Ende des Abschnitts.) Viele wichtige Vektorfelder, wie beispielsweise ein Newtonsches Gravitationsfeld oder das durch eine Ladung erzeugte elektrische Feld, sind Gradientenfelder skalarer Funktionen, die als Potentiale dieser Felder bekannt sind (vgl. Aufgabe 3). Viele physikalischen Gesetze beinhalten den Vektor grad / in ihren Formulierungen. So lautet beispielsweise das Aquivalent zum Newtonschen Kraftgesetz ma = F in der Mechanik kontinuierlicher Materialien: pa = —grad p. Dadurch wird die Beschleunigung a = a{x, t) im Punkt x zur Zeit t im Fluss einer idealen Fliissigkeit oder eines Gases ohne die Einwirkung auBerer Krafte mit der Dichte des Materials p = p{x,t) und dem Gradienten des Drucks p = p{x, t) im selben Punkt und zur selben Zeit (vgl. Aufgabe 4) in Verbindung gebracht. Wir werden den Vektor grad / spater beim Studium der Vektoranalysis und den Elementen der Feldtheorie noch weiter untersuchen. 8.3.3 Ableitung einer inversen Abbildung Satz 4. Sei f : U{x) —>• V{y) eine Abbildung einer Umgebung U{x) C ffi™ des Punktes x auf eine Umgebung V{y) C M™ des Punktes y = f{x). Angenommen, f ist im Punkt x stetig und besitzt eine inverse Abbildung f~^ : V{y) -^ U{x), die im Punkt y stetig ist. Ist die Abbildung f im Punkt x differenzierbar und besitzt die Tangentialabbildung f'{x) : TM™ —>• TW^^ an f im Punkt x eine Inverse [f'{x)] : TW^ —>• TR™, dann ist mit diesen Annahmen auch die Abbildung f~^ : V{y) -^ U{x) im Punkt y = f{x) differenzierbar und es gilt:
(/-^)'(2/)=[/'(^)]"'-
8.3 Die wichtigsten Gesetze der Differentiation
471
Somit besitzen zueinander inverse differenzierbare Abbildungen in den entsprechenden P u n k t e n zueinander inverse Tangentialabbildungen. W i r benutzen die folgenden Schreibweisen:
Beweis.
f{x)=y,
f{x + h)=y
+ t,
t = f{x +
h)-f{x),
so dass
f-\y)=x, y+
f-\y + t)=x + h, h = r\y + t)-r\y)-
Wir nehmen an, dass h so klein ist, dass x + h £ U{x) u n d daher auch t&V{y). Aus der Stetigkeit von / in a; u n d f~^ in y folgt, dass t = f{x + h)-
fix) -^0
iiir
h^O
(8.49)
und
h = .r\y + t)-.rHy)^o
fiir t ^ o
(8.50)
Aus der Differenzierbarkeit von / in a; folgt, dass (8.51) t = f'{x)h + o{h) fiir /i ^ 0 , d.h., wir konnen sogar davon ausgehen, dass t = 0(h) fiir /i ^ 0 (vgl. (8.17) u n d (8.18) in Abschnitt 8.1). Wir wollen zeigen, dass fiir eine invertierbare lineare Abbildung f'{x) gilt, dass h = 0{t) fiir t ^ 0. Tatsachlich ergibt sich nach u n d nach aus (8.51), dass [f'{x)]
h = h+ [f'{x)]-^o{h)
[fix)] ~^t = h + o{h)
[r{x)]~'t >\\h\ - \\o{h)\\
[n^)V't
> hWhW
fiir
h^O,
(8.52)
fiir /i ^ 0 , fiir h^O
,
fiir ||/i|| < (5
wobei die Zahl (5 > 0 so gewahlt wird, dass ||o(/i)|| < ^\\h\\ fiir \\h\\ < S. Wenn wir d a n n (8.50) beriicksichtigen, d.h., dass /i —>• 0 fiir t —>• 0, ergibt sich < 2
[f'i^)r't
0(\\t\\)
fiir t ^ O ,
was aquivalent ist zu h = 0{t)
fiir t ^ 0 .
Daraus folgt insbesondere, dass o{h) = o{t) fiir t ^ 0 .
472
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler Wenn wir dies beriicksichtigen, ergibt sich aus (8.50) und (8.52), dass h=
[f{x)\~h
+ o{t) fiir
t^O
oder
r\y + t)-r\y)
= [nx)]-'t + o{t) mrt^o.
Entspricht eine Matrix A einer linearen Transformation L : M™ -^ ffi™, dann ist aus der Algebra bekannt, dass die zu A inverse Matrix A~^ einer linearen Transformation L~^ : ffi™ -^ M™ entspricht, die zu L invers ist. Die Konstruktion der Elemente der inversen Matrix ist ebenfalls aus der Algebra bekannt. Folglich liefert der eben bewiesene Satz eine direkte Vorschrift fiir die Konstruktion der Abbildung (/~^) (y)Ist m = 1, d.li., ist M™ = ffi, dann lasst sich die Jacobimatrix der Abbildung f : U{x) ^ V{y) im P u n k t x auf die einfache Zahl f'{x) zuriickfiihren - die Ableitung der Funktion / in a; - und die lineare Transformation f'{x) : TRx -^ TRy entpuppt sich als Multiplikation mit der Zahl h iH> f'{x)h. Diese lineare Transformation ist genau dann invertierbar, wenn f'{x) ^ 0. Die Matrix der inversen Abbildung [/'(x)] : TRy —>• TRx besteht ebenfalls aus nur einer einzigen Zahl - [/'(a;)] - dem Kehrwert von f'{x). Daher beinhaltet Satz 4 ebenfaUs die Regel fiir das Auffinden der Ableitung einer inversen Funktion, die wir bereits friiher vorgestellt h a t t e n . 8.3.4 U b u n g e n u n d A u f g a b e n 1. Wir sagen, dass zwei Wege t i->- xi{t) und t i-> x-zit) im Punkt xo G R™ aquivalent sind, wenn a;i(0) = X2(0) = xo und d{xi{t),X2(t)) = o(i) fiir t —> 0. a) Beweisen Sie, dass diese Beziehung eine Aquivalenzrelation ist, d.h., dass sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. b) Beweisen Sie, dass zwischen Vektoren v £ TR™ und den Aquivalenzklassen glatter Wege im Punkt xo eine eins-zu-eins Abhangigkeit besteht. c) Identifizieren Sie den Tangentialraum TR™ mit der Menge der Aquivalenzklassen glatter Wege durch den Punkt xo G R"*, und fiihren Sie die Addition und Multiplikation mit einem Skalar fiir die Aquivalenzklasse von Wegen ein. d) Uberpriifen Sie, ob die eingefiihrten Operationen vom Koordinatensystem in R™ abhangen oder niclit. 2.
a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion z = x'^ + 4y^, wobei {x,y,z) die kartesischen Koordinaten in R^ sind. b) Sei / : C —> R eine Funktion mit numerischen Werten, die auf einem Gebiet G C R definiert ist. Ein Niveaumenge (c-Niveau) der Funktion ist eine Menge E C G, auf der die Funktion nur einen Wert {f{E) = c) annimmt. Genauer gesagt, ist E = f~^{c). Zeichnen Sie die Niveaumengen in R^ fiir die Funktion aus Teil a).
D
8.3 Die wichtigsten Gesetze der Differentiation
473
c) Bestimnien Sie den Gradienten der Punktion f{x,y) = x^ +4^/^ und zeigen Sie, dass der Vektor grad / in jedem Punkt {x, y) zur Niveaukurve der Punktion / , die durch diesen Punkt verlauft, orthogonal ist. d) Skizzieren Sie mit Hilfe der Ergebnisse aus o), h) und c) den kiirzesten Weg fiir den Abstieg aus Punkt (2,1,8) zum tiefsten Punkt der Flache in (0,0,0) auf der Flache z = x'^ + 4y^ . e) Welchen fiir die Implementation auf einem Computer geeigneten Algorithmus wiirden Sie vorschlagen, um das Minimum der Punktion f{x,y) = x'^ + 4y^ zu bestimmen? 3. Wir sagen, dass ein Vektorfeld auf einem Gebiet G C R"* definiert ist, wenn jedem Punkt X £ G ein Vektor v(a;) £ TR™ zugeordnet wird. Ein Vektorfeld v(x) in G wird Potentialfeld genannt, falls es eine Punktion mit numerischen Werten t/ : G —>• R gibt, so dass v(a;) = grad U{x). Die Punktion U{x) wird Potential des Peldes v(a;) genannt. (In der Physik wird iiblicherweise die Punktion —U(x) Potential genannt und, wenn ein Kraftfeld untersucht wird, die Punktion U{x) Kraftfunktion.) a) Zeichnen Sie fiir eine Ebene mit kartesischen Koordinaten {x,y) das Peld grad f{x,y) fiir jede der folgenden Punktionen: fi{x,y) = x'^ + y^; f2{x,y) = -{x^ + y^); f3{x,y) = arctan(a;/2/) fiir y > 0 und f4{x,y) = xy. b) Ein Korper der Masse m im Punkt 0 £ R"' zieht nach dem Newtonschen Gesetz einen Korper der Masse 1 im Punkt x £V? {x ^ Q) mit der Kraft F = —TO|r|~^r an (wir haben die Gravitationskonstante Go weggelassen). Dabei ist r der Vektor Ox. Zeigen Sie, dass das Vektorfeld F(a;) in R^ \ 0 ein Potentialfeld ist. c) Zeigen Sie, dass in den Punkten (Cj,r/j,Cj) (i = 1 , . . . ,n) platzierte Massen rm (i = 1,.. ., n) aufler in diesen Punkten ein Newtonsches Kraftfeld erzeugen und dass folgende Punktion das Potential wiedergibt:
U(x,y,z) = Y^
rrii
d) Bestimmen Sie das Potential des elektrischen Peldes, das durch Punktladungen Qi (i = l , . . . , n ) erzeugt wird, die in den Punkten ( C J , ^ J ) 0 ) ) (« = l , . . . , w ) platziert sind. 4. Wir betrachten die Bewegung einer idealen inkompressiblen Fliissigkeit in einem Raum, der frei ist von aufleren Kraften (insbesondere frei von Gravitationskraften). Seien v = v(x, y,z,t), a = a{x, y,z,t), p = p(x, y, z, t) und p = p{x, y, z, t) die Geschwindigkeit, die Beschleunigung, die Dichte und der Druck der Fliissigkeit im Punkt {x, y, z) zur Zeit t. Eine ideale Fliissigkeit ist eine Fliissigkeit, in der der Druck in jedem Punkt in alle Richtungen gleich ist. a) Wir greifen ein Volumen der Fliissigkeit in Form eines kleinen Parallelogramms heraus. Seine Ecken seien parallel zum Vektor grad p{x, y, z, t) (wobei grad p hinsichtlich den Raumkoordinaten gebildet wird). Schatzen Sie die Kraft ab, die auf dieses Volumen aufgrund des Druckabfalls einwirkt, und formulieren Sie eine Naherungsformel fiir die Beschleunigung dieses Volumens unter der Annahme, dass die Fliissigkeit inkompressibel ist.
474
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
b) Bestimmen Sie, ob das von Ihnen in o) erhaltene Ergebnis zur Eulerschen Gleichung pa = — grad p konsistent ist. c) Bine Kurve, deren Tangente in jedem Punkt in Richtung des Geschwindigkeitsvektors in diesem Punkt zeigt, wird Stromlinie genannt. Eine Bewegung wird stationar genannt, wenn die Punktionen v, a, p, und p unabhangig von t sind. Zeigen Sie mit Hilfe von h), dass bei stationarem PIuss einer inkompressiblen Pliissigkeit |||v||^ +p/p entlang einer Stromlinie konstant ist {Bernoullisches Gesetz ). d) Wie verandern sich die Pormeln in o) und 6), wenn die Bewegung in einem Gravitationsfeld nahe der Erdoberflache stattfindet? Zeigen Sie, dass in diesem Pall pa = - g r a d {gz + p) gilt, so dass nun |||v|p+p2;+p//5 entlang jeder Stromlinie bei stationarem Pluss einer inkompressiblen Pliissigkeit konstant ist. Dabei ist g die Gravitationsbeschleunigung und z die Holie der Stromlinie oberhalb der Erdoberflache. e) Erklaren Sie aufgrund des vorigen Ergebnisses, warum ein belasteter Pliigel ein charakteristisches konvexes Aufwartsprofil besitzt. f) Eine inkompressible ideale Pliissigkeit der Diclite p wird benutzt, um ein zylindrisches Glas mit kreisformigem Boden mit Radius R auf die Hohe h anzufiillen. Das Glas wird dann mit der Winkelgeschwindigkeit u) um seine Aclise gedreht. Bestimmen Sie fiir die inkompressible Pliissigkeit die Gleicliung z = f{x, y) ilirer Oberflache im stationaren Zustand (vgl. Aufgabe 3 in Absclinitt 5.1). g) Sclireiben Sie basierend auf der in / ) gefundenen Pormel fiir die Oberflache y = f(x,y) eine Pormel fiir den Druck p = p(x,y,z) in jedem Punkt (x,y,z) fiir das von der rotierenden Pliissigkeit eingenommenen Volumen. Priifen Sie, ob die Gleichung pa = —grad (gz + p) aus Teil d) fiir die von Ihnen gefundene Pormel gilt. h) Konnen Sie nun erklaren, warum Teeblatter sinken (wenn auch nicht sehr schnell!) und warum sie sich in der Mitte der Tasse und nicht am Rand ansammeln, wenn der Tee geriihrt wird? 5. Abschatzung des Fehlers bei der Berechnung einer Funktion. a) Nutzen Sie die Deflnition einer differenzierbaren Punktion und die Naherungsgleichung Af{x; h) w df{x)h und zeigen Sie, dass der relative Pehler S = Slf{x);h] im Wert des Produkts f{x) = x^ • • • x"^ aus m Paktoren ungleich Null durch S ^ '^ Si bestimmt werden kann. Dabei sind die Paktoren x' aus i= l
Messungen mit den relativen Pehlern Si behaftet. b) Erzielen Sie wiederum das Ergebnis aus Teil a) mit Hilfe der Gleichung dln/(a;) = -TTJT df{x) und zeigen Sie, dass der relative Pehler in einem Bruch fl-
• • fn
f
N
\X\, . . . , Xm)
im Allgmeinen aus der Summe der relativen Pehler der Werte der Punktionen fi,..., f„,gi,... ,gk bestimmt werden kann. 4
Daniel Bernoulli (1700-1782) - schweizerischer Gelehrter, einer der hervorragenden Physikern und Mathematikern seiner Zeit.
8.3 Die wichtigsten Gesetze der Differentiation
475
6. Homogene Funktionen. Eine auf einem Gebiet G C R"* definierte Punktion / : G —>• R wird homogen (bzw. positiv homogen n-ten Grades) genannt, falls fiXx) = rfix)
(bzw. f{\x)
=
\\rf{x))
fiir jedes a; £ R"*, und A £ R gilt mit a; £ G und Xx € G. Eine Punktion ist lokal homogen n-ten Grades ini Gebiet G, wenn sie in einer Umgebung jeden Punktes von G eine homogene Punktion vom Grad n ist. a) Zeigen Sie, dass jede lokal homogene Punktion in einem konvexen Gebiet auch homogen ist. b) Sei G die Ebene R^ ohne den Strahl L = Ux,y) GR^ \x = 2 Ay > o\. Zeigen Sie, dass die Punktion
{
y*/x,
fiir X > 2 Ay > 0,
y^,
sonst
in G lokal homogen ist, aber nicht homogen auf dem Gebiet. c) Bestimmen Sie den Grad der Homogenitat oder positiven Homogenitat der folgenden Punktionen auf ihrem natiirlichen Definitionsbereich: p / l /Iv'*' J . / 1 j2\X
m\ *****^ 2
, X
3 , X
^ X
_ }
^
1 2 _ | _ 2 3 _ | _ fX' I lA-' lA-' I
4 \ )
X X -\- X X -^ - g 2 3 lA-'
f3[X
,...,X
) =
• • •
lA-'
\X
lA-'
•••X
I
lA-'
lA-'
I I
rn—l ^
X
m
4" ' lA-'
I .
d) Leiten Sie die Gleichung f{tx) = t"'f{x) nach t ab und zeigen Sie, dass sie fiir eine differenzierbare Punktion / : G —> R, die in einem Gebiet G C R™ lokal homogen vom Grad n ist, die folgende Gleichung fiir homogene Funktionen erfiiUt:
df
I df , 1 "^ ft
iV"^ , . . . , a ^
) -r ' ' ' -r X
^
ra^'^
,...,X
) ^
nj
\^X J . . . ^X
) .
e) Zeigen Sie: Gilt obige Gleichung fiir eine differenzierbare Punktion / : G —> R in einem Gebiet G, dann ist diese Punktion lokal homogen n-ten Grades in G. H i n w e i s : Zeigen Sie, dass die Punktion (p{t) = t~"'f{tx) ist und in einer Umgebung von 1 konstant ist.
fiir jedes x £ G definiert
7. Homogene Funktionen und die Dimensionsanalyse. 1°. Die Dimension einer physikalischen Grofie und die Eigenschaften funktionaler Beziehungen zwischen physikalischen Grofien. Physikalische Gesetze beschreiben Zusammenhange zwischen physikalischen Grofien. Werden gewisse Mafieinheiten fiir einige dieser Grofien vereinbart, dann lassen sich die Einheiten der mit ihnen zusammenhangenden Grofien auf bestimmte Weise durch die Einheiten der vorgegebenen Grofien bestimmen. Auf diese Art gelangen wir zu verschiedenen Basiseinheiten und abgeleiteten Einheiten. Beim internationalen Einheitensystem, auch einfach SI genannt, sind die mechanischen Basisdimensionen (mit ihren Einheiten) die Lange (der Meter, mit m
476
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
bezeichnet), die Masse (das Kilogramm, mit kg bezeichnet) und die Zeit (die Sekuiide, mit s bezeichnet). Bei der Formulierung von abgeleiteten Groflen erhalt man deren Dimension durch algebraische Kombination der Dimensionen der Basisgroflen. Die Dimension jeder mechanischen Grofie wird symbolisch als Formel geschrieben, wobei wir die Symbole L, M und T benutzen, die von Maxwell^ als Dimensionen der oben genannten Basiseinheiten vorgeschlagen wurden. So erhalten beispielsweise die Geschwindigkeit, die Beschleunigung und die Kraft die folgenden Dimensionen: [F] =
MLT
-1
Sollen physikalische Gesetze unabhangig von der Wahl des Einheitensystems sein, so sollten als ein Zeichen dieser Invarianz gewisse Eigenschaften der funktionalen Relation xo = / ( x i , . . . ,Xfc,a;;i+i,... ,a;„)
(*)
zwischen den numerischen Charakteristika der physikalischen Grofien gelten. Wir betrachten beispielsweise die Relation c = / ( o , 6) = \/a? + 6^ zwischen der Lange der Seiten und der Lange der Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. AUe skalierenden Veranderungen sollten alle Langen gleichermafien verandern, so dass fiir alle zulassigen Werte von a und 6 die Relation f{aa,ab) = ip{a)f{a,b) gelten sollte, wobei im gegenwartigen Beispiel (p{a) = a ist. Eine grundlegende (und auf den ersten Blick offensichtliche) Voraussetzung der Dimensionsanalyse ist, dass eine Relation (*) mit physikalischer Bedeutung so beschaffen sein muss, dass bei einer Veranderung der Skalen der grundlegenden Mafieinheiten die numerischen Werte aller Ausdriicke vom selben Typus, die in der Formel auftreten, mit demselben Faktor multipliziert werden miissen. Sind xi,a;2,a;3 grundlegende physikalische Groflen und bringt die Relation (a;i,a;2,a;3) — i > f(xi,X2,X3) zum Ausdruck, wie eine vierte physikalische Grofie von ihnen abhangt, dann muss nach dem eben formulierten Prinzip fiir jeden zulassigen Wert von xi,a;2,a;3 gelten, dass f{aiXi,a2X2,a3Xs)
= (p{ai,a2,a3)f{xi,X2,xs),
(**)
wobei ip eine bestimmte Punktion ist. Die Punktion cp in (**) charakterisiert die Abhangigkeit des numerischen Wertes der fraglichen physikalischen Grofie bei einer Veranderung der Skalierung der festen physikalischen Basisgroflen voUstandig. Daher sollte diese Punktion als die Dimension dieser physikalischen Grofie relativ zu den festen Mafieinheiten betrachtet werden. Wir woUen nun die Form der Dimensionsfunktion prazisieren. a) Sei X i->- f{x) eine Punktion einer Variablen, die die Bedingung f(ax) ip(a)f(x) erfiillt, wobei / und ip differenzierbare Punktionen sind. Zeigen Sie, dass ^{a) = a"*.
=
^ J. C. Maxwell (1831-1879) - herausragender britischer Physiker. Er formulierte die mathematische Theorie des elektromagnetischen Peldes und er ist fiir seine Porschungen auf den Gebieten der kinetischen Gastheorie, Optik und Mechanik beriihmt.
8.3 Die wichtigsten Gesetze der Differentiation
477
b) Zeigen Sie, dass die Dimensionsfunktion ip in Gleichung (**) imnier die Form Qj^ • ci2^ ' Oii' besitzt, wobei die Exponenten diyd-Zjds bestimmte reelle Zahlen sind. Sind etwa die Basiseinheiten von L, M und T fest vorgegeben, dann kann die Menge (di,d2,d3) der Exponenten in der Potenzdarstellung L'^iM'^'^T'^^ auch als die Dimension der betrachteten physikalischen Grofie angesehen werden. c) In Teil 6) haben wir herausgefunden, dass die Dimensionsfunktion immer eine Potenzfunktion ist, d.h., eine homogene Funktion mit einem bestimmten Grad beziiglich jeder Basiseinheit. Was bedeutet es, wenn der Grad der Homogenitat der Dimensionsfunktion einer bestimmten physikalischen Grofle relativ zu einer der Basiseinheiten gleich Null ist? 2° Das Buckinghamsche U-Theorem und die Dimensionsanalyse. Seien [xi] = Xi, (i = 0,1,... ,n) die Dimensionen der physikalischen Groflen, die im Gesetz (*) auftreten. Wir gehen davon aus, dass die Dimensionen von xo,Xk+i, • • • ,Xn durch Ausdriicke der Dimensionen von xi,... ,Xk formuliert werden konnen, d.h., [a;o] = Xo = xf»---xf [xk+i] = Xk+i
= Xl'
,
•••Xl'
,
{i = l,...,n-k)
.
d) Zeigen Sie, dass die folgende Gleichung zusammen mit (*) gelten muss: Po
Pn
xf
aj^" • • • a^yxo
Pi
= j\aixi,...
,akXk,aj^-•
pf
Pi-k
•a^,^ Xk+1,-• • ,a;^
Pn-k
• • • df.
\
x„\. (* * *)
e) Sind xi,...,Xk unabhangig, setzen wir ai = x^ ,... ,ak = x'^ Beweisen Sie, dass damit (* * *) zur Gleichung
PQ
PQ
/ f l , . . . , !' ,P• i '"''
' \
Pi '
'
pi-fc
in (* * *).
pJ-
wird, was der Gleichung 77 = / ( ! , . . . , ! , i l l , . . . , i7„_fc) entspricht, in der die dimensionslosen Grofien 77, TTi,..., Iln-k Dadurch erhalten wir das folgende
(****) auftreten.
JT-Theorem der Dimensionsanalyse. Sind die Grofien Xi, . . . ,Xk in Gleichung (*) unabhangig, dann Idsst sich diese Gleichung zur Funktion (****) mit n — k dimensionslosen Parametern zuriickfiihren. f) Zeigen Sie, dass die Funktion / in (*) fiir k = n nach dem 77-Theorem bis auf ein numerisches Vielfaches bestimmt werden kann. Benutzen Sie diese Methode, um den Ausdruck c{(po)-\/l/g fiir die Schwingungsperiode eines Pendels (d.h., einer Masse m, die an einem Faden der Lange / aufgehangt ist und in der Nahe der Erdoberflache schwingt, wobei (po der anfangliche Auslenkungswinkel ist) zu bestimmen. g) Finden Sie eine Formel P = c^/mr/F fiir die Umdrehung eines Korpers der Masse m, der durch eine zentrale Kraft der Grofle F auf einer Kreisbahn gehalten wird.
478
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
h) Benutzen Sie das Keplersche Gesetz {Pi/P2)'^ = (ri/r2)^, das fiir kreisformige Bahnen einen Zusammenhang zwischen dem Verhaltnis der Umdrehungsperiodeii der Planeten (oder Satelliten) und dem Verhaltnis der Radien ihrer Bahnen postuliert, urn, wie schon Newton, den Exponenten a im aUgemeinen Gravitationsgesetz F = G'^'l'^a'^ zu bestimmen.
8.4 G r u n d l a g e n der Differentialrechnung v o n reellen F u n k t i o n e n mit m e h r e r e n Variablen 8.4.1 D e r M i t t e l w e r t s a t z S a t z 1. Sei f : G ^ M. eine auf einem Gebiet G C M™ definierte Funktion mit reellen Werten, wobei das abgeschlossene Intervall [x,x + h] mit den Endpunkten x und x + h in G enthalten ist. 1st die Funktion f in den Punkten des abgeschlossenen Intervalls [x, x + h] stetig und in Punkten des ojfenen Intervalls ]x,x + h[ differenzierbar, dann existiert ein Punkt ^ G]X,X + h[, so dass gilt:
.f{x + h)-f{x)=f'{Oh. Beweis.
(8.53)
Wir betrachten die Hilfsfunktion F{t)=f{x
+
th),
die auf dem abgeschlossenen Intervall 0 < t < 1 definiert ist. Diese Funktion erfiillt alle Voraussetzungen des Mittelwertsatzes in Absatz 5.3.2: Sie ist auf [0,1] stetig, da sie die Verkettung von stetigen Abbildungen ist und auf dem offenen Intervall ]0,1[ differenzierbar, da sie die Verkettung von differenzierbaren Abbildungen ist. Folglich existiert ein P u n k t 9 e]0,1[, so dass F{1)-F{0)
= F'{0)-1
.
Aber F ( l ) = f(x + h), F ( 0 ) = f{x) und F'((9) = f'{x + eh)h und daher stimmt die eben entwickelte Gleichung mit der Behauptung des Satzes iiberein. D Wir formulieren nun (8.53) in Koordinatenschreibweise. Ist a ; = ( a ; ! , . . . , a;™), /i = (/i^,...,/i™) und C = (a;i + 6l/ii,... ,a;™ + 6l/i™), dann bedeutet Gleichung (8.53), dass fix+
h)-fix)
= f{x^+h\...,x"'
\dx^
+ h"')-f{x\...,x"')
'
' dx''-
difiS.)h' + --- + dmf{Oh"' m
Y^ difix^ +Oh\...,x"'
+ 0h"')h'
=
8.4 Reelle Funktionen mehrerer Variabler
479
Wenn wir die Vereinbarung benutzen, dass das Auftreten eines tief- und hochgestellten Indexes der Sunime iiber diesen Index entspricht, konnen wir schlieBlich f{x^+h\...,x"'
+ h"') - f{x\...,x"')
=
= dif{x^+9h\...,x'''
+ 9h"')h}
(8.54)
schreiben, mit 0 < ^ < 1, wobei 9 sowohl von x als auch h abhangt. Anmerkung. Satz 1 wird Mittelwertsatz genannt, da ein gewisser „Durchschnittspunkt" ^ G]X,X + h[ existiert, in dem (8.53) gilt. Wir haben bereits bei unserer Untersuchung des Mittelwertsatzes in Absatz 5.3.1 betont, dass der Mittelwertsatz speziell fiir Funktionen mit reellen Werten gilt. Ein allgemeiner Mittelwertsatz fiir Abbildungen wird in Kapitel 10 (Teil 2) bewiesen. Das folgende KoroUar ist eine hilfreiche Folgerung aus Satz 1. KoroUar. Ist die Funktion f : G ^W im Gebiet G Cffi™dijferenzierbar und ist ihr Differential in jedem Punkt x G G gleich Null, dann ist f im Gebiet G konstant. Beweis. Das Verschwinden einer linearen Transformation ist aquivalent zum Verschwinden aller Elemente ihrer zugehorigen Matrix. In diesem Fall ist df{x)h=
{dif,...,dmf)ix)h
,
und daher ist dif{x) = • • • = dmf{x) = 0 in jedem Punkt x G G. Laut Definition ist ein Gebiet eine offene zusammenhangende Menge. Wir werden diese Eigenschaft ausnutzen. Zunachst zeigen wir, dass die Funktion / fiir x G G in einer Kugel K{x;r) C G konstant ist. Ist namlich (x + h) £ K{x;r), dann ist [x,x + h] C K{x;r) C G. Wenn wir (8.53) oder (8.54) anwenden, erhalten wir
fix + h)-fix)=f'{Oh
= 0-h = 0,
d.h., f{x + h) = f{x) und die Werte von / in der Kugel K{x;r) sind alle gleich dem Wert von / im Zentrum der Kugel. Seien nun a;o,a;i £ G beliebige Werte im Gebiet G. Da G zusammenhangend ist, existiert ein Weg t H^ x{t) £ G, so dass a;(0) = XQ und x{l) = xi. Angenommen, die stetige Abbildung t i->- x{t) ist auf dem abgeschlossenen Intervall 0 < t < 1 definiert. Sei K{XQ; r) eine Kugel um XQ, die in G enthalten ist. Da a;(0) = XQ und die Abbildung 11->- x{t) stetig ist, existiert eine positive Zahl (5, so dass x{t) G K{xo;r) C G iiir 0 • x{t) ein A > 0 finden, so dass x{t) G K(^x{l);r) iiiT I < t < I + A. Dann ware aber ( / o x){t) = f{x{l)) = f{xo) fiir 0 < t < ? + Z\ und somit I ^ sup(5. Somit haben wir gezeigt, dass ( / o x){t) = f{xo) fiir jedes t £ [0,1]. Insbesondere gilt ( / o x){l) = f{xi) = f{xo) und wir haben bewiesen, dass die Werte der Funktion / : G —>• ffi in je zwei P u n k t e n XQ, xi G G gleich sind. D 8.4.2 E i n e h i n r e i c h e n d e B e d i n g u n g fur d i e DifFerenzierbarkeit einer Funktion mehrerer Variablen S a t z 2. Sei f : U{x) —>• ffi eine in einer Umgebung U{x) C ffi™ des Punktes X = (x^,..., a;™) definierte Funktion. Besitzt die Funktion f in jedem Punkt der Umgebung U{x) partielle Ahleitungen g p - , . . . , ^ ^ und sind diese in x stetig, dann ist / in x differenzierbar. Beweis. Ohne Verlust der Allgemeinheit nehmen wir an, dass U(x) eine Kugel K{x;r) ist. Dann miissen neben den P u n k t e n x = {x^,...,x"^) und X + h = (x^ + h^,...,x"' + /i™) auch die P u n k t e {x^,x'^ + / i ^ , . . . ,a;™ + /i™),... ,{x^,x'^,... ,x"^~^,x"^ + h"^) und die sie verbindenden Strecken ebenfalls zur Umgebung U{x) gehoren. Wir werden dies ausnutzen und den Mittelwertsatz fiir Funktionen einer Variabler in der folgenden Berechnung anwenden: fix + h)= fix^
fix)
= fix^
+ / i \ . . . , a;™ + / i " ) - fix\
+ / i \ . . . , x " + /i™) - fix^,
..., x") =
x^ + / i 2 , . . . , x " + /i™) +
+ / ( x S x ^ +/i2,... , x " + / i ™ ) - / ( x \ x 2 , x 3 +/^^ ... , x " +/i™)+• • • + + fix^, = difix^
x ^ , . . . , x " - S x " + /i™) - fix^,..., +0^h^,x^
+ d'ifix^,
+ h\...,x"'
x") =
+ hJ^)h^ +
x^ + 0'^h^,x^ + /^^ . . . , x " + h"')h'^ + ••• +
+ (9™/(xSx2,...,x™-\x™+6l™/i")/i™ . Soweit haben wir nur die Tatsache ausgenutzt, dass die Funktion / partielle Ableitungen nach jeder ihrer Variablen im Gebiet C/(x) besitzt. Wir werden nun ausnutzen, dass diese partiellen Ableitungen in x stetig sind. Wir setzen die obige Berechnung fort und erhalten fix + h)-
fix)
= difix^,...,x"')h^+a^h^ +d2fix^,...,
+
x")/i2 + a2/j2 +
...+
+ a ™ / ( x \ . . . , x " ) / i " + a™/i™ , wobei die a i , . . . , « „ aufgrund der Stetigkeit der partiellen Ableitungen im Punkt X iiiT h ^ 0 gegen Null streben.
8.4 Reelle Funktionen mehrerer Variabler
481
Dies bedeutet aber, dass f(x + h)wobei L{x)h = dif{x\...,
f(x) = L{x)h + o{h) fiir /i ^ 0 , x"'')h^ + ••• + dmfix\...,
a;")/i™ .
D
Aus Satz 2 folgt, dass eine Funktion / : G —>• ffi mit stetigen partiellen Ableitungen im Gebiet G C ffi™ in jedem Punkt des Gebiets differenzierbar ist. Wir woUen von nun an vereinbaren, das Symbol C^^' (G; M) zu benutzen oder einfacher C^^'{G), um die Menge von Funktionen zu bezeichnen, die im Gebiet G stetige partielle Ableitungen besitzen. 8.4.3 Partielle Ableitungen hoherer Ordnung Besitzt eine auf einem Gebiet G C M™ definierte Funktion / : G —>• M eine partielle Ableitung -g^ (x) nach einer der Variablen x^,..., x™, dann ist diese partielle Ableitung eine Funktion dif : G ^ R, die ihrerseits eine partielle Ableitung dj(dif^{x) nach einer Variablen x^ besitzen kann. Die Funktion dj{dif) : G ^ ffi wird die zweite partielle Ableitung von f nach den Variablen a;* und x^ genannt und mit einem der folgenden Symbole bezeiclmet:
Die Reihenfolge der Indizes deutet die Reilienfolge an, in der die Ableitungen nach den entsprechenden Variablen ausgefiihrt werden. Damit haben wir partielle Ableitungen zweiter Ordnung definiert. Wurde eine partielle Ableitung der Ordnung k du •••%,, f i x ) = -r—.
::-^(a;)
definiert, konnen wir durch Induktion eine partielle Ableitung der Ordnung fc + 1 definieren: da,...i,,.fix) := di{di^...ij){x) . An dieser Stelle drangt sich eine Frage auf, die spezifisch ist fiir Funktionen mehrerer Variabler: Hangt die partielle Ableitung von der Reihenfolge der berechneten Ableitungen ab? Satz 3. Besitzt die Funktion f : G ^ W partielle Ableitungen — (x)
dx^dxJ
und ——7-—^{x) dx^dx^
in einem Gebiet G, dann sind in jedem Punkt x G G, in dem beide partielle Ableitungen stetig sind, ihre Werte identisch.
482
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
Beweis. Sei x G G ein Punkt, in dem beide Funktionen dijf : G ^ M. und djif : G ^ M. stetig sind. Von nun an werden alle unsere Argumente im Kontext einer Kugel K{x; r) C G, r > 0 ausgefiihrt, die eine konvexe Umgebung des Punktes x ist. Wir wollen zeigen, dass -{X,...,X
dx^dxi
'
'
) = -———-T{X
dx^dx^
, . . . ,X
) .
Da sich nur die Variablen x^ und x^ in den folgenden Berechnungen verandern werden, werden wir der Kiirze halber annehmen, dass / eine Funktion zweier Variabler f{x^,x'^) ist, so dass wir zeigen miissen, dass d'f
, 1 2.
dx^dx^^""'"^'
gy
( 1 2.
dx-^dxA"^'"^ ^'
falls beide Funktionen im Punkt (a;^,a;^) stetig sind. Wir betrachten die Hilfsfunktion F(/ii,/i2) = / ( x i + / i i , a ; 2 + / i 2 ) _ / ( x i + / i i , a ; 2 ) - / ( x \ a ; 2 + /i2) + /(xi,x2) , wobei angenonimen wird, dass die Entfernung h = {h^^h?) hinreicliend klein ist, und zwar so klein, dass x + h £ K{x; r). Wenn wir F{h^,h'^) als die Differenz F{h\h')=ip{l)-ip{0) betrachten, wobei ip{t) = f{x^ +th^,x'^ + h'^) — f{x^ +th^,x'^), dann erhalten wir nach dem Mittelwertsatz, dass F{h^,h'^) =(^'((9i)= {dif{x^+0ih\x^+h^)-dif{x^+Oih^,x^))h^
.
Wenn wir wiederum den Mittelwertsatz in dieser letzten Differenz anwenden, erhalten wir F{h\h'^)
=d2if{x^
+Oih^,x^ +02h^)h'^h^ •
(8.55)
Wenn wir nun F{h^,h'^) als die Differenz F{h\h')=^{l)-^{0) schreiben, wobei ip{t) = f{x^ -\-h^.x"^ + th?) — f{x^,x'^ + th?), dann erhalten wir auf ahnliche Weise, dass F{h\h^)
= di2f{x^ +Oih\x^
+02h^)h^h^ .
(8.56)
Wenn wir (8.55) und (8.56) vergleichen, konnen wir folgern, dass 92i/(a;^ + eih\x^
+ 02h^) = dnfix^
+ Oih\x^
+ O^K^) ,
(8.57)
wobei 61,62,01,62 £]0,1[. Mit Hilfe der Stetigkeit der partiellen Ableitungen im Punkt (a;^, a;^) fiir /i ^ 0 erhalten wir die gesuchte Gleichung als Folge von (8.57):
d2if{x\x'')=dr2f{x\x').
U
8.4 Reelle Funktionen mehrerer Variabler
483
Wir nierken an, dass wir ini Allgemeinen nicht ohne zusatzliche Annahmen sagen konnen, dass dijf{x) = djif{x), wenn beide partielle Ableitungen im Punkt X definiert sind (vgl. Aufgabe 2 am Ende des Abschnitts). Wir vereinbaren, die Menge der Funktionen / : G —^ ffi, deren partielle Ableitungen bis inklusive fc-ter Ordnung im Gebiet G C M™ definiert und stetig sind, mit C(*)(G;M) Oder C'-''^{G) zu symbolisieren. Als Folge von Satz 3 erhalten wir den folgenden Satz. Satz 4. Sei f £ G ( * ) ( G ; M ) . Dann ist der Wert di^,,,i^f{x) der partiellen Ableitung unabhdngig von der Reihenfolge ii,... ,ik der Ableitungen, d.h., er ist fiir jede Permutation der Indizes ii,... ,ik gleich. Beweis. Fiir den Fall fc = 2 ist dieser Satz in Satz 3 enthalten. Angenommen, der Satz gelte bis inklusive n-ter Ordnung. Wir wollen zeigen, dass er dann auch fiir die Ordnung n + 1 gilt. Nun ist aber di^i^...i^^^f{x) = di^ [di^...i^^^f){x). Nach der Induktionsvoraussetzung konnen 12, • • • ,*n+i permutiert werden, ohne dass sich die Funktion di2---inj^if{x) andert und daher auch, ohne i9ii...j„+i/(a;) zu verandern. Aus diesem Grund geniigt es zu zeigen, dass wir etwa auch die Indizes «i und «2 permutieren konnen, ohne den Wert der Ableitung i9iii2-«n+i/(2^) ^u verandern. Da folgt die Richtigkeit dieser Permutation unmittelbar aus Satz 3. Nach dem Induktionsprinzip ist Satz 4 damit bewiesen. D Beispiel 1. Sei f{x) = f(x^,x'^) eine Funktion der Klasse G ( ^ ) ( G ; K ) . Sei h = {h^ ,h?) so, dass das abgeschlossene Intervall [x,x + h] im Gebiet G enthalten ist. Wir woUen zeigen, dass die Funktion ^{t) = f{x + th), die auf dem abgeschlossenen IntervaU [0,1] definiert ist, zur Klasse G(*) [0,1] gehort und ihre Ableitung der Ordnung k nach t bestimmen. Es gilt ^'(t) = dif{x^ + th^,x^ + t/i2)/i^ + d2f{x^ + th^.x^ + th^)h^ , if"{t) = diifix + th)h^h^ + 821 fix + th)h'^h^ + = dnfix
+ th)ih^f
+ di2 fix + th)h^h^ + ^22/(3; + th)h^h^ = + 2ai2/(a; + th)h^h:^ + ^22/(3; + th)iK^f .
Diese Gleichungen lassen sich als Einwirkung des Operators (/i^9i + h?d2) schreiben: ifi'it) = ih^di + h^d2)fix + th) = h'difix + th) , (p"it) = ih^di + h^d2)^fix + th) = h'^h'^di.iJix + th) .
484
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
Mit Induktion erhalten wir ^(*)(t) = (h^di + h^ 82)''fix + th) = h}'--- h}''di,...ij{x (Summation iiber alle Mengen ii,...
+ th)
,ik der k Indizes von jeweils 1 bis 2).
2. Sei f{x) = f{x\...,x"'') und / £ C(*)(G;M), dann erhalten wir unter der Annahme, dass [x, x + h] C G, fiir die auf dem abgeschlossenen Intervall [0,1] definierte Funktion (p{t) = f{x + th), dass ip^''Ht) = h''---h'''di,...ijix
+ th)
(8.58)
wobei rechts Summation iiber alle Mengen von Indizes ii,.. .,ik gemeint ist, von denen jeder alle Werte zwisclien 1 und m inklusive annimmt. Wir konnen Gleichung (8.58) auch wie folgt schreiben: (^(fc) (t) = (h^di + ••• + h'^d-mffix
+ th)
(8.59)
8.4.4 Die Taylorsche Formel Satz 5. Ist die Funktion f : U{x) -^ M. in einer Umgebung U{x) C M™ des Punktes x £ M™ definiert und zugehorig zur Klasse C(") {U{x);M) und ist das abgeschlossene Intervall [x,x + h] vollstdndig in U{x) enthalten, dann gilt die folgende Gleichung: f{x^ +/ii,...,a;™ + /i™)-/(a;i,...,a;™) " 1 /.I Y, ^ T^ih'di
+ ••• + h^d^)^f{x)
+ rn-i{x; h)
(8.60)
k=i
mit ^'-rrih'di [n- 1)!
+••• + h^dmTfix
+ th) At
.61)
Gleichung (8.60) wird zusammen mit (8.61) Taylorsche Formel mit integralem Restglied genannt. Beweis. Die Taylorsche Formel folgt unmittelbar aus der entsprechenden Taylorschen Formel fiir eine Funktion mit einer Variablen. Dazu betrachten wir die Hilfsfunktion if{t) = f{x + th), die nach den Voraussetzungen zu Satz 5 auf dem abgeschlossenen Intervall 0 < t < 1 definiert ist und (wie wir oben bewiesen haben) zur Klasse C(") [0,1] gehort.
8.4 Reelle Funktionen mehrerer Variabler
485
Daher konnen wir fiir T € [0,1] die Taylorsche Forniel fiir Funktionen einer Variablen schreiben: ^(r) = ^(0) + ^ ^ ' ( 0 ) r + • • • + ^ - l ^ ^ ( » - i ) ( 0 ) r " - i + 1 n-l
(n-l)! 0
Wenn wir dabei r = 1 setzen, erhalten wir
^(1) = ^(0) + ^^'(0) + • • • + ^ ; ^ ^ < " - ' H o ) + 1 n-l i^^^-i^^(")Wdt.
(8.62)
0
Das Einsetzen der Werte ^(*) (0) = (/ji^i + • • • + h^'d^ffix)
,
(fc = 0 , . . . , n - 1) und
• M besitzt ein lokales Maximum (bzw. lokales Minimum) in einem inneren P u n k t XQ e E, falls eine Umgebung U{xo) C E des P u n k t e s XQ existiert, so dass f{x) < f{xo) (bzw. f{x) > fixoj) fiir alle x £ U{xo). Gilt strenge Ungleichheit f{x) < f{xo) fiir x G U{xo) \ XQ (bzw. f{x) > f{xo)), dann besitzt die Funktion ein isoliertes lokales Maximum (bzw. ein isoliertes lokales Minimum) in XQ. D e f i n i t i o n 2. Die lokalen Minima oder Maxima einer Funktion werden ihre lokalen Extrema genannt. S a t z 6. Angenommen, eine in einer Umgebung U{xo) C ffi™ des Punktes xo = {XQ, ... ,a;™) definierte Funktion f : U{xo) —>• ffi besitze partielle Ableitungen nach jeder ihrer Variablen x^,..., x™ im Punkt XQ. Dann ist es eine notwendige Bedingung dafiir, dass die Funktion in XQ ein lokales Extremum besitzt, dass die folgenden Gleichungen in diesem Punkt gelten: ^
M
= 0,...,^(a.o)=0.
(8.65)
Beweis. Wir betrachten die Funktion •ffiauf einer ofFenen Menge G C M™ definiert, so sagt uns Satz 6, dass ihre lokalen Extrema entweder unter den Punkten gefunden warden, in denen / nicht differenzierbar ist, oder in den Punkten, in denen das Differential d/(a;o) oder, was identisch ist, die Tangentialabbildung f'{xo) verschwindet. Ist eine in einer Umgebung U{xo) Cffi™des Punktes XQ Gffi™definierte Abbildung / : U{xo) —>•ffi"in XQ differenzierbar, dann besitzt, wie wir wissen, die Matrix der Tangentialabbildung / ' ( X Q ) : M™ -^ M" die Form fdif\xo)
•••
dmf\xo)\
(8.66)
\di.r{xo) ••• dm.r{xo)) Definition 3. Der Punkt XQ heiBt dann kritischer Punkt der Abbildung f : U{xo) —>•ffi",falls der Rang der Jacobimatrix (8.66) der Abbildung in dieseni Punkt kleiner als min{m,n} ist, d.h., kleiner als der maximal mogliche Wert, den er haben kann. So ist fiir n = 1 der Punkt XQ ein kritischer Punkt, wenn Bedingung (8.65) gilt, d.h., aUe partiellen Ableitungen der Funktion / : U{xo) —>• M verschwinden. Die kritischen Punkte einer Funktion mit reellen Werten werden auch stationdre Punkte oder singuldre Punkte dieser Funktion genannt. Nachdem die stationaren Punkte einer Funktion durch Losung des Systems (8.65) aufgefunden wurden, kann die sich anschliefiende Analyse zur Klarung dariiber, welche davon Extrema sind, oft mit Hilfe der Taylorschen Formel in Verbindung mit den folgenden hinreichenden Bedingungen fiir die Gegenwart oder das Fehlen eines durch diese Formel enthiillten Extremums durchgefiihrt werden. Satz 7. Sei / : U{xo) -^ M eine Funktion der Klasse C'^'([/(XQ); M), die in einer Umgebung U{xo) C M™ des Punktes XQ = (XQ, ... ,a;™) € M™ definiert ist, und sei XQ ein stationarer Punkt der Funktion f. Ist bei der Taylor-Entwicklung der Funktion im Punkt XQ
f{xl + h\ ... ,x^ + /i™) 1
8-^ f
= /(4,...,a;™) + 2! ^ ^E^ 7^(^oWh^ dx'dxi
+ oi\\hr) (8.67)
die quadratische Form
E
^ jixoWh^ =dijf(xoWh^
dx^dxJ
(8.68)
488
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
a) positiv definit oder negativ definit, dann besitzt die Funktion f im Punkt XQ ein lokales Extremum, das ein isoliertes Minimum ist, wenn die quadratische Form (8.68) positiv definit ist, und ein isoliertes Maximum, wenn sie negativ definit ist; b) indefinit, d.h., nimmt sie sowohl positive wie negative Werte an, dann besitzt die Funktion in XQ kein Extremum. Beweis. Sei h ^ 0 und f{xo + h)-f{xo)
XQ -\-
=
h£
j^\\h\\'
U{XQ).
Wir wollen (8.67) in der Form
2^ /^:;:7^(^oW^ + ''W
im)
hj=i
schreiben, wobei o(l) fiir h ^ 0 infinitesimal ist. Aus Gleichung (8.69) ist offensichtlich, dass das Vorzeichen der Differenz f{xo + h) — f{xo) vollstandig durch das Vorzeichen des Ausdrucks in den eckigen Klammern bestimmt wird. Wir wollen diesen Ausdruck nun untersuchen. Der Vektor e = [h^l\\h\\,... ,h'^l\\h\\) besitzt offensichtlich die Norm 1. Die quadratische Form (8.68) ist eine stetige Funktion von h Gffi™,und daher ist ihre Einschrankung auf die Einheitskugelschale 5(0; 1) = {a; £ffi™| ||a;|| = 1} ebenfaUs in 5(0; 1) stetig. Nun ist aber die Kugelschale S eine abgeschlossene beschrankte Teilmenge von M™, d.h., sie ist kompakt. Folghch besitzt (8.68) sowohl ein Minimum als auch ein Maximum in S, in denen sie die Werte m bzw. M annimmt. Ist die Form (8.68) positiv definit, dann ist 0 < m < M, und es existiert eine Zahl S > 0, so dass |o(l)| < m fiir \\h\\ < 6. Dann ist fiir \\h\\ < S der Klammerausdruck auf der rechten Seite von (8.69) positiv und folglich auch f{xo +h) — f{xo) > 0 fiir 0 < \\h\\ < 6. Daher ist in diesem FaU der Punkt XQ ein isoliertes lokales Minimum der Funktion. Wir konnen auf ahnliche Weise beweisen, dass die Funktion ein isohertes Maximum im Punkt XQ besitzt, falls die Form (8.68) negativ definit ist. Somit ist a) nun bewiesen. Seien e™ und CM Punkte der Einheitskugelschale, in denen die Form (8.68) die Werte m bzw. M annimmt, und sei m < 0 < M. Wenn wir h = tCm setzen, wobei t eine geniigend kleine positive Zahl ist (so klein, dass XQ + te„i £ U{xo)), dann erhalten wir aus (8.69), dass f{xQ + tern) - f{xo) = -^t^im + o(l)) , wobei o(l) —^ 0 fiir t —>• 0. Wenn wir beginnen (d.h. fiir alle kleinen Werte von t), besitzt m + o(l) auf der rechten Seite dieser Gleichung das Vorzeichen von m, d.h., ist negativ. Folglich ist auch die linke Seite negativ. Wenn wir ganz ahnlich h = tcM setzen, erhalten wir fixo + ten) - fixo) = ^t\M
+ o(l))
8.4 Reelle Funktionen mehrerer Variabler
489
und folglich ist die Differenz f{xo + ICM) — f{xo) fiir alle geniigend kleinen Werte t positiv. Nimmt daher die quadratische Form (8.68) sowohl positive als auch negative Werte auf der Einheitskugelschale oder, was dazu offensichtlich aquivalent ist, in K™ an, dann gibt es in jeder Umgebung des P u n k t e s XQ sowohl P u n k t e , in denen der Wert der Funktion groBer als / ( X Q ) ist und P u n k t e , in denen ilir Wert kleiner als f{xo) ist. Daher ist XQ in diesem Fall kein lokales E x t r e m u m der Funktion. D Wir woUen nun einige Anmerkungen zu diesem Satz machen. Anmerkung 1. Satz 7 sagt nichts iiber den Fall aus, dass die Form (8.68) semidefinit ist, d.h. nicht positiv bzw. nicht negativ definit. Tatsachlich zeigt sich, dass der P u n k t dann ein E x t r e m u m sein kann oder auch nicht. Dies lasst sich an folgendem Beispiel erkennen. Beispiel 3. Wir suchen die E x t r e m a der Funktion f{x,y) = x* +y* — 2x'^, die in ffi^ definiert ist. Um die notwendigen Bedingungen (8.65) zu erfiillen, betrachten wir das folgende Gleichungssystem
( df
TT" (x, w) = 4:X^ - 4a; = 0 , ox
^{x,y) I dy
=
V = o ,
aus dem wir die stationaren P u n k t e (—1,0), (0,0) und (1,0) erhalten. Da —Sx.y)
= 12^2 - 4 ,
^^(x,2/) ^ 0 ,
—^{x^y) = W
,
lautet die quadratische Form (8.68) jeweils in den drei stationaren P u n k t e n &{h^f
,
-A{h^f
bzw.
^{h^f
.
Somit ist sie in alien drei P u n k t e n entweder positiv semi-definit oder negativ semi-definit. Satz 7 ist daher nicht anwendbar. Da aber f{x,y) = (a;^ — 1)^ + y^ — 1, ist offensichthch, dass die Funktion f{x, y) einen isoherten Minimalwert — 1 (sogar ein globales Minimum) in den P u n k t e n (—1,0), und (1,0) besitzt. Dagegen liegt in (0, 0) kein E x t r e m u m vor, da fiir a; = 0 und y ^ 0 gilt, dass f{0,y) = y^ > 0 und fiir y = 0 und geniigend kleines a; ^ 0, dass /(a;,0) = a;4-2a;2 < 0. Anmerkung 2. Nachdem wir die quadratische Form (8.68) erhalten haben, konnen wir sie mit den Formeln von Sylvester^ auf ihre Definitheit untersuchen. Wir wiederholen, dass nach Sylvester eine quadratische Form ^ J. J. Sylvester (1814-1897) - britischer Mathematiker, dessen bekanntesten Arbeiten in der Algebra vorliegen.
490
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
m
^
aijX^x^ mit symnietrischer Matrix \
/ Oil
• • • aim
\ ^ral
' ' ' ^ram /
genau dann positiv definit ist, wenn alle ihre Hauptminoren positiv sind. Die Form ist genau dann negativ definit, wenn an < 0, und sich das Vorzeichen des Hauptminors bei jeder Vergr6i3erung der Ordnung um eins andert. Beispiel 4- Wir suchen die Extrema der Funktion fix,y)
=xy\n{x^
+ y'^) ,
die iiberall, aui3er im Ursprung, in der Ebene M^ definiert ist. Wenn wir das Gleichungssystem ' df 2x^v / ( x , 2 / ) =yln(a;2+2/2) + ^ ^ = 0, ox x/ + y^
-J-{x,y) = xHx^+y^)+x/ +l""^ =0 y^
^ oy
losen, dann erhalten wir die stationaren Punkte der Funktion:
,o,±:,;
,±1,0);
(±j^.^^): 2e V2e/
{±4:.T;i)V2e V2e
v
Da die Funktion in beiden Argumenten ungerade ist, sind die Punkte (0,±1) und (±1,0) ofFensichtlich keine Extrema der Funktion. Es ist auch klar, dass diese Funktion ihren Wert beibehalt, wenn sich die Vorzeichen beider Variablen x und y verandern. Daher konnen wir aus der Untersuchung eines der verbleibenden stationaren Punktes, beispielsweise (—«=i ~7^)^ Folgerungen iiber die Eigenschaften der anderen Punkte ziehen. Da d"^ f, . :{x,y) dx^ '
-
&xy x^ + y^
Ax'^y (x^ + y^y^
-ix,y) =\n{x^ + h^)+2^ ' (x^ + y^Y' d"^ f, . &xy Axy^ -7r^{x,y) dy'^ ' a;2 + 2/2 {x^ + y"^)'^
dxdy
besitzt die quadratische Form dijf{xo)h^h^
im Punkt ( - ^ , - ^ ) die Matrix
8.4 Reelle Funktionen mehrerer Variabler
491
2 0 0 2
Diese Matrix ist positiv definit und folglich besitzt die Funktion in diesem Punkt ein lokales Minimum
f(——)=--
vy2iV2i^
2e
Aus den oben angestellten Betrachtungen zu den Eigenschaften dieser Funktion konnen wir unmittelbar folgern, dass f(-— V y2i'
- — ) = - V2i/ 2e
ebenfalls ein lokales Minimum ist und dass
lokale Maxima der Funktion sind. Dies batten wir direkt zeigen konnen, indem wir die Definitbeit der zugeborigen quadratischen Formen gepriift batten. So ist beispielsweise die Matrix der quadratiscben Form (8.68) im Punkt -2 0
0 -2
woraus wir sofort ablesen konnen, dass sie negativ definit ist. Anmerkung 3. Wir sollten daran denken, dass die notwendigen (Satz 6) und binreicbenden (Satz 7) Bedingungen fiir ein Extremum einer Funktion nur in den inneren Punkten ibres Definitionsbereicb gelten. Daber ist es stets notwendig, auf der Sucbe nacb dem absoluten Maximum oder Minimum einer Funktion neben den stationaren inneren Punkten aucb die Randpunkte des Definitionsbereicbs zu untersucben, da die Funktion ibren Maximal- oder Minimalwert in einem der Randpunkte annebmen kann. AUgemeine Metboden zur Sucbe von Extrema in nicbt inneren Punkten werden wir spater detailbert untersucben (s. Absatz 8.7.3). Sie sollten sicb merken, dass bei der Sucbe nacb Minima und Maxima einfacbe Betracbtungen des konkreten Problems bilfreicb sein konnen, erganzt um formale Tecbniken und mancbmal sogar obne diese. Wird beispielsweise eine differenzierbare Funktion, die aufgrund der Problemstellung ein Minimum besitzen muss, in M™ untersucbt und zeigt es sicb, dass diese Funktion von oben unbescbrankt ist, dann kann man, falls die Funktion nur einen stationaren Punkt besitzt, obne weitere Untersucbungen davon ausgeben, dass dieser Punkt das Minimum ist.
492
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
Beispiel 5. Problem von Huygens. Aufbauend auf den Gesetzen der Energieund Impulserhaltung eines abgeschlossenen mechanischen Systems, konnen wir durch eine einfache Berechnung zeigen, dass zwei perfekt elastische Balle mit den Massen mi und m2 und den Anfangsgeschwindigkeiten vi und V2 nach einem zentralen Stofi (wenn die Geschwindigkeiten entlang der Strecke gerichtet sind, die die Massen verbindet) folgende Geschwindigkeiten besitzen werden: (mi - m2)wi + 2m2i'2
vi = —
nil + 1TI2
(m2 - mi)w2 + 2miVi
V2
nil + 1TI2
Insbesondere lasst sich daraus die Geschwindigkeit eines bewegungslosen Balls der Masse m nach dem StoB mit einem Ball der Masse M mit der Geschwindigkeit V berechnen: 2 ^ :V .
(8.70)
m+M
Wir erkennen daraus, dass F < w < 2 y fiir 0 < m < M. Wie kann ein signifikanter Teil der kinetischen Energie einer grofien Masse auf einen Korper mit kleiner Masse iibergehen? Um dies zu analysieren, konnen wir uns beispielsweise Massen denken, die zwischen der kleinen und der grofien Masse liegen: m < mi < m2 < • • • < m„ < M. Wir woUen (nach Huygens) berechnen, wie die Massen mi, m 2 , . . . , m„ gewahlt werden sollten, damit der Korper m die maximal mogliche Geschwindigkeit nach aufeinander folgenden zentralen Stofien besitzt. In Ubereinstimmung mit (8.70) erhalten wir den folgenden Ausdruck fiir die angenommene Geschwindigkeit als eine Funktion der Variablen mi, m2, . . . , m„: mi m + mi
m2 mi + m2
m„ nin-i + nin
M ^^-^ • 2"+^y . iTin + M
(8.71)
Somit lasst das Problem von Huygens auf die Suche nach dem Maximum der Funktion mi m„ M J (nil,
• • •, mn)
=
•
m + mi
w„_i + m„
m„ + M zuriickfiihren. Das Gleichungssystem (8.65), aus dem wir die notwendigen Bedingungen fiir ein inneres Extremum erhalten, lasst sich in diesem Fall in das folgende System umformen: m • m2 -ml
=0
m i • m-j, - m ^
= 0
m„_i • M
-ml
=0
8.4 Reelle Funktionen mehrerer Variabler
493
Daraus ergibt sich, dass die Zahlen m, m i , . . . , m „ , M im E x t r e m u m eine geometrische Progression mit dem Verhaltnis q = ^^^/M/m bilden. Die Geschwindigkeit (8.71), die sich aus dieser Massenwahl ergibt, lautet /
2a
\"+i
was fiir n = 0 mit (8.70) iibereinstimmt. Aus physikalischer Sicht ist klar, dass wir mit (8.72) den Maximalwert der Funktion (8.71) erhalten. Dies lasst sich jedoch auch formal zeigen (ohne die miihsame Bildung der zweiten Ableitungen, vgL Aufgabe 9 am Ende dieses Abschnitts). Wir merken an, dass aus (8.72) klar ist, dass fiir m —>• 0 die Geschwindigkeit V gegen 2 " + ^ y strebt. Somit erhohen die dazwischen liegenden Massen tatsachlich den Anteil der kinetischen Energie der Masse M , der auf die kleine Masse m iibergeht.
8.4.6 E i n i g e g e o m e t r i s c h e D a r s t e l l u n g e n z u F u n k t i o n e n m e h r e r e r Variabler a. D e r G r a p h e i n e r F u n k t i o n u n d k r u m m h n i g e K o o r d i n a t e n Seien x, y und z kartesische Koordinaten eines P u n k t e s in M^ und sei z = f{x,y) eine stetige Funktion, die auf einem Gebiet in der Ebene M^ der Variablen x und y definiert ist. Nach der allgemeinen Definition des Graphen einer Funktion entspricht der G r a p h der Funktion / : G ^ M in unserem Fall der Menge S = {{x,y,z) G'M?\{x,y) GG, z = f{x,y)} im R a u m K^. Offensichtlich ist die Abbildung G —> S, die durch die Relation {x,y) i->(a;, y, f{x, y)) definiert wird, eine stetige eins-zu-eins Abbildung von G auf S. Daher lasst sich jeder P u n k t von S bestimmen, wenn wir den zugehorigen P u n k t von G angeben oder, was dasselbe ist, wenn wir die Koordinaten des P u n k t e s von G angeben. Daher konnen Koordinatenpaare {x,y) G G als Koordinaten fiir P u n k t e einer Menge S - dem Graphen der Funktion z = f{x, y) - betrachtet werden. Da die P u n k t e von S durch ein Zahlenpaar definiert werden konnen, werden wir daher vereinbaren, S eine zwei-dimensionale Flache in M^ zu nennen. (Die allgemeine Definition einer Flache werden wir spater geben.) Wenn wir einen Weg F : I ^ G in G definieren, dann erscheint automatisch ein Weg F o F : I ^ S auf der Flache. Ist x = x{t) und y = y{t) eine Parametrisierung des Weges F, dann wird der Weg F o F auf S durch die drei Funktionen x = x{t), y = y{i)^ z = z{t) = f{x{t),y{t)) beschrieben. Setzen wir insbesondere x = XQ +t und y = yo, dann erhalten wir eine Kurve X = XQ +1, y = yo, z = ,f{xo + t, yo) auf der Flache S, wobei sich die Koordinaten y = yo der P u n k t e in S nicht verandern. Auf ahnliche Weise konnen wir
494
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
uns eine Kurve x = XQ, y = yo + t, z = f{xo,yo + t) konstruieren, bei denen sich die erste Koordinate XQ der P u n k t e in S nicht verandert. In Analogie zum planaren Fall werden diese Kurven in S die Koordinatenachsen auf der Flaclie S genannt. Im Unterscliied zu den Koordinatenachsen in G C M^, die Telle von Geraden sind, sind die Koordinatenachsen in S jedoch im Allgemeinen Kurven in M^. Aus diesem Grund werden die Koordinaten {x,y) der P u n k t e der Flache S auch oft als krummlinige Koordinaten auf S bezeichnet. Daher ist der G r a p h einer stetigen Funktion z = f{x, y), die auf einem Gebiet G C M^ definiert ist, eine zwei-dimensionale Flache 5 in ffi^, deren P u n k t e durch die krunimlinigen Koordinaten {x, y) £ G definiert werden konnen. An diesem P u n k t werden wir nicht noch ausfiihrlicher werden und die allgemeine Definition einer Flache geben, da wir nur an einer besonderen Art von Flache interessiert sind - dem Graphen einer Funktion. Wir nehnien jedoch an, dass der Leser aus Kursen der analytischen Geometric mit einigen besonderen wichtigen Flachen in ffi^ vertraut ist (wie einer Ebene, einem Ellipsoid, Paraboloiden und Hyperboloiden). b. Die Tangentialebene an den Graphen einer Funktion Differenzierbarkeit einer Funktion z = f{x, y) im P u n k t (a;o, yo) £ G bedeutet, dass I{x, y) = f{xo,yo) +o{^y{x
+ A{x - XQ) + B{y - yo) + - xo)^ + iy - yoY)
fiir (a;,2/)-!• (a;o,2/o) ,
(8.73)
wobei A und B Konstanten sind. Wir woUen in W die Ebene z = zo + A{x-
xo) + B{y - yo)
(8.74)
fiir zo = f{xo,yo) betrachten. Wenn wir (8.73) und (8.74) vergleichen, konnen wir erkennen, dass der Graph der Funktion in einer Umgebung des Punktes {xo,yo,zo) durch die Ebene (8.74) gut angenahert wird. Genauer gesagt, so unterscheidet sich bei einer Veranderung der Koordinaten {xo,yo) zu den krummlinigen Koordinaten {x,y) der P u n k t {x,y, f{x,y)) der Ebene (8.74) verglichen zum Wert \/{x — XQ)^ + {y — Vo)'^ im P u n k t {xo,yo,zo) um einen infinitesimalen Betrag. Auf Grund der Eindeutigkeit des Differentials einer Funktion ist die Ebene (8.74) mit dieser Eigenschaft eindeutig bestimmt und lautet
df df z = f{xo,yo) + •g-{xo,yo){x-xo) + -g-{xo,yo){y-yo) •
(8.75)
Diese Ebene wird Tangentialebene an den Graphen der Funktion z = f{x,y) im Punkt {xo,yo, f{xo,yo)) genannt. Daher sind die Differenzierbarkeit einer Funktion z = f{x,y) im P u n k t (a;o,2/o) und die Existenz einer Tangentialebene an den Graphen dieser Funktion im P u n k t {xo,yoT f{xo,yo)) aquivalente Bedingungen.
8.4 Reelle Funktionen mehrerer Variabler
495
c. Der Normalenvektor Wenn wir Gleichung (8.75) fiir die Tangentialebene in der kanonischen Form
df 9/ dx {xo,yo){x - xo) + -Q-{xo,yo){y -yo) - {z - ,f{xo,yo))
=0
schreiben, konnen wir daraus ablesen, dass der Vektor 9.f, (^-l•ffi^in M^ durch differenzierbare Funktionen x = x{t), y = y{t), z = z{t) beschrieben, dann ist der Vektor (i;(0),2/(0),i(0)), wie wir wissen, der Geschwindigkeitsvektor zur Zeit t = 0. Er ist im Punkt XQ = x{0), 2/0 = 2/(0), ZQ = z{0) ein Vektor in Richtung der Tangente an die Spur des Weges r in K^.
496
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
Wir wollen nun einen Weg -T : / —^ S* an den Graphen einer Funktion z = f{x,y) der Form x = x{t), y = y{t), z = f{x{t),y{t)) betrachten. In dieseni besonderen Fall erhalten wir (x(0),2)(0),i(0)) = (x(0),2)(0),|^(a;o,2/o)i(0) + |^(xo,2/o)2)(0)) ,
woraus wir erkennen konnen, dass dieser Vektor zum Vektor (8.76) orthogonal ist, der zum Graphen S der Funktion im Punkt {xo,yo, f{xo,yo)) normal ist. Somit haben wir gezeigt, dass ein Vektor {^,r],(), der zu einer Kurve auf der Flache S im Punkt {xo,yo, f{xo,yo)) tangential verlauft, zum Vektor (8.76) orthogonal ist und (in diesem Sinne) im betrachteten Punkt in der Tangentialebene (8.75) an die Flache S hegt. Genauer gesagt, so konnten wir sagen, dass die gesamte Gerade x = XQ + ^t, y = yo + rjt, z = /(XQ, yo) + (t in der Tangentialebene (8.75) hegt. Wir wollen nun zeigen, dass die Umkehrung auch wahr ist, d.h., dass dann, wenn eine Gerade x = xo+^t, y = yo+rjt, z = f{xo,yo)+(t oder, was gleich ist, der Vektor (^, 77, () in der Ebene (8.75) liegt, ein Weg auf S existiert, zu dem der Vektor {^,r],() im Punkt {xo,yo, f{xo,yo)) der Geschwindigkeitsvektor ist. Wir konnen beispielsweise den Weg X = Xo+^t
,
y = yo+T]t
,
Z = f {XQ + S,t, yo + rjt)
wahlen. Tatsachlich gilt fiir diesen Weg
df i ( 0 ) = C,
2/(0) =?7,
df
z{^) =-Q^{xo,yo)i+T^{xQ,yQ)-q
.
In Anbetracht der Gleichung
df
df
— {xo,yo)x{0) + -Q-{xo,yo)y{0) - z{0) = 0 und der Annahme, dass -Q-{xo,yo)^+
-Q-{xo,yo)ri-
C= 0 ,
erhalten wir, dass (x(0),2/(0),i(0))=(C,r?,C).
Daher wird die Tangentialebene an die Flache S im Punkt {xo,yo,zo) durch die Vektoren gebildet, die im Punkt {xo,yo,zo) Tangenten an Kurven auf der Flache S sind, die durch diesen Punkt verlaufen (vgl. Abb. 8.2). Dies ist eine eher geometrische Beschreibung der Tangentialebene. Wie auch immer, so konnen wir daraus erkennen, dass dann, wenn die Tangente an eine Kurve (bzgl. der Wahl der Koordinaten) invariant definiert ist, auch die Tangentialebene invariant definiert ist.
8.4 Reelle Funktionen mehrerer Variabler
497
Abb. 8.2. Wir haben Funktionen zweier Variabler betrachtet, u m sie graphisch darstellen zu konnen, aber alles Gesagte lasst sich offensichtlich auf den AUgenieinfall einer Funktion
y = f{x\...,xn
(8.77)
fiir m £ N mit m Variablen iibertragen. Im Punkt (a;J,..., x™, / ( x j , . . . , a;™)) kann die Tangentialebene an den Graphen einer derartigen Funktion in der Form y = J [^0 y • • • T^O J + 2^ i=l
Jf^ {^0 T • • • y^O ){^
dx^
~ ^o)
5.78)
geschrieben werden, wobei der Vektor
_dl_
(a;o),-l)
der Normalenvektor an die Ebene (8.78) ist. Diese Ebene besitzt, wie der G r a p h der Funktion (8.77), die Dimension m , d.h., jeder P u n k t wird nun durch eine Menge (x^,... ,x"^) von m Koordinaten beschrieben. Daher definiert (8.78) eine Hyperebene in ffi™+^. Wenn wir die obigen Uberlegungen in Worten wiederholen, so lasst sich sagen, dass die Tangentialebene (8.78) aus Vektoren besteht, die Tangenten an Kurven sind, die durch den P u n k t ( a ; J , . . . , x™, / ( x j , . . . , x™)) verlaufen und auf der m-dimensionalen Flache S - dem Graphen der Funktion (8.77) liegen. 8.4.7 U b u n g e n u n d A u f g a b e n 1. Sei z = f{x,y)
eine Funktion der Klasse
C'^^\G\
a) Lasst sich fiir ^{x,y) = 0 in G behaupten, dass / in G von y unabhangig ist ? b) Unter welchen Bedingungen an das Gebiet G besitzt die obige Frage eine bejahende Antwort?
498 2.
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler a) Zeigen Sie, dass fiir die folgende Punktion
f{x,y)
_ a ^ y f ^ , fiir i " + y V 0 '_ 0, fiir x^ + y^ = 0
gilt:
^^-(0,0) = M - 1 = 1 ^ ( 0 , 0 )
dxdy ' dydx b) Die Funktion f{x,y) besitze die partiellen Ableitungen ^^ und -g^ in einer Umgebung U des Punktes {xo, yo) und die gemischte Ableitung -g^g- (oder g-g^) existiere in U und sei stetig in (xo,yo). Zeigen Sie, dass dann die gemischte Ableitung -§-^ (bzw. g,^J ) in diesem Punkt auch existiert und dass die folgende Gleichung gilt:
3. Seien x ^ , . . . , x"* kartesische Koordinaten in R"*. Der Differentialoperator
der auf Punktionen / G C*-^'(G;R) entsprecliend der Regel
einwirkt, wird Laplace-Operator genannt. Piir die Funktion / im Gebiet G C R™ wird die Gleichung Af = 0 Laplacesche Gleichung genannt und ihre Losungen werden als harmonische Punktionen im Gebiet G bezeichnet. a) Zeigen Sie, dass fiir x = {x^,...
jx"^) und
i=i
\
die Punktion f{x) =
\\x\\-"-^
fiir m > 2 auf dem Gebiet W^ \ 0 mit 0 = ( 0 , . . . , 0) harmonisch ist. b) Zeigen Sie, dass die Funktion 1
/
II 11^ \
die fiir t > 0 und x = {x^,. .., x"^) G R™ definiert ist, die Wdrmegleichung -:r- = a At dt •' erfiillt, d.h., zeigen Sie, dass in jedem Punkt des Definitionsbereichs der Funk-
tion fat = a^ E 0
gilt
8.4 Reelle Funktionen mehrerer Variabler
499
4. Taylorsche Formel in Multiindex Schreibweise. Das Symbol a := ( a i , . . . , a m ) mit nicht negativen Zahlen ai, i = 1,... ,m wird Multiindex a genannt. Die folgende Schreibweise ist iiblich: \a\ := a i + • • • + am ,
Ist schliefilich o = ( a i , . . . , Om), danii ist a l
ai am .— d^ ' ' ' ^rn
a) Zeigen Sie, dass fiir fc G N gilt, dass (ai H
\-am)^=
y^ — /—'^ a\
oder (Ol H
h Om)* = y ^ —j-o" , •^—' a\ \o.\=k
wobei die Summe iiber alle Mengeii a = (ai,...,am)
niclit negativer ganzeii
m
Zalilen lauft, fiir die ^ QJ = fc. i= l
b) Sei
Zeigen Sie, dass fiir / e C(*'(G;R) die Gleichung
^iH
\-im=k
\o.\=k
fiir jeden Punkt x £G mit ft = (/i\ . . . , ft*") gilt. c) Zeigen Sie, dass die Taylorsche Formel mit dem Restglied nach Lagrange in Multiindex Schreibweise beispielsweise wie folgt geschrieben werden kann: n-l
f[x + h:)= J2 ^Dyix)h"+ Y. ^—' a! |a|=0
Dy{x + eh)h".
^—' Q! |a|=n
d) Schreiben Sie die Taylorsche Formel mit integralem Restglied (Satz 5) in Multiindex Schreibweise. 5. Sei I"^ = {x = {x^,... ,a;'") G R"* |x'| < c \ i = 1,.. . ,m} ein m-dimensionales abgeschlossenes Intervall und / das alageschlossene Intervall [a, b] C R. a) Die Funktion f{x,y) = f{x^,...,x"'',y) sei auf der Menge I'" x I definiert und stetig. Zeigen Sie, dass dann zu jeder positiven Zahl e > 0 eine Zahl 6 > 0 existiert, so dass \fix,yi) — f{x,y2)\ < £ fiir x £ I"^, yi,y2 £ I und \yi—y2\ < S.
500
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
b) Zeigen Sie, dass die Funktion b
F{x) = j fix,y)dy a
auf dem abgeschlossenen Intervall /"^ definiert und stetig ist. c) Sei / G C ( / ' " ; R ) . Zeigen Sie, dass dann die Funktion :F{x,t) = f{tx) auf I"" X I^ definiert und stetig ist, wobei /^ = {t G R I |t| < 1}. d) Beweisen Sie das Lemma von Hadamard: Set f € C'-'\l"' ;R) und /(O) = 0. Dann existieren Funktionen gi,... C ( / ' " ; R ) , so dass
fix\...
, X
;
—
2_^x gi[x ,...,x
,gm G
)
in /"^ und zusatzlich P i ( 0 ) •^
^ 0 definiert. Hierbei ist ^ eine monoton anwachsende Funktion, die experimentell bekannt ist, mit V'(O) = So > 0.
8.4 Reelle Funktionen mehrerer Variabler
503
Der Schleifvorgang muss so ausgefiihrt werdeii, dass keine zufalligen strukturellen Veranderungen im Metall an der Oberflache erzeugt werdeii. a) Fiir die Geschwindigkeit des Herstellungsprozesses ware unter diesen Bedingungen der optimale Schleifmodus eine Anzahl von Veranderungen der Anpressstarke s der Schleifscheibe, fiir die s = ^(5) ,
wobei S = S{t) die Starke der Metallschicht ist, die bis zur Zeit t noch nicht entfernt wurde oder, was dasselbe ist, der Abstand zwischen der Kante der Scheibe zur Zeit t und der Endflache des Werkstiicks. Erklaren Sie dies. b) Bestimmen Sie die Zeit, die notig ist, urn eine Schicht der Starke H zu entfernen, wenn die Anpressstarke der Scheibe optimal angepasst wird. c) Bestimmen Sie die Abhangigkeit s = s{t) der Anpressstarke mit der Zeit bei lb
optimaler Bedienung, unter der Voraussetzung, dass die Funktion A i—>• s linear ist: s = So + A/i. Auf Grund der strukturellen Eigenscliaften gewisser Sclileifmaschinen kann die Anpressstarke s nur diskret verandert werden. Dies stellt uns vor das Problem, die Prozessproduktivitat unter der zusatzlichen Bedingung, dass nur eine feste Anzahl n von Einstellung fiir die Anpressstarke s zulassig ist, zu optimieren. Die Antworten auf die folgenden Fragen ergeben ein Bild fiir die optimale Bedienung. H
d) Welche geometrische Interpretation lasst sich fiir die Schleifzeit t{H) = f J ^ , die Sie in Teil b) fiir die optimale kontinuierliche Veranderung der Anpressstarke s gefunden haben, geben? e) Welche geometrische Interpretation lasst sich fiir die Zeit, die bei einer Anderung von der optimalen kontinuierlichen Veranderung von s zur optimalen Bedienung bei schrittweiser Veranderung von s verloren wird, geben? f) Zeigen Sie, dass die Punkte 0 = x„+i < x„ < • • • < xi < xo = H des abgeschlossenen Intervalls [0, -ff], in denen der Anpressdruck verandert werden soUte, die Bedingungen
1 ip{xi+i)
ip{xi)
fl\' — ] {xi){xi - Xi-i) VV"
{i =
l,...,n)
erfiillen muss, und dass folglich zwischen Xi und Xi+i der Anpressdruck der Scheibe die Form s = tl)(xi+i), (i = 0,... ,n) besitzt. g) Zeigen Sie, dass im linearen Fall, wenn ip{A) = so + XA, die Punkte Xi (aus Teil f)) auf dem abgeschlossenen Intervall [0, H] so verteilt sind, dass die Zahlen So ^ So
^ So
^ So
eine geometrische Progression bilden. 11.
a) Zeigen Sie, dass die Tangente an die Kurve F : I ^ R"* invariant von der Wahl des Koordinatensystems in R™ definiert ist. b) Zeigen Sie, dass die Tangentialebene an den Graphen S einer Funktion y = f{x^,..., x"^) invariant von der Wahl des Koordinatensystems in R™ definiert ist.
504
Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
^^ sei der Graph einer Punktion y c) Angenommen, die Menge S C l^. Zeigen Sie, dass in den Koordinaten (x ,i"',y) in fix' die Tangentialebene an S gegen eine lineare Veranderung der Koordinaten in invariant ist. d) Zeigen Sie, dass der Laplace-Operator Af = ^ -^-fiix) gegen orthogonale Ko ordinatentransformationen in
invariant definiert ist.
8.5 Der Satz zur impliziten Funktion 8.5.1 P r o b l e m s t e l l u n g u n d vorlaufige B e t r a c h t u n g e n In diesem Abschnitt werden wir den Satz zur impliziten Funktion beweisen, der sowohl intrinsisch als auch wegen seiner zahlreichen Anwendungen wichtig ist. Wir wollen zunachst das Problem erklaren. Angenommen, uns liegt z.B. die Bezieliung a;2 + 2/2 _ 1 = 0 (8.80) zwischen den Koordinaten x, y von P u n k t e n in der Ebene M^ vor. Die Menge der P u n k t e in M^, die diese Bedingung erfiillt, bildet den Einheitskreis (s. Abb. 8.4).
A b b . 8.4. Am Beispiel der Gleicliung (8.80) konnen wir selien, dass wir nach Fixierung einer der Koordinaten, z.B. x, die zweite Koordinate nicht langer frei wahlen konnen. Daher wird durcli (8.80) eine Abhangigkeit zwischen y und X vorgegeben. Uns interessiert die Frage nach den Bedingungen, unter denen die implizite Gleichung (8.80) zu einer expliziten funktionalen Abhangigkeit y = y{x) aufgelost werden kann. Wenn wir (8.80) nach y auflosen, erhalten wir y
±VT
5.81)
8.5 Der Satz zur impliziten Punktion
505
d.h., zu jedem Wert von x mit |a;| < 1 gibt es zwei zulassige Werte von y. Bei der Bildung einer funktionalen Relation y = y{x), die (8.80) erfiillt, konnen wir ohne zusatzliche Anforderungen nicht einen der moglichen Werte (8.81) bevorzugen. So erfiillt beispielsweise die Funktion y{x), die den Wert + V l — x^ in rationalen Punkten des abgesclilossenen Intervalls [—1,1] annimmt und den Wert —Vl — x^ in irrationalen Punkten, die Gleichung (8.80). Es ist klar, dass wir durch kleine Veranderungen unendlich viele funktionale Relationen, die (8.80) erfiillen, aufstellen konnen. Die Frage, ob die in W" durch (8.80) definierte Menge dem Graphen einer Funktion y = y{x) entspricht, besitzt ofFensichtlich eine verneinende Antwort, da sie aus geometrischer Sicht aquivalent ware zur Frage, ob es eine direkte eins-zu-eins Projektion eines Kreises auf eine Strecke gabe. Aber Beobachtungen (vgl. Abb. 8.4) legen nichtsdestotrotz nahe, dass es moglich ist, in einer Umgebung eines bestimmten Punktes {xo,yo) eine Art eins-zu-eins Beziehung zwischen dem Kreisbogen und der x-Achse aufzustellen und dass diese eindeutig als y = y{x) formuliert werden kann, wobei x H^ y{x) eine in einer Umgebung des Punktes XQ stetige Funktion ist, die in XQ den Wert 2/0 annimmt. In dieser Hinsicht sind nur (—1,0) und (1,0) problematische Punkte, da sich kein Kreisbogen, in dem diese Punkte innere Punkte sind, einszu-eins auf die a;-Achse projizieren lasst. Trotzdem sind Umgebungen dieser Punkte auf dem Kreis relativ zur y-Achse wohl angeordnet und lassen sich als Graph einer Funktion x = x{y), die in einer Umgebung des Punktes 0 stetig ist und die Werte —1 bis 1 annimmt, darstellen, wenn der fragliche Bogen den Punkt (-1,0) bzw. (1,0) enthalt. Wie konnen wir analytisch herausfinden, ob eine geometrische Anordnung von Punkten, die durch eine Relation wie (8.80) definiert ist, in einer Umgebung eines Punktes {xo,yo) in der Form einer expliziten Funktion y = y{x) oder X = y{x) dargestellt werden kann? Wir werden diese Frage mit Hilfe der folgenden, nun bereits bekannten, Methode untersuchen. Ausgangspunkt ist eine Funktion F{x, y) = x"^ +y'^ — 1. Das lokale Verhalten dieser Funktion in einer Umgebung eines Punktes {xo,yo) wird durch ihr Differential Ki^o,yo)ix
-xo) + Fy{xo,yo){y - Vo)
wohl definiert, da F{x,y) = F{xo,yo) + F^{xo,yo)ix - XQ) + + Fy{xo,yo){y - yo) + o{\x - xo\ + \y - yo\) fiir {x,y) -^ {xo,yo). Ist F{xo,yo) = 0 und sind wir am Verhalten der Niveaukurve F{x,y)=0
der Funktion in einer Umgebung des Punktes {xo,yo) interessiert, konnen wir dieses Verhalten aus der Lage der (Tangente) Geraden
506
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler Ki^o,yo)ix
-xo) + Fy{xo,yo){y - yo) = 0
(8.82)
beurteilen. Da die Kurve F{x,y) = 0 sich in einer Umgebung des Punktes (a;o,2/o) nur sehr wenig von dieser Geraden unterscheidet, kann auch F in einer Umgebung des Punktes (a;o,2/o) in der Gestalt y = y{x) geschrieben werden, falls die Gleichung der Geraden (8.82) nach y aufgelost werden kann. Dieselben Uberlegungen mit der lokalen Losbarkeit von F{x,y) = 0 lassen sich auch fiir x anstellen. Wenn wir (8.82) fiir den Spezialfall (8.80) schreiben, gelangen wir zu folgender Gleichung fiir die Tangente: xo{x - xo) + yo{y - y^) = 0 .
Diese Gleichung lasst sich stets nach y auflosen, wenn yo ^ 0, d.h. in aUen Punkten des Kreises (8.80), aui3er in (—1,0) und (1,0). Sie ist in aUen Punkten des Kreises, aui3er in (0, —1) und (0,1), nach x auflosbar. 8.5.2 Eine einfache Version des Satzes zur impliziten Funktion In dieseni Abschnitt werden wir den Satz zur impliziten Funktion auf eine sehr intuitive, aber nicht sehr konstruktive Methode erhalten, die sich nur fiir Funktionen mit reellen Werten iibernehmen lasst. Der Leser findet eine weitere Methode zur Herleitung dieses Satzes, die in mehrfacher Hinsicht vorzuziehen ist, zusammen mit einer detaillierteren Analyse seiner Struktur in Kapitel 10 (Teil 2), sowie in Aufgabe 4 am Ende dieses Abschnitts. Der folgende Satz ist eine einfache Version des Satzes zur impliziten Funktion. Satz 1. Sei F : U{xo,yo) —>• M eine in einer Umgebung U{xo,yo) des Punktes {xo,yo) € M^ definierte Funktion, mit 1° F e C(P)(C/;M) furp> 1, 2^^ F{xo,yo) = 0, 3°F;(a;o,2/o)y^O. Dann existiert ein zwei-dimensionales Intervall I = Ix x ly mit Ix = {xGR\\x-xo\ 0. Um keine neue Schreibweise einfiihren zu miissen, konnen wir ohne Verlust der Allgemeinheit annehmen, dass in jedem Punkt der urspriinglichen Umgebung U{xo,yo) gilt, dass Fy{x,y) > 0. AuBerdem konnen wir annehmen, wenn wir die Umgebung C/(a;o,2/o) falls notwendig einschranken, dass sie eine Scheibe vom Radius r = 2(] > 0 mit Zentrum in {xo,yo) ist. Da Fy{x,y) > 0 in [/, ist die Funktion F{xo,y) definiert und als Funktion von y auf dem abgeschlossenen Intervall yo—P ( / ^ ; 4 ) fiir F £ C^P) (U; K ) . D Beispiel 2. Angenomnien, die Funktion _F : G —^ M sei in eineni Gebiet G C M™ definiert und gehore zur Klasse C^^^ (G; M) und fiir XQ = (a;J,... ,a;™) € G gelte F{xo) = F ( a ; J , . . . ,a;™) = 0. Ist XQ kein stationarer P u n k t von _F, dann ist zuniindestens einer der partiellen Ableitungen von F ^ 0. in XQ ungleicli Null. Sei etwa £^{xo) Dann lasst sich nach Satz 2 in einer Umgebung von XQ die durch die Gleichung F{x^,... ,x™) = 0 definierte Teilmenge von M™ als Graph einer Funktion a;™ = f{x^, • • • ,a;™~^) verstehen, die in einer Umgebung des Punktes (a;J,... ,a;™~^) € K™~^ definiert und stetig differenzierbar ist und fiir die /(a;J,...,x™-i)=a;^gilt._ Daher definiert die Gleichung F{x\...,x"')
=0
in einer Umgebung eines nicht stationaren P u n k t e s XQ von F eine (m — 1)dimensionale Flache. Insbesondere definiert fiir ffi^ die Gleichung F{x,y,z)=i) in einer Umgebung eines nicht stationaren P u n k t e s {xQ,yQ,ZQ), der diese Gleichung erfiillt, eine zwei-dimensionale Flache, die, wenn die Bedingung ^{xo,yo,zo) ^ 0 erfiillt ist, lokal als
z = fix.y) geschrieben werden kann. Wie wir wissen, lautet die Gleichung fiir die Tangentialebene an den Graphen dieser Funktion im P u n k t {xQ,yQ,ZQ): z - ZQ = —{xo,yo){x Nun ist aber nach (8.89)
- XO) + •^{xo,yo){y
- yo) .
512
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
ox
F!,(xo,yo,zo)
ay
F!,(xo,yo,zo)
und daher konnen wir die Gleichung der Tangentialebene neu schreiben: Kixo,yo,zo)ix
-xo)
+ Fy{xo,yo,zo){y
- yo) + F!,{xo,yo,zo){z
- ZQ) = 0 .
Diese Gleichung ist in den Variablen x,y,z symmetrisch. Fiir den Allgemeinfall erhalten wir auf ahnliche Weise die Gleichung m
j2K'M{x'-xi,) = o i=l
der Hyperebene in M™, die im P u n k t XQ = ( a ; J , . . . , x ™ ) die Tangente an die Flache ist, die durch die Gleichung F{x^,... ,a;™) = 0 beschrieben wird (natiirlich unter den Annahmen, dass F{xo) = 0 und dass XQ ein nicht stationarer P u n k t von F ist). Aus diesen Gleichungen konnen wir erkennen, dass wir in der euklidischen Struktur des ffi™ sichersteUen konnen, dass der Vektor /• dF
dF \
gradFM=(^,...,^jM zur r-Niveauflache F{x) = r der Funktion F in einem entsprechenden P u n k t XQ orthogonal ist. So ist beispielsweise fiir die in M^ definierte Funktion 9
*?
9
^, . X y z F{x,y,z) = — + 75" + — a^ 0^ c^ die r-Niveauflache fiir r < 0 gleich der leeren Menge, fiir r = 0 ein einzelner P u n k t und das Elhpsoid 9
fiir r > 0. Ist {xo,yo,zo) Bewiesenen der Vektor
9
9
X y z _ d^ b'^ c^ ein P u n k t auf diesem Ellipsoid, dann ist nach dem
gradF(xo,2/o,^o) = ( ^ ^ - ,
&2'
'
c2 y
im P u n k t {xQ,yQ, ZQ) ZU diesem Ellipsoid orthogonal u n d die Gleichung fiir die Tangentialebene in diesem P u n k t lautet XQ{X-XQ) a^
yojy -yo) IP-
zpjz - zp) ^ ^ c^
Wenn wir beriicksichtigen, dass der P u n k t {xQ,yQ,zo) auf dem Ellipsoid liegt, kann die Gleichung neu geschrieben werden als XQX
a?
yoy IP-
ZQZ
c?
_
8.5 Der Satz zur impliziten Punktion
513
8.5.4 Der Satz zur impliziten Funktion Wir wenden uns nun dem Allgemeinfall eines Gleichungssystems ' Fl(a;^...,a;™,2/^...2/") = 0 ,
setzen, erhalten wir mit (8.97), dass ^ " = 0 in ihrem Definitionsbereich und daher Q^n
Qpn
Qpn
Qf
Wenn wir die Gleichungen (8.99) und (8.100) zusammen mit den Eigenschaften von Determinanten beriicksichtigen, konnen wir nun beobachten, dass die Determinante der Matrix (8.94) zur Determinante der Matrix
Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
516
'
\
ai?l
df
Qyl
+ Qytl
Qpn
Qpn
Qj
Qpn
dy^
Qyn-l
dy^
Qyl
dy"
dy
ai?l
df
Qyti
Qyn-l
Qpn
+'
Qyn
ai?l N^ Qyti
df
Qpn
Qyn-l
QyU J
a I, folgt, dass F(-,/(-)) e C(P)(/™;K") und wir erhalten durch Ableiten der Gleichung (8.104), dass
fJ +Ef--|^=«.
»=1
«;i = l..^.™)^
(8.105)
Die Gleichungen (8.105) sind offensichthch aquivalent zur Matrixgleichung Fl{x,y) + mit y = f{x).
F'y{x,y)-f{x)=Q
518
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
Wenn wir die Invertierbarkeit der Matrix F'{x,y) in einer Umgebung des P u n k t e s (a;o,2/o) beriicksichtigen, gelangen wir aus dieser Gleichung zu
f{x)=-[F^{x,!{x))]-\F',{xJ{x))], und der Satz ist damit voUstandig bewiesen.
D
8.5.5 U b u n g e n u n d A u f g a b e n 1. Auf der Ebene R^ mit den Koordinaten x und y ist eine Kurve durch die Gleichung F{x,y) = 0 definiert, wobei F £ C*^-'(R^,R). Sei {xo,yo) ein nicht stationarer Punkt der Funktion F{x, y) auf der Kurve. a) Formulieren Sie die Gleichung fiir die Tangente an die Kurve im Punkt {xo,yo). b) Zeigen Sie, dass dann, wenn {xo, yo) ein Wendepunkt der Kurve ist, die folgende Gleichung gilt: f[-^xx-'^y P" P ' ^ _ 9^-^xy-^x-^y P" P ' P ' -1" P ' ^ VJ -V-^O, r ' P ^yy-^x yOJ,,)—() —u .
c) Bestimmen Sie eine Forniel fiir die Kriimmung der Kurve im Punkt
(xo,yo).
2. Die Legendre-Transformation in m Variablen. Die Legendre-Transformation von x^,...,!"^ und der Funktion f{x^,...,x'") ist die Transformation zu den neuen Variablen ^ i , . . . ,$m und der Funktion f*{^i, • • • ,(,m), die durch die folgenden Gleichungen definiert sind: - ^, = §L(x\...,x"^)
{i =
r(ii,---,im) =
i=l
l,...,m),
j:iix'-f(x\...,xn-
(8.106)
a) Geben Sie eine geometrische Interpretation fiir die Legendre-Transformation (8.106), indem Sie sie als Ubergang von den Koordinaten {x^,...,x'", f{x^, • • • TX"^)) eines Punktes auf dem Graphen der Funktion f{x) zu den Parametern (^i,.. . ,£,m, f*(£,i, • • • ,Cm)), die die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen in diesem Punkt definieren, interpretieren. b) Zeigen Sie, dass die Legendre-Transformation lokal moglich ist, wenn / £ C*^' und det fTT^frl 7^ 0. c) Wenn wir dieselbe Definition wie im ein-dimensionalen Fall fiir die Konvexitat einer Funktion f(x) = f{x^,...,x^) benutzen (indem wir x als den Vektor {x^,... ,a;'") e R"* betrachten), ist die Legendre-Transformation einer konvexen Funktion wieder eine konvexe Funktion. Zeigen Sie dies. d) Zeigen Sie, dass m
d/* =^x'dii i=l
m
m
+^
iidx' - d / = ^
i=l
x'Aii
i= l
und leiten Sie aus dieser Gleichung ab, dass die Legendre-Transformation involutiv ist, d.h., beweisen Sie die Gleichung
{rnx) = f{x).
8.5 Der Satz zur impliziten Punktion
519
e) Schreiben Sie unter Beriicksichtigung von d) die Transformation (8.106) in die folgende Form, die in den Variablen symmetrisch ist:
r(Ci,...,e,n) + /(x\
i= l
(8.107)
dr oder in Kurzform
x = vr(e)
e= v/w wobei V/(x)
Of
df
dx^'
dx"
(x)
dr
df aCi' • • •' d^„ (?)
v/*(e)
^x = ^ix' = y ^ g j x ' f) Die Matrix, die aus den zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion gebildet wird (und manchmal auch die Determinante dieser Matrix), wird Hessesche Matrix der Punktion in einem Punkt genannt. Seien da und d*, die Kofaktoren der Elemente a , A ,- und a, L der Hesseschen Matrizen
( dx^dx^
{x)
und
(6 d'r
d'f dx'^dx^
d'r
dx^dx"^'
d'r
dx'^dx'^ '
der Funktionen f{x) und f*{£,) und seien d und d* die Determinanten dieser Matrizen. Angenommen, d ^ 0. Zeigen Sie, dass d • d* = 1 und dass
g) Bin Seifenfilm auf einem Rahmen bildet eine sogenannte minimale Flache mit der minimalsten Ausdehnung unter alien Flachen, die diesen Rahmen ausfiillen. Wird die Plache lokal als Graph einer Funktion z = f{x, y) definiert, dann zeigt sich, dass die Funktion / die folgende Gleichung fiir minimale Flachen erfiillen muss: \ ^ ' J y
j Jxx
^JxJyJxy'y^'Jx
j Jyy
— '-' •
Zeigen Sie, dass eine Legendre-Transformation dieser Gleichung zu folgender Gestalt fiihrt:
(1 + n')f;," + ^infiv" + (1 + f)fii"
0
520
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
3. Kanonische
Variablen und die Hamilton-Gleichungen
.
a) In der Variationsrechnung und den fundamentalen Prinzipien der klassischen Mechanik spielt das folgende Gleichungssystem, das auf Euler und Lagrange zuriickgeht, eine wichtige RoUe: dL dx
d
dL\ Atdv'^'''
(8.108)
• xit) Dabei ist L(t,x,v) eine gegebene Funktion der Variablen t, x und v, wobei t iiblicherweise die Zeit ist, x die Koordinate und v die Geschwindigkeit. Das System (8.108) besteht aus zwei Gleichungen mit drei Unbekannten. Ublicherweise wollen wir x = x(t) und v = v(t) aus (8.108) bestimmen, was sich im Wesentlichen auf die Bestimmung der Gleichung x = x{t) reduzieren lasst, da V "
=
— dt •
Schreiben Sie die erste Gleichung in (8.108) ausfiihrlicher, indem Sie die Ableitung ^ expandieren und dabei beriicksichtigen, dass x = x{t) und v = v{t). b) Wenn wir von den Koordinaten t, x, v und L auf die sogenannten kanonischen Koordinaten t, x, p und H wechseln und dabei die Legendre-Transformation (vgl. Aufgabe 2) dL H = pv — L nach den Variablen v und L ausfiihren und sie dabei durch p und H ersetzen, dann nimmt das Euler-Lagrange System (8.108) die symmetrische Gestalt
an. Beweisen Sie dieses sogenannte System von Im multi-dimensionalen Fall, wenn L = L{t, Euler-Lagrange System die Form
dL
d
Hamilton-Gleichungen. "*), besitzt das
dL\, (8.110)
= x'it)
(i = l,...
wobei wir der Kiirze halber x = {x^,... ,a;'"), v = (f'^,..., w™) gesetzt haben. Wenn wir eine Legendre-Transformation der Variablen t f"*, L zu den kanonischen Variablen t,x^,..., x"^,pi,... ,Pm, H nach den Variablen w^,..., ii"*, L durchfiihren, dann wird in den neuen Variablen das System (8.110) zu folgendem System von Hamilton-Gleichungen: 7
W. R. Hamilton (1805-1865) - beriihmter irischer Mathematiker und Fachmann der Mechanik. Er stellte ein Variationsprinzip (das Hamiltonsche Prinzip) auf, konstruierte eine phanomenologische Theorie optischer Phanomene und war der Begriinder der Quaternionen und der Vektoranalysis (der Ausdruck „ Vektor" geht auf ihn zuriick).
8.5 Der Satz zur impliziten Punktion
Pi = - | 4 '
*' = l ^ '
(i = l,---,m).
521
(8.111)
Opi
0X'
Zeigen Sie dies. 4. Der Satz zur impliziten Funktion. Die Losung dieser Aufgabe ergibt einen weiteren Beweis des zentralen Satzes dieses Abschnitts, vielleicht etwas weniger intuitiv und konstruktiv als der oben gegebene, aber dafiir kiirzer. a) Angenommen, die Voraussetzungen des Satzes zur impliziten Punktion seien erfiillt und sei
die i-te Zeile der Matrix Fy{x,y). Zeigen Sie, dass die Determinante der Matrix, die aus den Vektoren Fy{xi,yi) gebildet wird, ungleich Null ist, wenn alle Punkte {xi, yi) (i = 1,... ,n) in einer hinreichend kleinen Umgebung U = I™ x ly von (xo,yo) liegen. b) Zu X e I™ gebe es Punkte yi,y2 G ly, so dass F{x,yi) = 0 und F{x,y2) = 0. Zeigen Sie, dass dann zu jedeni i £ { 1 , . .. ,n} ein Punkt {x, yi) existiert, der auf dem abgeschlossenen Intervall mit den Endpunkten (x,yi) und {x,y2) liegt, so dass 'F^(a^,2/i)(2/2-2/i) = 0, (i = l , . . . , n ) . Zeigen Sie, dass daraus folgt, dass yi = 2/2, d.h., dass dann, wenn die implizite Punktion f : I^ ^ ly existiert, sie eindeutig ist. c) Die offene Kugel K{yo;r) sei in ly enthalten. Zeigen Sie, dass dann F{xo,y)^0
fiir \\y - yolk" = r > 0. d) Die Punktion ||F(a;o,2/)||Rn ist stetig und besitzt einen positiven Minimalwert /i auf der Kugelschale Hy — yo||E"=?'. e) Es gibt ein 5 > 0, so dass fiir \\x — XO||E™ < S gilt, dass ll-f(a;,2/)||E" > 2/^ '
f^'' ll2/-yo|k" = r ,
\\F{x,y)\\l,^
iiiTy = yo.
< -/I ,
f) Zu jedeni festen x mit ||a; — a;o|| < S nimmt die Funktion ||F(a;,2/)||Rn in einem inneren Punkt y = f{x) der offenen Kugel \\y — 2/0||E" < r ein Minimum an. Da die Matrix Fy Ix, f{x) 1 invertierbar ist, folgt daraus, dass Fix, f{x) 1=0. Damit ist die Existenz der impliziten Funktion / : K(xo;S) —>• K(yo;r) sichergestellt. g) Gilt Ay = f{x + Ax) — f{x), dann ist Ay =-[F;]''
• [F:,]AX
wobei Fy die Matrix ist, deren Zeilen den Vektoren Fy{xi,yi), (i = l,...,n) entsprechen. Dabei ist (xi, yi) ein Punkt auf dem abgeschlossenen Intervall mit den Endpunkten (x, y) und {x+Ax, y+Ay). Das Symbol F^ besitzt eine ahnliche Bedeutung. Zeigen Sie, dass aus dieser Gleichung folgt, dass die Funktion y = fix) stetig ist.
522
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
h) Zeigen Sie, dass fix) 5. „Gilt fix,y,z)
= - [F; (X, f{x))Y'
•p
[x, fix))]
.
= 0, dann ist f| • | f • ff = - 1 . "
a) Gebeii Sie dieser Aussage eine klare Bedeutung. b) Zeigen Sie, dass sie beispielsweise fiir die ideale Gasgleichung nach Clapeyron ——— = konst. T gilt, wie auch fiir den Allgemeinfall einer Punktion mit drei Variablen. c) Schreiben Sie eine ahnliche Aussage fiir die Gleichung f{x^,... ,a;'") = 0 mit m Variablen. Beweisen Sie, dass die Aussage stimmt. 6. Zeigen Sie, dass die Nullstellen von n
Z
,
+ ClZ
n—1
I
I
+ • • • + Cn
glatte Punktionen der KoefRzienten sind, zumindest dann, wenn die KoefRzienten alle verschieden sind.
8.6 Einige Korollare zum Satz zur impliziten Funktion 8.6.1 D e r S a t z zur i n v e r s e n F u n k t i o n D e f i n i t i o n 1. Eine Abbildung / : [ / — > • F , wobei U und V ofFene Teilmengen in M™ sind, ist ein C^^'-Diffeomorphismus oder ein DifFeomorphismus mit Glattheit p (p = 0,1,...), wenn
i)/ecW(t/;y), 2) / bijektiv ist und 3) / - I e c ( p ) ( y ; C / ) . Ein C'*^'-DifFeomorphismus wird Homoomorphismus
genannt.
In der Regel werden wir in diesem Buch nur den glatten Fall, d.h. p £ N oder p = oo, betracliten. Die zugrunde liegende Idee des Folgenden liaufig benutzten Satzes ist, dass eine Abbildung, deren Differential in einem P u n k t invertierbar ist, selbst in einer Umgebung des P u n k t e s invertierbar ist. S a t z 1. (Satz zur inversen Funktion). Fiir die Abbildung Gebiets G C K™ gelte: 1° / e C ( p ) ( G ; M ™ ) , p > 1, 2*^ 2/0 = f{xo)
in
3*^ .f'{xo) ist
invertierbar.
XQ
G G und
f : G ^ ffi™ eines
8.6 Einige Korollare zum Satz zur impliziten Punktion
523
Dann existiert eine Umgebung U{xo) C G von XQ und eine Umgebung V{yo) von yo, so dass / : U{xo) —>• V{yo) ein C^^'-Diffeomorphismus ist. 1st aufierdem x € U{XQ) und y = f{x) £ V{yQ), dann ist
Beweis. Wir schreiben die Gleichung y = f(x) in der Form F{x,y)=f{x)-y
= 0.
(8.112)
Die Funktion F{x,y) = f{x) — y ist fiir a; £ G und y G M™ definiert, d.h., sie ist in der Umgebung G x M™ des Punktes {xo,yo) £ M™ x K™ definiert. Wir woUen (8.112) in einer Umgebung von {xo,yo) nach x auflosen. Nach den Voraussetzungen 1°, 2° und 3° des Satzes besitzt die Abbildung F{x,y) die Eigenschaft, dass F e C(P)(G X K™;K™) , p > l , F{xo,yo) = 0 und dass F.^{xo,yo) = f'{xo) invertierbar ist. Nach dem Satz zur impliziten Funktion existiert eine Umgebung I^ x ly von {xo,yo) und eine Abbildung g £ C''P\ly;Ix), so dass f{x)-y
= G^x = g{y)
(8.113)
in jedem Punkt (a;, y) € Ix x ly und dass
g'{y) = -[Kl{x,y)]-'[F;^{x,y)]. In unserem Fall ist K(3:,y) = nx) und F'y{x,y) = -E, wobei E die Einheitsmatrix ist. Daher ist 9\y)={I\x))-\
(8.114)
Wenn wir V = ly und U = giV) setzen, erkennen wir an (8.113), dass die Abbildungen f : U ^ V und g :V ^ U zueinander invers sind, d.h. g = f~^ auf U. Da V = ly, folgt, dass V eine Umgebung von yo ist. Dies bedeutet, dass das Bild yo = f{xo) von xo £ G, der ein innerer Punkt von G ist, unter den Voraussetzungen 1°, 2° und 3° ein innerer Punkt des Bildes /(G) von G ist. Nach (8.114) ist die Matrix g{yo) invertierbar. Daher besitzt die Abbildung g : V ^ U die Eigenschaften 1°, 2° und 3° bzgl. des Gebiets V und des Punktes yo GV. Daher ist nach dem schon Bewiesenen xo = g{yo) ein innerer Punkt von U = giV).
524
Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
Da nach (8.114) die Annahmen 1°, 2° und 3° ofFensichtlich in jedem Punkt y € V gelten, ist jeder Punkt x = g{y) ein innerer Punkt von U. Daher ist U eine ofFene (und offensichtlich auch zusammenhangende) Umgebung von a;o e K". Wir haben somit bewiesen, dass die Abbildung f : U ^ V alle Bedingungen von Definition 1 und die Voraussetzungen zu Satz 1 erfiillt. D Wir woUen nun niehrere Beispiele anfiihren, die Satz 1 veranschaulichen. Der Satz zur inversen Funktion wird oft benutzt, urn von eineni Koordinatensystem in ein anderes iiberzugehen. Die einfachste Variante eines Koordinatenwechsels wurde in der analytischen Geometrie und der linearen Algebra untersucht und besitzt die Form y
,2/
oder, in kompakter Schreibweise, y^ • x*. Diese lineare Transformation A :ffi™^ M™ besitzt eine Inverse A"! " —>• M™, die genau dann auf dem definiert ist, wenn die Matrix (aj) invertierbar ist, d.h. ganzen Raum . det(a^') ^ 0. Der Satz zur inversen Funktion ist eine lokale Version dieser Aussage, die auf der Tatsache beruht, dass sich eine glatte Abbildung in einer Umgebung eines Punktes ungefahr wie ihr Differential in diesem Punkt verhalt. Beispiel 1. Polarkoordinaten. Die Abbildung / der Halbebene -^ {(p, (yp) e ffi^ p > 0} auf die Ebene ffi^, die durch die Gleichungen
^l
X = pcosip und y = psmcp
(8.115)
gegeben wird, ist in Abb. 8.5 dargestellt.
•n
2 1
fo 0
P
0
Abb. 8.5. Die dazugehorige Jacobimatrix ist p, wie leicht berechnet werden kann, d.h., sie ist in einer Umgebung jedes Punktes {p,(p), fiir den p > 0, ungleich
8.6 Einige Korollare zum Satz zur impliziten Punktion
525
Null. Daher sind die Formeln (8.115) lokal invertierbar und daher konnen wir lokal die Zalilen p und ip als neue Koordinaten des Punktes, der vorlier durch die kartesisclien Koordinaten x und y beschrieben wurde, wahlen. Die Koordinaten (p, ip) sind ein wolil bekanntes System krumniliniger Koordinaten in der Ebene - die Polarkoordinaten. Ilire geometrische Interpretation ist in Abb. 8.5 wiedergegeben. Wir betonen, dass auf Grund der Periodizitat der Funktionen cosip und sixiLp die Abbildung (8.115) fiir p > 0 nur lokal ein Diffeomorphismus ist. Sie ist auf der gesamten Ebene nicht bijektiv. Dies ist der Grund dafiir, weswegen der Wechsel von kartesischen zu Polarkoordinaten immer auch eine Wahl des Zweiges des Arguments Lp (d.h. eine Angabe seines Veranderungsbereichs) erfordert. Polarkoordinaten (p, tjj, (p) im drei-dimensionalen Raum ffi^ werden sphdrische Koordinaten genannt. Sie hangen mit den kartesischen Koordinaten durch die Gleichungen z = pcosip , y = psin^sin(y9 und
(8.116)
X = p sin lp cos (p
zusammen. Die geometrische Bedeutung der Parameter p, ip und (p ist in Abb. 8.6 wiedergegeben.
Abb. 8.6. Die Jacobimatrix der Abbildung (8.116) lautet p^ sinz/; und die Abbildung ist somit nach Satz 1 in einer Umgebung jedes Punktes (p, ip, ip), fiir den p > 0 und sinz/) ^ 0 gilt, invertierbar. Die Mengen, in denen jeweils p = konstant, ip = konstant, bzw. tp = konstant gilt, entsprechen im {x,y,z)-KdMTa offensichtlich einer spharischen Flache (eine Kugelschale mit Radius p), einer Halbebene, die durch die zAchse verlauft, bzw. der Flache eines Zylinders um die 2;-Achse. Daher werden beim Ubergang von den Koordinaten {x,y,z) zu den Koordinaten {p,ip,(p) beispielsweise die spharische Flache und die zylindrische Flache zu Ebenen; sie entsprechen Ausschnitten der Ebenen p = konstant bzw. Ip = konstant. Wir beobachteten im zwei-dimensionalen Fall ein ahnliches Phanomen, bei dem ein Kreisbogen in der (a;, 2/)-Ebene einer Strecke
526
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
in der Ebene mit den Koordinaten (p, (yp) entsprach (vgl. Abb. 8.5). Bitte beachten Sie, dass dies einer lokalen Begradigung gleichkommt. Im m-dimensionalen Fall konnen wir Polarkoordinaten durch die Gleichungen x^ = pcoscpi , x'^ = psirnpi cos(y92 .117) X
= pSlTHpiSl'n(p2
• • •Sl'n(pm-2C0S(pm-l
,
x™ = p sin (fix sin (p2 • • • sin (pm-2 sin (pm-i einfiihren. Die Jacobimatrix dieser Transformation lautet pm-l
gij^m-2 ^ ^ gjj^m-3 ^ ^ . . . smif^_.2
,
(8.118)
und die Abbildung ist nach Satz 1 ebenfalls iiberall dort invertierbar, wo die Jacobimatrix ungleich Null ist. Beispiel 2. Verallgemeinerte lokale Rektifizierung einer Kurve. Neue Koordinaten werde iiblicherweise eingefiihrt, um analytische Ausdriicke fiir Objekte, die in einem Problem auftreten, zu vereinfachen und sie in der neuen Schreibweise leicher veranschaulichen zu konnen. Angenommen, eine Kurve in der Ebene M^ sei beispielsweise durch die Gleichung Fix,y)=0 definiert, wobei F eine glatte Funktion ist. Der Punkt {xo,yo) liege auf der Kurve, d.h. F{xo,yo) = 0, und dieser Punkt sei kein kritischer Punkt von F. Wir nehmen beispielsweise an, dass Fy{x,y) ^ 0. Wir wollen versuchen, Koordinaten ^, rj so zu wahlen, dass in diesen Koordinaten ein abgeschlossenes Intervall einer Koordinatengeraden, etwa der Geraden 77 = 0, einem Bogen dieser Kurve entspricht. Wir setzen dazu ^ = X—
XQ
und
T] = F{x, y) .
Die Jacobimatrix pi
pi
I (2;, y)
dieser Transformation besitzt als Determinante die Zahl Fy{x,y), die nach unserer Annahme in {xo,yo) ungleich Null ist. Dann ist diese Abbildung nach Satz 1 ein Diffeomorphismus einer Umgebung von {xo,yo) auf eine Umgebung des Punktes (^,77) = (0,0). Daher konnen wir die Zahlen ^ und rj innerhalb dieser Umgebung als neue Koordinaten fiir Punkte wahlen, die in einer Umgebung von {xo,yo) liegen. In diesen neuen Koordinaten besitzt die Kurve offensichtlich die Gleichung 77 = 0, und in dem Sinne haben wir sie tatsachlich lokal rektifiziert (vgl. Abb. 8.7).
Einige Korollare zum Satz zur impliziten Punktion
527
F{x,y)=0
Abb.
8.7.
8.6.2 Lokale R e d u k t i o n e i n e r g l a t t e n A b b i l d u n g in k a n o n i s c h e Form In dieseni Absatz werden wir nur ein Problem dieser Art betrachten. Urn genau zu sein, so werden wir eine kanonische Form vorstellen, auf die wir mit Hilfe einer geeigneten Koordinatenwahl jede glatte Abbildung mit konstantem Rang lokal reduzieren konnen. Wir wiederholen, dass der Rang einer Abbildung / : [/ ^ ffi" eines Gebiets U C M™ in einem P u n k t x £ U dem Rang der linearen Transformation entspriclit, die zu ilir in diesem P u n k t tangential ist, d.li. dem Rang der Matrix f'{x). Der Rang einer Abbildung in einem P u n k t wird iibliclierweise mit R a n g / ( a ; ) bezeichnet. S a t z 2 . (Der Rang-Satz.) Sei f : U ^ M." eine in einer Umgehung U C ffi™ eines Punktes XQ G K™ definierte Abbildung. Sei f £ C^P'>(U;R"), p > 1 und besitze die Abbildung f in jedem Punkt x G U denselben Rang k. Dann existieren Umgebungen 0{xo) von XQ und 0{yo) von yo = f{xo) und Dijfeomorphismen u = f{x) und v = tp{y) dieser Umgebungen der Klasse C^^', so dass die Abbildung v = ip o f o (f~^(u) in der Umgebung 0{uo) = (p[0{xo)) Koordinatendarstellung von UQ = (p{xo) die
{u\..
.,u
.,M")
U t-^ V
iv\
') = ( M ^ . . . , M ^ o , . . . , o )
(8.119)
besitzt. Anders formuliert, so stellt der Satz sicher (vgl. Abb. 8.8), dass wir Koordinaten {u^,..., M™) anstelle von ( a ; ^ , . . . , x™) und ( w ^ , . . . , w") anstelle von (y^,... ,y") so wahlen konnen, dass die Abbildung in den neuen Koordinaten lokal die Form (8.119) besitzt, d.h. die kanonische Form fiir eine lineare Transformation mit Rang k.
528
Beweis.
Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
Wir schreiben die Koordinatendarstellung 2/1 = / i ( x i , . . . , x ™ ) ,
.120)
2/» = / » ( x i , . . . , x ™ ) der Abbildung / : [ / — > • MJJ^, die in einer Umgebung des P u n k t e s XQ £ K™ definiert ist. Um eine neue Indizierung der Koordinaten und der Umgebung U zu vermeiden, werden wir annehmen, dass in jedem P u n k t x G U der Hauptminor der Ordnung k in der oberen linken Ecke der Matrix f'(x) ungleich Null ist. Wir betracliten die Abbildung, die in einer Umgebung U von XQ durcli die Gleicliungen u^ = if\x\...,x"') = f\x\...,x"') ,
l'' = (f'^ (x^ , . . . , X™-) = / * (x^ , ,fc+l
1, die in einer konvexen Umgebung U des Punktes 0 = ( 0 , . . . , 0 ) € ffi™ mit /(O) = 0 definiert ist. Dann existieren Funktionen gi £ C(^~^-'(C/; M), (« = 1 , . . . , m ) , so dass die Gleichung f{x\
. . . ,a;™) = Y^x'gi{x\...
,x™)
(8.131)
1=1
in U gilt, mitgiiO)
=
§^{0).
* H. C. M. Morse (1892-1977) - amerikanischer Mathematiker. Seine Hauptarbeiten beschaftigten sicli mit topologischen Methoden in verschiedenen Gebieten der Analysis.
538
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
Beweis. Gleichung (8.131) ist ini Grunde genonimen eine neuerliche Forniulierung der Taylorschen Formel mit integralem Restglied. Sie folgt aus den Gleichungen
fix'
jdfitx^.. . ,te™Ut J dt
,...,x™)
m
J dx^
(te^ , . . . , t e " ) d t ,
0
0
wenn wir gi{x'^,...
'
'
J dxi
{tx\. . . , t e " ) d t ,
(* = 1, . . . , m )
0
setzen. Dabei ist ofFensichtlich g i(0) =
•(o),(i == 1 , . . . , m), und es ist auch
nicht schwer zu zeigen, dass gi G C(^~^)(C/; ffi). Wir werden diesen Beweis jedoch jetzt nicht erbringen, da wir spater eine allgemeine Regel fiir die Ableitung eines Integrals, das von einem P a r a m e t e r abhangt, geben werden, aus der die fiir die Funktionen gi benotigte Eigenschaft unmittelbar folgt. Daher ist bis auf dieses Beweisstiick das Lemma von H a d a m a r d (8.131) bewiesen. D M o r s e - L e m m a . Sei / : G —>• ffi eine auf einer offenen Menge G G W nierte Funktion der Klasse C^^> (G; ffi) und sei XQ & G ein nicht entarteter kritischer Punkt der Funktion. Dann existiert ein Diffeomorphismus g :V ^ U einer Umgebung des Ursprungs 0 in M™ auf eine Umgebung U von XQ, SO dass
if o g)iy) = fixo) - [{y'f + • • • + (/)'] + [iv'+'f + • • • + (2/™)'] fiir alle y G V. Beweis. Durch lineare Veranderungen der Variablen konnen wir das Problem auf den Fall a;o = 0 und / ( X Q ) = 0 zuriickfiihren. Wir gehen von nun an davon aus, dass diese Bedingungen gelten. Da XQ = 0 ein kritischer P u n k t von / ist, gilt gi{0) = 0 in (8.131), (i = 1 , . . . , m ) . Nach dem Lemma von H a d a m a r d gilt dann auch, dass m
giix\...,x"')
=Y,x^hijix\...,x"')
,
i=i wobei die hij in einer Umgebung von 0 glatte Funktionen sind. Folglich gilt: m
f{x\...,x"')=
^x'x^hijix^,...,x"'')
.
(8.132)
Falls notig fiihren wir die Substitution hij = \ihij + hji) durch, so dass wir annehmen konnen, dass hij = hji. Wir merken auch an, dass aufgrund
Einige Korollare zum Satz zur impliziten Punktion
539
der Eindeutigkeit der Taylor-Entwicklung aus der Stetigkeit der Funktionen 92 / hij folgt, dass hij{0) = —r(0) und daher ist die Determinante der Matrix (/iy(0)) ungleich Null. Die Funktion / wurde nun in eine Form gebraclit, die einer quadratischen Form entspricht, und wir wollen sie gewissermafien auf Diagonalform reduzieren. Wie im klassisclien Fall arbeiten wir mit Induktion. Angenommen, es existieren in einer Umgebung Ui von 0 £ ffi™ Koordinaten u^,..., M™ und somit ein Diffeomorphismus x = (p{u), so dass m
{foip){u)
= ±{u^f
± • • • ± {u'-^f
+ Y^ u'u^Hij{u\...,u"')
,
(8.133)
i,j=r
wobei r > 1 und Hij = Hji. Wir lialten fest, dass (8.133) fiir r = 1 gilt, wie sich aus (8.132) fiir Hij = hij erkennen lasst. Nach den Voraussetzungen zum Morse-Lemma ist die quadratische Form m
J2 x^x^hij{0) nicht entartet, d.h. det (/ijj(O)) ^ 0. Den Koordinatenwechsel von X in u fiihren wir mit dem Diffeomorphismus x = if(u) durch, fiir den det If'(0) ^ 0 gilt. Dann ist aber die Determinante der Matrix der quadratim
schen Form ±{u^y^ ± • • • ±
(M''"^)^
+ ^
u^u^Hij{0), die wir erhalten, indem
i,j=r
wir die Matrix (/ijj(O)) von rechts mit der Matrix (f'{0) und von links mit der Transponierten von (f'(0) multiplizieren, ebenfalls ungleich Null. Folglich ist zumindestens eine der Zahlen Hjj(O) {i,j = r,... ,m) ungleich Null. Wir m
konnen die Form ^
u^u^ Hij(0) mit einer linearen Transformation in Diago-
i,j=r
nalform bringen und daher konnen wir annehmen, dass Hrr{0) ^ 0 in (8.133). Aufgrund der Stetigkeit der Funktion Hij (u) gilt die Ungleichung Hrr (u) ^ 0 ebenfalls in einer Umgebung von u = 0. Wir wollen ip{u^,..., u™) = ^/\Hrr•(u)\ setzen. Dann gehort die Funktion ip in einer Umgebung U2 C Ui von u = 0 zur Klasse C(i)(C/2; M). Wir wechseln nun mit Hilfe der Formeln w* = u* , ^^
i i^ r , ^V
^ ^ Hrr(u^,---,U"') i>r
"V
'
J '
/
zu den Koordinaten (v^,... ,11™). Die Jacobimatrix der Transformation (8.134) ist in M = 0 offensichtlich gleich mit ^(0), d.h., sie ist ungleich Null. Dann konnen wir nach dem Satz zur inversen Funktion sicher sein, dass die Abbildung v = tp{u), die durch (8.134) definiert wird, in einer Umgebung C/3 C C/2 von u = 0 ein Diffeomorphismus
540
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
der Klasse C(^)(C/3; ffi™) ist, und daher konnen die Variablen tatsachlich als Koordinaten fiir P u n k t e in Uz eingesetzt werden. Wir trennen nun in (8.133) alle Ausdriicke
{v^,...,v"^)
m
u''u''H„{u^,...,vJ^)
+ 2 Y^
u''u^Hrj{u^,...,u"'')
,
(8.135)
j=r+l
die u^ enthalten, ab. Dabei haben wir in (8.135) bei der Summation dieser Ausdriicke ausgenutzt, dass Hij = Hji. Wenn wir (8.134) und (8.135) vergleichen, konnen wir erkennen, dass wir (8.135) zu '"'
i>r
umformulieren konnen. Das zweideutige Vorzeichen ± tritt vor «'"«'' auf, da Hrr = ±(V')^i wobei das positive Vorzeichen fiir !!„ > 0 gilt und das negative Vorzeichen fiir Hrr < 0. Daher wird nach der Substitution v = i^{u) der Ausdruck (8.133) zur Gleichung r i=l
ij>r
wobei Hij neue glatte Funktionen sind, die bzgl. der Indizes i und j symmetrisch sind. Die Abbildung ip o ^ " ^ ist ein Diffeomorphismus. Damit ist der Induktionsschritt von r — 1 auf r vollstandig und das Morse-Lemma ist daher bewiesen. D 8.6.6 U b u n g e n u n d A u f g a b e n 1. Berechnen Sie die Jacobimatrix fiir den Koordinatenwechsel (8.118) von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten in R"*. 2.
a) Sei xo ein nicht kritischer Punkt einer glatten Funktion F : [/ —> R, die in einer Umgebung U von xo = (a;J,.. ., X'Q) G R™ definiert ist. Zeigen Sie, dass in einer Umgebung U C U von xo krummlinige Koordinaten (^^,. .. j^™) eingefiihrt werden konnen, so dass die Menge der Punkte, die durch die Bedingung F{x) = F{xo) definiert ist, in diesen neuen Koordinaten lautet: ^"^ = 0. b) Seien (p,'4> £ C• R^ eine glatte Abbildung, die die Cauchy-Riemann Gleichungen
dfl^df. dx^
erfiillt.
dx'^
und
^
dx'^
= - ^ dx^
8.6 Einige Korollare zum Satz zur impliziten Punktion
541
a) Zeigen Sie, dass die Jacobimatrix einer derartigen Abbildung genau danii in einem Punkt Null ist, wenii f'{x) in diesem Punkt der NuUniatrix entspriclit. b) Zeigen Sie, dass fiir f'{x) ^ 0 die Inverse f~^ der Abbildung / in einer Umgebung von x definiert ist und ebenfalls die Cauchy-Riemann Gleichungen erfiillt. 4. Funktionale Abhangigkeit (direkter Beweis). a) Zeigen Sie, dass die Punktionen TT'{X) = X' , (i = 1 , . . . ,m), wenn wir sie als Punktionen des Punktes x = {x^,..., x^) G R™ betracliten, in einer Umgebung jeden Punktes von R™ ein unabliangiges System von Punktionen bilden. b) Zeigen Sie, dass das System TT\...,TT"', f fiir jede Punktion / G C(R'";R) funktional abhangig ist. c) Ist der Rang der Abbildung / = (/^, . . . , / * ) fiir das System von glatten Punktionen Z ' ^ , . . . , / * , fc < m in einem Punkt xo = {xl,.. . ,X'Q') € R"* gleich k, dann kann es in einer Umgebung dieses Punktes zu einem unabhangigen System / ^ , . . . , Z™ aus m glatten Punktionen erganzt werden. d) Ist der Rang der Abbildung / = {f^, . . . , / " * ) fiir das System von glatten Punktionen
C = fix^,---,x"^)
,
{i =
l,...,m)
im Punkt xo = (XQ, . . . , XQ^) gleich m, dann konnen die Variablen (S,^, • • • ,S,"^) in einer Umgebung U{xo) von xo als krummlinige Koordinaten benutzt werden und jede Punktion ip : U{xo) —> R kann als (p{x) = Flf^{x),..., /""(x) 1 geschrieben werden, wobei F = (p o f~^. e) Der Rang der Abbildung, die durch ein System glatter Punktionen erzeugt wird, wird auch der Rang des Systems genannt. Zeigen Sie, dass dann, wenn in einem Punkt Xo G R"* der Rang eines Systems glatter Punktionen / ' ( x ^ , . . . ,a;'"), {i = 1,... ,k) gleich k ist und auch der Rang des Systems f^,..., f" ,(p gleich k ist, in einer Umgebung des Punktes gilt, dass (p{x) = F (f^ (x),..., f'' (x)). H i n w e i s : Benutzen Sie c) und d), um zu zeigen, dass F(/\...,r) = F(/\...,/) 5. Zeigen Sie, dass der Rang einer glatten Abbildung / : R"* —>• R" eine unterhalbstetige Punktion ist, d.h. Rang/(a;) > Rang/(xo) in einer Umgebung eines Punktes xo G R*". 6. a) Beweisen Sie das Morse-Lemma fiir Punktionen / : R —>• R direkt. b) Bestimmen Sie, ob das Morse-Lemma im Ursprung auf folgende Punktionen anwendbar ist: f{x) = X ;
f{x) = a; sin — ;
f{x) = e~
X
f{x,y)
= x^ -Sxy^
sin — ; X
;
f{x,y)=x^.
c) Zeigen Sie, dass nicht entartete kritische Punkte einer Punktion/ G C(3'(R'";R) isoliert sind: Jeder Punkt besitzt eine Umgebung, in der er der einzige kritische Punkt von / ist. d) Zeigen Sie, dass die Zahl k negativer Quadrate in der kanonischen Darstellung einer Punktion in der Umgebung eines nicht entarteten kritischen Punktes von der Reduktionsmethode unabhangig ist, d.h. unabhangig vom Koordinatensystem, in dem die Punktion kanonische Porm besitzt. Diese Zahl wird der Index des kritischen Punktes genannt.
542
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
8.7 Flachen in MP- und die Theorie zu E x t r e m a mit Nebenbedingungen Elementare Kenntnisse zu Flachen (Mannigfaltigkeiten) in M" sind hilfreich, urn ein infornielles Verstandnis der Theorie von Extrema mit Nebenbedingungen, die fiir Anwendungen wichtig ist, zu erhalten. 8.7.1 fe-dimensionale Flachen in WT' Bei der Verahgemeinerung des Bewegungsgesetzes x = x{t) einer Punktmasse haben wir friiher das Konzept eines Weges in MP als eine stetige Abbildung r : I ^ MP eines Intervalls / C M eingefiihrt. Die Glattheit des Weges wurde als Glattheit dieser Abbildung definiert. Die Spur r{T) C M" eines Weges kann eine sehr seltsame Menge in M" bilden, so dass wir dazu manchmal den Begriff des Weges auBerst weit fassen miissen. So kann die Spur eines Weges beispielsweise ein einziger Punkt sein. Ganz ahnlich kann eine stetige oder glatte Abbildung / : 7*^ ^ M" eines fc-dimensionalen Intervalls l'' C ffi", das auch fc-dimensionaler Quader in M" genannt wird, ein Bild / ( / * ) besitzen, das iiblicherweise wirklich nicht als kdimensionale Flache in K" bezeichnet wird. So kann sie beispielsweise wieder nur ein einziger Punkt sein. Damit eine glatte Abbildung / : G —>• K" eines Gebiets G C ffi* eine fc-dimensionale geometrische Figur in ffi" definiert, deren Punkte durch k unabhangige Parameter (t^,..., t*^) £ G beschrieben werden, geniigt, wie wir aus dem vorigen Abschnitt wissen, die Forderung, dass der Rang der Abbildung / : G —>•ffi"in jedem Punkt t G G gleich k ist (natiirlich ist fc < n). In diesem Fall ist die Abbildung f : G ^ f{G) lokal bijektiv (d.h. in einer Umgebung jedes Punktes t G G). Wir nehmen an, dass Rang/(to) = k, und dass dieser Rang von den ersten k der n Funktionen (8.136)
angenommen wird, die die Abbildung / : G ^ ffi" in Koordinatenschreibweise definieren. Dann konnen nach dem Satz zur inversen Funktion die Variablen f},... ,t^ in einer Umgebung U{t{)) von to mit Hilfe von a;^,...,a;* ausgedriickt werden. Daraus folgt, dass sich die Menge f(U{to)) als j.k+1 = / + i ( a ; i , . . . , a ; f c ) , . . . ,a;"=(a;^,... ,a;") £ S. Eine derartige Parametrisierung kann als Restriktion der Abbildung (f~^: I"^U{xo) auf die fc-dimensionale Ebene t*+^ = • • • = t " = 0 betrachtet werden (vgl. Abb. 8.10). Da (p~^ ein Diffeomorphismus ist, ist die Determinante der Jacobimatrix der Abbildung Lp~^ : / " —>• U{xo) in jedem P u n k t des Wiirfels / " ungleich Null. Dann muss aber die Abbildung / * 3 ( t ^ , . . . , t*^) H^ ( a ; ^ , . . . , x " ) € S, die wir durch Restriktion von (p~^ auf diese Ebene erhalten, ebenfalls in jedem P u n k t von 7*^ Rang fc besitzen. Setzen wir nun ( t ^ , . . . , t*) = t £ 7*^ und bezeichnen 7*^ 3 t H^ a; £ 5 mit X = x{t), erhalten wir eine lokale parametrische Darstellung der Flache S, die die durch (8.140) zum Ausdruck gebrachte Eigenschaft besitzt. Auf dieser Basis verstehen wir (8.141) als die Gleichung des Tangentialraums oder der Tangentialebene an die Flache 5 C ffi" in XQ £ S. Somit konnen wir die folgende Definition iibernehmen. D e f i n i t i o n 2. Ist eine fc-dimensionale Flache 5 c M " , l < f c < n i n einer Umgebung von XQ G S durch eine glatte Abbildung (t^,... ,t'') = t >->• x = {x^,...,x") definiert, so dass XQ = x{0) und besitzt die Matrix a;'(0) den Rang fc, dann wird die fc-dimensionale Flache in ffi", die parametrisch durch die Matrixgleichung (8.141) definiert wird, als Tangentialebene oder als Tangentialraum an die Flache S in XQ G S bezeichnet. In Koordinatenschreibweise ergibt (8.141) das folgende Gleichungssystem: x' (8.145) /^i rp '. dXi
= -F'{x)=0,
(8.168) (i = l , . . . , m ) .
Somit konnen wir bei der Suche nach einem Extremum einer Funktion (8.159), deren Variablen die Bedingungen (8.160) erfiillen miissen, die Lagrange Funktion (8.167) mit unbestimmten Multiplikatoren formulieren und ihre stationaren Punkte bestimmen. Wenn es moglich ist, XQ = (XQ, ... ,XQ) aus dem System (8.168) zu bestimmen, ohne A = ( A i , . . . , Am) zu finden, dann ist es im Hinblick auf das Ausgangsproblem das, was getan werden sollte. Wie wir an (8.166) erkennen konnen, sind die Multiplikatoren Aj, (i = 1 , . . . , m) eindeutig bestimmt, wenn die Vektoren grad F*(a;o), (« = 1 , . . . , m) linear unabhangig sind. Die Unabhangigkeit dieser Vektoren ist aquivalent zur Aussage, dass der Rang des Systems (8.164) gleich m ist, d.h., dass aUe Gleichungen in diesem System wesentlich sind (keine davon ergibt sich aus den anderen).
556
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
Dies ist iiblicherweise der Fall, da wir davon ausgehen, dass alle Gleichungen (8.160) unabhangig sind und dass der Rang des Systems von Funktionen F^,...,F™ in jedem P u n k t x £ X gleich m ist. Die Lagrange Funktion wird aucli oft als m
i=l
gesclirieben. Sie untersclieidet sicli von dem obigen Ausdruck nur durch den unwesentlichen Ersatz von Aj durch — Aj^^. Beispiel
9. Wir suchen die Extrenia einer synimetrisclien quadratisclien Form n f{x)
= ^
ttijX^x^
(ttij = Qji)
(8.169)
auf der Kugelschale n
F{x) = ^ ( a ; * ) 2 - 1 = 0 .
(8.170)
i=l
Wir woUen die Lagrange Funktion /
n
^
L{x,X) = Y, (^ij^'^^ - ^( ^(a;*)^ - 1 fiir dieses Problem formulieren sowie die notwendigen Bedingungen fiir ein E x t r e m u m von L{x,X) unter Beriicksichtigung von a^ = OJJ: — (x,A) = 2(^^aijx^-Xx'\
=0,
• S und f^ '• I2 ^ S zwei glatte Parametrisierungen derselben Flache 5* C R", wobei / i keine stationaren Punkte in / i besitzt und /2 keine stationaren Punkte in I-z- Zeigen Sie, dass dann die Abbildungen
566
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler /r'o/2:/2^/i,
n'oh-h^li
glatt sind. 2. Die Kugelschale in R" . a) Bestimmen Sie eineii maximalen Giiltigkeitsbereich fiir die krummlinigen Koordinaten ((/?, t/"), die man aus den Polarkoordinaten in R"' (vgl. (8.116) im vorigen Abschnitt) fiir p = 1 erhalt. b) Beantworten Sie die Frage a) fiir den Fall der (m —l)-dimensionaIen Kugelschale = {x e R I ||a;|| = 1)
c)
d) e)
f)
in R"* und den Koordinaten (931,..., (/^m-i), die man aus den Polarkoordinaten in R™ (vgl. (8.118) im vorigen Abschnitt) fiir /s = 1 erhalt. Lasst sich die Kugelschale S* C R*"'"'^ durch ein einziges Koordinatensystem {t^,... ,i*) definieren, d.h. einen einzigen Diffeomorphismus f : G ^ R*+^ eines Gebiets G C R * ? Wie grofl ist die minimale Anzahl von Karten, die in einem Atlas fiir die Oberflache der Erde benotigt werden? Wir wollen den Abstand zwischen Punkten der Kugelschale 5*^ C R^ durch die Lange der kiirzesten Kurve messen, die auf der Kugelschale 5*^ verlauft und die Punkte verbindet. Eine derartige Kurve entspricht dem Bogen eines geeigneten grofien Kreises. Gibt es eine lokale ebene Karte der Schale, so dass alle Abstande zwischen Punkten der Kugelschale zu den Abstanden zwischen ihren Bildern auf der Karte proportional sind (mit derselben Proportionalitatskonstanten)? Der Winkel zwischen Kurven (ob sie nun auf der Kugelschale liegen oder nicht) in ihrem Schnittpunkt wird als der Winkel zwischen den Tangenten an diese Kurven in diesem Punkt definiert. Zeigen Sie, dass lokale ebene Karten einer Kugelschale existieren, fiir die die Winkel zwischen den Kurven auf der Schale und den entsprechenden Kurven auf den Karten gleich sind (vgl. Abb. 8.13, die die sogenannte stereographische Projektion veranschaulicht.)
A b b . 8.13.
3. Der
Tangentialraum.
a) Beweisen Sie durch direkte Berechnung, dass die tangentiale Mannigfaltigkeit TSxo *ri eine glatte fc-dimensionale Flache S C R" in einem Punkt xo £ S unabhangig von der Wahl des Koordinatensystem in R" ist.
8.7 Flachen in R" und bedingte Extrema
567
b) Zeigen Sie, dass dann, wenii eine glatte Flache S C D auf eine glatte Flache S' C D' mit einem Diffeomorphismus f : D ^ D' des Gebiets _D C R" auf das Gebiet D' C R" abgebildet wird, wobei der Punkt xo £ S auf den Punkt X'Q G S' abgebildet wird, der Vektorraum TSXQ unter der linearen Abbildung f'{xo) '• R" —> R", die an / in xo G -D tangential ist, isomorph auf den Vektorraum TS', abgebildet wird. Xg
U
c) Wenn unter den Bedingungen der vorigen Aufgaben die Abbildung f : D ^ D' eine beliebige Abbildung der Klasse C*-^'(-D; D') ist, unter der f{S) C S", dann gilt f'{TSxo) C TS'^,^. Zeigen Sie dieses. d) Zeigen Sie, dass die ortliogonale Projektion einer glatten fc-dimensionalen Flache S C R" auf die zu ihr in xo G S fc-dimensionale Tangentialebene TSXQ in einer Umgebung des Beriihrpunktes xo eine eins-zu-eins Abbildung ist. e) Angenommen, dass ^ G TSXQ mit ||^|| = 1 unter den Bedingungen der vorigen Aufgabe. Die Gleichung x — xo = (,t einer Geraden in R", die in TSXQ liegt, kann benutzt werden, umjeden Punkt x G TSxo\xo durcli das Paar (t,$) zu cliarakterisieren. Zeigen Sie, dass die glatten Kurven an die Flache S, die diese nur im Punkt Xo schneiden, in einer Umgebung von xo zu Geraden x — xo = ^t gehoren. Zeigen Sie, dass wir, wenn wir t als Parameter auf diesen Kurven festlegen, Wege erhalten, auf denen die Geschwindigkeit fiir i = 0 dem Vektor ^ G TSxg entspricht, der die Gerade x — xo = (,t festlegt, aus der wir die vorgegebene Kurve auf S erhalten haben. Daher konnen die Paare (t,C), wobei ^ G TSxg, \\S,\\ = 1 und t eine reelle Zahl aus einer Umgebung C/(0) von 0 in R ist, in einer Umgebung von xo € S als Analogon zu Polarkoordinaten dienen. 4. Die Funktion F G C*'^-'(R";R), die keine stationaren Punkte besitzt, sei derart, dass die Gleichung F{x^,... , x") = 0 eine kompakte Flache S in R" definiert (d.h., S ist eine kompakte Teilmenge von R"). Zu jedem Punkt x G S gibt es einen Vektor ri(x) = gradF(a;), der zu S in a; normal ist. Wenn wir jeden Punkt x € S dazu zwingen, sich gleichformig mit der Geschwindigkeit ri{x) zu bewegen, erhalten wir eine Abbildung S B x ^ x + ri{x)t G R". a) Zeigen Sie, dass diese Abbildung fiir Werte i, die hinreichend nahe bei Null liegen, bijektiv ist und dass sich aus S fiir jedes derartige t eine glatte Flache St ergibt. b) Sei E eine Menge in R". Wir definieren die (5-Umgebung der Menge E als die Menge von Punkten in R", deren Abstand von E kleiner als 5 ist. Zeigen Sie, dass fiir Werte t nahe bei Null die Gleichung F{x\...,x")=t eine kompakte Flache St C R" definiert und zeigen Sie, dass die Flache St in der (5(t)-Umgebung der Flache St liegt, wobei S{t) = o{t) fiir t —> 0. c) Wir verkniipfen jeden Punkt x der Flache S = So mit einem normalen Einheitsvektor
und betrachten die neue Abbildung S B x i-^ x + ii{x)t G R".
568
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler Zeigen Sie, dass fiir alle Werte von t, die hinreichend nahe bei Null liegeii, diese Abbildung bijektiv ist, dass die Flaclie St, die wir fiir eineii Wert von t erhalten,
glatt ist und dass St^ Ci St^ = 0 fiir ii ^ t2. d) Wir verlassen uns auf das Ergebnis der vorigen Aufgabe. Zeigen Sie, dass ein (5 > 0 existiert, so dass es eine eins-zu-eins Abhangigkeit zwisclien den Punkten der (5-Umgebung der Flaclie S und den Paaren {t, x) gibt, wobei t G] — S, S[C R, X € S. Sind (t^,... ,t'') lokale Koordinaten auf der Flaclie S in der Umgebung Us{xo) von xo, dann konnen {t,t^,... ,i ') in einer Umgebung U{xo) von xo G R als lokale Koordinaten dienen. e) Zeigen Sie, dass fiir \t\ < S der Punkt x G S der Punkt auf der Flache S ist, der {x + n(x)t) G R" am naclisten liegt. Dalier ist fiir |i| < S die Flaclie St der geometrische Ort der Punkte in R" im Abstand \t\ von S. 5.
a) Sei dp : S —>• R die Funktion auf einer glatten fc-dimensionalen Flache 5* C R", die durcli die Gleichung dp(x) = \\p — x\\ definiert ist, wobei p ein fester Punkt in R" ist, X ein Punkt auf S und ||p — a^H der Abstand zwischen diesen Punkten inR". Zeigen Sie, dass der Vektor p — x in den Extrema der Funktion dp{x) zur Flaclie S orthogonal ist. b) Zeigen Sie, dass es auf jeder Geraden, die die Flache S im Punkt g £ S orthogonal schneidet, hochstens k Punkte p gibt, so dass die Funktion dp{x) den Punkt q als entarteten stationaren Punkt besitzt (d.h., einen Punkt, in deni die Hessesche Matrix der Funktion verschwindet). c) Zeigen Sie, dass im Fall einer Kurve S {k = 1) in der Ebene R^ {n = 2) der Punkt p, fiir den der Punkt q G S ein entarteter stationarer Punkt von dp{x) ist, ein Zentrum der Kriimmung der Kurve S im Punkt g G 5* ist.
6. Konstruieren Sie in der Ebene R^ mit kartesischen Koordinaten x, y die Niveaukurven der Funktion f(x, y) = xy und die Kurve S = {ix,y)GR'\x''+y'
=
l}.
Untersuchen Sie das Problem nach Extrema der Funktion / mit Hilfe der sich Is ergebenden Abbildung. 7. Die folgenden Funktionen der Klasse C'°°' (R^; R) seien auf der Ebene R^ mit den kartesischen Koordinaten x, y definiert: ( x'' -y + e " ' / ^ ' sin i , falls x j^ 0 ,
f{x,y) = x'^ -y ;
F{x,y) = I y x:^ — y ,
falls x = 0 .
a) Zeichnen Sie die Niveaukurven der Funktion f{x,y) und die Kurve S, die durch die Gleichung F{x, y) = 0 definiert werden. b) Untersuchen Sie die Funktion f auf Extrema. Is c) Zeigen Sie, dass die Bedingung, dass die Form dijf{xo)CS.'' positiv oder negativ definit auf TSa;,, ist, im Gegensatz zu dieser Bedingung an die Form dijL{xo)CS.'' auf TSxo *u^ Satz 2, imnier noch nicht hinreichend dafiir ist, dass das mogliche Extremum xo G S ein tatsachliches Extremum der Funktion / ist. Is
8.7 Flachen in R" und bedingte Extrema
569
d) Uberpriifen Sie, ob der Punkt xo = (0, 0) ein stationarer Punkt der Punktion / ist und ob das Verhalten von / in einer Umgebung dieses Punktes untersucht warden kann, wenn wir dazu nur das zweite (quadratische) d i e d der Taylorschen Forniel betrachten, wie wir es in c) angenommen haben. 8. Bei der Bestimmung der Hauptkriimmung und den Hauptrichtungen in der Differentialgeometrie ist es niitzlich, ein Extremum einer quadratischen Form hiju'u-' unter der Annahme bestimmen zu konnen, dass eine andere (positiv definite) Form gijU^vP konstant ist. Losen Sie dieses Problem durch Analogie zu Beispiel 9, das oben diskutiert wurde. 9. Sei A = [a]] eine quadratische Matrix der Ordnung n, so dass n
^{a]y
= Hj
(j = l , . . . , n ) ,
i= l
wobei Hi, . . . , H„ eine feste Menge von n nicht negativen reellen Zahlen ist. a) Zeigen Sie, dass det^ A unter diesen Bedingungen genau dann ein Extremum haben kann, wenn die Zeilen der Matrix A in R" paarweise orthogonale Vektoren sind. b) Zeigen Sie, ausgehend von der Gleichung det^ A = detA-
det A* ,
wobei A* die Transponierte von A ist, dass unter den obigen Bedingungen gilt: m a x det A = Hi • • • Hn • A
c) Beweisen Sie fiir jede Matrix [a'j] die Hadamard Ungleichung n
det^(aj) < n 3=1
/
n
E(«j)' ^ i=l
d) Geben Sie eine intuitive geometrische Interpretation der Hadamard Ungleichung. 10.
a) Zeichnen Sie die Niveaukurven der Punktion / und die Ebene S in Beispiel 10. Erklaren Sie das im Beispiel erzielte Ergebnis an der Abbildung. b) Zeichnen Sie die Niveaukurven der Punktion / und die Gerade S in Beispiel 11. Erklaren Sie das im Beispiel erzielte Ergebnis an der Abbildung.
11. In Beispiel 6 in Abschnitt 5.4 haben wir ausgehend vom Fermatschen Prinzip das Snelliussche Gesetz zur Lichtbrechung an der Grenzflache zweier Medien fiir eine ebene Grenzflache erhalten. Behalt das Gesetz fiir beliebige glatte Grenzflachen seine Giiltigkeit? 12.
a) Ein Massepunkt kann sich in einem Potentialkraftfeld nur in stationaren (kritschen) Punkten im Gleichgewicht (auch Ruhezustand oder stationarer Zustand genannt) befinden. In diesem Zusammenhang entspricht eine stabile Gleichgewichtslage einem isolierten Minimum des Potentials und ein instabiles Gleichgewicht einem isolierten Maximum. Beweisen Sie dies.
570
8 Differentialrechnung mit Punktionen mehrerer Variabler
b) Auf welches (von Lagrange geloste) Extremwertprobleni mit Nebenbedingungen lasst sich die Frage nach den Gleichgewichtslagen einer Punktmasse im Potentialkraftfeld (z.B. dem Gravitationsfeld) mit idealen Nebenbedingungen (z.B. ein Punkt ist auf eine glatte Plache beschrankt oder eine Perlenkette ist auf einen glatten Paden beschrankt oder eine Kugel auf einen glatten Weg) zuriickfiihren? Die Nebenbedingung ist ideal (es gibt keine Reibung). Dies bedeutet, dass ihre Auswirkung auf den Punkt (die reaktive Kraft der Nebenbedingung) immer normal zur Nebenbedingung ist. c) Welche physikahsche (mechanische) Bedeutung besitzen in diesem Pall die Entwicklung (8.166), das notwendige Kriterium fiir ein Extremum mit Nebenbedingungen und die Lagrangeschen Multiplikatoren? Beachten Sie, dass jede der Punktionen im System (8.160) durch den Absolutbetrag des Gradienten dividiert werden kann, wodurch wir zu einem aquivalenten System gelangen (falls sein Rang iiberall gleich m ist). Daher konnen alle Vektoren gradF'(xo) auf der rechten Seite von (8.166) als normale Einheitsvektoren an die entsprechende Plache betrachtet werden. d) Stimmen Sie damit iiberein, dass die Lagrangesche Methode zur Auffindung eines Extremums mit Nebenbedingungen nach der gerade formulierten physikalischen Interpretation offensichtlich und natiirlich wird?
Einige Aufgaben aus den Halbjahrespriifungen
1. Einfiihrung der Analysis (Zahlen, Funktionen, Grenzwerte) Aufgabe 1. Die Lange eines Sells urn die Erde am Aquator wlrd um 1 Meter verlangert. Dadurch entsteht zwlschen dem Sell und der Erde elne Liicke. Konnte elne Amelse durch dlese Liicke krabbeln? Wle grofi ware der absolute und der relative Anstleg des Radius der Erde, wenn der Aquator um dlesen Betrag verlangert werden wiirde? (Der Radius der Erde betragt ungefahr 6400 km.) Aufgabe 2. Wle liangen die VoUstandlgkelt (Stetlgkelt) der reellen Zahlen, die Unbeschranktlielt der Folge der natiirlichen Zahlen und das archlmedlsche Prlnzlp zusammen? Warum 1st es mogllch, jede reelle Zahl belleblg genau durch rationale Zahlen anzunahern? Erklaren Sle mlt Hllfe des Modells ratlonaler Briiche (ratlonaler Funktionen), dass das archlmedlsche Prlnzlp versagen kann und dass In derartlgen Zahlensystemen die Folge natiirllcher Zahlen beschrankt 1st und dass es unendllch klelne Zahlen glbt. Aufgabe 3. Vler In den Ecken des Elnheltsquadrats sltzende Kafer beglnnen elnander mlt Elnheltsgeschwlndlgkelt zu verfolgen, wobel jeder die Rlchtung des Verfolgten elnschlagt. Beschrelben Sle die Trajektorlen Ihrer Bewegungen. Wle lange 1st jede Trajektorle? Wle lautet das Bewegungsgesetz (In karteslschen oder Polarkoordlnaten)? Aufgabe 4. Zelchnen Sle eln Flussdlagramm zur Berechnung von y ^ , (a > 0) durch die rekurslve Prozedur 2V
a;„ /
Wle hangt das Losen der Glelchung mlt der Suche nach elnem Flxpunkt zusammen? Wle bestlmmen Sle v ^ ?
572
Eiiiige Aufgaben aus den Halbjahrespriifungen
Aufgabe 5. Sei ^(a;) = f{x) + o(/(a;)) fiir a; —>• oo. 1st auch zutreffend, dass f{x) = g{x) + o[g{x)) fiir x —>• oo? Aufgabe 6. Bestimnien Sie die ersten (oder alle) Koeffizienten der Potenzreihe fiir (1 + x)" mit a = — 1 , - ^ , 0 , ^ , 1 , | mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten (oder einer anderen Methode). (Durch die Interpolation von Koeffizienten gleicher Potenzen von x in derartigen Entwicklungen forniuHerte Newton das Gesetz zur Bildung der Koeffizienten fiir jedes cc e M. Dieses Ergebnis ist als Newtonscher Binomialsatz bekannt.) Aufgabe 7. Bestimnien Sie mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten (oder einer anderen Methode) die ersten (oder aUe) Gheder der PotenzreihenEntwicklung der Funktion ln(l + x), wenn Sie die Potenzreihen-Entwicklung der Funktion e* kennen. Aufgabe 8. Berechnen Sie expA fiir eine der Matrizen A: 0
0\
0 oy '
/O
1
1^0 0
0 0 0
1 0 0
0\ 1 , 0/
/I 0 0 0 2 0 VO 0 3
Aufgabe 9. Wie viele Gheder der Reihe von e* miissen beriicksichtigt werden, um ein Polynom zu erhalten, mit dessen Hilfe e* auf dem Intervah [—3, 5] bis auf 10~^ genau berechnet werden kann? Aufgabe 10. Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen: x^
a) logpgg ^ sin x ;
h) arctan •( l - a ; ) ( l + a ; ) 2
2. Differentialrechnung in einer Variablen Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass der Betrag |v(t)| konstant bleibt, wenn der Beschleunigungsvektor a(t) zum Vektor v(t) zu jeder behebigen Zeit t orthogonal ist. Aufgabe 2. Seien (a;,t) bzw. {x,t) die Koordinate und die Zeit eines sich bewegenden Punktes in zwei MaBsystemen. Angenommen, wir kennen die Formeln x = ax + pt und t = ^x -\- 6t fiir die Transformation von einem System zum anderen. Bestimnien Sie die Formeln fiir die Transformation von Geschwindigkeiten, d.h. den Zusammenhang zwischen v = ^ und v = ^ . Aufgabe 3. Die Funktion f{x) = x^ sin ^ fiir a; ^ 0 mit /(O) = 0 ist in M differenzierbar, aber / ' ist in a; = 0 unstetig (beweisen Sie dies). Wir werden jedoch „beweisen", dass / ' in jedem Punkt a £ ffi stetig ist, wenn / : M —>• M in ffi differenzierbar ist. Nach dem Mittelwertsatz gilt
2. Differentialrechnung in einer Variablen
fi^) - f{a) X—a
no,
wobei .f ein P u n k t zwischen a und x ist. Dann folgt aus x ^ Nach Definition ist
,.
lim x^a
f{x) - f{a) X—a
573
a, dass ^ ^
a.
,
= / (a) ,
und da der Grenzwert existiert, besitzt die rechte Seite des Mittelwertsatzes diesen Grenzwert: D.h., / ' ( ^ ) —>• / ' ( a ) fiir ^ —>• a. Die Stetigkeit von / ' ist damit „bewiesen". Wo liegt der Fehler? A u f g a b e 4. Angenonimen, die Funktion / besitze n + 1 Ableitungen im P u n k t XQ und sei ^ = XQ+6X{X — XQ) der mittlere P u n k t im Restglied nach Lagrange ^ / ( " ) ( ^ ) ( a ; —a;o)", so dass 0 < ^j; < 1. Zeigen Sie, dass 9^ —>• -Ar[ fur x -^ XQ, falls/("+!)(a;o) ^ 0A u f g a b e 5. Beweisen Sie die Ungleicliung a"^ • • • a^" < aitti + • • • + a„an , wobei o i , . . . , a „ , c c i , . . . , ctn niclit negative Zahlen mit a i + • • • + a „ = 1 sind. A u f g a b e 6. Zeigen Sie, dass lim 11 H— )
= e^(cosy + ismy)
,
(z = x + iy) ,
SO dass es nur natiirlich ist, e'^ = cosy + i s i n y (die Eulersclie Formel) und e^ = e*e'^ = e^ (cos y + i sin y) anzunehmen. A u f g a b e 7. Bestimmen Sie die Form der Oberflaclie einer Fliissigkeit, die sicli mit konstanter Winkelgeschwindigkeit in einem Glas drelit. 2
2
A u f g a b e 8. Zeigen Sie, dass die Tangente an die Ellipse fs^ + fr = 1 im P u n k t {xo,yo) die Gleichung ^ + ^ = 1 besitzt und dass Liclitstralilen einer in einem der Foki Fi = (— x/a^ — &2 ^ Q"J oder F2 = {^/a? — b"^, O) einer Ellipse mit den Halbachsen a > 6 > 0 platzierte Lampe durcli einen elliptischen Spiegel im anderen Fokus gespiegelt werden. A u f g a b e 9. Ein Teilclien beginnt olme auBere Einwirkung unter der Scliwerkraft von der Spitze eines Eisbergs an mit elliptischem Durchschnitt zu rutschen. Die Gleichung des Durchschnitts lautet a;^ +5y'^ = 1, 2/ > 0. Berechnen Sie die Trajektorie der Bewegung des Teilchens, bis es den Boden erreicht.
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Eiiiige Aufgaben aus den Halbjahrespriifungen
3. Integration und Einfiihrung mehrerer Variabler Aufgabe 1. Bestimnien Sie die entsprechenden Ungleichungen fiir Integrale, falls Sie die Holdersche, Minkowskisclie und Jensen-Ungleichungen kennen. Aufgabe 2. Berechnen Sie das Integral J e * da; mit einem relativen Fehler, 0
der geringer als 10% ist. Aufgabe 3. Die Funktion erf {x) = -k= J e~* dt, die Fehlerfunktion genannt — X
wird, ist das Integral der Gaufiverteilung. Sie besitzt fiir x -^ +oo den Grenzwert 1. Zeichnen Sie den Graphen dieser Funktion und bestimnien Sie ihre Ableitung. Zeigen Sie, dass fiir x —>• +oo gilt: ^, , ^ 2 _^2/ 1 1 erf(x) = l - ^ e (^-- ^
1-3 1-3-5 / I N + ^ - ^ ^ + o(^J
Wie lasst sich diese asymptotisclie Formel auf Reilien erweitern? Gibt es Werte a; e ffi, fiir die diese Reilie konvergiert? Aufgabe 4. Hangt die Lange eines Weges vom Bewegungsgesetz (der Parametrisierung) ab? Aufgabe 5. Sie lialten das Ende eines Gumniibandes der Lange 1 km in Handen. Ein Kafer krabbelt vom anderen Ende, das festgebunden ist, mit 1 cm/s auf Sie zu. Jedesmal, wenn er 1 cm gekrabbelt ist, verlangern Sie das Band um 1 km. Erreicht der Kafer jemals Ihre Hand? Falls ja, wie lange braucht er ungefalir dazu? (Eine Aufgabe von L. B. Okun', die A. D. Sakharov vorgeschlagen wurde.) Aufgabe 6. Berechnen Sie die Arbeit, die bei der Bewegung einer Masse im Gravitationsfeld der Erde verrichtet wird und zeigen Sie, dass diese Arbeit nur von der Hohe der Anfangs- und Endpositionen abhangt. Bestimmen Sie die Arbeit, die notwendig ist, um die Masse aus dem Gravitationsfeld der Erde zu entfernen und die zugehorige Fluchtgeschwindigkeit. Aufgabe 7. Erklaren Sie am Beispiel eines Pendels und eines doppelten Pendels, wie lokale Koordinaten und Umgebungen in die Menge der entsprechenden Konfigurationen eingefiihrt werden konnen und wie dabei eine natiirliche Topologie auftritt, die es in einen Konfigurationsraum eines mechanischen Systems umwandelt. Kann dieser Raum unter diesen Bedingungen mit einer Metrik versehen werden? Aufgabe 8. Ist der Einheitskreis in ffi" kompakt? In C[a,b]?
4. DifFerentialrechnung mehrerer Variabler
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Aufgabe 9. Eine Teilmenge einer vorgegebenen Menge wird e-Gitter genannt, wenn jeder Punkt der Menge in eineni Abstand von einem Punkt der Menge liegt, der kleiner als e ist. Bezeichnen Sie mit N{e) die kleinstmogliche Zahl von Punkten in eineni e-Gitter fiir eine vorgegebene Menge. Schatzen Sie die e-Entropie log2 N{e) einer abgeschlossenen Strecke, einem Quadrat, einem Wiirfel und einem beschrankten Bereich in M" ab. Spiegelt die Gr6i3e log'^d/e) fur e ^ 0 die Dimension des betrachteten Raums wider? Kann eine derartige Dimension etwa gleich 0, 5 sein? Aufgabe 10. Die Temperatur T verandere sich stetig auf der Oberflache der Einheitskugel S in M? als Funktion des Ortes. Muss es Punkte auf der Kugelschale geben, in denen die Temperatur ein Minimum oder ein Maximum annimmt? Falls es Punkte gibt, in denen die Temperatur zwei vorgegebene Werte annimmt, muss es dann auch Punkte geben, in denen sie Zwisclienwerte annimmt? Welche dieser Aussagen gilt noch, wenn die Einheitskugel im Raum C[a, b] betrachtet wird und die Temperatur im Punkt f G S wie folgt gegeben wird: _-^
b
Tif)=(
f\f\{x)dx)
?
Aufgabe 11. a) Beginnen Sie mit 1,5 als anfangliclie Naherung an \/2 und fiihren Sie zwei Iterationen der Newtonsclien Metliode aus und beobacliten Sie dabei, wie viele genaue Dezimalstellen Sie in jedem Scliritt erhalten. b) Finden Sie mit einer rekursiven Prozedur eine Funktion / , die die folgende Gleichung erfiillt: X
.f{x)=x+
hit) At.
4. Differentialrechnung mehrerer Variabler Aufgabe 1. a) Wie groB ist der relative Feliler 5 = Kj^- bei der Bereclmung des Funktionswertes f{x,y,z) im Punkt {x,y,z), dessen Koordinaten die absoluten Feliler Ax, Ay bzw. Az aufweisen? b) Wie grofi ist der relative Fehler bei der Berechnung des Volumens eines Raumes mit den folgenden Ausdehnungen: Lange a; = 5 ± 0, 05 m, Breite 2/ = 4 ± 0, 04 m und Holie z = 3 ± 0, 03 m? c) Stimmt es, dass der relative Fehler des Wertes einer hnearen Funktion mit deni relativen Fehler in den Argumenten iibereinstimmt? d) Stimmt es, dass das Differential einer linearen Funktion mit der Funktion selbst iibereinstimmt? e) Stimmt es, dass die Gleichung / ' = / fiir eine hneare Funktion / gilt?
576
Eiiiige Aufgaben aus den Halbjahrespriifungen
Aufgabe 2. a) Eine der partiellen Ableitungen einer Funktion zweier in einer Scheibe definierter Variabler ist in jedem Punkt gleich Null. Bedeutet dies, dass die Funktion von der entsprechenden Variablen auf der Scheibe unabliangig ist? b) Andert sicli die Antwort, wenn wir die Scheibe durch einen beliebigen konvexen Bereich ersetzen? c) Andert sich die Antwort, wenn wir die Scheibe durch einen beliebigen Bereich ersetzen? d) Sei X = x{t) das Bewegungsgesetz eines Punktes in der Ebene (oder in K") im Zeitintervall t G [a, b]. Sei v{t) seine Geschwindigkeit als Funktion der Zeit und C = conv{v(t) \t G [a,b]} die kleinste konvexe Menge, die alle Vektoren v(t) enthalt (iiblicherweise von einer Menge aufgespannte konvexe Hiille genannt). Zeigen Sie, dass ein Vektor v in C existiert, so dass x(6) — x(a) = v • (& — a). Aufgabe 3. a) Sei F{x,y,z) = 0. Stimmt es, dass ff • f^ • ff = - 1 ? Zeigen Sie dies fiir die Gleichung 2^ — 1 = 0 (in Analogie zum Gesetz von Clapeyron fiir ein ideales Gas: - ^ = R). b) Nun sei F{x,y) = 0. Stimmt es, dass | ^ | | = 1? c) Was lasst sich im AUgemeinen iiber die Gleichung F{xi,..., a;„) = 0 aussagen? d) Wie lassen sich die ersten Glieder der Taylor-Entwicklung der impliziten Funktion y = f{x) bestimmen, die in einer Umgebung eines Punktes {xo,yo) durch eine Gleichung F{x, y) = 0 definiert ist, wenn Sie die ersten Glieder der Taylor-Entwicklung der Funktion F(x, y) in einer Umgebung von {xo,yo) kennen, wobei F{xo,yo) = 0 und F'{xo,yo) = 0 invertierbar ist? Aufgabe 4. a) Beweisen Sie, dass die Tangentialebene an das EUipsoid ^ + fj- -h f^ = 1 im Punkt {xo,yo, zo) durch die Gleichung ^ + ^ + ^ = 1 definiert werden kann. b) Der Punkt P{t) = ( ; ^ i 7 f ) ; ^ ) ' ^ taucht zur Zeit t = 1 auf dem Ellipsoid 2
2
2
^ + ^ + ^ = 1 auf. Sei p{t) der Punkt desselben EUipsoiden, der zur Zeit t dem Punkt P(t) am nachsten kommt. Bestimmen Sie die asymptotische Lage von p{t) fiir t -^ -l-oo. Aufgabe 5. a) Konstruieren Sie in der Ebene ffi^ mit den kartesischen Koordinaten {x,y) die Niveaukurven der Funktion f{x,y) = xy und der Kurve S = {(a;, y) e ffi^ I a;^ -I- 2/^ = 1}. Untersuchen Sie die Lage der Extremwerte von / | „, der Einschrankung von / auf den Kreis 5, mit Hilfe des sich ergebenden Bildes. b) Welche physikalische Bedeutung besitzen die Lagrange Multiphkatoren bei der Lagrange Methode zur Auffindung von Extrema mit Nebenbedingungen, wenn eine Gleichgewichtslage fiir eine Punktmasse in einem
4. DifFerentialrechnung mehrerer Variabler
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Schwerkraftfeld gesucht wird, wobei die Bewegung des P u n k t e s durch ideale Relationen (etwa Gleichungen der Form Fi{x,y,z) = 0, F2{x,y,z) = 0) eingeschrankt ist?
Priifungsgebiete
1. Erstes Semester 1.1. Einfiihrung in die Analysis und die DifFerentialrechnung in einer Variablen 1. Reelle Zahlen. Beschrankte (von oben bzw. unten) Zahlenmengen. Das Vollstandigkeitsaxiom und die Existenz eines kleinsten oberen (grofiten unteren) Elements einer Menge. Unbeschranktheit der Menge der natiirlichen Zahlen. 2. Zentrale Satze in Verbindung mit der Vollstandigkeit der Menge der reellen Zahlen K (geschachtelter IntervaUsatz, endliche Uberdeckung, Haufungspunkt). 3. Grenzwert einer Folge und das Cauchysche Konvergenzkriterium. Hilfsmittel fiir die Existenz eines Grenzwertes einer nionotonen Folge. 4. Unendliche Reihen und die Sunime einer unendlichen Reihe. Geonietrische Progressionen. Das Cauchysche Kriterium und eine notwendige Bedingung fiir die Konvergenz einer Reihe. Die harmonische Reihe. Absolute Konvergenz. 5. Ein Test fiir die Konvergenz einer Reihe mit nicht negativen Gliedern. Der oo
Vergleichssatz. Die Reihe ({s) = ^ n~*. n=l
6. Das Konzept eines Logarithmus und der Zahl e. Die Funktion exp(a;) und die darstellende Potenzreihe. 7. Der Grenzwert einer Funktion. Die wichtigsten Filterbasen. Definition des Grenzwertes einer Funktion auf einer beliebigen Basis und ihre Ubertragung auf Spezialfalle. Infinitesimale Funktionen und ihre Eigenschaften. Vergleich des schliefilichen Verhaltens von Funktionen, asymptotischen Formeln und die wichtigsten Operationen mit den Symbolen o(-) und 0{-). 8. Der Zusammenhang zwischen dem Ubergang zum Grenzwert und den algebraischen Operationen und der Ordnungsrelation in M. Der Grenzwert
580
Priifungsgebiete
9. Der Grenzwert einer verketteten Funktion und einer nionotonen Funktion. Der Grenzwert von (l H—) fiir a; —^ CXD. 10. Das Cauchysche Kriterium fiir die Existenz des Grenzwertes einer Funktion. 11. Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt. Lokale Eigenschaften stetiger Funktionen (lokale Bescliranktheit, Erhalt des Vorzeicliens, arithmetisclie Operationen, Stetigkeit einer verketteten Funktion). Stetigkeit von Polynomen, rationalen Funktionen und trigonometrisclien Funktionen. 12. Globale Eigenschaften stetiger Funktionen (Zwisclienwertsatz, Extrema, gleiclimafiige Stetigkeit). 13. Unstetigkeiten nionotoner Funktionen. Der Satz zur inversen Funktion. Stetigkeit der inversen trigonometrisclien Funktionen. 14. Das Bewegungsgesetz, Verschiebungen in einem kleinen Zeitintervall, der monientane Geschwindigkeitsvektor, Trajektorien und ihre Tangenten. Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt. Das Differential, sein Definitionsbereich und Wertebereich. Eindeutigkeit des Differentials. Die Ableitung einer reellen Funktion niit einer reellen Variablen und ihre geometrische Interpretation. Differenzierbarkeit von sinx, cos a;, e^, In \x\ und x". 15. Differenzierbarkeit und arithnietische Operationen. Differentiation von Polynomen, rationalen Funktionen, Tangens und Cotangens. 16. Das Differential einer verketteten Funktion und einer inversen Funktion. Ableitungen der inversen trigononietrischen Funktionen. 17. Lokale Extrema einer Funktion. Eine notwendige Bedingung fiir ein inneres Extremum einer differenzierbaren Funktion (Satz von Fermat). 18. Satz von RoUe. Der Mittelwertsatz in den Varianten von Lagrange und Cauchy. 19. Taylorsche Formeln mit den Restgliedern nach Cauchy und Lagrange. 20. Taylor-Reihen. Die Taylor-Entwicklungen von e^, cos a;, sin a;, ln(l -I- x) und (1 -l-a;)" (Newtons Binomialformeln). 21. Die lokalen Taylorschen Formeln (Restglied nach Peano). 22. Der Zusammenhang zwischen der Art der Monotonie einer differenzierbaren Funktion und dem Vorzeichen ihrer Ableitung. Hinreichende Bedingungen fiir die Vorhandensein oder das Fehlen eines lokalen Extremums mit Hilfe der ersten, zweiten und Ableitungen hoherer Ordnung. 23. Konvexe Funktionen. Konvexitat und das Differential. Lage des Graphen einer konvexen Funktion relativ zu ihrer Tangente. 24. Die allgemeine Jensen-Ungleichung fiir eine konvexe Funktion. Konvexitat (oder Konkavitat) des Logarithmus. Die klassischen Ungleichungen von Cauchy, Young, Holder und Minkowski. 25. Komplexe Zahlen in algebraischer und trigonometrischer Schreibweise. Konvergenz einer Folge komplexer Zahlen und einer Reihe mit komplexen Gliedern. Das Cauchysche Kriterium. Absolute Konvergenz und hinreichende Bedingungen fiir die absolute Konvergenz einer Reihe mit komplexen Gliedern. Der Grenzwert lim (l -I- —) .
2. Zweites Semester
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26. Die Konvergenzscheibe und der Konvergenzradius einer Potenzreihe. Die Definition der Funktionen e^, cosz, sin 2; (z G C). Eulersche Formeln und die Verbindung zwischen elenientaren Funktionen. 27. Differentialgleichungen als mathematische Modelle der Realitat an Beispielen. Die Methode der unbestimmten KoefRzienten und Eulersches Poly gonzugverfahren . 28. Stammfunktionen und die wichtigsten Methoden fiir ihre Bestimmung (gliedweise Integration von Summen, partielle Integration, Integration durch Substitution). Stammfunktionen der elementaren Funktionen.
2. Zweites Semester 2.1. Integration. DifFerentialrechnung mit mehreren Variablen 1. Das Riemannsche Integral auf einem abgesclilossenen Intervall. Eine notwendige Bedingung fiir die Integrierbarkeit. Mengen mit MaB Null, ihre allgemeinen Eigenscliaften, Beispiele. Das Kriterium nacli Lebesgue fiir die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion (nur die Aussage). Der Raum der integrierbaren Funktionen und zulassige Operationen fiir integrierbare Funktionen. 2. Linearitat, Additivitat und allgemeine Berechnung eines Integrals. 3. Berechnung des Integrals einer Funktion mit reellen Werten. Der (erste) Mittelwertsatz. 4. Integrale mit variabler oberen Integrationsgrenze, ihre Eigenschaften. Existenz einer Stammfunktion einer stetigen Funktion. Die verallgemeinerte Stammfunktion und ihre allgemeine Form. 5. Der Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung (NewtonLeibniz Formel). Substitution im Integral. 6. Partielle Integration in einem bestimmten Integral. Taylorsche Formeln mit Integralen als Restglied. Der zweite Mittelwertsatz. 7. Additive (orientierte) Intervallfunktionen und Integration. Das allgemeine Muster fiir das Auftreten von Integralen in Anwendungen. Beispiele dazu: Lange eines Weges (und ihre Unabhangigkeit von der Parametrisierung), Flache eines krummlinigen Trapezes (Flache unter einer Kurve), Volumen eines Rotationskorpers, Arbeit, Energie. 8. Das Riemannsche Integral. 9. Das Konzept eines uneigentlichen Integrals. Kanonische Integrale. Das Cauchysche Kriterium und der Vergleichssatz fiir die Untersuchung der Konvergenz eines uneigentlichen Integrals. Der Integraltest fiir die Konvergenz einer Reihe. 10. Lokale Linearisierung, Beispiele: Momentane Geschwindigkeit und Verschiebung; Vereinfachung der Bewegungsgleichung fiir kleine Oszillationen eines Pendels; Berechnung linearer Korrekturen fiir die Werte von exp(A), A~^, det(-B), (a, b) bei kleinen Veranderungen in den Argumenten (hierbei
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17. 18. 19. 20. 21. 22.
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Priifungsgebiete ist A eine invertierbare Matrix, E die Einheitsmatrix, a und b Vektoren und (•,•) das innere Produkt). Die Norm (Lange, Absolutwert, Betrag) eines Vektors in einem Vektorraum; die wichtigsten Beispiele. Der Raum L{X,Y) der stetigen linearen Transformationen und die Norm darin. Stetigkeit einer linearen Transformation und Beschranktheit ihrer Norm. Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt. Das Differential, sein Definitionsbereich und Wertebereich. Koordinatenschreibweise des Differentials einer Abbildung / : ffi™ -^ ffi". Der Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit, Stetigkeit und der Existenz von partiellen Ableitungen. Ableitung einer verketteten Funktion und der inversen Funktion. Koordinatenschreibweise der sich ergebenden Gesetze bei der Anwendung auf verschiedene Falle der Abbildung / : M™ -^ M". Ableitung entlang eines Vektors und der Gradient. Geometrische und physikalische Beispiele fiir die Benutzung des Gradienten (Niveauflachen von Funktionen, steilster Abstieg, die Tangentialebene, das Potentialfeld, Eulersche Gleichung fiir die Dynamik einer idealen Fliissigkeit, das Gesetz von Bernoulli und die Arbeit eines Fliigels). Homogene Funktionen und die Eulersche Gleichung. Dimensionsanalyse. Der Mittelwertsatz. Seine geometrische und physikahsche Bedeutung. Beispiele seiner Anwendung (eine hinreichende Bedingung fiir die Differenzierbarkeit mit Hilfe partieller Ableitungen; Bedingungen dafiir, dass eine Funktion in einem Gebiet konstant ist). Ableitungen hoherer Ordnung und ihre Symmetric. Die Taylorschen Formeln. Extrema von Funktionen (notwendige und hinreichende Bedingungen fiir ein inneres Extremum). Kontraktionsabbildungen. Die Fixpunktsatze von Banach und PicardLindelof. Der Satz zur impliziten Funktion. Der Satz zur inversen Funktion. Krummlinige Koordinaten und Rektifizierung. Glatte fc-dimensionale Flachen in ffi" und ihre Tangentialebenen. Methoden zur Definition einer Flache und die zugehorigen Gleichungen des Tangentialraums. Der Rang-Satz und funktionale Abhangigkeit. Extrema mit Nebenbedingung (notwendige Bedingung). Geometrische, algebraische und physikahsche Interpretation der Methode der Lagrange Multiplikatoren. Eine hinreichende Bedingung fiir ein Extremum mit Nebenbedingung. Metrische Raume, Beispiele. Offene und abgeschlossene Teilmengen. Umgebungen eines Punktes. Die induzierte Metrik, Teilraume. Topologische Raume. Umgebungen eines Punktes, Trennungseigenschaften (das Hausdorff-Axiom). Die auf Teilmengen induzierte Topologie. Abschluss einer Menge.
2. Zweites Semester
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27. Kompakte Mengen, ihre topologische Invarianz. Abgeschlossenheit einer kompakten Menge und Konipaktheit abgeschlossener Teilniengen einer kompakten Menge. Geschachtelte kompakte Mengen. Kompakte metrische Raume, e-Gitter. Kriterien dafiir, dass ein metrischer Raum kompakt ist und seine spezielle Gestalt in K". 28. Vollstandige metrische Raume. Abgeschlossenheit von M, C, ffi", C" und dem Raum C[a, b] der stetigen Funktionen bei gleichmaBiger Konvergenz. 29. Kriterien fiir die Stetigkeit einer Abbildung zwischen topologischen Raumen. Erhalt der Kompaktheit und des Zusammenhangs unter einer stetigen Abbildung. Die klassischen Satze zur Beschranktheit, der Satz zum Maximalwert und der Zwischenwertsatz fiir stetige Funktionen. GleichmaBige Stetigkeit auf einem kompakten metrischen Raum.
Literaturverzeichnis
1. Klassische Werke 1.1 Hauptquellen Newton, I.: a. (1687): Philosophise Naturahs Principia Mathematica. Jussu Societatis Reg i s ac typis Josephi Streati, London. Englische Ubersetzung der 3. Auflage (1726): University of Cahfornia Press, Berkeley, CA (1999). b. (1967-1981): The Mathematical Papers of Isaac Newton, D. T. Whiteside, ed., Cambridge University Press. Leibniz, G.W. (1971): Mathematische Schriften. C. L Gerhardt, ed., G. Olms, Hildesheim.
1.2 Wichtige umfassende grundlegende Werke Euler, L. a. (1748): Introductio in Analysin Infinitorum. M. M. Bousquet, Lausanne. Nachdruck der deutschen Ubersetzung von H. Maser: Springer-Verlag, Berlin Heidelberg - New York (1983). b. (1755): Institutiones Calculi Differentialis. Impensis Academic Imperialis Scientiarum, Petropoli. Englische Ubersetzung: Springer, Berlin - Heidelberg New York (2000). c. (1768-1770): Institutionum Calculi Integralis. Impensis Academiae Imperialis Scientiarum, Petropoli. Cauchy, A.-L. a. (1989): Analyse Algebrique. Jacques Gabay, Sceaux. b. (1840-1844): Legons de Calcul Differential et de Calcul Integral. Bachelier, Paris.
1.3 Klassische Vorlesungen in Analysis aus der ersten Halfte des 20. Jahrhunderts Courant, R. (1988): Differential and Integral Calculus. Ubersetzt aus dem Deutschen. Vol. 1 Nachdruck der 2. Auflage 1937. Vol. 2 Nachdruck des Orginals
586
Literaturverzeichnis
1936. Wiley Classics Library. A Wiley-Intercience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, de la Vallee Poussin, Ch.-J. (1954, 1957): Cours d'Analyse Infinitesimale. (Tome 1 11 ed.. Tome 2 9 ed., revue et augmentee avec la collaboration de Fernand Simonart.) Librairie universitaire, Louvain. Englische Ubersetzung einer friiheren Ausgabe, Dover Publications, New York (1946). Goursat, E. (1992): Cours d'Analyse Mathematiques. (Vol. 1 Nachdruck der 4. Auflage 1924, Vol. 2 Nachdruck der 4. Auflage 1925) Les Grands Classiques Gauthier-Villars. Jacques Gabay, Sceaux. Englische Ubersetzung, Dover Publ. Inc., New York (1959).
2. Lehrbiicher^^ Apostol, T. M. (1974): Mathematical Analysis. 2. Aufl. World Student Series Edition. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. Courant, R. (1971/1972): Vorlesungen iiber Differential- und Integralrechnung Bd. 1 und 2, 4. Aufl. Springer, Berlin - Heidelberg - New York. Rudin, W. (1999) Reelle und komplexe Analysis, Oldenbourg, Miinchen. Spivak, M. (1980): Calculus. 2. Aufl. Berkeley, California: Publish Perish, Inc. Stewart, J. (1999) Calculus. Brooks/Cole Publishing, Paciflc Grove.
3. Studienunterlagen Amann, H., Escher, J. (1998/1999/2001): Analysis I,II,III. Birkhauser Verlag, Basel - Boston - Berlin. Behrends, E. (2004): Analysis 1,2. Vieweg, Braunschweig. Blatter, C. (1991/1992/1981): Analysis I,II,III. Springer, Berlin - Heidelberg - New York. Gelbaum, B. (1982): Problems in Analysis. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. Gelbaum, B., Olmsted, J. (1964): Counterexamples in Analysis. Holden-Day, San Francisco. Heuser, H. (1990/1993): Lehrbuch der Analysis I,II. B.G. Teubner, Stuttgart. Hildebrandt, S. (2003/2006): Analysis 1,2. Springer, Berlin - Heidelberg - New York. Konigsberger, K. (2004): Analysis 1,2. Springer, Berlin - Heidelberg - New York. Meyberg, K., Vachenauer, P. (2003/2005): Hohere Mathematik 1,2. Springer, Berlin - Heidelberg - New York. Polya, G., Szego, G. (1970/71): Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis. SpringerVerlag, Berlin - Heidelberg - New York. Walter, W. (2002/2004): Analysis 1,2. Springer, Berlin - Heidelberg - New York. Das Literaturverzeichnis wurde fiir die deutsche Ausgabe erheblich verandert.
4. Weiterfiihrende Literatur
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Sachverzeichnis
Abbildung, 13-24 Beriihrungsordnung, 192 beschrankte, 117, 439 bijektive, 17 gleichmafiig stetige, 169 Identitat, 19 injektive, 17 inverse, 18, 20, 522-524 konstante, 115 lineare, 452-453 Rang, 527 schliefllich beschrankte, 117, 439 stetige, 157-162, 444-449 surjektive, 17 verkettete, 18 zusammengesetzte, 18 Abel-Dirichlet Konvergenztest, 424 Abelsche Gruppe, 38, 52 Abelsche Umformung, 372 Abelscher Satz zu Potenzreihen, 283 Ableitung, 187-194, 457 arithmetische Operationen, 201-205 einer impliziten Punktion, 213-218 einer inversen Punktion, 208-213, 470 einer Potenzreihe, 291 einer verketteten Punktion, 205-208, 465 hoherer Ordnung, 218 komplexe Punktion, 291 Linearitat, 462 logarithmische, 207 nach einem Vektor, 467-470 partielle, 459, 467, 481-484 Tabelle der Elementarfunktionen, 214
Abschluss einer Menge, 435 Absolutwert, 60 Abstand auf der reellen Geraden, 60 in R*", 432 zwischen Mengen, 438 Aquivalenzrelation, 22 algebraische Abgeschlossenheit, 293-297 analytische Punktion, 235 Anordnung, 40 archimedisches Prinzip, 55 Areasinus Hyperbolicus, 210 Asymptote eines Graphen, 265 asymptotische Aquivalenz von Punktionen, 147 asymptotisches Verhalten einer Punktion, 144, 148 Aussonderungsaxiom, 29 Auswahlaxiom, 31 Axiom Dedekind-, 69 VoUstandigkeits-, 40, 46, 69, 74, 77 Axiomensystem, 29, 41, 73 der Mengenlehre, 7 der reellen Zahlen, 38, 56, 69 B Basis (Pilterbasis), 133, 135 Basis, orthonormale, 455 Bernoullische Ungleichung, 70, 94, 251 Bernoullisches Gesetz, 474 Beriihrungsordnung, 192 Beschleunigung, 181, 195 Betrag einer reellen Zahl, 60 Bild einer Punktion, 17
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Sachverzeichnis
Binomialsatz, 234 binomische Formel, 70, 219 Bolzano-Weierstrafl, Lemma von, 95, 99 Bolzano-Weierstrafl, Satz von, 76 Borel-Lebesgue, Satz von, 75 Brechungsgesetz, 251 Buckinghamsches iT-Theorem, 477
Cantor-Menge, 82 Cauchy Hauptwert, 427 Konvergenzkriterium fiir eine Funktion, 137, 441 Konvergenzkriterium fiir Folgen, 90 Konvergenzkriterium fiir uneigentliche Integrate, 418 Konvergenzkriterium in R", 440 Mittelwertsatz, 229 Cauchy-Bunjakowski Ungleichung, 377 Cauchy-Cantor, Satz von, 74 Cauchy-Hadamard, Formel von, 282 Cauchy-Folge, 280, 440 Cosinus Hyperbolicus, 210, 286 Cotangens Hyperbolicus, 212 D Darboux-Summe, 355, 363 de Moivre Formel, 288 Definitionsmenge, 13 Dezimalsystem, 49 Diffeomorphismus, 522 einfacher, 534 Differential einer Funktion, 187-194, 451-461 Differentialgleichung, 186, 301-316, 342 Differentiation arithmetische Operationen, 201-205 bei mehreren Variablen, 480-481 einer impliziten Funktion, 213-218 einer inversen Funktion, 208-213, 470 einer Potenzreihe, 291
einer verketteten Funktion, 205-208, 465 Linearitat, 462 Dimensionsanalyse, 475 direktes Produkt, 10 Dirichlet-Funktion, 164 Dreiecksungleichung, 60, 253, 432, 454 E Einheitswurzel, 279 Einschrankung einer Funktion, 13 Element einer Menge, 8 elliptisches Integral, 402, 409 endliche Uberdeckung, 75 Energie, 405 Ersetzungsaxiom, 30 euklidischer Algorithmus, 70, 110 euklidischer Raum, 456 Eulersche Formel, 285 Eulersche Gleichung, 474 Eulersche Konstante, 154 eulersches Polygonzugverfahren, 311 Exponentialfunktion, 123-128, 198, 310 mit komplexem Argument, 285 Extensionalitatsaxiom, 29 Extremum, 223, 486 Bedingung fiir ein, 247-249 inneres, 224 mit Nebenbedingung, 542, 552-565 Extremwertsatz, 168
Faktorisierung eines Polynoms, 296 Faser, 24 Fehler, 62-64, 207 absoluter, 84 Felilerfunktion, 429 Fermat, Satz von, 224 Fermatsches Prinzip, 251 Fibonacci Zahlen, 110 finite Differenzen, 245 Flache, 493, 542 Dimension, 542-543 Trapez, 402 Folge, 74, 84 absteigende, 92 anwachsende, 92
Sachverzeichnis beschrankte, 86, 92 Cauchy-, 90, 440 divergente, 85 fundamentale, 90, 280, 440 geschachtelte, 75, 76 komplexer Zahlen, 280 konvergente, 85 monotone, 92 schliefllich konstante, 86 fundamentale Folge, 280, 440 Fundamentalsatz der Algebra, 295-296 Fundamentalsatz der Aritlimetik, 70 Fundamentalsatz der Integral- und Differentialreclinung, 380 Funktion, 12-24 absteigende, 142 analytische, 235, 293 anwachsende, 142 asymptotisches Verhalten, 144 beschrankte, 117, 439 bijektive, 17 difFerenzierbare in einem Punkt, 186-187, 456 Dirichlet-, 164, 362 Durchschnitt, 389 Exponential-, 123-128, 198, 310 gleichmafiig stetige, 169 harmonische, 498 homogene, 475 Hyperbel-, 210 implizite, 213-218, 221, 504-514 infinite, 145 infinitesimale, 118-120, 144, 145 injektive, 17 integrierbare, 349 inverse, 18, 172-175, 208, 522-524 involutive, 274 komplexe, 288 konkave, 254 konstante, 115, 228, 247 konvexe, 253-256 Lagrange, 555 Logarithmus, 128-132 mehrerer Variabler, 431-449 monotone, 142, 143, 228, 246 Niveauflache, 554 Oszillation, 440, 445 periodische, 288
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Potenz-, 132 Riemann-, 164, 362 schliefllich beschrankte, 117, 119, 136, 143, 439 schliefllich konstante, 117 stetige, 157-162, 444-449 surjektive, 17 verkettete, 18 zusammengesetzte, 18 Funktional, 13, 15, 365 funktionale Abhangigkeit, 533 Funktionskeim, 179
Galilei-Transformation, 215-218 Geschwindigkeit Invarianz, 203 momentane, 182-186 gleichmaflige Stetigkeit, 169-171, 446 Satz von Heine, 171 Gradient, 469-470 Gradientenmethode, 470 Graph, 253-276, 493-497 einer inversen Funktion, 176 Grenzwert auf einer Basis, 132-137 einer Folge, 84-86, 90, 96 einer Funktion, 112-143, 439 einer Teilfolge, 97 groflte untere Schranke, 47 Gruppe, 38 H Hadamard Ungleichung, 569 Hadamard, Lemma, 537 Haufungspunkt, 76 Hamilton-Gleichungen, 520 harmonische Funktion, 498 harmonischer Oszillator, 314 Haufungspunkt, 435 hebbare Unstetigkeit, 163 Heine-Borel, Satz von, 75 Hermite Polynom, 244 Hessesche Matrix, 519 Holdersche Ungleichung, 252, 377 Homoomorphismus, 522 Hyperbelfunktion, 286
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Sachverzeichnis
imaginare Einheit, 276 implizite Funktion, 504-514 Induktionsprinzip, 49, 50 Infimum, 47 inneres Produkt, 455 Integral, 377-389 absolute Konvergenz, 419 bedingte Konvergenz, 423 bestimmtes, 345-349 -cosinus, 328 Darboux-Summe, 355 elliptisches, 337, 340, 402, 409 Gauss-, 425 Hauptwert, 427 Linearitat, 365 -logarithmus, 329, 427 Mittelbildung, 388 rationaler Teil, 338 Riemannsches, 348-349 Singularitaten, 425 -sinus, 328 unbestimmtes, 321-329 uneigentliches, 413-418 Vergleichssatz, 420 Integration, 345 Anderung der Variablen, 326, 383 Kriterium nach Lebesgue, 359 Mittelwertsatz, 370-376 partielle, 326, 381, 417 Substitution, 326, 383 Intervall, 59 -schachtelung, 74 Lange, 55 Intervallfunktion, 368, 393 inverse Funktion, 172-175, 522 Ableitung, 470 Stetigkeit, 175 Isomorphismus, 41
Jacobimatrix, 461, 487 Jensen-Ungleichung, 259, 377 K Kardinalzahl, 27 kartesisches Produkt, 10 Keplersche Fassregel, 391
Keplersches zwei-Korper Problem, 181 Kettenbruch, 109 Kettenregel, 205, 465 kleinste obere Schranke, 47 Korper, 72 algebraischer, 39 kompakte Menge, 169, 436 Komplement einer Menge, 9 komplexe Zalil, 276-299 Betrag, 277 konjugierte, 277 Polardarstellung, 278 konkave Funktion, 254 Kontinuum, 80 Konvergenz M-Test, 104 absolute, 102, 104, 281, 419 Cauchysches Kriterium fiir Reihen, 100 einer Folge, 85 Kriterium fiir eine Funktion, 137 Kriterium fiir komplexe Reihen, 281 Kriterium fiir monotone Folgen, 92 Kriterium fiir Reihen, 102 Kriterium fiir uneigentliche Integrate, 418 Kriterium nach Cauchy fiir Folgen, 90 Kriterium nach D'Alembert, 105, 234 Majorantenkriterium, 104 notwendige Bedingung bei Reihen, 100 von Reihen, 100 Konvergenzradius, 282 Konvergenztest Abel-Dirichlet, 424 Cauchyscher, 104 Gauss'scher, 155 Quotientenkriterium, 105 Weierstrafischer, 92, 104 Konvexitat, 254-256 Koordinaten -achsen, 494 eines Punktes, 58 in R*", 432 krummlinige, 493-494
Sachverzeichnis Polar-, 278, 524 spharische, 525 kritischer Punkt, 487 entarteter, 537 Kriimniung, 275 Kurve Kriimniung, 275 parametrisierte, 396 Rektifizierung, 526 Schmiegekreis, 276 Kurvenlange, 395-402 L Lagrange Punktion, 559 Multiplikatoren, 555 Polynom, 244, 391 Schrankensatz, 227 Laplace-Operator, 498 Lebesgue Integrierbarkeit, 359 Legendre Polynom, 390 Legendre-Transformation, 274, 518-519 Legendresche Normalform, 338 Leibnizsche Formel, 219 I'Hopital, Regel von, 261 Limes inferior und superior, 96 lineare Abbildung, 452-453 logarithmische Skala, 208 Logarithmus, 128, 129 natiirlicher, 129, 300 Lorentz-Transformation, 217 M MacLaurin-Formel, 231 Machtigkeit des Kontinuums, 80-81 einer Menge, 78 Machtigkeit einer Menge, 27 Majorante, 46 Majorantenkriterium, 104 Mannigfaltigkeit, 543 Mantisse, 73 Matrix, 453 Maximum, 47, 168 lokales, 223, 248-250, 486-493 mit Nebenbedingung, 542 Menge, 5-11, 27 abgeschlossene, 433-437
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Abschluss, 435 Abstand, 438 abzahlbare, 78 aquipotente, 27 beschrankte, 46, 437-438 Durchmesser, 437 endliche, 28 induktive, 30, 49 invariante, 26 kompakte, 169, 436 Komplement, 9 komplexe Zahlen, 276 leere, 9 Machtigkeit, 78 Mafi Null, 359 offene, 433-437 Potenz-, 28 stetige Funktionen, 160 iiberabzahlbare, 80 zusammenhangende, 447 Methode der kleinsten Quadrate, 500 Methode der unbestimmten KoefRzienten, 298, 312 Metrik, 432-433 Minimalabweichung, 178 Minimum, 47, 168 lokales, 223, 248-250, 486-493 mit Nebenbedingung, 542 Minkowskische Ungleichung, 252, 377 Minorante, 46 Mittel arithmetisches, quadratisches. 111 einer Punktion, 388 harmonisches, 101, 111 Mittelwertsatz, 226-229, 478 der Integration, 370-376 verallgemeinerter, 229 Modell Absorption, 318 barometrische Hohenformel, 304 Pall in der Atmosphare, 308 Peder elastische, 405 ideale inkompressible Pliissigkeit, 473 Parabolspiegel, 196 Pendel, 408 Radioaktivitat, 306 Rakete, 302 Schleifvorgang, 502
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Sachverzeichnis
Schwingung, 313 Monotonie Bedingung, 246 einer Punktion, 228 inverse Punktion, 172 Morse-Lemma, 537 N Newton-Leibniz Formel, 346 Newtonsches Gesetz, 181 Newtonsches Potential, 410 Niveauflaclie, 554 kurve, 505 menge, 472 Norm eines Vektors, 185, 453-455 Normalenvektor, 495 NuUstelle eines Polynoms, 245, 293-299 Vielfadiheit, 297 Nullteiler, 72 O orthogonale Vektoren, 455 Ostrogradski, Methode nach, 338 Oszillation einer Punktion, 137, 160, 440, 445
Paarungsaxiom, 29 Parametrisierung einer Kurve, 396 Partialbruchzerlegung, 298, 331 partielle Ableitung, 459, 467 hoherer Ordnung, 481-484 partielle Integration, 326, 381 Pendel, 408 Periode einer Punktion, 201 periodische Punktion, 288 Planetenbahn, 320 Polarkoordinaten, 278, 524 Polygonzugverfahren, 311 Polynom Paktorisierung, 296 Hermite, 244 Lagrange, 391 Lagrangesches, 244 Legendre, 390 Nullstellen, 293-299 Potential
-feld, 473 einer Kraft, 405-407 Potenzfunktion, 132 Potenzmenge, 28 Potenzmengenaxiom, 30 Potenzreihe, 282-284 Abelscher Satz, 283 Ableitung, 291 Primzahl, 52, 143-148 Projektion, 11, 14, 446 Proximum, 178 Q Quadratur, 392 Quantor, 8 Quotientenkriterium, 105 R Rang einer Abbildung, 527 Rang-Satz, 527 Raum euklidischer, 456 metrischer, 432 Tangential-, 547 vollstandiger, 138, 440 Rechteckregel, 392 Reihe, 99 absolut konvergente, 102 geometrische, harmonische, 101 konvergente, 100 Konvergenztest durch Integration, 419 numerische, 100 Potenz-, 232 Produkt, 284 Taylor-, 233 Umordnung, 101 Vergleichssatz, 103 Rektifizierung, 526 Relation, 21-23 Anordnungs-, 22, 59 funktionale, 23 Inklusion, 72 Restglied in der Taylorschen Pormel, 230-242, 484 nach Cauchy, 231 nach Lagrange, 231, 238, 383, 485 nach Peano, 237, 485 Restriktion, 13
Sachverzeichnis Richtungsableitung, 470 Riemann-Punktion, 164, 362 Riemannsche Summe, 346-349 Treppenfunktion, 355 RoUe Satz von, 500 RoUe, Satz von, 225
Sattelpunkt, 495 Schmiegekreis, 276 Schranke einer Menge, 46 Schrankensatz, 227 Schroder-Bernstein, 33 Schwarzsche Ungleichung, 377 Schwingung, 313-316 Sekante, 192 Simpson-Regel, 392 Sinus Hyperbolicus, 210, 286 Snelliussches Gesetz, 250 spharische Koordinaten, 525 Spur eines Weges, 396 Stammfunktion, 321-329, 377-381 rationaler Punktionen, 329 stationarer Punkt, 487 Stellenwertsystem, 65 Stetigkeit, 157-162 gleichmai^ige, 169-171, 446 Grenzwertbildung, 159 inverse Punktion, 175 monotone Punktion, 174 Satz von Heine, 171 Stetigkeitsmai^, 177 Stromlinie, 474 Supremum, 47 Symbol o, 145 O, 147
Tangens Hyperbolicus, 212 Tangente, 184-193 Tangentialabbildung, 457, 487 ebene, 494-497 raum, 457, 547-552 vektor, 495 Taylor
595
Entwicklung einer Punktion, 232-242 Pormel, 229-242, 381-383, 484-485 Restglied, 230-242 Polynom, 236-240 Reihe, 293 Teilfolge, 95 Teilgrenzwert, 97 Teilmenge, 7 Topologie, 114 Transformation, 13 Galilei-, 14 lineare, 452-453 Lorentz-, 14 Trapezregel, 392 Treppenfunktion, 355 Tschebyscheff Polynome, 179 U Uberdeckungssatz, 75 Umgebung eines Punktes, 61, 76, 112, 433 punktierte, 112 Unendlichkeitsaxiom, 30 Unstetigkeit, 162-165 Urbild einer Punktion, 17 V Vektor -feld, 473 Normalen-, 495 orthogonaler, 455 Tangential-, 495 Vektorraum, 451 7^[o,6], 357 Vereinigungsaxiom, 29 Vergleichssatz, 103, 420 Verkettung von Abbildungen, 19, 205, 453, 465 Vielfachheit einer Nullstelle, 297 Viete's Pormel, 155 Vollstandigkeitsaxiom, 40, 46, 69, 74 Volumen eines Drehkorpers, 404 W Warmegleichung, 498 Weg, 395 aquivalenter, 472 Spur, 396
596
Sachverzeichnis
Weglange, 395-402 Weierstrafl Extremwertsatz, 168 Konvergenzkriterium, 92 Wendepunkt, 258 Wertebereich, 13 Wurzel n-te, 124 einer komplexen Zahl, 279 Y Youngsche Ungleichung, 251 Z Zahl algebraische, 55, 71 e, 94, 107-109, 128-141 Fibonacci, 110 ganze, 52 irrationale, 55, 71 komplexe, 276 natiirliche, 49 TT, 5 5
positive, 46 Prim-, 52, 143-148 rationale, 53, 57 reelle, 37 transzendente, 55, 71 Zahlengerade, 58 Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, 31 Zwischenwertsatz, 167
Namensverzeichnis
Abel, N., 38, 283, 337, 372, 424 Archimedes (^Apxi-l^r]5r](i), 55, 56 B Bernoulli, Daniel, 474 Bernoulli, Jakob, 70, 94 Bernoulli, Joliann, 20, 251, 261 Bernstein, F., 28 Bolyai, J., 21 Bolzano, B., 76, 90, 95, 167, 201 Bonnet, P., 375 Borel, E, 75 Bourbaki, N., 5 Buffon, G., 412 Bunjakowski, B., 377
Cantor, G., 5, 28, 74, 80 Carnot, L., 120 Cauchy, A., 62, 74, 90, 100, 104, 106, 137, 167, 229, 231, 280, 440 Clapeyron, B., 304
D dV Darboux, G., 243, 355 de Moivre, A., 279, 288 de Morgan, A., 10 Dedekind, R., 28, 69, 71 Descartes, R., 11 Dirichlet, R, 164, 424 du Bois-Reymond, P., 364 E Einstein, A., 452 Euklid (EvKAet
