宇宙と素粒子30講 (物理学30講シリーズ)

物理学30講シーズ10戸

田盛和 著

宇宙と素粒子30講

朝倉書店

は

し

が

き

  本 書 で は ア イ ン シ ュ タ イ ンの 宇 宙 論 とデ ィ ラ ック の電 子 論 を 解 説 す る の が 主 な 目的 で あ る.一 般 相 対 性 理 論 に も とづ い た 現 在 の宇 宙 論 は ア イ ン シ ュ タ イ ン に は じ ま った.ま

た 相 対 論 的 な 素 粒 子 論 は デ ィ ラ ック に は じ ま っ た とい う こ とが で き

る.し た が っ て これ ら ２つ の テ ー マ は現 代 物 理 学 に お け る最 大 の柱 で あ る.そ の 意 味 で 本 書 の い さ さか オ ーバ ー な題 名 『宇 宙 と素 粒 子30講

』を理 解 して い た だ き

た い.   現 在 の 宇 宙 論 や 素 粒 子 論 が 本 書 の レベ ル を越 え て,は 当然 で あ るが,一

るか に前 進 して い るの は

般 相 対 論 と素 粒 子 論 の融 合 はい まで も果 た さ れ て い な い.こ の

目的 をめ ざす 上 で も これ らの 理 論 の 基 礎 に な って い る考 え 方 は,こ れ か ら もた え ず再 考 の 土 台 と して 重 要 さを保 つ で あ ろ う.専 攻 分 野 の異 な る一 学 徒 に とって も, 物 理 学 の 基 礎 的 な 考 え方 は最 も深 い関 心 事 の １つ で あ り続 けて きた.少

しで も多

くの読 者 に も 同 じ よ う な興 味 を も って いた だ きた い と思 っ て 本 書 を書 き上 げ た わ け で あ る.も な い.で

と よ り浅 学 非 才 の た め 記 述 や 考 え の 到 ら な い と こ ろが あ るか も しれ

きれ ば読 者 の 方 々 と共 に 改 め て い きた い と思 う.

  この シ リー ズ の趣 旨 と して,で

き るだ け他 書 を参 考 に しな い で 読 め る よ うに と

心 掛 け た が,前 半 の相 対 性 理 論 に関 係 した 宇 宙 論 にお い て は本 シ リー ズ第 ７巻 『相 対 性 理 論30講

』 を,ま た後 半 の 電 子 論 に お い て は第 ８巻 『量 子 力 学30講

』 をい

く らか予 備 的 な もの と し て参 考 に して いた だ く必 要 が あ る か も しれ な い.   第 １講 は宇 宙 論 へ の 導 入 部 分 で あ る.第

２講 と第 ３講 は 曲 が った 空 間 とい う概

念 を い く らか で もわ か りや す くす るた め に半 ば直 観 的 な 記 述 を加 え た.第

４講 と

第 ５講 は 曲 が った 時 空 を表 す 数 学 的道 具 と して の テ ン ソル と リー マ ン幾 何 学,そ して 第 ６講 で ア イ ン シ ュ タ イ ンの重 力 場 の 方 程 式 に 到達 す る.   こ こ まで に 曲 が っ た 空 間 な どで寄 り道 を した が,第 論 に入 り,こ れ が 第13講

まで続 く.

７講 で は 気 分 を改 め て 宇 宙

  第14講

か らは,デ

ィ ラ ッ ク に よ っ て 創 られ,ほ

され た 電 子 論 に入 り,こ れ が第26講 あ る.デ

とん どデ ィラ ックひ と りで完 成

まで続 く.こ れ が相 対 論 的 量 子 力 学 の本 筋 で

ィラ ッ ク は特 殊 相 対 性 理 論(ロ

ー レ ン ツ変 換)と

量 子 力 学 とい う ２つ の

要 請 を融 合 させ る道 を求 め て この 理 論 を創 り,ス ピ ノー ル 解 析 を 用 い て こ の 要 請 を 満 足 させ た の で あ った.こ

の理 論 が 電 子 ス ピ ン の 角 運 動 量 と磁 気 モ ー メ ン トを

導 き出 し,ま た 空 孔 理 論 に よっ て 反 粒 子(陽 蹟 で あ った.美

電 子)を

予 言 で き た の は 驚 くべ き奇

し さ を求 め る理 論 は,不 思議 に も 自然 に近 づ く こ とが で き る こ と

を 示 す 出 来 事 で あ っ た.   しか し実 験 の 進 歩 に よ り,電 子 の 磁 気 モ ー メ ン トの 微 小 な異 常 が 発 見 さ れ,こ れ は電 子 と光 子 場 の 相 互 作 用 の た め で あ る こ とが く り込 み 理 論 に よ って 示 され た. また 陽 子 や 中性 子 が もつ異 常 な磁 気 モ ー メ ン トは これ らの 粒 子 が ク ォー ク か ら な る構 造 を もつ た め と考 え られ て い る.   本 書 の 第27講

以 下 で は くり込 み理 論,超

ま りの 頃 の理 論 につ い て説 明 した.こ

多 時 間 理 論,お

よび 中 間 子 理 論 の は じ

の部 分 の論 文 な ど に つ い て は江 沢 洋 氏 に 教

え られ た こ と も多 い.   本 書 の校 正 に あた っ て,東 京 大 学 大 学 院 生 の礒 島伸 君 に お世 話 に な った.ま

た

本 書 だ け で な く,こ の シ リー ズ 全 般 に わ た っ て遅 筆 の 著 者 の よ き相 談 相 手 で あ っ た 朝 倉 書 店 の 方 々 に厚 くお礼 を 申 し上 げ た い.  2002年

５月

 著

者

目

次

第 １ 講   空 間 と時 間   Tea

  １

Time:上

と下 の 区 別   ７

第 ２ 講   曲面 と超 曲 面  

Tea

 ９

Time:プ

ラ ト ン の イ デ ア   15

第 ３ 講  閉 じた 空 間,開  

Tea

いた空間

Time:完

  17

全 な も の   21

第 ４ 講  テ ン ソ ル  

Tea

 23

Time:Black

Cloud 

27

第 ５ 講  球 面 の 曲率 テ ン ソル  

Tea

Time:非

 29

ユ ー ク リ ッ ド幾 何   32

第 ６ 講  重 力 場 の 方 程 式  

Tea

第 ７ 講  宇

Time:K.シ

宙

  Tea

  34 ュ ワ ル ツ シ ル ト  37

論 Time:ユ

  39 ダ ヤ 系 の 学 者   44

第 ８ 講  一 様 な空 間  

Tea

  45

Time:テ

ィ コ

・ ブ ラ ー エ   50

第 ９ 講  エ ネ ル ギ ー運 動 量 テ ン ソル  

第10講

Tea

Time:G.ガ

Tea

Time:ダ

51

モ フ  53

 膨張宇 宙モ デル  

 

ー ク マ タ ー   63

  55

第11講 

65

ハ ッブ ル の 法 則   

Tea

Time:星

の 一 生   70

第12講  球対称 な星    Tea

第13講  重

Time:星

  Tea

力

72 の 核 融 合 炉   77

波  Time:元

79 素 の 周 期 表   85

第14講  相 対性理論 と量子力学    Tea

第15講 

第16講 

102 え 運 動   106

Tea

Time:電

Tea

Time:磁

114 気 モ ー メ ン ト  118

中 心 力 場   

Tea

Time:月

108

子 の ス ピ ン  112

角 運 動 量   

第20講 

Time:震

97

ィ ラ ッ ク と ウ ィ グ ナ ー   100

 電 磁 場 と電 子 の 磁 気 モ ー メ ン ト  

第19講 

Time:デ

92

前 後   95

自 由 粒 子    Tea

第18講

Time:1933年

デ ィ ラ ック行 列    Tea

第17講 

Time：   E． ウ ィ グ ナ ー   90

デ ィ ラ ッ ク方 程 式    Tea

87

120 と連 星 の 角 運 動 量   124

第21講  水素類似原 子    Tea

第22講

Time:ウ

ィグ ナ ー の見 た アイ ン シ ュタ イ ン  129

  ス ピ ン‐軌 道 相 互 作 用   

Tea

Time:マ

Tea

Time:マ

第25講

Tea

Time:ハ

 167 ン グ リー 精 神   174

ラム シフ ト  

Tea

Time:物

176 理 学 的 モ デ ル   178

第29講  超多時 間理論   Tea

第30講

 180 学 的 世 界   187

  中 間 子 の質 量   Tea

索

Time:科

Time:自

  159

効 質 量 の 例   165

  く り込 み 理 論  

第28講 

Time:有

 154

の た め の 数 学 か   157

電子の 自己エネル ギー   Tea

第27講

Time:何

 144

学 が き らわ れ る理 由   152

デ ィ ラ ッ ク電 子 の波 動場   Tea

第26講

Time:科

 137

ヨ ラ ナ の 失 踪   143

第24講  電磁場 の量子化   Tea

131

ヨ ラ ナ 型 核 力   135

第23講  空孔 理論 と陽電 子  

125

 188 然 と人 間   195

197

引

 第 １ 講  空 間 と 時 間

―テー マ ◆ ニ ュ ー トン力 学 ◆ 特 殊 相 対 性 理 論 ◆ 一 般 相 対 性 理 論 ◆ Tea

Time:上

と下 の 区 別

 ニ ュ ー ト ン 力 学

  は じ め に ニ ュ ー トン 力 学 か ら 相 対 性 理 論 ま で を概 観 し よ う.   ガ リ レ イ(Galileo

Galilei,1564−1642)と

の 力 学(ニ

ュ ー トン 力 学)に

存 在 で,物

質 の 存 在 ・運 動 に よ ら な い も の と考 え られ て い る.簡

の 運 動 だ け を 考 え,物

お い て は,運

ニ ュ ー ト ン(I.Newton,1643−1727)

体 の 質 量 をｍ,時

体 に は た ら く力 をｆ と す る と,ニ

動 が お こ な わ れ る 空 間 ・時 間 は 絶 対 的 単 の た めｘ 方 向

刻ｔ に お け る物 体 の 位 置 をx=x(t),物

ュ ー トン の運 動 方 程 式 は (１)

と書 け る(実 は これ が成 り立 つ よ うな座 標 系(x,t)に 座 標 系 を慣 性 系 とい うの で あ る).慣 性 系(x,t)に で 移 動 す る別 の慣 性 系 の 座 標 をx',時

よ っ て運 動 を記 述 し,こ の 対 し てｘ 方 向 に一 定 の 速 さｖ

間 をt'と す る と (２)

が 成 り立 つ と考 え,こ れ をガ リ レイ 変 換 とい う.こ の 変換 に よ っ て物 体 の 速 度ｕ

=dx/dtか

らu'=dx'/dt'=dx'/dt=u-vに

変 わ る

.す

なわ ち

(３) に 変 わ る.こ (x',t')の

れ は 速 度 の ガ リ レ イ 変 換 で あ る.ま

相 対 速 度ｖ は 一 定 な の で,加

du/dt=du'/dt=α').力ｆ 量ｍ

速 度 は ２ つ の 慣 性 系 で 同 じ で あ る(α=

も ２つ の 慣 性 系 で 同 じ(f=f')で

も共 通 と 考 え ら れ る.こ

系 に つ い て も(１)と

た こ の 変 換 で は 慣 性 系(x,t)と

あ り,物

質 固有の質

れ ら の い わ ば 常 識 的 な 事 柄 を 認 め る と,第

２の 慣 性

同 じ運 動 方 程 式 (４)

が成 り立 つ こ と にな る.   以 上 の こ とを ま と め て,ニ

ュー トン力学 で は,慣 性 系 間 を結 ぶ ガ リレ イ 変 換 に

対 し運 動 の基 本 法 則 は変 わ らな い,と い う.こ れ を ガ リ レイ の 相 対 性 原 理 と よぶ こ とが あ る.

 光 の 速 度   ガ リ レイ 変 換 は 日常 的 な現 象 に お い て は い つ も よ く成 り立 っ て い る よ うに 思 わ れ る.し か し19世 紀 末 に な って光 の速 さの測 定 が 速 度 の ガ リレ イ変 換 と矛 盾 す る こ とが発 見 され た.光

の速 度 はc=30万km/秒

まわ りを 回 る公転 速 度 はv=30km/秒

で あ る.こ れ に比 べ 地 球 が太 陽 の

の程 度 で あ る.光 の速 度 測 定 に対 して ガ リ

レイ 変 換 が成 り立 つ と仮 定 す る と,地 球 に乗 った 観 測 者 が 正 面 か ら向 か って くる 光 の 速 度 を測 る とc+vと る.c≫vで

な り,光 を追 いか けて測 定 す る とc−vと

あ るが 光 学 的 測 定 で はc+vとc-vの

な る はず で あ

ちが い は 十 分 に検 出 で きる程

度 で あ る.し か し くわ し い 測 定 に よれ ば,光 の 速 度 は光 の 進 行 方 向 と観 測 者 の 運 動 方 向 に関 係 な く,常 に一 定 の 値 ｃで あ る こ とが 明 らか に され た の で あ る(マ イ ケル ソ ン‐モ ー レー(Michelson−Morley)の の式(３)が

実験,1887年).こ

れ は ガ リ レイ 変換

正 し くな い こ と を示 して い る.

 特殊相対性理論  ア イ ン シ ュ タ イ ン(A.Einstein,1879-1955)は,光

は何 もな い 空 間 を 伝 わ っ て

く る の で あ る か ら,そ え た.彼

の 速 度 が 一 定 な の は 当 然(光

速 度 不 変 の 原 理)で

は ガ リ レ イ 変 換 に 代 わ る 変 換 を 思 索 し,ロ

あ る と考

ー レ ン ツ変 換 に た ど りつ い た.

こ れ は 光 速 度 を 不 変 に す る よ う な 変 換 で あ る.   あ る慣 性 系 Ｓ に 対 し て,ほ る.Ｓ

か の 慣 性 系S'がｘ

系 に お け る 物 体 の 空 間 座 標 をｘ,ｙ,ｚ

標 をx',y',z'と あ り,そ

し,時

の と きS'系

間 をt'と

方 向 に 速 度ｖ

と し,時

間 をtと

す る(簡 単 の た めt=0の

の 時 間 はt'=0と

す る).こ

を も っ て い る とす し,S'系

の 空 間座

と き物 体 はx=x'=0に

の と き 変 換S→S'は

(５)

で 与 え られ る.こ れ が ロ ー レ ン ツ変 換 で あ る.   こ う して,ア イ ン シ ュ タ イ ン は空 間 ・時 間 が 観 測 者 の運 動 に よ らな い 絶 対 的 な もの で あ る と考 え た ニ ュ ー トン力 学 の立 場 が 誤 りで あ る こ と を明 らか に した.空 間 ・時 間 は観 測 者 の運 動 に よ っ て 異 な っ て 見 え る の で あ る.た だ し光 の 速 度 だ け は一 定 の値 ｃに な る(こ れ は一 般 相 対 性 理 論 で は修 正 さ れ る.一 般 相 対 性 理 論 で は時 間 の 進 み 方 や 光 の速 度 は重 力 に よ っ て変 化 させ られ る).   ロー レ ンツ変 換 をｘ とctか らx'とct'へ の 変 換 と して表 す と図 １の よ う に な る. 図 で45° の 傾 き の 線x=ct,x'=ct'は 路 を 表 す.変

光 の進

換S(x,ct)→S'(x',ct')は

こ

の 図 で 斜 交 軸 変 換 に な っ て い て,各 度 は(x,ct)と(x',ct')と

軸 上の尺

で 異 な っ て い る.

  ア イ ン シ ュ タ イ ン は ロ ー レ ン ツ変 換 が成 り 立 つ 世 界 に お け る 力 学 を 構 築 し,ま 学 が 本 来 ガ リ レ イ 変 換 で な く,ロ

た電 磁 気

ー レ ン ツ変

換 の 時 空 で 記 述 され る も の で あ る こ とを示 し た(1905年).こ

れ を 特 殊 相 対 性 理 論 と い う. 図 １  ロ ー レ ン ツ 変 換

基 礎 的 な 運 動 法 則 は ロー レ ン ツ変 換 に対 して

(x,ct)→(x',ct')

不 変 で な けれ ば な ら な い.こ れ は特 殊 相 対 性 原 理 とよ ば れ て い る.   ロ ー レ ン ツ変 換 は単 な る幾 何 学 的 な変 換 で は な い.こ れ は物 体 の 運 動 の 問 題 で あ り,根 本 的 に物 体 に関 す る もの で あ るか らで あ る.特 殊 相 対 性 理 論 か ら,物 体 の質 量 が速 度 と共 に 増 加 す る こ とや,物 質 の 質 量 が エ ネ ル ギ ー で あ り,エ ネ ル ギ ー が 質 量 を もつ こ と な どが 出 て くる とい う不 思 議 さ は これ に 由来 す る の で あ る.   古 典 力 学 の ガ リ レイ 変 換 で は,時 間 は変 換 され ず 空 間 だ けが 変 換 さ れ るが,こ れ に対 し相 対 性 理 論 の ロ ー レ ン ツ変 換 で は 時 間 と空 間 が い っ し ょ に変 換 され る.   ま た古 典 力 学 で は 物 体 の運 動 は ３次 元 空 間 中 の 位 置 の 時 間 変 化 と して と ら え る のが ふ つ うで あ るが,相 対 性 理 論 で は物 体 の運 動 は ４次元 時 空(x,y,z,ct)の の 曲線(あ

る い は 直 線)と

して 表 され,こ

中

れ は世 界 線 と よ ばれ る.

 一 般 相対 性 理 論   特 殊 相 対 性 理 論 は慣 性 系 と これ に対 し等 速 度 で 運 動 す る別 の慣 性 系 の 間 の 関 係 を扱 い,運 動 法 則 を不 変 に す る時 空 の変 換 は ロー レ ン ツ変 換 で あ る こ と を述 べ て い る.こ れ は た が い に等 速 度 で 動 く座 標 系 間 の 変 換 に 限 定 され て い る.   しか し,時 空 を 表 す 座 標 系 は も と も とわ れ わ れ が 勝 手 に 選 ぶ もの で あ っ て,運 動 の基 本 法 則 自身 は座 標 系 の 選 び 方 と無 関 係 に 存 在 す る もの で あ る.し た が っ て 一 般 的 な相 対 性 理 論

,す な わ ち 一 般 相 対 性 理 論 で は,運 動 の 基 本 法 則 を座 標 系 の

選 び 方 に 無 関 係 な 形 式 で 表 現 す る こ とを め ざす.こ

の場 合,座 標 系 は一 般 に 慣 性

系 で な く,加 速 度 系 で も曲線 座 標 系 で もよ い の で あ る.   ア イ ン シ ュ タイ ンが特 殊 相 対 性 理 論 を発 表 した ２年 後 の1907年

に,彼 はす で に

上 の よ うな 考 察 か ら一 般 相 対 性 理 論 の構 築 を思 い 立 っ て い る.   椅 子 か ら落 ち た人 は,そ の 瞬 間 にか らだ が宙 に浮 くの を感 じ るだ ろ う.か らだ の重 さが な くな り,い い か えれ ば重 力 が な くな った よ うに 感 じ る.外 が 見 え な い エ レベ ー ター に 閉 じ込 め られ た人 を想 像 す る と,エ レベ ー ター が 急 に加 速 度 を も っ て上 方 へ 動 く と き,そ の人 はエ レベ ー タ ー の床 に押 しつ け る よ う な重 力 が はた らい た と感 じ る だ ろ う.ま た 逆 にエ レベ ー タ ー が 下 方 へ加 速 度 を も っ て動 き出 す と,か らだ が 軽 くな って 重 力 が 減 った よ うに 思 うだ ろ う.   こ の よ う な こ とは誰 で も気 付 く こ とで あ る.ま た 重 力 を 受 け て い る物 体 に対 す

るニ ュ ー トンの 運 動 方程 式 か ら 自由 に落 下 す る座 標 系 に移 れ ば,こ

の 新 しい座 標

系 で は物 体 に はた ら く重 力 が な くな っ て し ま う(こ れ は人 工 衛 星 や 弾 道 飛 行 を す る航 空 機 の 中 で飛 行 士 が 体 験 す る無 重 力状 態 で あ る).こ の こ とを,適

当 な加 速 度

系 に移 れ ば重 力 を消 す こ とが で き る と表 現 す る こ とが で き る.   地 球 表 面 の よ う に一 様 な 重 力 が は た ら い て い る場 所 で は,こ の よ うに 座 標 系 を 加 速 す る こ とに よ っ て重 力 が 消 さ れ た 座標 系,す

な わ ち慣 性 系 にす る こ とが で き

る.こ の意 味 で重 力 と加 速 度 は同 等 で あ る.こ の こ と を等 価 原 理 とい う.   しか し,自 然 界 に お け る重 力 は地 球 や 太 陽 な どの あ らゆ る物 体 に よ る もの(万 有 引 力)で

あ っ て,一 様 な重 力 で は な い.そ の た め実 際 的 に は,一 様 な加 速 度 に

よ る座 標 変 換 で は,空 間 的 に せ ま い領 域 で 重 力 を消 し去 る こ とが で き る だ けで あ る.こ の よ う に して局 所 的 に 重 力 場 が 消去 され 慣 性 の 法則 が 成 立 して い る座 標 系 を局 所 慣 性 系 とい う.重 力 が 存 在 す る空 間 で も局 所 的 に は慣 性 系 と して 扱 え る座 標 系 が あ る.そ

して これ に対 して等 速 度 で運 動 す る座 標 系 も局 所 慣 性 系 で あ って,

これ らの 間 に は局 所 的 に ロ ー レ ン ツ変 換 が 成 り立 つわ け で あ る.   等 価 原 理 は何 で もな い こ との よ うだ が,ア イ ン シ ュ タ イ ンは これ が 含 む 内容 の 重 大 さ に 気付 き,こ れ を一 般 相 対 性 理 論 へ の 出 発 点 と した.

 重 力 に よ る光 の湾 曲   等 価 原 理 か らた だ ち に 導 か れ る重 要 な帰 結 の １つ は,重 力 に よ っ て光 が 曲 が る とい う こ とで あ る.こ れ を説 明 し よ う.   図 ２の よ うに エ レベ ー タ ー が 加 速 度 を も って 上 昇 しは じめ る と し,そ の瞬 間 に 一 方 の 壁 か ら水 平 に光 のパ ル スが 発 せ られ る とす る.こ の 場 合,エ

レベ

ー タ ー の 中 の 人 は下 方 に押 しつ け られ る よ うな 力 を感 じる と同 時 に,エ

レベ

ー タ ー に対 し て光 が 下 方 へ 曲 が っ て 進

図 ２ 光 の湾 曲

むの を見 るだ ろ う.こ の 現 象 を等 価 原 理 に よ っ て 解 釈 す れ ば,エ 速 に よっ て 生 じ る重 力 の た め に光 が下 方 へ 引 か れ て 曲が る,と

レベ ー ター の加

い う こ と に な る.

  次 の よ う に も考 え られ る.光 は エ ネ ル ギ ー で あ るが,特 殊 相 対 性 理 論 に よれ ば エ ネ ル ギ ー は質 量 を もち,質 量 の あ る もの は重 力 に引 か れ て 運 動 経 路 が 曲 げ られ る.し た が っ て ３段 論 法 に よ り,光 は重 力 に よ っ て 曲 が る.   ア イ ン シ ュ タイ ン は さ ら に次 の よ う に も考 え た.光

は

波 で あ る か ら,光 が 曲 が るの は 図 ３の よ うに波 面 が 次第 に傾 く こ とで あ る.そ

して 波 面 が 曲 が る の は,重 力 の あ

る場 所 で は下 方 ほ ど光 の速 度 が 遅 くな る(光 に対 す る屈 図 ３ 光 の 湾 曲 と波 面

折 率 が 大 き くな っ て い る)た

め と考 え られ る.光 を伝 え

るエ ー テ ル と い う媒 質 が あ る な らば,や わ らか い コ ンニ ャ ク が 重 さ のた め に 下 方 ほ ど圧 せ られ て 屈 折 率 が 大 き くな る と きの 現 象 を想 像 す れ ば よい.   ア イ ン シ ュ タ イ ン は この よ う に重 力 が存 在 す る空 間 は あ る種 の ゆが み(変 形) を伴 う と考 えた が,こ

れ に 一 般 的 な数 学 的表 現 を与 え る の に何 年 も苦 労 しな けれ

ば な ら な か っ た.彼 が め ざ した の は静 的 な 重 力 場 で は な くて,任 意 の 運 動 を して い る観 測 者(座 標 系)に お ける重 力 場 の 間 の変 換,い わ ば動 的 な重 力 場 で あ る.1912 年 に な っ て彼 は これ が 数 学 者 ガ ウ ス(C.F.Gauss)が50年

以 上 前 に展 開 して い た

曲面 論 と関 係 が あ る こ とに 気付 い た.曲 面 論 で は同 じ曲 面 を任 意 の座 標 系 で 表 し た表 現 の 間 の 関係 を一 般 的 に論 じ て い る.ア イ ン シ ュ タ イ ン の め ざす 一 般 相 対 性 理 論 に お い て も同 じ重 力 場 を任 意 の 座 標 系 で表 した 表 現 の 間 の 関係 を論 じな け れ ば な らな い.   ガ ウス の 曲 面 論 で は曲 面 の 曲 率 の 表 現 が 対 象 で,微 分 幾 何 学 が大 き く役 立 つが, これ は さ らに ガ ウ ス の弟 子 リー マ ン(G.F.B.Riemann)に 元 へ と拡 張 さ れ,さ

らに リ ッチ(C.G.Ricci)な

よ っ て ３次 元 か ら多 次

ど に よ っ て 一 般 的 な テ ン ソル 解 析

へ と拡 張 され た.こ れ を リー マ ン幾 何 学 とい う.一 言 で い え ば,こ れ は多 次 元 空 間 の距 離 を不 変 に保 つ 変 換 の幾 何 学 で あ る.こ の 空 間 を表 す た め に座 標 系 を用 い るが,一 般 相 対 性 理 論 で は空 間 と時 間 を合 わ せ て ４次 元(x0,x1,x2,x3,)の

時空が

対 象 で あ る.各 点 にお け る重 力 場 の様 子,物 体 の速 度 な どの 物 理 量 は ４次 元 座 標 の関 数(一

般 に テ ン ソル)と

して表 され る(テ

ン ソル(ス

カ ラ ー,ベ

ク トル を含

む)は 座 標 系 を変 え た とき の 変 換 規 則 の式 で 定 義 され て い る量 で あ る).テ

ン ソル

で 書 か れ た物 理 法 則 の不 変 性 は テ ン ソル の 変 換 性 に よ って 保 証 され る.こ れ を一 般座 標 変 換 に対 す る共 変 性 とい う.   ア イ ン シ ュ タ イ ン は こ う し て リー マ ン幾 何 学 を用 い て 重 力 場 の 方 程 式 を見 出 す こ と に成 功 した.1915年

の 年 末 の こ とで あ っ た.こ の と き,ア イ ン シ ュタ イ ンは

水 星 の 近 日点 の移 動 を一 般 相 対 性 理 論 に よ って 説 明 し,太 陽 の 近 くを通 る星 の 光 の経 路 が 太 陽 の重 力 に よ っ て 曲 げ られ る こ と を予 言 し,ま た 強 い重 力 の 下 に あ る 原子 の 出 す 光 の波 長 は長 い 方 へ ず れ る こ と を予 言 す る こ とが で きた.   しか し全 体 と して この 当時 は測 定 技 術 が 未 熟 な た め一 般 相 対 性 理 論 を検 証 す る 実 験 は不 可 能 で あ っ た.そ

の た め しば ら く この 理論 が 物 理 学 者 の興 味 を引 か な く

な っ た 時 期 が あ っ た.し か し観 測 ・測 定 技 術 の 進歩 と宇 宙 論 の 展 開 を経 て,現 在 で は一 般 相 対 性 理 論 は人 類 の 到達 した 最 もす ぐれ た理 論 の １つ と認 め られ て い る.

 

Tea

Time

 上 と下 の 区別   地 球 の 重 力 の も とで 生 活 して い る生 物 に と っ て,上 方 と下 方 の 区 別 は ほ とん ど 絶 対 的 で あ る.住 居 の 構 築,衣

服 の デ ザイ ン,飲 食,歩 行 な どのす べ て にお い て,

重 力 の 支 配 が 見 られ る.宇 宙 船 の 中 の重 力 の な い と ころ で数 週 間 も暮 らせ ば 骨 が い ち じ る し く弱 くな った りす る.重 力 は か らだ の 中 まで 支 配 し て い るの で あ る.   古 代 ギ リシ ャ の 時代 で も,地 球 が ま る い と考 えて いた 人 が 少 し は い た が,ル サ ンス の 頃 まで は,ほ

ネ

と ん どす べ ての 人 が 地 面 は全 体 と して 平 らで あ る と思 って

い た.   「コペ ル ニ ク ス 的 転 回」とい う言 葉 が あ る.地 球 の まわ りを太 陽 な どが 回 っ て い る とい う古代 の 考 え を破 棄 し,地 球 な どが 太 陽 の まわ りを 回 っ て い る の だ と考 え る よ うに な っ た 大 革 新 の こ とを い うの だ が,実 際 に は一 夜 に して こ の転 回 が な さ れ た わ け で は な い.コ ペ ル ニ ク ス(N.Copernicus),ケ レ イ,ニ

プ ラ ー(J.Kepler),ガ

ュー トン と何 代 も経 て よ うや く地 動 説 は定 着 した の で あ った.コ

リ

ペルニ

ク ス や ガ リ レイ は地 動 説 に対 す る反 対 意 見 に ま と も に答 え る こ とが で きな か った の で あ る.   コ ロ ン ブ ス た ち が 半 信 半 疑 で大 西 洋 を西 へ 進 ん で1492年

にア メ リカ を発 見 し て

か ら大 航 海 時 代 が は じま った.マ ゼ ラ ンの船 が は じめ て世 界 を一 周 したの は1519∼ 1522年 で あ った.種 子 島 に ポル トガ ル船 が漂 着 した の は1543年

で あ った.こ の 頃

に は地 球 が まる い と い う こ と も多 くの 人 に よ って 認 識 され て い た で あ ろ う.さ に,ガ

ら

リレ イが 望 遠 鏡 を使 っ て 月 の 表 面 や 木 星 の 月 な ど を見 せ て 天 体 も地 球 に似

た もの で あ る こ と を知 らせ たの は1609年

で あ っ た.そ れ で も地 球 の反 対 側 の 人 た

ちが 逆 立 ち して い るの を納 得 す る の は むず か しか っ たで あ ろ う.「 地 球 の上 に朝 が くる.反 対 側 は夜 だ ろ う」 とい う歌 に お どろ か な くな った の は つ い 最 近 の こ とで あ る.

  第2講  曲 面 と超 曲 面

―テ ー マ ◆ 曲

率

◆ 球

面

◆ 立 体 射 影 ◆ Tea

Time:プ

ラ トン の イ デ ア

  ２次 元 の 曲 面   ゆで 玉 子 の 表 面 の よ う に な め らか な 曲 面 を考 え る.曲 面 上 の1点

に お け る 曲面

の 曲が り方 は,そ の点 で 曲 面 に垂 直 に立 つ平 面 が 曲面 と切 り合 う曲 線 Ｃ に よ って 与 え られ る(図4a).平

面 を 曲面 に垂 直 に立 てた ま まで そ の 向 き を まわ し て い く

と曲線 Ｃ の 曲 が り方 が 最 大 に な る向 き と最 小 に な る向 き とが あ っ て,こ れ らの2 つ の 向 き は た が い に垂 直 で あ る こ とが証 明 され る(図4b).こ 曲線ClとC2の

の2方

向 に対 す る

曲 率 半 径 を ａ,およ びa2と す る と き

(1)

を ガ ウ ス 曲 率(全 曲 率)と い う(曲 率 半径 の 逆 数 を 曲率 と い う).曲 線C1とC2の 曲率 半 径 の 中心 が 曲 面 の 同 じ側 に あ る と きは ガ ウス 曲 率 は 正(K＞0)で

あ り,曲

面 の反 対 側 に あ る と き は ガ ウ ス 曲 率 は負(K＜0)で

と えば 鞍

形 の 曲面 の ガ ウ ス 曲 率 は負 で あ る(図5).

あ る と約 束 す る.た

(ａ)

(ｂ)

図 ４ 曲

面

図 ５ 鞍 形 の 曲面

 特 に 球 面 で は そ の 半 径 をａ とす る と き,ガ ウ ス 曲率 は 球 面 上 の どの 点 にお い て も (２)

で あ る.  ２次 元 曲 面 の 幾 何 学(微

分 幾 何 学)は

ガ ウ ス に よ っ て完 成 され た.

  曲率 は 次 の よ うに 考 え る こ と もで き る.   (１)  曲面 上 の １点 を囲 んだ 微 小 面 積dSに

単 位 長 さの法 線 矢 印 をた くさん立 て

る.矢 印 の 方 向 を 変 えな が ら起 点 を １点 に して 束 ね る.こ の とき矢 印 の 先 端 で つ く られ る面 の 面 積(立 体 角)をdσ

と した と き,ガ ウ ス 曲 率 は (３)

で あ る(半 径ａ の 球 面 で は立 体 角dσ に 対 し てdS=a2dσ

で あ る か ら,K=

1/a2).   (２)  曲面 上 の １点 ０ か ら曲面 に沿 っ て 一 定 の微 小 距 離γ の 点 をつ らね た 円 を描 い た と き,そ の 円周 がｌ で あ る 図 ６ ガ ウス 曲率

と す る と(図

７)

(た とえ ば 球 面) (た と え ば鞍 形 面)

 (４)

(そ の 点 で 平 ら) で あ る.   (３)た

とえ ば図 ８の球 面 に おい て 曲線PRは

ら北 極 へ 行 く子 午 線,PQは トル を赤 道PRに

球 面 の 赤 道 の1/4,

RQは

赤道 か

別 の 子 午 線 で あ る.赤 道 上 の点 Ｐ で 赤 道 に平 行 なベ ク

沿 っ て平 行 に 移 動 させ,さ

ら に子 午 線RQに

沿 って 北 極 Ｑ まで

平 行 移 動 さ せ る(移 動 は 曲 面 上 で ２点 を最 短 距 離 で結 ぶ線 (測地 線)に

沿 っ て お こ な い,

ベ ク トル と測 地 線 の 間 の角 を

(ａ)正

の 曲 率K＞0

一 定 に保 つ の が平 行 移 動 で あ る と定 義 され る).こ の平 行 移 動P→R→Qに

よってベ ク ト

ル は Ａ の よ うな 向 き に な る. (ｃ)平

次 に Ｐ で や は り赤 道 に平 行 な ベ ク トル を子 午 線PQに

面K=0

沿っ

て Ｑ へ 平 行 移 動 させ る とベ ク

(ｂ)負

トル は Ｂ の よ うな 向 きになる.

の曲 率K＜0

図 ７ 曲面 の分 類

こ の よ う に途 中 の道 筋 に よ っ て 異 な った 結 果 に な る.   この 考 え 方 は ４次 元 空 間 の 中 の ３次 元 曲 面 とい っ た 直 観 的 な 図 に描 け な い抽 象 的 な超 曲面 の 曲 率 を数 学 的 に定 義 す るの に用 い られ る.リ ー マ ンな どが 発 展 させ た い わ ゆ る リー マ ン幾 何 学 で考 え る リ ッ チ(C.G.Ricci)の

ス カ ラ ー 曲率 は ２次 元

曲 面 の ガ ウ ス 曲率 を拡 張 した もの に な っ

図 ８  ベ ク トルの 測 地 線 に沿 う平行 移 動 (P→R→QとP→Q)

て い る.こ れ に つ い て は次 の節 で 述 べ る が,よ

り高 い 次 元 の 曲 面 を 解 析 的 に 扱 う

方 法 を述 べ る前 に,そ の 準 備 と して ふ つ うの 球 面 を調 べ て お こ う.

 球

面

  宇 宙 の 数 理 的 で一 般 相 対 論 的 な モ デル に つ い て は後 に第 ６講 で 考 察 す るが,宇 宙 が一 様 で 等 方 的 で あ り,端 の な い もの で あ る とい う要請 か ら,宇 宙 を ４次 元 空 間 の 中 の ３次 元 的 な 球 面(３ 次 元 空 間)が 時 間 的 に膨 張 過 程 に あ る とい う美 しい モ デ ル が 想 定 され る.   ふ つ うの球 面 は ３次 元 空 間 の 中 の ２次元 的 な球 面 であ る.４ 次 元 空 間 の 中 の ３次 元 的 な 空 間 とい うの は図 に描 け な い し,直 観 的 な 想 像 も及 ば な い.そ 助 け を借 りる こ とに す るが,そ

こで 数 学 の

うす る と ２次 元 も ３次 元 も特 に ちが い が な く,た

だ ３次 元 で は ２次元 よ りも数 式 が 長 くな り,見 通 しが つ け に く くな る.そ ず,ふ

つ うの 球 面(２ 次 元)に

  直 交 座 標 系(x,y,z)を

こで ま

つ い て話 を は じめ る こ とに しよ う.

使 う と半 径ａ の球 面 は (５)

で 与 え られ る.こ

の 球 面 の 上 に接 近 した ２点(x,y,z)と(x+dx,y+dy,z+dz)

を と る と,２ 点 の 間 の 距 離dl(線

素)の

２乗 は (６)

で 与 え られ る(た だ し こ こで 条 件(５)が  【 極 座 標 】 球 面 の 方 程 式(５)を

あ る).

極 座 標(a,θ,ψ) (７)

を用 い て書 き直 そ う.球 面a=一

定 の上 で(７)を

微 分す る と

(８)

これ ら を ２乗 して加 えれ ば,球 面 上 の短 い 距 離dlの

２乗 の 式 と して

(９) を 得 る.

  【立 体 射 影 変 換 】

こ こ で(７)と

同 じ(a,θ,ψ)を

用い

(10) と い う 座 標 変 換(a,θ,ψ)→ (ρ,ξ,η)を

して み よ う.こ

れは

図 ９の よ う に 球 面 上 の 点 P(x,y,z)を,球

面 の下 の端 Ｓ

(南 極)で 球 面 に接 す る 平 面 ヘ(北 極 Ｎ か ら の 直 線 で)射 影 す る 変 換(P→Q)で

あ る(立 体 射 影 と

よ ば れ る).こ

の 場 合ｘ,ｙ

軸 は

ξ,η 軸 に 平 行 で あ る と して い る.   な お こ こで

(11) で あ る.  (10)を

図 ９ 立 体 射 影(P→Q)

微分 す る と

(12) これ か ら射 影 面 上 の接 近 した ２点QQ'の

距 離 をdl'と す る と き

(13) と な る が,(10)か

ら

(14) で あ る.こ れ を利 用 す れ ば

(15) を 得 る.し

た が っ て(９)と(15)を

比 べて

(16) これが 球 面 上 の 接 近 した ２点 の距 離PP'=dlと

その 立 体 射 影QQ'=dl'の

関係であ

る.こ の場 合 の よ う に球 面 の射 影 で は

(17) で あ る こ と に 注 意 し て ほ し い.   【直 接 の 変 換 】 念 の た め 直 接 の 変 換(x,y)→(ξ,η)も

調 べ て お こ う.こ

れ は

(18)

と書 け る こ とが 容 易 に確 か め られ る.微 分 して

(19)

これ か ら

(20)

が 得 ら れ る.こ

れ は(16)と

同 じ で あ る.

 ４次 元 空 間 の ３次 元 球 面  前 節 の ふ つ うの 球 面 の 扱 い は そ の ま ま高 次 元 へ 拡 張 で き る.   ４次 元 空 間(x,y,z,w)内

の ３次 元 球 面(半 径ａ)は

(21) と書 け る.極 座 標 で 書 け ば

(22) とな る.接 近 した ２点 の距 離 をdlと

す れ ば,(21)の

制 限 の下 に

(23) とな る.  立 体 射 影 変 換 の拡 張 は

(24)

で あ り,射 影 した ２点 の距 離 をdl'と す る と

(25)

とな る.こ れ ら はふ つ うの ２次 元 的 球 面 の 自然 な拡 張 で あ る.

 

Tea

Time

 プ ラ トンの イ デ ア   旧制 中 学 の ４年 生(高 校 １年 だ った か)の 頃 だ っ た と思 う.何 とい う科 目 だ っ た か覚 えて い な い が,哲 学 じみ た授 業 が あ っ た.先 生 は 心 理 学 が 専 門 だ った よ う に覚 え て い るが,哲

学 だ った か も しれ な い.お

とな し くて 若 い 先 生 で あ った .授

業 で は ソ ク ラ テ ス とプ ラ トンの 話 を して くれ て 古 代 ア テ ネ は人 口何 千 人 が適 当 で あ る とプ ラ トンが い っ た とい う よ う な話 が あ り,プ ラ トンの 『 対 話 篇 』 の一 部 を 読 ん だ 記 憶 が あ る.そ の先 生 の 学 究 ら しい 静 け さ が 好 き で,先 生 と話 をす る た め に何 度 か 下 宿 へ お 邪 魔 した り した.   そ ん な と きに 聞 い た こ とで そ の 後 もず っ と心 に残 っ た の は プ ラ トンが 考 え た イ デ ア の 話 で あ る.プ ラ トン は幾 何 学 を重 視 し,プ ラ トンの 学 校 の 門 に は 「幾 何 学 を知 らぬ も の は入 るべ か らず 」 と書 い て あ っ た と い うが,イ デ ア の話 も幾 何 学 と 結 び つ け る とわ か りや す い.

  た とえ ば,紙 の 上 に ３角 形 を描 い た とす る.そ の ３角形 の ３つ の 辺 は 完 全 な直 線 で な く,線 に は太 さ が あ り,く わ し くみ れ ば欠 点 だ ら けで あ る.そ れ で もわ れ わ れ は ３角 形 の 図 か ら完 全 な ３角 形 とい う も の を想 像 す る こ とが で き る.円 形 の もの,球 形 の もの は身 の まわ りに た くさん あ るが,ど

れ も不 完 全 な形 で あ る.し

か しわ れ わ れ は 完 全 な 円,完 全 な球 形 を想 像 す る こ とが で き る.わ れ わ れ の つ く る もの,感 覚 で と らえ る もの は す べ て 不 完 全 で あ るが,そ れ らの う し ろに 完 全 な もの が あ る と思 う.そ れ が イ デ ア で あ る.こ れ は幾 何 学 的 な もの や 科 学 的 な もの につ い て は考 えや す く,な る ほ ど と思 わ れ る.し か しプ ラ トンの イ デ ア は もっ と 奥 深 く,感 覚 よ り も先 に あ る もの ら しい.た

とえ ば馬 の イ デ ア と い う もの が あ る

の で,不 完 全 な と ころ の あ る馬 で も それ を見 た と きに 馬 で あ る と認 識 す る こ とが で きる とい う ら し い.こ の へ ん の こ と は よ くわ か らな い.

 第 ３ 講  閉 じた 空 間,開

いた空 間

―テ ー マ

◆ 閉 じ た 曲 面 ◆ 開 い た 曲 面 ◆ 極 座 標 ◆ Tea

Time:完

全 な もの

  ２次 元 曲 面   【閉 じた 曲 面 】 こ こ ま で閉 じた 空 間(あ

る い は面)に

つ い て述 べ て きた.閉

た とい うの は端 が な い とい う こ とで, そ の 最 も標 準 的 な もの は球 面 で あ る が,こ れ は ２次 元 的 な もので ある.こ れ に対 して ア イ ン シ ュ タ イ ン宇 宙 は ３次 元 空 間が 端 を もたず に閉 じて い る の だ か ら,図 示 で きな い が,次 元 数 を落 と して 図 ９の よ うに描 い た.こ れ を少 し改 めて 図10に 再 掲 す る.開 い た 空 間 を 考 え る準 備 で あ る.   図10に

おいて 単 位 球 上 の 接 近 した

２点 Ｐ とP'の 立 体 射 影 を Ｑ お よ び Q'と す る.PP'の

距 離 をdlと

し,

図10 

射 影(P,P'→Q,Q')

じ

QQ'の

距 離 をdl'と

す る と,す

でに述べた ように (１)

の 関 係 が あ る.た だ し こ こで ρは射 影 面 上 にお け る点Q(ξ,η)と

原 点(単 位 球 の

南 極 Ｓ)と の 間 の距 離 で あ る.す な わ ち (２) した が っ てdl＜dl'で の 円 周 をlと

あ り,特

に ρ=一 定 の 円 周 をl',こ

れ に対 応 す る単 位 球 面 上

すれ ば (３)

で あ る(図11a).こ

れ は す べ て 線 素 の 式(１)に

  【開 い た 曲 面 】(１)の

つ い て の こ と で あ っ た.

分 母 で ρ2の 符 号 を 変 え た 式 を 考 え,

(４)

(ａ)閉

じた 曲 面k＞0

(ｃ)平

(ｂ)開

い た 曲 面K＜0

面k=0

図11  曲面 の分 類

と い う対 応(dl〓dl')を

考 え る こ と が で き る.こ

に ρ=一 定 の 対 応 す る 円 周 を そ れ ぞ れｌ,お

の と き はdl＞dl'で

よ びl'と

あ っ て,特

す る と (５)

で あ る.こ の 対 応 関 係 は う ま く図 示 で き な い が,し い て描 け ば図11bの

よ うに平

面 上 の点 Ｑ と鞍 形 面 上 の 点 Ｐ の 間 の 射 影 と考 え る こ とが で き る.   球 面 と鞍 形 面 の 間 に,平 面 と平 面 と の間 の射 影 (６)

が 考 え られ る.   これ らの ３つ の 場 合 を ま と め て (７)

と書 く こ とが で き る.k＞0で

あ れ ばｋ の 大 きさ に関 係 が な く球 面,い わ ゆ る正 の

曲 率 の 曲 面 に よる射 影 で あ る.k=0は

曲率 ゼ ロの平 面,k＜0は

鞍 形 で曲 率 は負 で

あ る.し たが っ てｋ の値 を (８) の ３つ に 限 っ て も よ い.

 曲 が った ３次 元 空 間   【閉 じた 空 間 】 前 節 で 考 え た こ とを拡 張 して 曲が っ た ３次 元 空 間 へ 広 げ る こ と が で き る.こ

こで対 応dl〓dl'と

して

(９)

を 考 え る.こ

こ で 第 ２講(18)を

拡 張 し た(24)の

座 標変換

(10)

を考 え る と

(11)

が 成 り立 っ.し

た が っ て(x,y,z,w)は

４次 元 空 間 の 中 の ３次 元 の 球 面 を 表 す.

  こ こで 極 座 標

(12) を用 い る と

(13) した が っ て線 素 の式 は

(14) と な る.次

の よ う な 変 換 も よ く用 い ら れ る.

(15) とお くと

(16) と な る.   さ らに 変換

(17) を お こ な え ば ４次 元 球 面(x,y,z,w)は

(18) と表 され,線 素 の 式 は第 ２講(23)の

式

(19) とな る.  【開 い た 空 間 】

(20)

とお くと

(21) とな る.こ れ は ２次 元 の 鞍 形 曲面 の 拡 張 で あ り,

(22) とお く こ とが で き る.こ の 極 座 標 を用 い る と線 素 の 式 は

(23) と書 か れ る.

 ま   前 節 で 述 べ た よ う に,同

と

め

じ宇 宙 モ デ ル で も座 標 系 の と り方 に よっ て ち が う表 現

が与 え られ る.こ こで は宇 宙 の モ デル と して空 間 的 に閉 じた 宇 宙,平

らな宇 宙,開

い た 宇 宙 の ３つ を考 え て きた が,こ れ らを ま と め て

(24)

を 標 準 的 な 表 現 と し よ う.こ は 開 い た 空 間 を 表 す.ま

こでk=1は

閉 じた 空 間,k=0は

たａ は 空 間 座 標(ξ,η,ζ)に

 

Tea

平 らな 空 間,k=-1

よ ら な い も の と す る.

Time

 完 全 な もの   自然 の 奥 に 自然 の イ デ ア はあ る の だ ろ うか.自 然 は そ れ 自身 が イ デ ア で あ る よ うな 気 が す る.イ デ ア とい う も の は人 間 の認 識 の な か にあ る の で は な い だ ろ うか. 人 間 の 見 る もの は ど こか に必 ず 欠 点 が あ る が,人 間 の考 えに あ る イ デ ア は 完 全 な 姿 を もち う る.こ れ は １つ のパ ラ ド ック ス の よ うだ.   円 は は じ ま り もな くお わ り も な く,そ れ 自身 で 閉 じて い る.球 形 は も っ と完 全 に 閉 じて い る.む か しの 人 は地 上 に あ る もの は 不 完 全 で,天 空 に あ る も の は完 全 で あ る と考 えた ら しい.し

たが って 太 陽 は完 全 な 球 で あ る.月

は い くらか 地 上 に

近 いの で や や 不 完 全 な た め に満 ち欠 け した りす る.そ

う考 え た そ うだ が,太 陽 に

黒 点 が あ る こ とを発 見 した と き は困 っ た ら し く,こ れ は太 陽 の 欠 点 で は な く,眼 の 欠 点 で あ るな ど とい っ た とい う話 を聞 い た.   しか し,い ず れ に して も完 全 な 球 形 とい うの は特 別 す ば ら しい もの の よ うに 思 え る.こ れ は 有 限 で あ っ て しか も閉 じた 形 で あ る.こ れ に対 して無 限 と い う こ と も １つ の完 全 さで あ ろ う.人 間 は完 全 な 球 と無 限 とい う両 極 端 に あ こが れ を もつ. 宇 宙 に つ い て考 え る と き もそ うだ.宇 宙 に 限 りが あ る とす る と,そ の端 の 宇 宙 と 宇 宙 で な い と こ ろの 境 界 は ど うな の か とい う こ とが 問題 に な る か ら,こ れ で は話 が 完 全 に閉 じな い.イ

ギ リス の天 文 学 者 フ レ ッ ド ・ホ イ ル(F.Hoyle)が

唱 えた

定 常 宇 宙 論 は無 限 宇 宙 で あ り,ホ イ ル は こ こに 完 全 な宇 宙 の 姿 を求 め た(ホ は2001年

８月20日

た か』 な ど のSF作

に86歳 で な くな っ た).彼

イル

は 『暗 黒 星 雲 』 『生 命 は ど こか ら き

家 と して も名 高 い.

  これ に対 して ア イ ン シ ュ タ イ ン(A.Einstein)は

４次 元 の 球 が ３次元 的 に閉 じ

た 宇 宙 を模 索 した.こ れ が ア イ ンシ ュタ イ ン の宇 宙 モ デ ル で あ る.   日本 で は完 全 な もの をお そ れ,避 て し ま った と きは,あ

け よ う とす る思 想 が あ る.完 全 な作 品 が で き

えて 一 部 に きず をつ け た とい う話 を 聞 い た.完 全 な もの は

神 か 鬼 に 通 じる とい う思 想 が あ る の で あ る.

  第４  テ

講

ン

ソ

ル

―テー マ

◆ テ ン ソル

◆ 曲率 ◆ ス カ ラ ー 曲 率 ◆ Tea

Time:Black

Cloud

 基 本 テ ンソル   簡 単 な 話 か ら は じ め よ う.２ 次 元 平 面 上 に デ カ ル ト座 標ｘ,ｙ と こ れ に 接 近 し た 点(x+dx,y+dy)と

の 間 の 距 離 をdsと

を と り,点(x,y)

す る と (１)

で あ る.ま

た,こ

れ を ２次 元 極 座 標(γ,ψ)で

表 し,距

離 をdsと

す る と (２)

と な る.   こ れ ら をｎ 次 元 の 空 間 に 拡 張 し,座 x1+dx1,x2+dx2,…,xn+dxnと

標 をx1,x2,…,xn,こ

書 き,こ

れ に 接 近 した 点 を

れ ら の 間 の 距 離ds(線

素)を

(３)

で 定 義 す る.gikは

この 座 標 系 と空 間 を定 め る量 で基 本(計

ン ソル の 定 義 は後 に述 べ る.gikが

量)テ

ン ソ ル とい う(テ

テ ン ソル で あ る こ との証 明 は省 略 す る) .上 式 で (４)

と い う 書 き 方 を し て い る.つ は,こ

ま り １つ の 項 でｉ,ｋ な ど の 添 字 が ２ つ 以 上 あ る と き

の 添 字 に つ い て 和 を と る の で あ る.こ

が は じ め た 略 記 法 で あ る.gikの

れ は ア イ ン シ ュ タ イ ン(A.Einstein)

行列式 を (５)

と し,

(６) と す る.こ

れ ら を 用 い て ベ ク トルAiか

らベ ク トルAk,ベ

ク トルAiか

ら ベ ク トル

Akを (７)

に よ っ て 関係 づ け る(Aiを 反 変 ベ ク トル,Akを

共 変 ベ ク トル と い う).gikやgik

を用 い て添 字 の 数 をへ らす操 作 を縮 約 とい う.  テ ン ソ ル の 定 義  座 標 系xiか

らx'iに 移 る とき (８)

に よ っ て変 換 され る量 Ｔ を ２階 の 反 変 テ ン ソル とい う.ま た (９)

と変 換 さ れ る も の を ２階 の共 変 テ ン ソル とい う.同 様 に混 合 テ ンソルTklは

変換

(10) に した が う(ベ ク トル も実 は 同様 の 変 換 則 に よ っ て定 義 され る量 で あ る).さ

らに

高 階 の テ ン ソル も定 義 さ れ る.

 ３  指 記 号 (11) を ３指 記 号(ク

リ ス ト ッ フ ェ ル(Christoffel)の

３指 記 号)と

い う.こ

れは テ ン

ソ ル で な い の で 特 に{}を

用 い た.

 リ ッ チ ・テ ン ソ ル

(12) を リ ッ チ ・テ ン ソ ル と い う(『 相 対 性 理 論30講

』p.146).ま

た

(13) を ス カ ラ ー 曲 率 とい う.   リ ッチ ・テ ン ソル や ス カ ラー 曲率 は基 本 テ ン ソルgijの ２階微 分 か らな る.こ の こ とか ら これ らは 曲 率 に関 係 した もの で あ る こ とが 想 像 で き る.  【 例:球

面 】 半 径ａ の球 面 を ３次 元 の極 座 標 で 表 す と

(14) た だ しx1=θ,x2=ψ

で あ り

(15) で あ る.こ

れ か ら リ ッ チ ・テ ン ソ ル を計 算 す る と

(16) と な る.ま

た

(17) で あ り,

(18) した が っ て ス カ ラー 曲率 は

(19) と な り,こ

れ は 球 面 の 曲 率 半 径ａ の ２乗 に 反 比 例 す る の で,た

て い る(球

面 の い わ ゆ る 主 曲 率 半 径 は ２ つ あ っ て 共 に1/aで

ス の 曲 率 と よ ば れ る も の は こ れ らの 積K=1/a2で の 曲 率 の ２倍(符   な お(14),(19)は

号 を 変 え た も の)に

あ る.ス

し か に 曲 率 を表 し あ り,曲

面論 でガ ウ

カ ラ ー 曲 率Ｒ

等 し い(『 相 対 性 理 論30講

はガ ウス

』p.146).

３ 次 元 空 間 の 中 の ２次 元 的 球 面(x1)2+(x2)2+(x3)2=a2に

つ い て の 式 で あ る こ と を注 意 して お こ う.  曲 率 テ ン ソ ル の 定 義 に つ い て  本 書 とシ リー ズ第 ７巻 の 『相 対 性 理 論30講 て(次 講(12)参

』で は リー マ ン の 曲率 テ ン ソ ル と し

照)

(20) を 用 い て い る.ラ

ン ダ ウ ・リ フ シ ッ ツ 著

京 図 書,1978)を

は じ め,こ

  し か し(20)に

『場 の 古 典 論 』(恒 藤 敏 彦 ・広 重 徹 訳,東

れ に し た が っ た 本 が 多 い.

マ イ ナ ス を つ け た も の('Rαijkと

書 こ う)す

なわち

(21)

を リー マ ン曲 率 の 定 義 と した 本 も少 くな い.た 山 龍 雄 訳,講

談 社,1974)は

と えば パ ウ リ著 『相 対 性 理 論 』(内

これ を 用 い て い る.

  さ らに本 書 や 『相 対 性 理 論30講

』 で は,リ

ッチ ・テ ン ソル と して(α=kで

縮

約 した)

(22) を 用 い て い る(本

講(12)参

照).

  これ に 対 し て リ ッ チ ・テ ン ソ ル を(α=jで

縮 約 し た)

(23) で 定 義 して い る本 もあ る.   これ らの リ ッチ ・テ ン ソル を使 う と重 力 場 の 方 程 式 は

(24)

とな る.種 々 の本 を 合 わ せ て読 む と き は この よ うな点 に注 意 しな けれ ば な らな い.

  Tea

 B lack

Time

Cloud

  ホ イ ル(Fred  Hoyle)が

書 い たSF小

説 『 暗 黒 星 雲 』 の 名 は天 文 学(天 体 物 理

学 とい っ た 方 が い い だ ろ うが)で 大 問題 に な っ て い る暗 黒 物 質(dark  matter)と ま ぎ らわ しい.も

ち ろん これ らは全 く別 の もの で あ る(と 思 う).ホ

イル の本 の も

との 名 は"Black  Clou  d"だ った(定 冠 詞 が つ い て い た か ど うか は覚 えて い ない が).   ノル ウ ェ ー に１ 年 い た と き,ノ ル ウ ェ ー の 友 人 が読 み な さい とい っ て この本 を 貸 して くれ た.こ

の小 説 の ス トー リー を紹 介 す る と,こ れ は ノル ウ ェ ー や イ ギ リ

ス な ど の天 文 台 を舞 台 に した フ ィ ク シ ョ ンで あ る.望 遠 鏡 で夜 空 を見 て い た天 文 学 者 が 得 体 の 知 れ な い天 体 が 地 球 に近 づ い て くる の を発 見 す る.そ れ は黒 く,太 陽 系 の 一 部 をお お うほ ど大 き く広 が っ た何 者 か で あ る.天 文 学 者 は それ が 発 す る 電 波 か ら,こ の 天 体 が高 い 知 能 を もつ生 き物 で あ っ て,太 陽 の エ ネ ル ギ ー を も ら い に太 陽 系 へ や っ て きた こ とが わ か る.し か し そ の た め に太 陽 と地 球 の間 に この 天体 生 物 が 入 っ て くる と太 陽 の 光 を さ え ぎ られ る た め に地 球 上 の生 物 に は は か り 知 れ な い被 害 が 生 じる こ とが 明 らか で あ る.幸 い な こ と に この天 体 は人 知 を大 き く超 え る知 能 を もっ て い て,す 能 に な る.結 局,こ

ぐに人 間 の 言 葉 を理 解 し,人 間 との 間 に会 話 が可

の天 体 は 地 球 の人 間 の 申 し入 れ を 聞 い て,地 球 に被 害 が 生 じ

な い よ う に太 陽 系 を去 っ て宇 宙 の か な た へ行 って し ま うの で あ る.メ デ タ シ,メ デ タ シ.し か し その 間 に ノ ル ウ ェー の 天 文 学 者 が つ ま らな い事 故 で死 ん だ りす る 気 の 毒 な挿 話 も は さ まれ る.   い つ だ っ た か ア メ リカ の大 学 の キ ャ ンパ ス を 散 歩 して い た と きに生 協 の よ う な と こ ろで た また ま ホ イル の本 を見 つ け て買 っ た こ とが あ った.そ れ はEncounter with the Future(初

版1965,Simon

あ る.そ の 中 の１ 章"The

and Schuster,N.Y.)と

Anatomy of

Doom"(「

い うエ ッセ イ 集 で

運 命 の 構 造 」 とで も訳 す か)

を見 る と人 間 の将 来 の 大 問 題 は人 口の 爆 発 的 な増 加 で あ る と し て い る.そ 界 の総 人 口 は約300年

ご とに お こ る世 界 大 戦 に よ って20億

と200億

して 世

ぐらいの間 を

振 動 的 に 経 過 す る だ ろ う とい う,お そ ろ し い予 言 まで して い る.   ノ ル ウ ェー の友 人 に さ そわ れ て劇 場 へ 芝 居 を見 にい っ た こ とが あ る.有 名 な物 理 学 者 が 何 人 か,独

裁 者 に と じ込 め られ て 生 活 して い る話 だ った よ うに記 憶 して

い る が,芝 居 は ノ ル ウ ェー 語 だ っ た の で くわ しい こ と はほ とん どわ か らなか った． 最 近 の雑 誌 「図 書 」(岩 波 書 店,2001年９

月号)で,第２

次 大 戦 後 ハ イ ゼ ンベ ル ク

(W.K,Heisenberg)ら９

名 の ドイ ツの 学 者 が,イ ギ リス に集 め られ た とい う話 を

読 ん だ(長 谷 川 眞 理 子 『英 国 科 学 者 史 跡 ガ イ ド』).す べ て の部 屋 に盗 聴 器 を つ け て 彼 ら の話 か ら,ナ チ ス が 原 爆 を つ くれ な か っ た 理 由 を探 ろ う と した.こ 居(マ

イ ケ ル ・フ レイ ン 「コペ ンハ ー ゲ ン」)に な って い る そ うだ が,私

居 と は別 の もの か も しれ な い.

れは芝

の見 た芝

 第 ５ 講  球 面 の 曲 率 テ ン ソ ル

―テー マ

◆ ２次 元 球 面 ◆ リ ッ チ ・テ ン ソル ◆ ス カ ラ ー 曲率 ◆ ア イ ン シ ュ タ イ ン 空 間 ◆ Tea

Time:非

ユ ー ク リ ッ ド幾 何

 曲 率 テ ン ソル   前 講 で テ ン ソル につ い て や や 一 般 的 な 説 明 を した.本 講 で はふ つ うの 球 面(２ 次 元)を

例 に して リ ッチ ・テ ン ソル,平 均 曲 率 を調 べ て み よ う.ま ず 球 面 上 の線 素

dlを

(１)

と す る.こ

こ で 基 本 テ ン ソ ルgα βは (２)

と書 け る.た

だ し,δαβは ク ロ ネ ッ カ ー の 記 号.

  gαβの 行 列 式 は 形 式 的 に (３)

であ り (４)

すなわち (５) で あ る.   以 上 の 式 を 用 い て リ ッ チ ・テ ン ソ ルRα β と ス カ ラ ー 曲 率 Ｒ を 求 め る と (６)

で あ る こ とが 示 さ れ る.   【証 明 】 まず(１)を

(７)

と書 こ う.さ

らに (８)

と 書 く.３

指 記 号 は(τ=1,2,3),第

４講(11)に

よ り

(９) で あ り,

(10)

(11)

な ど で あ る.こ

れ ら を 用 い て リ ー マ ン の 曲 率 テ ン ソ ル(リ ー マ ン ーク リ ス ト ッ フ ェ

ル の 曲 率 テ ン ソ ル)Rα

βγτ を計 算 す る と

(12) こ れ を α=τ で 縮 約 す る と リ ッ チ ・テ ン ソ ル と し て

(13) が 得 ら れ る.   い ま の 場 合 は(１)に 参 照)で

よ り,考

え て い る 球 面 は ふ つ う の 球 面 の 次 元 はn=2((7)

あるか ら

(14) で あ る.し

た が っ て この 場 合 は

(15) で あ り,ス

カ ラ ー 曲率 は

(16) と な る.

 【注 意 】 この よ うに ３次 元 空 間 の 中 の ２次 元 の 球 面 で は,ス カ ラー 曲 率 Ｒ は ガ ウス 曲率K=1/α2の

２倍(符

号 を 変 えた もの)に 等 しい.

  一 般 のn+1次

元 空 間 の 中 のｎ 次 元 の 球 面 で は(13)に

お い て δα α=nで

あ り,リ

ッ チ ・テ ン ソ ル は

(17) で あ り,ス

カ ラー曲率 は

(18) に 等 し い.   (17)の

よ う に リ ッ チ ・テ ン ソ ルRβγ が 基 本 テ ン ソ ルgβγに 比 例 す る 場 合,こ

面 の 空 間 を ア イ ン シ ュ タ イ ン 空 間 と い う.こ

の球

の 空 間 は ス カ ラ ー 曲 率 が ど こ で も一

定 で あ る と い う 著 し い 性 質 を も っ て い る.

 

Tea

Time

  非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何

  ユ ー ク リッ ド幾 何 学 は平 面 の上 に描 い た図 形 の 幾 何 学 で あ る.平 面 に有 限 な ３角 形 を描 け ば,内 角 の和 は ２直 角 に な る よ う に見 え る.こ れ を公 理 化 した 平行 線 の 公 理 は約 千 年 の 間 真 実 と思 わ れ て き た.こ れ が 疑 わ れ る よ うに な っ た の は 大 数 学 者 ガ ウ ス の 頃 か らで あ る.   ガ ウ ス(C.F.Gauss)は る こ と に気 が つ い た.し

平 行 線 の公 理 を捨 て て も矛 盾 の な い 幾 何 学 が 構 成 で き か しす べ て の人 が 唯 一 の もの と信 じて い る ユ ー ク リッ ド

幾何 以 外 の 幾 何 が あ る な ど とい っ た ら,大 さわ ぎ に な る に ちが い な い と思 って あ えて これ を発 表 し な か っ た.ガ

ウ スが どの よ う な証 明 を した の か 知 ら な い が,お

そ ら く当 時 の数 学 の レベ ル とし て は理 解 し に くい 証 明 だ った の だ ろ う.   ほ とん ど同時 に ボ ヤ イ(ボ Lobatchevsky)が

リア イ(Bolyai

Janos))と

ロバ チ ェ フス キ ー(N.I.

独 立 に 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 を発 表 した.こ の 話 は有 名 な の で省

略 す る.  彼 らが 発 見 した の は,「 与 え られ た 直線 外 の １点 を通 り,そ の 直 線 に平 行 な 直線 が ２本 以 上 引 け る と して も幾 何 学 が で き る」 とい うこ とで あ っ た が,こ

れが本当

に矛 盾 の な い 幾 何 で あ る こ との証 明 は別 の人 た ち が した とい わ れ て い る.こ の 証 明 は少 しむ ず か しい の で,も

う １つ の 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 を さ き に述 べ よ う.

  そ れ は 「与 え られ た 直 線 外 の １点 を通 り,そ の直 線 に平 行 な直 線 は １本 も な い 」 とい う もの で リー マ ン(G.F.B.Riemann)に

よ っ て気 付 か れ た もの で あ る(こ れ

は リー マ ン幾 何 学 とい わ れ て い る もの と異 な る).こ れ は球 面 上 の 非 ユ ー ク リッ ド 幾 何 とよ ば れ る こ とが あ るが,そ

れ は球 面 上 の 幾 何(球 面 幾 何)が

この 非 ユ ー ク

リ ッ ド幾 何 の モ デル を与 え るか らで あ る.こ れ に つ い て述 べ よ う.   球 面 を考 え,そ の 上 の任 意 の ２点 を Ｐ お よび Ｑ とす る(球 面 の 中心 Ｏ と Ｐ お よ び Ｑ を通 る平 面 が 球 面 と切 り合 う 曲 線 を大 円 とい う と,Ｐ と Ｑ を結 ぶ 球 面 上 の 曲線 で 最 短 の もの(測 地 線)は PQを

通 る大 円の 弧 で あ る).球 面 を平

面 に,球 面 上 の 大 円 を平 面 上 の直 線 に 対 応 させ る.そ うす る と ２本 の 直 線(大 円)は 必 ず 交 わ る こ とに な り,球 面 幾 何 は平 行 線 を もた な い非 ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 の モ デ ル と な る.   こ の よ うな モ デ ル を ボ ヤ イ とロバ チ ェ フ ス キ ー の 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 に対 して も考 え る こ とが で き る.こ れ は鞍 形 の 曲 面 を平 面 に,こ の 曲面 上 の ２点 を結 ぶ 最 短 曲 線(測 地 線)を

直 線 に対 応 させ るモ デ ル で あ る.

  こ の他 に も非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 を わ か りや す く納 得 させ る よ うな モ デ ル が い く つ か 考 え られ て い る.幾 何 を抽 象 的 な 公 理 系 とみ れ ば,何

を直 線 と よぶ か,何

を

２本 の 直 線 の 間 の 角度 とよぶ か に よ って い ろい ろ な幾 何 が つ くれ る わ け で あ る.曲 面 を球 面 や 鞍 形 曲 面 に限 らな い で 任 意 の な め らか な 曲 面 上 の 幾 何 を考 え れ ば,い わ ゆ る リー マ ン幾 何 学 の モ デ ル が つ くられ る.

 第 ６ 講  重 力場 の 方程 式

―テー マ

◆ 重 力 場 の 方 程 式 ◆ エ ネ ル ギ ー 運 動 量 テ ン ソ ル ◆ Tea

Time:K.シ

ュワル ツシル ト

 重 力 場 の 方 程 式(１)  ア イ ン シ ュ タ イ ン の重 力 場 の 方 程 式 は(い わ ゆ る宇 宙 項 を除 く と)

(１)

と 書 け る(『 相 対 性 理 論30講 カ ラ ー 曲 率 で あ り,上 し て 右 辺T=ik(エ (f=Gmm'/γ2)定

』p.180).こ

こ でRikは

リ ッ チ ・テ ン ソ ル,Ｒ

はス

式 の 左 辺 は 重 力 に よ る 時 空 の ゆ が み を 与 え る 式 で あ る.そ

ネ ル ギ ー 運 動 量 テ ン ソ ル)は 重 力 の 源 に な る 量 で,Ｇ

を万 有 引 力

数 と して

(２)

で あ る.こ れ は重 力 場 の 方 程 式(１)が,重 を表 す ポ ア ソ ン の 方 程 式

力 の弱 い とき にニ ュー トンの万 有 引力

(３) と 一 致 し な け れ ば な ら な い こ と か ら き め ら れ た.こ −Gmm'/γ2(Ｇ

は 万 有 引 力 の 定 数)と

重 力 の 場 合(ニ

ュ ー ト ン近 似)で

こ で 万 有 引 力 の 法 則 をf=

し た と き の ポ テ ン シ ャ ル がΦ

で あ り

,弱

い

は (４)

で あ り,(１)は

こ の と き(３)に

な る.

 エ ネ ル ギ ー 運 動 量 テ ン ソ ル   物 質 部 分 に 対 し て 瞬 間 的 に 静 止 し た 座 標 系(x0=ct,x1=x,x2=y,x3=z)を と り,物

質 を完 全 流 体 とす る と

(５)

とな る.た だ し こごで ρ は流 体 の密 度,ρc2は 静 止 流 体 の エ ネ ル ギ ー密 度,ｐ は こ の座 標 系 で の圧 力 で あ る.   これ を一 般 座 標 系 へ 変 換 す れ ば

(６)

とな る.こ こでuiは

流 体 に対 す る座 標 系 の ４元 速 度 (７)

を 表 す(『 相 対 性 理 論30講   (３)あ

る い は(６)は,流

』p.170). 体 力 学 に お け る 完 全 流 体 の 方 程 式 を テ ン ソル 形 式 で 書

く こ と に よ っ て 導 か れ る も の で あ る.Tikを(６)の

よ う に 与 え た と き,Tijはgｊｊk

を 用 い て 添 字 を 上 下 さ せ て 求 め ら れ る(『 相 対 性 理 論30講

』p.171,213).こ

の変

換は (８)

で あ る が,座 標 系 に対 し流 体 は静 止 し て い る とす る の で座 標(α=1,2,3)と 座 標(i=0)に

時間

対し (９)

で あ る.さ

らに

(10) で あるか ら

(11)

これ ら を ま とめ る と

(12)

とな る.   (６)に 比 べ て(12)の

方 が簡 単 な ので,重

力 場 の方 程 式 を扱 うに は(９)の

方が

い くらか 便 利 な こ と もあ る.  重 力 場 の 方 程 式(２)  重 力場 の 方 程 式(１)にgikを

掛 け て縮 約 す る と各 項 は

(13) と な り(Ｒ

は ス カ ラ ー 曲 率),(１)は

(14) を 与 え る.こ

れ に1/2gikを

掛 け て(１)に

加 えれ ば

(15) とな る.こ れ は重 力 場 の 方 程 式(１)の  (１)にgjiを

別 の 表 し方 で あ る.

掛 ける と

(16) に よ り,混 合 テ ン ソル で 表 した重 力場 の 方 程 式

(17) を 得 る.ま

た(15)か

らは 同様 に し て

(18) を得 る.こ れ ら はす べ て 同 等 な重 力場 の 方 程 式 で あ り,場 合 に よ っ て便 利 な もの を用 いれ ば よい.

 

Tea

Time

 Ｋ.シ ュ ワ ル ツ シ ル ト

  カ ー ル ・シ ュ ワル ツ シル ト (Karl Schwarzschild,1873‐1916)は

アイ ンシュタ

イ ンの 重 力 場 方 程 式 の厳 密 解(特 殊 解)を は じ め て与 え た 人 と して 有 名 で あ る.第 １次大 戦 に志 願 従 軍 して病 気 で 急死 した.こ れ か ら彼 は 若 くて す ば ら しい研 究 を し て 亡 くな っ た と思 わ れ そ うで あ る が,実 は ア イ ン シ ュ タ イ ン(A,Einstein,1879‐ 1955)よ

り も年 上 で あ っ た し,多 方 面 の研 究 を し て い た 中 年 の学 者 で あ った.彼

はゲ ツチ ン ゲ ン大 学 教 授 ・天 文 台 長,ポ 学者,数

ツ ダム 天 体 物 理 観 測 所 長 を つ とめ,天 文

理 物 理 学 者 と して 多 岐 に わ た る業 績 を挙 げ て い た.

  重 力場 方 程 式 は1915年11月

に完 成 に近 づ い て い た が,ア

イ ン シ ュ タ イ ン は近

似 方 法 で 太 陽 に よ る光 の湾 曲 と水 星 の近 日点 の 移 動 の値 を予 言 ・算 出 した.こ の 頃彼 は まだ 完 全 に正 しい 方 程 式 に到 達 して い なか っ た の で あ る が,近 似 計 算 で 幸 い に 正 し い数 値 を得 た の で あ る.そ て い る.

して11月25日

に は 正 し い重 力 場 方 程 式 を得

  この よ うな ア イ ン シ ュ タイ ンの 努 力 と平 行 して シ ュ ワル ツ シル トは この 方 程 式 の 厳 密 解 を模 索 して いた と思 われ る.1916年 １月16日 に 当時 ロシ ア戦 争 に いた シ ュ ワル ツ シ ル トにか わ っ て,ア イ ン シ ュ タ イ ンは シ ュ ワル ツ シル トの 厳 密 解 を プ ロ シ ア ・ア カ デ ミー で報 告 して い る(パ イ ス 『神 は老獪 に して … 』産 業 図 書,p .324). つ い で ２月24日

は シ ュ ワル ツ シ ル トの 別 の論 文(内 部 解)を 報 告 し,５ 月11日

に

戦 病 死 した彼 を 追 悼 して い る.   さて,ア イ ン シ ュ タ イ ン生 誕 百 年 祭 が あ った 前 の 年 だ った か と思 うが,筆 者 は た また ま プ リン ス トン大 学 の数 学 教 室 で ク ル ス カル 教 授(M.D.Kruskal,重 力場 方 程 式 に対 す る ク ル ス カ ル 時 空 や ソ リ トン の 発 見 で も知 られ て い る)な

どの 前 で

非 線 形 格 子 力 学 に つ い て話 を した こ とが あ っ た.話 が 終 わ った と き,１ 人 の そ う若 くな い人 が 話 しか け て きて,研 究 室 へ 誘 わ れ た.彼

の名 は マ ー テ イ ン ・シ ュ ワル

ツ シ ル トと い い,カ ー ル ・シ ュ ワル ツ シ ル トの 息 子 で あ った .「 私 は父 の よ う な才 能 が な い の で,あ

る対 称 性 を もっ た銀 河 の 中 の星 の 運 動 を調 べ て い ます 」 と い う

よ う な こ と を話 し て くれ た の で カオ ス 現 象 な どが話 題 に な っ た.静 か な人 で あ っ た.   昨 年 偶 然 手 に 入 れ た 本(ゴ 278)に

ー ル ドス ミ ス 『宇 宙 を 見 つ め る 人 た ち 』新 潮 文 庫,ｐ.

マ ー テ ィ ン ・シ ュ ワ ル ツ シ ル トの こ と が 書 い て あ る の を 発 見 し た .そ

れに

よ れ ば,「 星 の 内 部 で 重 要 な 役 割 を 果 た し て い る核 融 合 サ イ クル を 発 見 した の が ハ ン ス ・べ ー テ(H.A.Bethe)だ

と す れ ば,マ

仲 間 た ち が や ろ う と し た の は,そ を くわ し く計 算 す る こ とだ っ た.…

ー テ イ ン ・シ ュ ワ ル ツ シ ル ト と そ の

の 融 合 炉 の 中 で は い っ た い 何 が 起 こっ て い る か … シ ュ ワ ル ツ シ ル トの 成 功 は 完璧 だ っ た.…

…

べ ー テ の 炭 素 サ イ ク ル は 温 度 に よ っ て 反 応 速 度 が 大 き く変 化 す る こ と が わ か っ た . … … 」 とい う こ とで あ る

.

 第 ７ 講  宇

宙

論

―テー マ ◆ 宇 宙 観 ◆ 一 般 相 対 論 ◆ ア イ ン シ ュ タ イ ン宇 宙 ◆ Tea

Time:ユ

ダヤ 系の学 者

 宇

宙

 本 講 の 前 半 で は 一 般 相 対 性 理 論 に も とづ く宇 宙 論 を扱 う.ま ず,宇

宙 に関 係 し

た 物 理 学 に は次 の ２つ の流 れ が あ る.  ① 天 文 学:天 体 の 運 動,恒 星 の 変 化 な ど,宇 宙 に 見 られ る諸 現 象 を個 別 的 に研 究 す る.  ② 宇 宙 論:宇

宙 全体 をそ の あ り方,す な わ ち １個 の有 機 的 存 在 と して考 察 す る.

 星 の構 造,成 長,変

化,寿 命 な どの研 究 は ① に属 し,宇 宙 全 体 の構 造,変

化な

  こ こで 扱 う の は 主 に ② の意 味 の 宇 宙 論 で あ る.こ れ は そ の他 の物 理 学,あ

るい

ど は ② に属 す る.

は科 学 と異 な る 点 が １つ存 在 す る こ と も注 目 され る.そ れ は,他 の 科 学 分 野 が 扱 う対 象 は きわ め て 多 数 の類 似 の もの や 現 象 で あ るの に対 し,宇 宙 は お そ ら く この 世 に唯 １つ しか 存 在 し な い と思 わ れ る研 究 対 象 で あ る.こ の世 に唯 １つ しか な い もの を研 究 す る の が 科 学 で あ る か ど うか は議 論 を よび そ うな事 柄 で あ る.宇 宙 の 現 状 を観 測 し,そ

こか ら将 来 の 変 化 を予 測 し あ る い は 過 去 を推 測 す る こ と は他 の

科 学 と同様 で あ る.し か し,宇 宙 に 関 す る現 在 の わ れ わ れ の知 識 は きわ め て 限 ら れ て い て,わ れ わ れ は宇 宙 の 瞬 間 的 な 断 面 を見 て い る にす ぎ な い.こ れ か ら先 に どの よ うな情 報 が 遠 方 の 星 か らの 光 な ど に よ っ て もた ら され る か ， 予 測 す る こ と す らで きな い わ けで あ る.た

とえ ば １億 光 年 の距 離 に あ る星 を望 遠 鏡 で 見 る とき,

わ れ わ れ が 得 る の は その 星 の １億 年 前 の情 況 に つ い て の 知 識 で あ る.宇 宙 の 果 て の 百 数 十 億 光 年 以 上 の 遠 方 が ど うな っ て い る の か， わ れ わ れ は何 も知 っ て い な い が,そ の遠 方 の宇 宙 の地 平 か らは つ ぎつ ぎ と新 しい情 報 が入 っ て くるの で あ る.宇 宙 論 は宇 宙 の地 平 の か な た に も これ まで と同 じ よ うな宇 宙 が 広 が っ てい る とい う, 怪 しげ な仮 説 を前 提 に し な け れ ば 成 立 し得 な い もの で あ る(他 の科 学 につ い て も 同 様 な こ とが い え な く も な い.物 理 法 則 の す べ て が明 日は ひ っ く り返 ら な い と も 限 らな い と い え る か も しれ な い.し か し これ らの 場 合 の"程 度"の 差 は無 視 で き な い だ ろ う).

 一般 相 対 性 理 論 と宇 宙 論   ア イ ン シ ュ タ イ ン(A.Einstein)が

一 般 相 対 性 理 論 を完 成 させ た の は1915年

で

あ った.こ の とき彼 は水 星 の近 日点 の移 動 に対 す る一 般 相 対 論 的 効 果 を説 明 し,太 陽 の 重 力 に よ り遠 方 の星 か らの 光 が 曲 が る こ と を予 言 した(こ れ は1919年

に検 証

され た).   1905年 に提 出 され た特 殊 相 対 性 理 論 は慣 性 系 ど う しの間 で成 り立 つ時 間 ・空 間 の 変 換 規 則 を述 べ た もの で あ る.慣 性 系 と は慣 性 の 法 則 が 成 り立 つ 座 標 系 の こ と で,重 力 が 無 視 で き る と き １つ の 慣 性 系 に対 して 一定 の 速 度 で運 動 し て い る座 標 系 も慣 性 系 で あ る.こ れ らの座 標 系 の 間 の 変 換 は簡 単 にい え ば直 線 座 標 系 の 幾 何 学 的 な 座 標 変 換(ロ ー レ ン ツ変 換)で あ り,こ れ の み で全 時 空 が お お わ れ る と き, これ を ミン コ フ ス キ ー 時 空 とい い,時 空 は 平 らで あ る とい う.物 理 的 に は,ロ ー レ ン ツ変 換 は光 速 度 を不 変 に保 つ 変 換 で あ って,式

で書 け ば (１)

を 不 変 に 保 つ 変 換 で あ る.dsは x+dx,y+dy,z+dz)の 本 も あ る).

２つ の 時 空 点(ct,x,y,z)と(ct+d(ct),

間 の 時 空 的 距 離 を 意 味 す る((１)の

右 辺 の 符 号 を変 えた

  一 般 相 対 性 理 論 で は,慣 性 系 も慣 性 系 で な い任 意 の 座 標 系 で もす べ て 同 等 で あ り(た だ し座 標 系 は 連 続 で な め らか で あ る とす る),基 礎 的 な物 理 法 則 は あ らゆ る 座 標 系 で 同 じ形 を とる こ と を要 請 す る.こ れ は一 般 共 変 原 理(一 よば れ る もの の 内 容)と

般相 対 性 原 理 と

よば れ る.重 力 が 全 くな い空 間 で は全 時 空 を ミン コ フ ス

キ ー時 空 とす る直 線座 標 系 を選 ぶ こ とが で き る(こ の時 空 は平 らで あ る).   一 般 相 対 性 理 論 で は,慣 性 系 で な い座 標 系 で 現 れ る慣 性 力(遠 心 力 や コ リオ リ 力)を 重 力 と同 等 視 す る(等 価 原 理).し

か し慣 性 力 は 全 空 間 に一 様 に はた ら き,

適 当 な座 標 系 で は消 滅 す るの に対 し,星 な どの物 質 に よ る本 当 の 重 力 は場 所 に よ っ て 強 さ方 向 が 異 な り,全 空 間 で これ が 消 え る よ うな ミン コ フス キ ー 直 線 座 標 系 を見 出 す こ と は不 可 能 で あ る.た だ し小 さな 領 域 に分 けれ ば各 領 域 で 重 力 と慣 性 力 が 消 滅 す る よ う な座 標 系(局 所 慣 性 系)を

選 ぶ こ とが で き る.こ の 意 味 で 重 力

と慣 性 力 と は局 所 的 に同 等 視 で き るの で あ る.   局 所 慣 性 系 を つ な ぐ こ とに よ っ て全 時 空 を お お う こ とは で き る.こ れ は 測地 線 座 標 系 と よ ばれ,つ

ぎつ ぎ と最 短 距 離 を つ な ぐ曲線 群 で あ り,物 体 の 運 動 経 路 を

与 え る もの で あ る.こ の座 標 系 を とれ ば 重 力 の た め に生 じる 時 空 の ゆが み が明 ら か に示 され る.   テ ン ソル,重 力 場 の 方程 式 につ いて は第 ４講 以 下 で す で に い くらか述 べ たが,こ こで ま とめ て お こ う.   一 般 相 対 性 理 論 で は時 空 の様 子 を記 述 す る の に 曲 線 座 標 系 を用 い る の が 一 般 で あ る.こ の とき座 標 をｘ,ｙ,ｚ,ctと

書 か ず にx1,x2,x3,x0と

書 き表 す.上 肩 に

添 字 を つ け るの は これ らが 反 変 ベ ク トル と し て の 変 換 規 則 に した が う こ とを 示 し て い る.こ の ベ ク トル は 変換(x1,x2,x3,x0)→(x1',x2',x3',x0')が (２)

に した が う もの で あ る.こ れ を拡 張 した 変 換 規 則 (３) に し た が う量Arsを

２ 階 反 変 テ ン ソ ル と い う(２ 階 と い う の は ２つ の 添 字γ,ｓ

も つ か ら で あ る).同

様 に ３ 階 以 上 の テ ン ソ ル も 定 義 さ れ る.な

お変 換 規 則

を

(４)

に した が う量Brsを

２階 共 変 テ ン ソル とい う.反 変 ・共 変 の ま じっ た テ ン ソル も使

わ れ る こ とが あ る.   質 点 の運 動 を扱 うニ ュー トン力 学 の 運 動 方 程 式 はベ ク トル 方程 式,す

なわ ち 方

程 式 の両 辺 が ベ ク トル で あ る.こ れ と同 等 に テ ン ソル の 方 程 式 で は そ の 両 辺 が 同 じ種 類 の テ ン ソル で な け れ ば な らな い.一 般 相 対 性 理 論 の方 程 式 の共 変 性 は そ れ が テ ン ソ ル方 程 式 で あ る こ と に よ っ て保 証 され る.こ れ が 一 般 相 対 性 理 論 で テ ン ソル が 用 い られ る理 由 で あ る.も っ と むず か しい もの を使 う理 論 も考 え られ るで あ ろ うが,一 般 相 対 性 理 論 で は比 較 的簡 単 な量 で あ るテ ン ソ ル を用 い る と い う選 択 を した こ とに な る.も っ とむ ず か しい もの を使 わ な けれ ば な ら な い理 由 は,今 まで の と ころ見 出 され て い な い よ うで あ る.   な お 一 般 相 対 性 理 論 で は(２),(３)な

ど にお け る和 の 記 号 Σ を省 略 して (５)

な ど と書 く.同 じ式 の 中で 同 じ添 字 が ２つ あ る と きは,そ れ に つ い て の和 を と る 約 束 で あ っ て,ア イ ン シ ュ タ イ ンの 略 記 法 と よ ばれ て い る.   流体 力 学 の 応 力 や 流 れ の場 や 電 磁 気 学 の 電 磁 場 もテ ン ソル で 書 か れ る.一 般 相 対 性 理 論 も重 力 場 とい う場 を扱 うの で,そ の 基 礎 方 程 式 もテ ン ソル で 書 か れ て い る の で あ る.  記 述 座 標 系 と宇 宙 モ デ ル   ー 般 相 対 性 理 論 で は時 空 は一 般 にゆがんでい るので 時 空 内 の ２点(x0,x1,x2,x3) と(x0+dx0,x1+dx1,x2+dx2,x3＋dx3)の

距 離ds(線

素 と い う)を((１)に

代

わ る式) (６) で 表 す.こ

こで (７)

は計 量 テ ン ソル あ る い は基 本 テ ン ソル とよば れ る テ ン ソル で あ る.距 離dsは

座標

系 の 選 び 方 に よ らな いか ら,座 標 変 換 は上 式 の(ds)2を

不 変 に保 つ もの で あ る こ と

が 要 請 され る.   座 標 系(x0,x1,x2,x3)は

わ れ わ れが 宇 宙 を観 測 しデ ー タ を記 述 し,あ るい は予

測 す るた め に設 定 して 基 準 とす るい わ ば便 宜 的 な もの で あ る.十 分 な観 測 を お こ な え ば,わ れ わ れ は計 量 テ ン ソルgijに 対 す る知 識 を 得 る こ とが で き るで あ ろ う.   他 方 で わ れ わ れ は重 力 場 の 理 論,す を も っ て い る.こ

なわ ち ア イ ン シ ュタ イ ンの 重力 場 の 方 程 式

れ は

(８)

と書 か れ る.こ

こでRijは 時 空 の ゆ が み(曲 率)を

その １階 お よび ２階 の 微 分 を含 み,Ｒ 辺 のTijは

表 す リ ッチ ・テ ン ソル でgijと

は これ か ら導 か れ るスカ ラー 曲 率 で ある.右

エ ネ ル ギー 運 動 量 テ ン ソル で物 質 が 時 空 の ゆが み の源 とな る こ とを この

方程 式 は示 して い る.   この 重 力 場 の 方 程 式 は適 当 な 初 期 条 件 と境 界 条 件 お よ び物 質 分 布 の 下 で解 か れ るべ き性 質 の もの で あ る.し か しわ れ わ れ は宇 宙 の 果 て が どう な っ て い るか とい う境 界 条 件 を知 らな い.ま

た初 期 条 件 に して も,ア イ ン シ ュ タ イ ン が は じ め て一

般 相 対 性 理 論 を宇 宙 論 に適 用 した1922年

に は宇 宙 は静 的 な もの と思 わ れて いた(天

界 は不 変 とい う古 来 の 思 想 に も合 致 す る).   彼 が そ の 際 に考 え た宇 宙 は次 の よ うな もの で あ った.大

きな ス ケ ー ル で見 れ ば

宇 宙 は ど こ も同 じ状 態 に あ り,物 質 の分 布 は一 様 で 等 方 的 な流 体 の よ う な もの で あ り,時 間 的 に も変 化 しない.こ の仮 定 の 下 で 彼 は重 力 場 の方 程 式(８)の

解 を求

め,４ 次 元 空 間 の 中 で 一 様 に 曲 が っ て 閉 じ た 球 面 を な す 宇 宙 モ デ ル(ア

インシ

ュ タ イ ン宇 宙)を 得 た .こ れ は現 在 わ れ わ れ が も っ て い る宇 宙 に関 す る知 識 と合 わ な いが,そ

の 後 に提 出 され た 種 々 の宇 宙 モ デ ル に 先 行 す る典 型 的 な幾 何 学 的 モ

デ ル とし て興 味 深 い もの で あ る.

 

Tea

Time

 ユ ダヤ 系 の 学 者   第 ２次 世 界 大 戦 の と き に 多 く の 人 が ヨ ー ロ ッパ か ら 北 ア メ リ カ へ 逃 れ た.ア ン シ ュ タ イ ン は ドイ ツ か ら,フ

ェ ル ミ は イ タ リ ー か ら ア メ リ カ へ 渡 っ た.多

ナ チ ス に よ る ユ ダ ヤ 迫 害 の た め で あ っ た.こ 数 学 者,物

とに著 しい の は優 秀 なハ ンガ リー の

理 学 者 の 亡 命 で あ っ た と い う 人 も い る.量

や 電 子 計 算 機 の 発 明 で 有 名 な ノ イ マ ン(J.von 物 理 学 者 の ウ イ グ ナ ー(E.Wigner),原

子物 理 学 の 数 学 的 基 礎 づ け

Neumann)や

ウ ラ ム(S.M.Ulam),

子 力 開 発 を 進 め た テ ラ ー(E.Teller),フ

ィ ク シ ョ ン 「イ ル カ 放 送 」 な ど で も有 名 な シ ラ ー ド(L.Szilard)な ー か ら ア メ リカ へ 渡 っ た

.た

どが ハ ン ガ リ

し か に 多 い こ と は 多 い.

  統 計 資 料 を も た な い か ら 強 く主 張 は で き な い が,何 で,ハ

か の 原 因 で,あ

ン ガ リ ー に は ユ ダ ヤ 系 の 学 者 が 多 か っ た の で は な い だ ろ う か.ハ

は ア ジ ア の フ ン族 の 子 孫 が つ く っ た 国 で,む か ろ う か.そ

イ くは

るい は偶 然 ンガ リー

か しか ら多 民 族 国 家 だ っ た の で は な

し て 他 国 の 人 が き て も住 み よ い 国 な の が 伝 統 か も し れ な い.そ

う 他 国 系 の 人 に と っ て 出 世 す る １つ の 道 は 国 際 的 に 通 用 す る 仕 事,す

うい

な わ ち学 者

に な る 道 で あ る の か も し れ な い と 思 う の で あ る.   私 の 知 っ て い る 外 国 の 学 者 に は ユ ダ ヤ 系 の 人 や ア イ ル ラ ン ド系 の 人 が 多 い.フ ァ イ ン マ ン(R.P.Feynman)も D.Kruska1)も

育 て る 気 風 が あ る と い う.ク 感 じ た.そ

プ リ ゴ ジ ー ン(1.Prigogine)も

ユ ダ ヤ 系 だ.ユ

親 族)の

誕 生 日 で,ニ

の 中 央 部 に 夫 人 が フ ロ ア 全 体 を 借 り切 っ て 住 ん で い る 家 へ10人 た ち が 集 ま っ た.い

ろ い ろ な 人 に 紹 介 さ れ た が,そ

済 学 者 だ っ た か?)と

い う 人 も い た.み

オ ッペ ン ハ イ マ ー 夫 人 は 折 紙 研 究 の 大 家 で,ア の ア パ ー トは 折 紙 で あ ふ れ て い た.そ つ い で い る.昨

秀 な人 を

ル ス カ ル の 一 族 の 会 食 に よば れ た と き もそ れ を強 く

の 日 は ク ル ス カ ル の 奥 さ ん の 母 の オ ッペ ン ハ イ マ ー 夫 人(有

学 者 オ ッペ ンハ イ マ ー(J.R.Oppenheimer)の

者(経

ク ル ス カ ル(M.

ダ ヤ 系 の 人 た ち は た が い に 助 け 合 い,優

名 な物 理 ュー ヨー ク

ば か りの 親 戚 の 人

の 中 に は ク ル ス カ ル の 弟 の学

ん な で わ い わ い と 楽 し げ で あ っ た. メ リ カ 折 紙 協 会 の 会 長 で あ っ て,そ

の 仕 事 は今 で は クル ス カ ル の 奥 さ ん が 引 き

年 国 際 シ ン ポ ジ ウ ム が 東 京 で 開 か れ た と き,一

緒 に来 日 した ク ル

ス カ ル 夫 人 は 日 本 の 折 紙 の 人 た ち に 会 っ た り連 絡 し た り し て 忙 し そ う で あ っ た.

 第 ８ 講  一 様 な 空 間

―テー マ

◆ 宇 宙 原 理 ◆ 一 様 な 宇 宙 ◆ 球 形 の宇 宙 ◆ Tea

Time:テ

イ コ ・ブ ラ ー ェ

 宇 宙 原 理   ア イ ン シ ュ タ イ ンは 彼 の 重 力 場 の 方 程 式 を宇 宙 全 体 に適 用 し よ う と考 え た.は じめ彼 は 時 間 的 に変 化 しな い宇 宙,す

なわ ち 静 的 な宇 宙 が現 実 の 宇 宙 と して ふ さ

わ し い と思 っ た.し か し,重 力 場 の 方 程 式 の解 で,空 間 的 に は一様 だ が 時 間 的 に 膨 張,あ

るい は収 縮 す る宇 宙 を表 す ものが1922年

に よ って 発 見 され た.1929年

に フ リー ドマ ン(A.Friedmann)

に はハ ツ ブル(E .Hubble)に

よ っ て宇 宙 の膨 張 が 発

見 され,一 般 相 対 性 理 論 は宇 宙 論 とい う適 用 対 象 を 得 る こ とに な っ た.   宇 宙 は有 限 の過 去 を もつ.わ

れ わ れ が 光 な ど に よ っ て知 る こ との で き る情 報 は

宇 宙 の 年齢 に光 速 度 を掛 けた 距 離 の 範 囲 に あ る宇 宙 部 分 で あ る.今

日以 後 に入 っ

て くる情 報 は今 ま で観 測 した こ とが な い領 域 で あ るが,物 理 学 が 宇 宙 の 未 来 を予 測 し よ う とす る も ので あ るな ら ば,今

まで 観 測 され て い な い遠 方 の 宇 宙 の 様 子 に

つ い て何 らか の 情 報 を お か な けれ ば な ら な い.そ

こで 多 くの人 は 宇 宙 が ど こ も同

じ よ うな もの で あ る とい う一 様 性 と等 方 性 を仮 定 す る.こ れ を宇 宙 原 理 とい う.ミ ル ン(E.A.Milne)が

は じ め て 唱 え た説 で あ る とい う こ とで あ る.宇 宙 原 理 は今

まで に観 測 され た こ との な い 遠 方 の 宇 宙 に まで これ を仮 定 す る.   しか し ビ ッグバ ン に よ っ て 宇 宙 が は じ まっ た と して い る の で あ るか ら,遠 方 に 観 測 さ れ る天 体 は そ の天 体 の む か しの姿 で あ って,現 在 よ り も温 度 が 高 い わ けで あ る.こ の ビ ッグ バ ン宇 宙 と一 様 な宇 宙 とい う宇 宙 原 理 とを具 体 的 に どの よ う に 調 和 させ る のか,よ

く知 らな い.   風 船 宇 宙 と ビ ッグ バ ン の歴 史 的 宇 宙 説 を合 わ せ て 考 え るな らば風 船 宇 宙 は 時 間 的 に積 み重 な っ て図12の

ように な

っ て い る こ と に な るだ ろ う.中 央 部 の 球 は大 昔(時 刻t1)の 宇 宙,そ は 少 し昔t2(＞t1),そ 球 は現 在t3(＞t2＞tl)の

の外の球

して一番外側 の 風船宇 宙 で あ

る.遠 方 の 天体 か ら くる光 に よ って わ れ わ れ は宇 宙 に つ い て の 情 報 を得 る の で あ るか ら,た

とえ ば9000万

光 年 の遠

方 の 天 体 を くわ し く見 る こ とが で き る とす る と,そ こに は9000万

図12  宇宙 の膨 張 (遠方 に見 え るの は大 昔 の宇 宙)

年 前 のそ の

天 体 の 姿 を 見 る こ とが で き るは ず で あ

る.宇 宙 が 大 爆 発 ビ ッグバ ンで 一 勢 に は じ ま った とす る と,ほ と ん ど無 限 に あ る 星 の 中 に は地 球 と同 じ よ う に9000万

年 前 に は恐 竜 が 闊 歩 して いた 星 も多数 あ った

に ち が い な いか ら,望 遠 鏡 で調 べ れ ば9000万

光 年 の か な た の星 に 恐 竜 の世 界 を見

る こ とが で き る わ けで あ る.こ の よ うな時 間 的 な 深 み の あ る宇 宙 観 を しっ か り頭 の 中 に構 築 す る の は な か な か む ず か しい.  一 様 な 宇 宙

  1915年 に一 般 相 対 性 理 論 を完 成 した アイ ンシ ュ タイ ン は1922年

に は これ を宇 宙

論 に適 用 し て い る.   彼 は 時 間 的 に変 化 し な い(静 的 な)宇 宙 を考 えた．こ れ は彼 の 好 み とい うか,哲 学 に合 った 選 択 で あ っ た と思 わ れ る.同 時 に彼 は宇 宙 は大 局 的 に 見 れ ば等 方 的 で

一 様 で あ る と考 えた

.

  そ の よ う な 仮 定 の 下 に,彼 gjk (x0,x1,x2,x3))を

は 重 力 場 の 方 程 式 の １つ の 解gjk(基

求 め た.こ

れ を 線 素dsで

本 計 量gjk=

表現すれ ば (１)

と書 け る.こ

こでdlは

線 素 の空 間成 分 で あ っ て

(２)

で あ る.ρ は空 間 的 な距 離 を表 す.(１),(２)で

定 義 さ れ る宇 宙 モ デ ル を ア イ ン

シ ュ タ イ ン宇 宙 とい う.   (１)は 明 らか に 時 間 的 に一 様 で あ る.こ れ に対 して(２)は るが 因 子1/(1+ρ2/4)2の

空 間 的 に等 方 的 で あ

た め 一 様 とは 見 え な い.こ れ は一 般 相 対 性 理 論 の わか り

に くい 点 の １つ で あ る と思 う.   原 点x1=x2=x3=0に

立 って い る観 測 者 に は,原 点 付 近 の 時 空 が ユ ー ク リ ッ ド

幾 何 学 的 に見 え る の は当 然 だ ろ う.し か し観 測 者 が 見 る遠 方 は光 な どが もた らす 情 報 に よ る もの で あ り,光 の伝 達 に は時 間 が か か り,ち が っ た 時 空 の 情 報 が 同 時 に観 測 者 に到 着 す るの で 空 間 は ゆが ん で 見 え る こ とに な る.  ア イ ン シ ュ タ イ ン宇 宙 の 体 積   ア イ ン シ ュ タ イ ンの 静 止 宇 宙 モ デ ル は,時 間 軸 の方 向 に は定 常 で,空

間的 に は

わ れ わ れ の ふ つ うに認 識 す る ３次 元 空 間 が湾 曲 し て ４次 元 的 に 閉 じた球(超

球)

に な っ て い る.こ の超 球 の 表 面 が わ れ わ れ の認 識 す る ３次 元 空 間 で あ っ て,そ の 体 積 は有 限 で あ る.こ の ４次 元 超 球 の 半 径 をａ とす る と,宇 宙 の ３次 元 的 体 積(超 球 の表 面積)をΩ

とす る と (３)

で あ る.

  【証 明 】 半 径ａ の 円(２ 次 元)の 面 積 は よ く知 られ て い る よ うに (４)

で あ り.円

周(１

次 元)の

長 さは (５)

で あ る が,こ

れ は (６)

と書 け る(こ れ は 図13に

よ っ て幾 何 学 的

に示 され る).   次 に半 径ａ の 球(３ 次 元)の 体 積 は よ く 知 られ て い る よ う に 図13  半 径ａ の球(超 球)の 体 積Vnと

(７)

その表 面 積Ω

で あ り,そ の 表 面 積 は (８) で あ る.   こ の よ う に,一

般 にｎ 次 元 の 球 の 体 積 をVnと

あ っ て 閉 じ たn−1次   さ て,半

元 空 間(超

表 面)を

す る と,そ

の 表 面 積 はdVn/daで

形 成 す る(図13).

径ａ のｎ 次 元 の 球(x12+x22+…+xn2≦a2)の

体 積Vnは

(９)

で 与 え ら れ る.こ

こで

(10)

そ して

(11) した が っ て ４次 元 超 球 の 表 面 積(わ

れ わ れ の ３次 元 空 間 の体 積)は

(12) で あ る.   この よ う に ア イ ン シ ュ タ イ ン宇 宙 は,体 積 が 有 限 で あ り,空 間 的 に は 曲が って 閉 じた時 空 で あ る(時 間 の方 向 には直 線 的).こ れ は宇 宙 膨 張の風船 モデルにふ さわ しい も の で あ る(図14).空

間 を曲げてい

る ４番 目の 次 元(風

船の 中心向 き 図14  宇 宙膨 張 の 風船 モ デル

の 方 向ｗ)は

物 理 的 な意 味 を もた

な い.   図14の

風船 モ デ ル は膨 張 宇 宙 を理 解 す る上 で 大 変 巧 妙 で あ るが,宇

宙 の計量

(ds)2の 構 造 を理 解 す るの に は あ ま り役 立 た な い.こ れ か ら考 え る計 量 は宇 宙 の あ ち こ ちへ 行 っ て測 った 計 量 で は な くて,宇 宙 の あ る時 空 点 に立 つ観 測 者 が 見 た 計 量 で あ る.こ の観 測 者 に対 し て宇 宙 の 遠 方 か ら光 な ど に よ っ て情 報 が 送 られ て く るが,た

とえ ば遠 方 の 星 か ら到 達 した 光 の ス ペ ク トル は長 い波 長 の 方 へ ず れ て い

る(赤 方偏 移).宇 宙 論 の計 量 は そ の よ うな 現 象 を記 述 す る こ とが で き な け れ ば な らな い.   宇 宙 論 に お い て は,お お まか に い う と宇 宙 は ど こ も同 じ よ う に星 雲 が 分 布 した 一様 な 空 間 で あ る と い う宇 宙 原 理 を採 用 し,空 間 内 の各 地 点 に お け る 曲 率 は一 定 で あ る と考 え る.し か しそ れ は時 空 の 計 量 が ど こ も全 く同 じ とい う こ とに は な ら な い の で あ る.

 

Tea

Time

 テ イ コ ・ ブ ラ ー エ

  10年

ほ ど前 の こ とだ が,デ

ン マ ー ク で 開 か れ た 学 会 の レ セ プ シ ョ ン の 際,即

席

で 次 の よ う な あ い さ つ を し た.   「デ ン マ ー ク は 先 駆 的 な す ば ら し い 仕 事 を し た 物 理 学 者 を 何 人 も輩 出 し た こ とで 有 名 で あ る.こ

と に テ イ コ ・ブ ラ ー エ(Tycho 

エ ー ル ス テ ツ ド(H.S.Oersted),そ

Brahe),レ

ー マ ー(O.L.R〓mer),

し て も ち ろ ん ボ ー ア(N

.Bohr)教

授.デ

ン

マ ー ク の 本 屋 を の ぞ い て み て 驚 い た の は テ イ コ に 関 す る 本 が た く さ ん 売 られ て い て,表

紙 の 肖 像 画 が 大 変 目 立 つ こ と で あ る.数

奇 な 運 命 を も っ た 貴 族 で あ り,天

文 観 測 で 偉 大 な 仕 事 を な し と げ た ケ プ ラ ー(J.Kepler)の

師 テ ィ コ は,ま

さにデ

ン マ ー ク の 象 徴 で あ る と い う認 識 を 新 た に し た.   ニ ュ ー ト ン(I.Newton)と の 観 測 に よ り,光

ほ ぼ 同 時 代 の 天 文 学 者 レ ー マ ー は,木

の 速 度 が 有 限 で あ る こ と を 明 らか に し,そ

星 の 衛 星 の食

の速 度 をは じめ て求

め た.   エ ー ル ス テ ツ ドの 業 績 は 多 岐 に わ た る が,電 す こ と の 発 見 も そ の １つ で あ る.こ

流 を通 じた 針 金 が 磁 針 に 力 を及 ぼ

れ は 電 気 現 象 と 磁 気 現 象 が 密 接 な 関 係 を もつ

こ と を は じ め て 明 ら か に し て 現 在 の 電 気 の 時 代 を 開 い た 画 期 的 な 研 究 で あ っ た.   そ し て ニ ー ル ス ・ボ ー ア は 量 子 論 を 用 い た 原 子 モ デ ル を は じ め て 考 え 出 し,そ の 後 の 量 子 論 の 発 達 に 指 導 的 な 役 割 を 演 じ た.コ

ペ ンハ ー ゲ ンの ボ ー ア研 究 所 が

果 た し た 業 績 は は か り知 れ な い く ら い に 大 き い.」   話 を 終 え る と き,隣

り に い た ロ シ ア 人 が と て も い い 話 だ っ た と ほ め て く れ た.

  次 の 日 の エ ッ ク ス カ ー シ ヨ ン の と き に,会

の 主 催 者 だ っ た 教 授 の 奥 さ ん が,テ

ィ コ ・ブ ラ ー エ は テ イ コ ・ブ ラ と い う風 に 発 音 す る の だ と い っ て,発 し練 習 さ せ ら れ た.レ し か っ た.エ

音 を 繰 り返

ー マ ー は む し ろ イ レ マ と い う発 音 ら し く こ れ は 中 々 む ず か

ー ル ス テ ツ ド も発 音 し に く い.デ

ェ ー は だ い た い 共 通 し た 言 語 で,ま

ン マ ー ク,ス

ウ ェ ー デ ン,ノ

と め て 北 欧 ３国 と よ ば れ る .

ル ウ

 第 ９ 講  エ ネ ル ギ ー運 動 量 テ ン ソル

―テー マ ◆ 静 止 宇 宙 モ デ ル ◆ エ ネ ル ギ ー 運 動 量 テ ン ソル ◆ Tea

Time:G.ガ

モフ

 静 止 宇 宙   す で に 述 べ た よ う に,1922年 な宇 宙 モ デ ル を提 案 した.こ

に ア イ ン シ ュタ イ ン(A.Einstein)は

一様 で 静 的

の 宇 宙 は不 安 定 で あ り,遠 方 の 星 の スペ ク トル の赤

方 偏 移 な どの 現 象 を説 明 で きな い が,過 渡 的 な モ デ ル と して も興 味 深 い.こ

の時

空 で は線 素 の 式 (１)

を仮 定 す る.こ わ ち(第

こで 空 間 部 分dlは

５講(１)で

前 に考 察 した定 曲 率 の 空 間 の 線 素 を表 す.す な

空 間 を ３次 元(x1,x2,x3)に

し,xiをaxiと

書 き直 す)

(２)

で あ る.こ れ らの式 で は空 間部 分(dl)2に ッチ ・テ ン ソル の 空 間 部 分 は第 ４講(12)で

マ イ ナス 符 号 をつ けた が,こ の 時 空 の リ 用 いたRμvに 等 しい.

基 本 テ ン ソル で時 間成 分 の あ る もの は前 講(１)に

より

(３)

で あ る.そ

して 時 間 軸 を含 む リ ッチ ・テ ン ソル の 各 項 は これ らの基 本 テ ン ソ ル の

微 係 数 ∂g00/∂xα な どか ら な り,す べ て ０に な る の で (４)

で あ る.ま た 空 間 成 分 は す で に知 っ た よ うに(第 ５講(17)で

次 元 をn=3と

す る) (５)

で あ る.

 エ ネ ル ギ ー 運 動 量 テ ン ソ ル   エ ネ ル ギ ー運 動量 テ ン ソル は第 ６講(12)に な形 を もつ.こ

よ り混 合 テ ン ソルTikに

対 して簡 単

れは (６)

(α,β=1,2,3)で

あ り,そ

の 他 の 成 分 は ０ で あ る.

(７)

した が っ て

(８)

とな る.   これ らの 式 と静 的 宇 宙 を仮 定 した 一 定 曲 率 の 式 と を重 力 場 の 方 程 式 (９)

に 代 入 す れ ば,i=k=0とi=k=α

の式か ら

(10) を 得 る.こ

れ をｐ とａ に つ い て 解 く と

(11) を得 る(κ=8πG/c4).(10)の 合 が 悪 い.こ

第 ２の 式 は よいが,第

１の 式 は圧 力 が 負 に なっ て都

れ は 外 側 へ 引 っぱ る力 が な い と静 的 な 宇 宙 を保 持 で きな い こ とを意

味 す る.宇 宙 は す べ て の部 分 が 引 き合 う力 に よ って 縮 ん で し ま うの で 不 安 定 な の で あ る.こ れ は ニ ュー トン力 学 的 な 宇 宙 モ デ ル で も生 じた 困 難 で あ っ た.   そ こで 静 的 な宇 宙 を保 持 す る た め ア イ ン シ ュ タ イ ン は宇 宙 項(ふ は〓 で表 す)を

つ う λあ る い

導入 し て重 力 場 の 方 程 式 を

(12) と し て み た.こ

う して も テ ン ソ ル 方程 式 で 差 支 え な い し,静 的 な 宇 宙 が 実 現 し う

る.し か し論 理 的 簡 明 さ を減 じ る もの で あ る.

  Tea

Time

 Ｇ .ガ モ フ

  ア イ ン シ ュ タ イ ン(A.Einstein)が しな い 静 止(定

は じめ に考 えた 宇 宙 モ デル は膨 張 も収 縮 も

常)宇 宙 で あ っ た.宇 宙 は大 昔 か ら変 わ らな い こ とが 証 明 され れ

ば,宇 宙 の 行 く末 を心 配 す る必 要 も な くな る か ら,そ の 方 が 安 心 感 が 得 られ る だ ろ う し,科 学 的 に も問 題 の １つ が 解 決 した こ とに な る だ ろ う.   しか しア イ ン シ ュ タ イ ンは彼 の 創 り出 した重 力 方 程 式 を 宇 宙 論 に応 用 し よ う と し て,こ の 重 力 方程 式 に した が う宇 宙 が 定 常 的 で あ りえ な い こ とを発 見 して し ま った.そ

こで 彼 は重 力 方 程 式 に宇 宙 項 とよ ばれ る項 を つ け加 えて 宇 宙 を定 常 に保

とう と した.こ

の と き フ リー ドマ ン(A.Friedmann)が

を解 い て,膨 張 す る宇 宙 が あ り う る こ とを証 明 した.ア

宇 宙項 の な い 重 力 方 程 式 イ ン シ ュ タ イ ン も この 説

に 賛 成 し,宇 宙 項 を と り下 げ た が,宇 宙 項 が あ っ た と して も膨 張 宇 宙 は可 能 で あ る し,宇 宙 項 の 存在 を支 持 す る現 象 が あ って 問 題 は まだ 決 着 して い な い ら しい.   さて,ソ 連 か らア メ リカへ 亡 命 した ガ モ フ(G.Gamow,1904-1968)と 者 が い た.彼

は 原 子 核 物 理 学 の 理 論 を宇 宙 論 に応 用 す る こ と を考 え,ビ

説 を唱 え出 した の で あ る(1940年).こ Hubble)に

い う学 ッグバ ン

の説 の 出 発 点 に な っ た の はハ ツブ ル(E.P.

よ る宇 宙 膨 張 の 発 見 で あ っ た.ガ モ フ は ビ ッグ バ ン に よっ て 多 くの 元

素 が 合 成 され た(ガ モ フが 考 え た ほ ど単 純 で は な か っ た)と 考 え て そ の 存 在 比 を 計 算 した りし た.ま た 宇 宙 創 造 の 大 爆 発 の影 響 が 残 っ て い る にち が い な い と考 え て,そ の 残 光 が 絶 対 温度 約 ７度 の電 磁 放 射 と し て今 で も残 っ て い る は ず だ と計 算 した.こ れ は1965年

に発 見 され た 宇 宙 背 景 放 射 で,そ の 温 度 は約 ３度 で あ った.

  ガ モ フ は相 対 性 理 論 や 量 子 力 学 の 話 を書 い た 『不 思 議 の 国 の トム キ ンス 』 な ど の著 者 と し て も有 名 で あ る.

 第10講  膨 張 宇 宙 モ デル

―テー マ

◆ 動 的 な宇 宙 ◆ フ リー ドマ ン宇 宙 ◆ フ リー ドマ ン の 式 ◆ Tea

Time:ダ

ー クマ ター

 フ リ ー ドマ ン宇 宙   ア イ ン シ ュ タ イ ン(A.Einstein)は

静 的 な 宇 宙 を望 ま しい と考 え,宇 宙 項 の 導

入 に こだ わ っ た が,満 足 す る結 果 を得 られ なか った.し か し1922年 ードマ ン(A.Friedmann)が され た.ア

に な って フ リ

膨 張 す る宇 宙 モ デ ル を提 唱 し て この ジ レ ンマ は解 消

イ ン シ ュ タ イ ン もす ぐに この 考 え方 に賛 成 し,宇 宙 項 を棄 て去 った(最

近 宇 宙 項 の 存 在 が再 び 議 論 され て い るが,宇 宙 につ い て わ れ わ れ の知 識 は まだ ま だ 不 十 分 で あ る).   フ リー ドマ ンが 調 べ た線 素 の 式 は ア イ ン シ ュ タ イ ン宇 宙 に 似 た 式 で あ るが,宇 宙 の 大 き さａ が 時 間 の 関数 で あ る とす る.す

なわち

(１)

と す る.た

だ しa(t)は

空 間 座 標 に よ ら ず,時

間ｔ だ け の 関 数 と す る .k=1は

閉

じた宇 宙,k=0は

平 らな 宇 宙,k=-1は

  宇 宙 の大 きさa(t)の

開 い た 宇 宙 の モ デ ル で あ る.

時 間 変 化 は重 力 場 の 方程 式 で求 め られ る.こ の方 程 式 で は

まず 時 空 の 曲 率 リ ッチ ・テ ン ソル を上 の線 素 で 与 え られ て い る基 本 テ ン ソル か ら 計 算 す る必 要 が あ る.   時 間ｔ が 関 係 す る リッ チ ・テ ン ソル の成 分 は別 に計 算 しな くて は な らな い.そ の た め まず ３指 記 号(第

４講(11))を

求 め る.こ れ は (２)

で あ る.前

講 の 規 則 に よ り,空

間 成 分 に は 添 字 α,β,γ

を 使 う こ と に す る.ま

ず

上 式 のｌ につ い て の和 を分 け て 書 く と

(３)

で あ る がg00=1,g01=g02=g03=0,g01=g02=g03=0で

あ り,x0=ctで

あ る か ら多

くの項 は 消 えて

(４)

同様 の計 算 に よ り (５)

を得 る.  次 に時 間 方 向 の 曲率 を表 す リ ッチ ・テ ン ソル (６)

を計 算 す る.ま ず (７)

の第 １項 に お い て (８)

で あ り,第

２項 は〓=0,第

３項 で は

(９)

そ し て 第 ４項 で は〓=0.し

たが って

(10)  さ ら に 空 間 座 標 を α,β=1,2,3と

す る と

(11) こ こ で λ=1,2,3,a=d2a/dt2で

あ る.

  リ ッ チ ・テ ン ソ ル の 空 間 部 分 は 前 講 で 計 算 し て い て  (空 間 部 分 だ け のRα β)=-2kγ

α β

 

(12)

で あ る.   そ こで ま とめ て書 く と

(13)

と な る.   な お(１)に

よ りg00=1, 

gαβ=-(1/a2γ

αβ)δαβで あ る か ら ス カ ラ ー 曲 率 は

(14) と な る.(13),(14)は

空 間 的 な 場 所 に よ ら な い.

 フ リ ー ドマ ン の 式   エ ネ ル ギ ー運 動 量 テ ン ソル と して は完 全 流 体 の もの を採 用 す る.こ れ はす で に 第 ９講(７)と(８)で

計 算 して い て,

(15)

で あ る(た だ し第 ９講 とち が っ て こ こで はａ は 時 間 の 関 数 で あ る).  重 力 場 の 方程 式

(16) の(0,0)成

分 は し た が って

(17) と な り,(1,1),(2,2),(3,3)成

分 は共 に

(18) を 与 え る.こ

れ ら ３成 分 が 同 じ 式 を 与 え る の は,こ

れ ら が 空 間 の ３方 向(x1,x2,

x3)に 関 す る も の で あ り   (17),(18)か

らaを

,空

間 の 等 方 性 に よ っ て 等 し い の は 当 然 な の で あ る.

消 去 す る と(ｐ

も 同 時 に 消 去 さ れ て)

(19) す な わ ち(κ=8πG/c4)

(20) と な る.こ

れ を フ リ ー ドマ ン 方 程 式 とい う.

  (19)をｔ

で 微 分 し て(17)と

か らaを

消 去 して 少 し変形 す る と

(21) とな る.こ の式 は半 径ａ の宇 宙 が 圧 力ｐ の 下 で 膨 張 す る と きのエ ネル ギ ー増 加(第 １項)が 圧 力 に対 す る仕 事(第

２項)に 等 しい こ とを表 す エ ネ ル ギー 保 存 の 式 で あ

る(実 は上 の よ うな面 倒 な計 算 を しな くて も,こ の式 はエ ネル ギー保 存 の式 ∂Tμν/∂ν =0か

ら直 接 導 くこ とが で き る).

  フ リー ドマ ンの 方 程 式(20)と

エ ネ ル ギ ー の 式(21)に

加 え て完 全 流 体 の状 態 方

程式

(22) の ３式 を連 立 さ せ れ ば未 知 量 ａ,ｐ,ρ が す べ てｔ の 関 数 と して求 め られ る こ とに な り,宇 宙 ス ケ ールａ の 時 間 変 化a(t)が

決 め られ る こ とに な る .

 宇 宙 の 運 命   実 際 に現 在 の 宇 宙 で は物 質 エ ネ ル ギ ー ρc2に 比 べ て 圧 力ｐ は十 分 小 さい.そ で(19)に

お い てp=0と

こ

お くと

(23) を得 る(こ こでＭ と

は半 径ａ の 球 の 中 の 質 量 で あ る).そ

して これ を(20)に

入 れる

(24) と な る.こ   (24)を

こ でａ は 宇 宙 の 大 き さ を表 す ス ケ ー ル フ ァ ク タ ー で あ る. よ く見 る と,こ

で あ っ て,積

れ は １次 元 の 力 学 系 に お け る エ ネ ル ギ ー 保 存 の 式 と 同 じ

分 で き る こ とが わ か る.す

ギ ーx2/2に,第 エ ネ ル ギ ーＥ

な わ ち,(24)の

左 辺 第 １項 は 運 動 エ ネ ル

２項 は ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ーV(x)に,そ

して 右 辺 は常 数 で 全

に対 応 し

(25) の 形 を し て い て,図15の か る よ う に,は

よ う に図 式 的 に解 を想 像 す る こ とが で きる.こ れ か らわ

じ めt=0でa=0と

  (ⅰ)k＞0な

すると

らば,宇 宙 の大 きさａ はは じめ増 加 し,極 大 値 を経 てか ら減 少 し,

t→ ∞ でa→0と

な る(膨 張 後 に収 縮 す る宇 宙).

  (ⅱ)k=0な

らば,宇 宙 の 大 き さａ は増 大 す る.こ の 場 合 は特 に(24)は

(26) と な る か ら,こ

れ を 積 分 す れ ばt=0でa=0と

して

(27) を 得 る.し

た が っ てt→

無 限 に 増 大 す る が,膨   (ⅲ)k＜0な

∞ でa→0,a→0で

あ る.す

張 速 度 は 次 第 に0(a→0)に

ら ば,宇

で 膨 張 速 度 は 一 定(a→

な わ ち こ の 場 合,宇

な る.

宙 の 大 き さ ａ は 時 間 と共 に 限 り な く大 き く な る.t→ 一 定)に

な る(膨

宙 は

∞

張 宇 宙).

 限 界 密 度  前 節 で わ か っ た よ う に,k＞0な りな く膨 張 す る.そ

らば宇 宙 は限

して膨 張 を続 け るか,そ れ と も現 在 は膨 張 して い て もい ず れ

は収 縮 す る か の 境 界 はk=0の に は(26)と(23)に

らば宇 宙 は いず れ 収 縮 し,k〓0な

より

場 合 で あ る.こ の 限 界 の場 合((a/a)cと

書 こ う)

(ⅰ)

(ⅱ)

(ⅲ)

図15 

宇 宙 の 膨 張 ・収 縮 (a=ス

ケ ー ル フ ァ ク タ ー)

(28) が成 立 す る.   さ て わ れ わ れ か らあ る銀 河 まで の 距 離 をl,ハ

ツ ブ ル の 定 数(次

講 参 照)をＨ

とす る と,銀 河 の 後 退 速 度v=iは

(29) の 関係 が あ る.他 方 で 距 離lは

宇 宙 の ス ケ ー ル フ ァ ク タ ーa(t)に

比 例 す るか ら

(30) で あ る.し

た がって

(31) で あ る.膨 張 宇 宙 と収 縮 宇 宙 の 分 か れ 目 の と きの 宇 宙 の物 質 密 度(限 ρc,こ れ に対 す るハ ツブ ル 定 数 をＨ とす る と(28)に

界 密 度)を

より

(32) の 関 係 が あ る.   い い か え る と,現 在 の ハ ツブル 定 数 がＨ で あ る とす る とき,宇 宙 の密 度 が上 の 限 界 密 度 ρcよ り も大 き けれ ば,す な わ ち

(33) な ら ば現 在 の 宇 宙 は膨 張 状 態 に あ っ て も いず れ は 収 縮 に転 じ る.そ

して,も

しも

現在 (34) な ら ば宇 宙 は 際 限 な く膨 張 を続 け る こ と にな る.   現 在 のハ ツ ブル 定 数 の 値 と して

(35) を採 用 す る と限 界 密 度(32)は

(36) とな る.  現 在 の宇 宙 の 物 質 密 度 は

(37) と され て い る.こ れ を そ の ま ま受 け とれ ば,わ れ わ れ の宇 宙 の 膨 張 は永 遠 に 続 く こ とに な る.し か し も しか す る と宇 宙 に は現 在 知 られ て い る よ り も も っ と多 くの 物 質 が あ るか も しれ な い.そ

の た め 本 当 は将 来 宇 宙 の膨 張 は い つ か 収 縮 に転 じ る

可 能 性 が あ る.

 

Tea

Time

 ダ ー ク マ タ ー   ロ バ ー ト・ル ー ビ ン(Robert し い.こ た.北 Dean)と

Rubin)さ

ん と知 り合 っ た の は1968年

の 年 に 京 都 で 統 計 力 学 の 国 際 会 議 が あ っ て,ル

海 道 大 学 に い た 堀 淳 一 さ ん の 発 案 で,ル 六 甲 山 に 登 っ た.雨

に な っ た.そ

で あった ら

ー ビ ン も ア メ リカか ら き

ー ビ ン,イ

ギ リ ス の デ ィ ー ン(P.

が 降 る 山 頂 で 雨 宿 り し た り した け れ ど も い い 思 い 出

れ か ら の つ き あ い だ か ら,も

ビ ン は 少 な く と も 二 三 度 は 日 本 へ き て,奥 西 穂 高 岳 へ 登 っ た こ と も あ る.私

う34年

に な る わ け だ.そ

れ 以 後,ル

ー

さ ん も何 度 か 来 日 し て い る .お

２人 で

も そ の 間 に ア メ リ カ へ 何 度 か 行 っ た.あ

る とき

は キ ッ ト ・ピ ー ク と い う と こ ろ の 天 文 台 へ 一 緒 に 行 くス ケ ジ ュ ー ル を 組 ん で くれ た が,私

の 病 気 で だ め に な っ た.そ

め て も ら う 予 定 に な っ て い て,そ

の と き は ワ シ ン トンD.C.の

ル ー ビン の家 に と

の た め に 自分 で 家 の 出窓 を 修 理 した と い う話 だ

っ た の で 大 変 残 念 だ っ た.   ワ シ ン ト ンD.C.の

ル ー ビ ン の 家 は 白 い ペ ン キ 塗(自 分 で 塗 る と い う)の

ま り し た ２階 建 て だ っ た.家 に か け て あ っ た.奥

さ ん と 毎 朝 ジ ョ ギ ン グ を す る と い う 公 園 の よ う な 道 を 少 し行

っ て ル ー ビ ン の 友 人 で 初 等 幾 何 が 趣 味 と い う 人 の と こ ろ へ 一 緒 に 行 き,フ ブ ル な12面 た.今

レキシ

体 の つ く り方 を 教 わ っ た(こ れ は 日 本 へ 帰 っ て か ら 自 分 で つ く っ て み

は 書 斎 の 天 井 か ら 吊 り下 げ て あ る).

  ル ー ビ ン は ビ ュ ー ロ ー ・オ ブ ・ス タ ン ダ ー ド(ワ 物 理 的 な 仕 事 を し て い る.定

シ ン ト ンD.C.)に

勤 め,数

年 を す ぎ た が 今 で も勤 め て い る と い う 話 だ.奥

は 近 く の カ ー ネ ギ ー 研 究 所 で 天 文 学 の 仕 事 を し て い る .ル D.C.に

こぢ ん

中 に 子 供 さ ん な どの 写 真 の 小 さ な顔 が い た る と こ ろ

理 さん

ー ビ ン が ワ シ ン トン

ず っ と い る の は 奥 さ ん の 勤 め の た め が 多 分 に あ る よ う だ.

  最 近 手 に した 本(ゴ 庫)は

ー ル ドス ミス 『宇 宙 を 見 つ め る人 た ち』 青 木 薫 訳,新 潮 文

奥 さん の ヴ エ ラ ・ル ー ビ ンの 話 が で て い る.彼 女 は ジ ョー ジタ ウ ン大 学 の

博 士 コ ー ス で 天 文 学 を 学 び ガ モ フ(G.Gamow)の

指 導 を 受 け た.長 年 にわ た っ て

彼 女 が 調 べ た の は銀 河 系 や ほか の銀 河 の 星 た ち の 運 動 で あ る.星

は銀 河 の 中心 に

近 い と ころ に あ る他 の星 の 重 力 を受 けて 回 っ て い るか ら,そ の速 さの 測 定 か ら銀 河 の 中 の物 質 の 分 布 が わ か る.こ れ を調 べ て 彼 女 が 発 見 した こ とは銀 河 は星 以 外 の 目 に見 え な い 物 質(光 て い る物 質 量 の10倍

を出 さ ず電 波 も出 さ な い ら しい物 質)を 今 まで 推 定 さ れ

以 上 も含 ん で い る に ち が いな い とい う こ とで あ る.こ の見 え

な い物 質 は ダ ー クマ タ ー(暗 黒 物 質)と

よ ば れ て い る.ヴ

を構 成 す る物 質 の大 部 分 が 目 に見 え な くて,そ

エ ラ ・ル ー ビ ン は宇 宙

の性 質 が今 で もわ か っ て い な い が

莫 大 な 質 量 を も っ て い るダ ー ク マ タ ー で あ る こ と を明 らか に した の で あ る.ダ ー ク マ タ ー は ニ ュー トリノ で は なか ろ うか とい う説 が あ る.宇 宙 に は莫 大 な 数 の ニ ュ ー ト リノが存 在 す る.そ してニ ュー トリノ は小 さ な質 量 を もっ て い る ら しい.し か しダ ー ク マ タ ー が ニ ュ ー ト リノで あ る とい う説 に は強 固 な 反 対 もあ る よ うで あ る.   ダ ー クマ タ ー を考 え に入 れ る と,宇 宙 は そ れ が も っ て い る 質 量 のた め に い ず れ は収 縮 過 程 に入 ら ざ る を得 な い こ とに な るだ ろ う(こ れ を 防 ぐ宇 宙 項 が な けれ ば の話).   宇 宙 が 収 縮 して つ ぶ れ て し ま う こ とは,ビ

ッ グバ ン の反 対 で,ビ

と よば れ て い る.こ れ は正 反 対 で は ない.ビ

ッグバ ン は若 々 しい宇 宙 の創 成 だ が,

ッグ ク ラ ン チ

ビ ッグ ク ラ ン チ の 過 程 に入 るの は年 とっ て,く た び れ て皺 だ ら け に な っ た宇 宙 だ ろ う とい う人 もあ る.   ル ー ビ ン夫 妻 は毎 年 天 文 学 か物 理 学 に ち な ん だ ク リス マ ス カ ー ドを送 っ て き て くれ る.今 年 は どん な メ ッ セ ー ジが あ る か,今 か ら楽 し み で あ る.

 第11講   ハ ツ ブル の 法 則

―テ ー マ

◆ 宇 宙 観 の 歴 史 ◆ ハ ツブ ル の 法 則 ◆ 赤 方 偏 移 ◆ Tea

Time:星

の一 生

 宇 宙 観 の歴 史   ア リス トテ レス か ら コペ ル ニ ク ス まで,太 陽 系 の は るか 彼 方 に は恒 星 を ち りば めた 天 が あ り,そ の外 に は何 も存 在 しな い とい う閉 じた 有 限 宇 宙 が 信 じ られ て き た.神 が 支 配 す る唯 一 つ の宇 宙 とい う宇 宙 観 で あ る.こ の よ う な時 代 に 無 限 で一 様 な宇 宙 を 主 張 し,宇 宙 の 中 に太 陽 系 と同 じよ うな世 界 は い くらで もあ る と唱 え た ジ ヨル ダ ノ ・ブ ル ー ノ(Giordano

Bruno)は,キ

リス ト教 に 背 く もの と して火

刑 に処 せ られ た.  デ カ ル ト(R.Descartes)も

宇 宙 は無 限 で あ る と考 えた.彼

は宇宙 空間が エーテ

ル の よ うな媒 質 で満 た され て,天 体 は その 媒 質 の 運 動 につ れ て運 ばれ る と した.こ れ は近 接 作 用 の 考 え で あ り,現 代 の場 の概 念 に通 じ る と こ ろが あ る.   ニ ュー トン(I.Newton)は,空

虚 な絶 対 空 間 と一 様 に流 れ る時 間 の 枠 の 中 で惑

星 な どが運 動 し,惑 星 間 に は空 間 を隔 てて 遠 達 力 の万 有 引 力 が はた ら くと考 え た. そ して宇 宙 は無 限 に 広 が っ て い る と思 っ て い た よ うで あ る.彼 体 ・力 と事 物 を分 け て 還 元 的 な 科 学 をた て た の で あ るが,そ

は空 間 ・時 間 ・物

の は じ ま りは天 体 力

学 で あ っ た.   19世 紀 に な っ て も,宇

宙 は 無 限 に 広 が っ て い る と信 じ て い る人 は い た で あ ろ う.

し か し ド イ ツ の 医 師 で ア マ チ ュ ア 天 文 学 者 で あ っ た オ ル バ ー ス(H.W.M.Olbers) は,も

し も宇 宙 が 無 限 で,光

を 出 す 星 が 無 限 に 広 く存 在 し て い る と す る と,宇

の ど こ で も い つ で も 無 限 に 明 る くな け れ ば な ら な い が,し と い う パ ラ ド ッ ク ス(オ   そ れ か ら 約100年

ル バ ー ス の パ ラ ド ッ ク ス)を

た っ た1929年

宇 宙 が 膨 張 し て い て,遠

い く こ と を 示 し た の で あ る.こ

か し 現 実 の 夜 空 は 暗 い,

提 起 し た(1826年).

に ハ ツ ブ ル の 法 則 が 発 見 さ れ て,オ

パ ラ ド ッ ク ス は よ う や く解 決 さ れ た の で あ っ た .ハ 1953)は

宙

ルバースの

ツ ブ ル(E.P.Hubble,1889-

い 星 ほ ど わ れ わ れ か ら大 き な 速 度 で 遠 ざ か っ て れ は20世

紀 最大 の 発 見 と よ ばれ て い る.

 ハ ツ ブ ル の 法 則   太 陽 の 光 を調 べ る こ とに よ っ て 太 陽 表 面 に あ る元 素 が 知 られ る よ う にな っ た の は19世 紀 半 ば の こ とで あ る.高 温 に熱 せ られ た 物 質 は その元 素 に特 有 な光 を 出 す. 原 子 の 出 す 光 を分 光 器 で 分 け る と原 子 が 出す 光 は波 長 の ち が う は っ き りした 光 線 (ス ペ ク トル)か らな っ て い る ので,ス

ペ ク トル を調 べ る こ と に よ っ て原 子 の 種 類

が 固 定 で き るの で あ る(原 子 が 光 を吸 収 す る吸 収 ス ペ ク トル で も元 素 が 同定 で き る).   太 陽 表 面 の ガ ス に あ る水 素 も地 球 上 の水 素 も同 じス ペ ク トル の光 を出 す.と ろ が,遠

こ

くに あ る と思 わ れ る星 の 光 を調 べ て み る と,原 子 が 出 した り,吸 収 した

りす るス ペ ク トル が す べ て波 長 の 長 い方 へ ず れ て い る こ とを発 見 し,こ れ が 光 の ド ップ ラー 効 果 に よ る も ので あ る こ とを は じめ て 唱 え た の は イ ギ リス の ハ ツギ ン ス とい う人 で あ っ た(1868年).ド

ッ プ ラ ー効 果 とい うの は,遠 ざか って い く汽 笛

の 音 が低 くき こ え,近 づ い て くる汽 笛 は高 く き こ え る効 果 で あ っ て,光

につ い て

も同 様 な効 果 が お こ るの で あ る.野 球 の 球 の ス ピー ドや 自動 車 の 速 さ な どの 速 度 を測 定 す る ス ピー ドガ ン は この 原 理 を応 用 し て い る.   ア メ リカ の ハ ツ ブル は ロ サ ンゼ ル ス郊 外 の ウ ィ ル ソ ン山 の2．5m反 使 っ て 精 力 的 に 多 数 の 恒 星 の速 度 を調 べ,遠

射望遠 鏡 を

くの星 は わ れ わ れ か らの 距 離 に比 例

す る速 度 で わ れ わ れ か ら遠 ざ か っ て い く こ と を スペ ク トル の赤 方偏 移(波

長 が長

い 方 ヘ ず れ る こ と)か ら明 らか に した(ハ

ッ ブル の 法 則,1929年).

  星 が わ れ わ れ か ら遠 ざ か る速 度(後 退 速 度)は

ドッ プ ラ ー効 果 に よ っ て比 較 的

容 易 に知 る こ とが で きる.む ず か しいの はそ の星 まで の距 離 を知 る こ とで あ る.距 離 を知 る 方法 に つ い て は くわ しい こ と は省 略 す る が,あ が 周 期 的 に変 わ る星)の

る種 類 の 変 光 星(明

るさ

変 光 周 期 とそ の星 が 出 す光 の 明 る さ との 関 係 が わ か っ て

い る こ とを利 用 す る(周 期 が 同 じで も暗 く見 え る星 は 遠 くに あ る こ とに な る).   星 の後 退 速 度ｖ は わ れ わ れ か らの距 離 γ に ほ ぼ比 例 す る.こ の ハ ッブ ルの 法 則 を (１)

と書 い た と き,比 例 定 数 Ｈ をハ ッブ ル 定 数 とい う.主 に距 離 を知 る こ とが む ずか し い の で,ハ

ッ ブル 定 数 は今 で も確 定 され て い な い が,現 在 の 値 は お よ そ (２)

とさ れ て い る.わ れ わ れ か ら100万 光 年 遠 くの星 は毎 秒15kmの て い て １億 光 年 遠 くの 星 は そ の100倍 る こ とに な る.い

まで は約130億

だ か ら毎 秒1500kmの

速 さで 遠 ざか っ て い

光 年 の 遠 くの ク ェー サ ー とい う種 類 の 星 も観 測

され て い て,そ の 後 退 速 度 は毎 秒27万5000kmと 度 の90%を

速 さで 遠 ざ か っ

い う こ とに な る.こ れ は光 の速

超 え る速 さ で あ り,ド ップ ラ ー効 果 に よ り光 の波 長 は も との波 長 の約

５倍 に伸 び る.   光 の 波 長 が ５倍 に 引 き伸 ば され る とい う こ とは,光 め られ 弱 め られ る こ とで あ る.も

の エ ネ ル ギ ー が1/5に

うす

し も光 速 度

で後 退 す る星 が あ っ た と した ら,そ の 光 は全 くわ れ わ れ に と どい て こな い.そ れ よ り も速 く後 退 す る星 は わ れ わ れ に は 全 く見 え な い わ け で あ る.こ れ が宇 宙 の地 平 で あ る.宇 宙 が 無 限 で あ ろ う とな か ろ う と,こ れ よ り遠 くか らの光 は こ な い の で あ る.こ れ に よ っ てオ ル バ ー ス の パ ラ ド ッ ク ス は解 消 す る.ど ん な に 強大 な 望 遠 鏡 を作 っ て も,わ れ わ れ を照 ら し て くれ る星 が 観 測 で き る宇 宙 は,宇 宙 の地 平

図16  宇 宙 膨 張 と遠 方の 銀 河 の後 退

ま で の 限 りあ る宇 宙 で あ る.   わ れ わ れ が 見 て い る宇 宙 は ３次 元 空 間 で あ る.こ れ が一 様 に膨 張 して い く様 子 を想 像 す るの は むず か しい.そ

こで 次 元 を １つ 落 と して ２次 元 の球 面 と考 え る と

膨 張 は理 解 しや す い だ ろ う(図16).  宇 宙 膨 張 に よ る赤 方 偏 移   宇 宙 が い た る とこ ろ一 様 に 膨 張 す る と仮 定 す る と遠 方 の星 の 光 の 波 長 が ド ップ ラー 効 果 で 長 くな る とい う こ とで 赤 方 偏 移 は わ か りや す くな るが,そ

う考 え る と

大 変 遠 くの星 の 速 度 は光 速 度 を超 え る こ とに な って,運 動 の速 度 は光 速 度 を超 え ない とい う特 殊 相 対 性 理 論 の 結 果 と矛 盾 して し ま う.宇 宙 膨 張 に よ る赤 方偏 移 を 説 明 す る の に音 波 の ド ップ ラ ー 効 果 を用 い る の は 本当 は正 し くな い の で あ る.光 源 の 運 動 に よ って 波 長 が 変 化 す る の は,本

当 は 運 動 に よ っ て時 計 の 刻 み が 変 わ る

た め な の で あ る.   これ を説 明 す るた め,膨 張 宇 宙 の計 量 を調 べ よ う.こ れ は (３)

ただ し

(４) と 書 け る.た +dζ2で

だ し こ こで(dγ)2=dξ2+dη2

あ り,(t,ξ,η,ζ)は

っ た 座 標 系 で あ る.ま

たa(t)は

時空 に張 宇 宙 の膨

張 を 表 す ス ケ ー ル 因 子 で あ っ て,ｔと 増 大 す る も の とす る.し

図17  赤 方偏 移

ば し ば述 べ た よ

う にk=1と

し て も よ い.

 Ｓ を星,Ｅ

を 地 球 とす る.そ

lは(４)か

ら

共 に

の間 の距 離

(５)

で あ り,星 の後 退 速 度ｖ は (６)

とな る.   図17の

よ う に星 の 原 子 が 時 刻tsに 出 した光 のパ ル ス を地 球Ｅ にい る観 測 者 が 時

刻tEに 受 け と っ た と し よ う.光 路(γ

とｔ の 関 係)は (７)

((３),(４)参

照)で

与 え られ るか ら (８)

次 に星 の 原 子 の １振 動 がす ぎてts+δtsに 出 した 次 の 光 パ ル スが地 球 にtE+δtEの 時 刻 に 到 達 した と し,そ の 間 に 星 の 座 標γsと 地 球 の 座 標γEが 変 わ らな い とす る と

(９) と な る.た

だ しδtE,δtsは

小 さ な 量 と し た.そ

こ で(９)と(８)の

差 を とる と

(10) こ こ で δtE,δtsは 光 の 振 動 の １周 期 で あ る か ら,そ す る.ts＜tEで

あ り,宇

宙 の 大 き さ はa(ts)＜a(tE)で

れ ぞ れ 光 の 波 長 λE,λsに 比 例 あ るか ら

(11) す なわ ち星 が 出 す光 の 波 長λsに 比 べ て地 球 の 観 測 者 が 受 け とる光 の波 長 は長 くな る.こ れ が 宇 宙 の膨 張 に よ る光 の赤 方 偏 移 で あ る.   な おハ ッ ブル 定 数Ｈ

は

(12) に よ っ て 定 義 さ れ る か ら,(６)と

比 べれ ば

(13) (前 講(29))を

得 る.

  赤 方 偏 移 が 小 さ い とす る と(５)と(８)か

ら

(14) すなわ ち

(15) 他 方 で(11)を

書 き か え れ ば(11),(12),(15)に

よ り

(16)

し た が っ て 赤 方 偏 移(λE-λS)/λSは

ド ッ プ ラ ー 効 果 と し て 理 解 で き る.

 

Tea

Time

 星 の 一生   宇 宙 の 歴 史 に つ い て 語 る とす れ ば,多

くの う そ を語 る こ とに な るか も しれ な い.

宇 宙 に はた くさ ん の解 決 され て い な い疑 問 が あ る し,宇 宙 を観 察 す る技 術 の 発 展 と理 論 の 緻 密 さ の増 加 に よ っ て,疑 問 は ます ます 多 様 化 され る に ち が い な い か ら で あ る.昔 は知 識 が少 な か っ た か ら宇 宙 に つ い て気 楽 に語 る こ と もで き た と い い た い く ら いで あ る.い

ま ほ ど多 くの 人 が宇 宙 に つ い て関 心 を も っ て い る の は そ の

裏 返 しの 現 象 で あ る とい っ て も よ いで あ ろ う.た し か に 昔 に 比 べ れ ばわ れ わ れ は 宇 宙 に つ い て 多 くの こ と を知 っ て い る.し か し宇 宙 の歴 史 に つ い て の シ ナ リオ を つ く る とす れ ば,そ れ は い つ新 し く書 きか え られ る かわ か らな い もの で あ る こ と を覚 悟 し な けれ ば な らな い.こ れ は宇 宙 の 歴 史 だ け で な く,科 学 全 体 に つ い て い え る こ とで あ るが,特 い よ うに 思 う.

に 宇 宙 に 関 し て わ れ わ れ は ま だ きわ め て わ ず か し か知 ら な

  今 の 学 説 に よれ ば,宇 宙 は約150億 年 前 に ビ ッグ バ ン に よ っ て生 じた.し ば ら く して 宇 宙 の ガ ス や 塵 が 集 ま っ て 銀 河 が で き,星 が 生 まれ た .宇 宙 の 中 に は何 千 億 もの銀 河 が あ り,わ れ わ れ の太 陽 系 が 属 す る銀 河 系(天 の 川 銀 河)に は2000億 個 の 星 が 含 まれ て い る.そ の 直 径 は10万 光 年,厚

さ は1000光

年 ほ どの 円盤 状 の

星 の 集 団 で あ る.太 陽 系 は 銀 河 系 の や や 周 辺 部 に あ っ て,銀 河 系 全 体 の 円運 動 に つ れ て銀 河 中 心 の まわ りを秒 速200kmの

速 さ で公 転 し て い る.

  太 陽 系 は約50億 年前 に誕 生 し,あ と約50億 年 の 寿 命 を もっ て い る壮 年 の星 で あ る.宇 宙 に は今 で も若 い星 が誕 生 を続 け て い るが,宇 宙 自身 の 寿命 は 不 明 で あ る.太 陽 は平 均 よ り もや や 質 量 の小 さ な星 で あ るが 寿 命 は長 い方 に属 す る.大

き な質 量 の 星 は一 般 に た が い の 重 力 で し めつ け られ て い るた め 温 度 が 高 く,速 く燃 焼 す る の で,小 さ な質 量 の 星 に比 べ て 寿 命 が 短 い.重 い星 の 中 に は太 陽 の 質 量 の 100倍 以 上 の もの もあ る.星 のた ど る一 生 はだ い た い星 の質 量 で決 まって い る.太 陽 の 数 倍 以 下 の 質 量 の 小 さい星 は比 較 的 長 い寿 命 の 末 に赤 くふ くれ 上 が っ た赤 色 巨星 とな り,外 側 の ガ ス を放 出 しな が ら,や が て小 さ く縮 ん で暗 い 白 色矮 星 とな っ て 静 か に消 えて い く.わ れ わ れ の 太 陽 も赤 色 巨 星 へ の 道 を た ど り,一 時 は地 球 の軌 道 よ り も大 き くふ くれ 上 が るだ ろ う.   大 質 量 の 星 は燃 料 を速 く食 い つぶ し,短 い一 生 の 末 に大 き くふ くれ て赤 色 超 巨 星 とな り,そ の大 部 分 は 最 後 に大 きな 重 力 の た め に 自己 の 中 に収 縮 して 白色矮 星 と な る.し か しそ の一 部 は そ の 途 上 で大 爆 発(超 度 の 中 性 子 星 か ブ ラ ック ホ ー ル に な る.

新 星 爆 発)を

お こ し て す ごい 密

 第12講  球 対 称 な 星

―テ ー マ

◆ 一様 な密度 の星 ◆ 重 力場 の方 程式 ◆ 圧 力 の式 ◆ Tea

Time:星

の核 融合炉

 一 様 な 密 度 の 星

  空 間 的 に物 質 が 一 様 に 分 布 した球 対称 な星 を考 え る.星 の 内 部 は重 力 に よ っ て 引 き合 うか ら,中 心 に近 い ほ ど大 き な圧 力 が 加 わ るで あ ろ う.こ れ を 一 般 相 対 論 で 調 べ よ う.   この 状 況 の 下 で 重 力場 の 方 程 式 (１)

の 解 を求 め よ う(こ れ は 『相 対 性 理 論30講 トの 内 部 解 で 扱 った もの で あ る.こ

』 の 第29講

に お い て シ ュ ワル ツ シ ル

こで は少 し補 足 す る). (２)

と お く.

(３)

(そ の 他 のgik=0)

さ らに

によ り

(４) (そ の 他 のgik=0) こ れ ら か ら リ ッ チ ・テ ン ソ ル を 求 め る と(f'=df/dγ

な ど)

(５)

さ ら に(『 相 対 性 理 論30講

』p.214参

照)

(６) と 計 算 さ れ る.し

た が っ て(１)に

お いて

(７)

 エ ネ ル ギ ー 運 動 量 テ ン ソ ル  エ ネ ル ギ ー運 動 量 テ ン ソル は(完 全 流体 と して)

(８)

を採 用 す る.物 質 は 静 止 して い る と考 え るの で ４元 速 度 は (９) gij

=0(i≠j)で

あるか ら

(10) し た が っ て(８)か

ら

(11) と な る.す

なわ ち

(12)

 重 力 場 の方 程 式   (７),(８)に =3も

よ り 重 力 場 の 方 程 式(１)はi=k=0,i=k=1,i=k=2(i=k

同 じ式 と な る)に

対 して そ れ ぞ れ

(13)

を与 え る.   (13)の 第 １式 を書 き直 す と

(14) と な る.次

に(13)の

第 ２式 を γ で 微 分 す る と

(15)

と な り,(13)の

第 １式 と第 ２式 の 和 を つ く る と

(16) を 得 る.そ

こ で(16)にf'/2を

掛 け て(15)に

加 え る と少 し整 理 し て

(17) (18) と な る.こ

こ で 最 後 に(13)の

第 １式 と第 ２式 を 用 い た.

  した が っ て

(19) で あ る.こ

こ で(κ=8πG/c4)

(20) に よ っ てM(γ)と

い う量 を 定 義 す る と(14)は

(21) と書 け る.し たが ってM(γ)は

半 径 γ以 下 の全 質 量 を意 味 す る量 で ある.次 に(13)

の 第 ２式 か ら

(22)

を得 るの で

(23)

を 得 る.こ

れ を トル マ ン-オ ッペ ン ハ イ マ ー-ヴ ォ ル コ フ(Tolman-Oppenheimer-

Volkoff)方

程 式 と い う.

  この 方程 式 は古 典 的 な流 体 の平 衡 式

(24) と比 べ ら れ る.た

だ し(17)に

よ り

(25) は半 径 γ以 下 の全 質 量 で あ り,(24)に

お いてGρM(γ)dγ/γ2は(γ

∼ γ+dγ)の 球

殻 部 分 が そ こ よ り内 部 の全 質 量 と引 き合 う た め の 圧 力 で あ る.  非 圧 縮 性 の 場 合  流 体 が非 圧 縮 性 で あ る場 合 は ρ=一 定 とし て(21)か

ら

(26) これ をTOV方

程 式(23)に

代 入す る と

(27) と な る.こ

れか ら

(28) 積分す れば (29) (30) (p0は

γ=0に

お け る圧 力)を

得 る.こ

れ を書 き直 す と

(31) と な る.

 

Tea

Time

 星の核 融合炉   星 が放 射 す る莫 大 な エ ネ ル ギ ー の源 は核 融 合 で あ る.こ れ を 明 ら か に した の は ドイ ツ生 まれ の ア メ リカ の物 理 学 者 べ ー テ(H.Bethe)と ゼ ッカ ー(C.F.von

Weizsacker)で

あ る.彼

ドイ ツ の 物 理 学 者 ワ イ

らが み つ けた 核 融 合 の過 程 は炭 素

(Ｃ)と窒 素(Ｎ)を 触 媒 と して 水 素 が 融 合 してヘ リウ ム をつ く り出 す もの でCN反 応 と よば れ る.さ

らに 同 年 に べ ー テ は 陽子-陽 子 反 応(p-p反

応)を み つ けた.こ

れ は途 中 の 過 程 は複 雑 だ が 最 終 的 に は や は り水 素 ４個 を ヘ リウ ム １個 に転 換 す る 核 融 合 で あ る.こ の反 応 で 生 成 す るヘ リウ ム １個 の 質 量 は燃 料 で あ る水 素 ４個 に 比 べ て0.7%だ

け小 さ くな っ て い る.質 量 の0.7%が

融 合 反 応 とい うわ け で あ る.太 陽 で はp-p反 陽 の1．5倍 程 度 よ り重 い 星 で はCN反

熱 エ ネ ル ギ ー に転 化 す る核

応 で エ ネル ギ ー が つ くられ るが,太

応 が 主 に な っ て い る.

  太 陽 の 中 心 で は高 温 の た め電 子 が とれ て プ ロ トン に な っ た水 素 の原 子 核 が 高速 で 飛 び ま わ っ て,た が い に衝 突 す る こ とに よっ て 融 合 反 応 を お こ して い る.こ れ は熱 核 融 合 で あ る.熱 核 融 合 に よ って つ く られ るエ ネ ル ギ ー と太 陽 の 表 面 か ら放 射 され る エ ネ ル ギ ー の 釣 り合 い に よ って太 陽 の 中 心 温 度 は約1500万 い る.ま た この反 応 に よっ て 多 量 の ニ ュー トリノ が放 出 され,太

度 に保 た れ て

陽 の 中 を素 通 り

して 地 球 まで直 接 飛 ん で くる.こ の 太 陽 ニ ュ ー トリ ノに よ っ て太 陽 の 中 の 熱 核 融 合 が 確 か め られ て い る.   ビ ッグ バ ン に よ って 最 初 につ く られ た 元 素 は水 素 で あ るが ヘ リ ウ ム を 含 む 炭 素 まで の 軽 い元 素 も この 過 程 で い く らか つ く られ た ら しい.そ れ ら は星 の形 成 の と きに星 の 中 に と り入 れ られ た が,星

の 中 の核 融 合 に よっ て もヘ リ ウム か ら炭 素 ま

で の軽 い 元 素 が つ くられ た.炭 素 は 自然 の 中 で 最 も安 定 な 元 素 の １つ と考 え られ る.   赤 色 巨星 の 時 代 が終 わ る と,主 に炭 素 で で きた 星 は そ れ以 上 核 融 合 を お こ さず に 白色矮 星 と な っ て縮 み は じめ る.こ の と き星 が 重 力 に よっ て つ ぶ れ て し まわ な い よ うに 支 え るの は電 子 の 運 動 に よ る圧 力 で あ る.こ れ は電 子 の 集 団 が パ ウ リの 排 他 原 理 に した が い,圧 縮 す れ ば莫 大 な圧 力 を生 じ るた め で あ る(こ れ を 明 らか に し た の は イ ン ド生 まれ の ア メ リカ の 天体 物 理 学 者 チ ャ ン ドラ セ カー ル(S.Chandrasekhar )で あ っ た).大

きさ も質 量 も太 陽 ほ どだ った 星 が 収 縮 して 白色矮 星 に

な った と きは 地 球 ほ どの大 き さ に な り,貯 え た エ ネ ル ギ ー を放 出 しな が らや が て

は冷 え て 暗 くな っ て 見 え な くな っ て し ま う.   太 陽 よ りもず っ と大 き な質 量 を も った 星 は短 命 だが,水 素 を勢 い よ く消 費 して ヘ リウ ム か ら炭 素 まで の 元 素 を つ く り,そ れ で も核 融 合 をや めず に,さ ら にニ ッ ケ ル,コ

バ ル ト,そ して 鉄 まで の元 素 を つ く る.鉄 は核 融 合 して エ ネ ル ギ ー を と

り出す こ と ので き る最 後 の 元 素 で あ る.   こ こ まで 到 達 した 大 質 量 星 が 重 力 に よ っ て つ ぶ れ な い よ う に支 え るの は,ま た し て もパ ウ リの排 他 原 理 で あ る.し か し この場 合 は電 子 集 団 の圧 力 で は も ち こた え られ ず,中 性 子 の 排 他 原 理,中 性 子 の 集 団 の運 動 に よ る圧 力 で あ る.   中性 子 は陽 子 と電 子(と 反 ニ ュ ー ト リノ)に 崩 壊 す る性 質(寿 命 約15分)を

も

っ て い るが,原 子 核 の 中 の よ うにせ まい 空 間 に閉 じ込 め られ る と逆 の 反 応 もお こ るた め に長 生 き す る こ とが で き る.大 質 量 星 の よ う に大 きな 重 力 の圧 力 で せ ま い 空 間 に 閉 じ込 め られ る と,星 は つ ぶ れ て それ 自身 が 巨大 な 原 子 核 の よ う に密 度 が 高 ま り物 質 はす べ て 中性 子 に な っ て し ま う.こ れ が 中性 子 星 で あ る.白 色矮 星 の 密 度 は100兆g/cm3で

あ る が,中 性 子 星 の 密 度 は そ の １億 倍 以 上 もあ るか ら,中

性 子 星 の 内 部 に比 べ れ ば 白色矮 星 な ど は真 空 の よ う に す か す か だ とい う こ とに な る.   大 質 量 星 の 中 の きわ め てわ ず か の星 は中 性 子 星 にな る途 上 で大 爆 発 をお こす.こ れ は超 新 星 爆 発 と よば れ て い る現 象 だ が,超 新 星 爆 発 が お こ る原 因 は よ くわ か っ て い な い.し か しい ず れ に して も超 新 星 爆 発 が お こ る と き に は膨 大 な エ ネ ル ギ ー が 放 出 され,短

い 間 に 鉄 よ り も重 い 元 素 が つ く られ る と考 え られ て い る.

  この シナ リオ は現 在 多 くの人 が だ い た い納 得 し て い る もの で あ る と思 う(筆 者 の 誤 解 も混 じ っ て い る こ とを恐 れ るが).前 講 のTea

Timeの

冒頭 で 述 べ た よ うに

今 日の シナ リオ は 明 日 はい く らか書 きか え られ るだ ろ う.だ か ら このTea

Time

で 述 べ た こ との全 部 を丸 ご と信 じて も ら って も困 る.誰 かが い って い る よ うに 「科 学 は物 事 を疑 う こ とか ら始 ま る」 の だ か ら.

 第13講  重

力

波

―テー マ

◆ 重力 波 の存在 ◆ 重力 場 の線形 近似 ◆ 重 力 波 の方程 式 ◆ Tea

Time:元

素 の周期 表

 重   ア イ ン シ ュ タ イ ン(A.Einstein)の

力

波

重 力 波 の 方 程 式 は,物 質 の 存 在 に よ っ て 時

空 が ゆ が ん で い る こ と を記 述 す る もの で あ る.し た が っ て物 質 が 動 け ば時 空 の ゆ が み は伝 播 し,波

と して 伝 わ る こ とが あ り得 る と想像 され る.そ れ は荷 電 物 体 が

振 動 す れ ば電 磁 波 が 生 じて 伝 播 す るの と同様 で あ ろ う.フ ァラ デ ー(M.Faraday) や マ ク ス ウ ェ ル(J.C.Maxwell)が タイ ン も1916年

電 磁 波 の 存 在 に気 付 いた よ う に,ア イ ン シ ュ

に弱 い重 力 場 の解 析 か ら,時 空 の ゆ が みが 波 とな って 伝 播 し得 る

こ と,す な わ ち 重 力 波 の存 在 に気 付 い て い る.   宇宙 で は超 新 星爆 発 な ど に よ っ て大 きな 質 量 が 移 動 す る と き,あ る い は連 星 の 回転 な ど に よ っ て 重 力 波 が放 出 され る こ とが 期 待 され る.地 球 上 で 重 力 波 の 到 達 を発 見 す る試 み が な され て い るが,現 在 で は まだ 重 力 波 が 直 接 観 測 され た こ と は な い.し か し間 接 的 に は重 力 波 に よ っ て連 星 系 の エ ネ ル ギ ー が 減 少 し て い く こ と が 確 認 され て い る.テ

イ ラ ー(J.S.Tayler

Jr.)ら は連 星 パ ル サ ー(２ つ の 中性 子

星 が た が い に相 手 の まわ りを 回 って い て,一 方 の 中 性 子 星 か ら周 期 的 パ ル ス電 波

が 放 出 され て い る)の 回転 周 期 を10年

あ ま りに わ た っ て観 測 し,エ ネ ル ギ ー の 減

少 に つ れ て 周 期 が 次 第 に短 くな る の は重 力 波 の 放 出 に よ る もの で あ る こ と を確 か め た(1978年).   電 磁 波 の 伝 播 を記 述 す るマ ク ス ウ ェル 方 程 式 と異 な り,ア イ ン シ ュ タ イ ンの 重 力 波 の 方程 式 は非 線 形 で あ るた め に振 幅 の 大 きい 重 力 波 の伝 播 を計 算 す る の は 困 難 で あ る.そ

こで,こ

こで は平 らな空 間 の 中 を伝 わ る微 小 振 幅 の 重 力 波 を線 形 近

似 で 導 く こ と にす る.電 磁 場 か ら電 磁 波 を導 くの に 似 た 方 法 を と るの で,真

空中

の 電磁 場 か ら は じ め る.  真 空 中 の 電 磁 波   真 空 中 の電 磁 場 を記 述 す る マ クス ウ ェ ル の 方 程 式 は (１)

お よび (２) と書 か れ る.こ

こ で 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル(φ,A)を

導 入 し (３)

と 書 け ば,(１)は

自動 的 に 満 た さ れ,物

お き か え ら れ る.そ

こ で(３)を(２)に

理 的 な 内 容 を 別 に す れ ば(３)は(１)で 代 入 し,ベ

ク トル 公 式 (４)

を用 い,少

し整 理 す れ ば

(５)

を得 る.結 局,数

学 的 に は真 空 中 の マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 は(５)に

とに な る.し か も,(５)の

第 １式 の 右 辺 はdiv A+(1/C2)(∂

要 約 され る こ

φ/∂t)の時 間 微 分,

(５)の 第 ２式 の右 辺 は 同 じ式 の 空 間 微 分 で,相 対 論 的 な ４次 元 空 間 に お け る方 程

式 と見 れ ば,(５)の

２つ の 方 程 式 は 時空 の 中 の １つ の 方 程 式 と考 え る こ とが で き

る.   物 理 的 には,同 磁 気 学30講

じＥ とＢ を与 える φ とＡ は一 義 的 に決 ま らない もので あ る(『電

』p.189以

下 参 照).そ

れ を利 用 し て (６)

と す る こ と が で き る(こ の よ う に と る こ と を ロ ー レ ン ツ 条 件 とい う).こ の と り 方 を 制 限 す る こ と で あ る が,逆 と も で き る.な

れ は φ,Ａ

に 座 標 系 の 選 び 方 を 制 限 す る こ と と見 る こ

お (７)

を 満 た すχ0を 用 い て(φ, A)か

ら (８)

に 移 っ て も,ロ

ー レ ン ツ 条 件 は 保 た れ る.す

なわち (９)

が 保 た れ る.(７),(８)を   ロ ー レ ン ツ 条 件(６)を

ゲ ー ジ 変 換 と い う. 用 い る と(５)は

(10) とな る.こ れ は波 動 方 程 式 で あ っ て,電 磁 波(φ,A)が

光 速 度 で伝 播 す る ことを表

して い る.  重 力 場 の 線 形 近 似  さて,重 力 場 に対 す るア イ ン シ ュ タ イ ン方 程 式(第

６講(１))は

(11) で あ る.物 質 の な い真 空 中 の 重 力 波 を考 え るの で,(11)は

(12)

と な る.こ

こ で リ ッ チ ・テ ン ソ ル Ｒμνは(第

４講(12))

(13) で あ り,３ 指 記 号 は

(14)

  これ か ら先 は線 形 近 似 を とろ う.す な わ ち 時 空 は ほ とん ど平 らで あ っ て,基

本

計 量gμνは

(15) と書 か れ る.こ こで ημν は平 ら な空 間 の 計 量 で あ って

(16)

と す る.す

な わ ち(η μν)は定 数 行 列,￨hμν￨は 十 分 小 さ い と し てhμν の ２ 次 以 上 の

小 さ な 量 は 無 視 す る.   こ の 近 似 で はRμν(13)の

最 後 の ２ つ の 項 は 無 視 で き る.(14)で

∂glλ/∂ⅹ μな ど は １次 の 量 な の で そ の 前 のgλlは 定 数 と見 て よ い.し

は括 弧の 中の た が っ て(14)の

微分 は

(17)

と し て よ い.こ の ２式 の 右 辺 の 中 で第 ２項 は等 しい か ら ２式 の差 を とる こ と に よ り線 形 近 似 で は

(18)

こ こ で右 辺 の 第 ３項 は

(19) と書 き直 せ る(添 字 λ,ｌ に つ い て は和 を と る の で,こ

れ ら を と りか え て も よ い.ま

たglλ=ｇ λl).   (12)に

よ りRμν=0な

の で((18)の

右 辺 で 第 １項 と第 ４項 を 入 れ か え る)

(20) を得 る.こ れ が 線 形 近 似 を した 重 力 場 の 方 程 式 で あ る.こ の 式 の 中 で 括 弧 は １次 の微 少 量 で あ るか ら先 頭 のgλlは ηλlで お き か えて もよ い.ま た 括 弧 の中 のgμνな どは す べ てhμνな ど と書 きか え て もよ い が,こ

の ま ま に して お こ う.

  つ い で に添 字 を と りか え て,

(21) と書 きか え る と,重 力 場 の 方程 式(20)は

(22)

と な る(Ｒ.デ

ィ ラ ッ ク(江

沢 洋 訳)『 一 般 相 対 性 理 論 』,東 京 図 書(1986),p.99,

(33．1)式 参 照).

 重

力

 電 磁 場 に対 す る ロー レン ツ条 件(９)に

波

な らい,座 標 の任 意 性 を利 用 して,座 標

の選 び 方 に対 す る条 件

(23) を つ け る.こ

れ を調 和 座 標 の 条件 とい う(デ と書 く

ィ ラ ッ ク,前

と書 く本 が 多 い

と,こ

出).添 字 λを 下 げ て の条件 は

(24) と書 け る.こ

こで

(25) さ らに

(26) な の で,こ

の条 件 は

(27) と書 け る.こ れ をxσ で 微 分 して,２ 次 の項 を省 略 す る と

(28) ρ と σ を変 換 して

(29) そ こ で(22),(28),(29)を

加 え る と,左

辺 第 １項 だ け が 残 っ て

(30) を 得 る.   こ こ で ２次 の 項 は 省 略 す る の で(30)のgμν で お き か え て も よ い.し

は ημν で お きか え て も よ く,gρ σ はhρ σ

た が っ て(30)は

(31) とな る.こ れ は時 空 の ゆ が みhρσが 光 速 度 Ｃで伝 播 す る こ と を表 す.こ れ が 重 力 波 に ほ か な らな い.   な お,重 力 波 の源 にな る の は エ ネル ギ ー運 動 量 テ ン ソルTμν で あ る.こ れ を場 の 方程 式(12)の

右 辺 に残 して お け ば,重 力 場 の線 形 近 似 は(31)の

代わ りに

(32)

と な る.

 

Tea

Time

 元素 の周 期表   「リべ ブ ク ノ ブ ・ナ ム ガ ル シ プ ス ク ル ・ク カ ス ク チ ブ ク ル ン ヌ フ ェ コ ニ ・ク ズ ン ガ ゲ ア ツ セ ブ ル ・ル ブ ス ル イ ズ ル ヌ ブ モ(マ)…

ア グ ク ドイ ン ス ン ス ブ テ イ ・ク

スバ ラ … 」   この

「ジ ュ ゲ ム ジ ュ ゲ ム ・ゴ コ ウ ノ ス リ キ レ … 」 み た い な 唱 え 文 句 は,元

周 期 律(下

の 表)で

ウ ム に あ た る が,そ

あ る.(上

の 唱 え 文 句 の 中 で(マ)と

あ る の は,今

素 の

の テ クネ チ

の 昔 は 別 の 名 で よ ば れ て い た.)

  大 学 の入 試 の た め に,周 期 律 を丸 暗 記 した の で あ る.た ま た ま入 試 の 化 学 の 出 題 に,あ

る実験 を説 明 し,「 これ か ら銅 の 原 子 量 を求 め よ」とい うの が あ っ た． そ

の 実 験 に したが って 計 算 し,答 を63.… と出 して か ら,こ れが 正 確 か どうか を考 え た.カ

ン ニ ング は もち ろ ん で きな い.周 期 表 は丸 暗 記 して あ るが,原

子量 まで は

暗 記 して い な い.し か し原 子 量 は原 子 番 号 の ２倍 よ り少 し大 き い くらい で あ る こ と を知 っ て い た.そ

こ で指 を折 って 数 えて み る と銅 の原 子 番 号 は30で あ る こ とが

わ か った の で 原 子 量 約63と

い う の は正 しい とい う 自信 を もつ こ とが で きた.試 験

場 を出 て廊 下 で ポ ケ ッ トに入 れ て い た 周 期 表 を出 して み て,そ れ が 本 当 で あ る こ と を確 か め た と き はや は り うれ しか った.   今 で も 「リべ ブ ク ノ フ …」 は覚 えて い る.子 供 の と きの 暗 記 力 はす ば ら し い も の が あ る.英 語 の辞 典 を逆 に引 くた め に覚 えたabc… の 逆 のzyx…

も,今 も忘 れ な

い で い る.   小 学 校 で ２年 生 の と き に掛 け算 の 九 九 は覚 え させ られ た が,そ れ は 「2・3が ６」 とい う風 に小 さい 方 の 数 か ら掛 け るの だ け で あ っ て,「3・2が

６」とい う よ う に大

きな数 か ら掛 け る の は覚 え させ られ な か った.   と こ ろが ３年 に な る と きに転 校 し,新 しい 学 校 で は ２年 の と き に 「2・3が ６」 と 「3・2が ６」 の両 方 を覚 え させ て い た.そ の た め の カ ル チ ャ ー シ ョ ッ ク は痛 か っ た.算 数 の テ ス トで は大 きい 数 か ら掛 け る問題 もた く さん 出 るの で,突 生 に な って し ま っ た の で あ る.そ の他 に もい ろい ろ あ っ て,そ

然劣等

の学校 には遂 にな

じめ な い 気 持 ちが 残 って し ま った もの で あ る.   これ に似 た体 験 を もつ 人 が 多 いの で は な い か と思 う.記 憶 力 の 強 い子 供 の 時 代 に必 要 な こ と は早 め に 覚 え させ た 方 が い い よ う に思 う.   そ れ で は,「 ヘ ロ ホ イ ニ トハ ・ トニ イ ホ ロヘ ハ 」 は何 で し ょ う.   「コナ ル カ ヒ フニ レ コ ヒ」 は?

 第14講  相 対 性 理 論 と量 子 力学

―テー マ ◆ ス カ ラ ー 波 動 関 数 ◆ 確 率 の 保 存 ◆ Tea

Time:E.ウ

イグ ナー

 ス カ ラ ー 波 動 関 数

  シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー(E.Schrodinger)は

ド ・ブ ロ イ(L.-V.de

Broglie)の

物

質 波 の ア イ デ ィ ア か ら物 質 波 の 波 動 関 数 を 導 こ う とす る 最 初 の 試 み に お い て,ド ブ ロ イ と同 様 に 特 殊 相 対 論 的 な 物 質 波 を 考 え た .自 ー を Ｅ とす る と

,よ

・

由粒 子 の 相 対 論 的 な エ ネ ル ギ

く知 ら れ て い る よ う に

(１)

で あ る.た だ しこ こでｐ は粒 子 の運 動 量,ｍ 由 粒 子 に付 随 す る ド ・ブ ロ イ 波 を ψ(r,t),そ

は質 量 であ り,cは の 波 数 をｋ,角

光 速 度 で あ る.自 振 動 数 を ω とす る

と

(２) と な る.こ

こ で ド ・ブ ロ イ の 式 (３)

を用 い た.こ の 関 係 式 に よ り

(４)

故 に エ ネ ル ギ ーＥ

と運 動 量ｐ は そ れ ぞ れ (５)

と し て ψ(r,t)に   (５)を

は た ら く演 算 子 と 見 ら れ る.

用 い る と(１)か

ら (６)

を 得 る(▽2=∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2).   水 素 原 子 の 場 合 は 原 点 に 電 荷 が+eの ネ ル ギ ー(電

原 子 核 が あ っ て 電 子 は そ の た め の位 置 エ

子 の 電 荷 は-e) (７)

を もつ.こ の と きの 電 子 の相 対 論 的 な エ ネ ル ギ ー は (８)

で あ る.書 き直 す と (９) と な る.し

た が っ て(６)を

拡 張 した 式

(10) が 水 素 原 子 に 対 し て 成 り立 つ と 期 待 さ れ る.   し か し シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー が ワ イ ル(C.H.H.Weyle)の い て エ ネ ル ギ ー 固 有 値 を 求 め た と こ ろ,水 明 し た(こ の 計 算 と結 果 は 省 略 す る).こ

助 力 に よ り(10)を

解

素 の ス ペ ク トル と 一 致 し な い こ と が 判 の た め シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー は しば ら くこ

の 問 題 の 研 究 か ら 遠 ざ か っ た.   方 程 式(10)あ

る い は(６)は

ψ を ス カ ラ ー 関 数 と 考 え る と,こ

の ま ま で は量 子

力 学 の基 礎 方程 式 とす る こ とが で きな い よ うな 欠 点 を も っ て い る.そ れ は,粒 子 の 存 在 確 率 の保 存 を表 す 式 が 見 出 さ れ な い とい う欠 点 で あ る.自 由粒 子 に 対 す る 式(６)に

つ いて これ を説 明 しよ う.粒 子 の存 在 の確 率 密 度 をP(r,t)と

流 れ をS(r,t)と

し,そ の

す る と,粒 子 の 保 存 則 は

(11) と表 さ れ る はず で あ る.(６)に

対 す る複 素 共 役 の 式

(12) を援 用 す る と

(13)

とす れ ば(11)が

満 た さ れ る こ と は 容 易 に 示 さ れ る .し

粒 子 の 確 率 密 度 を 表 す よ う に 見 え る が,た (E/mc2)ψ*ψ

と な る.相

の で,E＜0と

お く とP(r,t)＜0と

P(r,t)を

た が っ て 上 記 のP(r,t)は

と え ば ψ∼e-iEt/〓 と お く とP(r,t)=

対 論 で は 負 の エ ネ ル ギ ー も許 さ れ る(第17,23講 な る が,負

参 照)

の 存 在 確 率 は 考 え ら れ な い か ら,

存 在 確 率 と して使 う こ とは で き な い.

 確 率 の 保 存

  粒 子 の 存 在 確 率 の 保 存 則 を 保 証 す る に は,波

動 方 程 式 が 時 間 に 対 し て １階 の 微

分 を含 む式 で

(14) の形 の もの で あ る と都 合 が よ い(た だ し こ こで ψ は ス カ ラ ー と は限 らな い し,Ｈ も行 列,あ

る い は行 列 の性 質 を もっ た 演 算 子 で あ るか もしれ な い) .

 ψ とＨ の 複 素 共 役(ベ ク トル あ るい は行 列 の とき はエ ル ミー ト共 役)を ψ*,H*

と す る と,(14)か

ら

(15) した が っ て

(16) よっ て

(17) そ こで さ ら にＨ が 任 意 の 関 数 ψ,ψ に対 して

(18) を満 た す(こ

の と きＨ はエ ル ミー ト的 で あ る とい う)こ

と を要 請 す れ ば

(19) と な る.こ

れ は

(20) が保 存 さ れ,し た が っ て 確 率 密 度 で あ る こ とが 保 証 され る.

 

 Ｅ .ウ

Tea

Time

イ グナ ー

  ウ イ グ ナ ー(Eugene

Wigner,1902‐1995)は

量 子 力 学 の 研 究 に 入 る 前 に 化 学 工 学 やＸ て,ほ

量 子 力 学 の 建 設 者 の １人 で あ る. 線 結 晶学 な どで道 草 を食 った せ い もあ っ

と ん ど 同 年 配 の ハ イ ゼ ン ベ ル ク(W.K.Heisenberg,1901-1976)な

べ る と 仕 事 の 性 質 が い く ら か 地 味 な 感 じ が す る.し ク トル の 量 子 力 学 へ の 応 用 』(1931)は

か し彼 の著

ど と比 『群 論 と原 子 ス ペ

学 界 に 大 き な 影 響 を 与 え た し,固

体電子 に

対 す る ウ イ グ ナ ー-サ イ ツ 法(1933)も

有 名 で あ る.「 原 子 核 と 素 粒 子 に お け る対

称 性 の 発 見 」 で は ノ ー ベ ル 物 理 学 賞(1963)を ッ ク(P.A．M.Dirac)の

受 け た.ウ

イ グ ナ ー の妹 はデ ィラ

夫 人 に な っ て い る.

  ア イ ン シ ュ タ イ ン(A.Einstein)も

ウ イ グ ナ ー も,1933年

に ナ チ ス が 支 配 した

ヨ ー ロ ッパ を は な れ て ア メ リ カ の プ リ ン ス ト ン へ 移 っ た .   1979年

に ア イ ン シ ュ タ イ ン生 誕 百 年 祭 が プ リ ン ス トン の 高 級 研 究 所 で 催 さ れ た

と き,た

ま た ま そ の 地 を訪 れ て い た 筆 者 は プ リ ン ス トン 大 学 数 学 教 室 の ク ル ス カ

ル 教 授(M

.D.Kruskal)な

ど と共 に,ウ

イ グ ナ ー の 話 を 聞 き に い つ た .も

ア イ ン シ ュ タ イ ン に 関 す る 思 い 出 話 で あ る.会

ウ ィ グ ナ ー と共 に 細 く て 長 身 の デ ィ ラ ッ ク の 姿 も見 ら れ た.ウ 語 な ま りが あ る お だ や か な 語 り 口 で,立 後 の1984年10月20日

to Andrew

Szanton"(Plenum,1992)と

ィ グナ ー は ドイ ツ

っ た ま ま で 講 演 し た.デ

に 亡 く な っ た(10月20日

  手 も と に Ｇ 氏 か らい た だ い た"The

ィ ラ ッ ク は ５年

は 筆 者 の 誕 生 日 で あ る).

Recollections

of Eugene

P.Wigner

い う 本 が あ る .Szanton(ス

と 読 む の か)は 科 学 物 の フ リ ー ラ イ タ ー で30回

ち ろん

場 に は 丸 み を帯 び た か らだ つ きの

as Told ザ ン トン

以 上 ウィグナー にインタ ビュー し

た ら し い.ウ

ィ グ ナ ー が テ ー プ レ コ ー ダ ー を い や が っ た の で ノ ー トを と っ た と 書

い て い る.こ

の 本 に も と づ い て ウ ィ グ ナ ー,デ

ラ ー ド(L.Szilard)な

ィ ラ ッ ク,ア

ど の こ と を 書 い て み た い.

イ ンシュタイ ン

,シ

 第15講  デ ィ ラ ッ ク方 程 式

―テー マ ◆ デ ィ ラ ッ ク 方 程 式 ◆ ４元 ベ ク トル の 波 動 関 数 ◆ 4×4行 ◆ Tea

列 の α,β

Time:1933年

前後

 自 由 粒 子 の 波 動 方 程 式   デ ィラ ック(P.A.M.Dirac)は

波 動 方 程 式 が 時 間ｔ の １階 微 分 で あ る こ とを要

請 した.   自 由粒 子 を考 え,ハ

ミル トニ ア ン Ｈ を (１)

と仮 定 す る.こ

こ で 運 動 量P=(px,py,pz)に

に わ か る よ う にαx,αy,αzの け る).(１)を

対 し てα=(αx,αy,αz）

そ れ ぞ れ や β お よ びＨ

用 い る と 波 動 方 程 式i〓∂ ψ/∂t=Hψ

で あ る(後

は す べ て ４行 ４列 の 行 列 で 書 は

(２)

と な る.自 く と上 式(デ

由 粒 子 で は Ｅ,ｐ

は定 数 で あ る か ら α,β も ｒ,ｔ を含 まな い.成

ィ ラ ッ ク 方 程 式)は

分で書

(３) さ ら に 自 由 粒 子 で はE2=c2p2+m2c4で

あ る の で,(２)の

解 のすべ ては (４)

を 満 足 す る こ と を 要 請 す る(逆   そ こ で(２)に

左 か らE/c+α

の こ と は 特 に 要 請 し な い). ・P+βmcを

掛 け る.αx,αy,αz,β

の 積 の順 序 に

注 意 して

(５)

これ が(４)に

同 等 で あ る こ とを 要請 す る の で

(６)

で な け れ ば な ら な い.   な お 上 式 で Ｉ は ψ やαx,αy,αz,β

に は た ら い て も 変 化 さ せ な い もの を 意 味 す る.

す なわち (７)   (６)はαx,αy,αzと

β の 反 交 換 関 係 で あ る.こ

β は た だ の 数 で は あ り え な い が,こ は α,β,Ｉ を ４行 ４列 の 行 列(4×4行 動 関 数 ψ は ４元 ベ ク トル

の 交 換 関 係 を 満 た す αx,αy,αz,

れ を 満 た す も の と し て 行 列 が 考 え られ る.こ 列)と

す る こ とで 満 た さ れ る.こ

れ

の と き波

(８)

とす る.   【注 意 】 これ に 応 じ てＩ は4×4の

単位 行列

(９)

と な る.た

と え ば(２)の

左辺 の式

(10) に お い て α=(αx,αy,αz)と

β は そ れ ぞ れ4×4行

と 書 け ば ふ つ う は,こ

れ は た だ の 数 で あ る が,上

と を 明 示 す る に は,こ

の式 を

列 で 書 か れ,こ

れ に 対 し てE/c

式の各項が すべて行列で あ るこ

(11) と書 か ね ば な らな い.し か し この よ う な場 合 に,単 位 行 列 Ｉは省 略 して(10)の

よ

うに書 くこ とが 多 い.本 書 も この慣 習 に した が う こ とに す る.  保  確 率 密 度P(r,t)と

存

則

流 れS(r,t)を

(12) と お く と,保

存則

(13) が 成 り立 つ.α=(αx,αy,αz)は   【証 明 】

３次 元 的 な の で Ｓ は ３次 元 の ベ ク トル 場 で あ る.

自由 粒 子 に つ い て 調 べ る と

(14)

よっ て

(15) この保 存 則 は電 磁 場 な どが あ る場 合 に も成 立 す る.

 

 1933年

Tea

Time

前後

  ウ ィ グ ナ ー(E.Wigner)は1902年

に ハ ン ガ リー の ブ ダペ ス トで 生 まれ た.自

動 車 もラ ジ オ も,ガ ス も電 気 もな い 時代 だ った が 中産 階 級 の人 た ち は十 分 幸 福 に くら し て い た.原 子 論 も量 子 力 学 も,相 対 性 理 論 もな か った し,原 子 核 な どに 関 して は何 の知 識 もな か っ た,と   彼 の 両 親 は ユ ダ ヤ人 で,父 った.姉

は20歳

ウ ィグ ナ ー は回 想 す る.

は製 革 業 の 管 理 職 に あ り,安 定 した 幸 福 な家 族 で あ

で結 婚 して家 を去 り,２ 歳 下 の 妹 の マ ル ギ ッ ト(マ ン シ ー)と ウ

ィグ ナ ー は小 さな こ とで よ くけ んか した が,間

も な く仲 よ しに な った.こ

れ が将

来 デ ィ ラ ック夫 人 とな るマ ン シー で あ る.   当 時 ブ ダペ ス トに は80万 人 で あ った.し

の人 が住 ん で いた が,そ

の うち で 約20万

人 はユダヤ

か しハ ンガ リー 議 会 に い た ユ ダ ヤ 人 は １人 だ け で あ り,そ れ も奇

蹟 で あ る と思 わ れ て い た.   ウ ィグ ナ ー は11歳

の と き肺 結 核 に な っ て,母

とオ ー ス トリア の サ ナ トリウム へ

転 地 し,す る こ とが な くて ひ と りで 初 等 幾 何 の勉 強 を した り した.肺 で ６週 間 後 に家 ヘ戻 った.こ

結核 は誤 診

れ らの 出 来 事 は短 い期 間 で あ った が 後 年 の 彼 を支 え

て い る よ う に思 わ れ る.   第 １次大 戦 とロ シア で 起 こっ た 革 命 もハ ン ガ リー の 人 た ち に大 きな影 響 を与 え な か っ た ら し く,そ この ユ ダ ヤ人 は ドイ ツ を安 全 な 国 と考 え る あや まち を犯 す こ

と に な っ た.   ウ ィ グ ナ ー の 父 は ウ ィ グ ナ ー が 父 の 仕 事 を つ ぐ こ と を 望 ん だ が,彼 教 授 に な り た い と 思 う よ う に な っ た.結

局,1921年

ぶ た め に ベ ル リ ンの 工 業 高 校 へ 行 く が,そ 方 で 広 く読 ん で,フ

は物 理 学 の

に ウ ィグ ナ ー は化 学 工 学 を学

こ で 物 理 学 の 勉 強 を す る こ と に な る.他

ロ イ トの 心 理 学 に ひ か れ る ウ ィ グ ナ ー で あ っ た.

  近 くに あ っ たベ ル リン大 学 で 開 か れ る ドイ ツ物 理 学 会 の コ ロ キ ウム へ 出 か け て 行 き,は

じ め て プ ラ ン ク(M.Planck),ラ

Einstein)な

ウ エ(M.Laue),ア

ど の 姿 を 見 る こ と に な る.ハ

ル リ ン に き た と き に は 出 席 し た し,若 理 論 よ り も実 験 が 重 ん じ ら れ て い た.量 で い た し,理

イ ン シ ュ タ イ ン(A.

イ ゼ ンベ ル ク(W.K.Heisenberg)も

い パ ウ リ(W.Pauli)も

き た.こ

ベ

の時代 に は

子 力 学 に 対 し て 多 くの 人 は 二 の 足 を 踏 ん

論 に 対 し て 一 般 に あ る 種 の 偏 見 を も っ て い た.

  しか し それ に もか か わ らず コ ロキ ウ ム に お け る理 論 物 理 学 者 の 生 き生 き と した 議 論 は ウ ィ グ ナ ー に 大 き な 印 象 を 与 え る に 十 分 で あ っ た.コ

ロキ ウ ム が 終 わ っ て

も ウ ィ グ ナ ー た ち は 解 散 せ ず に コ ー ヒ ー 店 で 気 炎 を あ げ る の だ っ た.   そ う し て い る 間 に も第 １次 大 戦 後 の ド イ ツ は 凋 落 の 道 を た ど っ て い た.失 は あ ふ れ,ド

イ ツ マ ル ク は 紙 き れ と化 し,1922年

後 に は １兆 マ ル ク に な っ た.人 与 す る よ う に な り,1933年

秀 才 で1927年

年

に は ヒ ト ラ ー が 政 権 を と る に 到 る の で あ っ た. 『量 子 力 学 の 数 学 的 基 礎 』(1932)

ダ ペ ス トに お け る ウ ィ グ ナ ー の 遊 び 友 達 で あ っ た.彼

に ベ ル リ ン 大 学 私 講 師,1930年

数 理 物 理 学 教 授 に な っ て い る.ノ っ た ら し い.お

ル ク,１

々 は ドイ ツ が共 産 化 され る の をお それ て ナ チ ス に

  ノ イ マ ン(J.L.vonNeumann,1903-1957)は な ど で 有 名 で あ る が,ブ

に は １ ドル が4500マ

業 者

は

に は ア メ リカ の プ リ ン ス トン 大 学 の

イ マ ン は ウ ィ グ ナ ー に とつ て数 学 の 先 生 で もあ

そ ら く 当 時 の ア メ リ カ は 科 学 者 が 不 足 し て い た の だ ろ う.1930年

に ２人 は プ リ ン ス トン 大 学 へ 招 か れ,1933年

に は ア メ リ カ へ 落 ち 着 い た.1939年

に ウ ィ グ ナ ー は 両 親 を ア メ リ カ へ よ ぶ こ と が で き た.

 第16講  デ ィ ラ ッ ク行 列

―テ ー マ ◆ α行 列,β

行列 の選 び方

◆ σ行 列 ◆ γ行 列 ◆ Tea

Time:デ

ィラ ック とウィグ ナー

 α,β

  こ こ で 前 講(６)を あ り う る.し

の 形

満 た す α=(αx,αy,αz)お

よ び β と して は い ろ い ろ の 表 現 が

か し本 書 で は 具 体 的 に 次 の よ う な4×4行

列 を 選 ぶ こ と に し よ う.

(１)

これ は β を対 角 行 列 にす る表 現 で あ る.こ れ らが前 講(６)を 確 か め られ る.   こ こで

満 た す こ とは容 易 に

(２)

を導入 すれば (３) と 書 か れ る.た

だ し こ こ で σx,σy,σzは

σzを 対 角 的 とす る 行 列(ス

ピ ン行 列)

(４)

で あ っ て,ρ

と β は σx,σy,σzと 可 換 で あ る .す

なわち

(５)

また ρ と β は反 可 換,す

なわ ち (６)

σ=(σx,σy,σz)の

成 分 は,α

の 成 分 と同 じ く,た

が い に 反 可 換 で あ る .す

なわち

(７)

また

(８)

も容 易 に確 か め られ る.同 様 に し て

(９)

な ど が 示 さ れ る.

 γk行  α,β の 代 わ りに ４行 ４列 の 行 列(4×4行

列 列)

(10) も よ く使 わ れ る.第15講(２)に =Iに

左 か ら-β/〓cを

掛 け る と,pk=(〓/i)∂/∂xk,β2

よ り 自 由 電 子 に 対 す る デ ィ ラ ッ ク 方 程 式 は(E=i〓

∂/∂t=-c〓

∂/∂x4)

(11)

とい う簡 明 な 方 程 式 とな る.た だ し こ こで (12) ま た(11)の

左 辺 で γμ∂/∂xμは μ=1,2,3,4に

つ い て 加 え た式

(13) を意 味 す る(以 下 で も同様 の 約 束 をす る).  つ い で に γμ行 列 を書 く と下 の よ う に な る.

(14)

  Tea

Time

 デ ィ ラ ック と ウ ィグ ナ ー

  デ ィ ラ ック(P.A.M.Dirac)は

最 初 電 気 工 学 を学 ん だ が 就 職 先 が な か った の で

物 理 学 へ 進 ん だ とい わ れ て い る.ハ イ ゼ ンベ ル ク(W.K.Heisenberg)の

量子力

学 の論 文 に刺 激 され て,こ れ と少 し異 な る独 自の 量 子 力 学 を発 表 し,さ らに1928 年 に は電 子 に対 す る相 対 論 的 な 量 子 力 学(デ

ィ ラ ック 方程 式)を 考 え出 した.

  ウ ィグ ナ ー(E.Wigner)が は じめ て デ ィ ラ ック に 会 った の は1928年 で,電 磁 場 の量 子 力 学 に つ い て ゲ ッ チ ンゲ ンで 講 演 した と きで あ っ た.そ れ か ら間 もな く, ウ ィ グ ナ ー は デ ィ ラ ッ ク と食 事 を す る機 会 が あ っ て い ろ い ろ と科 学 的 な 質 問 を す る こ とが で きた.ウ

ィグ ナ ー は デ ィ ラ ッ クの 静 か で礼 儀 正 しい 態 度 に感 心 し,す

ぐ に仲 の よ い友 人 に な っ た.   当 時 の ヨー ロ ッパ 大 陸 で は,デ ィ ラ ックの 仕 事 は あ ま り評 判 にな らな か っ た.多 くの人 は ドイ ツ語 の 論 文 ば か り読 ん で い て,英 語 で書 か れ た デ ィ ラ ッ ク の エ レ ガ ン トな考 え方 は十 分 理 解 さ れ な か っ た ら しい .   ウ ィグ ナ ー が1934年 に 半 年 間 プ リ ンス トンに滞 在 して いた と き,妹 の マ ン シー が そ こへ や っ て きた.彼 女 は結 婚 した の だが わ けあ って 離 婚 し て いた の で あ る.ウ ィ グ ナ ー は ア パ ー トの小 さ な部 屋 に 住 んで い た の で,ノ イ マ ン夫 妻 に た の ん で マ ン シー を泊 め て も ら い,彼 女 は そ こで 楽 し く暮 らす こ とが で きた .   そ の 頃 デ ィ ラ ッ ク も しば し ば プ リ ンス トン を訪 問 し数 週 間 滞 在 し た の で,ウ ィ グ ナ ー た ち とほ とん ど毎 日一 緒 に食 事 を し,デ ィ ラ ック は 子 供 だ っ た と きの こ と な ど を話 した.   ブ ダペ ス トで ウ ィグ ナ ー が 生 まれ る数 か 月 前 に,デ ィ ラ ッ ク は イ ギ リス の ブ リ ス トル で生 まれ た.彼 の 父 は フラ ンス 語 の教 師 だ った が,デ ィ ラ ッ ク を厳 し くし つ け よ う と した.デ

ィラ ッ クが 数 学 と物 理 学 を や りた い とい うの を父 は 無 理 に電

気 工 学 の 勉 強 を させ た.デ

ィ ラ ッ クは 電 気 工 学 を す ぐに 捨 て た が,彼

に とっ て そ

の勉 強 は無 駄 で な か っ た よ うだ.数 学 と物 理 学 に対 す る彼 の 独 創 性 に は,ふ

つう

の数 学 者 や 物 理 学 者 に な い 不 思 議 な 自 由 さが あ る.  彼 は常 に こ うい っ て い た とい う.自 然 法 則 は近 似 で あ る.し か し近 似 の有 効 性 と限 度 は 大 変 微 妙 で あ る.ま た こ う もい っ て い た とい う.世 の 中 に は人 の話 を聞 こ う とす る人 よ り も,し ゃ べ ろ う とす る人 の 方 が 多 い.デ

ィ ラ ッ ク は 聞 く方 の側 に まわ っ た わ けで あ る.会 話 が と ぎれ た と き,無 理 に話 をす る人 もあ るが,デ ィ

ラ ッ ク は そ うで はな い.誰

も話 す 人 が な くて も,彼 は話 を聞 く態度 を くず さな か

っ た.他 の 人 と一 緒 に食 事 を す る こ とを好 ん だが 静 か な人 を好 ん だ.彼 の 振 舞 い は慎 み 深 さ を超 え る もの で あ っ た と ウ ィグ ナ ー は 回想 す る.し か しそ の よ うな デ ィラ ッ ク を ウ ィグ ナ ー は大 変 好 き に な っ た.   や が て デ ィラ ック と ウ ィ グ ナ ー の 妹 マ ン シー は愛 し合 う よ うにな り,1937年 彼 等 は 結婚 した.

に

 第17講  自

由

粒

子

―テー マ ◆ 自 由 粒 子 の デ ィ ラ ッ ク方 程 式 ◆ 正 負 の エ ネ ル ギ ー 状 態 ◆ 電 子 の ス ピ ン状 態 ◆ Tea

Time:震

え運動

  自由粒 子 の波 動 方程 式   特 殊 相 対 論 的 な デ ィ ラ ック 方程 式 の 具 体 的 な例 とし て 自 由 に運 動 す る電 子 を調 べ よ う.電 子 は正 の エ ネ ル ギ ー の 状 態 と負 の状 態 が あ り,ス ピ ンが 上 向 きの状 態 と下 向 きの状 態 が あ っ て,そ

の た め ４つ の 独 立 な運 動 状 態 が あ る.

  外 場 が な い と き の デ ィ ラ ック 方程 式 は第15講(２)に

より (１)

と書 け る.こ

こ で ψ は ４元 ベ ク トル

(２)

で あ り,α,β

と し て 前 講(１)の

表 示 を用 い る と

(３)

すなわち

(４)

とな る.自 由粒 子 の 一 様 な運 動 で は エ ネ ル ギ ーＥ と運 動 量ｐ は そ れ ぞ れ一 定 で, 波動 関 数 の角 振 動 数 を ω,波 数 ベ ク トル をｋ とす れ ば (５)

で あ り,波 動 関 数 ψ の成 分 は

(６)

と書 け る.こ れ を(４)に

代 入 し て項 の順 序 を少 し変 え る と

(７)

を 得 る.こ

れ をu1,u2,u3,u4に

対 す る 同 次 方 程 式 と見 て εu=0と

で な い 解 を も つ た め の 条 件 はdetε=0で

あ っ て,計

書 く と,u=0

算す る と (８)

とな る.す

なわ ちu=0で

な い 解 が 得 られ るの はＥ の 値 が (９)

の とき と

(10) の とき で あ る こ とが わ か る.粒 子 は正 の エ ネル ギ ーEpか,負

の エ ネル ギ ー―Ep

を もつ の で あ る.粒 子 の エ ネル ギ ー が 負 で あ る よ うな 運 動 は 古 典 力 学 で は 理 解 で きず,相 対 論 的 に は許 され るが,こ

れ に つ い て は後 に 再 び述 べ る こ とに す る.

 波 動 関 数   波 動 関 数 ψ が ４成 分(ψ1,ψ2,ψ3,ψ4)を の ２つ が あ る た め と,電

も つ の は,エ

ネ ル ギ ー に正 負(Eｐ

と―Ep)

子 が ス ピ ン と い う ２ つ の 自 由 度 が あ る た め で あ る.ス

ン に つ い て は ま た 後 に 述 べ る(第18講)が,ス

ピ

ピ ン はス ピ ン角 運 動 量

(11) (σ は 前 講(４))の

ス ピ ン 演 算 子 σ=(σx,σy,σz)のz成

分

(12)

の 固 有 値 で 分 類 す る.た

と え ば この す ぐあ との(16)の

解 の 成 分 がu(2）=(0,1,0,0)

な らば

(13)

で あ る か ら,そ

の ス ピ ン は-〓/2(下

ら ば そ の ス ピ ン は+〓/2(上   ４つ の 独 立 な(７)の

向 き)で

向 き)で

あ る.ま

あ る.

解 を エ ネ ル ギ ー の 正 負 と ス ピ ン の ↑ ↓に よ っ て 分 類 す る と

次 の よ う に な る.   (ⅰ)正

た も し もszu=(〓/2)uな

エ ネ ル ギ ー(E+),ス

ピ ン ↑の 解u(1)

(14)

こ こで

(15) で あ る.電

子 が 静 止 し た 極 限p→0で

こ の 解 は(1,0,0,0)に

な る か ら,ス

ピン

が ↑ な こ と が 明 ら か で あ る.   (ⅱ)正

エ ネ ル ギ ー(E+),ス

ピ ン ↓の 解u(2)

(16)

p→0で   (ⅲ)負

こ の 解 は(0

,1,0,0)に

エ ネ ル ギ ー(E_),ス

な る. ピ ン ↑ の 解u(3)

(17)

p→0で   (ⅳ)負

こ の 解 は(0

,0,1,0)に

エ ネ ル ギ ー(E_),ス

な る. ピ ン ↓の 解u(4)

(18)

p→0で

こ の 解 は(0

 な お,た

,0,0,1)に

と え ばu(1)に

な る.

対 して

(19) とな り,他

の 解 に つ い て も同 様 で あ る.し

の 解 に√(Ep+mc2)/2Epを

た が っ て ψ*ψ=1に

規 格 化 す る に は,上

掛 け れ ば よ い.

 

Tea

Time

 震 え運 動   電 子 は デ ィ ラ ッ ク方 程 式 に した が うが,そ

の振 舞 い に は大 変 奇 妙 な こ とが い く

つ か あ り,そ れ ら はた が い に深 く関 係 し合 っ て い る こ とが知 られ て い る.   そ の １つ は,自 由 な 電 子 の速 度 成 分 を正 確 に測 定 す れ ば常 に光 速 度 で あ る とい う一 見 大 変 不 思 議 な こ とで あ る.実 際 の 電 子 の波 束 は光 速 度 よ り小 さ い速 度 で 運 動 して い るか ら,電 子 は波 束 の 中 で微 細 な運 動 を し て い る と解 釈 され,こ

れ は震

え運 動(Zitterbewegung,ジ

にシュ

グ ザ グ 運 動)と 呼 ば れ て い る もの で,1930年

レ ー デ ィ ンガ ー(E.Schrodinger)に

よ り,デ ィラ ッ ク方 程 式 をハ イ ゼ ンベ ル ク の

運 動 方程 式 の 方 法 で 扱 う こ とに よ って 示 され た.そ の 一 部 を次 に紹 介 す る.   電 子 の座 標ｘ の 時 間 的 変 化,す

なわ ち速 度 を,ｘ とす る と,ハ イゼ ンベ ル ク型 の

運 動 方程 式 は

で あ るが,自

由 な デ ィ ラ ック粒 子(デ

ィ ラ ック 方 程 式 に した が う粒 子)で

は

で あ るか ら

とな る.こ れ は流 れ Ｓ の 空 間 部 分 が ψ*αψ で あ る こ と(第15講(12)参

照)に 符

合 して い る.α の 成 分 はた が い に非 可 換 で あ っ て 同時 に対 角化 で きな い か ら,た と え ばｘ 方 向 の速 度 成 分 だ け が ０で な くて 他 の 成 分 が す べ て ０で あ る こ とはあ り得 な い.し

たが っ て デ ィ ラ ッ ク粒 子 は速 度 に ゆ らぎが あ って 直 進 で き な い こ とに な

る(こ れ は力 の場 が あ る場 合 で も成 り立 つ).α

の任 意 の １成 分 を対 角 化 す る と固

有 値 は ±1で あ る か ら 自 由 な デ ィ ラ ック粒 子 の 勝 手 な 方 向 の 速 度 成 分 を観 測 す る と常 に+c,あ らx2=c2Iで

る い は-cと

い う値 が 得 られ る こ とに な る(な お α2=Iで

あ るか

あ る).粒 子 の速 度 が ±cで あ る とい う事 実 は次 の よ う に解 釈 す る こ

とが で き る.   粒 子 の 速 度 を 完 全 に 精 密 に 測 ろ う と す れ ば,相 位 置 を 正 確 に 知 ら な け れ ば な ら な い が,こ 動 量 は全 く不 定 に な る の で,運

  な お,震

の こ とは 速 度 の期 待 値

え 運 動 の くわ し い こ と に つ い て は 以 下 の 文 献 な ど を 参 照 の こ と. 田 利 幸 編:『 量 子 力 学 Ｉ』 岩 波 講 座 現 代 物 理 の 基 礎(第

波 書 店(1978);第

７章

  P.A.M.Dirac:The the Clarendon

「量 子 力 学 と相 対 論 」(江 沢 Principles

of Quantum

Press(1935),pp.260‐262

子 力 学(第

  L.I.Schiff:Quantum 健 訳:量

無 限 大 に な る か ら,こ

あ る こ とを物 語 っ て い る.

  湯 川 秀 樹,豊

か 訳:量

子 の運

動 量 の 期 待 値 は 常 に 無 限 大 だ と い う こ と に な る.相

対 論 的 に は 運 動 量 は 光 速 度(±c)で は 常 に ±cで

つ ぐ ２つ の 時 刻 に お け る粒 子 の

の と き不 確 定 性 原 理 に よ り,粒

子 力 学,上

４版),岩

.邦

Mechanics(2nd

ed.),Oxford

訳 は Ｐ.デ ィ ラ ッ ク,朝

at

永振 一郎 ほ

波 書 店(1968)

Mechanics,McGraw‐Hill(1948),p.316.邦 ・下,吉

２版),岩

洋 著)

岡 書 店(1972)

訳 は井上

 第18講  電 磁 場 と電 子 の 磁 気 モ ー メ ン ト

―テ ー マ ◆ 電 磁 場 ◆ ベ ク トル 公 式 ◆ Tea

Time:電

子 のス ピ ン

 電磁 場 が あ る場 合   ス カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ル をＶ,ベ

ク トル ポ テ ン シ ャ ル をＡ

に 対 す る 相 対 論 的 な 式 は,第14講(１)の

とす る とエ ネ ル ギ ー Ｅ

代 わ りに (１)

と な る(電

子 の 電 荷 を-eと

す る).ハ

ミル トニ ア ン は 第15講(１)の

代 わ りに

(２)

デ ィ ラ ック 方程 式 は

(３)

と な る.  そ こ で こ の 式 に 左 か ら

(４)

を掛 け る と

(５)

を得 る.こ の 左 辺 最 後 の ２項 の物 理 的 な 意 味 は次 々 節 で 考 え る.  ベ ク トル 公 式   こ こで しば し ば使 う一 般 的 なベ ク トル公 式

(６)

を 証 明 し て お こ う.た 意 の ベ ク トル(３

だ し こ こ で Ｐ,Ｑ

次 元 ベ ク トル)と

は σ(し

す る.α ・Pな

た が っ て,ま

た α)と 可 換 な 任

ど は ス カ ラ ー 積,す

なわち (７)

で あ り,P×Qは   【証 明 】ｘ,ｙ,ｚ

ベ ク トル 積 で あ る. を循 環 させ た 和 を Σ

と書 け ば

(８) 同 様 に(σ

・P)(σ

・Q)を

計 算 す れ ば,σx2=1,σxσy=-σyσx=iσzな

ど に よ り,

同 じ結 果 が 得 られ る.   【注 意 】

こ こ で 次 の こ と を 注 意 して お こ う.(８)に

お い てP×Qは,た

と えば (９)

を意 味 す る.古 典 的 な ベ ク トル で はP=Qの

と きP×Q=0に

な るが,量 子 力 学

のベ ク トル は演 算 子 で,成 分 は一 般 に 可 換 で ない た め にP=Qで =P×Pは

０に な る とは限 らない .た

あ って もP×Q

とえ ば,角 運 動 量L=r×pに

つ い てL×L

のｚ 成 分 を計 算 す れ ば

(10) と な る.ｘ

成 分 とｙ 成 分 に つ い て も 同 様 でL×L〓0で

あ る.

 電 子 の 磁 気 モ ー メ ン ト  さ て(６)に

お い てP=Q=p+(e/c)Aと

す る と右 辺 第 ２項P×Qは

(11) と な る.た あ り,磁

だ し,こ

こ で ｐ は 運 動 量(p=-ih▽),Ａ

場 を Ｂ と し てB=rotAで

は ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル で

あ る こ と を 用 い た.故

に(６)か

ら

(12) さ らに

(13) こ こ で 電 場E=-▽V-∂A/∂tを

用 い た.

  し た が っ て(５)は

(14)

とな る.   (14)に お い て は じめ の ３項 は電 磁 場(iV,A)が 方程 式 を与 え る.そ して次 の項(e〓/c)σ か ら(e〓/c)σ

あ る と きの ク ライ ンーゴル ドン

・Bは 磁 場 Ｂ と電 子 との相 互 作 用 で あ る

は電 子 の磁 気 モ ー メ ン トに比 例 した 量 で あ る.こ れ を調 べ るた め,

非 相 対 論 的 な近 似 を考 え よ う.   まず

(15) とす る と

(16) とな る の で(14)は

非 相 対 論 的 な波 動 方程 式(E'→i〓

∂/∂t)

(17) を 与 え る(電

子 の 電 荷 は-e).こ

-(e〓/2mc)σ

の 右 辺 の[]の

中 は エ ネ ル ギ ー で あ る か ら,

・Bは 磁 場 Ｂ の 中 の 電 子 の エ ネ ル ギ ー で あ る

.し

た が って 電 子 は

(18) で 表 され る磁 気 モ ー メ ン ト(ス ピ ン に よ る磁 気 双 極 子)を も ち,磁 場 Ｂ との相 互 作 用 のエ ネ ル ギ ー は

(19) で与 え られ る.電 子 の磁 気 モ ー メ ン トの大 き さ

(20) を ボ ー ア 磁 子 と い う.   【補 注 】(17)の

右 辺 第 ４項(ie〓/2mc)α

る よ う に エ ネ ル ギ ー の 値 と 解 釈 さ れ な い.こ の 程 度,す

な わ ち 電 子 の 速 度ｖ

  こ の よ う に(17)の

・Eは,虚

数 で あ る こ とか ら も推 察 され

の 項 の 大 き さ はeVに

比 べ て(v/c)2

と光 速 度ｃ の 比 の ２乗 の 程 度 で あ る.

最 後 の 項 α・Eは 古 典 的 に 解 釈 で き な い.こ

れ は デ ィ ラ ック

方 程 式 が 相 対 性 理 論 の ロ ー レ ン ツ変 換 に対 して不 変 な形 を保 つ た め に必 要 な項 で あ るが,非 相 対 論 的 近 似 で は無 視 す べ き もの で あ る.

  Tea

Time

 電 子 の ス ピ ン   電 子 の ス ピ ン は 磁 場 を か け た と き に 原 子 の ス ペ ク トル が 分 か れ る こ とや,元

素

の 周 期 律 と 電 子 の エ ネ ル ギ ー 準 位 と の 関 係 を 説 明 す る た め に パ ウ リ(W.Pauli)に よ っ て 導 入 さ れ た(1924年).古

典 的 に は 電 子 の 自 転 と解 釈 さ れ る が,量

に は 素 粒 子 の１ つ の 特 性 と み な さ れ る 内 部 自 由 度 で あ る.デ 的 方 程 式 で は,特

あ る.

  電 子 は 軌 道 運 動 に よ る 磁 気 モ ー メ ン ト も あ り,そ

の 単 位(ボ

あ り,電

ー ア 磁 子)は

μB=

子 の ス ピ ン に よ る 磁 気 モ ー メ ン トの デ ィ ラ ッ ク 方 程 式 に よ る

値 は μBに 等 し い が,実

際 に は μBよ り約0.116%だ

学 的 効 果 に よ る もの で あ る.ち

性 子 は-1.91倍)で

け 大 き い.こ

な み に 陽 子 の 質 量 をMpと

に よ る そ の 磁 気 モ ー メ ン トはe〓/2Mpcと 倍(中

ィ ラ ッ クの 量 子 力 学

殊 相 対 論 的 な 要 請 と し て 電 子 の 磁 気 モ ー メ ン ト と共 に 導 か れ る.

電 子 の ス ピ ン に も とづ く角 運 動 量 の 大 き さ は〓/2で

e〓 /2mcで

子 力学的

あ っ て,こ

な る は ず で あ る が,実 の ち が い は 陽 子(や

れ は量 子 電 磁 気

す る とデ ィラ ック方 程 式 際 に は そ の 約2.79

中 性 子)が

ク ォー ク か

ら構 成 さ れ て い る た め で あ る.   セ グ レ(E.G.Segre)の

『Ⅹ線 か ら ク ォ ー ク ま で 』(p.185)に

ク ロ ー ニ ツ ヒ(R.Kronig)と

モ ー メ ン ト と ス ピ ン を も っ て い る こ と を 考 え つ い た が,透 て い た パ ウ リ の 意 見 を き い た と こ ろ,そ ひ っ こ め て し ま っ た.同

面 白 い 話 が あ る.

い う 人 は 原 子 の ス ペ ク トル の 研 究 か ら,電

子が磁気

徹 した 批 判 力 で 知 られ

の 考 え に は 誤 りが あ る と い わ れ て 論 文 を

じ頃 ウ ー レ ン べッ ク(G.E.Uhlenbeck)と

ハ ウ トス ミ ッ

ト(S.A.Goudsmit)も

同 じ こ と を 考 え た が,パ

つ と も だ と 思 っ た.し

か し彼 等 はす で に論 文 を あ る雑 誌 に掲 載 す る た め に送 っ て

し ま っ て い た の で,そ

れ を 取 り下 げ よ う と し た と こ ろ,彼

ン フ ェ ス ト(P.Ehrenfest)は,彼

ウ リ の 批 判 を 耳 に し て,そ

れ を も

らの 先 生 だ っ た エ ー レ

ら は ま だ 若 い の だ か ら少 し ぐ ら い 怪 し げ な 論 文

を 出 し て も か ま わ な い だ ろ う と い っ て 取 り下 げ に 反 対 し た.そ は 正 し く な か っ た こ とが 判 明 し た.そ

の後 パ ウ リの 批 判

し て電 子 の ス ピ ン の発 見 は ク ロ ー ニ ッ ヒで

な く,ウ

ー レ ン べ ッ ク とハ ウ シ ュ ミ ッ トに 帰 さ れ る こ と に な っ た.

 こ れ は 学 術 雑 誌 の 機 能 に つ い て 考 え さ せ ら れ る 一 件 で あ る.

 第19講  角

運

動

量

―テー マ ◆ 角 運 動 量 の 保 存 ◆ ス ピ ン と軌 道 角 運 動 量 ◆ M2,Mz,M± ◆ Tea

Time:磁

気 モー メ ン ト

 角 運 動 量 の保 存   球対 称 の ポ テ ン シ ャル の場(中

心 力 場)で

は角 運 動 量 が保 存 さ れ る(時 間 的 に

変 わ らな い).こ れ は古 典 力 学 で よ く知 られ た法 則 で あ るが,デ

ィ ラ ック 電 子 で は

電 子 が ス ピ ン角 運 動 量 を もち,軌 道 運 動 の 角 運 動 量 を もつ.こ れ らは別 々 に保 存 され な い.し か し これ ら ２つ の 角運 動 量 を合 わ せ た 全 角 運 動 量 は(球 対 称 の 場 の 場 合)保 存 され る.ま ず これ を示 す こ とに しよ う.   中 心 力 の 静 電 場 の場 合 を考 えA(r,t)=0,V(r,t)=V(r)と

お くと,波 動 方

程 式 の 第18講(２)は

(１)

とな る.古 典 力 学 的 に考 え る とV(r)が

中 心 力 な の で軌 道 運 動 の原 点 の まわ りの

角運動量 (２)

は定 数 で あ る こ とが 期 待 さ れ るが 実 は そ うで は な い.こ れ を調 べ るた め Ｌ のｘ 成 分 の 時 間 変 化 を計 算 す る と

(３) と な る が,こ

れ は 消 え な い の で Ｌ は 運 動 の 定 数 で は な い こ と に な る.

 し か し 同 じ よ う な こ と が σxに つ い て も お こ る.す

なわち

(４) と な る が,こ

こで (５)

よって

(６) と な る.   そ こで

(７)

を導入 すれ ば (８)

す なわ ちL+sは

保 存 され る.Ｌ が軌 道 運 動 の 角運 動 量 で あ るの に対 して,ｓ は電

子 の ス ピ ン角 運 動 量 を表 す. (９)

は 全 角 運 動 量 で あ り,こ こで 示 され た よ う に 中心 力 場V(r)に

お け る保 存 量 で あ

る.

 全 角 運 動 量 の保 存   前 節 で 述 べ た 角運 動 量 の保 存 の 法 則 は,多 電 子 系 で も全 角 運 動 量 に対 して成 立 す る.ち が う電 子 の(r,p)は

た が い に可 換 で あ るか らで あ る.ス

ピン角 運 動 量 が

あ る場 合 もち が う電 子 の ス ピ ン は可 換 で,軌 道 角 運 動 量 と も可 換 な の で,全

角運

動 量 の法 則 は そ の ま まで 成 り立 つ.   デ ィラ ッ ク方 程 式 で はス ピ ン角運 動 量 が 自然 に と り入 れ られ て い た が,多 電 子 の 角 運 動 量 の和 が 全 角運 動 量 で あ る とす る と,全 角 運 動 量M=(Mx,My,Mz)に つ いて 交 換 関係 (10) ([A,B]=AB-BA)が

導 か れ る.(10)の

一般 的で基本的 であ る

.さ

ら にＭ

方 が 運 動 量 をr×pで

定 義す る よりも

の ３つ の 成 分Mz,My,Mzは

(11) と 可 換 で あ る.た

と え ば(10)に

よ り

(12) したが っ て,Ｍ

の １つ の 成 分(Mzと

きの 対 角成 分 が それ ぞ れMzとM2の

し よ う)とM2は

同 時 に対 角 化 で き,そ の と

固 有 値 で保 存 され る.

 ここで

(13) を定 義 す る と

(14) とな り,交 換 関 係(10)と

同 等 な交 換 関 係

(15) が得 られ る.こ の 方 が(10)よ

り も扱 い や す い.M±

が 求 め られ れ ばMx,Myは

 

(16) で 与 え ら れ る.

    上 に述 べ た よ うにM2とMzは い.M2とMzを

M2とMzの

同 時 に対 角 化 で き,こ れ らの 固有 値 の 個 数 は等 し

対 角 化 した と きの対 角 成 分 が それ ぞ れ の 固有 値 で あ る.固 有 値 の

個 数 をｎ で表 そ う.M2とMzはn×n行 下 の行 列 が(15)の

列 にな る.こ れ らを対 角行 列 に した とき,

解 を与 え る こ とが 容 易 に確 か め られ る(n=1の

の 諸 式 のｊ に つ い て は(20)を   【n=2の

固有値

解 は な い).下

参 照 せ よ.

と き】(j=1/2)

(17)

【n=3の

と き 】(j=1)

(18)

  【n=4の

と き 】(j=3/2)

(19)

 これ らの 解 か ら

(20)

で あ る こ と が わ か る.こ

の 結 果 が 一 般 的 に 正 し い こ とが 証 明 で き る.一

般 的 で代

数 的 な証 明 を見 た い読 者 は   L.I.Schiff:Quantum

Mechanics,McGraw‐Hill(1948)

を 参 照 し て ほ し い.

  Tea

Time

 磁 気 モ ー メ ン ト

  磁 石 に お いて 磁 極 の強 さをｍ,南 北 の磁 極 の距 離 をlと すれ ば μ=mlが 磁 気 モ ーメ ン トで あ る.ま た,電 流ｉ が 流 れて い る半 径ｒ の 円環 は遠 方 か らみ ると μ∝i/r の磁 気 モ ー メ ン トに 等 しい.原 子 は電 子 の軌 道 運 動 とス ピ ンの 磁 気 モ ー メ ン トを もつ の が一 般 で あ る.   磁 気 モ ー メ ン トを もつ 原 子 を不 均 一磁 場 の 中 に お く と磁 場 の 勾 配 の 方 向 に力 を 受 け,そ の 力 は勾 配 方 向 の 磁 気 モ ー メ ン トの成 分 に よ っ て ち が う.そ の た めた と え ば炉 の 中 にお い た 金 属 の 蒸 気 の流 れ(原 子 線)に 垂 直 な 方 向 に磁 場 を か け る と, 原 子線 は い くつ か に分 か れ,そ れ に よ って 原 子 の磁 気 モ ー メ ン トの大 き さが 測 定 で き る.シ

ュテ ル ン(O.Stern)と

ゲ ル ラ ッハ(W．Gerlach)は

こ の よ うな 実 験 を

は じめ て お こな った(1922年).   後 に原 子 線 を用 い た磁 気 共 鳴(高 周 波 の 共 鳴 的 吸 収)の

方 法 に よ り電 子 や核 の

磁 気 モ ー メ ン トを くわ し く測 定 した ラ ビ(I.I.Rabi,第28講

参 照)は 一 時 シ ュ テ

ル ンの研 究 室 に い た こ とが あ る.   原 子 の ス ペ ク トル が 磁 場 をか けた と きに い くつ か に分 か れ る こ とが あ る(ゼ ー マ ン効 果) .ラ ン デ(A.Lande)は こ の効 果 を非 常 に正 確 に表 す半 経 験 的 な 式(ラ ン デ の ｇ公 式)を 見 つ け たが,こ

れ を実 験 に合 う よ う に す る に は角 運 動 量 が〓 の

倍 数 で な く〓/2の 倍 数 と しな けれ ば な らな い場 合 も見 出 され た.こ れ を異 常 ゼ ー

マ ン効 果 とい う.   シ ュ テ ル ン とゲ ル ラ ッハ の 実 験 や 異 常 ゼ ー マ ン効 果 は電 子 に ス ピ ンが あ る こ と を示 唆 す る もの で あ っ た.

 第20講  中

心

力

場

―テー マ ◆ 極 座 標 ◆ 全 角 運 動 量 ◆ Tea

Time:月

と連 星 の 角 運 動 量

 極

座

標

  水 素 原 子 の 中 の電 子 の よ う に 中心 力 を 受 け て運 動 す る電 子 を扱 うに は極 座 標 を 用 い るの が よい.そ

こで極 座 標 に移 り,中 心 力 場 に特 有 な保 存 量(角 運 動 量 な ど)

を 導 入 し て デ ィ ラ ック 方程 式 を書 き直 す こ と にす る.   中 心 力 場 に対 す る デ ィ ラ ッ ク方 程 式 は極 座 標 を用 い て厳 密 に解 くこ とが で き る. ス ピ ン と軌 道 運 動 の 相 互 作 用 が あ るの で,非 相 対 論 的 な シ ュ レー デ ィ ン ガ ー 方 程 式 の解 法 に比 べ て や や 複 雑 に な るの は仕 方 が な い.水

素 原 子 を 念頭 にお き,電 子

に対 す るハ ミル トニ ア ン (１)

か ら出発 す る.ま ず

(２)

を導 入 す る.こ れ ら はエ ル ミー ト的演 算 子 で あ る こ とが 示 され る(証 明 略).ま

た

軌 道 角 運 動 量L=r×pを

用い (３)

で 定 義 さ れ るｋ を 導 入 す る.こ 意 す る と,第18講(６)に

こで β2=Iお

よ び ｒ,ｐ が α と 可 換 で あ る こ と に 注

よ り

(４) こ こで

αr=r-1(α

・r),αr2=Iに

よ り

(５) し た が っ て ハ ミ ル トニ ア ン は

(６)

と書 か れ る.こ れ が 極 座 標 で 書 い た 球対 称 なハ ミル トニ ア ン で あ る.   こ こでｋ は 運 動 の定 数 で あ り,そ の 値 は ０を 除 く正 ま た は 負 の 整 数,す

なわ ち (７)

で あ る こ とが 示 され る.ｋ を全 角 運 動 量 の 量 子 数 とい う.   【証 明 】 電 子 の全 角 運 動 量 は (８)

で あ る.こ こでLzの か らMzの

固有 値 はｈの整 数 倍 で あ り，1/2〓σzの固 有 値 は ±1/2〓で あ る

固 有 値 は〓 の 半 整 数 倍 で あ る.こ

こで 第18講(６)でP=Q=Lと

お

くと

(９)

故に

(10) と な る.こ

こでM2は

全 角 運 動 量 の ２乗 で あ るか ら角 運 動 量 の 一 般 的 性 質 に よ り,

そ の固 有 値 はj(j+1)〓2と … ,j-1,j)〓

書 ける(前 講 参 照).す

に 限 られ るが,す

る とMzの

で に知 っ た よ う にMzの

固有 値 は(-j,-j+1, 固有 値 は １個 の電 子 の場

合〓 の半 整 数 倍 で あ るか ら,ｊ は正 の 半 整 数 で あ る.し た が っ て

(11) に よ り,ｋ

は ０ を 除 く整 数 で な け れ ば な ら な い.

 全角運動量子数   (３)で 定 義 した 全 角 運 動 量 子 数ｋ が 運 動 の 定 数 で あ る こ とは,ｋ が ハ ミル トニ ア ン Ｈ と可 換 で あ る こ とを意 味 す る.す な わ ち

(12) これ は次 の よ う に して直 接 証 明 す る こ とが で き る.   【 証 明 】 ハ ミル トニ ア ン は も と も と

(13) で あ る.こ

こで

(14)

と 第18講(６)に

よ り

(15) した が っ て

(16)

さ ら にpz=-i〓

∂/∂zな ど を 用 い て

(17) よ っ て(16)の

右辺 は

(18) とな るか ら

(19) 故 に σ ・L+〓

は σ ・P,あ

可 換 で あ り,そ

る い は ハ ミ ル トニ ア ン(６)の

の 他 の 項 と は 可 換 で あ る.さ

め β を掛 け た β(σ ・L+〓)を〓kと に な る.す

項 の １つ-ρ(σ

・P)と 反

ら に β は ρ と反 可 換 で あ り,こ

お け ば,こ

れ は σ ・pあ る い は-(σ

のた

・P)と 可 換

なわ ち

(20) しか もｋ は ハ ミル トニ ア ン の他 の項 と も可 換 な の で,運 動 の 定 数 で あ る.  αrと β の 交 換 性   次 に,ハ

ミ ル トニ ア ン(６)右

辺 の αrと β は

(21) を 満 た す こ と を 示 し て お こ う(次   【証 明 】

β2=Iは

講(２)参

自 明 で あ る.αr=r-1(α

照). ・r)に つ い て は

(22) よ っ て αr2=I.さ

ら にαxβ+βαx=0な

ど を用 い れ ば

(23) 故 にαrβ=-β

αr.

  Tea

Time

 月 と連 星 の 角 運 動 量   月 は地 球 の 自転 運 動 と同 じ向 き に公 転 し て い る.月 の 公 転 速 度(１ 月 に １周)は 地 球 の 自転(１ 日に つ き １周)に   月 の 引 力 は地 球 の 海 水,大

比 べ て ず っ とお そ い(下 図 参 照).

気,地 殻 に 潮 汐 運 動 をお こ し,こ れ が 地 球 の 自転 運

動 の 角 運 動 量 を低 下 させ る.し か し地 球 と月 を合 わ せ た 全 体 の 角 運 動 量 は 不 変 で あ るた め,月 の 公 転 運 動 の 角 運 動 量 は増 加 し,そ の た め 月 は 次第 に地 球 か ら遠 ざ か っ て い くこ と に な る.昔 の 月 は もっ と地 球 に近 か った はず で あ る.

  も し も連 星 間 の 引 力 で潮 汐 現 象 が お こ る な ら ば,連 星 の ２つ の 星 の 間 の 距 離 は この た め に次 第 に大 き くな り,そ の た め連 星 パ ル サ ー の 出 す 光 の 周 期 が 次 第 に 長 くな る こ と も あ り得 る わ けで あ る.こ れ は重 力 波 の 放 出 の た め に連 星 パ ル サ ー の 出 す光 の 周 期 が 短 くな るの に対 抗 す る効 果 を もつ(P.C.W.デ 訳)『 重 力 波 の な ぞ 』,岩 波 現 代 選 書(1981)).

イ ヴ ィス(松 田卓 也

 第21講  水 素 類 似 原 子

―テー マ

◆ 極 座 標 で 書 い た 波 動 方 程 式 ◆ 波 動 方 程 式 の 解 法 ◆ エ ネ ル ギ ー準 位 ◆ Tea

Time:ウ

ィグナー の見た アイ ン シュ タイ ン

 水素類似原子  中 心 力 場 内 の電 子 のハ ミル トニ ア ン は,前 講 に よ り

(１)

で 与 え ら れ る.こ

こで β と αrは 前 講(21)の

式,す

なわち (２)

を 満 た す もの で あ れ ば よい.そ

こで β を対 角 行 列 と し (３)

とす る こ とに し よ う.こ れ に対 して 波 動 関数 を (４) と書 く.こ

こ で 前 講(２)に

よ り

(５)

なので (６)

(７)

 そ こ で波 動 方程 式Eψ=Hψ,す

なわ ち (８)

は

(９)

と な る.さ

ら に こ こで

(10) (11) とお くと

(12)

た だ し水 素 類 似 の 原 子 に対 しeV=-Ze2/rを

考慮 し

(13) と お い た.   (12)を

解 くた め

(14) と す る と(12)か

ら

(15)

を得 る.こ とcs-1'が

の 第 １式 にａ を,第

２式 にa2を

掛 け て 加 え る とa/a1=a2/aに

よ りcs-1

消去で きて

(16) が 得 ら れ る.こ  r=0に

れ はcsとcs'を

結 び つ け る 式 で あ る.

お け る 境 界 条 件 に よ り,(16)は

ｓの 小 さ い 項 が 消 え な け れ ば な ら な い.

そ こ で ｃs,cs'が 消 え な い 最 小 の ｓをs0と る か ら(15)に

す る とs=s0に

対 しcs-1=cs-1'=0で

あ

より

(17) し た が っ て γ2=-s02+k2と

な る が,境 界 条 件 に よ りs0は 正 で な け れ ば な ら な い の で

(18) と定 め ら れ る.   級 数(12)の と(15)の

収 束 性 を 調 べ る た め,大

き な ｓ に 対 す るcs/cs-1を

求 め よ う.(16)

第 ２式 に よ り大 き な ｓ に 対 し て 級 数 が 切 れ る こ とが な い とす る と,近

似

的 に

(19) し た が っ てcs/cs-1=2/as(s≫1)で

あ っ て

(20) 故 に級 数 ｆ,ｇ は大 きなｒ に対 して 漸 近 的 にe2r/aと な る.し たが っ て 電 子 が 束 縛 され た状 態 を与 え るた め に は これ らの級 数 は あ る と ころ で 終 わ ら な け れ ば な ら な い.こ れ がcs,cs'に

お い て終 わ る とす る と

(21) あ る い は(15)で

ｓ をs+1で

お きか えて

(22)

こ れ ら はa2=a1a2に

よ り 同 等 で あ っ て,(16)を

用 い る と,こ

の ｓに対 して

(23) 書 き直 す と

(24) よ っ て(10)の

第 １,２ 式 に よ り

(25) と な る.こ

れ と(10)の

第 ３式 と を 両 立 さ せ る と

(26) を得 るが,ｓ は級 数 の終 わ りの 項 を表 すか ら ０か 正 の整 数 で あ る.そ こで これ をn' と書 くと

(27) した が って エ ネル ギ ー 固 有 値 は

(28)

で 与 え られ る こ とが わ か る.こ れ は水 素 類 似 原 子 の エ ネル ギ ー 準 位 を与 え る式 で あ る.   γは小 さ い量 な の で γに つ い て 展 開 す る と

(29) と な る.た

だ し こ こで

(30) と書 い た.電

子 の 静 止 エ ネ ル ギ ーmc2を

引 く とエ ネ ル ギ ー 準 位 は

(31)

と書 け る.こ

こ で α はZ=1と

お い た γ の 値 で あ っ て(γ=Zα)

(32)

で あ り,こ

れ を 微 細 構 造 定 数 と い う.(30)右

(ボ ー ア の 理 論 の)エ

辺 の 第 １項 は も ち ろ ん 非 相 対 論 的 な

ネ ル ギ ー 準 位 で あ り,第

  電 子 の 固 有 状 態 は(n,l,i,m)で

２項 は 相 対 論 的 な 補 正 で あ る.

指 定 す る.

 n=(1,2,3,…),l=(0,1,2,…,n-1),m=(-l,-l+1,…,l-1,l) ｎを 主 量 子 数,lを

方 位 量 子 数,ｍ

外 場 が な い と き はl,ｍ

を 磁 気 量 子 数 とい う.デ

状 態 が 縮 退 し て い る が,角

 

Tea

ィラ ックの水 素 原 子 で

運 動 量ｊ が 大 き い 準 位 は 高 い.

Time

 ウ ィ グ ナ ー の 見 た ア イ ン シ ュ タ イ ン   ア イ ン シ ュ タ イ ン(A.Einstein)の

仕 事 ぶ り は 多 くの 人 と ち が う と こ ろ が あ る.

多 く の 人 は イ ン ス ピ レ ー シ ョ ン に よ っ て ア イ デ ィ ア を つ か む が,そ 端 で あ っ て,そ げ て い く.ア

れ は研 究 の一

れ か ら長 い 時 間 を か け て い ろ い ろ な こ と を 発 見 し,仕 イ ン シ ュ タ イ ン は そ う で は な か っ た.彼

は じ め か ら具 体 的 に 明 ら か に な る の だ っ た.彼

に と っ て は,仕

事 を磨 き上 事 の全 容 が

も仕 事 に 磨 き を か け た が,最

終 の

ゴ ー ル は は じ め か ら 見 え て い た.   ウ ィ グ ナ ー(E.Wigner)が

ベ ル リ ン の 工 業 高 校 へ 入 っ た1921年

頃,ア

イ ンシ

ュ タ イ ン は ベ ル リ ン 大 学 に い て,ウ

ィ グ ナ ー は ドイ ツ 物 理 学 会 の コ ロキ ウ ム で 毎

週 彼 の 姿 を 見 て い た わ け で あ る.ウ

ィ グ ナ ー は ひ つ 込 み 思 案 で あ っ た が,友

人 の

シ ラ ー ド(L.Szilard)は

勇敢 で,ア

よ うに頼 み 込 ん で成 功 した.ウ

イ ン シ ュ タイ ン に統 計 力 学 の セ ミナ ー をす る

ィ グ ナ ー も これ に加 わ っ た.

  シ ラ ー ドはマ ク ス ウ ェ ル(J.C.Maxwell)の

デ モ ン の考 え を再 考 し,情 報 理 論

の さ きが け を し た人 と し て知 られ て い る.ま た,原 子 核 分 裂 の 連 鎖 反 応 の可 能性 に気 付 き,フ ェル ミ(E.Fermi)と

共 に最 初 の 原 子 炉 を つ くっ た人 で も あ る.彼

は量 子 力 学 の 数 学 的 手 法 は好 まな か っ た よ うで あ るが,ア 交 的 で た え ず忙 しい人 で あ っ た.シ

ラ ー ドた ち の若 い グル ー プ は毎 週 土 曜 日 の午

後 に集 ま っ て 気 炎 を上 げ るの だ っ た.シ ね,後

イ デ ィ ア に す ぐれ,社

ラ ー ドは よ くア イ ン シ ュ タ イ ンの 家 を訪

に は ア イ ン シ ュ タ イ ン と一 緒 に 冷 蔵 庫 の特 許 まで と っ た.

  ア イ ン シ ュ タ イ ン の セ ミナ ー は す ば ら しか っ た.彼 は 若 い人 の 話 を き くの を喜 ん だ が,「 それ はす ば ら し い ア イ デ ィ ア だ,そ れ を どん ど ん や りな さ い 」とい う よ うな 具体 的 な こ と は いわ な か った.し 限 で,時 間 は無 限 大 だ.だ

ば しば彼 は哲 学 的 な 方 へ 脱 線 して,「 命 は有

か ら私 が こ こに い る確 率 は ０で あ る.そ れ な の に 私 が

生 きて い るの は な ぜ だ ろ う」な ど とい った.学 生 が誰 も答 え られ な い で い る と,し ば ら く して 彼 は い っ た.「 だ か らね,確 率 の こ とな ど言 っ て は な ら な い の だ よ」.   彼 は物 理 的 な現 象 を理 解 す る方 法 と して統 計 的観 点 が す ぐれ て い る こ とを よ く 知 って い たが,軽

ん じて もい た.「 太 陽 は ど うだ.あ れ も確 率 振 幅 だ とい うのか ね」,

「神 が世 界 をサ イ コ ロ遊 び に か け る とは全 く考 えた くな い 」,「神 は老獪 で あ るが悪 意 は な い」.   彼 はす べ て の理 論 は一 時 的 な もの で あ る と確 信 して い て,量 子 力 学 もい つ か は も っ とよ い,決 定 論 的 な理 論 で お きか え られ る こ とを望 ん で い た.よ が,常

り深 い 理 論

にわ れ わ れ の 視 野 の す ぐ外 に あ る,と い う考 え は科 学 の美 し さの 一 部 で あ

る.   しば し ば ア イ ン シ ュ タ イ ン は さ み しそ うに 見 えた が,ほ ん と に そ うだ っ た の か は わ か ら ない,と ウ ィ グ ナ ー はい っ て い る.友 達 をつ くる とか,電 話 で お し ゃべ りを す る とか,さ

み し さ を癒 す 方 法 は い く らで もあ るだ ろ うが,ア

ン は そ うい う こ とを し なか っ た.彼 人 で あ っ た,と

イ ンシュタイ

は さみ しい人 で はな く,そ の 天 性 が さ み しい

ウ ィグ ナ ー は考 え る.ア イ ンシ ュタ イ ンの よ う にや さ し く,深 い

心 の 人 に とっ て 日常 的 な 感 情 に 遠 い こ とは決 して欠 点 で は な か った.彼 常 に物 理 学 と人 類 の大 きな 問 題 の上 に あ った.

の関心 は

 第22講  ス ピ ン−軌道 相 互作 用

―テ一 マ ◆ ス ピ ン ｓ と軌 道 運 動Ｌ ◆ s-L結 ◆ Tea

合 Time:マ

ヨラナ型核 力

 ス ピ ン と軌 道 運 動   水 素 原 子 の よ う に,中 心 力 場 の 中 で 運 動 す る電 子 に は 自己 の軌 道 運 動 に よ る磁 場 が ス ピ ン に作 用 して相 互 作 用 を生 じる.中 心 力 場 が 弱 い とき,非 相 対 論 近 似 で, この ス ピ ン‐軌 道 相 互 作 用 の エ ネ ル ギ ー は

(１)

で与 え られ る.た だ し こ こでeV(r)は

中 心 力 場 の ポ テ ン シ ャ ル で あ る.

  【証 明】 全 エ ネ ル ギ ー を (２)

とお く.波 動 関数 を ２つ に分 け て (３)

と書 くと,波 動 方 程 式(前

講(１))は

(４) と な る.こ

こで

(５)

ただ し

(６)

で あ る.し

た が っ て(４)は

(７) と書 け る.   (７)の

第 ２式 に お い て,ｐ

程 度 な の で,ψ1/ψ2はv/cの

は 演 算 子 で あ る が そ の 値 はmv(ｖ 程 度 で あ る こ と が わ か る.そ

は 電 子 の 速 度)の

こで (８)

を(７)の

第 １式 に代 入 す る と ψ1に対 す る 方程 式 (９)

を得 る.非 相 対 論 的 な近 似

(10) を用 い,ま

た恒 等 式

(11) を援 用 す る と(９)は

(12)

と な る.

 こ こで-d/d

r(eV)が

中心カ ， す な わ ち球 対 称 で あ る とす る と (13)

と簡 素 化 さ れ る.さ

ら にE'-eVはP2/2mに

等 し い と お い て よ い か ら(12)は

(14) と書 け る.こ

こ でs=〓

σ/2は

ス ピ ン 演 算 子,L=r×pは

軌 道角運動 量の演算子で

あ る.

(15) で あ るか ら,(14)右 る.第

辺 第 ２項 の-p4/8m2c2は

運 動 エ ネル ギーの 相 対 論 的 補 正 で あ

３項 は 位 置 エ ネ ル ギ ー に対 す る相 対 論 的 な補 正 で あ るが 古 典 的 に意 味 づ け

られ な い もの で あ る.そ ネ ル ギ ー(１)を

して 最 後 の 項 は ス ピ ン と軌 道 角 運 動 量 との 相 互 作 用 の エ

表 し て い る.

 s-L結

合 の解 釈

  ス ピ ンー軌 道 相 互 作 用 は電 子 の磁 気 モ ー メ ン トと原 子 核 との相 互 作 用 と考 え る こ とが で きる.原 子 核 の 電 荷 をZeと

す る と,こ れ に よ る電 場 の ポ テ ンシ ャル は(静

電 単 位)

(16) で あ り,簡 単 の た め電 子 は一 定 の 半 径ｒ,速

さｖ の円 運 動 を してい る とす る と,角

運動量 は

(17) で あ り,電 合)の

子 の ス ピ ン の 大 き さ はs=〓/2で

エ ネ ル ギ ー(１)は

あ る か ら,s-L結

合(ス

ピ ン ー軌 道 結

(ａ)

(ｂ)

図18  (ａ)原 子 核 を 回 る電子 の運 動  (ｂ)電 子 の まわ りの原 子 核 の相 対 運 動

(18) とな る.   さ て 電 子 か ら見 る と原 子核 は電 子 の まわ りを速 度-vで

回 っ て い るの で,そ の

た め の 電 流 は(電 磁 単 位)

(19) で あ り,こ れ が 電 子 の位 置 につ くる磁 場 は

(20) で あ る.電

子 は μB=e〓/2mcの

磁 気 モ ー メ ン トを もつ の で,上

の 磁 場 Ｈ との 結 合

エ ネルギー は

(21) に比 例 す る.こ の値 は(18)に 似 て い るが 係 数 が 少 し異 な る.こ の計 算 で は原 子 核 が 電 子 の まわ りを 回 って い る と して い るが,実 際 に は原 子 核 は静 止 して い るので, その た め の補 正 が 必 要 で あ る.し か し この 補 正 を求 め る計 算 は省 略 す る こ とに し た い.

 

Tea

Time

 マ ヨラ ナ 型 核 力   マ ヨラ ナ(E.Majorana,1902−1938)は,イ フ ェル ミ(E.Fermi)の 弟 子 で あ った.フ て,1939年

タ リア の生 ん だ 世 界 的 な 物 理 学 者 ェ ル ミはム ッ ソ リー ニ の独 裁 を き ら っ

にア メ リカ に移 り,世 界 最 初 の 原 子 炉 をつ く り,原 爆 を完 成 した チ ー

ム で 中心 的 な 役 割 を演 じた こ とで も知 られ て い る.マ ヨ ラ ナ は フ ェ ル ミの 弟 子 の 中 で も傑 出 した 秀 才 で あ った ら しい.1930年 代 の は じ め に 彗星 の よ うに 現 れ た マ ヨ ラ ナ は30年 代 の終 わ りを また ず に み ず か ら姿 を消 して し ま っ た .   1938年

３月26日

の早 朝,シ チ リア か らナポ リへ行 く船 の 中 か ら彼 は姿 を消 した

の だ った.母 親 と友 人 に あ て た 遺 書 が船 室 にの こさ れ て い て,警

察 は マ ヨ ラナ が

ナ ポ リ湾 に投 身 自殺 し た と結 論 した が遺 体 は発 見 さ れ な か っ た.   フ ェル ミは1938年

の ノー ベ ル 賞 を受 け て い るが,そ れ は 「中性 子衝 撃 に よ る新

放 射 性 元 素 の 研 究 と熱 中 性 子 に よ る原 子 核 反 応 の 発 見 」に対 す る もの で あ った.ハ ー ン(O .Hahn)に よ る核 分 裂 の発 見 は1938年 で あ り,当 時 に お け る物 理 学 界 の 重 大 関 心 は原 子 核 物 理 学 に集 中 し て い た観 が あ る.マ ヨ ラ ナ の 失 踪 も国 外 脱 出 の 疑 点 か ら秘 密 情 報 部 の 関 心 を 引 い た と もい わ れ て い る.   １つ の説 に よれ ば,マ

ヨラ ナが 自殺 した の は,彼 が研 究 して い た学 問 が,や が て

は人 類 を破 滅 させ る お そ ろ しい もの で あ る こ と を予 知 し て絶 望 した か らで あ る と い う.核 物 理 学 に お い て世 界 の物 理 学 者 に よ る大 きな 発 見 が 相 次 い で な され て い た と きに,マ

ヨ ラ ナ は そ の 行 き つ く先 を真 剣 に見 通 して いた とい う の で あ る.し

か し,こ れ に は証 拠 が な い.当 時 は ム ッ ソ リー ニ の独 裁 の 時 代 で,手 紙 が検 閲 の た め に 開封 され る こ と もあ った ら しい が,遺 書 に もそ れ ら し い こ とは書 い て な か った よ う で あ る.   は じめて マ ヨラナ の 名 を知 った の は「ヴ ィ リアル 定 理 につ い て 」とい う論 文(1943) を書 い て いた と きの こ とで,ヴ 時,原

ィ リア ル定 理 を核 力 に適 用 して みた ので あ った.当

子 核 の 中 の 陽 子 と中性 子 は い ろ い ろな タイ プ の核 力 を 及 ぼ し合 っ て い る と

考 え られ て い た.ウ

ィ グ ナ ー型,バ

ル トレ ッ ト型,マ

ヨ ラ ナ 型,ハ

イ ゼ ンベ ル ク

型 の ４つ で あ る.こ の 中 で マ ヨ ラナ 型 の力 は,陽 子 と中性 子 の ス ピ ンの 交 換 に よ らな い 力 で あ る とさ れ て い た.こ の核 力 ポテ ンシ ャル の幅 と深 さを適 当 に仮 定 し, 核 子 を フ ェル ミ気 体 とみ な しヴ ィ リアル 定 理 を適 用 す る と重 い 原 子 核 の 結 合 エ ネ ル ギ ー と核 力 ポ テ ン シ ャル の大 き さ の間 に もっ と も ら し い関 係 が 得 られ る,と い

う こ とを書 い た.   そ ん な こ とで マ ヨラ ナ の 名 は彼 が 死 ん で か らの 数 年 後 に は知 っ て い た わ けで あ る が,戦 争 が終 わ っ て原 子爆 弾 を つ くっ た 科 学 者 の 責 任 が 問 わ れ る よ う に な っ て か ら,科 学 の も っ て い る悪魔 的 な力 に気 が つ い て 自殺 した とい う マ ヨ ラナ の こ と を き く機 会 が あ った.

 第23講  空 孔理 論 と陽電 子

―テー マ ◆ 空 孔 理 論 ◆ 陽 電 子 ◆ 荷 電 共 役 変 換 ◆ Tea

Time:マ

ヨラ ナの失踪

 空 孔 理 論   デ ィ ラ ッ ク(P.A.M.Dirac)の

電 子 論 に よ れ ば 自 由 な 電 子 に は,正

ーE+=√m2c4+c2p2と

負 の エ ネ ル ギ ーE-=-√m2c4+c2p2が

＞mc2,E-＜-mc2で

あ っ て,こ

止 帯)が

あ る(図19).負

に は2mc2以

,2mc2以

共 に ゆ る され る.E+

れ ら の 間 に は エ ネ ル ギ ー 幅2mc2の

ギ ャ ッ プ(禁

エ ネ ル ギ ー 状 態 に あ る電 子 を 正 エ ネ ル ギ ー の 状 態 に 移 す

上 の エ ネ ル ギ ー が 必 要 で あ り,逆

ー の状 態 に移 れ ば

のエ ネルギ

に正 エ ネル ギ ー の電 子 が 負 エ ネル ギ

上 のエ ネ ルギ ーが放 出

され る わ け で あ る.   そ こで物 質 や 電 磁 場 の 影 響 を 受 け て正 エ ネ ル ギ ー 状 態 か ら負 エ ネ ル ギ ー 状 態 へ落 ち 込 む こ とが可 能 に な り,電 子 は安 定 で あ りえな くな って し ま う. い く らで もエ ネ ル ギ ー の 低 い状 態 に な っ て し ま う こ とに な る. 図19  電 子 と空 孔 （陽電 子 ）

  そ こで デ ィ ラ ック は,真 空 とよ ば れ る状 態 で 負 エ ネル ギ ー の状 態(準 位)が

す

べ て電 子 に よ っ て完 全 に満 員 に な っ て い る と仮 定 し た.電 子 は パ ウ リの排 他 律 に した が うか ら,１ つ の準 位 を ２個 以 上 の 電 子 が 占 め る こ とは で きな い.し た が っ て す べ て の 負 エ ネル ギ ー準 位 が 電 子 に よ っ て 占 め られ て いれ ば,正 エ ネ ル ギ ー の 電 子 が 負 エ ネ ル ギ ー の準 位 に落 ち る こ と は不 可 能 で あ る.ふ つ う,真 空 は何 もな い 状 態 と思 わ れ て い るが,実

は電 子 が い っ ぱ い つ まった 状 態 であ る とい うの で あ る.

これ は常 識 に 反 す る よ うで あ るが,真 空 状 態 で の 負 エ ネル ギ ー の電 子 は,全

く観

測 にか か らな い と デ ィラ ッ ク は考 え た.   しか し,も し も2mc2以

上 の エ ネ ル ギー の 光 子 が 真 空 に入 射 した とす る と,負 エ

ネ ル ギ ー と正 エ ネ ル ギ ー の 間 の エ ネ ル ギ ー ギ ャ ップ を飛 び越 え て電 子 が 正 エ ネ ル ギ ー 準 位 へ 移 り,負 エ ネル ギ ー の 準 位 に電 子 の い な い と こ ろが で き る.電 子 が い な くな った 準 位 を 空 孔 とよ べ ば,十 分 大 きな エ ネ ル ギ ー の 光 子 は,電 子 と空 孔 の 対 をつ くる こ とが で き,こ れ らは観 測 に か か る と考 え られ る.   こ う し て電 子 と空 孔 の 対 が 生 じ る過 程 は,ま ず 負 エ ネ ル ギ ー の 準 位 が １個 な く な り,つ い で正 エ ネ ル ギ ー の電 子 が １個 生 じ る過 程 と考 え られ る.こ の第 １の過 程 で は 負 エ ネ ル ギ ー の 電 子 が な くな った の で あ る か ら,こ れ は そ の体 系 の エ ネ ル ギ ー が ふ え た と観 測 され,同 時 に体 系 の 電 荷 が ｅ(電子 の 電 荷 は-e)だ

けふ えた

と観 測 され る.そ の た め に,電 子 の な くな っ た 空 孔 は正 の エ ネ ル ギー を もち,正 の 電 荷 も もつ粒 子 として観 測 され る こ とに な る.こ の 空 孔 は反 粒 子 と よばれ る.デ ィ ラ ッ クが この よ うな空 孔理 論 を提 出 し反 粒 子 の存 在 を予 言 した の は1928年 り,彼 は この 反 粒 子 を 陽 子(プ ロ トン)で あ ろ う と思 った が,1932年 ソ ン(C.D.Anderson)に

であ

にア ンダー

よ って 宇 宙 線 の 中 に 陽電 子 が 発 見 さ れ た.こ れ が 電 子 の

反 粒 子 で あ る こ とが 確 か め られ て 空 孔 理 論 の 正 し さが 承 認 され た.陽 電 子 の 電 荷 は電 子 と逆,す

なわ ち正(e＞0)で

絶 対 値 は電 子 と等 し く,そ の 質 量 は電 子 の 質

量 と完 全 に 等 し い.   【電 子 ・陽 電 子 系 の励 起 エ ネ ル ギ ー 】 w2ｎ 個 の 電 子 が 正 エ ネ ル ギ ーE+(1), E+(2),…,E+(n)の

準 位 に励 起 され,負

エ ネ ル ギ ー-￨E-(1)￨,-￨E-(2)￨,…

電 子 とエ ネル ギ ー-￨E-(1')￨,-￨E-(2')￨,…,-￨E-(n')￨の

の

空 孔 とが 残 って い る と

す る.こ の と きの体 系 の エ ネ ル ギ ー を Ｅ とす る と,こ れ は電 子 全 体 の もつ エ ネ ル

ギー の和 と し て求 め られ (１)

で あ る.こ れ に対 し正 エ ネル ギ ー に あ った 電 子 の全 部 が 空 孔 へ も どっ て 負 エ ネ ル ギ ー の 準 位 を 全 部 占有 した ときの 体 系(真

空 状 態)の

エ ネ ル ギ ー をE0と

する と (２)

で あ る.し た が っ て励 起 エ ネ ル ギ ーE-E0は

(３)

とな る の で,真

空状 態 を基 準 に と る と全 系 の エ ネ ル ギ ー は正 エ ネ ル ギ ー へ 励 起 さ

れ た 電 子 の エ ネ ル ギ ー と空 孔 の エ ネ ル ギー との和 に等 しい こ とに な る.   【仮 想 的 な光 子 と仮 想 的 な 陽 電 子 】 高 速 度 の電 子 が 磁 場 に よ っ て 急 に進 路 を 曲 げ られ た り,物 質 に 当 た っ た りす る と,そ の エ ネ ル ギ ー の一 部 が 光 とな って 放 出 され る.こ れ は電 子 と電 磁 場(真 空)と

の 相 互 作 用 に よ る もの で あ る.電 子 が 静

止 し て い る と光 子 の放 出 は お こ らな い が,電 子 は周 辺 の 電 磁 場 に作 用 して 光 子 を 出 した り吸 っ た りす る.こ れ は量 子 論 的 な 場 の 考 え方 で あ る.こ た電 子 は遠 くへ 行 か な い で す ぐに電 子 に 吸収 され るの で,こ

の と き放 出 され

れ は光 子 の仮 想 的 な

放 出 吸 収 で あ る とよ ば れ る.古 典 電 磁 気 学 で は電 場 とい う緊 張 が か か っ た状 態 で あ る.   真 空 に外 か ら十 分 強 い エ ネ ル ギー が 与 え られ れ ば,電 子 と陽電 子 の 対 発 生 もお こ り う るが,外

か らの電 場 な どの攪 乱 が 十 分 強 くな い と き は,真 空 中 で 正 エ ネ ル

ギ ー準 位 に上 が っ た 電 子 が す ぐ に 自分 の 残 した 空 孔 へ 落 ち 込 ん で し ま う.こ の場 合 は い わ ば 仮 想 的 な 対 発 生 が お こ る.こ の よ うな 仮 想 的 な対 発 生 を生 ず る能 力 を もつ とい う こ とは,真 空 が 誘 電 体 の よ う に偏 極(真

空 偏 極)を

お こす こ とを意 味

す る.こ れ も一 種 の 緊 張 状 態 で あ る.   この よ うな 電 磁 場 あ る い は真 空 の 緊 張状 態 の た め に電 子 は仮 想 的 な光 子 や 陽 電 子 な ど に包 まれ て い る.こ れ を着 物 を着 た 電 子 とい い,こ れ に対 して仮 想 的 な 粒 子 を伴 わ な い 電 子 を裸 の 電 子 とい う.電 子 は着 物(自

己 エ ネ ル ギ ー)を 伴 うた め

に余 分 の質 量(電 磁 質 量)を

もち,そ の 影 響 は異 常 磁 気 モ ー メ ン トと して も現 れ

る.   本 節 を終 え る に あ た っ て,ち

ょっ と不 思 議 な 点 が あ る の を 注 意 して お こ う.わ

れ わ れ は デ ィ ラ ッ ク の １電 子 の問 題 か ら 出発 した.し か しい つ の 間 に か 負 エ ネ ル ギ ー に多 数 の 陽 電 子 が つ ま っ て正 エ ネ ル ギ ー の準 位 に い くつ か の 電 子 が 上 が っ て い る状 態 に 導 か れ た.こ

れ は １個 の電 子 の 問 題 が い つ の 間 に か 多体 問 題 に 化 け て

し ま っ た こ と を意 味 す る.   も と も とデ ィ ラ ッ ク方 程 式 は １個 の 電 子 で な く,多 数 の 電 子 と陽 電 子 を含 む場 (デ ィ ラ ッ ク場)の

方程 式 で あ っ た の で あ る.こ れ に つ い て は また 第27講

で触 れ

る こ と に した い.

 荷電共役変換   前 節 で 電 子 とそ の 反粒 子 で あ る陽 電 子 は,質 量 は 同 じだ が 荷 電 は 逆 な粒 子 と し て振 舞 う こ とを述 べ た が,そ る.こ

の と り扱 い は 粒 子 と反 粒 子 に つ い て な お 不 平 等 で あ

こで は電 子 と陽 電 子 の役 割 を と りか え る変 換 に つ い て 考 え よ う.こ れ を荷

電 共 役 変 換 とい う.   電 子 に 対 し て デ ィラ ッ ク方 程 式 を (４) と す る.そ

して (５)

ただ し (６) と お く と ψ'は (７)

を満 足 す る.こ

こで(４)と(７)と

で は荷 電 ｅの 符 号 が 逆 で,質 量 は同 じ,す な

わ ち変 換 (８)

が な され てい る.し たが って(４)が 電 子 に対 す る波 動 方 程 式 で あるの に対 し,(７) は反 粒 子(陽

電 子)の

波 動 方 程 式 で あ る.

  【証 明 】 まず ψμは ４元 の 縦 ベ ク トル で

(９)

で あ り,ψ+は

横 ベ ク トル(Ｔ

は 転 置)

(10) で あ る.γ μ(μ=0,1,2,3)は4×4行 る.こ

列 で 第16講

に述 べ た 表 示 を使 う こ とが で き

れ によれば

(11)

これ は エ ル ミ ー ト行 列(C+=(C*)T)で

あ り,逆

行列 は

(12) で あ る.γ μの 表 示 を 用 い れ ば

(13) も証 明 さ れ る.   さ て,(４)の

複 素 共 役 を と る.こ

の と きxμ=Aμ

は

(14) で あ り,k=1,2,3に て(４)の

対 しxk,Akは

実 数,x4とA4は

虚 数 で あ る.こ

れ に注 意 し

複 素共役 を とると

(15) を 得 る.こ

の 式 の 行 と列 を と り か え る と

(16) とな る.こ

れ に 右 か ら(γ4)rqを 掛 け,γ4が

γ1,γ2,γ3の す べ て と反 可 換 で あ る こ と,

す なわ ち

(17) お よび

(18) を用 いれ ば

(19) と な る.こ

こで

(20) なので

(21) あ るい は

(22) し た が っ て(13)に

よ り

(23) こ こ で(５)を

用い る と

(24) を 得 る.こ

の 式 に 左 か ら Ｃ を 掛 け れ ば(７)と

な る.

 

Tea

Time

 マ ヨラ ナ の 失 踪   『マ ヨ ラ ナ の 失 踪― 消 えた 若 き天 才 物 理 学 者 の謎 』(レ オ ナ ル ド・シ ャ ー シ ャ著, 千 種 堅 訳,出 帆 社,1976)と い う本 が あ る(Ｆ さ んが 筑 波 の 古 本 屋 で見 つ けた の を いた だ い た の で あ る).シ ャー シ ャは推 理 作 家 と間違 わ れ る よ うな作 風 の純 文 学 作 家 で あ る とい う.な お この 本 の巻 末 に は故 高 林 武 彦 さ ん(名 古 屋 大 学 教 授)に

よ

る行 き届 い た 解 説 が つ け られ て い る.   フ ェル ミ(E.Fermi)の 高 弟 で あ っ た エ ッ トー レ ・マ ヨ ラ ナ(E.Majorana)は 1938年 ３月26日 に シチ リア 島 か らナ ポ リへ 向 か う船 か ら投 身 自殺 した こ とに な っ て い るが,投

身 した の を見 た人 が あ る わ けで は な く,逆 に ナ ポ リで 下 船 す る と こ

ろ を見 た とい う乗 船 客 や ４月 は じ め に ナ ポ リの 町 を散 歩 し て い るマ ヨ ラ ナ教 授 を 見 た と証 言 す る人 も あ っ た.   小 説 の 方 で は第 ２次 大 戦 の あ とで 何 年 か た っ て か ら,著 者 の シ ャー シ ャが シチ リア 島 で 新 聞 の編 集 長 にマ ヨラ ナ失 踪 の 話 を した と ころ,編 集 長 は1945年 る僧 院 を訪 れ た こ と を思 い 出 した.彼

頃 にあ

は そ この 神 父 の 中 に大 学 者 が い る とい う内

緒 話 を耳 に し て い た.   そ の記 憶 を確 か め よ う と出 か け るの だ が,僧 わ け は な い と,聞

院 の 人 は この 中 に科 学 者 な ど い る

き も しな いの に,こ ち ら の質 問 を察 して い るか の よ うに い う の

だ った.小 説 は これ で終 わ って い る.   な お,マ

ヨ ラナ に は 「電 子 と陽 電 子 の シ ン メ トリ ッ ク な理 論 」とい う1937年

の

論 文 が あ る.こ れ は本 書 との接 点 で もあ る.高 林 氏 の 解 説 の一 部 を引 用 さ せ て も ら う こ とに し よ う.   「マ ヨ ラナ は量 子 力 学 と相 対 論 を結 合 す る こ とに よ って許 され る波 動 方程 式 とし て は デ ィ ラ ック 方程 式 が 唯 一 の もの で は な い と し,負 エ ネ ル ギ ー状 態 を もた な い よ うな 相 対 論 的 方 程 式 と して １つ の 新 しい もの を発 見 した の で あ る(こ れ は1932 年 つ ま り彼 の ラ イ プ チ ッ ヒへ の旅 立 ち以 前 に 出 され た 仕 事 であ る).デ ィ ラ ッ クの 波 動 関 数 が ４成 分 で ロ ー レ ン ツ群 の ユ ニ タ リ表 現 で あ るの に対 し,こ の マ ヨ ラ ナ の 波 動 関 数 は無 限 個 の成 分 を もつ こ と に よ っ て ロー レ ン ツ群 の ユ ニ タ リ表 現 を実 現 す る もの で あ っ て,そ の 結 果 あ らゆ る ス ピ ンの 状 態(整 数 また は半 整 数)を む こ とに な る.」

含

 第24講  電 磁 場 の量 子化

―テー マ ◆ 真 空 の 電 磁 場 と光 子 ◆ 光 子 の 吸 収 ・放 出 ◆ 自然 放 出 ◆ Tea

Time:科

学 が き らわ れ る理 由

 真 空 の電 磁 場   真 空 は電磁 場 で あ り,輻 射 場,光 子 の場 で あ る.光 子 は物 質 か ら放 出 され た り, 物 質 に 吸収 され た り して,そ

の 数 が 増 え た り減 っ た りす る.さ

らに 後 に述 べ る よ

う に真 空 は電 子 や 陽 電 子 な どの場 で あ っ て,エ ネ ル ギ ー の大 き な光 子 が 電 子 と陽 電 子 の対 に変 わ った り,電 子 と陽 子 が 衝 突 して消 滅 し,大

きな エ ネ ル ギ ー の光 子

に変 わ っ た りす る.こ の よ うに真 空 は実 は多 くの 可能 性 を秘 め た 場 で あ るが,ま ず 電 磁 場 だ け が 存 在 す る場 合 か ら調 べ よ う.   古 典 的 な電 磁 気 学 に よ れ ば,電 場 をＥ,磁 中 の 電 磁 場 は マ クス ウ ェ ル(Maxwell)の

場(磁 束 密 度)を

Ｂ とす る と,真 空

方程式

(１)

に よ っ て 表 さ れ る.よ ー ポ テ ン シ ャ ルＶ

を

く知 ら れ て い る よ う に,ベ

ク トル ポ テ ン シ ャ ルＡ

とス カ ラ

(２)

に よ っ て 導 入 す る と(１),(２)か

ら

(３)

が 得 ら れ る.こ

こで (４)

は ラ プ ラ シ ア ン(ラ

プ ラ ス 演 算 子)で

あ る.ま

た

(５)

を ダ ラ ン べ リ ア ン と い う.相 ict)と

す る と き,４

対 論 的 な 扱 い で は,４

元 ベ ク トル をxμ=(x,y,z,

元 ポテ ンシャル を (６)

に よ っ て 定 義 す る.   さ て,与

え られ た Ｅ,Ｂ

利 用 し て(３)の

に 対 し て(２)のＡ,Ｖ

右 辺 を ０ に 選 ぶ こ と が で き る.こ

は 一 義 的 に 定 ま ら な い.こ

れ を

の とき (７)

これ を ロー レ ン ツ条 件 とい う(こ れ か ら本 書 で は こ の条 件 を 用 い る こ と にす る). この条 件 を採 用 す る と き,電 磁 場 の 方 程 式 は 波 動 方 程 式 (８) と な る.   し か し,ロ

ー レ ン ツ 条 件 を 採 用 し て も(A,V)に

は ま だ 任 意 性 が あ る.そ

れ はx

(x,y,z,t)が (９) (ダ ラ ン ベ ー ル 方 程 式)を

満 た す 関 数 と す る と き,(A,V)が(８)を

満足 ず る と

き

(10) とい う変 換 に よ って つ くられ る(A',V')も 換(10)は

や は り(８)を 満 足 す る か らで あ る(変

ゲ ー ジ変 換 と よ ばれ る).

  い まの場 合(物 質 が 存 在 しな い と き)は 適 当 な ゲ ー ジ 変 換 を と る こ とに よ っ て V =0と

す る こ とが で き,電 磁 場 は

(11)

に よ っ て 表 さ れ る.

 電 磁  (11)の

波

解 を

(12) (e=(ex,ey,ez)は kz)方

波 の 偏 りの 方 向 を 表 す 単 位 ベ ク トル)と お く と,こ

向 に 伝 わ る 波(電

磁 波)を

与 え る.こ

の と き(11)の

れ は(kx,ky,

第 １式 は 電 磁 波 の 振 動

数

(13) を与 え る.ｃ は波 の 速 さ で あ り,そ の 波長 λ と波 数ｋ は

(14) で あ る.ま

た(11)の

第 ２式 は

(15) を与 え る が,こ れ は波 の 偏 り ｅが 波 の進 行 方 向(波 数 ベ ク トルｋ)に

垂直 であ る

こ と,す な わ ち 電 磁 波 が横 波 で あ る こ と を表 して い る.   波数ｋ の 可 能 な値(す

なわ ち 固 有振 動)を き め る の は境 界 条 件 で あ る.よ

く使

われ る境 界 条 件 と して,１ 辺 の 長 さ Ｌ の 立 方 体 に対 す る周 期 条 件 を お く と,波 の 位 相 はｘ 方 向 にＬ だ け進 ん だ と きに2π の 整 数(0,±1,±2,…)倍

変 わ る こ とに

ｙ

な る.す

なわち

(16) ,ｚ 方 向 に つ い て も同 様 で あ る.し た が っ て固 有 振 動 の 波 数(ｋ

と書 く)は

(17)

で 与 え ら れ る.

 電 磁 場 の 量 子化  固有振動 の重ね合わせ で電磁 場 を表す と (18) とな る(1/√V=1/L3/2は る.(18)を(11)の

規 格 化 の た め の 因 子).こ

こ でbk*はbkの

複 素共役 であ

第 １式 に 入 れ る と

(19) を得 る.   (19)は 単 振 動 の 運 動 方 程 式 で あ るか ら直 ち に量 子 化 され る.

(20) とお く と振 動 子 の ハ ミル トニ ア ン は

(21) と な り,標 よ り,シ

準 的 な 手 続 き で 量 子 化 さ れ る.す

な わ ち お き か えPk→(〓/ⅰ)∂/∂Qkに

ュ レー デ ィ ンガ ー 方程 式

(22) を得 る.し た が っ て 単 振 動 の エ ネル ギ ー 固 有 値 は

(23) と な る.

 こ こで行 列

(24)

を 用 い る と(23)は 行 列 の形 で

(25) と書 け る.こ れ は エ ネ ル ギ ー〓 ωkの 光 子 がNk個

あ る状 態 を表 す もの と解 釈 す る.

す な わ ち準 位 の 番 号nk，nを 光 子 の個 数 と解 釈 す るの で あ る.電 磁 場 を この よ う な 光 子 の 集 ま り と見 るの で あ る.   Pk=(〓/i)∂/∂Qkで

あ るか ら交 換 関 係

(26)

が 成 り立 つ.こ

れ をbkとbk*を

量 子 化 し たbkとbk†

と で 表 す と,交

換 関係 は

(27)

と な る.   行 列 表 示 で 書 く と 光 子 数nk=0,1,2,…

の 状 態 ψnk(=ψk,n)は

それ ぞ れ

(28)

と表 さ れ る.こ

れ に応 じて

(29)

あるいは

(30) した が っ て

(31) ま たbk*を

量 子 化 し たbk†

は

(32)

あるい は

(33) した が っ て

(34) と な る.bkは

光 子〓ωkを １個 な くす 演 算 子(消 滅 演 算 子),bk†(bkの

エ ル ミー ト

共 役)は 光 子 を １個 ふ や す 演 算 子(生 成 演 算 子)と よ ば れ る.上 式 で√nk+1の の+１

中

は次 節 に 示 す よ うに 自然 放 出 に関 係 が あ る.

  自然 放 出   1917年

に ア イ ン シ ュ タ イ ン(A.Einstein)は

則 を 導 出 す る す ば ら し く,そ

プ ラ ン ク(M.Planck)の

し て 透 徹 し た 論 文 を 発 表 し て い る.こ

と い う新 し い概 念 で,後

に レ ー ザ ー の 原 理 に も な っ た も の で あ る.

  熱 輻 射(温

中 に い くつ か の 原 子 を お い た と し よ う.簡

度 放 射)の

原 子 は す べ て ２本 の エ ネ ル ギ ー 準 位E1とE2(E1＜E2)し い 準 位E1に

輻射法 れ は自然放 出

単 の た め この

か と り え な い と す る.低

あ る 原 子 は 輻 射 場 の 影 響 で エ ネ ル ギ ーhν=E2−E1の

光 子 を 吸 収(誘

導 吸収)す る こ とが で き る.ま た高 い準 位E2に あ る原 子 は 同 じエ ネル ギ ー の 光 子 を放 出 す る こ とが で き る が,こ れ に は ２つ の 過 程 が可 能 で あ る こ と を ア イ ン シ ュ タイ ンは 指摘 した ので あ る. そ の う ちの １つ の 過 程 は輻 射 場 の影 響 で エ ネ ル ギ ーhv=E2−E1の

図20  光 子 の吸 収 と放 出

光 子 を放 出 す る過 程 で あ り

(こ れ は誘 導 吸 収 の 逆 過 程 で 誘 導 放 出 と よ ば れ る),も

う １つ は 輻射 場 の 影 響 と関係 な く同 じエ ネル ギー の光 子 を放 出 す る過 程 で

あ る.こ の第 ２の 過 程 は 自 然放 出(自 発 放 出)と

よ ばれ る.こ れ は ア イ ン シ ュ タ

イ ンに よ り,次 の よ うに して は じ め て指 摘 され た 過 程 で あ る.   い ま同 じ原 子 がN1+N2個

あ り,そ の うちN1個

E2に あ る とす る.単 位 時 間 に下 の準 位E1か こる回 数 はN1に

は準 位E1に

ら上 の準 位E2へ

あ り,N2個

は準 位

上 が る誘 導 吸 収 の お

比 例 し,輻 射 場 の エ ネル ギ ー 密 度 ρ(v)に 比 例 す るに ちが い ない.

こ こで ρ(v)は 輻 射 場 の単 位 体 積 中 に あ るエ ネル ギーhv=E2−E1の あ る.し た が っ て遷 移E1→E2(誘

光 子 の個 数 で

導 吸 収)の 頻 度P(1→2)は

(35) で 与 え られ る(A12は

比 例 係 数).

  次 に 上 の 準 位E2に

あ る原 子 が 下 の準 位E1へ

落 ち る過 程(P(2→1))は

出 に よ る も の と 自然 放 出 に よ る もの とが あ るが,第 し,第

２の 過 程 はN2だ

１の過 程 はN2と

誘導放

ρ(v)に 比 例

け に比 例 す る と考 え られ る.し たが って 放 出 過 程 の頻 度 は

(36) で あ る(A21は

この場 合 の比 例 係 数,Ｂ

は 自発 放 出 の比 例 係 数).

  した が っ て平 衡 状 態 で は,吸 収 と放 出 の頻 度 が つ り合 っ て

(37) となるか ら

(38) あ る い は,こ れ を輻 射 エ ネ ル ギ ー密 度 ρ(v)に つ い て 解 い て

(39)

とな る.こ こ で原 子 の 個 数 の 比N2/N1は

ボル ツ マ ン統 計 に よ り

(40) で 与 え ら れ る.   し たが っ て

(41) (42) と仮 定 す れ ば(39)か

ら プ ラ ン ク の輻 射 公 式

(43) が 導 か れ る(ア イ ン シ ュタ イ ン は この簡 潔 な発 見 を 大 変 気 に 入 っ て い た そ う で あ る).   【補 注 】A12とA21は

原 子 の状 態 の遷 移 確 率 で あ る.た とえば第18講(17)式

か

らわ か る よ う に,電 子 と輻 射 場 との相 互 作 用 は,電 子 の運 動 量 ｐ と電 磁 場 のベ ク トル ポ テ ン シ ャルＡ との積p・Aに

比 例 す る.こ れ を摂 動 とす る計 算 に よれ ば,A12

= A21で あ る こ とが 示 され る.   次 に(42)の 中 の8πv2/C3は 輻 射 場 の振 動 数 がｖ とv+dvの 個 数 が 単 位 体 積 に つ き(8πv2/c3)dvで 工ネ ル ギ ーhvと運

間 に あ る固 有 振 動 の

あ る こ と に よ る係 数 で あ る.実 際,光

子の

動 量ｐと の間には (44)

の 関 係 が あ り,運 動 量 がｐ とp+dpの

間 の ミク ロ状 態 の 数(位 相 空 間 の 広 さ に比

例 す る)が 単 位 体 積 に つ き

(45) で あ る こ と,光 が横 波 で 偏 りが ２つ あ る こ と をあ わ せ 考 えれ ば,固 有 状 態 の 数 が 8πv2dv/C3で あ る こ とが 導 か れ る.そ 比 例 す る.   さ らに

して 自発 的 な遷 移 の確 率 Ｂ は当 然 この数 に

(46) は 振 動 数ｖ の 光 子 の(固

有 状 態 １つ あ た り の)個

数 で あ る.(41),(42),(46)か

ら

(47) が 導 か れ る.こ

こでP(2→1)/N2は

り,P(1→2)/N1は

光 子 の 数 がnvか

光 子 の数 がnvか

らnv-1に

らnv+1に

変 わ る過 程 で あ

変 わ る過 程 で あって,そ れ ぞれ 光

子 の生 成 と消 滅 を伴 う過 程 で あ る.摂 動 計 算 に よ れ ば,こ れ らの遷 移 確 率 は生 成 消 滅 演 算 子((31),(34)参

照)

(48) の 絶 対 値 の ２乗 に比 例 す る こ とに な るか ら

(49)

とな る.こ う して(47)も ∝√n

+1の+1は

い 真 空 状 態(n=0)で =0→1)の

摂 動 計 算 で 導 か れ る ので あ る.こ れ か らわ か る よ うにb†

自然 放 出 の 可 能 性 にか か わ る もの で あ る.実 際,光

子 が 全 くな

も原 子 か ら の 自然 放 出 に よ っ て光 子 が １個 生 まれ る過 程(n

可 能 性 は あ るわ けで あ る.

 

Tea

Time

 科 学が き らわ れ る理 由   『科 学 が き らわ れ る理 由』(バ ンダ ー 著,松

浦 俊 輔 訳,青

土 社)と い う本 が あ る.

著 者 は 心 の 進 化 論 を専 門 とす る イ ギ リス の 心 理 学 者 で あ る とい う.こ こで い う 「科 学 」 は大 変 広 い意 味 で あ り,数 学 か ら科 学 技 術 ま で が 含 まれ て い て,全 体 を要 約 す る の は不 可 能 で あ る.   特 に興 味 深 く読 ん だ の は 「社 会 的 脳 」と題 す る第 ７章 で あ っ た.つ

め て い え ば,

わ れ わ れ 人 類 は社 会 的 な人 間 関係 に特 に関 心 が あ る.こ れ に比 べ れ ば物 質 的,物 理 的 な世 界 はず っ と軽 い もの だ とい う.い ろ い ろ な面 白 い 観 察 が述 べ られ て い る の は霊 長 類 で あ る サ ル の 行 動 に つ い て で あ る.サ ル の 社 会 は ２つ の 点 で 他 の 哺 乳 類 や 鳥 な どの 社 会 と大 き く異 な っ て い る.１ つ は サ ル が 派 閥 をつ くる こ とで あ り, も う ｌつ は戦 術 的 に他 者 をだ ます こ とで あ る.野 生 の状 態 で あ れ,実 験 室 で あ れ, 時 間 をか け て 調 べ た に もか か わ らず,サ ル 以 外 に戦 術 的 嘘 が あ る こ とが 明確 に さ れ た こ とは な く,ま た サ ル 以 外 の 種 が直 接 の 自己 防 衛 の た め以 外 に提 携 関係 を組 む こ とは観 察 され て い ない とい う.サ ル は階 級 をつ くっ た り仲 直 り した り して,文 字 通 り頭 を使 っ て い る の で あ る.霊 長 類 の社 会 集 団 の大 き さ と脳 の 新 皮 質 の相 対 的 な大 き さの 間 に 単 純 な関 係 が あ る.新 皮 質 は 能 動 的 な 思 考 の生 じ る脳 の部 分 で あ る と考 え られ て い て,ふ 旧 世 界 サ ル で は60∼70%,チ 数 十(数 百?)万

つ うの 哺 乳 類 で は脳 の 全 体 積 の ３分 の １ほ どで あ っ て ンパ ン ジー で70%,現

代 人 で80%を

占 め て い る.

年 前 にサ ル の頭 脳 が 進 化 して人 類 が で きた の だ ろ うが,社 会 的

な 事 柄 へ の気 配 り と関 心 が,物 理 的世 界 へ の 関 心 に比 べ て ず っ と高 い 点 で は 人 類 とサ ル とは共 通 点 が あ るの か も しれ な い.

 第25講  デ ィ ラ ッ ク 電 子 の 波 動 場

―テ ー マ ◆ デ ィ ラ ッ ク 電 子 の 波 動 場 ◆ 反 交 換 関 係 ◆ ハ ミル トニ ア ン ◆ Tea

Time:何

の た め の数 学 か

 デ ィ ラ ッ ク 場   ふ つ うの 電 子 は正 エ ネ ル ギ ー の 電 子 で あ るが,空 孔 理 論 に よれ ば 負 エ ネ ル ギ ー 準 位 は す べ て電 子 が つ ま っ て い る.そ

して十 分 な エ ネ ル ギ ー が 与 え られ れ ば 負 エ

ネ ル ギ ー の 電 子 が正 エ ネ ル ギ ー の 電 子 に な り,そ の あ と に空 孔 が 生 じ,こ れ は陽 電 子 に 他 な らな い.こ

う考 え る とデ ィ ラ ッ ク(P.A.M.Dirac)が

は じ め て考 えた

電 子 論 は実 は多 体 問題 で な け れ ば な らな か った は ず で あ る.   デ ィ ラ ッ ク方 程 式 に多 体 の電 子 を扱 わ せ る に は,電 磁 場 の 場 合 に な らっ て デ ィ ラ ッ ク方 程 式 を場 の 方 程 式(デ ィ ラ ック場)と 見 て これ を量 子 化(再 度 量 子 化,第 ２量 子 化)し

な け れ ば な らな い.

  話 に具 体 性 を もた せ るた め,ま ず 電 磁 場 の な い場 合 の デ ィ ラ ッ ク方 程 式 を考 え よ う(以 下 の 話 は電 磁 場 の あ る場 合 に一 般 化 で き る).デ 講(２)参

ィラ ッ ク方 程 式 は(第15

照) (１)

(▽=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z))で あ る.こ の 方 程 式 で ψ を演 算 子 化 した もの が電 子 の デ ィ ラ ッ ク場 で あ る.  電 磁 場 の な い 自 由 な電 子 の 波動 関 数 は第17講

で 求 めた.そ れ を ま とめて 書 くと

(２)

と な る.こ

こで  u 1,u2に

対 し て は 正 エ ネ ル ギ ー   E=E+=√m2c4+c2p2 (３)

  u3,u4に

対 し て は 負 エ ネ ル ギ ー   E=E-=-√m2c4+c2p2 

で あ る.粒 子 は １辺 の長 さＬ の 立 方 体 に あ り,波 動 関 数 に周 期 条 件 を お くと運 動 量 ｐ とエ ネ ル ギ ー の 固有 値 Ｅ は

(４)

と な る.一

般 の 運 動 は こ れ ら の 重 ね 合 わ せ で あ る.

  (u1,u2,u3,u4)を

便 宜 上ui(i=1,2)とvi(i=1,2)と

に分 けて

(５)

と す る.こ

れ ら の 解 を係数cpSとdps+の

線形結 合で表 し

(６)

と書 こ う.粒 子 の 運 動 を正 エ ネル ギー の運 動usと

負 エ ネル ギー の運 動vsの 重 ね合

わせ で 表 した の で あ る.   こ こで 上 式 のcpsやdps+を

演 算 子 と考 え る こ とに よ っ て量 子 化 が達 成 され る.

  これ に 似 た 場 合 と して電 磁 場 の量 子 化(前 講)で

は光 子 の 波 動 関数 を

(７)

と してbp，bp+を

演 算 子 と考 え,そ の 間 に変 換 関 係 (８)

な どの交 換 関 係 をお い た.も

し もcp,dp+な

どの演 算 子 の 間 に これ と同 じ よ うな 変

換 関 係 を お く とす る と,わ れ わ れ は光 子 と同 じ よ う に ボー ス粒 子 を記 述 す る こ と に な るだ ろ う.電 子 は光 子 と ちが っ て ボー ス粒 子 で はな く,パ ウ リ原 理(排 理)に

他原

し た が う フ ェル ミ粒 子 で あ る.そ こ で電 子 の状 態 を記 述 す る た め に は,交

換 関 係 と して全 く別 の もの を 設 定 しな けれ ば な らな い.   実 際,電 子 や 陽 電 子 な どの フ ェ ル ミ粒 子 で は次 の よ う な交 換 関 係 を お く.

(９)

これ ら を反 交 換 関 係 とい う.  電磁 場 の場 合bp*bp=npは

光 子 の個 数 で あ っ た.こ れ に な ら っ て

(10) とす る と上 の 反 交 換 関 係 を 用 い て

(11) さ ら に(９)第

２ 式 でr=s,p=p'と

す る とcps+cps+=cpscps=0と

な る か ら

(12) し た が っ てnps正 の 固 有 値 は ０ と １で あ る.同 ０ と１ で あ る.こ

様 に してnps負=dps+dpsの

固有値 も

れ は １つ の 状 態 に た だ １個 の 粒 子 し か 入 り得 な い こ と を 意 味 し,

粒 子 が フ ェ ル ミ粒 子 で あ る こ と を 表 し て い る.   波 動 関 数(６)を

(13) と書 き,こ れ を用 い て反 交 換 関 係 を表 す と

(14)

と な る.   ハ ミ ル トニ ア ン

  自 由 な 電 子 の ハ ミル トニ ア ン は

(15) と 書 か れ る.(６)を

代 入 し てcpｓ な ど で 表 す と こ れ は

(16) と な る.こ

こ で 添 字 １,２ は ス ピ ン の ２ つ の 状 態 を 表 し て い る.

  な お,粒

子 間 に相 互 作 用V(r,r')が

あ る と き の ハ ミル トニ ア ン を 量 子 化 さ れ た

波 動 関 数 ψで 表 す と

(17) とな る こ とが 示 され る.   量 子 化 され た波 動 関 数 で 書 く と,粒 子 の場 のハ ミル トニ ア ン は あた か も １粒 子, あ る い は粒 子 系 のハ ミル トニ ア ン と同 様 な形 に表 され るの で あ る(場 の 量 子 化 に つ い て は 『物 性 物 理30講

』 を参 照 され た い).

  Tea

Time

 何 の た め の 数 学 か   モ ー リス ・ク ライ ン とい う人 が 書 い た 『何 の た め の 数 学 か―

数 学本 来 の姿 を

求 め て 』(雨 宮 一 郎 訳,紀 伊 國 屋 書 店)と い う本 が あ る.著 者 は ニ ュ ー ヨー ク大 学

の ク ー ラ ン ト数 学 研 究 所 の 名 誉 教 授 で,多

くの著 書 が あ り,数 学 とは何 か とい う

こ との 歴 史 的 解 明 と,こ れ に基 づ く数 学 の教 育 に深 い 関 心 を も って い る とい う.こ の本 の 序 文 に は 『数 学 は よ く学 校 で教 え られ て い る よ う な単 な る記 号 操 作 の 技 術 で は な い.数 学 の 目標 は,実 知 識,時

は外 界 の 現 象 で あ っ て,そ

こか ら予 想 も し なか っ た

に は感 覚 と矛 盾 す る よ うな知 識 を引 き 出 す の で あ る.そ れ は物 質 界 に つ

い て の知 識 の 精 髄 で あ り,感 覚 を は る か に 凌 駕 して い る ので あ る.」と書 い て い る.   また この 本 の最 後 の と ころ で は,次 の よ う に述 べ て い る:「 現 代 の一 部 の 数 学 者 は 自然 との 絆 を 断 と う とす る傾 向 が あ り,一 部 の 哲 学 者 まで これ に同 調 して い る. 数 学 に た ず さわ る人 々 が この こ とを充 分 に 反 省 しな け れ ば,ク ー ラ ン トが い う よ うに数 学 も自然 科 学 も共 に亡 び る こ とに な るだ ろ う.数 学 は過 去 何 千 年 の 間,外 界 の探 究 に伴 っ て 成 長 し,そ の 成 果 に よ って 評 価 さ れ て 来 た が,そ

の外 的 な 形 態

は変 わ っ て も,今 後 発 展 しつ づ け る た め に は,自 然 との つ な が りを見 失 わ な い よ うに しな けれ ば な らな い．」   数 学 と物 理 学 との 関 係 に つ い て 考 え るた め に い くつ か の 本 を読 ん だ.ど っ た か覚 えて い な い が,ク

ロ ネ ッ カー(L.Kronecker,1823-1891)の

の本 だ

言葉 が大変

気 に い っ た.そ れ は 「自然 数 は神 が お創 り にな った もの で あ り,そ の他 の も の は 人 間 が作 った もの で あ る」とい う言葉 で あ る.し ば し ば こ の言 葉 を 思 い だ す.「 そ の他 の もの 」 とい う点 で は 数 学 と物 理 を 区別 し な い.

 第26講  電 子 の 自 己エ ネル ギ ー

―テー マ

◆ 古 典 的 な 電 子 ◆ ラ プ ラ スーポ ア ソ ン方 程 式 ◆ 電 子 の相 互 作 用 ◆ Tea

Time:有

効 質量 の例

 古 典 的 な電 子 論   電 子 は-eの

電 気 量 を も っ て い る.こ の電 子 が どの よ う に し て この荷 電 を保 持

して い る か は謎 で あ るが,も

し も電 子 が さ らに 小 さ く分 け られ る とす れ ば同 種 の

電 気 はた が い に 反 発 し合 う とい う ク ー ロ ン(Coulomb)の 荷 電 は飛 び散 っ て し ま う に ち が い な い.こ

法 則 に よ っ て,電 子 の

の反 力 に抗 し て荷 電 を電 子 に 集 中 して

お くに は大 きな 力 とエ ネ ル ギ ー が 必 要 で あ る.電 子 が 無 限 に小 さか っ た ら これ に 要 す るエ ネ ル ギ ー は無 限 大 に な っ て し ま う.   も し も電 子 が 半 径r0の 球 で あ る と し,そ の 範 囲 に全 荷 電-eが

乗 って い る とす

る と その エ ネ ル ギ ー は (１)

で あ る こ とが 示 され る.こ れ は 古 典 的 な 電 子 の 自 己 エ ネ ル ギ ー で あ る.  相 対 性 理 論 に よれ ば エ ネル ギ ー は質 量 を伴 い,エ ネ ル ギ ー Ｅ とそ の質 量ｍ 間 に はE=mc2(Ｃ

は光 速 度)の

との

関 係 が あ る.し た が っ て電 子 は荷 電 の た め に

(２)

の余 分 な 質 量 を もつ わ け で あ る.こ れ を電 子 の電 磁 的 質 量 とい う.電 子 の 質 量 が す べ て電 磁 気 的 な も の で あ る とい う考 え もあ った が,こ れ は無 理 な よ うで,電 子 は まだ得 体 の しれ な い(本 来 的 な)質 量 と電 磁 的 質 量 を合 わ せ も って い る ら し い.   電 子 の 荷 電 に よ るエ ネ ル ギ ーE0は,そ

の 荷 電 のた めに 電 子 の まわ りにで きる電

磁 場 の エ ネ ル ギ ー と考 え る こ と もで きる.   これ ら は静 止 した 電 子 の もつ エ ネル ギ ー,あ るい は静 的 な電 磁 的 質 量 で あ るが, 電 子 を加 速 す る と き に は そ の 周 辺 の電 磁 場 が 変 化 しエ ネ ル ギ ー が 増 加 す る.そ の 反 作 用 と して 電 子 に は た ら く力 か ら電 子 の電 磁 的 質 量 を定 義 す る こ と もで き る.こ れ は い わ ば 電 子 の動 的 な電 磁 質 量 で あ る が,こ れ も上 式 と同 程 度 の 値 を 与 え る.   いず れ に して も,古 典 電 磁 気 学 で考 えた 電 子 の 自己 エ ネル ギー や電 磁 質 量 は,電 子 の半 径r0を

０に した 極 限 で 無 限 大 に な る.こ れ を古 典 電 子 論 にお け る発 散 の 困

難 とい う.   なお,電 子 の質 量ｍ の 全 部 が 電 磁 質 量memで

あ る とす ると,U0=e2/r0=mc2,

した が っ て (３)

と な る.こ れ を電 子 の 古 典 半 径 とい う.  ラ プ ラ スーポ ア ソ ン方 程 式  場 の 理 論 で は 場 の量 を フ ー リエ分 解 して 考 え る こ とが 多 い の で,電 子 の 自 己 エ ネ ル ギ ー もフ ー リエ 成 分 で 書 か れ る.こ れ を調 べ る前 に静 電 ク ー ロ ン力 の場 に つ い て 少 し述 べ て お き た い.  原 点 に 点 電 荷 Ｑ が あ る と き,静 電 クー ロ ン力 の電 場 の大 きさ Ｅ と静 電 ポ テン シ ャルＵ は

(４)

で与 え られ る.そ こで原 点 を中 心 とす る半 径 Ｒ の 球 面 Ｓ につ いて 電 場 の大 きさ Ｅ を積 分 す る と (５)

を得 る.こ れ は積 分 した 球 面 の 半 径 Ｒ によ らないか ら, 電場 の ベ ク トル Ｅ(大 き さ Ｅ)は 原 点 か ら あ らゆ る方 向 に とぎれ な い で 広 が っ て い る こ とが わ か る.電 場 ベ ク トル は圧 縮 され な い 流 体 の よ う に 点 電 荷 か ら放 射 状 に流 れ 出 て い て,電 荷 は電 場 ベ ク トル の 湧 き口 とみ な す こ とが で き る(図21).   電 場 ベ ク トル Ｅ をつ な い だ線 を電 気 力 線 とい う.電 図21  電 気 力線 の湧 き口

気 力 線 が 圧 縮 され な い流 体 にた とえ られ る こ と を方 程 式で表せ ば (６) とな る.実

際,Ｅ

は この と き (７)

で あ る こ とを 用 い て直 接 確 か め られ る.(６)が

成 り立 つの は原 点 に あ る電 荷 を除

いた 領 域 で あ って,原 点 の 電 荷 は 湧 き 口 に な っ て い る.Ｅ 積 を通 る流 量 と考 えれ ば(５)に

を単 位 時 間 に 単 位 断面

よ り4πQは 原 点 か ら単 位 時 間 に流 れ 出 る流 量 にた

とえ られ る.こ れ を方 程 式 で 表 せ ば,原 点 を含 め て (８)

とな る.こ

こで δ(r)は,原

点r=0を

除 いた領 域 で は ０で あ っ て原 点 を 含 め た領

域 で 積 分 す れ ば １に な る関 数 で あ る.す な わ ち (９) これ を デ ィ ラ ッ ク(Dirac)の   電 荷 が １点 に 集 中 せ ず,広 た と き,(８)の

代 わ りに

デ ル タ 関 数(δ

関 数)と

い う.

が っ て 分 布 し て い る と き は そ の 電 荷 密 度 を ρ(r)と

し

  divE=4π

が 成 り立 つ.こ

れ はガ ウ ス(Gauss)の

ρ(r)

 (10)

法 則 と よ ばれ て い る.

  一 般 の 電 荷 分 布 の 場 合 も静 電 場 Ｅ は静 電 ポ テ ン シ ャル φ を用 い て   と表 さ れ る.こ

E=-gradφ

 (11)

こ で ベ ク トル 公 式

(12) を用 いれ ば,(10)か

ら荷 電 密 度 ρ(r)に よ る静 電 ポ テ ン シ ャル φに対 して成 り立

つ式  ▽2φ=-4π

ρ(r)

 (13)

が 導 か れ る.こ

れ を ラ プ ラ ス −ポ ア ソ ン 方 程 式(あ る い は ポ ア ソ ン 方 程 式)と い い,

電 荷 ρ(r)=0の

場 所 で 成 り立 つ 方 程 式 ▽2φ=0を

ラ プ ラ ス 方 程 式 と い う.

 静 電 場 の フ ー リエ 分 解   原 点 に 電 荷 ｅが あ る と き,こ

れ に よ る静 電 ポ テ ン シ ャ ル を φ(r)と

し,こ

れをフ

ー リエ 分 解 し て

(14) と す る.ラ

プ ラ ス −ポ ア ソ ン 方 程 式 は こ の 場 合

(15) で あ る か らk2=kx2+ky2+kz2と

書 くと

(16) した が って

(17) と な る.す

な わ ち,静

電 ポ テ ン シ ャ ルe/rの

フ ー リ エ 成 分 はk-2に

比 例 す る.

 また

(18) な らば

(19) で あ る.

 グ リ ー ン 関 数  位 置r'に 単 位 電 荷 が あ る と き,位 置ｒ に お け る電 場 をg(r,r')と

すれ ば,こ れ

が満 た す ラ プ ラ ス-ポ ア ソ ン方 程 式(13)は

(20) で あ り,こ

の 方 程 式 の 解 は(19)に

よ り

(21) で 与 え ら れ る.ま

た,電

荷e1,e2,…

がr1',r2',…

に あ る と き の 電 場 を φ(r)と

す

る と

(22) (23) で あ る.   こ こで ρ(r')=〓eiδ(r'-ri')はr'に

お け る電 荷 密 度 と解 釈 され る.そ

こで ρ(r')

の 電 荷 密 度 で電 荷 が連 続 的 に広 が って い る ときの 電場 を φ(r)と す れ ば,こ れが 満 た す ラ プ ラ ス-ポ ア ソ ン方 程 式 は

(24) と な る.こ

れ は(13)に

ほ か な ら な い.そ

して

(25) か らわ か る よ う に(24)の

解 は

(26) で 与 え ら れ る.

 (20)の

解(21)を

用 い れ ば(24)の

解(26)は

(27) と書 け る.   一 般 に〓 を線 形(解 の重 ね 合 わ せ が で き る)演 算 子 と し,G(r,r')を

与 え られ

た 境 界 条 件 を満 た す

(28) の 解 と す る と き,G(r,r')を〓 関 数 で あ る).〓

の グ リ ー ン 関 数 と い う((20)は(19)の

の グ リー ン 関 数g(r,r')を

グ リー ン

用 いる と

(29) の 同 じ境 界 条 件 を満 た す解 φ(r)は

(30) で 与 え られ る.

 自 己 エ ネ ル ギ ー   前 節 で は電 荷e1に の 中 で電 荷e1が

よ る電 場 の 中 でe2が

もつ エ ネ ル ギ ー と,電 荷e2に

よる電 場

もつ エ ネ ル ギ ー とを考 え た.こ の と き電 荷 が 自分 自身 の つ くる電

場 と相 互 作 用 を す る こ と は考 え な か った.し

か し 自分 自身 の つ くる電 場 との 相 互

作 用 の エ ネ ル ギ ー が あ れ ば これ は電 荷 の 自己 エ ネ ル ギ ー に寄 与 す る.古 典 電 磁 気 学 で は これ を無 視 す る こ とが で き るか も しれ な い が,量 子 力 学 的 な場 の 理 論 で は 古 典 論 の場 合 とちが っ た別 の 問 題 もあ る.   場 の 量 子 論 に よれ ば電 子 と真 空(あ Ａを通 して 相 互 作 用 をす るが,す 係 数b+とｂ

る い は電 磁 場)と

はベ ク トル ポ テ ン シ ャル

で に述 べ た よ うにベ ク トルＡ の フー リエ成 分 の

は真 空 か ら光 子 を生 成 した り,そ の 光 子 を消 滅 した りす る作 用 が あ る.

そ の た め 電 子 は そ の 周 囲 とた え ず 光 子 を や りと り して い て,い わ ば光 子 の着 物 を 着 て い る.こ れ は 古典 電 磁 気 的 にい う と自分 自身 の つ くる電 磁 場 との 相 互 作 用 で あ るが,そ

の 他 に も電 子 は真 空 と相 互 作 用 して 負 の エ ネ ル ギ ー の準 位 か ら電 子 を

と り出 し,そ の あ とに 空 孔(す

な わ ち 陽 電 子)を

つ くる作 用 もす る.こ の 電 子 と

陽電 子 は遠 くへ 行 か ず に す ぐ結 合 して 消 滅 す る とい うい わ ば仮 想 的 な 過 程(真 の偏 極)な

の で あ るが,こ

空

の た め に電 子 は そ の周 囲 に 電 子 ・陽 電 子 の 雲 を ま と っ

た状 態 にな っ て い る.電 子 は この た め に 余 分 な電 磁 的 質 量 の他 に電 磁 的 な電 荷 も も って い る と考 え ら れ る.

 

Tea

Time

 有 効質量 の例  

ニ ュー トン力 学 に お い て,質 量ｍ の 物 体 の速 度 をｖ,こ れ に はた ら く外 力 を

ｆ とす る と運 動 方 程 式 は

で あ る.こ

こで 外 力 の す る仕 事fdxだ

け物体 の エ ネ ル ギ ー Ｅ が 増 え る と考 え る と

を得 る.  【 結 晶 内 の 電 子 】 結 晶 の 中 の電 子 は,全

く自 由 な電 子 で あ れ ばmv2/2の

ギ ー を もつ.し か し結 晶 の原 子 に よ る周 期 電 場 が はた ら くの で,電 ーは

で 近 似 さ れ る.こ の と きm'は

エネル

子のエ ネルギ

電 子 の 有 効 質 量 と よ ばれ る.

 【 完 全 流 体 中 を動 く球 】 粘 性 の な い 流 体(密 度 ρ)の 中 を半 径ａ の球(質 量ｍ) が 一 定 の速 度ｖ で動 く と き,流 体 は球 の まわ り を避 け て 流 れ る の で,球 の運 動 と 流 体 の揮 動 を合 わ せ た 運 動 エ ネ ル ギ ー は

と計 算 され る.こ の 球 に外 力 ｆ を加 え て加 速 す る と きはdE=fdxだ わ るので

けの仕 事 が加

こ こ でv=dx/dtを

用 い ると

ただ し

をつ くる.こ れ が この 球 の 有 効 質 量 で あ る((2π/3)a3ρ は球 が排 除 す る流 体 の 質 量 の半 分 に等 しい.『 流体 力 学30講

』p.50参

照).

  【球 状 荷 電 粒 子 】 荷 電 粒 子 の まわ りに は電 気 力 線 と磁 力 線 を伴 う電磁 場 が あ り, 速 度 が 変 わ れ ば そ の た め の エ ネ ル ギ ー も変 わ る.運 動 方 程 式 は(非 相 対 論 的)

と書 け る.右 辺 第 １項 は外 力,第

で あ る.た p.182参

だ しm0は

照).

３項 は電 磁 放 射 の 反 作 用,第

電 子 の 静 止 質 量,memは

２項 は有 効 質 量

電 磁 質 量 で あ る(『 電 磁 気 学30講

』

 第27講   く り込 み 理 論

―テー マ ◆ 無 限 大 の 質 量 ◆ 散 乱 断 面 積 ◆ く り込 み 理 論 ◆ Tea

Time:ハ

ン グ リー精 神

 量 子電 磁 気 学 の 難 点   相 互 作 用 をす る粒 子 の場 と電 磁 場 を量 子 論 的 に扱 うのが量 子 電 磁 気 学 であ る.電 子 の場 と して は デ ィ ラ ッ ク方 程 式 を量 子 化 した もの を用 い,光 子 場 に対 して は マ ク ス ウ ェ ル 方 程 式 を 量 子 化 した もの を用 い る.こ れ らに つ い て は本 書 の 前 講 ま で にお い て や や くわ し く述 べ て きた.電 子 と電 磁 場 とが 相 互 作 用 す る現 象 につ い て は,あ

ま り深 く踏 み 込 ま な いで,電

子 を単 な る粒 子 と して 扱 い,電 荷 や質 量 な ど

を現 象 論 的 に既 知 の もの と して扱 っ た場 合 が 多 い.   こ の よ うな 理 論 で相 互 作 用 を十 分 考 え な い で も答 が 得 られ て 実 験 と も よ く合 う 現 象 が 多 数 あ る こ とが 知 られ て い る.た

とえ ば原 子 の エ ネ ル ギ ー 準 位 とか,電 子

の 弾 性 散 乱 な ど で あ る.相 互 作 用 が 問題 に な る の は電 子 に よ る光 の放 出,吸 収 な どで あ るが,こ

れ らの 現 象 に お い て も,相 互 作 用 を小 さ い もの と仮 定 した 最低 次

の 摂 動 計 算 が 実 験 と よ く合 う場 合 が い ろ い ろ知 られ て い る.し た が っ て電 子場 と 光 子 場 の相 互 作 用 の 影響 は実 際 上 十 分 小 さな もの で あ る こ とが,経 験 的 に 確 か め られ て い る よ う に思 わ れ る.

  と ころ が,高 次 の補 正 を 摂 動 論 的 に調 べ て み る と,困 っ た こ と に理 論 で は無 限 大 の 量 が 出 て きて しま う こ とが 注 目 され た.た

と え ば水 素 原 子 の エ ネ ル ギ ー 準 位

は,光 子 場 との相 互 作 用 を 全 く無 視 して デ ィラ ッ クの 相 対 論 的量 子 力 学 を厳 密 に 解 く と相 対 論 的 な 微細 構 造 が 得 られ,こ れ は 実験 と よ く一 致 す る結 果 を与 え る(第 21講).し

か し この 準 位 が 相 互 作 用 で どれ くらい変 化 を受 け るか を摂 動 計 算 して み

る と,そ れ ぞ れ の準 位 が 無 限大 の 大 き さで ず れ て し まう とい う困 っ た結 論 に な る.   電場 に お け る電 子 の 弾 性 散 乱 で も光 子 場 の こ とを何 も考 え な い で計 算 す る と実 験 と よ く合 う結 果 が得 られ る が,光 子 場 との 相 互 作 用 を と り入 れ る と本 講 で 示 す よ うに 散 乱 の 確 率 が無 限 大 に な って し ま う.   この よ う に光 子 場 との相 互 作 用 を扱 う とあ ち こ ち で無 限大 が 現 れ て 理 論 が破 綻 して し ま う こ とが1940年

代 に明 らか にな った.そ のた め,量 子 電 磁 気 学 や 素 粒 子

論 を押 し進 め る に は この 困 難 を何 とか 越 え て行 か な けれ ば な らな くな った.理

論

に お け る無 限大 の 量 の 現 れ 方 を くわ し く吟 味 整 理 して,そ れ が もた らす 困 難 を 除 去 す る 方法 と して 朝 永 振 一 郎 先 生 は く り込 み理 論 とい う処 方 を考 え出 した.1947 年 頃 の こ とで あ る.こ

こで は 電 子 の 弾性 散 乱 の 問題 を中 心 に して,朝 永 先 生 の解

説(『 物 理 学 の 方 向 』,三 一 書 房,1949)な

どを参 考 に し なが ら この 理 論 の あ ら ま

し を説 明 す る こ とに した い.   デ ィ ラ ック(Dirac)の

電 子 論 に よ る 自 由 な 電 子 のハ ミル トニ ア ン(第17講)

に,電 子 と相 互 作 用 を して い な い電 磁 場 の ハ ミル トニ ア ンHe1m1を 加 え た もの を無 摂 動 の ハ ミル トニ ア ンH0と

す ると (１)

とな る.こ こでm0は

光 子 場 と相 互 作 用 を しな い と きの電 子 の質 量 で あ る.こ れ に

電 子 場 と電 磁 場 との 相 互 作 用 (２) (Ａ,A0は

ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル と ス カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ル)を 加 え た も の が 全 系 の

ハ ミル トニ ア ン (３)

で あ る.

 無 限 大 の 質 量   話 を具 体 的 にす るた め に,原 子 な どの電 場 に よ っ て電 子 が 散 乱 され る現 象 を １つ の例 とし て考 え よ う.   ハ ミル トニ ア ンH=H0+H'の

摂 動 項H'の

中 の α・Aは 光 子 場(真 空 の電 磁 場,

ベ ク トル ポ テ ン シ ャルＡ)と 電 子 との相 互 作 用 を表 し,A0は ポ テ ン シ ャルV(r)の

た め の 項(ス

電 子 を散 乱 す る静 電

カ ラー ポ テ ン シ ャルA0=V(r))で

あ る.

 運 動量 ｐの電 子 が入 射 して ポテ ンシ ャル V(r)に よ っ て 進 路 を 曲 げ られ て運 動 量 ｑ と な っ て 散 乱 さ れ る確 率(断 面 積)を る.弾 性 散 乱(￨p￨=￨q￨の

と き)の 断面 積 σ0の

計 算 で は 散 乱 ポ テ ン シ ャルV(r)が 目 を す る の で,こ

問題 にす

図22  散乱

重 要 な役

れ を 無 摂 動 系 の ハ ミル トニ ア ンH0に

含 ませ て(デ

ィ ラ ッ ク 場) (４)

とし よ う.こ れ を 用 い て 計 算 す る と弾性 散 乱 の 断 面 積 σ0は (５)

とな る.こ こでconst.は 電 子 の荷 電-e,質 V(p,q)は

量ｍ な どを含 まな い定 数 係 数 で あ り,

散 乱 ポ テ ン シ ャル の行 列 要 素 で あ る.電 子 の 質 量 と荷 電 とは光 子 場 と

の 相 互 作 用(自

己 エ ネ ル ギ ー)で 変 わ る可 能 性 が あ る の で,上 の 表 式 で特 に明 示

して お い た.   電 子 が原 子 内 の 原 子 核 に よ っ て散 乱 され る と き は(５)は ー ド(Rutherford)の

よ く知 られ た ラザ フ ォ

散 乱 式 で あ る.こ の散 乱 で はｍ お よ びｅ と して実 際 に観 測

され て い る電 子 の 質 量 と荷 電 と を用 い た 式 が 散 乱 の 実 験 と よ く合 う こ とが知 られ て い る.し た が っ て,こ

こで理 論 計 算 を止 め て お け ば量 子 力 学 は一 応 の成 功 を収

め た こ とに な る.   しか し理 論 上,上

の 計 算 で考 慮 に入 れ な か った 電 子 と光 子 場(電 磁 場)と

の相

互 作 用 を無 視 す る こ と はで きな い.こ

の相 互 作 用 に よ っ て 電 子 は 自己 エ ネ ル ギ ー

を もつ よ う にな り,そ の た め に 余 分 な質 量(電 磁 質 量)も

もつ こ と に な る(電 子

は光 子 場 の着 物 を ま とって い るの で あ る).電 磁 場 はベ ク トル ポ テ ン シ ャルＡ で 表 され,電 子 との 相 互 作 用 は α・A((２)参 こ の た め電 子 は余 分 な 質 量(電 磁 質 量)を

照)か ら摂 動 計 算 に よっ て計 算 され るが, もつ こ と に な り,そ の理 論 値 は 実は 無

限 大 に な って し ま う.   光 子 場 との相 互 作 用 が な か っ た と した と きの電 子 の質 量 をm0と との相 互 作 用(反 作 用)の

す る と,光 子 場

た め に電 子 が もつ と考 え られ る余 分 な質 量 の主 要 項 は (６)

と計 算 され る(証 明 略).   この 式 にお い て波 数ｋ に 関 す る積 分 の 下 限 は ０,上 限 は ∞ で あ るべ きだ が,こ の両 端 に お い て 積 分 値 は発 散 して し ま う.ｋ の小 さ い と こ ろ は長 い 波 長(赤 外 線) に,ｋ の大 き な と こ ろ は短 い波 長(紫 外 線)に 相 当 す るの で, k∼0に を赤 外 異 変(赤 外 部 発 散),k∼

お け る発 散

∞ に お け る発 散 を紫 外 異 変 とい う.

  (６)を 導 く摂 動 計 算 で は電 子 場 が 光 子 場 や 陽 電 子 場 と相 互 作 用 して,光 子 を放 出 した り吸 収 し た りす る種 々 の 過 程 を考 慮 しな けれ ば な らず,複 雑 な 過 程 を ど こ ま で と り入 れ る こ とが で き た か に よ って摂 動 近似 の 高 さが異 な る こ とに な る((６) はe2の 量 まで と り入 れ た 値 で,さ

らに高 次 の摂 動 はe4以 上 の 高 次 に な る).赤 外

異 変 の 方 は適 切 な摂 動 を と り入 れ る こ とに よ って お そ ら く除 去 さ れ る と思 わ れ る が,紫

外 異 変 に は本 質 的 な 困難 が ひ そ ん で い る ら し い.こ の 困 難 を除 くた め に電

子 が 点 電 荷 で な く,あ る大 き さ を もっ て い る と仮 定 す る こ とが 考 え られ る.し

か

し大 き さ を も っ た素 粒 子 とい う概 念 を相 対 性 理 論 に適 合 させ る こ と は い ま まで の と ころ 成 功 し て い な い.積 分 の 上 限 に物 理 的 な 考 察 を加 えて,あ

る値 ま で に止 め

る切 断 の 方 法 が よ く用 い られ て い るが 切 断 の 規 準 が 特 に定 ま っ て い な い の で あ る か ら,こ れ は最 終 的 な 理 論 とな りえ な い もの で あ る.現 在 の 量 子 電 磁 気 学 の 理 論 は本 質 的 な欠 点 を もっ て い るの で あ ろ う.こ れ を と り除 く方 法 は まだ 見 当 た らな い の で,こ

の困 難 を 迂 回 す る道 が さ ぐ られ て い る の で あ っ て,く

り込 み理 論 は そ

の有 効 な 方 法 の候 補 の １つ な の で あ る(電 磁 気 的 質 量 な ど と い う量 は お そ ら く無

限 大 で は な く,小 さ な量 にす ぎ な い か も しれ な い).   な お電 子 の 質 量 だ け で な く,電 子 の 荷 電-eも

電 子 場 と真 空 との 相 互 作 用 に よ

っ て変 化 して い る と考 え られ る.そ の 荷 電 変 化 は (７)

と考 え られ る.真 空 との相 互 作 用 に よ り,電 子 の 荷 電 は あ る範 囲 に広 が った 荷 電 分 布 を して い て,そ の 半径 は (８)

(ｍ は 電 子 の質 量)の 程 度 で あ る と考 え られ て い る.  無 限 大 の 断 面 積   さ て,も

う一 度 出発 点 に も どっ て,光 子 場 との 相 互 作 用 が な い と した と き の電

子 の 質 量 をm0と

し,電 子 と電 磁 場 の体 系 の ハ ミル トニ ア ン を (９)

とす る.こ

こ で((４)参

照)

(10) の 右 辺 第 １項 は電 子 場 と散 乱 ポ テ ン シ ャル を表 し,Hemは

電 子 と相 互 作 用 し て い

な い電 磁 場 の ハ ミル トニ ア ンで あ る.ま た

(11) は電 子 と光 子 場 との相 互 作 用 を表 す摂 動項 で あ る.  光 子 場 との 相 互 作 用 の な い と きの電 子 の 質 量 をm0と な い と した と きの 散 乱 断面 積 は((５)でｍ

をm0と

して い る ので,相 互 作 用 が した 式)

(12) で 与 え られ る.さ ら に光 子 場 との 相 互 作 用H'((11)式)を

加 え た と きの 断 面 積 の

増 加 を理 論 的 に計 算 した値 をdσ とす る と

(13)

とな る.こ

こで δmは(６)で

与 え た余 分 な 質量 で あ り,す で に述 べた よ う に無 限

大 の 形 を もっ た量 で あ る.   上 式 で荷 電ｅ は電 子 と光 子 場 の相 互 作 用 の大 き さ を代 表 してい る.σ0はe2の 度 で あ り,δmもe2の

程

程 度 で あ る か ら補 正dσ はe4の 程 度 で 止 め た 近 似 値 で あ る

こ と を注 意 して お こ う.   散 乱 断 面 積 の 理 論 式 は与 え られ たが,こ れ は無 限大 の項 δmを 含 んで い るので 実 験 と一 致 しな い.実 験 結 果 は む し ろ無 限 大 の 項dσ を無 視 した もの とよ く一 致 して い る.そ こで理 論 を実 験 と一 致 させ る に は無 限大 の補 正dσ を と り除 く方 法 を見 出 さ な け れ ば な らな い.そ

の １つ の 方 法 が く り込 み 理 論 で あ る.  く り込 み の 処 方

 理 論 と実験 との不 一 致 は余 分 な 質 量(エ ネ ル ギ ー)や 散 乱 の確 率 に 現 れ たが,共 に質 量 の増 加 δmに よ る無 限 大 の 困 難 で ある.出 発 点 で は光 子 場 との相 互 作 用 を し ない と きの質 量m0を

仮 定 し,こ れ に補 正 δmを 加 えたm=m0+δmが

実 際 に観 測

され る電 子 の 質 量 で あ る とい う よ うに理 論 をつ くりた い わ け で あ る.そ れ な ら δm を摂 動 と考 えな いで,は

じ め か ら理 論 の中 に と り込 ん で 矛 盾 の な い理 論 を つ くる

こ とは で きな い で あ ろ うか.こ

れ が く り込 み理 論 の 考 え方 で あ る.

  そ こで く り込 むべ き質 量 を μ とし,m=m0+μ

が 観 測 され る質 量 で あ る とす る.

そ してハ ミル トニ ア ンを

(14) と し,こ

こで

(15)

と お く.す

な わちH0に∫ψ*μ

βc2ψd3rを つ け加 え ， そ れ をH2'で

全 体 の ハ ミル トニ ア ン Ｈ は(9)∼(11)と

同 じ で あ る.

引 き去 つ て い る．

  上 式 の 無 摂 動 ハ ミ ル トニ ア ンH0を に か え た も の,す

用 い て 散 乱 を 計 算 す る と(12)でm0をm0+μ

なわち

(16) を得 る.そ

して 補 正 の項 は(15)のH1'か

ら計 算 す る と

(17) (δmは(６)でm0をm0+μ

で お き か え た も の)と

な り,(15)のH2'か

らは

(18) とな る.全 断 面 積 は

(19) で 与 え ら れ る.   した が っ て

(20) とお けばdσ1+dσ2=0と 使 わ れ て い る量,す

な って 無 限大 は消 え る.観 測 され る電 子 の 質 量 は(16)に

なわ ち

(21) に他 な らな い.   こ の よ うに,光 子 場 との 相 互 作 用 を無 摂 動 系 に く り込 む こ とに よ り,高 次(e4) の 発 散 項 を消 し去 る こ とが で き る.   同 様 な こ と は光 子 場 との相 互 作 用 に よ る電 子 の 電 荷 の 変 化 の 影 響 に つ い て もい え るが,こ

こで は省 略 す る こ とに す る.

  Tea

Time

 ハ ン グ リー精 神   前 に述 べ た よ う に,1933年 ア メ リカ,イ

前 後 に 多 くの 優 秀 な ユ ダ ヤ 系 の 人 が ハ ンガ リー か ら

ギ リス な どへ亡 命 し た.ノ イ マ ン,ウ

シ ュ タ イ ン(ド イ ツか らだ が)な

ィグ ナ ー.シ

ラ ー ド,ア イ ン

どで あ る.こ の 現 象 は よ く話 題 に な っ た.

  ユ ダ ヤ 系 の人 た ち は た が い に助 け合 い,若 い 優 秀 な 学 生 を援 助 して 出世 させ る 習 慣 が あ る.た

と え ば ア イ ン シ ュ タ イ ンの 父 も若 い ユ ダ ヤ 系 の 学 生 を よ く家 に招

いた.ま

ダ ヤ 系 の人 は概 し て働 き者 が 多 い とい う こ とが あ っ た か も しれ な

た,ユ

い.ま た,そ

の割 に報 わ れ な い 環 境 に あ っ た とい う こ と もあ っ た ろ う.

  隣 り に ドイ ツ とい う学 問 の盛 ん な 国 が あ った こ と も影 響 して い るに ちが いな い. ノ イ マ ン も ウ ィグ ナ ー も シ ラー ド も ドイ ツ の ベ ル リ ンな どへ 進 学 し た.彼

ら は向

学 心 に燃 え て外 国 へ 出 た の で あ る.   向学 心 とい うの は,い わ ば 知 的 なハ ング リー 精 神 で あ る(ハ

ンガ リー とハ ン グ

リー は ち ょっ と した 駄 じゃ れ に な る).し か も当 時 の ドイ ツは第 １次 大 戦 の あ とで 通 貨 の マ ル ク の価 値 が 下 が って い た た め に,ハ らの仕 送 りで比 較 的 裕 福 に暮 せ た ら しい.そ が,ハ

ン ガ リー な どか ら来 た人 は故 郷 か

うい う こ と も幸 い した か も しれ な い

ン グ リー精 神 も大 い に あ っ た の だ ろ う と思 う.

  日本 で も第 ２次世 界 大 戦 が 終 わ っ た 頃 は 第 １次 大 戦 後 の ドイ ツ に少 し似 た 状 況 に あ っ た.当 時 の 大 学 の先 生 も学 生 も貧 乏 で あ った.研

究 費,育

か っ た.し か し戦 争 が 終 わ った 解 放 感 の た め もあ っ て,あ

英 資 金 も足 りな

る種 の 明 る さ と向 学 心

が あ ふ れ て い た.ノ ー ベ ル 賞 の 対 象 に な っ た 朝 永 先 生 の研 究 も その よ うに物 も金 も不 自 由 な 環 境 で た だ ハ ング リー 精 神 で達 成 され た とい う感 が あ る.先 生 の まわ りの人 た ち もそ うで あ っ た.   外 国 の 学 界 か らの 文 献 も手 に入 れ に くか っ た が,こ の考 え を深 め,み が き上 げ る よい 機 会 で あ った.外

れ はか え って 幸 い で,自 分

国 との通 信 が は じま った と き,

ア メ リカ で量 子 電 磁 気 学 の最 先 端 の研 究 を進 め ていた シュ ヴ ィンガー(J.S．Schwin-ger )た ち は朝 永 先生 の仕 事 を きい て驚 愕 して 言 った:小

さ な 島 国 の 日本 で,同

じ

よ うな研 究 を な し と げ た人 が い た とは全 くお ど ろ き以 外 の 何 もの で もな い.   シフ(L.I.Schiff)は

まさに書 き上 げ よ うと して いた テキ ス トQuantum

Mechanics

(1948)の 量 子 電 磁 気 学 の章 に 書 き込 ん だ:こ の 型 の 無 限大 を 引 き去 る相 対 論 的 に 不 変 な 方 法 が 最 近S.Tomonagaに

よ っ て発 展 させ られ た.(Progress

of Theor.

Physics(Kyoto),１,27(1946);Phys.Rev.74,224(1948);J.Schwinger:Phys. Rev.73,416(1948)な

ど)

  い ま の 世 界 に は 情 報 が あ ふ れ す ぎ て い る.情 お そ れ が あ る.情

な く か き ま わ さ れ て い る の で は な か ろ う か.し は 情 報 やITを

報過多で情報 中毒 にかか ってい る

報 の 多 く は テ レ ビ や 計 算 機 か ら 入 っ て き て 個 人 も研 究 室 も容 赦 か し,こ

の情 況 に幸 い され る学 問

栄 養 に し て ど し ど し 発 達 す る に ち が い な い.分

ど の 分 野 も そ の よ う な 恩 恵 を 受 け る に ち が い な い.

子 生 物 学,医

科学 な

 第28講  ラ ム

シ

フ

ト

―テー マ ◆ く り込 み理 論 の 検 証 ◆ ラ ム シ フ ト ◆ 電 子 の 磁 気 モ ー メ ン ト ◆ Tea

Time:物

理学 的 モデル

 ラ ム シ フ ト   前 講 で述 べ た く り込 み 理 論 は,電 子 と光 子 の衝 突(コ ン プ トン散 乱),２ 個 の 電 子 の 衝 突,水

素 原 子 の エ ネ ル ギ ー準 位 の ず れ,電

分 析 に広 く用 い られ て成 功 を収 め た.こ

子 の異 常 磁 気 モ ー メ ン トな どの

の 中 で特 に く り込 み 理 論 の検 証 と な っ た

水 素 原 子 の エ ネ ル ギ ー 準 位 のず れ(ラ ム シ フ ト)と 異 常 磁 気 モ ー メ ン トにつ い て 説 明 を加 え よ う.   水 素 原 子 の エ ネ ル ギ ー 準 位 は ボ ー ア(N.Bohr)の

原 子 模 型(1913年)に

よって (１)

と 与 え ら れ た が,デ

ィ ラ ッ ク(P.A.M.Dirac)の

相 対 論 的 理 論(1928年)で

は (２)

と 訂 正 さ れ,こ 1/137.04…).

れ が 水 素 の ス ペ ク トル の 微 細 構 造 を よ く説 明 し た(α=e2/hc=

  し か し 約10年

後 にn=2,k

=1の

表 す)が

準 位(2Sで

わず

か上 方 にず れ て い る こ とが わ か り,1947年 Lamb)と Retherford)が

に は ラ ム(W.E. レ ザ フ ォ ー ド(R. くわ し い 実 験 結

果 を 発 表 した.図23に

ボー ア と

デ ィラ ッ ク の理 論 式 の準 位 とラ

 ボーア理論   デ ィラック理 論  量 子電磁力学 図23 

水 素 の エ ネ ル ギ ー ・ レベ ル

ム‐レ ザ フ ォー ドに よ る実 験 結 果 と を 示 す.デ

ラム シ フ ト

ィラックの式で は

(ｍ を磁 気 量 子 数 と して)2S1/2(n=2,k=1,m=1/2)と2P1/2(n=2,k=2,m= 1/2)が 縮 退 して い るが,ラ ム た ちの実 験 結 果 で は2S1/2は2P1/2よ cm-1(約1000  MHz)上

りも波 数 で約0.03

方 へ ず れ て い る.こ れ を ラ ム シ フ ト とい う.

  ラ ム た ち の実 験 が 発 表 され て す ぐに べ ー テ(H.Bethe)は2S準 に対 す る光 子 場 の 反 作 用 に よ る もの で あ る と主 張 した.こ

位 のずれが電 子

の 反 作 用 が 電 子 に付 加

す る電 磁 質 量 は 自由 電 子 と原 子 内 に 束 縛 され た電 子 の 軌 道 に よ っ て も異 な る値 を もち う る.電 磁 質 量 が く り込 ま れ た 質 量 が 準 位 を 決定 す る の で,反 作 用 を考 慮 し な い 場 合 に縮 退 して い る準 位 が反 作 用 の た め に分 か れ る こ と は あ り う るわ け で あ る.実 際 に Ｓ軌 道 に あ る電 子 に はそ の 他 の軌 道(た

と え ば Ｐ 軌 道)の 電 子 と異 な

る電 磁 質 量 が 付 与 され る こ とが 示 さ れ る.そ の た め2S1/2の 準 位 と2Pl/2の 準 位 は 分 離 す る の で あ る.   デ ィ ラ ック の 電 子 論 は輝 か しい 幾 多 の 成 果 を挙 げ た の で あ るが,そ

の理論 が水

素 原 子 とい う最 も簡 単 な 原 子 に お い て 不 一 致 を示 した こ と と,そ れ が く り込 み 理 論 で と にか く説 明 さ れ た こ とが場 の 理 論 や 素 粒 子 論 に与 え た 影 響 は 大 きか っ た.  磁 気 モ ー メ ン トの くわ しい 測 定   デ ィ ラ ック の電 子 論 は量 子 論 を特 殊 相 対 論 的 に修 正 す る 目 的 で 考 え られ た の で, 電 子 の ス ピ ンの 発 見 な ど は予 期 しな か った こ とで あ った.こ

れ は理 論 の 整 合 性 を

求 め た 研 究 が 予 期 しな い 発 見 を もた らす こ とが あ る とい うす ば ら し く,ま た全 く

不 思 議 な事 柄 で あ る.  電 子 は軌 道 運 動 の た め に も磁 場 と相 互 作 用 をす る.軌 道 角 運 動 量 Ｌ に よ る磁 気 モ ー メ ン トは (３) で あ る.こ

れ に な ら っ て ス ピ ン 角 運 動 量 ｓ と ス ピ ン 磁 気 モ ー メ ン ト μsと の 関 係 を

(４)

と書 く.電 子 の ス ピ ン はs=h/2σ

で あ るか ら,デ

ィ ラ ック の理論(第18講)は (５)

で あ る こ と を 予 言 し た.し

か し ラ ビ(I.I.Rabi)に

よ る原 子 線 を 用 い た 磁 気 共 鳴 に

よ る くわ し い 測 定 に よ れ ば (６)

で あ る.g=2か

らの 偏 差 は電 磁 場 の影 響 に よる もの で あ る こ とが1940年

代 に発 達

した場 の 量 子 論 に よ っ て明 らか に され た.   デ ィ ラ ッ ク の す ば ら し い理 論 がg=2を

予 言 す れ ば,自 然 は さ らに その 先 にg=

2か らの偏 差 が あ る こ とを示 す.す る と人 知 が これ を追 いか け る.し か し場 の 理 論 は い まで も完 全 で はな い.自 然 の不 思 議 さ は底 が 知 れ な い が,こ れ に迫 る人 知 の 深 さ も不 思 議 で あ る.

 

Tea

Time

 物理 学 的 モ デル   わ れ わ れ が 大 学 生 だ った1940年

頃 は,プ

ラ ンク(M.Planck)が

唱 え て い た 「物

理 学 的 自然 観 の統 一 」 とい う言 葉 に 象徴 さ れ る物 理 学 の熱 気 が い く らか残 って い た.デ

ィ ラ ッ ク の 『量 子 力 学 』が 出 版 さ れ て か ら10年

た の だ か ら勢 いが あ つ た の も当 然 で あ った.

ぐ らい しか た っ て い な か っ

 卒 業 し て か ら60年 た ち,そ の 間 に は物 理 学 に対 す る私 の 考 え も相 当大 き く変 わ っ て きた と思 う.し か した また ま30年

ぐらい前 に書 い た もの を読 み返 し,次 の よ

うに 書 い て い た の を発 見 す る機 会 が あ った.  

「自然 現 象 を捉 え る に は,モ デ ル を考 え 出 し,モ デル が 合 理 的 に動 くこ とを確 実 に す るた め に 数 学 を使 う.」

 

これ は私 が い くらか 研 究 ら し い もの を して きた 分 野 を相 当 見 事 に表 して い る よ うな感 じが す る.現 在 で は も う少 し踏 み込 ん で,物 理 学 の最 も大 き な仕 事 はす ぐ れ た モ デ ル の構 築 に あ る の で はな いか と考 えて い る.

 

モ デ ル とい う言 葉 が 適 切 で あ るか ， もっ と適 当 な 言 葉 が あ るか も しれ な い と も 思 う.太 陽 系 とい う シ ス テ ム とい う と きの シス テ ム とか,科 学 者 に よ っ て概 念 的 に描 か れ た 世 界 とか,抽

象 的 な 像(ピ クチ ャ ー)と か,い

ろ い ろ の 表 現 が あ る.し

か し最 も広 く使 わ れ て い るの はモ デル とい う言 葉 で あ ろ う.  

科 学 を 専 門 に して い な い 一般 の 人 に とっ て は,む

か し習 っ た と し て も,た と え

ば放 物 体 の 軌 道 に つ い て説 明 す る こ とす らむ ず か しい か も しれ な い が,そ

うい う

人 で も太 陽 系 の モ デル な どに つ い て は い く らか 覚 え て い る だ ろ う.有 史 以 来 の 科 学 が 一 般 の 人 の考 え に大 き く影 響 を残 して い るの は,こ の よ うな 明 確 な モ デ ル で あ る と思 う.  

デ カ ル ト(R.Descartes)は,宇

宙 を満 た す 渦 に よ っ て 惑 星 が運 ば れ て運 動 す る

と考 え た.こ れ は成 功 しな か っ た モ デル の 例 で あ る.  

ニ ュ ー トン(Ｉ.Newton)は,空

虚 な 空 間 と時 間 の 枠 の 中 で,運

力 の 法 則 に し た が い な が ら惑 星 が 運 動 す る と した.こ

動 法 則 と万 有 引

れ は い ま で も私 た ちが よ り

どこ ろ に して い る典 型 的 な科 学 的 モ デ ル で あ る.  

フ ァラ デ ー(M.Faraday)や

マ クス ウ ェル(J.C.Maxwell)は,磁

力 線 が 活 躍 す る電 磁 場 とい うモ デ ル を考 え 出 した.こ

力線や電気

れ以 後 の物 理 学 は場 の概 念

な し に語 る こ との で き な い もの とな った.  

ア イ ン シ ュ タ イ ン(A.Einstein)が

一 般 相 対 性 理 論 で 明 らか に した の は,物 体

の 運 動 は重 力 場 に した が い,重 力 場 は物 体 の運 動 に した が う とい う,曲 が っ た時 空 の 重 力 場 モ デ ル で あ った.さ

らに ア イ ン シ ュ タ イ ン は,一 様 な ４次 元 球 面 の宇

宙 モ デル を考 え,こ れ は現 在 の膨 張 宇 宙 モ デル へ と発 展 した.  

こ の よ うな 科 学 の歴 史 に照 ら し合 わ せ て も,物 理 現 象 の 明 確 な モ デ ル を創 造 し

構 築 す る こ とが 物 理 学 に とっ て最 も重 要 な 仕 事 で あ る と思 わ ざ る を えな い.

 第29講  超 多 時 間 理 論

―テー マ ◆ １個 の 電 子 ◆ 多 時 間 理 論 ◆ 超 多 時 間 理 論 ◆ Tea

Time:科

学 的世 界

 １個 の 電 子   本 講 で は まず,(ⅰ)１ を考 え,つ

個 の 電 子(粒

子)と

電磁 場 とが相 互 作 用 を して い る体 系

ぎ に(ⅱ)ｎ 個 の 電 子 と電 磁 場 が相 互 作 用 を してい る体 系 を考 えて デ ィ

ラ ッ ク(粒 子 系)の 多 時 間 理 論 を説 明 す る.そ

して最 後 に(ⅲ)電

子 場 と電 磁 場 と

か らな る体 系 につ い て超 多 時 間 理 論 を解 説 す る.   この プ ラ ンに した が っ て,１ 個 の 電 子 と電 磁 場 とか ら な る体 系 を と り上 げ るが, これ はす で に第18講

な どで 一 応 説 明 した こ とで あ る.電 子 のハ ミル トニ ア ンをHe

(添字 ｅは電 子electronを を表 す)と

表 す),電 磁 場 の ハ ミル トニ ア ン をHf(添

字 ｆは場field

し (１)

を無 摂 動 系 とす る.電 子 と電 磁 場 との 相 互 作 用 はH'で

表 そ う.本 講 で は一 般 的 な

説 明 が 主 な の で,こ れ ら のハ ミル トニ ア ンの 具 体 的 な形 は必 ず し も必 要 な い(読 者 は 適 当 に飛 ば して 読 ん で も よい)の る と(Hfの

だ が,話

形 は こ こで は必 要 な い の で省 く)

を は っ き りさせ る た め,書

いて み

(２)

と な る(Ａ

は ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル,Ｖ

は ス カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ル で,簡

単 のた め

共 に 時 間 を 含 ま な い と す る).   こ の体 系 に対 す る シ ュ レー デ ィ ンガ ー の波 動 方 程 式 は (３)

で あ る.   こ こで 波 動 関 数 ψ に対 して 変 換 (４) を お こな う と

(５)

したが っ て 波 動 方 程 式 は (６) と な る.た

だ し (７)

これ をH'の

相 互 作 用 表 示(添 字intは 相 互 作 用 の意 味)と い う.こ れ は時 間ｔ に

依 存 す る.   次 に,ｎ 個 の 電 子(電 子 ど う し の相 互 作 用 は省 略 す る)と 電 磁 場 とが 相 互 作 用 を して い る場 合 はxk,pkをｋ

番 目 の電 子 の 座 標 と運 動 量 と して,波 動 方程 式 は (８)

と書 け る.

 多 時 間 理 論  (８)に お い て,ふ つ うはxkが 対 角 線 的 に な る表 示 を とってpk=(h/i)∂/∂xkと

す る.こ の と き(８)は 多体 系 の シュ レー デ ィ ンガ ー方 程 式 で あ り,ψ(n)は(x1,x2, … ,xn)とｔ

の3n+1次

元 の 空 間 に お け る波 動 関 数 で あ って,こ れが 非 相 対 論 的 な

場 合 な ら ば問 題 な く多体 系 を記 述 す る よ う に思 わ れ る.   しか し,い ま考 え て い る の は 特 殊 相 対 性 理 論 の 場 合 な の で,各 電 子 の速 度 が ち が えば,時 計 の進 み 方 が そ れ ぞ れ 異 な る.こ

の場 合 に １つ の 時 間ｔ で 全 系 を記 述

され るの は ど う い う と き な の だ ろ うか.   む し ろ各 電 子(k=1,2,…,n)に け の時 間(t1,t2,…,tn)を

そ れ ぞれ の 時 間tnを 付与 して,粒 子 の個 数 だ

含 むｎ 個 の連 立 方 程 式(新 しい 波動 関 数 をΨ

と書 こう)

(９)

を 考 え る べ きで あ ろ う.(９)は   (９)はｎ

デ ィ ラ ッ ク が 導 き 出 した 多 時 間 理 論 の 形 式 で あ る.

個 の 連 立 方 程 式(k=1,2,…,n)で

あ り,こ

れが積 分 で きるた め に

は

(10)

で あ る こ とが必 要 で あ る.こ の 条 件 は

(11) の 範 囲 で 満 た さ れ る こ と が 示 さ れ る.こ 式 は 矛 盾 す る こ と な く,状   条 件(10)が

態 ベ ク トルΨ

満 た さ れ る の は,ど

れ らが た が い に 空 間 的(い

果 的 で な い)と

  方 程 式(９)は

は 一 義 的 に 定 ま る の で あ る.

の よ う な ２点(xk,tk)と(xj,tj)を

わ ゆ る 光 円 錐(図24)の

(く わ し い 説 明 は 省 略 す る).こ い(因

れ が 満 た さ れ る と き に は上 のｎ 個 の 方 程

れ はt1,t2,…,tnに

外)に

と って もそ

あ る よ う な領 域 で あ る

お け る 観 測 が た が い に干 渉 し な

い う 条 件 で あ る.

全 く新 し く提 案 さ れ た も の で,こ

れ が物 理 的 な 意 味 を もつか 否 か

と い う こ と は 吟 味 し な け れ ば わ か ら な い こ と で あ る.ブ

ロ ッ ホ(F.Bloch)に

よれ

ば,多

時 間 の 状 態 ベ ク トル Ψ は 次 の よ う

な 物 理 的 意 味 を も っ て い る.た t2