は
し
が
き
20世 紀 も しだ い に終 りに 近 づ い て,次 え て くる よ うに な って きた.振
の世 紀 の 迫 って くる 足音 が 少 しずつ 聞
り返 っ てみ る と,20世
紀 にな ってか...
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は
し
が
き
20世 紀 も しだ い に終 りに 近 づ い て,次 え て くる よ うに な って きた.振
の世 紀 の 迫 って くる 足音 が 少 しずつ 聞
り返 っ てみ る と,20世
紀 にな ってか ら,数 学 は,
それ まで の数学 に はみ られ なか った よ うな方 向へ 大 き く進 展 し,そ の過 程 で い ろ い ろ な新 しい 考 え を導 入 して きた.こ れ らの 新 しい考 え方 の 多 くは,誕 生 当初 は 誰 に で も近 づ きやす い もの であ った が,や が て数 学 の中 で 熟成 され 抽 象化 され て くる につ れ て,一 般 の人 た ち の理 解 を は るか に超 えた もの とな り,数 学 の専 門 家 だ け が読 み とれ る よ うな難 しい 形 式 に よっ て書 き表 わ され る よ うにな っ て し ま っ た. この よ うな一 般 的 な傾 向 の中 に あ って,位 相 とい う考 えだ け は,数 学 者 の専 門 集 団 を越 え て,し だ い に広 い範 囲 へ と浸透 して い った よ うで あ る.位 相 とい う言 葉 を 聞 き なれ な い 人 で も,ト ポ ロジー とい えば,そ の言 葉 は ど こか で 聞 いた こ と が あ る と思 い 出す 人 も多い だ ろ う.ト ポ ロジ ー とい う数 学 の 分 野 は,か な り広 い 研 究 対 象 を含 ん で お り,そ れ を特 定 す る こ とは難 しいが,遠 い近 い とい う 日常 的 な ご くあ りふ れ た 感 じ,あ るい は何 か 近 づ い て くる よ うな感 覚 的 な もの を,数 学 的 に い い 表わ して み た い と考 え る と,そ こに何 か 言 葉 が ほ し くな って くる.こ の よ うな 言葉 を用 意 す る ものが,プ
リ ミテ ィヴの意 味 で トポ ロジ ー であ る とい って
よい. この近 さ の感 覚 は 漠然 と して い る もの だ け に,こ こか ら数 学 的 な対 象 とな る も の を 取 り出 して,正 確 な考 え を進 め る こ とが で き る よ うにす るた め には,極 度 に 鋭 い 感 性 に支 え られ た,分 析 力 と抽 象 力 とが 必要 で あ った. これに 対 す る数 学 者 の 努 力 は,20世
紀 初 頭 か らは じ ま って1930年 代 まで続 いた の で あ って,こ の よ
うに して得 られ た 理 論 は,位 相空 間 の理 論 と して広 く知 られ る よ うにな った.位 相 空 間 の 考 え方 は,数 学 の野 を広 く潤 して い っただ け で は な くて,そ の 影響 は 物 理 学 や 情 報工 学 や 経 済学,心 理学 な ど,広 い 範 囲 に まで 及 んだ の で あ る.
しか し,位 相空 間の 理論 の枠 組 は今 では 完全 に で き上 が って し ま った ので,こ れ をそ の ま ま何 の用 意 もな く学 ん で理 解 す る ことは,な か な か難 しい こ とに な っ て しま った.実 際 は この理 論 の 奥 に ひそ む もの は,私 た ち の近 さに対 す る柔 らか い感 性 なの だが,完 成 され た数 学 の理 論 が 往 々そ うで あ る よ うに,こ こで もや は り,数 学 は,形 式 論理 の壁 で 囲 まれた 堅 牢 な建 物 の よ うな外 観 を,理 論全 体 に与 え て し ま った の であ る.数 学 内部 にお け る理論 体 系 の完成 は,そ の完 全 さに よっ て,か え って数 学 者 以 外 の一 般 の 人 をそ こか ら遠 ざけ る よ うに して し ま うとい う ことは,や む を得 ぬ ことか も しれ な いが,望
ま しい こ と とは い えな い よ うに 私 は
思 う. ここで は,位 相 空 間へ の道 を,私 た ち の 中 に あ る近 さに対 す る感 性 を 拠 り所 と しなが ら,一 歩 一 歩 手 探 りす る よ うな慎 重 さで学 ん でい く方 向 に とっ てみ た.こ の道 を進 めば,や が て読 者 の 眼 の前 に位 相 空 間 の理 論 の全 容 が 浮か び上 が って く るだ ろ う.理 論 を知 る こ と で は な くて,理
論 の意 味 を知 る こ とが 重 要 な の で あ
る.こ の本 を読 み 終 え られ た 読者 が,位 相 空 間 とい う抽 象的 な 建造 物 の中 に ひそ む 柔 らか な感 触 を,少 しで も感 じ とって も らえ る な らば,私 と しては 嬉 しい こ と で あ る. 終 りに,本 書 の 出版 に際 し,い ろ い ろ とお世 話 にな った朝 倉 書店 の方 々に,心 か らお 礼 申 し上 げ ます. 1988年8月 著
者
目
次
第1講 第2講
遠 さ,近 さ と数 直 線 平 面上 の距 離,点 列 の収 束
第3講
開集 合,閉 集 合
1 8 17
第4講
集積 点 と実数 の連続 性
26
第5講
コンパ ク ト性
35
第6講
写像 と集合 演 算
42
第7講
連
49
続
性
第8講
連 続 性 と開集 合
57
第9講
部分 集 合 にお け る近 さ と連 結集 合
64
第10講 距離 空 間へ
71
第11講 距離 空 間 の例
77
第12講 距 離空 間 の例(つ づき)
85
第13講 点 列 の収 束,開 集 合,閉 集 合
91
第14講 近 傍 と閉包
99
第15講
連続 写像
107
第16講
同相 写像
114
第17講 コンパ ク トな距 離 空 間
120
第18講 連 結 空 間
128
第19講
134
コー シ ー列 と完備 性
第20講 完備 な距 離 空 間
140
第21講
べー ル の性 質 の応 用
第22講 完
備
化
147
153
第23講 距離 空 間 か ら位 相 空 間へ
160
第24講 位 相 空 間
166
第25講 位 相空 間上 の連 続 写 像 第26講 位 相空 間 の構 成 第27講 コ ンパ ク ト空 間 と連 結空 間 第28講
分離公 理
173 180 187 194
第29講 ウ リゾー ンの 定理
201
第30講 位 相空 間か ら距離 空 間 へ
207
問題 の解 答
214
索
引
217
第1講 遠 さ,近
さ と数 直 線
テーマ
◆ 近 さの感 じ は,時 間,空 間 の 中 に深 くひそ ん で い る. ◆ 近 さを測 るた め に は実 数 を 用 い る. ◆ 長 い 長い 物 差 し― ◆2つ
数直線
の もの の位 置 関係 の数 直線 上 へ の表 わ し方
◆ 絶対値 ◆2点
間の距離
近 さ と は 位 相 と は,近
さ の 感 覚 を 背 景 に し て展 開 す る よ うな,か
指 し示 す と き用 い ら れ る術 語 で あ る . し た が っ て,位 て,近
相 の話 を は じめ る にあ た っ
さ と い う こ と を ど の よ うに 考 え る か とい う設 問 を 最 初 に お く こ と は,ご
自然 の こ と と思 っ て い た.し み え て も,ふ と,私
な り広 い 数 学 の 対 象 を
か し,こ
つ うの 人 に は,何
の よ うな 問 い か け は,数
の も の が,ど
遠 くに あ る か を 比 ベ る よ うな こ と は,い と か ら,'近
さ'と
た と え ば,机
学 者 に は 当 り前 に
か 奇 妙 に 響 くの で は な い だ ろ うか.な
た ち の 日 常 の 生 活 の 中 で,2つ
つ も 行 な っ て い る こ と だ し,ま
の 上 に あ る本 と ノ ー ト ・ブ ック が,ど
ち らが
たそのこ
ず な い か ら で あ る.
ち らが 手 近 に あ るか は 聞 か
れ な く と もわ か っ て い る こ と だ し,ま
た 家 か ら郵 便 局 へ 行 く方 が,駅
ず っ と近 い とい う よ う な い い 方 も,ご
くふ つ うの い い 方 で,こ
ど,何
ぜか とい う
ち ら が 近 くに あ り,ど
は 一 体 何 だ ろ う と考 え る よ う な こ と は,ま
く
へ 行 くよ り
こに考 え る こ とな
も あ りそ うに な い.
遠 い 近 い は,物
差 し とか,地
か る こ と で あ る . も っ と も,こ な 場 合 も あ る.た
と え ば,室
図 の 上 で 距 離 を 調 べ る こ と に よ っ て,す の よ うに,長
ぐにわ
さで 遠 近 を 調 べ る だ け で は な い よ う
町 時 代 は 明 治 時 代 よ り,ず
っ と遠 い 昔 の こ と だ と い
う.こ
の と き遠 い 近 い は,時
間 で 測 っ て い る.も
か ら 車 で 東 京 駅 へ 行 く と き,車 ろ うか と 考 え る と き は,道
っ と身 近 な 例 で は,東
の 渋 滞 を 避 け る た め に,ど
の 長 さ を,距
離 で は な くて,通
京 の郊 外
の道 を通 った ら近 い だ 過 に 要 す る時 間 で 測 っ
て い る. い ず れ に し て も明 らか な こ と は,こ
の よ うな 遠 近 の 感 覚 とい うも の は,私
の 経 験 の 中 に ほ と ん ど無 条 件 に 取 り入 れ ら れ て い る も の で あ っ て,い れ ば,遠
い 近 い と い う認 識 の 仕 方 は,私
あ る,先
験 的 な 直 観 形 式 か ら く る も の な の だ ろ う.だ
取 り立 て て 考 え る 機 会 な ど,ほ
と か,い
い方 を か え
た ち が 生 き て い る この 時 間 ・空 間 の 中 に か ら'近 さ'と い う も の を,
と ん ど な い の で あ る.
数
こ の よ う な,遠
たち
直
線
さ 近 さ を 測 り比 べ る の に,私
た ち は,い
ろ い ろな種 類 の 物差 し
ろ い ろ な 単 位 の 時 間 を 使 う の だ が,数
学 で は,こ
れ らを 抽 象 化 し て,数
用 意 し て お い て,そ
の 目盛 りに よ っ て,こ
直 線 と い う '長 い 長 い 物 差 し'を1本
れ ら の 遠 い 近 い を 数 量 的 に 表 わ そ う と す る. 数 直 線 に つ い て は,す の30講 う.直
で に こ の シ リ ー ズ で も,『 微 分 ・積 分30講
』 の 中 で 詳 し く述 べ て き た か ら,こ 線 上 に(直
こで は 簡 単 に 述べ るだけ に してお こ
線 は 横 に 引 い て お く とす る)原
と り,Oに0,Eに1の
目 盛 りを つ け る と,自
…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…
点Oと,Oの
が 得 ら れ る.0と1の
も,実
理 数 の 目 盛 りを も つ 点 列 が,し
る.こ
対 応 す る.実
間 をn等
分 す る 点 を,各
整数
目 盛 る点 が 決 ま っ て くる .
だい に 近づ い て い く 先 の 点 に対 して
数 の 目盛 りを 与 え る こ と に よ っ て,直
に よ っ て1対1に
右 側 に 単 位 点Eを
然 に こ の 直 線 上 に 整 数 の 目盛 り,
区 間 に 同 じ よ うに 配 列 す る こ とに よ り,有 理 数m/nを さ ら に,有
』 や 『集 合 へ
線 上 の 点 と,実
数 と が,こ
の 目盛 り
数 の 目盛 りは 一 般 に は 無 限 小 数 で 表 わ さ れ て い
の よ うに し て 得 られ た 直 線 を 数 直 線 とい う.
した が っ て,数
直 線 上 に は, やπ=3.14159…
図1
の よ うな数 に対
し て も,ち
ょ う ど1つ
数 直 線 上 の 各 点Pに 座 標aを
与 え ら れ た この 目盛 りの こ と を,Pの
もつ こ とを 明 示 し た い と き に は,P(a)と
な どは,自 を,座
の 目盛 りが 与 え られ て い る こ と に な る .
書 く.P(1),P(2),P(3),…
然 数 を 座 標 に もつ 点 で あ り,
とP(π)は,そ
考え て み る と,私 た と え ば,自
,π
た ち は,こ
の もの の 位 置 関 係
の 数 直 線 を 非 常 に 身 近 な も の に 感 じ と っ て い る.
分 の 家 か ら,30m歩
い た 所 に あ る 木 の 多 い 家 と,反
歩 い た 所 に あ る ス ー パ ー ・マ ー ケッ ト と い う と き,頭 の2つ
の 位 置 関 係 を,数
て 感 じ と っ て い る.ま す る と,や て,似
れ ぞ れ
標 に もつ 点 を 表 わ し て い る .
数 直 線 と2つ
に,こ
座 標 と い う.点Pが
た30年
の 中 で は,無
直 線 上 の 点P(30)とP(−50)に 先 の こ と と,50年
は り,現 在 を 座 標 原 点 に お い て,時
対 方 向 へ50m 意 識 の うち
近 い ものを 描 い
前 の こ とを 整 理 し て 考 え よ う と 間 は 一 直 線 上 に 並 ん で い る と思 っ
た よ うな こ とを 考 え て い る .
図2 実 数 に は 大 小 関 係 が あ っ て,た
とえ ば
−5 .10で
y=f(x)は,xが
が 存 在 して(x1=
な る.f(M)は
有 理 数 の と き 不 連 続,xが
次 の よ うに定 義 さ れた 関数
無 理 数 の と き連 続 と書 い て あ り ま し
た.
xがq/pと 既約 分 数 で表 わ され て い る と き xが 無 理 数 こ の 関 数f(x)は,連
続 の 所 と,不
連 続 の 所 が,入
こ の 感 じ が ど う も よ くわ か り ま せ ん,説 答 ま ずx=aが 分 母 が100ま
無 理 数 な ら ば,aでf(x)は で の 分数
り ま じ っ て い るわ け で す が,
明 し て い た だ け ませ ん か. 連 続 で あ る こ と を 示 し て み よ う. は,数
直 線 上 で,1/2の
間 隔 の 等 分 点,
1/3の間 隔 の等 分 点,…,1/100の ら,こ
間隔 の等 分 点上 に並 んで い る.aは
れ ら の 等 分 点 の ど こ に も 乗 っ て い な い.aか
無 理 数 だか
ら この一 番近 い等 分 点 までの
図40 長 さ を ε とす る.そ
うす る とd(x,a)=│x−a│k
な らば
に注 意 す る と,
を 成 り立 たせ る もの が あ る. 結 局 次 の こ とが 示 され た. C[0,1]の
中 でfn→f(n→
正 数 εに 対 し て,あ
∞)と
な る た め の 必 要 十 分 な 条 件 は,任
る 番 号kで,n>kな
ら ば,す
意の
べ て のt(0≦t≦1)
に対 して
を成 り立 たせ る ものが あ る こ とで あ る.
図55
この と き,関 数 列{fn}はfに な お,C[0,1]に
一 様 収 束す る とい う.
お け る関数 列 の 収束 の状 況 を,こ
の よ うに 別 の言葉 で い い 直
す た め に は,ル ベ ー グ積 分 とい う新 しい積 分 の考 え を導 入 して お いた方 が 見 通 し が よ くな る.し か し,こ こで は,こ の こ とにつ い て は触 れ な い. 距 離 空 間 に お け る 開 集 合,閉 (X,d)を
距 離 空 間 とす る.Xの
集合
開集 合,閉 集 合 の 定義 は,直
線や 平面 の場 合
と,全 く同様 な 形 で述 べ る ことが で き る. 【定 義 】OをXの
部 分 集合 とす る.Oの
任 意 の点xを
と った とき,あ る正 数 ε
で Vε(x)⊂O が 成 り立 つ と き,Oを 一般 に,Xの
開集 合 とい う.
任意 の 部 分 集合Sが
与 え られ た と き,Sの
点xで,十
分 小 さい
正 数 εを とる と Vε(x)⊂S が 成 り立 つ とき,xをSの
内点 とい う.す なわ ち,十
xの まわ りはSの 点 だ け か らな って い る とき,xをSの
分 小 さい範 囲 に 限 れ ば, 内点 とい うので あ る.
この 言葉 を使 えば,開 集 合 とは,そ のす べ ての 点 が 内点 か らな る集 合 で あ る と い って も よい. 【定義 】 FをXの づ くと き,xも
部 分集 合 とす る.Fに またFに
属 す る点 列x1,x2,…,xn,…
属 す る とい う 性 質 を もつ と き,Fを
が点xに 近
閉集 合 で あ る とい
う.
開 集 合,閉
集 合の基本 的な性質
直 線 や平 面 の場 合 と同様 な 開集 合 と閉集 合 に関 す る基 本 的 な性 質 が,一 般 の距 離 空 間 の場 合 で も成 り立 つ. (O1) き 和 集 合
を,開
集 合Orか
も 開 集 合 で あ る.
ら な る 集 合 族 とす る.こ
の と
(O2) O1,O2が
開 集 合 な ら ば,共
(O3) 全 空 間Xは
通 部 分O1∩O2も
ま た 開 集 合 で あ る.
開 集 合 で あ る.
(O4) 空 集 合 φ は 開 集 合 で あ る.
を,閉 き 共 通 部 分
集 合Frか
ら な る 集 合 族 とす る.こ
の と
も 閉 集 合 で あ る.
(F2) F1,F2が
閉 集 合 な ら ば,和
(F3) 全 空 間Xは
集 合F1∪F2も
ま た 閉 集 合 で あ る.
閉 集 合 で あ る.
(F4) 空 集 合 φ は 閉 集 合 で あ る.
第3講
と 見 比 べ て み る と,ま
の 可 算 列O1,O2,…, 代 って い る.Γ
,On,…
ず 気 の つ く よ う に,(O1)は,第3講
と な っ て い る の が,こ
と し て 特 に Γ={1,2,3,…}を
集 合 列{O1,O2,…,On,…}と
な る.し
3講 で 述 べ た も の よ り一 般 的 で あ る.し は,(O1)を
開 集 合 列O1,O2,…,0n,…
で は 開集 合
こで は 開 集 合 族{Or}r∈rに
と る と,開
た が っ て,こ
集 合 族{Or}r∈
お き
Γは,開
の 形 で 述 べ て お く 方 が,第
か し,開 集 合 族 の 概 念 に な じ め な い 読 者 に 対 して 成 り立 つ と読 ん で も,さ
し当 り
は 特 に 支 障 は な い. 同 様 の 注 意 は(F1)に (O3),(F3)は,第3講 全 空 間Xが
つ い て もい え る. で は 特 に 取 り上 げ な か っ た も の で あ る.定
開 集 合 の 条 件 も,閉
(O4),(F4)を を(O3),(F3)と
で き る の で,こ
集 合 の 条 件 もみ た し て い る こ と は 明 ら か で あ る.
要 請 し て お い た 方 が よ い理 由 は,第3講 し て 引 用 し て あ る)述
こ の(O1),(O2);(F1),(F2)の
義 を み れ ば,
で(そ
こで は 同 じ こ と
べ た 理 由 と同 じ で あ る.
証 明 は,第3講
で 述 べ た も の と,全
く同 様 に
こ で は く り返 さ な い.
Tea Time
質 問 R∞ の距 離 の こ とな の です が,僕
の考 え で は,講 義 で 与 え た距 離 は 複雑 す
ぎ る よ う に 思 い ま す.僕
な ら
x=(x1,x2,…,xn,…),y=(y1,y2,…,yn,…) の 距 離 を,│xn−yn│(n=1,2,…)の
で 定 義 し ま す.こ
う ち 最 大 な も の,す
の 方 が ず っ と 簡 単 だ と思 い ま す.そ
k⇒xn∈W.
で に 述 べ て あ る.〓
い 正 数 εを と っ て も,Vε(x)は,Wに
を と っ て も,
んな 小 さ
に ε=1,1/2,1/3,…,1/n,…
含 ま れ て い な い か ら,
存 在 す る こ と に な る.明 ら か にxn→x(n→∞)
対 し てxn〓Wな
の だ か ら,こ
る こ と が 成 り立 た な い こ と を 意 味 し て い る.背
の こ と は 右 側 に述 べ て あ
理 法 に よ っ て,こ
れで ⇒ が成 り
立 つ こ とが 示 され た. 次 の こ とを 注 意 してお こ う. Wがxの
近傍 ⇔
あ る 開集 合Oで x∈O⊂W をみ た す ものが 存 在 す る.
【証 明 】 ⇒:Wがxの
近 傍 な ら ば,十
り立 っ て い る.Vε(x)は
分 小 さ い 正 数 εを と る とVε(x)⊂Wが
開 集 合 だ か ら,O=Vε(x)と
お く と,x∈O⊂Wが
成 成
り立 つ. 〓:x∈O⊂Wと
な る 開 集 合Oが
存 在 す れ ば,開
集 合 の 性 質 か ら,十
分 小 さい
正 数 εを と る と Vε(x)⊂O と な る.し
た が っ てVε(x)⊂Wと
な り,Wはxの
近 傍 とな る.
部 分集合の近傍 1点xの
近 傍 だけ で は な くて,任 意 の部 分集 合Sに 対 して も,Sの
を導 入 したい.
近 傍 の概 念
【定義 】 部 分 集 合Sが 与 え られ た とき,次 の 性 質 を み たす 部 分集 合Wを,Sの 適 当 な開 集 合Oを
近 傍 とい う:
とる と
S⊂O⊂W
(2)
が 成 り立 つ. 特 に,W自
身 がSを
含む 開 集 合 と な っ て い
る とき,す な わ ち(2)でOと とれ る とき,WをSの
し てW自
身が
開 近 傍 とい う.
図58
閉
包
平 面(ま た は直線)の 部 分集 合 に対 して,集 積 点 の 定義 はす で に第4講 で与 え て あ る.全
く同様 に して,距 離 空 間Xの
部 分 集 合Sに 対 して も,Sの
集積点の
概 念 を導 入す る こ とが で き る. 【定 義】 点xがSの
集 積 点 で あ る とは,Sの
…,xn,… を とる と,xn→x(n→∞)が Sの 集 積 点 は,Sに る.Sの
中か ら適 当 に 相 異 な る 点 列x1,x2,
成 り立 つ ことで あ る.
属 して い る こと もあ る し,ま たSに 属 して い な い こと もあ
集 積点 が1つ も存 在 しな い こと もあ る.た とえ ば,有 限 集合Sに
は 集積
点 は な い.無 限集 合 で あ って も,た とえば数 直 線 上 の整数 を座 標 に もつ 点 全 体 の 集 合Sに
は,集 積 点 はな い.(整
数 の点 は,と び とび に並 ん でい て,密 集 して い
くよ うな点 はな いの で あ る!) 【定 義】 部 分集 合Sに,Sの 閉 包 とい い,Sで
集積 点 を すべ てつ け 加え て 得 られ る 集 合 を,Sの
表 わ す.
す なわ ち,S=S∪{Sの
集 積 点}で あ る.
【例1】 数 直線 上 の集 合
を と る と,Sの
で あ る.
集 積 点 は0だ
け か ら な り,し た が っ て
【例2】 平 面 上 の集 合
を と る.Sは る.こ
半 径1の
円 の 内 部 か ら,中
心 とな って い る原 点 を 除 いた もの であ
の とき
とな る.(中 心 も,周 上 の点 も,中 心 を除 い た 円 の内部 の点 か ら近 づ け る.)
閉包 の性質 閉包 は,次 の4つ の基 本 的 な性 質 を もって い る.
こ の4つ
の 性 質 が 成 り立 つ こ と を 確 か め て み よ う.
(C1):SはSに
集 積 点 を つ け 加 え て 得 ら れ る の だ か ら,こ
の こ とは 明 らか で
あ る. (C2):集 然Tの
積 点 の 定 義 を み る と わ か る よ うに,S⊂Tな
集 積 点 に も な っ て い る.し
(C3):S⊂S∪T,T⊂S∪Tに も に,S∪Tに
ら1点xを
た い.xはS∪Tの
点 か,あ
∪Tの
よ り,(C2)か
集 積 点 の と き に,x∈S∪Tを
あ る.逆
集 積 点 か,ど
点 を 含 ん で い な く て は な ら な い.い
ち ら か で あ る.xがS
が 存 在 し てxn→x(n→
ち ら か 少 な く と も一 方 は,x1,x2,…,xn,… ま,
xi1,xi2,…,xin,…
∈S
の 包含 関 係 を示
な って い る こ とを示 し
示 せ ば よい.xはS∪Tの
属 す る 無 限 点 列x1,x2,…,xn,…
る.SかTか,ど
らS⊂S∪T,T⊂S∪T.S,Tと
と る.こ の と きX∈S∪Tと る い はS∪Tの
集 積 点 は,当
あ る.
含 ま れ て い る の だ か ら,S∪T⊂S∪Tで
す た め に,S∪Tか
S∪Tに
た が っ てS⊂Tで
ら ば,Sの
集 積 点 だ か ら, ∞)と の 中 の,無
な って い 限個 の
と す る.こ
の と き,xin→xで
ちx∈S⊂S∪Tで
あ る.こ
(C4):Sは,Sの つ.逆
の と き,Sに
閉 包 の こ と で あ る.し
点 か,Sの
なわ
示 さ れ た.
た が っ て(C1)か
らS⊂Sは
と る.x∈Sで
成 り立 あ る こと
集 積 点 の と き を 考 え れ ば 十 分 で あ る.こ
属 す る 無 限 点 列x1,x2,…,xn,…
の 各 点 は,Sの
集 積 点 と な る.す
属 す る 任 意 の 点xを
の た め に は,xがSの
を み た す 点ynがSの る.実
た が っ てxはSの
れ で 結 局,S∪T⊂S∪Tが
の 包 含 関 係 を 示 す た め にSに
を 示 し た い.こ
x2,…
あ り,し
でxに
集 積 点 で あ る.し
中 に 存 在 す る.こ
近 づ く も の が あ る.こ のx1, た が って
の 点 列{y1,y2,…,yn,…}はxに
収束 す
際
した が っ て,xはSの こ の(C4)の と を,注
集 積 点 で あ っ て,x∈Sで
証 明 の 中 に も,距
意 し て お い て ほ しい.ま
あ る.
離 の 三 角 不 等 式 が 本 質 的 に 用 い られ て い る こ た,特
に 述 べ な か っ た が,{y1,y2,…}の
中に,
異 な る も の が 無 限 個 あ る こ と も 容 易 に 確 か め られ る. な お,空
集 合 φに対 して は
(C5)φ=φ
と約 束 し て お く こ と に し よ う. こ こで,簡 …,xn,… xn,…
単 な 注 意 を1つ
が 点xに
述 べ て お こ う.部
近 づ く と き,2つ
分 集 合Aか
の 場 合 が あ る.1つ
の 中 に 相 異 な る も の が 有 限 個 し か な い 場 合 で あ り,も
異 な る も の が 無 限 に あ る と き で あ る.最
ら と っ た 点 列x1,x2, の 場 合 は,x1,x2,…, う1つ
の 場 合 は,相
初 の 場 合,d(xm,xn)→0(m,n→
∞)に
注 意 す る と(す
な わ ち,先
注 意 す る と),あ が わ か る.し
へ 進 む と点 列 間 の 間 隔 が い く らで も 小 さ くな る こ と に
る 番 号kが
あ っ て,n>kな
た が っ て この と き,x∈Aで
で あ り,し
た が っ てx∈Aで
さ て,閉
包 に つ い て,次
あ る.あ
なること
と の 場 合 は,xはAの
集積点
あ る. の 性 質 は よ く用 い られ る.
SはSを
最 小 と い う の は,も
らばxn=xn+1=…=xと
含 む 最 小 の閉集 合 で あ る.
し あ る 閉 集 合FがS⊂Fと
な っ て い れ ば,必
ずS⊂Fと
な
る こ と で あ る. ま ず,Sは
閉 集 合 で あ る こ とを み よ う.な ぜ な ら,Sか
xn,…
近 づ く と,上 の こ とか ら(Aと
がxに
る.(C4)か
らS=Sだ
か ら,い
し てSを
ら と った 点 列x1,x2,…,
と る)x∈Sか,x∈Sで
ず れ の 場 合 で もx∈Sと
な っ て,Sは
あ 閉集 合 で
あ る. 次 に,S⊂Fを
み た す 閉 集 合Fを
に 収 束 す れ ば,Fは が っ てS⊂Fで
問1
あ り,SはSを
(ⅱ) Wがxの 問2
点 列x1,x2,…,xn,…
がSの
点x
属 して い な くて は な ら な い.し
た
含 む 最 小 の 閉 集 合 で あ る.
近 傍 に つ い て 次 の性 質 が 成 り立 つ こ と を 示 せ.
(ⅰ) U,Wがxの
S=Sが
と る.Sの
閉 集 合 だ か ら,xはFに
近 傍 な らば,U∩Wも 近 傍 な らば,W⊂Sを
距 離 空 間 の 部 分 集 合Sが 成 り立 つ こ とで あ る.こ
ま たxの み た すSは
近 傍 で あ る. ま たxの
閉 集 合 と な る た め の,必
近 傍 で あ る.
要 か つ 十 分 な る条 件 は,
の こ と を 証 明 せ よ.
Tea
Time
近 傍 と閉 包 の 関係 近 傍 と閉包 の2つ の概 念 を,講 義 の 中 で は並列 的 に 導入 して しま ったが,こ れ で済 ま して しま うと,読 者 の頭 の中 に は,こ の2つ の 概念 が ば らば らに 入 って し ま うか も しれ な い.そ れ で はや は り困 るの で,こ こで は近 傍 と閉包 の 直接 の結 び
つ き を 与 え て お こ う. 部 分 集 合Sが は,xの
与 え ら れ た と き,点xがSに
す べ て の 近 傍Wに
属 す るため の 必 要 か つ 十分 な条 件
対 して W∩S≠
φ
が 成 り立 つ こ と で あ る. Tea
Timeに
この こ と の 形 式 的 な 証 明 を し て み て も は じ ま ら な い.ど
とか だ け を 説 明 し よ う.Sの あ り,し
た が っ てW∩S≠
題 と な る.xがSの
点xに
対 して は,x∈Wな
の だ か ら,W∩S∋xで
φ は 明 らか な こ と で あ る.xがSの
集 積 点 で あ る と い う こ と は,xの
点 が 押 し 寄 せ て く る と い う こ とで あ る.た 海 が 広 が っ て い る か,あ
近 傍Wの
と え て い え ば,xの
る い は 小 川 が 流 れ て い て,岸
う.す
範 囲 に―
な わ ち,Wは
足 を動 か せ ば
水Sと
,そ
集 積 点 の と きが 問
足 も と に い く らで もSの 前 に は,Sと
に 立 つxの
ら で も 水 が 波 打 っ て 近 づ い て くる よ う な 状 況 で あ る.し ―
うい う こ
い う
足 も とには い く
た が っ て,xが
少 しで も
こに は 必 ず 水が あ るこ とに な るだ ろ
交 わ る―W∩S≠
φ―
とい うこと にな っ て し ま う
の で あ る.
質 問 点xの
近 傍 と い うの は,何
定 義 を み る と,全 ば,全
空 間Xも,1点xの
平 面 も原 点 の 近 傍 だ,と
っ て は,何
か 小 さ い も の だ と 思 っ て い ま した が,こ 近 傍 と な っ て い ま す.平
い う こ と に な り ま す.こ
こで の
面 の場 合 で い え
ん な に 大 き くな っ て し ま
か 近 傍 と い う言 葉 の 感 じ と 合 わ な い よ うで す.
答 確 か に 近 傍 と い う言 葉 か ら く る 日常 的 な 感 じ に こ だ わ っ て い て は,全
空間 ま
で が 近 傍 と な っ て し ま う こ と は,少
うか と
しお か し い か も し れ な い.し
か し,そ
い っ て,ど の 範 囲 ま で を 近 傍 と い うか と い う こ と も,は っ き り しな い こ と で あ る. 近 傍 の 概 念 の 中 に は,全 の 近 傍 で … が 成 り立 つ'な て い く,限
空 間 も含 ん で い る が,実 ど と い う と き に は,頭
際 は,た
と え ば,'xの
の 中 で は,xに
りな く小 さ くな る近 傍 を 思 い 描 い て い る.
すべて
ど ん どん 近 づ い
第15講 連
続
写
像
テーマ
◆2つ
の距 離 空 間 の間 の 写像 の例
◆ 写 像 の連 続 性:近 づ くもの を近 づ くものへ 移す ◆ 連 続 性 と閉包: ◆ 連 続性 と開集 合:開 集 合Oに
対 しφ−1(O)が 開集 合
◆ 連 続性 と閉集 合:閉 集 合Fに
対 しφ−1(F)が 閉 集 合
◆ 連続 性 と近 傍
2つ
今 ま で は,1つ
の 距 離 空 間 だ け を 考 え て い た が,こ
d)と(Y,d′)を
考 え る.(X,d)と(Y,d′)は,全
い う設 定 か ら,話 Xか
らYへ
の 距 離 空 間
こ で は2つ
の 距 離 空 間(X,
く無 関 係 な 距 離 空 間 で あ る と
は は じ ま る.
の 写 像φ が 与 え ら れ た とす る.こ
性 に つ い て 調 べ た い.そ
の 前 に,こ
の と き,こ
の 講 で は,φ
の連 続
の よ うな 一 般 の 空 間 の 場 合 で の 写 像 の 例 を 与
え て お こ う. た と え ば,(X,d)と
し て 数 直 線R,(Y,d)と
の つ く る距 離 空 間C[0,1]を
し て 区 間[0,1]上
の連続 関 数
と る.
この とき
は,Rか
らC[0,1]へ
え て い る).す し,−5に 逆 にXと
の 写 像 の 例 を 与 え て い る(fx(t)は
な わ ち,数
は−5t2−5と してC[0,1]を
直 線 上 の1に
は,φ
区 間[0,1]だ
に よ っ てt2+1と
い う関 数 が 対 応 し て い る. と り,Yと
し てRを
と った 場 合,
けで考
い う関 数 が 対 応
は,Xか
らYへ
の 写像 の 例 を 与 え て い る.た と な っ て い る.要
と えば,
す る に,φ
は,fに
対 し て,fの
グ ラ フ の 面 積 を 対 応 さ せ て い る の で あ る.
連 続 写
さ て,こ
の よ うな2つ
像φ の 連 続 性 を,'近
の 距 離 空 間XとYが
像
与 え ら れ た と き,Xか
づ く も の を 近 づ く も の へ 移 す'と
らYへ
の写
い う性 質 で 定 義 す る.す
なわ ち 【定 義 】Xか
らYへ
の 写像φ が 連 続 で あ る とは,任
く任 意 の 点 列x1,x2,…,xn,…
意 の点x∈Xと,xに
近づ
に対 して
f(xn)→f(x)
(n→ ∞)
が 成 り立 つ こ と で あ る. 簡 単 に 書 け ば,連
続性 とは
が 成 り立 つ こ とで あ る. 上 に 述 べ た2つ
の 写 像φ と ψ は 連 続 写 像 で あ る.ψ の 方 の 連 続 性 だ け を 述 べ て
お こ う. fn→fと
す る.こ
の こ と はC[0,1]の
距 離 の 定 義 か ら,任 意 の 正 数 εに 対 し て,
kを 十 分 大 き く とれ ば
が 成 り立 つ こ と を 意 味 し て い る.し
と な り,こ
の こ と は,n→
た が っ て,n>kの
∞ の と き,
し た が って ψ は 連 続 で あ る.
とき
と な る こ と を 示 し て い る.
連続性 と閉包 写 像φ が 連 続 で あ る とい う上 の定 義 は,閉
包 の概 念 と密 接 に結 び つ い てい る.
す なわ ち φが 連 続 ⇔Xの
す べ ての部 分 集 合Sに 対 して
が 成 り立 つ.
【証 明 】 ⇒:φ
を 連 続 と す る.任
と よ い.x∈Sな
ら ば,こ
か ら,φ
の た め,xに
意 の 部 分 集 合Sに
まあ る 点xと,xに った と す る.こ
無 限 点 列x1,x2,…,xn, あ る.φ(xn)
閉 集 合 で あ る こ と に よ りφ(x)∈φ(S)が 対 し て,φ(S)⊂φ(S)が
近 づ く点 列{xn}に の と き,あ
近 づ くSの
い え た.
成 り立 っ て い る とす る.い
対 し て,φ(xn)→φ(x)が
る 正 数 ε0と,{xn}の
示 す
集 積 点 とな っ
の 連 続 性 に よ っ て,φ(xn)→φ(x)で
∈φ(S)(n=1,2,…)とφ(S)が 〓:任
と っ た と きφ(x)∈φ(S)を
の こ と は 明 ら か に 成 り立 つ か ら,xがSの
て い る と き を 考 え る と よい.そ … を と る,xn→xだ
意 の 点x∈Sを
成 り立 た な か
中 か ら と っ た 無 限 点 列{xn1,
xn2,…,xni,…}で
(1) と な る も の が 存 在 す る.そ
こ でSと
し て,
S={xn1,xn2,…,xni,…} を と っ て み る.こ
の と き S={xn1,xn2,…,xni,…,x}
で あ る.す
な わ ちSは,た
で あ る が,(1)か
ら,φ(S)の
だ か ら,こ 証 明 は,ひ
だ1つ
の 集 積 点xを
中 に は,φ(x)は
も つ.一
方
含 ま れ て い な い.x∈Sで,φ(x)
れ は 仮 定 に 矛 盾 す る.
と ま ず こ れ で 済 ん だ が,重
う基 本 的 な 性 質 が,点
要 な こ と は,写
像φ が 連 続 で あ る と い
列 が 近 づ く と い う素 朴 な 概 念 を 切 り離 して,部
分 集 合 とそ
の 閉 包 と い う 抽 象 概 念 で も述 べ る こ と が で き る よ うに な っ た と い う こ とで あ る.
近 づ くもの を近 づ くもの に移 す とい う,連 続 性 のわ か りやす い 表 現 を,な ぜ こ の よ うに 抽 象的 な形 に昇 化 して い く必要 が あ るのか と疑 問 に思 わ れ る読 者 も多 い か も しれ な い.こ れ に対 す る明確 な解答 は ない の だが,ひ
とまず 完成 した 現 代数
学 の 構 図 に立 っ てみれ ば,近 さ の概 念 を数 学 の 枠組 の中 に はめ こんだ 位 相 空 間論 で は,連 続 性 を,写 像 と部 分 集 合 相 互 の関 連 とい う観 点 で捉 え た ので あ る.こ の よ うな捉 え方 が可 能 で あ った のは,こ
こで み た よ うに,ま た 以下 で もみ る よ うに,
近 づ くとい うこ とに根 ざす さ ま ざ まな概 念 が,閉 包 とか,開 集合 とか,閉 集 合 と か い う概 念 に 吸収 され て い った こ とに よ る.こ の過 程 は,数 学 の抽 象 化 とよば れ る もの の一 つ の 現わ れ とな って い る. 連 続 性 と開 集 合 写像φ が 連続 で あ る とい う性 質 は,逆 結 びつ い て い る.φ をXか
らYへ
の写 像 とす る.
φが 連 続 ⇔Yの
任 意 の 開集 合Oに はXの
この 証 明 は,第8講
像 を 通 して 開集 合 の 概 念 とも し っか り
対 し,φ−1(O)
開 集 合 とな る
で,平 面 か ら平 面(ま た は 直線)へ の写像 の場 合 に与 えた
証 明 と全 く同様 に で き るの で,こ こで は く り返 さ ない. 前 と同 じ よ うな注 意 に な るが,読
者 はむ しろ,ε-δ論 法 の もと とな る 不 等 式 に
よ る連 続 性 のい い表 わ しが,こ の よ うな不 等 号 とは全 然 無 関 係 な形 で い い表 わ さ れ て し まった こ とに,注 意 を 払 うべ き であ ろ う.集 合概 念 の もた らす一 つ の 簡 潔 さを こ こにみ る ことが で き る. 連続性 と閉集合 第8講 で述 べ た の と同 様 に,上 の 命題 を,補 集 合 に移 しか えて述 べ る こ とに よ り,連 続 性 と閉集 合 の関 係 も得 られ る. φが連 続 ⇔Yの
任 意 の 閉集 合Fに はXの
閉 集 合 とな る.
対 し,φ −1(F)
連 続 性 と近 傍 連 続 性 を近 傍 に よ ってい い 表わ す こと もで き る. φが連 続 ⇔
各 点x∈Xに
対 し て,y=φ(x)と
意 の 近 傍Wに
実際,yの
近 傍Wを
お く と,yの
対 し,φ −1(W)はxの
と る と,あ る開集 合Oが
任
近 傍 と な る.
存 在 してy∈O⊂Wと
な って い
る.φ に よる逆像 を考 え る こ とに よ り
と な る.φ が 連 続 な らば,φ −1(O)は の 近 傍 で あ る こ と を 示 し て い る.こ
開 集 合 だ か ら,こ
の こ と は,φ−1(W)がx
れ で ⇒ の 証 明 が 得 られ た.
図59 逆 向 き〓 のYの
が 成 り立 つ こ と の 証 明:右
開 集 合Oに
x∈φ −1(O)を
と り,y=φ(x)と
か らφ −1(O)はxの φ1(O)は
対 し て,φ −1(O)が
側 に 述 べ て あ る こ とを 仮 定 す る と,任 開 集 合 と な る こ と を み る と よ い.任
お く.y∈Oで,O自
近 傍 と な る.し
身yの
た が っ てφ −1(O)の
近 傍 だ か ら,仮
意 意に 定
点 は す べ て 内 点 と な り,
開 集 合 で あ る.
Tea
Time
質 問 φ が連 続 であ る とい うこ とが,任 意 のYの
開集 合Oに
対 してφ−1(O)が
開集 合 に な る とい う性 質 で 述 べ られ る こ とは,ひ とまず 覚 え ま した.し か し,ま
だい って い る内容 を十 分理 解 した よ うな 気が しませ ん.φ が不 連続 の とき こ の性 質 が ど う して成 り立 た な くな る のか,例 で示 して いた だ け ませ ん か. 答 よ く理 解 す るた め に,い ろい ろ な例 で 内 容 を確 か め て み る こ とは よい こ とで あ る.φ が 不連 続 の と き,開 集 合 の逆 像 は 一般 に は開集 合 にな らない とい う こと を,3つ
の例 で 示 してお こ う.
最 初 の例 はRか
らRへ
の写 像φ を
で 与 え た も の で あ る.図60か 1))=(−1,0]と 次 もRか
な り,開 らRへ
ら,φ はt=0で
区 間(−1,1)の
不 連 続 と な って い る.φ−1((−1,
逆 像 は 開 集 合 に な って い な い.
の 写 像 の 例 で あ る.
tが 無理 数 tが 有理 数 と定 義 さ れ る ψ を 考 え る.こ
の と き,開
の 逆 像 は,
区 間
有理数の集合 と な り,開 集 合 で は な い.
図61
図60 3番 目 は,こ Rへ
の2つ
と は 少 し変 わ っ た 例 を 考 え て み よ う.い
の 写 像 Φ を,f∈C[0,1]が,区
f(t)≦0の
と お く.そ
ま,C[0,1]か
間[0,1]で
つ ね にf(t)≧0,ま
な わ ちfの
グ ラ フ がx軸
ら
た はつ ね に
とき には
う で な いfに
対 し て は,す
を横 切 る とき には
と お く.こ
の と き,Φ
は,多
く の 場 所 で 不 連 続 と な る が,た
とえ ば
とい う関数f0の と ころ で不連 続 とな る.不 連 続 とな る 状 況 は図61を 見 る とわ か で あ る が,Vε(f0)の
る.
Φ(h)=0と
な っ て い る.hの
こ の と き,Φ(h)=Oな
中 に あ るhに
よ うな 関 数 を 通 っ て,f0に
の に,
対 し て は,
近 づ く こ とが で き る が,
とな る のだ か ら,Φ はf0で 不 連 続 で あ
る.
そ こで
に対 して,Rの
開 区 間
の Φ に よ る 逆 像 Φ−1
を 考 え てみ る.こ の逆 像 の 中 にはf0は 含 まれ て い るが,f0の ど ん な 小 さ い 近 傍 の 中 に も あ る,hの の 中 で,f0は 合 で は な い こ とが わ か る.
よ うな 関 数 は 含 ま れ て い な い.し 内 点 で な くな り,こ
た が っ て
の 集 合 はC[0,1]の
開集
第16講 同
相
写
像
テー マ
◆ 距離 空 間Xか
らYの
上へ の1対1連
続 写 像φ
◆ 同 相写 像:φ と逆 写像φ−1が連続 ◆ 同相 写 像 で 距離 は保 た れ な い. ◆ 同相 写像 で保 た れ る もの:閉 包,開 集 合,閉 集 合,近 傍 ◆ 位 相 的性 質:同 相 写像 に よ って保 たれ る性質
逆
集 合Xか
らYの
上 へ の 写 像φ が1対1と
え る こ とが で き る.こ
の と き は,φ
し合 っ て い る か ら,集
合 と し て は,本
同 様 の 発 想 に 立 て ば,距 Yの
上 へ の,1対1の
像
な っ て い る と き は,逆
を 通 し て,XとYは,完
写 像φ−1を 考
全 に1対1に
対応
質 的 に は 同 じ も の と考 え て も よ い.
離 空 間(X,d),(Y,d′)が
与 え ら れ た と き,Xか
ら
連 続 写 像φ が あ っ て,φ −1も ま た 連 続 と な っ て い る よ うな
状 況 を 調 べ て み る こ と は,大 ま ず,そ
写
切 な こ と に な る だ ろ う.
の 前 に,φ が 連 続 な ら ば,逆
写 像φ −1は連 続 と な っ て い る の か ど うか
を 調 べ て お こ う. 一般 に
,φ が 連 続 で あ っ て も,逆
実 際,φ −1が連 続 と な ら な い 例 を1つ Xと を,90°
し て は,3次
写 像φ −1は連 続 と は 限 ら な い.
与 え て お こ う.
元 空 間 の 中 で,xy-座
標 平 面 のx軸
回 し て 平 面 に 垂 直 に 立 て た も の を 考 え る.空
こ こ に 制 限 し て 考え る こ と に よ り,Xは 平 面 を と る.Xか
らYへ
所 に'寝
い う写 像 を と る.し
か す'と
の 写像φ
の 正 の 方 の つ く る半 直 線
間 に あ る ふ つ うの 距 離 を,
距 離 空 間 と な る.Yと
と し て は,垂
し て は,xy-座
直 に 立 て た 半 直 線 を,も
た が っ て,そ
れ 以 外 の 点 で は,φ
標
との場 は恒 等 写
図62 像 で あ る.φ
は,Xか
らYの
は な い.図62で,点
上 へ の1対1の
連 続 な 写 像 で あ る が,φ −1は連 続 で
列Pn=(n=1,2,…)は,x軸
(n=1,2,…)は,ど
上 の 点Pに
こ に も 近 づ か な い.
同 相
写
像
こ の よ う な 例 が あ る こ とを 知 っ た 上 で,次 【定 義 】 距 離 空 間(X,d)か φ−1もYか φ をXか
らXへ らYへ
近 づ くが,φ −1(Pn)
ら(Y,d′)の
の 定 義 を お く. 上 へ の1対1連
続 写 像φ が あ っ て,
の 連 続 写 像 と な っ て い る と き,XとYは
同 相 で あ る と い い,
の 同 相 写像 と い う.
図63 同 相 写 像 を 位 相 同 型 写 像 と い う こ と も あ る. さ て,こ
こで ま た 大 切 な 注 意 が あ る.い
ま(X,d)と
し て ュ ー ク リッ ド平 面R2
を と る.こ の と き距 離dは (Y,d′)と
し て は,同
で 与 え ら れ て い る.
じ平 面 で あ る が,距
を 採 用 した もの とす る.Xか
らYへ
離d′ と して
の 写 像φ と して,恒
等 写像φ(x)=xを
と
る.こ
の と き,第11講
近 づ く こ と と,距 あ る.こ
で も 述 べ た よ うに,距
離d′ で 測 っ て,点
の こ とは,φ
列{xn}がxへ
の 場 合(X,d)か
列{xn}がxへ
近 づ くこ と と は 同 じ こ と で
ら(Y,d′)へ
距 離 は 違 っ て い る.す
と,φ で 移 し て(同
測 っ て,点
もφ −1も連 続 写 像 で あ る こ とを 示 し て い る.
し た が っ てφ は,こ し か しXとYの
離dで
の 同 相 写 像 を 与 え て い る.
な わ ち2点x,yの
じ 点 で は あ る が 距 離 空 間Yの
距 離 をdで
点 と考 え て)測
測 った もの
った も の と は,
値 が 違 っ て い る. この 意 味 で,同
相 写 像 は,距
離 を 保 っ て い な い.そ
互 い に連 続 写 像 で 移 り合 え る―
と い う も の は,空
れ で は 一 体,同
相写像―
間 の ど の よ うな 性 質 を 保 っ て
い る の だ ろ うか.
同 相 写 像 で 保 た れ る もの
同 相 写 像 で 保 た れ る 性 質 は,基 た が っ て,こ
本 的 に は,点
列 が 近 づ く と い う性 質 で あ る.し
の 性 質 に 基 づ くい ろ い ろ な 性 質 が,ま
こ と に な る.以
た 同 相写 像 に よって 保 たれ る
下 で そ れ を 列 記 し て み よ う.
φを(X,d)か
ら(Y,d′)へ
の 同 相 写 像 とす る.
(Ⅰ)
こ こで記 号 ⇔
は,今
ま で も た び た び 使 った が,左
と が 成 り立 ち,右
の こ と が 成 り立 っ て い れ ば,左
の こ とが 成 り立 て ば 右 の こ
の こ と が ま た 成 り立 つ と い う こ
と で あ る. こ の(Ⅰ)が
成 り立 つ こ と は,φ
(Ⅱ) OがXの
開集 合 ⇔φ(O)はYの
⇒ は,φ −1の連 続 性 に よ る.す =φ が,開
開集 合
な わ ちφ−1が 連 続 だ か ら,φ −1の逆 写 像(φ −1)−1
集 合 を 開 集 合 へ 移 し て い る.〓
(Ⅲ) FがXの (Ⅱ)と
とφ −1の連 続 性 を い い か え た に す ぎ な い.
はφ の 連 続 性 に よ る.
閉 集合 ⇔φ(F)はYの
同 様 に ⇒ がφ −1の 連 続 性,〓
閉集 合
がφ の 連 続 性 を 示 し て い る.
(Ⅳ) S(⊂X)の
閉 包
こ こ で 述 べ て い る こ と は,Sの と い う こ と,す
の 閉 包φ(S)
閉 包 が,φ
に よ っ てφ(S)の
閉包 へ 移 って い る
なわ ち
と い う こ と で あ る.実
際,φ
の連 続 性 に よ って
(1) φ−1の連 続 性 に よ っ て
す なわ ち
(2) (1)と(2)を
見 比 べ て,(Ⅳ)の
(V) Wが 点x∈Xの
成 り立 つ こ と が わ か る.
近 傍 ⇔φ(W)が
点φ(x)∈Yの
これ も,⇒ がφ−1の連 続 性 を示 し,〓 がφ の連 続性 を 示 してい る. 位 【定 義 】 距 離 空 間(X,d)と(Y,d′)が と き,XとYは,同 Xか
同相 の
じ位 相 を もつ とい う.
らYへ
よ っ て,点
の 同 相 写像 をφ とす る と,φに
列 が 近 づ く と い う性 質 も,ま
の 開 集 合,閉
相
集 合,閉
そ の ま ま 移 さ れ て,す
包,近
たX
傍 の 概 念 が,Yに
べ て上 に述 べ た意 味 で保
た れ て い る. そ の 意 味 で,こ
れ ら の 性 質(お
よび 概 念)を,
距 離 空 間 のも つ 位 相 的 性 質(お よび 位 相 的 概 念) で あ る と い う. 【例1】 開 区 間(−1,1)と,Rは もつ(図64).こ
の 場 合,同
同 じ 位相 を 相写 像 と して は
図64
近傍
を とる こ とが で き る. 【例2】 単 位 円 の 内部
と,全 平 面R2と
は,同 相 であ る.
同相 写 像φ と しては
同相 写 像 は1つ
とは 限 らない.一 般 に は,2つ
の距 離 空 間 の 間の 同相 を 与 え る
写 像 は,非 常 に 多 く存 在 してい る.た とえば,例1で
を と っ て も,こ
れ ら の写 像 は す べ て,(−1,1)か
は,φ の代 りに
らRへ
の 同相 写像 を 与 え てい
る.
Tea
距 離 空 間(X,d)で
Time
は,位 相 を変 えず に,2点
間 の距 離 が つ ね に1
以 下 で あ る よ うな新 しい距 離 を 導 入で きる. こ こ で い っ て い る こ とは,ど が あ っ て(新
ん な 距 離 空 間(X,d)を
し い 物 差 し が あ っ て),こ
と っ て も,新
し い 距 離d′
の 新 し い 距 離d′ で 測 る と,い
つで も
d′(x,y)kな
ん な に 小 さ い 正 の 数 εを と っ て お い て も,あ
らば,d(ym,yn)100の
(b)
に と る と,m,n>1000の
(c)
に と る と,m,n>100000の
こ の よ うな 状 況 が ε→0の
とき
と き
と き
と き生 ず る の が,コ
義 を 適 当 な εとkで
うに み え る.そ (a)で
と っ て い え ば 次 の よ う な こ と で あ る.
の 例 と し て ε,kに と っ て み た 数 に は 特 別 の 意 味 は な い.)
(a)
て も,定
ー シー列 の定 義 で述
ー シ ー 列 で あ る が,こ
書 き 直 し た だ け で,何
こ で(a),(b),(c)の
述 べ て い る こ と は,た
内 容 を,も
う書 い て み
も 注 意 を 払 う こ とな ど な い よ う少 し 丁 寧 に書 い て み よ う.
とえば
(a)':
の よ うな こ と で あ る. (b)で
述 べ て い る こ とは,た
とえば
(b)'
の よ うな こ と で あ る. (c)で
述 べ て い る こ とは,た
とえば
(c)'
の よ う な こ と で あ る. こ の よ う に し て み る と,コ
ー シ ー 列 の 定 義 の 中 に は,実
にた くさん の 内容 が 含
ま れ て い る こ とが わ か る. しか し,実
際 注 意 し た い の は,距
れ て お り,そ れ に よ っ て,コ
離 に よ って空 間 に 近 さの一 様 な規 準 が 与 え ら
ー シ ー 列 の 定 義 に 意 味 が あ る と い う こ とで あ る.以
下 で は そ の こ と に 触 れ て み よ う.
距 離 に よ っ て与 え られ る 近 さの 一 様 性
距 離 空 間 で は,単 概念―
に1点
位 相 の 概 念―
の 近 さ が 測 ら れ,し
が 導 入 さ れ る だ け で は な くて,遠
大 き さ も 比 較 で き る の で あ る.た 私 の 家 か ら1kmの
た が っ て1点xの
と え ば,私
範 囲 に あ る もの,大
い は 月 面 の あ る 地 点 か らlkmの
の 点 の ま わ り1kmの
くに 離 れ た 点 の 近 傍 の
た ち の ご くふ つ う の 経 験 の 中 で も,
阪 駅 か ら1kmの
範 囲 に あ る も の,あ
範 囲 に あ る も の と い う と き に は,す
さ の 中 に あ る と考 え る こ と が で き る の で あ る.空 も,そ
ε 一近 傍 とい う
範 囲 とい え ば,そ
る
べ て 同 じ近
間 の ど ん な 遠 くの 点 を 想 像 し て
の近 さの範 囲を は っき りと認識 す
る こ と が で き る. す な わ ち,距
離 空 間 で は,正
数 εが 与 え ら れ る と,空
ε-近傍 と い う近 さ の 範 囲 が 一 様 に 決 ま っ て し ま う.そ
間 全 体 にわ た って各 点 の
の 意 味 で,距
体 に わ た る 近 さ の 一 様 な 規 準 を 与 え て い る の で あ る.こ
離 は,空
間全
れ は 今 まで 触 れ なか った
距 離 の も つ 新 し い 観 点 で あ る. と こ ろ が,コ
ー シ ー 列 の 定 義 は,距
離 の与 え る この 近 さ の一 様 性 の考 え に深 く
よ っ て い る. (a)'は,x200か
ら み て も,x300か
らみ て も,x1000か
らみ て もxn(n>100)は,
す べ て1/2 以 内 と い う一 様 な 近 さ の 中 に あ る こ とを 示 して い る. (b)'は,x10000か
ら み て も,x6786521か
ら み て もxn(n>1000)は,す
べ て1/4
以 内 と い う一 様 な 近 さ の 中 に あ る こ とを 示 し て い る. (c)'は,x100001か
らみ て も,x10000581か
ら み て もxn(n>100000)は,す
べ て1/8
以 内 と い う一様 な 近 さ の 中 に あ る こ と を 示 し て い る.
同 相 写 像 と近 さ の 一 様 性 2つ の距 離 空 間(X,d)と(Y,d′)が
同 相 で あ った と し,Xか
らYへ
の 同相
写 像 をφ とす る.同 る.2つ
相 写 像φ で 移 り合 う も の は,各
点 に お け る近 さ の 概 念 で あ
の 空 間 に お け る近 さ の 一 様 な 規 準 を 保 つ こ と ま で,φ に 要 求 し て い な い.
こ の こ と を 示 す も っ と も端 的 な 例 は 次 の 例 で あ る. 数 直 線 上 の 開 区 間I=(−1,1)と,数
直 線Rは,写
像
に よ っ て 同 相 と な っ て い る. IとRに
は,そ
れ ぞ れ 距 離 に よ る 近 さ の 一 様 な 規 準 が あ る が,し
近 さ の 一 様 な 規 準 を 保 っ て い な い.た
と え ばIの
の近 さの 範 囲
(x)に
の一様 な近
方 へ 移 す と完 全 に 崩
な わ ち,x→1,ま
の と き,V(x)と
ら長 さ が1/100
を 与 え て お こ う.こ
さ の 範 囲 は,φ でRの さ れ る.す
各 点xに,xか
か しφ は こ の
た はx→
−1
い う近 さ の 範 囲 は,y=φ
よ っ てRの
方 へ 移 し て み る と,際 限
な く大 き な 範 囲 へ 移 さ れ て い く.し た が っ てφ(V(x))は,Rに
近 さの一様 な規準 を
与 え て い な い. 逆 に,Rの 囲U(y)の
各 点yに,長
を 指 定 し て も,y→
さ1の
近 さの範
±∞ の と き,
φ−1によ るU(y)の
像 は 限 りな く小 さ くな
っ て し ま っ て,Iに
近 さの一様 な規 準 な ど
与 え て い な い(図69). 図69 コ ー シー 列 と同 相 写 像
こ の よ うな こ と が あ る の で,Xか コ ー シ ー 列 は,Yの
らYへ
の 同 相 写 像φ に よ っ て,一 般 にXの
コ ー シ ー 列 へ 移 され る と は 限 ら な い.
た とえば 上 の例 で
(1)
は,I=(−1,1)の
は,Rで
コ ー シ ー 列 で あ る が,
は,無 限 大 へ発 散 す る点列 とな ってい る. 完備 な距離空間
定 義 を述 べ る前 に,コ ーシ ー列{xn}が
も し集 積点 を もつ な らば,集 積 点 はた
だ1つ に限 る こ とを 示 してお こ う.実 際,適 当 な2つ の部 分点 列 を と って
に な った とす る と
と な り,d(x,x)=0と
な って,x=xが
結 論 で き る か ら で あ る.し
シ ー 列 の 集 積 点 は,も
し存 在 す れ ば た だ1つ
で あ っ て,そ
た が って コー
の とき コ ーシ ー列 は そ
の 点 に 収 束 す る こ と に な る. 【定 義 】 距 離 空 間(X,d)に る と き,Xを 第3講 (−1,1)で ち,RとIは
お い て,任
意 の コ ー シ ー 列 が,必
ず あ る点 に 収 束 す
完 備 で あ る と い う.
の 結 果 を 参 照 す る と,Rは は,コ
ー シ ー 列(1)は
同 相 で あ る が,一
こ の こ と か ら も,完
完 備 な 距 離 空 間 で あ る.一 収 束 す る点 が な い か ら,完
方,開
区 間I=
備 で な い.す
なわ
方 は 完 備 で あ り,一 方 は 完 備 で は な い.
備 性 は,単
に 各 点 の ま わ りの近 さ の 状 況 だ け で は な くて,
空 間 全 体 に わ た る近 さ の 一 様 な 規 準 に 関 係 し て い る こ とが わ か る.
Tea
Time
質 問 以前 読 ん だ 微 分 積 分 の 教科 書 中 に,一
様連 続 とい う 言 葉 が 出 て き ま した
が,そ れ は ここで 述 べ られた 近 さの一 様 性 と関 係す る こ となの で す か.
答 こ こ で 君 の い っ て い る一 様 連 続 とは 次 の こ と だ と思 う.数 で 定 義 さ れ た 連 続 関 数y=f(x)が,こ 数 εを と っ て も,あ も,
る 正 数 δが あ っ て,こ
て お く と,こ の 意 味 で,一
様 連 続 性 と は,近
が 必 ず 成 り立 つ と
え て い る 範 囲 の 中 で,近
の 近 さ の 規 準 の δ-範囲 は,必
い っ て よ い.少 続 関 数 は,一
な わ ち,考
ずfに
さ の 一 様 な 規 準 δを と っ
よ っ て ε-以内 に 移 さ れ る.こ
さの一 様 な 規準 を 保 つ こ とまで 要 求 す る性 質 だ と
し程 度 の 高 い 微 積 分 の 本 に は'閉
様 連 続 で あ る'と
ん な正
の 範 囲 に 属 す る ど ん なx,x′ を と っ て
が 成 り立 っ て い さ え す れ ば
い う こ と で あ る.す
直 線 上 の あ る範 囲
の 範 囲 で 一 様 連 続 と い うの は,ど
区 間[a,b]上
い う定 理 が の っ て い る.こ
も う成 り立 な い.y=tanπ/2xは,上
で 定義 され た連
の 定 理 は,開
で み た よ うに,(−1,1)上
区間では
で 一 様連 続 で は な
い.
な お,距
離 空 間(X,d)の
か ら(Y,d′)へ
う概 念 を 導 入 す る こ とは で き る.そ δが 存 在 し て,い
れ に は,ど
対 し て も,一
様 連 続 とい
ん な 正 数 εを と っ て も,あ
る正 数
つ でも
が 成 り立 つ と き,φ あ り さ え す れ ば,空 る.一
の 写 像φに
は 一 様 連 続 で あ る と い え ば よ い.xとx′ 間 の ど こに あ っ て も よい と い う 所 に,一
様 連 続 な 写 像 に よ っ て,コ
は,距
離 が δ以 内 で
様 性 が あ るの で あ
ー シ ー 列 は コ ー シ ー 列 へ と移 さ れ る.
第20講 完備 な距離空間 テーマ
◆ 完 備 な距 離 空間 の例 ◆R,Rn,R∞ ◆C[0,1]は
は完 備 完備
◆ コ ンパ ク トな距 離 空 間 は 完備 ◆ べ ー ル の定 理:完 備 な 距 離空 間 では,稠 密 な 開集 合列 の共通 部 分 は また稠 密 とな る とい う性 質 が あ る. この 性質 を ベ ー ル の性 質 とい う.
完 備 な 距 離 空 間 の例 まず 一 般 に 次 の こ とを注 意 して お こ う. (X,d)を
完 備 な距離 空 間 とす る と,Xの
閉集 合Fは(部
分 空 間 として)
また完 備 な 距離 空 間 とな る. この こ と を み る に は,Fの 列 と な っ て お り,し ∞)と
コ ー シ 一 列{xn}は,も
た が っ て,Xの
な っ て い る.し
か し,Fは
ち ろ んXの
完 備 性 か ら,あ
る点xが
閉 集 合 だ か ら,x∈Fで
中 の コー シー
存 在 し てxn→x{n→ あ る ことに注 意 す る と
よい. (Ⅰ) 数 直 線Rは
完 備 で あ る(第4講,32頁
参 照).し
た が っ て 閉 区 間[a,b]
も ま た 完 備 で あ る. (Ⅱ)平
面R2,一
般にn次
そ れ を み る た め に,Rnの
元 ユ ー ク リ ッ ド空 間Rnは
完 備 で あ る.
コー シ ー列 x(1),x(2),…,x(s),…,x(t),…
を と る.
とす る と
か ら,i=1,2,…,nに
し た が っ て,
が 成 り立 つ.す
な わ ち,{x(s)}の
っ て 各i-座 標 成 分 は,xiに
(Ⅲ) R∞
各 座 標 成 分 は コ ー シ ー 列 と な っ て い る.し
お く と,
な わ ちRnは
完 備 で あ る.
も 完 備 で あ る.
こ れ は 第13講,'R∞ (Ⅳ) C[0,1]は
の と き'の 項 を 参 照 す る と,上 と 同 様 に 示 す こ と が で き る. 完 備 で あ る.
C[0,1]は,第12講
で 導 入 し て あ る.区
{fn(t)}が,C[0,1]の
中 で コ ー シ ー 列 を つ くる と は,m,n→
と な る こ とで あ る.[0,1]の
だ か ら,実
たが
収 束 す る:
こ の と きx=(x1,x2,…,xn)と
が 成 り立 つ.す
対 し
任 意 の 点tに
間[0,1]で
こ の コ ー シ ー 列 の 収 束 す る 実 数 が 存 在 す る.こ 対 し て,実
∞ の とき
注 目す る と
数 列{f1(t),f2(t),…,fn(t),…}は
う に し て 各t∈[0,1]に
定義 され た連続関数列
数f(t)が
コ ー シ ー 列 で あ る.し の 実 数 をf(t)と 定 ま る.こ
のf(t)は
た が っ て,
お こ う.こ
の よ
実 は連 続 関 数
と な り, d(fn,f)→0 と な る.し
た が ってC[0,1]は
(n→ ∞)
完 備 で あ る.
fが 連 続 関 数 とな る こ とは,不 等 式
と,fnの
連 続 性 か らわ か る.(右
さ くな る こ と に 注 意.)
辺 の 第1項,第3項
は,nを
大 き く と る と,い
く ら で も小
コ ンパ ク ト空 間 の 完 備 性
コ ン パ ク トな 距 離 空 間 は 完 備 で あ る.
(X,d)を
コ ン パ ク トな 距 離 空 間 と し,{xn}を
る 番 号 か ら先xn+1=xn+2=…=xと うで な い と き に は,集
な っ て い れ ば,も
積 点xを
を も つ とす れ ば た だ1つ
コ ー シ ー 列 と す る.{xn}が
もつ.前
ち ろ んxn→xで
に 注 意 し た よ うに,コ
で あ り,こ れ が{xn}の
あ
あ る.そ
ー シー列 が集 積 点
収 束 す る 先 と な っ て い る.し
た
が って xn→x(n→ で あ り,Xは
∞)
完 備 で あ る. べ ー ル の 定 理
完 備 な 距 離 空 間 の もつ も っ と も 著 しい 性 質 は,次
の 定 理 に よ っ て 示 され て い る
性 質 で あ る.
【定 理 】 (X,d)を
完 備 な距 離 空 間 と し,Xの
開 集 合 の 系 列O1,O2,…,On,…
は,
On=X(n=1,2,…) を み た し て い る とす る.こ
のとき
が 成 り立 つ.
こ の 定 理 の 中 で 述 べ ら れ て い る 性 質 を べ ー ル の 性 質 と い う.ベ の 数 学 者R.L.Baire(1874-1932)の 一 般 に,Xの
名 前 で あ る.
部 分 集 合Sは,S=Xを
葉 を 用 い れ ば,ベ
み た す と き,稠
ー ル の 性 質 と は,可
の 共 通 部 分 も ま た 稠 密 で あ る,と 定 理 を 証 明 す る 前 に,完
ール は フ ラ ンス
密 で あ る とい う.こ
の言
算 個 の 稠 密 な 開 集 合 が 与 え ら れ た と き,そ
述 べ る こ と が で き る.
備 と い う条 件 を お か な け れ ば,ベ
は 成 り立 た な い こ と を 注 意 し て お こ う.そ
ール の性 質 は一般 に
の よ う な 例 と して,有
理 数 の つ く る空
間Qを
と る.QはRの
部 分 空 間 と し て 考 え て い る.Qは
は 可 算 集 合 だ か ら{r1,r2,…rn,…}と
完 備 で は な い.さ
て,Q
番 号 を つ け て 並 べ る こ と が で き る.こ
の
とき
は,開
集 合 で あ っ て,各OnはQか
On=Qで
あ る.し
ら 有 限 個 の 点 を 除 い た だ け だ か ら,明
らか に
か し
だ か ら,も ち ろ んベ ール の性 質 は成 り立 た な い. べー ル の 定 理 の 証 明 ベ ール の定 理 を 証 明 し よ う. そ れ に はXの
任 意 の1点x0を
とった と き,す べ て の正 数 εに対 して
(*)
が成 り立 つ こ とを示 せ ば十 分 で あ る.な ぜ な ら εの任 意 性 か ら,
が 得 られ,x0は
任 意 の点 で よか った か ら,結 局
が 示 さ れ た こ と に な るか ら で あ る. (*)の
証 明;O1=Xに
よ り,y1∈O1で
を み た す も の が 存 在 す る.O1は で,か
つ
と な る よ う に で き る.
開 集 合 だ か ら ε1>0を 十 分 小 さ く と っ て お く と,
O2=Xに
よ り,y2∈O2で
を み た す も の が 存 在 す る.O2は
開 集 合 だ か ら,ε2>0を
十 分 小 さ く と っ て お く と,
で
と な る よ う に で き る. 以 下 同 様 に し て,順
次 点 列y1,y2,…,yn,…,お
よ び 正 数 列 ε1,ε2,…,εn,…
を選
ん で
が 成 り立 つ よ うに で き る(図70). こ の よ う に し て 得 られ た 点 列{yn}は
ば
コ ー シ ー 列 で あ る.実
で あ り,し た が っ て
とな る か ら で あ る. Xは
完 備 だ か ら,点
の1点yに
収 束 す る.点
列{yn}はX 列{yn}の
構
成 の仕 方 か ら
がn=1,2,…
で 成 り 立 つ か ら,
(1) で あ る. 一方
図70
(2) で あ る.な
ぜ なら
と な る か ら で あ る.
際,m,n>kな
ら
(1)と(2)に
よ っ て,(*)が
成 り立 つ こ とが わ か る.
Tea
C[0,1]は 第12講
で,区
を 導 入 し て,距 と え ば,n=1,2,…
Time
完 備 で は な い.
間[0,1]上
で 定 義 さ れ た 連 続 関 数 に,距
離 空 間C[0,1]を
考 え た.こ
の 空 間C[0,1]は
完 備 で は な い.た
に対 して
に よ っ て 定 義 さ れ た 連 続 関 数 列fnは,C[0,1]の fnはC[0,1]の
離
中 で は 収 束 して い な い.こ
中 の コ ー シ ー 列 で あ る.し の こ と は,図71か
か し
ら明 ら か で あ ろ
う.
図71
質 問 細 か い ことか も しれ ませ ん が,気 が つ き ま した ので 質 問 して み た くな りま
し た.前
講 で は,完
備 と い う性 質 は,位
相 だ け の 性 質 で は な くて,距
さ の 一 様 性 に 深 くか か わ っ て い る と い うお 話 で し た.し は,コ
ン パ ク ト空 間 は い つ も 完 備 に な る と い う こ と で す.空
る とい う性 質 は,同 性 質 で す.こ
相 写 像 で 保 た れ る 位 相 的 な 性 質 で,距
っ て 空 間 が コ ン パ ク トで あ れ ば,そ て み て も,完
際 は,位
ク ト と い う位 相 的 な 性 質 は,実
っ た.
間 が コ ンパ ク トで あ
離 の と り方 に よ ら な い
こ に(同
常 に 強 い 性 質 な の で あ る.し じ 位 相 を 与 え る)ど
備 とい う性 質 が 現 わ れ て く る の で あ る.こ
な い か も し れ な い.実
は 必 然 的 に空 間 に,一
れ に 触 れ な い の で,質
様 位 相―
たが
ん な距離 を いれ
うい っ て も,答
に はな ら
相 と は 別 に一 様 位 相 と い う考 え が あ っ て,コ
を 与え て い る と い う こ と示 す 理 論 が あ る.そ
の で あ る.そ
離 の もつ近
こで の お 話 で
れ は ど の よ うに 理 解 し た ら よ い の で し ょ うか.
答 空 間 が コ ン パ ク トで あ る と い う性 質 は,非
準―
か し,こ
ンパ
近 さ の 一様 な 規
れ は一様 位 相 空 間論 とい うも
問 に 対 す る 答 は,何
か 中途 半 端 に な っ て し ま
第21講 べ ー ルの性 質の応 用
テーマ
◆ ベ ー ル の性 質 の いい か え:内 点 を もた な い 閉集 合列 の和 集 合 は,全 空 間 と 一 致 し ない . ◆ 各 点 で微 分 不可 能 な連 続 関数 ◆ ワイ エ ル シ ュ トラ ス の関 数 ◆ バ ナッ ハ の証 明:C[0,1]が
完 備 な距 離 空 間 で,し た が って,ベ ール の性
質 を もつ こ とを 用 い る.
べー ル の 性 質 の い い か え 前 講 で 述べ た ベ ー ル の性 質 とは,空
間Xの
開集 合 列O1,O2,…,On,…
が与え
られ た とき
が 成 り立 つ とい う こ とで あ っ た. こ の 性 質 を,O1,O2,…,On,…
とお く と,F1,F2,…,Fn,…
の補 集 合 を と る こ と に よ りい い 直 し て み よ う.
は,そ
れ ぞ れ 開 集 合 の 補 集 合 と し て 閉 集 合 とな っ て
い る. こ の と きOn=Xと
い う性 質 は,次
の よ うに い い か え ら れ る.
は 内点 を もたな い.
こ の こ と を 説 明 し て み よ う.内 と,Fnが
点 の 定 義 は 第13講
内 点 を も た な い と い う こ と は,任
小 さ い 正 の 数ε を と っ て も
で 与 え て あ る.そ
意 の 点x∈Fnを
れ に よる
と っ た と き,ど
んな
と い う こ と で あ り,同
じ こ と で あ るが
(1) と い う こ とで あ る.Onに と は,と
属 さ な い 点xに
り も 直 さ ずOn=Xが
の 補 集合 は
対 し て つ ね に(1)が
成 り立 つ とい う こ
成 り立 つ と い う こ と で あ る.
であ る ことに注 意 す る と,同 様 に は 内 点 を もたな い.
し た が っ て ベ ー ル の 性 質 は 次 の よ うに い い か え て 述 べ る こ と が で き る. べー ル の 性 質:内 き,和
点 を も た な い 閉 集 合 の 系 列F1,F2,…,Fn,…
が 与 え られ た と
集合
も内点 を もた な い. 前 講 で 証 明 した よ うに,完 備 な距 離 空 間 はベ ール の性 質 を み た して い る.し た が って特 に次 の こ とが 成 り立 つ こ とが わ か った. 完 備 な 距 離 空 間Xで,内
点 を も た な い 閉 集 合 の 系 列F1,F2,…,Fn,…
が
与 え られ た と き
各点で微分不 可能な連続 関数 区間[0,1]で
定 義 され た連 続 関 数で,微 分可 能 で な い 関数 は,図72で
うに い く ら で も 存 在 す る.グ っ た 点 の 所 で,こ き な い.し
ラ フの尖
れ らの 関数 は微 分で
か し,こ
れ ら の 関 数 は,こ
れ ら有 限 個 の 尖 点 以 外 で は 滑 らか で 微 分 可 能 で あ る. そ れ で は,[0,1]の
各 点で 微分 で き
な い よ うな 連 続 関 数 は 存 在 す る の だ ろ うか.1870年
代 に,ワ
イ エ ル シ ュ トラ
図72
示す よ
ス は,各
点 で 微 分 不 可 能 な 連 続 関 数 の 例 を つ く っ て み せ て,当
せ た.ワ
イ エ ル シ ュ トラ ス の 与え た 例 は,次
た だ し0