情 ★報 ★科 ★学
スプライン 関数入門 桜井 明 編著
東京電機 大学 出版局
R く日本 複写 権 セ ン ター委 託 出 版物 ・特 別 扱 い) 本書 の 無 断複 写 は,著 作 権 法 上 で の例 外 を除 き,禁...
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情 ★報 ★科 ★学
スプライン 関数入門 桜井 明 編著
東京電機 大学 出版局
R く日本 複写 権 セ ン ター委 託 出 版物 ・特 別 扱 い) 本書 の 無 断複 写 は,著 作 権 法 上 で の例 外 を除 き,禁 じら れて い ます。 本 書は,日 本複 写権 セ ン ター 「出版 物 の複 写利 用 規程 」 で定 め る特 別 許諾 を必要 とす る出版 物 で す。 本 書 を複 写 され る場合 は,す で に 日本 複 写 権 セ ン ター と包 括契 約 をされ てい る方 も事 前 に 日本 複 写権 セ ン タ ー (03-3401-2382)
の 許 諾 を得 て くだ さ い 。
ま
ス プ ラ イ ン 関 数 は,区 関 数 で あ る.こ で あ る.こ
え
き
分 的 に 多 項 式 で 表 わ せ て,し
れ は 別 の 面 か らい え ば,階
の よ う に,そ
が
か も適 当 な 滑 らか さ を持 つ
段 関 数 を何 度 か 積 分 し て 得 ら れ る関 数
れ 自体 は 簡 単 な も の で あ る が,区
分 的 な た め,複
雑 な形
を し た 関 数 を 能 率 よ く近 似 で き る と い う抜 群 に す ぐれ た 性 質 を 持 っ て い る.こ
の
た め,情 報 処 理 技 術 の 発 展 と も関 連 し て 各 方 面 で ま す ま す 重 要 に な っ て き て い る. ス プ ラ イ ン関 数 はSchoenbergが 名 し た も の で あ る.そ な の で,そ
そ の1946年
の論 文[1]に お い て 定 義 し,命
の 際 の エ ピ ソ ー ドと して,そ
れ が あ ま りに簡 単 で か つ有 効
れ ま で 未 発 見 で あ る と は 到 底 信 じ られ な か っ た とい う.も
っ と も,原
始 的 な形 で は 人 口統 計 な どに 関 連 し て 保 険 数 学 の 分 野 で す で に 使 わ れ て い た こ と は 本 文 の 小 史 に し る され て い る と お りで あ る. ス プ ラ イ ン の 名 は 製 図 で 図 面 上 に 与 え られ た 点 列 を滑 らか に む す ぶ 曲 線 を描 く の に 用 い る 道 具(自 れ る 曲 線 が,こ
在 定 規)か
ら取 ら れ て い る.こ
の 時,こ
の 定 規 に よ っ て描 か
れ ら の 点 列 を通 る 3次 の ス プ ラ イ ン 関 数 に 対 応 し て い る わ け で あ
る. こ の 例 の よ うに,ス う.実 際,そ
れ は,従
プ ラ イ ン関 数 は 補 間 や 関 数 近 似 な ど を ご く 自然 の 形 で 行 な 来 か ら の 多 項 式 近 似 な どに 比 べ て 振 動 が 少 な く,局 所 的 に
も無 理 の な い よい 近 似 を与 え る.こ 記 憶,ま
た い わ ゆ る,曲
線,曲
の こ とは,実
験 デ ー タ の 近 似,曲
線 や 曲面 の
面 の 設 計 な ど 多 くの 実 用 的 問 題 に 利 用 さ れ て い
る. 一 方,こ
れ は,数
値 微 分 や 数 値 積 分 に も 有 用 で あ る.と
くに,数
値積 分 は ス プ
ラ イ ン 関 数 を 当 て は め る こ と と 本 質 的 に 関 連 し て い る こ と は 本 文 に 示 す と お りで あ る.ま
た,数
値 微 分 が 精 度 よ くで き る こ と も広 い 応 用 が あ る.さ
程 式 の 数 値 解 に も有 用 で あ る.こ
れ に 関 連 し て,有
ら に,微
分方
限要 素 法 で普 通 に使 わ れ る近
似 解 は,あ
る 滑 らか さ を持 っ た 区 分 的 多 項 式 と い う意 味 で,ス
も の で あ る こ と に 注 意 し た い.こ の パ ー テ ィの お り,こ
の こ とに つ い て,Schoenberg教
れ は ち ょ っ と我 田 引 水 と思 うが,せ
い う名 前 が あ る の に,有
プ ラ イ ン関 数 そ の. 授 も,お
っ か く,ス
宅で
プ ライ ン と
限 要 素 な ど と別 な 言 葉 を 使 う の は 無 駄 とい う も の だ と冗
談 ま じ りに 述 べ て お られ,た.以
上 の よ うな有 用 性 の た め数 値解 析法 全 般 を ス プ ラ
イ ン関 数 を用 い て 書 き改 め るべ き だ との 議 論 さ え あ る.
と こ ろ で,ス
プ ライ ン 関 数 を近 似 解 に 使 う こ と は,数
点 で 合 理 的 で あ る.例
え ば,差
分 法 に よ る 解 で は,格
学 的 に 見 て もい ろい ろ な
子 点 の 中 間で の値 は原則 と
し て 無 い が,ス
プ ラ イ ン で の場 合 は そ れ が 自動 的 に 与 え られ て い る こ とは 自然 で
あ る.ま
分 方 程 式 の 解 に 要 求 され る 滑 らか さ は 数 学 的 に は そ の 式 に 含 まれ
た,微
る 微 分 の 程 度 で あ るべ き だ が,古 数 な ど,い
典 的 な 近 似 解 で は しば しば 多 項 式 や 有 限 三 角 級
わ ば 完 全 に 滑 ら か な 関 数 が 用 い られ て い る.こ
れ に 対 し て,ス
プ ライ
ン に よ る近 似 解 は 要 求 され る 滑 ら か さ で 求 め る こ とが で き る. さ ら に,こ い る.こ
れ に 関連 して ス プ ライ ン関数 自体 が数学 的 に興 味 あ る性質 を示 して
れ は,こ
の 関 数 が 関 数 空 間 で の 取 扱 い に 適 して い る こ と も あ っ て,そ
の
方 面 の 研 究 が 大 い に 行 な わ れ て い る. ス プ ラ イ ン 関 数 の 発 見 は 上 述 の よ うに1946年
の こ とで あ る が,そ
認 識 され 始 め た の は1960年
れ 以 来,そ
代 の こ と で あ る,そ
用 に つ い て の 研 究 が 盛 ん に な り,そ
が 国 に お い て も と くに 最 近 で は 情 報
の 応 用 が 各 方 面 か ら注 目 され て い る.
本 書 の 原 本 で あ る 「Spline Functions and ApPlications」 学 数 学 研 究 所,T. N. E. Greville教
授 に よ っ て,研
会 の テ キ ス トと し て 書 か れ た も の で あ る.私 い た だ い た の で あ る が,そ い た.そ
の 際,こ
の 後,当
時,東
は, Wisconsin大
究 所 で の1970年
は それ をGreville教
の専 門 講 習 授 よ り親 し く
京 電 機 大 学 大 学 院 で テ キ ス ト と して 用
れ が 非 常 に よ く書 か れ て い る こ と に 一 同 深 い 感 銘 を 受 け ,輪
に も 熱 が 入 っ た.実 が,そ
の基礎 理 論 お よび応
の 成 果 と と も に 数 多 くの 成 書 も出 版 され て い
る こ とは 巻 末 の 文 献 に 見 る と お りで あ る.わ 処 理 技 術 の 発 展 と相 ま っ て,そ
の 重要 性 が
際,そ
れ は 平 易 で あ る が 厳 密 性 は 失 わ ず ,応
の 有 用 性 は 十 分 に 強 調 され,そ
講
用 に は偏 しない
の よ く準 備 され た 問 題 と と も に 単 に ス プ ラ
イ ン入 門 書 と して だ け で な く,応 用 数 学 特 殊 題 目 と し て も 面 白 い も の で あ る .こ の た め,こ
の うわ さが 広 が り,そ
れ 申 し込 み が 引 き続 き,原
の 研 究 室 な ど か ら も テ キ ス トの 借 入
本 ほや が てぼ ろぼ ろ に な った ほ どで あ った.
そ の と き の 感 銘 が 忘 れ られ ず,当 間 で,こ
の 後 も,他
時 の 大 学 院 生 の 有 志(石
井,吉
村,高
の 原 本 を 元 に し て 出 版 し た ら と い う こ と に な り,Greville教
是 非 を お うか が い し た と こ ろ 好 意 的 な お 返 事 を い た だ い た.た
山)の
授 に もその
だ し,教 授 が こ の
デ キ ス トを 書 く に 当 た っ て 米 国 政 府 研 究 費(No.DA-31-124-ARO-D-462)の 助 に よ っ た こ と だ け は 書 い て お い て くれ とい う の で,そ
援
れ を こ こに記 す次 第 で あ
る. 原 本 は こ の よ うに よ く書 け て い る が,実
際 の 応 用 例 が ほ とん ど な い こ と,お
び 書 か れ た あ との 十 年 間 の 進 歩 に 対 す る 空 白 が あ る わ け で あ る.こ で,第
6章 を 設 け て,二,三
の 応 用 例 に つ い て 述 べ,ま
新 しい 文 献 を つ け 加 え る ほ か,注
れ を 補 う意 味
た最 近 の進 歩 に つい ては
な ど に よ り補 う こ と に し た.た
だ し,近 年 の 理
論 的 発 展 は 本 書 の よ う な 入 門 の 程 度 を越 え た 高 度 の も の が 多 く,そ は も ち ろ ん 入 れ て な い.ま
よ
た 原 本 の 練 習 問 題 に は 解 答 は な い の で,便
の よ う な もの 宜 のた め略
解 を つ け た. な お 翻 訳 に 当 た っ て は 必 ず し も原 本 に 忠 実 で な く,ま
た理 解 を助 け る た め に 注
を つ け た 場 所 も多 い. 最 後 に,本
書 の 出 版 に 当 た っ て,こ
学 出 版 局 一 同 に,心
1981年
れ を心 よ くお 引 受 け い た だ い た 東 京 電 機 大
か らの 感 謝 の 意 を表 す る も の で あ り ま す.
6 月
桜
井
明
原 本 まえが き
ス プ ラ イ ン関 数 は 科 学 や 工 学 で 広 く応 用 さ れ て い る.そ 自 身 は 簡 単 な関 数 だ が,他 性 質 に よ っ て い る.す と な っ て い る)の
プ ライ ン 関 数
の 複 雑 な 関 数 を た くみ に 近 似 す る こ と が で き る とい う
な わ ち,ス
プ ライ ン関 数 は 区 分 的 多 項 式(区
間毎 に多項 式
一 種 で あ り,「 最 良 近 似 問 題 」 の 解 の 多 くが ス プ ラ イ ン 関 数 で
表 わ され る か ら で あ る.一
般 に,関
変 だ と い う こ と も あ る し,そ 例 え ば,そ
れ は,ス
数 が 複雑 で あれば それ を直 接 計 算 す るの は大
も そ も数 式 で 表 わ さ れ て い な い とい う場 合 も あ る.
れ が 実 験 値 で しか 与 え られ て い な い 場 合 な どで あ る.
こ の よ う な場 合,ス
プ ライ ン関 数 は普 通使 れ てい る多項 式近 似 よ りもは るか に
適 して い る.ま
れ は 補 間 や 微 分 方 程 式 の 数 値 解,あ
た,そ
るい は定 積分 の数 値 計
算 な どに も適 し て い る. こ の 講 義 の 内 容 に つ い て 第 1章 で は,ス い 方 に つ い て 一 般 的 注 意 を与 え,さ
プ ラ イ ン 関 数 の 定 義,性
ら に,そ
質,お
よび使
れ ら を簡 単 な 例 で 説 明 し て い る.ま
た,任
意 の ス プ ラ イ ン関 数 を簡 単 な 代 数 式 で 表 わ す こ と に つ い て も 取 り扱 っ て い
る.第
2章 で は,自
然 ス プ ライ ン(natural
spline)と
い うス プ ラ イ ン 関 数 の 重
要 な 属 を定 義 し,関 数 が そ の 自然 ス プ ラ イ ン で 一 義 的 に 補 間 さ れ る とい う定 理 を 証 明 す る.さ で,最
らに,自
然 ス プ ラ イ ン に よ る補 間 は 最 も滑 らか で あ る と い う意 味
小 性 を 持 つ と い う定 理 を証 明 す る.第
も の で あ り,そ れ に は 残 差 に 関 す るPeanoの す るSardの わ ち,与
理 論 が 含 ま れ る,さ
形 汎 関 数 の近 似 に 関 す る
定 理 や 線形 汎 関 数 の最 良近 似 に 関
ら に,I. J. Schoenbergが
発 見 し た 性 質,す
え られ た 汎 関 数 に 対 す る 最 良 近 似 を 見 い だ す こ と は,対
ラ イ ンの 補 間 関 数 へ,こ れ る.第
3章 は,線
4章 で は,差
イ ン とい うの は,局
な
応 す る 自然 ス プ
の 汎 関 数 を 適 用 す る こ と と等 価 で あ る と い う性 質 も 含 ま
分 商 の 性 質 と B-ス プ ラ イ ン の 性 質 を 展 開 す る.B-ス 所 的 な 台(limited
support;第
4章 図4・5参
照)を
プラ 持つス
プ ラ イ ン 関 数 で,ス
プ ラ イ ン 関 数 属 の 基 底 を形 成 し,実 際 の 計 算 に お い て 重 要 な
役割 を演 ず る も の で あ る.第
5章 で は,自
然 ス プ ラ イ ン で 補 間 を行 な うた め の 数
値計 算 の ア ル ゴ リ ズ ム に 関 す る も の で あ る.ま の平 滑 化 の 方 法(smoothing
method)を
た,SchoenbergがWhittarker
応 用 し て 求 め た 自 然 ス プ ライ ン に よ る
平滑 化 法 を 考 察 して い る. 本 講 義 の 目的 は ス プ ラ イ ン 関 数 の 初 歩 的 な 性 質 と 応 用 に つ い て の 入 門 を わ か り や す く述 べ る こ と に あ る.従 で あ る.と
っ て,必
要 と す る 数 学 は 代 数 と微 積 分 の 初 歩 で 十 分
こ ろ で 本 書 は ス プ ラ イ ン関 数 の 初 歩 的 部 分 だ け に つ い て も す べ て 網 羅
し て い る とは 言 え な い が,各
章 の 終 わ りに つ け た 小 史 と 参 考 文 献 で 相 当 量 が 補 わ
糺 て い る は ず で あ る. 本 書 の 準 備 に 当 た っ て J.W. Jerome, B. Noble, J. B. Rosser, L. L. Schumaker 特 に,I.J, Schoenbergに
お 世 話 に な っ た.彼
らに は題 材 の選 択 につ い ての 議論
と構 成 に つ い て の 助 言 を い た だ い た こ と に 感 謝 す る. 本 書 が ス プ ラ イ ン関 数 に 興 味 あ る読 者 へ の 一 つ の 刺 激 と な れ ば 幸 い で あ る.
T.T. E. Greville
次
目
第 1章 ス プライ ン関数 の定 義 とそ の基 本 的 性質 1
ス プ ライ ン関 数 とは
1・2
ス プ ライ ン関 数 に よる曲 線 当 ては め
1
1・3
近 似 関 数 と し て の ス プ ラ イ ン関 数 の 利 点
2
1・4
ス プ ラ イ ン関 数 の 簡 単 な 例
4
1・5
ス プ ラ イ ン関 数 の 数 学 的 定 義
7
1・6
切断 べ き関数
1・7
ス プ ラ イ ン関 数 の 切 断 べ き 関 数 に よ る表 示
1・8
第 1章 に 関 す る 小 史
12
演 習問 題 1
13
8
1・1
第 2章
9
“最 も滑 らかな ”補 間 の問題
2・1
多 項 式 に よ る補 間 ―Lagrangeの
2・2
“最 も 滑 らか な ” 補 間 関 数
公式
プ ライ ン
14 16 18
2・3
自 然 ス プ ラ イ ン と C-ス
2・4
ス プ ラ イ ン の 微 分 と積 分
20
2・5
自然 ス プ ラ イ ン と C-ス プ ラ イ ン の 性 質
21
2・6
自然 ス プライ ンの最 小 補 間性
24
2・7
第 2章 に 関 す る小 史
28
演 習 問題 2
30
第 3章 線形汎関数の近似 3・1
線 形 汎 関 数
31
3・2
Peanoの
32
3・3
汎 関 数 の 最 良 近 似 に 関 す る Sard の 理 論
34
3・4
自然 ス プ ラ イ ン に よ る 線 形 汎 関 数 の 近 似
35
定 理
3・5
Schoenbergの
定 理
3・6
例
3・7
自然 ス プ ラ イ ン に 対 し て 厳 密 な 近 似
44
3・8
第 3章 に 関 す る 小 史
45
演習 問 題
46
題
3
38 41
第 4章 差 分 商 と B-ス プ ライ ン 4・1
補 間 自 然 ス プ ラ イ ン の 計 算
47
4・2
差
49
分
商
4・3 高階 差 分 商 の 関数 値 に よる表 現
51
4・4
Newtonの
52
4・5
多 項 式 の 差 分 商
55
4・6
B-ス プ ラ イ ン と差 分 商 との 関 係
55
4・7
B-ス
プ ラ イ ン の 性 質
61
4・8
第 4章 に 関 す る小 史
66
演習 問 題
67
第 5章
差 分 商 補 間 公 式
4
自然 ス プ ライ ン の計 算 法 と平 滑 化 ス プライ ン
5・1
N-ス プ ラ イ ン で 表 現 され る 自然 ス プ ラ イ ン
68
5・2
連 立 一 次 方 程 式 の 元 の 縮 小
71
5・3
ス プ ラ イ ン 係 数 の 計 算
73
5・4
例
題
74
5・5
計 算 につ い て の一 般的 な注 意
77
5・6
他 の 方 法 に よ る “最 も滑 らか な ” 補 間 ス プ ラ イ ンの 導 出
79
5・7
デ ー タ 点 を 平 滑 化 す る 自然 ス プ ラ イ ン
80
5・8
平 滑化 自然 ス プライ ンの計 算 概要
84
5・9
ス プライ ン関数 の そ の 他の 応 用
86
5・10 第 5章 に 関 す る 小 史
86
演 習 問題 5
86
第 6章 ス プ ライ ン関数 の種 々の応 用 6・1
B-ス
6・2
拡 張 ス プライ ン
6・3
プ ライ ン を 用 い た 補 間
2次 元 の 補 間 ス プ ライ ン
6・4 微分 方程 式 へ の応 用 の応 用
88 97 103 109 118
6・5
CAD/CAMへ
6・6
医 用工 学 へ の応 用
137
6・7
社 会現 象 へ の応 用
142
録
146
文
献
150
演習問題の解答
154
索
172
引
付
第 1章 ス プ ラ イ ン関 数 の 定 義 とそ の基 本 的 性 質
1・1
スプ ラ イ ン関数 とは
ス プ ラ イ ン 関 数(spline function)の 一 口で 言 え ば ,n nomial
function)で
数 学 的 に 厳 密 な 定 義 は あ とで 述 べ る が,
次 の ス プ ラ イ ン関 数 とは 区 分 的 多 項 式 関 数(piecewise あ る.す
な わ ち,そ
n次 の 違 った 多 項 式 曲 線 で 定 義 され,し
れ は 小 区 間 内 で は,そ
れ ぞ れ,た
polyかだか
か も そ れ ら は 互 い に で き る だ け 滑 らか に
つ な が っ て い る よ うな も の で あ る.こ
の 場 合,そ
の 関数 が 特 別 な場 合 に単 一 の 多
項 式 に な る こ とは 差 し支 え な い が,全
区間 で単 一 の 多項 式 に な る必 要 は ない とい
うこ とが 重 要 で あ る. 「ス プ ライ ン」 と い う言 葉 は,製 を 意 味 して い る.こ
図 の と き滑 らか な 曲 線 を描 く道 具(自
の 道 具 は 図1・1の
図1・1
よ うな もの で,与
え られ た デ ー タ点 の 近 く
自在定 規 とお も り
を 通 る よ うに 自 由 に 曲 げ る こ とが で き,し りが つ い て い る.自
在 定 規)
か も 固 定 で き る よ うに い くつ か の お も
在 定 規 に よ っ て 描 か れ た 曲 線 は,近
似 的 に は 3次 の ス プ ラ イ
ン 関 数 の 表 わ す 曲 線 で あ る こ とが わ か っ て い る[1]*.
1・2
スプ ラ イ ン関数 によ る 曲線 当 ては め
前 節 で 見 た よ うに ス プ ラ イ ン関 数 で 曲 線 を 当 て は め る こ と(curve-fitting)は, *[]内
の数 は 巻 末 の文 献 の番 号 を示 す.
雲 形 定 規 や 自在 定 規 に よ っ て 曲 線 を 描 くか わ りに そ れ を 数 式 的 に 行 な っ て い る こ と に 当 た る.こ
の よ うに 数 式 的 方 法 を 用 い る と 以 下 の よ うな 利 点 が あ る.
雲 形 定 規 や 自在 定 規 で 製 図 す る 場 合 に 得 られ る 曲 線 は,人 が 生 ず る.こ
れ に 対 し,数 式 を 用 い て 行 な う場 合 に は,そ
異 な っ て い て も 結 果 は 同 じ は ず で,い
に よっ て多 少 の違 い
れ を計 算 す る計 算 機 が
っ た ん パ ラ メ ー タが 決 ま れ ば,同
じデ ー タ
に 対 して は い つ で も同 じ程 度 に 当 て は ま る ス プ ラ イ ン 関 数 が 得 ら れる.も ん,ま
る め に よ る 小 さ い 誤 差 は 除 外 して の 話 で あ る.こ
「標 準 化 され た 」 手 続 き で あ り,使
ちろ
の よ うに 数 式 的 方 法 は,
用 す る 側 の 個 々 の 判 断 が 違 っ て も,そ
れによ
っ て 影 響 を 受 け る こ とは な い. こ の 最 後 の こ とは あ ま り強 調 しす ぎ る と よ くな い.そ
れ は,ス
次 数 や そ の パ ラ メ ー タ を 決 め る た め に 必 要 な 解 析 的 条 件 が,使 の 場 合 の 判 断 は,雲
プ ライ ン 関 数 の う側 の 判 断 で 変 わ
る か ら で あ る.し
か し,こ
断 と は 違 っ て,何
に 基 づ い て い る か が 客 観 的 に は っ き り して い る.従
方 法 で 得 られ た 曲 線 に つ い て,利
形 定 規 や 自在 定 規 を 使 う場 合 の 判 っ て,こ
の
用 で き る か ど うか の 吟 味 が 客 観 的 に で き る こ と
に な る. 数 式 的 方 法 に よ る 場 合 は,も る か も知 れ な い.し い.し
か も,必
か し,そ
要 な の は そ こ で 得 られ た パ ラ メ ー タ だ け で,そ
リ ー や 磁 気 テ ー プ,カ き る.ま
ち ろ ん 計 算 が 必 要 で あ り,そ れ は 大 量 の 計 算 に な
れ は プ ロ グ ラ ム 化 され て い れ ば そ れ ほ ど重 大 で は な
た そ の 場 合,得
ー ドな ど に 保 存 し て お け ば,関
れ を計 算 機 の メ モ
数 の値 自身 は 容 易に 計算 で
られ る 関 数 値 に は 非 常 に 小 さい 誤 差 しか 含 ま れ ず,グ
フ上 の 曲 線 を 目 で 読 ん だ 値 よ り は る か に 正 確 で あ る.さ
ら に,そ
ラ
の 曲線 が実 際 に
どん な 形 か を 調 べ る に は,計 算 機 と 連 結 した 自 動 プ ロ ッ タや グ ラ フ ィ ック デ ィ ス プ レ イ な どが 役 立 つ だ ろ う.
1・3
近 似 関数 と して の スプ ラ イ ン関数 の利 点
多 項 式 は非 常 に簡 単 な 関数 で あ って,そ の性 質 も良 く知 られ て お り,取 り扱 い も容 易 な の で,他 の関 数 を記 述 す る のに 最 も広 く用 い られ て い る.ス プ ライ ン関 数 は 区分 的 多 項 式 で あ り,そ の 扱 い は多 項 式 と同 様 に簡 単 で ある.現 在 ま での経
験 か ら,与 数)を
え ら れ た 関 数(あ
る い は,与
え ら れ た デ ー タ点 の 集 合 の み か ら な る 関
ス プ ラ イ ン関 数 で 近 似 した も の と,そ
で 近 似 した も の と を,パ
れ を全 区 間 にわ た って一 つ の 多項 式
ラ メ ー タ の 数 が ほ ぼ 等 しい 場 合 に つ い て 比 較 す る と,ス
プ ラ イ ン 関 数 の ほ うが,近
似 の 程 度 が 同 じ な ら よ り滑 ら か で あ り,滑
度 が 同 じな ら よ り近 い 近 似 と な る こ と が わ か る.も っ て,後
で 当 て は め た 曲 線 の 滑 らか さ,お
定 義 す る.さ
らに,経
験 に よ っ て,ス
ち ろ ん,こ
らか さ の 程
れ は大 体 の 話 で あ
よびそ のデ ー タに対 す る近 さを厳 密 に
プ ラ イ ン関 数 は 元 の 関 数 の 低 階 微 分 に 対 し
て も,多 項 式 の 場 合 よ り よい 近 似 を 与 え る こ と も わ か っ て く る. 以 上 の よ うな ス プ ラ イ ン関 数 の 種 々 の 優 れ た 性 質 は,単 経 験 に 基 づ い て だ け 主 張 され る わ け で は な い.こ て お り,実 際,本
に 数 値 的 な計 算 に よ る
の 関 数 は 驚 くべ き 最 適 性 を 持 っ
書 の 第 3章 で 詳 し く説 明 す る よ うに,あ
る 意 味 で 「最 良 」 の 近
似 関 数 で あ る こ とが 示 さ れ る. ま ず,こ
こ で は 簡 単 な 問 題 の 説 明 か ら始 め る こ と に し て,次
う.(x1,y1),(x2, こ こ で,横 とす る.そ
y2),…,(xn,
yn)を,与
座 標x1,x2,…, xnは
のこ と を 考 え よ
え ら れ た デ ー タ 点 とす る.
開 区 間(a, b)に 含 ま れ, a<x1<x2nの
場 合,f(x)が
“最 も滑 ら か な ”補 間 関 数 で あ る の は,
f(x)=L(x)+P(x)pk-n-1(x) の 形 を し て い る 場 合 に 限 る.こ 1)で
与 え ら れ,pk-n-1(x)は
〔証 明 〕
P(x)とL(x)は
ら σ=0と
逆 に,σ=0な か だ かk-1次
こ で,L(x)は
式(2・3)で,ま
の 多 項 式 で あ り,f(k)(x)=0と
な り,f(x)は
式(2・
の 多 項 式 で あ る か ら, な る.従
っ て,式(2・
“最 も 滑 らか な” 補 間 関 数 で あ る.
ら ばf(k)(x)は
ほ と ん ど い た る と こ ろ 0 で あ る の で,f(x)は
の 多 項 式 で あ る.f(x),
L(x)の
x2,…, xnで
(x)-L(x)は(x-xi)(i=1,2,…, 項 式 で あ り,f(x)-L(x)は
たP(x)は
の 任 意 の 多 項 式 で あ る.
そ れ ぞ れ n次 お よ びn-1次
す る の で,f(x)-L(x)はx=x1,
をP(x)で
(2・7)
た か だ かk-n-1次
式(2・7)のf(x)はk-1次 6)か
明 終 り)
n)の
割 っ た 商 は た か だ かk-n-1次
ど ち ら も n 個 の デ ー タ点 を 補 間 0 と な る 多 項 式 で あ る.従
因 数 を 持 つ.と
た か だ かk-1次
た
こ ろ で, P(x)は
っ て, f n次 の 多
の 多 項 式 で あ る の で, f(x)-L(x) の 多 項 式 で あ る.こ
れ をpk-n-1(x)と
す る と,
f(x)=L(x)+P(x)pk-n-1(x) と な り,式(2・7)が
得 ら れ た.
上 の 場 合 の 例 と し て,四
つ の デ ー タ 点(-3,-100),(0,2),(1,-8),(3,-22)
を 補 間 す る こ と を 考 え よ う.式(2・3)を る.
(証 明 終 り)
用 い る と,L(x)は
次 の よ うに 表 わ さ れ
つ ま り,こ の 四 つ の デ ー タ 点 は,〔 定 理2・2〕 で 与 え られ るL(x)の っ て 一 義 的 に 補 間 され て い る.さ 理2・3〕 か ら,次
3次 式 に よ
ら に,3 次 よ り高 次 の 多 項 式 に よ る 補 間 は,〔 定
の 形 を し た 多 項 式 で あ る こ とが わ か る.
f(x)=2x3-7x2-5x+2+(x+3)x(x-1)(x-2)p(x) こ こでp(x)は,た と こ ろ で,与
か だ かk-5次
の 多 項 式 で あ る.
え られ た n個 の デ ー タ点 を 一 義 的 に 補 間 す る 多 項 式 を 実 際 に 数 値
的 に 得 る た め に は,こ のLagrange公
式 よ り簡 単 な 方 法 が い くつ か あ る こ と を 注
意 した い(そ の 一 つ を4・4節
で 述 べ る).す
項 式(お
間 の 諸 性 質 の 証 明 に あ る の で あ っ て,そ
よ び ス プ ラ イ ン)補
な わ ちLagrangeの
際 の 計 算 に 適 して い る と い うわ け で は な い.そ こ と が あ る の は,計 る.ち
な み に,上
公式 の価 値 は多 の公 式 が実
れ で も そ れ が 計 算 機 で用 い ら れ る
算 手 続 が 多 い に も か か わ らず プ ロ グ ラ ム化 が 簡 単 だ か ら で あ
の 4点 デ ー タ を 用 い た 説 明 の 中 の 計 算 は,公
の た め の もの で あ っ て,実
式 の妥 当性 の説 明
際 の 計 算 の た め の プ ロ セ ス を 示 す も の で は な い.
い ま ま で は デ ー タ 点 列 に 対 す る “最 も滑 ら か な ” 補 間 関 数 を見 つ け る 問 題 で, k≧nの
場 合 を 考 え て きた.と
こ ろ で,k>nの
項 式 を選 ぶ こ と は な い の で 意 味 が な い.な
場 合 は,普
通 必要 以 上に高 次 の多
ぜ な ら,実 際 問 題 で は 十 分 多 数 の デ ー
タ 点 が あ り,補 聞 関 数 と して は む しろ よ り低 次 の 多 項 式 で,あ を 持 つ も の が 望 ま しい か ら で あ る.次
節 で は,k