は
し
が
き
20世 紀 前 半 の数 学 に お け る固 有値 問 題 の展 開は,数 学 の中 に まっ た く新 しい一 つ の世 界 像 を 提 示 す る こ とに な った.そ の世 界 像 とは,代 数 ...
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は
し
が
き
20世 紀 前 半 の数 学 に お け る固 有値 問 題 の展 開は,数 学 の中 に まっ た く新 しい一 つ の世 界 像 を 提 示 す る こ とに な った.そ の世 界 像 とは,代 数 的な 世 界 と解析 的 な 世 界 とは,そ の対 象 を 無 限 次 元 空 間に まで 高め て設 定す るな らば,作 用 素 論 の 中 で相 互 に 密接 に関 連 し合 い,そ
こに統 一 され,融 合 され た 数 学 の沃 野 が 広 が って
い る とい う認識 で あ った.代 数 的 な世 界 とは,端 的 に い え ば,等 式 に よ っ て関係 の記 述 され る よ うな数 学 的 な思 考 の世 界 で あ り,対 比 して い えば,解 析 的 な世 界 とは,不 等 式 に よ り相 互 の 関 係 を 記述 す る こ とに よ り極 限 の様 相 へ 迫 ろ うとす る 世 界 であ る.こ の二 つ は,19世 か し20世 紀 に な っ て,数
紀 数学 までは ま った く異 な った 流 れ で あ った.し
学 が 無 限 次元 とい う表 象 を 克 ち とる と,二 つ の流 れ は
この表 象 の 中 で 幾 何 学 的 な広 が りを みせ て合 流 し,関 数解 析 学 とい う一 分 野を 形 成 す る に至 った,こ
の 合 流 の契 機 を 与 え た も の が 固有 値 問 題 で あ った.も
っと
も,固 有 値 問 題 を 現 在 の 高 み に まで 上 げ た 背景 に は,量 子 力 学 の 数 学 的定 式化 の 中 に,ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の作 用 素 の 固 有値 問題 ―
ス ペ ク トル 分 解 ―
が 本質 的
な 役 割を 演 じた こ と も見逃 せ ない 事 実 で あ る. 固 有値 問 題 の 成 立 と理 論 の経 緯 は 本 講 の 中 で 述 べ る か ら,こ れ 以 上 触 れ な い が,固 有 値 問 題 に 関 連 して,現 在 の 大学 に おけ る数学 の カ リキ ュ ラムに つ い て, 少 し私 の考 えを 述 べ て お きた い. 現 在,大 体 どこの 理 工 系 の大 学 で も,線 形 代 数 の 講義 が1年 次 に 行 なわ れ て い るが,秋
も深 ま り,学 生 諸 君が講 義 に 少 し疲れ た 頃 に な って,や っ と固 有 値 問題
が 登 場 して くる とい うこ とに な っ てい る.内 容 も よ くわ か らぬ し,ど うして これ が そ ん な に重 要 な の か も よ く理 解 で きな い うちに,講 義 は突 然 終 って し ま う.し か し固 有値 問題 を ここで 断 ち 切 って し ま うには,そ の 弦 の もつ 調 べ は あ ま りに も 高 い ので あ る. 数学 科 の 学生 に は,も
う一 度 固 有値 問題 に 出 会 う機 会 が あ る.そ れ は関 数 解 析
学 の講 義 に お い て で あ る.し か し こ こでは ふ つ うは抽 象 化 され た ヒル ベ ル ト空 間
の定 義 か ら ス タ ー トす る か ら,こ
の講 義 で 展 開 され る作 用 素 の スペ ク トル理 論
が,少 し前 に学 んだ 線 形 代 数 の 固有 値 問題 と どの よ うに 結 びつ き,ま た どの よ う な必 然 性 で この よ うな拡 張 を 必要 と したか を 知 る ことは,至 難 な こ とに な っ て く る.二 つ の理 論 は ど こか で つ な が っ てい る よ うで あ るが,結 ぶ糸 は なか な か見 え て こな い の であ る. 数学 科 に お け る カ リキ ュラ ムの構 成 は,一 般 に は演 繹 体 系 と して の数 学 の構 造 とい う考 えに 支 え られ てお り,学 年 の進 行を 階 段 の よ うに み な して,こ の 体 系 を 一 段 ,― 段 と上 って い くよ うに 組 ま れ て い る.し たが っ て,固 有値 問 題 の よ う に,一 貫 した 問題 意 識 と思 想 の 中 で発 展 して きた 数学 の流 れ を,一 つ の カ リキ ュ ラム の中 に 組 み こん で教 え る とい うよ うな試 み は,あ ま り行 なわ れ てい な い よ う に み え る.数 学 の思 想 は,明 らか に数 学 の歴 史 の 中 で育 て られ て きた のだ か ら, これ を カ リキ ュ ラ ム構 成 の 必 要 上,演 繹体 系 と して 整理 し,分 断 して しま うこ と は,数 学 の生 命 の躍 動 感 を 断 つ こ とを 意 味す るか も しれ な い.現 在 の 数学 科 の カ リキ ュ ラムの体 系 は,多
くの 啓 蒙 的 な数学 書 の あ り方 に も強 い 影 響 を与 え てい る
こ とを 考 える と,こ の問 題 を 少 し立 ち止 まっ て考 え て も よい時 機 に きた の では な か ろ うか. そ の よ うな 考 えに 立 って,こ の30講 では,固 有値 問題 を2次 の 行 列 の場 合 か ら は じめ て,ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の 作用 素 の ス ペ ク トル 分解 に至 る まで の道 を 一 気 に 描 い て みた.こ れ は 必 ず し も体 系 的 な講 義 とは い えな いか も しれ な い が,読 者 が この30講 を 通 して,数 学 の しだ い に総 合 化 され て い く構 成 的 な 歩 み とで も い う べ き ものを,歴 史 の 流 れ を 背 景 と して,少 しで も感 じ と って もらえ れ ば よいが と 思 って い る. 1991年4月 著
者
第1講
平 面 上 の 線形 写 像
第2講
隠 され てい るベ ク トル を 求 め て
9
第3講
複 素 ベ ク トル空 間C2
18
第4講
線形 写 像 と行 列
第5講
固有 値 と固 有 方程 式
第6講
固 有空 間
1
27 35 42
第7講
対 角化 可能 な線 形 写像
50
第8講
内
59
第9講
正規 直交 基 底
積
第10講 射影 作 用 素,随 伴作 用素 第11講
正 規作 用 素
第12講
エ ル ミー ト作 用 素
67 75 84 92
第13講 ユ ニ タ リー作 用 素 と直交 作 用素
100
第14講 積 分 方 程 式
107
第15講 フ レー ドホル ムの理 論
117
第16講
124
第17講
ヒル ベ ル トの 登 場 ヒルベ ル ト空 間
第18講 l2-空
間
第19講 閉 部 分 空 間 第20講
有 界 作 用素
132 140 148 157
第21講
ヒル ベ ル ト空 間 上 の 固有 値 問題 の第 一 歩
第22講 完全 連続 な作 用 素 第23講 完 全 連続 作 用 素 の 固 有空 間 に よる分 解
165 173 180
第24講
一般 の 自己共 役 作用 素 へ 向 け て
189
第25講
作 用 素 の位 相 と射影 作 用 素 の順 序
199
第26講
単 位 の分 解
第27講 第28講
自己 共役 作 用 素 の ス ペ ク トル分 解 スペ ク トル
第29講 非 有 界作 用素 第30講
索
フ ォン ・ノイ マ ン―1929年
引
207 216 225 232 241
249
第1講 平面上の線形写像 テー マ
● 平 面 上 の ベ ク トル ● 基 底 ベ ク トル ● 線 形 写 像 と行 列 ● 対 応 の状 況 が よ くわ か る とき―
対 角 線以 外は0の 行 列
● 任意 に与 え られ た行 列 に よ る対 応 の 状 況は 必 ず しも よ くわ か らな い. ● 隠 され てい るべ ク トル ● 斜交 座標
平面上 の線形写 像 講 義 を は じめ る にあ た って,出 発点 を どの 辺 りに お くか は いつ で も難 しい 問 題 とな る.こ こで はず っ と さかの ぼ って,誰 で も よ く見 なれ てい る座 標 平 面か ら出 発 す る こ とに し よ う. 座 標 平 面 は 平 面 上 に1つ 直交 座 標 系 を導 入 し てお くこ とに よ って決 ま る.座 標 原 点 は い つ で もOで 表わ す こ とに す る.平 面 上 の点Pは,座
標 に よ って(x1,x2)
と表 わ され る.こ れ か らの話 で は,こ の 座 標表 示 を 縦 に か い て
と表 わ す こ
と も多い.も ち ろ ん座 標 を 横 にか い て 表わ そ うが 縦 に か い て表 わ そ うが,実 質 が 変 わ ったわ け では な い. 座 標 平 面 の点 が,こ の よ うに実 数 の2つ の 対 で表 わ され る ことに 注 目 し て,こ か ら実 数 の2つ の対 の 全 体 をR2で し,R2を
れ 表わ
表 示 す る ものが 座 標 平面 で あ る
と考 え る こ とに し よ う.Rは
実 数―real
図1
number―
を 示 唆 し て い る.
私 た ち は,さ
し あ た りは,R2の
と い う こ とに し よ う.ベ
の よ うに 表 わ し,ベ
元xを
ク トル とい う と,読
者 は,Oを
始 点 と し
ク トル
を終 点 と
す る矢 印 を思 い 浮 か べ られ るか もしれ な い.私 た ち もこの 表 示 を とき ど き 使 う が,以 下 で この表 示 が それ ほ ど本 質 的 な役 割 を果 た す わけ では な い. R2の
に 対 し て,和
ベ ク ト ル
とス カ ラー積 を 次 の よ う に 定
義 す る こ と に し よ う: 和:
ス カ ラ ー 積:
図2 零 ベ ク トル
をR2の
を0で 表 わ す.ま た座 標 軸 上 の基 準 点 を示 す
基 底 ベ ク トル と い う.基 底 ベ ク トル を 用 い る と,任 意 の ベ ク トル
は
(1) と表 わ さ れ る,
線 形 写 像 と行 列 R2か らR2へ
の写 像Tが
を み た す と き,線 e1,e2がTに
と お く.こ (1)を
形 写 像 とい う.線
形 写 像Tが
与 え ら れ た と き,基
底 ベ ク トル
よ っ て ど こに移 され るか に注 目 して
の と き 任 意 の ベ ク トルxがTに
よ っ て 移 さ れ る 先 は,Tの
線形 性 と
用 いて
(2) とな る こ とが わ か る.
そ の 意味 で線 形 写 像Tは,2つ 完 全 に 決 ま る とい っ て よ い.そ
と お き,Aを,Tを y2=cx1+dx2と
のベ ク トル
を 与 え る こ とに よ っ て
こで
表 わ す 行 列 と い う.こ
の と き(2)の
関 係 を,y1=ax1+bx2,
お い た とき
あ るい は と表 わ す.し
た が って
y=Tx(線
形 写 像 と し て の 表 示)⇔y=Ax(行
列 表 示)
で あ る.
同 じ こ とを2通
りに か くの はわ ず らわ しい と思 わ れ る読 者 も多 い だ ろ う.し か し,
た とえ ば2次 関数y=2x2−3x+1を
考 え る とき,こ の 関数 をy=f(x)と
る.こ の よ うな 一 般 的 な表 記 法 に 対応 す る もの がy=Txで 的 に どの よ うな 形 で 与 え られ て い るか(2次 に 対応 す る)を 示 す もの が行 列 表 示y=Axで
関 数 では,係
あ る.線
か くこ ともあ 形 写像Tが 具 体
数 を具 体 的 に 表示 す る こ と
あ る と考 えて おか れ る と よい.
対応 の状況 線 形 写 像Tが,具 でR2か
― す ぐわ か る と き とわ か ら な い と き
体 的 に行 列 の形 で与 え られ て い て も この行 列 を一 目見 た だけ
らR2へ の対 応 の 模様 が す ぐわ か る と き もあ る し,そ うで ない と き もあ る.
す ぐわ か る と き 行列が
の よ うに,対
角 線 以 外 が0と
の と き は,e1が2e1に,e2が3e2に に は,Aはx軸
方 向 をOを
な っ て い る と き は,対
応 の 様 子 は す ぐに わ か る.こ
な っ て お り,座 標 平 面 を ゴ ム 膜 と 思 っ た と き 中 心 に し て2倍
引 き 延 ば す 線 形 写 像 とな っ て い る.し
に,y軸
方 向 をOを
中 心 に し て3倍
は
た が っ て,
に
に 移 さ れ る.
一般に行列
(3) で与 え られ る 線 形 写 像 は,a,b>0な
らば,Oを
中心 として,x軸 a倍 に,y軸
方 向を
方 向 をb倍
に 引 き延 ば す 線形 写像 で あ る.ま た た とえ ばa< 0,b>0な
らば,x軸
方
向 はOを 中 心 に 正 負 を反 転 させ てか ら│a│倍 だけ 引 き延ば し,y軸
方向は
そ の ま まb倍 だ け 引 き延
図3
ば す 線 形 写 像 とな る(図3).
こ こで'引 き延 ば す'と い った が,0<│a│<1,0<│b│<1の
ときは,'収 縮 す る'と
い った 方 が 言葉 づ か い と しては 正 しい だ ろ う.数 学 的 に は どの場 合 で も'a倍
され,
b倍
さ れ る'で
す む の だ が,日
常 的 な 言 葉 で 述 べ る と き に は,こ
うい う と こ ろ が 少 し
わ ず ら わ し く な る.
つ い で だ が(3)でa,bの 方 が0の
よ う な と き,た
の よ うな と きに は,x軸 'a倍'引
少 な く と も一 とえ ば
方 向 はOを
き延 ば され る が(aの
た が っ て 状 況 は 違 う),y軸
中心 に
正負に し
方 向 は0へ
と
つ ぶ さ れ る(図4). 図4
す ぐわか らな い と き 行 列が
(4) で 与 え ら れ て い る と き に は,こ れ て い る か,こ
の 線 形 写 像 に よ っ て,R2が
の 行 列 を 眺 め て い る だ け で は,何
形 写 像 に 関 す る す べ て の 情 報 は,こ
ど の よ うにR2に
の イ メ ー ジ も 湧 い て こ な い.線
の 行 列 表 示 の 中 に 盛 られ て い る とい っ て も,
具 体 的 に 平 面 上 の 図 形 が ど の よ うに 移 され て い るか わ か ら な い の で,行 し て い る う ち に,何
移さ
列を凝視
か 数 字 の ア ラ ベ ス ク を 見 て い る よ うな 錯 覚 に 陥 る.
同 じ よ う な 例 に み え る が,あ
と の 説 明 の た め,も
う1つ
こ の よ うな 行 列 の 例 を
与 え て お こ う.
(5)
隠 さ れ て い る ベ ク トル 上 の(4)と(5)で
与 え た行 列BとCは,こ
の行 列 の 形か ら線形 写 像 の 対 応
の 模 様 がす ぐに 読 み とれ な い とい って も,実 は 少 し状 況 が 違 うので あ る. まず 行 列Bの 方 か ら説 明 してみ よ う.行 列Bで 与 え られ る線 形 写像TBに ては,特 徴的 な性 質 を もつ2つ の ベ ク トルが あ る.そ のベ ク トル とは
対し
で あ る.こ
の2つ
の ベ ク トル は,TBに
よ っ て そ れ ぞ れ2倍,3倍
され るベ ク ト
ル と な っ て い る:
TBf1=2f1,TBf2=3f2
こ の こ とは 行列 で
が 成 り立 つ こ と を 確 か め さ え す れ ば よ い. こ の よ うな ベ ク トルf1,f2は,行 ク トル'と
な っ て い る.こ
求 め て い くか は,次 りさ えす れ ば,線 えら れ る の で あ る
列 表 示(4)の
中 に は ひ と まず'隠
の 隠 さ れ た ベ ク トル を 行 列Bの
講 で 詳 し く述 べ る.し 形 写 像TBの
か し,こ
対 応 の 模 様 が,直
中 か ら どの よ う に 探 し
の よ うなf1,f2が
一度 見 つ か
観 的 な描 像 とし ては っき りと捉
.
そ れ に は い ま ま で 用 い て き た 基 底 ベ ク トルe1,e2に 標 軸 の 基 底 ベ ク トル を 与 え て い る と考 え て,平 る.斜
され た ベ
図5
新 しい 座
面 に 斜 交座 標系 を 導 入す る ので あ
交 座 標 系 の 説 明 を 文 章 で す る よ りは,図5を
だ ろ う.
代 っ て,f1,f2が
見 て も ら っ た 方 が よ くわ か る
直 交 座 標 系 を 基 底 ベ ク トルe1,e2を2辺
とす る 正方 形 の タ イル を基 準 と して,平 面
を貼 りつ くして い った もの と考 え る と,こ の斜 交 座 標 系 はf1,f2を2辺 辺 形 の タ イル を基 準 に して 平面 を 貼 って い った もの で あ る.平 だ1通
りに
系 を 用 い た 行 列Aの
TBで
列Bの
表 わ す 線 形 写 像TBの
状 況 は,直
状 況 と ま っ た く同 様 な こ と に な っ て い る.す
こ の 斜 交 座 標 平 面 を,Oを
中 心 し てf1軸
の 方 向 は2倍
に 引 き 延 ば し て い る の で あ る.座
す れ ば,Oを
ずた
と表 わ され る.こ の ときPの 座標 を(α,β)と す る ので あ る.
こ の 斜 交 座 標 系 を 用 い れ ば,行
向 は3倍
とす る平行 四
面 上 の点Pは,必
止 め て,f1方
向 とf2方
交座標
な わ ちTBは,
に 引 き延 ば し,f2軸
の方
標 平 面 を ゴ ム 膜 か ら で き て い る と想 像
向 に,そ
れ ぞ れ2倍,3倍
と引 っぱ る写 像が
あ る!
こ の よ うに し て,TBの つ くが,行
列Cで
対 応 の 模 様 は,図5の
与 え ら れ る 線 形 写 像Tcの
し て も う ま く捉 え ら れ な い の で あ る.そ
よ うに と って も,Tcxの
方 向は,x方
斜 交 座 標 系 を 見 てい る と察 しが 方 は,斜
れ は,零
交 座 標 系 と い う考 えを 導 入
で な い ベ ク トル
向か らそ れ て 回転 して し まっ て,x方
は け っ して 乗 らな いか ら であ る.f1やf2の
を どの 向に
よ うに,線 形 写 像 に よ って そ の方 向 に
何 倍 か'引 き延 ば され る'よ うなベ ク トル はTcに
対 しては 存 在 しな い.こ の 節
の タイ トル の い い方 に した が えば,行 列Cに 対 して は,斜 交 座 標 系 の基 底 ベ ク ト ル と して 採 用 で きる よ うな'隠 され てい る ベ ク トル'は 存 在 しな い の であ る. しか し ど う見 て も,行 列Bと 行 列Cに そ ん な に 大 きな違 い が あ る よ う で は な い.で は,行 列Bと 行 列Cの 表 わ す 線形 写 像 を 統一 的 にみ る よ うな視 点 は 本 当に な い の だ ろ うか.実
はそ の よ うな視 点 は数 学 の 形 式 の 中 で見 出 す こ とが で きる.
そ し てそ れ が 固 有値 問題 の幕 開 け とな って くるの で あ る. Tea
Time
質 問 行列 が与 え られ れ ば,ど の ベ ク トル が ど こへ 移 され るか はわ か ります.た とえば 問 題 と な っ てい る行 列Cの 場合 で も,
と い うベ ク トル がTcで
どこ
へ 移 され るか は,行 列を 計 算 して
と わ か り ま す.お が,'も
話 し で は も っ と よ く対 応 の 状 況 を 知 りた い と い う こ と で し た
っ と よ く'と
い う こ とは ど うい う こ と か,も
う少 し 説 明 し て い た だ け ま
せ ん か. 答 た と え ば2次
関数
y=x2−2x−1
を 考 え て み よ う,こ
の と きx=5に
と は す ぐに わ か る.し (*)の 数'xが
か し い ろ い ろ なxの
右 辺 を 計 算 し てyの 動 く と き,対
見 て,は
対 応 して い る こ
値 に 対 し て,
値 が わ か っ た と し て も,'変
応 し て'変
くか ま で は わ か ら な い だ ろ う.私 (図6)を
(*)
対 し,y=25−2×5−1=14が
数'yが
どの よ う に 動
た ち は(*)の
グ ラフ
じ め て 対 応 の 様 子 が わ か っ た と思 う.
も し グ ラ フ表 示 が な か っ た な ら ば,(*)は 報 を 私 た ち に 提 供 し て くれ た ろ うか.実
どれ だ け の 情 際 関 数 概 念 は,
グ ラ フ表 示 を 通 し な が ら 育 っ て き た の で あ る. 2次 の 行 列 が 問 題 と し て い る の は,R2か 応 の 様 子 で あ り,'2変 か とい う こ と で あ る.し
らR2へ
数'(x1,x2)が'2変 か し今 度 は,グ
図6
し ま っ た.グ
ラ フ 表 示 が で き な く と も,大 列Bに
な 説 明 は,こ
れ に 答 える もの な の で あ る.2次
域 的 な 対 応 の 模 様 を 描 写 す る こ とは で
対 し て 与 え た よ うな,ゴ
ム膜 を2方
向 に 引 っぱ る とい うよ う
関 数 の グ ラ フを か く よ う な こ と
っ た く別 の 方 向 へ 議 論 を 進 め て い る よ うで あ る が,大
知 りた い と い う問 題 意 識 に 立 っ て み れ ば,同 る の で あ る.し
か し 行 列Cに
つ い て は,い
何 も わ か っ て い な い と い っ て よ い.
どの よ うに移 され る
ラ フ で 表 示 す る よ うな 手 段 は な く な っ て
き な い か.行
と,ま
の対
数'(y1,y2)に
域 的 な対 応 の模 様 を
じ よ うな方 向へ 進 ん で い る ともい え ま の 段 階 で は こ の よ うな 意 味 で は ま だ
第2講 隠 され て い る ベ ク トル を 求 め て テーマ
● 隠 され て い る ベ ク トル と連 立方 程 式 ●2元1次
の連 立 方 程 式 に 対 す る注 意
● 前講 で述 ベ た行 列Bに 対 して,斜 交 座標 系 を 求 め る方 法 ● 一 般 的 な2次 行 列 の場 合 に,斜 交 座標 系を 求 め る方 法 と試 み ●1つ
の例
● な お も隠 され てい るベ ク トル―'倍
率'が 複 素数 とな る とき
隠 され て い るベ ク トル と連 立 方 程 式 前講で
に 対 し,'隠
され て い る ベ ク トル'
を 用 い る こ と に よ り,対
応
の 模 様 を 斜 交 座 標 系 を 通 し て 記 述 す る こ と が で き た. このf1,f2はBか 線 形 写 像 をTBと
ら ど の よ う に し て 見 出 さ れ た の だ ろ うか,Bに す る と,f1,f2はTBに
よ っ て決 まる
よ っ て 何 倍 か され る ベ ク トル で あ る.し
た が っ てf1,f2は, TBx=λx を み た す ベ ク トルxを は'倍 単 にBが
率'で
求 め る と,そ
あ り,x=f1の
て お こ う.
の 中 に 必 ず 見 出 さ れ る は ず で あ る.こ
と き は2,x=f2の
与 え ら れ た 段 階 で は,'倍
(1)
と き は3と
な っ て い る.し
こで λ か し,
率'λ 自 身 が 未 知 数 とな っ て い る こ とを 注 意 し
(1)は,適
当 な λに 対 し て
(2) を み た す
を 求 め る と い っ て も 同 じ こ と で あ る.(2)はx1=x2=0の
ときに
は 必ず 成 り立 つ が,私 た ちは,斜 交 座標 の基 底 ベ ク トル とな るxを 求 め たい の だ か ら次 の 条 件 を おい てお く必要 が あ る: 条 件:
(2)は
連立 方 程 式 の 形 でか くと次の よ うにな る:
あ る いは 移 項 して 整理 す る と
(3) で,条
とな る.こ の 連立 方 程 式 の解
件x≠0を
み た す も のを 求め る こ と
が,当 面 の 問題 とな った の であ る. 連 立 方 程 式 に 対 す る1つ こ こで2元1次
の 注 意(挿
記)
の連 立 方程 式 に つい て,次 の 命題 が 成 り立 つ こ とを注 意 して お
こ う.
連立方程式 Ax+By=O
{
Cx+Dy=0
が,x=y=0以
外 に 解 を もつ た め の 必 要 十 分 な 条 件 は,
係 数 の つ く る 行 列 式 が0,す
なわ ち
が 成 り立 つ こ と で あ る.
も っ と一 般 的 な 命 題 を第5講 で証 明す るか ら,こ こではBとDが0で
ない と き
に,簡
単 な 説 明 を 与 え て お こ う.
Ax+By=0は
原 点 を 通 る 傾 き −A/ Bの
通 る 傾 き−C/Dの ら な い.こ
直 線 の 式 で あ る.も
直 線 の 式 で あ り,Cx+Dy=0は し 傾 きが 違 え ば,2直
の と き 連 立 方 程 式 の 解 はx=y=0だ
外 に 解 が あ る の は,2直
原点を
線 は原 点で し か 交 わ
け と な る.し た が っ てx=y=0以
線 の 傾 き が 一 致 し て 重 な る と き に 限 る.こ
の と き直 線上
が す べ て連 立 方 程式 の解 を 与 え るこ とに な る.
に 並 ぶ 点,
傾 きが一 致す る条 件 は
で あ る が,こ
れ を か き 直 す と,条
件AD−BC=0が
f1とf2を
こ の 結 果 を(3)に
得 ら れ る.
見 つ け る道
適 用 し て み る と,(3)がx1=x2=0以
外 の 解 を もつ 必要 十
分 条件 は
で 与 え ら れ る こ と に な る.こ ら,解
の 方 程 式 は(λ−2)(λ−3)=0と
因数分解 さ れ る か
は
λ=2ま
と な る.す λ=2の
と な り,解
上 の点 λ=3の
な わ ち'倍
得 ら れ る.
λ=3
率'λ の 方 が 先 に 求 め ら れ て し ま っ た の で あ る.
と き,(3)は
はx1=x2で
与 え ら れ る.す
が す べ て 解 に な る.特 と き,(3)の
左 辺 の2つ
と な る.し
たは
な わ ち 原 点 を 通 っ て 傾 き が1で
にx1=1と
お く と
あ る直線
が 得 ら れ る.
の 式 は一 致 し て 2x1−x2=0
た が っ て 解 は2x1=x2で
与 え ら れ る.特
にx1=1と
お く と
が
こ の よ う に し て,f1,f2が
ど の よ うに し て 行 列Bか
こ の 説 明 か ら も わ か る よ うに,f1と を と っ て も,第1講
も,
し て
ら 求 め ら れ る か が わ か っ た.
を と る 必 要 は な く,
で 同 じ よ うな 議 論 は で きた の で あ る.f2に
を と って ついて
も似 た よ うな こ とは い え る. 一 般 的 な 方 向へ 向 け て の 示 唆
行 列Bか ら,f1,f2を'抽
出'し て きた この議 論 か ら,一 般 に次 の よ うな こ と
が わ か る. い ま任 意 に 行 列
が 与 え ら れ て い た と す る.こ に は,ま
ず'倍
率'λ を,(3)に
の と きAx=λxと
な る 零 で な い ベ ク トルxを
求める
対 応す る連 立 方程 式
(3)′
が,(x1,x2)≠(0,0)と
な る解 を もつ条 件
(4) か ら 求 め る. こ の λに つ い て の2次
方 程 式 が,も
し 実 解 αを も つ な ら ば,こ
λに代 入 し て連 立 方程 式 を と く.こ の解
は,Aに
の αを(3)′
の
よ っ て α倍 さ れ る ベ ク
トル とな って い る. この よ うな ベ ク トル が,も れ るな らば,Aの
し斜 交 座 標 軸 の基 底 ベ ク トル とな る よ うに2つ 選 ば
線 形 写 像 と して の対 応 の模 様 は この 斜交 座 標 軸 を'引 き延 ば す'
とい うよ うな い い方 で捉 え る こ とが で き る. 1つ
の 例
この方 針 に した が って線 形 写 像 の対 応 の 状 況が わ か る例 を1つ あ げ て お こ う. 行列
で与 え られ る線 形写 像 を 考 え よ う.こ の と き
した が って'倍 率'は または で あ る. λ=2の
とき連 立 方 程式
を と い て,
が 得 ら れ る.こ
こ でx1=1と
し て,斜
交 座 標 系 の1つ
の基 底
ベ ク トル と し て
を と る こ と に す る.
の と きに は,連 立 方程 式
を と い て, の 基 底 ベ ク トル と し て
が 得 ら れ る.こ
こ でx1=2と
し て,斜
交 座 標 系 の も う1つ
を とる.行 列Aの 決 め る線 形 写像 をTAと
する と
で あ る. TAに
よ る 対 応 が ど の よ うに な る か は,図7で
て 向 きが 逆 に な る の で,対
示 し て お い た.f2がTAに
よっ
応 の 模 様 が 少 し 見 に く くな っ て い る.
図7
な お も 隠 さ れ て い る ベ ク トル それ では 前 講 で述 べ た行 列Cに 対 して は,な ぜ この よ うな プ ロセ ス で,'隠
さ
れ て い る'ベ ク トルを 見 出 す こ とが で きなか った の だ ろ うか. 行 列Cを 再記 す る と
で あ る.上
の 方 針 に し た が え ば,ま
ず
とい う方程 式 を 考 え る こ とに な る.と ころが この 方 程式 の解 は 虚解 で あ り
とな る.し たが って,行 列Bに 対 して行 な って き た説 明 は も うこ こで行 きづ ま っ て し ま う. い ま まで の 話か ら明 らか とな った事 実 を この 場 合 に適 用 す る と次 の こ とが わ か る.行 列Cの 決め る線 形 写 像をTcと
す る.こ の とき平 面R2上
で,零 で ない ベ
ク トルxで,xがTcに
よ っ て 何 倍 か―
た と え ば α倍(α ∈R!)―
さ れ る よ うな もの は け っ し て 存 在 し な い.す x≠0に
な わ ち,ど
に 引 き延 ば
ん な 実 数 α を と っ て も,
対 して
が 成 り立 っ て し ま う.
この よ うな線 形 写 像 の 中 で最 も典 型 的 な も のは,原 点を 中心 とす る 角 θ(0< θ<π; 角 の単 位 は ラジ ア ン)の 回転R(θ)で あ る:
実 際,こ
のときも
の 解 は虚 解
と な っ て い る.
しか し こ こで立 ち 止 まら ない で,私 た ちは 強 引 に,Bで な議 論 ―
行 った 議 論―
を も う一 歩 推 し進 め てみ る こ とに し よ う.
そ うす る と連 立 方 程 式
を,
の 場 合 に と い て み る こ とに な る.
と,
実 際 とい てみ る と
こ こ でx1=1と
こ の 式 は,形
の と き,解
は
の と き,解
は
お き,ま
で あ る.
で あ る.
っ た く形 式 的 な 演 算 を 行 な う と
式 的 に は,'複
素 ベ ク トル'
代数的
を 導 入 して お くと
と表わ され る こ とを 意 味 してい る. この こ とは,行
列Cの 場 合,'隠 され て い る'ベ
ク トル は,単
に 行 列Cの 中 に
隠 され て い た だ け で は な く,実 数 とい う世 界 では 捉 え られ ず,複 素 数 とい う世 界 の 中に 隠 され て い た と見 るべ き では な か ろ うか .
Tea
Time
質 問 講 義 の 中 で お話 の あ った角 θだ け の 回転
の と き,
に 対 応 す る'複
素 ベ ク トル'は
あ る の で す か.あ
る と
す れ ば そ れ は 何 で す か. 答 実 際 λ に 対 応 す る連 立 方 程 式 を つ く っ て と い て み る と,0<
θ< π の と き に
とお くと
と な っ て い る こ とが わ か る.平 せ て い る の に,複
面 上 で は す べ て の ベ ク トル(≠0)を
素 数 の 世 界 に 踏 み こ む と,f1,f2の
す る と は ど うい う こ とか と,妙
よ うな'ベ
な 気 持 ち に な る か も し れ な い.こ
θだ け 回 転 さ ク トル'が
存在
れ に つ い ては 次
講 で も う少 し述 べ る こ と に し よ う.
質 問 '一般 的 な 方 向 へ の 示 唆'の 節 で,斜
交 座 標 軸 の 基 底 ベ ク トル とな る よ う に
2つ 選 ば れ た とす る,と か い てあ りま した.λ に 関す る2次 方程 式 が 実 解 で とけ て も,斜 交 座 標 軸 の 基底 とな るベ ク トル を見 つ け られ ない とき もあ るの で す か. 答 この こ とに つ い て はあ とで詳 し く述 ベ るが,質 問 もあ った の で,そ の よ うな 典 型 的 な 例 を こ こで1つ 述 べ て お くこ とに し よ う.そ れ は
で与 え られ る行 列 で あ る.一 般 的 な プ ロセ ス に した が え ば
を と く こ と に な るが,こ は1だ
の 解 は 明 ら か に λ=1(重
け で あ る が,Ax=xと
な る ベ ク トル は
す なわ ちx軸 上 に あ る ベ ク トル だけ がAに 上 に な い ベ ク トル,た れ る.し う1本'の
と え ば
た が っ て こ の と き,斜
解)で あ る.し
の形 の もの だけ であ る.
よ って動 か され な い(倍 率1!).x軸
と い うベ ク トル はAに
よ っ て
交 座 標 軸 の 候 補 と な る の はx軸
方 向 が な い の で あ る.
た が っ て'倍 率'
へ と移 さ
だ け で あ っ て,'も
第3講 複 素 ベ ク トル 空 間C2 テー マ
● 複素数―
実数 部分,虚 数 部分
● 複 素 数 の 極 表示 ―
絶 対値 と偏 角
● 複 素 数 の か け算 は,絶 対値 はか け,偏 角 は 加 え る. ● 代 数 学 の 基 本定 理 ● 線 形 写 像 の 理論 と代 数 的立 場 ―
複 素数 の 導入
● ベ ク トル 空 間C2 ● 固 有値 と固 有ベ ク トル ● 固 有 多 項 式,固 有 方 程 式 ● 固 有値 と線 形写 像 の 状 況
複
素
数
私 た ちの 考 え て い る数 学 的 対 象 の中 に,し だい に 複素 数 の 世 界 が 浮か び 上 が っ て きた.そ
こで 複素 数 に つ い て,基 本 的 な こ とを 思 い 出 し てお くこ とに し よ う.
複 素 数は 虚 数 単 位i(i2=−1)に
よ って
と表 わ され る数 であ る.加 法 は 自然 に
と定 義 され る.減 法 は
で あ る.複 素 数 と し ての 特 徴 的 な性 質 は 乗法 に あ り,そ れ はi2=−1と と分 配則 か ら
と定 義 さ れ る.
い う約 束
複 素 数 は,複
素 平 面(ガ
て 表 示 さ れ る.す
ウ ス 平 面)上
な わ ち,複
の点 と し
素 数a+ibを,座
標
(a,b)を
もつ点 とし て座 標平 面 上 に 表示 す るの で
あ る.こ
の と きx軸
を 実 軸,y軸
を 虚 軸 と い う.
複 素 数 α=a+ibは,実 数 を 主体 と して 考 え る と '2次 元 の数'で あ る .し た が っ て,こ れ か らR2の 代 り にC2を
考 え る 場 合 に は,C2の
元
とい っ
て も,α,β が そ れ ぞ れ 複 素 平面 上 に あ るの だか ら,
図8
実 は実 数 上 で み れ ば4次 元 の 点 を 表 わ して い る こ とに な る.4次
元 では,図 で表 わ し
よ うは な い!
複 素 数 α=a+ibに
対 し,α=a−ibを
らか に
α+α=2a,α−α=2ib
で あ る.a,bを わ す が,こ
共 役 複 素 数 と い う.明
α の 実 数 部 分,虚
数 部 分 とい っ て,そ
れ ぞ れ〓(α),〓(α)と
表
の とき 上 の式 は
と表 わ され る. 複 素数の極表 示 0で な い複 素 数 αは,複 素 平 面 上 で,原 点 を始 点 とし αを 終 点 とす るベ ク トル と して 表 わ す こ とが で き る.こ の ベ ク トルの 長 さを αの 絶 対 値,ま たは 長 さ とい い│α│で 表 わ す.ま た,こ の ベ ク トルが 実 軸 となす 角 を αの 偏角 とい いargα で 表 わ す. と し,
で あ り,α
と お く と
は
と 表 わ され る(図9).こ
の 右 辺 を複 素 数 αの
図9
極 表 示 と い う(α=0の
と き,偏
角 は 決 ま ら な い が,│α│=0と
表 わ す こ とに よ り,
これ も 上 の 表 示 の 中 に 加 え て お く). こ の 極 表 示 に よ り,複 素 数 の 乗 法 に 関 し,新
し い 観 点 が 生 じ て くる.α,β
を2
つ の複 素 数 と し
と す る.こ
の とき
と な る.こ
の右 辺 を 見 る と
の こ とが わ か る. 標 語 的 に い えば,2つ は 加 え 合 わ さ れ る.幾 と は,ま
ず'ベ
トル を,argβ
の 複 素 数 α,β を か け る と き,絶 何 学 的 に み れ ば 次 の よ うに な る.α
ク トル'α
の 長 さ を│β│倍
角
に βをか け る とい う こ
に こ の よ うに し て 得 ら れ た ベ ク
だ け 回 転 す る こ と で あ る(図10).
す な わ ち 複 素 数 の か け 算 は,複 拡 大(ま
し,次
対 値 は か け ら れ,偏
た は 縮 小)写
素 数 を 複 素 平 面 上 の ベ ク トル とみ る と き,相
像 と 回 転 を 同 時 に 表 現 し て い る の で あ る.
図10
似
この こ とは 前 講Tea
Timeで
示 した,(複 素数 の 中 に)'隠
され て い た ベ ク トル'と
回転 との間 に 成 り立 つ1つ の 関 係
を説 明 して い る.右 辺 に 現 わ れ た
をか け る こ とは,け っ して'倍 率'を
意味 してい るの で はな く,い まの場 合 θだ け の回 転 を 意味 してい た の であ る.
代 数 学 の基 本 定 理 歴 史 的に み て,複 素 数 が 数学 の中 で 確立 した 地位 を 占め た の は,複 素 数 の 中で は 代数 方 程 式 は必 ず 解 を も つ とい う次 の定 理 が,1779年
に ガ ウス に よ っ て は じ
め て証 明 され た こ とに よっ て い る.
【代 数 学 の基 本 定理 】 複 素係 数 のn次 の 代 数方 程式
は,必
ず(重
解 も 含 め て)n個
の 複 素 数 の 解 を もつ.
複 素数 の もつ この性 質 を,複
素 数 は代 数 的 閉体 を つ くる とい うい い 方 で述 べ る こ と
もあ る.こ の 定理 を 当 り前 と思 うよ うな人 が い るか も しれ な い の で,次 して お こ う.2次 100次 とか,1000次
方 程 式 の ときす で に虚 解 が 現わ れ て,複 の 代 数 方 程 式 を と くと きに は,も
は な いか と考 え る こ とは,む
の こ とを注 意
素数 の 導入 を必 要 と した.
っ と新 しい 数 が 必要 とな るの で
しろ 自然 な こ とでは な か ろ うか.ま
には,解 の公 式 か ら虚 解 の存 在 が わ か った.一 般 の 場 合,解
た2次 方 程 式 の と き
の 公 式 を 用 い ない で,ど
うし て複 素数 の 中に 解 の存 在 を確 認 で き るのだ ろ うか.こ の 証 明 に つ い ては,た
とえ
ば 『複 素 数30講 』(朝 倉 書 店)を 参 照 して い た だ きた い.
代 数 的 立 場 ―
こ こ で 私 た ち は,第1講,第2講 て,数
学 の 形 式 の 中 で 整 え,さ
が か りを 得 た い と 考 え る.私 ら 出 発 し た の で あ っ た.線
複 素 数 の 導 入
で 述 ベ て き た こ とを,代
数学の立 場 に 立 っ
ら にn次
元 ベ ク トル 空 間 へ と一 般 化 す る 方 向 の 手
た ち は,よ
く見 な れ た 平 面 か ら平 面 へ の 線 形 写 像 か
形 写 像 は あ る 方 向 へ の 相 似 拡 大(ま
た は 縮 小)を
だ け で は な く,回 転 も ま た ご く 自然 な も の と し て 含 む の で あ る.こ 大 の 方 は,前
講 で も 述 べ た よ う に,'λ
に 関 す る'2次
含む
の うち相 似 拡
方 程 式 の 実解 と して倍 率 が
得 られ る の であ るが,回 転 の 方 は,本 質 的に は,こ の2次 方 程 式が 虚 解 を もつ場 合 に対 応 してお り,実 数 の中 だ け でみ る限 りでは,相 似拡 大 と同 じ よ うに 取 り扱 うわけ には いか な くな って くる. しか し,虚 解 を もつ場 合 で も,複 素 数 を導 入 して お くな らば,複 素 数 の 乗法 は 回 転 も含 む とい う事 実が 暗 に 働 い て,回 転 さえ も,あ る複 素 ベ ク トル を 何倍(複 素 数倍!)す
る とい う形 に 述 べ る ことが で き る よ うに な っ て くる.
この よ うな こ とに 注 目す る と,ひ と まず こ こで,実 数の 世 界 で展 開 され る直 観 的 描 像 の 世 界 を超 えて,複 素数 の世 界 で線 形 写 像 の理 論 を 構成 す る方 が よい と思 えて くる .繰 り返 す よ うで あ るが,こ の 考 え を支 え る のは,複 素 数 の 中 で の乗 法 (代数 的!)が,相
似 写像 と回転(線 形 写 像!)と
し っか り結び つ い てい る と い
う事 実 に あ る.こ の 代 数 的 な状 況 と幾何 学 的 な状 況 を渡 す 架 け橋 とな るのが,固 有 方 程式(一 般 の場 合 は第5講 参 照)の 解 が 複 素 数 の 中で 見 つか る こ とを保 証 す る代 数 学 の基 本 定 理 に あ る とい って よい. ベ ク トル 空 間C2
複素 数 を導 入 した とき,第1講,第2講
で 述べ た こ とが,ど の よ うに ま とめ ら
れ るか をみ てみ よ う. 実 数 をRで numberで
表 わ した よ うに,複 素数 をCで
あ る).C2に
よ り,2つ
トル 空 間 を 表 わ す.ベ
表 わ す(複 素 数 は 英 語 でcomplex
の 複 素 数z1,z2の
ク トル 空 間 と か い た が,こ
組
こ で はC上
全 体か らな るベ ク の ベ ク トル 空 間 の こ
と であ って
加
法:
ス カ ラ ー 積:
と し て定 義 した もの で あ る. C2か らC2へ 講 でR2の
の線 形 写 像 の 定義 や,線 形 写像 を 表 現 す る行 列 の こ とな ど,第1
場 合に 述 べ た の とま った く同様 で あ る.違 い は ス カ ラーが 実数 か ら複
素数 へ と変 わ った こ とで あ る.
固 有 値 と 固 有 ベ ク トル
第1講,第2講
で は,'倍
す い 言 葉 を 使 っ て,線
率'と
か'引
き 延 ば さ れ る'と
形 写 像 の 性 質 を 調 べ て きた.し
い う よ う な わ か りや
か し複 素数 を 導入 した動 機
が,'倍
率'と
い う言 葉 の 適 用 を は ば む よ う な状 況 が あ っ た こ と か ら 生 じた の だ か
ら,こ
の 辺 りで 改 め て 数 学 ら しい 正 し い 定 義 を 導 入 し,概
念 を 明確 化 した 方が よ
い よ うに 思 わ れ る. C2か
らC2へ
の 線 形 写 像Tが
【定 義 】 あ る零 で な いC2の
与 え ら れ た とす る.
ベ ク トルxが
当 な μ(∈C)に
対 して
Tx=μx
が 成 り立 つ と き,こ μ がTの
の μ をTの
固 有 値 と い う.
固 有 値 の と き,
Tx=μx
を み た す ベ ク トルxを,固 お く こ とは,固 (x=0の
存 在 し て,適
有 ベ ク トル の 中 に は,必
と き,上
トル を
有 値 μ に 属 す る 固 有 ベ ク トル とい う.こ
式 の 両 辺 は と も に0と
ず0が
こで注 意 し て
含 ま れ て い る とい う こ と で あ る
な る).μ を 固 有 値,μ
に属 す る固 有ベ ク
とす る と
で あ る.す な わ ちxの 各成 分 は,Tに
よ っ て長 さが│μ│倍 され,argμ
だけ の 回
転 を うけ る. 固 有 多 項 式,固
有方程式
C2か らC2へ の線 形 写 像Tを 表 わ す 行列 をAと す る:
この と き μが 固有 値 とな る条件 は,
をみ た す
が 存在 す る こ とで あ る.同 じ こ とを 連立 方 程 式 の形 でか くと,
連立方程式 (1) が,z1=z2=0以 す る1つ
外 に 解 を もつ とい う条 件 で 与 え ら れ る.第2講'連
の 注 意'で
述 べ た こ と は,複
素 数 で も 同 様 に 成 り立 つ.そ
立 方 程 式 に対 の こ と か ら,
μ が 固 有 値 と な る 判 定 条 件 を 次 の よ うに 述 ベ る こ とが で き る.
μ が 固 有値
この 右 辺 の行 列 式 に 注 目し て次 の 定義 を お く. 【定 義】 λにつ い て の2次 式
を,行 列Aの 固有 多 項 式 とい う.ま た方 程 式
を,Aの
固 有方 程 式 とい う.
固有 多 項 式 の具 体 的 な形 は,行 列 式 を 展 開 して
とな る ことがわ か る.こ の λに つ い て の2次 式 にお い て,λ の係 数 は 行 列Aの 対 角 線 の和 に マイ ナ スを つ け た もの,ま た 定 数項 はAの 行列 式 とな って い る. 固 有 多項 式 は,線
形 写 像Tそ の もの では な く,'Tを
表 わ す 行 列A'を
定 義 され てい る.実 は,固 有 多 項式 は 線 形 写像Tに 固 有 な もの で あ り,Tの
用い て
表 示 の と り方 に よら ない.こ の こ とに つ い て は,第5講
行列
で は っ き りと述 ベ る こ と
に し よ う. 固 有 値 と線 形 写 像 の 状 況 固有 方 程式 ΦA(λ)=0の 解 が 固有 値 なの だが,複 素 数 の 中 で は ΦA(λ)=0は つね に解 を もち,し た が って 線形 写 像Tは 必ず 固有 値 を もつ とい う こ とに な る.解 の あ り方 は,本 質 的 に は2通
りあ っ て,そ れは 相 異 な る解 を もつ か,重 解 を もつ か
で あ る.こ
の2つ
の 場 合 が,線
形 写 像 の 状 況 に 直 接 反 映 し て く る.そ
の こ とを述
べ て み よ う. (Ⅰ) ΦA(λ)=0が2つ
の 異 な る 解 μ,ν―
こ の と き 入 す る と,こ
で あ る.連
と お く.同
様 に,λ=ν
と す る.こ
の とき
で あ る.し
た が っ てf1,f2は,固
立 方 程 式(1)に
λ=μ,λ=ν
と表 わ さ れ る.こ
と り,そ れ をz1=c1,z2=c2と
し,
有 値 μ,ν に 属 す る 固 有 ベ ク トル で あ る.
任 意 の ベ ク トルxは,た
だ1通
りに
の 証 明 は も う少 し 一 般 的 な 立 場 か ら,第6講
こ で は 省 略 す る こ とに し よ う.読
者 は,第1講,第2講
で 与 え る か ら,こ
の 話 を 思 い 出 さ れ て,f1,
斜 交 座 標 系 を 決 め て い る と い う イ メ ー ジを も た れ る と よ い.こ
線 形 写 像Tに
を代
の と き の 連 立 方 程 式 の 解 か ら得 ら れ る 零 で な い ベ ク トル を
ま た こ の 場 合,C2の
よ っ てxの
と な り,線 形 写 像Tの (Ⅱ) ΦA(λ)=0の
の とき
移 る先 は
対 応 の 様 子 が わ か っ た. 解が 重 解 の と き
こ の 重 解 を μ とす る と,ΦA(λ)=(λ
−μ)2で あ る.Tの
こ の と き次 の2つ
生 ず る.
の 場 合(a),(b)が
(a) μ に 属 す る2つ た だ1通
を もつ 場 合
れ ら の 連 立 方 程 式 は そ れ ぞ れ 零 で な い 解 を も つ.
λ=μ の と き の 零 で な い 解 を1つ
f2がC2の
固有 値 ―
の 固 有 ベ ク トルf1,f2が
存 在 し て,任
りに
と表 わ さ れ る. こ の と き に は ベ ク トル
固 有 値 は μ だ け で あ る.
に 対 し て
意 の ベ ク ト ルxは
=μxと
な り,Tは,xを
(b)そ
単 に μ 倍 す る 線 形 写 像 と な っ て い る.
うで な い と き.こ
存 在 す る が,こ う な 例 は,R2の
の と き に も,μ
れ だ け か ら で は,Tの 場 合 で は あ る が,第2講
のTea
Timeで
の よ
与 え て お い た.
Time
質 問 '固有 値 と 線 形 写 像 の 状 況'の(Ⅰ)の
と こ ろ で,「x=αf1+βf2と
よ っ て αμf1+β νf2に 移 る.こ
た 」 と あ り ま し た が,様
な い 固 有 ベ ク トルfは
対 応 の 様 子 は す ぐに は わ か ら な い.こ
Tea
トル がTに
に 属 す る0で
れ で 線 形 写 像Tの
子 が わ か っ た と い っ て も,ど
い うベ ク
対応 の様 子が わ か っ
ん な こ とが わ か っ た の で し
ょ うか. 答 た と え ば ベ ク トルaが トルxを
あ ら か じ め 与 え ら れ て い る と き,Tx=aと
求 め る こ と は.成
分 を 使 っ て 表 わ せ ば,連 立 方 程 式 を と く こ と に な る.
し か し 連 立 方 程 式 を と い て 解 の 形 を 見 て も,線 か に な っ た わ け で は な い.し っ て い る な ら ば,線 め,い
か し も し,Tに
表 わ し て お こ う.そ
で 与 え ら れ る.も し て,そ
形 写 像Tと
の 関係 は それ ほ ど明 ら
つ い て(Ⅰ)の
よ うな 状 況 が 成 り立
形 写 像 の 見 方 に 立 つ 簡 明 な 解 の 表 示 が あ る.そ
まa=c1f1+c2f2と
の 解 は
し μ=0,ν
れ を 示 す た
うす る と,μ,ν ≠0の と き は 解xは
≠0な
で 与 え ら れ る.こ
こ と は す ぐに 確 か め ら れ る だ ろ う.こ は っ き りわ か っ た 上 で,は
なるベ ク
らば 解 はa=c2f2の
ときだ け 存 在
こ で λは 任 意 の 複 素 数 で あ る.こ
の よ う な こ と は,確
じ め て い え る こ と で あ る.
か にTの
の
対 応 の 様 子が
第4講 線形写像 と行列 テーマ
● ベ ク トル 空 間 の導 入 ●(C上
の)n次
元 ベ ク トル空 間
● 基 底 と基 底 変換 ● 基底変換の行列 ●1次
独立 と1次 従 属
● 線 形 写像 と行列 ● 逆 行 列 と単位 行 列 ● 基 底 変換 と線 形写 像 の 行 列 表 示
は
じ め
に
い ま ま で 述 べ て き た こ とを さ ら に 発 展 さ せ よ う と す る と き,自 は,C2の
代 りに も っ と一 般 な ベ ク トル 空 間Cn(n=1,2,…)を
う.Cnと
は,n個
然 に 接続 す る道
考 え る こ とで あ ろ
の複 素 数 の組
全 体 の つ く る ベ ク トル 空 間 の こ と で あ る.こ
こ に い ま ま で と 同 じ よ うな 問 題 設 定
と,ま
た そ れ に 対 し て 似 た よ うな 議 論 を 行 な う こ とが 可 能 で あ ろ う と い う こ と
は,誰
で も 予 想 で き る こ と で あ る.
しか し 私 た ち は,Cnよ
り も う少 し 抽 象 的 な 設 定 を し て お きた い.す
n次 元 複 素 ベ ク トル 空 間 と,そ
の 上 の 線 形 写 像 を 調 べ る と い う立 場 を と りた い.
n次 元 複 素 ベ ク トル 空 間 の 定 義 は す ぐ あ と で 明 確 に 述 べ る が,加 の 演 算 の で き る 対 象 で,そ
な わ ち,
の 中 で 適 当 なn個
の 元e1,e2,…,enを
法 とス カ ラー積 と る と,任 意 の 元
xは た だ1通
りに
と表わ され る よ うな もので
あ る. ベ ク トル 空 間 の 立 場 は,Cnよ
りは る か に 抽 象 的 な 立 場 で あ る.こ
りた い 理 由 は い ろ い ろ あ る が,さ
しあ た り こ こ で は 次 の こ とを あ げ て お こ う.
ま ず た と え ばC2に
う図 示 す る こ と な ど で き な い の で あ る.こ
し て も,も
の立 場 を と
の と
に と っ て,x=x1e1+x2e2と
表 わ す こ と
な どに どれ だ け 意 味が あ るだ ろ うか.基 底 ベ ク トル と して
を
き,基
底 ベ ク トル を
と っ て も,あ
を と って も,本 質 的 に は大 した 違 い
る い は ま た
は な い の で は な い だ ろ うか. こ の こ と は,ベ
ク トル 空 間 そ の も の よ りは,そ
移 す と も っ と は っ き りす る.線
形 写 像 を 調 べ る と きに は,も
有 ベ ク トル で 基 底 と な る も の が あ る な ら ば,こ と調 べ や す い.た
とえ ば 回 転R(θ)をC2上
基 底 と し て は 上 のe1,e2を
の 上 に 働 く線 形 写 像 の 方 へ 眼 を し この線 形写 像 の固
の ベ ク トル を 基 底 に と る 方 が ず っ の 線 形 写 像 と し て 調 べ る と き に は,
と る 方 が よ い だ ろ う(第2講Tea
Time参
照).個
の 線 形 写 像 の 挙 動 を 調 べ る こ とが 研 究 の 主 要 な テ ー マ と な っ て く る と,ベ
々
ク トル
空 間 の 中 に 固 定 さ れ た 標 準 的 な 基 底 ベ ク トル を お く と い う考 え が 薄 れ て き て,個 個 の 線 形 写 像 が,そ て く る.一
方,線
れ ぞ れ 適 当 な 基 底 を 個 別 的 に 決 め る とい う考 え が 中 心 に な っ 形 写 像 を 定 義 す る に は,空
れ て い れ ば よ い.こ
間 に 加 法 と ス カ ラ ー積 だ け が 定 義 さ
こ に 抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 を 導 入 す る 考 え が 浮 か び 上 が っ て
く る の で あ る. n次
元 ベ ク トル 空 間
【定 義 】 集 合Vが
次 の2つ
(ⅰ) x,y∈Vに
対 し て 加 法x+y(∈V)が
(ⅱ) α∈C,x∈Vに
の 性 質 を も つ と き,ベ
定 義 され る.
対 し て ス カ ラ ー 積 αx(∈V)が
さ ら に 次 の(ⅲ)の
性 質 を も つ と き,n次
(ⅲ) Vの
の 元e1,e2,…,enが
通 りに
中 にn個
ク トル 空 間 とい う.
定 義 さ れ る.
元 ベ ク トル 空 間 とい う.
存 在 し て,Vの
任 意 の 元xは,た
だ1
と表 わ さ れ る. こ こ で(ⅰ)と(ⅱ)で
述 ベ た 加 法 と ス カ ラ ー 積 は,ふ
つ も の と し て い る の で あ る.も
つ う の 演 算 規 則 は 成 り立
っ と もふ つ うの 演 算 規 則 と は 何 か と聞 か れ れ ば,
実 際 は 次 の8つ
の 規 則 を か か な く て は な ら な い.こ
を か く の は,や
は りわ ず ら わ し い こ と に は 違 い な い.①x+y=y+x,②(x+y)
+z=x+(y+z),③ 存 在 す る,④
す ベ て のxに す べ て のxに
の よ う な 当 り前 の よ うな こ と
対 し,x+0=xを
対 し,x+x′=0を
成 り立 た せ る よ うな 元0が 成 り立 た せ る よ う な 元x′ が 存 在
す る,⑤1x=x,⑥α(βx)=(αβ)x,⑦α(x+y)=αx+αy,⑧(α+β)x=αx+βx.
上 に 述 べ た 定 義 は,正
確 に はC上
の ベ ク トル 空 間 の 定 義 と い うべ き な の だ が,
私 た ち は こ れ か ら 主 に 複 素 数 を 基 礎 に と っ て 考 え る の で,'C上 省 く こ と に す る((ⅱ)で 定 義 と な る).ま に はn次
α∈R,(ⅲ)でxi∈Rと
た 第13講
ま で は,特
す る とR上
に 断 ら な い 限 り,ベ
の'と い う言 葉 を の ベ ク トル 空 間 の
ク トル 空 間 と い う と き
元 ベ ク トル 空 間 の こ と と す る.
基 底 と基 底 変 換 ベ ク トル 空 間 の 定 義 の(ⅲ)で
述 べ て い る 元{e1,e2,…,en}をVの
基 底 の と り方 は い ろ い ろ あ る が,ど nは 一 定 し て い る(こ
の 基 底 を と っ て も,基
底 に現 わ れ る元 の 個 数
の 証 明 は 省 略 す る) .
{e1,e2,…,en},{e1,e2,…,en}をVの2つ た だ1通
基 底 と い う.
の 基 底 とす る.こ
の と き,各ejは,
りに
(1) と 表 わ さ れ る.こ
のe1,e2,…,enの
係 数 を,順
次1列
目,2列
目,…,n列
並 べ て 得 られ る行 列
(2)
を,{e1,…,en}か Vの
元xを,基
ら{e1,…,en}へ
の 基 底 変 換 の 行 列 と い う.
底{e1,…,en}と{e1,…,en}を
用 い て表 わ した も のを
目 と縦 に
と す る.こ
の 右 の 式 に(1)を
とな る.基
底 に よ る 表 わ し 方 は1通
係 数 を 比 較 し て,関
代 入 して
り しか な い の だ か ら,各ei(i=1,2,…,n)の
係
が 得 られ る.こ の 結 果を,行 列Pを 用 い て
(3) と も 表 わ す.
1次
Vの 基 底 を{e1,e2,…,en)と
す る.Vの
独
立
零 元0を
表 わす には
0=0e1+0e2+…+0en
とす る と よ い(こ
こ で 左 辺 の0は0∈Vで,右
0∈Cで
の こ と か ら,基
あ る).こ
辺 に 係 数 と し て 現 わ れ て い る0は
底 に よ る表 わ し 方 は1通
りしか ない こ とを 用 い
ると
(*) が 成 り立 つ こ と が わ か る. こ の 性 質(*)は,基 い て い る'こ
底 を 与 え る元e1,e2,…,enが,Vの
中 で'独 立 な 方 向 を 向
とを 示 す 代 数 的 な 表 現 で あ る と考 え る こ と に し よ う.実
際{e1,e2,
… ,en}の
中 か ら勝 手 に い く つ か の 元 を と り出 し て も 同 様 な 性 質 は 成 り立 つ の で
あ る.た
と え ばe1,e2,e3に
と な る.
対 して
こ の こ と に 注 目 し て 次 の 定 義 を お く. 【定 義 】 Vの
元f1,f2,…,fsが
次 の 性 質 を み た す と き,1次
が 成 り立 つ の は α1=α2=…=αs=0の
独 立 で あ る と い う:
と き に 限 る.
こ の と き 次 の こ とが 成 り立 つ こ とが 知 られ て い る.
f1,f2,…,fsを1次
独 立 な 元 と す る と,s≦nで
{f1,f2,…,fs}がVの
f1,f2,…fsを1次 …
,enが
あ る.s=nと
基 底 と な る と き に 限 る.
独 立 な 元 と す る.こ
の と き,適
当 なn−s個
存 在 し て,{f1,f2,…,fs,es+1,…,en}はVの
な お,f1,f2,…,fmが1次 少 な く と も1つ
は0で
な る の は
の 元es+1,
基 底 と な る.
独 立 で な い と き,1次
従 属 で あ る と い う.こ
の と き,
な い よ う な α1,α2,…,αmが 存 在 し て
と い う関 係 が 成 り立 つ.も
し た と え ば α1≠0と す る と
の よ うに,f1は 残 りのf2,f3,…,fmの1次
結 合 とし て表わ され る.
線 形 写 像 と行 列 線形 写 像 の 一般 論 で は,2つ の で あ るが,こ 【定義 】 Vか
のベ ク トル空 間V,Wの
こで は主 に 同 じベ ク トル 空 間Vか らVへ
の写 像Tが
間の 線 形写 像 を取 り扱 う
らVへ
の写 像 を 考 え る.
次 の性 質 を み たす とき,Vの
上 の線 形 写 像 とい
う: に対 し
Vの
基 底{e1,e2,…,en}を1つ
こ とが で き る.そ 注 目す る:
と る と,線
れ に は,各ej(j=1,2,…,n)がTに
形 写 像Tは,行
列 に よ って 表現 す る
よ って どこに 移 され るか に
この 右 辺 に 現 われ た係 数 を用 い て,Tを
表 わ す 行 列Aを 次 の よ うに定 義す る.
(4)
行 列AをA=(aij)と
略 記 す る こ と も あ る.
線 形 写 像 と行 列 と の 対 応 関 係 を ま とめ て 述 べ て お こ う. SとTをV上 もV上
の 線 形 写 像 とす る.(S+T)(x)=S(x)+T(x)と
の 線 形 写 像 と な る.ま
た(ST)(x)=S(T(x))と
お く と,S+T お く と,STも
の 線 形 写 像 と な る.S+TをSとTの
和,STをSとTの
Sを 表 わ す 行 列 をA=(aij),Tを
表 わ す 行 列 を(bij)と
ま たV上
積 と い う. す る と,S+Tを
表わ
す行列は
(行 列 の和) で あ り,STを
表わ す 行 列 は (行 列 の積)
と な る. Sが1対1写
像 の と き に は,Sは
逆 写 像S−1を
も つ が,S−1を 表 わ す 行 列 をA−1
で 表 わ し,Aの
逆 行 列 と い う.恒 等 写 像I(x)=xに
対 応 す る行 列 を 単位 行 列 とい
い,E(ま
た はEn)で
で あ る.一
般 にAA−1=A−1A=Eが
Sx=yと
す る.こ
とす る と
表 わ す.
成 り 立 っ て い る.
の とき
が 成 り立 つ.行
列(4)を
用 い て この 関 係を
と 表 わ す.
基 底 変 換 と行 列 V上
の 線 形 写 像Tが
方 に よ っ て い る.Vの
与 え ら れ た と き,Tを
表 わ す 行 列 の 方 は,Vの
基 底 を で き る だ け 上 手 に と っ て,Tを
見 や す い 形 に し た い と い うの が 講 義 の 流 れ で あ り,そ て,Tの
表 わす 行 列 を 簡 単 な
の よ うな 基 底 の と り方 と し
固 有 ベ ク トル と い う概 念 が 重 要 な も の とな っ て く る の で あ る.そ
れ か ら の 話 で の 主 題 と な る の だ が,そ わ す 行 列 が,ど
{e1,…,en)へ
の 前 に 基 底 を と りか え た と き,同
の 基 底{e1,e2…,en},{e1,e2,…,en}を
の 基 底 変 換 の 行 列 をPと
基 底{e1,…,en}に
関 し てTを
す る.Pは(2)で
表 わ す 行 列 をA,{e1,…,en}に
す る.
ま たTx=yと
れは こ じTを
表
の よ うに 形 を 変 え る か を 明 ら か に し て お き た い.
そ の た めVに2つ
行 列 をBと
基底 の と り
し
と表 わ され てい る とす る. この と き右 の 図 式 を見 てみ よ う.縦 の矢 印 Pで 記 され てい る関係 は,(3)で
与 え られ て
い る もの で あ る.行 列Bで 与 え ら れ る 対 応 は,左 か ら上 のAを 迂 回 し て得 られ る対 応 と 同 じ もの で あ る.し たが っ てAとBの り立 つ 次 の 関係 が 得 られ た.
これ を基 底 変 換 の 公式 とい う.
間に成
と り,{e1,…,en}か
ら
与 えら れ て い る とす る. 関 し てTを
表わす
Tea
Time
質 問 こ こで の お話 は,大 学 の 教 養課 程 の中 に 組 み こまれ てい る 「線 形 代 数 」 の 講 義 で 聞 く,ご く基 本 的 な事 柄 だ と思 い ます が,線 形 代 数 とい う分 野 は,い つ 頃 か ら この よ うな形 に 育 って きた の です か. 答 行 列 や線 形 写 像 の概 念 は,'変
換'の 考 えの 中 に あ る代 数 的 な形 式 に 注 目 し
て,19世 紀 半 ば,英 国の 数 学者 ケ ー リー(1821-1895)が
は じめ て導 入 した もの で
あ る とい わ れ て い る.し か し,線 形 性 とい う性 質が,広
く数 学全 体 の中 で,総 合
的 な 明確 な 立 場 を設 定 し,そ の 中心 に 行 列 と線 形写 像 の理 論 が あ る と い う 考 え は,多 分20世 紀 に な っ てか ら醸 成 され て きた もの と思 う.背 景 に は,抽 象 代 数学 や 関 数 解析 学 の発 展 が あ った.少
な くと も,現 在 の よ うな形 で,「 線 形 代 数」 が
大 学 に お け る1つ の 基 本 的 な 講義 課 目 とし て定 着す る よ うに な った のは,1950年 以降 の こ と と思 う.そ こに は,'線 形 性'を1つ
の 基 本 的 な数 学 の 構 造 と み る,
ブル バ キ の影 響 が 働 い て い た のか も しれ ない.
質 問 Cnは,n次
元(複 素)ベ ク トル空 間の 典 型的 な例 とな って い るの で し ょう
が,抽 象 的 な ベ ク トル空 間 と,Cnと
の 関係 を も う少 し話 して い た だ け ませ ん か.
答 n次 元 ベ ク トル 空 間 は確 か に 抽 象的 な概 念 であ るが.そ
れ に対 してCnは,
この概 念 の具 象 性 を 保証 す る標 準 的 な モ デル を与 え てい る と考 え られ る.n次 ベ ク トル 空 間Vに1つ る こ とに よ り,Vか en}を
の基 底 を とる と,Vの らCnへ
と っ た と き,
抽 象 的 な空 間Vは,こ あ る.空 間Vは,基
線形性―
元
の よ うに して モ デル 空 間Cnの
基 底{e1,…,
を 対応 させ るの で あ る. 中へ の表 現 をか ち とるの で
底 の と り方 に応 じ て さ ま ざま な姿 でCnの
る.こ の さ ま ざま な姿 をCnの な性 質 ―
の 同型 対応 が 得 られ る.す なわ ち,Vの に 対 し て,Cnの
元
元 の こ の基 底 に 関す る成 分 に 注 目す
中 で じ っ と見つ め て み る.そ
中 に表 現 され て く うす る とそ こに 共 通
が 見 えて くる.逆 にい えば,こ れ を 概 念 化 した も のが,ベ
ク トル 空 間 であ る とい っ て よい.
第5講 固有値 と固有方程式 テーマ
●n元1次
の 連立 方 程 式 に 関す る1つ の 定理
● 行列の階数 ● 線 形写 像Tの
固有 値
● 固 有値 に 属 す る 固有 ベ ク トル ● 固 有 多 項 式,固 有方 程 式 ● 固 有 方 程式 の解 が ち ょ うど固 有値 とな る. ● 固 有 多項 式 の不 変 性 ―
固有 多 項 式 は基 底 の と り方 に よら な い.
連 立 方 程 式 に 関 す る定 理 これ か ら一 般 の ベ ク トル空 間 で,固 有 値 問 題を 取 り扱 い た い の だ が,固 有値 と 固有 方 程 式 との 関 係 を示 す た め に,連 立 方 程 式 に関 す る次 の 定 理 が必 要 とな る. これ は第2講'連
立 方 程 式 に 対す る1つ の注 意'の 節 で述 べ た 命 題 に 対応 す る一
般 的 な定 理 で あ る.
【定 理 】 n元1次
の連 立 方 程 式
(1)
が,x1=x2=…xn=0以 が0と
な る こ と で あ る:
外 に 解 を もつ 必 要 十 分 条 件 は,係 数 の つ く る 行 列 式│C│
【証 明 】 必 要 性:も
し│C│≠0と
に よ っ て と く こ とが で き て,こ =xn=0を
す る と,連
立 方 程 式(1)は
の と き解 は1通
クラ ー メル の解 法
り し か な い.(1)はx1=x2=…
解 と し て も つ こ と は 明 ら か だ か ら ,こ
た が っ て 対 偶 を と る と,x1=x2=…=xn=0以
れ 以 外 に は 解 は 存 在 し な い.し
外 に 解 が 存 在 す る な ら ば,│C│=0
で あ る. 十 分 性:い
まc11≠0と
す る と,(1)の
そ れ ら を そ れ ぞ れ 第2式,…,第n式
第1式
に,順
次
を か け て,
か ら 引 く と,(1)は
(2)
の 形 とな る(第2式
以下 に カ ゲを つ け た の は,あ と の説 明 の ため であ る).
こ こでc22′≠0と す る と,(2)の そ れ ぞ れ 第3式,…,第n式
第2式
に 順 次
を か け,そ れ ら を
か ら 引 く と,(2)は
(3)
の 形 と な る. も しc33"≠0な
ら ば,同
じ よ うに し て 第4式
以 下 で さ ら にx3の
係 数 を0に
でき
る. こ の 操 作 で はc11≠0,c22'≠0,c33"≠0を (1)で,ど
こ か に0で
仮 定 し て い る が,も
な い 係 数 が あ れ ば,そ
変 数 の 順 序 を と りか え る こ と が で き る ― 序 を と りか え た こ と に 対 応 し て い る.次 1つ で も0で 式 と,x2以
な い 係 数 が あ れ ば,同
れ がc11と
な る よ うに,式
こ れ は 行 列 式 で は,行 に(2)で,カ
し最 初 の 段 階 の の順序 と
の順 序 と列 の順
ゲを つ け た 部 分 に ど こ か
様 に そ れ をc22′ と す る よ うに,2番
目以 下 の
下 の 変 数 の 順 序 を と りか え る こ とが で き る.
要 す る に,カ
ゲ の つ け て あ る 部 分 に0で
こ の 操 作 は 続 け ら れ る の で あ る.こ (1),(2),(3)も,ま
な い 係 数 が1つ
で も 残 っ て い る 限 り,
れ は本 質 的 に は消 去 法 の原 理 な の だ か ら
た こ れ か ら 先 同 様 に し て 得 ら れ る連 立 方 程 式 も,す
,
べ て
同 じ解 を も って い る(た だ し変 数 の 順序 は 変わ っ てい る か も しれ ない). この よ うに して,最 初 に与 え られ た 連立 方 程式(1)は,適
当 に変 数 の 番 号を
つ け か え てお けば,最 後 に は
(4)
の 形 に な る.カ
ゲを つ け て あ る 部 分 の 係 数 は す べ て0で
あ る.r=nの
ときに は こ
の カ ゲ を つ け て あ る部 分 が 実 際 は 現 わ れ て こ な い. な お,d11≠0,d22≠0,…,drr≠0と
な っ て い る こ と に 注 意 し よ う.
(1)か
の 順 序 と変 数 の 順 序 を と りか え,あ
ら(4)へ
と移 る と き,式
倍 か し て ほ か の 式 か ら 引 く と い う操 作 を 繰 り返 し た が,こ る 行 列 式│C│の
方 は,せ
れ に よ って係 数 のつ く
い ぜ い 符 号 の 変 化 し か 生 じ な い.し
係 数 の つ く る 行 列 式 を│D│と
る式 を 何
た が っ て,(4)の
す る と,
で あ って
と な る. し た が っ て,条 r<nと
件│C│=0は
こ の 右 辺 に 必 ず0因
子 が 登 場 す る こ と,す
なわ ち
同 値 と な る:
と こ ろ で,r<nの
と き は,(4)の
与 え た と き,(4)の
下 の 方 か ら順 に
解 はxr+1,…,xnに
任 意 にar+1,…,anと
値 を
と 決 ま っ て い く. (1)と(4)は
同 値 な 連 立 方 程 式 な の だ か ら,こ
連 立 方 程 式(1)はx1=…=xn=0以 実 際 は(1)はn−r個 る の で あ り,そ
の こ とは│C│=0の
外 に も 解 を も つ こ と を 示 し て い る. の パ ラ メ ー タar+1,…,anに
の 意 味 で 解 全 体 はn−r次
こ に 現 わ れ たrは,(1)の
と き に は,
よ って決 ま る解 を も っ てい
元 の'平 面'を つ く っ て い る.な
係 数 の つ くる 行 列Cの
お,こ
階 数 と よば れ て い る もの とな っ
て い る.
固 有 値 と 固 有 ベ ク トル
第3講
で 与 え たC2上
の 線 形 写 像Tに
の 線 形 写 像 の 場 合 と ま っ た く同 様 に,ベ
対 し,固
【定 義 】 複 素 数 μ がTの
ク トル 空 間V上
有 値 と 固 有 ベ ク トル の 定 義 を 与 え る こ とが で き る. 固 有 値 と は,0と
異 な る適 当 な 元x∈Vを
とる と
(5) が 成 り立 つ こ とで あ る. 【定 義】 μがTの 固 有値 の と き
を み た す ベ ク トルxを,固 Vの
恒 等 写 像 をIと
よ うに か き 直 し て(5)の
有 値 μ に 属 す る 固 有 ベ ク トル とい う.
す る と,μx=μIxと
表 わ し て も よ い.(5)の
左 辺 を 右 辺 に 移 項 す る と,μ
が 固 有 値 で あ る こ とは 次
の よ うに も い え る.
μ がTの
固 有 値 ⇔(μI−T)x=0を ベ ク トルxが
右 辺 を この
みたす零でない 存 在 す る.
固 有 多 項 式,固
有 方程式
複 素 数 μがTの 固 有値 で あ る こ との この 定 式化 は,Vに1つ
基 底 を とる と,連
立 方 程 式 に 対 す る条件 として い い表 わ す こ とが で き る(こ れ もC2の
場 合 と同様
で あ る). そ れ を み る た め に,Vに1つ
の基 底{e1,e2,…,en}を
と り,こ の基 底 に関 し て
Tを 表 わ す 行 列 を
と し,ま
たx=x1e1+…+xnenと
T)x=0は,行
す る.こ
列 を 用 い て(μE−A)x=0と
成 分 を 用 い て か く と,次
の と き 線 形 写 像 と し て の 条 件 式(μI− 表 わ さ れ る(Eは
単 位 行 列).こ
れは
の 連 立 方 程 式 と な る.
μがTの 固 有値 とな る条 件 は,こ の連 立方 程 式 がx1=x2=…=xn=0以
外 の解
を もつ こ とで あ る.し た が って連 立 方 程式 に 関 す る上 の定 理 を 参 照 す る と,次 の 定 理 が得 られ た こ とに な る.
【定理 】 複 素 数 μが,Tの
固 有値 と なる ため の 必 要 十 分 な 条件 は
が 成 り立 つ こ とで あ る.こ こで
は,行 列
の行 列 式 を表 わ す.
そ こで次 の定 義 を お く. 【定 義 】
を,Aの
を 行 列Aの 固 有 多項 式 とい う.ま た方 程 式
固 有 方 程 式 と い う.
こ の 定 義 を 用 い れ ば,上
の 定 理 は 次 の よ うに い っ て も よ い.
μがTの 固 有値 ⇔
μが 固有 方 程 式 ΦA(λ)=0の 解
代 数 学 の 基 本 定 理 に よ り,ΦA(λ)=0は は λに つ い てn次 線 形 写 像Tに
の 多 項 式 だ か ら,相
の 解 を も つ.一
異 な る 解 は 高 々n個
方,ΦA(λ)
しか な い.し
たが っ て
つ き 次 の 定 理 が 成 り立 つ.
【定 理 】 (ⅰ) Tは 少 な く と も1つ
少 な く と も1つ
の 固 有 値 を も つ.
(ⅱ) Tの 相 異 な る 固 有 値 の 個 数 は 高 々n個
で あ る.
固 有 多 項 式 の 不 変 性
線 形 写 像Tの
固 有 値 を 求 め る こ と を,固
式 化 を み る と,1つ
気 に な る こ と が あ る.そ
に 関 し て 定 義 さ れ て い る も の な の に,固 て い る.Vの
有 方 程式 を と くこ とに還 元 す る上 の定
基 底 を と りか え れ ば,当
れ は,固
有 値 は も と も と 線 形 写 像T
有 方 程 式 の 方 は,Tを
然Tを
表 わ す 行 列 を用 い
表 わ す 行 列 は 形 を 変 え て く る.固
有
変 え る と,Tを
底
方 程 式 は そ の と き ど うな る の だ ろ うか. Vの 基 底 を{e1,…,en}か 変 換 の 公 式(33頁)に
ら{e1,…,en}に
よ り,Aか
ら B=P−1AP
へ と 変 わ っ て く る.こ 有 多 項 式,し
表 わ す 行 列 は,基
こ でPは
基 底 変 換 の 行 列 で あ る.次
の 命 題 は,こ
の と き固
た が っ て ま た 固 有 方 程 式 は 変 わ ら な い こ と を 示 し て い る.
【証 明 】
こ の 証 明 の 途 中 でP−1P=Eか
ら,行
列 式 を と っ て
と な る こ と を 用 い て い る.
.し
た が っ て
この結 果 に よ り,固 有 多 項 式 はTを 表わ す 行 列 の と り方 に は よら ない こ とが わ か っ た.固 有 多項 式 は 線 形 写像Tに 固 有 な もの な の であ る!そ
の意 味 で,Tを
表わ す 行 列Aを 任 意 に1つ と った とき
とおい て も よい こ とが わ か っ た.そ して 言葉 づ か い の方 も,線 形 写 像Tの 固有 多 項 式,線 形 写像Tの
固有 方 程式 とい うよ うな い い方 を す る. Tea
質 問 連 立 方 程 式 の 解 法 で,係 て 聞 き ま した.そ ar+2,…,anに
Time
数 の 行 列 式 が0に
な る 場 合 の こ とは こ こ で は じ め
の 説 明 を ま と め て み る と,結 局 解 はn−r個
の パ ラ メ ー タar+1,
よ って
(*) (i=1,2,…,r)と
表 わ さ れ て い る とい っ て い る よ うで す.こ
の 解 の 形 に つ い て,
も う少 しわ か りや す く直 観 的 に 説 明 し て い た だ け ま せ ん か. 答 直 観 的 な 説 明 に は,複
素 数 よ りは 実 数 の 方 が よ い よ うで あ る.対
を 実 数 の 場 合 に 説 明 し て み よ う.す な わ ち 与 え ら れ たn元1次 係 数 で,そ
の 方 程 式 はRnの
座 標(x1,x2,…,xn)に
と考 える の で あ る.も っ と もn次
元 空 間Rnに
っ て い る と し て 話 す こ と に す る.最
初 の 連 立 方 程 式 に お け る 変 数 の 順 序 は,消
… ,an)で
は,解
は,(*)で
上Rn−rの
も ち ろ ん,実
がRn−r全
の座 標
い い表 わ され てい る こ と
表 わ さ れ る よ うな,第1座 と して 存 在 し て い る.解
上 全 体 に わ た っ て,'平
上 の1点(0,…,0,ar+1, 標,…,第r座
全 体 は,こ
面 状'の
な っ て お り,(*)は,こ
の'平
体 を お お っ て い る こ とを 示 し て い る.
標 まで の
の よ うな点 の 集 ま り
雲 と し て た な び い て い る.
際 は 見 上 げ る な ど と い うの は た と え で あ っ て,解
r次 元 の 平 面'と
後 のn−r個
去
元 の 座 標 平 面Rn−r={x=(0,…,0,xr+1,…,xn)}
の 地 上 に 立 っ て 解 を 見 上 げ て み る と,地
高 さ を も っ た 場 所 に1点 と し て,地
の 結 果,最
パ ラ メ ー タ と な っ て い る.(*)で
は 次 の よ う な こ と で あ る,n−r次 を 地 上 と考 え,こ
関 す るあ る 関係 を 与 え てい る
対 し て も,君 が 漠 然 と し た 描 像 は も
法 を 行 な う過 程 で 適 当 に と りか え ら れ た か ら,そ 成 分{ar+1,…,an}が
応す ること
の 連立 方 程 式 は 実
面'の
はRnの
中 で'n−
座 標 平 面Rn−rへ
の射 影
第6講 固
有
空
間
テーマ
● 固有空間 ● 固 有 空 間 の 次元 ● 異 な る固有 値 に 対 す る固 有 空 間 に よ る 直和 ● 対 角 化 可 能 な 線形 写 像 ● 対 角 化 可 能 な行 列 ● 対 角化 可能 とな る条 件―
固 有 値 の 重 複度 と固有 空 間 の 次元 の 一 致
固 有 空 間 TをV上
の 線 形 写像 とし,μ をTの 固有 値 とす る.こ の と き μに 属 す る 固有 ベ
ク トル の全 体 をE(μ)と
表わ す:
次 の こ とが 成 り立 つ.
【証 明 】 この式 は す なわ ちE(μ)自
を 示 し て い る.
身 ベ ク トル空 間 の 構 造 を もっ てい る.E(μ)はVの
部 分空 間
で あ る. 【定 義 】 E(μ)を 固有 値 μに 属 す る 固有 空 間 とい う. 固有空 間の 次元 まず 固有 空 間E(μ)の 次 元dim
E(μ)に つ い て触 れ てお こ う.dim
E(μ)と は,
固 有 空 間E(μ)に
含 ま れ る,1次
独 立 な 元 の 最 大 個 数 の こ と で あ る.し
う い うい い 方 だ け で は 少 し 不 親 切 か も しれ な い.dim
E(μ)=mと
次 独 立 な 元f1,…,fmがE(μ)の
任 意 の 元xは
中 に あ っ て,E(μ)の
と表 わ され る こ と で あ る.{f1,…,fm}は,ベ
か し,こ
い う こ と は,1 た だ1通
ク トル 空 間 と し てE(μ)の
りに
基 底 を与
え て い る. μ が 固 有 値 な らば,μ の1次
に 属 す る0で
な い 固 有 ベ ク トル が 存 在 す る.ま
独 立 な 元 の 個 数 は 高 々n(=dim
V)で
たVの
中
あ る こ とに注 意 す る と
が 成 り立 つ こ とが わ か る.
固 有 空 間 に よ る直 和
TをV上
の 線 形 作 用 素 と し,Tの
異 な る 固 有 値 を μ1,μ2,…,μs,こ の 固 有 値 に
対 応 す る 固 有 空 間 を そ れ ぞ れE(μ1),E(μ2),…,E(μs)と
す る.
こ の と き 次 の 命 題 が 成 り立 つ.
(*)
と し
x1+x2+…+xs=0
と す る.こ
【証 明 】 ま ずxi∈E(μi)か にTを
(1)
の と きx1=x2=…=xs=0と
らTxi=μixiで
な る.
あ る こ とを 注 意 し よ う.(1)の
適 用 して
(2) ま た(1)の
両 辺 に μ1を か け て
(3) (2)式
か ら(3)式
を引いて
(4) が 得 ら れ る.こ
こ でi=2,3,…,sに
対 し
両辺
とお く と,
で あ っ て(4)は
(5) と表 わ さ れ る. こ の(5)に き る.そ
対 し て,(1)に
対 し て 行 な っ た と 同 様 の 議 論 を 適 用 す る こ とが で
うす る と今 度 は
とい う関係 が 得 られ るだ ろ う. (1)か
ら出 発 してs−1回
が 得 ら れ る.こ
この操 作を 繰 り返 す と結 局
こで
に よ り,し
で あ る.
た が っ てxs=0
と な る. し た が っ て(1)式
はx1+x2+…+xs−1=0と
同 様 の 考 察 を 行 な う こ と に よ り,xs−1=0が 局xs=xs−1=…=x2=x1が (*)は
得 ら れ る.順
れ に 対 して い ま と
次 こ の よ う に し て,結
成 り 立 つ こ と が わ か る.
直 観 的 に は,固
有 空 間E(μ1),…,E(μs)が
て い る こ と を 示 し て い る.た E(μ2),…,E(μs)の
な っ た が,こ
と えばE(μ1)の
それ ぞ れ 独 立 な方 向を は っ
元x1は,0で
な い 限 り,け
元 に よ っ てx1=y2+y3+…+ys(yi∈E(μi))と
は表 わ され な
い の で あ る(x1=y2+…+ys⇔x1+(−y2)+…+(−ys)=0に し た が っ て ま た,dim
E(μi)=mi(i=1,2,…,s)と
注 意). し
の基 底: の基 底:
の基 底: とす る と,こ れ らの 基 底全 体
(6) はVの
中 で1次
独 立 な 元 と な っ て い る.
っ して
そ こで,こ れ らの1次 独 立 な元 の1次 結 合 と して表 わ され る元
の 全 体 の つ くる ベ ク トル空 間 を
と お き,Tの
固 有 空 間 に よ る 直 和 と い う.
の基 底 は,明 らか に(6)で
与 え られ てい るか ら
が 成 り立 つ.
対 角化 可 能 な 線 形 写 像 【定義 】 TをV上
の 線形 写 像 とす る.Tの
が成 り立 つ と き,Tを
相 異 な る固 有 値 μ1,μ2,…,μsに 対し
対角 化 可 能 な線 形 写像 とい う.
す ぐ上 に 述 ベ た こ とか ら 明 らか な よ うに,
Tが 対角化可能 が 成 り立 つ.こ
こ でn=dim
Vで
あ る.
線 形 写 像 が 対 角 化 可 能 で あ る と い うい い 方 は,少 単 純(semi-simple)と
い うい い 方 も あ る が,こ
あ ま り な じ ま な い よ うで あ る.対 Vに
基 底{e1,…,en}を
し 妙 に 響 くか も しれ な い.半
の 言 葉 も この 講義 の流れ の 中で は
角 化 可 能 で あ る とは 次 の よ うな 理 由 に よ る.
と り,V上
の 線 形 写 像 を こ の 基 底 に 関 し 行 列 表 現 し,
線 形 写 像 と行 列 を 同 一 視 す る こ と に す る.線
形 写 像Tを
行列
と同一 視 す る.い まTが 対 角 化 可 能 で あ った とす る と,Vの (6)を
と る こ とが で き る.
新 しい基 底 と し て に 注意 す る
と,こ
の 基 底 に つ い て は,Tは'対
と し て 表 わ さ れ る こ とに な る.す 行 列 をPと
角 行 列'
な わ ち,{e1,…,en}か
ら(6)へ
の基 底 変 換 の
す る と
(7) とな る.こ の と き行 列Aは 対角 化 可 能 で あ る とい う. この節 の 冒頭 に述 べ た 定 義 に 比べ れ ば,(7)の
表 記 の方 は 簡 明で 印 象的 であ っ
て,'対 角 化 可能'と い う言葉 を 用 い た 背景 を 明 らか に して い る. 逆 に,行
列Aが 適 当 な基 底 変 換Pで,(7)で
わ す線 形 写 像Tは 対 角 化可 能 で あ っ て,VはTの
示 したBの 形 にな れば,Aの
固有 空 間の 直和 とな る.こ の こ
とは次 の よ うに し てわ か る.行 列 がBの 形 に な る とい うこ とは,と のBを 表 わ す基 底 は,行 列B(し
表
た が っ て線 形 写 像T)に
りも直 さず こ
よ って μi倍され る こ と
で あ り,し た が っ て この基 底 はTの 固有 ベ ク トル か らな ってい るか ら であ る.
対 角 化 可 能 と な る条 件 線 形 写 像Tの 相 異 な る 固有 値 を μ1,…,μsとす る.固 有値 は 固 有 方程 式 の解 な の だか ら,こ の こ とはTの 固有 多 項 式 ΦT(λ)が因 数分 解 され
(8)
と表 わ さ れ て い る こ と を 意 味 し て い る.ΦT(λ)はn次 こ う.方
程 式 の 言 葉 で は,k1,…,ksは,ΦA(λ)=0の
し て い る. こ の と き一 般 的 に 次 の 命 題 が 成 り立 つ.
式 で あ る こ とを 注 意 し て お 解 μ1,…,μsの 重 複 度 を 表 わ
(9) 【証 明 】 ど の 場 合 も 同 じ だ か ら,i=1の fm1と す る.し
で あ る.こ m1個
がVの
基 底 をf1,…,
た が って
の と き,第4講'1次
の1次
と き を 考 え る.E(μ1)の
独 立'の
独 立 な 元em1+1,…,enを
節 で 述 ベ て お い た よ うに,適
当 なn−
つ け 加 え る こ とに よ り
基 底 とな る よ うに で きる.こ の基 底 に 関 してTを 表わ す 行 列 は
の形 とな る.し たが っ て固 有 多項 式 の 不 変 性 に注 意 した 上 で,こ の行 列 を 用 い て Tの 固有 多 項 式 を求 め てみ る と
(Eはn−m1次
と な る(F(λ)はn−m1次 わ か る.こ
見 比 べ てm1≦k1が
成 り立 つ こ とが
れ で 命 題 が 証 明 さ れ た.
ΦT(λ)=0の よ う.上
の 多 項 式).(8)と
の 単 位 行 列)
解 と し て の 固 有 値 μ の 重 複 度 を,単
の 記 号 で は μiの 重 複 度 はkiで
【定 理 】 線 形 写 像Tが
に μ の 重 複 度 とい う こ と に し
あ る.
対 角 化 可 能 と な る た め の 必 要 か つ 十 分 な 条 件 は,Tの
有値 μ に対 し
の 重複 度 が 成 り立 つ こ と で あ る.
【証 明 】 Tの 相 異 な る 固 有 値 を μ1,μ2,…,μsと す る.こ
の と き(9)と(8)か
各固
ら
が 成 り立 つ.こ
こで 等 号が 成 り立 つ のは
の と き に 限 る.一
方
が対角化可能 な の だ か ら,こ
れ で 定 理 が 証 明 され た.
こ の 定 理 は,線
形 写 像Tが
い つ 対 角 化 可 能 に な る か と い う,第1講
は 非 常 に 幾 何 学 的 に み え た 問 題 が,複
や 第2講
素 数 ま で 考 察 の 範 囲 を 広 げ る と,完
で
全に代
数 の 世 界 で 律 せ ら れ る 問 題 に な っ た こ と を 示 し て い る.問
題 の所 在 を 明 らか に し
た と い う意 味 で,実
理 の 左 辺 はE(μ)の
元 で あ り,こ
に 明 快 な 定 理 で あ る と い っ て よ い.定
れ は(μ
よ り求 め ら れ る.右
さ え わ か っ て い れ ば)連 辺 は,ΦT(λ)=0の
次
立 方 程 式 を 実際 とい てみ る こ とに
解 μ の 重 複 度 だ か ら,こ
れ は 方程 式 論 の
問 題 と な っ て い る.
とい って も,5次 の定 理),dim
V≧5の
以 上 の 代数 方 程 式 には 一 般 的 な 解 の公 式 は 存 在 しな い(ア ー ベル と きには,ΦT(λ)の 次 数 は5以 上 とな るか ら,与 え られ た 線形
写 像Tに 対 して,固 有 値 の 正確 な 値 を 求め る道 は,永
遠 に 閉 ざ され て い る とい って よ
いの であ る.実 際 上 は,固 有 値 の 十分 よい 近似 値 を 求 め る こ とにな るが,こ
の よ うな
眼 で 定 理 を み る と,定 理 は 数学 の完成 され た形 式 の方 へ 向 か っ てひ と り言を い って い る よ うに もみ え て くる.
Tea
質 問 固 有空 間 の 次元 が,1,2,…,nと
Time
な る よ うな線 形 写 像 の 典型 的 な 例 を あ げ
て い た だ け ま せ ん か. 答 μ≠0と 例 は,行
し よ う.こ
の と きdim
E(μ)が1,2,…,nと
列 で 表 わ す と次 の よ うな も の で 与 え ら れ る.
な る典型 的 な 線形 写 像 の
(*で か い て あ る ところ に は適 当 な数 が は い る).こ の それ ぞれ の 固有 空 間 は,順 に
と な っ て い る.
質 問 と こ ろ で 固 有 空 間 と い うの は,英 答 固 有 空 間 は 英 語 でeigenspace(ア い う単 語 は も と も と ドイ ツ 語 で,'固 形 容 詞 だ か ら,君 か.ど
イ ゲ ン ス ペ ー ス)と 有 の'と
か'特
い うが,こ
有 の'と
う し て こ の よ う な こ と に な っ た か 詳 し い 由 来 は 知 ら な い.固 い うが,こ
有 方 程 式 はcharacteristic
乱 れ て い る が,日
のeigenと
い うこ とを表 わ す
が 手許 の英和 辞 典 を 引 い て も多 分 出 て い ない の では ない だ ろ う
うな い い 方 で,eigenvalueと あ る.固
語 で 何 と い う の で す か.
本 語 は'固
有'と
し ろ 紛 れ が 少 な い よ うで あ る.
ち ら の 方 はproper
equationで
あ る.英
valueと
有 値 も同 じ よ い うこ と も
語 の方 は形 容 詞 が 入 り
い う言 葉 で 一 貫 し て 通 す こ とが 多 い の で,む
第7講 対 角化可能 な線形写像 テーマ
● 固 有 方 程 式 の解 が す べ て異 な る と き―
対 角化 可能
● 写 像 の 繰 り返 し ● ハ ミル トン ・ケ ー リーの 定理 ―
対 角化 可 能 な場 合
● 対 角 化 可 能 な とき,逆 写像 を もつ条 件 は 各固 有値 ≠0 ● 対 角 化 可 能 で な い線 形 写 像 ● ジ ョル ダン標 準 形 ● 線 形 写像 は一 般 的 な状 況 で は対 角 化 可能 ● ハ ミル トン ・ケ ー リーの 定 理 ―
一 般 の 場合
固有方 程式の解 がすべ て異な るとき 線 形 写 像Tの 固 有方 程 式 ΦT(λ)=0の 解 が,す べ て異 な る と きを 考 え よ う.こ の ときTはn個
の異 な る 固有 値 μ1,μ2,…,μnをもち,
とな る.前 講 の 言葉 づ か い で は,Tの
各 固 有値 の 重複 度 は1で あ る.
【定理 】 線 形 写 像Tの 固 有値 の重 複 度が す ベ て1の
とき,Tは
対角 化 可 能 で あ
る.
【証 明 】 前 講の(9)を
い まの場 合 適 用 す る と(ki=1だ
か ら)
とな る.固 有 空 間 の次 元 は つ ね に1以 上 なの だか ら,こ れ か ら
が 得 られ る.し た が って前 講定 理 の 判 定 条件 が 成 り立 ち,Tは 対 角 化 可 能 とな る.
実 際 は,ΦT(λ)=0の よっ て―Tを
解 に もし重 解が 現 わ れれ ば,Tを
ご く少 し変 え る こ とに
行 列 で 表 わ した と きには,行 列 成 分 を ご く少 し変 え る こ とに よ っ
て―,ΦT(λ)=0の
解 に 重解 が 現わ れ ない よ うに す る こ とが で き る(読 者 は,2
次 関 数 や3次 関数 の グラ フを思 い 浮 かべ て,y軸
方 向に ご く少 し上 下 す る だ け
で,グ ラ フがx軸 に接 しな い よ うにす る こ とが で き る こ とを思 い 出 され る とよい だ ろ う).そ の 意 味 で,こ
の定 理 の条 件 で 与え られ て い る状 況 は,十
状 況 であ る とい って よ い.し たが って また この定 理 は,少
分一 般 的 な
し大 胆 ない い方 をす れ
ば,'一 般 的 な'状 況 では 線形 写 像 は 対角 化 可 能 で あ る こ とを示 してい る.こ の こ とにつ い ては,こ の 講 の後 半 で も う少 し詳 し く述 べ る こ とに し よ う.
写 像 の 繰 り返 し
Tを 対 角 化 可 能 な 線 形 写 像 とす る.こ の と きVは,Tの
相 異 な る 固 有 値 μ1,μ2,
… ,μsに 属 す る 固 有 空 間 に よ っ て
と 分 解 さ れ る.こ
の 分 解 に した が っ てVの
元xは,た
だ1通
りに
(1) と表 わ さ れ る.
だ か ら,こ
の 両 辺 に も う一 度Tを
と な る.こ
こ でT2=ToTは
ほ どこ してみ る と
合 成 写 像 で あ る.同
じ よ うに し てTのk回
し (k回)
を 考 え る と,(1)の
分解 を 用 い てTkは
(2) と表わ され る こ とが わ か る. よ り一 般 に,任 意 に 与 え られ た複 素 係 数 の 多項 式
の 繰 り返
に 対 して,V上
の 線形 写 像
(Iは 恒 等 写像)を 考 え る こ とが で き る.(1)の
分 解 を用 い て(2)に
注意 す る
と,p(T)は
と 表 わ さ れ る こ と に な る. 特 にp(λ)と
だ か ら,すべ
し て,Tの
て のx∈Vに
固 有 多 項 式 ΦT(λ)を と る と
対 し て ΦT(T)x=0と
(*) Tが 対角 化 可 能 な と き,Tの
な る.す
なわ ち
固有 多項 式 ΦT(λ)に対 して
が 成 り立 つ.
こ こ で 実 は,仮
定'Tが
対 角 化 可 能'を
除 く こ とが で き る.そ
れ は す ぐあ と で 述
べ る こ と に し よ う. な お 次 の こ と も注 意 し て お こ う. Tが 対 角 化 可 能 の と き,Tが1対1写 条 件 は,Tの
像 とな る ため の必 要 十 分
各 固 有 値 μi(i=1,…,s)が0で
こ の と き(1)の
な い こ と で あ る.
分 解 を 用 い る と,T−1は
と表 わ さ れ る.
【証明 】 必 要 性:も
し た と え ば μ1=0と
す る と,x∈E(μ1)に
対 し てTx=0が
成
り立 つ.xと
し て0で
な い 元 も とれ る か ら,Tは1対1で
十 分 性:μ1≠0,…,μs≠0な と き 確 か にTT−1=T−1T=Iが
ら ば,T−1を
な く な る.
上 の 式 で 定 義 す る こ とが で き る.こ
成 り立 つ か ら,Tは
の
逆 写 像 を も ち,Tは1対1で
あ る.
対 角 化 可 能 で な い線 形 写 像 V上 の 線 形 写像Tは 必ず しも対 角 化 可能 とは 限 らな い.Vに1つ
基 底 を と り,
線 形 写 像 を 行列 で 表 示す る こ とに よ って この こ とを説 明 し よ う. た とえば 行 列
は そ の よ うな例 を 与 え て い る.実 際,Nの
で あ っ て,し
た が っ てNの
よ り,固 有 値0に
属 す る 固 有 ベ ク トル,す
の 形 の も の だ け で あ る.し の と き は)Nは 一 般 にTが
固 有 値 は0だ
固 有 多項 式 は
け で,こ
の 重 複 度 はnで
な わ ちNx=0を
た が っ てdimE(0)=1と
あ る.一
方,
み た す 元xは
な り,前 講 の 定 理 か ら,(n≧2
対 角 化 可 能 で な い こ とが わ か る. 対 角化 可 能 とい う こ と と ,αI+T(α
は 同 じ こ とで あ る.そ
れは
の 関係 か ら,αI+Tの
固有 値 λと,Tの
∈C)が
対 角 化 可 能 とい う こ と
固有 値 λ−α とが1対1に
対応 し,同 じ
固有 空 間 を 共 有す るか らで あ る.し たが っ てTが 対角 化 可 能 で なけ れ ば,αI+T
も対 角 化 可能 で な い. 特 にNが 対 角 化 可 能 で な い こ とか ら,行 列
も対角 化 可 能 で ない こ とが わ か る.こ の右 辺 に現 わ れ た 行 列 を,行 列 の 大 きさn もは っ き りさせ るた め に,
で 表わ す こ とに す る.
この とき次 の結 果 が 知 られ てい る. 任意 の 行列Aは 適 当 に基 底 を と り直 す と
の 形 に 表 わ さ れ る(Pは
基 底 変 換 の 行 列).
Aが 対 角 化 可 能 と な る の は,n1=n2=…=ns=1の
と きで あ る.
これ を ジ ョル ダン の標 準 形 とい う.こ の主 題 に つ い て は こ こで は これ 以上 触 れ な い こ とに す る. 線 形 写 像 は 一 般 的 状 況 で は 対 角化 可 能 この よ うに,V上
の 線 形写 像Tに 対 しては2つ の場 合 が 生 ず る.1つ
は 対 角化
可 能 の と きで あ り,他 の1つ は 対角 化 可 能 で な い とき で あ る.こ こで誰 にで も生 ず る疑 問 は,一 体,ど
ち ら の方 が 起 きや す い の だ ろ うか とい うこ とで あ る.結 論
を 先 に い え ば,対 角化 可 能 の場 合 の方 が 一般 的 で あ っ て,対 角 化可 能 で ない 方が 例 外 的 で あ る とい っ て よ い ので あ る. 一般 的 とか例 外 的 とか い うい い方 で は,次 の こ とを い って い る.対 角 化 可能 な 線 形写 像 の近 くに あ る線 形 写像 は また 対 角化 可 能 だ が,対 角化 可能 で ない 線形 写 像 の ど ん な近 くを と っ てみ て も,対 角 化 可能 な線 形 写 像が 存 在 してい る.
このよ うないい方はわか りに くいので,た とえで説明 した方がよい だろ う.夏 の越 後平野を上空か ら見下ろす と,ど こまで も広が る緑の田の中に,細 い畦道が定規 で引
い た 直 線 の よ うに格 子 状 に走 って い る.田 に入 って働 く人 は,自 ぼ だ と思 うが,畦 道 に 立 つ人 は,少
分 の近 くは み な 田ん
しで も足 を 踏 み外 せ ば,田 ん ぼ に落 ち て しま う.
この 場 合,緑 の 田の 方 が一 般 的 で あ り,畦 道 の 方 が例 外 的 で あ る.対 角 化 可能 な線 形 写 像 を 田ん ぼに た とえ,対 角 化 可 能 で な い線 形 写像 を,畦
道 の 方 に た とえ て み る と よ
い.
こ こで 線 形 写 像を 少 し変 え る とか い た のは,線 形 写 像 を 行 列 表 示 した と き,'行 列 成 分 を 少 し変 え る と'と 読 ん でお くとよ い.2次 み よ う.2次
の 行列 を 例 に とっ て説 明 して
の行列
の固有方程式は
で あ る.最 初 に 述べ た 定 理 に よれ ば,ΦA(λ)=0が 重 解 を もた なけ れ ば 対角 化 可 能 で あ る.重 解 を もた な い条 件 は,2次 れ る.こ の こ とか ら,Aが 的 にD=0),Aの
方 程 式 ΦA(λ)=0の 判 別 式D≠0で
与えら
た とえ対 角化 可能 でな か った と して も(こ の と き必 然
行列 成 分 を ご く少 し変え る だけ で 対 角化 可能 に す る こ とが で き
る こ とが 推論 され るだ ろ う. た とえば
は 対 角 化 可 能 で ない が,正 数 εを どん なに小 さ くと って も
の 固有 方 程 式 の 判 別 式 は(2α2−ε)=4ε≠0と 一 般 的 な 形 で述 べ る と次 の よ うに な る.2つ
な り,対 角 化 可能 とな る. のn次 の 行 列
に対 し
とお く.│A−B│が
小 さ い と い う こ とは,AとBの
対 応 す る成 分 の 差 が 小 さ い と
い うこ とで あ る.こ の とき次 の こ とが 成 り立 つ. Cは 対 角 化 可 能 で な いn次 の行 列 とす る.こ の とき次 の性 質 を もつn次 の行 列 の系 列{Ai}(i=1,2,…)が
存在 す る:
(ⅰ) 各Aiは 対 角 化 可能 (ⅱ)
前 のた とえ で は,'畦 て,い
道 に立 って い る人'Cは,'田
ん ぼ の 方 に い る人'Aiに
よっ
くらで も近 づ け る の であ る.
証 明 の 考 え 方:
これ は ΦC(λ)が 重 解 μ を も つ と き,こ
の 重解 を 単 解 で 近似 で
き る こ と に よ っ て い る.実
際 た とえ ば
と表 わ す こ とが で き る.こ
こ で μ1,μ2,…,μmは 相 異 な る 数,limは
た し な が ら,μ1→u,μ2→ 因 数 に 適 用 し て,解
μ,…,μm→ μ と な る こ と を 示 す.こ
この 条件 を み
の 事 実 を ΦC(λ)の 各
と係 数 の 関 係 を 用 い て 行 列 成 分 の 方 に お き か え て み る と よ
い. こ の 応 用 と し て,次
の 有 名 な ハ ミル トン ・ケ ー リー の 定 理 を 証 明 し て み よ う.
【定 理 】 線 形 写 像Tに
対 し
ΦT(T)=0
が 成 り立 つ.
こ こ で ΦT(λ)はTの
固 有 多 項 式 で あ り,
と お い た と き,ΦT(T)は
に よっ て定 義 され る線 形 写 像 で あ る. 【証 明 】 Vに 基底 を と り,線 形 写 像 を 行列 に 表 現 した 上 で証 明す る.対 角 化 可能 な 行列 に対 して定 理 が成 り立 つ こ とは,(*)で 行 列Cに 対 して は,Cに'近
示 して あ る.対
角化可能でない
づ く'対 角 化 可 能 な行 列 の系 列Ai(i=1,2,…)を
と
る.こ の とき,行 列Aiの 各 成 分がCの 対応 す る成分 に近 づ くこ とか ら
と な る こ とが わ か る が,ΦAi(Ai)=0だ
か ら,ΦC(C)=0が
Tea
成 り立 つ.
Time
質 問 ハ ミル トン ・ケ ー リーの定 理 の証 明は,前 に 別 の本 で読 んだ こ とが あ りま すが,そ
こで は代 数 的 に 証 明 され てい て,ど
うして こんな こ とが い え るの か,納
得 しに くい気 分 が してい ま した.こ こで示 され た よ うに,対 角 化 可 能 の と き まず この定 理 を証 明 し―
この場 合は 明 快 です―,あ
とは 連続 性 で一般 の 場 合 に成
り立 つ とい う道 の方 が,道 の りは 少 し遠 い として も,わ か りや す い と思 い ます. この よ うな原 理 で 示 され る こ とは,別 に もあ るの で し ょうか. 答 ハ ミル トン ・ケ ー リー の定 理 に つい て は,線 形 代 数 の教 科 書 で は,こ
こで述
べ た よ うな証 明 法 は あ ま り採 用 して い ない よ うで あ る.そ れ は 代 数 の 枠 の 中 で証 明 を 済 ませ た 方 が,数 学 的 に整 って い る と考 え るか らだ ろ う. 質 問に 対 して 直 接 の答 には な らな いか も しれ な いが,次 の こ とを 注 意 して お こ う.線 形 写 像Tが 対 角 化 可 能 の とき,任 意 の 多項 式p(λ)に
対 して,p(T)を
ご
く自然 に 定 義 で き た.同 様 の 考 えで,収 束 す る無 限級 数,た
とえ ばeλ や,sinλ,
cosλ に対 して も,
の よ うに,線 形 作 用 素 を 定 義 す る こ とが で き る.固 有 ベ ク トルx―Tx=μx― に 対 し て は,た
と な る.こ
とえば
の こ とか ら 各 固 有 ベ ク トル に 対 し て 確 か め る こ と に よ り,対 角 化 可 能
なTに 対 しては,複 素数 の と き と同様 に
とい うオ イ ラーの 公式 が 成 り立 つ こ とが す ぐにわ か る.こ '連 続 性'に
こか ら,原 理 的 に は
よ って,任 意 の線 形 作用 素 に対 して もこ の関 係が 成 り立 つ こ と が わ
か るの で あ る.
第8講 内
積
テーマ
● 代 数 的 な ベ ク トル空間V上
に,距
離 とか 直 交性 の概 念 を 導入 す る こ とに
よ り,新 た に幾 何 学的 観 点 を 得 た い. ● 内積 の 定義 ● ノル ム,距 離 ● シ ュ ワル ツ の不 等式 ● ノル ム と距 離 の性 質―
三 角 不等 式
● 内 積 と ノル ムの 関 係 ● 内 積 の定 義 の 背景―R2とR3の
場合
は
前 講 の 終 り で 述べ た よ う な,対 な 議 論 に 入 っ て い く と き に,新
じ め
に
角 化 可 能 な 線 形 写 像 が 十 分 多 くあ る と い う よ う し い 問 題 設 定 が 少 しず つ 生 じ て き た こ と に,ま
ず
注 意 を 喚 起 し て お こ う. 前 講 で は,V上 写 像Sに
の 線 形 写 像 の 系 列Ti=(i=1,2,…)が,i→∞
近 づ く と い う状 況 を 考 え た か っ た の で あ る.そ
つ の 基 底 を と っ て,各Ti(i=1,2,…)を わ し,i→∞
の と き,Aiの
行 列Aiと
各 成 分 が,対
応 す るBの
の と き,あ
る線 形
の た め 私 た ち は,Vに1
し て 表 わ し,Sを
行 列Bと
表
成 分 に 近 づ くな ら ば,TiはS
に 近 づ く と考 え た の で あ っ た. し か し注 意 す る こ とは,私
た ち は こ の と き,Vに
戻 っ て,Vの
各 元xに
対 して
Tix→Sx (i→∞) と い う こ と は 考 え ら れ な い の で あ る.な か 許 さ な い 代 数 的 な 対 象 で あ っ て,こ こ とは で き な い か ら で あ る.実
ぜ な ら,Vは
こ に'近
加 法 とス カラ ー積 の演 算 し
づ く'な
ど と い う概 念 を 導 入 す る
数 の 場 合 に た と え て み れ ば,ベ
ク トル 空 間 の 概 念
は,実
数 の 中 に あ る 算 術 的 性 質―
よ う な も の で あ っ て,数
加 法 と 乗 法―
だけ を と り出 し て抽 象化 した
直 線 の よ うな 概 念 は ま だ 投 入 され て い な い の で あ る.2
点 の 距 離 を 測 れ る 数 直 線 の よ う な 表 象 が な く て,ど う こ と を 考 え る こ とが で き る だ ろ うか.ベ て み れ ば,な
う し て 実 数 列 の 収 束 な ど とい
ク トル 空 間 は,幾
何 学 的 な 見地 に 立 っ
お 空 々漠 々 と し て い る.
もち ろ ん 私 た ち は,抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 を取 り扱 うとい って も,必 要 に応 じ ては, 基 底 を と ってCnの 離 も,Cnの
方へ 移 して 議論 し てい る.そ
れ では ベ ク トル空間Vの2点
方 へ 移 して 考 え れ ば よい では ない か と考 え られ る.し
方 に した が って,Cnへ
間 の距
か し,基 底 の と り
の移 し方 が違 い,そ れ に応 じて2点 間 の 長 さが 変 わ って くる と
い うこ とで は 心 許 な い.も ち ろん 読 者 の 中に は,そ れ で もVの 位 相 は決 まる だ ろ うと い わ れ る方 もお ら れ るか も しれ な い.確
か に,そ れ は そ うな の だが,有 限 次 元か ら無
限 次 元 へ と しだ い に話 を広 げ よ う とす る と,こ
の よ うな 考 え で は道 はす ぐに行 きづ ま
っ し ま うの であ る.
私 た ち は,こ
こ で 述 べ て い る 固 有 値 問 題 を,有
限 次 元 か ら無 限 次 元 へ と上 げ,
そ れ に よ っ て 固 有 値 問 題 を し だ い に 解 析 学 を み る1つ て い る.そ も,ま
の た め に は,数
直 線 の よ うな は っ き り と し た 表 象 は 得 ら れ な い と し て
ず 有 限 次 元 の ベ ク トル 空 間 の 中 に,距
投 入 し て お き た い.こ る が,そ
【定 義 】 ベ ク トル 空 間Vの
をxとyの
積'と
交 性 と い う概 念 を い う概 念 で 与 え ら れ
有 値 問 題 も ま た 新 し い 局 面 を 迎 え て く る の で あ る.
内
(x,y)を
離 の 概 念 と か,直
の よ うな 幾 何 学 的 概 念 は,'内
れ に よ っ て,固
の 視点 に ま で高 め よ う とし
積
任 意 の2元x,yに
対 し て,次
対 応 さ せ る 規 則 が 与 え ら れ た と き,Vに内積
の性 質 を み たす 複 素 数
が 与 え ら れ た と い い,(x,y)
内 積 と い う.
(I1) (x,x)≧0;等
号 はx=0の
と き に 限 る.
(I2) (I3) (y,x)=(x,y) (I3)で(x,y)は 使 うと
複 素 数(x,y)の
共 役 複 素 数 を 表 わ し て い る.(I2)と(I3)を
(I2)′
が 得 られ る.実 際
(I1)か
ら(x,x)は
負 で な い 実 数 で あ り,し
た が っ てそ の平 方根 を 考 え る こ と
が で き る. と お き,‖x‖ をxの
【定義 】
この 概 念 を 用 い て,xとyと
な お こ こ で はR上 の と き に は,内 (x,y)と
(x,y)を
の距離ρ(x,y)を
ノル ム と い う.
の ベ ク トル 空 間 の 場 合 も 触 れ て お こ う.R上
の ベ ク トル 空 間
た が っ て,(I3)は,単
対 し て,次
対 応 さ せ る 規 則 が 与 え ら れ た と き,Vに 等 号 はx=0の
の性 質 を み た す 実 数
内 積 が 与 え ら れ た と い う.
と き に 限 る.
(I2) (I3)′
シ ュ ワル ツ の不 等 式 次 の 不等 式 を 証 明 し てお こ う. [シ ュ ワ ル ツ の 不 等 式] x,y∈Vに
対 し
(1) 【証 明 】 x,yを
を 考 え る.内 で あ る.一
に(y,x)=
の こ とを や は り定 義 と し て 明 記 し て お く こ とに し よ う.
の ベ ク トル 空 間Vの2元x,yに
(I1)
た はxの
次 の よ うに 定 義 す る.
積 は 実 数 値 の み と る とす る.し
な る.こ
【定 義 】 R上
長 さ,ま
とめ て,実
数tの
積 の 性 質(I1)か
関数
ら
すべ て のt∈Rに
対 し F(t)≧0
方,(I2),(I3)と(x,x)=‖x‖2の
(2)
こ とな ど に 注 意 す る と
(〓(x,y)は
複 素 数(x,y)の
実 数 部 分).こ
れ はtの2次
式 だ か ら,(2)を
参照
して 判別 式 を 考 え る と
す なわ ち (3) が 成 り立 つ. い ま 複 素 数(x,y)の の と き 図11を
偏 角 を θ と す る.こ
見 て もわ か る よ うに,複 素 平
面 上 で 原 点 を 中 心 と し て− θ だ け の 回 転 を 考え る と,(x,y)は の 上 に 乗 る.−
この 回 転 に よっ て実 軸
θ の 回 転 は,e−iθ を か け る
こ と に よ り表 わ さ れ る か ら,こ
の こ と は
が 実 数 で あ る こ と を 示 し て い る.し
こ の 左 辺 は│(x,y)│に 意 す る と,こ
な おR上
れ で(1)が
等 し く,右
辺 は
図11
た が っ て(3)か
ら
に等 しい こ とに 注
証 明 され た.
の ベ ク トル 空 間 に考 察 を 限 る とき には,内 積(x,y)の
値は実数値だ
け を とる もの と約 束 し てお い た か ら,シ ュ ワル ツの 不等 式 の 証 明は,(3)を た段 階 で終 りとな る こ とに な る. ノ ル ム と距 離 の 性 質 ノル ム と距 離 は 次 の 性 質 を もつ. [ノ ル ムの 性 質] (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)
等 号 はx=0の
と き に 限 る.
示し
[距 離 の 性 質] (ⅰ)ρ(x,y)≧0;等
号 はx=yと
(ⅱ) ρ(x,y)=ρ(y,x)
(ⅲ) ρ(x,z)≦ρ(x,y)+ρ(y,z)
ノ ル ム の 性 質 に し て も,距 導 か れ る.問
題 は(ⅲ)で
ノ ル ム の 性 質(ⅲ)の
き に 限 る.
離 の 性 質 に し て も,(ⅰ)と(ⅱ)は
定義から す ぐに
あ る. 証 明:
((3)に
よ る)
これ か ら‖x+y‖ ≦‖x‖+‖y‖ が 得 られ る. 距 離 の性 質(ⅲ)の
証 明:
(ノ ル ム の 性 質(ⅲ)に
距 離 の 性質(ⅲ)に
現わ れ た不 等 式 を 三角 不 等式 とい う.
内 積 の 与 え ら れ た ベ ク トル 空 間 で は,こ 2,…)がyに
よ る)
の 距 離 を 用 い て,Vの
点 列{xi}(i=1,
近 づ くこ とを
に よっ て定 義 す る こ とが で き る.位 相 空 間 論 で の言 葉 を用 いれ ば,内 積 の与 え ら れ た ベ ク トル 空 間 は,距 離 空 間 とな るの で あ る.
内 積 と ノル ム の 関 係 内 積 の実 数 部 分,虚 数 部分 と ノル ムの 間 には 次 の 関係 が あ る.
を 用 い て計 算す る と
上 の 式 は す ぐに 確 か め られ る. 下の式は
の 両 辺 にiを か け て
と な る こ と に 注 意 す る と よ い.こ 分 が−〓(x,y)に
こ で 左 辺 は(ix,y)で
等 し い こ とを 示 し て い る.す
あ り,右
辺 は この 実 数部
なわ ち
であ る.こ の 右 辺 に上 の 結 果 を用 い る と,下 の式 が 成 り立 つ こ とがわ か る.
内積の定義 の背景 内積 の 定 義 の背 景 に あ る状 況を,実 数 の場 合 では あ るが,平 面R2と 空 間R3の 場 合 に 述 べ て お こ う.R2の
ベ ク トル の 長 さ を,ふ
つ うの よ うに
て
と表 わ す こ と に し よ う.R2の ルxとyの
な す 角 θ は,余
零 で な い2つ
のベ ク ト
弦 法 則(図12)
か らす ぐに 計 算が で きて
(4) と な る. 同 じ よ うにR3の
図12
と き に は,零
で な い2つ
の ベ ク トル
の なす 角 を θ とす る と
(5)
に対 し
が 成 り立 つ. R2,R3の
場 合,(4),(5)の
用 し て い る.す R2の
と き:
R3の
と き:
で あ る.(4),(5)か
と な る.し
右 辺 の分 子 に 現わ れ た 式 を 内積 の 定義 として 採
なわち
ら,い
ず れ の場 合 で も
た が っ て こ の 場 合 に は,シュ
ワル ツ の 不 等 式 は│cosθ│≦1と
い う事 実
と 結 局 は 同 じ こ と を 述 べ て い る こ と に な る. も ち ろ ん,R2とR3の
この 内 積 で は,(x,x)は,ベ
と な っ て い る.R2,R3の が,線
形 代 数 や 線 形 写 像 の 立 場 か ら は,長
い て は1次
さ,角
長 さ の2乗‖x‖2
さ や角 度 が 基本 的 な概 念 であ る 度 そ の も の よ りは,各
式 と な っ て い る 内 積 の 方 が は る か に 使 い や す い し,理
合 す る の で あ る.こ (I3)と
幾 何 学 的 取 扱 い に は,長
ク トルxの
の 内 積 の もつ 基 本 的 な 性 質 を 抽 出 し て,そ
成分につ
論 の 枠 に よ く適 れ を(I1),(I2),
し て 抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 に 付 与 す る 内 積 と し た も の が,前 の 定 義 で あ る.
も っ と も,内
積 の 条 件(I3):(y,x)=(x,y)が
これ は 複 素数zの
長 さは
少 し わ か りに く い か も し れ な い.
で 与 え ら れ,し
た が っ て ま たC2の
ベ ク トル
の 長 さの2乗 は
と な る こ と に よ っ て い る.こ
の こ と か らzと
の 内 積 の 式 で,z=wと
お
い た ものが 上式 と等 し くな るた め に は
と お く こ とが 自然 な こ と に な る.こ
の と き(w,z)=(z,w)が
Tea
質 問 R2,R3の
成 り立 つ の で あ る!
Time
こ こで述 べ られ た 内 積 の こ とは,高 等 学校 で も習 った こ とが あ
り ま す の で,僕
も よ く知 っ て い る こ と で し た.お
ク トル 空 間 と 考 え た と き,(x,y)=x1y1+x2y2以 (I3)を み た す'内
積'が
あ る の で す か.も
聞 き し た い の は,R2を1つ 外 に も,内
のベ
積 の 条 件(I1),(I2),
しあ る と した ら,そ
れ は ど ん な ふ うに
し て 見 つ け る の で し ょ うか. 答 R2の
場 合 を 考 え る こ と に し よ う.R2を
思 い 浮 かべ る と き,私
た ち は 自然 に
1つ の 直 交 座 標 を と っ て 考 え る が,そ
うす る と,よ
く知 っ て い る 内 積 以 外 に は も
う 内 積 は な い よ う な 気 が し て く る.そ
れ は 直 交 座 標 を 導 入 し た と き に,い
つの間
に か 長 さ の 測 り方 とか,直
角 を指 定 し て しま った こ とに な ってい るか らで あ る.
質 問 に 答 え る た め に は,ま
ずR2か
ら 一 切 の 描 像 を 捨 て て,R2は
の 組 の つ く る ベ ク トル 空 間 と 考 え な くて は い け な い .次
と お く と,こ
の 任 意 の1
のとき
れ は ベ ク トル 空 間R2の1つ
と り方 は い くら で も あ る.実 際 は,R2の で あ る.こ
にTをR2上
の実 数
がTに よ って移 され た先 を
対1の 線 形 写像 とす る.
と表 わ す こ とに し よ う.こ
た だ2つ
の 内 積 と な る.だ
か ら,異
な る内 積 の
内 積 は す べ て こ の よ うに し て 得 ら れ る の
の こ と に つ い て は 次 講 で 触 れ る こ と に し よ う.
第9講 正 規直 交基 底 テーマ
● 直 交性 ● 正規 直 交 基 底 ● 正 規 直 交 基 底 の 存 在―
ヒルベ ル ト ・シ ュ ミッ トの 直交 法
● 正規 直 交 基 底 を 用 い た ときの 内 積 の表 示 ● 正規 直 交 基 底 に よ る展 開 ● 直 交補 空 間 ● 直 交分 解
直
内積 の 概 念 の背 景 には,R2やR3で
交
性
み た よ うに,長 さや 角 の幾 何 学 的 観 点が 横
たわ っ てい る こ とを知 る こ とは 重要 であ るが,C上
のベ ク トル 空 間 に移 る と,内
積 と角 とを 結 ぶ 糸 は 切れ て し ま う.た とえばC自 身 は1次 元 の 複 素 ベ ク トル 空 間 であ る.Cの2元z,wの
内積 はzwと
な るが,zwは
複 素数 値 であ り,こ れ に対 し
て幾 何学 的 な概 念 を 直 接 結 びつ け る こ とな どで きな い だ ろ う. しか しそれ で も私 た ち は,R2やR3の
中 で抱 い た 内 積 と角 との相 関 関係 か ら生
じて くる1つ の幾 何 学 的 感 触は,こ れか らの理 論 展 開 の 中 で も大 切 に 保存 してお きた い と思 う.そ れ は,R2,R3の
とき
(x,y)=0⇔cosθ=0⇔xとyが
直 交 して い る
が 成 り立 つ とい う状 況 であ る. そ のた め 次 の 定義 を お く. 【定 義】 内 積 を もつベ ク トル 空 間Vに yは 直 交 す る とい う.
お い て,(x,y)=0が
成 り立 つ と き,xと
正規直 交基底 Vをn次
元 の ベ ク トル空 間 とす る,Vに
【定義 】 Vの
基 底{e1,e2…,en}が
は 内積 が 与 え られ て い る とす る.
次 の性 質 を もつ と き正規 直 交 基 底 とい う.
(ⅰ) (ⅱ)
【定 理 】 Vに
は 正 規 直 交 基 底 が 存 在 す る.
【証 明 】 Vの 任 意 の 基 底 を1つ
と お く.こ
の と き‖e1‖=1で
と り,そ
あ る.次
れ を{f1,f2,…,fn}と
す る.ま
ず
に
と お く.
で あ り,ま たf1とf2が1次
独 立 の こ と か らe2′≠0の こ と が わ か る.そ
こで
と お く と,
が 成 り立 つ. 次に
で あ る.ま
と お く.
≠0も わ か る.そ
とお くと
こで
たf1,f2,f3が1次
独 立 の こ とか らe3′
が 成 り立 つ. こ の 操 作 を 帰 納 的 に 順 次 繰 り返 し て い く と,長 の 元{e1,e2,…,en}が も と も とn次
得 ら れ る.こ
元 な の だ か ら)1次
と い う関 係 が あ っ た と す る.こ
さが1で,互
い に 直 交 す るn個
れ が 基 底 を 与 え て い る こ とを 示 す に は,(Vは 独 立 の こ と さ え 示 せ ば よ い.そ
のため
の 式 の 両 辺 に 対 し,ei(i=1,2,…,n)と
の 内積 を
とると
と な る が,{e1,…,en)の 1,2,…,n)が
正 規 直 交 性 か ら,左
辺 は αiと な る.こ
れ か らαi=O(i=
得 ら れ る.
し た が っ て{e1,e2,…,en}はVの
正 規 直 交 基 底 と な る.
こ の 証 明 で 示 した よ うな 操 作 で,与 基 底{e1,e2…,en}を
つ くる こ と を,ヒ
え ら れ た 基 底{f1,f2,…,fn}か
ら正 規 直交
ル ベ ル ト ・シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 と い う.
正 規 直 交 基 底 を 用 い た と き の 内積 の表 示 Vの 正 規 直交 基 底{e1,e2,…,en}を
と 表 わ す.こ
【証 明】
特に
の とき
と る.x,y∈Vを
この基 底 に関 して
と な る.
R上
の ベ ク トル 空 間 の 場 合 に は,正
規 直 交 基 底{e1,e2,…,en}を
と る と,対
応
し た こ とは 次 の よ うに 表 わ さ れ る.
[R上 の ベ ク トル空 間 の と き]
こ こ で,α1,…,αn;β1,…,βnは
す べ て 実 数 で あ る こ と を 注 意 し て お こ う.
この こ とか ら実 は 前 講 の 最 後 に述 べ た こ と,す なわ ち ベ ク トル 空 間R2上 与 え られ た 内積 は,必
ず 適当 な1対1線
とがわ か る.そ れ を 示 す た め に,R2上 (,)∼
よ って,(x,y)Tと
に 与 え られ た内 積 を 任 意 に1つ
こで線 形 写 像TをT:
りに かけ る.こ
こで{e1,e2}は
の任意に
表 わ され る こ と り,そ
で表 わ して お こ う.こ の内 積 に関 す る正規 直 交 基 底 を{e1,e2}と
と きx=x1e1+x2e2=X1e1+X2e2と2通 る.そ
形写 像Tに
標 準 基底 で あ
で 定 義 す る と,Tは1対1で,確
かに
と な っ て い る.
正 規 直 交 基 底 に よ る 展 開
Vの 正 規 直 交 基 底{e1,e2,…,en}を1つ
Vの 任 意 の 元xは た だ1通
と る.こ
の とき
りに
(1) と表 わ さ れ る.
こ れ をxの
正 規 直 交 基 底 に よ る 展 開 とい う.実 際,xをx=α1e1+…+αnenと
表 わ し て お い て,(x,ei)を n)と
求 め て み る と,各
な っ て い る こ とが わ か る.
れ を
す る.そ の
係数αiは,αi=(x,ei)(i=1,2,…,
直 交補空 間 Vの 部 分 空 間Eを 考 え る.す なわ ちEはVの
を み た し て い る.こ
と お く.E⊥
はEの
部 分 集 合 であ って,性 質
の とき
す べ て の 元 に 直 交 す る元 か ら な る 集 合 で あ る.
E⊥ は 部 分 空 間 と な る.実
際,y,y′ ∈E⊥ とす る と 任 意 のx∈Eに
対 して
こ の こ と はαy+βy′ ∈E⊥ を 示 し て い る. 【定 義 】 E⊥ をEの
直 交 補 空 間 とい う.
次 の 性 質 が 成 り立 つ.
(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)
【証 明 】 (ⅰ):E自 す る.そ …
,fn}を
身 内 積 を も つ ベ ク トル 空 間 だ か ら,Eの
れ を{e1,…,ek}(k=dimE)と
正 規 直交 基 底 が存 在
す る.{e1,…,ek}に1次
適 当 に つ け 加 え る こ とに よ り,Vの
独 立 な 元{fk+1,
基 底{e1,…,ek,fk+1,…,fn}が
得 ら
れ る. ヒル ベ ル ト ・シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 を,こ
の 基 底 に 対 し てfk+1か
ら 適 用 す る:す
なわ ち
と し,
と お い て,fk+1をek+1に の正規直交基底
お きか え る.順
次 こ の 操 作 を 行 な っ て い く こ と に よ りV
が 得 ら れ る, ek+1,…,enの
は る.し
そ れ ぞ れ は,Eの
基 底e1,…,ekの
す べ て と 直 交 し て い る.Eの
と表 わ さ れ て い る の だ か ら,ek+1,…,enはEの
元
す べ て の 元 と直 交 し て い
た が って
が わ か り,し た が っ て ま た こ の1次
Vの 任 意 の 元xは,た
だ1通
結 合 もE⊥ に 属 し て い る:
りに
と表 わ され るが
だ か ら,こ
の こ と はV=E〓E⊥
(ⅱ)=
(ⅰ)の 証 明 の 記 法 を 使 う と,E⊥
空 間 で あ り,そ
(ⅲ):
れ はEに
を 示 し て い る.
ほ か な ら な い.す
に 直 交 す る 元 はe1,…,ekで な わ ち(E⊥)⊥=Eが
は られ る
成 り立 つ.
これ は 明 らか だ ろ う.
直 交 分 解 (ⅰ)の 性 質 を も う少 し一 般 に して
(2) と,Vがs個
の 部分 空 間の 直 和 に分 解 し,か つ
i≠jの
とき,EiとEjの
とい う性 質 を み た す とき,(2)をVの
元 は直 交 す る
直 交分 解 とい う.
直交 分 解 で あ る こ とを 明 記 したい ときに,(2)を (2)′
と表 わ す こ ともあ る.記 号 ⊥は 直 交 して い る こ とを示 唆 して い る の であ る. 直 交 分 解(2)に
対 して は
の よ うな 性 質 が 成 り立 っ て い る こ と を 注 意 し よ う.
特 に(2)で
の ときに は,必 然 的 に(次 元 の関 係か ら)s=nで
と な る.こ
の と き 各Ek(k=1,2,…,n)か
ら
(3) とな る元 を選 ん でお くと
はVの
正 規 直 交 基 底 と な っ て い る.
こ の こ とは 明 ら か で あ ろ うが,つ
い で に(3)の
よ う なfkの
選 び方 に どれ だけ
の 任 意 性 が あ る か に つ い て 述 べ て お こ う.fkを1つ
選べば
と表 わ さ れ る.αfkに
さ の こ と ま で 考 え て)複
面 と思 っ て よ い.こ 長 さ1の
α を 対 応 さ せ る と,Ekは(長 の と きfkに
複 素 数 はeiθ(0≦
は 実 軸 上 の1が
θnに
コ ー シ ー 列 と な る.し
対 して
た が っ て完備 性 か ら
は存 在 す る.
完 全 正 規 直 交 系
私 た ち は これ か ら 有 限 次 元 で な い ヒ ル ベ ル ト空 間 だ け を 取 り扱 う こ と に す る. し た が っ て〓
の 中 に は,ど
よ う な 元{x1,x2,…,xn}が
ん な に 大 き な 自 然数nを
任 意 の 元xは
独立である
存 在 す る こ と に な る.
【定 義 】 正 規 直 交 系{e1,e2,…,en,…}が と い う.
と っ て も,1次
次 の 条 件 を み た す と き,完
全 正 規 直交 系
(#) と 表 わ さ れ る. こ こ で 右 辺 は,も
ち ろ ん
【定 理 】 ヒル ベ ル ト空 間〓
の意 味 で あ る.
に は,完
【証 明 】 ヒル ベ ル ト空 間 の 条 件(Ⅲ)で 目 す る.{u1,u2,…un,…}か
全 正 規 直 交 系 が 存 在 す る.
与 え た 稠 密 な 集 合{u1,u2,…,un,…}に
ら 次 の よ う な 規 則 で,新
注
し い 系 列{v1,v2,…,vn,…}
を と り出 す. ま ず{u1,u2,…,un,…}の
中 で 最 初 に0で
次 に{un1+1,un1+2,…}の
中 で 最 初 にun1と1次
な い 元 をun1と
し,v1=un1と
独 立 に な る 元 をun2と
お く.
し,v2=un2
とお く. 次 に 同 様 に,{un2+1,un2+2,…}の v3=un3と
中 で 最 初 にun2と1次
こ の 操 作 を順 次 帰納 的 に 行 な っ て い けば,系 操 作 が 有 限 回 で 終 っ て し ま っ て,有 は 実 は〓
独 立 に な る 元 をun3と
し,
お く. 列{v1,v2,…,vn,…}が
得 ら れ る.
限 系 列 と な る 可 能 性 も あ る.し
か しこの とき
は 有 限 次 元 と な っ て し ま う.こ の こ とは 定 理 の 証 明 の あ と で 注 意 す る
こ と に し よ う.私
た ち は,{v1,v2,…,vn,…}が
無 限 系列 で あ った と して話 を進 め
て い く こ と に す る. ま ず,{v1,v2,…}の
中 か ら任 意 に と り 出 した 有 限 個 の 元 は,必
ず1次
独 立 とな
っ て い る こ と を 注 意 し て お こ う.こ
の こ とは,つ
ま た 任 意 のunは,{v1,v2,…}の
中 か ら 適 当 に と っ た 有 限 個 の 元 の1次
し て 表 わ さ れ る.実
際,unは
あ るvmと
か ら と っ たv1,v2,…,vmの1次 第8講
結 合 と し て 表 わ さ れ て い る.
で 述べ た ヒ ル ベ ル ト ・シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 は,そ
正 規 直 交 系{e1,e2,…,en,…}が こ の{e1,e2,…,en,…}は 意 にx∈〓
を とり
結合と
一 致 し て い る か,あ る い は{u1,u2,…,un−1}
に 対 し て 順 次 適 用 し て い く こ と が で き る.こ
に,任
く り方 か ら 明 ら か で あ ろ う.
の ま ま こ の{v1,v2,…}
の よ うに し て,無
限個 の元 か らな る
得 ら れ る.
求 め る完 全 正 規 直 交 系 と な っ て い る.そ
れ を示 す ため
と お く.こ
の と きk=1,2,…
が 成 り立 つ.し
に対 し
た が っ て,vnは{e1,…en}の1次
結合 で表わ され る こ とに注 意
して
yは す べ て のekと
直 交 ⇒yは
す べ て の Σ αkek(有 限 和)と
⇒yは
す べ て のvnと
⇒yは
す べ て の Σ αnVn(有
⇒yは
す べ て のunと
こ の よ う に し て,(y,un)=0(n=1,2,…)が だ か ら,こ
れ か らy=0が
注 意: も し{u1,u2,…}か ば,{v1,v2,…,vN}に
直交
た が っ てx=Σ(x,en)enが
らv1,v2,…
限 和)と
直交
直交
示 され た が,{un}は
得 ら れ る.し
直交
稠密な集合なの 成 り立 つ.
を と り出 す操 作 がN回 で終 って しま うな ら
対 して上 と同 様 の議 論 を 行 な うと,任 意 の 元x∈〓
と表 わ され る こ とがわ か る.し た が っ て〓
は
はN次 元 とな る.私 た ちは 無 限 次元 の ヒ
ル ベル ト空 間 だけ考 察 す る こ とに した のだ か ら,こ
の場 合 は 除外 し て よか った の であ
る.
Tea
Time
質 問 有 限 次 元 の 場 合 の ア ナ ロ ジ ー を た ど っ て み る と,完 … ,en,…}は,〓
全 正 規 直 交 系{e1,e2,
の 正 規 直 交 基 底 とい っ た 方 が よ い よ うに 思 い ま す が,基
底 と
い う言 葉 は 使 わ な い の で す か.
答 確 か に任 意 のx∈〓
が,
と表 わ され てい る だけ では な く,
xを こ の よ うに 表 わ す 表 わ し 方 は た だ1通
り しか な い の だ か ら{e1 ,e2,…}を〓
の 基 底 と い っ た 方 が よ さ そ うに も思 え る(表 Σ αnenと 表 わ さ れ る と,両 と な り,係 数 αkはxこ
辺 で そ れ ぞ れekと
基 底 は,ふ
つ うは も っ と 代 数 的 に 次 の よ う に 定
独 立 で あ り,(ⅱ)任
+αsfis(有 限 和)の 形 に 表 わ さ れ る,を 完 全 正 規 直 交 系{e1,e2,…}は
意 のx∈Vは,x=α1fi1+α2fi2+…
み た し て い る こ と で あ る.そ
基 底 で は な い.な
し き れ な い も の で あ る.そ と い う言 葉 を 用 い,ま
備'と
底'と
て い る.要
orthonormal
す る に,completeと
い る の で あ る.
の完 備 性 に
い う言 葉 は 使 い に く く,代
っ て'系'
い う位 相 的 用 語 に 対 応 す る か の よ う に,'完
規 直 交 系 と い っ て い る の で あ る.も
正 規 直 交 系 はcomplete
の 無 限 和 は〓
れ は もは や 単 な る 代 数 概 念 に よ っ て だ け で は 律
の た め'基
た'完
の意 味 で は,
ぜ な らそ こに は極 限概 念 を経 由 し
示 に 無 限 和 Σ が 現 わ れ て い る か ら で あ る.こ
よ っ て 存 在 が 保 証 さ れ て い た.こ
全'正
しx=
内 積 を と っ て み る と,αk=(x,ek)
元 の 集 合{fα}α∈Aが 基 底 で あ る とは,(ⅰ){fα}α ∈Aか ら 任 意 に
と っ た 有 限 個 の 元 は1次
て,表
りの こ とは ,も
よ り一 意 的 に 決 ま る こ とか らわ か る).
し か し 一 般 に ベ ク トル 空 間Vの 義 され て い る.Vの
わ し 方 が1通
っ と も 英 語 で は 完 備 はcomplete,完
systemで
あ っ て と も にcompleteを
全 用い
は 必 要 な も の は 十 分 備 わ っ て い る こ とを 示 し て
第18講 l2-空
間
テーマ ● パ ー セバ ル の等 式 ● 問題 ―
ヒ ル ベ ル ト空 間 に 対 す る 座 標 空 間 の 設 定
●l2-空
間
●l2-空
間 の完 備 性
● フ ィ シ ャ ー ・ リ ー ス の 定 理:す
べ て の ヒ ルベ ル ト空 間 はl2-空 間 と 同 型
で あ る. ●2乗
可 積 な 関 数 の つ く る 空 間L2(I)
パ ー セ バ ル の 等 式
ヒル ベ ル ト空 間〓 〓
の 完 全 正 規 直 交 系 を{e1,e2,…}と
に 対 し て 次 の こ と が 成 り立 つ.
(Ⅰ) 〔パ ーセ バ ル の等 式 〕
(Ⅱ)
【証 明 】 (Ⅰ):
だから
す る.こ
の と きx,y∈
(Ⅱ):
1つ の 問 題―
座標 空間 の設定
この パ ー セバ ル の等 式 か ら,次 の よ うな 問題 が 生 じて くる.複 素 数 の数 列{zn} を
(1) で 定 義 す る と,パ
ー セバ ル の 等 式 は
が 成 り立 つ こ とを示 して い る.こ の式 か ら特 に
(2) が 成 り立 っ て い る.そ
(#)
(2)を
〓
の 元xで(1)の
れ で は こ の 逆 の 問 題 は 成 り立 つ だ ろ うか.す
み た す 複 素 数 列{z1,z2,…,zn,…}が
と し,Vに
与 え ら れ た と き,
関 係 を み た す も の が 存 在 す る だ ろ うか?
抽 象 的 な ヒ ル ベ ル ト空 間 の 理 論 に と っ て,こ る こ と に し よ う.有
なわ ち
限 次 元 の 場 合,た
正 規 直 交 基 底{e1,e2,…,en}を
の 問 題 は 基 本 的 な の で 少 し説 明 す
と えば 内 積 を も つn次 と っ て み よ う.こ
元 ベ ク トル 空 間 をV の と きx∈Vは
と表 わ さ れ る.
と お く と,対
応
(3) は,Vを
座 標 空 間Cn上
の 元(a1,a2,…an,)に
へ 実 現 す る も の と な っ て い る.こ 対 し,y=a1e1+a2e2+…+anenと
の と き に は,Cnの お く と,y∈Vと
任 意 な る.
同 じ よ う な こ と は,ヒ が,上
に 述 べ た 問 題(#)の
ル ベ ル ト空 間 に 対 し て も 成 り立 つ だ ろ うか,と 意 味 で あ る.す
な わ ち(1)の
い う問 い
関 係 に よ っ て,(3)
と同様 な対 応
が 決 ま る.だ
が,有
限 次 元 の 場 合 と違 う の は,こ
だ 確 定 し て い な い と い う こ と で あ る.Cnに に 対 す る'座
標 空 間'と
間 を と っ て よ い の か,あ 等 式 か ら くる 条 件(2)だ 実 は,最
して
,(2)を
う こ とを 示 し て い る.実 か っ た が),フ
と で あ る.こ
た ち は(2)を
け が,実
ル ベ ル ト空 間〓
み た す 複 素 数 列 全 体 の つ くる 空 ー セバ ル の
現 の た め に 課 す べ き 条 件 な の か. 肯 定 的 に と け る.こ
の こ と は,〓
際 こ の 結 果 を 最 初 に 示 し た の は(必 ー ス で あ っ た.証
示 さ れ る 対 応 を,完
ず し も この形 では な
明 の 基 本 に あ る 考 え は,有
備 性 に よ っ て〓
の 講 の 主 題 は,こ の テ ー マ を 追 う こ と に あ る が,そ れ を 述べ る 前 に,
l2-空
間
素 数 列{zn},{wn}で
を み たす もの が与 え られ てい れば,必 ず
(4) が 成 り立 つ こ と を 注 意 し て お こ う.実
際,N項
まで とっ て
と し,こ れ をC(N)の 元 と考 え て ノル ムの 性 質(第8講
す なわ ち
限
ま で拡 大 す る とい うこ
間 の 定 義 を 与 え て お こ う.
最 初 に,複
に対 す る
み た す 複 素 数 列 全 体 の つ くる 空 間 を と っ て よ い とい
ィ シ ャ ー とF.リ
次 元 の 場 合(3)で
対 応 す る よ うな,ヒ
の移 った 先 が ま
る い は そ の 部 分 空 間 を 考 え るべ き な の か.パ
初 に 述 べ た 問 題(#)は
'座標 空 間'と
まずl2-空
し て,私
の 段 階 で は〓
参 照)を 使 うと
が 得 ら れ る.N→ (4)が
∞ の と き,仮
定 に よ り右 辺 は 有 限 の 値 に 近 づ くか ら,こ
れ で
示 さ れ た.
同 様 の 考 え で,CNの よ り,級
場 合 の シ ュ ワ ルツ の 不 等 式 を 用 い てN→
∞ とす る こ とに
数
は収 束 す る こ と もわ か る.
【定義 】
を み たす 複 素 数列z={zn}全
体 の つ くる 集合 に
和: ス カ ラ ー 積:
と して ベ ク トル 空 間 の 構造 を い れ,さ らに 内積 を
に よ っ て 導 入 し て 得 ら れ る,内
積 を も つ ベ ク トル 空 間 をl2-空
間 と い う.
【定 理 】 l2-空 間 は ヒ ル ベ ル ト空 間 で あ る.
をl2-空
【証 明】 完 備 性: s,t→
間 の コ ー シ ー 列 とす る.
∞の と き
で あ る.各'n-座
標 成 分'に
注 目す る と
が 成 り立 つ か ら,数 列
は コ ー シ ー 列 で あ る.s→
∞の と
き の この 極 限 値 をznで 表わ す: 正 意 εが 任 意 に 与 え られ た とす る.sを
十 分 大 き くとっ て
(5) が 成 り立 つ よ うに す る.― t≧s,か
つ こ のtに
対 して
方,任
意 の 自然 数lに
対 し,tを
十 分 大 き くと っ て,
(6) が 成 り立 つ よ う に す る.(5)と(6)か
ら
が 得 られ る.lは
任 意 の 自然 数 で よい のだ か ら,こ れ か ら
が 得 られ る.sさ
え十 分 大 き くとれ ば,ε は い くら で も小 さ くで き るの だか ら,
これ か ら また
が 成 り立 つ こ とが わ か る.し
と お く と,zはl2-空
が 成
た が って
間 の 元 と な り,
り 立 つ.
可 分 性: l2-空
間 の 元z={zn}(n=1,2,…)に
対
{z1,z2,0,0,…},…,z(s)={z1,z2,…zs,0,0,…},…
で あ る.し
一 方
と お
た が っ て 各s(=1,2,…)に
と お く と,和
集 合
し てz(1)={z1,0,0,…},z(2)= く と,z(s)∈l2で
対 し
はl2の 中 で稠 密 で あ る.
,
は 有理 数} とお く と,
はCsの
中 で 稠 密 で あ る.
したが っ て また和 集 合
は,すべ
は 可 算 集 合 であ り,包 含 関 係
て 稠 密集 合 と して の包 含 関 係 で あ る.し た が っ て可 算集 合
はl2の
中 で 稠 密 と な る. l2-空 間 へ の 実 現 2つ の ヒル ベ ル ト空 間〓,〓′ の1対1対
が 与 え ら れ た とす る.〓
か ら〓′
の上 へ
応 Φで
(ⅰ)
(ⅱ) を み た す もの が あ る と き,〓 同 型 写 像 とい う.こ る.な
お,(ⅰ)は
と〓′
は(Φ を 通 し て)同 型 で あ る と い い,Φ
の と き逆 写 像 Φ−1は〓′
か ら〓
を
へ の 同型 写 像 とな っ てい
Φ が 線 形 写 像 で あ る こ と を 示 し,(ⅱ)は
Φが 内積 を 保 つ こ と
を 示 し て い る. 次 の 定 理 は フ ィシ ャ ー ・ リー ス の 定 理 と し て 引 用 さ れ るが,フ
ィシ ャ ー と リ ー
ス の 結 果 を 最 も一 般 的 な 形 で 述 べ た も の で あ る.
【定 理 】 任 意 の ヒル ベ ル ト空 間〓
は,l2-空
間 と 同 型 で あ る.
【証 明 】 〓
の 完 全 正 規 直 交 系 を{e1,e2,…,en,…}と
(Ⅰ)か
意 のx∈〓
ら,任
す る.パ
ーセ バル の 等式
に対 して
で あ り,し た が っ て 数 列
はl2の 元 とな っ て い る.さ
ら に‖x‖=‖x‖ も成 り立 つ.ま
た(Ⅱ)か
ら,y∈〓
に対 して
とお くと
(x,y)=(x,y)(左
辺 は〓,右
辺 はl2の 内 積)
が 成 り立 つ こ とが わ か る. し た が っ てxにxを 積 を 保 つ1対1写
対 応 さ せ る対 応 を Φ とす る と,Φ は〓
像 で あ り,ま
か らl2へ
た 線 形 写 像 の こ と も 明 ら か で あ る.Φ
らl2の 上 へ の 写 像 で あ る こ と を み る た め に,
が〓
の内 か
l2の 任 意 の 元
を と る.こ
の と き〓
を 考 え る と,m>nの
と な る.し
の 元 の 系列
とき
た が っ て{x(n)}は〓
が存在
の 中 の コ ー シ ー 列 で あ り,
す る.こ の とき Φ(x)=α とな る こ とは 明 らか だ ろ う.こ れ で Φが〓
か らl2へ
の 同 型写 像 を与 え られ て い る こ とが 証 明 され た. 2乗 可 積 な 関 数 数 直 線 上 の 閉 区 間I=[a,b]を 複 素 数 値 関 数f(t)で,さ
を み た す も の を,(I上
考 え る.こ
の とき ル ベ ー グ測 度 に 関 し て可測 な
らに 条件
で)2乗
2乗 可 積 な 関 数 全 体 が,ふ
可 積 な 関 数 と い う. つ う の 和 と ス カ ラ ー 積 に よ り,ベ
を もつ こ と は す ぐに わ か る が,実
ク トル 空 間 の 構 造
は
を 内積 とし て採用 し,ほ とん ど至 る と ころ 等 しい 関 数 を 同一 視 す る ことに よ り, ヒル ベル ト空 間 の 構 造 を もつ こ とが証 明 され る. この ヒル ベ ル ト空 間 をL2(I)と 実 際,こ
表 わ す.
こ で問 題 とな る のは,完 備 性 を確 か め る こ とで あ る.こ れ は ル ベ ー グ
積 分 の 性質 に深 くか か わ ってい て,こ の証 明 を こ こ で与 え るわ け に は いか な い. 読 者 は 『ル ベ ー グ積 分30講 』(朝 倉 書店)を 参照 し てい た だ きた い.な お 可 分性 に つ い て は,有 理 係 数 の 多項 式 の全 体 を 考 え る と,こ れがL2(I)の の 関 数 か らな る 稠密 な集 合 を与 え て い る.
中 で,可 算 個
ヒル ベ ル ト空 間 の理 論 が広 く解 析学 の分 野 に応 用 され る よ うに な った のは,こ の2乗 可 積 な関 数 のつ くる空 間を 通 して であ った.ヒ ルベ ル ト空 間の 理 論 が誕 生 す るわ ず か 数 年前 にす ぎな か っ たが,1900年 は,20世
に ル ベ ー グ積 分 が 生 まれ てい た こ と
紀 の 数 学 の発 展 に と って,実 に幸 運 な状 況 で あ った といわ な くて は な ら
ない.
Tea
Time
質 問 フ ィシ ャ ー と リー スの 定理 は よ くわ か った と思 った の で す が,最 後へ き て,L2(I)も
ヒル ベ ル ト空 間 に な る とい う こ とを 知 って,少 し戸 惑 った気 分 に な
りま した.L2(I)も,l2-空
間 と同型 に な るわ け で す が,L2(I)は
関 数空 間 で私 の
想 像 す るの は 連続 的 な描 像 です.一 方,l2-空 間は 数 列 を つ くる空 間 で離 散 的 な 描 像 です.イ
メ ージ の世 界 で捉 え る限 り,ま った く対 極 に あ る この2つ の空 間 が,
ヒル ベ ル ト空 間 と しては 同 じ視 点 でみ る こ とが で き る とい うの は 不思 議 な こ とに 思 い ます. 答 確 か に2つ の空 間の もつ描 像 は ま った く異 な る もの だが,そ
こに 内蔵 され て
い る ヒル ベ ル ト空 間 とし ての 数学 的構 造 は 同 じ もの で あ る とみ るの で あ る.抽 象 性 に よ っ て と り出 され た 論理 的 な構 造 の単 一 性 と,そ れ を具 象化 す る こ とに よ り 得 られ た 数 学 的対 象 の示 す 多様 性 との対 照 は,こ の ヒル ベル ト空 間 では 特 に著 し い.数
学 者 は,L2(I)とl2-空
間を じ っ と見 なが ら,こ の彼 方 に 浮か び上 が る共
通 な論 理 の 骨 組 を 捉 え,凝 視 しよ うと努 め るの で あ る.だ が,こ れ は 私に と って もい ま なお 不 思 議 な こ となの だが,こ の場 所 を 凝 視 して い る のは,単 に数 学 者 だ け では ない とい う こ とであ る.物 理 学者 もまた:量子 力学 か ら生ず る さま ざ まな 現 象 の奥 に,同
じ場所 を見 てい る の であ る.実 際,量 子 力学 の数 学 的基 礎 づ け は,
抽 象的 な ヒル ベ ル ト空 間 の論 理 の枠 の 中 で達 成 され た.こ
の とき,L2-空
間への
実 現 は 波 動 像 とな り,l2-空 間 へ の実 現 は粒 子 像 とな る と解 釈 され た の であ る.こ れ につ い ては,あ
とで も う少 し触れ る機 会が あ るだ ろ う.
第19講 閉 部 分 空 間 テー マ
● 閉部分空間 ● リース の補 題:Eが
閉 部分空 間 でE≠〓
な らば,Eに
直 交 す る0で な い
元が 存 在 す る. ● 直交 補 空 間 ● 直交 分 解〓E⊥E⊥ ● 余 次元1の 閉 部 分 空 間 ● リース の定 理:線 形 汎 関数 は,内 積 と して 表 現 され る.
閉 部 分空 間 次 の定 義か らは じめ よ う. 【定義 】 ヒルベ ル ト空 間〓
の 部 分 空 間Eが 閉 集 合 の と き,Eを
閉部 分 空間 とい
う. す な わ ち,Eは
次 の 性 質 をみ た してい る.
(ⅰ) (ⅱ) 有 限 次 元 の 場 合 に は 部 分 空 間 が 重 要 で あ っ た が,無 間 が 重 要 に な る.Eを
閉 部 分 空 間 とす る と,Eの
個 しか な い 場 合 と,ど
ん な に 大 き なnを
と い う場 合 が あ る.最
初 の と き はEはn次
は,n=1,2,3,…
に 対 し 順 次1次
限 次 元 の場 合 には 閉 部 分 空
中 に1次
と っ て もn個
の1次
独 立 な 元 が ち ょ う どn 独 立 な元 が 存 在 す る
元 の ベ ク トル 空 間 と な る.あ
独 立 な 元{e1,e2,…,en}を
つ け 加 え て い っ て,
これ ら に ヒ ル ベ ル ト ・シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 を 適 用 し て み る.そ 系{e1′,e′2,…,e′n,…}が 得 ら れ る が,Eが
との 場 合
うす る と 正 規 直 交
閉 集 合 で あ る こ とを 用 い る と,こ
れ らの
1次 結 合 の極 限 であ る
が す べ てEに 属 す る こ とが わ か る.
し たが ってE自 身 ヒル ベ ル ト空 間 の構 造 を もつ こ とにな る.す なわ ち Eを〓
の 閉 部分 空 間 とす る と,Eは
有 限 次元 の
ベ ク トル 空 間か,ヒ ル ベ ル ト空 間 に な る.
も ち ろ ん,ヒ
ル ベ ル ト空 間 に な る と い う と き に は,〓
の 内 積 をEに
限 って考
え て い る の で あ る. 一 般 に〓
の 部 分 空 間Sが
で 近 づ け る もの 全 体)は
与 え ら れ る と,Sの
閉 部 分 空 間 とな る.こ
閉 包S(〓
の 点 で,Sの
れ は 証 明 す る よ りは,簡
点列
単 な例 で
示 し て お こ う. 〓
の 正 規 直 交 基 底 を{e1,e2,…,en,…}と
{e1,e3,…,e2n+1,…}に
注 目 し よ う.こ
し,こ
の 奇 数 番 目だけ と って系 列
れ か ら 生 成 さ れ た 部 分 空 間 をSと
す る と,
Sは
の形 の 元 全 体 か ら な る.こ の ときSは
の形 の 元 か ら な る閉 部分 空 間 とな る. 〓 [リ ー ス の補 題]Eを〓
と 一 致 しな い 閉 部 分 空 間 の 閉部 分 空 間 とし,E≠〓
すべ て の元 と直交 す る よ うな,0で
な い元z0が〓
【証 明】 い ま がy*〓Eで あ る よ うな元y*を
とす る.こ の とき,Eの の 中に 存 在 す る.
任 意 に1つ
とる.こ のy*を
中 に 系 列{x1,x2,…,xn,…}が
存 在 して
考え る こ とにす る.そ こで
と お く.infの
性 質 か ら,Eの
(1) と な る.こ
の とき
固定 して
こ の1行
目 か ら2行
を 用 い て い る.こ
目 に 移 る と こ ろ で,公 式
に注 意 す る と
こ で
した が って
と な り,{xn}は
コ ー シ ー 列 の こ とが わ か る.し
と な るが,Eは (1)か
た が っ て あ る 元x*が
閉 集 合 だ か ら,x*∈Eで
存 在 し て
あ る.
ら
(2) で あ る.ま
たx*∈E,y*〓Eだ
Eか ら 任 意 の 元xを
か ら,d>0で
と り,x*+αx(α
あ る.
∈C)を
考 え る.こ
の とき
(3) し た が っ て(2)と(3)か
ら
こ こ で,
(λは 実 数)と
お くと
と な る.こ の不 等 式 がす べ ての 実数λに 対 して成 り立 つ の だか ら
で な く て は な ら な い.xはEの と,‖z0‖=d≠0で
お く
あ っ て,
が 成 り立 つ.こ
任 意 の 元 で よ か っ た の だ か ら,z0=y*−x*と
すべ て のx∈Eに れ でz0の
こ の 証 明 は,1934年
対 し て(z0,x)=0
存 在 が 証 明 さ れ た. のF.リ
ー ス の 論 文 で 与 え ら れ た も の で あ る が,巧
妙す ぎ
て,か
えっ て 内 容 が 理 解 し に くい か も し
れ な い.証
明 の 筋 道 は 図18を
か りや す い.Eに
見 るとわ
属 さ な い 点y*か
元 へ の 最 短 距 離 は,少 の 場 合 に は,y*か
な く とも有 限 次元
らEへ
長 さ で 与 え ら れ る.こ
らEの
下 ろ した垂 線 の
の 事 実 は,最
短性
と直 交 性 が 関 係 し 合 っ て い る こ と を 示 し て い る.こ
の ア ナ ロ ジ ー か ら,証
まずy*とEの
明 では
図18
元 との最 短 距 離dに 注 目した の で あ る.こ の距離dを 実 現 す る点
x*がEに
存在 して い るか ど うか は,け っ して 自 明な こ とで は な いの で あ って,そ
れは 〓
の完 備性 とEが 閉 じ てい る こ とで与 え られ た.そ
うす る とy*−x*が,
Eと 直交 す る元 とな る こ とは,図 の よ うな 場 合は 明 らか なの だが,そ れ を 内積 と ノル ムの性 質 か ら導 くこ とに よっ て,い わ ば リース は,図 の状 況が 〓
の中でも
や は り成 り立 って い る こ とを示 した の で あ る. 直 交 補空 間 図18で 示 され てい る状 況 が,〓
で も成 り立 って い る と考 え られ るな ら ば,
当然,有 限 次 元 の部 分空 間 の ときの よ うに,任 意 の閉 部 分 空 間に対 して直 交 補 空 間が 存 在 す るだ ろ うと予想 され る. まず,有 限 次元 の 場 合 と同様 に,直 交補 空 間 の定 義 を与 えてお こ う. 【定 義】 〓
と お き,E⊥
の閉 部分 空 間Eに 対 し
をEの
直 交 補 空 間 と い う.
E⊥ が 部 分 空 間 と な る こ と は 明 ら か だ が,実 れ を み る た め に,yn∈E⊥(n=1,2,…),yn→yと
だ か ら(y,x)=0と
な り,y∈E⊥
リ ー ス の 補 題 は,閉
部 分 空 間Eに
と な る. 対 し
際 は 閉 部 分 空 間 に な っ て い る.そ す る と,す
ベ て のx∈Eに
対 し
を い っ て い る. E∩E⊥={0}だ い る.E〓E⊥
か ら,EとE⊥
か ら 生 成 さ れ た 部 分 空 間 は 直 和E
の 元 は,z=x+y,x
∈E,y∈E⊥
い る.直 和 と は こ の よ うなzの
表 わ し方 は1通
=0に
注意 す る と
,さ
が 成 り立 っ て い る.し zn=xn+ynと る.E,E⊥
と表わ され る もの全 体 か らな って り で あ る こ と を い っ て い る ,(x,y)
らに
た が っ てE E⊥
表 わ す と,{xn},{yn}も
の コ ー シ ー 列{zn}(n=1,2,…)に そ れ ぞ れEとE⊥
も 〓
対 し て,
に おけ る コー シー列 とな
は 閉 部 分 空 間 だ か ら,
す る.z=x+yと
E⊥ とな っ て
へ と収 束
お く と,
で, zn→z(n→
∞)と な っ て い る.す
なわち
の 閉 部 分 空 間 で あ る.
次 の 定 理 は 基 本 的 で あ る.
【定 理 】 〓
の 任 意 の 閉 部 分 空 間Eに
対 して
(4) が 成 り立 つ.
【証 明 】
と仮 定 し て 矛 盾 の 生 ず る こ と を み よ う.E E⊥
間 だ か ら,こ こ に リー ス の 補 題 が 使 え て,E E⊥ す る.こ
の 元z0は,ま
く て は な ら な い.一
ずEの 方,z0はE⊥
な い 元z0が
す ベ て の 元 と直 交 し て い る の だ か ら,z0∈E⊥ の す ベ て の 元 と直 交 し て い る の だ か ら,自
身 と も 直 交 し な くて は な ら な い.し が 得 られ て,z0≠0で
に 直 交 す る0で
は 閉部 分空
た が っ て(z0,z0)=0と
あ っ た こ と に 矛 盾 す る.こ
有 限 次 元 の と き と 同 じ よ うに,(4)を
存在 でな 分 自
な り,こ れ か らz0=0
れ で 証 明 され た.
直 交 分 解 と い っ て,
と表 わ
す こ と に し よ う. こ の 定 理 か ら,Eは る.す
なわ ち
ち ょ う どE⊥ に 直 交 す る 元 全 体 か ら な っ て い る こ と もわ か
任 意 の 閉 部 分 空 間Eに
対 して
(E⊥)⊥=E
が 成 り立 つ.
リー スの 補 題 を用 い た か ら,定 理 の証 明は ご く簡 単 に で きて し まった.さ か の ぼ っ てい え ば,Eが
閉 部分 空 間 だ った か ら事 情 は 簡 単 だ っ た ので あ る.も
い な い部 分 空 間 な らば,た とえ ば
しもEが 閉 じ て
とな る部分 空 間Fが 存 在す るか ど うか さ
え,少 し も 自明 な こ とでは な くな って くる.た とえ ば{e1,e2,…,en,…}を
〓
の正 規
直 交基 底 と し,こ の中 か ら 有限 個 の元 を と って つ くった1次 結 合 全 体 のつ くる部分 空 間 をSと す る.Sは
の形 の 元 か らな っ てい る.Sは
稠 密 な 部分 空 間 であ るが,明 らか にS≠ 〓
で あ る.こ の と き
〓
の中で
とな る よ う
な 部 分空 間Tを ど の よ うに して 見 つ け る の だろ うか と考 え てみ られ る と よい.や 本 当 に 存 在す る の だ ろ うか とい う感 じが 横 切 る よ うに な るか も しれ な い.こ 部 分 空 間Tが 確 か に存 在 す る とい うこ とを 示 す に は,私
がて
の よ うな
は 選 択 公 理 が必 要 に な る だろ
うと思 って い る.
余 次 元1の
〓
の 閉 部 分 空 間Eが
dim E⊥=1
を み た す と き,Eは E⊥ か ら0で 元!).し
閉 部 分 空 間
余 次 元1の
な い 元z0を1つ
た が っ て,Eが
閉 部 分 空 間 とい う こ と に し よ う.こ と る と,
余 次 元1の
の と きE⊥ は,
と表 わ され る(1次
と きは
〓=E⊥Cz0
と表 わ さ れ る. この と き,こ
の 分 解 に し た が っ て,任
意 の 元x∈
x=y+λz0
(5)
と表 わ さ れ る.こ
こ でxの'z0-成
と お こ う.φ は 〓
分'α
〓
は た だ1通
に 注 目し て
φ(x)=λ か らCへ
の 写 像 と な っ て い る.φ が 線 形 性
りに
を み た し て い る こ と は 明 ら か で あ る.さ
が 成 り立 つ か ら,こ
ら に(5)か
ら
れから
が 導 かれ る. リー ス の 定 理 今 度 は逆 に,〓
か らCへ の線 形 写像 φが 与 え られ た と して,そ こか ら 出発 し
て み よ う. 【定義 】 〓
か らCへ の 写像 φが,次 の2条 件 をみ た す とき線 形汎 関数 とい う.
(ⅰ)(線 形 性) (ⅱ)(有 界 性)適
当な 正 数Mを と る と,す べ て のx∈ 〓
に対 し て
が 成 り立 つ. (ⅱ)の 有 界 性 に つ い て は,次
講 で も う一 度 触 れ る が,こ
こ で は 有 界 性 は φの 連
続 性:
を 意 味 し て い る こ と を 注 意 し て お こ う.実
際
線形 汎 関 数 φが 与 えられ た と き,φ の核
に 注 目 し よ う.Kは,φ
に よ っ て0に
移 さ れ る よ うな 〓
の 元 全 体 か ら な る.こ
の とき
(ⅰ) Kは 〓
の 閉部 分 空 間 で あ る.
(ⅱ) φが 恒 等 的 に0で な け れば,Kは 【証 明 】 (ⅰ):
余次 元1で あ る.
し た が っ てKは
部 分 空 間 で あ る.閉
と す る と,φ(xn)=0,φ(xn)→
じ て い る こ と はxn∈K(n=1,2,…),xn→x
φ(x)か
ら,φ(x)=0と
な り,x∈Kと
な る こ とか
ら わ か る. (ⅱ):
φ≠0だ か らdim
K⊥ ≧1の
盾 の 生 ず る こ と を み よ う.こ 1次 独 立 な 元 z0とz1が ら,複
こ とは 明 ら か で あ る.dim
の よ うに 仮 定 す る と,K⊥
存 在 す る こ と に な る.こ
K⊥>1と
し て矛
の 中 に 少 な く と も2つ
の と き φ(z0)≠0,φ(z1)≠0だ
の か
素 数 αを 適 当 に と る と
が 成 り立 つ.し
た が っ て φ(αz0−z1)=0.す
で あ り,K∩K⊥={0}だ
か ら αz0−z1=0が
で あ っ た こ と に 矛 盾 す る.し
た が っ てdim
次 の 定 理 は リ ー ス の 定 理 と よ ば れ て,よ
【定 理 】 φ を 〓
な わ ち αz0−z1∈K.一 得 られ た.こ K⊥=1で
方 αz0−z1∈K⊥
れ はz0とz1が1次
独立
あ る.
く用 い られ る.
上 の 線 形 汎 関 数 と す る.こ
の と き,た
だ1つ
の 元z∈
〓
が存
在 して
と表 わ さ れ る.
【証 明 】 存 在:
φ=0な
ら ば,z=0に
の 存 在 を 示 す と よ い.φ は 余 次 元1だ
の 核 をKと
と る と よ い.し し,K⊥
か ら0で
か ら
と表 わ さ れ る.x∈
〓
を こ の分 解 に したが って
x=y+αz0
と表 わ す.こ
の 式 の 両 辺 の φの 値 を 考 え る と ψ(x)=αψ(z0) (6)
ま た,z0と
内 積 を とる と
(6)と(7)か
(x,z0)=α(z0,z0) ら αを 消去 す る と
(7)
た が っ て φ≠0の 場 合 にz な い 元z0を
任 意 に と る.K
と な る.し
たが って
とお くと
が 成 り立 つ. 一 意 性:
φ(x)=(x,z)=(x,z)と
(x,z−z)=0が っ てz=zと
成 り立 つ.特
表 わ さ れ た と す る と,す
にxと
し てz−zを
と る と,(z−z,z−z)=0.し
ク トル 空 間Vに
聞 い た こ と が な い だ ろ うか.VをR上 らRへ
と な るzが
対 し て 双 対 空 間V*が
のn次
存 在 す る こ とを
元 ベ ク トル 空 間 とす る と き,V*は,
の 線 形 写 像 全 体 の つ くる ベ ク トル 空 間 で あ っ た.V*もn次
トル 空 間 と な る.Vに た だ1つ
間 の 場 合 に は,V*か 参 照).リ
内 積 を 入 れ て お く と,任 意 の φ∈V*に 決 ま り,φ にzを らVへ
元のベ ク
対 し,φ(x)=(x,z)
対 応 さ せ る こ と に よ り,Vが
実 ベ ク トル 空
の 標 準 的 な 同 型 対 応 が 決 ま る(『ベ ク トル 解 析30講
ー ス の 定 理 は,対
応 す る こ と が,ヒ
に 有 界 性 と い う連 続 性 の 条 件 を 課 し て お く と,大 う こ とを い っ て い る の で あ る.な φ 〓zを
うひ とつ わ か ら な い 気 が し
明 し て い た だ け ませ ん か.
答 有 限 次 元 の 場 合 に,ベ
第13講
たが
Time
質 問 リ ー ス の 定 理 が 何 を い お う と し て い る の か,も
Vか
対 して
な る.
Tea
ま す.説
べ て のxに
対 応 さ せ る と,α φ 〓azと
お,大
ル ベ ル ト空 間 で も線 形 写 像
体 同 じ 形 で や は り成 り立 つ と い
体 同 じ 形 とい っ た の は,リ
な り,φ
対 応 とで も い うべ き も の に な る か ら で あ る.
』
とzと
の 対 応 は'共
ース の定理 で
役 線 形 な'同
型
第20講 有 界 作 用 素 テーマ ● 有 界作 用 素 ● 有 界作 用 素 の ノル ム ● 随 伴 作用 素 ● 射 影 作 用 素:P2=P,P*=P ● 正 規 作 用 素:A*A=AA* ● ユ ニ タ リ ー 作 用 素:U*U=I ● 自 己 共 役 作 用 素:H=H*
有界作 用素 前 講 で,リ ー スの 定理 に関 連 して登 場 した 線形 汎 関 数 は,〓 で あ っ た.こ れ か らは 〓 【定義 】 〓
から〓
から 〓
へ の写 像 ―
への 写像Aが,次
作 用 素―
か らCへ の 写 像 を 考 え る.
の2つ の 条件 を み たす とき有界 な線 形 作
用 素,ま た は簡 単 に有 界 作用 素 とい う. (ⅰ)(線 形 性) (ⅱ)(有 界 性)適
当な 正 数Mを
とる と,す べ て のx∈ 〓
に対 して
(1) 有 界 性 の 条件 は,実 は 連続 性 の 条 件 と同値 であ る.す なわ ち 線形 作用 素Aが 有界 で あ るた め の必 要 十 分 条件 は,Aが と,す なわ ち
が 成 り立 つ こ とで あ る.
連続である こ
【証 明 】 必 要 性:
Aを 有 界 作 用 素 と す る.xn→x(n→ と な る.し
∞)と す る と た が っ てAは
連 続 で あ る.
十分 性: Aを 連続 とす る.こ の と きAが 有 界 でな か った と して矛 盾 の で る こ とを み よ う.Aが
有 界 で な い とす る と,ど ん なに 大 きな正 数Mを
とって も,(1)
を 成 り立 たせ な い よ うなxが 存 在 す る.し た が っ て
を み た す 系 列{x1,…,xn,…}が
存 在 す る.こ
の 式 の 両 辺 をn‖xn‖ で 割 り,
とお く と
(2) が 得 ら れ る.
Ayn→0(n→
だ か ら,n→
∞ の と きyn→0で
あ る.Aは
∞)と な ら なけ れ ば な らな い.こ れ は(2)に
てAが 連 続 な らば,Aは
連 続 な の だ か ら,
矛 盾 す る.し
たが っ
有 界 で あ る.
有 界 性 も連 続 性 も同 じ こ とを い っ てい るの だ が,線 形 作 用 素 を 取 り扱 うと きに は,有 界 性 の方 が よ く用 い られ る.次 の 命題 は 連 続 性 の観 点 か らで もす ぐに導 か れ る(次 節 参 照). A,Bを
有 界 な 作 用 素 と す る.こ
の とき
和:A+B ス カ ラ ー 積:αA
(α∈C)
積:AB も ま た 有 界 な 作 用 素 と な る.
こ こで積ABと
は,も ち ろ んABx=A(Bx)に
よっ て定 義 され る作 用 素 の こ と
で あ る.
有界 作用素 の ノルム Aを 有 界 な 作 用 素 とす る.こ の とき(1)を 成 り立 た せ る よ うなMの 下 限を ‖A‖ と表 わ し,Aの
ノル ム とい う.す なわ ち
すべ てのxに 対 し と お くの で あ る. 明 らか に
で あ る が,等 Ax0≠0と
号 はA=0の
と き に 限 る.な
な る も の が あ る.こ
ぜ な ら も しA≠0と
の と き ‖Ax0‖=kと
す る と,あ
るx0で
お く と,k≠0で
した が っ て
とな るか らで あ る. 有 界 作 用 素 の ノル ムにつ い ては 次 の 性 質が 成 り立 つ. (ⅰ) 恒 等 作 用 素Iに
対 し て は ‖I‖=1
(ⅱ) (ⅲ) (ⅳ)
ど の 証 明 も 同 じ よ うな も の だ か ら,(ⅳ)だ
け を 示 し て お こ う. (Aの
ノル ム の 定 義)
(Bの
ノル ム の 定 義)
この式 が す べ てのxに 対 して成 り立 つ の だ か ら
とな る. 随伴作 用素 有 限 次 元 の場 合 と同 じ よ うに,任 意 の有 界 作 用素Aに 対 して 随 伴作 用 素A*が 存在 す る が,こ の こ とを 示す のに リース の定 理を 用 い る.
Aを 有 界 な 作 用 素 と す る.こ
(Ax,y)=(x,A*y)
を み た す 有 界 作 用 素A*が
【証 明 】 任 意 にyを
と っ て,ひ
対 して
(3)
存 在 し て,た
と ま ず こ のyを
と お く.内
の と き す べ て のx,yに
だ1通
りに 決 ま る.
固 定 し,
φy(x)=(Ax,y) 積 の 性 質 か ら,φy(x)はxに
つ い て 線 形 で あ るが,さ
らに
(シ ュ ワル ツ の 不 等 式)
か ら,φyは
線 形 汎 関 数 と な る.し
と な るy*が
たが っ て リース の定 理 か ら φy(x)=(x,y*)
た だ1つ
決 ま る.
あ る い は か き 直 し て,y*は
(Ax,y)=(x,y*)
を み た し て い る.yにy*を
対 応 させ る 対 応 を A*y=y*
と 表 わ す こ と に よ り,(3)を
み た す 対 応A*が
存 在 し て,一
意 的 に 決 まる こ とが
示 さ れ た. 次 にA*が
有 界 な 線 形 作 用 素 と な る こ とを 示 そ う.
線 形 作 用 素 の こ と:
(4) で あ る が,一
方
(5) (4)と(5)を
が 得 ら れ る.
見 比ベ て
(シ ュ ワル ッ の 不 等 式)
したが っ て
が 成 り立 ち,A*が
す なわ ち
有界な ご
とが 示 され た. 【定義 】 有 界 作 用素Aに 対 し,A*をAの AとA*の
関係(3)が
随 伴作 用素 とい う.
対 称 の ことか ら
(A*)*=A が 成 り立 つ こ とがわ か る.こ の こ とを 上 の証 明の最 後 の 部分 で得 られ た結 果 が 得 られ,結 局
に 適 用 す る と,
が 示 され た. 第10講 で 有 限 次元 の場 合 に述 べ た と同 様 に次 の等 式が 成 り立 つ.
〓
射影作 用素 の閉 部分 空 間Eが 与 え られ る と,前 講 で述 ベ た よ うに,〓
と直 交 分 解 され る.こ の分 解 に した が っ て 〓
は
の元xを
(6) と表 わ し た と き,
Px=y
と お き,PをEへ
の 射 影 作 用 素 と い う.
射 影 作 用 素 の 導 入 に と っ て,基
本 とな る の は(6)の
直 交 分 解 だ け で あ る.し
た が って有 限次 元 の 場 合 に部 分空 間 とい った と ころ を,閉 部 分空 間 に お きか え さ え す れ ば,射 影 作 用 素 に関 す る基 本 的 な性 質 は,第10講
で 述ベ た ものが そ の ま ま
の 形 で,ヒ ル ベ ル ト空 間 で も成 り立 つ こ とに な る. 特 に,I−Pは,E⊥
へ の射 影 作用 素 で あ る.ま
た 次 の射 影 作用 素 の特 徴 づ け も
成 り立 つ. 有 界 作用 素Pが,あ 十 分 条件 は,Pが
(ⅰ) P2=P
(ⅱ) P*=P
る閉 部 分空 間Eへ の射 影 作用 素 とな るた めの 必要 次 の2つ の条 件 を み たす こ とで あ る.
な お,射 影 作用 素Pが0で
なけ れば
‖P‖=1
で あ る.こ
の こ と は,一
般 に
とな る こ とか らわ
か る.
有界 作 用素 の い くつ か の 定 義 随 伴作 用 素 が 定 義 され た の だか ら,こ の概 念 を用 い て,有 限 次元 の場 合 の アナ ロジ ーを た ど る こ とに よ り,い くつ か の タ イ プの 有界 作用 素 を定 義 す る こ とが で き る. 正 規作 用 素: A*A=AA*を ユ ニ タ リー 作用 素: リ ー 作 用 素 と い う.ユ
み た す有 界 作 用 素Aを 正 規 作用 素 とい う.
U*U=I(恒
等作 用 素)を みた す 有界 作 用 素Uを,ユ
ニ タ リー 作 用 素 に つ い て は
,第13講
ニタ
で述 べ た有 限 次元 の
場 合 の ユ ニ タ リー 作 用 素 の 特 性 づ け が そ の ま ま の 形 で す べ て成 り立 つ .形 式 的 に は そ の 証 明 も 同 じ で あ る.ヒ
ル ベ ル ト空 間 の 場 合 に ,そ
れ ら の特 性 づ けを も う 一
度 再 記 す る と次 の よ うに な る.
有 界 作 用 素Uが
ユ ニ タ リー と な る 条 件 は,次
成 り立 つ こ と で あ る.
(ⅰ) U−1=U*
の い ず れ か1つ
の 条件 が
(ⅱ) UU*=I (ⅲ) す べ て のx,yに (ⅳ) す ベ て のxに
対 し て(Ux,Uy)=(x,y) 対 し
(ⅴ) Uは 完 全 正 規 直 交 系 を,完
最 後 の(ⅴ)だ … ,en,…}を
け'完 全'と
い う と こ ろ に,一 言 注 意 が い る か も し れ な い.{e1,e2,
完 全 正 規 直 交 系 と す る.こ
系 と な る こ と は す ぐに わ か る が,完 にxを
と り,y=U−1xと
全 正 規 直 交 系 へ 移 す.
の と き{Ue1,Ue2,…,Uen,…}が
正規直交
全 で あ る こ とは 次 の よ うに し て わ か る.任
お く.{e1,e2,…,en,…}は
意
完 全 だか ら
と表 わ され る.こ の両 辺 にUを 適 用 して
と な る.し
た が っ て
自己 共 役 作用 素:H=H*を
は完 全 で あ る. み た す 有界 作 用 素 を 自己共 役 作 用素 とい う.
自己 共 役 作用 素Hに 対 しては,(Hx,x)は
つ ね に実 数 とな る.な ぜ な ら
が 成 り立 つ か ら で あ る. 有 限 次 元 の 場 合 の ア ナ ロ ジ ー で は,こ あ る.実 は,自
際,エ
れ は エ ル ミー ト作 用 素 とい うべ き も の で
ル ミ ー ト作 用 素 と よ ぶ こ と も あ る が,ヒ
己 共 役 作 用 素 ―self-adjoint
operator―
ル ベ ル ト空 間 の と き に
と い う こ と が 多 い よ うで あ り,
こ こ で も そ れ に な ら う こ とに し た.
Tea
Time
質 問 これ か らの 講義 で は,い ま定 義 され たば か りの,正 規 作 用 素や 自己 共役 作 用 素 な ど の 固有値 問題 が 取 り扱 わ れ るの だ ろ う と思 い ます が,こ
れ ら の 作用 素
は,有 限 次 元 の 場 合 とま った く同 じ形 で 定義 され た の です か ら,有 限次 元 か ら無
限 次元 の 場 合 に 向け て の 離 陸準 備 は 万端 整 った と考 え て よい の で し ょ うか.あ と は 離 陸O.K.の
合 図 を待 つ だ け なの で し ょ うか.
答 離 陸 準 備 は 万端 整 った の か と問 われ る と,必 ず し もそ うでは な い といわ ざ る を 得 ない よ うで あ る.正 規 作用 素 等 の形 式 的 な定 義 は,幸 い リー スの 定理 か ら, 随 伴作 用 素 の 概念 を用 い る こ とに よ り,有限 次元 の 場 合 と同 じ形 で導 入 され た が, これ ら の作 用 素 の もつ 性 質 は,形 式 的 な定 義 だ け では 察 知 され ない 高 所 に あ る. ヒル ベ ル ト空 間 上 で 固有 値 問 題 を論 ず るため に は,作 用 素 に対 す る積 分 概 念が 必 要 とな り,そ れが 新 し い局 面 を 展開 す る.積 分 方 程式 論 を 端緒 と して登 場 した ヒ ル ベ ル ト空 間 論 は,結 局 は,積 分概 念 の 中を 大 き く旋 回 しな が ら,飛 翔 を続 け て い くこ とに な るの で あ る.そ の た め,ヒ ル ベル ト空 間 上の 固 有値 問 題 に 入 るため に は まだい ろ い ろ な準 備 が い る.質 問 に対 す る答 と しては,い
ま格 納 庫 か ら飛行
機 が と り出 され,飛 行 場 へ と姿 を見 せ た と ころ くら い だ とい って お こ うか.
第21講 ヒル ベ ル ト空間 上 の固有 値問 題 の第一 歩 テーマ
● 有限 次元 と無 限 次 元 の違 い ● ヒル ベル ト空 間 の 単位 球 面 は コン パ ク トで ない. ● 自己 共 役 作 用素Hの 最 大 の固 有値 を,有 限 次元 の場 合 の よ うに,(Hy,y) の単 位 球 面 上 の最 大値 と して は一 般 に 捉 え ら れ な い―
固有 ベ ク トルが
つか ま ら ない. ● 最大 固有 値 を,(Hy,y)の 条件 ―
単 位 球 面 上 の最 大 値 と して 求 め られ る1つ
の
条 件(C)
● 自己 共 役 作 用 素Hに 対 し
有 限 次 元 と無 限 次元 の違 い 前 講 のTea
Timeで
は,ヒ ル ベ ル ト空 間 上 の固 有 値 問 題 には,積 分概 念 を 投入
す る こ とが 必 要 で あ る とい った が,こ の講 で は まだ そ の点 ま では 立 ち入 らな い. ここ では,ヒ ル ベ ル ト空 間上 の 固 有値 問 題 を取 り扱 う第一 歩 と して,有 限 次 元 の 場 合 の 固有 値 問 題 と どの よ うな と ころが 違 うか,ま た どの よ うな 条 件 を お くと, 有 限 次元 との アナ ロ ジ ーが た どれ るか な どにつ い て 述 べ る こ とに し よ う. とこ ろで 一 体,有 限 次元 と無 限 次元 の間 に,本 質 的 な状 況 の違 い を 示す 源 は ど こに あ る のだ ろ うか.私 た ち に と って は,Cnの
が コン パ ク トなの に,〓
中の 単 位 球面
に お け る単 位 球 面
が コンパ ク トで な い とい う違 い が 決定 的 で あ る. コンパ ク トとは,距 離 空 間 に限 って い えば,'無 限個 の 点 列 が あ れば,必 ず あ る適 当な 部 分点 列が 存 在 して,こ の 部 分点 列 は あ る点 に 収 束 す る'と い う性 質を 指 す.
Scnが コ ン パ ク トで あ る こ と は,
と な り,し
た が っ てScnは,R2n+1の
と表 わ す と
単 位 球 面 と 同 一 視 さ れ る か ら で あ る(ボ
ル
ツ ァ ー ノ ・ワ イ エ ル シ ュ ト ラ ス の 定 理 の 一 般 化!). 一 方,S〓
が コ ン パク トで な い こ と は 次 の よ う に し て わ か る.〓
直 交 系 を{e1,e2,…,en,…}と
す る と,‖en‖=1に
の 中 の 無 限 系 列 で あ る.と
だ か ら,{en}の
こ ろ がm≠nな
の 完全 正規
よ り,{en}(n=1,2,…)はS〓
らば
中 か ら ど の よ うな 部 分 点 列 を と っ て も 収 束 し な い.し
た がって
S〓は コ ン パ ク トで は な い.
S〓 の中 に は,2点
間 の距 離 が つ ね に
であ る よ うな点 が 無 限 に あ るの だ か ら,
ふ つ うの球 面 か ら想 像 され る よ うな 閉 じた もの では な く,む しろ'単 位 球 面'S〓 は, 無 限 の 方 向に 向 か って 開い てい る と考 えた 方 が よい のか も しれな い.
[試 行]有
Scnは
限 次 元 との ア ナ ロ ジ ー を 追 う
コ ン パ ク トで あ る が,s〓
は コ ン パ ク トで な い と い う事 実 は,具
体的に固
有 値 問 題 に ど の よ うに 反 映 す る の だ ろ うか. 第12講
で 述 べ た エ ル ミ ー ト作 用 素 の 固 有 値 問 題 を 振 り返 りな が ら,話
て い く こ と に し よ う.そ
のた め い ま 〓
(1)
固 有 値 λを,有
を み た す0で
上 の 自 己 共 役 作 用 素Hで
(Hx,x)≧0
を み た す も の を 考 え よ う.Hの
Hx0=λ な い 元x0が
し 存 在 す れ ば)負 と仮 定(1)か ま た 任 意 のxに
x0
の こ とは
(Hx0,x0)=λ(x0,x0) ら 明 らか で あ る. 対 して
限 次 元 の 場 合 と 同 じ よ うに,
存 在 す る と き と定 義 す る.こ
で な い 実 数 と な る.こ
を進め
の と き,固
有 値 λは(も
が 成 り立 つ か ら,x≠0の
と な る.し
と き,辺
た が っ て
々 を ‖x‖2で割 っ て
と お き,yをS〓
上 の 変 数 と考 え る と,
(Hy,y) はS〓 上 の 連 続 関 数 で あ っ て,
が 成 り立 っ て い る. こ こ で 第12講
で 述 ベ た エ ル ミ ー ト作 用 素 の こ とを 思 い 出 し,そ
を 追 う こ と を 試 み る な ら ば,私
た ち は,ま
ずHの
の アナ ロジ ー
最 大 の 固 有 値 λを
(?) の 値 と し て 求 め,こ
の 最 大 値 を と るy0が
λ の 固 有 ベ ク トル で あ る と い う道 を と
りた くな る. し か し 実 際 は こ の 道 を 進 も う とす る と,S〓 障 壁 と な っ て,私
が コ ン パ ク トで な い と い う 事 実 が
た ち の 前 に 立 ち は だ か っ て く る の で あ る.こ
れ か らそ の ことを
説 明 し て み よ う. yがS〓
の 中 を 動 い た と き,(Hy,y)の
動 き ま わ る.実
値 は 数 直 線 上 の 区 間[0,‖H‖]の
数 の よ く知 ら れ た 性 質 か ら,こ
を 考 え る こ と が で き る.こ
中を
の とき
の 値 を 改 め て λ とお く と λ≦ ‖H‖ で あ っ て,λ
はHの
最 大 の 固 有 値 とな る候 補 者 で あ る. 上 限supの
性 質 か ら,n=1,2,…
に 対 し て,S〓 の 中 の 系 列{y1,y2,…yn,…}が
存 在 して
が 成 り立 つ こ と は 確 か で あ る.n→ 近 づ く.し か し,yn自
身 は,n→
収 束 し な い こ と が 起 き得 る.S〓 こ の と き(?)の
∞ の と き,(Hyn,yn)の ∞ の と き,ど
方 は い く ら で も λに
ん な 部 分 列 を と っ て も,ど
こに も
が コ ン パ ク トで な い か ら で あ る!
は存 在 し ない とい う結 論 に な る.最 大 値 に達 す
るyがS〓
の 中 に 見 出 せ な い か ら で あ る.有
限 次 元 と の ア ナ ロ ジ ー で い え ば,H
の 最 大 の 固 有 値 λに 対 応 す る 固 有 ベ ク トル は,一
体 ど こへ 消 え て し ま ったの か と
い う こ と に な る だ ろ う.実 際 こ の よ う な 状 況 は 具 体 的 な 作 用 素 で 起 き る の で あ る.〓
上 の 作 用 素 に 対 す る 固 有 値 問 題 は 予 想 以 上 に 深 い の で あ る.
1つ
この よ うに し て,上 こ と は,一
の[試
行]に
の 条 件
し た が っ て 固 有 値 問 題 を 考 え て い こ う とす る
般 に は 無 理 な こ とが わ か っ た.し
と な っ て い る か は わ か っ た の だ か ら,作 す れ ば,こ
の 考 察 の 途 中 で,何
が障害
用 素 の方 に適 当 に条 件 を つ け てお きさ え
の 障 害 が 乗 り越 え ら れ る こ と が あ る か も し れ な い.
こ の 条 件 と は 次 の よ うな も の で あ る.S〓 ら と っ た 任 意 の 点 列{yn}(n=1,2,…)に い か な い.し 1,2,…)に
か し,こ
か し 作 用 素Hが 対 し,そ
は コ ン パ ク トで な い の だ か ら,S〓 か
対 し て,収 束 の 状 況 を 期 待 す る わ け に は
与 え ら れ た と き,{yn}のHに
の 適 当 な 部 分 点 列{Hyni}(ni=1,2,…)は
よ る 像{Hyn}(n= 収 束 す る とい う条
件 を 考 え る こ と は で き る だ ろ う. た と えば 〓
の 有 限 次 元 の 部 分 空 間 をEと
し,
H(〓)=E
と な る と き― る.実
際,こ
〓
よ る 像 がEと
の と きS〓 のHに
な 集 合 と な る.し る(有
のHに
な る と きに は,こ
よ る 像 は,
に よ りEの
た が っ てH(S〓)は,Eの
限 次 元 性!).し
適 当 な 部 分 点 列{yni}を
の 条件 が み た され て い
た が っ て ま た,S〓
有界
有 界 な 閉 集 合 と し て コ ン パ ク トに な か ら 任 意 に と っ た 点 列{yn}に
と る と,Hyniは,ni→
∞ の と きH(S〓)の
対 し,
あ る 元z0に
束 す る. そ こ で 一 般 の 有 界 作 用 素Aに
(C)系
列{xn}(n=1,2,…)が
適 当 な 部 分 列{xni}を 束 す る.
対 し て 次 の 条 件 を お く こ と を 考 え て み よ う.
‖xn‖=1を と る と,{Axni}は,ni→
み た す と す る.こ
の と き,
∞ の と き あ る 点z0に
収
収
条 件(C)の
下 で の 固 有値 の 存 在 証 明
い ま まで の話 の続 き とし て,Hは
有界 な 自己共 役作 用 素 で,す ベ てのxに 対 し
て
をみ た す とす る.Hが
自己共 役 で あ る こ とを用 い る と (2)
を 示 す こ とが で き る.こ (2)を
用 い て,次
の 事 実 は こ の 講 の 最 後 で 証 明 す る が,い
まは さ しあ た り
の こ と を 証 明 し よ う.
(#)
Hが
く と も1つ
さ ら に 条 件(C)を
み た す な ら ば,Hは
少な
の 固 有 値 を もつ.
す な わ ち あ る実 数 λ とx0≠0が
存 在 して
Hx0=λx0
(3)
が 成 り立 つ. 【証 明 】 Hが0の x0(≠0)は
と き に は,固
有 値 が0の
こ とは 明 らか で あ る(こ
任 意 で よい).
し た が っ てH≠0の
と き を 示 す と よい.こ
の と き λ=‖H‖ と お く と,(2)か
で あ る.上
限 の 定 義 か ら,S〓 か ら適 当 に 系 列{yn}(n=1,2,…)を
と な る.条
件(C)か
が あ る.記
ら,{yn}の
部 分 列{yni}でHyniが
号 の 簡 単 の た め に 系 列{Hyn}自
身 が,n→
す る:
(4) この と き
の と き(3)の
あ るx0に ∞ の と きx0に
ら
と る と,
収 束す る もの 収束 す る と
こ の 右 辺1行
目か ら2行
ま た ‖yn‖=1に
目 に 移 る と き に,Hが
も 注 意.左
自 己 共 役 で あ る こ と を 用 い た.
辺 は ≧0だ か ら
(5) と な り,し た が っ て 特 にx0≠0で 一 方 ,上 式 右 辺 の2行
あ る.
目 の 式 で
を用 い る と
した が っ て
で あ る.Hの
連 続 性 か らH(Hyn−
λyn)=0(n→
∞)が
得 ら れ,(4)よ
り
とな る.こ の式 は
Hx0=λx0
を 示 し てい る.し た が って(5)と 併 せ て,λ はHの 固 有値 で あ る こ とが わ か る. す なわ ち,条 件(C)は
強 力 で あ っ て,こ の条 件 の下 ではS〓 が コンパ ク トで な
い とい う障 害 も乗 り越 え て,固 有値 の存 在 を 確 認 で きた の で あ る.条 件(C)に つ い ては,次 講 で 詳 し く論 ず る こ とに す る.
自己 共 役 作 用 素 の ノル ム 残 し てお い た(2)の
証 明 を,も
う少 し一 般 の 場 合 も含 む形 で与 えて お こ う.
Hを 任 意 の 自 己共 役 作用 素 とす る.こ の と き一 般 に
(6) が 成 り立 つ.こ
こ で(Hy,y)≧0の
以 下 そ の 証 明 を 与 え よ う.ま
条 件 を つ け 加 えて お く と(2)に ず シ ュ ワル ツ の 不 等 式 か ら,‖y‖=1の
な る. とき
が 成 り立 つ か ら,(6)に
お い て左 辺 ≧右 辺 は 明 らか であ る.
逆 向 きの 不 等 式 を示 す ため に,ま ず(6)の
右 辺 を γ とお く と,任 意 のxに 対
して
が 成 り立 つ こ と を 注 意 し て お こ う.実 こ と は 明 ら か で あ り,x≠0の
と き は と し て,こ
さ て,
際,x=0の
と き は こ の 不 等 式 が 成 り立 つ と お い て γ の 定 義 を み る と よ い.
れ を 用 い て,実
数(H(y1±y2),y1±y2)を
評 価 してみ る と
右 辺 第1式 で
に注 意 す る と,結 局
が 得 ら れ る. 同 様 に(H(y1−y2),y1−y2)の
下 の方 の 評 価式 か ら
が 得 ら れ る. した が っ て
ゆ え に,‖y‖=1,Hy≠0の
と き に は,こ
の式 で
とお くこ とに よ り
が得 られ る.Hy=Oな
これ で(6)に 等 式(6)が
らば 当然 この式 は成 り立 つ か ら
お い て 左 辺 ≦右 辺 も 成 り立 つ こ と が い え て,前 証 明 さ れ た.
の こ と を 併 せ る と,
Tea
Time
質 問 S〓が コン パ ク トで ない とい うのは 驚 きで した.僕
は,有
界 な閉 集 合 は い
つ で も コンパ ク ト,し た が っ て有 界 閉 集合 に 限 れ ば,連 続 関数 は つ ね に最 大 値,最 小 値 を とる もの と思 っ てい ま した が,こ れ は 有 限 次元 で の性質 だ った の です ね. ヒル ベル ト空 間 の もつ 近 さの性 質 に つ い て,も
う少 し話 して いた だ け ませ んか.
答 S〓が コンパ ク トでな い こ と は,ヒ ル ベ ル ト空 間誕 生 当初 か ら十 分 認 識 され て いた こ とで あ り,こ の事 実 が 解 析 学 のい ろ い ろ な局 面 に難 しい 問題 を惹 き起 こ し て きた こ と も知 られ て いた.し か し ヒル ベ ル ト空 間 の,無 限 次 元空 間 と して の 幾 何 学 的様 相が,有 限次 元 の場 合 とどれ ほ ど違 うの か とい うこ とが,広 く数 学 者 の 関 心 を よび 起 こす よ うに な った の は,30年 ヒル ベ ル ト空 間 〓
で は,〓
と〓
ほ ど前か らの こ とであ る.た とえ ば,
か ら1点(た
とえば0)を
除 い た 空 間 と,
位 相 的 に は 同 じ もの とな って い る.こ の よ うな こ とは,有 限 次 元 では とて も考 え られ な い状 況 で あ る.2次
元 の場 合 に 考 え てみ て も,原 点 中心 の 円は(円 周 も含
め て)コ ン パ ク トで あ り,原 点 へ と連 続 的 に縮 約 して い くこ とが で き るが,も
し
原点 を と り除 い て しまえ ば,コ ンパ ク トで もな く,ま た収 縮 す べ き点 も見 失 っ て しま う.ま た 直 観 的 には 一 層信 じが た い こ とにみ え るが,〓
を連 続 的 に1対1
に 少 しず つ 変 え てい くと,単 位 球面S〓 は,あ る超 平 面 へ と移 され て し ま う.有 限 次 元 の感 覚 で は,丸
く閉 じた 球 面 が,平 らに 広が って い る平面 へ と移 っ てい くな
ど とい うこ とは,考 え られ ない こ とで あ る. 有 限 次 元 で は,原 点か ら遠 ざか っ て い く方 向 に のみ 無 限 を感 じ とるが,無 限 次 元 空 間 で は,各 点 の まわ りで,い わ ば点 の奥 の方 向へ 向か って も,無 限 が 展 開 し てい るの で あ っ て,こ の よ うな対 象 に対 して は,私 た ちの幾 何 学 的直 観 は な か な か 働 か な い の であ る.S〓 上 で 定 義 され た有 界 な連 続 関 数 が,必 ず し も最 大 値 を と ら ない とい うこ と も,上 限 に達 す る点 列 が,こ の'奥 の方 向'へ と逃 げ こん で, 究 極 の 点 が捉 え られ な い ことに よ って い る.
第22講 完全連続 な作用素 テー マ
● 条 件(C)と 同 値 な条 件 ● 完 全 連 続 な 作用 素 ● 完 全 連 続 な 自己 共役 作用 素 ● 完 全 連 続 な 自己 共 役 作用 素Hで
は,‖H‖ また は − ‖H‖が 固有 値 とな る.
● 完 全 連 続 な 自己 共役 作 用 素 の 固 有値 の分 布 と,固 有 空 間 の重 複 度
条 件(C)と
同 値 な 条 件
前 講 で み た よ うに,自 己 共 役 作 用 素 の 固 有 値 を 捉 え る の に,条 件(C)は 軍 で あ っ た.条
件(C)は,有
界 作 用 素Aに
す 系 列{xn}(n=1,2,…)が
あ る と,適
ni→ ∞ の と き 収 束 す る,と こ の 条 件(C)と
強力な援
対 す る 条 件 で あ っ て,‖xn‖=1を 当 な 部 分 点 列{xni}に
みた
対 し て{Axni}は
い う も の で あ っ た.
同 値 な 条 件 を 少 し列 記 し,こ
れ らの 同値 性 を 証 明す る こ とに し
よ う.
有 界 な 作 用 素Aに
対 し,条
件(C)は
次 の 条 件(C1)ま
た は(C2)と
同値
で あ る. (C1)系
列{xn}(n=1,2,…)が,あ
み た す とす る.こ
の と き 適 当 な 部 分 列{xni}を
→ ∞ の と き あ る 点z1に (C2)〓
対 し て ‖xn‖≦Kを
と る と,{Axni)は,ni
収 束す る.
の 有 界 な 集 合Sに
【証 明 】 (C)⇒(C1)⇒(C2)⇒(C)を と に す る.
る 正 数Kに
対 し,A(S)の
閉 包 は コ ン パ ク トで あ る.
示 す こ と に よ り,こ
れ ら の条 件 を確 か め る こ
(C)⇒(C1):
(C)を
点 列 とす る.こ
の 中 に0が
=1 ,2,…)と
だ か ら,条 き,あ
仮 定 す る.{xn}(n=1,2,…)を,‖xn‖
る 点z0に
み たす 無 限
あ れ ば は じ め か ら除 い て お い て も よ い か ら,xn≠0(n
仮 定 す る.こ
件(C)に
<Kを
の とき
よ り,適 当 な 部 分 列{yni}を
と る と,{Ayni}はni→
∞ のと
収 束 す る.
そ こ で 今 度 は 有 界 な 実 数 列{‖xni‖}(ni=1,2,…)に
注 目す る.こ
の 部 分 列{‖xmj‖}(mj=1,2,…)を
適 当 に と る と,mj→
な る(α0は
た が っ て{xn}の
適 当 な 実 数 で あ る).し
の と き,{‖xni‖}
∞ の と き,‖xmj‖→α0と
部 分列
を考 え る と
と な る.z1=α0z0と
お く と,(C1)が
(C1)⇒(C2):
(C1)を
界 性 か ら,あ る 正 数Kが A(S)の
成 り立 つ こ と が わ か る.
仮 定 す る.〓
の 有 界 な 集 合 をSと
存 在 して,す べ て のx∈Sに
コ ン パ ク ト性 を 示 す た め に,A(S)か
意 に と り,次 に 各nに
す る.こ
対 し て ‖x‖<Kが
の とき有 成 り立 つ.
ら 無 限 系 列{z1,z2,…,zn,…}を
任
対 し
(1) を み た すyn∈A(S)を そ こでSの に(C1)を
と る.
元xnで,Axn=ynを
適 用 す る と,適
る も の が あ る.こ
み た す も の を と る.‖xn‖ <Kに
当 な 部 分 列{xni}を
の と き,(1)か
と る と,
(ni→ ∞)
閉 集 合 だ か ら,z0∈A(S)で
あ る.こ
意 の 無 限 系 列 は 集 積 点 を も つ こ と が わ か り,A(S)が た.す
な わ ち(C2)が
(C2)⇒(C):
とな
ら明 らか に
zni→z0
と な る.A(S)は
注 意 し て,{xn}
れ で,A(S)か
ら とった任
コ ン パ ク トな こ とが 示 され
成 り立 つ.
(C2)を
仮 定 す る.こ
の と きSと
し てS〓 を と る と よ い.
1つ
上 の 同 値 性 の 証 明 で,Aの
の 注 意
有 界 性 は 用 い て い な い.連
続 性 に 相 当 す る もの は,
そ れ ぞ れ の 条 件 の 中 に 含 ま れ て い た か ら で あ る. 実 際,線
形 作 用 素Aが
と な る.な
ぜ な ら,も
条 件(C1)を しAが
み た し て い る と す る と,Aは
有 界 で な い と す る と,n=1,2,…
‖xn‖≦1,‖Axn‖
を み た す 系 列{xn}が て も,{Axni}は
存 在 す る.こ
収 束 し な い.し
有 界 作用 素
に対 して
≧n
の{xn}か
ら ど の よ う に 部 分 列{xni}を
た が っ て(C1)が
とっ
成 り立 た な くな る か ら で あ る.
完 全 連 続 な作 用 素
こ の 注 意 を 考 慮 し た 上 で,ヒ 【定 義 】 線 形 作 用 素Aが,条 と き,完
た は 同 値 な(C1)ま
た は(C2))を
み たす
全 連 続 で あ る と い う.
上 の 注 意 で 述 べ た よ うに,完
ル ベ ル トに し た が っ て 次 の 定 義 を お く. 件(C)(ま
全 連 続 な 作 用 素 は,つ
ヒル ベ ル トは,自 己 共 役 作用 素 の固 有値 問題 を,無
ね に 有 界 作 用 素 で あ る.
限 変 数 の2次 形 式 の標 準化 の問
題 と捉 え て い た.前 に も述べ た 積分 方 程 式 の著 書 の中 で,彼 完 全 連 続(ド
イ ツ語 でvollstetig;英 語 ではcompletely
は2次 形 式 に 関す る形 で
continuous)の
定義 を最 初 に
与 え た.現 代 流 に い えば,弱 収束 す る点 列 を 強収 束 す る点 に 移 す とい う定 義 で あ った. こ こで述 べ た よ うに,作 用 素 の立 場 で 完全 連 続 性 の 概 念 を 明確 に 捉え た の は,リ ース で あ っ て,『 無 限 変 数 の線 形 方 程式 系 』とい う1913年 に 刊 行 され た 著 書 の 中 であ った. リー ス は,こ こ で2次 形 式 の立 場 か ら無 限 行 列 の立 場 へ と戻 り,作 用 素 論へ 向け て20 世 紀 数 学 が 出 発す る第 一 歩 を 印 した の で あ る.こ る.リ ー ス の こ の著 書 は,当 時 と して は,最 して い た に違 い ない が,著
の本 の 中 で は1p-空 間 も登 場 して い
も新 鮮 な 感 覚 に 満 ち あふ れ た数 学 を 提示
者 自身 は理 論 の将 来 に つ い て な お十 分 な予 見 は で きな か っ
た よ うで あ る.し か し リー スは ス タ ー ト台 に 立 って い た こ とは よ く自覚 してい た.彼 は 著 書 の 最 初 の 頁 に一 言,か
き記 す.'し か し理論 は は じ ま った ば か りで あ る.漠 然 と
した い い 方 を す れば,特 別 な い くつか の問 題 に 対 す る未 完成 のエ ッセ ーで あ る.こ
の
幕 開 け が,現 在 の科 学 に 対 して ほ とん ど何 も もた らす ものが ない と して も,こ の 理論 を この ま ま沈 黙 させ て しま うよ うな こ とが あ って は い け な い だ ろ う.'
完 全 連 続 な 自 己共 役 作 用 素 Hを 完全 連 続 な 自己 共役 作 用 素 とす る.Hは
自 己共 役 とい うこ とか ら,(Hx,x)
は 実 数 であ り,ま た前 講 の 結 果 か ら
(2) が 成 り立 つ. 改 め て 定 義 を 述 べ る. 【定 義 】 Hx0=λx0を
み た す0で
な い 元x0が
ま た λが 固 有 値 の と き,Hx=λxを
存 在 す る と き,λ
み た すxを
を 固 有 値 と い う.
λに 属 す る 固 有 ベ ク トル と い う.
(ⅰ) 固 有 値 λは 実 数 で あ る. (ⅱ) λ≠ μ の と き,λ
に 属 す る 固 有 ベ ク トル と μ に
属 す る 固 有 ベ ク トル は 直 交 す る.
【証 明 】 (ⅰ):
(ⅱ):
u,vを
λ≠ μ に よ り,こ (2)か
u{≠0)を
λに 属 す る 固 有 ベ ク トル とす る と
そ れ ぞ れ λ と μ に 属 す る 固 有 ベ ク トル と す る と
れ か ら(u,v)=0.
ら
で あ る.こ の それ ぞれ の 場 合 に応 じて次 の 定 理が 成 り立 つ.
【定 理】 Hを
完全 連 続 な 自 己共 役 作 用 素 とす る.
(ⅰ)
の と き,‖H‖
(ⅱ)
の と き,−
はHの
固 有 値 と な る.
‖H‖ はHの
固 有 値 と な る.
【証 明 】 証 明 の 本質 的 な部 分 は す で に前 講 て 済 ん で い る.前
講 の'条 件(C)の
下 で の 固有 値 の存 在 証 明'の 節 で与 えた 議 論 は,そ っ く りそ の ま ま(ⅰ)の場 合 に適
用 す る こ とが で き る.私
た ち は そ こ で の 議 論 で λ=‖H‖ が 成 り立 っ て い る こ とに
注 意 し さ え す れ ば よ い.(ⅱ)の な お,Hの
場 合 に は,−Hに
対 し て,(ⅰ)の 結 果 を 使 う と よ い.
任 意 の 固 有値 を λとす る と
‖H‖≧│λ│
が 成 り立 つ.実
際,λ に 属 す る 固 有 ベ ク トルy0を
‖y0‖=1の
よ うに と っ て お く と
とな るか ら で あ る. したが っ て,定 理 は絶 対 値 が 最 大 とな る よ うなHの 固有 値 を まず 捉 え る こ とが で きた とい っ てい るの で あ る. 固 有 値 の 重 複 度 と分 布 Hの,固
有値 λに 属す る 固有 ベ ク トル の全体 は,〓
の部 分 空 間 をつ くる.こ の
部 分 空 間 をE(λ)で 表 わ し,固 有値 λに 属す る固有 空 間 とい う.
【定 理 】 Hを
完全 連 続 な 自己 共役 作 用 素 とす る.
(ⅰ) λを0と 異 な る 固有 値 とす る と
dim E(λ)<+∞
(ⅱ) Hの
異 な る固 有値 全 体 の つ くる集 合 は 高 々可 算集 合 で あ って,0以
外に
は 集 積 しない.
固有 値 λに 対 して,dim
E(λ)を λの重 複 度 とい うこ とにす る と,(ⅰ)で 述 べ て
い る こ と は,λ ≠0の 重 複 度 は 有 限 で あ る とい う こ と で あ る.(ⅱ)で 述 ベ て い る こ と は, Hの
固 有 値 の 数 直線 上 で の
分 布 の 模 様 は 図19の
・がHの 固有 値 を表 わす.こ
の 図 では,
‖H‖が 最 大 の 固 有値 を与 えて い る.
よ うに
図19
な っ て い る とい う こ と で あ る. 【証 明 】 (ⅰ): λ≠0の と き,dim
E(λ)=+∞
に な った とし て矛 盾 の生 ず る こ と
を み よ う.こ ベル
の と き,E(λ)の1次
独 立 な 元{u1,u2,…,un,…}か
ト ・シ ュ ミ ッ ト の 直 交 法 を 適 用 す る こ と に よ り,無
の 正 規 直 交 系{e1,e2,…,en,…}が
得 ら れ る.こ
で あ る.Hは
限 個 の 元 か ら な るE(λ)
の と き,‖en‖=1(n=1,2,…);
完 全連 続 だ か ら
{He1,He2,…,Hen,…}
か ら 収 束 す る 部 分 列 が 選 び 出 され な くて は な ら な い.し
だ か ら,こ dim
ら 出発 し て ヒル
の よ うな 部 分 列 は 存 在 し な い.こ
E(λ)<+∞
(ⅱ): Hの
か し,
れ は 矛 盾 で あ る.し
た が っ て これ で
が 証 明 さ れ た. 異 な る 固 有 値 の 集 合 が 高 々 可 算 集 合,す な わ ち有 限 個 か,あ る い は
可 算 無 限 個 の 元 か ら な る と い う こ とは,前
節 の 結 果:λ ≠μ⇒E(λ)⊥E(μ)か
か る(も
固 有 空 間 か ら と った0と
し 非 可 算 個 の 固 有 値 が あ れ ば,各
ク トル 全 体 は,非 次 にHの
可 算 個 の 互 い に 直 交 す る 元 か ら な り,〓
固 有 値 の 中 で,0と
らわ
異 な る固 有 ベ
の 可 分 性 に 反 す る).
異 な る 値 α に 収 束 す る 系 列{λn1,λn2,…,λni,…}が
存 在 した と す る:
λni→
α
(ni→ ∞)
この と き ε0>0を 十 分 小 さ く と る と │α│−
ε0>0
で あ り,か つ す べ て の λniに 対 して
│λni│>│α│−ε0
が 成 り立 つ と仮 定 し て お い て も差 し支 え な い. 各E(λni)か
ら,‖eni‖=1を
み た す 元eniを
し た が っ て{Hen1,Hen2,…,Heni,…}の は で き な い . こ れ はHの 値 は,0以
と る とmi≠niに
中 か ら,収
対 して
束 す る 部 分 列 を 選 び 出す こ と
完 全 連 続 性 に 反 す る か ら 矛 盾 で あ る.し
外 の 値 に は 集 積 す る こ とは で き な い.こ
たが って 固 有
れ で 証 明 さ れ た.
Tea
Time
質 問 完 全 連 続 で な い 作 用 素 と い うの は,ど 答 恒 等 作 用 素Iが
も う完 全 連 続 で は な い.実
直 交 系 と す る と,Ien=en(n=1,2,…)の い か ら で あ る.も の で あ る.完
ん な も の が あ る の で す か.
っ と も こ の こ とは,S〓
全 連 続 作 用 素 は,S〓
は 非 常 に 強 い 性 質 で あ っ て,無 質 で あ る と い っ て も よ い.前
際,{e1,e2,…,en,…}を
完全正規
中 か ら,収 束 す る 部 分 列 な ど と り 出 せ な が コ ン パ ク トで な い と い う事 実 そ の も
を コ ン パ ク ト集 合 の 中 に 入 れ て し ま う.こ
限 次 元 の 場 合 に は,恒 講 のTea
Timeで,S〓
れ
等 作 用素 とは対 極 に あ る性 の 非 コ ン パ ク ト性 は,各
点
の ま わ りで の 無 限 次 元 に 向 け て の 開 い た 状 況 か ら 生 じ て い る こ と を 注 意 し て お い た.作
用 素Hの
味 し て い る.固
完 全 連 続 性 は,移 有 値 λが0で
ば,Hは1対1で も,そ
あ る.だ
した先 で は この状 況 が つ ぶれ て しま うこ とを 意
な い と き に は,固 か ら,'こ
う な る た め に は,Hで
起 き て い な け れ ば な ら な い.す
有 空 間E(λ)にHを
の よ うな 状 況 は つ ぶ れ て し ま う'と
移 す 前 のE(λ)自
を0に
移 す か ら,何
と っ た と き,Eへ と0だ な お,こ
有 値0の
と き に は,固
の 結 論 も導 き 出 せ な い.た
の 射 影 作 用 素PEは
け で あ る.こ
れ がdim
有 空 間E(0)上 とえ ば,有
点 の まわ りで は 無 限
E(λ)<+∞
を 成 り立 た
で,Hは
す べ て の元
限 次 元 の 部 分 空 間Eを
完 全 連 続 な 自 己 共 役 作 用 素 で,固 でdim
限 次 元 の 部 分 空 間Eを
も う完 全 連 続 に は な ら な い こ と も,併
い って
で に 同 じ よ うな こ と が
限 れ ば,各
の と きE(1)=E,E(0)=E⊥
の 例 で もわ か る よ う に,無
作 用 素PEは
身 で,す
な わ ち,E(λ)に
次 元 の 方 へ 向 か っ て 開 い て い な い の で あ る.こ せ た 背 景 で あ っ た.固
限 っ て考 え れ
有 値 は1
E⊥ は も ち ろ ん ∞ で あ る. と っ た と きに は,射
せ て 注 意 し て お こ う.
影
第23講 完 全連 続 作 用素 の 固有空 間 に よ る分解 テー
マ
● 固 有 空 間 へ の分 解 定 理:完 全連 続 な 自己共 役 作 用 素Hの 固有 空 間 に よ っ て,〓
は 直 交 分解 す る.
● 定 理 の証 明 ● λn-固有 空 間 へ の射 影 作用 素Pnに
よるHの 表 現:H=Σ
λnPn
● 固 有 ベ ク トル に よ る展 開 ● 積 分 作用 素 の完 全 連 続 性 ● ア ス コ リ ・ア ル ジ ェ ラの定 理
固 有 空 間 へ の 分 解 定理 前 講の 結 果 か ら,完 全 連 続 な 自己共 役 作用 素Hの 固有 値 の全 体{λn}は,絶
対
値 の大 きい 方 か ら並 べ る と
と な る こ と が わ か っ た(図19参 こ と も あ る.0が
照).0は
固 有 値 の と き は λ∞=0と
固 有 値 と な る こ と もあ る し,な お く.λn(n=1,2,…,∞)に
らな い
属 す る固
有 空 間E(λn)は
互 い に 直 交 し て い る こ と を 思 い 出 し て お こ う:m≠n⇒E(λm)⊥
E(λn).ま
∞ の と きdim
たn≠
E(λn)<+∞
で あ る.
ま ず こ の 講 に お け る 基 本 定 理 を 述 べ て お こ う.
【定 理 】 (固 有 空 間 へ の 分 解 定 理) 完 全 連 続 な 自 己 共 役 作 用 素 が 与 え ら れ る と, 〓
は,Hの
固 有 空 間 に よ っ て 直 交 分 解 され る:
(1)
こ の 右 辺 の 表 わ し 方 で,0がHの
固 有 値 の と き に は,右
辺 の … の 終 りにE(λ ∞)
が 加 わ っ て い る. こ の 定 理 に 述 べ て い る こ と は,次
の よ うな こ と で あ る.各E(λn)か
ら正 規 直交
基底
(2) を 選 ん で お く.0が
固 有 値 でdim
E(λ ∞)=∞
の と き に は,E(λ ∞)か ら 完 全 正 規 直
交系
(3) を選 んで お く(E(λ ∞)は 〓
の 閉部 分 空 間 であ る!).こ
断 るの は わ ず らわ しい の で,(2)の
表記 の 中 に,(3)も
れか らそ の た び ご とに 含 まれ てい る と了解 し
てい た だ くこ とにす る. この とき定 理 で述 べ て い る こ とは,(2)を
す べ て集 め た もの は,〓
規 直 交系 とな っ てい る とい うこ とで あ る.す なわ ち 〓
と 表 わ さ れ る い う こ とで あ る.あ 影 作 用 素 と し,x∈
〓
に対 して
だ だ1通
(n=1,2,…,∞)
りに
(4) と表 わ さ れ る と い っ て も よい.た だ し こ こで,m≠n⇒(xm,xn)=0;
が成 り立 っ てい る. な お(4)の
表 わ し方 では
(5) と な っ て い る こ と に 注 意 し て お こ う.
定 理 の証 明
定 理 を 示 す た め に,(1)の
だ1通
る い は 同 じ こ と で あ る が,PnをE(λn)へ
Pnx=xn と お く と,xは
の 元xは,た
の 完全 正
右 辺 をEと
E=E(λ1)⊥E(λ2)⊥
お く: … ⊥E(λn)⊥ …
りに
の射
上 の 説 明 か ら,Eは
そ れ 自 身 ヒ ル ベ ル ト空 間 とな っ て お り,し た が っ て ま た 〓
の 中 で 考 え た と き に は,Eは HはEをEの
〓
の 閉 部 分 空 間 と な っ て い る.
中 へ 移 し て い る:H(E)⊂E.こ
と 明 ら か だ ろ う.な
れ は(4)と(5)を
見比べ る
お
が 成 り立 っ て い る こ と は,│λn│→0で
あ り,し
た が っ て あ る 番 号 か ら 先 の λnは,
│λn│<1を み た して い る こ と か ら わ か る. そ こ でEの
直 交補 空 間 を考 え
と表わ す.こ の とき証 明 す ベ き こ とは
(6) で あ る.そ
れ を 示 す た め に,HのE⊥
HはE⊥
をE⊥ へ 移 し て い る:H(E⊥)⊂E⊥.
実 際,y∈E⊥
とす る と,す
上 の 挙 動 を 考 え る こ と に し よ う.
べ て のx∈Eに
対 しHx∈Eだ
から
(Hx,y)=0 が 成 り立 つ.Hは
自己共 役 だ か ら (x,Hy)=0
こ の 式 はHy∈E⊥
を 表 わ し て い る.
し た が っ て,HをE⊥
上 の 作 用 素 と 考 え る こ と が で き る.こ
れ たE⊥ 上 の 作 用 素 を,Hで
表 わ そ う.す
の よ うに して 得 ら
ぐ確 か め ら れ る よ うに,Hも
完 全 連続
な 自 己 共 役 作 用 素 で あ る. も し,H≠0,し 素Hに
た が っ て λ=‖H‖ >0な
適 用 し て,λ
はHの
ら ば,前
に 述 べ た こ と をE⊥ 上 の 作 用
固 有 値 と な る こ と が わ か る(dim
E⊥ は ヒル ベ ル ト空 間 だ か ら 前 講 の 定 理 に よ る.dim の 結 果 に よ る).し
E⊥ <+∞
た が って
(7) か つ
Hx0=λx0
E⊥=+∞
な ら ば,
の と き は 第12講
と な る も の が 存 在 す る.〓
全 体 の 中 で 考 え れ ば,こ
も よ い.し
た が っ てx0はHの
と な る.こ
れ は(7)に
そ こ でE⊥ ≠{0}と
の式 はHx0=λx0と
かいて
固 有 値 λ の 固 有 ベ ク トル で あ り,
反 す る.し
た が っ てH=0で
あ る.
仮 定 し て 矛 盾 の 生 ず る こ とを み よ う.こ
の 仮 定か ら
(8) が 存 在 す る.H=0だ す るHの
か ら,Hz0=Hz0=0で
あ る.し
た が っ てz0は
固 有 値0に
属
固 有 ベ ク トル で あ り,
z0∈E(0)⊂E
で あ る.こ
れ は(8)に
し た が っ て(6)が
矛 盾 す る. 示 さ れ て,定
理 の 証 明 が 終 っ た.
固 有空 間 へ の 射 影 作 用 素
定理で 〓 表 わ す と,恒
の 固 有 空 間 へ の 分 解 は,各
固 有 空 間E(λn)へ
の 射 影 作 用 素 をPnと
等 作 用 素Iが
(9)
と 表 わ さ れ る こ と を 意 味 し て お り((4)参
照),ま
たHが
(10) と表 わ され る こ とを 意 味 し て い る((5)参
照).こ
こで 直 交 分 解 の 性 質 は,射
作用 素相 互 の 関係 PmPn=0 で 表 わ さ れ て い る(PmPn=0⇔
(m≠n)
す べ て のx,yに
対 し
.
(9)を
用 いると
(11)
影
とな るか ら
(12) と な る. ま た(9)を
で あ る.し
用 いると
たがって
(直交 性 に よる) と な る.(11),(12),(13)の
右 辺 で,λ
ぜ な ら,λ ∞ を 加 え よ うが 加 え ま い が,右
∞=0は
(13)
現 わ れ て い な い と考 え て よ い.な
辺 の 値 は 変 わ ら な い か ら で あ る.
固 有 ベ ク トル に よ る 展 開
固 有 空 間E(λn)の
正 規 直 交 基 底 を
と表 わ さ れ る.こ
れ か ら(11)は,
と表 わ さ れ る.こ
れ をHxの
と す る と,
固 有 ベ ク トル に よ る 展 開 と い う.
同 様 の 表 わ し 方 で(12)と(13)は
(14) と な る.
積分 作用素 の完全連 続性 ヒル ベ ル トが 最 初 に完 全 連続 作 用 素 の概 念 を 見 出 した のは,前 に 述 ベ た積 分 作 用 素 の研 究 か らで あ った.ヒ ル ベ ル トは,対 称 な 積 分 作 用素 に 対 して'固 有 関数 に よる展 開公式'を 見 出 した.こ れ か ら無 限変 数 の2次 形 式 の理 論 の 可 能性 を察 知 して,こ の理 論 の構 成 の過 程 で完 全 連続 の概 念 を 導 入 し たの で あ る. 対 称 な 積 分 作用 素 が 完 全 連続 性 を もつ とい うこ とは,次 の よ うな設 定 に お い て で あ る.い
ま数 直線 上 の有 界 な 閉 区 間I=[a,b]を
と り,I上
の2乗 可 積 な ル ベ
ー グ可 測 な複 素 数値 の関 数全 体 のつ くる ヒル ベル ト空 間
L2(I)
を 考 察 の対 象 とす る.こ の 空 間 で,φ,ψ ∈L2(I)の
内積は
で 与 え ら れ て い る. い まK(s,t)をI×I上
で 定 義 さ れ た 実 数 値 連 続 関 数 で,'対
K(s,t)=K(t,s)
を み た す も の と し よ う.こ
と お く と,ψ ∈L2(I)と 区 間'I×I上
の と き φ∈L2(I)に
な る.こ
対 して
の こ とは 次 の よ う に し て わ か る.K(s,t)が'閉
で 連 続 だ か ら,K(s,t)は
し て│K(s,t)│≦M.こ
有 界 で あ り,し
れ を用 い て
(15) し た が っ て ψ∈L2(I)と そ こで
称 性'
な る.
た が っ て あ る 正 数Mに
対
とお く と,KはL2(I)上
の 線 形 作 用 素 と な る が,さ
ら に(15)に
よ り,Kは
有界
作用 素 で あ って
とな る こ と もわ か る. さら にKは
自己共 役 作 用 素 とな る.実 際,Kが
実 数 値 関 数 で あ る こ と と対 称 性
を用いて
(積 分 の順 序 交換) (Kの 対 称 性) (Kは 実 数 値)
こ のKが
完 全 連 続 性 を も つ の で あ る.す
【定 理 】 KはL2(I)上
なわ ち
の 完 全 連 続 作 用 素 で あ る.
この 証 明 に は 次 の ア ス コ リ ・ア ル ジ ェ ラの 定 理 を 用 い る.
【ア ス コ リ ・ア ル ジ ェ ラ の 定 理 】 {fn}(n=1,2,…)を
有 界 な 閉 区 間I=[a,b]上
で 定 義 さ れ た 連 続 関 数 列 と し, (ⅰ) 一 様 有 界 性:
(Mは
定 数;n=1,2,…)
(ⅱ) 同程 度 連 続 性: 任 意 の 正 数 εに対 して,あ る δ>0が あ っ て
を み た す とす る.こ ni→ ∞ の と き,あ
の と き{fn}の る 連 続 関 数gに
中 か ら 適 当 に 部 分 列{fni}を 一様 収 束 す る.
と る と,fniは
こ の ア ス コ リ ・ア ル ジ ェ ラの 定理 は,区 間I上 の連 続 関数 全 体 の集 合 に,一 の位 相 を い れ た とき,一 様 有 界 性 と同程 度 連続 性 が,部
様収束
分 集 合 の'コ ンパ ク ト性'の
保 証 を 与 え て い る とい って い る ので あ る.
定 理 の 証 明 は,ア
ス コ リ ・ア ル ジ ェ ラ の 定 理 を 軸 と し て,次
の よ うな4段
階の
推 論 を 積 み 重 ね る こ と に よ り行 な わ れ る. 第1段
階:
い 定 数Aが
fをI上
の 連 続 関 数 と し,‖f‖
≦1と す る.こ
の と きfに
よら な
存 在 して
(一様 有 界性) 実 際,シ
ュ ワル ツ の不 等 式 を用 い て
がsに つ い て連続 関数 で 最 大値Aを
こ こ で,
で押 え られ る こ とが わ か る.
そ うす る と,‖f‖ ≦1に よ り,右 辺 は 第2段
階:
シ ュ ワル ツ の 不 等 式 と ‖f‖≦1か
が 成 り立 つ.K(s,t)はI×I上 れ ば,い {Kf}は 第3段 2,…)に
ら
で 一 様 連 続 だ か ら,右
く ら で も 小 さ く とれ る.こ
と る こ とに注 意 しよ う.
辺 は,│s1−s2│を
の こ と は,‖f‖ ≦1の
と き,連
小 さ くと
続 関 数 の集 合
同 程 度 連 続 の こ と を 示 し て い る. 階:
し た が っ て ‖fn‖≦1(n=1,2,…)の
対 し て,ア
っ て{Kfn}の
g∈L2(I)で さ ら に,一
数 列{Kfn}(n=1,
ス コ リ ・ア ル ジ ェ ラ の 定 理 を 適 用 す る こ と が で き る.し
中 か ら 適 当 に 部 分 列{Kfni}を
る 連 続 関 数gへ
と き,関
と一 様 収 束 す る.Iは
あ る. 様 収 束 性 か ら容 易 に
が 成 り立 つ こ と も わ か る.
と る と,ni→
∞ の と き,Kfniは
有 界 な 閉 区 間 て あ り,し
たが あ
たが って もち ろん
す なわ ち,連
続 関 数 に 限 れ ば,Kは,完
全 連続 性 の もつ べ き性 質 を みた し てい
る. 第4段 の{φn}に
階:
Kの
完 全 連 続 性 を 示 す に は,‖ φn‖≦1(n=1,2,…)を
対 し(φnは
べ る と よ い.し
連 続 と は 限 ら な い),{Kφn}の
か し こ の こ と は,L2(I)の
ー ジ ン の 定 理(『 ル ベ ー グ 積 分30講
中 で,連
』 第21講
た こ と に,す
ぐに 帰 着 さ せ る こ とが で き る.
こ れ で,大
筋 で は あ っ た が,定
み たす 任 意
中 か ら 収 束 す る部 分 列 が 選 続 関 数 が 稠 密 で あ る と い うル
参 照)に
よ り,実 は 第3段
階 で示 し
理 の 証 明 は 終 っ た こ と に し よ う.
Tea
Time
質 問 積 分 作 用 素が 完 全 連続 な 作用 素 で あ る とす る と,第16講 分 方 程 式 にお け る定 理A,B,C,Dは,す
で 述 べ ら れ た積
べ て 前 講 とこの 講 で証 明 され た完 全 連続
作 用 素 の 性 質 とみ る こ とが で き るの です か. 答 そ の 通 りで あ る.た だ し積分 方 程 式 を 述 べ て い る ときに は,前 に も何 度 も注 意 した よ うに,慣
行 に したが っ て,μKf=f(f≠0)と
い た が,積 分 作 用 素 の立 場 では,
な る μを 固有 値 とい って
す なわ ちKf=λf(f≠0)を
固有 値 とい った.こ の ときは0で な い λと,μ とが1対1に
み たす λを
対 応 して い る.し た
が っ て,た とえば 第16講 の 定理Dに 対 応 す る も のが,こ の講 の(14)と あ る.よ
な る ので
く見比 べ て み る とよい だ ろ う.な お 固 有 ベ ク トル は積 分 方 程式 の方 では
固 有関 数 とな ってい る.
第24講 一般 の 自己共 役作 用素 へ 向け て テーマ
● 一般 の 自己共 役 作用 素 ― ●1つ
の例:L2(I)上
連続 スペ ク トル の登 場
の作用 素(Hf)(t)=tf(t)
● 完 全 連 続 性 の 喪失 ―
固有 ベ ク トル が捉 え られ ない.
● 固有 値 が存 在 しな い. ● 連続 的 に 変化 しな が ら増 加 す る閉 部分 空 間 の 集 ま り ● 連続 的 に 変化 す る射 影 作 用 素 の 集 ま り ● 積分表示―
連 続 スペ ク トル
一 般 の 自己 共 役 作 用 素
― 連 続 ス ペ ク トル の 登 場
完 全 連続 な 自己 共 役 作用 素 に 対 しては,有
限 次元 の 固 有空 間 と0−固 有 空 間 と
に よ って,ヒ ル ベル ト空 間 が 直 交分 解 され た.こ の 結果 をみ る限 り,こ の 場 合は, 有 限 次元 の エ ル ミー ト作 用 素 の 固 有空 間 の 分 解 の結 果(第11講,第12講
参 照)
が そ の ま ま ご く自然 に無 限 次 元 へ と拡 張 され て い る とい って よい だ ろ う. しか しそれ は,完 全 連 続 性 とい う強 い 条 件 を お くこ とに よっ て得 られ た結 果 で あ る.こ の条 件 が 成 り立 た ない と き,一 体,ど の よ うな状 況 が 起 き てい るの で あ ろ うか.無 限 変 数 の2次 形 式 論 の 形 で,積 分 方 程 式 の一 般 論 を構 成 し よ うと して い た ヒル ベ ル トの 関 心 は,こ の点 に 向け られ てい った の であ る.そ し てそ こに, 連 続 スペ ク トル とい う,有 限次 元 に は み られ なか った新 しい'現 象'が 生 ず る こ とを 見 出す ことに な っ た. 1つ い ま,数
直線 上 の 単 位 区 間I=[0,1]上
の 例 で定 義 され た,2乗
可積 な ル ベ ー グ可
測 な 複素 数 値 関 数 全 体 の つ く る ヒ ル ベ ル ト空 間L2(I)を こ の と き,f(t)∈L2(I)に
対 し て,tf(t)は
は,│tf(t)│≦│f(t)│(0≦t≦1に
注 意)か
考 え る こ と に し よ う.
ま たL2(I)の
元 と な る.こ
の こと
ら
(1) が 成 り立 つ こ と か ら 明 ら か で あ る.し
たが っ て対 応
H:f(t)→tf(t)
は,L2(I)上
の 作 用 素 と な る.Hは
か で あ り,有
界 性 は(1)か
有 界 な 線 形 作 用 素 で あ る.線
形 の こ とは 明 ら
ら
‖Hf‖ ≦ ‖f‖
が 得 られ る か ら で あ る. さ ら にHは
自 己 共 役 で あ る.実
際
解 析 的 な 立 場 か ら み れ ば,Hは,関 ら,最
数f(t)にtを
も 自 然 な 作 用 素 と い っ て よ い の だ が,こ
か け るだけ の こ となの だ か
の 自然 な 作 用 素 が す で に 完 全 連 続
性 を 欠 い て い る の で あ る.
Hが 完 全 連 続 で ない こ とは,こ れ か ら詳 し く述 ベ るが,次 の こ とは 注 意 して お こ う. 恒 等 写 像Iは 完 全 連続 では な いが,写 像Hは,各
点t∈Iで,写
像 の'ス ケ ール'をI
か らtIに 変 え た もの にす ぎな い のだ か ら,や は り完 全 連続 とは な り得 ない の であ る. この状 況 は 区 間[0,1]の
代 りに区 間[1,2]を
完 全 正 規 直 交 系 を{en(t)}(n=1,2,…)と {ten(t)}に 移 るが,1≦t≦2に した が って{ten(t)}の
とった 方 が は っ き りす る.L2[1,2]の す る と,対 応f(t)→tf(t)で
.
中 か ら収 束 す る 部分 点 列 は選 ベ な い!
完 全 連 続 性 の 喪 失 ―
多 少 まわ り道 と な る が,Hが
固 有 ベ ク トル が 捉 え ら れ な い
完 全 連 続 で な い こ とを,い
な 固 有 値 問 題 と の 関 連 で 説 明 し て み よ う.そ
の た め に,ま
(2)
の こ と を 示 そ う.
こ れ らは
よ り,
‖H‖=1
ま ま で述 ベ て きた よ う ず
(1)か
ら,‖H‖ ≦1の
こ と は 明 ら か で あ る.第21講
の(6)と,(Hf,f)≧0
の こ とに 注 意す る と
で あ る.し
た が っ て 系 列{φn}(n=1,2,…)で
とな る もの を見 出す と(2)が
証 明 され た こ とに な る.
この よ うな 関 数 φnは
で 与 え ら れ る(図20).実
際
と な る. こ こ で 第21講
と 第22講
で述 ベ た 完 全 連続 作 用
素 の 性 質 を 思 い 出 し て み る と, も しHが
図20
完 全 連 続 な ら ば,‖φ‖=1で (Hφ,φ)=1
と な る φ∈L2(I)が
存 在 し な くて は な ら な い.
と ころが こ の よ うな φは け っ して存 在 しな い の であ る.な ぜ な ら,も しこの よ うな φが 存 在 す れ ば
が 同 時 に成 り立 た な くて は な らな い.し たが っ て
と な り,ほ
と ん ど至 る と こ ろ φ(t)=0が
0と な り,こ れ は ‖φ‖=1に し た が っ て,Hは
導 か れ る.ゆ
えにL2(I)の
矛 盾 し て し ま う.
完 全 連 続 で は な い の で あ る.読 者 は 図20を
見 て,φnがn→
の と き,し
だ い に 捉 え に く くな っ て い く さ ま を 注 意 され る と よ い.完
き に は,こ
の よ う な{φn}か
ら 収 束 す る 部 分 列{φni}が
と す る と,
と な り,φ
ル と な る の で あ っ た.何
元 と して φは
∞
全連続の と
と れ て,
は 固 有 値1(=‖H‖)に
対 す る固 有 ベ ク ト
と い う様 変 わ りだ ろ うか!
固 有 値 が 存 在 しな い
こ れ か らHの
固 有 値 問 題 を ど の よ うに 設 定 し て い くか を 考 え て い くた め に,最
初 に ど の よ う な 実 数 λを と っ て も,λ は け っ し てHの う こ と を 注 意 し て お こ う.も
し,あ
固 有 値 に は な り得 な い と い
る φ∈L2(I)で
Hφ=λ φ
(3)
と い う関 係 が 成 り立 っ た と す れ ば
こ れ か ら φ(t)=Oa.e.と
な り,φ はL2(I)の
元 と し て は0と
な っ て し ま う.す
な わ ち,λ は 固 有 値 で は あ り得 な い. しか し0≦ λ≦1を み た す λは,固 る の で あ る.説
明 の 便 宜 上 λ>0と
を み た す φ≠0が 存 在 す る.す は な い が,ε ‖ φ‖だ け の'ゆ せ ば,Hφ (≠0)は
す る.そ
な わ ち,(3)の
有 値 に 近 い 振舞 い をみ せ
の と き ど ん な 小 さ い 正 数 εを と っ て も
よ う な 等 号 を 成 り立 た せ る φ(≠0)
ら ぎ'を 許
が ほ ぼ λφ と な る よ う な φ 存 在 す る.
こ の よ う な φ と し て は,区 λ]の 外 で は0と L2(I)を
有 値 で は な い が,固
間[λ − ε,
な る よ う な 任 意 の φ∈
と る と よ い(図21).
図21
実 際,こ
の よ う な φ に 対 し て は
で あ り,し
たが っ て
(4) が成 り立 つ の で あ る. 連 続 的 に変 化 す る 閉 部 分 空 間 の 集 ま り この状 況 を も っ とは っき りと捉 え るた め に
とお く(図22).E(λ)がL2(I)の
部 分 空 間 と な っ て い る こ とは 明 ら か だ ろ うが,実
は 閉部 分 空 間 に な っ てい る.そ れ を み るため に
と お く.も
しfn∈E(λ)(n=1,2,…)が,n→
の と きfに
∞
収 束 し た と す る と,
と な る が,φ
λfn=0a.e.か
ら φλf=Oa.e.が
ら れ る.こ
の こ と は,f∈E(λ)を
λを0か
ら1ま
図22
示 し て い る.
で 連 続 的 に 動 か す と,そ
従 属 し て 変 わ るL2(I)の
得
れ に 応 じ てE(λ)は,パ
ラ メ ー タ λに
閉 部 分 空 間 の 集 ま り{E(λ)}λ ∈Iをつ く る こ と に な る.
{E(λ)}λ∈Iは次 の 性 質 を も つ:
(5) さ ら に μ<λ な ら ば
E(μ)〓E(λ)
と な っ て い る.こ
れ は 図23を
ら か だ ろ う.図23で,グ て い る ψ はE(λ)に に は 属 し て い な い.
(6) み る と明
ラ フで示 され
属 し て い る が,E(μ) 図23
有 限 次 元 か ら 無 限 次 元 へ 移 る と き,1,2,…,nと と,単
に こ の 系 列 が,1,2,3,…,n,…
い う 次 元 を 示 す 数 値 に だ け 注 目す る
へ と変 わ っ た だ け だ と 考 え が ち で あ る.そ
うす
る と,ヒ ル ベ ル ト空 間 の 中 の あ る 部 分 空 間 の 増 加 列 と い っ て も,そ の個 数 はせ いぜ い '可 算 個'だ ろ う と思 っ て し ま う.し か し,実 際 は そ うで は な い の で あ っ て,こ こ で み た よ う に,'連
続 体 の 濃 度'の
部 分 空 間 の 増 加 列 が 登 場 し て く る.
ヒ ル ベ ル ト空 間 の 基 底 と い っ て も,有 交 系 と し て{e1,e2,…,en,…}へ 列{E(λ)}λ
∈Iが あ れ ば,μ
限 次 元 の 基 底{e1,e2,…,en}を,完
と 拡 張 し た に す ぎ な い の に,こ < λに 対 し,図23で
ば,基
底 の 個 数 は,連
い.論
点 は 微 妙 な の だ が,完
示 した よ う な ψ を,次
続 体 の 濃 度 に 達 し な い か.読
極 限 概 念 も加 え て い る.た
全正規直
の よ うな 部 分 空 間 の 系 々に と って いけ
者 の 感 覚 は 抵 抗 す る か も しれ な
全 正 規 直 交 系 は 単 な る 代 数 的 な 意 味 で の 基 底 で は な く, と え て い え ば,
とい う系列 か ら,完 備化 す る こ とに よ り,10進 展 開 の無限 小数 表示 の実 数 が得 られ て くる.実 数 の構 造 の 中で 最 も関 心 の あ るの は,さ 体 の濃 度を もつ'構 造 で あ るが,同
ま ざ まな極 限 概 念が 綾 を な す'連 続
様 の こ とは ヒルベ ル ト空間 で もい え るの で あ る.
{E(λ)}λ∈Iは,閉 部分 空 間 とい う概 念 の中 で 捉 え られ た'連 続 体 の 濃度 を もつ'1つ
の
構造 な ので あ る.
連 続 的 に 変 化 す る射 影 作 用 素 の 集 ま リ (5)に
対応 す る射 影作 用 素 の系 列 を
と表 わ す こ と に し よ う.部 用 い て い る.こ
分 空 間 の 包 含 関 係 の 記 号 ⊂ に 対 応 し て,こ
こで は ≦を
の と き(6)は P(μ)〓P(λ)
と表 わ さ れ る.E(λ)はL2(I)の
閉 部 分 空 間 だ か ら,そ
れ 自 身 ヒル ベ ル ト空 間 と
な っ て お り,し た が っ て
(7) と 直 和 分 解 さ れ る. そ こ で,E(μ)⊥
へ の射 影作 用 素 を P(λ)−P(μ)
と 表 わ す こ と に し よ う.こ
の と き(7)は
(8)
と表 わ され る. この よ うな形 式 的 なか き方 を続 け る と,目 標 を 見 失 うか も し れ な い.任 意 の f∈L2(I)に
対 して(8)を
適用す ると
とな るが,こ の 両辺 の意 味 す る もの は 図24で 見 た方 が よ くわ か るだ ろ う.
図24
この とき
とお く と,(4)と
同様 の 計 算 で
(9) が 成 り立 つ こ とが わ か る. こ こ で 読 者 は 図25を た い.い
ま0と1の
見 てい た だ き
間 に分 点
0=λ0< λ1<… < λk−1< λk<… < λn=1 を と る と,図25で
示 し た よ う に,fは
こ の そ れ ぞ れ の 区 間[λk−1,λk]でfと 一致 し
,そ
れ 以 外 で は0と
な る関 数
図25
に 分 割 され る.こ れ らをす べ て加 え 合わ せ る と,も との関 数fに な る:
した が って
と な る が.(9)を
み る とわ か る よ うに,λk− λk−1が小 さ くな れ ば,こ
わ れ る
は,
こ と を,仮
に'十
の右 辺 に現
分 近 く'な る .こ
の
に
と表 わ し て み よ う. こ の 表 わ し 方 を じ っ と 見 て い る と,思 す な わ ち,積
い き っ て 大 胆 な 推 論 を し て み た くな る.
分 と の 形 式 上 の 類 似 か ら,Max(λk−
細 か く し て い く と,最
λk−I)→0と な る よ うに 分 点 を
後 にHは
の よ う な 形 で 表 わ さ れ る と し て よ い の で は な か ろ うか. しか し,こ 題 は,次
の よ うな 積 分 表 示 は 本 当 に 数 学 的 な 意 味 を も つ の だ ろ うか.こ
講 か ら も っ と一 般 的 な 設 定 の 中 で と り上 げ る こ と に す るが ,こ
の主
こ で は,
0≦ λ≦1を み た す 実 数 λは,Hの
連 続 ス ペ ク トル と よ ば れ る も の で あ る こ とだ け
を 注 意 し て お こ う.固 有 値 は,離
散 的 な も の か ら,連
る も の へ と 変 わ っ て き た の で あ る.そ 似 的 な 固 有 ベ ク トル と,近
続 的 な ス ペ ク トル と よ ば れ
れ に よ っ て 固 有 ベ ク トル は 消 え,代
似 的 な 固 有 空 間E(λk)−E(λk−1)が
っ て近
現 わ れ て くる よ う
に な っ た.
Tea
質 問 有 限 次 元 の 場 合,自 エ ル ミー ト作 用 素Hは
,相
Time
己 共 役 作 用 素 は エ ル ミ ー ト作 用 素 と い っ て い ま し た. 異 な る 固 有 値 を λ1,λ2,…,λsとす る と,第11講
で話
さ れ た よ うに
H=λ1P1+λ2P2+…+λsPs
と表 わ さ れ て い ま す.こ
こ でPiは,固
こ れ も い ま の よ うに,'積
有 値 λiに対 す る 固 有 空 間 へ の 射 影 で す.
分 的 な 立 場'で
答 そ れ は 可 能 で あ っ て,そ
か き 表 わ す こ とが で き ま す か.
の た め 次 の よ うに 考 え る.い
ま 固有 値 は大 小 の順 序
に並 ベ られ てい る と し
λ1<λ2<… < λs
とす る.ま
た わ か りや す い よ うに,各
素 を,Piの
代 りにP(λi)と
固 有 値 λiに対 応 す る固 有 空 間 へ の 射 影 作 用
表 わ す こ とに し よ う.そ
こ で 実 数 λを パ ラ メ ー タ とす
る 射 影 作 用 素 の 集 ま り{P(λ)}λ ∈Rを 次 の よ うに 定 義 す る.
この と き
と 表 わ さ れ る. し か し こ こ で,た =0の
と え ば λk≦μ,ν<λk+1な ら ば,
こ と に 注 意 す る と(多
少 象 徴 的 に か い た 図26も
図26
参 照) ,こ
の右 辺 は
と表 わ さ れ る こ とが わ か る だ ろ う.こ こ の 立 場 で み る と,固 の,'階
段 の 高 さ'と
こ で εは 任 意 の 正 数 で あ る.
有 値 とい うの は,階
段 状 の 射 影 作 用 素 の 集 ま り{P(λ)}
し て 現 わ れ て い る と み る こ と も で き る よ うで あ る.
第25講 作 用素 の位 相 と射 影作 用素 の順 序 テーマ
● 有 界作 用 素 列 の収 束 ● 有 界作 用 素 列 の各 点 で の収 束 か ら,極 限 の 作用 素 の有 界性 を導 く―
〓
の 完備 性 と極 限 作 用 素 の 連続 性 とのか か わ りあ い. ● 射 影 作用 素 の順 序
は じめ に
Hを 有界 な 自己 共 役 作用 素 とす る.そ の と き結論 か ら先 にい えば,適 当 な実 数 a,b(a<b)を
とる と,Hは
(1) の形 に 表わ され る.P(λ)は,パ
ラ メー タ λに従 属 す る射 影作 用 素 を 表わ し てい
る.そ してHが この よ うに 表わ され る こ とが,ヒ ル ベル ト空 間 上 の固 有値 問題 に 対 す る1つ の ゴール とな って い る. 最 初 見 た ときに は,ま る で謎 めい た ものに さえ み え る この表 現(1)で,何
を
意 味 し よ うとして い るか は,前 講 の例 か ら読 者 は 大体 察 す る こ とが で き るの で は なか ろ うか.し か し この ゴ ール へた ど り着 く道 は,多 少 険 しい 道 とな るの か も し れ な い.こ れ か ら この ゴ ール を見 上 げ なが ら,そ こに至 る道 を 少 しず つ 登 ってい くこ とに し よ う. 有界作 用素列 の収束 まず(1)の
分近似和
右 辺 を 見 る と,∫ λdP(λ)とい う形 の 式が 現 わ れ て い る.こ れ は 多
の 極 限 を 表 わ し て い る の だ ろ うが,こ 素 の 系 列 の 極 限'と
用
は 何 か とい う こ とを は っ き り させ な く て は な ら な い だ ろ う.
【定 義 】 ヒ ル ベ ル ト空 間 〓 有 界 作 用 素Tが
れ に 厳 密 な 意 味 を 与 え る た め に は,'作
あ っ て,す
が 成 り立 つ と き,Tnはn→
上 の 有 界 作 用 素 の 系 列{Tn}(n=1,2,…)と,あ
べ て のx∈ 〓
∞ の と きTに
る
に対 して
収 束 す る と い い,Tn→T,ま
たは
と表 わ す.
読 者 の中 に は,有 界 作 用 素 の ノル ムを用 い て
の と き,TnはTに い.確
近 づ く と い う方 が 自 然 で は な い か と 考 え ら れ る 方 も い る か も し れ な
か に,こ
の と き はTnはTに
一 様 に 近 づ く,と
い っ て,場
づ き 方 を 考 察 す る 方 が ず っ と役 に 立 つ と い う こ と も あ る.し 近 づ き 方 で は,近 素 と し,Pは
づ き 方 が'強
閉 部 分 空 間EPの
す ぎ る'の
上 へ の,QはEQの
と な っ て し ま うか ら で あ る.前 P(λk−1))の
で あ る.な
合 に よって は この近
か し,い
ま の 場 合,こ
ぜ か とい う と,P,Qを
上 へ の 射 影 と し,Ep〓EQと
の
射 影 作用 す ると
‖P−Q‖=1
講 の 例 で も,こ
ノル ム は Σ λkと な っ て,'一
う な っ て い て は,近
様 に 近 づ く'と
似 和 Σ λk(P(λk)−
い う観 点 で は,分
点 を増 す と
→ ∞ と な っ て し ま う!
Sn→S,Tn→Tな
ら ば
が 成 り立 つ.
これ は 明 らか で あ ろ うが,次 の こ とは証 明が い るか もしれ な い. Tn→Tで
【証 明 】
‖Tn‖≦M(定
数)な
と す る と,あ
ら ば ‖T‖≦M
るx0で
‖x0‖=1,
と
な る も の が あ る.し
と な り,nが
たが っ て
十 分 大 き い と
と な る.こ
れ は 仮 定 に反 す
る. 各点での収 束か ら有界性の 帰結 有 界 作 用 素 に 対 し て,こ 重 要 な こ と は,あ
の よ うな極 限 概 念 ―
位相―
を 導 入 した と き,最
る 意 味 で の 完 備 性 が 成 り立 つ こ とで あ る.次
こ こ ま で 立 ち 入 っ た こ と は 必 要 と し な い の だ が,注 こ れ を 次 の 定 理 の 形 で 述 べ,証
も
講 か らの 議 論 で は
目すべ き こ とに思 わ れ るの で
明 も与 え て お く こ と に し よ う.
【定 理 】 有 界 作 用 素 の 系 列{Tn}(n=1,2,…)が
存 在 し て,任
意 のx∈ 〓
に対
し
‖Tmx−Tnx‖
が 成 り立 つ とす る.こ
→0
(m,n→
の と き あ る 有 界 作 用 素Tが
∞)
(2)
存在 して
と な る.
【証 明 】 〓 2,…)は
は 完 備 だ か ら,x∈
〓
必 ず あ る 元 に 収 束 す る.そ
を と め た と き,コ れ をTxで
ー シ ー列{Tnx}(n=1,
表 わ す こ と に し よ う.対 応x→Tx
が 線 形 作 用 素 で あ る こ と は す ぐに わ か る の だ が,問
題 はTの
有 界 性を 示 す こ とに
か か っ て い る. そ の た め に は,す
ぐ上 に 示 し た こ と か ら(2)が
成 り立 て ば,あ
る定 数Mが
在 して ‖Tn‖≦M
(n=1,2,…)
(3)
と な る こ と を 示 せ ば よ い. そ の た め に は,Tnの
(*) 適 当 な球
線 形 性 に よ っ て,次
の こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る.
存
を と る と,あ
る 定 数Cが
存 在 し て,任
意 のx∈B(y0;δ)に
対 して
が 成 り立 つ.
実 際,い
ま(*)が
だ か ら,(*)に
成 り立 っ た と し よ う.こ
よ り
≦Cに
が 得 ら れ る.こ
の 式 は も ち ろ んx=0で
【(*)の に1つ
対 して
たが って
注 意 して
も成 り立 つ.こ
れか ら
示 され た こ とに な る.
証 明 】 こ の 証 明 に は 背 理 法 を 用 い る.(*)が と っ た 球B(y0;δ0)の
中 に,あ
と な る.δ1>0を
意 のx(≠0)に
と な る.し
か ら,‖Tn(y0)‖
が い え て,(3)が
の と き,任
るx1と
成 り立 た な け れ ば,任
あ る 番 号n1が
意
存 在 して
‖Tn1(x1)‖>1
十 分 小 さ く と る と,Tn1の
連続性か ら
が 成 り立 つ. (*)が
成 り立 た な い の だ か ら,x2∈B(x1,δ1)と,あ
る 番 号n2が
存 在 して
‖Tn2(x2)‖>2 と な る.δ2>0を
十 分 小 さ くとって
が 成 り立 つ よ うに で き る. 次 に,B(x2,δ2)に n3で
対 し て 同 様 の 考 察 を 繰 り返 す と,x3∈B(x2,δ2)と
あ る番 号
‖Tn3(x3)‖>3 を み た す も の が あ る こ とが わ か り,し
た が っ て δ3>0を
と な る よ うに 選 べ る. こ の よ うに し て,球
の系列
で
か つ あ る 番 号nkを
とる と
(4) が 成 り立 つ よ うな も の が 存 在 す る こ と が わ か っ た. こ の よ うに し て つ く っ た,球 ー 列 に な っ て い る .実
し たが っ て 〓
の 中 心 の つ くる 系 列{x1,x2,…,xk,…}は
コー シ
際
の 完 備 性 か ら,あ るx*が 存 在 して
と な る.明
ら か に,k=1,2,…
で あ り,し
た が っ て(4)か
に対 し
ら
(5) が 成 り立 っ て い る. 一 方,定
理 の最 初 の仮 定 か ら {T1(x*),T2(x*),…,Tn(x*),…}
は コ ー シ ー 列 を つ く っ て い る.し して
た が っ て こ の 系 列 は 有 界 で あ り,あ
る 数Cに
対
と な っ て い る.こ
れ は(5)と
矛 盾 し た 結 果 とな る.
こ れ で 背 理 法 に よ り,(*)が
成 り立 つ こ とが わ か り,同
時 に定 理 の証 明が 完
了した. 射影作 用素の順序 この講 の 最初 に 述べ た 式(1)を
見 る と,右 辺 に射 影作 用 素 の族{P(λ)}が
現
わ れ てい る.そ こで今 度 は,射 影作 用 素 の集 ま りにつ い て,基 本 的 な事 柄 を述 べ て,(1)へ
近づ く道を も う少 し進 め てみ る ことに し よ う.
まず 射 影作 用 素 の間 に順 序 関 係 を導 入 す る.閉 部 分 空 間EPへ P,閉
の射 影 作用 素 を
部 分 空 間EQへ の射 影 作用 素 をQと す る.こ の とき
[射 影 作 用素 間 の順 序]EP〓EQの
とき,P≦Qと
関 係 を 明示 したい ときに は,P