波動と非線形問題30講 (物理学30講シリーズ)

物理学30講シリー ズ3戸

田盛和 著

波動と非線形問題30講

朝倉書店

は

し

この30講

が

き

シ リー ズ の第３ 巻 で は 非 線 形 問題,主

に非 線 形 波 動 を 扱 った.20世

紀 の後 半 に も っ と も著 しい発 達 を 遂げ た数 理 物 理 学 の 分 野 の１ つ が 非 線 形 問題 で あ る こ とは 多 くの人 の認 め る と ころで あ る. 以 前 に は,た

とえば や や 複雑 な振 動 を理 解 しよ うとす る場 合,こ

な振 動 の 重 ね合 わ せ と み る立 場,す

れ を よ り単 純

なわ ち線 形 の 要 素 に分 解 し て考 察 す る のが 主

流 で あ った.し か し振 動 が振 動 を助 長 し大 き な振 動 へ と発 展 す る発 振 の 現 象 は 明 らか に非 線形 で あ るが,発 振 現 象 が な か った らテ レ ビ,ラ ジ オ,電 話 な どの電 波 もつ く り出す こ とは で きな い.世 の 中 の重 要 な事 柄,興 味 あ る現 象 の ほ とん どす ベて が非 線 形 で あ る とい って よい ほ ど非 線 形 の世 界 は 広 く深 い.フ

ィ ー ドバッ

ク ,集 団 運 動,生 態 系,複 合 汚 染,破 壊,爆 発,カ オ ス,カ タ ス トロフ ィー,な どと限 りな く多 くの もの が非 線 形 性 に 関係 して い る. この よ うに 非 線 形 の 世 界 は 豊 か で あ るが,人 間が 線 形 的 思 考 を 超 え る能 力を 身 につ け 出 した の は この30年 来 の こ とで あ る.こ れ に は コ ンピュータ の絶 大 な 計 算 能 力が 大 きな 貢 献 を した.コ

ン ピュ ータ

は思 いが け な か った よ うな 非 線 形 の 世

界 の 概 念 や 法 則 の存 在 を知 らせ て くれ たの で あ る. この新 しい 世 界 に 向 け て 数 理 的 な解 析 の努 力 が 集 中 し,1967年

に はKdV方程

式と呼 ば れ る非 線形 偏 微 分方 程 式 を解 く解 析 的 方 法 が 見 出 され,そ

の解 は ソ リ ト

ン とい う集 団 運 動 の概 念 を確 立 す る ことに な った.こ れ を き っか け に して 毎 月 の よ うに新 しい発 見が 相 次 い だ ので,今 で は 解 き うる非 線 形 方 程 式 の数 は ほ と ん ど 数 限 りな く多 くな って きて い る. 本書 では まず 初 め の５講 で 発 振,生 態 系,カ オ ス な ど非 線 形 の 特 徴 的 な 現 象か ら入 り,続 く20講 で は非 線 形 波 動 の も っと も典 型 的 な も の と し てKdV方程式 と戸 田格 子,さ

らに これ らを 拡 張 した ２次元 の体 系 を 扱 って,非 線形 発 展 方 程 式

の基 本 的 事 項 と思 わ れ る もの を で き るだけ明 白 に提 示 した.広

く深 くな った非 線

形 の数 理 に は 種 々の 見方,多 数 の面 が あ り,し か も絶 え ず 進 歩 し てい るの で,こ こに 収 め た 部 分 は ほ ん の 一 部 にす ぎ ない が,こ の 方 面 の 入 門 書 と して 役 立 つ よ う に と思 って 項 目を 選 んだ.最 後 に は剛 体 の回 転 とい う自 由度 が や や 大 きい 非 線 形 の 問題 を 扱 い,こ の 方 面 で 有 名 だ が詳 し く知 られ て い な いコワレフス カヤ の コ マ の 運 動 に つ い て述 べ た.こ れ も本 書 の特 徴 の １つ で あ る. 本 書 を書 くに 当 た って,著 者 は 多 くの セ ミナ ー や 研 究 会,あ

るい は 多 くの 友 人

か ら学 ん だ 事柄 を 改 め て勉 強 し直 した.「 学 んで 時 に これ を習 う.ま ずや 」(『論語』)と い いた い と ころ で あ る が,ま

た 楽 しか ら

たい くらか 骨 の折 れ る仕 事 で もあ

った.こ の 機会 に い ろ い ろ と教 え られ た 友 人 た ち に深 く感 謝 した い. 本 書 は あ ま り専 門 的 に な ら ない よ うに した が,さ

らに 著 者 の 理 解 が と ど く範 囲

が 限 られ て い る た め もあ って 不 十 分 あ るいは 不 正 確 な と ころ が あ るの で は な い か と恐 れ る.著 者 が最 近 読 んで 参 考 に した テ キ ス ト 広 田 良吾 著 『直 接 法 に よ る ソ リ トンの数 理』 岩 波 書店,1992. 大 貫 義 郎 ・吉 田春 夫 著『 力 学 』 岩波 講 座 現 代 の 物 理 学 １,岩 波書 店,1994. な どが この よ うな点 を補 って くれ るか もしれ ない. 本 書 を手 に した読 者 が 非 線 形 の 世 界 に対 す る興 味 を もつ き っか け に な れば 幸 い で あ る. 終 わ りに 本 書 の出 版 に 際 して い ろ い ろ お世 話 に な った朝 倉書 店 の 方 々に厚 くお 礼 を 申 し上 げ た い. 1995年 ２月 著

者

目

次

第

１講 

自励

振 動 

Tea 第 ２講 

３講 ロト

Time:人 カ-ヴォル

Tea 第

４講 

第

Time:ベナ

Time:不

７講 

Time:ソ

Time:マ

36

イ リー卿  41 ・ フ リース 方 程 式 

第10講 

Time:逆

51 ー チソ ・クル ス カル  55 57 散 乱 法 とは  64

双 対 格 子  Tea

Time:ル

43

リトソ の 発見  49

第 ９講  逆 散 乱 法  Tea

28

連 続 時 間  34

ラ ッ ク ス形 式  Tea

21

ール の渦  26

コ ルテヴェーグード Tea

第 ８講 

Time:レ

13

態 系  19

６講  簡 単 な 波 動 方 程 式  Tea

第

テ ラ の 方 程 式 

Time:生

１次 元 写 像 の カ オ ス  Tea

８

口爆 発  12

ロ ーレンツ 系の カ オ ス  Tea

第 ５講 

振 現 象  ６

ロ ジ ス テ ィ ッ ク方 程 式  Tea

第

１

Time:発

65 ビン の 壷  71

第11講 

非 線 形 格 子 波 動  Tea

第12講 

Time:ソ

79

リ トン と非 線 形 波 動 方 程 式  83

格 子 の ラ ッ ク ス 形 式 と 保 存 量  Tea

第14講 

73

田格 子 の 発 見  77

格 子 の ２ ソ リ トン解  Tea

第13講 

Time:戸

Time:保

格 子 に 対 す る ゲ ル フ ァ ン ト-レビ タ ン の 方 程 式  Tea

第15講 

ソ リ トン 解 

Time:カチカチ

101 ボー ル  107 109

Time:再

帰 現 象  114

Time:自

Time:虚

第19講 ベックルント Tea

変 換 

Time:カッ

Time:和

122

数 を 含 む 方 程 式  126 128

ツ-メ ー ルベッケ 系  135

広 田 の 直 接 法  Tea

116

己 集 束  121

ラ ッ ク ス 形 式 の 拡 張  Tea

第20講 

程 式 と直 観  99

い くつ か の 非 線 形 方 程 式  Tea

第18講 

Time:方

連 続 体 近 似  Tea

第17講 

93

格 子 のＮ Tea

第16講 

85

存 量  91

137 算  143

第21講 

２次 元KdV方程式(KP方 Tea

第22講 

KP方

Time:２

次 元KdV方程式 

程 式 のＮ

ソ リ トン解 

TeaTime:箱 第23講 

程 式) 

145

149 150

と球 の系  157

２ 次 元 戸 田 格 子 

159 Tea Time: 1 65

第24講 

可 積 分 系 と 非 可 積 分 系  Tea

第25講 

179 陽 系 は コ マの 群 れ  184

Time:歳差

グ ラ ン ジ ュ の コ マ) 

Time:ネ

第30講 コワ

Time:コワ

イ ラ ー の コ マ) 

引 

Time:逆

190

コの 曲 芸  197 199

レフス カ ヤ  206

レ フス カ ヤ の コ マ  Tea

185

運 動 の 簡 単 な 説 明  189

非 対 称 な 剛 体 の 運 動  Tea

索

Time:太

剛 体 の 自 由 な 回 転(オ Tea

第29講 

コ ビの 楕 円関 数  177

軸 対 称 の コ マ(ラ Tea

第28講 

174

剛 体 の 回 転  Tea

第27講 

Time:ヤ

167

と 日本 文 化  173

球 面 振 り子  Tea

第26講 

Time:星

208

立 ち コマ  215

217

第 １講 自励

振

動

―テーマ ◆負抵抗 ◆フ ァン ・デル・ポールの方程式 ◆ Tea Time:発

振現象

抵 抗 と負 抵 抗 速 度 に 比 例 した 抵 抗 が は た ら く単 振 動 は 線 形 の 方 程 式 (１) で表 され る.こ れ は １階 の 微分 方 程 式 に 分 解 して

(２) と 書 け る.(２)に v+(dv/dt)dtが

よ れ ば あ る 時 刻 のｘとｖ 定 ま る.す

を 知 れ ば 次 の 瞬 間 の 値x+(dx/dt)dt,

な わ ち 運 動 の 軌 道 は(x,v)平

面(相

平 面,位

内 で 決 定 論 的に 決 ま り,軌 道 が た が い に 交 わ る こ とは な い,ε＞0の う に 軌 道 は 原 点 に 近 づ き,つ にア

い に は そ こ で 静 止 す る.軌

相 空 間)

と き 図 １の よ

道 を 引 きつ け る点 を 一般

トラ ク タ と い う ． こ の 場 合 安 定 点 で あ る 原 点 はア トラ ク タ で あ る.

も し も ε＜0な らば(１)あ ２),ア

ト ラ ク タ は な い,こ

負 抵 抗 が あ る 場 合,初

る い は(２)は の 場 合(ε＜0の

し だ い に 成 長 す る 振 動 を 表 し(図 場 合),εxの

項 は 負 抵 抗 と 呼 ば れ る.

め に 小 さ な 運 動 が あ れ ば 振 幅 は しだ い に 大 き くな る.す

な

図 １ 抵 抗(ε＞0)図

２ 発 振(負 抵 抗,ε＜0)

わち 発 振 が 起 こ る.

フ ァ ン ・デル フ ァ ン ・デル ・t一ル(van der 回 路 の 研 究 か ら,発

・ポ ー ル の 方 程 式 Pol)は

３極 真 空 管 を 使 っ た 電 気 振 動 の 発 振

振 機 構 の 特 徴 を よ く表 す 方 程 式 を 導 い た.簡

単 化す る と この

方程式は

(３) と書 け る.こ

れ をフ ア ン ・デル ・ポ ー ル の 方 程 式 と い う.ε＞0と

辺 第 ２項-ε(1-x2)xは

振 幅 が 小 さ い と き(x2が

え る の で 小 さ な 振 動 は し だ い に 成 長 す る.ｘ くな る と ε(1-x2)は

し て い る か ら左

１ よ り小 さ い と き)負

抵 抗 を与

は 正 と 負 の 値 を と る が,振

幅が大 き

小 さ い 値 を と る 時 間 が 長 くな る の で 負 抵 抗 は 効 か な くな り,

発 振 は 抑 え られ る こ とに な る.こ

れ は 計 算 機 で 確 か め ら れ る. 【εが 小 さ い と き 】

図 ３ は ε=0.1と

し た と き の 計 算 結 果 で あ る(初 x =0 .01,x=0).こ に な る ま で 成 長 し,そ 図 ３  フ ァ ン ・デル ・ポ ー ル の 方 程 式

が わ か る.ε=0.1の

の 場 合,振

期値は 幅 は ２

こ で飽 和 す る こ と と き の 相 平 面(x,

の 解(ε=0.1)

x)に

近 い とこ ろか ら出発 す る とt→

お け る 軌 道 を 図 ４に 示 す.原

∞ で 軌 道 は あ る 曲線 に漸 近す る.こ

点に

の よ うに漸

近 す る 曲線 を 極 限 軌道(リ

ミ ッ トサ イ クル)

と呼 ぶ.極 限 軌道 も軌 道 を 引 き込 む の でア ト ラ クタ の１ 種 であ る.ε が 小 さい と き極 限 軌 道 は ほ ぼ 円 に な り,そ の半径 は２ に近 い.極 限 軌 道 の 外 の振 幅 の大 きな状 態 か ら 出発 す る と振 幅 は しだ いに 小 さ くな り,軌 道 は 同 じ極 限 軌 道 に 巻 きつ い て くる(こ の 場 合 は-ε(1 -x2)＞0で あ っ て,こ

の項 は 負 抵 抗 で は な

く,正 の 抵抗 を与 え る).

図４  相 平 面上 の軌 道(ε=0.1)

εが 小 さい とき振 幅 が２ に漸 近す る理 由 は次 の よ うに 証 明 され る． 【証 明】 極 限軌 道 に 達 した とす る と抵 抗 カ-ε(1-x2)xの で な けれ ば な らな い． この 仕 事 は-ε(1-x2)xdxで

す る仕 事 の平 均 は０

あ る か ら,dx=ｘdtを

用い

る と振 幅 は (４) に よ り決 定 され る ことに な る．εが 小 さ い と き の極 限 軌道 に お け る振 動 は 近 似 的 に単 振 動 でx=acostで

表 せ る と考 え られ る.ａは 極 限 軌道 の振 幅 で あ り,(４)

から (５) を 得 る.こ の 式 の 根 の うちでa=0は

除 外 され るか ら,極 限 軌 道 の振 幅はa=2と

な る. 【εが 大 きい とき】 た と え ば ε=10と す る と振 動 の様 子は 図５ の よ うに な り, 相 平面 に おけ る極 限軌 道 は 図６ の よ うに な る.図５ の よ うに ほ とん ど静止 した状 態 が続 いた あ とで急 激 に 動 き,ま た しば 図５ ファン

・デル

・ポ ー ル の 方

程 式 の 解(ε=10)

ら くほ とん ど動 か な い状 態 に な る こ とを 繰 り返 す.こ の よ うな 振 動 を弛 緩 振 動 と

い う.こ の よ うな振 動 は 充 電 され る と放 電 す る こ とに よって 周期 的 に発 光 す るス

図

トロボ な どでみ られ る. 【自励振 動 】ファン

・デル ・ポ ー ル の方 程 式

に お け る発 振 は電 気 的 な エ ネル ギ ーが 注 入 され て い るか ら起 こ る の であ るが 電 源 は 直 流 で あ っ て振 動 的 では な い.一

般 に振 動 的 で は な い 外

力 の も とで生 じる振 動 を 自励 振 動 とい う.フ ァ ン ・デル ・ポ ール の方 程 式 で 表 され る発 振 は そ ６ ε=10の 極 限 軌 道 き ガ タ ガ タ い うの も,糸

の １例 で あ るが,た て つ け の 悪 い 戸 を 開 け る と

を 弦 で 引 く と ヴ ァ イ オ リ ン が 鳴 る の も 自励 振 動 で あ る.

身 の ま わ りに 自励 振 動 の 例 は き わ め て 多 い.

レ イ リー の 方 程 式

フ ァ ン ・デル ・ポ ー ル の 方 程 式(３)に

お い てx=√3ｙ

とお く と (６)

を 得 る.こ

れ をｔ で 積 分 す る と (定 数)(７)

と な る が,y-cを

改 め てｘ とお く と (８)

を 得 る.こ

れ をレイリー(Rayleigh)の

方 程 式 と い う.

リエナ ール の 方 程 式

減 衰 振 動 の 式(１)や

レイ リー の 方程 式(８)な

どを一 般 化 した 式 (9)

をリエナ

ール(Lienard)の

方 程 式 と い う.こ

の式 は

(10)

と書 け る の で,軌 道 を与 え る式 は(10)の

２式 の比

で 与 え られ る.軌

道(ｖ

とｘ の 関 係)の

式(11)は

作 図 法 に よ っ て 次 の よ うに 解

く こ と が で き る. まず 相 平 面(x,v)に

お け る 曲 線(リエナ

ール の 特 性 曲 線) (12)

を 作 図す る(図 v)か

７).次 に任 意 の 点P(x,

らｘ軸 に 平 行 線 を 引 き,特

(12)と の交 点 をＲ とす る.Ｒ

性曲線

か らｘ 軸

に 垂 線 を下 ろ し,そ の足 をＳ と し,Ｐ を 通 りSPに 垂 直 な線PQを 線PQはＰ

引 く.こ

の直

を 通 る軌 道 の 接 線 で あ る．

こ う して各 点 に おけ る軌 道 の 方 向 が 決 ま るか ら,こ れ を結 ん で軌 道 の 形 が 求 め ら 図 ７

れ る. 【証 明 】

図 ７に お い てＰ のｘ 座 標 はｘ で あ り,Ｒ

らRP=x-{-ψ(v)}=x+ψｖ).し

た が っ てSPがｘ

のｘ 座 標 は-ψ(v)で

あ るか

軸 と な す 角θ の 正 接(タ

ン

ジェント )は (13) で あ り,こ れ に 垂 直 な 直 線PQの

傾 きは (14)

で あ る.こ

れ は(11)と

【 例 】 減 衰 振 動(１)の

一 致 す る の で こ の 軌 道 の 接 線 はPQと 場 合 はψ(v)=εvで

軌 道 は 図 ８ の よ うな 作 図 で 求 め ら れ る.レ -ε(1-v2)vで め ら れ る.

あ り特 性 曲 線 はx=ε(1-v2)vな

あ り,特

一 致 す る.

性 曲 線 はx=-εvな

イ リー の 方 程 式(８)の

ので

場 合 は ψ(v)=

の で軌 道 は 図 ９の よ うな作 図 で求

図 ８ 減 衰 振 動

図 ９

Tea

Time

発振現 象 机 を 引 きず って 動 か す と ガ タガ タ と振 動 す るこ とが あ る.白 墨 の も ち方 に よ っ て は振 動 して 黒 板 に点 線 が え が け る ことが あ る.こ の よ うに 一 定 の 運 動 を させ よ う と した の に振 動 が起 こる のが 発 振 で あ る.ひ と りで に 振 動 が起 こ るの で 自励振 動 とい う. 自励振 動 の例 は 身 の まわ りに い っぱ いあ る.風 に 木 の葉 が そ よ ぐの も,風 で 湖 面 が 波立 つ の も自励 振 動 とい え るだ ろ う.風 が 振 動 を与 え な くて も振 動 は 生 じ る. 誰 か 風 を 見 た で し ょうか. 誰 も風 を 見 は しな い. そ れ で も木 の葉 をゆ るが せ て 風 は そ っ と通 り過 ぎて 行 く. 日本 的 な庭 の 静け さを 破 って竹 の筒 が 石 を 打 つ音 が 時 折 り 聞 こ え る こ と が あ る.い わゆ る鹿 お ど しで あ る.細 い水 の流れ が竹 の筒 を満 た す とそ の 重 さ で筒 が 傾 くと同時 に筒 か ら水 が 流 れ 落 ち て筒 は も との姿 勢 に 戻 り,そ の と きに 石 を 強 く 打 つ の で あ る.こ れ は ま った く違 うが 一定 の時 間 間 隔 で写 真 の フ ラ ッシ ュが 点 滅

す るス トロボ に似 てい る.電 気 が 蓄 電 器 に た め られ る と放 電 す る装 置 で あ る.ク リス マ ス の ツ リー な どに 点 滅 す る豆 電 球 が た くさんつ け られ て い るが,あ れ は点 灯す る と電 球 の中 の バ イ メ タル が 暖 め られ て 曲 が るた めに 電 流 が 一 時 切 れ るか ら で あ る. 自励 振 動 の原 因 は,乾 性 摩 擦 か ら電 気 的 な もの まで実 に さ ま ざ まで あ るが,数 式 で 表 そ う とす れ ば フ ァン ・デル ・ポ ール の方 程 式 か,あ 式 で表 され る.こ れ もお も しろ い こ とで あ る.

るい は そ れ に 類 似 した

第 ２講 ロジ ス テ ィ ック 方 程 式

―テ ー マ ◆力学 系 ◆ロジ ス テ ィ ッ ク方 程 式 ◆ Tea

Time:人

口爆 発

力学 系 の 一 般 化

簡 単 の た め 質 量 が １の 質 点 がｘ軸 に 沿 っ て 運 動 し て い る と し,そ

の 位 置 をｘ,

速 度 をｖ と す る と運 動 方 程 式 は

(１)

で与 え られ る.自 由度 がｆ の運 動 な らば 運動 方 程 式 は

(２)

とな る.こ れ を 一般 化 し てｎ 個 の １階 の微 分 方程 式 (３)

に よ って 記述 され る よ うな 体 系 を力 学 系 とい う.一 般 化 され た,あ

るい は 広 い 意

味 の力学 系 で あ る.本 来 の力 学 系 な らば変 数 が座 標 と速度 の対 を な す の でｎ は偶 数 に 限 られ る が,一

般 化 さ れ た力 学 系 で はｎ は奇 数 の 場 合 も偶 数 の場 合 も あ

る. た と えば 化 学反 応 が時 間 的 に進 行 す る と き,ｊ 番 目の 化学 成 分 の量 をxjと す れ ば(３)は

化 学 反 応 を表 す 方 程 式 で あ る.ま

たxjを 生 物 の種ｊ の 個 体 数 と す

れ ば(３)は

生 態 系 の時 間 的 変 化 を 表 す こ とに な る. ロジ ス テ ィ ック方 程式

そ こで あ る国 の 人 口,あ るい は 生態 系 にお け るあ る種 の個 体 数Ｎ の時 間変 化 を 考 え,一 番簡 単 な 仮 定 と して個 体数Ｎ の変 化 の速度 がＮ に比 例 す る とす れ ば, そ の 変 化 は微 分 方 程 式 (４) で 与 え られ る.こ れ を 積 分 す れ ば (５) を 得 る.こ こでN0はt=0に

おけ るＮ の値 で あ る.も し もk＜0な

の経 過 に つれ て減 少す るが,k＞0な

らばＮ は 時 間 と と もに増 大 す る.

時 間 を不 連 続 に して 微 分 係 数dN/dtの 用 いれ ば(４)の

らばＮ は 時 間

代 わ りに(Nn+1-Nn)/τ(τ

は 定 数)を

代わ りに (６)

を 得 る.こ の と き

(７) で あ るか ら (８) と な る.kτ＞0な τ=t/nと

らば 個 体Nnは

い わ ゆ る ネ ズ ミ算 的 に 増 大 す る.

おけば (９)

と書 け,n→∞の

極限では (10)

によ り(８)は(５)に

帰 す る.

実 際 に 個 体 数 が 増 えす ぎ る と,そ の た め に 環境 が悪 化す るな どの影 響 が 加 わ っ て 増 加 を 抑 え る要 因 が 生 じる.こ れ を 取 り入 れ る方 法 と して一 番 簡 単 な の は変 化 率k(k＞0)が

Ｎ の増 加 と と もに減 少す る とし て (11)

とお くこ とで あ ろ う.こ うす る と(１)は

(12)

とな る.こ の方 程 式 を ロジ ス テ ィ ッ ク(10gistic)方 程 式 とい う.ロ ジ ス テ ィ ック とは も と も と軍 隊 で軍 需 品 や食 糧 な どを 前 線 に送 る後 方 部 隊 を意 味 し,兵站 ばれ る.こ れ か ら転 じて 物 資 の流 通,す (12)は 右 辺 にN2項

と呼

なわ ち物 流 を ロジ ス テ ィ ッ クとい う.

を もつか らい ちお う非 線形 方 程 式 で あ る.し か し(12)を

N2で わ る と (13) とな り,書 き換 え る と (14) とな る.こ れ は1/Nに

つ い て 線形 で あ る.(12)は

線形 化 され た ので あ る.こ

の

よ うに一 見非 線形 で あ る よ うに み え て も変 数 の置 き換 えに よっ て線 形 化 で き る場 合 もあ る.ど の よ うに 変 数 を 置 き換 え て も線 形 化 で き な い場 合 が 本 当 の 非 線形 方 程 式 で あ る とい い たい と ころで あ るが,こ れ で は 与 え られ た 方 程 式 が 本 当 に非 線 形 で あ る ことを 立 証す る こ とは 事 実 上 不 可 能 に な って し ま う.ふ つ うは 線 形 化 す る方 法 が 簡 単 に 見出 され な い ものを 非 線 形 とい って い るの で あ るが,非 線 形 性 を 厳 密 に 規 定 す るの はむ ず か しい. さ て(14)を

積 分す れ ば

(15) と な る の で(12)の

解は

(16)

で 与 え ら れ る. α＞0と らずt→

し て い る か ら,t=0の ∞ でN→1/β

係 は 図10の

と な る.Ｎ

よ う に な る.こ

線 形 の 式(14)を

と き の 値Ｎ0に

よ

とｔ の 間 の 関

図10 

ロジ ス テ ィ ッ ク曲線

の 曲 線 はロジ ス テ ィ ッ ク 曲 線 とい う.

差分化す ると (17)

と な る.こ

の式 は (18)

と 書 き換え られ る ．(18)は(17)の

よ うに 線 形 化 で き る の で あ る.そ

の 解 は(17)

を用いて (19)

で あ る こ とが わ か る.Ｎnはｎ

に つ い て な め らか な 変 化 を し,そ

の ロ ジ ス テ ィ ッ ク 曲 線 と本 質 的 に 違 わ な い(τ=t/nと は(16)に (12)の

してn→

の 様 子 は(16) ∞ にすれ ば(19)

一 致 す る). 差 分 化 した方 程 式 として (20)

も 考 え ら れ る.こ と き は(20)の

の 式 を(17)の

よ うに 線 形 化 す る こ と は で き な い.β

が 小 さい

解 は ロ ジ ス テ ィ ッ ク 曲 線 と 同 様 の な め ら か な 変 化 を 与 え る が,β

が あ る 値 を 超 え る と(20)のNnはｎ

に 対 し て カ オ ス 的 な 変 化 を す る よ う に な る.

こ の こ と に つ い て は 第 ５講 で 述 べ る こ と に す る.

Tea

Time

人 口爆 発 ネズ ミ算 とい うのが あ る.初 め 少 数 しか い な か っ た ネ ズ ミが 増 殖 を繰 り返 す と,と ん で もな く多数 に な り,や が て 天 文 学 的 な 数 に な って しま う.む か し曽呂 利新 左衛 門 とか い う知 恵 者 が い て,大閤

秀 吉 か ら何 な りとほ うびを取 らせ る とい

わ れ て 毎 日 ２倍 ず つ 米 粒 を所 望 した とい う話 が あ る.や が て米 粒 の数 は 莫 大 に な った こ とで あ ろ う.人 間 は初 め １個 だ った 細 胞 が 分 裂 す る こ とに よ って で きあ が る.そ の分 裂 の 回数 は 約80回

だ とき い た こ とが あ る.１ 人 の人 間 は 約280個 の細

胞 か らで き てい る こ とに な る． 小 さ い よ うな大 きい よ うな 数 で あ る. 本 当 だか ど うだか 知 らな いが,ネ

ズ ミは増 えす ぎ る と川 へ 入 って 集 団 自殺 す る

とい う話 が あ る.昔 話 に,街 に増 えす ぎた ネ ズ ミを 笛 の音 で 呼 び 集 め て 川 へ 入 水 させ て退 治 した とい うの は こんな とこ ろか らつ くられ た 話 か も しれ な い. 世 の 中に は 増 え る メカ ニ ズ ムで どん ど ん増 え る ものが あ る.し か し増 えす ぎ る と増 加 を抑 え る メ カ ニズ ムが は た らき出 す.人

口の 増 加 も昔 は 確 か に そ うで あ っ

た.し か し世界 の人 口は 農 業 革 命 の と きに 飛 躍 的 に 増 加 し,そ の後 増 加 率 は しだ い に停 滞 した の が,産 業 革 命 後 ま た上 向 き にな って 現 在 に至 った.自 然 に増 加 を 抑えるは ず の抑 制力 を技 術 の 進 歩 で 取 っ払 って きた ので あ る.そ して い まや 人 類 は 人 口爆 発 とい う危 機 に直 面 して い る.い ろい ろ の 危 機 が いわ れ て い るが,そ の ほ とん どは 世界 の人 口の とめ ど もな い 増 加 に よ って 起 こ る よ うに思 わ れ る.こ れ に 対 して は 増加 を抑 え る従 来 の メ カ ニズ ムは 無 力 で あ る.と す れ ば,ロ

ジス テ ィ

ック方 程 式 を越 え た もの が あ り うるか ど うか とい う深 刻 な 問題 をわ れ わ れ は か か え て い る こ とに な る.こ れ は 人類 の ア キ レス腱 で あ る.

第３講 ロト カ‐ヴォル テラの方 程式

―テ ー マ ◆生 物 の 個 体 数 の 変化 ◆ロト カ‐ヴ ォル テ ラ の方 程 式 ◆ Tea

Time:生

態系

生 態系 の個 体 数 の変 化 第 ２講で 扱 った ロジス テ ィ ック方 程 式 を ２変 数(x,y)の

場 合 に拡 張 し た も の

と して

(１)

を 考 え よ う.ε1,ε2,k1,k2は す べ て 正 で あ る とす る と この 連立 方程 式 は 個 体ｘ の 草 食 動 物 と これ を 食 べ て 生活 す る個 体 数ｙ の 肉 食 動 物 が 草 が 十 分 あ る場 所 で 共 存 して い る生 態 系 を表 す こ とにな る.草 食 動 物(ｘ)は るが,肉

食 動 物(ｙ)に

(-k1xy).肉

比 例 す る)と 食 べ ら れ て 減 る

食 動 物 は 草 食 動 物 に会 えば これ を食 べ て栄 養 とす る ので そ の増 殖 の

割 合 はk2xyで る．(１)は

会 う(そ の 確 率 はxyに

草 を食 べ て 増 殖(ε1x)す

与 え られ るが,自

然 死 のた め に 減 少(-ε2y)す

る と考 え るの で あ

生 態 系 の 変 化 を表 すロト カ‐ヴォル テ ラ(Lotka‐Volterra)の方程

式

の一 番 簡 単 な 場 合 で あ る

.ｘ

,ｙ を 与 え る とdx/dt,dy/dtが あ る.す

決 定 さ れ る か ら(１)は

決 定論 的 な方 程 式 で

な わ ち あ る 時 刻 のｘ とｙ を 与 え る と次 の 瞬 間 のｘ とｙ が 一 義 的 に 定 ま る

か ら軌 道 は(x,y)面

で 交 わ る こ と が な い.こ

こ で 一 般 に ２次 元 の(x,y)面

の

有 限 な 領 域 で 交 わ る こ とのな い軌 道 は きわ めて 限 られ た もの に な る こ と を注 意 し て お こ う.た 線(楕

と え ば 摩 擦 の な い 単 振 動 で は(x,v)面(相

円)をえ

さ て(１)に

平 面)内

で軌道は閉 曲

が く.摩 擦 が あ る 振 り子 で は 軌 道 は し だ い に 安 定 点 へ 近 づ く. は (２)

あ るい は 対 数 を と って 一 定(３) と い う保 存 量 が あ る こ と が 示 され る. 【証 明 】(１)の

第 １式 の 両 辺 にk2を,第

２式 の 両 辺 にk1を

か け て 両式を加

えると (４) と な る.他

方 で 同 じ(１)の

第 １式 に ε2/xを,第

２式 に ε1/yを か け て 両 式 を加

える と (５) を 得 る.(４)と(５)の

右 辺 は 等 しい か ら (６)

こ れ を 積 分 す れ ば(３)が

得 られ る.

(１)の

(２)に

図 式 解法

おいて

(７) とお けば(２)は

(c=定 と書 け る.cは

数 〉 

(8)

初 期 条 件 で 決 ま る定数 で

あ る.   ま ず 図11の

よ う に κ∼ ξ とy∼ ηの 曲

線 を え が い て お く.初

期 値A(x0,y0）

与 え て こ れ に 相 当 す る点A'(ξ0,η0)を め る.そ

し て 直 線OA'を

(c=ξ0/η0).次

にA'に

定

ξ=cη と す る 近 い 点B'を

これ に 対 応 す る 点Bを

と り

定 め,同 様 に し て

つ ぎ つ ぎ と,C,D,…

を 求 め て 点ABCD

… を 結 べ ば(x

の 軌 道 が 得 ら れ る.

x,yをtの

,y)面

よ うに,xとyは サ ギ(x)と

図11

関 数 と し て 示 せ ば 図12の

た がい に少 し位 相 のず れ た周 期 的 な 曲 線 に な る.草 食 動 物 を ウ

し,こ れ を 食 べ るキ ツネ を 肉食 動 物(y)と

すれ ば,キ

ツネが ウサ ギ

を 食 べ て殖 えれ ば ウサ ギ は 食 べ られ て 減 り,ウ サ ギが 減 れ ば こ れ を食 物 とす るキ ツネ も減 り出 す.キ

ツ ネが 減 れ ば ウサ ギが 殖

え る.こ うい うこ とを周 期 的 に

図12

繰 り返 す の で あ る.

一 般 的 な ロ トカ ーヴ ォ ル テ ラ の 方 程 式

ロ トカ ーヴ ォ ル テ ラ の 方 程 式 を 生 物 の 種 の 数 がn(≧2)の

場 合 に 拡 張 して

(9)

と し よ う.こ

こ でai,は

反 対 称,す

なわ ち

(10)

と し,(９)は 値 をNjと

定常 解dNj/dt=0(j=1,2,…,n)を

もつ と す る.定常

解 のNjの

すれば (11)

で あ る. (９)は

保存量 (12)

を もつ こ と が 示 され る.た

だ し ここで

(13)

で あ る(n=2の

と き 保 存 量(12)は(３)を

【証 明 】(13)と(９),(11)か

与 え る こ と が 容 易 に 示 さ れ る).

ら

(14) を 得 る.さ

らに書 き直 す と

(15)

と な る.た

だ し (16)

と お い た(こ

こ で(12)に

よ り (17)

で あ る こ とに注 意 す れ ば (18) と書 け る こ と もわ か る).

さ て(12)をｔ

で 微 分 し て(15)を

用 いれ ば

(19) とな る が,右 導 か れ る.し

辺 でｋ とｌ と を 取 り換 え る と γlk=-γklな

の でdG/dt=-dG/dtが

た が って (20)

す な わ ちＧ は 保 存 量 で あ る.

空 間 に お け る 流 れx1

,x2,…,xnを (x1,x2,…,xn)は

座 標 と す る 状 態 空 間(位

相 空 間)Ｖ

を 考 え る と こ の 中 の １点

こ の 生 態 系 の ミ ク ロ状 態 を 表 す.こ

の よ う に ミ ク ロ状 態 を 表 す

点 を 統 計 力 学 で は 代 表 点 と い う.そ え,そ る が,そ

の 密 度 を ρ(x1,x2,…,xｎ)と

す る と き,各

代 表 点 は(18)に

の 流 れ に 乗 っ て み れ ば 密 度 ρは 不 変 に 保 た れ る(こ

い てリゥヴィル(Liouville)の が,ロト

こ でＶ 空 間 内 に 代 表 点 の 連 続 的 な 分 布 を 考

定 理 と呼 ば れ,統

の 性 質 は 力学 系 に お

計力 学 の基 礎 を なす もの で あ る

カーヴォル テ ラ系 に お い て も こ れ が 成 立 す る の で あ る.こ

て 生 態 系 の 統 計 力 学 が 試 み ら れ,あ

よ って移 動 す

れ を 基礎 に し

る程 度 成 功 し て い る)． こ の 不 変 性 は (21 )

と 書 か れ る. 【証 明 】 代 表 点 の 密 度 ρ(x1,x2,…,xn,t)の

微 分 は一 般 に (22)

と 書 け る.代

表点 の流 れ に乗 ってみ る と き (23)

は 流 れ の 速 度 で あ る.Ｖ空

間 内 にx1∼x1+Δx1,x2∼x2+Δx2,…,xn∼xn+Δxn

の微 小 部 分(体 積=Δx1Δx2…Δxn)を 考 え る と,x1軸 に垂 直 な 面 を 単 位 時 間 に通過 す る代 表 点 の数 は ρ(x1,x2,…,xn)x1,Δx2…Δxｎであり,x1+Δx1に

お い てx1軸 に

垂 直 な面 を単 位 時 間 に通 過 して こ の領 域 か ら出 て い く代 表 点 の数 は (24) で あ る.し たが って この領 域 の中 の 代 表点 の増 加 は

(25) と な る.他

の 軸 に 垂 直 な 面 に つ い て も 同 様 で あ る か ら,領

域 内 の代 表 点 の 数

ρΔx1Δ x2…Δxｎの 変 化 の 割 合 は

(26) と な る.し

た が っ て(22)をdtで

わ っ た 式 と(26)か

ら

(27) こ の 右 辺 に(18)(xj=dxj/dt)を

代 入 す れ ばγj kの 反 対 称 性 に よ り

(28)

Tea

Time

生 態系 バル カ ン半 島 と ヨー ロ ッパ の 境 に ア ドリア 海 が あ る.そ の ア ド リア海 で 取 れ る 魚 の 数 が,多 い 年 の 次 に は 少 な い 年 が 来 る とい うふ うに周 期 的 に 変 化す る こ とが 知 られ て い た.こ れ を 聞 い たロトカ(A.J.Lotka)が (V.Volterra)が

数理 的 な考 察 を加 え,ロト

報 告 を ま とめ,ヴォル

テラ

カーヴォル テ ラ の 方 程 式 が つ くられ

た.こ れ は生 態 系 の問 題 が 数 理 的 な 発 展 を うな が した著 しい 例 の １つ で あ る.ロ ジスティック方 程 式 が い わ ば 静 的 な 安 定 化 を表 す のに 対 し て,ロト

カーヴォル テ

ラの方 程 式 は よ り動 的 な 生態 系 を表 して い る. ア ド リア海 は 豊 富 な 食 糧 を もつ な どロト カーヴォル テ ラ系 が成 り立 つ た め の 前 提 条件 を 満 足 す る場 所 で あ った の だ ろ う.同 じよ うに 草食 動 物 に とっ て豊 富 な食 糧 の あ る カナ ダの草 原 な どで,た

と えば 草 食 動 物 の ウサ ギ と,こ れ を餌 とす る キ

ツ ネの 数 が たが いに 関 係 し合 い な が ら変 動 す る様 子がロト カーヴォル テ ラ の方 程 式 で記 述 され る ことが よ く知 られ て い る. この よ うにロト カ ーヴォル テ ラ系 は い わ ば マ ク ロ な動 物 の生 態 系 に つ い て考 え 出 され た もので あ るが,ミ

ク ロの 生 物,す なわ ち微 生 物 が よ り広 い応 用 を もつで

あ ろ う.そ して外 界 か らの影 響 に対 す る生 態 系 の応 答が 興 味 深 い.お そ ら く非 生 物 系 で あ る物 理 系 が 非 可 逆 的 で あ る よ う に,生 態 系 も非 可 逆 的 で あ る に違 い な い. 本 文 に も述 べ た とお り,ロト カーヴォル テ ラの方 程 式系 は エ ネ ル ギ ーに 相 当 す る保 存 量 を もち,ハ 田格 子(第11講

ミル トン運 動 方 程 式 の形 に書 け るが,と

くに簡 単 な 場 合 や 戸

以 下 参 照)に 帰 せら れ る特 別 の場 合 を 除 き,こ の体 系 に は そ れ 以

外 に保 存 量 が な く,可 積 分 系 で は な い.し たが っ て一般 に カオ ス的,あ

るい は エ

ル ゴー ド的 で あ る.そ の た めロト カーヴォル テ ラ系 の統 計 力 学 も考え られ,あ る程 度 の成 功 を 収 め て い る.こ れ を非 平 衡 の場 合 に拡 張 す る こ と も期 待 され る. 生 態 系 は 一 般 に い え ば カオ ス 的 で あ ろ う.し か も カオ ス的 で あ りな が ら平 衡 か ら大 き く離 れ た 非 平衡 の状 態 で 自己 組 織 化 され た 生態 系 が 擾 乱 に 対 して 安 定 な 体 系 と して 存在 して い る よ うで あ る.そ れ は非 平衡 の組 織 化 され た 状態 が 圧倒 的 に 多 くの ミク ロ状 態 を もつ とい うこ とか も しれ ず,そ の パ ラ ド ックス 的 な と ころ で あ る よ うに 思 われ る.よ

くい わ れ る よ うに 生 物 に は熱 力 学 で い う外界 との熱 平衡

の状態 は な い.そ れ が 生物 の特 徴 で,熱 平衡 は生 物 の機 能 をや め た とき の こ とで あ る.生 態 系 も同 じで あ る.生 態 系 も生 物 の個 体 と同 じ く熱 平 衡 の状 態 には な い 概 念 で あ る生 命 を もつ体 系 で あ る. 物 質 の存 在 理 由 は物 理 的 には 解 明 で きな い と もいわ れ る.生 命 の存 在 理 由 も究 極的 には 解 明 で きな い 問 題 で あ るよ うに思 わ れ る.あ る人 は 存 在 理 由を 求 め て 科 学 に 入 るか も しれ な い し,時 折 そ こへ 帰 ろ うとす る と して も,科 学 は結 局,存 在 す る もの を認 め る立 場 を 出 られ な い.

第４講 ロ ーレンツ 系の カ オ ス

―テ ー マ ◆対 流 ◆ロ ーレンツ ◆ Tea

の方程式

Time:ベナ

ール の 渦

対

流

変 数 の数 が ３以 上(３ を含 む)の 力 学 系 は一 般 に カ オス に な る.生 態 系 のロト カーヴォル テ ラ系 も一 般 に種 の 数ｎ が ３以 上 の と きは個 体 数 の 変 動 は カ オ スに な るの で あ る.こ の こ とを は っ き りさせ た の は ア メ リカ の気 象学 者ローレンツ (E．N.Lorenz)で 液 体,あ

あ った.

るいは 流 体 の下 部 を 上 部 よ りも高 い 温 度 に保 つ とき,温 度 差 が小 さい

間 は 流体 は静 止 し,熱 伝 導 で 熱 が 移 るだけ で あ る.し か し温 度 差 を少 し大 き くす る と対 流 が生 じる.流 体 の 層 の 厚 さが 小 さい と対 流 は 制 限 され て特 徴 的 な パ ター ンの対 流 がで き る.こ れ をベナ ール(Benard)の対流,あ ールの対 流 と い う.レ イ リー(Rayleigh)は

る い は レ イ リー‐べナ

この対 流 の発 生 条 件 を 理 論 的 に 研究

した の で あ る. 地 球 の 表面 は約10kmの

空 気 の 層 で 覆 わ れ て い る.地 理 的 な 距 離 に 比 べれ ば

大 気 は きわ め て薄 い層 な ので あ るが,こ の中 の対 流 は複 雑 な気 象現 象 を生 じる.ロ ーレンツ は こ の よ うな 大 気 の べナ ール対 流 の 計 算 機 に よ るシ ミュ レ ー シ ョンを

行 って い た.初 め彼 は12個 の 変 数 の連 立 方程 式 を 計 算 機 に かけ て い た が,1961 年 に この 計 算 の結 果 が初 期 値 に きわ め て 敏 感 で あ る こ とを 偶 然 発 見 し,初 期 値 敏 感 性 を詳 し く調 べ るた め方 程 式 を 簡 単 化 して しか も問 題 の 本 質 を 失 わ な い ３変 数 の体 系 を考 え 出 した.こ れ を ローレンツ の方 程 式(ローレンツ

系)と

いい

(１)

で 与 え られ る.こ 差,ｚ

こ でｘ は 対 流 の 強 さ,ｙ

は 上 昇 す る 流 れ と下 降 す る流 れ の 温 度

は 上 下 方 向 の 温 度 分 布 の フ ー リエ 係 数 を そ れ ぞ れ 表 す .定

ル 数 σ=ν/DT(ν ρgαd3ΔT/ηDT(ρ は 粘 性 率,ΔTは 2π/qと

は 動 的 粘 性 率 η/ρ,DTは は 密 度,ｇ

は 重 力 加 速 度,α

上 下 の 温 度 差),ｂは

し てb=4π2/(π2+q2))で,す

と し た.も

し もＲ と し て24.74よ

対 流 が 生 じ る.R=28は

熱 の 拡 散 率),Ｒ は 熱 膨 張 率,ｄ

数 σは プ ラ ン ト

は レ イ リ ー 数R= は 流 体 の 厚 さ,η

対 流 の 空 間 的 周 期 に 関 係 す る 定 数(周 べ て 無 次 元 の 定 数 で あ る.ロ

ーレンツ

期を は

り も小 さ い 数 値 を 与 え る と 定常 的 な 安 定 し た

非 定常 な 対 流 が 発 生 す る 臨 界 値 よ り も少 し大 き い 値 で あ

る. ローレンツ は(１)を

数 値 的 に 解 い た 結 果 を1963年

は た い へ ん 複 雑 で あ る.こ な い.コ

に 発 表 し た が,そ

の結 果 は コン ピ ュ ー タな しに は 得 られ な か った に違 い

ン ピ ュ ー タ は 新 し く微 細 な 世 界 を み せ て くれ た の で あ る .

図13図14

の結 果

図13は

ロ ーレンツ 系の 初期 値 敏 感 性 を示 す.初

め に ご くわ ず か 異 な った 初 期

値 か ら出 発 した と き,し ば ら くす る とま った く違 った 変 化 を 示 す よ うにな る.こ の図 は 煙 や 湯 気 の動 きを 思 わ せ る.図14は変数ｘ

の不 規 則 な 変 動 の １例 で あ る.

変 数 が３ 個 な の で 水 平 方 向 に ｘ軸 とｙ軸 を と り,鉛 直 上 方 に ｚ軸 を と る と,こ の３ 次 元 空 間 で状 態 を表 す 点 の軌 道 は２ 枚 の 羽 根 の よ うな と ころ を ぐる ぐる と回 って は時 折 こち らか らあ ち らへ と飛 び 移 る(図15.bは

模

式 図).一 方 を 何 度 回 っ た ら他 方 へ 行 くか は 定 か で は な い し, 他 方 へ 行 って 戻 っ て きた と きは 図15

も との 軌 道 の 間 の 新 しい軌 道 を

た ど る.そ の 振 舞 い は きわ め て 微妙 で ス トレンジア トラクタ と呼 ば れ て い る.ア トラ クタは 軌 道 を 引 きつ け る点,あ

るい は 領 域 の こ とで,減 衰 振 動 の 静 止 点 の よ

うな 点 や フ ァ ン ・デル ・ポ ール の方 程 式 な どに 現れ る極 限軌 道(リ ル)もア

トラ クタで あ る.こ れ らは２ 変 数(x,v)の

ミッ トサ イ ク

と きのア トラ ク タで あ るが,

ス トレン ジア トラ クタは ３変 数 以 上 の体 系 で 現 れ る.も ち ろん 方 程 式 は 決 定 論 的 で あ るか ら軌 道 は交 らな い.３ 変 数 の 場 合 は軌 道 が ３次 元 空 間 で 立 体 交 差 す るの で ス トレ ン ジア トラ クタが 可 能 な の で あ る.ス 拡 大 してみ る と,そ

トレンジア トラ クタは そ の一 部 を

の 中 に 同 じ よ うな構 造 を もち,い わ ゆ る フ ラ クタ ル的 な 複

雑 さ を も って い る ことが わ か る.す で に述 べ た よ うに 軌 道 の 大 部 分 は ２枚 の 羽 根 に乗 って い る よ うにみ え るが,こ れ らは 完 全 な 平 面 で は な くて,や は りフ ラ ク タ ル的 で あ る.言 い 換 えれ ば これ らの 羽根 は ２次 元 の 平 面 で は な く,２ に きわ め て 近 い 非 整 数 の フ ラ クタル 次 元 を もっ てい る. 位相 空 間 の体 積 ローレンツ 系の 状 態 を表 す 点 の軌 道 は ス トレンジア トラ クタ の まわ りを いつま

で も さ ま よい,静 止 す る こ とが な い.し か し こ の体 系 は エ ネ ル ギ ー の よ うに保 存 す る量 を もた な い.(２)か

らわ か る よ うにdx/dtは-xに

ｙ とｚ も同 様 で あ るか ら減 衰,あ

比 例 す る項 を もち,

るい は 散 逸 的 な性 質 を も って い る.し か し同 時

に他 の変 数 に よ って 駆 動 され る(ロト

カーヴォル テ ラ系 で も似 た こ とが あ っ たが,

保 存 量Ｇ が 存 在 す るの で保 存系 で あ った). エ ネル ギ ーが 散逸 す る典 型 的 な例 で あ る減 衰 振 動 は しだ い に振 動 が 減 衰 して最 後 に 静 止す る.こ

の場 合,位 相 空 間(x,v)の

中 に 代 表 点 の 集 ま った領 域 を考 え

る と,代 表 点 が 静止 点 に 近 づ くに つれ て 領 域 の面 積 は しだ い に ０に近 づ くこ とに な る.位 相 空 間 の体 積 が この よ うに0に 近 づ くの が 散逸 系 の １つ の特 徴 で あ る.ロ 一レンツ 系に お い て も,位 相 空 間(x,y,z)の

体 積ｖ は しだ い に 減 少 す る.

この と き (２) とな るか らで あ る. 【証 明】ロト

カーヴォル テ ラ系 の 場 合 に 示 した よ う に(第

間 をV(x1,x2,…,xn)と

３講(27)),位

相空

す る とき (３)

が成 り立 つ.こ こで ρは 位 相 空 間 の 微 小 部 分 に お け る代表 点 の密 度 で あ って,こ の代 表 点 の数 をｎ,こ れ が 占 め る位 相 空 間 の 体 積 をＶ とす れ ば (４) は 代 表 点 の流 れ に 沿 ってい くと き一 定 で あ るか ら (５) した が って (６) さ て,ロ ーレンツ 系(１)に

お い て は(x=dx/dtな

した が って位 相 空 間 の 体 積 の 変化 率 は

ど)(７)

(８) と な る.σ

とbは

と もに 正 とし てい るの で (９)

の形 で位 相 空 間 の 体 積 は指 数 関 数 的 に 小 さ くな る. レス ラ ー 系 ス トレ ン ジ ア トラ ク タ を も ち,ロ で あ る.こ

ー レ ソ ツ系 よ り も 簡 単 な モ デ ル が レ ス ラ ー系

れは

(10)

で 与 え ら れ る.μ

は 定 数 で μ=5.7と

した と き の 軌 道 の 様 子 を 図16に

示 す.こ

の

系では

(11) で あ るが,xは

図17の

よ うに 正 負 の 値 を と る の で,μ=5.7の

図17

図16

図18

とき長 時 間 的 に は

dV/dt＜0で

あ る.

レ ス ラ ー 系 に お い て 代 表 点 が 占 め る 領 域 は １つ の 方 向 に 広 が り,こ 方 向 に は 縮 ま っ て 図18の 関 数 的 の 変 形 で あ っ て,そ

よ うに 変 形 す る こ と が 示 さ れ る ． こ の 延 び 縮 み は 指 数 の 指 数 は リアプノフ

数 と 呼 ば れ て い る.

リアプ ノ ブ 数 の １つ が 正 で あ れ ば 他 の も の は 負 と な り,ス は レ ス ラ ー 系 の 場 合 の よ うに 帯 状 に つ ぶ れ て 広 が る.軌 畳 み の 変 形 を 受 け る.カ

れに垂直 な

トレ ン ジアhラクタ

道 は こ の よ うに し て 折 り

オ ス は こ の よ う な 折 り畳 み の 操 作 に よ っ て 発 生 す る.

Tea

Time

ベナ ール の 渦

ベナ ール の 渦 とい う とす ぐ思 い 出す の は熱 いみ そ 汁 の中 の対 流 で あ る.火 に か け た鍋 のみ そ 汁 は も っ と盛 ん に対 流 を起 こす.ガ

ラス の紅 茶 ポ ッ トの 中 で は 紅 茶

の葉 が 対 流 に つれ て 動 く.こ れ を 眺 め て 心 を 遊ば せ る と きは 本 当 の テ ィー タ イ ム で あ る. 寺 田寅 彦 先 生 の随 筆 に,熱 い茶 の表 面 に か す か に み られ る湯 気 の こと を書 い た の が あ った.明 るい 光 を 当 て て よ く注 意 して み る と茶 の水 面 に密 着 す る よ うに し て 立 ち 上 が る湯気 がみ られ るが,そ

こに 湯 の 表 面 近 くの渦 の境 が 割 れ 目 の境 界 線

を 表 す よ うな湯 気 のす じが あ って,弱 い 風 を 送 る とそ のす じがひ らひ らと 組 み 換 え られ て動 く.そ うい う微 妙 な 湯気 の 動 きの こ とが 書 い てあ った. これ とは ま った く関 係 が な い の だ が,北 極 や南 極 に近 い ノル ウ ェ ー,カ ナ ダ, 南 極 の基 地 で よ くみ られ るオ ー ロ ラは空 か ら下 が った 薄 い カ ーテ ン と もみ え,ま た上 空へ 立 ち上 る湯気 の よ うに もみ え るが,そ れ がひ らひ らと動 く様 子 は ま さに 熱 い茶 の表 面 に た ゆ と う湯 気 の渦 の よ うで もあ る.両 者 の 間 には 何 か 似 た と ころ が あ る よ うな気 が す る.そ れ は 不 安 定 さ を も った あ る組 織 とい え る か も し れ な い. 寺 田先 生 は渦 や 割 れ 目に 特 別 な 興 味 を も って い た.対 流 渦 に 関 す る寺 田先 生 の 研 究 がベナ ール の研 究 に 数 年 遅 れ た の は お しい こ とだ ともい え る.ベナ

ール 渦 な

どの 研究 を してい るス ペ イ ンの知 人 か ら寺 田 先 生 の渦 や カ オス に 関 す る論 文 をコ

ピー して送 って くれ と頼 まれ て,コ

ピー を し て も ら って 送 った こ とが あ る.寺 田

先 生 の英 文 論 文 集 が 再 刊 され た とき,買 い た く思 った が 書 斎 が 狭 くて 困 ってい る 実 状 な の で 残 念 な が ら見送 った こ と も あ る. 地 表 の 大 気 の約10kmの

厚 さ の対 流 圏 で 多 く の気 象現 象 が 起 こ る.10kmと

い えば 歩 い て も ２時 間 ち ょ っとで 行 け るか ら,大 気 の 厚 さは 地 理 的 な距 離 に比 べ て実 に薄 い の で あ る.台 風 な どは 直 径 何 百kmも

あ る が,厚

さは 約10kmだ

か

ら １円玉 の よ うに 薄べっ た い ので あ る.薄 い 液 体 の 層 の 中 のベナ ール対 流 よ りも も っ と薄 い とい って よ い だ ろ う. 夏 の 日に 暖 め られ た 地面 か ら上 昇 す る大 気 は 上 が るに つ れ て 断 熱膨 張 に よ っ て 冷 却 し,中 の水 蒸 気 が 雄 大 な 積 乱雲 を つ くる.こ れ が発 達 す る と強 い夕 立に な り, 下 降 気 流 が で き る と と もに上 昇 気 流 は 弱 ま って し ま う.こ うして 上 昇気 流 が 生 じ て か ら消 滅 す る まで の 時 間は １時 間 程 度 で あ る とい う.積 乱 雲 の大 きな雲 の峰 は こ うして つ ぎつ ぎ と生 長 して は消 滅 す る上 昇 気 流 に よ る もの で あ る.こ の よ うに 世 代 交 代 を 繰 り返 す対 流 渦 を 表 す 簡 単 な 数 学 的 モデ ル は あ るの だ ろ うか.

第５講 １次 元 写像 の カオ ス

―テ ー マ ◆ロ ジ ス テ ィ ッ ク 写 像 ◆カ オ ス ◆ Tea

Time:不

連続時間

ロジ ス テ ィ ック写 像 第 ２講 で述 べ た ロジ ステ ィ ック方 程 式 は連 続 的 な時 間 に 対 す る方 程 式 で な め ら か な 時間 経 過 を 与 え る.こ れ は 実 は 線 形 化 で きる もので,線 形 化 し た形 で時 間 を 差 分化 して もや は りな め らか な 時 間 経 過 を す る こ と もす で に述 べ た.し か し差 分 化 の仕 方 に よ って は カ オス が発 生す る こ とが 知 られ て い る. ロジス テ ィ ック方 程 式 を (１) とす る.時 間 を不 連続 に と り,ｎ を整 数 と して (２) とお く.ま たN(nτ)=Nnと

書 き(１)の

左 辺 を差 分 化 した 方 程 式 (３)

を考 え る.さ らに簡 単 化 す る た め

(４) と お く と(３)は

(５)

と な る.(５)はxnをxn+1へ

移 す 写 像 と み る こ とが で き,こ

れ を ロ ジ ステ ィ ッ

ク写 像 と い う. (５)を

解 析 的 に 解 く こ と は で き な い.し

か しxnを

与 え てxn+1を

は コ ン ピ ュ ー タ あ る い は 作 図 に よ っ て 簡 単 に 行 う こ と が で き る.作

求 め る操 作 図 法 に よ って

考 察 し よ う. xnを 横 軸 に,xn+1を

縦 軸 に と る(図19).(５)

す な わ ちxn+1=axn(1-xn)はxn=1/2に 対 称 な放 物 線 を 与 え る.そ xnを 通 りxn+1軸

こ でxnを

で あ る が,さ

れ がxn+1軸

と

与 え る ． こ れ が 写 像xn→xn+1

ら に 図20の

xn 軸 に 移 し,同

決め た と き

に 平 行 な 直 線 を 引 い て放 物 線 と

交 わ る 点 か ら 水 平 線 を 引 け ば,こ 交 わ る 点 がxn+1を

対 して

よ う に45°の

図19

対 角 線 を 用 い れ ばxn+1の

じ操 作 を 続 け れ ばxn+2,xn+3,…を

値 を た だち に

求 め る こ と が で き る.

カ オ ス の 出現

写 像 は 図20の (ａ)0＜a＜1の

よ う に パ ラ メ タａ の 値 に よ っ て 異 な る. と き.ど

の よ うな 値x0か

ら 出 発 し て もxn→0(n→

∞)と な

と き.ど

の よ うな 値x0か

ら 出 発 し て もx∞=ax∞(1-x∞)で

る. (ｂ)1＜a＜2の

与

え られ る 値x∞ に 近 づ い て い く. (ｃ)2＜a＜3の

と き.あ

る 値x∞の

上 下 を 振 動 し な が らx∞ に 近 づ く.

(ｄ)3＜a＜3.449…(=1+√6)の 値 の 間 を 振 動 す る よ うに な る(２ 周 期)．

と き.ｎ

が 少 し 大 き く な る とxnは

２つ の

(ｄ)3＜a＜3.449

(ａ)0＜a〈1

(ｅ)3.449＜a

(ｂ)1＜a〈2

多周 期 → カ オ ス

(ｃ)2＜a＜3

図20 (ｅ)1+√6＜a＜3.57…

の と き.aを1+√6よ

ま ち4周

期 に な り,さ

な る.そ

し て α∞=3.57…

さ ら にa∞ ＜a≦:4の

ら に 大 き くす る と し だ い に 急 速 に23周

に

と きxnの

変 動 は 不 規 則 で,初

期 値x0を

わ ず か に 変 えた だ

の 状 況 を カ オ ス と い う.

期 の 窓,3周

期 の 窓 な ど も あ り,写

れを

像 は 非 常 に複 雑 な 様

が で き る と い うの は 決 定 論 的 な 変 化 で あ る の に カ オ ス に な る(決定

論 的 カ オ ス と い う)場 な お 写像xn→xn+は 前 のznは

期,…

値 の と こ ろ ど こ ろ で 単 純 な 周 期 的 変 動 が 現 れ る こ と が あ り,こ

窓 と 呼 ん で い る が,6周 相 を 示 す.窓

期,24周

に お い て2∞ 周 期 が 現 れ る.

け で ま っ た く異 な る 変 化 を 示 す よ うに な る.こ しか しaの

り も少 し大 き くす る と た ち

一 般 に2つ

合 の 大 き な 特 徴 で あ る. 一 義 的(決

定 論 的)で

の 値 を と り う る(図19参

あ る が,xn+1を 照)か

ら,写

与 え た と き,そ

の

像 を逆 に さ か のぼ る

こ と は で き な い.

 周 期 的 分 岐

ロ ジ ス テ ィ ッ ク写 像 の 重 要 な 特 徴 の1つ

は,周

期 倍 増 の過 程 の末 に カ オ スが 出

図21 (Gleick, J.,

現 す る こ とで あ る.周

1987:

Chaos:

making

１周 期 の 分 岐 で あ る．ａが

周 期(24周

が 分 岐 す るak+1の と い う.akの

し長 い 時 間 が た っ

安 定 な 値 と し て 現 れ る.a=a0=1が

３を 超 え る と 図21の

期)に

な る.さ

分 岐 し,a=a3=3.56で

期)が

よ る)

よ う にxnは２

つ の 値s1とs2を

らばxn+1=s2,xn+2=s1,…).a=a1=3が

３ を 超 え る と ２周 期(21周 期)が

scienceに

値 を 縦 軸 に プ ロ ッ トし た 図 で 表 さ れ る(図21).こ

の 図 でａ が １を 超 え る と ま ずxn=1-1/aが

期(22周

new

期 の 倍 増 は パ ラ メ タａ を 横 軸 に と り,少

て か ら現 れ る 周 期 的xnの

交 互 に と る(xn=s1な

a

分 岐 し,こ

分 岐 点 で あ り,

ら にa=a2=1+√6=3.45… ８周 期(23周

う し て し だ い に2k周

間 の 間 隔 が し だ い に 狭 くな る.こ

間 隔 は し だ い に 等 比 級 数 に 近 づ き,そ

で ４周

期),a=a4=3.5685で16

期 が 分 岐 す るakと,2k+1周

期

の よ うな分 岐 を熊 手 型 分 岐 の値 は

(６) に 近 づ く.こ

れ を フ ァ イ ゲ ン バ ウム(Feigenbaum)定

数 とい う.

【説 明 】  ロ ジ ス テ ィ ッ ク写 像(５)を (７) と書 く と,写

像 を 続 け て ２回 行 っ た 結 果 は (８)

で 表 す こ と が で き る.a=3.449でfa2(xn)を 対 角 線 と の 交 点s1とs2が

２周 期 のxnの

プ ロ ッ トす る と 図22の 値 に な る(s1とs2間

よ う に な り,

の 交 点 は 不 安 定).

fa2(x)の (x)に

右 半 分 あ る い は 左 半 分 はfa

似 て い る か ら,さ

部 分 的 に はfa(x)あ た 曲 線(図23)に

ら にfa4(x)も

る い はfa2(x)に

似

な り,ａが3.449を

超 え る と ４周 期 を 与 え る.以 こ の よ うな 考 察 か ら,フ

下 同 様 で,

ァ イ ゲ ンバ ウム

定 数 が 説 明 さ れ る.

図22図23 １次 元 写 像

xn+1の 値 がxnの

値 の み に よ って 定 ま る関係 (９)

は １次 元 写 像 と呼 ば れ る.ロ

ジ ス テ ィ ッ ク 写 像 は そ の １つ で あ る.xnとxn+1の

間 の 関 係 を 示 す 曲 線 は ロ ジ ス テ ィ ッ ク写 像 で は放 物 線 で あ る が,た

とえば 写 像 (10)

も ロ ジ ス テ ィ ッ ク写像 と似 た 熊 手 型 分 岐 を 示 し,フ な る.相

ァ イ ゲ ン バ ウム 定 数 も 同 じ に

当広 い条 件 の も とで この フ ァ イ

ゲソ バウム の 普 遍 法 則 が 成 り立 つ こ とが 知 ら れ て い る. し か し テ ン ト写 像(図24)

(11) で はＡ を 大 き くして い って も熊 手 型 分

図24

岐 は 起 こ らず,A＜1/2の 突 然 塩=0.5に xnの

と き はxn=0が

移 る.A＞1/2でxnの

カ オ ス 領 域 は 広 が っ て,A=1で

A=1の

安 定 点 で あ る が,A=1/2で 変 化 は カ オ ス に な り,Aを

増すに つ れ て

は 全 領 域 が カ オ ス に な る.

と き の 写 像 で は ご く特 別 の 初 期 値 で な い 限 り,xnの

不 規 則 に と り,こ

安定点は

の 区 間 で 一様 に 分 布 す る.こ

値 は0と1の

間を

の 事 情 は パ イ こね 変 換 と 呼 ば れ る

変換

(12) で も 同 様 で あ る.こ

の 変 換 は パ ン 屋 の 変 換,ベ

ヌ ー イ シ フ ト,2進

変 換 と も 呼 ば れ る.図25は

ル

こ の 写 像 を 示 した も の で あ る. な おa=4の

と き の ロ ジ ス テ ィ ッ ク写像

(13) は カ オ ス を 示 す が,こ

こで

(14)

図25

の ロ ジ ス テ ィ ッ ク写 像(13)は

と お く と,

(15) と な る.こ

れ は 写像

(16) を 与 え る.こ

の 写 像 も特 別 な 初 期 値 を 除 け ば カ オ ス に な る.そ

し,Bry+1が1を

超 え る と き は1を

こね 変 換(図25)と

ひ い た 値 を 採 用 す る も の と す れ ば(16)は

実 質 的 に 同 じ で あ る.そ

に 分 布 す る こ と が 示 さ れ る が,xnは(14)に テ ィ ッ ク写 像(13)の

こ で0＜Bn＜1と

し て(16)は0〓

パ イ

θn≦1の 間 で 一 様

よ っ て θnと 結 ば れ る の で,ロ

カ オ ス は 一 様 な 分 布 で な い こ と を 意 味 す る.

ジス

Tea

Time

不連続時間 連 続 的 自然 観 と不 連続 自然 観 とは 科 学 が 始 ま って 以 来 の ２つ の 大 きな 流れ で あ る.不 連続 自然 観 に よれ ば 自然 は それ 以 上 分 割 で きな い 原 子 か ら成 る.し か し現 在 で は 原 子 も電 子 も波動 で あ る とい う連 続観 も是 認 され る.２ つ の 自然 観 は二 者 択 一 をせ ま る よ うな もので は な い と もい え る. しか し,不 連 続 の 間 隔 を十 分 狭 く した極 限 が 連 続 で あ る とい う見方 は あ ち こ ち で 破 綻 を き た してい る よ うで あ る.わ れ わ れ の 意 識 だ って 連 続 的 で あ る とい う証 拠 は な い.思 い 出す,思

いつ くな ど,思 考 に 関 して い えば む しろ不 連 続 で あ る こ

とが本 質 で あ る ら しい. ロジ ス テ ィッ ク写 像 は 不 連続 な,飛 び飛 び の写 像 で あ り,こ れ とま ぎ らわ しい 名前 の ロジ ス テ ィ ック方 程 式 は 連 続 な 変 化 の方 程 式 で あ る.本 文 に も書 い てあ る が,ロ ジ ス テ ィ ック方 程 式 をN=N(t)に

対 して (１)

と 書 き,時

間ｔ をt=nτ(n=整

数)と

し て 「す な お に 」 不 連 続 化 す る と (２)

と な る か ら,さ

らに

と お け ばロジスティック

写像の式 (３)

と な る.こ

の 意 味 で ロ ジ ス テ ィ ッ ク 写 像(３)は

ロ ジ ス テ ィ ッ ク方 程 式(１)と

対 比 さ れ る. し か し,α が ど の よ うな 値(α＞0)で テ ィ ッ ク曲 線)に

な る の に 対 し,ロ

ラ メ タａ が ２を 超 え る とxnあ

もN=N(t)は

な め ら か な 曲 線(ロ

ジ ス テ ィ ッ ク写 像(３)あ

る い はNnの

ジス

る い は(２)は

パ

変 化 は な め ら か で な くな り,aが

さら

に 増 加 す る とつ い に は カ オ ス的 な 変 化 をす る よ うにな る. こ の よ う に 時 間 を 不 連 続 に す る と 現 象 が ま っ た く異 な る 様 相 を 呈 す る .生 １年 に １回 増 殖 す る も の が 多 い か ら,そ (１)よ

物は

の 個 体 数 の 変 化 はロジ ス テ ィ ッ ク方 程 式

り も 時 間 を 不 連 続 に し た ロ ジ ス テ ィ ッ ク方 程 式(２)あ

る い は(３)で

記 述 され る と したほ うが よ いか も しれ な い.そ

うだ とす る と条 件 しだ い で は 生態

系 の個 体 数 の変 化 は カ オ ス的 に な る こ とも考 え られ るだ ろ う. この よ うに考える と,時 間 を連続に したロト カーヴォル テ ラ 方 程 式(第

３講参

照)の 適 用 範 囲 も再 考 しな け れ ば な らな い と思わ れ る.生 態 系 は さ ら に複 雑 な の で あ る.

第６講 簡単な波動方程式

―テ ー マ ◆波 動 方 程 式 ◆バ ー ガ ーズ 方 程 式 ◆ Tea

Time:レ

イ リー卿

波 動 方 程 式

音 の 波,光

の波 な どの 波 動 を表 す 一 番 簡 単 な 方 程 式 は (c0=定

で あ り,こ

れ は 波 動 方 程 式 と呼 ば れ て い る.た

る.ｔは 時 間 を 表 し,定

数c0は

数)(１)

だ し 波 はｘ 方 向 に 伝 わ る と し て い

波 の 伝 わ る 速 さ で あ る.上

式 は 因 数 分 解 で きて (2)

あ る いは (2') と書 け る.こ

れ か ら もわ か る よ うに,(１)の

解 は 一般 に (３)

で 与 え られ る.こ

こ でｆ,ｇ

は 任 意 関 数 でf(x-c0t)はｘ

c0t)は 負 の 向 き に 伝 わ る.(３)を(１)に

の 正 の 向 き に,ｇ(x+

対 す るダ ラ ン ベ ール(d'Alembert)

の 解 と い う． (２)か

らわ か る よ う に

(４) はｘ の 正 の 向 き に伝 わ る(１)の

解 を与 え る.簡 単 の た め微 係数 を表 す の に添 え

字 を用 い

な ど と 書 こ う.こ

うす る と(４)は (４')

と な る.こ

の 式 の 解 はf(x-c0t)で

い で 伝 わ る 波 を 表 す.と

与 え られ,こ

れ はｘ の 正 の 向 き に,変

形 しな

く に 正 弦 波 を と れ ば 波 長 を λ,振 動 数 をν と し て (a=定

数) (５) (一 定)

と 書 け る.こ の 場 合 の よ う に 波 の 速 度 が 波 数ｋ に よ ら な い 波 を 非 分 散 性 の 波 と い う. な お,あ

る方 程 式 に お い てu1=u1(x,t)お

線 形 の 重 ね 合 わ せu=u1+u2も

よ びu2=u2(x,t)が

解 な ら ば,こ

の 方 程 式 は 線 形 で あ る と い い,こ

事 柄 を 重 ね 合 わ せ の 原 理 と い う.(１)や(４)は 【分 散 性 】uxxx=∂3u/∂x3を(４)に

解 で あ る と き, の

線 形 方 程 式 で あ る.

加 えた方 程 式 (６)

を 考 え よ う.こ

れ も線 形 方 程 式 で あ る.し

か し 波 の 速 度 は 波 長 に よ っ て 異 な る.

これ を み る た め に (７) と お く と,こ

れ を(６)に

代 入 して

(８) を 得 る.波

の 速ｃ

は 波 数ｋ に よ っ て 異 な る の で あ る.こ

の よ うな 性質 を分 散 性

と い う.波

が 分 散 性 を も つ と き波 を 伝 え る も の を 分 散 性 媒 質 と い う.

波 が 種 々 の波 数 の波(成 分 波)の 重 ね 合 わ せ で あ る と き,分 散 性 の波 の 場 合, 各 成 分 波 は 違 った 速度 で 伝 わ る ので,初 め ま と ま った形 の波(波 束)で あ っ て も 時 間 が た つ と一 般 に波 は くず れ て しま う.し か し分 散 性 が 弱 けれ ば,波 束 は しば ら くの 間 (９) で伝 わ る よ うに み え る こ とが 示 され る.こ れ を群 速 度 と い う.ω=ω(k)は

分散

関 係 と呼 ばれ る.

非線形波動 線 形 の波 動 方 程 式(４)に

非 線 形 項uuxを

加 えた方 程 式 (10)

を考 え よ う.こ れ は非 線 形 方 程 式 で あ るか ら,解 の 重 ね 合わ せ は で きな い .こ こ で簡 単 の ためC0=β=1と

お き,u+1を

改 め てｕ とお くと(10)は (11)

とな る.こ れ はお そ ら く一 番 簡 単 な非 線 形 方 程 式 で あ ろ う.(11)と(4')を る と,波 は 速度ｕ を もつ よ うに み え る.実 際(11)はｆ

比べ

を 任 意 関 数 と して (12)

の形 の解 を もつ こ とが 示 され る. 【証 明】(12)をｔ

で微 分 す れ ば (13)

またｘ で 微 分 す れ ば (14) こ こ で(14)にｕ

を か け て(13)に

加 え

て整理す ると

(15) を 得 る.し 図26

た が っ てut+uux=0で

あ る.

波 形 を 表 す た めｕ を 縦 軸 に と り,ｘ を 横 軸 に と っ てu∼tの (図26).t=0で

こ の 曲 線 はu=f(x)で

あ る.こ

図をえがいてみ よう

の 曲 線 上 の １点 を(x0,u0)と

す

ると (16) で あ る.時

刻ｔ に お い て は(12)に

よ り (17)

した が っ て 点(x0,u0)は

点(x0+u0t,u0)に

の と こ ろ は 速 さｕ で 右 へ 進 み,そ

移 る.こ

れ か らわ か る よ うに 高 さｕ

の た め 図 の よ うな 波 は 前 面 が 突 っ立 っ て く る.

そ し て あ る 時 間 の 後 に 曲 線 は 多 価 に な り,波

と は い え な い 形 に な っ て し ま う.

バ ー ガ ーズ 方 程 式

方 程 式(11)の

右 辺 にνuxxを

加 え て 得 られ る 方 程 式

(18)

を バ ー ガ ーズ(Burgers)方

程 式 と い う.こ

れ は 粘 性 を もつ 流 体 の方 程 式 で あ る

ナ ビ エ‐ス トー ク ス の 方 程 式 の １次 元 の 場 合 と考え る こ と が で き,こ 動 的 粘 性 率 と呼 ば れ る も の で あ る.(18)の が 多 価 に な っ て し ま うが,ν ＞0で る こ と が な く な る.こ

右 辺 を ０ と お け ば(11)に

の 場 合ν は な り,波

あ れ ば 粘 性 の た め に 波 が 突 っ立 っ て 多 価 に な

れ は 次 の よ う な 変 換 で(18)が

解 け る こ とに よ っ て示 され

る． (18)に

おいて (19)

と お く と(18)は

線形化されて (20)

と な る.こ

れ はν ＞0の

えられ る(こ

と き 熱 伝 導(あ

る い は 拡 散)方

程 式 で あ っ て 一 般 解 が与

の 解 の 性 質 か ら バ ー ガ ーズ 方 程 式 は 多 価 に な る こ と が な い こ と もわ

か る).(19)を 【証 明 】(18)は

コ ー ル‐ホ ッ プ(Cole‐Hopf)変

換 と い う.

(21) と 書 け る の でｘ で 積 分 す れ ば (22) こ れ に(19)か

ら 得 られ る 式

(23)

を 代 入 す れ ば(20)を

得 る.

バ ー ガ ー ズ 方 程 式(18)に が,(18)と(11)と

お い て,か

りにν=0と

す る と方 程 式(11)に

な る

は 解 の 長 時 間 に 対 す る 性 質 が ま っ た く異 な る こ と が 注 目 さ

れ る.(18)に

お い てν を 限 りな く ０に 近 づ け て もν=0に

した もの とは ま った く

異 な る と い う こ とで あ る. 【保 存 量 】

バ ー ガ ーズ 方 程 式(18)は (24)

と書 け る.無限

領 域(-∞

方 でu2やuxxが０

＜x＜ ∞)に

お い てｕ の 積 分〓udxが存

在し,遠

に な るな らば (2 5)

とな る か ら〓udxは

保 存 さ れ る.す

なわち

〓udx= 一 定(時 こ の 性 質 はν=0に

し た(11)に

間 に よ ら な い)(26)

つ い て も成 り立 つ .

Tea

Time

レ イ リー 卿

波 動 現 象 の研 究 は19世 紀 後 半 に大 いに 発 達 した.波

束 や 群 速 度 な ど の概 念 が

確 立 され た の も この時 期 で あ って,こ れ が な か っ た と した ら今 世 紀 の量 子力 学 の 発 展 も遅 れ た で あ ろ う と思 わ れ る. 1834年 に ス コ ッ ト・ラ ッセ ル(J.Scott うが,ス

Russell.ラ ッセ ル とい って もい い と思

コ ッ ト・ラ ッセル と呼 ん で い る)は 運 河 の 中 を進 む孤 立 波 を 発 見 し,水

槽 を つ くって これ を研 究 した.孤 立 波 が 流 体 力 学 に と って 重 要 な発 見で あ るか ど うか とい う こ とにつ い て当 時 論 争 が あ った とい うこ とで あ る.ラ ッセル が 船 の技 術 者 で あ った ため 流 体 力 学 者 か ら軽 くみ られ た の か も しれ な い.こ の 大 御所 で あ った エ ア リー(Sir 浅 水波(深

Airy)は,こ

Rayleigh)は

とに 流 体 力 学

れ は単 な る ラグ ラ ン ジ ュの

さの平 方 根 に比 例 す る速 度 で進 む.c0=√gh)で

対 し レ イ リー(Lord (1876年),コ

G.B.

あ る と した.こ れ に

孤 立 波 が 可 能 で あ る こ とを 計 算 に よ っ て 示 し

ルテヴェ ーグ とド ・フ リース は これ を拡 張 してKdV方程式(第

７

講参 照)を 得 て い る(1895年). レイ リー卿 は そ の 著Theory of

Sound(1877年)で

も有 名 で あ る． この 本 で

は有 限 振 幅 の音 波 に 現 れ る非 線 形 効 果 が た とえば 第 ２巻 の250節

か ら数 節 にわ た

っ て考 察 され,そ の 中 に ボ ア ソ ンや リー マ ン の先 駆 的 な仕 事 が 述 べ られ て い る. 音 波 の示 す 高 次 の 効果 で あ る音 波 の 圧 力 の解 析(レ イ リー板)も 述 べ られ て い る. 245節 に は 音 波 に よっ て波 の伝 播 方 向 に 物 質 が 移動 す る効 果 もと く に注 意 され て い る.つ ま り,波 動が 純 粋 に正 弦 波 的 で あ る とい うこ とは媒 質 の運 動 が 完 全 に 周 期 的 で あ る こ とを意 味 しな い.密 度 の 変 化 と媒 質 の速 度 とは 同位 相 な の で そ の 積 は 正 で あ って,こ れ は 波 の伝 播 方 向 に物 質 が 移 動 す る こ とを示 して い る.ふ つ う の波 で は 物 質 は 移動 しない が ソ リ トン(第 ７講 参 照)で は 物質 の移 動 が あ る,と い わ れ る こ とが あ るが,こ れ は 間違 い で あ る.ふ つ うの波 で は ２次 の効 果 と して 物 質 の移 動 が あ るが,ソ

リ トンで は １次 の効 果 と して 物 質 の移 動 が あ る,と い っ

た ほ うが 正 しい. レイ リーは 肖像 で み る とい くらか た くま しい 人 の よ うに思 わ れ るが,若 か った と きは 弱 か った の か,ギ リシア に保 養 に行 って い て,そ の 間 にTheory of

Sound

を書 い た とい わ れ て い る.寺 田寅 彦 さん の 随 筆 に,こ の本 をた ず さ えて 温 泉 地 に

行 き,湯

に 入 っ て は こ れ を 読 み,読

よ うに 書 き,こ

の よ うに 読 み た い,な

レ イ リ ー はベナ で あ っ た し,水

ん で は 湯 に 入 っ た と 書 か れ て い る.本

ール 渦 の 安 定 性,す

は この

ど と思 っ た りす る. な わ ち カオ ス の問 題 につ い て も パ イ オ ニ ア

柱 の 表 面 の 振 動 な ど の 研 究 も あ っ て,後

者 は ボ ー アが 学 生 だ っ た

こ ろ の 研 究 の 端 緒 と な っ た も の で あ る. レ イ リ ー は ア ル ゴ ン の 発 見 に よ っ て ノ ー ベ ル 賞 を 受 け て い る.こ 究 で,レ

イ リー の 仕 事 の 広 さ と深 さ を 思 わ せ る.窒

方 法 に よ っ て わ ず か に 違 う こ と に 注 目 し て,窒

素 の原 子 量 が 窒 素 を採 集 した

素 の 中 に 未 知 の ガ ス が 含 まれ て い

る こ と を 突 き と め た 研 究 で あ る ． ア ル ゴ ン は 空 気 中 に 約1%も あ る.こ

れ は 実験 的研

の 発 見 は 空 気 中 に 含 ま れ る他 の 不 活 性 気 体,ネ

含 まれ て い た の で

オ ン,ク

リ プ トン な ど の

発 見 に つ な が っ た. フ ァ ラ デ ー,マ べ る と,皆

ク ス ウ ェ ル,ケ

ル ビ ン な ど ほ ぼ 同 時 代 の イ ギ リス の 人 た ち を 比

す ぐ れ た 個 性 が あ る が,レ

うな 気 が す る.理

イ リー に は い ぶ し銀 の よ う な 学 風 が あ る よ

論 と 実 験 の 両 方 を こ な す と い う こ と は ほ と ん ど 夢 の よ うに な っ

て し ま っ た こ の ご ろ で あ る が,こ

れ が 実 現 で き る 科 学 の 分 野 が 復 活 し て くれ ば 楽

し い だ ろ う と期 待 さ れ る の で あ る.

第７講 コ ルテヴェ

ーグ‐ド

・フ リース 方 程 式

―テー マ ◆コ ルテヴェ ーグード ・フ リース(KdV)方

程式

◆ソ リ トン解 ◆ Tea

Time:ソ

リ トン の発 見

Kd V方程式 1895年

にオランダ

の コ ルテヴェーグ(D.J.Korteweg)とド

に よ っ て 提 出 さ れ た 浅 水 波 の 方 程 式 は コ ルテヴェ し てKdV方程式)と

呼 ば れ る(同

Vries)

ーグ ード ・フ リース 方 程 式(略

じ シ リ ー ズ の 『流 体 力 学30講

彼 ら は こ の 方 程 式 が 孤 立 波解 と周 期 波解(い を 示 し た.KdV方程式

・フ リ ース(G.de

』 参 照) .

わ ゆ るク ノ イダル 波)を

もつ こ と

は 簡 単 な 尺 度 変 換 に よ り無 次 元 の 非 線 形 方 程 式

(１)

と 書 け る(μ

は 定 数)．

【孤 立 波 】(１)は

(２)

と表 せ る 解 を も つ.sechは

１つ の 山 を もつ か ら こ の 解 は 孤 立 波 と 呼 ば れ る.た

だ しu∞,ｋ,μ は 任 意 の 定 数(k＞0と

す る)で,孤

立 波 が 伝 わ る 速 さｃ は

(２')

で 与 え ら れ る. 【ソ リ トン の 発 見 】 KdV方程式 マ ・核 融 合 の 研 究 にKdV方程式 発 達 に よ っ て1950年

は そ の 後 ほ と ん ど忘 れ られ て い た が,プ に 似 た も の が し ば しば 現 れ た こ と と,計

代 に な っ て 再 び 脚 光 を沿び る よ う に な っ た.

ア メ リカ のザブ ス キ ー(N.Zabusky)と 方程式を 数 値 的 に 解 い て,そ

ク ル ス カ ル(M.D.Kruskal)はKdV

の 解 が 孤 立 波 の 集 ま りで 表 せ る こ と を 発 見 し た.こ

れ ら の 孤 立 波 は 大 き さ に よ っ て 速 度 が 異 な り,た 突 ・通 過 の 後 は も と の 孤 立 波 に 戻 る.衝 で あ る.そ

ラズ 算機 の

が い に 衝 突 を 繰 り返 す が,衝

突 し て も ア イ デ ン テ ィテ ィを 失 わ な い の

こ で 孤 立 波 で 粒 子 の よ う に 振 舞 う と い う意 味 で これ ら の 孤 立 波 を ソ リ

トン と 名 づ け た. ソ リ トン は 波 の 分 散 性 と非 線 形 性 と が バ ラ ン ス して 形 成 さ れ る 孤 立 波 で あ る. KdVの

ソ リ トン と似 た 孤 立 波 は そ の 後 多 くの 非 線 形 波 動 に つ い て 発 見 さ れ,す べ

て ソ リトン と総 称 さ れ る よ うに な っ た.区

別 す る と き はKdVソ

リ トン な ど と い

う. KdV方程式

は 厳 密 に 解 け る.し

か し前講 で 述 べ た バ ー ガ ーズ 方 程 式 に 対 す る

コ ー ルーホ ッ プ 変 換 の よ う に 簡 単 な 変 換 で 解 く こ と は で き な い .そ つ か あ る の で,他

の解 法 は い く

の 非 線 形 発 展 方 程 式 の 解 法 と 関 係 づ け さ せ た り し な が ら,や

や

詳 し く述 べ て い く こ と に し よ う.

ソ リ トン解

Kd V方程式

は また 適 当 な尺 度 変 換 に よ り

(３) と 書 く こ と が で き る.こ

れ に 対 す る 孤 立 波解(ソ

定 数ｋ と任 意 の 位 相 定 数 δ を 用 い て

リ トン)は

波 の 強 さを 表 す任 意

(４)

と表 せ る.こ

れ が(２)に

V方程式

と し て(３)を

ほ ど)速

く伝 わ る(速

ソ リ ト ン解(４)は

比 べ て 簡 単 な 係 数 を も つ こ と に 注 意 し,こ 用 い る こ と に す る.孤

立 波 は 高 い ほ ど(ｋ

れ か ら はKd が 大 きい

度4k2). す ぐわ か る よ うに

(５)

あ る いは

(５')

あ るい は

(５")

と 書 け る.こ

れ らが 同 じ く(４)を

与 え るの は

(６) と書 き 直 せ る が,こ

の 対 数 を と っ た と き(６)の

第 ２,３ 式 の 初 め の 因 子 は

(７) と な っ て 寄 与 を 与 え な い か ら で あ る. 【２ ソ リ トン解 】

２個 の ソ リ トン を もつ 解 を 求 め る た め

(８)

と し,（ ５)を 参 照 し て

(９)

ここで

( 9')

と お い て(８)に

代 入 し,さ

ら に これ を(３)に

代 入 す る と(３)が

満 足 され る

のは

(９")

で あ る と き で あ る こ とが わ か る.(９)はKdV方程式(３)の え る.(９)に (９)に

お い て δ1,δ2およびa1,a2は

お い てa2=a3=0と

【特 別 な ２ ソ リトン 解 】

２ ソ リ トン 解 を与

任 意 に と っ て よ い.

お く と １個 の ソ リ トン の 解(４)が

再 現 さ れ る.

と くに

(10)

と お く と(９")に

より (11)

と な る.こ

の と き(８)は

(12) と な る. t =0に

お い て は(12)は

２個 の ソ リ トン が 合 体 し (13)

を 与 え る.ま

た(12)はt→〓∞

と が 示 さ れ る.こ

のとき

の 極 限 に お い て ２ つ の ソ リ トン に 分 か れ る こ

(14)

た だ し,eψ=√3 と な る.こ

の 衝 突 を 図27に

示 す.

行 列 式 解 ソ リ トン解 は(９)の

形

以 外 に い ろ い ろ の形 に書 け る.こ

こで 述 べ る行 列 式 の

形 の解 や 後 に述 べ る ロンス キ ア ン の形 の 解 な ど で あ る.ま

ずa1,a2は 任 意 で あ

るか ら

図27

(15) と お く と(９)は

行 列 式(det)の

形

(16)

と な る. (16)は

２ ソ リ トン 解 で あ る が,Ｎ

個 の ソ リ トン を も つKdV方程式(３)の

解

も

(17)

で 与 え られ る こ とが 示 さ れ る(第

９講 参 照).こ

こ でA(x,t)はN×N行

列 でそ

の成 分 は(kiは

任 意 定 数)

(18)

で あ る.ま

た δij=1(i=j),δij=0(i〓j)は

ク ロ ネ ッ カ ー の δ関 数 で あ る.

ロ ン ス キ アン 解

２ ソ リ トン 解 は

(19)

と 書 く こ と も で き る.こ

こでWr(f1,f2)は

ロン ス キ ア ン

( 20)

であ り (21) で あ る. 【証 明 】

書 き直 してい くと

(22) と な る.こ

こ で 任 意 定 数 で あ っ た δ1,δ2を複 素 数 と し,さ

らにδi,δ2の 一 部を 改

め て δ1,δ2と書 き 直 す こ と に し て (23)

と改 め る.す

る と ロン ス キ ア ンは

(24) と な る.(24)に でa1=a2=1と

お い て(19)に

寄 与 す る の は{…}だ

お い た も の と一 致 して い る.し

け で あ り,こ

た が っ て(20)は

れ は(９)

こ の 場 合 の２ ソ

リトン 解 を 与 え る. Ｎソ リ トン解 はＮ 次 の ロ ン ス キ ア ンWrを

用いて

(25)

で 与 え られ る こ とが 示 さ れ る.た

だ しfi(s)=∂sfi/∂xsで

あ り,ま

たfiは (26)

を 満 た す も の とす る.

Tea

Time

ソ リ トン の発 見 非 線 形 波 動 の研 究 には い くつ か の源 流 が あ り,そ れ が集 ま って大 きな流 れ に な った のが 現 在 の 状 況 で あ る.そ の 源 流 の１ つ に1950年 代 に な され た フ ェル ミ‐ パ ス タ‐ウラム(E.Fermi,J.Pasta,S.Ulam)の

研 究 が あ る.フ ェル ミは 当時発 達

し始 め て い た 電 子 計 算機 の 計算 能力 を利 用 して解 答 が 得 られ そ うな い くつ か の問 題 と取 り組 ん だ が,そ の１ つ は エル ゴ ー ド問題 で あ っ た.彼 は 若 い と きに この問 題 を 数 理 的 に考 え た こ とが あ った.相 互 作 用 をす る多粒 子系 に適 用 され る統 計 力 学 で は エ ル ゴー ド性 を 仮 定 す るの が 普通 で あ る.多粒 子系 と して一 番簡 単 な線 形 格 子 の振 動 は 独 立 な規 準 振 動(ノ ー マル モ ー ド)の 重 ね 合 わ せ で あ るか らエ ル ゴ ー ド的で ない .そ こで 粒 子 間 の相 互 作 用 に非 線形 項 を 加 えれ ば モ ー ド間 のエ ネル

ギ ーの 流 れ が 可 能 に な り,体 系 は エ ル ゴ ー ド的 に な る こ と が 期 待 さ れ る. そ こ で フ ェ ル ミ ら は い くつ か の 型 の 非 線 形 相 互 作 用 を た め し た.粒 の 変 化 の ２乗 に 比 例 す る 項(線

形 相 互 作 用)に

る項 な ど を 付 け 加 え た １次 元 格 子 で あ る.こ 結 果 は 似 た よ うな も の で あ っ た.非 遷 移 が 起 こ る.こ

子 間 の距 離

３次 に比 例 す る項 や ４次 に 比 例 す れ らの非 線 形 格 子 に つ い て 得 られ た

線 形 項 の た め に 線 形 モ ー ド間 に エ ネ ル ギ ー の

こ ま で は 予 想 し た と お りで あ っ た が,エ

つ か の 少 数 の モ ー ド問 で 著 し い だ け で,他

ネ ル ギ ー の遷 移 はい く

の モ ー ドへ は 移 っ て い か な い .そ

して

あ る 時 間 が た っ た 後 に 格 子 の 状 態 は 出 発 時 と ほ と ん ど 同 じに な っ て し ま う.こ

れ

を フ ェ ル ミーパ ス タ‐ウ ラ ム の 再 帰 現 象 とい う. ザブス キ ー は こ の 再 帰 現 象 を 連 続 体 近 似 で 考 察 し た .３ は 浅 水 波 を 扱 っ た 流 体 力 学 のブシネ(Boussinesq)方 れ はKdV方程式 でKdV方程式

で 近 似 さ れ る.そ を 調 べ,1965年

数 値 計 算 でKdV方程式

(R.Miura)に

.S.

の ソ リ トン を 発 見 し た の で あ る .

が 簡 単 な 解 を もつ こ と が 明 ら か に さ れ る と,こ

Gardner),グ

らに こ

こ で 彼 は ク ル ス カ ル と い っ し ょに 電 子 計 算 機

にKdV方程式

析 的 に 解 く努 力 が 集 中 的 に な さ れ,1967年 ー ドナ ー(C

次非 線形 項 を もつ 格 子

程 式 で 近 似 で き,さ

リー ン(J.M．

よ っ てKdV方程式

れ を解

に プ リン ス トン の グル ー プだ った ガ Greene),ク

ル ス カ ル,ミウラ

の 解 析 的 方 法 が 発 見 さ れ た.い

わ ゆ るKdV

方程式に 対 す る 逆 散 乱 法 で あ る.こ

れ は 非 線 形 発 展 方 程 式 を 解 析 的 に 解 く方 法 の

最 初 の も の で あ る と い っ て よ い.こ

の 発 見 を 契 機 と し て 多 くの 方 程 式 の 解 法 が続

続と発 見 さ れ た.他

方 で こ の 解 法 の 発 見 を 最 後 に プ リン ス トン の こ の 人 た ち の グ

ル ー プ は 解 散 し て し ま っ た よ うで あ る.若

い 研 究 者 は 就 職 の た め プ リ ン ス トン を

去 らな け れ ば な ら な か っ た の だ ろ う.ミウラ 今 は カ ナ ダ のバンク

は 日系 ３世(３

あ る が,

ー バ ー に い て 応 用 数 学 の 雑 誌 の 代 表 者 も し て い る.

こ の ご ろ は テ レ ビ に 「ソ リ トン 」 と い う番 組 が あ る .ソ た ら し い.若

世 半？)で

い 人 向 け の 番 組 ら し く,ソ

ふ う に 解 釈 し て い る ら し い.新

聞に

語 的 に な る の は い い こ とだ ろ うか.

リ トン も流 行 語 に な っ

リ トン を 独 立 し た エ ネ ル ギ ー の 塊 と い う

「素 粒 子 」 と い う欄 も あ る .科

学 用 語 が 日常

第８講 ラ ック ス 形 式

― テ― マ ◆KdV方程式

に 対 す るラックス

◆KdV方程式

に 付 随 す るシュ

◆ TeaTime:マ

ーチ

Kd V方程式

形式 レ ー デ ィンガ

ー方 程 式

・クル ス カル

に対 す る ラ ックス 形 式

次 の式 で表 され る演 算 子(作 用 素)

(１)

を用 いれ ば 方 程 式

(２)

(ラ ッ ク ス(Lax)形

式 と い う)はKdV方程式

(３)

を 与 え る(KdV方程式ut+6uux+uxxx=0に

お い てu=-uと

お け ば(３)に

な

る .符 号 の違 い を 表す た め記 号ｕ を用 い た). 【証 明】 作 用素 は関 数φ に作 用 す る と考 え る と

(４) また

(５)

(5') した が っ て

(６) した が っ て ラ ッ ク ス 形 式(２)はKdV方程式(３)を

与 え る.

KdV方程式

に付 随 す るシュ レー デ ィンガ ー 方 程式

(１)の 演 算 子Ｌ に対 す る固 有値 方 程 式 (７) は (８) と書 け る.こ れ は量 子 力学 に お け るシュ レー デ ィンガ ー方 程式 と同 じ形 を して い る の で,KdV方程式

に 付 随 す るシ ュ

レ ー デ ィンガ ー 方 程 式 と呼 ば れ て い る. 【例:ソ

リ ト ン】KdV方程式(３)

に 対 す る ソ リ ト ン解 は (９) で 与 え られ る.こ

れ は 深 さ2k2の

谷 の形

を して い る(図28).

図28

(９)に 対 す るシ ュ レ ー デ ィンガ ー 方 程 式(８)は

あ るい は

(10) で 与 え られ る.(10') こ れ は 遠 方x→

± ∞ で 急 激 に ０ に な る 解 で,シュ

と して は 谷 形 の 束 縛 ポ テ ン シ ャ ル(９)に

レ ー デ ィンガ ー 方 程 式(８)

よ る束縛状態

で あ る.束

縛 状 態 の波 動

関 数 で あ る こ と を は っ き り表 す た め ψ を と く に ζ(x,t)と 書 い た.(３)の

ソ リト

ン解 は こ の よ う な 束 縛 状 態 を も つ. 一 般 の ラ ッ ク ス 形 式Kd V方程式

に 限 らず 発 展 方 程 式 に 対 し て ラ ッ ク ス 形 式 が 広 く考 え ら れ る.あ

る演 算 子Ｌ の 固 有 値 λ が 時 間 に よ らな い と す る.す

なわち

(11)

と し,ψ の 時 間 変 化 が

(12)

を 満 足 す る な らば Ｌ の 時 間 変 化 は ラ ッ ク ス 形 式

(13)

で 与 え ら れ る. 【証 明 】(11)の

第 １式 をｔ で 微 分 す れ ば (14)

こ こで(12)と(11)に

よ り

(15)

で あ るか ら (16) し た が っ て(13)が

得 ら れ た.

【注 意 】 前 項 と逆 の こ と も い え る.す

なわ ち

(17)

が 成 り立 つ と き はφ の 時 間 変 化 は (18) に 従 う と し て よ い. 【証 明 】 前 節 と 同 様 に (19)

した が って

(20) よって (21) 他方で (22) も 成 り立 つ と し て い る ．Ｌ が(１)の ば,(21)と(22)に

よ う に 時 間 微 分∂/∂tを 陽 に 含 ま な い な ら

よ り関 係 式 (23)

が 得 られ る.こ

こ でC(t)はｘ

を 含 ま な いｔ だ け の 関 数 で あ る が,ψ

ψexp〓(18)が導

を改 め て

れ る.

TeaTime

マ ー チン ・ク ル ス カ ル ソ リ トン の 発 見 者 の ク ル ス カ ル(MartinD.Kruskal)に し,お

世 話 に も な っ た.彼

と が あ った が 不 在 で,秘

は あち こち で会 った

が プ リ ン ス トン の プ ラ ズ マ 研 究 所 に い た こ ろ 訪 ね た こ

書 は 夕 方 に な ら な い と来 な い だ ろ う と い っ て い た.２

目 に プ リン ス トン 大 学 へ 行 っ た と き は 数 学 教 室 へ 移 っ て い た が,私 ナ ー を 用 意 して くれ て,そ で,昔Ca1.Tech.(カ し て き た.こ

の 予 告 が 地 方 の 新 聞 に 載 っ た.こ

リフ ォ ル ニ ア 工 科 大 学)で

のために セ ミ

れ を た また まみ た 人

知 り合 っ た ブ ラ ジ ル ２世 が 連 絡

の 人 は 有 名 な 化 学 者 ポ ー リ ン グ(LinusPauling)の

弟 子 で,ポ

リン グ を 尊 敬 し て い て 自 分 の 子 供 を ラ イ ナス と名 づ け た ほ どで あ る.そ 近 くの 会 社 に 勤 め て 生 化 学 の 研 究 を し て い た.プ 名 なシュヴァル

ツ シ ル トの 息 子(と

ー

の と きは

リン ス トン 大 学 で は 相 対 論 で 有

い っ て も 相 当 な 年 の 人 だ が)に

河 の 模 型 に 関 す る 数 値 計 算 を や っ て い た.ク

度

も会 っ た.銀

ル ス カル は 私 を プ ラ ズ マ 研 究 所 へ 案

内 し て 協 同 研 究 者 の ガ ー ドナ ー た ち と も 引 き 合 わ せ て くれ た.ち

ょ う ど ア インシ

ユ タ イ ン100年

祭 の 講 演 会 が あ っ た の で,い

っ し ょに 高 級 研 究 所 へ 行 っ てウイグ

ナ ーや デ ィ ラ ッ ク の 話 を 聴 く こ と も で き た .ま

た 自 宅 で 御 馳 走 に な り,さ

ら にニ

ュー ヨ ー ク 中 心 街 に 大 き な 部 屋 を も っ て い た ク ル ス カ ル の 母 堂 の 家 で クル ス カ ル の 親 類 の 会 で に ぎ や か な 夕 食 を と も に し た こ と も あ っ た.母 ー と い っ て,あ

を 組 織 し 会 長 を し て お ら れ た.1992年 た と き,ク

堂 は オ ッペ ン ハ イ マ

の 物 理 学 者 オ ッペ ン ハ イ マ ー の 親 戚 で あ り,ア

メ リ カ 折 り紙 協 会

に デ ン マ ー クの 学 会 で ク ル ス カ ル に 会 っ

ル ス カ ル は 母 堂 の 重 体 な の を 押 して 学 会 に 出 席 し て い た が,学

足 の と き に 昨 日 母 が な くな っ た と私 に さ さ や い た.そ

会の遠

れ か ら し ば ら く私 た ち は 最

近 つ れ あ い を 亡 く し た 彼 の 弟 の 生 活 の 様 子 や 人 生 に つ い て や や 複 雑 な 話 を した 覚 え が あ る.ク

ル ス カ ル は し ば しば 旧 ソ連 に も 招 か れ て い た よ うで あ る が,旧

か ら の 帰 途 に 日 本 に 寄 っ て 私 の 研 究 室 に 来 た と き も あ っ た.ソ つ い て 話 し な が ら 町 を 歩 い て い た と き,店 を み て,ソ

頭 にい っぱ い 野 菜 や 果 物 な どが あ るの

連 の 人 た ち の貪 し さ を 思 う と涙 が 出 る と も い っ て い た.イ

モ湖 の 学 会 で 会 っ て 湖 上 の 夜 を い っ し ょに 楽 し ん だ こ と もあ る.こ ル ミーパ ス ターウ ラ ム の 問 題 で 有 名 な パ ス タ や,Ｊ.フ 人 た ち も い っ し ょだ っ た.ク は 数 学 者 で あ る.実 と もあ り,ま ら し い.旅

数 に 対 す る新 しい 見 方(超

の ときは フ ェ

ォ ー ド,フラシュカ

現 実 数)に

た 数 学 へ 戻 りた い と い っ て い た が,物

行 に は リ ュ ッ ク を 背 負 っ て く る.そ

も し れ な い が,突

タ リア のコ

とい った

ル ス カ ル は 相 対 性 理 論 の 研 究 で も 有 名 で,も

背 も た れ に戴 せ て 頭 を 休 ませ,独

ソ連

連 の貪 しい 状 況 に

ともと

つ い て 話 し て くれ た こ

理 的 な 研 究 か ら抜 け 出 せ な い

し て会 議 中は 携 帯 用 の枕 を 椅 子 の

特 な ポ ー ズ を し て い る.寝

然 大 き な 声 で 質 問 を し た りす る.1995年

て い る こ と もあ るか に70歳

に な る.

第９講 逆

散

乱

法

―テ ー マ ◆ 逆 散 乱法 ◆KdV方程式

に 対す る ゲ ル フ ァ ン ト−レビ タ ン の方 程 式

◆ TeaTime:逆

散 乱法 とは

逆 散 乱 法 の要 点 前講 で 述 べ た よ うにKdV方程式

を は じめ と して多 くの発 展 方 程 式 は

(１)

と 表 す こ とが で き る.こ t)で

こ で 演 算 子Ｌ はKdV方程式

の 場 合L=-∂2/∂x2+u(x

あ り,一 般 に 各 時 刻 に お け る 波 動 場 の 情 報 を 含 ん で い る の で,こ

と 書 い た.B(t)に

つ い て も 同 様 で あ る.以

t= 0に お け るＬ をL(0)と

下KdV方程式

,

れ をL(t)

を 考 え る.

す ると

(２) で あ る.初

期 値u(x,0)を

与 え る と(２)を

の 過 程 を 散 乱 問 題 と い う)が,初 ー タ(初

期 デ ー タ)を

解 い て 初 期 の ψ(x ,0)が

期 値 ψ(x,0)か

定 ま る(こ

ら 得 ら れ る で き る だ け少 数 の デ

も と に し て 任 意 時 刻 の 波 動 場u(x

,t)を 求 め る こ と が 要 求

さ れ る.そ

の た め まず 初 期 デ ー タ を 用 い て 任 意 時 刻 のψ(x,t)(波

こ と が あ る)を め る(こ

構 成 し,こ

れ を 使 っ て(１)か

の 過 程 が 逆 散 乱 問 題 で あ る).図

らL(t),し

動 関 数 とい う

た が っ てu(x,t)を

求

式的にえがけば

任 意 時 刻 の場

ゲ ル フ ァ ン ト−レビ タ ン の 方 程 式

初 期 デ ー タ か ら 任 意 時 刻 の 波 動 場u(x,t)を (Ge1'fand-Levitan)の

導 く に は ゲ ル フ ァ ン ト−レビ タ ン

方 程 式 と い う 線 形 の 積 分 方 程 式 が 用 い ら れ る(ゲ

ァ ン ト−レビタソ −マ ル チェンコ(Marchenko)の 多 くの テ キ ス トで は 散 乱 の 式(１)か い て い る が,本 よ り,こ

KdV方程式

方 程 式 と い う こ と も あ る).

ら ゲ ル フ ァ ン ト−レビ

タ ンの方 程 式 を導

書 で は ゲ ル フ ァ ン ト−レ ビ タ ン の 方 程 式 か ら(１)を

の 方 程 式 の 解 が 波 動 場u(x,t)を

ル フ

導 く こ とに

与 え る こ と を 示 そ う と 思 う.

に 対 す る ゲ ル フ ァ ン ト−レビ タ ン の 方 程 式 は

(３)

と 書 け る.ソ

リ トン で 表 さ れ る 運 動 だ け に 限 れ ば,Ｎ

パ ラ メ タ を κ1,κ2,…,κNと し て 積 分 方 程 式(３)の

個 の ソ リ トン を 特 徴 づ ける 核F(x+y

,t） は(cj(t)はｔ

だ け の 関 数)

(４)

で あ る(ソ

リ トン 以 外 の 運 動 が あ る と き は(４)の

わ る). こ こ で(３)をK(x,y,t）

にっ い て 解 くた め

右 辺 にそ の た め の項 が 付 け 加

(５)

と お く と(３)は

(６) と な る.こ

こでｙ は 任 意 で あ る か ら上 式 は

(７)

を 与 え る ． こ れ が こ の 場 合 の ゲ ルファン

ト−レビ タ ン の 方 程 式 で あ る.

束 縛 状 態 の波 動 関 数 KdV方程式

を 考 え て い るの で

(８)

と し,さ

らに

(９)

と お く と,(７)の

ζj(x,t)は (10)

を 満 た す こ と が 示 さ れ る.(10)は で あ り,右 辺 の-kj2は た が っ て ζj(x,t)は す が,(９)のu(x,t)は 【証 明 】(７)をｘ

量 子 力 学 のシュ

固 有 値 で あ っ て,(10)は

レ ー デ ィンガ ー 方 程 式 と 同 形 こ の 固 有 値 が 負 で あ る こ と,し

束 縛 状 態 を 表 す 波 動 関 数 で あ る こ と を 示 し て い る(証

明は略

負 の ポ テ ン シ ャル で あ る こ と が 示 さ れ る:u(x,t)＜0). に つ い て微 分 す る と

(11)を 得 る.(11)を(８)に

入 れ て(９)を

用 い る と少 し 長 い 計 算 の 結 果 (12)

が 得 ら れ る.こ

こ で 行 列A=(Ajk)を (13)

と お け ば(12)は (14) と な る.行

列Ａ

す な わ ち(10)が

は 逆 行 列A-1を

も つ の で,こ

れ を(14)の

左 か らか け れ ば

得 られ る.

波 動

次 にC(t)をｔ

の 関 数,i=√-1と

関 数

して

(15)

と お け ば(１)の

第 １式

(16)

が 導 か れ る. 【証 明 】

計 算 は 長 い が 直 接(15)を

微 分 し て(18),(９)か

ら

(17) を 得 る が,こ

の 式 の 右 辺 第 １項 は(10)に

よ り ０で あ り,第

２項 と第 ３項 は(９)

に よ っ て 打 ち 消 し 合 う.し

た が っ て(16)を

得 る.

逆 散 乱 法 の適 用 こ こ で(９)に

お い て 未 定 の ま ま残 し た 係数cｊ(t)を

(18) とす る.た

だ し こ こ でcj(0)はt=0に

お け るcj(t)の

値 で あ る.こ

の と きＢ を

作用 素

(19)

と し て ζjの 時 間 変 化 は

(20) を 満 た す こ と が,(10)の さ ら に(15)右

証 明 と 同 様 に し て 示 さ れ る(証

明 は 略 す) .

辺 の 因 子C(t)を (21)

と お く と,(20)を

用 い て 波 動 関 数(15)の

時 間 変 化 ψtは

(22) で与 え られ る こ と が 示 さ れ る(こ

れ も証 明 は 略 す).

こ れ に よ っ て ゲ ル フ ァ ン ト−レビ タ ン の 方 程 式(７)か

らKdV方程式

を ラッ

ク ス 形 式 の 作 用 素 対Ｌ とＢ を 用 い て 表 し た 式 (23) が 導 か れ た.ソ 程 式(７)と

リ トン運 動 に 限 れ ば,KdV方程式 同 等 な の で あ る.

逆 散 乱 法 を 適 用 す る に は,ま -kj2ζj(x

は ゲ ル フ ァ ン ト−レビ タ ン の 方

,0),す

ずt=0に

お け るu(x,0)を

用 い てL(0)ζj(x,0)=

なわち (24)

を 解 き,固

有 値 κj2(j=1,2,…,N)と

束 縛 状 態 の 固 有 関 数 ζj(x,0)を 求 め る.次

に 初 期 値u(x,0)を

(25)

と い う形 で 表 し,係 な お,cj(t)の

時 間 依 存 性 はx→+∞

と が で き る.束 で,(７)に

数cj(0)(j=1,2,…,N)を

求 め れ ば よ い. にお け る ζj(x,t)の 振 舞 い か ら も 知 る こ

縛 状 態 の 波 動 関 数 はx→+∞

でζj∼e-κjxの よ う に 減 少 す る の

お い て 第 ２項 は 第 １項 に 比 べ 急 激 に 減 少 す る.し

に お い て(７)か

た が っ てx→+∞

ら (26)

ま たx→+∞

に お い てu(x,t),ux(x,t)も

急 激 に０ に な る か ら

(27)

と し て よ い.し

た が っ て(20)はx→+∞

にお け る振 舞 い か ら

(28) を 与 え る.ゆ

えに (29)

が 示 され た.

Ｎソ リ ト ン 解

(７)は

ζj(x,t)に つ い て 線 形 の 連 立 方 程 式 で あ る か ら,ク

の 方 法 で 解 け る.そ

ラ メル(Cramer)

の結 果 は

(30) と 書 け る.こ 列 を(７)の

こ でＡ

は(13)で

与 え ら れ る行 列 で あ り,A(j)はA=(Ajk)のｊ

右 辺 の 〔c1e-κ1x,c2eκ2x…,cNe-κNx〕

行 列 で あ る.す

なわ ち

を転置

し た も の で 置 き換 え た

(31)

し た が っ て,ま

た

(32)

ゆ えに (33) よ っ て(９)は

(34)

と 書 け る. 【ソ リ トン解 】

１個 の ソ リ トン(N=1)の

場合 (35)

で あ り

(36) を 得 る(c(0)/√2κ=eδ).こ 【２ ソ リ トン 解 】

れ は 前講(９)と

こ の 場 合(34)は

一 致 し て い る.

第 ７講(16)を

与 え る.

TeaTime

逆散乱法 とは た と えば地 面 の下 に 重 い 鉄 の塊 が 埋 ま っ てい た とす る と,表 面 の 物 体 は そ の ほ うへ 引 かれ るか ら,い わ ゆ る重 力 異 常 が 生 じる.鉄 の塊 の形,大

き さ,深 さを 知

って い る もの とす れ ば,こ れ に よ る重 力異 常 は 容易 に計 算 で き る.こ れ を 順 問 題 とす れ ば,地 表 に お け る 重 力 異 常 の 測 定値 か ら地 下 の鉄 塊 の 形,大

き さ,深 さを

推 定 す るの は逆 問題 で あ る. また,た と えば 物体 の形,性

質 を与 え て,こ れ に よ る電 波 の 散 乱 を 求 め るの を

散 乱 の 順 問 題 とす れ ば,反 射 され て き た電 波 を 測 定 して 散 乱体 の形,性

質を推定

す るの は 逆 散乱 の問 題 で あ る. レー ダー,魚 群 探 知 機,超 音 波 に よる診 断 な ど,こ の よ うな逆 問 題,逆

散乱 の

問 題 は き わ め て広 い応 用 が あ る.「 形 の 科 学 」 の大 き な研 究 分 野 で もあ り,数 学 的 に も重 要 な問 題 で も あ る.数

学 者 のカッツ(M.Kac)は

「太 鼓 の音 を聞 い て

そ の 太 鼓 の形 が 決 め られ るか 」 とい う設 問 を 提 出 した(1966年).答

えは 一 義 的

で な い ら しい.こ れ は 後 に 述 べ る よ うに 同 じス ペ ク トル を も つ 双 対 系(第10講 参 照)が 存在 す る こ とか ら も推 察 され る と思 われ る.実 際 に は 答 を あ る程 度 狭 め た と きに どの よ うな 最 小 の 散 乱 デ ー タ(情 報)か るか とい うこ とで あ ろ う.

らそ の 物 体 の形 な どを 推 定 で き

第10講 双

対 格

子

―テーマ ◆ １次元格子 ◆双対関係 ◆ TeaTime:ル

ビンの壷

１次 元 格 子 波 動 を 伝 え る媒 質 と して質 点 をば ね で つ な い だ もの を 考 え る.こ れ を 格 子 模 型 とい い,直 線 状 の ものを １次 元 格 子 とい う.こ こで は 質量 はす べ て等 し く,質 点 を つ な ぐばね はす べ て 同 じ格 子,す

なわ ち均 一 な １次 元 格 子 を 考 え る こ と に す

る. １次元 格 子 にお い て 左 か ら右 へ 数 え てｎ 番 目の 質 点 の 変 位 をQnと 29),そ

の 左 のば ね の伸 び はrn-1=Qn-Qn-1で

-Qnで

あ る.左 か らｎ番 目の 質 点 の質 量 をmnと

固定端

す れ ば(図

あ り,右 のば ね の伸 び はrn=Qn+1 し,ば ね の 伸 び がｒ の と き の

自由端 図29

ば ね の ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー を φ(r)と す る.左 - dφn(rn)/drN,右

の ば ね の 力 は 一 φn'(rn)=

の ば ね の 力 は φ'(rn+1)で あ る か ら,N番

目の 質 点 の 運 動 方 程

式 は

(1)

で あ る(Qn=d2Qn/dt2). N個

の 粒 子 か ら成 る1次

元 格 子 の運 動 エ ネル ギ ーは

(2) で あ り,変 位Qnに

共 役 な運 動 量 は

(3) で あ る.こ

れ を 用 い る と ハ ミル トン 関 数 は

(4)

と 書 け る. こ こ でrn=Qn+1-Qnを 位Qnか

らrnへ

一 般 座 標(広

義 座 標)と

す る 正 準 変 換 を 考 え よ う.変

移 る変 換 は

(5) した が って運 動 エ ネ ル ギ ーは

(6) で あ り,rnに

共 役 な 運 動 量 をSnと

す る と,こ

れは

(7) で あ る.し

た が って

(８)

で あ る.こ

れ を 用 い る と ハ ミル トン 関 数 は

(９)

と な り,正

準運 動方 程 式 は

(10)

と な る.

双 対

正 準 変 数 を(Q,P)と

し た と き と(r,s)と

係 に あ る と い う.(Q,P)で れ に 対 し(r,s)で

関 係

し た と き の体 系 は た が い に 双 対 関

表 し た と き の 運 動 方 程 式 は(１)で

表 し た と き の 運 動 方 程 式 は(10)で

与 え ら れ る.こ

あ る が,(10)の

第 ２式 が

rnに つ い て 逆 に 解 け る と し て これ を

(11)

とす る と(10)の

第 １式 は (12)

と な る.こ

れ が(１)の

双 対 格 子 で あ る.

と くに 粒 子 の 質 量 が す べ て 等 し くｍ

で あ る と す る と(１)は

(13)

と な り(12)は

(14)

とな る.(13)で

は右 辺 の相 互 作用 がrnに 対 して 一 般 に非 線 形 で あ る の に対 し,

双 対 格 子(14)で

は右 辺 の相 互 作用 がsnに つ い て 線 形 に な っ て い て,そ

り左 辺 の慣 性項 に 当 た るXn(sn)が

の 代わ

一般 に非 線 形 で あ る.た だ し φn'(r)がｒ に関

して 線 形 な 線形 格 子 で は(13)も(14)も

線 形 に な る.

線 形 格 子 線 形 格 子 の ハ ミル トン関数 を(Knは

ばね定 数) (15)

とす る と,こ れ に対 す る双 対 格 子 の ハ ミル トン 関数 は (16) と書 け る.た

だ し,(９)で

を 運 動 量 と し てH(r,s)と 座 標 系 を90° 回 し(こ あ る),ｓ を 座 標,-rを

はｒ を 座 標,ｓ 書 い た が,(r,s)

れ も １つ の 正 準 変 換 で 運 動 量 と み て,こ

で は ハ ミ ル トン 関 数 をH(s,-r)と 図30

書 い た

(図30).

この 場 合 (17) で あ る か ら,(９)と(16)を

比 べ てわ か る よ うに (18)

と お け る.も

う少 し一 般 的 に はａ を 定 数 と し て 正 準 変 換rn→rn/a,sn→asnを

行 っ て も よ い.こ

の あ と で ハ ミ ル トン 関 数 を(16)と

こ

す る と双対 関 係 は (19)

とな る. 格 子 と双 対 格 子 とは 運 動 は ま った く同 等 で あ る.と くに双 対 系 の 固有 振 動 数 は す べ て相 等 しい. 格 子 の 固定 端 は 無 限 大 の 質 量m0=∞と はK0*=0で

考 えて よい.こ

れ に 対 す る双 対 格 子 で

あ る.し た が って格 子 の 固 定 端 は双 対 格 子 の 自 由端 に 相 当 し,自 由

端 は双 対 系 の固 定 端 に 相 当 す る.格 子 の 質 量(ば ね)は 双 対 格 子 のば ね(質 量) に対 応 す る. (20) とす れ ば 双 対 系 の 対 応 す る固 有 振 動 は す べ て 等 しい. 【簡 単 な 例】 １. (固定 端)Km(自 に は 双 対 系(*で

由端)(21)

表 す)の

(自 由端)*m*Kn(固

定 端)*(21')

が 対 応 し,こ れ らの系 の 固 有 振 動 は (21") ２. (自由端)m1Km2(自 (固定 端)*K1*m*K2*(固

由端)(22) 定端)*(22')

これ らの系 の固 有振 動 数 は (22") ３. 局在 振 動 ． 無 限 に 長 い 一 様 な 格 子 に 軽 い 不 純 物(質 量m0(＜m))が

１個

入 って い る とき,こ の まわ りに 局在 振 動 が 起 こ る.そ の振 動 数 は (23) で 与 え られ る こ とが 示 され る.こ れ に 対 す る双 対系 では １つ の ば ね(K0*)が の もの(K*)よ

他

りも強 い場 合 (23')

に な る よ う なKo*,m*を

とれ ば,双

対 系 の 局 在 振 動 数 は(23)と

同 じで

(23")

LC回 1次 元 格 子 は1次 元 のは し ご型LC回

路 路 と同等 で あ る.こ れ を 示 す た め 図31の よ うな 回 路 を 考 え よ う.イ ン スLnは

コ イ ル で,こ

束 を φnと す る.Cnは ス(コ

ン デ ン サ ー)で

電 流,Vnは 図31

ンダ クタ

れ を 貫 く磁 キ ャパ シ タ ン あ る.ム

電 圧 で あ り,コ

サ ー の 電 荷 をqnと

は

ンデ ン

す る.

電荷 の保存か ら (24) イ ンダ クタ シス の誘 導 起 電 力 の 関 係(フ

ァ ラデ ー の電 磁 誘 導 の 法則)か

ら

(25) が 成 り立 つ.   簡 単 の た め 一 様 な 回 路(イ え よ う.線

ン ダ ク タ ン ス,キ

形 の イ ソ ダ ク タ ン スL,キ

ャ パ シ タ ン ス が 同 一 の 回 路)を

ャパ シ タ ン スCを

考

仮定す る と

(26) こ の 場 合 は(24)∼

（26）か ら

(27) が導 かれ る.こ れ を 力 学 的 な 線形 格 子 の 式(1)と ダ クタ ソ スLは

質 量 に,キ

比 べ れ ば わ か る よ うに,イ ン

ャパ シ タ ン ス Ｃ の逆 数 は ば ね 定 数 に相 当す る.

【非 線 形 回路 】  イ ン ダ ク タ ンスは 線 形 で あ るが,キ る場 合 を考 え よ う.こ の と きは

ャパ シ タ ンス は非 線 形 で あ

(28)

とお け る.す

る と(24)に

よ り (29)

を 得 る.こ

れ を(13),(14)と

比べ て (30)

と お け ばLC回

路(29)の

で 与 え ら れ る.す

双 対 系 が(14)で-Xnをf(qn)の

逆 関 数 と した も の

なわ ち (31)

と書 け ばLC回

路(29)は (32)

と な る. と くに

(33)

とす れ ば(32)は (34) と な る.こ

れ は 次講 で 述 べ る 戸 田 格 子 に 対 す るLC回

路 の 方 程 式 で あ る.

TeaTime

ル ビン の壼 双 対 関 係 と い うの は １つ の も の に ２つ の 見 方 が あ る こ と と い っ て も よ い だ ろ う.そ

う解 釈 す る と,世

の 中 に は こ の よ う な も の が た くさ ん あ る.

す ぐに 思 い つ く も の と し て 「ルビ ン の 壷 」 と い う絵 が あ る(図32).黒

地 に白い

壺 が え が か れ て い る よ うに み え るが,壺

の両 側 の 輪 郭

線 を 注 目 して み て い る と向 か い 合 った人 の横 顔 が み え て くる.壺 に 注 目す る と顔 は み え な くな り,顔 に 注 目 す る と壺 が み え な くな る.壺

と顔 とは双 対 系 で あ る.

これ は心 理 学 で 「図 と地 の反 転 図形 」 とい うのだ そ う で,デ

ン マ ー クの 学者 ル ビンが 研 究 した(1921年).

双対 格 子を 考 え 出 した と き,双 対,英 語 でdua1と 図32  ル ビン の 壺

か,ち

い う字 を 当 て た が,本

よっ と 自信 が な い.dualismは

当 に 適 当 な用 語 だ っ た か ど う

二 重性 と訳 され てい る.量 子 力学 で電 子 は

波 であ り,同 時 に 粒 子 で あ る とい うの は 二 重 性 で あ る.ボ ーア は相 補 性 とい う言 葉 を よ く用 い た とい う.た とえ ば,１ 点 の 雲 もな く晴 れ 上 が った 富 士 山 の景 色 と 雲 が 去 来 す る富 士 の 景観 とは 相 補 的 で あ る． 両方 を い っぺ ん に み る こ とはで きな い.そ

して 両 方 を み て初 め て富 士 山 の 景 色 が 理 解 で き る.同 じ よ うに,電 子 を 波

と して 観 察 す る とき は その 粒 子 性 は み えず,粒

子 と して観 察す る ときは そ の 波 動

性 は み え な い とい うわ け で あ る.し か し相 補 性(complementarity)に

は 両方が

あ って 初 め て 完全 に な る とい う意 味 が あ るの に対 し,双 対 性 とい うと きは 必 ず し も ２つ の 見方 が 必 要 とい うわ け で は な い よ うで あ る． た とえばLC回

路 の式は電

圧 に 対す る式 と して もよい し,電 荷 あ るい は 電流 に対 す る式 と して もよい ． これ らは 双対 系 で,ど ち らの記 述 で も完全 な ので あ る. 友 人 の 孫 が け ん 玉 を始 め て 「ひ とが み て い な い と うま くで き るん だ け ど… 」 と い う.ひ とが み て い る状 態 とそ うで な い状 態 とは 双 対 的 な のだ ろ うか,そ れ と も 相 補 的 な の だ ろ うか.

第11講 非線形格子波動

― テ―マ ◆戸 田格子 ◆戸 田格子 の双対 格子 ◆ TeaTime:戸 田格子の発見

戸 田 格 子 第10講 で 述 べ た １次 元 格 子 はば ねの 力― φ'(r)がｒ に比 例 しな い と き,す わ ち非 線形 格 子 の場 合,運

動方 程 式 は一 般 に 解 け な い.し

な

か し と くにＡ,ａ,ｂを

定 数 と してば ねの ポ テ ン シ ャル が (１) の と き(図33)は

厳 密 に解 け る(A＞0,ａとｂは

同符 号,以

図33

下ではすべて正 とし

a:b＞0の

場 合,b:b＜0の

場 合,c:bが

大 き い場 合

てお く)． これ を 戸 田 格 子,あ るい は 指 数 格 子 とい う.1967年

の 発 見 で あ る.r=

0の とき φ(r)が 極 小 に な る よ うに す れ ば 付 加 定 数 を 除 い て(１)は

(２)

と書 け る． そ して運 動方 程 式 は(格 子 の端 を除 い て) (３) とな る.格 子 の端 を 除 け ば(２)の

右 辺 の 第 ２項arは

質 点 の左 右 で 打 ち 消 し合

って運 動 方 程 式 に 現 れ な い が,自 由端 を もつ 格 子 で は 特別 の 配 慮 が 必要 で あ る. 以 下 では 簡 単 の た め,無 い.こ の と きrn=Qn+1-Qnに

次 元化 しよ う.形 式 的 に はm=a=b=1と

す れば よ

対し (４)

を 得 る.こ

こで (５)

に よ ってSnを 導 入す る(sn=dsn/dt).逆

にrnに つ い て解 け ば (６)

とな るの で,こ れ を(４)に

代入すれば (７)

とな る.こ れ をｔ で積 分 し て積 分 定 数 を０ とす れ ば (８) を 得 る. (３),(４)に

お い て右 辺(相 互 作 用)はrnあ

った が,こ れ を書 き直 した(８)に

るい はQnに

つ い て非線形で あ

お い て は 右 辺 の相 互 作 用 の 部分 が 線 形 化 さ

れ,左 辺 の慣 性を 表 す 部 分 が 非 線形 に な って い る.こ の よ うな 変 換,す なわ ち 質 点 とば ねの 立 場 を交 換 す る変換 は双 対 変 換 で あ る（ 第10講 参 照）. さ らに

(９)

に よ っ てSnを

導 入 す れ ば,(８)は

(10)

と な る.こ (10)の

れ も便 利 な 式 で あ る. 解Snが

求 め ら れ た とす る と 運 動 は(５)に

よ り

(11)

に よ っ て与え

られ る.ま

た(11)を(10)に

入 れ れ ば わ か る よ うに

(12)

こ こでrn=Qn+1-Qnで

あ るか ら

(13) で あ る こ と も わ か る.さ

ら に これ を 時 間 で 微 分 し

(14)

を 得 る.Pnは

質 点 の 運 動 量 で あ る こ と を 注 意 し て お こ う.

格 子 ソ リ トン

(12)を

解 くた め に (15)

と お く と(10)は

(16)

と な る. 【ソ リ トン 解 】

こ こで

(17)

あ るい は

(17')

と お く と(16)は

(18)

に よ っ て 満 足 され る．ｋと

δは 任 意 で あ る.こ

れ に 対 し(11)は

ソ リ トン 解

(19)

を 与 え る．(18)に

お い て 右 辺 の プ ラ ス 符 号 を 取 れ ば 左 へ 進 む ソ リ トン,マ

ス 符 号 を 取 れ ば 右 へ 進 む ソ リトン に な る.そ

イナ

の 速 度 は 格 子 間 隔 を 単 位 と して (20)

で 与 え られ る. な お,(13)か

(21) と な る(右

ら こ の ソ リトン に 対 して 各 粒 子 の 変 位 は

へ 進 む ソ リ トン を 考 え,ま

た δ=0と

し た).k＞0と

す る と (22)

と な る が,こ

れ は ソ リ トン に よ っ て 格 子 全 体 が 縮 ん だ 長 さ を 与 え る.ソ

も つ 質 量 と い っ て も よ い(こ b＞ 0と お い た か ら で,b＜0と

の ソ リ トン は 圧 縮 パ ル ス で あ る が,こ

リ トン の

れ は 初めに

す れ ば 伸 張 パ ル ス に な る).

な お(21)は

(23)

ただ し

(23') と 書 け る こ と を 注 意 し て お こ う. な お 第10講

のVnを

用いれば (24)

で あ り,ソ

リ トン は(19)に

よ り (25)

と な る.

TeaTime

戸 田格子の発見 質 問  い ろい ろ参 考 に な りそ うな ので,戸 田 格 子 の発 見 の ころ の こ とを お 聞 か せ くだ さい.ま ず 研 究 の動 機 は 何 です か. 答  そ の ころ,不 純 物 を 含 ん だ体 系 の スペ ク トル,具 体 的 に は 格 子振 動 の スペ ク トル の 問題 をみ ん な で や って い ま した.こ れ に関 連 して,ま だ厳 密 に扱 わ れ て い な い 結 晶 の熱 伝 導 の 問題 に も興 味 を も ってい ま した が,こ れ に は非 線 形 波 動 を 厳 密 に扱 うの が 先 で あ る と考 え ま した. 質 問  非 線 形 波 動 を 扱 った フ ェル ミらの 計 算 が 動 機 か と思 ってい ま した. 答  フ ェル ミらの 計 算 を み た のは 戸 田 格 子 を発 見 した あ との ことで す.こ の 計 算 は ロス ア ラ モス 研究 所 の報 告 と して発 表 され た の で,当

時 手 に入 り ま せ ん で し

た.し か し この 計算 を も っ と簡 単 な ３粒 子 系 で 吟 味 したJ.フ ォ ー ドの 論文 を ２ つ ば か り読 んで,積 分 可 能 な非 線 形 波 動 が あ る に違 い な い と思 った のが 研 究 の 動 機 で す.非 線 形 波動 の厳 密 解 な どあ るは ず が な い と い う の が 常 識 だ った の で す が. 質 問  そ こで す ぐ指 数関 数 型 の相 互 作 用 を 考 え た の で し ょ うか. 答  い い え,相 互作 用 か ら考 えた の で は あ りませ ん で した． １次 元 格 子 の運 動 方 程 式 は,非 線形 波動 を研 究 し よ う と した人 は だ れ で も最 初 に考 え る に違 い な い し,そ れが 成 功 して い な い の です か ら,別 の発 想 を した ほ うが よい.そ こで そ の

裏 の よ うな双 対 格 子 に集 中 した ので す.こ れ は発 想 の逆 転 の 第１ で す.次 作 用 を 仮 定 す る のが 常 識 的 で し ょ うが,む

に相 互

しろ非 線 形 波 動 を 仮 定 す る こ とを 考 え

ま した.こ れ が 第２ の発 想 の 逆 転 で す.線 形 の波 の代 表 的 な もの は３ 角 関 数 の 正 弦 波 です か ら,非 線 形 波 動 の 代 表 は楕 円 関数 だ ろ う.と ころ が楕 円関 数 と い うの は 振 り子 の 運動 ぐ らい しか習 って い な い の で,ほ とん ど初 め か ら勉 強 しま した． そ して 楕 円 関 数 の 性 質 で 双対 格 子 と結 び付 くも のは な い か とい ろ い ろ 調 べ た の で す が,な か な か うま くい き ませ ん で した.ち

ょ うど夏休 みで 海 辺 へ 行 って い た の

で す が,雨 の 日な どそ の こ とを あれ これ 考 えあ ぐん で い た の です が,あ

る と き正

弦 波 の２ 乗 は や は り正 弦 波 だ が,楕 円関 数 の２ 乗 は そ う簡 単 で は な い とい う こ と に 気 が つ い て,２ 乗 を試 して い る うち に発 見 の 曙 光 がみ え て き た の で した.そ れ か らあ との ガ イ デ ィング ・プ リン シ プル は,双 対 格 子 か ら計 算 され る相 互 作 用 が 非 線形 波動 の波 長 や 振 幅 に無 関 係 に定 ま らな けれ ば な らな い とい うこ とで した． 質 問  格 子 ソ リ トンは 楕 円 関 数 か ら出 て き た ので す か. 答  初 め考え た のは 周 期 的 な 波動 で,つ ま り周 期 格 子 の波 動 が 発 見 され たわ け で す.ソ

リ トン とい うもの が あ る とい うのは 京 都 大 学 で 流体 力学 の 人 か ら教わ った

の で す.KdV方程式

の ソ リ トンです.そ れ を 教わ って,世 の 中 に ソ リ トン とい

う もの が あ るの を知 ってか ら格 子 ソ リ トンは す ぐ に み つ か りま した.次

にKdV

方程式 に２ ソ リ トン解 が あ る こ とを 知 って,そ の解 を眺 め てい る うち に格 子 につ い て の２ ソ リ トン解 に気 が つ き ま した.こ

うして み る と簡 単 な よ うで す が,発 見

とい う ものは そ うい う もの なの で し ょ うね.力 学 の開 拓 者 の１ 人 で あ っ たステ ビ ンが い って い る よ うに,「 不 思議 で あ るが(発 で な い 」 とい う こと なの で す.

見 した あ と で は)ま

った く不 思 議

第12講 格 子 の ２ ソ リ トン解

―テ − マ ◆２ ソ リトン解 ◆ソ リ トン の衝 突 ◆ TeaTime:ソ

リ トン と非 線 形 波 動 方 程 式

２ ソ リ ト ン解

前講 に 続 い て 格 子 の ２ ソ リ トン 解 に つ い て 述 べ る.解

くべ き方 程 式 は 前講(18)

の式 (１) で あ る.２

ソ リ トン に 対 し,KdV方程式

の 場 合 に な ら って

(２)

と お く.こ

こで

=1 ,2) と お く と 便 利 で あ る,ziは 実 数 か(実

正 ま た は 負 の 実 数 値 を 取 る も の と し,そ

数 ＋ πi)で あ る と 考 え て お く.

(2')(i

の た めkiは

(２)を(１)に

代 入 す る と(１)が

満 た され るた め に は

(３)

で あれ ば よ い こ とが わ か る. ここで 恒 等 式

(４)

か ら得 られ る式

(５)

を用 い れ ば (６) と な る. 【ソ リ ト ン の 衝 突 】(３)に は 同 じ 向 き に 進 み,波

お い て β1と β2が 同 符 号 で あ れ ば ２個 の ソ リ トン

高 の 高 い ソ リ トンが 低 い ソ リ トン に 追 い つ き 追 い 越 す.ま

た こ れ ら が 異 符 号 で あ れ ば ２個 の ソ リ トン は 反 対 向 き に 走 り正 面 衝 突 を す る. １. 追 い 越 し衝 突 (７) こ の 場 合 はz1=e-k1,z2=e-k2と

お き(６)のa3/a1a2を

書 き直 す と(7')

図34 a:追 い越 し衝 突,b:向

と な る.ソ

心衝 突.

リ トン の漸 近 形 は

(８)で 与 え られ る. ２. 向 心 衝 突 (k1,k2は

同 符 号) 

(９)

z1=e-k1,z2=e-k2+πiと おいて

(9')

漸近 形 は

(10)

行列式表現 １ ソ リ トン解 を 表 す 式(前講(17'))に

おいて

(11)

と お く こ と に よ り １ ソ リ トン に 対 す る ψnは (12) と書 く こ と が で き る. ２ ソ リ トン 解 に 対 す る 式(６)は (13) と書 け るの で (14) とす る と(２)は

(15) と な る.こ

れ は 行 列 式 の形 で

(15')

あ る いは

(15")

と書 け る.た

だ し

(16) これ か ら 推 察 され る よ うにＮ

ソ リ トン 解 は 行 列 式 の 形 で

(17)

で 与 え られ る(第14講

参 照).こ

こ でN×N行

列B(n)の

成分は

(18)

で あ る.た

だ し δijは ク ロ ネ ッ カ ー の δ関 数,す なわ ち δii=1,δij=0(〓)で

あ

り,

(19)

を 意 味 す る.

Tea

Time

ソ リ トン と非 線 形 波 動 方 程 式 非 線 形 波 動 方 程 式 を 学 ぶ の は,線 形 波 動方 程 式(偏 微 分 方 程 式)か

ら入 って,

分 散項 を入 れ,非 線 形 項 を 入 れ る とい う段 階 を経 るの が ふ つ うで あ る． 偏 微 分 方 程 式 か ら入 らず に 積 分 方 程 式(た

と え ば 第 ９講のゲ レ ファン ト−レビ タ ンの 方 程

式 な ど)か ら入 る方 法 もあ るわ け で あ るが,積 分 方 程 式 は わ か りに くいか ら敬 遠 され が ちで あ る. ソ リ トン とい う運 動 が 実 際 に あ る こ とがわ か った の は1965年 以 来 の こ とで あ るが,ソ

の ソ リ トン発 見

リ トンを仮 定 して運 動 方 程 式 を 考 え る とい う発 見 的 方 法

もあ るわ け で あ る(こ れ は楕 円 関数 で表 され る周 期 的 な解 を仮 定 す る こ とに よ っ て戸 田格 子 を 発 見 した の と類 似 な方 法で あ る).運 河 の中 に 孤 立 波 を 発 見 し たス

コット ・ラ ッ セ ル(第

６講TeaTime参

て も よ か った か も しれ な い(そ

照)は

孤 立 波 の 研 究 か ら こん な発 想 を し

うす れ ば 彼 は コルテヴェ

ーグ

らより

も早 くKdV

方程式を 発 見 した だ ろ う). た と え ば ソ リ トン と し て ス コ ッ ト ・ラ ッ セ ル が (k=任 を 水 槽 実 験 か ら 見 出 し た と す る.こ

意 定 数)

の 式 か らｋ を 消 去 せ よ.答

は

した が って

これ はKdV方程式

で あ る.と

くに α=2と

お き,t/4を

改 め てｔ と書 く と ソ リ

トン

を もつ 波 の方 程 式 とし て よ く知 られ た方 程 式

が 得 られ る.格 子 につ い て も同様 な ことが い え るは ず で あ る.

第13講 格 子の ラ ックス形式 と保存量

―テ ー マ ◆3粒 ◆

子 周期 格 子

ラ ッ クス 形式

◆Tea  Time:保

存量

周期的な格子 非線形格子の運動方程 式は無次元の形で (1) と書 け る.運 動 量

(2) を導入す れば

(3)

と 書 き 直 す こ とが で き る.こ

こで

(4)

とお くと(３)か

ら運動 方 程 式 は

(５)

とい うきれ い な形 に な る. た と えば ３粒 子 か ら 成 る 周 期 格 子(図35)を

考

え る と,周 期 条 件 は 図35

(６) で あ り,運 動 方 程 式(５)は

(７)

と な る.こ

こで 行 列

(８)

を 導 入す る と,運 動 方 程 式(７)は

ラ ックス形 式

(９ )

で表 され る. Ｎ 個 の 粒 子か ら成 る輪 の 形 を した周 期 系 (10) で も運 動 方程 式 は ラ ックス形 式(９)で N×N行 列

表 され る.た

だ し こ の ときはＬ とＢ は

(11)

で あ る.Lは an,bnは L(t),B（t）

対 称 行 列, Bは

反 対 称 行 列 で あ る.

時 間 の 関 数 で あ る か らL,Bも と書 こ う.こ

時 間tの

関 数 で あ る.こ

の こ と を

こで 時 間 変化 が

(12) で 与 え ら れ る 行 列U(t)を (9)は

積 分 され てL(t)は

考 え る と,こ

れ は 逆 行 列U-1(t)を

も ち,運

動 方程 式

初 期 値L(0)と

(13) で 結 ば れ る こ とが 示 され る,こ の事 実 をL(t)とL(0)と

は ユ ニ タ リ等価 で あ る

とい う. 【証 明】 行 列Aの

行 と列 とを 入 れ換 え て各 成 分 を複 素 共 役 に し た も の を初 め

の 行 列 の エ ル ミー ト共 役 とい い,Atで

表 す.(11)の

行列 は 成分が実 数 であ る

が,反 対 称 な の で

(14) で あ る.(12)の

エ ル ミ ー ト共 役 を と る と

(15) を 得 る.し

た が って (16)

を 得 る.し た が っ てU†Uは に よ りU†(t)U(t)=1,し

時 間 に よ らず 一 定 で あ り,初 期 条 件U(0)=U†(0)=1 た が っ てU†(t)はU(t)の

逆 行 列U-1(t)で

あ る.す な わち

(17) よっ て(12),(15)は

(18)

そ こで(13)をｔで

微分 す れ ば

(19) こ れ は(９)に L(t )はN×N行

ほ か な ら な い. 列 な の で,L(t)の

固 有 関 数 をN×1行

列φ(t)と

し,固

有値 を

λと し て

(20)

と お く.こ

の と き,固

有 値 λ は 時 間 に よ ら な い.す

なわ ち

(21)

【証 明 】(20)の

固 有 値 が 時 間 に よ る と し てλ(t)と 書 く と,(20)が

成 り立 つ と き (22)

で あ る.た

だ し こ こ でＩ は 単 位 行 列〓

で あ る .(13)に

よ り

(23) こ こ で 行 列 の 積ABの

行 列 式 は 行 列 式 の 積 に 等 し い(det(AB)=detA・detB)

と い う公 式 を 用 い れ ば,(23)か

ら (24)

を 得 る.こ

れ をt=0に

おけ る式 (25)

と比 べ れ ば (26) を 得 る.

保 N×N行

列Ｌ(t)は

存

量

Ｎ 個 の 固 有 値 を もつ.こ

れ らは (27)

あ るい は (28) のＮ 個 の 根 で あ る.前 ら な い 量,す

節 で わ か っ た よ う に,こ

な わ ち 保 存 量 で あ り,た

れ ら の 根λ1,λ2,…,λNは 時 間 に よ

が い に 独 立 で あ る.

こ こ で 扱 っ て い る の は Ｎ 個 の 粒 子 か ら成 る周 期 系 で あ る か ら2N個 も つ.こ き,そ 理).し

の よ うに 自 由 度2Nの

の 自由度 を

ハ ミル トン 力 学 系 がＮ 個 の 独 立 な 保 存 量 を も つ と

の 運 動 は 積 分 法 に よ っ て 解 く こ とが で き る(リゥヴィル(Liouville)の

定

た が っ て こ の 非 線 形 格 子 は 積 分 可 能 系 で あ る.

な お(28)のC1,C2,…,CNはan,bnを

通 し て 時 間 の 関 数 で あ る が,根λ1，λ2,…,

λNに 対 し て

(29) をC1,C2,…,CNに

つ い て 解 い た と す る と こ れ ら は λ1,λ2,…,λNの 関 数 と し て 与 え

ら れ る.λ,λ2,…,λNは

保 存 量 で あ る か ら,C1,C2,…,CNも

保存量 で あ る こ と に

な る． す な わ ち (30) これ は{an,bn}を 【例 】N=3の

含 む 保 存 量 を 表 す. とき

(31) と 書 け る わ け で あ る.根 λ2の 係 数:λ

と係 数 の 間 の 関 係 か ら

1+λ2+λ3=b1+b2+b3=-C1

λ1の 係 数：

λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1=b1b2+b2b3+b3b1-a12-a22-a32=C2(32)

λ0の 係 数：

λ1λ2λ3=b1b2b3-b1a22-b2a32-b3a12+2a1a2a3=-C3

を 得 る.こ

こ で 粒 子 の 全 運 動 量 は〓

で あ る か

らC1=一

定 は 全 運

動量 の保 存 を 表 す． す なわ ち (33) またλ2の 係 数 の２ 乗 か らλ1の 係 数 の２ 倍 を ひけ ば 全 エ ネ ル ギ ーＨ の半 分 に な る.す なわ ち

(34) λ0の 係 数λ1λ2λ3はふ つ うの 力 学 系 に な い 保 存 量 で あ る.

Tea

Time

保存量 物 理 的 科 学 に お い て は保 存 量 は き わ め て大 き な 役割 を 示 し て い る.質 量 の 保 存,エ

ネル ギ ーの 保存,電 荷 の保 存 等々 は 物 理 学 の 大 法則 で あ る.保 存 則 に反 す

る こ とは 「物理 的 に不 可 能 で あ る 」 と断 言 され る.科 学 の根 本 は 自然 の 限 りな い 現 象(森 羅 万 象)の 中 に保 存 され る存 在,保 存 され る量 を 見 出す こ とで あ る と考 えた くな る くらいで あ る.こ れ を 裏 返 して い え ば,物 理 的 科 学 の 外 の 現 象 で は 保 存 され る ものは おそ ら くほ とん どな い とい うこ とを意 味 して い る よ うで あ る. 『平 家 物 語 』 に あ る よ うに諸 行 無 常 で あ る.栄

え る も の もあ る し亡 び る もの もあ

る.雲 は空 に生 じ,虫 け らは あ くた に湧 く. 森 に は妖 精 な どが,山 に は 人 格 神 が 住 ん で い て万 物 の 生 成 も消 滅 も支 配 して い る と思わ れ てい た 時 代 は 案外 最 近 まで 続 い て い た し,今 で も風 習 に 影 を 落 と して い る.物 質 が 不 滅 で あ る こ とが は っ き りした の はラヴォ ア ジエ が 質 量保 存 の 法則 を 確立 してか らで,わ ず か200年

ほ ど前 の こ とで あ る.虫 な どは湧 く もの で な い

こ とを 証 明 した の は パ ス ツー ルで,わ ず か100年

ほ ど前 の こ とで あ る.エ ネ ル ギ

ー とい うや や 抽 象 的 な 保存 量 が あ る こ とが 明 らか に され た の もわ ず か150年 あ るが,エ

前で

ネル ギ ー保 存 の法 則 が 確 立 され た と きに,物 理 学 は 大 きな 自信 を もつ

よ うに な った とい って よ いで あ ろ う.こ れ を 契 機 と して物 理 学 は 大 き く前 進 し, 熱 力 学,電 磁気学 な どが 完 成 され た. さ て力 学 系 にお い て 自 由度 をｆ とす る と,運 動 は 座 標 と運 動 量 の2f次

元の位

相 空 問 内 の 軌道 で表 され る.も し もｆ個 の 保 存 量(積 分)が 求 まれば,こ

の力学

系 は 解 け る(本 文 参 照).一 様 な 戸 田 格 子(１ 次 元)で 由度 で あ り(f=N),本

文 で 明 らか に した よ うにＮ 個 の保 存量 が あ る か ら可積

分系 で あ る(質 量 の違 う粒 子(不 純 物)が 第16講 で 示 す よ うにKdV方程式 方 程 式 が可 積 分 な こ とか らKdV方程式 しか しKdV方程式 V方程式

は 粒 子 数Ｎ が そ の ま ま 自

あれ ば 一般 に 積 分不 可 能 に な る).

を戸 田 格子 の連 続 体 近 似 と考 え れ ば,戸

田

も可積 分 系 で あ る こ とは 納 得 で き る.

を 初 め か ら連続 体 とす る と 自 由度 は 無 限大 で あ り,他 方 でKd

は無 限 の個 数 の 保存 量 を も つ が,自

由度 の数 の 無 限大 と保 存 量 の数

の無 限 大 の 大 き さの 関係 は ま った く不 明 で あ る.し

た が ってKdV方程式

の 保存 量 を もつ か ら とい って,こ れ だ け で はKdV方程式

が無数

は 可積 分 系 で あ る とい

い きれな い． しか し事 実 上KdV方程式

は 可 積 分 な の で あ る.

質 量,運 動 量,角 運 動 量,エ ネ ル ギ ー な どは わ か りや す い 保 存 量 で あ るが, KdV方程式

や 戸 田格 子 の もつ 高 次 の保 存 量 は これ ら の 体 系 に 特 有 な も ので,直

観 的 に理 解 で きな い.こ れ らは 多 次 元 の位 相 空 間 の 中 に お い て 軌 道 が 乗 っ てい る 超 曲 面 を 表す にす ぎな い.保 存 量 が 十分 に あ る 場 合,す

なわ ち可積分な体系で

は,保 存 量 を表 す 一 般 に多 数 の超 曲面 の交 線 が 軌道 を与 え る. 運 動 の恒 量 で あ る保 存 量 が足 りな い体 系 は 積 分 不 可 能 で 一 般 に カ オ ス的 運 動 を た ど る.こ の よ うな体 系 は 初 期 条件 が 無 限 小 で も異 な る と,時 間 が た つ うち に ま った く違 った 軌 道 を た どる こ とに な るか ら,実 際上 予測 不 能 な体 系 で あ る.そ の よ うな体 系 の 将 来 の経 過 を 予 測 す る こ とは で き な いわ け で あ る.ニ を推 し進 めた ラプ ラス(Laplace)は 来 を予 測 で き る超 能 力 の知 性(ラ

ュー トン力学

現 在 の状 態 を完 全 に 知 り,完 全 な 計 算 で将 プ ラス の デ モ ン)を 考 え た.し か し今 で は圧 倒

的に 多 数 の 力 学 系 が カ オ ス的 で あ る こ とが わ か っ て い るか ら,ラ プ ラス の考 え た よ うな知 性 は 物 理 的 に 存 在 不 可 能 で あ る とい うこ とに な る. 保 存 され な い 物 理 量 で もた い へ ん 重 要 な ものが あ る.エ ン トロ ピーは そ の もっ と も代 表 的 な もの で,孤 立 系 のエ ン トロ ピーは 減 少 す る こ とが な く,変 化 が起 こ れ ば エ ン トロ ピ ーは 一 般 に 必 ず増 大す る.保 存 量 に 慣 れ 親 し んで い る物 理 の世 界 の人 た ち の 多 くに と って,こ の よ うに一 方 向に 変 化 す る量 は 付 き合 い に くい感 じ が す るが,エ

ソト ロ ピ ー増 大 の 定 理 は 物理 学 の大 原 則 で あ る.こ れ は 物 理 学 に 限

られ な い宇 宙 の 大 原 則 で あ って,他 の物 理 学 の 法 則 は す べ て い つ か 書 き変 え られ る運 命 に あ る とし て も,エ ン トロ ピーの 法 則 だ け は 物理 学 を超 え て 生 き延 び るだ ろ う とい う人 もあ る.た しか に生 命 や 社 会 な どに 関 係す る現 象 を 考 え る うえ で こ の 法則 は 基 本 的 な原 理 とし て浮 か び 上 が って くる. しか し エ ン トロ ピー の 法則 は マ ク ロな 現 象 に対 す る法 則 で,ミ

ク ロな世 界 では

物 理 的 な保 存 量 が 基 本 的 で あ る と も考 え ら れ る.物 理 学 者 は こ の信 念 に導 か れ て,対 称 性 とか,ゲ

ー ジ不 変 な どの保 存 則 に よ りど こ ろを 求 め て い る.

考 え てみ れ ば,わ れ わ れ の 宇 宙 は 保 存 され る ものか とか,あ 不 変 で あ りう るか,な

ど とい う疑 問が あ る.こ

る いは 物 理 法則 は

うい う疑 問 に 対 し て答 えた い と思

っ て も,こ れ に つ い て考 え る地球 上 の知 的 生 物,す な わ ち 人 類 の 存 在 し うる時 間 は あ ま りに も短 かす ぎ るか も しれ な い.

第14講 格 子 に対 す るゲ ル フ ァント-レビ タ ン の方 程 式

―テーマ ◆逆散乱法 ◆ゲルファン ト−レビタンの方程式 ◆ Tea Time:方

程式 と直観

格 子 に 対 す る散 乱 問 題 す で に述 べ た よ うに演 算 子Ｌ の 固 有 値 λが 時 間 に よ らな い と き,す なわ ち (１) で あ り,ψ の時 間 変 化 が (２) で 与 え られ る な らば,Ｌ の時 間 変 化 は (３) で与 え られ る.格 子 の場 合 に は(１),(２)は

(４)

で あ る.こ

こで

(５)

(３)を 計 算 す る と格 子 の運 動 方 程 式

(６)

が 与 え ら れ る. 運 動 が な い と き はan=1/2,bn=0な

(７) と な り,し

の で(４)は

た が っ てＣ を 定 数 と し て (８)

と な る.以

下 ψ(n)=Cznの

場 合 に つ い て 考 え る.

運 動 が あ る とき

(９)

と お い て(４)に

入 れ,zn-1,zn,…の

係 数 を比 べ て

(10) した が っ て

(11)

を 得 る.

格 子 に 対 す る ゲ ル フ ァ ン ト−レビ タ ン の 方 程 式 ゲ ル フ ァン ト−レビ タ ンの 方 程 式 は 格 子 の場 合

(12)

と書 け る.ソ

リ トン解 の 場 合 に 限 れ ば,Ｎ

,z2,…,zNと

し て,方

程 式(12)の

個 の ソ リ トン を 特 徴 づ ける パ ラ メ タ をz1

核F(m)は

(12')

で あ る(ソ わ る).こ

リ トン 以 外 の 運 動 が あ る と き は(４)の こ でcj(t)はｔ

だ け の 関 数 で あ る.

多 くの テ キ ス トで は 散 乱 の 式(１),(２)か 式(12)を

導 い て い る が,本

(１),(２)を

右 辺 に そ の た め の項 が 付 け 加

ら ゲ ル フ ァ ン ト−レビ タ ン の 方 程

書 で は ゲ ル フ ァ ン ト−レビ タ ン の 方 程 式(12)か

導 く こ と に よ り,こ

の 方 程 式 が 波 動 場an,bnを

う と 思 う.以 下 の 議 論 は 第 ９講 でKdV方程式

ら

与 え る こ とを 示 そ

の ゲ ル フ ァ ン ト−レビ タ ン の 方 程

式 に つ い て 述 べ た と こ ろ と ま っ た く平 行 な の で,第

９講 を 参 考 に し て ほ し い.

(13)

と お く と(12)か

ら (14)

と な る.こ

こ でｍ

は任 意 で あ るか ら上 式 は

(15)

を 与 え る.こ

れ が こ の 場 合 の ゲ ル フ ァ ン ト‐レビタン

の 方 程 式 で あ る.

束 縛 状態 の波 動 関数 ここ で

(16)

とお くと (17) と な る こ とが 示 さ れ る.ψj(n,t)は

束 縛 状 態 の 波 動 関 数 を 意 味 す る(第

９講 参

照). 【証 明 】(15)をn-1,n,n+1に

対 して書 くと

(18)

この 第 １式 にan-1Kn-1,第 け て 加 え る と,(４),(11)を

２式 に{bn-(zj-1+zj)/2}Kn,第

３式 にanKn+1を

用 い整 理 して

(19) を 得 る. こ こで(12)の

第 ２式 と(13)か

ら

(20)

した が って

か

(21) を 得 る の で,(19)は (22) と な る.し

た が って 行 列 (23)

の 逆 行 列 を(22)の

す なわ ち(17)を

左 か らか けれ ば

得 る.

波 動 関 数 波動関数を

(25)

とす る と,こ れ は(４)の

第 １式,す な わ ち

(26)

を満 たす こ とが 示 され る. 【証 明】(４)を

参 照 して少 し長 い計 算 をす る と

(27) を 得 る.こ

こ で 右 辺 第 １項 は(17)に

よ っ て ０ で あ り,(21)を

項 と第 ３項 は 打 ち 消 し合 う． し た が っ て

考慮すれば第 ２

(28) す な わ ち(26)を

得 る.

逆 散 乱 法 の適 用

次 に(17)を

証 明 し た の と 似 た 方 法 に よ り(16)の

ψj(n,t)が (29)

を 満 た す こ と が 示 さ れ る(証 さ らに(25)に

明 は 省 略 す る).

因 子C(t)を

付け て

(30)

とし

(30')

と お く.こ

の と き(30)のψ(n,t)が(４)の

の は 当 然 で あ る.し ２ 式,す

か も(29)を

第 １式,あ

用 い る こ と に よ り,こ

る い は(26)を

満 たす

のψ(n,t)が(４)の

第

なわち

(31)

を 満 た す こ と が 示 され る(証 こ れ に よ り(30)の

明 は 略 す).

ψ(n,t)は (32)

を 満 た し,し 式(３)あ

た が っ て ゲ ル フ ァ ン ト‐レビ タ ン の 方 程 式(15)は

る い は(６)と

同 等 で あ る こ と が わ か る.

格子の運動方程

逆 散 乱 法 を 適 用 す る に は,ま ψ (n,0)を(４)か を 定 め る.次

ら 求 め,こ に(30")に

レビ タ ン の 式(15)を れ ば,(11)に

ずt=0に

お け る 波 動 場an(0),bn(0)に

れ を(30)でt=0と

よ りcj(t)が

お い た 式 と 比 べ てzjとcj(0)

決 ま る か ら,こ

解 い て 得 ら れ る ζj(n,t)と(20)で

よ り任 意 の 時 刻 の 波 動 場an,bnが

対す る

れ を 用 い て ゲ ル フ ァ ン トー 与 え ら れ るKnを

用 い

与 え ら れ る.

し か し 実 際 に は こ の よ う な 過 程 を 経 て 初 期 値 問 題 を 解 く こ と は 行 わ れ な い.本 書 で も初 め か らzjとcj(0)(j=1,2,…,N)が

与 え ら れ た も の と し て Ｎ ソ リ トン

解 を 導 く と こ ろ だ け を 次講 で 示 す こ とに す る.

Tea

Time

方 程式 と直観 １つ の 質点 に 力 が は た らい て い る と きの ニ ュー トンの運 動 方 程 式 の よ うに簡 単 な運 動 方 程 式 な らば,そ れ を数 学 的 に解 か な くて も,結 果 を定 性 的 に想 像 す る こ とが で き る.し か し これ も簡 単 な運 動 方 程 式 を解 い た経 験 が何 度 もあ るか らで は な い だ ろ うか.一 般 に方 程 式 を 与 え られ た とき,そ れ を解 か な い限 り定 性 的 にで も結 果 を予 測 す る こ とは む ず か しい.こ れ は た い へ ん な さけ な い こ とで あ る.で きれ ば 方 程 式 をみ ただ け で,そ の結 果 の運 動 な どを的 確 に知 る直 観 を も ちた い も ので あ る.科 学 の 簡 単 な法 則 に 従 う世 界 が,そ

の法 則 か ら想 像 もつ か な い よ うな

多 様 な 自然 の 営 み をみ せ て くれ るのは 驚 くべ き こ とで あ る.自 然 の 示す 多様 な ス ペ クタ クル が 簡 単 な 自然 法則 の結 果 で あ る とは とて も 信 じ ら れ な い くらい で あ る. 自然 法 則 を 熟 知 した す ぐれ た知 性 が あ った と して も,「も し も地 球 を 訪 問 した こ とが な か った とす れ ば,雷 雨,火

山,大

洋 の 波,オ

ー ロ ラ,色 彩 に満 ちた 日没

を 予 想す る こ とが で きた で あ ろ うか 」(こ の 文 章 の 後 半 は 物理 学者 のＲ ．フ ァイ ン マ ンに よ る).フ

ァ イ ン マ ン は 次 の よ う に も述 べ て い る(『 フ ァイン マ ン物 理 学

Ⅳ電 磁 波 と物 性 』 戸 田 訳). 「人類 の知 能 の 次 の大 き な発 展 の時 代 には,方 程 式 の 定 性 的 な 内 容 を理 解 す る 方 法が 生 じるか も しれ な い.現 在 のわ れ わ れ に は 不 可 能 で あ る.現 在 では 水 の 流

れの 方程 式が,２ つ の 回転 す る 円 筒 の 間 の 乱流 に よっ てで き る理髪 店 の 看 板 の あ め 棒 の よ うな構 造 な どを含 ん で い る こ とを予 想 で き な い.現 在 で は わ れ わ れ はシ ュレ ーデ ィンガ ー方 程 式 が 蛙 や 作 曲家 や 道 徳 を含 んで い るか,あ る い は 含 ん で い ない か を 見抜 く こ とが で き ない.こ れ を越 え る神 の よ うな もの を必 要 とす るか, そ うで な い か とい うこ と も断 言 で き な い.そ こで,ど ち らで も強 く主張 し うるの で あ る」.

第15講 格 子 のNソ

リ トン解

―テ ー マ ◆束 縛 状 態 の波 動 関数ζi(n,t) ◆Nソ

リトン解

◆ TeaTime:カチカチボール

ソ リ ト ン解

 前講 で 述 べ た よ うに,格 き る.ま

子 の Ｎ ソ リ トン 解 は 次 の よ うに し て 求 め る こ と が で

ず

(１)

を 解 い て ζi(n,t)を 求 め る(KdV方程式 た よ う に,KdV方程式 関 数 で あ り,格 講(27)に

の 場 合,ζiに

相 当 す る の は 第 ９講 で み

に 付 随 す るシュ レ ー デ ィンガ ー 方 程 式 の 束 縛 状 態 の 波 動

子 の 場 合 も 同 様 な 解 釈 が で き る).ζi(n,t)が

求 め ら れ る と 第14

よ り (２)

とお い て,格

子の運動 は

(３)で 与 え られ る. 【１ ソ リ トン 解 】

ま ず １ ソ リ トン 解 を 確 か め て お こ う.こ

の 場 合(１)は

(４) す なわ ち

(５) これ か ら (６) ただ し (７) と お い た． し た が っ て(３),(６)に

よ り

(８) と な る.た

だ し ここで

(９)

と お い た．

Ｎソ リ ト ン 解 Ｎソ リ トン 解 は

(10)

で 与 え ら れ る.こ

こでA(n)は(ij)成

分が

(11)

で あ る行 列 を 意 味 す る.こ

の とき

(12)

と書 け ば,運

動 量Pn=dQn/dtは(第11講(14)参

照)

(13)

で 与 え られ,運

動 は(３),あ

る いは

(14)

で も 与 え られ る(第11講(５),(13)参 【証 明 】(１)は ル(Cramer)の

照) .

Ｎ 個 のζi(n,t)に

関 す る 線 形 連 立 方 程 式 で あ り,解

はク ラ メ

式

(15)

で 与 え ら れ る.こ

こ でA(n)(j)は

行 列 式detA(n)のj列

わ ち{c1(t)z1n,c2（ｔ）z2ｎ,…,CN(t)zNn}Tで

を(１)の

置 き 換 え た 行 列 で あ る.た

右 辺,す とえば

な

(16)

で あ る．

他方 で (17) した が って

(18) した が って

(19) ま た 第14講(20)に

よ り

(20)

なの で

(21)

よ っ て(３)に

よ り

(22)

を 得 る. (22)と

第11講(13)式 (23)

を比 ベ る と (24) こ の 式 の 右 辺 で(nの Pn =sn-1-snを

１次 式)は

得 る .(10)を

簡 単 の た めA(n)が2×2行

無 視 し て も よ い .ま

用 い れ ば 解 は(14)で

た(23)をｔ

で微 分す れ ば

も 与 え ら れ る.■

列 の場 合 を 詳 し く書 くと

(25)

で あ る.時 間ｔ で 微 分 す る と き

で あ る こ とを 考 慮 す れ ば

(26) なの で

(27) を 得 る.こ

こで最 後 の 式 で は

(28)

を 用 い た. こ の よ うに し て 一 般 に (29) あ る い は 第14講(13)に

よ り

し た が っ て(13)は (30) と書 け,第14講(11)の

第 ２式 が 再 び 得 ら れ た.

TeaTime

カチカチ ポール  図36に P2,P3が

お い て,…,P0,P1,P2,P3,P4,…と 図 の よ うに 動 き,衝

粒 子 が 並 ん で い る.そ

突 し てP1',P2',P3’ へ と 向 か う(縦

戸 田 格 子 の 中 の 一 部 の 粒 子 に 運 動 が 与 え られ た と き,粒 の に な る.粒 動 量(遠 る)は

軸 は 時 間 で あ る).

子 の 運 動 は これ に 似 た も

子 は た が い に 指 数 関 数 的 な 力 で 反 発 し合 う.初

期 のP1,P2,P3の

運

くか ら 集 ま っ て く 最 終 のP3',P2',P1',

の 運 動 量(た い く)に

がいに離れ て

そ れ ぞ れ 等 し く,

これ ら は 運 動 の 恒 量(保 量)で

の うち でP1,

存

あ る.

  図36(b)の

よ うにP0が

左 方-∞の 右方+∞の

位 置 に,P4が 距離 に あ る と

き は,P1,P2,P3は

たがいの

衝 突 を し た 後,他

の粒 子 と

図36

衝 突 す る こ と な くP1,',P2',P3'の (a/b)e-br+arの

運 動 を す る.こ

第 ２項 は-∞と+∞

の 場 合,戸

にP0とP4が

田 ポ テ ン シ ャル

あ れ ば,中

間 の 粒 子P1,P2,

P3に 影 響 を 与 え な い の で あ る. P1 ,P2,P3が

お は じ きの 玉 だ と し,こ

れ ら に それ

ぞ れ 運 動 を 与 え た も の と み て も よ い．  ± ∞ に あ るP0,P4が

な い と き は,P1',P2',P3'は

た が い に 離 れ て い っ て か ら た が い の 間 に は た ら く引 力(arの

項 に よ る 力)の

た め に近 寄 って き て ま た衝

突 す る. そ の よ うす は い わ ゆ るカチカチ 図37

似 て い る.玉

ボ ー ル(図37)に

の 衝 突 は い ず れ の 場 合 で も ソ リ トン の

衝 突 と み る こ とが で き る.  こ のカチカチ

ボ ー ル の 実 際 の 運 動 で は,別

の お も し ろ い 現 象 が み られ る .は

じ

めに １個 あ る い は ２個 の球 だ け に 運 動 を与 え る と,や が てす べ て の球 の運 動 が そ ろ って き て,つ い に は全 部 の球 が 同 時 に 右 へ左 へ と振 れ る よ うに な る の で あ る. それ と同時 に 球 を 吊 ってい る台 全 体 が 球 の振 れ と 同期 して揺 れ る.  球 の運 動 が だ ん だ ん と同期(シ ソ ク ロナ イズ)す

るの は,球 の衝 突 が完 全 な弾

性 衝 突 で は な い た めで あ る.不 完 全 弾 性 衝 突 を す るた び に衝 突 す る球 の速 度 の差 は小 さ くな る.そ の た めだ んだ ん と運 動 が そ ろ う よ うに な り,そ れ と同時 に運 動 の エ ネル ギ ー の一 部 が 台に 移 っ て これ を 揺 らす の で あ る.

第16講 連 続 体 近 似

―テー マ ◆長波長に対す る連続体 近似 ◆KdV方程式 ◆TeaTime:再

と,変 形 されたKdV方程式 帰現象

長 波 長 に 対 す る 連 続 体 近 似Kd V方程式 (１) と非 線 形 格 子 の 運動 方 程 式 (２) は と もに ソ リ トン解,多

ソ リ トン解 を もち,逆

散 乱 法,ゲ

ル フ ァン トーレビ タ ン

の方 程 式 を使 って積 分 す る こ とが で き るば か りで な く,こ れ らの解 や 解 決 は た が い に非 常 に よ く似 て い る.こ

こで は 非 線 形 格 子 を 伝わ る波 動 の 波 長 が 十 分 長 い と

き,格 子 を 連 続 体 とみ る近 似,す な わ ち連続 体近 似 を用 い る ことが で き,こ れ に よ っ て格 子 の 運 動 方程 式 か らKdV方程式

が導 かれ る こ とを 示 そ う.

 格 子 の 運 動 方 程 式

(３)

に お い て,相

互 作 用 の ポ テ ン シ ャル が 相 対 変 位rn=yn+1-ynに

(4)の よ うに展 開で き る とす る.波 動yn(t)がｎ

ついて

につ い て十 分 な め らか で

x=nh (５) (ｈ は 格 子 の 粒 子 間 の平 均 距 離)の 連 続 関 数 (６) と し て扱 って よい と してテイラ ー展 開

(７)を 仮 定 す る.こ れ を(３)に

代 入す る と (８)

を 得 る.こ

こで (９)

で あ り,(８)の ∂x 2を 得 る.右

右辺 第 １項 だ け 取 れ ば,い

わ ゆ る波 動 方 程 式∂2y/∂t2=cO2∂2y/

辺 第 ２項 は 高 階 の 微係 数 を 含 む 線 形項,第

３項 は 非 線 形項 で あ

る.  線 形 項 だ け を とれ ば 高 階微 分 を ど こ まで で 打 ち切 って も積 分 可 能 で あ るが,非 線 形 項 を 残 す ときは 一 般 に 積 分可 能 で は な くな る.ま た も しも(８)の

非 線形 項

の最 初 の もの だけ を と って（10）

とす る と,こ れ は 第 ６講(11)と

同 様 に崩 壊 す る運 動 を 与 え るの で 波 動方 程 式 と

して 役立 た な い.  しか し,と

くに 高階 の線 形 項 と最 低 次 の 非 線 形 項 を １つ ず つ 取 り入 れ た式 (11)

は 分 散 項 と非 線 形 項 とが バ ランス して ソ リ トン解 を与 え る こ とが 示 され る.実 際

(12) と お く と(11)は

(13)

と な る． これ はブシネ(Boussｉnesq)の方程式

と 呼 ば れ,浅

い水 の波 を表 す 式 と

し て 知 ら れ て い る．  ブシネ の 方 程 式 は 左 へ 進 む 波 も右 へ 進 む 波 も 同 様 に 記 述 す る.こ 波 だ け を 考 え る と,波

の 速 さは だ い た いC0な

の で,こ

こで右 へ 進 む

の 速 さで 右 へ進 む座 標 系 (14)

に 移 り,時

間 もゆ っ く り し た 尺 度 に 変 え て (15)

を導 入 し (16)

と お く と(11)は (17)

と な る.こ

こ で￨ε￨とh2は

同程 度 で 十 分 小 さ く (18)

で あ る と し て,左

辺 第 ２項 ε2ｙττ を 無視 で き る とす れ ば

(19)

を 得 る.こ 【注 意 】

れ はKdV方程式

で あ り,積

分 可 能 系 で あ る.

も し も相 互 作用 を

(20)

とすると，同様 な計算 により 連 続 体 近 似 と して〓

(21)

の形 の 式 を得 る.こ れ を 変形 され たKdV方程式(MKdV)と トン解 を もつ.ま た 逆 散 乱 法 も知 られ て い るが,こ

い う.こ れ は ソ リ

れ はKdV方程式

の場 合 よ り

も複 雑 で あ る. なお (22) とお くと (23) が 成 立 す る.し た が ってｖ が(１ 係 数 を別 と して)MKdV方程式(21)の の 符 号 を 変 え た 式 を満 たす な らば,ｕ す る.(22)をミウラ

第 ２項

はKdV方程式ut-6uux+uxxx=0を

満足

変 換 とい う.

可積 分 変換  前 節 で は非 線 形 格 子 の運 動 方 程 式 か ら可積 分 なKdV方程式

を 導 い た が,途

で考 えた 非 線 形 格 子 は 可積 分 系 で は なか った.  こ こで は 可 積 分 な戸 田 格 子か ら可 積 分 の 性質 を保 ち つ つ,可 積 分 なKdV方程 式へ 移 行す る こ とがで き る こ とを示 そ う. 戸 田 格 子 の方 程 式 は (24) と書 か れ る.こ こで パ ラメ タ(0＜h〓1)を

導 入 して (25)

とお くと(25)は (26)

中

と な る.さ

ら に 一 様 な 速 さh-2-h2で

右 向 き に 動 く座 標 系ｘ を (27)

に よ って 導 入 す る と一 般 に (28) な の で(20)は

(29) と な る.   (29)に

お い てh=1と

格 子 に 尺 度 変 換(25)と あ る.そ

し てh→0の

す れ ば 戸 田 格 子 に 戻 る.0＜h〓1の 座 標 変 換(27)を

領 域 で(29)は

行 っ た も の な の で,や

極 限 に お い て(29)の

戸田

は り可 積 分 系 で

左辺 は

(30) と な り,同

様 に(29)の

右 辺は

(31) と な る.し

た が っ てh→0の

極 限 で は(29)は (32)

と な り,こ

こ で 遠 方 でu→0と

すれば

す なわ ちKdV方程式

にな る.

 同様 な計 算 で 戸 田 格 子 に 対す る 逆 散 乱 法 や 第19講 な ど も,可 積 分 の 性 質 を 保 った ま までKdV方程式

に 述 べ るベックルント 変 換 に 対 す る もの へ 移 行 す る こ と

が で き る こ とが 示 され る.

TeaTime

再帰現象  フ ェ ル ミた ち は 非 線 形 格 子 の 振 動 を 計 算 機 で 調 べ て,あ 同 じ状 態 に 戻 る 現 象,い 見 した.ザブ

わ ゆ るFPUの

７講TeaTime参

ス キ ー と ク ル ス カ ル は これ を 確 か め よ う と,非

程式 で 近 似 す る こ と に よ り,ソ した.い

再 帰 現 象(第

る時 間 が た つ と初 め と

リ ト ン を 発 見 し,KdV方程式

再 帰 現 象(連

続 体)も

の再帰現象を発 見

こ とが 違 い,こ

再 帰 現 象(非 線 形

同 様 に 理 解 す る こ と が で き る.た

ス キ ー た ち の 計 算 は 周 期 系 で あ る の に 対 し,FPUの の 点 で はザブ ス キ ー た ち のKdV方程式

発

線 形 格 子 をKdV方

ま で は ソ リ トン の 運 動 を 考 え る こ と に よ っ てFPUの

格 子)もKdVの

照)を

だザブ

計算は両端が固定端で ある の 場 合 の ほ うが 簡 単 で あ

る.  ザブス キ ー た ち の 計 算 で は 初 期 条 件 は 正 弦 波 で あ る と し た.時 波 は 数 個 の ソ リトン に 分 か れ,各

ソ リ トン は そ れ ぞ れ 違 っ た 速 さ で 進 行 す る.ソ

リ トン を 徒 競 争 の ラ ン ナ ー に た と え,数 合 に た と え る とわ か りや す い.初

人 の ラ ン ナ ー が 円 形 の ト ラ ッ ク を 走 る場

期 条 件 で 正 弦 波 の と き は ラ ン ナ ー が ス タ ー ト地

点 で 一 列 に 並 ん だ 状 態 で あ る.「 よーい

ドン 」 で ラ ン ナ ー は い っ せ い に 走 り 出 す.

速 い ラ ン ナ ー は １番 先 に トラ ッ ク を １周 し て ２周 目 に 入 る が,そ ナ ー は ま だ １周 を 終 わ っ て い な い.時 て い る 遅 い ラ ン ナ ー に 追 い つ く.そ た 距 離 に は 大 き な 差 が つ くが,同

間 が た つ と正 弦

の と き他 の ラ ン

間 が た つ と 速 いラ ソ ナ ー は １周 遅 れ で 走 っ う して時 間 が た つ に つれ て各 ラ ンナ ーが 走 っ

じ トラ ッ ク の 上 を 走 っ て い る の で あ る か ら,あ

る 時 間 が た つ とす べ て の ラ ン ナ ー が だ い た い 横 一 列 に 並 ぶ 瞬 間 も く る わ け で あ る.こ

れ が 再 帰 現 象 で あ る.

 これ を 時 計 の 針 に た と え る こ と も で き る.秒

針,分

針,時

針 の ３本 の 針 が あ る

時 計 で は,12時

に 同 じ点 を ス タ ー トし て か ら約 １時 間 後 の １時 ５分 ち ょ っ とす ぎ

に ３本 の 針 の 位 置 は だ い た い 一 致 す る .こ

れ が 時 計 の 針 の 近 似 的 再 帰 で あ る.

ラソ ナ ー や 時 計 の 針 の 代 わ りに お も ち ゃ の よ うな レ ー シ ン グ カ ー を 考 え て も よ い.簡

単 の た め に １周 が1kmの

円 形 の 走 行 サ ー キ ッ トの 上 を ８ 台 の 自動 車 が 衝

突 し な い で 走 る こ と が で き る と し,８ 台 の 速 さ をv1=1km/時,v2=2km/時,…, v8=8km/時

と し よ う.t=1/2時

間 で は2n+1番

1/2周

し た と こ ろ で 横 一 列 に 並 び,同

ぶ.そ

し てt=1時

目(n=0,1,2,…)の

車 はn+

時 刻 に ２n番 目 の 車 はｎ 周 し て 横 一 列 に 並

間 で す べ て の 車 が ス タ ー トラ イ ン に 横 一 列 に 並 ぶ こ と に な る．

これ が 再 帰 で あ る .  この 再 帰 現 象 は す べ て の 車 の 速 さ が 一 定 値 だ け 変 わ っ て も 同 じ で あ る． す な わ ち 再 帰 現 象 は 速 さ の 相 対 速 度 だ け で 決 ま る.た

と え ば す べ て 車 の 速 さ を5.6km/

時 だ け 減 じ てv1=-4.6km/時,v2=-3.6km/時,…,v5=-0.6km/時 時 計 回 りに 走 り,v6=0.4km/時,…,v8=2.4km/時 時 間 後 に は す べ て の 車 が 横 一 列 に 並 ぶ.こ る こ と に な る(こ

れ ら の 数 値 は 実 はザブ

まで は は 反 時 計 回 りに 走 っ て も １

の と きｍ 番 目 の 車 はm-5.6周

し てい

ス キ ー た ち の 数 値 計 算 で 現 れ た ソ リ トン

の 速 さ と再 帰 まで に周 期場 を 回 った 回数 の数 値 の近 似 値 で あ るが 詳 しい こ とは 省 略 す る).

第17講 い くつかの非線形方程式

―テー マ ◆サ インーゴルドン方程式 ◆非線形シュ レーデ ィンガー方程式 ◆ TeaTime:自 己集束

積 分 可 能 な 発展 方 程 式 い ま までは 主 にKdV方程式 解 法 が 発 見 され た1967年

と戸 田格 子 に つ い て述 べ て き た.KdV方程式

の

以 後,積 分 で き る非 線 形 発 展 方 程 式 が き わ め て 多 数 発

見 され た.あ ま り多 数 な の で主 だ った も のを 少 数選 ぶ の もほ とん ど不 可 能 で あ る が,よ

く知 られ て い る もの を い くつ か あげ て簡 単 な解 説 を加 え る こ とに し よ う. リゥヴィルの 方 程 式

方程式

(１)あ る い は (２) と お い て(１)を

書 き 直 し た 式(φｓτ=∂2φ/∂s∂ τ) (３)

をリゥヴィル (Liouville)の θ(s)とx(τ)を

方 程 式 と い う.こ

の方 程 式 の 一 般 解 は 任 意 関 数

用 いて (４)

で 与 え られ る.た

だ し θ'(s)=dθ/ds,x'(τ）=dX/dτ.

【証 明】(４)か

ら(３)を

導 こ う.(４)の

対 数 を とれ ば

ｓで微分すれば (５) さらに τで微 分 して(４)を 用いれば

(６) よ っ て(３)が

得 られ た.■

サ イ ンーゴル

φ=φ(y,t)と

ドン 方 程 式

して (７)

あ る い は 変 換(２)を

行 った 式 (８)

を サ イン ーゴル ドン(sine-Gordon)方

程 式(SG方

程 式)と

い う.符

号を変え (９)

と書 く こ と もあ る.   線 形 の 場 の 方 程 式φxx― φｔｔ=φはク ラ イ ンーゴル と呼 ば れ る の で,(７)を

ド ン(Klein-Gordon)方

程 式

サ イ

ンーゴル ド ン 方 程 式 と い うの で あ る.サ は 図38の

イ ンーゴル ド ン 方 程 式 よ う に 振 り子 をば ね

図38

で つ な い だ 模 型 を連 続 体 近 似 した もの と考 え られ る.た だ し図 の よ うに不 連 続 な

模 型 は 可 積 分 で な い の に 対 し,サ インーゴル ドン方 程 式 は 可 積 分 で 詳 し く研 究 さ れ て い る.こ の方 程 式(７)は

固体 中 の 転位 の伝 播 や,相

転 移 に 付 随 して 起 こる

い くつ か の現 象,光 パ ル ス の非 線 形 効 果 に よ る 自己透 過 現 象,素 粒 子 モ デ ル,ジ ョセ フ ソン接 合 素 子 中 の磁 束 伝 播 の問 題 な ど,い ろ い ろ な 現 象 を記 述す るの に用 い られ て い る. (７)は特 解 と してキンク,反キンク

と呼 ば れ る次 式 で 表 さ れ る解 を も つ.ｖ

を任意定数 として

(10) 符 号 の+はキンク,一 図39

は 反キンク

で あ る(図39).

￨v￨＞1の 場 合 も 定常 解

(11)

が あ る.こ

れ ら は １個 のキンク

 キンク と反キンク(速

あ る い は 反キ ンク ソ リ トン を 表 し て い る.

度±v)の

衝突を表す解は

(12)キンク とキンク,反キンク

とキンク

の 衝 突(図40)を

表す解は

(13) で あ る. (13)で

速 度Ｖ を 純 虚v=√-1uに

す ると

(14)

と な る.こ (図41).

れ は 空 間 的 に 局在 した 振 動 を 表 し,ブ

リーザ ー(breather)解

とい う

図40図41

非 線 形シュ i=√-1と

レ ー デ ィンガ

ー方 程 式

して

(15) の 形 の 方 程 式 を 非 線 形シュ

レ ー デ ィンガ ー 方 程 式(NLS方

程 式)と

い う.量

子

力 学 のシュ レ ー デ ィンガ ー 方 程 式 で ポ テ ン シ ャ ル を-εψ｜1｜2ψと し た も の に 相 当 し,ε＞0の ε=1と

と き は 束 縛ポテン

シ ャル で あ る．

し た と き の ソ リ トン 解 は (16)

こ こ で 速 度vは

任 意 定 数 で あ る.(15)の

包 絡 線 は 孤 立 波 の 形 を し て い る の で,

この 解 を 包 絡 線 ソ リトン と い っ て い る(図42). ε=-1の

と き の 解 は 複 雑 な の で 省 略 す る が 図43の

よ うに な り,包

絡線は (17)

で 表 さ れ る.こ

れ は 暗 い ソ リ トン(ダ

ー ク ソ リ トン)と

呼 ば れ て い る.

図42図43 ベ ン ジ ャ ミ ンー小 野 方 程 式 ベ ンジ ャ ミン(Benjamin)一 小 野方 程 式 は 深 い２ 層 流 体 中 の内 部 波 を記 述す る方 程 式 で あ って (18) ここで〓 は ヒル ベ ル ト変 換 の演 算 子(Pは

主 値) (19)

を表 す.こ の方 程 式 は ローレンツ 型 の 孤立 波

(20)た だ し(ａ は 任 意 定 数) (20') を もつ.こ

の 形 の 解 は 衝 突 に 対 し て 安 定 で あ り,代 数 的 ソ リ トン と 呼 ば れ て い る.

変 形 さ れ たKdV方程式

変 形 さ れ たKdV方程式(MKdV方程式) (21) は ソ リ トン 解 (22) で 与 え ら れ る.ま

た 複 雑 で あ る が 多 ソ リ トン解 を も つ.

 さ らにMKdV方程式(21)は

ブ リーザ ー解,代

数 的 ソ リ トン解 を もつ.

TeaTime

自己集束  自縄 自縛 とい う言葉 が あ る.自 分 で つ くった 縄 で 自分 自身 を 縛 る とい うこ とで あ り,自 分 で い った 言 葉,自 分 た ち で つ くった規 約 な どに 縛 られ て 臨 機 応 変 な行 動 を とれ な い情 況 を意 味 す る.悪 循 環 とい う と,あ る情 況 か ら抜 け 出 そ うとす る 行 為 が さ らに悪 い結 果 を生 む場 合 で,そ

こを抜 け 出 せ な くな るか らや は り自縄 自

縛 で あ り,悪 く作 動 した フ ィー ドバ ックで あ る. フ ィー ドバ ッ クが よ く作 動 す れ ば 望 ま しい状 態 が 安 定 に 保 た れ る.こ れ は 良 い 結 果 を生 む 自縄 自縛 と い っ て も よい だ ろ う.  非 線 形シュ レ ー デ ィンガ ー方 程 式(NLS)は

波 が つ くるポ テ ン シ ャル に そ の 波

自身 が 束 縛 力 を受 け る場 合 を含 んで い る.自 縄 自縛 ほ ど強 くは な くて も 自己 を み ず か ら束 縛 す る.NLSは

１次 元 の 方程 式 で あ るが,強

い光 が あ る媒 質 中 を進 む

ときは 光 の エ ネ ル ギ ーが 集 中 した オ プテ ィカル ソ リ トンや 自己 集 束 とい う現 象 が 起 こ る こ とが あ る.光 に対 す る媒 質 の屈 折 率 が 光 の 強 さに よ って 変 わ る と きは そ の た め に 波面 が 曲げ られ る.光 は 波 面 に垂 直 に進 む か ら この よ うな 媒 質 では 光 の 強 さが光 の進 路 を変 化 させ て光 が 集 中 す る こ とが起 こ り うる.光 が 集 中す れば 光 は ます ます 強 くな るか ら集 中 効 果 は さ らに 著 し くな る.こ い う現 象 が起 こる の で あ る.

う して光 の 自己 集 束 と

第18講 ラ ック ス形 式 の拡 張

―テ ー マ ◆KdVヒ

エ ラル キ ー

◆AKNS方程式 ◆AKNSの

逆 散乱 法

◆ TeaTime:虚

数を含む方程式

K avヒ

エ ラ ル キ ー

す で に 第 ８講 で 述 べ た よ う に 非 線 形 発 展 方 程 式 を (１) と 書 い た と き,こ (あ る い は 行 列)Ｌ

れ を ラ ッ ク ス 形 式(あ

る い は ラ ッ ク ス 方 程 式)と

い い,演

算子

とＢ を ラ ッ ク ス対 と い う.線 形 方 程 式 系

(２)

か ら(１)を

導 く こ と が で き る.し

た が っ て(１)を

解 く に は 方 程 式 系(２)を

解 け ば よ い.  こ の ラ ッ ク ス 形 式 は い ろ い ろ の 拡 張 が 可 能 で あ る.こ 展 方 程 式 系(ヒ  【高 階KdV方程式

エ ラ ル キ ー)とAKNS方 】

こ で は 高 階(高

程 式 と に つ い て 述 べ る.

こ れ か ら述 べ るKdV方程式

系で はＬ

と して

次)の

発

(３) とす る.こ

の と き∂(Lψ)/∂t=Ltψ+L∂ψ/∂tこより

(４)

した が っ て (５) で あ る(第

８講(４)参

照).

い まＢ と し て (６) を とる と

(７)

したが って (８) と な り,(１)は (９) を 与 え る.こ

れ は 線 形 で あ る が １つ の 発 展 方 程 式 で あ る.

次 にＢ と し て (10) を と れ ば,す

で に 第 ８講(６)と

同様 に して

(11) した が っ て (12) で あ り,(１)は (13) を 与 え る.こ

れ は(第

う のKdV方程式

８講(３)と

係 数,す

な わ ち 尺 度 は 異 な っ て い る が)ふ

つ

で あ る.

  一 般 に Ｂと し て

(14) を と り,Ｄ に,係

の 奇 数 次 だ け を 取 る と き,[Bq,L]がｕ

数bjを

一 義 的 に 決 め る こ と が で き る.こ

とｕ の 微 係 数 で 表 さ れ る よ う の と き(１)は (15)

の 形 の 発 展 方 程 式 を 与 え る.こ Kd

Vヒ

れ をｑ 次 のKdV方程式,ｕｔ=Kq[u]の

エ ラ ル キ ー と い う.uが

こ の 高 次KdV方程式

シュ レ ー デ ィンガ ー 方 程 式Lψ=λ ψ B0に

集 ま りを

に 従 っ て 変 化 す る と き,

の 固 有 値 λは 時 間 に よ ら ず 一 定 で あ る(B=

対 し て も そ う で あ る).

AKNS方程式

 こ れ は 多 くの 発 展 方 程 式 を 含 む よ うに ラ ッ ク ス 形 式 を 拡 張 した も の で,一 な 逆 散 乱 法 を 与 え る.アブロ

ピ ッツ(M.J.Ablowitz),カ

ニ ュ ーウェル(A.C.Newe11),シ 年)の

で,AKNS方程式

ガ ー(H.Segur)に

般的

ウ プ(D.J.Kaup), よ っ て 提 唱 さ れ た(1974

と い う.

 線形 演 算 子

(16)

の固有 値 方 程 式 を (17) と し,固 有 ベ ク トル (18) の時 間 発 展 を

(19)

と す る.さ

ら にλ が 時 間 に よ ら な い よ うにＡ,Ｂ,Ｃ

を 選 ぶ.こ

の と きｑ お よ びｒ

は逆散乱法に よ り

(20)

と 求 め られ る.こ

こ でK(x,y)は

ゲ ル フ ァ ン トーレビ タ ン の 方 程 式 を 拡 張 し た 式

( 21)

ただ し

(22)

(23)

で 与 え られ る.ま 半 面(下 a,b,Ckの

半 面)に

たＫ,Ｆ

はＫ,Ｆ の 複 素 共 役 で あ り,λk(λk)は

あ る(17)の

固 有 値 で あ る.散

時 間 発 展 は 一 義 的 に 与 え ら れ る.(23)の

は ソ リ トン を 与 え,第

１項(a,bなど

を 含 む 項)は

複 素ξ 平 面 の 上

乱 デ ー タ を 与 え た と き,a,b,Ck, 右 辺 第 ２項(Ck,Ckを

含 む 項)

ソ リ トン 以 外 の 運 動 を 与 え る.

こ こで (24) と し た と き,r=1と に な る.ま

お く とKdV方程式,r=4と

お く と 変 形 さ れ たKdV方程式

た (Qは 定 数) 

と お く と 非 線 形シュ

(25)

レ ー デ ィンガ ー方 程 式 に な り (26)

と お く と サ イ ンーゴル ドン 方 程 式 に な る.

TeaTime

虚数を含む方程式  非 線 形 発 展 方 程 式 は 無 数 に あ り うるが,本

書 で は,１)ソ

リ トン解 を もつ も の

を 中心 に し,２)１ 本 の方 程 式 で 書 け る もの だけ に注 目し,３)主 方 程式 を考 え,４)主

に実 数 の 領 域 の

に １次 元 の 波動 を扱 って きた.

 第17講 で 述 べ た非 線 形シュ レー デ ィンガ ー方 程 式 で は 複 素 数 が 入 り,こ はAKNS法

こで

で虚 数 を導 入 して い る.実 数 の場 を扱 う場 合 で も複 素 数 を導 入 しな

けれ ば な らな い こ と もあ る し,複 素 数 の領 域へ 広げ れば 内容 が非 常 に広 が り,有 利 な こ とが 多 い のは 当然 で あ る.  多 くの物 理 的 な 問題 に お い て ２つ 以 上 の場 の相 互 作 用 が 論 じられ る.２ つ あ る い は ２つ 以 上 の 非 線形 場 を扱 う連 立 方 程 式 の研 究 も盛 ん に な され て い る.  １つ のお もしろ い例 と して非 線 形 発 展 方 程 式 系

(１)

を あ げ よ う． こ こ で (２)

と お く と(１)は

ｌ次 元 の 非 線 形 発 展 方 程 式

(３) と な る．a(x)=0の

と き こ れ は バ ー ガ ーズ 方 程 式ut+uux=vuxxの

した も の な の で,コ

ー ルーホ ッ プ変 換 で 線 形 化 で き る.a(x)≠0の

時 間 を虚 数 に 場合で も (４)

と お け ば(３)は (５) と な る.こ

れか ら (６)

が 導 か れ る が,こ ルa(x))に

れ は 量 子 力 学 にお け るシュ レ ー デ ィンガ ー 方 程 式(ポ

ほ か な ら な い.

テンシ ャ

第19講 ベックルント 変換

―テ ーマ

◆ サ インーゴルドン方程式 ◆戸 田方程式 ◆ TeaTime:カッ

ツーメールベッケ系

方程式 と解 の 変換 ２階 の偏 微 分 方程 式 で あ る波動 方程 式 (１) は １階 の連 立 方 程 式 (２)

と同等 であ る.ま た(２)か

らvに 対 して も同 じ形 の 方 程 式 (３)

が 導 か れ る.  い ろい ろな非 線 形 発 展 方程 式 に つ い て これ に 似 た こ とが あ って,高 階 の 微 分 や 偏 微 分 を 含 む方 程 式 が低 い階 数 の連 立 方 程 式 に 帰 着 させ られ る.こ

れ は サ イ ンー

ゴル ドン方 程 式 は 負 の一 定 曲 率 の 曲面 を表 す が,こ の 面 の 間 の相 互 の 変 換 を 取 り 扱 ったベックルント(A.V.Backlund)の

研 究 に 発す る(1882年).

サ イ ンーゴル ドン方 程 式 aを任 意 定 数 とす る と き,方 程 式系

(4)

が 成 り立 つ と す れ ば,φ,φ'は

サ イ ンーゴル ド ン方 程 式 を 満 た す.す

な わ ち(４)

か ら

(５)

が 導 かれ る. 【証 明】(４)の

第 １式 をsで 微 分 す れ ば 第 ２式 に よ り

(６) 同 様 に(４)の

第 ２式 を τで 微 分 す れ ば 第 １式 か ら

(6') よ っ て(６)と(6')の

和 お よ び 差 か ら(５)を

 【ベックルント

サ イ ンーゴル ドン 方 程 式 の １つ の 解φ

変換】

て φ'に つ い て １階 の 方 程 式(４)を と き パ ラ メ タaは  【例 】

φ=0は

得 る.■ を(４)に

解 け ば 別 の 解φ'を 得 る こ と が で き る.こ

新 し い 解 の 性 質 を 与 え る. 明 ら か にSG方

代入 し

程 式 の 解 で あ る.こ

れ に 対 し(４)は(７)

の

これ を 解 け ば 新 し い 解φ'と

して (8)

を 得 る.こ

れ は 第17講

のキンク

解 か 反キンク

解 で あ る.s=(x+t）/2,τ=(x-

t）/ 2を 用 い て 書 き 直 す と

(９) と書 き 直 せ る.し

た が っ て(８)は

a＞ 0な ら ば 反キンク

第17講(10)と

同 じでa＜0な

らばキンク,

解 で あ る.

戸

A,aを 任 意 定 数 とす る と き,方

田 格 子

程式系

(10)

が成 り立 つ とす れ ば,QnとQn'は

戸 田格 子 の方 程 式 (11)

を満 た す. 【証 明】(10)の

第 １式 をｔ で 微 分 して 書 き直 せ ば

(12) と な り(11)の 【ベックルント

第 １式 を 得 る.第

２式 に つ い て も 同 様 で あ る.■

変 換 の 例 】Qn=Qn=0は(11)の

第 １式 の 解 の １つ で あ る.こ

れを(10)に

代入 す れ ば

(13)

を 得 る.(13)を

解 くた め

(14)

(1 5) と お く と(13)の

第１ 式 は (16)

を 与 え,第２

式は

(17) を 与 え る(ψ=dψ/dt).他

方 でn→-∞と

す る と(14)はzψ(n)=ψ(n+1),あ

る いは

を与え る.こ

こ でB(t)はｎ

に よ ら な いtの

関 数 で あ り,(17)は

(18) を 与 え る.(18)の

右 辺 もｎ に よ ら な いｔ の 関 数 で あ る.

(16)と(18)は (19) に よ っ て 満 た さ れ る.た

(20)な お,こ

だ し

の と きB(t)=B(0)e-βtと

B(0)C(0)＞0と

な る.

す る と(19)は (21)

と 書 け,し

た が っ て(14)は

(22) と な る.こ

れ は 第11講(21)と

同 じ式 で あ り,ソ

リ トン解 (23)

を 与 え る. B(0)C0(0)〈0と

す る と同様 の計 算 に よ り

(24)

と な る.こ

れ は 発 散 す る 解 で あ る が,部

分 的 に は 実 現 可 能 な 運 動 で,反

ソ リ トン

と 呼 ば れ る.   【逆 散 乱 法 と の 関 係 】 上 述 の 方 法 は 逆 散 乱 法 と の 関 係 を 示 唆 し て い る.(13), (14)に

お い てQnは

ソ リ トン の な い 状 態,す

１ソ リ トン解 で あ り,(14)は Qnを 既 知 のＮ

な わ ち０ ソ リ トン解 で あ り,Qn'は

こ れ ら を 結 び 付 け る 式 で あ る.こ

ソ リ トン 解,Qn'を

求 め よ う と す るN+1ソ

れ を 拡 張 し て,

リ トン解 と し て,(14)

を 拡 張 した 式

(25)を 考 え る.こ

れ を(10)の

第１ 式 に 代 入 してA=-1,α=-(z-1+z)と

お くと (26)

を 得 る.た

だ しan,bnはＮ

ソ リ トン 解 で 与 え られ る (27)

で あ る(し

た が っ てψ(n)は

化 に つ い て は(10)か

逆 散 乱 法Lψ=λψ

の 式 を 満 足 す る).ψ(n)の

時間変

ら得 ら れ る 式

(28) に(25)を

代 入 し(A=-1)

(29) を 得 る.し

た が って (30)

とな る ・ここ でF(t)はnに ψ (n)と

お け ばF(t)は

何 の 寄 与 も与 え な い.し  そ こ でＮ

よ らな い 関 数 であるが ，ψ(n)exp{∫F(t)dt}を 改 め て

消 去 で き,(25)でQn'を た が っ てF(t)=0と

ソ リ トン 解Qnか

い て ψ(n)を

らan,bnを

求 め れ ば,(25)に

と が で き る.こ

求 め る と き 因 子exp{∫F(t)dt}は お い て も よ い.

つ く り,逆

よ っ て 新 し くN+1ソ

の と き(26)の

散 乱 の 式(26)と(30)を リ トン 解Qn'を

パ ラ メ タｚ は 新 し く 加 わ ったN+1番

解

構成 す る こ 目 の ソ リト

ンを 特 徴 づ ける.

KdV方程式

KdV方程式 (31) のベックルント

変換は (32)

と お い た と き,η を 定 数 と し て

( 33)

で 与 え られ る.

変 換 のダ イヤ グ ラ ム  ベックルント変 換 に よ って １つ の解 か ら ソ リ トンの １つ増 加 した 新 しい 解 を 得 る こ とは実 際 には 簡 単 で は ない.し か し積分 しな い で つ ぎつ ぎ と解 を 構 成 す るた

くみ な 方 法 が あ る.   初 め の 解 を φ0と し,こ れ か らベックルント

変換

に よ り導 か れ た ２つ の 解 を φ1,φ2と す る.そ

して

φ1と φ2か ら さ ら に 新 し い 解φ12を 考 え る(図44).具   【SGの は(４)か

体 的 にSG方

場合】

つ く る こ とを

程 式 を 考 え よ う．

こ の 場 合 のベックルント

図44

変換

ら

(34)

 こ れ ら の 式 か らｘ に 関 す る 微 分 を 消 去 す れ ば (35) が 得 られ る.こ

れ は 代 数 的 な 関 係 式 で あ る か ら φ0,φ1,φ2を 与 え れ ば 積 分 を し な

くて も新 し い 解φ12が

計 算 で き る.こ

う し てキンク,反キンク,ブ

リーザ ー 解 が

導 か れ る.   【戸 田格 子 の場 合 】 ソ リ トン解Qn(0）,Qn(1), Qn（ 2)が与 え られ れ ばSGの

場 合 と 同様 に 代数 的

計 算 で新 しい 解Qn(12)が 構 成 で き る.こ の場 合

(36)

図45 とす る.変

換 式 の ダ イ ヤ グ ラ ム(図45)に

従 い

(37)

こ こで 交 換 法 則

(38)

が 成 り立 つ と し た.上 式 か ら時 間 に 関 す る 微 分 を 消 去 す れ ば 新 し い 解Qn（12） を 構 成 す る式 とし て (39) が 得 ら れ る.   た と え ばQn（0)=γ（0)=一

定 とす る と き,Qn(12)と

し て ２ ソ リ トン 解 を 得 る た め

に はQn（1）とQn（2） の ど ち ら か が ソ リ トン で 他 方 が 反 ソ リ ト ン で あ る こ とが 必 要 で あ る．KdV方程式

に つ い て も 同 様 なベックルント

変 換 の ダ イ ヤ グ ラ ムを 構成

す る こ と が で き る.し

か し い ず れ に し て も 多 ソ リ トン 解 を こ の 方 法 で 構 成 す る の

は 容 易 で は な い.

TeaTime

カッツ ーメ ー ルベッケ

系

質問  戸 田 格 子 と 関 係 が あ る と い うカッ ツーメ ー ルベッケ(M.KacとP.van Moerbeke)系

に つ い て 説 明 し て くだ さ い.

答 カッツ

は 確 率 過 程 の 研 究 で 有 名 で す が,ツ

た と き,指

数 関 数 に 関 係 の あ る も の な ら何 で も 興 味 が あ る と い っ て い ま し た.カ

ッツは 不 連 続 確 率 過 程 を 表 す 行 列(k,l=整

ー ソ ン(ア

数,t=連

続)

リゾ ナ)の

会議で会 っ

を考 え,Qklの

を 得 た.こ

固有 値 がtに

よ らな い条 件 と して

こで

と お く と上 式 は (*) と な る.こ

れ をカッ

ツ一メ ー ルベッケ

系と 呼 ぼ う.さ

らに

とお くと

を 得 る.し

た が っ て ωkを １つ お き に と っ て

とおけ ば,rkとrk'は

戸 田格 子 の方 程 式

を 満 足 す る こ と に な り ます. さ らに

とお くと

(*)は

と な る.し

た が って

を 得 る.Qk'に (10))と

つ い て も 同 様 で あ り,こ

同 じ で す.

れ は 戸 田 格 子 のベックルント

変 換(本

文

第20講 広 田の 直 接 法

―テーマ ◆広 田の演算子 ◆戸 田格子 の場合,KdV方程式 ◆ TeaTime:和 算

の場合

広 田 の演 算 子  非 線形 発 展 方 程 式 を解 くたい へ ん 強 力 な方 法 が1971年 見 され,Hirotaの

方 法 と して知 られ る よ うに な っ た.こ

を 自分 で 納 得 し よ うと して独 自に開 発 した もの で,そ

に広 田 良吾 に よ っ て発 れ は ソ リ トン解 の 計 算

うい う意 味 で た いへ ん教 育

的 で もあ る.解 法 だ け で な く,多 くの非 線 形 方 程 式 の 間 の 関 係 を 明 らか にす るう えで も大 きな 役 割 を果 た して い る し,数 学 に もイ ン パ ク トを与 えた.  広 田の 方 法 で は 任 意 の 関 数a(x),b(x)の

双 線 形 形 式(bilinearform)a(x)・

b(x)には た ら く演 算 子Dxを

(１)

で 定 義 す る.格 子 の 問題 ではx=t,あ

るいはx=nで

あ る.何 回 も演 算す る と ぎ

は (２)

で あ る． これ に よ ってDnの

多項 式 や 無限 級 数

(３)が 定 義 され る.す ぐわ か る よ うに

(４)

また も し もDxa・b=0な sinh(εDx)a・b=0の で あ る.さ

ら ば,ａはｂの

定 数 倍(5)

と き も,ａはｂの

定数倍

ら に α,β,ε,δ を定数 として

(6)

が 成 り立 つ.ま

た 一 般 にF(Dt`,Dn)をDtとDn)の

多 項 式 とす る と き

(7) が 成 り立 つ.こ

れ は 重 要 な 式 で あ る.

戸

田 格 子

 格 子 の運 動 方 程 式 (８) か ら 出 発 し よ う. (９) と お く と(８)は

(10)

と な る.こ

こで

(11)

と お く と(10)は (12) と な る. さて

(13)

(14) で あ る か ら,格

子 の 運 動 方 程 式(12)は

(15)

と 書 け る． (15)の

ソ リ トン 解 を 求 め よ う． そ の た め 形 式 的 に 展 開 (16)

を 仮 定 す る.ε は 別 に 小 さ い わ け で な く,た

だ 性 質 の 違 う項 を 分 け る た め の パ ラ

メ タ で あ る. (16)を(15)に

代 入 し て ε1の 係 数 を 取 る と(４)に

よ り (17)

を 得,ε2の

係 数 か ら方 程 式

(18) を 得 る.さ

ら に 高 次 の 項 も 導 か れ る.

(17)は 線 形 の 式 でfn(1)と で も 満 た さ れ る.非

し て ソ リ トン を 与 え る形eΩtρnで

線 形 な の は(18)と

も,線 形 波〓

さ ら に 高 次 の 方 程 式 で あ り,ソ

リ トン解

は こ れ ら の 方 程 式 を す べ て 満 た す も の と し て 得 られ る わ け で あ る. 【１ ソ リ トン 解 】

ソ リ トン 解 を 求 め る た め (19)

と お くと(17)は (19,) とす る こ と に よ っ て 満 足 さ れ,(18)の

右 辺 は(7)に

よ り

(20) とな るの で (21) と お く こ と に よ っ て(18)は

満 足 さ れ る.そ

して さ らに (21')

とす れ ば す べ て の 方 程 式 が 満 足 さ れ る.し (１ ソ リ トン解)を

与 え る.す

た が っ て(19),(21),(21')は特

解

なわ ち (22)

は １ ソ リトン 解((11)参

照) (23)

を 与 え る. 【２ ソ リ トン 解 】

２ ソ リ トン解 を 求 め る た め

(24)

と お く.こ

の と き(18)の

右 辺 で,(７)を

用 いれ ば

(25) これ が(18)の

左 辺 に 等 し くな け れ ば な らな い か ら

(26)

と す れ ば よ い(B＞0で

あ る こ と が 示 さ れ る).(18)よ

りも高 次 の方 程 式 は (27)

と す る こ と に よ って 満 足 さ れ る.ε は 任 意 だ か ら ε=1と

し て,２

ソ リ トン解 (28)

を 得 る.こ

れ は す で に 知 っ て い る ２ ソ リ ト ン解 で あ る.

KdV方程式

KdV方程式

を

(29)

と す る． こ こ で

(30)

と お く とKdV方程式(29)は

(31)

と な る. 【証 明 】

(32)

(33) こ こで (34) とお け ば (35) ま た,任

意 のａ,ｂ に つ い て 成 り立 つ 式 (36)

に お い て,a=fx,b=fと

し

(37

)に 注 意 す れ ば

(38) を 得 る.し

た が って (39)

と な る.さ

らに (40)

と お け ば(31)と(39)はKdV方程式(29)を 【ソ リ トン 解 】(31)を

与 える

■

解 くた め(41)

とお く.戸 田格 子 の 場 合 と同様 に して f(1)=ｅ2η

(42)

が1ソ

リ トン 解 (43)

を 与 え る. 2ソ

リ トン 解 は

(44)

で与 え られ る こ とがわ か る.

TeaTime

和算  広 田 の方 法 に は 和 算 を 思わ せ る ものが あ る.  和 算 は 日本 で独 自に 発 達 した 数 学 で あ る.日 本 の数 学 は 奈 良 時 代 に 中 国 の数 学 を 手 本 と して いた が,そ れ 以 後 は 江 戸 時 代 ま で断 片 的 な 記 録 しか 存 在 しな い.江 戸時 代 の数 学 は 『塵却 記 』(寛 永4(1627)年)と

『竪亥 録 』(寛 永16年)か

ら始

ま った といわ れ てい る． 『塵却 記 』 の巻 末 には 世 間 の 数学 者 に 問 う問 題 が 載 せ ら れ て お り,こ の問 題 に 答 えた 人 々が また 新 た に問 題 を 提 出 し,つ ぎつ ぎ と解 答, 出題 が され る よ うに な っ た.こ 馬(算 額)が 流 行 し始 め た.関孝

の こ ろ か ら 神社 仏 閣 に 数 学 の 問 題 を え が い た 絵 和(?−1708)は

この よ うな 和 算 の興 隆 期 に 育

ち これ を発 展 させ た.   関孝 和 は 甲府 宰 相 に 仕 え て勘 定 吟 味 役 とな り,徳 川 綱豊 が 綱 吉 の 養 子 とな って 家宣 と改 名 し江戸 城 に 入 った の で関 も江 戸 城 の御 納 戸 役 を 勤 め る よ うに な った.

 中 国 か ら伝 わ った 数学 には 問 題 を 方 程 式 に して これ を 解 く方 法 が あ った が,そ の た め に 算 木 を 用 い て い た.関 は 新 しい 演 算記 号 を 導入 して 中 国 伝 来 の数 学 で は 解 く こ との で き な い 問題 も解 く方 法 を樹 立 した.彼

は行 列 式,級

数 な どの研 究 に

よ り,ベ ル ヌー イな どの仕 事 に 先 ん じて いた． 無 限 小 の概 念 も も って いた が,微 積 分 に 発 達 させ る こ とが で き なか った.そ れ は 日本 に は ニ ュ ートン(1642-1727) を駆 り立 て た よ うな 物理 的 な背 景 が な か った た め で あ る とい え る か も しれ な い.  筆 者 は 福 島 県 の三 春 を訪 れ た と きに 神 社 に 掲 げ られ た 算額 を み て 江 戸 時代 の地 方 文 化 の高 さ に大 き な感 銘 を 受 け た こ とが あ る.

第21講 ２次 元KdV方程式(KP方

程 式)

―テ ー マ ◆KP方

程式

◆ソ リ トン解 の ロン ス キ ア ン表 現 ◆ TeaTime:２

次 元KdV方程式

KP方

こ こ で はKdV方程式

程 式

を (１)

と書 こ う.tを-t/4に

変 え た の で ソ リ トン 解 は ρ と εを 任 意 定 数 と し て (２)

と な る. (１)に

対 し

(３)

を ２次 元KdV方程式,あ )方

る い は カ ドム チェフ ーペ トビ ア シュビリ(KadomtsevPetviashvili

程 式,略

し てKP方

程 式 と い う.ｕ にy依

方程式に な る.  KP方

程 式(３)の

解 を(第

７講(８),(19)参

照)

存 性 が な け れはKdV

(４)

と お く と,ま

ず(３)の

左 辺 の 第 １項 か ら

(4') を 得 る.同

様 に

(4")

を 得 る.こ

れ ら を(１)に

代 入 し て2∂2/∂x2を 省 き,τ2を

か け る と(１)は

(５) と な る(τxxxxを

４次,τxｔを1+3次,τyyを2+2次

左 辺 は す べ て ４ 次 の 式 で あ る こ と に 注 意).こ

と い う ふ う に 考 え れ ば,こ

の

れ が τ の 満 た す べ き 方 程 式 で あ る.

ソ リ トン 解

(４)の

τと して (６)

と お け ば １個 の ソ リ トン を も つ 解 を 得 る.(６)を(５)に の 間 の 関 係(分

散 関 係 に 相 当 す る)が

得 られ,(４)か

代 入 す れ ばΩとＰ,Ｑ ら ソ リ トン 解 が 求 め られ

る. １ソ リ トン 解 は

(７)

と お い て も得 られ る.(7)は(５)を ソ リ トン 解 は

自 動 的 に 満 た す こ と が 容 易 に 示 さ れ る.

(８) と な る. (６)を

用 い て も 同 様 の解 を 得 る.(７)は (8')

と 書 け,右

辺 の εη は(４)に

寄 与 し な い か ら,(６)と(７)の

関係 は (９)

で 与 え られ る. 【注 意 】

と くに(８)に

い ソ リ トン 解(２)に ま たq=0,ε'=0と

お い てq=-ρ,ε’=-ε

と お け ば(８)はy依

存性 のな

帰 着 す る. お け ば(７)は特

解 (10)

と な る.

２ ソ リ トン 解

KdV方程式

の場 合 と 同 様 に

(11) と お い て(５)に

代 入 す れ ば 長 い計 算 の後 に

(12)

で あ る こ と が わ か る.こ

こで (13)

と お く と(12)は

簡 単 化 され て (14)

と な る. 【ロ ン ス キ ア ン 表 現 】ロン 参 照)

ス キ ア ン を 用 い た ２ ソ リ トン の 表 現 は(第

７講(20)

(15) で 与 え ら れ る.た

だ しf1,f2は

(15')

を 満 足 す る もの とす る.具 体 的 には (16) こ こで

(16')

(こ れ らが(15')を

満 た す こ と に 注 意 せ よ)と

【証 明 】(16)を(15)に

す れ ば よ い.

入れれば

(17) と な る が,こ

こで (18)

と お き,さ

ら に(13)の

置 き 換 え を す れ ば(17)は

(19) と な る.こ

の 右 辺 の{…}は(11),(14)と

同 じで あ る.よ

っ て(15)は

２ソリ

トン解 を 与 え る こ と が わ か る.■ 【注 意 】 り,(19)はy依

と くにqi=-ρi(i=1,2)と 存 性 が な く な っ て,第

お け ば(13)に ７講(24)と

よ りQi=0（ｉ=1,2)と 同 等 な 式 を 与 え る.

な

Te8Time

２次元KdV方程式 質 問  な ぜKP方 答 KP方

程 式 を ２次 元KdV方程式

程 式 は カ ド ム チェフ(B.B.Kadomtsev)とペ

Petviashvili)に 波)の しy軸

と い う の で す か. ト ビ ア シュ ビ リ(v.i.

よ っ て,１ 次 元 ソ リ トン の 横 方 向 の摂動 に 対 す る 浅 水 波(KdV

安 定 性 を 議 論 す る た め に 用 い ら れ た 方 程 式(1970年)で,x軸 へ 傾 い た 方 向 に 進 行 す る 波 を 扱 っ た も の で す.y方

で ２ 次 元 と い うわ け で す.浅 座 標 系 ξ=x-c0tで

水 波 と し て のKdV方程式

み て い る 方 程 式 で す か ら,地

とな るわ け で す.xで

ここ で 第 ２項 のc02∂2u/∂x2を

２次 元 的 に す れ ば

とな ります.こ

こで動 く座 標 系 ξ=x-c0tに

とな ってKP方

程 式 の形 に な ります.

向 が 少 し入 っ て い る の は 速 さc0=√ghで

面 か らみ る と

微分すれば

戻れば

に対 し て少

進む

第22講 KP方

程 式 のＮ ソ リ トン解

―テー マ ◆N ソ リトン 解 ◆プ リュッ カ ー の 関係 式 ◆ TeaTime:箱

と球 の系

Ｎソ リ ト ン 解

 前講 の 扱 い を 一 般 化 し てにＮソ リ トン 解 を 調 べ よ う.KP方

程式

(１) に対 して

(２)

と お く と,前講(５)に

よ り,τ は 次 式 で 与 え ら れ る:

(３)

【Ｎ ソ リト ン 解 】(１)の

解 は ロ ンス キ ア ン行 列 式

(４)

で 与 え ら れ る.た

だ し こ こ でfi'=〓,

(５)

で あ り,fi(x,y,t)は

(６)

を 満 た す も の と す る.た こ の と き(４)は(３)を

と え ばfi=eξ+…,ξ=ax+a2y+a3tな 満 た し,KP方

程 式(１)の

ど(前

講 参 照).

解は (７)

で 与 え られ る. 【証 明 】

こ こ で は これ を 証 明 す る た め,N=2,3の

１．N=2の

場 合.こ

場 合 に つ い て 吟 味 し よ う.

の場 合(４)は

(８)

とな る．まず τをｘ で 微 分 す る．行 列 式 の微 分 は 各 列 を 微 分 した もの の和 で あ る. また 同 じ列 が ２つ あ る行 列 式 は ０で あ る.た とえば (９)

し た が っ て(10)

同様に

(10') こ こでf(4)はｆ (６)に

の ４ 階 微 分,f(5)は

５階 微 分 を 表 す.ま

たｙ な ど で 微 分 す れ ば

よ り(２ つ の 列 を 取 り換 え れ ば 行 列 式 は マ イ ナ ス が つ くの で)

(10'')

同様 に

(10''')

を 得 る.こ

れ ら に よ り(３)の

各項は

(11)

と な る.よ

っ て(４)の

左 辺 の1/12を⊿

と書 く と

(12)

(13) と な る.最 後 の 式 は 次 々節 で 示 す よ うに１ つ の行 列 式 の ラプ ラ ス展 開 に な っ て い る が,こ れ は 恒 等 的 に０ の行 列 式 で あ る.す なわ ち

(14)よ っ て(７)は ２.N=3の

こ の 場 合 の 解 を 与 え る. 場 合.こ

の場 合 は

(15)

と お い て 同 じ よ うな 計 算 を す る と(３)の

左 辺 の1/12は

(16)

これ も次 々節 で 示 す よ うに 恒 等 的 に０ の 行 列 式 の ラプ ラ ス展 開 に な って い る.す な わち

(17)

と な っ て,⊿

は 恒 等 的 に ０に な る.し

た が っ て(15)は

こ の 場 合 の 解 を 与 え る.

プ リュ ッカ ー の 関係 式

N=2の

場 合,(13),(14)は

(18) で あ るが,こ

れ は 行 列 式 の 恒 等 式 で,プ

れ る も の で あ る.(18)は

リ ュ ッ カ ー(Plucker)の

関 係 式 と呼 ば

微 分 の 階数 に着 目す る と (19)

の 形 を して い る こ と が わ か る. N=3の

場 合 の プ リ ュ ッ カ ー の 関 係 式 は(16),(17)か

ら

(20)

こ の 左 辺 の 第 １の 行 列 式 は す べ て 第 １列 が(f1,f2,f3)な 表 し,第

２列(f1',f2',f3')をf'で

の で,こ

表 し,ｎ 階 微 分 の 列 をf(n)で

の 列 をｆ で 表 せ ば(20)

は

(21) と な る. N=2の

場 合 の(19)とN=3の

場 合 の(21)を

比 べ る と,(20)のｆ,f',…

を

そ れ ぞ れf',f",…

で 置 き 換 え れ ば(21)の(…)の

中 の 右 の ２つ に な る こ と が

わ か る. そ こ で これ ら の 場 合 プ リ ュ ッ カ ー の 関 係 式 は 下 の よ うに 図 示 で き る. N=2の

場 合,(10),(11)は

(22) N=3の

場 合,(13),(14)は

(22')

こ れ を 一 般 化 す る と Ｎ ソ リ トン解 は プ リ ュ ッカ ー の 関 係 式

(22") で 表 せ る こ と が わ か る(こ 【ま と め 】KP方

の よ う な 図 形 は マ ヤ 図 形 と 呼 ば れ て い る)．

程式 (23)

の Ｎ ソ リ トン 解 は (24)

(25)

で 与 え られ る.こ

こ にfi(x,x2,x3)(i=1,2,…,N)は (26）

を 満 た す 任 意 の 関 数 で あ る. な お(22)の

図 形 を 用 い る とN-3ま

で の 列 を 省 略 し て(３)の

各因子は

(27) と書 け る.

行 列式 の展 開 前 節 に 出 て き た行 列 式 の展 開 と行 列 式 の値 に つ い て 補 足 を して お く. 【(13)は(14)の ｒ次 の行 列 式 とn-r次

ラプ ラス展 開 で あ る こ と】 ラ プ ラ ス 展 開 はｎ 次 の 行 列 式 を の 行 列 式 の積 の和 と して 表 す.と

くに４ 次 の 行 列 式 を２

次 の行 列 式 の積 の和 とす る ラ プ ラス展 開 につ い て述 べ て お こ う.４ 次 の行 列 式

(28)

に お い て 上 の２ 行 に 着 目 し,ま

ずa11とa12の

列 で２ 次 の 行 列 式 を つ く り,こ

の

と き省 かれ た列 の下 の ２行 を取 って行 列 式 を つ くって かけ れ ば (29) を 得 る.同 て,こ

様 に し て 上 の ２行 の ２ つ の 列 と,こ

れ ら の 行 列 式 を か け る.こ

の と き省か れ た 列 の 下 の 行 を取 っ

の よ うに し て 次 の ラ プ ラ ス 展 開 を 得 る .

(30)

こ れ を(14)に 【(16)の あ る.(17)が

当 て は め れ ば(13)を

場 合 】(16)が(17)の

得 る. 行 列 式⊿ の ラ プ ラ ス 展 開 で あ る こ と も 同 様 で

０に な る こ と は わ か りに く い が,た

１列 と 第 ２列 を 取 り換 え てf1',f2',f3'に

と え ば(17)の

左 辺 の⊿ の 第

つ い て展 開 すれ ば

(31)

と な る が,実

際 に⊿1を 計 算 す る と ０ と な り,同

様 に⊿2,⊿3も

０で あ る こ と が わ

か る.

Tea

Time

箱 と球 の 系 た く さ ん の 箱 を １列 に 並 べ,そ

の 中 に 有 限 個 の 球 を 入 れ て お く(図46(ａ)).こ

の 球 に ソ リ トン と 似 た 運 動 を さ せ る こ と が で き る.い

わ ば ソ リ トン の セ ル オ ー ト

図46

マ トン模 型 で あ る(各 箱 は球 を１ 個 だ け 収 納 で き る もの とす る). 時 間 のス テ ップ ご とに球 を動 か す.系 の 時 間 発 展 は 次 の原 則 に 従 うもの とす る (高橋 大 輔： 日本 物理 学 会 誌,48,37-40('1993): １)す べ て の 球 は 時刻 がｔ か らt+1に

変 わ る際 に必 ず１ 回だ げ 移 動 す る.

２ )時 刻ｔ で 左 の ほ うに位 置 す る球 か ら順 に 移 動 す る.移 動 す る先 は 自分 が入 って い る箱 よ り右 側 の,も っ と も近 くに存 在 す る 空箱 で あ る. ３)す べ て の球 が 移 動 し終 わ った ら,時 間 を１ だけ増す. 図ｂ に簡 単 な 例 を 示す.こ

の時 間 発 展 は 可 逆 で あ り,ソ リ トン系 の ダ イナ ミ ッ

クス の お も しろ い例 に な ってい る.

第23講 ２次元戸田格子

一 テーマ ◆ ２次元 戸田格子 ◆ ソリ トン解 ◆Tea

Time:〓と〓

２次 元 戸 田 格 子 ２次 元 の線 形 波 動 方 程 式 は (１) と書 け る.こ

こで 簡 単 のた めc0=1と

し,媒 質 が ｘ方 向 に 非 線 形 で 不 連 続 で あ る

とす る と き (２) とい う方 程 式 が考 え られ る.書 き直 す と これ は (３) とな る.こ の方 程 式 で表 され る体 系 は ２次 元戸 田格 子 と呼 ば れ て い る(誤 解 を 招 きや す い 名称 で あ る が). (１)の 中 のｘ と違 う意 味 で 新 し くｘ とｓ を

(４)

で 導 入 し,unをｘ

と ｓの 関 数 と み る と (4')

した が っ て (4") と な る.こ

れ を(２)の

右 辺 に 代 入 す れ ば(２)は (５)

と な る.２ 次 元 戸 田 格 子 は こ の 形 で 扱 わ れ る こ と が 多 い. unの 差 を (5') と お く と(５)か

ら (5")

を 得 る.こ

こで さら に (６)

と お け ば,(5")は

(７)

以 下 で は こ の 形 で ２次 元 戸 田 格 子 を 考 え る こ と に し よ う. (７)を

解 くた め に

(８)

と お く と(７)は

(９) 書け る の で,左

辺の微 分 を 実 行 す る と

(10)

を 得 る(添 え 字 の ｘ と ｓは ｘ と ｓに 関 す る 微 分 を 表 す).

ソ リ トン 解

まず (11) と お く と,こ

れ は(10)を

満 た す が,(８)に

よ りVn=0を

与 え て し ま う.そ

で (12) と お く と,こ

れ は(10)を

満 足 す る.そ

し て ソ リ トン 解 (13)

ただ し (13') を 与 え る. 【証 明 】(12)か

ら

(14)

し た が っ て(12)は(10)を

満 足 す る.さ

ら に(12)を

書 き換 え る と (15)

と な る.こ (８)に

の 対 数 を 取 っ てｘ とｓ で 微 分 す れ ば,(15)の

寄 与 しな い ので

右 辺 の 因 子qneqx-q-1sは

こ

(16) こ れ を 書 き 直 せ ば(13)が

得 ら れ る.

【注 意 】(16)は(７)の

解 で あ る.そ

こ で 変 換 式(４)を

用 い て(16)の

変

数ｘ,ｓを も と のｔ,ｙ に 戻 す と,(16)は (17) と な る.こ

こ で(13)を

考慮 しな が ら (18)

と す る とｙ の 依 存 性 は 消 え て

(19) と な る.こ

れ は ふ つ うの 戸 田 格 子 の ソ リ トン 解 で あ る.

２ ソ リ トン 解 ２ ソ リ トン 解 は,ロ

ン ス キ ア ン表 現 で

(20) の 形 で 与 え られ る,た

だ し φi(n)(i=1,2)は

(21)

を 満 足 す る も の と す る.こ

の た め(20)は

(22) と 書 く こ と も で き る((12)は(21)の

性 質 を もつ こ と に 注 意).

【証 明 】(22)が(10)を

満 足 す る こ と を 示 せ ば よ い ．(22)か

ら(21)と

行列

式 の性 質 を 用 い て

(23)

よ って(10)の

左辺は

(24)

と な る.た fi=(x)な

だ し こ こ で Φi(n-1)な

ど と 書 き,そ

ど がｘ

のｘ 微 分 をfi'な

の 関 数 で あ る こ と に 着 目 し てfi=

ど と 書 い た ． す な わ ち(21)に

よ り

(25)

と 書 い た.こ 的 性 質,す

う し て み る と 第22講

で す で に 述 べ た よ う に(24)は

な わ ち プ リ ュ ッ カ ー の 関 係 式((24)は

変 え た も の と ま っ た く同 じ形 で あ る)に

第22講(13)の

行列式の一般 右辺の符号を

よ り恒 等 的 に ０ で あ り,し

た が っ て(10)

が 満 足 さ れ る こ と が わ か る.

Ｎ ソ リ トン 解

前 節 を 拡 張 す れ ば,Ｎ

ソ リトン 解 が た だ ち に 求 め られ る.こ

れ は行列式

(26)

た だ しФi(n)は,ｎ

お よ びｘ と ｓ の 関 数 で

(26')

を 満 た す も の と す る. な お(26)はカソラチ(Casorati)行 【注 意 】(26')の

列 式 と 呼 ば れ て い る.

第 １式 の 性 質 を 用 い れ ば(26)は

ロ ンス キ ア ンの 形 で

(27)

と書 け る.た

だ し Φi'(n)=∂ Φi(n)/∂x,…,Φi(N-1)(n)=∂N-1Φi(n)/∂xN-1で

この 式 で τnがｙ に よ ら な い と い う制 限 を つ け れ ば(27)は 程 式 の Ｎ ソ リ トン解 の ロ ン ス キ ア ン表 現 を 与 え る.

あ る.

ふ つ う の 戸 田 格 子方

Tea

Time

変換 (１) は45°の

角 度 で 交 わ る ２つ の 直 交 座 標 系 の 間 の 変

換 で あ る(図47). あ る 関 数ｆ がｙ に よ らずｔ だ け の 関 数 で あ る と き,ｔ向

の 微 分 はy=0方

向 の 微 分 だ か ら(１)

でy=0と

お く とt/2=x,t/2=sと

な るか ら (２)

図47

とな る よ うに 思 うか も しれ な いが,こ れ は正 し くな い. 正 しい 微 分 は

(３) 同様に

(3') で あ り,こ れ ら の 和 と 差 か ら (４) よ って (５) と な る. し た が っ て と くにｆ がｙ に よ ら な け れ ば

(６)と な る.こ

れ が 正 し く,(２)は

誤 りで あ る.

(１)を

と 書 い て も 当 然 同 じ で あ る.

した が っ て

同様 に

これ らをか け 合 わ せ て

第24講 可積 分系 と非可積分系

―テーマ ◆ エノン-ハイ レス系 ◆ ３粒子非線形格子 ◆Tea

Time:星

と日本文化

非 可 積 分 系 の カオ ス い ま まで ソ リ トン解 を もつ 多 くの体 系,数 学 的 モデ ル を調 べ て きた .あ る体 系 を 数値 的 に解 い た と き ソ リ トン ら しい も のが 発 見 され た場 合,あ

る い は体 系 の １

ソ リ トン解 が 得 られ た場 合,安 定 した 集 団 運動 の存 在 は おそ ら く,そ の体 系 が 積 分 可 能系 で あ る こ とを示 して い る と予 想 され る.し か し非 線 形方 程 式 は 一 般 的 に は カ オ スで あ る こ とが期 待 され,積 分 可 能系 は や は り特 別 の もの で あ る とす る な らば,積 分 可 能 系 と カオ ス的 な体 系 と の違 いを 少 数 の 自由度 の体 系 で 調 べ る こ と は 興 味 の あ る ことで あ る.こ れ に 関 連 して 次 に述 べ るエノ ン‐ハ イ レ ス(HenonHeiles )系 を調 べ る こ とに し よ う. エノ ン‐ハ イ レ ス 系 エノン(M.Henon)は

フ ラ ンス の ニ ー ス にあ る天文 台 の人 で あ る が,軸 対 称

な銀 河(不 動 の 重 力場 と考 え る)の 中 の １個 の 星 の運 動 に いわ ゆ る第 ３積 分(エ ネル ギ ー,角 運 動 量 な ど の よ く知 られ た 積 分 以外 の保 存 量)が あ るか ど うか を 調

べ た .天 文 学 者 は ケ プ ラ ー 以 来,宇

宙 の 安 定 性 に 重 大 な 関 心 を も っ て き た(最

近

は 不 安 定 性 に 関 心 事 が 移 っ た よ うで あ る). 軸 対 称 の 重 力 場 の 中 の １個 の 星 の 運 動 を 考 え,そ 座 標(ｒ,θ,ｚ)で

表 し,こ

の ハ ミル トニ ア ン Ｈ を 円柱

れ ら の 方 向 の 運 動 量 をpr,pθ,pzと

す ると (１)

と 書 け る.Φ(r,z)は

こ の 銀 河 に よ る 位 置 ェ ネ ル ギ ー で あ る.ェ

ネル ギ ー積 分 は (２)

で あ り,角 運 動 量 積 分 (３) で あ る.こ

れ を 考 慮 し て(１)を (４)

ただ し (５) と 書 こ う.(５)の

右 辺 第 １項h2/2r2は

ポ テ ン シ ャ ルU(r,z)はr=rc,z=0で

遠 心 に よ る 項 で あ り,こ

れ を含 め た 有 効

極 小 値 を と る と す る.す

なわ ち

(６) こ の よ うにＵ が 極 小 に な る と こ ろ が な け れ ば 問 題 に し て い る 星 は こ の 銀 河 に 束 縛 さ れ ず に 飛 び 去 っ て し ま う. Ｕ をr=rcの

近 くで 展 開 し て(Uc,a0,c0,c1な

ど は 定 数) (７)

とす る(銀

河 はz=0の

面 の 上 下 で 対 称 と す る).

ハ ミル トン の 運 動 方 程 式 は(７)の

右 辺 を ５項 で と め る と

(８)

と な る.こ る.エ

こ で 適 当 な 尺 度 変 換 を 行 い,(z,r)→(q1,q2),(pz,pr)→(p1

,p2)と

す

ノ ン は こ う して

(９)

で 決 め ら れ る運 動 を 考え た.こ

れ は ハ ミル トニ ア ン を

(10)

と し た こ と に な る. こ の ポ テ ン シ ャ ル は 正 ３角 形 の 対 称 性 を もつ ． こ れ を 示 す に は (11) と お け ば よ い.こ

の と き ポ テ ン シ ャ ルＵ は (12)

と な る.q1=0,q2=1に 形 の 頂 点 がＵ で あ り,エ

お い て∂U/∂q1=∂U/∂q2=0で

の 峠(鞍

部 点)で

あ る.峠

あ り,こ

に お け るＵ の 値 はEc=1/6=0.1666…

ネ ル ギ ー がEc

よ り も低 け れ ば 運 動 は ポ テ ン シ ャル の谷 の中 で行 わ れ る が,Ecを

越 え る と峠を

通 って外 へ 出 て し ま うこ と も可 能 で あ る. 運 動 は(９)に

よ って定

の 点 を 含 む 正 ３角

図48

ま り,位 る.こ

置 と 運 動 量 か ら 成 る 位 相 空 間(q1,q2,p1,p2)の

中 の 軌 道 と し て与 え られ

れ は ４次 元 空 間 な の で 直 接 図 示 で き な い か ら,平

面 で 切 って 軌 道 との 交 わ

りを 図 示 す る.こ

れ を ポ ア ン カ レ(Poincare)写

りq2,p2(=q2)の

２軸 を 含 む 平 面 を 軌 道 がp1＞0の

p2)面

上 に プ ロ ッ トし,こ

線 も 図 示 す る(図48).数

像 と い う.こ

こ で はq1=0を

向 き に 切 る 点P1,P2,…

れ ら の 点 が な め ら か な 曲 線 の 上 に 乗 る と き は,こ 値 計 算 の 結 果 を 図49に

通

を(q2, の曲

示 す.

図49 E=1/12=0.08333…

の と きP1,P2,…

は な め ら か な 曲 線 の 上 に 乗 る.こ

道 が 超 曲 面 の 上 に あ る こ と を 意 味 し,こ 分(第

３積 分)で

の 超 曲 面 は 少 な く と も近 似 的 に 運 動 の 積

あ る.E=1/8=0.12500に

で 覆 わ れ た 部 分 と そ うで な い 部 分(カ

れ は軌

上 げ る と運 動 領 域 は な め らか な 曲線 オ ス 的 な 領 域)に

分 か れ る.カ

オ ス的 な領

域 の 多 数 点 は１ つ の 初 期 条 件 か ら 出 発 し た 軌 道 が 切 る 点 の プ ロ ッ トで あ る ． さ ら に エ ネ ル ギ ー をE=1/6=0.1666…

に上 げ る とほ と ん どす べ て の領 域 が カ オ ス的

に な る.

３粒 子 の 周 期 格 子 【１.線 形 格 子】 図50の

よ うに 環 状 に ３

粒 子 が 並 んだ 周 期 系 を 考 え る.粒 子 間 のば ね が フ ッ クの 法 則 に 従 う線 形 の ば ね で あ る と 図50

き,ハ

ミル トン関 数 は (13)

と書 け る.こ

れは主軸変換

(14)

ただ し

(14')

によって (15) と な る.ζ3はH0に

現 れ な い(循

環 座 標).こ

れ は 全 運 動 量P1+P2+P3=√3η3

が 保 存 され る こ と に 対 応 す る. 【２.３

次 の非 線 形 項 の あ る 格 子】

強 さ αの非 線 形 項 を 付 け 加 えて (16)

とす る.こ

れ に(14)の

変 換 を 行 う と(15)は

(16') と な る.η3は

運 動 の 定 数 で あ るか ら これ を 除 外 す る と運 動 方 程 式 は

(17)

とな る.こ

こで 尺 度 変 換 (18)

を 行 えば 運 動 方 程 式(17)は

(19)

とな る.こ

の 式 は エ ノ ンーハ イ レ ス 系 の 運 動 方 程 式(９)と

ま った く同 形 で あ る.

した が っ て こ の 非 線 形 格 子 の 運 動 は 一 般 に カ オ ス 的 で あ り,こ

の 体 系 は 積 分不 可

能 で あ る こ とが わ か る. 【３.戸

田格 子】

３粒 子 か ら成 る周 期 的 戸 田 格 子 の ハ ミル トン 関 数 は (20)

と書 け る(最

後 の 項-3は

運 動 が な い と き,す

き にH=0に

な る よ うに 付 け 加 え た).こ

の 式 でQ2-Q1な

て 右 辺 を 展 開 し,３ 次 ま で 取 れ ば(16)の で で 止 め れ ば 線 形 格 子(13)に (18)を

な わ ちPi=Qi=0(i=1,2,3)の

な る.(20)に

と

どがす べ て小 さい と し

非 線 形 格 子(α=1/2)に 変 換(14)を

行 い,ま

な り,２ 次 ま た 尺度変換

加 え る とエ ネ ル ギ ーは

(21) とな り,運 動 方 程 式 は

(22)

と な る(こ

れ ら の 式 でq1,q2が

小 さい

と し て 展 開 し,２ 次 で 打 ち 切 る と(19) に な る こ と に 注 意). (22)を に 示 す.こ

数 値 的に 解 い た 結 果 を 図51 れ は 軌 道 をq2とp2を

含む

面 で 切 っ た ポ ア ン カ レ写 像 で あ る.こ の 場 合,エ

ネルギ ー Ｅを い くら上げ

図51 a:E=1,b:E=256.

て も 軌 道 は つ ね に な め らか な 曲 線 の 上

に乗 って い て,こ の体 系 が 積 分 可 能 系 で あ る こ とを 明 白 に示 して い る.

Tea

Time

星 と日本文化 コペ ル ニ クス や ケ プ ラ ーを思 い 出す まで もな く,星 や 月 な どの動 き に対 す る興 味 は 科 学 が芽 生 え る も とに な った.メ

ソポ タ ミアや エ ジ プ トでは 天 体 観 測 が 早 く

か ら行 われ,天 動 説 と地 動 説 は大 き な議 論 とな った し,ガ

リレ イの望 遠 鏡 に よ る

観 測は 詩 人 た ち の関 心 を 引 き付 け た. そ うい う西 欧 の文 化 に比 べ る と,む か しの 日本 人 は ほ とん ど天 体 に 対 して 関 心 が なか った よ うに思 わ れ る.『 万 葉 集 』 以 来 の 日本 の文 学 には 月は た い へ ん しば しば 読 まれ てい るが,こ

れ は ま った く情緒 的 な対 象 とし ての 月 で あ る.「 星 は す

ば る」(清 少 納 言)と い って も,こ れ は 美 の世 界 の こ と で あ る,日 本 民 族 は 七 夕 の話 以 外 に は 星 に対 してほ とん ど何 の興 味 も示 して い な い,七 夕 の話 も年 に １度 しか 逢 えな い 牽 牛 星 と織女 星 に対 す る同 情 以外 の もの で は な い,と

した あ と大 岡

信 氏 は 次 の よ うに述 べ て い る. 「日本 人 は 月 を 別 にす れ ば 天 体 に は ま るで 関 心 が 向 か な か っ た 民 族 だ と い う こ とが で き るで し ょ う． そ の月 に して も,多 くの場 合,人 事 とのか らみ で興 味 を もたれ て い るの で,つ ま りこれ は,わ れ わ れ が 長 い間,空

に浮 か ぶ 天体

に対 して,科 学 的 に も哲 学 的 に も関 心 を もた ない で 来 た こ とを 意 味す る のだ といえ るで し ょ う,特 筆 す べ き大 事 件 と も思 え ませ ん が,少

々が っか りす る

こ とで は あ ります 」 『万 葉 集 』 に 天 の 海 雲 の 波 立 ち 月 の 船 星 の 林)に 漕 ぎ 隠 る 見 ゆ 柿本朝臣人麿 の歌 集(『万葉集』巻七) とい う歌 が あ る.

第25講 球 面 振 り子

−テー マ ◆ 自由度 と保存量 の個数 ◆ 球面振 り子 ◆Tea  Time:ヤ

コビの楕 円関数

自由 度 と保 存 量 一 端 の まわ りに 自 由に 回 る軽 い 棒 の 先 端 に お も りを付 け て これ を 振 らせ る と , お も りは 重 力 を 受け なが ら球 面 上 を 運 動 す る.こ れ を球 面 振 り子 とい う.重 力 場 の中 で な め らか な球 面 上 を 運動 す る質 点 の運 動 と 同 じで あ る. 球 面 の半 径 をｌ と し,鉛 直上 向 きの方 向 を 極軸 とす る球 座 標 を 用 い れ ば,質 量 ｍの お も りの 運 動 エ ネ ル ギ ー は (１) 位 置 エ ネル ギ ーは (２) で あ る.し

た が って ラグ ラ ン ジ ュ関 数 は

(３) と な る.

図52

Ｌ はφ を含 ま な いの で∂L/∂φ=0で あ り,ラ グ ラ ン ジ ュの運 動 方 程 式 のφ 成 分 d(∂L/∂φ)/dt=∂L/∂φは (４) を与 え る.こ れ は角 運 動 量 のｚ 成 分 (５) を意 味す る.あ る いは 水 平 面 内 の運 動 量 の モ ー メン トの保 存 で あ る.エ ネ ル ギ ー 保存 の式

(６)

も成 り立 つ. この運 動 の 自由度 は ２(θ とφ)で あ る.上 述 の ２つ の保 存 則 を 連 立 さ せ て θ と φ に つ い て解 き,θ とφ を それ ぞれ θとφ の関 数 と して 求 め た とす る と,あ る 時 刻 の θとφ を 与 え た と き に任 意 時 間 後 の θとφ の位 置 が 積 分 で 定 ま る こと に な るの で,運 動 は 決 定 され る こ と に な る.こ の よ うに 自 由度 が ２の場 合 は ２つ の保 存 量 が 求 まれ ば運 動 は解 け る.自 由度 が １の 場 合 は エ ネル ギ ーの 保 存則 だけ で運 動 が 定 ま る こ とは 明 らか な こ とで あ る.一 般 に 自 由度 がｆ の ハ ミル トン系 で は, あ る制 限 を 満 たすｆ 個 の保 存 量(積 分 と もい う)が 求 まれ ば 運 動 は 原理 的 に解 け た こ とに な る(第13講 参 照). 「原 理 的 に」 とい うの は た とえば 自由度 ２の 場 合,θ=F(θ,φ),φ=G(θ,φ)と 書 け た と して も これ か ら θとφ を時 間 の関 数 と し てわ か りや す く表 現す るの は必 ず し も容 易 で は な いか らで あ る.

球 面 振 り子 の 運 動 の 解 球 面振 り子 の場 合は 上 の ２つ の保 存 量(４)と(６)はφ

を 含 まな い の で,φ

を消 去す れ ば θは θの 関数 と して求 め られ,こ れ を 積 分 す れ ば θが 時 間 の関 数 と して定 ま るの で運 動 は た や す く解 け るは ず で あ る.そ こで(４)か

ら ψ を(６)

に代 入 す れ ば (７) よ って (８) これ を 積 分す れ ば (９)

さ らに ψを 求 め る に は(４)か

ら

(10) これ と(８)か

ら

(11)

を 得 る. これ ら の 積 分 を も っ と み や す くす る た め に は (12) と お け ば よ い.こ

の 置 き換 え に よ り(９)は

(13)

と な る. f(z )はＺ

の ３次 式 で あ る か ら,(13)の

0の 根 をz1,z2,z3と

積 分 は 一 般 に 楕 円 積 分 と な る.ｆ(z)=

すれば (14)

と 書 け る.こ

こで (15)

と お き,t=0でz=z1,x=0と

す れ ば(13)は

(16) ただ し (17) と な る.さ

らに (18)

と お く と(16)の

積分は (19)

と 書 け る.sn-1は

ヤ コ ビ の 楕 円 関 数sn(エ

数 で あ る ． した が っ て(19)を(16)に り(18)を

考 慮 す れ ば(15)に

ス エ ヌ)の 逆 関 入 れ て逆 関 数 を 取

よ り

図53

(20) を 得 る.

Tea

Time

ヤ コ ビの 楕 円 関 数 ヤ コ ビ(Jacobi)の し く述 べ て あ る.し

楕 円 関 数 に つ い て は 『一 般 力 学30講

３角 関 数 のsinは

の 逆 関 数 と し て 与 え られ る.こ

であ り

』 の 第12講

か し便 宜 の た め こ こ に 簡 単 に 述 べ て お く.

の とき

に やや 詳

した が って

楕 円 関 数 のsny(エ

スエヌ

と 読 む)は

の 逆 関数 と して 与 え られ る.こ の と き

であり

た だ しcny,dnyは

に よ っ て 定 義 され る.し

さ ら にcn2y=1-sn2yの

ま たdn2y=1-k2sn2yの

た が って

微分 か ら

微 分 か ら

第26講 剛 体 の 回 転

− テーマ ◆ オ イ ラー の 角 ◆ エ ネル ギ ー と角 運 動 量 ◆Tea

Time:太

陽 系 は コマ の群 れ

剛 体 に 固 定 した 座 標 系 剛 体 の 向 き(配向)は

こ れ に 固 定 し た 座 標 系 の配向 に よ っ て 示 さ れ る.空

静 止 し た 座 標 系 をO-xyzと は 一 致 さ せ る).ζ

し,剛

体 に 固 定 した 座 標 系 をO-ξ ηζ と し よ う(原

軸 がｚ 軸 と な す 角 を θ と し,ｚ ζ平 面 がzx平

らに ζ

軸 の まわ りの 剛 体 の 回 転 角 ψを 決 め れ ば 剛 体 の配向 は 定 ま る. こ の 角ψ は 図54の

よ う に ζ軸

に 垂 直 な ξη平 面 とxy平 交 線Oy'か る.剛

面 との

ら η軸 ま で の 角 と す

体 の配向

は(θ,φ,ψ)で

与 え ら れ る. (θ,φ,ψ)を オ イ ラ ー(Euler)

図54 

点

面 と な す 角 をφ

と す る(θ,φ は ζ軸 の 方 向 を 決 め る 極 座 標 で あ る).さ

間に

オ イ ラ ー 角(θ,φ,ψ)

の 角 と い う. 空 間 に 固 定 し たO-xyz座 (∠xOξ)な

標 系 と 剛 体 に 固 定 し たO-ξ

ど を オ イ ラ ー の 角(θ,φ,ψ)で

ηζ 系 の 間 の 角 の 余 弦cos

表 す と 次 の よ うに な る(証

明 は 略 す).

表 １

た とえば (１)

また任 意 のベ ク トルａ に つ い て (２)

な ど が 成 り立 つ.

角

剛 体 に 固 定 し た 座 標 軸(ξ,η,ζ)の い る と 便 利 な こ と が 多 い の で,こ 座 標 系(θ,φ,ψ)の

速

度

ま わ り の 剛 体 の 回 転 の 速 度(角

れ を そ れ ぞ れ ω1,ω2,ω3と し,こ

速 度)を

用

れ を 静 止 した

まわ りの 角 速 度 θ,φ,ψで 表 す と

(３)

と な る. 【証 明 】 ω1は θ1,φ,ψを 表 す 矢 印(そ

れ ぞ れOy',ｚ

方 向 へ 射 影 し た 成 分 の 和 で 与 え ら れ る.ま

ずOy'と

あ る か ら θの ξ方 向 へ の 射 影 は θξ=θsinψ で あ る.次

軸,ζ軸

方 向 の 矢 印)を

ξ

ξ方 向 の 間 の 角 は π/2-ψ で にｚ 方 向 に あ る φ を ξη 面

へ 射 影 す る とφsinθ cosψ と な る.ψ

で あ り,こ れ を さ ら に ξ 方 向 へ 射 影 し た も の は φξ=-sinθ

は ζ方 向 に あ る か ら ψ の ξ方 向 へ の 射 影 は ψξ=0で

あ る.よ

っ

て ξ方 向 の 成 分 は

(４)

で あ り,こ れ らを 加 え 合 わ せ れ ば ω1は (５) で与 え られ る こ とに な る. 同 様 に して η方 向 へ の射 影 は

(６)

これ らを 加 え合 わ せ れ ば (７) が得 られ る。 さ らに 簡 単 に ω3=ψ+φcosθ

も示 され る.

重 心の高 さ 剛 体 の位 置 エ ネ ル ギ ーは 重 心 の 高 さで決 ま る.そ のた め 重 力 で 決 ま る上 下 の方 向 が 重 要 で あ る か ら鉛 直 上 方 にｚ 軸 を と り,(x, y,z)方

向 の 単 位 ベ ク トル を そ れ ぞ れｉ,ｊ,ｋと し,

剛 体 と と も に 動 く座 標 軸(ξ,η,ζ)方

向 の 単位 ベ

ク トル を そ れ ぞ れeξ,eη,eζ と す る.ｉ,ｊ,ｋは 静 止 し,eξ,eη,eζ は 回 転 に つ れ て 変 化 す る(図55). ｚ 軸 方 向 の 単 位 ベ ク ト ルｋ をO-ξ

ηζ 系 で 表 図55

し

(８)

と す る と,ｋ

は 静 止 し て い る がeξ,eη,eζ

の 運 動 に つ れ て γ1,γ2,γ3も 時 間 と と も に

変 化 す る.オ イ ラ ー の角 で 表 す と表１ の一 番 右 の列 か ら

(９)

と な る. 剛 体 の 重 心 の 位 置rGをO-ξη

ζ系 で 表 し て

(10)

とす れ ば,重

心 の高 さは

(11)

と な る.

エ ネ ル ギ ー と角運 動 量 の積 分

１ 点 を 押 さ え られ た 剛 体(コ

マ)の

角(θ,φ,ψ)と

角 速 度(ω1,ω2,ω3)で

３つ の 積 分(保

存 量)が

め られ る.こ る.以

体に 固 定 し た 座 標 系 の オ イ ラ ー

決 ま る 自 由 度 ３ の 運 動 で あ る.し

求 まれば 運 動 は 決 定 で き る が,２

た が って

つ の積 分 は た だ ちに 求

れ らは エ ネ ル ギ ー の保 存 と 鉛 直 軸 の ま わ り の 角 運 動 量 の 保 存 で あ

下 で は 支 点 を 原 点Ｏ

【エ ネ ル ギ ー 】

と し,こ

こ を 通 る 慣 性 主 軸 を ξ,η,ζ軸に 選 ぶ.

証 明 を 略 す が 主 慣 性 モ ー メ ン トをＡ,Ｂ,Ｃ

ギ ーは1/2(Aω12+Bω22+Cω32)で mgzGで

運 動 は,剛

あ る か ら(11)に

あ り， 位 置 エ ネ ル ギ ーはｍ

とす る と運 動 エ ネ ル を 剛 体 の質 量 と して

よ り全 エ ネ ル ギ ー の 保 存 は

(12)

と書 け る. 【鉛 直 軸 の ま わ りの 角 運 動 量 】 剛 体 の 支 点 の ま わ りの 角 運 動 量 をＬ 力 の モ ーメント

をＮ

とす る と運動 方 程 式

と し,外

(13) が 成 り立 つ.静

止 座 標 系 で はL=(Lx,Ly,Lz)で

(14) 下 へ 向 く重 力 外 力Ｆ

あ り

は (15)

で あ る.支

点 を 原 点 に 取 る と,支

点 の まわ りの 重 力 の モ ー メ ン トＮ は (16)

で あ る か ら,Ｎ dt=0,あ

はｋ に 垂 直 でｚ 成 分 を も た な い.し

た が っ て(13)に

よ りdLz/

るい は (17)

で あ る.こ

こ で 角 運 動 量 Ｌ の ξ,η,ζ成 分 は そ れ ぞ れ (18)

であ り

(19)

し た が っ て 角 運 動 量 のｚ 成 分 が 保 存 され る こ と は

(20)

と書 け る. 【コ メ ン ト】

１点 を 押 さ え ら れ た 剛 体(コ

マ)の

回 転 の 自 由 度 は ３で あ り,エ

ネ ル ギ ー と鉛 直 方 向 の 角 運 動 量 成 分 が 保 存 さ れ る か ら,さ (保 存 量)が い る.こ １.外 (第28講 ２.軸

見 出 さ れ れ ば,運

動 は 解 け る.解

ら に も う １つ の 積 分

け る 場 合 と し て ３種 類 が 知 られ て

れ は 力 の な い 場 合 の 剛 体 の 自 由 回 転.こ

れ は オ イ ラ ー の コマ と呼 ば れ てい る

参 照). 対 称 の コ マ.こ

れ は ふ つ うの コ マ で あ る が,ラ

の コ マ と 呼 ば れ て い る(第27講

参 照).

グ ラ ン ジ ュ(Lagrange)

３.コ

ワ レ フ ス カ ヤ(Kovalevskaya)が

ワ レ フ ス カ ヤ の コ マ と い う(こ

発 見 し た 特 別 な 非 対 称 な コ マ で,コ

れ に つ い て は 第29講

Tea

と 第30講

で 述 べ る).

Time

太 陽系 は:コマ の群 れ 太 陽 の まわ りを 惑 星 が ぐる ぐる公 転 し てい る.こ れ は 剛 体 で は な い が 大 きな コ マ とみ る こ とが で き る.そ して惑 星 は 一 定 の方 向 を 向 い た 軸 の まわ りに 自転 して い る.こ れ も コマ の運 動 で あ る. も っ と大 き くみ れ ば銀 河 自身 も特 別 大 きな コマ の よ うで あ る.そ の 回 転 運 動 を 肉眼 でみ る こ とは で きな い が,銀 河 には 中 心 が あ って そ の まわ りを 雲 の よ うに無 数 の恒 星 が 回 って い る.そ の速 度 は ドップ ラ ー効 果 で 測 る こ とが で き る. と ころ で 星 が 銀 河 の 中心 の まわ りを 回 って い るの は そ の 星 よ りも内側 にあ る他 の星 の 引 力 の せ い で あ る.そ

う思 われ て きた が,星 の速 度 の分 布 を 調 べ る と眼 に

み え る星 の 引 力だ け で は な く,星 の 間 には 眼 にみ え な い物 質(？)が

あ る と考 え

な い と説 明 が つか ない とい う． これ は一 大 事 で あ る.今 まで物 質 は す べ て電 磁 波 に感 じる もの,し た が って Ｘ 線 な どを 含 め た 広 い 意 味 で み え る も の と信 じ て き た.物 質 が電 子や 陽 子 な どの 電 荷 を も った もの で で き て いれ ば 当然 そ うで あ る. だ か ら本 当 にみ えな い 物 質 が あれ ば そ れ は 普 通 の物 質 で は な い.暗 黒 物 質 とい う が,重 力 エ ネ ル ギ ー 自身 か も しれ な い.し か し重 力 エ ネ ル ギ ーは 時 空 を ゆ が ませ るは ず だ か ら光 を 曲 げ る作用 が あ るわ け で,観 測 され る に違 い な いだ ろ う.暗 黒 物 質 が 透 明 人 間 で あ って もみ え るはず で あ る が,こ

の謎 は20世

紀 末 の 物 理学 に

と って(１ 世 紀 前 の ケル ビン の言 葉 を借 りれ ば)「地 平 線 の黒 い 雲 」 で あ る よ うな 気 がす る. ニ ュー トンは12月 た.ニ

生 まれ だ とい うので,年

末 に大 学 で ニ ュ ー トン祭 が 祝 わ れ

ュー トン祭 の歌(石 原 純作)は 私 の記 憶 違 いが なけ れ ば 次 の よ うに 歌 われ

る. 「地 軸 傾 く冬 の夜 を 興 ぜ ず や 君.こ ン祭 .理 学 の偉 業 讃 うべ く」

が ら し吹 くを 外 に して 開 かれ ぬ ニ ュー ト

第27講 軸 対 称 の コ マ(ラ ゲ ラ ン ジ ュの コ マ)

―テ ー マ ◆ 対 称 軸 を もつ コマ ◆ 運 動の解 ◆Tea

Time:歳

差運 動 の簡 単 な 説 明

対 称軸 を もつ コ マ

対 称 軸 を ζ軸 と し,そ の 上 の １点 Ｏ が 不 動 点 で あ る コ マ(ラ グ ラ ン ジ ュ(Lagrange )の コ マ と い う)の 運 動 を 考 え よ う．ζ軸 の ま わ りの 慣 性 モ ー メ ン トを Ｃ と し, ζ軸 に 垂 直 で 不 動 点 Ｏ を 通 る ２つ の 主 慣 性 モ ー メ ン ト を Ａ と す れ ば オ イ ラ ー の 角 を 用 い て 運 動 エ ネ ル ギ ー は(第26講(12)と(３)を

参 照 しA=Bと

お く)

(１) で 与 え られ る.Ｏ

か ら 重 心 ま で の 距 離 を ａ,コ

マ の 質 量 をｍ

とす る と位 置 エ ネ

ル ギ ーは (２) で あ る.ラ

グ ラ ン ジ ュ関 数 (３)

はφ と ψ を 含 ま な い か ら,ラ

グ ラ ン ジ ュの運動

方 程 式〓0,〓

か ら ２つ の運動 の 積 分 が た だ ち に 与 え ら れ る.こ

れら は

(４)

(５)

(４)は

前 講(20)と

同 じで あ る(こ

の 講 で は 角運 動量 を Ｌ で な くＭ

と書 く).

さ らに エ ネル ギ ー積 分

(６)

これ で ３つ の 積 分 が 求 ま っ た.こ

の 場 合 の 自 由 度 は ３ で あ る か ら,原

理 的 に 問題

は 解 け る こ と に な る.

運

(４)と(５)か

動 の

解

らψ を 消 去 す る と (７)

(５)に

よ り(６)を

よ (８)

と 書 け る か ら,こ

れ に(７)を

代 入 す れ ば θ に 対 す る式 (９)

を 得 る.こ

こで (10)

と おけ ば

(11)

し た が っ て(９)は (12)

を 得 る.こ

れ を積 分 す れ ば (13)

と な る. f(u )はｕ

の ３次 式 で あ り ３つ の 根u1〓u2〓u3を

用いて (14)

と 書 け る.こ

こで (15)

と お け ば(13)は (16) ただ し (17) を 与 え る.ヤ

コ ビ の 楕 円 関 数snを

用 い れ ば(16)は (18)

と な る.snは

周 期 関 数 で あ る.(15)に

よ り (19)

を 与 え る.こ る と き,そ

れ がcosθ=uに

対 す る 運 動 の 解 で あ る.θ

が 小 さ な時 間 的 変 化 を す

の 運 動 は 章 動 と 呼 ば れ る.

具 体 的 に は 定数u1,u2,u3は

初期条件 に よ って 決 ま

る. 【φの変 化 】φ

とｕ の 関 係 は (20)

と書 け る ので,こ れ を 積分 す れ ばφ の 時 間 変化 は (21) で 与 え られ る.こ の式 の右 辺 は 第 ３種楕 円 関数 と呼 ば れ る も ので あ る.

図56

【歳 差 運 動 】 θ(あ るい はｕ)が で あ る.対 称 軸(ζ 軸)の

一定 の場 合 の 運 動 は いわ ゆ る歳差 運 動(図56)

まわ りの角 速度 を ω=ωζと し,歳 差運 動 の 角 速 度 をΩ

とす ると,Ω は (22) で与 え られ る.ω が十 分 大 きい と して上 式 の平 方 根 を 展 開 す れ ば

(23)

が 得 ら れ る.速 る が,こ

い 歳 差 運 動 は 重 力 に 無 関 係(重

れ は 実 際 に は 急 速 に 減 衰 す る の で,ゆ

力 の な い と き の 運 動 と 同 じ)で

あ

っ く りした 歳 差運 動 が きわ だ って

み ら れ る の が ふ つ うで あ る. 【証 明 】 θ=一 定,す u2 ,u3はf(u)の

な わ ちu=一

根 で あ り,u1が

定 の と き は(19)に

よ りu1=u2で

２重 根 で あ る と い う条 件 はu1=u2に

あ る.u1, 対 し (24)

と 書 け る.こ

の 第1式

か らu12≠1(θ≠0,π)と

して

(25) 他 方 で(７)に

よ り (26)

で あ る か ら これ をf'(u1)=0に

代入す ると (27)

を 得 る.こ

こで (28)

で あ り,(27)は (29) と 書 け る.こ

の ２次 方 程 式 をΩ に つ い て 解 け ば(22)が

得 ら れ る.

Tea

Time

歳差運動の簡単 な説 明 コ マが速 く回 って い る と き のゆ っ く りした 歳 差 運 動 は 近似 的 に 次 の よ うに考 え る こと が で き る. 速 く回 ってい る と き角運 動 量 ベ ク トルＬ は ほ とん ど コマ の軸 の方 向 を 向 い て い る(図57).そ

し て コ マ に は た ら く重 力F=

-Mgk(ｋ ル)の

は鉛直上方を向 い た 単位 ベ ク ト 支 点 Ｏ に 対 す る モ ー メ ン トＮ はＬ

Ｆ に 垂 直 な ベ ク トル で,ベ ク トルＮ 先 端 はdt時

と

の矢 印 の

間に

だ け動 く.θ を軸 の傾 き,歳 差 運 動 の 半 径 を ｒとす る と

であ り 図57 した が って

で あ る.一 方 で支 点 Ｏ か ら重 心 まで の距 離 をａ とす る と重 力 の た め の 力 の モ ー メ ン トの大 き さは

で あ る.し た が って歳 差 運 動 の角 速度 は

さ ら に 軸 の ま わ りの 慣 性 モ ー メ ン トをＣ,コ

マ の 角 速 度 を ω と す れ ばL=Cω

あ るか ら

と な る.こ

れ が(23)の

第 １式(ゆ

っ く り し た 歳 差 運 動)で

あ る.

で

第28講 剛 体 の 自 由 な 回 転(オ イ ラ − の コ マ)

―テ ー マ ◆ オ イ ラー の運 動 方程 式 ◆ テ ニ ス ラケ ッ トの定 理 ◆Tea

Time:ネ

コの 曲 芸

自 由 回 転

無 重 力 状 態 で 空 間 に 投 げ られ た 物 体 は 重 心 の ま わ り に 自 由 回 転 を す る ． ま た 重 心 で 支 え られ た 剛 体 も 自 由 回 転 を す る.こ

の よ うな場 合 の剛 体 の運 動 を オ イ ラー

の コ マ と い う. 静 止 座 標 系 か ら み る と回 転 す る剛 体 に は た ら く外 力 の モ ー メ ン トを Ｎ と す る と き運 動 方 程 式 は

(１) で 与 え ら れ る.し

た が っ て 外 力 の モ ー メ ン トが ０の 自 由 回 転 で は

(２) と な り,角

運 動 量 Ｌ は 一 定 で あ る: (３)

こ の よ うに 自 由 回 転 を す る 剛 体 の 角 運 動 量 ベ ク トルＬ は 一 定,す

なわ ち 静止座

標 系 か らみ て,角

運 動 量 ベ ク トル の 方 向 と大 き さ が 不 変 で あ る.こ

を す る 剛 体 の 運 動 の も っ と も 基 本 的 な 性 質 で あ る.成

れ が 自由 回 転

分 で 書 けば (４)

で あ る.Lx ,Ly,Lzは

３つ の 保 存 量 で あ る ． 角 運 動 量 の 大 き さＬ の ２乗 で あ る (５)

も 保 存 量 で あ る が,独

立 な 積 分 で は な い ． ま たLx,Ly,Lzが

一 定 と い う こ と はLξ,

Lη ,Lζ あ る い は ω1,ω2,ω3が 一 定 で あ る こ と を 意 味 し な い.そ

こ で 運 動 を 剛体 に

固 定 し た 座 標 系 で 表 そ う. O-ξηζを 慣 性 主 軸 に 選 べ ば (６) で あ り,第26講

で 知 っ た よ うに,オ

イ ラ ー の 角(θ,φ,ψ)で 表 す と 角 速 度 の 成 分 は

(７)

で あ る. 【回 転 の エ ネ ル ギ ー 】 る と す る.Ｏ

剛 体 が 剛 体 に 固 定 し た 点Ｏ のま

わ りに 自 由に 回 転 で き

の まわ りの 剛 体 の 慣 性 主 軸 を ξ,η,ζ軸 に 選 び,こ

り の 慣 性 モ ー メ ン トをＡ,Ｂ,Ｃ

と す る と,回

れ らの 主 軸 の まわ

転 の 運 動 エ ネ ル ギ ーは

(８)

で 与 え られ る.こ

の 右 辺 に(７)を

代 入 す れ ば 運 動 エ ネル ギ ー は

(９) と な る.

外 力 の な い と き の オ イ ラ ーの 方 程 式 重 力 な ど の外 力 が は た らか な い ま った く自 由な 回 転 を考え よ う.ラ グ ラン ジ ュ の運 動 方 程式 は な ど(10) であ る． これ らを 用 い て

(11)

を 導 く こ と が で き る.(11)は 【証 明 】(９)をθ,φ,ψ

外 力 が な い 場 合 の オ イ ラ ー の 運 動 方 程 式 で あ る. で微分すれば

(12)

これ ら をｔ で 微 分 し,そ

れ ぞ れsinθsinψ,-cosψ,cosθcosψ

をか け て加 え れ

ば

(13) 他方で

(14)

こ れ ら に そ れ ぞ れsinθsinψ,-cosψ,cosθcosψ

を か け て加

えれ ば

(15) (10)に

よ り(13)と(15)は

等 し い.こ

の 等 式 で い くつ か の 項 が 打 ち 消 し 合 い,

残 るの は (16) と な る.こ

こ で 右 辺 に(７)を

代 入 す れ ば,証

を 得 る.第

２,３ 式 も 同 様 で あ る.

運 動 外 力 が な い 場 合 の 自 由 回 転 の 場 合,オ る が,こ

明 し よ う とす る 式(11)の

第 １式

の 解 イ ラ ー の 運 動 方 程 式 は(11)で

れ は ヤ コ ビ の 楕 円 関 数(第25講Tea

Time参

照)を

与 え られ

用 い て解 く ことが

で き る. 【A＜B＜Cの

場 合】

オ イ ラ ー の 方 程 式(11)の

解 は (17)

の 形(α,β,γ,λ は 定 数)に と は い え な い か ら,も 【A=B＜Cの

場 合】

表 せ る こ と が 示 さ れ る.し

か し こ れ は わ か りや す い 解

っ と 簡 単 な 場 合 を 調 べ よ う. これ はｚ 方 向(Ｃ

軸 方 向)に

つ ぶ れ た 軸 対 称 コ マ で あ る.

地 球 は 極 方 向 の 半 径 が 赤 道 半 径 よ り も少 し小 さ い の で こ の 場 合 に 当 た る.オイラ

ー の方 程 式 は

(18)

と な る の で,ω3=一

定 で あ り,解

は

(19)

で 与 え られ る. 角 運 動 量Ｌ は 静 止 座 標 系(O-xyz)で

一 定 で あ る が,剛

体 に 固定 し た 座 標 系

(O-ξηζ)で は 成 分 (20) を も つ.Lξ Lζ)は

とLη は(19),(20)に

よ っ て 時 間 的 に 変 化 す る が,ベ

静 止 系 で み て い る Ｌ と一 致 し て い る の で あ る.す

ク トル(Lξ,Lη,

なわ ち

(21) このた め 剛 体 に 固 定 し た 座 標 系 か ら み る と き,全 体 と して の 角 運 動 量 ベ ク トルＬ は対 称 軸 の ま わ りに 角 運 動 量Ω の 一 様 な歳差 運 動 を 行 う ことに な る(図58). 地球 の場 合,周

期2π/Ω は 約10ヵ

月であ

る.こ の運 動 は 地球 が 剛 体 で な い た め に減 衰 す るはず で あ る が,地 球 内 の地 震 な ど に よ っ

図58 て 励 起 され る.そ 【A≪B,A+B=Cの

の た め 実 際 の運 動 は 複 雑 で あ る. 場 合】

テ ニ ス ラ ケ ッ トの 軸 を ξ軸,重

トの 面 に 垂 直 に ζ軸 を と る とA≪B＜Cの

心 を 通 って ラケ ッ

条 件 が 満 た さ れ る.ラ

ケ ッ トの よ う に

平 た い と き はC=A+Bと

な る.こ

の とき オ イ ラ ーの方 程 式

は

( 22)

で 近 似 で き る. １.初

め の 回 転 が 軸ξ の ま わ りの も の で あ れ ば(22).で

積

ω2ω3は 高 次 の 項 な の で 無 視 で き て 図59 (23)

と な る.こ ２.初

れ は 安 定 な 運 動 で あ る.

め の 回 転 が 軸ζ の ま わ りの も の で あ れ ば,積ω1ω2は

高 次 の項 な の で 無

視 できて (24) こ の 場 合 も安 定 な 運 動 で あ る. ３.初 場 合,初

め の 回 転 が 軸η の ま わ りの も の で あ る 場 合 は 状 況 は 異 な っ て く る.こ め に 積ω1ω3を

の

無視 し (25)

と お い て み る と,(22)の

解 と して

(26)

と な る.こ

の た め 時 間 が た つ と ω1,ω2の 運 動 は 急 速 に 増 大 し,ラ

ケ ッ トは ひ っ く

り返 る こ と に な る. こ の よ うに 慣 性 モ ー メ ン トＡ,Ｂ,Ｃ が 最 大 値Ｃ 慣 性 主 軸 の ま わ りの 回 転 は 安 定 で あ るが,中 回 転 は 不 安 定 で あ る.こ

れ を テ ニ スラケットの

ま た は 最 小 値Ｃ を と る よ うな

間 の 慣 性 モ ー メ ン トＢ の ま わ りの 定 理 と 呼 ぶ こ と が あ る.

自 由 回 転 を わ か りや す くす る観 点 の １つ と し て,運 こ とを 表 す球 面

動 が 角 運 動 量 が一 定 で あ る

(27) と エ ネ ル ギ ー の保 存 を表 す 曲 面 の 交 線 に 沿 って行 わ れ る こ とに 着 目す る .エ ネル ギ ー はE=2(Aω12+Bω22+Cω32)で

Bω2,Lζ=Cω3を

あ る が ，

こ れ を 角運動

量Lξ=Aω1,L〓=

用 い て書 き直 す とエ ネル ギ ー面 は

(28)

と な る.こ 図60の

れ は 楕 円 で あ る. よ うに エ ネ ル ギ ー一 定 を

表 す 楕 円(28)を

描 く.楕

軸 は

円体 の半 で,エ

ネ ル ギ ーEを で あ る.主

決 め れ ば 定 ま るわ け

慣 性 モ ー メ ン トA,B,C

が 異 な る と き,角

運 動 量 の大 き さ を

与 え て も角 運 動 量 の 向 き に よ って エ 図60

ネ ル ギ ー は 異 な る.言

ネ ル ギ ー を 与 え て も角 運動 量 の大 き さLは 動 量 の 大 き さL,を

与 え ると球面

(27)が

の よ う に交 線

C1が

定 ま り,図

決 ま る.角

い 換 えれ ば エ

異 な り うるの で あ る.そ こで,角 運

運動量 の 大 き さ

が 大 き い 値 五2を 取 る と き は 交 線 はC2の

よ う に な る.運

がClに

な る かC2に

動の軌道

な るか は 初 期

条 件 に よ っ て 定 ま る. あ る 初 期 条 件 に よ り,運

61の 曲線Cを 量 ベ ク トルLで

図61

動が図

た ど る と し よ う.C上

のPへ

楕 円 の中 心 か ら 引 いた 矢 印 は 角 運動

あ る.自 由 回転 では 角 運 動 量 ベ ク トル は 空 間 に対 して不 変 に保 た

れ るか ら,剛 体 に 固定 した 座標 系 に対 す る 角 運 動 量 の成 分Lξ,L〓,Lζで表 した 運

動 がP→Q→Rと

移 る と き,静 止 座 標 系 で み る とOP=Lは

体 と これ に 固定 した 座 標系 の ほ うが 回転 す る.し 急 激 にLξ,Lη,Lζが 変 化 す る と きは,自

不 変 で あ って,剛

た が ってP→Q→Rの

よ うに

由 に投 げ られ た 剛 体 は と き ど き空 間 で 急

激 に姿 勢 を 変 え るわ け で あ る.

Tea

Time

ネ コの 曲芸 運動 量 と角 運 動 量 と は 言葉 は似 てい るが,直 進 運 動 と回 転 運 動 とは 大 きな 違 い が あ る.自 由 な 直 進 運 動 で は 運動 量 は 保存 され,こ れ は 直 進 の速 度 が 一 定 であ る こ と も意 味 す る.こ れ に 対 し 自由 な回 転 運 動 で は 角 運 動 量 は 保存 され るが,こ れ は 回転 の速 度 が 一 定 であ る ことを 意 味 しな い.ま た 回転 運 動 の と きに は そ の 物 体 の 形 が 変 わ る とそ れ に つ れ て 回転 の速 度 が それ に 応 じて 変 わ る. これ を うま く利 用 して い る のは 運 動 競 技 で あ る.鉄

棒 の ウ ル トラ Ｃ な どで は

身 体 の形 を変 え る こと に よ り空 中 で 自由 自在 に 回転 を行 う.水 泳 の 高飛 び 込 み もそ うで あ る. ネ コを逆 さに して放 す と,ネ

コは 空 中 で 身

体 を う ま く回転 して正 立 の姿 勢 で 着 地 す る こ とが で き る.こ の よ うな ネ コ の曲 芸 を撮 った 写 真 を い くつか 見比 ベ る と,ネ コに もい ろ い ろ な流 儀 が あ る ら しい(尻 尾 のあ るな しに も よ るだ ろ う). 図62の

ａの 流 儀 で は まず 前 半 身,次 に後

半 身 を や や 強 引 に 逆 向 き に回 転 して い る． 図 ｂでは まず 前 脚 を 身 体 に つ け て前 半 身 の慣 性

(ａ)(ｂ)

モ ー メ ン トを 小 さ く して これ を 回 転 し,次 い

図62

で後 半 身 の慣 性 モ ー メン トを 小 さ くして これ を 回転 して い る. 回転 し て い る コマ を放 り上 げ て 自由 落下 させ れ ば,重 心 の まわ りの運 動 は オ イ

ラ ーの コマ ,す なわ ち 自 由な 回 転 を 示 す わ け で あ る.コ マ と同 時 に ビデ オ カ メ ラ を 落 下 させ て撮 影 す れ ば 自由 回 転 の 様 子 を記 録 す る こ と もで き る で あ ろ う.し か し これ は そ う簡 単 に 実 現 で き な い. 電磁 気学 で有 名 な マ クス ウェ ルは い ろい ろ な 実験 装 置 を工 夫 す る のが 好 きで あ った.そ

う した 装 置 の 中 に,慣 性 モ ー メ ン トや 支

点 を い ろい ろ と変 え られ る コ マ もあ った.も し も厳 密 に重 心 で支 え る こ とが で きれ ば 重 力 の影 響 を除 い た 自 由回 転 が み られ るわ け 図63

で あ る.図63の

マ を 支 え る こ とが で き,自

よ うな コ マを つ くれ ば 重 心 の きわ め て 近 くで コ

由 回 転 に 近 い 回 転 が み られ る

定 の 方 向 を 長 い 時 間 向 い た ま ま で い る.

.こ

の とき コマ の軸 は一

第29講 非対称 な剛体の運動

―テ ー マ ◆ 一 般 の オ イ ラ ーの運 動方 程 式 ◆ コ ワ レ フス カヤ の積 分 ◆Tea

Time:コ

ワ レフ ス カヤ

外 力 が あ る と きの オ イ ラ ーの 方 程 式

剛 体 に 外 力 が は た ら く場 合 を 考 え,剛 る 外 力 の モ ー メ ン トの 成 分 をNξ,Nη,Nζ

体 に 固 定 し た 座 標 系O-ξ

ηζの 軸 に 関 す

と す る と き,オ

イ ラー の方 程 式 は

(１)

とな る. 【証 明】 動 く座 標 系O-ξ ηζの角 速度 を ω と す る と, この座 標 系 に 対 して不 動 の ベ ク トルＡ の 矢 印 の 先 端 は 静止 座 標 系O-xyzに

対 し(図64参

照)

図64

(２) の 速 さ を も つ.そ

の向 き まで 考慮 すれ ば (３)

で あ る こ と が わ か る.動 速 度 を も て ば,静

く座 標 系O-ξ

止 座 標 系O-xyzに

ηζ に 対 し て ベ ク トルＡ

がd'A/dtの

変化

対 す る変 化 率 は

(４)

と な る.こ (４)を

れ は 任 意 の ベ ク トル に 対 し て 成 り立 つ 式 で あ る. 角 運 動 量Ｌ

に対 して用 い ると運 動 方 程 式 (５)

は (６) と な る.O-ξ

ηζ系 でＬ

の成 分 は (７)

で あ る か ら(６)をO-ξ

ηζ系 の 成 分 で 書 くと

(８)

とな る.こ れ は オ イ ラー の方 程 式(１)に

ほ か な らな い.

重 力 に よ る力 の モ ー メ ン ト 原 点 Ｏ か ら剛 体 の 慣 性 主 軸 に 沿 っ て 座 標 軸(剛 体 と と も に 動 く)ξ,η,ζ軸 を取 り,剛 体 の重 心 Ｇ の座 標 を (９) 図65

と す る(図65).こ 外 力Ｆ は 重 力Mgだ

こ で(eξ,eη,eζ

は(ξ,η,ζ)軸

け で あ る と し,鉛

方 向 の 単 位 ベ ク トル で あ る .

直 上 方 を 向 い た 単 位ベク

トル を

(10)

とす る.剛

体 か ら み た 鉛 直 方 向 の 方 向 余 弦 が(γ1,γ2,γ3)で

あ る.

【外 力 の モ ー メ ン ト】 重 力 に よ る 外 力 の モ ー メ ン トＮ の 成 分 は

(11)

で与 え られ る.た だ しＭ は 剛 体 の質 量,ｇ は 重 力 加 速度 で あ る. 【証 明】 重 力Ｆ は 鉛 直 下 方 に (12) で あ り,０ の まわ りの 重 力 のモーメソトハＮ は

(13) 【 剛 体 の配向 】ｚ

軸 方 向 の 単 位 ベ ク トルｋ のO-ξη ζ に お け る 成 分(γ1,γ2,γ3)

の変 化 速 度 は

(14)

で与 え られ る. 【証 明】 剛 体 に固 定 した座 標系 で み た変 化 を (15) と書 く.静 止 座 標 系 で はdk/dt=0で

あ るか ら((４)参

照)

(16) これ を 剛 体 に 固定 した座 標 系 の成 分 を用 い て書 け ば,(14)を

得 る.

【運 動方 程 式 】 ま とめ て書 くと

(17)

と な る.

コワレフス カヤ の コ マ

剛 体 の 回 転 は オ イ ラ ー の 角(θ,φ,ψ)で の 自 由 度 は ３で あ る.し の ほ か に,こ

与 え ら れ る こ と か ら わ か る よ う に,そ

た が って上 述 の エ ネ ル ギ ー と鉛 直軸 の まわ りの 角 運 動 量

れ ら と 独 立 な 積 分(第

３ 積 分)が

存 在 す れ ば,こ

の剛 体 の運 動 は解

け る こ と に な る. コワレフス カ ヤ(Kowalevskaja)は 程 式 と し て の 性 質 を 吟 味 し,そ ー メ ン トＡ

運 動 方 程 式(７),(11),(14)の

微分方

れ ま で に 解 け た 多 自 由 度 の系 と 比 べ て,主

慣 性 モ

,Ｂ,Ｃ な ど の パ ラ メ タ の 間 に あ る 特 別 な 関 係 が あ れ ば 解 け る 可 能 性 が

あ る こ と を 推 論 し,実

際 に こ れ を 証 明 し た(1889年).コワレフス

カ ヤ が 第 ３積

分 の 存 在 を 示 し た 特 別 の 場 合 は 固 定 点 Ｏ の まわ りの ２つ の 主 慣 性 モ ー メ ン トが 等 し く,残

る 慣 性 モ ー メ ン トＣ の ２倍 で,重

る場 合 で あ る.こ

心 がＡ

軸 とＢ 軸 を 含 む 平 面 上 に あ

の 条 件 は 慣 性 モ ー メ ン トの 単 位 を 適 当 に とれ ば

(18)

と な る．A=Bな

の で 重 心 の 位 置 はＡ

軸上に取 り

(19) とす る こ と が で き る,こ 【コワレフス

の よ うな 剛 体 の 回 転 をコワ レ フス カ ヤ の コ マ と い う .

カ ヤ の 積 分 】(18),(19)の

条 件 の もとに 運 動 方 程 式 は

(20)

ただ し

(20')

また

( 21)

で あ り,こ

れは積分

(22) を も つ(こ

れ をコワ

レ フス カ ヤ の 積分 と い う).た

だ し こ こで(i=√-1) (23)

で あ り,ξ は ξの 複 素 共 役 で あ る. 【証 明 】 簡 単 に す る た め

(24)

な ど と 書 く.(20)か

ら (25)

ただ し

(26) また (27) が 導 か れ る.こ

れ らを用 い て

(28)

を 得 る.し

た が って (29)

こ こで (30) で あ る か ら(29)は(22)と

一 致 す る.

ラゲランジュ の 運 動 方 程 式 か ら

コワレフス カ ヤ の 積 分 を オ イ ラ ー の 角 を 用 い てラグラソジュ て み よ う.ｚ

を 鉛 直 上 向 き に と り,剛

η,ζ)と す る.オ に あ る重 心Ｇ

イ ラ ー の 角(θ,φ,ψ)を

の 方 程 式 か ら導 い

体 に 固 定 し た 回 転 座 標 系(主 用 い れ ば ξ軸 上 で 支 点Ｏ

軸)を(ξ,

か ら ξ0の 距 離

の 座 標zGは (31)

で あ る、 した が っ て 位 置 エ ネ ル ギ ー はU=-Mgξ0sinθCOSψ 2Cの

で あ り,A=B=

と き ラ グ ラ ンジ ュ関 数 は (32)

ψは 循 環 座 標 な の で,∂￡/∂ φ=0が

角 運 動 量 の積 分 (33)

を与え る. エ ネ ル ギ ー積 分 は

(34)

で あ る. 最 後 に ラ グ ラ ンジ ュの運 動 方 程 式 (35) の 第１ 式 は (36) と な る.第

２式 は (37)

を 与 え る が,こ

れ に-cosθ

を か け(33)をｔ

で微 分 し た 式 を 加 えて 整 理 す れ ば

φが消去できて (3 8) を 得 る.さ

ら に(36)にｉ

を か け て(38)に

加 えれ ば (39)

と な る.こ

こで (40)

と お け ば(37)は (41) を 与 え る. Ｑの 複 素 共 役 をＱ

とす る と (42)

に 対 して 同 様 な 式

(43)を 得 る.し

た が っ て(44)

が成り 立 つ の で (45) と な る.こ れ る.こ

れ がコワレフス

カ ヤ の 積 分(22)と

の と き ξ,ξとQ,Qの

同 じも ので あ る こ とは 容 易 に示 さ

関係 は (46)

で あ る.

TeaTime

コワレフスカヤ ソ フ ィア ・ワ シー レ ウナ ・コワ レ フス カ ヤ(Sof'ja  Vasil'evna  Kovalevskaja, あ る い はSophie  41歳

Kowalevski,1850-1891)は

ロ シ ア で 生 ま れ,ド

で ス ウ ェ ー デ ン で 亡 く な った 美 し い 天 才 女 流 数 学 者 で,偏

イ ツで 学 ん で 微 分 方 程 式 の研

究 な ど で 有 名 で あ る. 彼 女 は 子 供 の と きに 父 の棄 てた 微 積 分 の 本 を み つ け て た い へ ん 興 味 を も った と い う.家 庭 教 師 か ら 数 学 を 教 え られ て す ば ら しい 才 能 を 示 す よ うに な っ た が,当 時 の ロ シ ア で は 女 性 が 学 問 を す る の は む ず か し か っ た.外

国へ 出 るに は結 婚 す る

の が 都 合 が よか っ た こ と も あ っ て,出

レ フ ス キ ー と い う人 と

偽 装 結 婚 を し,1869年

に 出 国,ハイデル

理 学 の 勉 強 を 始 め た.翌 従 事 した.1874,年 た.1883年

版 業 を し て い たコワ

ベ ルグ 大 学 で 特 別 に 許 可 さ れ て 数 学 と 物

年 ベ ル リ ン へ 行 き 数 学 者 ワ イ エ ル ス トラ ス 教 授 と 研 究 に

に 学 位 を 得,ペテルス

ブ ルク や モ ス ク ワに も住 む よ うに な っ

以 後 は 数 学 者ミッターハーレフラー(Mittag-Leffler)が

い る ス トッ

ク ホ ル ム 大 学 へ 移 っ て 教 授 と な る. 剛 体 の 回 転 の 研 究 は1888年 で1888年

ご ろ か ら始 め て1890年

に 大 成 し て い る.こ

の 暮に パ リ科 学 ア カ デ ミ ー か らボル ダ ン(Bordin)賞

の研 究

を 与 え ら れ,1889

年 に はス ウ ェ ーデソ 科 学 ア カ デ ミー の 賞 を 受 け て い る. 1889年

ご ろ か らコワ レ フス カ ヤ は ロ シ ア に 帰 っ て ロ シ ア に 数 学 を 研 究 で き る

地 盤 を 築 き た い と 努 力 した が 成 功 し な か った.そ し い.1890年12月

のた め不 安 定 な気 分 に な った ら

に フ ラ ン ス の ニ ー ス で 休 暇 を 過 ご し て か ら 帰 国 し た が,デソ

マ ー ク の 乗 り換 え 駅 で 嵐 に 会 う な ど し て １月23日 き は す っ か り風 邪 を 引 い て い た.そ っ て,１ 月29日

れ で も無 理 を し て 仕 事 な ど を 重 ね た の が た た

に 息 を 引 き と っ た.

伝 記 にワ ロ ンツォーク 1975年)が

に ス トッ ク ホ ル ムへ 着 い た と

著(三

橋 重 男 訳)『コワレフス

カ ヤ の 生 涯 』(東 京 図 書,

な お 第29講

あ る. と 第30講

は 主 に 次 の 原 著 を 参 考に し た.Kowalevski,S.:Acta

Math .,12,177-232,(1889),Kolossoff,G.:Math.Annalen,56,265-272(1903).

第30講 コワレ フス カ ヤ の コ マ

―テ ー マ ◆３つ の積 分 ◆ハ ミル トンーヤ コ ビの方 法 に よ る解 ◆ Tea Time:逆

立ち コマ

運 動 の積 分 コワレフス カヤ の コマ の エ ネル ギ ーは (1) で あ る が,A=B=2,C=1と

してい る ので これ は

(2)

と 書 け る.ま

た 重 力 の た め の 力 の モ ー メ ン トは 水 平 方 向 に あ る の で 鉛 直 方 向 の 角

運 動量 は 保 存 され るの で (3) と くにA=B=2,C=1で

あ る た め これ は

(4)

と な る.さ

ら にコワレフス

カ ヤ の積 分

(５)

が 与 え られ て い る.こ

こで (６)

前講 と 同 じ く,複 共 役 で あ る.こ し か し,積

数 共 役 は 上 に バ ー を 付 け て 表 す.た の ３つ の 積 分 に よ り,運

分(２),(４),(５)は

動 は 原 理 的 に 解 け る わ け で あ る.

簡 単 に み え る に もか か わ らず,こ

い て 運 動 を 完 全 に 解 く こ と は 決 し て 容 易 で は な い.コワ し た の で あ る が,こ

と え ばω,γ は ω,γの 複 素

れ らを用

レ フス カ ヤ は これ を 実 行

こ で は も う少 し 簡 単 な 方 法 を 取 る こ と に す る.そ

の た め まず

運 動 方 程 式 を 書 き 直 し て お く.

運 動 方程 式 の書 き換 え

新 しい変 数

(７)た だ し (7') を 導 入 す る.こ

の とき

(８)

で あ る こ と が 示 さ れ る． た だ し こ こ で

(９)

【証 明 】

こ の 証 明 は た い へ ん め ん ど うな の で 簡 略 し て 要 点 を 示 す に と どめ る.

第29講(20),(21)の

運 動 方 程 式 は(i=√-1)

(10)

と書 け る.こ れ らを用 い て

(11)

が 示 され る.そ こで(７)の

対 数 を 取 って 微 分 す る と (12)

よ って 少 し長 い 計 算 の 結果

(13) を 得 る.こ

こ で(６),(７),(９)か

ら導 か れ る関 係 式

(14)

を用 いれ ば (15) を 得 る.さ

ら に(９)か

ら (16)

なので (17)

と な る.

変 数 分 離

(８)は

ほ と ん ど ２ 次 元 空 間 内 の 質 点 の エ ネ ル ギ ー の 形 を し て い る.た

の 運 動 の エ ネ ル ギ ー に 当 た る 第 １項 に マ イ ナ ス が 付 い て い る(第 ル ギ ー と解 釈 で き る).そ

だ 左辺

２項 は 位 置 エ ネ

こで

(18)

と お い て 時 間ｔ の 代 わ りに 新 し い 変 数 τを 用 い る と

(19)

が エ ネ ル ギ ー の 式 に な る.さ

らに 適 当 な 変 数 変 換 に よ っ て(19)を

うに 変 数 分 離 で きれ ば 問 題 は 解 け る.こ

の た め に 正 準 変 換 の 方 法 の １つ で あ る ハ

ミル トンーヤ コ ビ の 方 程 式(『 一 般 力 学30講 考 え よ う.こ

積分で きるよ

』 の 第30講

参 照)に

よ る積 分方 法 を

の 方 法 は τが 虚 数 で あ っ て も用 い る こ と が で き る.

天 下 り式 で あ る が,こ

れ はx,yの

代 わ りに 新 しい 変 数λ,μ を

(20)

に よ っ て 導 入 す る こ と に よ っ て 達 せ られ る.こ

の とき (21)

と な る こ と が 確 か め ら れ,(19)は (22) と な る.さ

ら に え と μに 正 準 共役 な 運 動 量p1とp2を (23)

に よ っ て 導 入 す れ ば(22)か

ら

(24) と な る. こ こ で ハ ミル トンーヤ コ ビ の 積 分 方 法 に よ り

(25) と お く.す

る と(24)は

書 き 直 して

(26) と な る.こ

れ は２ だ け の 式 と μ だ け の 式 と に 分 離 さ れ た 形 に な っ て い る.右

辺の

ｃ は ２に も μに も よ ら な い 定 数 で あ る. そ こ で(26)を

積分すれば

(27) と な る.こ S=S(λ

れ は ２つ の 定 数ｃ と エ ネ ル ギ ー 定 数Eを

,μ,c,E)に

含 む 完 全 解 で あ り,運

動 は

よ っ て 次 節 の よ う に 決 定 さ れ る.

運 動 の決 定 ハ ミル トンーヤ コ ビ の 理 論 に よれ ば,運

動 は(28)の

関 数S(λ ,μ,c,E)を

用 い (28)

に よ っ て 決 定 さ れ る.

(29) と お け ば(28)は

(30)

とな る(τ0は 定 数)． これ に よ ってコワレフス カ ヤの コ マ の運 動 が 積 分 され た . 運 動 を 吟 味す る こ と に よ り定cは 照)と

エ ネ ル ギ ーEお

よびコワレフス

鉛 直 方 向 の角 運 動 の定１(式(４)参 カ ヤ の積 分 の定 数k2(式(５)参

照)と

の問に (31) の関 係 が あ る こ とが 示 され る. なお(30)を

微分す ると

(32)

と な る.こ

の 第 １式 に-μ2を

か け て 第 ２式 を 加 え る と (33)

を 得 る.同

様に (33')

そ こで(33)と(33')を さ らに(18),(21)に

加 え た り,(33)に

λを,(33')に

μを か け て 加 え た り し,

よ り (34)

を用 いれ ば

(35)

を 得 る.コワレフス

カ ヤ は(35)を

数 の リ ー マ ン〓(テ

ー タ)関

積 分 し て そ の 逆 関 数 に よ り コ マ の 運 動 が ２変

数 で 表 さ れ る こ と を 示 し た.

コワレフス カ ヤの コ マの 形 コワレフス カ ヤ の コ マは 支 点 の まわ りの 主 慣 性モーメソト

がA=B=2Cの

関

係 を満 た し,重 心がＡ 軸 上 に あ る回 転 体 で あ る.コワ スカ ヤは これ が ど の よ うな形(質 量 分 布)の

レフ

もの で あれ ば よ

い か を 明 らか に して い る. た と えば 一 様 密 度 の楕 円体 で これ を つ くる とす れ ば,そ

の

中 心(重 心)Ｇ か ら測 った ３つ の半 軸(主 軸ｘ,ｙ,ｚ方 向 の半 径)が1:√3:3の

楕 円体 と な る.こ

重 心Ｇから√10/5=0.63… レフス カ ヤ の条 件A=B=2Cが

の 楕 円 体 のｘ 軸 上 で

の と こ ろ を支 点 ○ とす れ ばコワ 満 た され る.

【証 明】 一 様 な 密 度 の楕 円体 の 主軸(ｘ,ｙ,ｚ軸)方 向 の半 図66

軸 をａ,ｂ,ｃとす る と,中 心Ｇ の ま わ りの 主 慣 性 モ ー メン ト

AG,BG,CGはＭ

を全 質 量 と し て

(36) で 与 え ら れ る.こ

こで (37)

とす れ ば (38) とな る． 次 にｘ 軸 上 でGか モ ー メ ン トをＡ,Ｂ,Ｃ

らｄ だ け離れ た 点 Ｏ を 支 点 と し て,支

点 の ま わ りの 主 慣 性

とす れ ば 慣 性 モ ー メ ン トの よ く知 ら れ た 関 係 に よ り (39)

と な る.こ

こで

(40) とす れ ば (41)

と な り,コワ

レ フス カ ヤ の コ マ の 条 件 が 満 た さ れ る.

【コ メ ン ト】コワ 必 要 は な い.ま

レ フス カ ヤ の コ マ の 条 件 を 満 た す コ マ は 楕 円 体 の 形 状 で あ る

た コ マ の 内 部 に 支 点 が あ る よ う な コ マ も実 現 可 能 で あ る .オ

ー の コ マ(第28講

参 照)の

場合

,内

イラ

部 に あ る重 心 を支 えた コ マが あ った こ とを

思 い 出 し て ほ し い.

TeaTｉme

逆立 ちコマ 逆 立 ち コマは 球 の 一部 を 切 り棄 て て,そ こ に軸 を付 け た形 を して い る.机 上 に 置 い た と きは軸 を上 に して 直立 す るが,軸

を指 で つ ま んで 速 い 回 転 を 与 え る とた

ち ま ち逆 転 し,軸 を下 に して逆 立 ちす る. あ りあわ せ の ものを 利 用 して 逆立 ち コマ をつ くる のは そ れ ほ どむず か しい こと

図67 Ｏ ：球 面 の中 心,G：

重 心.

で は な い.要

は 図67の

よ うに球 面 の中 心 よ り少 し下(軸 か ら遠 く)に 重 心 が あ

る よ うに す る こ とで あ る. 粘 土 の小 片 を10円 硬 貨 の一 部 に 付 け,指

で は じい て 回す と,粘 土 の 付 い た ほ

うが 上 に な って 回 る.碁 石 な ど も速 く回転 させ る と立 ち 上 が る.要 す るに 回 転 す る と重 心 が 上 が って安 定 す る ので あ る.普 通 の コマ で も歳差 運 動(首 振 り運 動) を して い た の が,い わ ゆ るね む りコマ の状 態 に な る ときは 重 心 が 上 が る. 逆 立 ち コマ は ち ょ っとわ か りに くいが,円 板 に 円形 の枠 を付 け た平 板 状 の 逆 立 ち コマ(図ｂ)に

つ い て逆 立 ちす るわ け を説 明 し よ う.図 で Ｏ は 外 枠 の 中 心,

Ｇは重 心 で あ る． は じい て回 す と重 心Ｇ の まわ りに 回 転 す る(図ｃ).机 触 点 は Ｏ の直 下 で,そ

こに摩 擦 力ｆ が(図 では 手 前 か ら向 こ うへ)は

そ の た め に重 心 に は 力 の モ ー メ ン トＮ が 作 用 す る.Ｎ コマ の 角運 動 量Ｌ は ほ とん ど不変 とみ て よいが,こ 成 分.L2と 円板 に 沿 いL2に

の と きOGが

た めにL1は

た ら き,

は ほ と ん ど 水 平 で あ る.

れ を コ マ の 軸GOの

方 向の

垂 直 な 成分.L1と に 分 け る.ま た摩 擦 力 の モ ー メ ン ト

Ｎも 同 じ方 向 の成 分N2とN1に 減少 し,N1の

との 接

分 け る.図 か らわ か る よ うにN2の

た め にL2は

増 加 す るの で,ｃ の 次 の瞬 間 にはｄ の よ うに な る.こ

鉛 直 線 とな す 角θ は 増 加 して θ'にな る.こ の た め重 心 は上 が る.円

板 の回 転 に よ り摩 擦 力 の方 向 も絶 え ず 変 わ る が,L,L1,L2とN,N1,N2の 関 係 は 本 質 的 に 変 わ らず,重 心Ｇ は 上 が り続 け るの で あ る.

相対

索

引

オ イ ラ ー の 運 動 方程 式  192, ア

行

銀

河  167キンク 118

199 オ イ ラー の角  180

圧 力(音 波 の)  41 ア トラ クタ  １

クノィダル 波  34

オ イ ラー の コマ  183

ス トレ ン ジ― 

23

アブロビッツ  124

オ プ テ ィカ ル ソ リ トン  121

熊 手型 分 岐  31

音波 の圧 力  41

暗い ソ リ トン  119 クラメルの 方 法  62

力

位 相 空 間  １,17

行

グ リー ン  50 クル ス カル  44,50,55

１次 元 格 子  65 一般 座 標  66

回 転(剛

イ ン ダ ク タ ンス  70

カ オ ス  19,21,30,167,170

体 の) 

決 定 論 的―  ヴォル テ ラ  19

群 速 度  38

KdVヒ

30

―に 付 随 す るシュ レ ー デ ィ ンガ ー方 程 式  53

重 ね 合 わ せ の原 理  37

オ イ ラー の― 

192,199

ラグ ラ ンジ ュの― 

204

可 積 分 変 換  112 カソラチ行 列 式  164

高 階― 

カチカチボール 107

役 な)  66

AKNS方 SG方

ン方 程 式

Nソ リ トン解  102 KdV方程式

の― 

程 式 の― 

62

エ ネ ル ギ ー保 存 の 法則  91 エノ ン  167 エ ノ ンーハ イ レ ス系  167 MKdV方程式

ゲルファソ トーレビ タ ン の 方 程

→ 変 形 さ れ たKd

V方程式 エ ル ゴ ー ド問 題  49 LC回 路  70 エ ル ミー ト共 役  87

追 い越 し衝 突  80

程式

式  58,125 格 子 に 対 す る― 

規 準振 動  49 150

リトン解  150

決 定 論 的 カオ ス  30

カ ドムチェフーペ ト ビ ア シュビ リ方 程 式→KP方

112,120,126

程 式  145 ―のNソ

カ ドムチェフ  149

NLS方 程 式→ 非 線 形シュ レ ーデ ィンガ ー 方 程 式

KP方

KP方

ガ ー ドナ ー  50

サ イソ ーゴル ド

145,149

変 形 され た― 

カッ ツーメー ルベッケ 系  135

程 式  124 程 式→

122

２次 元― 

カッツ 64,135 エ ア リー  41

43.57,91,112,

126,141

角 速 度  180

運 動方程式

エ ラル キ ー  124

KdV方程式 

化 学 反 応  ９

ウラ ム  49

運 動 量(共

179

カ ウ プ  124

軌

ェンコ の方 程 式  58

道  １

逆 散 乱 法  50,57,98

95

ゲル フ ァ ン トーレビ タ ンーマ ル チ

減 衰 振動  ５

逆 散 乱 問 題  58 逆 問 題  64

高 階KdV方程式 

キ ャ パ シ タソス  70

高 階 の発 展 方 程 式 系  122

122

球 面 振 り子  174

広 義 座 標  66

共役 な 運 動 量  66

格

子

行 列 式 解  47

１次 元― 

行 列 式 の 展 開  156

３粒 子 周 期― 

65

行 列 式 表 現  81

指 数― 

極 限 軌 道  ３

周 期 的 な― 

局在 振 動  69

線 形― 

85,86,170

74

68

85

双 対― 

67

弛 緩 振 動  ３

双 対 格 子  67

戸 田―  74,77,130,138,172

軸 対 称 の コマ  185

双 対 変 換  74

非 線 形― 

自 己集 束  121

相 平 面  １

格子 ソ リ トン  75

自 己組 織 化  19

相 補 性  72

高次 の 発 展 方 程 式 系  122

自 己透 過 現 象  118

束 縛 状 態  53,96

格 子模 型  65

指 数格 子  74

向心 衝 突  81

磁 束 伝 播  118

剛 体 に 固 定 した 座 標 系  179

質 量 保 存 の 法 則  91

剛 体 の 回 転  179 コ マ  182

自 由回 転  190

50,73,78

オ イ ラー の― 

183

コワ レ フスカヤ の― 

184,

202,208,214 逆 立 ち― 

―の 発 見  44

周 期 的 な 格 子  85

暗い― 

118

周 期 的 分 岐  30

格 子― 

75

周 期 倍 増  30

包 絡 線― 

周 期 波解  43

ソ リ トン解  45

の― 

183,185

59,127

第 ３積 分  167,202

KdV方程式

固有 振 動  69

に付 随 す る―

固有 値  88

 53

孤立 波  41

非線 形―  状 態 空 間  17 41,43

方 程 式→KdV方程式 コ ールーホ ッブ変 換  39,127

ジ ョゼ フ ソン接 合 素 子 118

コワレフス カヤ の積 分 203,209 行

人口 爆 発 12

速 い― 

188

ゆ っ く りした― 

188,189

126逆 立 ち コ マ  215 ザブ ス キ ー  44

ダランペールの 解  36

テ ニス ラケ ッ トの 定 理  195

転

ス トレソジア トラ クタ  23

テ ン ト写 像  32

正 準 運 動 方程 式  67

戸 田格 子  74,77,130,138,172

位  118

２次 元―  159ド ・フ リース  41 ,43

関孝 和  43 ナ

積 分 可 能系  89,167 積 分 可 能 な発 展 方 程 式  116 積乱雲  27

２次 元 戸 田格 子  159

セ ル オ ー トマ トン模 型  157

二 重 性  72

線

２進 変 換  33

散 逸 系  24

線 形 格 子  68

散 乱 問 題  57

線 形 方 程 式  37 93

行

２次 元KdV方程式 

差 分 化  28

格 子 に 対 す る― 

177,187,193

ス コ ッ ト ・ラ ッセ ル  41,83

生 態 系  ９,13,,19

サ イ ンーゴル ド ン方 程 式  117,

ヤ コ ビの― 

ダ ー ク ソ リ トン  119

寺 田 寅 彦  20

正 準 変 換  66

歳 差 運動  186,187,189

楕 円 関 数  78

自励 振 動  ４

コワレフス カ ヤ の コマ  184, 202,208,214

流  21

対流 圏  27

初 期 値 敏 感 性  32 初 期 デ ー タ  57

コワレフス カヤ  184,202,206

代 表 点  17 対

119,126

コルテヴェーグード・フリース

サ

118

タ行

シュ レー デ ィンガ ー方 程 式 53,

185ラグラソジュ

孤立 波解  43 コルテヴェーグ 

―の 衝 突  80

主 軸 変 換  170

215

軸 対 称 の― 

―の 波 動 関 数  59 ソ リ トン  44,83

形  37

浅 水 波(ラ

２ ソ リ トン解  45ニュ ーウェル  124

グ ラ ンジュ の)  41

３粒 子 周 期 格 子  85,86,170

熱 伝 導  77 双 線 形 形 式  137

シガ ー  124

双 対 関 係  67,71

ノー マ ル モ ー ド 49

145,149

120

フ ェル ミーパ ス ターウラ ム の再 帰 ハ

行 現 象  50

パ イ こね 変 換  33

ゆ っ く りした 歳 差 運 動 188,189 ユ ニ タ リ等 価  87

ブシネ方 程 式  50,111 ラ行

ハ イ レス  167

負 抵 抗 １

バ ーガ ーズ 方 程 式  36

フ ラ ク タル  23

ラヴォアジエ 91

パ ス タ 49

フ ラ ク タル 次 元  23

ラグラソジュの 運 動 方 程 式 204

パ ス ツー ル  91

プ ラ ン トル 数  22

発

ブ リーザ ー 解  118

ラ グラ ンジ ュの 浅 水 波  41

発 振 現 象 ６

プ リュッ カ ー の 関係 式  154

ラ ック ス形 式  51,54,86,122

発 展 方 程 式(積 分 可 能 な)  116

不 連続 時 間  34

ラプ ラ ス展 開  156

発 展 方 程 式 系(高 階 〔高 次 〕 の)

分

振 ２

ラグラソジュの コマ  183,185

岐  31

分 散 関 係  38  122波 動 関数  60,97 束 縛 状 態 の― 

リアブノフ 数  26 リゥヴィル の定 理  17,89

分 散 性  27 59

リゥヴィル の方 程 式  117

分 散 性 媒 質  37

波 動 方程 式  36 非 線 形―  83 ハ ミル トン-ヤ コ ビの 方 程 式  211

リエナールの 特 性 曲線 ５ ベックルント  128

リエナールの 方 程 式 ４ 力 学 系 ９

ベックルント変 換  129 ―の ダ イ ヤ グ ラ ム  134

速い 歳 差 運 動  188

SG方

反キソク  118 パ ン屋 の 変換  33

逆 散 乱 法 と― 

程 式 の― 

KdV方程式

非線 形格 子  50,73,78 非 線 形シュ レー デ ィンガ ー方 程 式  119,126 非 線形 波 動  44 非 線 形 波 動 方程 式  83 非 線 形方 程 式  10,38 非 分 散 性  37

ル ビン の 壷  71

132

の― 

戸 田格 子 の―  非 線 形 回 路  70

リミットサ イ クル ３

129 133

130

ぺ トビ ア シェビリ  149 ベナール の渦  26 ベナールの 対 流  21

レ イ リー  21,41 レ イ リー 数  22 レ イ リーの 方程 式  ４ レ イ リー 板  41

ベ ル ヌ ー イ シ フ ト 33

レ イ リー-ベナール

変 形 され たKdV方程式 112,

レ ス ラ ー系  25

の 対 流  21

連 続 体  91

,126

ベソ ジ ャミン −小 野 方程 式  120

連 続 体 近 似  91,109

変 数 分 離  211 ロ ジ ステ ィ ッ ク  10

非 平衡  19 ヒル ベ ル ト変換  120

ボ ア ソ カレ 写 像  170

ロ ジ ステ ィ ッ ク曲 線  11

広 田 の 演 算 子  137

包 絡 線 ソ リトソ  119

ロ ジ ステ ィ ッ ク写 像  29

Hirotaの

保 存 量  14,16,89,91

ロ ジス テ ィ ッ ク方 程 式  10

方 法  137

広 田 良吾  137 フ ァイ ゲ ンバウム 定 数  31

マ マ ヤ 図 形  155

ロト カーヴォル テ ラ の 方程 式 13 ローレンツ  21 ローレソツ 系  22

フ ァイ ゲ ンバ ウム の 普 遍 法 則

ローレソツ の 方程 式  22

ミウラ 50

 32

ロトカ  19 行

ロソ ス キアソ 解  48

ファ イソ マ ン  99ファソ ・デル ・ポ ール ２ファソ

メ ールベッケ  135 ワ

・デル ・ポ ール の 方 程 式 ヤ行  ２ フ ェル ミ  49

ヤ コ ビの 楕 円 関 数 177,187,193

和

算  143

行

著 者 戸

田

盛

和

1917年 東京に生まれる 1940年 東京大学理学部物理学科卒業 現 在  東京教育大学名誉 教授   ノル ウェー王立科学アカデ ミー会員  理学博士

物理学30講 シ リーズ3 波 動 と 非 線 形 問 題30講 1995年3月10日  2007年2月25日 

定価はカバーに表示

初 版 第1刷 第7刷

著 者  戸

田

盛

和

発行者 朝

倉

邦

造

 株式 発行所 会 社 朝

倉

書 店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6‐29 郵

〈検印省略〉

FAX 

〓1995〈無断複写 ・転載 を禁ず〉 ISBN

978‐4-254-13633‐3

便

電

C3342Printed

番 話 

号 

162‐8707

03（3260）0141 03（3260）0180

新 日本 印刷 ・渡辺製 本 in Japan

朝倉 物 理 学 大 系〈 全21巻〉 荒 船 次 郎 ・江 沢  洋 ・中 村 孔 一 ・米 沢 富 美 子 編 集 駿台予備学校  山本 義隆 ・明大 中 村孔 一 著

満 を持 して 登 場 す る本 格 的 教科 書 。 豊 富 な例 題 を 通 して リズ ミカル に 説 き明 か す 。 本 巻 では 数 学 的

朝 倉物 理 学 大 系1

解

析

13671-5  C3342 

力

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328頁  本 体5600円

駿台予備学校  山 本 義 隆 ・明大 中村 孔 一 著 朝倉 物 理 学 大 系2

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析

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準備 か ら正 準 変 換 ま で を収 め る。 〔内容 〕序 章 一 数 学 的準 備/ラ グ ラ ン ジ ュ 形 式 の 力 学/変 分 原 理/ ハ ミル トン 形 式 の 力 学/正 準変 換 満 を持 して 登 場 す る本 格 的 教 科 書 。 豊 富 な例 題 を 通 し て リズ ミ カル に 説 き 明 かす 。 本 巻 に は ボ ア ソ ン力 学 か ら相 対 論 力 学 ま で を収 め る。 〔内容 〕ボ ア ソ ン括 弧/ハ /摂 動 論/拘

ミル トン ーヤ コ ビの 理 論/可 束 系 の 正 準 力 学/相

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実 験 物 理 学 者 が 懇切 丁 寧 に 書 き下 ろ した 本格 的教 科 書 。 本 書 は 基礎 部 分 を詳 述 。 と くに 第7章 は著 者 の 面 目が 躍 如 。 〔内容 〕イ ン トロ ダ ク シ ョン/粒 子 と場/デ ィ ラ ッ ク方 程 式/場 の 量 子 化/量 子 電 磁 力 学/対 称 性 と保 存 則/加 速 器 と測 定 器 実 験 物 理 学 者 が 懇切 丁 寧 に 書 き下 ろ し た本 格 的 教 科 書 。本 巻 はⅠを 引 き継 ぎ,ク オ ー ク と レ プ トン に つ い て 詳 述 。 〔内 容 〕ハ ドロ ン ・スぺ ク トロ ス コ ピ ィ/ク ォ ー ク モ デ ル/弱 い 相 互 作 用/中 性 Ｋ中 間 子 とCPの 破 れ/核 子 の 内部 構 造/統 一理 論 実 験 物理 学 者 が 懇 切 丁 寧 に 書 き下 ろ した 本 格 的 教 科 書。 本 巻 は 高 エ ネ ル ギ ー物 理学 の 標 準 理 論 を扱 う。 〔内容 〕ゲー ジ理 論/中 性 カ レ ン ト/QCD/Ｗ ボ ソ ン/Ｚ ボ ソ ン/ジ ェ ッ トの性 質/高 エ ネ ル ギ ー ハ ドロ ン 反 応

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実 験 物 理 学 者 が 懇 切 丁 寧 に 書 き下 ろ した 本 格 的教 科 書 。 本 巻 は 高 エ ネ ル ギー 物 理 学 最 前 線 を扱 う。 〔内 容 〕小 林 一益 川 行 列/ヒ ッ グ ス/ニ ュ ー ト リ ノ /大 統 一 と超 対 称 性/ア ク シ オ ン/モ ノポ ー ル/

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量 子 力 学 の 数 学 的 構 造Ⅰ 13677-7  C3342 

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328頁  本 体5800円

北大  新 井 朝 雄 ・前学習院大 江 沢  洋 著 朝 倉 物 理 学 大 系8

量 子 力 学 の 数 学 的構 造 Ⅱ 13678-4  C3342 

A5判 

320頁  本 体5800円

東大  高田康 民著 朝倉物理学大系9

多 13679-Ⅰ  C3342 

体

問 A5判 

題

392頁  本 体7200円

象 ヒ ルベ ル ト空 間 と線 形 演 算 子 の 理 論 の 基礎 を展 開 。 〔内容 〕ヒ ルベ ル ト空 間 と線 形 演 算 子/ス ペ ク トル 理 論/付 ：測 度 と積 分,フ ー リエ 変 換 他 本 巻 は1を 引 き継 ぎ,量 子 力 学 の 公 理 論 的 基 礎 を 詳 述 。 これ は,基 本 的 に は,ヒ ル ペ ル ト空 間 に 関 わ る諸 々 の 数 学 的 対 象 に 物 理 的 概 念 あ る い は解 釈 を付 与 す る手 続 き で あ る 。 〔内容 〕量 子 力 学 の 一 般 原理/多 粒 子 系/付 ：超 関 数 論 要 項,等

グ リーン関数法に基づ いた固体 内多電子系の意欲 的 ・体 系的解 説の書。 〔 内容〕序/第 一原理か らの 物性理 論の出発点/理 論 手法の基礎/電 子ガス/ フェル ミ流体 理論/不 均一 密度の電子ガス ：多体 効果 とバン ド効 果の競合/参 考文献 と注釈

前広 島大  西 川 恭 治 ・首都大 森

弘之 著

朝 倉 物 理 学 大 系10

統

計

物

13680-7  C3342 

理

A5判 

学

376頁  本 体6800円

前東大  高柳和夫著 朝倉物理 学大系11

原

子

分

子

13681-4  C3342 

物

A5判 

理

学

440頁  本 体7800円

北大  新井朝雄著 朝倉物理学 大系12

量

子

現

象

13682-1  C3342 

の

前筑波大  亀 淵 〓

A5判 

・慶大 表 

数

理

548頁  本 体9000円

実著

朝 倉 物 理 学 大 系13

量

子

力

13683-8  C3342 

学 A5判 

特

論

276頁  本 体5000円

前京大  伊 勢 典 夫 ・京産大 曽我 見 郁 夫著 朝倉 物 理 学 大 系16

高

分

子

物

理

学

前東大  村田好正著 朝倉物理学 大系17

面

物

13687-6  C3392 

理

A5判 

原子分子 を包括 的に叙述 した初の成 書。〔内容 〕 水 素様原子/ヘ リウム様 原子/電 磁場 中の原子/一 般の原子/光 電離 と放 射再結合/二 原子分子の電 子状態/二 原子分子 の振動 ・回転/多 原子分 子/ 電磁 場 と分子の相互作 用/原 子間力,分 子間力 本大系第7,8巻 の続編。 〔 内容 〕 物理 量の共 立性 /正 準交換関係の表現 と物 理/量 子力学 における 対称性/物 理 量の 自己共役性/物 理量の摂動 と固 有値 の安定性/物 理量の スペ ク トル/散 乱理論/ 虚数 時間 と汎関数積分の 方法/超 対称的量子力学 物質 の二重性(波動性 と粒子性)を主題 として,場 の量子論か ら出発 して粒子 の量子論 を導出す る。 〔 内容 〕 場の一 元論/場 の方程 式/場 の相互作用/ 量子化/量 子場 の性質/波 動 関数 と演算子/作 用 変数 ・角変数 ・位相/相 対論的 な場 と粒子性 イ オ ン性 高 分 子 の新 しい 教 科 書 。 〔内 容 〕屈 曲 性 イ オ ン性 高分 子 の 希 薄 溶 液/コ ロ イ ド分 散 系/巨 大

―巨 大 イ オ ン系 の 構 造 形 成― 13686-9 C3342  A5判  400頁 本 体7200円

表

量子力学 と統 計力学の基礎 を学んで,よ リグレー ドアップ した世 界 をめ ざす人がチ ャレンジす るに 好個 な教科書 ・ 解 説書。〔 内容 〕熱平衡 の統計力学 ： 準備編/熱 平衡 の統計力学 ：応用 編/非 平衡の統 計力学/相 転移 の統 計力学/乱 れの統計力学

学

320頁  本 体6200円

イ オ ンの 有 効 相 互 作 用/イ オ ン性 高 分 子 お よ び コ ロ イ ド希 薄 分 散 系 の粘 性/計 算 機 シ ミュ レー シ ョ ン に よ る相 転 移/粒

子 間 力 に つ い て の 諸 問題

量子 力学や エ レク トロニ クス技術の発展 と関連 し て進 歩 して きた表面の原 子 ・電子の構造や各種現 象 の解 明 を物 理 と しての面 白さ を意 識 して解 説 〔 内容 〕 表面 の構 造/表 面の 電子構 造/表 面の振動 現象/表 面 の相 転移/表 面 の動 的現象/他

前九大  高 田健 次郎 ・前新湯大 池 田 清美 著

原 子 核 構 造 の 最 も重 要 な3つ

朝 倉 物 理 学 大 系18

模 型,ク ラス ター 模 型)の 考 察 か ら核 構 造 の 統 一 的 理 解 をめ ざす 。 〔内 容 〕原 子 核 構 造 論 へ の 導 入/殻 模 型/核 力 か ら有 効 相 互 作 用 へ/集 団 運 動/ク ラ ス ター 模 型/付 ：回 転体 の 理 論,他

原

子

核

13688-3  C3342 

構 A5判 

造

論

416頁  本 体7200円

前九大  河 合 光 路 ・元東北大 吉 田 思 郎 著 朝 倉 物 理 学 大 系19

原

子

13689-0  C3342 

核

反 A5判 

応

論

400頁  本 体7400円

の模 型(殻 模 型,集 団

核 反応理論 を基礎 から学 ぶため に,そ の起 源,骨 組 み,論 理構 成,導 出の説明に重点 を置 き,応 用 よ りも確 立 した主要部分 を解説。 〔 内容〕 序論/核 反応 の記述/光 学模型/多 重散乱理論/直 接過程 /複 合核 過程 一共鳴理論 ・統 計理論/非 平衡過程

大系編 集委員会編 朝倉物理 学大系20

湯 川 秀 樹 ・朝 永 振 一 郎 ・江崎 玲 於 奈 ・小 柴 昌俊 と い っ た ノーベ ル 賞 研 究 者 を 輩 出 した 日本 の 物 理 学

現 代 物 理 学 の 歴 史Ⅰ

の 底 力 と努 力,現 代 物 理 学 へ の 貢 献 度 を,各 分 野 の 第 一 人 者が 丁 寧 か つ 臨 場 感 を もっ て 傭 轍 した大

―素 粒 子 ・原 子 核 ・宇 宙― 13690-6 C3342  A5判  464頁  本体8800円

大系編集委貝会編 朝倉物理学大系21

現 代 物 理 学 の 歴 史 Ⅱ ―物 性 ・生 物 ・数 理 物 理― 13691-3 C3342  A5判  552頁 本 体9500円

著 。 本 巻 は素 粒 子 ・原 子 核 ・宇 宙 関 連33編 を収 載 湯 川 秀 樹 ・朝 永 振 一 郎 ・江 崎 玲 於 奈 ・小 柴 昌俊 と い った ノー ベ ル 賞 研 究 者 を輩 出 した 日本 の 物 理 学 の 底 力 と努 力,現 代 物 理 学 へ の 貢 献度 を,各 分 野 の 第 一 人 者 が 丁 寧 か つ 臨 場 感 を もっ て 府轍 した 大 著 。 本 巻 は 物 性 ・生 物 ・数 理 物 理 関 連40編 を収 載

物 理 学30講

シ リー ズ 〈 全10巻 〉

著者 自 らの言葉 と表 現 で語 りか け る大好 評 シ リー ズ 戸田盛和 著 物理学30講 シ リー ズ1

一

般

力

13631-9  C3342 

学30講 A5判 

208頁  本 体3800円

戸田盛和著 物理学30講 シリー ズ2

流

体

力

13632-6  C3342 

学30講 A5判 

216頁  本 体3800円

戸田盛和著 物理学30講 シ リー ズ4

熱

現

象30講

13634-0  C3342 

A5判 

240頁  本 体3700円

戸 田盛和著 物理学30講 シ リーズ5

分

子

運

13635-7  C3342 

動30講 A5判 

224頁  本 体3600円

戸 田盛和著 物理学30講 シ リーズ6

電

磁

気

13636-4  C3342 

学30講 A5判 

216頁  本 体3800円

戸田盛和著 物理学30講 シ リー ズ7

相

対

性

13637-l  C3342 

理

論30講

A5判 

244頁  本 体3800円

戸田盛和 著 物理 学30講 シ リー ズ8

量

子

力

13638-8  C3342 

学30講 A5判 

208頁  本 体3800円

戸田盛和著 物理学30講 シ リー ズ9

物

性

物

13639-5  C3342 

理30講 A5判 

240頁  本 体3800円

戸 田盛 和 著 物 理 学30講 シ リー ズ10

宇

宙

13640-1  C3342 

と 素

粒 A5判 

子30講 212頁  本 体3800円

力学の最 も基本的 な ところか ら問 いかけ る。 〔内 容〕 力 の釣 り合 い/力 学 的エ ネル ギー/単 振動/ ぶ らんこの力学/単 振 り子/衝 突/惑 星の運 動/ ラグランジュの運動方程式/最 小作 用の原理/正 準変換/断 熱定理/ハ ミル トンー ヤ コビの方程 式 多 くの親 しみやすい話題 と有名 なパラ ドックスに 富 む流体 力学 を縮 まない完全流体 か ら粘 性流体 に 至 るまで解 説。〔内容 〕 球形渦/渦 糸/渦 列/粘 性 流体の運動 方程 式/ポ ア ズイユの流 れ/ス トー ク スの抵抗/ず りの流れ/境 界層/他 熱 の 伝 導,放 射,凝 縮 等 熱 を と りま く熱 現 象 を 熱 力 学 か ら て い ね い に 展 開 して い く。 〔内 容 〕熱 力 学 の 第1,2法 則/エ ン トロ ピー/熱 平 衡 の条 件/ ミク ロ状 態 とエ ン トロ ピー/希 薄 溶 液/ゆ ら ぎ の 一 般 式/分 子 の分 布 関 数/液 体 の 臨 界 点/他

〔 内容〕気体の分 子運動/初 等的理論への反省/気 体 の粘性/拡 散 と熱伝 導/熱 電効果/光 の散乱/ 流体力学の方程 式/重 い原子の運動/ブ ラウン運 動/拡 散方程式/拡 散率 と易動度/ガ ウス過程/ 揺 動散逸定理/ウ ィナー ・ヒンチ ンの定理/他 〔内容〕電荷 と静電場/電 場 と電荷/電 荷に働 く力 /磁 場 とロー レンツ力/磁 場 の中の運動/電 気力 線 の応力/電 磁場の エネルギー/物 質中の電磁場 /分 極の具 体例/光 と電磁 波/反 射 と透過/電 磁 波の散乱/種 々の ゲー ジ/ラ グラ ンジュ形式/他 〔 内容〕 光 の速 さ/時 間/ロ ー レンツ変換/運 動量 の保 存 と質量/特 殊相対論 的力学/保 存法則/電 磁場 の変 換/テ ンソル/一 般相対性理 論の出発点 /ア インシュ タインの テンソル/シ ュワルツ シル トの時空/光 線の湾曲/相 対性理論 の検 証/他 〔 内容〕 量 子/粒 子 と波動/シ ュレー ディ ンガー方 程式/古 典 的な極限/不 確定性原理/ト ンネル効 果/非 線 形振 動/水 素原子/角 運動 量/電 磁場 と 局所 ゲー ジ変 換/散 乱問題/ヴ リアル定理/量 子 条件 とボアソン括弧/経 路積分/調 和振動 子他 〔 内容 〕 水素分 子/元 素の周期律/分 子性物質/ウ ィグナー分布 関数/理 想気体/自 由電子気体/自 由電子の磁性 とホール効 果/フ ォ トン/ス ピン波 /フ ェル ミ振 子 とボース振子/低 温の電気抵抗/ 近藤効果/超 伝 導/超 伝 導 トンネル効果/他 〔内容〕宇宙 と時 間/曲 面 と超曲面/閉 じた空間 ・ 開いた空間/重 力場 の方程 式/膨 張宇宙 モデル/ 球 対称な星/相 対性理論 と量子力学/自 由粒子/ 水 素類似原子/電 磁場 の量子化/く り込み理論/ ラム ・シフ ト/超 多時 間理論/中 間子の質量/他 上 記 価 格(税 別)は2007年1月

現在