物理学30講シリーズ2 戸田盛和 著
流体力学30講
朝倉書店
は
し
が
き
物 理 学 の諸 分 野 は そ れ ぞ れ 固 有 の お も しろ さ を も っ てい るが,流 体 力 学 に は ア ル キ メ デ...
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物理学30講シリーズ2 戸田盛和 著
流体力学30講
朝倉書店
は
し
が
き
物 理 学 の諸 分 野 は そ れ ぞ れ 固 有 の お も しろ さ を も っ てい るが,流 体 力 学 に は ア ル キ メ デ ス の浮 力 や ボ ー ル の カ ー ブ な ど数 多 くの親 しみ や す い 話 題 が あ る と同 時 に数 理 的 な魅 力 もあ り,ま たい くつ か の有 名 なパ ラ ドッ クス も含 まれ て い る. 理 科 的 な事 柄 を 学 び 始 め た子 供 の ころ,だ れ で も教 わ る のが て こ の釣 り合 い と 水 中 で は た ら く浮 力 の話 で あ り,こ れ らの 2つ は と も に アル キ メデ ス に よ って発 見 され た と伝 え られ てい る.そ し て 前者 は 力 学 の,後 者 は 流 体 力 学 の始 ま りで あ った. ニ ュ ー トンが 書 い た 力 学 の本 『プ リンキ ピ ア』 の 後 半 で は流 体 の 平 衡 や 流 体 中 の物 体 の運 動 が い ろい ろ扱 わ れ てい る.し か し一 般 的 な流 体 力 学 の 基 礎 はオイラ ーよっ て樹 て られ,ラ
グ ラ ンジ ュ な ど に よ って 展 開 され た.
こ こで 「完 全 流 体 」 とい う理 想 化 され た もの が 登 場 す る.も と も と流 体 は 流 れ る性 質 を もつ 物 体 で あ る気 体 と液 体 の総 称 で あ り,気 体 も液 体 も莫 大 な 数 の分 子 の集 ま りで あ る.分 子 の集 ま りとみ れ ば流 体 は多 体 系 の力 学 とし て扱 わ な け れ ば な らない が,力 学 で は 一 般 に 3個 以 上 の質 点 の 力 学 は解 くこ とが で きな い.こ の 方 向 で流 体 を 扱 うの は確 率 の概 念 を 用 い る分 子 運 動 論 や統 計 力学 で あ る.こ れ に 対 し て流 体 の分 子 的 な 構 造 は 無 視 し て連 続 体 と して扱 うの が流 体 力 学 の立 場 で あ る.い わ ば 力 学 の 3体 問題 以 上 の 困 難 を 回避 す る た め に連 続 体 とい う もの を 考 え るの で あ る.さ らに ね ば っこさ,す
な わ ち 粘 性 を無 視 した 連 続 体 と して理 想 化 さ
れ た の が完 全 流 体 で あ る. この 連 続 体 の 各微 小 部 分 の運 動 は ニ ュートン 力 学 の運 動 法 則 に 従 う と して つ く られ た 流 体 力 学 の基 礎 方程 式 が オ イ ラー の運 動 方 程 式 で あ って,完 全 流 体 は この 方 程 式 とい わ ゆ る状態 方程 式 とに よ って 定義 され た も の とい うこ と もで き る.も し も流 体 を構 成 す る分 子 が コマ の よ うな 回転 を もち,し た が って ジ ャ イ ロコ ンパ ス の よ うに軸 の方 向 を一 定 に保 と う とす る性 質 を もつ とす れ ば,流 体 は も っ と複
雑 な 運 動 方 程 式 で 記 述 す る こ とに な るで あ ろ う.完 全 流 体 で は この よ うに複 雑 な 性 質 は 考 え な い.完 全 流 体 は い わ ば も っ と もす な おな 性 質 を もつ もので あ り,い くらか 実 在 の物 質 を離 れ た 仮 想 的 な 実 体 で あ る と も い え るで あ ろ う.し た が っ て 完 全 流 体 の運 動 方 程 式 の解 が 現 実 の 流 体 が示 す 現 象 と一 致 し な い こ と もい ろい ろ あ り うるわ け で あ る.完 全 流 体 内 を 一 様 な 速 さで 動 く球 は 流 体 か ら力 を 受 け な い こ とに な るが,こ れ は 実 際 の 経 験 と一 致 しな い と思 わ れ,ダラン
ベ ール の パ ラ ド
ッ クス と呼 ば れ てい る.完 全 流 体 は そ の ほ か に もい くつ か の 有 名 な パ ラ ド ックス を もっ て い る. 力 学 の 多体 問 題 を 回 避 した代 償 とい うわ け では な い が,流 体 力 学 の運 動 方 程 式 は 非 線 形 方 程 式 で あ る とい う点 で 本 質 的 な むず か し さを も って い る.粘 性 を取 り 入 れ た 流 体 力 学 の基 礎 方 程 式 は ナ ビエース トー クス の方 程 式 と呼 ばれ る が,こ
れ
が 厳 密 に 解 け る のは ご く限 られ た 流 れ の場 合 だ け で あ る. 本 書 で は 完 全 流 体 の,し か も縮 まな い 流体 の運 動 を主 に扱 うこ とに した が,終 わ りの 数講 は 粘 性 流 体 と これに 関 係 す る境界 層 に つ い て の 記 述に 当 て る こ とが で きた.高 速 流 体 の問 題 や 最 近 と くに 著 しい流 れ の 可視 化,あ
るい は コ ン ピュータ
に よる シ ミュ レーション な ど の分 野 は とて も盛 り切 れ な い の で 割 愛 せ ざ るを え な か った.そ
の反 面,他 書 にな い テ ーマ,著 者 が と くに 興 味 を も った テ ーマ を 含 ま
せ る こ とが で きた.こ れ が読 者 の流 体 力 学 に 対 す る興 味 を 新 たに す る こ とに な れ ば これ に 過 ぎた 喜 び は な い. 本 書 の 出版 に際 してい ろい ろ お 世 話 に な った 朝 倉 書 店 の 方 々に 厚 くお 礼 を 申 し 上 げ た い. 1994年 7月 著
者
目
次
第
1講 静 止 流 体 の 圧 力 と 浮 力 Tea
第 2講
Time:永
1
久 機 関 の夢 5
面 積 分 と体 積 積 分 Tea
7
Time: grad, div, rot
10
第 3講 連 続 の 方 程 式 Tea 第 4講
5講
Time:風
16
に飛 び立 つ カモ メ 19
ベ ル ヌ ー イ の 定 理 Tea
第
12 ウス の定 理 15
完 全 流 体 の 運 動 方 程 式 Tea
第
Time:ガ
Time:ベ
23
ル ヌー イ の定 理 の応 用 26
6講 流 れ と 変 形 Tea
第 7講
28
Time:ずりと
回 転 33
渦 な し の 流 れ Tea
Time:速
35 度ポテン シ ャル 41 汎
関数 的
微分 41 第 8講 縮 ま な い 流 体 の 渦 な し の 流 れ Tea
Time:湧
き出 し と吸 い 込 み 48
第 9講 任 意 の 運 動 を す る 球 に は た ら く力 Tea 第10講
球
形 Tea
Time:物
49
体 に は た ら く流 れ の 力 54
渦 Time:球
42
56 と円 柱 の まわ りの 流 れ 59
第11講
自 転 す る 球 形 渦 Tea
第12講
第14講 マグナス
Time:噴
Time:複
Time:2
Time:低
水 に 浮 くピ ンポン 玉 91 93 素 数 96 99
本 の渦糸 104 105
気 圧 の 動 き 109
渦列
110
Tea Time:公 渦
定 Tea
第20講
88
渦糸 の い ろ い ろ の 運 動 Tea
第19講
れ の関 数 86
2次 元 の 渦糸 系 Tea
第18講
Time:流
77
等 角 写 像 Tea
第17講
渦 に 呑 まれ て 75
効 果
Tea
第16講
Time:大
68
縮 ま な い 流 体 の 2 次 元 の 流 れ Tea
第15講
の球 形 渦 の エ ネ ル ギ ー 65
回 転 運 動 と 渦糸 Tea
第13講
Time:ヒックス
61
式〓
114
理 Time:エオルス
115 音 120
ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 Tea
Time:ラグランジュ
125
121
第21講 ト
ロ コイド 波 Tea
第22講
Time:波
第23講
群
第24講 2
140 の エ ネ ル ギ ー 145
Time:船
Time:線
第27講 ポアズイユ Tea
Time:粘
Time:人
Time:ア
181
の 流 れ ・自動 車 の 流 れ 188
球 の ま わ りのずり の 流 れ Tea
173
イ ノル ズ と乱 流 178
ス トー ク ス の 抵 抗 Tea
166
性 率 の温 度 変 化 172
の 流 れ Time:レ
158
形 の 波 と非 線 形 の 波 165
粘 性 流 体 の 運 動 方 程 式 Tea
147
の抵 抗 156
大 き な 振 幅 の 浅 水 波 Tea
第29講
度 Time:波
133
波 138
次 元 の 水 面 波 Tea
第28講
Time:津
速 Tea
第26講
の 研 究 131
渦 な し の 水 面 波 Tea
第25講
127
190
インシュ タイン とボ ー アの 初 期 の 論文 194
第30講
境
界 Tea
索
引
層 Time:流
197 線 形 201
203
第 1講
静止流体 の圧 力 と浮力
―テーマ ◆ 流 体の重 さに よる圧力 ◆ 流 体中の物 体にはた ら く浮力 ◆TeaTime:永
久機関の夢
流
体
気 体 や液 体 は カ を 加 え る と 自由 に流 れ る ので 総 括 して 流体 と呼 ばれ る.流 体 は 非 常 に 多 くの分 子 か ら成 るが,多 数 の 分 子 のそ れ ぞ れ の運 動 を力 学 的 に扱 うこ と は不 可 能 で あ る.し か し分子 的 な構 造 を考 えず に流 体 を連 続 的 に広 が った 物 体 と して扱 う こ とは で き る.こ の よ うに マ ク ロ的(巨 視 的)な 立 場 で 流 体 を 力 学 的 に 扱 うのが 流体 力 学 で あ る.流 体 力 学 に お い ては 流 体 のお か れ て い る条 件 に 従 って 流 体 の性 質 を直 観 的 に仮 定 す る.た と えば ふ つ うの流 体 力 学 で は 電 磁 場 は な い も の と し,ま た流 体 の分 子 は コ マや 磁 気 的 な ス ピ ンの よ うな 独 自の 角 運 動量 を もた な い とす る.電 磁 場 の 力 を受 け る流 体 の力 学 は 電 磁 流 体 力 学 で あ るが,い れ を除 外 す る.ま た外 部 か ら加 熱 され た り冷却 され た りす る場 合,あ ど う しの摩 擦(内 部 摩 擦,粘 性)に
まは こ
るい は流 体
よ って 熱 が発 生 す る こ とを 考 慮 す れ ば温 度 差
や 熱 エ ネル ギ ー の流 れ も考 えな け れ ば な らな い が,こ れ ら の こ と も しば ら く考 え な い こ とにす る.さ らに空 気 が 酸 素 と窒 素 の混 合 物 で あ る よ うに,流 体 は一 般 に 組 成 を もつ が,こ
こで は流 体 の組 成 は ど こで も同 じで,そ の 性 質 は ど こで も同 じ
で あ る と して お こ う. 静 止 流 体 流 体 を一 定 の条 件 の も とに 放 置 す れ ば,流 体 は や が て 静 止 した 状態 に な る.静 止 流 体 は 次 の よ うな 性質 を もつ. 【静 止 流 体 内 の圧 力 】 静 止 流 体 の 内 部 に 小 さな面 を考 え る と,そ の両 側 の 流 体 は 面 に 垂 直 で,こ の面 の面 積 に比 例 す る力 を 及 ぼ し合 っ て い る.ま た 流体 を 入 れ た 容 器 の壁 に小 さな面 積 を考 え る と,静 止 流体 は この面 に垂 直 で,そ
の面 積 に 比
例 す る 力 を及 ぼ して い る.こ の よ うな力 の単 位 面 積 当 りの値 を 静 止 流 体 の圧 力 と い い,水 の場 合 は 静 水 圧 とい う.静 止 流 体 の 1点 に お け る圧 力 は どの よ うな 傾 き を もつ 面 に 対 して も同 じで あ る.言 い 換 え れ ば 圧 力 は 向 きに よ らな い(等 方 的 で あ る).圧 力 と い う言 葉 を 使 え ば,静
止状 態 に お い て ど こで も等 方 的 な圧 力 を も
つ 連 続 体 が 流 体 で あ る とい うのが,静
止流 体 に対
す る流 体 の 定義 で あ る. 静 止 流 体 の圧 力 に よ る力 が任 意 の 面 に 対 して 垂 直 で あ る こ とを 容 認 すれ ば,圧 力 が 等 方 的 で あ る とい うこ とは 次 の よ うに証 明す る こ とが で き る. 図 1の よ うな 4面 体 を考 え,xy軸,yz軸,zx軸 を含 む面 と これ らを切 る斜 め の面 をそ れ ぞ れSz,Sx 図 1
な 面Szと が なす 角(面 細 長 い面ABCDのSzへ
,Syお よびS とす る.ま
た斜 面S とz 軸 に垂 直
Sの垂 線 とz軸 とが なす 角 に 等 しい)を の射 影 をABCDと
γとす る.S 上 の
する と (1)
が成 り立 つ.面
SをBC,ADに
平 行 な 多 数 の細 長 い面 に切 っ て考 えれ ば,同
等な
こ とが い え る ので,そ れ ら の面 積 を 加 え合 わ せ れ ば 結 局 (2) が 成 り立 つ.た だ し面 Sお よびSzの 面 積 を 単 にS,Szと 面 S に はた ら く圧 力 をp とす れ ば,そ
書 い た.
のた め に S に加 わ るカ はf=psで
また面Szに は た ら く圧 力 をpzと す れ ば,そ
あ る.
の た め にSzに 加 わ る力 はfz=pzsz
で あ る.ま た角 γは面S(の 垂 線)とz る力 のz 成 分 はfcosγ
軸 とが な す 角 で もあ る か ら,面S
に加 わ
で あ る.圧 力 の ほ か に 力 が は た らか な け れ ば,こ の4 面
体 が 静 止 して い るた め に は面S に 加 わ る 力 のz 成 分fcosγ
と面Szに 加 わ る 力
fzと は 釣 り合 わ なけ れ ば な らな い.し た が って (3) あ る いは (4) で あ り,(2)と(4)と px ,面Syに
か らpz=pを
得 る.同 様 に し て 面Sxに
は た ら く圧 力
は た ら く圧 力pyは す べ て 斜 面S に は た ら く圧 力p に 等 しい こ とに な
るか ら (5) す な わ ち4 面 体 の 各面 に は た ら く圧 力 はす べ て等 し く,圧 力 は方 向 に よ らな い. 流 体 に 重 力 が は た らい て い る と きに も こ の こ とは 成 り立 つ.こ れ を示 す た め, z軸 の下 方 に 向け て重 力 が は た ら く と し よ う.簡 単 の た め4 面 体 の直 交 す る稜 の 長 さ をlと す れ ば4 面 体 の体 積 はl3/6で あ り,面Sx,Sy,Szは る.圧 力 は 深 さに よ って 異 な るか ら,面Szお
す べ てl2/2で あ
よびS に は た ら く圧 力 の 平均 値 を
そ れ ぞ れpz,p と し,重 力 加 速 度 をg,流 体 の 密 度 を ρとす れ ばz 方 向 の 力 の 釣 り合 いの 式 は (6) とな り,こ れ をSz=Scosγ=l2/2で
われ ば (7)
を得 る.こ こで4 面 体 の大 き さl を 無 限 に 小 さ くす れ ば 平均 値pz,p は そ れ ぞ れ そ の点 の圧 力pz,p とな り,pz=pを
得 る.短
くい え ば 圧 力 に よる 力 はl2に 比例 し
重 力 に よる力 はl3に 比 例 す るの で,4 面 体 の大 き さ を十 分 小 さ くす れ ば重 力 の 影 響 は 無 視 で きる と い うこ とで あ る. 【パ ス カル の 原 理】 流 体 を 閉 じた 容 器 に 入 れ,そ の一 部 に圧 力 を加 えれ ば,流 体 の どの 部 分 も同 じだ け 圧 力 が増 加 す る.こ
れ を パ ス カル(Pascal)の
原理 とい
う.こ の 原 理 は 重 力 の た め に深 い と こ ろで 圧 力 が大 き い と こ ろ の密 度 が 変 化す る
よ うな場 合 には 必 ず し も成 り立 た な い が,重 力 な ど の 力 が は た らか な い場 合 に は密 度 が 圧 力 に よ って 変 化 す る と きに も成立 す る.こ の原 理 を 証 明す る に は,も
し
も圧 力 が一 様 に変 化 しなけ れ ば 流 体 の 釣 り合 い が破 れ る こと に注 意 す れ ば よい. 【流 体 の重 さに よる圧 力】 重 力 を 受 け て い る流 体 の 圧 力 は下 方 へ い くほ ど大 き くな る.静 止 流 体 の鉛 直 な 柱 の釣 り合 いか らわ か る よ うに,深
さ hの と こ ろ の圧
力p と高 さ 0の と こ ろ の圧 力p0の 差 は 水 平 な 単 位 面 積 の底 面 を 有 し,高 さがh の流 体 の柱 の 重 さに 等 しい 図 2
(図 2).も し も密 度 ρが 一 定 な らば
(8)
が 成 り立 っ.も
し も密 度 ρや 重 力 加 速 度g が 高 さz に よ って 変 わ る と きは (9)
で あ る. 【自 由表 面】 重 力 を 受 け て い る液 体 の 大 きな表 面 は 水平 に な り,自 由 表面 と呼 ば れ る.液 体 の小 さ な粒 が 球 形 に な る こ とか らもわ か る よ うに,液 体 の表 面 に は 表 面 積 を 小 さ く し よ うとす る 力 が は た らい て い る.こ れ を 表 面 張 力 と い う.自 由 表面 が水 平 に な る と い うの は表 面 張 力 の はた ら きを 無 視 で き る よ うな大 き な表 面 につ い て の こ とで あ る. 浮
力
流 体 中 に 入 れ た 物 体 に は 浮 力 が は た ら く.こ の浮 力 の大 き さ は物 体 が 排 除 した 流 体(自 由表 面 よ り下 の部 分 に あ る物 体 と同 じ体 積 の 流体)の れ を アル キ メデ ス(Archimedes)の
重 さに 等 しい.こ
原 理 とい う.
【証 明 】 物 体 に はた ら く浮 力 は そ の物 体 の表 面 に は た ら く流 体 の 圧 力 のた め の 力 の合 力 で あ る.し た が っ て こ の浮 力 は 物 体 を 同 じ形 の流 体 で 置 き 換 え て も変 わ
ら な いが,こ
の流 体 部 分 に は た ら く浮 力 は そ の流 体 の 重 さに 等 し く釣 り合 って い
るは ず で あ る.し た が って物 体 に は た ら く浮 力 は物 体 と同 じ形 の流 体 部 分 の 重 さ に 等 しい.
TeaTime
永久機 関の夢 代 償 な しに仕 事 を して くれ る機 械,エ
ネル ギ ーを無 か らつ く り出 して くれ る機
械 を 永 久 機 関 とい う.エ ネ ル ギ ー 保 存 の 法 則 か らい って こ の よ うな 機 械 をつ くる こ とは で きな い が,永 久 機 関 をつ くる とい うこ とは昔 の多 くの人 の夢 で あ った. ボ イル や ヨハ ン ・ベ ル ヌー イ な どと い う当時 一 流 の科 学 者 や 数 学 者 も永 久 機 関 を くふ うして い る.永 久 機 関 の発 明に 心 を うば わ れ て家 業 を つ ぶ した りす る人 が 絶 えな い の で永 久機 関 の特 許 申請 を門 前 払 い に した 役所 もあ る。 永 久機 関 に は い ろ い ろ の種 類 が あ るが,水
中 で はた ら く浮 力 を利 用 した も の も
多 い.そ の も っ と も簡 単 な もの は水 平 な軸 の まわ りに 回転 で き る 円柱 の,た と え ば 右 半分 だ け が 水 中 に あ る よ うな装 置 で あ る(図
3).右 半 分 に は た ら く浮 力 の
た め に 円柱 は 左 まわ りに 回転 す る と い うので あ る.こ れ は 回 転軸 に 対す るモ ー メ ン トを考 えれ ば 不 可 能 で あ る こ とが わ か る.
図 3
図 4
もっ と複 雑 な のは 上 と下 に あ る車 に か け た ベ ル トに空 気 の 入 った シ リン ダ ーを た くさん つ け,シ
リン ダ ー のふ た の ゴ ムに は お も りをつ け た装 置 で あ る(図 4).
図 で は 右側 の お も りが ゴ ムを ひ っぱ る の で空 気 が広 が って浮 力 が増 す .逆 に左 側 で はお も りが ゴ ム を押 してへ こます ので 空 気 が 押 し縮 め られ て浮 力 が減 る の で, ベ ル トは 左 まわ りに 回 る とい うので あ る.こ れ が 回 り続 け る こ とは 不 可 能 で あ る こ とを 証 明 す る のは なか なか む ず か しい.読 者 は 時 間 が あ り余 った な ら この 証 明 を 試 み て ほ し い.
第2 講
面積分と体積積分
―テーマ ◆ ア ル キ メデ ス の 原 理 の 一 般 化 ◆ ガ ウス の定 理 ◆TeaTime:grad,div,rot
ア ルキ メデ スの 原 理
前 講 で 述 べ た ア ル キ メ デ ス の 原 理 で は,浮
力 が 流 体 中 に 入れ た物 体 の 表 面 に は
た ら く圧 力 に よ る もの で あ り,浮 力 の 大 き さは物 体 が 排 除 した 部 分 と同 じ体 積 の 流 体 の 重 さに 等 しい こ とを 述 べた.こ
の こ とは 圧 力 に よ る力 の 鉛 直 成 分 を 物 体 表
面 で積 分 した もの が 物 体 の 体 積 に 比 例 す る こ とを 示 し て い る.ま ず この こ とを前 講 よ りも少 し.一般化 して 調 べ る こ とに し よ う. 物 体 が 流 体 の 中 に 入 って い て,流 体 の 密 度 は 深 さに よっ て異 な る とす る.鉛 直 上 方 にz 軸 を と り,流 体 の 密 度 を ρ(z)と し よ う.圧 力p(z)の
変化は (1)
で与 え られ る.物 体 の表 面 と一 致 す る閉 曲面 を S と し,そ
図 5
の 微 小 部 分 をdS,そ
の外 向 き の 法線 が z軸 と なす 角 をr とす る と,こ の部 分 に はた ら く圧 力 の た め の
力 のz 成 分 は(図
5参 照) (2)
で あ り,浮
力 F は これ を 全 表 面 で 積 分 し た も の,す
なわち (3)
で 与 え ら れ る. 図 5 の よ うに 物 体 を 貫 く細 い 柱 を 考 え て,下 し,こ
の 表 面 をdS1,上
の 表 面 をdS2と
れ ら の 面 の 法 線 がz 軸 と な す 角 を そ れ ぞ れ γ1,γ2とす る と (4)
が 成 り立 つ.下
と 上 の 面 の 高 さ をz1,z2と
す る と,圧
力 の差 は
(5)で あ り,浮 力 に 対 す る柱 の部 分 の寄 与 は
(6) と な る.物 体 全 体 を 図 6の よ うに 細 い 柱 に分 け て 考 え れ ば,浮 力 は (7)
図 6 で 与 え られ る.dS0は
水 平 な 断 面 な の でdxdyと
書 く と,(5)を(7)に
代 入 して (8)
を 得 る.こ
こ で 右 辺 は 物 体 と 同 体 積 の 流 体 の 重 さ で あ り,こ
れ を W とす れ ば (9)
と な る.こ
れ が ア ル キ メ デ ス の 原 理 で あ る.
さ て(3)と(8)を
比 べ(1)を
用い ると (10)
を 得 る.こ 辺)に
れ は 初 め に 述 べ た よ うに 表 面 に つ い て の 積 分(左
辺)を
体 積 積 分(右
直 す 式 で あ る.
(10)は
一 般 化 さ れ る.い
まx,y,z の 任 意 の 関 数 をp(x,y,z)と
す る.(4)を
用いて
(11) した が っ て (12) が 成 り立 つ.
ガ ウ スの 定 理
(12)に
お い てz 軸 の 代 わ りにx 軸 を と り,p(x,y,z)の
代 わ りに 任 意 関 数P=
P(x,y,z )を 考 え れ ば
(13)
が 得 られ る.た
だ し こ こ で 図 7 の よ うに S は 閉 曲
面 で あ り,こ れ が 囲 む 体 積 がV は 面dSの
た,α
外 向 き の 法 線 がx 軸 の 正 の 向 き と な す
角 で あ る.同 z)を
で あ る.ま
様 に 任 意 の 関 数Q(x,y,z),R(x,y,
と り,dSの
法 線 がy,z 軸 と なす 角 を そ れ ぞ
れ β,γとす れ ば 図 7
(14)
が成 り立 つ.そ
こで これ らを 加 えれ ば
(1 5)
を 得 る. さ ら に P,Q,R を 1つ の べ ク トルν のx,y,z 成 分 と し よ う.す
なわち (16)
と す る.dSの
法 線 の 向 き と 一 致 す る 単 位 ベ ク トル(法
線 ベ ク ト ル)をn=(nx,ny
,nz,)と す れ ば (17) な の でν とn と の ス カ ラ ー 積 を 用 い て (18) と 書 け る.ま
た
(19)
と 書 き,こ
れ をν の発散(ダ
イバージェンス)と
を ベ ク トル と み な し て ナ ブ ラ と呼 び,divν
と 書 く こ と も あ る.(16),(18),(19)を
い う.▽=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
を ス カラ ー積 の形 で
用 い て(15)は
(20)
と 書 か れ る.こ
れ を ガ ウ ス(Gauss)の
定 理 と い う.(12),(13),(15)な
どもガ
ウ ス の 定 理 を 表 し て い る.
TeaTime
grad,div,rot gradは
勾 配(グ
ラ デ ィ エ ン ト),divは
発 散(ダ
イ バ ー ジ ェ ン ス),rotは
回転
(ロ ー テ ー シ ョ ン)と
い う(rotは
ス カ ラ ー 場 φ(x,y,z)に
で あ る.gradは▽(ナ
ベ ク トル 場v=(u,v,w)に
後 出(第
対 し てgradφ
ブ ラ と 読 む)と
6講)).
は ベ ク トル 場
も書 き
対 し てdivvは
スカラー
こ れ は▽ とv の ス カ ラ ー 積 の 形 で
と も 書 け る. rotvは
ベ ク トル 場
で あ り,こ れ は▽ とvの
と も書 け る.こ
ベ ク トル 積 で もあ り,行
列式の形で
こ でi,j,kはx,y,z 方 向 の 単 位 ベ ク トル で あ る.
第3 講
連続 の方程 式
―テ ー マ ◆ 連 続 の方 程 式 ◆ 発 散,div(ダ ◆TeaTime:ガ
イ バ ー ジ ェ ンス) ウス の 定 理
連 続 の 方 程 式
流 体 の 一 部 に 流 体 が 集 ま る 流 れ が あ れ ば,そ に 密 度 を ρ,流 速 をu=(u,v,w)と
(1) が 成 り立 つ.こ
こ の 流 体 の 密 度 が 増 加 す る.一
般
すれば
れ を 連 続 の 方 程 式 と い う.た
だ し こ こで
(2) 【証 明】 空 間 内 に 不 動 の 座 標 系(x,y,z)を x∼x+△x,y∼y+△y,z∼z+△zの △ x△y△zを 考 え る(図 8).面ABCDの
と り,
範囲の立方体 面 積 は△y△z
で あ り,こ こ に お け る流 体 の密 度 を ρ,流 れ の 速 度(流 速)のx 図 8
成 分 をu とす る と,こ の面 を単 位 時
間 に通 る流 体 の 質量 はpu△y△zで
与 え られ る.
次 に 面ABCDか
ら△xだ
(pu)x+△y△zと
け離れ た 面A'B'C'D'を
書 く こ と が で き る.こ
の 値 で あ り,位
単 位 時 間 に 通 る 流 体 の 質量 は
こ で(ρu)x+△xは
位 置x+△xに
置x に お け る ρuの 値 を 単 に ρuと 書 け ば△xが
お け る ρu
小 さい と き
(3) と し て よ い.し
た が っ て 面ABCDを
通 っ て 立 方 体△x△y△zに
ら面A'B'C'D'を
通 って 出 る質量 を ひ い た値 は
入 る流 体 の 質 量 か
(4) で 与 え られ る.同 様 な こ とは 立 方 体△x△y△zの 他 の面 に つ い て もい え る の で,y
お よびz方
向の 流 速 をv,w とす れ ば,立 方 体△x△y△x内 の質 量 ρ△x△y△zの時 間
的 変 化 の割 合 は (5) とな る.し た が って (6) これ が連 続 の 方 程 式(1)で
あ る. 発
流 速 の ベ ク トル はu=(u,v,w)で
散
あ る.こ
こ で ナ ブ ラ と呼 ば れ る ベ ク トル▽=
(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z )を 導 入 し,▽ と ρuの ス カ ラ ー積 をつ くる と (7) は(6)に
よ り密 度 の 減 少 の 速 度-∂ ρ/∂tに等 しい.こ れ は流 体 が 広 が って い く
速 度 と い って も よ い.そ こで,▽・Vを
ベ ク トルV の発 散,あ
るい は ダ イバ ー ジ
ェ ン ス と い うので あ る. 連 続 の 方程 式 の 別 の 導 き方 連 続 の方 程 式 は 流体 の質 量 が 保 存 され る こ とを 表 して い る.こ の 方程 式 を この 点 か ら考 え て み よ う.任 意 の閉 曲面 S で囲 ま れ る 体 積V 内 の 流 体 の 質 量 の 時 間
的変 化 は (8) で あ るが,こ れ は単 位 時 間 に 閉 曲面 S を通 って流 入 す る流 体 の 質 量 に 等 しい は ず で あ る.閉 曲面 Sの 外 向 きの 法 線 をn とす れ ば,流 速 の 閉 曲 面 Sに 垂 直 な成 分 は 流 速u と法 線n の ス カ ラ ー積 の 形 で (9) と書 け る.た
だ しu=│u│は
流 れ の 速 さで あ り,γ は流 速 ベ ク トルu と法線n の
間 の 角 で あ る.し た が っ て流 入 す る流 体 の 質 量 は (10) と書 け る.し た が って (11) こ の式 を (12) と書 き,右 辺 に 前講 述 べ た ガ ウ スの 定 理 を 用 い る と (13) とな るか ら (14) を 得 る.こ れ は任 意 の領 域 V に つ い て 成 り立 つ か ら,被 積 分 が 0で な け れ ば な らな い.し た が っ て連 続 の 方 程 式 (15) が 成 り立 つ こ とに な る.
TeaTime
ガ ウスの定理 閉 曲面S に 囲 まれ る体 積 をV と し,ベ ク トルv の(S の外 向 き法 線 方 向 の)成 分 をvnと す る と き
これ が ガ ウ ス の定 理 で あ る. ベ ク トルv がx 成 分u だ け で あ っ て,u がx だ け の 関 数 で あ る場 合 を 考 え る と,x 軸 に 垂 直 な単 位 断 面積 に つ い て積 分 した後,x に つ い て の 積分 を す れば ガ ウス の定 理 は
と な る.し た が って ガ ウ スの定 理 は こ の よ く知 られ た積 分 公 式 を多 次 元 へ 拡 張 し た もの と考 え る こ とが で き る.
第4 講
完全流体の運動方程式
―テーマ ◆ オイ ラーの運動方程式 ◆ 流線 ◆TeaTime:風
に飛び立つ カモメ
オ イラ ー の運 動 方 程 式 粘 性 の な い 流体 を完 全 流体 とい う.こ れ は理 想 化 され た 流 体 で あ るが,流 体 の 性 質 を 理 解 す る うえ で た いへ ん 役 に立 つ理 想 化 で あ る.粘 性 が な い とす るか ら完 全 流 体 は 流 体 ど うしが摩 擦 な くす べ り,し た が って 流 体 ど う しが 及 ぼ し合 う力 は 任 意 の面 に垂 直 な圧 力 と して は た ら くだ け で あ る. 流 体 の 運 動方 程 式 に は ラグ ラ ン ジ ュ(Lagrange)に
よ る もの とオ イ ラー(Euler)
に よる もの の 2種 類 が あ る(歴 史 的 に は オ イ ラー に よる もの の ほ うが先 で あ る). 運 動 方 程 式 と して は オ イ ラー
よ る もの の ほ うが簡 単 で あ るか ら,こ れ を先 に述
べ よ う. オ イ ラ ーの立 場 で は 空 間 の 各点(x,y,z)を す る.流 速 のx,y,x成
れ の 場)を
分 は そ れ ぞ れu(x,y,z,t),v(x,y,z,t),w(x,y,z,t)と
け る.一 般 に 流れ の場 の量f(x,y,z,t)を の値 の差 は
通過 す る 流れ(流
記述 書
考 え る と,場 所 と時 刻 が 少 し異 な るf
(1)
で あ る.流
れ(速
度u,v,w)に
乗 っ て(流
u =dx/dt,v=dy/dt,ω=dz/dtで
体 の 実 質 部 分 と と も に)み
あ る か ら,fの
て いけば
時 間 的変 化 の割 合 は
(2)
で あ る.と
くに 速 度u,v,wの 変 化 の 割 合,す
な わ ち加 速度 は な ど(3)
で 与 え ら れ る.左 り,右
辺 のdu/dt(Du/Dtと
も 書 く)は
流体 実 質 部 分 の 加 速 度 で あ
辺 の ∂u/∂tは 一 定 の 場 所 で み た 流 速 変 化 で あ る.
重 力 の よ うに 流 体 の 質 量 に 比 例 す る 外 力 を 単 位 質 量 当 り の 成 分 でX,Y,Z 図9 で わ か る よ う に,流 x+ dxに
と し よ う.
体 の 微 小 部 分x∼
は 両 側 か ら の 圧 力pの
dx)-p(x)}=-(∂p/∂x)dxが
差-{p(x+
図9
は た ら く か ら,
運 動 方程 式 は粘 性 が な い とき な ど(4) と 書 け る(ρ
は 密 度),こ
れ に(3)を
代入すれば
(5)
とな る.こ れ が完 全 流 体 に対 す る オ イ ラ ー の運 動 方 程 式 で あ る.こ こで 流 れ の状 態に関 す る未 知 の量 はu,v,w,ρ,p の5 つ で あ る が,こ
れ ら は 運 動 方 程式 の3 個
の 式 と連 続 の 方 程 式 お よび ρとp を結 び 付 け る状態 方程 式 の 5個 の式 に よって 定 ま るわ け で あ る.与
え られ た 初 期 条 件 と境 界 条件 を満 足 す るい ろ い ろ な流 れ の 中
で これ らの 5個 の方 程 式 を 満 た す もの が実 現 され る こ とに な る. 流 速 をν と して ベ ク トル 記 号 を用 い れ ば,オ イ ラ ーの運 動 方程 式 は (6) と書 け る.こ こで▽ はナ ブ ラで あ り (7) は慣 性 項 あ る い は ド リフ ト項 と呼 ばれ る.ま た▽pはp の勾 配(グラ
デ ィエント)
とい う. (8) で あ る. オ イ ラ ーの 運 動 方 程 式(5)に
おいて な ど(9)
で あ るか ら
(10)
を 導 入 す る.こ れ は 圧 力関 数 と呼 ば れ る.こ れ を 用 い る と運 動 方 程 式 は な ど(11) とな る,さ らに 力X=(X,Y,Z)が
重 力 の よ うに ポ テ ン シ ャル を もつ 力(保 存 力)
で あ る と しよ う.ポ テ ン シ ャル を U とす る と
(12)ベ ク トル 記 号 で 書 け ば (13) で あ る.こ れ を用 い る と運 動 方 程式 は
な ど(14)
と な る.
流
線
流 れ の 場 を 幾 何 学 的 に 表 す た め に 流 れ に 沿 っ た 曲 線 を 考 え る と 便 利 で あ る.こ れ を 流 線 と い い,そ
の 曲 線 の 接 線 が 流 速 ベ ク トル と一 致 す る 曲 線 で あ る.流
時 間 的 に 変 化 す る と き も 流 線 を 考 える こ と が で き る が,流 い 場 合(定
常 流)の
と き の ほ うが 考 え や す い.こ
測 る と,流
線 は sを パ ラ メ タ と し て
の 場 合,流
れ が
れ が 時 間 的 に変 わ らな 線 に 沿 っ て 長 さ sを
(15) と表 す こ とが で き る.流
れ はs(t)で
表 さ れ,流
速 をq とす れ ば (16)
で あ る.流
速 の成 分 は な ど(17)
で あ り,x=x(s),y=y(s),z=z(s)を
流 線 とす る と
(18)
で あ る.
TeaTime
風 に飛 び 立 つ カ モ メ 船 に 乗 って旅 を す る と き,や や 単 調 な 生 活 の 中 で マ ス トや 救命 ボ ー トの 支 柱 の 上 に来 ては と ま り,ま た 飛 び 立 って 水 面 近 くを 回 って くる カモ メの 生態 を 眺 め る
のは 1つ の 大 き な楽 しみ で あ る. 船 は 十 何 ノ ッ トか の速 さ で進 んで い る.カ モ メは風 に 向 か って飛 び立 つ の で, 風 の な い と きは 船 の へ さ きに 向 か って飛 び立 つ こ とに な る .か 時 間 に20kmぐ
らい とす る と,こ れ は 秒 速 約5mで
りに船 の 速度 を 1
あ る.い
く ら か微 風 が あ っ て も,カ モ メは だ い た い へ さ きの ほ うか ら来 る風 を受 け て飛 び 立 つわ け で あ る. 柱 上 か ら飛 び立 つ カモ メは,両 翼 を広 げ た だ けで ふ わ り と空 中へ 上 が る.こ の
場 合,羽 ば た き一 つ しな いか ら舞 い上 が る とい う表 現 は 適 当 で な い.た だ,ふ わ りと上 が るの で あ る.風 に 向 か って翼 を広 げ た だ けで,ふ ぶ.そ
わ りと数 m 空 中 へ浮 か
れ か ら少 し羽 ば た い て旋 回す る.
風 に 向 か っ て羽 根 を広 げ る と,カ モ メは そ れ だ け で 羽 ば た き もせ ず に空 中 へ 上 が る.も ち ろ ん そ れ と同時 に カモ メは風 下 へ 押 し流 され て い く. カ モ メの翼 は 風 に 向 か っ てあ る迎 角 を も ち,そ の た め に 揚 力 が 生 じるわ け で あ る. い ま,風 と と もに 進 む 座標 系 に 乗 った と し よ う.こ の座 標 系 か らみ て い る と, 柱 上 の カモ メは 一 定 の 速 さV で こち らへ 向 か って進 ん で くる こ と に な る.カ モ メが翼 を広 げ た とた ん に空 中へ 上 が る のは,走 っ て きた カ モ メが 空 中 の(眼 に は み え な い)す べ り台 をす べ り上 が るの と同 等 で は な い か .走 って きた トロ ッ コが す べ り台 を すべ り上 が る の と,風 に向 か っ て走 って きた カ モ メが浮 上 す る の と 同 等 だ と い うわ け で あ る.こ
う考 え る と カモ メの もつ 運 動 エ ネル ギ ーが,カ
モ メの
浮 上 した 位 置 の エ ネ ル ギーに 変 わ る過 程 とみ られ る.風 と と もに 進 む座 標 系 に 対 して
こ こ に,m
は カ モ メ の 質 量,V
は 風 速,g
は 重 力 加 速 度,h
は 翼 を 広 げ た だけ で
カ モ メ が 達 し た 最 高 点 の 高 さ で あ る. エ ネ ル ギ ー の 損 失 が な い と す る と,E=Uか
を 得 る.た とえ ば 風 速10m/秒
ではh〓5mと
ら
な る.こ
の 値 は実 際 の カモ メの上
が る高 さ と して だ い た い 妥 当 な もの と思 わ れ る. 実 際 には 上 の 理 論 上 の 最 高 点 に達 す る前 に風 に 押 し流 され る た め風 に 対 す る カ
モ メの相 対 的 な速 度 は 減 少 し,揚 力 も減 少 して カ モ メの 重 さを 支 え られ な くな る だ ろ うか ら,h は もっ と小 さ な値 に な るに ちが い ない. 風 が 翼 に 当 って 生 じ る揚 力 は,斜 面 を上 が る トロ ッコに 加 わ る斜 面 の抗 力 に な ぞ らえ られ る.斜 面 が な め らか な らば,抗
力は 斜 面 に 対 して 垂 直 で あ り,ト ロ ッ
コに対 して 仕 事 を しな い. 一 方 で風 とと もに 進 む 座 標 系 に乗 ってみ てい る場 合 ,翼 は空 気 を 前 方 下 向 き に 押 しなが ら走 って くる こ とに な る.空 気 の粘 性 を 無 視 す れ ば,翼 は 空 気 の 分 子 を 下 方 へ は じ き飛 ば しなが ら走 る とい っ て も よいだ ろ う.そ の 反 動 と して 揚 力 が は た ら くわ け で あ る. 同 じ問 題 を 船 に 静 止 した 座 標 系 で 考 え てみ よ う.カ モ メで 考 え る前 に トロ ッ コ で 考え る こ とに す る.そ の ほ うが 問 題 が 明 白に な るか らで あ る.こ の場 合,最 トロ ッ コは 静 止 して い て,斜
初
面 が これ に向 か って 速度V で 走 っ て く る(カ モ メ
に 対 して風 が 走 って くる よ うに).ト
ロ ッコは 動 い て くる斜 面 に押 し上 げ ら れ て
高 い とこ ろ まで 上 が る.斜 面 は こ の場 合,ト
ロ ッコを 押 して もち 上 げ る仕 事 を す
るわ け であ る.な め らか で仕 事 を しな い と い うのは 斜面 が 静 止 して い る場 合 の こ とで あ って,仕 事 とか エ ネル ギ ー とい う量 は座 標 系 を変 えれ ば 変 わ って み え る も の で あ る. カモ メの翼 に 当 る風 も,翼 を押 し上 げ る仕 事 を す る,こ れ を空 気 の 分 子 が 翼 に 当 って下 方 へ跳 ね 返 る反 動 に よる もの とす る と,翼 を 押 し上 げ る仕 事 をす るた め に,翼
に当 る前 よ りも当 った あ との ほ うが 分 子 速度 は 小 さ くな っ て い る こ とに な
る.こ の際 の仕 事 は 翼 が 上 方 あ る いは 揚 力 の 向 きに押 しや られ て い る た め に な さ れ る もの で あ る. こ うして カモ メは 上 昇 す る と同 時 に,揚 力 の 水平 成 分 に よっ て風 の 向 き に加 速 され,し だ い に風 の 速度 に一 致 す る速 度 で 流 され る よ うに な る. 翼 に 当 る風 の 力 は も う 1つ の 効 果 を も って い る.そ れ は 翼 を回 転 させ よ うとす る力 の モ ー メ ン トで あ る.こ れ は 翼 が 風 に 当 る迎 角 を大 き く しよ うとす る.カ モ メは 重 心 を 少 し前 に 出 して この モ ー メ ン トを打 ち消 す よ うに して い るに ちが い な い.飛 び立 つ鳥 が首 を 前方 へ 伸 ば す よ うな し ぐさ をす る のは この た め で あ ろ う. 迎 角 を 大 き くし よ う とす る風 力 の モ ー メン トと重 心 の移 動 に よ る モ ー メ ン トと の バ ラ ン スは,少 な く と も迎 角 の小 さい とき は不 安 定 で あ る.だ か ら,カ モ メは 微 妙 な バ ラ ンス を と りなが ら飛 び 立 つ の で あ ろ う.こ れ を お もち ゃ とか 自動 制 御 を も った 装 置 で実 現 す る の はた い へ ん むず か しい に ち が い な い.凧 で は 糸 が つ い て
い るか ら,こ の バ ラ ン スは とれ るが,糸 が な くなれ ば,そ れ こ そ糸 の切 れ た 凧 に な っ て バ ラ ン ス を失 っ て しま う.紙 飛 行 機 で は 重 心 が や や 前方 に あ って 少 し下 降 ぎみ に 飛 ぶ と きに 安 定 した 運 動 が 可 能 で あ る よ うに み え る.そ の と きの 運 動 は 安 定 した ワシ や トン ビの飛 翔 に 似 て い る よ うで あ る.
第5 講 ベ ル ヌー イ の定 理
―テ ー マ ◆ ベ ル ヌ ー イの 定 理 ◆ 一般的な証 明 ◆TeaTime:ベ
ル ヌ ー イ の定 理 の 応 用
エ ネ ル ギ ー積 分
完 全 流 体 で は 粘 性 が な い の で 内 部 摩 擦 に よ る エ ネ ル ギ ー の 損 失 は な く,そ め 力 学 的 エ ネ ル ギ ー が 保 存 され る は ず で あ る.と す な わ ち 定 常 流 に お い て,ェ
のた
く に 時 間 的 に 変 化 し な い 流 れ,
ネ ル ギ ー 保 存 の 法 則 は 簡 単 な 形 を と る.こ
れは次の
よ うに 述 べ られ る. 定 常 流に お い ては 流 線 に沿 って
(1)
が 成 り立 つ.こ
れ は エ ネ ル ギ ー積 分 で あ る が,ベ
ル ヌ ー イ(Bernoulli)の
定理
と 呼 ば れ る. 【証 明 】 しや す い.こ
上 式 が エ ネ ル ギ ー 保 存 の 法 則 を 表 す こ と は,縮
ま な い 流 体 の と き理 解
の と き は ρ=一 定 な の で 上 式 は (2)
とな る.左 辺 第 1項 は 単 位体 積 の運 動 エ ネ ル ギ ー,第
2項 は 位 置 エ ネ ル ギ ー で あ り,第 3
項 は次 に示 す よ うに圧 力 に対 す る仕 事 を 意 味 し,上 式 は これ らの和 が 流 れ に 沿 って 保 存 さ れ る こ とを 表 して い る. 図10
細 い 流管 の 2点 A と B を 考 え る(図10).
流 管 の 断 面 積 を A に お い てSAと
し,B
お け る 流 速 をqA,qBと
間 に 断 面 A を 通 る エ ネ ル ギ ー は,UAを
す る.dt時
に お い てSBと
す る.ま
た こ れ らの 点 に A に
お け る ポ テ ン シ ャル と し て (3) で あ り,断 面 B を 通 る エ ネ ル ギ ー は (4) で あ る(UBは
B に お け る ポ テ ン シ ャ ル) .エ
ネ ル ギ ー が 保 存 さ れ る と き,こ
ら の 差 は A に お い て 圧 力 に 対 し て な さ れ る 仕 事WA(A 流 入)と
B に お い て 圧 力 に 対 し て な さ れ る 仕 事WB(エ
れ
にお け る エ ネ ル ギ ー の ネ ル ギ ー の 流 出)の
差 で
なけ れ ば な らな いか ら (5) で あ る.し
た が って
(6) こ の と き,流
体 の 量 の 保 存(連
続 の 方 程 式)は (7)
と 書 く こ とが で き る.し
(8) と な る.こ
れ は(2)を
た が っ て(6)は
与 え る.
と くに 外 力 と し て 重 力 が あ る と き は,高
さ をh と し て 流 体 の ポ テ ン シ ャ ル は
U=ghな
の で ベ ル ヌ ー イ の 定 理(2)は
(9)
とな る. 【一 般 的 な証 明】 定 常 流 で は ∂u/∂t=0な どが 成 り立 つ の で運 動 方程 式 は な ど(10) とな る.こ の 左 辺 にu=qdx/dsな
ど を代 入 す る と
(11) した が っ て 運 動 方 程 式(10)は
(12)
を 与 え る.こ の 第1 式 の 左 辺 と右 辺 に(1/q)u=dx/dsの
左 辺 と右 辺 を そ れ ぞれ
かければ (13) を得 る.同 様 に 第2 式,第
3式 か ら
(13')
を 得 る.こ
こ でu2+v2+w2=q2で
あ り,
(14)
で あ る こ と を 考 慮 す れ ば(13),(13)か
ら (15)
を 得 る.し
た が っ て 流 線 sに 沿 っ てq2/2+U+P=一
定 が 成 り立 つ.
TeaTime
ベ ル ヌー イの 定 理 の応 用 【流体 の噴 出】 液体 を入 れ た容 器 の底 や側 面 に 小 さな孔 を あけ る と液 体 が 噴 出 す る.図11に す る と,ベ
お い て P を 水 面,Q
を噴出孔 と
ル ヌ ーイ の定 理 に よ り
こ こで 水 面 の 下 が る 速 度 はvp〓0で pQも大 気 圧 で 等 し い.よ
あ りpPと
っ て孔 か ら噴 出す る
流 速VQは 図11
す な わ ち,孔 か ら流れ 出す 液 体 の速 さは物 体 が水 面 か ら孔 まで 自 由落 下 した と き に 得 る 速 さ に 等 し い.こ ricelli)の
れ を ト リ チ ェ リ(Tor
定 理 と い う こ とが あ る.
【圧 力 を 加 え た 器 か ら の 噴 出 】 に ピ ス ト ン で 圧 力p1を る.そ
の 速 度 をν,外
図12の
よ う
加 え て 液 体 を 噴 出 させ
の 圧 力 をp0と
す る と,ベ 図12
ル ヌ ー イの 定 理 に よ り
した が っ て
これ を グ レア ム(Graham)の
法 則 と い うこ とが あ る.
実 際 に は孔 の 出 口で 流 れ が 縮 むの で,単 位 時 間 に 流 れ 出 る液 体 の量 は 速 さν に
孔 の 断 面 積 S を かけ た もの よ り少 な く,kvSと に 円 い 孔 を あけ た だ け で はk=0.6ぐ
な る.k を縮 脈 の係 数 とい う.壁
らいに な る.
【水 平 な管 内 の 流れ 】 断 面積 が ゆ るや か に変 化 して い る 水平 な管 に流 体 を 流 す と,図13の
よ うに 断面 積 の小 さ い と こ ろで は 流 速 が 速 く,圧 力 が 小 さ く な る.
これ は ベ ル ヌ ー イの 定 理 に よ りp+1/2ρv2=一 定 とな るか らで あ る.し
か し粘 性
や乱 流 が無 視 で きな い とき は下 流 に い くほ ど圧 力 は 低 くな る(こ れ を 落 差 損失 と い う).
図13
図14
【ピ トー管 】 流 速 を は か る装 置 に ピ トー管 が あ る.こ れ は飛 行 機 に乗 りな が ら そ の 速 さを測 るの に も用 い られ る.図14の(a)ま 流 れ の 中 に入 れ る と圧 力差p1-p0が
た は(b)の
で き る.ρ を 流 体 の密 度,流 れ の 速 さを U と
す れ ば,ベ ル ヌー イ の定 理 か ら
p0を 静 圧,ρU2/2を
動 圧,p1を
よ うな装置を
総 圧(あ
る い は よ ど み 圧)と
い う.
第6 講 流 れ と 変 形
―テーマ ◆ ず りの変形 ◆ 渦度 ◆TeaTime:ず
りと回転
流 れ に よ る流 体 部 分 の 変形 流 体 の 中 に 小 さな領 域 を 考 え る と,流 れ の た め に この領 域 は 移 動 し,同 時 に変 形(ひ ず み)を 生 じ,ま た 回 転 す る.ひ ず み に は伸 び縮 み の変 形,直
方体がひ し
ゃげ るず りの変 形 が あ り,ま た 体 積 変 化 もあ る.流 体 が 回転 す る 渦 も あ り うる. まず ひ ず み か ら考 察 し よ う. 流 体 の 1点P(x,y,z)と δx,y+δy,z+δz)を
こ れ に 十 分 近 い 点Q(x+ と る(図15).短
に 流 れ に よ っ て P がP'に (x+ξ,y+η,z+ζ)と
+ζ+δζ)と
移 っ た と し,Q'の
す る.(ξ+δ
よ っ てPQはP'Q'に
移 っ た と し,P'の
す る.(ξ,η,ζ)は
た この
座 標 を(x+δx+ξ+δξ,y+δy+η+δη,z+δz
ξ,η+δ η,ζ+δ ζ)は Q の 変 位 で あ る.こ
な り,相
座標 を
こ の際 の P
の 変 位 で あ り,τ に 比 例 す る微 小 量 で あ る.ま
図15 と き Q がQ'に
い 時 間 τの間
対 変 位 はP'Q'-PQで
あ る,相
れ ら の変 位 に
対 変 位 のx 成 分 は (1)
と な る.同
様 に 相 対 変 位 のy,z 成 分 は δη,δζで あ る.
変 位(ξ,η,ζ)は
位 置(x,y,z)の
関 数 で あ る か ら,P
と Q が 十 分近 けれ ば Q
の P に 対 す る相 対 変位 は
(2)
と 書 け る.特
別 な 場 合 を い くつ か 調 べ よ う.
【伸 び の 変 形 】
と く に ∂ξ/∂y=∂ξ/∂z=0,δ η=δζ=0の
と きは (3)
これ はPQのx
方 向 の長 さ が δξだ け 伸 び た
変 形 で あ り,∂ ξ/∂xは単 位 長 さ当 りの 伸 び (負 の と き は縮 み)を 表 す(図16).同
様に
∂η/∂yはy方 向 の長 さ の 伸 び,∂ ζ/∂zはz方 図16
向 の 長 さの伸 び の割 合 を表 す. 【体 積 変 化 】
上 の 変 形 が 同 時 に起 こる と
き は(図17),x
方 向 の 長 さl1はl1+(∂
ξ/
∂x)l1に な り,y 方 向 の 長 さl2はl2+(∂
η/
∂y)l2と な り,z 方 向 の 長 さl3はl3+(∂
ζ/
∂z)l3と な る の で,こ 図17
れ らの 長 さを辺 とす
る直 方 体 の 体 積 は
(4) だ け 増 加 す る.た
だ し変 位 は 十 分 小 さ い と し,そ
の た め∂ ξ/∂x,∂η/∂y,∂ζ/∂zに
関 す る 2項 以 上 の 積 は 無 視 で き る と し た.V=l1l2l3を 変 化 を△Vと
す れ ばV が 十 分 小 さ い と き(4)に
流 体 部 分 の 体 積 と し,そ よ り
の
(5)
したが って この 右 辺 は 単 位 体 積 当 りの 体 積 変 化 で あ る. 【単 純 なず りの変 形 】 式(2)に
お い て ∂η/∂x以外 の 係 数 が す べ て 0で あ る と
す ると (6) で あ る.こ の と きy方 向 の相 対 変 位 δηは δxに 比 例 す る の で,微 小部 分 は 図18 (a)の る.こ
よ うに y 方 向 の ず り の 変 形 を 表 す こ と に な の 際 に は 体 積 変 化 は な い.
同 様 に ∂ξ/∂y以 外 の 係 数 が 0で あ る と す る と(2) は (7) と な り,こ
れ は 図18(b)の
よ う にx 方 向 の ず りの
変 形 を 表 す. 図18
【純 粋 な ず り】
こ れ ら 2 つ の 変 形 が 同 時 に,し
か
も 同 じ度 合 で 起 こ る と き,す なわ ち (8) で あ る と きは
(9)
が 成 り立 つ.こ
の 変 形 を 図19に
示 す.こ
の 場 合,45°の
直 線δy=δxは
同 じ向き
図19
の 直 線 δη=δξに 移 る こ と を 注 意 して お こ う.こ の 変 形 で は 正 方 形 の45°の
対角線
は 回 転 を 起 こ さ ず,こ の 方 向 に ひ し ゃ げ る の で あ る.こ の よ う な 変 形 を純粋なずり と い う.
一 般 の 変 位 と変 形
変 形 の式(2)を(純
粋 なず りの式(9)を
参 照 しなが ら)
(10)
と書 き直 す(各 式 の右 辺 の 第 2項,第
3項 と第 4項,第
び反 対 称 の部 分 と い うこ とが で き る).第
5項 は それ ぞ れ 対 称 お よ
2項 と第 3項 は 純粋 なず りを 表 し,こ
れ は 回 転 を 含 まな いか ら第 4項 と第 5項 は 一 般 の 変 形 の残 りの部 分,す
なわち回
転 を表 す に ち が い な い.実 際 そ うで あ る こ とを 次 に示 そ う. 回 簡 単 の た め(x,y)面
転
内 の 変 形 を 考 え よ う.す な わ ち δζ=0と す る.ま
た伸び
の変 形∂ξ/∂x,∂η/∂yはな く,純 粋 なずり(∂ ξ/∂y+∂ η/∂x)/2もな い とす る.こ の とき(10)は
(11)
と な る.こ
の 変 位 は 図20の
はz 軸 の ま わ り の 回 転(微
よ うに な り,こ 小 回 転)で
れ
あ り,
微 小 回 転 角 は δη/δx=(∂ η/∂x-∂ξ/∂y)/2で あ る.
図20
流 れ に よ るひ ず み速 度 微 小 変 位(ξ,η,ζ)の 生 じ る 微 小 時 間 τで これ らをわ れ ば 流れ の 速度 に な る. す な わ ち 流 速 を(u,v,w)と
(12) また
δξ/τ=δu,δ
η/τ=δv,δ
して
ζ/τ=δwと
な る.
ここ で
(13) と書 く と,exx,eyy,ezzは伸縮ひずみ速度,exy,eyz,ezxは純粋ずりひずみ速度 り,ωx,ωy,ωzは 【渦 度 】
そ れ ぞ れx軸,y
軸,z
上 記 の(ωx,ωy,ωz)は渦度
であ
軸 の ま わ りの 回 転 速 度 の 2 倍 で あ る . と 呼 ば れ る.流
速 をv=(u,v,w)と
書けば
渦 度 ベ ク トル ω=(ωx,ωy,ωz)は
(14) と 書 け る.こ
こ でrotは
回 転(ロ
ー テ ー シ ョ ン)と
呼 ば れ,v=(u,v,w)に
対 し
(15)
を意 味 す る. 渦度 とい うのは 局 所 的 な概 念 で あ る.流 体 が 回 転 運 動 を して い る場 合 で も,渦
度 が あ る のは そ の 中心 の きわ め て細 い糸 の よ うな 部 分(渦 糸 とい う)に 限 られ て い て,そ の周 囲 の 運 動 は そ れ に 引 きず られ た もの で 渦度 が な い とい う場 合 も あ る こ とを 注 意 して お く(第12講
参 照).
TeaTime
ず リと 回転 弾 性 体 の変 形 を む か しは歪 とい い,変 形 に よ って 生 じる 各部 分 の 力 を歪 力 とい っ た.歪 図21の
力 は 応 力 で あ る. よ うに 長 方 形 の 物 体 の 上 下 の 面
に た が い に 逆 向 き で 大 き さ の 等 し い 力F, F'を 加 え て ず ら す(体
積 は 変 化 し な い).
こ れ を 単 純 な ず り(ず れ)の 長 方 形ABCDが A'B'CDに ∠BCB'を
ず り の た め 平 行4
辺 形
な っ た と き,θ=∠ADA'=
図21
ず りの 大 き さ と い う.
正 方 形 を考 えた と き,そ 変 化 しな い)す 図23か
変 形 と い う.
の 対 角 線 の方 向 へ 図22の
よ うに菱 形 に 変 形(体 積 は
るの を純 粋 な ず りとい う.
らわ か る よ うに 角 度 θ/2の 純 粋 なず りに 角度 θ/2の 回 転 を与 え る と,
ず りの大 き さが θの単 純 なず りに な る. 純 粋 なずり は 回転 を含 ま な い の で 「 純 粋 」 とい うので,こ れ に 回 転 を加 えた も のが 単 純 なずり なの で あ る.こ れ は 次 の よ うに 考 え る こ とが で き る.原 点 の近 く の微 小 な 変 形 を 考 え,点(x,y)が(x+ξ,y+η)へ
移動 す る とす る.微 小 な 単
純 なずり に よる変 形 はa を微 小 な係 数 と して (1) で表 ざれ る.a2を
無 視 す る と これ は 行 列 の形 で (2)
ただ し
図22
図23
(3)
ただし (4) と書 け る.B は 微 小 な純 粋 なずり (5) を 与 え る.ま たC は微 小 回転 (6)
を 与 え る.し た が っ てA は 純 粋 なずり に 回 転 を 加 え る操 作 を 表 す. 流 体 の 場 合 は 変 形 の 微 小 時 間 を τと す る と き2a/τ は 流 れ の 速 度 勾 配 を 表 す わ け で あ る.
第7 講 渦 な しの 流 れ
―テ ー マ ◆ 速度 ポ テ ン シ ャル ◆ 一 般 化 され た ベ ル ヌ ー イ の定 理 ◆TeaTime:速
度 ポ テ ンシ ャル,汎 関数 的微 分
速 度 ポ テ ンシ ャル
流体の性質や運動は 縮 む 流 体 と縮 ま な い 流 体 完全 流 体 と粘 性 の あ る流 体 渦 の あ る流 れ と渦 の な い 流 れ 定 常 的 な 運 動 と 時 間 的 に 変 化 す る運 動 に 分 類 で き る.こ
こ で は し ば ら く渦 な し の 流 れ を 扱 う.
渦 な し の 流 れ で は 渦 度 が 0,ω1=ω2=ω3=0,す
なわち (1)
が 成 り立 つ.こ
れ は 流 速(u,v,w)に
(2)
で 関 係 付 け ら れ る 関 数 φ(x,y,z,t)が
あ る こ と を 意 味 す る.実
際(2)が
成 り立
てば(1)が
成 り立つ.そ
の逆 も真 で あ る こ とが 示 され る.関 数 φを 速 度 ポ テ ン
シ ャル とい う.渦 な しの 流 れ は 速 度 ポ テ ン シ ャル を もつ の で,ポ テ ンシ ャル 流 と も呼 ば れ る.(2)の
右 辺 に マ イ ナ ス を 付 け て い る本 も あ る か ら注 意 が 必 要 で あ
る.
一般 化 され た ベ ル ヌ ー イの 定 理
流 体 の 運 動 方 程 式(第
4講(14))は な ど(3)
で あ る.渦 な しの場 合 は 条 件(1)に
より な ど(4)
が成 り立 つ の で,運 動方 程 式(3)は な ど(5) と書 け る.こ
こで 流 速 をq とす る と (6)
な の でu∂u/∂x+v∂v/∂x+w∂w/∂x=∂(q2/2)/∂x.し
た が って 運 動方 程式 は な ど(7)
と書 け る.さ らに 速 度 ポ テ ンシ ャル φを 用 いれ ば(2)に
より (8)
した が って 運 動 方程 式 は
(9)
と な る.こ
れ ら 3式 は,渦
な し の 流 れ の 全 体 に 対 して
(10)
が 場 所 に よ ら な い 時 間 だ け の 関数 で あ る こ とを 意 味 す る.こ れ を 一 般 化 され た ベ ル ヌー イ の 定 理 と い う. と くに 流 れ が 時 間 に よ らな い(定 常 流)な
らば 渦 な しの と き
(11)
が成 り立 つ.こ れ は 第 5講 で 述 べ た ベ ル ヌ ーイ の 定 理 に よ く似 て い るが,第
5講
に お け るベ ル ヌ ー イ の定 理 は 渦 が あ って も成 り立 つ か わ りにq2/2+U+Pは
流線
ご とに値 が 異 な るか も しれ な い.こ れ に対 し今 回 の 場 合 は 渦 な しに 限 るが,全 空 間 でq2/2+U+Pが
一 定 に な る とい う ことで あ る.
縮 ま ない流 体 の 場 合 上 述 の定 理 は 縮 む流 体 の場 合 に も成 立 す るが,と
くに縮 ま な い流 体 に 限定 す れ
ば,話 は た いへ ん簡 単 に な る. 縮 ま ない 流 体 の連 続 の方 程 式 は (12) で あ る.こ れ に(2)を
代入すれば
(13)
とな る.こ れ は ラプ ラス(Laplace)方
程 式 と呼 ば れ て い る重 要 な方 程 式 で あ る.
ラプ ラス演 算 子 (14) を 用 いれ ば,ラ
プ ラス方 程 式(13)は (15)
と書 か れ る.こ の方 程 式 の解 φを調 和 関数 とい う. 【縮 まな い流 体 の渦 な し定 常 流 】 この 場 合 は 境界 条件 を 満 た し(15)を る よ うな ポ テ ンシ ャル φを 求 め れば 十 分 で あ る.こ
の 場 合P=p/ρ
満足す
で あ るか ら
(11)は (渦な し定 常 流 の 全 領 域)(16) とな り,φ か ら求 め たq の値 を これ に 代 入 す る こ とに よっ て圧 力p が 求 め ら れ る こ とに な る.し た が って 完 全 流 体 の 渦 な し定 常 流 内 に お い た 物 体 に は た ら く力 の 計 算 は ラプ ラ ス方 程 式 を 解 くこ とに よ って な され るの で あ る. 重 力や 静 電 力 の ポ テ ンシ ャル も ラ プ ラ ス方 程 式 を 満 た す.こ
こで知 った の は 縮
ま な い流 体 の 渦 な し定 常 流 の ポ テ ンシ ャル も この 方 程 式 を 満 た す こ とで あ る.こ の よ うに ラプ ラス方 程 式 は きわ め て応 用 の 広 い方 程 式 で あ る.
φ の 勾 配 渦 な しの 流れ の流 速 は 速 度 ポ テ ン シ ャル φの 勾配 で 与 え られ,そ の成 分 は(∂φ/ ∂x,∂ φ/∂y,∂φ/∂z)で
あ る こ と を 述 べ た.
そ の 幾 何 学 的 意 味 を 調 べ よ う. φ(x,y,z)=c1(定 あ る 曲 面 を 表 す.こ し,こ
数)は(x,y,z)空
間の
の 上 の 1点 を 原 点 O と
れ とわ ず か に 離 れ た 曲 面 φ(x,y,z)=
c2(定 数)に
お ろ した垂 線 が この 曲面 を 切 る
と こ ろ をP(x,y,z)と
す る(図24).c2-c1=
c が 小 さ い とす る と O,P の 付 近 で 曲 面φ=c2 は 平 面 と み な し て よ い. 原 点 O か らx 軸 が 面φ=c2を の 長 さ をl1,y
軸 とz 軸 が 同 じ面 を 切 る 点 ま
で の 長 さ を そ れ ぞ れl2,l3と の 長 さ をl,こ 図24
切 る点 ま で
し,ま
れ がx 軸,y 軸,z
た 垂 線OP 軸 となす 角
そ れ ぞ れ α,β,γと す る.∂ φ/∂xはx 方 向 に
l1 だ け 進 ん だ と き の φ の 変 化 cをl1で ∂y,∂ φ/∂zに つ い て も成 り立 ち,幾
わ っ たc/l1に
等 し い.同
様 な こ と は ∂φ/
何 学 的 に 次 の 式 が 得 ら れ る.
(17)
とれ か ら (18) と な る.こ
こで (19)
と お い た.∂ φ/∂η は 垂線n 方 向 の φ の 変 化 の 割 合,す
な わ ち φ の 勾 配 で あ る,ピ
タ ゴ ラス の 定 理 に よ り (20) で あ るか ら (21) し た が っ て(∂ φ/∂x,∂ φ/∂y,∂ φ/∂z)を 成 分 と す る ベ ク トル は 垂 線n の 方 向 を 向 き,そ
の 向 き の 変 化 の 割 合 は φ の 勾 配 で あ る.そ
ント )と
呼 ぶ.こ
れ は ベ ク トル 記 号 でgradφ
こ で 勾配 をgrad(グラディエ
あ る い は▽ φ と 書 く,す
なわ ち (22)
と書 く.流
速は
(23) で あ る か ら,流
体 は φ の 増 大 す る 向 き に 流 れ る.
ラゲランジュ 関 数
解 析 力 学 を 流 体 に 対 し て 用 い る と き,密 準 変 数 で あ る こ と が 示 さ れ る.
度 ρ と速度 ポ テ ンシ ャル φが 共 役 な 正
【説 明 】 v =gradφ
渦 の な い 流 れ の 場 を 考 え,流
速 をv,速
度 ポ テ ン シ ャ ル を φ とす る と
で あ り,単 位 質 量 に は た ら く外 力 の ポ テ ン シ ャ ル を U
,単
部 エ ネ ル ギ ー をE,密
度 を ρ と す る と,流
体 の 全 エ ネ ル ギ ーH(ハ
位体積 の内 ミル トン 関
数)は (24) で 与 え ら れ る.こ
こでラグランジュ
関数 L を (25)
とす れ ば 作 用 原 理 (26) か ら運 動 方 程 式
(27)
が 導 か れ る.こ
こ で δは 汎 関 数 的 微 分(TeaTime参
照)を
表 す.
実 際(24)と(27)は (28-1)
(28-2) を 与 え る.内
部 エ ネル ギ ー E の微 分 を (29)
と す れ ば,(28-1)は(10)(f(t)は 続 の 方 程 式 を 与 え る.
∂φ/∂tに 含 ま せ る)と
一 致 し,(28-2)は
連
TeaTime
速 度 ポ テ ン シ ャル 渦 な しの 流 体 では 速度ポテ ン シ ャル φ(x,y,z,t)が 存 在 し,流 速(u,v,w)は (1) で 与 え られ る.さ らに流 体 が 縮 ま な い流 体 で あ る とす る と速 度 ポ テ ンシ ャル φは ラプ ラス方 程 式 (2) を 満 た す(第
8講 で くわ し く述 べ る湧 き出 し点,吸
い 込 み点 を除 く).
湧 き 出 し点,吸 い込 み点 は 特 異 点 で,そ の外 部 は ラプ ラス方 程 式 の 解 で あ り, 一 般 解 は 湧 き出 し,吸 い込 み の重 ね 合 わ せ で与 え られ る.こ れ は (3) と書 け る.こ こでr=r(x,y,x)で Qj<0)の
あ り,rjは 強 さQjの
湧 き 出 し(吸 い込 み で は
位 置 で あ る.重 力 の場 も ラ プ ラ ス方 程 式 を 満 たす.こ の場 合 は,Qjは
重 力 場 を 与 え る質 点 の 質量 で あ る. 2重 湧 き出 しは+Qと-Qの ポ テ ンシ ャル で あ る.さ
湧 き出 し と吸 い込 み が 接 近 し て あ る と きの 速 度
らに多 数 の 湧 き 出 しが 接 近 して存 在 す るた め の 高 次 の 湧
き 出 しポ テ ンシ ャルを 考 え る こ と もで き,ラ プ ラス方 程 式 の解 は これ らの 湧 き出 しポ テ ン シ ャル の重 ね 合 わ せ で 与 え られ る. 速 度 ポ テ ン シ ャル が 一 定 の 曲面 は 流 線 と直 角 に 交 わ る こ と も注 意 して お こ う.
汎 関 数的 微 分 (4) とす る と きA の 汎 関 数 的 微 分 は
(5) で あ る.
第8 講 縮 まない流体の渦な しの流 れ
―テ ー マ ◆ 湧 き 出 し と吸 い込 み ◆ 球 の まわ りの 流 れ ◆TeaTime:湧
き 出 し と吸 い込 み
速 度 ポ テ ン シ ャルの 例
こ れ か ら話 は す べ て 縮 ま な い 流 体 に 限 る こ と に す る.そ な い 流 れ を 扱 う.縮
し て 第 9講 ま で は 渦 の
ま な い 流 体 の 渦 の な い 流 れ は 第 7講 の(13)で
示 し た よ うに
ラプ ラス方 程 式 (1) の 解 に よ っ て 与 え られ る.簡
単 な い くつ か の 例 を あ げ よ う.
【一 様 な 流 れ 】x,y,z の 1次 式 (2) は ラ プ ラ ス 方 程 式 を 満 た す.そ
の流れは (3)
で 与 え ら れ る.こ
れ は(a,b,c)方
【壁 に 当 る 流 れ 】
向 の 一 様 な 流 れ で あ る.
速 度 ポ テ ン シ ャル
(4) が ラプ ラス 方程 式 を満 たす こ とは 容 易 に確 か め られ る.流 れ は (5) で あ る.縮 まな い 流 体 の連 続 の 方程 式 ∂u/∂x+∂v/∂y+∂w/∂z=0が 満 た さ れ るの が 確 か め ら れ る.(x,y)面
内で流線の方程
式は (6) あ る い はdy/y=-dx/xで
与 え ら れ る.こ
れ を 積 分 す れ ばlogy=-logx+定
数.し
た が って 流 線 は (7) と な る.こ
れ は 直 角 双 曲 線 で,定
数 cを 変
図25
a>0の
とき
えれ ば 流 線 の群 を 得 るが,こ れ は 壁 に 当 る 2次 元 的 な 流 れ で あ る(図25).
湧 き 出 しと吸 い込 み 空 間 の極 座 標 を 用 い,動 径 をr とす れ ば 速 度 ポ テ ン シ ャル
(8)
ただ し (9) が 原 点r=0を
除 き ラ プ ラス 方程 式 を 満 た す こ とは 容 易 に確 か め られ る.φ =定 数
は 原 点 を 中 心 とす る球 面 で あ り,m>0な 加 す る(図26(a)).こ
らば 原 点 か ら遠 ざ か る に つ れ て φは 増
の と き の 流 れ は 原点 か ら流 体 が湧 き 出 て無 限 遠 へ い く 球
対 称 の流 れ で あ る.動 径 方 向 の流 れqrは 原 点 か らr の 点 に お い て (10)
図26(a) 湧 き出 し
図26(b) 吸 い 込 み
で あ って,半 径r の球 面 を 単位 時 間 に通 過 す る流 体 の 体 積 は (11) で 与 え られ る(こ れ は rに よ らな い).こ れ を 湧 き出 しの 強 さ とい う. こ の よ うにm>0な
らば 原 点 は 流 体 の 湧 き出 し 口で あ る.ま
い込 み ロで あ る(図26(b)).m
たm<0な
らば 吸
は 湧 き 出 し,吸 い 込 み の 強 さ を 意 味 す る.湧 き
出 しを(+),吸 い 込 み を(-)で表 そ う. 【多 数 の湧 き 出 し】 強 さがm1,m2,…,mNの
湧 き 出 しが 分 布 して い る と き,領
域 を限 る壁 な どが なけ れ ば,流 れ は ポ テ ン シ ャル (12) に よっ て与 え られ る.こ
こ でriは 空 間 の点 P と
i番 目の湧 き出 しの 間 の 距 離 で あ る.無 限 遠 で 静 止 して い る縮 ま な い流 体 の渦 な しの 流 れ は すベ て 湧 き出 し と吸 い込 み に よ って与 え られ る. 【2重 湧 き出 し】 強 さ の 等 しい湧 き 出 しA と 吸 い 込 みB が 接 近 して あ る も の を 2重 湧 き出 し 図27
2重 湧 き 出 し
とい う.A,Bか
らr,r'の 距 離 の点P に お け るポ
テ ンシ ャル は
(13)で 与 え られ る.た 図27か
だ し,湧
き 出 し と吸 い 込 み の 距 離dsは
十 分 小 さ い と す る の で,
ら (14)
と し て よ い.dsの
1次 ま で と れ ば (15)
と な る.こ
こで (16)
を 一 定 に し てds→0,m→
∞ とす れ ば,2
重 湧 き 出 しに よる ポ テ ン シ ャル は
(17)
で 与 え られ る こ と に な る. 速 度 ポ テ ン シ ャ ル(17)に 調 べ よ う.動
よ る 2重 湧 き 出 し の 流 れ を
径方 向 の 速度 は (18)
θ方 向 の 速 度 は(ds=rdθ)
(19) 図282 と な る.こ
の 流 れ を 図28に
示 す.
重 湧 き出 しの 流れ
静 止 流 体 内 を 動 く球 の ま わ りの 流 れ 速 度 ポ テ ンシ ャル
(20)
に よる流 れ は,静
止 流 体 内 を 速 さ U で x方 向 に進 む 半 径 aの 球 の 中 心 が 原 点 に
一 致 した 瞬 間 に お け る球 の まわ りの流 れ を 与 え る. 【証 明 】(20)は
2重 湧 き出 しの 速度 ポ テ ン シ ャ ル(17)で
μ=-Ua3/2と
お
いた も ので あ る.r 方 向 の 流 速 は (21) で あ り,球 の表 面r=aに
おけ る流 速 は (22)
とな る.こ れ は速 度 U で 進 む 球 の 表面 上 の点(r,θ)の し い(図29).し
法 線 方 向の 速 度 成 分 に 等
たが っ て この 流 れ は 球 の 運 動 に よ っ て 押 しの け られ て い く流体
の流 れ を 表 し て い る(図30).
図29
図30
静 止 し た 球 の ま わ りの 流 れ x方 向 の速 度U の 一 様 な 流 れ の 速度 ポ テ ン シ ャル は,φ=Ux=Urcosθ る.ま
であ
たx の 負 の 向 き に 静 止 流 体 内 を 進 む 球
の ま わ りの 速 度 ポ テ ン シ ャ ル は φ=U(a3/r2) COSθ で あ る.こ
れ ら を 加 え 合 わ せ た 速 度ポ
テン シ ャル
(23) は 静 止 した半 径a の球 の まわ りの 流 れ(遠 方 図31
でx 方 向 に 速 度U)を
与 え る(図31).
実 際 この場合
(24)
した が っ てy= 一 定,x→
± ∞ でqr→
±Uで あ り,r=aでqr=0と
な る.な お
この場 合 θ=π/2に お け る球 の 表面 上 の 流れ の速 さは-qθ(r=a,θ=π/2)=(3/2) Uとな り,遠 方 に お け る流 速 よ りも大 きい.こ
れ は θ=π/2の 付 近 で は 球 の た め
に 流 れ が 狭 め られ て 速 くな るか らで あ る. ダ ラ ンベ ー ル の 背 理 縮 まな い完 全 流体 の定 常 な 渦 な しの 流 れ の 中 に あ る球 には 力が は た らか な い. これ を ダ ランベ ー ル(d'Alembert)の
背 理(パ
ラ ドック ス)と
い う.流 体 中 に
お い た 球 体 には 流れ の た め の 力 が は た ら くだ ろ う とい う常 識 に反 す る よ うに 思 わ れ る の で背 理 とい うので あ る. 【説 明 】 定常 流 が わ か って い る と き,物 体 に は た ら く力 は 物 体 の表 面 に お け る 圧 力 を 表面 に つ い て積 分 す れ ば 与 え られ る.一 様 な 流体 内に 球 を お い た とき の 流 れ は(24)あ
る いは 図31で わ か る よ うな 対 称 性 を も つ た め に,圧
力 は流 れ の 上
流 と下 流 で(流 れ に 垂 直 な 方 向 で も)同 じで あ る.そ の た め球 に は全 体 と して 力 が は た らか な い. この よ うな こ とは 球 に 限 らず,渦
な しの定 常 な流 れ の中 に あ る物 体 には 全 体 と
して 力 が は た らか な い.抵 抗 も揚 力 も生 じな い ので あ る.こ れ も一 般 に ダ ラ ンベ ール の背 理 と呼 ば れ て い る . 物 体 に抗 力や 揚 力 が は た ら くの は渦 の あ る と き か,物 体 が 加 速 度 を も つ と き か,流 体 が 粘 性 を もつ場 合 で あ る.
TeaTime
湧 き 出 しと吸 い 込 み 湧 き 出 し と吸 い込 み の つ くる流 れ の場 は 静 電 気 に おけ る電 気 力線 に似 て い る. この ア ナ ロジ ーで,た
と えば 湧 き 出 しを プ ラス 電 気〓,吸
い 込 み を マ イナ ス 電 気
〓に 対 応 させ る こ とが で き る.流 線 が 湧 き出 しか ら 出 て吸 い込 み に 向 か う よ う に,電 気 力 線 は〓 電気 か ら〓電 気 へ と向か う. 2つ の湧 き 出 しが 並 んで い れ ば 流 れ は 図32(a)の よ うに な り,2 つ の 吸 い込 み が 並 ん で い れば 流れ は 図32(b)の よ うに な る.こ れ らは〓 電 気 ど うし,あ る い は 〓電 気 ど うしの 間 の電 気 力線 とま った く同 様 で あ る. また 湧 き 出 し と吸 い込 み が 並 ん で い れ ば 流 れ は 図32(c)の よ うに な り,こ れ は 〓電 気 と〓 電 気 の間 の 電 気 力 線 と ま った く同 様 で あ る. しか も これ らの 間 に は た ら く力に つ い て も類 似 が 成 り立 つ こ とに な る.し か し これ 以 上 に 類 似 を強 調 す るの は無 理 で あ ろ う.流 れ は 流 れ,電 気 は電 気 で あ る. ポ テ ンシ ャル の符 号 に つ い ては も う少 し複 雑 に な る.力 学 的 な 場合 で は,そ
っ
とお い た物 体 が 動 き出 す 方 向 が ポ テ ンシ ャル(位 置 エ ネ ルギ ー)の 減 る方 向 で あ る.静 電 ポ テ ンシ ャル の 場 合 に は正 と負 の電 気 が あ るの で,約 束 と して正 電 気 を そ っ とお い た とき に,そ れ が動 き出 す 方 向が 静電 ポ テ ンシ ャル の減 る方 向で あ る とす る.と
ころ が 電 子 は負 の電 気 を も っ
てい るか ら,そ っ とお いた 電 子 は ポ テ ン シャル の 高 いほ うへ と動 き 出す . 図32
この 本 で は 流 体 に対 して 速度 ポ テ ンシ
ャル φの増 え る方 向へ 流 体 は流 れ る と して い る.流 れ の 中 に流 れ を調 べ る試 験 体 をお け ば 速 度 ポ テ ンシ ャル の 高 い ほ うへ 動 くの で,こ れ は電 子 を試 験 体 と した と き と似 て い る とい って も よいで あ ろ う.
第9 講 任意の運 動をする球 には た ら く力
―テーマ ◆ 加速度運 動をす る球にはた らく力 ◆ 流 れの運 動エネルギ ー ◆TeaTime:物
体にはた ら く流れ の力
任 意 の 渦 な しの運 動 渦 な しの 流 れ は 速 度 ポ テ ン シ ャル φを 用 い て 表 され,縮
まな い 流 体 で あ れ ば 速
度 ポ テ ン シ ャル は 第 7講 でみ た よ うに ラ プ ラス 方程 式 (1) の解 と して与 え られ る.こ の こ とは 流 れ が 時 間 に よ って 変 わ る非 定 常 な 流 れ に つ い て も成 り立 つ.こ の 場 合(1)に
お い て 速度 ポ テ ン シ ャル φは 時 間tを パ ラ メ
タ と して 含 む こ とに な るが,各 瞬 間 ご とに 境界 条件 か ら流 れ が 定 ま る.縮 む 流 体 では 流 体 の一 部 で 生 じた 運 動 は 音 波 と して 伝 わ る.し か し縮 まな い 流 体 で は 音 速 が 無 限 大 な の で,流 れ の 変 化 の 影 響 は 瞬 間 的 に流 体 全 体 に伝 わ る か ら,各 瞬 間 ご とに 流 れ は 定 まる の で あ る. した が って縮 まな い 流 体 の 運 動 の渦 な しの運 動 を知 る には 各瞬 間 ご とに 境界 条 件 を 満 たす よ うな ラプ ラス方 程 式▽2φ=0の 解 を 求 め れ ば よ い.境 界 条 件 が 固 定 され た と考 えた とき の解 φの 中 の定 数 を時 間tに 依 存 す る もの とす れ ば よいわ け で あ る.こ の解 を用 い る と き,圧 力 方 程 式
(2) の 中 の ∂φ/∂tが与 え られ るか ら,圧 力pが
これ か ら求 め られ る こ とに な る.こ
よ うに 縮 まな い 流 体 の渦 な しの運 動 で は,φ とpに で,ラ
の
対す る方 程 式 は 分 離 され る の
プ ラ ス方 程式▽2φ=0を 解 け ば 全 領 域 の流 れ が定 ま る の であ る. 球 に は た ら く抵 抗 力
球 が 加 速 度 運 動 を す る と,そ の 周 囲 の 流 体 も加 速 され るの で,そ の 反作 用 に よ る慣 性 力 が 球 に は た ら く.そ の力F'は 球 の 加 速度 と反対 の 向 き には た ら き,そ の大 き さは 球 の 体積 と同体 積 の流 体 の質 量m'の
半 分 に 加 速度 の 大 き さ を か け た
もの に 等 しい.す な わ ち球 の半 径 をa,流 体 の密 度 を ρ,球 の 加 速度 を α と す れ ば,抵 抗 力 は
(3)
で 与 え られ る. 【証 明】 流 体 は 無 限 遠 で 静 止 して い る とす る.球 が一 定 の速 度 で運 動 し て いれ ば 抵 抗 力 は は た らか な いか ら,球 が加 速度 運 動 をす る と し,簡 単 のた め球 はx 軸 上 に あ ってx 軸 に そ っ て加 速 され る と し よ う. 球 の 半径 をa と し,あ る瞬 間 に おけ る球 の位 置 を ξとす る.上 に述 べ た よ うに 加 速度 運 動 を して い て も速度 ポ テ ンシ ャル φは ラ プ ラス 方程 式 の解 と して与 え ら れ るか ら,第 8講 の(20)を
参 照 して球 の まわ りの 速度 ポ テ ン シ ャル φを書 き下 す
こ とが で き る.た だ 球 の 速度U は 時 間 的 に 変化 す る の で これ をU(t)と 流 体 のx,y,xに
お け る速度 ポ テ ンシ ャル は (4)
とな る.こ
こで (5)
流 体 が 球 に及 ぼ す 力F'は 球 の 表 面 に お け る流 体 の 圧 力p1を 球 の全 表 面S0で
積 分 した
図33
す れ ば,
式 に よ っ て 与 え ら れ る.球
表 面 に お け るx の 値 をx1と
書 け ば(図33) (6)
こ こ で 流 体 の 圧 力p は(2)に
よ り (7)
で与え
られ,球
(7)を(6)に
の 表 面 に お け る 圧 力 の 値 がp1で 代 入 す る とf(t)の
あ る.
項 は 積 分 に 寄 与 し ない ので (8)
と な る.こ
こでU=dξ/dt,U=dU/dtよ
び(5)か
ら得 られ る 式 (9)
を 用 い れ ば(4)か
ら (10)
を 得 る.球
面 上 の 値 を 添 え 字1 で 表 せ ばr1=aな
ので (11)
他 方 で 流 速(u,υ,ω)は(4)か
ら
(12)
し た が っ て 球 面 上 に お け る流 速 をq1と
す ると (1 3)
と な る. (11)と(13)か
ら球 面 上 に お い て (14)
を得 る.こ れ を(8)に
代 入 す れ ば 球 の受 け る力F'が 得 られ る.こ
こ で球 の全
表 面 に わ た る積 分 は
(15) こ こ でa2=(x1-ξ)2+y12+z12を
使 っ た.ま
たx1-ξ,(x1-ξ)3はx-ξ
の奇 関
数 なので (16) (15),(16)を
用 い れ ば(8)と(14)から (17)
が 得 ら れ る.
流 体 中 の 球 の 落 下
流 体 中 に あ る 球 に は 浮 力 が は た ら く(第 ス の 原 理 に よ り,球
1講).浮
力 の 大 き さF"は
の 体 積 と 同 体 積 の 流 体 の 質 量m'に
ア ル キ メデ
は た ら く重 力 に 等 し い か
ら F"=m'g (gは 鉛 直 上 方 にx 軸 を と り,球 は た ら く抵 抗 力F'は(3)に
重 力 加 速 度)
(18)
の 中 心 のx 座 標 を ξ と す れ ば 球 の 加 速 度 運 動 に 対 し て よ り (19)
ま た 球 の 質 量 をM
と す れ ば こ れ に は た ら く重 力 は-Mgで
あ る か ら,球
の運 動
方程式は
(20) あ るい は
(2l) と な る.し
た が って球 の加 速 度 を αとす る と (22)
球 の密 度 を ρ0,流 体 の密 度 を ρ,球 の半 径 をaと す れ ば
した が って 球 の 加 速度 は (23)
で与え られ る.球 の 密 度 の ほ うが大 きけ れ ば 球 は落 下 し,球 の密 度 のほ うが 小 さ け れ ば 球 は 浮 上 す る.い ず れ の場 合 も運 動 は 等 加 速 度 運 動 であ る.
流 れ の運 動 エ ネ ル ギー 流 体 中 を 球 が 速 度U でx 方 向 に 進 む と きの 流 体 の 流 れ は(12)に
よ っ て与 え
られ る.し た が って流 体 の 運 動 エ ネル ギ ーは(dV=dxdydz)
(24) で 与 え ら れ る.こ
こ で 積 分 は 流 体 部 分(r〓a)に
対 し て お こ な う.dV=4πr2dr
なの で
(25)
した が っ て (26) 球 と 同 体 積 の 流 体 の 質 量m'=(4π/3)ρa3を
用いれば
(27) これ を 時 間 で微 分 す れ ば (28) こ こ で(3)とU=dξ/dtを
用 いれ ば (29)
を 得 る.こ 加(左
れ は 抵 抗 力-F'に
辺)に
対 して す る 仕 事(右
辺)が
流 体 の エ ネ ル ギ ーの 増
な る こ と を 表 し て い る.
TeaTime
物 体 に は た ら く流 れ の 力 静 止 した完 全 流 体 の 中 を等速 運 動 す る物 体 は 流 体 か ら力 を 受 け な い.こ れ は 日 常 の 体験,す
なわ ち流 体 中 を動 く物 体 には 抵 抗 力 が は た ら くと い う体 験 と矛 盾 す
る よ うに思 わ れ る のでダラン ベ ー ル の パ ラ ドック ス とい うが,こ れ は 完 全 流 体 と い う理 想 化 の た め で もあ る。 しか し完 全 流 体 で も流 れ が 物 体 に 力を 及 ぼ す場 合 もあ る.そ の 1つ は 物 体 が 加 速 度 運 動 を す る と きで,球 の 場 合 は 本 文 で扱 った とお りで あ る.一 般 に加 速度 運 動 を す れ ば物 体 の まわ りの 流 れ が変 わ り,流 れ の運 動 エ ネル ギ ー の増 加 は物 体 に は た ら く力 と して現 れ るわ け で あ る. 第 2に 流 体 が 曲 が って 流 れ る とき は向 心 力 に相 当す る圧 力 勾 配 が あ る ので,適 当 な 条件 の も とで物 体 に 力が は た ら くは ず で あ る.た とえ ば 飛 行 機 の翼 や 凧 に 当 る空気 は 下 向 き に 曲げ られ る. これ は翼 の下 側 で 翼 に 近 い と こ ろの 圧 力 が 高 く圧 力 勾 配 が あ る ので 流 れ は 下 へ 曲が る ので あ る.し た が って反 作用 の た め 翼 の 下 の 面 は圧 力 に よっ て上 向 きに 押 され る.翼 の 上側 で も気 流 は下 向 き に 曲 が るか ら, 圧 力は 翼 の上 の面 で 低 くな って い るわ け で あ る.こ の た め翼 は 下 側 か ら押 され 上 側 か ら引 か れ て 揚 力 を 受 け る わ け で あ る. 回 転 を与 え られ た ボ ー ル の まわ りで も球 との間 に は た ら く摩 擦(粘
性)の た め
翼 の まわ りの流 れ に似 た気 流 が生 じ このた めに ボ ール は揚 力 を 受 け て 曲が る こ と
にな る.こ れ をマグナス 効 果(第14講
参 照)と
い う.
翼 や 回 転 す る ボ 一ル の まわ りの流 れ は これ らの物 体 の まわ りに 回転 す る流 れ, あ るい は物 体 の 位置 に渦 を分 布 させ た とき の流 れ(物 体 の外 で は 渦 の な い ポ テ ン シ ャル 流)を 一 様 な流 れ に加 え合 わ せ た もの とみ る こ とが で き,循 環(第12講 照)で 特徴 づ けら れ る.こ
参
う して 完 全 流 体 が 曲 が って流 れ る ため に 生 じる揚 力 は
循 環 と関係 づ けら れ る ので あ る.
第10講 球
形
渦
―テーマ ◆軸対称 の流れ,ス トー クスの流れ の関数 ◆ヒルの球形 渦 ◆ TeaTime:球
と円柱の まわ りの流れ
ス トー ク ス の 流 れ の 関 数 軸 対 称 の流 れ の場 合 は 2次 元 の流 れ に似 た扱 い が で き る.対
称 軸 をx 軸 に と
り,x 軸 か らの 距 離 をy とす る(図34).ま た(x,y)面 る.こ
の 方 向 を 表 す 方 位 角 を ψ とす
れ は 円 柱 座 標 系 で あ っ て,ふ
(ρ,ψ,z)と す る が,記
号 ρは 密 度 を 表 す の で,
そ の 代 わ りにy を 用 い る.縮 え,流 図34
ば,定常
つ うは
ま な い流 体 を 考
れ のx,y 成 分 を そ れ ぞ れu,υと す れ 流 に 対 し 小 さ な 領 域dx,dy,ydψ
に
流 入 す る 流体 の量 を考 え て
(1)あ る い は (2)
これ は
(3)
と お く こ と に よ っ て 満 た さ れ る.こ と い う((3)の (x,y)面
の Ψ を ス トー ク ス(Stokes)の
流 れ の関 数
符 号 を 逆 に し た 本 も あ る か ら注 意).
の 中 の 流 れ に よ る 渦 が あ れ ば 渦度 は (4)
と な る.(3)を
代 入す れば (5)
ヒ ルの 球 形 渦
遠方 で −x 方 向 に一 様 な 流 れ Uが あ り,原 点 の まわ りに はx 軸 を 対 称 軸 とす る球 形 の渦 領 域 が あ る よ うな 流れ(図35)の特 解 が ヒル (Hi11)に よ って与 え ら れ た.こ れ は 半径a の球 の 内部 が 渦 領 域 で 図35 (6)
渦 の外 側 で は 渦度 が な く (7) で与 え られ る.こ こでx は 対 称 軸 で あ り (8) 渦 領 域(r〓a)に
おけ る渦度 は (9)
図35は
こ の 渦 と 渦 の ま わ りの 流 れ を 示 す.
【説 明 】
渦 領 域(r≦a)でC
を定 数 と して (10)
と お く.(3)に
よ り,流 速 は
(11)
これ か ら(4)に
より (12)
球 面 上(r=a)に
お け る値 を上 付 き の― で 表す と流 速 の成 分 は u=-Cy2, υ=Cxy (13) と な る,r方
向 と θ方 向 の 流 れ をqr,qθ
とす る と
(図36)
(14)
の 関係 が あ るの で 球面r=aの
図36
上では
(15) とな る.qrは
法 線 方 向 の速 度,qθは 接 線 方 向 の 速 度 で あ る.qr=0で
の 内部(r≦a)の
あ るか ら球
流 れ は 球 の 外 へ 出 な い で 閉 じた渦 に な って い る こ とが わ か る.
これ が ヒル の球 形 渦 で あ る. 渦 領 域 とそ の外 の流 れ を 接 続 し よ う.r≧aに 場 合 は(3)に
お い て は(7)を
用 い る.こ
より
(16)
と な り,遠
方 でu=-U,υ=0,さ
ら に 球 面(r=a)上
では
の
(17)
した が っ て(17)は (18) とお け ば(13)と と(7)は な お,流
一 致 し,こ
球 面(r=a)で
の と きqr,qθ も(15)と
一 致 す る .し
た が っ て(6)
連 続 的 に つ なが る流 れ を 与 え るの で あ る.
速qr,qθ を 計 算 す れ ば
(19)
(20)
と な る.r=aに
お い て はqr=0お
こ れ か ら再 びC=(3/2a2)Uを
よび
得 る.
TeaTime
球 と円 柱 の ま わ りの 流 れ 球 や 円柱 の まわ りの流 れ に つ い て少 しま とめ て お こ う. 1.完 全 流 体 (a)(20)と
第 8講(24)を
比 べ れ ば わ か る よ うに,ヒ ル の球 形 渦 の場 合 の 球
の外 側 の 流 れ は 静 止 した 剛 体 球 の ま わ りの完 全 流 体 の流 れ とま った く同 じ で あ る.
な お ヒル の球 形 渦 の内 側 と外 側 の流 れ は渦 輪(第17講
参 照)の 流 れ を 渦 輪 に
固 定 した 座 標 系 か らみ た もの に似 て い る. (b)第
8講の(17)と(20)を
比 べ れ ば わ か る よ うに,静 止 した 流体 中 を一 定 の
速 さで 運 動 す る 球 の まわ りの流 れ(流 体 に 静 止 した 座標 系 で み た 瞬 間 的 な様 子) は 2重 湧 き 出 しに よる流 れ(湧 れ)と
き出 し を 中 心 とす る任 意 の 半径 の球 の外 側 の流
同 じで あ る.
(c)円 柱 の まわ りの 一 様 な 流れ は 球 の まわ りの流 れ の断 面 に 似 て い る.ま た これ は 渦 対(第17講
参 照)に
よる流 れ に 似 て い る.
2.粘 性 流 体 につ いて は 第26講 以 下 で 扱 うが,少 静 止 した 球 の まわ りの粘 性 流 体 の一 様 な流 れ(ス
し先 取 りを してお く. トー クス 近似)は 完 全 流 体 の
流 れ と似 て い る よ うにみえ るが,流 体 に対 して 静 止 した座 標 系 か らみ る と(瞬 間 的 な流 れ の 様 子 は)完 全 流 体 の場 合 と大 き く異 な る こ とが わ か る.粘 性 流 体 の定 常流 で は 球 の運 動 の影 響 が 遠 くまで及 ん で遠 方 の 流 体 を 引 きず るの で あ る.な お ス トー クス近 似 では 流 れ は 左 右対 称 で あ る が,実 際 に は 粘 性 流 体 の流 れ は左 右 対 称 に な らず,速
度 が 大 き くなれ ば 下 流 に 渦 が 発 生 した りす る.
第11講 自転する球形渦
―テーマ ◆ヒックスの球形渦 ◆角運動量 ◆ TeaTime:ヒックス
の球形渦のエネルギー
ヒ ッ クス の 球 形 渦 ヒル の 球形 渦 は お も し ろい厳 密 解 で あ るが,対 称 軸 が あ って この軸 の まわ りの 回転(スピ
ン,あ るい は 自転 と い って も よい だ ろ う)は な い.自 転 す る球 形 渦 は
ヒ ックス(Hicks)に
よ って厳 密 解 が与 え られ て い る.ヒ
ックス の球 形 渦 は 自転
に 関係 した パ ラメ タ を含 み,こ の パ ラメ タを 0に す れ ば ヒ ル の 球 形 渦 に な るか ら,ヒ ル の球 形 渦 は ヒ ッ クス の球 形 渦 の 特 別 な 場合 な の で あ る. す でに 述 べ た よ うに 完 全 流 体 の運 動 は 連 続 の方 程 式 を 与 え られ た 境 界 条 件 の も とに 解 くこ とに よ って 与 え られ る.圧 力 は運 動 方 程 式 を 積 分 し た ベ ル ヌ ー イ の 式,あ る い は そ の 一般 化 に よっ て 求 め られ る. ヒル の球 形 渦 の場 合 は 対 称 軸 が あ る ので ス トー クス の 流 れ の 関 数 を 用 い る こ と が で きた し,2 次 元 の流 れ の場 合 に も流 れ の関 数 を 用 い る こ と が で き る(第13 講).こ れ らの 流 れ の 関 数 は 連 続 の 方程 式か ら導 か れ た も の で あ る.ヒックス
の
球 形 渦 にお い て も連 続 の 方 程 式 か ら出 発す る の が よい. 球 形 渦 を 扱 うの で 極 座 標 を 使 うの が よい であ ろ う.こ こで は 無 限 遠 に お け る流
れ の 方 向 を z軸 に と る.極 そ れ ぞ れur,uθ,uψ
座 標(r,θ,ψ)を
と す る.連
用 い,流
速uのr,θ,ψ
続 の 方 程 式divu=0を
方 向 の成 分 を
極座 標
(1) を 用 い て書 き直 す と
(2) と 書 か れ る(こ
の 式 の 左 辺 がdivuで
ψ を 含 ま な い 関 数 ψ(r,θ),す
あ る).
なわ ち
(3) で あ る 任 意 の 関 数 ψ(r,θ)とf(r,θ)を
導 入す れ ば
(4)
が 連 続 の方 程 式(2)を
満 足 す る ことは 明 らか で あ る.
球 の 中 の ピ ックス の 渦 球 の 内 部(r〓a)の
ψお よび f と して ヒ ック スは
(5) (6) と お い た.た
だ し
(7) で あ り,ま た λは 次 元 の な い任 意 の パ ラ メ タで あ って
(8) (9) 流 速 の 成 分 は(5),(8),(9)と(4)(ψ=ψi)か
ら
(10)
と な る.こ
こ で λ→0と
す れば (11)
と な る の で λ→0で
はA→
∞,λ4A→
有限
とす る と き (12)
と な り,流
速は
(13)
もしも (14)
と お け ば(13)は r=aに
第10講(19)と
お け る 流 速 を(10)か
一 致 す る こ と が わ か る. ら求 め る と
(15)
を得 る.ur=0な
ので 流 れ はr〓aに
閉 じ込 め られ て い る こ とが わ か る.λ→0で
この流 れ は ヒル の球 形 渦 と一致 す る の であ るか ら,上 の 流 れ も球 形 渦 で あ る.そ の うえuψ=0で
あ るか ら この球 形 渦 に よる流 れ はr=aに
お い て ψ 方 向 の 速度 成
分 を もた な い こ とが わ か る.こ の 球 形 渦がヒックス の球 形 渦 で あ る.こ aの流 れ の 中に あ る と して,外 部 の流 れ と接 続 させ る こ とに し よ う.
れ がr〓
球 の外 の渦 な しの流 れ 球(r〓a)の
外(r〓a)の
ψ と して (16) (17)
を 考 え る と,流 速成 分 は
(18)
で 与 え られ る.こ
れ は 第 8講 の(24)と
ぎ る 遠 方 で 速 度-Uの
一 様 な 流 れ(渦
一 致 す る こ と か らわ か る よ う に,球 な し,ま
たuψ,=0な
をす
の で 角 運 動 量 も な い)
で あ る. r〓aの 解(18)でr=aと
おけば
(19)
で あ る,こ
れ を(15)と
接 続 す るに は
(20) に よ っ て 、A が 定 め ら れ る.こ (20)に
お い て λ→0と
れ に よ っ てヒ ッ クス の 球 形 渦 が 与 え られ た .
す ると (21)
こ れ と(14)を
比べ れば
(22) を 得 る.こ
れ は 第10講(18)に
ほ か な ら な い.
角 運 動 量 体 積素dV=r2sinθdrdθdψ
の 中 の流 体 がz
軸 の まわ りに もつ角 運 動 量 は 流 体 の 密 度 をρ と して dM=ρdVrsinθ・uφ (23) で あ る か ら球 形 渦 の角 運 動 量 は (24) これ を 計 算 す る と (25)
図37
ただ し (26) と な る.(20)と(25)と
か らλAを
消去 す れ ば (27)
を 得 る.こ
れ が 角 運 動 量M
を も つヒックス
渦 が 静 止 流 体 中 で 進 む 速 さ で あ る.
た だ し こ こで (28) で あ る.
TeaTime
ヒックスの 球 形 渦 の エ ネ ル ギ ー 無 限 遠 で流 体 が 静止 して い る とす る と,ヒ ッ クス の球 形 渦 の進 行 に よ るエ ネル ギ ー と内 部 の渦 の エ ネル ギ ーを 加 え た全 エ ネ ル ギ ーE は
で 与 え られ る.Mは
角 運 動量 で一 定 値 を与 え ら れ て
い る と し よ う. λが0 に 近 い と進 行 速 度U
は 大 き く,Mは
固定 さ
れ て い るか ら この場 合 の エ ネ ル ギ ー は ほ と ん ど進 行 の エ ネ ル ギ ー で あ り,E
はU2に
き くす る とq(λ)=0の
最 初 の 根λ=5.76に
は0 に な り,渦 E =10と
は 停 止 す る.こ
な る ,0<
λ<5.76の
の 渦 輪 が 存 在 し,図38の 向U 図38
の 向 き に,外
λが5.76を
に 対 し て逆 向 き に な る.こ
比 例 す る.λ
を 少 し大 お い てU
の とき の エ ネル ギ ーは 間 で は 球 の 内 部 に1 つ
よ う に 輪 の 内側 では 進 行 方
側 で は 逆 向 き に 流 体 が 動 い て い る.
越 え て 大 き く な る と,U
は 角 運 動 量M
の と き は 球 形 渦 の 半 径a の下 に も う1 つ の 渦 輪 が 現
れ,こ れ は そ の 内 部 の 渦 輪 と逆 の 角 運 動 量 を もつ が,全 角 運 動 量 は 内 部 の 渦 輪 と 同 じ 向 き で 進 行 方 向U
に対 して 逆向 き にな
っ て い る. こ こ ま で のエ 度υ=U/U0の
ネ ルぎー
ε=E/E0と
関 係 は 図39の
進行速
な る(U0=3M/4πρa4).こ
曲 線1 の よ う に れ を 第1 の モ ー ド
と 名 づ け よ う. さ ら に λ を 増 大 させ る とL(λ)とq(λ)が
λ
に 対 し て 振 動 的 で あ る た め,第2,第3,… のモ ー ドが 現 れ る.そ υ =0と
な る .こ
れ ら は す べ て ε=10で
れ を 図39の
曲 線2,3 に 示
した. こ の よ うな エ ネ ル ギ ー ε と 進 行 速 度υ の 関 係 は イ ス ラ エ ル の ペ ケ リ ス(C.L.Pekeris・) に よ っ て 指 摘 され た. 彼 は 第1 の モ ー ド(図39)を る.ロ
図39 液 体 ヘ リ ウ ムⅡ(超 流 動)の励起ロ
トン は 液 体 ヘ リ ウ ム の励 起 と してラン
ダ ウ(L.Landau)の
トン と比 べ て い 提 唱 した も
ので あ る.ペ ケ リス は量 子 論 的 な 考 察 に よ り
と お き,l=1.5,a=3.19×10-8cmと
す れ ばヒックス
の 球 形 渦 はロ
トンの ス ペ ク
ト ル を か な り よ く表 す こ と を 示 し て い る. 球形 渦 に 関 す
る 文 献 は,(1)M.J.M.Hill,Phil.Trans.,A 185
213-245,(2)W.M.Hicks,Phil.Trans.,A 192 Pe keris,Proc.Nat.Academy of れ た い.
(1894), (1898),33-99,(3)C.L.
Sciences,39,May
15
(1953)な
どを 参 照 さ
第12講 回転運動 と渦糸
―テーマ ◆回転運動 ◆循 環 ◆ TeaTime:大
渦に呑 まれ て
回 転 運 動 の向 心 力 物 体 の運 動方 向が 変 わ る とき は,速 度 に 垂 直 な成 分 を も つ 力 が は た ら い て い る.円 運動 の場 合,こ の 力 は向 心 力 で あ る.流 体 の流 れ が 向 き を変 え る とき も, 流 速 に垂 直 な 力す なわ ち向 心 力が は た らい て い なけ れ ば な ら な い.こ の 力 は流 れ に 垂 直 な圧 力勾 配 に よ って 生 じ る.物 体 の 円運 動 に相 当 して,流 体 の 回 転 運 動 を 考 え よ う. た とえ ば 水面 に 棒 を つ っ込 んで ぐ る ぐる と回 す と,そ のあ た りに 渦 が 生 じ,渦 の 中心 部 は低 くな り,水 面 が 図40の
よ うに な る のが み られ る.
水 面 の水 の粒 子 に は 重 力 の ほ か に 回 転 のた め の遠 心 力が は た らき,水 面 は 重 力 と遠 心 力 の 合 力 に 垂 直 に な 図40
る,も
し も垂 直 で な けれ ば合 力 の方
向に 水 が流 れ るか らで あ る. 第 6講 の終 わ りに 注 意 し た よ う に,流 体 が 回 転 運動 を して い て も, 局 所 的 な渦 が あ る とは 限 らな い.こ の講 では これ を は っ き り扱 うこ とに す るが,回
転 に よ っ て水 面 が 図40
の よ うに くぼんだ 場 合,そ に は 図41の
の 中心 部
図41
よ うに局 所 的 な渦 が あ り,そ
の 外 は 局所 的 な渦 の な い領 域 に な って
い る.大 局 的 に み れば 回転 運 動全 体 が渦 で あ る とい って もよい だ ろ うが,外 側 の 渦 な しの領 域 は 中 心 部 の渦 のた めに 駆 動 され て 回転 運 動 を して い る ので あ る.中 心 部 の局 所 的 な渦 が 極 端 に 強 くな る と 同時 に そ の領 域 が極 端 に狭 くな って も,そ の まわ りに は 回 転 運動 が あ る場 合 も考 え られ る.こ の場 合 の渦 領 域 は 渦糸 と呼ば れ る. 流 体 が 曲が っ て運 動 す る と き流 体 に は た ら く力 を 考 え よ う. 図42に
お い て流
体 は 右 か ら左 へ速 さq で 円弧 を えが い て流 れ て い る.円 弧 の 曲率 中心 がO で あ る. 流 体 の 微 小部 分(角
でΔψ,幅 でdr)に
注
目す る と,内 側 か ら 圧 力p,外 側 か ら圧 力 p +dpが
は た ら き,左 右か ら圧 力p が そ れ
ぞ れ は た らい て い る.左 右 か ら の圧 力p に よ る力pdr(流
れ に垂 直 に 単 位 幅 の流 体 を
考 え る)の 流 れ に 垂 直 な成 分 は そ れ ぞ れ pdrsin(Δ ψ/2)〓pdrΔψ/2で あ る か ら, 図42 さ はdp,drの2
着 目 して い る流 体 部 分 に は た ら く力 の大 き
次 の項 を 無 視 す る と き (p+dp)(r+dr)Δφ-2pdrΔφ/2-prΔφ=rdpΔφ (1)
であ る.こ
れ を向 心 力 と し て 流 体 は 速 さq,半
径r の 円 弧 を え が く.そ
密度を ρ と し て ρdr・rΔψ で あ る か ら(向 心 力)=(質
量)×q2/rに
の 質量 は
より rdpΔφ=ρdr・rΔφ・q2/r (2)
した が っ て (3) を 得 る.こ れ が 圧 力勾 配 に よって流 体が 半 径r の 円運 動 を す る こ とを 表 す式 で あ る.
渦 な し領 域 の 回 転 運 動 原 点O を 中 心 とす る(x,y)面
内 の回 転 運 動 を 考 え,流
速q がO か ら の 距 離
rに 反 比 例 す る と す れ ば (4) と 書 け る.流 図43に
速 のx,y成
分 をu,υと
す れば
お い てsinψ=y/r,cosψ=x/rで
あ
るか ら
(5) 図43 で あ り,r2=x2+y2,q2=u2+υ2で
あ る.こ
の と き 渦度 ω は0,す
な わ ち この 流
れは渦 なし
(6)で あ り,圧
力p は (7)
で 与 え ら れ る. 【証 明 】∂r/∂x=x/r,∂r/∂y=y/γ
(8)し た が っ て ω=∂υ/∂x-∂u/∂y=0.さ
な の で(5)に
ら に(3)に
よ り
よ り
(9) これ を積 分す れ ばp=-ρm2/2r2+定
数 を得 る.
一 様 な 渦 に よる 回 転 流 速q=(u,υ)が
(10) (11) で 与 え ら れ る 流 れ の 場 で は,渦度
は(x,y)面
に 垂 直 なz 方 向 を 向 き,そ
の大
きさ (12) は 一定 で あ る.圧
力は (Cは 定 数)
(13)
で 与 え ら れ る. 【証 明 】(11)か
ら (14)
した が っ て∂υ/∂x-∂u/∂y=ω.さ
ら に(3)に
より (1 5)
こ れ を 積 分 す れ ば 式(13)p=ρω2r2/8+Cを
回 転
aを 定 数(a>0)と の 運 動 が あ り,r<aで
し,r>aで
得 る.
運 動
渦 な し,す
は 一 定 の 渦度 の 運 動,す
が あ る と し,こ れ ら をr=aで
な わ ち(4),(5),(6),(7) な わ ち(10),(11),(12),(13)
つ な ぐ.こ の と きr=aに
お い て(4)と(10)か
ら (16)
した が って (17) ま た 圧 力 の 式(7)と(13)をr=aで
つないで (18)
したが って (19) r>aの 領 域 で 原 点 を 1周 す る 閉 曲 線 に 沿 う流 速 を 積 分 し た 量 は
(20)
で 与 え られ る.こ
の 積 分 を 循 環 と い う.た
だ し こ こで σ=πa2 (21)
は こ の 渦(r≦a)の
断 面 積 で あ る.循
環Γ は こ の 過 運動 の強さ を 意 味 す る の で,
こ れ を 用 い て 上 の 結 果 を ま と め て お こ う. 【一 様 な 渦 】 原 点 を 中 心 と す る 半 径a の 領 域(面積σ=πa2)が で 満 た さ れ て い る と き,こ
一 様 な 渦度 ω
れ を 囲 む循 環 は Γ=ωσ(σ=πa2) (22)
で あ り,流
速q=(u,υ)お
よび 圧 力p は 以 下 の よ うに な る.
r〓aで は
(23)
r〓で は
( 24)
r=aで
は
(25)
r〓aで は流 速q は遠 方 へ い くほ ど減 少 す る.こ れ に 対 しr〓aの rに比 例 し,こ れ はr<aの 示 し て い る.r〓aの
領 域 で はq は
領 域 が 剛 体 の よ うに変 形 な しに回 転 して い る こ とを
領 域 の 回 転 速度 を Ω とす る と
す なわ ち この領 域 は 渦度 の半 分 の角 速 度 で 円 板 の よ うに 回転 す る. 【圧 力 と流 れ の 曲率 半 径 の 関係 】 す で に 述べ た よ うに流 体 が 曲 が って流 れ る と きは 圧 力 の 勾 配 が 流 体 部 分 に向 心 力 を 作 用 して い る わ け で あ る.こ れ を い まの 場 合 に確 か め て み よ う. 円運 動 の 半径r とr+drの
間 で θと θ+dθ の間 の 流 体 部 分 を 考 え る.運
に垂 直 に単 位 長 さを と る と,こ
動面
の 部 分 の質 量 は ρrdθdrで あ り,流 速q の とき
の向 心 力 は (26) で あ る.他 方 で この 力 は 圧 力 の差 で 与 え られ る の で (27) で なけ れ ば な らな い.し た が って流 れ は (28) を 満 た さな けれ ば な らな い.
r〓aで は(23)に
よ り
(29)
で(28)が
満 た さ れ て い る.
r〓a で は(24)に
よ り
( 30)
したが って この 場 合 に も(28)は
満 た され て い る.こ の よ うに流 れ が 曲 が る の は
圧 力 勾 配 が向 心 力 と して作 用 す るか らで あ る.
重力下の水面の形
鉛 直 上 方 にz 軸 を と る と,重
力 の 加速 度 をg と し て 水 の 重 さ に よ る 圧 力 は
-ρ gzと な るの で,圧 力 の式(7),(13)に
これ を つ け 加 え て
(31)
を 得 る.r→∞
でz=0と
し,自
由 表 面 の 圧 力 をp0と
す れ ばr→∞
で (32)
が 成 り立 つ.し
たが っ て
(33)
水 面 で はp=p0な
ので,回 転 す る流 体 の 表 面 の 形 は
で 与 え ら れ る(図41).
TeaTime
大 渦 に呑 ま れ て エ ドガ ー ・ア ラ ン ・ポ ー(Edgar 短 篇 小 説 家 で あ るが,彼 の 小 説 にA
Allan Poe,1809−1849)は Descent
ア メ リカの 詩 人,
into the Maelstromと
い うの が
あ る.メ ール ス トロ ー ム は ノ ル ウ ェ ー西 海 岸 沖 に 現 れ る世 界 一 の大 渦 潮 の こ と で,こ れ に呑 まれ そ うに な った 漁 師 が話 す 物 語 で あ っ て,こ の小 説 は科 学 的 写 実 主 義 の は し りと もいわ れ て い る.流 れ の 急 変 に よ って メ ール ス トロー ムに 引 き込 まれ て難 破 した小 舟 の上 で漁 師 は 生 死 の 境 を さ ま よい なが ら,渦 に 巻 き込 まれ る 速 さが物 体 の大 き さや 形 に よっ て違 うこ とを発 見す る. それ は(1)大
き さが 違 う物 を 比 べ れ ば大 きい物 の ほ うが 速 く巻 き込 まれ る,
(2)同 じ体 積 の物 で は球 形 の 物 の ほ うが ほ か の 形 の物 よ り も速 く巻 き込 まれ る, (3)同 じ大 き さ の物 で は 円筒 形 の物 の ほ うが 巻 き込 まれ るの が 遅 い. そ こで 彼 は 自分 自身 を 水 入 れ の樽 に しっか りと結 び 付 け て舟 か ら海 へ 身 を投 げ る.舟 は 間 もな く渦 に 巻 き込 まれ て しま うが,樽
につ か ま った漁 師 は渦 の まわ り
を 回 りな が ら引 き 込 まれず に助 か る とい う物 語 で あ る.や が て海 が 静 ま り満 月 の 光 の 下 にロ ホ ーデ ンの 海 岸 が み え て き た とい う段 の 文 章 は 簡 潔 です ば ら しい. ポ ーは この 話 を だ れ か らか 聞 い た の だ ろ うか,そ れ と も彼 の 想 像 なの で あ ろ う か.上 に あげ た3 つ の 法則 は 真 実 性 が あ る の だ ろ うか,そ れ と も うそ な の だ ろ う か. 回 転 す る水 の 表 面 に 浮 い た 物 が 比 重 に よっ て渦 中心 に 引 き込 まれ る もの と渦 中 心 か ら離 れ る物 との 別 が あ る とい う ことは あ りえそ うで あ るが,難 破 舟 と樽 と で は ど うだ ろ うか. 洗 濯 機 の 中 の ゴ ミをす くい取 る袋 が あ る.あ れ は洗 濯 機 の ふ ちに 付 け た だ け で よ くゴ ミをす くい取 る.す ば ら しい 発 明 で あ る. ア ラン ・ポ ー の小 説 で は 渦 巻 は 直 径 1マ イル とあ るが,こ
の よ うな大 き な渦 巻
は小 説 家 の 創 作 で あ る ら しい.し か し大 洋 の 中に は い くつ も リン グ状 の 流 れ が あ るそ うで あ る.ポ ー の小 説 を離 れ て 次 の よ うな 話 を考 え てみ よ う. 海 面 に 大 きな渦 巻 が あ った と し よ う.回 転 の た め に遠 心 力が は た ら くか ら中心 部 は 低 く,外 側 は 高 くな って 水 面 は 傾 い て い る.こ の渦 巻 の 中 に い る ボ ー トが渦 巻 の方 向 に 漕 ぐとき は渦 よ りも速 く進 む の で 遠心 力が 大 き くな っ て渦 の斜 面 を外 へ 上 っ てい くに ち が い な い,も
し も渦 巻 と逆 の 向 き に漕 げ ば 遠 心 力 が 弱 ま って ボ
ー トは 渦 の 斜 面 を 下 へ 降 りて い くで あ ろ う.中 間 の 向 き に ボ ー トを 漕 ぐと き は, ボ ー トは 横 か ら力 を 受 け た よ うに進 路 が 曲 が る こ とに な る だ ろ う.こ れ は渦 とい う回 転座 標 系 か らみ た と き には た ら くコリ オ リ力の作 用 で あ る と い う こと が で き る.
第13講 縮 まない流体の 2次元の流れ
―テーマ ◆流れ の関数 ◆複素速度ポテ ンシャル ◆ TeaTime: 流れの関数
流 れ の 関 数 と複素 速 度 ポ テ ン シ ャル 2次 元 の流 れ が(x,y)面
内 に あ る と し,速 度 成 分 をu,υと す る.縮
まな い流
体 の場 合,連 続 の方 程 式 (1) は 任 意 関 数 ψ(x,y,t)を 用 い
(2)
とお く こ とに よ って満 た され る.ψ を流れ の関数 とい う. 流 体 が 渦 な し の と き,あ るい は 剛 体 の壁 や 円柱 で領 域 が 限 られ て い たり,渦糸 が あ って もそ れ 以 外 の流 体部 分 で 渦 が な い と きは,流 れ は速 度 ポ テ ン シ ャル φに よ って表 す こ と もで き る.こ の よ うな場 合 を考 え る と
(3)
(3)を(1)に
代 入す れ ば
(4) また,渦 な しの 条件 は2次 元 の場 合
(5) で あ り,こ れ に(2)を
代入すれば (渦な しの領 域 で)
(6)
し た が っ て 速 度 ポ テ ソ シ ャ ル も流 れ の 関 数 も ラ プ ラ ス 方 程 式(4)と(6)を
満
た す. 【コ ー シ ー 一リー マ ン の 方 程 式 】(2)と(3)を
比 べ て 得 られ る 関 係 式
(7)
は コ ー シ ー「一リ ー マ ン の 方 程 式 と 呼 ば れ る.こ
れ
は
(8) 図44
が
(9) の 複 素 平 面 に お い て,方 向 に よ らぬ 微 分 係 数 を もつ た め の 条 件 で あ る.こ の と き w はz の 解析 関数 で あ る と い う.こ れ を
(10) と 書 き,複
素 速 度 ポ テ ン シ ャ ル あ る い は 複 素 ポ テ ン シ ャ ル と い う.
【証 明 】 φ(x,y)+iψ(x,y)が とiy方
方 向 に よ ら な い 微 分 係 数 を もつ と す れ ば,x
方 向
向 の 微 分 係 数 を 等 しい とお い て (11)
こ の 両 辺 の 実 部 と虚 部 を そ れ ぞ れ 等 し い と お け ば,コ 式(7)を
ー シ ー-リ ー マ ン の 方 程
得 る.
次 に 逆 の 証 明 と し て,コ iψ がz=x+iy平
ー シ ー-リ ー マ ン の 方 程 式 が 成 り立 つ と きω(z)=φ+
面 で 方 向 に よ ら ぬ 微 分 係 数 を もつ こ と を 示 そ う.z をΔz=Δx+
iΔyだ け変 え た と き の 変 化 を 形 式 的 に 展 開 す る と (1 2) こ こ でコ ー シ ー-リ ー マ ン の 方 程 式(7)に
よ り,x
に つ い て の微 分 にそ ろ えれ ば
(13) こ こでΔxとΔyを
無 限 に 小 さ くす れ ば,左 辺 は
(14)
とな る.こ れ は 任 意 の 方 向 に 微分 した微 分 係数 で あ り,dω/dzと
書 い た.(13)
に よ りこれ はx 方 向 に 微 分 した微 分 係 数∂ω/∂xに等 しい.す なわ ち (15) した が ってコ ーシ ー-リ ーマ ンの 方 程 式(7)が お い てω=φ+iψ
を 任 意 の方 向 に微 分 した もの は す べ てx 方 向 に 微分 した 微 分 係
数 に 等 しい. 言 い換 えれ ば(7)が 分 係 数 を もつ.
成 り立 て ば複 素 平 面z=x+iyに
成 り立 つ ときω=φ+iψ
は 方 向 に よ ら な い微
複 素 速 度 ポ テ ン シ ャルの 例 複 素ポテソ シ ャル ω(z)を 与 えれ ば (16)
した が って,流 れ は た だ ちに 求 め られ る.次 に簡 単 な例 を い くつ か 示す こ とに し よ う. 【一 様 な 流 れ 】U
を定 数 と し て
ω=Uz (17)
とお け ば dω/dz=U=u-iυ( 18)
図45 か ら
u=U,υ=0 (19) こ れ はX 方 向 に 速 度U 複 素 速 度ポテソ
の 一 様 な 流 れ を与え る.
シ ャル を(U,Vは
定 数) ω=(U-iV)z (20)
とお けば u=U,υ=V( 21) こ れ はx,y 方 向 に そ れ ぞ れ 流 速U,Vを 【曲 が る 流 れ 】C
もつ 一 様 な 流 れ で あ る.
を 定 数 と して (22)
とお け ば
dω/dz=Cz=C(x+iy)=u-iυ( か ら流 速
23)
υ=-Cy
(24) 流 線 はdx/u=dy/υ
で 与 え られ るか ら (25)
これ を 積 分 す れ ばlogx+logy=一
定,あ
るい は
xy= 一 定 した が っ て 流 線 は 直角 双 曲 線(図46)で
(26)
あ る.
図46
図47
一般化 して ω=Cza とa は (C正 の定 数)
(27)
とす れ ば,流 れ は角 度 が (28) だ け 曲 が る流 れ(図47)を
表 す こ とが 示 され る.そ
の角 か ら の 距 離 をr とす る
と流 速 は q=aCra-1 (29) とな る.a<1の
場 合 はr→0でq→
∞ とな り,ベ ル ヌー イ の定 理 で与え られ る
圧 力は 角 で 負 の無 限 大 に な っ て し ま うが,負
の圧 力 は あ りえ な い の で この よ うな
流 れ は 不 可 能 で あ る.実
際 に は 角 の と こ ろ で 壁 か ら離 れ て し ま う(図47の(c)).
【湧 き 出 し と 吸 い 込 み 】m
を定 数 と して
(30)
とす る .z=reiθ=r(cosθ+isinθ)と
お け ば(図48)
(31)
図48
図49
これ か ら流 速 は
(32)
あ るい は 座 標 変 換 に よ り
(33)
これ は 原 点 を 中 心 とす る流 れ でm>0の
とき は 2次 元 の湧 き 出 し,m<0の
とき
は2次 元 の 吸 い 込 み で あ る(図49). 【2重湧 き 出 し】 原 点 に湧 き 出 しが あ りx=ε に 同 じ強 さの 吸 い込 み が あ る とき はポテン シ ャル の重 ね 合 わ せに よ り
(34) と な る.ε が 小 さ い と す れ ば,1/(1-ε/z)=1+ε/z−
….し
た が っ て εが 十 分 小
さけれ ば (35) こ こ で ε→0,m→∞,mε→
μ=有 限
とす れ ば
(36)
と な る,z=reiθ
なので
(37) した が って流 速 は
(38)
これ は2 次 元 の2 重湧 き出 しに よ る流 れ で 図50に
こ
れ を示 す. 【渦糸 】Γ を定 数 と し
(39)
とお くと,こ れ は 原 点 を 中心 と して 回転 す る流 れ で あ るが,原 点 を除 い て渦 な し の流 れ で あ る.
図50
【説 明 】z=reiθ
に よ り
(40) した が って
(41)
座標 変 換 を す れ ば 流 速 のr,θ成 分 は (42)
し た が っ て こ れ は 原 点 の ま わ り を 回 る 流 れ(Γ>0の と き 反 時 計 ま わ り,Γ