Algebraic Geometry

Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann 961 Algebraic Geometry Proceedings of the International ...

Author: José Manuel Aroca | Ragnar Buchweitz | Marc Giusti | Michel Merle (Editors)

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Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

961 Algebraic Geometry Proceedings of the International Conference on Algebraic Geometry Held at La Rabida, Spain, January 7-15, 1981

Edited by J. M. Aroca, R. Buchweitz, M. Giusti, and M. Merle

Springer-Verlag Rp.rlin I-I~_irl~_lh~rn IXl~w Ynrl¢ 1.QR9

Editors

Jose Manuel Aroca Facultad de Ciencias, Prado de la Magdalena Valladolid, Spain Ragnar Buchweitz U niversit~t Hannover Welfengarten 1, 3000 Hannover 1, Federal Republic of Germany Marc Giusti Michel Merle Centre de Mathematiques, Ecole Polytechnique 91128 Palaiseau Cedex, France

ISBN 3-540-11969-8 Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork ISBN 0-387-11969-8 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin

This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to "Verwertungsgesellschaft Wort", Munich. © by Springer-Vertag Berlin Heidelberg 1982 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2146/3140-543~10

ACKNOWLEDGEMENTS

The International Conference on Algebraic Geometry held at La R~bida University was sponsored by: - The International Mathematical Union - The Council for Scientific Research of Spain -

The Universities Complutense de Madrid, Sevilla and Valladolid The City of Palos de la Frontera.

Our gratitude toward all of them. Also we are extremely grateful to all those persons who collaborated, either in the organization,

or in the develogment of the Conference, mainly the

Board of Governors of the University of La R~b~da, and the staff of the Departments of Algebra of the Universities

of Sevilla and Valladolid.

The Organizing Commitee

LIST OF PARTICIPANTS

ABELLANAS, Pedro Facultad de Matem~iticas Ciudad Universitaria Madrid-3, SPAIN ABHYANKAR, S.S. Division of Mathematical Sciences Purdue University West Lafayette, IN 47907, USA ANGENIOL, Bernard 3, Avenue Jean Jaures 91~00, Gometz le Chatel, FRANCE AROCA, Josfi Manuel Facultad de Ciencias Prado de la Magdalena Valladolid, SPAIN BRIALES, Emilio Facultad de Matem~ticas Tarfia s/n Sevilla-12, SPAIN BRYLINSKI, Jean Luc Centre de Mathfimatiques Ecole P o l y t e c h n i q u e 91128, P a l a i s e a u , FRANCE BUCHWEITZ, Ragnar UniversitNt Hannover welfengarten 1 D-3000 Hannover 1 G E R M A N Y CAMPILLO, Antonio F a c u l t a d de C i e n c i a s Prado de la M a g d a l e n a V a l l a d o l i d , SPAIN CANO, Felipe Facultad de Ciencias Prado de la Magdalena Valladolid, SPAIN CASAS,E. Facultad de Matem~ticas Universidad Central de Barcelona Barcelona. SPAIN. CASTELLANOS, Julio Facultad de Matem~ticas Ciudad Universitaria Madrid-3, SPAIN COSSART,Vincent Bat 425- Math~matiques Facult~ des Sciences 91~05 Orsay. FRANCE

FALTINGS, Kay UniversitNt M{inster Mathematische s I n s t i t u t R o x e l e r s t r a s s e , 6~ g4, Munster, GERMANY FINAT, J a v i e r F a c u l t a d de C i e n c i a s Prado de la M a g d a l e n a V a l l a d o l i d , SPAIN FUERTES, Concepci6n F a c u l t a d de Matemfiticas Ciudad U n i v e r s i t a r i a M a d r i d - 3 , SPAIN GAETA, F e d e r i c o F a c u l t a d de Matem~ticas Ciudad U n i v e r s i t a r i a Madrid-3, SPAIN

GALLIGO, Andr6 Departement de Math~matiques Parc Valrose 06-Nice, FRANCE GIUSTI, Marc Centre de Math6matiques Ecole P o l y t e c h n i q u e 91128 P a l a i s e a u , FRANCE

GONZALEZ, Gerardo Centre de Mathfimatiques Ecole Polytechnique 91128 Palaiseau, FRANCE GRANGER, J e a n - M i c h e l Departement de Math~matique Parc Valrose 0603~ Nice, FRANCE GREUEL, G e r t - M a r t i n S o n d e r f o r s c h u n g b e r e i c h T h e o r e t i s c h e Mathematik U n i v e r s i t ~ t Bonn Beringstrasse 5300 Bonn 1 , GERMANY HARTSHORNE, Robin Department of Mathematics U n i v e r s i t y of C a l i f o r n i a at Berkeley B e r k e l e y , CA, 9~720, USA HAUSER, H. I n s t . f. Math. Univ. I n n s b r u c k A-6020 I n n s b r u c k .

AUSTRIA.

HENRY, Jean P i e r r e Centre de Math6matiques Ecole P o l y t e c h n i q u e 91128 P a l a i s e a u , FRANCE

V1

HERMANN, Manfred Mathematischeslnstitut UniversitNt K~51n 5000 KtSln El, G E R M A N Y HERMIDA, Jos~ Angel Facultad de Ciencias Prado de la Magdalena Valladolid, SPAIN HERRERA, J a v i e r F a c u l t a d de M a t e m d t i c a s Tarfia s/n S e v i l l a - 1 2 , SPAIN HERZOG, Jurgen Mathematischeslnstitut UniversitSt Regensburg R e g e n s b u r g , GERMANY HIRONAKA, H e i s u k e D e p a r t m e n t of M a t h e m a t i c s Harvard University 1, O x f o r d St. C a m b r i d g e , Ma, 02138, USA HIRSCHOWITZ, Andr6 Departement de Math~matiques Parc Valrose 0603g Nice-CEDEX. FRANCE KHALED, A. Institut de Mathfimatiques U.S.T.A. B.P. n ~ 9 Dar El Beida. ALGERIA. LAMARI, A. C~t6 A n a s s e r 11 B~ l l A n-°9 K o u b a .

ALGERIA.

LAUDAL, O l a v Matematisk Institutt U n i v e r s i t e l e t Oslo. P.O. BOX 1053 B l i n d e r n .

Oslo-3.

LEJEUNE-JALABERT, Monique Departement de Math~matiques Universit~ de Grenoble BP 116 38~02, S a i n t M a r t i n , FRANCE LUENGO, I g n a c i o F a c u l t a d de M a t e m ~ t i c a s Ciudad Universitaria M a d r i d - 3 , SPAIN MARUYAMA, M a s a k i F a c u l t y of S c i e n c e Kyoto U n i v e r s i t y Kyoto 606, JAPAN

NORWAY

VII MCPHERSON , R o b e r t I.H.E.S. Route de C h a r t r e s 915~0 B u r e s S u r I v e t t e ,

FRANCE

MERLE, M i c h e l C e n t r e de M a t h f i m a t i q u e s Ecole P o l y t e c h n i q u e 91128 P a l a i s e a u , FRANCE ORBANZ, Ulrich MathematischesInstitut U n i v e r s i t ~ t KSln 5000 K~51n 41, GERMANY PIEDRA, Ram6n F a c u l t a d de M a t e m d t i c a s Tarfia s/n S e v i l l a - 1 2 , SPAIN SABBAH,C. C e n t r e de M a t h ~ m a t i q u e s Ecole P o l y t e c h n i q u e 91128 P a l a i s e a u , FRANCE SANCHEZ, Tom~s F a c u l t a d de C i e n c i a s P r a d o de I a M a g d a l e n a V a l l a d o l i d , SPAIN SANCHO J R . , F a c u l t a d de Universidad Salamanca,

Juan Bautista Matemdticas de S a l a m a n c a SPAIN

SLODOWY, Peter Sonderforschungbereich Theoretische Mathematik Universit~t Bonn Beringstrasse 5300 Bonn 1 , G E R M A N Y STEENBRINK, J o s e p h • Mathematsch Institut der Rijksuniversiteit W a s s e n a a r s w e g 80 2333 AL L e i d e n , NETHERLANDS TEISSIER, B e r n a r d C e n t r e de M a t h @ m a t i q u e s Ecole P o l y t e c h n i q u e 91128 P a l a i s e a u , FRANCE TROTMAN, David Boulevard Lavoisier &9045 Angers, FRANCE VALEIRAS, Gerardo Facultad de Matem~ticas Tarfia s/n Sevilla-12, SPAIN

Leidel

VI

VICENTE, Jos@ Luis Facultad de Matem~ticas Tarfia s/n Sevilla-12, SPAIN VILLANUEVA, Facultad de Universidad Santiago de

Emilio Matem~ticas de Santiago Compostela. SPAIN

XAMBO,S. MatemAticas, Universidad de Barcelona. Plaza Universidad. Barcelona, SPAIN

CONTENTS BRYLINSKI,

J.L.: Modules h o l o n o m e s a s i n g u l a r i t 6 s r e g u l l e r e s et f i l t r a t i o n de H o d g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAMPILL0, A & CASTELLANOS,

I

J.: On p r o j e c t i o n s of space alge-

b r o i d curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

CASAS, E.: Moduli of a l g e b r o i d plane curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

GALLIGO, A.: Invariants t o p o l o g i q u e s de germes d ' a p p l i c a t i o n s stables et finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

GIUSTI, M g MERLE, M.: S i n g u l a r i t 6 s isol6es et sections planes de vari6t6s d e t e r m i n a n t i e l l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Premlere partie:Si~gularit6s

isol6es et nua-

ges de Newton, par M. Giusti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deuxieme partie:

89

89

Sections de v a r i 6 t 6 s deter-

m i n a n t i e l l e s par les plans de coordonn6es, par M. Giusti et M. Merle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

GORESKI, M & MACPHERSON,

R.: On the t o p o l o g y of c o m p l e x alge-

braic maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GRANGER,

103

119

J.M.: S i n g u l a r i t 6 s des seh6mas de Hilbert p o n c t u e l s ............... 1 3 0

GREUEL, G.M.: On d e f o r m a t i o n of curves and a formula of Deligme .............. ....... ..... . .............................

HARTSHORN]{, R & HIRSCHOWITZ,

A.: Droites en p o s i t i o n g6n6rale

dans l'espaee p r o j e c t i f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

HENRY, J.P.G.

141

]69

& MERLE, M.: Limites d ' e s p a c e s tangents et transversalit6 de v a r i 6 t 6 s p o l a i r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189

HERR~IANN,M & ORBANZ, U.: B e t w e e n e q u i m u l t l p l i c i t y and normal

LEJEUNE-JALABERT,

flatness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200

M.: Liaison et r e s i d u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233

MARUYAMA, M.: E l e m e n t a r y t r a n s f o r m a t ± o n s

in the t h e o r y of a l g e -

b r a i c v e c t o r bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

241

× q

PUERTA SALES, F.: Deformations semiuniverselles

et germes

d'espaces analytiques C*-equivariantes ...................

267

SANCHO DE SALAS, J.B.: A vanishing theorem for birational morphisms ................................................ SLODOWY, P.:.Chevalley groups over

275

~((t)) and deformations

of simply elliptic singularities .........................

285

STEENBRINK, J.: On the Picard group of certain smooth surfaces in weighted projective spaces ........................

302

TEISSIER, B.: Vari6t6s polaires II . Multiplicit6s polaires, sections planes et conditions de Whitney .................

314

TROTMAN, D.: Regular stratifications and sufficiency of jets ...............

492

MODULES HOLONOMES A SINGULARITES REGULIERES ET FILTRATION

J.

L.

DE HODGE

BRYLINSKI

INTRODUCTION

Soit fonctions lyti0ues

X une vari6t6

holomorphes sur

X. Ce s o n t

quasi-coh6rent, dente.

sous-vari6t6

est

et

La v a r i 6 t 6

analytique

X, ~ X

des

O est

le

un &-Module

~ la

du f i b r 6

dimension

d'anneaux

cotangent

dont

de X. L o r s q u ' o n

sur

a gauche la

ana

un O - M o d u l e

O de m a n i ~ r e

coh6rent

dimension

a dim~h(~)

des

diff6rentiels

; & est

~ agissant

h-Module T X,

faisceau

op6rateurs

coh6rents

coh6rent,

d'un

Un Module h o l o n o m e ~ e s t dVordre

tement

m~ d o n t

l'ordre

darts l e

le

dans une bonne

~ est

est

= dim ( X ) ,

partout on d i t

6vi-

une au que

~ singularit6s

filtration

r6gulibres

s'annule de ~ .

sur ¢h(~),

La d 6 f i n i t i o n

si

les

op6ra-

accroissent pr6cise

sera

lendon-

§ 1.

g6n6ralement,

p o u r ~"

de c o h o m o l o g i e de f a i s c e a u x

~i(~.)

obtienne

c ~ faisceaux

les

sont

complexe

les

sont

born6,

faisceaux

constructibles. et

tel

que

Plus

les

de c o h o m o l o g i e

faisceaux

du c o m p l e x e

constructibles. est

seulement bien d6fini

de l a

~e c o h o m o l o g i e

i

~xt~(O,~)

de h - M o d u l e s ,

holonomes~ sont

~ partir

,

faisceaux

un complexe

~,~:om~(O,~')

Ce d e r n i e r v 6 e D(X)

dit

symbole principal

Pour ~ holonome,

et

des

holonome.

teurs

n6e

complexe O=O X le faisceau

faisceaux

caract6ristique

~h(~)

moins 6gale

sur

cat6gorie

dans

des complexes

constructibles,

la

cat6gorie

de f a i s c e a u x

en i n v e r s a n t

les

d6ribombs

quasi-isomor-

phismes. On i n t r o d u i t plexes t6s

born6s

r6gulieres.

On l a

Mebkhout LK-K],

~K5],

une

autre

de ~ - M o d u l e s ,

ont

note

d'un

d6riv6e,

obtenue


~ partir

holonomes

des

com-

~ singulari-

D(&)h. r .

c~t6

d~montr6

cat6gorie

a faisceaux

[M1],

que

le

[M2~,

[M~,

Kashiwara

foncteur

DR : D(2~X)h. r

) D(X) c

et

Kawai

d'un

autre

(~')~

est

une

~quivalence

qui

sont

Deligne de l a

de c a t e g o r i e s

a r~cemment

avec

de ce r ~ s u l t a t .

singularit~s

Du c ~ t ~

espace nant

lieu

Du c ~ t ~

-

(bien

de ~ -

de Rham.

complexe

ture

de de Rham de ~ .

concerne

de D(X)

sous-espace

d'un

faisceau

d~monstra-

des Modules holonomes Cons.

Perv.(X).

deux categories. ~ la

donn~e d'un

analytique

localement

qui

est

sous-

f e r m ~ Z de Y c o n t e -

constant

correspond

pros)

c

r~guli~res

~ sur

un c o m p l e x e le

complexe

Y - Z. de

d'homolo-

(X) c o r r e s p o n d

construction et

Kawai

EK-K],

~ essentiellement

naturelle

d'une

On d o n n e ~ c e t t e

ensuite

un o b j e t

bonne

et

comme c o m p l e x e filtration

on s ' e n

sert

filtration

oue pour X projective

le

et ~

de

globale

pour

filtrer

nom de f i l t r a t i o n

simple

correspondant

(Y~Ysing ~ ~¥-¥

de Hodge s u r

On j u s t i f i e

h.r

simple

a une r~alisation

au § 3 l a

On c o n j e c t u r e

aux donn~es

un o b j e t

d'un

Perv.

de ~ due h K a s h i w a r a

de H o d g e .

objets

par ~.

~om~((~)

On r a p p e l l e

canonioue le

h.r.

de C o n s .

de c e s

a u x m~me d o n n ~ e s ~

tordu

~-

~ une cat~gorie

simples

associer

(X)~

des

On d o n n e au § 1 u n e

cat~gorie

a quasi-isomorphisme

de Y,

A un o b j e t

la

objets

de ¥~ e t

Perv.

non nul)*.

que

~quivalente

on s a l t

d~fini

caract~risation

Module h o l o n o m e ~ s i n g u l a r i t ~ s terme

f e r m ~ Y de X,

d'intersection

unique

est

§ 2 les

singulier

de C o n s .

faisceaux gie

au

h.r,

analytique

le

un s e u l

r~guli~res

de ~ -

~

On en d ~ d u i t

On d ~ c r i t -

triangul~es.

donn~ une

f o r m e DR(~) a v e c

( v u comme c o m p l e x e tion

~TW.om~(~,~')

cette

. ) , on o b t i e n t grace a cette filtration une strucsing l'homologie de Goresky-MacPhcrson (ou d ' i n t e r s e c t i o n ) de ¥.

conjecture

l'adh~rence

dans

par

~3(~)

quelques d'un

exemples,

c~ne

cubique

dont

le

plus

significatif

de ~3 ~ s i n g u l a r i t ~

isol~e

l'origine.

On d i s c u t e ture

et

on t e n t e

bri~vement

de r e l i e r

les

quelques

versions

Modules holonomes

g~n~ralis~es alg~briques

de c e t t e ~ la

conjec-

philosopSie

des motifs.

Je victorieux

remercie pour

la

Marie-Jo frappe

d'un

L~cuyer

de s e s

~pouvantable

efforts

h~ro~ques

manuscrit.

¢

Kashiwara

m'a

inform~

q u e ce r ~ s u l t a t

lui

~tait

connu.

et

finalement

§ 1.

LE PROBLEME

DE RIEMANN-HILBERT.

Rappelons on p o u r r a

d'abord

consulter Si ~ est

trouver

(i) tiels

par

d'ordre

~ gauche de 2 ,

sous-O-Modules m,

et

r6sultats,

pour

lesquels

coh6rent,

une

sur

X,

filtration

on p e u t

croissante

que

telle

ou &(m)

localement

c'est-~-dire

d6note

le

faisceau

des

op6rateurs

diff6ren-

~ m ;

localement~

Par

on p e u t

trouver

un entier

3o t e l

que ~j+m =~(m)

. ~j

pour

exemple~

~ adme£ une

bonne

filtration

par

les

$(m)

(on a ~(m)=

m< O).

tangent

[] ( P )

la

sur

support

X form6

fonction Avec les

(&(m)/~(mest

des

un sous-espace

de l a

bonne

[G]),

sur

analytique

filtration~

de ~

D'apr~s

fonctions

est

not6e

y a partout

Exemples

:

d'id6aux~

pour

Si

de d e g r 6

m. On n o t e

ind6pendant

d6fini.

C'est

du

la vari6t6

de K a s h i w a r a - K a w a i - S a t o

([K-K-S],

[Ma],

voir

:

6galit~,

Y est tout

Ce s u p p o r t ,

~h(~).

un th6or~me

on a p a r t o u t

homog~ne.

donc globalement

dim ~h(~)

Lorsqu'il

T X, h o m o g ~ n e s

homog~ne sur T X associ6e h une section l o c a l e P de ~ ( m ) . notations pr6c6dentes~ @ (~k/~k_l) est un Module sur k~ I1 lui est associ6 un faisceau coh6rent s u r T X~ d o n t l e

1)).

caract6ristique

on d i t

un sous-espace entier

2 d i m (X)

que ~ est

holonome.

analytique

k on i n t r o d u i t

les

ferm6

de X~

~y

son

faisceau

faisceaux

XEY3k(Ox) lm; sxtk(ox/ ,o x) K k[ X / y ] ( O x ) = l i r a g x t k ( ~ n Ces ils

O

Le # - M o d u l e O a d m e t u n e b o n n e f i l t r a t i o n telle que O I = ~O], On=OLa v a r i 6 t 6 analytique Specan(~ &(m)/&(m-1)) s'identifie au f i b r 6 ~ com T X ; ~(m)/~(m-1) s'identifie~ par la construction "symbole principal"

au faisceau

aussi

d6finitions

J ~ Jo"

m ~ O,

choix

des

filtration

&(m) . % C ~ k +

(ii)

pour

un ~-Module

une bonne

{~k]kE~

quelques

[Bj].

sont

faisceaux

holonomes Si

g est

ont

une

structure

yn , OX )

naturelle

de h - M o d u l e s

a gauche~

[K2]. une hypersurface~

0

on a u n e

~ 0 X - - - - ~ 3 C ~ X / y ] ( O X)

suite

exacte

' X ~1 y ] ( o x )

~o

,

et

~X/y](OX)_ le

long

est

le

faisceau

des

de Y, e t - - ~ Y ] ( O x )

est

fonctions

le

holomorphes

faisceau

des

sur

"parties

X - Y, m 6 r o m o r p h e s

polaires"

de c e s

fonc-

tions. Pour

Y lisse

dans

X de c o d i m e n s i o n

k,

on p o s e

:

k

By/x : X[yj(~ x) Remaraue

I

:

l'holonomie

Dans

la suite

de ~ entra{ne

On dit que dans

la cat6gorie

hun

DR(~)

( n = dim X)

celle

les Modules

~ est dI

: 0--)~

de ~'

~ " ~ 0

et ~"

de h - M o d u l e s

et r6ciproquement.

forment

une s o u s - c a t ~ g o r i e

associ6 d2

= (dw)®m+

un complexe

locales

dn_ ]

~[)2®~--4... n Z

( d z . A w ) ® ( ~--~-

on retrouve

persurface

de X, et ~ = 5 ~ X / y ] ( O X) sur X - Y ,

Kashiwara sont

constructibles

Dans la nit

le

complexe

>~n®o~--~O, m) d a n s

tout

systbme

i

(Zl,...,Zn).

Pour ~ = O ,

holomorphes

de Serre

de de Rham.

i=1

de c o o r d o n n 6 e s

coh6rents,

coh6rents.

)~1®0~

d.(~®m)

0~'

holonomes

des h - M o d u l e s

h-Module

avec

exacte

le complexe

m~romorphes

[KI~

de de R h a m holomorphe on a l e le-long

a d~montr6

que

complexe

de X. Pour Y une hy-

des formes

diff~rentielles

de Y.

les faisceaux

de cohomologie

de DR(~)

pour 9~ holonome.

cat~gorie

Sol(~)

des

d6riv6e solutions

des

complexes

de ~ p a r


sur

X~ on d ~ f i -

:

Sol(~) = ~ o m ~ ( ~ , O )

Pour ~ holonome~ l e s f a i s c e a u x de cohomologie de S o l ( ~ ) s o n t c o n s t r u c tibles. Dans l a c a t 6 g o r i e d 6 r i v 6 e D X)

,

on a

:

C

DR(~) = ~ o m ~ ( O , ~ ) Cela r 6 s u l t e d'une r 6 s o l u t i o n de O par des h-Modules l o c a l e m e n t l i b r e s .

0--~®~

avec

hnT--~

di(P®

• - &~'D A i T

(Vl A...

Dans

la

(de " d u a l i t Y " )

i E k=l

A v .=) ~) +

tout

ouvert

(Vl ~...

D(X~ ,on

dispose

d'une

:

Th6orbme

~k...

--00

,

Av.)• A v^ k . . . A v L^

involution

. . .Av . . ) 1

contravariante

~om(F;,¢X)

U de X~ on a u n a c c o u p l e m e n t

> H ~ n ( u , [ X) ~

c une

~ ~--~D

que

• i(U,F') xm2n-i(U,D(F*)) C'est

d1

(-1)k+£p ® ([Vk,V£'] A v I ~...

D(F') Pour

~®O T

•

(-1)k-l(Pvk)®

~ 1- d

anod

0 = (X©~H)~x~

: aoa~uom

~ o~soa

• olqTssodm

amom off

lTeaos

"T > d

Z ~aoddns

anod

uos

' 0 = (X©)

Olea~ods

;no^

uo,nb

oa

o~Tns

uouT~ "~

anb eI

~T~I

suep

np

lo

op o l n o a g p

0

t. ~ d , a n o d

~o 0 ~ 0 ~

~

aed

gsa

lTnpgp

anod

'X op

~ ~

laoddns

e lse,u

( G)b+~

Oli o

oun

alIO~

~uom

II

T ~so

tnb

X ( @)T ~

=((X©)

oa

op a I

~)~=

~9~TIe~ 9 oao!moad

b' eI

~

anod

= (X©) ~'~d:E ~1

(%)~x

: xneoos!e

'~

~ns

$op

Sg;Tie~

o~oexo

~ue~suoo

9 sop

o~tns

oun

neoos!e $ o I ~so

eao; e u0

~ no

(~]9);(~)

~

u

uo

~

~o H a n o d

~ -X~mIp

~ 0

9~uoload

~ O

luomal~TpgmmT soI

"Z-(H) Inu

onb

H = H

uoT~ea~iTJ

aun

9Taea-snos

uo

0

r>'~--'od

: -insga

•oagz

,

:

xneoaST~l

uo

op O l T X a U U O O - o I d m T s ~ I ommoI

ddns

np uoTsnIouoo

ans

UOTSUOmTp

~ue~suoa op

eI

oP S T ~ aoaluom

~uomole~Oi

oggolonbs

oI

I~aTP

ans

=~

"(~[9)'(~C) op

l~jlns

~o Z-~

II

op s a o q a p

9a;uoouoa

;so

H no

wTp

D

'

o
- i + 1

:

) ~J(u-Yi,Xy(~))

j ~ i • est

due ~ Deligne

[D4].

Elle

en d~tail

11

[G-M2].

Les r@sultats

Th~or~me [D4], (i) ny(Ey_y

[G-M2]

Dy(~y(~)) . ) est sing

(ii)

Pour

au groupe

principaux

sont

les

suivants

:

:

est

naturellement

v ~ ~y(~).

isomorphe

En p a r t i c u l i e r

"auto-dual".

Y compacte,

le

groupe

d'hypercohomologie

IH2m_k(Y,~)

d' "homologie

d'intersection

En c o n s e q u e n c e

tH£(Y,~)

et

IH2m_£(Y,~)

th6or~me

8.6

~k(y,Uy(~))

sWidentifi

~ coefficients

tordus

e

par

vv

(iii)

v

sont

en dualit~

parfaite,

pour

Y compacte.

Maintenant, cients

tordus,

Th~or~me

:

Soit

X. On a a l o r s

(ou

sur

Z,

Y un espace

analytique

:

Si

alors

Z'

les

~y(~)

~ X par

est

un ouvert

Modules

isomorphes.

C'est

un faisceau

constructible

est

de [ B - K ] ,

g6n6ralis6

au cas

des

coeffi-

fermi,

purement

de c o d i m e n s i o n

2 dans

:

on a p r o l o n g ~

Remarque

le

s'~crit

localement

pourquoi

constant.

z~ro).

de Y i n c l u s

holonomes

dans

~ ( Y , X ; ~ Z) e t

on a o m i s Z de l a ~ sur

Y- Ysing'

et

Z,et

~ localement

~(Y,X;~

) sont

notation. pour

Z' En p r a t i q u e ,

Z on p r e n d

constant

canoniquement on s e

un ouvert

o~

donne

12

§ 3.

BONNES FILTRATIONS ET FILTRATIONS DE HODGE.

A u n Module h o l o n o m e R . S ~ , une bonne ~.

filtration

canonique,

Nous u t i l i s e r o n s

section

locale

localement

la

et

elliptique

P tel

des

coordonn6es

sous-vari6t6 Iei

est

d'ordre

l'ordre

r)

6gal

le sous-faisceau r r par rapport ~ chaque

vrai

de K a s h i w a r a

que si ~ est si

on a

Pest :

est

riel

est

=

est

micro-locale

Etant

de

donn6 une s'il

existe

de A, un o p 6 r a t e u r

que h soit

O, l ' o r d r e

inad6quat,

a O, d o n c est

fibr6 6gal

conormal r ~ m+~.

nous dirons

l'ordre

modifi6

filtration

que

de

un e n t i e r . qui

de C h ( ~ ) .

est

telle

et

de s e c t i o n s

irr6ductible

de ~ ( m )

le

de u e s t

du M o d u l e h o l o n o m e ~ r ¥ ] ( O x ) ,

modifi6

~r]rE~

bonne

locale

[K-K]

r)

telles

6gal

ordre

composante

une section

dans

de ~ h ( ~ ) ,

g6n6rique

form6 des germes

Cette

6rude

irr6ductible

Xr

cela

Kawai q u e

R.S).

sont

C'est

une bonne

filtration

satisfait

la

que ~ (P) m

d'ordre

un t h 6 o r ~ m e (ce

condition

s'annule

n'est

suivante

sur ~h(~),

P • ~j c~j+m_ 1 •

Nous l ' a p p e l l e r o n s I1

et

de ~

une

de [ K 4 ~.

, g6n6rateur

~ m. C e t

~

profond

r)

n)

. . . . .

propos,

de 5 ( X l ~ . . . , x est

via

du p o i n t

(Xl,...,x xI

Kawai a s s o c i e n t

que

5(xl,...,Xr)

Pour notre

modifi6

P.5(x I ,...,x Soit

locales

l'616ment

d6finie

= P(x,D) . 5(Xl,...,x

V d'6quation

r 3"

et

concrete

A une composante

u(x)

la

est plus

T X~ d a n s u n v o i s i n a g e

micro-diff6rentiel

dans

qui

formulation

u de ~

sur

Kashiwara

facile

la bonne

de v o i r

externe

~

deux vari6t6s,

filtration

que cette

(notations en ce s e n s

canonique

construction

est

de K a s h i w a r a )

de ~

(voir

1' " h u t o c r i t i q u e " ) .

compatible

au p r o d u i t

de d e u x M o d u l e s h o l o n o m e s

tensoR.S sur

que

i+j=k le

point

Grace

est

que n o t r e

"ordre

~ elle,

nous

d6finissons

FPDR:(~)

: 0 ---~_p

modifi6" une

est

toujours

filtration

un e n t i e r .

d6croissante

F"

du c o m p l e x e

DR(~)

Nous o s o n s consid6rons

l'appeler le

cas

--~1®O~_p+1

filtration d'une

~

de H o d g e .

sous-vari6t6

lisse

...

~ai®9~

p+i

...

~n®o~

p+ n ----~0

Avant

de p r o p o s e r

¥ de X , e t

une conjecture,

du Module h o l o n o m e

de

:

13 ~codim Y

(~x) = ~ v x "

~

•

o

On a ~ / x : 1 , ~ x t ~

codim Y

k L'ordre tier

modifi6

k tel

donc,

d'une

section

que u provienne

en posant

FPDR(~)

k

(Ox/3~ , Ox)-

X

est

nul

u de 8 Y / X e s t

d'une

section

clairement

locale

~=~y/X'

e t £ = c o d i m Y,

en degr~ s

inf~rieurs

6gal

de £ . c o d i m X~Ox

l'~galit~

: ~-1=

au p l u s

petit

en-

¥ ( O X / ~ , O X ) " On a

O, e t

par

consequent

~ p.

On a

:

res

!

On a u n e a p p l i c a t i o n

r~sidu

:

phismes de complexes

de DR(~]~) vers DR(¥)[~],

ainsi un mor-

. On o b t i e n t

y](~A)~y

le complexe

de de Rham de Y d~cal6

de ~ vers la gauche. On v~rifie imm~diatement

que ce morphisme

filtration F" et la filtration bSte de DR(Y)[2]. cal que ce morphisme la filtration

est un quasi-isomorphisme

la

filtration

alg~brique Etudions

Localement donn~es

AI

le

Y est

lisse

£ partir

Pour

section

de 2 s o u s

l'hypoth~se

que Y est

une vari~%~

est

bonne

l'~quation

z 1 × ...

I un sous-ensemble

x z r = O, d a n s u n s y s t e m e de [ 1 , . . . , r } ,

soit

YI l a

de c o o r sous-

z. = 0 ( i E I ) . ~ h ( ~ ) e s t l a r ~ u n i o n , p o u r c e s I , de 1 ~ YI " ~ --~X/Y~(OX ) e s t e n g e n d r 6 p a r l a f o n c t i o n m ~ r o m o r -

tout

I,

au v o i s i n a g e

1 par de 1--]'-------~-. l iEI donc d'ordre

filtration [D2 ].

z~ro.

[~k ] n'est

autre

F induit donc sur ~k(x,DR(~x/y](OX))

: ferm~e

Soit

cas

que

o~ X e s t

g6n~rique

par

On e n d ~ d u i t

tion

de Hodge de

Dans le

du p o i n t

multiplication

de D e l i g n e

filtration

pour Y une hyper-

normaux.

p~le

g~brique

loc. cir.,

~ Hk-£(y,¢)

du M o d u l e h o t o n o m e ~ _ _X / y ] ( O X ) = 3 ,

par

Pour

conormal

s'obtient

Conjecture

D'apres

d'~quation

Zr

la

cas

d~fini

phe l z l . . .

que

le

(zl,...,Zn).

fibr~

Cette

~ ~k-2(Y,DR(Y))

de Hodge d ~ c a l ~ e

de X ~ c r o i s e m e n t s

vari~t~

[D23-

filtr~

lo-

projective. maintenant

surface

avec notre

induite par F" sur ~k(x,DR(~))

est

est compatible

On v~rifie par un calcul

la

une

que

fonction

1 z I ...

filtration

une vari~tb

~Ek(x,~J

de h I ,

zn par

1 zl ...

Zr

inversible.

est

dans ~

l'ordre

projective,

la

et

o

du filtra-

~ g X _ Y) mHk( X - Y,g),

la

[D23.

X une vari~t~

de d i m e n s i o n

met

alg~brique

projective,


£,

la

Y une sous-vari~t~ filtration

induite

alpar

i4

F"

+£

sur

]Hk(y,DR(L(Y,X))

ainsi

que

le

r6seau

:

]Hk+£(Y,~y,x ) = (H2m_k_£(Y,~))

(H2m_k_£(Y,~)) , d6finissent

une structure

,

de Hodge de p o i d s

k+£.

Cette [C-G-M,§ ~,

cofijecture

~ ceci

pros

I1 y aurait pour

Mais pour

tration

qui

construction

il

une repr6sentation

s'y

~ 1*heure

la

courbe

Y = Y- [O}.~J_[o}. groupes

cas

[Z], V

du g r o u p e

maintenant

ne s e m b l e

sur

le

sur

complexe

filtration

6tudie

est

de t y p e

cas

un o u v e r t

de Z.

W , et

Z de

W

et,

filde

3.

Soit

s'obtient

le

plus

X= E J ,

On s u p p o s e

projective

par une m6thode

(O,O)

Ce c a s

la

correspond

ne n 6 c e s s i t e

conjecture

le

pourrait

que nous ayons

que Y a une s i n g u l a r i t 6

complexe

d6finition

significatif

YQ)X un c S n e d ' 6 q u a t i o n

E correspondante

d'abord

Par

B une boule

~y.

est

F(X,Y,Z) = 0

isol6e

en 0

lisse).

On a l a

~ Y I Y - [ O } = EY-[O} '

stratification

et

la

fibre

de W h i t n e y

de ~y en O a

:

centr6e

en O).

On a d o n e ,

dans

Y- (O},f)

pour

i ~ 1

i 2 2

On v 6 r i f i e la

pour

ais6ment

cat~gorie

Cons.

:

3 £ ° ( n y ) ° = E,

Perv(X),

une

suite

Sol

suite

exacte

• HI(E){o}

d'ailleurs

en a p p l i q u a n t

le

foncteur

a la

exacte

sui-

de M o d u l e s h o l o n o m e s R . S

o que

la

dim X= 1.

purement

fondamental

bon.

de de Rham u n e

trait6 le

le

de L ( Y , X ; V )

de Hodge s u r

5tre

qui

dans

pas

au c a s

polaris6es

de Hodge s u r

au c a s

actuelle.

0

telle

Hodge

de l a

oh

de t h 6 o r i e


~l(ny) ° = HI(E).

vante

conjecture

o~ Y = X d e v r a i t

= 0

qui

indiqu6

cette

d6finir

fois

~i(~y) O~Hi(Bn

(pour

y est

pr6sent6e

directement.

D~terminons

pour

le

unitaire

a v e c F h o m o g ~ n e de d e g r 6 (donc q u e

faudrait

que

Nous passons vu t r a i t e r

qui

de

de Z u c k e r

en p r i n c i p e ,

~noncer

poids

Le c a s

de 1 ' a r t i c l e On r e m a r q u e r a

donc p a s ,

le

par une conjecture

de g 6 n 6 r a l i s e r

compte h la

pr6c6dente.

s'inspirant

motiv6e

de s t r u c t u r e s

cola,

tienne

que

lieu

W une variation

Yreg"

a 6t6

la

~ £(Y,X)

filtration

1 ](OX ) BWEY

, HI(E)~E~gOj/X

F" de D R ( 2 ( Y ~ X ) ) = ~ v ~ - l ~

induise

une

)0

filtration

sur

15

~l(y~y)

~H°(y~I(~y))~HI(E).

de H I ( E ) . ( 1 ) . singularit~s

En e f f e t ~ p Y ~Y p o u r

On s ' a t t e n d

l'~clatement laquelle

on a

cons6quent,

Pherson,

ces

B l(y,~y)

isomorphismes

Nous a l l o n s induit base

sur

~(Y,X)

de l ' e s p a c e

d'abord,

il

) ( s + ~ ) 2( s +

donc F -2 est n-

normal

Plus le

n~k-

rapport et

n-

1 et

3n-

dans ~3n-3

s u r --~1¥](OX)" E l l e

canonique..

Nous t r o u v e r o n s

2

3 par

rapport

les

P(s~, I1 est

est

~ h2= fibr6

ra

r,

du f i b r $

conormal

engendr6

P les -~ F 4,

et

co-

£ 0 d a n s X.

non divisible

3 n - 3 - k. 1 par ~ , ~1 par

Tout

que F-nest

I1 en r~sulte

q l e s ~-~ a v e c Q h o m o g ~ n e de d e g r 6

2, ~ 2 p a r

clair

A1= a d h 6 r e n c e

3 p o u r A2 .

une

de F e s t 6 g a l 8-~ )F s = b ( s ) " F S - l '

par

F~

que ~ k est

6 1 6 m e n t s R . F - n comme c i - d e s s u s

c'est-h-dire o

:

p o u r R p o l y n ~ m e de d e g r 6 par

aussi

Hom&(~y](OX),B[O}/X).__

~y](OX).

3n- r-

~

:

lagrangienne

1 p o u r A1 e t

3- r~k,

les

avec

avec P homog~-

etc.

1 Fn e s t

dans

' il

suffit

mais pas ~3n-2" Pour

d6terminer lequel

de Hodge [ C - G - M ] .

canonique

engendr6

En p a r t i c u l i e r ne de d e g r 6

structures

du ~ - M o d u l e

3n-

des

Cheeger-Goresky-Mac

l e p o l y n S m e de B e r n s t e i n

h la vari6t6

d~ordre

coh$rent

d'apres

On a u n e r e l a t i o n

g6n~ralement~

d'ordre

faisceau

1).

un g 6 n 6 r a t e u r 1 par

~ Y- [0]~

R/ Fnest

] que

de Hodge

une r~solution

filtration


de [

et,

pr6server

la bonne

la bonne filtration vectoriel

filtration

~ ~y

~HI(E,E)

doivent

6tudier

r~sulte

b(s) = s2(s+

d'ordre

~1(~,~)

la

d6finit

:

"~ 1]Rp ~ y Par

a obtenir

de l ' o r i g i n e

d6terminer

l'image

les

de F - 2 .

l e champ de v e c t e u r s

mog~ne de d e g r 6

-6,

et

morphismes

Ce d o l t

~tre

g= X. ~+

on p e u t

de ~ y ] ( O X) v e r s un 6 1 6 m e n t

Y . 8-~ a g i t

l'6crire

~[O}/X

de B [ O ~ / x

par

~ disons

~. u=-6u.

de

u~ s u r

Doric u e s t

ho-

:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 n = X4y----~+Xy4--~+ XyZ----~+X3y2-----~+X3yZ-~+ xZy3-----~+Xy3z---~ + X2yZ-----~+ a 9

+ ~ +

D'autre

part~

rateurs

similaires.

donn6es

choisies

Pour

F-2 est

annul6

par

I1 en est

faire

le

calcul,

de m a n i ~ r e

alO X2¥2Z2

l'op6rateur

~F _~ 5F (~-~) • - (~-~) . ~ - ~ , e t

deux op~-

d o n c de m~me de u. on s u p p o s e r a ~

~ avoir

comme i l

est

loisible~

: F = X 3 + y 3 + Z 3 + kXYZ. On a

les :

coor-

16 a2 = 3 ( -X 2- y +2 z

~F . ~-~(u) - (~-~) a3 + ~(

2a 5

a7

2a 6 a7 2) X3y----~+ X2---~jZ

2a S

a9

2alo

v 3 + X3yz - - + -Xy3z - + - X2yz X.Z 2 + Xy2z-------2+X2--~ )

- (~y)

OF

~1 - - + = 3(X2 Z

. ~-~(u)

a3

a5

2a___~7

2a4 a5 - + Xy3Z Xy2Z 2

-

a______~_8

2a9

2a10

+ X ( X y Z 3 + X3¥------Z+ Xy3z + X2yz 2 + Xy2z-------~+X--~y2Z ) En

6galant

aI

Les

les

= a3

deux

,

3 a 6 + Xa 5

6quations

a4 = a5 ...... En

coefficients~

effet~

on

= 0

,

analogues

trouve

:

3 a 4 + Xa 7

pour

u

= 0

donnent

~

3a 7 + k a 8

ai

= 0

= a2= a 3 et

~

3a 5 + ~a 9

= 0

6galement

a 9 = O. on

obtient

:

Z 2 = _(3)3 a 4 = - ~ a7 = ( - ~ ) a S a4 d'ou ~2

a4=O s a u f est

lisse

si

k3 (-~) = - 1 ,

(cf.

I'D-R,

cas page

exclu

puisque

148]).

la courbe

Les autres

E d'6quation

annulations

F= 0 dans

s'obtiennent

de

m~me • Ainsi

doric u e s t

41

X4yZ1 +--Xy4ZI +--XyZ e t sion

2,

on e n d 6 d u i t

par

darts l ' e s p a c e

sans

coup ~(F-2)

2 engendr6

=

1'existence

est

par aussi

de d e u x ~ - m o r p h i s m e s

1 + 1 1 X4yz Xy4-----Z+ Xyz4 =

1 X2y2z 2

: ~(F-1)

Alors

f6rir

~(F-2)

et On a


X2y2z21 . Comme 3 < o m d ~ ( ~ y ] ( O X ) , / 3 ~ O } / x )

que

= (X 3 + y3 + Z 3 + XXYZ) • (

1 1 l____~_) = 3 X4yz + Xy4Z + Xyz 4 XYZ

:

,(F-l)

= (X ~

y 3 + Z3

~XYZ).

(

) = XYZ

de d i m e n ~,

~ avec

17

Par

cons6quent

qui

annulent

3~/

_

X~ s ' a n n u l e

F-1 et

sur

engendre

l'espace

des morphismes

F-1.

La f i l t r a t i o n

de Hodge du c o m p l e x e

DR(~yj(OX))

en induit

une sur

o n e c e t e s p a c e de d i m e n ~2" (DR( ~ l Y ~ ( ~ X ) ) o ~ 2 ( D R ( ~ ( Y , X ) ) o ~ K I ( EV)o" On v 6 r i f i e sion 2 est engendr6 par les classes des 616ments suivants de ~ ® ~ X ~ ( ¥ , X ) : v

¥ = (dY^dZ)~

( ) + (dZ ^ d X ) ® ( ~ ) + ( d X ^ d Y ) ® (XY2Z) + ( d X ^ 0 Y ) ®

(x2Yz)

Le p r e m i e r

Par Par

ailleurs,

fiant

a la

cons6quent~

filtration

Z= I~ de v o i r long

cet

espace

habituelle en effet

qu'elles de l a

'

(XYz2)

2 dans a X®~(X,Y)

le deuxieme

on a O= F + 5 ~ F + 2 = ¢ • ~ y ~ c F +1 = ~ l ( ~ y ) °

on i d e n t i f i e

I1 suffit

ment le

2 d a n s fiX ® ~ ( Y ' X ) o

616ment est

( )

sur

~ HI(E), la filtration de Hodge s ' i d e n t i H 1 ( E ) , a un d 6 c a l a g e de i p r e s .

de r e s t r e i n d r e

se prolongent

courbe

nos 2-formes

a des formes

E (d'6quation

sur

m6romorphes

au p l a n

~2 ~ avec pSles seuledX A dY On a y F '

F ( X , Y , Z ) = O).

_ XYdX ^ dY F2 D'apr~s sont

[D2,

respectivement

Proposition

9.2.6],

dans F 1HI(E,E)

et

On a d o n c i d e n t i f i 6 HI(E) notre

, ce out

conjecture

est

Notons

bien

filtration

d'un

cSne alg~brique

~1(~) n'6tait

avec

que ce genre ~ singularit~

l*adh6rence

~l(y,ny).

p a s un p r o b l ~ m e

s6rieux,

On s e d o n n e m a i n t e n a n t

(le

sur

on p e u t

qu'elle

d6calage

sens

de I d a n s

6tudier

cofncide

la

filtration

a un d 6 c a l a g e

pres

de avec

HI(E).

de m 6 t h o d e s isol6e dans notre puisque

permettra

de c o m p r e n d r e

~ l'origine.

~ de Y d a n s ~ 3 ( E )

Naturellement

de Hodge e n n o t r e

conjecture

en compte).

et montrer

de Hodge o r d i n a i r e

On e s p ~ r e

vailler

pris

de ~ e t ~ d a n s H I ( E , E )

sa filtration

avec notre

que p a r u n e m 6 t h o d e s i m i l a i r e

Hodge s u r ~5(DR(~¥](~DX))O,~ la

s~r

r6sidus

F°HI(E,~).

~l(~y) 0 (avec

compatible

grant

les

~ 6rant

une vari~t6

pu a u s s i

tra-

donn6 que

exemple,

tout

On a u r a i t

le cas

la non-compacit6

se passait

alg6brique

de Y

a ]'origine.

lisse,

X. On n o t e r a

~X

18

le faisceau

de Z a r i s k i

des o p 6 r a t e u r s

diff6rentiels

~ x a n ~ O x a n ® O X~x ( i s o m o r p h i s m e de f a i s c e a a x a pas de d i f f i c u l t ~ &x-Module, i l

~ d~finir

la nation

est quasi-cohSrent

alg6briques.

localement libres

On a a l o r s

sur xan).

:

I1 n ' y

de ~x-MOdule holonome. Si ~ e s t un t e l

comme Ox-Module. On n o t e r a ~ a n l e ~xan-NOdule

holonome e o r r e s p o n d a n t . Proposition

:

Si X e s t p r o p r e ,

complexes born6s d'espaees

l e morphisme n a t u r e l ,

vectoriels

dans l a c a t 6 g o r i e

des

s u r E~ de ~ H o m ~ (OXen) v e r s A

~(om~

(Oan,~an),

es£ un i s o m o r p h i s m e .

Xan D6monstration

: 0

OX admet comme ~x-MOdule une r ~ s o l u t i o n • "~X%x An(TX )

~" . . . . . .

p a r l e complexe

" &X®~X TX - - ~ X

degr~ - n La r 6 s o l u t i o n te).

I1 suffit

degr~ 0

(~ d r o i de O s'obtient par tensorisation avec O Xan Xan de m o n t r e r que pour O~ i ~ n, l e morphisme n a t u r e l

similaire

~5~Om~X(~X®oxA1Tx,~)

~ ~5~Om~Xan ( ~ x a n % x a n A1Tx,~ an )

e s t un i s o m o r p h i s m e . Or,cela

revient

a m o n t r e r que l e morphisme n a t u r e l

~](omox(AiTx,~ ) e s t un i s o m o r p h i s m e , lytique.

ou e n c o r e que E X t ~ x ( A i T x , ~ ) s ' i d e n t i f i e

a son a v a t a r ~X ~ j i Or Ext (AiTx , ~ ) e s t i s o m o r p h e a EXtOx(OXJ'Qxi®oX ~ ) _ H X ( ~ X ® O X ~ )

i®~x~ est quasi-coh6rent, comme ~X Remarque

~OmOX an(AiTXan'~an)

:

il

suffit

d'appliquer

anaet

GAGA.

On p e u t se demander p l u s g 6 n 6 r a l e m e n t s i pour deux ~x-MOdules ho-

lonomes ~ e t ~, on a

: EXt~x(~,~ ) "~)Ext~

(~an ~an) Xan

Je s u p p o s e que c e l a p e u t se d 6 d u i r e du c a s p a r t i c u l i e r 'P6duction ~ la diagonale',

mais j e ne l ' a i

pas v 6 r i f i 6 .

~ = O X p a r un p r o c 6 d 6 de

19

Etant de t y p e

fini

donn6 un ~x-MOdule s u r Q,

xe born6

F~

ble

fibres

(les

sur

lequel


me dans D(X)

sont

holonome,

X et ~

en groupes

donc

des

on s e

ab61iens

groupes

donne un sous-corps

d6finis.

On s u p p o s e

sur

ab61$ens

X~ a c o h o m o l o g i e

de t y p e

fini~

K de g ,

donn6 un comple-

et

constructi-

un isomorphis-

:

c

F~ = E ® ~ F " On s u p p o s e

donn6,

site

X6 t

6tale

sont

pour

de

Ona u n m o r p h i s m e

chaque

XK ~

2,

~NSCOm~x un complexe

a cohomologie

de s i t e s

an(Oxan'~-an') born6

F~ de ~ £ - f a i s c e a u x

constructible

de Xa n v e r s

X6 t ,

not6

(voir

SGA I V ,

¢ : Xa n - x

sur

le

Expos6 X).

6t

dans

1'expos6

de ~ ( F ~ )

vers

~£ ®~F"

XlII

de SGA I V . On s u p p o s e (pour

tout

donn6

de c e s

tout

i,

-

d'un

K-espace

-

d'un groupe ab61ien i ~ ¢ ®~ i

on d i s p o s e

® K H D R --

-

d'un

pose

Hi ~

il

avec

une

Module

filtration

H i~ = $ i ( X , F ~ )

et

=~i(x K-et~F~. )

sur

par

y aurait

lieu

le

au sens

poids

n6cessaire.

de t o u t

de r u e

appel6

holonome

motivique.

de H o d g e

d'un

i i = E x t ~X ( ~ x , ~ ) : HDR

ce qui

s'av~rera

isomorphisme

lequel

On d e v r a i t est

en g6n6ral

Gal(K/K)

de D e l i g n e .

alors

n6cessaire

de q u e l q u e

de d 6 f i n i r

obtenir

agit,

et

d'un

pour

utilit6.

le

chacun

de c e s

Dans le

cas

ou ~ = ~ ( Y , X )

(en

tout

en obtenir

Dans

sur

un motif

cas

on espere ainsi d6finir des motifs correspondant

un).

J'espere

X= G/B v a r i 6 t 6

a Exti(Mw,M

cas,

objets cela

on d i s -

que ce point de d r a p e a u x ~

) ou

Extl(Mw~L

w

(notations

) w

de EB-K]).

Dans le cas du Module holonome ~ (et donc sur ~

w

logie ~-adique~ ral.

;

i ® ~ H ~ i ~ H~£

~

filtration pas

sera

;

~-module

Enfin,

n'est

donn6es

:

vectoriel

H~

isomorphisme

une

un isomorphisme

4). L'ensemble

Pour

de p l u s

) devait correspondre

w

,

la filtration

a une filtration

que Deligne s'applique

a construire

de Jantzen sur M

w

par le poids en c o h o m o -

dans un cadre tres g6n6-

20

Autocritique

Bien que Kashiwara bonne

filtration

"naive"

que

j'en

unipoLente

entier.

Kawai

d6finissent

canonique

d'un

ai

ne s ' a p p l i q u e

donn6e

relativement

risti0ue.

et

Sous cette

~

si

routes

le

au p r o d u i t

pas

conjecture

demeure probablement

qu'h

les

chapitre

ordre

de

modifi6

tensoriel

pas

pose

satisfait

d6finition

caractb-

tou3ours

alors

cette

V] l a

"monodromie"

sa vari6t6

n'est

externe

Module h o l o n o m e ~ ( ¥ , X )

la

u n Module q u i a u n e

composantes

notre

de ne s a i s

~K-K,

Module h o l o n o m e R.S q u e l c o n q u e ,

hypothbse,

La c o m p a t i b i l i £ 6

dans

un

probleme.

hypoth~se

; la

raisonnable.

BIBLIOGRAPHIE

En-B3

Beilinson, Note

[Bj3 ~B-K]

h.

B38rk,

J.E.

l'Ecole

~D13

J.L.

C.

Sur

of Differential

Kashiwara,

M.

M. e t

McPherson,

diff6rentielles

Holland

1980.

conjecture

de M a t h 6 m a t i q u e s

and de

Equations Lecture

Notes

in

R.

:

algebraic

varieties,

~ points

Mathematics

P.

:

Th6orie

de Hodge I I ,

P.

:

Th6orie

de Hodge

2 The L - c o h o m o l o g y

Publ.

singuliers

No 163

Math.

and

preprint. r6gu-

(1970).

de I ' I . H . E . S . ,

40.

Deligne,

III,

Publ.

Math.

de I ' I . H . E . S . ,

44.

Deligne,

P.

:

~D-R3

Deligne,

P.

et

elliptiques, Notes

Gabber,

O.

preprint,

Lettre

h D. K a z h d a n e t

Rapoport,

in

Lecture

Modular

M.

:

:

On t h e

Tel-Aviv M. e t

logy 19,

(1980)

Goresky,

M. e t

p.

Lusztig,

avril

of the

One V a r i a b l e

1979. de c o u r b e s

II,

Springer

No 349.

integrability

University,

MacPherson,

G.

L e s s c h 6 m a s de m o d u l e s

Functions

in Mathematics

Goresky,

tre.

North

N o v e m b r e 1980.

:

Deligne,

des Q-modules,

Kazhdan-Lusztig

Deligne,

P.

localisation

du C e n t r e

singular

Springer

la

operators,

:

pr6-publication

; Goresky,

[D4J

EG-M23

et

systems,

:

~ p a r a l *t r e .

homology for

vol.

EG3

Rings

I.

Paris,

intersection

vol. [D3"]

Sc.

Polytechnique,

Cheeger,

liers, ~D23

Bernstein,

Acad.

:

Brylinski, holonomic

IC-G-M~

et

a u x C. R.

of the

characteristic

variety,

1980.

R.

:

Intersection

homology theory,

R.

:

Intersection

homology,

Topo-

135-162.

MacPherson,

II,

~ para~-

21

Kashiwara,

M.

differential p. ~K2]

:

On t h e

equations

maximally

I,

Publ.

Kashiwara,

M. IID

On t h e

holonomic

Inventiones

Kashiwara,

M.

r~dig6

par

:

:

Math.

Micro-local

EK53

Kashiwara,

M.

:

Faisceaux

aux d6riv6es

1979-1980,

Kashiwara, rential

M. e t

Kyoto Univ.

preprint,

constructibles

et

expos6

differential

:

On h o l o n o m i c

Systems

with

de P a r i s - N o r d

syst~mes

de

(1978).

holonomes

l'Ecole

systems

regular

cours

Nagoya University.

au S 6 m i n a i r e

de M a t h 6 m a t i q u e s

T.

III-

GoulaouicPolytechnique.

of micro-diffe-

singularities,

R.I.M.S.,

(1979).

Kashiwara~

M. ; Kawai~

differential

equations,

T.

et

Sato,

Springer

M.

Microfunctions

Lecture

Notes

in

and p s e u d o -

Math.

No 287

(1975)

264-529.

Malgrange,

:

L'involutivit6

micro-diff6rentiels,

S~minaire

in

linear

121-135.

calculus,

partielles,

Centre

Kawai,

equations

p.

linear

Universit~

:

d'6quations

49 ( 1 9 7 8 )

of

Fernandes,

Montefro

M.

Schwartz

systems

microdiff~rentielles~

Teresa

[M1]

of

10 ( 1 9 7 5 )

d'~quations

Kashiwara,

p.

Kyoto Univ.

Syst~mes

[K4]

EK-K-S]

R.I.M.S.,

systems

563-579.

equations

~K-K]

overdetermined

Math.

B.

No 710~

Mebkhout~

Z.

p.

des

caract~ristiques

Bourbaki~

in Springer

des syst~mes Lecture

Notes

277-289.

:

T h ~ s e de d o c t o r a t

:

Dualit~

d'Etat~

Universit6

de P a r i s

VII

(1979).

[M2] EMs]

Mebkhout,

Z.

Singularit~s,

Publ.

Mebkhout~

:

hcad.

Z.

Sc.

Verdier, I'E.N.S.,

[w] rz]

Zucker~

t. :

:

290

probleme

Paris

YII~

sur

les

No 7.

de R i e m a n n - H i l b e r t ,

N o t e a u x C. R.

(5 M a r s 1 9 8 0 ) .

hst~risque

Asymptotic

Wiley, S.

le

E x p o s ~ au S ~ m i n a i r e

de l ' U n i v .

E x p o s ~ YI au S ~ m i n a i r e

1974-75~

Wasow, W. tions,

Sur

Paris~ J.L.

de P o i n c a r ~

Math.

de G ~ o m ~ t r i e

hnalytique

de

No 3 6 - 3 7 .

expansions

for

ordinary

differential

equa-

1963. :

mology in the

Hodge t h e o r y Poincar~

with

metric,

degenerating

Annals

of Math.

coefficients 10 9 ( 1 9 7 9 ) ,

: L2 e o h o p.

C e n t r e de M a t h d m a t i q n e s Ecole Polytechnique Plateau de P a l a i s e a u F-91128 (France)

PALAISEAU C e d e x

415-476.

ON P R O J E C T I O N S

by

A.

OF

Carnpillo

SPACE

(~)

(~)Departamento

and

ALGEBROID

J.

de A l g e b r a

CURVES

Castellanos

(~)

y Fundamentos.

Universidad

de V a l l a d o l i d . (~)

Departamento

de A l g e b r a

Complutense

y Fundamentos.

Universidad

de M a d r i d .

INTRODUCTION Hamburger-Noether order

to d e s c r i b e

space

algebroid

iVLoreover,

on

curves

the

associated

facts

on

paper

in t e r m s

such

generic

of q u a d r a t i c

the d the

we

use

infinitely

some

of

in

[ 2 ] in

irreducible

transformations.

gives near

curve

a complete

points

of the

of

of i~ o n e

I~" on

of the

information

]'he

main

, associated of the

t~" h a s

multiplicity

of this

curves.

of a m a t r i x

desingularization

projection

embedding

of

expansion,

irreducible

preserving

process

expansion

algebroid

a Hamburger-Noether

for

means

sequence

space

computation,

a given

by

considered

orig

n

curve.

In this some

are

desi ngularization

a Hamburger-Noether

information of t h e

the

expansions

minimum

a d-plane, coordinate

integer on

multiplicity of

is the

d for

to which

Furthermore

with

in f a c t ,

d-planes

way

a d-plane

sequence.

0" a g r e e s and,

result

in a n a t u r a l

a projection

sequence

to d e t e r m i n e

that for

provides

of a

any a generic

projection. In the sequence~all posible

values

last

the

section

posible

of the

we

values

embedding

determine,

for

a fixed

of d~

for

d also

and

dimension.

multiplicity fixed,

all

the

23

1.

Infinitely

near

points.

Consider A N = k[[X total

1 , ...

blowing

rnaxi real the of

~ )

,XN]] up

ideal

closed

of

called

neigbourhood.

(N-1)-space

are

~,

I

•

one

Pro

near

near

AN

and

the

A

closed point of -1 ~ (O) (exceptional of

O

in

the

isomorphic

thus

infinitely

the

origin

Spec

order

the

projective

near

points

Spec

A

in

AN,

divisor

first to

7

( M the

N

the

correspond

. For

a closed

N

BIM( A N ) 'O1 ~, of

Spec

field,

~, S p e c

n=o

canonically

through ~

the

global

points

in

closed

points

MnjMn + l ) ,

space

; ( I ~ ) M n)

k-subscheme

divisor

of

higher

O in

order

AN,

and

blowing

up

the

second

the

closed

points

of

I,~BIM(AN),O1

order

neigbourhoods

are

defined

curve

Spec~

y. embedding

A N determines where

is

algebroid

denotes

has

Points

An

points,

O

the

infinitely

inductivel,

AN)=

If

matrices.

algebraically~

infinitely -1 ~ (O) is

(O)

neigbourhood.

O.

of

exceptional

called

Spec

AN).

n=o to directions -1

O1C

the

, k an

Proj(

bijectively

in

N-dimensional

~ : BIM(

points

are

point

the

Hamburger-Noether

a point"

the

the

irreducible

closed

first

Xl = x l ( t ) ,

. . . ,XN=XN(t)

sequence

O,O1,...,Oi,...

expansion

an

a sequence

O is in

of

point

order are

, . . . ,O. . , j. . of

to

SpecA

neigbourhood

parametric is

corresponding

O,O1

algebroid

equations

represented

this

N of

by

infinitely

and

for

Oi

•

-]

for

near

all

i>/1,

If

the

curve,

the

a Hamburger-Noether

pararnetrization, h

of

(see

[ 2]

,2.4.):

h

Y = A01z 0 +.-

Z 0 = A1 l z ]

. + A 0 h z 0 + Z1 z 0 h h +" - - + A l h z 1 1 + Z2 Zl 1

(I)

I

Z r - 1 = A rl z r + A r 2 where

A

are

ji ( N-l)xl-matrices Z.

j

and

ord(z

Z

j

of

2 zr +

(N-1)xl-matrices

with minimum

I ) ~ ord(z0);

with

entries order

z 0 is

one

in

k[[.t]]

entries

in k;

; z.C J entries

k[[t'l~l

among

the

of

power

the

series

in

Z

Z .; j × l(t),

and

j

is

Z.

J

a entry

I =ord(z

r

of )

of

so

t

not

that

it

implies

that

a

that a less will j < i.

form

form

same

Y2 the

follows

setting

used

is

as

inmediately.

Li+ 1 = L i

immediately

notations

and of

6i

argument

2 imply

same

%0 ?~ 0

the

all

] < i. L.

appear

preserved

and

Y1

L i,

i+m

of

of

the

the

if

term

: G'i(XO,...,Xi,ao,...,ai_l,bo,...,bi_l)

is

with

unique and

only

in

relation

hypothesis

e(y)

j < i.

does

relatio U

a

expression

~

m+i m aobi X0 a i - ~ 0 ~ bfrom

a.j

with

the

and

from

and

bj

from

since

Altogether

come

The 0

j+n+m,

affect

X0m+i ai~

involVem aobiX'J

term:

which

namely

in

followin

before,

simultaneous

can

proposition

the

the

equivalent

we

to algebraic

the

reach

the

2.

9

formal the

Since

equivalence

existence equations

of in

a ), =

(XO,Xl,-..)

c~i)

X i = Fi(XO,...,Xi_l,bo,...,bi+n_m)

,

i ~/£-n

b

0 aj + Gj(),O ' .... Xj,a 0 ..... aj_l,bo,... ,b j _ l ) , Bj) bj = ~0" a%

where

the

which

are

Furthermore, for

all

F.

i

and

defined X. J

permissible

G. j

for appears

are all

rational

functions

permissible effectively

secuences

of

a's,

with

sequences in b's

G. J and

and

of only

X's.

j

,~ F - m

coefficients a's, with

b's

in

and

exponent

C

X's. 1,

54

7.

First

the

applications.

equations

variables in

in

x.

which

for

only

First

the

first

all

i

the

we

see

group

such

due

above

that

remaining

that

i+n

~,.'s

it

to

is

the

particular

possible

,~ I" a n d

and

the

get

an

to

form

eliminate

equivalent

relations

of

comming

the

system from

the B

i

ar,e

j

present. The

theorem

also

of

branches

equivalence coefficients

a.

and

b.

i

Z.4.

in

the

these

Cc - m

vanishing

of

the

is

for`

i+m

the

algebraic

known

> c

of

(conductor

fact

that

the

values

of r

).

See

the

formal of

for

the

instance

--

coefficients

(not

well

independent

i

Ignoring

point

implies

lying

we

in

the

char,'acter,istic

equations

can

represent

hyperplanes

terms).

provided

If

by

we

each

corresponding now

the

br,anch

eliminate

theorem~

by to

the

we

a the

X's

obtain

in the

fol lowing

Corollary

1.

Cc-mxc c-m

is

Now

as

a

the

same

and

simplest

selection through

of

be that

exclude

the

introduce

we

which

will

is

a

The

the a

free

case

of

the

local

coordinates

written

X = tn

in

of

points

the

y

terminology. branches

point

P.

in

These

branches

in

P

an

of

of

preceded

on

smooth

the

that

have

first

neighbourhood

the

are

~

j> 0

by

some

branch).

Puiseux

a .tm+J J

P

all

simplest

as

in

a

the

branches

series

,

satellite With

of

form

=

is

P.

point a

its

If

branches

semigroup

semigroup

the

P can

to

free

through

class.

P

equivalence

some

refer

have

ca led

formal

set.

branches

P will

Assume

of

to

point

equisingular,ity

thr'ough

(we

need

near` point

graph

constructible

we

infinitely simple

The

m ~/ ( n )

any

a

point suitable

branch

y

55

which

shows If

a. J

depends level

of

the

j

with

characteristic

coefficient to

respect

~r is

one

(absolute) We

in

section

to

sum

precede

P

y,

the

2)

or

The

Corollary

exponent series

then

with

of

we

is

m/n.

which

the

will

respect

say

to

that

the

position P has

of

P

relative

equisingularity

type

on

the

the

semigrou p

the

case

and

j

Since the

be a

can

a

be

point

point

P.

thus

j

free

P

we

say

to

that

of

be

the

m

acts

the

points

P

the

on

is

points.

In

in

Vl(P)

cases:

either

Let

m/n

smallest

transitively

points

which

type

many

which

and

y

P.

in

0

satellite

are

y

point.

contains

to

P

on

to

equisingularity

transitive

near

respect

satell ite

which

by

and

P with

some

through

G(P)

n

their

the first

generators VI(P)

satisfies

a

of

except

in

j

,~£

+

n

(1).

formal

identity)

the

system

Compare

the

on

infinitely

n

exist

if

shown

branches

level

of

only

preceded

Then

of

leve;

neighbourhood

there

compatible

p .748.

the

through

by

depends

the

simplest

i~ o f

when

+ m ,~]"

least

of

y

preceded

level

exponent;

the

relative on

are

G(P)

P or

characteristic

Proof.

of

branches

the

multiplicities

order

Let

point

that

which

action

of

see

the

simplest

j.

relative

2.

satellite order

of

the

Y and

the

easily

and

particular

of

level

can

the

(1)

first

Y,

has

of

is

the

(according

If

is

that

we

with

take

the

as

transformations of

ao,...,aj_

elimination

the

equations 1

the

rules

that c~i

leave and

coefficients

on

Z.4,

Ch.

P

6i in

for the

III

fixed

(at

i < j

is

Puiseux

and

Z.5,

56

series

of

the

simplest

1~...,j-1.

Let

a~, J

on

If

j+mEr

VI(P).

c~j d o e s

not

referred

to

still

b. J

be

exist,

),j

existence

of

formally

selected

points

freedom

to

still

we

formed

system.

if

for

i

if

the

j+m

,~r

going

so

that

resulting

the

then

system b.) J

we

guarantee

through

ai~

points

j+nEI"

a. and J

to

i

i'

free

and

values

any

a

i

B.j to

enoiJgh

branches

b.

arbitrary

the

is

b.i

set

we a d j o i n t

we c h o o s e

i > j~

If

with

This

corresponding

B.

in

these

Proposition which

it

In

4,

If

belongs

Let

simplest which

term. of

of

x

branches

in

neighbourhood

i >j~

when

the

then we

the two

we h a v e

adjoint

the

system

of

equations

is

case

when

the

level

~/r,

j+m

~/F.

the

satisfies not

j+n

necessarily

j We

transitive

particular:

P

is

is

preceded

= t n,

interested

nei g h b o u r h o o d s

a

satellite

P is n o t

determines

P

first

first

neighbourhood

Proof.

especially the

neighbourhoods.

that

is

two

exist.

hence

equivalent

the

are

points

call

d

not

of

and

compatible.

the

of

B. J

P

coordinates

and

Vl(P) ~ for

and

i

Thus of

on

select

c~.

free

(where

compatible

through

B. d o e s J

is

a

relations

the

then

above

get

branches

by

point

and

the

some o t h e r

necessarily

group

such

9roup~

= ~ a . t m+i be t h e P u i s e u x s e r i e s i i>O going through P . By h y p o t h e s i s the

satisfies

j > 0

Therefore

j

position and

+ m

n

and

the

m +

d

does

not

divide

is i

is

Jr

the

the

not

with

of

divisible

since

point

in

coefficient

i <j

and d

satellites

to

then

the

first

of

one of

the

coefficient

a. J

transitive.

y

the

of

by a .i

divides

of the

p/ O.

the

first

the

last

greatest It

is

m due

to

neighbourhood characteristic common

divisor

equivalent the

fact

to

say

that

a 0 7/

B.1

(cf.

O. If section

now 6

we

above)~

compute the

the

generators

generators

of

constructed

? with

according branches

that

do

57

not

pass

d;

to

through see

this

intersection entering

these It

it

the

that

is

neither

remains

of

than

conclusion.

+

In

preceding

P

groups

of

branch

has

to

use

Noether' s

notice

that

n

a

nor

m~

have

simplest will

j

+

m can

and the

order

satellite

of

also

greater

hence

our

branch

multiples

formula in

linear

of

for the

by

the

branch

d.

It

is

combination

branches

n/d

necesarily

and

preceding

namely

see

simplest

points

of

P.

the

through that

than through n/d

The

the

this j

+

last

free

multiplicity

is

n,

the

> 1,

intersection

to

last

because

Puiseux

series

reach free

the point

there of

are

such

a

have

a

form

the

exponents

denominator In

a

going to

=

m+i n

a x

of

+

...

I

i=O

common

are

points

be

enough

,~

all

P

divisible

r ~

branches

be

y

where

all

multiplicity

generator

It

fact

the

precedes

I".

P.

j

+

the

preceding

that

have

more

with

point

enough and

j

one

multiplicity

greater

free

formula

generators

point

last

multiplicity in

obvious

the

the

terms

claim

let

which

are

not

written

n/d.

order

to

see

in

the

form

the

us

writte

the

Puiseux

series

of

orders

of

m+i y

=

a.x

i>O Then the

the

differences

such

of

diferences;

remaining sum

intersection

is

multiplicity determinations of

n -- 1) n(c~ indeed

is

greater

them

with

n

orders

than

of

obtained the

contribute which

m + j.

are

adding

two with non

up

series;

there

order zero,

the

so

are

m+j n

and

that

the

n2/d the total

58

Notice relations

that

ai,

the

proof

the

relations

as

6i~

of

V I(P)

relations

c~i~

and

preceding

that

we

let

the

invariant~

and

automorphisms

Let choice

it

the

in

varieties affine

B. J

the

on get

Im -r

group

point).

The

P

is

if

effective which

i > j~

then

the

in

of

variety of

group

C[[t]]

structure group

@

@(t)/t,

coefficients

of

P

Cj

0)~

=

I

j

of

automorphism

~-'~,X.t i

first

a

Jr

,Z

every

group

+

G(P)r

so

of

the

leaving of

the

P

set

of

on

A

structure

c~. J

+

for

i =

by

...

(with

substitute

expression

and

the

V I(P)

relation

transforms

X0

of

of

we

induced has

in

variety.

Thus

an

of

induces

affine

A .

component

that

element

the

customary

determines

this

rational

the

morphism

), . J

of

a

partial

homothety

of

G(P)

the

action

a

group

into

automorphism as

as

function

(XO,...rXj_I)EA

any

Xj_l tj-1

the

the

whose sum.

ratio

appear

as

of

is

and

It

is the

rational

A.

Elementary

when

group

as

coordinates

X0

series

Therefore

obvious

8.

corresponding

conversely.

a

the

bi,

structure

for

authomorphisms

series

on

follows:

the

the

variety

natural

to

corresponding

functions

a

fact~

level

=

with

correspond

transformation

translation

(i.e.

has

invariant

of

of

b's

sequences

-c: A - - - - ~ A ( P )

that

and

the

P

In

quasi-affine

1)

A

concerned,

compatibility.

a's

a

is

selection

the

taking

j

whatsoever.

alter

as

the

level

transitive

describe

improper

we

not

fact

A are

be

function

),. J

of

into

A(P

of

rational for

can

In

a

suitable

(XO,...,tj_

A.

leaving

turns

a

define

X =

on

influence

formed

consider

which

can

points,

elements

series

i < j~

we us

no

necessarily

denote

which

which

not

6 i~

will

C[[t]]

that

is

action

whith

i > Jr

solutions

variety of

2,

6i~

the

have

corollary eir

admissible

as

i > j

If

the

far

branches. not

preceded

We by

know

that

satellite

points

and

G(P)

consequently

transitive we

will

59

consider

the

points,

case

and,

elementary

among

An

equivalent

to

of

Lemma

3.

a

branch

where

c-1 -

+

is

form

-

and

m +

a

single on

a

x

group what

branch

= t n,

y

of

we

satellite will

which

= t m,

£.

be

Then~

+ n ~£, q

is

where

1 > n,

m = c

Theorem

-

m

an

has

call

formally

gcd(n,m)

=

which

see

+

bm,

implies

b

1" a r e ?

their

n

my

where

and

m)

=

rulc-l},

complementary

+

-n

+

(b+l)m

n

n,

q

+ n

q

for

of

£.

(c

an

+

bm

so

+

q

we

a > 0.

+ m belong a < O.

that

that

= -n

which

have

hence

s r~,

form

and

will

and

that

the

those

we

1 > 0

1 so

of

that

0 s,

be

tm+Jr

Jr

non-zero.

then

the

If

VI(P)

is

transformations

non of

71

~{x)

with

%d =

1,

where

such

that

jr < i,

d

=

is

xnx

the

induce

,

greatest

all

of

homotheties

with

center

zero.

The

homothety

ratios

are

where

(in

case

the

introduced

Proof.

by

We

4

branch

of the

it

through

is

a

is

a

We

will

= t

n

= t

transformation

branch

,

y

= t

the

m

kind

and

the

G(P)

Jr

is

a

coordinate

or unity

order

is

),

if

and

where

of

P

is ta

polydromy

term.

of

homotheties

induction.

VI(P)

m+s

of

the

usin9

has

+ at

with

+ t

free,

9roup

tm+s

+

a

of

is

is

s

whose

roots

finite

of

into

n

P

of

Consequenly

point

d-th

a

= tm

y

divisor

characteristic

point

~

the

proceed

variable

transformed

x

by

that

xmy

G(P).

point) 9

5.

at

the

satellite

G(P)

in

if

through

correspondin

and

x

and

a

know

corollaries a

~. r u n s

=

common

elements

group

satellite~

~(y)

a

m+i

If

series

+

from

i r,

Xh

ai.

to

J With

otherwise.

define by

be this

"~

take,

solving

the

for

value

process

for it

h > ir~ in

the

determined

the

by

coefficient

at

J

level

i

vanishes

r

and

the

conclusion

follows

immediately

by

induction,

The

bifurcation

sequence

of

invariant

subspaces.

type

h

runs

(the

single

through

value

h

characteristic We i m m e d i a t e l y

Corollary

Proof. assume

9.

Let

The

y

that

=

on

M

a

finite

descending

Take

Mh

where

determines

all ®

is

{ P CM J s ( P )

values

of

assumed

s to

_> h t

for be

the

given

included

equisingularity in

the

case

of

a

exponent). get

subspaces

Mh are

be

a

y

is

branch given

closed

in

that

represents

a

by

a

short

M.

limit

series

point and

of

that

Mh. it

We m a y exists

a

76

sequence are

of

branches

represented

topology allows

of us

and

"}j~

and

so

are

zero.

the

to

those

in

y

the

of

series~

and

and

the

y]

still

their

first

represents

It

the

Y

previous

satisfy

the

same conditions

know

level

that

and

coefficients

is

then

clear

(after

that

s(-})

to

the

branches as

belong

s(-})

Mh~

proposition

equivalent

whose

on

according

formally

we

series.

to

points

by

non-vanishing

corresponding

y]

converge

coefficients

circumstances

the

the

Furthermore~

which of

these

levels

that

coefficients.

replace

that

such

short

respectively~

Under the

by

yj

to

the the >

"T

above £-

n

s(-}j)

are

term

t m)

s(-~j)

= h,

q ,e.d.

In we

see

particular, that

elementary (Z.4,

pages will

are

two or

31

see

that

we

guarantees

bifurcation

the

case

reduced and 33)

the

to

that

situation

to

the

a

single

single

is

characteristic

point,

this

is

point

the

corresponding is

only

exponent

closed.

closed

substantially

point

different

to

the

It

is

known

in

M.

Later

when

there

exponents. basic

the

limit

branch

has

the

same

formal

result of

of

a

type

this

section.

This

variable

branch

with

and

if

has

if

only

it

result

constant the

same

invariant. hi,

the

i

given

increasingly,

=

l~...~v

be

the

equisingularity

values

of

the

class.

Assume

bifurcation they

invariant

are

ordered

the

subspace

so t h a t

M = Mhl ~ Then

a

this

characteristic

come

of

therefore

that

type

Let

and

more

Now

formal

is

branches~

we

on

M

in

Mh2 ~

...

~ Mhv

we h a v e

Theorem

4.

The

subspaces

Mh.-

i

Mh

~ i+l

for

i < 'J,

and

77

Mhv

have

no non-closed

Proof.

Let

type~

are

s(Y r)

=

given

the

We

r -

be

the

of

series

~'

is

assume s

as

relative

topology.

branches and

formally

that

converge

have to

equivalent

the

y.

to

same

formal

We c l a i m

the

Yr"

that

This

if will

proof.

give

n are

in

sequence short

then

may

that

a

by

s(Y)

complete

series

tYr~

points

y and

zero.

Set

the

,

the yr

s = s(y)

= tn

x

in

proof

all

of

coefficients

= S(Yr) ~ and

y

corollary

9,

whose

that

level

in

the

belong

to

let

m+i. J

= t m + c ( r ) t m+s + ~ a i . ( r ) t J

x

m + c t m+s + ~ Y = t

= tn

a:, t

m+i.

j

J

the

series

of

Y

and

y

respectively,

where

the

summation

is

extended

r

over and

all

indices

the

c(r)

are

i.j

such

that

non-zero~

i.>j s,

c = lim

ij

c(r)

~/ ( £ - n ) U ( i ' - m ) ~ and

a.

r

Let chosen

us

a

contains

take

care

determination c and

the

c(r)

~:

The

branches

the

coefficients

of

the

s-th

¢(x)

~r ( x )

~(y)

and

respectively,

as

equal

unity.

Thus

=

and

that form

to c

=

the c(r)

Y and

1,

Y

r

c

root

consider

on

the

= c-n/Sx

Cr:

$(y)

~r ( y r )

we

and

may

hence

i (r). • J first.

open

satisfy their

the

set

of

c

Suppose C

which

= c-m/Sy

Cr ( y )

= c(r)-m/Sy

the

same

coefficients

assume~

that

an

where

transformations

= c(r)-n/Sx

do~

= lima r J and c(r)

I.

of

and

and

without

series

of

of

loss ~'r

of

and

conditions, level

s

are

generality, y have

the

78

x

tn

=

y

tm

=

t m+s

+

~

+

(r)t

ai.

m+i"

j

J = tn

x

y

= t m + t m+s

+ ~--~ai. tm+ij J

where

again

belong

to

(£-n)U

Next giving

we

"fr

that To

the

ape

indices

do the

all

be

q

of

7r, .

formal

all

Dropping assume

for

type

exclude, ~'r

In

of j < q

all

a. ( r ) i. J previous r

in

the

on for

a

we

J can

extended

a i (r) are J indices i. u n d e r J

i. c o r r e s p o n d J

yn

= a.

for i. J argument

which

case

is

ace

the

series

say~

those

~

the

(r) i. J (there are

0

assume

a.

that

the

satisfy

the

consideration

the

a i.(r) J constant,

not

non-zero,

neighbourhoods

the

that

still

transitive levels

to

do

neighbounhood.

ai.(n)

many

the

is

i. such .I

that

is

which

in

transitive

way

summation

that

each

such

indices

coefficients

moduli,

this

infinitely of

to

point

consequently

of

that The

y

for

all

fop to

which

the

formal

non-transitive

moduli

for"

yr.

Since

a i (r) will take on o n l y J many values and since lim a (r) = we w i l l have that r i. ai.' J J j r O, i. i. -J J finitely many branches in t h e s e q u e n c e tTrt we m a y f u r t h e r

finitely for

the

least

and

a

branches

levels

Thus

neighbounhoods the

the

ape

of

them).

that

over

= lim a. (r). i. r i. J J to g e t r i d of the

will

the

which

requirement

addition

type

we

of

extended

correspond

not

zero~

over

i

and

position

many

i. J

Let in

a.

trivialities

finite

further

(]~-m)

proceed

which

almost

only

is

will

determine avoid

summation

all

j i q~

Now

we

may

relations and a

= Xh(r)

of

X.i

(r) q solution = O

if

80

h+nE?, the

and

if

h+n~/r

corresponding

coefficients

of

succesive same

as

for

the

the

Finally proposition r-

n

+

to

giving i

¥

"r'

,

q

but

whose

get

rid

Iterating

this

correspond

to

the

Even

respect

of

true

the

see

what

using it

Corollary

the

levels

of

its

general

to

does~

whose i

of

the i. J

that

clear

the

level

proof

sums

former

under

to

in of

the

degree

equivalent

conditions degree

of

belongs

partial

of

the

is

"~r f o r m a l l y

term

"~r is

and

involved)

same

the

X(r) + x

are

q

neighbourhood

moduli

already

10~

If

could with

the

a

as m

+

¥

and

i

and

q

series, consideration

we

be

prove

continuity

modify

the

polydromy

space

out,

a

of

of

and

the

claim

obteined

from

a

of

continuous

it

given

of

an

algebraic

neverthless the

it

is

no

moduli

with

dependence

were

shortened.

In

order

is

to

observe,

a modulus

order

be

through

considerably

vanishing

can

continuity

such

the

moduli

branch

series

the

that

The

a

pointed

guarantee

proof wrong

of

Puiseux

coefficients.

previous goes

transitive

the

we

the

10.

for

as

section

indeed

those

through

correspondence, in

n

the

with

a

that

of

theorem.

coefficients

possible

lack

"~ a n d

introduced

the

coincide all

fact

-~ a n d

satisfying which

of

by

indetermined

requirements

type

their

branches

the

t

than

altering

determined

determined,

coefficients higher

obtain

the

the

been

values

take

formal

From

the

without

series

the

to

procedure

levels

we

by

the

have

of

7r'

terms

Remark.

~rr

respectively~

defined

way

the

only

this

~'r

therefore

the

to

previous

which and

apply

After

and

and

us

~, a n d

according

respectively.

~

that

Xh(r)

simultaneously

this

let ?

and

series

In

Tr

way

(notice

series

13.

)'h

and,

above

h" a n d

of

for

C~h,

relations

because

m

take

enough may~

ulterior

and

to

sometimes

moduli.

equisingularity

type

that

81

has

two

Proof.

or

more

The

has

already

been

invariant

is

maximum

(by

us

constant

now

formal

the

sequence

the

formal

are

going

get

assuming

in

the

Write

we

for

points.

all

theorem

a

sequence

a of

,

points

above

have

the

tm

=

lim r

c(r)

of

the

the

short

formal

will

As

whose

and

the

there

YP

the

Yr

has in

t m+s

+ c(r)

O.

Let

that

the

no

term

Yr"

We

loss

of

beyond

m

+

st

the

where

form

a i.(r)t J

(m

Suppose

is

m+i +

that

corollary.

degree

the

of

and

of

the

non-vanishing

the

branches

series

type

prove

before

first

=

by

of

coefficientwise.

this

).

r

giving

y

bifurcation the

from

giving

series

y

and

> s(y

that

exponent

+

i

)/n

J

be

the

second

q

by

a

bifurcation

branches satellite

Yr"

Then

point~

invariant

in

occurs~

s < i

which

has

~

q

since

the

already

the

maximum

been

dealt

before. Let

Cr

be

semicanonical point

prior

transforms

a

to

the of

c(r)

Bs w i l l If

P

is

(Dr l e a v e s

relative

into

1. of

force the

transformation

Then

relative

transformation

relation

formal

branch.

neighbourhood

the

non-closed

the

given

branch

different

series

tn

will

a

s(y)

the

=

characteristic

with

no

proved

is

are

contradiction

in

x

value

a

they

to is

that

s = S(Yr).

of

y

have

m

that

of

{Yr}

that

that

converges

to

generality degree

assume

type~

type

We

case

has

9).

Let

so

exponents

statement

bifurcation corollary

characteristic

last

level level

Thus

Yr X0 to point

s if

and

the

all it

branch

points

will

ratio the

semicanon ica I X0

Yr

on

induce

of

consider

a

satisfy

the

homothety

we

into

in

fixed

s a

of

Yr on

c ( r ) -1

relations branch~

into until the

a the

first

since

it

c~ B f o r then

the

= c(r) -1.

second

group

of

satellite

points

on

82

Yr

and

if

{r(Yr)~ the

P'

is

then

origin

point~

the

the

and

since

homologous

point

transformation

improper

these

point

points

G.

in the relation q fulfilled) and hence

i

+

the

satellite

must

semicanonical

VI(P')

respectively

are

I~.

i

VI(P)

on

induced

to

the

points.

vanish

(once

origin

branch

by

~r

and

improper

Consequently

the

previous

sends

the

term

relations

are

q will

6i

be

reduced

to

a

relation

of

the

form

q i

X qa.

~. t

where

a.

is

t

q Now

by

a.

r

r

of

varies

can

i

take

level the

only

i

t

(r) q

(corollary

q

formal

type

finitely

many

6). of

Yr

stays

values.

On

constant the

and

other

hand

q

goes

the

modulus

when

therefore when

the

0

q

to

infinity~

relation

c(r)

established

goes

to

before.

zer%

By

the

hence

X0 g o e s

relation

6i

to

infinity,

above

we

see

q that l im r is

l im r a.

iq

a.

iq

(r)

(r)

is

necesarily

equal

we

to

moduli points

in

if from

it the

take

space~ would

to

that

contradiction different

But the

this

is

second

a

contradiction

since

characteristic

by

coefficient

hypothesis of

y which

non-zero.

Notice

were

O.

be

the

is

proof

allowed

equisingularity the

distinct

topologized

above

that

y

type moduli

coefficient

one has

of spaces

wise~

does

an Yr"

not

reach

equisingularity This

in then

a

suggests

type that

hypothetical the

a

if

union

closedness

of

lost.

REFERENCES

B.I

H.

Bresinsky.

Semigroups

the plane. Proc. Am.

Math.

corresponding

Soc. 32-2~

192:2.

to algebroid

branches

in

83

C.1

E.

Casas.

alabeada.

C.2

E.

E.1

Coll.

F.

J.G.

W.1

-

O.

Sample

de

-

una

Coil.

Chisini.

Bologna~

gen@rica

de

una

rama

de

curva

2~ 1978.

de P u i s e u x .

Enriques

Press~

XXIX~

plana

Singularidades

de su s e r i e

Zanichelli~

S.1

proyeccion

Math.

Casas.

partir

N.

La

hoja

Math.

Teoria

de

superficie

XXIX~

2,

geometrica

algebraica

a

1978.

delle

equazioni

...

1915-1924.

G.T.

Kneebone.

Algebraic

curves.

Oxford

University

1959.

B.L.

Van

der

Waerden.

Infinitely

near

points.

Ind.

Mat.,

12,

1950.

Z.1

O.

Zariski.

of plane

Z.2

Z.3

algebroid

O.

rings

Zariski.

and

O.

rings

Z.4

II.

Am.

J.

Math.

donn& Octobre-

Le

au

of

Science

U.S.A.,

Am.

in

J.

J.

theory

de

56~

of

des

Equivalent

singularities

3~ 1968.

III.

XC~ 3,

Saturation

of

local

1968.

saturation

and

of

saturated

local

1971.

modules

pour

Mat~matiques

de

les

branches

I 'Ecole

planes.

Polytechnique,

1973.

Characterization

diferentials

XC,

Math.

4~

probl&me

Centre

Math.

I.

equisingularity

XCIII~

Novembre

Zariski.

module

equisingularity

Am.

General

Zariski.

Paris~

O.

curves.

Studies

Zariski.

O.

in

equisingularity.

Cours

Z.5

Studies

has

of

plane

maximum

algebroid

torsion.

Proc.

curves Nat.

3~ 1966.

Dep.

Geometri'a y Topologra

Facultad

de M a t e m ~ t i c a s

Universidad

de Barcelona

whose

Acad.

of

INVARIANTS

TOPOLOGIQUES

DE GE~MES D'APPLICATIONS Andr6

I -

Position

que d e u x

sont dits

@quivalents

de

et de

tout

GALLIGO

germes

d'applications

f et g

: (on,o)

s'il

(CP,o)

existe

tels

deux

@quivalent

d'applications

lence

par

pros

leurs

Cette

classification

l'@quivalence

par

: comment

d'applieations

f est dit

h et k

stable

si

de

f, f ( x , t ) = ( f ( ! ) , ~ ) ;

stables

sont

classifi@s

que

~ 6quiva-

associ6es

6tant

insuffisante : dans

sur

stables

sont

et J . M a t h e r

la d @ f i n i t i o n

hom@omorphisme. "lire"

R.Thom

Un p r o b l ~ m e

leurs

alg@bres

pr6c6dente se p o s e

associ~es

topologiquement

ont

remplacer

alors que

6quivalents?

6tudi@

naturelle-

deux

germes

Plus

pr6cis6-

:

D6crire riants

des

classes

num6riques

f ne Iest

soit alors

nous

alg~bres

- (cP,o)

invariant

restreindrons ~ (CP,o)

ouverture

de

un r e p r @ s e n t a n t

de f e n

x que

alg@bre

associ6e

nous

associ6es

stables

Q tels

que

et des si f

~ C et si I ( Q ( f ) ~

@quivalent

inva-

I(Q(g)),

~ g.~

topologique. ici au cas des g e r m e s

avec

d6signe

d'applications

appartiennent

pas t o p o l o g i q u e m e n t un

f: (C n,o)

Par

C de g e r m e s

I des

f et g: (on,o)

II -

d'isomorphismes que

Clxl,...,Xnl/(fl,...,f p)

topologique

isomorphisme

trivial

analytiques

alg6bres

Q(f)=

Nous

germes

- (cP,o)×(ck,o)

au d @ p l o i e m e n t

les g e r m e s

ment

(CP,o)

d6ploiement

f est

ment

analytiques

--~

que g = k o f o h ;

F: (cn,o)×(ck,o) de

ET F I N I E S ~

du p r o b l 6 m e

Rappelons

(on,o)

STABLES

notons

finies

n < p.

la s t a b i l i t 6 de

d'applications

f pour fx

Q ( f x ) est d i t e

on

sait

tout

est un g e r m e voisine

que

si f:U C C n

x voisin

de

0 dans

d'application

~V U,

C Cp

le g e r m e

stable.

Son

de Q(f).

R~sultats

]. On dit est donc

que

f est ~

la d i m e n s i o n

i C N si f est de c o r a n g i, a u t r e m e n t dit i i ' de p l o n g e m e n t de l ' a l g ~ b r e a s s o c i ~ e O(f) qui a d m e t

la p r 6 s e n t a t i o n

:

85

Q(f) =01xl,...,xil/I I d E s i g n a n t un ideal et

avec

~.

I C (J{i)2

l'idEal maximal.

1

R. May puis J . D a m o n ont d @ m o n t r @ que E i e s t que

pour t o u s l e s

germes d ' a p p l i c a t i o n s

2. On dit que f est ~i(j)

un invariant topologi-

stables finis.

si f est E. et si j E N e s t

le corang de la

1

dErivEe seconde intrins~que de f, a u t r e m e n t dit l+i+j = d i m c Q ( f ) / ~ ~Q

d E s i g n a n t l'idEal maximal de O.

J.Damon a d E m o n t r E que Zi(j) germes d ' a p D l i c a t i o n s

3. 6= dim cQ(f)

est un invariant t o p o l o g i q u e pour les

stables,

finis,

Z

i

tels que p-n ~ i(i-l) 2

est un invariant t o p o l o g i q u e pour les germes d ' a p p l i c a -

tions stables finis des deux classes Z z et D.A.T. On dit que f est D.A.T.

(discrete algebra type)

s'il n'existe qu'un

hombre fini de type ~ i s o m o r p h i s m e pros d ' a l g 6 b r e s v o i s i n e s de Q(f) ayant m@me ~.. 1

4. On appelle fonction d ' H i l b e r t - S a m u e l de Q la fonction £ ENI

~h(~)=

dimc(Q(f)/~

J . D a m o n a d E m o n t r E que si f est D.A.T. de Q(f) (n,p) Q(f)

est un invariant topologique.

sont dans les

o

la f o n c t i o n d ' H i l b e r t - S a m u e l Plus p a r t i c u l i @ r e m e n t

"bonnes dimensions"

si

d E f i n i e s par J . M a t h e r

~],

lui-m@me est un invariant topologique.

5. Si f est Z2 notons Q(f)= c I x , y l / i ments de l'idEal I. Alors d'Hilbert-Samuel

III-

+I)

et v (Q) l'ordre minimal des ElE-

f Etant Z2 si p-n i> v(Q)-I la fonction

est un invariant topologique.

A p e r q u des m E t h o d e s

I) Revient ~ d E m o n t r e r par r e c u r r e n c e sur le nombre entier i que si f est ~'l et g est ~k avec k ~< i alors f et g ne sont pas t o D o l o g i q u e m e n t Equivalents

si k~i. On utilise les ensembles Zj(g) , j ~< i,

des points x

voisins de 0 dans O n tels que gx soit Z.. Alors le type ~ h o m E o m o r p h i s 3 :

me pr6s de

Zi_l(g ) U Ei(g)= cn\ (Zo(g)U...U Ei_2(g)) est un invariant t o p o l o g i q u e de g par h y p o t h ~ s e de r e c u r r e n c e et Ei_l(g)U Ei(g) est vide si k < i-l,

est une v a r i E t E t o p o l o g i q u e si k:i-l,

86

n'est pas une v a r i ~ t ~ tenu en c a l c u l a n t

topologique

des groupes

Consiste

~ d~montrer

d'une

fibre de f e n

gique

~vident.

on est ramen~

un point v o i s i n

~ d~former

pr~sente

un point

p ossibl e

si la d i m e n s i o n

ral,

impossible

re de telles nes puis

L'outil

~pais

essentiel

En t r a n s l a t a n t

d'un

exposant ideal

F appel~

est l ' e s c a l i e r

coordonn~es

et

$= dim C Q < ~ ,

dits

c'est un i n v a r i a n t

On d ~ f i n i t

j

g~n~riques, que

ses

analytique

soit

se

ideal

I de C~xl,..., xil: un h y p e r p l a n de R i on d ~ f i n i t ~ toute

s~rie

alors un plus petit

r >i

on associe "marches"

s son plus

des a l g ~ b r e s

Samuel.

Ii s'agit de les d i s t i n g n e r precedents

la structure

, i=o ou i, Z3(2),

s

fini

de

g~n~rique

de hauteur

1 ;

2 est

~ l'escalier

qui permet-

de Q.

D.A.T. puis

d'abord en

en trois

de n o m b r e u s e s

par la f o n c t i o n

topologiquement

grace

de s o u s - e n s e m b l e s

au cran precedent.

la d i r e c t i o n

~ I l'escalier

en I) m a i s o~ le type ~j est r e m p l a c ~ ~tudi~e

N i con-

des c h a n g e m e n t s

aussi par des r a i s o n n e m e n t s

topologique

dans

de Q.

~ la c l a s s i f i c a t i o n

mais

consid~re

sont toutes

de I adapt~s

jusqu'~

sous-classe

ensemble

Q qui en d i m e n s i o n

les d ~ f o r m a t i o n s

Z2,Zr(i),

de E(I)

l'on e f f e c t u e

de l ' a l g ~ b r e

des g ~ n ~ r a t e u r s pr~cis~ment

arriver

Lorsqu'on

d'Hilbert-Samuel

la c l a s s i f i c a t i o n

d~crit

artinien-

soit y a p p a r t i e n n e n t

le c o m p l ~ m e n t a i r e

classes

~j(g)

~ construi-

d'alg~bres

•

classes

une

consiste

classe

en g~n~-

F(~ + N 1 ) .

(I,...,1) et que

~ la f o n c t i o n

tent de d ~ c r i r e

utilisant

est,

classe.

d'associer

sous l'escalier.

de pente lin~aires

topologiques

2 mais

~, qui re-

est toujours

de I tel que

qui a la p a r t i c u l a r i t ~

Utilise

Ceci

est

topolo-

par d~formation,

exp s E N i et de former l'ens~nlble E(I) d e s e x p s des s~ries

tient ~ points

4)

d'un

~ lui-m~me

E(I) =

~quivalent

D.A.T.

de cette

I de C)xl,...,xil . Ii existe

d'hyperplans

de Q(f)

2. La d ~ m o n s t r a t i o n

en a l g ~ b r e s

de points

de c o l o n g u e u r

simples.

pour une c e r t a i n e

que les a l g ~ b r e s

l'escalier

Si Q = C { x } / I

s'obtenant

artinienne

de p l o n g e m e n t

un bon ordre de N i, ceci p e r m e t petit

au nombre m a x i m u m

de Q(f)

une alg~bre

parall~lement

~tant ob-

de 0, qui est un i n v a r i a n t

voisines

si elle exc~de

platement

r~sultat

de la m ~ m e m~thode.

de C i, en 6 points

d~formations

~ montrer

d~forment

proc~de

que 6 est ~gal

Les a l g ~ b r e s

Ce d e r n i e r

d'homologie.

2) Est un peu plus d~licat m a i s

3)

si k=i.

sous-

d'Hilbert-

aux

invariants

en cascade

de C n a n a l o g u e s

par l ' a p p a r t e n a n c e

au

87

5) On commence par d~montrer

la lissit~ des strates d'Hilbert-Samuel

~h(f)=Ix ECn/Q(fx)

Ceci s'obtient ~ l'aide d'un r~sultat sur Hilb{x,y}

:

admet h comme fonction H.S. I.

que l'on remonte

analogue de Brianqon-Iarrobino

"par ~clatement"

dans l'espace des

jets ~2(n,p) . La d ~ m o n s t r a t i o n

de 5) proc~de

la fonction d'Hilbert-Samuel hQ(£) = m a x l h Q , ( £ ) / qui se repr~sente

ensuite par r~currence

sur ~. On d~finit

d~form~e

Q' voisine de Q mais de colongueur

~-i 1

aussi par un escalier g~n~rique.

Passer de hQ ~ hQ revient,

sur l'escalier

g~n~rique

correspondant,

enlever un carreau ~ la derni~re marche qui n'est pas de longueur

1 :

OU

I I I I

1

x,,-

Pour pouvoir repasser de hQ ~ hQ il faut connaItre ~(Q)

des derni~res m a r c h e s

un invariant

en outre le nombre

de hQ. Par hypoth~se de r~currence

topologique.

Pour relier ~(Q) de I adapt~s

~ h Q on d~crit explicitement,

~ l'escalier

g~n~rique,

toutes

~ l'aide des g~n~rateurs

les d~formations

en une alg~bre Q' ayant hQ comme fonction d'Hilbert-Samuel. de d~crire topologique

hQ est

l'incidence de Z hQ

des strates ZhQ et

dont la cohomologie

dim O H * I ~ h Q , Q

Z~Q

de Q(f) Ceci permet

et de calculer

locale redonne ~(Q)

le type

:

) = 2~(Q)-I. loc

Bibliographie Briangon J. Description de Hilb nC{x,y}. Invent.Math. 41,(1977) Brianqon J. et Galligo A. D4formation d'un point de R ~ ou C 2. Ast~risque ~ et 8,(1973) Damon J. Investigating the topological stratification... Proc.llth Col. Brazil, Math. Soc.,(1977) Damon J. Topological Properties of D.A.T. I: Adv. in Math Supp. Ser.,vol.5, (1979) II: Amer.J. Math.101, n°6, (1979) Damon J. et Galligo A. A topological invariant... Invent. Math. 32, (1976)

88

Galligo A.

Apropos

Galligo A.

Stabilit~ et th~or~me de division. Ann. Inst. Fourier, T.24-2,

du th6or~nje de preparation.

Lecture Notes, nQ409,

(1974) (1979)

Mather J. Stability of C~-mappings I & VI (surtout) VI: The nice dimensions, Lecture Notes, n°192, (1970). Mather J. How to stratify a mapping and jet spaces. Lecture Notes, n°535, Damon J. et Galligo A.

The Hilbert-Samuel partition of ~ 2 .

(~ paraftre).

(1975)

SINGULARITES ISOLEES ET SECTIONS PLANES DE VARIETES DETERMINANTIELLES M. GIUSTI M. MERLE Premiere

pattie

SINGULARITES ISOLEES ET NUAGES DE NEWTON

M.

Soit plongement

(X,O)

assoeier

alors

Etant pas

comme n u a g e s

dans

Etant

de d e g r b s

rents

auteurs

Pour

s~ries

Si

on c h o i s i t

i'id~ai

de l ' o r i g i n e ,

de N e w t o n )

i=

d'existence

suivant

on p e u t

comme s u i t

:

N1,...,N

de ~ n ne c o n t e P une singularit~ isol~e

complete)

admettant

N1,...,N P

graphes

de l~n ;

la variahte

, dp p o u r

les

les

p

et

diverses

; al,...,a par

dans

le

donner

consid~r~es

des

admettent

n)

, existe-t-il

une

p polyn~mes quasi-homo-

n donn6s aux variables

al,...,a

conditions

a se

:

dbfinie

poids

consiste

vari~t6s

suivante

(dl,...,dp

probleme,

envisagb

de P o i n c a r ~

certains

de ce p r o b l e m e

codimension

ce d e r n i e r ont

important

p+ n entiers

dl,..,

Iui

:

existe-t-il

intersection

des hyperplans

de

un

d6finissant

1,...,p

non v i d e s ,

de p o i n t s ) ,

p (donc

c'est

dennis

isol~e

genes

ou s u r

xa

p sous-ensembles,

particulier

de ~ , e t

singularit~

nes

= {~E INn [ f'lc~ / 0}

(ou nuages

ouvert

de

~1 an) ( x a = Xl " " " Xn

Ni

probleme

f

de N e w t o n ?

contenus

une action

' ' f" nEIN n l a

complexe.

fl'''"

(ou nuages

=

maximale

Un c a s nuages

le

de Nn

fi

dennis

l'origine


analytique

des g~n~rateurs

du g e r m e d a n s un v o i s i n a g e

p sous-ensembIes

On s e p o s e

nant

un germe d ' e s p a c e

( X , O ) C ~ ( E n O) e t

un r e p r ~ s e n t a n t

GIUSTI

cas

des hypersurfaces,

n~cessaires

associ~es

(cf.

quelques

associ~s

(cf.

Orlik-Randell

r~f~rences [ 5 ]).

portant

9

diff'sur

dans Arnold

certa£[ I ])

90

Toujours donne des

Nous p r o p o s o n s cas

des

le

cas

particulier

n~cessaires

ci-dessous

intersections

suffisantes isol~es

dans

conditions

et

une m~thode

completes

d'existence

d'intersections

des hypersurfaces,

suffisantes

pour

compl~tement

~ nous donnerons

permettant

de c a r a c t ~ r i s e r

completes,

ainsi

qu'un

le

Kouchnirenko

probl~me

diff~rente

des

pour

conditions

les

nuages

algorithme

E3 ]

g~n~ral. traiter

le

n~cessaires des

et

singularit~s

effectif

pour

les

v~rifier.

Je

tiens

eues

~ remercier

que

j'ai

avec

lui

sur

1.

NOTATIONS ET RESULTATS.

ges

finis,

Remarquons tout grace

une singularit~

au

qu'~tre

isol~e

Sans perte qu'aucun sinon

1.1 le

nuage

on s e

{1,...,n] des points

isol~e et

qu'on d'un

toute

enti~rement

partie

de c o o r d o n n ~ e s , on d ~ f i n i t de ~K

alors

~ distance

1

peut

jet

intersection

de g ~ n ~ r a l i t ~ ,

n'est

des nombreuses

et

positives

I

se restreindre

suffisant

d'intersection

ramene ~ une situation

Pour I-plan

d'abord

a l'existence

nissant fair

M. M e r l e

discussions

ce t r a v a i l .

complete

complete

on s u p p o s e r a constitu~ de p -

~ l'~tude

(cf.

une

on n o t e

dans

III

~n-1

le

de H I . On l e

et

ouverte.

toute

la

suite

1 de l ' o r i g i n e

.

cardinal ordonn~

d a n s ~K note

d~fi-

E 4 ])

condition

donnb un c o u p l e

1 de ~ I

Mather

~ distance

dans

des nua-

une application

~galement

de p o i n t s

l'~paississement au p l u s

est

I nuages

de [ 1 , . . . , n ] ,

de ~ n . E t a n t

pour

de I e t IcK

comme l ' e n s e m b l e

~I~K

1.

~I

de

.

.

.

.

.

.

.

.

.

91 ~I,K et

est

une r6union

c'est

une

1.2

disjointe

fonction

croissante

Maintenant~

~n_

6rant

gO} , c o n s i d 6 r o n s

les

nuages

qui

de t r a n s l a t 6 s

pour

coupent

tout

= mi_L_j kEK-I

(~I,K

~I,IU{k))

de K.

de I e t

donn6s

de ~ I

p sous-ensembles

couple

ordonn6

l'6paississement

IcK

~I~K

E(I,K) = ( i E ( 1 , . . . , p ]

non vides

N I ~ . . . ~ N p de

de p a r t i e s

de ~ l , . . . , n ]

:

] N. N ~ I ' K / # ) 1

et

l'entier

:

D(I,K)

E(I,K)

h6rite

E(I,K)

I ] E(I,I kEK-I de I . le

cas

on p e u t

ou l e s

sion

D(I)

K est

pas

en tout

XNC K dans

tuelle

soit EK

larit6

:

isbl6e

mettant

pour

de XN ( ~ ) I E(I~K)

m(I~K)

Etant

pattie

D(I) > 0

(ii)

E(I) < p

de N e w t o n

d'un

E(I)

et

aux 6quations

que

qu'il sous

D(I)

par

de x n g I

aurait

certaines

intersection

g e r m e X,

ne s'annulant

virtuelle

(celle

d6crois-

s'il

: 6tait

hypotheses

complete

de d i m e n -

n'ont

les

pas

id6aux

h l'ordre

interpr6tation

aussi

respectivement

u n U(K) + m 2 ( I ~ K ) / m 2 ( I , K )

pr6cise,

gK e s t

une

d6finissant

mais

ici

la

dimension

n'a vir-

D(I,K).

sommes maintenant

en mesure

de f o r m u l e r

le

:

donn6s

d'intersection

(i)

loin

D(I~K)

~(K)

dans

suivant

nuages

Toute

plus

localement

fonction

dor6navant

dimension

de XNC I

tronqu6

nous

nuages

que

.

et

et

d6finit

en soit~

d'existence

Th6or~me

et

une

une interpr6tationtr~s

Quoiqu'il

1.3

dimension

L'id6al

les

plus

correspond

est

(et

n'est

( not6s

premier

lisse

de I ,

du g e r m e q u ' i l

th6or~me

: le

est

point

habituellement

sont

Le s e c o n d

la

de ~ I , K

D(I,K)

D(I,I)

Nous verrons

XNC I

N6anmoins

CI e t

de

complete).

diff6rent

claire.

et

E 1.

une minoration

intersection

Si

sur

que

consid6r6s

comme s u i t

de g 6 n 6 r i c i t 6 ,

alors

E(I~I)

identiquement

c'est

nuages

IE(I,K)I

de c r o i s s a n c e

U ~k])),

interpr6ter

simplification) pas

propribt6s

=

sante Dans

des

= IKI-

p nua~es

complete

de N e w t o n s i non vide

et

NI,...,N

p d_~e ~ n , i l

de c o d i m e n s i o n seulement

I d__ee g l , . . . , n ]

si

p dans

:

v6rifiant

:

existe

une

sin~u-

~En~o),

les

ad-

92

ppfis~de

la

propri6t6

~(I)

~ (I)

D(I,K) + b(I)

Sup KDI E(I,K)

la

condition

n - p)

ne v 6 r i -

*(I).

R6ciproquement,

dim

si

X

un I non t r i v i a l

n z Y

n ~ I ~ dim X Y

ne v 6 r i f i e

n ~ I + dim Z Y

>

pas ~(I),

N~ I-

on a p o u r

tout

II[

Y

D(I) - C(I)

= Sup(D(I)

> 0

,

, D(I) +

Sup K~I E(I,K) n ) .

sur L(Z), la c o d i m e n s i o n c(Z) est maximum, :

I

c(Z) = n - sup(p,t(Z)) + 1

r(Z) = n + p 3.1.4

r(Z) = p -

n - p+l. Si tel n'~tait pas le

j c { 1 .... ,p} tel que

seraient alors de rang

p-IJl

IJl + IF(J)l > p.

p.

Pour toute pantie il est facile de voir qua

K

qui rencontre

Jet

qui v~rifie

IKI+IF(K) I=t(Z)

IJUK 1 + IF(JUK) I = t(Z) ca qui montre qua

Les noun-ensembles

K de {1,2 ..... p} v4rifiant

sont associ4s aux composantes

de

S

K C J.

IKI+IF(K) I = t(Z)

de dimension maximum

d .

Noun venons

de voir qua pour un tel K, K est inclus soit dans J, soit dans son compl4mentaire.

posons alors

SiU S 2

Soient

et

~2(S

D 1 = ~I(SI)

strict~s

Comme

U ~K Kc J

et

2

(voir 3.3) de D 1 et D 2.

DIN D 2

=

avec

-i %1 (DI) = D'I U E I

alors qua

Appelons

Diet

D'2 les trans-

Noun avons alors

DIN D 2

et l'on a

DIN D 2 =

~I(E1n D~)

soit de dimension d-l, et plaqons d'une composante

noun

de dimension d-i

II faut alors qua dim Elf] D'= 2 d-l, et n~cessairement

de dimension

d, d'autre part

~I(~II(DI)A D' 2)

sin s 2 = @ , D~A D~ = @

Supposons

de S de dimension

D 2 = # 1 ( S2) .

et

U KA j = @ K

) c ~ j).

dans un voisinage V d'un point g~n4rique de DIN D 2-

S2 =

contient toute composante

SIN S 2 = ~ (~2(SI) c L

form~es

S1 =

d

qui rencontre

D~.

E l contient une composante

Cette composante

est n4cessairement

dans S 2.

117

Sym4triquement dimension d contenue

nous avons une composante

dans S I telle que 71

exceptionnelle

E 2 de

(E2DD ~) = DIDD 2.

On voit donc que l'image inverse de DIDD2DV par 71 a au moins deux composantes

de dimension d qui se projettent

toutes deux surjectivement

sur

DIAD2AV.

Or l'image inverse d'un point quelconque

de D est un espace projectif

On a donc une contradiction.

DIAD 2 est de codimension d'apr~s un th4or~me

de Hartshorne

de Cohen - Macaulay •

au moins deux dans D. Comme DIUD2=D, ([6] corollaire

3.9. p.46)

D ne peut ~tre

118

BIBLIOGRAPHIE

[1]

D.A.

BUCHSBAUM

Depth

Vol.

C. DE CONCINI varieties.

[3]

J.A.

J.A.

iii

J.A.

Math.

[6]

A. GROTHENDIECK.

[8]

F.S.

MACAULAY.

I.R.

Ideals

w i t h them.

of a matrix.

loci.

rings,Invariant Amer.

J. Math.

d e f i n e d by m a t r i c e s

Proceedings

of the R o y a l

theory 93

1

and the

(1971)

p.iO20-iO58

and a c e r t a i n Society,

A,

147 - 172.

Local

cohomology

- Lecture

Notes

of a t h e o r e m of Riemann.

F. RONGA.

T.G.

ROOM.

Vol.

Simple

19

in M a t h e m a t i c s

n ° 41,

Ann.

Math.

98

(1973)

Comm.

of maps.

L e c t u r e Notes

des classes Math.

The g e o m e t r y (1938).

theory of m o d u l a r

systems.

(1916).

singularities

Symposium.

Le calcul

deux.

Cambridge

The algebraic

Tracts.

PORTEOUS.

d'ordre

[ii]

and d e t e r m i n a n t a l

(1961).

: Cohen Macaulay

On the g e o m e t r y

Singularities

[lo]

: Young diagrams

129-173

178 - 185.

Cambridge

[,9]

Mathematical

- Verlag.

G. KEMPF. p.

p.

of d e t e r m i n a n t a l

(1967), p.

complex. II

by the s u b d e t e r m i n a n t s

of C h i c a g o

associated

American

- C. P R O C E S I

(1980)

EAGON - D.G. NORTHCOTT.

269

Koszul

197-224.

Ideals g e n e r a t e d

University

Springer

[7]

56

E A C ~ N - M. H O C H S T E R

complex Vol.

- Transactions

(1964), p.

generic perfection

[5]

A generalized

- D. E I S E N B U D

Inv.

EAGON.

Thesis.

[4]

RIM.

and m u l t i p l i c i t y

Society,

[2]

D.S.

-

duales

Helv. Vol.

Proceedings

in M a t h e m a t i c s

n°192.

aux s i n g u l a r i t 4 s

47 -I-

of d e t e r m i n a n t a l

(1972)

loci.

p.

of L i v e r p o o l Springer-Verlag.

de B o a r d m a n

15-35.

cambridge

University

Press,

ON

THE

TOPOLOGY

OF

COMPLEX

ALGEBRAIC

MAPS

by M. Goresky and R. MacPherson

In this largely expository note we give some homological

properties

algebraic maps of complex algebraic varieties which are rather surprising topological

point of view. These include a generalisation

of

from the

to higher dimension of

the invariant cycle theorem for maps to curves.

These properties Gabber, Beilinson,

are all corollaries

of a recent deep theorem of Deligne,

and Bernstein which is stated in §2 . This theorem involves

intersection homology and the derived category. larize it by giving corollaries

One of our objects here is to popu-

involving only ordinary homology.

For this reason

some readers may wish to begin with §3.

§]. Intersection homology. For any complex algebraic variety constructible

V , let Db(v) be the algebraically c bounded derived category of the category sheaves of Q-module on

V . (Objects of

Db(v) are bounded complexes of sheaves of q-modules on c are cohomologically locally constant on the strata for some stratification by complex algebraic

If cohomology

submanifolds;

~'C D~(V)

and

see

([GM2],

that

of

V

§l.]l).

U c V , Hk(u,~ ")(resp. H~(U,~'))

(resp. hypercohomology

V

with compact supports)

denotes the hyper-

of the restriction

of

S"

=

to U .

If E tic

from

p E V , let

p , where distance

T° P

be the "open disk" of points at distance is

embedding of a neighborhood

H~(~,~')

are independent

the usual

of

in

~N . For

distance

U

using

=S'C Db(V)c ,

of the choices for small enough

A local system on a space U .

P

Euclidean

less than

some l o c a l

analy-

H k ( ~ , S ")= and

c •

is a locally constant sheaf of

Q-module on

120

Definition -Proposition Let nonsingular

V

([G M2],

§4.1).

be a complex algebraic variety of pure dimension

Zariski open and dense subvariety,

Then there is an object

IC'(V,L)

in

Db(v)

and

L

n , U

be a

be a local system on

U .

called the sheaf of intersection

C

homology chains on isomorphism i) 2) so that if a)

in

V

D~(V)

I C'(V,L) V

with coeficients

in

L , which is defined up to canonical

by the following properties is

L[n]

can be stratified by strata

{Si}

p 6 S

restricted

to

U

: . where

SZ

has dimension

Z ,

,

Hk(~°,IC'(V,L)) p

= O

unless

k

is a dimension marked

$

in the

figure below. b) H~(~,I_~C'(V,L))=

0

unless

k

is a dimension marked

f

below. n

£

n-I

4

£

3

£

2

!/

o .,-4

I .,-4

£

£

£

£

£

£

£

I

f

£

-f

/

O -I -2

o o

£

$

'\$\

-3 -4

-n+l -n

O

I

2

n-I

complex dimension of stratum Z

in the figure

121

Remarks• I.

The regions of marks

and

they are made smaller,existence 2.

IC'(V,L)

is independent

they are both defined, 3•

If

L

a purely topological

Example.

If

V

of

then

is the constant

in the figure are sharp in the sense that if fails and if they are made bigger, U

in the sense that if

IC'(V,L) sheaf

~U ' then

invariant of

IC'(V)

IC'(V,L)

is

Cv[n]

The following theorem was conjectured O. Gabber, A. Beilinson,

Theorem.

f : X ÷ Y

Then there e x i s t £

closed

subvarieties

Rf,IC'(X) ~

where

is : V

~

L' to

is denoted

agree where IC'(V,L')

IC'(~

.

• It

is

.

~ Y

in

§2.10 . It has been proved

[FM]

and I. Bernstein.

([D4])

.

be a proper projective map of complex algebraic varieties. V c y

such that there is an equivalence

**)

and

Db(v) e

theorem.

by P. Deligne,

Let

L

in

fails•

V .

is nonsingular,

§2. The decomposition

is equivalent

uniqueness

in

and l o c a l

systems

L

, and i n t e g e r s

Db(y) c

l, I C • ( V ,L ) [£ ]

is the inclusion.

Remarks• I.

A decomposition

the varieties

V

~)

of

Under this restriction

the objects

in the sense that whenever equivalent tion, the

Rf~IC'(X)

are irreducible

can be found with the restriction

and the local systems i.IC= ~ " (V~,L) [~ ]

L

are indecomposable

i.IC'(V ,L )[~ ] = ~" • ~"

then either

There are generalisations

theorem relative

to

nonsingular

Y

Let V = V

in

~'or ~"

Db(Y)c is

to zero in Db(y) ([GM2] , §4.1 , corollary 2) . Also with this restricc list of s u ~ a n d s i~IC (V ,L ) is uniquely determined. (We do not know

if the category D~(Y) has such unique decompositions into indecomposables 2.

that

are indecomposable.

and

and

of the Poincar~ duality theorem and the hardLefschetz

f . (They specialize

to the classical

theorems when

X

is

is a point).

Loc(V,%) ~ = ~

in general).

be the direct sum of the

. Then P o i n c a r f i d u a l i t y

L

([GM2]

for those

~

, §5.3 and § 1 . 6 )

such that says that

122

there is an isomorphism.

Hard

Loc(V,~)

= Hom(Loc(V,-%)),Q)

([BB])

says that there exists a map

Lefschetz

for all

~

such that for

.

A : Loc(V,~)

÷ Loc(V,~+2)

~ > 0

A ~ : Loc(V,-%)

---+ Loc(V,~)

is an isomorphism. 3.

Although

the theorem is a purely topological

proof uses characteristic

p

techniques.

which is pure in the sense of [D2] of Gabber 4.

If

[D3] and

X

Rf~

result about complex varieties,

Such a decomposition

, §6.2. The complex

preserves purity by [D2]

is nonsingular

the

exists for any complex

I C'(X)

is pure by a result

, §6.2.

and of complex dimension

n , then

HkRf, IC" (X) --~ HkRf,Qx[n] ~-- H n+k(X) -- Hn_ k(X)

where

Hn_k(X)

splitting

**)

is the ordinary homology of

bering of dimensions

of [GM]]

Hk(X) ~ a

where

k

= k-n+dim

in detail, 5.

If

see [BM]

f : X ~ Y

X

in

,

. For an example where this decomposition

of

Rf~ X

will be

of

in the ordinary homology of any resolution of

Suppose

Y c ~pn+]

is the cone with vertex

f : X ÷ Y

is the blow-up of

and

Y , then one of the terms in

I CC'(X) . Thus the intersection homology

~pn . Suppose

divisor,

is worked out

.

~)

is contained

Example.

[CGM]

So the

X . Using the num-

IHk (Va,L a)

+ ~

V

and

with rational coefficients. of the homology of

is a resolution of Singularities

the decomposition of

X

gives rise to a decomposition

cl(N) E H2(D)

Loc(Y,O)

Y

at

p

X .

over a nonsingular

p ,

D

is the first Chern class of its normal bundle.

= ~]y_p

variety

is the exceptional Then

123

Loc(p,~)

and all of the other

Loc(V,%)

The. stalk at in pieces

p

HI(I_C'(Y,~))p

non-primitive

= ~p @ (Image Nc|(N))

are zero.

of the. cohomology and

sheaf

Hl(i~IC'(p,~))p

H)i (=R fo~ x

as

HI(D)

is

Hi(D)

. It splits

splits into primitive and

cohomology.

§3. Resolutions. Let

X

be a nonsingular

a proper projective

algebraic map. For any point

points of distance at most tance exactly

E

complex algebraic variety and let

from

g

from

p

and let

f-](~p)

,

B

be

be

p E Y , let S c Y

~ c Y be the set of P be the set of points of dis-

p . (Here "distance" means the usual Euclidean distance with

respect to some local analytic embedding of a neighborhood be

f : X ÷ Y

f-](S)

, and

B c M c i

S c

of

p

be the restriction

in

~N)

of

f .

. Let

M

X

~)pC Y

It is well known from stratification pact manifold with boundary

T : B ÷ S

B

theory that for small enough

and the topological

g ,

type of the pair

M

is a com-

(M,B)

is inde-

pendent of the choices.

Let

K c H~(B)

be the kernel of

i~ : H~(B) + H~(M)

. In this section and

the next, we address the following

Question. that

f

To what extent is is algebraic)

Remarks. 1. (M,B)

f-1(p)

Just from the topological

see that

K

by the data

T : B + S

(and the fact

in the long exact sequence in homology for the pair

is the only part that could be determined by these data since

blowing up a point in 2.

determined

?

Of the information

, K c H~(B)

K

is a maximal

will change fact that

isotropic

B

H~(M)

.

is the boundary of the manifold

M , we

subsp~ce for the intersection pairing on

H~(B) ;

!

i.e.

K = K ±. (See [Do], prop. 9.6, p. 305). In particular

dim K = ~ dim H~(B)

.

124

Corollary

I.

p

f : X + Y

, and

phism)

If

Y

is an

n

dimensional

is a resolution

of singularities

In

Dp

the decomposition

terms concentrated the following interpretation in

S

(so

T

singular point at

: B ÷ S

is a homeomor-

, then

K = Hn(B) ® Hn+I(B)

Proof.

variety with an isolated

at

@

~*)

... • H2n_I(B)

of the theorem has the form

p . Only the term

: Which cycles

in

of intersection

H~(S) homology

IC'(Y)

effects

are boundaries

in

of [GMI]

[CGM]

and

IC'(Y)

plus

K . So the problem becomes IH(~p)

? Here we use the

(proved to be equivalent

[GM2] ). D is topologically a cone with base S and vertex p . Any cycle Z in P is the boundary of its cone to p . The cone is allowable as a chain in IC'(B)

if (and only if) the dimension of Hn(S) @ Hn+](S) ® it is all of

Examples.

...

is in

Z

is at least

n

([CGM]

K . Since it is a maximal

, §2.1).

isotropic

So

subspace of

H~(S) ,

K o

The simplest

cally the picture

example

is like this

The corollary asserts the one on the right

is a node

(or normal crossing)

of a curve.

Topologi-

:

that the resolution must be the figure on the left rather (as may be seen by several

classical

arguments).

than

125

For surfaces,

the corollary

sion three and more,

§4. Generalized

invariant

Given J c H,(B) such that onto to

U S

T

: B + S

restricted

for each

See

~

[H] and

that each stratum

stratification

to the inverse

. (This can be done of

Y

S

: the

.

Choose a

is a union of interiors

J c H,(B)

J

is independenL

U

{U}

of odd dimension

is a topological fibration may be taken to be restrictions

triangulation of simplices. subdivision

T

of

S

so

(See [G] ). Let of

T

R

be

such that for

is the image of the map

---1 H,(f (R))

Lemma.

by strata U

by complex manifolds with the similar fibration

[T] , p. 276).

U

of

image of

the union of all simplices A of the barycentric i all U ~ , dim ( A N U ~ < ~ dim U ~ .

Definition

For d i m e n

as in the last section, we will construct a subspace

. Choose a Whitney T

blowing down criterion.

cycle theorem.

of a stratification

property.

follows from Grauert's

it seems new.

-->-

H,(B)

of the choices

({U }

and

T)

in its construction.

It is

126

a maximal

isotropic

Example.

If

~

2 m - l , then

subspace

of

is a topological

J = Fm_ | H,(B)

Leray spectral

sequence

f

For any "perversity"

similarly

define a "perverse

lity

dim(A N U )

of

fibration

and

S

is a manifold

F denotes the s . (See [S], p. 4 7 3 - 4 ,

function

p

piece"

. We conjecture c , then

J

fibration theorem

of

that if

p(e)

H.(B)

map

Jp c H,(B)

is independent

of dimension of the

1).

and any stratified

Leray filtered

~ p(dim U )

functions

.

where

for

Remarks.

nondecreasing

H.(B)

B ÷ S , we may

by using

and

c-p(c)

of the choices.

the inequaare both If

p(c) = s ,

P then

J

= F

p

s

Corollary

2.

(That is

J n K = {O},J + K = H,(B)).

Proof.

The subspace

We decompose

H,(B)

H,(B)

Arguing

is always

a vector

space complement

to

J

in

H,(B)

as in §2 remark 4

= OIH.(S

N V ,L )

as in the proof of corollary

K =O

where

K

l, we see that

IH a (S N V ~, L )

~ ... • IH2a -I (S fl V , L )

aa = dimcV a . We claim that

j =O

From this,

corollary

IHo(S n v , L ) $

... @ IH a _I(S O V , L )

2 and the lemma clearly

To establish

the claim,

let

R°

follow.

be an open regular

neighborhood

of

R .

Then

J = image(ll.(~-l(R'))-~

We w i l l

show that

for

all

H.(B)) = # ~

Image(IH~(R ° A V~,L ) ÷ IH~(S O V ~ , L

))

a

IH o ( S n V ,L ) ~ . . . ~ I H

a _1 (SN V~,L ) = Image(IH~(R ° n v ,L ) ->IH~(S N V , L

))

.

127

The inclusion i < a- I

c

since

the fact that

follows from V

J

[GMI] §3.4 plus the fact that

is a union of strata is self-annihilating

U

under the intersection

be seen by using stratified general position isotopic

to the identity such that

Remark.

For general

tion

T

R N V

Va)

considerations.

taking any complement

to

J N H|(B, ~)

pairing.

This fact may h : V

÷ Ve

is empty.

For example,

in

for

then follows from

[M] to find a homeomorphism

h(R N V~) N (R N

is a curve of genus one, there is an automorphism

f

m

f , corollary2 is the best possible result on

: B ÷ S , except for integrality where

R~ C

. The inclusion

for

K

from the data f : T × T ÷ T

of the topological fibra-

HI(B, ~)

as a

~-module

to any

other complement.

Example.

If Let

Y

is a curve, corollary 2 is equivalent ~

: F c B

to the invariant cycle theorem :

be the inclusion of a fiber and let

the monodromy map.

~ : H.(F) ÷ H.(F)

be

Then the composed map

Hi+2(M,B) ÷ Hi+I(B)

~

Hi(F )

is a surjection to the kernel of

(I-~) , i.e. to the invariant cycles

(see [C] , introduction). This follows from the Wang exact ~:equence for the

fibration

f

: B ÷ S

over a circle

([S], p. 456, Cor. 6)

Hi+I(F)

~~*

Hi+I(B) _ ~

and the fact that

J N Hi+I(B)

§5. Leray Spectral

Sequence.

Corollary

f : X ÷ Y

3.

Let

is~ the image of

and

f' : X' ÷ Y

singular complex algebraic varieties phic for all

i , then

spectral sequences of

Proof.

By d~vissage,

may be determined

H.(X) f

and

to

H,(X')

f'

coincide.

V

, L

RXf.~x . Then

mology of the factors

IC'(V , L )

ly, the Leray spectral

sequence fcr

Hi(F)

4,

be two proper projective maps of non" i RIf.~x and R f*~x' are isomor-

Y . Then if

and

the triples

from the

Hi(F ) ~

are isomorphic.

, ~ H,(X)

In fact the whole Leray

occuring in the decomposition

with a dimension shift depending on f

**)

will be a direct sum of hypercoho-

will decompose

~

. Similar-

into a sum of spectral sequences

128

for the hypercohomology

Examples be

1. If the

Y , and the

of each

RIf~Qx

2.

H](C) ÷ HI(S)

at

E2

at

sheaves

then all the

V

wil

so their spectral

(This case was a result in [D]]) V

such that the spectral

E 2 , take any surface

is not injective.

§1.2).

sheaves,

will be locally constant

For an example of a

does not degenerate

, L ) (see [GM2],

are all locally constant

I C'(V , L )

sequences will degenerate

I C'(V

S

sequence for

with a curve

Blow up enough points on

C

C

IC___'(V)

such that

then blow down its

reduced transform.

Institut des Hautes Etudes Scientifiques 35 route de Chartres 91440 Bures-sur-Yvette (France) June

1981

IHES/M/8|/32

129

REFERENCES

[BB]

A.A. Beilinson - I.N. Bernstein : Appendix to "La conjecture de Weyl II" of P. Deligne : %-adic modules and weight filtrations, preprint, Moscow 1981 (in Russian).

[BM]

W. Borho - R. MacPherson : Representations des groupes de Weyl et homologie d'intersection pour les vari~t~s nilpotentes, Comptes Rendus de l'Acad. Sci. Paris, 1981.

[c]

C.H. Clemens : Degeneration (1977), 215 - 290.

of K~hler manifolds,

Duke Math. Journal 44

[CGM] J. Cheeger - M. Goresky - R. MacPherson : L2-cohomology and intersection homology for singular algebraic varieties, proceedings of year in differential geometry, I.A.S., S. Yau, ed, (1981) Annals of Math. Studies, Princeton. [£M]

S. Gelfand - R. MacPherson IHES preprint, 1980.

[D1]

P. Deligne : Th~or~me de Lefschetz et crit~res de d~g~n~rescence Spectrales, Publ. Math. IHES 35 (1968) 107 - 126.

[D2]

P. Deligne

[D3]

P. Deligne : Puret~ de la cohomologie de MacPherson-Goresky, d'aprgs un expos~ de O. Gabber, r~dig~ par P. Deligne, IHES preprint, F~v. 1981.

[D4]

P. Deligne et al. : To appear in Proceedingsof C.I.R.M. conference "Analyse et Topology sur les Espaces Singuliers", Marseille-Luminy 1981.

[Do]

A. Dold : Lectures on Algebraic Topology,

[G]

M. Goresky : Triangulation 72 (1978) 193- 200.

of stratified objects,

[GMI]

M. Goresky - R. MacPherson 135 - 162.

: Intersection Homology Theory,

[gM2]

M. Goresky - R. MacPherson

: Intersection Homology II, preprint

[HI

R. Hardt : Semi-algebraic local-triviality Jour. of Math. 102 (1980) 191 - 302.

[M]

C. McCrory : Stratified general position, Algebraic and Geometric Topology, p. 142- 146 Springer Lect. Notes in Math. 664 (1978).

IS]

Spanier,

IT]

R. Thom, Ensembles et morphismes (1969) 2 4 0 - 284.

: Verma modules and Schubert-cells : adictionary,

: La conjecture de Weil, II, Publ. Math. IHES 52(1980)

Algebraic

Topology,

Springer Verlag

stratifies,

137- 252.

(1972)

Proc. Am. Math. Soc.

Topology

in semi-algebraic

McGraw-Hill,

de Suites

19(1980)

1981.

mappings,

1966. Bull. Amer. Math. Soc. 75

Am.

SINGULARITES

DES

SCHEMAS DE

HILBERT

GRANGER

dean-~iohel

Dens cette note, on se propose d'@tudier espaces de dimension z@ro de @pais"

en

tuels

0 ~ Cr

Hilbn cr

et ces

et

Hilbn Or

" points "

(~

= C { x 1 ' ° " °, Xr } ]

de longueur fix@e s'expriment

Hilb n C r

oomposantes

principaux -

et

n

Hilbn Or

teur local

-

irr@duotibles,

Une pr@sentation ( [ 7 ] ] Hilb n 0

param~trant

de certains entre sous -

° De la solution de oes probl~mes, des soh@mas de Hilbert ponetuels

d@termination

du germe de

Hilb n C r

d'un morphisme analytique

de lieux singuliers)°

on peut (irr@ducti-

Les deux

: en un point en terme de plstificaconvenable

not@

apparait comme un lieu de ramification

r

oes sous espaces

. Les probl~mes d'existence

outils utilis@s iei sent les suivants

pr@sentation

plates des sous -

en termes de relations d'incidenee

d@duire des r@sultats sur la g@om@trie bilit@,

les d@formations

, et des germes de tels sous espaces ou " points

° Ceci nous conduit ~ oonsid@rer les soh@mas de Hilbert ponc-

types de d@formations ensembles de

Cr

PONCTUELS

m

.Dans

maximum de

oette ~

.

Un th@or~me de oonnexit@ pour les germes d'espaoes enalytiques d~ &

A. 8BOTHENDIEOK feld utilisent ramifications

([ 5 ] ) . Dens

[ 3 ]

et

[ 11 ]

,

ce th@or~me pour obtenir une minoration de morphismes analytiques

T. Gaffney

tion compl§te

et

E

de la dimension du germs C

Hilb n O

R. Lazars-

ou alg@briques°

En appliquant une m@thode analogue & des restrictions obtient une minoration

et

de la dimension des lieux de

param~tre

(Ev, z]

cO

appropri@es z

de

~

, on

est une intersec-

les points d'ordre au moins

v

(de-

r

gr@ minimum d'une hypersurface -

Pour

filtration

de

r = 2

, on en d@duit une bonne propri@t@

Hilbn 0 2

le lieu singulier de

de plongement).

par les

Ev

E I = Hilb n O~

[E v = E v - Ev+1] , r@duit.

de d@croissance et le fair qua

pour la E2

est

131

Dans

E £ ]

lier d'id~aux

, A. IARROBINO montre un r@sultat analogue pour un type particu-

:

les intersections completes dent le gradu@ associ@ est aussi uns

intersection compl~te, Parmi les exceptions qu'il met en @vidence, signalons le cas d'une famille contenue dans l'int@rieur de EXE~PLE I

=

. -

So±t

If, g, h]

On a alors

H(2, 2 t 2]

telles qua I/

v(f]

2/

dim

b/

:

l'ensemble des intersections compl~tes

:

%/I

H(2, 2, 2~

=

v[g]

=

=

dim HI2, 2, 2] = 12

un voisinage de

[

v[h]

=

2

8 , dim [

=

14

[ 4 ] , pattie 2, § V]

(volt

est

, et on peut montrer qua ,

Questions sur les strates d'Hilbert-Samusl -

Lorsque

qu~e que darts le oas

r ~ 3

r = 2

, la description des

[cf° Proposition 3]

ZT

est beaucoup plus oompli-

et les questions suivantes demeu-

rent ouvertes.

nexes de

-

Calcul ou encadrement pr4cis de la dimension de

-

D~termination des composantes irr@ductibles, des composantes con-

ZT

[quand les -

gullet de

ZT

ZT

sont-elles irr@ductibles,

Conditions pour que

ZT

ZT

.

ou connexes ? ]

•

soit lisse, ou d@termination du lieu sin-

.

Le problems des d@formations d'un id@al d'Hilbert Samuel donn@e

T' ~ T[I]

I

sur des id~aux de fonction

est encore plus ardu m@me lorsque

r = 2

. En

terms de sch@ma de Hilbert I on peut s'int@resser en premier lieu & des conditions n@cessaires ou suffisantes pour que ZTC mont

7T,

,

o~

ZT

et

ZT,

des strates d'Hilbert Samuel. Les trois conditions n@cessaires suivantes

fournissent une premibre indication assez utile

I/

dim Z T

I

note

:

ob

; ~]

Fi[x

=

Or/I

n-

I

j=

I

(xl, .... xr)

a

=

[ai, j ; I --< i--< p

6

ficateur Dans

longueur

+

=

:

[F I , ° , . ,

PROPOSITION

fi[x]

=

x

l'applieation

9

9(x, _~]

I

de

, tell° que

eo = 1

,

e.i ~ ~;I si

, On

et

C

C r+p[n-1)

Fp

; a)

;

~

C p+p(n-I)

Le germe de

local du germe

=

Hilb n C r

de l' application

met isomorphism°

cp[o-1)

I

.

h

mxj,

dans

lax + by) 3

c

=

ZT2

m

d~s que l'espaoe vec-

, ce qui est une condition

On peut noter que les id@aux isomorphes &

×2y

cx ,

ZTo

x2

=

l'id~al

< f, g >

g@n@rique

de

des inter-

d'Hilbert - Samuel d'ordre deux possibles d'apr~s les condi-

sont

On trouve

f

l'id@al engendr@

To

tions

le premier de ces contre exemples

) .

,

c ~ 0 ~ remplissent

cette condition et forment un ouvert dense

140

REFERENCES

d . BRTAN~DN

Description de Hilb n C [ x, y ] n ° 41 pp 45 - 89

J . FOGARTY

Algebraic families on an algebraic surface. Amer. J. of Math., n ° 10 , pp 511 - 521, I~58

[3]

T. GAFFNEY

Multiple points and ramification [Notes - Northeastern U°]

[4]

M. GRANGER

GEometrie des schemas de Hilbert ponctuels. Th~se-Uni ~ versit@ de Nice

. Inventiones Math.

loci for finite maps

A. GROTHENDIECK Cohomologie locale des faisceaux coh@rents et th@or~mes de Lefschetz locaux et globaux. SGA 2, North Holland, 1968

[6]

[7]

R. HARTSHORNE

Connectedness of the Hilbert scheme. Publ. Math. de I'I.H.E.S. n ° 29 pp 261 - 304 [1966)

H. HIRONAKA, M. LEJEUNE, B. TEISSIER Platificateur local en g@om@trie analytique et applatissement local. 8ingularit@s & Carg~se, Ast@risque, n ° 7 et 8 , p 441 - 463, 1973

[8]

A, IARROBINO

Punctual Hilbert schemes. Memoirs of the Am. Math. Socie. ty, Vol 107 n~ 188 1 I£77

[~]

A, IARROBINO

Complete intersection algebras having no deformations k [ x ]/[xn] (preprint)

[ 10]

A, IARROBINO

Reducilibility of the families of O - dimensional schemes on m variety. Inventiones Math. n ° 15 pp 72-77, 1972

[ 11 ]

R. LAZARSFELD

Brmnched coverings of projective University

spaces. Thesis. Brown

J,M, GRANGER I,M,SoP,

U n i v e r s i t ~ de Nice MATHEMATIGUES Parc V a l r o s e 06034

N I C E CEDEX

to

ON

DEFORMATION

AND

A

OF

FORMULA

OF

Gert-Martin

CURVES DELIGNE ~

Greuel

Contents Abstract I.

Milnor

2.

A

number

3.

Applications

formula

and

of

Hirzebruch-Riemann-Roch

formula

Deligne and

examples

References

Abstract:

We

study

singularities cases the

a

deformations

of

deformation

singularities

number of

and

also

singular is

are

occurs

of

applications ability

I.

of

Milnor

i.i.

Let

the

naturally

of

number

(C,

=

~ (C,

O) We

O)

space

this

certain

singularity.

and

base

fact

and

C

(~n,

recall

(cf.

[B-G])

Let

=

be

the

the a

iff

degree

of of

in

the

the

curve

pn({) .

Milnor

Todd

concerning

to

the

both of

Milnor class the

deformation.

particular

In

numbers

The

singular

Deligne

semiuniversal

given

complex some

deformation.

formula

the

in

Some

non-smooth-

be

the

basic and

we

local

fix

germ

of

facts

deduce the

ring

formula

a

about

some

reduced the

results

complex

Milnor about

curve

number families

of

notations.

of

(C,

O)

with

maximal

ideal

and n

~)

O) some

Moreover

zVb4,

in in

the

Hirzebruch-Riemann-Roch

curves.

~C,O

are

reduced

trivial

during

of

of

curves

curves.

compact

~

germs

topologically constant

Baum-Fulton-Ma~herson

dimension

of

projective

:

(C,

O)

÷

(C,

T h i s is a m o d i f i e d version of [G2]. ledges the financial support of the and of the Stiftung Volkswagenwerk which this paper was written.

O)

The author gratefully acknowDeutsche Forschungsgemeinschaft for a visit to the IHES, during

142 the

normalization.

If

irreducible

components

into

(C,

O)

=

~ i=l

is

( C , O) 1

the

decomposition r

(branches)

we

{~, 5} = I I (~i' 5 i } '

have

i=l

the

disjoint

union

of

smooth

© Moreover

we

consider r

:=

germs,

n

~(C,

the

Jacobson

=

t i ¢{ti}, r

the

maximal

K

=

~ i=l

• {{ti}}

=

quotient

~{{t

= Ann~

T(C,

O)

(C,

=

n

=

Ext

i

}}

1

O) ' (C,

E

n-1

of

We

can

describe

=

space

of

first

(C,

~

semilocal

power

series

ring

~0 c ~ ,

(K~hlerian)

l-forms

order

~,

of

of

holomorphic

ring

,

fractions

ideal

~)

( 0,

of

conductor

(C,

the

~{ti}

convergent

l-forms

on on

e{t i} ,

(C,

the

c n , O) ,

(~, 5},

infinitesimal

Grothendieck

dualizing

module

O) .

also

as

=

{~

E ~ ~9 KI

res(fe)

= 0

for

all

f6 ~

r

where r e s (8)

:=

~ i=l

res

(8.) l r

for

each

B =

O)

O) ,

n

xt'~ n,otY¢

ring

1 Q(~,

of

of

of

holomorphic

O) '

(~, ~0) ,

ideal

the

the

the

radical

total

of

,

deformations

=

the

'

field

(9 /~)

~1

=

qi = l[¢{t i }.

O)

:

= 'li=ll ~ , d/P0 i

and

(B I ....

'

8r ) C

~ ~

K

~-~

=i=1

~{{t

i }}dti,

(cf.

[ Se] ) .

},

143

(C,

O)

is

universal the

generic

smoothing is

called

fiber

(S,

O)

1.2.

We

m

m(C

=

to

=

if

the

base

[ G r ] , [Tj ])

smooth.

Such

a

space

component

consider

i.e.

the

if

(S,

following

O)

O)

=

e44~( ~ )

: multiplicity

=

d i m e ( ~ / ~0)

: ~-invariant,

r

=

r (C

O)

=

d i m ~ ( ~ /A~v)

:

t

=

t(C

O)

=

dim~(~/~)

: Cohen-Macaulay

c

=

c (C

O)

=

dim~ ( ~/

T

=

T(C

O)

=

dim

=

~ (C

O)

=

dim~(~/d@

the

the

composition

morphism

~ +

~

Proposition

In

particular,

=

~ )

of

the

~

~

26 ~

=

of

~

the

map

derivation class").

(S,

O)

is

space

is

which

called

of

a

(S,

O)

unobstructed

if

smooth.

the

local

of

(C,

ring

~

O) :

,

type, of

the

d

: ~ +

d

: ~ +

1.2.1) :

(C,

O)

semi-

over

branches,

1

iff

the

conductor,

number.

exterior

r + O

Milnor

:

of

number,

("canonical

[B-G], -

of

: Tjurina

)

definition

number

: multiplicity

T 1 (C,O)

(cf. g

O)

component

invariants

of

O)

in

of

numerical

(C

that

a

is

=

Note

(S,

contains

for (C, O) . The Zariski tangent i T ( C , O) and (C, O) is s a i d t o b e i T ( C ' O) '

dim~

shall

(cf.

is

component

isomorphic

dim

smoothable

deformation

smooth.

is Q

and

defined the

to

be

canonical

144

1.3.

The

importance

topology

in

vanishing

cycles in a -1 (f (O) , O) .

(C,

O)

=

curves

in

precise,

Let D

C

C

f

:

a

have

C ~n a

B

and O)

+

(~,

of

cycles

a

open

disc

with

may

O)

reduced

is

the

fact

curves. f

:

actually

fiber.

choose

we

from

deformation

These

small

small

comes

small

smooth

a

D

~

family

to

be

be

(X,

flat

nearby

we

B

small

a

of

In

order

ball

of

given

radius ~

that by

and a

the

~

is

the

O)

+

appear

representative

radius

it

(X,

to

good

assume

that

make

for

with

center

the of

O)

virtua

of

smoothable statement

f.

center O.

representative

following

number (~,

this for

~

controls

O

For

and

sufficiently

of

commutative

diagram

i X

C

~

B

×

D

D

where

i

factor.

is

a

Such a

closed a

good

immersion

be

called

(t

~

D):

Ct

×

~t}

=

f - I (t) ,

~t

=

~ (Ct)

=

~-~' x~C t

t r' (C t)

=

of

t'

=

b i (C t)

=

dim~

f.

(r(Ct,

' x)

t b i t

O

~ (C t , x) ,

t

xC ~ C

is

with

representative

xEC

r t' =

and

representative

H i (C

~) t'

"

-

I) ,

K

and

M

Of

K

isomorphically

morphism

M

0

the

and

equations

weights.

positive of

Each

(C, branch

there

exist

integers O)

c C. 1

(~n, of

local

coordi-

(weights) O) C

are can

homogeneous be

153

(t~l i t.l ~-+

where

n

Pi

mined

Wn n

P i ' .... ti

(p~, .... p i ) ~ C.1 -

Pi )

The

{O}.

inclusion

C ~

is

WV V X~

= by

deter

by

I , . . . ,n. the

chain

If

g

rule

~+

C

and

( x ~ ( t l ) .... ' x ~ ( t r ) )

~

is

the

(quasi-)

Euler

=

(tl

homogeneous

W~

Pl . . . . . t r

of

degree

Pr )

q

then,

relation,

n dg ti

Hence

~

(x(til)

¢ (dg)

ideal

= qg

generated

Remark:

:

which

by

proves

~ (d~)

Kunz-Ruppert

~ x~ g V

~-~' V=I

prove

( x ( t )i

¢ (d 60)

) w V x ~ ( t )i

= ~4~ .

=

q g ( x ( t i )) "

Since

M

is

the

~-

, M =~A@.

in

[K-R],

Satz

2.1,

that

j~

~ ~

~0

it

follows ~d

I = ~d

~

easily "

In

).

that

~ i

general

it

=

~

is

rather

difficult

to

see

what

immediately. If -i explicitly o

d

14~

444"-I o

Here

G

=

complex the

=

we

claim

I,

x

r,

~)

where

E

is

M(p

coefficients.

: M

-~ M

the

By

the

hypothesis

d

t

=

O, -I 44~ o

that

Cr I 3

the

x p,

~)

Let

M

=

of

implies

"" ' g r ) 6_ 444,0

M(n

=

=

is

the C

G

set

~r

n,

~

: ~r

to

M

r

-

.

o

I

follows

We

can

describe

A

C

s.t.

GA 1 =

AIC}.

with p

diagonal

x

the

the

and

A

o

is -i

an

=

HM

with

spanned

denote

A

elements

p-matrices

subspace

-~ M

A

GM =

~)

of

be

position, that

×

matrix

KM

of

generic

E

~n

let

restriction

-I

C

diagonal

il, " " " 'in'

GM

If

by

coordinates

(gl'"

is.

{ (gl . . . . . g r )

6 M(r

gl,...,gr,

!1

44¢d

A

: ~n

i.e .

+

Hence

. g.i . .

'gi

1

are

the

eigenvalues -i ~ = A4~ o o

whence

3.4.

For

fixed

consisting r

~

flat

a

linear

group =

if

n < r ~ n

(n+

-I)

result

r(n

were

described

multiple t

-

1

in

(Th.

(~n,

n

+

1

done

in

2.5)

O)

coordinates

for

in

points,

is

of

in

and

then

some

detail

[B

-

G] ,

hence

and

smoothable

lemma

3.3.

generated

~n,

lines

deformations was

4.

it

by

is

( n,

xix j ,

not

O)

to

compute

in

[ G 2] .

we

first the

We

state

166

Let x

2

Ak +

in

y

=

(~n,

which Ln r

denote

k+l

C

0

O)

is

x ~n,

(i.e.

of

(I)

All,

then type

at

type

it

is

A 3 ×

and

(3)

If

most

L p. p either Lp P

s

all

one,

some

of

(C,

subsets

the of

subsets holds

n n

dim

S

of

n

2n

r

curve

{ O } , O)

S

linear

lines

singularity

and

a

small

of

-

representative

of

xt

and

type

have

=

×

and

the

F

not A2

smoothable

independent 3

independent of

Then:

singular or

-i

(t) ,

t E

of

type

Lp p

Lp p

or

S

is

property

lines

of

pure

that

then

S,

t

=

there n

+

2 -s

s.

lines

are

TI-3'

2

T 1 =

T _II

@

TI-2

n

=

3

T1

T -1I

@

T -I2 '

n

>

4

=

T 1 =

T_I I

dim '

particular

of

a

linear

independent

then

the

=

dim

:

=

---~-~

x

1

points

lines

+

+

O) .

are

1

linear =

(~2

: X +

is

O) +

denotes

n

(C,

t Lp p+l p) .

type

C

be

F

x

n

In

O)

singular

x C

consisting

x Lnr Ak

equation

O)

t

(~n,

(for

If

therefore

followin~

× ~n

C

If -of

deformations

dimensional. are

O)

of

Ln ) and n+l deformation of

except of

(C,

Ak

union

(~2

with

si'ngularity

type

semiuniversal

are

curve

the

in

Let

singularity

position.

to

O)

curve the

general

the

All

Ln r

and

in

Proposition:

(2)

plane

isomorphic

({O}

lines

the

is

(C,

@

dim T I

dim

T -I I

=

T _II

=

dim

3,

dim

T _13

T!2

n(n-l) 2

O)

obstructed

iff

n >

5.

=

2 '

i,

T_I2 =

2

167

References:

[B-F-M]

: Baum, P., Fulton, W., MacPherson, R. : Singular Varieties, IHES, Publ. Math.,

[B-G-G]

: Briancon, J., Galligo, A., Granger, M. : D @ f o r m a t i o n s @quisinguli@res des germes de courbes gauches r@duites, preprint of the Dep. of Math., Univ. of Nice, France.

[B]

: Buchweitz, R. : O n D e f o r m a t i o n of Seminaire Demazure-Pinkham-Teissier Springer Verlag (1980).

[ B-G]

: Buchweitz, R.-O., Greuel, G.-M. : The Milnor Deformations of Complex Curve Singularities, 241 - 281 (1980).

[D] [ De]

: Deligne, 7 II, 1 :

Delorme, preprint.

P. : 38,

Intersections sur SLN 340, Springer

c. :

Quelques

remarques

Riemann-Roch for 4 _ 5 , iO1 - 1 4 5 (1975)

Monomial curves, in: 1976/77~ SLN 777,

Number Inv.

and Math.

les surfaces reguli@rs, Verlag (1973). sur

les

courbes

: Grauert, H. : Uber die Deformationen analytischer Mengen, Inv. Math. 15,

[G I]

: Greuel, G.-M. : Dualit~t in Singularit~ten, Math. Ann.

[ G 2]

: Greuel, G.-M. : Deformationen und eine Formel yon Deligne, Bonn 1979.

[HI

: Hartshorne, R. : Verlag (1966)

[ H-K]

: Herzog, Macaulay

[K-R]

: Kunz, E., Ruppert,W .: Quasihomogene Singularit~ten algebraischer Kurven, manuscripta math. 2 2 , 4 7 - 61

isolierter 171 - 198

der lokalen 250, 157 -

and

Singularit~ten (1972) .

Kohomologie isolierter 173 (1980) .

spezieller Kurvensingularit~ten Tell II d e r H a b i l i t a t i o n s s c h r i f t ,

Duality,

SLN

20,

Springer

J., Kunz, E. : Der kanonische Modul eines Rings, SLN 238, Springer Verlag (1971)

[MP]

: MacPherson, R. : Chern Ann. of Math. iOO, 423

[M]

: Mumford, (1975).

[P]

: Pinkham, Action,

D. :

Pathologies

classes of singular - 432 (1974) IV,

Am.

J.

H. : Deformation of Algebraic Asterisque 20 (1974)

of

Math.

-

with

G

849

m

[R-V]

: Rim, D.S. , Vitulli, M. : Weierstrass Points and Curves, Journ. of Alg. 48, 454 - 476 (1977) .

singularit@

(1977).

9_~7, 8 4 7

Varieties

: Pourcin, I_~6, 161

de

Cohen-

varieties,

[Po]

G. : D@formation - 173 (1974)

SGA

monomiales,

[ Gr]

Residues

58,

isol~es,

Asterisque

Monomial

168

[Sa]

Saito, K. : Hyperfl~chen,

[Se]

Serre, Hermann

IT:]

Teissier, S~minaire Springer

Quasihomogene Inv. Math.

J.-P. : Groupes (1959) .

isolierte 14, 123 algebriques

Singularit~ten 142 (1971) . et

B. : R@solution simultan@e Demazure-Pinkham-Teissier Verlag (1980)

corps

des

I, II, 1976/77,

von

classes,

in: SLN

777,

IT 2 ]

Teissier, B. : The Hunting of Invariants in the Geometry of Discriminants, i n P. H o l m e (edit.) , Real and Complex Singularities, Oslo 1976, Northholland (1978) .

[Tj]

Tjurina, G.N. : Locally Flat Deformations Singularities of Complex Spaces, Math. of Izvestia ~, 967 - 999 (1969).

[Wa]

Wahl, J. : preprint.

[W]

Waldi, R. : Deformation von Gorenstein-Singularit~ten der Kodimension 3, M a t h . Ann. 242, 201 - 208 (1979)

[Z]

Zariski, O. : Characterization of Plane Algebroid whose Module of Differentials has Maximum Torsion, Proc. Nat. Acad. Sci. 56, 781 786 (1966) .

G.-M. Greuel Math. Institut der Wegeler Str. 10 D - 53 Bonn.

Smoothings

Universit~t

of

Normal

Surface

of Isolated the USSR-

Singularities,

Curves

DR01TES EN POSITION GENERALE DANS L'ESPACE PROJECTIF

Robin

HARTSHORNE

Andr6

HIRSCHOWITZ

§ O. INTRODUCTION. On va d6montrer le th6or6me

suivant

(on travaille

sur un corps de

base k, a l g 6 b r i q u e m e n t elos, de c a r a c t 6 r i s t i q u e quelconque). THEOREME 0.1.

: Soit Y une r 6 u n i o n de r droites disjointes

g6n6rale dans l'espace p r o j e c t i f ~N,

en p o s i t i o n

N ~ 3.

Alors pour tout n A O, l ' a p p l i e a t i o n n a t u r e l l e p(n)

:

H°(pN,$N(n)) ~ H°(Y,Oy(n))

est de rang maximum.

Ici on dit qu'un m o r p h i s m e

p : V --~ W d'espaces vectoriels

rang m a x i m u m s'il est injectif ou surjectif ou bijeetif.

est de

La significa-

tion de l'expression en p o s i t i o n g$n6rale est qu'il existe un ouvert de Zariski non-vide U dans l'espaee qui param%tre les r6unions de r droites dans ~ N

disons U c G(1,N) r, G 6tant la vari6t6 Grassmannienne,

tel que pour tout Y c o r r e s p o n d a n t th6or6me

~ un point y de U, l'assertion du

soit vraie.

En langage g6om6trique,

le th6or6me dit

g6n6rale imposent des conditions

que des droites en positio

ind6pendantes

sur les h y p e r s u r f a c e s

d'un degr6 donn6 n qui les contiennent. Un cas special du th6or6me est le suivant si

( N ~ r(n~l),

:

170

alors il existe une r6union de r droites dans ~ N

qui n'est pas conte-

nue dans une h y p e r s u r f a c e de degr6 n. En effet, ces nombres

sont les d i m e n s i o n s des espaces vectoriels figu-

rant dans le th6or~me.

Cette in6galit6 entraine donc que p(n) est in-

jectif, et par cons6quent que son noyau H°OP N,JY(n))

est nul.

Par sui-

te il n'y a pas d ' h y p e r s u r f a c e de degr6 n contenant Y. Pour des petites valeurs de N, r, n, on retrouve des r6sultats de g6om4trie projective classique. disjointes

Par exemple, dans ~3,

trois droites

sont contenues dans une unique surface quadrique.

Quatre

droites en position g6n6rale ne sont pas contenues dans une surface quadrique.

Cinq droites en position g6n6rales ne sont pas contenues

dans une surface cubique.

Le premier cas qui semble d 6 p a s s e r les moyens

de la g6om6trie classique dans p 3 l'6nonc6,

est le cas n=4, r=7.

Dans ce cas ci,

dont nous ne c o n n a i s s o n s pas de d 6 m o n s t r a t i o n par des m6tho-

des classiques,

dit que sept d r o i t e s en position g6n6rale ne sont pas

contenues dans une surface quartique. Dans notre d6monstration,

on remarque d'abord que la c o n d i t i o n

sur un sch6ma Y de v 6 r i f i e r l'6nonc6 du th6or~me est une c o n d i t i o n ouverte sur le sch6ma de Hilbert des sous-sch6mas ferm6s de ~N. d 6 m o n t r e r le th6or~me,

Donc pour

il suffit d ' e x h i b e r u n sch6ma Y, c o r r e s p o n d a n t

un point y du sch6ma de Hilbert qui est dans la f e r m e t u r e de l'ensemble de points c o r r e s p o n d a n t s aux r6unions d i s j o i n t e s de droites, qui v6rifie l'6nonc6 du th6or&me. rence sur N e t

Notre preuve,

et

qui se fait par r6cur-

n, consiste en un choix c o n v e n a b l e de tels sch6mas Y,

qui en g6n6ral auront des points singuliers et des 61~ments nilpotents. Notre m o t i v a t i o n o r i g i n e l l e pour ce travail 6tait le probl&me les fibr6s veetoriels de rang 2 sur 7 3 [2,~5~ fibr6s ayant la "cohDmologie naturelle".

sur

, de l'existence de tels

Ii se trouve que le r6sultat

d6montr6 ici n ' e n t r a i n e pas le r6sultat voulu pour les fibr6s vectoriels.

N6ahmoins,

des m 6 t h o d e s analogues ont aussi conduit

~ la solu-

171

t i o n de ce p r o b l 6 m e - l ~ lons

aussi

logue

l'article

pour

Notons

si et

on fait

varier

p(n) une de

est

que

Y dans

part,

tout

born6e,

dit,

p(n)

de v a l e u r s propri6t6 ouverte fit

pour

soit

> r,

avec

pour

en a j o u t a n t injectif. un

le t h 6 o r 6 m e

Net

l'unique

que

entier

pour

tout

dQne

en a p p l i q u a n t

r fix6,

choisir

r fix6,

ana-

les

est de r a n g

= O. Done, th6or6mes

est une

quand de

condition

n, des

la f a m i l l e encore

l'entier

il e x i s t e

De ce fait,

p(n)

il faut

toutN,

pour

r,n, un

qu'on

une fois

se-

ouver-

en p N ,

Y avee

maximum,

d6montmer Y avec N, n,

nombre soin,

est

pour

l'applifini

et la

une p r o p r i 6 t 6

le t h 6 o r 6 m e , p~n)

est

de Y.

n o tel que

disjointes

il y

= O, done

n o ind6pendamment

choisir

choisis

Serre,

les t h 6 o r 6 m e s

il n ' y a q u ' u n

sch6ma

ait

de

des Y p o s s i b l e

un e n t i e r

est de r a n g

Y. D o n e

le t h 6 o r 6 m e

n ~ n o , Hi(Jy(n))

de r d r o i t e s

lesquelles

maintenant

pour

d'aprgs

d'aprgs

net

tout

de Y, on o b t i e n t

pour

tel

Y r6union

ait t r o u v 6

p(n)

un Y donn6,

Net

(N~n)

r'

du t h 6 o r 6 m e

condition

Pour

la f a m i l l e

Supposons

0(n)

plate,

cette

surjective.

qu~ pour

de t r o u v e r ,

et q u ' o n

famille

on peut

de n p o u r

sur

une

n o = no(Y)

n > n o et tout

cation

un p r o b l 6 m e

si H°(Jy(n)) = 0 ou H l ( j y ( n ) )

pour

semi-eontinuit6,

Autrement

Signa-

des Y.

surjectif.

famille

a r6solu

[3 ]).

dans ~3.

l'application

de o o h o m o l o g i e ,

sur la f a m i l l e

a un e n t i e r

de nous

rationnelles

seulement

mi-eontinuit6

D'autre

en p r 6 p a r a t i o n

REDUCTIONS.

d'abord

maximum

l'article

[4 ] o~ l'un

les c o u r b e s

§ 1. P R E M I E R E S

te

(voir

de r a n g

et r tels

il sufmaximum.

que

= r(n+i) , Y tel

que

d'autres

p(n)

soit

droites

D'autre

part,

sch6ma

Y" avec

n donn6

bijeetif.

~ Y, on o b t i e n t

pour 0(n)

r"

< r~

l'6galit6

r,

un

pour

Done

il suffit

ei'dessus.

tout

sch6ma

en r e t i r a n t

surjectif.

et p o u r t o u t

r qui d o n n e

Alors

des d r o i t e s

pour de

Y'

d6montrer

le d 6 m o n t r e r

172

Malheureusement, allons

cet

consid6rer

ensemble

des

de p o i n t s

particulier,

THEOREME

entier

n'existe

schemas

align6s,

1.1.

: Pour

Y qui

pour

on va d 6 m o n t r e r

chaque

pas t o u j o u r s . sont

obtenir

le t h & o r 6 m e

N ~

r6unions une

C'est

pourquoi

de d r o i t e s

6galit@

nous

et d'un

analogue.

En

suivant.

3 et n ~

O,

soit

r p et q = (n+l)(~-TT o~ [ ] d 6 n o t e Alors

la p a r t i e

il e x i s t e

de r d r o i t e s pas

un

seh&ma

droites,

p(n)

d'un

align&s

tel

que

: H°QpN,O]pN(n))

la d i s c u s s i o n pour

6re 6rant

la d r o i t e

qui c o n t i e n t

de d r o i t e s

points

et,

Y'

avec

au besoin,

Y" avec

p(n)

en une droite

l'application

r6union

disjointe

qui n ' i n t e r s e c t e

naturelle

--* H ° ( Y , O y ( n ) )

ragraphes

LE

> r, on a j o u t e

p(n)

des d r o i t e s

les q points,

injectif.

des d r o i t e s ,

entraine

Pour

le t h 6 o r 6 -

~ Y,

la p r e m i -

et on o b t i e n t

r" ! r,

et on o b t i e n t

une

r6u-

on r e t i r e

les q

r6union

de d r o i -

une

se fait

par r & c u r r e n c e

sur N e t

n, d a n s

les pa-

pour

et un n ±

suivants.

CAS

Notons donn~.

r'

ce t h 6 o r 6 m e

surjectif.

La d 6 m o n s t r a t i o n

§ 2.

sur une

ci-dessus,

En effet,

tes

rationnel.

Y C P N qui c o n s i s t e

(0.1).

nion

nombre

bijective.

D'apr6s me

enti6re

et de q p o i n t s

les a u t r e s

soit

- r)

N:3.

H

n

l'assertion

En e x p l i c i t a n t

du t h d o r ~ m e

la d ~ f i n i t i o n

(1.1)

N=3

de r et q on t r o u v e

0

173

1 a) r = ~(n+2)(n+3),

q=0,

b)

q=~(n+l),

r

=

(n+l)(n+4),

sin

On va d ~ m o n t r e r les assertions D'abord nous traitons H o. r=l, H°(O 3 )

--~

sin

les cas n=0,1,2,3

est bijectif,

(mod 3) ~ 2

(mod

H n par r ~ c u r r e n c e

3). surn.

~ la main.

q=0. Y est une droite,

H°(~y)

H 1. r=2,

~ 0,1

et il faut d ~ m o n t r e r que

ce qui est ~vident.

q=0. II faut montrer qu'il existe deux droites dont

la r~union n'est pas c o n t e n u e dans un plan, ce qui est ~vident. H 2. r=3, q=l.

De fa~on analogue,

une r~union Y de trois droites disjointes tenue darts aucune

il faut montrer qu'il existe et un point qui n'est con-

surface q u a d r i q u ~ On sait que trois droites disjoin-

tes sont eontenues dans une unique surface quadrique.

Ii suffit done

de prendre le point hors de la quadrique. H 3. r=5, q=0.

II faut montrer qu'il existe une r~union Y de

cinq droites qui nVest pas eontenue dans une surface cubique. d~re la surface quadrique non singuli~re Q qui contient

On consi-

les droites

L1, L2, L 3. On prend les droites L4, L 5 en p o s i t i o n g~n~rale dans ~3, de fa~on que leur i n t e r s e c t i o n avec Q consiste en quatre points PI' P2' P3' P4 en p o s i t i o n g~n~rale sur Q. A l o r s si une surface cubique F contient Y, ou bien F est la r~union de Q avec un plan H qui contient L 4 et L 5 (ce qui est impossible - v o i r

H1) , ou bien l ' i n t e r s e c t i o n de

F et Q est une courbe C sur Q, de type

(13,3), qui eontient L1, L2, L 3

et les quatre points PI' P2' P3' P4 ° Une telle courbe C doit ~tre la r~union de L1, L2, L 3 avec trois droites L~, L½, L~ de l'autre famille de droites

sur Q, done C ne peut pas c o n t e n i ~ les quatre points Pi en

p o s i t i o n g~n~rale.

Done Y n'est pas c o n t e n u e dans une surface cubique.

La d ~ m o n s t r a t i o n darts le cas g~n~ral est calqu~e sur celle du cas n=3.

On fi×e une surface quadrique non s i n g u l i ~ r e Q, et on prend

174

pour

Y une

on m o n t r e aussi

r6union d'abord

Q. Done

contient poth6se

de d r o i t e s qu'une

st_rat6gie

partie

et

situ6e

d'une

est

situ6e

n contenant surface

sur Q.

sur Q. A l o r s Y contient

F' de degr6

Ici on peut

n-2

appliquer

qui

l'hy-

Hn_ 2. marche

n ~ 1 (mod

3) on ne peut

consid6rer

certaines

616ments

une

F de degr6

de Q

de Y non

de r 6 c u r r e n c e

Cette

surface

F est r @ u n i o n

la p a r t i e

dont

facilement

pas

ajuster

pour

n ~ 0,2

(mod

les c o n d i t i o n s

sp6cialisations

de Y qui

sont

3).

Mais

pour

convenablement des

sch6mas

sans

avec

nilpotents.

On va c o m m e n c e r

PROPOSITION

2.1.

:

avec

Sin

la p a r t i e

~ 0 ou

simple

2 (mod

de la d 6 m o n s t r a t i o n .

3) et n Z 3, alors

Hn_ 2 e n t r a i n e

H . n DEMONSTRATION. faut

trouver

contenue non

dans

dans

une

une

Supposons

deux

droites

alors

ne c o n t i e n t

pas

(3k,3k)

Q, qui

est

la r 6 u n i o n

les

k(3k+l)

Y = Y'

qui

points.

n.

et d'une Notons

les

courbe

maintenant

dim H°(OQ(k-I,3k)) ~eci

se d 6 m o n t r e

~Q(a,b)

~ p~

en p o s i t i o n

en u t i l i s a n t

Opl(a)N g6n6rale,

il n ' y

Done

a pas

Y qui n'est

une

est

surface

n=3k

de est

contient

FnQ

est une

k(3k+l)

points

C'

et Y"

il

pas

quadrique

la r ~ u n i o n

sur Q,

Hn,

2k+1 la r6u-

Q transversalement.

de type

courbe

Y.

C de type

de Y " n Q.

(k-l,3k)

qui

Si F

Done

C

contient

que

=

k(3k+l).

l'isomorphisme

p~ Opl(b).

droites

F de d e g r 6

l'intersection et

d6montrer

Fixons

intersectent

Y'

1. P o u r

de d r o i t e s

surface

eontient

de Y'

k ~

U Y" o~ Y'

familles

qu'une

Q, a l o r s

avec

F de degr6

On p r e n d des

n=3k

de r = ~ ( k + 1 ) ( 3 k + 2 )

surface

Q.

de ~ k ( 3 k + l )

sur

d'abord

une r 6 u n i o n

singuli~re

droites nion

Prenons

Q ~lx]p1

et le fair

si les k ( 3 k + l ) p o i n t s

de t e l l e

courbe

C'.

que

Y " ~ Q sont

175

On c o n c l u t surface une

F'

telle

reunion n-2.

plus

Y" de d r o i t e s

Y " ~ Q est

la m ~ m e

Y".

qui

en p o s i t i o n

r6union

Mais

n'est

chose

ce qui

F est

d'aprhs

pas

pour

sur Q,

il e x i s t e

dans

une

Y" r 6 u n i o n

consequence

g6n6rale

Hn_2,

contenue

est v r a i e

a pour

de Q et d ' u n e

que

surfa-

de droi-

l'ensemble

ce q u ' o n

a suppose

haut.

F de d e g r 6

n,

soit

pas

analogue, dans

maintenant

la m@me

contenue

on p r e n d

une

famille

non

(k+1)(3k+2) 2k+2

les

points

k+1+(k+1)(3k+2) Y' n ' e m p 6 c h e n t

avec

points.

points

une

trouver

align~s

n=3k+2.

reunion

de

sur Q, a l i g n 6 s

Y

tel

De

2k+2

que

fagon

droites

sur une d r o i t e

de ~ ( k + 1 ) ( 3 k + 2 )

Or les

plus

contient

n=3k+2

courbe

et

qui

contient

C de type

les k+l

g6n6rale

courbe

de r 6 p a r t i r

C'

est

3).

k A 1. Ii faut

F de d e g r 6

surface

droites

de

en

points de Y " n

C' de type conditions

(3k+2,3k+2) de Y' plus

Q. Donc

(k,3k+2)

impos6es

aux

(k+1)(3k+3)

points

haut,

~ raison

3k+3

de

droites,

ce qui

ne consur

Q

les

C est r 6 u n i o n

qui

ces

ces k+l

Y mais

contient

k+l

les

points

de

sur k+l d r o i t e s par droite. est

Dans

incompatible

son bidegr6. On c o n c l u t

degr6

droites

en p o s i t i o n

pas

~ 0 (mod

et q = k+l p o i n t s

surface

de degrE

et d ' u n e

la c o u r b e

avec

darts une

sur Q.

famille consid6r6e

ce cas,

une

contenue

le c a s n

n=3k+2

F ~ Q est une

2k+2

droites

dans

pas

Y" une r e u n i o n

surface

Q, a l o r s

qui c o n t i e n t

n

Y = Y' U Y" o~ Y'

gEn6rale,

pas

H

droites

dans

On p r e n d

Si F est une

de la

que

sur Q et k+l

famille.

position

tient

que Y n'est

1 de r = ~ ( k + 1 ) ( 3 k + 6 )

r~union Y ne

finalement

ce qui d E m o n t r e

Supposons

pas,

Q, donc

qui c o n t i e n t

gEnErale,

On c o n c l u t

des

n-2

Donc

en p o s i t i o n

de p o i n t s

F contient

de degrE

ce de degrE tes

que

n-2=3k

que

F contient

qui c o n t i e n t

et la p r o p o s i t i o n

est

Y",

Q, donc ce qui

d6montr6e.

il e x i s t e

contredit

une

surface

Hn_ 2. Donc

F'

de

F n'existe

176

Ii nous allons

reste

utiliser

dangereux qu'ici.

allons

DEFINITION.

Soient

une

faisceau

H~Y

de f a g o n

qu'il

ok d = deg

-1

ker(J

--~

il serait

utilis$

jus-

schemas.

de pN.

On d ~ f i n i t

r6siduel

l'inter-

qui c o r r e s p o n d d~finie

au

localement

Z = resHY

par

le

le s c h @ m a

Oy

l'id6al

--~ 0

x=0

famille

plate

r6union

de d e u x

droites

est une

singulier.

en un point conique

(Voir

v6rifier

r6union

des

[1,

ceci

deux

9.8.4]

un c a l c u l

droites

une

d6g6n6r6e

III,

par

dans

de

sous-sch6disjointes,

fibre

sp6cia-

avec

616ments

pour

une

simple.

situa-

Posons

par

y = z = 0 et x = z--t = 0.

de Yt et = (xy,xz,y(z-t),z(z-t)).

l'id6al

et y:0

dans

Y le s c h 6 m a de Y avec

On o b t i e n t

une

une

se r e n c o n t r e n t

On peut

on o b t i e n t

sch6matique

--~ Oy ~ H

dans ~ 3

est

sp6cial

au p o i n t

Yt dans & 3

Notons

) ,

exacte

f --~

(y,z) n (x,z-t)

tes.

nous

Y ~ H,H

suiSe

g6n6ral

droites

analogue).

droites

et

g~omStrique

le s c h S m a

le schema

ceci

H.

nilpotents

Si t=0

Pour

une h y p e r s u r f a c e ,

--~ J

O (-d)

le s c h e m a

alors

Alors

Si H est

3).

nilpotents

des

sous-schSmas

f, on d 6 f i n i t

y a une

et ok les d e u x

exemple

le l a n g a g e

de H et Y comme

2.1.1 • Si on c o n s i d & r e

dont

tion

$1dments

au l a n g a g e

y~pN

0

le,

e 1 (mod

d'id6aux

= f

mas

passer

JH+~.

JZ

EXEMPLE

avec

~ employer

H et Y d e u x

d'id6aux 6quation

le c a s n

schemas

donc

sch~matique

faisceau par

certains

de c o n t i n u e r

Nous

section

~ dSmontrer

que

( x y , x z , y z , z 2) qui

le p l a n

z=O,

Yo c i - d e s s u s ,

un plan

H ~ Y est

H

plus

repr6sente

un p o i n t

et c o n s i d ~ r o n s

: y=x qui

le s c h e m a

immerg6

des

~ l'origine.

l'intersection

est t r a n s v e r s e

d'id6al

la r 6 u n i o n

aux deux

(y- x, x 2 , x z , z 2 ) .

droi-

177

Ceci est un p o i n t t6 par un point

triple

P •Het

dans dont

un sch6ma de l o n g u e u r

le p l a n H, c'est l'anneau

plan

(z,xy)~

structural

est

suppor-

OP,H/~,H"

C'est

3.

On volt tout de suite que dans a p o u r id6al

~ dire un sch6ma

ce cas,

qui est une c o n i q u e

le sch6ma r 6 s i d u e l

ddgdndrde

rdduitc

reSHY

dans

le

z:O. Les m&mes

tion d'un tel

consid6rations

s'appliquent

sch6ma Y avec une

surface

naturellement

non

singuli6re

~ l'intersec-

transverse

aux

droites.

PROPOSITION o~ H ~ k _ l

2.2.

Si n = 3 k + l

est l ' a s s e r t i o n

(HA~ ) : Ii e x i s t e ~-1 droites

suivante

quadrique

d~g@n6r&es non

H3k_3 ~

H3k_l' ~

H3k+l,

:

un s c h & m a Y C p 3

et 2k c o n i q u e s

une s u rface

avec k _> 2. A l o r s

qui est r 6 u n i o n

ayant

singuli&re

leurs points

de % ( k - 1 ) ( 3 k - 2 ) singuliers

Q et tel que l ' a p p l i c a t i o n

sur natu-

relle

p(3k-1)

: H°(O

3(3k-1))

--~ H ° ( O y ( 3 k - 1 ) )

P soit b i j e c t i v e . droites

(lei on a p p e l l e

distinctes

I H3k_l

DEMONSTRATION. ~(k+1)(3k+4)

droites

tion est o u v e r t e lisation lue.

d'une

Fixons

Y = Y' U Y"

qui

~

une s u r f a c e

P(3k+l)

quadrique

soient

il suffit

limites

de p a i r e s

de deux

de

la condiune

sp6cia-

qui ait la p r o p r i 6 t 6 Q. Nous a l l o n s

de 2k+1 d r o i t e s droites

616ments

Comme

de t r o u v e r

singuli6re

de ~ ( k - 1 ) ( 3 k - 2 ) avec

Y une r 6 u n i o n

soit b i j e c t i v e .

disjointes non

une r & u n i o n

en un point).

des Y,

de d r o i t e s

d6g&n6r6es

d6g6n6r6e

Ii faut t r o u v e r

o~ Y' est la r 6 u n i o n

et de 2k c o n i q u e s qui

H3k+l.

sur l ' e n s e m b l e

Q, et Y" est la r 6 u n i o n

gullets,

se r e n c o n t r e n t

tel que

r6union

conique

dans une

de d r o i t e s

prendre

famille

en p o s i t i o n

nilpotents

vou-

g6n6rale

aux p o i n t s

disjointes,

sur

sin-

comme

178

dans l'exemple situ&s

(2.1.1),

et telles que leurs points

sur Q, en position

g6n6rale

d'une r&union de ~(k+1)(3k+4)

(2.1.1),

0

-~

sch6matique

de ~3

de l'intersection

H°($3(3k-1))

-~

--~

Y"red satisfait

d~g~n~r~es (2.1.1)

p(3k-1)

~ Q et la suite associ6e

--~

avec nilpotents

chacune.

est la r~union de 2k+1 droites et 3k2-k+2 points

simples.

cation naturelle

~(3k+1)

H3k_3 ~ H~k_l.

et 2k coniques

tel que

p(3k-1)

irr~ductible,

Le schema ' H3k_l,

on

des coniques

Q en un point triple

le lemme

sch~matique

YnQ

2k points triples

(2.3) ci-dessous,

On en conclut

l'appli-

que p(3k+l)

est

H3k+l.

d~g&n~r~es

Y une r~union de ½(k-1)(3k-2)

avec leurs points

Les tels

et comme plus haut,

singuliers

schemas Y forment

sur ~,

une famille

il suffit de trouver un schema

les propri~t&s

voulues.

liser Y de fa~on quTune des deux droites soit contenue

0

que les droites de Y" intersec-

est bijective.

est bijectif.

cial de ce type ayant

chacune

dans une famille plus

D'apr~s

--~

H ° ( O Y n Q (3k+1))--~0

Donc l'intersection

Ii faut trouver

droites

--~

D'autre part,

tandis

exacte

~(3k+1)

donc en appliquant

de Y" intersecte

simples,

ce qui d~montre

H°(OQ(3k+I))

p(3k+l)

T de H3k_l,

pour le

un diagramme

~ gauche n'est autre que p(3k-1).

est bijectif.

tent Q en deux points

droites

est 6gal ~ Y"red" Ecrivons

Y " n Q. On obtient

~

aux hypotheses

et deux points

bijectif,

resQY"

H°(Oy,, (3k-1)) --~ H°(@y(3k+l)) red

La fl~che verticale

trouve que

de Y" avec Q. Comme dans

H°($3(3k+1))

p(3k-1) 0

sur Q. Alors Y est sp6cialisation

le schema r6siduel

la suite exacte de restriction schema r6siduel

soient

droites disjointes.

Notons Y " A Q l'intersection l'exemple

singuliers

Donc nous allons

spe-

sp~cia-

de chaque conique d~g~n~r~e

dans Q, ces droites appartenant

~ la m~me famille de

sur Q, et de plus, on va faire rentrer une des droites

simples

179

de Y dans

Q, t o u j o u r s

dans

faut

supposer ~(k-1)(3k-2)

dans

la p r o p o s i t i o n . Consid6rons

Y" : resQY.

0

--~

alors

--~

--~

de Y qui ne sont pas dans

simples

de Y situ6 e s

droites

sans a u c u n e

H3k_3

l'application L'intersection

sur Q plus

un d i a g r a m m e __~

: --~

0

H°(@y~Q(3k-1))--~

0

H°

(@Q(3k-1))

e(3k-1) --~

H°(~y(3k-1))

Y" est la r 6 u n i o n des

2k d r o i t e s

Q, plus

issues

p(3k-3) YnQ

2k+(3k2-Sk)

D'apr6s

le lemme

jectif.

On en c o n e l u t

sur l e u r position.

est la r 6 u n i o n

dans que

droites

de ½ k ( 3 k - 1 )

D'apr6s

l'assertion

est b i j e c t i v e .

= 3k2-3k points

(2.3)

des c o n i q u e s

les ~ ( 3 k 2 - 5 k )

hors de Q. D o n c Y" est une r 6 u n i o n restriction

2

k

et le sch6ma r 6 s i d u e l

H°(~p3(3k-1))

--~

sur Q. Ici il

l'hypoth6se

p(3k-1)

H° ( Sy,,(3k-3))

d6g6n6r6es

YnQ

comme pr&c6demment

3(3k-3))

Le s c h 6 m a r 6 s i d u e l

de droites

> O, ce qui e x p l i q u e

p(ak-3) 0

famille

l'intersection

On o b t i e n t

H°(O P

la m @ m e

de 2k+1 d r o i t e s en p o s i t i o n

le cas t r i v i a l

p(3k-1)

g6n&rale

t=d:q"=O,

est b i j e c t i f ,

d'une

famille

sur Q.

~(3k-1)

est bi-

ce qui d 6 m o n t r e

la

proposition.

LEMME une

2.3.

s urface

: Soit Y une r 6 u n i o n quadrique

non

singuli&re

simples

sur une d r o i t e du m @ m e

triples

(au sens de 2.1.1),

Soit n > 0 v 6 r i f i a n t

de r d r o i t e s Q avee

syst&me,

d'un m~me q points

d points

le tout en p o s i t i o n

syst6me

simples,

doubles g6n6rale

sur q" p o i n t s

et t p o i n t s sur Q.

:

1° )

r(n+l)

+ q + q" + 2d + 3t -- (n+l) 2

2° )

t+d 7 . Pour

aussi

Fixons (m) une

L 3 sont

3),

est t o u j o u r s

donc

il faut

(2.1)

l'assertion

dEgEnErEes

que

H 4. On peut

marehe

un

vrai

n - 0,2

n - 1 (mod

de v @ r i f i e r

Pour

est

vErifiE

H n pour

H n darts (2.2)

sp6cialisons

(1.1)

les p r o p o s i t i o n s

H n pour

coniques

de f o r m u l e r

d6j~

H 4. M a l h e u r e u s e m e n t

deux que

~

avons

Hn_ 2 ~

il suffit

de H'n-2

o~

Le t h 6 o r 6 m e

Nous

part,

difficile

D'autre

L1, du

L2,

que L3

lemme

part

L 7 avec

la

Bernard

ANGENIOL

le sch6

structure pen-

182

de

sch6ma

r6duite.

bijectif. face

Ii s u f f i t

quadrique.

une u n i q u e alors que

De fait,

surface

est

non

Z il faut

que

Z n'est

les d r o i t e s

quadrique

bijectif

est a u s s i

schema

de m o n t r e r

L 5n L 7 serait

0(2)

0(4)

P o u r ce

Q'

vide, pour

bijectif.

L4,

pas

L6,

Si L 5 6 t a i t

ce qui

est

Z et donc

Ceci

v6rifier

contenu

L 7 sont aussi

0(2)

dans

est

une

contenues

contenue

impossible.

du d i a g r a m m e

termine

que

surdans

dans

Q'5

On en c o n c l u t

de

(2.2),

la d ~ m o n s t r a t i o n

de

que

(1.1)

pour

le cas N=3.

§

3.

LE CAS N > 4 .

s'agit

I1

donn~, pour

de d~montrer

notons

tout

Hn, N l ~ n o n e ~

N > 4 est

envisager

deux

les e n t i e r s

th~or~me

de

(1.1).

~l~mentaire,

autres

s st p,

le

et

~nonc~s. li6s

Pour

(1.1)

pour

La v a l i d i t ~ laiss~e les

au

Pour

d e H0, N s t

lecteur.

formuler

~ r et q de f a g o n

N _> 4.

nous

6vidente

Nous

un n H1,N

allons

introduisons

st d 6 f i n i s

par

les r e l a t i o n s (NNn)

(Hn,N).

On s u p p o s e

est r 6 u n i o n dans

un h y p e r p l a n

(H"n, N ) " On

0(n)

suppose

~6gatifs

0 < p < n.

N > 4 et n >

de p c o n i q u e s

l'application

non

= (n+l)s-p,

1.

II e x i s t e

d6g6n6r&es,

H = pN-1,

et de

correspondante

avec

un

leurs

s-2p d r o i t e s soit

schema

Y darts p N

points

simples,

qui

singuliers et tel

que

bijective.

N _> 3 et n _> 2 • S o i e n t

r' , q ' , q" , d,

t des

entiers

v6rifiant 1) r' (n+l)

+ q'

+ q" + 2d + 3t =

(NNn)

2) t + d < n 3) q"

< n

4) q' > M a x Alors

il e x i s t e

un

(q"-2,

sch6ma

n-q"-1).

Y dans p N

qui

est r 6 u n i o n

de r'

droites,

183

q' p o i n t s triples

simples,

et tel

Ici un p o i n t

q" p o i n t s

que

l'application

double

est

et un p o i n t

triple,

de la forme

2 ~p,HfMP,H.

Pour

d6mqntrer

align6s,

dans

~

Hn,N

pour

N > 4

b) H' n-l,N

+ H" n,N-1

~

H' n,N

pour

N > 4

c)

Hn_l, N + H"n,N_I

~

H"n,N

pour

N _> 4

d)

Hn_2, 3 + (2.3)

~

H"n,3

de a).

H' n-l,N

de r d r o i t e s

et q p o i n t s


H = ]pN-1 d a n s ] °N.

d'un

tel

nilpotents

d'un

certain

que

de Y avec

une

suite

H,

exacte

quer

H' n-l,N

Y~H

satisfait

sch6ma

~tablir

points bijective. en un point,

dans

les

un p l a n

H

implications

aux q"=q

dans

H' n-l~N'

H,

qui

dans

points de

6gal au

satisfait

donc

Fixons sp6ciaune

et Y"

avec

est

616ments

singuliers

sorte

que

dans

Y" red

satis-

sch6mati-

est Y" En u t i l i s a n t red " de

(2.2),

on peut

il faut YnH

q" 2, n > 4. -

II faut

allons

ayant

pour

n,N

que

H et q p o i n t s

nombre

Pour

H

la forme

de H' n-l,N"

comme

~

telle

Nous

sous

non

et son

~ Y" red"

droites,

un n o m b r e

allons

n donn6.

singuliers,

droites

aux h y p o t h e s e s

Net

align6s

dans

aux p o i n t s

et d ' a u t r e s

pour

schema,

de r' d r o i t e s

r6union

dans

(1.1)

+ H" n,N-1

dans

de r'

un

+ H"n , N - 1

r6union

nous

est

soit

2 concentr6

a) H'n - l , N

r et q c o m m e

fasse

(2.1.1),

ett

:

DEMONSTRATION

H,

de l o n g u e u r

(1.1)

lisation

doubles

correspondante

le t h 6 o r ~ m e

suivantes

une

p(n)

un s c h 6 m a

comme

d points

est

t < n,

voir

que

la r ~ u n i o n

d6finition

de c o n i q u e s

appli-

de q,

d6g6n~r6es

et f i n a l e m e n t

un nom-

184

bre

q'

de p o i n t s

simples

dans

Ce n o m b r e

q'

est

6gal

> 1

(N+n-1 ~

K

v6rifier

calcul

n=2,3,4, Pour

N

trer

montre

N=4

comme

de b).

plus

des

plus

que

ment

avec

616ments

bres

de d r o i t e s

r6union

doubles

donc

d+t

< n,

de H' n-l,N

que

~ H' n,N

On fixe

•

d@g6n6r6es

de d r o i t e s

que

v6rifier

est

dans

v6rifi~e

pour

n > 2, n > 4. --

comme que

H.

Si H' n-l,N

plus H'n,N'

suppl6mentaire est

r~siduel

aux

qui

q' p o i n t s

pas p a r t i e

de

laisse

en-

de d r o i t e s , 6ventuelleque

les

ne

r6union

coniques

coniques

hom-

sont

l'intersection

est une

pas

Y~H.

de d r o i -

d6g6n6r6es,

d6g6n6r@es,

correspondant dans

aux d r o i t e s Y

On a

et q ' = S n _ l - P n _ l - P n

4) de H" n,N-1,

Si

darts H. A l o r s ,

assure

de c o n i q u e s

construction

on

pr6c6dente

nouvelles

aux anciennes

haut.

d6g6n6r6es,

ci-dessous

YAH,

de n o u v e l l e s

une r 6 u n i o n

la c o n s t r u c t i o n

la c o n d i t i o n

n-1.

H'n,i~' on cr~e

et de c o n i q u e s

correspondant

la p r e m i 6 r e

pour

d6g6n6r6es

H"n , N - 1 au sch6ma

font

q' ~

nilpotents

Le lemme

et f i n a l e m e n t

seconde.

que

: (N+n-1. N ~ > 3n(n-1).


conique

correspondant

dans

que

a)

~ l'intersection

q'=Sn_l-2Pn_l Pour

+ H" n,N-1

de c o n i q u e s

qui ne

de m o n t r e r

dit

in~galit6

directement

nilpotents.

triples

de p o i n t s

simples

de d r o i t e s

donc

autrement

cette

616ments

intervenant

H" n,N-1

de p o i n t s

avec

le h o m b r e

5, N A 4.

de c h a q u e

On a p p l i q u e

On a p p l i q u e

est

il suffit

on a Y = Y' U Y" o~ Y ' ~ H

une

tes,

pour

avec

droites

et Y" est

n6gatifs.

H' n-l,N

moins

haut,

que

n £

de c o n i q u e s

recquiert

> n-l,

--

on v 6 r i f i e

d6gdn6r6es

une

q'

- 2p(n-l,N)

4) de H" n,N-l'

~16mentaire

et la m@me

coniques

oh

2(n-1).

_ 2(n-1)

N h 5 ; et p o u r

recquiert

-

1 .N+n-1)

DEMONSTRATION

H'n - l , N

)

la c o n d i t i o n

n=2,3,4,

L'id6e

8 s(n-l,N)

-

~ N Un

g6n&rale,

H' n-l,N"

q,

Pour

en p o s i t i o n

il suffit

dans

la

de m o n t r e r

185

1

autrement

.N+n-1

~

N

Un c a l c u l

k n-1

n(3n-2)

£

61&mentaire

n=2,

N £

cas,

on v ~ r i f i e

7 ~ pour

3.1.

montre

n=3,4,

M~me

DEMONSTRATION.

lorsque Sn-1

que c e t L e

N !

directement

Sn-Pn k

.N+n~ ( N j

estimations

que

qn-1

5, N k

v~rifi6e 4.

Pour

pour

les

autres

on a, p o u r

n 2

2, N ~

4,

- Pn-1

nPn

~ montrer

Z

s'6crit

1 N+n-i £ n ( N )

n+l

n3

n £

est

q' £ n-1.

< qn'

sur Pn et Pn-1

n(N+n) N

in6galit6

5 ; et p o u r

: L'in6galit6

1 n+l Les

(2n-1)

dit (N+~-I)

LEMHE

) -

(n+l)

nous

encore

(n-l)Pn-i n

r6duisent

.N+n-1) < N

8 prouver

'

ou e n c o r e n n "

membre

de la v 6 r i f i e r

de c e t t e

pour

N=4,

in&galit6

ce qui

6tant

se fait

croissant

en N,

616mentairement.

il suffit

Le lemme

est d 6 m o n t r 6 . DEMONSTRATION Y comme

dans

H certaines faire

de c). l'6nonc6 des

r'

Hn_l, N + H"n,N_I H" n,N"

droites

les h y p o t h 6 s e s

On fixe

H"n,N p o u r

l'hyperplan

et c e r t a i n s

de Hn_l, N.

~

des

Ii r 6 s u l t e

q' des

n _> 2, N _> 4.

H et on garde

points

de

fagon

conditions

1)

Soit

hors

de

~ satis2) et

3)

186

de H" et de l'in6galit6 n,N "

N

--(

que r' et q' sont suffisamment

N-i

)

grands pour permettre

pr6c6dente,

compte tenu qu'une droite est 6quivalente

L'in6galit6

ci-dessus

3.1.

(en fait on a n

3

>

4n-3 pour n~2).

autres composantes

duel resHY,

dition

4). Pour celle-ci,

n-1 droites,

c'est

4) de

exig6s par Hn_l, N. On met darts

H"n,N_I ~ Y ~ H .

de H" n,N-l'

du lemme

De plus la condition

de Y. Alors on applique

et on applique

fait aux hypoth6ses

~ n+l points.

se traite comme dans la d~monstration

H"n,N permet de cr6er les alignements Hles

la construction

Hn_l, N au sch6ma r6si-

Pour v6rifier

que Y n H

la seule chose non-6vidente

il suffit de montrer

satis-

est la con-

que Hn_l, N a au moins

~ dire que

[1 n"N+n-1)] N- l " >~ Pour ceci il suffit de v6rifier 1.N+n-1 n ~ N )-1 ~ n-l, autrement

dit N+n-1 2 ( N )~n.

Cette

in6galit6

DEMONSTRATION dans l'6nonc6

est v6rifi6e ded).

H" n,3"

hors de Q certaines satisfaire

pour tout n ~ 2, N £ 4.

Hn_2, 3 + (2.3)

~

H"n,3 pour n _> 2. Soit Y comme

On fixe une quadrique des r' droites

les hypotheses

non singuli~re

et certains

Q et on garde

des q' points de fagon

de Hn_2, 3. Ii r6sulte des conditions

2) et 3) de H" et de l'in6galit6 n,3

1)

~16mentaire

4n-3 + 2 [n~11 (n+l 3 )] ~ (n+1)2 que r' et q' sont suffisamment pr6c6dente, De plus,

grands pour permettre

compte tenu qu'une droite

la condition

est 6quivalente

la c o n s t r u c t i o n ~ n+l points.

4) de H" permet de cr@er les alignements n,3

exi-

187

g6s par Hn_2, 3. On fait rentrer dans Q tout le reste. Hn_2, 3 au sch6ma r6siduel La seule difficult6

resQY et on applique

eonsiste

~ v6rifier

Soient r, q, q", d, et ~ les nombres cette

hypoth~se.

Si la condition

rn+l~ -

l'hypoth~se

On a ~ = t, d = d, q" = q" et q ~

Comme q" + 3[ n+l-~"] 2 u est minor6

~(n+i)

le lemme

pour lesquels

4) n'est pas v6rifi6e,

Des consid6rations

s

-

61@mentaires

il faut v6rifier 2 L--~11 (n~l)]. 1) donne

par n, on obtient Fn+l]

(n+1

(2.3) ~ Y n Q .

4) de (2.3).

la condition

)2

L-7-J)

On applique

(n-~)

n(n+l)

C-7-J-

montrent

[ T ~

-

n

-

que pour n ~ 6, cette

3.

inEga-

lit6 implique 9- l_ 0 , and by an easy k=o

we p u t

computation

(see

[HSV], po 113) we g e t H( I ) ( ) = ~ e(x,R/P)ol(Rp/An+iRp) x , A , R -n p

(1.1.2)

where t h e summation i s us remark t h a t

for

taken over a l l

minimal

such a p r i m e we have

dim R/P = dim R/A , so we c o u l d r e s t r i c t of

such t h a t

residue field

H(O) ~,A,R(n)

e(x,-)

is

of

A ?

a finite

be an i d e a l R/A

(Ioloi)

usual

general

Throughout §I,

a re t r u e Let

R'

hold t h a t

Does normal f l a t n e s s

an i s o m o r p h i s m f o r

sults

a prime i d e a l

Ass(R/A),

which w i l l

be d e n o t e d by

primes

e(x,R/P)

# 0

P

of if

A

and o n l y

the summation t o t h i s Assh(R/A)o

Let if

subset

206

By (1 1 . 2 ) •

the values

'

of

H( 1 )

R(n)

~,A,

by a p o l y n o m i a l w i t h r a t i o n a l coefficients° d e g r e e and t h e h i g h e s t c o e f f i c i e n t of this

for

large

n

are given

Let d and a be t h e polynomial respectively°

Then we d e f i n e (1.1.3)

e(~,A,R) If

A

is

multiplicity

M-primary,

system

Hilbert-Samuel If is

then

R/A

o the

empty s e t

, and f o r

this

is

the

only

we r e c o v e r

non-trivial

the ordinary

function

H(1)(n) and t h e Samuel m u l t i p l i c i t y eo(A ) A,R ~ R/A = dim R, t h e r e l a t i o n t o Samuel m u l t i p l i c i t y

by

(1.1o4)

e(~,A,R)

All ing

for

ht(A)+dim

given

= d!a

these

facts

equimultiple

There exists

=

~ PEAssh(R/A)

can be f o u n d

along

a system o f

A

is

in

e(~,R/P)eo(A.Rp)

[HSV].

now e x p r e s s e d

parameters

The c o n d i t i o n in

of

the following

~ = {x I . . . . .

x r}

for

R

be-

way:

R/A

such

that (1.1o5)

e(~,A,R) Next

is

let

an i d e a l ,

for

some of

I(A)

of A

It

B

will

turns

out

grA(R )

generators

is

A(e.go

is

of A

spread°

A

if

itself)

infinite

If

generators,

B c A

B An = An+l contains

(as we a s s u m e ) ,

number o f

= dim g r A ( R )

the associated

a minimal

every

denoted

reduc-

by

If

® R R/M ,

graded ~(A)

ring

of

denotes

R

with

respect

the minimal

M- p r i m a r y

and

~ I(A) B

~ ~(A)

a reduction

o of

A , then

it

is

to

number o f

A , t h e n we have ht(A)

is

about analytic

that

(1.1.7) A

R/M

Krull-dimension. of

o

a reduction of

same m i n i m a l

I(A)

and dim t h e

If

be c a l l e d

A , and i f has t h e

(1.1.6) where

some f a c t s

n . Every reduction

reduction tion

us r e c a l l

= eo( ~ R +A)

clear

207

that

eo(A ) = eo(B)o

c a s e we have every

multiplicity

eo(BoRp) has t h e

for

following

in

R

such

that

a)

A

and

B

b)

eo(AoRp)

In by t h e ideal

of

general

B

of

of

Ao T h i s

which

will

and

eo(AoRp)

=

observation

be u s e d :

and l e t

and h t ( B ) minimal

last

A

be i d e a l s

B c A

= I(B)

prime

P

of

(or

A

B

A o also

need t h e

description

d e p e n d e n c e on i d e a l s ° x

is

said

to

If

be i n t e g r a l

+ooo+ a n = 0 , a i

x n + a I x n-1 All

only

the

, or more generally

P

every

in

of

A c R over

reductions is

any

A , if

x

the

integral

an e q u a t i o n

(1olo8)

closure

R/A

also

reduction

be q u a s i - u n m i x e d

we w i l l

integral

every

converse,

of

x E R , then

satisfies

of

for

following

for

same r a d i c a l

a reduction

the

we see t h a t

prime

R

have t h e

notion and

Eet

= eo(B.Rp)

is

~

minimal

important

([B~])

B

(1olo4)

= e(x,B,R)

system

every

T h e o r e m 1.

Then

Using

e(~,A,R)

elements A

if

of A

Therefore,

integral

over

A o Now an i d e a l

is

integral

if

R

is

over

A

form

B c A B , or

a domain,

again

is

an i d e a l ,

a reduction

A c ~

reductions

E Ai

(see

[NR]

of

A

and

may be d e s c r i b e d

if

and

[Li3])o by u s i n g

valuations. Now l e t a system

of

A c R

images are

a system

Then t h e r e

is

of

~

Xi

has a n i l p o t e n t

for

a natural

(1.1.9)

sending

again

parameters

to

xi

:

be an i d e a l R/A

parameters

in

R

and l e t

in

we mean e l e m e n t s , r R/A). Let V = A + Z i=l

homomorphism of

graded

~ An/M A n [ x 1 . . . . . n>O

Xr ]

then

both

rings

in

be

xr whose xiR

.

rings ~

+ M V E V/M V o m s u r j e c t i v e

kernel,

x I .....

(by which

(1.1.9)

m Vn/M V n n>O by d e f i n i t i o n . have t h e

If same d i -

208

mensiono

Now

(1olo10)

dim(

~ An/M A n [ x 1 . . . . . n>O

dim(

~ vn/M V n) n>O

Xr] ) = I(A)

+ r

and (1oio11)

since

V

is

M-primary

(see

A c R

[NR]).

Lemma 1.

Let

a)

ht(A)

+ dim R/A = d i m R ,

b)

there

exists

a nilpotent Then

ht(A)

of

a)

ht(A)

+ d i m R/A = d i m R ,

b)

ht(A)

= I(A)

A c R

for

any s y s t e m

Let B

of

z I .....

of

prime

(1.1o12)

cities (1olo13)

of

R/A

, for

which

m

has

B P

= I(A) and

(see

[No]),

+ x

R)

x r}

for

R/A

we have

.

= ht(A))

generate

have t h e

a minimal

same m i n i m a l

reduc-

primes,

and

we have

x R + B

= e o ( ~ R + B)o

A

that

= {x I .....

= eo(A

eo(B.Rp)

Of c o u r s e

such

parameters

z s (s

Ao Then

each such

e o ( ~ R+A)

parameters

be an i d e a l

e(~,A,R)

tion

that

= I(A) Let

Proof°

such

we g e t :

kernel°

Lemma 2°

Then f o r

= dim R

Therefore

be an i d e a l

a system

= l(V)

is

= eo(A.Rp) a reduction

By t h e

of

associativity

x R + A , therefore formula

for

we have e o ( ~ R + B)

= z e(~,R/P)eo(B.Rp) p

,

multipli-

209 where

P

follows

ranges by

needed

to

meters

for

that

on we w i l l

To p r o v e

Let

,x I,

apply

these

Xl,...,x

the

for

is

with

1.2.2)

e(~,A,R)

is

assertion

assumption a system

a)

of

is

para-

1.2.3)

e o (V)

1.2.4)

x I .....

=

xr

parameters

following

local

any i d e a l

A .

following

r = d i m R/A > 0 for

R/A

superficial

and p u t

elements

properties:

eo(V/xR )

if

ht(A)

> 0 o

part

R/M

1

xi

xi

~ A + M V + XlR

-

xi

(1.2.3)

Xi_lR

hold

the

R/XlR

in

of

parameters

be i n f i n i t e .

following

+oo.+

+...+

+...+

Xi_lR

R+...+

assumed t o

V/XlR

contained

XlR + . . . +

a system

with

in

xi

not

for

of

is

-

and

of

that

= 0

order

(1.2.1)

such

ht(A)

of

A+x I

ideal

for

lemma 2 we need t h e

if

is

The i m a g e o f

f

of

eo( ~ R)

we can c h o o s e

is

quasi-unmixed

i

Remember t h a t

induction,

lemmas t o

= e(y,A,R ) C

Then

,z s

a sequence of

the

V = A + x R o

-

B o Now t h e that

lemmas I and 2 h o l d s

be a s y s t e m

1.2.1)

Proof.

z I ....

converse

there

V

of

be any

Yr }

Ro Then

r

a)

A c R

Y = {Yl .....

V = A + y

of

(We r e m a r k

x I ....

where assumption

Lemma 3o

primes

(1.1.12).

R o)

(1o2)

Let

the minimal

and

assure

Later rings,

over

(1olo4)

for

R

Therefore,

properties:

xi_ 1 R

is

superficial

xi_ 1 R

xi_ 1 R

any m i n i m a l

if

ht(A)

= 0

if

ht(A)

> 0

by c o n s t r u c t i o n

prime

and

of

(1.2.4)

follows

by

210

from

the

fact

that dim R / x I

Finally

we g e t

of

A , the

the

same i d e a l .

(1o2.2)

R/A

such

is

to

trivial

if

prove r

finally

(1o2o3) Under

of

since

for

and o f

of

every

YI' ....

Yr

parameters

minimal in

R/P

= {x I .....

prime

P

generate

xr }

for

which

is

= eo( ~ R + A ) .

that

ht(A)

= I(A)

= 0 o Suppose therefore and

the

(1.2.4)

parameters

(1.2o6)

and l e t

for

R

eo(V/~

(see

lemma 5 ) ,

r > 0 . Then we can assume

(1.2.3),

= dim R R/x

that

by lemma 3°

assumptions

d i m R/A + h t ( A )

system

R = dim R-i

that

addition

Lemma 4 .

,x r

a system

e(x,A,R)

We w a n t

that

(1ol.4),

x I ....

there

(1o2o5)

in

from

images of

Assume now t h a t

R+ooo+ x i

such

(1.2.4) z

and

= {z I .....

(1.2.5),

z r}

c A

suppose be a

that

R) = eo( ~ R + ~ R/x

R)

.

Then 1.2o7)

Assh(R/A)

c Assh(R/z

R)

and

e(~,A,R)

= e(x,z

1.2.8)

Assh(R/A)

= Assh(R/L

R)

and

eo(A

= e o ( ~ Rp)

for

zr

from

every Here our

z R = 0

Proof° fore

Assh(R/A) R + x

R/M

= dim R c Assh(R/z

is

we c o n c l u d e R)o

~

is

part R)

of

a system

z I .....

dim R/z

Assume f i r s t

follows

R = d i m R/A

that

s > 0

and t h e r e and p u t

law gives

eo(W ) = e ( x , z

eo(W) ~ e o ( W / ~

of

infinite.)

Ro The a s s o c i a t i v i t y

(1.2o9) Since

s = Oo The e x i s t e n c e

that

From r + s

W = z

P E Assh(R/A).

if

assumption

Rp)

R, R)

of

and t h e r e f o r e

R,R) ~ e ( ~ , A , R ) parameters

for

R , we have

211

(1.2.10)

e(~,A,R) ~ e(~,~ R,R) = eo(W) ~ eo(W/x R) = eo(V/~ R) = = eo(V )

Therefore case

assumption

s=O

is

To p r o v e

(1.2.5)

implies

consider :

the

z

Oo The

R ,R)

e(x,z

R ,R)

equality

e(x,R/P)eo(

P)

~ Rp)

z e ( ~ , R / P ) e o ( ~ Rp) P E A s s h ( R / z R) \ Assh(R/A)

and

(1o2o8)

be as a b o v e and assume i n

addition

z

in

e(x,R/P)eo(A.R

every

generates

step,

a reduction

of

A

follows° that

R

is

and c o n s e q u e n t l y

= l(a).

Proof.

Using

we can

B~ger

show t h a t

quasi-unmixed, Therefore primes

and z R

Assh(~

R)

is

implies

the

result

have t h e

just

that

the also

will

follow

from

same r a d i c a l °

set

of

But

minimal

Assh(R/A)

is

(1.2o8)

if

R

primes

the

set

if

is

o f Z Ro

of minimal

A o

This gives

tion

of

lemma n o t

only

some c o n d i t i o n s

A .

ht(P)

generators

If

R

is

proves

quasi-unmixed

= i

, then

Xl, ....

xm

of

of

P . Using

morphism

f

Since

dimension

: BIp(R)

P

these the

desired

such

and that

fibre

over

to

each it

is

is

I(P)

= I(A),

generate

a prime

to up

ideal

such of

-

a minimal

show t h a t P

but

a reduc

a system

generates

easy

by b l o w i n g M

to

construct

xi is

ht(A)

r

p c R

generators obtained

result

zl,ooo,Z

lemma 5 a l l o w s

~ Spec R of

the

on e l e m e n t s

= I(P)

reduction the

s theorem,

A

(1o2.8)

of

also that

Z PEAssh(R/A)

= e(x,z

we g e t

Let

ht(A)

the

relations

PEAssh(R/A)

(1.2.7)

in

similar.

(1.2.8), e(~,A,R)

From

(1o2o7)

.

is

the

affine.

1 = 0 , we g e t :

212

Proposition

1.

Let

gular

of

height

P

gives

prime

blowing

up For

the

system

of

(1o3) ideal

A

xl,o.o,X

(1ol.9)

has

and

the

This

Lipman l(A)

for

the

along

A

R

and

~

p a

along

Spec(R)

R a reP o Then

°

ht(A)

= l(A)

for

some s y s t e m

for

every

ht(A)

R

prove

We p u t

of 5,

the

for

parameters°

again any

that

B = x R

2 and

parameters

of

Choosing

to

independent

of

system ring

= l(A)o

, we w a n t

kernel°

is

by lemmas

the

and

and w i t h

system

of

an para-

epimorphism

V = A + B o We

epimorphism An ~

e n>O

will of

lemma 6 and

us

note

Let

be t o

(V/B)n/(V/B)

step

prove

that

n+l

•

=

• An/An+I+B n>O


proposition

in

advance

that

= dim

R = dim

R/A

2 which our

n An ,

kernel.

are

due

assumption

to

ht(A)

=

implies ht(V)

and

BIp(R)

. Therefore,

content

([Li2]).

ring

equimultiple

a quasi-unmixed

R/A

~ An/V n>O

first

is

R/A

that

a nilpotent

:

for

with

such

have a canoncial ~

condition

R

r

local

is

morphism

equimultiplicity

R

meters

(lo3.1)

the

We s t a r t

in

R

see [HO 1] :

that

the

that

a finite

of

implies

such

parameters

equimultiplicity R/A

be a q u a s i - u n m i x e d 1,

details

We r e m a r k any

R

since is

x I ....

,x r

quasi-unmixed,

(1.3.2)

part

ht(A+B)

L,emma 6o the

is

we g e t

Assume

integral

that

of

system

l(B) = l(A)

= r

as

in

(1.1).)

x E An

and

~(x+V

(x

+ V An )

of

= r

parameters

and

+ l(B)

A n n B a AnB

closure

+ ht(A)

+ l(A) for

R

, because

therefore

.

for

large

Then

~

n

(1.3.1)

(A b a r

denotes


kernel. Proof. By t a k i n g integral

(1.3.3)

Let

a power over

of

B A n . Then

xm +

a I

x x m-I

A n ) = O,

we may assume

satisfies

+...+

i.e.

am

x E An+l that

an e q u a t i o n =

0

+ B n An

B n An

is

213

such

that

(1.3.4) It

ai

follows

that

for

(1.3.5) which

E (A n + l i

ai

2. that

R

such

gers

m,n For

xm-i

Let

Proposition

= 1, . . . . E Ani

R

the

proof

(This

Vi

,

i:l,o..,m

.

we have

Vi

An ( m - i )

£ V An m

be a q u a s i - u n m i x e d

ht(A+B)

= I(A)

we have t h a t

treated.

m

= An-i

(x+V An) m = 0

means t h a t

of

+ B An) i

AmB n

we r e f e r

is

+ I(B). is

to

sufficient

local

ring

Then f o r

all

a reduction

[Li2],

of

where the

since

h t ( A m + B n)

and

A,B

ideals

positive

inte-

Am n B n

case

m=n=l

= ht(A+B)

is

and

I ( A m) = I ( A ) . ) Remark. I(A)

It

is

+ I(B)

of

Min(A)

not

difficult

implies and

that

Min(B)

have

ht(AB)

local

ring

Gorollary.

Proof. is

B~ger's with

Under

A

B:AnB.

implies

of

of

(1.3.1) the

of

ht(A

But

AB

A n B c A B . The c o n v e r s e

(1.3).

to

From

our

assumption

(1.3.2),


homomorphism

diagram

implies

A n B

We now r e t u r n ning

not

m (1.1.9).

For

disjoint

union

that

since

in

B = y R + z R

the

proposition

+ B) is

general in

we

a regular

is

= I(A)

we have

+ (B),

a reduction

therefore

of

A

A B , which

obvious.

about

R,A,B

made a t

the

2 and lemma 6 we g e t

and we w a n t this

the

=

x,y,z).

proposition

kernel,

is

ht(A+B)

P E Min(A.B)

apply,

A = xR,

assumptions

The a s s u m p t i o n

a reduction

all

parameters

the

assumption

we c o n c l u d e for

does

(example: regular

the

= Min(ANB)

which

= (ANB)Rp

theorem

< I(AB) R

show t h a t

Min(A-B) , from

(AB)Rp Unfortunately

to

to

we embed

prove •

in

the

beginthat

same a b o u t

a commutative

214 •

An/v

n>O

An

~

) m

~

(V/B)n/(V/B)

n>O

n+l

1

a • An/rl An n_>O where

a,~

primary, ~o

and a

Let

~o

and

are

~

the

~ • (V/B)n/rI-(V/B) n_>O

koo obvious

have n i l p o t e n t

us i n t r o d u c e

the

epimorphismo kernels,

following

m An/rl An n>O

G(V)

G(~)

=

¢ vn/rl V n n>O

where

=

Xr]

~

implies

= 0

and

primes

~2

in

is

G(V)o

H ,

and t h e s e

G(A). for that

are

To show t h a t

every

minimal

k e r ~Po c P ker ~ c

of

.

induced

the

form

ker ~

is P

by

R ~ R/B.

(see + r

that [Ra]).

= I(A)

Let

R

P1,P2

is

be

quasi-unmixed

Since

+ r

= ht(A)

+ r

= dim R

= d i m G(V)

minimal

prime

~ = V/B

Vn ,

]m2

Our a s s u m p t i o n

= I(V) every

for

) G(V)

dim H = d i m G(A)

that

• vn/H n>O

mO

dim G(V)/P 1 = dim G(V)/P 2

we c o n c l u d e

M-

~G(V)

G(A) ~l(Xi)

is true

diagram

Ttl i

two minimal

V

same i s

notation:

=

H = G(A)[X 1 .....

where

Since

so t h e

G(A)

Then we have a c o m m u t a t i v e

n ,

prime

of

P.H

for

nilpotent of

G(A).

ker ~

is

a minimal

some m i n i m a l

we have t o Now g i v e s

prime

show t h a t

such

a

P


k e r mo" H + (X 1 . . . . .

Xr)

c P.H + (X ! . . . . .

Xr)

prime P

in

in

ker~c we know

P.I

215

The p r i m e

ideal

ker ~ , which prime

P'

P H + (X 1 . . . . .

was shown t o

of

G(A)

ker m

is

P = P'

(1.4)

+ (X I . . . . .

fined

equimultiplicity

(or

a flat In

R

its

§1 w i t h

local

of

It

follows

that

how t h e

For

to

this

condition a suitable

purpose, of

h : (S,N) ~ (R,M)

an i d e a l

A

de-

let

us

local

satisfying

= 0

{

Then f o r ep(1)

any p r i m e in

P ,

the R/I

n the

polynomial°

d

Let

is

h:

conditions

(i)

ht(A)

(ii)

For

are :

we can d e f i n e

If

k(P)

a multiplicity

denotes

the

over

k(P).

dimensional n ® k(P))

is

and a t h e

highest

degree ep(1) of

= d!a

a result

~ (R,rl)

(1.4.1).

If

by T e i s s i e r

field

Therefore

for

by a r a t i o n a l coefficient

. The f o l l o w i n g

be a f l a t R

given

residue

of

theorem

is

([T]):

local

h o m o m o r p h i s m and

is

quasi-unmixed,

the

following

S

we have

= eN(l )

equivalent: I(A).

every

prime

and t h e

The f i n a l

result

Let

.

the

(S,N)

The p r o o f

T h e o r e m 3.

S

S-module

dimk(p)(R/l

([Li2])

with

in

finite

we d e f i n e

an i d e a l

a finite

manner. is

function If

is P

following

Lipman's extension T h e o r e m L. ~

ideal

@ k(P)

polynomial,

A c R

prime

some m i n i m a l

.

be r e l a t e d

family.

homomorphism

we c o n s i d e r

R/A

this

k e r ~p c P.H

can

a flat

h-l(A)

large

for

= P

some r e m a r k s

equivalents) of

(1.4.1)

at

a minimal

P'.H

X r ) ) n G(A)

, and t h e r e f o r e

We c o n c l u d e

= I(A)

rings.

form

nilpotent.

ht(A)

consider

contains

the

. Since

(P.H wo c o n c l u d e

Xr)

be o f

R

ideal

P

geometric of

all

of

of

interpretation this

be a q u a s i - u n m i x e d

ep(1) are

given

in

[Li2].

is local

ring

and

A c R

any

216

ideal.

Then

(i

There

(i

)

the

following

exists

R/A

such

For

every

(ii)

ht(a)

(iii

There

e(~,A,R)

exists that

~ =

{x I .....

xr }

for

= eo( ~ R + A)o

parameters

~ = {x I .....

xr}

for

R/A

= eo( ~ R + A).

a system

the

of

parameters

corresponding

# = {x I .....

epimorphism

~

x r}

(1.1.9)

for

R/A

has a

kernel.

every

the

of

equivalent:

parameters

e(x,A,R)

system

nilpotent ) For

of

are

= l(a).

such

(iii

a system

that

we have

conditions

system

of

corresponding

parameters

x

epimorphism

= {x I .....

~

(1.1.9)

x r}

for

R/A

,


kernel. Furthermore, that

if

there

a local

A n S = O, M n S = N , S ~ R

ule,

then

these

conditions

(iv)

ep(A) The p r o o f

using in

exists

B~ger's

[AV]

and

of

"cutting

lemma"

is

such

given

[D],

~ But

by Dade [ D ] ,

that

is

similar

there

l(A/x

is

A)

and

prime to

ideal

such S-mod-

P

of

of

(i)

~

(ii)

proof

of

(i)

~

result.

Instead

where a construction I

(R,M)

R/A a f i n i t e

that

a different

B~ger's

= I(A)

of

to

every

avoids

(S,N)

flat

for

(ii)

which

is

equivalent

= eN(A )

(iv)

theorem. in

are

subring

of

. We c o n c l u d e

S

they

an e l e m e n t §i

, (ii) use a x C A

by a s k i n g

two questions: Question proof

of

1o (iv)

Is

it

possible

~ (ii)

Question

2.

by u s i n g

the multiplicity

or

How can t h e

to

use D a d e ' s

even o f

B~ger's

equimultiplicity symbol

e(x,A,R)

method

for

a different

theorem? condition ?

(iv)

be e x p r e s s e d

217

§ 2

Normal

ness,

but

It

flatness

and e q u i m u l t i p l i c i t y

was known t h a t in

the

ring

rings

which

is

found

a similar

(i.e.

So we asked generated

a Cohen-Hacaulay example,

not only respect

the

to

local

R = k[[t4,tlO,u z = t 10

and

ring,

generates

a strict

ring

R , but also ideal

is

by §1o But

R

of

is

sequence, shows t h a t

initial

forms

with

Definition. prime

ideal

ideal. such a)

to

if

regular P).

flat

with

respect

to

ring

grM(R )

be any f i e l d

and

x = u 2, y = u t 5, as y2 _ X Z ) .

and h t ( P )

= I(P)

= 1

Therefore eo(R ) = e o ( R p ) p/p2 has t o r s i o n and

along to

P . The i n i t i a l M° = ( X , Y , Z , W )

forms are a

grH(R ) = k [ X , Y , Z , W ] / ( Z 2 , Y

complete

intersection.

Po = (Y,Z,W)

are

2 - Z X),

But t h e 2 and Z

- X Z

and

sequence. let

us make t h e f o l l o w i n g

be a l o c a l Q/Po

A (or

k

(Z 2 - W5,

of

a strict

(Q,rlo)

Po '

is

independently

intersection).

we p u t

we see t h a t

result,

such t h a t

is

R = Q/A) A

Cohen-tlacaulay

regular, a strict

can be g e n e r a t e d

and l e t complete

ring, A c Po

Po c Q be any

intersection

by e l e m e n t s

a

fl .....

with fm E Q

that the

initial

sequence, b)

R/P

respect

our

Let

We c a l l

respect

is

not a regular

To d e s c r i b e

/

so by [VV 1] we g e t R

on Using

intersection

the graded

Let

If

normally

equations

which

therefore

not

([Ro])

can be w r i t t e n

reduction

x z E pL,

R

the defining

regular

"R . Then

since

consequently

flat-

even a

assumptions

complete

a complete

one:

c k [[t,u]].

a minimal

normal

was n o t

equimultiplicityo

and R o b b i a n o is

w = t 4 , then

P = (y,z,w)

(w

imply

ring

suitable

from

which

R = k[[X,Y,Z,~]] Let

under

flatness

the following

t5,u2]]

the

intersections

by m o n o m i a l s we g a v e a c o u n t e r e x a m p l e

the maximal

The e x a m p l e i s

if

complete

does n o t

by H i r o n a k a ,

we can d e d u c e n o r m a l

power s e r i e s

with

equimultiplicity

an e x a m p l e g i v e n

Cohen-Macaulay ring.

for

the

initial

forms

of

fl .....

fm

in

of

fl .....

fm

in

and forms

gr M (Q) o

are a regular

grPn(Q ) a r e a r e g u l a r

sequence.

218 (We remark

that

a)

Q , see p r o o f

of

implies

that

proposition

Then, as a s p e c i a l

fl .....

~

is

a regular

sequence i n

4.)

case o f our main r e s u l t

i n §2, we w i l l

get

the f o l l o w i n g Theorem 4.

Let

A c Po c M° normally section

(Q,Ho)

ideals

flat with

be a l o c a l

such t h a t

along

Po

and t h a t

respect

to

Po

the following

conditions

eo(R ) = eo(Rp)

,

(ii)

R

flat

If above,

normally

A

is

along

generated

o This will

the d e f i n i t i o n

of

is

by

of

strict

we can r e p l a c e

and

Assume t h a t

a strict

R = Q/A

complete

and

Q

is

inter-

P = Po/A . Then

P .

fl .....

fm

with

are e q u i v a l e n t

be used as a t o o l

The g e n e r a l i z a t i o n ideal,

Let

then these conditions

i=l,...,m

A

regular°

are e q u i v a l e n t :

(i)

is

Cohen-rlacaulay ring

Q/Po i s

this

result

complete

the prime

properties to

= ~Po(fi)

'

i n the p r o o f . is

twofold.

intersection

ideal

a) and b)

~Mo ( f i )

Po

First,

with

by m o d i f y i n g

respect

by any i d e a l

to an

I o ~ A . In is gr~(R) n

this an

case we have to r e p l a c e R/l-Cohen-rlacaulay

This condition

functions

(see theorem 6 ) .

the e q u a l i t y b) above,

polynomials.

implies

this

last

R

with

dim R/I

by u s i n g

that R

with

center

property,

for

suitable

we r e p l a c e

between the

i n the a s s u m p t i o n s

be d e f i n e d

in

(2.1).

'fm

is

a regular

center

P

is

Especially P

gives

all Hilbert

sequence" can be r e p l a c e d fl ....

5).

by an e q u a l i t y

result,

which will

(see p r o p o s i t i o n

b l o w i n g up

But f o r

"regular

the b l o w i n g up of

intersection that

functions For t h i s

sequence',

still

to

that

For the second g e n e r a l i z a t i o n

between H i l b e r t

"weakly regular and t h a t

can be e x p r e s s e d

the c o n d i t i o n

er c o n d i t i o n

by t h e c o n d i t i o n

module o f d e p t h equal

n(l=lo/A)o

corresponding

(ii)

a) and

by T h i s weak-

sequence

again a complete

these conditions

assure

a Cohen-Hacaulay ring

these conditions

again.

seem to be much too

strong. Problem 4. formation

a) Give of a l o c a l

(weaker)

conditions

Cohen-Macaulay r i n g

under w h i c h a q u a d r a t i c

trans-

is Cohen-Hacaulay again.

219 b) G i v e an e x a m p l e o f transform

which

Problem

5.

Po

Q

in

If

A

a strict

with

conditions

is

the

transform

of

A

in

sequences to

(2.1)

by g i v i n g

the

rings

of

the main results.

We s t a r t Let

if

of

i E {i .....

= 0

of

with

A =

there

n ~ no , x f i

necessary

local

results

rings,

Po'

again

a

about weakly

These a r e a p p l i e d

They a r e f o l l o w e d

by some a p p l i -

m}

an

[H02] ) ,

a weakly

to

Definition.

Let 'fm £ I

(fl .....

fm )

all

i C

Q+"°+

(fl ..... if

it

and fm

fl is

following

'

"

""

'fm

called

homo-

weakly

property:

For

such t h a t

regular

fm ) is

there

x c flA+.o.+

is

sequences

one i m p o r t a n t

s e q u e n c e need n o t O

[Z]/(x

sequence

regular

Z L)

fi_l A .

(z 2,

xz)

be w e a k l y is

[z]

regular A permu-

regular

again.

, graded with

weakly

regular,

but

element.

clear

(Q,Ho)

behave like exception:

= k[[x]]

sequences are closely

To make t h i s

Q/f1

x E An

weakly

regular

Weakly r e g u l a r

for

the

implies

but

z . Then t h e

fl ....

ring

fl .....

with

fi_l A

A = k[[x]]

not a weakly

elements.

no

and any

A+...+

As an e x a m p l e t a k e respect

be a g r a d e d

course.)

(see

of

following

A . The s e q u e n c e

exists

E fl

the

• A n>O n

In many r e s p e c t s , sequences

(2)

Q'

?

in graded

prove

strict

to

center

and comments°

every

(1)

respect

Q

in

regular,

let

with

of

geneous elements

is

intersection

transform

Definition.

xz

complete

a monoidal

(2.1)

tation

a quadratic

is

We s t a r t (2.2)

having

Q'

intersection

cations

~fo

is

Cohen-Macaulay ring

Cohen-Macaulay.

complete

regular in

a local

not

and i f

under which strict

is

connected

we need a n o t h e r

be a l o c a l

ring

to

superficial

definition:

and

I c H°

any i d e a l ,

and

, is

called

{i ..... fi-1 is

Q

m} is

called

a superficial

a superficial , the

image o f

superficial a stable

sequence for for

fi I/f1

superficial

sequence for

I

and

I

, if

in Q+'°'+fi-1 sequence for

Q " I

,

220 f

where

di

Let

We p u t the

1

= vl(fi)

Lemma 7 .

(Q,Mo)

a)

of

d .+1 l

+ fl

Q +'''+

fi-1

i=l,..o,r

Q '

,

.

J = K + f

image

~E I

f

be a l o c a l

Q,

Q = Q/K,

in

is

superficial

is

not

Q

ring,

i = I+K/K,

Assume for

I,K

i

ideals

c M°

d = vl(f

and

and

)

f

f

E I

denotes

that

,

b)

c)

a zero-divisor

in

Then g r l (nJ ' Q )

(2.1.1) (grl(J,Q)

denotes of

the

inital

form

Proof.

By a s s u m p t i o n

f

" grl

n-d

of

J

in

come

c

such

(Q)

grl(Q

for

)

large

and

n .

inlf

the

since

exists

~c

: f)

n

~

is

not

:

? c

=

yn

for

that

n ~ c

a zero-divisor

in

Q ,

there

no

and

let

is

some

that

(2.1.3)

~n

Now t a k e x* E x

ideal

there

(Tn+d

Furthermore,

initial

+ in I

f.)

(2.1,2)

such

= grl n(K,Q)

n o = max

g r l (nJ , Q

can

(2.1.4)

be t h e

be w r i t t e n

= b f From

)

this

, and

{c

as

~n-k

+ d,

for

c + k}

initial

,

form

x = a + b f,

therefore

6 E ~n-k

n _> k .

let of

some e l e m e n t

a E K . c

i c

we g e t B E (In:f)

n ~

n i c = ~n-d

Passing

(since

n-k

x £ to ~

(Innj)~l

Q no -

n+l

we g e t k ~ C)o

k

221

by

(2.1o2)

written

, which

x = g + h f

g = x -

of

g,h,f

ini(h

h f

E In

respectively

f)

= h* f *

Finally,

if

inclusion

h f

of

n-d

+ K . Therefore

g E K,

h E I n-d

Let

us d e n o t e

by

in

gri(Q )

If

I

E I n+l

Let

The e l e m e n t s

we g e t

g*, h f form

to

if

g ¢ I n+l

x*

= g*

Corollary.

I

definition

be a l o c a l

, which

fm E K ,

if

are

there

of

ring

called

exists

Lemma 8. We p u t have (2.1.7)

=

inital

, we have

proves

the

non-trivial

a weak s t a n d a r d

and

I,K

c M°

any


an

no

such

that

1 (Q)

for

base. ideals.

base o f

inlf

i

gr I

K

n > no ,

Let

Let

and

I

i E {1, .... Q

with (Q,rlo)

J = K + f

Q

m},

respect

g r l n( J ' Q )

following

superficial

fl ..... to

be a l o c a l and

the

be as a b o v e and assume t h a t

s e q u e n c e and a s t a b l e

each fi

Q

we g e t

I

fi

....


(grl(K,Q)

).

I,K

c rl°

Assume t h a t

= g r l n(K ' Q) + i n I

:

inlf)n

fm

I base o f

o

ring,

d = vi(f

is

fl'

sequence for

f

ideals for

n-d gr I (Q)

and n ~ no

"

Then (2.1.8)

forms

n-d.

i =Zl

lemma 7 i n d u c t i v e l y ,

a regular Q+'"+

the

= ~l(fi).

Applying

fl

be

(2.1.5)

g* + h* f *

m

Then f o r

f* n ~ I +l

g E I n+l

gr~(K,Q) di

h*,

if

the

(Q,Ho)

(2.1.6)

is

can

,

h* f *

, then

us t o

fl .....

respect

where

x

(2.1.1).

Lemma 7 l e a d s Definition.

,

, and t h e r e f o r e

X~ =

with

b E I

as

(2.1.5)

and

means t h a t

gr~(K:f,Q)

for

n ~ no

f

E Mo . we

222

Proof.

First

from

our I n

Intersecting

N

with

assumption J

J

c

on

I n

therefore

K

both

we g e t

I n-d

+

sides

f

+ I n+l

and m a k i n g

,

n>n

o

induction,

I n N K + I n-d

f

+ I n+t

I n n J = I n N K + I n-d

f

.

In N J c and

N

(2.1)

,

this

n > n

o ,

yields

t

>_0

we g e t

(2.1.9) Now l e t

x

x C I n ,

n ~

C (grl(K,Q) no

:

Then

inl

x f

f)n

be t h e

= a + b,

initial

a £ K,

form

b E I n+d+l

of .

some By

(2.1.9)

we g e t b = x f

Therefore, e £ I n+l

,

if

we w r i t e

it

follows

x Corollary. regular

Let

fl ....

'fi

to

. Then

I

are

a E J n I n+d+l

x f that

-

a weak (inl

that

above for

standard

fl .....

in I

f

:

and

each

base fm)

, where

+ I n+l

c E K

f

.

and

= a + c E K . Hence

) E gr~(K

be as

Assume

= K N I n+d+l

a = c + e f

(x-e)

= inl(x-e

Q,Mo,I

sequence°

-

let i

of is

f,Q)

o fl .....

E {i,

fl

fm £ Mo

....

Q+'"+

a weakly

be a

m)

the

elements

fi Q

with

respect

regular

sequence

in

grl(Q). The

proof

Lemma 9 .

If

an

element

is

superficial This

between

made

(Q,Mo) such

is

well

fl ....

3o 'fm

by is

that for

Let

a local f

is

again. ring,

weakly

I c M°

an

regular

in

ideal grl(Q

and )

,

f

E I

then

f

.

known.

E I

induction

in I I

superficial

Proposition let

is

The

next

sequences

and

(Q,Mo)

proposition weakly

be a l o c a l

be a r e g u l a r

gives

regular ring,

sequence°

Then

the

relationship

sequences. I c the

M°

any

following

ideal

and

condi-

223 tions

are

(i)

fl .....

(ii)

(inl

Proof.

fm

is

fl .....

(i)

prove in

equivalent:

(ii)

superficial

i n I fm)

is

holds

by t h e

~ (ii) ~ (i)

a stable

holds

for

fl .....

fl,..°,fm_l respect

is to

I

a weakly

by i n d u c t i o n

lemma 9. Assume t h e r e f o r e fm-i

regular

corollaries

on

m , the

that

m > i

. From t h e


. Let

sequence

us w r i t e

case

fr

m = 1

to fl

the

in

grl(Q ),

being

the

We

treated

conclusion

lemma 7 we know t h a t

Q+'°'+

fm-1Q

Q + " " + fm-1

for

.

lemmas 7 and 8.

and t h a t

base o f

I

sequence

to

corollary

Q = Q/fl

T = I / f I Q + . . . + fm-1 Q and the canonical epimorphism

for

with

Q '

image o f

fr

in Q

Then

m-I a : grl(Q)/ is

an i s o m o r p h i s m

inl is

fm

m°d(inl

weakly

"

It

large

fl .....

regular

nilpotent. fr

in

This

is

follows

(Q)

a(z)

be an

Mo-

4.

Let

primary

that

(inl

Then

fl,°..,fm

fl .....

The p r o o f the

inductive

zero-divisor

is in

for

large T

denote = 0 n,

the

then

class

of

- since


contains

the

a(z) T

is

non-zero-diviso


superficial

for

+ fl

(Q,Mo)

be a l o c a l

i n I fm)

is

a stable

one has to

Q . This

T , and a ( z )

Q +''°+

and l e t

by i n d u c t i o n

step

a(z)

~ gri(Q)

= iny(fm)

ideal is

z

If

since m 0

fm ~ I d + l Proposition

= 0

impossible

is

Let

in I fm_l).

that

By lemma 9 , fm

degrees.

gr~

a(z)

in I figrl(Q)

i=l

fl .....

a weakly superficial like

(ii)

fm-1Q

from

means t h a t

' d = ~l(fm)

Cohen-Macaulay fm E I regular

ring,

sequence

in

for

~ (i)

proposition

the

fact

let

be e l e m e n t s

sequence

show i n a d d i t i o n

follows

~ 0

of

that that

I

such grl(Q ) o

I

fm Q

is is

3o I n not

a

Cohen-

224 Macaulay ficial

and

for

Remark.

fm

is

part

In connection

example

of

a local

a system

f

is

that

I

cannot

then

of

proposition

superficial

Originally of

with

Cohen-Hacaulay

such t h a t

perties

of

parameters,

since

it

is

super

an open i d e a l .

be

for

Ho-

ups.

(Q,Mo)

some i d e a l

be i n t e r e s t e d

i n an

and a z e r o - d i v i s o r

I

of

height

f

> O. ( N o t e

primary.)

we c o n s i d e r e d

blowing

4 we w o u l d

ring

weakly

One r e s u l t

regular

related

sequences

to

the

next

to

study

section

pro-

is

the

following: Proposition

5.

such t h a t We p u t that

initial

forms

a complete

and

fm Q of

and

fl .....

Then t h e

local

fl .....

ring,

P = Po/fl fm

blowing

Po

fm E Po

in

grp

up o f

R

a prime

a regular

Q +"°+ (Q) o with

ideal

sequence.

fm Q " Assume

are a weakly center

P

is

again

intersection.

We f i x

notation

be a r e g u l a r

regular

Q +'"+

sequence.

Proof.

Q

is

R = Q/f1

the

regular

Let

Q/Po

x E Po

lj

fl

and p u t

Q +'''+

fj

Q'

Q' dj

= Q[Po/X]. = Vp ( f j ) ,

Furthermore j=l .....

we use t h e

m . From

the

O

corollary

to

lemma 7 (see a l s o n N lj Po

If

we f i x

some

of

dI fl/x

j n-d ~ P 1 f i =1 o i

for

n > n o

j s+n-d = i=lE P° i f.1

c pS+no N I j

Valabrega

- Valla

([VV2])

for

we c o n c l u d e

all

n

.

that

d , ....

fj/x

Therefore I 'm

we deduce

s ~ n o , we g e t

PoS(P~ N l j )

By a r e s u l t

=

(2.1.9))

([VV 2]

fl/X ~

j

dl,

generate ....

Thm 3 . 1. . )

o

the

t

fm/× m

is

strict

transform

a regular

sequence

lj l in

of

Q'

lj

in

Qi

generating

225 Remark. holds

The c o n c l u s i o n

without

the

particular,

if

Macaulay,

then

with

center

the

blowing

up o f

R

with

center

like

a local

to

Cohen-Macaulay ring

Let

A = of

simple

• A n>O n

degree

regular

in

is

P

is

is

Ax).

fl'

....

fm

sequence

is in

a weakly

(2.2) with

In

result.

normal

flatness

([B])o

Also and

n-th

is

[HO 2]

Po any p r i m e ,

for

Let

x E AI

fi

C A , i

the generalized introduced which

this

question

and

gi

then

S = A(x )

= 1 .....

= fi/x gl .....

i

m, be

E S . If

gm

is

a regular

not

Hilbert

function

the

of

criterion

(1.1),

for

P n) ~

To o b t a i n

Hx, A

If

(Q,Mo)

H° (P

is

is the us

and t h e m u l t i p l i c i t y

t h e o r e m 4,

by a r e s u l t

R

conclude

e x a m p l e was shown t o

we can p r o v e a s i m i l a r

replaced

a more

ring

permissibility

problem:

A corresponding functions

case o f

a local

Rp , and t o

following

may happen t h a t

Po).

prime.

is

t h e o r e m 4 as a s p e c i a l

use B e n n e t t ' s

Hilbert in

be o n m i t t e d .

of

result

Bennett's

R. S c h m i d t

even f o r criterion [RoS.],

see t h e o r e m 6 ) °

We w i l l an i d e a l ,

Mo -

are

permissibility

denotes

and l e t

some l o c a l i z a t i o n

with

it

power o f

Using

[HSV],

of

we had t o

Giraudo

ideals

we p r o v e d

function

by J.

for

a quadra-

Cohen-Macaulay again

sequences

ring,

sequence,

e a s y and w i l l

we w e r e f a c e d

symbolic

e(x,A,R)

regular

We compared t h e

the Hilbert

local

di

Cohen-

S .

The p r o o f

general

of degree

In

Cohen-

assumptions

d homogeneous e l e m e n t s

sequence

Q/Po

observation:

be a g r a d e d

0

and Po

know u n d e r w h i c h

The use o f w e a k l y

by t h e f o l l o w i n g

elements

Q

Q

of

(the

by a r e g u l a r

about

up o f

(see problem 4).

Lemma I0o

generated

biowing

tic

suggested

is

assumptions

the

We w o u l d

is

Im

regularity

Macaulay too. transform

I

that

keep t h e fl .....

following fm C I o

a system o f

primary.

We p u t

notation: and

parameters

A = fl for

R = Q/A , l = l o / A

(Q,Mo)

is

Q +'''+ Q / I o. and

a local

rlng,

I o c M°

fm Q ° ~ = { X l . . . . . X r } C Q

Then

V° = I ° + x Q

is

V = Vo/A = I + ~ R .

226 The image o f Y = {Yl ..... Lemma i i .

xi

in

Yr } Let

is

R

will

a system

f E Io

and

be d e n o t e d of

by

parameters

s = vl(f)

Yi

, so t h a t

for

. If

R/I

in I

.

(f)

is

weakly

regular

o in

gr I

(Q),

and

f

a non-zerodivisor,

then

o (2 2 . 1 )

H~lo/f

•

and i n

Q

e(~,lo/f

Proof.

For

where B i s

n

H~° I -

system

symbol

e(x,-)

Proposition

(n)

for

large

n

o

Q

).

. Now

on e x a c t

sequences,

be a C o h e n - M a c a u l a y

~

is

Then t h e

the

ring

assertion

and assume t h a t

that

a weakly

regular

sequence

in

gr I

i n v o fm

is

a weakly

regular

sequence

in

grvo(Q)

conditions

(i)

eo(V ) = e ( ~ , l , R ) .

(ii)

Vl

(fi)

= VV ( f i ) ' o

First

Therefore

we n o t e

fl ..... to

I

o

follows.

is

following

o

a multi-

the multiplicity

o

inv o fl .....

respect

f

and s i n c e

0 ,

fm

o

Proof.

with

Assume f u r t h e r m o r e

inl

+ f Q Ion+s

I n + s /-I n +oS + l o

these modules,

additive

Let

fl .....

~

).

sequence

by m u l t i p l i c a t i o n all

is

= e(x,lo,Q

in I

I n + s /-I n +oS + l o

for

6.

Q) = s . e ( ~ , l o , Q

we have an e x a c t

~

induced

plicity

eo(Vo)

Q,Q/f

large

0 ~ lo/n in+lo

b)

(n+s)-

~'Io

particular

(2.2.2)

a)

= H(o)

(n+s)

-

and

i=1 . . . . . that

fi

is V

are

is

allows

to

a regular base o f apply

= s I ....

sequence fl Q +'''+

by b ) . fi

Q

lemma 11 i n d u c t i v e l y

to g e t e(y,l,R)

,

m .

fl,...,fm

This

(Q)

equivalent:


o

o

-s m e ( ~ , l o , Q )

with

227

and eo(V ) = t l . . . . . t

where

si

= Vl

o

equivalent. Theorem

5.

(fi)

~ ti

= (A r H ( ° ) ) ( n ) Vo,Q

a)

in I

fl .....

b)

inv o f l . . . . . inv o

o

Then t h e

inl

following

eo(V ) = e ( y , l , R

ii)

~I

iii)

H(°)(n) y,l

(fi)

=

VV o

The e q u i v a l e n c e trivial.

fl

fi

induction If i n a) all

on

and b)

of which

our

following Theorem H( r ) (n) x,l o *)

Q

and with

i

are

for

all

section

ring

are

and t h a t

regular

sequence

in

that

gr I

sequence in

of

(i)

equivalent:

large

and

(ii)

(ii)

fl .....

fi

is

respect

to

Io

the

n

result

we n o t e and

(2.1)

is

in the

and ( i i i )

fl .....

from

by " r e g u l a r

rings

a generalization).

Q

is

= H!1°)Q(n)vo, f o r

all

n.

AH(n)

= H(n+l)

a Cohen-Macaulay

sequence"

also

[VV1],

This

gives

ring

and t h a t

and A r : A . A r - 1

a

we can make

can be made f o r (see

Assume f u r t h e r m o r e

H(n)

is

(2.2.1).

as b e f o r e

graded

fm

base o f

Vo . T h e r e f o r e

sequence"

same c o n c l u s i o n s

degrees

that


follows

regular

"

was shown a b o v e ,

~ (iii),

Assume t h a t

As u s u a l ,

,

grvo(Q )

the

result: 5'.

(Q)

,m.

"'"

for

"weakly

above,

(ii)

and

n . Assume f u r t h e r m o r e

weakly r e g u l a r

a

i=1,

'

m , and t h e

we r e p l a c e

n , i.e.

is

(i)

o

To p r o v e

sequence,

Q +'''+

fm

large

a weakly

= (ArH(°)~(n) V,R j

(i)

regular

is

So c l e a r l y

a Cohen-Macaulay

for

fm

,

) .

(f)

Proof. is

is

conditions

i)

o

Q *)

o

eo(V o)

= ~Vo ( f i ) .

Assume t h a t

H( ° ) (n) ~,I o

~

that

228 a)

inl o fl .....

inl

b)

inv o fl .....

inv °

hen the f o l l o w i n g

o

fm

is

fm

is

a regular a regular

conditions

eo(V ) = e ( y , l , R ) .

ii)

~I

(fi)

= ~V ( f i ) ' o

i=l .....

m .

iii)

H(r)(n) ~,I

= H(°)(n) V,R

for

n.

R. S c h m i d t Satz 3 . 1 3 , Theorem 6.

all

has g i v e n an i n t e r p r e t a t i o n p. 1 2 1 ) : The f o l l o w i n g

(i)

H(r)(n) ~,I

= H ( ° ) (n) V,R

(ii)

For a l l

n, g r ~ ( R )

sequence i n

o

(Q)

,

grvo(Q)

of condition

conditions for is

gr I


i)

o

sequence i n

all

(iii)

(see

[HSV],


n

a C o h e n - M a c a u l a y module o f d e p t h r o v e r

R/I. Corollary.

Assume t h a t

prime

such t h a t

ideal

Q

is

a Cohen-Macaulay ring

Q/I o i s

regular

and

Q

I o . If A is a strict complete intersection then the f o l l o w i n g c o n d i t i o n s are e q u i v a l e n t : (i)

eo(R ) = e o ( R l )

(ii)

R

is

If

i n theorem

lar

normally

system of

since

sequence. b)

respect (ii).

implies to

Using

regular

5'

along

the

This

follows

that

Q/I o

a) c o u l d

that

from fm

normal

fl ..... o

The n e x t p r o p o s i t i o n

is

flat

a along

to

Io ,

inl

fm

it

gr I

turns is

(Q)

theorem

flatness

and

~

are a w e a k l y

2 i n ch.

base of follows

out that

in fact

A

of

II), with

from c o n d i t i o n the w e a k l y

regular.

o i s an a p p l i c a t i o n

a regu-

by the s e e m i n g l y

a standard

190)

p.

in

([HI],

is

([HI],

sequence i n I

Io

respect

to be r e g u l a r

forms

Mo , and t h e r e f o r e lemma 7,

with

be r e p l a c e d

initial

fl .....

and

normally

I

we assume

parameters,

weaker a s s u m p t i o n regular

flat

is

theorem

5'

229 Proposition

7.

Assume t h a t

residue

field,

and

normally

Q

and

inrl ° fl ....

a)

I°

flat

Q

is

is

a Cohen-Macaulay ring

a prime

along

ideal

Q/I o

I o . Assume f u r t h e r m o r e

are a regular

' inM o f m

such t h a t

with

sequence in

infinite

is

regular

that gr M (Q)

,

0

b)

fl .....

fm

minimal

are

part

reduction

Then t h e f o l l o w i n g

eo(R ) = e o ( R l ) .

(ii)

~

(iii)

R

(fi) is

normally

We o n l y

fl .....

fs

Io

have t o

(see §1),

On t h e o t h e r J

fl .....

hand

m.

along

I

verify

condition

inl

fs

is

to

J

b) o f

system of

J I ° = I °2 respect

that

generators Io

=

and t h e

If

Io

0

fl .....

implies I°

theorem

generators fs

that

is

a

"

fl'

....

. By [VV 1] we g e t

a regular

sequence in

5'.

Let

for

J

a regular fs

is

Then sequence. a standard

that

gr I

0

Remark.

12

of

.


with

0

such

i=1 .....

flat

system o f

are equivalent:

(s ~ m) be a m i n i m a l

s = ht(lo)

inl

of

: v M (fi), o

Proof.

base o f

J

conditions

(i)

Io

of a minimal

(Q). 0

is

prime,

and i f

embedding dimension

of

e

and

QI

~

are

the multiplicity

respectively,

then

it

is

known

0

that

e ~ ~ -

that

e = ~ - ht(lo)

Example. z = t3

Let

ht(lo)

+ i

. Condition

+ 1.

(See

R = k[[t2,t3,t

and w = t 2.

Then

R

b)

R

fl is

= y3 _ Z 2 X 2, equimultiple

f2

along

proposition

7 implies

[Sa])

2 u2,u3]]

and p u t


R = k[[X,Y,Z,W]]/(Y Let

of

= Z2 - W3

P = (y,z,w),

Z 2 - ~j3)

Po = ( Y , Z , W ) , and

y = t2u 2

as

3 - Z2X 2, and

x = u3

~Po(fl)

Mo = ( × , Y , Z , ~ J ) .

* VMo ( f l ) "

[eaaeN

',,aauaaa#uo3 UL aeedde

oueLqqo~

o~uaai

o~ 'sDLdo~

"] fq UaAL6

q6noq~Le dn UMOLq

uaaq

aq~ #o sBu~paa~oad pa~eLaa

seq aLdmexa

~feLneaeN-uaqoo

s~ (~A-ZX'EMX-Z%'

amos s~qi

~ou s~ ~[nsaa

"~aoA MaN :eaqa6[v

pue ssau~eL~ 'L~ap~ = ~

uo :uL

SL #LaS~L

Le~x~m

#I

'aa~aG

aA~nmmo3,, tewaou

"fe[neaeN-uaqo3 aq~

Z-EM~A)/[[M'Z'A'X]]~

(H)IL8

aq~ ~e

(q'~ meLqoad

~o ssau~eLneOeN

-uaqo3 aq~ ueq~ aa6uoa~s sL S6ULa asaq~ ~o s s a u f e L n e o e N - u a q o 3 eq~ aDULS ' ~ u a a a ~ L p

e[~L

e SL UOL~sanb an0 " u I ~ pue

S6ULa aq~ ~o f ~ a a d o a d f e L n e a e N - u a q o 3 aq~ q ~

~LLeS

'eLLeA ~q "6"e)

saaded

"I'I z~es • f e L n ~ a ~ N - u a q o 3 SL

'(1861)9E

V/~

ULe~aa3

'9~I

(~)la6

pauaaauoa ( ' ' "

eae aaaql

"d '[ASH]

o~o9

(e'~ maLqoa ~

UL pauLe~uo3

~L msLqdaomOSL Ue RLULe~aao st

m

s[ s~qi

°£ ~aLqoad

"9Ol-6LI "q~em e~dLaosnuei~ 'dn 6UL~4OLq aapun SUOL~aun~ ~aaq[LH

pue s a L ~ L 3 ~ L d ~ L n N ' z u e q a o "n V "uoLsuamLp ~oaaao3 aq~ seq aao~ ao ' p a x L m u n - L s e n b SL

8

•~Lnsaa

:UL Ua^L6 SL aaom pue s~q~ ~o ~ooad ,8

~

pue

(d)L

= (d)~q

(8)a ~ (,~)a

~L 'RLLeaaua6

aAeq a~

aa6uoa~s ~ L ~ q 6 # l s e q ~

"~ ~eLqoad

~§ u~ £ maaoaql

o~ qaeoadde ~ u a a a ~ L p e Sa^L6 UOL~LpU03 SLq~ 4 e [ n 3 L ~ a e d u I o~ ~SUOL~OUn~ ~aaq[~H pue s s a u ~ e [ ~ -

s~qi

"aeadde

[emaou a^L~OaCoad 'OUeLqqoa "q

zueqao "R :UL pe~pn~s uaeq seq ( a e [ n 6 a a V/~ ao~) UOL~Lpuo3

" ,, U a 6 a e [ ao~ a L n p o ~ - v / a ~e[~ e s# l + u V / u v , s# f ~ L 3 [ [ d L ~ [ n m

-#nba pue s s a u ~ e [ j

[e~aou u a a ~ a q

f [ a a d o a d UOL~LpUO3 V

"l

~a[qoad

:~xa~ eq~ UL pauoL~uam sma[qoad aq~ o~ saa~su£ amos a^L6 o~ pasn uaaq seq UOL~eo#[qnd pue a3uaaa~uo9 aq~ u a a ~ a q

a~L~ a q i

:~ooad UL pappv auL~ap

• a oh SUOL~enba ~ u a a a ~ L p 6uLsooqo £q

(0)°da6

UL anOLAeqaq p~q aq~

aAoadmL ~ouuea aM aLdmexa s,oueLqqo~ UL ~eq% S^~oqs ~Lnsaa ano aeLn6aa aae

• saauanbas

aaeLdaa a~ SLq~ aas Ol " d

°d

pue

oN

o~ %3adsaa q~L~

6uoLe ~eLJ fLLemaou SL

a

ssaLaq~aaAaN

O~g

231 References [AV]

R. A c h i l l e s lokalen

[B]

B.rl.

- Wo V o g e l ,

Ringen,

Bennett,

Ann. of Math. [B~]

E. B~ger,

91 ( 1 9 7 0 ) ,

H. H i r o n a k a ,

H. H i r o n a k a , J.

[HO I ]

Math.

[Li 1]

singularities

numerical i0

o f an a l g e b r a i c zero

fur

characters

(1970),

Faserdimensionen J.

singularities,

von A u f b l a s u n g e n

Math.

Normale F l a c h h e i t

vollst~ndige

Durchschnitte,

Kyoto U n i v .

Flachheit,

Teubner-Texte

zur Mathematik,

J.

Desingularization 107 ( 1 9 7 8 ) ,

Equimultiplicity,

"Commutative Algebra: New York

of

und ~ q u i m u l t i J° A l g e b r a

- W. V o g e l ,

Jo Lipman,

of

151-187

M. Herrmann - R. S c h m i d t

Lipman,

I-II,

651-659

Ann. o f Math. [Li 2 ]

Certain

Thesis,

109-326

M. Herrmann - U. Orbanz, plizit~t 437-451

transformations,

unpublished

Ringe und ~ q u i m u l t i p l i z i t ~ t ,

20 ( 1 9 8 0 ) ,

[HSV]

of

79 ( 1 9 6 4 ) ,

Kyoto U n i v .

ring,

207-215

of characteristic

M. Herrmann - U. O r b a n z , lokaler

[HO 2 ]

Resolution

of a local

eines Hultiplizit~tensatzes

and m o n o i d a l 1960,

over a field

Ann. o f Math. [H 2 ]

functions

12 ( ! 9 6 9 ) ,

EoC. Dade, M u l t i p l i c i t y

variety

in

285-298

25-87

Algebra

University

Durchschnitte

89 ( 1 9 7 9 ) ,

Eine V e r a l l g e m e i n e r u n g

Princeton [H I ]

Ober v o l l s t ~ n d i g e

Nachr.

On the c h a r a c t e r i s t i c

von D° Rees, J. [D]

Math.

Theorie

70 ( 1 9 8 1 ) ,

der normalen

Leipzig

two-dimensional

1977 schemes,

151-207 reduction

Analytical

[Li 3 ]

J. Lipman, R e l a t i v e ( 1 9 7 5 ) , 791-813

[No]

D.G. N o r t h c o t t , Lessons on r i n g s , Cambridge U n i v e r s i t y Press 1968

and b l o w i n g up,

methods",

Lipschitz-saturation,

in:

Marcel

Dekker,

Amer. J.

rlath.

93

modules and m u l t i p l i c i t i e s ,

232

[N-R]

D.G.

Norhcott

Proc.

[R]

- 0.

Rees,

Camb. P h i l . S o c .

D° Rees,

m-transforms

multiplicities

of

Reductions

50 ( 1 9 5 4 ) , of

ideals,

of

ideals

in local

rings,

145-158

local

rings

Proc.

Camb.Philo

and a theorem on Soc.

57 ( 1 9 6 1 ) ,

zero

i n form r i n g s ,

8-17

[Ra]

L.J.

Ratliff

Pacific

[R.S.]

[Sa]

[Sch]

J.

R° S c h m i d t ,

1976

On the a s s o c i a t e d

graded

ring

Jo Math° Kyoto U n i v .

Wo S c h i c k h o f f ,

Whitneysche Tangentenkegel,

Normal-Pseudoflachheit

fur

B. S i n g h ,

MUnster,

of a permissible

functions,

Inventiones

A numerical

criterion

des Math.

Heft

blowing-up

math° for

B° T e i s s i e r ,

simultan~e

et c y c l e s

i n Math.

777,

on the l o c a l 201-212

p. 8 2 - 1 4 6 ,

of a

~vanescent,

Berlin

- New York -

1980

P. V a l a b r e g a

- G. V a l l a ,

Nagoya Math. J . Po V a l a b r e g a the strict

no.

Insti-

1977

the p e r m i s s i b i l i t y 15-28

Notes

12,

26 ( 1 9 7 4 ) ,

33 ( 1 9 7 6 ) ,

Heidelberg

Cohen-

19-21

Multiplizit~ts-

b l o w i n g up, Comp. Math. R~solution

a local

und ~ q u i s i n g u l a r i t ~ t s -

2. S e r i e ,

Effect

B. S i n g h ,

of

17 ( 1 9 7 7 ) ,

Ramissche R~ume, S c h r i f t e n r e i h e

der U n i v e r s i t ~ t

der Cohen-

Dissertation

Macaulay r i n g ,

Lecture

[VV 2 ]

Spezialfall

Berlin

Hilbert

[VV 1 ]

als

Humboldt-Universit~t

tuts

[T]

Normale F l a c h h e i t

JoD. S a l l y ,

of

489-517

von G r a d u i e r u n g e n ,

theorie

[Si 2 ]

On the prime d i v i s o r s 70 ( 1 9 7 7 ) ,

Macaulay-Eigenschaft

verhalten,

[Si I ]

Jr., Math.

Form r i n g s

72 ( 1 9 7 8 ) ,

- G. V a l l a ,

transform,

and r e g u l a r

sequences,

93-101

Standard

preprint

bases and g e n e r a t o r s

1979

for

LIAISON

par

§ I. -

RESIDU

LEJEUNE-JALABERT

LIAISON.

On

consid~re

R

un

convergentes

(r Ix I ..... Xn}

ff[x I ..... x n]

pour

id@al

K c IDJ

dr@ par R/J

M.

ET

des

tel que

sont li@s par R/I

ou le localis6

~ l'origine id6aux

intersection

qui foment

une

suite r@guli~re

l'anneau

de l'anneau

propres

soit une

R/K et

deux

(par exemple

R/K

Iet

J

compl@te de

dans

on

R K

et un est engen-

dit que

R/I

R/J

sont @quidimensionnels immerg@es)

: gI ~ K} = J

(K:J) -

: fJc

K]

suppos@es 6 q u i d i m e n s i o n n e l l e s

une intersection

comp~te

On t r o u v e t r a c e M.

"The

N o e t h e r e t G.

Algebraic

en particulier

sans

= I .

apparition sous

d'une

la forme

(contrairement dim

Pour

: nous

tout

IR/Mn+l

F = ~

supposerons

quelles

communes

et

est

n E IN , on consid@re

le cas

l'injection

au

d a n s l e c h a p i t r e de

"syst~me

simplifier

affine) et clue

M

notamment chez

elle s'introduit

ici pour

conditions

E I . Soit

Macaulay,

consacr@

de la dualit@,

qui ~tudie

ccxC~

chez F.S.

systems"

alg@brique

~ Macaulay

que

E n 1916,

of modular

0 . II s'agit de savoir

c c~ E (F pour

irr6duetibles

de c e t t e n o t i o n d~s l e s i ~ c l e d e r n i e r

th@orie suivante

sans composantes

V1

X .

Halphen.

theory

et

.

(K:I) = [gER [f~R

(ceei signifie

C e t t e d ~ f i n i t i o n g @ n ~ r a l i s e l a s i t u a t i o n g @ o m 6 t r i q u e s u i v a n t e : l a r ~ u n i o n de V2

s@ries

de polynSmes

(i.e.

R).

des

si

composantes 2)

local r@gulier

fixer les id@es),

@16ments

I)

anneau

fin@aires

= (x I ..... Xn)

de l'espace

dans R/Mn+l . Le sous-espace vectoriel

assez

que

R/I

dolvent

inverse"

premiere

naturellement

R = (fix 1 ..... Xn] est un anneau

satisfaire

l'id~al maximal

vectoriel

de

les

de dimension

de

R finie

(R/I+Mn+I)~ de (R/Mn+l)#

.

234

e s t l ' e s p a c e v e c t o r i e l des c o n d i t i o n s l i n ~ a i r e s qui doivent ~ t r e s a t i s f a i t e s p a r l e s ca ,

Ic~] ~ n

pour qu'il existe

l e s ~ q u a t i o n s m o d u l a i r e s de

I

F E I

tel que

~ l'ordre

6quations modulaires pour tousles

F ---~ c ~ x c~ rood Mn + l . Ce s o n t

n . L a r ~ u n i o n (ou l i m i t e inductive) d e s

o r d r e s de

I

c o n s t i t u e le s y s t ~ m e i n v e r s e ~

(cette t e r m i n o l o g i e r a p p e l l e q u ' o n a i n v e r s ~ l e s m a t r i c e s IR/Mn+l

dans

v e c t o r i e l de

R / M n + l ) . Nous le d ~ s i g n e r o n s p a r

lim(R/Mn+l) ~=

= { r [ [ x I ..... Xn ]]

annulant

1-1

R~* d~finie p a r c de s o r t e que :

-1

r e p r ~ s e n t a n t l ' i n c l u s i o n de

1-1 . C ' e s t un s o u s - e s p a c e

R~ e n s e m b l e des f o r m e s l i n ~ a i r e s s u r c ont Mk d~s que k e s t a s s e z g r a n d . La s t r u c t u r e de

R-module sur sur

I

P.E(Q) = E(P.Q)

induit u n e s t r u c t u r e de R - m o d u l e

HomR(R/I ' Re~')

On o b t i e n t f a c i l e m e n t le l. 1. -

THEOREME.

- ([MAC]

n°61)

F E I

¢~ E(F) = 0 ,

vE E I - 1 .

M a c a u l a y c o n s t a t e a l o r s que le H - m o d u l e des 6 q u a t i o n s m o d u l a i r e s d ' u n e i n t e r s e c t i o n c o m p l e t e e s t m o n o g ~ n e . Au s u j e t d e s l i a i s o n s , sant les g~n~rateurs

F 1 ..... F n

de

I

et l ' ~ q u a t i o n m o d u l a i r e de

f a c i l e m e n t non l e s g ~ n ~ r a t e u r s de

J = (K:I)

1.2.

n°62)

-

PROPOSITION.

- ([MAC]

0--~(K:I)-I----~ D~monstration.

G E (K:I)

il obtient

mais ses ~quations modulaires.

----~0

est exacte.

¢~ v i = l . . . n , GF. E K

. . . . . . . . . . . . .

vE 6 K -1 ,

K

La suite

K-I----~K-I®RR/I -

il r e m a r q u e que c o n n a i s -

¢~ Vi = L..n ,

1

E ( G F i) = 0

¢~ v i = L..n ,

v E E K-1 , F i . E ( G ) = 0

¢* r E ' E (K:I) -1

E'(G) = 0 . A u t r e m e n t dit

(K:I)-I = ~

F.K-1

.

1

P o u r ~ t u d i e r l e s c o u r b e s g a u c h e s ( d ' a b o r d l i s s e s et i r r ~ d u c t i b l e s d a n s t r a v a i l l a n t u n e i d l e p r o p o s ~ e p a r F.

S~v~ri,

F.

Gaeta [G]

IP3),

i n t r o d u i t la d~finition

s u i v a n t e : (1952).

1.3.

-

D E F I N I T I O N . - Un q u o t i e n t codimension

2

de 2 ~ l ~ m e n t s .

R/I

e s t ~t r ~ s i d u e l

~ q u i d i m e n s i o n n e l de 0

si et s e u l e m e n t si

R I

l o c a l r ~ g u l i e r de a d m e t une b a s e

235

R/I

e s t ~t r 6 s i d u e l

R/K

~

R/J

p , si

de r 6 s i d u e l

r ~ s i d u e l m o i n d r e que

R/I p-1

peut ~tre Ii6 p a r une i n t e r s e c t i o n c o m p l e t e et s ' i l ne peut @tre li~ ~ aucun

R/J

de

9-1 .

Ap6ry, Dubreil se sont i n t 6 r e s s ~ s aux p r o p r i 6 t 6 s qui se c o n s e r v e n t p a r l i a i sont. P e s k i n e et Szpiro

[P.S. ]

ont r e p r i s c e s q u e s t i o n s (1974) disposant des no-

tions de p r o f o n d e u r et des t h 6 o r ~ m e s de dualitY, en p a r t i c u l i e r en vue d ' 6 t u d i e r les d~formations des v a r i 6 t 6 s p r o j e c t i v e s de

codlin 2

~t cSne p r o j e t a n t de Cohen-

Macaulay. ~.4. -

THEOREME (Gaeta, P e s k i n e , Szpi:co). - Soit sionnel de

codlin 2

de

R

local r ~ g u l i e r .

R/I

un quotient 6quidimen-

Les conditions suivantes sont

6quivalentes :

R/J

D

R/I

e s t Cohen-Macaulay ;

2)

R/I

e s t ~ r 6 s i d u e l fini.

Si

I

a d m e t un s y s t ~ m e m i n i m a l de

tel que

J

n

g6n~rateurs,

admette un s y s t ~ m e m i n i m a l de

n-1

Watanabe, Buschbaum, E i s e n b u d [ B . E . ] 1

R/I

peut @tre li~

g6n6rateurs.

donnent un a u t r e exemple d ' a n -

neau ~ r ~ s i d u e l fini c e t t e f o i s - c i en c o d i m e n s i o n 3. l . 5. -

THEOREME.

-

Si

R/I

e s t un anneau de G o r e n s t e i n de

codlin 3

(i.e.

R/I

e s t Cohen-Macaulay et son module dualisant e s t un R - m o d u l e monog~ne),

R/I

e s t ~ r 6 s i d u e l fini. I1 en e s t de m@me (toujours en

e s t p r e s q u e une i n t e r s e c t i o n c o m p l e t e I

(i.e.

R/I

codlin 3) si

R/I

e s t Cohen-Macaulay et

e s t engendr6 p a r 4 g 6 n 6 r a t e u r s ) .

Ici

R/I

G o r e n s t e i n tel que

teurs (n6cessairement elle-m@me li6e ~

n

e s t impair)

I

a c ~ e t t e un s y s t ~ m e m i n i m a l de e s t li~ ~t R / J

R / I 1 G o r e n s t e i n tel que

11

n

g~n6ra-

presque intersection complete

a d m e t t e un s y s t ~ m e m i n i m a l de

n-2

g6n~rateurs. 1.6.

-

Exemple. - Par contre,

M = (xl,x2,x3) r e m a r q u e que

Buchweitz m o n t r e que

¢ [ X l , X2,X 3 ] / M 2

off

n ' e s t pas ~ r 6 s i d u e l fini. (Ceci e s t n6anmoins d ~ t e r m i n a n t i e l et on 2 2 2 ~ r [ x l , x 2 , x 3 ] / M - _ e s t li~ ~ lui-m@me p a r ¢ ~ x l , x 2 , x 3 ) / X l , X2,X 3) .

236

§ 2.

RESIDU.

-

On e o n n a i t b i e n la f o r r n u l e i n t 6 g r a l e de Cauchy 1

g(zl ..... Zn)dZ[A""

(2irT)n f

par

a i l l e u r s que s i

3k l + ' ' ' + k n

- (kl +...+k n) !

kl+l kn +1 zI ... z n

zi,=~l

et on s a i t

t

AdZn

R = ( r [ x 1 ..... Xn]

et s i

kl k ng (o) ~z 5z I "'" n

I = (fl ..... f )

off

f l . . . . . fn

e s t une s u i t e r 6 g u l i b r e (2.1)

rgff R / I -

1

~

(2i~) n

dflA'"Adfn

dIfil= ¢

fl A'''Af n

NOUS a v o n s c h e r c h 6 ~ o b t e n i r de fagon analogue p a r un c a l c u l de r 6 s i d u le si

I

n ' e s t plus e n g e n d r 6 p a r une s u i t e r 6 g u l i ~ r e r n a i s r e s t e p r i m a i r e

M = (x I . . . . . Xn) . A p a r t i r de r n a i n t e n a n t d e s n - f o r r n e s d i f f ~ r e n t i e l l e s et

R/I

n

R = ¢ ( x 1 . . . . . Xn} ,

~

rg¢ R/I

pour

e s t le R - r n o d u l e

e s t un a n n e a u de d i m e n s i o n 0 . Le t h 6 o r ~ r n e

de dualit6 l o c a l e nous dit q u ' i l e x i s t e une a p p I i c a t i o n b i l i n 6 a i r e non d6g6n6r6e : n

n

EXtR(R/I, f~ ) x R / I ---~¢ . E l l e s e d~finit " a s s e z f a c i l e m e n t " de fagon t r a n s c e n d a n t e de la faqon s u i v a n t e : n On c o n s i d ~ r e la r 6 s o l u t i o n de Dolbeault de g~ p a r l e s g e r r n e s de c o u r a n t s ( f o r r n e s d i f f ~ r e n t i e l l e s ~t c o e f f i c i e n t s d i s t r i b u t i o n ) qui e s t une r 6 s o l u t i o n i n j e c t i v e (~ c a u s e du t h 6 o r ~ m e de d i v i s i o n d e s d i s t r i b u t i o n s )

0--n

,zn, 0

et

E x t R ( R / I , f n)

Si

~0 : R / I ~ ' 2 ~ n ' n

de

,

n,n 0

s ' i d e n t i f i e au n - i ~ m e g r o u p e de c o h o m o l o g i e de e s t un r e p r 6 s e n t a n t

R/I , l'accouplernent

(~,g)

HOrnR(R/I, , ~ n , - ) .

d ' u n de c e s 616rnents et

e s t donn6 p a r

~0(g)(1 ~)

off

'~

g

un 616rnent

e s t une f o n c t i o n

co

C

~t s u p p o r t c o m p a c t c o i h c i d a n t a v e e la c o n s t a n t e

Par ailleurs, En p a r t i c u l i e r ,

on peut c a l c u l e r si

R/I

c o n s t r u i t ~t p a r t i r de l i b r e de

R/I

et

ExtR n ( R / i , ~n)

1

s u r un v o i s i n a g e de

a v e c une r ~ s o l u t i o n l i b r e de

0 . R/I .

e s t une i n t e r s e c t i o n c o r n p l g t e , le c o r n p l e x e de K o s z u l f l ..... fn

un s y s t g m e de g 6 n ~ r a t e u r s de

I

A'Rn

e s t une r 6 s o l u t i o n

E x t R ( R / I ' f~n) e s t le n - i ~ r n e g r o u p e de c o h o m o g i e de

Horn(A'R n , f l n) . Si

~ E fin , [ f l . . .~. . fn ]

l'application R-lin6aire envoyant

d ~ s i g n e la c l a s s e dans

elA...Ae

sur n

a l o r s s o u s la f o r r n e :

~

E X t R ( R / i , fln)

et la f o r m u l e

de

(2.1) s ' i n t e r p r ~ t e

237

[df IA... AClfn ] rg¢ R/I = ( [fl"" fn

j ,I} .

Nous allons maintenant

rappeler

bri~vement

comment

ces calculs de r~sidu

se rattachent aux considerations pr~c~dentes : On peut montrer [S] que n ~R/I = E xtR(R/i, ~n) s'identifie ~ I-I = HomR(R/I ,~ .) en interpr~tant

I~*

con~

cont

c o m m e le n - i ~ m e g r o u p e de c o h o m o g i e du c o m p l e x e , n,O

, n,l

, n,n

"~{:o3 -~

~{o? . . . . .

~io } -~ o

o--* des courants

de s u p p o r t l ' o r i g i n e .

Un 81~ment de

c DC~SdzlA...AdZnAdZ 1 A . . . A d ~ [~J~k a _ n t i o n l. 2 de M a c a u l a y d e v i e n t a l o r s : 0 - - ~ ~ R / ( K : I) est exacte.

que

0 ~ Si

R/I

K : (K:I) = I

WR/I ~

¢OR/K ~

des r ~ s i d u s du g r o s p o i n t

par

R/K

R/I)

--~ 0

r g ( r R / K = r g ( r R / ( K : I ) + r g c R / I , il s'em, mit

et que WR/K~RR/(K:I)

n ' e s t p a s une i n t e r s e c t i o n

des r ~ s i d u s de

5

~R/K®RR/I

C o m m e e l l e e n t r a i ~ e que

imm6diatement

off

R~ est alors repr~sent~ par cont e s t l a m a s s e de D i r a c . L a p r o p o s i -

complete,

0 .

le m o d u l e d u a l i s a n t

s'interpr~te

l'intersection

~

WR/I

(ou m o d u l e

donc c o m m e un s o u s - m o d u l e

compl~te en terme

de l ' a n n e a u

R/J

du m o d u l e li~ iL R / I

R/K .

2.2. -

DEFINITION. 0 ~

RPn

- C~n~ralisant l'~criture ~n

RPn-I__.~ ... ~

l i b r e de type fini de l o n g u e u r la c l a s s e d a n s sur

~9. 1

Soit

h 1 .... , h n

Koszul c o n s t r u i t e complexes

~R/I

n

des symboles

RPl de

de G r o t h e n d i e c k ,

~l ~ R ~

0

e s t une r ~ s o l u t i o n

R / I , on d ~ s i g n e r a p a r

de 1 ' a p p l i c a t i o n R - l i n 6 a i r e

Rp n

si

~

fin

[01 ..... t~ ~pn 1 rL envoyanl: e.

1

.

une suite r~guli~re engendrant

~ partir

de

@ d u i t de l ' i n c l u s i o n

h l .... , h n . Soit Kc

I . Si

K ,

6o : A ' R n ~

A'R n ~

l a r ~ s o l u t J o n de un m o r p h i s r a e

Pn Ctn(¢lA...ACn) = i=l~ giei

de

r~ ,...,~ 1 , [ i t~ PnJ n

s'envoie sur

[ hZl g..... iwi hn ]et

( K : I ) = J = (g 1 ..... gpn ; h l ..... hn)

En fait,

cornais-

238

sant

~

et c~ , on peut non s e u l e m e n t t r o u v e r un s y s t ~ m e de g ~ n ~ r a t e u r s de

(K:I)

m a i s une s y z y g i e . 2.3.

-

PROPOSITION ( F e r r a n d ) .

I_e cSne du m o r p h i s m e

e s t une r ~ s o l u t i o n l i b r e de Utilisant l'isomorphisme longueur

R/(K:I)

.

(hiRn) v

h n - j R n , on obtient

r6solution

r~solution nimale

minlmale

de

-

de

v 1 n ---~ ~ n ~ A R ---~ R - - ~ 0

d(f, cilA...A~ik) = (-dVf d(e. A...A~. )+ v(f)) . C e p e n d a n t re@me s i '

2.4.

une

n : v v An-lRn....~ v n-2 n 0 ---'-~l---,-~2e ~3~A R ....

o~

c~v : v - - ~ (A" Rn)v

dual

de

R/(K:I)

R/I

(cf.

THEOREME

[LJ]. ~

c o m m e dans

2.2,

- Soit

qu'on

n'obtienne

pas

ainsi

la r6solution

R = ~r[x t . . . . . Xn]

et

R/I

h I ..... h n

C~n : AnRn ~

~i = .

~

mi-

un a n n e a u de d i m e n -

u n e r ~ s o l u t i o n l i b r e de type fini de l o n g u e u r

phisme

e s t la

et I. 5).

h l . . . . . hn

une s u i t e r ~ g u l i ~ r e e n g e n d r a n t

le s y s t ~ m e de g ~ n ~ r a t e u r s de ~n

c o m m e ci d e s s u s .

d t ~ n , l •, l. n _ l A " ' A d t ~ s , i s , l s _. l

.

~

ik

, il se peut

!.4

s i o n 0 . Soit

g ! ' .... gPn ;

I1

(K:I)

Kc

n

de

R/I

I ,

d~duit du m o r -

Soit

A...A

dt~l,il

' 1

in_l,--., i [

Ps 1 I

o~

i

s = 1 . . . n - 1 et t~ : R = 1...ps s ' s finie p a r la m a t r i c e t r a n s p o s 6 e de ~s

---~R

Ps

e s t l ' a p p l i c a t i o n d~-

Pn 1 [~I ..... % = ~., [ t~n~n

rg~R/I

2.5.

-

Remarque.

"effectif" que

pour

p = rg¢

Le

tester R/I

I

(1) - (2i=) n n !

th6or~me

2.4

F E I

id6al

si

donne

dans

de

=(r[x

R

hJ I=¢

i=l h l . . " hn

certains

cas un

I ..... Xn)

dont

moyen

on salt a priori

< +~

I1 s ' a g i t e n fait u n i q u e m e n t de c a l c u l e r M p c I . L e s ~ q u a t i o n s m o d u l a i r e s de

I

~ . En e f f e t , on v ~ r i f i e que

(il y e n

a

~

i n d ~ p e n d a n t e s d ' a p r ~ s le

t h ~ o r ~ m e de dualit6 l o c a l e ) c o i h c i d e n t donc a v e c s e s ~ q u a t i o n s m o d u l a i r e s ~-1 . Soit

de calcul

(~ct) EA

les

c o n s t i t u e n t une ~r-base de

(p-l+n.n)

m o n S m e s de

R / M ~ . P o u r tout

R S E A

dont l e s i m a g e s d a n s t e l que

~R

~ l'ordre R/M ~

s o i t de d e g r ~

239

inf~rieur

ou @gal ~

~-2

, il e x i s t e

w~f i -~ ~ c ~ ¢~EA B,i;c¢ a I

-I

est alors l'espace c c~EA

d e s s o l u t i o n s du s y s t ~ m e

=0. e s t donc r a m e n ~ p a r 2 . 4

Une syzygie explicite pour [E.N],

D'autre part,

si

th~or~mes R/I

R/I

[B.E] 2 , [L]

n = 2

ou s i

indiquant la structure

est d~terminantiel,

n

combinaisons

Pour obtenir les

gi

et

§3

et

darts

[ B . E ]1 T h .

d'une structure

1

j

[B.E] 1

h 1. . . . . h n

g@n~rales

d@terminer

R/I

f o r m @ s d'@l@ments de

R/J

: AnRn----~ ~

par

s i on s a v a i t m u n i r

gradu@e d i f f @ r e n t i e l l e a s s o c i a t i v e

et c o m m u t a t i v e .

r 1 . . . . . r n E IN

det(aij)w xjl= ¢

fl ..... fl

li~ ~t R / I

doric A c a l c u l e r u n r@sidu r e l a t i f A u n e i n t e r s e c t i o n

hjl= ~ h l ' " h n

des

e n @cri-

~ t e n d a n t l ' i n c l u s i o n de

a i j h j . On s a i t a l o r s q u e :

et on t e r m i n e

¢)

I

d a n s l e s 2 c a s pr~cit@s ([ P . S ]

imm~diatement

il s u f f i t de d @ t e r m i n e r d e s

[BUR]

est pfaffien.

(~ c o e f f i c i e n t s d a n s

c~

on d i s p o s e de

D a n s le l e r c a s

(d~crivant l'anneau

5.3) et s'obtiendrait

hl,...,h n . Pour ce faire, ri x. = ~

Ni " S i g n a l o n s q u ' o n

e s t de G o r e n s t e i n ,

I . Ceci se fait explicitement

d'alg~bre

I1 r e s t e

R/I

g@nSrale d e s s y z y g i e s .

correspondants

R / h t . . . . . hn) , il f a u t s a v o i r K = (h l . . . . . hn)

fournit les n-formes

d a n s le 2 ~ m e c a s

lin~aires

~ u n c a l c u l de r@sidu.

les syzygies des vari6t@s d@terminantielles.

n = 3

On o b t i e n t u n e s u i t e r @ g u l i ~ r e vant

lin~aire

c~

L a d ~ t e r m i n a t i o n de

trouve dans

tel que

rood M ~a

vectoriel

X S,i;cc

cB,i;ct E ¢

rl r x l ...xnn

e n a p p l i q u a n t la f o r m u l e i n t ~ g r a l e de C a u c h y .

complete tels que

"

240

BIBLIOGRAPHIE

[A]

[B.E]

B. ANGENIOL : C l a s s e s f o n d a m e n t a l e s et t r a c e s de d i f f 6 r e n t i e l l e s (ce volume) (1981). D. BUCHSBAUM et D. EISENBUD : A l g e b r a s t r u c t u r e s for finite f r e e r e s o lutions, and s o m e s t r u c t u r e t h e o r e m s for ideals of codim 3. A m e r . J . Math. Vol. 99 n°3, pp. 447-485 (1977).

t

D.

IB.E] 2

BUCHSBAUM

et D. EISENBUD : Generic free resolutions and a family of generically perfect ideals. Advances in Math. 18, pp. 245-301 (1975).

[ BUR]

L. BURCH : On ideals of finite homolog-ical d i m e n s i o n in local r i n g s . P r o c . Cam. Phil. Soc. 64, pp. 941-946 {1968).

[E.N]

J. EAGON

[E.R.S]

F.

GAETA

[HI

D.

HILBERT

A.

[L.J]

NORTHCOTT : Ideals defined by matrices complex associated to them. Proc. Royal series A, t. 269, pp. 188-204 (1962).

: Quelques progr~s r~cents dans la classification des vari~t~s alg~briques d'un espace projectif. Deuxi~me colloque de C~om6trie alg~brique Liege. C.B.R.M. 145-181 (1952).

LASCOUX

M.

: Uber

die Theorie pp. 473-534

[MAc]

LEJEUNE-JALABERT

IS]

F.S.

C.

J.P.

MACAULAY

PESKINE

der Algebraischen (1890).

Formen.

Math.

: Syzygies des vari6t~s d~terminantales. Advances Vol n= 30 N°3, pp. 202-237 (1978).

Note

[P.Sl

and a certain Soc. of London,

D. EISENBUD, O. RIEMENSCHNEIDER, F. SCHREYER : P r o j e c t i v e r e solutions of Cohen-Macaulay a l g e b r a s . P r e p r i n t A p a r a i t r e (1980).

[G]

[LA ]

et D.

: Remarque au C.R.A.S.

Ann.

36

in Math.

sur la classe fondamentale ~ paraftre (1981).

d'un cycle,

: The algebraic theory of modular systems Cambridge university press. (1916) ou New-York, London, StechertHafner (1964) (Cambridge tracts in Mathematics and mathematical physics, 19).

et L. SZPIRO : Liaison des vari~t~s Math. 26, pp. 271-302 (1974).

alg~briques.

Inventiones

SERRE : Sur les m o d u l e s p r o j e c t i f s , S 6 m i n a i r e Dubreil (1960).

Elementary in the

theory

transformations

of a l g e b r a i c

vector

bundles

By Masaki

Introduction. "Construct ety".

many

While

braic

vector

operation, singular

About

vector

many

transformation

(i)

vector This

(2) the

played

following p3.

then

H 0 ( p 3, E(m))

of the

with

As

curve r(E)

elementary tary

projective

an o p e r a t i o n

it a p p e a r s

in v a r i o u s

in the spaces

this

projective

recently

directions

some

on alge-

By u s i n g

on e v e r y

vari-

that

of the

non-

the theory

of

examples:

deformation of v e c t o r

theory

bundles

and the

on curves

[12]). in e s s e n t i a l

Let

E

way

by R. H a r t s h o r n e

be a s e m i - s t a b l e

integer

exploited

(Maruyama this

and useful

such

this

of m o d u l i in the [6] and

that

vector

x(E(m))

to

bundle

~ 0

solve

of rank

and

operation

to p r o v e

spaces

semi-stable

above,

is u s e f u l

§3 of this

article).

m

~ 0,

of a s e m i - s t a b l e

Cl(E)

= 0

is.

(see

moment In

vector

§4 of this to give

§i I w i l l

§2 is d e v o t e d

"valuative

to

show

cri([5]). many

at a p o i n t

bundle

E

on

of

p2

article).

an e x p o s i t o r y try

sheaves

to c o n s t r u c t

the m u l t i p l i c i t y

lines

at this

of

this

we can d e t e r m i n e

transformations.

transformation

constructed

problem:

~ 0.

of j u m p i n g

It seems

I found

used

properness

By u s i n g

= 2

[Ii],

is an

I mentioned

bundles

(5) the

m

S. L a n g t o n

(4) vector

been

problem:

2 on

terion"

a key role

following

transformation.

hand,

tool

of the m o d u l i

has

If

were

the

dimensional

Let me m e n t i o n

and R a m a n a n

This

(3)

bundles

bundles.

I raised

question,

On the o t h e r

desingularization (Narasimhan

this

is a p o w e r f u l

ago

on a h i g h e r

an e l e m e n t a r y

vector

variety.

algebraic

bundles

considering bundles,

ten y e a r s

MARUYAMA

account

to show what several

the

of

elemen-

properties

of

242

the

operation,

the

of e l e m e n t a r y the 0

family and

that

transformations,

of s t a b l e

c2(E)

= 2

the r e a d e r

example. and

To

vector

will

study

in this

An

given.

where

curves

Let

C

cases

proofs

they

of the

are r a t h e r Instead lines

and

p

over

C.

Pick a point

: X

The

is an e x c e p t i o n a l

the

> C

proper curve

and

=

I hope

this

viewpoints, viewpoint

bundles

geometric

was

between

depends

are

technical

the

emphatwo

is s l i g h t l y

results going

and too

construct

on

§3. of r a n k

different

is p e c u l i a r

(5)

in the a b o v e

to be p u b l i s h e d special

several

our method

in

case

on a fact w h i c h

§4 some

results

is s t a t e d

Eg] A p p e n d i x ,

The p r o o f

In

I will

elementary

of

for

to v e c t o r

els-

our p u r p o s e

examples

T h e n we o b t a i n

X

curve

over

of the

bundles

D

surface,

of the

kind;

contract

a new ruled

L

L

X

on

p2.

surface

surfaces.

is,

a

with

the

center

pl-bundle

p-l(p(x)) and

to a s m o o t h p'

closed

that

fibre

D ~ pl D

of r u l e d

an a l g e b r a i c a l l y

and b l o w up

first

we c a n

transformations

ruled

transform

of t h e

> X'.

,

in

here.

projective

x

of C a s t e l n u o v o ,

x

given

a geometric

a theorem

C

two

through

interrelation

vector

by a p p l y i n g

be a n o n - s i n g u l a r

X

Cl(E)

transformations.

start with

~ X.

with

section

of H a r t s h o r n e .

geometric

the

of this

p3

operation

we h a v e

about

was

2.7).

Elementary

: ~

the

eommutativity

part

2 on

on a r e s u l t

[6] the

stable

be p r o v e d

field

f

of

(Corollary

of j u m p i n g

Let us

care

cases

article.

§i.

in

general

The

because

of t h i s

theorem

will

of the

to t h r e e f o l d s are

I will

of g e n e r a l

2 on t h r e e f o l d s from that

Though

final

of r a n k

to u s e

the

as far as p o s s i b l e .

existence

a proof

E

based

how

changes,

In the

bundles

realize

base

the t r a n s f o r m a t i o n

note

interpretations

with

etc..

is t r e a t e d ,

sheaf-theoretic.

sized,

As

compatibility

: X'

by

D 2 = -i. point, ~ C.

x; f By

g

:

243

The

birational

transformation theorem bundle

with

of T s e n , of r a n k

surjective

E'

= ker(6)

X'.

L

on

X

E~M

C.

Pick

p~(L~

such that

f r o m the obtain

exact

exact

isomorphism

scheme For

of

Let

whose

a vector

bundle

morphism

6

of

We d e n o t e

this

E

with

E

a vector

is e q u i v a l e n t where

to d o i n g

a

z = p(x):

> 0.

X'

0X,(1)

on

= P(E")

be the

section of

G

C.

s to

with

of

OX,(1)

X

divisor

f~

in

0

) L~I

of

x --9

x

> k(x)

L

G =

p,(L)

f~(L)@

---

0(-F)

F = f-l(x).

0(-F))

On the

X.

set

Then

see t h a t of

bundle

a line bundle

t c C.

It is e a s y to

line and

defines

is t h e

ideal

a vector

tautological

for all

exceptional

E"

~ p,f~(f*(L)@

Ix )

~ E~M

-

is s u r j e c t i v e

~ E'

S

C

By t h e

other > 0,

hand, we

sequence

generalize

dimensions.

e l m x.

~ p',(g,~*(0X,(1)))

6'

E"~ M

We c a n and

that

of T s e n

is the

> D,(L~

It is o b v i o u s

elementary

and

transform

M

F

Ix

0

free

x

k(z),

~ k(z)

a rational

sequence

another

to

by

over

point

L l p - l ( t ) --- 0 p l ( 1 )

= p',(Ox,(1))

Ix) , w h e r e

E

Let

The t o t a l

--- g * ( 0 X , ( 1 ) ) , w h e r e E"

the

6

theorem

for a l i n e b u n d l e

Now

denoted

the

X' --- P(E').

2 on

(s) 0 - (s)~.

of

~ E

I.i.

and

is c a l l e d

pl-bundles

Giving 6

> X'

x

is l o c a l l y

By t h e

on

: X

as

C.

~ E'

of r a n k

E"

center

homomorphism

Proof.

of

the

2 on

Proposition

bundle

gf-i

X ~ P(E)

0 Then

map

and h e n c e

the S

above

E

X' ~

operation

on

ideal

IT

S, a s s u m e

to a v e c t o r

situation

and

be a l o c a l l y

defining

by the

> k(z).

bundle

P(E")

to the

case

F

quadrulet

there on

T

(E, T,

and

T

divisor

on

is a s u r j e c t i v e with F,

6).

r(F)

an

e. d.

of h i g h e r

scheme

is a C a r t i e r

we get q.

~ P(E').

noetherian

that

Thus

6' = 6 ~ M .

ranks a subS. homo-

< r(E).

A fact

is

244

(1.2)

Our tive

E'

: ker(6)

situation

is a v e c t o r

can be d i s p l a y e d

in the

following

exact

and

commuta-

diagram:

(l.3)

0

0

F'

> E~TI

~F

~E

~F

T T T

0

P(E)

and

give

T t

a subscheme

0

a geometric

Y = P(F). of

interpretation

Then

Y

P(E).

Blow

up

X

proper

transform

exceptional

of

on

Theorem S

which

bundle

E"

(I)

There

is the

projective

S

closed

is a p r o j e c t i v e ideal

of (2)

D

and

in

Moreover,

Y

bundle

Y'

P(F")

line b u n d l e

is the m o n o i d a l pN-bundle

map

and d e n o t e d proof,

([6]

which

1.4)

pN-bundle

of

f : ~

and

(r(E)

P(E") g

X =

P(E) T ~ X.

let

G

Set

be the

of

= N + i)

associated

: ~

defined

> X' by

P(E")T,

~ f*(Ox(1)) ®Ox(-G)

(for a c o m p l e t e Lemma

subbundle Y;

P(E) T

Set

with

such

g,(ID) where

p'

a vector

that

c g,(O~)

ID

: X'

is the

= 0X, defining

X,

The r a t i o n a l along

a

subscheme

g*(Ox,(1))

g

of

S-morphism

subbundle

is the t a u t o l o g i c a l (3)

exist

an

along

above.

~.

1.4.

on the

f

of the

is a p r o j e c t i v e

D = f - I [ p ( E ) T ] , the divisor

,0

: E(-T)

0

Let us

~0

II

>E'

E(-T)

and

bundle.

X'

see

E

(or,

E",

transformation

satisfying

gf-i by

of

, where

the

is c a l l e d

elmy. [6]

To Chap.

is a local

I,

version

§2),

conditions

a proof

is unique.

transformation of the

let us m e n t i o n

of the

OX,(1))

Y'.

elementary

indicate

(or,

resp.),

along

above

the

OX(1)

theorem.

theorem the

lemma

245

Lemma and

Assume

the d e f i n i n g

Xn+ I . . . .

, XN,

ideal

Moreover,

the

that

of

resp.).

x ~] ), w h e r e

...,

X

1.5.

S = Spec(A),

T

(or,

Then

x I• : x'i

defining

Y)

is g e n e r a t e d

elmy

exists

(0 < i < n)

ideal

Iy,

X = P r o j ( A [ x 0,

and

and

of

Y'

by

...,

t e A

elmy(X)

XN])

(or,

t,

: Proj(A[x~,

x.? = tx!]

(n+l


by

~ j ~ N). !

t, x 0,

...,

t .

n

This

lemma

elementary combine

enable

1.4 w i t h

Proposition the

0X(1))

= 0

Once tially exact

defining

for

one

the

us w i t h

It is a l m o s t X'

by

p

S

: X

1.4,

the

proof

as

Iy.

II

).

in T h e o r e m

Then

E'

~

P(E')

of P r o p o s i t i o n

another

= elmy(X)

of

To

R p,(Iy~

of the

proposition

On the

other

we

i

and

natural

i.I.

1.4,

= p~(Iy~

is the

(1.3)

show

F'

projection.

is e s s e n -

hand,

the

that

is as

t

in

1.8. of

= p-l(t ) = p 2

T,

) E

6'> F

is e q u a l

to the

0X(1)) 6'

by

x~,

P(F')

> 0

sequence

~ P(ker(6)).

elmy(X)

Example a point

that


1.5

where

obvious

OX(1) ® Oy

> OX(1)

exact

~ D,(Iy~

= elmy(X)

(1.7)

Xt

properties

[7] A p p e n d i x

situation

X

in

} Iy~Ox(1)

0

Lemma

local

sequence

provides

in

Y

same

0S-mOdule ,

Theorem

see

the

we n e e d

> 0, w h e r e

as that

explicitly

example,

the

of

free

admits

0

Thus

(1.2)

ideal

i

same

(for

Under

1.6.

is a l o c a l l y

0X(1))

to c o m p u t e

transformations

Theorem

denote

us

In the ....

= Y'.

= P(ker(~))

X'n

> Rloe(Iy®0x(1)) given

situation

of L e m m a

as a s u b s h e a f

Therefore,

surjective

of

1.5

EIT.

= 0

6. the

F'

This

and

we have

-I

and

elmy

what

happens

: elmy,

with

to the

fibre

Y'

= P(F'),

(1.3). To

illustrate

let us p i c k If

r(F)

the

case

= i, then

of

r(E)

= 3.

Yt

is a p o i n t

of

Then of

the

X t.

X

over fibre

LX

is

246

the u n i o n a line the

of

of

line

which

and

FI

p2• of

the

p2

glued

along

By the m o r p h i s m

p2 FI

and we get

g, all

p2

section to the

Yt'

FI

FI

collaps

is the

line

and to

to

!

FI

In this

Yt

g

induces

as before, c ~t

Xt

case

to a s m o o t h

is a line the

point

in

Xt

= p2

contraction

of

p2

while

and h e n c e

of the m i n i m a l p2

c ~Xt

collapses

point.

Xt The

The

of

Xt

= 2.

same

of

fibres

of

"Yt

r(F)

is the

' X t.

as

×t ~t

the

section

contracts.

p2

Assume

the m i n i m a l

second

is the

§2.

Some

In this

~t converse

of the

properties

section

we

X~

first

and vice

of e l e m e n t a r y

shall

show

vasa.

transformations.

several

properties

of e l e m e n t a r y

transformations.

Proposition situation

2.1

(Compatibility

as in T h e o r e m

S

of l o c a l l y

T'

= T ×S S'

1.4,

noetherian

suppose

schemes

is a C a r t i e r

with

base

that

such

that

on

S' •

divisor

changes).

we have the

Under

a morphism

defining

ideal

elmy(X)

Then

h

the

same

: S' -. > IT,

of

XsS '

e l m y S, (Xs')" Proof.

Consider 0

By p u l l i n g

the

> E'

back

the

exact

sequence

OS, Tor I (F, OS,) Our 0~,)

assertion = @

is n o t h i n g

is enough.

6

~ E

but

Thus

to

sequence ~ F

> 0.

S t, we have h*(~)

~ h*(E') h*(E') we may

> h*(E)

~ ker(h*(6))

assume

that

> h*(F) and h e n c e

S

and

S'

~ 0.

0S , Tor I (F, are

affine,

247

S = Speo(A)

and

S' = Spec(B),

module.

By tensoring

the exact

sequence 0

62 )

to

0

~ Tor~(A/tA,

Our assumption Tor~(A/tA, ±

B

implies

I T = tA

t

> B

~ B

is a non-zero

divisor

of

on

are given.

(or, Fi)

(or, E 2

Let

F~

ker(62) , resp.)

=

the following 0

is exact

by

Thus

and

(E 2, T 2, F 2,

be the image of

62

E1 =

(or, 61 , resp.).

Then,

by

0

t

F I'

t

~F l

~G

t

•0

t

E2 ~

E

f

~ F2

t

) E'

F~

t

t

t

0

0

0

and

of this diagram

~ 0

E' = ker(@2)

A geometric

~ ker(~l).

is

Proposition

2.2 (Commutativety

Yi = P(Fi)"

If the proper elmY2

• 0

t

~2 ~

• E1

G = FI/F ~ ~ F2/F ~

of elementary

transform

(or, Y2' resp.)

by

of

(or, elmYl(X)T2 , resp.),

elmY2(X)Tl

B.

and commutative:

0

t

interpretation

~ 0.

a. e. d. (El, TI, F1, 61 )

S

0 T-

.> 0, we have

> B/tB

that two quadruplets

where

is a free

B) = 0.

Snake lemma,

Put

t

Assume

ker(6 I)

F

~ A -~-~A ----~A/tA

B)

that

and that

[YI ]

(or, elmY1 , resp.) then

transformations). (or,

[Y2 ]) of

is a projective elm[Yl]elmY2

YI

subbundle

=

elm[Y2]elmYl" The simplest case of

but trivial

TInT 2 = ~.

Corollary has no common

2.2.1.

application

We have another Assume

irreducible

that

components

of Proposition

simple

(I) and

application.

dim S = 2, (2) (3)

2.2 is the

every point

TI

and x

in

T2 TInT 2

248

is s m o o t h

in

TI

transformations Proof. the

point

Since

over

x

T

S

F!l = F.m

that

TInT 2 ,

Let

F l!

F l!

of the

outside

is a t o r s i o n

is a l o c a l l y• free

that

T

the

idea

case

of

dim

S = i

1.12. S,

line

Let

p

L = 0(I)~

D * ( M Qm)

chooses

system

sally.

Then

xlu...ux r

is a

transform

D!

system

on

p(x i)

D.m

section

of g l o b a l

meets

ample

sections

= zi

to

and of

P'

equivalent D~

in

eoordinates

If one t a k e s

the

our r e q u i r e m e n t ,

of r a n k and

D1

of

+ xr

p

with

and and Xl,

For

by

elmy,

to

D 2'

ID{I

=

of the center

ID~I

P'

and

of

of

subpNxT

the

large

in

[6]

tautologi-

...,

of the

xr

T

on

m.

intersect

When complete

transver-

is s m o o t h

of

p'

D~

: P'

elmy, -I,

and

the

Thus

D½,

S,

mutually

= elmy,(P),

p'

see

line b u n d l e

D2

D{,

a proof

2 on a n o n - s i n g u l a r

D I2n'D ' = ~.

pl-bundle Y

~ S

Moreover,

proof,

is a s e c t i o n

and

Y S.

0(i)

T = z l u . . . u z r. PT'

: P

let us give

is an amnle

members

variety

a smooth

over

for a s u f f i c i e n t l y

general are

M

p

exist

a complete

bundle

is

irreducible.

theorem,

For

If

p0-subbundle of

to be

of the

OT.-module l O T . - m o d u l e at the i G. e. d.

pN-l-subbundle pN-bundle

By

free

and

there

the p r o j e e t i o n

P.

is v e r y

is l i n e a r l y

= pI×s.

(T, Y)

E

as

N = i.

----~ S

a

TInT 2.

transformation

S ~ 3

Then

and

= P

D I ' D 2 = x I + ...

Put

another

S

be a v e c t o r

ILl, they

distinct.

D I'

i in

and

suffieiently

linear

elementary

quasi-projective

dim

topology).

of a p r o o f

E

of

with

can be c h o s e n

: P = P(E)

bundle

field

elmy(pN×s)

~ 2, t h e n

elementary


(in Z a r i s k i

show

curve

S

on the

closed

To

Theorem

P'

fact

of c o d i m e n s i o n such

dim

find

commutativity

c T I n T 2,

results

2.3.

pN-bundle

(c pN×s)

S,

of

of the m a i n

variety

one

and the


be a

cal

the

x, too.

Theorem

the

Then

Supp(G)

(3)

point

One

if

T 2.

holds.

assumption

at e v e r y

and

proper

: P' we can

form

a

~ S~ that

then a.

the e.

Y'

is,

couple d.

249

Let

We

shall

E

be a v e c t o r

bundle that

on

is,

give

S.

a sheaf-theoretic bundle

of r a n k

For a large

the t a u t o l o g i c a l

in the u s u a l

sense.

sections

E(m),

of 0

interpretation r on

integer

line

m,

bundle

For a s u i t a b l e we h a v e

S

and

E(m)

of

an exact

OS(1)

on

(s I,

2.3.

an a m p l e

= F@Os(m)

E(m)

r-ple

of T h e o r e m

P(E)

...,

line

is v e r y

ample,

is v e r y

ample

of g l o b a l

s r)

sequence

~ OSer

~

E(m)

~ F

~ 0.

X ( S l , . . . , s r) The F

proof

of the

is a line

theorem

bundle

is s u f f i c i e n t l y

shows

that

on a s m o o t h

general.

under

divisor

Our

the T

situation

assumption

on

S

if

of T h e o r e m (s I,

can be d i s p l a y e d

...,

in the

2.3

s r) follow-

ing diagram:

0

0

F'

>E(m)[T

Jf (2.4)

er

0 -.

> 0S

• F

> E(m)

E(m)(-T)

>0

= E(m)(-T)

t 0 The

Y

above the

0

in the t h e o r e m diagram

shows

sheaf-theoretic

it is not

if

to

r(E)

projective

variety

el(E)

E

of

that

is

E(m)

but

S

of T h e o r e m

and

with F

E

is v e r y

dim

is a line

bundle

the

second

regarded

on

T

in this

Let

S

be

Corllary

2.6.


= pr-lxs "

~ F ' ~ Os(T)), 2.3.

closed

field

ample

S ~ 3, t h e n

F' ~ O T ( C 2 ( E ) ) , w h e r e as a d i v i s o r

c P(Os ~r)

As

The

which

a special

is case,

see

= 2

T,

P(F')

= ker(Os(T)~r

interpretation

difficult

(2.5)

is n o t h i n g

Chern

on

class

E

the

first

T,

Chern

class

F ~ OT(T2-c2(E))

c2(E)

of

E

and

can be

case.

a non-singular

and

on a n o n - s i n g u l a r

a very

projective ample

vector

threefold bundle

over

of r a n k

250

2 on

S.

defines

If

s • H0(S,

a smooth

complete

linear

morphism

u

ample

L2[

such that

(2)

for a p o i n t Proof.

it is v e r y

divisor

on

deduced

f r o m the

tion

t

ideal

([6]

By u s i n g pl; u

u

E

is free.

(tl, by

the

t 2)

y s

if and which

of

T,

and

s2t I = 0.

Thus

Example of

contains

2.8.

S = p3

u

-i

T

DI

is not

or

and

u

D2

2.6,

we h a v e

if

P(F')

very

2.3

IL~ and

implies

for a

the

a general

is d e f i n e d

u

forms

0S). and

V

fibre

for the

that

ICl(E)l.

of

T

structure.

to

is i r r e d u c i b l e ,

is,

F' ~ 0 T.

is s u r j e c t i v e . of

y

(Sl,

on w h i c h

s 2)

and

u

is g i v e n

is d e f i n e d

by

n > 2 When

slt 2 -

e. d.

corollaries

for all

by the

T •

G.

examples

sec-

of the

The map T

is

Proof

u T

that

Thus

in the

a smooth

latter

(2.5),

neighborhood

that

defines

Since

ample.

is a s p e c i a l Then

a morphism

: yxT,

t i ~ F(V,

with

in

} pl

The

By

> pl.

2 7 implies

member

DI.D 2

T

2.7

nick

= Vn(s) 0.

Corollary

very

E = L I ~ L 2.

observation).

is smooth.

some

L2

that

: T

s = Sl~S 2

(s2(z):t2(z))

Let us give

LI,

member

bundle

in T h e o r e m

an open

si,

= (s)0

and

Corollary

Corollary


(0)

that

= pl×T

only

with

a non-singular

on

T

(2.4),

choose t

respectively

show

above

that

in the

= DI.D2.

the v e c t o r

the

member

so g e n e r a l

morphism

(si) 0 = Di,

diagram

z --+ ( S l ( Z ) : t l ( z ) )

case

shall

: T = P(F') C_ ~ P(0T~2)

For a p o i n t

are

a non-singular

u-l(x)

Then

shows

E = OS~0s(T)

u-l(x)

2.6

which

is a s u r j e c t i v e

(s) 0 = ( S l ) 0 - ( s 2 ) 0 = DI.D2,

(see

surjective

there

as in C o r o l l a r y

To p r o v e

E).

in the

• pl

D i ~ ILi[

with

former.

p 108)

F'

is not

Then

L i)

Ann(E/(s,t)Os)

theorem

for an

assumption

Since

H0(S,

(i)

x

is a s e c t i o n

is a s m o o t h

such that

Consider

and the

there

is a s u r j e o t i v e pl,

2.6.

0p(E)(1))

then

exists

of all we

P(E).

in

there

in

First

be If

there

s i E H 0 (S,

section

S

S.

then

x

ample

(2)

Let

(i)

of C o r o l l a r y

and

on

curve,

P(E),

ICl(E) I

~ pl

2.7.

= H0(p(E),

on

system

line b u n d l e s

is a s m o o t h

case

divisor

: T

Corollary

E)

in the 10p3(n) l

n = 2 or

3

251

it is w e l l - k n o w n a fibre as

that e v e r y n o n - s i n g u l a r

structure

and the f i b r e s

n = 2 or 3.

structure curves)

IOp3(4) j

whose

general

or 4 ( c o m p l e t e

non-singular

are e l l i p t i c

intersections

and

E

fits

in an exact

0

~ Op3(-l)

Cl(E)

E(1) s2

= 0, c2(E)

are g e n e r a t e d in

0 where Q. s

F

is the

(si) 0 in

> 0

p3

we have the exact ~2

> E(1) of type

of two

to see that

sections

variety

variety

X

with

d i m X ~ 2.

a non-singular

irreducible

rank

r-i

on

T

Then,

by

(1.2),

Theorem

of

family

of d i m e n s i o n

L

A nullcorrelation

Q.

divisor

(T, F,

~p3(2)

and h e n c e

3.2

(iii),

in

and

p3

2.4

5.

elliptic bundles

curve. on a n o n - s i n g u l a r projective (T, F,

bundle E

of

r.

is i s o m o r p h i c L

of

F.

of rank

and a line b u n d l e

~)

F

~ : Ox(T)Or

is a v e c t o r

3.5).

it is not

X, a v e c t o r b u n d l e

bundle

is and

Then

a triple

homomorphism

6)

E(1)

D 2 = 0, we see that

is

consider of

quadric

(iii)

Fix a n o n - s i n g u l a r

T

s I,

For a g e n e r a l m e m b e r

curve b e c a u s e

of v e c t o r

We shall

= E(T,F,6)

for a s u i t a b l e

quadrics).

For g e n e r a l m e m b e r s

quartic D

2.3 tells us that e v e r y v e c t o r

E(T,F,6)®

[4]

~ 2.

and a s u r j e c t i v e ker(~)

on

is a n o n - s i n g u l a r

Let us study a s p e c i a l projective

(see

the d e g r e e D

3 (plane

~ 0,

is a s m o o t h

is a curve on a n o n - s i n g u l a r

difficult

of degree

sequence

skew lines

D = (s) 0

Moreover,

w i t h fibre

(2, 0) on a n o n - s i n g u l a r

Since

= i.

aecording

> 0

~ F

by its g l o b a l

Pa(D)

~ E

sections.

generated D

curves

It is easy to see that

line b u n d l e

H 0 ( p 3, E(2)),

p3

surfaces

bundles.

~ ~p3(1)

= i.

is a u n i o n

in

carries

sequence

by t h e i r g l o b a l

H 0 ( p 3, E(1)),

JOp3(n) I

of two n o n - s i n g u l a r

Next we shall m a k e use of n u l l c o r r e l a t i o n bundle

of

are lines or conies

contains

fibres

member

on

to X

if

d i m X = 2 or 3. For a g i v e n t r i p l e

(T, F,

6), the k e r n e l

of

~IT

is a line b u n d l e

252

OT(D')

on

giving

6

sections f

of

T.

Taking the dual of

is equivalent of

T

pr-i

T~I~!

~

of global

such that

(T, D, 6) 2.19).

(-l)nTm-i "i, (Dn) m!n!

instead

of

ch(E(T,D,6))

, where

ch(E)

(T, F, 6).

= r(E(T,D,6))

+

is the Chern character

m,n=l

of

E

and

i : T ----~X

We shall

is the closed

close this

DI,6 I) % E(T2,D2,62)? this problem. given

section

by studying

Unfortunately,

A nice criterion

the problem:

When

we have no complete

for the isomorphism

2.10.

Assume

E(TI,

answer

can, however,

H0(TI , OTI(TI2-DI )) = 0.

61 ) ~ E(T2,D2,62)

if and only if (I)

equivalent

and

in

immersion.

to be

in a good case. Theorem

g

..., s r)

n(si) 0 = @, and to doing a morphism i f*(Opr_l(1)) ~ OT(T2-D'). Putting D =

2.9 ([6] Theorem

+

~=i

(Sl,

such that

T2-D ', we can use the notation Theorem

~ OT(T) ~r, we see that

to doing an r-ple

OT(T2-D ')

to

OT(D')

to

D2

GL(r),

where

(3)

6i

T I = T2,

(Sll . . . . , Slr)

is given by

(2)

Then DI

E(TI,DI,

is linearly

: (s21 , ..., S2r)g

r-ple

(Sil,

..., Sir)

with a of members

HO(Ti , OT.(Di) ).

of

1

Proof.

A geometric

shall present part

proof was given

here a sheaf-theoretic

is obvious.

in [6] Proposition

proof of the theorem.

Let us prove the converse.

2.12.

We

The "if"

First of all, put

E. = I

E(Ti,Di,6 i)

and look at the display

0T.(Ti2-Di),

E' = Ei}:

(1.3)

for

{E = 0x(Ti)~r,

i

0

0

0

~ 0T.(Ti2-D i)

~ 0T.(Ti )®r

~ F.i -----+ 0

0

~ E i --

~ 0x(Ti )er

> F .1

II

0 X@ r

0 X er

T 0

0

>0

F'

253

H0(~2 ) Since

H0(TI, OTI(TI2-DI))

= 0,

H0(X, E 1 ) ~ ~__.H0(~l) H0(X, OX~r) global sections of

Ei

k er --" H0(X, OX ~r) ¢ --" k ~r.

Thus

on

= T2

T = T I = T 2.

E2, put for

and

and

OTI(TI2-D I) --- OT2(T22-D 2)

D = DI~

{E : E, F = OT(T2-D),

0

D2

as line bundles

Now, identifying

E1

and consider the display

with (1.3)

E' = 0x~r}:

> Fi(-T)

> OT(T2-D)

~ ~i T

6i(-T)~ er 0

T I = Supp(OTI(TI2-DI )) --

These show (i) and (2).

E : E1 = E2

is determined by

and hence the left columns of the displays are

isomorphic with each other, in particular Supp(OT2(T22-D2))

~.l

~ H0(X, E2) ---

> 0

II

ni

~0 X

OT(T2-D)

>E

E(-T) - -

E(-T)

0

0

> 0

These displays define the inverses of the elementary transformations the former displays.

The homomorphisms

OX ~r

~E

in the middle row

of the displays are determined by global sections of H0(X, OX~r) ~ H0(X, E). Aut(k~r). ~2~2(-T) @2(-T)

Since

obtained with

pr-lxT

plane of space

H I = n2h

with an

is the natural

= ~2h~l(-T).

and hence

h

because in

(i)

of

E(-T)

~2

:Sr(X) ) • pr-l,.

= to

E,

forces that

Thus our assertion

In the above situation, x

in

P(F)

T, the fibre

Thus we obtain a morphism

(pr-l), ~ pr-l.

k~r c

(3) is

q. e. d.

such that for each pr-i k(x)"

GL(r)

inclusion of

The injectivity

~2 = h@l"

E

g = th.

Remark 2.11. of

~i~i(-T)

= nl~l(-T)

= h~l(-T)

Hence

of

f

of

The morphism is given by

Conversely,

surjective homomorphism of

a morphism

O~(T) ~r

f

of

is a subscheme

P(F) T

is a hyperx to the dual

T ~ x T

to

to a vector bundle

~ (Sl(X):... pr-I F

gives a of rank

r-i

254

on

T.


(2)

The condition

peculiar.

a Veronese

al projection

pN

is given,

f*(Opr_l(1)). (3)

When

m

field

to an

E(T,D,6)

(s I,

with

([6] Theorem E(T,D,~)

E(T,D,6)

3.4).

r = 2

= 0.

over an alge= HOm0x(E,

0T(T2-D)) of

0T(D)) H0(T,

= 0

H0(T,

bundle,

and

=

where

and 0T(D)), r-r'

generated

by

0T(T2-D))

=

is simple.

E(T,D,6)

2.12.

2, we have a good criterion 3.10).

As a special

is simple

if

H0(T,

Let us study the family

(see Definition

in

In this case, A.I).

for the simple-

case of the crite-

0T(T2-2D))

= 0

and

§3) of rank

2 on

the stability As was shown

p3

of stable vector bundles with

coincides

Cl(E)

= 0

and

with the simpleness

c2(E) ([7]

in [3] p 268, we have the following

sequence; 0

where

0Q(-I,

quadric

Q

~ 0p3 2)

in

~2

~ E(1)

~ 0Q(-I,

is the line bundle p3.

This means

by an elementary

transformation

Since the kernel

of

f-I

H0(T,

to

= 2.

Example

Proposition

If

H0(T,

T

OT(T2-mD))

End0x(E)

vector

of

of

0T(D)

X

if

with a gener-

f

of elements

a simple

subspace

([6] Theorem

we know that

If

..., s r)

E

of the vector

In the case of rank

r(E(T,D,~))

exact

r-ple

H0(T,

variety

of constants).

to itself

m-forms

morphism

large,

on a complete

2.10 is not so

pr-i

~ 0T(mD) , where

is sufficiently

k

= 0x~r'@E

..., s r}

= 2.

~ pN

If a non-trivial

(fmf)*(0pr_l(1))

of

m by

is said to be simple

(4)

E

pr-i

f

closed

0, then every

rion,

> pr-l.

(= multiplication

ness of

morphism

then

is the dimension {Sl,

in Theorem

E

corresponds then

= @

A vector bundle

braically E) = k

0T(T2-D))

~ 0T(D).

In fact, we get a finite morphism

by composing

pr-i

H0(T,

f*(0pr_l(1))

is as follows:

E(1)IQ

of type

that f

0p3 ~2

2) (-i,

> 0, 2)

is obtained

along a section

~ 00(-i , 2)

is

on a non-singular

00(3,

of

from

P(E)Q

E(1) over

0), the display

Q. of

255

0

0

t 0

t

> 0Q(-I,

-

2)

t --

we can apply Theorem

three

lines

coordinates OQ(3,

GL(2)

of

0),8)

is simple

(Remark

classes

= 0

pencil

L

in

Theorem

9.7).

H-Q

and

2.11,

Assume

0),8),

Yl~ i

Y22

= 6.

of lines on

such that Q

of the theorem

every vector

bundle

vector bundles

= 2

is in bijective

of a non-singular

= 0Q(3,

x

in

is pl

and

is just changing

of the form stable. E

E(Q,

Thus the

of rank

2 on

correspondence

quadric

0),

to

g-l(x)

for all

of stable

c2(E)

p3

conic

which in

H

is transversal and

of proposition

(4) tells H

Q

with

and a linear

~I

and 0

of the elementary is a section

~2

on

and

is simple

of


Then

such that

C = H'0 ~I

plx~.l

f : pIxp3 > ~'l

elm[Y2]elmYl

with

C = with

= E(C,D, and hence is the

belongs

does to the second.

transformation Y.l

0) ® O H = 0c(D)

E(C,D,61H) Q.

Indeed,

Q, then

0),6)IH

to Q

~2

00(3,

to

2.1, E(Q,O0(3,

us that

is tangent

first family of lines on Y

pl

OT(D)

is equivalent

(3)) and hence

in

that

union of two lines

center

to

6

Since the

9.10 and 9.11 from our frame of reference.

By virtue

Remark

stable.

and

Giving

0

6.

I0 1(3) I ~ p3 without base points (see [3] P The above observation provides us with an explanation

is a non-singular

deg D = 3.

~ 0

0) I ~

is a hyperplane

61H).

of

T = 0

2.11,

(Q, L)

10Q(3,

of [3] Propositions H

for

in the conclusion Moreover,

the set of couples

if

holds

g

pl.

with Cl(E)

with a suitable

2.10 to our case.

morphism

set of isomorphism p3

= 0

in the first family

the action of

2)

0

OT(T2-D))

doing a surjective

> 0

@2

@2

E(1) ~ E(Q,00(3 , 0),8) H0(T,

0Q(5,

~ 0 3(2) Q2 -

0

condition

2)

II

t

E(1)

f

Therefore,

OQ(5,

~00(2 , 2) @2

to the

For the > P(E(Q,0Q(3,

YI 2 = 0

= elmYc , where

and [Y2 ]

256

is

the proper transform

0H(2)~2

61

to zero by = 5.

0~i(2) 61.

of

Y2

by

and the first

Thus

elmYl, direct

elmYl

summand

ker(6 I) = 0H(2)~OH(1).

Then the situation

of

elm[Y2]

is defined

of Since

is displayed

0

0H(2)Q2

by is sent

YInY2

~ ~, [Y2 ]2

as follows:

0

t 0 .

} O~

(-i)

9

(2)~0

°~2

t 2 0 -

~ E'

T

0

0

E(-2))

= 0.

Since

0),6)IH. Cl(E')

To see [3] Proposition for all the lines Lemma

2.13.

E'IT

= 2, then isomorphism P(F)

in

~

of

0~2(4)

is

to

p3

T

E'(-I))

-----~ 0

and

(E, T, F, 6)

0),6)i~

general

lemma

in (1.2),

if

E' = ker(6),

Np(F)/P(E )

H0(H~

but not stable.

E(Q,OQ(3,

we need the following

and

= k

~-semi-stable

9.11 which determines

By the geometric

y

r(E)

is the

is the normal

meaning

of the elementary

P(E') T ~ P(y,(N~(F)/P(E))).

bundle

of

is a Cartier

is the defining

divisor,

ideal of

T

~ E'IT

transformation

Tensoring

(1.3), we have the exact

0S ~ TOrl (F, 0 T)

0.

I

= 2, E'

H0(H,

= y , ( N pv ( F ) / P ( E ) ) ~ F, where

row of the display

T

Thus

For a quadruplet

it is clear that

Since

> 0

P(E).

Proof.

middle

in

P(F)

(4)

112

OH(1)~0 H

T E' = E(Q,OQ(3,

O~

> OH(2)~OH(1)

OH(1)@0 H

where

i)

t ~2(

~ F'

0T

to the

sequence ~ 0.

0S v Tor I (F, 0 T) T F ® I / I 2 = F ~ N T / s , in

S.


where F'

V

y,(Np(F)/P(E)T)® canonical

F

and the above

one of conormal

bundles

exact

sequence

corresponding

is obtained

to the inclusions

c p(E)T c P(E). Now let us go back to

from the P(F)

q. e. d. E : E(Q,OQ(3,

0),~)(-i).

Let

~i

(or,

~2 )

257

be an line on

0

which belongs

family of lines on ~i

and

0.

12' then

minimal

section

is tangent

to

If

H

Z A

Zl

y = YInY2

Z

[Y2 ]2 : 5

)[~i

Thus we obtain and

~22 = i,

is equivalent

p3

spanned by

be as before.

meets

[Y2 ]

Then the

if and only if

A = y×H c pI×H.

This occurs

in the double or triple

100(3 , 0)J

(elm[Y2]elmYl(plxH)

or not.

which

in

Yi

in

resp.)

Y2

(as we can see easily by applying

where

is contained

of the linear pencil hand,

Let

of elmYl(Pl×H) l~ I at

(or, the second,

is the hyperplane

H.Q = Zl + ~2"

Lemma 1.5 to our situation), and only if

to the first

=

F2

(b) and

which defines or

FI

line of a member

6.

according

On the other as

[Y2 ]

(d) of [3] Proposition

(elm[Y2]elmYl(plxH))I~ 2 = F 4

to (a) of the proposition.

if

meets

9.11.

Since

by Lemma 2.13

The proof of the other

cases is similar to the above and much easier.

~J y

/ ~ ~

Y~

|

Yo is tangent L to A

~

.

/ I Z ""

[Yo ]

I

\

Z2

§3.

Construction

Theorem of dimension

2.3 shows that on a non-singular s 3 every vector bundle

by using elementary can be constructed technique.

of stable bundles.

transformations.

quasi-projective

can be constructed, Furthermore,

on every n o n - s i n g u l a r

projective

variety

in principle,

many vector bundles variety through this

To show the fact let us recall the notion of stable vector

bundles. Definition. jective variety

Let X

(X, OX(1))

be a couple of a non-singular

over an algebraically

closed field

k

Dro-

and an ample

258

invertible d(F,

sheaf

OX(1))

respect B(F)

OX(1).

= d(F,

~(F)

Theorem

For

Let

(X,

every

divisor

is a

~-stable

holds

for

r = 2, too.

give

there

T

By v i r t u e of the

for an

® Ox(D) I.

x

in

We may

pl,

assume let

with

following

three

(b)

r(G)

is a b o u n d e d G ~ 0 T) (3.1.1) ~ no,

family I G e B 0} There

F T = F®0 T

properties; n H = 0

= i

(i)

for all

linear

a

el(F)

X, of

zero,

of

E

F

with

we put is said

with

T1

i s r(F)

and

A

d(G,

is b o u n d e d , exists

e B.

(X,

case

and

too.

OT(-nA) is a line

of

dim X = 3,

and For are

a non-singular

that for a

such

T2

in on

coherent (a)

=

fOx(m) T.

sheaf G

OX(1))/2.

[8] and h e n c e

that

A = u-l(x)

curve

(c)]:

s d(T,

with

Ox(m) ® O x ( D )

such

(b),

0X(1))

1.2.1

if

with

in [9] A p p e n d i x .

is a q u o t i e n t (a),

s

of dim X = 3

we o b t a i n

fOx(m) I

r,

0X(1))

Moreover,

and

~ pl

an i n t e g e r

contains

on

is a n o n - s i n g u l a r

I G

by C o r o l l a r y

E

and a s s u m e

integers

l O x ( 2 m ) @ Ox(D) I

: T

properties (c)

2.7,

as follows.

definition

and

found

Ox(m)

in

B 0 = {G

is stated

X

in the

system

u

that

FT/OT(-nA) H

m, both

morphism

F = OX O2,

free,

on

(X, OX(1))

F

~ s.

can be

of C o r o l l a r y

complete

Setting the

on

bundle

theorem

cases

integer

is a s u r j e e t i v e

TI-T 2

of the

of the o t h e r

large

on

d(c2(E) , OX(1))

a proof

A proof

member

E

F

is not

bundles

D

vector

above

ample.

F

be as in the

class

and

a sufficiently

n

0X(1))

= D

very

class

subsheaf

of v e c t o r

el(E)

r = 2.

of

bundle

coherent

= r,

Let us

Cheren

r(F)

A vector

on e x i s t e n c e

r ~ dim X, t h e r e

the

first

sheaf

< ~(E).

3.1.

dim X ~ 2.

For a c o h e r e n t

the r a n k

if for e v e r y

Our t h e o r e m

r(E)

When

X. of the

OX(1))/r(F).

~-stable

< r(E),

on

is the d e g r e e

to

to be

0X(1)

of

F

is t o r s i o n Then

B0

B : {ker(F®O

T

We c l a i m nO

such

that

for all

as a s u b s h e a f

with

bundle

and

on

T

the (ii)

integers following OT(-nA)

259

Proof of (3.1.1). is a bounded where

H

FT/H.

Henee,

B,

Thus

FT/H

B

for all

H • B.

OT(-nA)

and hence

other hand,

which

Similarly, is bounded, sheaf all

E

formula,

FT(nA))

is reduced, component + dim Z

FT .

of

Z

and

(3)

E 0Z

is a vector

~ T

+ dim Z

z e Z(k), q : TxZ

z

of

of

(2),

of

Z.

FT/H.

with

a H ~ 0. ~ u,(H)®

for all

= 2n+2.

Z

H • B.

Since

Z

with then

and for

E®k(z)

T H

dim H0(T,

(i)

on each connected (E

k(z))(nA))

= H0(T'

P = p(H0(T,

g

Then

FT(nA)) ~ k

FT(nA)~) ,

By (3) above, of

is

(E®k(z))(nA)),

are the projections.

for the projection

FT

By shrinking

> dim H0(T,

p xk Z = p(~V).

B

sub-

we may assume that

~ H0(T,

For

{ H

This

~ = q,(E~p*(OT(nA)))

~k(z)

T.

On the

and a coherent

~ = q,(F'® p*(OT(nA))) of

0

H • B.

is constant

> Z

free

is flat over

FT(nA))

H

= I, I

sheaf.

s n+l

Z

for all

By (i) and

component

Therefore,

is

OT(-nA)

r(1)

or

is large enough,

dim H0(T,

is a closed subscheme

> dim P(~V).

n

E~k(z))

and

subbundle

on each connected

p(~V)

F'/E

k-valued point

z • Z.

>

sheaf on

~ u,(H®u*(Opl(n)))

k-scheme

such that

dim H0(T,

for all

p : T×Z

= 0 l(aH) P

: dim H0(p I, Opl(n)e2)

Now if

locally free and for all where

u,(H)

it into a union of subschemes,

(2)

FT

JcI(FT/H) j ~ ~, d(H,

dim H0(T, H @ 0 T ( n A ) )

> dim H0(T, H(nA))

and breaking

~ 0~ then

H • B, since

u , ( H ~ OT(nA))

H • B, we can find a

® OT(nA)) Z

For every

implies that

of

is an invertible

is a subsheaf of the torsion

F' = F T @ k O z

as subsheaves

H

is a non-zero torsion

there exist an algebraic

of

by

B = {H ] H ~ B}

if I : HnOT(-nA)

OT(-nA)/I

dim H0(T,

FT/H

B, we may assume that for every member

This implies that

By the projection Opl(n)

1.2.1 again,

J H • B}

is bounded below,

it is enough for (ii) to show (iii)

OT(-nA)/I

~ 0.

{d(H, OT(1))

J H ~ B}

free and then

In fact,

is a contradiction. OT(1))

by

is torsion

After this replacement

is bounded,

image of the torsion part of

by [8] Corollary

Replacing

B

{d(H, OT(1))

is the inverse

bounded. of

set.

Since

P XkZ

dim P

) P, the

T

260

closure Then, in

P0

for a

H0(T,

hand,

of

g(p(~V))

k-valued

FT(nA))

point

P y

section

(tl)0n(t2)0

= ~, that

Therefore,

in

0T(-nA)

t

meets

of

FT(nA)) ,

= T

a

~-stable

in

and

if

t

0X(1))

that

is g r e a t e r

n

0T(-nA)

a s

are enjoyed.

2.9,

P.

section

ty

On the o t h e r

0T(nA)) ~2 ~ H0(T, of

0T(-nA)

×t ~ FT

general

section

by the m u l t i p l i c a t i o n

G

of

enough.

in

d(M(-T),

OX(1)) 0X(1))

so that the p r o p e r t i e s

and

c2(E)

0X(1))/2. M(-T)),

> 3d(T,

fact that

M(-T)

0X(1))

M'n0T(-nA)

~ : E F

= 0

if

~ 0(-nA)(T), is s e m i - s t a b l e

M(-T)

(i) and

d(M,

~ s'

(ii) of

(3.

~ F0(T)). by

L

r(E)

of

E

with

0X(1))/2

and set OX(1))

> d(L,

(F(T)/L)/G

: d(T,

d(L,

- 3d(T,

FT

is c o n t a i n e d

in

that

is,

L c ker(~)

~ F.

OX(1))

0X(1))

+

M'

= d(T, = k e r ( F T -->

0T(-nA)

in

=

0X(1))

0X(1))/2

e B0, then for

d(L,

such

~ s'.

of the c hoice of

imply that

n

d(c2(E) , OX(1))

d(T,

F(T)/L

0X(1))

and

First of all,

and we have that

< d(2T,

because

L(-T)~ 0T

inequality of

= D

E = ker(F(T)

subsheaf

~ B0, t h e n

OX(1))/2

On the o t h e r hand,

Since the image of zero by

if

and

= nA, w h e n c e

part

E(-m)

d(0T(nA) , 0X(1))

propertis.

pick a coherent

s'

Fix an i n t e g e r

FT

has the r e q u i r e d

such that

c~(E(-m))

in (3.1.1)

F 0 = FT/0T(-nA)

X

integer

nO

be the t o r s i o n

- d(M,

and

We are g o i n g to

2 on

for a g i v e n

is large

= T

On the one hand,

of r a n k

s'

stability,

Let

E

because

than

E

el(E)

of the theorem.

~ s'

W h a t we have to show is the

0X(1)).

0.

FT

bundles

Set

show that

To p r ove the

d(F(T),

into

vector

if

is c o n t a i n e d

We shall

M.

H(nA)).

is a s u f f i c i e n t l y

embedded

d(c2(E) , 0X(1))

d(c2(E),

= i.

u H0(T, HoB

is, the c o k e r n e l

vector bundle

is one of the r e q u i r e d

Theorem

of

our r e q u i r e m e n t .

construct

I.i)

subset

P - P0' a c o r r e s p o n d i n g

N o w let us go b a c k to the p r o o f

Cl(E)

closed

t = (t I, t 2) e H0(T,

is a line bundle. H0(T,

is a p r o p e r

is not c o n t a i n e d

for a g e n e r a l

FT(nA)) ,

in

> FT •

M',

L

goes to

This and the

s d(F,

OX(1))/2

q. e. d.

=

261

By a s i m i l a r m e t h o d Theorem tive {E

surface,

I E

= D

([i0] A p p e n d i x ) .

D

a divisor

F(D,

Let

equivalence)

c)

§4. k

P = Pk2

For a line

: 0

W h e n the c h a r a c t e r i s t i c

1

and

and ~

c

c2(E)

be a n o n - s i n g u l a r an integer.

Put

of r a n k

X

= c

2 on

(algebraic

of

fits

c2(E)

k

projecF(D,

with

c) = el(E)

equivalence)}.

E

• U

negative

•

f ield and

a vector bundle

of

Elk ~ O~ O2. the p r o p e r t y

by the t h e o r e m

exact

(4.1.2)

is e q u i v a -

of G r a u e r t - M [ l i c h .

sequence; ; E(-I)

~ O p ( m i) finite

integers,

E

= n.

is zero, of

lines.

properties:

P,

in the f o l l o w i n g

0

of j u m p i n g

closed

in

~-semi-stability

(4.2)

and

w i t h the f o l l o w i n g

(4.1.2)

lent to the

X

vector bundle

be an a l g e b r a i c a l l y

Cl(E)

m.

X

of the curve

(4.1.1)

E(-I)

Let

is not bounded.

Singularities

2 on

with

on

is an i n d e c o m p o s a b l e

(rational

Then

rank

3.2

we have

Let us c o n s i d e r

> 0

the d i a g r a m

q F

• P*

P where which

P*

defines

2) i m p l i e s hand, : 0.

is the dual

For every

Rlq,p*(U)

is a t o r s i o n

free b e c a u s e

line

~

in

so is

P,

an exact

free on

sequence;

P~.

F

is the flag m a n i f o l d

between sheaf on

p*(E(-l)).

H0(~,

f r o m this that b o t h

are l o c a l l y

and

correspondence

q,p*(E(-l))

it is t o r s i o n

It is d e d u c e d

obtain

the i n c i d e n c e

that

P = Pk2

space of

P

and

P*.

P*.

On the other

Thus

q,p*(E(-l))

UI~ ) : H0(~, O O p ( m i ) l ~ )

i M = R q,p~'(~Op(mi)) Putting

L(E)

(4.1.

and

: 0.

N =

= Rlq,p*(E(-l)),

we

262

0 By

(4.1.2)

r(M).

again,

We can, r

H 0 ( p *,

{~

• N

> M

L(E)

~ L(E)

is a t o r s i o n

therefore,

r

AM®

1

define

> 0 sheaf

det(1)

on

P*

and

whence

r : r(N)

it is c o n t a i n e d

:

in

v

(AN)

).

We see

(4.3.1)

det(1)

(4.3.2)

(det(1)) 0 : S u p p ( L ( E ) )

is i n d e p e n d e n t

of the

choice

: {~ e P*

of

(4.2),

I HI(~,

E(-I)I~)

~ 0}

:

~ P~ l Elk ~ 0~®2}.

Thus

the

following

definition

Definition.

The

of j u m p i n g

lines

curve

The

following

Proposition (i)

deg

(2)

S(E)

bundle

depends = P ×k S

s e S(k),

~s

= ~ ®k(s)

is a r e l a t i v e s e S(k),

O~(-a)

mult~(S(E))

examples

show,

one hand, of

P(E)~ hood works

on

locally

the

by

E, that

S(~)

on

P*

if

such

(4.1.1)

the

is a v e c t o r

that

and

XkS

~

for all

(4.1.2), such

that

then for

). S

Then, W. of

however,

definition

of

S(E),

Barth

proved

in

S(E)

at

~

is not

less

inequality

can be

strict

the to

by the

suspect

that

[i] T h e o r e m

the

El~

section

than

of the

determine

mult~(S(E)).

On the o t h e r

can be d e v e l o p e d

by e l e m e n t a r y

transformation.

= O~(a)~

2 that

(see

Several

[2]).

On the

neighborhood

ruled

hand,

the m u l t i -

a.

infinitesimal

of the m i n i m a l

quite

is,

noetherian

precisely,

must

is c a l l e d

det(1)

S(E).

properties

divisor

: S([

it is n a t u r a l

~, m o r e

S

has

> 0.

plicity

by

2).

algebraically with

S(~)

a

defined

Barth.

Theorem

Cartier

~ ~ S(E). with

P*

and d e n o t e d

to W.

S

Let

to be a d e q u a t e .

= n.

PS

all

in

E

([i]

on

there

of

is due

4.4

S(E)

curve

seems

surface

the

neighbor-

Indeed,

this

idea

well.

Let us d e f i n e

a sequence

of p o s i t i v e

integers

relating

to the

infi-

263

nitesimal

neighborhood

that

EI~ ~ O ~ ( a 0 ) ~ O ~ ( - a 0)

is,

O~(-a0)).

E1

s e c t i o n of

P(E)~.

a I + a I' = -i the e l e m e n t a r y

an

El+ 1

(a0,

and

Continuing

Definition.

and M(E,

~) = (a0,

is

Our r e s u l t

on

mult~(S(E))

Theorem Suppose

4.5.

that

teristic

of

E

(2)

mult~(S(E))

Instead

~)

=

of g i v i n g

of it t h r o u g h

results

before proving

is a v e c t o r b u n d l e

Let

(4.1.1)

IM(E,

and

sequence

E2

to be

of

P(E)~

until we r e a c h

;

such

ai+ I + a'i+l : -i-l, of p o s i t i v e

IM(E,

~)I

integers = Fj+2a j

= Eaj.

The

(4.1.2)

2 on

2 Pk"

and the c h a r a c -

is finite.

~) I"

a proof examples

of the t h e orem, because

we shall e x p l a i n

we have to p r e p a r e

the

many t e c h n i c a l

it.

of d e g r e e

n

on

of

Mn, put

C.

Cl(E)

= 0

(4.6.2)

if

~ 3,

and E

c2(E)

conic

in

For a s u r j e c t i v e

E = E(C,Mn,6)(-I).

(4.6.1)

in this case.

of rank

and its l e n g t h

a line b u n d l e

is stable

section

with

~ c S(E).


n

along the m i n i m a l

as follows.

C

to

>

t s i+l.

and

Let

0p ~2

4.6.

with

is stated

is a d e c r e a s i n g

meaning

Example

E

is zero.

M(E,

ker(E

i.

Let

(I)

be

a 0 = a,

P(E)~ ~ F2a 0, P(Ej)~

..., a i)

has the p r o p e r t y

k

with

a seGuence

P(Ei+I) ~ ~ F t

~)

E1

E1

this p r o c e s s

this m e a n s

M(E,

of

a l o n g the m i n i m a l

ai+ 1 _< O, we o b t a i n

(0 < j ~ i, aj > 0)

Let

Set

a I > 0, we shall d e f i n e

E1

Geometrically

P(E)~.

Ell ~ = O ~ ( a l ) ~ O ~ ( a ~)

Ei+ll ~ : O ~ ( a i + l ) ~ O ~ ( a ~ + l )

..., ai).

l e n g t h of

of

O~(a{)).

that

transform

If

of

a 0 > o.

Cl(E I) = -i,

a I _> a{.

transform ~

ai+ 1 _> a'i+l

Since

section

with

is the e l e m e n t a r y

and

E 2 = ker(E I

of the m i n i m a l

= n - 1

is simple

P = Pk2

and

homomorphism

Mn 6

Then (Theorem

(Remark

2.11,

2.9), (4)) and then

it

264

defines

a section

elmD(P~).

Let

GO

the

C

~

~

D = P(M n)

be a line

in

P,

of

Ppi

c P(Oc O2)

: pIxc

£nC = {Zl,

z2}

and

P(E)

and

Yi = DnP~.. i

denotes

Let us define

section

yxp

inductively

to be the proper

transform

Yi

to be

of

Gi

~P

which passes

Gi.Pz,

by

Hi

elmy.

through

to be

and

Gi-P

Xi+ I

,

Yl" Gi+ I

to be

i

elmy

(X i) i section of

of

D

(X 0 = P~).

Then

(Xi) ~ ~ F i.

(or,

Yi' resp)

X i ~ P(Op(i)~Dp)

If by

[Di+ I]

Y. is the m i n i m a l l [Yi ]) is the p r o p e r transforn

(or,

elmy....elmY0

and

(or,

elm[D.] , resp.),

i

we have

elmr-~Di+l]elmy''''elmY01

2.2.1.

Set

(I) with

M(E,

b I > 0, b 2 ~ 0

Since

as

and

b2 = 0

> 0, and then integer

Then

at the m i n i m a l = ( X 1 ) z i n [ D l ]. + A'

P CI

in

in

Assume M(E,

section

is

i.

Lemma

, ,}(XI) ~ ~ F 3 Yl,Y2

are p o s i t i v e

or not.

a I = i, then a similar

or

FI

observation

~ (elm[D2](X2))£

% F4, F 2

bI ~ 3

and

b I = b 2 = 2.

a2 = i

if and only M(E,

£) = (i, i,

or

b I ~ b 2 ~ 3. ...,

i)

and

4.5,

al, we have

F0

as both

that

of

b2

every to look y~

(elm[Dl]

b~

if

and

b~

b I ~ b 2 ~ 2.

as

b I ~ b 2 ~ 3,

By the d e f i n i t i o n

and the length

if

(elm[Yl]elm[Y0](

aeeording

Continuing

F2

Put

Since

if and only

shows

or

HI.[D I] = blY I ' ' + b2Y 2' '

Yi' ~ A'

aecording

aI = i

P(E)))~

that

if and only

To compute

i PC

b I ~ b 2.

~ F0

By T h e o r e m

1.5, we see that

Therefore~

if

P(E)~

~ e S(E)

a 0 = i.

b!l = m a x ( b i - i ' 0)

or

2.1,

that

in

(elm[Y0](P(E))) ~ ~ (elm[Dl](Xl)) £.

(XI)) ~ ~ elm{

b2 = 2

= blY I + b2Y 2 + A

We may assume

Thus

that

~)

of

By u s i n g with

H0"D

by P r o p o s i t i o n

b 2 > 0.

by C o r o l l a r y

).

YI' Y2 ~ A.

or

a 0 = i.

appearing

...

z I ~ z 2.

P(E)£ ~ e l m { y l , Y 2 } ( p ~ )

according

If

= elm[Yi]'''elm[Y0]elmD

~) = (a0, al,

The case of

then

i

of

M(E,

this process, M(E,

£)

~),

we see

is equal to

b2• (II) bI > 0

and

The case of Yl ~ A.

z I = z 2. Similarly

Then

H0-D

= blY I + A

to the above we see that

in

PCi

with

e S(E)

if

265

and o n l y

if

b I ~ 2.

of

h)

is equal

M(E, Let

Define x0n

(x0,

(i,

0)

at

z i.

x In on

the

in

Example bundle

• O~(l-nl).

0~(l-n 2 )

(4.6.1),

S(E)

if

2n 2

i.

divisor

D'

section

and

Cl(E) P(N 2)

is

line

the

to the

points

above

Thus

by

sections i)

and

is t a n g e n t

M(E,

spanned

C = pl

(0,

for

Since

of

global

line w h i c h

In/2].

the

be a line h.

P = Pk2

in

For a s u r j e c t i v e

n2 ~ nI > i > N 2.

= 0

or

Set

on

P(EI) ~

fibres

h = ~i'

h i) : (i,

to

C

H0"D ...,

deg

S(E)

= n - I

z0

and

zI

and

if

N l.

i)

is

be a line

homomorphism

By L e m m a

2.13,

61

= E.

Then

of

Eli ~ ~ O~(n I)

n 2 > n I = i, we have

k e r ( 6 2)

a

Elh ~ O h ( n 2 - 1 ) ~

M(E, method

M(E,

~).

every

that

H0(p,

D ~ P(N 2)

= 0

if

and h e n c e of

M(E,

above,

of

member

self-intersection D

of

E

and

D'

EI(-I))

= 0

and h e n c e

This

is stable

by

number

lOp(El)(1) I

D '2 = I

n 2 ~ 2.

is a u n i o n

means

we

(when

nI

of a

if

n2

Moreover,

can p r o d u c e

I = 0, we examples

a

D ~ P(EI) ~

that

(4.7.1).

cuts

h)

£) = (n2-1 , nl-l) to the

= n I + n 2 - i.

is a d i v i s o r

such that

definition

(4.7.2) BV a s i m i l a r

E)

e2(E)

hand,

(note

Thus

H0(p,

and

c P(EI) ~ other

see by the

of

be the

= DnP~.. i

h i)

h

On the

n I ~ i).

types

length

and

section

we

and the

coordinates

be the

E 1 = k e r ( 6 I) ® O p ( 1 ) . if

i)

is even.

on

62 : E 1

The

2, then

ni

put

(4.7.1)

if

Yi

and

n

~. l

zI

notation

4.4

Thus

surjective

similar

Let

...,

by t a k i n g

and

and

M(E,

4.7.

NI,

z0

~ A, w h e r e

of d e g r e e to

Let

~ Hn

of the

by P r o p o s i t i o n

= (i,

of h o m o g e n e o u s

0C ~2

M n.

Yi

length

contained

of

in the

h)

[bl/2].

C, r e s p e c t i v e l y

with

M(E,

be a s y s t e m

of

Then,

ny i + A

Op ®2

to

a homomorphism

and

and

x I)

Moreover,

omit

it).

of v a r i o u s

266

References [I]

W. Barth,

Some properties Math.

[2]

Ann.,

R. Hartshorne, 238,

[4]

226,

1977,

S.L.

Math.,

Kleiman,

42, 1977,

[5]

S. Langton,

Geometry

M. Maruyama,

36, 1969,

Valuative

[8]

M. Maruyama,

criteria

Algebraic

[9]

M. Maruyama,

M. Maruyama,

for families Ann.

Geometry

to

Publ. Math.

I.H.

of vector bundles

of Math.,

i01, 1975,

vector bundles,

and Commutative

Kinokuniya,

Tokyo,

on

88-110.

Number

Algebra,

1973,

on an algebraic

16, 1976,

Moduli of stable

in

95-146.

surface,

Nagoya

On boundedness

M. S. Narasimhan

free sheaves,

J.

627-637.

sheaves,

II, J. Math.

Kyoto Univ.,

567-614. of families

to appear in J. Math. [Ii]

cycles,

of a family of torsion

Kyoto Univ.,

18, 1978, [I0]

Ann.,

J., 58, 1975,25-68.

Openness

Math.

p3, Math.

281-298.

Stable vector bundles

Math.

plane,

and applications

and smoothing

honor of Y. Akizuki, M. Maruyama,

of rank 2 on

On a family of algebraic

Theory,

[7]

on the projective

on Grassmannians

algebraic varieties, [6]

pn,

229-280.

splitting bundles E.S.,

on

63-91.

Stable vector bundles 1978,

vector bundles

125-150.

W. Barth, Moduli of vector bundles Invent.

[3]

of stable rank-2

and S. Raman~n,

of vector bundles

of torsion

free sheaves,

Kvoto Univ.. Deformations

on curves,

Ann.

of the moduli

of Math.,

space

i01, 1975,

391-417. [12]

M. S. Narasimhan

and S. Ramanan,

Geometries

C. P. Ramanujam

- A Tribute,

New York,

291-345.

1978,

of Hecke cycles - I,

Springer,

Berlin-Heidelberg-

Department

of Mathematics

Faculty of Science Kyoto University Kyoto Japan

606

D~formations

semiuniverselles

et germes d'espaces a n a l y t i q u e s

~-~quivariantes

F. Puerta Sales O. Dans mation

(10) et (11) H. Pinkham d~montre semiuniverselle

C~- ~quivariante

suit) dans le cas formel. montrer des resultats

analogues

par Donin

cas analy-

(2) et Grauert

(7)

la m~thode de Schl esinger et

tandis que le premier

th&orie de Douady des espaces analytiques la m~thode de Donin a fin de r~soudre En outre on utilise

dans ce qui

(11) l'int~rSt de d~-

dans le cas analytique.Le

(6)) Ce dernier utilise

un th~oreme d'approximation,

d'une d~for-

(~quivariante,

Ii suggere dans

tique sans ~ action a d~ja ~t~ r~solu (voir aussi

l'existence

emploie la

de Banach.

Nous suivons

le cas analytique

le th~oreme de preparation

~quivariant.

de Weierstrass

la version de H. Hironaka pour d6montrer une proposition

dans

qui est

essentielle.

1. Generalit~s

sur les C actions

1.1 Une C action dans C n e s t plicatif

~

une operation

= C -{O}dans C n. On d~montre

convenable de coordon~es,

elle est de la forme

( I , x) : ( ~ , (Xl,...,Xn))--~ ou ql'

continue du groupe m u l t i -

(1) que, dans un systeme

"'''qn sont des entiers

l.x = (lqlxl ..... ~

qn

x n)

que l'on appelle poids de la C action.

Dans ce qui suit nous supposerons

fix6e une C~ action darts C n de

poids ql,...,q n. 1.2 Toute C * action induit dans l'alg~bre quotients

~n/I

d'alg~bre topologiquement celle de module

~n'

ainsi que dans les

par id4aux stables par l'action, gradu6e.

topologiquement

Cette

une structure

structure

gradu6'jouent

et, en general

un role important dans

268

tout ce qui suit. des graduations 6nonce

les principales

1.3 Par dualit6 de

On peut consulter

topologiques.

propre

senes de desr6 k 0 n peut

ik

On. On note

sous l'action

les 616ments

s'6crire

du leoteur,

on

propiet6s.

C ~ op~re dans

O n de valeur

(5) pour une 6tude d6taill6e

Pour la commodit6

de manlere ""

On(k) le sous-espace

propre

~ .On appelle q-homo(k] . Alors tout f de non nuls de O n

unique

f =~

de

comme

fk k

ok fk 6 vn~(k) et la s6rie est convergente gie s6quentielle

ou analytique

sante q-homosene

de f • On notera ~

d6finie munit

par On

dans

(7).0n dit que fkest la projection

K

structure

la k-ieme

de ~ n dans •

~ k (f) = fk' et on dit alors

d'une

O n muni de la topolo-

d'alg~bre

(k)

que la fammlle(

topologiquement

On

com~o~ (n k ~

)

' ~k

gradu6e.

1.4 Un id6al I de O n e s t 6quivariant si ~ k ( I ) = I pour tout k de Z. On d6montre que I e s t 6quivariant si et seulement s' il est engen¥

dr6 par un nombre opere dans structure

fini d'616ments

@n/I

d'alg~bre

et ceci permet

structure ensemble

b = (bl,

de A-module d'616ments

soit A =

Les projections

topologiquement

lier,

= A(k+bl)x

P) xA(k+bp ) ""

~k sont d6finies

alg~bres)

entre modules est 6quivariant

k~ Z analogue

topologiquement

est 6quivariant

qu'il

au cas des

6quivariant. graduSs

(en particu-

s'il envoie les 616ments

on d6montre

sont form6es

comme

"

de maniere

k-homogenes.Si

sa matrice

Mb, en prennant

de M b

dans des $16ments

-bl,

gradu6,

ainsi que la notion de sous-module

1.6 Un morphisme

d'une

0 /I avec I 6quivariant et M = A p. n permet de d6finir dans M une

b

algebres,

On/I

gradu6e.

..., bn)6 Z p

k-homogenes

M(k)

C. I C I; done,

(comme dans 1.3) munir

topologiquement

1.5 Plus g6n6ralement, Alors chaque

q-homogenes.Alors

~ est un morphisme si et suelement

par des 616ments

k-homogenes

de A~ darts A~,

si les colonnes

q-homogenes

de

de A~ de d6gr6s

..., -bp.

2. D6formations 2.1 Rappelons

6quivariantes. qu'on a fix6e une C

Soit I un id6al de par I. Si I e s t 6quivariant.

@

et (X,0)

n 6quivariant

action

d a n s { n de poids

le germe d'espace

on dit que

ql,...,qn-

analytique

d6fini

(X, 0) est un serme analytique

269

2.2 Soit

o×, o =

= mn t) i7

c

une

d~formation

d6formation

de

(X,

0),

avec

est 6quivariante

que les id6aux ~ et ~

B :

-

t

= (tl,

c

{t}

...,

t

ly

).

On d i t

que

cette

s'il existe une c~Saction dans C s telle

soient 6quivariants,

ainsi que t o u s l e s

mor-

phismes du carr6 ci-dessus. On va caract~riser

les d~formations

sions oonvenables 2.3 Lemme.-

d'une r~solution

telle

.

.

.

.

z

que t o u s l e s

des graduations pondents.

~" , de oPi-1

topologiques

6quivariant.

Alors,

il

OX,o ....

morphismes

On dit que

a travers d'exten-

de l'anneau ~ X 0"

Soit (X, 0) un germe analytique

existe une r~solution, .

~quivariantes

-~C?n

a i sont ~quivariants

eonvenables

des modules

par rapport libres corres-

~'est 6quivariante.

Nous fixons d'une fois pour routes la r6solutlon du germe ~quivariante

6quivariante

(X, 0). •

2.4 Avec les notations complexe de c-modules

de 2.2 posons C = ~n{t} / J • Si

~. est

un

on pose

On a alors, 2.5 Proposition.assertions

Soit

suivantes

(X, 0) un germe analytique

sont ~qulvalentes

1) Donner une d~formation

~quivariante

2) Donner une C ~ action dans C s e t les a)

~'tel Jest

~quivariante.Les

de (X, 0)

un eomplexe

libre flnl de C-modu-

que ~quivariant

b) " R ' ( o ) : ~" c) Le complexe

~"

est 6quivariant,

et les morphismes

A i = (Aih)j : C pi - , C pi-1 sont tels que deg A ijh = d e g

i ajh.

270

3. D 6 f o r m a t i o n s

infinit6simales

3.1 S o i e n t U un v o i s i n a g e d6finissent

de 0 dans C n tel que les m a t r i c e s

la r 6 s o l u t i o n

lindre compact D' a p r e~s D o n i n

6quivariantes.

~'soient

d6finies

qui est un v o i s i n a g e on c o n s l'd e"r e

dans U,

de 0 dans C n c o n t e n u

les e s p a c e s

Fi(K)

a i qui

et K un p o l y c y dans U.

de la m a n z"~ ere

d~finis

suivante. 3.2 FI(K)

est l ' e s p a c e

sont des m a t r i c e s e s p a c e des 1 ~ i ~

des r - t u p l e s

dont

fonctions

holomorphes

r, 1 ~ j g Pi-l'

3.3 F2(K)

est l ' e s p a c e

F°(K)

(e o ' ..., e r ; ~1' precedentes ~=

( ~1'

Avec

des r - t u p l e s

les c o S f i c i e n t s

form$e

dans H(K),

les Fi(K)

on c o n s i d e r e

c=

(c 2, Pi-2'

..., c r) Pi"

e i = (e ~h ) ont comme

les

(e, ~ )

=

0 ~ i ~ r, 1 g j,h g Pi et

de K dans C n dont

sont des

les p o i n t s ,

0

, ..., a r) est la r - t u p l e

en p r e n n a n t

K,

1 < h ~

des p a i r e s

fonction

a E FI(K) (a 1

a H(K),

dans

les c o m p o -

a H(K).

la n o r m e du s u p r e m u m

ou a =

de m a t r i c e s

, 2 < i ~ r, 1 ~ j ~

est l ' e s p a c e

..., ~ n ) est une

Dans ces e s p a c e s

dans ~ et c o n t i n u e s

- les m a t r i c e s ..., ~ n) ou

santes a p p a r t i e n n e n t

..., b r) ou b i = (b~h)

b jh i appartiennent

1 ~ h ~ Pi"

ou c i = (C~h) avec c jh i E H(K) ~ 3.4 F i n a l e m e n t ,

b : (b 1,

les c o 6 f i c l e n t s

les m a t r i c e s

espaees

distinguSs

~ F2(K), de

(1, z) E F ° ( K )

2.3 et (1;z)

identitSs

de Banach. suivants

est la paire

et les f o n c t i o n s

coordo-

nSes de C n. On n o t e FI(K) eonvenable

soit l ' e s p a c e

de B a n a c h c o r r e s p o n d a n t

solt un v o i s i n a g e

du p o i n t d i s t i n g u 6 .

On c o n s i d e r e m a i n t e n a n t

la suite FI(K)

K

F2(K)

,

x OU

~(e;

~(b) II est ~ v i d e n t

~ )

=

i a (@)(el)

"

-1

)1 ~ i ~ r

= (bi-lbi) 2 ~ i ~ r

que les p o i n t s

points distingu~s.

( el-1

distingu~s

s'appliquent

dans

les

271

3.5 Soit ZI(K)

l'espace

analytique

Z~(K) Les d6formations lytiques

de Banach d6fini =

(~)-~(0)

de base S s'identifient

alors aux morphismes

'O

O

et

(1;z)

K,

~~1 = d ~1 . On a la suit K K, a

K FO(K)Par passage ~ la limite voisinages

inductive,

en r6sulte

des d6formations Fiest

.

F2(K) un systeme

que

~1~ ~,

F2

TI(X)

= ker i~/ im i°

infinit6simales ~ -module •

F2

sur le point doublel.

fibre de rang convenable.

Ii est possible

n

F l d'une

3.8 Proposition.-

, oux T1 (X) est i' espace

(c'est ~ dire,

structure

du6 de sorte que les morphismes L'espace

de

0n-module

~i soient

TI(x)

est un

topologiquement

6quivarlants. 0n-module

T I ( ~ ) =: TI(x) (v) =

celles

appartenant

a)

les d~formations

i

~jh C

b) ~ i - l a i

a F l(w )

Si ~i

de degr6e

par des 616ments ceci est 6quivalent

~ sont

( ~1,

--., ~r)

a dire que

O~djh+ v) + a i - l ~ i = O. de la d6formation

4.1 Dans ce qui reste de dimension ( ~1'

on a

i

4. E~uivariance

Soit

= (~h)

On a alors,

~ ( k e r ~1)(~)

infznlteslmales

qui peuvent ~tre repr6sent6es

gra-

(en fait, un

-module) topologiquement gradu6. 0X'° ~1 Si ~ est la projection natumelle de ker dans TI(x)

c'est a dire,

de

la suite

etc.

un

de munir ehaque

~o

,

les K parcourant

de 0 dans C n, on obtient

ou F ° = lim F0(K),

K

FI(K)

F°

Chaque

a n a -

de S dans ZI(K).

3.6 Posons ~K = d d'espaees de Banach

3.711

par

finie

on suppose

semiuniverselle. que TI(x)

est un C-espace

vectorlel

(= ~ ).

..., ~ ) une base de TI(x)

form6e par d6formations

272

q-homogenes travers

de degr6es

cette base.

Vl,

..., ~z

On note tl,

. On identifie ..., t~

les coordon6es

Dans {r on d6finit une C~action moyennant e1 ~.t = ( ~ tI ..... avec e l•

=

- ~i'

La c o n s t r u c t i o n

1,
0

This result allows one to compute the direct /mages of the sheaf of local rings and the change in the Euler-Poincar6 characteristic when passing from

X

to

X'

Other results of this kind have been used for different purposes. For example to desingularize two -dimensional schemes Lipman [2] uses, in a very essential way, the part that the relative dualizing sheaf has zero high direct images by a biratiohal map between normal Gorenstein surfaces. been proven by Grauert-Riemenschneider

Other Strong vanishing theorems have

[1] (and used to generalize the Kodaira

vanishing theorem to singular varieties) and Wahl [3] . No further mention will be made of the ground field which is assumed to be of arbitrary characteristic. One starts with the following Lemma 1: Let , 7' Y

If

of

d

X

smooth ambient variety

be an hypersurface of a

be the respective blowing ups of

X , Z

Z , and let

along a smooth integral subvariety

X , so one has a diagram

is de cod/mension of

~eneric point of

Y

in

X ! ~T

~ Z t

X ~

~Z

Z , and

m

is the multiplicity of

Y , then for the dualizing sheaf

~Z'

o_ff Z'

one has

X

at the

276

a) wZ, =~,*Oz @ ~ , ( - d + l )

.

b) Oz,(X') : z'*Oz(X) OOz,(m) . Proof of a): One certa/nly has

%, = ~'* for some

nE~

. Let

E : ,-l(y)

Z @Oz,(n)

. By the adjunction formula one gets

= (Wz,@Oz,(-1))@O E = z'*wz~Oz,(n-1)@O E • On the other hand,

E

is a projective bundle over

locally isomorphic along

Y , so

wE

and

0E(-d)

Y . Comparing both results one concludes that

are

m : -d + 1 .

Proof of b): Start with Oz,(X') = ~'*Oz(X) OOz,(n) for some integer

n . To see that

over the generic point of

n=m

, restrict

,

0Z,(-X')

to the fiber of

z'

Y . Then consider the following fact: the exceptional

fiber of the blowing up of a point is a projective variety of degree equal to the multiplicity of the point. One concludes from this that the restriction of is the sheaf of ideals of a hypersurface of degree easily that

n=m

m

in ~d-t

0Z, (-X')

. This implies

.

Theorem 2: Let

Z

be a smooth variety and z:Z'

be the blowing up of

Z

~Z

along a smooth inte$-ral subvariety

Y

of cod/mension

d .

One has : a) ]T,Oz,

:

0z

.

b) Rl~.,.Oz,(n) : 0

for all

i >0

and all

Proof: a) Follows from the fact that b) Call

E

the exceptional fiber of

z,Oz,

Rzz,Oz.(n) = 0

descending induction on (because

~ :E ---~ Y

for

i>O

n , observing that

is a projective bundle).

And here comes the main theorem

.

is coherent and

Z

is normal.

~ . One has an exact sequence

0 --+ OZ, (n + i) ---+ OZ, (n) By Serre's theorem

n>-d

~ OE(n) --~ 0 .

and n > > O . The theorem follows by i R w:,:OE(n) = @ for i > 0 and n > - d

277

Van/sh/ng theorem 3: Let bient variety Z

Z . Let

X

~:X'

be a local complete intersection in a smooth am-

>X

, ~':Z'---+Z

alon$ a smooth irreducible subvariety

complete intersection in

Z' . Then if

Y

the respective blowing ups of

of

~X'

X . Suppos 9

X'

X ,

is also a local

d?notes the d u a ~ z i n g

sheaf o f

X'

one

has Riwemx,(n) = 0

for all

Proof: The assertion being local on intersection: X'

of

X

and all

n~0

.

X , one can suppose that

X

is a complete

X = H I n ... A H r . Suppose for a moment that the proper transform

is the intersection of the proper transforms

goes forward now by induction on generic point of and

i>0

Y , and write

r . Let

H! of H . . The theorem i 1 be the multiplicity of H i at the

mi

Xi = H~ A ... A H i . For

r=0

, one has

X 0 :Z

for

i>0

n30

X~ = Z' . Then by le~ma 1 and theorem 2 it follows RLx~(n)

= R i ~ ,,~ , ( n )

Now for general

r

wri{e

= mz@Riz~0z,(n-d+l)

= 0

and

•

0 = 0X' , m r = ~X' [ there is an exact sequence of r r r

sheaves 0

Tensoring by

0r-1 ( - H r' ) - - - - ~ O r-1

~r_1(n) ~ 0r_l(H~)

~0

r ----+0 .

and using the adjunction formula one gets another

exact sequence 0 ---+~r-1 (n) ---+mr_ I (n) O 0r_ I (H$) ---+mr(n) ---+ 0 . Now, the assertion is local on sheaf is isomorphic to

X so one can suppose by lemma 1 that the middle r-1 mr_ I (n + m r) , and by the induction hyphotesis: R1~...~r(n) = 0

for

i>0

and

n>,0

To conclude, it is enough to see that given a closed point H I,... ,Hr

locally near

intersection of the ring

x

in such a way that

H'l " Let

PX , py

0~,,x . The graded module

of

PX

X'

one can choose

is a connected component of the

the ideals defining

X , Y

n>,o~p..~ n py, which is contained in

homogeneous localization the ideal of f l , ' " 'fr

be

xsZ

X'

in the local

n>.o~pY'ndefines by

. Take then a m/nimal system of generators

in such a way that they form a base of

and

PX @ 0Z,x0Z,x/mZ,x

that all vector spaces defined by the images of the maps n

PX A py --+ have a base consisting of elements of fi =0

pX ® 0Z ,x0Z ,x/mZ,x

{fl ,''" ,fr } • The hypersurfaces given by

are those required. Indeed, given

x'e~ -1(x) , let

51 = 0,...,Jr = 0

be

278

hyper~urfaces

such that

PX : (fl'"" '~r )

transforms is

X'

locally near

intersection).

Now, obviously, from the

and the intersection of their proper

x' . (These exists because choice of the

f.

X'

is local complete

it follows that the

1

homogeneous elements of

~ PYn n>~o

defined by the

the hc~ogeneous elements defined by the of the proper transforms of the forms of the

fi

fi

are linear combinations of

fi " Th/s implies that the intersection

contains the intersection of the proper trans-

f.: 0 . i

Note 4" As dual/zing sheaf

WX' = ~*WX® WX'/X

one gets a vanishing theorem for the relative

WX,/X :

Ri~,WX ,/X(n) = 0

for

Corollary 5: For every closed point

i> 0

x

of

and all

Y

n>1@ .

one has a formal duality isomor-

phism: :

where the dual module is taken with respect to the injective envelope of the residual field of the point

x , n

is the dimension of

X

and the sheaf

~*~X'

can

be computed by theorem 8 below. Proof: See [2] to get the duality theorem: (Ri where

E = ~-l(x)

~,Ox,)x

:

HE-i(x''wX'/X )* '

. Then by the vanishing theorem one gets

-i(x'

jx ) •

s× ) :

To conclude, use the fact that

~*~x'

: ~x ° ~ * ~ x ' / x

•

To compute the change in the dualizing sheaf, let a complete intersection in ~' :Z'

)Z

variety

Y

Z

of

r

hypersurfaces

be the respective blowing ups of

of

X , Z

X . Suppose that the proper transform

intersection of the proper transforms

H'

be the codimension of

mi

Z

be a smooth variety,

H I,... ,Hr

and let

along a smooth integral subX'

is also the complete

of the hypersurfaces

H.

i

point of

Y

in

Z , and

WX,

. And let

d

l

the multiplicity of

Y . One the has

Theorem 6: The dualizing sheaf

X

~:X' ---+X ,

of

X'

is the sheaf

WX, = ~*WXO 0x,(m1+ ... + m r - d + 1 )

.

Hi

at the generic

279

Proof: By induction on The case

r= 0

r . Write

Xi = H i

n

n H i , m'r = ~X'

...

is done in lemma 1 a).

For the general

r

and

r

case one has equalities

(adjunction formula)

~'r : (m'r - i 00'r - i (H'))B0, r

r-i

mr = (~r-1 ® Or-l(Hr))® 0

0'r

Or

r-1

Comparing these and recalling that a)

m' r-1

() 0"-l(ml+r . . . + m

: 7Tim ~-1

r-1

(by induction)

-d+l)

(by lemma 1 b)

b) 0'r_1(Hr) = ~*0r- l(Hr)O 0'r_1 (mr) one concludes the theorem. Corollary 7: Ri~,0x,(n)

= 0

for

i>0

and all

n_>.m 1+ . . . + m r - d +

i .

Proof: Follows from theorems 3 and 6 Finally it is interesting to observe that the vanishing theorem is false for the composition of two monoidal transformations with smooth centers. To get a counter-example,

let

X

be the

Spec(k[x,y,z,t]/(x 3 _ yT)) f:X'

. Let

~X

be the blowing up of the origin, and let g:X" the blowing up of

X'

exceptional fiber of

along a smooth curve

PC

C

of positive genus, contained in the

f . It is easily seen that the exceptional fiber of

projective plane and that Denote by

~ X'

X'

has multiplicity

the sheaf of

ideals of

C

f

is a

3 at the generic point of C . in

X' . Tensoring by

exact sequence 0 --+ pC--+ 0X, ---+ 0C --+ 0 , one obtains the also exact sequence

o - + ~x, e p c - - + ~x, - - + ~x, o Oc

~0

Substituting the equalities ~X' O PC : g*~x"

(by theorem 8) ,

~X' = f*~x

(by theorem 6) ,

~X'

the

280

one has 0 ---+ g,~x ,---+ ~X' ---+ 0C ---+ 0 . Now as

Rif,~x , : 0

for

i>0

, one has

R2f,(g,~x, ,) : Rlf,0c i R g*~x"

Besides

= 0

for

i>0

= HI(C,0 C) £ 0 .

, so

R Z ( f o g ) , ~ X , , = R2f:,~(g,~x, ,) ~ 0 . To compute the change in the Euler-Poincar6 vanishing

theorem implies the degeneration

E~

characteristic,

of the Leray spectral

observe

that the

sequence

: HP(x,R%,~ x, ) => HP+q(X' '~X' ) '

so one gets the usual isomorphisms

HP(X'of

on

T. Comparing the automorphy factor fop the action

T-~ with the automorphy factor of the construction at the

end of section 8 one obtains:

Proposition 2: T~

The

~-actions

on the

~&bundle

defined in section 8 for the same

natural

~x

=

Tx¢

Tx

=

T X ~ )k~

r i n g and t h e n a t u r a l

G ICB

*

t

B (G

:

=

~bundle

coincide with respect to the

x

}

{X

I~)

of

t

r . We consider

B'

)

as a subgroup

the center of = 7 ~ ~

~)

where

giving ~

then have t h e a f f i n e

Tx¢

~

T

*

o v e r t h e f o r m a l power s e r i e s

>

G = G (¢)

T

and

of

G(K)

an lwahori subgroup of

[ 17 I we have an isomorphism o f groups

~

"mod t " :

I])

be a Betel subgroup containing

E -I (B' ~ ~

G

r e d u c t i o n homomorphism r : G( ¢ ~

under

and the

identification

12. C o n s i d e r t h e p o i n t s

Let

X

~X

B' = r

~.

~ =~ ( B'

-I

(B)

its preimage

and call According to Moore's theory

~ -0_ ) x

(with

¢

rise to a semidirect product decomposition

is the kernel of the obvious projection Bruhat d e c o m p o s i t i o n o r i g i n a l l y

~ ---->~. We

due t o I w a h o r i and

Matsumoto [ 5 ] and adapted t o our c o n t e x t by Garland [ 4 1:

Theorem 1: cosets

The group

~

is the disjoint union of the distinct double

~ w ~, w E N/~.

Let

Z C X (T)

the fixed additive

be t h e r o o t system o f

T

in

G

and

u~

one parameter subgroup c o r r e s p o n d i n g t o an ~

s e c t i o n 2 ) . Through t h e p r o j e c t i o n

~ ~T

we c o n s i d e r

: Ga

~} U C G

(cf:

~ as a subset o f

296

X~(~).

Let

~

as

~ E X~(~)

~ P-~__O_

~

= t~

~

+ i~

a = c& + i ~ ~ ~

be t h e c h a r a c t e r ~".

The a f f i n e

~

x* ~ T ~ I ~ z ,

d e f i n e d by t h e c o m p o s i t i o n

r o o t system o f

i ~ ~t

~

in

~

i s now d e f i n e d

. ~ o r any affine root

we o b t a i n a complex one p a r a m e t e r group ua

:

•

~U

a

c~

with the property s ua ( c ) s for

all

s ~,

c E •

c =

grouptheoretic

Using e i t h e r one f o r

~

s E~.

Theorem:

Let

~(s) Z

=

s E~ I

Iwahori

~o

a(s)=

is & finite

consist

subgroup

i

"

1 t

~ K

~U~(K)

i

) u~

U~(K)

-( c t z)

) ~.

Bruhat decomposition for the structure

=

" Then

Z(s)

Is/s)l

and

of the elements in

Ua

~

~ 1

is a finite

d i m e n s i o n a l complex r e d u c t i v e ~

G(K)

or the affine

of the centralizers

Ip<s)l

such t h a t

g e n e r a t e d by t h e subgroups

13. Let

i

section

the ordinary

~a& ~

an_d_d Z ( s )

~(s)

> ct

one can i n v e s t i g a t e

elements

= ua ( a ( s ) c )

, by composing

>¢t

with a fixed

-1

Z(s)

and s u b r o o t system o f

group w i t h

r o o t system

a E ~ (s).

which a r e c o n J u g a t e / n t o a f i x e d

~ = T ~ U. From & r e f i n e m e n t o f t h e o r d i n a r y

or affine

d e c o m p o s i t i o n one deduces:

Proposition 1: s

and

s'

Let

s,s'

be e l e m e n t s

in ~

a r e c o n j u g a t e by an e l e m e n t i n

As a c o r o l l a r y

of

c o n j u g a t e under

N.

we o b t a i n a s e t - t h e o r e t i c

map

~.

Then

Bruhat

297

"G

(here

T/~

way. An e l e m e n t of

b

onto

g ~ G

~ . Then ~ ( g )

}p(s)l

defined uniquely

is the class of quotient

= 1 . Now l e t

G

the fundamental irreducible Xi

quotient!)

i s c o n j u g a t e t o some

To form an a n a l y t i c with

G

is the set-theoretic ~0

>{/d

~0

:

~/~

b ~. s

s

be t h e p r o j e c t i o n

i n T/W.

we have t o d e l e t e t h e p o i n t s

be s i m p l e and

representations

we d e n o t e t h e f o r m a l c h a r a c t e r

Let

in the following

of

~i of

~

on

: ~ ' ~>GL(V.),I

sE~

i = 0 .....

r

~

introduced i n s e c t i o n 10. By

V.

g i v e n by t h e Kac-Weyl char&c

1

ter

formula [ 7 ,.

Let

PROposition 2:

~>1:

=

{s (~

The c h a r a c t e r s X.

are

i

> 1 " The map to

(X (s)

--

0

xe~

T X/W

• •

~ r+i

X (s))

~

, I x l > 1,

>

w-invariant

1 t .

holomorphic functions

on

- -

sending the

i s an a n a l y t i c

r

'

I Ip(s)~

with the possible

F-orbit

o f an e l e m e n t

i s o m o r p h i s m onto ~ r + l \

exception

of a discrete

s ~ TX

{0} for all subset o f

_0_

bounded from a b o v e .

-0 G

Let

>1

=

tg

~

tO

I

I p(g) I >

1

}

. The map ~ : --0 G > I - - - ~ T -- > 1/~ m a y b e

composed w i t h t h e m o r p h i s m

~ > 1 / ~ ---> -0_ x ¢ r + 1 ,

(s mode)

, . . .,~Ar(S)),

I

> (p(s),~o(S)

~o X : G If

g 6_ "~0> 1

pi(g)

may be c o n s i d e r e d

coincide If

extension

> _CLx ¢

>1

maps t o a o o n v e r g e n t power s e r i e s

to the hermitian will

a s an o p e r a t o r

product introduced

with the analytic

G = G1 x

. . . × Gk

central

of trace

as i s t h e case f o r

simple

will G.

map

G(¢((JC))) :~Q. t h e n

class

on

V.z

with respect = X.(T (g)) 1

of pi(g). with

of the product Accordingly

g i v e n by p r o d u c t s o f f u n d a m e n t a l c h a r a c t e r s These c h a r a c t e r s

in

1

is s e m i e i m p l e

torus.

trace

r+l

by G a r l a n d [ 4 1. Then X . ( g )

trace

"G i s o n l y a q u o t i e n t

(k-1)-dimensional

conditions.

to give the algebraic

simple

factors

"G1 x , , , x ~ k

G.z t h e

by a

fundamental characters

o f t h e ~ .z s a t i s f y i n g i n g e n e r a l not be a l g e b r a i c a l l y

of

~

are

certain independent

298

14. Let Z(s)

s ~-? , Ip(s)l

of

s

in

~

Let

d i m e n s i o n a l r e d u c t i v e group. We denote i t s

Uni(s),

Theorem 1: The f i b r e Z(s) x Uni(s).

The f i b r e

which a r e a l l

1. We know from s e c t i o n 12 t h a t t h e c e n t r a l i z e r

is a finite

u n i p o t e n t v a r J e y by

Corollary:

>

-l(~(s))

is

---~-l(~(s))

of finite

G - i s o m o r p h i c t o t h e associa.t.ed__bu_ndle

contains only finitely

many c o n j u g a c y c l a s s e s

~-codimension.

~ > 1

> 1"

Then t h e r e i s a commutative diagram ~0

)

G >1 "C

T

>I

d e f i n e d i n t h e same way as i n s e c t i o n 5.

Theorem 2:

The diagram above i s a s i m u l t a n e o u s r e s o l u t i o n

for

"~.

The p r o o f o f t h e s e theorems i s a n a l o g o u s t o t h e p r o o f i n t h e c l a s s i c a l case ( c f .

[ 21 ] ) ,

the crucial

form f o r elements i n

starting

p o i n t b e i n g a t h e o r y o f Jordan normal

~0

G .

IV. Conclusion.

15.

Combining t h e d e s c r i p t i o n s

of a simply elliptic

singularity

t h e c o r r e s p o n d i n g group

xf

:

= @-1(Vf).

~

of the semiuniversal deformation and t h e f i b r e s

~o > 1 .... T o f T~G

we o b t a i n t h e f o l l o w i n g

result.

Let

@ : X --~V

i/~

for

299

Theorem:

For simply e l l i p t i c

identification hood

Xf(x)

singularities

Vf ~ ~ > I / ~ of

x

o f degree

such t h a t f o r a l l

and an i n c l u s i o n

Xf(x)

d ~ 6

x 6 Xf

there is a neighbor-

~0

~

t h e r e i s an

> G > 1

making the

following diagram commute. x

D

xf

V

)

Vf

D

xf (x) C

~o> I

~ >i/~

A s i m i l a r statement holds f o r degree 7 and 8. I f group

~

Killing

i s the c e n t r a l e x t e n s i o n o f form

4

GL2(K)

d e f i n e d by the "unusual"

mentioned i n s e c t i o n 8. I f

components

VI

and

V2

ponding t o

VI

i s the c e n t r a l e x t e n s i o n o f

d = 8

t h e r e are two

i n the s e m i u n i v e r s a l d e f o r m a t i o n . The group corres__

form (8) on 7Z = X.(Gm) central extension of

d = 7 the corresponding

Gm(K) d e f i n e d by the K i l l i n g

and the group corresponding t o

SL2(K)

V2

i s the o r d i n a r y

d e f i n e d i n s e c t i o n 10.

The theorem above leaves open an i m p o r t a n t problem. How can one r e a l i z e the whole s e m i u n i v e r s a l d e f o r m a t i o n , not o n l y a p a r t o f i t , tic

way. In p a r t i c u l a r

elliptic

singularity

this

i n a group theore

r a i s e s the q u e s t i o n o f c o n s t r u c t i n g a simply

i n L i e group t h e o r e t i c terms. Wat i s d e s i r e d i s a ~ r t i a l ~0

G - e q u i v a r i a n t completion o f

G

which f i l l s

the hole corresponding t o the

value zero f o r the fundamental c h a r a c t e r s . One i d e a would be t o use the conjugacy c l a s s e s o f

~

i n the complement o f

~o

However, the corresponding

r e p r e s e n t a t i o n o p e r a t o r s are f a r away from being o f t r a c e c l a s s . Also the f o l l o w i n g aspects should be regarded. The completion may not be smooth, s i n c e , f o r example,the t o t a l it

space o f a s i n g u l a r i t y

of type

may not be unique, since the monphism ~ f o r

f o r the s i n g u l a r i t y

D5

o f degree

4

SL2

~

i s not smooth, and

r e a l i z e s a subdeformation

as w e l l as f o r a s i n g u l a r i t y

8. In a d d i t i o n , the r o o t systems a t t a c h e d t o simply e l l i p t i c form o n l y a small p a r t o f a l l attached t o simply e l l i p t i c (cf.

[ 8 ]

conserving

r o o t systems. Some f u r t h e r

singularities

o f degree

singularities

r o o t systems can be

equipped w i t h a group o f symmetries

). An analogue o f the theorem above then holds f o r the d e f o r m a t i o n s symmetries. Here groups over

o f C h e v a l l e y t y p e . They w i l l

algebras [ 22 ].

~((t))

come i n t o p l a y which are not

be d e a l t w i t h i n the work on general Kac Moody

300

BIBLIOGRAPHY.

[111

V. I. A r n o l ' d :

Critical p o i n t s

o f smooth f u n c t i o n s ,

Congress of Math., E. B r i e s k o r n :

[21

Singular

Vanoouver 1.974.

elements of semisimple algebraic

Actes Congres Intern. [311

F. B r u h a t ,

J.

Tits:

H. G a r l a n d :

The a r i t m e t i c I.H.E.S.

N. I w a h o r i ,

[5]

52,

H. Matsumoto: structure

V.G.

Kac:

V.G.

Kac:

M.

[8]

Kato, T. Yano:

Publ.

rings

Math. I . H . E . S .

of p-adic Chevalley 25

(1.965),

~ (1968),

1271-1311.

L i e a l g e b r a s and O e d e k i n d ' s

Functional

Analysis

and i t s

Applica_

68-70.

Free d e f o r m a t i o n s

of simply elliptic

singularities~

Science Reports of the Saitama University,

H. K n ~ r r e r :

[9]

110 ]

E.J.

Looijenga:

]

E. J.

Looijenga:

vom Typ

D

, Math. ann. 251

135-150. curves,

Invent.

math. 3_8~

17-32

On t h e s e m i u n i v e r s a l elliptic

S e r i e s A,

71-79.

Root systems and e l l i p t i c (1976),

[11

No. 3, 1 . 9 8 0 ,

Die S inguZarit~ten (1980),

5-48.

graded L i e a l g e b r a s o f f i n i t e

dimensional

8 (1974),

Vol. IX,

Math.

to appear.

o f t h e Hecke

-function, tions

Publ.

1 - 251.

theory of loop groups,

Simple irreducible

Infinite

2 , 279-284.

sup un c o r p s l o c a l ,

41 ( 1 9 7 2 ) ,

g r o w t h , Math. USSR I z v e s t i j a [7]

t,

groups,

On some B r u h a t d e c o m p o s i t i o n and t h e

groups, Publ. [6]

Math,1.970,

Groupes r e d u c t i f s

Math. I . H . E . S . [4]

Proc. I n t e r n .

singularity

deformation II,

of a simple

Topology 17 (1978),

23-40.

301

[12 ]

E.J. Looijeng@:

I n v a r i a n t t h e o r y f o r g e n e r a l i z e d r o o t systems, I n v e n t . math. 61 (1980), 1-32.

[13 ]

E.J. Looijenga:

Rational surfaces w i t h an a n t i - c a n o n i c a l c y c l e , Annals o f Math,~to appear.

[14 ]

Y. M e r i n d o l :

Deformations des surfaces de De1 Pezzo, de p o i n t s doubles r a t i o n n e l s et des c6nes sun une courbe elliptique. Th~se 3~me c y c l e , U n i v e r s i t ~ P a r i s V I I ,

[15 ]

R.V. Moody:

1980.

A new c l a s s o f Lie a l g e b r a s , J. Algebra 10

(1968),

211-230. [16 ]

R.V. Moody:

Euclidean Lie a l g e b r a s , Can. J . Math. 21

(1969),

1432-1454. [17 ]

C.C. Moore:

Group e x t e n s i o n s o f p - a d i c and a d e l i c l i n e a r groups, Publ. Math. I . H . E . S .

35 (1968), 157-222.

[18 ]

H. Pinkham:

Deformations o f & i g e b r & i c v a r i e t i e s w i t h G - a c t i o n , m A s t e r i s q u e 20.. Soc. Math, France, 1974.

[19 ]

H. Pinkham:

Simple elliptic singularities, Del Pezzo surfaces and Cremona transformations, Fure Math. 30

[20 ]

23 [21 ]

(1977), 69-71.

Einfach e l l i p t i s c h e

K. Saito:

P. Slodowy:

Proc, of Syrnp. in

singularit~ten,

I n v e n t . m&th.

(1974), 289-325.

Simple s i n g u l a r i t i e s

and simple a l g e b r a i c groups,

Lecture Notes in Math. 815, S p r i n g e r , B e r l i n Heidelberg-New York, 1980. [22 ]

P. Slodowy:

Kac Moody Lie a l g e b r a s , a s s o c i a t e d groups and s p e c i a l singularities,in

Address:

preparation.

Sonderforschungsbereich

Peter Slodowy Mathematisohes I n s t i t u t

der

T h e o r e t i s c h e Mathematik

U n i v e r s i t ~ t Bonn

U n i v e r s i t ~ t Bonn

W e g e l e r s t r . 10

Beringstr. 4 5300 BONN I Federal Republic Germany

ON THE PICARD

GROUP

OF C E R T A I N

WEIGHTED

PROJECTIVE

by Joseph

Abstract.

We consider

surfaces

in w e i g h t e d

g&d(a,b)

= 1 . We

equal

to

1

a general

that

o r all Of its

IN

SPACES

of a L e f s c h e t Z

3-soaces

such

SURFACES

Steenbrink

member

projective

show

SMOOTH

of tyoe

a surface

2-cohomol@~

either

nencil

of

(l,l,a,b)

where

has

number

Picard

is a l g e b r a i c .

i. I n t r o d u c t i o n . This paper the

cone

originated X

over

hynersurface surface. The

(1,1,1,2)

section

X

of

X

that

appears

. Thus

following

the V e r o n e s e

Is it t r u e

space

f r o m the

one

surface

of d e g r e e Pic(S)

= ~

in

to be the w e i g h t e d

which

is s m o o t h method

The condition that

of Lefschetz

that our

the s i n g u l a r

as a m e m b e r

intersection, singular

locus

and

has

is at l e a s t pencil

the c l a s s i c a l

of the a m b i e n t

be a aeneral

is a type

of H o r i k a w a

3-space

determine

in w e i g h t e d

In t h i s

to b e

of the a m b i e n t

of a Lefschetz

S

, consider

naDer we

of type

the P i c a r d

nrojective investigate

snace, the

pencils.

surface

locus

3. If the c o d i m e n s i o n

two.

~6

. Let

projective

is led to the p r o b l e m :

dimension

In

?

of a general comnlete intersection

classical

~5

3. T h i s

group

of

problem.

smooth

space

4, o n e

snace

has

anply

us to a s s u m e

codimension

can consider

on a s m o o t h

methods

has

forces

the

surface

threedimensional immediately.

codimension

equal

at l e a s t

complete

If the to 3, w e m u s t

~3

consider

also

TheD~6blems

pencils one meets

singularities are

with

can b e

so c o m p l i c a t e d ,

members

too b i g that

(e.g.

they

of tyne

Our method

also

intersections branched We

annlies

of t y p e

coverings

thank Arie

and Chris

Toet

Peters

2. L e f s c h e t z Let

(l,l,a,b)

with

the o r d i n a r y

H D X

that

uninotent.

when

in s o m e

other

(2a,ma)

in

these their

This

gcd(a,b)

Morse

problems local

occurs

if w e

Picard-

in p r o j e c t i v e

= 1 .

cases,

e.g.

~(l,l,l,a,a)

complete , or certain

surfaces. the n r o b l e m ,

on threefolds

ooints Let

with

xl,...,x s ~ c ~n

isolated

Kn~rrer

. Assume

Then

singularities.

nrojective

denote

is s i n g u l a r .

and Horst

conversations.

be a threedimensional

in a n y h y p e r p l a n e . such that

such

for s t i m u l a t i n g

singular

of

interfere

for s u g g e s t i n g

pencils

X c ~n(~)

isolated

of

Points.

2) o r the s i n g u l a r i t i e s

of two s i n g u l a r i t i e s

3-space

the n u m b e r

We can d e a l w i t h

are

singular

than

take

transformations

the

more

of the P e n c i l .

Lefschetz

through

then are of two kinds:

singularities the c a s e

passing

the

X

variety

that

X

with

is not c o n t a i n e d

set o f h y ~ e r p l a n e s

consists

of

s+l

H c ~n

irreducible

comoonents: V

X

~

=

v

X0

U

...

U Xs

V

where

to

X

double

the g e n e r i c

at

a smooth

point,

i = I,...,S

and .

point

of

point ~i

is

X 0 corresponds

such

that

the

set

the

to a h v o e r D l a n e ,

intersection

ofhyperplanes

has containing

one

tangent

ordinary xi

for

304

A Lefschetz

Dencil

on

X

is a f a m i l y

of h y D e r p l a n e

sections

of

X,

v

parametrized

by

means

that

their

intersections.

For

t 6 L

Let

f: ~

L

a

line

L c

~n

is t r a n s v e r s e

let ~ L

to all

Xt = Ht D X be

which

is

transverse

~.

and does

and d e f i n e

the p r o j e c t i o n .

Then

to

~

.

not pass

This

through

~ = { (x,t) ]t6L and x6Xt}. f

has

tl,...,tr,Tl,...,T

the c r i t i c a l

values

s V

where

tl,...,t r

T.

the

are

the

intersection

points

of

L

with

X0

and

w

is

1

Let

intersection

U = L-X

image

; then

f

point

of

L

with

X.

is a

C~

fibration

1

for

over

i

U

=

1,...,s

.

, so the d i r e c t

sheaf

R2f~IU

is a local rise

system

on

U

, even

a variation

where

t 6U

this

representation,

as

Take

points

follows. from

t~

winding

Yi 6 ~l(U,t)

Taking of

giving

the p o i n t s

Zl(U,t)

~ Aut

H 2(xt,~)

.

To d e s c r i b e

Let

structures,

to a r e p r e s e n t a t i o n

P: ~l(U't)

c I.

of H o d g e

t [ , . . . , t r'

once

denote ~j

we

around the

instead

; it is c l e a r

that

class

choose near t.i

tl, . . . ,t r

and n a t h s

of the

of the ~l(U,t)

generators

ti

loop

for

nl(U,t)

, small

loons

~i

from

t

to

t i' .

-i ~iciPi

one o b t a i n s is g e n e r a t e d

elements by

~j

yl,...,yr

,

305

~l,...,8s

Lemma

•

(2.1).

conjugate

Proof.

For

all

in the

(Cf [4],

Let

q: U ~ ~ n

the

±estriction

commutative

i,j

group

the

m(Y i)

and

P(Yj)

are

p(~l(U,t))

Exo.

XVIII

_ ~

be

to

elements

U

6.6.2)

the

inclusion.

of a f i b r e

Because

bundle

f]f_l(u )

over

~n

- X

is in fact

, we h a v e

a

diagram

~i ( ~ n - ~ , t ) ~i (U,t)

Moreover

the mad

q~

suffices

to s h o w

that

P

)

is s u r j e c t i v e

Aut

(see

qm(yi )

and

is i r r e d u c i b l e ,

there

exists

connecting

with

tj

[8] and

qm(yj)

are

H2 (Xt, ~.)

[10]).

Hence

it

conjugate.

V

AS

X0

a path

~

on the

regular

locus

a path

v

¥

of

X0

the b o u n d d r y t~ 3

such

that

ti

of a t u b u l a r the

IOODS

. Hence

~eighbourhood Ci

and

we of

can c h o o s e v X r0e ~

connecting

v c . v -I are h o m o t o o i c . 3

t'i

Then

on with

one o b t a i n s

obtains

-I q,(yj)

where

q

is the h o m o t o D y

class

= g

q,(Yi)~

of the

loop

-i o.vo. 1 ]

in

~i

( ~ n - ~ , t) . QED

306

We c h o o s e

the p o i n t

t 6 U

such

that

if

~

is a h o r i z o n t a l

section

in

U

such that

6 H2(Xt,~)

algebraic

cycle

algebraic. (cf. The

This

o(t) on

X t , then

pronerty

of

it has

following

nroperty:

R2f,~

on a n e i g h b o u r h o o d

is the

cohomology

for all

excludes

the

t'

E V

at m o s t

the

class

cl&ss

a countable

V

of

t

of an o(t')

subset

is

of

U

[9]). Picard-Lefschetz

61,...,~r

formula

6 H2(Xt,~)

such

=

p (yi) (z)

here

, e(I" xi~P-l(y)NHNX_ ¥

de

,

la

semi-continuit6

pr6c~dent.

verticale

vient

de

e(I . OX(y)~y) ~ my(X),

NH NXI = [ y ]

pour

tout

(En f a i t ,

de dans

l'hypoth~se

on en c o n c l u t

y E Y, c ' e s t - ~ - d i r e

la multiplicit6, ce c a s - c i ~

con-

on a m~me

de t r a n s v e r s a l i t 6 . P-l(t)

Puis-

NH N X - Y = ~

[HN X[ = Y, e t

la

donc

transversa-

lit6. Prouvons

b)

6quimultiple

le

( C ~ O ) c (Y,O)

telle

m (p-l(y) Y long

fibre

P

que~

YE C - [ O ]

On s e r a m e n e

l'ouvert

ainsi

H N X est

( y ) N X en y p o u r H'

de H e t

dessus

de Y - [0~

ce q u i

TH, O)

Puisque

locale X N P-I(c)

X par


supposer (il

que suffit

l'~cl~tement

cleirement on a

dans

]e

e(I . OX(O),O)

par

m (X) y

v6rifiant

ou Y e s t

Par

le

une

d a n s X~ d o n c ailleurs~

la quitte

transverse les

transform6s disjoints

le

au-

ouverte

fait


diagr~mme suivant

Ii >_

cas

que

hypothese,

pas

6quimultiple

une condition

e(I . OX(y),y)

v/ m (X) o

pas

de Y d a n s EN s o i e n t

IH N XI = Y p a r

y ~ Y,

NH e s t

d'imposer

de H N X d a n s X s o i t

nous donnen~ pour

le

dim X - 2.

p-l(y)

impliqu~

X n'6tait

non-singuli~re

ne s o i t

dim X - 1 ~ q u a t i o n s

par

si

P : (~N,o) ~ (Y,O),

d6fini

de 0 de l ' ~ c l a t e m e n t

transversalit~

courbe

l'6nonc~

yC Y - {0)

p o u r TH, OE U,

une

a v6rifier

on p e u t

est

la multiplicit6,

trouver

l'espace

dans X est

tout

X'

eu-dessus

et

U,

de

pour une r6traction

de s o n ~ c l a t e m e n t

stricts

semi-continuit6

l o n g de Y, on p o u r r a i t

Dams ce c a s ~

r6tr~cir -1

Par

N X) : m (X)~ Y

de C.

courbe,

:

d-

que 2 et

sur

la la

fibre

349 d'ou

m ( X ) = m (X)~ o y

Remar~ue

:

et

le

r6sultat

On p o u r r a i t

aussi

~d+l

jection

g~n~rale

tre

on s e r a m ~ n e a l o r s

et

IV,

un calcul

§ 6.

dent

qui

6.1

Soit

Si

l'immersion d'id~aux

sur

~t~

puisque

tions

ILl

signal~e

l'espace

nous i est

I.

ouvert

traits

le

de l a

r~sultat les

r~sultat

en consid~rant

techniques pour

th~orie~

de Z a r i s k i ~ [Bo]),

et

Mr.

qui

je

une pro-

expos~es

au Chapi-

l'hypersurface

E.

X1 = p ( X ) ,

l'immersion

naturelle

int~resserons ferm~e

d~fini l®h

une erreur

des

d~finie 0;

et

Pham e t plus

d'un

notons

moi p a r

loin

travail

par

par

supposer

(cf. pr~c~-

difference

pour

des

simpli-

coherent

localement 1-

dans

locale~

~X E d e s g e r m e s

U~ [hE~x(U)/h® la

sa norma£ibr~

de n a t u r e

un faisceau

c'est-a-dire

d~signe

n: X~X

du p r o d u i t

problemes

du f a i s c e a u

holomorphes"

U de X~ ou h ® 1 -

utiles

r~duit~

qu'~

le sous-faisceau

au p r ~ f a i s c e a u

serons

i : X×X~X×X X ce que nous pouvons

s~par~

"faiblement

a F.

B~ger.

complexe

X est

inspir~e

nous

signale

analytique

immersion

Consid~rons

X] a s s o c i ~

ou d = d i m X ; p a r

par

ne nous une

m~romorphes

tout

2],

Consid~rons

produit.

fier

les

X un espace

lisation.

ce

alors.

saturation

aussi

m'a

prouver

a prouver

suffit

ici

de l a

[P],

~

bien

•

lipschitzienne.

rappelle

th~orie

EP-TJ,

le

direct

Saturation Je

la

p :

~N

cherch6.

I®hE

de f o n c -

born~es I(U)]

compos~s

pour

de h a v e e

Pl les

deux projections

X×X

t X~ c ' e s t - ~ - d i r e

h o Pl-

h o p2 , e t ~ d ~ s i g n e

la

P2 fermeture

int~grale

Lemme

L___aaO x - a l ~ b r e

:

Notons ~;

est

de

l'id~al

I.

O; est

un OX-mOdule coherent.

( ~ X ~ (~X = ( ~ X ~ l e

le noyau

du m o r p h i s m e

produit

tensoriel

de O x - m O d u l e s

~x

~ ,~×~/r

analytique

~ alors

le Ox-mOdule

350

d6fini

par

~(f)

(~Xx~/ I par

= image

un id6al

de f ® 1 -

coh6rent

1® f.

Or l e O x - m o d u l e

(~Xx~/Y

de (~X×~/ I ~(~X×X ( p u i s q u e

est

l'id6al

quotient

Y est

de

coh6rent)

X et

la ~x-alg~bre

est

fini

au~dessus

conoyau

d'un

:

et

par

:

domin6 par

est

Proposition

I1

du g e r m e

:

suffit (X,x)

sur

d'ou

q u e O~ e s t le

19)

X×X X

le

r6sultat.

~

est

r6duit

de X,

fibr~

appel6

satu-

X.

donc

s est

bim~romorphe

on a u n i s o m o r p h i s m e

de ~ X - m O d u -

C> 0 telle

de m~me l e u r

d a n s ~X×X e s t

[Ix I

tel

que,

_

tout

x2[[.

par

on p e u t

Zl,...

et

le

) ~quivaut Xs x :

,

de f o n c t i o n s

zN les dtun

(EN,O)

un plongement

trouver

un repr~sentant

m~romorphe btendre

montrer

(Xl~X 2) E X × X

diff6rences

wE X x X on a i r

on p e u t

Nous voulons

couple

d~finition,

(X,x)~

fonction

h E OX,x,

a X. A u - d e s s u s les

soit

en une

X.

des germes

X.

h C (O;)x ~

Notons

q u e h E (s~e ~ pour

sur

faiceau

sur

h s'~tend

restriction

Pi : X × X ~ X ~ X. P a r

le

de X, e t

quesi

born~e

engendr~

dire

O; est

en particulier

que pour

[ h ( x 1) - h ( x 2 ) l 4 C

:

x un point

lequel

localement

(X,x)

exp.

lipschitziennes

de p r o u v e r

m~romorphe

int~grale,

L'al6~bre

Soit

Puisque

et

par

produit

prouve

complexe

normalisation

justifi6e

le

ou Xs = S p e c a n o y

analytique

la

Ceci

coh6rents,

: Xs ~ x ,

(~Ca~

:

ehitzienne.

et

19~ No 5 ) .

du S p e c a n

localement

D6monstration

tante

puisque

xs-Ox.

m~romorphes

local.

finis

de l ' e s p a c e

Xs e s t

terminologie

6.1.1

exp.

de O x - m O d u l e s

Le m o r p h i s m e

construction

,ess. La

de X ( ~ C a ] ~

lipschitzienne

Remar~ues

un OX-mOdule coh6rent

homomorphisme

D6finition ration

(~X×X e s t X

localement

hen

quail

une existe

fonction une

cons-

on a i r

fonctions voisinage

coordonn~es

transcendental

a l'existence

sur

de X × X~ l ' i d 6 a l

z~l - z"~i ' 05 z~l = z i ° ~ 1 ' critere

lips-

d'un

~N

I

z~'=l z i ° ~ 2 ' de d ~ p e n d a n c e

repr~sentant

,

351

Ih o P l ( w ) - h oP2(W~l < C Sup I z :1 ( w ) i

Puisque

l e m o r p h i s m e X× X - X x X e s t

que h e s t

bien

localement

preuve ~ l'envers, (h) x appartient

Exercices l'autre

~ (s~

:

1)

r~duits

se prolonge

Exemple

:

zi(p2(~)[

on e n d ~ d u i t

localement

aussit~t

en l i s a n t

lipschitzienne~

cette l e germe

OxS)x.

qu'~tant

e n un m o r p h i s m e f : entre

M o n t r e r que~ p o u r t o u t

(l'une X~¥

fonctorielle

entre

X~Y entre

les

satur~s

xE X, l ' a n n e a u

donc e n p a r t , c u l l e r

(X,O)c (¢N,o)

diff~rentes

donn~ un m o r p h i s m e f :

en un m o r p h i s m e f s : Xs ~ Y s

Soit

Izi(~l(W))-

et qu'inversement,

m&romorphe e t

qui se prolonge

analytique~

= C Sup i

et surjectif,

D ~ m o n t r e r de deux f a g o n s

2) alg~bre

fini

lipschitzienne~

hest

transcendante)

lytiques il

si

z ?1 ( w ) [

espaces les

et ana-

normalis~s~

lipschitziens.

(O;)x =0~, x est

une

local.

un germe de c o u r b e

analytique

r~duite.

Soit

X= @ C. s a d ~ c o m p o s i t i o n e n c o m p o s a n t e s i r r ~ d u c t i b l e s , e t d ~ c r i v o n s (C i 0 ) i p a r une r e p r e s e n t a t i o n param~trique~ c'est-~-dire comme image r ~ d u i t e d ' u n morphisme et

(¢,0)~

l'algebre

(CN,O) d ~ c r i t

par N fonctions

de X l e l o n g de l ' e n s e m b l e

Par consequent,

l'algebre

fini

%×~,n_1(O)×n_1

zk(ti)E n-l(o) est

~(ti].

est

Alors x=J_.[ (¢,0) i ~ ~]-[f[ti~ • X,n-l(o) i

isomorphe ~

(0) l'id~al

I d~finissant

n~e p a r

la collection

et

a Ii, j = (~zk(t i) - zk(t~) ~ l~k~

l'on

engendr~ par hE-~[t

les

l e germe de X × X l e l o n g de n - l ( O ) × n - l ( o ) e s t d ~ t e r m i X de s e s i m a g e s I . . d a n s c h a c u n e d e s a l g ~ b r e s E ~ t i , t ] ]

~ l ~ m e n t s de l ' e n s e m b l e

i] ~0

m ~ ¢[ti,t ~ ] , i,j

, on a donc h 6 0 ~

N])¢(ti,t

jv ]

[ ]).

l'on

si

Si

(ici

et seulement

({ ] )

d~signe

1 i ideal

consid~re si,

pour tout

couple

X,n-l(O) (i,j)~

6.2

on a l ' i n c l u s i o n

Soit

saturation

maintenant

:

h(t i) - h(t~)E

Ii, j

(X~O) ~ (¢N~o) un germe d ' e s p a c e

lipschitzienne

de X~ on e s t

amenb a ~ t u d i e r

r~duit.

Pour ~tudier

l'~clatement

la

normalis~

352

dans

X×X

de l ' i d ~ a l

l'~clatement et

cet

Zl,

..

~ (x,x')

CN

peut

E XxX-

8tre

¢N ,

et

(cf.

la est

I,

l'id~al

§ 1,

Prop.

d~finissant

comme c e c i

consid6rons

EX c h e r c h ~ dir.,

de

d~crit

Ax a s s o c i e


XxX X

dans X×X

.,z N sur

1' ~ c l a t e m e n t

graphe

d~finissant

normalis~

~clatement-ci

locales qui

I

la

de l a

isomorphe

dir.

Or,

coordonn~es

dans

~N-1

Ax

joignant

a l'adhbrenee

aussi

AX C X x K ,

des

: XxX-

s6can£e

c'est

diagonale

: choisissons

le morphisme

direction

1).

x a x'

X× X×

dans

~N-1

du

on a d o n e u n d i a g r a m m e

EX

dir.

~ ]pN-1

XxX

avec

d i m E x = 2d~

L'ensemble ensemble

des

directions

alg~brique

puisque

cet

dans

contexte

le

6.2.1

ensemble

le

sont

une

O-ieme

:

ideal

2) noyau

et

de

la

le

l'on

peut

lin~aire.

diviseur

(¢N~o)

un ~erme

Notons

X1 = p . X

Fo(P.Ox),(cf.

identifi~

a l'in~galit~

lipschitzienne,

(X,O)c

~tre

[Te

au sous-

dimb-l(o×o)

~2d-1

exceptinnnel.

Pour

voir

On a a l o r s

([P-T]).

de c o u r b e l'ima~e

3]).

r6duite

de X d a n s

Les conditions

tout

et

ceci, :

soit

~2 ( d ~ f i n i e suivantes

: X1 e s t

direction

projection

Prouvons

Soit

et

dans

saturation

de F i t t i n g

l'extension

hucune

e n 0 de s ~ c a n t e s

0)[ ~$N-1

contenu

projection

La c o u r b e

morphe,

est

de l a

~quivalentes 1)

limites

[b-l(o×

Proposition

P : ~N,¢2 par

ou d = dim X.

r~duite,

le

naturelle

s:

limite

naturellement

sons

des

coordonn~es

xS

plX = ~ : X-X 1 est

X; a u x s a t u r ~ s

e n 0 de s 6 c a n t e s

est

a X n'est

fini

bim~ro-

un isomorphisme. contenue

dans

le

p.

1) ~ 2) : P u i s q u e

tend

morphisme

u est

en un isomorphisme locales

(Zl,...,z

fini

et

bim~romorphe,

~: X ~'~X1 N) s u r

des

tN telles

le morphisme

normalisations. que

la

projection

n s'~-

Choisisp soit

353

d~finie

par

ferences

(Zl,...~ZN)~

(Zl-

dr~ par

Zl~...~z

( z 1 - z lt ~ z 2

un isomorphisme identifier Ceci une

N

! z 2)

C> 0 telle

tendant

vers

le

5 ~ k~ N.

Ceci

implique

Pn Pn ~ q u i

ne peuvent

que

ont

les

coordonn6es

(zl(Pn)-

zl(p~)

ne peuvent

Prouvons suffisamment C2 par te

est

courbe

plane

Macaulay que si point Loc. induit

(cf.

nest qui

[Te 3~

une composante g~n~ral

cit.).

de c e t t e Par

et

grand~

int~grales

les

les

...

difengen-

I = 11 • : il

existe

de c o u p l e s

de

inbgalit~s

n) - z2(p~)[~

directions

des

s6cantes

la

il

X1 e s t X---~

tousles

ont

des

fini

y aurait

r~duite,

1 des

images

puisque

par

r~duite

ideal

pas

nest

normalisations.

fini

de p o i n t s

distinctes

composan-

de F i t t i n g

une

de C o h e n ~mplique

au-dessus

d'un

de X ( c f .

bim~romorph~ reste

1.

c'est

que X est

I1 nous

darts


deux points et

de p .

puisque

r~duite~

au m o i n s

noyau

de c h a q u e

X est

immerg~e parce

d~finition

le

couples

dense

son image est

de X 1 n ' ~ t a i t

composante

dans

2),

un ouvert

de c o m p o s a n t e que

contenue

de 0 × 0

fini~

projectives

: c N)

limite

sur

: zN(p n) - zN(pL))

coordonn~es

l'hypothese

irr~ductible

n:

...

un morphisme

avoir

§ 5)

les

I 1 l~id~al

~ X×X-5X

zl(p~)[,[z2(p

pour

une

distincts

un morphisme

consequent,

un isomorphisme

n assez

O: c 3,

un isomorpbisme

ne peut

soit

ou comme c e c i

( p n , P n )t

reprbsentant

ayant

vers

en particulier

consequent

suite

pour

D'apr~s

de 0 e t

p~ doric n i n d u i t

de X~ e t

Par

voisins

toute

(1.3.4)~

: z2(P n) - z2(p~): limite

:

et

par

projectives

tendre

2) ~ 1)

X×X~ X

de c l S t u r e s

valnatif

de ~ N - 1

(0: c'est-~-dire

d~finit

~ C. Sup{[zl(Pn)-

une

de (~X×~ e n g e n d r b

a l'~galitb

on a i t ~

points

vers

l'id~al

d~finit

critere

pour

tendre

qui

l'on

que pour

(0~0)~

I

~ × X. Dire que l'extension ns est X1 au v u de l a d ~ f i n i t i o n e t du f a i r q u e l ' o n p e u t

que

[zk(p n) - ~k(p~)[ pour

qui

donc,

par

Soit

ideal

ideal

I

h dire

se traduire

constante

z N)

~quivaut

~ et ~1'

peut

points~

--

(Zl,Z2).

et

donc

a montrer

354

l'6galit6 t6

I 1= I qui

n'avait

pas

analytique notant

lieu,

(~O)

z.(u)~

impliquera

et

d'apr~s

le

critere

h ~ X×X

n

}X×X

z!(u)~

les

61~ments

z i ° P2 ° n o h r e s p e c t i v e m e n t , galit~

de v a l u a t i o n s

puissance F N-1 forme tion

z~(u)

de u q u i

divise

correspond

(O: O: c3:

D~finition

tes

de

dite

2 est

pour

une

plus projection

un entier

6gali-

un morphisme 5X

et

que

z i o Pl ° n o het k,

3~kg

N l'in~-

z~(u))]

on v o l t

des

au n o y a u

par

que

s6cantes

la

la

plus

limite

z(u)z'(u)

de p ,

d'ou

dans

est

la

grande

de l a

contradic-

courbe

elle

satidfait

p: cN-~2

X par

une

(EN,o)

les

(i.e.,

si

elle

projection conditions

submersion est

lin6aire 6quivalene n O) e s t

conjugu6e

~ une pro-

des

changements


sur

~N e t

par

le

la

limites

en O.

est

justifi~e est

est

le

lin~aire

le morphisme

fait

que

Ib-l(O×O)l

au p l u s le

c~N-1

2~ c a r

noyau

r~union

des

avec

dim b - l ( O × O )

de p q u i

est

les

notations ~ 1 et

donc


O.

(X,O)c(~N,O),

dire

sur

p g~n~rale,

paraphraser

un hom~omorphisme,

cSne


ce cSne qu'en

On p e u t

(X,O) c (cN,o),

X si

(X,O)c

pour

ment est que

pour

courbe

g6n~rale

d~finition

ne rencontre

une

limite

Une p r o j e c t i o n

haut,

pour

par

: ZN(U)- z~(u))

lescoordonn6es~

direction

g6n6rale

~ l'identit~

:

toutes

courbe

introduites

Remar~ue

au m o i n s

...

donn~e une

~ X, q u i

une

donn6s

cette

~X ×X-

z~(u)),v(z2(u)-

z~(u):

Etant

en O de s~cantes

po~r

: z2(u)-

appartient

lin6aire

Cette

=~{u]

< inf[v(zl(u)-

~ la

Proposition.

~2 t a n g e n t s

existerait

que n o h(~-~O])

pour

: cN) , d o n c

dire

g6n6rale

jection

il

: si

•

:

la

tel

...

cherch~e.

p: cN-c

z~(u))

(Zl(U)-

qui

saturations

valuatif,

de ~ , O

on a i t ,

des

u-adiques

V(Zk(U)-

en divisant

l'isomorphisme

une une

mats

analytique

est

pattie

projection

de c e q u i g~n~rale

un hom~omorphisme

~ admet un inverse

precede

en disant

que

~ : X~X 1CC 2 non seulelipschitzien,

lipschitzien.

c'est-~De p l u s ,

le

355

morphisme s: xS-x factorisent

6.3

analytiques

Nous a l l o n s ([G-T-S Iet

II)

de c o u r b e p l a n e Soit

ici

satur6es

sans


de d o m i n a t i o n

des projections


(cf.

1 est

parmi ceux qui

g6n6rales.

1.

d6monstration

complete,

[BGG] A p p e f i d i c e ) ,


d'apr6s

Zariski

la structure

1. D ' a p r 6 s

ce q u i p r 6 c ~ d e ,

la saturation

de l ' a l g ~ b r e

des alg~-

toute

algebre

d ' u n germe

r6duite.

donc O = O X , O l ' a l g ~ b r e

d ' u n germe de c o u r b e p l a n e

f ( z l , z 2) = 0 ,

o~ f = f l " ' " f r '

tible.

la fermeture

Alors

sont

satur6es

et Pham-Teissier

satur6e

la relation

et qui

rappeler

analytiques

analytique

maximal pour

la normalisation

hlg~bres

bres

est

chaque f. 6rant 1

int6grale

r6duite~

une s 6 r i e

d'6quation

convergente

de O d a n s s o n a n n e a u t o t a l

irr6duc-

de f r a c t i o n s

r est

i s o m o r p h e ~ un p r o d u i t

santes ait

locales

t.1 de t e l l e

pour d6composition

d6finie

de l ' 6 1 6 m e n t • lots,

(c'est-~-dire

correspondant

K×X dans X×X est X

l'a~ons

Soit

n.

Soit

p le p.p.c.m,

= (til

.,~(i)) la suite ''" gi de c o u r b e p l a n e i r r 6 d u c t i b l e '

choisir

les

les uniformi-

r de OX,0e-~i=~ 1- f [ t i } image de z 1

d a n s OX~O, o~ n i e s t

la multiplicit6 de X e n O, q u i la d6composition

de z 2 d a n s OX, 0 •

haut,

l'id~al

I

de

TT¢[ti,t~l

d~fini~sant

id6aux

n.

_ t'.3 3 , z 2 ( t i ) - z 2 ( t 3 ) )

des multiplicit6s

(n i ~(i)

peut

(z2(tl),z2(t2),...~z2(tr))

~u p l u s

par

l'on

composante irr6ductible)

~ l'image

d6termin6

I.l,j

et

f a ~ o n que l ' 6 1 6 m e n t

p a r f i ( z l ~ z 2) = 0 .

comme n o u s

] [ ¢[ti], i=1

nI n2 n ( t 1 ~t 2 ~ . . . ~ t r r )

en 0 de l a i - e m e b r a n c h e est

direct

ni,

des exposants

cI{t.•,t'.]3

et pour chaque i, caract6ristiques

1K i K r ,

soit

de P u i s e u x

du germe

1

X.1 d 6 f i n i

de ( n i , ~~1( i ) ' ' ' ' ' ~ k ( i ) ) (Co( i ) = n i '

(ni'2ni'3ni'''''~l

~(i)

par fi(zl,z

eg( ii ) = 1) e t

soit

2) = O. S o i t E,1 c ~

e k( i )

le p.g.c.d.

le sous-ensemble

(i) (i) (i) ~i) o(i) ~(i) (i) '~1 + el '~1 + 2e '''''~2 ~2 + e2 '

•2( i +) ~z e 2(i)' ' ' ' ' P 3 _(i) ' ' ' "

,~(gi i) ~(i )+ 1,..-) gi

356

ou c h a q u e

symbole

spas-ensemble quer

que

contient

c'est

D'autre

" d6signe tousles

pour

chaque

r) 6OX, 0 ,

(h)=

suite

entiers

racine

a priori

a partir

p-ieme

on associe

P/ni) mi,j,

une

infinie.

de ~ i ) .

I1

faut

wet

chaque

de l ' u n i t 6

~ chaque

couple

i,j

- h.((wz) 3

))

ou v d 6 s i g n e

la

m. le l'J'~

Th6or~me

hppendice)

nombre

en T obtenue

en substituant

inf (m. (h)) h~Ox, 0 l'J'~

([G-T-S

113,

Th.

T-adique

1

.

3.1),

Pham-Teissier

(voir

donn6e l'algebre OX, 0 d ' u n ~ e r m e de c o u r b e = ~ OX, 0 [ ~ C { t i } 05 l ' i m a g e de z 1 d a n s OX 0 e s t i ,

multiplicit6

un 616ment

de ]~a i - ~ m e

h= (hl,...,h

s

satur6 0~, 0 d__eeOX,O

composante

r ) E OX, 0 ,

si et seulement

[B-G-G],

plane r6duite, n1 (t I ,...,tnr), r

de X, on a

(h. E ~) l,a

:

appartient

au

:

~)

Pour chaque

i, on a h.l,a = 0 __si a ~ E i

~)

Pour chaque

racine

p-i%me

ir~6ductible

h. = E h . t~ i l~a 1

si

et

. a t.,

•

Etant

une pr6sentation la

s6rie

(Zariski

:

n .1 6 r a n t

remar-

616ment

la valuation P/n i

d6signe

On n o t e

aussi

l'entier

P/ni) 1

notre

p/nj

v(h.(z i

h.(T

6.3.1

En f a i r

un semi-groupe.

part,

h= (hl,...,h

" ...

de l'unit6 ~ et ehaque

couple

(i,j),

i ~ j,

on a l ' i n 6 g a l i t 6

m.

(h)

l,j,w

Vo~ci n.

I

l'esquisse

d'une

d'apr~s

la Remarque

1 ' 616ment

(h® 1-

suivant

l®h')

~[ti

a une courbe

assez

Or on v 6 r i f i e

g6n6ral. ~1

(qui

6quisinguliere l'ouvert

1,j,~

d6monstration

la

est

: puisque

n'est

autre

que


V(h® 1-

l®h').

engendr6

Proposition

, t ~_}

est

n.

en restriction

par

m.

chacun

des

id6aux

n.

( t ' l l -- t'.3 ] , z 2 ( t i ) -- z 2 ( t ~ ) )

i,]'=

~

par

2 du § 1,

entier

sur

suite

(1.4))

I .1 , 3 . , i l

r6guli~re, pour

suffit

v6rifier

que

de l e v 6 r i f i e r

n.

k ( t ' 1 1 - t'.3 3) + ~ ( z 2 ( t i ) facilement l'espace

donc

que cette total

de X = 0 e t

On e s t

une

que

ramen6

_ z2(t~)

) ou (X : ~ ) E ~ 1 e s t

famille

de c o u r b e s

de l ' 6 c l a t 6 le

point

a d6cider

de I

k = 0 est si

i,j

dans

contenu

en restriction

param6tr6e ~2)

est

dans a la

357 n°

courbe

n.

t i 1 - t~j 3 = 0 de l ' ~ l ~ m e n t

(h®l-

l®h')i,j

est

enti~re

sur

Ii, j

(pour

tout

(i,j))~ et le Th~or~me r~sulte presque aussit~t de 1 ~ , e n r e m a r q u a n t p/n i p/nj t. = T ~ t ' . = (wT) , wp = 1 p a r a m ~ t r i s e les branches de l a c o u r b e 3 n.

que

n.

t . 1 - t,. 3 = 0 . 3 6.4

Saturation Soit

section

Pelative

f:

o.

X ~'-'~Y

On s u p p o s e

et

un morphisme X r~duit

avons

en vue~on

supposera

fibre

(X , o ( y ) ) Y

est

a-dire

que

s~par~

et

XxX X

*

des

in~galit~

des

courbes If

de L i p s c h i t z

de O~X× ~

1-

pour

les

d~finissant

et

l'on

m~romorphes

et

applications tout

pour le

de p o i n t s

~ 2,

plongement

sans

(c'estf

ferm~ au p r ~ -

--o;(f)

: c'est

mal que c'est

satisfont

situ~s

la

l'instant

on l e n o t e

X qui

quenous

y E Y,

de OX a s s o c i ~

v~rifie

sur

muni d'une


On s u p p o s e

l®hE~f(U)}

couples

les

que pour

¥ le sous-faisceau

relative~

de f o n c t i o n s

dimension

planes).

~ nouveau

lipschitzienne

une

complexes

Pour

d i m X= dim ¥ + 1 e t

1 eta

l'id~al

analytiques

Y non-singulier.

U~ [hE~x(U)/h®

germes

d'espaces

localement

dans

u n e mSme

de f . Soit

lier,

par

satur~e

faisceau

fibre

sont

consid~re

d~fini

l'algebre

une


fibres

l'on

et

mSme q u e

~ X × X . On c o n s i d e r e ¥

faisceau

le

les

~uisaturation.

f : XQ ¥

X r6duit,

X(y) = f-l(y) normalisation

et soit

un morphisme d i m X= d i m ¥ + 1,

une courbe

r6duite

plat et

muni soit

d'une

section

yE Y un point

en ~(y).

hlors

~ avec tel

que

g non-singula

fibre

d'une

part

on a p o u r

donn~e

dans

le

la

un diagramme

x-~Zy)

* T(y)

X(y)

de m o r p h i s m e s

dominants

d i m Y= 1 s ' ~ t e n d [05 O=OX,a(y

aussit~t)

) , ~y est

(cf.

[Te 2],

I

; la

correspondant l'id~al

d~finissant

preuve

au d i a g r a m m e [y]

d'alg~bres

cas

ou

suivant,

c l a n s Y au v o i s i n a g e

de y E Y

358

e t 7~ • O s o n i m a g e p a r Y

le morphisme

f

: -O, y - * O Ar g ( y ) ]

°/~x " F

et

d'autre

part

on a u n d i a g r a m m e

(s~

analogue

pour

lea

saturations

relatives

OxS ( f ) ( y ) ) d ( y )

O/~y. O

~ s(y),~(~

(X(y)

)s )

c'est-~-dire

X(y) s

~

xS(f)

(Y)

X(y)

La v 6 r i f i c a t i o n

eat

tres

facile

au vu de

(Loc.

cir.)

et

de l a

d6finition

de l a

~quisatur~

au

saturation.

6.4.1 point a) culier b) trivial

D4finition ~(y)C

X si

: la

On d i t fibrc

que

X(y)

Le m o r p h i s m e c a n o n i q u e il

y a un s e u l

point

eat

r~duitc

et

xS(f)(y)~X(y)

y l E Xs ( f )

Le m o r p h i s m e c o m p o s ~ Xs ( f ) e n Yt "

le morphisme

X ar---"~Y e a t

si

l'on

s eat

au-dessus

s ) X f 7¥

f:

a

:

un i s o m o r p h i s m e ,

et

en pa rti

de ~ ( y ) . eat

localement

analytiquement

359

6.4.2

Proposition

fibres

soient

:

des courbes planes.

~ue l e m o r p h i s m e f s o i t

D~monstration 2.3.1)~

:

~a(y')(X(Y')) de y ' )

D'apr~s

ainsi

multiplicit6

ny'

point

et enfin

O~X/OX) , i l

existe

planes

rare

du nombre de M i l n o r

point

tel

F~¥

yEY-F,

r~duites)

par

(cf.

a(y')

en a ( y ~) de X ( y ' ) ,

est

[Te 1 1 ] ,

un ferm~ a n a l y t i q u e l e hombre de M i l n o r

soit

de l a c o u r b e X ( y ' ) .

+ r y , - 1 ou r y ,

t.e.1

la platitude

constant,

(ind~pendant

T ' i n v a r i a n t 5 H , 5y, = dim~(OX(y , ) / O X ( y , ) ) d ( y , )

au p o i n t

que l e s

de ~ ( Y - F ) .

([Le-T 2]),

de t o u t

(courbes

M i l n o r 25y, = ]Zd(y , ) ( x ( y ' ) ) ductibles

f~(n.

quWau v o i s i n a g e

que l e u r

en t o u t

des fibres

des fibres

un ferm~ a n a l y t i ~ u e

la semi-continuit6

du O y - m o d u l e c o h b r e n t

F de Y t e l

I1 e x i s t e

6quisatur6

de l a m u l t i p l i c i t ~

g6n6rique rare

d f : X~c---~Y un m o r p h i s m e comme c i - d e s s u s

Soit

D'apr~s

et

l'6galit~

la

de J u n g -

l e hombre d e s c o m p o s a n t e s i r r 6 -

ce hombre de c o m p o s a n t e s e s t

5~galement i n d ~ p e n d a n t

de y ' E Y - F . D'apr~s

([Te 2],

I),

p u i s q u e 5y,

m o r p h i s m e f admet une r ~ s o l u t i o n sation

n : X-*X. P u i s q u e

aussi

constants~

que s i ble,

c'est

en f a i t

un s o u s - e s p a c e

In-l(a(¥))l-a(¥)

soig

constant

simultan~e

une r ~ s o l u t i o n dbfinissant

n-l(o(¥))

~tale,

sur d(¥)

tres

l e nombre d e s b r a n c h e s

nous notons S l'idbal

d6finit

est


faible

ry t et

donn~e p a r

simultan~e

forte

n-l(d(y))

le

la normali-

la multiplicit~

d(Y) d a n s X, l ' i d 6 a l

tel

de d ( y ) ,

ny~ s o n t

c~est-a-dire S(~X e s t

inversi-

que l e m o r p h i s m e i n d u i t

contenant

r= r

Y

points,

et

donc f i n a -

l e m e n t on a un i s o m o r p h i s m e de ( ~ ¥ , y - a l g e b r e s r ~T-[ Oy,y[t i] i:1

OX a ( y ) '

tel

que~ p o u r un Y - p l o n g e m e n t l o c a l

est

muni de c o o r d o n n 6 e s ( Z l , Z 2 ) ,

X ~ Y x ~ 2 e n v o y a n t d(Y) s u r Y x O~ e t o~ E 2

i m a g e s de ( Z l , Z 2) r soit inversibIe, engendr~ disons par z 1 . Soit (~l,...,~r)C]--T O y , y [ t i ] l a d~i=1 composition dans 0 de l ' i m a g e de z . L ' h y p o t h ~ s e d ' ~ q u i m u l t i ~ c i t b impli~,a(y) 1 que, te

comme on l e v ~ r i f i e

locaie

t.1 ~ l ' o n

aussit~t~

l'id~al

qu'au

engendr6 par

prix n. p e u t s u p p o s e r que ~i = t ' l l

les

d ' u n c h a n g e m e n t de l ' u n i f o r m i s a n -

360 Consid6rons maintenant l ' i d 6 a l I d 6 f i n i s s a n t Xx X dans X×X : clairement X ¥ l ' a l g e b r e de ~ e s t ~y~,y-iSomorphe am p r o d u i t ~×~,n-l(~(y))xn-1(~(y)) Y ~-~.. O ¥ , y [ t i , t 1,3 Soit

~} e t

(HI,...,H

l'id6al

r) E~-fO¥ I

Iest

y[t i}

d6termin6 l'image

par ses images Ii, jCOY y[ti,t'j}.

de z 2 ; Hi E O ¥ , y [ t i } .

L'id6al

I

'

n.

est

i,j

n.

engendr6 par ( t i l - t'. 3 , H i ( t i ) - H . ( t ' . ) ) . Soit maintenant ¢~ l ' i d 6 a l de 3 3 J i~-T3•3 O ¥ , y { t i , t , j ] d6fini comme s u i t (t ile

t ~1) "

~i

=I

,i

•

i,i

D'apr~s

l o n g du s o u s - e s p a c e

:

si i ~ j ,

(~Te 21

de X x X d 6 f i n i

~i

'

I I ' § 5)

par

l'id6al

Y

pour chaque y' E Y voisin ~i,j

• Oy/~y,~y[ti,t

l'id6al

~

est

] ] ( t i , t ~ ), J

6quimultiple

e n ce s e n s que

i,j

de y,

~} e s t

= I.,,j e t s i i = j ,

,j

l a somme d e s m u l t i p l i c i t 6 s

~ g a l e ~ 25y, ,

des id6aux

doric i n d 6 p e n d a n t e

de y ' E Y v o i s i n

de y . Voyons maintenant appartient

comment d 6 t e r m i n e r

au s a t u r 6

relatif

s i un 616ment ( h l , . . . , h r ) E T [ O y , y [ t i }

~x,~(y)~s(f)c TTi O y , y [ t

i]

• Si n o u s p o s o n s

hi = E hi

tai ' h.1,a 9 v i l f a u t d 6 t e r m i n e r s i Z h. t~ - Z h. t '.a E I ' ,a E,y l,a I 3, a 3 i,3 pour t o u s l e s couples ( i , j ) . Remarquons que s i i = j , i l r e v i e n t au m~me de d6terminer

Puisque

si

t ~ - t~ a h. 1 ~ appartient 1 , a t . - t~ l 1

Z

l'id~al

multiple

~d6finit

une famille

l e l o n g du s o u s - e s p a c e

~ ~,i

param6tr@e par ¥ d'id@aux,

d6fini

par l'id6al

~--~ ( t i , t ] ) i,j

induit

par ~dans

la fibre

qui est

, parce

6qui-

que l a

i

multiplicit6 de y '

vaut

e(~v,) 25y,,

t e du p r i n c i p e suffit

de l ' i d ~ a l qui est

constant

de s p 6 c i a l i s a t i o n

de v 6 r i f i e r

la relation

(pour tout

de d 6 p e n d a n c e i n t 6 g r a l e

d'apr~s

l e t h 6 o r ~ m e de s t r u c t u r e

on d 6 d u i t

que,

l'on

et

si

l'on

(1~ i ~ r)

voir

de l a d 6 p e n d a n c e i n t 6 g r a l e

e t de 1~,

si

ceci,

de X × X - ¥ ¥ [Te 2 ] , I I ) , (§ 5 . 1 )

vu p l u s

p r e n d une b a s e - -5' ' ' ' ' ~ ~ Y l by k d e s d ~ r i v a t i o n s

n o t e D£ l a d ~ r i v a t i o n

de T ' [ O y , y [ t i }

e t D£1Oy,y I = ~uv£ -~, on a l ' i n c l u s i o n

obtenue

en p o s a n t

il

r6sul-

qu'il

dans une fibre

des anneaux satur6s

au-dessus

g6n6rale, haut,

de O y , y D£ t i = 0

361

D£

(en

effet

E h. l~a Ceci

t~ ne contienne 1

vations

que

1 ' isomorphisme

~(f)

voulions

avec

les

a)

:

~)

de v e c t e u r s

est localement

~ J -i~ % 'Y [ t i ] ~ O y , y

X(y),d(y)

Ceci

d'exposant

que

paraphraser

ler~sultat

correspondant

aux d~ri-

analytiquement

triviale,

® OX(y),d(y

~quivaut

) induit

~ l'~quisaturation

•

_s(f) ) est OX,~(y

satur~e

(h 1 ' ...,h

notations

en disant

la sous-algebre

r ) ' h i = E h .l ~ a

t ~1 *

avec

que,

pour

r ~i=l

de ~~X,d(y) ~ tels

hi, a 6Oy,y

~y,y[t

que,

du T h 6 o r ~ m e c i - d e s s u s

l'~l~ment

h. soit l~a

l'ensemble

pour

~s

~y E

pas

0).

des champs

On p e u t

1)

~l~ments

(ou E.I est

D£(~)=

~X,~(y)

d~montrer.

y E Y- F, l'algebre des

~

~X,~(y)

Remar~ues

form~e

et

par " i n t e g r a t i o n

un isomorphisme que nous

d~ja

(l < Z ~ k) -

ne contient

~,a

~s(f) (cf. [Te 2], I) que ~X,~(y)

D£"

en ce sens

6.4.3

=

D2(E h i , a a

implique,

(@s(f) ) ~ ~s(f) X,o(y) OX,~(y)

tout

nul

associ~

couple

si

a~E.

i

a la i-eme

composante

de X(y))

;

(i~j) I i ~ j, on a l'in~galit~

m.

,,j,w

(h)

>

m.

,,j,w

(m~me c o n v e n t i o n ) . On v o l t

ainsi

pourquoi

D£( 2)

de g e r m e s

de c o u r b e s

seulement

celle

r~sultat

avait

observer

Mr.

p. est

127)

n'est

construite

os(f) . _s(f) X,o(y~COx,v(y

On s a l t

planes,

]a

(cf.

) .

[Te 2],

constance

II,

§ 5)

du h o m b r e

que pour

de M i l n o r

e t de r , m a i s a u s s i l ' ~ u i m u l t i p l i c i t ~ Y Y ~t~ prouv6 topologiquement p a r L~ D . T . , [ L ~ ] ) . B~ger,

pas

la

complete,

conserve

fin

de ma d ~ m o n s t r a t i o n puisqu'il

O~ ( f ) A

au-dessus

n'est

pas

da p o i n t

alg~brique clair

que

g6n~ral

(ce

non

dernier

Comme me l ' a ([Te

la

famille

entra~ne

de 5

E.

une

25,

d~rivation

de Y.

fait

II, D qui

i

362

C H A P I TR

E

I I

IDEAL JACOBIEN~ MODIFICATION DE NASH~ ET THEOREME DE BERTINI IDEALISTE

Introduction.

Dana ce chapitre~

des eapaces lier

d'un

eat

celle

de

l'id6al

rang

tangents espace

un plongement d'utiliser

analytique

pour

qui

s'exprime

nous

un espace

X, m a i s

m~me p o u r

la

et

d'obtenir

tr~s

utile

de N a s h ~

la modification

§ 1.

Ideal

1.1

Soient

cas

absolu

~acobien f:

X-S

un morphisme

not6 [Ca3

; expoa6

14 ; j ' u t i l i s e r a i

y sont

l'id6al

routes

autres,

~ la

c'est-~-dire

fibres

d'un

de d 6 f i n i r associ6s

S 6gal

racine

jacobien,non

les

est

celle

mineurs

de

de l ' i d 6 a l

deux points de l a

g6om6trie

de B e r t i n i ~ mineurs

alors

de

ver-

de l a m a -

que

de c e t

le

th6o-

id6al.

seulement

pour

morphisme~ l'id6al

et

de

3acobien

a un morphisme

X.S,

puis

~ un point.

relatif.

1 ~X/S ) le @X-module coh6rent

1 de ~ X / S q u i

de c e r t a i n s

certaina

de N a s h r e l a t i v e en prenant

de c e s

singu-

limites

de g 6 n 6 r a t e u r s

du t h 6 o r ~ m e

appartenance

pour

les

quantitative

de d 6 f i n i r

simultan6ment

modification

le

leur

par

fondamentaux

par

un point

alg6brique

I,a c o m p a r a i s o n

int6grale

limites

positions

de f i n i t u d e s

engendr6 par

l'6tude

syst~me

positions

vers

de c e s

engendr6

d'un

x~EN+I.

d6pendance

l'id6al

s'exprime est

jacobienne

th6or~mes

la

et

l'id6al

une version

par sur

r ~ m e de B e r t i n i I1

c'est-a-dire

les

tendant

g6om6trique

de N a s h N ( X ) - X ~

local

les

prouver

3acobienne

relatif

de X,

non singuliers

X. L ' 6 t u d e

d i m X de l a m a t r i c e

permet

trice

analytique

jacobien

N+I-

sion

points

de l a m o d i f i c a t i o n

d6finissant rue

en des

on c o m m e n c e ~ 6 t u d i e r

d6montr6es).

d'espacea des

1-formes

sans

les

Pour

chaque

analytiques

complexes

diff6rentielles

rappeler entier

les

et

~ f1 (aussi

relativeg

propri6t6s

d ~ O~ on p e u t

(cf.

616mentaires d6finir

363 le faisceau

coherent

d'id~aux

[G-R]) qui a la p r o p r i ~ t ~

(cf.

a F d ( ~ ) . OX(s) = F d ( ~ X ( s ) ) comme s u i t

: tout

point

sivement encore noter

de F i t t i n g

Fd(~ ~ ) C O X ( c f .

Loc. c i t . )

Ce f a i s c e a u

qu'il

d'id~aux

existe

Xr

§ 1,

que p o u r c h a q u e f i b r e peut ~tre

x ~ X p o s s ~ d e un v o i s i n a g e

X, t e l

[Te 3 ] ,

ouvert,

[Pi],

X(s)= f-l(s)

d~crit

on

localement

que n o u s a l l o n s

abu-

un S - p l o n g e m e n t de X d a n s s x C N

:

~. S × E N

S

Soient

fl,...,fmEOS,s{Z1,-..,ZN}

de O

N

Sx¢

,sx[O}

,

ou s = f ( x ) ,

i/i 2

s~ N ,~×[o] d e s

d~finissant

[ 0 ] ) , On a a l o r s

(X,x)~(s×EN,s×

ou d d 6 s i g n e

=O

d ~ (~1

.

la diff6rentielle

X) x

b, DI

X/S,x

naturelle

O

N

* 0 . (~1

~ hE&s,s[Zl,...,z

8h

N} l ' 6 1 ~ m e n t Z

~

1

I1 r ~ s u l t e

aussit~t

Fd(~) x est

l'id~al

ce j a c o b i e n n e

de c e c i

et

de l a d ~ f i n i t i o n

N

)

qui

s×¢ I s sxfO}

N

~ associer

I

exacte

s×¢ ,s×{O} revient

de l ' i d ~ a l

l e p l o n g e m e n t de g e r m e s

la suite

S×~N/S

g~n~rateurs

dz i

•

*

d e s i d ~ a u x de F i t t i n g

que

de OX, x e n g e n d r ~ p a r l e s m i n e u r s de r a n g N - d de l a " m a t r i -

relative"

~f. (~zl.) 1

choix d'un S-plongement local

1~ i ~m,

1~ j ~ N , .

comme c i - d e s s u s

c'est-£-dire

on a

que,

pour tout

:

ra(O)x

I

b(fil'"''fiN_d ) ~(Zjl' 'ZJN_d)

(les

indices

~[il,---,i~_d}C {1,---,-},[Jl,..-,JN_d}C{1,---,N}I • ~ X , x

sont supposes tous

distincts).

364 Un c a s

particulier.

fl,...,fd est

et

une

point

routes

intersection

s= f(x') espace

que

Supposons

de

la

d6finition G dans

tangent

Tx(s),y

grassmannienne

(x'),

encore

G= G(N- 1,d-

{Jl ....

~ les

dans

en x'

not6e 1)

s×EN


En c h a q u e

de P l ~ c k e r

(~)-1

projeetif

~]~.,z.)

31

sont

, ~ X(s)

d,

m~me du p l o n g e m e n t

l'espace

X(s)

d6fini

relative).


~(fl,''',fN_d)

~'(~.

les fibres complete

l'espace vectoriel

que X est

que X x'EX(s),

direction

, d a r t s cN,

d-l-plans

de s o u s -

c'est-$-dire

darts ~N-I

et

un

par

la

209) de l a g r a s s m a n n i e n n e

p.

d~terminants

'JN-d ) ~{I'''''N}

alors

non-singulier

d~termineune

([G-HI,

N- d 6quations

d (on dit

point

Tx(s),x

des

par

jacobiens

sont

les

coordonn6es

homogenes

3N_ d

(~)-I de l'image dans ~ l'ensemble

du point de G d6termin6 par Tx(s),x , • Ainsi, natant X°

des points

x' E X qui

sont

non-singuliers

dans

leur

fibre,

nous

:

avons

L'application analytique ("morphisme jacobien x ' E X° a s s o c i e

le

point

de c o o r d o n n ~ e s

X °~ (~)-I

relatif")

qui

homogenes

~(fl,-..,fN_d ) ( x ' ) , [31,-..,JN_d }~ [ 1 , . . . , N ] ~(Zjl,''',ZJN_d) (les

indices

3k s o n t

suppos6s

2 a 2 distincts) (~)-1

coincide

avec

("morpbisme

l'application

de G a u s s

compos6e

relatif")

qui

X°

~

¥ ~G •

, ou y e s t

a x ' E X° a s s o c i e

la

direction

l'application Tx(s),x

, , et

(~)-I G~

est

le

Remarquons biens

est

surfaces

p]ongement

qu'en

non nul,

un point

puisque

f. = O doicent 1

de p o i n t s

de P l f l c k e r .

les

~tre

x!l E X° t e n d a n t

x ' E Xo, espaces

en position

vers

un point

]'un

au m a i n s

tangents g~n6rale. singulier

des

en x' Si x,

d~terminants

aux fibres nous

la

prenons

position

jaco-

des N-d hyperune

suite

limite

(dans

m(~)-I ou d a n s

, ce qui

revient

a u mgme) d e s

espaces

tangents

Tx~xl

sera

en

1

partie

d~termin~

par

minants jacobiens

]es

vitesses

relatives

avec

lesquelles

les

divers

d6ter-

G,

365

8 ( f l ' " "" ' f N - d ) 8(z .... ,z. ) (x~.) 31 ' pour

vers

O. Comme n o u s

Exemple

raison

que

, montrant ¢4

f :

¢4

Ce m o r p h i s m e E4 n e s e

le

que

le

concept

le

cas

morphisme

n'est

pas

rencontrant

de d 6 p e n d a n c e

particulier

verrons

d6fini

par

surjectif,

qu'en

et

O. h u s s i

u 1 = xz,

f-l(o) il

plus

1.1.1

toutes

dimension,

le

cas

d'apr~s 22)

si

particulier

un r6sultat

nous d,

il

un ouvert

k= ()~ij)Eu

sans

, le

faire

les

pr6c~dent classique

supposons

dimension existe

que si

d'hypoth~se

de Z a r i s k i

sous-espace

la

pas

permet

les

le

bas,

r6union

c'est

U de l ' e s p a c e d6fini

u 4= yt.

que

purement le

de f s o n t

tN

utile.

particulier.

6tonnant

nombre des

tr~s

de d e u x p l a n s

commutative,

dense

sera

u 3= yz,

d'6tudier

_

X 1 de S ×

bien

de f s o n t

fibres

sur

est

tres

fibres

d'alg~bre

que routes

nous

u 2= xt,

est

n'est

facilement.

Lemme , m o n t r a n t

int~grale

pr6c6dent

F o ( ~ ~) = O, comme on l e v 6 r i f i e

Th.

le

JN_ d

cette

Soit

tendent

cas

de l a m~me :

[Z-S],

purement

tel

II,

de l a mSme

g~n6rateurs,

au voisina~e

ait

g6n~ral

(cf.

Em(N-d)

l'on

dans

alors

que,

:

s~i

de s × ~0} p a r

les

N- d 6quations

gl et

~ui

contient

6videmment

L'on plus

si

X(s)

un argument au

se

trouve

est

r6duit,

du t y p e

de

?~li

fi

X dans

on p e u t la

'''''gN-d

X, a s e s

pour

preuve

=

m E i=l

kN-d, i

fibres


le

particulier

cas

supposer

que pour

du t h 6 o r ~ m e

f. l d.

6tudi6

plus

k E U, X l ( s )

de B e r t i n i

haut.

est

De

r6duit,

classique,

et

uar

laiss~

lecteur.

En p a r t i c u l i e r , analytique id6al

de

intersection des

m E i=l

=

prenant

r~duit la

purement

forme

Sun

point~


on o b t i e n t d peut

(fl,...,fN_d,fN_d+l,...,fm)

complete

composantes

pour

r6duite

irr6ductibles

d~fini

germe dans

o~ ( f l , . . . , f N _ d )

X1 de d i m e n s i o n de c e t t e

~tre

que tout

d : X est

intersection

tN p a r d~finit

r~union

complete,

d'espace un une

de c e r t a i n e s et

en particulier

366

Xo1 n X ~ X ° ( o u Xo d 6 s i g n e

on a l ' ~ n c l u s i o n o

X1 N X e s t X°-G

dense

coincide

d a n s X, e t avec

Sous l'hypothese sion

la

que

les

me de G a u s s r e l a t i f . avec de

lesquelles

l'id~al

toutes

du f a i s c e a u d'un

les

fibres

X-isomorphe

dense

relatif~

non-singuliere

a X NX de

l'applieation

de f : X ~ S

g6om6trique

r6duites

d'id~aux

et

Fd(~). petit

au m o r p h i s m e o b t e n u

vers si

O est

purement pour

rapports

sur

point

G.

de d i m e n ]e m o r p h i s

des vitesses

d'~tudier

l'6clatement

nous nous restreignons

Localement

comme c e c i

et

les


de c h a q u e

de G a u s s

analogue

d'~tudier

tendent

r6duites

assez

sont

de X ) ,

de G a u s s Xo1

de l ' a p p l i c a t i o n

d a n s X~ on a u n r ~ s u l t a t

c'est-~-dire~

de f s o n t

ouvert

pattie

~ XO 1 ~x

mineurs3acobiens

c)h6rent

voisinage

fibres

La m a n i e r e

jacobien

les

restriction

restriction

o q u e X1 Q X e s t

d et

la

la

au c a s

o~

d~ l ' 6 c l a t e m e n t

~f(X) ~X

X,

au-dessus

x 6 X,

c'est~-dire

ce m o r p h i s m e e s t

: (~)-1

On c o n s i d ~ r e F~X ° × GcX ° × induit

par

l'id6al

la

m(~)-~

jacobien

tangents

tives, r~s

trop

cette que

:

1.2

Soit

tel

que

dans

grand

et

le

le

Soit

Gf

1 Of,

c'est-~-dire

d sur

Gv ,

des

le morphisme ~£(X) ~X

a l'~clatement

d a n s X de

exactitude

limites

un peut

les

intersections

de r e g r e t t a b l e s

completes

le nombre des mineurs redondances.

moins explicite~

espaces

diff~rentielles le

[Ca]~ et

des exp.

que

le

quotients XII)

analytiques

relatives

compl~mentaire

grassmannienne (cf.

avec

de ce c a s ~

un morphisme entre

d = dim X - dim S s u r

de r a n g

et

qui

d'esrela-

consid~-

I1 y a cependant fonctionne

tou-

de N a s h r e l a t i v e .

rang

libre

relatif~

ne d ~ c r i t

dehors

en a p p a r e n c e

X~S

la

du g r a p h e

X-isomorphe

particulier

contient

1 module ~f des

g)x

cas

queen

la modification

f:

jacobien est

construction

du f a i t

une construction~ jours

projection

dans X×~

relatif.

~ cause

est

~f(X)


premiere

Cependant paces

l'adh6rence

d'un

soit

(r~els

ou c o m p l e x e s )

localement

ferm~ analytique

localement

libres

.1 q u e g Of a u n q u o t i e n t

morphisme g est

universel

libre

de

rare

F de X.

de r a n g

d de

L localement pour

cette

pro-

367

printS. et

D'apr~s

d'apr~s

espace

est

analytique

Gf e t

que

est

r~duit,

propre

donc une modification

tive

de X / S .

modification

d~finie

Remar~ues

:

come c e c i

1)

: sur

~ un fibr~ fibr~

vectoriel tangent

le

pour

tout

X×G,

o~ G e s t

Gauss

X - F Y-~ G .

la

3) truction

valable

constant

sur

localement libre

le

tout

espace

aussi

d qui

de X - F .

un sous-

Nf(X)

ferm~


n'importe

uS

complbmentaire

torsion, le

d'un parmi

cette


chaque

celles

K brant

correspond

f-l(s) l'ouvert sur

A ( X - F) dense

Nf(X)

tout

du ON~ ~ - m o d u l e

signifie

que des

des points

de X - F .

identifier de c N

est

Nf(X)

en-

v ~f ~ fI.

un cas

ont

limites

~ l'adh~rence

dans


d'une

libre

propri~t~

de

cons-

de r a n g

de X : i l

admet un quotient de t o r s i o n .

identi-

pour

particulier

rare la

peut

En f a i r ,

du g r a p h e

analytique qui

1'on

directions

O X - m O d u l e M, l o c a l e m e n t ferm~

en

de N a s h r e l a t i v e

fibre

LfINf(X)

est pure.

fl I X - F = ~ X _ F / S

~ l'ensemble

d-plans

on l ' a p p e l l e

proprietY.

adh6rence

c'est-~-dire noyau

libre sur

de N a s h r e l a -

de N a s h a b s o l u e

r~duit

fibre

pr~c~dente quel

et

vectoriei

de f e n

des


v : N(X) ~ X

en un fibr~

cN , on p e u t

grassmannienne

modification

v~Tf sur

Ivfl(x)I

aux fibres

L ; O-K~T~M~L~O,

est

propre,

vectoriel

pour

par

l'ensemble

modulo

F)

un morphisme

la modification

localement

minimal

XcS×

note

induit

Le f i b r ~

an quotient

~ : X' ~ X m i n i m a l e libre

g est

appel~

localement

canoniquement

vf est

est

caract~riser

s'~tend

pour

g induit

au-dessus

analytique

fibre.

local

et

La m o d i f i c a t i o n

~ cette

tangents

X- F--~Gf

Gf de o ( X -

pui sque

on l a

de X.


S-plongement

modification

un point~

le OX-mOdule

x E X,

en x d'espaces tout

vf : Nf(X) ~X

T f de r a n g

morphisme 2)

fier,

pour

correspondant

De p l u s

S est

R- F,

,

d~finie

de X.

On p e u t

v f l ( X - F) c N f ( X ) tier,

bim~romorphe

de N a s h ( a b s o l u e )

particulier

dans

Nf(X)cGf

un isomorphisme

Le m o r p h i s m e Lorsque

l'adh~ronce

not~

et

vf y induit

:

on a u ~ e s e e t i o n b i e n

de R e m m e r t ~

ferm~

qui

O~finition

Ie

d~finition,

un thbor~me

vf : Nf(X) ~X dans

cette

existe

une

q u e ~eM e s t localement

Ce r ~ s u l t a t

peut

~tre

368

v u comme u n c a s du t h ~ o r e m e

particulier

d'aplatissement

Modification

libre

de r a n g

soient

:

a)

dans

Soit

f:

X de l ' i d ~ a l pf

ou l e s

fibres

se

de l ' i d ~ a l

deux morphismes

X~S

est

sont

dehors

d'un

~acobien

r~sum~e

un morphisme

la modification

le morphisme

celui

bclatement

d = dim X - dim S e n

~f : Nf(X) ~X

l'~clatement

et

de c e s

Proposition

simple,

lin6aires~

de [ H - L - T ] .


La c o m p a r a i s o n

1.2.1

tres

anal~tique


jacobien

factorise

relatif

la

1 ~ue ~f soit

tel

ferm~

dans

relatif.

localement

rare

F d__ee X

de X / S e__~t p f : ~ f ( X ) ~ X

de X/S.

canoni~uement

atravers

~f

:

~f(x) Pf~°~vfNf(X) X

b)

le morphisme

complete du c a s c) il

routes

localement dont

sur

le

relatif

de X 1 / S

point

fibres

X est si

de f p u r e m e n t

localement l'on

est

une

dans

b)

de X d a n s u n e

les

purement

fibres

sont

coincide

avec

: finalement~la

d~e X 1 / S p a r

la

sur~ection

a)

:

de X/S e s t

la modification

~ l'~clatement


X un plongement

de X p a r

X-isomorphe

Prouvons

si

c'est-a-dire


stricte

d'apres

de S,

les

routes

la modification

transform~e

un isomorphisme

intersection

la

situation

d et

r~duites,

ci-dessus.

supposant

Xl~

est

au-dessus

particulier

existe

relative et

relative

qf

l'~clatement

modification

de l ' i d ~ a l ~Xl-~X

D apr~s

la

~0


canoni~uement

dans

il

Oacobien

de X / S e s t ~acobien

au plon~ement

de N ¢ ( X ) ,

a la

de X 1 / S ~ ~ u i


correspondant

r~duites,

X-isomorphe

X 1 de l ' i d ~ a l

de l ' i d ~ a l

complete

d et


de ~X i m a g e

d6finition

intersection

suffit

relatif

X~X 1 •

de p r o u v e r

que

369

pf~f

1

a un quotient

morphisme

au-dessus

l'ouvert

des

de F i t t i n g

donc

son

pfl(x-F).

([G-R],

5.4.2

de r a n g

dl

ideal

de r a n g

de F i t t i n g

ou [ P i ] )

d'ou

libre

ceci

entre

est

Or~

part~

morphisme libre

par

([Te

id~aux d sur

3]),

de

570,

de O ~ f ( X ) •

un iso-

d sur

la

formation

[Pi])

implique

Le ( ~ f ( X ) - m o d u l e

analytique

D'apr~s

est


d~finition

p.

l'ouvert

pf

de rang

La c o m p a t i b i l i t ~

inversible.

implique

le

localement

D'autre

1) " ( ~ f ( X )

localement

d-i~me

dense

F)

pfl(x-

u n lemme de R a y n a u d libre

localement

q u e p~Qlf a u n q u o t i e n t

a).

Prouvons d'apres

donc n~ 1 est ~f f

d.

est inversible. f(X) a u c h a n g e m e n t de b a s e

Fd(P~fll):Fd(~

P~f 4 est et

dense

de r a n g

F d ( Q l f ) . (~~

idSaux

l'~gallt~

libre

de X - F ,

analytique

l'id6al

Pft

localement

b)

:

ce que nous

Si X est avons

localement

vu plus

une

intersection

haut,localement

sur

complete

X,

le

relative,

c o m p o s ~ de l ' a p p l i -

(~)-1 cation

de G a u s s

morphisme 2)

adhbrence

et

dans

l'~clatement

s E S, de l a

(X(s)) ° avec

X- F~G-~

d6fini

par

les

jacobiens.

description

de

d~finition morphisme

Remarques

que

c)

:

la

fibre

fibre

de X 1 s u r

universelle.

soit

(X1)(s)

dense

une propri~t~

qui

dans

:

1)

et

complete

donc

existe

relative

est

(Xl(S))°

le

nX(s).

r~duite,

morphisme Le p o i n t


r6sulte

comme

tel

sur

coinciavec

relatif

X un

que pour

cha-

irr~ducti-

N X est

contenu

dans

de X, c o i n c i d e

aussit~t

comae adhbrence

le

globalement

composantes

de G a u s s c)

aussi

avec

renarque

coincide

X1 ,

de p l u s et

jacobien

localement

des

du p o i n t

En a d a p t a n t

il

la

, cette

de c e r t a i n e s

X(s),

(X1)(s)°

l'id~al

r~union

de l a m o d i f i c a t i o n de G a u s s ,

Lemme 1 . 1 . 1 ,

intersection

D'apr~s

de N a s h r e l a t i v e localement,

le

coincide

X- F~

relatif

D'apr~s

X(s)

de


la modification

jacobien

de X d a n s u n e

mineurs

l'~clatement

du g r a p h e

deux v~rifient

, est

celui

la

de l V i d ~ a l

les

plongement

bles

de P l f l c k e r ,

aussit~t

Prouvons

que

plongement

X×

impliqne

puisque

le

X- F~

ci-dessus,

dence

avec

de c e c i , du g r a p h e

de l a du

b).

au c a s

relatif

la

preuve

donnbe

dans

[Te

3],

§ 2),

370

on o b t i e n t

une preuve

Proposition

:

Si

Nash r e l a t i v e

est

c'est-~-dire

toutes

plat

et

Soit

N(f)

de X ( s ) ~

(E~pl~

: x2

par

cation

sans

pour

relative

vf

que

au c h a n g e m e n t

tout

de

la

les

fibre

la

pas la

si

la modification

de

le mor~hisme fest

vf

formation

l'axe la

est

• X f-~s

lisse~

de

~ on p r e n d r a

la modification

avec

la modification

de

de N a s b

en g b n b r a l . d e s s~ en s = 0 . )

propri~t~

de f s o n t

transform~e

X(s)

en g ~ n b r a l

de b a s e

sur

fibres

s 6 S,

seulement

ne c o i n c i d e

mal e n u t i l i s a n t

de Nash~ q u e s i

r~duites,

et

r~duites,

le morphisme compos~ Nf(X)

- y 3 + s 2 y 2 = 0 projet~

contre

de f s o n t

si

c'est-a-dire

ne commute p a s

:

lisses.

vfl(x s)

relative

.fiera

fibres

~ fibres

que N(f)-l(s)=

Nash N ( X ( s ) )

les

suivant

un isomorphisme

2) garde

de l ' ~ n o n c ~

universelle

purement

stricte

canoniquement

Le l e c t e u r de

v~ri-

la modifi-

de l a m~me d i m e n s i o n

par

la modification

isomorphe

et

de N a s h

a la modification

de

N a s h de X ( s ) . 3) tive

En r o u t e ,

comme d ' a i l l e u r s

l'~clatement

d'un

d'une

intersection

bable

que

ment. Voir

trant

toute

ideal,

[No],

qui

Difference

Reprenons en

l'exemple [0].

L'id~al

, z,tl,

et

m a x i m a l ~ de ~X,O ~ exceptionnel des

morphisme tout

son image.

deux plans fini

(en

l'~clatement

de l a

r~union

dont

l'~clatement une

s~par~s,

tandis

la

soit

un i s o m o r p h i s m e


de f a c t o r i s a t i o n

I1

para~t

et

la

~tre

que

projective la

le

un ~ c l a t e -

des

modification

carr~

les

(comptbe

et

2 fois)

de N a s h de X

a sbparer

deux plans

a ~clater

~2 de

deux plans

$1

consistant

q consiste

impro-

de ~4 s e r e n c o n -

modification

de c h a c u n

tr~s

~crit

dans X s~pare

droite

jacobien

Proposition.

jacobien

peut

localement

l'id~al

~lobalement

de l a

normalisation)

en i n d u i s a n t

X par

q u e F2(Q ~ )o e s t

v~rifie

induisant

fait

sur

de N a s h r e l a -

est

X de d e u x 2 - p l a n s

correspondant l'on

projective

X 1 comme c i - d e s s u s .

une partie

entre

modification

induit

a inspir~

darts c h a c u n

plans

relative

l'id~al

aussi

a un d i v i s e u r

le

ici

de Nash~ m~me a b s o l u e ~

(xz,xt,yz,yt)c~[x,y

est

a savoir

la

localement

la modification

seulcment

l'id~al

a v o n s m o n t r ~ que

modification

complete

4) de N a s h .

nous

les

s~par~s

darts N(X)

deux sur

le

371

carr6

de l ' i d b a l

d6finissant

v-l(o)

Pl

J(X)

N(X)

s

§ 2.

Th6or~me

2.1

Soit

~ : x~S

de B e r t i n i

id6aliste

X un s o u s - e s p a c e le morphisme

le

par

la premiere

localement

libre

de r a n g

On s u p p o s e

enfin

X d6fini

d a n s un o u v e r t

globales

GI,...~G

par

des sections Pour

tout

choix

respectivement~ K= [ k ~ + l , . . . , k engendr6

par

pour c)~ les

d = dim X - s d e h o r s

~I,...,M], 616ments

entier

d'un

on s u p p o s e

ferm6 analytique

U de ~ s × ~ M

(tl~...~t

s)

2~ O g £ g s e t

o~ c = c o d i m s de l a

projection~

E s × ~O) •

par

Notant 1= ~1 ~¢ x/~ s

rare

un i d 6 a l

de X .

engendr6

pE H°(U,%s×EM) •

de c o o r d o n n 6 e s tout

section.

de c s × ~M c o n t e n a n t

analytique

induit

long d'une

forme

:

×~

et

tout

(Ul~...~u choix

M) s u r

d'un

MX = M - d , n o t a n t

Ju

Eset

~M

sous-ensemble l'id6al

de OX

372

b~Gil u k I .. "'Uk£ .b(Uk

'Gi c )

I ~...,Uk~

, u k£+ 1 , . -

''Uk c )

ou { k l , . . . , k ~}~{1,...,M] et [ i l , . . . , i c] c [ 1 , . . . , p ] on a

2.1.1

Th~oreme

pour

tout

de l a

:

point

forme

I1

z~ ~s×

existe

un ferm~

{O]-F,

l'image

analstique dans OX,z

~(Gil ,G i ) c ,tj£~u k£+1 ~... 'Ukc )

~ ( t 3. .1.'.

rare

soit

:

F d_~e ~ s ×

de c h a ~ u e

entiere

[0]

tel

d~terminant

dans ~X,z

~ue, Oaeobien

sur

l'idbal

(JK)z = JK" ~X,z" D~monstration comme d a n s

finie) ~(D.) 1

Soit

(Chap.

irr~ductibles diviseur

:

I,

de Z'

~ : Z'~X 1.4.2)

par

en composantes

propri~t~

ont

Soit

z6 ~s×

~0] \ F .

alors

surjectif,

dense

U. c D . e n c h a q u e 1 1

et

par

Z" e t

donc Dre d coincide 2)


5)

Le t r a n s f o r m ~

uj .0 X (lg En e f f e t ~ seur~

~,

Best

j ~M) la

puisque

est

propri~t~ Z'

un ideal et

un voisinage

~tant

point

z'

sous-espace D. 1,red

~ o ~ induit strict vide

duquel

par

1) v i e n t normal

d~composition de c e l l e s

rare

dans

analytique

le

(localement

~s×

des

{0}.

ferm~

images

Par

la

de X, e t

assez

de z s u p p o s e r

existe

petit

local

sur

X, n o u s que F= ~,

c o m p o s ~ ~ o ~ I D . : D. ~ s 1 1

un ouvert

on a l e s

analytique

propri~t~s

Dre d sont

tous

est

partout

suivantes

:

deux non-singuliers

en z',

de z ' •

une submersion

Di,re d-~s

des

sous-espaces

est

normal

.

de X d ~ f i n i s

par

de z ' .

de c e q u e Z est

DcZ"

est

~ de c h a c u n


Soient

r~union

est

composantes

du t h ~ o r e m e

au v o i s i n a g e en z'

sa

JK

de ~ s × ~0] .

Le m o r p h i s m e il

des

inversible.

rare

a l'id~al

de c e l l e s

U D. 1 i6I BcX la

l'~nonc~

consequent

avec

D=

Soit

analytique

~0] .

le

r~union

un sous-ensemble

Puisque

que ~(D.)~s× 1

L'espace

induit

de X a s s o c i ~ e

que ~(D.)N(~ s× {0]) 1

un ferm~

et

Z" l a

ideal

en nous restreignant~

c'est-~-dire

1)

cet

propri~t~

F est

soit

irr~ductihles.


Bn (~s × ~0])=

pouvons

la

et

ou JK " OZ'

de Z" d ~ f i n i

qui

la modification

non-singulier

et

que D est

en codimension

1.

un d~vi-

La p r o p r i ~ t ~

373

2) v i e n t

du t h 6 o r ~ m e

de S a r d

et

la propri6t6

3) de l a d 6 f i n i t i o n

du t r a n s f o r -

m~ s t r i c t . On p e u t

donc choisir

(t~,...,t~,wl,...,w

et

un systeme

d) p o u r ( t 3" ° ~ ) z '

Z'

A)

On a i t

= t ' .3

B)

Le s o u s , e s p a c e

C)

On a (Um ° ~ ) z ' : Am w 1

en z'

Puisque

tel

(Di,red)

.

zest

d~fini

off Am e s t

G i . OX~ O (1 g i

soit

~p)

wl~Z,

z,

identiquement

on a G i • OZ, ~ z r ~ O e t e n 5G.

5 St'.

puisque,

3

(G. ° E) 1 Z'

grace

=

M

1 ° E) (~--'7---0~.

3

~ la propri6t6

~t'.5 (Um ° ~) = ~ m Wlm , q u i J 3 dans OZ,~z,

on p e u t

~crire

~(tjl,...,t.

,u.

,...,u

K~+.

--

sur

et

e

et

donc finalement~

+

O, s o i t

inversible,

z'

estun

1 * E) (~---7"7".0%,.

m:l

j

avons

multiple

k ) ° u c z'

~

z'

5

3

(Um " E)Z'

~ 0

d a n s OZ, ~ z ~ :

de (Um o ~)

z

, nous

en d~duisons

que

=

3~

les

particulier

5G.

2

c) I nous

31

ou l a somme p o r t e m

par

(l~m~M).

(*)

et

locales

que

(l~j~s)

~m

~mE •


'

~= (ml,...,m

£)

contenus

'Um~

k~+l

dans

[1,...,M]

"'~Ukc

Z'

\ (k£+l,...,k

c)

= ±1,

a(u o~)

chaque

composante

en chaque

point

m

puisque

~t'. J

irr~ductible z'

duquel

D. de D c Z " 1

on a

'

...,t.

2£

multiple contient

de UmO~, on a m o n t r ~ un o u v e r t

analytique

:

~(Gil'''''Gi a(tjl

estun

,u k

c

~+1

) ,..

~/

"'Uke

) o

z'

C o K .%

,z'

que dense

374

Passons

maintenant

JK • n s ' a n n u l e

~ la

r6union

identiquement

z ( ',' ) d e s c o m p o s a n t e s

; par

malis6es

des composantes

D'apr~s

1 ' hypoth~se

faite

sur

analytique

dense

en c h a q u e

un ouver t • ~,

et

(umOX)z,

un systeme

et

soit


A')

(t.o~) J

B')

(umO~)z,

le

est

de X s u r

construction,

=

t'

G1 X/¢ s

O soit

,

point

de c e s

z v duquel

inversible

sont

les

nor-

identiquement. composantes

Z"'

(1 s m ~ M).

( t l ,t . . . , t s , W l , . . . ~ w

locales

lesquelles

composantes

JK s ' a n n u l e

chacune

sur

est

lisse

On p e u t

d) s u r

contient

Z"'

surts

par

doric c h o i s i r en z'

gel

que

3

= 0

m~me c a l c u l

lesquelles

ces

de Z'

ou b i e n

que ci-dessus

est

inversible

montre

que

~(Gil,...,Gic) ~(tjl,...,t

d'ou

le

r6sultat~

irr6ductible

2.1.2

puisque

alors

3~

,u. ,...,u K£+ 1

cet

616ment

k ) ° x c s'annule

= O

,

z' sur

toute

la

composante

de X c o n s i d 6 r 6 e .

Remarque

(th6oreme

de B e r t i n i

id6aliste

sans

section)

:

Soit

X m gs×~M

01/ cs

le

diagramme

plus

que X contient

d'une

section

§ 2,

2nd p a r t )

2.1.3 tel

d6crivant

la

situation

Es× [0]

d : ~S~x

que

~(B)

soit

(c'est-~-dire

de ~ ) .

T h 6 o r ~ m e de B e r t i n i de m e s u r e

du T h 6 o r e m e p r 6 c 6 d e n t ~ ne s u p p o s o n s

La mSme p r e u v e

id6aliste nulle

: dans ~s

et

plus

que ci-dessus

I1 existe tel

m a i s ne s u p p o s o n s l'existence montre

:

(cf.

un ferm6 a n a l s t i q u e queen

tout

point

[Te 3],

BcX,

z E X- B

375 5(G i on a i r ,

pour

entier

sur

tout

b(t .... 31 '

1 0 < _ £ X p r o p r e

La p r e u v e

Ici

cenormal

nature1

est


ou d e s t

a la modification

l'espace

la

) TX_F/s

d a n s X×

un e s p a c e

analogue

pure,

× (X-F) sx~N

a celle

de N a s h r e l a t i v e .

d_~e

analyti~ue

r~duit

N-1 + dim S.

du c a s

dimension conormal

. O__~_n

des

relatif

absolu. fibres peut

de f , ~tre

suppos~es naturelle-

382

C H A P I TR

E

I I I

STRATIFICATIONS

Introduction.

D a n s ce c h a p i t r e ,

une

d'incidence

condition

liers est

(X , X p ) possible

portant

espace

X, e t

de c o n s t r u i r e ,

X=UXa telles cidence

d'un

que tout

je

sur

des couples

satisfaisant

pour

couple

commence p a r m o n t r e r

tout

~tant

de s o u s - e s p a c e s

des hypotheses

espace

de s t r a t e s

comment,

analytique

tres

X,

donn~e

non-singusimples,

il

des stratifications

(X ~X~) s a t i ~ f a s s e

la

condition

d'in-

donn~e. L'exemple

Whitney,

est

du c h a p i t r e

typique

pour

introduit prbc~dent

et

nous

l'on

de c o n d i t i o n

montre

implique

d'incidence,

comment le

que cette

th~or~me

condition

les

conditions

de B e r t i n i

de

id~aliste

d'incidence

est

stratifian-

dbfinies

par

des

te. Au § 3,

j'~tudie

riants

num~riques~

culler

que

de c e t t e bles

nature.

th~or~me

des

puisque

Ensuite

ensembliste

ferm~ ZcX

on ~ t u d i e d'un

par

selon

stratifications

r~sultat

lemmes t e c h n i q u e s

facile

les

principal

de W h i t n e y

stratifies

de g ~ n ~ r i c i t ~

un r~su l t a t

le

stratification

analytiques

montrer

lit~

la

bri~vement

du t r a n s f o r m ~

p a r un ~clatement

un peu

une strict

la

utiles

et

p : X' ~ X .

montre

espace

dans

la

en p a r t i -

analytique

est

de d e u x s o u s - e n s e m -

non-singulier,

de K l e i m a n . condition

d'un

transversalit~

analytique

seront

translation

lequel

"canonique"

espace

qui

de ce t r a v a i l

inva-

surtout

pour

suite

et

~noncer

le

Le c h a p i t r e

se

termine

par

de t r a n s v e r s a l i t ~

du t r a n s f o r m ~

total

implique d'un

l'~ga-

sous-espace

383

§ 1.

Conditions

1.1

D~finition

ble

h de X e s t

ensembles

d'incidence. :

Soit

localement

analytiques que A est

nage ouvert

U tel

ment

a la Zariski

constructible fermeture est

stable

par

localement

que,

d'apres

qu'un

existe

sous-ensem-

deux sous-

q u e A= F - G. tout

point

bool~enne

EW~ ~ l a

un sous-ensemble et

que

~es operations ~ la

dans X siil

dans X si

combinaison

Nous d~rons

xE X possede

un v o i s i -


locale-

d a n s U.

frontiere,

ferm~s

Zariski

G de X t e l s

constructible

de X e s t

de s a

F et

q u e AMU s o i t

On r e m a r q u e r a

analytique.

ferm~ ~ la

fermbs

Nous dirons

ferm~s

X un espace

la

analytique

classe

bool~ennes

Zariski

est

fermeture

ferm~

que celle

par union

sous-ensemble

de X~ a i n s i

des sous-ensembles

alors

stable

dans X d'un

que

la

constructibles

des sous-ensembles

finie

et

intersection

finie.

1.2

D~finition

gique tel

X est

que

:

X est

ferm~s

1.3

dire

Une f a m i l l e

localement

~i E I / A i n U ] ~ ]

Exercice tique

:

~ la

Montrer r~union

d'une

Zariski

de X .

D~finition

:

localement

ferm~s

dans F est

le

dans X et

rare

finie

soit

que

dans F

ce q u i

tout

point

E et

Zariski)

xE X possede

constructible finie

espace

constructible

espace

topolo-

un v o i s i n a g e

espace

constructibles

analytique

(resp.

A d'un


F deux sous-ensembles d'un

d'un

X.

localement

on p e u t

(resp.

La f r o n t i ~ r e ferm~ a la

= E-FnF

lire

"constructible"

a la

place

analy-

localement

:

suit,

U

fini.

localement

~F(E)

Dans tout


sous-ensemble

famille

sous-ensemble

si

un ensemble

tout

Soient a la

(hi)iE I

de

de E Zariski)

384

"localement lement

1.4

ferm~ ~ la Zariski"

fermi"

pour

D6finition

portant

sur

Nous a p p e l l e r o n s

des quadruplets

astreinte

(H) et

tout

triplet

SI~ e n f i n

S~S

satisfait

qu'une

(X~SI~S2,x)

ensemble

d'ailleurs

en "loca-

satisfasse dans X (ou,

de f a ~ o n

en xE S~,

d'incidence.

stratifiante

des points

la condition

d'incidence~

non-singulier

la condition

l'ensemble

condition

:

la condition

ferm6 dans X et

S 1 est

localemen~

de S 2 ; c e t t e

que voici

est

condition

analytique,

sous-ensemble

satisfaisant

d'incidence

route

un e s p a c e

un p o i n t

encore

condition

constructible

d'incidence"

d'h6r6dit6

2 localement

( X , S 1 , S 2) comme c i - d e s s u s ,

quadruplet

x est

(X~S1,S2,x)

(X~S1,S~x)

Nous d i r n n s

"condition

une condition

quadruplet

sous-ensemble

le quadruplet

abr~gera

f e r m 6 de X, S 2 un a u t r e

darts ~ 1 -

~ v6rifier

Pour tout

l'on

( X ~ S 1 , S 2 , x ) ~ ou X e s t

localement

f e r m 6 de X c o n t e n u est

que

all~ger.

:

un s o u s - e n s e m b l e

vocable

x E S2 tels

d'incidence

6quivalente~

si,

pour tout que le

contient

un s o u s -

dans ~2 ) et

dense

dans ~2"

1.5

Proposition

tout

espace

ensembles bles telle

:

analyti~ue localement

localement

la partition

a-dire ii) druplet

Lemme I

Pour

X=

S

i E I~ ~ .

(X~Sa~S~,x)

Soient


(S)aE h ,

soit

famille

de X, i l

formant

cc,~ ~

les

Sa ~ ' 1 et

X. s o n t

~ N S ~

satisfait

X un e s p a c e analyti~ues

'

d'incidence

localement

existe

non-sin~ulier,

SaNXit~

Pour cc,~EA,

:

ferm~s

toute

U S satisfasse ccEA cc

iE I,

que pour

donn~e une condition

X et

ferm~s

~ue c h a ~ u e

i)

Etant

stratifiante,

finie

( X i ) i E I de s o u s -

une partition

nne famille connexe

conditions

et

de X e n s o u s - e n s e m -

localement non vide~

suivantes

et

d a n s X,

~ue de p l u s

cXi-Xi

,

c'est-

de s t r a t e s .

~ ~c~- Sa:~S~-- __et, p o u r

tout

la condition

d'incidence

donn~e.

analyti~ue~

e~t ( Z n ) n E ~

une suite

ferm~s

finie

:

~et S~N ( ~ i - X i ) ~ D ~ S union

pour

de X t e l s

~ue s i

Znt~,

x E S~ ,

l e Clua-

d~croissante

Zn+ 1 s o i t

rare

385

dans

Zn ~

poss~de

pour

tout

n ~ O~ a l o r s

un voisina~e

ouvert

N Z = ~ et en fair tout point x E X n n~O : il existe n tel ~ue UNZ = ~ pour

on a :

U tel

que

o

n

n~n ° •

Preuve Soit

:

D'apr~s

x E X,

existe

et

posons

un voisinage

la

d~finition

Z

NU= ~ pour

n

Lemme 2

:

ouvert

Preuve

:

n~ d+l .

et

donc

il

et

tion

et

de X - Z

truire

n

une pour

sont

Z')

collection

pour des

de X ; s i

;

et

de

y E U on a i t espaces

la

dim

dimension~ X~ d •

Y

analytiques~

anal~ti~ues

l'on

il

D'apr~s

on a

fermbs

a b~(Z) ~Z',

dbfinition

ouvert

x~ Z'~

c'est-~-dire ~N (Z-

alors

donc U NZc~;

et

de X e~t E EN (Z-

Z')

construit

tels

ferm~s de

Zn+ 1 C Z n que

la

S

avec

Z

o

= X,

satisfaisant

N Z (Lemme 1 ) . n n~O P o s o n s , p o u r t o u t ~ E A~ T

la

et

ferm~

dans

de et

la

supposer

U tel

•

localement

ferm~

une

parti-

N ous a l l o n s

sous-ensembles S

de x

Z - Z'

E h de X f o r m a n t

des

que

que

ouvert

Proposition.

des

que

on p e u t

unvoisinage

(S)

collection

aux conditions

construction

X tel


conditions

rare

on a :

on a d o n c un o u v e r t

~videmnent

loealement les

X et

est

de b ~ ( Z ) ,

U de x d a n s

q u e U NZ e s t

Z')

avoir

ferm~

de s t r a t e s

la

Or x E U N E ,

satisfait

dans

d'apres


de X - Zn+ 1 s a t i s f a i s a n t la

on a d i m x Z n + l < d i m x Zn

semi-continuit~

deux sous-ensembles

sous-ensembles qui

que

dimension

ferm~

maintenan¢

ferm~s

On c o m m e n c e r a

la

ferm6

un sous-ensemble

localement tion

des

est

Enfin,

Supposons ZnCX,

(Z-

N E = D,

Z').

la

x E X,

•

existe

Z'

UAZ'

dans EN (Z-

D'apr~s

UN ( Z - ~ ) ] ~ .

UD Z' = ~ p u i s q u e

point

d a r t s Z - Z' .

xEEN

implique

UNZ~E

de

Z' c Z c X

fermb

tout

U de x t e l

localement

Soit

x ~ Z - EN E, UNE~

ouvert

Soient

en

d = dim X. x

topologique

un s o u s - e n s e m b l e est

l'hypoth~se~

~

cons-

S'a, C Z n -

S'~ s o i t

une

Zn+l

parti-

Proposition.

on c o n s t r u i r a

aux conditions

ainsi de

la

par

r~currence

Proposition

X= X -

deux

families

localement

= bZ (~) et pour tout n finies de s o u s - e n s e m b l e s

i E I,

¥ i = 8Z ( X i ) n localement ferm~s

~ ee de X.

386

Consid6rons

les

triplets

d'incidence

est

stratifiante

denses

(X,Ss,( ~nous

assure

V c (~ - S ) NZ localement s s ~ n

(X,Ss~( ~ xE V . s

- Ss) N Zn,X) Soit

R

la

s

satisfasse

frontiere

R

La f a m i l l e

des R

localement

ferm~s.

Posons

Zn+ 1 = S i n g

analytique

ferm6

en rue

une

est de Z

est

s

Z

la

:

(V

encore

)u(z

-v

famille

que

d'incidence

dans

Z

,

n

- (z

n

que notre

S

le quadruplet donn6e

La f e r m e t u r e

c'est-~-dire

-v n

s

localement

))

finie


n

n

n

famille

localement

finie


analytiques

les

S's '

de c h a q u e

comme 6 t a n t

S'

est

les

composantes

donc bien

localement

finie.

et

(S' )s' s' EA'

se

de r 6 c u r r e n c e une

une composante

irr6ductible

de Z

N~-= a

s

dans

qu'il

rencontre~

et

donc

le

la

(X~Ss~S~,~x) de v 6 r i f i e r

et

d'o~

strate

S'a '

et

donc contient

ailleurs~

le

~ i N (Z n qu'il

les

on p e u t ~

I1

rencontre.

le

Or,

contenter

ouvert

Y~rifions

cela,

puisque

pour grace

et

composante

connexe

S~,

et

(Ss)sC A

chaque

renarquons

ouvert

montre dans

finalement

Zn

puisque Zn+ 1

que si

quadruplet

Rs ' ouvert

qu'il

et

que~

condition

Zn+ 1 c o n t i e n t

est

de Z n - Z n + l

ferm6

a la

v

l'hypothe-

1) e s t

connexe

Lemme 2, ~ s N (Z n - Zn+ 1) e s t

chaque

n+

I

de l e v 6 r i f i e r

d o n c S's, N S s ~

satisfaite pour

d'apr~s

Le m~me a r g u m e n t

Zn+ 1) e s t

suffit

se

S'S

d e s S'S

de X - Zn+ 1 p a r

composante

S~, •

est

famille

Lemme 2~ S s N (Z n - Z

chaque

K~

la

stratification

; supposons

contient

S~, c V s par

Par

d'incidence,

S's,

d'incidence

x E S~, •

l'inclusion

la

D'apres

l'inclusion

condition avec

que

X •

s ' / ~' ~ S's, Iq S~, = D,

donc

chaque

t 6 S~, n Y s = S',s N ~ Z n - Zn+ 1 ~

une

dans

condition

sous-ensemble

contient

S s ~ S~, i

la

T CZ s n+l

Zn- Zn+l

1 ~

ferm6s

puisque

Ss et

ferm~

Zn+l~

et

et n

Pour v6rifier

satisfait

strate

q u e Zn - ~

ferm6s

de Z n - Zn+ 1 •

connexes

S *

pour

tout

.

n

localement

pour

U ( U Y . ) U( U T ) U ( !J R ) ; Zn+ 1 e s t u n s o u s - e n s e m b l e 1 s iEI sEA sEA de Z i d o n c de X~ r a r e d a n s Z ~ p u i s q u e c h a c u n e d e s f a m i l l e s

D~finissons

sont

condition


X~ t e l s

condition

S

une

dans

de V s

-v S

L'hypoth~se

de l ' e x i s t e n c e

ferm6s

totale

S

rares

S s ) N Z n )"

(H),

on a l ' ~ g a l i et

ferm6

rencontre~

dans

d'ou

387

S~, ~ V

et

d o n c S'

cV

On a m o n t r 6

route

la p r o p o s i t i o n

sauf

le fair que

les X . - X. 6talent 1

r6union ~ la

de s t r a t e s .

famille

Remar~ue tible

u,

haut

:

Dans le

dans

la par

Zariski pour

que

chacun

Conditions

2.1

Consid6rons

cas

ou

aura

d'appliquer

l'on

des

a remplac6

ferm6s

l'espace usuelle

(dans

:

il

faut

localement

finie

construite

en r6solvant

ordre)

o~ B Z = [ u E [ M / ( u , b ) : dist

(A,B)=

soit

G = G(M,a)

(A,B)

O pour

O 6quivaut

u,

que

l'orthogonal coordonn6es

"construc-

famille

localement

ltexercice

~M,

v dans

(A,B)

est

propos~

)

(

ferm6s

plus

BL c A des

lu'vl

(1+-~1)

'(p(a) ,v)l } l l p ( a ) l l + 11~(a)11

(I(p(a),v)l)

Sup p(a)Ep(h)-[O)

I ] p ( a ) l l - Ilvll

£

~ESl-[o] d'ou

le r~sultat

2.2

Soient

a v e c C = 1+C 1 .

maintenant

Y un s o u s - e s p a c e

X un e s p a c e

localement

un p l o n g e m e n t

rStraction

locale

O : ( ~ N , 0 ) ~ (Y,O)

peut

identifier

ouvert re

de t e l l e

favon

purement

de X e t

(X,O) c (~N,o)

0 un p o i n t

que

et

la r~traction

de O~ e t u n e

analytique

supposer

pres~

X plongb

9 coincide

d~

non-singulier


; a un i s o m o r p h i s m e de) tk


dans avec

on

(un ouver la premie-

projection.

2.2.1 tie

local

Y a (un ouvert

de) tk×En-k

r~duit

ferm~ ~ la Zariski

de Y. C h o i s i s s o n s

alors

analytique

D~finition

:

non singuli~re

condition dessus

a)

tel

que

X ° de X e t

le

couple

de l a p a t t i e

de W h i t n e y e n O E yO s i i l

que p o u r

extraire

On d i t

route

une sous-suite

de s t r a f e s

non-singuli~re

existe

suite

de p o i n t s

x. E X° t e n d a n t 1

telle

q u e Lim T x ~ x i

existe~

f o r m ~ de l a p a r -

yo de ¥ s a t i s f a i t

un p l o n g e m e n t

Lim T x ~ x i D T¥, 0 c'est-a-dire

(X°,¥ °)

local

vers

la

comme c i -

O, on a i t ,

quitte

l'inclusion

(en direction)

encore Lim d i s t x.~O

(Ty,o~Tx~xi)

= 0

1

On d i t , ( a p r e s stricte voisinage

nironaka

avec exposant ouvert

x E X° N U on a i t

[H 1 ] ) , e si

que

e est

(X°~Y) s a t i s f a i t

un h o m b r e r ~ e l

U de 0 d a n s X e t un n o m b r e r ~ e l l'in6galit6

la

positif positif

condition tel

a)

quVil

C tels

de W h i t n e y

existe

que p o u r

un tout

390

dit

o1~ d i s t ( x , Y ) On d i t

d6signe

que

le

e n OE y o s i i l tels

une

couple

distance

de s t r a t e s

existe

que pour

de l a

la

( T y , 0 , TX, x )

route

droite

(s6cante)

(X°~¥ °)

sous-suite

telle

que

satisfait

local

de p o i n t s

qui

et

x. E X° -

• x i h P ( x 1)

joint

Lim x.~O TX'xi

et

la

condition

une r6traction

Y, n o t a n t

1

b)

x.

1

la

1

direction

quit~ce

existent~

1

de W h i t n e y

P comme c i - d e s s u s

d a r t s ~N on a i t ,

Lim ~ x.~O 1

1

~ extraire

l'inclusion

1

Lim T X x.*O 'xi

~

Lim x . P ( x . ) x.*O 1 1

1

c'est-~-dire

(x,Y) e

de x a Y d a n s E N .

un plongement suite

~ C dist

1

encore

x.Lim40 d i s t

(x.1 P ( x i ) ' T x , x

i)

= 0

1

On d i t ,

apres

Whitney

avec

Hironaka exposant

un voisinage tout

(Loc.

ouvert

e en 0 si U de 0 d a n s

x E X° ~ O on a i r

Proposition

(X,S1,S2~x) le une

de s t r a t e s

condition

:

( S 1 , S 2)

Nous allons

sinage

point

Rappelons

tout

de O r - m o d u l e s

(X ° , Y )

satisfait

un nombre r~el une constante

la

positif positive

condition tel

qu'il

C tels

b)

de

existe

que pour

~ C . dist

(x,Y) e

La c o n d i t i o n ,

que voici

: x est

satisfait

les

d'abord

dScrire

non-singulier

d'abord

:

x)

portant

un point

conditions

sur

des quadruplets

non-singulier a)

e_~t b )

de S 2 e~t

e~n x E S 2 e s t

stratifiante.

Remarquons

satisfaite. d'un

X et

[W])

haut,

d'incidence

D~monstration

e est

(x P(x),Tx,

(Whitney,

comme p l u s

couple

que

l'in~galit6

dist

2.2.2

cir.),

qu'a

une

que

la

condition

de ¥ ,

l'immersion

les ~X

condition sur

conditions

d'h~rbdit~

(X°~Y)

qui

est

implique,

~videmment au v o i -

de W h i t n e y .

correspond

un morphisme

surjectif

391 1 • ~y

Q IY

exprimant

l'inclusion

de l ' e s p a c e

tangent

)0

de Z a r i s k i

1

Specany

S y m o v ( ~ Y) de Y 1

darts la

restriction

~ Y de l ' e s p a c e

(On r a p p e l l e

que

l'espace

1 q u e Qy ~

qui

n'est

pas

tions

faisceau

le

Rappelons

aussi

d~finissant OX-mOdule relle

la 5

id~y×i

vectoriel

en g~n~ral

dual

diagonale 1/12

est

de Z a r i s k i

relatif

associ5

un fibr~

du f a i s c e a u

1 q u e ~X e s t

tangent

d~fini

Ox-iSomorphe

o~ i d ~ s i g n e

¢

un homomorphisme

ou NX, Y d ~ s i g n e

le

faisceau

O~yy-modules S / S 2 ou S e s t Cet

homomorphisme

de Y a u n p o i n t genres

exprime

de X - Y ( p o u r

~ X aux points

Cons~d~rons

maintenant

fair

de X × X

et

le

ou e l l e

est

l'immersion

coherent ferm~e

; le

ferm~e

natu-

faisceau

de

diagramme

de Y d a n s X,

d~finissant que

, 0

les

limites

un plongement

c'est-a-dire

~ dans

local)

de Y . le

faisceau

de ( ~ y - m O d u l e s

~ NX, Y

conormal

le

le

~X

surjectif

l'id~al

de s e c -

T ,

~JV

faisceau

tel

) XxX

J On e n d ~ d u i t

I

Consid~rons

Yc~X,

Y×X

Y

: soit

l'ouvert

a ~X "

l'immersion

a pour

coherent

donn~.

comme c e c i

X¢--~5X×X d a r t s

a un faisceau

vectoriel~

coherent

de X.

diagramme

EyN(X)

e

> N(X)

Ev(X )

e

~ X

le

X .

de s ~ c a n t e s donnent

des

joignant directions

un point tan-

392

ouv

d6signe

la modification

l'6clatement selle

de

commuter Posons tient

de N a s h de X, e l ' 6 c l a t e m e n t

du s o u s - e s p a c e

analytique

l'6clatement

implique

le

et

diagramme

Z=E-~yN(X) e t localement

~=

l'on

d'ou

0

que

l'on

peut

part,

£

~

construction,

suite

naturelle

l'on

note

~" 1 *T~ fiX

une

la

suite

~

l'id6al

de O ~ - m o d u l e s

factorise

~0

~o

de Z d 6 f i n i s s a n t

on

a

une

sur

jection

:

, ~]/~t 2

~, o

y C Y. S i

en tout

NX,y point

par

(L[~)y,,

V de y d a n s ~ t e l

grace que

l'on

signifie

de W h i t n e y au v o i s i n a g e

est

pr6cis6ment, v6rifi6e d'un

point

pour

~ la air

YlE U ,

l'homomorphisme

propret6 une

) o

de ~,

la

existe

un voisinage

~ 0

d6finition

plongement En e f f e t ,

il

surjection

) ~ ~t~l~-l(u)

d'apres tout

y' C ~-l(y)

. (~ c~)y,

LI~-I(u)

ce qui

~ L

surjection

maintenant

ouvert

l e O Z - m O d u l e ~ fiX a u n q u o -

,~ ~

(~ Oxl~)y , se

faisant

exacte

~X Soit

v'

:

Nx, ¥ et

morphisme

univer-

exacte

~xl~j De m~me, s i

d'un

La p r o p r i 6 t 6

~= v o e= e o v' .

Par

une

N(X).

X ete

~ KI'~.

a sur

on

pose

dans

l'existence

~K

restreindre

0

D'autre

alors

~-1(~).

libre,

v-l(~)

de Y d a n s

local

pour

de L, q u e

la

condition

de X d a n s u n e s p a e e

un plongement

local

a)

affine

xcgN,

on

393

peut

comme n o u s

associ6

l'avons

a L a la

tautologique dessus

se

vu plus

restriction

sur

la

traduit

haut,

a N(X)

grassmannienne

par

soit

le support

morphisme

:

une

du f i b r b G des

injection

ans

identifier

clair

lrouvert Soit

que

de m~me B 2 l e

est

condition

(~ventuellement

lVhomomorphisme

Ii

la

clair

possede

yO

un voisinage

ce qui~

en utilisant

droites

sur y' E~

s~cantes

de W h i t n e y

point

de U, p u i s q u e de p o i n t s

c

limite {(y'~

cons6quent

ble

Y-

puisque

autre

(Sing B1 et

le

fibr6

surjection

ci-

.

par l

o°o

~o

est

satisfaite

pour

~/~2

~ Nx,y de l ' o u v e r t

U darts ~ tel

tout

image

la

v'(y') tout

vers

en

condition

point

y de

de K I ~

par

des

le

est

sous-ensembles

est

une

que

surjection

la

fibre

en y= ~(y') implique local une

que

XcE Net injection~

du f i b r 6

en en un

~/~2

de d i r e c t i o n s la

de

condition

en tout pour

b)

point

route

suite

:

de s b c a n t e s

)}

d'espaces

tangents

v6rifi6e

en tout

localement

¥o_ ~(B2 )

de O ~ - m o d u l e s

que voici

de d i r e c t i o n

d'incidence

fair

C F~(X),

implique

vide)

~ 0

limite

e n y de d i r e c t i o n y

air

inversible

y= ~(y')~

~ ) U ~(B 1) U ~(B 2) q u i B2 sont

et

plongement

ci-dessus

(x. ~y) 1 limite

local

direction

au p o i n t

surjection

l'on

, ~/g2[~-l(u)

la

pour

(6ventuellement que

au f a i s c e a u

que

satisfaite la

Par

la

rent image de

~x ~

un plongement

x i ~ X° t e n d a n t

{(y',

¢~[~-l(y)

coherent

y'

ouvert

correspond

est

N(X)

X × G, ou ~ e s t

d a n s ~ du O ~ - m o d u l e

c o r r e s n o• n d a n t

n'est

qui

)~X×

sur

~(B1 ) .

LI~-I(u)

point

sur

vectoriel

compos6

que tout

~

fibr6

de EN, e t

~~ ~

ci-dessus

vide)

support

yO

module co

~xr~ I1 est

X ×¢~

d-plans

~(T

du

le

ferm6

analytiques

TX,x.)] 1 point

a la Zariski

ferm~s

de ~ e t

de l ' e n s e m dans que ~ est

394 propre. Inversement, fasse

les

~tant

conditions

donn~ un p o i n t

y E yO t e l

a) e t b) de W h i t n e y en t o u t

d a n s Y, on p e u t r e m o n t e r l ' a r g u m e n t

que l e c o u p l e point

(X°,Y ° ) s a r i s ~

d'un voisinage

U de y

p r ~ c S d e n t p o u r p r o u v e r que y a p p a r t i e n t

¥ o _ ~(B1 ) U ~(B2) •

ll ne nous reste plus qu'~ montrer que le sous-ensemble - (Sing ¥ ) U ~(B I) U ~(B 2) est dense darts 7 . que l ' o u v e r t

form6 d e s p o i n t s

de yO au v o i s i n a g e

e t b) de W h i t n e y s o n t s a t i s f a i t e s Soit

donc O un p o i n t

( X , O ) c (C N - k x E k , O ) duite

par

Zl,...,ZN_k,Yl,...,y de Ty, 0 ( r e s p .

est

de y O . C h o i s i s s o n s

~N-k×~k,Ek

k et essayons,

de l a d r o i t e

sinage

de O p a r

l'id6al

sinage

de O. L ' e s p a c e

.

et

la r6traction

p o u r un p o i n t

engendr6 par

•

~(fl,...,fN_d) ~(Zl ,ZN_d)(X)dz i =

'

conditions

x E X° ,

locale

a)

(fl,...,fm),

TX, x p e n t S t r e

fi

i n-

d'estimer

la distance

d a n s $N au v o i -

h o l o m o r p h e s u r ~N au v o i -

d~fini k,

P : X-Y

des coordonn~es

Supposons X d~fini

{N muni d e s c o o r d o n n 6 e s d Z l , . . . , d Z N _ k , d Y l , . . . , d y

( E ,. )

les

un p l o n g e m e n t l o c a l

Munissons ~N-k×~k

x ~ ' ~ x ~ ~ TX, x

tangent

desquels

dense dans yO

e n v o y a n t Y s u r O × E k,

la projection

Pour cela, il suffit de prouver

d a n s T N,x , i d e n t i f i ~ par

l e s N-d ~ q u a t i o n s

:

k 5(fl,...,fN_d) ( x ) dy£ E e~ A £=1 ~(y£,zl,...,zi,...,ZN_ d)

+

N-k ~(fl,...,fN_d) Z e j=N-d J 8(zj,zl,...,z^.,...,ZN_ d ) .

(x) dz. J

( 1 £ i ~ N-d) o~ l e s

e valent

~(fl,-..,fN_d) ~(Zl,...,ZN_d) (x)

soit non nul. Comme nous l'avons vu au chapitre pr~cbdent,

on p e n t t o u j o u r s m3me, ~ t a n t tel

choisir

un s y s t ~ m e de g ~ n ~ r a t e u r s

donn~ un a r c a n a l y t i q u e

que ce m i n e u r j a c o b i e n

Ainsi,

±1, p o u r v u que l e m i n e u r j a c o b i e n

l'espace

vectoriel

h:

ne s ' a n n u l e

ayant cette

(D,O) -(X,O)

tel

en a u c u n p o i n t

TX, x p e r p e n d i c u l a i r e

que h ( D - [ 0 ~ )

de h ( D - [ 0 ] )

~ TX, x d a n s T N C

par les

N-d v e c t e u r s

d~terminants

wi d o n t l e s

jacobiens

coordonn~es sont

apparaissant

propri~t~

dans l'~quation

les

et

cX° ,

. est

engendr~

,0

complexes conjugu~s des

(E~).

Par d ~ f i n i t i o n

on

395

a donc

dist

(Ty,o,Tx,x) =

Sup

IZ ~ i ( Z ¢ £ i £=1 n

t

dy~¢k-{o]

IIdxII. llz

k~¢N-d_(o] Or~ l ' i n t e r p r ~ t a t i o n et l'~nonc~ tence, tel

du th~or~me de B e r t i n i

que t o u t

(1 ~

~ ( y 2 z 1,

C

C telle

o u v e r t V dans X t e l

que pour t o u t

p o i n t xE X° N v

qu'il

on a i r

exis-

les in~-

:

Sup

I

[zj(x)[ •

sans perte

mystere montre alors

Sup fi I

[ 8(fl'''''fN d) 8(Zil, ,ziN_d)- (x)[[ e s t

, ..- ,

atteint

par

f[ 8(fl'''''fN-d)) (x)

iN_d]C[1 ,

de g ~ n 6 r a l i t ~ ,

-.

N-k} [ { 8 ( z i l ' ' ' ' ' z ' ,

1N_ d

que l e supremum des

[3 ( f l ' ' ' ' ' f N - d ) x)[ 1 8 ( Z l , " ,ZN_d) ( .

Vn c a l c u l

sans

l'inbgalit~

N-d

{Iz~i will ~ ( i=1 z {~i

[2)I/2 [8(fl'''''fN-d ) (Zl,

triangulaire,

jointe

~ l'in~galit~

[

, ZN_d) (x)

{8(fl'''''fN-d),zn_d) Sup [Xi[ . { 3 ( z l ,

> _

pour xE X° N v

1.3.1)

rare F

,~i,.'-,ZN_d )

On p e u t s u p p o s e r ,

(Chap. I ,

o u v e r t U de O dans ¥, d ' u n ferm6 a n a l y t i q u e

l~j~N-k

et l'in~galit~

avec s e c t i o n

(x)

]

(*) nous donne a u s s i t ~ t

que

on a l ' i n 6 g a l i t ~ dist

( T y , o , T x , x) ~

C' d i s t (x,Y)

ou dist (x,Y) d6signe la distance (par exemple Sup {z.(x)[) de x a Y dans EN: J Nous a v o n s donc montr6 l a c o n d i t i o n

a) de Whitney s t r i c t e

{I

will

l'exis-

(x)

(*)

id~aliste

dy~ )

impliquent

positive

¢ h)

Ki

de l a d6pendance i n t ~ g r a l e

p o i n t yE Y - F p o s s ~ d e un v o i s i n a g e

t e une c o n s t a n t e galit~s

transcendantale

dans un v o i s i n a g e

-

~(fl'"~'f~ d) d) ~(y£,zl,...,zi,...,ZN_

avec e x p o s a n t

1, e t

396

en parti c u l i e r brant l'espace

condition

de t r a i t e r

Z=E~N(X)

G d6signe X° _ Y

la

la

la

peut

~tre

d~fini

de W h i t n e y ~

condition

grassmannienne

~ N - k - 1 ~G

commutatif

a)

b)

remarquons

coustruit

que~


comme a d h 6 r e n c e

des d-plans

par

en y( U- F .

dans x×$N-k-1

d a n s EN~ du g r a p h e

x~ (x P(x)~T x

~X

).

de OE ¥~

Nous a v o n s

×G , O~

du m o r p h i s m e donc un diagramme

:

Z c X×

]pN-k- 1

×G

X

et

si

nous notons

la

condition

b)

condition

~ v~rifier

la

premiere

s'annule que

la

avec

condition

b)

b)

b)

stricte.

en t o u t Puisque

que r ~ e l l e ~

si

point

et

la

de 5 b l e ~ n g

Ceci

rfisulte

que~au est la

un a r c

satisfaite. limite

de h ( ~ )

limite

suffit

en q u e s t i o n

§ 9)

d'un

couple

~ Z de l a

5biZ la

sache

voisinage

d'un

est

fonction sur

(g~O) ~(Z,z)

major~e b)

de

en u t i l i s a n t

que

la

fonction

5

de O~ c ' e s t - a - d i r e de 0 d a n s Y .

(X°~Y ° ) cit.)

satisfait

pour

distance [~-l(y)[~ (o~

est

exposant

condition

voisinage

a (Loc.

identiquement h:

l'on

de s t r a t e s

renvoyant

r~el

assurer

×G

avec

essentiellement

que

point

×~N-k-1

stricte

fonction

v~rifier

la

condition

5 est

analyti-

on p e u t

(~ = ]-1~1[)

la

trouver tel

que

Lim (5 o h ) ( t ) ) soit diff~rente de O. t~O du lemme d e s p e t i t s chemins (cf. [B-c], [H 5 ] ) . M o n t r o n s

cette I1

le

pas

analytique

aussit~t

contraire~

que

la restriction

zE ~-l(y) limite

en t o u t

y E U - F,

5 b ne s ' a n n u l e

la

(~,T),

c(y]

de W h i t n e y

pourvu

au-dessus

v~rifi~e ici

Ifi-l(y)l

e non p r e c i s e ,

de ~ - l ( y ) ~

prouver

b)

[H 3]~

de % o j a s i e w i c z ~

est

(£~T)~ dist

que

de ~ _ l ( y ) ~

(voir

un e x p o s a n t

point

Nous a l l o n s condition

la

On p e u t

in~galit~

en t o u t

et

q u e au v o i s i n a g e

(~(y,),¥)e

stricte

fonction

× 5b1(0)~

revient

Whitney

la

~ v~rifier

dans

C . dist

~N-k-1 ×G~

en y6 ¥ revient

contenu

par

5b:

est

(i.e.

est

nulle~

de m o n t r e r nulle.

ce q u i

que p o u r

P o u r un p o i n t

le

prouvera chemin

x(t)

que ~ o h:

la

condition

(~0)

= ~ o h ( t ) E X° -

b)

~(X,y) Y de c o o r -

397

donn~es dist

Zl(t)~...,ZN_k(t),yl(t),...,Yk(t)

(x(~-t) P ( x ( t ~ , T x , x ( t )

supremum pour

' estimons

) : on a (5 b o h ) ( t ) =

~E [N-d_

la

distance

dist(x(t),TX,x(t))

qui

est

le

{O~ d e s q u o t i e n t s

N-k ( Z 5 ( f l , . . . , f N _ d^) ~j=N-d J ~(zo,zl,...,zi,...,zy_d)

~3 (( fZll, . .' . , f N _ d ) (x(t)) - , Z N _ d)

(x(t))zj(t)-

. z (t)) t i

I I z ( t ) l l • lie k i wi[[ Notant

v la valuation

num6rateur

est

g~n~ralit~,

t-adique~

sup~rieure

supposer

que

3(fl,'''sfN_ d) 3(z.,z ^zi ... ZN-d) 3 1~'"~ ~ Soit

b cette 3(fl,.--,fN_

o

ta+

...,

dzi par -~-

et

z.= 3

l'infimum

des valuations

est

atteint

par

d.

J

ta+

= c. t b+ ... J ...~

avec

chacune

d d t" ~

)

pr~c~dente k E £=1

la valuation

: nous pouvons,sans des mineurs

le mineur

du

perte

de

jacobiens

~(fl,...,fN_d) 3(Zl, ,ZN_d)

tb

= co

et

des ~quations

donc chacun

est

~£

consequent

l'inclusion

au c r i t ~ r e

v((

valuatif N-k E j=N-d

(N-d~ j ~ N-k). a> 0 et

~gal

a

+ ...,

(x(t)).

et

b(fl''''~fN-d

du t h ~ o r ~ m e

Ecrivons

aussi

au m o i n s u n d e s d . n o n n u l . J

(E.) 1

en rempla~ant

des coef£icients

de ~ i

dz.

1

au n u m ~ r a t e u r

)

(x(t))

de B e r t i n i

de d ~ p e n d a n c e

dy£ dt

..,ZN_d)

int~grale

~. c . d . a - c d a ) 3 J 3 o o

id~aliste nous

(chap.

II,

donne

ta+b-1 + ...)

> a+b

d ' ou N-k Z j=N-d

~. c . d . a - c J J J

o

d

o

(resp.

:

3 ( Y z , Z 1, . . - , z^i , .

jointe

que

3(fl'''''fN-d) ~(Zl ' ''ZN-d ) (x(t))

~crivons

(x(t))

r~ecrire

(resp.

de l ' e x p r e s s i o n

par

de m o n t r e r

du d ~ n o m i n a t e u r

et

d)

Or~ n o u s p o u v o n s dyj)

suffit

d)

~(zj,zl~"'~i,"',ZN_ z. = d

nous

~ celle

(x(t))

valuation,

il

a : 0

donc

~" ~. c . d . - c j j j

o

d

o

= O

§ 2)

398

La v a l u a t i o n

du n u m b r a t e u r

de l ' e x p r e s s i o n

moins 6gale

a a+ b+ 1 puisque

la valuation

du d 6 n o m i n a t e u r

utilisant

l'in6galitb

le

dormant

coefficient

est

6gale

l'existence pliquer

de s t r a t i f i c a t i o n s

le

r6sultat

•

condition

d'incidence

est

Exercice

:

que si

les

elles

le

plongement

2.3

V6rifier Iocal

Gardons

xcCN

les

( X ~ O ) c (¢N~o)

tandis

que

aussit;t

O(f1''''~fN-d) I comme h(Zl fN_d ) ( x ( t ) )

en plus

la

Proposition,

X = Sl ,

si

l'on

et

donc

remarque

la

preuve

qu'il

suffit

Y= S 2 p o u r , o b t e n i r

le

fait

de d'ap-

que

la

stratifiante.

notations


de

avec

nul~

doric au

~

de W h i t n e y ,

pr6c6dent

est

a a + b comme on l e v 6 r i f i e

115" Xi w i l [ ~ S u p l k i [

Donc Lim (5 o h ) ( t ) = O. t~O Ceci ach~ve la d6monstration

distance

de t a+b y e s t

i

haut.

]a

conditions sont

de 2 . 2 d'un

pour

et

point

de W h i t n e y

sont

r6alis6es

p o u r un

tous.

consid6rons OE y O

et

un p l o n g e m e n t le

local

diagramme commutatif

e¥ E C(X) Y

ou a :

C(X)~X

est

d a n s X~ ey c e l u i universelle

2.3.1 l'on la

conormal

a)

un e x p o s a n t

(Chap.

d a n s C(X)

de l ' 6 c l a t e m e n t .

a l'6galit6

avec

de T l ( y )

Proposition

condition

l'espace

n'

le

§ 4),

ey e s t

l'6clatement

m o r p h i s m e donn6 p a r

due a H i r o n a k a ,

N - 2 - d i m ¥I

de W h i t n e y s t r i c t e non p r 6 c i s 6 ,

et

II~

la

de Y

propri6t6

P o s o n s C = ~ ° ey •

(essentiellement dim C - 1 ( 0 ) =

• C(X)

avec

le

couple

exposant

au v o i s i n a ~ e

de O .

[H 1] e t

de s t r a t e s 1~ e t

la

[H 2 ] ) (X°,Y)

condition

:

S_~_i

satisfait b)

stricte

399

Preuve

:

Remarquons d ' a b o r d

qu'il

r6sulte

des d 6 f i n i t i o n s

(2.1)

d i s t ( T y , O , TX, x) :

Sup d i s t ( T y , 0 , H) IL~Tx, x

dist

=

(x~x)~Tx,x)

Sup

dist

(x P ( x ) , H )

HmTx, X H parcourant

l'ensemble

Reprenons maintenant tirellement

des h y p e r p l a n s

les notations

p l o n g 6 dans X×

de ~N c o n t e n a n t ( e n

de 2 . 2 . 2 ,

~N-1 × ~N-t-1

locale

cette

Notons y l , . . . ~ y t , z l ~ - . . , Z N _ t

r6traction.

y×~N-t,

et

(bl:

,...~

~N~y,

~N-1

sur

~N-t-1) t

=

dist(~Y'°'H)

(ZI:

. . . : ZN_%)) l e s c o o r -

. On a a l o r s ,

pour HE ~ N - 1

hi %1

}

Sup

dYEr+-fOt~ldyll~Z Ib.12+Z la.I 2 3

e t pour ~ 6 ~ N - t - 1

Sup

=

~-I(F)

donne,

a p r ~ s une p e t i t e

queen

tout

ou ]

d6sigue

point

rare

z6 ~-l(y_

l'id6al,

F),

de (Chap.

(cf.

on a i r

inversible

par la pro~ection

t e de l ' a r g u m e n t

dans ~ - l ( y )

traduction

(z I ° ~ , . . . , Z N _ t ° C) e t 9 ( 1 ) N_l(1)

Jr

i m p l i q u e que pour t o u t est

est

ferm6 a n a l y t i ~ u e

2.2)

FcY,

que l ' o n

rare

FcY

nous tel

b j OEyC(X),z E ( ~ ( 1 ) ) z , de E¥ C(X) e n g e n d r 6 p a r

avec l'image

sur ~N-1

l'ima~e

id6aliste

un ferm6 a n a l y t i q u e

pour 1 < j ~ t ,

son p r o d u i t

1.4),

rare

; l e th6or~me de B e r t i n i

par construction,

naturelle I,

I Z a.1 Z.1 ] } I b . 1 2 * r l a i 12 3

I.ilZl I

zEcN-t-[o]

r6ciproque

1

,

dist(£,H)

L'hypoth~se

avec

un s y s t ~ m e de c o o r d o n n O e s s u r

: aN_ t ) ( r e s p . (resp.

na-

des que nous a v o n s c h o i

e t un p t o n g e m e n t X c Y × E N-t c o m p a t i b l e

: b t ; al : ...

donn6es c o r r e s p o n d a n t e s

TX, x •

e t r e m a r q u o n s que E¥C(X) e s t

, o~ t = dim ¥,

s i une r 6 t r a c t i o n

direction)

r6ciproque

On en d 6 d u i t ,

de

p a r une v a r i a n -

a bj • OEvC(X) 6 ~ ( 1 ) ,

et ceci

6tu-

400

di6


exposant

1 ; on t r a i t e

(Remarque

:

jacobien

Voici

de ~ - 1 ( 0 ) la

On p e u t

implique condition

remplacer

ou l a m o d i f i c a t i o n

un sch6ma i l l u s trant

la

condition

b)

stricte

l'espace

a)

de W h i t n e y s t r i c t e

comme en 2 . 2 .

conormal

par

l'6clatement

de l ' i d 6 a l

de N a s h . )

la

situation

que

l'hypoth~se

fair

6viter

~~ composante

composante

~ de p e t i t e de - l ( y )

de ~ - l ( y ) image " " o q u e de A p a r ~ y

ey )

•

L'hypoth~se

faite

s'envoyant

tout

Remar~ue tions

:

dans F,

Le l e c t e u r

pourrait

d'incidence il

" ( S 1 , S 2)

satisfait

s o n en e s t

des

les

comme l e

s'6tonner

conditions

de c o m p o s a n t e strict

que n o u s (X,S1,S2,x)

des triplets

qui

~ la Hironaka

6noncer

fassions alors

(S],S2,x)

est :

des r6sultats

une cons6quence

c(x)

Y

de C - I ( Y )

de Y.

de W h i t n e y en xC S 2 C ~ 1 1 "

pouvoir

suivant~

y avoir

ferm~ analytique

de c o n s i d 6 r e r

que nous voulons

singularit6s

ne p e u t

que des q u a d r u p l e t s

suffirait

merit un r ~ l e ,

qu'il

entiere

pr6cede~

tion

implique

avec

porteF

les

que pour puisque

tout

ce q u i

l'assertion

a un s e n s . ou X j o u e

facile

condi-

de l a

La r a i -

effectiver6solu-

401

Proposition voici

:

La c o n d i t i o n ~

: I1 existe

transform~e

tiquement

trivial

en tout

Stratifications

Soient

g~n~ralis~e")

~ soit

point

(X~SI~S2,x),

u : X' ~ X d__£ X t e l l e

non-sin~uliere

localement

de l ' i m a ~ e

(sur

inverse

des conditions

et

que

que ~ue

de x~ e s t

la

le morphisme

(~[(~11)')-1(82))

anal~-

une condition

~ un g e r m e

analytique

analytiques

et

une application

(X,x).

M: O ~ E

d a n s E de l a

On f a i r

analytique

Y- F~E

:

application

il

d~finie

et

~quidi-

("multiplicit~

classe

de l ' a l g e b r e

de c o n s t r u c t i b i l i t ~

X purement

existe

par

r~duites

l'hypothese

r~duit

ferm~ YcX,

l'application

num~riques.

d'alg~bres

MX, x E E l ' i m a g e

d o n n ~ un e s p a c e

uu s o u s - e n s e m b l e que

par

des classes

; on n o t e r a

: brant

tel

n soit

E un e n s e m b l e

OX~ x a s s o c i b e

suivante

Fc¥

par

d~finies

Q l'ensemble

mensionnelles.

locale

des quadruplets

des sin~ularit.~s

d__£ S-~ p a r

induit

sur

stratifiante.

Soit

et

(~)'

~ (S 2)

d'incidence

§ 3.

une r~solution

stricte

(x1(~)')-1($2)

portant

de d i m e n a i o n

un f e r m ~ a n a l y t i q u e

y~Mx~y

soit

d~ rare

localement

cons-

l'hypothese

ci-

tante.

Proposition dessus~ et

Pour

la condition

l'application

S2 ~ E

S 2 au v o i s i n a ~ e

de x "

Preuve

:

condition nel

hors

route sur

~ y~ S2 associe

~ est

une condition

d'un

Corollaire analyti~ue

Etant

X peut

est

du f a i r

et

stratifi6 et

pour

en chaque

localement

point

constante.

~quidimensionnel

localement

ensemble

analytique

de l ' h y p o t h ~ s e

couple

de S~ e t

constante

faite

et

sur

est

~quidimensiDn.

sur

M.

tout

, ou c h a q u e

S

( S a , S ~) t e l

que S ~ c S S~-E

la seconde

est

M comme c i - d e s s u s ~

l'application

eu x

stratifiante...

~videmment satisfaite~

e n X= U S

chaque

est

d'incidence

qu'un

rare~

: "81 e s t

S~y

donn6e une application

ftre

dans X

69uidimensionnel y ~ _M~-est Sa~Y

aussit~t

£erm~ a n a l y t i q u e

:

la Zariski

d'h~r~dit~

satisfaisant

que v o i c i

qui

La c o n d i t i o n r~sulte

(X~S]~S2~x)

M: ~ E

espace

localement ,

d6finie

S

ferm6 est

par

402

Remarques parmi

les

:

t6s,

il

telle

strate

S

chaque soit

comme c e c i

par

bquidimensionnel

en x ,

F.1 e t

les

S i = F i - Fi+ 1 sont

lui

g~nbralis~e

associ~e

soit

( S I ~ S 2)

satisfait

les

localement

tion

num~rique

§ 4.

des

Lemme

:

0

sur

conditions

et

Soient

I1 existe x~M F

de l a

r~sultats

l'une

des i)

que

la

peut

q u e F.j n ' e s t

localement

la

est

la

rare

Chap.

Y).

cherch~e.

de X q u i

l'application

de W h i t n e y

de

d~finition

qu'inversement

c~est-a-dire

pas

cons-

minimale

de x ,

(cf.

c'est-

6.1.5).

stratification et

le

e m b o ~ t ~ s de X

S 2 au v o i s i n a g e

si x~M~l,x

une

descrip-

de ~N.

La s u i t e

transversalit6. T 1 e_! T 2 d e u x s o u s - e s p a c e s

~ ~N/TlnT2

a ) tN/TIGtN/T 2

mod T l ,v mod T 2) = u - v mod(T 1 + T 2 ) .

:

de ce t r a v a i l

de W h i t n e y en x E S 2 ~

b(u

D~finition

pas

:

m~mes p r o p r i ~ -

un f e r m ~ a n a l y t i q u e

de W h i t n e y ,

ou a ( u mod T l n T 1 ) = (u mod T1,

C'est

les

tel

stratification

telle

autres~

[L$-T],

ferm~s

O~ j ~ i

par

comment l ' o n

aussi

nrest

.~X

strates

exacte,

:

j,

hlors

est

Preuve

Voici

de s o u s - e s p a c e s

M: 0 ~ ~

conditions

.

du § I

assur~e

les

ayant

du § 1 ( c f .

une stratification

constante

Stratificatinns

4.1.1

les

que r o u t e s

T

celle

est

(T~)

3 Fi+ 1 est

Un d e s p r i n c i p a u x

est

soit

de s t r a t e s

suite

de x ~ .

l'existence

stratification

ou l ' a p p l i c a t i o n


marqub sur

moins fine

F i + 1 = ~xE F i /

Fi

multiplicit~

X dont

construction

une

sur

d'une

autre

la

tante

2)

est

r6union

r~currence

: Fo= X et

a un a v a n t a g e

espace

une qui

en s p ~c ialisant

D~finissons

ici

d'un

en e x i s t e

que pour

chaque

construire

La s i t u a t i o n

stratifications

Corollaire~ a-dire

1)

vectoriels

b • cN/TI+T2

u mod T 2)

e_~_t

clair.

Les deux sous-espaces

deux conditions

On a l ' ~ g a l i t ~

suivantes

T1 +

T2= ~N

vectoriels est

r~alis~e

de ~N s o n t :

transverses

en 0 s i

403

ii) I1

On a d i m ( T I n T 2) = dim T 1 + d i m T 2 - N .

r6sulte

aussit~t

Remarques

: On d i t

l'~galit~

: d i m ( T I + T 2) = dim T 1 + d i m T 2 •

de C 3 s o n t

du Lemme p r 6 c ~ d e n t

parfois

en position

: T1AT 2= (O),

que T1 et

g~n~rale

seule

T2 sont

sans

condition

que ces

deux

"en position

Par

~tre

conditions

de t r a n s v e r s a l i t 6

bquivalentes.

g~n~rale"

exemple,

transverses.

sont

deux

si

droites

a

distinctes

(La condition

raisonnable

l'on

~quivaut

lorsque

dim T 1 + dim T 2 ~ N . )

4.1.2

Lemme

:

Posons

~rassmannienne

des

L'ensemble

couples

ouvert

de Z a r i s k i

Preuve gique

des

: sur

fibres

Soit

dim T 1 ,

sous-espaces

t 2

= dim T 2 ,

vectoriels

EI~G 1× G2).

qui

est

~N ( r e s p .

dense

des

soit

~ue T 1 soit sit

E2~G 2×~N)

L'addition

et


( T 1 , T 2) E G 1 x G2 t e l s

de G I × G 2 ,

G1 ( r e s p .

au-dessus

tl=

G1 ( r e s p . t I

(resp.

fibres

t 2)

transverse

1+ t 2~ Net

l'espace

G2)

d_~e ~ N

a T2 est

vide

total

l_~a

un

sinon.

du f i b r ~

donne un morphisme

tautolo-

lin~aire

de

de G I × G 2

E1 × E2

> GI×G2×a;N

G 1 x G2

et

l'ouvert

cherch6

El(X ) ×E2(x ).~N conoyau

soit


est

celui

form6

surjectif, des

de Z a r i s k i ,

et

clairement

Corollaire

•

S__~i T 1 e~t T 2 s o n t

il

existe

riels

un nombre rSel

T 1' __et T~ __de ~N t e l

points

x E GI × G 2 t e l s

c'est-~-dire

fibr6s il

des

ci-dessus.

n'est

e> 0 tel

vide

I1

que pour =

t~l '

compl6mentaire

s'agit

que si

transverses,

(~ue dim T!I

le

le

morphisme

du s u p p o r t d'un

du

ouvert

t] + t 2< N .

~tant tout

donc bien

que

donn~s

couple

i = 1 ~ 2 , _e_t

t ~ - t I e__tt t ~ >

de s o u s - e s p a c e s dist

( T 1 , T ~) < ~

t2 , vecto-

404

dist

T~, -e- t

( T 2 , T ~ ) < ~ ~,

En e f f e t ,

si

T'

soient

2

T~DT]

et

transverses.

T~T2,

c'est

6vident

et

on a p p l i q u e

ensuite

le

lemme p r 6 c 6 d e n t .

D6finition et

de

dit

:

dimension

que

X et

X et

pure

dans

Y sont

Y deux

sous-ensembles

un e s p a c e

analytique

transverses

Z e n un p o i n t alors

(XNY)

ou b i e n

d i m z X+ d i m z Y ~ d i m z Z

et

alors

TX, z e t

point

4.2.1

que

X et

Z.

On

=

Z

Ty,z

sont

transverses

Y sont

transverses

Th6oreme


(des

localement

fonctions

XN Y e s t

implicites)

ferm6s

si

X et si

non-singulier

de

dimension

L'assertion

est

X et

4.2.2

le

des

sous-espace

locale

ils

sont

transverses

Si

X et

en prenant

Y sont

constructible

en

des

transverses

dans

non-singulier

sous-espaces

analytiques

X N Y d6fini

par

la

dim X + dim Y - di m Z~ X e t

sur

de Z~

Z~ e t

r6sulte

coordonn6es

aussit~t

locales

non sin~uliers

somme d e s Y sont

transverses.

du t h 6 o r e m e

et

des

id6aux

des

fonc-

6quations

locales

et

X=

Y.

Lemme

:

Soit

hun

espace

e_~t Y =

U Y~ d e u x s o u s - e n s e m b l e s ~EB (analyti~oes~ ou sous-analytiques

de W h i t n e y .

Supposons

transverses

darts Z • A l o r s

fication

Z si

ou v i d e .

Y sont

et

implicites

;

un sous-ensemble

dim X+ dim Y - dim Z,

Inversement,

tions

dans

z E Z.

comme c i - d e s s u s ~

pour

connexe

TZ~ z On d i t

est

Z

singuliers

z E Z si

et

Z

non

singulier

Z

Z

Y < dim

non

dim

tout

X+ dim

dans

constructibles

ou b i e n

dans

Z

Soient

de W h i t n e y

que

pour la

de XN Y •

analytique ferm6s dans

tout

non sin~ulier

(anal~tiques~ le

cas

r6el)

ou s o u s - e n s e m b l e munis

~ E A ~et ~ C B~ l e s

d6composition

U (X sEA pEB

soient


strates

N Y~)

U X sEA ferm6s

Xa __et X~ s o i e n t

d__eeXN Y e s t

une

strati

405

D@monstration

( d u e a D. C h e n i o t

X ~ Y = X ~ Y~ ; l ' i n c l u s i o n vet

l'inclusion


inverse. ouvert

[Ch])

:

Xa ~ Y9 ~ x

M o n t r o n s que l ' o n

n Y9 6 r a n t

S o i t doric z E X n x ~

U de z d a n s Z t e l

a l'@galit@

6vidente~

et supposons

il z~X

suffit

de p r o u -

NX~ .

I1 existe

que UN (Xa AXe) = D e t p a r c o n s 6 q u e n t

( ~ n ~ ) n , : ( x n¥ _(x n¥~))n~=((L_x )n¥]nu)u(~n(Y~-¥9)n,). que Xa N Y ~ , o n

a dim ( L M ~ )

dim (X---a X~) < dim X~ e t implique

encore

dim ( ~ n

(~-

6rant

strictement cherch6e.

Cette

@galit6

dition

dim ( ~ -

¥9) < dim ¥~ ,

: dim (X---a X~) N ~

¥~=

tion

~ dim X + dim ¥ ~ - dim Z. P a r a i l l e u r s

dim ( ~ inf6rieur

implique

de f r o n t i ~ r e

¥9) + dim X ~ - dim Z .

fronti~re

strate

X

et

est

les

la contradic-

Xa N Y~ v b r i f i e

une union

la con-

de s t r a t e s )

: en

l'@galit@ pr@c@dente montre que ceci

d

X , AYe, ~X NYg= X DYB e t

de m~me

C h a c u n de c e s deux t e r m e s

de X n Y p a r

d'une

nous avons


~ dim Xa + dim Y ~ - dim Z n o u s o b t e n o n s

e f f e t , si l ' o n a (Xc~, n ¥ 9 , ) N ( ~ ) ~ g ~ , io,li.ne

l'hypothese

= dim (X---a Xa ) + dim Y g - dim Z e t

que l a p a r t i t i o n

(la

et

Or p u i s

donc

l ' i n c l u s i o n cherch@e.

D'apres le th@oreme des f o n c t i o n s i m p l i c i t e s , les Xccn¥~ sont des sousensembles c o n s t r u c t i b l e s non s i n g u l i e r s de Z. tions

de W h i t n e y : s o i t

points

de X N ¥~ t e n d a n t

z E X , N Yg' c X vers

z.

V@rifions maintenant l e s condi-

n Y~ e t s o i t

D'apres

les

(xi)iE ~

hypotheses,

si

une suite

de

Ta = Lim TX ,x i xi, z

e t T~ =x.-zLim Tx~,x i , on a : T ~T xa ' ' z e t T ~ T x B , , z donc Ta et T9 sont t r a n s I v e r s e s dans T ~ ce qui implique par r a i s o n de dimension, au vu de la t r a n s Z~z versalit@,

les

@galit@s

T N T~ = Lim TX ,x i n x . ~z 1 et

donc

Lim TX N Y ~ , x i ~ T x X.~Z 1

Consid~rons fier

maintenant


,~Z

une carte

NTy~,

Ty~,x. =

~Z

locale

de z d a n s Z ~ ~ N

1

Lim x . ~z 1

Tx

~, n ¥~ I

de Z a u t o u r

et une r~traction

TX NY~,xi

et

la condition

a).

z

de z p e r m e t t a n t locale

P : Z~X

d'identi, NY~,

406

Si £ = L i m ~i b)

P(xi~,

de W h i t n e y ,

permis

ici,

suites

de

4.2.3 une

ce q u i

et

ach~ve

la

pour

1

faire

Ty~,,z:

Lim T(X ~ Y ~ ) , z

d6monstration.

nous permettrons

(x.)

s6cantes.)

on a £ C T x ~ , ~ z N

encore,

converger

les

(Notons

d'ou

la

condition

que nous nous sonmes

d'extraire

sans

pr6venir

directions

d'espaces

des sous-

tangents

et

de

•

Remar~ue strate

:

dense

L'~galit~

X~N Y~ = X n Y ~ i m p l i q u e

dans X (resp.

¥),

l'intersection

que s i

X° ( r e s p .

X° n gO e s t

une

yO) e s t

strate

dense

dans X n Y •

4.2.4

Lemme

:

Soient

X= Y X

m u n i s de s t r a t i f i c a t i o n s stratification

La d 6 m o n s t r a t i o n

:

singuliers

sont

tions

tangentes

verses. et

1)

g : ¥~Z

espace

On d i t

sont

giY~ : Y ~ Z

soient

de W h i t n e y

produits

fibr6s

de c e s

Lemme

ouvert

de E M c o n t e n a n t

X = xn (K× {0]) O

Soit

la

preuve

K un espace O, X e t X= UX

r6union

les

tout

pour

stratifies couple

U

X × Y~ e s t

produits

fibr6s

est

au p i r e

analyti~ue

stratification

de s t r a t e s ~

et

g:

Y~Z

une

dtespaces

d a n s TZ~

des

z

= g(p2(t)),

sont

prouver

que si

X = UX~

et

(a~)~

fiX

non-

applicatrans-

f : X~ Z

Y = U Y~

: X ~Z

dans un

et

X xY~ forment une stratiZ aussi g6n6raliser a des N o u s ne n o u s

servirons

fastidieuse.

compact

Y deux sous-espaces une

et

images

X x Y • On p e u t Z de m o r p h i s m e s ~ e t c .

nombre fini

Soient

soit

que pour

X~Z

ou z = f ( p l ( t ) )

d'espaces

fibr6

dont

f:

lemmes p r ~ c 6 d e n t s

du p r o d u i t

r6sultats

K×U.

les

t C X × Y, Z

P2(t),

les

4.2.5

du p r o d u i t

et

transverses~

d'un

:

pour

des morphismes

fication

pas

si

pl(t)

Z tel

X~ ¥ =

r6duits

X×Y •

que deux m o r p h i s m e s

utiliser

analyti~ues

un exercice.

transverses

non-singulier

La p a r t i t i o n

du p r o d u i t

est

a fen

On p e u t

Y = Y Y~ d e u x e s p a c e s

de W h i t n e y .

de W h i t n e y

Remar~ues

,

non-singulier,

analyti~ues

ferm6s

de W h i t n e y de X t e l l e supposons

que Y soit

muni

U u_~n r6duits que d'une

407

stratification

Y = UY~

a chaque strate

de l a ~ u e l l e

K× [0} e s t

transverse

dans

K × U. A l o r s 1)

La d 6 c o m p o s i t i o n

une stratification

Y = (W~ ( Y ~ - Y o , ~ ) ) U (C~ Y o , ~ ) '

de W h i t n e y de Y, t e l l e

__°5 Vo, ~ = Y~ N (K× [ 0 } )

que Y = YN (K× [ 0 } ) = UY O

est

soit

O~

r6u-

nion de strates. 2)

__Si' p o u r t o u t

couple

transverses

d a n s K, i l

X n (K×U')

e_~t Y~N ( K × U ' )

verses

(a,~)

existe

tel

~ue X~CXo '

un v o i s i n a ~ e

quelconques

les

strafes

X

U' de 0 d a n s U t e l

de x n ( K × U ' )

__et Yo,~ s o n t

~ue deux s t r a t e s

e_~t YN ( K × U ' )

soient

trans

d a n s K× U' .

D6monstration

:

Tout d'abord, nage ouverts adh6rence trons strate

puisque

rencontre

c o m p a c t on p e u t ~

quitte

que t o u t e s

d a n s Xa N Xo

Yo,~, c Y ~ N ( K ~ ~ 0 } ) , l'hypoth~se

X ~ N Y ~ cAXY e _

~ r6tr6cir

les

strates

U e n un v o i s i de X o n t u n e

Xa e t X~ , monSoit

en e f f e t

On a dim X t g dim Xa e t p a r a i l l e u r s ,

Xa, u n e d'apres

la

N (K× [ 0 } ) = dim Y ~ - N donc p o u r c h a q u e s t r a t e

on a dim X , + dim Y~, ~ dim Xa + dim Y ~ - N< dim K, donc de t r a n s v e r s a l i t 6 ,

nous fournit

X~ A Y ~ N (K× [ O } ) ~ N

P r o u v o n s donc 2 ) .

Xo • E t a n ¢ d o n n 6 e s deux s t r a t e s

d e s Y~, d i m ( ~

d'apres

du Lemme 4 . 2 . 2 .

dim X + dim Y ~ < d i m K+ N, on a X A Y e = J 3 .

contenue

structure

K est

1) r 6 s u l t e

U~ de 0 d a n s U, s u p p o s e r

qui

que s i

L'assertion

X,

N Y~, =J3. Or,

l'inclusion

6vidente

l'inclusion

(K× [O}) n ( ~ N K ×

cede, donc X~ N Y~N (K× [0}) = ~

[0}) q u i est vide d'apres ce q u i pr@-

et par cons@quent il existe un voisinage U~ de

O dans U~ tel que X NY~ n (K×U~) = ~

pour tout couple (~,8) tel que

dim X~ + dim Y~ < dim K+ N, puisque l'ensemble des couples de strates concern@s est

fini.

Supposons maintenant d6montrer. BcX

dim X + dim Y~_> dim K+ N .

S u p p o s o n s donc X a ~ Y ~

NYp form6 d e s p o i n t s

d a n s K x U 2t . ZoEBn

D6montrons par

(K×[O))

et

consid6rons

z en l e s q u e i s 1t absurde

et consid6rons

Si x a n Y ~ = D

, il

le sous-ensemble

Xa e t v~ ne s o n t

X , ~ K × [0} q u i

a rieu analytique

pas transverses

que BN (K× [ 0 ) ) =J3. S o i t

la strate

n'y

en e f f e t

contientZo

et

la stra-

408

te

Y

~,qui

o~

carte

contient

locale

ge o u v e r t

z

. D'apres

o

K×U~(ouvert

V de Zo d a n s

la

de)

condition

E£ ×EN e t

K × U~ t e l

que

a)

de W h i t n e y ,

un nomhre

dist(T X

~tant

donn~e une

¢ > O~ i l e x i s t e

un v o i s i n a

~Tx , z ) < ~ e t

~t~Z O

dist(Tv~ o'~ ' 'zo'TY~'z) a Yo~'

on

strates z° ,

~Y~"

I1

diction

espaces

plus

un c o u p l e

Yoici

petit

des

de l a

4.5

sur

munie

d'une

pour

(Kleiman

Z~X

EK1 1 ] ,

si

p o u r v E U,

le

le

produit

cherch~.

Kleiman,

d'ou

U2 p a r

contra-


tout

permet

B associ6

d'une

de c r i e r

vari6t6

du Lemme. N o u s a l l o n s et

la

V de

•

qui

alg~briques

des

z du v o i s i n a g e

B ;~ K × U' = ~ p o u r

particulier~

Theorem)

alg6brique du g r o u p e

par

que pour

indiquer

Soient

integre

les

beau-

alg6brique ~noncer

grandes

e~v tout

6gale

soit

• f(e).

lignes

y 6 F,

(y,x) ~¥ • x.

produit

on n o t e il

alg6brique

irr6ductible)

vari6t6s

Alors, le

et

not6e

entre

point

¥ 6 U,

i" u n g r o u p e

(= r 6 d u i t e

F ; F×X,X

chaque

non-singuliers, '[E×Z X

:

alg6briques

Pour

d6fini

fibr6

point

~ remplacer

au s e n s

~ Y~


d a n s TKxU, z

r6sultat

d~ a S.

2.


E e_~_t Z s o n t

tout

quitte

on o b t i e n t

deux morphismes

U d_~e F t e l

l'hypoth~se

z ° apFartenant

c o m m o d i t 6 du l e c t e u r .

transitive

ou 6 ~ u i d i m e n s i o n n e l De p l u s

la

6~uidimensionnelles.

dense

et

transverses

m u n i e du m o r p h i s m e E ~ X Zariski

[0] =~

dans un cas

puisque

transverses

ou d e u x s o u s - e n s e m b l e s

E, X u n e v a r i 6 t 6

e~_t g : et

B~K×

un r 6 s u l t a t ,

action

de

que p o u r

sont

maintenant

Th6oreme

duites

TX , z

de 0 d a n s E N

seulement

d6fini

maintenant

Xa , X~ , e t

d6monstration

f : E-K

et

stratifications

r6sultat

z C ×~ N ¥~ N V,

du Lemme 4 . 1 . 2

Ainsi U'

tout

de s t r a t e s

c o u p de s i t u a t i o n s X ont

et

Ty~,z

cherch6e.

encore

le

r6sulte

d a n s K× [ 0 ]

les

< z pour

alg6bri~ues

r6-

~E l a v a r i 6 t 6

existe fibr6

Soient

un o u v e r t vE×Z X

soit

de vide~

a dim E + dim Z - dim X. on p e u t

choisir

non-singulier.

U de t e l l e

fagon

E

~ue

409

Esquisse

de d ~ m o n s t r a t i o n

(y,e) ~¥ • f(e),

et

le

:

Consid~rons

diagramme

le morphisme q : F ×E~X

d~fini

par

:

~ ( g z E )

× Z

h

X z

F

o~ p d 6 s i g n e Tout

la

d'abord,

premiere

puisque

mSme de F × E.

le morphisme induit

est

5quivariant

sur

X, q

-1

r~sultat. donc les

Si

d'apres fibres

strict sont

tout

q-l(x)

de X, e t

existe

et

bquidimensionnels, plat

un ouve rt

q-l(Y)~Y

soit

naturelle

y C F,

plat~ de F s u r

: d'une

E est

transitivement,

non-singulier,

de l i s s i t ~

en e s t

d'apres

V dense

et

part

d'autre

F×E

et

produit

F× E est le

aussit~t

ou F e s t toutes

donn6e

de F

au m o r p h i s m e

X,

d'o~

le

de B e r t i n i - S a r d ) un s o u s - e n s e m b l e

les

fibres

q

-1

(x)

non-singuli~res. puisque est

~quidimensionnel

la

plat

platitude et

est

donc par


conserv6e

les

par

propri6t6s

dim q ~ l ( z )

changement de

la

de b a s e ,

que

dimension

+ dim Z ( p o u r

tout

(F×E) × Z X zE Z), c'est-a-

dire

dim q - l ( g ( z ) )

Si

th~o

non-singulier

th6oreme

que

le

dans X tel

isomorphe

yV r e c o u v r e n t

(ou

de

le morphisme q

l'action

est

p o u r x C X - F,

implique

part

les

g6n~rique,

non-singulieres

transitivit~

le

il

de Z a r i s k i

le morphisme q-l(~V) ~Y

F agit

sont la

il

q:

th6or~me

rbduits

le morphisme q est

l'action

de p l u s

morphisme ql

est

que

Puisque

le

On en d ~ d u i t , le

pour

(V)-V.

E sont

g~n6rique

que

donc pour

projection.

l' e t

Montrons

r b m e de p l a t i t u d e

plat

X

de p l u s

singulieres

E est

+ dim Z = dim i ~ E - dim X + dim Z

non-singulier,

puisque

c'est

le

le cas

morphisme ql

pour

q,

est

plat

en p a r t i c u l i e r

et si

~ fibres Zest

aussi

nonnon-

410

singulier, (resp. tout

l'espace

et

(F×E) × Zest X g6n6rique) il

lissit~

¥ E U,

dimension

la

fibre

6gale

h-l(v)

non-singulier. existe

soit

Enfin

un ouvert

ou b i e n

vide,

par

platitude

de Z a r i s k i

ou b i e n

dense

g@n@rique U tel

6quidimensionnelle

de

×Z- dim F (resp. e t de p l u s n o n - s i n g u l i e r e ) . X l'on remarque que h-l(~) =¥E× Z d'une part et que X dim ( F × E ) × Z - dim F = dim E + dim Z - dim X, on v o l t q u e l e t h 6 o r ~ m e e s t X

Voici

4.3.1

a dim (F×E)

sous

quelle

Corollaire

bri~ues

ferm~s

finies

:

des

So~ent

de l a

~ E a __de E

par

dans

G a tousles

D~monstration Z~-G

et

U B tel

l'on q u e vE

~ ~tant

Remar~ue

:

dimensionnel (resp.

Z),

dense

dans ¥ E U,

~ E U,

alors

Enfin

(~E~)nZ~

~ue pour

si si

si

:

une

E et

les

forment

que

n Z

une

est

(par

de Z a r i s k i tout

dense

aE Ale

G soit

trans-

transverse

aux injections

un ouvert

N U ~=U

E

~O

UE~ e t

de F s u r

(resp.

est

transversale.

convient.

Z

) est

~O


UZ~ s o n t stratification

des

dense


•

@quidimensionnels,

~O

E -*G,

de Z a r i s k i

l'intersection

Z sont

strate

~O

~ E U et

ou n o n - s i n g u l i e r

l'ouvert

de d ~ c o m p o s i t i o n s

Z~.

(a,p)

vide

al~-

non singuliers

un ouvert

pr@c@dent

couple

fini,

tout

(transitive)

signifie

p o u r y E U, yE

En Z . les

et

tel

I1 existe

th~oreme

NZ~ soit

En p a r t i c u l i e r , si

le

G, c e q u i

d6montr6.

de K l e i m a n

de ~N m u n i s

a la Zariski

non-sin~uliers

chaque

en nombre

d-plans

fermSs

naturelle

pour

×Z~ =~E aG

dim E~ + d i m Z ~ - d i m Les ~ et

F= GL(N,¢)

On a p p l i q u e

trouve

G des

de W h i t n e y ) .

l'action

le Th~oreme

Si

U E~ __et Z = U Z~ d e u x s o u s - e n s e m b l e s sEA ~EB

localement

sous-espaces

:

utiliserons

~rassmannienne

al~@bri~ue

lat~

nous

E=

stratifications

U du ~ r o u p e

pour

forme

en sous-ensembles

exemple

que pour

~ENZ dense

est

dans

@qui-

E

dim E + d i m Z - dim G e t

stratifications de W h i t n e y

de W h i t n e y , de ( ~ E ) N Z .

411

§ 5.

Stratifications,

transversalit6,

Nous u t i l i s e r o n s

le

espaces

d'un

phisme

5.1

f : Y-Z,

Etant

non singulier

au s e n s

d6fini

l'existence

que que pour

chaque

i'in6galit6 rare~ est

pas

5.2

analytique

Proposition

et

des

p - l ( B k)

que X et

ferm6

Par

p-l(x)

soit

dans X'.

chacun

par

certains

rapport

X' ~ X e n t r e

espaces~

par

de S a m u e l r e l a t i v e s

sous-

a un m o r -

pest

analytique

exemple

si

pest

p

propre,

ferm6

-1

(p(x'))

de X, e t

d'~clatement,

un

impli-

l'image

un 6 c l a t e m e n t

Ie centre

exemple

( L e - T 2)

F. = { x ' E X ' l d i m × , t

de X. P u i s q u e

dans

[L~-T],

X un s o u s - e s p a c e

rare

mettre

~ i} B

l'on

a

de c e n t r e m a i s ne

lui

6gal.

(d'apr~s

fibres

g6n~rale

sous-ensemble

contenu

X' ~ X un m o r p h i s m e p r o p r e

sion

p:


B1 e s t

n@cessairement

non sin~ulier, p:

le

dim B i ~ dim X' - i .

on a B o = X e t

pour

ci-dessons.

i,

B i = p ( F i ) de c h a q u e F.1 e s t

aussi

Z en p o s i t i o n


entier


6clatement.

de K l e i m a n

donn6 un m o r p h i s m e p r o p r e

6clatement,

est

espace

th6or~me

et

5.1.3.2) analyti~ue

tel

q u e X'

constante

Soit

:

des sous-ensembles

soit

une

B.

•

Z un e s p a c e

ferm~ ~uidimensionnel

pour

Z= UZ

Soient

6quidimensionnel x E X - Bk ,

stratification

de i

associ6s

de Z e t

et

o__~u Bk e s t

analyti~ue

~ue

la

rare

de W h i t n e y

dimen-

dans X de Z t e l

a p comme c i - d e s s u s

soient

1

unions de s t r a t e s , a i n s i que chacune des d i f f 6 r e n c e s Bi - Bi+1 .

Soit Hun sous-

espaee non s i n g u l i e r de Z t r a n s v e r s e a chaeune des s t r a t e s Z .

L'ima~e i n v e r s e

p-I(H N X) par p de l ' i n t e r s e c t i o n H n x coincide ensemblistement avee l ' a d b 6 rence dans X' d__ee p-l(H D (X- Bk)) •

D~monstration dimx,

:

I1

p - l ( H N Bk)

est

composantes sultera p

-1

suffit

strictement

irr6ductibles

en e f f e t

de p r o u v e r

que p

-1

qu'en

inf6rieur

non i m m e r g 6 e s (H n Bk)

est

(H n ( X - B k ) ) = p - l ( H n x - H fi Bk)

rare

est

tout

~ la

locales

point

plus en x '

x ' ~ p I ( H n X)~

petite

dans

dimensions

de p - l ( H fi X) : i l

dans p - l ( H n X),

dense

des

donc q u e

p-l(H N X).

Or on a :

des

en r 6 -

412

p - I ( H N Bk ) = j~kU p - l ( H n ( B j - B j + I )) d i m B. g dim p - l ( B k ) - j p u i s q u e 3 transverse est

la

aux strates~

codimension

dimx,p-l(H

chaque x'

dans

de H d a n s

Z et

composante

l'in~galitb

p-l(B k)

finalement fallait

:

Z,

dans

X'

pour

k)

tout

tout

'

([Bbk

3],

in~galit~s

:

pour

Puisque

H est

- j - h~ ou h

x' E p-l(Bk), Or H e s t

§ ~,

No 1,

non immerg~e p

N Bk ) ~ d i m x , p - l ( B

j > k.

h ~ dim p -l(Bk)

j ~ k.

on a 1 ' i n ~ g a l i t ~

Par

-1

d~£ini Prop.

localement 2)

par

on a p o u r

(H n X). de p - l ( H n X) e n 1

ailleurs~

puisque

d i m x , p - l ( B k ) < dim k) - h < dimx,P-l(H

par

hypothese

,X ' c e q u i

N X)i

donne

' ce qu'il

•

Application

:

Reprenons

la

dans

X un sous-espace

Y d6fini

par

long

de Y r e l a t i v e m e n t la

) cp-l(B

locale

5.2

que

ales

N X) i ~ d i m x , X ' - h .

dimx,p-l(H

d~montrer.

d'ou

d'apres

irr~ductible

rare

3

k) - h pour

donc,

dimx,p-l(H

est

p-l(B

l'on

on a d i m ( H n B . ) = d i m B . 3 3

~ Bj) ~ dimx,p-l(B

h ~quations

et

conclusion

situation un id6al

~ un morphisme

de

(Loc.

cir.)

et

F:

la

de

(Chap.

I,

tel

I,

5.1)

ou l ' o n

que X soit

(X,x) ~ (S,s).

proposition

6quimultiple"

Le l e c t e u r

5.1

6clate

ci-dessus

le

v6rifiera impliquent

que Le t r a n s f o r m 6 l_~e X ( s ) =

F-l(s)

l'6clatement

par

num~rique

par

coincide

normalis6

Ainsi, tion

strict

l'6clatement

ensemblistement

o

avec

: X' ~ X

de Y de l a

xo-l(x(s))'

et

fibre

sp6cia-

de m~me p o u r

~.

l'interm~diaire

implique

n

de C h a p .

l'~galit~

d'un

I~ 5 . 1

et

transform~

Chap.

total

et

III,

5.1~

d'un

une

condi-

trausform~

strict.

5.3 5.3.1

R~solution

simultan~e

forte

D~finition

(cf.

[Te

bquidimensionnel~

YcX

un sous-espace

dit

que X admet

un morphisme

~:

22,

et II)

conditions :

Soient et

simultan~e

forte

X' ~ X

r~solution

des

soit

X un espace

OE Y u n p o i n t

une r~solution qui

de W h i t n e y .

le

analytique

non-singulier

long

singularit~s

de Y e n de X,

0 si

r~duit

et

de Y. On il

existe

c'est-~-dire

413

qu e X' e s t

non-singulier~

: X~ - ~ - l ( s i n g

que nest

X)

~*X-

Sing


induit

-l(y)~¥

x' ~ -l(y),

c'est-~-dire

( -l(y),~,)~

qne

( -l(~(x,)),x,

Remarques

:

fiante

en (2.5.1~

Remarque).

5.~.3

Proposition

~quidimensionnel~

X~ m o r p h i s m e est

l'on

1)

C'est

[Te 2],

II)

:

(X°,Y)

systeme ver

satisfait

:

point

locales

x' C ~-1(O)

W l ~ . . . ~ W d _ t p o u r X' e n x ' plongement (~N~o).

L'hypoth~se que

naturel

Oy~ O

encore

que d a n s

envoyant OX' ~x' -1

la

Yi s u r qui

t]

:

en t o u t

point

local

~-l(y),

a affirm~e

X un e s p a c e

simultan6e

anal~tique

forte

de ~ h i t n e y

le ~ng

stricte

simultan6e,

O. D ' a p r b s

strati-

rbduit

de ¥ e~n O~

et

locales 1 -/ Nf(X) ~

,of

/Pr2 X×G

o

j.4r f

~SxC N

/ ]

s

1.2

Proposition-D6finition

(~)

~,

k, et

Ogks

l'on

~N d ~ f i n i

vectoriels

d, on a p p e l l e

n o t e Ck(~)

:

: (O)CDN-I~DN-2C''"

un d r a p e ~ u de s o u s - e s p a c e s entier

1 (Schubert)

de t N

k-i~me vari~t~

le sous-ensemble

Soit

Nun

cDICDo

entier,

et soit

= ~N

a v e c codim Di = i .

Pour chaque

de S c h u b e r t p r o j e c t i v e

associbe

de l a g r a s s m a n n i e n n e G d e s d - p l a n s

par

Ck(~) = ~TE G/dim(T A D~l_k+l) -> k}

de

419

Pour

tout

vari~t~ Chap.

~,

al~brique I,

pour

1

:

r~duite

2

le

raison

:

¢k(~)

on l ' ~ c r i r a

Pour

Chap.

un drapeau

E ai, I,

§ 5).

(a i = 0 p o u r

liserons

que

les

Proposition

f : (X~O)~ (S,O)

te

un ouvert

codimension

structure

k dans

ii)

L'~galit~ n'est

est

Ck(&)

et

de s o u s -

G (el.

[G.H]~

pas

:

Ck(Dd_k+ 1) = U ~

de n o t r e

2

Etant

:

suite

d'entiers

de Dd_k+ 1 ~ ¢ N ,

a = (al,...,a

C'est

une

sous-varibt~

d)

a i = 1 pour

i ~ k).

Dans cette

vari6t6

l'~pith~te

donn~s

consi-

pour

dense

que pour F)

est

d'un

~erme

et

k~ O ~ k ~

ou de c o d i m e n s i o n

de)

morphisme

Gk d e s

dim S ,

k dans

il

sous-espaces

exisde

:

dans yfl(ck(Dd_k+l))red

pure

ny-l(Ck(Dd_k+l))

n'uti-

un S-plongement

D d _ k + l E Wk on a i t

dense

cons-

nous

d= dimX-

grassmannienne

tout

de c e t t e

"projective".

entier

Wk de l a

(voir

rbdaction,

S non-singulier~

tout

de G,

a a e_~t ~

particulier

un (repr~sentant

avec

algbhrique

associ~e

tr~s

n vfl(x-

vide

de S c h u b e r t un cas

d__~etN t e l

et

~

ce

Nf(X).

= dim v f l ( o ) - k

a lieu

si

l'inter-

vide.

Nous allons une

int~resse

stratification 6gale

que

Ck(Dd_k.l).

une

omettrons

dim(vfl(o)

D6monstration

nous

volontiers

en fair

sont

comme c i - d e s s u s ,

d-k+1

espace

est

i >k,

de Z a r i s k i

dernier

qui

Les Ck(~)

Yfl(ck(Dd_k+l))

section

~ et

vari~t~

(X~O)c (S,O) × (¢N~o)~

i)


de G n e d ~ p e n d

aussi

~ i J •

appelbe

truction

local

d'une

sous-ensemble


1.5

muni naturellement

de G, p u r e m e n t

a (~) = [T~ G/dim(TNDd+ai_i)

[G-HI,

est

La s o u s - v a r i ~ t ~

eette

Remarque d~rons

Ck(&)

§ 5).

Remarque et

l'ensemble

en fair

stratification

~ pour

chaque

de S c h u b e r t de W h i t n e y

par

U~.~

~ ek(% -1 . Dd_k+l)en

prouver

un r6sultat

de W h i t n e y 616ment l'action (cf.

utilisant

£ix6e

de

~E I'= GL(N,¢), naturelle

Chap. cette

III~

plus

la vari6t6 l'image

de ~ s u r 2.2~

fois-ci

pr6cis

l'action

de S c h u b e r t

% . Ck(Dd_k+ 1)

G est

Exercice)

: Soient

et

munie

de l a

d'autre

naturelle

part de

420

-1

sur

Gk .

Fixons

une stratification

vfl(o)

et

D'apres

vfl(F)

soit

D~apres

transverse

fix~e

dans Nf(X)

et

contenue

est

donc dense

~ chacune

Puisque

alors

ii)

1.3.1

Remarque

toutes

les

du f a i t

dans

~ assez

~n6ral,

analytique

r~duit,


le morphisme

sont

s~rement

gularit~s,

1.3.2

Corollaire

:

~ fibres

lisses

et

tion

linbaire

fibre

notera

destin6es

telle

X(f(x)) ~

Pk°

x

l'ensemble

1

un o u v e r t

un r ~ l e

l'action

l a m~me p r e u v e ~ de d ~ f i n i r ,

locale

: v~(y-l(oa(&)). ou v i d e ,

dans

un m o r p h i s m e

x C X-F.

Soit

la restriction

des points

contenue ~ X(f(x))

xC X- F tels

p:

est

F)~ q u i F)

La p r o -

transiti-

O× O× ~ . ~

suite d) e t

un s o u s - e s p a c e

Ces vari6t6s

l'~tude

lisse,

strict polaires

locale

des sin-

c'est-~-dire

¢N ~ ¢ d - k + l

une projec-

Wk .

if(x)]

×

Pour

~N

de l a p r o j e c t i o n

que x s o i t

pour

le transform~

~ l'ouvert dans

valable

chaque

C'est

~ y-l(~ a (~)).

important

en x ,

Gk e s t

a (al,...,a

de X, d o n t

~ue f s o i t

~d-k+l

pour

associ~e

Supposons

non-singulibre

dense

~ Nf(X).

dans G des strates

ici.

point

a la

Dd_k+l)) ~ vfl(x-

de £ s u r

pas besoin

en tout

vfl(o).

~.Ck(Dd_k+l )° ~ vfl(x-

avons

,

dans

•

ensemblistement

~ jouer

des strates

de W h i t n e y

F) - y f l ( c k ( u - l .

permet

Ea.

existe

analytique

avec

par

il

F) e s t

q u e Ker p = Dd_k+ 1 a p p a r t i e n n e

est

: X(f(x))

Z~ c o n t e n u e s

que

2.2.2).

dans s×~N×G

que

polaire

d~finie

6gal

mais nous n'en

plat

la

vest

~ E U, c h a c u n e

et

donc transverse,

vfl(o).

et

d) u n e v a r i ~ t ~

un d r a p e a u

par

tout

telle

4.3),

Dd_k+l)) = S× {N× ek(-1Dd_k+l)

de S c h u b e r t ,

(al,...,a

III,

stratification

~ vfl(x-

La m~me a s s e r t i o n ,

vari~t~s

1.5

Chap.

de l a t r a n s v e r s a l i t ~

Z~ c o n t e n u e s

:

est

III,

(cf.

l'intersection

aussit~t

provenant

la

vfl(x-

de s t r a t e s ,

Chap.

des strates

4.2.5),

dans yfl(ck(g-l.

strates

d'entiers

III,

de N f ( X ) C s × ~ N × G

(cf.

que pour

dans yfl(~.Ck(Dd_k+l))

r~sulte

le point

Z~ •

r~uuion

est

les

tel

) de S × ~N × ~ . C k ( D d _ k + l )

stratification

position

de s t r a t e s

dense VcF

l e Lemme de ( C h a p .

( S × CN × ~ . ~

avec

r6unions

du Th~or~me de K l e i m a n

de Z a r i s k i

O×Ox~.~

ve~

soient

le Corollaire

un o u v e r t

de W h i t n e y N f ( X ) = UZ~

critique

et

x C X-F, l'on

p.

Soit

p o u r ~x "

421

Alors i)

Pk °= vf(yfl(ck(Dd_k+ 1) n vfl(x- F)).

ii)

L'adh~rence Pk~f~p> d~e Pk(f;p~ ° d a n s X est un sous-espace analytique

ferm~ de X, purement de codimension k dans X ou vide, b~al a l'image r~duite vf(Yfl(ck(Dd_k+l))iii)

Le t r a n s f o r m ~

-1 Yf (Ck(Dd_k+l)),

:

si

a dim(Tx(f(x)),

ce immediate

D6finition

muni

d'une

Dd_k+ 1 C C N locale

suffit

de

1.4

la

fermb

On l e

note

de r e m a r q u e r

Etant

polaire

donnbs

du f a i t

donne

que


Pk

contenu k associ6e

die X, q u i

est

Pk,

absolue,

mais

et

Wk ,

a fet

purement

tous

les

~gal

et est

propre.

polaire

sous-espace

k d a n s X,

s_! S e s t

n'est

analy

ou v i d e .

un point.

On n o t e

pr6sent,

on p a r l e r a

souvent

•

lin6aire

vari6t~

a Dd_k+ 1 l e

on o m e t t r a

cons6quen-

comme c i - d e s s u s ,

un sous-espace

un point,

seulement

vf est

(S,O)

de c o n f u s i o n

S est

si

x

Le r e s t e


risque

cas,

i).

~

on a p p e l l e

ou Pk((X,O),Dd_k+l)

Lorsqu'aucun

dans

dans

pour

f : (X,O)-

d-k+1

les

on n o -

de v a r i 6 t 6

adjectifs

ou " a b s o l u " .

Premier

dbfini

par

avatar

l'id~al

les

:

Supposons

I = (fl,...,fm)

coordonn~es

en@endr~ par

les

fa~on

jacobiens

1]

~(z

Notons

,...,f.

)

et

[jl,...,jc]C[1,...,N],

de OX, O en@efidr~ p a r

les

seuls

1c

~...,z.

d~terminants

D d _ k + l C Wk e t

dbfini

c = N-d.

31 [il,...,ic]C[1,...,m]

(X,O) c (S,O) × (~N,o)

Soit

q u e Dd_k+ 1 s o i t

d = d i m X - dim S e t

d~terminants

ferm~

de O S , o { Z l , . . . , Z N ] .

de t e l l e

Zd_k+ 1 = O. P o s o n s

le S-plongement

3(f.

l'id~al

vf est

le morphisme

un morphisme


1.4.1

z I .....

et

critique

ce qui

Pk
o__uuP k < D d _ k + l > . L o r s q u e

"relatif"

sissons

que x est

(X,O) c (S,O) × (~N,o),

aussi

aussi

le morphisme

S-installation

de m~me s o n ~ e r m e e n O. ,era

par

x n Dd_k+ 1) ~ k ,

Proposition,

:

relative

tique

de P k ( f ; p >

ensemblistement.

Preuve l'on

I1

strict

choi-

par J

l'id~al

de OX, O

) avec 3c et

notons 3acobiens

Jca qui

sont

tels

422

que

[jl,...,jc

darts X p a r

1 c {d-k+2,...,N].

La v a r i $ t 6

P k ( f ~ D d _ k + 1)

est

d6finie

l'id~al

n < D d _ k + l > = ( J : ~ J < D d _ k + l >)

Remarque

polaire

:

Comme l e

en g 6 n ~ r a l ,

cet

Pk(f;Dd_k+l)

calcul

avatar

dans

le

ne

des

fair

langage

id6aux

guere de

:

[ h f @X,O / h . J c ~ t J < D d _ k + l > J

r4siduels

que

d6crire

(I : J)

est

la vari6tb

assez

impraticable

polaire

l'algebre.

"Le secret de la pens4e solide est dans la d4fiance des langages. Les speculations bien s4par4es des notations sont les plus puissantes." Paul Val4ry. Cahiers

1.4.2

Second avatar

:

Soient

u n h o m o m o r p h i s m e de k - a l g e b r e s mensionnelles. Rest

On s u p p o s e

X.. , •3

corps

k(~kij])

~

~°d_k+ 1

minimaux parmi i) ii)

les

et

locales

extensions

O,k,

posons

r~duites

r~siduelles

sont

et

• : R~ A

completes

~quidi-

triviales

, que

d-1.

ind~.termin~es R = R®K k

~ h

~

.

A .~ e s t P

Consid~rons satisfont

les

les

id~aux

N z. = Z * j=l

posons

On a d o n c

; soit

X.. z. • *3 3

enfin

Notons

Rk l a

des homomorphismes :

premiers

deux conditions

g6om~triquement

L'homomorphisme naturel

et

, A = A®K k

II'~[[Zl,...,Zd_k+l]~.

ceux qui

L'anneau

k,

1 ~ j ~ N des

complete

R ¢~Rd_k+ 1

que

un e n t i e r

Soient

R -algebre

n~thbriennes

z~ro~

et

m o d u l o mr, • A, e t

le

de c a r a c t ~ r i s t i q u e

1 q u e QA/R ® T o t ( A ) e s t l i b r e de r a n g d = d i m A - d i m R . On f i x e A Zl,...,z N d ' ~ 1 6 m e n t s de l ' i d ~ a l m a x i m a l mA de A q u i e n g e n d r e n t mA

r~gulier

un s y s t ~ m e

K

k un c o r p s

p

~

de h

suivantes

qui

sont

:

r6gulier.

( R d _ k + l ) P_ld_k+l(p~ ) --~Ap~ n ' e s t

pas

de h a u t e u r

et

formeiiement

lisse.

Alors tion

ces est

id~aux l'id~al

premiers d~finissant

sont

dans Spec A

k,

en n o m b r e f i n i ~

la vari~t~

polaire

leur

locale

intersec(g~n~rique)

423

associ~e

a • et

§ 2.

Exemples.

2.1

Soit

par Si

le

f:

au c h o i x

~d+l

~ un

plongement

O est

z o = ...

N.

(germe

morpbisme

~d+I~C×C

un point

de f a s s o c i 6 e

de z l , . . . , ~

critique

d*l

le

g~nbral~

de M i l n o r

(k)

dimension

k gbn~ral

2.2

de

Examinons

(absolues) sont

par

dans

si

X est

a singularit6

que

l'on

isol6e

(loc.

cit.)~

pour

Dd_k+ 1 a s s e z

par

par il

v-

polaire

supposer

d)

pk par

de E [ z ° , . - - , z

prouv4

X= f - l ( O )

f(Zo,...,z

d6fini

l'id6al

est

installe

n}

que pour ~gale

avec

au nombre

un plan

de

O.

X= f - l ( o )

:

bZl

les

associ6es

de OX, O

vari6t6s

polaires

a d e s Dd_k+ 1 : e l l e s

:

'bZd_k+ 1 , . . - ,

C d]"

x

e n O, on a

~f 3z~__k+l ~ - . . i

~f ~z d

¢{Zo,...,Zd}/(f)

a l'6galit6

Pkn f-l(o)

Dans

12]

l a mSme s i t u a t i o n ,

,...,

~k =

on e n d 6 d u i t

par

suivants

~k =

et

peut

l'on

e n O de P k < f ; D d _ k + l > e s t

passant

id6aux

vari~t~

de l ' h y p e r s u r f a c e

d'hypersurface

les

l'on

que

engendr6

k-i~me

que

multiplicit~

maintenant,

l'id6al

Dans [Te

l'intersection

du g e r m e

d6finies

~z d

de c d + l

la

analytique,

de gn+ 1 d 6 f i n i

sous-espace

la

par

de f~

Od_k+ 1 ,

5Zd_k+ 1 Dd_k+ 1 a s s e z

d6flni

isol6

au sons-espace

= Zd_ k = O e s t

de)

on a m o n t r ~ g~n~ral,

que

~gale

= Pk(f-l(O);Dd_k+l

la ~ultiplicit~ h (k)

+ (k+l)

>

e n O de P k < X ; D d _ k + l > ~ t a i t , pour

O ~ k ~ d-1.

424

Le d e s s i n r~duite

suivant

de ~ 5

pas

aidera

peut-~tre

n~cessairement

le

lecteur

~ singularit~

~ ici

X est

une

surface

isol~e.

i<x ¢ D2>

Sing

2.5

Cas particulier

f soit

choisir

liere.

Par

jective

par

faire

polaire

des vari~t~s

R.

On p e u t

toutes

polaires

[Pi]

aussi

r~f~cences

: c'est

consulter

historiques.

tout cet

est

lui

est

d~finie le

Xd)E ~d

vari~t~s

~ la Todd des vari~t~s Piene

polaire

si

simplement

excellent

telle

le

le

travail

cas

o~ Y e s t

f par

rapport avec

la

th~orie

Oe P i e n e ,

volt

pro-

a la Pon-

cas

l'on

ou n o t r e

non-singu-

polaire

et

sur

est

La s o u s - v a r i ~ t ~

vari~t~

qu'elle

c~ne

revient

Y est

~ DdE ~ d . On p e u t

contient

projectives~

X,

que

Pl

Son intersection

projectives~

absolues

r~duit

Dd e c d + l

~gale

dans

maintenant

relative

polynSme

T o d d de Y a s s o c i ~ e

locales

droite

appel~e

en po]arisant

les

un cSne

Pk<X~Dd > = P k < f ; D d _ k > N X.

(Xo : . . . :

a la

Supposons

une

la vari~t~

qu'elle

obtenue

:

. Choisir

h Pl sera

g~n~ral

de m~me p o u r

polaires

ce cas

On n o t e r a

l'~quation

vari~t~

vc~d

d 5f Z X i ~-~z. = O~ e t 0 1

dans

~ f.

histori~ue m~ d ~ f i n i s s a n t

Xd) C ~ d e t

correspondant

suffisamment

appel~e

par

(Xo : - . . :

ailleurs,

associ~e

point

r~duite

l'hypersurface

de ~ d

guli~re

rie

dans

de n o t e

h o m o g ~ n e de d e g r ~

projective

un point

contenue

celet

servant

un polyn~me

une vari~t~

X

non sin ~ un

Y sera

bien

que

s~r

la tb~o-

des vari~t~s

a ~t~

d~velopp4e

germe est ou [K1 2]~

un c~ne. pour

des

425

Exercice

:

On s a l t trer

que

que

§ 3.

multiplicit6

est

de l a

X~£ 3 le

6gale

courbe

Th~or~me

sur

duale

Soit

courbe

e n O de X e s t

projective

6gale

courbe

classe de l a v VVc]P 2 •

des vari~t~s

:

une

e n O de l a

~ la

Multiplicit~

5.1

c~ne

la multiplicit6

la

g6n6ral, grb

Soit

au degr~

polaire

courbe

plane

r~duite courbe

V. Mon-

P I < X ; : ) 2 > de X p o u r

D2 a s s e z

projective

de l a

Y c ] P 2.

Y~ c ' e s t - a - d i r e

au d e -

polaires.

f : (X,O) ~ (S,O)

un morphisme

d'espaces

analstiques

comme e n 1 . 5 . i)

Pour

tout

coordonn~es ouvert tel

S-plongement

sur

IN

de Z a r i s k i

que

la multiplicitb

Pour

classe

un param~tre

(X,O) c (S,O) × (~N,O),

entier

Yk c o n t e n u

k,

dans

O~ kg d= dimX-

l'ouvert

m o ( P k < f ~ D d _ k + l >) e n

0 de l a

multiplicit~

de l ' h o m o m o r p h i s m e

D6crivons

Wk de l a

tout

choix

dim S~ i l

de existe

Proposition

varibtb

un

2 (1.3)

polaire

de Dd_k+ 1 ff Yk •

k~ O g k ~ d~ c e t t e

d'isomorphisme

:

tout

ind~pendante

cha~ue

Dbmonstration lea

pour

dense

Pk soit ii)

et

local

d'abord

de p r o j e c t i o n s

une

ne d~pend en fait

d'alg~bres

OS, O ~ O X , 0 a s s o c i ~

construction

~N~d-k+l,

que

: Donnons-nous

que nous

sopposons

une

d6crite

de l a a f •

familpar

N

(~)

pour

zi

lg i ~ d-k+l,

Zl,...~z

N fix6es

= zi + ) " ~i (t)z. + > j=d-k+l J a IA[~

avec Yij(t) sur

~N

et

ci,A(t)

NotooS ~ la

dans

droite

P

d6crit

par

Consid~rons

(~e) e t le

l'identit6

diagramme

~

~N

de A . suivant

t • ~[t],

affine,

me ( o 6 t E ~ )

cd-k+l

c i A(t) '

et

dans

zA

des

coordonn6es

consid~rons

le morphis-

426

S × I P N - 1 × C N × G ×~.

S×¢NxG×~

e × ida,

N~×a

S × (Ed - k + 1 ×t~

Nf(X) ×a

P

X' × ~ .

) X ×/h ¢

e× id~

I

f × idt~

Sxt~

ou V f x i d~ n ' e s t e×id~ dans

est

Notons et

que

l'6clatement

Nf(X) x~

propri6t6

autre

dans

X×~


universelle dPt(Z)

la modification

de

le


vfl(o)

×~,

enfin

O×&,

associ@e

e × i d~ e s t

v' × i d~ e s t

a f × i d& ,

l'~clatement

le morphisme

du a l a

l'~clatement.

l'application

consid6rons


tangente

sous-espace

£ la

du p r o d u i t

projection cN×G×~

Pt = p~IENx [t) d~fini

au p o i n t

comme c e c i

4¢

P :

I1

est

d6fini

facile

de v o i r

localement

par

{(z,T,t)/

que Pest les

dim(TNKer

un sous-espace

conditions

dPt(z))

.>-k]

analytique

~ al, N

a c , 1 ~. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

, ac, N

rang

< c + d-k+ 5z I

~z 1 , ........................

~z 1

, 5z N

8Zd_k+l 1...

' ~Zd_k+ 1

8Zd_k+ 1 ~**.

de c N × G × ~ ,

:

al, 1 , ........................

5Zd-k÷ 1

ferm6

'

6z N

1

,

ou c = N - d

z,

427

o~ l e s

6quations

Le p o . i n t e s t [Ke]

Za.

sur

les

pour

une stratification

pour

(Loc.

d'apres

le

les

long

strates

de W h i t n e y provient

(cf.

de l a

Chap.

et

analytique

de l a q u e l l e

qui

est

5.2.2).

des

(el. P admet

on a r b s o l a t i o n

doric en p a r t i c u l i e r

L'existence

singularit6s

d'une

explicite

telle

donnbe

cit.). facon

coordonn~es

U . . , 1 ~ i l

Preuve

:

3)

c'est-a-dire

diagramme

local

i de ~M t e l


(pure)

que

d-i .

l'espace conormal relatif de A Xi l e t r a n s f o r m ~ strict de

et ~i

le

transform~

l'adh~rence

strict

par

dans Cf(Xcs×~M)

:

G

J

G.

1

~.-i-i

Cf(X)~,,J~Xi.

s Xir

)

X (

t s

'X i

Cflxi(Xi

442

5.3.1

Proposition

prbc~der

:

chacune

i)

Les conditions

de " p o u r

tout

reprbsentant

On a y f l ( c d _ i + l ( D i ) )

ii)


suivantes

sont

~uivalentes,

suffisamment

petit

si

l'on

fait

de X " .

n Xi = ~ •

de X~ d a n s X i × Gi

ou Gi d ~ s i ~ n e

la ~rassmannienne

des

(d-])-plans de D . , d 6 f i n i p a r x ~ ( x , T f I AT D x ) , s ' ~ t e n d e n un m o r p h i s m e 1 - (f(x)) i' A __de X.1 --darts X.1 ×G'I ' i n d u i t p a r l e m o r p h i s m e n a t u r e l de G - C d _ i _ I(D.)I d a n s Gi qui

a T associe

relatif

T n Di ,

Nf[x.(X')I

et

__de X.1

dont

]'image

d a n s Xi ×G

est

le modifi~

de Nash

"

1

iii) encore

Le m o r p h i s m e est

iv) CM t e l F1, .

un m o r p h i s m e Pour

tout

A

Xi ~ N f [ x . ( x

d~fini

d'un par

syst~me

z i = 0 et

les v)

seuls

mineurs

Pour

Notant Di ,

est

d~fini,

mais

limite

d'un

forme tels

T d'espace

systSme

d a n s OX i , O s u r

que

(zl,...,z

[il,...,iM_

tangents

M)

sur

de ~ n ~ r a t e u r s

X c S × ~M e__nn O,

d~finissant

entier

locales

1' i d 6 a l

l'id~al

en~endr6

d}c [i+l,...,M]-

~ X° e n d e s p o i n t s

de X . - F, 1

= d-i •

1

tiennent

de c e t t e

toute

on a d i m ( T ~ D . ) i')

, z M] de l ' i d ~ a l .. ) ~(Fjl' "'FjM_d 5(zi1 ,...,z.xM_d) est

les

non seulement


z 1 .....

.,F m . E O. s ~.s { z.l ,

par

i)

1

fini.

choix

que D i s o i t

en~endr6 par

precedent

Li - i t e M - 1

on a

l'espace

projectif

form~ des h~perplans

qui

con-

est

l'es-

:

~fl(L i-1) nX i =

ii') pace


des hyperplans

p h i s m e X'I ~X'I ×

de ~ i

de D i ,

~M-l-i

dont

_ ~ 1 (L i - 1 ) qui

~ (x,n)

1'image

est

d a n s X. × associe

~M-l-i

o~

( x , H n Di

Cflx.(Xi)

~M-l-i

, s'6tend

e n un m o r -

.

1

iii')


un m o r p h i s m e

D~monstration

pr~c6dent

non seulement

est

d6fini,

mais encore

est

fini.

:

de l a m o d i f i c a t i o n

i)

et v)

de N a s h .

sont

clairement

D'autre

part

bquivalent

d'apres

ltapplication

T~Tn

la

dbfinition

D~ e s t

pr~cis~ment

443

d~finie

de G - C d _ i + l ( D

i)

d a n s G.1 '

a v o n s vu l ' 6 q u i v a l e n c e

de v )

montrer

puisque

faire~ tive

queii)

~ iii)

nous pouvons Z (Chap. A

(resp.

X.)

II~

et

plonger

1.1.1)

ce qui

iv)

en (Chap.

i'implication

localement

d6finie

comme t r a n s f o r m 6 s

montre

II~

q u e i ) ~* i i ) .

3.1)~

inverse

et

est

il

6vidente.

par FI~...~FM_d~

de X ( r e s p .

Xi )

Pour

calculer

de

ce

complete

et

par

Nous

nous suffit

X dans une intersection

disons

stricts

aussit~t

rela-

Nf(X)

l'~clatement

de

1

l'id~al

jacobien

relatif

s 6 m e n t que J Z / S . de I ' i d ~ a l

OXi,O est

jacobien

Comme Nf(X i ) e s t l'6ciatement

JZ/S

de X 1 .

entier

relatif

sur

JZNDi/S

l'~clatement

Mais l'hypoth~se l'id6al

de i i )

Jz~Di/S

de l ' i n t e r s e c t i o n

complete

relative

ZFID.I "

d a n s X i de J z f ) D i / S • O'Xi,O ~ q u e X i ~ X i e s t

d a n s Xi de J Z / S "

int6grale

pr~ci-

• OXi,O image dans OXi,O

~Xi~O ~ e t

que c e s

deux i d6aux ont

.Jz.QDi/S.OXi,O~.Jz/s. OXi,O e t q u e JZ/S.(~Xi,OCJzNDi/S. (~Xi,O) , l e r ~ s u l t a t c h e r c h 6 e s t d o n n ~ ture

implique

l a mg-~me f e r m e -

(puisque

par

(Chap.

I,

1.3.6). L'~quivalence

de v )

et

i)'

Pour prouver

l'~quivalence

H~HND.

d~finie

est

r6sulte

aussit~t

de i ) '

et

de ~M-1 _ L i - i

de c e q u e n o u s a v o n s vu e n 4 . 1 . 1 .

ii)'~

remarquons

que

dans ~pM-i-i ~ et

il

l'application

nous reste

a prouver

1

queii)'

~ iii)'

~pM-1

: les

Li-1

fermetures

1~ M - l - i

sont

de~ f i b r e s

des espaces

de I a p r o j e c t i o n

projectifs

IP i d o n t L i - 1

est

un

1

hyperplan~

et

si

que

Ia restriction

~i

telle

(puisque

le morphisme Xi--*Cf(X i) de rci a ~ t f l ( o )

q u e lP i 21~f1(O) ~tfl(o)

est

5.5.2 5,3.1

rencontrerait

avec

i)'.

I1 r6sulte sont

de Z a r i s k i

satisfaites, dense

pas

pas

finie~


Li-1

d'apr~s

fini

alg~brique

le

~ cela

done qu'il

f e r m 6 d a n s lP M-1 ~ d o n e a l g 6 b r i q u e )

de c e s o u s - e n s e m b l e contradiction

soit

n'est

n'6tait

et

th6or~me

signifierait

existe

une

de d i m e n s i o n l'adh~rence

fibre ~ 1

d a n s IP i

de B e z o u t ~

d'ou

une

•

du T h 6 o r ~ m e 5 . 1 , lorsque

B) q u e

dim S ~ 1,

de l a g r a s s m a n n i e n n e

les

pour

des plans

conditions tout

de l a P r o p o s i t i o n

D.1 a p p a r t e n a n t


a un o u v e r t

i de gM .

444

5.4

Vari6t6s

5.4.1

polaires

Reprenons

et

la

sections

situation

planes.

de 1 . 1 ,

(x,o)

avec

(

les

m~mes notations

, (s x ~N,o)

(S,O)

Soit

G un sous-espace o

[XNGJ = (XNG)re d • gents est

aux rare

dim T N G

fibres dans

[XN G],

Cf(X)

et

ou g = dim G

G

~fl(o) N [XN G] 2 sentant

assez

dim ~ - 1 ( 0 ) routes

les

Quoi

il

~f : Cf(X)~X

strict

de ~XN G] p a r

Proposition

Remarquons existe

espace

vectoriel et

~tant

que

dans

points

terme

de g a u c h e

cette

donn~ un tel de G

Sous

o

eas

aX ° (et

on a

relatif

l'adh6rence des

les

hyperplans

pour un reprO,

un point,

G (avec

pas

de X

:

ou S e s t

sgus-espace

~ de c o d i m e n s i o n

hypotheses

~ l'ouvert

d~signe

le

FAG

transversalit6

conormal

par

part

tan-

g= N-l)

seulement

aux

puisque transverses limites

de XN G ) . vectoriel d-k+1

dans

pr~c~dentes,

si

~ l'ouvert

Wk a s s o c i ~

correspondant

pk~G o~ l e

T,

l'ensemble

des hyperplans

tangents

Dd_k+ 1 a p p a r t i e n t

appartient

s'exprime

toujours

d'espaces

:

d'une

c'est-~-dire

c~N-I

d'espace

F'xg :D , c'est-~-dire [XN G] 0 ~fl(vN-g-1) :D

un sous-espace

o

limites que

exprimer

af,

et

limite

l'espace

~N-g-1

~s×~N

aux

une telle

aussi

: soient

a X°en des

en soit,

On p e u t

o

c'est-~-dire

, pour

Soit

G= S × G

transverse

de X N G ,

La t r a n s v e r s a l i t 6

limites

5.4.2

flEXNG],

.

petit.

tangents

qu'il

Dd_k+ l E G

o

.

o

posons

soit

o

part

- FN G).

~N-g-I

< N-l,

d'espaces

d'autre

de g f l ( [ x N G ]

de ~N c o n t e n a n t

que G

des points

de ] a m a n i e r e s u i v a n t e t-xg e t EXN G] l e t r a n s f o r m 6 dans

de ~N,

Supposons

de f e n

= d+g-N,

o

vectoriel

l'adh6rence

associb

= Pk N G a droite

5.3.1),

4.l.1) ,

donc i l

que l ' i m a g e tandis

r6duite

que l ' i m a g e

Pk,

est

d'ou

le

446

5.4.3

Corollaire

sin~ulier tel

Pla~ons-nous


que

~ 1 et

flY : (Y,O) ~ (S,O)

supposons Ty(o),o

que

l'espace

contienne

e_~n 0 a u x d-t

:

limites

• I1

soit

soit

(X,O)

dense

tangents

de Z a r i s k i

de 5 . 1 .

Posons

Y form6

aux fibres

dense

de

Supposons

un sous-espace

S non-

non-sin~ulier

t = dim Y - d i m S, e t

des h~perpians

de Z a r i s k i

un ouvert

situation

submersion.

~M-l-t

en 0 d'espaces

existe

la

(Y,O)c

une

pro3ectif

un ouvert

dans

de E M ~ u i

d'hyperplans de f .

Soit

contiennent transverses

k un entier

l'espace

[(Dd_k+ 1 , Ho)[Dd_k+ 1CHo ] ~ Gk×~M-l-t

tel

que,

pour

en posant

(Dd_k+ 1 , Ho)

H= S × H

appartenant

~ cet

ouvert

de Z a r i s k i

dense

on a i t ,

, 0

~ H )

ou m - -

O

f;Dd-k+l>n

d6si~ne

S_~i dim S = 1,

la

H ) r e d = P k < f ] [ X n HI ; D d _ k + l > = mo ( P k < f ; D d - k + l >)

multiplicit6

ce nombre est

= mo P k < f [ [ X N H ] ; D d _ k + I > )

~ l'ori~ine. 6~al

au n o m b r e

d'intersection

(Pk,Dd_k+l)

en O. D6monstration deux projections

:

Nous reprenons naturelles

les

notations

du § 1.

L'espace

Iy

est

muni

de

:

Iy

/ Gk

La p r o j e c t i o n

P2 e n f a i t

irr6ductible.

Puisqae

dim(Dd_k+ 1+ T¥(o),O) des

Dd_k+ 1 t e l s

la multiplicit6 et

5.1

soient

un fibr6

k~ d-t, ~ M-1.

Soit

la

en grassmanniennes projection WcG k le

q u e Dd_k+ 1C Wk , q u e d'une v6rifi6es.

vari6t6

polaire

Pl

est

g6n6rique,

~M-l-t

surjective,

constructible

la multiplieit6

Le s o u s - e n s e m b l e

sur

, donc Iy

est

car

de Z a r i s k i

dense

form6

e n O de P k < f ; D d _ k + l > s o i t et

que

les

conditions

p~l(w) CIy

est

constructible

de 1 . 3 dense,

447

et rencontre ailleurs~ ouverts

p21(V) s e l o n un s o u s - e n s e m b l e

Wk ( c f .

1.3)

e t Tk ( c f .

de Z a r i s k i

sont construits~ de Z a r i s k i

on v ~ r i f i e

e t 5.1~

associ~s

contient

l'assertion

imm6diate et

d'apr~s

un o u v e r t

apprtiennent

est~

d'apres

aux 1.5.1

l a m a n i ~ r e d o n t Wk e t Tk

5.1 et

de Z a r i s k i

d e n s e W' de I y .

de p l l ( W ) NW' a r o u t e s

a) r ~ s u l t e

la seconde r~sulte

d'apres

a f[~XnH]

Par

r a p i d e m e n t que l a r ~ u n i o n p o u r HoE V de c e s o u v e r t s

A) l ' i n t ~ r i e u r

demand~es ; en e f f e t

En e f f e t

5.1)

d e n s e de p21(Ho) ~ e t

d e n s e s d e s p21(H)

D'apr~s 5.4.2

Wk.

d e n s e de I ¥ .

p o u r c h a q u e HE V~ l W e n s e m b l e d e s Dd_k+ 1CH ° qui

un o u v e r t

b) e s t

constructible

(Chap.

de 5 . 4 . 2 ~

la premiere

de l a p r e m i e r e

I~ 5 . 2 )

les propri~t~s

et

~galit~

de l a d ~ f i n i t i o n

de de

puisque Dd_k+]est transverse

Co(Pk et

£ C o ( P k < f i [ x n H ] i D d _ k + l >)

fN i n d u i t

a n n e a u x l o c a u x de Pk e t P k < f [ [ X N H ] ; D d _ k + l > d e s

dans les

i d ~ a u x a y a n t m~me f e r m e t u r e m~me m u l t i p l i c i t ~ Dd_k+ 1 s o n t leur 5.4.4

(Chap.

int~grale

I~ 4 . 1 ) .

l'id6al

que l ' i d ~ a l

91 d 6 f i n i s s a n t

maximal~

(cf.

Dd_k+ 1 d a n s

5.1~

E n f i n d a n s l e c a s oh d i m S = 1~ P k < f ; D d _ k + l > e t

de d i m e n s i o n c o m p l 6 m e n t a i r e d a n s EM~ ne s e c o u p e n t q u ' e n

nombre d ' i n t e r s e c t i o n Remarques

:

1)

est

M ~) donc

cette

multiplicitb

d'apr~s

Si F N P k < f ~ D d _ k + l >N G e s t

rare

[0]

et

~Se] .

darts P k < f ; D d _ k + l >NG~

A

on a l * 6 g a l i t ~ 2)

PkN G= ( P k < f ; O d _ k + l > N G ) r e d •

Dans l a s i t u a t i o n

[XNH] e s t

de 5 . 4 . 3 ~

l e ~ r a p h e de f l [ X N H o ] ,

X 6rant

plong~ dans ~×¢M par

donc [xnn~ ~ X N H o] e t

l e g r a p h e de f~

de mSme

P k < f ; D d ; - - k+l >N H ~ P k < f ; D d - k+l > ~H 0 • 5.5 5.5.1

Vari~t~s

polaires

Proposition

et pro~ections.

(g~n~ralisant

[L~-Te]~

f : (X~O) ~ (S~O) un m o r p h i s m e comme en l . a muni d ' u n S - p l o n ~ e m e n t ( X , O ) c ( s × ¢ N , o ) .

4.2.1~

i)

et 4 2.5)

avec S non-sin~ulier On s u p p o s e que t o u t e s

sont r6duites

e t p u r e m e n t de d i m e n s i o n d . I1 e x i s t e

un o u v e r t

U de l ' e s p a c e

des ~roOcctinns

tel

O e c t i o n p ~ U, on a i r i)

fini

p : ~N~d+l

e n c o r e p l__aa S - p r o j e c t i o n ,

,

Le ~erme image (X 1 O) = (p(X)~O) e s t

dont toutes est

~ ennotant

lin6aires

les

fibres

sont r6duites

et bim6romorphe. Notons fl

la restriction

Soit

de d i m e n s i o n g 1 les

fibres

de Z a r i s k i

que~ p o u r r o u t e id Sx p

une h ~ p e r s u r f a c e

de d i m e n s i o n d~ e t

:

de f dense pro-

.

de S ×

~d+l

le morphisme p: X-X

a X1 de l a p r o j e c t i o n

1

448

S ×cd+I-~s

.

ii)

I1 existe

sous-espaces

un ouvert


de Z a r i s k i d-k+1

dense

d__ee C d + l

tel

(p(Pk(f;p-l((D1)d_k+l>))re

et

ces

deux vari6t6s

plicit~

d'une

Preuve

:

be e t

vari6t~

Donnons-la

analogue.

Prouvons

polaires

i)

~6n6rale

dans

cas

la

existe

le

qE U

pour

preuve

un o u v e r t

~rassmannienne

des

( D 1 ) d _ k + l E W1, k on a i r :

d = Pk(fl;(D1)d_k+l>

(cf.

5.1)

en O, e t

de X e t

ou S e s t

un p o i n t .

de

(Loc.

cit.).

U

de p r o j e c t i o n s

. . . . . . . . . . .

si

que,

l a mSme m u l t i p l i c i t 6

~olaire

On s u i t

: I1

ont

W1, k de l a

ont

la

multi-

X1 r e s p e c t i v e m e n t .

Le c a s

ou S e s t

lin~aires

q:

~N

une

~

~d

cour-

tel

que

o

, la

restriction

de q ~ ( X , O )

soit

un m orphis m e

fini

(mise

en p o s i t i o n

o

d'un

germe).

V de

(X,O)

lytique

D'apr~s et

rare

(~d,o), F lcV

Soit

gE V- F 1 .

res

z de E N s u r

v6rifie

sans

le

•

que q i n d u i s e

existe tel

peine

que

un te l

projection

analytique cette

dense

image,

utilis~,

est

intersection nion

-

mension

~d+l

[Te

par

p

de CN ( r e s p .

form~ des couples

tels

par

bien

: q

un f e r m 6 a n a -

( Y - F 1) ~ V -

NX s o i t tels

que

faut et

qui

la

fini

et

rare

de V .

Z le

que

W1 l e

(Dl~-k+l

que

d~ja dans une est

r6u-

Le m o r -

i).

des sous-espaces

sous-espace

soit

prouve

une hypersurface]. d'ou

Pour

de l ' o u v e r t

que p(X)

bim~romorphe,

On

restriction

localement

remarquer

est

lin6ai-

de p r o f o n d e u r

plonger

F1 .

injective.

un i s o m o r p h i s m e

grassmannienne

Soit

tels

-1

X et

des projections

un a rgum e nt

1'argument

q u e Ker P C D d _ k + 1 e t

((D1)d_k+l~p)

yEV

existe

s o n i m a g e X1 d a n s ~ d + l ~ ce q u i

61 ) l a

~d+l).

il

lisse

induit

de p ( Z ) ,

est

des repr6sentants

un f e r m 6 a n a l y t i q u e

§ 5 : il

Z~ a p p l i q u e r

: ~Jotons G ( r e s p .

( D d _ k + l , p)

5],

irr~ductibles

X - X1 i n d u i t

d-k+1

p = (q~z) : ~N

Ecf.

complete

[ ~ 2 ~ _ ~

est

sur

et

de z a q - l ( y )

F2 des points

une hypersurface

r6duite

fini

de l ' e s p a c e

injective

q - l ( F 1U F 2)

est

de c o m p o s a n t e s

phisme x:

ples

qui

X

pas

est

dense

restriction

l'ensemble

NX ne s o i t

la

la

X.V

pour

un morph is m e

un o u v e r t

que

de z ~ q - l ( y ) z~

de B e r t i n i - S a r d ,

le morphisme q:

tel

I1

th6or~me

de c o d i -

de G × U f o r m 6 d e s c o u -

sous-ensemble

eppertienne

de GI × U

a l'ouvert

Wk de

449

1.3 et

que Pk

gGnGrale

de ( p ( X ) ~ O ) .

s e d a n s G× U p a r

ait

On p r o u v e

un a r g u m e n t

ha m u l t i p l i c i t 6

d'une

que ce sous-ensemble

semblable

~ celui

est

utilis6

variGt6

polaire

constructible

en 5.4.3.

et

On a l e

dendia-

gramme

G×U

(1 Z

WI~ G 1 × U

G

o~ h e s t

induit

On r e m a r q u e la

la seconde

que p r 2 e s t

topologie

To~G×

par

D'apr~s

G×U~U,

et

alg~brique,

5.2.2,

il

est

d'image

dense.

donc un m o r p h i s m e

existe

un o u v e r t

ouvert

de Z a r i s k i transverse

Co(Pk).

Soit

que pour

Dd_k+ 1E V,

polaire

tion est

la variGt6

Consid~rons

enfin

la

de Nash de X ; e t la grassmannienne

P : CN mension

~d+l

Kleiman,

Chap.

III,

des

Pour

l'intGrieur cela,

il

U

O

suffit

de Z a r i s k i

Pk air

construction

dans £N

de S c h u b e r t

Soit

R l'ouvert

4.3)

de G × U soit

Z(p)=

de m o n t r e r

Soit

toute

(dense

v : N(X) ~ X

gGnG-

la modifica-

projection

linbaire

T)~I~

grace

est

de c o d i -

au t h G o r ~ m e de

(Dd_k+l, p)

tel

que

2 dans v_l(ck ( Dd_k+l)).


que si

multiplicit6

~TE G d / d i m ( K e r p n

form6 des couples

dense

tel

de G a u s s y : N ( X ) ~ G d ~ ou Gd

Pour

de Z a r i s k i

du c o n s t r u c t i b l e

dense en Ola

suivante.

le morphisme

d-plans

Y- 1 ( Z ( P ) ) ~ ¥ - l ( C k ( D d _ k + l ) ) que

ouvert

considGrons

la variGt6

2 d a n s Gd .

YcGun

pour

dense

( D d _ k + l , p) ~ T o ~ l e n o y a u K e r p de p s o i t

rale.

que pour

G1

projection

une fibration

de Z a r i s k i .

U tel

U

h(W 1) A ( P r 2 ( Y ) N T n R ) )

Montrons

convient.

O

p E U ~ on a O

P((Pk)red Dd_k÷l~Ker D'apres

la

p,

) = Pk N X~ e s t section

nVest

PE Pr2(Prll(Y)) irrbductibles

pas vide,

il

dense

(Rappelons-nous

de c o d i m c n s i o n

polaires

locales,

et

d-k+l

le

fair

dans Pk.

rGsulte

aussit~t

de 1 . 3 . 1

que ~-l(Pk de P k < ( X ~ O ) ; D d _ k + l > .

Montrons

) est

et

r~union

qu'en

flit

que dans ~d+l

que p C h(W 1)

Si cette

du f a i t

inter-

que

de c o m p o s a n t e s

)

450

il

y a ~galtt~.

n'est

pas

Si

dans

et

de P e n

chaque

L'image

par

(P)

une

composante

~-l(Pk)

Remar~ues

4.2.4

fair

a bien

sur

transverse

le

analytique

~ l'hypoth~se.

limite

de V ( y l l ( C k ( P ( D d _ k + l ) )

et

qui

k puisque

de P k < ( X l , 0 ) ~ P ( D d _ k + l ) >

contenu

Ceci

par

montre

un ouvert

d'espaces

composante

d i m ( T ~ ~ P ( D d _ k + ~) ~ k .

contredit~

existe

contrairement


point

il

de P k < ( X ~ O ) ; D d _ k + l >


non-singulier

donc une

P~-l(Pk) sous-espace

, Pest

pE Pr2(R)~

x duquel

irr~ductible

part

dans

de f : X - - S peut

est

avoir

EL~-Te]. compli-

de

l'~clatement.

§ 6.

Mini-formulaire Ici

re

g~n~rale

multiplicit~ la vari~t~ 1.4)

l'on

pour

s'autorise

de c o d i m e n s i o n est polaire

d~finie

les

vari~t~s

~ ~crire k~ d o n t sur

g~n~rique~

E.

polaires.

Pk(X~O)~

ou P k ( f ~ O )

seule

classe

la

Le l e c t e u r

d~finie

sur

que cela une

pour

"la"

vari~t~

d'~quisingularit~, g~ne est

extension

pri~

de ~ ( c f .

polai-

voire

la

de p e n s e r § 0 et

§ 1~

451

6.1

Quel~ues

6.1.1

in6~alit~s

Proposition

utiles.

:

Avec l e s

notations

introduites

ci-dessus

au § 1~ e__~t

§ 4.

au

a)

On a l ' 6 q u i v a l e n c e

Pk(f,O)

b) air,

Tout point

= ~ ~

xC X possede

pour O~kg

d-1


de 4 . 1 . 1 .

:

a)

est

: d'apres

des plans

1.3~

si

on c o n s t r u i t

une famille

des

facilement

plicit~

de c e t t e

D, d ' a p r ~ s

morphisme~

Pk(f,x) certain

famille

mo(Pk)

Si Pk(f,x)= d'un

Pk(f,O)~

de P k < f ; D d _ k + l > q u e p a r fibres

~

a)

et

plicit~

E Pk(f~x)

et

est

de P k ( f ~ x ) ,

dimension

Pk(f~x)

d-k et

est

tout

x ' E U o__n

tout

voisin

de B e z o u t

et

d e s D d _ k + l E Gk

dense

de Gk

q u e ~ - l ( D d _ k + 1) ne d i f -

immerg~es.

x'

Puisque

la

dimension

semi-continuit6

de l a m u l t i

Dd_k+ 1E Wk • de l a assez

on a ~ f l ( x ' )

dim ~ - l ( x ' )
) = d - k ,

f~re

ouvert

~ mx(Pk(f,x))

une consequence

D6montrons b)

(grassmannienne

< N-l-d+k

:

mx,(Pk(f,x')

D6monstration

>dim ~ f l ( o )

est


~ mx, ( P k ( f , x ) )

d-k,

un P k < f ~ D d _ k + l > e n x ' ,

l e g e r m e de P k ( f , x ) d'o~

l'in~galit~

en x'

est

de

452

mx,(Pk(f,x))

d'apr~s

ce que nous

6.1.2 il

avons

Proposition

existe

dans

:

un ferm6

~d

d6finie

Etant

:

haut,

et

le

r6sultat.

donn~ un sous-ensemble

analyti~ue

en 3.2

D6monatration

vu plus

• mx, ( P k ( f , x ' ) )

rare

soit

FcY

tel

localement

Consid6rons

le

que

(el.

analytique

ferm6

l'applieation

constante

diagramme

•

sur

4-

Y d e X,

Y~Mx~y de

4

F.

§ 3)

G

e4

Ev~(x)

EyX

ou v e a t

la modification

de V - I ( Y )

d a n a N(X)

d6composition B£ = [ z 6 est

dim

le

singulier que

dana

~-l(y)

8oit et

~-l(4£)/dimz

propre,

lieu vet

de Y e n

cas

r6union ouvert

par

de s t r a t e s de Z a r i s k i

de C N t e l transverse

o~ Y e a t 4~

une

dans

e 4 des (cf.

> d-l-dim

Y~Mx,y de W h i t n e y

III,

de l a

aux atrates

§ 5).

dim ~ - l ( y )

que

eat

est

Y= UY£

est

ramen6

telle

que

relatives

grassmannienne

des

plans


naturelle dana

~ prou-

v-l(o).

de y . v-t(Y)~

de e y s o i e n t

d-1

contenues

F 1 le

v-l(y)

Ogk~

Z

que

au voisinage

pour

stratification

et

Soit

blots

la

la

que

constante

de N(X)

= d-1

rare.

l'on

y C Y tel

d'6quidimensionnalit6

Dd_k+ 1 6 Uk ~

O×G

Puisque

et

~

Soit

l'6clatement

soit

on v o l t

non-singulier,

Chap.

et

X, e y

ey •

F ° = ~(UB£) cY

F= F o0 F 1 ~

strates

de Y d a n s de v p a r

Y2] .

analytique

l'application

Uk

strict

irr6ductibles

stratification

dense

que pour

ey l'6clatement

composantes

de Y. En p o s a n t le

~ X c ~N

transform6

~-l(~(z))

= d-l-dim

images

v~ l e

sous-ensemble

N ( X ) = UZ lea

Y

de Naah~

et

~,N(X)Yc~N×G

il

existe

un

de C k ( D d _ k + 1) D'apr~s

(Chap.

d-k+l soit Ill,

453

4.2.5 avec sa

et

5.1)

on e n d 6 d u i t

le

transform6

fibre

au-dessus

fibre

au-dessus

t6

strict

de y - 1( C k ( D d _ k + l ) )

de 0 v a u t

est

Dd_k+ 1 E Uk •

6quimultiple

Comme p a r

(Pk 0 et

P u i s q u e d - t > O~ Y e s t

donc dim ~ l ( y ) ~ N - 2 tel

et

il

existe

que p o u r t o u t

(Chap.

I¥~ 6 . 1 ,

a)

) ceci

l'assertion

d - t = 0 ; d a n s ce cas~ Y e s t ~quimultiple

le

III,

conormal

est

rare

d a n s C(X)~

§ 5) un ferm~ a n a l y t i q u e

l'in~galit~

dim ~ - l ( y ) ~ N - 2 - t .

~quivaut ~ : Pk(X,y) = D pour k~ d-t, Par l ' h y p o t h ~ s e

d'~quimultiplicit~

c'eston a

Pk(X,O) =D p o u r k ~ d - t

et

d ' a p r ~ s (Loc. c i t . )

par r~currence

: Supposons d'abord

sur

d-t

une c o m p o s a n t e i r r ~ d u c t i b l e ~ dire

de X, e t

dire

que ¥ = X, donc ~ - l ( y ) =

que X C(X) e t

d'ou ~-1(0)=D.

d a n s EyC(X) qui

est

de ~ [ ~ - l ( y )

sion N-2-t

supposera~ Y plon~

l'espace

dans X et ~-l(y) Chap.

l o n g de Y ~ q u i v a u t

Supposons maintenant

La f i b r e

l'on

.

D~montrons m a i n t e n a n t

EyC(X) = ~ ,

consid~rons

y E Y - F on a i r

donc m o ( P k ( X , O ) ) = O~ c ' e s t - ~ - d i r e

est

rare (cf.

my(Pk(X,y)) = 0 pour k~ d-t.

dim u - l { o ) g N - 2 - t

et

lin~aire.

Supposons d'abord

: C(X) ~ X .

on. p e u t s u p p o s e r ,

d-t~

1. R e m a r q u o n s d ' a b o r d

que ~ - l ( y )

est

un d i v i s e u r

de d i m e n s i o n N-1 p u i s q u e d i m C ( X ) = N - l ~ donc dim ~ - l ( y ) = N-2. : ~-l(y)~y

au-dessus

et par semi-continuit6

d'un point

g6u6ral

de l a d i m e n s i o n d e s f i b r e s

yE Y est

de d i m e n -

d ' u n morphisme~

on a dim ~ - 1 ( 0 ) ~ N - 2 - t . E x a m i n o n s l e c a s ou d - t = 1 : D ' a p r ~ s a v o n s dim a - l ( o ) implique

(Chap.

puisque ~-1(0) l~6galit6, de v o i r .

gN-2-t. I, est

puisque

5.1)

Par ailleurs, que ey e s t

l'hypothese

un m o r p h i s m e f i n i .

inverse

comme n o u s l ' a v o n s

l~6quimultiplicit6

c o n t e n u darts e y l ( o ) × ~ - 1 ( 0 ) , l'in6galit6

i)~

est

de X l e

On en d 6 d u i t

l o n g de Y aussitSt,

que dim ~ - 1 ( 0 ) ~ N - 2 - t ,

un f a i r

g6n6ral

vu,nous

d~o~

comme n o u s v e n o n s

457

Supposons maintenant

le r6sultat

d6montr6 pour d - t ~ c-1 e t

d6montrons-le

pour

d-t=c.

On p e u t c h o i s i r

une r 6 t r a c t i o n

(X~O) comme p l o n g 6 d a n s Y× dans Y ×~N-t × ~N-t-I telle

que e y l ( o )

Chap.

III,

§ 5).

Soit

O

m6e s t r i c t e l'espace

il

existe

et

les

soit

relative i)

Y×H'

O

en O, d o n t l a f i b r e

O

_ a-l(o )

T¥~ 0 t e l

en 0 d ' e s p a c e s Y xH

(cf.

implique

de EN c o n t e n a n t

H est

de a'y

d e n s e U= ~ N - l - t

H l'hyperplan

p a r ey de l ' h y p e r s u r f a c e de H

de Z a r i s k i

limites

de Ey(X)

que c h a c u n e d e s i m a g e s p a r

l'hypothese

un o a v e r t

Ey(X) comme p l o n g 6

E y ( X ) = UX'

dt6quidimensionnalit6

~ routes

un h y p e r p l a n ,

6clat6

ainsi

des hyperplans

transverse

H cEN-t

on p e u t c o n s i d 6 r e r

R e m a r q u o n s que p u i s q u e

~N-I-t~N-1

H6 U, H s o i t

Ainsi

r 6 u n i o n de s t r a t e s

des s t r a t e s

dim ~ - 1 ( 0 ) ~ N - 2 - t ~ de l ' e s p a c e

.

P : (¢ ,O) ~ (Y,O) e t c o n s i d 6 r e r

. C o n s i d 6 r o n s une s t r a t i f i c a t i o n

soit

~': y EyC(X) ~ E y ( X )

tN-t

N

locale

que p o u r

tangents

cY × tN-t .

ou H' t E N - t ×

~ X° •

La t r a n s f o r -

~N-t-1

est

O

au-dessus

de O6 t N - t

est

l'hyperplan

O

P r o j THo,O de ~ N - t - 1 Choisissons ~N-t-1

Ho de t e l l e

a toutes

les

qui s o n t c o n t e n u e s TH k,

Ogk
)

prouver

est

de E N c o n t e n a n t

un ouvert

H est transverse

(~XN H]°,¥)

Remarque

k< d-2~

existe

l'in~galit6

my(Pk(X~y))

puisque

g~n6rique~

=

puisque

r~currenee~

)

limites

multiplicit~s

il

polaire

Dd_k+ 1 g b n 6 r a l

ailleurs

-1(0

hyperplans

les

O~ kg d-2,

fournit

q u e Dd_k+ 1 o H = H° × T y , 0 ~ q u e P k < ( X , O ) ; D d _ k + l > a i r

Pk~H

par

les

5.4.5),

de l a v a r i ~ t ~

supposer

des

a toutes

que

nous

U= ~N-2_

~N-2

transverse

(Chap.

1.2.1

cons6quent

de 0 p o u r

(Dd_k+l,H)

Proposition

projectif

mon£rer

au v o i s i n a g e D'apr~s

la

par

de l ' e s p a c e HE U s o i t

citb

X,

H N X° = P d _ 2 < ( [ X N H ] , O ) ~ D ~ > n x °

limite

470

mais

puisque

de [ X N H ] ouvert

(IX n H]°,Y)

en 0 est

vide

de Z a r i s k i

satisfait , donc

W~_ 2 t e l

les

le

conditions

terme

que pour

de d r o i t e

D2E W~_ 2 ,

Pd_2N Puisque

l'ensemble

1.3)

q u e D5 n e r e n c o n t r e

et

possible

(Sing

de c h o i s i r

D 2 ~ D 3 de t e l l e

fagon

(D 2 × Y )

Pd_2N

(D E × Y) N X° = ~ i m p l i q u e

1.3

fallait

tivement

En c h e m i n ,

e n 0 6 Y, p o u r

satisfait 5 une question

une r6ponse

affirmative

Version Tb6or~me

dont

routes

donc un


qu'en

[0}

~ 1 (Chap.

(Chap.

IV,

IV,

5.1),

il

est

que

par

avons

tout

consequent

que

IPd_2N

Hc~N

encore

contenant

les

de [ T e dans

le

vu que si

plongement

(X°,Y)

local

Yet

conditions

(D 2 × Y ) ]

= ¥,

a laquelle

assez

cas

particulier

V.

satisfait

(X,O)c

de W h i t n e y .

11],

:

les et

Soit fibres

supposons

d f : (X,O) ~(~,0) sont

les

(¢N,o)

g6n6rale, Ceci

Navarro

et le

r6pond

avait

condiroute

couple affirma-

d6ja

ou dim ¥ = 1 ( c f .

un morphisme

r6duites

et

purement

donn6 un ¢-plongement

X

~

tel

Nous avons

apport6

[Na l ] )

•

relative.

2.1

Y= ~ ( ~ ) c X

et

nous

non-singuli6re

([XNH]°,Y)

§ 2.

:

de W h i t n e y

hypersurface

polaire

d6montrer.

Remarque

tions

X~Y,

vide.

courbe

on a i r

est

tangent

Pd_2N

ce qu'il

NSing

est

la

(D 2 × Y) N X° =

X) N P d _ 2 < ( X , O ) ; D s > son c~ne

de W h i t n e y ,

~

i

¢×C

?

muni

d'une


local

d.

section

~,

Posons

:

N

r]

9ue 7= ~× [0] •

Les conditions i) tangents

suivantes

L'hyper~lan a X° e t

sont

K= o × ~ N

6quivalentes

est

l'application

transverse Y~Nd+l

y~ (my(X),my(Pl(f,y)),...,my(Pd(f,y))) ii)

Le c o u p l e

de s t r a t e s

:

(X°,Y)

a toutes d6finie

est

les

Iimites

en 0 d'espaces

par

constante

satisfait

les

sur

7 au voisinage

conditions

de W h i t n e y

de 0 • en 0

471

(resp.

les conditions

de W h i t n e y s t r i c t e s

Prouvons i) ~ ii)'. est

au p l o n f f e m e n t l o c a l

dim ~ l ( y ) ~ (el.

Chap.

N-1 e t

U= ~ N - 1 _ - 1 ( 0 f transverse trons

P d ( f ~ y ) = ~.

de l ' e s p a c e

~ routes

les

dim ~ 1 ( ¥ )

hinsi

~N-1

il

existe

un o u v e r t

des hyperplans

impliquent

de ~N t e l

tangents

Pd(X~O)= ~.

ii)).

a f

on a ~ N-2,

d'6quimultiplicit6,

en 0 d ' e s p a c e s

que l e s h y p o t h e s e s

< dim C f ( X ) ,

a s s e z p r o c h e de O, dim ~ l ( y )

Par l ' h y p o t h e s e

limites

de O, comme en 1.21

Cf(X) ~ X l e m o r p h i s m e c o n o r m a l a s s o c i 6

X c E × E N. P u i s q u e

dim a l l ( O ) g N-2. )

d'abord

nf:

donc p o u r Y E Y - [ 0 ]

IV, 6 . 1 )

Pd(f,O) = ~ d'ou

Soit


on a donc

de Z a r i s k i que t o u t

aux f i b r e s

donc

dense H E U soit o

de f .

Mon-

Consid6rons le morphis-

me c o n o r m a l a b s o l u

~N VN

C(X) f

X .~

D'apres droite fes

(Chap.

IV,

projective

de ~N

d'une certaine

point

§ 4) i l

assez

KE ~ N c o r r e s p o n d a n t

fie

transverse

E×~

pour S t r e

de ~ - 1 ( 0 ) .

a l'hyperplan L 1 de ~N

aux s t r a t e s

N

m o n t r e r que ~ - I ( L I ) = ~ ,

g6n6rale

stratification

P a r c o n s 6 q u e n t une d r o i t e sera

nous faut

XX × F

Or l ' h y p o t h ~ s e

O× EN n ' e s t

contenant

K et

d'une stratification

que n o u s p o u v o n s c a l e u l e r

transverse

o~ L 1 e s t ~ toutes

au d e m e u r a n t a s s e z g 6 n 6 r a l e

donn6e de ~ - 1 ( 0 ) .

Cela signi-

Pd(X,O) comme Pd((X~O);D2> ou D2 e s t

un p l a n de

vide,

( 9 , O) ~ ( X , O ) ' ~

h(m-[O])cX

°

un c h e m i n a n a l y t i q u e

e t que en t o u t

stra-

pas contenu dans ~-1(0).

Or s i P 2 ( ( X , O ) ; D 2 > n ' ~ t a i t

existerait

les

i m p l i q u e que l e

d o d i m e n s i o n 2 de E ×~N c o n t e n u d a n s O x e n . il

une

point

b:

x(t)Ch(D-~O~)

d i m ( T x , x ( t ) n D2) ~ d-1

on a i r

tel

que

pas

472

Mais puisque

~N n ' e s t

K= O×

D2 C O x C N, c e c i

dim(T

se.

implique~

D'apres

limite

d'espaces

N K N D 2) ~ d - 1

. f-l(f(x(t))

puisque

(Chap.

~

nant

implique

E x [0}

ouvert

D2 e s t

IV~ 6 . 1 )

que

(et

g6n6ral,

nous avons

et

l'ensemble

transverses

de Z a r i s k i

2 dans g ×tN), les

hypothbses

verses

aux

limites

d'espaces

aux l i m i t e s s'6crire transverse

aux

posant de i )

tangents

od T e s t

a T,

=

_

limites

~-1(0)

H= ~ × H le

long

TN K e s t

l'espace

tangents

tangents limite

une

,

de f~

d'espaces

Pk(f[~XNH]~y)

6quimultiples

par

sont

d'apres les

contradiction

le ~ng

l e mSme r 6 s u l t a t , multiplicit6s

r6currence

sur

sont

d que

mo(Pk(f,O))

l'on

l'on

et

que Het

que H

on d 6 d u i t

contre

(de

conteun

si

o

~ X° .

H contenait o

Ogk~

trans-

transverse est

aux

transverse li~ite

peut

Puisque

K est

de

donc

aux fibres

Les vari6t6s

de Y p o u r

est

codi-

satisfait

K sont

une telle

tangents

tangents

o

que O x H

En e f f e t

en O d ' e s p a e e s

limite

D2 = H c ~ N o

Du f a i t

a [XNH~ °.

voulue.

prouver

~N

a X° e s t

IX NH] = ( X N H ) r e d ~

h X° ,

la

et

f)

a l'hypoth~-

de ~ ×

tangents

g~n6ral

de g x ~ 0 ] .

aux fibres

une

o

assez

d i m ( T N H ) = d~ d ' o u o

O g k g d-l,

des hyperplans


Par

et

contrairement

pour

-< N-2

on a d i m ( T N KN H ) = d i m ( T n H ) ~ d - 1 . o o

5.4.3)~

non critique

donc

~N-I


en O d ' e s p a c e s

TnH

V

x(t)

Pd(f~O)/D

que pour un hyperplan

encore

limites

que

dense.

Montrons maintenant mension

a X~ e t

c'est-a-dire

ND 2) ~ d - 1

dim ~ - 1 ( 0 )

ce q u i

tangents

6quivaut

dim(Tx,x(t)

ce q u i

pas

f,

T N H on a u r a i t

polaires d-1

d'aprbs

(Chap.

IV~

a P k ( [ X N H ] ~ O ) = P k ( X , O ) NH p o u r

pr6serv6es.

I1 nous suffit

a l'6galit6

= mo(Pk(X,O))

pour

O~k ~ d

maintenant

de

473

Si d= I ,

d ' a p r e s ce que nous venons de v o l t , nous avons Po(f,O) = Po(X'O) e t

Pl(f~O) = PI(X,O)= ~ d'ou le r 6 s u l t a t . Supposons l ' a v o i r prouvb pour l e s morphismes dont l e s f i b r e s s o n t de dimension ~ d-1.

D ' a p r e s ce que nous venons de v o i r ,

nous avons

mo(Pk(f,O})

pour Ogk~

d-l,

= m o ( P k ( f l [ X N H ] , O ) = mo(Pk(~XNH],O) = m o ( P k ( X , O ) )

la seconde 6galit~

Pd(X~O) = P d ( f , O ) = 9 d ' a p r e s L'espace

X satisfait

venant

de l ' h y p o t h ~ s e

de r b c u r r e n c e ~

et

ce que n o u s a v o n s vu au d 6 b u t .

donc l ' h y p o t h e s e

i)

du Th6oreme 5 . 2 ,

d'ou ii)

d'apres

le

Th~oreme.

Prouvons ii) te limite

= i).

en O d ' e s p a c e s

La c o n d i t i o n tangents

que p ] u s h a u t on p e u t c a ] c u l e r

aussit~t,

l e s Pk<X,Dd_k+l > s o n t

~ X° e s t

de W h i t n e y i m p l i q u e a u s s i t ~ t transverse

~ K. P a r

que t o n -

l e m~me a r g u m e n t

Pk(X~O) comme P k < ( X , O ) l D d _ k + l > a v e c Dd_k+ 1 C K ,

e t p o u r Dd_k+ 1 C K a s s e z g 6 n 6 r a l , comme on l e v 6 r i f i e

a)

on a l ' 6 g a l i t 6

d'ou

6qnimultiples

le r6sultat, le

P k < f i D d _ k + l > = Pk<XiDd_k+l > puisque

l o n g de Y .

•

d'apr~s

l e Th6oreme 5 . 2 ,

474

C H h P I TRE

V I

CONSEQUENCES

Introduction. quences la

Darts c e c h a p i t r e ,

des

r6sultats

"r6ciproque

Exemples.

1.1

Le c a s Soit

telle

que

gularit6 d-k+l.

F(y~zl,...~Zd+ chacune

des

fibres

les

..

liere.

qui

pique

espace

X(y) = ([y] × cd+l)

coordonn6es

l a m~me r a i s o n est

r6union bF

de f a ~ o n

f : X~¢

o dans

la

chaque

fibre.

une des

suite

de c o d i m e n s i o n g6n6ral

polaire dans

Cd + l

que plus r6guli~re.

composantes

• . . , ~5F) qui 5Zd+ 1 composantes irr6ductibles

conse-

me s e m b l e

par

~tre

ne peut

de ¢ d + 2

done

est

on v ~ r i f i e pour

la vari6t6

de l a

~tre

par

courbe

contenues con£enue

ce

~ × [0].

5F

~Zl ~'''~

~--Zd+l

suite

(Chap. est

syst~me

le

IV~ sous-

8 5F ). Zd+ 1

de g 6 n 6 r a -

relative

est

la

l'id~al

A u c u n e de c e s

l'hyperplan

)

r6gu-

~F ~'''~ 8Zd_k+ 2

par

et

que

(5F

d'apres

£ d~finie

dans

Prl :E ×E d+l.¢

une

polaire

dans

par

O~ k~ d-1 (F,

~ sin-


implique que

Pk/~

pas

par

et

si

k = d~

hypersurface

d6fini

L'hypoth~se grand,

Xc~×¢d+l

vectoriel

induite

engendr6

irr6ductibles

une

soit

l'id6al

Pour

ne sont

qu'il

Pk

haut,

hypersurface

NX s o i t

de D d _ k + l ~

relative

une

projection

d+l

la vari6t6

des

isol6e.

un sous-espace

un sous-espace

de X d 6 f i n i

teurs

pour

N assez

que

importante

~ sin~ularit6

~ouation

Dd_k+ 1 ~ ¢ d + 1

assez

quelques-unes

La p l u s

~ ~. , ~F ) ~ ( z I .. Zd+l) N pour "~ ~Zd+ 1

Pour un choix

1.5)

1) = 0 u n e

Choisissons

section

pr6c6dent.

d'hTpersurfaces

e n O. S o i t

d6finit

(F,

familles

bri~vement

de T h o m - M a t h e r " .

= Zd_k+ 1 = O. N o t o n s

( ~F "~zl ~

Pour

des

isol6e

z 1 .... la

du c h a p i t r e

du t h 6 o r ~ m e

§ 1.

j'indique

og~d*l

.

475

Si

tel

6tait

le

cas~

non constant

et

tel

est

un hyperplan

F(O~Zl~...,Zd+ ne peut

qu'en

limite

en effet

un point

g6n6ral

de ~ d + l

1) = O e s t

~tre

cation

on a u r a i t

de N a s h de X(O)

g6n6ral

est

x de s o n cela

isol6e.

tangents


(~O)

en utilisant

Par

~(X(O)~O)

image Tx(O)~xCD 1 ,

puisque

~ d-1.

le

la

fibre

et

et la somme

la

de

que de C d + l

la modifi-

suite

le morphisme

des

@ : P~

longueurs

d'anneaux

artiniens

l(y)

est

ind6pendante

D'apr~s

[Te

1,

plan

Chap.

est


rence

il

y/

O assez

Un a r g u m e n t point

II],

pour

xE ~-l(y)

le

hombre

i assez

x

(y),x

)

g6n6ral

~ (C× ~O}),

) = ~(d+l)(x(y))

de M i l n o r

= ~(d+l)(X(O))

on a

+ ~(d)(x(y))

e n O de l ' i n t e r s e c t i o n

de ~ d + l ~ y }

× ¢d÷1

passant

de X ( y ) par

avec

O. P a r

diff6-

+ ~(d)(x(o))

_ (~(d+l)(X(y))

+ %(d)(x(y)))

analogue

permet

de v 6 r i f i e r

que pour

yff

on as

en notant

~

~y} × O de ~ × (O}

On v o i t l'on

un

petit.

m (Pk(f;O))

que

1

vient

mo(Pd(f,O))

pour

~-

de y E ~ •

dimE(%-l(y),

o~ ~ ( i ) ( X ( y ) )

J dim¢(O

que

dans

ce cas

a 6quivalence

particulier entre

: g(k+l)(x(y))+

le

Th6oreme

~(k)(x(y))

2.1

du C h a p i t r e

,

o~ D 1

fair

g6n6ral

cons6quent

r6guliere,

,

h:

Or u n h y p e r p l a n

a X(O)°~

bZ bF y) est encore une suite -~o ~.. ., ~ , 8Zd+ 1 induit par y est un m o r p h i s m e fini et plat,

(F

analytique

; on v 6 r i f i e

a singularit6

d'espaces

un arc

V signifie

le

476

1)

La s u i t e

voisina6e 2)

~

((d+l)

=

y

(0)

(X(y)),...,~

(X(y)))

est

ind6pendante

de y E C a u

de 0 .

Le c o u p l e

les

conditions

1.2

Le c a s

(xO,~×

~0])

de W h i t n e y

d'une

strictes

famille

Consid6rons

la

satisfait

les


de c o u r b e s

surface

conditions

ou l a

en 0 (resp.

de 0 ) .

dimension

X c E × ~3 d 6 f i n i e

2 F 1 = z 2-

de W h i t n e y

par


les

saute.

deux 6quations

3 z 1 + yz 3 = 0

2 5 F 2 = z 3 -z I z 2 = 0

Soi t

f:

la

X ~

le morphisme

section

La f i b r e

d6finie

X(O) e s t

z2= t 6,

plane

de P u i s e u x

cit6

4 le

PI(X,O)

bien

que

:

a [Z 2].

satisfait

les

espaces

Par

Remarque

R~onse

7/4).

I1

3],

Y d'un

est

le

dimension

On p o u r r a i t

p r I : E × E3 ~ • e t

projection

donn6e y/

parambtriquement

O,la

fibre

clair

d'ou

que X est

est

pri6

couple

aussi,

est

X(y)

soit

des

cet

en utilisant

r6solution

: Zl= t4,

z2= t6 -~

que

exemple

la

saute

III,

forte

t 7 +-~Y2 t l 6 + . - - ,

courbe les pour

v~rifier

(Chap.

s~multan~e

de m u l t i p l i -

se trouve

cir.)

polaire

conditions t = O.

dans que

Prop. des

a la

caract6risti-

satisfait

fibres

z I = t 4,

isomorphe

6quimultiple

de v 6 r i f i e r

a u v u de ( L o c .

qu'une

est

(X°,~ × [0])

tir~

par

a deux exposants


de W h i t n e y

l'ap-

(X°,Y)

5.2.3).

Le

singularit6s

z3= tl 3_~

tl 5 + ...

de Z a r i s k i .

§ 3, Q u e s t i o n espace

la

z2z2= 0 qui

Le l e c t e u r

a une question

([Z

X et

z~)2-

La t h ~ o r i e

par

tout

cons6quent la

v6rifier

d6crite

monomiale

(z~-

conditions

pourra

Dans

et

par

(y~O,O,O).

que pour

de C x ~ 0 ] .

pendice

§ 2.

alors

vide.

de W h i t n e y ,

de X e s t

courbe

(3/2

long

est

lecteur

~(y)=

d'6quation

ques

1.2.1

la

z3= t 13,

courbe

par

i nduit

C) Z a r i s k i

analytique

demande

non-singulier

si, Z,

6rant

donn6 deux sous-

l'ensemble

B(X,Y)

des

477

points

y E Yen

Whitney le

cas

si

:

analytique le

couple

analytique et

il

ne satisfait

ferm6

de Y.

avait

prouv6

donn6 un sous-ensemble 6quidimensionnel

(X°,Y)

:

ferm6

D6composant

rare

Yen

pas

les

(En f a i r que

conditions

Zariski

la

r6ponse

analytique

ferm6

local

pas

l'ensemble les

de

6tudie est

affir-

La q u e s t i o n

XG t N e t

B(X,Y)

conditions

Y d'un

des

points

de W h i t n e y

y E ¥ est

de Y .

composantes

Y 6quidimensionnel.

un plongement

X,

ne satisfait

analyti~ue

D6monstration supposer

Etant

r6duit

un sous-ensemble

choisir

(X°~Y)

d i m X= d i m Y + I . )

en lesquels

peut

couple

une hypersurface~

Proposition

espace

le

un sous-ensemble

oh X e s t

mative

2.1

est

lesquels

irr6ductibles~ est

consid6rer

locale le

on v o i t

sur

que

Y. On p e u t

diagramme

l'on

donc

:

ey EyC(X)

gyX

o~ ~ e s t

le morphisme

me t r a n s f o r m 6 D'apr~s (cf.

strict

1'existence

[Le-T

23)

un sous-ensemble son

de a p a r

1'ensemble

est

ne satisfait

le

r6sultat.

D'aprSs

pas

•

N

de Y d a n s

les

X et

a~

le morphis-

e¥.

ferm6

B(X,Y)

d'o~

cy l'6clatement

par

l'6quidimensionnalit6

de E y C ( X ) .

un sous-ensemble

N-2.

• X~ E

C(X,Y) = [zE ~-l(y)/dimz

analytique

dim C-1(¥)=

oh (X°~Y)

ey


image ~(C(X,¥))

puisque

conormal~

,C(X)

(Chap. conditions

:

(Sing

~-l(~(z))

Puisque

analytique V,

1.2)

>N-2-

le morphisme ferm6

Y)U~(C(X,Y))

est

B(X~Y) :

fibres

dim Y} e s t ~ est

de Y, r a r e

l'ensemble

de ~ h i t n e y

des

des

propre~

dans

Y

points

478

Remarque suppos6

§ 5.

:

Dans le

cas

non s i n g u l i e r ~

o~ X e s t

une rbponse

La s t r a t i f i c a t i o n Rappelons

la

N o t o n s comme en

grant

construction

ferm~s

IV,

par

MX, x l a

polaires

analytique

r6currence

canonique

de [ L ~ - T e

5.2)

des vari~t~s

donn6 un e s p a ce

d~finissons

affirmative

de W h i t n e y

(Chap.

des multipBcit~s

une hypersurface

une

donn6e

espace

6.1.5~

singulier~ dans

[B-H-SJ.

analytique.

(voir

aussi

Chap.

III,

§ 3).

(mx(X)~mx(Pl(X,x),...,mx(Pd_l(X,x~) au g e r m e

r~duit

filtration

6t6

lieu

(X~x).

localement

de X p a r

des

~quidimensionnel

sous-espaces

X

analytiques

:

comme c e c i o

d'un

associ~es

complexe

Y son

avait

suite

X = F o ~FI~

F

1,

et

...~Fk~

...

:

= X ; soit

X= U F

o~j

la

d~composition

F 1 = U f x C F o , j / MX, x ne p r e n d

pasta

de X en c o m p o s a n t e s

valeur

qu'il

prend

irr~ductibles

en u n p o i n t

g~n~ral

J

de F

.}. ol.]

Notons que cette F 1 = Sing

=

est

(1,0,0,...,0)

avec

dim F

- 1 z6ros

et

que

au § 2 c i - d e s s u s ,

et

o,j

X.

Supposons Fk

valeur

avoir

U

d6fini

B ( F i , F k _ 1)

Fo,FI,...,Fk_ avec

la

1 ~ et

notation

d6finissons

introduite

Fk : l'on

O~i~k-2 v6rifie soit

au moyen de

(Chap.

Fk_ I = U F k _ l , J k _ l

Fk est

la rbunion

ferm6s

en n o m b r e f i n i

la

du l i e u

V,

1.2)

que

l'on

d6composition sin~ulier

d6finis

peut

de F k e n

de Fk_ 1 e t

comme s u i t :

aussi ses

des

dbfinir

F k comme c e c i

composantes

irr~ductibles

sous-ensembles

analytiques

Ix ~ Fk_l~

/

l'une

des

suites

Jk-I MX,x,MF1 ~ . x , . . . , M F 31 ' point D'aprbs

g~n~ral (Chap.

. k_2~Jk_2~ x

de F k _ l , J k _ l V, 1 . 2 )

ne p r e n d

) .

on a d o n e

:

pas

en x l a v a l e u r

qu'elle

prend

en un

:

479

3.1Pro~osition-D~finition (Og j)

est

suffit

stationne les

X

que puisque

stratification

Fk+ 1 e s t

d a n s Fk ~

en fair

globalement

connexes

des F.-

F

constructibles :

F3 +1

de

des

si

rare

X est

bien

des

la


filtration born~e~

sous-ensembles

et

analytiques

dans X.

Etant

__de X~ c h a c u n

sont

j+l

donn~ une s t r a t i f i c a t i o n f e r m ~ s F.1 d ~ f i n i s

plus

de W h i t n e y q u e l c o n q u e haut

est

r~union

de s t r a t e s

•

Dbmonstration

:

On p e u t

supposer

un f e r m ~ F c X

est

r~union

de s t r a t e s

chaque

composante

que composante et

d e s • F . 3-

de X~ a p p e l ~ e

et

Proposition

X= U X

connexes

de X .

localement~

non-singuliers

des composantes

de W h i t n e y

de r e m a r q u e r

composantes

3.2

La r ~ u n i o n

une stratification

Whitney canonique I1

:

done si

de X

~

X= F

est

est

o

la

et

irr~ductible

done e s t r6union

r6union

Pour cela~

il

strate

X~ r e n c o n t r e

cette

d'apr~s

de s t r a t e s .

de s t r a t e s soffit

d'uns

une

dedans~

Xa c o n n e x e s .

de F e s t

de F c o n t i e n t strate

les

k< i

X

de p r o u v e r

r~union

qui

est

condition par

J~,

o fication tible

d'apr~s

de W h i t n e y

Fk,Jk

l'hypoth~se de c h a q u e

de F k q u i

q u e Xa n S i n g ( F i _ 1 ) ~ . o Sing(F i _I)cF i ~ la o o

le

Si

puisque

Xa n ' e s t

fonction

pas

MF

de i

o

q u e Xa N S i n g ( F i

_1)=~.

de F. , 1°

composante

cela

irrbductible

signifie Fk

entier la

prend

e n un p o i n t

le

long

de F.

consequent

q u e p o u r un k < i

g~n6ral

si

o

pas

~

la

entier

montr~ que Fk

en x

composonte

Fi

de Xa ~ -1,j

"

X~ ~F.~

d'abord

F.1 - 1 , j o contraire-

Nous p o u v o n s

J~ par d~fio MF d'une k~Jk

~ X ~F. la valeur a ~o _],j

o

irr~duc-

dans

fonction

o d'une

L'espace

c o m-D o s a n t e i r r ~ d u c t i b l e

'Jk qu'elle

l'adh~rence

Supposons

contenu

une strate

de F k ne p r e n d

cha-

composante,

composante

o nition

cette

avoir

connexe.

constante

Par

En e f f e t

rencontre

m~me de c h a q u e

-llj

de F i - 1 q u i c o n t i e n t Xa ne s a u r a i t ~tre o ment ~ l'hypoth~se selon laquelIe X est done suppeser

X

Xa e s t

tout

(X),

e s t r ~ u n i o n de s t r a t e s o on a XaCF.1 Or s i o est une strate d'une strati-

}~

de r ~ c u r r e n c e ~

contient~

elle

que si

q u e F. 1

Xa n F i

Fk ~ k < i ° ~ e t

dans

de f r o n t i ~ r e .

o X ~ F

de s t r a t e s .

r6currence~

montrons

que si

de W h i t n e y

dense

composante~

la

et

o

stratification

aussi

Supposons~

pour

Remorquons d'abord

En p a r t i c u l i e r

480

XoE F k ~ J k p a r

semi-continuit6

la

remarque.

Si

X

est

a eelle

6gale

nons aussit~t

ia valeur

(cf.

Chap.

que p r e n d

qu'elle

prend

une contradiction

la

IV~ 6 . 1 )

fonction

en u n p o i n t

si

X ~F i

et

donc X C F k , J k

NFk,3 k e n g6n6ral

puisque

le

long

dolt ble

de X a

~tre

Sinon~

tant

Remarque routes

le

les

long

contient

que k s i

:

Cela

o

-1~

:

Le c o n c e p t

duit

d.

Mather

nique~

par

elle.

beaucoup

4.1

On v i e n t plus

nous obte-

-1,j'

doit

8tre

eonstante

done

la

fonction

NF

la

est

t'argument ainsi

la

composante

ci-dessus~

finalement

stratification

irr6ducti-

ce q u e

l'inclusion

canonique

est

l'on

peut

X c F. ~ 1

minimale

. • o

parmi

dont

§ 4)

celui

: route

de W h i t n e y

: il

d6crit

darts l e

cohstruit ici

est

canonique

intro-

une stratification

un a v a t a r ,

que

la

stratification

cas

analytique

stratification

a 6t~

et

montre

canonique

com~lexe,

de W h i t n e y

cano-

est

que

toute

coincide

un r 6 s u l t a t

plus

fine

que

la

canonique.

du t h 6 o r e m e

quelques

Proposition purement xE X

de T h o m - M a t h e r avec

rappels

([L~-Te],

et

entier

(X,x)c i ~ d

grassmannienne

Prop. d,

(~N,x) ~ __°~ d des

~> 0 et

(Tout

ce p a r a g r a p h e

pr6sente

un

L~ D . T . ) .

:


L E W un nombre r ~e l o rayon

prouve

[Ma],

D'abord

s...~eW de l a

. Fk+l~ak+l

de s t r a t i f i c a t i o n

en c ollaboration

cha~ue

o

de W h i t n e y de X .

travail

X. S o i e n t Pour

l'on

de v o i r ~

pr6cis

R6ciproque

r~duit~

~

ou

de W h i t n e y m o i n s f i n e

stratification

§ 4.

i

de

k'Jk

X CFk+ 1 ,

On r 6 p ~ t e

que

(cf.

un p r o c 6 d 6

stratification avec

et

signifie

Remarque

de X

Xa .

stratifications

par

de F.

g~n6ral

k+l~Jk+l

constante

de Fk+ 1 q u i

faire

on a l ' i n c l u s i o n

un p o i n t

M;

o

d'apr~s

6.1.8) et

Soient

X= UX

= dim Xa ,

il

local

dense

~.. l)

has at most a finite number of

such that for all

o n l ~ if

if ~

0 ,

if and only if

that the serms of the

~r

O,

(3) ever~

and onl~ if

~ I + 0(2

(Ox h ) .

(2) z (X,Y)

=

E{N , for some large

Theorem (Kuo-Lu):(1) z is

~

I Fl(X, ~(i)) . . . . .

is isomorphic with

a~d X = V F -

and

'

~"~

~

depending on

i_~s V-sufficient in

~r

.

In the statement of the theorem there are some terms we should define : a jet

fl

z

is

V-sufficient in

f2 of

,

s

( i.e.

~r+s = z,

jr(q)

homeomorphic germs. Recall that homeomorphism ency and ifolds

h

such that

X

z

if for all ,

fl-l(o)

Cr+s

realisations

and f2-1(O)

are

i=

1,2)

is

cOsufficient if there exists a local

fl = f2 o h . If

p = 1

the notions of

V-suffici-

C0-sufficiency coincide [2] . Given a pair of disjoint smooth submanX,

Y

in

g~n

if every submanifold to

( s >i 0 )

near

S

we say

(X,Y)

of class

0 . Note again that

equivalent here - as

VF

Cs

is

(tS)-regular

transverse to

(a)-regularity and

is an algebraic variety - by

Observe the relation of transversals to Cr+S-realisatimn

f f(x)

Y

of a jet z

+

z

in

jr(n,p)

,~=~ r ~ , ( x ) x "

Y

(s ~ l ) at

0

at

0

in

is transverse

(tl)-regularity are Trotman ~12] .

with realisations of can be written

z : a

Y

494

where

{~(x)3

Cs

are

functions of

Cs

x , so giving a

map

~qn x whose graph in

~n x

verse to

0 x A

At with of

Y

=

Dijon

[14]

(h s) : given S1 n X

That

and

(t s)

s ~ 1

is a

Cs

submanifold

, which for

is trans-

s ~ 1

• in June 1978

Cs

conjectured that

I

transversals

S2 n X

S1, S 2

are homeomorphlc.

is a consequence of

and the proof that

(h s)

(t l)

to

Y

(t s)

at

was equivalent

0 , the germs at

This is true only when

was proved in my thesis

implies

(h l)

0

s = 1 .

[13]

for all

will appear in [16]

These

two implications are for arbitrary smooth stratified sets - no use is made of curve selection. For

s ~ 2 ,

(t s)

does not imply

(he), as will be shown by

the example below. It does still seem plausible though that that the number of topological types of germs at

0

for

S

implies

transverse to

Y

be finite ; the converse is quite easy to obtain by a slight addition tc

the proof (t l)

X ~ S

(t s)

[13]

implies

that (h l)

(h s)

implies

(t s) . We remark that the proof that

for smooth stratified sets is rather subtle, but the

following theorem for subanalytic sets is perhaps more immediately useful.

Theorem . Let 0 E Y =

X , Y

be

subanal~tic

C1

submanifolds of

~ - X . The followin~ conditions are equivalent

(a) the ~air (t l) every

C1

(X,Y)

~erms at

0

of

C1

(t l)

(a)-re~ular at

(a) by

Y

at

with

: 0 ,

0

is transverse to

X

0 ,

submanifolds

Sln X

Proof : That

Whitney

submanifold transverse to

in some nei~hbourhood of (h l) given

is

~n

and and

S2n X (t l)

S 1 , S2

transverse to

Y

at

0 , the

are homeomorphic. are equivalent is proved by

Theorem 2.11

of

my thesis

~13] . Kuo

Trotman [9]

[12];

(h l)

implies

showed

that

(a)

implies

(h c° ) , and via the smoothing lemma below we can deduce

that

(a)

implies

(h l) . Thus the theorem is proved.

495

Smoothing Lemma. Let O ~ Y~

. Let

that for X

near

S1 , S2

i = 1 , 2 , O , and

b__ee C 1 Si

be disjoint submanifolds of

is transverse to

i.e.

ToSI + ToS2

Y

submanifolds of

~n

at

containing O ,

Si

S1

and

~n

if

~n

with

O , such

is transverse to S2

2s ~ n , and

are in

ToS I ~

ToS 2 =70]

2s ~ n . C1

Then there exists a to the identit~T where

diffeomorphism

U , U'

3)

d~(O)

If we further suppose that A

: (U,O) of

0

(U',O) , isotopic

in

~n

satisfying

(i= 1,2)

C~

isa

C~ submanifoldof ran.

(Sl~ $2)

is transverse to

X

near

0

we can

submanifold.

The proof of the smoothing lemma will appear in more general version, with many strata incident to (a) -~-) (h I)

)

I n , the identit~ matrix ,

4) @ ( x - ( s l ~ S 2 ~ X ) )

~(X)

~

are nei~hbourhoods

I) @(~ns i) = ~'nToS i,

make

C1

dim S i = n - dim Y . Suppose that

general ?os~tion~ if

X , Y

[16], which contains a

Y . However the implicaticm

is so far unproved when there is more than one incident stratum.

The other implications of the theorem require no extra arguments when there are several incident strata. An interesting consequence of the theorem above is that is a necessary condition for the stability of the topological sal intersections with a stratification. explicitly by

Mather in

1970

(a)-regularity type of transver-

This is related to the 9uestion raised

[24] , of finding the Correct stratification

of jet space for topological stability.

Calculations by the

Liverpool Group

(Bedford, Bruce, Giblin, Gibson and Wall) show that the canonical stratification of

[7]

(b)-regular

is finer than the stratification for topological

stability. Even the first (lowest codimension) unimodal families are not canonical strata ~ [5]

for

this was shown by

47 , and by

Wirthm~ller

Bruce [3] for

[22]

and

Bruce

~6 ' by

Bruce and Giblin

[4] (using results of

496

Greuel and Hironaka) for not

E 8 . In each case there is a stratification which is

(b)-regular although

(a)-regularity and topological triviality hold. It

will be useful to have a version of the above theorem with many incident strata as well as versions adapted to the jet space situation.

We shall Conclude by describing a previously unpublished example which shows that

(tS)-regularity

also that

(t 2)

and

(t l)

out of a construction of and

Kucharz

[8 ]

does not imply

(hS)-regularity when

s~2

, and

are distinct conditions. This example, which arose Kuo and myself, together with observations of

as described below, led to the

Koike

Kuo-Lu theorem (of which

we have given an extract at the beginning of this paper) characterising sufficiency in terms of regularity conditions on a pair of incident strata.

Example : Early in although the

6-jet

1979

x 3 - 3xy 5

follows from a theorem of icient in

~7)

conjectured by In

~q3

and

W. Kucharz showed that

has uncountably many

Bochnak and

Kuo

C7

realisationS

(which

I l l , since the jet is not

8 C -realisations,

V-suff-

and not one as had been

Thom.

January

in

S. Koike

it has precisely two

1979 , the author and

semialgebraic example of a y , z

~8]

and let

Y

Tzee-Char

(t2)-regular be

the

Kuo saw how to construct a

(~2)-fault. Choose coordinates

y-axis. Let

X

x ,

be the union of the

following five semialgebraic pieces :

Then

X

xI °

{x°o,y2~3

x~

°

[ x < o, 2_~ z3, x 2 = z3~ ~ { x < z 3, x < o y < o y2 ~ 37,

%

~

{ x • o , y2~ s3, x ~

x4

=

{(x 2

X5

=

[(x 2 + y2 +

is a

C

i

closed half-plane;

+ y2 +

z>o]

3)2

z31 ~ i x
o, y2 > "9,

, y~O

z3)2 = 4z3(x _ y)2 , y < O

submanifold of

~q3

and

see the figure overleaf.

X L/ Y

, z~O

, y2~

z3 3

,

, z >0

, y2>

z3~

•

ia homeomorphic with a

497

S

Inspection of the figure shows that but

(t 2)

Y

0 . Also because at

on

and

0

will miss

{ x = 03

X3

X4

and

X5

[x 2 =

1-dimensional

(t l)

S~

to

manifold transverse to ~

of S

0

on which

an arc

~

Y

containing

S

~

of

meets

~3

~

X5

X /% S

X

with

= O~U ~0]

is

, and then we may

and tangent to

types of

U1

will be transverse to

, such that of

s ,

X1 , X2 , S

fails , because we may intersect

What are the possible topological

Answer :

U2

submanifold-with-boundary

choose a transversal

submanifold

in some neighbourhood

(if at all) . Thus

z3/2~ giving

C1

C2

is the only limiting tangent plane to

transversely

U = U 1 (% U 2 . However

the surface a

at

0 , there will be some neighbourhood

X1 , X2

is not satisfied for any

is satisfied : It is easy to check that a

transverse to

X3

(h s)

for

S

X5 ~

on C2

o~. sub-

Y ? and

~

I

/ (two types).

What are the possible topological types of S ? Answer :

X ~ S

for

C1

transversals

498

• .. et cetera. ("Comic Cuts") In fact one can obtain, for the germ of ~Ci~ cO i=l

where

C

i

X ~ S

at

0 , all sequences

is a compact (connected) subset of

~2

This is easily

seen to yield an uncountable number of topological types.

Strangely, it turned out that the figure representing the semialgebraic example given above very nearly represents the surface

v ° ~x 3 - 3 x y S + ~ y 6 = 0 ~ that is, the deformation of the jet along the

y6

direction in

x3 - 3xY 5 +

~2x~,

x 3 - 3xy 5 (studied by

Koike and

Kucharz)

j6 . In fact this is the only important part of

the whole deformation by monomials in theorem :

~

S

~

H 6 used by

x ~I y~2

Kuo and

Lu in their

. For justification of this

~ l + ~2 = 6 assertion see

Siersma's

1974

Amsterdam Thesis .

F(3~r~: xa _3xys + ~,y6 ~ O. V

may b e s h o w n t o h a v e t h e

found jointly with

Kuo: (t 2)

same properties

holds, but

(t l)

as the

and

semialgebraic

(h s)

example

fail, for all

s .

499

Thus we have a geometric explanation of the

Koike-Kucharz phenomenon, via the

Kuo-Lu theorem. Similar examples show that

Addendum : Recently

(t s) does not imply

Satoshi Koike

[22]

jr(n,p) , the equivalence of

V-sufficiency in

regularity

over

of

VF - O x A

0 x A

(h s)

for

s ~3

has proved, for a jet ~r+s (sD~l)

and

(notation as in the

•

z

in

(hS)Kuo-Lu

theorem).

References 1. J. Bochnak and T.-C. Kuo, Different realisations of a non-sufficient jet, Inda~. Math. 34 (1972), pp. 24-31 . 2. J. Bochnak and S. Lojasiewicz, A converse of the Kuiper-Kuo theorem, Proceedings of Liverpool Sin6ularities S~mposium I T Lecture Note s in Mathematics 192, Springer, Berlin (1971), pp.254-261. 3. J. W. Bruce, A stratification of the space of cubic surfaces, Math. Prec. Camb. Phil. Soc. 87 (1980), pp.427-441. 4- J. W. Bruce, On the canonical stratification of complex analytic functions, Bull. London Math. Soc. 12 (1980), pp.lll-ll4. 5. J- W. Bruce and P. J. Giblin, A stratification of the space of plane quartlc curves, Prec. London Math. Soc., to appear. 6. A. A. du Plessis, On the genericity of topologically finitely-determined map-germs, Aarhus preprint (1980), to appear. 7- C. G. Gibson, K. Wirth~dller, A. A. du Plessis and E. J. N. Looijenga, Topological stability of smooth mappings. Lecture Notes in Mathematics 552, Springer, Berlin(1976). 8. S. Koike and W. Kucharz, Sur les r~alisations de jets non-suffisants, C. R. Aoad. Sci. Paris~ S6rie A~ 288 (1979), pp.457-459. 9. T.-C. Kuo, On Them-Whitney stratification theory, Math. Annalen 234 (1978), pp.97-i07. IO. T.-C. Kuo and Y.-C. Lu, Sufficiency of jets via stratification theory, Inventiones Math. 57 (19807, pp.219-226.

500

ii. R. Thom, Local topological properties of differentiable mappings, Differential analysis, Oxford Univ. Press, London (1964), pp.191-202. 12. D. J. A. Trotman, A transversality property weaker than

Whitney (a)-regul

arity, Bull. London Math. SoC. 8 (1976), pp.225-228. 13. D. J. A. Trotman, Whitney stratifications

: faults and detectors, Warwick

Thesis (1977), 93 pages. 14. D. J. A. Trotman, Interpr6tations 9opologiques des conditions de Whitney, Journ6es sln~ulleres de Di~on~ Asterlsque ~ " • "" 59-60 (1979), pp.233-248. 15. D. J. A. Trotman, Stability of transversality to a stratification implies Whitney

(a)-regularity, Inventiones Math. 50 (1979),pp.273-277.

l~. D. J. A. Trotman, Transverse transversals and homeomorphic transversals, to appear. 17. A. N. Varchenko, Local topological properties of analytic mappings, Math. USSR-Izv. 7 (1973), pp. 883-917. 18. A. N. Varchenko, Local topological properties of differentiable mappings, Math. USS~-~zv, 8 (1974), pp. 1033-1082. 19. K. Wirthmuller, Universell Topolo~ische

Triviale Deformationen,

Dissertation Regensburg. 20. H. Whitney, Local properties of analytic varieties, Diff. and Comb. Topolog~ (ed. S. Cairns),Princeton (1965), pp.205-244. 21. H. Whitney, Tangents to an analytic variety, Ann. of Math. 81 (1965), pp.496-549. 22. S. Koike, On

V-sufficiency and

(~)-regularity, ~Qyoto Univ. preprint

(1980), 20 pages. 23. J. Mather, Problem section, Manifolds~ Amsterdam 1970~ Lecture Notes in Math. 197, Springer, Berlin (1971).

Facult~ des Sciences, Boulevard Lavoisier, 49045 France.

ANGERS

CEDEX,

Algebraic Geometry

Algebraic geometry

ALGEBRAIC GEOMETRY