は
し
が
き
内 外 の一流 の数学 者 の 手 にな る 「解析 概論 」 や 「解 析教 程 」 か ら,毎 年新 し く 出版 され る大学 の 微積 分 の教科 書,そ れ に高等 学校 の 微積 分 の参 考書,一...
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は
し
が
き
内 外 の一流 の数学 者 の 手 にな る 「解析 概論 」 や 「解 析教 程 」 か ら,毎 年新 し く 出版 され る大学 の 微積 分 の教科 書,そ れ に高等 学校 の 微積 分 の参 考書,一 般 向 け の解説 書 な どを加 え る と,微 積分 に 関す る書物 は,実 に多 種多 様 で,そ の数 は厖 大 な量 に達す る. この よ うな現 象 は,一 方 で は,科 学技 術 の急 速 な発 展 の中 に あ る現 代社 会 に お いて,微 積分 とい う学 問が 一種 の教養 として 強 く求 め られ て い る こ とを物 語 って い る ので あ ろ うが,他 方 で は,日 常生 活か らかけ離 れ た微 積分 に,一 般 の人 が な かな か な じみ に くい とい う,あ る絶え ざるい らだ ちを 示 して い る と もいえ るだ ろ う. は じめて 微 積 を学 ぶ人 に も,ま た以前 習 った こ とは あ るが 細 か い ところは忘 れ て し ま った とい う人 に も,微 積 を勉 強す る際,近 づ きやす く,役 に立 つ適 当 な本 とは どの よ うな も ので あ ろ うか.本 書執 筆 の動機 は,こ の解 答 を私 な りに模索 し てみ る こ とか ら始 ま った. 私は 数学 を 専 門 と して い るか ら,か え って この解 答 を数学 の 中 か ら見つ け るの は難 しい.専 門家 の眼 は狭 い ので あ る.私 自身,他 の分野 を学 んで み よ うとした 経験 が あ って,数
年前,生
物 学 の本 を少 し 読 んでみ た こ とが あ った.そ の と き
は,少 し読 み進 む につ れ て現 わ れて くる ご く簡単 な化 学式 や 生物 の術語 がわ か ら な くな り,す ぐに挫折 して し ま った.こ の とき,基 本 的 な こ とまで 含 んで書 いて あ る本 は,実 に少 ない こ とに気 がつ いた.高 等学 校 の教科 書 は,一 般 には よ くで きて い るが,通 読 に適 して い る とはい いがた い.参 考 書 は問 題 の解 法が 主 で あ る し,通 俗 的 な解説 書 は,明 確 な定義 に欠 け てい るか,ま た は定義 の適 用範 囲が は っき りし ない ことが多 い. その よ うな経験 に照 ら して,改 めて本 屋 さん に並 ん でい る微 積分 の 本を 見て み る と,初 学 者 に はか な り難 しい ものが 多い し,ま た,苦 心 して 書 かれ たや さしい
解 説 書 の あ とに続 く適 当 な本 が乏 しい こ とに も気が つ いた. この 本 は,微 積 分 の解 説 書 で は ない.微 積 分 とい う,日 常使 い なれ な い新 しい 言 語 に なれ 親 し ませ るた め の,い わ ば初 学 者 向 け の語 学 の 入 門書 の よ うな もの で あ る.も し,こ の本 の特 徴 は と聞か れれ ば,一 方 で は,微 積 分 の流 れ を重 ん じな が ら,最
も基 本的 な所 か ら筆 を 起 した点 に あ り,他 方 で は30講
と分 け る こ とに
よ って,そ れ ぞれ の講 義 に,多 少 中項 目的 な辞 書 の役 目を 果 させ た 点 に あ る.通 読 して 頂 くこ とが 望 ま しいが,い
くつ か の講 を 拾 って読 む とい う読 み 方 も可 能 で
あ る. も と も と,項
目を30講
微 積 分 の 入 門部 分 が,ひ
と分け た の は,毎
日,1講
ず つ 読 み進 め ば,1ケ
月で
とまず,マ ス ターで き る こ とを意 図 して い る.
い ず れ に して も,本 書 は,微 積 分 を学 ぶ 最 初 の手 が か りを与 え る本 であ る.さ らに進 ん だ 内容 を学 びた い 人 は,こ の本 を 読 み上 げた あ とに は,多
くの 良書 が待
ち うけ て い るだ ろ う. 終 りに,本 書 の 出版 に際 し,い ろい ろ とお世 話 に な った朝 倉 書 店 の方 々に,心 か らお 礼 申 し上 げ ます. 1988年2月 著
者
目
次
第1講
数 と数直 線
1
第2講
数 直線 と実 数
7
座標 と直 線 の 式
13
第3講 第4講
2次 関数 と グ ラ フ
第5講
2次 関数 の 最 大,最 小
第6講
3次
第7講
関 数
3次 関数 と微 分
第8講
19 26 33 40 47
多項 式 関 数 の微 分
53
第9講
3次 関数 の グ ラ フ
第10講 有理 関数 と簡単 な無 理 関数 の 微 分 第11講
三角 関 数
第12講
三角 関数 の微 分
60 67 75
第13講 指 数 関 数 と対数 関 数
81
第14講
88
合 成 関 数 の 微分 と逆 関数 の微 分
第15講 逆 三 角 関 数 の微 分
95
第16講
101
第17講
不 定 積 分 不 定 積 分 の 公式
108
第18講
グラ フの つ くる 図形 の面 積
115
第19講
定
122
第20講
定 積 分 と不 定 積 分
積
分
128
第21講
円 の 面 積 と球 の 体 積
第22講
関 数 の 例
第23講
極 限概 念 につ い て
第24講 第25講 第26講 第27講 第28講 第29講 第30講
平 均 値 の定 理
テ イ ラーの 定理
引
150
162 168
テ イ ラー展 開
ウ ォ リス の 公 式
145
156
平 均 値 の定 理 とその 拡張
問題 の解 答 索
139
極 限 の 公 式 と連 続 関 数
テ イ ラ ー 展 開(つ
133
173 づ き)
178 183
187 198
第1講 数 と 数 直 線 テーマ ◆
自 然 数:1,2,3,…
◆
整
◆
有 理 数:n/m(m.nは整数,た
◆
数:…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…
有 理 数 は,直
だ しm≠0)
線 上 に 規 準 点0,1を
と る と,こ
の直 線上 の 点 に よ って
表 わ す こ とが で き る.
自
然
自 然 数 の 話 か ら 出 発 し よ う.1,2,3,4,… で は 自然 数 と い う.1の に,自
次 に は2,2の
数
と い う 日常 よ く使 わ れ る 数 を,数
次 に は3,…,100の
然 数 に は い つ で も次 に く る 数 が あ って,そ
で も 続 く 自 然 数 の 系 列 を つ く り上 げ て い る.こ
次 に は101と
の こ と が,全
学
い うよ う
体 と して,ど
の 限 りな く続 く系 列 を1つ
こま のまと
ま った もの と考 えて {1,2,3,…,n,…} の よ うに 表 わ し,自 こ こ でnと
然 数 の 集 合 と い う.
か い た の は,こ
え て い る の で あ る.nの 数 はn+8で
れ に よ っ て あ る 自然 数 を 代 表 し て 表 わ し て い る と考
次 に はn+1が
ら8だ
け進 んだ ところに あ る
あ る.
2つ の 自 然 数 は,た
とえ ば5+21=26の
しか し 引 き 算 は で き る と き と,で で き て 答 は80で で き な い.
くる.nか
あ るが,自
よ うに,い つ で も加え る こ と が で き る.
き な い と き が あ る.100か
然 数 し か 知 ら な い 人 に は,20か
ら20は
引 く こ とが
ら100は
引 く こ とが
整
数
引 き 算 が い つ で も 自 由 に で き る よ うに す る た め に は,数 数 に ま で 広 げ て お く必 要 が あ る.整
数 は,自
マ イ ナ ス 記 号 を つ け た−1,−2,−3,…
の 範 囲 を 自 然 数 か ら整
然 数1,2,3,…
と,0と,自
か ら成 り立 って い る.整
然数に
数 の集 合 を
{…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…} の よ うに 表 わ す.こ を 正 の 数,左
の よ うに 表 わ し た と き,0を
に あ る 数−1,−2,−3,…
整 数 の 中 で,2つ
境 に し て 右 側 に あ る 数1,2,3,…
を 負 の 数 と い う.
の 数 の 引 き 算 は,た
と えば
3−5=−(5−3)=−2 −6−8=−(6+8)=−14 の よ うに い つ で も で き る. 2つ の 整 数 を 掛 け る こ と も で き る.た
2×8=16,
こ の 最 後 の 例 の よ うに,負
とえば
−3×7=−21,
(−6)×(−5)=30
の 数 と 負 の 数 を か け る と 正 の 数 に な る と い う こ とに ,
何 か な じ め な い 感 じ を も っ て い る 人 が い る か も しれ な い.こ こ の 講 の 終 りのTea Timeで あ る整 数 を,別
の0で
触 れ る こ と に し よ う.
な い 整 数 で 割 っ て み る と,割
り き れ な い と き も あ る.た
100÷20=5
(割 り きれ る)
(−100)÷20=−5
(割 りき れ る)
3余
り10 (割 り き れ な い)
2÷5
(割 り き れ な い)
数 の 中 だ け で は 割 り算 が 自 由 に 行 な え な い こ と を 示 し て い る.
有
理
数
割 り算 が 自由 に 行 な え る よ うに す る た め に は,数 理 数 へ と広 げ て お く こ と が 必 要 に な る.有 と で あ る.こ
り きれ る と き も あ る し,割
とえば
100÷30
こ の こ と は,整
の こ と に つ い て は,
こ でm,nは
整 数 で,た
の 範 囲 を,整
数 か らさ らに有
理 数 と は 分数n/mと表わ
だ しmは0で
は な い とす る.た
される数 の こ とえ ば
な どはす べ て 有理 数で あ る.整 数 −7や8は −7/1,8/1 と表 され るか ら,こ の こ と か ら,整 数 は有 理 数 とも考 え られ る こ とが わ か る. pとqを
有 理 数 とす る と
と 表 わ され る.こ
図1
の とき 和:
差:
積:
商: と な り,和,差,積,商 理 数 で あ る.こ
を と っ た 結 果 は,上
の 右 辺 か らわ か る よ う に,す
べ て有
の こ とを
有 理 数 の全 体 は 四則 演 算 に 関 して 閉 じて い る. と い い 表 わ す. な お,上
の 式 の 右 辺 でmm′
記 号 × は,こ
の よ うに 書 い た の は,m×m′
の よ うに 省 略 し て し ま うか,ま
た はm・m′
の こ とで あ る.積
の
の よ うに 書 く こ と が 多
い.
整 数 の全 体 は,一 列 に並 べ る ことが で きた が,有 理 数 の 全体 はそ の よ うにす る こ とが で きな い.有 理 数 は大 小 関係 に よって 一 列 に並 べ て,小 方 へ と1つ1つ
さい方 か ら大 きい
数 えて い くよ うな ことは で きな い の で あ る.た とえ ば0と1の
の有 理 数 を と って,こ の よ うに規 則正 し く一 列 に並 べ よ うと思 って も
間
(分 母 が2) (分 母 が4)
(分 母 が10) の よ う に,分
母 が 大 き な 有 理 数 が,い
つ ま で も'割
り こみ'を
続 け て き て,き
り
が な い か らで あ る.
数
有 理 数 を 表 わ す に は,数
直
直 線 と い う も の を 用 意 し て お い た 方 が よい.
数 直 線 とは,直 線 上 に 規 準 と な る0と1の うは0の
右 の 方 に と る),あ
… と 目盛 りを つ け,0か
線
と は,物
目盛 りを つ け て(1の
差 し の よ うに,右
図2
とえば有 理数4/7を どこに 目盛 りを つ けた ら よ い か も決 ま
っ て く る.4/7は,0と1の
の 長 さ で,0の
間 を7
か ら 数 え て4番
分 点 で あ る.−6/5の目盛
の 方 向 に 等 間 隔 に2,3,4,
と目盛
りを つ け た も の で あ る.
等 分 して,左
つ
ら左 の 方
に 等 間 隔 に−1,−2,−3,…
こ う しておくと,た
目盛 りは,ふ
目の
りは,1/5
図3
左 へ 目盛 りを 入 れ て い っ た と き,ち
ょ う ど6番
目 に く る点 に つ け
ら れ て い る.
問1 数 直 線 上で2/7,8/21,9/35,19/70は 問2 数 直線上 で−3/5と−4/7は
どの よ うな順序 で並 んで いるか.
どち らが 右に あ るか.
図4
問3 数 直線 上 で,2つ
の数 の和 と差 を 表わ す 点 は,前 ペ ージ の 図の よ うに表 わ
され る こ とを 確 か め よ.
Tea
Time
自然数の集合は無限集合 私 達 が 日常 出 会 う も の,た て い る 本 も,す
とえ ば,か
ご に 盛 ら れ て い る リ ン ゴ も,本
べ て 有 限 個 の も の か ら成 り立 って い る.ま
とは で き な い と し て も,海
の 砂 の 数 に も 限 りが あ る.な
空 間 に あ る 体 積 を 占 め,そ
の 占 め る 体 積 全 体 の 総 和 は,地
箱 に入 っ
た 実 際 に 数 え上 げ る こ
ぜ な ら 砂 の 一 粒,一
粒は
球 の 体積 を越 え る こ と
が で き な い か ら で あ る. 私 達 が 経 験 世 界 で 確 認 で き る も の は,す
べ て 有 限 集 合 を つ くっ て い る.そ
れに
反 し 自然 数 全 体 の 集 合 {1,2,3,…,n,…} は 無 限 集 合 を つ く っ て い る.私
達 の 認 識 の 中 に は,こ
の よ うな 無 限 集 合 も,1つ
の ま と ま った も の と して 認 め る 力 が 備 わ っ て い る よ うで あ る.私 こ の こ と を ご く 自 然 の こ と と 考 え て い る.し 古 代 ギ リシ ャ の 人 の 間 に は,'無
か し,数
限 へ の 畏 怖'の
達 は ふ つ うは,
学 と い う学 問 を 創 り出 し た
感 じが強 く支配 し て い た といわ
れ て い る. 有 限 集 合 と無 限 集 合 の1つ を 取 り出 した5個 で は,こ
の 違 い を 述 べ て お こ う.10個
の リ ン ゴ と を 比 べ る と,も
ち ろ ん10個
の リ ン ゴ と,そ の 半 分 の 方 が 多 い.有
限集 合
の よ う に,「 全 体 は 部 分 よ り大 き い 」 は 疑 う余 地 の な い と こ ろ で あ る.
し か し 自 然 数 全 体 と,そ
の よ うに,自
の一 部 分 で あ る偶 数全 体 の 集 合を 比 べ て み る と
然 数全 体 が偶 数全 体 と1対1に
対 応 して しま って,「 全 体は 部 分 よ
り大 きい」 は も う成 り立 た な くな って い る.い い換 えれ ば,偶 数全 体 は,自 然数 全 体 と同 じだ け の 元 を も って い る とい って も よい こ とにな り,こ れ は無 限 集合 の もつ 非 常 に 特徴 的 な性 質 を 表わ して い る.
(−1)×(−1)=1
負 の 数 と負 の 数 を 掛 け る と正 の 数 にな る とい うこ とは,ひ とまず 理 屈 の 上で は
わ か った つ も りで も,な か な か納 得 した 気持 に はな れ な い.負 の数 を 掛 け る とい うこ とは,正 の 数 を掛 け る とい うこ と とは 多少 意 味 が違 って い る.−1を
掛け る
とい うこ とは,正 の方 向 を 負 の方 向 に,負 の方 向 を正 の方 向 に 変 え る こ とで あ る. この ことを も う少 し正確 に述 べ るた め に 数 直 線 を用 い る.数 直 線 上 で,右 へ 進 む方 向 を 正 の 向 き (す な わ ち,目 盛 りの増 加 す る方 向),左 へ 進 む 方 向 を負 の 向 き と い う.0を
中心 に して考 え る と,
図5
正 の 数 は 正 の 向 き を 指 し 示 し て い る し,負 の 数 は 負 の 向 きを 指 し 示 し て い る.−1 を 掛 け る と い う こ と は,0を る.そ
中心 に して この 向 きを逆 に す る こと で あ る と 考 え
うす る と(−1)×(−1)=1は,向
と を 示 し て い る.し
き を2度
逆 に す る と,元
に戻 る とい う こ
たが って ま た
(−2)×(−5)=(−1)×2×(−1)×5=(−1)×(−1)×2×5=10
質 問 自然数,整 数,有 理 数 と数 の範 囲 を 広 げて き ま したが,数 の範 囲を 広 げ る こと は これ で終 りで し ょ うか? 答 微積 分 の話 を す る た めに は,さ らに 実 数 まで 数 の範 囲を 広 げ る必 要 が あ る. しか し有 理 数 で は,四 則 演算 は 自 由に で きるの だ か ら,自 然 数か ら有理 数 まで 数 の範 囲を 広 げ て きた よ うな考 えで,も
う有 理 数 を広 げ るわ け に は いか な い.ど の
よ うな 考 え に立 って,有 理 数 の 範 囲 を さ ら に広 げて 実 数 とい う新 しい数 の範 囲 に 到 達 す るか,そ れ は次 の講 の主題 で あ る.
第2講 数 直 線 と実 数 テーマ
◆ 分数 と小数:循 環す る無限小数 ◆ 無理数 ◆ 実数 と数直線:実 数は数直線上 に表現 され る. ◆ 有理数か ら実数へ と数の範囲を広げ る必要性は どこにあったか.
分 数 と小 数 有 理 数 は,分 数 として表 わ され る数 で あ った.分 数 は また小 数展 開 して表 わ す こ と もで き る. 【例 】 3/4=0.75, 1/3=0.3333…
23/5=4.6, 17/7=2.428571428… −3/8=−0 .375, −1/6=−0.16666…
こ の例 で左 側 の分 数 は有 限小 数 で表 わ され て い るが,右 側 の分数 は 無 限小 数 で 表 わ され て い る.分 数 を小 数 で表 わ した と き,右 側 の よ うに無 限 小 数 と な る と き,こ の無 限 小数 は,あ る所 か ら先'竹 のふ し'の よ うな も のが 出て,こ れ が 繰 り返 され る とい う性質が あ る.1/3では,小数
点第1位 の3が'竹
の3が ど こまで も繰り返 され て い る.−1/6では,小数
のふ し'で,こ
点2位 の6が'竹の
ふ し'
で この6が ど こ まで も繰り 返 され て い る.17/7では,実 は
と な って,428571が1つ 循 環 小 数 とい う.
の'竹
の ふ し'と
な っ て い る.こ
の よ うな 無 限 小 数 を
分 数 が 無 限 小 数 と し て 表 わ さ れ る と き,な
ぜ こ の よ うに 循 環 す る か に つ い て 触 れ て お く.
た と えば5/13の 割 り算 を 次 か ら 次 へ と 行 な っ て み る と,余 で ま た 最 初 の5を13で
割 る 状 況 が 生 じ て く る.こ
る 状 況 が 繰 り返 さ れ る.そ
りが11,6,8,2,7,5と
の た め 割 っ た 結 果 も繰 り返 さ れ て,結
と循 環す る.こ こで 見 るよ うに,13で
同 じ数 が 余 り とし て 出て,そ
こ
余 りが 出
局
割 った と き余 りに 出 る数 は,0(割
1,2,…,12だ け だ か ら,割 りきれ るか,多
出 て,こ
れ か ら 先 は,11,6,8,2,7,5と
りき れ る とき),
くと も12回 割 って い く と,前 に 一度 出た 余 り と
こか ら循 環が 始 まる の で あ る.'竹 のふ し'と か いた のは,数
学 では 循環 節 とよば れ て い る. こ こ で 証 明 は し な い が,循 る こ と が 知 られ て い る.し
環 す る無 限 小 数 は,逆
に,必
ず 分 数 として表 わ され
た が って
有 理 数 は,有 限小 数 か,循 環 す る無 限 小数 で 表 わ され る数 で あ る. と い っ て も よ い こ と に な っ た.
無
理
数
な どは,無 限 小数 で あ るが,け っ して循 環 しな い こ とが知 られ て い る.し たが っ て これ らは有 理 数 で は な い.循 環 し ない無 限小 数 と して 表 わ され る数 を無 理 数 と い う. 有理 数 と無 理数 を合 わ せ て実 数 とい う.し た が って 実 数 は,有 限 小数 また は無 限 小数 として 表わ され る数 で あ る. 有理 数 …
有限小数 循環 す る無限小数
実数
無理 数 … 循環 し ない 無 限小 数
実 数 と数 直 線 前 講 で,有 理 数 を,数 直線 上 の 点 として 表わ した が,実 数 も この数 直 線 上 の点 と して表 わ して お きた い.た
とえば
=1.4142…
は,直
線 上 の どの よ うな点
を 表 わ し て い る と 考え た ら よ い だ ろ うか.
の 無 限小 数 展 開 に対
応 し て,数 りが1の
直 線 上 で,目
点 をP0,目
盛
盛 りが
1.4の 点 をP1,目
盛 りが
1.41の
盛 りが
1.414の
点 をP2,目 点 をP3,…
P1,P2,P3,…
の 目 盛 りは 有
理 数 だ か ら,こ
図6
れ ら の 点 を 目 盛 る 場 所 は 決 ま っ て い る.ど
P1,P2,P3,…,Pn,… 線 上 で,し
とす る.
は 先 に 進 む に し た が っ て,ど
ん ど ん 近 づ き 合 って き て,数
だ い に あ る 点 に 近 づ い て い く よ うな 様 子 を 示 す よ うに な る.こ
が 数 直 線 上 で 近 づ く究 極 の 点 が, 無 限 小 数 が1つ ま で,…,n位
こ ま で も 続 く この 点 列
与 え られ る と,こ ま で,…
直
の点 列
を 表 わ す 点 で あ る. の 無 限 小 数 展 開 の 小 数 点 以 下1位
ま で,2位
とと って得 られ る有 理 数 を表 わ す 点 列 P1,P2,P3,…,Pn,…
が 決 ま って くる.こ の点 列 の近 づ く先 の点 が,与 え られ た無 理 数 を 表わ す 点 で あ る と 考え る. 規 準点 として,0と1を
と った 直 線 上
無 限 小 数 展 開 をn位 まで とって 得 られ る 点 列 は も っ と密 で あ る.
に,こ の よ うに して,す べ て の実 数 を表 わ す 点 が 決 ま って くる.逆 に,0と1を
図7
規 準 点 に とった 直 線 上 の点 に は,た だ1つ
の 実数 が 対 応 して い る と考 え る ことにす る. この よ うに して,す べ て の点 に,た だ1つ の実 数 が対 応 して い る と考 えた 直 線 を これ か らは 数 直 線 とい うこ とにす る. 数 直 線 上 の 点Pが い い,P(a)で
実 数aを
表 わ す.
目盛 り と し て も つ と き,点Pの
座 標 はaで
あ ると
有 理 数 か ら 実 数 へ
有 理 数 は 四 則 演 算 で 閉 じ て い た.有 要 性 は 何 だ っ た の だ ろ うか.数 ら な い 人 が い た とす れ ば,上
理 数 か ら実 数へ 数 の世 界 を 広 げ る本 当 の必
直 線 上 で,数 に 述 べ た
の 点 列 は 何 か に 近 づ く よ うに 見 え る が,実 こ と に な る だ ろ う( 先 を も た な い'と
を 表 わ した と き,も
に 近 づ く点 列P1,P2,…,Pn,…
は,こ
は 近 づ く先 は ど こ に も な い の だ と い う
は 無 理 数 だ か ら!).'近
づ くは ず の 点 列'が,'近
い う妙 な こ と が 起 き る こ と に な る.私
ら く る ご く 自 然 の 認 識 の 中 で も,近
し有理 数 しか 知
達 の 時 間 と か 空 間 とか か
づ く先 は 必 ず あ る,と
ら 実 数 ま で 数 の 範 囲 を 広 げ て お か な い と,数
づ く
思 っ て い る.有
理数か
の 世 界 の 中 で こ の 確 か と思 わ れ る 認
識 の 保 証 は 得 られ な か っ た の で あ る. '近づ くはず の 点 列'と い うい い 方 は,は っき りしな い か も し れ な い.数 直 線 上 に点 列 P1,P2,…,Pn,… が あ って,こ れ が'近 づ くはず の 点列'で あ る とは,ど ん な に 目盛 りを 細 か くつ け て も,た とえば10万 す べ て の点 が この1つ
分 の1の 目盛 りをつ け て お いて も,こ の点 列 の十 分 先 か らは,
の 目盛 りと次 の 目盛 り(い ま の場 合 な ら,10万
分 の1の 長 さ)の 中
に,す べ て 収 まって し ま って い る状 況 を い って い る(先 へ 行 くほ ど密 集 の度 合 い が 進 む!). 数学 の用 語 で は,'近 づ くはず の 点 列'の こ とを,コ ーシ ー列 とい う.こ の 用 語 を使 えば 実 数 は,す べ て の コ ーシ ー列 が あ る点 に近 づ くこ とを 保 証 す る数 の世 界で あ る.
問1
円周 率 π(=3.14159…)を
座 標 に も つ 点 は,数
直 線 上 の ど の あ た りに あ る
か.
問2
数 直 線 上 の2点P,Qが
の 座 標 はa+b/2で 問3
0.9999…
座 標a,bを
も つ とす る.こ
の と き,PとQの
中点
あ る こ と を示せ. が 数 直 線 上 で ど の よ うな 点 で
表 わ さ れ るか を 考 え て,そ
れ に よ って
0.9999…=1 を 示 せ.同
様 の 考 えで
図8
5.36=5.359999… が 成 り立 つ こ とを 確 か め よ.
(注:こ の よ うな こ とか ら,有 限 小数 は,実 は あ る所 か ら9の 並 ぶ 循環 す る無 限 小 数 に よ って もか き表 わ され る こ とが わ か るだ ろ う)
Tea
Time
な ど は,有 理数 で な い 一 般 に,2,3,5,7,11,13,… 数)に
対 し て,
の よ う な 素 数p(1と
自分 自身 以 外 に は約 数 の ない
は 有 理 数 で な い こ とを 示 し て お こ う.そ
れ に は まず 次 の こ
とを 注 意 し て お く. 2つ の 整 数a,bの な ぜ な ら,pは
積a・bがpで
割 り きれ れ ば,aかbか
これ 以 上分 解 で きな いか ら,aとbに
いか らで あ る(こ れ を さ らに 厳密 に示 そ うとす るな らば,aとbを と くにa2=a・aがpで さ て, が有理
割 りき れ れ ば,aがpで 数 で あ り,n/mと分数
お い て,mとnに
はpで
割 り きれ る.
また が って わ か れ る こ とは で きな 素 因 数 分解 して示 す).
割 りき れ る.
で 表 わ さ れ た と す る.分
数 は 約 分 して
は 共 通 の 因 数 は な い と し て お く.
を2乗 して す なわち し た が っ てn2はpで に な る.n=pn′
割 りき れ るか ら,上
の 注 意 に よ りnもpで
と お く.pm2=(pn′)2=p2n′2,ゆ
再 び 上 の 注 意 か ら,mがpで
と く に,
は,無
え にm2=pn′2.し
割 り きれ る こ と に な る.こ
因 数 が な か っ た と し た こ と に 矛 盾 す る(背
割 りきれ る こ と た が っ て,
れ は,mとnに
共通 の
理 法!).
限 小 数 展 開 を す る と,こ
の 小 数 は け っ し て 循 環 しな い こ と
が 結 論 さ れ る.
質 問 問2か
ら数 直 線 上 で,2点P,Qの
座 標 が有理 数 な らば,P,Qの
中点Rも,
有理 数 を 座標 に も っ て い る はず です.こ の こ とか ら,有 理 数 を座 標 に もつ点 は, 数 直線 上 にす き間が な い よ うに,い っぱ いつ ま って い る と思 い ます が,ど こ こに無 理 数 答 実際は,
うし て
… を表 わ す よ うな点が 入 るの で し う. (pは素数)の
よ うな数は無理数で,有理数n/mは
い っぱ い
あ るの だ か ら,無 理 数 を表 わ す 点 も,数 直 線 上 に,す き間 がな い よ うに,い
っぱ
いつ ま って い る.有 理 数 を 表 わ す点 と,無 理 数 を表 わす 点 が,お 互 い に ま じ り合 って,数 直 線上 に入 って い る状 況 は,ち
ょ うど水 の 中 に酸 素 原子 と水 素 原子 が ま
じ り合 って 入 って い る よ うな もの だ と思 うと よい.た だ し,点 に は大 きさが な い の で,原 子 模 型 の よ うな もの をつ くる こ とが で きず,誰 も,数 直 線上 で の点 の配 列 の 様 子 を思 い 描 くこ とが で きな い ので あ る.
第3講 座 標 と直 線の式 テー マ
◆ 座 標 平面,x座
標,y座
標
◆ 座 標 の 平行 移 動,座 標 変換 の公 式 ◆ 原点 を通 る直 線 の式:y=mx ◆ 点A(α,β)を 通 る,傾 きmの 直 線 の式:y=m(x−α)+β
現実 には 限 りな いほ ど長 い直 線 を 引 くこ とは で きな いの だが,数 直 線 とい う考 え を導 入 す る こ とに よ って,私 達 は この直 線 上 のは るか 遠 くの右 の方 に,た とえ ば71653452と
い う座 標 を もつ 点 が あ る と認 め る ことが で き る よ う に な った.ま
た あ ま り目盛 りが 細 か くな りす ぎて,実 は そ の点 を正 確 に指 し示 す こ とな どで き ない の だが,0の
少 し左 に −0.00000058と い う座 標 を も つ点 が あ るとい うこと
も考 え る こ とが で きる よ うに な った.直 線 上 の点 は座 標 の導 入 に よ って,い わ ば 1点,1点
が 区別 され,遠
くにあ る点 も近 くにあ る点 も,す べ て 同 じよ うに取 り
扱 うことが で き る よ うに な った とい って よい. 座 標 平 面 平 面上 の点 も同 じ よ うな観点 か ら取 り扱 い たい.そ のため,平 面 上 に2本 の直 交 す る数 直 線 を,互 い の座標 原 点Oで 交 わ る よ うに 引 く.こ れ に よ って,平 面 上
図9
図10
の 各 点 に 座 標 を 考 え る こ と が で き る よ うに な る.図9で,点Pは も つ と い い,点Qは,座
標(−1,−2)を
座 標(5,3)を
もつ とい う.座 標 原 点Oの
座 標 は(0,0)
で あ る. 横 に 引 い て あ る 数 直 線 を ふ つ うx軸,縦
に 引 い て あ る 数 直 線 をy軸
とい う.x
軸 とy軸
と を 座 標 軸 と い う.座 標 軸 の 与 え ら れ た 平 面 を 座 標 平 面 とい う.
点Pの
座 標 が(a,b)の
と き,P(a,b)と
か き,aをPのx座
標,bをPのy座
標 と い う(図10).
座 標
1つ の 座 標 軸 だ け で は な くて,も こ と も あ る.た
都 の 町 の こ とを 話 す の に,自
を し て も,そ
宅
う不 便 で は な い だ ろ う
と え ば 東 京 駅 を 中 心 と して(東
京 駅 を座 標 原
し た 方 が ず っ と 便 利 だ ろ う.
い ま,図11の 軸,y軸
宅 を 座 標 原 点 と し て)話
京 の 町 の こ と を 話 す に は,た
点 と し て)話
う1つ 別 の 座 標 軸 を と って お い た 方 が 便 利 な
と えば 京 都 に 住 ん で い る 人 は,京
を 中 心 に し て(自 が,東
変 換
よ う に,xy座
を 平 行 移 動 す る と,新
標 の 座 標 原 点 を,点A(α,β)に し い 座 標 軸X軸,Y軸
移 す よ う に,x
が 得 られ る.
図11 平 面 上 の 点Pは,xy座 Y)を
もつ.図11の
標 に 関 す る 座 標(x, y)と,XY座
標 に 関 す る座 標(X,
右 の 図 を 見 る とわ か る よ うに(x,y)と(x,Y)の
(1) で 与 え られ て い る.こ れ を座 標 変 換 の公 式 とい う.
関係 は
【例 】xy座
標 の 座 標 原 点 を(6,−8)ま
つ く る.xy座
標 で,(10,20)の
で 平 行 移 動 し て,新
座 標 を もつ 点Pは,(1)式
し いXY座
標を
か ら
X=10−6=4 Y=20−(−8)=28 に よ り,XY座 (1)式
標 に よ る新 し い 座 標(4,28)を
は,'古
い'座
標 でP(x,y)と
表 わ さ れ る 点 が,'新
よ うに 表 わ され る か を 示 し た 式 で あ る.'新 わ さ れ た と き,'古
い'座
標 でPが
も つ. しい'座
標 で どの
し い'座 標 で,点PがP(X,Y)と
表
ど の よ うに 表 わ さ れ る か は,(1)式
を 逆 に解
いた式
(2) で 与 え られ る. 直 線 の 式(原 座 標平 面 で,原 点Oを 通 る,y軸
点 を通 る場 合)
とは違 う直 線 を 考 え よ う.こ の 直 線の 傾 きは
(線 路 の傾 きな どを測 るの と同 じ よ うな考 えで),図12で b/ a で 与 え ら れ る. こ の 値 は,相
似三角形の
考 え か ら わ か る よ うに,a (≠0)を
ど こ に と って も
一 定 し て い る .こ
の値 を
m=b/a とか い て,直 た は,直 図12か こ のmの
線 の 傾 き,ま
線 の 勾 配 と い う. ら もわ か る よ うに, 値 は,x=1の
き の 直 線 上 の 点 のy座
と 標 の 値 と な って い る.x=1の
図12 と き,直
線 上 の 点 が,x軸
よ り上 にあ れ ばm>0で
あ る し,x軸
よ り下 に あ れ ばm0と
な っ て, のこ
グ ラ フが 原 点 を 通 る と
り坂 か ら上 り坂 に 転 ず る こ とを
意 味 し,し 点'と
符 号 は,x0で,yは
判 別 式 は22−4×3×2=−200
D
0),常
y
極 大 値,極 小 値 を もつ
単調増加か単調減少
例
D=0の
グラ フの様 子 に
の 関 係 は 次 の よ うで あ る.
例1,3
に 負(a0の
y′ の 符 号 変 化 は な く,yは
単 調 に 増 加 す る.た
の と き に グ ラ フ の 接 線 の 傾 き は0と も典 型 的 な 例 はy=x3で
α)2と
と き に,y′ ≧0で, だx=α
な る.こ の 場 合 の 最
あ る(第7講,Tea
Time質
問
の 項 参 照).
質 問 この講 義 の最 初 で述 べ られ た,'x=pに
お い て増 加 の状 態 に あ る'と い う
定 義に少 し疑 問 を感 じま した.こ の定義 で は,図47の
よ うな場 合 に もx=pに
お
い て増 加 の状態 とな り,こ れ で は増 加 し て い く感 じを十 分 示 してい な い よ うに 思 い ます. 答 その 通 りで あ る.増 加 の状 態 と よぶ 以 上,実 際 は グ ラ フが 本 当 に上 って い く よ うな状 況 を表わ した い の で あ る.し か しそ のた め には,pを1つ
とって定 義 し
た ので は不 十 分 で あ る.あ る区 間 のす べ て のxで
図47
増 加 の 状 態 に あ る と き,そ の 区 間 で 増 加 の 状 態 に あ る とい う定 義 に は じ
め か ら し て お い た 方 が よ い.だ に は,図47の
が,い
ま の よ うに,主
よ うな こ とは 起 き な い の で,x=pに
わ ば 中 間 的 な 定 義 か ら 出 発 し た の で あ る.
に3次
関 数 を 取 り扱 う場 合
お け る 増 加 の 状 態 とい う,い
第9講 多項式関数の微分 テ
ー マ
◆n次
の 多 項 式関 数
◆ 関 数 の積 を 微 分 す る公式 ◆y=xnの
導関 数
◆ 多項 式 の微 分 ◆y=xnの
グ ラフ
n次 の 多項 式 関 数 x とyと
の 関 係 が,x4,x3,x2,xを
用 い て 表 わ され る 式
y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0) で 与 え ら れ る と き,yはxの4次 同 様 に し て,5次
関 数,6次
関 数 とい う. 関 数 な どを 定 義 す る こ とが で き る.一
般に
a0xn+a1xn−1+…+an(a0≠0) と い う式 をn次
の 多 項 式 とい う.こ
こ でxを
変 数 とみ て,こ
の 式 の 値 をyと
おい
て, y=a0xn+a1xn−1+…+an(a0≠0) を,xの
関 数 と 考 え た と き,yをxのn次
公
の 多 項 式 関 数 と い う.
式
n次 の 多 項 式 関 数 の 導 関 数 を 求 め る た め に は,第7講 か に,さ
ら に,2つ
で述 べ た微 分 の公 式 のほ
の 関 数 の 積 を 微 分 す る 公 式 が 入 用 と な る.
(Ⅲ) F(x)=f(x)g(x)の
とき
F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
この 公式 は簡 単 に
と 表 わ さ れ る こ とが 多 い. 公 式(Ⅲ)の 証 明の大 体 を 与 え て お こ う:
こ こ で 第1項
の 中 に あ るg(x+h)は,h→0の
と き,g(x)に
近 づ く こ とに 注 意 し よ う.し
た が って上 式 は
と な る.こ
れ で 証 明 さ れ た.
y=xnの 公 式(Ⅲ)を
用 い る と,す
導 関数
で に 知 っ て い る 結 果(x2)′=2x,(x3)′=3x2は,
(x)′=1と
い う結 果 か ら,実
は 直 ち に 導 く こ と が で き る.
実 際,公
式(Ⅲ)でf(x)=g(x)=xと
お くと
ま た 公 式(Ⅲ)で,f(x)=x2,g(x)=xと
お き,い
ま 得 ら れ た 結 果(x2)′=2x
を す ぐに 使 っ て み る と
以 前,こ
の 結 果 を 第5講,第6講
と に 簡 明 で あ る.こ
れ は 公 式(Ⅲ)の
同 じ よ う に し て,x4,x5の
x4をx4=x2・x2と
で 求 め た と き に 比べ る と,こ
の導 き方 は ま こ
有 効 性 を 示 し て い る.
導 関 数 を 順 次 求 め て い くこ と が で き る.
考 え て 公 式(Ⅲ)を
使 っ て も,同じ
結 果 が 出 る だ ろ うか とち ょっ と考え
てみ る人 が い るか もしれ な い.念 のた め 計算 して み る と
これ らの 結果 を 見 る と,誰
で も,xnの
導 関 数 につ い て 次 の公式 を予 想 す るだ
ろ う. (xn)′=nxn−1
こ の 公 式 の 証 明: 知 っ て い る.い
こ の 公 式 がn=1,2,3,4,5で
成 り立 つ こ とは,す
ま こ の 公 式 が さ ら にn=6,7,…,k−1ま
でに 上で
で 成 り立 っ た と し よ う.
そ の とき
と な り,上
の 公 式 はn=kで
が 成 り立 つ よ うなnの
も成 り立 つ こ と が わ か る.こ
値kは,1か
ら 出 発 し て,途
で も 続 い て い く こ とが わ か る.し 成 り立 つ こ とが 証 明 さ れ た(数
た が っ て,上
の こ とか ら,上
の公 式
中 で 止 ま る こ と な く,ど
の 公 式 は す べ て のn=1,2,3,…
こま で
学 的 帰 納 法 の 考 え 方 に よ る 証 明 法).
多 項 式 関 数 の 微 分
(xn)′=nxn−1が は,す
わ か る と,与え
られ た多 項 式 を 微分 して導 関 数 を 求 め る こ と
ぐに で き る よ う に な る.
【例1】
【例2】
一 般 にy=a0xn+a1xn−1+a2xn−2+…+a
n−1x+anの
とき
y′=na0xn−1+(n−1)a1xn−2+(n−2)a2xn−3+…+an−1 特 に,n次
の 多 項 式 を 微 分 す る と,(n−1)次
の 多 項 式 と な る こ とが わ か る.
多 項 式 関 数 の グ ラ フ
与 え ら れ た 多 項 式 関 数 の グ ラ フ の 概 形 を か く こ とは,多 な る と,特 殊 な も の は 別 と し て,一 い こ とに な る.こ
こ で は,ご
項 式 の 次数 が 少 し高 く
般 的 に は 非 常 に 難 し く,ほ
と ん ど不 可 能 に 近
く基 本 的 な こ と だ け 述 べ て お こ う.
多 項 式 関 数 の 中 で最 も基本 的 な もの は y=xn,n=1,2,3,… で あ る.こ は,た
の グ ラ フ は,す
とえ ばy=3x2の
い う よ うに,次
べ て 原 点 と 点P(1,1)を
通 る.y′=nxn−1と
様 子 が わ か る と,y=x3の
数 の1つ
い う公 式
グ ラ フの 傾 く様 子 が わ か る と
低 い グ ラ フy=nxn−1が
か け る と,y=xnの
線 の 傾 き の 様 子 が か な り正 確 に わ か る こ と を 意 味 し て い る.し
グ ラ フの 接
か し こ こで の説 明
は そ こ ま で 立 ち 入 ら な い. (Ⅰ) nが 偶 数 の と き: こ の と きy=xn=(xm)2≧0よ
n=2m り,グ
ラ フ は 原 点 以 外,x軸
た,(−x)2m=(−1)2mx2m=x2mよ
り,グ
0<xx4>x6>…
フ が 下 方 を 走 り,そ
の 下 をx6の
ラ フ はy軸
よ り上 に あ る.ま
に 関 し て 対 称. グ ラ フ よ り,y=x4の
グ ラ フ が 走 り,以
下,次
グラ
か ら 次 へ と下 方 を 走 っ
て い く よ う に な る. x>1で
は,x2<x4<x60の
か ら,yの
正負 と一 か らyは
グ ラフ上 に あ るか
グ ラ フは原 点 に関 し点対 称 で あ と き,x,x3,x5,x7,…
で あ る(図49).
の グ ラ フ の 上 下 関 係 は,x2,x4,x6,…
と 同様
図48
図49
も う少 し 一 般 の 場 合 に つ い て は,Tea 問1
Time参
照.
次 の 関 数 を 微 分 せ よ.
1) y=−7x5+x3+2x−6 2) y=x100−8x50+x2 問2
1) 3つ の 関 数f,g,hの
積 の微 分 は
(fgh)′=f′gh+fg′h+fgh′ で 与 え られ る こ と を 示 せ. 2) n個
の 関 数f1,f2,f3,…,fnの
積 の微 分 は
(f1f2f3…fn)′=f1′f2f3…fn+f1f2′f3…fn+f1f2f3′
…fn+…+f1f2f3…fn′
で 与 え ら れ る こ と を 示 せ. 3) 2)で
特 にf1=f2=f3=…=fn=xと
お く と(xn)′=nxn−1が
を 示 せ.
Tea
Time
n次 の 多項 式 関数 の グ ラフ の概 形 n次 の多 項式 関 数 の中 で,xnの
係数 が1で あ る関数
導 かれ る こ と
1)
y=xn+a1xn−1+a2xn−2+…+an
を 考 え る こ とに す る.こ
の 関数 を
2) とか き 直 し て み る.xの 上,右
絶 対 値 が どん ど ん 大 き く な る と(す
に 小 さ な 数 とな っ て い く.た 1/x a1,a2,…,anは (2)式
な わ ちxが
ま た は 左 へ ど ん ど ん 進 ん で い く と),1/x,1/x2,…,1/xnは1に比べ とえ ばx=100の
の 右 辺 の 括 弧 の 中 で,2項
大 体y=xnの か 奇 数 か で,ま
た が っ て,xの
の こ とは,xの
絶 対 値 が 大 き くな る と,
目以 下 か ら の 影 響 を ほ と ん ど 無 視 で き る こ と を 絶 対 値 が 十 分 大 き い 所 で は,(1)式
グ ラ フ の 形 に 近 くな る.し
た が っ て(1)式
の グ ラ フ は,
の グ ラ フ は,nが
偶数
っ た く違 っ た 形 とな る.
一 方,y′ はn−1次 れ て い る.し
とき
=0.01,1/x2=0.0001,1/x3=0.000001,…
決 ま った 定 数 だ か ら,こ
意 味 し て い る.し
数直 線 て急 速
式 で,y′=0と
た が っ てyが
こ の こ と か ら(1)式
な るxは,高
々n−1個
極 大 値 か 極 小 値 を と る 場 所 は,高
の グ ラ フ の 概 形 は,図50の
的 に 多 項 式 が 与 え られ た と き,こ
し か な い こ とが 知 ら 々n−1個
の グ ラ フ が 波 打 つ 正 確 な 状 況 は,一
し に くい の で あ る.
偶数次の多項式のグラフ
しか な い.
よ うに な る こ とが わ か る.具
奇数次の多項式のグラフ
(最高 次の係 数1) 図50
体
般 に は把 握
質 問 異 な る2点
を 通 る直 線 は た だ1本 のxの
で す.こ
の こ と は グ ラ フで い え ば,1次
関 数 は,異
な る2つ
と で す.以
前 ど こ か で 聞 い た こ とが あ る の で す が,同
わ さ れ る 関 数 は,相
値α1,α2で と る値 が 決 ま れ ば,完
異 な るn+1個
完 全 に 決 ま る そ うで す.こ
のxの
相 異 な る β1,β2,…,βnで0と f(x)=a(x−
多 項 式P(x),Q(x)を
…,αnに 適 用 し て み る.そ
余 定 理 に よれ ば,高
と り,こ
々n次
の多項
なれ ば
ま α1,α2,…,αn+1の
も し れ な い) と き値 が 一 致 す る2つ
の こ と をf(x)=P(x)−Q(x)と
α1,α2,
の とき
P(x)−Q(x)=a(x−α1)(x−α2)…(x− と な る.仮
の多項 式 で 表
値 α1,α2,…,αn+1で と る値 が 決 ま れ ば,
β1)(x− β2)…(x− βn)(aは0か
と 表 わ さ れ る こ と が 知 られ て い る.い のn次
じ よ うにn次
れ は ど うい う こ とで し ょ うか.
答 これ は 剰 余 定 理 とい う も の か らわ か る.剰 式f(x)が
全 に決 ま る とい うこ
αn)
定か ら 0=P(αn+1)−Q(αn+1)=a(αn+1−α1)(αn+1−α2)…(αn+1−
α1,α2,…,αn+1は 相 異 な る か ら,こ
の こ と が 成 り立 つ の はa=0の
αn) と き,す
なわ ち
P(x)≡Q(x) の と き に 限 る.す て のxで
な わ ち,相
異 な るn+1個
の 値 で 同 じ値 を と るPとQは,すべ
完 全 に 一 致 して し ま う.こ れ で 質 問 に 答 え た こ とに な る.
第10講 有理関数 と簡単 な無理関数の微分 テーマ
◆ 有理関数 ◆ 関数 の商を微分す る公式 ◆ 有理関数 の微分 ◆y=
有理 関数 2つ の 多項 式 の商 として表 わ され る
の よ うな 関数 を 有理 関 数 とい う(多 項 式 は,分 母 が 定数 関数1で あ る よ うな 有理 関 数 の特 別 な場 合 であ る と考 え る). 有理 関 数 の一 般的 な 形 は次 の よ うに表わ され る.
な お,定 数 関数 も有理 関 数 と考 え る. 公 有 理 関 数 の導 関数 を 求め るた め に,2つ
式 の関 数 の商 として表 わ され る関数 の導
関 数 を求 め る,一 般 的 な 微分 の 公 式 を示 して お く.
(Ⅳ)
(Ⅴ)
これ らの公 式 は,簡 単 に
と表 わ さ れ る こ と が 多 い. 公 式(Ⅳ),(Ⅴ)は,第9講 (Ⅳ)の
証 明:恒
で 述 べ た 積 の 微 分 の 公 式(Ⅲ)か
ら導 か れ る.
等式
の 両 辺を 微分 す る.こ の とき右辺 には公 式(Ⅲ)を
適用 す る.
移項 して
両 辺 をg(x)で
割 って
これ で(Ⅳ)が
示 され た.
(Ⅴ)の
証 明:(Ⅳ)の
これ で(Ⅴ)が
結果 を用 い て略 記 してか くと
示 され た.
有理関 数の微分 多項 式 の微 分 は知 ってい るか ら,公 式(Ⅴ)を
用 い る と任意 の 有理 関 数 を微 分
して 導 関数 を求 め る ことは,簡 単 に で き る よ うに な る.
【例1】
【例2】
この例 か ら もわ か る よ うに 有 理 関 数 の導 関数 は有 理 関数 で あ る.
簡単な無理関数の微分 無 理 関数y=
を微 分 す る ことを 考 え よ う.
はx≧0の
ところで 定義
され て いて
で あ る.積 の微 分 公式(Ⅲ)を
用 い てx=
の 両辺 を 微 分す る と
した が って
が 得 られ た. この結 果 を グ ラ フの上 か ら説 明す る こ とを 試 み てみ よ う.ま ず ら
の定 義か
が 成 り立 つ こ と に 注 意 し よ う.し
た が っ てy=
の グ ラ フ は,x座
標
とy座
標を 入 れ 換 えた 形
で,放
物 線x=y2の
分 をx軸
上半
の上 に か くとよ
い. 図51で
は,y=
の
グ ラ フ と,y=x2の
図51 グラ
フ の 片 方 の 半 分 だ け か い て あ る.こ 対 称 の 位 置 に あ る.点Pに た め,lに
あ る(Qの
座 標 は(y,y2)に
な る.し
い う直 線lに
関し
お の傾
注 意).
ら わ か る よ うに,点Pに
け る 接 線 の 傾 き は1/2yと
の グ ラ フ は,y=xと
の 接 線 の 傾 きを 知 りた い の だ が,そ
接 線 の 傾 き に 注 目 す る.こ
こ の と き 図52か
y=
お け るy=
関 し て 対 称 な 位 置 に あ る 点Qに
け るy=x2の き は2yで
の2つ
お
た が って
に 注意 す る と
点Pに お け る接 線 の傾 き= とな り,こ れ は前 に 求 めた 結 果 と一 致 して い
Lの 傾 きb/ a
る.
L′傾 きa/b 互い に逆 数 の関 係 に あ る
同 じよ うな考 えで
図52
の 導 関 数 を 求 め る こ と もで き る.こ の と きは
の 両 辺 を 微 分 す る(第9講,問21)参
とい う結 果 が得 られ,
照).そ
うす る と
の
と な る こ と が わ か っ た.こ
の 右 辺 は,指
数 を使 って
とかい て お い た方 が 簡 明 で あ る. この結 果 を,前
と同 様 にy=x3の
グ ラ フの接 線 と見比 べ て 導 くこ とは,読 者 に
任 せ よ う.
問1 次 の 関数 を 微 分 せ よ.
1) 2) 3) 問2 次 の 関 数 の グラ フを かけ.
Tea
Time
有 理 関数 の グ ラ フ
有理関数
の グ ラ フ に つ い て 少 し 述 べ て お こ う.一 し分 子 が そ こ で 同 時 に0に ば(す
な わ ち,分
近 づ く と き,分 な り,│y│の
で0に
な らな けれ
母 と分子 に共 通 因数
(x− β)が な け れ ば),グ の 近 くで 図53の
般 に 分 母 がx=β
ラ フ はx=β
よ うに な る.xが
βに
母 はい くらで も小 さ く
値 は 限 りな く大 き くな る.
図53
な る と き,も
正 ま た は負 の方 向に 限 りな く大 き くな る状 況 を∞ で 表わ せば,こ の状 態 は =∞ と表 わ され る.こ の よ うな場 所 は,分 母 が0と な る場 所 だか ら,高 々分母 の 次数m個
しか な い.
また
か ら,y′ の 分 子 は 高 々m+n−1次 調 べ られ る が,分 の 分 子 が0と
母 ≧0だ か ら,分
増 減 の 様 子 は,y′ の 符 号 か ら
子 の 符 号 の 変 化 す る 状 況 を 調 べ る と よ い.y′
な る 所 は 高々m+n−1個
変 わ る場 所 も 高 々m+n−1個 高m+n−1だ
式 で あ る.yの
の 点 だ か ら,y′ の 符 号 が+0−,−0+と
で あ る.し
た が っ てyの
グ ラ フ が 波打 つ場 所 も高
け で あ る.
|x│が 大き くな る と き(こ
の 状 況 をx→∞
ⅰ ) m>nな
ら ば,x→∞
の と き,y→0.
ⅱ) m=nな
ら ば,x→∞
の と き,y→1.
ⅲ ) m0の
と きsinx<xを
0,x>0でF(x)が 問3
示 せ(ヒ ン ト:F(x)=x−sinxと
お く とF(0)=
単 調 増 加 関 数 と な る こ と を 示 せ).
sinx,cosx,tanxは,有
理 関 数 と し て 表 わ さ れ な い こ と を 示せ.
Tea
Time
加法定理の証明の概略 加法 定 理 の 証 明を,最
も 自然 に行 な うの は,座 標 を 回 転 し て,新 しい座 標 をつ
くった ときの,座 標 変 換 の公 式 を用 い る こ とで あ る. 座標 を 平 行移 動 して 新 しい座 標 を つ くる こ とは,す で に第3講 で 説 明 し,こ の 座 標変 換 の公式 はす で に 何 度 も用 い て きた.こ を 角 αだ け 回転 して 新 しいXY座 と(X,Y)の
関 係―
い るが,図68を
標 を つ くった とき,点Pの2つ
座 標 変換 の 公 式―
み ると
こで は,原 点 を とめ て,xy座標 の座 標(x,y)
を求 め て お きた い.多 少,こ み 入 って
図68 x=Xcosα−Ysinα y=Xsinα+Ycosα
と い う新 し い 座 標(X,Y)か つ こ と が わ か る.xy座 ら,XY軸 と は,上
ら,古
い 座 標(x,y)へ
の 座 標 変 換 の 公 式 が 成 り立
標 の 座 標 軸 を α だ け 回 転 し て,XY軸
を− αだ け 回 転 す る と今 度 は 新 旧 逆 転 し てxy軸 の 座 標 変 換 の 式 で α→− α と お くと,左
yが 現 わ れ る こ と を 意 味 し て い る.cos(− す る と,し
が 得 られ た の だ か が 得 ら れ る.こ
辺 はX,Yで,右
α)=cosα,sin(−
辺 に は 逆 にx, α)=−sinα
た が って X=xcosα+ysinα
(Tα)
Y=−xsinα+ycosα
が得 られ た. XY座
標 を さ らに角 βだけ 回 転 してXY座
標 をつ くる と,同 様 の座 標変 換 の公 式 X =Xcosβ+Ysinβ
(Tβ)
Y=−Xsinβ+Ycosβ
が 得 ら れ る.(Tα)の る こ とは,xy座
βだ け 回 転 し て,XY座 意 味 す る.も
式 を(Tβ)の
式 に代 入す
標 を 最 初 α だ け 回 転 し,次
に
標 に た ど りつ く こ と を
ち ろ ん こ の 結 果 は,xy座
標を一
のこ
図69
に 注意
度 に α+β だけ 回転 して,XY座
標 を つ くるの に等 しい.形 式的 にか け ば Tα+β=TβoTα
で あ る.Xの
座 標 変 換 だけ か い てみ る と
この 式 が
に 等 し い とい うの で あ る.こ (3),(1)が
の2つ
の 式 のxとyの
成 り立 つ こ とが わ か る.(1),(3)の
て み る と,(2),(4)が
成 り立 つ こ とが わ か る.
係 数 を 見 比 べ て,加
法定理の
式 で β の 代 りに− β を 入 れ
第13講 指数関数 と対数関数 テ ーマ
◆ 指 数 と指数 法 則 ◆ 指 数関 数 とそ の グ ラ フ ◆
自然対 数 の底e
◆y=exの
導関 数
◆ 対 数関 数y=logxと ◆y=logxの
そ の グラ フ
導関数
指
指 数 関数axを
定 義 す る に は,aを1と
こ こ で は 特 にa>1の
m=1,2,3,…
と定謝
に 対 し,aの
る.ま たa0=1と
巾amを
す る.正 の有 理 数m/nに
と え ば α の 小 数 展 開 のn位
く先 をaα と定 義 す る(例: αが 負 の 数 の と き,aα=1/a−α こ の よ うに し て,す い う. 指 数 法則
異 な る正 数 に と っ て お けば よ い の だ が,
場 合 だ け を 取 り扱 う.
で あ る よ うな 正 数 と し て 定 義 す る.正 列(た
数 関 数
対 して,am/nは
の 実 数 α に 対 して は,kn→
ま で をkn)を はa1.4,a1.42,…
と り,n→∞
α とな る有 理 数
の と き,aknが
近づ
の 極 限 と し て 定 義 す る).
と定 義 す る(例:a−2=1/a2).
べ て の 実 数xに
対 し て,巾axが
定 義 さ れ る.xを
指数 と
ax+y=axay
axy=(ax)y が 成 り立 つ.こ の証 明 は,巾 の定 義 に従 いな が ら,x,yが
自然 数 の と き,有 理 数
の とき,実 数 の とき と,順 次 この公式 が 成 り立 つ こ とを確 か め て い くことに よ り で きる. xを 変 数 と見 て y=ax とお き,こ の 関数 を(aを
底 とす る)指 数 関 数 とい う.
指 数 関 数 のグ ラ フ 指 数 関数y=axの
グ ラ フ は 図70
の よ うに な る.aが
ど の よ うな 値 で
あ っ て も グ ラ フ は 点(0,1)を (a0=1!).ま
たx=1の
フ の 高 さ(y座 =a!).図70に るy=axの
と きの グ ラ
標)はaで は,4つ
通 る
あ る(a1 のaに
対す
グ ラ フを か い て あ る.
グ ラ フ を 見 て も わ か る よ う に,y =axは
単 調 増 加 関 数 で あ る. 図70
y=ex
y軸 上 の 点Q(0,1)に
注 目 し よ う.aを
い ろ い ろ に 変 え て も,指
数 関 数y=ax
の グ ラ フ は す べ て こ の 点 を 通 る.指
数 関 数y=axの
か ら右 の 方 へ 見 て い く と,aが1に
近 い ほ ど 傾 き が 平 ら で あ り,aが1か
か っ て 大 き くな る ほ ど,傾 aが1か 点Qに
グ ラ フ を こ の 共 通 の 出 発 点Q
き が 急 に な っ て い く.
ら し だ い に 大 き くな っ て い く この よ うな 過 程 で,適
お け るy=axの
ら遠 ざ
接 線 の 傾 きが,ち ょ う ど1に
当 なaを
と る と,
な る も の が あ る と い う こ と は,
図71 容 易 に 推 測 さ れ る.実 こ のaを,eと
図72 際 こ の よ うなaは
表 わ し,自
た だ1つ
存 在 す る.
然 対 数 の 底 と い う,eは
解 析 学 に と っ て,最
も基 本
的 な 定 数 で あ る. eの 定 義:
y=f(x)=axと
表 わ し た と き,eは,f′(0)=1と
な るa
の 値 で あ る.
こ のeの
値 は,グ
ラ フ か ら2<e0の
対 応 さ せ て い る.nが て の 実 数yの
れ ぞ れ の 場 合 に,逆
奇 数 の と き は,すべ
つ くる 範 囲Rに1対1に
関 数f−1(x)を
範 囲Dを, て の 実 数x
対 応 させ て い る.
考 え る こ と が で き る.f−1(x)
で あ る. 【例2】 1対1に
関 数y=exは,す 対 応 さ せ て い る.し
が で き る.f−1(x)=logxで
べ て の 実 数xの た が っ て,Rか あ る.
つ く る範 囲Dを,y>0の らDへ
の 逆 関 数f−1を
範 囲Rに 考 えること
y=f−1(x)の
グ ラ フ は,y=f(x)の
グ ラ フを,直
線y=xに
関 し て,対
称 に移
し た も の と な っ て い る.
逆 関 数 の 微 分 y=f(x)の
グ ラ フ とy=f−1(x)の
グ ラ フ と の 関 係 か ら,y=
の 導 関 数 を 求 め た の と 同 じ考え で,逆 し か し こ こで は,合
やy=logx
関 数 の 導 関 数 を 求 め る こ と は で き る.
成 関 数 の 微 分 法 の 応 用 と し て,逆
関数 の導 関 数 を求 め て み
よ う. f−1(f(x))=x の 両 辺 を微 分 して {f−1(f(x))}′ ・f′(x)=1 ゆえに
(5) y=f(x)を る.し
例1で
改 め てxと
た が っ て(5)式
か き 直 す と,い
ま ま でxと
か い て い た も の はf−1(x)と
は も う一 度 か き直 さ れ て
はf(x)=xn,f′(x)=nxn-1,f-1(x)=
したが って
を 指数 を 用 い てx1/nと表 わ して お くと,こ の結 果 は
(6) と 表 わ さ れ る. 例2で
はf(x)=ex,f−1(x)=logx.し
たがって
な
な お,(6)の こ う.た
公 式 は,n=−1,−2,…
に 対 し て も成 り立 つ こ と を 注 意 し て お
とえば
一 般 の場 合 も同様 で あ る.す なわ ち,ま とめ て公 式
が 得 られ た. 問1 次 の関 数 を微 分 せ よ.
1) 2) y=ecosx 3) y=log(5x3+xsinx) 問2
sinの 加 法 公 式 sin(x+α)=sinxcosα+sinαcosx
の 辺 々 をxで 問3
f(x)>0の
を 示 せ.こ に,こ
微 分 し て,ど 関 数fに
の よ うな 式 が 導 か れ る か を 確 か め よ. 対 し
の 等 式 をf′(x)=f(x)・(logf(x))′
の 式 を 適 用 し て
の 導 関 数 を 求 め て み よ.
Tea
dy/ dxの を
とか き直 し,f(x)=
Time
記 号 に つ いて と も か く.し
た が って
で あ る.こ の 記号 を 用 い る と,合 成 関 数 の 微 分 の 規 則 は簡 単 に
と 表 わ さ れ る. dxとdyは,そ
れ ぞ れ1つ1つ
独立 した
意 味 を も っ て い る と考 え る こ と も あ る.図 76で,AB=dx,BC=dyで 上 の 点A(x,f(x))を
あ る.グ と め て,dxを
ラフ いろ
い ろ に 変 え る と き,dyは
図76 dy=f′(x)dx
と い う関 係 を 保 ち な が ら変 化 す る.dx,dyを
そ れ ぞ れxとyの
微 分 と い う.
質 問 これ は 質 問 とい った もので は な いか も しれ ませ んが,合 成 関数 の例 として 出 され たa),b),c)の
どれ を 見 て も難 しそ うな形 を して い て,こ の 関数 の グ
ラ フが どん な形 に な るの か な ど予 想 もつ き ませ ん.そ れ な の に,こ の よ うな複雑 な 関 数 を 微 分す る こ とが,ご
く簡 単 にで きて しま う こ とに,驚
き と意 外性 を感 じ
ま した. 答 微 分 は,関 数 の グ ラ フを 解 析す る最 も重要 な手 段 で あ る.も し この手 段 が, 関 数 の 複雑 さ に比 例 して難 し くな った り,グ ラ フの 概 形 を 知 らなけ れば 計 算 で き な い よ うな も のだ った ら,こ れ ほ ど広 く,有 効 に使 わ れ る こ とはな か った ろ う. 微 分 の計 算 は,な れれ ば誰 に で もす ぐで き る.こ こに 微 分 の働 きが,数 学 を 越 え て,広 い 分野 に まで 浸透 して い った1つ の理 由が あ る.'微 分す る'と い う'演算' が,関 数 の複 雑 さにか か わ らず,比 較 的簡 単 にで き る理 由 は,微 分 が 関数 の 各点 ご との ご く近 くの 性 質 に しか よ らない か らで あ って,実 際,各 点 ご とで関 数 を微 分 す るに は,グ ラ フが 複雑 な様 子で 広 が って い くさ まを,全 部 見 通 さな くて も よ い の で あ る.
第15講 逆三角関数 の微分 テーマ ◆ 逆三角関数:
◆ 逆 三角 関数のグラフ ◆ 逆 三角 関数 の導関数
逆 三 角関 数
ⅰ )y=sinxの
の間で,グ 1]の
グ ラ フ を 見 る と,
ラフは単 調 増 加で,x軸
上 に1対1に
上 の 区間[− π/2,π/2]を,y軸上 の 区間[−1,
移 し て い る.
注 意 数 直 線 上 で 実数a0で,│x│=−xと
あ る. xで 微 分 す る と,合
成 関 数 の 微 分 の公 式 か ら
これを不定積分 の形でか くと,公 式になる. 逆 三 角 関数 の微 分 の公 式 か ら,次 の公 式 が導 か れ る.
(Ⅵ)
問1
1) dxを
求 め よ.
2)
を 求 め よ.
3) 問2
a>1の
を 示せ.
を 求 め よ. とき
表 わ せ る.し
か ら,特 た が って
Tea
Time
積 分 定数 に つ い てグラフ 上 の説 明 簡 単 の ため, ∫2x dx=x2+C の 場 合 に 限 っ て 説 明 し よ う.F′(x)=2xと は,微
分 の 意 味 か ら 考え る と,座
け が 与 え ら れ た と き,こ
求め る とい う こ と
標 平 面 上 の 各 点(x,y)に,接
線 の 傾 き2xだ
れ を 本 当 に 接 線 の 傾 き と す る よ うな 関 数y=F(x)を
め よ と い うこ と で あ る.接 示 され て い る 点(x,y)の
な る 関 数F(x)を
求
線 の傾 き として指
に お け る2xを,こ
の
傾 き を も つ 短 い 線 分 と し て 表 示 す る と 図81 の よ う に な る.た と え ば,y軸 と い う直 線 の 上 に は,傾
に 平 行 なx=1
き2の
短 い 線 分 が,
平 行 に 並 ん で い る. これ は,ち
ょ うど,砂
鉄 を敷 いた 紙 の下 に
磁 石 を お い て 砂 鉄 の 向 き を 揃 え た よ うな 形 を し て い る.こ が,求
の と き,磁
力線 に相 当 す る の
め た い 関数y=F(x)の
グ ラ フ で あ る.
図 か ら も 明 ら か な よ うに,こ
図81
の よ うな 関 数 の グ ラ フ はy=x2の
く,そ れ を 上 下 に 平 行 移 動 し た も の,す
な わ ち,y=x2+Cの
グラ フだけ で はな グ ラ フ で 与 え られ
る. こ れ が 積 分 定 数 の グ ラ フ の 上 で の 意 味 と な っ て い る.
質 問 た し算 よ りは,そ の逆演 算 で あ る引 き算 の方 が 難 しか った し,掛 け 算 よ り は,そ の逆 演 算 で あ る割 り算 の方 が 難 しか った と思 い ます.微 分 よ りは,不 定積 分 を 求 め る方 が,や は りず っ と難 しい こ とな ので し ょ うか. 答 冗 談 の よ うな い い方 をす れ ば,一 般 的 に は,生 む こ と よ りは,生 み の親 を 見 つ け る方 が難 しい.微 分す る とは,関 数fか
ら,新 し い関数f′ を 生 む こ とで あ
っ た.そ れ に反 し,積 分 で は,与 え られ た 関数fに 対 してF′=fと
な る関 数Fを
求 め る こ とを問 題 とす るが,こ の よ うなFが
生 ん だ親 が い
るの か,い な い のか―
あ るか な い か―fを
が,す で には っ き りしな い こ とが あ る.た とえ ば,平 面
上 に撤 かれ た 砂 鉄 の 向 きが,各xに
対 し,ま った くで た らめ な 方 向 に並 ん で いた
ら,そ れ を上 手 に つ な いで,'磁 力 線'y=F(x)を
か くこ とは ほ とん ど不 可 能 な
こ とに な る.も ち ろ んfが あ ま り意地 悪 で な いふ つ うの関 数 な らば,fの 数Fは
原始関
存 在 す る.
しか し,今 度 は 存在 した と して も,そ
の関 数Fが,有
数 関 数 な どを 使 って か き表 わ され る 関数 な のか ど うか― だ んつ き合 って い る範 囲 の中 の人 な のか ど うか―
理 関 数 や三 角 関 数 や指 生 み の親 は,私 達 がふ
とい うこ とが,別 の 新 しい問
題 とな って くる.こ の こ とに つ い て は,昔 か ら多 くの 研 究が あ るが,一 般的 な理 論 は難 し くて,専 門 家以 外 に は,深 い 霧 の 中 にあ る とい って よい.
第17講 不定積分の公式 テーマ
◆ 不定積分の和 の公式 ◆ 部分積分の公式 ◆ 置換積分の公式
和 の公 式 指数 法 則 を逆 に見 直す と対 数 の公式 を 与え る よ うに,積 分 は微 分 の逆 演算 だか ら,微 分 法 の公 式 か ら,不 定積 分 の公 式 が導 かれ る. 第7講 で与 えた 公式(Ⅰ),(Ⅱ)は
導関 数 の形 で かけ ば
(f+g)′=f′+g′,(af)′=af′(aは
定数)
で あ る.こ の公式 か ら,不 定 積 分 の公 式
(Ⅰ)'
(Ⅱ)'
が 得 ら れ る. 【証 明 】(Ⅰ)': に よ り, した が って 積 分 の定 義 か ら
(Ⅱ)'
とお く.
だ か ら(aF(x))′=af(x).積 注 意 (Ⅰ)',(Ⅱ)'と
分 の 定 義 か ら も,積 分定 数 を 除 い て等 しい とい う意 味 であ る.
【例1】
【例2】
部分積分の公式 第9講 で 与 えた 積 の 微 分 の公 式(fg)′=f′g+fg′ は,部 分積 分 の公 式 とよばれ て い る次 の 公式 を導 く.
(Ⅲ)'
【証 明】
を積 分す る と (1)
移 項 し て(Ⅲ)'が
得 られ る.
注 意 (1)式 の表 わ し方 は実 は正 確 では ない.左
辺 が 決 ま った関 数 な の は,右 辺 は積 分
定 数 だ け 任 意性 が あ るか らで あ る.し か し移 項 して 公式(Ⅲ)'の 形 にか くと,両 辺 は積 分 定 数 の 任意 性が 認 め られ て い る とい う暗黙 の 了解 が あ って,意 味 のあ る式 とな る. 公 式(Ⅲ)'で
h(x)=g′(x)と
した が って(Ⅲ)'は
(Ⅲ)"
お く と,∫h(x)dx=g(x)
と も か け る.実
際 公 式 を 使 う と き に は,(Ⅲ)"の
【例3】∫xex
dxを
求 め よ.
公 式(Ⅲ)"でf(x)=x,h(x)=exと
【例4】∫x2exdxを
お く と∫h(x)dx=ex.し
た が って
求 め よ.
公 式(Ⅲ)"でf(x)=x,h(x)=xexと
【例5】 ∫logxdxを
方 が 使 い や す い.
お き,例3の
結 果 を 使 う.
求 め よ.
公 式(Ⅲ)"でf(x)=log
x, h(x)=1と
お く と ∫h(x)dx=x.し
たが って
置換 積 分 の 公 式 合 成 関数 の微 分 の公 式(Ⅵ)を い ま変 数xが,も
不 定積 分 の公 式 に移 しかえ てみ よ う.
う1つ 別 の変 数tに よ って x=x(t)
と表 わ され て いた とす る.こ の と き
(Ⅴ)'
【証 明 】F(x)=∫f(x)dxと
か,変tで
お く.F(x)=F(x(t))を
変 数xで
微 分 した もの
微分 した もの か を は っ き りさせ るため,前 者 をd/dxF(x),後
者を
で表わす.
合 成 関数 の微 分 の 公式 か ら
した が って
ゆえに
【例6】 ∫cos t=2xと
2x dxを
お く.x=1/2t.し
【例7】∫(ax+b)ndx t=ax+bと
求 め よ. た が ってx′(t)=1/2.公
(a≠0)を
お く.x=1/a(t−b)に
式か ら
求 め よ. よ り,x′(t)=1/
a.公
置 換 積 分 の 公 式 に 対 す る-注
置換積 分 の 適用 に対 して は,第14講
式か ら
意
で述 べ た よ うな,dy/d xと い う 導 関数に対 す る記 号 の 微 分 の記 号 を用 い る こ とに よっ て,よ
の導 入 が 有 効 であ る.置 換 積 分 の 公式 自体 が,こ
り簡 明に か け る.
こ こで 記 号 の上 だけ であ るが,左 辺 と右 辺 を 見 比べ る と
と な って い て,形 式 的 に は右 辺 のdtが 消 し合 ってdxと に整 合 性 が あ る.dxと
な る よ うな,い
か ∫ の記 号は ラ イプ ニッ ツ(1646-1716)に
わ ば 記 号 の使 い方
よる
い ま置換 積分 の公式 を用 いて
を 計 算 し よ う とす る.こ
の とき手 がか りと して t=sin
x
とお くの は 自然 な 発 想 であ るが,x′(t)が 求 めに くい.し か し
で あ る(こ の最 後 の 関 係は,第14講
で求 め て あ る.逆 関 数 の微 分 は,も
との関 数 の逆 数 で
あ る!). を求 め るに は dt=(sin
で よ い(第14講Tea
Time参
照).し
x)′dx=cos
x dx
た が って
とな り,
問1 次 の関 数 の不 定 積 分 を 求め よ.
1) 2) (3x−7)5+6(2x+7)2 3)
x2sin
x
問2 部
分積分 の公 式(Ⅲ)"で,∫h(x)dxを1つ
原 始関数,た
とえば ∫h(x)dx+1を
と って くる代 りに,別
のhの
と って も,結果に 変 わ りの ない こ とを 確かめ
よ.
問3
∫exsin
x dxに
お い て,f(x)=sin
x, g(x)=exお
いて部 分積 分 の 公式
を適用 せ よ.同 様に∫excos x dxに つい て も部分 積 分 の公 式適 式 を見 比 べ る こ とに よ り,∫exsin x この結 果 を
用 せ よ.こ の2
dx,∫excos 求 め よ. x dxを
∫eaxsin bx dx,∫eaxcos 対 して一 bx 般化 dxにせ よ.
問4 ∫tan x dxを 求 め よ.
Tea
Time
多項式関数 と有理関数の不定積分 多項 式 で 与 え られ る関数
の不 定 積 分 は,公
式(Ⅰ)',(Ⅱ)'を
使 うだ け で
と求 め られ る.す なわ ち多 項 式 の不 定 積 分 は 多項 式 で あ る. 有理 関数 の不 定積 分 は,有 理 関数 とは 限 らない.そ の最 も典型 的 な 例 として
が あ る.こ の結 果 は有 理 関 数 の不 定積 分 が一 般 に は,難 しい もので あ る こ とを予 想 させ る.し か し,有 理 関 数 の不 定積 分 に 関す る一 般論 が あ って,有 理 関 数 の不 定 積 分 は,有 理 関 数 と,上 のlog│x│と,tan−1xを
適 当 に組 み合 わ せ て表 わ され
る こ とが知 られ て い る.
質 問 微分 の公 式 は,不 定積 分 の公 式 に翻 訳 され るはず な のに,ど 分 の公 式(Ⅳ),(Ⅴ)だ
けが,不
定積 分 の公 式(Ⅳ)',(Ⅴ)'と
なか った の で し ょ うか. 答 もち ろ ん(Ⅳ)を
読 み 直 した
うして商 の微
して 再 登 場 して こ
は1つ の公 式 とな るが,こ れ を不定 積 分 の公式 として一般 に 明記 しな い のは,左 辺 の関数 の 形 が,あ ま り特殊 す ぎて,適 用 す る機 会 が少 な い こと に よ る の だ ろ う. む しろ不 定積 分 の公 式 としては,第14講 積 分 形が 有 用 で あ る.す なわ ち
こ の公式 は しば しば用 い られ る.た とえば
問3で 与 えた'対
数微 分'の 式 の,
第18講 グ ラ フの つ くる図 形 の 面 積 テー マ
◆y=f(x)の
グ ラフの つ くる図形
◆ グ ラフ を挾 む'上 の階段'→
外 か らの面 積
◆ グ ラ フを挾 む'下 の階段'→
内 か ら の面 積
◆ 面 積:外 か らの面 積=内 か らの面 積
グ ラ フの つ くる図 形
関数y=f(x)が 図82の
よ うに,グ
の 図 形Sが か.こ
与 え られ た と し よ う.a≦x≦bで(a≠b),f(x)>0と ラ フ と,x軸
で き る.こ
の 講 の 主 題 は,Sの
まずf(x)=c(定
とy軸
の 図 形 をSと
す る.
に 平 行 な 直 線x=a,x=bに
し よ う.こ
の 図 形Sの
よ っ て1つ
面 積 とは何 で あろ う
面 積 を 正 確 に 定 義 し て み る こ と で あ る.
数)の
と き,Sは
長 方 形 と な り,面 積 は(b−a)cと
な る.こ
れ を 面 積 概 念 の 出 発 点 と し よ う.
図82 グラフ
図83
を 挾 む'上
の 階 段','下
話 を 進 め る た め,関数y=xの
グ ラ フが,x軸
図 形Sの
直 角 三 角 形 で,そ
考察 か ら 始 め よ う.Sは
の 階 段'
とx=0(y軸),x=1で の 面 積 は,1辺
つ くる が1の
正方 形
の面 積 の半分 だか ら,明 らか に
Sの 面積=1/2 (1) 面 積 の考 えを,一 般 の場合 へ 拡 張 し てい く手 がか りを得 るた め には,こ の三角 形 の面積1/2を,階
段状 の 図
形 の面 積 の極 限 として,改 め て得 て 図84
みた い. そ の た め 区 間[0,1]をn等
分 し,そ
で あ る.各Ak−1Ak(k=1,2,…, Ik, Ikを
つ く る.Ikの
n)上
高 さはk/nで
の 分 点 をA0, A1,…,Anと
に, y=xの
あ り,Ikの
す る.
グ ラ フ を 挾 む,2つ
高 さ はk−1/nで
あ る.し
の長 方形 た が って
Ikの面積=1/n・k/n,Ikの面積=1/n・k−1/n そ こで,長
方 形I1, I2,…,Inを
た 長 方 形I2,I3,…,Inを そ れ ぞ れSを
集 め て 得 られ る階 段 状 の 図 形 をSnと
集 め て 得 ら れ る 階 段 状 の 図 形 をSnと
お く.ま
お く(SnとSnは,
上 と 下 か ら挾 む 階 段 で あ る).
Snの面 積
Snの 面 積
注意
で あ る.
作 り方 か ら明 らか に Snの 面 積<Sの こ こでnを 段'Snも,'下
面 積<Snの
ど ん どん 大 き くし て,[0,1]の の 階 段'Snも
近 づ くだ ろ うか.nが
と も にSに
大 き くな る と
Snの 面 積
面積
(2)
分 点 を 細 か くす る.こ 近 づ い て い く.面
の と き'上
の階
積 は ど の よ うな 値 に
同様に Snの面積→1/2 した が って(2)式
か ら,サン
ド ウ ィ ッチ
の よ うに真 中 に挾ま れ て い るSの 面 積 は1/2 に 等 し く な くて は い け な い こ と が 結 論 され た.こ
れ で(1)式
同 じ考 えで,放
が 再 び 確 認 さ れ た. 物 線y=x2の
x軸 とx=0,x=1で
グ ラ フが,
つ くる 図 形Sの
を 求 め て み よ う.こ
面積
の と き 区 間[0,1]の
n等 分 点(0=)A0,A1,…,Ak,…,An(=1) の 各Ak−1Akを
底 辺 と し て,y=x2の
フ を 挾 む2つ
の 長 方 形Ik,Ikを
,Ikの
高 さ .し
図85
グラ
つ く る こ と が で き る.こ た が っ て,I1,I2,…,In集
の 階 段'Snと,I2,I3,…,Inを
集 め て 得 ら れ る'下
の 階 段'Snの
与 え ら れ る.
Snの 面 積
Snの 面 積
注意12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1)で
あ る.
明 らか に Snの 面 積<Sの が 成 り立 ち,nが
際
面 積<Snの
大 き くな る と Sn,Sn面
と な る.実
の と きIkの
積→1/3
面積
高 さは
め て 得 ら れ る'上 面 積 は 次式 で
Snの
面 積=
同様 に Snの面積→1/3
この こ とか らSの 面 積が1/3で あ る こ とが結論 され た.
外 か ら の 面 積,内
最 初 に 述べ た,y=f(x)の う.区
間[a,b]をn等
で あ る.前
グ ラ フ が 区 間[a,b]上 分 し て,そ
と 同 じ よ う に,長
の 線 分Ak−1Ak上
に2つ
を 立 て て,y=f(x)の
か らの 面 積
で つ く る図 形Sを
の 分 点 をA0,A1,…,Anと
考察 しよ
す る.
さb−a/n
の 長 方 形Ik,Ik グ ラ フ を 上 と下 か
ら挾 み た い の だ が,一 般 の 場 合 に は,y= x,y=x2の
グ ラ フ と違 っ て 単 調 増 加 と
は 限 ら な い か ら,図86の
よ うにIk, Ik
を つ く ら な くて は な ら な い.す Mk:区
間[Ak−1,Ak]に
f(x)の mk:区
最 大 値(こ
間[Ak−1,Ak]に
なわ ち お け る
図86
の 区 間 で の グ ラ フ の 山 の 頂 の 高 さ) お け るf(x)の
最 小 値(こ
の 区間 で の グラ フの谷
底 の 高 さ) とお い て,
とす る.
Ik: Ak−1Ak上
の 高 さMkの
長方形
Ik: Ak−1Ak上
の 高 さmkの
長方 形
Ikの 面 積
Ikの 面 積
で あ る. I1,I2,…,Inを f(x)の
併 せ て 得 ら れ る階 段 状 の 図 形Snは,区
つ くる 図 形Sに
対 す る'上
間[a, b]に
お い てy=
の 階 段'
と な っ て い る. 同 様 にI1,I2,…, Inを 併 せ て 得 られ る 階 段 状 の 図 形Snは, Sに
対 す る'下
の 階 段'
と な っ て い る.
Snの 面積 Snの 面積
図87
で あ って Snの
面 積 ≦Snの
面積
で あ る. nを ど ん ど ん 大 き くす る と,Snは Aに,ま
たSnは
し だ い に 小 さ くな り な が らあ る 決 ま っ た 値
し だ い に 大 き くな りな が ら あ る 決 ま っ た 値Bに
られ て い る.B≦Aが
近 づ く こ とが 知
常 に 成 り立 つ.
い わ ば,AはSの'外
か ら の 面 積'で
あ り,BはSの'内
か ら の 面 積'で
あ
る.
Sの
関 数y=f(x)と 面 積'と
い っ て も,実
き,Sは
面 積 を もつ と い い,こ
し か し,私
積
に 複 雑 な も の も あ る か ら,私
は どの よ うな も の か を,は
【定 義 】 '外 か ら の 面 積'Aの
面
っ き り決 め て お い た 方 が,紛 れ が な くて よ い.
値 と,'内
か ら の 面 積'Bの
の 一 致 し た 値 をSの
達 が こ こで 取 り扱 う関 数 は,そ
の グ ラ フ の つ くる 図 形Sは い い 方 で 述べ れ ば,連
達 が 考 え る'Sの
値 とが一 致 す る と
面 積 と い う.
れ ほ ど 複 雑 な も の で は な い の で,そ
す べ て 面 積 を も っ て い る.も
う少 し は っ き り と し た
続 関 数 の グ ラ フ の つ く る 図 形Sは,必
ず面 積 を も ってい
る.
これ か らは,面 積 とい うと きには,い ま まで述 べ て きた よ うな,グ ラ フを挾む 階 段 状 の 図形 の面積 の極 限 の値 として考 え る こ とにす る.
問1 y=x2の
グ ラ フ と, x軸,直
線x=1,
x=2で
囲 まれ る図 形 の面積 を求 め
よ. 問2
13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4と
と,x軸,
y軸,お
い う結 果 を 用 い て,y=x3の
よ び 直 線x=1に
グ ラ フ
よ っ て つ く ら れ る 図 形 の 面 積 を 求 め よ.
Tea
Time
グ ラフ が面 積 を もた な い関数 の例 ふ つ うの 関 数 の グ ラ フを か い て も,そ か ら,面
の つ くる 図 形 は す べ て 面 積 を も っ て い る
積 を も た な い よ うな 例 を つ くる に は,よ
(は い け な い だ ろ う.そ
ほ ど複 雑 な 関 数 を も って こ な く
の よ うな 複 雑 な 関 数 の 例 を1つ
与 え て お く.
い ま
f(x)={ と 定 義 さ れ た 関数y=f(x)を
1,xが
無理数
0,xが
有理 数
考 え る.数
直 線 上 で,無
理 数 を 表 わ す 点 と,有
理
数 を 表 わ す 点 は,水
の 中 の 水 素 原 子 と 酸 素 原 子 の よ うに ま じ り合 って 存 在 し て い
る か ら,y=f(x)の
グ ラ フ は,無
い て み せ る わ け に は い か な い.し
限 に0と1と か し,ひ
積 と い う も の を 考 え る こ と が で き る.こ さ1で Mk=1と
あ る(ど
ん な 区 間Ak−1Akを
な る か ら).'下
と っ て も,そ 区 間[0,1]上 面 積'は0と
の 階 段'は
を 往 復 し て お り,こ れ を 現 実 に か
と ま ず(頭
の グ ラ フに 対 す る'上
常 に 高 さ0で
で 考 え た こ の グ ラ フの 場 合,'外 の2つ
ラ フ の つ く る面
の 階 段'は
常に高
と って も,そ の 中 に 無 理 数 を 表 わ す 点 が あ り, あ る.(ど
の 中 に 有 理 数 を 表 わ す 点 が あ り,mk=0と
な り,こ
の 中 で)グ
の 値 は 一 致 し な い.
ん な 区 間Ak−1Akを
な るか ら).し
か ら の 面 積'は1で,'内
た が って, か らの
質 問 面 積 な ど,疑 う余 地 の な い概 念 と思 って い ま した が,複 雑 な 曲 線 で囲 まれ た 図 形 を 考 え てみ る と,面 積 とい うも のを,実 は よ くわ か って い ない の だ とい う こ とを 感 じま した.こ
こで の 説 明 は,大 体理 解 した つ も りで す が,面 積 を こんな
に 難 し く定 義 して し ま って,こ れ で 本 当に 半 径rの 円 の面 積 が πr2であ る こ とが 示 され るの か と,心 配 に な りま した. 答 心 配 の点 は も っ と もな こ とで あ る.こ こで与 えた 面 積 の 定義 で は,分 点 の数 を増 や し て い くと,階 段 状 の 図形 は ます ま す細 か くな って,こ の面 積 は,求 め た い 図形 の面 積 に限 りな く近 づ い て い く.し たが って,コ 形 の面 積 を算 出 す る プ ログ ラ ムを入 れ て お けば,い
ン ピ ュー タに 階段状 の 図
くらで も よい 近似 値 を示 し て
くれ る だ ろ う.だ が,近 似値 の精 度 を い くら よ くしてみ て も,た とえば,円 の面 積 が ち ょ うど πr2であ る とい うこ とを証 明 した こ とに は な らな い. 与 え られ た 図形 の面 積 を厳 密 に 求 め る方 法 は別 に あ る.こ れ につ いて は,第20 講 で述 べ る.円 の面 積 が πr2であ る こ との 証 明は,第21講
で 与 え る.
第19講 定
積
分
テー マ
◆ 和 の記号:Σ ◆ 定積分∫ba f(x)dxの定義 ◆ 定積分の符号 ◆ 定積分の和 の公式
和の記号 Σ ある一 般的 な 規 則 で並 ん で い る数列 や,式 の系 列 を順 次加 え る とき,和 の記 号 Σ が よ く用 い られ る. 【例 】 (左辺 の式 はk=1か
ら始 め て,k=nま
で加 え る とい うこ とを意 味 して い る)
【例 】 【例 】
定積分の定義 これ か ら 取 り扱 う関 数 は,す だ か ら,以
下,面
区 間[a,b]で, の 面 積 を,記
べ て,グ
ラ フのつ くる図形 が面 積 を もつ もの だけ
積 を もつ と い う こ と を 特 に 断 ら な い. f(x)≧0の
と き,[a,b]上
でy=f(x)の
号で
で 表 わ し,f(x)のaか 面 積 の定義 か ら
らbま
で の 定 積 分 と い う.
グ ラ フ の つ くる 図 形
(1)
で あ る.こ
こ で 右 辺 のlimの
右 側 の 点Akに
お け るfの
中 は,[a, b]をn等
分 し た と き,各
分 点Ak−1Akの
高 さ を と っ て つ く った 長 方 形 の 面 積 の 和 を 表 わ して い
る. 注意 深 い 読 者 は,前 講 では,長 方 形 の高 さは,mk,Mkと 思 うか も しれ な い が(図87参
い う特 別 な ものを と った の に と
照),面 積 を もつ と仮 定 し て おい た か ら,1/nΣmkも1/nΣMk
も同 じ値 に近 づ く.し たが って 間 に 挾 まれ て い る
も同 じ値 に 近 づ き,上 の定 義 で さしつ か え な い の であ る. こ こで,f(x)≧0,a0)の にnを
大 き く と っ て も,xnよ
と き,ど
とえば
ん な
り も速 く0に 近
づ く こ と が 知 られ て い る.す
なわち
が 成 り立 つ.こ
常 な ス ピ ー ドで0
の よ うな,異
に 近 づ く関 数 が 存 在 す る こ とが,一 を 豊 か に し,ま
方 で は数 学
た 一方 で は数 学 を複 雑 な もの と
して い る の で あ る.
図108
第23講 極 限概 念 につ いて テー マ
◆'近 づ く'と い うこ と―
小 鳥 が 巣 へ近 づ く―
◆ 極 限概 念の数 学 的定 式 化 へ ◆ 極 限値 の定 義:ε-δに よ る定 式 化
'近 づ く'と い う こ と
小 鳥が 巣 へ 戻 る様 子 を観 察 し よ う.大 空 の遠 くか ら飛 んで きた 小 鳥 は,巣 へ 向 か って一 直 線 に戻 って くるが,警 戒 してか,巣 の近 くへ くる と,す ぐに巣 に は 入 らな いで,巣 を通 り越 して も う少 し向 こ うまで 飛 ぶ.そ して適 当 な所 で引 き返 し て再 び巣 へ 向か うが,ま た巣 を 通 り越 して,も
う少 し先 まで 行 っ て引 き返 す.こ
の よ うに 巣を 行 き過 ぎて は戻 り,行 き過 ぎては戻 りとい う動作 を 繰 り返 し な が ら,し だ いに,巣 に近 づい て い く. この小 鳥 の様 子 を,遠
くか らバ ー ド ・ウ ォッチン グして い る人 が い る.か な り
視 野 の広 い 望遠 レン ズを 通 して 眺 め てい て も,は じめ の うち は,小 鳥 は レンズ を 右 か ら左 へ 横切 って姿 を 消 し,し ば ら くして,今 度は 左か ら右へ と現わ れ て 姿 を 消 す.何 回か そ の よ うな ことを繰 り返 し てい る うち に,や が て小 鳥 の動 作 は完 全 に レン ズの視 界 の 中 に捕 え られ て,小 鳥 が行 きつ 戻 りつ しな が ら巣へ 近 づ く様 子 が わ か る よ うにな る. も っ と巣 に近 い所 でバ ー ド ・ウ ォッ チン グ して い る 人は,標 準 レン ズの カ メ ラ で,同
じ小 鳥 の動 作 を観 察 してい る.い つ までた って も,小 鳥 は レン ズの視 界 を
右 か ら左,左 か ら右 へ と横切 って い る よ うで あ るが,じ っ と待 ってい る と,あ る 時 間が た った あ とで は,や は り小 鳥 の動 作 は レン ズの視 界 の 中 に完全 に入 って, せ わ し く往 復 しなが ら巣 へ 近 づ く模様 が わ か る. す なわ ち,小 鳥 が 巣へ 近 づ くとい うこ とは,ど ん な に巣 の近 くに観 察 の焦 点 を
絞 って お いた とし て も,あ る時間 の のち に は,小 鳥 の動 作 は そ の視 界 の 中で完 全 に キ ャ ッチ され る とい うこ とで あ る. 1つ の 数 学 モ デ ル い ま,観 測 し始 め てか ら,ち ょ うど3分 後 に巣 に 入 った この小鳥 の 飛翔 動作 の 数 学 的 モ デル として
(1)
で 与 え ら れ る 関 数 を 考 え よ う.こ を 示 す 変 数 で あ る.yは (1)式
こ でxは
巣 箱 か ら何m離
の グ ラ フは,y=xsin1/xの
観 測 を 始 め た と き か ら,何 分 た った か れ て い るか を 示 す 変 数 で あ る.
グ ラ フ を,3だ
け 右 に 平 行移動
した もの で
あ る.
図109
数 学 的 な 定式 化 小鳥 の 観測 を始 め てか ら,時 間が3分 に近 づ くにつれ,小 鳥 が しだい に巣 に近 づ くとい う状 況 は,こ の 数学 モ デ ルで は,xが3よ に近 づ い て い くと き,y→0に
り小 さい方 か ら,し だい に3
な る こ とに対 応 して い る.上 に述べ た ことは,レ
ン ズの視 界 を十 分 小 さ くとって も(そ れ を 巣 を中 心 としてεmと す る),時
間が
3分 に近 くな る と(そ れ を3分 の δ秒前 か ら とす る),小 鳥 は この 視 界 の中 だ け を 動 くよ うに な る とい うこ とであ る. す なわ ち
3−x0が
成 り立 って い る こ と を 用 い た. a− ε0な
ら ば,f(x)はx=aで
極 小 値 を と る.
f"(x)0が
成 り立 つ こ と は,こ
し て い く こ とを 示 し,し た が っ て,y=f(x)の っ て い く.こ
の と きy=f(x)の
接 線 の 傾 き は,し
グ ラ フは 図115の(A)で
接 線 の 上 側 に グ ラ フが 走 っ て い く.グ あ る範 囲 でf"(x)0ならば ,x2kに
とると
最 後 の と ころ で
を 用 い た.
し たが って
こ の右 辺 は,n→
∞ の と き,→0と
した が っ て 前 講 の(1)式
な る.
を 参 照 す る と,exは,す
べ て のxに
対 して
(3)
と テ イ ラ ー 展 開 さ れ る こ とが わ か る.特
と な り,こ れ に よ っ て,eの 同 様 に し て,前 対 し て,条
件(#)を
にx=1と
お くと
値 が 計 算 で き る よ う に な っ た.
講 の(2),(3)式
を 用 い る と,sinx,cosxも,す
満 た す こ とが 証 明 で き る.し
た が っ て,す
べ て のxに べ て のxに
対 して
(4)
と テ イ ラ ー 展 開 さ れ る こ と が わ か る. このsinx,cosxの cosxの
方 に はxの
テ イ ラ ー 展 開 で,sinxの
方 に はxの
偶 数 乗 し か 現 わ れ な い の は,sin,cosの
奇 数 乗 しか 現 わ れ ず, もつ
sin(−x)=−sinx,cos(−x)=cosx と い う性 質 を 反 映 し て い る.こ
の 性 質 を,sinは
奇 関 数,cosは
偶 関数 で あ る と
い い 表 わ す.
二 項 級 数 とlog(1+x)
こ こ で 証 明 を 与 え る こ と は で き な い が,(1+x)α(α x)は,│x│0,f"(1)