A quantization property for blow up solutions of singular Liouville-type equations

        

  

   



            

       
                    "   #   $   % &  ' - .    (   

!

(  )  * +   , &  /   (  0 

*  &    0   0  $ 0    1 0  2 2 3 4 4 '

(  5 6  7

 8 (    9         :  ; . 224

F G HIJK LI M N O P Q R O S T U V O W S X O Y T V N Z X S [ Z T Y R [ Q N \ O P ] S X P ^ _ R Y _ S ` S [ T O W S N \ V a ] Z \ bc d e f bg e h f i S ] N ^ X P T S \ R j] N ^ ] S ^ O \ R O P^ _ k X N [Y O PN ^ l X S m Y S ^ ] S n o X R O PX ZV P^ _ p q r s n o t uv uw x y z o a v h { | y P ^ } ~ uv uw x y z o a v h { | y  €  ‚ ƒ „ i S R … [ V P ^ O W S X S ^ X S N Z † S R X Y \ S X P ^ } ~ i W S\S Ph ‡ o ˆ ‰ Š f ‡ o ‹ ‡ Œ ~ P P h z o ˆ  „ Ž a } ~ h f   ‘ ’ z o ’ “ R ^ T u” z o u ’ • P ^ } ~ – — S ˜ \ N Q S OW R O ^ S ] S XX R \P[V f € ˆ ™ š › œ ™ š až Ÿ ‡ h Ÿ ™ š   Š ¡ ¢ d W S \ S X Y [O PX jX W R \ ˜ k R X X W N i ^ U V S £ ˜ [P] PO S £ R † ˜ [S X f R ^ T X W N Y [T U S ] N † ˜ R \ S T i PO W O W R O N U O R P ^ S T U V ¤ P l ¥ W R Z \ P \ P ^ b¤ ¥ e ] N ^ ] S \ ^ P ^ _ O W S X P O Y R O P N ^ i W S \ S ‡ o t  f ¦ § ˆ › – ¨

© ª « ¬ ­ ® ¯ ° « ±­ ª

²³ ´ µ ¶ · ¸ ¹ ´ º ¶ ¸ » ¹ ¼ ½ ¾ µ ¸ ´ ´ ¶ ³ ´ ¿À ³ µ ¸ ¹ Á ¶ ¶ ³ Â ¶ Ã À ´ ¶ Â ´ À ´ µ ¶ Á ÄÀ Å

½ · ¸ ³ ¸ ĺ ¹ ¿¹ ÆÀ » ¹ À Ľ ´ ¿À ³

¹ ¶ Ç ½ ¶ ³ ¾ ¶ ¹ È É À Æ Ê ¿À ½ à ¿ÄĶ ´ º · ¶ · » À Á Ķ ¼ Ë Ì Í

È É Ñ Ò ÉÓÔÕ

¿³ Ö

× Ò ÉÓÔÕ Ù Ú Î ØÏ Ð

à á â ã ã ä å æ ç è é ê ë ì í î ï ð ñ æ ò ä ð ñ ó ã å ä ô ç õ æ ö ÷ ø ù ÷ úù û ü ÷ ý þ ÿ ú û
 ÷ ü Þ

ÛÜ ÝÞ ß




û ü ýùü ÿ ÷ ø



ù ÿ ø ÿ ü úù ÷ ý

  

÷ úù û ü



Ö ¸³Â Ú  ¿¹ ¸ ¹ ½ ¿´ ¸ Á Ķ ¾ À ³ ¹ ´ ¸ ³ ´ Û ß Ü Ý ½ ¾ µ ¸ ³ ¿³ ´ ¶ » ¶ ¹ ´ µ ¸ ¹ Á ¶ ¶ ³ ĸ » ¶ ĺ ¼ À ´ ¿Ã ¸ ´ ¶  Á º ´ µ ¶ Æ ¸ ¾ ´ ´ µ ¸ ´ ´ µ ¿¹ ¸ ³ ¸ ĺ ¹ ¿¹ µ ¸ ¹ ¸  ¿» ¶ ¾ ´ ¸ ³ Â

Å µ ¶ »¶ Ö 





¿¹ ¸ » ¶ ½ ĸ » Á À ½ ³  ¶   À ¼ ¸ ¿³



Ò É







³ ¸ ´ ½ » ¸ Ä ¸ · · Ä¿¾ ¸ ´ ¿À ³ ´ À Å ¸ »  ¹ ´ µ ¶ ¹ ´ ½  º À Æ ´ µ ¶ ¼ ¶ ¸ ³ È Ñ

Ñ



Ö

Å ¿´ µ Á À ½ ³ Â ¸ » º





¿³

× Ò ÓÔ



Û Ü Ý ß







¿¹ ¸ Á À ½ ³ Â ¶ Â Â À ¼ ¸ ¿³



¶ ÄÂ ¶ Ç ½ ¸ ´ ¿À ³ Ë

Ò ÓÔ



Ï Ð Å µ ¶ »¶





À» ¸ ¾À¼ ·¸¾´



¿¶ ¼ ¸ ³ ³ ¿¸ ³ ¹ ½ »Æ ¸ ¾ ¶

· À ¹ ¹ ¿Á ĺ Û ¾ À ³ ¹ ¿Â ¶ » ¶  ½ ³  ¶ »



   Ò  ¸³Â  » À Á Ķ ¼  Ü  ß Ü Û ßÝ ! Û Ü Ý ß  à ¸ » ¿À ½ ¹ ¹ ½ ¿´ ¸ Á Ķ Á À ½ ³  ¸ » º ¾ À ³  ¿´ ¿À ³ ¹  ¿¹ » ¶ Ķ à ¸ ³ ´ ¿³ ¹ ¶ à ¶ » ¸ Ä · » À Á Ķ ¼ ¹ À Æ ¿³ ´ ¶ » ¶ ¹ ´ ¿³

¶À ¼ ¶´»º

#

Û

¶

ß



¹¶¶ ¶





Ý Ý



½

$

" Ê *

%  " ) %  + Ý Ý ! Þ '  ¸ ³  ¼ ¸ ³ º À ´µ ¶ » ¸ »¶ ¸ ¹ À Æ

µ

"

% 

Þ'(

&

)

% 

¸ ³  »¶ ƶ »¶ ³ ¾ ¶ ¹ ´ µ ¶ »¶ ¿³

%



*

¸ ´ µ ¶ ¼ ¸ ´ ¿¾ ¸ Ä

¹¶¶ Û ¸ ³  »¶ ƶ »¶ ³ ¾ ¶ ¹ ´ µ ¶ »¶ ¿³  ß !

µ º ¹ ¿¾ ¹

%  . %  %  - ¸ %  / %  & % Þ' Þ' $ · · Ä ¿ ¶  0 1 %  " %  " # %  )  %  * %  * ¸ ´ µ ¶ ¼ ¸ ´ ¿ ¾ ¹ ¹¶¶ ¶ %  Û Ý Ý ! / / % ¸ ³  »¶ ƶ »¶ ³ ¾ ¶ ¹ ´ µ ¶ »¶ ¿³ Þ' ßÝ 2 ½ » ¿³ ´ ¶ » ¶ ¹ ´ ´ À · » À Á Ķ ¼ µ ¸ ¹ À » ¿ ¿³ ¸ ´ ¶ Â Æ » À ¼ ´ µ ¶ ¹ ´ ½  º À Æ Ã À » ´ ¿¾ ¶ ¹ ¿³ à ¸ » ¿À ½ ¹ # ¸ ½ ¶ ÛÜ Ý ß  ¶ Ä Â ´ µ ¶ À » ¿ ¶ ¹ ¹ ¶ ¶ & % ¸ ³  » ¶ Æ ¶ » ¶ ³ ¾ ¶ ¹ ´ µ ¶ » ¶ ¿ ³ ²³ ´ µ ¿¹ ¾ À ³ ´ ¶ 3 ´ ´ µ ¶ Å ¶ ¿ µ ´ Æ ½ ³ ¾ ´ ¿À ³ Ò ¿³ Û ßÝ Û Ü Ý ß ¸  ¼ ¿´ ¹ ¿¹ À ĸ ´ ¶  4 ¶ » À ¶ ¹ À Æ  ³ ¿´ ¶ ¼ ½ Ä´ ¿· Ä¿¾ ¿´ º Ý - µ ½ ¹  Á º ÄÀ ¾ ¸ Ä¿4 ¿³ À ½ » ¸ ³ ¸ ĺ ¹ ¿¹ ¸ » À ½ ³  ¶ ¸ ¾ µ À Æ ¹ ½ ¾ µ 4 ¶ » À ¶ ¹ Å ¶ ¸ » ¶ Ķ ¸  ´ À ¾ À ³ ¹ ¿Â ¶ » Å ¿´ µ ÛÜ ÝÞ ß , -

% 

)

% 

Ò É Ü ;






Ü

Ý

,

£

¸´µ

*

Ý

!

½ »¶

$

··Ä

Ý

ÛÞj

 ˆ ™

W

j

„ “ ƒ

ßÝ « “ ƒ ™ Œ  ü ‹ —

‡ ƒ ‰ – Š † ‰

Ý #

ß ÞU 

j 

ˆ 

 ˆ ™

ƒ ‰ ‰ ‹ „ ‹ Ž

Þ( Þ

„ “ ƒ

 ™ ˆ

…

Û Ü Ü Þ ß

$

‰ƒ —



‡

P

‹ Œ

j ^ _ ' j

È Ñ

ƒ  Š † „ ‹ ˆ Œ

Þ^C Ý

j '

ü ‹ —



½ · ¶ » ¾ À ³ Â ½ ¾ ´ ¿Ã ¿´ º ¸ ³ Â

U

Ü



Ý





_ ' U  ^



W

U

9

ü  —



”

Œ

j ^

}

ˆ Œ ‡

—

ƒ „ ™ 

† Œ –

@ Œ ‹  Š ƒ 

Ý ÓÔ

"

£

Ý

Ý



¾¸Â

$

Ý



¾¿

Ý

!

¸ » ¿¹



À ³ Ä¿³ ¶ ¸ »

„ “ ƒ ˆ ™  £ .

š ˆ ™ „ ƒ Ÿ

¶ ¸ ¾ ´ ¿Ã ¶

€

ÀÅ ¹



Ý

m

0

!

+

1

l

¹ ¸ ³  · µ º ¹ ¿¾ ¸ Ä ¼ À  ¶ Ä¿³ Ë

¶ »¶¹´º ¾D ¿ ¶Â

Ý

)

Ľ à ¶ »

$

¾ ¸ Â ¶ ¼ ¿¾

Ý

Š ‰ „ ‹ ‰ ƒ

ÛÞj

( _

Ý

« “ ƒ ™ Œ

„ “ ƒ ˆ ™  £

Ï Ð

ù

Œ

ˆ Œ ‡

Ý

 ¿³ Á ½ » µ

‹ Œ ƒ  Š † ‰ ‹ „ 

0



Ž ˆ Œ – ƒ Œ ‡ † „ ƒ ‡

Ž ‰ † ‡ ‡





#

¸ » ¸ ³ ´ ¶ ÄÄÀ

Ý

‹ ƒ —



µº¹

»¶ · »¿³ ´





ü „ † „ ‹ ‡ „ ‹ Ž † ‰



··Ä

$

”

¸ » ¸ ³ ´ ¶ ÄÄÀ !

Ý

$

„   ƒ

ˆ Œ

½ »¶



Ý

B

†

Ý



t

Ý Û Ü Ü  ß

¸´µ

ˆ 

Þ'_  Ý

+

¸ » ¸ ³ ´ ¶ ÄÄÀ

·½ÁÄ -

Ý

Ý

Û Ü Ü Ü ß

ü Š ™



½ · ¶ » € ½ ¿Â ¿´ º



m

¸´µ

_

Ý ¸´µ

*

Ž Š ™ š † „ Š ™ ƒ

ü



Ý Ý

)

C C

™ ƒ ‡ Š ‰„ ‡ £

» ² Ý





!

m

_ j

*

Ý

*

µ ¸ Æ»¿» ²



„ “ ƒ

„ † „ ‹ ‡ „ ‹ Ž † ‰ — ƒ Ž “ † Œ ‹ Ž ‡ ˆ  Ý Ý ½ »¶ $ · · Ä * ¸ ´µ  Ý Ý C ^ ÛÞj j Þß 

µ ¸ Æ» ¿» ²

»¸E¸ · ¸´

Œ ƒ ‡ ‡

-

ß

Ý

Ý

$

Ý

,

!

Þ'C

,

U (

)

† ™ Œ † Ž ¦





½ »»¶º

!

Ý Ý

Ý

C 

*

%

 %

W

‹ Œ ‘

Ý ÞC ÛÞj _ Ü ß

*

}





j j

…

¶ ¸Ä Ê



*

Ê ¿% Ê ¿À ½ à ¿ÄĶ Þ



Ý

&

ÛÞj 

µº¹

!

™ ƒ ‡ Ž ™ ‹



À¼ ¼

"

ƒ „ ™  £



0

¿¶ ¹ ¹ Ä¿³

)

%



Ô

ÝÜ Ý ¿À Ä

1

¿¶ ¹ ¹ Ä¿³

)

%



ßÝ

C

µ ¶À »º

„ ‹ ˆ Œ £

)

W

¶ ÄĶ »

)

-

)

ÛÞj



U _

Ý

,

ß



Ž ˆ Œ – ƒ Œ ‡ † „ ƒ ‡

³À

Ý

W 

† ™ Œ † Ž ¦

‡ ˆ ‰Š „ ‹ ˆ Œ ‡

„ “ ƒ

« “ ƒ ™ Œ  ü ‹ —

ˆ Œ ‡  }

‹‘ ‘ ‡

„ “ ƒ ˆ ™  £

,

Ý

Ý

( _ ^ j ' ( _ j ^

‹ Œ ƒ  Š † ‰ ‹ „ 

 ˆ ™

 ˆ ™

‚

‹ ˆ Š š ‹ ‰ ‰ ƒ  „   ƒ

ƒ  Š † „ ‹ ˆ Œ ‡

’

‹ „ “

‡ ‹ Œ ‘ Š ‰ † ™

‡ ˆ Š ™ Ž ƒ ‡ £

ÜÜ(Ý Ý ¸´µ 

”

™

Ý

…

!

‹ „ ™ † ™ 

µº¹

Ý

t

 š ˆ ™ „ ƒ Ÿ

_ 

ÛÞj Ü ß W

‡ ˆ ‰ Š „ ‹ ˆ Œ ‡



 _ _ '  j 

 ˆ ™

Ý



W

„ “ ƒ

 

™ ‡ „

ˆ ™ – ƒ ™

u

‹ Œ ·

…

Š ™‘  ‚ † Œ – † Š

ƒ  Š † „ ‹ ˆ Œ ‡ £

/

Þ

/

/

%

¸³

j  _ ' j ( _

/

/



/

%

Ž “ ƒ —

/

%

/

¸³

#

%

&

#

*

Ý

&

Ý



#

’



*

ˆ „ † Ÿ ‹ ‡ £

À ĸ ³ ¹ D º

¸³

¶¿

/



,

Ý



ù

Œ

†

Ž ˆ Œ  ƒ Ž „ Š ™ ƒ

ˆ 

ý

ˆ ‰ † Œ ‡ ¦  £

À ³ Ä¿³ ¶ ¸ »

.

$

³ ¸ ĺ ¹ ¿¹

-

$

*

C

Û Ü Ü  ß

W



Ý

ƒ  Š † „ ‹ ˆ Œ ‡

&

Ý

Ý



¶¿

/

¸´µ ù

‹ „ “

Œ



Ý

.

„ “ ƒ

„ ƒ † –  ‡ „ † „ ƒ ‡ ˆ ‰ Š „ ‹ ˆ Œ ‡ ˆ  † Ý ¸¾µ»  Ý  ( ( '  ( C Û Ü Ü  ß   Þ'  ( ^ Ý ü



ƒ š ˆ ‰Š „ ‹ ˆ Œ

ƒ Ÿ  ˆ Œ ƒ Œ „ ‹ † ‰

ü ˆ ‰‹ „ ˆ Œ ‡

¸ ´ µ ¶ ¼ ¸ ´ ¿¾ ¹

,



‹ Œ

· »¿³ ¶ »




' v

ˆ 

‡ ƒ ‰  ‹ Œ „ ƒ ™ † Ž „ ‹ Œ ‘

Œ ˆ Œ ‰ ‹ Œ ƒ † ™ ‹ „  £

‹ ƒ ‰ –

¶ »Ä¸

¬ “ ƒ ˆ ™ 

.

¶Å

,

À »D

$

t

† Œ – &

Ý



 j

³¸Ä

Ý

Ž ‰ Š ‡ „ ƒ ™ ‡ *

ˆ Œ ‰ ‹ Œ ƒ † ™

Û Ü Ü Þ ß Ý

™ ƒ † Ž „ ‹ ˆ Œ  – ‹{

¸´µ ”

Ý

U j

† Œ –

ÛÞj

Œ † ‰  ‡ ‹ ‡ £

Š ‡ ‹ ˆ Œ

‡  ‡ „ ƒ —

†   ‰ ‹ Ž † „ ‹ ˆ Œ ‡

j 



ß



 U

Þ'

· »¿³ ¶ »

_ 

*

„ ˆ

—

ˆ – ƒ ‰ ‰‹ Œ ‘

‡ ƒ —

‹ ‰‹ Œ ƒ † ™

Ý À ³ À » ¸ · µ ¹ ¿³