は
し
が
き
『群 論 へ の30講 』 を 著わ す に あた って,中 心 の主 題 とな るべ きも のが な かな か 決 ま らず,内 外 の群 論 の本 を あれ これ ひ も とい てみ た.そ れ らは,本 ...
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は
し
が
き
『群 論 へ の30講 』 を 著わ す に あた って,中 心 の主 題 とな るべ きも のが な かな か 決 ま らず,内 外 の群 論 の本 を あれ これ ひ も とい てみ た.そ れ らは,本 書 を書 くに あ た っ て大 変参 考 に な った の で あ るが,こ れ らの本 の中 に 多か れ 少 なかれ 共 通 に み られ る1つ の傾 向 に,い つ しか 注意 が 惹 か れ る よ うに な った.そ の傾 向 とは, 群 論 に関 す る本 が,主 に群論 の専 門 家 に よ って書 か れ て い るた め,本 の流 れ が進 む につ れ,主 題 が しだ い に群 の 構造 の解 明へ と移 って き て,同 時 に,群 の理 論全 体 が,何 か静 ま りか え った剛 体 の よ うな感 じを漂 わ せ て くる とい う こ と に あ っ た. この 感 じは,も ち ろん群 の もつ1つ の 姿 を端 的 に 示 して い るのだ ろ うが,一 般 の 人 を対 象 とす る この30講 シ リー ズの よ う な 本 に,こ の よ うな 雰 囲気 を もち込 む の は適 当 で な い と思 った.群 とは どの よ うな ものか を まず 知 りた い人 た ち に と って,可 解 群や ベキ零 群 の こ とな ど,そ れ ほ ど関心 の あ る テ ーマ で は な い だ ろ う. 私 は,む しろ群 が他 の ものへ 働 くとき に示 す,ほ とば し り出 る よ うな動 的 な躍 動 感 の中 に,一 般 の人 が群 に興 味 を もつ 最 初 の動 機 が 隠 され て い るの で はな いか と思 った.群 が,あ る数学 的 対 象 に働 くと,や が て そ こか ら,群 の 働 き に対 して 不 変 で あ る よ うな,あ る種 の対 称 性 を もつ 幾 何 学 的 な形 や,数 学 の形 式 が浮 かび 上 が っ て くる.こ の よ うに して得 られ た形 や 形 式 は,数 学 の 中 に実 在感 を もった 対 象 とし て,深
く根 づ い てい くので あ る.群 の動 的 な働 きの 中か ら,静 的 な形 が
抽 出 され て くる この過 程 の 中 で,動 と静 の微 妙 な対 照 と調和 が 綾 を な し,そ こに 群 の生 命 感 が息 づ い て い るに違 い な い. この よ うな群 本 来 の もつ 姿 を,ど の よ うに本 書 で 表 現 した ら よい のか,こ れ は 私 に とっ て難 しい問 題 で あ った.結 局,私 が 本 書 で試 み た ことは,た だ単 に,群 論 とい う主 題 を,で き るだけ 軽 く,の び や か に書 い てみ る とい うこ とにな った.
木 々 の梢 の間 を,爽 や か に風 が 渡 る よ うに著 わ して みた い とい うの が,漠 然 と し た希 望 で あ ったけ れ ど,も ち ろ ん この よ うな希 望 は 遠 く遙 か な と ころ にあ って達 せ らるべ くもない.し か し読者 が,群 の構 造 の上 を走 り抜 け て い く軽 や か な 調べ とで も い うべ き もの を,本 書 を通 して 察知 され た とす るな らば,そ れ は 同 時 に, 群 が,数 学 の豊 か さの中 に反 響 し,ど こま で も広 が って い くさ まの い くらか を感 知 され た こ とにな る だろ う. 本 書 は,有 限 群や 有 限 生成 的 な 群 だけ で は な くて,お し まい の方 で は 位相 群 に も触 れ て お いた.そ
うす る ことに よ って,群 が,現 代 数学 のい ろ いろ な 諸概 念 と
ご く自然 に結 び つ き,そ のた め に 群 は い まな お現 代 数学 の根 幹 にあ って,積 極 的 に働 き続 け て い る ことを感 じ と って もらお うと思 った の で あ る. 終 りに あた って,こ
の30講 シ リー ズ8冊 の刊 行 に際 し,多 大 の 労 を とって い
た だ いた 朝 倉 書 店 の方 々に,心 か らお礼 を 申 し述 べ た い.私 が,約1年
半 の間,
私 な りに 力を尽 くして この仕 事 を進 め る こ とが で きた の は,こ の方 々 の並 々な ら ぬ 御 努 力 に よ るも の であ った.
1989年7月 著
者
目
次
第1講
シ ン メ トリー
第2講
シ ン メ トリー と群
第3講
群 の定 義
第4講
群 に 関す る基 本的 な概 念
1 7 15 22
第5講
対 称 群 と正6面 体 群
29
第6講
対称 群 と交 代群
37
第7講
正 多 面体 群
45
第8講
部 分 群 に よ る類 別 回
53
第9講
巡
群
61
第10講
整 数 と群
68
第11講 整 数 の剰 余 類 のつ くる乗法 群 第12講
群 と変 換
第13講
軌
道
第14講
軌
道(つ づ き)
第15講
位 数 の低 い 群
第16講
共
第17講
共役 な部 分 群 と正規 部 分 群
役
類
75 83 92 100 106 114 122
第18講 正 規 部分 群
129
第19講 準 同型 定理
137
第20講 有 限 生 成 的な アー ベル 群
145
第21講
アー ベ ル群 の基 本 定理 の 証明
第22講 基
本
群
第23講 生 成 元 と関 係 第24講
自
由
群
154 163 172 179
第25講 有 限 的 に表 示 され る群
186
第26講
193
位
相
群
第27講 位相 群 の 様相
200
第28講 不 変 測 度
208
第29講 群
環
216
第30講
現
索
表
引
224
233
第1講 シ ン メ
ト リ ー
テ ーマ ◆ ◆
一 つ の詩 ワ イ ル の 『シ ン メ ト リー 』
◆
『シ ン メ ト リ ー 』 の 調 べ と ワ イ ル の 考 え
◆
シ ン メ トリーを もつ構 図
◆
日本 の紋 様
一 つ の 詩
神 よ,汝,偉
大 な る対称 性,調 和 性
そ は,我 に激 しき渇 望 の 想い を注 ぐ され どまた,湧 き上 る悲 しみ, 定 まれ る形 もな き ま まに過 ご し行 く この悩 み 多 き 日々に 願 わ くば,一 つ の完 全 な る ものを 与 え給 え (ワイル 『シンメ トリー』 よ り) ワ イ ル の 『シ ン メ ト リ ー 』 ヘル マ ン ・ワ イル(1885-1955)は,20世
紀 前 半 の数 学 の 中を,巨
人 の よ うに
堂 々 と歩 み 続 け た ドイ ツの大 数学 者 で あ る.ワ イル が関 心 を もち,ま た実 際 深 い 影 響 を与 え た 分野 は,全 数 学 を お お うよ うな広 い もの であ った が,さ
らに ワイル
は 相対 性 理 論,量 子 力学 の進 展 の過 程 で,数 理 物 理学 の立場 に立 って,哲 学 的 な 思索 を 背 景 とした新 しい 方 向を 指 示 し,そ こで も指 導的 な 役割 を 演 じ た の で あ る.ワ イルの数 学 にみ られ る独 特 な哲 学 的 な雰 囲気 は,い まは はや 過 ぎ去 った よ うに み え る,ヨ ー ロッ パ の学 問 の栄 光 と権威 を思 い起 こ させ,さ
らに さか のぼ っ
て ギ リシ ャへ と心 を 向 け さ せ る も の が あ る. ワ イ ル は,最 本 に は,ギ
晩 年 の1952年
に,1冊
の 書 『シ ン メ ト リー 』 を 著 わ し た.こ
リシ ャ的 な 均 整 の とれ た 形 式 の 中 に 見 ら れ る シ ン メ ト リー(対
に 対 す る,彼
自身 の つ き せ ぬ'渇
こ の 著 作 の 原 型 は,実
望'が
は す で に14年
前 の1938年
に,ワ
シ ン トンの哲学 会 に お イ ル に は,'シ
い う基 音 が 心 を 離 れ る こ と は な か っ た の だ ろ う.こ
に 上 述 の 詩 が 述 べ ら れ て い る.こ
の 詩 は,ワ
の講 演 の最 後
イルが 聞 い て いた 基音 の調べ が どの
よ う な も の で あ っ た か を,い
く らか 伝 え て い る.な
ク ハ ム(Ann
あ る と い う.
Wickham)で
称 性)
語 ら れ て い る.
い て な さ れ た 同 じ タ イ トル の 講 演 の 中 に 見 出 す こ とが で き る.ワ ン メ ト リ ー'と
の
お こ の 詩 の 作 者 は ア ン ・ウ ィ
『シ ン メ ト リ ー 』 の 調 べ
『シ ン メ ト リー 』 の 中 に 述 べ られ て い る も の は,ワ よ り,思
イ ル の 思 想 そ の も の とい う
想 の 背 景 を 色 ど る 色 調 の よ うな も の で あ っ た と い う感 じ が す る.
こ の 色 合 い は,次
の よ うな ワ イ ル の 考 え を 映 し 出 し て い る よ うで あ る.
生 物 の 形 態 や 無 機 物 の 結 晶 な ど に み ら れ る,神 事 な 対 称 性 や,起
源 を は る か シ ュ メ ー ル や エ ジ プ トに ま で さ か の ぼ れ る多 くの 紋
様 や 芸 術 作 品 に み られ る 対 称 性,こ し て い る.対
の 創 造 と し か 思 え ぬ よ うな,見
れ ら の 対 称 性 は,つ
称 性 と は 何 か を 分 析 し,抽
の 概 念 が 現 わ れ て くる.プ
象 し,一
ね にあ る特 殊 な美 を 表 象
般 化 し て い く と,そ
こ に'群'
ラ ト ン的 な イ デ ヤ の 世 界 に 立 っ て い うな ら ば,対
称性
と は 群 そ の も の で あ る. こ の 対 称 性 と群 と の か か わ り合 い が,数
学 の 中 で 最 初 に 明 確 に さ れ た の は,方
程 式 論 に お け る ガ ロ ア の 天 才 的 な 洞 察 力 に よ る も の で あ っ た.群 の 中 で 育 て ら れ て い っ た が,そ 幹 に 組 み 込 ま れ,や
が て 群 は,対
られ て い っ た の で あ る.実 中 に は,対
際,相
の概 念 は 代数学
の 後 ク ラ イ ン や リー の 仕 事 に よ っ て,幾 称 性 を も つ 働 き と し て,空
何学 の根
間 の認識 に まで高 め
対 性 理 論 や 量 子 力 学 の 表 現 す る物 理 的 世 界 像 の
称 性 が 組 み 込 ま れ て お り,こ
の 対 称 性 を 通 し て,群
が世 界像 の形 成 に
重 要 な 役 割 を 果 た して い る. そ の 意 味 で は,群
は,数
学 と世 界 像 の 接 点 に あ り,こ
の2つ
の ものが 接 す る場
所 に は,シ
ン メ ト リー と い う形 を と っ た 美 が 現 わ れ て く る.
い くつ か の シ ン メ トリ ー
ワ イル の
『シ ン メ ト リー 』 に 載 せ ら れ て い る 図 版 の い くつ か を 転 載 し て み よ
う.
図A 図Aは,エ
トル リア の 墓 に 描 か れ て い る 有 名 な 騎 士 の 像 で あ る.左
ン メ ト リー に 基 づ い て 構 図 が な さ れ て い る が,多
右対 称 の シ
少形 式 上 の逸 脱 がみ られ る と ワ
イ ル は 指 摘 し て い る. 図Bの
ギ リシ ャの 紋 様 に は,折
れ る が,図Cの
返 し に よ って 左 右 に 広 が っ て い く対 称 性 が み ら
紋 様 で は 折 返 し は 認 め ら れ な い で,平
行 移 動 に よ っ て,1つ
のパ
タ ー ンが 左 右 に 広 が っ て い く さ ま が み られ る. 図Dは
よ く知 られ た 雪 の 結 晶 で あ っ て,6角
い る.こ
れ ら の 結 晶 は,π/3(=60°)の
図B
形 の 見 事 な シ ン メ ト リー を 示 し て
回 転 に よ っ て,対
称 性 が 保 た れ て い る.
図C
図D
日本 の 紋 様 に み られ る シ ン メ トリー
ワ イ ル の 本 の 引 用 だ け で は,読 様 の 手 帖 』(小 学 館)を
者 は 退 屈 され る か も しれ な い.こ
参 照 し な が ら,日
こで は,『 文
本 の 紋 様 の 中 に あ る シ ン メ ト リー を 見
て み よ う. 日本 の 家 紋 に は,よ シ ン メ ト リー は,あ
く知 ら れ た よ うに,シ
ン メ ト リー を も つ も の が 多 い.こ
る も の は 左 右 対 称 で あ り,あ
り,ま た あ る も の は,適
る も の は 左 右,上
当 な 角 の 回 転 に よ る 対 称 性 を 示 して い る.
い くつ か の 例 を 図 示 し て お こ う.
の
下対 称 で あ
抱 き菫
向か い鳩
本多立 葵
二 つ 追 い 燕子 花
向か い 橘
四 つ 目結 車
また 着 物 の絣(か
連翹
三つ 鞠 挟 み
す り)の 柄 に も 美 し い シ ン メ ト リー が あ る.
矢絣
亀甲 絣
Tea
絵絣
Time
対 称性 を もつ パ タ ー ン 対 称 性 を も つ パ タ ー ン を 描 くに は,1つ し て,パ
タ ー ン を 広 げ て い く.も
い し,あ
る 点 を 中 心 に して
ー ン を 広 げ て い っ て も よ い .ま
の 型 を 切 り抜 い て,こ
れ を基 本 の形 と
ちろ ん あ る方 向 に等 間 隔 にず ら して い って も よ
π/3(=60°)と か た 型 を,裏
π/2(=90°)だ け 回 転 し な が ら パ タ
表,裏
表 と と りか えな が ら,等
間隔に
広 げ て い く よ うな パ タ ー ン の 広 げ 方 も あ る. い ず れ に し て も 対 称 性 を も つ パ タ ー ン は,1つ 移 動 と か,反
転 と か,回
の 型 か ら 出 発 し て,規
転 の 繰 り返 し に よ って 生 成 さ れ る.こ
則立 った
の対 称 性 を 生成 す
る'運
動 の 原 理'を,数
学 的 に 定 式 化 す る と,群
の 概 念 が 生 ま れ て く る.こ
れは
次 講 か ら の 話 題 で あ る.
質 問 シ ン メ ト リ ー の 表 現 す る均 衡 の とれ た 美 し さ は 僕 に も よ くわ か り ます が, 正 直 に い う と,僕 図 形 よ りは,非
は 非 対 称 的 な も の の 方 に 一 層 心 が 惹 か れ ます.静
対 称 的 な も の の 方 が,季
節 や 風 や,僕
す る 世 界 を 写 し て い る よ うで 親 しみ が も て ま す.ワ
か で硬 い対 称
た ち の 心 の 動 き な ど,流
動
イ ル の 感 じ方 と僕 の 感 じ方 は
少 し違 うの で し ょ うか. 答 考 え て み る と,私
自身 も,シ
ン メ ト リー の も つ'神
の 完 全 さ'を
な 美 に,ワ
イ ル の よ うな 強 い 憧 憬 を も ち 得 る か ど うか,少
て くる.詩
に 謳 わ れ て い る よ うな 渇 望 は,ワ
表わす よう
し心 も と な い 感 じ が し
イル の 天 才 的 な 感 性 か ら く る も の な
の か,あ
る い は 私 た ち に は 理 解 で き な い 西 欧 文 化 の 根 源 か らや っ て くる も の な の
か は,私
に は わ か ら ぬ こ とで あ る.時
静 寂 さ の 中 に,ワ
を 止 め た よ うな,シ
イ ル は 永 遠 性 を 感 じ と っ た の か も しれ な い.い
デ ヤ の 世 界 で 数 学 が 完 全 な 形 式 を 求 め よ う とす る 以 上,世 る 揺 ぎ な い シ ン メ ト リー の 美 に 積 極 的 に 働 き か け,そ う と す る こ と は,数 は,私
ン メ ト リー の もつ あ る ず れ に せ よ,イ
界 像 の中 に現 わ れ て く
こか ら 群 の 概 念 を 抽 出 し よ
学 の 創 造 活 動 の 源 泉 に あ る もの で あ る と い う,ワ
イル の哲 学
に も 十 分 理 解 で き る の で あ る.
な お,君
が シ ン メ ト リー の 美 学 と で も い うべ き も の に 接 し,世
い と 思 う な ら ば,宮
崎 興 二 『か た ち と空 間 』(朝 倉 書 店)を
い だ ろ う.こ の 不 思 議 な 魅 力 に あ ふ れ る 本 は,君 少 し変 え る か も し れ な い.
界 を 広 げ てみ た
ひ も とい て み る と よ
の シ ン メ ト リー に 対 す る 感 じを
第2講 シ ン メ ト リー と 群
テ ー マ
◆ 対 称変換 ◆ 直線上の平行移動 ◆ 平面上の平行移動 ◆ 回転 による対称性 ◆ 回転 と反転―
非可換性
左 右 対 称 シ ン メ トリー とい う とき最 初 に思 い浮 かべ る のは 左右 対称 の図形 で あ る.図1 で,右 側 の 図形 を 左側 に,ま た 左側 の図形 を右 側 に移 す 変 換 を考 え た い ので あ るが,こ の変 換 は,本 質 的 に は,図1の
下 に か い てあ る,直 線
上 で の基 点Oに 関 す る対 称 変 換Tに
よ って引
き起 こされ て い る と考 えて よい. この対 称変 換Tは,PをP′
に移 して い るが,
同時 に またP′ をPに 移 し てい る.PとP′
はO
に関 して 互 い に対称 だ か らで あ る.す な わ ち 図1 こ の こ と をTT(P)=Pと
表 わ す.TTは,変
換Tを
続 け て二 度 行 な うこ とを意
味 し て い る. 同 じ こ と で あ る が,TTは,恒 明 に な る.そ え てTT=T2と
こで,TT=Iと
等 変 換Iに か くが,さ
か く こ と に す る.し
等 し い と い っ た 方 が,事
情 が 一 層鮮
ら に 変 換 の 繰 り返 し を,変
換 の 積 と考
た が って
TT=T2=I
(1)
で あ る. 少 し別 の見 方 を す る と
と も か け る.こ こ とで あ る.逆
の 見 方 の 示 す こ とは,Tの 変 換 をT−1で
逆 変 換 が ま たTで
与 え られ る と い う
表わす と T=T−1
で あ る.(1)は
この と き T−1T=TT−l=I
と表 わ さ れ る こ と を 注 意 し て お こ う.
平 行 移 動 図2の よ うに,あ る方 向 に等 間隔 に同 じ型 が 並 ん で1つ の 対称 性 を 示 してい る デザ イ ンを考 え よ う.こ の デザ イ ンを 生成 す る変 換 は,左 下 か ら右 上 へ 向か う斜 め の直 線上 に,各 点 を 一 定 の距離 だけ 同 じ方 向 に(た
とえば 右 に)移 動す る変 換
で与 え られ る.こ れ を 真 横 の直 線 上 の変 換 とし て表 わ せ ば,図2の …,T(P
下の図で
−2)=P−1,T(P−1)=P0, T(P0)=P1,T(P1)=P2,…
で あ る.Tのn回
の 繰 り 返 し をTnと
表 わ す と
Tn(P0)=Pn,Tn(P1)=Pn+1 一般 に Tn(Pm)=Pm+n(m=0,±1,±2,…) 変 換Tnは,図
の 上 で は1つ
ず ら し て,n番
目 の パ タ ー ン に 重 ね る こ とに 対
応 し て い る.
の パ タ ー ン をn回
図2
も っ と も,こ
の 変 換Tを
を 数 直 線 の 原 点 に,P1を
と 表 わ さ れ る.し
表 わ す に は,数 座 標1を
直 線 を 用 い た 方 が は っ き りす る.P0
表 わ す 点 と し て と る と,変
た が っ て,Tのn回
換Tは
の 繰 り返 し は
とな って
で あ る. Tの 逆 変 換 をT−1で も の で 与 え られ る.し
表 わ す と,T−1は
図2で
は,Tの
矢 印 の 向 きを逆 に した
た が っ て 左 の 方 向 へ の 平 行 移 動 と な る.数
直線 上 で表 わ す
と
で あ る.T−nはxをx−nへ
移 す 変 換 とな る.
Iに よ っ て 恒 等 変 換I(P)=Pを
表 わ す こ と に す る と,明
らか に
TT−1=T−1T=I が 成 り立 つ. また
から
が 成 り立 つ.な
お,m≠nな
ら ばTm≠Tnで
あ る こ と を 注 意 し て お こ う.
平 面 上 の 平 行 移 動
図3の
よ うに,平
面 上 の 格 子 の 上 に,同
じ パ タ ー ン が お か れ て 全 体 に 広 が って
い く よ うな デ ザ イ ン の 対 称 性 は,基 本 の 格 子 枠 を 与 え る2つ 向 へ の 平 行 移 動 か ら生 成 され て い る.す 移 動 さ せ る 平 行 移 動 をSと と,こ
の 対 称 性 は,SとTか
の ベ ク トルa,bの
な わ ち 平 面 の ベ ク トルxを,x+aだ
し,xをx+bだ
方 向 に 沿 っ て 一 区 画 ず ら す 変 換 で あ り,Tは
け
け 移 動 さ せ る平 行 移 動 をTと
ら生 成 さ れ て い る.sは,ベ
ク トルxを
方
す る
格 子 の横
縦 方 向 に 沿 っ て 一 区 画 ず らす 変 換 で
図4
図3
あ る(図4).ま
ず 横へ ず ら して 次 に縦 へず ら して も,最 初 に縦 にず ら して次 に
横 へ ず らして も結 果 は 変わ らな い.こ の こ とは ST=TS
(2)
が 成 り立 つ こ とを示 して い る. Sの 逆変 換S−1は,Sと
逆 向 きの平 行 移動 で あ り,Tの
逆 向 きの平 行 移動 で あ る.平 行 移 動Sを
逆 変 換T−1は,Tと
左右 へ 何 回か 繰 り返 して得 られ る平 行移
動は Sn で 与 え られ,Tの
(n=0,±1,±2,…)
上 下 へ の 繰 り返 し で 得 られ る 平 行 移 動 は Tn(n=0,±1,±2,…)
で 与 え られ て い る.た =I(恒
等 写 像)と
図3で,1つ 横 にm,縦
だ し こ こでS0=T0
お い て い る.
の 場 所 に あ る パ タ ー ン を, にnだ
け 格 子 点を 移 して移 動 さ
せ る変 換 は SmTn で 与 え られ る こ と は 明 ら か だ ろ う(図5). (2)か
ら,こ
の 変 換 はTnSmと
も 同 じ こ と で あ る.
表 わ して 図5
また,た
とな る.一
と え ばS2TとS2T3を
繰 り返 し て 行 な っ た も の は,
般 に はSmTnとSm′Tn′
を 繰 り返 して 行 な っ た 結 果 は
(3) とな る. な お,こ こで暗 黙 の うち に結 合 則 とよばれ る (ST)S=S(TS) の よ うな 規 則 を用 い て い た こ とを注 意 して お こ う.
回 転 に よ る対 称 性 図6は,小
学 校 の校 庭 な どに み られ る回 旋塔 を上 か ら見 下 ろ した 図を,デ ザ イ
ン 化 し た も の で あ る.円 ろ に 把 手 が つ い て,そ っ て い る.そ
周 を12等
こ に 子 供 た ち が ぶ ら下 が
れ が 正 の 向 き に(時
と は 反 対 向 き に)ぐ
分 した と こ
計 の針 の動 き
る ぐ る ま わ っ て い る.こ
の デ ザ イ ン の も つ 対 称 性 は,2π/12(ラ
向 き の 回 転Sに
の
ジ ア ン)
だ け の,軸 を 中心 とす る正 の よ っ て 与 え られ て い る.
Sを 繰 り返 し て 適 用 す る こ と に よ っ て,1つ の 把 手 を も っ て い る子 供 の デ ザ イ ン は,次 次 へ と移 さ れ て い く.た
と え ばSを3回
だ け 回 転 す る こ と を 示 し て い る .Sを12回
図6 か ら 繰 り返 し たS3は,1つ
繰 り返 し て 適 用 す る と も とへ 戻 る と
い う こ と は, S12=I(Iは
の デ ザ イ ンを
恒 等 変 換)
(4)
で 表 わ さ れ る. Sと 同 じ角 で 負 の 向 き に まわ す の をS−1と
表 わ す と,
SS−1=S−1S=I で あ っ て,S−1の
繰 り返 し,S−2,S−3,…
な ど も 考 え る こ と が で き る.S−12=I
で あ る. 図 か ら も明 らか に,正 は,結
の 向 き に9回
ま わ す こ と と,負
果 は 同 じ こ と に な って い る(把
ら まわ っ て も 同 じ配 置 に な る!).こ
の 向 き に3回
まわ す こ と
手 に つ か ま っ て い る子 供 た ち は,ど
ら らか
の こと は S9=S−3
と表 わ さ れ る.こ
れ は(4)を
用い て
と い う よ うな 計 算 で もわ か る. (4)か
ら,た
とえば
の よ うな こ と も わ か る.一 般 に Sm・Sn=Sm+n(m,n=0,±1,±2,…) とい う規 則 は 成 り立 つ が,Sか
ら生 成 さ れ る 回 転 は,本
質的には
Ⅰ,S,S2,…,S10,S11 の12通
りの 回 転 に 帰 着 さ れ る の で あ る.
回 転 と反 転
図7で
示 す よ うな,円
周 上 に 等 間 隔 に お か れ た10台
を 変 え て い る よ うな デ ザ イ ン の 対 称 性 に は,2つ 1つ の 見 方 は,互 れ が2π/5(=72°)ず
つ 回 転 す る こ と に よ っ て,全
互に向き
の 見 方 が 可 能 で あ る.
い に 隣 り合 っ た 向 き の 違 う機 関 車2台
い る と い う見 方 で あ る.こ る.
の 機 関 車 が,交
を1セ
ッ ト に し て,こ
体 の デ ザ イ ン を つ く り上 げ て
の 見 方 を 支 え る 変 換Sは,S5=Iを
み たす 回 転 で あ
図7
図8
しか し こ こ で は,説 に す る た め,図8の P5で 表 わ し,反
明 の 便 宜 上 も あ っ て,別
よ う に,正
の 見 方 を 採 用 し よ う.説
の 向 き に 向 い て い る機 関 車 を 記 号 でP1,P2,P3,P4,
対 向 き に 向 い て い る機 関 車 をQ1,Q2,Q3,Q4,Q5で
Qi(i=1,2,3,4,5)は,直
線Lに
表 わ す.Piと
関 し て 互 い に 対 称 の 位 置 に あ る.
こ の と き,こ の デ ザ イ ン の 対 称 性 は,各PiをPi+1(P6=P1と 2π/ 5の 回 転Sと,各PiをQiに 移 す,直Lに 関 す る 反 転(鏡 さ れ た 平 面 の'運 Sに
動'に
明 を簡 単
お く)に
移す
映)Tか
ら生 成
よ っ て 何 回 か 反 転 を 繰 り返 し て も,デ
ザ イ ンの
よ っ て 得 ら れ て い る.
よ っ て 何 回 か 回 転 し,Tに
構 図 は そ の ま ま 保 た れ て い る.こ
の 保 存 され て い る 性 質,そ
れが 対 称 性を 表 わ し
て い る と私 た ち は 考 え る の で あ る. 明 らか に S5=I,T2=I で あ る.こ
こで注 意す る こ とは
ST≠TS とい う事 実 で あ る.す る こ と は,結
な わ ち 反 転 し て か ら 回 転 す る こ と と,回 転 し て か ら反 転 す
果 が 違 っ て く る の で あ る.実
際,図8を
ST(P1)=S(Q1)=Q5 で あ るが TS(P1)=T(P2)=Q2
参 照 す ると
と な っ て い る こ とが わ か る. この こ と を,SとTは,互 回 転Sと
反 転Tと
い に 非 可 換 な 変 換 で あ る とい う.
の 関係 は STST=I
で 与 え られ て い る.こ
の こ と は,図8を
参 照 しな が ら 読 者 が 確 か め て み られ る と
よ い.
Tea
Time
変換の非可換性 働 き 方 の 違 う2つ が,む
の 変 換SとTに
行 列 で 与 え られ て い る が,2つ ば,ほ
互 い に 非 可 換 とな る 方
面 上 の 線 形 変 換 は,2次
のπ/6(=30°)の
回 転Sと,x軸
け の 平 行 移 動Tと れ は 図9を
は,互
成 り立 っ て い る.こ
の こ と は,A,Bの
面 上 で 原点 中 心 の正 の方 向へ い に非 可 換 で
み る と明 らか で あ ろ う.
の正則な
ま っ た く勝 手 に と っ て くれ
い に 非 可 換 な こ と を 示 し て い る.
も う少 し見 や す い 例 で は,平
あ る.こ
と え ば,平
の 正 則 な 行 列A,Bを
と ん ど 間 違 い な くAB≠BAが
す 変 換 が,互
の1だ
対 し て は,SとTが
し ろ ふ つ うの こ とで あ る.た
図9
表わ
第3講 群
の
定
義
テ ーマ
◆ 続 け て変 換 を 行 な うこ とを変 換 の乗 法 とみ る. ◆ 群 の 定義 ◆ 群 の定 義 に対 す る コ メ ン ト ◆(ab)−1=b−1a−1 ◆ 変 換 を群 の立 場 か らみ る.
変換の性質 2つ の 変 換SとTが を 行 な う こ と を,前 て み る と,こ
与 え られ た とき,ま ずTの 講 の よ う にSTと
れ は,変
変 換 を 行 な っ て次 にSの 変 換
かい
換 の 集 ま りに1つ
の
乗法 の演 算 を 与 え て い る よ う に み え て く る.
図10
そ こ で い ま,こ S,Tに
れ を 変 換 の 乗 法 と み る こ と に し よ う.そ
の と き3つ
の 変 換R,
対 し結合 則
(RS)T=R(ST)
(1)
が 成 り立 つ(図10). こ の よ う な 基 本 的 な 関 係 を 証 明 せ よ とい わ れ る と,何 多 い.こ
こ は 次 の よ う に 証 明 す る.
T(P)=P1,S(P1)=P2,R(P2)=P3と P2.し
を 示 して よい のか 当惑 す る こ と が
お く と,RS(P1)=R(P2)=P3;ST(P)=S(P1)=
た が って (RS)T(P)=RS(P1)=P3 R(ST)(P)=R(P2)=P3
し た が っ て 変 換 と し て,(RS)TとR(ST)は
等 し い.
恒 等 変 換Iは 変 換 の 中 で最 も基 本 的な もので あ って,任 意 の変 換Sに SI=IS=S
対 して
(2)
が成 り立 つ. また変 換 が1対1の
こ とか ら逆 変 換が つ ね に存 在 す る.変 換Sの 逆 変 換 をS−1
で 表わ す こ とにす る と S−1S=SS−1=I
(3)
が 成 り立 つ.
群
の
定 義
変 換 の 集 ま りの 中 に あ る この 演 算 の 規 則 に 注 目 し て,さ 定 を 目 指 す た め,群
の 定 義 を 導 入 す る.
【定 義 】 も の の 集 ま りGが
次 の 条 件 を み た す と き,群
(ⅰ) Gの 任 意 の2つ
の 元a,bに
が 定 義 さ れ て い る.abは
ま たGの
(ⅱ)
らに も っ と一 般的 な設
3つ の 元a,b,cに
対 し て,乗
法,ま
と い う. た は 積 と よ ば れ る演 算ab
元 と な る.
対 して a(bc)=(ab)c
(ⅲ) 単 位 元 と よば れ る 元eが
(結 合 則)
あ っ て,す
べ ての 元 に対 して
ae=ea=a
が 成 り立 つ. (ⅳ) す べ て の 元aに
対 し て,aの
逆 元 と よば れ る元a−1が 存 在 し て
aa−1=a−1a=e
が 成 り立 つ. 注意 実 際 は,群 の公 理 とし て要 請 す る条 件 と しては,(ⅲ),(ⅳ)は aa−1=eで よい こ とが 知 られ てい る.
そ れ ぞ れae=a,
定 義 に 対 す る コ メ ン ト
(ⅰ)は
特 に 問 題 な い だ ろ う.要
す る に,Gか
ら任 意 に2つ
の 元a,b(aとbは
等 し くて も よ い)を う こ と で あ る.こ て い る の が,次
と っ た と き,aとbの
積 と よ ば れ る 元abが1つ
の 積 の 演 算(a,b)→abが,ど
の(ⅱ),(ⅲ),(ⅳ)で
(ⅱ) は,3つ
の 元 を'か
の よ うな 性 質 を もつ か を 規 定 し
あ る.
け る'と
る と い う こ と を い っ て い る.し
決 ま る とい
き に は,ど
た が っ て3つ
こか らか け て も結 果 は 同 じであ
の元 の積 を 単 に
dbc と表 わ し て も よ い こ と に な る ― 次 にCを
あ る 人 は こ の 並 び 方 を み て,aとbを
右 か ら か け る の だ と読 む だ ろ うが,別
と か らaを 左 か ら か け る と 読 む だ ろ う.ど て い る の が(ⅱ)で
の 人 は,先
にbとCを
か け て, か け て,あ
ち らで も構 わ な い と い う こ と を 主 張 し
あ る.
こ の こ とか ら,n個
の 元a1,a2,…,anが
番 を 指 定 し な い で,単
に
与 え られ た と き,こ
の 積 を,か
け る順
a1a2…an
と か い て も よ い こ と が わ か る(こ
の 当 り前 そ うな こ と を 厳 密 に 証 明 す る に は,n
に つ い て の 帰 納 法 を 用 い て(ⅱ)を (ⅲ) は,変
適 用 す る).
換 の 場 合 の 恒 等 変 換Iに
相 当 す る も の がeで
あ り,こ
の よ うなe
の 存 在 を 保 証 し て い る条 件 で あ る と思 っ て 読 め ば 特 に 問 題 は な い.た
だ1つ
注意
す る こ と は,こ
際,も
う1
つ(ⅲ)の
の よ う な 元eは
一 意 的 に 決 ま る と い う こ と で あ る.実
条 件 を み た す 元e′ が あ った と す る と ee′=e′e=e′
と な る が,こ
の式 は(ⅲ)を
(ⅳ) に対 し て も,aの る.実
際,(ⅳ)の
み る とeに 逆 元a−1は
も等 し くな っ て い る.ゆ
え にe=e′.
一 意 的 に 決 ま る こ とを 結 論 す る こ と が で き
条 件 を み た す も う1つ の 元a−1を
とる と
a−1a=e こ の 両 辺 にa−1を 右 か ら か け る と a−1aa−1=ea−1 こ の 左 辺 はa−1(aa−1)=a−1e=a−1,右 aの 逆 元 が た だ1つ ま た(ⅳ)は,a−1の
辺 はea−1=a−1.こ
れ でa−1=a−1が
い え て,
の こ とが わ か っ た. 方 を 主 体 に 考 え る と,aがa−1の
逆 元 に な っ て い る とい
う こ とを 示 し て い る.す
なわ ち
(a−1)−1=a
(ab)−1=b−1a−1
abの
逆 元 は,b−1a−1と
な る.な
ぜ な ら
ab(b−1a−1)=a(bb−1)a−1=aea−1=aa−1=e (b−1a−1)ab=b−1(a−1a)b=b−1eb=b−1b=e とな り,定
義 の(ⅳ)を
み る と,こ
の2式
は
(ab)−1=b−1a−1
を 示 し て い る こ とが わ か る か らで あ る. 逆 元 を と る と き,積
の 順 序 が 逆 に な る の は,何
しれ な い.こ
換 の と き を 考 え る と よ くわ か る の で あ る.パ
れ は,変
換TでBに
移 り,変
で あ る.こ
の 逆 変 換 は,CをBに,BをAに
こ の こ と は,明
換Sで
さ ら に パ タ ー ンCに
変 換 前 講 で 述 べ た い くつ か の 変 換 の 例 を,群
は,変
み る と,一
の 立 場 か ら改 め て 見 直 し て み よ う.ま の 基 本 的 な 要 請(ⅱ),(ⅲ),(ⅳ)
の 条 件 を み た す な ら ば,Gは
S,T∈G⇒ST∈G I∈G S∈G⇒S−1∈G
なわ ち
と 群
般 的 に,群
が わ か る.
変
示 し て い る.
換 の 中 で は す べ て 成 り立 っ て い る こ と が わ か る.し
れ た 変 換 の 集 ま りGが,次
タ ー ンAが
移 った とす る と
と移 す こ と に な る.す
らか に(ST)−1=T−1S−1を
ず(1),(2),(3)を
か 妙 だ と思 わ れ る 人 も い る か も
たが って勝 手 に与 え ら 必 然 的 に群 とな る こ と
(Ⅰ) 左 右 対 称 左 右 対 称 を 与 え る 変 換 をTと
す ると G={I,T}
は2つ
の 元 か ら な る 群 を つ く る.T2=Iに
よ って
T=T−1 と な っ て い る こ と が わ か る(前
講 参 照).
(Ⅱ) 平 行 移 動 平 行 移 動 全 体 は,'最
初 の'平
行 移 動 を 与 え る 変 換 をTと
すると
G={…,T−n,…,T−1,I,T,T2,…,Tn,…} で 与 え られ る. TmTn=Tm+n(T0=Iと で あ り,Tnの
逆 元 はT−nで
お く)
与 え ら れ るか ら,Gは
群 に な る.
(Ⅲ) 平 面 上 の 平 行 移 動 平 面 上 の 平 行 移 動 を 生 成 す る,'最 方 向 の 平 行 移 動 をTと
す る と(前
初 の'横
方 向 の 平 行 移 動 をS,'最
初 の'縦
講 参 照)
G={SmTn│m,n=0,±1,±2,…,±n,…} は,平
面 上 の 平 行 移 動 を 与 え る.こ
Sm,S0Tn=Tnで
お い て あ る.ま
たSmT0=
あ る.
前 講 の(3)か TSだ
こ でS0T0=Iと
ら,Gの2つ
の 元 の 積 は ま たGに
か ら(SmTn)−1=S−mT−nと
含 まれ て い る.ま
な り,逆 元 もGに
た,ST=
含 ま れ て い る か ら,Gは
群
に な る. (Ⅳ) 回
転
あ る 点 を 中 心 に し て2π/12だ け 正 の 向 き に 回 転 す る 変 換 をSと
す る と,
G={I,S,S2S3,…,S11} は 群 と な る.こ
れ は 前 講 で 述 べ た こ と か ら 明 ら か で あ る が,形
式 的 に 述 べ る と次
の よ う に な る. S12=Iに
よ っ て,た
に 考 え る と,Gの2つ ま たSmの
と え ばS6S8=S14=S2,S10S10=S20=S8と の 元Sm,Snに
逆 元S−mは,m+n=12と
対 し て,SmSn∈Gの な るnを
な る.こ
の よう
こ と が わ か る.
と った と きSnで
与 え られ る:
Sm・Sn=Sm+n=S12=I.し こ の2つ
た が っ てS−m=Sn∈G.
の こ とか ら,Gは
群 と な る こ とが 結 論 され る.
(Ⅴ) 回 転 と反 転 前 講 の よ うに,2π/5の
回 転 をS,反
転 をTと
し行 な っ て 得 られ る 変 換 全 体 は 群 とな る が,こ
す る.こ
の と きSとTを
繰 り返
の群 に 属す る変 換全 体 は どの よ う
に か き 表 わ さ れ る か を 考 え て み よ う. ま ずS5=Iか
ら,回
転 の 全 体は {I,S,S2,S3,S4}
で あ る.ま
たT2=Iか
ら,反
転は {I,T}
だ け で あ る.こ し か し,い
の そ れ ぞ れ は,前
に 述 べ た よ う に 群 を つ く っ て い る.
ま 考 え て い る変 換 に は,回
転 と反 転 を 繰 り返 し た
SSTSTSSSTS の よ うな も の が 含 ま れ て い る(Tが わ れ て い な い の は,T2=Iだ 間 に は,基
(4)
続 け て 繰 り返 さ れ た 形 で,こ
か ら で あ る).し
の表 示 の 中 に現
か し 前 講 で 述 べ た よ うにSとTの
本的 な関 係 STST=I
が あ る. こ の 式 は,両
辺 に(ST)−1を
か け て,(ST)−1=T−1S−1に ST=T−1S−1
あ る い は,T=T−1だ
か ら ST=TS−1
と か い て も よ い.し
た が っ て,た
とえば
SSTST=STS−1S=ST2=S STSTST=STTS−1ST=ST 同 じ よ う に 計 算 し て(4)は SSTSTSSSTS=STS−1STTS−1S−1S−1S =TS−3(=TS2) と な る.
注 意 す ると
こ の よ う に し て2π/5の
回 転Sと
反 転Tか
ら得 ら れ る群 は,結
局
{I,S,S2,S3,S4,T,TS,TS2,TS3,TS4} か ら な る こ と が わ か る.こ
れ は 図 形 の 上 か ら考 え て も 明 らか な こ と で あ る.
Tea
Time
質 問 群 とい う概 念 は 誰が 最 初 に考 え た ので すか. 答 ワ イルの い うよ うに,2つ
の 図形 が 対 称 で あ る とい う ことを 認識 す る背 景 に
は す で に群 の 概 念 が あ る とす る と,群 の概 念 の源 流 は,人 間 の文化 の発祥 のあ た りまで さか の ぼ れ るのか も しれ な い.そ れ に比 べ れ ば,こ 概 念 が数 学 の 中 で 確立 した のは,ご
く最 近 の こと―
こで述べ た よ うな群 の
い まか ら約160年 前 の こ と
―で あ る とい って よい.方 程 式 論 へ の18世 紀 後半 の強 い 関心,特 に カル ダ ノ, フ ェ ラ リに よ る4次 方 程 式 の解 法 の論 拠 を 求め て,5次
以 上 の 方程 式 の解 の公 式
を 求 め よ うとす る努 力が,深 い海 の 底 に じ っとひ そ ん で暗 黙 の うち に働 い てい た 群 の働 き を,数 学 の 明 るい 海面 へ と浮 上 させ る契 機 とな った ので あ る. この方 向を 切 り拓 いた 先駆 者 と して,ラ グラ ンジ ュや ル フ ィニ(1765-1822), コ ーシ ー な どの 名 前 を あげ る こ とが で き る.ル フ ィニの仕 事 は,当 時 の数 学 者 か らは ど こか 疑わ しそ うだ とみ られ て,十 分 の評 価 は得 られ な か った よ うで あ る. ル フ ィニは,あ る こ とを 仮 定 した 上 で,5次
以上 の方 程 式 の 代 数的 解 法 は不 可能
で あ る こ とを 示 した ので あ るが,こ の結 果 を最 終 的 に完 全 に証 明 した の は ア ーベ ル で あ る.そ の 後 ル フ ィニの仕 事 は再 評 価 され,彼 の 仕事 の 中にす で に置 換 群 に 関 す るい くつ か の基 本 的 な概 念 が 存在 して い る ことが 知 られ る よ うにな った. しか し,決 定 的 な一 歩 は,20才 と7ヶ 月で 決 闘 で この世 を去 った 天才 少 年 ガ ロア(1811-1832)に よ って踏 み 出 され た.ガ ロアは方 程 式 の ガ ロア群 を定 義 し た が,こ
こで 置 換群 が 前 面 に登 場 し,方 程 式論 の 全 容 を 明 らか に す る とい うこ と
に な った.こ れ 以来,群 が単 に さ まざ まな 芸術 作 品 の デザ イ ンの上 だ け では な く て,数 学 の諸 概 念 の上 に,積 極 的 に働 きか け て くる よ うにな った の であ る.
第4講 群 に関 す る基本 的 な概 念 テ ーマ
◆ 有 限群 と無 限群 ◆ 可換 群 ― ◆3つ
ア ーベ ル 群―
と,非 可 換 群
の もの の上 の置 換
◆ 置 換 の 表示 ◆3次
の対 称群S3
◆S3の
非可 換 性
有 限群 と無 限 群
左 右 対 称 の 変 換 が つ く る 群 や,2π/12だ け の 回 転 が つ く る群 は,前 に,元
の 数 が 有 限 個(前
で あ るが,平
の 群 は 元 の 数 が2,あ
行 移 動 の つ く る 群 は,そ
講 でみ た よ う
と の 群 は 元 の 数 が12)か
れ に 反 し て,元
らな る群
が 無 限 に あ る.
元 の 個 数 が 有 限 個 で あ る よ うな 群 を 有 限 群 と い い,元
が無 限 に あ る よ うな群 を
無 限 群 とい う. 無 限 群 の 方 の 例 を 少 し あ げ て お こ う. Z:整
数 全 体 の集 ま り Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}
は,加
法 の 演 算 に よ っ て 群 に な る(こ
a+bと
表 わ す こ と に な る).0は
の と き は,群
単 位 元 で あ る:n+0=n.ま
元 は −5で 与 え られ る:5+(−5)=0.Zは R:実 元 は0で R*:R*に
数 全 体 の 集 ま りRも あ り,実 数tの よ っ て0で
の 演 算 は,abで
は な くて,
た た と え ば5の
逆
無 限 群 で あ る.
加 法 の 演 算 に よ っ て 無 限 群 とな る.こ の 場 合 も単 位
逆 元 は −tで あ る. な い 実 数 全 体 の 集 ま りを 表 わ す こ と に す る.R*は,実
数 の 乗 法 の 演 算 に よ っ て 群 と な る.こ
の 群 の 単 位 元 は1で
あ る:t・1=t.ま
たt
の 逆 元 は1/tで 与 え ら れ る:t・1/t=1.R*は な お,R自 ら,0に
身 は,乗
無 限 群 で あ る.
法 の 演 算 で は 群 と な らな い こ と を 注 意 し て お こ う.な ぜ な
は 逆 元 が な い か ら で あ る.
行 列 の こ とを 知 っ てい る人 は,n次
の 正 則行 列Aの
全 体 が,行 列 のか け 算 で 群 に な る こ
とも,容 易 に確 か め る こ とが で き るだ ろ う.こ の とき単 位 元は,n次 れ る.Aの
逆 元 は,Aの
もので あ る と考 え る こ ともで き る(1次
の正 則 行列 は,0で
有 理 数 の 全 体 は 加 法 に 関 し て 群 に な る.0で を つ くっ て い る.こ
の単 位 行 列 で与 え ら
逆 行 列A−1で あ る.こ れ も無 限群 で あ っ て,群R*を
一般 化 した
な い実 数 で あ る!).
な い 有理 数 全 体 は 乗法 に関 して群
れ ら も と も に 無 限 群 で あ る.
可換 群 と非 可 換 群
群 の か け 算 の 性 質 に 注 目 す る こ と に よ っ て,群
を,大
き な2つ
の ク ラス にわ け
る こ と が で き る. 【定 義 】
群Gの
か け 算 が つね に ab=ba
を み た す と き,Gを
可 換 群 で あ る と い う.可 換 群 で な い 群 を 非 可 換 群 と い う.
可 換 群 を ア ー ベ ル 群 と も い う.可
換 群 の と き,2つ
の 元 の 積 を,abと
か く代 り
に a+b とか く こ と も 多 い.し
た が っ て こ の 記 法 を 用 い る と きに は,特
に断 らな くと も
a+b=b+a が つ ね に 成 り立 っ て い るわ け で あ る.可 わ し た も の を,加 加 群 で は,単
換 群 で,乗
法 の 規 則 を こ の よ う に+で
表
群 と い う こ と も あ る. 位 元 を0(ゼ
ロ)と
表 わ す の が 慣 例 で あ る.し
た が って
a+0=0+a=a で あ る.ま
たaの
逆 元 を−aで
表 わ し,a+(−a)を
て a−a=0 で あ る.
単 にa−aと
か く.し た が っ
Z,R,R*は
可 換 群 で あ る.ま
た2π/12や2π/5の
つ く る群 も 可 換 群 で あ る.Z,R,R*は
回 転,一
般 に は2π/nの
無 限 可 換 群 で あ る し,回
回 転 の
転 のつ くる群 は
有 限 可 換 群 で あ る. い ま ま で 述 べ て き た 群 の 例 の 中 で,非 ら 生 成 さ れ た 群(第3講(Ⅴ))だ る.そ
可 換 群 の 例 を 与 え る の は,回
け で あ る.し
転 と反 転 か
か し 非 可 換 群 は た くさ ん 存 在 す
れ に つ い て は これ か ら し だ い に 述 べ て い く こ と に し よ う.
行 列 の こ とを 知 っ て い る人 は,た とえば2次 の行 列A,Bに
対 して,一 般 に はAB≠BA
で あ り,し たが って2次 の 正 則行 列全 体 は,非 可 換 群 を つ くっ てい る こ とが わ か るだ ろ う.
3つ
3つ の も の を,い
の も の の 上 の 置 換
ろ い ろ に 移 しか え る こ とを 考 え て み よ う.3つ
b,cと す る と,aをbに
か え,bをcに
か え,Cをaに
の も の をa,
か え る と い う よ うな こ と
を 考 え て み よ う と い う の で あ る. そ れ は3つ が1つ
の も の{a,b,c}の
お きか え―
置 換―
の 順 序 に し た が って 並 ん で い る と考 え れ ば,順
を 考 え る と い っ て も よ い.こ を 自 分 自身 の 上 に1対1に こ の 写 像 は6通
と い っ て も よ い し,a,b,c 序 の 入れ か え―
の 節 で は も う少 し 改 ま っ た い い 方 で,集
順 列― 合{a,b,C}
移 す 写 像 を 考 え る と い う こ と に し よ う.
り(3!=6)あ
っ て,そ
れ は 次 の よ う に 表 わ され る.
(#)
こ の よ うに か い た だ け で は,少 て 竹,cと
し味 気 が な い か も し れ な い.aと
し て 梅 を と っ た と き,こ
変 わ る か を,デ
の 写 像 に よ っ て,松
ザ イ ン の 変 化 と し て 図11で
こ の 写 像 の 合 成 を 考 え て み よ う.φiを の を,φi°φjと 表 わ す こ と にす る.た
し て 松,bと
し
竹 梅 の 配 列 が ど の よ うに
示 し て お い た. 行 な い 次 に 引 き 続 い てφjを 行 な っ た も
と え ば 上 のφ2,φ4を
参 照 す ると
図11
した が っ て
ま た 上 の φ6,φ3を 参 照 す る と
したが っ て
こ の 結 果 は(#)と
見 比べ る と φ4° φ2=φ5,φ3° φ6=φ4
の こ と を 示 し て い る.同
じ よ うに し て,た
(1)
とえ ば
φ2° φ2=φ1,φ3° φ5=φ1
(2)
の よ うな こ と も わ か る. 2つ の 写 像 φiと φjを 合 成 し た 結 果 も,{a,b,c}か 写 像 とな っ て い る の だ か ら,(#)の
中 の1つ,た
な ら な い;φj° φi=φk・ 写 像 の 合 成 φj° φiを,φiと み た し て い る(こ
れ に つ い て は,第3講,'変
ま た φ1は 恒 等 写 像 だ か ら,す
ら 自分 自身 の 上 へ の1対1 とえ ば φkに な っ て い な くて は φjの 積 と考 え る と,結
換 の 性 質'を
合則を
参 照).
べ て の φiに 対 し て φ1° φi=φi°φ1
と な っ て い る.φiの
逆 写 像 を φi−1と表 わ す と φi−1° φi=φi°φi−1=φ1
で あ る.φi−1も{a,b,c}を
自分 自身 の 中 へ 移 す 写 像 な の だ か ら,や
は り(#)の
中 の1つ
に な っ て い る.た
と え ば,(2)は φ2− φ2,φ5−1=φ3
の こ と を 示 し て い る. これ ら の こ とか ら,(#)に
現 わ れ た6個
規 則 とす る こ と に よ っ て,群
を つ く る こ とが わ か る.
こ の 群 を,{a,b,c}上
の 置 換 群,ま
の写 像 全 体 が,写
た は3次
像 の 合成 を 積 の 演算
の 対 称 群 と い い,S3で
表 わ す.
置換 の 表 示
S3の 元 は,φ1,φ2,φ3,φ4,φ5,φ6で あ る が,こ
こ の 記 号 は,写
像 φiに よ っ て,a,b,cが
れ ら を ふ つ う次 の よ う に表 わ す.
そ れ ぞ れ ど こへ 移 るか を 明 示 し て い る 点
に 特 徴 が あ る. この 記 号 を 用 い る と,(1)は
そ れ ぞれ
(3)
とか くこ とが で き る.
S3の 非 可 換 性 (3)の
左 辺 で積 の順 序 を と りか え てみ る と
(4) し た が っ て(3)と(4)を
見比 べ て み る と
(5)
と な る こ とが わ か り,S3が (5)を
非 可 換 で あ る こ と が わ か る.
よ くみ る と,aとbを
と りか え て か ら,bとcを
と りか え る こ と と,
と りか え て か ら,aとbと
を と りか え る こ と で
こ の 手 順 を 入 れ か え て,bとcを は,違
う結 果 に な る こ と を 示 し て い る.読
者 は,こ
ん な 簡 単 な 操 作 で も,操
手 順 を 変 え る と結 果 が 異 な る の に 驚 か れ た か も し れ な い.こ 合 成 と い う操 作 は,本 に,端
来 非 可 換 性 を もつ と い う事 実 が,こ
こ は む し ろ,写
作の 像の
の よ うな 簡 単 な 場 合
的 に 示 さ れ て い る と み た 方 が よ い.
一 般 的 な 立 場 で い うな ら ば,2つ
の 異 な る 写 像 の 合 成 が 可 換 性 を 示 す の は,む
し ろ 例 外 的 な こ と で あ る と い っ て よ い の で あ る. そ し て そ の こ とが,群
の 理 論 で,可
換 群 の 研 究 よ り は,非
は るか に 大 き な ウ エ イ トが あ る こ と の1つ
Tea
の 理 由 と な っ て い る.
Time
質 問 座 標 平 面 上 の 原 点 中 心 の 回 転 で,回
転 角 が2π/nの
も とへ 戻 る こ とは わ か り ます.点P(1,0)に,こ 点Pを1つ
の 頂 点 と し て,単
角 が2π÷5/7で
と え ば,原
が お 聞 き した い
点 中 心 で,回
た,回
転 角 が
うな 回 転 を 繰 り 返 し て い く と,ど
転
の よ
んな 状態 にな っ
ん な 群 が で て く る の か とい う こ と で す.
答 2π÷5/7,す P(1,0)を
ほ ど こ し て い く と,
あ る よ うな 回 転 を 繰 り返 し て い く と
ど うな る の で し ょ うか.ま
図12の
の 回 転Sを
まわ っ て
分 数 や 無 理 数 の と き に は ど うな る の だ ろ
うか とい う こ と で す.た
て,ど
と き は,n回
位 円 に 内 接 す る 正n角
形 の 頂 点 が 順 次 得 られ て き ま す.僕 の は,nが
可換 群 の研 究 の方 に
な わ ち2π/5×7の
頂 点 と し,単
回 転 角 で ま わ る 回 転Sの
位 円 に 接 す る正5角
よ う にP0,P1,P2,P3,P4と
形 の 頂 点 を,Pか
す る.2π/5×7を,2π/5×(5+2)と
図12 場 合 を 考 え よ う.点 ら は じ め て,順
に,
か き 直 し
て み る とわ か る よ う に,Sに だ け まわ る.し
よ っ て,円
周 上 の 点 は,1周
し て,さ
ら に2π/5×2
たが って
とな る.し た が っ て この場 合 もS5=Iで
あ る.5回
まわ れ ば も とへ戻 る とい う性
質を 単 に,群 の乗 法 の性 質 と考 え れ ば,2π/5の 回転 も,2π/5×7の 回転 も,群 立 場 で は 同 じ もの と考 え て も よい ので あ る.両 方 と も,正5角
の
形 の 回転 に関 す る
対 称 性 を 示 して い る. それ に反 して回 転角 が 何 回Tを
の 回転 をTと
繰 り返 して行 な って も,Pに
す る と,円 周 上 の任 意 の 点Pに,
二 度 と戻 っ て くる ことは ない.す
なわ ち,
は,す べ て 円周 上 の異 な った 点 とな る.実 際 これ らの点 は,円 周上 に稠 密 に分 布 して い る こ とが 知 られ て い る.し た が って,Tは る.
無 限 可 換群 を生 成 す るの で あ
第5講 対 称 群 と正6面 体群 テーマ
◆n次
の対 称 群Sn
◆ 対 称群S1,S2,S3,S4 ◆ 正6面 体 群 ◆ 正6面 体 群 の元 の数 え 上 げ ◆ 群 の 同型 ◆ 正6面 体 群 は4次 の 対 称群 と同型 に な る.
n次
一 般 にn個
の 対 称 群
の もの {a1,a2,…,an}
の 置 換 全 体 の つ くる 群 を,{a1,a2,…,an}上 い.Snで
表 わ す.Snの
の 置 換 群,ま
た はn次
の 対 称 群 とい
元 は一 般 に
(1) と 表 わ す こ と が で き る.こ
こ で i1,i2,…,inは,1,2,…,nの
写 像 と 考 え る と,(1)はa1,a2,…,anを
順 列 を 表 わ し て い る.
そ れ ぞれ
a1→ai1,a2→ai2,…,an→ain
へ と移 す 写 像 と 考 え て い る. Snは,写
像 の 合 成 に よ っ て 群 を つ く っ て い る.Snの
の 順 列 のn!に
等 し い.も
っ と も,有
元 の 個 数 は,n個
限 群 の と き に は,元
の 個 数 に つ い て,ふ
つ う次 の よ うな 言 葉 づ か い に 関 す る 定 義 を お い て い る. 【定 義 】 有 限 群 の 元 の 個 数 を,こ この い い 方 に した が え ば,Snは,位
の 群 の位 数 と い う. 数n!の
の もの
有 限 群 で あ る.
記 法 の 簡 易 化 {a1,a2,…,an}の わ ず ら わ し い.下
上 の 置 換 群 を 調 べ る の に,い の 添 数 だ け に注 目 し て,単
ち い ちa1,a2…,anと
に,1,2,…,nと
か くことは
か く こ と に し よ う.
そ うす る と(1)は
と表 わ さ れ る こ と に な り,(1)に 以 下 で は,n次
の 対 称 群Snを
比 べ れ ば ず っ と 簡 明 で あ る. 調 べ る と き に は,い
つ も この記 法 を採 用 す る こ
と に し よ う.
対 称 群S1,S2,S3,S4
S1:S1は
単 位 元 だ け か ら な る 位 数1の
S2:S2は
位 数2の
と,も
う1つ
群 で あ っ て,単
群 で あ る.
位元
の元
と か ら な る.
で あ っ て,し g2=eの
た が っ てg=g−1で
よ う に,二
こ す 変 換 や,平
あ る.
度 か け る と 単 位 元 に な る よ うな 状 況 は,左
右 対 称 を 引 き起
面 上 で あ る 直 線 に 関 し て 反 転 を 引 き 起 こす よ うな 変 換 で 出 会 っ た
こ と を 読 者 は 思 い 出 さ れ る だ ろ う. S3:S3は
位 数6の
群 で あ っ て,前
講 で 述 べ た よ う に,S3は
置換
か ら な る.S3は S4:S4は
非 可 換 群 で あ る.
位 数24(4!=24)の
の よ うな 元 か ら な る.こ
群 で あ る.S4は,た
の2つ
とえば
の元 の積 は
(2) で あ る.ま
た
と な る.S4も
非 可 換 群 で あ る.実
際,(2)の
左 辺 で 積 の 順 序 を と りか え る と,
結 果 が 違 っ て く る. な お,一
般 にn≧3の
と き,Snは
非 可 換 群 で あ る.
正6面
図13で
示 し て あ る よ う な,正6面
体 群
体 を 考 え よ う.正6面
の 正 方 形 を 面 とす る 立 方 体 の こ とで あ る.正6面 線 が あ る.図
で は これ ら を Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ
体 と は,合
体 に は 中 心Oを
に
よ っ て 示 し て あ る. こ の 正6面
体 の 形 を そ の ま ま 保 つ よ うな
Oを 中 心 と す る 回 転 は,(す
な わ ち 正6面
体 の 対 称 性 を そ の ま ま 保 存 す る 回 転 は)以 下 で み る よ うに,全
体 で24個
あ っ て,そ
れ ら は,回
転 の 合 成 を 積 と して 群 を つ く っ
て い る.こ
の 群 を 正6面
体 群 と い い,P(6)
で 表 わ そ う. まず,g∈P(6)な
らば,gは,正6面
体
図13
同 な6個
通 る4個
の 対角
を 正6面
体 に 移 し,し
た が っ て ま た 対 角 線 を 対 角 線 に 移 し て い る.し
gは 対 角 線 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ 対 角線
Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ
の 置 換 を 引 き 起 こ して い る . の 置 換 の 総 数 は24個
換 を 引 き 起 こ す よ うな,P(6)の そ うす る と,P(6)の な る.こ
こ で,回
で あ る が,こ
の24個
のそ れ ぞれ の置
元 が あ る こ と を す ぐ以 下 で 示 そ う.
元 は,{Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ}の
転 を 繰 り返 し て 行 な う こ と は,置
上 の 置 換 と 同 一 視 され る こ と に 換 を 繰 り返 し て 行 な う こ と と
同 じ こ と に な る こ と を 注 意 し て お こ う.そ れ で 結 局,正6面 の 対 称 群S4と
た が っ て,
体 群P(6)は,4次
同 一 視 し て も よい と 結 論 さ れ る こ と に な る の で あ る.
正6面
体 群 の 元
対 称 群 の 記 号 と 合 わ す た め に,図13の
対 角 線 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ を1,2,3,4と
表わす
こ と に す る. (ⅰ) 恒 等 変 換
恒等変換 は,恒 等置換(
1234
)
に 対 応 す る.
1234 (ⅱ) 中 心 軸 の ま わ りの,π/2,π,3/2π 図14(a)で,底
の回 転
面 を 通 る中 心 軸 の ま わ りの 回 転Tに
よ っ て,順
置換
(a)
(b) 図14
(c)
次 対 角線 の
が 引 き起 こされ る. 同様 に,側 面 を 通 る他 の2つ の 中心 軸 の まわ りで は,順 次 対 角 線 の置 換
お よび
が 引 き 起 こ さ れ る. (ⅲ)対
角 線 の ま わ り の2π/3,4π/3の
図14(b)で,対
回転
角 線 Ⅰの まわ りの 回 転 に よ っ て,対
角線の置換
が 引 き起 こ され る.最 初 の置 換 が2π/3の 回転 に よる もの であ り,次 が も う 一 度 回 転 した,4π/3の 回転 に よる もので あ る. 同様 に他 の3本 の 対 角線 の まわ りで (Ⅱ の ま わ り)
(Ⅲ の ま わ り)
(Ⅳ の まわ り)
(ⅳ)対
辺 の 中 点 を 結 ぶ 直 線 の ま わ り の πの 回 転
こ の と き は,図14(c)で
示 し て あ る が,そ
対 角 線 の 置 換 が 引 き起 こ さ れ る.そ (1 2),(1 の6個
で あ る.こ
わ し て い る.た
3),(1
ずつ
れ らは全 体 で 4),(2
こで 記 号(ab)は,aとbだ とえば
れ ぞ れ の 直 線 の まわ り で1つ
3),(2
4),(3
4)
け の 入れ か え―
互換―
を表
で あ る. これ らを 総 合 す る と,(ⅰ)の
場 合 か ら は 単 位 元 が1つ,(ⅱ)の
4つ の 対 角 線 を す べ て 入 れ か え る置 換 が9個,(ⅲ)の を 入 れ か え る置 換 が8個,(ⅳ)の 置 換 が6個
場 合 か ら は,
場 合 か らは3つ
場 合 か ら は,2つ
の 対角 線
の対 角 線だ け を入 れ か え る
登 場 し て い る.
これ ら の 総 計 は 1+9+8+6=24 で あ っ て,4次
の 対 称 群S4の
位 数 と一 致 し て い る.
群
正6面 正6面
体 群P(6)と,4次
方 は,4個
同 型
の 対 称 群S4は,働
体 群P(6)は,正6面
称 群S4の
の
く場 所 が ま っ た く違 っ て い る.
体 の 形 を 変 え な い よ うな 空 間 の 回 転 か らな る し,対 の も の{1,2,3,4}の
上 に 働 い て,こ
のす べ て の置 換 を引 き
起 こ して い る.し
た が っ て 群P(6)と
い う と き に は,私
べ て い る し,S4と
い う と き に は,4個
の も の の 集 ま りを まず 考 え にお い て い る.
しか し,こ
の よ う に ま っ た く異 な る 様 相 を 示 し て い る2つ
が 引 き 起 こ す 対 角 線 の 置 換 に 注 目す れ ば,上 S4の
た ち は立 方体 を 思 い浮 か
元 と 見 な す こ と が で き る.回
の 群 も,P(6)の
に み て き た よ う に,P(6)の
転 を 引 き 続 い て 行 な う こ と は,置
い て 行 な う こ と に な っ て い る.し
た が っ て,正6面
の 上 に 引 き 起 こ さ れ る置 換 も,背
景 に あ っ て 支 配 し て い る の は,同
い う観 点 が 生 じ て く る.ワ {1,2,3,4}の
元 は, 換 を引 き 続
体 に 働 く回 転 も,{1,2,3,4}
イ ル の い い 方 に な ら うな らば,正6面
並 び 方 を 律 す る 規 則 性 も,イ
元
じ群 で あ る と
体 の 対 称 性 も,
デ ヤ の世 界 で 見 る と き には 同 じ群 の 働
き に よ っ て 統 合 さ れ て い る. こ の よ うな 視 点 を,純
粋 に 数 学 の 立 場 に 立 っ て 定 式 化 し よ う と す る と,次
の定
義 が 生 ま れ て く る. 【定 義 】2つ
の 群G,G′
が 次 の 条 件 を み た す と き,GとG′
う: Gか
らG′ の 上 へ の1対1写
像 φが存 在 して φ(ab)=φ(a)φ(b)
は 同型 で あ る と い
が 成 り立 つ. 群GとG′
が 同 型 の こ と を,記
号 G〓G′
で 表 わ す.ま
た,Gか
らG′
へ の 同型 を与
え る 写 像 φ を,Gか
らG′
へ の 同型 写
像 と い う. G,G′
の 単 位 元 を そ れ ぞ れe,e′
と す る と,φ
φ(e)=e′ ま た,a(∈G)の
逆 元a−1は,φ
ea=a′
に よ っ て,φ(a)の
の よ う に し て わ か る.単
逆 元 へ と 移 る:
位 元eを
(4) 規 定 す る 条 件'す
が そ の ま ま φ に よ っ て,φ(a)φ(e)=φ(e)φ(a)=φ(a)とG′
φ(e)=e′
と な る.(4)も,逆
=φ(a−1)φ(a)=e′
に 移 す:
(3)
φ(a−1)=φ(a)−1 (3)は,次
はeをe′
元 の 条 件aa−1=a−1a=eが
べ て のaに
対 し てae=
に 移 さ れ,し
た が って
そ の ま ま φ に よ っ て φ(a)φ(a−1)
とG′ に 移 さ れ る こ と に 注 目 す る と よ い.
こ の 同 型 の 概 念 を 用 い る と,上
に 述 べ て き た こ と は,簡
単 に
P(6)〓S4
と 表 わ され る.こ
の 同 型 対 応 は,P(6)の
元 が,正6面
体 の対 角線 に引 き起 こす
置 換 に よ っ て 与 え られ る. な お,一 般 に G〓G′ G〓G′,G′
⇒G′〓G 〓G"⇒G〓G"
が 成 り立 つ こ とは 容 易に 確か め られ る.実 際,上 の関 係 を確 か め るに は,同 型 写 像 の逆 写 像 を考 え る と よい し,下 の 関係 を 確 か め る には,同 型写 像 の 合成 を 考 え る と よい.
Tea
Time
左右対称の群 左 右 対 称 を与 え る群 は,単 か らな り,T2=Ⅰ
位 元 を与 え る恒 等 変換 Ⅰ と対 称 変 換 を与 え るTと
で あ る.対 称変 換 とい うと,私 た ち は,ま ず 何か 左 右対 称 の も
のを 考 え よ う とす るが,一 時 代 前 は こ うい う ときに は,神 社 の 鳥居 の 前 に左 右 に おか れ て い る狛 犬 な どが よ く引 き合 い に 出 され た.い ま な らば,ど ん な ものを思 い浮 かべ る のだ ろ うか.ジ
ェ ッ ト機 が 空港 に止 ま って い る と き,真 前 か ら 見 る
と,完 全 に左 右対 称 にな って い る.し か し,こ うした例 は,自 然 にす ぐ思 い つ く 例 な のだ ろ うか. 左 右 対 称 を与 え る群 は,2次
と し て,同
の対 称群S2と
同型 で あ る.実 際
型 対 応 を 与 え る こ とが で き る.
ま た 次 の よ うな 群 と も同 型 に な る.い
ま0と1に
対 し て,加
義 し よ う. 0+0=0,0+1=1+0=1,1+1=0 そ うす る と,{0,1}は
群 に な る が,こ
の 群 も,対
I→0,T→1 に よ って,左
右 対 称 の 群 と 同 型 に な る.
応
法 を 次 の よ うに 定
第6講 対称群 と交代群 テ ーマ
◆ 正6面 体 群 の互 換 の相互 関係 ◆ 任 意 の置 換 は互 換 の積 とし て表 わ され る. ◆ 偶 置 換 と奇 置換 ◆n次
の 交 代群An
◆(Tea
Time)対
称 式 と交 代 式
正6面
前 講 で み た よ うに,正6面 回転 は,2つ
体 群 の 回 転 の相 互 関 係
体 群 の 中で,対 辺 の 中 点を 結 ぶ 直線 の まわ りの πの
の 対 角 線 のお きか えを 引 き起 こ して い る.そ こで は,た とえば 対 角
線 Ⅰと Ⅱが 入 れ かわ るの を記 号 (12) で表 わ して い た.こ れ は,ふ つ うの置 換 の 記号 で か くと
で あ る. い まP(6)の
元 を 任 意 に1つ
と ろ う.た
と え ば,底
面 を 通 る 中 心 軸 の まわ りの
3/2πだ け の 回 転 を 考 え る こ と に し よ う.前 講 の 結 果 を 参 照 す る と,こ 対 角線 の置 換
を 引 き 起 こ し て い る.一
方,す
ぐ確 か め られ る よ う に
(1)
の 回 転 は,
と な っ て い る.右
辺 に 現 わ れ る置 換 は,対
辺 の 中 点 を 結 ぶ 直 線 の ま わ りの 回 転 に
よ っ て 引 き 起 こ さ れ て い る. さ て,対
角 線 の 移 り方 に よ っ て 回 転 は 完 全 に 決 ま る の だ か ら,こ
こ とを 示 し て い る.底 に は,(14),(23),(12)の
置 換 を 引 き 起 こす よ うな 対 辺 の 中 点 を 結 ぶ 直 線 を
3本 と っ て,そ
の まわ りで π だ け の 回 転 を3回
け を 考 え て,こ
の こ とを 推 論 す る こ と は,な
(1)の
続 け て 行 な う と よ い.正6面
体だ
か な か 大 変 な こ とで あ るが,そ
れが
表 示 か ら の 簡 明 な 結 論 と し て 得 ら れ る と こ ろ に,興
味 が あ る の で あ る.
と こ ろ が 実 は こ の こ と は 一 般 に 成 り立 つ こ と で あ っ て,P(6)の 転 は,対
辺 の 中 点 を 結 ぶ 直 線 の ま わ りで の,π
3回)繰
り返 す こ と に よ っ て 必 ず 得 られ る の で あ る.
しか し こ の こ と は,正6面 に一 般 的 な 形 ―
体 群P(6)か
対 称 群Snの
【定 義 】Snの
び 一 般 のn次
元 で,2つ
元を与える回
だ け の 回 転 を 何 回 か(実
ら,同
もつ 一 性 質 ―
互
そ こ で 話 を,再
の こ とは次 の
面 の 中 心 を 通 る 中 心 軸 の ま わ りに3/2π だ け の 回 転 を 行 な う
型 な 群S4へ
際は高 々
と移 る と,は
るか
と し て 述 べ る こ とが で き る.
換
の 対 称 群Snへ
の 数 字i,jを
と 戻 す.以
下n≧2と
す る.
入 れ か え る置 換 を互 換 とい い,記
号(ij)
で 表 わ す. す なわ ち
で あ る. こ の と き,上
に 述 べ た こ と は,次
Snの
の 一 般 的 な 命 題 か ら の 系 と な る.
任 意 の 元 σは,互
換 の 積 と し て 表 わ さ れ る.
こ の こ とは 実 は ほ と ん ど明 ら か な こ とな の だ が,一 る と,数
般 のnに
学 的 帰 納 法 を 用 い な け れ ば な ら な くな っ て,あ
し な くな っ て くる.こ
こ で はS6の1つ
の元
つ い て示 そ うとす
ま り 明 らか そ う な 感 じ が
を と り,σ が 互 換 の 積 と し て 表 わ さ れ る 過 程 を 調 べ る こ と に よ っ て,一
般 の場 合
に も 命 題 が 成 り立 つ こ と を 類 推 し て も ら う こ と に す る(一 般 の 場 合 の 証 明 は 特 に 述 べ な い). そ の た め,単 2を4に
位 置 換eか
か え,次
ら 出 発 し て,σ を 見 な が ら,順
に3を2に
次1を5に
か える とい う よ うな こ とを,互
か え,次
に
換 に よ って行 な って
い っ て み よ う.
した が って σ=(3
6)(3
1)(3
2)(2
4)(1
5)e
=(3
6)(3
1)(3
2)(2
4)(1
5)
これ で σが 互 換 の 積 と し て 表 わ され た. この 命 題 に よ っ て,Snの れ る こ と が わ か っ た(た
任 意 の 元 は 何 回 か 互 換 を 繰 り返 す こ と に よ っ て 得 ら と え ば 単 位 元eは,e=(12)(12)と
表 わ さ れ る!).
この状 況 を
Snは,互
換 に よ っ て 生 成 され る
と もい い表 わ す. この命題 をS4の 場合 に適 用 す れ ば,最
初 に述 べ た,正6面
体群の回転の話と
結 び つ い て く る. な お,任
意 の 互 換 は,自
分 自身 が そ の 逆 元 に な っ て い る こ とを 注 意 し て お こ
う: (ij)−1=(ij) い い か え れ ば,iとjを に 戻 る.こ
入 れ か え て,次
(1) に も う一 度iとjを
入 れ か え れ ば,も
と
れ は 当 り前 の こ とで あ ろ う.
偶 置 換 と奇 置 換 Snの
任 意 の 元 σは,互
し方 は1通
換 の 積 と し て 表 わ され る こ と は わ か っ た が,こ
りで は な い の で あ る.た
と え ば,S4で
の表わ
は
(2) (3) な どが 成 り立 つ. これ は 日常 的 な こ とか ら も明 らか な こ とで あ る.中 学 校 で,先 生 が整 列 してい る50人 の生 徒 を,あ
る別 の順 に並 びか え よ うとす る.先 生 が2人 ずつ 生 徒 を入
れ か え て これ を実 行 し よ うとす る と,手 際 の よい先 生 は 早 く済 むが(互 換 の回 数 が 少 な い),手
順 を 間違 った先 生 は,生
徒 の 入 れ か えを 何度 もや り直 しなが ら,
手 間 を か け て行 な って い くだ ろ う.こ の とき互換 の数 は 増 え る一方 であ る! しか し次 の ことは成 り立 つ. Snの
元 σ を 互 換 の 積 と し て 表 わ す と き,現
か 奇 数 個 か と い う こ とは,σ
(2)を
み る と,単
を み る と,互
位 元eを
換(13)を,別
ろ あ る と し て も,そ
に よ っ て 決 ま っ て い る.
表 わ す 互 換 の 数 は つ ね に 偶 数 で あ る.ま
た(3)
の 仕 方 で 互 換 の 積 と し て 表 わ す 表 わ し方 は い ろ い
こ に 登 場 す る 互 換 の 数 は つ ね に 奇 数 と な っ て い る.
こ の よ う な 状 況 は,実 上 の 命 題 で あ る.こ
わ れ る互 換 が 偶 数 個
は い つ も成 り立 つ こ と で あ る.そ
の 証 明 の 考 え 方 は,Tea
Timeで
の こ とを保 証 す るのが
触 れ る こ と に し て,い
まは
この 命題 を認 め て,話 を進 め てい く ことにす る. こ の命題 に よ って,次 の定義 が 可能 にな る. 【定義 】Snの
元 σが 偶 数個 の 互換 の積 と して表 わ され てい る と き σを 偶 置 換 と
い う.ま た σが 奇 数 個 の互換 の積 と して表 わ され て い る とき σを 奇置 換 とい う. こ の と き次 の ことが成 り立 つ. (Ⅰ) σ,τ が 偶 置 換 な らば
(Ⅱ) σ,τ が 奇 置 換 な ら ば
(ⅰ) στも偶 置 換
(ⅰ) στは 偶 置 換
(ⅱ) σ−1も 偶 置 換
(ⅱ) σ−1は奇 置 換
ど ち ら も 同 様 だ か ら,左
の 方 だ け を 示 し て お こ う. σ=(i1
j1)(i2
τ=(k1
l1)(k2
j2)…(i2s
j2s)
l2)…(k2t
l2t)
とす る と στ=(i1 と な り,こ
j1)…(i2s
j2s)(k1
l1)…(k2t
の 右 辺 に 現 わ れ る 互 換 の 数 は,2s+2tで
ま た(1)に
l2t)
あ っ て,こ
れ は 偶 数 で あ る.
注 意 す る と σ−1=(i2sj2s)…(i2j2)(i1j1)
と 表 わ さ れ る こ と が わ か る.し
た が っ て σ−1も 偶 置 換 で あ る.
また
σが 偶 置 換,τ が 奇 置 換 な ら ば,σ τは 奇 置 換
が 成 り立 つ こ と も 注 意 し て お こ う. これ ら の結 果 を簡 単 に記 述す るた め には,置 換 の符 号 とい うもの を導 入 し てお く とよい. 置 換σに対し
sgnσ
とお い て,sgnσ うだ が,そ ム)と
を,σ
1,σ −1 ,σ
が偶 置 換 の とき が奇 置 換 の とき
の 符 号 と い う の で あ る.(sgnは,sign(サ
うす る と 三 角 関 数 と 間 違 わ れ る お そ れ も あ る の で,ふ
よ む よ うで あ る.こ
れ は ラ テ ン 語 で あ る.)こ sgnσ
と ま と め る こ と が で き る.
τ=sgnσsgnτ,sgnσ−1=sgnσ
イ ン)と
よん で も よい よ
つ うはsignum(シ
の 記 号 を 用 い る と,上
グヌ
の結 果 は簡 明 に
交
(Ⅰ)の
示 し て い る こ と は,Snの
代
中 で,偶
群
置 換 ど うし は,か
換 で あ り,ま た 逆 元 も偶 置 換 で あ る こ とを 示 し て い る.し っ て,σ −1σ=eと 表 わ し て み る と わ か る よ う に,単 こ の こ とは,Snの を 示 し て い る.こ
中 で,偶
位 元eも
置 換 全 体 を 集 め る と,こ
の 群 は 重 要 だ か ら,定
け 合わ せ て も偶置
た が っ て 偶 置 換 σを と 偶 置 換 で あ る.
れ が1つ
の 群 にな る こ と
義 の 形 で は っ き り述 べ て お く こ とに し よ
う. 【定 義 】Snの
中 で,偶
置 換 全 体 の つ く る群 をAnと
表 わ し,n次
の交 代 群 と い
う.
Anは
【証 明 】
σを 偶 置 換 とす る と,も
換 で あ る.し
位n!/2の
う一 度 互 換(12)を
ほ ど こ し た(12)σ
は 奇置
た が って対 応 σ
は,偶
群 で あ る.
→(12)σ
置 換 の 集 合 か ら奇 置 換 の 集 合 へ の 対 応 を 与 え て い る.σ ≠ τな ら ば(12)σ
≠(12)τ
で あ る.し
た が っ て こ の 対 応 は1対1で
あ り,こ
の こ とか ら
偶 置 換 の個 数 ≦奇 置 換 の個 数 が 結 論 で き る.次 える と
に,奇
置 換 の 集 合 か ら偶 置 換 の 集 合 へ の 対 応 τ →(12)τ
を考
,同 様 に し て 奇 置 換 の個 数 ≦偶 置 換 の個 数
が 得 られ る.し
た が っ て 偶 置 換 の 個 数 と奇 置 換 の 個 数 は 一 致 し て い る.
Snの 位 数 はn!だ 分n!/2で 【例1】A3は
っ た か ら,こ
の こ とか ら,偶
な け れ ば な らな い こ とが わか る.
置 換 の 個 数 は,ち
ょ うど この半
の3つ
か ら な る.
【例2】A4は,単
位 元 と
(12)(13),(13)(12),(12)(24),(24)(12),(23)(34), (34)(23),(34)(14),(14)(34),(12)(34),(13)(24), (14)(23) の12個
の 置 換 か ら な る.
Tea
Time
対称式 と交代式 n次 の 対 称 群 は,n変 き る.一
般 のnで
で,nが3の
数x1,x2,…,xnの
整 式f(x1,x2,…,xn)に
こ の こ と を 説 明 す る の は,Tea
Timeに
働 く こ とが で
は ふ さわ し くな い の
と き に こ の こ とを 説 明 し て み よ う.
た とえ ば 置 換
は,整
式f(x1,x2,x3)に
お い て 変 数x1をx2に,x2をx3に,x3をx1に
え る よ う に 働 く と 考 え る:た
お きか
とえ ば
σ:x1+5(x2)6(x3)2→x2+5(x3)6(x1)2 で あ る.3変
数x1,x2,x3の
整 式f(x1,x2,x3)に
得 ら れ た 整 式 を(σf)(x1,x2,x3)と
対 し て こ の よ うに σを 働 か し て
か く こ と に し よ う.要
す る に,σ
に よる変 数
の お きか え であ って (σf)(x1,x2,x3)=f(xσ(1),xσ(2),xσ(3)) で あ る.(σ(i)と さ て,3次 3次
か い た の は,iが
置 換 σ で 移 っ た 先 を 示 す.)
の 整 式 に 対 し て,こ
の よ う に3次
の 整 式 の 中 で こ の 働 き に 関 し て 強 い'対
の 対 称 群S3が
称 性'を
働 く と 考 え る と,
示 す の は,す
べ ての σに対
し て, σf=f を み た す も の で あ る.こ
(σ∈S3)
の 性 質 を も つ 整 式 を 対 称 式 と い う.た
x1+x2+x3,x1x2+x2x3+x3x1,x1x2x3
と え ば, (*)
は対 称 式 で あ る.ま た
も対 称 式 で あ るが
と な っ て,(*)の
整 式 と し て 表 わ さ れ る.実
際,任
と し て か き 表 わ さ れ る こ とが 知 られ て い る.そ よ ば れ て い る の で あ る.い
わ ば,任
意 の 対 称 式 は,(*)の
の 意 味 で,(*)は
意 の 対 称 式 は,基
整式
基 本 対 称式 と
本対 称 式 に よっ て組 み立 て
られ て い る. こ れ に 対 し,互
換 に よ っ て 符 号 が 変 わ る よ うな 整 式,す
f(x1,x2,x3)=−f(x2,x1,x3)
を み た す 整 式 を,交
なわ ち
(互換(12)に
よ る)
=f(x2,x3,x1)
(互換(13)に
よ る)
=−f(x1,x3,x2)
(互 換(12)に
よ る)
代 式 と い う.交
代 式 の 中 で,最
も典 型 的な ものは
Δ(x1,x2,x3)=(x1−x2)(x1−x3)(x2−x3) で あ る. こ の 交 代 式 Δ を 用 い る と,任 互 換 の 個 数 が 偶 数 か,奇
意 の σ∈S3を,互
換 の 積 と し て 表 わ す と き,そ
数 か 一 定 し て い る こ と が 証 明 で き る.そ
の
れ は次 の よ うに
考 え る の で あ る. (σΔ)(x1,x2,x3)=Δ(xσ(1),xσ(2),xσ(3)) は,Δ(x1,x2,x3)か,− 方 で,偶
Δ(x1,x2,x3)の
い ず れ か で あ る.も
数 回 の 互 換 の 積 と し て 表 わ さ れ た な ら ば,1回
変 わ る の だ か ら,最
し σが,あ
る表わ し
ご と の 互 換 で Δの 符 号 が
終 的 には σΔ=Δ
で あ る.σ を 互 換 の 積 と し て 表 わ す 別 の 表 わ し方 で,も 登 場 す る よ うな こ と が あ る な ら ば,今
し か り に,奇
数 回互 換 が
度は
σΔ=− Δ と な る だ ろ う.こ れ は 明 ら か に 矛 盾 で あ る. し た が っ て,σ を 互 換 の 積 と し て 表 わ す と き,偶 質 は,表
わ し 方 に よ ら な い の で あ る.奇
数 回 互 換 が 現 わ れ る と い う性
置 換 の 場 合 も 同 様 で あ る.
第7講 正 多 面 体 群 テーマ
◆ 正 多面 体 ◆ 正 多面 体群 ◆ 部分 群 ◆ 正4面 体 群:P(4)=A4 ◆ 正6面 体 群 と正8面 体群:P(6)〓P(8)〓S4 ◆ 正12面 体 群 と正20面 体 群:P(12)〓P(20)〓A5 ◆(Tea
Time)正
多面 体 が5種 類 しかな い こ との証 明
正 多 面 体 お のお の の面 が 合 同 な正 多角 形 か らな り,各 頂 点で 同 じ数 の面 が 集 ま ってい る よ うな 凸多 面体 を,正 多面 体 とい う. ギ リシ ャの哲 人 プ ラ トンは,正 多 面 体 は5種 類 しか な く,そ れ らは 正4面 体,
正4面 体
正6面 体=立 方体 正8面 体
正12面
正20面 体
体
図15
正6面
体,正8面
体,正12面
た.プ
ラ ト ン は,5種
体,正20面
の 正 多 面 体 と,当
風 地 と の 関 係 を 詳 し く考 察 し,そ 5種 類 の 正 多 面 体 は 図15で よ うに,そ
体 で 与 え られ る こ とを す で に 知 っ て い 時 信 じ られ て い た 世 界 の4大
要 素,火
水
れ を 『テ ィマ イ オ ス 』 に ま と め た の で あ る.
示 し て あ る.こ
れ ぞ れ の 正 多 面 体 の 頂 点,辺,面
の 図 か ら実 の 関 係 は 表1の
え て み る とわ か る よ うに な っ て い る.
表1
正 多 面 体 群
第5講
で 正6面
体 群 を 詳 し く考 察 し て き た.同
じ よ う な 考 察 は,ほ
か の正 多面
体 に つ い て も 可 能 で あ る. 【定 義 】1つ
の 正 多 面 体 の 中 心 の ま わ りの 回 転 で,そ
の 全 体 は 群 を つ く る.こ 私 た ち は,正
正 多 面 体 の 種 類 に し た が っ て,正4面
体 群,正12面
群 とい うの で あ る.ま P(20)と
の 群 を 正 多 面 体 群 と い う.
多 面 体 の 対 称 性 を 保 つ 回 転 に 注 目 し よ う と し て い る の で あ る.も
う少 し 細 か く い え ば,各 群,正8面
の正 多面 体 を不 変 に保 つ も
体 群,正20面
体 群 と い い,こ
た これ ら の 群 を,そ
体 群,正6面
体
れ らを総 称 して正 多面 体
れ ぞ れP(4),P(6),P(8),P(12),
表 わ そ う.
正 確 にいえ ば,正6面
体 に して も空 間 にお くお き方 は い ろい ろ あ っ て,こ
れ を 不 変 にす
る中 心 の まわ りの 回転 は もち ろん お き場 所 に よって 違 うが,そ れ ら のつ くる群 はす べ て 同 型 であ って,そ れ をP(6)と
お こ う とい うの であ る.
部
前 講 で 述 べ た よ うに,n個
分
群
の もの の 置 換 の 中 で,偶
置 換 だ け 集 め て も群 を つ く
る.こ
の 状 況,す
う関 係 は,以
な わ ち 対 称 群Snの1部
下 で み る よ うに,正
分 と し て,交
多 面 体 の 形 状―
代 群Anが
対称性―
得 られ る と い
の相 互 関係 に も反
映 し て い る. まず,SnとAnの 【定 義 】 群Gの
関 係 を 一 般 に し た 次 の 部 分 群 の 概 念 を 導 入 し て お こ う. 部 分 集 合Hが
次 の 条 件 を み た す と き,HをGの
部 分 群 とい う.
(ⅰ) a,b∈H⇒ab∈H (ⅱ)
a∈H⇒a−1∈H
(ⅰ)と(ⅱ)が Hに
成 り立 って い る と,a∈H⇒aa−1∈Hに
属 し て い る.こ
の こ とか らH自
よ っ て,単
位 元eも
身 を 独 立 に と り出 し て 考 え て も 群 に な っ て
い る こ とが わ か る. Gの
中 に 含 ま れ る 一 番 大 き い 部 分 群 はGそ
は,単
位 元eだ
の も の で あ り,一 番 小 さい 部 分 群
け か ら な る 部 分 群 で あ る.
正4面 正4面 体 群P(4)は,4次
体群
の交 代 群A4と
同 型 で あ る:
P(4)〓A4
P(4)の
元 は,正4面
体 の4個
の 頂 点 の 置 換 を 引 き 起 こ す.こ の 置 換 に よ っ て,
4個 の 頂 点 の 偶 置 換 が す べ て 現 わ れ,こ
れ に よ っ て 上 の 同 型 が 成 り立 つ の で あ
る. 偶 置 換 が す べ て 現 わ れ る こ と は 次 の よ う に し て わ か る.4つ
の 頂 点 か ら,底
の 中 心 に 下 ろ した 軸 を 中 心 と す る2π/3(=120°),4π/3(=240°)の
回 転 は4×2=8
(個)の 偶 置 換 を 引 き起 こす.こ
れ らの 回
転 が 実 際 偶 置換 と な って い る こ とは,読 者 が 確 か め て み られ る と よい.そ の ほか に, 対 辺 の 中 点 を結 ぶ3個 の軸 の まわ りのπ(= 180°)の 回転 で,3個 され る(図16参
の偶 置 換が 引 き起 こ
照).こ れ に 単位 変 換 に相
当 す る単 位置 換 を 合わ せ て,結 局,総 計12
図16
辺
個 のす べ て の偶置 換 が,P(4)の P(4)の 3=7(本)し
元 か ら導 かれ る こ とがわ か った.
元 が これ 以外 には な い こ とは,回
転 を与 え る回転 軸が 上 に述 べ た4+
か な い ことか らわか る. 正6面
正6面 体群 は,第5講
体群
で 示 した よ うに,4次
の対 称S4と
同型 で あ る:
P(6)〓S4
正8面 表1を 見 るとわ か る よ うに,正6面
体群
体 と正8面 体 に は頂 点 と 面 の 個 数 と の間
に,き わ だ った 双 対 性 が あ る.こ の双 対 性 は,図 形 の上 で は も っ とは っ き りした 形 を とって 現わ れ て い る.図17(a)に (6個 あ る!)を
体 の面 の中 点
結 ぶ と,こ の正6面 体 の中 に正8面 体が 実 現 され る.逆
(b)で 示 して あ る よ うに,正8面 体 の中 に,正6面
示 して あ る よ うに,正6面
体 の面 の中 点(8個
あ る!)を
に図17
結 ぶ と,正8面
体 が 実 現 され て くる.
した が って 正6面 体 と正8面 体 の この相 互 の位 置 関 係か ら,正6面 す る回 転 は,内 部 に あ る正8面 体 を 不変 と し,逆 に,正8面
体 を不 変 にす る 回転
は,内 部 にあ る正6面 体 を 不変 に して い る.し たが って 同型 対 応
(b)
(a) 図17
体 を不 変 に
P(8)〓P(6)〓S4
が 示 され た.
P(4)とP(6)の
P(4)は,4次 あ る.抽
の 交 代 群A4と
関 係
同 型 で あ り,P(6)は4次
象 的 な 群 と し て は,A4はS4の
この ことか ら,正4面
の 対 称 群S4と
同型 で
部 分 群 と な っ て い る.
体 と,正6面
体 との 間 に,
次 の 性 質を もつ 相 互 の位置 関係 が あ るか も しれ な い と予 想 され て くる:正6面 ちで,ち
体 を不 変 にす る回転 の う
ょ うど対 角 線 の偶 置 換 を 与 え る ものが,正
4面 体を 不 変 にす る. この よ うな正6面 体 と正4面 体 の 位置 関 係 は図18 で与 え てあ る.正6面
体 の 中 に,こ の性 質 をみ た す
よ うに正4面 体 を入 れ る入れ 方 は,2通 正12面 表1を 見 る と,正12面
図18
りあ る.
体 と 正20面
体
体 と正20面 体 の頂 点 と面 の個 数 の 間 に も,強 い双 対 性
が あ る.実 際,こ こで も正6面 体 と正8面 体 の間 に存 在 して いた 双 対 性 と,同 様 の こ とが 成 り立つ の で あ る.す なわ ち,正12面 20面 体 が 得 られ,逆 に,正20面
体 の面 の 中 点を 頂 点 と して,正
体 の面 の 中 点を 頂点 とす る こと に よ り,正12面
体 が 得 られ る. こ の こ とか ら,正12面
体 群 と正20面 体 群 との 間 に同 型対 応
P(12)=P(20) が 存 在す る こ とが わ か る. 正20面 正20面
体 群 は,5次
の 交代 群A5と
体群
同型 であ る:
P(20)〓A5
同 型 の 詳 細 は こ こ で は 述 べ な い が,P(20)の P(20)〓P(12)を
通 し て 正12面
元 を 与 え る 回 転 は,同
体 の 方 で い う と次 の4種
型対応
類 か らな っ て い る.
(ⅰ) 恒 等 変 換 (ⅱ) 向 か い 合 っ て い る2つ
の 頂 点 を 結 ぶ 対 称 軸 が10個
軸 と す るπ/3,2π/3の 回 転 が あ る― (ⅲ) 向 か い 合 っ て い る2つ
す る π の 回 転 が あ る― 結 局,P(20)の
の 軸 を 回転
こ の 総 数20個.
の 面 の 中 心 を 結 ぶ 対 称 軸 が6個
転 軸 と す るπ/5,2π/5,3π/5,4π/5の (ⅳ) 向 か い 合 っ た2辺
あ り,こ
回 転が あ る―
あ り,こ の 軸 を 回
こ の 総 数24個.
の 中 点 を 結 ぶ 対 称 軸 が15個
あ り,こ
の軸 を 回転 軸 と
この 総 数15個.
位数 は 1+20+24+15=60
と な る.こ
れ は,A5の
位 数 と一 致 し て い る.
正6面 体 と正12面 正6面
体 は,図19で
示 し た よ うに,正12面
中 に 入 れ る こ と が で き る.こ う に,正12面
体 は 正6面
体の
の 図 を 見 る とわ か る よ
体 に屋 根 をか ぶ せ る こ と
に よ っ て 実 現 で き る の で あ る.こ 変 に す る,P(12)に
体の 関係
の 正12面
属 す る 回 転 は,も
あ る 正6面
体 を 不 変 に して い る.こ
て,正6面
体 群P(6)(〓S4)の
の も の,す
な わ ちA4に
体 を不
ち ろん 内部 に の 回転 に よ っ
中 で ち ょ う ど偶 置 換
属 す る 回 転 が 誘 導 さ れ る.
Tea
図19
Time
正多 面 体 と球 面 正 多 面 体 の 中心 か ら頂 点 まで の距離 を1に してお くと,各 正 多 面体 は,半 径1
の 球 に 内 接 さ せ る こ とが で き る.こ 正20面
体 に 応 じ て,球
個,…,12個 は,こ
の よ うに す る と,正4面
面 上 に 綺 麗 に 対 称 的 に 並 ぶ,こ
の 頂 点 が し る さ れ て い く こ と に な る.各
れ ら頂 点 を 頂 点 に 移 す よ うに,球
体,正6面
体,…,
れ ら正 多 面 体 の4個,8 正 多面 体 群 に属 す る 回 転
面 を 回 転 さ せ て い る.こ
の 回 転 は,ま
た
球 面 の 向 き を い つ も正 の 向 き に 保 つ よ う に と る こ とが で き る. し た が っ て,正
多 面 体 群 は,球
3次 元 の 回 転 群 ―
を も っ て い る か ら,こ が,正
面 を 正 の 向 き に ま わ す 回 転 全 体 の つ くる 群 ―
の 部 分 群 と な っ て い る わ け で あ る.球
の 対 称 性 を 保 つ 回 転 は 非 常 に た くさ ん 存 在 す る.こ
多 面 体 群 は 有 限 群 だ っ た の に,3次
し て い る.球
面 を 球 面 に 移 す 回 転 は,球
列 式 が1で
あ る よ う な3次
orthogonal
さを保 つ空 間 の線形
の こ とか ら,線 形 写 像 の こ と を 知 っ て い
の直 交 行 列 全 体SO(3)が,ち
元 の 回 転 群 を 与え て い る こ と が わ か る だ ろ う.な 特 殊 直 交 群special
groupの
の事情
元 の 回 転 群 は 無 限 群 とな る こ と に 反 映 の 中 心 を とめ て,長
写 像 と し て 特 性 づ け る こ とが で き る.そ る 人 は,行
面 は最 も完全 な対 称性
お,こ
こでSOと
ょ う ど3次 か い た の は,
頭 文 字 で あ る.
質 問 正 多 面 体 が た っ た5種
類 し か な い と い う こ とは,僕
思 わ れ ま す.プ
の よ う に し て こ の こ とを 知 った の で し ょ うか.
ラ トン は,ど
答 プ ラ トン が こ の 事 実 を 知 っ て い た の は 確 か で あ る が,プ し て,こ
の こ と を 知 る よ うに な っ た か は,わ
文 献 で は,ユ き る.そ
ー ク リ ッ ドの 『原 論 』 第13巻
の 考 え を 説 明 し て み よ う.正
っ て い る と し て み よ う.正p角
くべ き 事 実 に
ラ ト ンが ど の よ うに
か っ て い な い よ うで あ る. の 中 に そ の 証 明 を 見 出 す こ とが で
多 角 形 の1つ
形 の1つ
に は,驚
の 頂 点 に 正p角
形 がq個
集 ま
の 内角 は (*)
で あ る(こ こで は,角 度 の単 位 と して見 なれ て い る'度'を
用 い た).こ
こで多
少 唐 突 だが 日本 古来 の傘 を考え て み よ う.傘 の先 端 を 正 多角 形 の頂 点 に た とえて み る と,傘 の隣 り合 った 骨が 先 端 の と ころで つ くる角 度 が,い まの場 合(*)に な って い る.傘 を広 げ れ ば隣 り合 った骨 のつ くる角度 は 大 き くな るが,傘 をす ぼ め れ ば,こ の角度 は小 さ くな って い く.傘 が平 らにな るまで 広 げ き った とき,こ
の角 度 の総 計 は360° で あ る.し か し,傘 を 平 らに す る こ とは な いか ら,角 度 の 総 計 はつ ね に360° 以下 で あ る. この た とえを,正 多 面 体 の頂 点 の場 合 に戻 して み る と,(*)か
ら
が成 り立つ ことがわ か る.こ の式 を整理 す る と
(**) とな る.p,q≧3だ
と な り,こ 5;p=4な は,正
から
れ か らp=3,4,5の ら ばq=3;p=5な
こ とが わ か る.(**)か らばq=3と
ら,p=3な
な る こ とが わ か る.い
ら ばq=3,4, ま 示 した こと
多 面 体 と し て 可 能 な 場 合 は これ だ け だ と い う こ と で あ る が,実
性 は 順 に 正4面 れ て い る.
体,正8面
体,正20面
体,正6面
体,正12面
際 この可能
体 に よ って実 現 さ
第8講 部 分群 によ る類 別 テ
ーマ
◆ 部 分 群 に よ る同値 関 係 ◆ 同値 類 に よ る類 別 ◆ 部 分 群 に よ る類 別 ◆ 有 限 群 とそ の部 分 群 の位 数 ―
ラ グ ラン ジ ュの 定 理
◆ 正6面 体 群 とそ の部 分 群 ◆ 一 般 の 正 多 面 体群 にお け る1つ の関 係 ◆(Tea
Time)左
剰 余 類 と右 剰 余 類
部 分 群 に よ る同 値 関 係 まず一 般 的 な 話 か らは じめ よ う.Gと,Gの し よ う.こ の とき,Gの
与え られ て い る と
元a,bに 対 し a―1b∈Hの
と お く こ と に よ り,Gに
部 分群Hが
と き,a∼b
同 値 関 係 ∼ を 導 入 す る.同
(1)
値 関 係 と か い た の は,
(ⅰ)a∼a (ⅱ)a∼b⇒b∼a (ⅲ)a∼b,b∼c⇒a∼c が 成 り立 つ か ら で あ る. 【証 明 】(ⅰ):Hは
群 だ か ら,単
位 元eを
含 ん で い る.し
た が っ てa−1a=eに
り,a∼a. (ⅱ):a∼bに
よ り,a−1b∈H.Hは
群 だ か ら,a−1bの
た が って (a−1b)−1=b−1(a−1)−1=b−1a∈H
逆 元 も含 ん で い る.し
よ
こ の こ と はb∼aを
示 し て い る.
(ⅲ):a∼b,b∼cか
ら,a−1b∈H,b−1c∈Hと
は 群 だ か ら,a−1b,b−1cの
積 も ま たHに
い う関 係 が 成 り立 っ て い る.H
含 まれ て い る.し
たが って
(a−1b)(b−1c)=a−1(bb−1)c=a−1c∈H こ の こ とはa∼cを
示 して い る.
な お,a∼bは,a−1b∈Hの て,a−1=hが 逆 に,Hの あ る.す
こ と だ か ら,a∼bな
成 り立 つ.あ 適 当 な元hを
る い は,両
と っ て,b=ahと
辺 にaを
ら ば,Hの か け て,b=ahと
あ る 元hが
存在 し
い っ て も よ い.
い う関 係 が 成 り立 つ な ら ば,a∼bで
なわ ち
a∼b⇔Hの
適 当 な元hが 存在 してb=ah(2)
同 値 類 に よる 類 別 一般 に,集 合 に 同値 関 係 が与 え られ る と,同 値 な ものをひ とま とめ に して 考 え る ことが でき る.こ れ を 同値 類 とい う.同 値 類 は,最 初 に与 え られ た集 合 の部 分 集合 とな って い る.2つ ってい る―
の 同値 類 は完全 に一 致 して い るか,あ るい は完 全 に異 な
すな わ ち両方 の同値 類 に,同 時 に含 まれ る元は存 在 しな い―
かの
いず れ か であ る.最 初 に与え られ てい る集 合 は,異 な る同値 類 に よ って分 割 され る. こ うした こ とを 堅 苦 し くい って も,頭 に入 らない か も しれ な い.簡 単 な例 で, 事 情 を了 解 してお い た方 が よい.世 界 中 の人 全 体(た だ し無 国 籍者 お よび2重 国 籍 者 は除 く)の 集 合 を 考 え る.こ こに 同 値 関係 としてaと い う人 とbと い う人 が 同 値 で あ るのは,aとbが
同 じ国 の人 で あ ると きで あ る と して,同 値 関 係 を導 入
す る.こ の と き,同 値 類 とは,1つ の 国の 国民 全 体か らな る人 の集 ま りで あ る. 異 な る2つ の 同値 類(2つ
の国)に 同時 に属 して い る人 はい な い.各 国 の 国旗 を
用 意 して お い て,'国 旗 の と ころ に集 ま れ'と 号 令を か け る と,世 界 中 の人 は, 国 の数 だ け の集 団(同 値 類)に 完 全 にわ け られ る,一 般 的 ない い方 で は 同 値類 に よ って分 割 され た ので あ る. 集合 を この よ うに,同 値 類 にわ け る こ とを,同 値 類 に よる類別 とい う.
部 分 群 に よる 類 別
群Gの ら,こ
部 分 群Hが
与 え られ る と,(1)に
れ に よ っ てGの
(2)に
よ っ て,aと
よ っ てGの
元 を 類 別 す る こ と が で き る.Gの 同 値 なv元ⅴ はah(h∈H)と
中 に 同 値 関 係 が 入 るか 元aが
与 え られ る と,
表 わ さ れ て い る.し
た が っ て,G
の 部 分 集 合aHを aH={ah│h∈H} と 定 義 す る と,aHはaを 単 位 元eを
含 む 同 値 類 は,eH=Hに
る.aとbが aH∩bH=φ
含 む 同 値 類 を 与 え て い る こ と に な る. よ っ て,ち
同 値 で な け れ ば,aHとbHは
ょ う ど部 分 群Hそ
異 な る 同 値 類 と な り,し
に 含 まれ る元cが あ る.cはc=ah=bh1(h,h1∈H)と とな る.hh1−1∈Hに
注 意 す る と,こ の式 はaとbが
φ とす る と,aHとbHに
共通
表 わ さ れ,し た が っ てb=a(hh1−1) 同値 であ る こ とを 示 して お り,こ れ は
異 な る 同値 類 で あ った こ とに矛 盾 して い る.
相 異 な る 同 値 類 全 体 に よ っ て,Gは
共 通 点 のな い 部分 集 合 の和 と して
G=∪aH と 表 わ さ れ る― し て,H自
た が って
で あ る.
この こ とを直 接 示 す に は次 の よ うにす る.も しaH∩bH≠
aHとbHが
の も ので あ
類 別 され る.こ
(3)
の 右 辺 の 和 の 中 に は,単
位 元eを
含む 同値類 と
身 が 現 わ れ て い る こ と を 注 意 し て お こ う.
記 法 に つ い て
(3)の は,(3)の
表 わ し 方 は,現
代 数 学 の 立 場 で は,ご
論で
代 りに G=H+aH+…
と か く の が 慣 例 で あ る.(3)の わ れ て い る プ ラ ス 記 号 は,共 け で あ っ て,あ と き は,Hの
く 自然 な も の で あ るが,群
(4)
こ と を(4)と
か い て い る の だ か ら,こ
通 点 の ない 和集 合 とな っ てい る ことを示 してい るだ
る特 別 な 代 数 的 な 演 算 を 示 し て い る わ け で は な い.Gが と り方 に よ っ て,(3)は
い る こ と も あ る が,対
こに 現
応 し て,こ
無限群の
無 限個 の 同値 類 に よる和 集合 を表 わ して
の と き は(4)の
表 わ し 方 で+…
とか い て あ る
と ころ に は,無 限 個 の 同値 類 が現 わ れ てい る こ とに な る. な ぜ,(3)の
よ うに か けば よい も のを,(4)の
よ うにか いて,記 法 を 混乱 さ
せ た か に つ い て は,私 は詳 しい ことは知 らな い.私 の想 像 では,集 合 の和 の 演算 記 号 ∪ が,数 学 者 の 間 に定着 す る前 に,群 の理 論 が 進 ん で,使 い なれ て い る プ ラ ス記 号+を,同
値 類 の(集 合 と して の)和 に,流 用 して しま った ので は な いか
と思 う.そ の記 法 が,群 論 の 中 です っか り定 着 して し まい,い ま さ ら和 集 合 の記 号 に 改 め る こと もな い だ ろ うと数学 者 が 了承 して し ま った こ とに よる のだ ろ う. また 同 じよ うな 伝統 的 な い い方 で,aHをaを は 同 値類 な のに,ど
うして'余
り'(剰余)な
含むHの
左 剰 余類 とい う.読 者
ど とい う言葉 を使 った のか と思 わ れ
るか も しれ ない が,こ れ につ い て は あ とで 触れ る ことに す る(第10講
参 照).
有 限 群 とそ の 部 分 群 の 位 数 この部 分群 に よる類 別 とい う考 えか ら,Gが 部 分群Hの
有 限群 の場合,Gの
位数 と,Gの
位 数 との 間 に,は っき りとした 関 係 があ る こ とが 示 され る.
【定理 】 Hの 位 数はGの
位 数 の約 数 であ る.
こ の 定 理 を ラ グ ラ ン ジ ュ の 定 理 と し て 引 用 す る こ と も多 い. 【証 明 】GのHに
よ る類 別 を G=H+a2H+a3H+…+asH
と 表 わ す(Gは 値 類aiHに Hの2元h,h′
有 限 群 だ か ら,異
(5)
な る 同 値 類 も 有 限 個 で あ る!).こ
含 ま れ る 元 の 個 数 はHの
こ で,各
元 の 個 数 に 等 し い こ と を 注 意 し よ う.実 際,
に対 して h=h′ ⇔aih=aih′
が 成 り立 っ て お り(〓
を み る に は,右
同
辺 の 式 の 両 辺 にai−1を か け る と よ い),し
図20
た が っ て,対
応h→aihは,Hか
っ て ま たHの
元 の 個 数(位
(5)を
み る と,こ
らaiHへ
の1対1対
数)と,aiHの
応 と な っ て い る.し
たが
元 の 個 数 は 一 致 し て い る(図20).
の こ とは (Gの 位 数)=(Hの
を 意 味 し て い る こ とが わ か る.こ 一 般 に 有 限 群 の 場 合,群Gの
位 数)×s
れ で 証 明 され た. 位 数 を,│G│と
表 わ し て い る.こ
の記 号 を 用 い
る と定 理 は │ H│は│G│の
約数 であ る
と も か く こ とが で き る.
正6面
正6面
体 に は8つ
転 の 中 で,頂 =A1と
体 群 と部 分 群
の 頂 点A1,A2,…,A8が
点A1を
あ る.正6面
動 か さ な い も の を 考 え よ う.す
な る も の を 考 え よ う.こ
の よ うなgは,A1を
体 群P(6)に
属 す る回
な わ ち,g∈P(6)で,g(A1) 通 る対 角 線 を 軸 と す る 回 転
に よ っ て 与 え ら れ て い る. H={g│g(A1)=A1} と お く と,HはP(6)の
部 分 群 に な っ て い る.実
=g(g1(A1))=g(A1)=A1と
な っ て,gg1∈Hで
際,g,g1∈Hな あ る.ま
らば(gg1)(A1)
たg−1(A1)=A1も
明ら
か で あ る. Hは
位 数3の
に な る.A1を
群 で あ る こ と は す ぐに わ か る が,一 通 る 辺 は3本
称 性 か ら,Hに
あ る が,正6面
属 す る 回 転 は,こ
わ す 回 転 か ら な っ て い る.し
の3本
た が っ てHの
般 的 な立 場 で いえ ば次 の よ う
体 の対 の辺 を ま 位数は
3で あ る(図21). さ て,P(6)の
元aとbが,Hに
入 る こ とは,a−1b∈Hの
と き,す
関 し て 同 じ類 に なわ ち
a−1b(A1)=A1 の と き で あ る.こ
の 関 係 はa(A1)=b(A1)と
もか け
図21
る.し
た が って a∼b⇔a(A1)=b(A1)
と な る.こ
の こ と は,同
値 類 と,同
頂 点 へ 移 るか が,1対1に P(6)に
値 類 に 属 す る 回 転 に よ っ て,頂
点A1が
どの
移 す も の を,そ
れぞ
対 応 し て い る こ と を 示 し て い る.
属 す る 回 転 で,A1を
ほ か の 頂 点A2,A3,…,A8に
れ1つ
と っ て,そ
れ をg2,g3,…,g8と
正6面
体 の 対 称 性 か らわ か る).そ
す る(こ
の よ うな 回 転 が 存 在 す る こ と は,
うす る と,い
ま 述 べ た こ とか ら,P(6)のH
に よる類 別 は P(6)=H+g2H+g3H+…+g8H と 表 わ さ れ る こ とが わ か る. す な わ ち,P(6)のHに
よ る 類 別 と,正6面
体 の 頂 点 とが,ち
ょ う ど1対1
に 対 応 し て い る の で あ る. 一 般 の 正 多 面 体 群
い ま 述 べ た こ と は,正6面 立 つ こ と で あ る.正p多
体 群 だ け で な く,ほ か の 正 多 面 体 群 に つ い て も成 り 面 体(p=4,6,8,12,20)の1つ
転 全 体 は,正
多 面 体 群P(p)の
の 類 別 は,頂
点 と1対1に
部 分 群H(p)を
つ く り,こ
対 応 す る の で あ る.し
│H(p)│×(頂
の 頂 点 を 動 か さな い 回 の 部 分 群 に よ るP(p)
たが って特 に
点 の 数)=│P(p)│
と い う関 係 が 成 り立 つ. 前 と 同 じ推 論 で, │H(p)│=(1つ と な る こ とが わ か るか ら,こ (1つ
の 頂 点 に 集 ま る 辺 の 数)
の関 係 は
の 頂 点 に 集 ま る 辺 の 数)×(頂
点 の 数)=│P(p)│
とか い て も よ い わ け で あ る. 実 際,こ
の 関 係 が 成 り立 っ て い る こ と を,次
面 体 の 辺 と頂 点 に 関 す る この 相 互 関 係 は,も か ら 生 じて い る.群
頁 の 表2で
確 か め て お こ う.正 多
と も とは 正 多 面 体 の もつ 強 い 対 称 性
論 を 用 い た こ の 関 係 の 説 明 は,私
た ち に改 め て群 と対 称性 の
深 い つ なが りを 感 じ させ る ものが あ る. 表2
Tea
Time
左剰余類と右剰余類 群Gの ∈Hの
部 分 群Hが と き,a∼bと
値 類 をaHと
与 え られ た と き,Hの
同 値 関 係 をa−1b
し て 導 入 し て 得 ら れ る 同 値 類 の こ とで あ っ た.aを
表 わ し た.同
義 す る こ と に よ り,Gの
じ よ う に 考 え て,今
中 に も う1つ
同 値 関 係 に よ る 同 値 類 をHの す.そ
左 剰 余 類 と は,Gの
うす る と,こ
度 はba−1∈Hの
含む 同
と き,a〓bと
定
の 同 値 関 係 を 導 入 す る こ とが で き る.こ
右 剰 余 類 と い い,aを
含 む 右 剰 余 類 をHaと
の
表わ
の 右 剰 余 類 に よ っ て も,Gは G=H+Ha+…
と 分 割 さ れ るわ け で あ る. な お,a−1b∈Hな
ら ば,こ
(a−1b)−1=b−1a∈Hと
な る.こ
こ の 逆 の 関 係a−1〓b−1⇒a∼bも こ の こ と か ら,Gが
の 左 辺 の 逆 元 も ま たHに の 式 はa∼b⇒a−1〓b−1を
含 ま れ る.し
たが って
示 し て い る.も
ちろん
成 り立 っ て い る.
有 限 群 の 場 合,Hの
右 剰 余 類 と 左 剰 余 類 の1つ
の 関 係:
G=H+a2H+a3H+…+asH な らば, G=H+Ha2−1+Ha3−1+…+Has−1 が 成 り立 つ こ とが わ か る.特 にHの
右 剰 余 類 の 個 数 と左 剰 余 類 の 個 数 が 一 致 す る
こ とが わ か る.上
の よ う に 表 わ した と き の こ の 個数sをGのHに
っ て,│G:H│で
表 わ す の が 慣 例 で あ る: │G:H│=s
よる指 数 とい
質 問 幾何 学 的 な 正多 面 体 の頂 点 が,群 の概 念 に よっ て捉 え てみ る と正 多面 体群 の左 剰余 類 に対 応 す る もの として 浮 か び上 が って きた のに は驚 き ま した.表2で 示 され た対 応 も謎 が とかれ た よ うで興 味 が あ りま した.前 項 のTea
Timeで 球面
の こ とが 述べ られ てい ま したが,球 面 で もや は り似 た よ うな ことは あ る ので し ょ うか.僕 が お 聞 きした い の は,球 面上 の点 も,群 の剰 余類 の よ うに考 え られ るの か,と い う ことです. 答 球 面 の向 きを保 つ 回転 のつ くる群 は,SO(3)で
与 え られ て い た.い
ま北極
を 考 え てみ る と,北 極 を とめ る よ うな球 面 の回 転 は,北 極 と球 の 中心 を結 ぶ軸 の まわ りで,ぐ
る ぐる と球 面 を ま わ す 回転 とな って い る.こ
の回 転全 体 はSO(3)
の 部分 群 を つ くっ てい る.地 球 儀 を北 極 の真 上 か ら見 てい る こ とを想 像 して み る と,こ のHと
い う群 は,平 面 で原 点 中心 の回 転 cosθ −sinθ
(
sinθ
の つ く る 群 と 同 じ も の(同 回 転 で,球
型!)と
)
考 え て よ い こ と が わ か る.北
面 上 の ど の 点 に 移 る か を 調 べ る こ と は,ち
類 別 を 考 え る こ と に対 応 し て い る.球 る.こ
cosθ
の 状 況 は 正 多 面 体 群 の と き と,ま
答 え る い い 方 を す る な らば,具
面 上 の 点 は,剰
ょ う どSO(3)のHに 余 類gHと
っ た く同 様 で あ る.だ
体 的 な 球 面 が,回
の 集 ま り と し て 浮 か び 上 が っ て く る の で あ る.
極 が,SO(3)の
転 群SO(3)のHに
よる
して表 わ され
か ら,君
の 質問 に よ る剰 余 類
第9講 巡
回
群
テ ーマ
◆2π/nの 回転 か ら得 られ る群 ◆ 有 限 巡回 群,生 成 元 ◆ 有 限群 の中 の巡 回 部 分 群 ◆ 群 の 位数 と元 の位 数 ◆ 位 数 が素 数 の 群 ◆ 位 数4の 群 ◆(Tea
Time)無
限 巡 回群
2π /nの回 転
nを 自 然 数 と し,円 る.gkは,gをk回
を,そ
の 中 心の まわ りに2π/nだ け 回 転 す る 変 換 をgと
繰 り返 し て 得 られ る 回 転 で あ っ て,し
の2πk/nだ け の 回 転 と な っ て い る.恒 等 変 換 をeと
す
たが って 中心 の まわ り
す ると
gn=e で あ る.い
ま
とお く と,第3講(Ⅳ)で2π/12の とが わ か る.k+l≦n−1の k+l=n+mと
と な る.た
回転 を 考 え た と 同 様 に し て,Rnは と き は,gkgl=gk+lで
表わ して お くと
だ しg0=eと
お い て あ る.ま
た
gkgn−k=gn=e に よ り
あ り,k+l>n−1の
群 とな る こ と き は,
図22 g−k=gn−k と な る こ と もわ か る.も
っ と も これ は 図22の
よ うな表 わ し方 を してみ て も明 ら
か な こ と で あ る. Rnは,位数nの
可 換 群 で あ る.
有 限 巡 回 群
回 転 と い う よ う な 具 体 的 な イ メ ー ジ を ひ と ま ず 捨 て て,Rnの
もつ群 の性 質 だ
け を 抽 象 す る こ と に よ り,次 の 定 義 が 得 られ る. 【定 義 】Rnに い まGを 回 転gに
同 型 な 群 を,位 位 数nの
数nの
有 限 巡 回 群 と い う.
有 限 巡 回 群 とす る と,Gの
対 応 す る 元aが
存 在 す る.こ
中 に は,Rnの
中 に あ る2π/nの
の と き 同 型 性 か ら,Gは
G={e,a,a2,…,ak,…,an−1} と表 わ さ れ る.こ
の とき
で あ る.aをGの
生 成 元 と い う.
有 限 巡 回 群 は,可 と え ば,n≧3の
換 群 だ か ら,非
と き,対
か 取 り扱 わ な い か ら,巡 し よ う.
称 群Snは
可 換 群 は け っ し て 巡 回 群 に は な り得 な い.た 巡 回 群 で は な い.な
回 群 と い う と き に は,い
お,こ
の講で は有 限群 し
つ で も 有 限 巡 回 群 を 指 す こ とに
有 限 群 の 中 の 巡 回 部 分 群
Gを
一 般 の 有 限 群 と し,Gの
数 は ち ょ う どnだ
位 数 をnと
け あ る.Gの
す る.し
任 意 の 元aを
と っ て,繰
a,a2,a3,…,a3,… と い う系 列 が 得 られ る.こ の は 高 々n個
わ れ て い る あ るatに
中 の 異 な る元 の
り返 し積 を と っ て い く と
(1)
れ らは す べ てGの
し か な い.し
た が っ てGの
元 だ か ら,こ
た が っ てs≦n+1を
れ らの中 で異 な る も
み た すsで,asは,す
で に前 に現
一 致 し て い る よ うな も の が 存 在 す る: as=at,1≦t<s≦n+1
し た が っ て,両
辺 にatの
逆 元a−tを か け る こ とに よ り as−t=e
が 得 られ た.こ
こ で1≦s−t≦nで
を 左 か ら見 て い く と,anま
あ る こ と に 注 意 し よ う.こ
で の 間 に,必
ず1つ
の 式 は,系
列(1)
は単 位 元 とな る もの が存 在す る
こ と を 示 し て い る. そ こで,こ
の よ う な 元 の 中 で 一 番 最 初 に 現 わ れ る も の,す ak=e
を み た す 最 小 の 自然 数kを
と る.い
なわ ち
(2)
ま 述 べ た こ とか ら,k≦nで
あ る.
いま H={e,a,a2,…,ak−1} とお く と,右 は,巡
辺 に 現 わ れ て い る元 は す べ て 相 異 な っ て お り,ま
回 群 と な っ て い る こ と も 明 らか で あ ろ う.Hは
【定 義 】Hをaか
ら生 成 さ れ たGの
した が っ て,Gの
各 元 に は,位
の 元 は 単 位 元 に 限 る.ま
巡 回 群 で あ る.
巡 回 部 分 群 と い い,kをaの
位 数 ,とい う.
数 と い う 自 然 数 が 対 応 す る こ と に な る.位 数1
巡 回群 ⇔
際 こ の 位 数nの
る. 【例 】 3次 の 対 称 群S3の
ら,H
た 巡 回群 の 定 義か ら
Gが 位nの こ と も 明 らか だ ろ う.実
位 数kの
た(2)か
元 を 考え る.
位数nの 元 が 存 在 す る 元 は,Gの
生 成 元 に よ っ て 与 え られ て い
に対 して
とな る.し た が ってaは 位数3で あ り,bは
位 数2で あ る.S3は 非 可 換 で,し た
が って巡 回群 で は な いか ら,位 数6の 元 は存 在 しない. 群 の位数 と元の位数 有 限群 の 群 の位 数 と,元 の位 数 に つ い ては 次 の簡 明 な 結 果が 成 り立 つ. 群Gの
【証 明 】aか
位 数 は,│G│の
ら生 成 さ れ た 巡 回 部 分 群 をHと
一 致 し て い る.一
方,前
aの 位 数 は│G│の た と え ばS3の 数3か
元aの
約 数 で あ る.
す る.Hの
講 の 定 理 か ら,│H│は│G│の
位 数│H│はaの 約 数 で あ る.し
位数 と たがって
約 数 と な る. 元 は,単
位 元 は 位 数1,互
換 は 位 数2,そ
れ 以 外 の元 は す べ て位
ら な る.
こ の 結 果 に よれ ば,aの れ る.し
位 数 をkと
す る と,│G│=ks(sは
たがって a│G│=aks=(ak)s=es=e
す なわ ち
群Gの が 成 り立 つ.
任 意 の 元aに
対 し,a│G│=e
自 然 数)と
表わ さ
位 数 が 素 数 の 群 1よ り大 き い 自 然 数pが,1と と い う.100よ
自分 自 身 以 外 に 約 数 を も た な い と き,pを
素数
り小 さ い 素 数 は 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41, 43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
の25個
で あ る.
【定 理 】 群Gの
位 数 は 素 数pで
あ る と す る.
(ⅰ) Gは 巡 回 群 で あ る. (ⅱ) 単 位 元 以 外 の 元 は,す
べ て 位 数pを
【証 明 】(ⅰ),(ⅱ)を
合 わ せ て 証 明 す る.単
る と,aの
り大 で,か
位 数 は1よ
pで な くて は な ら な い.し
つpの
群 は,単
位 数2,3の 位 数4の
た が っ てGは,aに
とな る.し
群 と し て は,ま
位数 は
群
の 群 は 具 体 的 に は,平
面 のπ/2の回
し て 実 現 さ れ て い る.
た が っ てGの
群 が あ るか ど うか を 調 べ て み よ う.い の と き,Gの
任 意 の 元xに x2=e,す
2だ か ら).し
素 数 だ か らaの
よ っ て 生 成 さ れ る巡 回 群 で あ る.
ず 巡 回 群 が あ る.こ
あ っ た と し よ う.こ
が 成 り立 つ(xが
任意にと
素 数 だ か ら巡 回 群 で あ る.
巡 回 群 で な い よ うな 位 数4の うな 群Gが
元aを
位 元 だ け か らな る群 で あ る.
群 は,2,3が
転 の つ く る 群R4と
位 元 と異 な るGの
約 数 で あ る.pは
位 数4の
位 数1の
もつ.
単 位 元 以 外 の 元 は,す
の よ
べ て 位 数2
対 して な わ ちx=x―1
単 位 元 の と き は 明 ら か で あ り,そ た が っ て,Gの2つ
ま,そ
の 元x,yの
すると xy=(xy)−1=y−1x−1=yx
うで な い と き は,xの
積xyに
対 し て,こ
位数 が
の ことを適 用
し た が っ てGは
可 換 群 で あ る.G={e,a,b,c}と
で な くて は な ら な い.な う し,ab=aな
ぜ な ら,た
らばb=eと
す る と,abはe,a,bと
と え ばab=eな
な っ て し ま う.し
らばb=a−1=aと
た が っ てab=cが
異 な る元 な って し ま
成 り立 た な くて
は な ら な い. 結 局,巡
回 群 で な い 位 数4の
群Gは,単
位 元 以 外 の 元 が す べ て 位 数2の
可換
群 で あ って ab=c,bc=a,ca=b を み た す も の で あ る. こ の 群 を,ク
ラ イ ン の4元
群 と い う.
Tea
Time
無限巡 回群 位数nの 有 限巡 回群 とは,本 質的 には2π/nの回転 の つ くる群 と考 え て よい もの で あ る.そ anは
れ で は,あ
る 群Gの
元aを
と っ た と き,ど
も と に 戻 ら な い で,an≠a(n=2,3,4,…)と
ろ うか.こ
ん な 自 然 数nを
な る と き は,一
とって も
体 ど うな るのだ
の ときは {…,a−n,…,a−2,a−1,e,a,a2,…,an,…}
は す べ て 異 な る 元 か ら な り, aman=am+n(m,n=0,±1,±2,…) と な る.こ は,可
の と きaは,(Gの
換 な 無 限 群 で あ る が,対
中 で)無
限 巡 回 群 を 生 成 す る と い う.無
限 巡 回群
応 an〓n
に よ っ て,整
数 の つ くる 加 群Zと
の 群 と し て の タ イ プは た だ1つ
同 型 に な っ て い る.そ
の 意 味 で,無
限 巡 回群
で あ る.
質 問 ク ライ ンの4元 群 とい うもの を,も う少 し簡 単 に説 明 してい た だ くこ とは
で き ませ ん か. 答 Z2に
よ っ て0と1だ
け か ら な る 加 群 を 表 わ す こ と に し よ う.こ
こで演 算 規
則は 0+0=0,0+1=1,1+1=0 で あ る.Z2は,左
右 対 称 の 対 称 変 換 を 与 え る群 と 考え て も よ い(第3講
そ こ で,Z2を1つ
の'座
参 照).
標 軸'と す る 群
Z2×Z2={(a1,a2)│a1,a2∈Z2} を 考 え る.こ
こ で 演 算 規 則 は,そ
れ ぞ れ の 座 標 成 分 に 関 す る 演 算 で 与 え られ て い
る: (a1,a2)+(a1′,a2′)=(a1+a1′,a2+a2′) こ の 群 を,Z2の ×Z2と
直 積 と い う(第15講
同 型 で あ る.講
参 照).こ
義 の 中 で 述 べ たa,b,cに
の と き,ク
ラ イ ン の4元
対 し て,(1,0),(0,1),(1,1)を
群 はZ2 対
応 さ せ る と よい. 直 交 座 標 の 導 入 さ れ た 平 面 上 で,x軸 y軸 に 関 す る対 称 変 換 に(0,1)を
に 関 す る対 称 変 換 に(1,0)を
対 応 さ せ,
対 応 さ せ る と,Z2×Z2は,x軸,y軸
れ に 関 す る 平 面 の 対 称 変 換 か ら 生 成 さ れ た 群 と 同 型 で あ る こ とが わ か る.
それぞ
第10講 整
数
と
群
テ ー マ
◆ 整 数,整 数 の つ くる加 群Z ◆nを
法 とし て合 同
◆nに
つ い て の剰 余類
◆ 剰 余類 のつ くる加群Zn ◆Znと
平 面 の回 転
◆ 互 い に素 な数,ユ
ー ク リ ッ ドの互 除 法
整
数
整数の集ま り {…,−n,…,−2,−1,0,1,2,…,n,…} は,数
学 の 中 で も 最 も基 本 的 な 対 象 で あ る.
整 数 は,加
法 に 関 し て 加 群Zを
逆 元 は−nで
あ る.一
定 義 さ れ て い る.し 正 の 整 数nの
方,整
つ くっ て い る.Zの
数 の 中 に は,加
単 位 元 は0で
あ り,nの
法 だ け で は な くて か け 算(乗
か し こ の か け 算 に 関 し て は 群 を つ く っ て い な い.な
場 合,nが1で
な け れ ば,nの
逆 数―
法)も
ぜ な ら,
か け 算 に 関 す るnの
逆元
― は 整 数 で な い か ら で あ る. こ の 加 法 と 乗 法 と い う2つ な し て 織 り込 ま れ,予 心 が,整
の 演 算 が,整
数 と い う無 限 集 合 の 中 に,複
想 も で き な い よ う な 深 い 世 界 を 展 開 す る.こ
雑 な綾 を
の世 界 へ の関
数 論 の 発 祥 で もあ り,ま た い ま で も整 数 論 の 最 も 基 本 的 な 主 題 を 形 づ く
っ て い る.
剰 nを1よ
り大 き い 整 数 と す る.こ
余
類
の と き 任 意 の 整 数aを,た
だ1通
りに
a=kn+q,q=0,1,2,…,n−1
(1)
と表 わ す こ と が で き る(た と え ばn=3,a=−13の 表 わ さ れ る).q=0の り で あ る が,こ
と き は,aがnの
と き は−13=(−5)×3+2と
倍 数 の と き で あ る.qはaをnで
れ か ら は 少 し改 ま っ た い い 方 を し てqを
そ こ で(1)の
剰 余qに
割 った 余
剰 余 と い う こ と に す る.
注 目して a≡q(modn)
で 表 わ す.a−q=knで,a−qはnの
倍 数 で あ る.
よ り一 般 に 次 の 定 義 を お く. 【定 義 】a−a′
がnの
倍 数 の とき a≡a′(modn)
と表 わ し,aとa′
はnを
modは 英 語modulusの 語 で あ っ てsmall
法 と し て 合 同 で あ る と い う.
略 であ る.も
measureの
っ とも このmodulusと
い う単語 は も とも とラテ ン
意 味 で あ った と,辞 書 に はか い て あ る.
次 の 性 質 が 成 り立 つ. (ⅰ) a≡a(modn) (ⅱ) a≡b(modn)⇒b≡a(modn) (ⅲ) a≡b(modn),b≡c(modn)⇒a≡c(modn) 【証 明 】(ⅰ)は も ま たnの
明 らか で あ る.(ⅱ)はa−bがnの
倍 数 な ら ば,b−a=−(a−b)
倍 数 と な る こ とか ら わ か る.(ⅲ)は a−c=(a−b)+(b−c)
と か き直 し て み る と,a−b,b−cがnの
倍 数 な らば,a−cも
ま たnの
倍 数 とな
る こ と か らわ か る. こ の(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)と
い う性 質 は,nを
法 と し て 合 同 で あ る とい う関 係 が 整
数 の 中 に 同 値 関 係 を 与 え て い る こ と を 示 し て い る(第8講 に よ る 類 別 に よ っ て 得 られ る 同 値 類 を,nに 2つ のa,a′
を,a=kn+q,a′=k′n+q′
a−a′=(k−k′)n+(q−q′)がnの し た が っ て,2つ の'剰
余'が
の 整 数 が,nに
等 し い こ と で あ る.
参 照).こ
の 同値 関係
つ い て の 剰 余 類 と い う. と表 わ し た と き, 倍 数 ⇔q=q′
関 す る 同 じ 剰 余 類 に 属 す る 条 件 は,nに
ついて
た とえ ば7に …,6で
関 す る 剰 余 類 は,全
体 で7個
あ っ て,そ
れ ら は,'剰
余'0,1,2,
代 表 さ れ て い る: 0を 含 む 剰 余 類:{…,−14,−7,0,7,14,21,…} 1を 含 む 剰 余 類:{…,−13,−6,1,8,15,22,…} 2を 含 む 剰 余 類:{…,−12,−5,2,9,16,23,…}
6を 含 む 剰 余 類:{…,−8,−1,6,13,20,27,…} 一 般 にnに
関 す る 剰 余 類 は,0,1,2,…,n−1で
な お,第8講
代 表 さ れ て い る.
の 観 点 に 合 わ せ た い い 方 を す る な ら ば,nに
関 す る 剰 余 類 は,次
の よ うに 述 べ る こ と も で き る. 加 群Zの
中 で,nの
倍 数 か ら な る 部 分 群 をHと
す る:
H={kn│k=0,±1,±2,…} こ の と き,Zの
部 分 群Hに
左 の 区 別 は な い)を,nに
よ る類 別 か ら得 られ る剰 余 類(Zは
可 換 だ か ら,右,
関 す る 剰 余 類 とい う.
これ は 私 の推 測 だが,こ の 事 実が,一
般 の群 に対 し て も部 分群 に よる類 別 を,日
本語 で
剰 余類 と よばせ る こ とに な った の で は ない か と思 う.英 語 で はcosetと 簡 明 で あ る.右 余類,左 剰 余 類 はright cosec,left
剰
cosetで あ る.
剰 余 類 の つ く る 加 群Zn
nを1よ
り大 き い 自然 数 とす る.こ
の と きnに
関す る剰余 類 に対 して
a≡a′(modn),b≡b′(modn)⇒a+b…a′+b′(modn)
が 成 り立 つ. 【証 明 】a−a′=kn,b−b′=k′nな
らば
(a+b)−(a′+b′)=(a−a′)+(b−b′) =(k+k′)n とな り,a+b=a′+b′(modn)が こ の こ とは,aを 結 果 はa+bを
成 り立 つ.
含 む 剰 余 類,bを
含 む 剰 余 類 か ら勝 手 に 数 を と っ て 加 え て も
含 む 剰 余 類 に 属 し て い る こ とを 示 し て い る.こ
の よ う に し て,'2
つ の 剰 余 類 を 加 え る'と
い う こ と に,は
っ き りと し た 意 味 が つ け ら れ る よ うに な
っ た の で あ る. す な わ ち,aを
含 む 剰 余 類 を[a]と
表 わ す と き,[a]と[b]の
和を
[a]+[b]=[a+b] に よ っ て 定 義 す る.こ
の 加 法 を 群 の 演 算 と し て 採 用 す る こ とに よ り,nに
剰 余 類 全 体 に 加 群 の 構 造 が 入 る.単
位 元 は[0]で
あ り.[a]の
関す る
逆 元 は[−a]で
与 え られ る. こ の 群 をZnで
表 わ し,nに
つ い て の 剰 余 類 群 と い う.Znは
位 数 がnの
可換 群
で あ る. Znの
元 を,nに
る と,た
つ い て の'剰
余'0,1,2,…,n−1に
よ って代 表 す る ことに す
とえ ば
Z2は{0,1}か
らな り 0+0=0,0+1=1,1+1=0
で あ る. この よ うに 考 え る と,記 号Z2は,前
講 のTea
Timeで
導 入 した もの と整 合 して い る こ
とが わ か る. ま たZ3は{0,1,2}か
らな り 0+0=0,0+1=1,0+2=2, 1+1=2,1+2=0,2+2=1
を み た す 群 と 考 え て よ い(最 が1で
後 の2+2=1は,4(=2+2)を3で
あ る こ と を 示 し て い る!).
Znと Znに
割 った とき余 り
平 面 の 回 転
最 初 に 出 会 わ れ た 読 者 は,ま
るか も しれ な い.確
か に,Znを
き上 が っ て し ま え ば,Znは,実
っ た く新 し い 群 が 登 場 し て き た と感 じ ら れ
構 成 す る 過 程 は 新 しか っ た か も し れ な い が,で は,円
を 中 心 の ま わ りに2π/nだ け 回 転 す る 変 換
が 生 成 す る 有 限 巡 回 群 と 同 型 に な って い る.こ ち が 何 度 も 取 り扱 っ て き た,よ こ の 同 型 を み る に は,文
の 後 者 の 群 は,第2講
以 来,私
た
く知 っ て い る群 で あ る.
章 で 説 明 す る よ りは,図
で わ か っ て も ら っ た 方 が よい
だ ろ う.図23で て い る.し
は,Z7が2π/7の
か し,整
回 転 の つ く る群 と 同 型 とな っ て い る こ と を 示 し
数 と い う と,飛
と い う イ メ ー ジ が 強 い と,図23は
び 石 の よ うに,一
直 線 上 に 点 々 と並 ん で い る
少 し な じ み に くい か も しれ な い.
図23
互 い に素 な 数 【定 義 】2つ
の 正 の整 数a,bが,共
通 な約 数 を1し か も た な い とき,aとbは
互 い に 素 で あ る とい う. な お,負 の整数aに 対 しては,aの
符 号 をか えて 得 られ る正 の整 数−aに 対 し
て この定 義 を 適 用す る こ とにす る.た とえ ば−12と5は
互 い に素 で あ る.
次 の結 果 は 最 も基本 的 な もので あ って,応 用 され る こ とが 多 い. aとbが
互いに素 ⇔
適 当 な 整 数x,yが
存在 して
ax+by=1 が 成 り立 つ. 【証 明 】〓:ax+by=1を が 存 在 す れ ば,こ
み た すx,yが
の 式 の 左 辺ax+byはkで
割 り き れ る こ と に な り,k=1が ⇒:こ
れ は,有
存 在 し た とす る.aとbに 割 り き れ る.し
結 論 さ れ る.ゆ
え にaとbは
共 通 な 約 数k
た が っ て 右 辺 もkで 互 い に 素 で あ る.
名 な ユ ー ク リ ッ ドの 互 除 法 を 用 い て 証 明 さ れ る こ と で あ る.こ
の 一 般 的 な 証 明 を 行 な う の は こ こで は あ ま り適 当 で な い よ うに 思 え る の で,2つ の 互 い に 素 な 数 を と っ て,αx+by=1と
な るxとyを
求 め て み よ う.
そ の よ うな 例 と し てa=65,b=19を
a=q0b+r1
19=2×8+3
b=q1r1+r2
8=2×3+2
r1=q2r2+r3
3=1×2+1
r2=q3r3+r4
2=2×1
r3=q4r4,r4=1
右 側 に か い て あ る の は,左 い に 素 の と き に は,必 な る(い
と る.
65=3×19+8
側 の 数 字 を 文 字 に お きか え た も の で あ る.aとbが
ず こ の よ うな 計 算 を し て い く と,あ
ま の 場 合,r4=1).も
い く と,aとbがr4で
しr4>1な
ら ば,こ
のr4で
りが1と
下 の 方 か ら順 に 割 っ て
割 りき れ る と い う こ と に な っ て し ま う!
今 度 は 右 の 方 を 見 る とわ か りや す い の だ が,右
の 式 を,下
と 1=r4=r2−q3r3=r2−q3(r1−q2r2) =(b−q1r1)−q3{r1−q2(b−q1r1)} こ の 式 に さ ら にr1=a−q0bを
代 入 す る と,最
後に
1=ax+by と い う式 が 得 ら れ る.明 実 際,左
る 段 階 で,余
互
らか にxとyは
整 数 で あ る.
側 の数 に対 して この計 算 を行 な ってみ る と x=−7,y=24
と な る こ と が わ か る.す
なわ ち 65×(−7)+19×24=1
が 得 られ た(65×(−7)=−455,19×24=456). 一 般 の 場 合 の 証 明 も,同
様 に 行 な わ れ る.
の 方 か ら追 っ て い く
Tea
Time
質 問 ユ ー ク リ ッ ドの 互 除 法 と い うの は,具 い る こ と に 驚 き ま し た.上 だ と 感 心 し ま し た.こ
体 的 な 数 値 ま で 求 め る方 法 を 示 し て
の 例 で も,−7と24と
い う数 が よ く見 つ か った も の
ん な す ば ら し い 方 法 が,本
て い た の で す か.ユ
当 に ユ ー ク リ ッ ドの 頃 に 知 られ
ー ク リ ッ ドは い ま か ら2300年
く らい 前 の ギ リシ ャ の 数 学 者
だ と 聞 い て い ま す が. 答 ユ ー ク リ ッ ドの 『原 論 』 第7巻 い る の で あ る.講 一般に
,正
義 で は,互
の 整 数a,bに
義 で は,4回
繰 り返 し た 後,rn=最
対 し て こ の 互 除 法 を 用 い た が,
対 して こ の 互 除 法 を 用 い て い く と,最
後 にa,bの
最大 公
の 整 数 が 互 い に 素 な と き に は 最 大 公 約 数 は1だ
目 にr4=1を
得 た の で あ る.一
大 公 約 数,rn+1=0と
ユ ー ク リ ッ ドの 『原 論 』 で は,数
か
般 に は適 当 な 回数 の 互 除法 を
な っ て,互
除 法 が 終 る の で あ る.
は す べ て 線 分 で 表 わ さ れ て い た か ら,線 分 演
算 の 形 で こ の 互 除 法 が 述 べ られ て い る.君 の 時 代,そ
の 互 除 法 の こ と が は っ き り とか か れ て
い に 素 な 整 数a,bに
約 数 に 到 達 す る の で あ る.2つ ら,講
に,こ
が い う よ うに,い
の 頃 の 世 界 の 文 化 の レベ ル を 考 え る と,こ
ま か ら2300年
も前
の ギ リ シ ャ数 学 の 達 し た 高
さは 驚 くべ き も の が あ る. な お,こ
の 互 除 法 の 考 え は,最
大 公 約 数 を 求 め る 方 法 を 与 え る だ け で は な く,
連 分 数 と い う考 え に 直 接 つ な が る の で あ る.こ る こ と は で き な い の だ が,65と19に
の こ とにつ い て詳 し くここで 述べ
対 し て 互 除 法 を 行 な った と き,右
に 割 り算 の 答 と し て 3,2,2,1,2 が 現 わ れ て い た.こ
の 数 に よ っ て,19/65は
と し て 表 わ さ れ て い る の で あ る.
実 は'連
分 数'
辺 第1項
第11講 整 数 の剰余 類 の つ くる乗法 群 テー マ
◆ 剰余類のかけ算 ◆ 剰 余 類 の 中 に乗 法 に よ って 群 の構 造 が 入 るか?― ◆nと
否定 的
素 な 剰余 類 の つ くる乗 法 群Zn*
◆ フ ェル マ の 小定 理 ◆ オ イ ラ ー の関 数 ψ(n) ◆│Zn*│=ψ(n) ◆(Tea
Time)ウ
ィル ソン の定理:(p−1)!≡−1(modp)
剰 余 類 の か け算 nを1よ
り大 きい 自然 数 とす る.こ の とき次 の ことが成 り立 つ. a≡a′(modn),b≡b′(modn) ⇒ab≡a′b′(modn)
【証 明 】a−a′=kn,b−b′=k′nと
す ると
ab−a′b′=(a−a′)b+a′(b−b′) =(kb+a′k′)n し た が っ てab−a′b′ もnの 倍 数 と な っ て,ab≡a′b′(modn)が こ の こ と は,前
講 で 剰 余 類 の 加 法 に つ い て 述 べ た と 同 様 に 考 え る と,nに
る 剰 余 類 全 体 の 集 合 に,か
け 算 が 定 義 さ れ る こ と を 示 し て い る.
前 講 の よ うに,nを1つ
と め た と き,nに
を[a]で
成 り立 つ.
表 わ す こ と に す る.こ
関 す る 剰 余 類 の 中 で,aを
含む もの
の とき
[a][b]=[b][a]
(1)
[a][0]=[0],[a][1]=[a]
(2)
は 明 ら か で あ ろ う.実
関す
際 これ ら の 関 係 は,ab=ba,a0=0,a1=aを
剰 余 類 に移 し
て か い て い る に す ぎ な い. 【例1】mod5で
は [2][3]=[1],[2][4]=[3],[3][4]=[2], [4][4]=[1]
も ち ろ ん,た
と え ば 最 後 の 等 式 は[4][4]=[16]と
か い て も[4][4]=[−4]と
か
い て も 同 じ こ と で あ る. 【例2】mod6で
は [2][3]=[0],[2][4]=[2],[4][5]=[2], [3][5]=[3]
な どが 成 り立 つ.
剰 余 類 の 中 に 乗 法 に よ っ て 群 の 構 造 が 入 る か?
nに 関 す る 剰 余 類 全 体 の 集 ま りの 中 に,こ
のか け算 に よ って群 の 構造 が 入 るか
ど うか を 考 え て み よ う. し か し,ど
ん なaを
と っ て も,(2)に
逆 元 な どけ っ し て 存 在 し な い(も け て,[a]=[1]が
よ っ て[a][0]=[0]だ
し[0]−1が
あ れ ば,こ
か ら,[0]に
は
の 式 の 両 辺 に[0]−1を
か
い つ も 成 り立 っ て し ま う こ と に な る!).
し た が っ て,問
題 は
(〓) [0]以
外 の 剰 余 類 全 体 の 集 ま りは,か
け算に関して
群 を つ くっ て い る か? と な る. こ の 問 題 は い か に も も っ と も ら し い.(2)を
見 る と,も
しか け算 で群 を つ く
っ て い る とす る と,[1]が
単 位 元 と な る こ と も 明 らか で あ る.し
眺 め る と,こ
は そ の ま ま の 形 で は 成 り立 た な い こ と が わ か る.実
際,n=6の
の 問 題 も,実 と き,[2]と[3]を
か け る と0に
元 が あ る とす る と[2][4]=[2],[5][4]=[2]か か け る と,[2]=[5]に (〓)の
形 で は,問
な っ て い る.ま ら,こ
か し 上 の 例2を
た も し[4]に
の 両 辺 に 右 か ら[4]−1を
な っ て し ま う.こ れ は お か し い. 題 は 一 般 に は 成 り立 た な い の で あ る.
逆
nと
素 な 剰 余 類 の つ く る 乗 法 群Zn*
こ の 問 題 設 定 の正 し い 解 答 を 得 る 前 に,ま aがnと
素 な ら ば,a+knもnと
a+knとnが
ず 次 の こ とを 注 意 す る.
素 で あ る.
共 通 の 約数q>1を
もて ば, a+kn=ql,n=ql′
と表 わ され,し た が っ てa=ql−kn=q(l−kl′)も
約数qを
もち,aとnは
素 で な くな って
し ま う. す な わ ち,aとnが ま たnと
互 い に 素 な ら ば,aの
素 と な っ て い る.し
剰余 類 に 含 まれ る す べ て の整 数 が
た が っ て こ の こ と か ら,剰
余 類 へ と移 っ て,[a]を
nと 素 な 剰 余 類 とい うい い 方 を し て も 差 しつ かえ な い こ と が わ か る. nと 素 な剰 余類 を,nの
既 約 剰 余類 とい うのが ふ つ うだ が,こ
こで は この用 語 を 改 め て
用 い な い こ とに し よ う. そ の と き,(〓)の
【定 理 】nに
問 題 は,多
少 訂 正 し た 次 の 形 で 成 り立 つ.
素 な 剰 余 類 全 体Zn*は,乗
【証 明 】a,bをnと
法 に よ っ て 群 を つ く る.
素 な 数 とす る と,abも
ま たnと
素 に な る.実
際,前
講 の結 果
か ら ax+ny=1,bx′+ny′=1 を み た す 整 数x,y;x′,y′
が 存 在 す る.こ
の両式 を辺 々かけ て整 頓 す る と
abx"+ny"=1 と い う式 が 得 られ る(x"=xx',y"=axy′+bx′y+nyy′).x",y"は こ の 式 か らabとnが
素 で あ る こ とが わ か る.
この ことは [a],[b]∈Zn*⇒[a][b]∈Zn* を 示 し て い る. Zn*の
単 位 元 は,も
任 意 に[a]∈Zn*を
ち ろ ん[1]で と る と,適
与 え ら れ る. 当 な 整 数x,yで
ax+ny=1
(3)
整 数 で あ り,
と い う関 係 が 成 り立 つ が,こ
の 式 はaとxの
素 で あ る こ と も 同 時 に 示 して い る.し
役 目 を と りか え て み る と,xがnと
た が って[x]∈Zn*で
あ る.(3)は
剰余
類へ移 ると [a][x]=[1] と表 わ す こ とが で き る.し これ でZn*が,乗 こ れ か らZn*と (1)か
た が っ て[a]は
か く と き に は,い
Zn*の
数 で,pと
も つ.
法 に よ っ て 群 を つ く る こ とが わ か っ た.
らわ か る よ うに,Zn*は
nが 素 数pの
逆 元[x]を
と き,群Zp*の
つ で も こ の 群 を 表 わ し て い る こ と に す る.
可 換 群 で あ る.
位 数―nが
素 数pの
と き
位 数 は す ぐ に 求 め られ る.pよ
り小 さ い 正 の 整
互 い に素 な 数 は 1,2,3,…,p−1
で あ る.し
た が って Zp*={[1],[2],[3],…,[p−1]}
とな り,Zp*は
位 数p−1の
群 で あ る.
す なわ ち
│Zp*│=p−1
第9講 ら,Zp*の とを,剰
の'群
の 位 数 と元 の 位 数'の
任 意 の 元 をp−1乗
項 で 述 べ た 結 果 を 参 照 す る と,こ
す る と,単
位 元 に な る こ とが 結 論 で き る.こ
余 類 の か け 算 の 定 義 に 戻 っ て い い か え る と,次
【定 理 】aがpの
の こ とか のこ
の 定 理 と な る.
倍 数 で ない と きには ap−1≡1(modp)
が 成 り立 つ.
これ を フ ェ ル マ の 小 定 理 とい う. こ の 定 理 を 単 に こ の よ うに か い た だ け で は 何 の 味 気 も な い か も し れ な い.実
際,数
値 を い れ て 検 証 し て み よ う.
p=11の
と き,こ
の 定 理 に よ って410≡1(mod11)が
成 り立 つ が,実
際
410−1=1048576−1=1048575 =11×95325 p=23の
と き,222≡1(mod23)が
成 り立 つ が,実
際
222−1=4194304−1=4194303 =23×182361 こ の よ うに か く と,多
少 神 秘 的 な 気 が し て く る.
Zn*の
nが 素 数pの
位 数―nが
素数pの
べ キ の と き
べ キで n=pk
と表 わ され て い る と き に は,1≦a≦nで,nと 1か らpkま
で の 数 で,pの
互 い に 素 で あ る よ う な 数aは,
倍 数 と な る よ うな 数
p,2p,3p,…,(pk−1−1)p,pk を 除 い た も の で あ る.(4)の
(4)
個 数 はpk−1個 で あ る.し
た が っ て1≦a≦nで,n
と素 と な る 数 の 個 数 は pk−pk−1
で 与 え られ る. し た が っ て ま たn=pkの
と き のZn*の
位数 は
pk−pk−1=pk(1−1/p)
で あ る こ とがわ か る.す なわ ち
Zn*の 一 般 の 場 合 に は,nを
位 数―一
般 の 場 合
相 異 な る 素 数 の べ キ と し て 表 わ し て お く: n=p1k1p2k2…psks
こ の と きZn*の
位 数 は,1≦a≦nを
数 の 個 数 と一 致 す る.こ え て,オ
み た す 整 数aで,nと
の 個 数 を ふ つ う ψ(n)で
互 い に 素 で あ る よ うな
表 わ し,ψ(n)をnの
関数 と考
イ ラ ー の 関 数 と い う.
ψ(n)は
次 の 形 で 表 わ さ れ る こ と が 知 ら れ て い る.
(5)
す ぐ上 に述 べ た 結果 か ら
は 知 っ て い る.し
た が っ て ψ(n)を
表 わ す 右 辺 の 式 は ψ(p1k1)ψ(p2k2)…
ψ(psks)に
等 し い こ と が わ か る. (5)の
証 明 は,初
例 で 述 べ て お こ う.い
等 整 数 論 か ら の 準 備 が い る の で,こ まnと
こ で は 省 略 す る.考
し て,n=504=23×32×7を
互 い に 素 で あ る.275の23,32,7に
え 方 だ け を,
と る.a=275=52×11は504と
関す る剰 余 類 を とっ てみ る と 275≡3(mod23) 275≡5(mod32) 275≡2(mod7)
とな り,こ
れ ら は そ れ ぞ れ の 剰 余 類 の 中 で 素 な 剰 余 類 と な っ て い る.そ
こで対 応
275→(3,5,2) が 得 ら れ る.こ
の よ うな 対 応 は,504に
の 対 応 の 行 く先 は,(3,5,2)の る.こ
の よ うな3つ
関 す る 素 な 剰 余 類 に 対 し て つ ね に 定 義 さ れ る.こ
よ うに,23,32,7に
つ い て の,そ
れ ぞ れ の 素 な剰 余類 で あ
の素 な 剰 余類 の組 の 総数 は ψ(23)ψ(32)ψ(7)
で あ る. 一方,こ
の 対 応 は1対1で
あ る こ とが 証 明 で き て,結
局
ψ(504)=ψ(23)ψ(32)ψ(7) で あ る こ とが 示 さ れ る の で あ る. こ の 項 の 結 論 を も う一 度 ま とめ て い え ば
│Zn*│=ψ(n)
と な る.し
た が っ て,n=pの
任 意 の 整 数aに
対 して
と き 述 べ た の と同 様 の 推 論 でnと
素 であ る よ うな
aψ(n)≡1(modn)
が 成 り立 つ こ とが わ か る.
Tea
pが 素 数 の と き,Zp*は pが 素 数 の と き,Zp*の か ど うか わ か ら な い.し ど,Zp*は
Time
巡 回群 とな る
位 数 はp−1で か し,こ
あ り,こ
巡 回 群 に な る こ とが 知 ら れ て い る(実
す る と,Zpk*も
巡 回 群 と な る).Zp*の
の 原 始 根 とい う.た と え ば,7を
の位数 を 見 た だけ で は巡 回 群
こ で 簡 単 に 証 明 す る こ とは で き な い の だ け れ 際 は,pを2よ
り大 き い 素 数 と
巡 回 群 と し て の 生 成 元 を,pを
法 と し て の1つ
の 原 始 根 は3で
法 として
与 え られ て い る.
確かめてみると 31≡3,32≡2,33≡6, 34≡4,35≡5,36≡1(mod7) と な っ て,実
際,3の
ベ キ を1か
ら6ま
(*)
で と る と,7と
素 な すべ ての 剰余 類 が 現
わ れ て く る こ と が わ か る. こ の 原 始 根 の 存 在 か ら,素数p(>2)に ら れ る.ウ
つ い て,有
名 な ウ ィル ソ ン の 定 理 が 得
ィル ソ ン の 定 理 とは (p−1)!≡−1(modp)
が 成 り立 つ,と
い う不 思 議 な 定 理 で あ る.pが
るべ き 大 き な 数 とな るか ら,実
少 し 大 き くな れ ば,(p−1)!は
際 数 値 で 確 か め られ る の は,精
々,pが20以
恐 下
の 素 数 の と き くら い で あ る. つ い で だ か ら,こ p=7の
の 定 理 が 一般 に どの よ う に し て 証 明 され る か,そ
場 合 に 示 し て み よ う.す
の筋道 を
な わ ち 証 明 す べ き こ とは
(7−1)!=6!≡−1(mod7) で あ る.上
の(*)の
辺 々を すべ て か け合 わ せ る と 31+2+3+4+5+6=6!(mod7)
と な る.36≡1(mod7)に
注 意 す る と,31+5≡1,32+4≡1(mod7).し
式は 33≡6!(mod7)
た が って上
と な る.一
方,36=(33)2≡1に
(mod7)が
得 られ た.
た と え ば,p=11の
と き,ウ
よ り,33≡−1(mod7)が
ィル ソ ン の 定 理 は 10!+1が11の
とな る こ とを 保 証 し て い る.実
倍数
際
10!+1=3628801=11×329891 とな っ て い る.
わ か り,結
局−1≡6!
第12講 群
と 変
換
テー マ
◆ 変 換 とい う視 点 ◆ 群 の働 き―
群Gが
集 合Mの
上 に働 く.
◆ 群 の,自 分 自身 の上 へ の左 か らの 働 き,右 か らの働 き,両 側 か らの働 き ◆ 準 同型 ◆ 位 数nの 有 限 群 は,対 称 群Snの
中 に1対1の
準 同型 写 像 で移 され る.
◆'表 現'と い う言 葉
変 換 と い う視 点 に 立 っ て 群 の 概 念 の根 底 には,変 換 の考 え があ る.こ の こ とは,抽 象 群 の理 論 が どれ ほ ど抽 象 的 な 構造 と枠 組 を 群 に与 えて み て も,変 わ らぬ こ との よ うに 思わ れ る.変 換 として 働 く場 所 は,正 多 面体 の よ うな具 体 的 な もの か ら,し だ い に数 学 的 な形 式 に よ って 整 え られ た 対 象 へ と高 め られ て い く.そ れ に した が って,変 換 で不 変 であ る よ うな形 は,正 多面 体 にみ られ るシ ン メ ト リーか ら,も っ と抽 象 的 な対 称 性 へ と高 め られ て い くだ ろ う.し か し,群 の働 きに よ って 不 変 で あ る よ うな もの の中 に,1つ
の数 学 的 実在 を感 ず る とい う感 じは,い つ まで も保 たれ 続 け てい く
よ うで あ る. これ か ら しば ら くは,変 換 とい う視 点 を 中心 にお きな が ら,群 の話 を進 め て み よ う.
は じ め に 正 多面 体群 は,正 多面 体 の頂 点 の 変換 を 引 き起 こ して い る し,対 角 線 相 互 の変 換 も引 き起 こ して い る.ま た た とえば正20面 体群 は,20個 こ してい る.1つ
の面 の 変換 も引 き起
の群 で も,い ろ い ろ 異 な った 対 象 に 変換 群 と し て 働 い て い
る. また,対 称 群Snや 交 代 群Anは,n個 び か え―
の も の の上 に働 い て,そ
の変 換 ―
並
を 引 き起 こして い る.
2次 の正 則行 列(逆 行 列 を もつ もの)の 全 体 は,行 列 の 積で 群 をつ くるが,こ の群 は 座標 平 面 上 に働 い て,点 の 変 換 を引 き起 こ して い る.も ち ろ ん,点 の変 換 だけ で は な くて,平 面 上 の三 角形 全 体 の上 に も変換 を 引 き起 こ してい る.1つ 三 角 形△ は,正 則行 列Aに
よ って,別 の三 角形A(△)へ
の
と移 るの で あ る.
2次 の正 則 行 列 の中 で
と 表 わ さ れ る 行 列 は,原
点 を 中 心 とす る 角 θ の 回 転 を 与 え て い る.Aθ
正 則 行 列 の 中 で 部 分 群 を つ くっ て い る が,こ
の 全 体 は,
の 群 で は三 角形 は合 同 な三 角 形へ と
移 っ て い る.
群
の 働
こ の よ う な群 の 変 換 と し て の 働 き を,抽 め に は,群Gだ
け で は な くて,Gが
上 に み た よ う に,群
も な い し,ま
象的 な立 場 に立 って総 括 的 に述 べ るた
働 く対 象 を 設 定 し て お か な くて は な ら な い.
が 働 く対 象 は,場
関 係 す る あ る性 質 を,こ
き
合,場
合 に よ って 多 種 多 様 だ か ら,群Gに
の 対 象 に あ ら か じ め 付 し て お くよ うな こ と は,実
際的で
た で き そ うに な い こ とで あ る.
そ こ で 次 の よ うな 非 常 に 一 般 的 な 定 義 を お く こ と に な る. 【定 義 】 群Gが 写 像(変
集 合Mの
上 に 働 く と は,Gの
各 元gに
対 し て,Mか
らMへ
の
換) x→g(x)
が 決 ま っ て,次
の 性 質 を み た し て い る こ と で あ る.
(ⅰ) g1(g2(x))=g1g2(x) (ⅱ) Gの 単 位 元eに す な わ ち,Gの
(x∈M,g∈G)
(x∈M,g∈G)
対 し てe(x)=x
各 元gは,M上
っ き り さ せ る た め,Mの
元 をMの
(x∈M)
の 変 換 と し て 働 い て,Mの 点 とい う こ と に す る)を,Mの
点(イ
メー ジを は 別 の 点 に移
す. (ⅰ)で
い っ て い る こ と は,Mの
ま ずg2に
よ っ てg2(x)へ
い てg1に
よ っ てg1(g2(x))へ
は,群Gの
方 でg1とg2の
g1g2に
よ っ て,xを
点xを,
と 移 し,引
き続
と移す こと 積 を と っ て,
一 度 にgig2(x)に
移す
こ と と 同 じ こ とで あ る と い っ て い る の で あ る(図24).g2とg1の
合 成 写 像 はg1og2と
図24
表 わ す と い う こ とを 知 っ て い る 人 に は,(ⅰ)はM上
の写 像 と して
g1og2=g1g2 が 成 り立 つ と表 わ した 方 が わ か りや す い か も し れ な い. (ⅱ)は,Gの
単 位 元eは,Mの
恒 等 写 像 を 引 き起 こ し て い る,と
い うこ とを
い っ て い る. (ⅰ)と(ⅱ)か
ら,gg−1=g−1g=eに
より
g(g−1(x))=g−1(g(x))=x が 成 り立 つ.g(g−1(x))=xは,(右 か らMの
辺 のxがMの
(x∈M) 任 意 の 点 で よい か ら)gがM
上 へ の 写 像 で あ る こ と を 示 し て お り,ま たg−1(g(x))=xは,x≠x′
ら ばg(x)≠g(x′)の
こ と,す
な わ ち,gがMか
らMへ
の1対1写
な
像であ るこ
と を 示 し て い る. こ の こ とは,同 な お,記
時 に,g−1がgの
逆 写 像 を 与 え て い る こ と も 示 し て い る(図25).
号 の 使 い 方 と し て,gの
わ し い と き も あ る.そ
働 きを 直 接g(x)と
の と き に は,gに
応 す る 変 換 を ψgと か き,ψgに
か くの は,か
対
よ っ て 点x
の 移 され る 先 を ψg(x)と 表 わ す.た
と え
ば,整
数全
数 全 体 の つ く る加 群Zは,実
体 の つ く る集 合Rに ψn(x)=n+x と し て 働 く.(ⅰ)に 合
(n∈Z,x∈R) 対 応 す る 式 は この場 図25
え っ て紛 ら
と な っ て い る. な お これ も 細 か い 注 意 か も しれ な い が,(ⅱ)は,単
位 元eが
こ と は い っ て い るが,'eだ
般 に はe以
け が'と
等 変 換 を 与 え る こ と が あ る.た
は い っ て い な い.一
と え ば,Zは
実 数 の 集 合Rに,上
恒 等 変換 に な る 外 の 元 で も恒 の ψnと は 別
に ψn(x)=(−1)nx と し て も 働 い て い る.こ
の と き,nが
偶 数 な ら ば,ψnは
すべ て恒 等 変換 とな っ
て い る.
任 意 の 群 は,自
群Gは,G自
分 自身 の 上 に 働 く
身 の上 に
ψg(h)=gh
(g,h∈G)
と お く こ と に よ り働 く.
実際 ψg1(ψg2(h))=ψg1(g2h)=g1g2h=ψg1g2(h) φe(h)=hは こ のGの
明 ら か で あ ろ う. 自 身 の 上 へ の 働 き を,Gの
左 か ら の 働 き と い う.
対 応 し て
群Gは,G自
身の上に
ψ,(h)=hg−1
(g,h∈G)
と お く こ と に よ り働 く. 実 際,
ψe(h)=hは
明 ら か.
こ のGの
自身 の 上 へ の 働 き を,Gの
ψgoψg(h)=ψgoψg(h)=ghg−1に
右 か ら の 働 き と い う.
注 意 す る と,こ
れ か ら ま た 次 の よ う なGの
働き
が あ る こ と も わ か る.
群Gは,G自
身 の上 に
λg(h)=ghg−1(g,h∈G) と お く こ と に よ り 働 く.
こ のGの
自身 の 上 へ の 働 き を,Gの
両 側 か ら の 働 き とい う.
これ ら の 最 も 基 本 的 な 例 で もわ か る よ う に,1つ 合 はGで
あ っ た が)に
働 く仕 方 は,い
有 限 群Gの
有 限 群Gの
と す る.い
位 数 をnと
ま 群Gを
へ と 変 わ る.と
し,Gの
の 群Gが
集 合M(い
まの場
ろ い ろ あ る の で あ る.
置 換 と して の働 き
元 を適 当 な順 序 で 並 べて
h1,h2,h3,…,hn
(1)
左 か ら 働 か せ る.こ
の と きg∈Gの
gh1,gh2,…,ghn
(2)
働 き に よ っ て,(1)は
ころが hi≠hj⇒ghi≠ghj
だ か ら,(2)は(1)を
並 べ か え た も の に す ぎ な い.し
た が って
gh1=hi1,gh2=hi2,gh3=hi3,…,ghn=hin とお く と,(i1,i2,…,in)は(1,2,…,n)の こ の よ うに し て,gの た か に 注 目 し て,Gか
置 換 と な っ て い る.
左 か ら の 働 き に よ っ て,(1)が らn次
の 対 称 群Snの
Φ:g→(
1
2
系 列 に,も
で,hi1,hi2,…,hinのgに
ど の よ うに お き か わ っ
中へ の対 応 3…ni
1 i2 i3
が 得 られ た.(2)の
(3)
…
う一 度 左 か らgを
in
)
働 か せ る こ とは,(3)の
よ る置 換 を 行 な う こ と に な っ て い る.こ
の こ とは
Φ(gg)=Φ(g)Φ(g) を 示 し て い る.右
辺 は,2つ
の 置 換 Φ(g),Φ(g)の
積 を 表 わ し て い る.
系列
準
こ の よ うな 対 応 を 取 り出 し て,は
同
型
っ き りし た 形 で 述 べ る に は,次
の概 念 を 導 入
し て お い た 方 が よ い. 【定 義 】 群Gか
ら,群G′
へ の対 応 Φが あ って Φ(gg)=Φ(g)Φ(g)
を み た す と き,Φ をGか Φ をGか
(g,g∈G)
らG′ へ の 準 同 型 写 像 で あ る とい う.
らG′ へ の 準 同 型 写 像 と す る と,Gの
単 位 元eに
対 し
Φ(e)=Φ(e2)=Φ(e)Φ(e) が 成 り立 つ か ら,こ
れ か ら(両
辺 にΦ(e)−1を か け る とわ か る こ と だ が)Φ(e)が
G′ の 単 位 元e′ に
し い こ とが わ か る.す
な わ ち 準 同 型 写 像 に よ っ て,単
位元 は
単 位 元 へ と移 る. ま たg∈Gの
逆 元g−1に 対 し e′=Φ(e)=Φ(gg−1)=Φ(g)Φ(g−1)
が 成 り立 ち,こ
の こ と か ら Φ(g−1)=Φ(g)−1と
型 写 像 に よ っ て,逆
な る こ とが わ か る.す
なわ ち準 同
元 は 逆 元 へ と移 る.
準 同 型 写 像 Φ が1対1で
あ っ て も,一
般 に は,GはG′
け で あ っ て,GとG′
が 同 型 で あ る と は 限 ら な い.こ
分 群 と 同 型 で あ る,と
い う こ とは で き る.
の一 部 分 に 移 さ れ るだ の 場 合,GはG′
の あ る部
有 限 群 か ら対 称 群 へ の 準 同 型 写 像
この 概 念 を 用 い る と,前
に 述 べ た こ とは,簡
潔 に 次 の よ うに いい 表 わ す こ とが
で き る.
位 数nの 有 限群Gか
ら,n次
の 対称 群Snへ の準 同 型写
像 Φ が存 在す る.こ の準 同型 写像 Φは,Gの
左か らの
働 き に よ って引 き起 こされ る. 同 様 に,Gの らSnへ
自 身 の 上 へ の,右
か ら の 働 き ψgを 用 い る こ と に よ っ て も,Gか
の 準 同 型 写 像 Ψ が 得 ら れ る.
Φ も Ψ も,Gか い え ば,系
らSnの
列(2)を
な り,(2)の
中 へ の1対1写
み る と,も
し,gと
系 列 は 入 れ か わ る.こ
る こ と を 意 味 し て い る.す
像 と な っ て い る.た 別 の 元g′ ∈Gを
の こ と は,gとg′
とえば Φ につ い て
と る と,ghi≠g′hiと
の 引 き 起 こす 置 換 が 異 な
なわ ち g≠g′ ⇒
Φ(g)≠ Φ(g′)
が 成 り立 つ. Gの
両 側 か ら の 働 きg:λg(h)=ghg−1を
だ か ら,や
は り,各
λgは,系
用 い て も,h≠h′
列(1)の
な ら ば λg(h)≠ λg(h′)
置 換 を 引 き 起 こ し,し
た が っ て,こ
れ
か らも同 様 に準 同 型写 像 Λ:G→Sn が 得 られ る. こ こ ま で は,Φ,Ψ あ っ た が,Λ
も Λ も 同 じ 状 況 で あ る が,1つ
は 一 般 に は1対1で
違 う こ とは Φ,Ψ は1対1で
は な い とい う こ とで あ る.実
際,た
と え ばGが
可 換群 の と きに は λg(h)=ghg−1=gg−1h=h と な り,す べ て の λgは系 列(1)を よ っ てGの
動 か さ な い.し
す べ て の 元 は,Snの
き に は も ち ろ ん Λ は1対1で
単 位 元 へ と移 され て し ま う.し
に
たが っ て この と
は な い. '表 現'と
準 同 型 写 像 の 定 義 で は,2つ
た が っ て こ の と き に は,Λ
い う言 葉
の 群GとG′
が 抽 象 的 に お か れ て い て,そ
準 同 型 写 像 が 橋 渡 し を し て い る と い う よ う に 述 べ られ て い る.し
か し,準
の間を 同型 写
像 の例 として 述べ た Φ:G→Sn で は,こ て い る.そ
の 定 義 の 単 な る 適 用 と い う よ りは,多 れ は,Gは
次 の 対 称 群Snは
ま っ た く抽 象 的 な 概 念 に 支 え ら れ た 対 象 で あ っ た の に,n
具 体 的 な 群 と な っ て い る こ と で あ る.そ
抽 象 的 な 対 象Gを,具 際,Gの
少 別 の ニ ュ ア ン ス が 加 え られ て き
体 的 な 対 象Snの
Φ に よ る像 Φ(G)は,Snの
う思 っ て み る と,Φ は,
中 に 映 し 出 し て い る よ う に 見 え る.実 部 分 群 と な って い て,こ
の 部 分 群 はGを
Snの
中 で 捉 え た 形 に な っ て い る.Φ
は,抽
象性 か ら具 象性 へ の移 行 を示 して い
る! こ の ニ ュ ア ン ス を 伝 え る た め に,数 い う言 葉 よ りは,表 え られ た'と
現 とい う言 葉 を 好 ん で 用 い る.'Gか
らSnへ
同 型写 像 と
の 表 現 Φが 与
い う の で あ る.
Φ が1対1で
あ る と い う こ と を 強 調 し た い と き に は,忠
う.表 現 は 英 語 でrepresentationで tionと
学 者 は こ の よ うな 場 合 に は,準
あ り,忠
実 な 表 現 で あ る とい
実 な 表 現 は,faithful
representa
い う.
Φ も Ψ も,Gか
らSnへ
の2つ
一般 に は 異 な っ て い る.Λ
の 忠 実 な 表 現 と な って い る.こ
は,Gか
らSnへ
の2つ
の表 現 は
の 表 現 を 与 え て い る が,Λ
は一 般 に
は 忠 実 とは 限 ら な い. な お,表
現 に つ い て,第30講
で,群
Tea
の 表 現 論 と い う観 点 に 立 っ て 述 べ て い る.
Time
置 換 は行 列 と して 表現 され る n個 の も の の 置 換 全 体 の つ く る 対 称 群Snは,n次 際 はn次 n=3の
の 直 交 行 列 の つ く る群)に
の 正 則 行 列 の つ くる 群(実
よ っ て 忠 実 に 表 現 され て い る.こ
の こ とを
場 合 に 説 明 し て み よ う.
3次 元 の 座 標 空 間R3の
を 考 え る.こ
の と き,置
標 準基 底
換
は,基
底 変 換e1→ei1,e2→ei2,e3→ei3を
は,基
底 変 換e1→e3,e2→e1,e3→e2を
変 換 は,次
頁 の 右 辺 の よ うな3次
与 え て い る と み る の で あ る.た
与 え て い る と 考 え る.と の 正 則 行 列(実
際 は 直 交 行 列)に
とえ ば
ころが この基 底 よ って表 わす
こ と が で き る.こ
が 得 られ る.互
の よ う に し て,対
換(13)に
は,行
応
列
が 対 応 す る ことに な る.こ の対 応 は,S3の3次
の正 則行 列の つ くる群 へ の忠 実 な
表 現 を 与 え てい るの であ る. この よ うに して,こ の表 現 を通 して,一
般 にn次 の対 称 群 は,Rnの
線形 変 換
と して働 い てい る こ とがわ か る.表 現 を 通 して,群 は そ の働 く世 界 を 広 げ てい く の で あ る.
質 問 位 数nの
有 限 群 は,Snの
こ とで し た が,こ
の こ と は,有
て よ い の だ と思 い ます.有
中 へ1対1に
準 同型 に 移 す ことが で き る とい う
限 群 は対 称 群 の部 分群 に 同型 に な る とい い表 わ し
限 群 と は 限 ら な い 任 意 の 群 に対 して も 似 た よ うな 結 果
は あ る の で し ょ うか. 答 まず,ま 1対1写
像(集
っ た く任 意 の 集 合M(≠ 合 論 で い う1対1対
φ)が 与 え ら れ た と き,Mか 応)の
全 体 は,写
に よ っ て 群 と な っ て い る こ とを 注 意 し よ う.こ く こ と に す る.M={1,2,…,n}の 置 換 全 体 の つ く るn次
像 の 合 成 を 積 と考え る こ と
の 群 を か り にISO(M,M)と
の 対 称 群 で あ る.群GがMに らISO(M,M)へ
こ とで あ る と い い 直 す こ と が で き る.だ の 働 き は,Gか
応 を 与 え て い る と み る こ と が で き る.任 G)の
上へ の
か
と き に は,ISO(M,M)は,{1,2,…,n}の
改 め て 見 直 し て み る と,Gか
か らの 働 き を 考 え る と,こ
らMの
部 分 群 と 同 型 と な る.こ
働 く とい う こ と は,定 の 準 同 型 写 像 が1つ
か ら,特
にMと
らISO(G,G)へ 意 の 群Gは,こ
れ が 君 の 聞 い て い る'似
し てGを
義を
与 え られ た
と り,Gの
の1対1の
左
準 同型 対
の よ う に し て,ISO(G, た よ うな 結 果'で
あ る.
第13講 軌
道
テーマ
◆ 軌道 ◆G-軌
道 に よる分 解
◆ 固 定 部分 群 ◆1点x0のG-軌
道 の 点 と,x0の 固定 部 分 群Gx0に
◆ 有 限群 の場 合,軌 道 上 にあ る元 の 個数 は,Gの
よ る左 剰 余 類 との対 応 位 数 の 約数 とな る.
◆ コー シ ー の定 理
正6面 正6面 体群P(6)の
体群 と軌道
こ とか ら話 を は じめ よ う.P(6)の
心 を 通 る中 心軸 に関 す るπ/2の回転 は,位 群 はZ4と
中 で,相 対 す る面 の中
数 が4の 巡 回 群 を 生成 す る.こ
同 型で あ って,し た が って Z4⊂P(6)
と考 え て よい. い ま こ の 群Z4が,正6面
体 の8個
の頂 点 の上 に
ど の よ う に 働 くか を 調 べ て み よ う.図26か ら か な よ う に,点Pは,Z4の P"′へ と 移 っ て 再 びPへ はQ′,Q",Q"′ 点Pは,Z4の
ら も明
働 き に よ っ てP′,P", 戻 っ て く る.同
へ と 移 っ て 再 びQへ
様 に,点Q
と戻 っ て く る.
働 き で は け っ し て 底 面 の 点Qへ
と移
っ て い か な い. 点P,ま
た は 点Qが,こ
の よ うにZ4の
働 きで 動
く様 子 を 考 え る と 点PのZ4に
よ る 軌 道={P,P′,P",P"′}
図20
の巡 回
点QのZ4に
よ る 軌 道={Q,Q′,Q",Q"′}
と い うい い 方 を 採 用 す る の は,ご る 軌 道 を,そ
く自 然 の こ と に 思 え る.点P,点QのZ4に
よ
れぞれ Z4(P),Z4(Q)
と表 わ す.
軌
この よ うな い い 方 と,表
道
わ し方 は,次
の 一般 的 な 定義 に した が って い るの であ
る. 【定 義 】 群Gは
集 合M上
に 働 い て い る と す る.こ の と きMの
任 意 の 点xに
対 し
G(x)={g(x)│g∈G} とお き,G(x)をxのGに
よ る 軌 道(ま
た はG-軌
道)と
い う.
こ の と き 次 の 結 果 が 成 り立 つ.
【証 明 】
も しG(x)∩G(y)≠
φ な ら ばG(x)とG(y)に
が 存 在 す る.z∈G(x)だ
か らz=g(x)と
g′(y)と 表 わ さ れ る.し
共 通 に 含 まれ るMの
表 わ さ れ,ま
たz∈G(y)だ
点z
か ら,z=
た が って g(x)=g′(y)⇒g′−1g(x)=y
と な り,y∈G(x)と
な っ て し ま う.こ れ は 仮 定
こ の こ とか ら,G(x)に G(x)に
もG(y)に
属 さ な い 点yを
も 属 さ な い 点zが
に 矛 盾 す る.
と る と,G(x)∩G(y)=φ
あ れ ば,zの
で あ る.
軌 道 は,G(x)とG(y)と
通 点 を もた な い: G(x)∩G(y)∩G(z)=φ Mの は,互
各 点 を 通 るG-軌
道 は,互
い に 共 通 点 の な いG-軌
M=∪
と 分 解 さ れ る こ と に な る.
い に け っ し て 共 通 点 を も た な い の だ か ら,M
道 に よ って
αG(xα)
(共通 点 な し)
(1)
共
ま た 簡 単 な こ と で あ るが,x′ ∈G(x)に
対 しては
G(x)=G(x′) が 成 り立 つ こ と も注 意 し て お こ う.
固 定 部 分 群
正6面
体 群P(6)の
中 で,正6面
体 の1つ
通 る対 角 線 の まわ りの 回 転 で あ っ て,こ
の 頂 点Pを
動 か さ な い 変 換 は,Pを
の 回 転 の 全 体 は,P(6)の
中 でZ3に
同
型 な 部 分 群 を つ くっ て い る. 一 般 に群Gが 全 体 は,Gの
集 合Mの
上 に 働 い て い る と き,Mの1点x0を
部 分 群 を つ く っ て い る.実
と め るg∈Gの
際
g(x0)=x0,h(x0)=x0 な らば (gh)(x0)=g(h(x0))=g(x0)=x0 で あ り,ま たg(x0)=x0か
らg−1(g(x0))=g−1(x0)と
な り,こ れ か ら
g−1(x0)=x0 もわ か る.単 位 元eは,も 【定 義 】Mの
点x0を
と め るGの
(ま た は 安 定 部 分 群)と 点x0の
ち ろ んx0を
元 全 体 の つ くるGの
部 分 群 を,x0の
固定 部 分群
い う.
固 定 部 分 群 をGx0で
行 列式 が1の3次
と め て い る.
表 わ す.
の直 交 行列 全 体 のつ くる群SO(3)は,原
い てい る.こ の とき,点P(0,0,1)(北
点 中心,半 径1の 球 面 上 に働
極)の 固定 部 分群 は,北 極 の まわ りの回転
で 与 え られ てい る.
軌 道 と固 定 部 分 群
群Gが
集 合Mの
G(x0)と,x0の
上 に 働 い て い る と き,Mの 固 定 部 分Gx0と
説 明 の 簡 単 の た め,Gを
任 意 の 点x0に
対 し,x0の
の 間 に は 密 接 な 関 係 が あ る.
有 限 群 とす る.こ
の と き,x0のG-軌
道G(x0)は,
軌道
有 限 個 の 点 か ら な るMの
部 分 集 合 と な る.
G(x0)={x0,x1,x2,…,xs−1} とお く.点x0をxiに
移 すGの
あ っ た と し て そ れ をgi,gi′
(2)
元 は 必 ず 存 在 す る が,い
まそ の よ う な 元 が2つ
とす る: xi=gi(x0),xi=gi′(x0)
こ の と きx0=gi−1(xi)に
よ り, gi−1gi′(x0)=x0
が 得 られ る.す
なわ ち gi−1gi′ ∈Gx0
(3)
と な る. 逆 にgiとgi′
が(3)の
関 係 を み た し て い れ ば, gi(x0)=gi′(x0)=xi
と な る. (3)は gi′∈giGx0 とか き 直 し て み る とわ か る よ う に,giとgi′ こ とを 示 し て い る.し の 元giを1つ
た が っ て(2)の
各xiに
選 ん で お く と,GのGx0の G=Gx0+g1Gx0+g2Gx
がGx0の
同 じ左剰 余 類 に属 して い る
対 して,xi=gi(x0)を
み た すG
左 剰 余類 に よる分解 0+…+gs−1Gx0
(4)
が 得 られ て g∈G0⇔g(x0)=x0 g∈g1Gx0⇔g(x0)=x1
g∈gs−1Gx0⇔g(x0)=xs−1 と対 応 す る こ とに な る. こ の 意 味 でx0のG-軌
道 と,GのGx0に
よ る 左 剰 余 類 に よ る 集 合 とが1対1に
対 応 す る. こ の こ と は,Gが わ か る.し
有 限 群 で な く と も,同
た が っ て 次 の 結 果 が 示 さ れ た.
様 の 議 論 で 任 意 の 群 で 成 り立 つ こ とが
群GがM上
に 働 く と き,Mの1点x0のG-軌
GのGx0に 特 にGが
よ る 左 剰 余 類 とが1対1に
有 限 群 の と き に は,(4)でG(x0)の
元 の 個sを│G(x0)│と
│G│=Gx0│×│G(x0)│
と な り,し (#)
道 と
対 応 す る. お くと
(5)
た が って G-軌
道G(x0)に
現 わ れ る 点 の 個 数 は,Gの
位 数 の 約 数 で あ る.
が 成 り立 つ.
1つ
最 後 に 述 べ た(#)の
【定 理 】Gを で,位
の 応 用
興 味 あ る応 用 と し て 次 の 定 理 を 証 明 し よ う.
有 限 群 と し,素pはGの
数 がpの
の と きGの
元g
も の が 存 在 す る.
す な わ ちg(≠e)で,gp=eと 生 成 さ れ た 位 数pの が,GはZpと
位 数 の 約 数 とす る.こ
な る も の が 存 在 す る.し
た が っ て,Gはgか
巡 回 群 を 部 分 群 と し て も っ て い る.あ
ら
るい は 同 じこ とであ る
同 型 な 群 を 含 む.
この 定 理 を コー シ ーの 定理 と して引 用 す る こ とが あ る. 【証 明 】
順 序 づ け て 並 べ られ たp個
のGの
元
(h1,h2,…,hp) で h1h2…hp=e を み た す も の を 考 え る.h1,h2,…,hpの こ の よ うなp個 Mの
のGの
中 に は 同 じ も の が 含 まれ て い て も よ い.
元 全 体 の つ くる 集 合 をMと
す る.
元 の 個 数 を 求 め て お こ う.h1,h2,…,hp−1をGか (h1,h2,…,hp−1,hp)
ら任 意 に と っ た と き (6)
がMに
属 す るため の 必要 十 分条 件 は hp=(h1h2…hp−1)−1
で 与え られ る.す 方 は│G│通 か ら,結
な わ ちhpは,h1,…,hp−1に
り,h2の 局,Mの
と り方 は│G│通
よ っ て 一 意 的 に 決 ま る.h1の り,…,hp−1の
とり
と り方 は│G│通
りあ る
元 の 総 数 もpで
割 りきれ
元 の 総数 は │G│p−1個
で あ る.pは│G│を
割 りき る か ら,し
た が っ てMの
る. 位 数pの
巡 回 群ZpのMへ
0,1,2,…,p−1)に
の 働 き を,次
の よ うに 定 義 し よ う.m∈Zp(m=
対 し m(h1,h2,…,hp)=(hm+1,…,hp,h1,…,hm)
と お く.す な わ ち,Zpは(6)を │Zp│=pだ 1点 か,p個 (e,e,…,e)の
か ら,(#)に
よ り,こ
のZpの
働 き に 関 す るMの
らか に1点
か ら な る.も
各 点 の 軌 道 は,
の 点 か ら な る. 軌 道 は,明
軌 道 が す べ てp個 と,Mの
循 環 させ る よ うに 働 くの で あ る.
の 点 か ら な る な ら ば,(1)に
し,(e,e,…,e)以 よ って,Mを
外の点の
軌 道 に分解 す る
元 の個 数 は 1+p+p+…+p
と な ら な け れ ば な ら な い こ とに な る.し し た が っ て,(e,e,…,e)以
外 に,少
(7) か し,こ
れ はpで
割 り き れ な い.
な く と も1点
(g1,g2,…,gp) が 存 在 し て,こ
の 軌 道 は1点
か ら な る.こ
の こ とは,m=0,1,2,…,p−1に
て (g1,g2,…gp)=(gm+1,…,gp,g1,…,gm) が 成 り立 つ こ と を 意 味 し て い る.'成
分'を
比べ て
g1=g2=…=gp が 成 り立 つ こ とが わ か る.こ
の 元 をgと
お く と,g≠eで
あ っ て,
gp=1 が 成 り立 つ.こ
れ で 位 数pの
元gが
存 在 す る こ と が 証 明 さ れ た.
対 し
Tea
質 問 上 の 定 理 の 証 明 法 は,僕 ま で の 途 中 で は,ど
に は 思 い も つ か な い よ うな も の で す.結
う1つ
外 に,軌
変 わ るだ け で,p>2な
割 れ る よ う に な る く らい,軌
う こ とは,ど
道 が1点
な く て は い け な い と あ り ま す が,も
1+1+p+p+…+pと 数 がpで
論がでる
う し て こん な 推 論 で 証 明 さ れ る の か と思 っ て い ま し た.証
を 読 み 直 し て み る と,(e,e,…,e)以 も,も
Time
う1つ あ っ て も,(7)式
ら ば,ま
道 が1点
明
しか ない もの が 少 な くと
だpで
は
割 れ ませ ん.こ
の
か らな る ものが た くさんあ る とい
う し て わ か る の で す か.
答 数 学 の 証 明 は,一
般 に は,最
短 コ ー ス を 走 り抜 け る よ う に か くの で,こ
うな 疑 問 が 生 ず る の は 当 然 だ と思 う.し か し,gp=eと る と,p−1個
い う元 が1つ
のよ
で も見 つ か
の元 g,g2,g3,…,gp−1
のZp-軌
道 が や は り1点 か ら な る.し
か らな る元 が ない として も,(7)に っ てMの
た が っ て,こ
う軌 道 が1点
相 当す る 式 はp個
とな
元 の 総数 はpで 割 りきれ るので あ る.
質 問 も う1つ 質 問 が あ る の で す が,第8講 は,│G│の
れ 以 外 に は,も
約 数 で あ る と あ り ま し た.い
の 逆 に 相 当 す る こ と,す れ ま し た が,も
な わ ち,約
っ と一 般 に,│G│の
を 見 ま す と,Gの ま,Gの
約 数 が 素数pの
数 に 対 応 し て 位pの 任 意 の 約数qに
任 意 の 元 の位 数 と き に は,こ
元 が あ る ことを証 明 さ
対 し,位
数qの
元 が 存在 す る
と い う こ とは い え な い の で す か. 答 一 般 に は,そ の 位 数 は12で 存 在 す る が,位 と,位 数2の3個
の よ うな こ と は い え な い の で あ る.た
あ り,12の 数4と6の
約 数 は1,2,3,4,6で
とえ ば4次
の 交 代 群A4
あ る.し
か し,位
数1,2,3の
元は
元 は 存 在 し な い の で あ る.実
際,A4の
元 は,単
位元
の元 (1 2)(3
4),(1
3)(2
4),(1
4)(2
3)
と,位
数3の8個
か ら な っ て い る.た
の元 (1
2 3),(1
3 2),(1
2
(1
3
4
3 4),(2
だ し,こ
4),(1
4),(1
こ で た と え ば 記 号(123)は'循
1
2
3
4
2
3
1
4
( を 表 わ し て い る.
3),(2
)
4
2),
4 3) 環 置 換'
第14講 軌
道(つ づ き)
テーマ
◆ 群の中心 ◆ 群 の 位 数が 素 数 のべ キ な らば,中 心 は単 位 元 以 外 の元 を 含 む. ◆ 有 限 群 の位 数 がpml(p:素
数;pとlは
素)の
と き,位 数pmの
部分
群 を 含 む. ◆ シ ロ ー群
前 講 の 最 後 で 述 べ た 定 理 の 証 明 を み る と,軌 い て,目
を み は る よ う で あ る.こ
て い る よ う な,2つ
道 の考 え が 実 に巧 み に用 い られ て
の よ うな考 え 方が 証 明 の 中 には っ き りと現わ れ
の 基 本 的 な 結 果 を さ ら に こ こ で あ げ て,い
も い うべ き も の を,読
わ ば 群 論 の 味 とで
者 と 一 緒 に 味 わ っ て み る こ と に し よ う.
中
心
ま ず 次 の 定 義 を 導 入 し よ う. 【定 義 】 群Gの な る.こ
元gで,Gの
の 部 分 群 をGの
す べ て の 元 と可 換 と な る も の 全 体 はGの 中 心 と い い,Zで
部分群 と
表 わ す.
すなわち Z={g│す こ の 定 義 で,Zが
べ て のh∈Gに
対 しgh=hg}
部 分 群 と な る こ と だ け 確 か め な くて は な らな い が g1,g2∈Z⇒g1g2h=g1hg2=hg1g2(h∈G)
に よ りg1g2∈Z.ま
た g∈Z⇒gh=hg
(h∈G)
⇒h−1g−1=g−1h−1 hがGの
元 を わ た る と き,h−1もGの
元 を わ た るか ら,こ
の 式 は,g−1∈Zを
示
し て い る.こ Zが
れ でZが
単 位 元eだ
部 分 群 と な る こ と が わ か っ た.
け か ら な る こ と も 多 い.た
心 は 単 位 元 だ け か ら な る.一
方Gが
と え ばn>2な
ら ば,対
可 換 群 な ら ば,G=Zで
称群Snの
中
あ る.
群 の 位 数 と 中 心
次 の 定 理 を 証 明 し て み よ う.
【定 理 】 有 限 群Gの
位 数 が 素 数 の べ キ な ら ば,Gの
中 心Zは
単 位 元 以 外 の元 を
含 む.
【証 明 】│G│=pm(pは
素 数)と
す る.群Gの
自身 の 上 へ の 両 側 か ら の 働 き
λg(x)=gxg−1 を 考 え よ う.以 下G-軌
道 と い う と き に は,す
べ て こ のGの
働 きに関 す る もので
あ る. ま ず,x∈Zと
い う条 件 が,xのG-軌
れ る こ とを 注 意 し よ う.実 のg∈Gに と,い
各 元 のG-軌 pmの
際,xのG-軌
対 し て,λg(x)=x,す
い かえ れ ばx∈Zと
道 がxだ 道 がxし
講 の(#)に
ベ キ で あ る.も
(m1,m2,…
とい う個 数 の 関 係 が 得 られ る こ と に な る.右
ZはGの
成 り立 つ と い う こ
よ り,群Gの しZが
た が っ てZは
部 分 群 だ か ら,Zの
位数
単位 元 だ け か ら
分 解 を い ま の 場 合 に 適 用 し て み る と,上
pm=1+pm1+pm2+…
明 らか に 矛 盾 で あ る.し
べ て
い う こ と で あ る.
道 に 含 まれ て い る元 の 個 数 は,前
講(1)の
か な い とい う こ とは,す
な わ ちgxg−1=x,gx=xgが
約 数 で あ り,し た が って1か,pの
な る な ら ば,前
け か ら な る とい う こ と で 与 え ら
の 注 意か ら
は 正 の 整 数)
辺 はpで
割 り き れ な い か ら,こ
れは
単 位 元 以 外 の 元 を 含 む.
位 数 は,必
ずpの
べ キ とな る の で あ る.
シ ロー群 の 存 在 有 限 群Gが を 割 り き るpの
与 え ら れ た と き,Gの 最 大 ベ キ をpmと
位 数│G│を
す る.
割 り き る 素 数pに
注 目 し,│G│
そ の と き 次 の 有 名 な 定 理 が 成 り立 つ.
【定 理 】 群Gに
は,位
た とえ ば 位 数108の ず 位 数22=4の
数pmの
部 分 群 が 存 在 す る.
群 に こ の 定 理 を 適 用 し て み る と,108=22×33だ
部 分 群 と,位 数33=27の
か ら,必
部 分 群 が 存 在 す る こ と が 結 論 され る の で
あ る. 【証 明 】Gの
部 分 集 合 で,元
集 合 族!)をMと 場 合,p=2の Mと
す る(た
の 数 がpm個 とえ ば,上
と きは,22=4個
か ら な る も の 全 体 の つ く る集 合(部 の 位 数 が108の
分
群 に この証 明 を適 用 す る
の 元 か ら な る 部 分 集 合 を す べ て と っ て,そ
れを
す る の で あ る). │G│=kpm
(kとpは
互 い に素)
とす る と Mの
元 の 個 数=pm個
の 元 か らな るGの
部 分集 合 の 個数
(1) で あ る. と こ ろ が,す (!)
ぐあ と で 示 す よ うに
(1)はpと
そ こで い ま,(!)を Mに
素 で あ る. ひ と まず 仮 定 し て 定 理 の 証 明 に 入 ろ う.Gの
働 か せ る こ と に よ り,GのMへ
の 働 きが 得 られ る.す
元 を 左か ら
な わ ちA∈Mに
対 し
て gA={gx│x∈A} と お くの で あ る.対
応x→gxは1対1だ
部 分 集 合 と な っ て お り,し た が っ てgA∈Mで Mを,Gの
ま た 元 の 数 がpmのGの
あ る.
この 働 き に よ っ て 軌 道 に 分 解 し て み よ う.こ
に 含 まれ る 元 の 個 数 が つ ね にpの ら,Mの
か ら,gAも
元 の 個 数(1)がpの
し た が っ て,少
な く と も1つ
の と きすべ て の軌 道
倍 数 と な っ て し ま う こ と は な い.も
倍 数 と な っ て し ま い,(!)に のA∈Mが
存 在 して,Aを
し そ うな
反 す る こ と に な る. 含 むG-軌
道G(A)に
含 ま れ る(Mの)元
の 個 数 がpと
目 す る こ と に し よ う.Aの わ す と,前
素 で あ る よ う な も の が 存 在 す る.こ
固 定 部 分 群 をGA,G(A)の
講 の(5)か
のAに
元 の 個 数 を│G(A)│と
注 表
ら │G│=│GA│×│G(A)│
と な る.│G(A)│はpと
素 だ か ら,両
くて は な ら な い こ と が わ か る.特
辺 を 見 比 べ て,│GA│はpmで
割 りきれ な
に
│GA│≧pm
(2)
で あ る. 一 方,Aの
元x0を1つ
固定 して 対 応 GA∋g→gx0∈A
を 考 え て み る.右 か ら で あ る.ま
辺 でgx0∈Aと
たg≠g′
か い た の は,gがAの
な らば,gx0≠g′x0で │GA│≦Aの
が 得 ら れ た.(2)と
固 定 部 分 群 に 属 して い る
あ る.し
た が っ て この こ とか ら
元 の 個 数=pm
合わ せ て │GA│=pm
これ でGAが,位 も っ と も,証
数pmのGの
部 分 群 と な る こ とが 証 明 さ れ た.
明 が 終 っ た と い っ て も(!)の
証 明 が 残 っ て い る.そ
の証 明 を与
え て お こ う. 【(!)の
証明】
(3) 仮 定 か らkはpと 分 母,分
素 で あ る.こ
子 か らで て く るpの
の と き右 辺 がpと
べ キ を み て み よ う.pは
に 現 わ れ る 各 因 数 の 中 に 含 ま れ て い るpの ら,分
子 の 最 初 に あ るkか
pm−l,kpm−lの ら,こ
中 にpの
素 で あ る こ と を 示 す と よい.
ら はpの
素 数 だ か ら,分
ベ キ を み る と よ い.kはpと
ベ キ は で て こ な い.次
べ キ が 現 わ れ る の は(右
辺 最 初 のpmは
れ を 除 く と) l=psl′,1≦s<m,l′
の と き で あ っ て,こ
の と き 分 母 の 因 数pm−lは
に 分 母,分
はpと
素
母,分
子
素 だ か 子 の因 数
打 消 し合 うか
pm−l=ps(pm−s−l′) と な り,分
子 の 因 数kpm−lは kpm−l=ps(kpm−s−l′)
とな る.右
辺 の カ ッ コ の 中 は,pと
素 で あ る.し
に 打 消 し合 っ て 結 局 全 体 と し て,(3)の
た が っ て 分 母,分
子 のpsは
互い
右 辺 は 素 因 数pを
含 ま な い.こ
れ は証
素 数,pとlは
互 い に 素)と
す ると
明 す べ き こ と で あ っ た. 【定 義 】 有 限 群Gの き,位
数pmのGの
位 数 を│G│=pml(pは 部 分 群 を,Gの
い ま証 明 し た こ と は,任
シ ロー 群(正
確 に はp-シ
ロー 群)と
い う.
意 の有 限 群 に は シ ロー群が 存 在す る と い う こ と で あ
る. p− シ ロ ー 群 は 一 般 に は1つ 数 は1+kpと
と は 限 らな い.も
し1つ
表 わ さ れ る こ とが 知 られ て い る.な
互 い に 共 役 で あ る と い う関 係 も あ る(2つ い て は,第17講
以 上 あ る と す れ ば,そ
お 異 な るp-シ
の個
ロー 群 の 間 に は
の 部 分 群 が 共 役 で あ る と い う関 係 に つ
参 照).
Tea
Time
シロー につ い て シロー(Sylow)は
ノ ル ウ ェ イ の 数 学 者 の 名 前 で あ る.ノ
な 数 学 者 ア ー ベ ル(1802-1829)を 1872年
に,有
の 論 文 の 中 で シ ロー は,こ
式 の ガ ロ ア 群 の 位 数 が 素 数 の ベ キ な らば,こ
を,明
こ に 述 べ た シ ロー 群 に 関 す る
よび さ ら に一 般 的 な い くつ か の 定 理 を 証 明 し た.そ
し て い る.ガ
ル ウェ イ は か の 有 名
ロ ー(1832-1918)は,
限 群 の 構 造 論 に と っ て 記 念 す べ き論 文'置 換 群 に つ い て の い くつ か
の 定 理′ を 著 わ し た.こ 定 理,お
生 ん だ 国 で あ る.シ
数方程
の方 程 式 は代 数的 に解 け る こ とも示
ロ ア の 難 解 な 謎 め い た 論 文 を 読 ん で,ジ
る い 光 の 中 に と り 出 し た の は,1869年
の 中 に は,代
ョル ダ ン が 置 換 群 の 理 論
の こ とで あ った か ら,こ
の わ ず か3
年 後 に 発 表 さ れ た シ ロー の 仕 事 が い か に 先 駆 的 な も の で あ っ た か が わ か る. シ ロ ー 自 身 は,置 の1887年
に,フ
換 群 の 形 で 一 連 の 定 理 を 述 べ て い た の で あ っ た が,15年
ロベ ニ ゥ ス が 論 文'シ
ロ ー の 定 理 の 新 し い 証 明'の
の 有 限 群 は 置 換 群 の 中 に 表 現 され る こ と を 注 意 し て,シ
中 で,任
ロー の 定 理 を,一
後 意
般の有
限 群 の 高 み に 上 げ た の で あ る. つ い で に述 べ て お く と,群 ロ ネ ッ カ ー(1870)で
を 公 理 の 形 で 最 初 に 述 べ た の は,可
あ り,一
群 に 対 し て も ウ ェ ー バ ー(1893)で
換 群 の ときは ク
般 の 有 限 群 に 対 し て は ウ ェ ー バ ー(1882),無 あ っ た と さ れ て い る.
限
第15講 位 数 の 低 い群 テー マ ◆ 群 の直 積 ◆ 巡 回群 の直 積 ◆ 正2面 体 群Dn ◆ 位 数2pの
群(p:素
数 ≠2)
◆ 位 数p2の 群(p:素 ◆4元
数)
数 群Q
◆ 位 数8の 群 ◆(Tea
Time)位
数 ≦39ま で の異 な る群 の個 数
ま っ た く抽 象 的 な 公 理 を 出 発 点 と し て ス タ ー トし た 群 が,一 に よ っ て 規 制 され,ど こ と で あ る.し 題 と な る.こ お こ う.そ
体,ど
ん な 群 が 現 実 に 登 場 し て く る か とい う こ とは,興
か し こ の よ うな こ とは,一
の程 度公 理 味のある
般 に は,見
当 もつ か ぬ よ うな難 しい 問
こで は 特 別 な 位 数 を も つ 群 に つ い て,こ
れ に関 連 す る ことを述 べ て
の 前 に 群 の 直 積 と,正2面
体 群 に つ い て 触 れ て お く.
群 の 直
2つ の 群G,Hが
与 え られ た と き,集
積
合 として の直 積
G×H={(g,h)│g∈G,h∈H} の 中 に,群
の演 算 を (g,h)・(g′,h′)=(gg′,hh′)
と し て 定 義 し た も の を,GとHの
直 積 とい い,や
の 単 位 元 を そ れ ぞ れe,e′ と す る と,G×Hの の 逆 元 は(g−1,h−1)で G,Hが
表 わ す.GとH
単 位 元 は(e,e′)で あ り,ま た(g,h)
与 え られ る.
と も に 有 限 群 の と き は,位
は りG×Hで
数 につ い て は
│G×H│=│G││H│ が 成 り立 つ.
巡回群 の直積
位 数mの 巡 回 群Zmと
位 数nの 巡 回群Znの
に な らな い.Zm×Znが
再 び 巡 回群 とな る条 件 を 明 らか に して お こ う.
Zm×Znが
直 積Zm×Znは,一
般 には巡 回群
巡 回群 とな るため の必 要 か つ 十 分 な条 件 は,mとnが
互い
に 素 な整 数 とな っ てい る こ とで あ る. 【証 明 】Zm,Znは
い ま ま で 加 群 の 形 で か い て き た が,こ
法 群 の 形 で 表 わ す こ と に し よ う.Zm,Znの
こで は そ れ と同 型 な 乗
生 成 元 をa,bと
すると
Zn={e,a,a2,…,am−1},am=e Zn={e′,b,b2,…,bn−1},bn=e′ で あ る. い ま,mとnを
互 い に 素 とす る.こ
の と き これ ら の 生 成 元a,bを'座
る 元C=(a,b)∈Zm×Znは,Zm×Znを mとnは
標'と
す
巡 回 群 と し て 生 成 す る こ と を 示 そ う.
素だか ら mk+nl=1
を み た す整数k,lが
存 在 す る.こ
の とき
cnl=(anl,bnl)=(a1−mk,e′)=(a,e′) Cmk=(amk,bmk)=(e,b1−nl)=(e,b) し た が っ て,cか
ら 生 成 さ れ るZm×Znの
し た が っ て ま たZm×{e′},{e}×Znを てZm×Znの
巡 回 部 分 群 は(a,e′),(e,b)を 含 む.こ
す べ て の 元 が 得 られ る の だ か ら,結
群 は,Zm×Znと
一 致 し な くて は な らな い.
逆 に,mとnが
互 い に 素 で な い とす る.mとnの
の2つ 局,cか
と お く・ こ の と きZm×Znの
任 意 の 元(a,b)に
の 群 に属 す る元 の積 と し ら 生 成 さ れ る巡 回 部 分
共 通 の 約 数 をd(>1)と
m′=m/d′n′=n/d 対 し
含 み,
し
し た が っ て,Zm×Znの m′dn′<mnだ
任 意 の 元 の 位 数 は,m′dn′
か ら,Zm×Znは
とな る 元 の 位 数 はmnで
巡 回 群 に は な り得 な い(巡
た は 小 さ い.
回 群 な らば,生
成元
あ る!).
正2面
平 面 上 の 正n角
に 等 し い か,ま
形 を,空
体 群Dn(n≧3)
間 の 中 に お い て,こ
の 正n角
形 の形 を 不 変 とす る よ う
な 空 間 の 回 転 全 体 の つ く る群 を 正2面
体 群 と い い,Dnで
る'と
い うい い 方 に 多 少 の注 が あ っ て も よ い か も
い うい い 方 と,'正2面
し れ な い.正n角 を 保 つ'と て,裏
を不 変 にす
形 を 空 間 に お く と,表 側 だ け で は な くて 裏 側 も見 え て くる.'形
か い た の は,正n角
形 を,対
称 軸 の ま わ り に ぐ る り と πだ け ま わ し
返 し にす る 変 換 も 含 まれ て い る と い う こ と で あ る(図27)・'正2面
か い た の は,厚 正n角
体'と
表 わ す.'形
さ は な い が,表
体'と
と裏 の 面 が あ る こ とを 示 唆 し て い る.
形 の 中 心 を 回 転 の 中 心 とする2π/nの 回 転 σか ら 生 成 さ れ た 巡 回 群(位
図27
数
n)は,明
らか にDnの
数 な ら ば,相
部 分 群 と な っ て い る.一
正n角 か,一
の2n個
返 し に す る に は,nが
対 す る 頂 点 を 結 ぶ 対 称 軸 の ま わ りに,nが
点 と辺 の 中 点 を 結ぶ 対 称 軸 の まわ りに,π の 回 転 の1つ
方,裏
奇 数 な ら ば,相
だ け 回 転 す る と よい(図27参
偶
対 す る頂 照).こ
を τ とす る.
形 の 形 を 保 つ 回 転 は,表
度 τで 裏 返 し て,同
と 裏 を そ の ま ま 保つ,2π/nの
様 の 回 転 を す る か だ け で あ る.そ
回転 の繰 り返 し の こ と か ら,Dnは
の 元 か ら な る 群 で あ る こ とが わ か る.σ と τは σn=e,τ2=e,σ
τστ=e
を み た し て い る. D5と
実 質 的 に は 同 じ群 は,す
で に 第2講
の'回
転 と反 転'の
と ころで 登場 し
て い る こ と を 思 い 出 し て お こ う.
位 数 が14ま
位 数1の 第9講
で の 群
群 は 単 位 元 だ け か ら な る群 で あ る. の 定 理 か ら,位
数 が 素 数 の群 は 巡 回 群 で あ る.し
た が っ て,位
数が
2,3,5,7,11,13 の 群 は 巡 回 群 で あ る.一
般 に 素 数pに
対 し て,同
型 を 除 け ば,位
数pの
群 はZp
だ け で あ る. 以 下 で,位
数6,10,14の
群 と,位 数4,9の
群 を,よ
り一 般 的 な 立 場 か ら決 定 し
よ う. また,位
数8と
位 数12に
対 し て は,ど
述 べ る こ と に し よ う(位 数12の
の よ うな 群 が あ る か,そ
群 に つ い て は,Tea
位 数2pの
群(p≠2は
Timeで
の 結果 だ け を
述 べ る).
素 数)
次 の 定 理 が 成 り立 つ.
【定 理 】p(≠2)が
素 数 の と き,位
数2pの
群 は,巡
回 群Z2pか,正2面
体 群D2p
で あ る.
こ の 定 理 に よ って,位 =7の
と き)の
【証 明 】Gを
数6(p=3の
位2pの
の 中 に 位pの
群 と す る.第13講
元gと,位
群 をと
と き),位
数10(p=5の
と き),位
数14(p
群 が 決 定 さ れ た こ とに な る.
数2の
元hが
か く こ と に す る と,部
で 述 べ た コ ー シ ー の 定 理 に よ っ て,G 存 在 す る.gか
分 群に
た が っ てGの
の巡 回
よ る右剰 余類 へ の分解 に よ って
G=+h と表 わ さ れ る.し
ら生 成 さ れ たp次
(1)
元 は
e,g,g2,…,gp−1,h,gh,g2h,…,gp−1h か ら な る こ とが わ か る. ラ グ ラ ン ジ ュの 定 理(第8講)か っ て い ま の 場 合,2か2pかpで (ⅰ) ghの
位 数 が2の
ら,ghの あ る.そ
位 数 は│G│の
約 数 で あ り,し
たが
れ ぞ れ の 場 合 に わ け て 考 え て み よ う.
とき
この とき は ghgh=e とな り,Gは
正2面
体郡D2pと
な る(正
確 に は 同 型 と な る.し
か し以下 で一 々
こ の こ と は 断 ら な い). (ⅱ) ghの 位 数 が2pの
とき
こ の と き は,Gは,ghか (ⅲ) ghの h〓だ
位 数 がpと か ら,Gは
ら生 成 さ れ た 巡 回 群Z2pと な る こ とは ない 左 剰余 類 に よ って G=+h
と 表 わ さ れ る.(1)と
な る.
(2)
見比 べ て h=h
が 成 り立 つ こ とが わ か る.す
な わ ち,集
(3) 合 として
{h,gh,g2h,…gp−1h}={h,hg,hg2,…,hqp−1} が 成 り立 つ.し だか ら
た が っ て,も
しghの
位 数 がpで
あ っ た と仮 定 す る と,(gh)p=e
=(gh)p=ghghgh…gh =hghgh…gh
(g=に
=hghgh…gh
((3)に
=hhgh…gh
(g=に
=h2gh…gh
((3)に
=hp=h (2)を
(ghはp個)
(pが
奇 数 で,hの
見 て もわ か る よ うに,とhに
矛 盾 で あ る.し
た が っ て,ghの
(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)に
よ る) よ る)
よ る)
位 数 が2)
は 共 通 な 元 が な い の だ か ら,こ
位 数 はpで
よ っ て,定
よ る)
れは
は な い.
理 は 完 全 に 証 明 さ れ た.
位 数p2の
群(pは
素 数)
次 の 定 理 が 成 り立 つ.
【定 理 】pが
素 数 の と き,位p2の
こ の 定 理 に よ っ て,位
群 は,巡
数4(p=2の
回 群Zp2か,Zp×Zpで
と き),位
数9(p=3の
あ る.
と き)の
群 が 決定
で も あ れ ば,Gは
巡回群
さ れ た こ と に な る. 【証 明 】 群Gの
位 数 をp2と
す る.位
数p2の
元 が1つ
と な る. そ うで な い 場 合 を 考 え よ う.そ の と き に はGの pを
もつ こ と に な る.第14講
必 ず 含 む.そ
の 元 をgと
の 定 理 か ら,Gの
し,次
単 位 元e以 中 心Zは,単
外 の 元 はす べ て位 数 位 元e以
外 の元 を
に
={e,g,g2,…,gp−1} に 属 さ な い 元hを
と る.こ
の と き2つ
の 部 分 群との
共 通 元 はeだ
けで
あ る. な ぜ な ら,も
し,gm=hn(1≦m,nq)の
ら ば 巡 回 群 だ け,p≡1(modq)な
つ か らな る こ と が 知 ら れ て い る.講 を 合 わ せ る と,位 こ と に な る.
数 ≦39ま
らば,巡
積 の と き に は,p〓1(mod 回 群 と も う1つ
義 の 中 で 述 べ た こ と と,上
で の 群 に 対 し て は,同
の非 可 換 群 の2
の 表 と,こ
の結 果
型 で ない 群 の個 数 が わか った
第16講 共
役
類
テー マ
◆ 共 役類 と中 心 化群 ◆ 置換 を 巡 回置 換 の積 とし て表 わ す. ◆ 巡 回置 換 とし て の表 わ し方 ◆S7の
元 の共 役 類
◆(Tea
Time)Snの1つ
の元 の共 役 類 に 含 まれ る元 の個 数
共役類 と中心化群 この 講で は,群Gの
自分 自身 の上 へ の両 側 か らの働 き λg(h)=ghg−1
を考 え る こ とに し,G-軌
道 とい うとき にはす べ て この 働 きに 関す る も の と す る
(第12講 参 照). 【定義 】a∈Gに
対 し,aを
含むG-軌 道 に属 す る元 をaに 共 役 な元 とい う.aに
共 役 な元 全 体 のつ くる集 合 を,aの るに,aを
共 役 類 といい,C(a)で
表 わす.C(a)は
要す
含むG-軌 道 であ る.す なわ ち b∈C(a)⇔
あ るgが
あ っ てb=gag−1
で あ る. C(a)の
一 般 的 な 性 質 は 軌 道 と し て の 性 質 か ら 導 か れ る の で あ る が,念
記 し て お こ う.b∈C(a)な
ら ば,a∈C(b)で
あ る こ とを 注 意 し て お こ う.実
b∈C(a)⇒b=gag−1⇒g−1bg=a ⇒g−1(g−1)−1=a⇒a∈C(b) ま たb∈C(a),c∈C(b)な
ら ば,c∈C(a)で
のた め
あ る.実
際,
b=gag−1,c=g′bg′−1⇒c=g′ga(g′g)−1
際,
とな る. さ て,元aの
共 軛 類C(a)が,aだ
gに 対 し て,gag−1=aが
け か ら な る とい う こ とは,Gの
成 り立 つ と い う こ と,す
すべ ての 元
なわ ち
ga=ag,g∈G が 成 り立 つ とい う こ と で あ る.第14講
で 述 べ たGの
中 心Zの
定 義 を み る と,こ
の こ とは C(a)={a}⇔a∈Z
と い っ て も よ い. 共 役 類 はG-軌
道 そ の も の な の だ か ら,G-軌
道 に よ るGの
G=∪a∈Z{a}∪C′(b)∪C′(c)∪ の 形 と な る.こ
こ でC′(b),C′(c)な
ど は,少
分 解 は,い
まの場 合
…
な く と も2つ
の元 を含 む共 役 類 を
示 し て い る. Gの
任 意 の 元 を と り,そ れ をaで
の 固 定 部 分Caは
λg(a)=aな
表 わ そ う.考 え て い るGの
る元g全
体,す
働 き λgに対 し,a
なわち
Ca={g;ga=ag} で 与 え られ る. 【定 義 】Caをaの a≠eの
中 心 化 群 とい う.
と き,Caは
少 な く と もeとaは
含 ん で い るか ら│Ca│≧2で
あ る こ とを
注 意 し て お こ う. Gが
有 限 群 の と き に は,軌
道 の一般 論 に したが え ば
│G│=│Ca│×(C(a)に
だ か ら,aの
含 ま れ る元 の 個 数)
中心 化群 が 大 き くな る と,aの
合,中 心 化群 がGに
な る と,C(a)はaだ
の 中 心化 群 が小 さ くな る と,aの
(1)
共役 類 は 小 さ く な り― け とな り(a∈Zの
極 端 な場
とき)―,逆
にa
共 役類 は 大 き くな る.
置 換 を 巡 回置 換 の 積 と して 表 わ す 対 称群Snの
場 合 には,1つ
の元 の共 役類 が どの よ うな もので 与 え られ るか を,
明 示 す る こ と が で き る.以
下 で この こ とを 述 べ て み た い の で あ るが,こ
か ら共 役 類 と い う概 念 が どの よ うな 考 え 方 に 根 ざ し て い る か,も
の話 の 中
う少 し は っ き り
と し て く る の で は な い か と思 う. Snの 元 は,{1,2,…,n}の
置 換 か ら な る.
共 役 類 を 決 め る た め に は,置
換 を 巡 回 置 換 の 積 と し て 表 わ す と い う表 わ し 方 が
大 切 な 役 目を 演 ず る こ と に な る.し
か し,nが
一 般 の 場 合 に 述 べ る と,簡
と が か え っ て わ か りに く くな る か も しれ な い.こ 7}の
こ で はn=7の
単な こ
と き,{1,2,…,
任 意 の置 換
は巡 回 置 換 の積 と して表 わ され る ことを説 明 し よ う. まず い くつか の 例 をか く.
(ⅰ)
(ⅱ)
(ⅲ)
(ⅳ)
右 辺 に か い て あ る の が,巡
回 置 換 の 表 わ し方 で,(ⅰ)は,左
1→2→3→4→5→6→7→1 とい う順 で,す
な わ ち1を2に
お きか え,2を3に
辺 の置 換 が
(戻 る) お き か え,…
とい う よ うに,
進 行 す る こ とを 意 味 し て い る. (ⅱ) は,左
辺 の 置 換 が,2つ
→2(戻
ら な る こ とを 意 味 して い る.7は,動
る)か
の サ イ ク ル1→3→6→4→1(戻
る)と2→5
か さ れ な い か ら,右
辺のサ
イ クル の 表 示 の 中 に は 記 し て い な い. (ⅲ) の 置 換 は,3つ な る.
の サ イ ク ル1→3→1,2→4→2,5→6→7→5か
ら
(ⅳ)の
置 換 は,2つ
の サ イ ク ル1→7→5→1,2→6→4→3→2か
らな
る. S7に 属 す る ど の よ うな 置 換 も,こ こ と は 明 らか だ ろ う.1つ ろ で1つ
の サ イ ク ル―
の よ う に'巡
の 数 を,順
回 置 換'の
積 として 表わ され る
々 に お きかえ て い っ て,も
巡 回 置 換―
が 終 る の で あ る.次
な い 数 か ら 出 発 し て 同 じ こ とを 繰 り返 す.こ
とに戻 った と こ
に この サ イ クル に属 さ
の よ うに し て,任
意 の 置 換 は,ど
の
2つ も共 通 の 文 字 を も た な い 巡 回 置 換 の 積 と し て 表 わ さ れ る. 一 般 に,巡 い う.た
回 置 換 を(i1
i2…ik)と
とえ ば(ⅲ)は,2つ
表 わ し た と き,こ
の2次
の 巡 回 置 換 と,3次
れ をk次
の巡 回置 換 と
の 巡 回置 換 の積 として
表 わ さ れ て い る.
巡 回 置 換 と し て の 表 わ し方
簡 単 な こ とだ が,次 (a)k次
の こ とを 注 意 し て お こ う.
の 巡 回 置 換 を 表 わ す 表 わ し 方 はk通
こ こ で い っ て い る こ と は,た
と え ば4次
りあ る.
の 巡 回 置 換(1356)を
表わ す 表 わ
し方 は (1 3 5 6),(3 の4通
5 6 1),(5
り あ る と い う こ と で あ る.確
6→1の
6 1 3),(6
1 3 5)
か に こ の 表 わ し 方 の す べ て は,1→3→5→
置 換 の サ イ クル を 表 わ し て い る.
一 般 に,k次
の巡 回置 換 は (i1 i2 i3…ik)=(i2 i3…ik
とk通
i1)=(i3…ik
i1 i2)=…
り に 表 わ さ れ る.
(b)
1つ の 置 換 を,巡
回 置 換 の 積 と し て 表 わ す と き,積
の 順 序 を と りか え て
も結 果 は 変 わ ら な い. こ こ で い っ て い る こ と は,た
と え ば(ⅱ)で
(1 3 6 4)(2 が あ り,(ⅲ)で (1 3)(2 =(1
3)(5
は,6通 4)(5
5)=(2
は2通 5)(1
りの 表 わ し 方
3 6 4)
りの 表 わ し 方 6 7)=(2
6 7)(2
4)=(5
4)(1
3)(5
6 7)(1
6 7)=(2
3)(2
4)=(5
4)(5
6 7)(1
6 7)(2
4)(1
3) 3)
が あ る と い う こ と で あ る. こ の こ と も,各 か ら,明
サ イ ク ル ご と の 置 換 が 指 示 さ れ れ ば,全
体 の置 換 が決 ま るの だ
らか な こ と で あ る.
す ぐに 確 か め ら れ る こ と だ が,1つ し方 の 多 様 性 は,(a)と(b)だ こ の こ とか ら,改
の 置 換 を 巡 回 置 換 の 積 と し て 表 わ す,表
わ
け か ら 生 じて い る.
め て(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ),(ⅳ)の
置 換 を み る と,
(ⅰ) を 巡 回 置 換 と し て 表 わ す 表 わ し 方 は7通
り
(ⅱ) を 巡 回 置 換 と し て 表 わ す 表 わ し 方 は 4×2×2=16通
り
(ⅲ) は 22×3×3!通
り
3×4×2通
り
(ⅳ) は
あ る こ と が わ か る.
S7の
元 の 共 役 類
(ⅲ) の 置 換 σ=(1
3)(2
4)(5
6 7)
の共 役類 が どの よ うな 置 換 か らな るか考 え て み よ う.そ の ため τ∈S7を 任 意 に と って
と お く. そ の と き,τ στ−1がどの よ うに 表 わ され る か み た い の で あ る が,そ よ うな 表 を か い て お く と よ い か も しれ な い.
れ に は次 の
こ の 表 の1行
目 は た と え ば 次 の よ う に読 む.τ−1に よ っ て,i1,i3は
3に お き か わ る.次
に σ に よ っ て1,3は3,1へ
3はi3へ,1はi1へ
とお き か わ る.最
そ れ ぞ れ1,
後 に τに よ っ て
と巡 回 的 に お き か わ る.
結 局 τστ−1は τ(13)(24)(567)τ−1=(i1
i3)(i2 i4)(i5 i6 i7)
で あ る こ と が わ か っ た. す な わ ち,σ を τ に よ っ て 変 換 し た も の は,巡 にkをikに 逆 に2つ 換,た
回 置 換 と し て 表 わ し た と き,単
お き か え た も の に す ぎな い の で あ る. の2次
の 巡 回 置 換 と1つ
の3次
の巡 回 置 換 の積 と して表 わ さ れ る 置
とえば σ=(5
7)(6
4)(1
は,σ の 共 役 類 に 入 っ て い る こ と が わ か る.実
2 3) 際 τ と して
を と る と,τ στ−1=σで あ る. こ の よ う に し て,S7の わ し 方 の1つ
共 役 類 は,巡
の タ イ プ と完 全 に1対1に
(ⅰ):(1234567)の
回 置 換 の 積 と し て 表 わ し た と き,そ 対 応 す る こ と が わ か る.た
共役 類 は (i1i2i3i4i5i6i7)
と表 わ され る置 換 全 体 か らな る. (ⅱ):(1364)(25)の
共役類は (i1i2i3i4)(i5i6)
と表 わ さ れ る 置 換 全 体 か ら な る. (ⅲ):(175)(2643)の
共役類は (i1i2i3)(i4i5i6i7)
と表 わ さ れ る置 換 全 体 か ら な る.
とえば
の表
Tea
Snの1つ
Time
の 元 の共 役 類 に含 まれ る元 の個 数
せ っか く こ こ ま で 話 し た の に,S7の に も 惜 し い の で,一
般 のSnの
場 合 だ け で 話 を と め て し ま う の は,い
場 合 に,1つ
の 置 換 σ(∈Sn)の
ん な 式 で 表 わ さ れ るか を 示 し て お こ う.σ を,異 回 置 換 の 積 と し て 表 わ す と き,そ の 順 序 は 関 係 し な い か ら,ま
な る文 字 だ け し か 現 わ れ な い 巡
れ ぞ れ の 巡 回 置 換 を ど こに お くか,す
ず2次
の 巡 回 置 換,次
に3次
の 巡 回 置 換,次
の 巡 回 置 換 と,順
次 この よ う に 積 が 現 わ れ る よ う に 並 べ か え て お く.ま
う は 記 さ な い,動
か さ れ な い 元(1次
σの 共 役 類 は,巡
か
共 役 類 の個 数 が ど
の 巡 回 置 換!)も
なわ ち 積 に4次 た,ふ
つ
か い て お く こ と に す る.
回 置 換 を 表 わ す タ イ プ だ け で 決 ま るか ら,σ
の タ イ プ を この
よ う に 整 理 し て 表 わ す と,σ の タ イ プ は
(*) と表 わ さ れ る.こ
こでa1,a2,…,anの
の 表 示 で,akの
部 分―k次
束 の も と で,上
の 表 示 は,置
中 に は0の
の 巡 回 置 換― 換 σは,a1個
も の もあ る.akが0な
は1つ
らば,上
も 現 わ れ な い とす る.そ
の 元 は 動 か さ ず,2次
の巡 回置 換 を
a2個,3次
の 巡 回 置 換 をa3個,…
含 ん で い る こ とを 意 味 し て い る.
さ て,こ
の タ イ プ に 属 す るSnの
元 が ど れ だ け あ るか が わ か れ ば,そ
共 役 類 の 個 数 とい う こ と に な る.{1,2,…,n}を り―
そ の 順 で,(*)の
の約
れ が σの
い ろ い ろ に 並 び か え て―n!通
カ ッ コ の 中 に 配 置 す る と,σ と 同 じ タ イ プ を も つ 置 換 が
得 られ る. た とえ ば'並
び か え'
に対 して は i1i2…ia1(ia1+1ia1+2)…(ia1+a2+1…)… と 配 置 す る の で あ る. こ の と き,{1,2,…,n}の は.同
並 べ 方 と し て は 違 うけ れ ど,(*)に
じ置 換 を 表 わ す も の が い くつ あ る か を 調 べ て み る と よい.
配置 した とき に
まず,最
初 のa1の
と ころ で,1つ
の 並 べ 方 をa1!通
り入 れ か え て も,置
換 と
し て は 変 わ ら な い. 次 に2次
の 巡 回 置 換 の と ころ で は,カ
a2個 の そ れ ぞ れ の カ ッ コ の 中 で(i1 り,全
体 と し て,1つ
ッ コ の 順 番 を と りか え る と こ ろ でa2!,
i2)を(i2
だ け 入 れ か え て も,置 同 様 に 考 え る と,3次 り,a3個
り
換 と し て は 変 わ らな い. の 巡 回 置 換 の と こ ろ で は,カ
の そ れ ぞ れ の カ ッ コ の 中 で{i1 i2
入 れ か え る こ と で3通
り,合
ッコの順 番 の 入れ か えか ら
i3)を{i2 i3 i1),(i3
i1 i2)と
わ せ て全 体 で 3a3a3!通
が,1つ
入 れ か え て よ い か ら2a2通
の並 べ 方 を 2a2a2!通
a3!通
i1)と
り
の 置 換 を 表 わ し て い る.
この よ う に して 結 局,n!の
並 べ 方 を(*)に
a1!×2a2a2!×3a3a3!× だ け 重 複 し て,1つ は,ak!=0!=1と
配 置 し た と き,そ
れ ぞれ が
… ×nanan!
の 置 換 を 表 わ し て い る こ とが わ か る.こ
こでak=0の
ときに
お い て あ る.
こ の 結 果 に よ っ て 私 た ち は,σ
の共 役類 に属 す る置 換 の総 数 が
とな る こ とが わ か った の で あ る.講 義 を参 照 してみ る と,こ の分 母 に 現わ れ た 数 は,ち
ょ うど σの 中心 化群Cσ の位数 を与 え て い る こ ともわ か る.
第17講 共役 な部分群 と正規部分群 テ ーマ
◆ 群 の部分群の集合の上への働 き ◆ 共役な部分群,正 規化群 ◆ 正規部分群 ◆ 正規部分群 による商群 ◆ 可換群 の場合
群 の部 分 群 の 集 合 の 上 へ の 働 き
群 は,実
に い ろ い ろ な と こ ろ に 働 くの で あ る.
い ま群Gが
与 え られ た と し,Gの
に 属 す る 元(Gの
部 分 群 全 体 のつ くる集 合 を 〓
部 分 群!)Hに
対 し,Gの
とす る.〓
働 きを
g:H→gHg−1 と定 義 す る と,Gは
〓
に 働 い て い る の で あ る.
こ こ で,gHg−1と
か い た の は,も
ちろん
ghg−1 と表 わ され る,Gの 実 際Gの
〓
(h∈H)
元 全 体 か ら な る 部 分 集 合 を 表 わ し て い る.上
のgの
上 へ の 働 き とな っ て い る こ と を 示 す に は,gHg−1が,再
働 き が, びGの
部
分 群 とな っ て い る こ とを み る と よ い. a1,a2∈gHg−1と
す る と,a1=gh1g−1,a2=gh2g−1と
表 わ さ れ,し
た が って
a1a2=gh1g−1gh2g−1=gh1h2g−1∈gHg−1 ま たa∈gHg−1と
す る と,a=ghg−1(h∈H)と
表 わ さ れ て い る.し
a−1=(ghg−1)−1=gh−1g−1∈gHg−1 こ の よ う に して 前 講 で 考 察 し た,G上
へ のGの
λg(h)=ghg−1
働 き
たがって
は,そ
の ま ま,部
が っ て,前
分 群 の つ くる 集 合 〓 上 へ の 働 き も与 え て い る の で あ る.し
講 で 述 べ た 概 念 の い くつ か は,同
た
様 な 形 で 部 分 群 に対 し て も成 り立 つ
こ と に な る. Gの
元aに
対 し て 共 役 で あ る元,と
い う概 念 に 対 応 す る も の は 次 の よ う に な
る. 【定 義 】Gの
部 分 群Hに
分 群 を,Hに
共 役 な 部 分 群 で あ る とい う.
Gの
対 し,適 当 なGの
〓 へ の 働 き に 対 し,Hの
元gを
軌 道 は,Hと
と る とgHg−1と
表 わ され る部
共 役 な 部 分群 全 体か らな っ て い
る. Gの
元aの
中 心 化 群Caに
対 応 す る概 念 は 次 の よ うに な る.
【定 義 】N(H)={g│gHg−1=H}と N(H)は,Gの h∈Hな
お き,N(H)を,Hの
〓 へ の 働 き に 対 し,Hの
ら ば,hHh−1=Hは
N(H)に
属 し て い る.し
正 規 化 群 と い う.
固 定 部 分 群 と な っ て い る.ま
明 らか だ か ら(Hは
部 分 群!),Hの
た,
元 は す べ て
たが って H⊂N(H}
(1)
で あ る. Gが
有 限 群 な らば,N(H)は
も ち ろ ん 有 限 群 で あ っ て,前
講 の(1)に
対応
して │G│=│N(H)│×(Hに
共 役 な 部 分 群 の 個 数)
(2)
と い う関 係 が 成 り立 つ. (1)と(2)に
よ り,次
{Hに
こ こで│G:H│はGのHに な ら(1)か
の 結 果 が 得 られ る.
共 役 な 部 分 群 の 個 数}≦│G:H│
よ る指 数 で あ る(第8講,Tea
ら │H│≦│N(H)│
で あ り,一 方 │G│=│H│×│G:H│
(3)
Time参
照).な
ぜ
が 成 り立 つ か ら,(2)と
見 比 べ て(3)が
成 り立 つ こ とが わ か る.
正 規 部 分 群
Gの
〓 へ の 働 き で,特
に 軌 道 が1つ
の 元 か ら な る も の が 重 要 で あ る.そ
れは
次 の 定 義 で 述 べ られ て い る正 規 部 分 群 に ほ か な ら な い. 【定 義 】Gの
部 分 群Hで,す
べ て のg∈Gに
対 して
gHg−1=H が 成 り立 つ と き,HをGの
正 規 部 分 群 とい う.
ま ず 簡 単 な 注 意 を 与 え て お こ う.一 般 にGの2つ
の 部 分 集 合A,Bが
あ った と
き Ag={ag│a∈A},Bg={bg│b∈B} とお く と, A⊂B⇒Ag⊂Bg,gA⊂gB で あ る.ま
た 明 らか に A=B⇒Ag=Bg,gA=Bg
さ て,HをGの
正規 部 分 群 とす る と gHg−1=H
が 成 り立 つ が,こ
の 両 辺 に 右 か らgを
(4) か けて
gH=Hg と な る.逆
に(5)の
(4)と(5)を
(5)
両 辺 に 右 か らg−1を か け る と(4)が
得 ら れ る.
合わせて
HがGの
正規 部 分 群 ⇔
すべ て のgに 対 して gH=Hg
が 得 られ た. な お,正
規 部 分 群 の 定 義 は,見
か け 上 少 し 弱 く,す べ て のg∈Gに gHg−1⊂H
と か い て も よ い.な
ぜ な ら,こ
の 式 をg−1に 適 用 す る と g−1Hg⊂H
対 して
が 得 ら れ て,こ
れ か ら逆 の 包 含 関 係 H⊂gHg−1
も 得 られ る か らで あ る.
G/Hは
上 の(5)で
述 べ た こ とは,HがGの
余 類 は,gを がGの
群 と な る
含 むHの
正 規 部 分 群 の と き,gを
含 むHの
右 剰 余 類 と 一 致 す る と い う こ とで あ る.し
正 規 部 分 群 の と き に は,右,左
左剰
た が っ て,H
を つ け な く て 単 に,GのHに
よる剰 余類
と い っ て も よ い こ と に な る. さ て,こ
の ことか ら aHb=abH
(6)
が 成 り立 つ. この 式 を も う少 し丁 寧 に か く と次 の よ うに な る.Hbか か らあ るh′∈Hが aHb⊂abHと
存 在 し て,hb=bh′
な る.同
と な る.し
様 に し てaHb⊃abHも
ら 元hbを
と る と,(5)
た が っ てahb=abh′
いえ るか ら,こ
れ で(6)が
と な り, 成 り
立 つ こ とが わ か る. 一般 に Hが
部 分 群 な ら ば,H2=Hが
成 り立 つ.
この 表 わ し 方 も簡 単 に す ぎ るか も し れ な い.H2と H2=HH={hh′│h,h′ の 意 味 で あ っ て,H2はHか
ら と っ た2つ
か いた の は
∈H} の 元 の 積 と し て 表 わ され る,元
の集 合
で あ る. 【証 明 】 単 位 元eはHに
含 ま れ て い る か ら,h∈Hに
対 し
h=he∈H2 し た が っ てH⊂H2.逆 てH2⊂H.ゆ
え にH=H2.
に,Hは
群 だ か らh,h′ ∈Hに
対 し,hh′
∈H.し
たが っ
HをGの
正 規部 分 群 とす る と aHbH=abH
特 に aHa−1H=H
実 際,H2=Hと(6)を
用いる と aHbH=abH2=abH
と な る.特
にaHa−1H=aa−1H=eH=Hで
こ の こ と は,GのHに
あ る.
よ る 剰 余 類 の 集 合G/Hが,演
算
aHbH=abH に よ っ て 群 を つ く る こ と を 示 し て い る. 単 位 元 は,eを aHの
逆 元 はa−1Hで
【定 義 】HがGの Hに
含 む 剰 余Hで
あ る.
あ る.
正 規 部 分 群 の と き,こ
の よ うに し て 得 られ た 群G/Hを,Gの
よ る商 群 とい う.
G/Hは,Hに
よ るGの
数 に つ い て は,つ
ねに
剰 余 類 の つ く る群 な の だ か ら,Gが
有 限 群 の 場 合,位
│G/H│≦│G│ が 成 り立 つ わ け で あ っ て,さ
ら に ラ グ ラ ン ジ ュ の 定 理(第8講)か
ら,関
係式
│G│=│H│×│G/H│ が 成 り立 つ こ と も わ か る.特
に,群G/Hの
位 数 は,Gの
位 数 の 約 数 で あ る.
可 換 群 の と き
Gが
可 換 群 の と き に は,群
だ か ら,Gの
任 意 の 部 分 群Hに
か で あ る.し
た が って
の 演 算 は,右
対 し,gH=Hg(g∈G)が
Gが 可 換 群 の ときに は,Gの 最 も簡 単 な,し
か らか け て も,左
か らか け て も よ い の 成 り立 つ こ と は 明 ら
任 意 の 部分 群 は 正規 部 分群 とな る.
か し最 も基 本 的 な 例 とし て,整
数 のつ くる加群Zを
考えてみ
よ う. Zの 演 算 は,加
群 と し て,加 法+で
nの 倍 数 全 体 はZの
表 わ す こ とに す る.任 意 に 整 数nを
部 分 群 を つ くる.そ
れ をnZと
と る と,
表 わ す:
nZ={nk│k=0,±1,±2,…} nZが
部 分 群 で あ る こ とは,nk+nk′=n(k+k′
n=0の
と き は,nZは,単
位 元0だ
と変 わ ら な い.ま たn=1の とな る.こ
の2つ
) か ら容 易 に わ か る.
げ か ら な り,商
と き は,nZ=Zと
の 場 合 は,つ
明 ら か に,nZ=(−n)Zだ
ま ら な い. か ら,n>1の
よ る剰 余 類 は,0を
余 類[0]と,1を
い っ て も,Z
な り,商 群Z/nZは,Z/Z={0}
と き を 考 え よ う.
商 群Z/nZは,Znに
【証 明 】ZのnZに
群Z/nZと
同 型 で あ る.
含む ―
一 般 に はnの
含 む 剰 余 類[1]と,…,n−1を
倍 数 を 含 む―
含 む 剰 余 類[n−1]と
剰 か ら
な る. Z=[0]+[1]+[2]+…+[n−1] で あ る.商
群 の 定 義 か ら,[k]+[l]は,k+lを
k+1をnで
割 っ てk+l=qn+r(0≦r1で,di−1はdiの
(1)
約 数 で あ る.Gに
よ っ て,d1,d2,
一 意 的 に 決 ま る.
少 し説 明 を 加 え て お こ う.ま
ず(1)に
おいて
Zdi=Z/diZ で あ っ て,Zdiは
位 数diの
巡 回 群 で あ る.し Zd1×Zd2×
たが って
… ×Zdk
は 巡 回 群 の 直 積 と し て 表 わ さ れ て い る 有 限 群 で あ る. こ の 有 限 群 をGの Zsは,Zのs個
ね じれ 群 とい う.そ し てd1,d2,…,dkを の 直積 Z×Z×
… ×Z(s
個)
ね じ れ 係 数 と い う.
を 表 わ し,無
限 巡 回 群 の 直 積 で あ る.ZsをGの
自 由部 分,sをGの階
数 とい う.
Zsを 階 数sの 可 換 自 由群 として 引 用 す る こ と もあ る. 有 限生 成 的 な ア ー ベ ル群 は,ね 群 は英 語torsion
じれ 群 と自 由部 分 の直 積 とな って い るの で あ る.ね
groupの 略 で,英 和 辞典 を引 い て も,torsionは,や
じれ
は り,ね じ り,ね じ
れ と出 て い る. な ぜ この よ うな 奇妙 な用 語 が 定着 す る よ うに な った か,私 Zは,直
は 知 らな い.私
の想 像 で は,
線 上 に 等 間隔 に並 ん で い る イ メ ージを もつ の に対 し,Zdは,0,1,2,…,d−1ま
同 じ よ うに真 直 ぐに並 ん でい るが,dの
で
と ころ で,こ の線 分 を'ね じ 曲げ て',出 発 点 の0
へ 戻 してつ なげ た よ うに な って い る.こ の 感 じを,'ね
じれ'と い う言 葉 で表 現 した の で は
な いか と思 う. 自 由 部 分 とい うの は,英
語free
partの
略 で あ っ て,'自
由'と
互 い の 元 の 間 に 関 係 が な い こ と を 示 唆 し て い る(た と え ばZdで とい う よ うな 関 係 が あ る!).こ 気 が す る か も し れ な い が,あ
の 自 由 とい う言 葉 も,は
は,Zに
はお
は, じめ て 聞 く と 妙 な
と で 自 由 群 の こ とを 述 べ る よ う に な る と,少
しず つ
聞 きな れ て くる だ ろ う.
コ
読 者 の 中 に は,た
メ ン
ト
とえ ば Z2×Z3×Z10
は,ア
ー ベ ル 群 な の に,定
理 で 述 べ て い る よ う に,巡
割 り きれ る形 に は な っ て い な い,こ れ な い.第15講
の'巡
の もの で
れ は 少 し お か し い と思 わ れ た 方 が い るか も し
回 群 の 直 積'の
と き に 限 っ て,Zm×Zn〓Zmnと
回 群 の 位 数 が,前
項 で 述 べ た よ う に,mとnが
な る.し
互 い に素 な
た が って
Z2×Z3×Z10〓Z2×Z30 とな り,定 理 で 述 べ て い るd1,d2は,い
ま の 場 合2,30と
な る の で あ る.
同様 に Z2×Z3×Z3×Z5×Z7×Z21〓Z3×Z21×Z210 と な り,こ
の 場 合 は,(d1,d2,d3)=(3,21,210)で
こ の 例 で 見 て も わ か る よ う に,巡 と は 限 らな い.し
か し,定
あ る.
回 群 を 直 積 と し て 表 わ す 表 わ し 方 は,1通
理 で 述 べ て あ る よ うに,お
の お の の 位 数 が,順
り
次前 の
も の の 倍 数 と な っ て い る よ う に 直 積 に よ る 表 わ し方 を 整 え る と,こ の 位 数(d1,d2, …,dk)は,一
意 的 に 決 ま る の で あ る.
証 明 の 試 み
こ の 基 本 定 理 の 証 明 は い ろ い ろ あ る が,ど 大 体 の 証 明 は,証 こ こで は,定
れ も そ れ ほ ど簡 単 な も の で は な い.
明 の 途 中 で 帰 納 法 を 用 い な が ら,一
般 化 へ の 道 を 上 っ て い く.
理 の 後 半 に 述 べ て あ るd1,d2,…dk,sの
ら な い こ と にす る.定
理 の 重 点 は,も
れ る こ と に か か っ て い るか ら,以
一 意性 の証 明に は立 ち 入
ち ろ ん,Gが(1)の
下 で は,こ
よ うに 直 積 に 分 解 さ
の こ とだ けを 証 明す る こ と に し よ
う. 証 明 は,あ
ま り群 論 的 で は な い か も し れ な い が,証
―ただ し整 数 環 上 の― 読 者 の 中 には,上
明す べ き 内容 を線 形 代 数
の 言 葉 に 直 し て 証 明 す る よ うな 方 法 を 採 用 す る.
の基 本 定理 の 述べ 方 の 中 に,行
列 の ジ ョル ダン標 準 形 を思 い出 させ る
もの が あ る と感 じ られ た 方 もお られ るか も しれ ない.実 際,こ 台―
正確 に はmoduleの
い まGを
理論―
有 限 生 成 的 な ア ー ベ ル 群 とす る.群
成 元 を{u1,u2,…,um}と え も決 ま らな い が,何
の2つ は,線
形 性 の 同 じ舞
の上 にあ る とい って よい の であ る.
す る.Gの
の 演 算 は 加 法 で 表 わ す.Gの
生 成 元 の と り方 は い ろ い ろ あ って,個
で も よ い か ら1つ
と っ て,そ
れ を{u1,u2,…,um}と
生 数 さ す る
の で あ る. こ の と きZmか
が 決 ま る.'上 Φ の 核 をKと
らGの
へ の'と
上 へ の準 同 型写 像
か い た の は,u1,u2,…,umがGの
す る.KはZmの
部 分 群 で あ る.準 Zm/K〓G
が 成 り立 つ.
(2)
生 成 元 だ か ら で あ る. 同型 定理 に よ って
1つ の 定 理 ここで1つ の 重要 な定理 を 用 い る.
【定理 】 有 限 生成 的な アー ベル 群 の部 分群 は,有 限 生成 的で あ る.
この定理 は当 り前 そ うにみ え るが,前 に注 意 した よ うに非 可 換 の場 合 に は 一般 に は成 り立 たな い の だか ら,け っ して 自明で は な い ので あ る.証 明 も少 し手 間 が か か る.こ の定理 の証 明 は こ こで は 省 略 し よ う.こ の定理 の証 明 は,大 体 どの群 論 の 教科 書 に も載せ られ て い るが,た
とえば 永尾 汎 『群 論 の基 礎』(朝 倉書 店)
を 参 照 され る とよい.
問題 を行列で いい直 す この 定理 か ら,(2)の
左 辺 に現 わ れ たZmの
とな る こ とがわ か る.そ こでKの か らKの
部 分 群 で あ る核Kも
生 成 元 を{v1,v2,…,vn}と
す る と,今 度 はZn
上へ の準 同型 対応
(3)
が 決 ま る.v1,v2,…,vnは
も ち ろ んZmの
元 で あ る.
(4)
と 表 わ し て お く. こ の と き,(2)と(3)と(4)か
ら
有 限 生成 的
がv1,v2,…,vnに
(〓)
Znの ⇔
よ っ て は られ た
部分 空 間 に属 して い る
適 当 な 整 数 β1,β2,…,βnを と る と
と表 わ され る. この右 辺 に現 わ れ た最 後 の 式 は,行 列 の記 号を 用 い て
(5)
と表 わ し て お い た 方 が 見 や す い.
線 形 代 数 か ら
行 列 が 登 場 し た と こ ろ で,話
の 流 れ を 少 し切 る よ うだ が,線
とを 少 し 思 い 出 し て お こ う.線 形 代 数 で は,ベ し て 用 い る 数 は,実数Rか,複素数Cで る よ うな こ と は し て い な い.こ
形 代 数 で学 ん だ こ
ク トル 空 間 の 係 数(ス
あ っ て,整
数Zだ
け に 限 って 話 を進 め
の 場 合 , 基 本 的 な 違 い は,RとCで
い 数 で 自 由 に 割 る こ と は で き る が,Zで
は,一
カ ラ ー)と
は,0で
な
般 に 割 り算 が で き な い とい う こ と
で あ る. し か し,Zの
上 に 限 っ て も,線
る 場 所 が あ る か も しれ な い.実
形 代 数 に お け る考 え 方 の 類 似 を 追 う こ とが で き
際,私
た ち は,(5)の
表 示 に,そ
の考 え を使 お
う と い う の で あ る. さ て,準
備 的 な 考 察 を 展 開 す る た め に,考
ひ と ま ず 移 し て,Rnか う に,Tを
行 列Cで
らRmへ 表 わ して
え る場 所 を 整 数Zか
の 線 形 写 像Tが
ら 実 数Rへ
与 え ら れ た と す る.い
と
つ もの よ
(6)
とす る.こ の行 列 表 示 は,Rnの
が,Tに
よ っ て,Rmの
標準基底
ど の ベ ク トル に 移 さ れ る か を 表 わ し た もの と な っ て い る.
す な わ ち,(6)の
列 ベ ク トル が,そ
し た が っ て,Rmの
標 準基 底 を
れ ぞ れTe1,Te2,…,Tenの
成 分 を 表 わ し,
e1,e2,…,em
とす る と, Te1=c11e1+c21e2+…+cm1em
Ten=c1ne1+c2ne2+…+cmnem と な っ て い る. し か し,考
え て み る と,Rn,Rmの
だ わ ら な く と も,別 と え ば 平 面 な らば,直
ベ ク トル を 表 わ す の に,何
も標 準基 底 に こ
の 基 底 を と っ て ベ ク トル を 表 わ し て も よ い の で は な い か.た 交 座 標 を 適 当 な 角 度 だ け 回 転 し た も の を,新
し て と っ て も よ い だ ろ う し,あ
しい座標 軸 と
るいは 斜交 座 標 を新 しい 座 標軸 として とって もよ
い だ ろ う. こ の よ う に 新 し い 座 標 軸 を と る と,Tを
表 わ す 行 列Cの
形 も 当 然 変わ って く
る. そ れ で は,'よ
い 座 標 軸(基
底!)'を
で 簡 単 に す る こ とが で き るか.そ して
と っ た と き,Tを
表 わ す 行 列 は,ど
れ に 対 す る 線 形 代 数 の 答 は,Tを
こま
表 わ す行 列 と
の形 ま で 簡 単 にす る こ とが で き る とい うこ とで あ る.Rnの 基 底 に と りか え る基 底 変 換 の行 列 をQと か え る基 底 変換 の行 列 をPと
と 表 わ され る.こ この 講 は,未
し,Rmの
標準 基 底 を,新
しい
標準 基 底 を新 しい基 底 に と り
す る と,こ の操 作 は,行 列 に よって
れ に つ い て は,次
講 で も う少 し 述 べ よ う.
完 とな っ て し ま っ た.基
本 定理 の証 明 は次 講 へ まわ す こ とに し よ
う.
Tea
Time
対称 群 は2つ の元 か ら生 成 され る 基本 定 理 の 証 明 の 方 が ま だ 中 途 だ か ら,こ のTea
Timeで
は,こ の 講 の 最 初 に
述 べ た 有 限 生 成 的 とい う性 質 を 話 題 と し よ う.対 称 群Snは,nが 数 がn!で
増 加 し て い く大 き な 群 で あ る.と
こ ろ がSnは
大 き くな る と 位
実 は2つ
の置 換
σ=(12),τ=(12…n) に よ っ て 生 成 さ れ て い る(σ は 互 換,τ は 巡 回 置 換 で あ る).な
ぜ か とい う と,ま
ず τ στ−1=(2
3),τ(2
τ(n−2n−1)τ に よ っ て,σ
と τか ら(k
k+1)の
σκ=(k が す べ て 生 成 さ れ る.と し て 表 わ さ れ る.た
k+1)
3)τ−1=(3
4),…,
−1=(n−1n) 形 の互 換 (k=1,2,…,n−1)
こ ろ が 任 意 の 互 換(kl)(k