は
し
が
き
実 数 の体 系は,実 は 無 限概 念 の上 に 立 った,ほ とん ど見 通 しの きか な い も の と い って よい ほ ど,複 雑 な数 学 的対 象で あ るが,こ の実 数 が比 較 的 自然 ...
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は
し
が
き
実 数 の体 系は,実 は 無 限概 念 の上 に 立 った,ほ とん ど見 通 しの きか な い も の と い って よい ほ ど,複 雑 な数 学 的対 象で あ るが,こ の実 数 が比 較 的 自然 な もの と し て誰 にで も受 け 入 れ られ るのは,数 直 線上 の点 として 表現 され て い る こ とに よ っ て い るか らだ ろ う.そ の ほか に も,時 空 の1つ の直 観形 式 として,実 数 の連 続 性 がい つ しか 私 た ちの 意識 の 中に 育 て られ て き た とい う理 由 もあ るか もしれ な い. それ に反 し,複 素 数 は,ガ
ウス平面 へ の 表 示 を 認 めて も,な お どこか実 数 の よ う
に 素 直 には な じめ ない 感 じが残 って し ま うの は,な ぜ だ ろ うか.こ の ことは,こ の 『複 素 数30講 』 を執 筆 す るに あ た って,最 初 に 私 の 中 に湧 い た疑 問 で あ って, この疑 問 が,そ の ま ま動 機 とな って,本 書執 筆 の構 想 が しだ い に湧 い て きた の で あ る. 確 か に,ガ ウ ス平 面 の提 示 は,ガ ウスが 述 べ た よ うに複 素 数か ら形而 上 学 的 な もの を取 り除 くこ とには 役 立 ったか も しれ ない が,そ れ で もな お,実 数 を表 わ す 数 直線 と,複 素数 を表 わ す ガ ウス平面 を,同
じ意 識 の水 準 に お く とい う ことに は
至 らなか った よ うで あ る. しか し,複 素 数 は,数 学 の 中で は 実数 と同 じ,あ るい は 場 合 に よって は,実 数 よ り重 要 な役 割 を果 たす 数 の体 系 で あ る.理 由は定 か では な い とし て も,量 子 力 学 の記 述 の中 に は,複 素 数 が 登場 して くる.複 素数 に は,や は り親 しみ を もって も らっ た方 が よい だ ろ う. 私 の本 書 執筆 の 中心 課 題 は,複 素 数 の 中か ら,ど の よ うに した ら'虚'な
る感
じを 取 り除 け るか に か か っ てい た.私 は,ガ ウ ス平面 の表 示 に,実 軸,虚 軸 を あ ま り強調 しす ぎ るの は,適 当 で ない か もしれ ない と考 え て みた.こ の点 を 強調 す る と,複 素数 は'既 存 の'実 数 の対 に す ぎ ない とい う観 点 が 強 ま って し ま うだ ろ う.実 数 の場 合 には,ま ず 直 線 の存 在 を 認 め て,そ こに 目盛 りを 入 れ,座 標 を導 入 して,数 直線 を完 成 させ た.同 じ よ うに,複 素数 で も,ま ず平 面 が あ っ て,そ
こに複 素 数 が 表示 され る―
複 素 数 は平 面 の 数 で あ る―
とい う立 場 を とった方
が 鮮 明 とな るの で は なか ろ うか. 本 書 の 基 調 は,全 体 と して は,'平 面 の数'と し て の複 素数 の姿 を 明 らか に す る こ とに あ る.複 素 数 上 の 関数 を 取 り扱 う関 数 論 は,い まで は 見事 に 整備 され,殊 にそ の 導 入部 分 は 一 種 の形 式 美 を伴 う理 論 とな っ てい るが,そ の 形式 の奥 に あ る 簡 明 な 姿 は な か なか つ か み難 い の で あ る.直 線 の もつ 様 相 が 関数 概 念へ と働 い て 微 積 分 を つ くった よ うに,平 面 の もつ 様 相 が,微 分 を 通 して 関数 へ 働 くと,そ こ に関 数 論 の世 界 が 展 開 す る. 複 素数 は,平 面 の 回 転や 相 似 写像 と密 接 に結 び つ い て お り微 分 可能 な 関 数― 正 則 関 数―
は,こ の よ うな複 素数 の幾 何学 的な 働 きの 中 に,あ る平 均 的 な挙 動
と微 細 な 内在 的 性 質 との 関連 を示 して くる.こ こに み え る複 素 数 の世 界 は,た だ 単 に イデ ヤ の世 界 に 漂 ってい るわけ では な く,確 か に 現 実 の相 の1つ を 表 現 して い るの で あ る. 終 りに,本 書 の 出 版 に際 し,い ろい ろ とお世 話 に な った朝 倉 書店 の方 々に,心 か らお 礼 申 し上 げ ます. 1989年2月 著
者
目
次
第1講
負 数 と虚 数 の 誕 生 ま で
1
第2講
向 きを変 え る こ と と回 転
7
第3講
複 素 数 の定 義
14
第4講
複 素 平面
第5講
複 素数 の乗 法
27
第6講
複 素数 と図形
35
第7講
単 位 円 周上 の 複素 数 関数
20
42
第8講
1次
48
第9講
リー マ ン球 面
57
第10講
円 々対 応 の 原理
64
第11講 代数 学 の 基 本定 理
72
第12講
80
複素 平 面 上 の領 域 で定 義 され た 関 数
第13講 複 素 関数 の微 分
87
第14講 正則 関 数 と等角 性
95
第15講 正則 な関 数 と正 則 で な い関 数
103
第16講
ベ キ級 数 の基 本 的 な 性 質
109
第17講
ベ キ級 数 と正 則 関数
116
第18講 指 数 関 数 122 第19講
積
分
第20講 複 素 積 分 の性 質
131 138
第21講 複 素積 分 と正 則 性
145
第22講 コー シ ーの積 分 定理 の証 明
152
第23講 正則 関 数 の積 分表 示
160
第24講 テ イラ ー展 開
167
第25講 最 大値 の原 理
175
第26講 一 致 の定理
182
第27講 孤 立特 異 点
190
第28講 極 と真 性 特異 点 第29講 留
197
数
205
第30講 複 素 数再 考
212
索
引
219
第1講 負 数 と虚数 の誕 生 まで テ ーマ
◆ 虚 数 との最 初 の 出会 い―2次
方 程 式 の 虚解
◆ 数 学 史か ら ◆ 負 数 の誕 生 過程 ◆ 負数 が 確 定 し た概 念 とし て一 般 化 し た のは17世 紀 で あ る. ◆ 虚 数 と3次 方 程式 の 出会 い―16世
紀 イ タ リー学 派
虚 数 との出会 い 複 素 数 は 虚 数 単 位i, i2=−1 に よ っ て,a+bi(a,bは 5−4iは ら,こ
実 数)と
複 素 数 で あ る.こ
表 わ さ れ る数 で あ る.た
の 複 素 数 に つ い て の 説 明 は,以
と え ば,2+3iと
か
下 で お い お いす るか
こ で は 前 奏 曲 の よ うな つ も り で 軽 く読 ん で い た だ き た い.
複 素 数 に 最 初 に 出 会 う の は,2次
方程式
ax2+bx+c=0(a≠0) を 解 く と き で あ る.た
とえ ば x2+x+5=0
は 判 別 式 がD=1−20=−19