スポーツ基礎数理ハンドブック

スポーツ基礎数理   ハ ンドブック 深代千之     著 柴山 明

朝倉書店

序

東 京大 学 で は新 入生 に対 して,「 文系 」 は教 科 書 と して めず ら し くベ ス トセ ラー に なった 『 知 の技法 』(東京 大 学 出版 会)を 用 い て議論 の しか た を演 習 し,「理系 」 は生 物 ・物 理 ・化 学 ・身体 運動 科 学 とい う科 目の基礎 実 験 を行 い,そ れ ぞれ の学 生 が そ の後 希 望分 野 に進 ん だ と きに十 分 に力 を伸 ばせ る よ うに 「 学 問 の 基礎 」 をつ くる カ リキ ュ ラム が整 え られて い る.こ の よ うな基 礎 演 習 や基礎 実 験 で土 台 をつ くっ てお くと,例 え ば私 た ちの研 究室 の同僚 が つ い この 間行 っ た よ うに,短 期 間の留 学 で 摘 出筋 を用 い た詳細 な実 験 を行 い た い な ど とい う場合 に,通 常 は解剖 な どを行 っ てい な くとも学部 生 時代 の基礎 実 験 で の カエ ル の解 剖 の経 験 が 生 きて きて,解 剖 が それ ほ ど苦 にな らず 十分 な研 究成 果 を得 る こ とが で きる とい う こ とにな る ので あ る.一 見,当 面 の あい だ は 自分 の専 門 に直接 関係 の ない勉 強 にみ え て も,基 礎 と して の蓄 えが あ るか どうか は将 来 の発 展 に大 き く影 響 して くる とい え よ う. さて,私 た ちの 「ス ポー ツ科 学」 の分 野 の カ リキ ュ ラム は どうだ ろ うか.最 近 で は,ス ポー ツ科 学 関連 の 専 攻 を もつ大 学 には,運 動 生 理 学 や ス ポー ツバ イオ メ カニ クス とい っ た授 業 が用 意 され,そ れ ぞ れ教 科 書 を用 い て講 義 され る よう に な った. た だ私 自身 も経 験 し危 惧 して い る こ とで あ るが,授 業 で学 生 の興 味 を引 きつ づ け る ため に は,従 来 の研 究 成 果 の興 味 深 い部 分 を トピ ック ス的 に述 べ なが ら,ス ポ ー ツ 科 学専 攻 学 生 と して最 低 限 知 っ てい て ほ しい 内容 を,ト ピ ック ス に関連 させ て説 明 す る とい った こ と に終 始 せ ざる を得 な い場合 が 少 な くない こ とで あ る.こ の よ うな 授 業形 態 は,次 に述べ る よ うな陽 と陰 の両 面 を もって い る.陽 と して は,ス ポ ー ツ 界 で経 験 的 に信 じられ てい た こ とが研 究 成 果 に よ って覆 され た り,ス ポ ー ツ科 学 の 指 摘 を自分 自身 の記憶 や身体 の感 覚 とい った 身近 な こ とで 確 か め た りで きる こ とか ら,も とも とス ポー ツ好 きの学 生 や逆 にス ポ ー ツ に興味 の薄 か っ た学生 な ど,多 く の受 講 生 に,「 ス ポ ー ツ科 学」 に つい て興 味 を もたせ る こ とが で きる とい う点 で あ る.し か し,そ の一方 で陰 と して は,ト ピ ックス 的 な こ うい っ た授 業 だ けで は順 序 立 て た学 問 と しての 知識 の 構 築 に な りづ らい とい う危惧 であ る.簡 略化 され た カ リ キ ュラ ム の中 で育 って きた学 生 は,土 台 を十分 構築 せ ず に建 て た家 の よ うに極 め て 危 険 な要 素 を含 んで い る ので あ る.例 え ば,ス ポー ツ科 学 専 攻 の卒 業論 文 や修 士 論

文 の質 疑応 答 にお い て,数 学 や 力学 の基 礎 が 稀 薄 なた め に しば しば議論 が か み合 わ な い とい っ た こ とが生 じて しま う.残 念 なが ら これ は公 の研 究発 表 の場 であ る学 術 学 会 にお い て も時 々み られ る こ とで あ る. 本 書 は上 記 の トピ ックス的授 業 を補 完 す る もの と して,「堅 固 な土 台 は頂 上 を高 く す る」 とい う理念 の もと 「基礎 を中心 に」 ま とめ られ た もの で あ る.従 来,数 学 や 力 学 そ してス ポ ー ツ科 学 それ ぞ れ に焦 点 を当 て た本 は多 く出版 されて い るが,本 書 の よ うに 「ス ポ ー ツ科 学 の ため の数 学 と力 学」 を扱 って い る本 は ない.森 羅万 象 を 数 値 で 置 き換 える 「科学 知 」 を読 者 が 直視 す る よう に数式 も多数 で て くるが,そ れ らを初 め て発 見 した先 人 の感 動 や ときめ き も読者 に伝 え られ る よう に 「言 語 知」 と しての科 学 史 に も頁 を割 い た. 本 書 の第2章 以 降 は私 の研 究 室 で スポ ー ツバ イ オ メ カニ クス を専 攻 して い る柴 山 明君 が 主 に執 筆 した.彼 は物 理学 科 の大 学 院修 士 課程 を修 了 してか ら,身 体 運 動 を 研 究 した い と希望 して私 の も とを訪 ね,深 代 研 究 室 の第1期 生 となっ た とい う経 歴 を持 つ.ス ポー ツ科 学 の基 礎 と して必 要 な数 学,力 学 の 内容 の選 択 お よび構成 は彼 が 行 っ たが,本 書 執筆 に あた って は読者 に読 み やす くす るた め に,私 と彼 で何 度 も 見 直 しや書 き直 しを行 っ た.結 果 と して,本 書 はス ポ ー ツ科学 や ス ポ ー ツバ イ オメ カニ ク ス を真剣 に勉 強 しよ う とす る学生 に とっ て,十 分 に基礎 学 力 がつ く教 科 書 に な った と思 って い る.研 究 の最 先 端 を追 う こ と も大事 で あ るが,ス ポ ー ツ科 学 の 土 台 をい つ も確 認 で きる よう に,本 書 をハ ン ドブ ック と して携帯 して ほ しい と願 って い る.本 書 が 日本 の ス ポ ー ツ科学 界 の レベ ル ア ップに つ なが れ ば,こ れ 以上 の幸せ は ない. 末筆 なが ら,ス ポ ー ツ科 学 の基礎 を扱 った本 書 の 意味 を深 く理 解 し,出 版 に御 尽 力 頂 い た,朝 倉 書 店 の方 々 に感 謝す る次 第 で あ る. 2000年8月

深 代 千 之

本書 の特 長

こ こ数 年 の間,筆 者 は身体 運動 科 学教 室 の学生(大 部 分 は スポ ー ツバ イ オメ カニ ク ス を専攻 してい な い学 生)か ら数 学,あ る い は力 学 に関す る様 々 な 質問 を受 け て き た.そ れ らの質 問 の 中に は 「超音 波 の周 波 数 を表すMHzっ 長 を表すnmと

て何?」,「 近 赤外 線 の波

は?」 とい っ た よ うに一言 で答 え られ る ものか ら,「筋 形 状 と腱 張力

の 関係 を扱 った論 文 で 三角 関数 の加 法 定 理が 複雑 に応 用 されて い て よ くわ か ら ない の だが解 説 して も らい た い.」,「あ る論 文 で走 速度 の実 験 デ ー タをy=a(1-e-t/T) で 回帰 した とあ るが,eと

は何 だ?」,「 重 心 っ て何?」,「 トル ク,ト ル ク とい うけれ

ど,ト ル ク とは何 か?筋

力 と違 うの か?モ

ー メ ン トアー ム が何 だ って?」,「 仕事

とエ ネル ギ ー の関係 は?」 の よ うに,ど こか ら ど こまで答 え れ ば よい のか返 答 に窮 す る もの もあ る.質 問 して きた人 が高 校 課程 の数 学,力 学 をあ る程 度 身 につ け てい れ ば質 問 され た具 体例 に則 して手短 に答 え る こ とが で きる のだ が,そ うで な い場 合, 一 時 間や 二 時 間か け て もこれ らの質 問 に十 分 には答 え られ ない .「(数 式 を使 わず 言 葉 で)概 念 だ け でい い か ら この数 式 の意 味 を教 えて くれ.」 とい う人 もい るが,そ れ で は応 用 力 が つか ず,別 の論 文 を読 ん だ と き同 じ質 問 を繰 り返 す こ とに な る.そ も そ も,ス ポ ー ツ科学 を学 ぼ う とす る者(科 学 的方 法 に よっ て身 体 運動 を追 求 し よ う とす る者)に とって 基本 的 な数 学 や力 学 は必 須 の道 具 で あ り,敬 遠 して は な らな い もので あ る.学 ぶ必 要 の あ る こ とは学 ば ね ばな らない.そ

して,数 学,力 学 が不 得

手 な人 は遠 回 りの よ うで も数 学,力 学 の基 礎 を体 系 的 に学 習 した方 が よい.ス ポ ー ツ科 学 の テ キス トや 論 文 を読 ん で数 学,力 学 の わ か らな い ところ を調 べ る とい う学 習法 は,数 学 や力 学 が得 意 な人 に とって は効 率 的 だが,そ うで な い人 に とっ ては か え っ て効 率 が 悪 い ので あ る. しか し,体 系 的 に学 習 を しよ う と して も,一 般 的 な力 学 の テキ ス トは理 学系 ・工 学系 の学 生 を対 象 と して 書 かれ て お り,ス ポ ー ツ科 学 専攻 の学 生 が 自習 す る ため に は難 し く,不 要 な部 分 も多 い.ま た,高 校 の物 理 の参 考 書 は記 述 が不 正確 な場 合 が あ る上,身 体 運動 を考 察 す る際 に欠 かせ な い 回転運 動 を扱 っ てい な い.そ こで本 書 で は,筆 者が こ こ数 年 間 で筆 者 の所 属 す る 身体 運動 科 学教 室 の学 生 か ら受 け た質 問 の 中 か ら一般 的 な もの を題材 と して選 び,そ れ にス ポ ー ツバ イ オメ カ ニ クス の基 本

で あ る物体 の 重心 の運 動,(一 軸 性 関節 の)関 節 トル ク,お よび これ らを理 解す るた め に必 要 な数 学 を話 題 と して加 え,体 系 性 を重視 して解 説 した.体 系 的で あ るが ゆ え,目 次 だ け を見 る と一般 の 理工 学 書 と似 通 っ た もの に な って はい るが,内 容 的 に はか な り独 自の工 夫 が な されて い る と 自負 して い る.以 下 に本書 の特長 を示 す . ・ ス ポ ー ツ科 学 を研 究 す る上 で 最低 限要 求 され る数 学 お よ び力学 の基本 的知 識 ・ 手 法 を厳 選 し,独 学 で も学 べ る よ う に で き る 限 り丁 寧 に 解 説 し た.ま

た,実

験

をす る 際 の 諸 注 意 な ど,“ 科 学 の 方 法 ” に 関 す る 内 容 に も ペ ー ジ を さ い た. ・ 本 書 を読 む た め に必 要 な 数 学 上 の 知 識 は(中 学 生 レベ ル の 数 学 を 除 い て)す べ て 本 書 内 で 解 説 を し た(数 学 の 定 理 の 証 明 の い くつ か は 高 校 の 教 科 書 に 譲 っ た). そ の た め,本

書 で 学 習 す る に 際 して 他 の 参 考 書 は 基 本 的 に は 必 要 な い.し

か し,

本 書 で 取 り上 げ た こ と を よ り深 く学 習 して み た い とい う 読 者 も多 い こ と と思 う. そ の よ う な 読 者 の た め に 随 所 で 参 考 図 書 を 紹 介 し た. ・ 注 や 補 足 は 時 に は や や 高 い 立 場 か ら,ま を 解 説 す る た め に 用 い た.こ

た 時 に は最 も初 歩 的 な と こ ろ か ら本 文

れ は 本 文 の レ ベ ル を 一 定 に 保 ち つ つ も,本 書 全 体

と して は ハ ン ドブ ッ ク と して,あ

る い は 教 科 書 と し て,あ

るい は学 習用 参 考 書

と し て 幅 広 い 読 者 に役 立 て て も ら い た か っ た か ら で あ る.そ ス トに 比 べ る と注 釈 が 多 くな っ て し ま っ た が,適 ら い た い.特

に,初

宜,取

の た め,他

の テキ

捨 選 択 し て利 用 して も

読 の 際 に は 補 足 を と ば し て 学 習 し,再 読 の 際,あ

る い は発

展 的 な こ と を 知 りた い と き に 参 考 に す る と よ い. ・ 本 書 で は ヨ ハ ネ ス ・ケ プ ラ ー の “遺 産 ” を め ぐ る 人 々 の ドラ マ を 陰 に 陽 に 繰 り 返 し取 り上 げ る こ と に よ っ て,全 体 を 一 つ の 物 語 に 仕 立 て 上 げ た つ も りで あ る. こ の 試 み に よ り,こ れ ま で 数 学 や 力 学 を敬 遠 しが ち だ っ た 人 も楽 し く学 習 を進 め る こ と が で き る で あ ろ う. ・ 科 学 に せ よ,技 術 に せ よ,最

初 は ご く原 始 的 で 未 熟 だ っ た も の が 多 くの 人 々 の

絶 え 間 ざ る 工 夫 に よ り発 達 して き た も の で あ る.し あ ま りに も支 配 的 な た め に,新 去,幾

度 と な く あ っ た.科

か し,時

に は古 い考 え方 が

しい 考 え 方 ・技 術 の 発 達 が 妨 げ ら れ る こ と が 過

学 に 携 わ る 者 は 常 に 伝 統 的 な も の を 正 し く評 価 し て

そ の 長 所 と短 所 を 明 ら か に し,短 所 を克 服 し て い か な くて は な ら な い.そ め の 議 論 ・討 論 の き っ か け に少 しで も な れ ば と思 い,本

のた

書 で は筆者 の試論 や 私

的 考 察 を や や 多 め に と りあ げ た(試 論 ・私 的 考 察 の 部 分 は そ の 旨 を 明 示 し て あ る).こ

れ ら の 中 に は不 完 全 な もの や 誤 り を 含 む も の も多 々 あ る と思 うが,こ

れ

を た た き台 と し て 積 極 的 な 議 論 が 行 わ れ る こ と を 期 待 す る. ・ 本 書 で は コ ン ピ ュ ー タ を使 っ て 解 く課 題 を 多 く用 意 し た.こ

れ は,コ ン ピ ュ ー タ

を 一 切 用 い ず に研 究 を進 め る こ とが 実 質 上 不 可 能 と な っ て い る現 状 を 考 慮 した た め で あ る.生

デ ー タ(実 験 デ ー タ)を た だ グ ラ フ化 す る た め だ け に コ ン ピ ュ ー

タ を 用 い る の は も っ た い な い.コ

ン ピ ュ ー タ を研 究 に 十 分 活 用 す る た め の 練 習

と して 本 書 の 課 題 に 取 り組 ま れ る と よ い で あ ろ う*.た き方 は どの ソ フ トを 使 う か に依 存 す る の で,解 な お,数

だ し,課 題 の 具 体 的 な 解

説 に は 一 般 論 しか 示 さ な か っ た.

学 が 苦 手 な 人 に はWolframResearch案

土のMathematicaを

薦 め てお

く†. ・ 本 書 で は 和 文 索 引,欧

文 索 引 と も に 充 実 さ せ た.索

引 を辞 書 代 わ り に 利 用 す る

の も本 書 の 活 用 法 の 一 つ で あ る. ・ ス ポ ー ツ バ イ オ メ カ ニ ク ス を 専 攻 す る 学 生 は 第10章 と を 勧 め る.こ

こ で 取 り上 げ た の は,ス

ポ ー ツバ イ オ メ カニ クス の実 験 実習 で

よ く取 り上 げ ら れ る 実 験 と そ の 課 題 で あ る.力 し,自 分 の 実 力 を試 して み る と よ い.力 れ に 続 くS嬢 エ ネ ル ギ ー,仕

とN嬢 事,積

を最 初 に 読 ん で し ま う こ

学 に 自 信 の あ る 人 は 課 題 に挑 戦

学 を 学 ん だ こ と の な い 人 も,課 題 と そ

の 会 話 を ざ っ と読 ん で み よ う.「mg,運 分,…

」 と い っ た,何

動 量,力

積,運

動

と な く気 に な っ て い た 言 葉 が,ど

こか で聞 い た こ とが あ る よ うな ない ような文 脈 で使 われ て い るの が 目に飛 び込 ん で く る で あ ろ う.そ つ つ,今

れ で 十 分 で あ る.そ

こ で 得 た 「?」 と い う 気 持 ち を抱 き

度 は 本 書 を最 初 か ら読 ん で い け ば,意

外 な 発 見 が い ろ い ろ と あ り,効

果 的 な 学 習 が で き る で あ ろ う‡. ・ 力 学 は “身 近 な 学 問 ”,“実 感 で き る 学 問 ” と して 物 理 学 の 中 で は 最 も早 く建 設 が 進 め ら れ た.し

か し,こ の “ 実 感 ”が 逆 に 力 学 の 発 展 を 妨 げ た こ と も多 い.力

学 の 学 習 に お い て も同 様 の こ とが 言 え る.“ 力,仕

事,エ

ネ ル ギ ー,遠

い っ た 言 葉 は 確 か に我 々 の 感 覚 に 強 く訴 え か け る も の が あ る し,そ 日 常 用 語 と し て も用 い られ る わ け だ が,そ 理 解 す る こ と は で き な い.し に は 苦 痛 で あ ろ う.そ

か し,あ

こ で 本 書 で は,数

心 力” と れ が ゆ え,

こ か ら い っ た ん離 れ な くて は 力 学 を

ま り抽 象 的 に 力 学 を 学 習 す る の は 初 学 者 式 の 展 開 を重 視 す る一 方 で,力

学上の

諸 概 念 が どの よ う に構 築 さ れ て き た か を 概 観 す る こ と に よ り,初 学 者 が 正 確 に, か つ 楽 し く力 学 の 学 習 を 進 め られ る よ う に工 夫 した.と は 常 に ス ム ー ズ に構 築 さ れ て い っ た わ け で は な い.そ

は い え,力

学 の諸概 念

の 紆 余 曲 折 を忠 実 に 再 現

*コ ン ピュ ー タを使 う課 題 を とば して も本 書 の 内 容 を理 解 す る上 で は何 ら差 し障 り は ない の で ,コ ン ピ ュ ー タ を持 っ てい な い人 で も安 心 して本 書 で 学 習 を して 頂 き た い. †本 書 で 挙 げ た グ ラ フの 多 くはMathematicaで 描 い た.ま た,計 算(数 値 計 算 ・文 字 式 の 計 算 ・方 程 式 や 微 分 方 程 式 の求 解)の 多 く もMathematicaで 行 っ た. ‡第2章 か ら第14章 は,こ の 課 題 を力 学 の 予 備 知 識 の ない 高 校 一 年 生 に解 説 す るた め に は ど うす れ ば よ い か とい う こ と を考 え て,も と も と書 か れ た も ので あ る.

す る こ と は か え っ て 読 者 を混 乱 させ る こ と に な る.ま

た,力

学 の 建 設 に 最 も重

要 な 役 割 を 果 た し た ニ ュ ー トン の 思 考 法,証

明 法 を そ の ま ま学 習 す る の は 困 難

で あ る 上,あ

の た め,歴

ま り役 に 立 つ とは 思 え な い.そ

史 を概 観 す る とい っ て

も,初 学 者 に と っ て役 立 つ よ う に 筆 者 が 整 理 ・洗 練 させ た も の と な っ て い る こ と を お 断 り し て お く.例

え ば 「ニ ュ ー トン は 以 下 の よ う に 考 え た」 とあ っ て も,

そ れ は ニ ュ ー ト ンが 考 え た こ と に ニ ュ ー トン 以 降 得 ら れ た 知 見 を 加 え た 解 説 に な っ て い る こ と が あ る.し は な い し,ま

か し,こ

れ は 決 して 不 当 に歴 史 を歪 め て い る わ け で

た,“ 力 学 を 学 ぶ た め の 力 学 史 ” と し て 有 用 で あ る と信 じ る.

以 上 の 説 明 か ら わ か る よ う に,本 側 面 か ら 解 説 す る こ と よ り も,ス

書 は ス ポ ー ツ科 学 な い し身 体 運 動 科 学 を 力 学 的

ポ ー ツ科 学 な い し 身体 運 動 科 学 を 学 ぶ た め に必 要

と な る 数 学 と力 学 の 重 要 な定 理 ・公 式 ・法 則 を 網 羅 す る こ と を 重 視 し,加 学 と力 学 の 考 え 方 や,物 強 調 した.数

学 的 な い し力 学 的 な思 考 法 は 決 して 万 能 な も の で は な い し,自

を と ら え る 唯 一 無 二 の 方 法 で もな い.し

然現 象

か し,数 学 ・力 学 の 考 え 方 や 手 法 を ま っ た

く無 視 して の 自 然 科 学 は あ り え な い と思 う.本 超 え,読

え て,数

理 学 者 達 が ど の よ う に 力 学 の 諸 概 念 を形 成 して い っ た か を

書 が,単

に知 識 を 身 につ け る こ とを

者 が こ れ か ら の 研 究 の 過 程 で 遭 遇 す る で あ ろ う 困 難 を乗 り越 え て い く実 力

を 身 に つ け る た め に 役 立 た て ば,筆 な お,本

者 の 喜 び,こ

れ に ま さ る もの は な い.

書 は ス ポ ー ツ科 学 専 攻 の 学 生 の た め に 執 筆 さ れ た も の で は あ る が,内

容

と して は 数 学 ・力 学 の 基 礎 全 般 を扱 っ て お り,物 理 を選 択 して い る 高 校 生 の 発 展 学 習 に,あ

る い は 理 系 の 大 学 新 入 生 の 基 礎 確 認 に も役 立 つ と思 う.ス

ポ ー ツ科 学 に携

わ る 人 は も と よ り,高 校 で の 物 理 と大 学 で の 物 理 学 と をつ な ぐ副 読 本 な り参 考 資 料 と して,高 校 生,大

学 新 入 生,さ

も広 く読 ん で も ら い た い.日

ら に は 高 校 で 数 学 ・物 理 を指 導 さ れ て い る先 生 方 に

本 中 の 人 の ス ポ ー ツ 科 学 へ の 関 心 を 喚 起 す る こ と――

こ れ は筆 者 の さ さ や か な 野 望(の 一 つ)で あ る.

目

次

1.ス

ポ ー ツバ イ オ メカ ニ ク ス

1

1.1ス

ポ ー ツ と科学

1

1.2運

動 中 の力 発揮 を知 る

4

2.一

般 的心 得

9 9

2.1物

理学 の考 え方

2.2単

位の話

10

2.3オ

ー ダー の考 え方

14

2.4誤

差 と有 効 数 字

19

2.4.1有

効 数 字 の話

19

2.4.2実

験 誤 差 の 生 じる原 因

20

2.5実

験 デ ー タ の 取 り扱 い に つ い て

2.5.1難

問

24 24

2.5.2あ

りが ち な こ と

24

2.5.3再

び難 問 につ い て

30

3.数

の 拡 張

35

3.1自

然数

35

3.2四

則 演算 に よ る数 の拡 張

36

3.3方

程 式 に よる数 の拡 張

37

3.4演

算 の法則

38

3.5数

の視 覚 的表 現

41

4.三

角 比 ・三 角 関 数

47

4.1三

角 比

47

4.2三

角 関数

49

4.3弧

度法

51

4.4曲

線 の媒 介 変数 表 示

55

4.5加

法定理

56

4.6複

素 数 の積 の 再論

59

5.ベ

ク

ト ル

5.1ベ

ク トル と は

5.2ベ

ク トル の 和

63 63 ・差

・実 数 倍

64

5.3加

法 ・減 法 再 論

65

5.4ベ

ク トル の 成 分

68

5.5内

積

70

5.5.1内

積 の定義

70

5.5.2内

積 の性 質

71

5.5.3内

積 と成 分

71

5.6ベ

ク トル 積

74

5.6.1ベ

ク トル 積 の 定 義

74

5.6.2ベ

ク トル 積 の 性 質

75

5.7位

置 ベ ク トル

77

5.8行

列 と一 次 変 換

78

5.8.1行

列

79

5.8.2回

転 を表 す行 列

83

法

89

6.微

分

6.1関

数

89

6.2微

分 法 の概 念

90

6.3微

分法 の基 本法 則

93

6.4関

数 の グ ラ フの概 形

94

6.5空

間運 動

97

6.6相

対運動

99

6.7内

積 とベ ク トル 積 の 微 分

100

6.8微

分 の数値 計 算

100

7.積

分

法

103

7.1積

分 法 の誕 生

103

7.2定

積分

104

7.3定

積 分 と不 定 積 分

109

7.4積

分法 の基 本 法則

114

7.5積

分 の数 値 計算

115

くつ か の 関 数

117

8.1指

数 関数

117

8.2三

角 関数

119

8.3マ

ク ロ ー リ ン展 開

122

8.4指

数 関 数 と三 角 関 数 の ち ょ っ と い い 関 係

124

8.5対

数関数

126

8.い

8.5.1対

数 の 基礎

126

8.5.2対

数 の 応用

128

8.5.3対

数 関 数 の微 分

130

8.6逆

三 角 関数

132

8.7微

分 法 ・積 分 法 の 公 式

136

9.微

分 方 程式 気 分

139

9.1微

分 ・積 分 の 復 習

139

9.2微

分 方程 式 の概 念

142

9.3微

分 方程 式 の視 覚 的理 解

145

10.バ

イ メカ こ と は じめ

10.1問

149

題

10.2考

察 もどき

11.質

点 の 運動

11.1質

149

151 155 155

点

11.2運

動 方程 式

156

11.3物

体 の 直線 運 動

159

11.3.1等

速直 線 運動

159

11.3.2等

加 速 度 直線 運 動

160

11.3.3い

くつ か の 外 力 が 働 い て い る 物 体 の 直 線 運 動

162

11.3.4糸

で つ なが れ た物体 の運 動

169

11.3.5流

体 中 の物体 の運 動

174

11.3.6単

振 動

180

11.3.7減

衰振 動

183

体 の空 間運 動

187

11.4物

11.4.1放

物 体 の運 動

187

11.4.2等

速 円運 動

191

11.4.3惑

星 の運 動

197

11.4.4振

り子 の 運 動

11.5井

戸端会議

12.運

動

202 205

量

215

12.1運

動 量 の発 見

215

12.2運

動 量 と力積

218

12.3質

点系

220

12.4運

動 量 と力積 の単位

222

13.力

学 的 エ ネル ギ ー

227

13.1運

動 エ ネ ル ギ ー と仕 事

227

13.2力

学 的 エ ネ ルギ ー保 存 則

233

13.2.11次

元 の 場合

13.2.22次

元,3次

13.3A君

233 元 の場 合

の冬 休 み

237 240

13.4質

点 系 の運 動 エ ネ ルギ ー

241

13.52物

体 の衝 突 につ い て

248

13.5.11次

13.5.2跳

元 の 場合

ね 返 り係 数 に つ い て

13.5.32次 13.5.4分

元 空 間 で の 衝突 問 題 裂

249 251 255 256

13.6棒

高 跳 び に関 す る世 界 で最 も粗 い議 論

258

13.7エ

ネル ギ ーの単 位

261

13.8エ

ネル ギ ー保存 則

263

13.9社

会 問 題 に 目 を 向 け る2人

266

14.こ

れ ま での ま とめ

273

15.回

転運 動 の初 歩

281

15.1力

の モ ー メ ン ト

281

15.2質

点 の角 運 動量

284

15.3中

心 力

286

15.4質

点 系 の角 運 動 量

291

15.5力

の モ ー メ ン トと 角 運 動 量 の 単 位

296

16.剛

体の運動

301

16.1剛

体 とは

301

16.2剛

体 に 働 く力 の 合 成

302

16.2.1平

行 で な い二 つ の力 の合 成

302

16.2.2平

行 な二 つの 力 の合 成

304

16.3剛

体 の重 心

306

16.4剛

体 に作 用 す る力 の つ りあ い

308

16.5固

定 軸 ま わ りの 角 運 動 量 と慣 性 モ ー メ ン ト

311

16.6固

定 軸 の な い場合 の剛 体 の運 動

317

16.7具

体 的 な例

318

16.7.1ト

ル ク測 定器

318

16.7.2滑

車 の運 動

319

16.7.3実

体 振 り子

323

16.7.4衝

撃の 中心

325

16.7.5ス

ナ ップ の効 果

327

17.関

節 トル ク

335

17.1関

節 トル ク の 意 味

335

17.2関

節 トル ク の 求 め 方

338

17.2.1身

体 末 端 関 節 の トル ク の 計 算

339

17.2.2末

端 部 以 外 の 関 節 の トル ク の 計 算

342

17.3圧 18.慣

力 中心 性 系 ・非 慣 性 系

345 349

18.1慣

性系

349

18.2非

慣 性 系 か ら見 た物 体 の運動

354

18.2.1慣

性 力

354

18.2.2観

測 系 が 直 線 運 動 を し て い る場 合

356

18.2.3観

測 系 が 一 定 角 速 度 で 回 転 運 動 を して い る 場 合

359

18.3慣

性 力 に まつ わ る話

365

19.番

外 編:フ

369

19.1フ

ー リエ解析 の注 意 事項

369

19.2フ

ー リエ 解 析 の 直 感 的 理 解

373

19.3最

小 二 乗 法 につ い て一言

376

20.古

典 力 学小 史

20.1古

代

20.2近 20.3“

代 へ の 過渡 期 読 者 ”の 出 現

379 379 380 382

20.4彗

星の導 き

383

20.5ニ

ュー トンの力 学 の その後

386

20.6現

代 物 理学 の誕生

386

付

索

ー リエ解析 の怪

録

391

A.ギ

リ シ ャ文 字 ・単 位

391

B.本

書 で扱 っ た数 学公 式

393

引

403

1 ス ポ ー ツバ イ オ メ カ ニ クス

1.1ス

ポ ー ツ と科 学

陸 上 競 技 や 水 泳 競 技 に代 表 さ れ る ス ポ ー ツ の 記 録 が,年 ク や 世 界 選 手 権 を 重 ね る た び に 更 新 さ れ て い る の は,よ

と と も に,ま た オ リ ン ピ ッ く知 ら れ た 事 実 で あ る.現

在 の 競 技 レベ ル は 人 類 の 運 動 能 力 の 極 限 に 近 づ い た の で は な い か と 思 わ せ る ほ ど, 高 く な っ て い る.例

え ば,男 子100mの

初 め て の 公 認 世 界 記 録 は,20世

く ら れ た10秒6で

あ っ た.人

紀 を か け て9秒79に

す な わ ち,100年

で 約1秒(距

類 は1世

離 に して 約10m)短

縮 した わ け で あ る が,こ

在 の 世 界 の ト ッ プ ス プ リ ン タ ー が ゴ ー ル す る 時 に,100年 に い る こ と に な る.こ

れ は ほ ん の 一 例 で あ る が,様

紀初 頭 につ

ま で 縮 め た(図1.1). れ は現

前 の ト ッ プ は90m地

々 な 競 技 ス ポ ー ツ で,こ

点

の よう

な 劇 的 な 進 歩 が 認 め ら れ る. と こ ろ で,走

る ・跳 ぶ ・投 げ る あ る い は 泳 ぐ とい っ た 身 体 運 動 は,も

の 糧 を得 る た め,あ

る い は 自 ら を 守 る た め の 手 段 で あ っ た が,も

ま の 生 活 で あ れ ば,運 う.例

動 能 力 が 現 在 の よ う に 向 上 す る とい う こ と は な か っ た で あ ろ

え ば,100mを3秒

水 中 か ら3mも

で 走 る チ ー タ,ひ

と っ 跳 び で12mを

越 え る カ ン ガ ル ー,

跳 び 上 が る イ ル カ な ど,動 物 の 運 動 能 力 は す ご い が,こ

跳 そ し て 水 泳 の 名 手 で あ る 動 物 た ち が,年 い の で あ る.古

と も と生 活

し人 間 が 原 始 の ま

れ らの走 や

々 そ の能力 を向 上 させ る とい う こ とは な

代 ギ リ シ ャ 時 代 に始 ま っ た 「ス ポ ー ツ 」 の 競 技 レベ ル が(動 物 と異 な

り)徐 々 に 向 上 す る の は,ス

ポ ー ツが 「 競 争 と い う 文 化 」 に な っ た か ら な の だ.大

の 働 き に よ っ て 行 動 が 規 定 さ れ る 高 等 動 物 界 に あ っ て,そ た 人 間 の 知 恵 は,い

脳

の 闘 争 本 能 に 裏 づ け られ

つ しか 「走 ・跳 ・投 」 とい う行 為 を そ の 直 接 的 な 生 活 手 段 か ら

切 り離 し て,「 能 力 を 競 う」 とい う競 技 形 態 を生 み 出 して き た の で あ る.競 技 能 力 の 向 上 は,そ

れ ぞ れ の 種 目 に 遺 伝 的 に 適 した 人 が 選 択 さ れ,環

境 的 要 因 で あ る トレ ー

ニ ン グ や 栄 養 摂 取 が 洗 練 さ れ て き た 結 果 だ とい え る .現 在 の 一 流 ス ポ ー ツ選 手 の 動 作 は,ま

さ に優 れ た 芸 術 作 品 の よ う で あ る.図1.2に

世 界 記 録(8m95cm)で

男 子 走 幅 跳 の1999年

あ る パ ウ エ ル の 動 作 を示 し た.動

時点の

作 自 体 も美 しい が,道

路

図1.1上 図:第3回 世界 陸 上 選 手 権 大 会(東 京,1991)男 走 の世 界 記 録 と 日本 記 録 の 変 遷.

子100m走.下

図:男 子100m

図1.2走

で1歩1mと

して9歩

幅 跳 の パ ウエ ル の 動 作(深 代,1993)1)

進 み,9mと

い う 長 さ を 実 感 して み て ほ し い .人

こ ん な に も跳 べ る の か と感 嘆 す る は ず で あ る.と ん だ ろ う と不 思 議 に な る だ ろ う.こ

の

同 時 に ,ど

間 は1回

で

う して こ ん な に跳 べ る

「ど う して だ ろ う」 とい う 疑 問 か ら,自

然科

学 そ し て ス ポ ー ツ 科 学 は 始 ま っ た. 速 く走 る,高

くあ る い は 遠 くへ 跳 ぶ,ま

た 遠 くへ モ ノ を 投 げ る,こ

つ ま り メ カ ニ ズ ム を 明 らか に し よ う と い う 分 野 が,ス れ る 「ス ポ ー ツ バ イ オ メ カ ニ ク ス(SportsBiomechanics)」 物 を,mechanicsは

れ らの仕 組 み

ポ ー ツ 科 学 の 中 に位 置 づ け ら で あ る.bioは

生体 や 生

力 学 や メ カ ニ ズ ム を表 して お り,ス ポ ー ツ バ イ オ メ カ ニ ク ス は,

ス ポ ー ツ 中 の 人 間 や 物 体 の 運 動 を,筋 地 面 反 力 ・空 気 抵 抗 な どの

力 や 身 体 内 部 で 作 用 す る 「内 力 」 と,重

「 外 力 」 との 相 互 作 用 に よ る 現 象 と し て 理 解 し2),そ

力 ・ の

メ カ ニ ズ ム を 解 明 す る こ と を 目的 と し て い る. パ ウ エ ル の 連 続 写 真 は,ビ し た も の で,図

デ オ 撮 影 さ れ た 画 面 か ら身 体 だ け を 抜 き取 っ て 再 構 成

の 下 に あ る ス テ ィ ッ ク ピ ク チ ャ は大 腿 や 下 腿 と い っ た 身 体 の セ グ メ

ン トを 線 で 簡 略 化 して 横 と前 か ら表 した も の で あ る .現 在 は,ビ て 撮 影 さ れ た 画 像 を コ ン ピ ュ ー タ に と り込 め ば,誰 で き る 時 代 に な っ た.図1.2を

見 て わ か る こ と は,バ

各 部 分 の 「位 置 の 変 位 」 で あ り,ま

デ オ カ メ ラ を使 っ

で も こ の く ら い の こ と は容 易 に イ オ メ カニ カ ル にい えば 身体

た ビ デ オ を流 し て モ ニ タ ー を見 な が ら 読 み とれ

る こ と は 対 象 の 「速 度 」 の 情 報 で あ る.し

か し な が ら,動

の 場 合 は パ ウ エ ル)が 動 作 を つ く り出 す の は,手

作 を 行 っ て い る 本 人(こ

足 が どこ にあ る とい っ た位 置 の情

報 や 身 体 の どの 部 分 を速 く動 か す か とい っ た 速 度 の 情 報 で は な く,「力 の 出 し方 」 に よ っ て い る の で あ る. 興 味 深 い こ と に,人

間 は 経 験 か ら ま っ た く初 め て の 運 動 で も,そ

ど よ い 力 を発 揮 す る こ とが で き る.ご

飯 茶 碗 を持 ち 上 げ る の に10kgの

持 つ よ う な 力 を発 揮 す る 人 が い な い よ う に,人 運 動 を 起 こす.こ

れ を神 経 生 理 学 で は,フ

ダ ンベ ル を

間は適 切 な出力 を予 め設 定 してか ら

ィ ー ドフ ォ ワ ー ド制 御 と い う.す

人 間 は 筋 力 を発 揮 して 動 き を つ く りだ し て い る の で あ る が,外 (図1.2や

の運 動 に ち ょ う

ビ デ オ の モ ニ タ ー)を 見 て い る 人 に は,直

に 力 を 発 揮 し て い る の か は わ か らな い.こ

な わ ち,

か らパ ウ エ ル の 動 作

感 的 にパ ウエ ル本 人 が どの よ う

うい う時 に,「 力 学 を基 礎 」 と した ス ポ ー

ツ バ イ オ メ カ ニ ク ス が 威 力 を 発 揮 す る.図1.2の

ス テ ィ ッ ク ピ ク チ ャ と(地 面 に接

し て い る 時 は)地 面 反 力 を測 定 す る こ と に よ っ て,パ

ウエ ル 本 人 が どの よ う に 力 を

発 揮 し て こ の 動 作 を つ く り 出 して い る の か を 推 定 す る こ と が で き る の で あ る.

1.2運

動 中 の 力発 揮 を知 る

身 体 運 動 の 基 と な る 筋 力 を 知 る に は,間

接 的 な 手 法 が 必 要 と な る.運

動 中 に 身体

に加 わ る 「 外 力 」 は,重 力 と空 気 抵 抗 と地 面 反 力 で あ り,こ れ に対 して 身体 内 で 作 ら れ る 「内 力 」 は 主 に筋 に よ っ て い る.こ

れ らの 力 の 釣 り合 い か ら,直 接 測 定 で き な い

内 力(こ こ で は 関 節 トル ク)を 推 定 す る方 法 が 一 般 に 用 い られ て い る.詳 は 第17章

で 扱 う の で,こ

ビ デ オ カ メ ラ に よ っ て 動 作 を撮 影 す る(解 剖 学 的 モ デ ル).(2)セ テ ィ ッ ク で 表 す(リ ン ク セ グ メ ン トモ デ ル).(3)セ ダ イ ア グ ラ ム),そ い る場 合 は,外 る.す

ず(1)

グ メ ン トご と に ス

グ メ ン トを 分 け て(フ リ ー ボ デ ィ

こ に 加 わ る す べ て の 力4)を 考 え る.そ

力 と し て の 地 面 反 力 を測 定 し,(3)の

な わ ち,(1)∼(3)の

しい 求 め 方

こ で は 視 覚 的 に 示 す こ と に と ど め る(図1.3)が3),ま

して(4)足

が 地面 に接 して

セ グ メ ン トに か か る 力 に加 え

キ ネ マ テ ィ ク ス の デ ー タ と,(4)の

地 面 反 力 を定 量 化 し,

次 に ニ ュ ー ト ンの 法 則 を 応 用 す る こ と に よ リ動 作 の 原 因 と な る 身 体 内 の 力 を 推 定 す る の で あ る.下 トル ク,そ

肢 の 場 合 で あ れ ば,最

初 に足 関 節 トル ク を 求 め,そ

し て 股 関 節 トル ク とい う よ う に上 位 に 進 ん で い く.こ

揮 して 運 動 を つ く る とい う 「 運 動 生 成 の 順 序 」 と は 逆 方 向,つ

れ を基 に 膝 関 節

の 方 法 は,力

ま り動 作 の 分 析 か ら原

因 と な る 力 を推 定 す る とい う方 向 な の で 「逆 ダ イ ナ ミ ク ス(inversedynamics)」 呼 ば れ て い る5).こ

の 方 法 自体 は,20世

を発

紀 初 頭 に エ ル フ トマ ン(Elftman)に

と よって

図1.3身 体 の リン ク セ グ メ ン トモ デ ル(Winter1990).左 ク セ グ メ ン トモ デル,右 図:フ リー ボ デ ィ ダイ ア グ ラ ム.

提 示 され た も の6)を ウ ィ ン タ ー(Winter)が の研 究 に用 い ら れ て い る(図1.4).運

ダ イ ナ ミ クス,キ

使 い や す い 形 に ま とめ7),現

ン

在 で は多 く

動 中 の 関 節 トル ク を知 る こ とが で きれ ば

メ ン トア ー ム を考 慮 す る こ と に よ っ て,主

図1.4逆

図:解 剖 学 的 モ デ ル,中 央:リ

,モ ー 動 筋8)の 筋 力 そ れ 自体 も推 定 す る こ とが

ネマ テ ィ ッ ク なデ ー タか らキ ネ テ ィク ス を推 定 す る(Winter1990)

.

図1.5関 節 トル ク か ら筋力 を推 定 す る(Robertson1997).た だ し,逆 ダ イナ ミ クス に よ り 得 られ る トル ク は 着 目 して い る 関 節 まわ りの 全 筋 群 か ら生 み 出 され る トル クの 総 和 で あ る た め (第17章

参 照),こ

の 方法 を適 用 す る に は注 意 が 必 要 で あ る.

で き る(図1.5). 逆 ダ イ ナ ミ ク ス を,例

え ば ス プ リ ン ト走 に応 用 す る こ と に よ っ て,一

タ ー の 力 発 揮 の 仕 方 を 明 ら か に す る こ とが で き る(図1.6).そ は 次 の よ う に,従

流 スプリン

し て,分

析 した結 果

来 の 指 導 理 論 と は 異 な る 結 果 が 示 さ れ る と い っ た こ と も あ り,そ

れ が 日 本 陸 上 界 の 短 距 離 選 手 競 技 レ ベ ル を 大 き く向 上 させ る こ と に もつ な が っ た. 従 来 の コー チ ン グ で は,速 早 く抱 え 込 む,支

く走 る た め に,「 モ モ を 高 く上 げ る,キ

ッ ク の 後 に脚 を 素

持 脚 で 地 面 を し っ か りキ ッ クす る」 な ど の 視 点 で 指 導 さ れ て い た.

し か し,分 析 結 果 に よ る と,モ お らず(図1.6のF-1),む 股 関 節 トル ク は,キ

モ を 高 く上 げ る た め の 股 関 節 の 屈 曲 トル ク は 生 じ て

し ろ モ モ を上 げ な い トル クが 生 じて い る.脚

を 前 に運 ぶ

ッ ク 後 に 股 関 節 の 真 下 に 来 る ま で の 局 面 で 大 き な屈 曲 トル ク が

発 揮 さ れ て い る(B-2).ま

た,キ

ッ ク 後 に脚 を 抱 え 込 む 局 面 で は 膝 関 節 の屈 曲 トル

ク は 発 揮 さ れ て お らず,リ

ラ ッ ク ス さ れ て い る(C-3).で

は,な

ぜ 膝 が屈 曲 され る

か(脚 が 巻 き込 ま れ る か)と い う と,膝 や 足 関 節 が リ ラ ッ ク ス さ れ て い る と き に,股 関 節 が 勢 い よ く屈 曲 す る(脚 が 前 に振 り 出 さ れ る,B→C)と り,脚 が 巻 き込 ま れ て し ま う の で あ る.さ げ 伸 ば し を せ ず,し

「勝 手 に」 膝 が 曲 が

ら に 接 地 中 の 支 持 脚 は,膝

や 足 関節 の 曲

っ か り と した 一 本 の 棒 の よ う に し て 前 か ら後 に 引 き戻 す(D-4)

と い っ た こ と も わ か っ て き た.以

上 よ り,ス プ リ ン ト走 で 重 要 な の は,股

関節 を 中

図1.6疾

走 中の 下 肢 関 節 トル クの 概 略(深 代 ら,1999)10)

心 と した ス ウ ィ ン グ 運 動 だ っ た の で あ る. こ う した 動 作 の 研 究 結 果 か ら,短

距 離 選 手 は 身 体 の ど の 部 分 を鍛 え れ ば よい か と

い う ト レ ー ニ ン グ の 視 点 も 明 ら か に な っ た.そ 幹 の 強 化 で あ る.ひ

と 昔 前 ま で は,短

筋 を 鍛 え た 方 が よ い と 考 え られ,ト

れ は ,股

関 節 ま わ り を 中心 と した 体

距 離 選 手 で もボ デ ィ ビ ル ダ ー の よ う に 全 身 の レ ー ニ ン グ さ れ て き た.そ

の 結 果,ス

プリン ト

走 に 必 要 の な い 腕 や 脚 の 末 端 の 筋 ま で 鍛 え られ 「重 り」 に な っ て し ま う こ とが あ っ た.す

な わ ち,ス

ポ ー ツ バ イ オ メ カ ニ ク ス に よ る 動 作 分 析 の 結 果,短

筋 が 明 ら か に な り,そ こ こ で は,ス

距離 に必 要 な

こ だ け を ね ら っ て 鍛 え る こ とが よ い と わ か っ た の で あ る.

プ リ ン ト走 を例 に 説 明 し た が,他

メ カ ニ ク ス の 研 究 成 果 が 応 用 さ れ 始 め て い る.現

の 動 作 に つ い て もス ポ ー ツ バ イ オ 時 点 の 研 究 成 果 に つ い て は,本

で は な く,『 ス ポ ー ツ バ イ オ メ カ ニ ク ス 』(朝 倉 書 店)で 詳 し く述 べ た.そ ポ ー ツバ イ オ メ カ ニ ク ス の 研 究 法 に つ い て も 言 及 し て い る が,そ 礎 数 理 ” に つ い て は 頁 を 多 く割 い て い な い.動 す た め に は,力 て い れ ば,エ

た,十

論 を 引 き出

分 に力 学 を 理 解 し

ル フ トマ ンや ウ ィ ン タ ー の 従 来 の 方 法 を応 用 す る だ け で は な く,長 野

ら9)の よ う に,新 本書

の 背 景 に あ る “基

作 を 分 析 し て 論 議 し,結

学 を 十 分 理 解 し て い な け れ ば い け な い.ま

書

こで は ス

し い 出 力 推 定 法 を独 自 に提 示 す る こ と も で き る.

『ス ポ ー ツ 基 礎 数 理 ハ ン ドブ ッ ク 』 を土 台 に,そ

メ カ ニ ク ス 』 に 発 展 させ る,あ

の 知 識 を 『ス ポ ー ツバ イ オ

る い は 逆 に 『ス ポ ー ツ バ イ オ メ カ ニ ク ス 』 で わ か ら

な い 基 礎 的 な 部 分 を本 書 で 補 う とい っ た 使 い 方 を勧 め た い.こ 訓練 され た “ バ イ オ メ カ ニ シ ャ ン” に 育 つ で あ ろ う.

れ に よ っ て,読

者 は

注 1)深 代 千 之:コ ー チ ング に お け る[形]を 考 え る . Jpn. J. Sports Sci. 12 (5) 298-302, 1993. 2)あ る力 の み に 着 目 してそ れが 内 力 か 外力 か を論 じる こ とは で きな い .世 界 を “外 ” と “内” に ど う分 け るか に よ り,同 じ力 が 内 力 と呼 ばれ た り外 力 と呼 ば れ た りす る.身 体 全 体 に着 目 し,そ の 重 心 運 動 の み を論 じる と きに は,身 体 を構 成 す る各 粒 子(particle)あ るい は 各 セ グ メ ン ト間 で作 用 し合 う 力 はみ な内 力 で あ り,身 体 重 心 に関 す る運 動 方 程 式 に は現 わ れ な い.ま た,地 球 と身 体 とか ら な る 系 を一 つ の 力 学 系 と考 えれ ば,重 力 や 地 球 と 身体 の 接 触 面 で働 く抗 力 は内 力 と な り,系 の 重 心 運 動 に は影 響 しない.そ れ に対 し,身 体 を構 成 す る各 セ グ メ ン トの 運 動 に着 目す る場 合,例 え ば前 腕 の 運 動 に着 目す る な らば,上 腕 二 頭 筋 な どの 筋(の 付 着 部)か ら及 ぼ され る力 は外 力 で あ り,前 腕 に 関 す る運 動 方 程 式 に現 れ る.こ の 点 に関 して 詳 し くは11.2節,12.3節 を参 照 せ よ.し か し,力 学 用 語 と して の “内 力,外 力 ” と 日常 用 語 と して の “内 力,外 力 ” とで は意 味 が 異 な る こ とが あ る の で文 脈 に応 じて 意 味 を判 断 して も ら い たい.な お,“ 内 力 ” と “外 力 ”が 直 接 相 互 作 用 す る の で な く(力 学 にお い て は,力 と力 は相 互 作 用 し ない),筋 力 の 発揮 に よ っ て 身体 を構 成 す る各 セ グ メ ン トの運 動 が 変 化 し(各 セ グ メ ン トの 運 動 を論 じる と きに は,そ の セ グメ ン トを動 か す 筋 か らの 力 は外 力 と見 なす),あ る い は変 化 し よ う と し,そ れ に よっ て 身 体 の外 か ら身体 に作 用 す る力(地 面 反力 や 空気 抵 抗 な ど)が 変化 し,そ れ が再 び 身体 運 動 に変 化 を生 じさせ るの で あ る. 3)図1 .3で は,並 進 運 動(の 加 速 度)を 生 じさせ る力 と,回 転 運 動(セ グ メ ン トの角 運 動 量 変 化)を 生 じさせ る トル ク を理 想 的 に分 離 して考 え て い るが,実 際 に は セ グ メ ン トに付 着 す る筋 か ら作 用 す る 力 そ の もの が 並 進 運 動 に も 回転 運 動 に も同 時 に 関 わ っ て くる.こ の こ とを考 慮 して もこ こ で説 明す る 関節 トル クの 求 め方 に変 更 の 必 要 の ない こ とは 第17章 で示 さ れ る. 4)「 着 目す る セ グ メ ン トに加 わ る外 力 」 の 意 味 で ,セ グ メ ン トに付 着 す る 筋 か ら及 ぼ さ れ る力 も含 む. 5)こ の言 葉 遣 い は現 代 的 な もの で あ る .こ の点 に つ い て,山 本 義 隆 氏 の 『古 典 力 学 の 形 成 』(日 本 評 論 社)か

ら興 味 深 い 引 用 を 以 下 に紹 介 す る. 「理論 力学 は,ど の よ う な力 にせ よ―― それ か ら結 果 す る 運動 の 学 問,ま た どの よ う な運動 にせ よそ れ を生 ず るの に必 要 な力 の 学 問 で,そ れ を精 確 に提 示 し証 明 す る もの で あ る」 と力学 の課 題 を二 方 向 に 定 め たの はNewton本 人 で あ る(『 プ リンキ ピア 』初版 序 文).そ して,18世 紀 を とお して一 般 的 に 使 われ て い た用 語 で は,運 動 か ら力 を導 き出す の が 「順Newton問 題(DirectNewtonProblem)」 で あ り,そ れ に対 して力 か ら軌 道 を導 くの は 「逆Newton問 題(InverseNewtonProblem)」 と い わ れ る.Aitonに よる とこ の言 葉 遣 い は特 別 な もの で は な か っ た.今 世 紀 は じめ の1906年 出版 のLoveの 『理 論 力 学 』 で さ え も,先 に楕 円 軌 道 か ら逆2乗 の引 力 が 導 か れ,そ の 後 の 運 動 方程 式 を解 く問題 をinverseproblemと

記 して い る.

6) Elftman , H. (1939) Forces and energy changes in the leg during walking. Am. J. Physiol. 125, 339-356. 7)現 在 入 手 で き る 書 籍 と して は•g Biomechanics (Winter,

D.

A. ’˜,

John

Wiley

&

Sons.)

and

Motor

Control

of

Human

Movement.•h

が あ る.

8)対 立 筋 ま た は拮 抗 筋 に対 して ,収 縮状 態 に あ る筋 の こ と.“ 主 働 筋 ” と も書 くが,本 書 で は 『ス テ ッ ドマ ン医学 大 辞 典(第4版)』 に な らい “主 動 筋” と書 く.な お,同 辞 典 で は 同 じ機 能 を もつ2つ 以 上 の 筋 に対 して は “協 働 筋 ”の 表 記 を と って い る.

9) Nagano , A., Y. Ishige and S. Fukashiro (1998) Comparison of new approaches to estimate mechanical output of individual joints in vertical jumps. J. Biomechanics 31, 951-955. 10)深 代 千 之 ら:ス プ リ ン ト走 にお け る 脚 の ス ウ ィ ン グ動作 の 評 価 .バ イ オ メ カ ニ ク ス研 究 概 論.第14 回 日本 バ イ オ メ カ ニ ク ス 学 会大 会論 集.1999,204-207.

2 一 般 的心 得

本章 で は何 らか の形 で科 学 に携 わ る者 の心 構 え を述 べ る.所 々,後 の章 で説 明 す る 内容 を含 んで い る の で初 読 の 際 に は難 しい と感 じ られ るか も しれ な い.学 習 が あ る 程 度 進 んだ 後,必 要 に応 じて 読 み返 して理 解 を深 め て も らい た い.

2.1物

理 学 の 考 え方

ま ず 最 初 に,力 う.小

学 を含 む 物 理 学(physics)と

学 校 以 来,我

道 具 で あ る.こ

呼 ば れ る 学 問 に つ い て 簡 単 に触 れ よ

々 は 数 とそ の 演 算 につ い て 学 ん で き た.数

は元 々は個 数 を表 す

れ を 一 般 に も の の 量 を 表 す 道 具 とす る た め に は 何 ら か の 基 準 を定 め,

そ の 基 準 と もの の 持 つ 量 を 比 較 す る と い う作 業 が 必 要 に な っ て く る.例

え ば,あ

る

物 体 の “長 さ” とい う量 を数 で 表 した け れ ば あ る 特 定 の 長 さ を 基 準 と し,そ の 長 さ の 何 倍 に相 当 す る か とい う こ と で 物 体 の 長 さ を表 す の で あ る.基 の 長 さ で あ り さ え す れ ば な ん で も よ い.こ な る も の(概 念)を 生 み 出 した.長 て い る(尺,寸,メ

ー トル,フ

が 考 え られ る(重 さ,明

準 と な る もの は 一 定

の 基 準 を 設 け る と い う考 え が 単 位(unit)

さ の 単 位 に は世 界 中 で い ろ い ろ な もの が 用 い られ

ィ ー ト,ヤ ー ド,…).長

る さ,温 度,音

量,時

さ のほ か に もい ろい ろ な量

間,…).単

位 を定 め る こ と に よ りい

ろ い ろ な 量 を数 値 で 表 す こ と が で き る よ う に な り,定 量 的 な 議 論 が 可 能 と な る . さ て,こ

う して 定 量 化 さ れ た あ る 量 と あ る 量 と の 間 に 数 式 で 結 び 付 け ら れ る 特 定

の 関 係(法 則)が

あ っ た と した ら ど う で あ ろ う か.そ

れ ば も う 一 方 の 量 を知 る こ とが で き る.さ に よ り他 の 量 を 制 御 す る こ と もで き よ う.現 し,未

ら に,一

う す れ ば,一

方 の 量 を コ ン トロ ー ル す る こ と

在 の 量 を 知 る こ と に よ り,過 去 を 推 定

来 を 予 測 す る こ と す ら可 能 と な る か も しれ な い.も

化 や 数 式 化 を 自然 界 に 存 在 す る あ り とあ ら ゆ る も の,あ と は 不 可 能 で あ ろ う.し

か し,世

が 確 か に 存 在 す る の で あ る.そ い え,物

方 の量 を測 定 す

ち ろ ん,こ

の よう な数値

る い は現 象 に 対 し て 行 う こ

の 中に は この よう なア プ ロー チが 有 効 とな る現象

の よ う な 現 象 の 一 端 を扱 う の が 物 理 学 で あ る.と

理 学 と は 何 か と い う こ と を 明 確 に 定 義 す る こ と は 難 し い .こ

り と 「わ れ わ れ を 取 り囲 む 自 然 界 に 生 起 す る も ろ も ろ の 現 象― ―

は

こで はぼ ん や

た だ し主 と し て 無

生 物 に 関す る もの――の奥 に存在 す る法 則 を,観 察 事 実 に拠 り所 を求 めつ つ 追求 す る こ と」 を物理 学 だ と述 べ て お こ う1).

2.2単

位 の 話

「100」 だ け で は 意 味 が な い.数 の 棒 は100cmで

字 は 単 位 を 伴 っ て 初 め て 意 味 を お び て く る.「 こ

す 」 と言 う の と 「こ の棒 は100kgで

メ ー ジ が だ い ぶ 違 う.「 今 日 は100円

す 」 と言 う の と で は 伝 わ る イ

の お 菓 子 を 皆 で 分 け た 」 と 「今 日 は100kgの

お 菓 子 を皆 で 分 け た 」 とで は 幸 せ 度 が 非 常 に 異 な る.こ

の よう に単位 が 異 な る と情

報 の 質 が 異 な っ て し ま う の で あ る. よ く間 違 え る の がkgとkgw(キ

ロ グ ラ ム 重)と い う単 位 で あ る.kgとkgwと

ま っ た く異 質 の 単 位 で あ る.kgは 単 位 で あ る.ゲ

質 量(mass)の

単 位 で あ り,kgwは

ー ム セ ン タ ー な ど で パ ン チ 力 何kgと

思 議 な 気 分 に して くれ る2).同

は

力(force)の

か 出 る 機 械 が あ る が,非

常 に不

じ よ う な気 分 を か も し 出 して くれ る論 文 もあ る.日

常 会 話 な ん か な ら 別 に か ま わ な い の だ が,や

は り,学 術 論 文 な どで は 正 しい 言 葉 遣

い が 求 め ら れ よ う. (少 な く と も)物 理 学 で は “重 さ(重 量)” と “質 量 ” は 区 別 さ れ る 概 念 で あ る.地 球 上 の 質 量 を持 つ 物 体 は 重 力 に よ っ て 地 球 に 引 っ張 られ る.こ か 重 量(weight)と

呼 ぶ.あ

ろ うが ス ペ ー ス シ ャ トル の 中 だ ろ うが 変 わ ら な い.そ 所 に よ っ て 一般 に は 異 な る.同

れ に対 し,物 体 に働 く重 力 は 場

じ場 所 で 考 え る な ら,物 体 に作 用 す る重 力 の 大 き さ は

そ の 物 体 の 質 量 に な ぜ か 比 例 す る(本 節 補 足2お 質 量1kgの

の力 の こ とを重 さ と

る 物 体 の 質 量 は,空 気 中 だ ろ う が 水 中 だ ろ う が 月 面 上 だ

よ びp.163参

物 体 に働 く重 力 の 大 き さ を1kgwと

定 め た3).と

照).そ

こ で,地

こ ろ で,地

表で

球上 の物体

に 働 く重 力(gravity,gravitation,gravitationalforce,forceofgravity)は,地 と物 体 間 に 働 く万 有 引 力(universalgravitation)が (centrifugalforce)も て 異 な る.ま の で は1kgwは

加 わ る4).万

球

主 で あ る が,自

転 に 伴 う遠 心 力

有 引 力 は 地 球 の 構 造 的 な 非 対 称 性 か ら場 所 に よ っ

た遠 心 力 も緯 度 に よ っ て 異 な る.そ

の 結 果,地

球 の 重 力 を 基 準 に した

一 意 的 に 定 め る こ と が で きな く な っ て し ま う.そ

こで,標

準 とな る

重 力 加 速 度(accelerationduetogravity,accelerationofgravity)を9.80665m/s2 と し て5),質

量 が1kgの

与 え る 力 を1kgwと 突 然,加

物 体 に 作 用 し た と き そ の 方 向 に9.80665m/s2の

加速 度 を

定 義 して い る.

速 度 と力 を結 び 付 け て し ま っ た.こ

で 簡 単 に 説 明 し て お こ う.物 体 に 力Fが

れ に つ い て は 第11章

で 扱 うが,こ

作 用 した と き,物 体 は そ の 質 量mに

こ

反比

例 し,作 用 す る 力Fに

比 例 す る 加 速 度aを

な わ ち,、F=1/kmaと (kg),長

な る.kは

さ の 単 位 を メ ー トル(m),時

れ を式 で 書 く と,a=kF/m,す こ で,質 量 の 単 位 を キ ロ グ ラ ム

間 の 単 位 を 秒(s)で

単 位)と な る よ う に 力 の 単 位 を定 め よ う.ま ら “ 位 置 の 変 化[m]/変

持 つ.こ

比 例 定 数 で あ る.こ

ず,速

化 に 要 し た 時 間[s]” で 計 算 さ れ,単 位 はm/sと

度 は速 度 の 時 間 変 化 率 で あ る か ら “速 度 の 変 化[m/s]/変 さ れ,単 る.こ

表 し た と き に,k=1(無

度 は位 置 の 時 間変 化 率 で あ るか

位 はm/s2と

な る6).加

な る 。 す る と,F=m[kg]・a[m/s2]=ma[kg・m/s2]と

のkg・m/s2と

速

化 に 要 した 時 間[s]” で 計 算 な

い う単 位 を 改 め て ニ ュ ー トン(newton7))と

呼 び,記

号 でN

と表 す. 課 題 質 量 の単 位 をkg,長 さの 単位 をm,時 間の 単位 をs,力 の 単位 をkgwで a=k(F/m)中 の 比例 定 数kは い くつ にな る か.単 位 も含 め て答 え よ. 解 説k=ma/Fで あ る.1kgの の運 動 をす るの だ か ら,

と な る.kgwは

物 体 に重力1kgwが

働 いた とき,物体 は加 速度9.80665m/s2

一 つ の 単 位 で あ る か ら 「kg/kgwで1/wと

力 学 で は,長

さ,質

量,お

な る 」 な ど と思 わ な い こ と.

よ び 時 間 の 単 位 を 基 本 単 位(baseunit)と

て こ れ ま で 見 て き た よ う に,あ 位 を生 み 出 す.こ

い う.そ

呼 び,基 本

の 基 本 単 位 に基 づ く単 位 系(systemofunits)と

よ く用 い ら れ る 単 位 系 は,長

さ に メ ー トル(meter,記

号 はkg),時

間 に 秒(second,記

の 単 位 の 頭 文 字 を取 っ てMKS単

号 はm),質

号 はs)を

号 はK),お

呼 ぶ.

量 にキ ロ グ ラム

と っ た 単 位 系 で,そ

位 系(MKSsystemofunits)と

ら に 基 本 単 位 と し て 電 流 の 単 位 ア ン ペ ア(ampere,記 ン(kelvin,記

し

る 量 の 間 の 関 係 式 や 定 義 式 は 基 本 単 位 か ら新 た な 単

う して 生 み 出 さ れ た 単 位 を誘 導 単 位(derivedunit)と

単 位 と誘 導 単 位 の 集 合 を,そ

(kilogram,記

表 した と き,

呼 ぶ.こ

号 はA),温

よ び 光 度 の 単 位 カ ン デ ラ(candela,記

単 位 系 を 国 際 単 位 系(SystemeInternationald'Unites8),略

れぞ れ れ に,さ

度 の単 位 ケ ル ビ 号 はcd)を

称 はSI)と

加 えた

呼 ぶ.も

ち

ろ ん 単 位 系 に は い ろ い ろ な 流 儀 が あ り,国 際 単 位 系 を使 わ な け れ ば 罰 せ ら れ る わ け で は な い.ま

た,物

理 の 世 界 で も必 要 に 応 じ て(現 象 に 応 じ て 便 利 な)他 の 単 位 系 が

用 い ら れ る こ と は あ る.し

か し,さ

し た る 理 由 の な い 限 り,学 問 の 世 界 で は 国 際 単

位 系 が 推 奨 さ れ て い る.仮

に他 の 単 位 系 を 採 用 す る に し て も,そ

の 単位 系 の 中 で矛

盾 の な い 記 述 を し な くて は い け な い の は 当 然 で あ る. さ て,長

さL,質

量M,時

間Tを

基 本 量 とす る と き,あ

Q=kLαMβTγ,k:数

係 数

る物 理 量Qが,

と 表 せ る と き,物

理 量Qの

と 表 記 し,α,β,γ

次 元(dimension)を

を順 にQの

長 さ,質

量,時

間 に 関 す る次 元 とい う9).例

え ば,

力 と い う 物 理 量 は他 の 物 理 量 と “質 量 × 加 速 度 ” とい う 関 係 で 結 び つ い て い る.そ して 加 速 度 は “速 度/時 間 ”で あ り,速 度 は “長 さ/時 間 ” で あ る.結 [LMT-2]で

あ る こ とが わ か る.こ

こ と に 注 意 し て も ら い た い10).長 う と,力

こ で,L,M,Tは さL,質

は こ れ ら の 基 本 量 と数 係 数kを

量M,時

局,力

の 次元 は

物 理量 であ っ て単位 で は ない 間Tに

どん な単位 を採用 しよ

用 い て “力=kLMT-2”

と表 せ る と い う

こ とで あ る11). 数 が 単 な る抽 象 的 量 を 離 れ て 単 位 を 有 す る 具 体 的 量 と な る と12),必 可 能 で は な くな る.例

え ば “1m+5kg”

りす る こ と は で き な い.二

の よ う に単 位 の 異 な る 量 は 足 した り引 い た

つ の 量 を 足 し た り引 い た りで き る た め に は,二

間 の 単 位 が 等 しい こ と が 必 要 で あ る.足 と 同 じ単 位 を持 つ.二

ず し も演 算 が

つ の量 の

し算 ・引 き 算 の 結 果 得 られ る 量 は も と の 量

つ の 量 の 掛 け算 と割 り算(ベ キ 根 を含 む)に 関 し て は,も

れ らの 演 算 の 結 果 に 何 ら か の 合 理 的 な 意 味 を考 え る こ とが で き る な ら,い 量 の 間 で 演 算 を行 う こ と が で き る.そ

しそ

ろいろな

の と き,「 長 さ と長 さ の 積 は 面 積 に な る 」 と か

「 長 さ と面 積 の 積 は体 積 に な る 」 と い っ た 具 合 に,演 算 の 結 果 は も との 量 と質 的 に 異 な る(次 元 の 異 な る)量 と な る. な お,本

書 で は 物 理 量 を 表 す 記 号 に は イ タ リ ッ ク 体(例:「

す 」 な ど)を,単 を 用 い,式

位 を表 す 記 号 に は ロ ー マ ン体(例:「

物 体 の 質 量 をmで

棒 の 長 さ を1mと

な ど の 中 で 単 位 を 明 記 す る 場 合 に は 角 括 弧 “[]”で 囲 む こ と に し て い る

(ま ぎ ら わ し くな い と き は,特 慣 が 守 ら れ て い る.し

に “[]”を つ け な い).大

か し,ロ ー マ ン体,イ

結 果 と し て(か ど う か は 不 明 だ が),物

概 の 印刷物 で は この よう な習

タ リ ッ ク体 の 区 別 は 手 書 き で は 難 し い.

理 量 と そ れ を 表 す 単 位 と を概 念 的 に 区 別 で き

な い 人 が い る の で 注 意 し て も ら い た い13). 補 足1キ

表

す る」 な ど)

ロ グ ラ ム は元 々18世

紀 の終 わ り頃,最 大 密 度 時 の(約3.8℃

の)水1

立 法 デ シ メー トル(10cm×10cm×10cm=1000cm3)14)の 質 量 と して定 義 され た.そ して この 質量 を示 す ため に分 銅 が 作 られ た が,や が て,自 然 物 で あ る水 に基 礎 をお か ず に,こ の標 準分 銅 の質 量 を1kgと 改 め て定 義 す る こ と にな っ た.こ の分 銅 を “国際 キ ログ ラム 原器 ” とい う.現 在,水 の最 大 密度 時 に お ける1立 法 デ シメ ー トル の質 量 は0.999972kgと

測 定 され て い る15).で は,メ ー トル の 定義 は何 か.こ

れ も最 初 は 地球 の 子 午線 の北 極 か ら赤 道 ま で の長 さの千 万 分 の1と 定義 され16),次 に その 長 さを も とに “国 際 メー トル原 器”が 登場 し,こ れが 改 め て基 準 とさ れ る よう に な っ た.し か し,メ ー トル 原 器 は温 度 に よ って 長 さが 微 妙 に 変化 して し ま う.温 度 の定 義 は ま た難 しい 問題 で あ る.そ こで 現 在 で は299792458分

の1秒

間 に光 が

真空 中 を進 む 長 さ と して1メ ー トル を定 義 して い る.逆 に言 う と,真 空 中 の光 速 を 299792458m/secと 定義 した の で あ る17).現 在 で は地 球 の子 午 線 の 北 極 か ら赤 道 まで の長 さは10001.970kmと

測 定 され て い る18).で は,秒 の定 義 は何 か.こ れ も

最 初 は地 球 の 自転 に基 づ い て定 義 され て い た.す なわ ち,1平 均 太 陽 日の86400分 の1と して1秒 は 定義 され て い た19).し か し,地 球 の 自転 は一 定 で は な く,何 億 分 の1秒 の精 度 が要 求 され る精 密 科 学 の 場 で は こ の定 義 は役 に立 た な くな っ て しま っ た.現 在 で はセ シ ウム とい う原 子 が 放射 す るあ る波 長 の 光20)の9192631770周 期を 1秒 と して い る.単 位 の変 遷 には 科 学 の理 論 お よ び技 術 の発 展 の歴 史 が 隠 され て い る.こ こで は基 本 的 な話 だ け を したが,興 味 の あ る人 は さ らに 調べ てみ て ほ しい. 補 足2質 量(mass)と は何 か.こ れ は難 しい 問題 で あ る.質 量 は基 本 的 な物 理 量 の一 つ で,物 体 の力 学 的 性 質 を決 め る量 で あ る.中 学校 で 学 ん だ よ うに,「 天秤 で 測 定 され る のが 質 量 で単 位 はkg,ば ね ば か りなん か で測 定 され るの が 重量 で単位 は kgw」 とい う主 張 は 正 しい.天 秤 は重 力 を利用 した “質量 測 定 器”で あ る(無 重 力 状 態 で は天 秤 は使 え な い).天 秤 に よる質 量 の 測定 は 「 物 体 に作 用 す る重力 は物 体 の 質 量 に比例 し,物 体 に働 く重 力 を標 準 物 体 に働 く重 力 と比 較 す る こ とに よ り,重 力 場 の強 さ に依 存 す る こ と な く,そ の物 質 に固 有 な量 で あ る質 量 が 測定 で き る」 とい う こ とに基 づ い て い る21).“ 比 較 ” とい う作 業 に よ り,天 秤 で測 定 され る質量 は地 球 表 面 で 測 ろ うが 月 面 で測 ろ うが 等 し くな る とい うわ けで あ る22).と こ ろで,高 校 の物 理 の教 科 書 には 「 物 体 に は慣 性(inertia)と い う性 質(加 速,減 速 の しに くさ を示 す 性 質)が あ り,こ の慣 性 の 大 きさ を表 す のが 質量 で あ る」 とい う こ とが 書 い て あ る. この 主 張 も正 しい.し か し,こ の 質 量 の 定義 に は重 力 とい う言 葉 は出 て こな い.天 秤 測 定 に よる “ 質 量 ” と,こ の慣 性 を表 す “ 質 量 ”は まっ た く定 義 が 違 うの で あ る. 実 際,前 者 を重 力質 量(gravitationalmass),後 者 を慣 性 質 量(inertialmass)と 呼 ん で両 者 を区 別 す る こ と もあ る.こ れ ら二 つ の質 量 は 同 じで あ る必 然 性 は ま っ た くな い.し か し,実 験 に よ る と両 者 は 常 に一 致 した 振 る 舞 い を示 す.す な わ ち,前 者 が2倍,3倍 となれ ば,後 者 も2倍,3倍 とな るの で あ る23).そ の ため,両 者 を 同 一視 し,同 じ単位 で測 る こ とが で きる の で あ る.こ の事 実 は,ア イ ン シュ タ イ ン が 一般 相 対 性 理 論 を構 築 す る際 の 指 導原 理 と な った. 補 足3ス ポー ツ科 学 の 世界 で は “ 水 中体 重 ” とい う言葉 が よ く使 わ れ る.こ れ は, 簡 単 に言 え ば,水 の 中で 体 重 計(実 際 に は 防水 性 の フ ォー ス プ レー トな どが 使 わ れ る)に 乗 っ た と きに体 重計 の指 す 目盛 りの こ とで あ る.と ころ で,こ の水 中体重 は何 を表 して い るの で あ ろ うか.も ち ろん,水 中で の そ の人 の質 量(bodymass)を 表 し て い るの で は ない.水 中で そ の 人 に働 い て い る重 力(bodyweight)を 表 して い るの で もな い.水 中 にお い て,人 は 地球 か らの重 力 と水 か らの 浮力(浮 力 の説 明 は割 愛 す る)と 体 重 計(フ ォー ス プ レー ト)か らの 垂直 抗 力 と を受 け てい る.こ の三 つ の 力 が つ り合 っ て24)人 は加 速度 ゼ ロの 運動 状 態 にあ る ので あ る25).体 重 計(フ ォース プ レー ト)は あ くまで も,そ の 人 の足 の裏 と体 重計(フ ォー ス プ レー ト)と の 間の 垂 直 抗 力 を測 定 してい るの で あ る.単 位 はkgwも 計 で 体 重(bodyweight)が

し くはNで

示 す べ きで あ る26).体 重

測定 で きる(体 重 計 の 指 し示 す 目盛 りが 身体 に作 用 す る

重 力 の大 きさに等 し くな る)の は,あ る条 件 が 満 た され た場 合 の み で あ る こ とを知 っ てお か ね ば な らな い(11.2節 参 照).こ の こ と,お よ びbodyweightとbodymass の違 い が あ か らさ ま に効 い て くる例 は,力 学 を学 ぶ とい や とい うほ ど 出て くる . 補 足4補

足3で

フ ォー ス プ レー トと体 重 計 を列 記 した.フ ォ ース プ レー トの 本 質

的 な機 能 は ま さに体 重 計 その もの で あ る.フ ォー ス プ レー トに は い くつ か の タイ プ が あ るが,よ く用 い られ るの は ス イ ス の キス ラー社 製 の もの で,力 を測 るセ ンサ ー と して水 晶 を用 い た圧 電 素 子 が使 用 され てい る.圧 電素 子 とは,ひ ず み,ま た は応 力(p.184補 足2参 照)を 加 え る と電荷 が誘 起 され,ま た逆 に,電 圧 を加 え る とひず み,ま た は応 力 が 生 じる性 質 を持 っ た素 子 で あ る.ス ポ ー ツ科 学 の世 界 で は 筋形 状 や皮 下脂 肪 厚 を測 定 す る ため に超 音波 診 断 装 置 を用 い る手 法 が は や りだが,こ

こで

も圧 電 素 子 が超 音 波(媒 質 の 高周 波 数 の 力学 的振 動 波)を 発 生,ま たは 受信 す る素子 と して使 わ れ て い る(圧 電 素 子 を力 学 的振 動 と電 気 的振 動 の変 換 素 子 と して 用 い て い る). 補 足5圧 電 素子 の示 す 現 象,す な わ ち,あ る種 の結 晶 に 力 を加 える と応 力 に比例 した電 気 分 極 が発 生 す る現 象 を圧電 効 果(piezoelectriceffect)と 呼 ぶ が,圧 電 効 果 を発 見 した の は ジ ャ ック ・キ ュ リー(JacquesCurie)と ピエ ール ・キ ュ リー(Pierre Curie)と い う兄 弟 で,1880年 の こ とで あ った.ピ エ ー ル は謙 虚,温 厚 に して 非 常 に優 秀 な 若者 で あ った.そ の後 も結 晶 の対 称 性 や 成 長 に つ い ての研 究,物 質 の 磁 性 に関 す る研 究 な どで 数 々 の有 名 な業 績 をあ げ,彼 の 名 は 海外 に も知 れ 渡 っ たが,彼 は相 変 わ らず 謙 虚 で あ り,研 究 に没 頭 す る毎 日を送 って い た.そ んな彼 を一 躍 有 名 に した の は,夫 人(マ リー ・キ ュ リー:MarieCurie)と 共 同 で行 った ラジ ウ ム の発 見 で あ る.1903年,夫 妻 の 放 射 能 現 象 に 関 す る研 究 に対 して ノ ーベ ル賞 が 贈 られ た.そ して 翌年,ピ エ ー ル は ソ ル ボ ンヌ 大 学物 理 学 教授 に 就任 した.こ の昇 進 は ピ エ ー ル の 業績 を考 えれ ば 遅す ぎる もの で あ っ たが,そ れ は ひ とえ に ピエ ー ル の政 治 力(根 回 しす る能 力)の 無 さ に よる もの であ った. 1906年4月19日,大 学 か らの 帰 り道,車 道 を横 切 って 向 こ う側 の歩 道 に渡 ろ う と した ピエ ー ル は,馬 車 を引 く馬 にぶ つ か っ た.雨 で ぬ れ た地 面 に足 を滑 らせ 転 倒 した彼 の頭 の 上 を馬 車 の後 輪 が 通 過 した.1906年 とい え ば,相 対性 理 論 も量子 力 学 も産 声 を上 げ て 間 もない 頃 で あ る27).自 分 が研 究 の対 象 と した “ 放 射 能 ”が その 後,物 理 学 に とっ て,ま た,世 界 の歴 史 に とっ て どれ だけ 重 大 な意 義 を持 つ か を見 る こ とな く,ピ エ ー ル は 急 逝 した.享 年47歳 で あ っ た.夫 を亡 くした マ リー は悲 しみ を乗 り越 えて研 究 を続 け,1911年 に再度 ノー ベ ル賞 を獲 得 す る.そ の後 も数 々 の業 績 を残 した が,1934年 に 白血 病 の た め66歳 で 死 去 した.若 い 頃 か らの 無理 と 放射 線 の被 爆 が原 因 であ っ た28). フ ォー ス プ レー トか ら思 わ ぬ方 向 に話 が そ れて い っ て しま ったが,何 気 な く使 って い る一 つ の実 験 器 具 の 中 に は多 くの ドラマ が 隠 され て い る もの だ.フ ォ ース プ レー トを踏 みつ け るた び に,キ ュ リー 一族 の数 奇 な運命 が一 瞬,筆 者 の頭 を よ ぎる の で あ る.

2.3オ

ー ダ ー の 考 え方

人 に 身 長 を 聞 い て 「165」 とい う答 え が 返 っ て き た と き,「165mm」 と考 え る 人 は い ま い.こ が 「165cm」

と か 「165m」

れ は 人 の 身 長 に 対 す る 大 ざ っ ぱ な 理 解 が あ る か ら で,「165」

で あ る こ と は 明 白 で あ り,逆

に 「165cm」

さ か 」 と わ か る.「 人(成 人 男 性)の 身 長 が170cm前

と聞 け ば 「あ あ,あ

の大 き

後 で あ る 」 とい う よ う に,大

ざ っ ぱ に 大 き さ を 把 握 し て お く こ とは 意 外 に 大 切 で あ る.こ

の大 ざ っぱ な大 きさ の

概 念 を オ ー ダ ―(order,orderofmagnitude)と

い う 言 葉 で 表 す.特

に,自

分 が専

門 に 扱 っ て い る も の の オ ー ダ ー を 覚 え て お く こ と は 不 可 欠 で あ る. 非 常 に 大 き い 数 や 小 さ い 数 を表 す と き に,た だ し,紛

らわ し く,間 違 い の も と と な る.そ

く さ ん の 桁 を ズ ラ ズ ラ 書 くの は 面 倒

こ で,オ

か か っ て い る か を表 す 数)で 表 す と便 利 で あ る.例

ー ダ ー を10の

指 数(10が

何 回

え ば,5065632653と257658998

と は 大 き さが ど の く らい 違 う か は 瞬 間 的 に は わ か ら な い が,5.065632653×109と 2.57658998×108と

書 か れ て い れ ば,大

ざ っ ぱ に前 者 は 後 者 の20倍

大 きい とい う

こ とが た ち ど こ ろ に わ か る. てい

10進 法 を 日常 用 い る 我 々 に と っ て,10を る.さ

ら に 超 音 波 の 周 波 数 とか,可

も と(底)に

た もの に は,指 数 部 分 と基 本 単 位 を 一 緒 に し たMHz(メ ノ メ ー トル)と い っ た 単 位 を使 う と便 利 で あ る.メ す 記 号 を 表2.1に

し た 指 数 は 非 常 に便 利 で あ

視 光 線 の 波 長 な どの よ う に,オ

ー ダーが 決 まっ

ガ ヘ ル ツ29))と か,nm(ナ

ガ や ナ ノ と い っ た10の

指 数 を表

あ げ る.

表2.110の

指 数 と は 便 利 な 道 具 な の だ が,105は

指 数 を 表 す 記号

何 桁 の 数 か,と い う よ う な こ とが わ か っ て い

な い 人 は そ の 便 利 さ を 享 受 す る こ とが で き な い.結

構,105を5桁

の 数 と思 っ て い

る 人 は 多 い よ う だ.1(1桁)は100,10(2桁)は101,100(3桁)は10×10=102, 1000(4桁)は10×10×10=103と に0が5個 10n-1≦n桁 課題

考 え て い く と,105は6桁

付 い て い る)で あ る こ とが わ か る.一 の 数nと

す る.図5.16bよ

で あ る.こ

れ よ り,

とな る.mt2と

して

等 し くな る時 刻 をt3と す る.す な

とい う こ とで あ る.こ

の 時 刻t3をt1,t2を

用い

て 表せ.た だ し,前 問 と同 じ く,点Iと 点Jの 時刻 にお け る被 験 者 の姿 勢 は向 き も含 め て完 全 に同 じだ っ た とす る.な お,こ れ だ けで はt3をt1,t2を 用 い て(原 理 的 に)表 せ な い場 合 に は,ほ か に どん な数 値 な り条件 が 必 要 か述 べ よ.

10.2考

察 もど き

S嬢

最 初 の6問

N嬢

そ うね,常 識 よ ね.F0っ

は 簡 単 ね.

F0=mgの

て 結 局 静 止 時 に 働 い て い る 重 力 よ ね.な

関 係 が あ る か ら,mが

求 め ら れ る わ.だ

か ら,え

キ ー を た た き な が ら),m=621/9.8=63.367346… S嬢

そ し て,か

が み 込 む 瞬 間 は,エ

状 態 に 近 く な っ て,体 は ず.そ

し て 点Dで

ら質 量mと

え っ と(電 卓 の

ね.

レ ベ ー タ ー で 下 降 す る と き と 同 じで,無

重 が 減 る の よ ね.だ

か ら か が み 込 み 始 め は 点Bで

一 番 深 くか が み 込 ん で,そ

重力 いい

こ か ら力 を 入 れ て 重 心 が 上 昇

し て い くん だ わ. N嬢

そ う ね.だ

S嬢5番

か ら 点Bと

点Dの

間 の 点Cで

下 降 速 度 が 一 番 大 き く な る の ね.

の 離 地 の 瞬 間 の 重 心 の 加 速 度 っ て の は,ジ あ る ん だ ろ う け ど,地

球 の重 力 に逆 らって上 に跳 ん で い か な き ゃい け ない ん

だ か ら,身

体 重 心 の 加 速 度 は 上 向 き にg以

そ して,身

体 重 心 を押 し上 げ て い るDか

加 速 度gに

打 ち 勝 ち,さ

N嬢

ャン プの仕 方 に よっ てい ろい ろ

上 と な る. らHの

間 で は,重

力 に よる下 向 きの

ら に そ の 離 地 の 瞬 間 の 上 向 きの 加 速 度gを

生み出 さ

な き ゃ い け な い ん だ か ら,地 面 反 力 の ピ ー ク は 自 分 の 体 重 の 倍 以 上 に な ら な き ゃ い け な い の は 当 然 ね. S嬢7番

は ち ょ っ と ム ズ カ シ イ わ.力 た 量 っ て 確 か 仕 事 よ ね.物

曲 線 で 囲 ま れ た 面 積,す

な わ ち 力 を積 分 し

体 の 運 動 エ ネ ル ギ ー は 確 か1/2mv2で,こ

られ た 仕 事 に等 し くな る の だ か ら1/2mv12=Sで,v1=√2S/mと

れが 加 え 求 め られ

る わ. N嬢

あ ら,で

も力 を積 分 した もの っ て 力 積 の 場 合 もあ る じ ゃ な い.力

運 動 量mvと S嬢

う ー ん,ど

結 び つ くん だ か ら,mv1=Sで,v1=S/mに っ ち だ ろ う.あ

で 表 せ とあ る わ.mを N嬢mは

っ,ち

ょ っ と待 っ て.問

積 の 場 合 は,

な る ん じ ゃ な い? 題 に はv1をg,F0,S,t1

使 っ ち ゃ い け な い の よ.

最 初 にgとF0でm=F0/gと

表 した じ ゃ な い.そ

れ を使 え ば い い の よ.

S嬢

そ っ か.じ

ゃ あ,そ れ は い い と して,本 当 に ど っ ち な ん だ ろ う.ど

カ っ て は っ き り し な い の よ ね.力 り.ど

積 っ て 言 っ て み た り,仕 事 っ て 言 っ て み た

っ ち も力 を積 分 した 量 な ん じ ゃ な い の?あ

て い い か わ か ら な い とい う こ と は,何 ら,こ N嬢

う もバ イ メ

っ,わ

か っ た.ど

っ ち使 っ

か 条 件 が 欠 け て い る っ て こ と よ.だ

か

の 問 題 は 「答 え が 求 め ら れ な い 」 が 正 解 な の よ.

き っ とそ う ね.じ

ゃ あ,8番

は ど う な る の か し ら.こ

れ っ て,滞

空 時 間 か ら跳

躍 高 を求 め る 問 題 と 同 じ よ ね. S嬢

私,公

式 を 覚 え て い る わ.滞

の よ.こ

空 時 間 を ΔTと

し て,跳

躍 高 は1/8gΔT2に

なる

れ は 先 生 に 「覚 え て お き な さ い 」 っ て 言 わ れ た も の だ か ら 間 違 い な

い わ. N嬢

じ ゃ あ,速 t2-t1を

S嬢

度 は 距 離 を 時 間 で 割 れ ば い い か らv1=1/8gΔTね.そ

調 子 出 て き た わ ね.で,最 に,跳

後 は.う

ー ん.何

こ れ?こ

び 上 が ら せ る た め の 面 積 が あ っ て,空

け る わ け じ ゃ な い.そ 着 地 後,い

ン ト,よ

等 し く な る か な ん て,t1,t2だ

初

ん で い る と き腰 に き ち ゃ っ た.本

け

く わ か ん な い 問 題 ね.

そ れ に,今 回 実 験 で 使 っ た フ ォ ー ス プ レー ト.重

S嬢

ん な の で き る の?最

中 にい る 間は 下 向 きに重力 を受

れ らが 合 わ さ っ て 着 地 後 の 地 面 反 力 が 決 ま る ん だ か ら,

つ 力 曲線 とt軸 の 囲 む 面 積 がSと

で 表 せ る わ け な い じ ゃ な い.ホ N嬢

して ΔT=

代 入 し て お し ま い ね.

くて 嫌 に な っ ち ゃ う.私,運

当 に バ イ メ カ っ て ろ くで も な い わ ね.

そ れ は ち ょ っ と ス ジ が 違 う ん じ ゃ ….

彼 女 た ち と 同 じ よ う な 議 論 が 学 生 の 間 で さ れ て い る の を耳 に す る こ とが あ る が, 読 者 諸 氏 は,彼

女 た ち が 物 理 の 初 心 者 に よ く見 ら れ る 間 違 い を こ と ご と く犯 して い

る こ と に 気 づ か れ た で あ ろ う か.次 つ,力

章 以 降,こ

こ で 問 題 と な っ て い る 点 を 指 摘 しつ

学 の 考 え 方 ・手 法 を詳 し く解 説 して い く.な お,本

章 の 課 題 は 第14章

で改 め

て 取 り上 げ る. 補 足1S,Nと か ら 取 っ た.こ

い う イ ニ シ ャ ル はSN比(signal-to-noiseratio:信 れ は,希

望 と す る 信 号 の 大 き さ と,そ

比 を 表 し た も の で あ る.つ

ま り,力

妙 な 思 い 込 み が 乗 る こ と に よ り,正 あ る(そ

れ に して は,ど

号 対 雑 音 比)

れ に混 入 す る雑 音 の大 き さの

学 的 に キ チ ン と 考 え れ ば 問 題 な い の に,そ

れに

しい推 論 が 行 えな くな る様 を表 そ うと した の で

っ ち もnoisyに

な っ て し ま っ た が).な

お,彼

女 た ち は今後

も本 書 の 所 々 で 出 演 し て く れ る こ と に な っ て い る.

補 足2人 が 身体 運 動 を意識 的 に行 お う とす る と きに は何 らか の 目的 が存 在 す るは ず で あ る.そ の 目的 を達成 す る ため に効 果 的 な動 作 は何 か.そ の よ うな動 作 を生 み 出す た め には どうす れば よいか.そ の手 がか りを得 るた め に,物 体 の運動 を扱 う学 問 で あ る 力 学 は大 い に役 立 つ と思 われ る.実 際,ス ポ ー ツ科 学 の分 野 で も身体 運 動 を

力 学 的観 点 か ら考 察 し よ うとい う試 み が行 わ れ る よ うに な っ て久 しく,そ の よ う な 学 問領 域 はス ポ ー ツバ イ オ メ カニ クス と呼 ばれ て い る3).そ の成 果 を学 び,応 用 し, 発 展 させ る ため には力 学 の基 礎 を身 に つ け る必 要 が あ る.し か し,こ の よう な直 接 的 な理 由 の ほか に もス ポ ー ツ科 学 を専 攻 す る者 が 力 学 を学 ば な けれ ば な らない 理 由 が あ る.そ れ は,ス ポ ー ツ科学 を学 ぶ 際 に よ く目にす る “力” とか “ エ ネル ギ ー” と い っ た言 葉 は 力 学 を学 んで 初 め て 理解 で き る もの で あ り,ま た,ト レー ニ ン グ実 験 を行 う際,運 動 方程 式 を書 い て初 め て思 った とお りの負 荷 が 目的 とす る部 位 に正 し くか か っ てい る か どうか を判 断 す る こ とが で きる とい う事 実 で あ る.た と えス ポ ー ツバ イ オ メカ ニ ク ス を専 門 と して い な くて も,最 低 限の 力 学 を身 に つ けて お く必 要 が あ る.本 書 で は次 章 以 降,第19章 を 除 くすべ ての 章 が力 学 の解 説 に当 て られ て い る わ けだ が,ス ポ ー ツバ イ オ メ カ ニ クス を専攻 して い ない 読 者 も,自 分 には不 要 と 決 め つ け ず に,積 極 的 に学 習 して も らい た い(あ る程 度 の取 捨 選 択 は構 わ な い) .

注 1)地 面 反 力(groundreactio

nforce),あ る い は床 反 力(floorreactionforce)は ス ポ ー ツバ イ オ メ カニ クス で よ く使 わ れ る言 葉 で あ る .そ の 意 味 に 関 して は11.2節 で解 説 す る. 2)実 際 に実 習 を行 った 学 生 の 反 応 を も とに して書 き下 ろ した . 3)バ イオ メ カニ クス とは 細 胞 ,組 織,器 官,器 官 系,個 体 とい う様 々 な階 層 の 生 体 構 造 と そ の機 能 を 主 に力 学 的 観 点 か ら解 明 す る学 問 分 野 で あ り,そ の 対 象 と して ,生 体 軟 組 織 ・硬 組 織 に 関す る材 料 力 学,血 液 ・気 体 に関 す る 流体 力 学,熱 ・物 質 の 移動 現 象,関 節 の運 動 や そ の 複 合 と して の 身体 運 動 に か か わ る 機 械 力 学 とい っ た もの が あ げ られ る.ス ポ ー ツバ イ オメ カニ クス は これ らの 分 野 の 複 合 的,総 合 的応 用 分野 の 一 つ で あ る.

11 質点 の運動

昔 の 人 は(今 の 人で も力学 を知 らな い人 の 多 くは)力 と速 度 を直 接 結 び つ け て議論 を した. 馬 車 を 引 くの に,馬 一頭 よ り馬 二 頭 の 方 が速 く引 け るの は馬 車 に加 え られ る力 が大 きいか らだ.床 の上 にあ る物体 を押 し離 す と,最 初 は勢 い よ く動 き出 す が やが て止 まる.こ れ は,押 す こ とに よ って 与 え られ た力 が 物 体 が 進 む に つ れ て減 少 し,や が て な くな っ た とき に止 まる とい う こ とだ. 日常 的 な経験,体 感 に基 づ くこ の よ うな 単純 で誤 っ た議 論 か ら脱 却 し,力 を加速 度 (運動 量 の変 化 率)の 原 因 と して と らえ る こ とに人 間 が成 功 した と き,近 代 的 な 意味 での 物 理 学 が始 ま った.こ の発 想 の 転 換 は ニ ュ ー トン に よる.そ して,物 体 の運 動 はニ ュー トンの運 動 方 程 式 と して正 し く定 式 化 され た1).本 章 で は科 学 史 上 最大 の 発 見 と言 わ れ るニ ュー トンの運 動 方 程 式 の説 明 を しよ う.

11.1質

点

運 動 とは物 体 の位 置 が刻 一 刻 と変 化 す る現 象 で あ る.し か し,物 体 に大 きさが あ る以 上,そ の位 置 を指定 す る の は(実 験 上 の困 難 を除 い て も)結 構難 しい.特 に,物 体 が 変形 した り,(自 転 の よ うな)回 転 運動 を行 ってい る と きは や っか い で あ る.そ こで しば ら くの間 は物体 の変形 や(自 転 の よう な)回 転 が起 こっ てい ない 運動 の み を き ょうぎ

扱 う2).言 い換 えれ ば,物 体 上 の各 点 が常 に同 じ位 置 変化 を被 る よ うな運動 (狭義 で の 並 進 運 動3):translationalmotion)の

み を扱 う と い う こ と で あ る.こ

の 場 合,物

体 上 の ど こ か 一 つ の 点 の 位 置 を定 め れ ば 物 体 の 位 置 は 定 め ら れ る こ と に な る.つ

ま

り,物 体 の 大 き さ を無 視 し て 運 動 を論 じ る こ とが で き る.「 物 体 は 質 量 を持 つ が,そ の 位 置 の 変 化 は 点 の 運 動 と して 扱 お う」 と い う わ け で あ る.こ こ とを 「 物 体 を 質 点(particle,masspoint4))と 補足

の よ う に物 体 を扱 う

して 扱 う」 とい う よ う に 表 現 す る.

質 点 とは運 動 を扱 う ため の 一つ の 理想 モデ ル で,“ 質量 を持 つ が大 き さ を持 た

ない点 ”の ことで あ るが,現 実 に “質 点” なる ものが 存 在 す る わ けで は ない.く どい よ うだが,「 物 体 の位 置 の 変化 を点 の 運動 と して扱 う」 とは 「 物 体 の位 置 をた だ1点 の座 標(x,y,z)で 表 し5),そ の位 置 変 化 の み を扱 う」 とい う こ とで あ る.そ して,

物 体 が 純粋 に並 進 運動 のみ を行 って い る 限 りにお い て は,(ど んな に物 体 が 大 き くて も)こ れで 十 分 で あ る(完 全 に運 動 が 記述 され る)と い う こ とだ.つ ま り,「大 きさ を 無 視 す る」 とは 「 大 き さ とい う物体 の持 つ 属性 を考 えな い」 とい う こ とで,「物 体 を 小 さ な小 さな,そ う,あ た か も大 き さを持 た な い点 と見 な す」 とか,さ らに は,「物 体 の 大 き さは今,運 動 が行 われ て い る空 間 に比 べ て 十分 小 さい の で無 視 す る」 とか, そ う い う こ とで は な い の で あ る6).「 質点 の密 度 は どの く らいで す か 」 とか,「 質 点 の大 き さは原 子 よ り小 さい の です か 」 とい う質 問 はナ ンセ ンス で あ る.さ らに,「質 点 は非 常 に小 さい の だか ら,そ の運 動 を扱 うた め に は量 子 力学 を使 わ な くて は な ら な いの で は な か ろ うか 」 とか 「質点 は高 密 度 だ か らブ ラ ッ クホ ー ル化 しな い ので あ ろ うか」 と悩 む の も馬 鹿 げ て い る.“ 質 点” とい う実 在 の もの が あ って,物 体 を その 実 在 す る “質 点” と同一 視 す る ので は ない.質 点 とは運 動 を考 える た め の モ デ ル の 一 つ なの で あ る .

物 体 が並 進 運 動 の み を行 っ てい る な らば物 体 の位 置 を指 定 す る座 標 は物 体 内 の ど の 点 の座標 で も よ く7),別 に物体 の 質量 中心(重 心)の 座 標 を もって物 体 の位 置 を表 す必 要 はな い8).た だ,物 体 が 回転 運動(自 転 の よ うに物体 が 向 きを変 え る運動)や 変形 運 動 を と もな って空 間内 を運 動 す る と きに は,物 体 内 の あ る1点9)が 空 間 内 を 並進 運 動 し,物 体 内 の ほか の点 は その点 の まわ りを運 動す る と見 なす と扱 い やす い. この とき,も し物体 が 固 定軸 や 固定 点 を持 た ない場 合 は,物 体 の質 量 中心 を運動 の かなめ

“要 の 点 ” に選 ぶ と非 常 に都 合 が よい10) 運 動 を 論 じ る 際 に は,特

.そ の た め,今 後,物

体 を質 点 とみ な し て

に 断 ら な い 限 り,そ の 位 置 は 物 体 の 質 量 中 心(重 心)の 位 置

と す る. 補 足 この よう な説 明 をす る と,な ぜ か 「質点=重 心」 と勘 違 い して しま う人が い る.そ の よ うな 人 は上 の説 明 を よ く読 み 直 して ほ しい.質 点 は物 体 の運 動 を扱 うた め の一 つ の モ デ ルで あ る.そ れ に対 し,質 量 中心 や 重 心 は物 体(物 体 系)に 対 して あ る数 式 に よ って 明確 に定 義 さ れた “ 位 置 ”で あ る11).「 物 体 を質 点 と見 なす(近 似 す る)」 と言 えて も,「物体 を 質量 中心(重 心)と 見 なす(近 似 す る)」 とは言 え な い12). 「 物 体 の位 置 を その 質量 中心(重 心)の 座 標 で 表 す」 とは言 えて も,「物 体 の 位 置 を そ の 質点 の座 標 で 表す 」 とか 「 物 体 の 質点 の座 標 を(x,y,z)と お く」 とは言 えな い の で あ る.力 学 の 本 の 中 に は 「重 心 は 質点 の 一 種 で あ る」 とい う よ うな説 明 を して い る ものが あ るが,誤 解 を生 じや す い ので そ の よ うな表 現 は 避 け た方 が よい.

11.2運

動 方程 式

物 体13)に 力Fが

作 用 した と き14),物 体 は そ の 質 量mに

に比 例 す る加 速 度aを とな る.kは 単 位 を秒(s)で

持 つ.こ

比 例 定 数 で あ る.そ

こ で,質

表 した と き にk=1(無

と,F=m[kg]・a[m/s2]=ma[kg・m/s2]と

反 比 例 し,作 用 す る 力F

れ を式 で 書 く と,a=kF/m,あ

る い は,F=ma/k

量 の 単 位 をkg,長

さ の 単 位 をm,時

間の

単 位)に な る よ う に 力 の 単 位 を 定 め る.す な る.こ

のkg・m/s2と

る

い う単 位 を

改 め て “N”(ニ ュ ー ト ン)と 表 す(2.2節 量mと

加 速 度a,お

参 照).こ

れ ら の 単 位 を 用 い る と,物 体 の 質

よ び 物 体 に作 用 す る力Fと

の関 係 は

(11.1) と な る.こ

れ が 運 動 方 程 式 で あ る.運

動 方 程 式(11.1)の

着 目 して い る 物 体 自 身 の 量 で あ る.mは 度 だ.そ

れ に対 し,右

辺 の 力Fは,着

つ ま り,物 体 が 受 け る 力―― で あ る.

複 数 の 力 が 一 つ の 物 体 に働 い て い る と き に は,そ

今,人

力 の 求 め 方 は,力 が 歩 い て い る.こ

こ な い.地

そ の 物 体 の加 速

目 して い る物 体 以外 の もの か ら着 目 して い

る 物 体 に作 用 す る 力(外 力:externalforce)――

ば よい.合

左 辺 は,運 動 を 考 え よ う と

そ の 物 体 の 質 量 だ し,aは

の 合 力(resultantforce)を

考 えれ

を ベ ク トル と見 な して 足 し合 わ せ れ ば よ い. の人 に関す る運動 方 程 式 に 人が 地面 を蹴 る力 は 入 っ て

面 が 人 を押 す 力 と,地 球 が 人 を 引 っ 張 る 力(重 力)と

(空 気 抵 抗)の み が 入 っ て く る.人

は な ぜ 前 に 進 む か.人

空 気 が 人 を押 す力

が 地 面 を 押 す か ら だ,と

い

う の は 別 に 間 違 い で は な い が,力

学 的 な 立 場 か ら す る と,直 接 的 に は 地 面 が 人 に力

を及 ぼ す か ら な の で あ る15).人

が 地面 を蹴 る力 は 地球 に関 す る運 動 方程 式 に入 っ

て く る.人

が 地 面 を 蹴 る 力 と 地 面 が 人 を 押 す 力 は,作

作 用 点 を通 り力 の 方 向 に 平 行 な 直 線)は 一 致 し,大

用 線(lineofaction:力

き さ も等 し い が 向 き は 正 反 対 だ.

こ れ を作 用 反 作 用 の 法 則(lawofactionandreaction)と 人 を 引 っ 張 っ て い る16).そ 返 して い る.こ

れ と 同 時 に,人

の

い う.地

球 は重 力 に よ り

は 重 力 に よ り地 球 を 同 じ強 さ で 引 っ張 り

こ で も,作 用 反 作 用 の 法 則 が 成 り立 っ て い る17).人

が 地 球 を 引 っ張

る 重 力 は 地 球 に 関 す る 運 動 方 程 式 に 入 っ て く る18). 補足

地 面 と人 の 足 の 裏 と の 相 互 作 用 は,地

を構 成 す る 原 子 と の 静 電 気 力 で あ る.た は煩 わ しい の で,現

面 の 表 面 を 構成 す る 原 子 と 足 の 裏 の 表 面

だ,い

ちい ち 原子 や静 電 気 力 を意識 す る の

象 論 的 に,「 人 は 地 面 か ら 抗 力(reaction)を

の 抗 力 の 面 に 対 す る 平 行 成 分 を 摩 擦 力(friction)と 直 抗 力(normalforce)と

呼 ぶ19).p.13で

呼 び,面

受 け る 」 と い う.そ に対 す る垂 直成 分 を垂

も指 摘 し た こ と だ が,体

重 計 とは ま さ に

体 重 計 の 上 面 に働 く垂 直 抗 力 を 測 定 す る も の だ っ た わ け で あ る20).さ 垂 直 抗 力 な ど を “現 象 論 的 ” と い っ た が,そ

ら な い 」 と い う 立 場 を 表 した か っ た の で あ る.自 用)は

重 力(gravitationalinteraction)と

て,摩

れ は,「 よ り基 本 的 な 力(相

擦力や

互 作 用)に

然 界 に 存 在 す る 基 本 的 な 力(相

戻

互作

電 磁 気 力(electromagneticinteraction)

の 二 つ を 考 え て お け ば よ い21).

物 体 に 作 用 す る 力 が 刻 一 刻 と変 化 す れ ば 加 速 度 も刻 一 刻 と 変 化 す る.こ 強 調 す る た め に,F,aを 程式は

時 間 の 関 数 と し てF(t),a(t)と

書 こ う.す

の こ とを

る と,運

動方

と な る.と

こ ろ で,加

速 度 は 物 体 の 位 置r(t)を

時 間 で2回

微 分 し た も の で あ っ た.

これ を強調 す る場合 は

あ るい は

と書 く.明

らか に 時 間 の 関 数 で あ る こ と が わ か っ て い る と き は,

の よう に “(t)” を省 略 す る とき もあ る.こ れ らの 式 を見 れ ば わか る よう に,運 動 方 程 式 は 時 間 を(独 立)変 数 とす る関数r(t)の2階

の微 分方 程式(第9章

参照)で あ る.

F(t)が わか れ ば,す な わち,ど の よう な力が 物体 に働 くか が刻 一刻 とわ かれ ば運 動 方程 式 が立 て られ,後 は微 分 方程 式 の 問題 と して時刻tに お け る物 体 の位 置r(t)が (適当 な初 期 条 件 の もと)求 め られ る. 補足

運 動 方程 式 とい う言 葉 が 出 て きた が,そ

もそ も方 程 式 とは何 か.何 か と何 か

が イ コー ル で結 ばれ て い れ ば方 程式 に な る とい うわ けで は な い.例 えば(a+b)2= a2+2ab+b2の よ うに,aとbが い か なる値 で も成 立 す る よ うな式 は 恒等 式 とい う. そ れ に対 し,例 え ばxに 関す る式5x=3は あ る特 定 の 値 に対 して しか 成 り立 た な い.ま た,f'(x)=kf(x)と い う式 は どん な関 数 に対 して も成 り立 つ式 で は な く,指 数 関数 に対 して のみ 成 り立 つ 式 で あ る22).こ の よ うに,あ る変 数 の 取 る値 や あ る 関 数 の形 を制 限 す る働 きを持 つ 等式 を方 程 式 と呼 ぶ.運 動 方 程式 は,あ る力 を与 え た と き特 定 の 加 速 度運 動 のみ が 現 れ る とい う こ とを表 して い る.そ うい う意 味 で,方 程 式 と い う名 を冠す る こ とが で きる ので あ る.ま た,加 速 度 は速 度 の時 間微 分 で あ り,速 度 は位 置 の時 間微 分 で あ る.そ の ため,加 速 度 を規 定 す る こ と に よ り,速 度, 位 置 が 規 定 され る こ とに な る.つ ま り,運 動 方程 式 は位 置 の微 分 方 程 式 にな っ て い る.と こ ろで,加 速 度aは 速 度vの 時 間微 分 で あ る とい った.こ れ は約 束 で あ る. 約束 を示 す 等 式 を定 義 式 とい う.つ ま り,a(t)=dv(t)/dtは 定 義 式 の例 であ る.定 義 式 で あ る こ とを 明示 す る ため にa(t)≡dv(t)/dtと 表 記 す る こ とが あ る.と にか く,運 動 方程 式 は “ 方 程 式 ”で あ る.「 質 量 に加 速 度 をか け た ものが 力 で あ る」 とか,「 力 とは 質量 か け る加 速 度 で あ る」 と読 ま ない こ と23).「 力 を加 え る こ と に よ り加 速 度 が決 定 され る」 と読 む.そ して,「加 速 度 が決 定 され る こ とに よ り速 度 や位 置 に制 限 が加 わ り,そ れ らは初 期 条 件 に よっ て決 定 され る」 と考 え るの で あ る.で は なぜ 運 動方 程 式 が 成 り立 つ の か.そ れ は 「自然が そ うな っ てい るか ら」,す なわ ち 「そ れが 自然 の法 則 な の だ」 と しか答 え られ な い.方 程 式 には様 々 な ものが 考 え られ るの に, 自然 は この特 定 の方 程 式 しか 選 ば な か っ た の であ る.そ こで,運 動 方 程 式(で 運 動 が 記述 さ れ る こ と)を 運 動 の法 則 と呼 ぶ ので あ る.な お,本 補 足 は 『 力 学 の考 え 方』 (砂川 重 信 著,岩 波 書 店)を 参考 に した.

運動 方程 式ma=Fは

極 めて単 純 な形 を して い て,誰 で もす ぐに覚 え られ る.し

か し,実 際 に運 動 方程 式 を立 て るた め に は相 当 の訓練 が 必 要 だ.ま た,運 動 方 程 式

を立 て た後,そ の運動 方 程式 を解 い た り変 形 した りす る の は数 学 の 問題 か も しれ な いが,そ れ は場 合 に よっ て はか な り難 しい こ とが あ る.ま た,運 動 方程 式 を解 い た 結 果 を “読 む”素 養 もそ う簡 単 に身 につ くもの で は ない.本 書 で は以 降(第19章

を

除 く),運 動 方 程 式 の使 い方 をい ろい ろ な角 度 か ら解 説 す る.鉛 筆 と紙 を用 意 して しっか り と演 習 を行 って も らい た い.

11.3物

体 の直線 運 動

本 節 で は物 体 が直 線 上 の み を運動 す る場 合 を扱 う.つ ま り,物 体 の位 置 を,例 え ばx座 標 の み で記 述 で きる場合 を扱 う.

11.3.1等

速直線 運 動

質量mの

物体 に力 が働 い て い ない と き,そ の物 体 の運 動 方程 式 は,

(11.2) と な る.両

辺 をmで

割 る と,

と な り,こ れ を一 回,時

間 に関 して積分 す る と

(11.3) が 得 ら れ,速 度v(t)=dx(t)/dtは

定 数 と な る こ とが わ か る24).ま

た,式(11.3)を

さら

に 時 間 に 関 して 積 分 す る と,

(11.4) と な り,物 体 の 位 置 は 時 間 の1次 定 数 で あ っ た.つ 置 が 時 間 の1次

式 に な る こ とが わ か る.さ

ま り,運 動 方 程 式(11.2)が

与 え ら れ て も,単

式 に な る こ と しか わ か ら な い.微

C1=v0,C2=x0と

置 をx(0)=x0と

与 え て や る.す

任 意の

に 速 度 が 定 数 で,位

分 方 程 式 の 章 で も 述 べ た が,初

期 条 件 を 与 え て 初 め て こ れ らの 定 数 が 決 定 さ れ る.例 v(0)=v0,位

て,C1,C2は

え ば,t=0に

お け る速 度 を

る と,式(11.3),式(11.4)よ

な り,初 期 条 件 を加 味 す る こ と に よ り運 動 方 程 式(11.2)は,

り

と解 け た こ と に な る.こ

の よ う な 運 動 を 等 速 直 線 運 動(linearuniformmotion),ま

た は 等 速 度 運 動(uniformmotion)と

い う25).

さ て,運 動 方 程 式 の 右 辺 に 現 れ る 力 は 物 体 に か か っ て い る全 外 力 の合 力 で あ っ た. そ れ ゆ え,運

動 方 程 式(11.2)は

物 体 に ま っ た く力 が 作 用 して い な い 場 合 の ほ か に,

物 体 に い くつ か 力 が 作 用 し て い て そ の 合 力 が ゼ ロ(ゼ ロ ベ ク トル)の 場 合 で も成 り立 つ.そ

して,そ

の と きの 方 程 式 の 解 は 当 然 ,力

が ま っ た く作 用 して い な い 場 合 と同

じで あ り,物 体 は 等 速 直 線 運 動 を す る こ と に な る26).

11.3.2等

加 速度 直線 運動

今 度 は 図11.1の 続 け,か

よ う に,質 量mの

物 体 に一 定 の 大 き さ の 力Fが

つ 物 体 が そ の 方 向 に 運 動 す る 場 合 を 考 え よ う.運

体 の 位 置 をx(t)と

す る と,物

一定 方 向 に働 き

動 の 方 向 をx軸

と して 物

体 の 運動 方程 式 は

(11.5) と な る.こ

れ よ り,

(11.6) と な る が,m,Fは

一 定 で あ る か ら 加 速 度d2x(t)/dt2=F/

mは

一 定 に な る.そ

こ で,こ

の

一 定 値F/ mをaと

お こ う.す

な わ ち,a=F/mと

す る27).す

る と,

(11.7) と な り,こ

れ を 時 間 に 関 して 積 分 す る と速 度v(t)=dx(t)/dtは

(11.8)

図11.1質

量mの

物 体 に一 定 の 大 き さの 力Fがx軸

方 向 に働 い て い る場 合.

と な る.C1は がv0な

積 分 定 数 で,初

ら ば,す

期 条 件 に よ っ て 決 ま る.例

な わ ち,v(0)=v0で

え ば,時 刻t=0で

あ る な ら ば,C1=v0で

の速 度

あ る こ とが わ か る.

こ れ よ り,速 度 は 時 間 の 関 数 と し て

(11.9) と 表 せ る こ とが わ か る.式(11.9)を

さ ら に 時 間 に 関 し て積 分 す る と ,

(11.10) と な る.C2は がx0な

積 分 定 数 で,初

ら ば,す

期 条 件 に よ っ て決 ま る.例

な わ ち,x(0)=x0で

え ば,時

あ る な ら ば,C2=x0で

刻t=0で

の位 置

あ る こ とが わ か る .

す る と,位 置 は 時 間 の 関 数 と して

(11.11) と な る.こ tion)と

の よ う な 運 動 を 等 加 速 度 直 線 運 動(linearmotionofuniformaccelera-

い う.微

積 分 をあ か らさ ま には使 って は い け ない こ とに な っ てい る高校 物 はな

理 に お い て は,こ

の 等 加 速 度 直 線 運 動 は 直 線 運 動 の 華 だ.そ

に お い て の み 成 り立 つ 式(11.9),式(11.11),お

の た め,等

加 速 度運 動

よ び こ れ ら の 式 か らtを 消 去 して 得

られ る

(11.12) を む や み や た ら に 崇 め 奉 り(丸 暗 記 し),等 (11.11)を

ま ね て,加

速 度a(t)が

加 速 度 運 動 で な くて も ,式(11.9),式

与 え ら れ た と きの 速 度v(t)や

a(t)・t+v0,x(t)=1/2a(t)・t2+v0t+x0と

位 置x(t)をv(t)=

して し ま う 人 が い る.注

意 して も らい

た い. 補足

式(11.12)を

無反省に

(11.13) と覚 え てい る人 が 多 い が,vは 何 か,xは 何 か,と い うこ とを意 識 しな くて は い け な い.「 そ ん な の,xは 距離 じゃ ない の」 とか 「xは位 置 だ よ」 とい う人 が い るか も しれ ない が,こ の式 を も っ と丁寧 に書 けば,

で あ る.つ

ま り,式(11.13)のxは(時

して 使 っ て も ら い た い.も だ け で あ る.

ち ろ ん,こ

刻t0か ら の)変 位(符 号 込 み)で あ る .注 意 の 式 が 成 り立 つ の は 等 加 速 度 直 線 運 動 の と き

課題

質 量m[kg]の

物 体 が 直 線 上(x軸

とす る)を 運 動 して い る.こ

関 数.F(t)=t2[N]と い う大 き さ の 力 がx軸 の 速 度,位 置 を そ れ ぞ れv0[m/S],x0[m]と

の 物 体 に は 時 刻t[s]の

正 方 向 に 加 え ら れ て い る.t=0に お け る物 体 して,こ の 物 体 の 時 刻t[s]に お け る位 置 を求 め

よ28). 解説

力 がF(t)=t2[N]だ

か ら 加 速 度 はa(t)[m/s2]=F(t)/m[m/s2]=t2/m[m/s2].よ

式(11.9),式(11.11)よ る,と

っ て,

り,v(t)=t2/m・t+v0[m/s],x(t)=1/2t2/m・t2+v0t+x0[m]で

し て は い け な い.式(11.9),式(11.11)はa(t)を

こ とが 大 切 な の に,そ

こ を 見 落 と し て,結

あ

積 分 し て 導 か れ た もの で あ る と い う

果 だ け 覚 え て も し ょ う が な い.正

し く は,

で あ る(後 は 単位 を つ け て答 え とす れ ば よい)29).

11.3.3い

くつ か の 外 力 が 働 い て い る物 体 の 直 線 運 動

図11.2は,水

平 な30)床 の 上 に 置 か れ た 箱(質 量m)を

う か は わ か ら な い が)押 て み よ う.そ 箱 をF1で

し て い る 様 子 を 表 し て い る.箱

人 が 力F1で

一 生 懸 命(か

に関 す る運 動 方程 式 を立 て

の た め に は,箱 に働 く力 を す べ て 数 え 上 げ な くて は い け な い31).さ

押 す と,そ

の 反 作 用 と して,人

図11.2床

ど

は 箱 か ら 力F2を

の 上 の 箱 を人 が 押 して い る様 子

受 け る.作

て,

用 反 作用 の

法 則 よ り,F1=-F2で つ 式 で あ る.箱

あ る.こ

れ は 箱 が 止 ま っ て い よ うが 動 い て い よ う が 成 り立

が 動 い て い る と き,特 に 加 速 度 運 動 して い る と き に は,「F1=-F2

が 成 り立 た ず,F1とF2と

の 大 き さ の 差 が 物 体 の 加 速 度 運 動 を生 み 出 す 」 と考 え る

人 が い る の で 注 意 し よ う.そ

れ は 完 全 な 誤 りで あ る.そ

も そ も,F2は

人が 受 け る

力 で あ り,箱 の 運 動 方 程 式 に は ま っ た く入 っ て こ な い の で あ る. 次 に,箱 に作 用 す る 重 力 を考 え て み よ う.本 て い る.す をF3と

な わ ち,箱

す る と,こ

来,重 力 は 箱 の あ ら ゆ る場 所 に か か っ

の す べ て の 部 分 は 地 球 に 引 っ 張 ら れ て い る の だ が,そ

のF3の

大 き さ は 箱 の 質 量mに

地 球 上(地 表 近 辺)に お け る そ の 比 例 係 数 をgと あ る.さ

ら に,向

る い はgは

き を 考 え て 比 例 係 数 をgと

比 例 す る こ とが 知 ら れ て い る.

普 通 書 く.す

な わ ち,￨F3￨=mgで

お き,F3=mgと

単 位 質 量 に作 用 す る重 力 を表 す.言

い 換 え れ ば,地

し て も よ い.gあ 球上 での 重力 場 の強

さ(お よ び 向 き)を 表 す 役 割 を果 た し て い る.単 位 の 次 元 と して は[力/質 単 位 系 な らN/kgと

表 し た い と こ ろ だ.し

で あ り,そ れ ゆ えgの 当 然 だ が,加

か し,Nは

速 度 と 同 じ単 位 を持 つ こ と に な る.し

量],MKS

基 本 単 位 で 表 せ ばkg・m/s2

単 位 は 基 本 単 位 で 表 せ ばm/s2と

ま で 単 位 質 量 に作 用 す る 重 力 を表 し,そ

の 合力

な る.ま

あ,当

か し,本 来 のgな

然 とい え ば

い しgは

あ く

の 限 りに お い て は 加 速 度 と い う意 味 は 持 っ

て い な い とい う こ と に 注 意 して も らい た い. 補 足 質量mの 物 体 に この 重 力 しか 作 用 して い な い と きで も,物 体 の運 動 方程 式 “ 質 量 × 加 速度 =力 ” を立 て る際 に,gを 左 辺 の “ 加 速 度 ”の と ころ に入 れ て はい けな い.右 辺 の “力” の と ころ に,“物 体 に作 用 す る重 力 の比例 係 数 ” と して 入 れ る. す な わ ち,物 体 の 加速 度 をaと す る と運動 方 程 式 はma=mgと な る32)(鉛直 下 向 きを正 方 向 と した).そ れ に対 し,こ の方 程 式 を解 くこ とに よっ て得 られ るa=gと い う式 にお い て は,gは “ 重 力 を表 す 比例 係 数 ” とい う意 味 合 い を失 い,単 に量 だ け を表 す 文 字 に成 り下 が る.つ ま り,「物 体 に重 力mgの

み が働 くと き物 体 は加 速度g

で運 動 す る」 とい う と き,二 つ のgの 意 味 は 違 うと い う こ とだ(値 は 同 じで も).重 力 の 強 さを示 すgを 知 る た め に(自 由)落 下 中 の 物体 の持 つ加 速 度 を測 定 して上 の a=gと い う関 係 式 を利 用 す る こ とが で きる に して も,gの 持 つ本 来 の意 味 を忘 れ な い で もらい た い. 上 の 補 足 で 述 べ た よ う に,「 物 体 に重 力mgの す る」 た め,gの gravity)と

み が 働 く と き物 体 は 加 速 度gで

運動

こ と を 重 力 加 速 度(accelerationduetogravity,accelerationof

呼 び,gを

重 力 加 速 度 ベ ク トル と 呼 ぶ.ご

か くこ の 名 前 に 振 り回 さ れ て,「gは

ち ゃ ご ち ゃ 説 明 した が,と

に

加速 度 の 一種 で … 」 の よ うな議 論 を しない よ

う に し よ う33). さ て,話

を 戻 そ う.箱

力 の 合 力F3の

の 各 場 所 に働 く重 力 の 合 力 はF3=mgで

作 用 点 は ど こ に 定 め れ ば よ い か.箱

そ ん な こ と は ま っ た く気 に し な くて よ ろ し い.し

あ る.で

は,重

の 並 進 運 動 の み を 考 え る な ら,

か し,箱 の 回 転 運 動34)を 扱 う 際 に

は,箱

の 重 心35)にF3が

作 用 す る と 考 え る と よ い こ と が 知 ら れ て い る.

補 足 とこ ろで,こ の重 力F3と 作 用 反作 用 の 関係 にあ る力 は何 か.「 重 力 は地 球 か ら受 け る.だ か ら箱 が 受 け る重 力 の反作 用 は,箱 が 地 球,す な わ ち地 面 に及 ぼす 力 F7で あ り,作 用 反 作 用 の 法則 か ら￨F3￨=￨F7￨の 関係 が成 り立 つ.向 きは こ の場 合 は同 方向 にな って しま うが,そ うい う こ と もあ る もの だ.」 と して しま う人 が い る. p.157で も説 明 したが,“ 地 球 が重 力 に よ り箱 を引 っ張 る力 ”と作 用 反作 用 の 関係 に あ る力 は “箱 が 重 力 に よ り地 球 を引 っ張 る力 ” で あ る36).こ の 力 は ち ゃ ん と-F3 とな り,作 用 反作 用 の 法 則 に したが って い る.繰 り返 す がF7はF3と は作 用 反 作 用 の関 係 には な い.そ

して,大

きさ も一 般 に はF3と

箱 が 床 か ら受 け る 力 の 合 力37)をF6と と,床

に 平 行 な ベ ク トルF5に

直 抗 力,F5を F5は

あ く ま でF6を

に 平 行 な ベ ク トルF8に

加 え て は い け な い.箱

お,F9を

た,F4

が 床 か ら受 れ をF9

どい よ う だ が,F9を

箱

床 に 垂 直 な ベ ク トルF7と,床

便 宜 的 に 分 解 し た と き,F7を

床 が 箱 か ら受 け る 垂 直 抗 力,

呼 ぶ こ とは い う ま で も な か ろ う.

ろ い ろ と 説 明 した の で 話 の 流 れ が わ か ら な く な っ て し ま っ た か も しれ な 々 は 箱 に 関 す る 運 動 方 程 式 を 立 て る た め に,箱

え 上 げ て い た の で あ っ た.そ (抗 力)F6と

加 え て は い け な い.ま

作 用 反 作 用 の 法 則 か ら成 り立 つ.く

床 が 箱 か ら受 け る 摩 擦 力,と

さ て,い

足 参 照).F4と

作 用 反 作 用 の 関 係 に あ る 力 は 床 が 箱 か ら 受 け る 力 で あ り,そ

の 運 動 方 程 式 に加 え て は い け な い39).な

い.今,我

箱 が床 か ら受 け る垂

分 解 し た 結 果 得 られ た ベ ク トル で あ る か ら,箱 の 運 動 方 程 式 を 力 の 項 に 加 え る な らF4とF5は

と お く とF6=-F9が

F8を

に 垂 直 な ベ ク トルF4

便 宜 的 に 分 解 し た と き,F4を

運 動 方 程 式 の 力 の 項 に 加 え る な らF6は

け る 力F6と

れ を,床

箱 が 床 か ら 受 け る 摩 擦 力 と呼 ぶ の で あ っ た(p.157補

考 え る と き にF6を とF5を

す る38).こ

は異 な る.

れ ら は 結 局,人

が 箱 を 押 す 力F1と

地 球 が 箱 を 引 く力(重 力)F3=mgで

と考 え ら れ る の で,F3は

以 後mgと

に作 用 す る力 すべ て を数

あ る.箱

床 が 箱 に及 ぼ す 力

に作 用 す る重 力 は一 定

書 く.

次 に こ れ らの 力 を も ら さ ず す べ て 数 え 上 げ る た め の コ ツ を紹 介 し よ う.ま

ず着 目

し て い る 物 体―― 今 の 場 合 は 箱―― の 周 囲 を な ぞ り,接 触 し て い る もの か ら働 く力 を 数 え 上 げ る の で あ る.今

の 場 合,物

見 出 す こ とが で き る.箱

は ほ か に空 気 に も接 触 し て い る.空

体(箱)は

人 と床 に 接 触 し て お り,F1とF6を

力 を 無 視 で き な い と き は こ れ も 数 え 上 げ る が,今 して 働 く力 を数 え 上 げ た ら,次

気 抵 抗 や空 気 に よる浮

は 無 視 し よ う.さ

は まず 考 え る 必 要 は あ る ま い.以

触 面 を通

に 物 体 と接 触 せ ず に 働 く力 で あ る 重 力 を 加 え る40).

重 力 の ほ か に 電 磁 気 力41)を 考 え る 必 要 の あ る こ と も あ る が,ス

べ,次

て,接

ポ ー ツ科学 の範 囲で

上 の よ うに 「 接 触 して い る も の か ら受 け る力 を 調

に 重 力 を 考 え る 」 こ と に よ り,物 体 に 作 用 す る 力 を も ら さず 数 え 上 げ る こ と

が で き る.

力 を数 え上 げ た ら運 動 方程 式 を立 て るの は簡 単 で あ る.箱 の加 速 度 をaと

して,

(11.14) とす れ ば よ い.こ

れ で 方 程 式 と し て は 完 壁 な の だ が,実

算 をす る こ と に な る.図11.2の ル のx成

分,y成

よ う に座 標 軸 を と る こ と に し よ う.そ

分 は 添 え 字 で 表 す こ と にす る.例

え ば,F1=(F1x

各 成 分 は 正 の 量 の こ と もあ れ ば 負 の 量 の こ と も あ る.各 の 量 とす る.文

字 を0以

多 い か らで あ る42).し

際 に計 算 す る と き は 成 分 計

上 と して,正 か し,重

して 各 ベ ク ト ,F1y)と

す る.

成 分 を表 す 文 字 は 符 号 込 み

負 を 表 す 符 号 を外 に 出 す の は 煩 わ しい こ とが

力 だ け は 向 きが 決 ま っ て い る の でgを

向 き(正 負)を 表 す 符 号 を 外 に 出 し てmg=(0,-mg)と

正 の 量 と し,

書 こ う43).す

る と各 成 分

の運動 方 程 式 は

(11.15) (11.16) と な る.こ

れ ら の 力(の 成 分)が す べ て わ か れ ば 加 速 度 が わ か り,後 は 微 分 方 程 式 を

解 く問 題 と な る.逆

に,す

さ ら に 加 速 度 が わ か れ ば,残

べ て の 力 は わ か ら な い が い くつ か の 力 が わ か っ て お り, りの 力 を 求 め る こ とが で き る こ と も あ る.例

が 箱 を 押 して い る に も か か わ らず 箱 は 動 か な い と し よ う.す

え ば,人

る とax=0,ay=0

で あ る か ら,式(11.15),式(11.16)は

(11.17) (11.18) と な る.式(11.17)よ しい.軽

り摩 擦 力 はF6x=-F1xで

く押 し て も,も

は 動 か な い で あ ろ う.動 擦 力F6xも

あ る44) .実 験 状 況 を 思 い 描 い て ほ

う少 し強 く押 して も,つ か な い 以 上,F6x=-F1xは

ま りF1xを

多 少 変 化 させ て も,箱

成 り立 っ て い る の だ か ら,摩

、F1xに合 わ せ て 変 化 して い る は ず で あ る 。 接 触 面 に対 し て 静 止 して い る

物 体 に 働 い て い る 摩 擦 力 を 静 止 摩 擦 力(staticfriction)と

い う.一

般 に,静

止摩擦

力 以 外 の 物 体 に か か る 力 を変 化 さ せ る と静 止 摩 擦 力 も(物 体 が 接 触 面 に対 し て 静 止 し続 け ら れ る よ う に)変 化 す る.静

止 摩 擦 力 の 大 き さ は 摩 擦 力 以 外 の 外 力(の 合 力)

の 面 に 対 す る 平 行 成 分 の 大 き さ に等 し く,向 て,F1xを

き は 反 対(180°

さ ら に 大 き くす る と,つ い に は 箱 は 滑 り出 す .つ

さ に は 限 界 が あ る とい う こ と だ.一

の 方 向)で あ る45) .さ ま り,静 止 摩 擦 力 の 大 き

般 に 静 止 摩 擦 力 の 大 き さf(今

と,摩 擦 力 が 働 い て い る面 と の 間 の 垂 直 抗 力N(今

の 場 合 はF6y

の 場 合 は￨F6x￨)

.た だ し,F6y>0

の場 合 の み考 え る)と の 間 には次 の関係 が か な りの精 度 で 成 り立 って い る こ とが経 験 的 に知 られ て い る.

(11.19) こ こ で,μ0は

接 触 し合 う面 に よ っ て 決 ま る 定 数 で,静

係 数(coefficientofstaticfriction)と

い う.そ

の と き の 最 大 静 止 摩 擦 力 とい う.こ た い の だ が,こ

直 抗 力 がN

れ で静 止 摩擦 力 に関す る説 明 は ひ とまず終 わ り

の と き の 垂 直 抗 力 をNと

と 求 め ら れ る 」 と 間 違 う 人 が 多 い46).気

が0だ

して,f0=μ0Nを,垂

るい は静 摩擦

の よ う な 説 明 を す る と なぜ か,「 接 触 し合 う面 が 決 ま れ ば,す

静 摩 擦 係 数 μ0が 決 ま れ ば,そ

さ て,垂

止 摩 擦 係 数,あ

直 抗 力F6yと

とF6y=-mgと

重 力mgと な り,大

して,静

なわち

止 摩 擦 力 は μ0N

を付 け て も ら い た い.

は,式(11.18)よ

り一 般 に は 等 し く な い.F1y

き さ が 等 し く な る.も

し,床

が鉛 直 方 向 に加速 度

運 動 を し て い た ら ど う か(例 え ば 実 験 系 が エ レ ベ ー タ ー の 中 に 設 定 さ れ て い る 場 合 な ど を考 え よ).そ

の 場 合 は 箱 が 加 速 度 を持 つ た めF1y=0で

る こ と は 式(11.15)か 補足

こ こでp.13の

もF6y≠-mgと

な

ら 明 らか で あ ろ う47). 補 足3で

述べ た こ と を思 い 出 して もらい た い.体 重 計 は 上 に

乗 っ てい る もの との 間 に働 く垂 直抗 力(今 の場 合 はF6y)を 測 定 す る器 具 で あ る.上 に乗 っ て い る もの に作 用 す る重 力(今 の場 合 はmg)を 測 定 して い るの で は ない.物 体 との垂 直 抗 力 と物 体 に作 用 す る重力 が 等 しくな る条 件 で使 えば,“ 体 重 計 ”と して まっ と

の 機 能 を 全 うで きる とい う だ けの 話 で あ る. 次 に箱 が 動 い て い る 場 合 を 少 し考 え よ う.接

触 面 が 滑 り合 っ て い る と き に二 つ の

面 間 に 働 く摩 擦 力 ―― 動 摩 擦 力(kineticfriction)――

に 関 し て 次 の こ とが 知 ら れ て

い る. 動 摩 擦 力 の 大 き さ は,そ

の と き接 触 面 間 に 働 い て い る 垂 直 抗 力 に 比 例 し,

速 度 の 大 き さ や 加 速 度 の 大 き さ に は ほ と ん ど よ ら な い.つ をf,垂

直 抗 力 をNと

して,

が か な り の 精 度 で 成 り立 つ.μ

は接 触 し合 う面 に よ っ て 決 ま る 定 数 で 動 摩

擦 係 数(coefficientofkineticfriction)と

呼 ば れ る.動

接 触 面 間 の 静 摩 擦 係 数 よ り一 般 に は 小 さ い.な 方 向 は,接

ま り,動 摩 擦 力

お,物

摩 擦 係 数 は,同

じ

体 に働 く動 摩 擦 力 の

触 して い る 面 に対 して 物 体 が 持 つ 相 対 速 度 と 逆 向 きで あ る.

今 の 場 合 だ と,動

摩 擦 係 数 を μ と して,￨F6x￨=μ￨F6y￨が

成 り立 つ こ と に な る.

課題

箱 を押 す 人 の 重 心 に 関す る運 動 方程 式 を立 て よ.

解説

解 答 略.

課 題 図11.3の よ う に,板 に 質量mの 物 体 を乗 せ,板 をゆ っ く り傾 けて い っ た と き,板 が 水 平面 と θ0の角 をな した と き物 体 は滑 り始 め た.重 力加 速 度 の大 きさ をg,物 体 と板 との 間 の 動摩 擦 係 数 を μ と して以 下 の 問 い に答 え よ. (1)物 体 と板 との 間 の静 摩 擦 係 数 μ0を 求 め よ. (2)板 が 水 平 面 と なす 角 を θ とす る.物 体 を板 の上 に摩 擦 力 の み で 静 止 させ る こ とが で き る よ う な角 度 θが θ0