概率论



 

             “   ”  !#"$ % & ')( * @AB!,C+D-E.F/G! HI0F1J2 3124 !,5678*9 :;? E Y Z O [     \ < @ !) "K $] L!)M^ !,_ N O` PT Qa !, Rb Sc TdUe 9,[ Vf Wg P X h i j k ! lnmpopqp\p [ } f g  h i j k ! |U‹÷ U Ô Œ g hi Í u PXÍ  ªÆ! “f
g 
 q -   ‘ c9 ‘
’c! Œ
g *
x “u” +-p ¡! ˜
˜Ë:¶‘!
§ +™ -./*  ‘ Æ ¬@ :]‘c!§•
q _ œ< q  KB
C
` bžuc \ˆ  uW –
—!
“ qpfg B Ÿ x
]¤c! qš
 › > 4yz d ÷
  °
Ÿp c!  
q
c! ¡
q 

   ^ ý . n £! z WÅæ!,‰ :9€
W ¥
¦ "K $9 £! ¢
“ *

ppFpEu§ £! ¨©b ;lnpppppp p  l “”pý p ?lªAŽn  `
 «
… ¬ 9cB
’ µu
ë ¶u­ ·8uu U
¸
®¹ ’! uZ …ºz uu ^
»
¯
¼ °
Z ±
² ƒ p
 pw
³ u ! ¾

G ¿ ´® v  q t 9 †
…  ! Å …z! ‡ˆ[ [ < Ý
À
Áƒ„ 9 !HcuÜ Â )
Š½ : _
Ã
Ä 
 ÅuÆ [ Ae Ç 
I È   ¦
 \
< É
F 9 ; ’ Q ‹
g ÊWRR
 Ëj 9 Ì

Í

= 6 Î 30 e x K 2003

vii

ÏÑÐÑÒ

ÓÑÔÑÕÑÖ

×ÙØÙÚÙÛÙÜÙ×ÙØÙÝÙÞ : ‘QPSRUT + - ž Ÿ   /UV ?      !)+ - ž Ÿ ;XWZYU[ u    Ž
\  D
] B; 9£ß
à ‘
á
â
ã ! € € Užú
ä !,‰ € €Už
1
ä
å£ß
à ‘
á æ ¸ ! € €Už 1, 2, · · · , 6 ç
å 110 è
é
ê ‘
ë Kd
B 7 ` ¥
 ~?€Å
@ 8
Æ
Š
o
ª
> «
¬
­
*z
9
F
0
¬
­
Ç
0
¨
²
¥ÉÈ
/
0
I
J J~Ê~Ë~Ì~
u
? 3~ÐÅ~8
Ñ~W
Ò ¬~­~®~±~²~Ó~Ó~Ô~I~Ó~Õ~±~²
*ÐÆ~0
_~ÐÓ~Õ
±~²
Æ~0
J~Ê
Í
 ^
â o
x
y
ƒ
…
 †
‡
l :
ß
¹
º

±
² :
@ à
} 6 X
;
Í

^
o
x
y
O h á Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; †
‡
:
ß
¹
º

±
² T^
3
ã Ω ä
å { H
Tl  }, ^ > > 3
A
Q

[
Ù 1 Ý
Þ
O H
Ž
TÙ 0 Ý
Þ
O 
Ž
Tã Ω ä
I {0, 1}; 4
5 110 G—G˜ 1 ™Lš+›GœGGG—GGAGæGKç+èGqGaGéGèG•GOGGAGGeGêGëGTuG3GÆGã Ω §1.1

1

ì íî ï
ð
ñ
ò  ó I
u
}
ž
ŸG–
A

Ú
Û
) l 4
5G©

ô
õ
æGT^G3
ã Ω ó I
u
}
H
A

Ú
Û
) l 4
5
 




C
D
æ
+^
3
ã Ω ó I
u
}
¨
A

Ú
Û
)+-
-
*+ö
k
 Ω ÷
ø ù
ú
û
ü
ý
þ
ÿ







 * Ì
`

§
 l ±
²
x
y

}
}

GŒ
æGTÅ
8GÑ Ω Æ ó I
u
@ }
W

^
o
x
y 
Ú
Û
*ƒ
…
@ Å
8


³
´ 5 
@ S
U
Š

­


³
´
0
»
 È
…
y
Å
8 3 1 Ý
Þ
 È
T3 n 0 Ý
Þ

 È

 Ω Æ
0
 o Ω = (a , · · · , a ) | a = 0 ® 1, j = 1, 2, 3, 4, 5 . @ ¥ :
à
} 32 Œ



:
Œ


/
0
:
Œç 0 ® 1 
å
 5 
}

A

* :

[
 Å
8
Ù

ä


! ‘ ω ®
"
#
}
$



ä


! ‘ ω Ý
Þ Ω @  

*Tƒ
…
%
è
:
Œ

} n Œ


 Ω, Å
8
^
3
ã
¥
&
' Ω = {ω | i = 1, 2, · · · , n} . G > ? %Gl èG :GG±G²G/GŠGoGO > Ωl @ G:GŒGxG@ y ω, uG3(GŒGx@ y ω :

±
² > 0
»
O 0
[! ø T ‚ÁÂÃ
ÄÅ «#
$ ¯
% O¯Æ
Ç ¢ùú T'È ¬ «ùø S š
š
›
 œ O
É )
  T &
(ô
Ê Œ «
 ™ ¬
 úOé

x
‘ Ë ¼ 1.2 1. ÌÎÍÎÏÎÐÎÑÎÒÔÓÎÕ×Ö “ØÎÙÎÚÎÛÎÜÎÝÎÞÎß×à 3” ÚÎáÎâÎã 2. ä 5 åÎæÎçÎèÎéÎÚÎêÎÑÎë×ì×í 4 îÎÒÔÓÎïÎðÎëÎñÎòÎó 2 îÎôÎõÎöÎåÎÚÎáÎâÎã 3. ÷ÎëÎó 9 øÎùÎÒ 4 ø ú'ùÎÒ 5 øÎûÎùÎÒüÙÎäÎëÎæÎý þ'
ÿ ×íÎÍ×øÎã ×Ó  (1) ÍÎø  ú ùÎÚÎáÎâ  (2) ÎùÎö ú'öÎûÎÚÎá×
â  (3) ñÎòÎóÎöÎøÎûÎùÎÚÎá×â×ã 4.  ÎèÎ í×ö×ø  Îè×é×Ò
Ó 
×ø×
Ü ×æ×çÎÚ×á×â×ã (ÎøÎÜÎëÎÚ  öÎø Îßé ÎÎëÎÿ×ì× í  0, 1, 2, · · · , 9) j=0

j

0

1

j=0

n−1

k

n+k 2 k

k

k

1 2n

n+k 2

n

n+k 2

n

8

û ü,ý þÿ

 + 5. öÎó 6 !ÎÒ"ÎÓ#
$
%×Õ×Ö×Ú×á×â
 (1) 6 ø& '(
)
*
+
 (2) 6 ø& 'Îæ )
*+
 (3) 6 ø& ''æ )*
×+ ã 6. ÷ ,'ýÎóÎÍÎÏ-.ÎÚÎÒ0/×Ï
.×ÚÎÞ
-×ÏÎö
× . Ú1
×2 Ò0ì×í
Î3 ë 5 ÏÎÒ0ÓÎ4 Ü567Î8 ö 9

Îø Ü;ÎëÎæÎõ×öÎø 4 ?@ÎÜÎÚÎáÎâÎã 8. 1,2,3,4,5 -ÎøÎÜÎëAÎ ì B
×íÎö×ø×ÒDC

E
$×Ú
×ø×ë
F
×í×öÎø×ÒD
G
H

I 20 øJÎóKÎçÎÚÎáÎâÎãLÎÓ#$
%ÎÕÎÖ×ÚÎáÎâ
 ó×öÎø
MÎÜ (1) NÎöOPQ (2) N OPQ (3) Í OPQÎã 9. RÎöÎÏSÎÚ12Î" Ò T
Q×ï U
V×Ø×ÙÎ
Í O
K×çÎ
Ú W
X

YÎ"Ò 
Z
[\
]
^
_`×"Ò a×Ó $
b ÕÎÖÎÚÎáÎâ  (1) c RNdOÎÝ e
W
f (2) ghR@ÎÜ Oi
Wf×ã 10. Îöjklm (52 nÎÒ  æ opqrs
m ) ëÎìÎí 4 nÎÒ Ó  (1) nmtuÎæ K×çÎÚ×á â  (2) nmtuÎæ KÎç×Ú×á×âÎã 11. vwxyÎó 12  ø ?z>ÎõÎö bÎ"Ò ×
Ó  ó 8 ø ?zw{xÎ"Ò |_
}×Ú 4 ø ?zU Îö ~ ÚÎáÎâÎã 12. 
`
€×ó 10
ƒ
}×ä 1 Q 10 è×
Ú „
…
†×ÒÔÙ×
ß 
×ÿ×
ì ‡ 3 ø×æ×ç×
Ú &×Ò ˆ‰ 3„…†Îø ÚÎ&×è×"Ò éÎ.
D㠁
ׂ

Ó  (1) ŠrÎèÎé  5 ÚÎáÎâ  (2) ŠqÎèÎé  5 ÚÎáÎâÎã 7.

13. 14.

ä

ÚÎáÎâÎã

0, 1, 2, · · · , 9

:

10

˜ ‹™ŒŒ€š ›3 œŽ 
‘"‘ ž 7 ™ Ž
’Ÿ 
‘ ¡
15¢
Ž£
“¤¥
”–— •Œ€ 10 Ž ‘ 6 Ž’‘ 9 Ž“— ¦§¨ n Ž ‘ n Ž“‘ n Ž’£Œš‘©ª «¬
­œ m Ž—ž®š ‘ ˜“‘"n’±
©
¯¢
£
° ²
m³
š
, m­
œ, m2r(m(2r+<mn) +Ž
m‘"ž
=´
m)µ
¶
Ž·
£¸
¤¹
¥£
— ¤
¥
º (1) »

¼
±
£
² ³” (2) Ž±²³” (3) ½ ™ ±²³˜ ” (4)  r ±²³— ¾¿À£ÁÂÃÄ
Å
´
º–Æ
Ç
¿
À
ÈÉ 1 Ê 33 š©Ë̬­‡ 7 §Í‘–ÎÏÐÑ Ó 7 §
Ô
ßÕ
à Ö
×

§
Ø

Ö (Ù
©
Ë
Ì ), ¿
À
Ö
ß
Ú
à Å
Û
Ü
Ô
Õ
Ö
Ý
Þ ßÏ
àÒ
¦ (©1á∼â33ã ),š
Î
 °   æ äÏ” ßà 5 §ÔÕäÖÏ×” ؁Ö6‘–§°
ÔçÕä
ÖÏ
×—–Øè
¯Ö

‘"É °
Aå
,ä
AÏ
, A” , A é6 §ê Ԛ՝֑–å‘"°‘ æ ‘"çäÏ£¶·—Dë
žì
í
£
¤
¥— 1

15. 16.

2

3

1

2

3

1

2

3

4

îðïðñðòðóðôðõ öø÷úùüûøýøþøÿ



 Ω 


 ÿ







 (

 )
    




 

!"
#
$%
 &



  '  

(
) (* 


 ). +
, ýøþ .-


/  
0
1
2
3
4
5

.6
7
-



 / 
8 0
1
2
3
9
:

4
5
; öø= ÷ 
?=@
=
A=B
C
D=FE
G Ω  §1.3






 /  
4
5
H
I 
J
K
L
M
; N A, B, A , A , · · · 
O 
!
"
# '  
P



  8 

=
 Ω Z
[ P ;RQ $ {A } ' É 


0



x

 c /
0 
 öø÷ 0
1
Þ
ß 
 
4
5 I
_
^
û L
Q
F¿
À ' R 1.3.1 N A, B, C 
O 
!
"
# ' 
S 



 FV 
   B ¥ C ª x

 F0
1 I
_ G ' (1) A AB C ~ x
A
− B − C I
~ _ A − (B ∪ C); ª
   (2) A ¥ B  C F0
1 G ' ABC ~ 


AB − C ~ I
_ AB − ABC; '

 




 (3) S Ä F0
1 G '

lim inf An n→∞ ∞ T ∞ S = An

n

k=1 n=k

c

c

c

AB C ∪ A BC ∪ A B C; '

 



ù
 


 F0
1
I _ G ' (4) S Ä c

c

c

c

c

c

æjçmè é
ê
ë
ì

12

ABC ∪ AB C ∪ A BC ~ (AB ∪ BC ∪ CA) − ABC; m ' ª

 
 
I _ ' (5) S F
0

1


G ABC;I
_ '

 


(6) S É
Ê F0
1 G ' ∪ (ABC ∪ AB C ∪ A BC) ∪ (AB C ∪ A BC ∪ A B C); [ A 0
∪ B1 ∪I
C_ G ~ ' (AABC B C ) . R 1.3.2 TU 110 VWX Y '[Z VW=Á\=;FÀ=% ö ÷ 1 A I=_ VW Á
\ x Ê › k Á




( B I
_ V
W
Á
\
Ä
]
G k Á



 ;F\
]   }
¡
¢ ' I
_ V
W
Á
\
Ê › k Á




( B I
_ V
W
Á
\ x  k Á


 A 
( B B = Φ, i 6= j; A ⊂ A , A = S B ; ·
· ; ^ Z

 /  
4
5

 Ω 


/  
4
5
 1 v 


4
5
_
V ý  
 
4
5
¹
º
À
c

4
5
_
V ' 
`
a ' A ∪ B = B ∪ A, AB = BA; b 
a ' (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (AB)C = A(BC); c
d a ' (A ∪ B) ∩ C = AC ∪ BC, (AB) ∪ C = (A ∪ C)(B ∪ C); ®
e
f
g (De Morgan h
i ): (A ∪ B) = A B , (AB) = A ∪ B . Ž wk œ k  4 5 W  kl  4 5km >  'on 2  œ  Zkpkq k j u  Ž  n p
q u
; öø÷
[ 0
1 ‰
Š
r
s L f
U µ 4
5
/   2
p m > ;d0
1 ‰
t
7 á De Morgan _
V
u
G ' ' :
ß
x / G ÿ
y ; ‚

±
v
Í
±
v


w

±
v
Í
±
v

‚ , 
-
J
K
s z
{ 1.3 1. | A × B } ~ §€ Ò¶·" ë
žƒ‚ƒ„ Å
´
äƒ
… ¼
† £
ƒ
‡ ¶· X: (1) AX = AB; (2) (A ∪ X) ∪ (A ∪ X) = B. 2. 눉 € Ò¶· A × B, ÅÛº (1) A ∪ B = A ; (2) AB = A . 3. žÓŠ ‹ £¶· X, ‚ (X ∪ A) ∪ (X ∪ A ) = B, ®š A, B °Œ 嶷 ß 4. Ž ­€ Ò¶
· A × B, Å´›‘’… ¡
“ 䃔 º A ⊂ B, A ⊃ B , A ∪ B = B, A ∩ B = A, A − B = Φ. 5. | A × B } ~ §€ Ò¶·" 냕ƒ
– Å´
›
¶
·ƒ—
˜ £ƒ‘ƒ
’ º c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c c

k

k

c k

i

j

k+1

k

c k

∞

k

n

n=k

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c c

c

(1) (A ∪ B)(A ∪ B c ) ∪ (Ac ∪ B)(Ac ∪ B c );

(2) (A ∪ B)(Ac ∪ B c ) ∪ (A ∪ B c )(Ac ∪ B);

6.

7.

(3) (A ∪ B)(Ac ∪ B)(A ∪ B c )(Ac ∪ B c ).

¦š™š˜ [0,1] š ­ œ š› x, œ A = {0 ≤ x ≤ 띡¢£žŸ é
ê Å
´
›
¶
·º 띶·

(1) AB c ;

(2) A + B c ;

A 1 , · · · , A5

2 }, 3

(3) (AB)c ;

éê Å´›¶·º

B = { 41 < x ≤ 43 } (4) (Ac B c )c ;

×

C = { 31 ≤ x < 1},

(5) (A + B)(A + C)c .

§1.4

çD 
¡
¢
£¥¤

13

(1) B1 = {A1 , · · · , A5

(3) B3 = {A1 , · · · , A5

šÊ¦¸¹ 2 § }; š½¸¹ 2 § };

(2) B2 = {A1 , · · · , A5

(4) B4 = {A1 , · · · , A5

šÊ§¸¹ 2 § ¨ ©¸¹ }.

©ª«¬­®¯ƒ°±ƒ²ƒ³ƒ´ƒµ·¶ƒ¸ƒ¹ƒºƒ» 1000 ¼½¾¿·‹ 811 ÀÁÂÃÄÅÆǃÈÉ ÆƒÒӁ Ô 356 ÀƒÁƒÂƒÃƒÄƒÅ·ÆƒÇƒÊÌËÎ̓ƃ 348 ÀƒÁƒÂƒÈƒÉƒÆƒÇƒÊÌËÎ̓ƃσР297 ÀƒÁƒÂƒÑ ÆՍ·ŽƒÖ׃؃ك‹ƒÚ 9. Û A, B, C Ü€ÝÞßà·áⲃãƒäƒåæƒçƒ»ƒèƒéêƒëƒµ (1) ABC = A; (2) A ∪ B ∪ C = A; (3) AB ⊂ C; (4) A ⊂ (BC) . 10. ìÞßã {A } íîïðà·ñòóƒô n ∈ N , õ A ⊂ A , ö÷èéøùúûâ S 8.

c

n

∞

lim sup An =

n

n+1

An = lim inf An .

üýþÿ

» Bernoulli ö

·ÏÞß A 
 “Þß A ¶
 n ö




à·Þƒß B Ü “Þß A ¶¶
n ö
¿

 m 
 (1) öÏ A 
 B ;   (2)
ö 
Þß B = T S B ; S T T (3)  B = B . öºåæç A ⊆B  A ⊆ B 

ÿ 12. 
¿ 
õ 


ÇÌË ƒà ƒ
¿ "!"#" n $
à Ï A 
  i $¸
#
»

oË%» Þß (1 ≤ i ≤ n), ö÷ A 
 ±²äÞßµ (1) &õ n $

'
o% Ë 
( (2) )
*õ
× $o%Ë 
( (3) +õ×
$oË%
( (4) ,

- k $oË 
( (5) ,
*
- k $o%Ë 
( (6) +õ k $o%Ë 
( (7) &õ n $

.
/
 13. 0
1%2À
² 3à·Þƒß A 
 0%4à·Þß B 
 1%4
·±²äރß"5"6 ""7"8 ê
9ƒµ (1) A4B ; (2) A 4B; (3) A 4B ; (4) B \A; 5) A \B. 14. ì A, B, C ÜÞßà·ûâµ n→∞

n

n=1

11.

n

n,m

i

4,2

∞

m

n=m

k=0

m

∞

n,k

∞

m

n

m=1

∞

c

n=1

c n

n=1

i

i

c

c

c

c

c

c

(1) P (AB) + P (AC) + P (BC) ≥ P (A) + P (B) + P (C) − 1 ;

(2) P (AB) + P (AC) − P (BC) ≤ P (A).

ûâµ·±Õ A4B = C4D, : A4C = B4D. ûâµ·òóôÞß A, B, C, õ P (A4B) ≤ P (A4C) + P (C4B). 17. ûâµ P (A4B) = P (A) + P (B) − 2P (AB). 18. ûâµ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB). 15.

16.

; =?=@=A = BDCDEDFDGDHDEDIDJDKDLDMDNDODPQDRDSDTDUDVDWDXDYDZDEDFD[D\D]D^D_D` §1.4

a bDcDdDeDfDgDhDiDjDkDlDmDn D oDp ^DqDPrEDFDsDtvuwYDxDyD\D]DODzD{rWDyD| ” MD} ”, WDyD| ” D ~  ”. €  TD‚D‚DƒD„D…D_D†D‡DˆD}D‰DŠD‹vuw[DŒDxDyDODzD`DŽDWDyDDtD`  1.4.1 ‘D’w“D”–•D—D˜D™DšD›DœDDžDŸD  Px — W–GD¡–¢D£–G ž [ D  ¤ P YD¥D¦D§D¨D©D[D¢DG ¤ ‹«ª §1.4.1

};

¬ ­w® ¯D°D±D² v ³µ´ Y —µ¶ …µ£µŒµyµsµtµ|µ·D¸µ[D}µ‰DsµtD{%¹ •µ— u»ºD¼µx — ¢D£µWDGµP½ QD[Dx — ¢D£DWDGD¾ ³ `¿HD|DÀ  IDÁD{¿Y C = 6 § ¤ ‹D`¿ÂDÃDÄD|DÅDƒDÆDÇ«ª € DÈ |DÄDÉD¡DTD†DWD†DÊÌËͨDÎDŽD¼DPWDÏDÐDYDƒDQ 3 §D¢DG ¤ ‹D{ P ’ } {“ P ” }; (2) { ‘ P “ } { ’ P ” }; (3) { ‘ P ” } { ’ P “ }. (1) { ‘ ŒDyDÃDÄDÑvÒwPÓ}D‰DŠD‹DÔD¨DÕDÖDHDŒDyDsDtD`ÓY — ³D´ ¶ sD{ӌD|D£µ×DØDÇ«ªÓ} ‰DP
}D‰DP
¨DSD|DÖDTDÙDÚDMD}DˆD¢D‰DsDtD[DÛ«ª €  ÑD{ÜwÝD¨DÞDP
}D‰D|DÖDT ÙDÚ “MD} ” ˆ “¢D‰ ” sDtD[DPwÂD|DŒDßDàDÝDYDáDWDy ~D sDtD`DÜwÝDPwâDãD} ‰DŠD‹DMD¼D[D}väwPÓåDzDæDçD|DèDY ~D [DPÓÂD|DéDODêD¼D[µ|D{ÓâD}Dëµ}DæDçDì í âDá ~D PîDïvðwñ “òDó ”! ôDõDöD÷ PâDãD}D‰DŠD‹DE–I–øDP €  EDI–[–| þ Q ¼DxDy — ” [DúDYD¨D© ùDû F«üÓ`wýDƒ € Dþ ù ¼D[Dx — ID£DWD}DPwÿ
“ù [DxDy — ID £ DWD}D ` D
Ø wH “ù ¼ ‘ P ’ P Q “ P ” ” ˆ “ù ¼ “ P ” P Q ‘ P ’ ” |DxD§D¨D©D[ ù ¼ ¤ ‹DPÓ¹DÿDâDŒD§DEDI ¤Dû uwPÓ S D I D|µxD§D¨D© ‹ DPHD|DSD Á  DƒDQ 6 §DMD} ¤ ‹D{ [ “MD} ” ¤  WD}D£D{ { ‘ P ’ };  }D£D{ {“ P ” }; (1) WD}D£D{ {“ P ” };  }D£D{ { ‘ P ’ }; (2) WD}D£D{ { ‘ P “ };  }D£D{ { ’ P ” }; (3) WD}D£D{ { ’ P ” };  }D£D{ { ‘ P “ }; (4) WD}D£D{ { ‘ P ” };  }D£D{ { ’ P “ }; (5) WD}D£D{ { ’ P “ };  }D£D{ { ‘ P ” }. (6)   þ ú M–¼–[ } ò ó { ù ¼ [–x y — £ W Œ–S–|–Ñ–P▌–§–E–I u P €  }DP½DQD[Dx — £  }D[D`ŒD S  €  { P  eDfDiDjD “eDf ”  “D k DeDiDj ”,   " jD
h #%$ P &'()*+ eDk ,- " jD
h #wg ./0 ` g !Dk De ŒDSD|DÑDP €  éDOD N 1D…D_D}D‰DŠD‹D`Ó â 2DÖD}D‰DŠD‹DEµFDøD4P 35DøDø ö E 6 7D ˆ 7DMDâDWµyD}D[D¨µ© ¤ ‹DPÓ ÿ 8 ÷ {ÓâDEDID¼D[DMD} ¤ ‹DF«üwuwPÓ¨DÂD È 9 ÝD¡DE 6 :DyD}DæDçD[D¨D© òDóD¤ ‹D` 2DÖ ;DVD…D_DP €  ³ < ¤= ¡DÙDÚDƒDQDsDtD{  1.4.2 >? 6 y — MD£ 3 }D P @D} 2 — P M AD¹Dà 3 B ¨D © C D P DD M E ¤ ‹DFD` F {  ù ¼–x — ¹–à 1 B CG –PY C § ¤ G‹ HI ù ¼–x — ¹–à 2 B C DPY C § ¤ ‹ H½DQD[Dx — ¹Dà 3 B C D`ú < WDÏDYD{ C ·C = = = 90 §D M E ¤ ‹D` 14

2 4

2 6

2 4

2 6

2 4

6! 4! 4!·2! 2!·2!

6! 2!·2!·2!

%­ JKLM
N 15 âDŒDßDP 3 B C D|D¨D©D[DPâO  æDç 9 ÝD¡ í – â á “D ~   ”, îDïvð ” ò M }GQRDM–£ ó ”, ú < ÕDÖDHD}D‰DŠD‹D`PwHDMD¼D[D}DFD¥DHDxD}DP ú < € ? D ST ˜D™ ` §1.4

§1.4.2

‰DŠD‹

UDeDeDf

£ DÕ ô ŒD§DMD£D¥Dy

“

¨D©D[

”

}D[DsDtDéDDP — V ¢D¼DƒDQD[

“

¥D}D}

DeDeDfDiDj { Y n yD¨D©DåDzDP»O þ O  MD£ k yD¨D©D[D}DPXWDÁ:D}Y U Z Y n , n , · · · , n yDåDzDP[vu n + n + · · · + n = n, \ WDÏDY ”:

1

2

k

1

2

k

n! n1 ! · n2 ! · · · · · n k !

(1.4.1)

 ]Dþ D §D¨D©DM û ` €  ¥ }D}D‰DŠD‹^D£ “Y D ò ó MD}DŠD‹ ”. ÃDÄ;DP_DÖ` Z ù D ¼ [a ûbc P¾ ³  Á DŒDyDsDtD[deD{ n

n2 k−1 Cnn1 Cn−n · · · Cn−n = 1 1 −n2 −···−nk−2

n! . n1 ! · n2 ! · · · n k !

¥ }–}–‰–|–W–§Gf õGgGh [–E–F–Š–‹–POGiGjG o–p úGkGl–[–}–‰–Š–‹–ˆ–† – ‡DŠD‹D` ÃD Ä ;DP õ k = 2 øD[D¥D}D}D‰DP»SD|mnD[D}D‰DŠD‹D`»ÿ “¹ n yD¨D©DåDz uwºD¼ k yDTD[D†D‡ ” sDtDP \ ³o £ ? n yD¨–©DåDzDMD£ k + 1 ¨–©D[D}DPW } :DY 1 yDåDzDP ÿ qr 1 yD}DY n − k yDåDzDPHD
| w¥D}D}D‰DŠD‹ Áp k yD ^DPÏDYD{ n! 1!·1!···1!·(n−k)!

=

n! (n−k)!

§DM û  P ¾D†D‡ ¤ ‹D`âDŒDßDP k yDåDzDæDçD[ ~Ds £D}DëD}DæDçD[ ~D ` €  Ttu ,vwxDyþ zDkDcDd sDtD` âD 1.2.5 [DÙ û 2 uþ { | ÖQDŒ] §DEDFDŠD‹D`  â DßDP € Ð
}%~DŽD©DWD§DåDz (¨ ³€ M ), 3 Ё~ 7 ŽD©DWD§DåDzD` HD|O  ú ´‚ ‡D[DúDYD¨D©ƒD‡DF«üÓSD| þ 10 y„…DM :DY 7 yDˆ 3 y „…D[DMD} ¤ ‹DF«üÓ`PwHDMD[DxDyD}–| “Y € AD[ ”, ú < Õ ÖDHD}D‰DŠD‹D`" W †D¡DP õ MD¼D[D}D£ k yDP k ≥ 2 øDP õ ÝDS ³< ÖD¥D}D}D‰DŠ ‹–T–Ù–Ú–`ú < PG ¨ ‡ˆfG‰–å–z–[–†–G ‡ [–Ä–S–| ? ú–Y–¨–©–G [ „G…–G M  k y–¨–© [D}D‹P ŠDÆDSD|DGD¥D}D}D‰DŠD‹D[DWD§ ô ÖD`r£ =  H Œr ô ÖDP €  ? [ V ¢D£D{ P DH k yD¨D©D [ ŽDP  © ŽDåDzDæDçD¨  ,  v  w  x  y DkDcDdDiDj Y n yDåDzD z ³ …D P :ŽDåDzD M ADY n , n , · · · , n yD P [vu n + n + · · · + n = n, O þ O   † DWD‡DP \ WDÏDY 1

2

k

n! n1 ! · n2 ! · · · n k !

1

2

k

(1.4.2)

16

¬v­w®

¯D°D±D²


` (2) 1 (n‚„#…† ` ;p4W44€4‰4Š 8. { r :CD#jlm4‡4(4* 1 ˆ n # n :n-b1jm€n434*4454> #…† A = { ‹0# r :n6Œ€9j }; B = { 1nˆ@ 1 j }; C = { ‹0#n6 Œ? m :j }.

2.

1

1

1

2

2

1

3


Ž

’‘
°
“
” 21 ` ;4p4W44€4‰ 9. { 3 :4B4D4#4j4l4m4‡4(4* 1,2,3,4 #4Q4:4n464-b14j4m4€4n434*4454> Š#…† (1) Œ?Z:‚nƒ (2) ?jn#•–‡(* 2. 10. .404748494:4—4#4˜E™š]47494:4›4œ4H4…4†H#4-b;Hp4Hž4€4‰HŠ4#4…H†4 (1) 12 :4— #˜%™'] 12 :BD#›Ÿƒ (2) 6 :—#˜%™'Œ ]Z4:4›6 ` 11. (¡ ) ¢0 30 :—-b;p 12 :›6? 6 :›Œ £¤Z4:—4#4˜E™š-X? 6 :›Œ £ ¤ 3 :—#˜%™'#…† ` `­š®4¯ B4°±4²49f4>4ª«4¬- ¯4³ O´4µ¶ 12. 9:—? n f¥¦-¨§©?9f>4ª«4¬ · ¥¦¸;« `X¹4º -b1494f4¥4¦4]41494x4;4»464¼H½64#4…4†4œ4 n . ¾¿¤?Dr @#;»x,#ÀÁ5>zY4œ4` CÂ#4-o¶4:—4Œ 4]à r xf¬ª«#…†`È@¹A%º F 13. !Ä? 4 :ÅÆ-ÈÇɸÊËÌ ]ªÍ4# 4 :ËÌ6? 3 :•–ÅƪÍ# — ÄÎÇÏ ` ǝÐ?4Ñ ­4ÒšÓ ¶4Ô4À4Õ4 %Fš;4`ëÖê × º
©² N
÷ 
©¶©
· K
 L 0
J©¶©²©Ì©÷
Í M ©Î (1) )©¸ "¹ + (2) Ø©¸ "¹ 6©ß©Ã©Å Î a) n = 100, r = N = 3; b) n = 100, r = N = 10 N©O  7"P
Q
R©
Þ 3©¿ 0S%1©²±Ì±Í  12. ©¶©¸©Ø©
#!± û 5!±Â§±¶ )±¸º¹¼» 8±÷±À±ù %±Ø±² !Äö±÷±Ê±Ë±²±Ì±Í P±®±Î (1) T ¨©÷©À©¨ù©4
² !©
Ó "!+ (2)
Ï 9©¨©÷©À©ù©
² !© Ó 5!U 13. ©¶©¸©Ø©
¨ 4 "!±
û #!±Â§©¶±Ø±¸º¹¼»©½±À V!WX± V!±Ð±Ô©T ²±Ì±Í±·±
¯ Y . 14. ©¶©¸©Ø a ÷ "!©û b
÷ #
!©Â §©
¶ )©¸ ¹‡
» 8©÷©À©ù %©Ø±
² ! Æ k ÷©À©ù©
² !©Ó  !©²©Ì©
Í  15. ±¶±Ø a  ÷ 5!±û b ÷ #! (a 6= b), §±¶ )±¸º¹¼» 8±÷±À±ù %±Ø±L ² !Äö±¨±÷±Ê±Ë±²±Ì
Í P©®©Î (1) L ©
¨ N
Z
%©À©ù©² 5!©ý &#
!±ý '¼Û (©Â (2) ©
¨ N
Z
©
¶ [©È©²  !©
ý &
#
!©ý '‡ Û ( U5±Æ±ù \
4±Ê±Ë²©Ì±Í  16. ]©Ø 2n
Á ^
_© Q©Ù©Ã©Å `abc 1 d 2n, à©Ø 2n
÷ e
f© Lg©Ã©Å `±Ø \4bc ;©
» D
^
_
h

e
f©i 2±
÷ efh 1
Á ^
_
i©
Æ 2©
÷ e
f
&
h × j¼
² ^_±
² bc±ú©û ó©Ó©ü©ý©²©Ì©Í
 17.
Þ ©
Û k
l
m©»©É©ð©ñ©¨±ò±ó©ô±
² no"©Æ±Î L ɱð±ñ n ï©
ú 9©Â
Þ ©ñ©ù©Û©Ð±ï±
ý p Ù©²©Ì©Í
 18. D©¨©ª©«©¬©­©®©¯©°±²±³©´± µ qr
s9t±ê©¨ u±  ±Æ©Ç±È±É±Ê©Ë±²±Ì±Í©Î (1)
Ï Q©Ù 4
Á v©Ó A; (2)
Ï Q©Ù©¨©Á©û©Ï©È©Ù±¨±Á©ó±Ó A; (3) É A
ú w
w
x©Û©Ð©²©Á±ý l. 19. 2 z ¨ yz{z| Ø N z÷ }zb zç Ez~z €Â ]z
vzP{
©Ø n y  r z÷ z‚ z² }zbz€WzX Î T 1, 2, · · · , n y©Ã©
Å ©Ø r , r , · · · , r
÷ ‚©
² }
b ( r = r) ²©Ì©Í©Ó 7.

1 2

n

1

2

n

j

j=1

r1 r2 rn CN + CN + · · · + CN . r CnN

20.

21.

22.

23.


ƒ
„
…
†
‡©ù 17 ˆ
ƒ
„©Â ש¶ "„ 10 ˆ©Â‰#
„ 4 ˆ©Â‰Š
„ 3 ˆ©Â L
‹
Œ ¶
%©Ø©²
ƒ
„ ²

Ž
©Â$
‘

©¾
D.\
4ƒ
„‡
’“
‰”±¨©÷•
‘±Ó 4 ˆ "„©Â 3 ˆ
#
„©û 2 ˆ
Š ©„ ²
’
©“ ÂE
–
%
± ²±* Աǩý1—•©‘ ²±Ì±Í±: î
˜U D n ™
š
›
|
© œ ꩨ
©  ¨
© ž Þ© Ÿ ñÂi 
9D
%©1 ² 2n ©¡ ¯
¢

;©Ã©ê n é©Â‰2©é©ä
£©ê ¨
™
©¤ ² “š
› ”, Æ
©¥ È©É©Ê©Ë©²©Ì©Í©Î (1) \ 2n ©¡ ¯
¢
v
Ÿ
¦
§
¨
©©ê
ª«©²š›
+ (2) ó©Ó
©  ²
© Ÿ Ã
&
© ž ²± Ÿ ñä
£ ¬· a, b, c, d Ó©Ü
­ a + b + c + d = 13 ²©Õ
¡

®
¯©ý©Â L ¨©ï
°©µ
±
²©¶±Â Æ
³´
µ¶©É ¸
— a, b, c, d ¹
#
º
»
¼
½ p (a, b, c, d). ¾
¿
À
Á
¡
Â
Š
Ã
Ä
Ã
Å
ÆÇ
È»
ÉÊ
Ë Ì Ã©Â
Å
Í
”
Î
Ï
Ð
Á¡
ÑÒÓ Ô
Õ
Ö
Î
»
×
Ø
ÙÚ
¼½ p(a, b, c, d), Û
Ø
Ü (1) a = 5, b = 4, c = 3, d = 1;

(2) a = b = c = 4, d = 1;

(3) a = b = 4, c = 3, d = 2.

§1.6

ÝßÞßàßá

27

â ãäåäæ ä çéèéêéëéìéíéîéï"ðéñéëéìéòßóéíßôéõßöé÷ßøéùßúéûßüéýßþßÿéë
ßìßí §1.6





1.6.1   ø 1 ÿéþéï   x, y  z ÿ 3 ß ï!
"ßù
#
$
% 3 & 


'
(

)
*
+ßÿßë

 ,
-/.
0
1
2 ï ù
#
$ 43 (x, y, z) 5
6
7 

8
9ßï4:ßó 3 ;
ÿßí
 
!ß  ó
@
ßA ùßúßÿ


8
ß9 ÿ
B
C
Dßó %ßó

; ÿßí

E
F
G
!H
Ißþ
:ßó
J
K x + y + z = 1 > ÿßí

)
*
+

L 9$ A 67 3 & éù#+)*+éÿ
HMßïON
PH
M A QRS ïOTA 3

Ω = {(x, y, z) | x + y + z = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} ,

@
#
U
A

x + y > z, y + z > x, z + x > y.

y, z) | (x, y, z) ∈ Ω, x + y > z, y + z > x, z + x > y} , :ßòßó
J
K A x=+{(x, ÿßí

)
*
+ (V
W
X 1.2). y+z =1 > Y éóZ
éÿßï/@#ßî[
 (x, y, z) ÷ Ω > \] ^éïO_` .0 C
a
Z
b
 P (A) D
U
ßP ø

)
*
+ A ÿ
K
c
d
)
*
+ Ω ÿ
K
c
e?f4!g
h
i
I j
k
l
m >
n4o 1
2 ïp)
*
ß+ ÿ
K
c
ßD ó
q Lebesgue r
 p@
# .
0 

$ L(Ω)  L(A) 6
7 Ω d A ÿ
K
cßï!%
s L ó Lebesgue ÿ
t
u
!ßó
D
A P (A) =

L(A) . L(Ω)

(1.6.1)


x y
ï z
{
|
}
~

|
€

‚ v
w !ƒ Ω „ A y n …
†
‡ R ~  Lebesgueˆ
‰
Š
‹ L(Ω) Œ L(A) 
Ž


‘
’
“
 n … Lebesgue‰
” í
• 5
– ïz÷ 1 ;
— ß C ï Ω d A ˜
˜ ó

ß ïp` S : 0 ÿ Lebesgue r
 Dßó 
ßÿ

™ ÷ 2 ;
— ßC ï Ω d A ˜
˜ ó
š
ßN ÿ
J
K X +ßï›` S : 0 ÿ Lebesgue r
 Dßó
J
K X ß+ ÿ
K
c ™ ÷ 3 ;
— ßC ï!N ˜
˜ ó
œ
c ™ øßø
 L ß ` í 5 ï!
ž
Ÿ
ß  ÷  1.6.1 > A P (A) = = .

1.6.2 ¡
¢4£
¤ 
¥§¦©¨
ª 6 S
« 7 S e =
¬
­ ¥
ß® ï!¯ ¤
°
± ÷
²
®
³ ´ 10 
µ
!
"
¶ 0 ùß÷
²
®
·
߸ ÿßë

 ,
- # (x, y) 6
7
£
¤
¬
­ ²
ß® ÿ S
= ï!N
¹ 1
L 9
# A 6
7
£
¤ ÷
²
Ω®
=·
{(x, ¸ ÿ
y)|H
ß ß M 6 ≤ï!xN
≤A 7, 6 ≤ y ≤ 7} , v
w

n

(1.6.1)

L(A) L(Ω)

1 4

 A = (x, y)| (x, y) ∈ Ω, |x − y| ≤ 61 .

28

ù
#
b
 £
¤
\ 

Zß÷ 6 S d 7 S e Âï Áßù
$ßðßñßëßì
Ã
e
ÂÄ
Åßï ]' 
^ß  5/6
ÿ 

É
*ß
ø Ê
)
*
+
e
Ë

ßó Y4Ì
Í

ö
 

c


5 2 6

L(A) = 1 − L(Ac ) = 1 −

L(Ω) = 1, (1.6.1)

º?»4¼ ½
¾
¿
À =
ó߬
í
­ 
²
' ®ßï! @
#ßÿ
î
Æ
[
Ç
 +ß(x,ïÂÈ y) ÷ Ωó
É
>4\* Ω @
1# A (V
W
X 1.3), L(A) L(Ω)

=

11 36 .

÷ þÎÏŸ > ï .0Ð $Ñ L(A) = L(Ω) − L(A ), %iéðéñÉÒéóÄÅéÿ é Ó
Ô iß
ë
* 
5 ß  ï þ
Î
H
Ißòßù
# 6 Î
 P (A) =

11 36

=

.

c

L(Ω)−L(A) L(Ω)

.0ÕÖ× íØÚÙ ÛéëP (A) H
=Iéþßóßí r= 1 −ïÜPË
(AÝA ). P (Ω) = 1, @#²éø Í  Þ ± ó r
 û
ßßÿßí

à
á


1.6.3 ÷Úâ ãéþäå 3  A, B, C, " ∆ABC æ*)*+éÿéë ,ç- $ E 6ç7 ∆ABC çæç*ç)ç*ç+ ÿçHçMç!è ÷ ÿçéçê ó L ñ 6 Î Ω  ÄçÅ ùç#çëçìíâ ÿçîçï ó 1, âñðç O.  ó ∆ABC çæç*ç)ç*ç+ øçòç E.  90 , È%éô øòõ AB, BC, CA ÿ \ó  π. ABC, BCA, CAB \ó Ä
Åßù
#
ö
÷
ø?ù4ìßí

ßï Y ²

®
ú
û?â4ãßï›?â4ã
ü
É
ßí &

  2π ÿ 

!Å
ý  ²







þß ïÿ
þ
þ þ þ
 x, y  z ÿ 3 &   é ó ±
% 3 & é ÿ °ó  π, N ∆ABC éD óæ*)*+ é% îéí 5 ï  1 ù Õ Ω  E 
 6 Î
 6

6

c

_

◦

6

_

_

Ω = {(x, y, z) | x + y + z = 2π, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} ,

0 < x < π, 0 < y < π, 0 < z < π} . Y 
ßó
A
=
{(x, 
ßy,ÿßz)ï!| @
x +#ßyî
+[
z = 2π, ÷ Ω \
] 
^ßï!Á Y4Ì
Í (1.6.1)   (x, y, z) L(E) L(Ω)

. J þ K  þ     þ ÿ  J þ  þ É  ï ²þJþKþþþ í þ  1.6.4  =  a  ÿ (l < a),
"
d
É

· ßÿßë

 %

é
ê
 Buffon 
é
ßê ï óßë
m > ÿßí

é
ê (V
W
X 1.4). ,
- # E 6
7
d
É

·ß ÿ
H
M
 .
0 5  L ñþÎ Ω  E. ¹ 1 ï ßÿ  ù Y :ßÿ >  ¬ ÿ
É
ßÿ  ρ, #
:
d
É
ßÿ
* θ  ì
!@
#  Ω = (ρ, θ) | 0 ≤ ρ ≤ , 0 ≤ θ ≤ È
d
É

·ß ï!P
Ý
ßP ï ρ ≤ sin θ(V
W
X 1.5). @
# .



P (E) =

1 4

=

a 2




øßî
[


π 2

l 2



@
# Y4Ì
Í

  (1.6.1)

(ρ, θ)

L(Ω) =

πa 4 ,

÷

Ω

L(E) =

P (E) =

sin θ .

>4\
R] 
^ßï!@
#
$
ßðßñßëßì
!¹

E = (ρ, θ) | (ρ, θ) ∈ Ω, ρ ≤

L(E) L(Ω)

π 2

0

=

l 2

l 2

sin θ dθ = 2l .

2l πa .

l

§1.6

ÝßÞßàßá

29

¨
K  ë
m > ÿßí

A
é
êßï!
@" Bertrand # m !:ßó$% l& 5   h Bertran  1889 '()
5 ÿßï Bertran *) Ñ
:ßÿ 3 ô
 ç
Ã$ßï!Ë
  ¬ Ñ 3 ôßç,+,é - ï%D,. éí  ¤,/ P S ÿéë
m > ÿßí  ë0  Ç,$1 R Ñ,23Ü_ `4
 # m 

1.6.5 ÷5  â64÷ß7 íß8 ï!
"8 g
 √3 ÿßë

 ,
-/.
0 # E 6
7 8 g
 √3 ÿ
H
M
!é
ßê ó L ñ
Î Ω  E. 9,:,; ,, A n o åéì ï éê j é ÷Úâ éã þå,é? í,>  B. é ó Ω éD ó,@Úâ ã Y ,5  Oâ ÿA6CBÆ)*é+ ÿ
' ø
 √3, @# Ô #  í,D,7,5  Oâ ÿA6CBÆ)*+ ∆AM N , NPÝ,P,8 AB d' M N ·, é A S ïE8 AB ÿ #  g √õ 3, Èï!` N
S A > B  õ5  Mâ Nÿ?þéâ4ï ã @# E éD óõ M N(V W
Á X Y ðß1.6(1)). L 6
7 L(Ω) = L ( )= 2π, L(M N) = . ñßëßìßë
Ì
Í (1.6.1)   _

_

_

2π 3

_

L(M N ) L(Ω)

= 31 .

9F; ,  d?Kâ4ð Tß÷
²
ÿ É
ïßþ
› @
#ßù
ï
8 É
ï Mÿ N 7
 g
 Ω. √¹ 1 ï›P
Ý
P8 AB O 
ó S AB
 3(V
W
X 1.6(2)). @
# > K P (E) =

1 2

ßó

 E = K| K ∈ M N, |KO| < 21 .

L(Ω) = |M N | = 2, L(E) = 1,

Á Y ðßñßëßìßë
Ì
Í L(E) L(Ω)

= 21 .

L(E) L(Ω)

= 41 .

(1.6.1)

  -

9,J,; ,,  K ÿ , Ûìéï ¹ 1 ï PÝ,P >   
# 1/2 
î
ïßÿßç
ð?â4eK6 S ïL8 AB ÿ
 g
 √3. @
#ß÷
%
sßï Ω D K ó@
5  â ï E Dßó
# 
î
ïßÿßç
ð?â ï L Dßó
: 0 ÿ
K
c (V
W
X 1.6(3)). Á Y ðßñßëßìßë
Ì
Í (1.6.1)   P (E) =

1 2

%éô$ßçÃ,$  ¬ ßç8 m ÿ,M,Nßï .
0,O ó,Pßí,Q
¸ ¬ SR,T
,UßþÎ
à +
ÞVßïù 1 1 R ߝ ç
8 m ÿW
_ßó - êYX > ÿ “÷7ßí8 ” ÿZ[
\]^ßï _ Èßù / q7_ßô
ßç
a
Ãßï i
È`a / î
[ ÿZ[þ]þeþ®7þÑþ ç ÿcd ï.þeþþþ ç ÿ ëþþÏ Ÿééê ï_`,1 R,),e ôߝ çéÿ
8 m òD
f # ÑéïÜ_
: 0 HIßþéó / ßç é
ê
@ *) ÿ+-
 gh 1.6 1. iLjL
k Ò 1.6.2 È
ËmlLnLo 3 pLqLrLsLtLuL
j Ówv Ù
Ûyxyzy{y|y}y~ Ü (1) 3 pLqLL€L ÖL‚L|L}L~Lƒ (2) „L…LnL†LpLqLL€y
 Öy‚y|y}y
~ Ó P (E) =

º »4¼ ½
¾
¿
À ? 2. ‡LˆS†L‰LŠL‹LŒLkLyŽLyÓEiy‘L’y“y”Lnyy•ykL–y—y|LŽy˜y™›šSœyyžLŸy y¡y¢E£‡¤‰ ¥ ˆS‰L L¡L¦L§L¨ykLyy‹y© 3 ¥ 4 ªmžOÓÙLnL‰L L¡Lžy¨y«y¬L­ Úyyy|L}y~ Ó 3. ®S‚L¯
Ð S | 4ABC šSœL°LŽL± P , Ù 4P BC |L‚L¯LªL² S/2 |L}L
~ Ó 4. kL³L´
ÖLœLµL†L± A, B ¶L·LŽL¸L¢m¹LœLµL†L± C, D ¶L·LŽL
¸ ÓÙL¸ AB ¥ ¸ CD ºL» |L}L~
Ó 5. kLŽL¼L½LnL¾L¿LÀLÁLÂL|LÃ
ÖyÄLÅy°LÆyŽLÇyÈL É Ð 1 |LÊL
Ë ÓÌvLÍL¢ÌÎL¿LÁLÏLÐ a ªL²LÑ …LžL¢mÊLË ¥ ¿LÁLÒyºy»y|y}L~yªy² 1%? 6. kLÓLÔ (0, 1] šSœLµL†LpLÕL ÚLÛLÜLÝ ² 0.2; (3) €LÞL†L¢ ßLÙLàLxy”LÖLáLzyâL{yã |y}L~ Ü (1) †LÕL×LØLªL² 1.2; (2) †LÕL×LÙL| 7. äLÐLå l |LæLçLœLèLéL· 3 çL¢êvLàLëLxL§LzL{L|L}L~Lì (1) ’L“LLíL·LŽLpLîLïLÀLƒ (2) ’L“LðLñLÐL|LÒLòyó . 8. kLÓLÔ (−1, 1) ÞLœLµL†LÕ ξ, η, ôLõLöL÷L¿Lø x + ξx + η = 0 |LöLùL¢mvLàLëLxyzL{y| }L~Lì (1) ’L“L”LúLûLÕLƒ (2) ’LüL”LúL¾LÕLã 9. kLýL‚LÞL½LnL†LþLºL
ÿ LÈy|Lý yÈLæy ¢ ’y
ü yýL‚ pLåyŽ LÖyÏLÐ aØ b
| LÀLã ® ¥ ýy‚yÄyÅ y° yŽyÇyÐ yå 2r | 2r < a + b − (a + b) − πab , vyà  y„y…
Ž 
L½LÈLæLºL»y|L}y~yã 10. LýL‚LÞL
½ 

¥ L
Ô 


yå a L
ý LÈLæL¢m ® L
ý 


yÇLÈyÉLå R LÊLË (R < a/2). LàLÊLË œLLÈLæyºy» 
yã 11. 
! "! #
$
%&
')(*y
ð +yè 
,-y.ã yà -/
$%&yð 
yã 12. ( 
LæLçL
Þ +
0
12 3 ,
-L.ã L
à 3 3 ,
-
/

4
5
,
-
67
yã 13. 8
Lå a + a LæL
ç 9

-

:
8


;yå a < a 
5
=
L>ã ( LæL
ç +
0
12
  n ,
-L.ã LàLì n ,
-L
ð ?
 m ,
-
/

8
Lå a 
=
L
ð 

Lã 14. ( 
,
$
%
&L
ð +
0

 3 ,
-
'@L
à AL
ü &
:
B
CLîy
ï &6
D-
Lì (1) E
LîLï &
F (2) $LîL
ï &
F (3) GLïLîL
ï &Lã

30

2l 3

2

2

1

2

1

2

1

H IJKJLJM J NPOPQPRPSPTPUPVPWPXZYP[P\P]PUP^P_PXZ`PaPbPcPdPUfeZgihPjPVikPXZlPmPn oqpqrqsqtqsqu Uq^q_qvqwqx sqtqsqyqz Uq{q|q}!~qqlqmqn€ƒ‚ yqz…„ {q|q† ‡ZˆPYP[PX
‰PŠP‹PŒPX
PkP\P]PX
`PaPŽPnPxP`PPPŽPUP‘P’P“P”PX
•P–P—P˜P™Pš `qaq^q_qUqq›qX!QqœqqžqŸq‹q q“q”qUqNq¡q¢q£qxq¤qdq¥q¦qUq§q¨ª©q—q« pqr ¬i­ UiViWi} limini®i¯i°²±)Yi[³€´‚PQiœ yizqµi¶ X*·²€³e.gP¸i¯PQiRPSiTPxP` aP¹Pº³»)UP°P¼P½P¾P¿PÀPUPPÁP} lPmPnPÂPÃq^P_PÄPP›PX!—q`PÅ r °PƁǃÈPUqÉqkPUq} 300 ’PÊPËPX!ÌPlPm nPÍPÍPÎPÏPÐPXZÑP—PÒPÓPšPÔPUP°P¼PÕPÖP}ZQPœP˜P×P|PØPÙPXZÚPÛiÜPÝPÞiÞPßPßPU PÁPVPàPÒPÓPÐPXZáPÄ r ‘P’PâPãPäPåPUPæPçP})è)†PéPêPâPãiëPìPXZíPÝižPîPU p ïPX´QPœPðPñ r äP–³»)UP¥P¦P} 17 òPó ÐPX´ÒPô³»)UP°PõPöP÷PøPUPQPùPú³û)üPœ Uqýq[qþqÿ


q}!ÌqÐ

qUq°qõ
qö

qUqýq[qþ

 r ö
…U
qnqX ~ §1.7

§1.7



31

}ªèPÕP¹PlPmPn³»)UP°Põ
PUqlqX!ÜPÝq°Põ
 “ ¾   ” RPlPmPUPãP}Z˜ ¬ UPÉ!PVPk³»)XZöP‘P’P["PnPÅ  ¾PÂ#iæPçPX%$ PnPÅPlPmPn³»P& ¼PlPU'(PdPæPçP}%)P~PXZöP½*PQ+PÅ,.-/0iUPð1P}%2 34P—P–³»)°PõPQPUPð1567 ð1" ,/0P8 ý P ¢9:P8 ý P ¢9:P; m Fermat, Pascal

Buffon

4040

2048

0.5069

De Morgan

4092

2048

0.5005

Feller

10000

4979

0.4979

Pearson

12000

6019

0.5016

Pearson

24000

12012

0.5005

Lomanovskii

80640

39699

0.4923

< = œ t>? °P2 üPœPUPðP1 }ƒ~@PÜ 8,-/0³»9:PUP¢8PýPXCBD fn (A) =

A

3A,9:PXĆ

Nn (A)

3AP˜

n

Nn (A) n

4.Ei¯.9.:iU.i¢.;imi}è)Ô.F3.G³»´UPý.HIiXJ9:PU.P¢.;Pm f (A) ú.Ki˜ viX ·.O.,.-.i 8 ý s ’iXPi; m f (A) 4 siµ M † 0.5. Q °.R.S.3UTV7 (1) 0.5 L.M.N ˜,-/0PUPð1³»)X% P†P¢9:PxP¢W:PU  ¾PÂ#.XYP—ZiŽPU[ (2) N ¡
R
q \ ^q¹qUq¾qÂ
q# —q°
q] ¾qÜqVqà
^
q_ U
`
a
qb ˜qU
q_ XCqc Tq˜ u ý
q_ U
d
e ð³ 1 »Pf ÅP; m f (A) Wg t [ (3) P; m f (A) ¾PÜP®P¯PlPm P (A) U Mhi X ·OPÌPð18Pý n j >Pu ÐPX Mh k^PT ­ à „k } l —PX QPœP$ ½PÂP½mPn ÄPÔF3³ P F »)UP½opqr7tsu “,-P8 ý s ’PX ;Pm f (A) 4 sPµ M † P (A)”? Qvw ˆP½PÂP| “ε − δ x ì ” ty PF }CPz ¯ = œ ½PÂP{n|PU ε > 0, } ÄP°]f‡ZˆPý n , ~ p P° n > n PÂP¸€ n

n

n

n

n

0

0

|fn (A) − P (A)| < ε.

(1.7.1)

RSPÔPXZQPœP˜ Qv P$ ½P— Q ]nPX Qv U “;Pm f (A) sPtPsPµ M † P(A)” U ‚ƒ {PÌP—„ “NPO n U … u X (|f (A) − P (A)| ≥ ε) ^P¹PUP¾PÂ# sPtPs † ”. ¿ "P‡ X “NPO n U… u CX R\ {|f (A) − P (A)| ≥ ε} UP^P¹PlPm n

n

n

ˆ û)†

P (|fn (A) − P (A)| ≥ ε)

(1.7.2)

ˆ‰  ° t X
QPœ4‹Œ r °]ŽPÜ N U‘q³»7
°: “;Pm µ M Q Š †ilim ” 3U´ T limi—i°.].`.a.bi˜iX*·.O.;PmP¾iÜP®i¯PlimPU Mh.i [J’i°.:PX ;Pm µ M †PlPmPU ‚ƒ“ ÷”‹•–
fPÅ “lPm ˆ † 0” ty FP}!†P—PX!QPœP½P 0 .”

—™˜š ›œž

32

½ æP°Ÿ7 “¨ ¡DP—PlPm ”? ¢ PÔ Bertrand £ nPUP¢PX ~ p °PõPQPPÌPÐ P Uilimin²»´Ui°iõil.ix.iãPÕi¹ r.¤¥ }*†i—PX QPœi½ p ½¦.§.:P Q ¼.¨:PX ©Pä ªPU «PãP%} ‰Pä ªPU «PãPÑPöP°]PX Q 4P—¬­PlPmPn ‡Z÷PUiŽPn®¯i}Z˜ Êq
U °
±qýq[qþ u TqÔqX Hilbert ²
³ qU 20 òqó {qä
ªqU 23 ]qýq[qæqç 1900 »)´ X 4µ Q ]PæP ç ¶P˜P–³»)} ½PÅPX Hilbert  — µc¶P˜PýP[PÖPŽPæPçPR³»)UPX ˜ ÌP Ð ·¸PöP Q ¹¦PlPmPnP—P ° ]PýP[ >º C X zP ¯ c·¸P ö opPUPýP[PŽP n ®¯P} lPmPnP U opPUPýP[PŽP n ®¯q—P˜ 20 òPó 30  Ê »¼YPUPC X cP { ½¾P† Kol€q
U ÀqŽq
d Á
Âq} Q
¼ ÀqŽq
d Á
ÂqU ¿ €
Ž…
ù Ä
Z…nq
x Å ^qn…U mogorov ²
¿ ^q_qC X $
Æ
f r lqmq
n Çq
¢ »qýq[q
– c >
º
U È
Âq} =
œ Éq
˜ 2q
° ÊÌ » Ë
Í Kol.U ÀiŽi.d Á.Âi}.˜ Q ]ÀiŽPd Á.Âq2iX ² öPUPlim ÎP.ç p Ä r opPU mogorov ÏFPtX ÐÑ “;Pm µ M †PlPm ” U ( ‚ƒ X Q 4 ~ p QPœP¾PÜ yPzP„ ×P| Q ° R S t ä ªP‘P’PæPçP} ¢P ˜ 4 t ËÍP–³»)UP ° ]P{P|P} ÒÓ ) 1.6.4 »)U ,ÔPæPçPX!˜ B v  p ÔÇ
ÕÖ
×
ØÙ
ÚqUPlqmP¯ P (E) = ×P| Q  ° Û@Px “;Pm µ M †PlPm ”  U RSPÝ X ÜP ¾ Þß7 Ñ –,-P U 8Pý n j . > ’PCX ;Pm f (E) 4PT j >P„Pµ M †PlPm P (E), à ì qPX!~ @P˜ n 8,-³»)CX Ô Ç×ØÙÚ r m 8PCX BDPÌ n j >Pu CX 4PTPö 2l πa

n

n

áâPö

mn n

≈

2l πa ,

QœPù4
æã
rä °= Öœq¬PX!¸¾qÕPÜ
õfqÅ u {_
çPd
Ue
è,
éPÔq} Xªèƒ¼Ô
PF
ãPÀ
‚å
EP
¯  π U M
h
i } PQ ãP4q}ƒ¯ è)†= Monte Carlo iãi¢i²€ oipiriy e ð.1i¾iÜ.fiÅ..i¡ tê.ë Si¢PQX ² Ü Monte Carlo u _.d.i ì |PXCP) ~P¾PÜP|c t P°PõíîPýP½ï3PUYð > X  } z UP ; m µ M †qlqm ”, 3ñT r lqmqU
`
a
qb ˜qXC$
3ñƒT lqmq¾qÜ
fqŅð
1 t 1 q “ ò }%l Q ÑP—PæPçPUP°]:P}Z{PÌ„PXZ·P½P— ² öPUPlPm PÂ.fPÅPð.1 t 1 ò UP}VP ) ~PX´Õ]ódPô QPb ºPÐPõ Uö “Pb º 3 ]P÷ UP¾PÂP# ½Pø Å 15%” » U 15%, P 4 ½P—P°P] ¾P| u _dPe ð1 t P Ü1 ò UPlPmP} Q ¼ö tù †Pú ¹PU úP[ÞûPX%úüP`1PÜPÝPôPQôýPU r äPx ˆþ öPXZ’*.ÿPö
aiß
PX ² Ü öPQµ Q RPlPmP E ¯
aPlPmP} ÜPÔPU

 w p öPõ

P  XP ÂPö
P † u þPPlPmPnPU r äP} π≈

2nl mn a .

 §2.1

     

  30 

!
"
#
$ Kolmogorov %
&
'
(
)
*
+
,
-
.
/
0
1
2
$
3
4
&5-565758:95;5+5,5-5@%5A
$53
454
B5CED5F
G5H
I
%5&
'5(
)5J
K54
L +5,5-58:M5N5O5P5Q5$5+5R
S5&
-58ET5M
N5*
45L
+5,
U5V
$
)5U
W5X
Y5K
Z5[
$ 6
C Kolmogorov %
&
'
(
)
\
"
#
G
]
^
-
S
_
`
-
$
6
7
a
$
Ccb
d
e
f
g h 7
{
4
|
i
} 0
(
j
~
k
8T
l
\
3
-
}8nm
p
o
q
p
$
q
C r
s
tvu@w
x
y
Cne
f
z
F
45i
j
k
l53
8nD
[
A € _5`5-5$55‚5s5ƒ58:+5,5-
$5%
&5'
(5)
„5…
†5‡
8:ˆ5j
…
i5t
\5‰
_5`
$
&
-
s
Š
‹
+
,
&
-
Œ
0
C 20


 Ž


‘
’
“ €5” =5•?–—8:˜5™?š—›5W5œ5
ž5Ÿ
 5\
¡5¢
£5¤
$5¥
]58EQ5\
5ž
¦5~v–—
N §5¨ T55N5… §5¨ $5=5©5ª5f5$
]5^
C:˜
™5«
¬
5ž
Ÿ5 
8:\
*50
W5œ
Q5$
­5®
 N
¯
$
g
§°
8±
+
,
C²´³
µ´¶
8·e
f } A ¸
¹

ž
Ÿ
 
8˜
™
$»ºn$´J
=´t´\ [
N
¼
½ P (A). G ” =
•v–@8˜
™
¾
-
i
¿
©
+
,
À
Á
C Â
à +
Ávu@w
Ä
Å
8ÆD
[
Ç
È
½ § 
ž
Ÿ
  A S
¡
¢
£
¤ Ω –@$
¡
¢
‚
I
3 } 0
CËÊ@Ì
G Ω =
Í
D
F
F
Î
I
¡
¢
‚
8! }
Ï Ω $
Ð |A| S |Ω|, Évu@=vu@t
 Ñ ¥
]
8Ò
 }
Ó § ˆ
+
,
C Ñ +
Áv–@8Õ
\
[
‰ A S Ω $ Lebesque _
` L(A) S L(Ω) svu@C˜
™
G Ô Ö ›
×
i
8 Ï Ì
Ø
Ù
8Q
$ Lebesque _
`
t
\
Ú
`
Û Ï Ì
Ü
Ý
a
Þ
£
¤v–@$
ß
Õ $
ä Ô Ñ
à
á 8Q
$ Lebesque _
`
t
\
Ý
â
Þ
(
â
C! } Ñ´G ഔ á=
•v–@˜
™
„
z
F
ã ê
ë
i
êå
¡
o
$
æ
ç
CÆF
C=
è
ì \
á
8í
±
î9 Ç ΩÂ
\
ï Ü
$
Ý
Ü
a
Ý $
à
=
á I
8Æß
Q
Õ
$
$
Ý
Ô â
\
ð
ñ
8V
Q´½
$
$ ¥´(]´G
T
_
é´`
\ –
ò@ó § Lebesque …

_
] ). e
f
ô
Q
™
T
½
õ

ž
Ÿ
 
8öm
o
Q
™
$
­
®
+
,
t ð
½§ s
0
C*
0
Š
÷
H
I
ø
ù
8·˜
™´t
D
N´ô
´ž
Ÿ´ 
δ/
* Ω –@$
=
ì
 } ñ
½ Ý
â
$
¥
]
C ú5û ˜5™5ü5[5ý5þ5ÿ

 |
 $5+
,5À
Á58:ü
é5ã ä ©5$5C:! } ˜
™ [ Ï å
o
\

ž
Ÿ
 
õ § =
ì
ß
/
C §2.1.1

33

   

34


’ “ σ   G
ÿ
ø
ùv–@…
N
ô
¡
¢
£
¤ Ω $
=
I
¥
]
Ò
½
õ

ž
Ÿ
 
8! } ˜ ™5[5s5¾5-5e Ñ
 /55ž5Ÿ5 5$
—C ²5³5µ5¶
8
5 } ô Ω $
}5ì& 5¥5]5½ õ

ž
Ÿ
 
Cc*
d
˜
™
[
s
"
#
=
ì!
Õ
8c„"
H
ì!
Õ
[#$%
8 Ì'
‰
C () 8˜
™
[
ô Ω ½
õ

ž
Ÿ
 
8+*
J
*
Z  Ÿ
 ´Cb´*
Q Êö=,´
N´$´¦ ~
ª
f-

Òr‡ +
Áv–@8˜
™
t
\
H
¡Ž σ $
C G A – ). ‹
e
G =
8@Oe
f F S F \ Ω –@$
¿
I σ O 8@„" F ⊂ F , m
o
} ˜
™
t
¶ F \ F $
¥ σ 8 „"
¶ F u F °
8 ÞI
¶ F u F ‘’ 8 T
 ¶ F u F g
Þ“”
C e5f5˜5™5G55ž5¦5~?–—8:D
•–
—
=5© ¨
˜ \
D
­5®
8Z$
p
} Ì5H
© ¨˜ $5!
O F 
N
ª
fB
=QS n − 1 3YXWZ
È 1 3[Z Ñ Ù
ï\>= '( \
ò 1 3Z Ñ
] ^_ 1 3YXWZ Ñ I
6 Ö` k ïa` ? ,
ðb k ïa`c
\
ò
PZ ú XWZ
P
Ç
á ? " B E " b k ï"a"`"c\òP"Z ú XdZPMN ?
1 ø Ω Z ú k ï\ @e Pf J Ñ 7 Ï |Ω| = n . ûú |E | !789 ð : ÑËÌ  G E . ZP  R S b k ïa`c\òPZ ú [ZPMN ? õ UV = 7 ÑÏ E  * e Ö g S 1 3Ñ [  ^ _  Z Ò Ñ ú Ñ  ú j Ñ õ ZBk *h ç
ïÑ
i
n\
oò p P
Ú XWZ ú ô ù\Óc b g \
òYXWÑ Z BR Ñ E lm k − 1 ï\PÚ XZ gS k ïq\[Z R |E | = (n − 1) , \r

= 1− , P (E ) = 1 − P (E ) = 1 − 1− . P (E ) = Is P
Þ
Ê DE Ø n F v W = !  Pyz @ B i 10 {
| P
Ç
á ?  B E  ù n 3
Pyz @ B i 10 {|
P
M
N Ñ 1 ø S 1 ≤ n ≤ 10. ÑË
Ì
g \*3v Ñ
}~}€ v ú 0 c @ B i 10 {| Ñ R B n=1c P (E ) = . Ñ R!S00v00i!\!ò у!‚ Ì P0y0z0* E @ i 10 {0| Ñ R B P (E ) = 1. n = 10 c Ò ý„=W{* | Ò |‰ 0 È 5 Š
‹ P
ý„ 8 3v>= x \ Ñ
; P (An ) =

n

P (En ) = P (An ) + P (Bn ) =

Œ
G
H ÑË
Ì S

Ò

R B

E S ˆ Ñ} B lm c Ñ€ ˆ! ? |‰ 5 Š‹ Ñ ý„ n − 1 3v @ 6 |B | = C ,  n

n

C9n−1 + C8n−1 , n C10

C98 +C88 9 C10

n−1 8

6 ≤ n ≤ 9.

= = 1.
Ñ 
Ñ Ž Ñ
]~H \ò‰*3‘ E 2≤n≤5c B lm 5*  i  \ ò ? Ò 5 i
\
ò
P˜
™Qš
›
œ 45 æ 2.2.5 (’“”• _ ) [ m 3!P–Z L @eH^_ n 3!P—T Ñ ,
 𠘙 —
ò % P
Ç
á ? m > n. 0 [ ˜0™ —!ò % P!M!0 Ï Ω *04 @0e P ^ ã0› W Ñ S |Ω| = n . N ! š ] E. 7 û
ú |E| !7 ð : ? Ë
Ì  ð P (E ). B A  b k œ—
T ú ™ —
P
M
N Ñ k = 1, 2, · · · , n. 7 Ï E = S A . ËÌ  ¼½ Çá 㠞Ÿ P (E ) = P  S A . õ MN A · · · A P   ú ™ P Ñ R B € M
N 0 –Z0
Ú  0¡
ý0„ n − i 30—!T 0 0 ? b WL j  , · · · , j œ0—!T!Ú @ e ¿
P¢£ Ï = §2.2

m

c

c

k

n

k

k=1

n

c

k

j1

k=1

1

i

B¤¥ _ Ç
ᝠ㞟 Ñ
¦:

P (Aj1 · · · Aji ) =

(n−i)m nm

= 1−

!


i m n

.

 m  m 1 2 = Cn1 1 − − Cn2 1 − n n k=1  m n−1  m X n−1 i n−2 n−1 i−1 1 + · · · + (−1) Cn 1− = (−1) Cn 1 − . n n i=1 c

P (E ) = P

n [

Ak

R B ˜™ —
ò % P
Ç
á
]

S

Pn−1


i m n

s ô  3
:
;
Ç
=

p

B E 0 0§!ü!ç!¾080µ0.0½!P!M!N Ñ  F G B A È B 0 0§!ü!ç!¾0ø0±08 0 µ0.0½0û0§!ü!ç!¾0ù08080µ0.0½!P!M!N Ñ õ ú Z S0§
ü080µ0.½!P
M!N E = A ∪ B.

Wb *
× Þ 1.6.4 P  Ï P (A) = , P (B) = . Ë!Ì   ð ò P (AB). 1 ø!Ñ M!N AB 0 0§0ü!ü!ç!¾0ø0±080µ0.0½0ý!ü!ç!¾ ù88µ.½ Ñ ? B B ρ È δ F G  
§ P>=  üø±8
µ PÙÚJ Û È § üù88 !µõ P0ú Ù0Z Ú0J0Û θ 0 0! § ü0ø0±080! µ P0þ0ÿ (\0r0! § ü0ù08080! µ P0þ0! ÿ ] − θ). l ˜
™Qš
›
œ

§2.2

R B

47

P (AB) =

L(AB) l2 = . L(Ω) πab

 Ç
ᝠã
E
Ï P (E) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) = .


 I  s w H

   « Ñ
Ë Ì Ñ u Ÿ  é
§
É Ê  ` M =
P
  ! ô
¡
Å
Æ

Ç 
P

Ø
É
Ê  Ë
Ì [
  ¡ ã
E
P89 É ½  æ 2.2.8 (
• _ )
 
 ¼ Ñ
M S n  Ñ ì F G
 S
œ 1, 2, · · · , n. %
    

  Ò .0
P
!0‡
P  ¼
P œ0. ÑæŽ ÿ
] ‚!Ì0F G  

j  W

ò % “
Ø ”.
, ð ò % 1
3
Ø
P
Ç
á   ò Ñ#  $ ]
S0*   ¼ ú  ‡r
s % œ

^ ! 0 Ø!ÿ!¿0
! " v
&

'
( ) P  ; ¤ gUo6 Ñ
ŽG Î* 
 ¼
P ^ !*(
)   Ω  Î* 
 ¼
P
R
S!
P ^ !
(
)
P S |Ω| = n!.  A   ò % 1
3
Ø
P
+
N  X
Y A Z ú˜
Ø
ò % P
+
N  [ b  ¼ ^ Òb j
œ
!
‡ ÿ
] “Øœ ” ^ ! -,
.  Ñ-/
0 |A | N 7 ð ò Ñxû jœ +] †!N ø ð; : ]  A  Î*  P
R
S  ¼
Ú! “Øœ ” ^ ! Ñ ù ^ ã P   ! 7 Ë
Ì
H ú 89 G A . ^ !P*+N Ñ XY A Z  Î  B  Î* * ¼  P b j œ   ¼  Ø œ * 1  S**  ¼Øœ ^ ! Ñ S A = S B . ËÌE ½ ÇáP ã*2* ð 2l(a+b)−l2 πab

c 1

1

c 1

c 1

1

j

1

n

1

j

j=1

P(

n S

Bj ).

¾"¿  ã323  P ž"Ÿ

ð àdD"E ØTRSPó"{"  € m ( 1 ≤ m ≤ n ) È 1 ≤ j < j < · · · < j ≤ n, ò3+N B PÇá  + N"" "Î"*  P b 1 ≤ j < j < ··· < j ≤ n œ  ¼ 3 F 4 “Ø"œ ” ^ ! Ñ
¦"F34 ^ Ò"b Ñ ¤
c ý„ n − m   ¼ 

Ò ý
„ P n − m 1 ≤ j < j < · · · < j ≤ n œ

!‡ 3

!0‡ x ¿ ^ ! Ñ R  | T B | L õ ý0„ n − m   ¼!P!R!S0!0!P ^ ã 65 Ñ j=1

1

2

(2.1,1)

m

m

ji

i=1

1

1

¦ S

|

2

m T

i=1

2

m

m

m

\r Ï

ji

i=1

Bji | = (n − m)!,

P

m \

B ji

!

ù
Ó * ú Ñ
Ç á
P ã
2
¦

ð:

i=1



P (A1 ) = P 

n [

j=1



Bj  =

=

(n − m)! . n!

n X

m=1

(−1)m−1 Cnm

(n − m)! n!

RS
’
“T

OPQ

48 =

]~H

Ï
Ð

n X

(−1)m−1

  ¼
Ú…
S “Ø œ m=1

n

1 1 1 1 = 1 − + − · · · + (−1)n−1 . m! 2! 3! n! ”

^ !
P
Ç
á
] 1 2!

1 3!

1 + · · · + (−1)n n! .

s *3
Þ
Ê ú


Ø
É
Ê
P¨©
ÈÝ ½  æ 2.2.9 (
• _° ) E
7 n 3
8

9
Û Ï
Ñ  3
è F
4
Ò Û Ï ‡  l  Û Ï
? _
:
;
 ,
ð s


:
; < 


 =
j I Ñ  '
( > 8
ÿ
È Š ;
A  M +
N
P
Ç
:
:
; 
Ï ?
Ï ? Û Û á (1) ç
S k @ Ø (2) S m@ Ø
: ;  ½ E  

Ï ? Ñ  S m @ Û Ï ½ Û ç S k@ Ø
P
+ N A  ? Ø :
; P
+
N  Ò
‡ Ê  Ë
Ì>ÍQÎ
ð ò A P
Ç
á  Ò +!N E c Ñ S k @ Û Ï Ø0œ ^ ! Ñ ý0„ n − k @ Û Ï  ˜ !Ø!ò % ( l0m Ú ?
B :
; ). ð ò P (E ), Ë!Ì  D 0 !ç 7 2 P n − k @ Û Ï  ˜ !Ø!ò % P +!N  ] õ ? Ø : ; P k @ Û Ï S C  C ã Ñ R 0 e ð0: |D |, X!Y!Z S |E | = C |D |. E ð ò |D |. R D
û!ú |D | !70809 ð0!: Ñ R !Ë!Ì D \ P (D )  .  D 0! ç 7 2 P n − k @ Û Ï  Û ˜ Ï
!Ñ Ø!ò 
% F P
½ +!N Ñ R  D
! E0 !ûÑÏý0„ k @ Û Û Ï!Ï Ñ r0g D00G!ù 7 2^ P n−k @  ‡
Ê P f n−k @ Ú…
S “Øœ ” ! P (A1 ) = 1 − P (A1 ) =

−

k

m

1

k

k

k

k n

k

k n

k

k

k

k

k

k

k

P
Ç
á
]

P (Dk ) =

1 1 1 − + · · · + (−1)n−k . 2! 3! (n − k)!

â ô ÑcÒ g
Ø ù
7 2 P n − k @ Û Ï
G ´ G P˜
™Qš
›
œ SÜ
P ú
Ñ 
 Ë
Ì
Ò ‡ Ÿ JI n → ∞, :
K Õ
Ç
á
] . Ñ õ A = S E , ~ +
N E , E , · · · , E  ! ½ Ñ R  þ Ï Ù j
ú §2.2

49

1 ek!

n

k

m

m

m+1

n

k=m

P (Am ) =

n X

P (Ek ) =

n−k n n−k n X X X 1 X 1 1 (−1)j = (−1)j . k! j=0 j! k!j! j=0

\ *  â
L‰
M–
 N
P
O
P
Q (Ö 52  ) Wx ¿ \
ò 13 
Q  ,  k Ø
R K-Q P
Ç
á A 
\
ò
P 13 
Q  ã ç
S Uk6 ØÑ 
R  K-Q P
+
N 
1 ø Ω Z ú \ \ 13 
Q
P
R
S!
 \ P R |Ω| = C . Ñ Ñ õ ú g o
\ ý„ 52 − 8 = 44  A lm c 4 Ø
 R K-Q Ú
i
\ ò Ñ 

æ

k=m

k=m

k=m

ð ý  ç
S  S W x 52 
Q } +
N Q Wx \ 5
 Q R 2.2.10

k

13 52

4




5 |A4 | = C44 ,

P (A4 ) =

5 C44 13 . C52

Ñ | ‰
S k Ø
R K-Q i
\
ò‹ Ñ

H  e  c  l m S j  R T!P 8  K U 8  Q
i \!ò Ñ ý  0 ≤ j ≤ 4 − k. Ë!Ì ½ B 0 !S j  R
T
P
8
 K U
8
 Q
i \
ò
P
+
V Ñ X
Y
Z
W A ⊂ S B . ù
Ó * Ñ È Ï W 0 ≤ k ≤ 3,

Ž} +
N

Ak

j

4−k

k

j

j=0

Ak = A k

4−k S

Bj =

4−k S

Ak Bj .

7 Ï ‡ Ÿ
X
Y
Z +
V  !½ Ñ\[
Y Ç
ᬭ Z ¿
À j=0

Ë ]  ð T ZÑ\[
8
 

P (Ak ) =

4−k P

j=0

5◦ ,

¦ W Õ  
¿ Ï

P (Ak Bj ) .

Ò + V A B c Ñ W k Ø0 R K-Q i
^!ò Ñ H W Î0‹ j  R l0]m ~HE
Ñ K U
8
 Q i
^
ò \
ý ‚  Z 44 
Q 
^ ò 13 − 2k − j j=0

|Ak Bj |.

k

 ‡
ô ZžŸ ¦:

j

j 13−2k−j |Ak Bj | = C4k C4−k 2j C44 ,

P (Ak ) =

4−k X

P (Ak Bj ) =

j=0

=

4−k X j=0

4−k X j=0

j 13−2k−j C4k C4−k 2j C44 13 C52

13−2k−j 4! 2j C44 , 13 k!j!(4 − k − j)! C52

k = 0, 1, 2, 3.

W Ñ ‚
ú  4  R
T Z Q F
a
b
c
^ d K‡W  f  Z ;
_ `W Ü Q( k e

RZ
h T ), 8  Z ^ d K U Q( j e R T ) f0ü g ^ d K ê g ^ d Q(W Z 4−k−j e
R
T )
e i
“j
k
k
l ” m
n
oqZ p m Q B no 
‘ {:

AB = {3, 5}

|AB| 2 = . |A| 3

P (B|A) =

€ — A  { Žp @‹

J³ ­ K u  „F ‘’
¡
¢ iMƒ 0 Š Ω = {1, 2, · · · , 6} <
³ ¦
§|} (2.3.1)

(2.3.1)

™š
¯‹

P (AB) =

|AB| |Ω|

= 26 ,

P (A) =

„…† ‡ˆ‰
‚
ƒ (2.3.1)

} d „”“:• – O *‘ d CD˜ |A| |Ω|

=

3 6

.

P (AB) 2 = . P (A) 3

P (B|A) =

(2.3.2)

„›  O œ ­
‰8 y c 2.3.2 
ž s
Ÿ ³
 
¡ 1, 2, · · · , 10 10 ¢
£
¤¥
¦
§
¨ ­ ¢ d© §, £¤  ¡
¥ª@ 3, g >« ¡ ²³dM´ pµ P (B|A). °± (2.3.1) Ž P (B|A) = = = . ¶· _¸¹ |AB| |A|

4 8

1 2

Ž º ²³dM»¼½ µ  P (B|A) = = = . ¾¿ÀÁÂÃÄ (2.3.2) ŽÅÆÇÈÉ ´ÊÊ P (AB) Ë P (A) Ì”Í uÎÏЭ ® P (B|A) ºÑÒÓÔÕÉ Ö× 2.3.1 Ø (Ω, F, P ) έ®ÙÚÛ A ∈ F, B ∈ F, «”Ü P (A) > 0, ÝÞ › °±

P (A) =

(2.3.2)

|A| |Ω|

=

8 10

= 45 ,

P (AB) =

P (AB) P (A)

P (B|A) =

2 4

|AB| |Ω|

=

4 10

= 52 .

1 2

P (AB) P (A)

(2.3.3)

ß Îà”á:â A Æãºäåæ Û B Æ㺠ÏЭ®ç èéê ¹ÛMÏЭ®½ë ÔÕ à­®ÙÚ (Ω, F, P ) ¾ º ­®ìíÛ éî ½ï ð ­® º 3 Ïñò Óó ÛMô ÉMõöÓ ÛM÷ø Óù ´ú´û Ó çMüýþ æÉ Öÿ 2.3.1 (2.3.3)
ÔÕº ÏЭ®ï ð ­® ºõöÓ Û©÷ø Óù ´ú ´û Ó 3 Ïñò Óó ç  É õöÓù ÷ø Ó î Û ý :´ú´û Ó ç ë ú
À
À  º  Ð
Û A ∈ F, P (A) > 0, Ý {AB , n ∈ N } Ø {B , n ∈ N } Ñ ½ë Ñ úÀÀ  º ÐÛ ¶ ­® ºÓó 3 ô´ú´û Ó â n

à¾
À»Ê

n

P P (A),



∞ S

ABn



=

ô (2.3.3)


n=1

∞ P

n=1

◦

P (ABn ).



§2.3

53 P



∞ S

ABn |A



=

∞ P

P (ABn |A).

 (2.3.3)
ÔÕº ÏЭ®½ï ð ´ú´û Ó ç  Á Ô  (2.3.3)
GÔGÕGº P (B|A), B ∈ F º! ëG´GìGÙGÚ ¾ Á­®ìíç#"$ÏЭ®%&­®ìí º & Óó 1 − 12 . èéê Ω, F ºÑ ¹Ûà (2.3.3)
”Ü:Çȯ ¸ P (A) > 0, ëÎ'(ý)* Î 0. à,+.- º è ±/0 Ü? ÛÏ Ð Ñ¯ ¸ ÑÒ1ç 2 ï ð çkà Þ34Ñ56789:;< 
Û ÇÈ=Þ4
Ñ5> :;º:@ ´Ê Þ (2.3.3)
AB Î n=1

n=1

◦

C Ð

A

ù

B

◦

P (AB) = P (A)P (B|A),

(2.3.4)

P (AB) = P (B)P (A|B).

(2.3.5)

ºDEºF ß Ó Û éî ½ èé &

 G À Á 9
G ¹'HIGÀGÁ  ÐG» ÆGãGº:;GºJ
MÛ ´GÊKL ÈMNGµO Á  Ð ºPQ Û µ þ æºRS:;ºT ³ ÔÉ Öÿ 2.3.2 (UWVWXWYWZ Ö ÿ ) Ø (Ω, F, P ) Î :W; Ù Ú Û {A , k = 1, 2, · · · , n} ⊂ þ[ P ( T A ) > 0, Ý & F. k

n

k

k=1

P

n \

Ak

!

= P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 A2 ) · · · P (An |A1 A2 · · · An−1 ).

(2.3.6)

 ]É \^ (2.3.5) Ä_`³ô´ç  Á ÔG ¹'HI O Á  ÐG» ÆGãGº:;GºJ
Ûa Ücbd ¹Gü º "Gà O ÎÏÐ :; ç"$Ûe ! HIÏÐ :;f )ghç iCj  2.3.1 ù  2.3.2 ºklmn Û ÇÈopµ ´Ê&GÀqHIGÏGÐ :;Gº r
³
ç Ñ q
ë \ ^ (2.3.3)
Û 
é
î ë Ñ q s Ý
Ó
º r³
ç ÇÈ = è opt (2.3.1) GÛ  Ð A ëzGÎ Ñ
{´uv ¹ [ºwGÑ q¹rGü ³GçMÛà}x~ y
Û HIGÏGëÐ K :; zP (B|A) μòÙÚ€ º Û‚ƒë  2  º |  º   Q º Ì G Ç È A xHI„GÏGÐ :;GºJ
3 HIGÏGÐ :; ç  ë Ñ qGà… A ' º ¼GòGÙGÚ Ì ¾H I
Ï
Ð : ;
º r
³
ç  q r
³† N ‡D ˆ^ à‰ O %Š /0
º H I Ü ÛŒ‹ -   õ -rÛŽ ÇÈop ç 提3 €‘ÁÂÃç ’ 2.3.3 “”ÜC” & 7 Á•C– ù 3 Á—–Û Ü „ ” i D˜™š› 3 Á–çlá âa Ü:ÌÑ ë—–Ûœ¸až– 1 ë•C– º:; ç Ÿ É ÇÈ Ê A   a Ü & Ñ Á–Η– º ÐÛ Ê B   › 3 Á–Î 1 — • ÐÛh 3 HIÏÐ :; P (B|A). Î$ ÇÈ Ê Ω   Ñ {´ 2º¡›| [ 2 º k=1

¢£¤ ¥¦§

54

ºQ Û ¨â |Ω| = C , |B| = C C = 63.  è é Ð  a © FÁ–SÎ —– A, ¶ a op Ð Õ ç “& Ñ   Á –Η– Á”–à ®ëª•Cè– é  "k $Î “« ¬ & Ñ  ¶ |A| = C”, − C F=­85. ¯oA pÝ µ B ⊂“A, › ° & 3 AB = B. üà ”,ÇÈ ± Ê|A¸ |  = É C , , P (AB) = P (B) = . P (A) = = =  ë  x  ²  Ï Ð  Û  I  S :;ºÔÕ 3 10

1 3

2 7

c

3 10

c

3 7

|A| |Ω|

|B| |Ω|

85 3 C10

³  ë Û  Ç È ½ ± ÊK

63 3 C10

&

.  Î  ¼  ò  Ù  Ú  Û  x ² I A´ (2.3.1)
µ¶ = = . P (B|A) = ç ÇȐ3· 0, k = 1, 2, · · · , n, ÝF ¼
S B ∈ F, 1 & 58

6 13 .

1

5 13

2

7 12

1

4 13

3

2

6 13

1 6

5 13

1 4

n

4 13

64 156

n

k

k=1

1

2

n

k

P (B) =

à ± ú äBæ Ê è D & É P (B) =

n X

P (Ak B) =

∞ X

P (Ak B) =

k=1

n X

P (Ak )P (B|Ak ) .

∞ X

P (Ak )P (B|Ak ) .

(2.3.8)

k=1

 Á Ô º ý C ðÛ (2.3.7)
ëa n = 3  º
T ÂÛ ÇÈ á:à
U ª G ¹' y
º ýW V
XçY
Z ð,ÓW[ Û Àý :ç  2.3.7 ºklmn Û ÇÈ €
.'® :;J
º
\ 4ç:à Î^ y J
Û  ß m èé op e !¡
] Ω º )
Q {A , k = 1, 2, · · · , n}. þ[ ¡
] é Û Ý ðÊ
^
.  Ú HI º"_kº ç æ3 € Ñ
/ ÂÃç ’ 2.3.8 `babc ºWÉ Ñ Û ž Û H Íbd Ú ãe » Ñbef Û eWd # Þgbe d º , , ô f ; ) ý Î 1%, 1% ù 2%. ü  y cefÜҘ ™ š ›Ñ Ð
Û]œ
¸y e
f ë ô fº :; ç Ÿ É Ê Ω    & ±2ºš›| [ÛMÊ B   › ¹ º
e
f ëô fº Ðç / 0 Ûà žS Û H âÍ
y deÚ f ë ÁdGÐÚ ç ãeGë º ç S ë  )  ý ë Ê A , A , AÁ)
Q  Ûy ‚eƒf & ë É Ñ ã
eº S A , A , A F Ω ºÑ k=1

k=1

k

1 2

1

1

P (A1 ) =

Þ L È
$ã

1 2,

2

P (A2 ) =

ÛMô (2.3.8)


ÇÈ3 ;ö ·
V
U ÿ9 ú  6 ³  V â O èAUœê V íêýâþêÿ 4Câ ´ ñµ â ¶ î
Æ zp
W
X= ˆ 2.4.3 ‰ \ p §©Å † V º»¼ ­à p = q = . ÐÑ À ©Å Á N ÒÓÔÅ O, > p  ¸ ¹ I ÒÓ  9 Ë \ ÅÃ9
: † ¼ ­ R
; ‰=< l
>? R Ô @ÅA Õ\ † ;ƒt n žlÌ = J k, 0 < |k| ≤ n O ”    Wí n ˜ k éåæ ;  2 C −C , p = Wí n ˜ k î åæ .  0, {
FG ä ‘ K n H k ' ‘æ ª \ J ] IÆ [ à †ÕG
' ‘å ª \ J ]\ L v
wrs= [ 
| Œïð t ‹ †FG > de ¶ LpoŽ;ƒo ‰ \ Ð
u 2.4.6 (k §x©xÅ † ™ k‚ \xºx»x¼ ­xà p = q = \ S ÅxV k Í k } k ~ k  € ) x ¸ ¹ I Ñ À 9©Å Á N ÒÓÔÅ O, 56Õ ž 9Ë n à #
„ ? ž R ÒÓÔÅ O . ¸
J ƒ \ ;ƒt 1 2

(n) k

1 2

−n

n+|k| −1 2

n−1

n+|k| 2

n−1

(n) k

^ _`a
A @A ©Å ž 9Ë n à #
„ ? ž R ÒÓÔÅ ¸ \ Á J
\ ƒ ÒÓ ¾ U
V • C  9 à  © Å  9 Ë † A ÙÚ n K k^ + k ≡ 0 (mod 2), 0 < |k| ≤ n . =: … ê \ po M = † n =n2m 9à l §2.4

†

P (A) = 2

m P

9Ã l k=1

(2m)

p2k

=2

m P

k=1

69

O

\ BCt ò , †


m+k−1 m+k m 2−2m C2m−1 − C2m−1 = 2−2m+1 C2m−1 ;

n = 2m − 1 m m
P P (2m−1) m+k−2 m+k−1 m−1 P (A) = 2 p2k−1 = 2 2−2m+1 C2m−2 − C2m−2 = 2−2m+2 C2m−2 .


V
!píà  >
‡ k=1

k=1

[n]

2 P (A) = 2−n+1 Cn−1 .

X D m
%ÐL ˜
M N rslš \
ˆ ˆ t u 2.4.7 § G ‘ j lk‰xlkXk! ] W \kŠ O ]x\k‹ ª g(x) \kT x= g(0) = 0, ¹ = g(j) + α (x − j), j ≤ x ≤ j + i, j = 0, 1, 2, · · · , n − 1, – ‰ α = 1g(x) ‹ M $
" » ‰=Œ l f T  ‰ \ j l ‹ ª t FG # ‰ º»

Ž Ð ¯ −1. L ‹ ª à 6 º» BC A \ ;ƒà – ‰ A @A j Ž  \
‹ ª g(x)  N W
X ˆ T = Ø (0, n] ‰=< l v }. G = {g| g(x) †
 šÊ¹ 6 i§ £7Â
j b (1) œ¶Ëh˜Ê¹ 6 i 6 (2) Æ9¶9Ë h9˜9Ê9¹ 6 i 6 (3) œ9à9Ë h9˜9Ê9¹ 6 i 6 (4) k9È9œ9à9Ë h9˜9Ê9¹9Ú  § i9¨ 6 (5) =9œ9§ h9˜9Ê9¹9ڝ§ i¨6 (6) k9È9 œ9¶9Ë h9˜9Ê9¹ 6 i9º 13. r –9è (r > 1) l m9  n o9£ ¸ píxõ9ö9£ ×9Ñ q9  Í89ðr9¯ ms t r − 1 –9è9™9§ F9¶9–9º ¼ * u  9§ ²9³ b (1) m  n Ñ9£   v9œ&$Bíxã9™ 6 (2) m  n (n < r − 1) Ñ9£v9œ9è w  J9àÑ  ( íxõ9ö9Ý q9  x y&jfw  1 Ñ ); (3) Æ n Ñ z&9íBm9¹9º 14. œ 3 –9—9˜9£jï9Æ j –9—9™ #9œ N –žx 9¡ M –9¢9 9£ j = 1, 2, 3. ­9®9´9µ9¶9–9— ˜9£j·9¸9™ % #&$x¯²³ µà–9 £`Ýĝ¬9¶Ÿžy¶¢ºj»¼{à9– 23ëŸÅxƝ¶–£jÆ+ –9£jÆ9•9–9—9˜9§ º   AºB19¸½—9™ 15. ¶9–9—9˜ |9ë #9œ N –žx 9¡ M –9¢9 9£ Ö } ~ 9¶9–9 £[ Ì % #&$x¯9­9®9µ9¹¶9 £`ÝÄ9¤¥šgŸžx º`»9¼}~ª ¬žy § ²³ º 16. C9™9›9œ m c9Ó €9Ï9Ð9£ n c9Ñ €9Ï9Ð (Ñ €9Ï9Ð9§9à9Ô9Í 9œ ‚ ƒ ). ï C9™ F9µ9¶ c9£ „ ¤ …9Ê r Ñ9£†j  ×9Ñ ]  ‚ƒº‡{cˆ‰ gŠ€‹Œ gŽ
 17. (‘’‡“ ) ”•–‘—˜™š›‘›œ A ] n ž‘’Ÿš‘œ B ] m ž‘’™ ˜ n > m, ¡ ¢ ‘ ’ ‹ • £ ¤u –¥g8¦ r‹™!§ ¨b”© ’ª«˜˜ ™ A ‹ ’ ¬ ­ ® ¯ ° ‹ Œ  ± . 18. (² ) ” ‘ ’ ‡ “ ˜ © x A ³ ´ µ ¶ ‹ ‹ Œ  · 19. ¸ ¹ 2n – º » ¼ ½ ™¿¾ – ¼ ½ ˜ À Á ‹ Œ   à p. ¼ Ä Å Æ Ç ¬ È É ‹ ¼ ½ Ê  À Á ™ Ë Ì À Á Í ¬  à n + m (0 ≤ m ≤ n) ‹ Œ  · 20. Î Ï • Ð Ñ Ò ™ÔÓ ¾ –Ñ Õ˜Ö ×ØŒ p Ù 1 − p Ú Ê • Û Ü Ý Þ • Û ·.ß ÑÒà ­á Æ n Û ™[¼ Ä â (1) Ó Ý ã ä å æ ç Ñ è n + 2i Õ ‹ Œ  é (2) Ó ‹ Ñ ê ”  ë 0(Ý ã ) ä å ë  N Û ‹ Œ  · 6.

1

1

2

2

1

1

2

2

1

2

n

j

n−m n+m

j

n

n

§2.5

ìîíðïòñîóîô

71

õ ö÷ø÷ù÷ú÷û ÷ üîýîþîÿ















 üîýîþ


 !#"$% &îü ýîþ

'
( 
)
* 
!,+-
. 
/0
12
3 4
îüîýîþ

 ! §2.5

5
6
7
8
9
:
;
<  A = B ÿ?>? ???@?A (Ω, F, P B ?C?(?3?4?B ?D?E?F? P (A) G ÿ
H
>
!BI *JK
/

L
 . E
M

(
N
O ! P (A|B); P (B) G P (B|A) P 2.5.1 Q
R ' 51 (
>
S
BT 30 U 21 V
WBR
X '
Y
Z 17 [ BT 9 U !]\
^
_
`
a Rbc 1 [ ]d
e
f A = B g
h a [ ÿ U
i
= ÿ
Y
Z

3
4 ! 8V j
k
l
m

n P (A) , P (B) , P (A|B) , P (B|A) . o n +
- ' |Ω| = 51 , |A| = 30 , |B| = 17 , |AB| = 9 . p f §2.5.1

P (A) =

30 10 = , 51 17

P (B) =

30 10 = , 51 17

P (B) =

17 1 = , 51 3

P (A|B) =

17 1 = , 51 3

P (A|B) =

9 , 17

P (B|A) =

10 , 17

P (B|A) =

9 3 = . 30 10

 Xq
rs
t
u v' P (A) 6= P (A|B) , P (B) 6= P (B|A). /
w
x
*
D
y
z m B
{
4


H
|
}
{
4

 !B~ ÿ

'
N
€
 j M m N
n P 2.5.2 Q
R ' 51 (
>
S
T 30 U 21 V
WR
X '
Y
Z 17 [ T 10 U !]\
^
_
`
a Rbc 1 [ ]d
e
f A = B g
h a [ ÿ U
i
= ÿ
Y
Z

3
4 ! 7V j
k
l
m

n P (A) , P (B) , P (A|B) , P (B|A) . o nƒ‚

„
…
' |Ω| = 51 , |A| = 30 , |B| = 17 , ~ ÿ
†
' |AB| = 10 . "
$ P (A) =

10 1 = . 30 3

 X q
rs
t
u v' P (A) = P (A|B) , P (B) = P (B|A). /îÿ
(
‡ ˆ
‰

‚
Š ! /

‹ ‚
Š
Œ
f 

Ž 3
4 B 
i
G
 &
3
4 A 
i

‘
'
’
“
”3
4 ÿ &
3
4 B 
i


‘
'
’
“
 `
•
–
-
A “—
˜ üîý ”. ™
 A 

i


š
›
œ

Œ
ž
 l u P (A) = P (A|B) , Ÿ
 
¡ ' = P (A|B)P (B) = P (A)P (B) .


š
›
œ
 ¡
¢ Œ s  • l u P (AB) = P (A)PP (AB) (B), Ÿ
 ™ P (A) = P (A|B) ,

P (B) = P (B|A) .

(2.5.1)

"
$ (2.5.1) £ 
C
(
| £
¤ >
¥
H Ž
ý  ¤ >
¥ Ž ý !B+
-§¦ X§q ‚
Š§¨
© I

œ
ª
n l m



72


« ¬
­
® ¯
°
±
² ³ ´ 2.5.1  A = B ÿ
>



@
A (Ω, F, P ) 
C
(
3
4
 l u '
P (AB) = P (A)P (B) ,

(2.5.2)

µ
¶ 3
4 A G 3
4 B —
˜ üîý
B· ¶ I üîý ! l Xp F A G B —˜ ü ý ‰¸¹ A º»¼½¾ B 9º»¿ÀÁÂÃÄ  ! B º
»
¼
½
¾ A 9
º
»
¿
À
Å
Á
Â
Ã
Ä l uÇÆÉÈ§Ê E§Ë§M§ §M§Ì§Í§Î Ê §C§(§N§O§Bϧ'§Ð§} +§-   ü ý þ§ §Ñ ª ! 
N 2.5.2 ” U
i  = 
Ò R ”Y
Z
Ó
Ô , p f “ÿ  I U
i ” & a i ÿ I Y§Z ” §Œ§Õ þ§ §Ö§×§‘§'§’§“ ! — w§ §B§N 2.5.1 É U§i É §Y§Z “  Ø N×}Ò R YZ Ø N "
$ Ùvž a i I Ui {
4 m #ÚîÿY
Z
{4

 …Ï×}Ú ÿYZ

{4

 A * !ÜÝ ÖÞßàáÏTâ
㝠! P (B|A) Û ™ üîýîþ

œ
ª
ä
å
æ c m q
t  ! ³
ç 2.5.1  A = B ÿ
>



@
A (Ω, F, P ) 
C
(
3
4
 µ
è 3
4 A G 3
4 B —
˜ üîý
¥
 l
m
é &
3
4

A
 —
˜ üîý
n (1) A G B ; (2) A G B ; (3)A G B . ê
ë n ˆ
‰
 P (A) = P (AB) + P (AB ), ì™ (2.5.2) £ BŒ  1 3

c

c

C

c

c

$
í g J A G B —
˜ üîý ! T – y
z
Œ
î
ï
ðJ !


œ
ª 2.5.1 ÿ +
- &
}îüîýîþ p m
œ
ª
òîÿ
ó
ô
C
(
3
4îÿ  üîý
X ñ




õ
ö !÷
ø
 è +
- ` 
 X ðJC
(
3
4
îüîý þ
¥
 ¡
ùú
û
È ð J (2.5.2) £ E
ü Ž
! ì
ý
þ a £ Ž ý
 Ÿ
 
—
ÿ
C
(
3
4 ¡
œ —
˜ üîý ! P 2.5.3 
A [0, 1)  \
^
(
L
Bd
e
f A = A g
h a L

A [0, )  = [ , ) 
3
4
 j 
B3
4 A G A ÿ 
—
˜ üîý 0 §

}

§  ! 姞 A A = [ , ),  P (A A ) = • P (A ) = o n /§

f (2.5.2) £ Ž ý
 "
$ A G A —
˜ üîý ! P (A ) = . p è ˆ
‰  +
- p f
F “/
0 
} 
 ”, ÿ "
I “Lîÿ 
A [0, 1) ÿ  \^  ”. %   c ÿ œ
ª 2.5.1 v 34 ü ý þ ÿ G 
@
A


  ' 
!  

N
O +
- p   
Ì
@
A Ω = [0, 1); 3
4 σ  F ™

' Borel O Ž  P I Lebesgue  !! ÿ

/
(


@
A
 p [0, 1) p q
C
(
3
4 —
˜ üîý #! "
I & Ø  +
- Ë
E
M m ñ
N
O ! P 2.5.4  Ì@A Ω = [0, 1); 34 σ  F ™ [0, 1) p ' Borel O  Ž! &

$ O P (AB c ) = P (A) − P (AB) = P (A) − P (A)P (B) = P (A)(1 − P (B)) = P (A)P (B c ), c

1

1 3 4 4

1 2

1

1

2

[0, 1)

1 2

1

Borel

E,

2

1 1 4 2

2

2

%

P (E) = k:

X 1 2k

∈E

2

1 , 2k

1

2

1 4

1

ì íðïòñîóîô î 73 ‰
í 3
4 E


|
} E  p '& l '
= ! H ( ð (Ω, F, P )
Kîÿ


(


@
A ! ‚
f A g
h 3
4 [0, ), f A g
h 3
4 [ , )( ˆ
‰  3
4 σ  

$ )
Óîÿ
3
4 ). j 
 A G A ÿ 
—
˜ üîý o n ™ ‚

*
+ £  +
- '



 P = , = + = . P (A ) = P 0, = ; P (A ) = P ~ ÿ
†
' §2.5

1 2k

1 2

1

1

∞

1 2

1

k=2

`
•

1 3 4 4

2

2

1 2k

1 2

1 3 4 4

2

P (A1 A2 ) = P

1

1 4, 2





1 4

=

1 2

1 4

3 4

.

P (A A ) 6= P (A )P (A ) . ž H
ý  f Ž  (2.5.2) £ p A G A H —
˜ üîý !  ,áâv +- Œf ûÈ 
Ì- þ.E
óô
34
îü ýîþ0/1 Œf [ I _ œ ü ý þ 2 !,"I /
‹y
z m #Œ
f ` r
s tu ÿ 
G34 —5 )
E
ó
ôîüîýîþ

œ
)
îþ ! P 2.5.5 6 798§[§—§˜ ü ý _ é Û   : ; § j§k §d
e   n ?
@
BC [  c ñ ?' — |


 ! o nƒ
/
0
B
œ 678
[ “üîý _ ”  =>
 è …îÿ )

! f E gh 8[  c ñ ?' — |
3
4
 Ëd
e
f A = B gA  h v 6 = A 7 c k ? ñ
3
4
 k = 0, 1, 2, · · · , n , å
ž E = S A B , ì
ý è i 6= j ¥
B3 4 A B G A B ˜ H —B   ' 1

1

2

1

2

2

k

n

k

k

k

k=0

i

i

j

j

P (E) =

n P

P (Ak Bk ) .

}
C
üîý _ =>
 p f
&C
( k, 3
4 ™î [
— ˜ > ÿ;
¥ c ‚
* “—
˜ üîý ” = “˜ H —B ” C
(
H
>



 + -
 m  D
 E c “—
˜ üîý ” = “˜ H — ä ” /
C
(



e ! P 2.5.6  A = B ÿ> @A (Ω, F, P ) v C(34 ý P (A)P (B) > µ
è 3
4 A G 3
4 B ˜ H — ä
¥
 –
- ù H —
˜ üîý W w

 è –
- —
˜ üîý 0, ¥
B
œ — ä ! ê
ë n þ %
ˆ
‰  –
- ” —
˜ üîý ” è ýF è = P (A)P (B) > 0 ; •
–
- ” ˜ H — ä ” è ýF Pè (AB) P (AB) = 0.

«
¬
­ ®
¯
°
±
²

74

G
6
7
8
9
:
;
< 
(
3
4
îüîýîþîÿîH ý

C
(
3
4
îüîýîþ
IJ X
 ~ KL

 !  A , A , · · · , A ÿ
>

(


@
A (Ω, F, P )  n (
3
4
 l u –
-
A ˜+ - ü' ý Ÿ  Tâv $ ‰ 
M d
34

A ÿ è ÿ —
˜ üîý
! f n = 3 I N —
§2.5.2

1

2

n

³ ´ 2.5.2  A , A , A
ÿ >

(


@
A
—
˜ üîý
 l u l
m 4 (N £ Ó Ž ý 1

2



(Ω, F, P )

3

3

(
3
4
 ¶ –
-

P (A1 A2 A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ); P (A1 A2 ) = P (A1 )P (A2 ); P (A2 A3 ) = P (A2 )P (A3 ); P (A3 A1 ) = P (A3 )P (A1 ).


/
0
 è ýF è 4 (N £ ÓOP
Q
Õ
F 3 (
3
4 A , A , A —
˜ üîý ! l u ' @ ñ 3 (N £ OP
 µ
¶ 3
4 A , A , A 5
5
:
; . F  œ
ª
Œ
ž
 —
˜ üîý

œ
C
Cîüîý !~
D
E
F
CCîüîý
HÕRS —  ™
X q ˜ üîý W • ý™T
(
| £ 
H

œ
Õ
æ c @ ñ 3 (
| £ ! M
U
N
O ! P 2.5.7  Ω = (0, 1); 3§4 σ  F ™ (0, 1) p ' Borel O   Ž W P I ! % Lebesgue  1

1

A1 =



1 0, 2



, A2 =



1 3 , 4 4



2

2

3

3

, A3 =



1 5 , 16 16



∪



9 13 , 16 16



.

jV 
3
4 A , A , A ÿ 
—
˜ üîý ! o n,åž P (A ) = P (A ) = P (A ) = , P (A A ) = P (A A ) = P (A A ) = , ~ ÿ
†
' P (A A A ) = 6= P (A )P (A )P (A ), p f
3
4 A , A , A C
Cîüîý
 ~ H —
˜ üîý ! A W§3§4 A , A > X §BË % A = ( , ).

j V §3§4 P 2.5.8 §§§@§

ÿ 
—
˜ üîý ! A ,A ,A o nƒ/
(
N
O X,Y  þ
B‡  Z[ æ \ #! ] …
B
/
0
' P (A ) = P (A ) = P (A ) = , P (A A ) = , P (A A A ) = , P (A ∪ A ) = ~ ÿ
†
' 1

2

3

1

1

2

2

3

1 2

3

1 16

1

2

1

1

1

p f

2

1

2

2

3

3

1

2

3

2

1 4

1

3

3 7 8 8

4

4

2

4

1 2

1

(3 3
4
H —
˜ üîý ! P (A A ) =
$ €
 +
-^
ˆ
‰
 B
Ì
' f X C
(
N
O _` +
- n 1

4

2

1 8

1 4

1

2

1 8

4

1

2

6= P (A1 )P (A4 ) . P ((A1 ∪ A2 )A4 ) =

3 8

= P (A1 ∪ A2 )P (A4 ).

3 4

,

ìîíðïòñîóîô 75 è œ
ª 2.5.2 @ ñ 3 (N £ Ž ý
¥
BH§
œ
Õa
ð T §( N £ Ž (1) ý
 l N 2.5.7 p
h ! w Bœ ª 2.5.2 ] T (bbN £  H?ÕbRbSb@ ñ 3 (bbN £ ! 3 (2) õ§…§Œ§Õ§' 3§X BN 2.5.8 ¡§g JÉ#ced§f§' œ§Pª (A A AÉ)

=f§P( (A )PN (A )P §(AH ),Œ †§ ! ì§ý  N £

£ g P (A A ) 6= P (A )P (A ). p 2.5.2 H H
Õa
ð 3 (
3
4 —
˜ üîý
 • ý 
H
Õa P (A A A ) = P (A )P (A )P (A ) F ð –
- C
Cîüîý ! N 2.5.8 ^ _` +
- n íh  3 (
3
4 A , A , A B' A G A —
˜ ü (3) ý
 ì
ý A G A A —
˜ üîý
 A G A ∪ A —
˜ üîý
B
H
Õa
ð –
- —
˜ üîý
#/1
H
Õa
ð –
- C
Cîüîý !Ba N A G A ¡ H —
˜ üîý !B+
- þ 'i i ¦j œ
ª 2.5.2  f
(N £ #
Õklmn
(
3
4
—
˜ üîýîþ ! /UNO g Jv#(34 A
üîý þ

' ¹op rqsS
 ùú &Ttu
 v  ! m ñ +
-w c n (
3
4
îüîýîþ
œ
ª ! ³
´ 2.5.3  A , A , · · · , A ÿ
>

(


@
A (Ω, F, P )  n (
3
4
 ¶ –
- —
˜ üîý
 l u &$ x ' k, 2 ≤ k ≤ n, W$ x ' 1 ≤ j < j < ··· < j ≤ n , Ó
' §2.5

1

1

4

1

2

1

4

2

4

1

4

4

1

2

4

1

4

2

1

2

4

1

2

2

1

2

2

4

1

4

1

n

1

2

k

P (Aj1 Aj2 · · · Ajk ) = P (Aj1 )P (Aj2 ) · · · P (Ajk ) .

(2.5.3)

è ˆ
‰ B X
£  yz {
* 2 − n − 1 (N £ !  ¡ ÿ
F
 n (
3
4 ÿ

—
˜ üîýîþ G / 2 − n − 1 (N £ >
¥ Ž ý
|| !B÷
ø § n (
3
4
—
˜ ü

ý R S§*§TÇ9$ ‰ M?d§3§4 —§˜ ü ý W ~ ÿ§w È E§ íbh TÇ9$

n − 1 3 4§Ó —§˜ ü ý§B§H§Õ a§ð n (B3§4§ x á X§—§˜ ü ý ! Œ§f } c & $ ‰

x ' T$ k (
3
4
Ó —
˜ üîý
 ~ ÿ$ k + 1 (
3
4
Ó
H —
˜ üîý k, 1 < k < n


N
O !


y & — î
ï
 è 3
4 A , A , · · · , A —
˜ üîý
¥
 ¦
–
-  $ ‰ G n=2

M
d ¤ Ò
á ÷
I —
ÿ
&îý
3
4@
 p 
 n (
3
4
 —
˜ üîý ! ‚
 +
- w c 3
4 ~
îüîýîþ
œ
ª !

 3 ³
´ 2.5.4  A , A , · · · ÿ > (  @ A  @ A (Ω, F, P ) ] b 4
 ¶ –
- —
˜ üîý
 l u & $ x ' n ≥ 2, T $ n (
3
4
Ó —
˜ üîý ! /
¥
 +
-€ 3
4~ {A , n ∈ N } ¶ I
a

@
A îüîý
3
4~ ¤ üîý§3 4 ! å
ž
 {A , n ∈ N } I üîý
3
4 ~
B| |
}
& $ x ' n ≥ 2, W$ x ' 1 ≤ j < j < · · · < j , Ó
' n

n

1

1

2

n

2

n

n

1

2

n

P (Aj1 Aj2 · · · Ajn ) = P (Aj1 )P (Aj2 ) · · · P (Ajn ) .

«
¬
­ ®
¯
°
±
²

76

+
- E w c üîý
3
4~


(
N
O ! P 2.5.9 §§§@§A l >§N 2.5.7, í Ω = (0, 1); 3§4 σ  F ™ (0, 1) p ' Borel

O   Ž W P I Lebesgue   ! ˧ 0 < p < 1. & $

x ' n, ‚ a = 0 ,a =1, ì ‚ a =p; n, 2n

n, 0

1,1

a2,1 = p a1,1 = p2 ,


Ùƒ
œ
ª a)

2,3

= a1,1 + p (a1,2 − a1,1 ) = a1,1 + p(1 − p) = p(2 − p) ;

+
- Ë ‚ ä å a M c  l =u„a % q, = a1−p, Ÿ d  Ž ˆ  Ø I
C
(
× ‚

 +
- œ
ª k+1,2m

a2,2 = a1,1 = p ,

k,m

ak,1 , ak,2 , · · · , ak,2k −1 ,

  =…„a‡ I †
A (a

k+1,2m−1

p q

An =

L Ó ¦
A ) = (a

+ p (ak,m − ak,m−1 ) , m = 1, 2, · · · , 2k .

k,m−1

x = ak+1,2m−1

k+1,2m−2 , ak+1,2m−1

2n−1 [−1

(an,2m , an,2m+1 ) ,

(ak,m−1 , ak,m )

k+1,2m−1 , ak+1,2m ).

n = 1, 2, · · · .

} ÿ {A , n ∈ N } ÿ
A (0, 1) v  Î è … ÿ +- p  @Aâv  
3
4 ! Œ
f
ðJò&$ x ' n, Ó
' P (A ) = p , ì
ý
& &$ x ' n ≥ 2 = $ x ' 1 ≤ j < j < · · · < j , Ó
' m=0

n

n

1

p f

2

n

ÿ

(îüîý
3
4~ !

P (Aj1 Aj2 · · · Ajn ) = pn = P (Aj1 )P (Aj2 ) · · · P (Ajn ) ,

{An , n ∈ N }


: ;‰Š‹
9
¿
ÀŒ cd&Ž34 ü ý þ ùú u ¢ u ~ ÿ&} ü ý34  rs  †
'

+

 
/
Œ
f
Fîÿîüîýîþ



C
îþ’‘ 
 34 
 [ )§

þ ” ”§Œ§f û§È§r§s§t§u§G 3 4 y ¦ ü ý þ "§I §‹§§œ ! /§‹§§œ§

û

“ z
5 )•  E– (
! è A , A , · · · , A ÿ
>

(


@
A (Ω, F, P )  n ( —
˜ üîý

3
4
¥
 š
›
œ

Œ
f
· — I §2.5.3

1

2

n

P

•˜ ›
œ
 µ Œ
·— I

n \

k=1

P

n [

k=1

Ak

!

Ak

!

=

=1−

n Y

P (Ak ) ,

k=1

n Y

k=1

(1 − P (Ak )) .

(2.5.4)

ì íðïòñîóîô î 77 š›œ ·—Œ ™ ü ý þ
œ
ª™š 
!›˜ ›
œ
·—œ £ Œ æ l
m n ™ 34 A , A , · · · , A —˜ ü ý ž34 A , A , · · · , A  —˜ ü ý Ë ™ De Morgan › µ ž §2.5

1

2

n [

P

c 1

n

Ak

k=1

!

= 1−P

n \

Ack

k=1

!

=1−

c 2

n Y

k=1

c n

P (Ack ) = 1 −

n Y

k=1

(1 − P (Ak )) .

m ñ +
- E
1
2

 r
s
U,
á

N
O ! Œ ž þ§§ ÿ Ÿ  ¡N ¢ ¤  Ž N ¢§

£§4 “ ¤ " §§§§§ §&ÿ ÿ § §§ § §(§§ §d ¥ ! §Œ ž þ§§ÇÉ ¦ £§4 “ ¤ " §§ ¶ I £§4§ Œ ž þ
 ¦ N¢ “¤ "

 ¶ I N¢

Œžîþ ! ì
ý 

D
y
z m  û“ œ Ž N¢
é  ( £
4 “¤ "
3
4

Aîÿ —
˜ üîý
! P 2.5.10  lmé N¢âv é ( £4 “¤ " 34
A —˜ üîý ì
ý ( £
4

Œ žîþ I p , j
k
é N¢

Œ žîþ ! T k k

¦§¨©ª

o ¬n «N¢ 1 ­®
£ 4 1 ¯ n °±®
£ 4 ì"±³ ²3
f4 Eå
g
ž h N¢ 1 “ ¤ " ³ 3
4 ® f ® (

2.1)

1

•
X q C ° £
4 ¯ 2n
 °  ± ® = A d e g
h C °
£ 4 “ ¤

n+1 A1

2

P (E1 ) = P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 A2 ) =

n Y

pk +

k=1

2n Y

k=n+1

pk −

2n Y

pk .

k=1

«N¢ 2 s­ ® £4 k G n + k ì±® k = 1, 2, · · · , n. • Xq n ´ì±  °±² f N¢ 2  "³ 34 ® f A gh £4 j “¤ "³ 34 ® j = 1, 2, · · · , 2n. E gh “ ¤ å
ž 2

j

P (E2 ) = P

f

n \

k=1

(Ak ∪ An+k )

!

=

n Y

k=1

P (Ak ∪ An+k ) =

n Y

k=1

(pk + pn+k − pk pn+k ).

" ³ 3 4 ® g h
Ë Nbf ¢ 3 “b¤ "b£
³4 3 4 1 ® f  ŽA ³ g Oh N£ ¢ 4 k "b “ ³ ¤ 3
b 4 ® f B k = 1, 2, · · · , 6 . B g
h™ 1 4 “  ¤ g
h™ £
4 5 = 6  Ž ³ ON¢ “¤ "³ 3
4 ² å
ž E3

k

1

2

P (B1 ) = P (A1 (A2 A3 ∪ A4 )) = p1 (p2 p3 + p4 − p2 p3 p4 ) , P (B2 ) = P (A5 A6 ) = p5 p6 ,

³ ‡µ  [ ¶ £ í Œ ² · E ¸b¹ Nb¢ 4 “b¤ "b³bºb» ® · k = 1, 2, · · · , 5 . ¼½¾

Ë ¦

P (E3 ) = P (B1 ∪ B2 ) = P (B1 ) + P (B2 ) − P (B1 B2 ) = P (B1 ) + P (B2 ) − P (B1 )P (B2 ) , P (B1 ) 4

=

P (B2 )

Ak

¸b¹ £ »

k

“b¤ "b³bºb» ®

¿ÀÁ

78

ÂÃÄÅÆ

P (E ) = P (A )P (E |A ) + P (A )P (E |A ) . ¢ ¢ 2 ­ n = 2 ³ÎÏ ®#ÐÑ A ÇÈÉ ®#Ê 4 ËÌÍÊ ³2 +ÎpÏ −®#pÐpÑ ) . Ò « A ÇÈÉ ®#Ê P ¢ (E 4|AË)Ì=Í(pÊ ¢ + p1 −­ pn p=)(p

«

4

5

4

c 5

5

c 5

4

5

4

5

1

3

1 3

2

4

2 4

c 5

µ×

P (E4 |Ac5 ) = p1 p2 + p3 p4 − p1 p2 p3 p4 .

€¶ÓÔÕÖ

P (A5 ) = p5 , P (Ac5 ) = 1 − p5

P (E4 )

³ ¸Ø ÕÙÚ ²

Û Ü 2.5  1. ÝQÞQßQàQáQßQâQáQãQäQåQæQçQèêéQëQìQèêíQî 3 ïQáQðQçQñQòQóQèêôQõQöQïQ÷QøQùQúQûQüQý E = {þQñQòQÿ
Qî 1 ïQâQá }, F = {ñQòQóQîQàQá
Qî!â!á }. ô!î 2 ï!á!ð!ç ñQ
ò   2. Q÷Qø A  B ûQüQ è QöQ÷QøQó A Qß B 
QßQè B Qß A 
QßQ
ç 

Qã .  P (A)



1 4

P (B).


QïQ÷Qø A, B, C ûQüQè¬ëQì A ∪ B, A − B 
 C ûQü
  ö ç  ð è A = {


!
"
#
 }, B = {$
%

"
#

 }, C = {$
&

"

 ëQìQý¬÷Qø A, B, C öQöQûQü
'

(
Q) û!ü 5. í
*
+ 2.3.21 óQè, A = { $ i ï
-
.
Q / í
0
Q1 ð
23 }, ëQì A , · · · , A ùQúQûQü
 6. ë ì ý ÷ ø A , · · · , A ù ú û ü ç4567Q 8 ø ãQý:9
; ï Aˆ = A < A (k = 1, · · · , n), Qî 3.

4.

i

1

1

n

k

n

c k

k

ˆ1 · · · A ˆn ) = P ( A ˆ1 ) · · · P ( A ˆn ). P (A

ëQìQý¬ô
 P (A|B) = P (A|B ), =Q÷Qø A  B ûQü


Q÷Qø A  >
?0ûQüQè¬ëQì P (A) ä
@ 0 < 1. 9. Q÷Qø A  B ûQüQè, P (A ∪ B) = 1, ëQì A 
A
BQ÷QøQûQü
 10. 9
C
D
E
F

GQûQü! ç HI!,è $%G
HI!ç J!ó
" 0.4, $
&
G
" 0.5, $

G
" 0.7. C D  K ! I ó   %  G  L  M ! N ç " 0.2, I!ó &GLMN!ç " 0.6, OKI!óG=CD6 P M
NQ,è 
H
I

GL INC
D! ç  11.
Ý
;Q
ï Q
R
SQ
ó T
U
V
W
XQ
ç 

" 0.004,
YQ
ï Q
R
SQ
ã Z
T
U
V
W
XQùQúQûQü [ 100
ï Q
R
S
\
]
2
T
UVWX!
ç  12. ^
_ `ba
c
/
d
e
a
c n ï fbg
 ÝQÞQ
í a
c
h
i!
ó $ i ï fbg
j
kQ
ç 

" p ,
Y f gQ
ã Z
j
kQùQúQûQ
ü lQõ mQ÷!ø!
ç Qý 1) a
c
h
iQ
ó nQ î fbg
j
k
o 2)
ÿ p
%Q ï f g
j
k
o 3) 

@
%Q ï fbg
j
k 13. q
r
s K t rQè < r
s K  K u
v
t r v `bw t r
x K , K , K t rQ
ç 

y
G ã 0.4, 0.5, 0.7,
Y
r
sQùQúQûQü ,z`{w t rQç  14. |
 3 

Q
ç QðQè ÷Qø A }
~
$
%Qè &Q
ö 
Q
ð 
€Qù u
ç 
Qè ÷Qø B }
~
$
&Qè $  ð €!ù u ç !è ÷ ø C }~$%!,è $ 𠁀!ù u ç ¬é ‚!÷ ø A, B, C
ã Z
"Qý (1) öQöQûQ
ü o (2) (
)QûQ ü  15. Q÷Qø A, B, C (
)QûQüQ è ƒ

„
…Q
ç 
!
ä @ 0 ! 1.
é ‚Q÷Qø AB, BC ! AC æ Z
"Qý (1) öQöQûQ
ü o (2) (
)QûQ ü  16. Q÷Qø A, B, C öQöQûQüQ è ƒ

„
…Q
ç 
!
ä @ 0 ! 1.
é ‚Q÷Qø AB, BC ! AC æ ü o (2) (
)QûQ ü  Z
"Qý (1) öQöQûQ
17. A  B "QùQúQûQüQ÷QøQ è LQ÷Qø C Q÷Qø AB ! A ∪ B QûQ
ü 
é ‚Qè ÷Qø A, B, C c

7.

8.

i

1

2

3

1

2

3

}.

§2.5

†ˆ‡Š‰Œ‹ˆˆŽ

79

ã
Z
%QÞQöQöQûQüz

A, B, C, D "Q÷QøQè,ƒ
A ! B  C ! D ûQü
¬ëQìQý¬ô
 AB = φ = A ∪ B  C ∪ D ûQ
ü  19. A, B, C "Q÷QøQ{ è 0Qó A ûQü
@ BC ! B ∪ C, B ûQü
@ AC, L C ûQü
@ P (A),P (B) ! P (C) 
"

¬ëQìQè¬÷Qø A, B, C (
)QûQü
 20. ëQìQ‘ è  A , A , A çQöQöQûQ
ü ’
ƒ
%QÞ!æ“€„
…!ç!ù!ú!ûQü’ 21. ëQìQ‘ è 0
ä ” 18.

1

Qæ
“
€

2

3

P (A1 A2 A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 )

Qç öQöQûQü
’
 22. ÝQÞQ÷Qø A, B, C öQöQûQüQè,
•
– A1 , A2 , A3

ABC = φ,

éQë

x

ç
—
˜
™
"

1 . 2

P (A) = P (B) = P (C) = x.

CD = φ, AB,

ƒ


šœ›œ

žœŸœ œ¡

¢ £ˆ¤ˆ¥ˆ¦ˆ§ˆ¨ˆ©׈ªˆ¦ˆ«ˆ¬ ˆ ¶ ¨ˆ¯ˆ° º»ˆ±²ˆ³ˆ´ ªˆµ 19 ¶ˆ·ˆ¸ˆ¹ ˆ Ç ˆ ­ ® º¼»¾½À¿ÀÁ ¨ÀÂÀÃÀÄÀÅÀÆÀ© ×À¨ÀÇ ÈÀÉÀ¦À§À¨À© ×ÀÊÀËÀÌÀ¦À«À¬¼Í¾ÎÀÏÀÐÀÑÀÒÀÓ ÔˆÕˆ¨ŠÖŒ× ±ÙØ ¢ˆ£ˆ¤ˆ¥ˆ¦ˆ§ˆ¨ˆÚˆÛˆÜ Ó ÇÙ݈ª 20 ¶ˆ· 30 Þ ÔˆÇÙµˆ¦ˆ«ˆ¬ˆ¨ˆßˆà Õâá Êâãâäâåâæâç à åâèâé ¨ ±bØ Íâêˆëâìˆí Åâ⫈¬â¨ˆïâÇ{ðâñ Ìâòˆóâôˆõˆö ÷ ó ڈۈøˆù ö Ô ëˆúˆûˆüˆý ¢ˆ£ˆ¤ˆ¥ˆ¨ˆ¦ˆ§ ±




þ ÿ

§3.1

    ¢ˆ£ˆ¤ˆ¥ˆ¨ ôˆõ ¦ˆ§ Í ¢ˆ£ ì Ç ´ ó Ɉ¢ˆ£ ì ±  3.1.1  ¾ n ë 1 ë ±"! ˆó É ë É ë#$% ˆÇ ô Ñ $%../&' Ü.Ç0.(*.)+ *¨ +ˆ¨ $,Ç2- 1.± â3 Ç ¨.4 ¢ £.5 Ò.6 Ç ²„Ú.7 ª ξ $.= .Ò,.> - Ç=à=2=c=S=` 1000 á3Ü3Ý3â3‘39;r=á=Ü=Ýq“=ã=à=2=c=@=Ï=ä=J=K=L Œ 0.0001, F3ã3à323c3@3Ï3ä3J=Ü=Ý3W=Ò=Ä=Ô ± 2 ¯ J3K3L3E 13. >3å3æ3¶3ç3è3X3{3é=ê3ë=ì=Ï3í •=î=ï3ð 9 ‹ é=ê=©3Ú=W=í •3ñ T=ò3â=‘=EͶ=ç3ó=ô ­3í •3õ3ö é3ê3Ê ñ T3÷3J3K3L3Œ 0.6, ¬3­3í • Ê3÷3ø3ù3M3N3EúC3t3¼=û3K3L=â3‘=é3ê39 Q ¹ ¶3ç3ü3º3Æ3ì=Ï3í • ¯3H=° ý=Œ3þ=Æ=H¨Å 14. `œ9Ÿž53À3ÿ3­ 4 39 † 8 3S
4 39¦y3XœÀ3ÿ
3@ 39 3Q=R=T3U={=I3E (1) >= Ì    

  =
; 9 = F = Q = R = T ¹ v 3Œ  õ J39;ý=Œ =` =U=«={=y I=¨J=Å K=L (2) >=Ì=M=N=Q=R 10 I=9;T=U 3 I=9 ¹  S39;F3Ñ=†3> =@=S3w ={=Š=239 ={  r Š3J3K3L3E  15. “ Banach  16.  Bernoulli !" o3p3{3Q3R3` r ?3x3y # ° A , · · · , A , $3¬ P (A ) = p , p + · · · + p = 1. X ö Q3R3M3N 3O=P n I3E;F A G3@3A k I3J3K3L39;e3S k ≥ 0, P k = n. 17. “3M3N3O3P3J3 _ % Bernoulli Q3R3S39;F A “ A &' @3A3J3K3L39;e=S i 6= j. n

2

k

i

2

1

i

1

i

i

i

1

r

n

i

r

i

i

i=1

i

j

1

§3.3

Ñ7Ò5Ó7ÔË)()*,+.-

99

/1012131415161718

§3.3

9 :);)œ)?)@ ) ë ¢ ÝBABC  ¡  žŸED ¬ ¯ £BF ¤¥)C º)G ³)HEI.J…û.KBC)H)L Æ

éê)M)N £)F ¤¥)C)O)P Å H Æ ÕÖ 3.3.1 Q)R ξ S Ÿò
º»ó© (Ω, F, P ) Ý)C
 ¶ Ú)T  ´ £)
F -
.
  ´ ω ∈ Ω, ²³ ξ(ω) ∈ R, ã䯰± x ∈ R, (ξ < x) ²)S §3.3.1

(ξ < x) = {ω | ξ(ω) < x} ∈ F,

¸ žŸ ¯ý  (3.3.1)


Uå ξ S
 £)F ¤¥ Æ  Å ¯ ½ ! " #£VF ¤¥WIXJ ½VY L Æ- Ý Z ξ S   ! " # C Á £BF ¤¥B[   $ B \B] éB^ àB_)` é í ¶Æ QBR
$ )\)] ^ à ³   éB^ ¶  ¯ ½ %Wa Cý   a , (ξ = a ) = {ω | ξ(ω) = a } ²VS {a , a , · · · , a },  .Æb)c )  [ (ξ = a ), (ξ = a ), · · · , (ξ = a ) ï)Sd)H 
 ¯ Ω C Â)e  ´ ³ (ξ = a ) ∩ (ξ = a ) = Φ, i 6= j ; (ξ = a ) = Ω.  ãä ¯°± x ∈ R, ³ 1

2

n

j

1

2

i

j

n

n j=1

j

(ξ < x) =

[

j

(ξ = aj ).

(3.3.2)

é í  ¶ {a , n ∈ N } [  ³ô)f)C)g)R  ´ {(ξ = a ), n ∈ N } ï Â)e  ãä³ (3.3.2) Ù)dö Æ  ê ¯ ½
!
"
#£)F ¤¥ ξ, (3.3.1) ΩC ¯ ξ C°± 
 é)^ ¶ a, ²³ (ξ = a) = {ω | ξ(ω) = a} ∈ F. ! " #V £ F ¤¥  VÝ j VÅ k ÿ µ Xû HVl FVmVnVU S Ÿº»óVo ÝVC Borel Vé )¼ phVÚ )½ T i Æ - Ý qVr  m sÚ T V­ t é%ê ú1û  ¯ ½ °%±sl Fsmsn ξ, (3.2.1) Ù ¯°± B ∈ B , ²³ %,a B )u )v Borel w (ξÆ ∈ B) = {ω | ξ(ω) ∈ B} ∈ F,    é)ê x )y)z){ Q  g)| i } 0 3.3.1 QVR ξ S Ÿò º»V ó o VÝ CVl FVmVn È g : R → R ~ é)pÚ)T  η = g(ξ) è S Ÿ÷

º»ó)o )Ý C)l F)m)nÆ Borel ×m B)Ú €T  m BÚ T |B­])tˆ CBB‚  )ƒBqBÆ r Š)p ‹ À |BC )¸ )­  t ú5`)û~Ž)Á r) { g)|  …Æ „ ³BÆ †)‡  |)C))‚ Þ ‰Á g)| )

)Œ A Á g)|  ê ‘ a ’  ‘ Š ‹  ½   ‘ F B m n ” D “ ­ ® ÝF
-
‘.
| ½ Š)‹ éê ¯ F)m)°n
± Å l ÂÃ)Ú ξ,T • )° i±  T x, (ξ < x) ²)S)l S ¯)l $)C Q Z

é ê à 
 ¯ d)¼) H h Ù )½ i ¯ ½ ÿ

j

ξ

j: aj <x

n

n

1

1

100

')(* 7Ñ Ò5Ó7Ô Õ Ö 3.3.2 Q)R ξ S Ÿò
º»ó)o (Ω, F, P ) Ý)C)l F)m)n
 Š)‹å Fξ (x) = P (ξ < x) = P {ω | ξ(ω) < x},

x∈R

(3.3.3)

C ÂÃÚ)T Ƹ
)_½)–)—)˜)™ [  éê æ F (x) š)›)~ F (x). Š)‹ î))| ÂÃÚ)T C )œƔb)c
 °±)l F)m)n C ÂÃÚ)T F (x) S Ÿ  T w R Ý)C Ú)T Æ )
³ i Õ)ž 3.3.1 °±)l F)m)n C ÂÃÚ)T F (x) ²×³)Q  3 Ÿ )œ)i i£)¤)¥)¦ x < x , §)¨ F (x ) ≤ F (x ) ; (1) )¡)¢ i£)¤)¥)¦ x ∈ R , §)¨ lim F (t) = F (x) ; (2)©)ª)«)¢ i£ §)¨ (3)¬)­)¢ ~

ξ

ξ

1

2

1

2

t↑x

F (−∞) = lim F (x) = 0,

F (∞) = lim F (x) = 1 .

F)m)n ξ C)±)²)³ T £ F (x) = P (ξ < x), x ∈ R. F (x) S)l Z x < x [  ¨ (ξ < x ) ⊂ (ξ < x ), ´.µ)¶)C)·)¸)¹)º z F (x) C)·)¸)¹)» ¤)¥)¦ x ∈ R , -
.)¼ {ξ < x − , n ∈ N } ~)·)¸)C)½)¾ ¼)¿À)Á)Â ½)¾)~ £)z F (x) = lim F (x − ) , ¤ Ã)Ç)±)È)É)Ã x C (ξ < x), Ã)S,´.µ)¶)C)Ä)Å)Æ)¹ z x − ≤ t < x − , Í)Î t < x , Ê)Ë n ∈ N , Ì ®)¯ i° 1

x→−∞

2

1

x→∞

2

1 n

1 n

F (x) = lim F (x −

£ ¨

n→∞

n→∞ 1 n+1

1 n

1 1 ) ≤ lim inf F (t) ≤ lim sup F (t) ≤ lim F (x − ) = F (x), n→∞ t↑x n n + 1 t↑x

lim F (t) = F (x),

Ï)Å)Æ)¹ z)Ð »

Ñ )¿Ò)Ó){ lim (ξ < x) = Φ, lim (ξ < x) = Ω, Í,´.µ)¶)C)Ô)Ä)Å)Æ)¹ z Õ)Ö ¹)» mVn ±V²V³ T SV×VjVl FVmVn CV±V² ÕVØ CVÙVŒVm)ÚVn Û ¿Ü ‡VÝVÞVßV¿.àV V á V l â )¤)¥)¦)ð ï é ã)ä)å)æ)ç)è)é µ)¶)».ê)ë)ì.ë)í F (x) î)l)â ξ ±)²)³)ï a < b, ¨ t↑x

x→−∞

ñ ë ¤)¥)¦)ð ï

x→∞

P (a ≤ ξ < b) = P (ξ < b) − P (ξ < a) = F (b) − F (a) ; a,

(3.3.4)

§)¨

1 1 P (ξ = a) = lim P (a ≤ ξ < x+ ) = lim F (x+ )−F (a) = F (a+0)−F (a). (3.3.5) n→∞ n→∞ n n

ò)ó)ô)ð)õ,ö.¿ø÷ x = a î)±)²)³)ï F (x) é o)ù)ú)û)¿øü â)ý)þ ξ ã a ÿ è)é µ ¶
)î F (x)
Ë  ú
 é




 ÷ x = a î)±)
²) ³)ï F¿ (x))ü é Å)Æ ú)û)¿ü¥ ã a ÿ è)é µ)¶)ÿ 0; ë)í)±)²)³)ï F (x) Å)Æ ã â) ) ý þ ξ ) â ) ý þ ξ ¦ )ú è)é µ)¶)§)ÿ 0.
 (3.3.4)  (3.3.5) æ



 à)á ü â)ý)þ ξ é)è

é 
 Â é

.é µ)¶)» Ã


 Â


   ! "
#
$
%& ' 101 (B÷*) á ¿ ±B²B³Bï*+Bî*, ü âBý)þB±)² Õ)Ø ó å ×
-BÚ)Û ¿/.Bó
0Bü âBý)þ 1  ó
0 ±)²)³)ï ¿32 î æ)ç)é ü â)ý)þ)Þ
4)Û

5 ç)é ±)²)³)ï (
6
7
8
9 5 çBé ±B² ). :*B ; Ë*< 3.1.1 =  ?>A@BË ç ó*0 µB¶
B ? C
D á óB¼
E æ 5 ç)é ü ¿ Ý
; 1 8
9)ç
F)é ±)²)» ñ ë)ì Bernoulli â)ý)þ G 3.3.1 ° {ξ , n ∈ N } î*H 0 µB¶*B  (Ω, F, P ) øé óB¼ i.i.d. é ß p = ÿ
) I ï é Bernoulli ü â)ý)þ ¿ J §3.3

1 2

n

ζ1 =

K
L

∞ X ξ2n−1 , 2n n=1

ζ2 =

∞ X ξ2n 2n n=1

0 æVç)é ü â)ý)þ ¿ Ý
; 1 8
9 U [0, 1] ±)² ¿ O
P Ý
;
Q)î ζ )î
N M é ü ) i.i.d. â ý)þ)» §3.3.2 R
S
T
U
V
W
X
Y
Z :
;
[
\
] ó
^
_
`
a ±)²)³)ï M ü â)ý)þ
b )é
c
d » :*;?eAÕBB@ ÖÎ*f é¿ * ü âBýBþ é ±B²B³Bï 1 î*g*hBË ð ï*i ð R Ô*j*kB·B¸B¹ ¿ ÏBÅBÆB¹* j*k*7q r*Bs ¿ ÏBÅBÆ s  ¹ ÕBÖ ³Bs ï)é*»mt)l ïË*¿/n
K*o
L \*ÝB)p î
ì u ë)ó í g)Fî*(x)H î*0Bg*ü hBâBË ý)þ ï*é
i v*Rw
t Ô*ïy z
) { ó)ú)¿ î
)u Ê)Ë ó
0
)| ÷ é
}
~ B  (Ω, F, P ), Þ)ß)Ë)Ý)Ô

g
h ó
0)ü â)x ý  ÿy‚ ƒ é
v
w
t ïyx þ ξ, Ì
€ ξ ß F (x) ) ÿ
„ ¿ :
;
…
\
†
‡ ó
0 }
ˆ
‰ Š
‹ 3.3.3 Œ F (x) î
g
)h Ë ð ï
i R Ô é j
k
q r
)s ¿ Ï)Å)Æ s  Õ)Ö s é
t ï ¿ :
;
 ζ1

2

F −1 (u) = inf {x | F (x) > u},

u ∈ (0, 1)

(3.3.6)

é n t ï ‰ Ž Î ¿ ë
„
g
h é n t ï)î Ü
 é n t ï }
ˆ)é

‘
‰ Ü
 g
h
n t ï û
’ [ à*“*\ é*t * ï ”*• *– ‰˜—
Ð, *ö v
’¢w*¡ t ï*™
š 1 œ î*”
•BÔ
› é ’/œ ß
+*4
*)ý Ü é ž
Ÿ g
h
 
n t ï ‰æ
 Ÿ g
h é F (u) î
g
h)Ë 
 (0, 1) (3.3.6) é £ Å)Æ t ï ‰ ÷ F (x) î
”
•)Ô
› é Å)Æ t ï û
’ F (u) )î F (x) é ÔÜ
é)qÓ r
h
¤ é n t ï ‰ Ë < 3.2.4 =  ’ :
;e @
¥
¦ ’ ,
§
¨)ë (3.1.4) ’ Ÿ é
t ï F (x), ó®
Þ)0) ß
ü © }
~ B  (Ω, F, P ) ª
«)ÿ 
 (0,
é 1)v
Ô w

é t ¬ 
‰ ­ O
}
P ~ B  ò ËV
å ÝVv
Ô
w ®g
h 
 âVý þ¯
° ξ, Ì
€ ’ ξ± ß F (x) )ÿy‚ ƒ v
w  U (0, 1);
²
8
9 ò
å v
ï w)é ü â):
ý);

þ© )ÿ U (0,)1)ÿ ü â)ý)(0,þ ‰ 1) Ô é }
ˆ ’ :
;
)Þ)ß Ð,ö



)
Ô - ô)ð 
n t ï
ë ¤
³
´
µ)ì ÿ

F (x)

−1

−1

¶· ¸  ! " Š
¹ 3.3.2 ººgºhsË ð ïºi R Ôºjºkºq rºsº’ Ϻ»º¼ s  ÕsÖ s º é t ï 1 0)ü â)ý)þ é
v
w
t ï ‰ F (x) î
H ½®¾ ì¿© }®~ B  (Ω, F, P ) ªVÿ ® (0, 1) Ô é®¬ ®­ }®~ B  ’ …VV Ë ÝVÔ ü
ó 0 J , Ð ö 
g
h é
v
w
Ut (0, 1)é ü â)ý)þ η,‰ À ξ = F (η). :
;
\ ξ )î)ß F (x)  ÿy‚ ƒ ï â)ý)þ Á … ’¢¡ (3.3.6) Ÿ Ž Î 102

−1

F (x) > u ⇐⇒ x > F (u) . 1 ¡ η ÿ ü â)ý)þ)Î x ∈ R,  F (x) ∈ R, Í œ ß ξ = F (η) î ó
(ξ0)1.

ÿ ž Â


’ ß
Ê
:
; ó

+ Í)á p(x) é q 0 
v ‰ 
 ð ý t ï
´
ï
 ’ å

ï f ’ g
h
Ó R Ô é 

 q r t ï

µ
 ò
ó
t œ 

»
¼ t ï ‰ :

; \
â)á ó
0 ê
! ’ 7 ö ï ’ 
,
»
¼ t
ï b  ’ Q
 ó 
z ð ü
Ó 
»
¼
é v
w
t ï ‰ ) G 3.3.2 ("
#
$
%
R
S
T
U
& G ) Œ t ï F (x) é g
h ž
Ÿ ë
¤)ì Á … J

À J — Ê J é
' À J

F (x) = 0 , x ≤ 0 ;

F (x) =

F (x) =

F (x) =

(

          

F (x) = 1 , x > 1.

1 1 2 , <x< . 2 3 3 1 4 3 4

1 8 3 8 5 8 7 8

, ,

, , , ,

1 9 7 9

<x
0,

Z

D

£¤ +∞

[F (x + a) − F (x)]dx = a.

−∞

(

F (x) =

1 (1 3

+ 2x),

0 < x ≤ 1,

 £ ¤Ž (1) F (x) ƒW¥^_`a— (2) F (x) ¦§ƒ]¨‘N©§eƒee‘NeQ«ª¬e­ ™®E¯°±²‘e^_e`eaeNeG³e´eµef 1,

x > 1.

¶¸·¸¹¸º¸»¸¼¸½¸¾¸¿¸À :
;e @ é
Á µ
Â
Ã
ð
ñ
­ v
w ’ l
Ó
[
\


Â
Ã
»
¼
­ v
w
‰ : ;e @
ï
f ’ 

»
¼
­ v
w F (x) 1
Ä  þ

t
Å p(x), j
k
Ç
Æ
Ç
§3.4

p(x) ≥ 0,

F (x) =

Z

x

p(u)du, x ∈ R.

(3.4.1)

œ
È Ó


»
¼
­
v w û
’ÊÉ @ §


Ë
Ì þ

t
Å ’ O
P ÿ ž Â
:
’ + ú
â Í þ

t
Å Ì
q 0  v
Ì Î ‰ −∞


Ï Ð
Ñ
Ò
Ó
ì
Ô
Õ
R
S :
;e @
Ö
×
Ø 
 [0, 1] - Ì ¯
° v
w U [0, 1].    ’
: ;
 Š
‹ 3.4.1 Œ a < b, Ù
Ú v
w F (x) Ä 
þ Û
t
Å §3.4.1

p(x) =

1 , b−a

a≤x≤b,

(3.4.2)

Ü 
Ý
v w
Þ

 [a, b] - Ì
¯ °
v w ’ ±  U [a, b]. Ù*„*g*h:Ì p(x) 4 —:ß Â 0 }**~ þ:Û*t:Å ’ Ü Ž:à Í* *5 ( Ì v
w*t:Å
Þ (á 3.3) F (x) =

      

0, x−a b−a ,

1,

x ≤ a,

a < x ≤ b, x > b.

4’ œ
— È ’ U [0, 1] ß Ÿ¯®° v®w U [a, b] Ì â ã á 䮉 ¡ § U [a, b] Ì v®w®t Å F (x) ´
ß å
æ
ç
èy’óò ‚Êè é ’ x Ó
ê
ë [a, b] Ì
ì
í ,
ð
a î÷
ø b ï
- Ì ,
»
ð¼ á
ä ’ œÓ
€ (3.6.2) ¦
Ì F (x) ñ Â
æ
Ì „ É
Ê
ô
õ
ö
Ó
ê
ë
Ì  ö ß
à
ù

úóûýüóþýÿ
 107    à       Ù  Ù Ú   à Ì Å !" Ó

# $ Å í % & 5 ' ( 6 ' : ?à @Ì A   é ξ 1 2 3 /:UD (−5 × 10 , 5 × 10 ). 46587:9:; Ù # :BAC Y S a EFGHI AJKL  F A   R  S T ö MN COPQ  4UVOPW CX O:Z  [CO
ë ξ 23
ê
ë (0, a) \] U (0, a). ^_ ê
ë (0, 1) \]   U (0, 1) 4`ab  ]cdef @ '  ô h õ gi j kl ù §3.4

−5

−5

m nop  q:r ::s:t e:f:]:`:a  ? H   4 `:ab 
u:v:w e:f] @ '
ùHô:õx Wybz]{|}
~ ù  a €UV~ J σ > 0, ‚ §3.4.2

p(x) = √

  1 (x − a)2 exp − , 2σ 2 2πσ

s:H† {|}:~
ùA‡ k : ô : õ : f : W … ƒ < „ z ò Y ‹ ƒh„ R p(x)dx = 1. € Y ô
õŒ  _

∞ −∞

p(x)

R∞

x ∈ R.

ˆ:‰  4

R

(3.4.3)

\

Riemann

S:Š:

p(x)dx .  s     p(x) ]Ž}~
ö } ~ ô
õ‘ J’“ I . ‡”  I=

−∞

2

    Z ∞ Z ∞ 1 (x − a)2 (y − a)2 I = exp − dx · exp − dy 2πσ 2 −∞ 2σ 2 2σ 2 −∞  2   2 Z ∞Z ∞ Z 2π Z ∞ 1 u + v2 1 r = exp − dudv = dθ exp − rdr = 1, 2π −∞ −∞ 2 2π 0 2 0 2

4\• 
 ô
õž x–M—˜
 è™ u = ,svH=† , š– v —˜
è™
ù›œ I > 0, Z I = 1. (3.4.3) • ] p(x) Ÿ {|}~
ù  ¡ 3.4.2 ¢:£:¤:¥:¦ : ž (3.4.3) •  ] p(x) –:€:{:|:}:~ ¨§:©:ª : € ž a î σ €«~] qr   Œ– N (a, σ ). qr = © € Gauss  ù q:r : ]:Œ:¬ N (a, σ ) V:€ Normal Distribution.  _ q:r : v €:7 : ž c­ @® qr N (a, σ ) ]  }~¯{|}~ ­Œ– Φ (x) ¯ φ (x). qr  
 a = 0, σ = 1 ]°± u c­ef] V² ³ õ ® ? © € ˜ 4 ´ qr µ ­  Φ(x) ¯ φ(x) Q¶˜ ´ qr N (0, 1) ]  }~¯{|}~
ù ·¸¹º (3.4.3) •  ]{|}~ φ (x) ]»± (» 3.4), Sž¼½³ õ ¾ MN wh
¿ † «~ a ¯ σ ]V²À _ x = a  © Z  1 φ (x) Á y−a σ

x−a σ

2

2

2

2

a,σ

a,σ

2

◦

a,σ

φa,σ (a − x) = φa,σ (a + x),

x ∈ R.

a,σ

ÃhÄ
Å

108

Æ
ÇhÈ
É

@  ˜ ´  q r N (0, 1) ]{|}~ c­  φ(x) = e , x∈R _  ©   ³  Ë ® © Á x=0 Z €Ê}~
ù  a €'Ì«~
ù  t  Ï Ð # µÑ σ ] ÐÒ $  φ (x) ]Ó Ò 2 φ (x) 4 x = a ÍÎ . ÔÕÖ× ? σ ] ÐÒÏ  φ (x) ]Ó ÒØÙÚ ³:Ë ”:Û  ¢:£ ξ s 2:3 q:r : N (a, σ ) ]:Ü:Ý:Þ:ß à-:. Â:U:á x < a <  x ,1 R P (x < ξ < x ) = ÒÏ  × ? σ ] ÐÒÏ  â Y σ ] ÐÒ $ -. `a P (x < ξ < x ) φ] Ð (u)du, 1 -. `a P (x < ξ < x ) ] Ð 1 Ò $ Ú â Y σ ] Ð×ã M ξ 4 x = a äåæ Ð ] ç 
è | Ú · 7 ® σ © € qr N (a, σ ) ]±é«~ Ú qr N (a, σ ) ]  }~€ √1 2π

◦

2

− x2

√1 2πσ

a,σ

a,σ

a,σ

2

1

2

1

x2 x1

2

1

1

a,σ

2

2

2

2

φa,σ (x) = √

1 2πσ

w Ðê ‡ Š GÚ Â _ ˜ ´ qr

Z

x −∞

  (u − a)2 exp − du, 2σ 2

N (0, 1) Z x

1 Φ(x) = √ 2π

]  }~ 

u2 exp − 2

ëhì ]Qí Sžîïw Ð (kð %]äQ −∞

Φ(−x) = 1 − Φ(x),

 ).

Φa,σ (x) = Φ(

x−a ), σ

ñ 

(3.4.4)

x ∈ R, φ(x)

]Ê}~òó S ”

x > 0,

ž Q
 ô Â x > 0 õ G M Φ(x) ] ÐÚ H ö ] qr N (a, σ ) ]  }~  ·¸ 4 Â _  2

du,

x ∈ R,

(3.4.5)

(3.4.4)

 –Þß÷™ Sk

x ∈ R,

(3.4.6)

Ð Ú â Y ñ  ˜ ´  q r N (0, 1) ] Ð ]Qí Sž ™ø G Φ (x) ]  4:˜ ´ Ú
q:r N (0, 1) ] ::Ð  ]:_ Q:í  õ # Φ(6) €:ûù  úµ:Ñ   Φ(4) ž:Ú
û õ …ü 0, t > 0.

l

F (x) = 1 − F (x) = P (ξ ≥ x),

}~ Â _ g ~

“³´

l

”,

V€



x > 0.

4 ê $ _ x ? %µ¥9´]`a Ú …w exp{λ} 23 ª  ]ÜÝÞß ξ, w

(3.4.10)

ξ

}

“³´

ž ê y (  F (x) – ²j
] ê ¬ (ξ ≥ x) s¶· í    l ~  €  ¤ ¥ ¤ ¸¹ l Sžº ¸ (ξ > x). L / '¾ L ]2‰O) (ž  E 1ø ) 23«~€ λ = 1 3.4.2 ›¼ » æ ½ Ý 3 ] lg * ~ s # Ú (1)H¾¢ Ú+£#] ¿#p#À H#^#Á Ž ¾ #L Í # #  E O#à ΠH#l ÄƐÅ#Í Ç ] æ#½ Ý#È#É# Ê E 2 ‰ ËÌ 1 ø#¿  3 ]`a l YB O)Î % 3 à  6 l Ö ? )]`¿ L l uHÁ a ‚ (2) ¢£Ú ¿ à ÎO g ¾ Îæ½ š‘­ Î [ š Y Z\, ]`a g

F (x) = P (ξ ≥ x) = e−λx ,

x > 0.



€

§3.4

c

À ž

λ=

1 3

]

g

η

~

Q  ¶#¿#ÚÈ#Ï H#Á

Î HI (1) j  O)Ò s È HÁ ¾

l

L

¿

¾

L

É#Ê#Ð#‰#¤

L  ÂOÃÎ ÅÇ ¾ Y l+ª ÉÊЉ]O) ¤Z Á

‹ f ] O#)

 I V ”

111

l

]æ‚ ½Ý l ¤ ž  Ì Hs Á ]`aÒ ­ ¾

η

Ð#Ñ « ~

L ] Í

p1 = P (η > 3) = e−1 = 0.368; p2 = P (3 < η < 6) = F (3) − F (6) = e−1 − e−2 = 0.233.

L ] Í O) s È HÁ ¾ L µ¥ÉÊЉ]O) l  l HÁ Î HI (2) j Ì  ¾ g l R ~  ]#‘: Œ’:ò:” l ê bÈ HÁ ¾ L gÓÉÊ #j Ô  O ) ]Љ µ¥ÉÊЉ ž Y ‚ l ] # O ) ]

#p#Ñ# #Õ#Ö#É#Ê#Ð#‰ ] O#) ]  ¤ ¤#Z ] ` a  × o _ Y ÐÚ ­ \, ØÙ 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Ú Ú

ξ ÛÝÜÝÞÝßÝàÝá

(x3 , x4 ), (x4 , ∞)

0

(1) 7.

ξ ãÝäÝåÝæÝçÝèÝÛÝéÝêÝë (1) (6, 9); (2) (7, 12); (3) (13, 15).

N (60, 9), âìÜìí x1 , x2 , x3 , x4 î ξ ãìä (−∞, x1 ), (x1 , x2 ), (x2 , x3 ), ï Ûìéìêìð+ñòá 7 : 24 : 38 : 24 : 7. ì óòôìõìöìí M , ÷ìø AM ùìúìûìüþýìÿ BC 
 N , ìëþí N Ûìä ä 4ABC BC ì Û  ìÜ  Þ   ξ   õ  (0, 1) ï  Û   ü   ô  0 < x < y < 1, ξ, ã ä  (x, y) óòÛìéì ê ìý y − x !"ìë ξ #$ U (0, 1) (%  (0, 1) ì Û ìÜìÞ ).   ô  ä (0, a) õ & í (& í  Û '()*+,#$ U (0, a)). -  â &  í  Û ./ Û Ü Þìßì à  ξ

ÛìÜìÞìßìàìá

N (10, 4), â

3.4

â

ξ ∼ N (3, 22 ).

P (2 < ξ ≤ 5), P (−4 < ξ ≤ 10), P (|ξ| > 2), P (ξ > 3);

(2) 1ì 2 à c, î P (ξ > c) = P (ξ ≤ c). 0 ξ  # $34ìÜìÞ N (110, 12 ), 156ìÛ7ìà 2

P (ξ > x) ≤ 0.05.

x,

î

8:9:;:@:AÝÛ:B:C ξ(D:6E:F ) #:$:3:4ÝÜÝÞ N (160, σ ), á:G:H:I:JÝâ P (120 < ξ ≤ 200) ≥ 0.80, -ì K ü σ Û5LMNOPQSR 9. 0 ξ #$ N (0, 1), η = ξ T −ξ, U |ξ| ≤ 1 T |ξ| > 1 V â η ÛìÜìÞ 10. ì  öì W ÛXYE (Zì ' ë6E ) #$D λ = á[ìàìÛ\ìàìÜìÞ]- â ë (1) XY E ^_ 2 6ì E Ûìéìê` (2) ÚbadcYe 4 f6ìE ü âghJiQ 5 f6EjkYlìÛìé ê 11. 0 ξ #$ì [ àìá λ > 0 Ûì \ àìÜìÞìü â η = [ξ] ÛìÜìÞ (ìm ï [x] no x Ûìp àìq Ü ). 12. rs ξ #$ì \ àìÜìÞìÛt ÜuJvwOxOyz{ì| Û ü]% 8.

2

1 2

P {ξ > s + t|ξ > s} = P {ξ > t},

∀ s, t > 0.

}~€

112

§3.5

Poisson

‚ƒ„…

†ˆ‡

‰ Š ‹ Poisson Œ‹‹Ž‹‹‹‘’“‹”‹•‹–‹—‹“‹˜‹™‹š‹Œ‹‹›œ‹‹‘‹ž‹Ÿ‹œ‹ ‹¡’¢‹£ ¤¦¥ “¦§¦¨¦©dª¦ž¦«¦¬¦­¦®¦“¦¯¦•‹Œ¦‹°‹±¦“‹Ž¦›³²¦Ž‹”¦•‹´¦µ‹¦‘‹¶¦·‹¶¦¸‹“‹Œ ¦©¹¦º¦—¦»¦¼¦½¦¾¦¿¦«‹­¦®‹À‹•‹Œ¦‹“‹Á¦Â‹Ã‹Ä¦›ŋƋ‘¦²‹“‹Ç¦È‹Ÿ‹”¦É‹§‹¨¦© ¼‹Ê‹«‹Ë‹Ì‹Í‹Î‹Œ‹ B(n, p) “‹­‹®’›b¹‹º‹Ï‹Ð‹Ñ‹Ò‹Œ‹‹Ó‹Ô‹Õ b(k; n, p) = C p q , k = 0, 1, · · · , n . Ö Ì×ÒؒÚÙ×£×Û×Ü×Ý×Þ×ßכb¬×à×á n ª k ¢×â×ã×äכbå b(k; n, p) “×æ×ç×è׌װ é ©ê¦ë¦“ Poisson 증¦í¦î¦Ï¦”¦•¦œ¦”¦ì‹“¦ï‹ð‹ë¦ñ‹ò‹æ¦ç‹Í‹Î¦Œ‹‹¦‹“‹ó é ¿‹ô‹Õ ‰‹Š 3.5.1 (Poisson ‰×Š ) õףה×ö×Í×Î׌׍ B(n, p ), Òؒړ×÷×Ý×ø×ù×ï ð Poisson

§3.5.1

k n

k n−k

n

lim npn = λ > 0 ,

ú å‹û‹ü‹ý‹þ‹ÿ‹Ý

k

(3.5.1)

n→∞

¢‹£

lim b(k; n, pn ) = lim Cnk pn k (1 − pn )n−k = e−λ


Õ‹›b勾ì‹“‹ý‹þ‹ÿ‹Ý n→∞

œ‹ï‹ð

n→∞

(3.5.1)

‹ë‹›båì‹“‹
ý‹þ‹ÿ‹
Ý

lim (npn )k = λ .

n→∞

1 n

1−

2 n

k,

‹£


··· 1−

 ‹Ô‹‘‹›

n→∞ k

k−1 n

(1 − pn )−k = 1

lim (1 − pn )n = e−λ .

 ¬‹›b£

n→∞

lim (1 − nλ )n = e−λ .

n→∞

 ‹— n

(3.5.3)

(3.5.3),

lim (1 − pn ) = lim (1 −

‹—

λ n n) .

¦£ |1−p | < 1, ¦á n ¦Œ¦ã¦ä¦›¦£ |1− | < 1. ¹¦ºé ¦› å £‹° |a − b | ≤ n|a − b| ! "‹›‹Ü‹ï‹ð (3.5.1), ‹á n→∞

n→∞ λ n

n

n

¬‹à

(3.5.2)

n! b(k; n, pn ) = pn k (1 − pn )n−k k! (n − k)!      1 2 k−1 1 = 1− 1− ··· 1− (1 − pn )−k (npn )k (1 − pn )n . k! n n n lim 1 −

Ÿ

£

k,

λk . k!

$ å‹÷‹Ý (3.5.3)

n

|a| ≤ 1, |b| ≤ 1,

n→∞

䋛b£

(1 − pn )n − (1 − λ )n ≤ n|pn − λ | = |npn − λ| → 0 . n n

!"‹›b식#‹© λ > 0, ¹‹º%

p(k; λ) = e−λ

λk , k!

k = 0, 1, 2, · · · ,

(3.5.4)

§3.5 Poisson

ú (‹£

&'

113

p(k; λ) > 0 ,

∞ P

p(k; λ) = e−λ

∞ P

λk k!

= e−λ · eλ = 1 .

λ); k = 0, 1, 2, · · ·} *¦à+¦Ô¦”¦¾¦˜¦™¦š¦Œ‹¦“‹Œ‹¦Ó‹›¹‹º ,¬¦à¦À‹›¾‹)¦Œ‹Ý¦ݦ-‹ö ԋ÷‹{p(k; Ý‹Ô λ “ Poisson Œ‹‹© p(k; λ) “.*‹à‹£ $ !‹“/01‹© Ö Poisson 식*‹›bá n 2‹ã‹› p 23‹ä‹›*‹à‹ñ‹ò4!"‹Ë5 k=0

k=0

b(k; n, pn ) ≈

(np)k −np e . k!

(3.5.5)

‹› n 6‹ã ú7Ö 8 63‹©‹Ô‹Ï9‹§‹ï×ð (3.5.1), ¹‹º‹—: p 23‹›bà; np “¦ã39?@¦º*¦àA¦¨ Poisson Œ¦¦»¦æ¦ç¦ª¦Í¦Î¦Œ ‹£‹Ë‹“B‹ C © ¤‹¥ “‹§‹¨‹›bê×Õ 110 FGH 24 3‹äIKJ‹Ñ‹“FGL Poisson Œ‹‹£DE‹Ô ݋›]”‹ì‹äMIK‹ N ‹“OPQR‹L ÝSTU‹L ݋›]‹V ž‹“WX‹ÝZY]›\[]¦Ç^‹È ] ¸‹“_‹` ÝZ]Y ›a‹ › ¢‹* à‹¨ Poisson Œ‹‹+ ԋҋ‹‹b š‹© ¹‹º‹c œ‹d « e[‹ K‹ f ê “FG‹L Ý ”,“ OPQR‹L Ý ”,“ TU‹L Ý ” ‹ “‹¤‹Œ‹¥‹9 ¨‹Ì Poisson Œ ‹“g‹ ©ah‹i žj £‹ã‹k “‹l æ‹Ým n Poisson Œ‹‹“ ‹9 ¨‹Ç‹›a‹o ê‹Õ å Ì “[]_‹ ` ÝZY ”, ‹ £p‹q “ Rutherford  r‹s “‹l æ‹Ý‹t Ô‹ Õ k

νk

np (k, 3.87)

0

57

54.399

1

203

210.523

2

383

407.361

3

525

525.496

4

532

508.418

5

408

393.515

6

273

253.817

7

139

140.325

8

45

67.882

9

27

29.189

u æ

16

17.016

2608

2608.001

≥ 10

ñ vw^ wxwy Rutherford w@wA ¨wzw{  wrwsw|w}w~ ¬wNw] ¸ “ α _w` Ý w Y]©‹º‹à  7.5 €‹Ô‹”‹¾‹äM‹›‚|}‹Ï n = 2608 ¾‹äM‹›%ƒ‹ë‹Ï‹¾ äM’ ¬ |}‹Ñ‹“ α _`‹“‹ÝZY]©bœ‹À 2608 ¾‹äM’›‹º‚|}‹Ñ 10097 ¾ α _`‹K ¾ α _`‹K © JD‹K › ‹º‹ å l‹æ‹Ñ‹“‹ Ý m+‹ê‹ë † ‹Õb”‹¿‹› «‹„› …c‹‹ä ¾‹Mä M‡‹‹¬ Ô |ˆ3.87 }‹Ñד α _`‹“‹Z Ý Y] Œ ‰‹ › c α _`‹“‹Z Ý Y]Ô k “‹ ä M‹“‹¾‹ Ý %+ ν . Š‹”‹¿‹«‹ › ‹º‹à 3.87 +‹Ô Poisson Œ‹’“‹÷‹Ý λ, O k

}~€

114

‚ƒ„…

‹Œ ‹ ì ”‹¾‹äM’¬|}‹Ñ‹“ α _`‹“‹ÝZY ξ ‹¼‹÷‹Ý‹Ô λ “ Poisson Œ‹‹› ¼ P (ξ = k) = p (k, 3.87), ÅŽ‹”‹ç‹¸ np (k, 3.87) .‹›bö/‹å‹ê‹ž‹©bž/ ’“‘‹ö-‹Ô‹‹‘.‹›’*‹à“‹¸‹²‹º‹ª‹ ”|}. ν • Ü?–‹á—‹©ÚÀ/ + Ô[]_‹` ݋“‹Œ‹‹Ž‹Ü‹9 “‹© à Poisson Œ‹‹ ¹‹º‹»‹ “ ”‹¾‹ªo 3.2.1 £‹Ë‹“B‹C © ˜ 3.5.1 ¯H™š›œ"‹ž ›Hˆ™ˆš›ˆ™ˆ‹š ”×¾ˆŸÚ  “ˆ× ¡ ´¢ˆ× £ ©×  ¾ Ÿ  œ‹  ”‹ä¤‹ —‹–X™‹š “‹‹‹¢‹Ž p = 0.01. ꥙ š ’K‹¦ õ‹£™š› 200 H ›?Ô> “£Ÿ  °§‹¨ 䋠‹© –X™š ” “‹‹‹°‹ã‹Ì 0.02, ªB«‹¬ §‹á­® ¯‹ ¬q™š@°“±Z² ³ Õà η /ˆnױה×䈤ˆחזˆXˆ™ˆš×“ˆ™ˆšˆ›ˆH×Ýכb¹×ºˆ η ×¼×Í×Î׌׍ B(200, 0.01), ‹ – §‹“BC‹ Ž‹—‹: ¸>‹? ë!‹" “´3‹) ÿ‹Ý r: k

P (η > r) =

200 P

b(k; 200, 0.01) ≤ 0.02 .

ˆ×҈.ˆ2ˆµˆ:׸שb¹×ºˆ¶ˆO×Ñ×Àw·×£ np = 200 × 0.01 = 2, ¸ˆ.×° × ã ›bÌ׎ˆ‡ (3.5.5) ‹›a‹ * à‹ñ‹ò‹¹ Ô η ‹ ¼‹÷‹Ý‹Ô 2 “ Poisson Œ‹‹©aº0/‹› á r = 5 ä »K‹ º £ P k=r+1

P (η > 5) =

∞

p(k; 2) ≈ 0.0166 < 0.02.

¬ গ­® 5 q@°“±¦›¼¦ù¦à>? “£Ÿ½  °§¨¦ä¦ ©¦–X™š ¦ 3‹Ì 0.02. ꥾J‡‹Í‹Î‹Œ‹ B(200, 0.01) æ‹ç‹› ú £ k=6

 ‹‘‹Ž §3.5.2

P (η > 5) = 1 −

5 P

“¦¦

b(k; 200, 0.01) ≈ 0.0160 ,

q@°“±‹© Poisson ¿ÀÁ‹ à ›ÄÅÆ 5

k=0

”

¹ ºNj»‹Æ‹‘ Poisson Œ‹‹“‹Œ‹‹Ó ‹ Œ‹‹“ˋô‰‹ò‹›|}ÌK.

p(k; λ)

ê‹üÈ

p(k; λ) λk (k − 1)! e−λ λ = = , k−1 −λ p(k − 1; λ) λ k! e k

k

“ÉÊÉʋ©Úª‹Í‹Î

k≥1.

(3.5.6)

Ö 

"‹› á k < λ 䋛 p(k; λ) “.È k “͋ã͋ã†Î Ð á k > λ 䋛 p(k; λ) “ ú . È k “ͦãÏ3¦©¼† Ð ¦› p(k; λ) “.¦œ k = [λ] Ñ´¦ã¦›¼R¦á λ Ô¦ÿ ݋䋛bœ k = λ Ÿ λ − 1 ыÒ´‹ã.‹©b²‹º-‹Ô Poisson Œ‹‹“´‹ã*§.‹© .ˆ?ˆÑ׸ד׎כ (3.5.6) ˆ׎ Poisson Œ××ˆ “ Ò×£×Ç×ÈשbÀˆˆ׎ e ›bꈥ ”׈ ¾ Ó×£×÷×Ý λ > 0 ˆ “ *׈ à Ô׬ף×ý×þ×ÿ׈ Ý .דטיך׌׍× › ח×Ò×ø×ù (3.5.6) $‹›œ‹ÖÕ»‹×Ƌ¸‹‘ ˜‹Š‹™‹”‹š‹¾ Œ‹B C‹‹© ”‹ì‹Ž Poisson Œ‹‹Ö© ¸Øً“ K+‹Ô ÚÛÜKÝÞߋ©

&' 115 ˜ 3.5.2 Œ õ‹—%ƒ‹”à[]‹Ç^‹È‹”‹äˆMIÚ¬[ˆ]‹¸×“_ˆ`‹ÝáY]©â»’ ²‹œãä‹äMIK[‹ ] ¸‹“_‹ ` ÝZY ν ‹  ¼‹÷‹Ý‹Ô λ > 0 “ Poisson Œ‹‹©æ‹ å Ž Ö Ì ç ›g‹ ›]ŋý‹ ”_[‹] ¸‹“_‹` ¢*è%‹ƒ 닻‹› $ ‹ ›\__`*è%‹ƒ ë é ¯_`§êè%‹ƒ 닻‹“‹Q ðˆ–눜× " ©ª:ˆã »‹“‹‹‹¢‹Ž p, 0 < p < 1, Å‹ ä äMIKè%‹ƒ 닻‹“_‹` ÝZY ξ “‹Œ‹‹© ‹ ³ Õ\ ‹›bå‹”_[]‹¸‹“_`‹¢*‹à‹¨‹”‹¾‹÷‹Ý‹Ô p “ Bernoulli ÈìÉ k »/‹ ‹ n ²‹Žêè%‹ƒ 닻‹ÕêÖ ¥è%‹ƒ 닻‹›Öí¸ Bernoulli É‹k “‹. Ô 1;  îè%‹ ƒ 닻‹›‹í Ò‹Ô 0. ̋¯_`§êè%‹ƒ 닻‹“‹Q ð–뜋" ›b¬‹à ²¦º¦Ž i.i.d. “ Bernoulli Èìɦ k © ¼¦ áã¦ä äM½Ia[¦] ¸¦“_¦` ÝïYK»a¦$ 䋛 e obê Ô n 䋛èˆ%ƒ‹ë‹»‹“_`‹ÝZYðñˆ×¼×͋Î׌‹ B(n, p). 勎 œ‹› ã¦ä äM½Ia[¦] ¸¦“_‹` ÝïY\‹ Ž¦”‹¾ÈìÉk ν. Õ¦× e ¹¦º¦§ œ ν .¦Ý ì “‹ï‹ð‹ëòóè%‹ ƒ 닻‹“_‹` ÝZY ξ “‹Œ‹‹› À‹ Ž › á ν = n 䋛 ξ ‹ ¼‹Í

¹‹ºô+ ΋Œ‹ B(n, p). å‹ §3.5 Poisson

P (ξ = k | ν = n) = b(k; n, p) = Cnk pk (1 − p)n−k ,

k = 0, 1, · · · , n.

(3.5.7)

œ À·‹› (ν = n) Ž‹”‹¾ÈìQ‹ð‹© Ö Ì ν ‹¼ Poisson Œ‹‹›¬‹à ν *§‹Ô‹û‹ü ‹ ý‹þ‹ÿ‹Ý‹©bÀõ‹”‹»‹›bê¥% q = 1 − p, ¹‹º*‹àA‹¨ö‹‹÷‹›?‹Ñ P (ξ = k) =

∞ X

n=0

P (ν = n)P (ξ = k | ν = n) =

∞ X nλ −λ e b(k; n, p) n! n=0

∞ X (λq)n−k 1 1 · · (λp)k = (λp)k e−λp , = e−λ (n − k)! k! k! n=0

k = 0, 1, 2, · · · .

À׎ה׾ˆ2×£ˆøד $ˆù ›b²ˆ/úڜ×å Poisson Ɉk (‹ ×¼ Poisson Œ××“ˆÈˆìˆÉ k )ν +‹Ï Èìûü dý‹¼ Poisson Œ‹‹© À‹¾‹Ç‹È-‹Ô Poisson Œ‹‹œÈì ûü ‹ë‹“‹° ɋNj© ¼‹À‹ ¾ o`‹¹‹ º þ*‹ à ÿ‹¸‹”‹¾ “Èì‹
ù ‹Ÿ ” “‹
‹»‹©:ʋ«»Kº
‹Ñ‹›æ* àרה׈ ö œˆ"ױ׌׍ד×à p Ô×÷×Ýד Bernoulli ȈìˆÉˆk η , η , · · · /ˆnׯ׈ ¾ _ˆ` Žêè%ƒ‹ë‹»‹© ¼ ‹ å ‹Z ¾ ð\‹Ý n, S = η + η + · · · + η ‹Ž‹Ê n  ¾ []‹¸ $ “_`K ’ è%ƒ‹ë‹»‹ “ _`‹Z Ý Y]›¹‹ º  S ‹¼‹Í‹Î‹Œ‹ B(n, p). œ‹¹‹º‹— ò󋓋 Ž ãä‹ ä MIKè%ƒ‹ë‹»‹ “ _`‹Z Ý Y ξ. ãä‹ ä MIK[]‹¸‹ “ _`‹Z Ý Y]Ô ν ¾‹›b ¼ ‹ÒK ’ è%ƒ‹ë‹»‹ “ _`‹Z Ý Y\‹§‹á‹Ô 1

n

1

2

2

n

n

‹ £

̋œ/ Ð

(3.5.8)


‹Ž‹† ”‹¾ÈìÉk‹›Ú¬‹à S Ž È싾ÈìÉk‹“‹Ÿ‹› Ö (3.5.8) ’› ν ̋ù
‹“ä
‹  › ¬‹àc S ‹- Ô ÄÅ

Æ , ó-‹ÔÈ

ξ = Sν .

Ö Ì

Sν = η 1 + η 2 + · · · + η ν .

ν

ν

ν

}~€

116

‚ƒ„…

싟‹© Ö ž‹«‹“‹Æ‹‘‹›Úê¥ ‹ä ν‹ ‹¯ ¼‹÷‹Ý‹Ô λ “ Poisson Œ‹‹› ú S ‹$¼ Poisson Œ‹‹› ‹  °‹µ‹÷‹Ý‹É Ô λp, ϋ”‹¾ ” 
 ` ”p. 
 ` p “‹¸ Ž2Zð\‹  “‹›‹ Ô‹ ¾_`§
è%ƒ‹ë‹»‹“‹‹‹Ô p. Èì‹ù
‹Ÿ‹œ
 ¯

 £ ¤‹¥ “‹§‹¨‹©o‹ê‹›bꈥ η , η , · · · /n‹¯


‹“ ÝïY ›= ν Ž¦” ’ž¦ J Ѧ“
‹ ݦ›Õ× (3.5.8) ’ “ S ¦Ž¸ž¦” ’K‹ J ы“

‹ ÝZY\?Î ê¥ η ú, η , · · · /n

÷


‹ “‹¯


‹ ÝZ]Y ›  ν Ž‹” ¾Ø  ’Ú¬×  “×  Ýכ (3.5.8) ؒړ S ×  Žˆ¸ˆ÷×  ”×¾Ø  ’Ú¬ “

‹  ÝZY\΋ ©b°‹µ‹§‹á¶‹O “‹Ž×›bÀ× · “ȈìɈk
×ö η , η , · · · °‹”‹ì‹Ž Bernoulli Ék
‹ö‹› ν î
!‹  Ž Poisson É‹k › ¬‹à S “‹Œ‹
"È 
‹# © o×êכbú œ×å× $ “× % Á׏אד&' ’Ú› ν ´(ˆ×  ¼× ) ü׌׍כ× – §×“ˆÈˆ× ì ù Ÿ S è‹ - Ô “‹) ü‹Ÿ ”. “‹) ü‹Ÿ ” Ž‹ñ‹»‹§‹¨‹‹‹‘’*&
‹' “‹”‹¾
+XB‹C › ê‹ü
‹ , æ S “‹Œ‹‹ Ž‹Ò’“‹”‹¾‹–‹—
-‹C © §3.5.3 Poisson .
/
0
1 œ 3.5.1  2 ’›b¹‹º‹¸‹Ì‹ñ‹ò‹æ‹ç‹Í‹Î‹Œ‹×‹×“× e —‹›ÿ‹3 Ï Poisson Œ ‹©‹ å Ž‹› Poisson Œ‹‹“‹Á‹Â‹ £‹ÒZð4‹ “ì
‹5 ©bÔ‹Ï  Poisson Œ‹‹“‹Á‹Â ì
‹ 5 ›b¹‹º‹—‹»
‹6 ­‹®‹”‹ë Poisson µ
‹7 © ¹‹º‹  ›8 110 ‹H “F‹G Ž‹”L‹L ы»‹“Έð\T‹U Ž‹”LL‹N ‹“Îñ[] ` Ž‹”‹¾‹¾[‹] ¸‹“Î 9 ‹ ©²‹º‹¢‹* àù “‹! e Ž‹”‹•‹ÌÈ‹ì 䋤 ы»‹“ “ÈX 9Ç_”.‹ œ‹À·‹› “ÈX ” Ÿ “ ” ¢‹Ž‹”‹•
: “ ô‹›Åé “X ” ы»‹“‹äMM
; ¢‹ŽÈìÉ‹ k ©bê‹¥ å t ≥ 0, ¹‹º‹à ξ /‹n œ‹ä¤ t à‹Ê‹Ñ‹»‹“‹È‹X ÝZ]Y ›=< ‹ /‹ n œ‹äM
>M [0, t) ’Ñ‹»‹“‹È‹X ÝZ]Y ›b¹‹ºc
" ›bœ‹”‹ì‹“‹ï‹ð‹ë‹›bå‹û ü t ≥ 0, ÈìÉk ξ ¢‹  ¼ Poisson Œ‹‹›Å‹é ҋ÷‹Ý‹ª t £‹Ë‹©Ö ‹ ›勰‹±‹“ t, ξ Ž‹°‹±‹“ÈìÉ‹ k ›b¼ {ξ , t ≥ 0} Ž‹”
‹? à t ԋ÷‹Ý‹“ÈìÉ‹k ›b¹‹ºÖ ‹ÔÈ‹ ì µ
ù ‹7 © ̋œ‹À‹· › t Ž‹”‹¾‹ä‹M ÷‹Ý‹›¬‹à- {ξ , t ≥ 0} Ô “È‹ì µ
7 ” Ž‹ý
(
: “‹©œ‹‹‹‘’›K
"
@‹Ñ t °‹Ž‹äM‹÷‹Ý‹“
A‹Ü‹›K ‹ä‹›¹‹º
B ¨È‹ ì µ
‹7 “q‹- © ¹‹º‹  » ›Úœ‹”‹ì‹“‹ï‹ð‹ë‹› “È‹ì ÈX 9 ” “‹ÝZY4:! Poisson µ
‹7 © n œ‹äM
>M [0, t) ’Ñ‹»‹“‹È‹X ÝZ]Y ›Ö ê‹Ê‹¬ e ›å t ≥ 0, ÈìÉk ξ /‹

å 0 ≤ t < t , ‹ £ ξ ≤ ξ , Åé ξ − ξ ‹ Ž‹œ‹äM
>M [t , t ) ’Ñ‹»‹“‹È ‹ X ÝZ]Y © ‹ ‰‹Š 3.5.2 Œ õ “Èì‹ÈX 9 ” “‹ÝZY]ø‹ù‹ê‹ë‘‹¾‹ï‹ð‹Õ 1 CDEF × Â Õœ×°ˆ–ˆ× ¡ “×äˆM>ˆØ M ’ÚÑ׻ד×Èˆ× X ÝáYñ–ˆëˆœˆ× " › ‹ å×û×ü 0 ≤ t < t ≤ t < t , ¢‹£ÈìÉk ξ − ξ ª ξ − ξ –ëœ‹ " © ν

1

2

ν

1

2

ν

1

2

ν

ν

ν

t

t

t

t

t

t

1

2

t1

t2

t2

t1

1

◦

1

2

3

4

t2

t1

t4

t3

2

§3.5 Poisson

&'

117

GH Â×Õ ˆ È ìˆÉˆk ξ − ξ IJK ӈת×äˆM>ˆM ˋ›‹ª‹Ò
MX a ‹ N ˋ›b¼*% 2◦

t+a

[a, a + t)

a

IL
MSRKܣܣ
Q‹¾‹ÈX‹»‹Ñ
T ‹ å‹û‹ü t > 0, ¢‹£ P P P (t) = P (ξ = k) = P (ξ < ∞) = 1 ; Åé
T=U J 3 I äMM
; t RK´ ¯ ‹»‹Ñ
V‹¾‹ÈX
T ‹ £ P P (t) = o(t) , t → 0 ; é
Tb¹‹º®
W
X
Y
N
ZX
[
\ I NO
] I
^ :
T ‹Œ
_ P (t) `
a
b 1. ú
c
d
e ‘
f
g
‹ h ø‹ù
i
T=!

U
(
j λ > 0 >?
k
V
l t > 0 m
n 3◦

∞

∞

k

k=0

t

k=0

∞

k

k=2

0

Pk (t) = e−λt

o
p
q k
rO)
j t s

∆t,

c

Pk (t + ∆t) = k=0

k X

(λt)k , k!

k = 0, 1, 2, · · · .

tKö
u
v÷
w
sœ
xÍk
y Pk−j (t)Pj (∆t) ,

j=0

i
T e wÊ
{

(3.5.9) 1◦ ,

z

k = 0, 1, 2, · · · .

(3.5.10)

P0 (t + ∆t) = P0 (t)P0 (∆t) .

(3.5.11)

P (t) |n
U
iM
>M [0, t) R*N
ZX
[
\ I u
v
T=}
~
€
b t ã

‚Í
ƒ „ t*b…

} †
{
‡
j
ˆ
7 (3.5.11) I n
‰ã

Š
T=!Ó
:
w (‹

Œ
n
€Û
 ): =b, t≥0, Ž R 0 ≤ b ≤ 1. d
 b 
b 1 ‘ P (t) e
—
˜ _ 3 0, ’
!
“
” P (t) 
b 1 ‘ 0, •
– ™
š
› T=œ
 b {
ž
b 1 I
Ÿ j
T= 0 ¢
z b = e . b
£ 0

0

t

0

◦

−λ

P0 (t) = e−λt ,

t≥0.

…  
|S¤ (3.5.9) w
k k = 0 ¥
x
ƒ ˜¦ (3.5.9) w¨§k k = m − 1 ¥xT=©ª}«k ¯ T=k
r
° k > 2, n 0≤

± •St

k P

Pk−j (t)Pj (∆t) ≤

e
w z (3.5.10) s j=2

∞ P

(3.5.12)

k=m

Pj (∆t) = o(∆t) ,

j=2

Pm (t + ∆t) = Pm (t)P0 (∆t) + Pm−1 (t)P1 (∆t) + o(∆t) ,

t
§*ª I

(3.5.12)

w ¯

P0 (∆t) = e−λ∆t = 1 − λ∆t + o(∆t) ,

¥xƒ¬t­®y

3◦

∆t → 0 .

∆t → 0 .

∆t → 0 ,

(3.5.13)

²S³*´ µ*¶S·*¸

118

¹
º
»
­ ®
y 3 z P P (∆t) = 1 − P (∆t) − P (∆t) = λ∆t + o(∆t) , ¼ e
—
½ w
¾
¿ (3.5.13), z ◦

1

∞

0

∆t → 0 .

j

j=2

¼

Ž *R T=À
Á k = m − 1 i I (3.5.9) w
¾
¿ Pm (t+∆t)−Pm (t) ∆t

+ λPm (t) = λPm−1 (t) + o(1) ,

∆t → 0 .

 
z + λP (t) = ,
e —
Ë
Ì
ˆ Í
Î
Š
£ ¯ (0) = 0(Æ
Ç
È
É k ≥ 1), Ê ∆t → 0,

Â
à *¤ ~
I Ä
Å g
h P . P (t) = e ÏÐÑÒÓ … _Ô ghÎ
Z
ÕÖ
Î×
j
ØÍ {ξ , t ≥ 0} Ù{ÚÛ{ λ Î Pois¯Þ kr° t > 0 ßàáâ ξ mã ±ä j{ λt Î son Ø̓¬tÜÝys (3.5.9) Ì
å Þ  
n Poisson , k = 0, 1, 2, · · · . P (ξ = k) = e
Ì å „ È
æ
ç
è
é
Š
ê
ë Poisson Î
¥ à
ì
ƒík Poisson Ø
Í
Î
î
ï
ð
ñ
ò
ó
b
ß à
Ø
Í
ô
ÎSõ*ö
ƒ ÷
ø 3.5 1. ù=úüûþýþ
ÿ






 

 4  Poisson 

 (1) 




 8 





 (2) 







 10 


 2.
ù 





 t 
!
"
"
#%$&


'




  Poisson 
 (! "
(
)
!
* ). (1) þ% ù +&,
- 12 !
.
/
- 3 !
021

3


' 
 (2)  ù +&,
- 12 !
.
/
- 5 !
021

.
4


? 5
' 
 % 3. 6þ
ù 7

8
9
:
;
512 × 10 0 @ 1, A&
B
C
0D9
>
,
E
F
G
HI0DJK 0 H
 1, @
K 1 H
 0, 6
H
I

 10 , 
 10 =
%$&F
G
5 ? HI
 4. þù 63 L
,
0
ù M

N
O (5 ∼ 9 P ) Q
 180 R
/
S
T
02
5 ? NO,/STUVW 4 R



 5.
ù X
 730 Y
Z
[
0\ ? Z
[

[%+&
5L 365 R
,

]
5
R
^
_
`
a

0\
.4
5
R dPm (t) dt

m

λm tm−1 −λt (m−1)! e

m

m

−λt (λt) m!

m

t

t

−λt (λt) k!

t

k

t 2

3

−7


b
 4 Y
Z
[
[%+&


 6. c
d
5
e 500 f

g
h
Q
 500 ?
i 8
0\ ?
i 8
_
`
a
M
F
G

5f
j\k
d
5 f
j
.
4
 3 ?
i 8



 7. lmnopqrs02t ù7uvwlmwxwulwmyz$|{w}w 0.005. G~F 7
l
x 1200 €
02
l
m
n
o
.
‚ƒ 10 €



 8. 6 ξ „ ξ …†‡ˆ 02‰ ξ   λ > 0  Poisson 0 i = 1, 2, Š η = max{ξ , ξ }, η = min{ξ , ξ } 


‹
 9. 6
þ  ù
Œ
!
"
"
#

þ Ž ù


‘
’ ξ



 λ > 0  Poisson 

0“
Ž


 ?  ‘’”•–^ p, ‰— ? ‘’”U”•–^ …†‡ˆ 0˜1wŒ!w"™$|”w•– 
‘
’
η

š
›

%œ 10. Š

02ž
Ÿ
 
¡
¢
£¤¥¦
‹ {p , k = 0, 1, · · · , } §
¨
©
ª , k ≥ 1. « ,
¬
λ > 0, ­
®


^
( λ 


 =Poisson 

 1

2

1

2

i

2

1

1

2

k

pk

pk−1

λ k

¯

§3.6

Poisson

°²±²³²´¶µ²·¹¸²º²»

119

6
Å
u
Æ
¼þÇ ý
½


)
!


=úüû
^
¾ λ = 60  Poisson W
¿
À
Á
Â
Ã
¤
Ä 30 = H
¼
È

 12. É
W
5þý
Ê
Ë%Ì&
Í
Î
Ï
`(
ÐÈ
^5 ? Poisson W
¿
ў
Ÿ 1 
%$&3

Í
Î
É
W

 
^ 0.02,  2 
%$&

 1 Ò
Í
Î
É
W


 11.

§3.6

Ó

Poisson

ÔÖÕÖ×ÖØÖÙÖÚÖÛÖÜÖÝ

Þ ß²à²á ² ÏÐ §ãâåäåæåçåèåéزê²ë
Ì å Þ2ì ä Ï
Ðåí ê²îåê²ë Ìå –

§3.6.1

ï²ð²ñ

Poisson

ØÍÎ

¦ ß
à²ò
Õ
Ö
Î
ײë
Ø
Í {ξ , t ≥ 0} £
Ú
Û²ó λ Î Poisson Ø
Í Þ  ζ ö ï²÷²ò
Õ
² Î ø í²ù²ú Þ Ï
вí²û ô²ü
Î Ì
å²ñ Þ þ t > 0, ÿ
(ζ > t) ô õ ö ï ÷ ò Õ ä ù ú t 
 ø í Þ ý ¯ % ù²ú t ó Þ ø í ² (ξ = 0) ô²õ ø Î ò
² Õ ë˜ ó 0, œ
 — ÷²ÿ ™ Þ ± t

1

t

P (ζ1 > t) = P (ξt = 0) = e−λt ,

 – ä ²ë ó λ βê²ë
Ì å Î “ ²ë ó λ² Î ê²ë
Ì å²ñ §3.6.2

–

ÏÐ Ø
Í Þ  ÷²ò
² !  Õ r ä÷

Γ

t > 0.

Þ
œ  ” 
ï

1

ô²õ ÿ


 æ

(3.6.1)

ζ1

Î Ì
å æ
£ ä ë

à²á


Ø Í  ï²ð Î
ï Ì
å £
œ Γ Ì
å²ñ § â ¯ö Þ%þ òÕÖÎí²× ù²ëú ØÞÍ  {ξ Þ%, þt ≥ 0} æ£ÚÛ ó λ Î Poisson ö r ζ ô²õ r ÷²ò
Õ
βø £ t > 0, ÿ (ζ < t) ô²õ ù²ú t ²  æ²ø í Þ ÿ (ξ ≥ r) ô²õ ø ù²ú t ó Þ ø í ² Î ò
Õ²ë  Þ œ

È ÷²ÿ ™ Þ ±  æ

Poisson

t

r

r

t

Fr (t) = P (ζr < t) = P (ξt ≥ r) = e−λt

∞ X (λt)k

k!

,

t > 0.

(3.6.2)

"# £ t Î $%²ë Þ À$&'(% ñ þ ( %) Þ* pr (t) =

+, ¯
Þ

∞

∞

k=r

k=r

X λk tk−1 X λk+1 tk d Fr (t) = e−λt − e−λt dt (k − 1)! k!

λr = e−λt tr−1 , (r − 1)!

Gamma

k=r

²ë
Î-.
£/

Γ(r) =

R∞ 0

t > 0.

xr−1 e−x dx,

(3.6.3)

²S³*´ µ*¶S·*¸

120

01 Ì þ ï  r > 0 23 ñ45 é Þ%þ Ÿ6 ë n, + 1) = nΓ(n) = · · · = n! , 798: ¯
Þ (3.6.2)  r

p(x) =

λr r−1 −λx x e , Γ(r)

x>0.

(3.6.4)

A B Ñ (3.6.4) 0Q r>0ó ST ÆÇ Þ U-. ; Î ä ë λ Q r $²óWVXY ß . Γ(1, r) Î  Û 0, 3 a = −c, b = c. ø c > 0, -
o
p
q
r ξ ? ±c A
n

z
s{
|
m
o
p
q
r η m
}
~ , Ø  ξ m
}
~ , Ø F (x) ï
€ ðë
 ñòó $
-

η

÷ Ü

(3.7.5)

ξ

Fη (x)

ξ

Fη (x) =

     

x ≤ −c ,

0,

Fξ (x) − Fξ (−c), −c < x ≤ 0 ,  Fξ (x) + 1 − Fξ (c + 0), 0 < x ≤ c ,     1, x>c.

(3.7.6)

Ý ô s
. / F (x) ? x = 0 A ð w 2 C
D s C
D
E
F Ü F (0 + 0) − F (0) = F (0 + 0) − F (0) + F (−c) + 1 − F (c + 0). .
/ ö ø o
p
q
r
m


@
n

#÷ Ü “ù
 ”. ù

‚
ƒ
?
„
… º m
†
‡Z@ ˆ Ð ;‰ /
Š Ðê η

η

η

ξ

ξ

ξ

ξ

‹;Œ ;Ž ;xó ø t ∈ (0, 1), ξ

ξ

−1

−1

ξ

ξ

ξ

Fξ−1 (t) = inf {x | Fξ (x) > t} > y ⇐⇒ Fξ (y) ≤ t ;   Fξ Fξ−1 (t) = inf {Fξ (x) | Fξ (x) > t} = t.

(3.7.8)



› ð     P (η < t) = P (η ≤ t) = P (F (ξ) ≤ t) = P F (t) > ξ = P ξ < F (t) = F (F Ý ô R η = F (ξ) ° 
}
~ U (0, 1). w
S
q
£
§ 0 $
Õ Û 
Ö
× Í Ø
}
~
?
„
…
© ;m «
¬
( Îê Ø 3.7.4 ëì }
~ , Ø F (x) Ù
Ú
Û
Üó ξ

−1 ξ

−1 ξ

ξ

(3.7.9)

−1 ξ (t))

ξ

J
Ý
x
y
› * 
]
­

F (x) < 1 ,

∀x ∈ R,

R(x) = − ln (1 − F (x)) = ln

1 , 1 − F (x)

(3.7.10)

x ∈ R.

(3.7.11)

=t.

8 9;: ‹;Œ ;Ž *
àZ+ ¨
©
@ >á
â
ã
R(x) 6


Þ

s



s
ß
G
H s R(−∞) = 0, R(∞) = ∞. R(x) ? ä
å
ˆ
æ „
…
ç
è
# ð
ˆ
æ ê{Ë
?
s{x
yÖ
· ¸  R(x) ð ñ
m
w
S
q
£
m ð
é +
ê ê 
¯ 3.7.2 ëì o
p
q
r ξ m
}
~ , Ø F (x) G
H
s Ù
Ú
Û
Ü (3.7.10), á 124

ξ

ë

η = Rξ (ξ) ,

(3.7.12)

0 
]
­ê $
o
p
q
r η ° 
Ö
× Í Ø
}
~ exp{1}. ÐÑxóë ø
ç !
F" (x) GHð sì R (x) Ü Þ
mGH , Øsì á η = R (ξ) ≥ 0 . í
6
>
s x > 0, P (η < x) = P (R (ξ) < x) = P (− ln (1 − F (ξ)) < x) = P (F (ξ) < 1 − e ) . ;]
¨ 3.7.1 >
s o
p
q
r F (ξ) ° 
}
~ U (0, 1), 
 â
0
î |

è 

Rξ (x)

(3.7.11) ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

−x

ξ

(η < x) = P (F (ξ) < 1 − e ) = 1 − e , x > 0 , ô í ¸ η = RP(ξ) ° 
Ö
× Í Ø
}
~ exp{1}. ï 9ç ëô s Ö
× Í Ø
}
~ exp{1} ? á
â
ã
ä
å
ð
ñ ç
è ð
ñ
ò
ˆ
æ ê §3.7.3 ó
ô
õ
ö
Ï
÷
ø
ù
ú  åâ ,Zû à mZ#Z ZwZü / æ mZª ðZ«Z¬ § 0 mZqZ£ê ËZ?ZxZyÖZýZ©ZoZpZq r
m
þ Øê Üξ o
p
q
r
s á g(x)
]
­
?
ÿ


m
ÿ

þ å , Ø
s i η = g(ξ), J
Ý Ü ξ m
þ å , Øê 9ç
þ å , Ø
#

G
H , Ø
sµ

w
] Ü Borel *
 m
s η ›÷  á η = g(ξ) Ü o
p
q
rê x
y ò Ö
ý
© η m
}
~
ê ëxì ξ ° I}~sÒJÝ η = g(ξ) m}~ 6xí = êÒ ξ m}~ Ü ó −x

ξ

−x

ξ

a1 , a2 , · · · p1 ,

J
Ý
s O

g(x)

···

p2 ,

Ù
Ú
Û
Ü g(x1 ) 6= g(x2 ),

,

∀x1 6= x2

Þ s η = g(ξ) m
}
~

› ð
ˆ
(


g(a1 ), g(a2 ), p1 ,

!

p2 ,

···

···

!

.

!

,

(3.7.13)

ò P w ü s  ˆxöðˆ m„… xê ë s  å  Ù x Ú  Þ s  $

á ξ m
}
~
 Ü ó g(x) = x , O ÛÜ

(3.7.13) 2

−2, −1, p1 ,

p2 ,

1,

2

p3 , p4

‹;Œ ;Ž ;



‘
’ J
Ý
s η = ξ m
}
~
 Ü ó §3.7

125

2

1,

!

4

p2 + p 3 , p1 + p 4

.

 
ñ ý
©
G
H
I
}
~
m

§ê x
y


w
ü
ª




ê 
Ø 3.7.5
o
p
q
r ξ ° 
}
~ U (− , ), η = tan ξ, T
 η m
}
~ , Ø
@  F , Øê
óÒ6
>
s ø
!
" ÿØ x, ð π π 2 2

  π π  Fη (x) = P (η < x) = P (tan ξ < x) = P ξ < arctan x, ξ ∈ − , 2 2 Z arctan x 1 1 1 = dt = arctan x + , π π 2 −π 2

! ›


η

m
}
~ , Øê ô
 | pη (x) =

!

Cauchi

η

m 
F , Ø Ü

d 1 Fη (x) = , dx π · (1 + x2 )

x∈R.

}
~
m «
¬ 
§ê w
'
(
s x
y
- 
F , Ø Ü p(x) =

1 λ2 π λ2 + (x − µ)2

(3.7.14)

m
G
H
I
}
~÷ Ü Cauchy }
~ê 

 3.7.5 ;m ð
η ° " 
m
+
ÈØ λ = 1, µ = 0 m Cauchy }
~ê Cauchy }
~

„
…
© ;m
w
S
ª í m
}
~ê â$# Ê$%  s Û Ü ξ ∈ (− , )   ñ ò P æ êÝ Ü O t ∈ (− , ) Þ s ? , Ø u = tan t &$' â$( s  á î$) ?$* w m ³ ,,+ t = arctan u, ô Þ x y ð 0 L î ê.- ø ! S
/ N s x
y
² = ë
 ]
¨ó (tan ξ < x) = (ξ < arctan x) mñò 
¯ 3.7.3 o p q r ξ °  G H I } ~ F (x), ð ˆ m  F ,0+01 p (x), a < á ,
+ u = g(t)
2
€ (a, b) â m
&
'


m
G
H ,
+ s î m
³ ,
+ h(u) = x < b. 1
2 2
€ (α, β) â m * % ,
+ s ´
¶è
% ,3+ h (u) = g (u) ?
2
€ g (u) 
F ,
+
1 ó â (α, β) G
H
s $ η = g(ξ)
G
H
I
o
p
q
r
sè π π 2 2

π π 2 2

ξ

ξ

0

−1

0

pη (x) = p ξ (h(x))|h (x)|,

Ð
Ñó54
ÿ â s O g &
' â
(
6 s x
y ð O Fg &
(x)' = PÞ (η6 <s x)x
=y Pð (g(ξ) < x) = P (ξ < g η

−1

d −1 du

x ∈ (α, β).

(x)) = P (ξ < h(x)) = F ξ (h(x)),

< x) = P (ξ > g (x)) = P (ξ > h(x)) = 1 − F 7 F8 (x)æ ñ= òP (η0

ó 1 b > 0, $
p (x) = p = , x ∈ (a, a + b),  ë ì °
) ;  η  }
~ U (a, a + b). b < 0, $ 
F ,
+
1 pη (x) =

= −p ξ (h(x))h (x) = p ξ (h(x))|h (x)|,

η

ξ

x−a b

1 b




1 |b|

x ∈ (α, β).

1 b

= , x ∈ (a + b, a), °
) ;  η 
} ~ U (a + b, a). O ξ °  N (0, 1) 6 s η : 1 G
H
I
o
p
q
r
s ëì b > 0, $ 
F ,
+
1 n o
p (x) = p = exp − , x ∈ R, ëì b < 0, $ 
F ,
+
1 pη (x) = pξ

η

ξ

x−a b

x−a b

1 b




1 |b|

1 |b|

(x−a)2 2b2

√1 2πb

n o 2 exp − (x−a) , 2b2

x ∈ R, < ï
s # ð η °  ï
= }
~ N (a, b ). Ë
?
s x
y
>
ý
©
? 1 w
'
m

§ê.:




ê Ø 3.7.7
o
p
q
r ξ ° 
Ö
× ï
= }
~ N (0, 1), η = ξ , T
 η m
}
~ê óÒ
 η 1 

o
p
q
r
s 
 ð √F (x) = 0,√x ≤ 0. O √ x > 0 6 s √ x
y ð F (x) = P (η < x) = P (ξ < x) = P (− x < ξ < x) = Φ( x) − Φ(− x) . 
 η m 
F ,
+
1 pη (x) = pξ

x−a b

=

√ 1 2π|b|

2

2

η

2

η

√ d dx Φ( x)

√ d dx Φ(− x)

° ZGZHZIZ}Z~ F (x), ðZˆ m ZF ,3+31 p (x). á 3.7.8 ZoZpZqZr ξ ,
+ @ 
F ,
+ ê η = sin ξ, x
y
>
 η m
}
~ ó6
>
s −1ð ≤ η ≤ 1, 

@
ø x ∈ [−1, 1], A
B F (x) @ p (x) m
ê

−1 < x < 1, x
y Ø

pη (x) =

d dx Fη (x)

=

−

=

√1 2πx

exp{− x2 },

x>0.

ξ

ξ

η

η

Fη (x) = P (η < x) = P (−1 ≤ sin ξ < x) ∞ X = P ((2k − 1)π − arcsin x ≤ ξ < 2kπ + arcsin x) =

k=−∞ ∞ X

C ô s ð
ˆ m 
F ,
+
1

k=−∞

{Fξ (2kπ + arcsin x) − Fξ ((2k − 1)π − arcsin x)} .

 ∞  X d d d pη (x) = Fη (x) = Fξ (2kπ + arcsin x) − Fξ ((2k − 1)π − arcsin x) dx dx dx k=−∞

‹;Œ ;Ž ;



‘
’

§3.7

=

∞ X

k=−∞

√

127

1 {pξ (2kπ + arcsin x) + pξ ((2k − 1)π − arcsin x)} . 1 − x2

â
#
D 
ž
E
e
¹ ;s x
y
4
ÿ â # 8 æ  ,
+ g(x) m
³ ,
+ m
F
G
*
w ? + @ *
H
+ s ø ô x
yå

· ¸;( 0,

−1,

x ≤ 0;

pξ (x) =

η3 = e−ξ pξ (x),

uQO

2x,

0 < x ≤ 1;

Qp qQr XQgQhQaQbQ` 0,

(2) g2 (x) =

(

x, 0,

.

|x| ≥ b,

|x| < b;

(3) g3 (x) =

   b,  

x,

−b,

x ≥ b,

|x| < b,

x ≤ −b.

QX YQZQm i = 1, 2, 3. 11. O.vxwQy I iQj 9 zQ{ 11 zQ|Q}QXQ~QQYQZQm€Q‚ƒvwQ„†… 2 Q ‡ X.vxˆQ‰QmŠQ‹QXQŒQf ^ \ W = 2I , W XQeQfQgQhQaQbQ` η = gi (ξ) 2

Ž‘

’”“”•”–

— ˜™š™›™œ™™ž ™ * Z?3¢Zw 2 „Z…3£Z€ (Ω, F, P ) ¤Z]Z­3¥ 2 (¦Z 2 j *3K Z x   y ¥ Ÿ Z ‰ 3 > Z ¡ s 2 ) opqr§©¨ª ! üopqrs xy« * F 2 †‡
¬ym +ê @}~­®s ¦ 6 Q
ò
¯ ¬
y P
1° r
>
†
‡
¬
y
m
± N +
ê §  © Ëÿ²³Ô{s Q 
„…
©´
µs x
y# * 
² =
¶ ¥
ò
¯ ¬y P 1° r
>
†
‡
± N +
ê m


§†
·
s†·
¸
 ξ ¹
º w 2
» m
µ E së ξ ¹
º
¼ Â ñ s 
E 
ò †
‡ ξ  ξ ­
F €
m ð
½
¾
¿ ò & ·
¸
 ξ  ξ }
B ð
¹
½
º
Ç
À
È
Á ¾ @ m
m
µ s J
Ý

Ã
Ä3ÅZm
Ÿ " >
ûZs.Æ3 †Z‡ 2 ξ° )3ξ ; ­
€
m ¿ 
§.É
·
¸
7?
! 2
€ ¦ 2(0, 1) ¤
,m
+ Ê „
…
£
€
¤
]
­
w  }Z~ U (0, 1) m
o F (x) @ F (x), }BË F (x) @ F (x) ¹º ¬y pqr,
+ η, 7 3 }~ ³Í » m
s¾
Ï ® ξ « = F (η), ξ = F (η),Í J
Ý
? ξ  ξ ­
€ ! ) ? ¦ " 2 S ¾
¿ sÌÆ PÝ
1y
ά
y
m ºm
+
§ ,
B
+ (
m s.¦ ·
2 ¸ o
p
A q
@ r Aξ = ¢
I w
 „
…
ξ £
=€I Ð;Î
m §
L
t m ¾
¿
4
ÑÜ

s J| †à ‡) §¾
? ¿
» á
yâ
mã
‰ä Ò³ÓÔÕ
Ö³
Ó×Ð;sxØ Í Ö
ÙÚ ¶ ¥Û
ÜÝ
¢Þ ! êß ª¦ ß
ð
ì ½ ä §å
·
æå·
¸
ð
w
½ ç
à ‰
) Ò
¾
ÿ
¿ 

4
ò3¥
¯ è
é
ê
æåë
Ý ° ü
ä éê ξ , · · · , ξ ­
í
î
ï
ð
ª
¦
ñ
Ü æ.

¬3ò
3ó
î3ç >3
Ë3ô õ §,ö÷
ø
ù
²
ú á
â ° ä ß
û
ü § §4.1.1 ó
ô
ý
ö
Ï
þ
ÿ ò


> á
â ° ä ß
û
ü § ·3¸ ξ , · 1· · , ξ Í á
â ¢3° î3ä ç û £3í (Ω, F, P ) ¤ ß Í n ç á3â3á
ã3âä æ ° ä ¯ (ξ , · · · , ξ æ )  ξ , · î
· · ,ç ξ nÍ   ¢
î
§ç û
 ­
£
æ í (ξ(Ω,, · F,· · ,Pξ ))¤ ß î
nç ç ná
 â
ã
ä § æ á
â ° ä æ ë
¨
Ý n ß Í (ξ , · · · , ξ ) î
ç n   ö  ÷

> æ
· ¸  k Ô 1 ≤ j < · · · < j ≤ n , (ξ , · · · , ξ ) ð Í î
ç k  á
â ° ä § !
æ  k = 1 "
æ Í á
â
ã
ä §.Î
Ë
æ á
â ° ä ß   Í î
ç#$ û
ü § %'&'(') ô õ áâ ° ä ß Þ'*æ ò'+,'$'-.®
îç/'01'23 áâ ° ä'4 Í'' ' ñç û' £í (Ω, F, P ) ¤ ß n  áâ ° ä æ  þ 5 4.1.1 (ξ , · · · , ξ ) 6 §4.1

1

1

2

2

1

1

1

−1 1

1

−1 2

2

1

1

2

A1

2

A2

n

1

1

−1 2

2

1

1

2

−1 1

2

2

n

n

1

1

n

n

1

1

n

k

1

j1

jk

n

{ω | ξ1 (ω) < x1 , · · · , ξn (ω) < xn } = (ξ1 < x1 , · · · , ξn < xn ) ∈ F,

128

∀ (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn . (4.1.1)

7 89:;? 4A@B (ξ , · · · , ξ ) Í î3ç  û C í (Ω, F, P ) D ß n  á3âFE ä æ.ë Í  G î
ç ûC íD ß n ç
á â
ã
ä æ.Î
Ë ξ ,···,ξ T §4.1

1

1

n

n

n

(ξ1 < x1 , · · · , ξn < xn ) =

(ξj < xj ) ∈ F.

H I æ JKL n M Eä (x , · · · , x ), ðN (4.1.1) O
óPQ.ëL  
ß M  x, ËT M > 0, ðN k ÔRS T (ξ < M, · · · , ξ < M, ξ < x, ξ < M, · · · , ξ < M ) = (ξ < x) (ξ < M ) ∈ F. @BU M ↑ ∞, ë N 1

1

k−1

k

j=1 n

k+1

n

j

k

j6=k

T

(ξj < M ) ↑ Ω,

V   D OWXYZ (ξ < x), [
÷\
Ú (ξ < x) ∈ F, ] ξ ^ á
â
ã
ä Q _`a 0bcdefg 4 (4.1.1) OhiZL n  Borel jk j6=k

k

k

k

B,

ðN

((ξ1 , · · · , ξn ) ∈ B) = {ω | (ξ1 (ω), · · · , ξn (ω)) ∈ B} ∈ F.

l mno p
á
â
ã
ä îq
æ ò,$
ô õ á
âEä ß rstu Q % ÷
æ ò
vS
ú n  á
âEä (ξ , · · · , ξ ) ßwxy  ß 4   ñ
ç û C í (Ω, F, P ) D ß n  á
âE
þ ÿ 4.1.1 K (ξ , · · · , ξ ) ^ ä æ z{ §4.1.2

1

n

1

n

F (x1 , · · · , xn ) = P (ξ1 < x1 , · · · , ξn < xn ),

(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn

(4.1.2)

% | á
âEä ßwxy  æ }{ F (x , · · · , x )  % (ξ , · · · , ξ ) ß~ k wx Q    4.1.1 æ n  á
âEä ßwxy  ^ î
ç   R € ß n  y  Q HI æ ò
î
ç n  y  F (x , · · · , x ) % n  wx æ @B‚ ñ
ç á
âEä f ƒ„% wxy  Q p 1  wxy …†‡ æ n  wxy ˆ N‰Š
Þ* 4 þ5 4.1.2 n  wx F (x , · · · , x ) ˆ N‰Š
Þ* 4 㠁ŒŽ 1 . F (x , · · · , x ) L‹
ç 㠁WŽ 2 . F (x , · · · , x ) L‹
ç 1

n

1

n

n

1

n

1

◦

1

n

◦

1

n

3◦ .

lim F (x1 , · · · , xn ) = 0 ,

xj →−∞

lim

x1 →∞,··· ,xn →∞

ðN

n

4◦ . F (x1 , · · · , xn )

∀ 1 ≤ j ≤ n,

F (x1 , · · · , xn ) = 1 ;

ˆ N‘‰‘Š‘R D ߑ’ ä Œ‘“Þ 4 L‘'

(b ,···b )

∆(a11 ,···ann ) F =

X

±F (x1 , · · · , xn ) ≥ 0 ,

aj ≤ bj , j = 1, · · · , n

(4.1.3)

”•– 789: ð'N x = a š b , jß = 1,ß · · · , n,%V ž'  x | = a +
 æ x =a j ç "
æ è ß ˆ¥¦ O 4 òS
ú n = 2 ¤ 3 " ∆ F

130

— A€ ˜ N 2 ç'™èæ ‹îè € æ ß j ß ç  %› "
æ | è Iœ % Iœ % − Q %Ÿ ¡¢&£ (4.1.3) O
æ n

j

j

j

j

j

j

j

(b1 ,···bn ) (a1 ,···an )

(b ,b )

∆(a11 ,a22 ) F = F (b1 , b2 ) − F (a1 , b2 ) − F (b1 , a2 ) + F (a1 , a2 ); (b ,b ,b )

∆(a11 ,a22 ,a33 ) F = F (b1 , b2 , b3 ) − F (a1 , b2 , b3 ) − F (b1 , a2 , b3 ) − F (b1 , b2 , a3 ) + F (a1 , a2 , b3 ) + F (a1 , b2 , a3 ) + F (b1 , a2 , a3 ) − F (a1 , a2 , a3 ).

>? 4 Þ* 1 ¤  j, 1 ≤ j ≤ n,  x

§ gQ.Þ* 3 € ߨ î
穪hO
óP«¬[ ^ 4 L  → −∞ "
æ.ðN T (ξ < x , · · · , ξ < x ) = (ξ < x ) (ξ < x ) → Φ. ¨­ 穪hO
óP«¬[z ^ 4 6 L®N« j, 1 ≤ j ≤ n, ðN x → ∞ "
æ ¯N T ◦

1

2◦

◦

j

1

n

n

j

k

j

k

k6=j

j

n

(ξ1 < x1 , · · · , ξn < xn ) =

° *

4◦

óP«¬[ ^ 4

j=1

(ξj < xj ) → Ω.

(b ,···b )

∆(a11 ,···ann ) F = P (a1 ≤ ξ1 < b1 , · · · , an ≤ ξn < bn ) ≥ 0 .

G î±²
îq³LZ
î´ ˆ NDŠ 4 µ ° *« n  y  F (x , · · · , x ), ð|'e'f'¶'E·¼ î'´'w¸ x y «  û'C í (Ω, F, P ), — D'¹ ' î'´ n 'º'» EA¼ ³¾½'\ º» « ^ F (x , · · · , x ). p î±² †‡ ³ n  wx }N¿ÀÁ wx ¤Á wx Q % øÃij f ‰ 6 f n = 2 %Å Q þ
ÿ 4.1.2 @BÆÇ (Nª´ š e Ç ´ ) M ÈÉ µÊ 4 1

1

n

n

∞ X ∞ X

pij ≥ 0,

pij = 1 ,

(4.1.4)

i=1 j=1

òwx  {p@}B % Æ ´ 2 ¿rÀs Á wx% Q @ BÆ ´ 2 Ç º» E¼ (ξ , ξ V) Ë -¿À  Á ³ ] (ξ , ξ ) « jk Nª jk š e jk {(a , b )}, P (ξ = a , ξ = b ) = p , i, j = 1, 2, · · · , — € {p } %ÈÉ (4.1.4) O«M  Ç ³  (ξ , ξ ) % (2  ) ¿ÀÁº» E¼ Q þ
y ÿ  4.1.3 @B F (x, y) ^ Æ ´ 2  wxy  ³ V  ‚ Æ ´ Lebesque eÌ «Œ“ p(x, y), ½\ ij

1

1

2

i

1

i

2

ij

j

F (x, y) =

x −∞

Z

y

p(u, v)du dv , −∞

j

ij

1

Z

2

2

∀ (x, y) ∈ R2 ,

(4.1.5)

789:; 0 E (QGH 6. K (ξ, η) GH ( (1,1) (0,0)

−ax

−bx

◦

1

2

3

2 1

−(ax+bx)

◦

x1 x2 3

2 3

1

2

3

f (x+y) x+y

ce−(cx+4xy) ,

x > 0, y > 0

0,  %R (1) S c; (2) &'   F (x, y); (3)P {0 < ξ ≤ 1, 0 < η ≤ 2}. UTVR p(x, y) = Ke 7.  GHWX@Y@Z √ a > 0, c > 0, b − ac < 0, K = ac − b . 8. K (ξ, η) &'GH y) = cxy , 0 < x < 2, 0 < y < 1. %R (1) S c; (2) ξ, p(x, η ?[A"\]^ _4 ϕ(x, y) =

−(ax2 +2bxy+cy 2 )

2

1 π

2

1 2

2

1 2

§4.2

`badcefghce

133

ikjklkmknkokpklkm q'ñsr 0,

P (ξ1 < x|a ≤ ξ2 < b) =

x ∈ R,

¾ðµÊ|}

P (ξ1 < x, a ≤ ξ2 < b) , P (a ≤ ξ2 < b)

(4.2.2)

”•– 7 89: Þ°ïgb¿³ ú Æ¡\·Æ « wx x« yyÀ À P‡ (ξI ?@A è  . x ∈ R, %Ô÷ P (η = x) = 0. # B7 n (n ≥ 2) C à á2â ãBDBEBF'BBGBHI ÞKJ JLBB. (x , · · · , x ) ∈ R ,e % ÷ P (ξ = x , · · · , ξ = x ) = 0, àeá âã (ξ , · · · , ξ ) Ùeêeëe×eØeòeó M N > ; < (OP èQR ýS ï Ù T U ). V  Q

ñ

ξ

η

ξ2

ξ, η

η2

η

η

η

1

n

13.

1

1

n

n

1

ñ

s

a) b)

 1+ xi , p(x1 , · · · , xs ) = i=1 

ÔÒ Ó è XÔß Ô C àÔáâäã

p(x , · · · , x ) $  1

s

s

.

s

(ξ1 , · · · , ξs )

ñ

*+!"Ôé

îÔô

1 2

≤ xi ≤ 12 , i = 1, 2, · · · , s;

0,

ï

Y

WÔìÔíÔòÔóÔé

(1) ξj ∼ U (− 12 , 12 ), j = 1, · · · , s ; (2)

−

2 ≤ q < s, ξ1 , · · · , ξs

n

.

ÔÝ ìÔíÔòÔó æ ÒÔÓ è ÔàÔáÔöÔãÔþ*+ !"eé

p(x1 , · · · , xs )

.

q

(3) ξ1 , · · · , ξs → − (1) → − (2) (4) ξ = (ξ1 , · · · , ξq )τ , ξ = (ξq+1 , · · · , ξs )τ , 1 ≤ q < s,

 s  (1) (2)   1 + Q xi , → − → − p ξ |ξ = i=1  0,

ñ

−

1 2

îÔô

:

≤ xi ≤ 12 , i = 1, 2, · · · , s; .

n

§4.3

14.

Z\[^]\_a`abacadðñ

145

JÔðeDÔÙÔ×ÔØÔ÷ * fÔÙ  geÞ V F (x, y) $ àÔáâäã (ξ, η)æ ÙÔ×ÔØÔòÔó G(x) h H(y) ×1 $ G(x) h H(y) $ ; 0,

|r| < 1,

ì\í^î\ï

©aª

1 √ p(x, y) = × 2πσ1 σ2 1 − r2    −1 (x − a1 )2 2r(x − a1 )(y − a2 ) (y − a2 )2 exp − + ,(4.3.2) 2(1 − r2 ) σ12 σ1 σ2 σ22

¦ð«ð¬ð­ð® zðƒð|ð}ð~ðð€ð¢ ¦ ƒð|ðâðãð€ð¢ 4¯ð¦

N (a1 , a2 ; σ12 , σ22 ; r),

ñóò

2

(x, y) ∈ R .

tau a å öa÷ R R p(x, y)dxdy = 1 . a z a ø ù a ² a ú a û ^ ù ü  ça ø 6.1 ò\Èaýaþaÿ z
a€

aø „ ­a® p(x, y) â ãa€ tauaà


 ƒa|aâaãa€a¢ N (a , a ; σ , σ ; r) zaÄaÅ «a¬a„ Ç
a¹ a ¢ z 
 ò 


a Ú 

 à   



a„ taua
ôaõ

p(x, y) > 0 ,

∞ ∞ −∞ −∞

1




u=

p1 (x) =

Z

∞



4ä 

p(x, y)dy =

−∞

t=

v−ru √ , 1−r 2



u2 1 e− 2 2πσ1

x−a1 σ1 ,

2 2

v=

y−a2 σ2

Z

1 √ 2πσ1 1 − r2

,

  2 u − 2ruv + v 2 exp − dv , 2(1 − r2 ) −∞ ∞

" #) 2 1 v − ru 2 √ exp − +u dv 2 1 − r2 −∞ Z ∞ (x−a1 )2 t2 u2 1 1 1 2 e− 2 dt = √ e− 2 = √ e σ1 . ·√ 2π −∞ 2πσ1 2πσ1

1 √ p1 (x) = 2πσ1 1 − r2 =√

2 1

2

Z

(

∞

±   ˜a™
a› ξ zaÄaÅa€a¢  ²a|aâaãa€a¢ N (a , σ ). 
 µ   η zaÄaÅ
€ð¢  ð ² |ðâðãð€ð¢ N (a , σ ). ±ðú Öð×ðØðÙ tðu  ƒð|ðâðãð€ð¢ðz ðúðÄðÅð€ ¢
!  ²aa | âaãa€a¢ „ "   Ç Í𓠫ð¬ p(x, y) ò$#ðº %ð® r, ¿ ðúðÄðÅ «ð¬óò ! & º %ð® r, Œ ª´ Ía“ «a¬ p(x, y) Ú
'^° ÿ z
aúaÄaÅ «a¬ Œ
z
(a/
³ 0
„41 æaçaå
) $(
*aú %a® z  „ tau å
+
,  4ñ^ò %a® r -
.aþ ξ Ã η ¬a„ Ú 3 Áaýð­a® p(x, y) Ç
4
5aç Õ z
6a€
7 „4Öa× Õ  ÒaÓ Õ ç z 

2 ¶ 
tau º 1

2

Z

± œa÷  þ

2 1

2 2

 p(x, y)dy dx −∞ −∞ −∞ −∞   Z ∞ Z ∞ 1 (x − a1 )2 = p1 (x)dx = √ exp dx = 1 . σ12 2πσ1 −∞ −∞ ∞

(4.3.2)

Z

∞

p(x, y)dxdy =

8 Œ Èaý z ­a®

Z

∞

p(x, y)

Z

∞

z
(  ²aú «a¬a­a®a„

ì í^î\ï9
: ; \  ý ÉðÊ «ð¬a„ ° ¹ ðúaÄðÅ «ð¬ ÒaÓ Õ ç z 

2 ¶   a < Ì >
>
? ¹ 0, @a
¸ A – y ∈ R, ! º §4.4

p(x, y) 1 =p exp p1 (x|y) = p2 (y) 2π(1 − r2 )σ1

(


 µaŽ Â

η

ÇaÈ ³

p1 (x)

(x − a1 − r σσ12 (y − a2 ))2 σ12

"  ^ ñ ò z y aÖ à È ³az
7  Œ ª Õ 8   ²a|aa â ãa€a¢ N (a1 + r

147

ξ

ÇaÈ ³

η=y

)

,

=

p2 (y)

x ∈ R.

Ñ zaÉaÊa€a¢ 

σ1 (y − a2 ), σ12 (1 − r2 )) . σ2

(4.3.3)

σ2 (x − a1 ), σ22 (1 − r2 )) . σ1

(4.3.4)

Ñ zaÉaÊa€a¢  ²a|aâaãa€a¢

ξ=x

N (a2 + r

‹ Õ ƒ 8 €
B
C ¦ N (a , σ ) = N (a , σ ), D €
B à ξ = η zaÄaÅa€ · ¢
/ a„ Ï Ñ Ía“ a « ¬
a¹ ƒaÄaÅ «a¬ z
E
6 0Ÿa¿ ξ à η /
F
G
H „ ± a œ Ç ²a³ a´ Õ
I  þ
%a® r J
# ´ „K ²
L J
# ´ åaÇ ”a²
M ò N
Oa„ ‹a¶

r = 0,

2 1

1

P
Q

2 2

2

4.3

RTfhgSTUWVYX (ξ, η, ζ) ZT[T\Tfh]Tg ^ D = {(x, y, z) : x + y + z ξ `hihjhchdhk (2) ξ lhmhn η, ζ `hohphqhrhshthu 2. RhShUVvX (ξ, η) whqhr 2

1.



1 x2 + y 2 p(x, y) = exp − 2π 2



2

xy 1− (1 + x2 )(1 + y 2 )

2



< 1}

_T`TaTbTcTdTe

(1)

−∞ < x, y < ∞.

,

h` ihjhqhr{v|h}T~Tu€TT‚ yTƒT„T…T†T‡ˆ xhyhz€Œh 3. R ξ ‰ ξ |hShUhŠhXhe€‹ ζ = ξ + ξ , ζ = ξ − ξ . ζ , ζ |hŽhhh‘h` }h~hShUhŠhXhe€’ ξ ‰ ξ “ |h}h~hfhSh—hUh˜ ŠhXhu 4. ” (ξ, η) Zh[h•h–h}h~hchd (4.3.2), ξ + η ‰ ξ − η Žhhh‘h`h™hšhohpTu xhy e Œh ξ + η 5. R ξ ‰ η ›hh‘hœhchdh`hShUhŠhXhežhqhrhshthŸh T¡ 0 ¢hwh•h£h¤hthu ‰ ξ − η Žhhh‘he€’hShUhŠTX ξ, η, ξ + η, ξ − η ahZh[h}h~hchdhu 6. ” (ξ, η) Zh[h•h–h}h~hchd N (a, b, σ , σ , r), ¥ D(λ) ‹h¦h§h¨h©h`ªv« xhyhz

1

ξ, η 2

1

1

1

2

1

2

1

2

2

2

fhgh¬h­

2

2

(x − a)2 2r(x − a)(y − b) (y − b)2 − + = λ2 2 σ1 σ1 σ2 σ22 P {(ξ, η) ∈ D(λ)} .

® ¯°±°²°³°´°µ ° ¶¸·º¹¼»¸½¸¾¸¿ ˜ ™¸ › J ­ ®¸ÀÂÁ Ç ¸½
¾ ˜ ™^š › J ­a®¸ÃÅÄ ¶  ³a´ Ç
 ²aúa—
Æ
Ç Ü Õ J n úa˜a™
a› À¼È
É (ξ , · · · , ξ ) œa ²aú §4.4

1

n

Ê ˜a™

ξ1 , · · · , ξn n

é^ê\ë

148

ì\í^î\ï ³a´ ) œa

š\› Ë µ
Ì ­a®
ÀËÈ
É ζ =: g(ξ , · · · , ξ ė Æ
¶ Ç g(xÕ , · ·˜a· , ™
x a)  › n ¶
Ê ·
Borel Ã
Î ζ ©a¦ ± n úa˜a™
a› Ja­a®
ÀÏÐ Ñ n Ê Ç
Í Ü J à ˜a™^š\› (ξ , · · · , ξ ) Ja­a®
à ¶
· J
A
Òa ° (ξ , · · · , ξ ) J Ía“
Óa¢ Áaýaña­a® J Óa¢ à ™  › J *¸Û ù 8
J ­ ®
ÀÂÜ
Ä ÂÅÄ ¶ ξ , · · · , ξ ×¸Ô¸Õ¸Ö ò »¸× )¸Ø¸Ù¸Ú ú ˜ ¸  n Ý
Þ
ß^ ò J
à
á 7 ÀÈ
É ζ =7 ξ + · · · + ξ œa n Ý
Þ
ß^ò J
â
à
á 7 Æ ¿ ζ = max{ξ , · · · , ξ } œa
 ã ? à
á  Æ äa¹ ζ = , k = 1, · · · , n * ·a Ý
Þ
ß^ò J
à
áaÇ
â
à
á^ò å
æ
Jç è
ÃTé
êaÑ
ÀTÄ ¶ ª (ξ, η) 

ë
ì
í 1

n

1

1

n

1

n

n

1

1

1

n

n

n

k

ξk ξ1 +···+ξn

J
î
ï
ð
ñ
ÀÈ
É p ρ = ξ + η , θ = arctan ò¸Ó¸B¸ó¸ë¸ì¸í  ð¸ñ
ô í J
õ¸
=
ö¸ï
J 7 À0¹ ó (ρ, θ) ò¸ó¸ë¸ì¸í J¸ö¸ð¸ñ
à ò Ú
÷
ø ) Ó
B Ø
ù ρ = θ, ¿a¨ ø )
Ø
ù
ú
Ê
û
üý þ (ρ, θ), äa¨ ø ) ¹ ° ó ¶
· a Í
ÿ
Ó
Áaý (ρ, θ) J Í
ÿ
Ó
à ±
 J
Ü

 µ ª
aý

Ú
à (ξ, η) J §4.4.1 




¶
a · à
ã
a ¼
J


,

à ¥ (ξ, η) ó ú
Ê



û¶
üý þ
À ÿ
J
 7 § 7 ÿ ¦ ÿ {(i, õj) ó
|i,
j =
0, 1, · · ·},ÿ äa¨ P (ξ = i, η = j) = p , Ä ζ = ξ + η, È
É ζ J
 § Ð ®a§ À ä 2

η ξ

2

i,j

¨aº

P (ζ = k) = P (ξ + η = k) =

k X i=0


B
 ÀÄ ¶

ξ

Ã

i) = ai , P (η = j) = bj

P (ξ = i, η = k − i) =

k = 0, 1, · · ·(4.4.1) .

ó
/
F
G
H
J 
 
 ® 7 J û ü  þ À4äð¨  ¦ , È
É (4.4.1) 8 k X i=0

k X

pi,k−i ,

i=0

η

P (ζ = k) = P (ξ + η = k) =

=

k X

P (ξ =

P (ξ = i, η = k − i)

P (ξ = i)P (η = k − i) =

k X

ai bk−j ,

k = 0, 1, · · · .

(4.4.2)

a¤ 4.4.1 ¶
·
Î /
F
G
H J
û
ü  þ
J
=
J Ó
©a¦
%aÃaÁ
=
J û
ü  þ 6  8
à 
B
 ÀWÄ ¶ %aÃðÁ
= J û J Ó
J
Ó

/6 À4¿ Î
 8 ¶
(4.4.2) a ©
¦



  ü þ
J 
ÀÈ
É · ò Î ÿ · J
=
J Ó
©a¦
Í Û
Ó
J ! 6 Ã » 4.4.1 ¥ 0 < p < 1, û ü  þ ξ Ã η / F G H À4ä ¨ ξ " ú Ý Ó#

ú
Ý Ó
B(m; p), ÀaÁ ζ = ξ + η J Ó

$ Ã B(n; p), η " i=0

i=0

§4.4

ì\í^î\ï9
: ;

Ë Â¯

°

 6  8

q = 1 − p,

P (ζ = k) = P (ξ + η = k) =

k X

149 (4.4.2)

%

ai bk−j =

i=0

= pk q m+n−k

k X

k X i=0

k−j k−i m−k+i Cni pi q n−i · Cm p q

k−j k Cni Cm = Cm+n pk q m+n−k ,

k = 0, 1, · · · .

(4.4.3)

 ζ = ξ + η " ú
Ý Ó
B(m + n; p). ±aú Ô
(Ð Ñ
ú Õ
&
2 ¶
 ×
º
' À ÿ 6
)
*
Ô À!+aÐ "  À ±aá J
%a® p ó  ²aú Ã î
, Õ 
F J n è ! Ã ` 4.4.2 a
û
ü  þ ξ , ξ , · · · , ξ /
F
G
H (n ≥ 2), 
" % C λ > 0 J
b C
Ó
Ã4÷  À ξ + ξ + · · · + ξ " Γ(λ, n) Ó
À?c
aD ñ
H
I B

C ó Â ξ1 +···+ξn

1

ξ1

ξn

n

∗n

ξ1 +···+ξn

∗n

1

1

2

2

n

pn (x) =

Ë Â ¶
·aà
 ÒaÓ

å
G
À4Ð
: ÷ Ð

n

(4.4.5)

λn n−1 −λx x e , Γ(n)

8
d

p2 (x).

x>0.

" 


e 0 < u < x Ñ
À?_ p (u)p (x − u) > 0,

p1 (u) = λe−λu ,

p2 (x) =

p1 (x − u) = λe−λ(x−u) ,

x > 0;

1

(

λ2

Rx 0

(4.4.7)

x − u > 0,

1

e−λu e−λ(x−u) du = λ2 xe−λx ; x > 0; x ≤ 0.

0

 ú b C
Ó  6ðÚ Õ
&
2 Q  (4.4.7) 8aÇ n = 2 Ñ
0 H À4ä
:aØaÙ ¶
· Â a J  C Ó
À e ó Γ(λ, 2) Ó
À4ÿ â
f
ó % C λ > 0 J Poisson Ó
gò J 2 ú  ó b
( í 
h Ña
Ü J Ó
Ã?i
a k ú b C
Ó
J
 6
ó Γ(λ, k) Ó
ÀD
_ ¶¸·¸ . Ò Ó (4.4.5) 8¸À Ó¸p B(x)å =P (u)x= pe (x −, u)x>>00j8. k ñ ò¼À D8O  % (4.4.7) 8aÇ n = k + 1
Ñ Ï
0 H Ã k

λk k−1 −λx Γ(k) k

1

§4.4

ì\í^î\ï9
: ;

151


l m





n o
p ú
Ê
;
xv, v 0.

n

¬
­

η1 = max{ξ1 , · · · , ξn }, η2 = min{ξ1 , · · · , ξn }.

η1 (ω) = max{ξ1 (ω), · · · , ξn (ω)}, η2 (ω) = min{ξ1 (ω), · · · , ξn (ω)},

ω ∈ Ω,

ω ∈ Ω.

ξ 1 , · · · , ξn ,


ü

154

Ò)
¹

η1

Ý

η2

%
&(' ÅgÆ¿ÇgÈ

*+ ó 
­
Ô-,./
Ú-0

(η1 < x) = (max{ξ1 , · · · , ξn } < x) n \ = (ξ1 < x, · · · , ξn < x) = (ξk < x) ∈ F,

(4.4.13)

(η2 < x) = (min{ξ1 , · · · , ξn } < x) =

(4.4.14)

k=1



1

2

η1

k=1

n \

349: ¯

(ξk < x)

k=1

!

=

n Y

P (ξk < x) =

k=1

(η2 ≥ x) = (ξ1 ≥ x, · · · , ξn ≥ x) =

5

n Y

P (ξk ≥ x) = 1 −

1

2

k=1

n Y

k=1

n Y

Fk (x); (4.4.15)

k=1

n T

k=1

(ξk ≥ x)

Fη2 (x) = P (η2 < x) = 1 − P (η2 ≥ x) = 1 − P = 1−

F1 (x), · · · , Fn (x)

η2

Fη1 (x) = P (η1 < x) = P


º

(ξk < x) ∈ F.

 ¹ Ûî1 1

åæçèžÚ-â 1¢121314

š η Ý η ¹ )
Û î  F (x) F (x). ,./
Ú
ž 6 (4.4.13), 
è7
º8 ξ1 , · · · , ξn

n [

n \

k=1

(ξk ≥ x)

(1 − Fk (x)).

! (4.4.16)

;(< 0= ¹ ó  (η , η ) ¹> ø
Û
î
Ô ) ? « š
ç
è
é
Û
î@
øA ¹ þ
ÿ
Ô B Ò ÿ ξ , · · · , ξ ó ç
è
é
Û
î ¹ 
­
Ú  ¹C é
Û
î
û F (x). 4.4.5 D 5  ¹ Ì
! ¼ η Ý
Ì"
¼ η ¹> ø
Û
î
Ô Ò ÿE
ý
Î
Ú(FG F (x) ûHIJ Û
î
Ú-ð K
0 ù
ú  p(x), D 5 (η , η¹) > ¹> ø
ù
ú
Ô â (4.4.14) ¯ Ú-N ñ L #   
ü G(x, y) Þ
Ó (η , η )
ø
Û
î M Ô 6 (4.4.13) O š#  x ≤ y ž
Ú-0   T 1

n

1

2

1

1

2

2

n

G(x, y) = P (η1 < x, η2 < y) = P (η1 < x) = P



x>y

Ð
ü

ž
Ú-0

(ξk < x)

= F n (x);

k=1

G(x, y)= P (η1 < x,η2 < y) P (η1 < x) −  P (η1 < x, η2 ≥ y) = n n T T n =P (ξk < x) − P (y ≤ ξk < x) = F n (x) − (F (x) − F (y)) .

¹> ø
Û
î
û ( k=1

(η1 , η2 )

G(x, y) =

k=1

F n (x) − {F (x) − F (y)}n , x > y, F n (x),

x ≤ y.

(4.4.17)

ÅgÆ¿ÇgÈ¿É
ÊgË û HIJ
Û
¯ î
ÚPò K0
ù
ú  > ø
ù
ú
F (x) MÚ 6 (4.4.17) Ú 0

§4.4

q(x, y) =

155 p(x)

ž
ÚP
ü

q(x, y)

∂2 n−2 G(x, y) = n(n − 1) {F (x) − F (y)} p(x)p(y), ∂x∂y

Þ
Ó

(η1 , η2 )

¹

x > y. (4.4.18)

QRSTUQRVWXY µ1Z Ö  ó !1 ¹ 1 1 1­1 ª÷¹ 1 ¹µ1Z Ö [ 1 Ð 1 \ ] ^ Ô 1 _ 1 ` 1 a b  Ô?ûcdef
Ú-g h ¬
­ ª
÷
¹  µZ Ö  Ô G ξ , ξ â ν ó ¹ 
` é
ý
¬ ÷ â (Ω, F, P ) / ¹ 3 ¬
å
æ
ç
è ¹ 
­¹ 
Ú?°¿² ξ Ý ξ Û
î 
 Û
Ü
û F (x) F (x), ν ûi
û p, 0 < p < 1 Bernoulli 
 ­
 Ô-j ζ = ν ξ + (1 − ν) ξ , (4.4.19) )
k ¹ ζ 
ül
û ξ Ý ξ ¹  µZ Ö  Ô?°$  ó §4.4.5

1

2

1

2

1

2

1

1

2

2

b5 ζ ¹
Û î
ÔM6 

â ν gm 1

h 0 ¬
¼
Ú?Ð
ü

ζ(ω) = ν(ω) ξ1 (ω) + (1 − ν(ω)) ξ2 (ω) ,

ω ∈ Ω.

Fζ (x) = P (ζ < x) = P (ζ < x, ν = 1) + P (ζ < x, ν = 0) = P (ν ξ1 + (1 − ν) ξ2 < x, ν = 1) + P (ν ξ1 + (1 − ν) ξ2 < x, ν = 0) = P (ν ξ1 + (1 − ν) ξ2 < x|ν = 1)P (ν = 1) + P (ν ξ1 + (1 − ν) ξ2 < x|ν = 0)P (ν = 0) = P (ξ1 < x|ν = 1)P (ν = 1) + P (ξ2 < x|ν = 0)P (ν = 0) = P (ξ1 < x)P (ν = 1) + P (ξ2 < x)P (ν = 0) = p F1 (x) + (1 − p) F2 (x) .

Ò (4.4.19) ¹ 
­ ¹  µZ â ¹ Û
î n ó Û
î 1 ¯
Þ gÚ ? § ¹
µZ â Ô o
ü p E
ý
Î ¹qr Ô G ξ , ξ â ν ó ¹  `
é
ý
¬ ÷ â (Ω, F, P ) / ¹ 3 ¬
å
æ
ç
è ¹ 
­¹ 
Ú?°¿² ξ Ý ξ Û
î 
Û
Ü
û F (x) F (x), ν ûi
û p, 0 < p < 1 Bernoulli 
 ­ 
-Ô j (4.4.20)

1

2

1

2

1

η1 = max{ξ1 , ξ2 },


ü5
º )k
¹ ζ ¹
Û î 

2

η2 = min{ξ1 , ξ2 },

ζ = ν η1 + (1 − ν) η2 . Fζ (x):

Fζ (x) = p Fη1 (x) + (1 − p) Fη2 (x)

= p F1 (x)F2 (x) + (1 − p) {1 − (1 − F1 (x))(1 − F2 (x))}

(4.4.20)

%
&(' ÅgÆ¿ÇgÈ

156

= p F1 (x)F2 (x) + (1 − p) {F1 (x) + F2 (x) − F1 (x)F2 (x)}

¯ ² ¹ F (x) ws* ó 3 ¬8Û8îs s F (x), F (x) â F (x)F (x) s  s  s t s u 8 8 v Ú / ¹
µZ â Ú-x óy < p < 1 k Ú-z0 F (x)F (x) ¹
µZ : 2p − 1 < 0 , Ð
ü ) k F (x) { ó 3 ¬
Û
î  ¹ “ |(}
ø ”. x ó 
ü~
)k F (x) €
Û
î

 ¹ 3 ¶
‚ Ô /sƒ hs„s…s† ws*scsd8ڇxszs¹ ˆ‰Šs‹sE8¹ ý
ÎsŒ¹ 8Û
îs¹ — ˜ ¹ s^
ڇ+ˆ Š‹Ž
 ý‘’“”•8 ç
è–  Û
î Ô §4.4.6 ™š›œT „ 11 ÷ (Ω, F, P ) / ¹ n „ 11–1 Ú-1* Ú ó 1  G ξ ,···,ξ `  é ý ž„ ω ∈ Ω, ξ (ω), · · · , ξ (ω), ¾ ó n „ .
Ú Ÿ ) 
ü ;(<  ¹ !"
Ú  {1«¬?1­ ®ü ¯11 1Ò ¡£¢ ¹ Ì1! ¼ h⠄ Ì1" ¼Ú-1¤1  ü1¥ á 1¦ ¹ ë1"181! ¹1§1¨ªÒ © Ä°
Ô ÿ±
¢(0² 
å³
ÚL´µ ü« ¶ " ž„ Ä`s·
¾
×
ÒÚL)7 ¸ ÿ (¡ »1¼ Ä/1` ½1ξ1(ω)¾1¿ ¡· ξ (ω).  ).ó ` ξ n ó ω ý / „11 ` Ω §1ξ (ω)¨ ¡=Íξ Ú-(ω),11 ¹ i 0;

'

rξ,η

a < 0.

¡
Á
Â
S
8 9 s
 ‘
’
“ ξ, η ∈ L , „ 
T ‹
U
V 
W
$
X š 0  Y (1) ξ ? η 

(2) Cov(ξ, η) = 0; (3) Eξη = EξEη ; (4) D(ξ + η) = Dξ + Dη. 0 v 4 
€
r
Z
; 

?
[
º
¿ ~ s 
 ²
½ 5.2.9 ¡
Á
Â
S 8
9 s 
‘
’
“ ξ, η ∈ L H
\
n „
… ξ ? η [
º
n –
5 Þ € 0 

Y(]
† „
… Þ € 0 

^
_
`

W
[
º v Ã
Ä š „
… 
‘
’
“ ξ, η ∈ L , É
Ë

W
[
º
n¸–
5
1
2
” ²
½

5.2.8

2

2

2

¤ ™ Þ € 0 
 v 3
4 n¸
€
”
3 a „  š ì 5.2.6 ´ 
‘
’
“ ξ × η
s t
u
b
t
p !

Cov(ξ, η) = E(ξ − Eξ)(η − Eη) = E(ξ − Eξ) · E(η − Eη) = 0,

ξ∼

−1

0

1

1 2

1 4

1 4

η∼

,

0

1

1 2

1 2

!

(5.2.23)

# ξ ? η 0 [
º
n(c 0 
 v û š ¹ ξ × η s"t"uGb n , Eξ = Eη = 0. dGe"p P (ξ · η = 0) = 1, ¤ ™  0 v ]
† E(ξ · η) = 0. e
f Cov(ξ, η) = E(ξ · η) − Eξ · Eη = 0, , ξ ? η 
 É
Ë ¤ ™

P (ξ · η = 0) = 1.

P (ξ = 1) = 14 ,

P (η = 1) = 12 ,

P (ξ = 1, η = 1) ≤ P (ξ · η = 1) ≤ P (ξ · η 6= 0) = 0,

P (ξ = 1)P (η = 1) = 6= 0 = P (ξ = 1, η = 1), 0 ˜
g ξ ? η [
º v h ¢

n(
 ξ ? η s
 t
u
×
i
j P (ξ · η = 0) = 1, 0
k
l  w t
u
b š 1 8

pij

-1

0

1

pi·

0

1/4

0

1/4

1/2

1

0

1/2

0

1/2

(ξ, η)

s
m

1/2 1/4 1 n † Š
‹ 
 i
j P (ξ · η =p0) = 1/4 ¹


 3 a
o v ·
p
q 1, ¼ w
t
u b m t

u
b s r
s † š
‹

‘
’
“ s
w Î
$
x 0 s m å 
t
 Œ 
‰ « á u œ
t v p × p , ‰ Ø  0, 2  

y i z Œ
 4 × $
x p , y j 㠌
 4 × $
x p ,
¼ {

·
|
Ó
} s Œ

ì ~
v 
‘
’
“ θ ÷
ø

€ t
u U (0, 2π), H 5.2.7 ´ ·j

i·

·j

·j

i·

ξ = cos θ,

η = cos(θ + a),

¥
¦
§©¨«ª m) IJK ù+  òU† V ù  Ž W òŽòŽ X ùŽÿY ÷†ø S = ξ + ··· +ξ Z T = ξ +ξ + ··· + ξ [
\
]
^ ù
U
_
º` ú
÷ d 8. H ξ ùºõºö
aºú I
b aºúcW Eξ < ∞, |ξ| Z ξ e
U
_
f
g
h
e
Ui JK  9. H (ξ, η) ùºõºö
º a ú
$ Eξ k , E(ξ k η l ) (k, l

1

n

2

3

n

2 i

i

n

i

1

2

n

i i

i=1

i=1

1

2

1

m+n

n

m+1

m+2

m+n

2

p(x, y) =

(

1 , π

0,

x2 + y 2 ≤ 1

x2 + y 2 > 1

÷ *kj
l
m ξ Z η
e U
_
f
g
h
e JK  ? º 10. H ξ Z η n I
o [ ! ù í†î†÷
ï†d ð
 ÷dp
q gheU
_cr J
K  11. H η = aξ + b, η = cξ + d, η , η ù
U
_
`ºú
s
t ξ , ξ ù
U
_
`ºú
 12. H ξ , ξ , ξ I íºîºïº
ð 
÷ u
vp wx ]^ ù_`
m 1

1

1

2

2

2

1

2

1

2

3

[
[ e
U
_
y (2)D(ξ + ξ + ξ ) = Dξ + Dξ + Dξ ; (3)Eξ ξ ξ = Eξ · Eξ · Eξ . 
  Eξ = a, Dξ = 1, Eη = b, Dη = 1, d
C m ξ Z 13. H ξ, η z
{
|
}
%
~ ú
s
t r cos qπ, 
 q
= P {(ξ − a))η − b) < 0}. 14. ì (ξ, η) z
{
|
}
%
~  Eξ = Eη = 0, Dξ = Dη = 1, r = r, ÷
d (1)ξ1 , ξ2 , ξ3 1 2 3

1

1

2

2

3

1

2

3

3

ξη

E max(ξ, η) = 15.



ak = E|ξ|k ,

H

an < ∞,

÷
d

√ k a ≤ k

r

1−r π

√ ak+1 , k = 1, 2, · · · , n − 1.

k+1

η

ù
U
_
`

€‚‚ƒ…„‡†‰ˆ‚Š‚‹‚ˆ‚Š‡Œ‰„

182

H

16.

ξ

ùºõºö
aºú
$ p(x) =

÷
d
 t
Ž


17. 18.

z
{ 
 N (a, σ ), ÷ºø Pareto ùºõºö
ºa ú
$ H

(

20. 21.

0,

|x| > e




,

a > 0, E|ξ|a = ∞. 2

ξ

E|ξ − a|k .

p(x) =

19.

1 , 2|x|(log |x|)2

(

1 rAr xr+1 ,

0,

x ≥ A,

x < A,

D
 r > 0, A > 0. ÷
‘

D 
 ò p ’
“
”
W
•
” p < r. –— ò—˜—ø ™ 1 š 2 ù n ›—œ——Ÿž—{——Ž
 m ›— ÷— (1) ò— ¢¡£y (2) e
 ¢¡ (m ≤ n) |
ø
¤
¦
¥§ m ›
œ


˜§
™ ]
#\ ª
ùº«­ÿ¬  5.1 ù
¨ 21 
©

ºù®†ú ξ ùºÿ

 ìºíºî#" ð (ξ, η, ζ) ò
¯
°ºõºö ø
± íºî#" ðºù
²†ÿ
³p(x, y, z) = (x + y)ze , 0 < x, y < 1, z > 0. –
ø º ò N ´
µ
¶
#·­º µ ú τº $ íºîºïºð
 E(τ ) = n. ž
{
–
ºò
 #¡­¸
Ž
m ´
µ
 ·­µ
º ´ ú ξ ùºúºûºüºý
 ì A, B I
¹ * E º ù ([ ´
º
»
W P (A) > 0, P((B) > 0, 
¼
º½ íºîºïºð ξ, η p 
m 1, H A¾
¿ , η = 1, H B¾
¿ , ξ= 0, H Ae
¾
¿ 0, H B e
¾
¿ ÷
d
C mH ρ = 0, r ξ Z η À
¼
U
i J
K  ì Eξ < ∞, a I
¹ ú
Á ( ξ, ” X ≤a , η= a, ” X >a d
C m Dη ≤ Dξ. ì p (x), p (x) $

º} õºö
ºa ú
 p(x, y) = p (x) · p (y) + h(x, y). (1) $
S p(x, y) Â
$
|
º } õºö
º a ú
 h(x, y) À
Ã
W o
Ì Ä O
P
ÅÆ
Ç»ÉÈ (2) $
S
|
}ºõºö
aºú p(x, y) ù [ ´

}
Ê
˺õºö $ p (x) \ p (y), h(x, y) À
Ã
W o
Ä p
O
q P
Å
Æ
Ç
»ÉÈ (3) íºî#" ð (ξ, ζ)  p(x, y) @ $
¯
º° õºö
Í$
S ξ Z η U
i J
K  h(x, y) À
Ã
W o
Ä p
O
q P
Å
ÆÇ
»#È (3) íºî#" ð (ξ, ζ)  p(x, y) @ $
¯
°ºõºö
Í$
S ξ Z η e
U
_
 h(x, y) À
Ã
W o Ä O
P
Å
Æ
Ç
»#È −z

22. 23.

ξη

24.

25.

2

1

2

1

2

1

2

Î ÏÐÑÐÒ Ð ÓÕÔÕÖÕ×ÕØÕÙÕÚÕÛÝÜßÞÕàâáÕãÕäÕåÕæÕçÕèÕéÕêÕë#ìÕíÕîÕïÕðÕñÕòÕÖÕ×ÕóÕôÕê õ÷öùøúæúÙúÚúûúüúë­ýúØúþúê‚õúÿ
úæ‚ ñ 

úë  Ó ‚ Ø 
ú
å 


‚æ §5.3

ˆ Š‡Œ‰„ ‚ æ 
‡Ü‰ë#ø




‚ë




‚Ù‚Ú‚Û‚ê‚õ‚á
‚ç‚è‚æ‚û‚ü
!  õ
‚
§5.3

183


" #
$
%
&
'
( )+*+++,+-+.+/+0+ + ++ æ Ù+1+!2 ξ η Ø ä ü++3+4+5 Ù Ú+6+7 æ
9
5



‚  ë: i = √−1, ó
; (Ω, F, P ) 8
?
@‚× t, §5.3.1

eitξ = cos ξ + i sin ξ

Ø
4
5
/
0




!

(5.3.1)

A B
C /
0



 ζ = ξ + iη D

FEG
æ‚×

K
L
M
N
‚ë#ó
;
< A
B
O
P
Q 

R
S η T I J/0   ζ A
[ Ö‚× g  g M‚õ 1

'
( ]


5.3.1



Eζ = Eξ + Eη; 1

= ξ1 + iη1

ζ2 = ξ2 + iη2

,
‚å
!GH
I‚ëGI
J ä‚ü
Eζ (ξ, η)

UV úëXWYZW>?

ξ



Borel

2

2

E (g1 (ζ1 )g2 (ζ2 )) = Eg1 (ζ1 )Eg2 (ζ2 ). F (x)


4
\‚ñ‚ò‚ւׂë

S

f (t) =

æ ӂԂւ×
!I
J ‚ æ‚ӂԂւׂëa
b‚õ F (x)

(5.3.2)

Z

∞

eitx dF (x),

−∞

F (x)

Ø





t∈R ξ

(5.3.3)

æ‚ñ‚ò‚ւׂë^
_

f (t)

` ]


ξ

cGa
d
,‚ë#ӂԂւ×
?ú@ × t úM õ |e | = 1, g B >?úñúòúÖú×úæúÓúÔúÖú×MN!hcùÓúÔ Ö‚×‚æ‚ä‚ü
i
j

k
lmI
J
n
o
p



 ξ æ‚ñ‚ò
q
P (ξ = a ) = p , n ∈ N , ó
; f (t) = Eeitξ .

itx

n

I
J
r
s
p





f (t) = Eeitξ =

ξ

æ
t
u‚Ö‚×


f (t) = Eeitξ =

∞ X

n

eitan pn .

(5.3.4)

eitx p(x)dx.

(5.3.5)

ó
;

n=1

p(x), Z ∞

õ
b

 A
B ñ

‚ӂԂւׂæ
@
v 
w v
x
y
z
{‚ëa
b‚õ −∞



,
z
{
4
|

}‚ñ‚ò‚æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×
!

f (t) = Eeitξ = E cos tξ + iE sin tξ.

184

~

€‚FƒG„
…
†
„
…F‡G

ˆ 5.3.1 
}
n
o
p‚ñ‚ò‚æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×
! ‰
Š
‹
Π(5.3.4), 
 A
B {

lŽ



a

æ



‚æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×


Ó=ú됎 0 æ  úæúÓúÔúfÖú(t)×= e f (t); = 1; ‘ × ñ‚ò‚æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×
ita

4
’
9
“‚ñ‚ò (‚ñ‚ò Ó

=‚ëI
J

f (t) = q + peit ; P (ξ = a) = p, P (ξ = b) = q, p + q = 1)

æ

^‚õ

P (ξ = 1) = P (ξ = −1) = 21 ,

æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×
P (λ)

f (t) =

∞ P

f (t) = e−λ

æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×
G(p)

eit +e−it 2

n=0

f (t) =

∞ P

= cos t;

(eit λ)n n!

= eλ(e

it

−1)

;

peit 1−qeit .

eitn pq n−1 =

ˆ 5.3.2 – ׂñ‚ò exp{λ} æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×
! ‰
Š
‹
Œ (5.3.5), — ‚Y ñ

‚ӂԂւׂæ
@
v 
w v
x
y
z
{‚ë A
˜ n=1

f (t) = λ

‰
Š ñ
v
™‚ñ‚ë
k š
a

›
œ‚ë


Z

∞

e−λx cos txdx + λ

0

:= λ (J1 (t) + iJ2 (t)) .

J1 (t) = λt J2 (t),

J (t) = ‚ æ ‚ Ó Ô‚Ö‚×
exp{λ}

g B – ׂñ‚ò

1

f (t) = λ (J1 (t) + iJ2 (t)) =

J2 (t) =

"
#
$
%
&
ž
Ÿ '   5.3.1 >
?‚ñ‚ò‚ւׂæ‚Ó‚Ô‚Ö‚×


1◦ . |f (t)| ≤ f (0) = 1, ∀ t ∈ R; 3◦ . f (t)



R

8 4
¦
r
s
¥

¢ Ü

e−λx sin txdx

0

t λ2 +t2 .

λ(λ + it) λ = = 2 2 λ +t λ − it

§5.3.2

2◦ . f (−t) = f (t), ∀ t ∈ R,

∞

1−λJ1 (t) . t

J2 (t) =

λ λ2 +t2 ,

Z

f (t)

Ø

f (t)



1−

it λ

−1

M‚ê‚õ
I
¡


l

f (t)

æ
/
£
¤
¥

Bernoulli

æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×


f (t) = peita + qeitb ;

ñ‚ò Poisson

” • ?‚ñ‚ò


0
°
@‚× t 

∆t,


‚õ

Z ∞ i(t+∆t)x |f (t + ∆t) − f (t)| ≤ − eitx dF (x) e −∞ Z ∞ ∆t i(t+ 21 ∆t)x i ∆t = e e 2 x − e−i 2 x dF (x) −∞ Z ∞ ∆t = 2 sin x dF (x). 2 −∞


 A °
²‚ñ
³‚æ

´ 

ε > 0, A > 0, Z Z ∆t ε dF (x) < ; 2 sin x dF (x) ≤ 2 2 2 |x|>A |x|>A

˜ 
°‚ä‚æ

A
B °
¶
·
¸‚æ

| sin u| ≤ |u|, A > 0, |∆t|, Z Z ∆t ε 2 sin x dF (x) ≤ |∆t| |x|dF (x) < . 2 2 |x|≤A |x|≤A

¹
º 8
» ë ˜

f (t)



R

8 4
¦
r
s
!¼
¯

4◦ .

2

f (t) = Eeitξ ,

´ 






2 n X zj eitj ξ ≥ 0. zj zk f (tj − tk ) = E j=1 j=1 k=1

n X n X

'   5.3.2 




 Q ‚ւׂæ‚ӂԂւׂë
‚õ
I
¡
½‚Û
l
f (t) = e f (bt). ©
ª ¿l ¾
@ 8 ë
‚õ ita

a+bξ

ξ

fa+bξ (t) = Eeit(a+bξ) = eita Eeitbξ = eita fξ (bt).

‰
Š ä‚å 5.3.2 
 A
B 

=
z
{
>
?
À
Á‚ñ‚ò‚æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×
! ˆ 5.3.3 2



 ξ Â
à Á‚ñ‚ò U (a, b), Ä
Å ξ æ‚Ó‚Ô‚Ö‚×
! Æ l¿Ç
2



 ξ Â
à Á‚ñ‚ò U (a, b), 

È

^
j ˜


 cG

 >‚û

n



>‚û
±‚ä‚æ ‰
Š ï
µ Œ

>‚û

n ∈ N,

185

À
Á‚ñ‚ò η Â
à fη (t) =

1 2




,
i j  U (−1, 1). Å R

η=

2 b−a

ξ−

1 itx dx −1 e

ξ=

a+b 2

=

+

a+b 2

eit −e−it 2it

b−a 2 η,

=

sin t t .

~

€‚FƒG„
…
†
„
…F‡G

186

g B ‰c ä‚å 5.3.2  ˜ f (t) = e t) = . f ( 

,
ɂۂӂԂւׂæ Taylor Ê
Ë Œ ë
a
* D |
Ì
Í
! Î   5.3.1 
4
Ï x ∈ R  
Ð
Ñ‚× n,
 ‚õ i a+b 2 t

ξ

©
ª l¿W

η

b−a 2

eibt −eiat it(b−a)

    n |x|n+1 ^ 2|x|n ix X (ix)k . e − ≤ k! (n + 1)! n!

(5.3.7)

k=0

n=0

b‚ë4

҂ë
‚ø‚í‚õ

ix e − 1 ≤ 2;

Ó 4

҂ëj
}

ix R R e − 1 = i x eiu du ≤ |x| du = |x|. 0 0

 n = 0 bÔ!¿Ç2_ Œ  gæ
BØ
Ù
(5.3.7) !ڂû
a
b

FÕGׂõ

n=m

bÖÕf×Ôúë¿,d

n = m+1

m |x|m+1 ix X (ix)k . e − ≤ k! (m + 1)!

g B ë




k

(5.3.8)

k=0

m m+1 |x|m+1 2|x|m+1 ix X (ix)k ix X (ix)k ≤ . ≤ e − + e − k! k! (m + 1)! (m + 1)!

Ó 4

҂ëڂû
k

k=0

k=0

Œ ë A  ˜



eix − 1 = i

Rx 0

eiu du,

(ix)k+1 (k+1)!

=i

Rx 0

(iu)k k! du,

(5.3.8) Z ! Z m m m+1 x |x| X (ixu)k iu X (ixu)k ix X (ix)k iu e − du ≤ = i e − du e − k! 0 k! k! 0 k=0 k=0 k=0 Z |x| um+1 |x|m+2 ≤ du = . (m + 1)! (m + 2)! 0

¹
º 8
»
Û ½
J‚ë ˜ (5.3.7) Œ  n = m + 1 b
Ô

! Œ  n = 0, 1, 2 b‚æ
Ø
Ù
Ü

 Š ë g B 
‚ê
Ý
È
‚î

l (5.3.7)

cG

>
?

ix e − 1 ≤ |x| ∧ 2; 2 ix e − 1 − itx ≤ x ∧ (2|x|); 2 2 3 ix x |x| e − 1 − itx + ≤ ∧ x2 . 2 6

x ∈ R, (5.3.7)

Œ æ
Þ
ß


n→∞

b
M
à


(5.3.9) (5.3.10) (5.3.11) 0,

g B 


k

„ …F‡G
á
â 5.3.1

§5.3

187

eitx =

∞ X (itx)k

k!

∀ t, x ∈ R.

,

(5.3.12)

Œ


ɂۂӂԂւׂæ Taylor ã
Ë
ä
å
æ
 
! '
  5.3.3 I
J



 ξ æ
>‚û
ç
è
M
N
‚ë — Y t ∈ R ´ 

(5.3.7)

^



k=0

(5.3.12)

æ‚ӂԂւׂê‚õ Ê
Ë Œ

ξ

|t|n E|ξ|n = 0, n→∞ n! lim

f (t) =

©
ª l¿a
é

ê
ë

∞ X (it)k

k!

(5.3.13)

Eξ k .

(5.3.14)

ì ‚¡ ë
‰ Š
í z Œ k=0

(5.3.13) n X (it)k k Eξ = E f (t) − k!

eitξ

k=0

k=0

|t|n+1 E|ξ|n+1 ≤ → 0, (n + 1)!

A 

(5.3.7) ! n n X (itξ)k itξ X (itξ)k − ≤ E e − k! k! k=0

n → ∞.

Œ Ô

! 

,
z
{
¨
î‚ñ‚ò‚æ
ï
ð
ñ
ò
! ˆ 5.3.4 
‚ õ
ló
Ì
¨
‚î ñ‚ò N (0, 1) æ
ï
ð
ñ
ò


g B õ

(5.3.14)

t2

” ¨
î‚ñ‚ò

f (t) = e− 2 .

N (a, σ 2 )

(5.3.15)

æ
ï
ð
ñ
ò


f (t) = eita−

Æ l¿

)
*
z
{
ó
Ì
¨
î‚ñ‚ò

σ 2 t2 2

.

(5.3.16)

æ
ï
ð
ñ
ò
!ôcGï
ð
ñ
ò‚æ‚ä‚ü ˜

N (0, 1)   Z ∞ 1 x2 f (t) = √ exp itx − dx, 2 2π −∞

I J
«
¬
z
{‚ëõ^
ö
z
{F÷Gø
™‚ñ
!õ

, ‰
Š ä‚å 5.3.3 ܉æ Ê
Ë Œ !+cG
ó
Ì
¨
î



 ξ æ‚æ
>‚û
ç
è
M
N
‚ë — YFcGH 5.2.1 ˜ l g B 
>
?

Eξ 2n−1 = 0, ∀ n ∈ N ; q E|ξ|2n−1 = π2 (2n − 2)!!,

∀ n ∈ N.

Eξ = E|ξ| = (2n − 1)!!, ∀ n ∈ N .
ê ë M
ù
¶‚ëé
aFc‰ä‚å 5.3.3  ˜ t ∈ R, (5.3.13)

f (t) =

2n

2n

 2 k ∞ ∞ ∞ X X (it)k k X (it)2k 1 t t2 Eξ = (2k − 1)!! = − = e− 2 . k! (2k)! k! 2 k=0

k=0

k=0


~ 
€‚FƒG„
…
†
„
…F‡G W



 η Â
à ¨
î‚ñ‚ò N (a, σ ) b‚ë ¢ ó
Ì




 η Â
à Ì
¨
î‚ñ ò N (0, 1), ” Y η = a + ση , g B n o f (t) = e f (σt) = exp ita − . 

,
±

ï
ð
ñ
‚ò æ A
ú 
ê
ë
! 2 ξ



‚ ëI
J
 k ∈ N , õ E|ξ| < ∞, ^ ξ æ
ï
ð
ñ
ò '
  ç 5.3.4 A
ú ë — ‚Y õ f (t) k 188

∗

2

∗

η

ita

σ 2 t2 2

η∗

k

©
ª l¿*
û
ü c ”

f (k) (0) = ik Eξ k .

1

(5.3.17)

ç
ý
ò
!
‚õ

  f (t + ∆t) − f (t) ei∆tξ − 1 − i∆tξ − E(iξeitξ ) = E eitξ . ∆t ∆t

˜

(5.3.10)   i∆tξ 2 itξ ei∆tξ − 1 − i∆tξ − 1 − i∆tξ E eitξ e ≤ 2|ξ| ∧ |∆t|ξ , ≤ E e ∆t ∆t 2 E|ξ| < ∞,

— Y

|∆t|ξ 2 2

|∆t|ξ 2 2

Bg c Lebeaque þ
ÿ

 ä‚å
 ˜ f (t) N
→‚0,ë — ∆tY‚õ → 0, cGa — ‰
Š


 ë
 (5.3.17)f Œ (t)! = E(iξe ). 
W
ڂû‚ëf_‚ä‚å‚æ
‚ï
Ô

!f¾
@ 8 ëfI
J f (t) æ 2k ç
ý
ò
N
‚ëf
 A B ­
 ξ æ 2k ç
è
N

# ý‚Ø
W f (t) æ 2k + 1 ç
ý
ò
N

b‚ë


­  ξ æ 2k ç
è
N

!®
‚  ï

‚ Û
! c 8
» ä‚å‚ë A
B 


k
ï
ð
ñ
ò
 t = 0 ‚ æ Taylor Ê
Ë Œ l á
â 5.3.2 2 ξ



‚ ëI
J
 n ∈ N , õ E|ξ| < ∞, ^ ξ æ
ï
ð
ñ
ò  t = 0  A
B Ê
Ë f (t) 2|ξ| ∧

≤

0

0

itξ

n

f (t) = 1 +

n X (it)k k=1

k!

Eξ k + o(tn ),

t → 0.

(5.3.18)

©
ª l¿é

W E|ξ| < ∞ b‚ë
‚õ E|ξ| < ∞, k = 1, · · · , n,  ‰
Š (5.3.17) Œ  Taylor Ê
Ë ä‚å

 (5.3.18) Œ ! â §5.3.3

"
#
$
%
&


   Õ ×  ä å 5.3.1 Ü É Û ï ð ñ ò æ  ë õ b ‰ Š |  AB   = ä 4 5 ñ ò Ø ï ð ñò ! HIl f (t) = sin t ïúØ ï ð ñ ò ë é f (0) = sin 0 = n

k

§5.3

„
…F‡G

189

ýúØúë  õ b — ï! HIl “ g(t) = | cos t| ØúØïðñò ”  5 , 
:  F

|x| ≤ 1, |y| ≤ 1.

fξ1 +ξ2 (t) = fξ1 (t)fξ2 (t).

 H 5.3 1.  Pascal  f (k; r, p)    2.   Γ(λ, r)    k  3.    F (x) !"  # f (t), $%!&' x, () R 1 c→+∞ 2c

F (x + 0) − F (x) = lim

4.

c

*+,-./0 123" 45  6 (1) cos2 t,

(2) cos t − i sin t,

1−t (3) 1+t 2,

(4) sin t,

−c

mk .

f (t)e−itx dt.

1 (5) 1+it ,

(6) 2e−it − 1


−1

.

7
8
9;:=
@
A
>
@=B?:

198 g(u) = 1 − |u|, |u| < 1.

5.

C g(x) #DE     F (2) GHIJC g(t) #     DE 6. Laplace   DE# p(x) = e , $K     ˙ 7. LNM Cauchy N N NDNENNN# p(x) = , λ > 0, $N%NON N NNNN# e , PQRST%U Cauchy   VWX 8. YZ[\] ξ ^_ Cauchy   µ = 0, λ = 1, ` η = ξ, $%ab cde f (t) = f (t)f˙ (t). f 0 ξ g η hid 9. ξ , · · · , ξ #3jid Zk[k\k]klk^k_ Cauchy  m µ = 0, λ = 1,  ξ¯ = P ξ    10. $n  g Γ−    %U!bo)3kl λ p Γ−  abq r )VWX 11. %UZ[\] ξ , · · · , ξ 3jid r stuv0Ow xy zb{}|~€  ‚ 12. −1 < c < 1, Z[\] (ξ, η) xyDE# P (x, y) = [1 + cxy(x − y )], |x| < 1 m |y| < 1, $6 (1) xy  f (s, t); (2) ~€  f (s) g f (t); (3) ξ + η   13. %U!&'ƒp  f (t), C,„…hzJcd 1 − f (2t) ≤ 4(1 − f (t)); 1 + f (2t) ≥ 2(f (t)) . 14. Z[\] ξ o)!† 45DEˆ‡!&' x ∈ R, () p(x) = p(−x). $Š‰‹6 !&'ƒ a > b )6 R (1)

1 −|x| 2

1 λ π λ2 +(x−µ)2

iµt−λ|t|

ξ+η

1 n

1 n

η

ξ

n

k

k=1

1

n

2

1 4

2

1

2

2

(1)F (−a) = 1 − F (a) =

1 2

−

a

0

p(x)dx,

(2)P (|ξ| ≤ a) = 2F (a) − 1,

(3)P (|ξ| ≥ a) = 2[1 − F (a)].

0Z[\] ξ  ŒT f (0) = 0, Ž ξ s 0‘ PQLS’% U a > 2 “ g(t) = exp {−|t| } h0  16. ”%• 5.3.13.

15.

00

f (t)

a

– —˜™˜š˜›˜œ ˜ 
ž
Ÿ
 
¡
¢
£
¤
¥
¦
§
¨© ð=ª?« Û?¬ â
­
®
¯ ?Û ¬
°±
² §5.4





ξ1

   ξ2  → −  ξ =  ··· ,   ξn



a1



   a2  → −  a =  ··· ,   an

³ ³ °µ´
à
¶ →−0 ·
¸
¹&Û?¬
°µº
»
¼ ¦ ¬
½
¾ 0 « ?Û ¬ ¨ ®
¿ ð
À
Á
 ° 
ž
Ã
Ä
Å
Æ=Ç ¬ «
È
É
Ê
í
ß →−ξ = (ξ , ξ , · · · , ξ ), ³
³ ¨ τ

1

2

n

Ë
Ì
Í=Î?Ï
Ð 199 ç â
Ñ
Ò
Ó A « » Ñ £
Ô ½
¾
Õ
Ö
×
¬
°Nè õ
Ø ž «ÚÙ
Û ½
Ü
Ý ø ° Úž ² ï EA ·
¸
Þ A « » Ñ £
Ô ½
ß Ù
Û °áà
º EA ¾=â A « » Ñ £
Ô «
ã
ä
Ù
Û
å Æ
« Ò
Ó ¨ Þ
æ
Õ
Ö Ç ¬
à
ç
è
é «
ê
ë ¨ Þ
æ
ì £
¤
¥ ° 
ž=í?î
ï
ð
ñ
ò


ó ã ¨ô Ý 
ž Å →−a = (a , a ) , §5.4

1

B=

õ
ö

σ12

rσ1 σ2

rσ1 σ2

σ22

!

2

τ

,

Ç ¬ →−ξ «
ã
ä
Ù
Û=Ç ¬
÷ B ¾ Ø
«
ø
ù
ú Ó ¨ò ª B ¾
û Ñ
¾
ì
¼
Õ Ö ¤ ë ÒÚÓ °´ÚüÚì £Ú¤Ú¥ÚÚÚó ãýªþ«Úÿ

Úã ½

ÚÝ ØÚ«ÚãÚäÚÙÚÛýÇ ¬
 ø ù ú Ó B ª ¨  ° B  Ò
Ó
→ − a



B −1 = 

   °
¶   Ø ž  ì £
¤
¥ − p(→ x)=

ò ª |B| ¾ Ò
Ó  ¢
£ 
¨

B

−r (1−r 2 )σ1 σ2 1 (1−r 2 )σ22

1 (1−r 2 )σ12 −r (1−r 2 )σ1 σ2

N (a1 , a2 ; σ12 , σ22 ; r)



.

«  
ó ã
Å ®

  1 → τ −1 → − → − − → − ( x − a ) B ( x − a ) , exp − 1 2 2π|B| 2 1

«  ¯  ¨ ì £
¤
¥  
ó ã
«   ·
¸ Ê  
¶ ù
  


! " # $ %  ž'&'(')'*'+ «','-  . ¨0/'1 ξ , ξ , · · · , ξ ¾ 'ë 2 Ý è û'3'4'5'6 « 7 8 9 : « ¤
¥ N (0, 1) Õ
Ö
×
¬
° õ
ö n
¼ Õ
Ö Ç ¬ →−ξ = (ξ , ξ , · · · , ξ ) « ;  < = ¾ n Ñ û
¼ ¤
¥  ? °º   §5.4.1

n

1

2

n

1

@ A °B C

− p(→ x)=


1 1 − x21 + x22 + · · · + x2n , n exp 2 (2π) 2

→ − → − E ξ = 0,

ø
ù
ú Ó
® 

´
ü 
¶ D  < ó ã
Å ® − p(→ x)=

1

0

···

0

  0 1 ··· 0 I=  ··· ··· ··· ···  0 0 ··· 1

n

£
¤
¥
¦
§ °I
ç

n

τ

− → x ∈ Rn .



  ,  

    1 1→ 1 1→ τ→ τ → − − − − exp − x x = exp − x I x , n n 2 2 (2π) 2 (2π) 2


ž D E
¦ § F ® G H û J  ° 
ž

2

→ − N ( 0 , I).

→ − x ∈ Rn . (5.4.1)

7
8
9;:=
@
A
>
@=B?: K L 5.4.1 ² M A ® n × n N O ù Ó ° →−a ® n ¼  Ç ¬
°QP
Õ
Ö Ç ¬ →−ξ R ( G H n £
¤
¥
¦
§ N (→−0 , I), S D 200

→ − − → − η =Aξ +→ a

« ¦
§ F ® n £
¤
¥
¦
§
¨ @ T ° Þ
æ
² ë 2
« P →−η «
ø
ù
ú Ó
®

(5.4.2)

→ − η, → − − − − E→ η = AE ξ + E → a =→ a,

→ − → − → − τ→ − − − − − B := E(→ η −→ a )(→ η −→ a )τ = E(A ξ )(A ξ )τ = AAτ · E ξ ξ = AAτ .

'U V ° AA ¾ û Ñ n W ¤ ë ù Ó ¨  ž D Ê ² (5.4.6) « Õ Ö Ç ¬ « ¦ § I ® n £ ¤
¥ N (→−a , B), ò ª B = AA . ÿ
ë 2
« Õ
Ö Ç ¬ →−η ¾
Õ
Ö Ç ¬ →−ξ « X Y ×
Z °[=â û \ ? â
æ ² (5.4.6) ª?« ] A ^ °
¶ : º _ `
Õ
Ö Ç ¬ →−η  < ó ã ¨ K a 5.4.1 n £
¤
¥ N (→−a , B) «  < ó ã ¾ τ

τ

− p(→ x)=

  1 → τ −1 → − → − − → − exp − ( x − a ) B ( x − a ) . 1 n 2 (2π) 2 |B| 2 1

(5.4.3)

bdcde 1 Õ Ö Ç ¬ →−η R ( n £ ¤ ¥ N (→−a , B), S Ü ÝdR ( d G H n£ ¤ ¥ « Ç ¬ →−ξ , f ` (5.4.6)  Æ : ° ò ª B = AA , P X Y
ù g h → − N ( 0 , I) Õ
Ö → − − − x = A→ s +→ a « i ® τ

E
ã × Z « ®

Jaccobi

→ − − − s = A−1 (→ x −→ a ),

 ¯ 
®

1

|A−1 | = |B|− 2 . − q(→ s)=

n

£
¤
¥

→ − N ( 0 , I)

 →  − − 1 s τ→ s − , n exp 2 (2π) 2

 j k ò ª ° ´ > ¶
× Z « [ « D < (5.4.4) ó ã ¾

Jaccobi

 ¯  ° º A

n

£
¤
¥

 
τ −1 → 1 −1 → − → − − → − exp − A ( x − a ) A ( x − a ) n 1 2 (2π) 2 |B| 2   1 1 → τ −1 → − → − − → − = exp − ( x − a ) B ( x − a ) . n 1 2 (2π) 2 |B| 2

− p(→ x)=

â ë 2

â?æ G H

(5.4.4)

5.4.1

1

l @   ² m
û n ¯ o p e

«  < ó

− N (→ a , B)

§5.4

Ë Ì
Í=Î?Ï
Ð
K a 5.4.2 n £
¤
¥
¦
§

− N (→ x , B)

« q r ó ã ¾

  1→ −τ → − → − → − − f ( t ) = exp i→ aτ t − t B t , 2

b c ets & °Þ
æ R ( G H

n

201

→ − ∀ t ∈ Rn .

£
¤
¥
¦
§ « Õ
Ö Ç ¬

(5.4.5)

→ − ξ,

    n  1X  n τ o 1→ − → − → − → − τ→ − 2 f− tj = exp − t t , → ( t ) = E exp i t ξ = exp − ξ  2  2 j=1

( P=â ] n 

(5.4.6)



º `

B = AAτ ,

n

o

n τ o → − − → − → − τ− → − f ( t ) = E exp i t → η = E exp i t Aξ +→ a n τ o n o  − τ→ − → − − → − → − → − = exp i t → a · E exp i(Aτ t )τ ξ = exp i→ a t · f− → (Aτ t ) ξ    − τ→ 1 − → − → − = exp i→ a t · exp − (Aτ t )τ Aτ t 2   1 → − → −τ → − − = exp i→ aτ t − t B t . 2

«
u û k ¼
v
w ¦Ú§ ¾ k £Ú¤Ú¥Ú¦Ú§ ° ò ª 1 ≤ k < n. b
c
e 1 ÚÕ Ö Ç ¬ →−η R ( n £Ú¤Ú¥ N (→−a , B), Þ 1 ≤ k < n, u ß 1 ≤ j < Ç ¬ (η , · · · , η ) « q r ó ã 
¶ Ã
ñ Ý →−η « q r ó æ ¾ k ¼
Õ
Ö · · · < j ≤ n.
ã=ªyx t = 0, t 6∈ {j , · · · , j } `  ¨ ² M 
ž I

K a

5.4.3 n

£Ú¤Ú¥

− N (→ a , B)

1

j1

k

j

j

1

jk

k

→ − tk = (tj1 , · · · , tjk )τ ,

− →k = (aj , · · · , aj )τ , a 1 k

ª?« z j , · · · , j  £
Ô  ´
¶
B ·
¸=â B Ó ° õ ö (η , · · · , η ) « q r ó ã ° = ¾ k

1

j1

k

j1 , · · · , j k

¯ £
Ô ÿ
å
Æ
«

k×k

{ Ò

jk

→ − f ( t ) tj =0,

tj 6∈{j1 ,···,jk }



 1→ − −τ → − τ→ − → = exp iak tk − tk Bk tk , 2

âyB
º A (η , · · · , η ) « ¦
§ ¾ k £
¤
¥ N (−a→, B ). | } q r ó ã ~ ¦
§
ó ã
« û
û
Þ  Y ° €y‚ (5.4.3)  Å  k ¼
Õ
Ö Ç ¬ ¤
(η¥
,¦
· ·§
· , 稝
) ž «

 < Š ó ‹ ã ¨ âƒB
„
Ú¶
…‡† n¨ £Ú¤Ú¥ « » ÚÊ  «
ˆ
‰ ¦Ú§ ½ ¾ 灌y Ž 
ç ® ç  K L ‘ ’ “ §5.4.2 n ! " # $ % ”
•  Ý ë
2 5.4.1 ª Úž
– _ A ® N
O « n × n «Úù Ó °º |A| 6= 0. ô Ý
° 
ž
Ÿ  n £
¤
¥
¦
§ «
ë 2 ç
û   ¨ j1

j1

jk

jk

k

k

— ˜ ™›šœy ž Ÿ  ž yš K L 5.4.2 1 A ® u ¡ n × n ù Ó ° →−a ® n ¼  Ç ¬
°QP
Õ
Ö Ç ¬ →−ξ R ( G H n £
¤
¥
¦
§ N (→−0 , I), x 202

→ − − → − η =Aξ +→ a.

(5.4.6)

S'¢ ù Ó A« N'¦
O'§ C F °£D →−η « « ¦ §'£
F ¤
® ¥
n¦
£ §
¤ ¨ ¥ ¦ § ÷£¢ ù Ó A ¤'O'C (º'¢ |A| = 0 ® ¥ ¦ n C ), D →−η
, § ¨ © p ¥ ¦ Ê ¨ l @ A ª °B C « E→−η = →−a , ´
ü «
¶ B = AA ® ø ù
ú Ó ° § ñ B ¾
û Ñ n × n « N ¬ ë Ò
Ó ¨ â?æ ë ­ 5.4.2 « …† ñ g=ª ´ ® ¯ ù Ó A « N O Y (B « ¤ ë Y ), ÿ ¶ õ °
«  ± « V ² ¨³ B ¥
¦ « n £ ¤
¥
¦
§ N (→−a , B) « q r ó ã è
é  · ´  (5.4.5). ” • « ¾ e ¢ Ò
Ó B ¤ ë (º |B| > 0) C
° N (→−a , B) ¾ R ª?« û Ñ µ  ¢ ¶ · ¦
§ ° ò  < ó ã â (5.4.3)    ¨ P ¢ |B| = 0 C
° N (→−a , B) ¾ R ª « µ ¶
· ¦Ú§ °B
C
¸
¹
º
» ÒÚÓ B « “¼ ”r (r < n). ¢ B « “¼ ” ® r CÚ°  R « û Ñ r ¼ { 5 6 ª ¨ ±
² e ¢ n = 1 C
°ˆ² M |B| = σ = 0, − N (→ a , B) ¥ ¦ õ ö ¦ § N (a, 0) = ¾ +'½ a « ¥'¦ ¦ § ¨ Þ æ n = 2 £ ¤ ¥ ¦ § ° ²'M |B| = 0, e ² M r = 0, S
¾ + ½ →−a = (a , a ) « ¥ ¦ ¦
§ ÷² M S ¾ B « “¼ ”rª?« P ¿ ë ˆ ÀyX « ¥ ¦ ¦
§
¨  = ¾ ë
2 5.4.2 ª?ÿ Á
« ¥ ¦ ¤
¥ r = 1, S
¾ R ¦
§ « Â 2 ¨   ° n £
¤
¥
¦
§ « u ¡ 1 ≤ k < n ¼ « v w ¦
§ ½
¾ ¥ ¦ « n £
¤
¥ ¦ § ° ³ ® Þ æ k ¼'{ Õ Ö Ç ¬ (η , · · · , η ) Ÿ Á ° ²'M'D Ø « «'q'r ó ã « · ´  ª?« k W ¤ ë
ù Ó B à ‚ ² m ù  Ä Å
® û Ñ n W N ¬ ë
ù Ó B:  B « »  Æ Ç ç ® B « z j , · · · , j  °  B « » ¯ Æ Ç ç ® B « z j , · · · , j ¯ °È D= ò É
£
Å Ô Ê Ë Ì Å
«
® Ê 0, Þ¨ Ç ¬ →−a à
ç
è
é Í ­ ° õ
ö (η , · · · , η ) « q r ó ã 
¶ ® (5.4.5)  ‘ Î Ï §5.4.3 n ! " # $ % 1 Õ
Ö Ç ¬ →−ξ R ( n £
¤
¥
¦
§ N (→−a , B). K a 5.4.4 n ¼ ¤
¥ Ç ¬ « » Ñ ¦ ¬ 7 8 9 : °¢
ü Ð ¢ Ø ž Ñ Ñ 7 ] ¨ b'c'e ²'M n ¼ ¤ ¥ Ç ¬ →−ξ « » Ñ ¦ ¬ ξ , · · · , ξ 7 8'9': ° õ ö Ø ž ¢ V Ñ Ñ 7 ] ¨  Ò
°µ² M ξ , · · · , ξ Ñ Ñ 7 ] ° õ
ö = Cov (ξ , ξ ) = b , k 6= j, æ
¾ →−ξ «
ø
ù
ú Ó B ¾
Þ Ó Ó ° ( P (5.4.5)  ª?« q r ó ã ¦
® τ

n

n

n

2

1

2

2

j1

jk

k

k

1

k

k

1

j1

1

1

f (t1 , · · · , tn ) =

k

k

1

n

j

kj

  Y n 1 exp iak tk − bkk t2k = fk (tk ), 2

âó ãë ­ ÿ 5.4.3 ª?« ) Ô û Ñ Õ Ö 7 A 8 f 9 (t: ) ¨ = exp ia t ° ¶  ·† ξ , · · · , ξ k=1

jk

n

n

n Y

k

k

k k

k=1

− 21 bkk t2k



¾

ξk

« v w q r

§5.4

Ë Ì
Í=Î?Ï
Ð
K a 5.4.5 Þ
æ

n

¼ ¤
¥ Ç ¬

→ − ξ

« u û ¦ × → − ! ξ1 , → − ξ2

→ − ξ =


¶
Þ

→ − a



B

ç 7  « ¦ × → − a1 → − a2

→ − a =

!

,

203

B=

B11

B12

B21

B22

!

.

(5.4.7)

´ ü →−ξ ~ →−ξ 9 : « Å ¦ ¸ – ˆ ‰ ¾ B = 0 ( B C
à B = 0).
b c e 
¶
Þ →−a  B ç 7  « ¦ × (5.4.7) ¾ U V « ¨ ² M →−ξ ~ →−ξ 9 : ° õ ö Ø  « u ¡ û Ñ ¦ ¬ ξ ½ ~ Ô  « u ¡ û Ñ ¦ ¬ ξ 9 : ° ( P b = b = 0,   ³ → − → − → − ξ = ξ , ξ æ
¾ B = 0  B = 0.  Ò
°² M B = 0( P B = 0), S « ; q r ó ã ® 1

2

12

21

1

k

12

j

21

12

2

kj

jk

1

21

τ

2

n  τ o − → − → − → − → − τ→ f ( t ) = E exp i t1 ξ1 + t2 ξ2     1→ 1→ − −τ → − − −τ → − τ→ τ→ → − → − = exp ia1 t1 − t1 B11 t1 · exp ia2 t2 − t2 B22 t2 , 2 2

Ù Ú ¾ →−ξ ~ →−ξ « v w q r ó
ã « > ? ¤
¥ Õ
Ö Ç ¬ «  
¡ ª ° î Ä
Ý Þ ( n £
¤
¥
¦
§ N (→−a , B), P C = (c 1

2

° ÿ ¶ →−ξ ~ →−ξ 7 ¨ – º » Ø
« X Y  ) ® m × n Ò
Ó 1

jk

2

8 9 : ¨ × ò Z ª¨y1 Õ
Ö Ç õ
¬ ö ° m ≤ n,

→ − → − η =Cξ,

R

→ − ξ

(5.4.8)

= ¾ →−ξ « û Ñ X Y × Z ¨ U V ° →−η ¾
û Ñ m ¼ « Õ
Ö Ç ¬ ¨ â n £
¤
¥
¦
§ « q r ó ã l @ `  ² m o p ¨ K a 5.4.6 (" # $ % Û Ü Î Ý Þ ß à á â Ý ) (5.4.8) ª?« Õ
Ö Ç ¬ →−η R ( £
¤
¥
¦
§ N (C →−a , CBC ). m b c e ¶ f (→−t ) ·
¸ →−ξ « q r ó ã ° õ
ö →−η « q r ó ã ® τ

n o n o → − − τ → − − − − − g(→ s ) = E exp {i→ s τ→ η } = E exp i→ s τ C ξ = E exp i (C τ → s) ξ   1− τ τ − − − − s (CBC τ ) → s , = f (C τ → s ) = exp i (C → a) → s − → 2

 ¤ ¾ m £
¤
¥
¦
§ N (C →−a , CBC ) « q r ó ã ¨ ¶ m « Ñ Ñ  p Þ
æ  
¡ n £
¤
¥
¦
§ ã
¦ ä –
¨ ’ å 5.4.1 ² M
Õ
Ö Ç ¬ →−ξ R ( n £
¤
¥
¦
§ N (→−a , B), S
Ü
Ý Ò
Ó C, f ` →−η = C →−ξ « » Ñ ¦ ¬ 7 8 9 : ¨ τ

n

¼ ¤ æ

— ˜ ™›šœy ž Ÿ  ž yš b c e ³ ® Þ
æ u ¡ n ¼ N ¬ ë Ò
Ó B, ç
Ü
Ý n ¼ ¤ æ Ò
Ó C, f ` CBC ® Þ Ó Ó ¨ ’ å 5.4.2 ² M
Õ
Ö Ç ¬ →−ξ R ( n £
¤
¥
¦
§ N (→−a , B), ´
ü →−ξ « » Ñ ¦ ¬ 9 : è ù
ú °S
Þ u ¡ n ¼ ¤ æ Ò
Ó C, →−η = C →−ξ « » Ñ ¦ ¬ 9 : è ù
ú ¨ b c e â?æ →−ξ « » Ñ ¦ ¬ 9 : è ù
ú °¢Úü
Ð ¢ Ø
«ÚøÚù
ú Ó B = σ I. P Þ
æ u ¡ n ¼ ¤ æ Ò
Ó C, CBC = Cσ IC = σ I. m è «
ë ­ é ê ¿ ë Õ û Ñ n ¼
Õ
Ö Ç ¬ R ( n £
¤
¥
¦
§ « ì ‹  ¨ K a 5.4.7 n ¼ Õ Ö Ç ¬ →−ξ R ( n £ ¤ ¥ ¦ § N (→−a , B), ¢ ü'Ð'¢ Þ u'¡ n ¼  Ç ¬ →−s , ½ η = →−s →−ξ R ( 1 £
¤
¥
¦
§ N (→−s →−a , →−s B→−s ). b c e Ý ë ­ 5.4.6 ªyx C = →−s º ` ¸ – Y ¨  Ò
°þ² M
Þ u ¡ n ¼  Ç ¬ ( 1 £
¤
¥
¦
§ N (→−s →−a , →−s B→−s ), õ
ö η « q r ó → − → − − s , Õ
Ö
×
¬ η = → s ξ ½ R ã ®   n o 204

τ

2

τ

2

τ

2

τ

τ

τ

τ

τ

ß

t = 1,

º `

τ

τ

1 −τ → → − − − − g(t) = E exp it→ s τ ξ = exp it (→ s τ→ a ) − t2 → s B− s . 2   n o 1− τ → → − − − − − E exp i→ s τ ξ = exp i (→ s τ→ a)− → s B− s := f (→ s ), 2

í · ´  (5.4.5), ÿ ¶
Õ
Ö Ç ¬ →−ξ R ( n £
¤
¥
¦
§ N (→−a , B). î 5.4.1  ¢ ” • ° ë ­ 5.4.7 ï ð 
ž e n ¼
Õ
Ö Ç ¬ →−ξ R ( n £
¤
¥
¦ § °y¢
ü Ð ¢ Ø
« » Ñ ¦ ¬ ξ , · · · , ξ « u • X Y h R ( 1 £
¤
¥
¦
§
¨  ñ • ò ó e ² M n ¼
Õ
Ö Ç ¬ →−ξ « » Ñ ¦ ¬ ξ , · · · , ξ ½ R ( 1 £
¤
¥
¦
§ ° =  ¶ ô … →−ξ R ( n £
¤
¥
¦
§ ° 
±
² m e õ 5.4.1 1 ò ª

− f (→ s)

1

n

1

p(x, y) =

1 −1 1 − x2 +y2 2 + e e 2 I (|x| < 1, |y| < 1, xy > 0) 2π 2π 1 1 − e− 2 I (|x| < 1, |y| < 1, xy < 0) , (x, y) ∈ R2 . 2π

…¤
† ¥
e ¦
p(x,§ y) ¾ ¿ Ñ Õ
Ö Ç ¬ H N (0, 1). b c e I q(x, y) =

S @ T e ¢

n

(ξ, η)

«  < ó ã °?´
ü
Õ
Ö
×
¬

ξ

~

η

(5.4.9)

½ R ( G

1 −1 1 −1 e 2 I (|x| < 1, |y| < 1, xy > 0) − e 2 I (|x| < 1, |y| < 1, xy < 0) , 2π 2π (x, y) ∈ R2 . (5.4.10)

|x| < 1, |y| < 1

C
°

1

1 −2 − 2π e < q(x, y)


2

1 − 12 . 2π e

C
°

2

÷ ³ ® Þ u'¡ùø ë « y, ó ã ½
¾ y « ¤ ó ã ° ÿ ¶ Z

¿ Ñ
Õ Ö Ç ¬ p(x, y) ¾ −∞ −∞

Z

∞

R∞ R∞

2 +y2

«  < ó ã ÷´
ü=â (ξ, η)

∞

1 pη (y) = p(x, y)dx = 2π −∞

x,

ó ã

q(x, y)

∀ x ∈ R; (5.4.11)

−∞

p(x, y)dxdy =

1 pξ (x) = p(x, y)dy = 2π −∞ Z

2

Z ∞ q(x, y)dx = 0, ∀ y ∈ R; q(x, y)dy = 0, −∞ −∞ Z ∞ Z ∞ q(x, y)dxdy = 0. R∞ R∞

 T

1 −x 2π e

∞

−∞

ÿ ¶

2 +y2

+ q(x, y) > 0. « ó ã ÷ Þ u'¡ùø ë « q(x, y) ½ ¾ x ¤

p(x, y) =

Z

∞

1 −x −∞ −∞ 2π e

∞

 A

dxdy = 1,

(5.4.11)





x2 1 dy = √ e− 2 , 2π

∀ x ∈ R;





y2 1 dx = √ e− 2 , 2π

∀ y ∈ R.

x2 + y 2 exp − 2 −∞

Z

2

x2 + y 2 exp − 2 −∞

ÿ ¶
Õ
Ö
×
¬ ξ ~ η ½ R ( G H ¤
¥
¦
§ N (0, 1). ú ¾
° â (5.4.9)  A °
Õ Ö Ç ¬ (ξ, η) ´ R ( 2 £
¤
¥
¦
§
¨ 
ž È  û Ñ ± { ¨ õ 5.4.2 1 Õ
Ö
×
¬ ξ ~ η 7 8 9 : °è R ( G H ¤
¥
¦
§ N (0, 1), x ζ=

S

ζ

û R ( G H ¤
¥
¦
§ ü e â ζ
« ë 2 °`

(

N (0, 1),

|η|,

ξ ≥ 0,

(5.4.12)

−|η|, ξ < 0.

ú ¾
Õ
Ö Ç ¬

(η, ζ)

R (

2

£
¤
¥
¦
§
¨

P (ζ < x) = P (ζ < x, ξ ≥ 0) + P (ζ < x, ξ < 0) = P (|η| < x, ξ ≥ 0) + P (−|η| < x, ξ < 0)

[ ¢

x≥0

C
°

= P (|η| < x)P (ξ ≥ 0) + P (−|η| < x)P (ξ < 0). Z x u2 1 1 1 1 1 P (ζ < x) = P (|η| < x) + = √ e− 2 du + 2 2 2 2π −x 2 Z x Z x 1 u2 1 1 u2 =√ e− 2 du + = √ e− 2 du = Φ(x); 2 2π 0 2π −∞

— ˜ ™›šœy ž Ÿ  ž yš

206

¢

C
°

x −x)) = P (η < x) = Φ(x). ÿ ¶
PÕ
(ζÖ
0.

(5.5.5)

Ôu$’ _ Ê
´
‘ m, n ∈ N , h
µ ­ “´
‘
­ m, n v F y
z ”(i  m ƒ n
v j
k 4  µ }
4 l'm'n'o'p ), Ó Ò ­ F . F y z ë { ‘ À r s t u$v ¼
Ê
Á ™
y

z } ’ P
q š

› ” ø
ù 5.5.5 ú Œ

Ž
 η ƒ η †
‡
}Ôu η ∼ χ , ! η ∼ χ , Ü mn

1

ý
’

2

1

ζ=

ÿg à r·  η ƒ η „ … † ‡ }íg v Õ ¸  ‘ g y s ­ nk (nx) ~ mk η ‘
­ 2

1 m 2

n

mn

¬
Ž




Z

2

2 m

1 m η2 , 1 n η1

ζ ∼ Fmn .

1

2 n

m

ë „ … † ‡ ” g ƒ η ×  š ›g Û (4.4.8), Þ  ζ v Õ ¸  (my), 1 n η1

ƒ

1 m η2

∞

tkn (nt)km (mtx)dt Z ∞ n−2 m−2 1 nt mtx te− 2 (nt) 2 e− 2 (mtx) 2 dt = mn m m n n Γ( 2 )2 2 Γ( 2 )2 2 0 Z ∞ m+n m n m 1 1 −1 2 2 2 = m+n m m n x e− 2 (mx+n)t x 2 −1 dt. n 2 2 Γ( 2 )Γ( 2 ) 0 0

 Û u$v

y
t
­

u = 12 (mx + n)t,   Z ∞ m+n m+n m+n m+n m+n m+n 2 2 (mx + n)− 2 e−u u 2 −1 du = 2 2 (mx + n)− 2 Γ . 2 0


d à ¥

(5.5.6)

1 n 1

Û } ² 

ζ

v
Õ ¸ 
‘
­

fmn (x).

(5.5.6)

)
*,+
-
.
/0
1
2 211 §5.5.4 u
v œ

w
x
y
z
{
|
}
~ w x y z Ç íg – ‘ À r s u ˜ ’ Á ™ š › }  ™ { ·r   ˜ ’ æg€ í ™ Y
Z
v

Ê

V
” W
º
Y
Z _ Ê
Á
™
v
r
s

” ú ξ , ξ , · · · , ξ ­
†
‡

y
z
v
Œ

Ž

}Ü

§5.5

1

2

n

n

ξ=

n

1X ξk , n

S2 =

ý

k=1

1 X (ξk − ξ)2 , n−1

(5.5.7)

k=1

~ S –
‘
À
r
su$y
s
µ
­
‚
ƒ
„
…
~
‚
ƒ
ê
†
}^{
Á
™
v
r
s

”^w
x
y z
‚
ƒ
Š
‹
y
z N (a, σ ) v
‚
ƒ
„
…
~
‚
ƒ
ê
†
v

‘
’
“
” · ƒ £ v 
‡ ‡
² 
" à ˆ
ù 5.5.1 Ø Ù Œ  Ž  ξ , ξ , · · · , ξ „ … † ‡ }‚ û ü Š ‹ y z N (a, σ ). ý
’ 2

ξ

2

1

√

ˆ
ù

Ø Ù Œ  Ž  ý ξ ƒ S „
…
†
‡
” ÿ
à‰^
Š  è √n · ξ ƒ ¼
Ž
‚
{ , ¬
Š
Œ
Ž
 5.5.2

2

√1 n



2

n

n(ξ − a) ∼ N (0, 1). σ ξ 1 , ξ2 , · · · , ξn n P

k=1

η1

  η2   ···  ηn

 {
’

2

(ξk − ξ)2





„ … † ‡ }‚ û ü Š ‹ y z

„
…
†
‡
” ‹
¼
Ê
Š
Œ
ê
 ξ1

     = O  ξ2   ···   ξn

(5.5.8) N (a, σ 2 ).

O,



  .  


v
¡

(5.5.9)

n

√ 1 X η1 = √ xk = n · ξ, n k=1

Ó
· O ­
Š
Œ
ê

} 

Ž
 4
 Ž
é
ê
~
}í
 ž

 " ξ , ξ , · · · , ξ v

‘
Õ ¸ 
‘
­ 1

2

n

n P

k=1

ηk2 =

n P

k=1

ξk2 .

( ) n 1 1 X 2 (xk − a) p(x1 , x2 , · · · , xn ) = √ exp − 2 2σ ( 2πσ)n k=1 ( !) n n X X 1 1 2 2 = √ exp − 2 xk − 2a xk + na . 2σ ( 2πσ)n k=1

k=1

(5.5.10)

î
ï
ðòñó$ô
õ
ö
ô
õ÷$ñ

212

Ü





x1

  x2   ···  xn

   = Oτ  





y1

  y2   ···  yn

  ,  

 
Ž

4 
Ž é
ê
~
}í
 P y = P x , Ó
P x = √ny . ’
“
­ Š
Œ
ê

v
Ž
” Û ­ 1,
í  · ¡
•
¢
 ‡

Œ ,–$ (η , η , · · · , η ) v

‘
Õ ¸
 ‘
­ n

n

2 k

k=1

2 k

k=1

k

1

=√

1 e 2πσ

·

1 √ e 2π

y2 − 2σk2

2

n X

1 1 q(y1 , y2 , · · · , yn ) = √ exp − 2 n 2σ ( 2πσ) n Y

1

n

1

k=2

í
 ý
’

n X

=

ø
ù

√

n·ξ

ƒ

n X

ηk2

k=1

n P

−

η12

2

k

ÿ
àN˜
™

k=1

n X

=

ξk2

k=1

(ξk − ξ)2

Ø Ù Œ  Ž  5.5.6

√ − 2a ny1 + na2

!)

.

k = 2, · · · , n.

2 k

ηk2

yk2

n

2

1

k=2

η1 =

2

n

k=1

•
Ê Ù
çè$Œ

Ž
 η , η , · · · , η „
…
†
‡
} Ó
√ η ∼ N ( na, σ ); η ∼ N (0, σ ), ü ! η ƒ P η †
‡
” —
{
ž

’ k=2

1

k=1

(

√ (y − na)2 − 1 2σ2

n

n X

1 − n

ξk

k=1

†
‡
”

ξ 1 , ξ2 , · · · , ξn

!2

=

n X k=1

(ξk − ξ)2 ,

„ … † ‡ }‚ û ü Š ‹ y z

n (n − 1)S 2 1 X (ξk − ξ)2 ∼ χ2n . = σ2 σ2

(5.5.11)

N (a, σ 2 ).

(5.5.12)

Û ¬
Š
Œ
Ž

}þ
’

k=1

(5.5.9)

2

(n − 1)S =

{

n X

k=1

2

(ξk − ξ) =

n X

ηk2

k=2


Ê „
…
†
‡
v
û
ü
Š
‹ N (0, σ ) v
Œ

Ž

v
~
}í
 { n−1 n−1 Ê
„
…
†
‡
v
û
ü
ˆ
‰
Š
‹ N (0, 1) v
Œ

Ž

v
~
} h Þ ¿
” ø
ù 5.5.7 Ø Ù Œ  Ž  ξ , ξ , · · · , ξ „ … † ‡ }‚ û ü Š ‹ y z N (a, σ ). ý
’ (n−1)S 2 σ2

2

1

√

ÿ
à · ¤
À

5.5.1,

§
À

2

2

n

n(ξ − a) ∼ tn−1 . σS

5.5.6

~
§
À

5.5.4

²
Þ
”

šœ›œ

žœŸœ œ¡

'¢ £ À ¿ {'8'9 ¿ v Á ™'¤ '¥ y }Ô§¦ Ö'¨ y'©
ª ”Tž
'« l –
d ¬
¼'¬
­ Y
Z
”ž

® ú ξ ~ {ξ , n ∈ N } {
§
¨
–

¼
Ê
8
9
¯
° (Ω, F, P ) 
±
Œ

Ž 
} Ó  ¾
¿ {ξ , n ∈ N } ƒ ξ Ç
°
±
²
³
´
µ

” n

n

¶¸·¸¹¸º¸»¸¼¸½¸¾¸º¸»

§6.1


¿ À
Á
Â
à Ä
8
9
´
µ
Å
Œ

Ž
 p ” {ξ , n ∈ N } Æ Œ

Ž
 È
É ±
´
µ

” ø
Ê 6.1.1 Ø
Ù 
6
7 ε > 0, Ë ’ §6.1.1

n

ξ

Ç
°
±
¼
³
Ç
­ ×


lim P (|ξn − ξ| ≥ ε) = 0,

(6.1.1)

©
Ì
ž
Í
þ
µ
Œ

Ž
 p ” {ξ , n ∈ N } Ä
8
9
´
µ
ß
Œ

Ž
 ξ, Ò
­ ξ → ξ. ­
á È
É •
³
´
µ

Ξ
Í
Š
™
Ï
Ð
8
9 P (|ξ − ξ| ≥ ε). í
 ? W
Š
™
Ñ
Ò Ó ™
±
8
9 4 3 Û ”ž
Í
 I(A) ç
:

Ô A ±
:


‘
β
’ n→∞

p

n

n

n

I(A) =

(

1,

ω ∈ A;

0, ω ∈ Ac .

©
Ì
Î Õ
Ö
O A ⊂ B C
Î’ I(A) ≤ I(B). Ó
’ P (A) = EI(A). ø
ù 6.1.1 (Chebyshev ×
Ø
Ù ) ú g(x) Å
§
¨
– [0, ∞) 
±
Ë
Ú
±
Ë
Û
… Ü
Ý ÎØ
Ù 
Þ
ß
à
á η, â Eg(|η|) < ∞, ©
Ì 
6
7
ã Þ g(a) > 0 ± a > 0, ž
Í Ë
â Eg(|η|) ÿ
à ? W
Î ·

P (|η| ≥ a) ≤

g(x)

±
Ë
Ú
 

g(a)

.

(6.1.2)

(|η| ≥ a) ⊂ (g(|η|) ≥ g(a)). d “ Ô ä I(A) Å''Ô I(|η|A ±'≥:'a) ≤Ü'I(g(|η|) § ¡'æ ≤Ê 4 3'I(g(|η|) ç'Å ·H'≥è g(a)), 'Ô (g(|η|) ≥ g(a)) Ý'å Ô§äH≥± g(a)) 
€ â 
 4 3 Û Ò
Þ ≥ 1. · n o P (|η| ≥ a) = EI(|η| ≥ a) ≤ EI(g(|η|) ≥ g(a)) ≤ E I(g(|η|) ≥ g(a)) ≤ . 3 Å ¼ Ê Ë Ì ' Á ' é ± 3 Î ' 8 9 § ¿ ä ' ± ' ì ' í î ¯ Ø à 4 4 Û Û è â'ê'ë Chebyshev g(|η|) g(a)

g(|η|) g(a)

g(|η|) g(a)

213

Eg(|η|) g(a)

214

ô

6.1.1

Ø
Ù Þ
ß
à
á

î,ï$ð ð,ñò
ó

õ Ì
þ â

η ∈ Lr (r > 0),

P (|η| ≥ x) ≤ E|η|r · x−r ,

∀ x > 0.

(6.1.3)

ö
à è Chebyshev 4 3 Û ä$Ü g(x) = x ²
Þ
î  Chebyshev 4 3 Û
÷
ø
ù Î ú
Í
Ý

º
¾
¿
û
ü Ý
ý î ø
Ê 6.1.2 ú {ξ , n ∈ N } þ
Þ
ß
à
á p ”
Î S = P ξ . Ø
Ù
ÿ è  Ý p ” {a , n ∈ N } 
Ý p ” {b , n ∈ N }, ã Þ r

n

n

k

n

k=1

n

n

Sn − a n p → 0, bn

 ² lim P

(6.1.4)

  Sn − a n ≥ ε = 0, bn

∀ ε > 0,

(6.1.5)

ú'Í þ  {ξ , n ∈ N } û ü'û'ü Ý'ý î Ô§ä {a , n ∈ N } µ þ ä't Ý ”'Î {b , n ∈ µ ý
t Ý ”
î N } þ
  ûü Ýý ± ÈÉ þÅ Þßàá p ” {ξ , n ∈ N } ‹ÿ è ä t Ý ” {a , n ∈ N } 
ýt Ý ” {b , n ∈ N }, ã Þ (6.1.4) Û Ò± ÔîØÏÙ Ì
ú
Í
¼
þ U s
 a = ES , b = n, n ∈ N , Ó ¾
¿ ã Þ ξ ∈ L , n ∈ N, õ n→∞

n

n

n

n

n

n

n

1

n

n

n

Sn − ESn p →0 n

 Ò
±
Ô
î ú
Í
º
¼  û
ü Ý
ý ±
î ô 6.1.2 (Markov 
v ) Ø
Ù 
Þ
ß
à
á p ” lim

(6.1.6)

{ξn , n ∈ N },

DSn = 0, n2

õ Ì
þ â Ø (6.1.6) Û ±
û
ü
Ý ý  Ò
î ÿ
à è Chebyshev 4 3 Û ä$Ü g(x) = x , ú
Í
Ò
²
Þ  Î 
6
7 C
Î Ë
â n→∞ n→∞

2


n P Sn −ES ≥ ε = P (|Sn − ESn | ≥ nε) ≤ n

E(Sn −ESn )2 n2 ε2

â (6.1.7)

ε > 0,

O

→ 0, í
 â Ø (6.1.6) Û ±
û
ü Ý
ý  Ò
î û'ü Ý'ý ä â' p ” {ξ , n ∈ N } äH± Þ'ß'à'á Ç'°'±
( è Markov ÷
6
7 
Îí

Å
¼
Ê
L Û Ç þ
ê
ë ± ¿
î ô 6.1.3 (Chebyshev gv ) Ø Ù p ” {ξ , n ∈ N } är± Þgßgàgág_g_ 4  ÿ è Ì Ý C > 0, ã Þ Dξ ≤ C, ∀ n ∈ N , õ Ì
þ â Ø (6.1.6) Û ±
û
ü Ý ý  Ò
î n

n

n

=

1 DSn ε2 n2

 !
ö"#!  215 ÿ
à$  {ξ , n ∈ N } ä±
Þ ß
à
á
_
_ 4 
Îí
 P DS = Dξ ≤ nC, % â
Ô (6.1.7)  Ò
î h $ Markov û
ü Ý
ý Þ  Chebyshev û
ü Ý
ý î ô 6.1.4 (Bernoulli 
v ) Ø
Ù
 ζ ç
: n Á Bernoulli &' ä ±  ä @ Ý Îý â ζ §6.1

n

n

n

k

k=1

n

n

n

p

→ p.

(6.1.8)

ÿ
à ú
Í 
" Ý( ζ = P ξ := S , Ô,ä {ξ } Å)
”*
Ò
±

û
ü+ Ý þ p ± Bernoulli Þ
ß
à
á Î Ó
Eξ = p, Dξ = pq ≤ 1. í
$ Chebyshev û ü Ý
ý Þ 
â Ø (6.1.6) Û ±
û
ü Ý
ý  Ò
Î  % â (6.1.8)  Ò
î ú
Í,)
Ê
ý
t
Ì Ý b 6= n ±
î ô 6.1.5 ú'â )'”.-/'Î è0 k Ê.-/§ä1 â 1 Ê.23 k − 1 Ê43'î6587 Ê-!/,ä²
)3
Î  ζ ç
:
í
 É ± n Ê3,ä±2!3
Ê Ý îÑý
O r > C
Î n n

k

n

n

k

k=1

k

k

n

1 2

n

â

ζn −Eζn lnr n

p

ÿ
àNú
Í9 Þ
ß
à
á ξ þ à Ø
Ù:5 0 k Ê-!/,ä É 2!3
Î þ
Ü ξ = 1; Ø
Ù
 É 43
Îþ
Ü ξ = 0.  Å {ξ } Å)
”*
Ò
± Bernoulli Þ
ß
à
á Î Ó û
ü+ Ý þ p = ± Bernoulli ; î Õ
Ö â ζ = P ξ , Ó
ξ →0.

k

k

â

k

Ô,ä í


k

n

1 k

k

Eξk = k1 ,

k

Dξk =

Ì Ý ³î ü ! $ C>0þ

n

1 k

−

1 k2

< k1 ,

Dζn =

n P

k

k=1 n P

Dξk
0,

≤ C ln n,

O

n→∞

C
Î Ë

  ζn − Eζn Dζn C 1 P ≤ 2 2r−1 → 0, ≥ ε = P (|ζn − Eζn | ≥ ε lnr n) ≤ r 2r 2 ln n ε ln ε ln n n

i = ß 

ζn −Eζn lnr n

p

è ,äÎ â ÿ
à þ

< Î ^
Š  è ô

→ 0.

6.1.6

ζn p ln n →

1.

lim P (|ηn − ln n| ≥ ε ln n) = 0,

∀ ε > 0.

n→∞

lim (Eηn − ln n) = lim

n P

1 j

Ô,ä c þ Euler Ì Ý Îí

O n >  ü
C
Î 
6
7 ü ! O n >  ü
C
Îþ â ε ln n + (ln n − Eη ) > n→∞

n→∞

j=1

n

− ln n

!

= c > 0,

ε > 0, 1 2 ε ln n.

Ë
â

î,ï$ð ð,ñò
ó

216


P (|ηn − ln n| ≥ ε ln n) ≤ P (|ηn − Eηn | ≥ ε ln n + (ln n − Eηn )) ≤ P |ηn − Eηn | ≥ 21 ε ln n ,

ü ! t?

î §6.1.2 @A
Â
à B è ú
Í,CD Þ
ß
à
á p ”
±EF)
³
´
µ

î ø
Ê 6.1.3 Ø
Ù Þ
ß
à
á ξ, ξ ∈ L , Ô,ä r > 0, Ó
n

r

E|ξn − ξ|r → 0,

ýG g Þ
ßC gÎJàgIá G p ” Ä
{ξé
„
, ´
n µ
∈ Î N } Ä Ò r H ég„g´gµ ß Þgßgàgá ξ, Ò ÷ r=1 þ Ó þ ξ → ξ. 

6
7
Þ
ß
à
á ξ ∈PL , Ø
Ù
Ü
ξ = P ≤ξ< , n ∈ N, Ìõ
þ â n

L

(6.1.9)

O

L

ξn →r ξ.

n

n

∞

r

m=−∞

m−1 2n

m−1 2n

m 2n

∀ ω ∈ Ω, ü
 þ    è Î ÿ é
„
´
µ
´
µ
ß ξ ±LM ! â ξ −→ ξ. K

6 7 ξ∈L ,Ë è rH N Þ
ß
à
á p ”
î Äg8g9g´gµ O „g´gµPg°gÿ èQR g(S ? WgÎT$ Chebyshev 4 3UgÒ è %VW S XY 6.1.2 r HO „
´
µZ[
Ä
8
9
´
µ
î —
Å
ÎJ\P 4] îJ\ QR S ô 6.1.7 ^ 8
9
¯
° (Ω, F, P ) þ_ ° (0, 1) ` ±
 7 N 8
9
¯
°
Î % â n

a

|ξn (ω) − ξ(ω)|r ≤

Lr

r

Ω = (0, 1),

ξ(ω) = 0,

∀ ω ∈ (0, 1),

!

ξn (ω) =

bW JÎ c
6 7 ε > 0, O de ξ → ξ; —
Å p

1 2rn ,

n→∞

      

F = B1 ∩ (0, 1), n2 ω,

n2

2 n

C
Î Ë
â

P = L.

ω ∈ (0, n1 ];




− ω , ω ∈ ( n1 , n2 ];

0,

ω ∈ ( n2 , 1).

P (|ξn − ξ| > ε) ≤ P (ξn > 0) =

2 n

→ 0,

n

E|ξ − ξ| = Eξ ≡ 1, Ä
„
´  µ f 4 ξ O ξ. ! $ g
d H Î
ú
Í  é ,h < ) RO „
´
µ
±i
sjk
î Lebesque lm ´
µ
Q n Îpoq'´'µ n Fatou C n cg'ú'Íh 
ÔS ©ª 6.1.1 Q‚ ÿ è α > 0, ã V k

n

{ξn }

)~€
î

n

sup E|ξn |1+α < ∞,

n∈N

« ï!¬ ð,ñò
ó , ©ª 6.1.2 Q ‚ ÿ è
Þ
ß
à
á η ∈ L , Š ‹ c…† x > 0, Ë
â sup P (|ξ | > x) ≤ P (|η| > x), k {ξ } )~€
î e ` ¦§­ 0, Þgßgàgá¼½ {|ξ | , n ∈ N } )~€¾ Š‹ ξ −→ ξ, k ξ ∈ L , ‹ ξ −→ ξ. \P¾ Q‚ c r > 0, â ξ ∈ L , ‹ ξ −→ ξ, k ξ ∈ L , ‹ ξ −→ ξ. Œ S þ¿¨¯!K § n ¾ úÀÁ
é
ìf Þ
ß
à
á¼½® a.s. Âà r¾ÄtÅ g v
à Ü
Ý < ä ®ÆÇ í
í ÂÃ ¾J È9ÉS ã V ÊU 218

1

n

n∈N

n

n

p

n

r

n

r

n

n

r

Lr

p

Lr

r

n

ξ (ω) = ξ(ω) •° Ë ® ω ®ÌÍ É)§xy þ lim  ‰Î
î úÀÏ èÐÑ®0 4  h 0, Ü ÿØ ξ∈L .  Ú V ¨ cξ…−→ ξ. †‡ˆ Î P (A) < δ ® ‰Î A, ÜÞ δ = δ(ε) > 0, Ý sup E (|ξ | I(A)) < ε, E (|ξ|I(A)) < ε. ß $!g ξ −→ ξ, de c `” ε > 0 δ > 0, ÿØ n ∈ N , Ý —à n ≥ n , › Þ de

r

n

k→∞ Lr

k→∞

n

n

n∈N

p

n∈N

r

r

n

0

$ `” n $

Cr

°á U¾ %V

0

P (|ξn − ξ| > ε) < δ.

E|ξn − ξ|r = E (|ξn − ξ|r I(|ξn − ξ| ≤ ε)) + E (|ξn − ξ|r I(|ξn − ξ| > ε))

de

L

r ξn −→ ξ.

≤ εr + Cr E ((|ξn |r + |ξ|r )I(|ξn − ξ| > ε)) < εr + 2Cr ε,

\P¾ Q ‚ ξ −→ ξ, k bW ξ −→ ξ ∈ L . $ C °á U V sup E|ξ | ≤ C sup E (|ξ − ξ| + |ξ| ) < ∞. E)âã¾!c…ƒ ® ε > 0, Ü ÿØ n ∈ N , Ý —à n ≥ n , › Þ E|ξ − ξ| < ε, ä $ ξ , ξ ∈ L  W ¾Jcƒå ® ε > 0, æ Ø δ = δ(ε) > 0, Ý V—à P (A) < δ, › Þ n

p

Lr

n

n

n∈N

r

r

r

r

r

n

n∈N 0

n

r

0

n

r

r

E(|ξ|r I(A)) < ε,

max E(|ξn − ξ|r I(A)) < ε,

KÙ ),¾ %W c‡ˆçÎ P (A) < δ ® ‰Î A, Þ I(A)) ≤ C (E(|ξ| I(A) + E(|ξ − ξ| I(A))) < 2C ε, ∀ n ∈ N , ž ™$!E(|ξ å n |6.1.4 W {|ξ | } )~€è ©ª 6.1.3 Q‚ ξ é {ξ } êëìíîïðñ ¾ Š‹ Üæ Ø) Hò ¾ókÅ ξ ¾ QRô §õö÷ø áù S ξ× n

r

r

r

n

1≤n